/
Автор: Эрике К.
Теги: техника средств транспорта космодинамика космические аппараты космонавтика космическая техника
Год: 1970
Текст
КОСМИЧЕСКИЙ ПОЛЕТ
К.ЭРИ КЕ
ОСМИЧЕСКИЙ
ПОЛЕТ
ТОМ и
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
PRINCIPLES OF GUIDED MISSILE DESIGN
EDITED BY GRAYSON MERRILL, CAPTAIN, U. S. N. (Ret.)
KRAFFT A. EHRICKE
Director of Advanced Studies
General Dynamics/Astronautics
SPACE FLIGHT
II. DYNAMICS
D. VAN NOSTRAND COMPANY, INC.
PRINCETON, NEW JERSEY • TORONTO • NEW YORK • LONDON
(1 9 6 2)
ОСНОВЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
УПРАВЛЯЕМЫХ СНАРЯДОВ
КРАФФТ ЭРИКЕ
КОСМИЧЕСКИЙ
ПОЛЕТ
ТОМ и
ДИНАМИКА
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
(главы 5—9)
Перевод с английского
В. Н. БРАНЦА, В. В. ВЕРИГО, Г. Ю. ДАНКОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1970
6Т5.2
Э77
УДК 629.19
Космический полет, том II (Динамика),
часть 2 (главы 5—9), Эрике К., перевод
с английского, Издательство «Наука»,
Главная редакция физико-математической
литературы, М., 1970, 744 стр.
Вторая часть второго тома трехтомной моногра¬
фии «Космический полет» посвящена исследованию
особенностей активного участка траектории выве¬
дения, а также механике полетов к Луне и плане¬
там солнечной системы. В главах 5 и 6 рассматри¬
ваются подробно вопросы движения на активном
участке. Глава 7 посвящена механике полетов с ма¬
лой тягой; подробно рассмотрены различные про¬
блемы ухода (раскрутки в центральном поле), меж¬
планетного перелета и захвата. В главе 8 изучаются
траектории полета к Луне (пролетные, облетные, вы¬
ход на орбиту спутника Луны, попадание в Луну,
жесткая и мягкая посадки). Глава 9 посвящена ис¬
следованию динамики межпланетных полетов, рас¬
сматриваются плоские и пространственные траекто¬
рии, полеты в один конец и с возвращением, пертур¬
бационные маневры, вопросы навигации, обсуж¬
даются области применения двигательных систем
большой и малой тяги, исследуются проблемы за¬
пусков спутников планет и посадок на планеты и их
естественные спутники.
Табл. 33. Илл. 433. Библ. 100 назв.
Краффт Эрике
Космический полет
Том II, часть 2
М., 1970 г., 744 стр. с илл.
Редактор Ю. Г. Гуревич
Техн. редактор И. Ш. Аксельрод Корректор 71. С. Вайсберг
Сдано в набор 5/11 1970 г. Подписано к печати 12/Х 1970 г. Бумага 60X90'/i6- Физ.
печ. л. 46,5. Уел. печ. л. 46,5. Уч.-изд. л. 43,91. Тираж 5000 экз. Цена книги 3 р. 41 к.
Заказ № 495.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР. Измайловский проспект, 29.
2-6-5
103-70
ОГЛАВЛЕНИЕ
От издательства ... . . . 8
Таблица перевода некоторых американских единиц измерений в метри¬
ческие единицы и единицы СИ 9
Из предисловия американского издателя 10
Из предисловия автора 12
Глава 5. Принципы выведения на орбиту 19
5.1. Введение 19
5.2. Активное движение в безвоздушном пространстве при отсутствии
сил тяготения 21
5.3. Постановка задачи о выведении на орбиту 25
5.4. Точные уравнения движения при выведении 31
5.5. Сила тяги 33
5.6. Подъемная сила и сила аэродинамического сопротивления . . 35
5.7. Устойчивость и управляемость 38
5.8. Упрощенные уравнения движения при учете аэродинамического
сопротивления 46
5.9. Вертикальный пуск в вакууме с постоянной тягой и постоянным
ускорением . 52
5.10. Оптимизация начального ускорения 56
5.11. Вертикальное выведение в астронавтике 63
5.12. Сравнение летных характеристик аппаратов при вертикальном
пуске в случаях постоянной тяги и постоянного ускорения ... 65
Основные обозначения . 70
Задачи . . 72
Глава 6. Криволинейное движение на активном участке траектории . . 74
6.1. Введение 74
6.2. Отклонение траектории в случае отсутствия внешних сил . . . 75
6.3. Расчет активной траектории выведения при отсутствий аэроди-
- намических сил 80
6.4. Угол атаки при учете аэродинамических сил 85
6.5. Пример расчета активной траектории при отсутствии аэродина¬
мических сил . . . 86
6.6. Плоское и пространственное активное выведение. Условия в мо¬
мент выключения двигательной установки ....... .91
6.7. Гравитационный разворот . ... 92
6.8. Гравитационные потери . . . .96
6.9. Оптимизация траекторий активного выведения в вакууме и атмо¬
сфере 102
6.10. Уравнения движения при наклонном прямолинейном выведении 118
6.11. Управление возмущенным движением и разворот траектории . }19
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
Основные обозначения 124
Задачи 125
Литература 127
Глава 7. Полет с малой тягой . 128
7.1. Введение ... 128
7.2. Сателлоид 132
7.3. Механика полета сателлоида 135
7.4. Аэротермодинамика сателлоида 153
7.5. Сателлоид Земли 161
7.6. Механика полета с малой тягой 177
7.7. Маневры при конечном значении ускорения 191
7.8. Механика полета при воздействии малых сил 201
7.9. Уравнения активного движения в центральном поле сил . . .211
7.10. Раскрутка с помощью малой касательной тяги в центральном
поле сил 226
7.11. Обобщенные уравнения для активных орбит с постоянным ка¬
сательным ускорением тяги 252
7.12. Характеристики спиральных траекторий с касательной тягой в
центральном поле сил 258
7.13. Полет с малой радиальной тягой 263
7.14. Обсуждение и сравнение траекторий с инвариантной ориента¬
цией тяги для орбитальных маневров и межорбитальных пере¬
летов 269
7.15. Программа тяги, минимизирующая отношение масс в общем
случае 285
7.16. Программа тяги для прямолинейных траекторий в бессиловом
поле, минимизирующая отношение масс 297
7.17. Программа тяги для плоских траекторий, минимизирующая от¬
ношение масс 305
7.18. Программа тяги для пространственных траекторий, минимизи¬
рующая отношение масс 307
7.19. Граничные условия 309
7.20. Схемы перелетов с малой тягой 316
7.21. Постоянная тяга и постоянное ускорение 341
7.22. Программа ориентации тяги, минимизирующая отношение масс
при заданной зависимости тяги от времени 350
7.23. Прерывистая касательная тяга в перигее 356
Основные обозначения 360
Задачи 364
Литература 370
Глава 8. Полет к Луне 373
8.1. Введение 373
8.2. Траектории перелета к Луне 375
8.3. Основные характеристики орбит перелета к Луне 381
8.4. Гиперболический пролет около Луны 391
8.5. Облет Луны 403
8.6. Попадание в Луну 412
8.7. Посадка на Луну 420
8.8. Влияние солнечного возмущения на траектории в долунном про¬
странстве 448
8.9. Запуск космических аппаратов к Луне 453
8.10. Захват космического аппарата Луной 458
8.11. Спутники Луны , 468
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
Основные обозначения 484
Задачи 485
Литература . 486
Глава 9. Межпланетный полет 488
9.1. Введение 488
9.2. Траектории межпланетного полета 488
9.3. Гомановский перелет между планетами, имеющими компланар¬
ные круговые орбиты 496
9.4. Расчет медленных и быстрых орбит перелета в предположении,
что орбиты планет круговые и компланарные 516
9.5. Наклонение и эксцентриситет планетных орбит 529
9.6. Плоские орбиты межпланетного перелета 538
9.7. Быстрые пространственные орбиты межпланетного перелета . . 569
9.8. Быстрые перелеты к внутренним планетам солнечной системы с
возвращением 585
9.9. Полет к нескольким планетам 595
9.10. Запуск межпланетных аппаратов 606
9.11. Запуск и уход межпланетных аппаратов 616
9.12. Гиперболическая встреча в случае орбиты перелета, касающейся
орбиты планеты-цели, при полетах к Венере, Марсу и Юпитеру
(орбиты планет — круговые) 627
9.13. Чувствительность к ошибкам выведения и диаметр столкнове¬
ния для Венеры, Марса и Юпитера 638
9.14. Операции захвата 641
9.15. Космическая навигация 650
9.16. Космический полет и ракетная техника 677
9.17. Посадка на другие планеты или на их естественные спутники 710
9.18. Определение пространственных эллиптических, гиперболических
и параболических орбит перелета в гелиоцентрическом простран¬
стве или внутри сферы действия планет 718
Основные обозначения 733
Задачи 737
Литература 739
Библиография 739
Именной указатель 741
Предметный указатель 742
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
Настоящая книга представляет собой вторую часть второго
тома монографии известного американского специалиста в об¬
ласти теории космических полетов К. Эрике под общим назва¬
нием «Космический полет».
Первый том в русском переводе был издан в 1963, а первая
часть второго тома (главы 1—4) —в 1969 г. За время, прошед¬
шее после написания монографии, ряд вопросов получил более
детальное освещение в статьях и книгах отдельных авторов, из¬
данных как в Советском Союзе, так и за рубежом. Тем не менее
книга представляется весьма полезной, так как содержит изло¬
жение комплекса вопросов, связанных с космическим полетом,
в едином плане, с единым подходом. В этом смысле она, пожа¬
луй, является единственной.
Вторая часть второго тома содержит главы 5—9, посвящен¬
ные особенностям активного участка траектории выведения, а
также механике полетов к Луне и планетам солнечной системы,
включая полеты с малой тягой. К сожалению, вопросы сближе¬
ния и стыковки, а также теория коррекции, без которых трудно
обойтись при осуществлении космических полетов, здесь не рас¬
смотрены. Изложение в книге не лишено недостатков (встре¬
чаются повторения, в некоторых местах текст излишне растянут),
которые было трудно устранить при переводе. Сохранены непри¬
вычные для советского читателя особенности в терминологии.
Исправлены многочисленные ошибки, опечатки в формулах.
При переводе текста американские меры были, как правило,
переведны в метрические. Это, однако, не всегда могло быть сде¬
лано на графиках, в таблицах и примерах численных расчетов.
Поэтому для облегчения работы читателя дана таблица пере¬
вода американских единиц измерений в метрические единицы
и единицы Международной системы СИ.
ТАБЛИЦА ПЕРЕВОДА НЕКОТОРЫХ АМЕРИКАНСКИХ
ЕДИНИЦ ИЗМЕРЕНИЙ В МЕТРИЧЕСКИЕ ЕДИНИЦЫ
И ЕДИНИЦЫ СИ
Единицы длины
1 миля («уставная») = 1,609 км
1 морская миля =1,852 км
1 фут =0,3048 м
1 дюйм =2,54 см
Единицы площади
1 дюйм2 =6,4516 см2
1 фут2 =0,092903 м2
Единицы скорости
1 миля!час =0,447 м/сек
1 узел =1 морская миля/час=0,514 м/сек
1 фут/сек =0,3048 м/сек
Единицы массы
1 фунт =0,4535924 кг
1 слэг =14,5939 кг
Единицы силы (веса)
1 фунт =0,4535924 кГ=4,4482 н
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АМЕРИКАНСКОГО ИЗДАТЕЛЯ
Трехтомная монография Краффта Эрике, посвященная изло¬
жению основ теории космического полета, входит в серию книг
«Основы проектирования управляемых снарядов» Назначение
указанной серии книг в целом — дать возможность студентам
университетов, научным работникам, инженерам, а также инже¬
нерно-техническому составу вооруженных сил основательно по¬
знакомиться с техникой управляемых снарядов и космического
полета. Настоящий, второй том назван «Динамика». Последний
том серии, «Операции в космосе», завершит рассмотрение основ
космического полета. В указанной серии уже вышли в свет сле¬
дующие книги: «Управление снарядами», «Аэродинамика. Реак¬
тивные двигатели. Практика конструирования и расчета», «Ис¬
следование операций. Боевые части. Пуск снарядов», «Руковод¬
ство по проектированию снарядов», «Эскизное проектирование
систем», «Словарь терминов по управляемым снарядам и кос¬
мическому полету», «Бортовые радиолокационные установки» и
«Инерциальная навигация». Готовятся к печати: «Полигонные
испытания», «Теория исследования» и «Электронное оборудова¬
ние космических аппаратов».
Несколько лет тому назад, когда решался вопрос о написа¬
нии и издании научной книги о космическом полете, высказыва¬
лись серьезные сомнения, найдет ли книга достаточно техниче¬
ски подготовленных читателей. Но это сомнение быстро рассея¬
лось после проведения работ по программе Международного
геофизического года и благодаря огромному воздействию на лю¬
дей запусков советских и американских спутников. Осуществи¬
мость космического полета больше уже не ставится под сомне¬
ние, и ресурсы многих стран мобилизуются для его реализации.
Я надеюсь и верю, что трехтомный труд Краффта Эрике
«Космический полет» облегчит эту задачу.
Мы просим направлять нам критические замечания и кон¬
структивные предложения. На их основе и с учетом развития ра¬
кетной техники мы надеемся своевременно вносить исправления
в настоящую книгу.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АМЕРИКАНСКОГО ИЗДАТЕЛЯ
11
Выражаем признательность и благодарность многочислен¬
ным авторам и издателям, любезно разрешившим использовать
свои материалы, а также Министерству обороны США, содей¬
ствие которого позволило создать содержательную книгу без на¬
рушения секретности.
Мнения и утверждения, приводимые в настоящей работе, яв¬
ляются частными мнениями и утверждениями автора и редак¬
тора и не должны рассматриваться как официальные или как от¬
ражающие взгляды какого-либо государственного учреждения.
Октябрь
1962 г.
Грейсон Мерилл,
издатель
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
Во втором томе книги «Космический полет» сделана попытка
охватить широкий круг вопросов динамики полета космических
аппаратов с учетом влияния большого количества различных
сил. Этими силами являются: сила притяжения, большие и ма¬
лые тяги, микротяги, лобовое сопротивление и световое давле¬
ние. Материал книги тематически может быть разбит на три ча¬
сти. Первая часть (главы 1—4) посвящена изучению свободного
движения и изменения орбиты под действием импульсных изме¬
нений скорости. Во второй части (главы 5—7) рассмотрены во¬
просы динамики полета на активном участке траектории.
В третьей части (главы 8 и 9) изложены вопросы приложения
общей теории к изучению механики полета к Луне и механики
межпланетных полетов 1).
Главой 5 открывается вторая часть2) книги, посвященная ди¬
намике полета на активном участке траектории. В ней обсу¬
ждаются основные понятия, связанные с движением на активном
участке, начиная с анализа движения при отсутствии гравита¬
ционного поля. В дальнейшем учитывается влияние силы тяже¬
сти и аэродинамического сопротивления и выводятся точные
дифференциальные уравнения движения центра масс аппарата
на активном участке и уравнения движения вокруг центра масс.
В этой главе приводятся также результаты численного интегри¬
рования упрощенных уравнений движения на активном участке
траектории. Затем рассматривается вертикальный активный уча¬
сток движения в бессиловом пространстве с постоянной тягой,
постоянным ускорением и оптимальной программой по ускоре¬
нию. Данные этого анализа могут быть использованы и для
траектории активного участка с произвольной программой по
тангажу, поскольку эти траектории также обычно начинаются
с участка вертикального подъема. В заключительной части гла¬
вы 5 обсуждается роль вертикальной программы выведения в
1) Первая часть издана в русском переводе в 1969 г. отдельно. Вторая и
третья части образуют настоящую книгу. (Прим. ред.)
2) См. предыдущее примечание. (Прим. ред.)
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
13
астронавтике и сравниваются характеристики вертикального ак¬
тивного участка при постоянной тяге и постоянном ускорении.
В главе 6 анализ активного участка распространяется на тра¬
ектории с произвольной (не вертикальной) программой тангажа.
Траектория при отсутствии силы тяжести может задаваться про¬
граммой разворота, определяющей скорость изменения угла на¬
клона траектории от начального до конечного значения как
функцию времени. Можно представить много таких функций,
для которых меняется момент достижения максимума скорости
разворота, сдвигаясь то к началу, то к концу периода работы
двигательной установки данной ступени многоступенчатой ра¬
кеты-носителя. Для одной конкретной функции получены зави¬
симости гравитационных потерь от формы орбиты. Затем этот
метод распространен на расчет траектории выведения в атмо¬
сфере и показана возможность его эффективного применения
в данном случае. Другим важным методом управления траекто¬
рией является гравитационный разворот, при котором сила тя¬
жести, действующая на движущийся по изогнутой траектории
ракетный аппарат, используется для дальнейшего ее отклонения.
Важность маневра гравитационного разворота заключается в
том, что он позволяет продольной оси аппарата следить за на¬
правлением касательной к траектории, поскольку при развороте
только с помощью двигателя аппарат должен поворачиваться
на положительный или отрицательный угол атаки, определяемый
как угол между продольной осью и мгновенным направлением
движения. При совпадении продольной оси с касательной к тра¬
ектории угол атаки становится равным нулю, что минимизирует
аэродинамические нагрузки при симметричной конфигурации ап¬
парата. Таким образом, гравитационный разворот обладает осо¬
быми преимуществами при прохождении аппарата через нижние
слои атмосферы, где динамический напор велик. В дальнейших
разделах главы 6 излагается теория оптимального (в энергети¬
ческом смысле) выведения при заданных конечных условиях (в
частности, на орбите спутника) для двух случаев: плоского поля
притяжения и с учетом кривизны Земли. Кратко обсуждается
маневр отклонения прямолинейной траектории. Траектория до¬
стигающего круговой скорости носителя, отклоняемая от почти
горизонтального до горизонтального направления, может быть
достаточно точно аппроксимирована указанным выше типом
траектории. Главу заключает вывод уравнений управления воз¬
мущенным движением для траектории выведения с разворотом.
Глава 7 посвящена наиболее важной, с точки зрения астро¬
навтики, теме — полету с малой тягой. Хотя термин «малая тя¬
га» чаще всего применяется к весьма малым значениям тяги
I (10~4-^ 10_5)g], присущим электрическим двигательным установ¬
14
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
кам, он употребляется в этой книге для всего диапазона от 0,lg
до области микроускорений (10~5^- 10_6)g\ поскольку все эти
режимы ускорений имеют большее значение в механике актив¬
ного полета, чем режим «большой тяги» [(1 -f- 10)g и более]. Под
g здесь понимается значение местного гравитационного ускоре¬
ния, используемое в качестве эталона для сравнения, так как
даже 10_3 земного ускорения g — явно «малое» ускорение для
околоземной орбиты спутника — становится «большим» ускоре¬
нием в гелиоцентрическом пространстве на расстоянии одной
астрономической единицы, где местное ускорение притяжения
Солнца составляет 6 -10-4 земного ускорения g. Механика полета
с малой тягой (и, следовательно, с малым ускорением) рассма¬
тривается в связи с тремя важными классами задач астронав¬
тики, а именно: орбитальными полетами во внешних областях
планетной атмосферы (сателлоид); маневрами коррекции ор¬
биты, встречи и стыковки с малой тягой; межпланетными пере¬
летами с помощью двигательных систем с малой тягой и высо¬
ким удельным импульсом. Глава 7 начинается с рассмотрения
полета сателлоида, поддержание орбиты которого требует малой
силы, уравновешивающей непрерывное малое возмущение дина¬
мическим сопротивлением верхних слоев атмосферы планеты.
Выведенная теория движения сателлоида применима к анализу
полета сателлоида Земли. Затем дается введение в механику по¬
лета с малой тягой. Особое внимание уделяется межорбиталь-
ным перелетам и двигательным устройствам малой тяги с систе¬
мой раздельной генерации мощности. Отличие маневров с конеч¬
ной величиной ускорения (касательная тяга) от импульсных ма¬
невров, рассматривавшихся в главах 1—4, иллюстрируется боль¬
шим числом графиков (основанных на данных численного инте¬
грирования), охватывающих диапазон ускорений от 1 до 10_3
местного гравитационного ускорения и диапазон удельных
импульсов от 400 до 1000 сек. Таким образом, эти графики при¬
менимы к анализу движения космических аппаратов с химиче¬
скими двигательными установками на высококалорийном горю¬
чем и с ядерными двигательными установками с теплообменни¬
ком. Для расчета многих типов маневров коррекции с малой
тягой и для расчета орбит, возмущаемых малыми ускорениями,
важно иметь методику упрощенного анализа. Она выведена в
§ 7.8, и на ее основе в § 7.14 проводится дальнейшее обсуждение
орбитальных маневров, включая касательный, нормальный,
трансверсальный, радиальный и бинормальный (перпендикуляр¬
ный к плоскости орбиты) типы ориентации тяги. Для всех упо¬
мянутых типов маневра, а также для произвольной ориентации
тяги выведены точные дифференциальные уравнения движения
в центральном поле для случаев плоского и пространственного
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
15
движений. Эти уравнения определяют скорость и координаты, а
также вариации орбитальных элементов как для эллиптических,
так и для гиперболических активных траекторий. Активные тра¬
ектории с касательной и радиальной тягой рассматриваются в
дальнейшем более подробно. Представлено большое число обоб¬
щенных графиков для случая касательного ускорения, на кото¬
рых даны значения числа оборотов, времени активного полета
при круговой начальной орбите, скорости в единицах круговой
скорости на начальной орбите, расстояния в единицах радиуса
начальной орбиты и угла наклона траектории к местному гори¬
зонту. Графики охватывают эллиптические и гиперболические
траектории для диапазона ускорений тяги от 1 до 10_4g и диапа¬
зона удельных импульсов от 400 до 15 000 сек. Рассмотрен пре¬
дельный случай бесконечного удельного импульса. Подобный же
набор графиков приведен и для радиальной тяги, однако он
охватывает более узкую область ускорений, поскольку разгон до
параболической скорости невозможно осуществить с помощью
непрерывного радиального ускорения, если его величина меньше
1/8 величины местного ускорения g. В § 7.11 после обсуждения
характеристик маневра касательной раскрутки в центральном
поле рассматривается безразмерная теория усредненного расче¬
та активных траекторий для очень малых (меньших 10_2g) по¬
стоянных касательных ускорений. Последняя треть главы 7
в основном посвящена интересной задаче оптимизации траекто¬
рий межорбитальных перелетов с малой тягой, включая траек¬
тории гиперболического пролета ]), а также траектории встречи.
Различие между этими двумя классами траекторий заключается
в том, что гиперболический пролет требует близкого прохожде¬
ния мимо цели во время ее движения по некоторой произвольной
орбите, в то время как конечная точка орбиты встречи должна
принадлежать орбите цели, то есть значения радиуса-вектора,
кинетического момента и радиальной составляющей скорости
аппарата должны в основном совпадать с соответствующими
величинами для цели в точке встречи. Достижение этой точки
с выполнением граничных условий завершает активный маневр
перелета в данном центральном силовом поле. Если цель (на¬
пример, космическая станция) не обладает заметной массой, то
этим заканчивается и весь перелет, вслед за чем, возможно, сле¬
дует стыковка с целью. Если цель обладает собственным полем
притяжения, то маневр встречи считается завершенным, если
космический аппарат имеет нулевой или пренебрежимо малый
гиперболический избыток скорости относительно цели и, следо¬
вательно, приближается к ней с околопараболической скоростью.
*) В тексте оригинала «Ну-by». (Прим. перев.)
16
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
Перелет со встречей с целью требует больше энергии, чем про¬
лет у цели, и может быть предпринят, если предполагается осу¬
ществить захват аппарата полем цели. Для околопараболиче-
ской траектории требуются для захвата только относительно ма¬
лые изменения скорости. Такой маневр может быть выполнен за
ограниченное время до выхода из сферы притяжения цели, даже
если ускорение двигателя очень мало. Вслед за захватом следует
выведение аппарата на заданную орбиту спутника цели. Ма¬
невры ухода (раскрутки), перелета и захвата (выхода на орбиту
спутника цели) могут рассматриваться как независимые, пока
их граничные условия «стыкуются» и дают в сумме полную
траекторию аппарата, выполняющего поставленную задачу.
Любой перелет с пролетом или встречей в конце представляет
собой переход от некоторого множества начальных (граничных)
условий. Под граничными условиями понимаются значения век¬
торов положения и скорости в данный момент времени. При
выполнении этого перехода (маневра перелета) мы располагаем
тремя управляющими параметрами: величиной модуля вектора
тяги, ориентацией вектора тяги и временем перелета. Если,
кроме того, время перелета фиксировано, то оптимальные урав¬
нения движения определяют скорость изменения составляющих
вектора тяги относительно соответствующих осей координат
(изменения модуля и ориентации вектора тяги) таким образом,
чтобы минимизировать расход массы. Эти уравнения выведены
для одномерных, двумерных и пространственных траекторий.
Проведены расчеты по уравнениям для случая плоского дви¬
жения, результаты которых представлены в виде обобщенных
графиков, применимых как для движения в гелиоцентрическом
поле, так и для некоторых областей других центральных полей
притяжения. Эти графики, наряду с другими возможностями,
позволяют быстро оценить в первом приближении минимальный
расход массы, потребный для перелета с малой тягой, заканчи¬
вающегося пролетом или встречей, между любой группой из
двух или более орбит планет в солнечной системе при времени
перелета от одного месяца до трех лет. Если вместо времени
перелета фиксировать величину тяги, уравнения оптимального
движения будут определять закон изменения ориентации векто¬
ра тяги, обеспечивающий минимум времени перелета, поскольку
для постоянной тяги, то есть для постоянного секундного рас¬
хода топлива, расход массы может быть минимизирован только
путем минимизации времени перелета. Этот тип оптимизации
рассмотрен для случая плоского перелета. В последнем пара¬
графе главы 7 кратко анализируется механика раскрутки по¬
средством периодического включения двигательной установки в
перицентре орбиты.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
17
Заключительная часть книги, посвященная различным при¬
ложениям динамики космического полета к конкретным задачам
астронавтики, открывается главой 8, содержащей изложение ме¬
ханики полета к Луне. В зависимости от целей запуска можно
выделить пять групп траекторий полета к Луне: гиперболиче¬
ский пролет, облет Луны, выход на орбиту искусственного
спутника Луны, попадание в Луну и посадка на Луну («жест¬
кая» или «мягкая»). Каждый из этих типов полета рассматри¬
вается в главе 8. В главе 9 исследуется динамика межпланет¬
ного полета. После обсуждения классического гомановского пе¬
релета представлен подробный обзор задачи межпланетного
перелета между компланарными орбитами и предложен быст¬
рый метод численной оценки орбиты перелета без возвращения
и с возвращением к Земле.
Большое количество графиков позволит читателю быстро
определить все необходимые параметры траектории, требования
к взаимному расположению планет, периоды захвата, возмож¬
ные периоды запуска и другие данные, характеризующие полеты
в один конец и с возвращением, с выходом на орбиту искус¬
ственного спутника планеты и без него. Эта информация допол¬
няется обширным набором графиков, на которых представлены
основные результаты расчетов (выполненных электронной вы¬
числительной машиной) траекторий с дискретными периодами
пассивного полета между реальными орбитами Земли, Венеры,
Марса и Юпитера для космических аппаратов с большой тягой
в отдельные периоды запуска между 1960 и 1971 гг.
Предыдущая тема естественно приводит к обсуждению меж¬
планетных перелетов между несколькими планетами. Детально
рассмотрена динамика запуска межпланетных космических ап¬
паратов из произвольной точки поверхности вращающейся пла¬
неты на заданную гелиоцентрическую орбиту перелета. Обсуж¬
дение межпланетных перелетов с большой тягой завершается
анализом численного расчета конкретных траекторий пролета
около Венеры, Марса и Юпитера, а также оценками изменения
траекторий вследствие пертурбационного маневра вблизи пла¬
неты, чувствительности параметров траекторий к начальным
ошибкам и оценкой эффективных сечений захвата. В дальней¬
шем дается введение в космическую навигацию в межпланетном
пространстве с описанием оборудования, необходимого для на¬
вигации и наведения, и анализом принципов коррекции орбит
перелета. Еще более важной, чем связь между динамикой по-
Лета и навигацией, является связь между динамикой по ета и
вопросами создания тяги в космическом пространстве. Обсуж¬
даются двигательные системы большой и малой тяги и целесо-
°оразные области их применения в задачах взлета, посадки и
2 К. Эрике, т. II
18
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
межзвездных полетов. Для случаев конфигурации космического
аппарата типа «сферы» или «паруса» представлено краткое вве¬
дение в теорию движения с помощью использования давления
солнечного излучения. В главе содержится также исследование
вопросов создания искусственных спутников планет и посадки
на другие планеты или их естественные спутники. Глава 9 за¬
канчивается изложением трех методов определения простран¬
ственной орбиты перелета в гелиоцентрическом пространстве
или внутри сферы действия планеты.
В настоящей книге предпринята попытка дать наиболее
полное (по сравнению с ранее вышедшими работами) обсуж¬
дение, анализ и оценку динамики космического полета. Не¬
смотря на это, читатель обнаружит отсутствие рассмотрения
ряда специальных вопросов, таких как динамика посадки кос¬
мического аппарата на небесные тела, лишенные атмосферы,
подробная динамика маневров встречи и причаливания, реля¬
тивистская механика полета и другие. Эти вопросы будут изу¬
чены в третьем томе наряду с рассмотрением реактивных систем
(ввиду их тесной связи с операциями в космосе). Приведенный
список литературы далек от исчерпывающей библиографии и не
содержит большого количества трудов и статей, которые во все
возрастающем количестве издаются NASA, Научно-исследова¬
тельским центром ВВС, а также частными научно-исследова¬
тельскими институтами. Ряд глубоких теоретических исследова¬
ний и вычислительных работ, проведенных при подготовке на¬
стоящей книги, был выполнен независимо различными авторами
и организациями и опубликован в 1960—1961 гг., что свидетель¬
ствует об огромном увеличении публикаций, ставшем возмож¬
ным благодаря все увеличивающемуся финансированию про¬
граммы изучения космических полетов.
К. А. Эрике
Сан-Диего, Калифорния
Октябрь, 1962 г.
ГЛАВА 5
ПРИНЦИПЫ ВЫВЕДЕНИЯ НА ОРБИТУ
5.1. Введение
В предыдущих главах рассматривалось свободное движение
космического аппарата в пространстве. Скорость аппарата и его
расстояние от данного центра притяжения определяют полную
энергию аппарата. Эта энергия сообщается аппарату во время
активного полета, представляющего собой движение с непрерыв¬
но работающий двигательной установкой либо движение, со¬
стоящее из ряда последовательных включений двигательной
установки с более или менее продолжительными периодами сво¬
бодного полета между моментами выключения и включения дви¬
гательной установки. В настоящей главе, как и в двух после¬
дующих главах, активный полет рассматривается применительно
к задачам астродинамики, исключая вопросы, связанные с при¬
менением ракетных снарядов различных типов.
В предыдущих главах часто делались ссылки на маневры
импульсного типа. Теоретически импульс представляет собой
мгновенное изменение скорости, и, следовательно, при этом под¬
разумевается бесконечно малый период активного полета (ра¬
боты двигательной установки). Эта концепция во многих слу¬
чаях упрощает исследование пассивного полета, поскольку
местоположение космического аппарата в пространстве после
изменения скорости остается практически неизменным.
Несмотря на упрощение, маневры импульсного типа во мно¬
гих случаях являются хорошим приближением к реальным усло¬
виям активного полета, поскольку дальности полета в космиче¬
ском пространстве обычно так велики, а угловые скорости на¬
столько малы, что, образно говоря, смещение аппарата за время
конечного активного полета оказывается пренебрежимо малым,
если это время не слишком велико. Следовательно, решение
вопроса, будет концепция импульсного маневра допустимым
Упрощением или нет, зависит от рассматриваемых частных
Условий.
2*
20
ПРИНЦИПЫ ВЫВЕДЕНИЯ НА ОРБИТУ
[ГЛ. 5
В некоторых случаях активным периодом полета пренебречь
невозможно. Наиболее важным из них является выведение на
орбиту с небесного тела. К другим случаям следует отнести дви¬
жение в космическом пространстве с малой тягой и посадку на
тела, лишенные атмосферы.
Большие ракетные аппараты ускоряются постепенно. Если
они выводятся вертикально с поверхности небесного тела, то
тяга, конечно, должна быть больше, чем вес, если только они
не поддерживаются подъемной силой. В случае отправления
с орбиты спутника тяга может составлять лишь малую долю
веса аппарата. Это уменьшит начальное ускорение, увеличит
время горения и удлинит траекторию активного полета, а также
при наличии противодействующих сил увеличит потери энергии,
затрачиваемой во время активного полета.
Притяжение и аэродинамическое сопротивление являются
наиболее важными противодействующими силами (или их со¬
ставляющими), которые действуют на аппарат в направлении,
противоположном тяге. Поскольку гравитационные силы сильно
действуют на «близкой» орбите спутника, то очень важно, будет
ли аппарат, удаляющийся с такой орбиты спутника, иметь боль¬
шое или малое начальное ускорение. Вместе с тем разгон с ор¬
биты менее чувствителен к потерям энергии в широком (но'
ограниченном) диапазоне начальных ускорений, чем выведение
с поверхности планеты. Термин «потери» определяет ту часть
энергии, создаваемой двигательной установкой, которая не ис¬
пользуется для ускорения аппарата, а служит для компенсации
влияния противодействующих сил. Всякий раз, когда аппарат
проходит через облако газа, имеет место определенное замедле¬
ние аппарата, величина которого равна аэродинамической силе
сопротивления, деленной на массу аппарата, и определенная
часть энергии, создаваемой двигательной установкой, расходуется
на преодоление этого замедления. Аналогично энергия, необходи¬
мая во время активного полета для поддержания аппарата, на¬
ходящегося под действием гравитационного притяжения, не вхо¬
дит в «чистое» ускорение аппарата. При движении космического
аппарата по орбите уже не требуется компенсировать влияние
гравитационных сил. Однако если во время активного полета
аппарата высота полета (радиальное расстояние) возрастает, то
возникает необходимость в «поддержании» аппарата.
Как при вертикальном выведении, так и в случае разгона
с орбиты упомянутые выше противодействующие силы со¬
здают противодействующее, или отрицательное, ускорение и,
поскольку они действуют в течение определенного промежутка
времени, возникают соответствующие «потери» скорости в том
смысле, что эта скорость никогда не может быть реализована.
5.2]
АКТИВНОЕ ДВИЖЕНИЕ В БЕЗВОЗДУШНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
21
Фактическая конечная энергия отличается от «идеальной»,
или конечной, энергии, свободной от потерь, на величину, кото¬
рая пропорциональна указанным потерям в скорости. В этих слу¬
чаях обычно говорят о потерях на преодоление силы сопротивле¬
ния воздуха (потерях на аэродинамическое сопротивление) и о
потерях на преодоление силы тяжести (гравитационных потерях).
В соответствии с этим конструирование аппарата должно
основываться не на скорости, которую необходимо развить
(фактической скорости в момент выключения двигателя), но на
фактической скорости плюс все потери скорости, которые могут
иметь место во время активного полета. Эта сумма (идеальная
скорость) является решающим характеристическим параметром
при конструировании аппарата. Цель механики активного по¬
лета заключается в том, чтобы определить и возместить потери
на аэродинамическое сопротивление и гравитационные потери.
Идеальная скорость данной ступени или данного аппарата
вычисляется как скорость, достигаемая аппаратом при идеаль¬
ных условиях (при отсутствии внешних потерь). Сумма измене¬
ний идеальной скорости, требуемая для выполнения данной
задачи астронавтики, может быть названа суммарной характе¬
ристической скоростью1). Сумма всех идеальных скоростей раз¬
личных ступеней ракетного аппарата должна быть равна сум¬
марной характеристической скорости.
5.2. Активное движение в безвоздушном пространстве
при отсутствии сил тяготения
По первому закону движения Ньютона количество движения
ракетного аппарата равно
Если на аппарат не действуют никакие силы, то момент количе¬
ства движения равен нулю или имеет некоторое постоянное зна¬
чение в зависимости от того, находится тело в состоянии покоя
или имеет данную скорость в принятой системе отсчета.
В случае, если на аппарат действует сила F (то есть тяга),
то момент количества движения изменится. Величина и направ¬
ление изменения пропорциональны величине и направлению дей¬
ствующих сил (второй закон движения Ньютона):
М — mv.
(5.1)
dM
dt
(5.2)
!) В тексте оригинала «mission velocity». (Прим. перев.)
22
ПРИНЦИПЫ ВЫВЕДЕНИЯ НА ОРБИТУ
[ГЛ. 5
Если масса аппарата постоянна, то
Обычно масса ракетного аппарата изменяется во время ра¬
боты двигательной установки (в период активного полета), по¬
скольку, по определению, ракетный аппарат является средством,
создающим двигательную силу, не зависящую от внешней
среды. Сила есть произведение массы на ускорение. Следова¬
тельно, ракета должна всегда терять массу, если она ускоряется
под действием силы тяги. Если т = dm/dt — расход массы за
секунду, ve— скорость истечения этой массы относительно аппа¬
рата, a v — скорость аппарата в принятой системе отсчета, то
сумма всех сил, действующих на аппарат и истекающий газ,
определяется следующим образом:
Так как сумма всех сил должна быть равна нулю (принцип
Даламбера, отнесенный к третьему закону Ньютона, по кото¬
рому «действие равно противодействию»), то
После интегрирования получается хорошо известное фундамен¬
тальное уравнение реактивного движения
где р = т0/тj — отношение масс, a — идеальная скорость,
то есть некоторая фиктивная скорость, достигаемая ракетой,
когда она испытывается на стенде при отсутствии потерь, об¬
условленных гравитационным притяжением или аэродинамиче¬
ским сопротивлением (изэнтропический или обратимый актив¬
ный полет) 4). Траектория не влияет на идеальную скорость,
которая является только функцией скорости истечения и отно¬
шения масс.
Изэнтропический характер такого фиктивного активного по¬
лета иллюстрируется следующим рассмотрением. Суммарное,
или абсолютное, ускорение аппарата равно
(5.4)
Av = vi-v0=ve\n^ = ve\nn = vi<i, (5.6)
(5.7)
!) Формула (5.6), определяющая идеальную скорость, носит название
формулы Циолковского. (Прим. перев.)
5.2]
АКТИВНОЕ ДВИЖЕНИЕ В БЕЗВОЗДУШНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
23
Это ускорение (основное соотношение между v и т/т), оче¬
видно, определяет длину траектории активного полета. Если
процесс изэнтропический, то скорость в момент выключения дви¬
гательной установки не должна зависеть от соотношения между
т и т/т = а.
Если т = const (постоянная тяга, равная rhve), то т — ли¬
нейная функция времени t и
1 т 1, tft
dv = ve — dt = ve — dt
e m e m0 — mt
ИЛИ
Vi tx
dt
J dv = verh J*
m0 — mt *
V0 t-\
Подставив сюда m0— mt = x и проинтегрировав, получим урав¬
нение (5.6).
Если а = const (постоянное ускорение), то тяга убывает со
временем. Поскольку в этом случае
dv т ,
-тт = — ve = const,
dt m e ’
находим:
dm __ m
dt m
ИЛИ
dm __ __ m ^
m m
Интегрирование этого уравнения, если принять во внимание, что
в начале активного участка /0 = 0, а/0 = 0 и, следовательно,
постоянная интегрирования С = In m0, дает:
I* = = е^т, (5.8)
где tx — время горения. Это соотношение совпадает с уравне¬
нием (5.6), так как th/m = a/ve и, следовательно,
m at, п..
— <! = — = — , (5.9)
m 1 ve ve v '
поскольку при постоянном ускорении Uid = atu
Длина активной траектории в рассматриваемых случаях со¬
вершенно различна. Для того чтобы получить длину пути s,
необходимо проинтегрировать уравнение (5.6), записав его пред¬
варительно в виде
ds ,
24 ПРИНЦИПЫ ВЫВЕДЕНИЯ НА ОРБИТУ [ГЛ. 5
и задать текущее отношение масс то/т в функции времени:
. In — = — In — = — lnUhzilbL == — Inf 1
m tn0 mQ \ mQ J
Что касается длины пути активного полета, то, оказывается,
не безразлично, будут ли тяга или ускорение постоянными.
Уравнение (5.6) теперь принимает вид
ds = — ve ln ^ 1 — --р t j dt.
Интегрирование дает длину пути активного полета:
д5 = Уе^Г(1 —*_фп(1 А + -* ф (5.10)
е т у\ т0 ! \ т0 ) ' т0 J v >
В момент выключения двигательной установки имеем:
т тп
где Л — некоторый весовой коэффициент1) (относительный вес
топлива), равный отношению веса топлива к полному весу кос¬
мического аппарата. Таким образом, длина пути активного уча¬
стка равна
«.—^[о-АНпи-лнл]. <5-12)
Для случая постоянного ускорения немедленно находим:
(5.13)
, т , )
vl — at\ I
a ,2 mve ,2 I
S'=-2Uz=~2^U' j
где [см. уравнение (5.8)]
(5.14)
s' = ^ln2^’ (5.15a)
или, поскольку
(5.15Ь)
Окончательно с помощью уравнения (5.7) получаем:
5'=171п2(тгл)- (5Л5с)
1) Этот коэффициент далее называется также коэффициентом заправки,
(Прим. ped.'j
5.3]
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О ВЫВЕДЕНИИ НА ОРБИТУ
25
5.3. Постановка задачи о выведении
на орбиту
Космический аппарат, движущийся в безвоздушном прост¬
ранстве с выключенной двигательной установкой под действием
гравитационного притяжения, может изменять кинетическую и
потенциальную энергию без потерь.
Для того чтобы получить возможность осуществлять актив¬
ный полет без потерь, необходимо, чтобы одновременно отсут¬
ствовали силы тяготения и сопротивление атмосферы. В преды¬
дущем параграфе показано, что при таких идеальных условиях
активный участок свободен от потерь в том смысле, что тяга F
за время горения t полностью используется для ускорения аппа¬
рата. Интеграл по времени от тяги называется суммарным им¬
пульсом. В идеальных условиях весь суммарный импульс пре¬
вращается в механическую энергию аппарата. При отсутствии
сил тяготения понятие «высота» теряет свое значение и по¬
этому аппарат не может запасать потенциальную энергию и вся
механическая энергия проявляется лишь в форме кинетической
энергии. Следовательно, получаемая в результате такого актив¬
ного полета скорость принимает наибольшее из всех возможных
достижимых значений и по этой причине она называется идеаль¬
ной скоростью. Хотя в космическом полете можно накапли¬
вать кинетическую энергию без потерь, накапливать потен¬
циальную энергию во время активного полета без потерь невоз¬
можно.
В случае активного полета в безвоздушном пространстве
(но в гравитационном поле) идеальных условий не существует.
Когда ракета покидает опору, то единственной поддерживающей
силой является тяга. Например, если в данном гравитационном
поле тяга в два раза превосходит начальный вес аппарата, то
в начале вертикального подъема половина тяги (а следователь¬
но, и половина расходуемого топлива) используется для под¬
держания аппарата в земном гравитационном поле, в то время
как оставшаяся часть тяги сообщает аппарату ускорение lg\
В идеальных условиях вся тяга была бы израсходована на со¬
здание ускорения, которое в этом случае было бы равно 2g.
Часть тяги, требуемая для поддержания аппарата, убывает
с возрастанием времени горения, поскольку аппарат теряет вес
из-за расхода топлива. Таким образом, поддерживающая тяга
Fg убывает с возрастанием времени, а остающаяся часть расхо¬
дуется на ускорение аппарата, которое, очевидно, возрастает.
Интеграл от переменной поддерживающей тяги Fg по времени
горения I дает потери импульса на преодоление гравитацион¬
ного притяжения, действующего на аппарат, что носит название
26
ПРИНЦИПЫ ВЫВЕДЕНИЯ НА ОРБИТУ
[ГЛ. 5
гравитационных потерь. Гравитационные потери определяются
уравнением
где t\ — /о — время горения, a Ig — гравитационные потери в им¬
пульсе.
Необходимо, однако, указать, что гравитационные потери
являются потерями лишь в том смысле, что затраченная энергия
не расходуется на ускорение космического аппарата, поскольку
в период выведения аппарата на орбиту увеличивается высота
полета и, следовательно, потенциальная энергия. Более того, при
выключении двигательной установки на большей высоте для
данной задачи требуется меньшая скорость, чем скорость, кото¬
рая потребовалась бы на высоте запуска. Следовательно, в об¬
щем балансе энергии данного активного полета лишь часть
гравитационных потерь является истинными, или необратимыми,
потерями энергии, расходуемой на возрастание энтропии и на
соответствующее уменьшение свободной энергии (то есть энер¬
гии, способной выполнять работу) в смысле, используемом
в термодинамике.
Предположим, например, что космический аппарат достигает
скорости ухода1) на высоте у = 185 км (100 морских миль). При
выведении его гравитационные потери эквивалентны 1219 м/сек
(4000 фут/сек). Эта величина является характерным значением
для больших ракетных аппаратов, стартующих с малым началь¬
ным ускорением 1,3 -s- 1,6 g. Тогда мы имеем следующее распре¬
деление гравитационных потерь:
параболическая скорость на поверхности
уменьшение скорости в момент выключения двигательной
установки, обусловленное увеличением высоты,
Дрр = 167 м/сек (545 фут/сек)\
скорость, соответствующая энергии аппарата на высоте
185 км (см. том 1, рис. 4.15), составляет 8016 м/сек
(26 300 фут/сек);
(5.16а)
vPt00 = 1 1 170 м/сек (36 645 фут/сек);
параболическая скорость на высоте 185 км
vp = И 003 м/сек (36 100 фут/сек);
0 Имеется в виду параболическая скорость. {Прим. ред.)
5.3]
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О ВЫВЕДЕНИИ НА ОРБИТУ
27
круговая скорость на высоте 185 км составляет 7788 м/сек
(25 550 фут/сек);
скоростной эквивалент потенциальной энергии, которой обла¬
дает космический аппарат на высоте 185 км,
у pot, 185 = 229 м/сек (750 фут/сек).
Таким образом, в гравитационных потерях 1219 м/сек
(4000 м/сек) около 396 м/сек (1300 фут/сек) приходится на
обратимую часть, тогда как Ли =1823 м/сек (2700 фут/сек)
составляет 67,5% от полных гравитационных потерь и является
истинными необратимыми потерями. Ниже будет показано, что
понятие «гравитационные потери» используется вместо рассмот¬
рения лишь необратимых потерь потому, что гравитационные
потери могут быть представлены более просто.
Если аппарат поднимается в атмосфере, то сопротивление
воздуха, или аэродинамическое сопротивление, является другой
основной препятствующей силой, которая должна быть преодо¬
лена путем соответствующих затрат энергии топлива. Вызывае¬
мые в этом случае затраты называются потерями на аэродина¬
мическое сопротивление. Если Fd — тяга, необходимая для урав¬
новешивания аэродинамического сопротивления, то потери на
аэродинамическое сопротивление, выраженные через импульс
силы, имеют вид
t,
Id= j Fadt. (5.16b)
to
На рис. 5.1 сравниваются условия идеального активного
полета
/id = / (5.17)
с условиями, обычно существующими во время реального актив¬
ного полета,
/eff = /-/*-/* (5.18)
где /eff — эффективный суммарный импульс, необходимый для
ускорения ракеты, а / — суммарный импульс, определяемый как
интеграл от тяги по времени горения.
На рис. 5.1 также приведены кривые изменения идеальной
и фактической скоростей в функции времени горения. Выражая
гравитационные потери через скорость, можно написать:
(Av)g=\^iidt = \ssinQdt.
tb to
(5.19)
28
ПРИНЦИПЫ ВЫВЕДЕНИЯ НА ОРБИТУ
[ГЛ. 5
Аналогично можно представить потери скорости, обусловлен¬
ные аэродинамическим сопротивлением:
(До)*, = J °
и
т0 — mt
dt.
(5.20)
В этих уравнениях (Av)g и (Av)d — потери скорости, обуслов¬
ленные соответственно силой тяготения и аэродинамическим
1100
I 90
И
I 70
I 60
50
% 40
I20
II 70
I *
Суммарный импульс=тяга ж время горения
Аэродинамические потери
Гравитационные потери
Действительная
скорость полета
Импульс, используемый
для ускорения
Идеальная
скорость полета
Идеалы Действи- Момент
ный тельный запуска
Время
горения
Выключение
двигательной
Рис. 5.
установки
Гравитационные и аэродинамические потери.
сопротивлением, 0 — угол наклона траектории, D — сила аэро¬
динамического сопротивления, a W — текущий вес аппарата
W = (m0 — mt) gy (5.21)
где т0 — начальная масса, т — секундный расход массы топ¬
лива, t — время, прошедшее с начала горения. Следовательно,
выражение для фактической скорости в момент выключения
двигательной установки имеет вид:
= yid “ (Ду)я “ (До)<г (5-22)
Уравнение (5.19) показывает, что для минимизации (Au)g
необходимо уменьшать время горения t, а также иметь малые
значения 0. Это в свою очередь означает, что траектория кос¬
мического аппарата должна быть отклонена от вертикали к го¬
ризонту настолько быстро, насколько это возможно.
С другой стороны, уравнение (5.20) указывает, что жела¬
тельно иметь малую силу аэродинамического сопротивления, а
это в свою очередь означает, что аппарат должен подниматься
5.3]
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О ВЫВЕДЕНИИ НА ОРБИТУ
29
настолько медленно, насколько это возможно, и двигаться
в вертикальном направлении для того, чтобы преодолеть плот¬
ные слои атмосферы как можно быстрее.
Таким образом, требования к уменьшению гравитационных
и аэродинамических потерь находятся в противоречии. Однако
на практике это противоречие не очень резко выражено. На¬
чальное ускорение больших ракет по конструктивным причинам
составляет только величину порядка 0,3 -г- 1 g *). Следовательно,
потери на аэродинамическое сопротивление по своей природе
малы (см. рис. 5.1). Например, в артиллерии большой даль¬
ности около 60% теоретически достижимой дальности в безвоз¬
душном пространстве теряется вследствие аэродинамического
сопротивления. Для ракеты V-2 соответствующая дальность
уменьшается лишь на 8%. Это означает, что потери в скорости
в момент выключения двигательной установки ракеты V-2, об¬
условленные аэродинамическим сопротивлением (аэродинамиче¬
ские потери), составляют лишь 4%, так как изменение в даль¬
ности пропорционально квадрату изменения скорости (в этом
случае 0,962 = 0,92). В противоположность малым потерям на
аэродинамическое сопротивление гравитационные потери для
ракеты V-2 составляют около 30%, то есть фактическая скорость
отсечки [1493,5 м/сек (4900 фут/сек)] составляет лишь 70%
идеальной скорости отсечки [2164 м/сек (7100 фут/сек)].
Рис. 5.2 иллюстрирует изменение сил, действующих на ра¬
кету V-2 во время ее выведения. Сплошные линии изображают
изменение веса W и аэродинамического сопротивления D в мет¬
рических тоннах силы. Изменение указанных параметров дано
в функции времени горения t. В верхней части графика пока¬
зано изменение силы тяги2) также в функции времени. Два
типа графиков изменения сил в функции времени показывают
случай вертикального запуска и подъема по наклонной траек¬
тории. Можно легко видеть, что в последнем случае тяга
должна превосходить лишь осевую составляющую веса
(WsinQ<W). Эта составляющая показана на графике пунк¬
тирной линией. Поскольку сила аэродинамического сопротив¬
ления всегда действует в направлении, противоположном на¬
правлению полета, результирующая сила, которую должна
преодолевать тяга, является суммой аэродинамического сопро¬
9 Это — эффективное ускорение, означающее, что величина тяги в
1,3 -ь 2 раза превосходит начальный вес аппарата.
2) Суммарная тяга складывается из тяги, возникающей при изменении
количества движения газа, истекающего через сопло, и тяги, обусловленной
разностью между давлением на срезе сопла и давлением в окружающей
среде. Последнее уменьшается с высотой и, следовательно, суммарная тяга
возрастает (см. § 5.5),
30
ПРИНЦИПЫ ВЫВЕДЕНИЯ НА ОРБИТУ
[ГЛ. 5
тивления и W'sinO (график этой суммарной силы представлен
на рис. 5.2 штрих-пунктирной линией). График показывает, что
максимум силы аэродинамического сопротивления приходится
на тридцатую секунду полета, то есть аэродинамическое со¬
противление оказывается наибольшим в момент, когда косми¬
ческий аппарат проходит трансзвуковую область. В этой точке
дремя активного полета t (секунды)
Рис. 5.2. Изменение тяги, аэродинамического сопроти¬
вления и веса ракеты V-2 во время активного полета.
разность ординат между штриховой и штрих-пунктирной ли¬
ниями показывает, что аэродинамическое сопротивление состав¬
ляет около 4,5 Т. Однако в этот момент составляющая тяги, за¬
висящая от изменения атмосферного давления с высотой, ока¬
зывается на 2 Г больше, чем в момент старта. Эффективная
сила аэродинамического сопротивления составляет, следова¬
тельно, лишь около 2,5 Т или 55% ее полной величины. Указан¬
ное обстоятельство служит примером того, что аэродинамиче¬
ские потери в значительной степени компенсируются увеличе¬
нием тяги из-за изменения атмосферного давления с высотой.
5.4]
ТОЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПРИ ВЫВЕДЕНИИ
31
При дальнейшем активном полете аэродинамическое сопротив¬
ление быстро падает, в то время как тяга возрастает. В резуль¬
тате интеграл от силы аэродинамического сопротивления по
времени (потеря импульса, обусловленная аэродинамическим
сопротивлением) очень близок по величине к интегралу от при¬
ращения тяги по времени (увеличение импульса, обусловленное
увеличением тяги из-за уменьшения атмосферного давления
с высотой). Эти условия слабо
изменяются при наклонных траек¬
ториях и изменении размеров ап¬
паратов. Из рис. 5 3 видно, что
между вертикальным пуском ра¬
кеты У-2и наклонным пуском под
углом 43° к горизонту имеется не¬
значительная разница. В случае
вертикального пуска увеличение
тяги из-за атмосферной поправки
компенсирует потери на сопроти¬
вление атмосферы таким обра¬
зом, что упрощенное вычисление
траектории при пренебрежении
одновременно аэродинамическим
сопротивлением и атмосферной
поправкой дает приемлемый ре¬
зультат. Для аппаратов, больших
V-2, указанное обстоятельство
справедливо практически для всех
траекторий активного полета.
Эта приближенная компенса¬
ция аэродинамического сопротив¬
ления атмосферы атмосферной
поправкой тяги в случае баллистических аппаратов является
удобным свойством, поскольку использование его позволяет по¬
лучать сравнительно точные результаты при рассмотрении лишь
гравитационных потерь, пренебрегая при этом трудоемкими вы¬
числениями аэродинамических потерь. Это приближение будет
использоваться в дальнейшем предварительном анализе.
10 20 30 40 50 ВО 70
Время полета (секунды)
Рис. 5.3. Аэродинамическое сопро¬
тивление и динамическое давле¬
ние при вертикальном и наклон¬
ном пусках ракеты V-2.
5.4. Точные уравнения движения при выведении
Ускорение аппарата в заданном направлении полета равно
алгебраической сумме ускорений, вызываемых силами, дей¬
ствующими в направлении полета (рис. 5.4):
dv F cos 6 D . Л F'
It ~ m cos a ~ & sin 0 — — sin a. (5.23)
32
ПРИНЦИПЫ ВЫВЕДЕНИЯ НА ОРБИТУ
[ГЛ. '5
В этом уравнении F — сила тяги аппарата, D — сила аэродина¬
мического сопротивления, 0 — угол наклона траектории, а —
угол атаки, р — угол между направлением тяги и осью аппа¬
рата, F' — реактивная сила сопел, создающая вращающий мо¬
мент (управляющая сила), g = /С/г2 — местное гравитационное
ускорение, а т = m0 — mt — текущая масса аппарата, где
т0 — начальная масса, т — секундный расход массы топлива,
старта,
Рис. 5.4. Силы, действующие на ракету во время активного полета.
0 —угол наклона траектории полета; а —угол атаки; F — сила тяги, действующая вдоль
оси аппарата; F sin а — составляющая сила тяги, нормальная к касательной к траек¬
тории; F cos а — составляющая силы тяги, совпадающая по направлению с касатель¬
ной к траектории; D—сила аэродинамического сопротивления; L — аэродинамическая
подъемная сила; F'— вращающая сила, действующая вдоль нормали к оси аппарата;
F' sin а — составляющая управляющей силы, параллельная касательной к траектории;
F' cos а — нормальная составляющая; W — вес аппарата; W sin 0 — составляющая веса,
параллельная касательной к траектории; W cos 0 — нормальная составляющая веса.
(L и F sin а — силы, нормальные к направлению полета).
/ — текущее время горения. (Случай движения аппарата, когда
тяга отклонена на угол р, в результате чего создается вращаю¬
щая сила F' = F sin р, рассматривается в §5.7.) Угол р задается
йз условия компенсации аэродинамического момента (обуслов¬
ленного возникновением угла атаки а) моментом тяги вокруг
центра масс аппарата (см. рис. 5.4).
Все силы, действующие вдоль нормали к касательной к тра¬
ектории (вдоль нормали к направлению полета), отклоняют тра¬
екторию. Они связаны соотношением (см. рис. 5.4)
dQ Fcosp . L . F' /е лл\
v ^ = —^sina + ^+^rcosa-£cos0> <5-24)
5.51
СИЛА ТЯГИ
33
где v dft/dt = и2/р — нормальное (центробежное) ускорение, об¬
условливающее кривизну траектории !) и рассматриваемое как
управляющая сила2), р — радиус кривизны траектории, L —
подъемная сила. Путем численного интегрирования можно по¬
лучить текущую скорость полета и, которая может быть раз¬
ложена на две составляющие, параллельную и перпендикуляр¬
ную к линии горизонта:
vx = v cos 0 = , (5.25)
vy = v sin 0 = . (5.26)
Здесь у = г — r0o, где г — расстояние от центра Земли, а г00 —
радиус Земли.
Численным интегрированием можно также получить мгно¬
венные координаты х и у ракеты. Впоследствии свойства траек¬
тории полета, вытекающие из уравнений (5.23) — (5.26), будут
обсуждаться более детально.
Если дальность активного полета очень велика (более
90 км), то кривизна Земли должна учитываться путем добав¬
ления дополнительного члена в уравнение (5.24), которое в этОхМ
случае принимает вид
dd F cos р . . L , F' К л , v2 л /с о7\
V sina + -^- + — cosa--^cos0 + — cos0, (5.27)
где г следует из уравнения (5.26),, а К — гравитационный па¬
раметр.
5.5. Сила тяги
Сила тяги определяется уравнением
F (0 = Foo + А, (ре - ра) - AF00 - 6р°, (5.28)
где Fоо — сила тяги в начале активного полета, Ае(ре — ра) —
атмосферная поправка [Ае — площадь выходного сечения сопла,
ре — давление на выходе из сопла (константа)3), а ра — внешнее
‘) Не^ путать с центробежным членом, обусловленным кривизной Земли.
Последний имеет малое или во всяком случае несущественное значение в пе-
риод активного полета при выведении, исключая случай движения верхних
ступеней многоступенчатых ракет.
2) Различие между управляющей и регулирующей силами рассматри¬
вается в § 5.8.
3) Ре ~ константа, если сопло не перерасширено, то есть линии тока
истекающей струи расширяются (увеличивая тем самым эффективное выход¬
ное сечение сопла). Это происходит до тех пор, пока аппарат не наберет вы¬
соту и не будет достигнуто предельное значение площади выходного сечения.
В таких случаях должно быть взято среднее интегральное значение Рв по
времени.
3 К. Эрике, т. II
34
ПРИНЦИПЫ ВЫВЕДЕНИЯ НА ОРБИТУ
[ГЛ. 5
давление (переменное)]. Член AFoo означает потери тяги, воз¬
никающие из-за торможения потока неотклоненными газовыми
рулями (для ракеты У-2.они в четыре раза превышали величину
сопротивления одного руля). Наконец, 6|3° есть дополнительное
сопротивление газовых рулей (сопротивление, возникающее
при отклоненных газовых рулях), определяемое их сред¬
ним отклонением. Здесь |3°— угол отклонения руля в градусах,
а b — коэффициент пропорциональности, который в случае рас¬
положения рулей в сверхзвуковом потоке приблизительно
определяется соотношением
h„ 1.1 S.M, . (5.29)
14-1
где Sv — площадь поверхности руля, М* — число Маха газового
потока на выходе из сопла. В действительности, поскольку Sv
постепенно убывает из-за эррозии газовых рулей, величина b не
является константой. Шарнирные моменты газовых рулей убы¬
вают в течение полета, и для поддержания постоянной регули¬
рующей силы требуется больший угол (3°.
Член AFoo, так же как и &(3°, равен нулю при отсутствии газо¬
вых рулей. Это имеет место в случае, когда двигатель ракеты
или двигатели, предназначенные для регулирования, должны
поворачиваться. В современных ракетных аппаратах регулиро¬
вание погруженными в поток газовыми рулями заменяется регу¬
лированием вектора тяги с помощью двигателей. Поэтому
в дальнейшем величинами Д^оо и bр° будем пренебрегать.
Составляющая тяги F sin а совместно с подъемной силой
уравновешивает составляющую веса \Fcos0, обеспечивая тем
самым движение аппарата по его траектории. Следовательно,
для ускорения аппарата вдоль траектории полета (касательное
ускорение) имеется лишь составляющая F cos а. К счастью,
даже для сравнительно больших углов атаки (5-^7) cos а при¬
близительно равен единице. Например, при а = 8° нормальная
составляющая силы тяги F sin а составит около 14% полной
силы тяги, тогда как составляющая тяги в направлении полета
уменьшится лишь на 1%. Следовательно, если угол атаки а не
превышает 8°, то для составляющей в направлении полета
можно записать:
F _ F00 + Ае (ре — рд)
т пг0 — tilt
(5.30)
т
Определение требуемого угла атаки как функции требуемой
управляющей силы будет рассматриваться в § 6.3.
ПОДЪЕМНАЯ СИЛА И АЭРОДИНАМИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 35
5.6. Подъемная сила
и сила аэродинамического сопротивления
Эти две силы определяются следующим образом:
L = CLAa^fv\ (5.31)
D = CdAv^v2, (5.32)
где о = р/роо — отношение плотности на данной высоте к плот¬
ности на поверхности Земли, a CL и CD — соответственно коэф¬
фициенты подъемной силы и силы аэродинамического сопротив¬
ления. Значения этих коэффициентов зависят от формы тела и
скорости полета. Примеры будут приведены ниже.
Рис. 5.5. Коэффициент аэродинамического сопротивле¬
ния ракеты V-2 как прототипа одноступенчатой балли¬
стической ракеты. (Коэффициент СD определяется по
максимальному поперечному сечению ракеты при нуле¬
вом угле атаки.)
Аэродинамическое сопротивление тела при нулевом угле
атаки состоит из сопротивления, вызванного давлением набе¬
гающего потока, и сопротивления трения. Если тело наклонено
относительно направления потока, то необходимо рассматривать
дополнительное сопротивление, обусловленное углом атаки (или
сопротивление, обусловленное подъемной силой). На рис. 5.5
приведен график аэродинамического сопротивления баллистиче¬
ской ракеты V-2. Как следует из рассмотрения рисунка, коэффи¬
циент аэродинамического сопротивления ракеты с работающим
реактивным двигателем в сверхзвуковой области меньше, чем
3*
36
ПРИНЦИПЫ ВЫВЕДЕНИЯ НА ОРБИТУ
[ГЛ. 5
коэффициент ракеты с неработающим двигателем, так как газы,
истекающие из камеры сгорания, частично заполняют след, об¬
разующийся за задней кромкой ракеты. В случае полета на
большой скорости с выключенной двигательной установкой за
1
р 0,22
§1
II
^ &
070
%
% 0,0б\
I о
/
\
УОлтп
.
\
тнпе телп: ппЛ/л/п пш//-
\
вала составляет пять бпаме/п/т
(испь/талия с аэродинамической,
трубе Пеепем/епбе)
■ —
—
✓
J 2 3 4 5 6
Число Маха
7 8
70
Рис. 5.6. Коэффициент аэродинамического сопротивления
удлиненного тела при нулевом угле атаки.
этим следом создается очень низкое давление, которое вызывает
донное сопротивление. Чтобы показать возможность уменьшения
Рис. 5.7. Коэффициент аэродинамического сопротивления сферы.
аэродинамического сопротивления за счет удаления аэроди¬
намических рулей (оперения) и увеличения вытянутости тела,
на рис. 5.6 приведен график коэффициента аэродинамического
сопротивления удлиненного тела (удлинение, то есть отношение
длины тела к диаметру, равно 11). На рис. 5.7 приведен гра-
5.6] ПОДЪЕМНАЯ СИЛА И АЭРОДИНАМИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 37
фик коэффициента аэродинамического сопротивления сферы1),
иллюстрирующий поведение в потоке тела с высоким аэродина¬
мическим сопротивлением. Зависимость от числа Маха коэффи¬
циента аэродинамического сопротивления формы CDoi сопротив¬
ление CDl, обусловленного подъемной силой, а также кривая
подъемной силы dCJda для двухступенчатой ракеты приве¬
дены на рис. 5.8 (CDo — коэффициент аэродинамического сопро¬
тивления при нулевом угле атаки). Если угол атаки а определен
Число Маха.
Рис. 5.8. Аэродинамические коэффициенты двухступенчатой ракеты.
в радианах, то для коэффициентов подъемной силы и аэродина¬
мического сопротивления можно записать формулы
дСт
Cl = ^- а<'>, cD = cDo + cDiKT,
которые справедливы для не слишком больших углов атаки
(а < 10°). В качестве примера на рис. 5.9 приведены графики
аэродинамических коэффициентов для планирующей ракеты
А-4Ь, полученные в Пеенемюнде. Эта ракета являлась модифи¬
кацией ракеты V-2 и в конце Второй мировой войны проходила
экспериментальные полетные испытания.
Аэродинамика имеет ограниченное значение при выведении
космических аппаратов. Вообще говоря, аэродинамические по¬
тери аппаратов, достигающих круговой скорости, стартовый
вес которых составляет несколько сотен тонн и более, имеют
f и’ с?', ^ ^ а/ *0 г s anc* N’ Thomas, The Aerodynamic Performance
10 м р,лГп /r°m Subsonic to High-Supersonic Velocities, J. Aeron. Sci.,
vol. 12, No. 10, October 1945.
88
ПРИНЦИПЫ ВЫВЕДЕНИЯ НА ОРБИТУ
[ГЛ. б
порядок 90-^150 м/сек (ЗОО-т-500 фут/сек). Если используются
очень тупые (то есть сферические) носовые конусы, то потери
могут возрасти до 210 -г- 240 м/сек (700 -ь 800 фут/сек).
При разработке управляемых снарядов или космических
аппаратов исследования обычно начинают с теоретического
аэродинамического поиска пробной (экспериментальной) кон¬
фигурации или группы конфигураций. Главной целью этих
%
Иде
tHH
Щт
II51
111
1-1*0*
ваз
||до
II -
II 0
It
3
дС,
да
Or,
Все размеры
в миллиметрах
1650
Пеенемюнде,
-4Ь
ту
-14030-
Ц2500J
6000
Гиперзвушд/е еранит/е\
значения \
д£(а)0;
0,00012
-u-LL.u-.ma
li
г
*■§
11
ll
-il ^
H
8 10 12 14 18 18 20
Число Маха
Г
I
Рис. 5.9. Коэффициенты аэродинамической подъемной силы и
сопротивления крылатой ракеты. (Коэффициенты отнесены
к площади миделева сечения.)
исследований является не столько определение потерь на аэро¬
динамическое сопротивление, сколько определение характери¬
стик устойчивости и управляемости, а также и динамических
характеристик аппарата (как не абсолютно твердого тела) для
того, чтобы задать требования к наведению. Как только внеш¬
няя конфигурация и внутреннее распределение фиксируются
более детально, точные аэродинамические характеристики и
условия устойчивости определяются путем эксперимента в аэро¬
динамических трубах и, в случае необходимости, при полетных
испытаниях моделей. Обсуждение основ устойчивости и управ¬
ляемости проводится в следующем параграфе.
5.7. Устойчивость и управляемость
Ускорение ракетного аппарата есть результат действия раз¬
личных сил в направлении полета (касательные силы). Изме¬
нение направления траектории активного полета определяется
силами, действующими вдоль нормали к мгновенному направ¬
лению полета. В силу этого, если для данного аппарата нор-
мадьцые силы заданы, то тем самым предопределяется траектр-
УСТОЙЧИВОСТЬ И УПРАВЛЯЕМОСТЬ
89
рия полета. Одной из этих сил является нормальная составляю¬
щая веса аппарата. Если никакая другая сила не действует на
аппарат, то его траектория искривляется (изменяется) исклю¬
чительно за счет гравитационной силы (гравитационное откло¬
нение). Если желательно получить различные траектории актив¬
ного полета, то необходимо ввести дополнительные силы таким
образом, чтобы при совместном воздействии этих сил и силы
веса аппарат точно следовал по заранее заданной траектории
полета. Следовательно, аппарат должен управляться так, чтобы
при полете по заданной траектории существовало равновесие
всех сил, действующих вдоль нормали к направлению полета.
Для выполнения этого продольная ось аппарата должна
устанавливаться таким образом, чтобы могла быть создана тре¬
буемая нормальная сила. Например, пусть вектор тяги двига¬
тельной установки существенно параллелен или совпадает с про¬
дольной осью аппарата при условии, что аппарат представляет
собой симметричное тело (например, цилиндр — конус). Если
требуется создать некоторую силу, нормальную к мгновенному
направлению полета, то аппарат должен поворачиваться до тех
пор, пока его ось не составит с направлением полета такой угол
атаки а, который позволит получить желаемую нормальную
силу F sin а. Чтобы повернуть аппарат и поддерживать его на
желаемом угле атаки, необходима сила. Эта регулирующая сила
может быть создана либо газовыми рулями, расположенными
в сопле двигательной установки, либо поворотным двигателем,
либо отклонением аэродинамических поверхностей. В любом
случае возникающая сила не проходит через центр масс аппа¬
рата. Следовательно, создается момент, который после поворота
аппарата вокруг данной оси (тангажа, рыскания или крена)
поддерживает его в заданном положении столь долго, сколько
необходимо для противодействия силам, стремящимся изменить
ориентацию аппарата. Если аппарат устойчив, то существует
восстанавливающая сила, стремящаяся восстановить исходное
положение аппарата. Если аппарат неустойчив, то ситуация
противоположна и существует момент, который стремится про¬
должать отклонять аппарат. Таким образом, регулирующая
сила заставляет аппарат следовать вдоль предопределенной
траектории.
Однако на указанную систему сил, которые должны быть
сбалансированы регулирующей силой, накладываются возму¬
щающие силы, стремящиеся отклонить аппарат от заданного
курса. Такими силами являются порывы ветра, разбалансировка
или внутренние динамические силы, обусловленные отклоне¬
ниями корпуса или колебаниями центра масс аппарата при слу¬
чайном перемещении топлива в баках. Чтобы сбалансировать
40
ПРИНЦИПЫ ВЫВЕДЕНИЯ НА ОРБИТУ
[ГЛ. 5
момент, создаваемый этими силами, необходимы управляющие
вращающие усилия, сумма которых дает управляющий мо¬
мент Мс. Силы, которые создают эти управляющие вращающие
усилия, называются управляющими силами. Система наведения
ракеты или космического аппарата должна быть способна
Программное
устройство
(программник)
Сервосистема
Регулирующая
сила
У
Возмущения
X
Акселерометры для измерения
продольных ускорений,
угловых ускорений
(интегрирующие гироскопы)
X
Вычислительное
устройство
Сервосистема
Управляющая сила
Содержит информацию о требуемом движении аппара¬
та вдоль предварительно определенной траектории
(т.е. программу отклонения траектории полета). Про¬
граммное устройство вызывает вращение относитель¬
но гиростабилизированной платформы, тем самым из¬
меняя заданным образом основную опорную систему координат
Приводит в действие аэродинамические регулирующие
поверхности, газовые рули, верньерные двигатели или
главную двигательную установку для создания тре¬
буемой регулирующей силы
Сила, необходимая для движения аппарата по задан¬
ной траектории при отсутствии возмущений. Регули¬
рующая сила может быть аэродинамической, реактив¬
ной или гравитационной (гравитационное отклонение)
Возмущения по тангажу, курсу, крену и линейные переме¬
щения, вызываемые ветром, пбрывами ветра, разбаланси-
ровкой, непредусмотренными отклонениями аэродинами¬
ческих поверхностей, движением жидкого наполнителя ба¬
ков и нерегулярностями выключения двигательной установки
Измерение возмущений по величине и направлению
(тангаж, курс, крен и линейные перемещения)
Вычисление корректирующих команд
Приводит в действие управляющие органы, которые
могут совпадать с указанными выше регулирующими
органами либо быть специальными управляющими
двигателями. Цель - создать управляющую силу
(добавляемую к регулирующей силе)
Парирует возмущения путем создания управляю¬
щих моментов
Рис. 5.10. Программное регулирование и коррекция возмущений и
ошибок управляющими силами (система наведения аппарата).
создавать требуемые регулирующие и управляющие силы в ре¬
зультате исполнения команд некоторого программного устрой¬
ства. По измеренным возмущениям программное устройство вы¬
числяет корректирующие команды ]) и задает требуемую
]) Регулирующая сила аналогична силе, которую шофер автомобиля соз¬
дает с помощью рулевого колеса. Нормальная составляющая этой силы
соответствует силе, необходимой для удержания двигающегося автомобиля
на дороге. Управляющие силы требуются для нейтрализации разного рода
возмущений во время движения или разбалансировки рулевого колеса. Си¬
стема наведения, которая «командует» регулирующими и управляющими си¬
лами, эквивалентна мозгу шофера.
5.7]
УСТОЙЧИВОСТЬ И УПРАВЛЯЕМОСТЬ
41
программу для регулирующих моментов. Указанный процесс
управления представлен на рис. 5.10.
Впоследствии мы будем предполагать, что момент силы F'
(регулирующий или управляющий момент) создается поворотом
вектора тяги (оси двигателя) относительно оси космического
аппарата (рис. 5.11). Если двигатель поворачивается на угол |3,
то возникающая в результате пово¬
рота реактивная сила
Ff = F sin р (5.33)
создает вращающий момент, кото¬
рый определяется соотношением
М = F' (S — с) [фунт • фут], (5.34)
где с—расстояние от центра каме¬
ры сгорания до основания аппара¬
та, а S —расстояние от центра масс
до основания Если сила F' являет¬
ся единственной управляющей си¬
лой, то М = Мс..Когда аппарат нахо¬
дится в космическом пространстве,
кинетический момент может быть
уменьшен до нуля после того, как
желаемая новая ориентация аппа¬
рата достигнута. Можно сказать,
что в космическом пространстве
аппарат, вообще говоря, обладает
нейтральной ориентацией (статиче¬
ски нейтрален). В атмосфере ука¬
занное явление имеет место лишь для аппарата, имеющего форму
сферы с симметричным внутренним распределением массы.
Обычный аппарат с симметричной конфигурацией подвергается
воздействию аэродинамических сил по нормали к направлению
полета сразу, как только он оказывается повернутым на некото¬
рый угол атаки (угол тангажа или угол курса). Результирую¬
щий аэродинамический момент равен:
Ма = /с1а [фунт • фут]. (5.35)
Здесь а — угол атаки, / — момент инерции относительно соот¬
ветствующей оси (фунт • фут • сек2), а С\— коэффициент, опре¬
деляемый выражением
Рис. 5.11. Создание момента
силы с помощью поворачиваю¬
щегося двигателя.
с' - 7 Чл |л£Г <S - «> + С. - j ЧА (S - Я), (5.36)
42
ПРИНЦИПЫ ВЫВЕДЕНИЯ НА ОРБИТУ
[ГЛ. 5
где дСь/да — скорость изменения коэффициента подъемной
силы в зависимости от угла атаки1), q — динамическое давле¬
ние (скоростной напор), А — площадь поперечного сечения ап¬
парата, а Я — расстояние от центра давления до основания
аппарата. Таким образом, величина S — Я определяется рас¬
стоянием между центром масс и центром давления. При S > Я
аппарат устойчив, при S < Я — неустойчив. Если в соответ¬
ствующей плоскости М Ф Ма, то аппарат должен вращаться
вокруг связанной оси под действием результирующего вращаю¬
щего момента с угловым ускорением ф, соответствующим мо¬
менту инерции аппарата вокруг данной (рассматриваемой) оси.
Возвращаясь к уравнению (5.33) и считая, что углы отклоне¬
ния р главной двигательной установки для регулирования и
управления аппаратом пренебрежимо малы, можно заменить
sin р на р и записать
М, = Е'р(5-с) = Я2р, (5.37)
где коэффициент с2 имеет вид:
c2 = jF'(S-c). (5.38)
Уравнение вращения аппарата следует из условия равен¬
ства суммы всех моментов, действующих на аппарат:
/ф + Ма + Мс = 0. (5.39)
Из полученного уравнения следует, что угловое ускорение
должно удовлетворять соотношению
Ф + сха + с2 р = 0, (5.40)
откуда требуемое отклонение управляющей двигательной уста¬
новки имеет вид:
Р = (6.41 а)
При малых углах атаки Сь может быть заменено соотношением
(5.42)
откуда
^ct = -j- (S — Я) (6.43)
(5.44)
0 Здесь термины «подъемная сила» и «угол атаки» должны пониматься
в широком смысле слова, а именно: подъемная сила — как сила, действую¬
щая по нормали к направлению движения поверхности, а угол атаки — как
отклонение, измеряемое относительно направления движения. Это отклоне¬
ние может произойти как по тангажу, так и по курсу.
5.7]
УСТОЙЧИВОСТЬ и управляемость
43
так что выражение для угла отклонения управляющей двига¬
тельной установки принимает вид:
P=_"F S — с ~ F(S^-c) = ~ S — с +7^ф]- (5.4lb)
Таким образом, доля полной тяги, которая требуется для созда¬
ния необходимого вращающего момента, может быть выражена
соотношением
Р F'=--^-[L(S-H) + I(f>]. (5.45)
Первый член в квадратных скобках представляет собой аэро¬
динамический момент, второй член описывает вынужденное дви¬
жение аппарата.
Это уравнение указывает на хорошо известный факт, что
управляющие силы должны действовать на возможно большем
расстоянии (S — с) от центра масс, чтобы получить данный
момент при минимальной силе. Это уравнение также показы¬
вает, что расстояние между центром масс и центром давления
должно быть малым, чтобы избежать нежелательных больших
аэродинамических моментов, которые в свою очередь создают
нежелательные нагрузки на конструкцию.
Вычисление р требует знания расположения центра масс и
центра давления, а также моментов инерции как функций вре¬
мени горения топлива. Эти величины сначала вычисляются при¬
ближенно, а позднее заменяются более точными данными, полу¬
ченными из статических испытаний и экспериментов в аэроди¬
намических трубах. Для предварительных конструкторских
исследований достаточно иметь уверенность, что р мало или ле¬
жит внутри определенных границ. Очень большие *) значения р,
полученные в результате расчетов, показывают, что проект не¬
пригоден, поскольку могут возникнуть избыточные боковые (по¬
перечные) нагрузки (аэродинамические нагрузки, нормальные
к направлению полета), которые в свою очередь вызовут не¬
оправданно большой вес конструкции. Следовательно, путем
расчетов траектории при полете вне атмосферы можно в первом
приближении определить области, где ожидаются максималь¬
ные боковые (поперечные) нагрузки.
Момент, возникающий при отклонении тяги на угол р, по¬
ворачивает аппарат вокруг его центра масс на определенный
*) Допустимые значения р в большой степени определяются выбором
конкретной конструкции отклоняющегося или шарнирного механизма управ¬
ляющих двигателей или основной двигательной установки. Очевидно, что ма¬
лые значения р позволяют облегчить конструкцию и уменьшить вес обору-
44
ПРИНЦИПЫ ВЫВЕДЕНИЯ НА ОРБИТУ
[ГЛ. 5
угол атаки а. Результирующая аэродинамическая сила про¬
ходит через центр давления (см. рис. 5.4). До тех пор, пока
центр давления и центр масс не совпадают, указанная аэроди¬
намическая сила создает момент вокруг центра масс. Если центр
давления расположен за центром масс, то аппарат устойчив и
«сопротивляется» любому изменению ориентации от нулевого
угла атаки на положительный или отрицательный угол. Кроме
того, если аппарат имеет некоторый угол атаки, то необходим
определенный момент для уравновешивания восстанавливаю¬
щего момента, то есть для воспрепятствования повороту про¬
дольной оси аппарата по направлению ветра (уменьшению
угла а до нуля). Если центр масс лежит за центром давле¬
ния, то аппарат неустойчив. В этом случае вращающее уси¬
лие должно быть создано, чтобы сбалансировать результирую¬
щий отрицательный аэродинамический момент. Для современ¬
ных больших ракетных аппаратов устойчивость не является
теперь необходимой характеристикой. В самом деле, будет аппа¬
рат устойчив или неустойчив — зависит главным образом от
наличия энергии, предназначенной для целей управления. Если
имеется достаточная энергия для управления, то слабая не¬
устойчивость часто желательна для того, чтобы уменьшить на¬
грузки на конструкцию и тем самым уменьшить вес конструкции
и увеличить отношение масс. В зависимости от принятого ме¬
тода наведения может даже оказаться желательным иметь
в определенные моменты времени устойчивость в одной плоско¬
сти (например, по курсу) и неустойчивость в других плоскостях.
Если центр давления расположен очень далеко за центром масс,
то аппарат обладает высокой степенью устойчивости. Такое
условие, очевидно, является нежелательным, поскольку для из¬
менения угла атаки аппарата или для поддержания заданной
ориентации требуются излишне большие вращающие моменты.
Будет ли аппарат устойчив или неустойчив — во всяком слу¬
чае желательно сохранять относительно близкое расположение
центра давления и центра масс друг к другу, чтобы избежать
излишних вращающих моментов. Однако с убыванием веса топ¬
лива центр масс перемещается назад, так как опорожняются
топливные баки. Когда аппарат входит в трансзвуковую и сверх¬
звуковую области, центр давления перемещается вперед из-за
возникновения носовой ударной волны. Следовательно, если ап¬
парат был вначале устойчив в данной плоскости, то его устой¬
чивость уменьшается или он может временно становиться не¬
устойчивым. Как указывалось выше, подобное явление может
быть желательно. Если аппарат был вначале неустойчив, то это
свойство временно усиливается. Имеющаяся достаточная мощ¬
ность, расходуемая на управление и позволяющая получить до¬
6.7]
УСТОЙЧИВОСТЬ И УПРАВЛЯЕМОСТЬ
45
статочно быстрый переходный процесс, создает возможность
хорошей управляемости. Двигательные установки с поворачи¬
вающимся основным двигателем позволяют создать достаточную
управляющую силу и соответствующую скорость переходного
процесса во всех точках траектории выведения 1), что дает уве¬
ренность в управляемости аппарата. Эти обстоятельства при¬
водят к отказу на многих
аппаратах от хвостового опе¬
рения и к введению не толь¬
ко двигательной установки
с поворачивающейся глав¬
ной тягой, но и малых до¬
полнительных управляющих
двигателей (верньерных дви¬
гателей). Кроме управления
вокруг определенной оси,
эти двигатели имеют допол¬
нительные функции, а имен¬
но: точная юстировка (вы¬
дача) суммарного импульса,
сообщаемого аппарату. Та¬
ким образом, для неустой¬
чивого ракетного аппарата
важно быстро определить
возмущающие моменты и
создать компенсирующий
вращающий момент с по¬
мощью противодействия
управляющих сил.
Если соответствующая
прочность конструкции обес¬
печена, но имеющиеся в
распоряжении управляющие силы ограничены, то устойчивость
желательна. Например, в ракете V-2 газовые рули обеспе¬
чивали управляющую силу ограниченной величины. Поэтому
устойчивость аппарата была увеличена с помощью хвосто¬
вого оперения (стабилизатора). Управляющие силы создава¬
лись газовыми рулями и аэродинамическими поверхностями,
расположенными на концах стабилизаторов, для того чтобы
обеспечить дополнительный момент для целей управления во
время определенных периодов полета (а именно: в диапазоне
с 25-й по 35-ю секунду), когда аппарат проходил через
*) В противоположность аэродинамическим управляющим силам на
большой высоте.
Время полета (секунде/)
Рис. 5.12. Расстояние S от центра масс
до заднего среза сопла аппарата и
расстояние S — H от центра масс до
центра давления как функции времени
в период активного полета. Обе
величины отнесе.ны к диаметру аппа¬
рата. (Ракета V-2, Пеенемюнде.)
46
ПРИНЦИПЫ ВЫВЕДЕНИЯ НА ОРБИТУ
[ГЛ. 5
трансзвуковую область и формирование носовой ударной
волны вызывало временное, но значительное смещение центра
давления вперед. Поскольку на этой высоте на ракету
действуют еще значительные силы (см. рис. 5.3), то дополни¬
тельная управляющая сила необходима. На рис. 5.12 показано
изменение положения центра масс (S) и изменение расстояния
между центром масс и центром давления ракеты V-2 во время
активного полета. Обе величины приведены к безразмерному
виду делением на диаметр ракеты. Монотонное уменьшение рас¬
стояния до центра масс во время основной части полета обуслов¬
лено расходованием топлива, пока вес топлива не становится
малой долей веса ракеты. Изменение параметра (5 — H)/D,
то есть степени устойчивости, определяется как уменьшением
отношения 5/D, так и перемещением центра давления, который
достигает своего верхнего положения (крайнего положения при
его перемещении вперед) в трансзвуковой области, а также
позднее, когда на высокой сверхзвуковой скорости создается
очень сильная носовая ударная волна (скорость в момент вы¬
ключения двигательной установки ракеты V-2 была приблизи¬
тельно при числе М=5). В этих областях устойчивость мини¬
мальна. Однако, поскольку (5 — H)/D> 0 во все время актив¬
ного полета, ракета никогда не была неустойчивой.
5.8. Упрощенные уравнения движения
при учете аэродинамического сопротивления
Выше было указано, что нормальная составляющая управ¬
ляющей силы Р sin а = {F sin |3) sin ос очень мала. Поэтому при
последующем анализе этой силой будем пренебрегать. Тогда
уравнение относительно нормали может быть записано в виде
mv = F sin а + L — mg cos 0. (5.46)
Это уравнение будет рассмотрено позже.
Пренебрегая также величиной Р cos а в уравнении (5.24),
найдем скорость аппарата как функцию времени:
^ t л * РоО _ 2 ^
Г [Ро + А? (ре — pa)] cos a JJ. Г D 2 V ,, Г . л ,
= ±_оо е\не нап ^ — — dt — g Sin 0 dt,
J m0 - mt J mQ - mt J 6 ’
о oo
(5.47)
где первый интеграл представляет собой увеличение скорости,
обусловленное тягой, второй интеграл — потери скорости из-за
аэродинамического сопротивления, а третий интеграл — грави¬
тационные потери. Таким образом, мы снова сталкиваемся с
5.8] УЧЕТ АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ 47
аэродинамическими и гравитационными потерями как двумя
главными источниками потерь энергии во время активного вы¬
ведения.
Уравнение (5.47) не может быть проинтегрировано в конеч¬
ном виде. Однако оно может быть решено с любой желаемой
степенью точности одним из широко известных методов числен¬
ного интегрирования. Для этой цели уравнение записывается
в форме
| [F00 + Ae(Pe-Pa)}™«-CDA£T™2 , /г ч
ДУ = ( —я 2- *sin0jAf. (5.48)
В методе последовательного интегрированияА) плавная кри¬
вая заменяется ломаной, отрезки которой представляют собой
касательные к истинной траектории. Расстояние As, проходимое
вдоль такого отрезка прямой за интервал времени Aty равно
(см. рис. 5.4)
As = v АЛ (5.49а)
Отсюда приращения дальности и высоты выражаются следую¬
щим образом:
Ах = v cos QAt = vxAt, (5.49b\
Ay = v sin 0 At = vy At. (5.49c)
Здесь v — среднее арифметическое скоростей в начале и конце
интервала интегрирования At:
V = g"-f2+ , (5.49d)
а
е _ еп_, + 9п ^ ^5 49е)
где индексы «п— 1» и «п» соответствуют двум последовательно
рассматриваемым шагам интегрирования.
Для решения уравнения (5.48) необходимо, чтобы функции
а(0> Pa{t), g(t)y 0(/) и CD(oc), а следовательно, и a(t) были из¬
вестны. Первые три функции определяются высотой у, вычис¬
ляемой по формуле (5.49с), после того как интегрирование урав¬
нения (5.48) выполнено. Значение функции 0(/) может быть:
а) предварительно задано в графической или табличной
форме,
б) заранее задано как функциональное выражение по вре¬
мени, которое в этом случае может быть подставлено в урав¬
нение (5.48) вместо 0,
в) определено в процессе интегрирования.
9 Имеется в виду интегрирование по методу Эйлера. (Прим. ред.)
48
ПРИНЦИПЫ ВЫВЕДЕНИЯ НА ОРБИТУ
[ГЛ. 5
В первом случае вычислитель (человек) использует график
или таблицу для определения 0 на каждом шаге интегрирова¬
ния. Если используется электронный вычислитель, то информа¬
ция записывается на магнитной ленте (или иным образом) и
вводится в процессе интегрирования в уравнение (5.48). Во вто¬
ром случае 0(/) подставляется в уравнение (5.48) и никакого
дополнительного источника информации не требуется. Такое
функциональное выражение программы отклонения 0 удобно,
в частности, при выведении в вакууме (этот вопрос будет обсуж¬
даться в § 6.2—6.4). Случай (в) будет рассматриваться ниже.
В случаях (а) и (б), когда 0(/) заранее задано, а не яв¬
ляется более независимой функцией i. Используя уравнение
(5.46), угол атаки можно вычислить по соотношению
Это уравнение должно решаться одновременно с уравнением
(5.48), так как величина CD зависит от v. В уравнении (5.50а)
коэффициент CL является функцией а. В случае ручных расче-
величина а, от которой зависят коэффициенты CD и CL, опре--
деляется как среднее арифметическое между значениями угла
атаки в начале и конце интервала интегрирования At:
Для этой величины а значения CL и CD берутся с соответствую¬
щих графиков или из таблиц, дающих аэродинамические коэф¬
фициенты в функции а. Таким образом, для точных вычислений
траектории прежде всего необходимо провести испытания дан¬
ной конфигурации аппарата в аэродинамической трубе. Если
эта конфигурация аэродинамически проста, то можно теорети¬
чески вычислить CL(a) и CD(а) с достаточной для предвари¬
тельных исследований точностью и посредством этого избежать
большого расхода времени и часто дорогих испытаний в аэро¬
динамической трубе, в особенности если конфигурация еще
окончательно не выбрана.
Поскольку в случаях (а) и (б) с заранее заданным законом
изменения 0(£) угол атаки является зависимой переменной, то
необходимо в течение активного полета вычислять значения
a (t). Если получающиеся в результате значения углов неприем¬
лемы по какой-либо причине, например из-за чрезмерных по¬
терь тяги (Е cos а слишком мало), или из-за слишком больших
аэродинамических потерь (CD слишком велико), или из-за чрез-
а (0 = arcsin
(mQ — mt) uQ — СlA av2 + (mQ — rht) g cos 0
. (5.50a)
Eoo + Ae (pe — pa)
tob, где принимаются большие временные интервалы (0 ~ Д0/А^),
(5.50Ь)
5.8]
УЧЕТ АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
49
мерных аэродинамических нагрузок (произведение aq слишком
велико, где q = роосг^2/2), или из-за интенсивного аэродинамиче¬
ского нагрева (значения скорости и давления слишком велики),
или, наконец, в силу комбинации этих причин, то необходимо
либо применить метод (а) или (б) при различных значениях
0(/), либо использовать метод (в).
В случае (в) выбирается a (t) [либо задаваемое, как и 0(0»
заранее, либо определяемое на каждом шаге интегрирования],
а затем решается уравнение
Д0 =
[F00 + ле (Ре - Ра)] Sin а + СЛЛ -^2- OV
т0 — fht
■ — g COS 0
■f. (5.51)
Если составляющая горизонтальной скорости v cos 0 велика,
то должна быть принята во внимание центробежная разгруз¬
ка1)» обусловленная криволинейным движением в гравитацион¬
ном поле Земли. Обычно 0 очень мало, если v велико, так что
v cos 0 может быть заменено на v и вместо g в уравнении (5.51)
[но не в уравнении (5.48)] можно принять g[l—(W^c)2], где
vc — местная круговая скорость.
Если принимать во внимание аэродинамические эффекты,
то для ручного расчета активной траектории понадобится по
крайней мере несколько дней. Наиболее часто используемым
методом при ручном интегрировании является метод Рунге —
Кутта с интерполяцией четвертого порядка. В общей форме
соотношения, определяющие этот метод, имеют вид:
Уп — У п—1 = ■§■ (&i + 362 + З&з + k4),
k\ = М {%п— I > Уп-\)у
k2=*hf + jh, + у 6,), J (5.52а)
k3 = hf + -|й, уп-1 ~jk{ + 62),
*4 = hf (*„_, + h, 1/га—! + ki - k2 + k3),
где yn-i = vn-i, yn = vn и h = At. Величины ki— ^представ¬
ляют собой четыре приближения приращения скорости Avy опре¬
деляемого уравнением (5.48). Сначала kl = Av' вычисляется
Для интервала интегрирования At по значениям переменных ра,
mo — mt, a, v, 0, относящимся к концу предыдущего шага инте¬
грирования (п—1). Далее берутся значения переменных ра,
9 В тексте оригинала «centrifugal relief», (Прим. перев.)
4 К. Эрике, т. II
50
ПРИНЦИПЫ ВЫВЕДЕНИЯ НА ОРБИТУ
[ГЛ. 5
гп\ — mt, а, 0 на одной трети интервала интегрирования. На
практике часто достаточно вычислить новое значение т = т0 —
— и оценить изменение высоты (основываясь на
Vn-u 0п-1), чтобы получить приближенные значения для ра и а.
Здесь предполагается, что изменение 0(/) известно, так что зна¬
чение 0^+yA<j может быть найдено. Далее, для вычисления
k2 = Да" предполагается, что значение а^-Ь^-Да' известно.
о
После нахождения Да" аналогичным способом вычисляется
k3 = Ди'" и, наконец, определяется k4 = Да1У. Таким образом,
новое значение vn определяется по формуле
о» = 0„-1 + у (Ау/ + 3 Av" + 3 Av"' + AaIV)- (5.52b)
Если второе уравнение для функции 0(0 должно быть про¬
интегрировано в случае задания ее уравнениями (5.50а) или
(5.51), то необходимо применить несколько отличную систему
соотношений, определяемую методом Рунге — Кутта. В этом
случае указанные соотношения для метода численного интегри¬
рования примут вид:
kx = Да = hf (хп— 1, уп-1» 0/г— l)>
/l === Д0 = (xn_ 1, Уп—\> 0/г— 1 )>
k2 = Av" = hf (jc„_i + уй, Уп-l+Y^i- +
/2 = A0" = hg(xn-x+^h, ya-x+\klt 0„_1+у/ф
k3 Ao hf ! “b ~2 h, yn—i Ч- h2t 0/г—i ~2 /2^ *
y3 = Д0'" = hg (x„_, + j h, t/„_,+-^fe2, 0„-1 + у/2),
fe4 = AoIV = hf (л:ге_1 + h, yn-\ + k3, 0„_i + /3),
/4 = A01V = hg (xn-\ + h, г/„_1 + k3, Qn-i + j3)
и окончательно
(5.53a)
t>„ = o„-1 + -g- (Ao' + 2 A v" + 2 A o'" + AoIV),
0„ = 0ге-, + ^ (A0' + 2 A 0" + 2 A 0'" + A0IV).
(5.53b)
При расчетах траекторий на вычислительных машинах мо¬
жет быть использован как аналоговый вычислитель (моделирую¬
щая машина), так и цифровая вычислительная машина.
5.8] УЧЕТ АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ 51
Использование моделирующей машины может быть рекомен¬
довано для предварительного анализа, на основании которого
находится область оптимальных параметров. С помощью этой
машины можно просмотреть несколько траекторий и легко
ввести изменения между последовательными просмотрами.
Моделирующая машина является прибором, осуществляющим
метод «проб и ошибок» при траекторном анализе. Ей не хватает
точности цифровой вычислительной машины и она обладает
сравнительно малой скоростью.
Для точных расчетов траектории используют либо электро¬
механическую !), либо быстродействующую электронную вычис¬
лительную машину. Первый вычислитель (IBM-650) требует
около 30 мин для вычисления полной траектории полета меж¬
континентальной баллистической ракеты (30 мин действитель¬
ного времени полета), в то время как вычислительная машина
выполняет этот расчет гораздо быстрее: например, быстродей¬
ствующая электронная вычислительная машина Sperry-Rand 1103
производит этот расчет в 5—6 мин, а быстродействующая элек¬
тронная машина IBM-704 за 36 сек (исключая печатание ре¬
зультатов) 2). Следовательно, машина 704 может быть исполь¬
зована для прогнозирования точки падения, то есть для рас¬
чета дальности полета ракеты как функции времени; она «вы¬
дает» точку падения в процессе полета ракеты с задержкой всего
в несколько секунд. Однако электронные вычислительные ма¬
шины обладают меньшей универсальностью, чем моделирующие
машины. Любые изменения входных функций требуют нового
программирования, на которое затрачивается много работы, что
часто вызывает задержку в вычислениях на целые дни. Немед¬
ленные изменения невозможны.
Дополнительные данные, такие как масса аппарата в функ¬
ции времени, аэродинамические коэффициенты в функции угла
атаки, скорости (и высоты, когда полет происходит в области
континуальных течений) и давление окружающей среды в функ¬
ции высоты, вводятся в машину либо в виде таблиц, либо в виде
уравнений. Если данные вводятся в табличной форме, то ма¬
шина автоматически производит интерполяцию для. получения,
если потребуется, промежуточных значений. Интегрирование
выполняется с меньшим шагом, чем это может быть сделано при
) В тексте оригинала «card program calculator». (Прим. ред.)
) Машина 1103 работает с перфолентой, в то время как машина 704
спользует магнитную ленту. Машина 1103 считает в два раза медленнее
ашины 704 и, кроме того, производительность снижается процессом вывода
данных на печать. В машине 704 вычисление и печать являются двумя раз-
шинНЬ704 пРоцессами* чт0 обусловливает чрезвычайное быстродействие ма-
4*
52
ПРИНЦИПЫ ВЫВЕДЕНИЯ НА ОРБИТУ
[ГЛ. 5
ручном расчете. Полиномиальное приближение при аппроксима¬
ции использует либо описанный выше метод Рунге — Кутта, либо
ряды Тейлора, либо метод оценки и уточнения. В последнем
случае функции и, 0, л; и у (или г) и их первые производные по
времени экстраполируются в двух последовательных точках для
прогнозирования значений этих величин в конце следующего ин¬
тервала. Прогнозированные значения функций используются
для вычисления г), 0, х и у (или г), которые сравниваются затем
с прогнозированными значениями производных. Этот итерацион¬
ный процесс повторяется до тех пор, пока ошибка не окажется
ниже допустимого предела. Если ошибка не может быть умень¬
шена до желаемой величины при данном интервале Д/, то ма¬
шина автоматически изменяет шаг интегрирования.
5.9. Вертикальный пуск в вакууме с постоянной тягой
и постоянным ускорением
В гравитационном поле тяга космического аппарата противо¬
действует гравитационному притяжению. Результирующее уско¬
рение, действующее на аппарат, определяется выражением
<5-б4>
откуда
t t
'’-J'^hsr «-[git. (5.55)
О о
где т0 — начальная масса аппарата. Первый интеграл может
быть представлен в форме
t
Kve
J ti — At
0
dt
путем использования соотношении, которые легко выводятся из
выражения
(5.56)
где
tx = ~ А = (5.57)
1 т go0n0 v ;
— время горения, п0 — начальная тяговооруженность (или на¬
чальное абсолютное ускорение в единицах g), определяемая как
ъ-ик-тк- (6-58>
5.9]
ВЕРТИКАЛЬНЫЙ ПУСК В ВАКУУМЕ С ПОСТОЯННОЙ ТЯГОЙ
53
g-00 — значение гравитационного ускорения на поверхности
Земли. После интегрирования выражение для текущей скорости
в момент времени t принимает вид:
Интегрирование полученного соотношения еще раз дает соот¬
ветствующую текущую высоту
перепишем это соотношение [ср. с уравнением (5.58)] в виде
после чего текущие скорость и высота могут быть выражены
в более удобной форме:
Чтобы получить скорость и высоту в момент выключения двига¬
тельной установки, время t должно быть заменено временем
горения t\.
Уравнения для скорости и высоты в момент выключения дви¬
гательной установки при вертикальном пуске в вакууме удобны
для предварительных оценок характеристик и для быстрого
сравнения различных космических аппаратов или топлив. По
этой причине в приведенных ниже уравнениях для оценки рас¬
хода массы высота выражена в зависимости от различных
параметров. Предположения, положенные в основу полученных
аналитических соотношений, следующие:
1. Ускорение силы тяжести постоянно в течение всего вре¬
мени активного полета.
2. Удельный импульс постоянен.
3. Аэродинамическое сопротивление равно нулю.
Тяга постоянна.
V=^T=-Ve
dy
dt
(5.59)
Используя определение удельного импульса
(5.61)
m/sp = т —1^ = mQnQl
(5.62)
gpc/sp
nQ
64 ПРИНЦИПЫ ВЫВЕДЕНИЯ НА ОРБИТУ [ГЛ. 5
Используются следующие параметры:
время горения
*1-%. (5.65)
где Wp — вес топлива, a W — вес потока, проходящего через
сопло за секунду;
отношение масс
nhr-'+v®; <И6а>
относительный вес топлива
Л_ W0 “ » — 1 + y® ’ (5.66Ь)
удельный импульс
Asp = Ve\£()0>
параметр времени
*1 _ то = 7sp .
Л т п0 ’
(5.67)
начальная тяговооруженность
— ^ ™ 7
_ Узр;
средний удельный вес топлива
V = £РР; (5.68)
коэффициент объема топлива1)
Vp 1 Л
ф-»т-7та-. (6-69)
где Vp — объем топлива.
Приведенные ниже уравнения связывают указанные пара¬
метры с временем горения, скоростью и высотой в момент вы¬
ключения двигательной установки и суммарной высотой.
Время горения
t - m0-A - Л - Уф/зр _ °еА (Б70)
т п0 А - По (1 + уф) ” gooHo • V>,'U'
4) В тексте оригинала «propellant capacity factor». {Прим. перев.)
5.9] ВЕРТИКАЛЬНЫЙ ПУСК В ВАКУУМЕ С ПОСТОЯННОЙ ТЯГОЙ
Скорость в момент выключения двигательной установки
vx = veln \i - g00t{ =
F
55
= -^-1пц-£оо*1 =
= Soc/sp In (1 Л) ёГ0о^1=
= -£o</sp [1п(1“Л) + -^] =
£(x/sp
М
уф
•)+
уф
г]-
(5.70а)
(5.70Ь)
(5.70с)
(5.70d)
(5.70е)
(5.71а)
1 + уф) п0 (1 + уф)
Высота в момент выключения двигательной установки
-^A{s»F.p(1 + ^Чт4л)]-'тг2ггл}- <5-71Ь>
■ *Л [таг-'"(-гЬг)]-■¥<?- <б-71с>
1 -Л
п0
SP
п0
1 —
и-
2п0
По(1+Уф)
Суммарная высота')
У = У1 + ^ =
(5.71 d)
(5.71е)
(5.7 If)
(5.72а)
- ”•{ 2S7ln! -S7+i- ^ [S- - 1 -ln t }•' <SJ2b>
^ - «Л { ^ (тгл) [ j 1» (-nbr) - TS-]+Ц'• <6-72c>
Г - S«A„ { i [‘n (1 - Л) + Л] +1 In* (1 - A)} - IF (A)I -
“ 8x,!,p {ln 0 + v®) [-jln (I + Y®) - ^-] ■
(5.72d)
«0(1 + \ф)'}‘ (5-72e)
уф
!) Формулы применимы при любом значении v\ лишь для целей сравне-
ния (например, для сравнения топлив). Формулы для точного вычисления
суммарной высоты при переменном g см. в главе 4 тома I книги «Космиче¬
ский полет».
56
ПРИНЦИПЫ ВЫВЕДЕНИЯ НА ОРБИТУ
[ГЛ. 5
Практически для всех случаев активного полета при вычис¬
лении высоты в момент выключения двигательной установки
можно считать g = goo = const. Когда это необходимо, при рас¬
чете суммарной высоты может быть сделана поправка к уравне¬
нию (5.60).
Предыдущие уравнения применимы для случая постоянной
тяги. Для случая постоянного ускорения и вертикального пуска
в гравитационном поле получим:
vx = g{n-\)tu (5.73)
= (5.74)
Y = \g?n{n-1), (5.75)
где п — постоянное осевое ускорение в единицах g, а а — абсо¬
лютное ускорение в фут/сек2.
Используя подстановку
(5-76)
можно также написать:
^l = "2g/sp п! |п!(|-л)- (5-77)
-1"!(т4а)- <5-78>
5.10. Оптимизация начального ускорения
Движение первой ступени большого многоступенчатого кос¬
мического аппарата достаточно близко к вертикальному полету.
Следовательно, начальное ускорение первой ступени может быть
оптимизировано на основании анализа вертикального пуска.
Рис. 5.13 иллюстрирует влияние начального ускорения на
скорость в момент выключения двигательной установки в конце
вертикального активного полета.
Из графиков, приведенных на этом рисунке, видно, что при¬
ращение скорости резко падает при п0<2 + 3 g. На рис. 5.14 при¬
ведены результаты численного расчета. Наконец, рис. 5.15 иллю¬
стрирует наличие максимума высоты в момент выключения
двигательной установки, образующегося под влиянием двух про¬
тивоположных факторов: уменьшения высоты, обусловленного
слишком малой скоростью набора высоты при очень малых м0,
и уменьшения высоты, обусловленного быстрым выгоранием топ¬
лива при больших значениях п0. Несмотря на уменьшение высоты
5.10]
ОПТИМИЗАЦИЯ НАЧАЛЬНОГО УСКОРЕНИЯ
57
в момент выключения двигательной установки, полная энергия,
выраженная через скорость vE = УEkin + £pot = Vvf + 2gyl и
Рис. 5.13. Скорость в момент выключения дви¬
гательной установки при вертикальном пуске как
функция начального ускорения и отношения масс.
вычисленная в этот момент времени, возрастает, поскольку гра¬
витационные потери убывают с увеличением ускорения. Однако
Рис. 5.14. Скорость в момент
выключения двигательной уста¬
новки при вертикальном
пуске как функция начального
ускорения и отношения масс.
2 3 4
Начальное ускорение п0(дг)
Рис. 5.15. Изменение вы¬
соты в момент выклю¬
чения двигательной уста¬
новки при вертикальном
пуске как функция
начального ускорения и
отношения масс.
на практике увеличение тяги приводит к возрастанию веса дви¬
гателя и веса конструкции, тем самым уменьшая отношение
58 ПРИНЦИПЫ ВЫВЕДЕНИЯ НА ОРБИТУ [ГЛ. 5
масс. Оптимальное ускорение характеризуется условием
n0 = opt, когда у£ = шах. (5.79)
Рассмотрим метод определения этого оптимума.
Используя уравнение (5.70а) и второе соотношение (5.57),
получаем следующее выражение для скорости в момент выклю¬
чения двигательной установки:
= о. In И- % Zjr = ffoo^p (inii - • (5.80)
Тогда, используя уравнение (5.7Id), для скорости vE можно
написать:
v\ = of + 2^002/, = 2g200Psp [j (lnji)2 + |X~|tnre;~-1-] • (5.81)
Поскольку условие (5.79) должно быть выполнено, то для
no = nQ opt при заданном постоянном полном весе аппарата W0
имеем соотношение
(тг) -°.
\ дп0 / л7
(5.82)
Г0
где Wо — полный вес аппарата перед стартом при данном весе
полезной нагрузки W% (то есть при заданном весе головной ча¬
сти). Для заданного удельного импульса скорость vE является
функцией [х и /г0, так что уравнение (5.82) можно переписать
в виде
Переписывая уравнение (5.83) в явном виде, получаем:
-у (—+ 1пц - 0 = (jHJL + ZZZ) (J*L\ (5.84)
«о VI* I \ I^ «о / \dno)w,
и окончательно
ц — (г1п ц — 1 =-^(и#1пц+ 1 “ I*) • (5-85)
Изменение отношения масс является, по существу, функцией,
определяющей зависимость веса конструкции от изменения уско¬
рения. Поскольку ускорение в момент выключения двигательной
установки
«1 = -пгл , (5.86)
5.ю7
ОПТИМИЗАЦИЯ НАЧАЛЬНОГО УСКОРЕНИЯ
59
то при данном коэффициенте Л выражение для полезного веса W%
в момент выключения при изменении начального ускорения от
п'0 до п'' имеет вид:
<»4-4-n;»V (5.87)
по
Таким образом, увеличение п0 влечет за собой очевидное
уменьшение веса полезного груза, поскольку возрастающая на
конструкцию аппарата нагрузка требует усиления последней и,
следовательно, увеличения ее веса, которое уменьшит отноше¬
ние масс, если начальный вес W0 поддерживается постоянным.
При этом увеличение веса конструкции аппарата прямо пропор¬
ционально уменьшению веса полезного груза.
При последовательном распределении веса по ступеням при¬
меняются следующие основные правила обозначений:
индекс «Л» соответствует начальному полному весу данной
ступени, определяемому как полный вес этой ступени плюс вес
всех верхних ступеней;
индекс «В» соответствует полному весу после выгорания
топлива данной ступени, определяемому как вес этой ступени в
момент выключения двигательной установки (то есть непосред¬
ственно перед разделением ступеней) плюс вес всех верхних
ступеней;
индекс «а» соответствует начальному весу отдельной данной
ступени, определяемому как начальный (полный) вес данной
изолированной ступени, включая соединительное устройство
между этой ступенью и следующей верхней ступенью (то есть
соединительное устройство между двумя ступенями всегда счи¬
тается частью нижней из двух рассматриваемых ступеней), без
веса какой бы то ни было верхней ступени или в случае, когда
рассматривается верхняя (последняя) ступень, без веса секции
с полезной нагрузкой (но с любым переходным устройством
между верхней ступенью и секцией с полезной нагрузкой, кото¬
рое в случае отделения полезного груза должно быть оставлено
на верхней ступени);
индекс «Ь» соответствует весу данной изолированной сту¬
пени в момент выгорания топлива, определяемому как вес кон¬
кретной ступени непосредственно перед разделением без веса
какой-либо из верхних ступеней, но с соединяющим устройством
для следующей верхней ступени;
индексы «1», «2», «3», ... «п» означают номер рассматривае¬
мой конкретной ступени, отсчитываемый от самой нижней сту¬
пени к верхней.
Следовательно, вес ступени аппарата обозначается WАп (то
есть WAu WA2, • • •) и WBn (то есть WBь Wm,
60
ПРИНЦИПЫ ВЫВЕДЕНИЯ НА ОРБИТУ
[ГЛ. 5
Вес изолированной ступени обозначается Wan и Wbn.
Вес полезной нагрузки ступени, определяемый как вес, вы¬
веденный п-й ступенью, обозначается WA(n+\) (это определение
согласуется с принятыми выше).
Полная полезная нагрузка аппарата Wx определяется как
полный вес, несомый последней ступенью и расположенный впе¬
реди устройства, соединяющего ступень с контейнером, содержа¬
щим полезную нагрузку:
Wb-Wi + Wt+Wu, (5.88)
где W\ — вес конструкции контейнера, —вес вспомогатель¬
ного оборудования контейнера с полезной нагрузкой (то есть
вес дополнительных источников энергии, системы угловой стаби¬
лизации и т. д.) и — чистый полезный вес.
Чистый полезный вес W© определяется как вес, необходимый
для выполнения поставленной перед аппаратом задачи.
Таким образом, распределение веса (раскладка) произво¬
дится так.
Стартовый вес
WAl = Wpl + Wbl + WM, (5.89)
где
Wpl = Wm + Wf (5.90)
— вес топлива первой ступени, Wox — вес окислителя, Wf — вес
горючего, Wa2 — вес полезной нагрузки ступени,
Wbl = W6 + W9 (5.91)
— вес изолированной первой ступени после выгорания топлива
(чистый инерциальный вес), Wb — «сухой» вес, a Wp — вес остав¬
шейся жидкости (топливные остатки жидкостей и газов).
Здесь
Wb-Wa+Wx+Wi+Wi+Wt + Wn+Wv (5.92)
где W0 — вес конструкции, Wn — вес двигательной установки
(основной двигатель, топливно-насосный агрегат и система управ¬
ления ориентацией двигателя в полете), —вес вытеснитель¬
ной системы (емкости с гелием для главных баков, дополнитель¬
ные клапаны для баков и трубопроводы), W([> — вес гидравличе¬
ской системы (силовые приводы, насосы силового привода,
трубопроводы, фитинги), W8 — вес электрических установок (ба¬
тареи, преобразователи, распределительные щиты, соединитель¬
ные провода, система контроля), Wn — вес электронной аппара¬
туры [датчики уровня топлива, система наведения (стабилизи-
5.10]
ОПТИМИЗАЦИЯ НАЧАЛЬНОГО УСКОРЕНИЯ
61
рованная платформа, счетно-решающее устройство, электриче¬
ские провода) и автопилот (гироскопический прибор, програм¬
мное устройство, интеграторы, датчик скорости, следящие
элементы и электрические провода)], Wl—вес измерительных
приборов (датчики температуры, давления, тахометры, электри¬
ческие провода, система телеметрии, радиоответчик1), антенна
и контейнер с источниками энергии).
Вес после выгорания топлива определяется соотношением
где AW — вес других элементов, кроме топлива и дополнитель¬
ных жидкостей, которые могут быть сброшены с борта ступени
во время работы двигательной установки. Следующие отноше¬
ния весов определяются для данной ступени:
отношение масс \х = WA/WB>
относительный вес топлива ступени А= Wp/W А>
доля полезной нагрузки X = WJWA.
Предположим, что WA и Wx должны оставаться постоян¬
ными. Возрастание тяги влияет не только на WG, но также
на Wn, W^ и вес других подсистем. Следовательно, можно ска¬
зать, что Wb является зависимой величиной и что (д[и/дп0) зави¬
сит от изменения р = (3п0. Чтобы ввести в рассмотрение р, запи¬
шем для п-й ступени следующее весовое соотношение:
WBl = WAl-Wpl-AW,
(5.93)
доля чистого веса
или
Р =wb/(Wp + \Vb)
1-Р=иу (Wp + wb),
(5.94)
___ wA(n+1) , А
W в
Vpn + Vbn
^ A (tt+1)
А (п+1)
ш ~ \Jn
Ап
(5.95)
Дифференцируя это соотношение по п0, получаем:
9 В тексте оригинала «beacon». (Прим. ред.)
62
ПРИНЦИПЫ ВЫВЕДЕНИЯ НА ОРБИТУ
[ГЛ. 5
Выполнив простое преобразование
найдем:
найдем:
Подставив это выражение в уравнение (5.85), получим соотно¬
шение для оптимального значения начального ускорения п0
при вертикальном пуске:
Это уравнение является общим. Для конкретной оценки
я-oopt должно быть известно изменение р в функции м0, завися¬
щее от конкретной конструкции аппарата. Для данного д$/дп0
оптимальное значение п0 убывает с увеличением размеров ап¬
парата и увеличением |3. Увеличение размеров аппарата,
вообще говоря, приводит к увеличению д$/дп0. Возрастание р
означает увеличение чистого веса и, следовательно, увеличе¬
ние главным образом веса конструкции. Для космических ап¬
паратов со стартовым весом в несколько сотен тысяч фунтов
более оптимальное значение п0 лежит в пределах 1,3-т-2,0 g.
Поскольку оптимум является пологим, то отклонения от опти¬
мального значения п0 на 0,1-^-0,2 g влияют слабо. Это не¬
чувствительность усиливается еще более оттого, что траектория
полета первой ступени не является в точности вертикальной.
Увеличение отклонения траектории активного полета от верти¬
кальной уменьшает необходимость оптимизации по в пределах,
допускаемых механикой полета больших химических ракетных
аппаратов, поднимающихся с поверхности Земли.
В проведенном выше исследовании параметр п0 оптимизиро¬
вался при постоянном Wo или Wo!W%, так что увеличение веса
происходило исключительно за счет увеличения веса конструк¬
ции и уменьшения веса топлива. Если в оптимизируемой системе
принять тягу (а следовательно, и вес двигательной установки)
постоянной и уменьшать п0 (делая его меньше оптимального
значения) при одновременном увеличении емкости баков
(то есть при увеличении главным образом веса топлива и
уменьшении, насколько это возможно, веса конструкции), то
летные характеристики будут возрастать до тех пор, пока зна-
1 +|1(1пц- l) = n0-fzr^-[l +(х(га01пц- 1)]-Ц-. (5.98)
ВЕРТИКАЛЬНОЕ ВЫВЕДЕНИЕ В АСТРОНАВТИКЕ
63
чение по не станет меньше 1,2 1,1 g. При меньших значениях
по гравитационные потери становятся так велики, что они не
могут быть скомпенсированы увеличением суммарного им¬
пульса. По этой причине для больших аппаратов всегда жела¬
тельно выбирать при пуске величину отношения тяги к массе
аппарата в диапазоне 1,5 -т- 1,7 g. Если во время разработки
выяснится, что вес конструкции или полезной нагрузки будет
превышен (по-видимому, некоторое увеличение веса имеет
место в таких разработках), то он может быть скомпенсирован
путем увеличения суммарного импульса при постоянной тяге,
что в свою очередь уменьшит начальное ускорение.
5.11. Вертикальное выведение в астронавтике
В § 5.4 подчеркивалась важность отклонения траектории
для уменьшения гравитационных потерь и достижения наиболь¬
шей возможной суммарной энергии в конце активного участка.
Наклонные траектории активного полета играют очень важную
роль для баллистических снарядов, а также в астронавтике
и будут детально обсуждаться в дальнейшем. Г. Оберт,
впервые оценивший эту важность и выполнивший обширное
исследование наклонных траекторий активного полета, еще
в 1928 г. критиковал другого знаменитого немецкого пионера
космических полетов, рассматривавшего выведение спутника
на орбиту, при котором он вначале поднимается вертикально,
достигает предельной высоты, а затем прикладывается тяга
в горизонтальном направлении для получения орбиты спут¬
ника. Несмотря на то, что критика Оберта была полностью
справедлива, первый американский искусственный спутник1),
по иронии судьбы, был выведен на орбиту способом, до неко¬
торой степени подобным тому, который был подвергнут кри-^
тике тридцать лет назад. Этот факт показывает, что в рас¬
сматриваемой области астронавтики могут оказываться спра¬
ведливыми противоположные суждения, какими бы непривле¬
кательными или неэффективными они не казались.
До сих пор ракета «Редстоун» выводилась на баллистиче¬
скую траекторию с наклоном 45°, при этом верхние ступени
стабилизировались вращением и запускались в горизонтальном
направлении с высоким ускорением. Основание для такого ме¬
тода выведения было очень практичным, а именно: в этом слу¬
чае отсутствовала необходимость в наведении связки верхней
ступени. При отсутствии наведения и управления аппарат дол¬
жен быть стабилизирован вращением. При этом его ориентация
*) Так же как и все другие спутники класса «Эксплорер».
64
ПРИНЦИПЫ ВЫВЕДЕНИЯ НА ОРБИТУ
[ГЛ. 5
в пространстве остается практически неизменной в течение ко¬
роткого периода работы двигательной установки. Единственной
ориентацией, которая при указанных выше условиях должна
быть рассмотрена, является ориентация в горизонтальной пло¬
скости.
Вертикальное выведение становится более эффективным
при кратковременных включениях двигателей, создающих боль¬
шие ускорения, что приближается к импульсному режиму тяги.
Однако с точки зрения высоких скоростей, необходимых для
астронавтических исследовательских аппаратов, такие режимы
не могут быть выполнены при старте с поверхности Земли из-за
чрезмерных аэродинамических потерь и аэродинамического на¬
грева. Поэтому К. Стелинг предложил распространить указан¬
ный метод выведения на запуск с помощью аэростата-баллона
высоких ракет, выводящих спутники, или даже на пуски
к Луне1). В этом случае можно избежать указанных выше
недостатков и получить дополнительную потенциальную энер¬
гию, хотя последняя является сравнительно слабым фактором.
Этот метод был применен в проекте «Фар-Сайд» (сентябрь
1957 г:)2). Четырехступенчатая ракетная система на твердом
топливе была поднята баллоном на высоту 30 км, после чего
стартовала вертикально. Надлежащая ориентация сопел пер¬
вой ступени во время работы двигательной установки осу¬
ществлялась путем вращения. Первые две ступени имели на¬
чальное ускорение 80 g, а в момент выгорания топлива 150 g.
В силу сказанного, несмотря на такую значительную высоту
точки пуска, необходимость в устранении нежелательных
аэродинамического нагрева и аэродинамических возмущений
привела к введению промежуточного участка свободного по¬
лета, предшествующего пуску двух верхних ступеней. Эти сту¬
пени создавали ускорение в диапазоне 70-^- 220 g. Такие уско¬
рения не могут быть приемлемы для больших ракет с ЖРД,
хотя такие ЖРД, имеющие малое давление при подаче топ¬
лива, возможно, могли бы создать подобные ускорения. Как
следствие, указанные периоды активного полета были очень не-
продоложительными по времени (около 1,5 ^ 2,5 сек).
Таким образом, вертикальный пуск будет применяться
в астронавтике до тех пор, пока будут использоваться малые
аппараты, а системы управления будут простыми и грубыми.
!) К. S t eh ling, «Balloon Launching an Earth Satellite Rocket», Aviation
Age (July 1955). «We can build a Moon Rocket Now», Missiles and Rockets
(October 1956).
2) Herbert I. К a r s с h, The Far Side Programme, Navigation, Journal of
the Institute of Navigation, vol. 6, No. 1, Spring 1953, pp. 34—42.
5.12]
СРАВНЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ПРИ ВЕРТИКАЛЬНОМ ЗАПУСКЕ
65
5.12. Сравнение летных характеристик аппаратов
при вертикальном пуске в случаях постоянной тяги
и постоянного ускорения
В § 5.9 летные характеристики аппаратов при вертикальном
пуске были даны для двух случаев активного полета, а именно:
для постоянной тяги и постоянного ускорения (убывающей
тяги). Поскольку в гравитационном поле процесс движения не
является изэнтропическим, то выяснение относительной эффек¬
тивности обоих методов представляет определенный интерес.
Оба метода будут сравниваться для вертикального пуска в ва¬
кууме. Очевидно, это результаты будут также применимы к на¬
клонному выведению вдоль криволинейных траекторий.
Как указывалось выше, гравитационные потери равны gt,
и, следовательно, способ, позволяющий осуществить наиболее
быстрое сгорание топлива, будет давать наименьшие потери.
Очевидно, когда тяга (а значит, и расход топлива за единицу
времени) убывает, то время горения должно возрастать. Таким
образом, метод постоянного ускорения будет давать большие
потери, пока начальное ускорение не станет значительно выше,
чем в случае постоянной тяги.
Рассмотрим условия, при которых метод постоянного уско¬
рения оказывается лучшим. Значения параметров, соответ¬
ствующие постоянной тяге, будем обозначать штрихом, а со¬
ответствующие постоянному ускорению — двумя штрихами.
Обозначения имеют те же значения, что и в предыдущем пара¬
графе (см. также обозначения к этой главе). Очевидно, что
где правая часть представляет собой несколько преобразован
ную правую часть уравнения (5.72 с), или соотношение
если имеет место соотношение
п — 1
п
К (А)
п0
(5.99)
где
(5.100)
5 К. Эрике, т. II
66
ПРИНЦИПЫ ВЫВЕДЕНИЯ НА ОРБИТУ
(ГЛ. 5
Для различных значений А функция К{А) принимает следую¬
щие значения:
А 0,5 0,6 0,7 0,8 0,85 0,9
К (А) 0,808 0,754 0,695 0,625 0,582 0,529.
Если для постоянной тяги п0 — начальная тяговооружен-
ность, а П\ = По/ (1—А)—тяговооруженность в момент выклю¬
чения двигательной установки и если тяговооруженность при
постоянном ускорении равна одному из этих граничных значе¬
ний, то получаются следующие результаты.
При п = п0 должно быть справедливо соотношение Y" = Y/,
если
/г-1 ^ j К (А)
п < п0
Поскольку для всех практически достижимых значений тягово-
оруженности 0,4 < К (А) < 1, то очевидно, что левая часть не¬
равенства (5.99) должна быть меньше правой части для всех
значений /г, кроме п = оо. Следовательно, при равных значе¬
ниях А постоянная тяга будет всегда давать большие суммар¬
ные высоты, если п = п0.
При п = щ следует, что
n = n{ = Y' (5.101)
где Ь' — абсолютное ускорение, создаваемое постоянной тягой
при взлете:
Т = "‘ = 1ГГ = Т^Т = <7- (5.102)
Используя это уравнение, находим:
т0 _ ^
(5.103)
П\ trio ti0 т0 ' '
По
nil
Подставляя уравнение (5.103) в соотношение (5.99), полу¬
чаем выражение
(5.Ю4)
По т0 По ' 7
которое эквивалентно выражению Y" = У', если
5.12] СРАВНЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ПРИ ВЕРТИКАЛЬНОМ ЗАПУСКЕ
67
Относительный вес топлива Л = т§-
21
20
Ю
78
77
16
15
14
13
12
9
в
7
6
5
4
3
2
1
0,8
Как можно видеть из сравнения структуры функции К (А)
при mi/m0 = I—А, это соотношение является верным.
К (А) > mjmo для всех отношений масс, кроме случая
т0/т\ = оо (А = 1), когда обе части
соотношения становятся равными
нулю.
Таким образом, при равных отно¬
сительных весах топлива постоян¬
ное ускорение всегда хуже (в смыс¬
ле достижения максимальной вы¬
соты подъема) при п = п0 и всегда
лучше при п = п\. Следовательно,
скорость в момент выключения дви¬
гательной установки космического
аппарата при полете с постоянным
ускорением ниже или выше соот¬
ветствующего значения скорости в
двух граничных случаях.
Определим коэффициент эквива¬
лентного постоянного ускорения,
при котором предельные высоты
обеих ракет становятся равными
между собой. Значение этого коэф¬
фициента, следовательно, должно
лежать между п0 и щ. Оно опреде¬
ляется из уравнения (5.99) для слу¬
чая Y" = Y':
По
^eq
~г
-U
/
!
'-U
и
•ж
-L/*
Ш
гс
т
ж.
Ж
с
^еа — '
(5.106)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 71
ПаШ)
Рис. 5.16. Коэффициент экви¬
валентного постоянного уско¬
рения «eq в зависимости от
коэффициента начального уско¬
рения По при одинаковой сум¬
марной высоте ракеты, исполь¬
зующей постоянное ускорение,
и ракеты, использующей по¬
стоянную тягу.
К (А) •
На рис. 5.16 показана зависи¬
мость пщ от п0 для нескольких зна¬
чений относительного веса топлива.
С убыванием относительного веса
топлива преимущество использования постоянной тяги умень¬
шается, так как с увеличением времени горения весовые коэффи¬
циенты изменяются слабее и условия полета стремятся к усло¬
виям, достигаемым при полете с постоянным ускорением.
Если относительный вес топлива (А) в момент выключения
двигательной установки подставить из уравнения (5.102) в урав¬
нение (5.106), то найдем:
[п0-К(А)]( 1-А)
eg __ _
Пх
к (Л) («0 + Л- 1) • (5.107)
Изменение величин /гед, П\ и отношения (neq— 1)/(п\ — 1) по¬
казано на рис. 5.17. Видно, что отношение (neq—l)/(/*i— 1)
5*
68
ПРИНЦИПЫ ВЫВЕДЕНИЯ НА ОРБИТУ
[ГЛ. 5
резко убывает с увеличением относительного веса топлива, а П\
увеличивается с ростом А. Следовательно, результирующая кри¬
вая имеет положительный градиент; она довольно пологая, что
позволяет сравнительно легко избежать очень высоких ускоре¬
ний в момент выключения двигательной установки при значени¬
ях А > 0,7, соответствующих постоянной тяге, путем использова¬
ния более умеренного постоянного ускорения. Это может иметь
важное значение при выведении груза с помощью многоступен¬
чатых аппаратов. В частности, в
случае параллельного соединения
ступеней (связка) этот метод указы¬
вает экономичный путь, позволяю¬
щий избежать чрезмерных попереч¬
ных нагрузок на связку вблизи мо¬
мента выключения двигательной
установки первой ступени, которая
будет почти опорожненной, тогда
как вторая или вторая и третья сту¬
пени еще заполнены топливом. На
практике это означает, что оказы¬
вается возможным выбрать неболь¬
шое начальное ускорение для пер¬
вой ступени или ускорителя, избе¬
жав при этом чрезмерных ускоре¬
ний в момент выключения двига¬
тельной установки. Всякий раз, когда желательно полное исполь¬
зование топлива, двигательная установка должна работать в ре¬
жиме постоянной тяги до достижения критического значения
осевой перегрузки (д), определяемого конкретной конструкцией,
после чего тягу постепенно уменьшают.
Даже при тандемном соединении ступеней нежелательно
иметь ускоритель, который бы создавал в момент выключения
двигательной установки ускорение, значительно превышающее
ускорение, которое будет достигнуто позднее на верхних сту¬
пенях, поскольку в этом случае напряжение конструкции, а сле¬
довательно, и вес верхних ступеней будут определяться усло¬
виями полета ускорителя. Увеличение веса верхних ступеней
приведет к значительному возрастанию веса ускорителя. Ко¬
нечно, высоких ускорений в момент выключения двигательной
установки можно избежать также путем использования малых
начальных ускорений. Однако, как это видно из предыдущего
параграфа, при этом быстро возрастают гравитационные по¬
тери.
Кроме того, слишком большое начальное ускорение также
нежелательно, поскольку в этом случае предельные нагрузки,
Лед 1
Г7;~1
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
I
/
]
/7,-7
Лед'
/
1
/
-
ч
“
п‘Ч'
7
19
17
15
13
т?,-1
11
9
7
5
3
Лед~1
0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9
А
Рис. 5.17. Зависимость nv /zeq
и (fteq — 1 — 1) от относи¬
тельного веса топлива (п0 = 2).
5.12] СРАВНЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ПРИ ВЕРТИКАЛЬНОМ ЗАПУСКЕ 69
обусловленные постоянной тягой, достигаются слишком рано и
потребуется выключить слишком много ракетных двигателей,
которые должны быть либо включены в «мертвый» вес, либо
сброшены. Предварительный анализ любого данного проекта
должен определить оптимальный
компромисс.
Отношение времени выгорания
топлива при постоянном ускорении
к времени выгорания топлива при
постоянной тяге следует из уравне¬
ний (5.76) и (5.57):
1,40
135
£130
125
"оЦ-ПГд)
1,20
П5
neqA
(5.108)
0.5 055 00 0,65 0,7 075 0,8 085 09
А
Рис. 5.18. Отношение времени t{
выгорания топлива при по¬
стоянном ускорении к вре¬
мени t\ выгорания топлива при
постоянной тяге как функция
относительного веса топлива А
[имеется в виду, что
eq
= "eq (A)].
Эта зависимость представлена
графически на рис. 5.18. Подста¬
вляя уравнение (5.106) в соотно¬
шение (5.108), получаем, что время
горения зависит только от А. В этом
случае, как следует из графика,
всегда t" > t[. Приращение t" — t[
возрастает с увеличением А, но значение этой разности сравни¬
тельно мало. Например, при очень высоком относительном весе
топлива А = 0,9 и при п0 = 2, FSp = 220 сек приращение соста¬
вляет 35,4 сек.
Общее выражение для отношения суммарных высот
Y"/Y', которое может быть названо траекторным коэффициен¬
том фу, определяется как
1 п — 1
J
In2
ш
Т|п'(тЫ +
л-'”(тЬг) ■
(5.109)
По
Это уравнение связывает суммарную высоту, получаемую при
постоянном ускорении, с суммарной высотой, достигаемой при
постоянной тяге и при одинаковом относительном весе топлива
без ограничений, накладываемых на м. Зависимость траектор-
ного коэффициента от п показана на рис. 5.19 для п0 = 2 и
различных значений Л. На рис. 5.20 приведена зависимость
траекторного коэффициента от п0 для neq = 3. В этом случае
коэффициент ~ 1 в уравнении (5.109) равен 0,333. Траекторный
70
ПРИНЦИПЫ ВЫВЕДЕНИЯ НА ОРБИТУ
[ГЛ. 5
коэффициент для другого значения п может быть получен
делением коэффициента n~J на 0,333 и умножением результата
на соответствующую величину фу, найденную из графиков, при¬
веденных на рис. 5.19, для рассматриваемого п0. Например, для
п = 2 значение цу (рис. 5.19) должно быть умножено на 0,75.
Это показывает, что траекторный коэффициент быстро падает,
когда п приближается к значениям, сравнимым со значениями,
которые могут быть использованы как начальные ускорения кос¬
мических аппаратов с большой
постоянной тягой.
Проведенное сравнение по¬
зволяет сделать вывод, что
Рис. 5.19. Траекторный коэф¬
фициент как функция п для
п0 = 2.
Рис. 5.20. Траекторный коэффи¬
циент как функция п0 для
"eq=3*
режим движения с постоянной тягой предпочтительнее режима
движения с постоянным ускорением. Однако анализ также пока¬
зывает, в каких случаях постоянное или почти постоянное
ускорение может быть с малыми потерями использовано для
устранения предельных (пиковых) значений ускорения, прису¬
щих постоянной тяге, и тем самым указывает возможность для
уменьшения конструктивных нагрузок в многоступенчатных
аппаратах.
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Ае — площадь выходного сечения сопла;
а — ускорение;
CD — коэффициент силы аэродинамического сопротивления;
CL — коэффициент подъемной силы;
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
71
с — расстояние от центра камеры сгорания до заднего
среза сопла аппарата (см. рис. 5.12);
с1 — коэффициент аэродинамического момента вращения
[см. уравнение (5.36)];
с2 — коэффициент момента вращения, создаваемого тягой
[см. уравнение (5.38)];
D — сила аэродинамического сопротивления;
F — сила; реактивная тяга;
Fst — регулирующая сила;
g — гравитационное ускорение (ускорение силы тяжести);
Н — расстояние от центра давления до заднего среза сопла
аппарата;
/—момент инерции, фут-фунт-сек2\ суммарный импульс,
фунт-сек;
/sp — удельный импульс;
L — аэродинамическая подъемная сила;
М — момент, создаваемый отклонением вектора тяги [см.
уравнение (5.34)];
Ма — аэродинамический момент [см. уравнение (5.35)];
Мс — управляющий момент;
m — масса;
п — коэффициент осевой нагрузки; осевая перегрузка;
г — радиальное расстояние;
5 — расстояние от. центра масс до заднего среза сопла ап¬
парата;
s — длина траектории;
t — время; продолжительность полета;
Vp — объем топлива;
v — скорость полета;
vP — скорость истечения из сопла;
W- вес;
х — горизонтальная дальность;
У —суммарная высота;
г/ — высота; высота полета в конце активного участка;
а - угол атаки;
Р — угол отклонения управляющего двигателя;
у — удельный вес топлива;
6 — угол наклона траектории к местному горизонту;
т„
Л = — относительный вес топлива (коэффициент заправ¬
ки. — Прим. ред.);
т о
ц =—- — отношение масс;
р— плотность топлива; радиус кривизны;
72
ПРИНЦИПЫ ВЫВЕДЕНИЯ НА ОРБИТУ
[ГЛ. 5
Ф— коэффициент объема топлива;
Ф — угол тангажа, образуемый продольной осью космиче¬
ского аппарата с местным горизонтом (0 ± а).
Индексы (нижние):
А — относится к начальному полному весу данной ступени;
а —относится к начальному весу изолированной ступени;
В — относится к полному весу данной ступени в момент вы¬
горания топлива этой ступени;
b — относится к весу изолированной ступени в момент вы¬
горания топлива,
D— относится к аэродинамическому сопротивлению;
eff — эффективный;
g— гравитационный;
id — идеальный;
р — параболический; относящийся к топливу;
pot — потенциальный;
0 — начальное значение;
1 — значение в момент выключения двигательной установки.
ЗАДАЧИ
1. Одно и то же: идеальная скорость и скорость, создаваемая тягой?
Если да, то почему?
2. Назовите другое обозначение идеальной скорости.
3. Объясните, какова разница между удельным импульсом, импульсом
двигательной установки и удельной тягой?
4. Определите термин «суммарный импульс».
5. Можно ли определить данный суммарный импульс как изменение
идеальной скорости?
6. Начальный вес одноступенчатого ракетного аппарата W0 = 136 000 кГ,
тяга в вакууме F — 190 500 кГ, вес после выгорания топлива W\ = 20 400 кГ
[13 600 кГ —полезная нагрузка и 6800 кГ — инерционный вес (конструкция,
остаточные жидкости и газы, системы наведения и электроснабжения, при¬
боры)]. Топливо — жидкий кислород и керосин (средний удельный вес
у = 1,025 Г/см3), эффективный удельный импульс /Sp = 290 сек. Определите
скорость, высоту и ускорение в момент выгорания топлива, а также суммар¬
ную высоту вертикального подъема в вакууме при постоянной тяге.
7. Для условий задачи 6 определите те же данные при постоянном уско¬
рении п =1,4, а также определите тягу в момент выгорания топлива.
8. Сравните отношение действительной скорости в момент выключения
двигательной установки к идеальной скорости и отношение действительной
суммарной высоты к идеальной высоте для задач 6 и 7 (идеальная суммар¬
ная высота получается при условии, что идеальная скорость достигается при
мгновенном сгорании топлива на нулевой высоте).
9. Пусть одноступенчатая ракета имеет те же самые полезную нагрузку,
инерционный вес и объем топливного бака, что и в задаче 6. Бак заполнен
кислородом и водородом с отношением смеси г = 02/Н2 = 8, средний удель¬
ный вес у = 0,442 Г/см3, /8р = 380 сек. Для случая вертикального пуска в
вакууме с постоянной тягой определите: тягу при п0 = 1,4, конечное уско¬
рение, скорость и высоту в момент выгорания топлива.
10. Сравните результаты задач 6 и 9.
ЗАДАЧИ
73
11. Вычислите скорость и высоту в момент выгорания топлива, а также
суммарную высоту для двух аппаратов (см. задачи 6 и 9) при условии, что
ускорение постоянно: п = п0 = 1,4.
12. Пусть космический корабль, предназначенный для облета Марса, по¬
лучив параболическую скорость относительно Земли, переводится на переход¬
ный эллипс; Марс расположен в одной из конечных точек малой оси этого
эллипса, афелий которого равен 1,52 а. е. Корабль движется со средним по¬
стоянным ускорением, равным 10~3g@ = 0,981 см/сек2, и с.постоянным эффек¬
тивным импульсом / Sp = 4000 сек. Определите перигелийное расстояние
эллипса перехода, условия выведения космического корабля на эту орбиту
(пренебрегая сравнительно слабым изменением гелиоцентрического расстоя¬
ния во время активного полета), время активного полета, увеличение рас¬
стояния от Солнца во время активного полета, отношение масс и количество
топлива (расходуемого во время активного полета) в процентах от начальной
массы корабля. Гравитационное ускорение Солнца во время активного полета
постоянно и равно ge = 6 • 10"4g@.
13. Рассмотрите аппарат (задача б) и замените его полезную нагрузку
(13 600 кГ) на вторую ступень с тягой F= 13 600 кГ, весом W0 = 13 600 кГ
и полезной нагрузкой 1360 кГ.
Случай (а): вторая ступень, имеющая те же тягу и начальные условия,
заправлена жидким кислородом и керосином, средний удельный вес топлива
у = 1,025 Г/см3, эффективный удельный импульс в вакууме /Бр = 310 сек. Вес
ступени в момент выгорания топлива (включая полезную нагрузку) W) =
= 2270 кГ.
Случай (б): вторая ступень заправлена жидким кислородом и жидким
водородом, у = 0,256 Г/смг, /8р = 425 сек, Wi = 2810 кГ.
Определите параметры второй ступени в момент выключения двигатель¬
ной установки и суммарную высоту при вертикальном пуске. Изменением g
во время активного полета пренебречь.
ГЛАВА 6
КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
НА АКТИВНОМ УЧАСТКЕ ТРАЕКТОРИИ
6.1. Введение
Анализом криволинейного движения в этой главе продол¬
жается рассмотрение активного участка траектории. Причины,
по которым используются криволинейные траектории выведения,
и их преимущества уже обсуждались в начале предыдущей
главы.
Сначала будет проведено аналитическое рассмотрение про¬
граммы отклонения траектории, а затем дано полное описание
процесса расчета активного движения при отсутствии внеш¬
них сил, кроме силы веса. При пренебрежении аэродинамиче¬
скими силами вычисления можно сильно упростить, так что,
даже не располагая электронной вычислительной машиной,
можно за 3-^5 часов вполне аккуратно рассчитать траекторию.
Расчеты, выполненные на машине с учетом влияния аэродина¬
мических сил и истинной зависимости тяги от высоты, пока¬
зали, что точность приближенного метода составляет 90-^95%.
Как указывалось в конце § 5.3, увеличение тяги с высотой
обычно с избытком компенсирует потери на сопротивление ат¬
мосферы, особенно для больших аппаратов, какими являются
баллистические снаряды или космические аппараты, выводимые
носителями на химическом топливе. Таким образом, результаты,
полученные в § 6.3 и иллюстрированные примерами в § 6.5,
обычно вполне годятся для предварительных оценок, особенно
если аэродинамическая конфигурация еще не установлена точно.
Если рассматривается ракетный аппарат с небольшими крыль¬
ями (аппарат имеет достаточно большое отношение веса к пло¬
щади миделева сечения), можно производить приближенные рас¬
четы, даже учитывая влияние подъемной силы. Это будет
обсуждаться в § 6.4 и 6.5.
Краткое обсуждение пространственной задачи активного по¬
лета проводится в § 6.6. Затем рассматривается другой важный
6.2]
СЛУЧАЙ ОТСУТСТВИЯ ВНЕШНИХ СИЛ
75
аспект активного выведения, а именно: отклонение траектории
гравитационным полем. Методика быстрого определения грави¬
тационных потерь без расчета траектории впервые дается
в § 6.7. В § 6.8 излагается задача оптимального выведения спут¬
ника на орбиту. Наконец, анализируется наклонная прямолиней¬
ная траектория выведения, являющаяся хорошей аппроксима¬
цией траектории движения верхней ступени, скорость которой
приближается к круговой, и определяется программа управле¬
ния ракетным аппаратом.
6.2. Отклонение траектории
в случае отсутствия внешних сил
Если v\ — номинальная скорость вертикально поднимаю¬
щейся ракеты в момент выключения двигательной установки,
расчет характеристик ракеты основывается на величине иде¬
альной скорости
aid=ui+^i> (6Л)
где t\ — время работы двигательной установки. Соответствую¬
щее отношение масс определяется выражением
lx = e(vi+stl)ve^ ^2)
Поскольку величина гравитационных потерь входит в по¬
казатель экспоненты, необходимость всемерного снижения зна¬
чения gt очевидна. Автору кажется, что Оберт1) первым
осознал это и поставил задачу математически. Он предложил,
чтобы продольная ось аппарата при движении по активной
траектории отклонялась от исходной вертикали к горизон¬
тальному или какому-либо наклонному направлению (в соот¬
ветствии с задачей аппарата) так быстро, как позволяют атмо¬
сферные условия.
Так была установлена концепция выведения по криволиней¬
ной траектории, которая впоследствии использовалась для всех
баллистических снарядов, начиная с V-2, на которой основыва¬
лись все расчеты траекторий выведения в космическое простран¬
ство. После начала движения по криволинейной части траек¬
тории тяга двигателя должна компенсировать вместо всего
веса g его составляющую g sin 0, где 0 — угол наклона траек¬
тории, отсчитываемый от местного горизонта. Если аппарат
движется горизонтально, то 0 и sin 0 равны нулю, и пока в те¬
чение работы двигательной установки выполняется это усло¬
вие, гравитационные потери отсутствуют. Однако очевидно, что
*) Wege zur Raumschiffahrt, Berlin, 1929,
76 КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ НА АКТИВНОМ УЧАСТКЕ [ГЛ. 6
аппарат, движущийся по горизонтали, не может подняться,
если он не обладает подъемной силой, и даже в этом случае
угол наклона траектории не будет оставаться постоянным на
всем активном участке. Таким образом, 0 = 0(0» откуда сле¬
дует
и
v\d = v\ + 8 | sin 9 dt
о
(опять предполагается, что вариацией g с течением времени
можно пренебречь).
Обозначая через Л' значение коэффициента заправки для
произвольного момента времени t'<t\, можно написать:
т0 т0 t\ 47
где т — масса аппарата в момент времени t <tu и представить
уравнение (6.3) в виде
t
— In (1 — Л') = — + — sin 0 dt.
ve v
о
Используя дополнительное соотношение
(6.5)
1 gn0 По v 7
где = ——— , и вводя обозначение — = y, получаем после ин-
fnog Ve
тегрирования ^
X — Хо = ^7^ = ~ ln (1 — 1Л) — Д- J sin 0 d%, (6.6)
где
<6-7>
В момент выключения двигательной установки и при условии
Хо = 0
%,-^--1п(1-Л)~£/., (6.8)
где
1
/0=Jsin6d£. (6.9)
6.2]
СЛУЧАЙ ОТСУТСТВИЯ ВНЕШНИХ СИЛ
77
Для первой ступени многоступенчатого аппарата хо ^ О-
Для других ступеней хо равно отношению скорости в момент
выключения двигательной установки предыдущей ступени к ско¬
рости ve, то есть (xo)n = (xi)n-i, если скорости истечения для
обеих ступеней одинаковы. Другими словами,
(Хо)п = (хХ-1 ■■°(еа)еп)~‘ . (6.10)
Из предыдущего анализа можно найти коэффициент умень¬
шения скорости 1)в момент выключения двигательной установки,
определяемый как отношение действительной скорости к идеаль¬
ной и характеризующий гравитационные потери:
Л/д А/д
lf]v = = 1 Н j -р. т-г- = 1 : . (6.1 1)
lv vid п0 In (1 — А) П0\П[1 4 1
Приведенные выше соотношения легко разрешимы, если в ка¬
честве параметра используется 0 ^ £ = у- ^ 1,0 и интеграл /0 из¬
вестен. Этот интеграл равен единице для случая вертикального
выведения и равен нулю при горизонтальном полете; в иных слу¬
чаях его величина зависит по программы 0(/).
Общая функция, описывающая программу изменения 0(/),
была выведена Шредингером2). Вывод основывался на гранич¬
ных условиях, требовавших, чтобы угловая скорость вращения
вектора скорости равнялась нулю в начале активного участка и
чтобы эта величина и ее производная по времени (угловое
ускорение вектора скорости) также равнялись нулю в конце ра¬
боты двигательной установки. Первое ограничение имеет прак¬
тическую важность, однако этого нельзя утверждать относи¬
тельно ограничения для момента выключения двигательной уста¬
новки, поскольку в этот момент времени требуется только, чтобы
величина и пространственная ориентация вектора скорости со¬
ответствовали заданным условиям (то есть были бы правиль¬
ными). Это может быть достигнуто как при создании точной ско¬
рости и отсутствии нормальной составляющей ускорения (кри¬
визна траектории равна нулю), так и в том случае, когда
скорость отличается от заданного значения, но нормальная со¬
ставляющая ускорения такова, что сумма скорости и ее прира¬
щения за счет нормальной составляющей соответствует но¬
минальным условиям в момент выключения двигательной
*) Естественнее было бы характеризовать уменьшение скорости в резуль¬
тате гравитационных потерь величиной 1 — riv. (Прим. перев.)
2) Р Schroedinger, The Performance Limits of Large Ballistic
Rocket Vehicles (in German)', Peenemuende Archive, No. 62/8, 1940.
78
КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ НА АКТИВНОМ УЧАСТКЕ
[ГЛ. 6
установки. Предположение о прямолинейности траектории в мо¬
мент выключения двигательной установки приводит в случае
многоступенчатых аппаратов к некоторым трудностям. Для того
чтобы двигаться прямолинейно, аппарат должен противодейст¬
вовать гравитационному полю, которое стремится продолжить
искривление траектории. Следовательно, аппарат должен дви¬
гаться с положительным углом атаки. Этот угол мал, поскольку
при выключении двигательной установки отношение тяги к весу
велико, и поэтому при большой величине тяги и малый угол
атаки обеспечивает нужную величину нормальной составляющей
ускорения. Однако после расцепки ступеней новая ступень нач¬
нет, по-видимому, работу при много меньшем отношении тяги
к весу и потребный угол атаки внезапно окажется весьма боль¬
шим. Тем не менее при определении основных характеристик
данной траектории выведения, включая гравитационные потери,
рассматриваемый метод, как будет показано ниже, мало чувст¬
вителен к этим обстоятельствам.
Введя величину
T = tgY(9Oo-0), (6.12)
можно записать подынтегральную функцию в выражении (6.9)
в форме
cos (90° - 0) = sin 9 = , (6.13)
I “г Т
тогда интеграл /е, определяемый выражением (6.9), может
быть легко вычислен для данной программы отклонения от 0О
до 01 или от хо до Для шага интегрирования Д£ (достаточно
взять Д£ = 0,1) имеют место соотношения
A/e = Ag sine"-»2+--sj-n9» (6Л4)
И
1
/е=2Д/е, (6.15)
£=0
где индексы «п» и «п—1» обозначают два последовательных
шага интегрирования. Зная /0, можно легко и быстро опреде¬
лить величину по уравнениям (6.11), а также другие пара¬
метры траектории.
При выполнении расчетов по уравнениям (6.14) и (6Л5)
sin 0 находится для каждого значения £ с помощью соотноше¬
ния (6.13). Поэтому требуется установить связь между т и £.
Начальное и конечное значения то и ть конечно, известны,
6.2]
СЛУЧАЙ ОТСУТСТВИЯ ВНЕШНИХ СИЛ
79
так как степень изменения наклона траектории, определяемая
значениями 0О и 0ь для данного активного участка должна быть
известна. Указанные условия становятся более наглядными, если
написать выражение
4|-=сб( 1—|)2. (еле)
Интегрирование его дает:
т = -^(6-8| + 3£2) + т0
(6.17)
При g = 0 (начало работы двигательной установки) т = то,
Q
а при g = 1 х = х{ = “Ь то- Таким образом, константа интегри¬
рования равна
С= 12(т1-т0)= 12Дт, (6.18)
так что выражение (6.17) принимает вид:
т = т0 + Дт f (1), (6.19)
где
f(g) = 6g2-8g3 + 3g4. (6.20)
Скорость изменения наклона траектории
дается уравнением
dQ _ dQ dr
dr
где -гг- находится из соотношений (6.16) и
(6.18), а
,№
(6.21)
0.2 04 0.6 0.8 го
дЮ
dr
COS 0
1 + т2
2т
(6.22)
Рис. 6.1. Вид функ¬
ции /(g).
поскольку cos 0 = j-^p—2 . Отрицательный знак указывает на
уменьшение угла наклона траектории 0 по мере ее искривления.
Итак, скорость изменения наклона траектории определяется
равенством
dQ
dl
Cg cos 0
(i-i)2
(6.23)
Вид функции /(g) показан на рис. 6.1. Скорость измене¬
ния наклона траектории как функция g дана на рис. 6.2. На¬
конец, вариация угла наклона траектории как функция g
80
КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ НА АКТИВНОМ УЧАСТКЕ
[ГЛ. 6
представлена на рис. 6.3 для конкретной программы, в соот¬
ветствии с которой аппарат стартует с Земли вертикально
0,2
0,4 0.6
(
0,8 1,0
90
80
60
§
40
20
0
-»=z=tff(>
\$=(ГгГо)[^г(Н)2]
0,2
Рис. 6.2. Скорость изменения на¬
клона траектории как функция £
для некоторой заданной програм¬
мы (9О°>0> 15°).
0,4 0,6 0,8
S
Рис. 6.3. Угол 0 в зависимости
от безразмерного времени для за¬
данной программы (90°^ 0^ 15°).
1,0
(60 = 90°), а к моменту выключения двигательной установки его
траектория отклоняется на угол 0i = 15°.
6.3. Расчет активной траектории выведения
при отсутствии аэродинамических сил
На основе результатов, полученных в предыдущем пара¬
графе, ниже будет проведен расчет активной траектории для
Управляющие
нормальные
силы
Подъемная сила L
Сила сопротивления JJ
Мгновенное
направление
силы тяги
Мгновенное нап¬
равление полета
Траектория
Горизонтальная
линия отсчета
WcosO
WsinO
Рис. 6.4. Диаграмма сил при активном выведении.
заданной функции отклонения, причем будут найдены траек¬
тория, управляющая сила и угол атаки, а также ускоряющие
силы, действующие на аппарат. Схема действия сил показана
на рис. 6.4,
6.3] РАСЧЕТ ПРИ ОТСУТСТВИИ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ 81
а) Параметры траектории. Текущее значение скорости аппа¬
рата на активном участке траектории дается выражением
(I) = X ® = Хо - In (1 - 1А) ~ (/в)6, (6.24)
где (!q)i — значение интеграла /0 [см. равенство (6.9)] в момент
времени £, а %о— безразмерная скорость [см. выражения (6.8)
и (6.10)], которую аппарат может иметь в начале работы двига¬
тельной установки соответствующей ступени. В момент вы¬
ключения двигательной установки этой ступени
%\ = Хо->п(1 - А)--^/е = Хо-лИп(1 - А), (6.25)
где г]0 — коэффициент скорости в момент выключения двига¬
тельной установки, величина которого вычисляется по урав¬
нениям (6.11).
Положение аппарата в декартовых координатах в любой
момент времени определяется соотношениями
*/ = asin0, *=ucos0, (6.26)
где у — высота, а х — горизонтальное расстояние от точки пуска.
Эти соотношения можно преобразовать к виду
у = Vgtjy, (6.27)
х = vetxIx. (6.28)
Входящие сюда интегралы высоты и дальности находятся из
выражений
Iy = I X sin 0 d% = 2 My (6.29)
0 0
и
t t
I Xs* |xcos0rfi = %МХ, (6.30)
о о
где
А/, - А| ( *—'д* *" ) ( ,1п *1п ), (6.31)
А/,- А|( *-(). (6.32)
б) Нормальная сила. В процессе изменения наклона траекто¬
рии на аппарат должна действовать нормальная (отклоняющая)
6 К. Эрике, т. II
82
КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ НА АКТИВНОМ УЧАСТКЕ
[ГЛ. ь
сила. Отношение этой силы к силе тяги F дается выраже¬
нием
Отклоняющая сила или по крайней мере часть ее создается
за счет составляющей веса U^cosS (см. рис. 6.4). Следовательно,
если £F= W cos 0, то не требуется дополнительно искривлять тра¬
екторию. Таким образом, когда на интервале для от¬
клонения траектории используется только сила Wcos 0, говорят
о гравитационном развороте. Этот случай будет рассмотрен в
Если t>F=^=W cos 0, то это означает, что сила веса будет от¬
клонять траекторию непредусмотренным образом (мы рассмат¬
риваем здесь траектории в вакууме или траектории, влияние
аэродинамических сил на которые не очень значительно). В по¬
добных ситуациях необходима дополнительная нормальная сила,
равная разности между 1Fcos0 и Отношение ее к силе тяги
определяется выражением
(6.33)
С учетом соотношений
А' = £А = 1 - —
b w0
г а / dm
m
w0 ’
выражение (6.33) принимает вид:
где -щ — известная функция, смысл которой обсуждался в пре
дыдущем параграфе [см. равенство (6.23)].
Из выражений (6.23), (6.21) и (6.22) находим:
d0 2 dx cos 0 dx
W ~ TTt7” "df ~ ~x~ “df ’
(6.35)
С = 12 (x{ — t0) = 12Ar,
§6.5.
где Fn — искусственно создаваемая нормальная сила, a F — сила
тяги.
6.3]
РАСЧЕТ ПРИ ОТСУТСТВИИ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ
83
Если скорость полета близка к орбитальной, а ее направле¬
ние почти горизонтальное, становится необходимым учитывать
центробежные силы, возникающие из-за криволинейности дви¬
жения в поле тяготения Земли. Этот эффект сводит влияние со¬
ставляющей истинного веса W cos 0 к влиянию составляющей
кажущегося веса W&рр cos 0:
^appcose Г
г cos е w
где
« (О COS 0)2 Г 1 / V \2 2 л /л оо\
пс = 1 - = 1 -[—) cos2 0 (6.38)
—фактор разгрузки,
К = Gm0 = &2тф = (оД г (6.39)
— гравитационный параметр Земли, G — универсальная грави¬
тационная постоянная, k2 — постоянная Гаусса, тф—масса Зем¬
ли, a (vc)r — круговая скорость на расстоянии г от центра
Земли.
Вычисления, проведенные для больших двух- и трехступен¬
чатых ракет на химическом топливе с горизонтальным или почти
горизонтальным направлением полета в момент выключения
двигательной установки, показывают, что по крайней мере для
первой ступени пс= 1, поскольку v cos 0 очень мало. Для после¬
дующих ступеней, однако, точное уравнение для нормальной со¬
ставляющей силы тяги, учитывающее влияние центробежной
силы в земном (или любом другом) поле, выглядит следующим
образом:
(«О
Если угол наклона траектории мал (О<0<8°, cos 0 >0,99^
^1,0), то для третьей ступени аппарата, выходящего на орбиту
спутника, можно написать:
(6.4D
в) Угол атаки и ускорение. Для активной траектории в ва¬
кууме угол атаки аппарата дается формулой
8та = -~Ц (6.42)
Она означает, что угол атаки, как и в аэродинамике, опреде¬
ляется как угол между направлением вектора скорости и про¬
дольной осью аппарата. Запись уравнения для нормальной силы
6*
84
КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ НА АКТИВНОМ УЧАСТКЕ
[ГЛ. 6
в случае наличия аэродинамических сил будет дана в следую¬
щем параграфе.
Одним из важных результатов слишком быстрого разворота
или выполнения этого маневра в тот момент, когда скорость
очень велика, является возникновение довольно значительного
нормального ускорения, то есть ускорения, направленного про¬
тивоположно вектору силы WcosG. Нормальная перегрузка
(в единицах g), обусловленная силой инерции, составляет
[na = F/W (%) —продольная перегрузка]:
v dQ % dti „ п0 /с.ч tc. АП\
Пп g dt ~ П° A d\ ~ ^ 1-£A Zna(Q- (6.43)
Если значения пп, а значит, и а становятся очень большими
при полете в атмосфере, то аэродинамические силы создают
сильные изгибающие моменты, которые воздействуют на кон¬
струкцию аппарата. Желательно, чтобы эти действующие по
нормали аэродинамические перегрузки оставались малыми. Если
пп велико при полете в безвоздушном пространстве, то это озна¬
чает, что большая часть силы тяги должна затрачиваться не на
разгон аппарата вдоль траектории, а на ее поворот. Поскольку
Fn = F sin а, эффективная сила тяги, ускоряющая аппарат, равна
Fen = F cos а. (6.44)
Это уравнение указывает на подчеркивавшиеся в § 6.2 и в
этом параграфе существенные ограничения, связанные с предпо¬
ложением, что тяга постоянна. Если выбрана такая траектория,
что углы атаки велики, равенство (6.44) показывает, что пред¬
положение о постоянстве тяги не выполняется более и предла¬
гаемый метод неприменим. Вообще говоря, если а остается в
пределах 10°, то ошибка, порождаемая предположением, что
F = const, мала. Область применения этого метода можно рас¬
ширить на большие значения ос, если благодаря опыту удается
оценить ожидаемые величины а и выбрать для работы ступени
соответственно меньшее номинальное значение F.
Величину j-_^л~ в уравнении (6.43) легко интерпретировать
как осевую (продольную) перегрузку, изменяющуюся при увели¬
чении ускорения за счет уменьшения веса при постоянной тяге:
«а = -г%-. (6.45)
Таким образом, значение продольной перегрузки в момент вы¬
ключения двигательной установки определяется равенством
(6.46)
6.4]
УГОЛ АТАКИ ПРИ УЧЕТЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ
85
6.4. Угол атаки при учете аэродинамических сил
В случае действия аэродинамических сил уравнение для уп¬
равляющей силы должно быть записано в форме
-у- = sin а + -^- = sinct + С/, (а) (-—), (6.47)
где L — подъемная сила, сг = -^-, р — плотность воздуха на вы-
Роо
соте полета, р0о — плотность воздуха у поверхности планеты,
S — площадь, к которой отнесен коэффициент подъемной силы CL.
Поскольку Сь является функцией а, многие решения надо нахо¬
дить методом проб и ошибок. Приближенные уравнения, спра¬
ведливые особенно при малых углах атаки, можно представить
в виде
т “si" “+тгг aW ) ■ <6'48)
(6.49,
откуда находится приближенное уравнение для угла атаки (при
условии его малости) в случае учета аэродинамических сил:
In
sin a ~ —дс „1\ • (6-5°)
1 + —1
да
Это соотношение дает оценку влияния аэродинамических сил
на требуемый угол атаки при выведении. Для случая крылатого
дСг
аппарата, когда из-за большого можно ожидать, что угол
атаки будет малым, уравнение (6.50) можно использовать с
большей степенью уверенности.
Учет аэродинамических сил при оценке угла атаки и управ¬
ляющей силы допустим в качестве приближения, даже если
предполагается, что полет происходит в вакууме, поскольку в
случае достаточно малого угла атаки сила сопротивления при ну¬
левом угле атаки (сопротивление формы и сила трения) не очень
велика, так что те соображения, которые были высказаны в
конце § 5.2 по поводу совместного влияния сопротивления и силы
тяги, все еще справедливы. Конечно, при увеличении угла атаки
86
КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ НА АКТИВНОМ УЧАСТКЕ
[ГЛ. 6
истинность этих соображений нарушается. Однако и в этих слу¬
чаях получаемая оценка представляет интерес, потому что она
указывает на невыгодность применения модели полета в безвоз¬
душном пространстве.
6.5. Пример расчета активной траектории
при отсутствии аэродинамических сил
Для того чтобы проиллюстрировать анализ, проведенный в
§ 6.2—6.4, рассмотрим трехступенчатый аппарат, совершающий
активный полет при следующих значениях угла наклона траек¬
тории:
Ступень
1
2
3
Угол нак¬
00
00 01
<х>
о
5°
лона траек¬
тории
О
О
05
12°,5
12°,5 4°
4° 0
Основные параметры, зависящие от изменения наклона тра¬
ектории, вычислены по формулам (6.35) и приведены как функ¬
ции g в таблицах 6.1, 6.2 и 6.3.
Таблица 6.1
Таблица функций для расчета отклонения траектории (90° ^ 0 ^ 12°,5)
1
dQ
dl
0
sin 0
cos 0
sin 0rt__i+sin Qn
COS 0n_l+COS 6n
'0
2
2
0
0
90°
1
0
0,1
1,557482
85° 12'
0,996482
0,083802
0,998241
0,041901
0,099824
0,2
2,414698
73°29'
0,958756
0,284229
0,977619
0,184016
0,197586
0,3
2,626293
58°46'
0,855041
0,518558
0,906899
0,401394
0,288276
0,4
2,355799
44° 19'
0,698648
0,715465
0,776845
0,617120
0,365961
0,5
1,848287
32°22'
0,535278
0,844676
0,616963
0,780071
0,427657
0,6
1,289539
23° 15'
0,394732
0,918796
0,465005
0,881736
0,474158
0,7
0,787570
17°20'
0,298005
0,954565
0,346369
0,936681
0,508795
0,8
0,382949
14°02'
0,242562
0,970136
0,270284
0,962351
0,535823
0,9
0,105746
12°42'
0,219970
0,975506
0,231266
0,972821
0,558950
1,0
0
12°30'
0,216439
0,976296
0,218205
0,975901
0,580771
6.5] ПРИМЕР РАСЧЕТА АКТИВНОЙ ТРАЕКТОРИИ 87
Таблица 6.2
Таблица функций для расчета отклонения траектории (12°,5 5* 0 ^ 4°)
1
dQ
d\
е
sin 0
cos 0
sin ©я—1 +sin Qn
cos Qn-i +cos Qn
70
2
2
0
0
12°30'
0,21643
0,97629
0,1
0,15161
12°00'
0,20838
0,97805
0,21241
0,97717
0,02124
0,2
0,23724
10°54'
0,18877
0,98202
0,19858
0,88223
0,04110
0,3
0,26669
9°24'
0,16358
0,98653
0,17618
0,98428
0,05872
0,4
0,25539
7°54'
0,13749
0,99050
0,15054
0,98852
0,07377
0,5
0,22194
6°30'
0.11388
0,99349
0,12569
0,99200
0,08634
0,6
0,16388
5°24'
0,09486
0,99549
0,10437
0,99449
0,09678
0,7
0,10623
4°42'
0,08142
0,99668
0,08814
0,99609
0,10559
0,8
0,05356
4° 12'
0,07354
0,99730
0,07748
0,99699
0,11334
0,9
0,01502
• 4°04'
0,07027
0,99752
0,07191
0,99741
0,12053
1.0
0
4°00'
0,06975
0,99756
0,07001
0,99754
0,12753
Таблица 6.3
Таблица функций для расчета отклонения траектории (4° ^0^0)
I
dQ
dl
0
sin 0
cos 0
sin 0д_ j +sin Qn
cos 0rt_i +cos Qn
70
2
2
0
0
4°00'
0,06975
0,99757
0,1
0,06992
3°47'
0,06599
0,99782
0,06787
0,99760
0,006787
0,2
0,10953
3°16'
0,05681
0,99839
0,06140
0,99811
0,012927
0,3
0,12439
2°35'
0,04495
0,99899
0,05088
0,99869
0,018015
0,4
0,12041
1°42'
0,03258
0,99947
0,03876
0,99923
0,021891
0,5
0,10338
1°13'
0,02131
0,99977
0,02694
0,99962
0,024585
0,6
0,07868
0°42'
0,01216
0,99992
0,01673
0,99985
0,026258
0,7
0,05131
0°19'
0,00568
0,99998
0,00892
0,99995
0,027150
0,8
0,02596
0°06'
0,00184
1,0
0,00376
0,99999
0,027526
0,9
0,00729
o°or
0,00025
1,0
0,00104
1,0
0,027630
1,0
0
0
0
1,0
0,00013
1,0
0,027643
Другие данные, необходимые для расчета траектории, пред¬
полагаются следующими:
Ступень
l
2
3
/sp (сек)
285
315
310
A
0,54
0,6
0,567
n0
1,37
1,5
1,11
ti (сек)
112
126
158,35
88
КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ НА АКТИВНОМ УЧАСТКЕ
[ГЛ. б
Время t\ работы ступени не является независимой перемен¬
ной, а определяется выражением (5.70).
Основные данные, характеризующие полученные траектории,
приведены в таблице 6.4, где представлены следующие значения:
Таблица 6.4
Пример изменения параметров траектории
£
vid
V
У
гси
гс„
F /F
avac
аа1г
(м/сек)
(м/сек)
(км)
(км)
а
п
с
пг
(град)
(град)
П е р в а
я С Т у
пень
0
0
0
0
0
1,37
0
1,0
0
0
0
0,1
164,8
44,81
0,2518
0,0106
1,448
0,0438
1,0
0,01407
0,81
0,67
0,2
320,7
102,7
1,063
0,1630
1,536
0,1464
1,0
0,0386
2,21
1,00
0,3
493,5
175,6
2,480
0,7908
1,635
0,2558
1,0
0,0614
3,52
0,93
0,4
680,3
276,8
4,450
2,352
1,747
0,3385
1,0
0,0710
4,07
0,70
0,5
881,2
409,7
6,828
5,352
1,877
0,3658
1,0
0,0842
4,83
0,50
0,6
1096
572,4
9,388
10,22
2,027
0,3304
1,0
0,1229
7,06
0,65
0,7
1328
767,2
12,01
17,26
2,203
0,2468
1,0
0,1865
10,75
1,03
0,8
1582
991,2
14,45
25,93
2,412
0,1427
1,0
0,2595
15,04
1,83
0,9
1861
1245
17,34
38,15
2,665
0.0448
1,0
0,3212
18,74
2,78
1,0
2173
1533
20,76
53,34
2,978
0
1,0
0,3278
19,14
3,39
Втора
я с т у
пень
0
2173
1533
20,76
53,34
1,5
0
0,9624
0,6264
38,6
7,1
0,1
2365
1700
25,09
73,15
1,596
0,1313
0,9538
0,4532
26,6
7,3
0,2
2569
1878
29,57
93,16
1,705
0,2113
0,9435
0,3332
19,4
4,0
0,3
2785
2073
34,53
117,6
1,829
0,2444
0,9312
0,2579
15,0
3,8
0,4
3020
2289
38,07
144,8
1,974
0,2395
0,9160
0,2201
12,7
3,7
0,5
3227
2530
41,88
174,8
2,143
0,2119
0,8973
0,2041
11,8
3,9
0,6
3552
2792
45,38
208,2
2,344
0,1578
0,8748
0,2137
12,35
4,9
0,7
3858
3088
48,65
245,0
2,586
0,1026
0,8469
0,2238
13,0
6,0
0,8
4195
3415
51,82
285,8
2,885
0,05127
0,8126
0,2296
13,3
6,7
0,9
4575
3786
55,08
331,1
3,261
0,0141
0,7695
0,2213
12,8
6,3
1,0
5005
4207
58,61
381,3
3,750
0
0,7152
0,1903
11,0
5,4
Т
'реть я
[ с т у
пень
0
5005
4207
58,61
381,3
1,11
0
0,7152
0,6428
40,0
0,1
5183
4374
63,22
449,1
1,177
0,1672
0,6919
0,4194
24,8
0,2
5372
4555
67,57
519,5
1,252
0,2564
0,6658
0,2745
15,9
0,3
5574
4746
71,32
593,0
1,338
0,2839
0,6370
0,1917
11,0
0,4
5786
4955
74,28
669,7
1,436
0,2673
0,6041
0,1532
8,8
0,5
6020
5184
76,44
749,9
1,549
0,2227
0,5665
0,1429
8,2
0,6
6272
5433
77,85
834,0
1,682
0,1636
0,5236
0,1477
8,5
0,7
6544
5704
78,64
922,1
1,840
0,1023
0,4750
0,1558
9,0
0,8
6844
6004
79,00
1015
2,031
0,0494
0,4183
0,1566
9,0
0,9
7176
6336
79,10
1112
2,267
0,0131
0,3521
0,1422
8,2
1,0
7550
6681
79,10
1215
2,564
0
0,2796
0,1090
6,3
6.5] ПРИМЕР РАСЧЕТА АКТИВНОЙ ТРАЕКТОРИИ 89
идеальной скорости V\a, «реальной» скорости v, высоты у, гори¬
зонтальной дальности Х\, продольной па и поперечной пп пере¬
грузок, фактора разгрузки пс, отношения Fn/F нормальной
составляющей силы к ее полной величине, угла атаки avac в без¬
воздушном пространстве и угла атаки aair при учете аэродина¬
мической подъемной силы. Последняя величина вычислена
приближенно лишь для того, чтобы оценить порядок угла атаки
по сравнению с его значением в условиях вакуума. Значения aair
Ступень 1
Ступень D
л
Ступень /
кСтупеньД
Рис. 6.5. Отношение подъемной силы к весу для боль¬
шой крылатой ракеты.
получены с помощью характерной зависимости скорости от вре¬
мени вдоль траектории крылатого аппарата (все ступени снаб¬
жены крыльями) и функции изменения подъемной силы
(рис. 6.5).
Отношение v/vm в конце активного участка полета каждой
ступени характеризует гравитационные потери. Поскольку тра¬
ектория первой ступени является наиболее крутой, гравитацион¬
ные потери здесь самые большие. Продольное и поперечное
ускорения невелики, причем последнее достигает максимума
примерно в середине активного участка. Фактор разгрузки
в течение периода работы первой ступени практически равен
единице.
Для последующих периодов значения пс вычислялись по
v2r
простому соотношению 1—тт-. Отношение нормальной состав¬
90
КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ НА АКТИВНОМ УЧАСТКЕ
[ГЛ. 6
ляющей к силе тяги определялось с помощью выражения (6.36).
Необходимо отметить, что значение этого отношения берется
положительным, если нормальная составляющая поддерживает
аппарат, приводя к положительным углам атаки.
Нормальная сила должна быть положительной на про¬
тяжении всех трех активных участков, исключая начальный
период при £<0,1, когда она временно является отрица¬
тельной.
С увеличением значения £ в течение первого активного участ¬
ка Fn монотонно возрастает вследствие разворота траектории от
90° до 12°,5. Однако во втором и третьем периодах она, как
видно, уменьшается к концу каждого периода. Причина этого
явления на втором активном участке заключается в том, что от¬
ношение тяги к весу (подразумевается кажущийся вес) доста¬
точно велико, так что необходимая вертикальная составляющая
силы тяги может быть создана на меньшем угле атаки, чем в
том случае, когда вес аппарата был больше (можно показать,
что па сравнительно велико).
Для периода работы третьей ступени уменьшение угла
атаки в основном объясняется влиянием центробежной силы
(если бы скорость стала больше круговой, то для продолжения
полета по круговой траектории потребовалось бы создавать
отрицательные углы атаки). Значения avac особенно велики
в начале двух последних активных участков вследствие того,
что в соответствии с программой обеспечивается полет по
практически прямолинейной траектории, несмотря на боль¬
шой вес соответствующей ступени. В действительности эти
большие значения, конечно, не реализуются, но допускается не¬
который гравитационный разворот траектории в течение пере¬
ходного участка между работой разных ступеней. Во всех других
случаях углы атаки (несмотря на то, что они вынуждают расхо¬
довать существенную часть тяги на управление траекторией)
оказываются приемлемыми с точки зрения сохранения достаточ¬
ной составляющей силы тяги, действующей по направлению
движения. Например, при avac=18° имеем Fn = F sin а = 0,309 /\
но F cos а составляет 0,951 F, то есть еще около 95% от всей
располагаемой тяги.
Величины угла атаки для крылатого аппарата составляют
10 -г- 20% от соответствующих значений, полученных без учета
влияния атмосферы. Это указывает на то, что в данном слу¬
чае можно использовать такие программы отклонения траек¬
тории, которые (в особенности для первой ступени) недоступны
для баллистического аппарата (по крайней мере при таких
малых начальных ускорениях, которые приняты здесь для пер¬
вой ступени).
6.6]
ПЛОСКОЕ И ПРОСТРАНСТВЕННОЕ АКТИВНОЕ ВЫВЕДЕНИЕ
91
6.6. Плоское и пространственное активное выведение.
Условия в момент выключения двигательной установки
Условия в момент выключения двигательной установки опре¬
деляются следующими параметрами:
величиной скорости Vu уг¬
лом наклона траектории 01
(отсчитывается в плоскости
траектории), азимутом (отсчи¬
тывается в горизонтальной пло¬
скости, нормальной к плоско¬
сти траектории)
дальностью Х\ от места пу- ] координаты точки
ска, высотой уи боковым сме- выключения двига-
щением Z\ J тельной установки.
Если необходимо учитывать все шесть переменных, то надо
проводить анализ пространственной задачи, что более сложно.
Анализ пространственной задачи также приходится проводить,
если нужно учесть боковые силы, возникающие из-за крена, ко¬
лебаний по рысканию или ветровых порывов, то есть если тре¬
буется высокая точность расчета траектории. Кроме того, если
дальность активного полета достаточно велика, так что широта
меняется существенно, нужно принимать во внимание влияние
кориолисовой силы1). Для таких вычислений, однако, упрощен¬
ные уравнения не годятся и приходится обратиться к уравне¬
ниям (5.23) — (5.26), которые должны быть дополнены уравне¬
нием, учитывающим все боковые силы.
Для анализа характеристик и для в разумной степени точ¬
ного определения траектории достаточно ограничиться реше¬
нием плоской задачи. В этом случае условия в момент выклю¬
чения двигательной установки определяются параметрами V\, 0i,
Х\ и у\. Дальность не входит в правые части уравнений механики
1) Пусть ф — широта, г — расстояние от аппарата до центра Земли, со —
угловая скорость вращения Земли. Тогда гф = г ^ — меридиональная состав¬
ляющая скорости аппарата, г cos ф — его расстояние от оси Земли (ф = 0 —
экватор), a cor cos ф — линейная скорость вращения точки поверхности на
широте ф. Кориолисово ускорение как инерциальный эффект определяется
выражением гфсо. Оно возникает при движении аппарата через области с
разными величинами линейной скорости вращения. При пуске с экватора в
восточном и западном направлениях ф = 0, поэтому кориолисово ускорение
отсутствует. При пуске с полюса в любом направлении эффект кориолисова
ускорения максимален. При анализе траекторий эффект Кориолиса обычно
исключают, предполагая, что аппарат движется независимо от вращающейся
Земли, а скорость аппарата в момент старта с Земли учитывают в уравне¬
ниях пространственного движения.
вектор скорости
vx в момент выклю¬
чения двигательной
установки;
92
КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ НА АКТИВНОМ УЧАСТКЕ
[ГЛ. 6
полета и мо^кет рассматриваться как побочный результат
расчета траектории. Однако на практике требования слежения
могут ограничивать дальность точки выключения двигательной
установки. Одним из преимуществ хорошо разработанной и на¬
дежной автономной системы инерциальной навигации является
то, что она устраняет это ограничение. Поскольку дальность
не является существенно важным параметром, она не будет
здесь далее обсуждаться.
Тремя наиболее важными параметрами, определяющими мо¬
мент выключения двигательной установки, являются щ, 01 и у\.
Из глав 1 и 4 мы знаем, что эти три величины взаимозависимы.
Для ТМЭ (§ 1.3) фиксация одной величины единственным об¬
разом определяет две другие. В случае произвольной баллисти¬
ческой траектории выбор значений двух переменных определяет
третью из них.
Для того чтобы достичь определенной дальности, важно по¬
лучить точные значения независимых параметров, близкие к
оптимальным для данных условий. Точность зависит единственно
от правильности соотношений между тремя переменными vu
0i, у\. Таким образом, если рассчитывается близкая к оптималь¬
ной активная траектория, стремятся не достичь заранее опре¬
деленной в пространстве точки выключения двигательной уста¬
новки, а получить верное соотношение между указанными тремя
переменными. Тогда эта точка фиксируется в качестве точки,
где соблюдаются «правильные» условия в момент выключения
двигательной установки, которые должны выполняться в реаль¬
ном полете. Поскольку на практике не удается достичь этой
цели, необходимо производить одновременное смещение всех
трех параметров либо с помощью бортового вычислительного
устройства, либо по команде с Земли, чтобы выключение двига¬
тельной установки произошло при другой правильной комбина¬
ции параметров траектории вблизи номинальной точки выключе¬
ния. Таким образом, если говорят о «выполнении условий в мо¬
мент выключения двигательной установки», то имеют в виду не
обязательно выключение в заданной точке, а скорее выключе¬
ние при правильной комбинации vu 0ц У\ вблизи этой точки.
Влияние ошибок при выключении двигательной установки, а
также влияние вращения Земли на пассивную траекторию об¬
суждались в главе 1.
6.7. Гравитационный разворот
Если на аппарат не действует нормальная составляющая тяги
(а = 0) и если подъемная сила пренебрежимо мала или равна
нулю (L~0), то единственной силой, вызывающей искривление
6.7]
ГРАВИТАЦИОННЫЙ РАЗВОРОТ
93
траектории, является сила тяжести
vB = — ncg cos 0
(6.51)
d (sin 0)
или, поскольку dB = cQ- q—,
где nc= 1 — —коэффициент центробежной разгрузки. Ин¬
тегрирование от 0 до 01 дает (0 уменьшается):
t
Arth sin 0 — Arth sin 0i = — J dt, (6.53)
где 0i — угол наклона траектории в момент выключения дли¬
тельной установки. Тогда величина угла наклона траектории
в любой момент времени при гравитационном развороте может
быть вычислена по формуле
Метод гравитационного разворота полезен только в случае
полета больших ракет, выводимых с относительно малыми уско¬
рениями в течение нескольких минут. Однако даже в этой ситуа¬
ции маневр гравитационного разворота не может использовать¬
ся, начиная с момента старта.
Баллистические ракеты на участке полета первых ступеней
должны подниматься вертикально. На сравнительно небольшой
высоте (порядка 3000 м), когда скорость еще мала, они развора¬
чиваются за 25-J-30 сек на некоторый угол атаки (ашах^З0),
в результате чего угол наклона траектории изменяется в задан¬
ном направлении от 0О = 90° до 0 ~ 65° (в плоскости стрельбы).
Преимущество гравитационного разворота на стадии полета
в плотных слоях атмосферы используется наиболее полно,
если угол атаки сохраняется малым. Поэтому остается малым
произведение qa динамического напора на угол атаки и,
следовательно, минимизируется аэродинамическая перегрузка,
t
(6.54)
Траектория описывается следующими уравнениями:
j/ = usin0, x=vo,osB,
(6.55)
F00 + Ае (Ре -Pa)-CDA~f- at)2 ~ S sin'9
(6.56)
m0 — rht
94
КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ НА АКТИВНОМ УЧАСТКЕ
[ГЛ. 6
создающая изгибающий момент. Если допустить, чтобы эта пе¬
регрузка стала большой (при средних значениях угла атаки и
высоких q), то появится необходимость использовать более
прочные и тяжелые конструкции ракеты.
Гравитационный разворот затруднительно применять на всей
траектории выведения вплоть до выключения двигательной уста¬
новки, поскольку этот метод не дает возможности активно кон¬
тролировать точность выполнения всей программы. Кроме того,
после выхода из плотных слоев атмосферы не нужно сохранять
угол атаки малым. Поэтому гравитационный разворот на по¬
следнем участке траектории выведения может быть заменен
программным разворотом с помощью тяги. Этот разворот мож¬
но начать в момент включения двигательной установки новой
ступени аппарата, хотя это и не является обязательным усло¬
вием. Начальный угол наклона траектории должен быть вы¬
бран так, чтобы в конце гравитационного разворота аппарат
не находился бы ни слишком высоко, ни слишком низко. Эта
точка и соответствующее ей значение угла наклона траектории
могут изменяться (в разумных пределах, конечно), но, будучи
выбранными, они должны соблюдаться в реальном полете со
всей возможной точностью. Последующая программа разворота
оптимизирует конечный участок активной траектории, на кото¬
ром аппарат выходит в точку бросания, откуда начинается сво¬
бодный полет (баллистическая кривая или орбита).
Ситуация меняется, если по какой-либо причине желают
точно определить конечную точку и угол наклона траектории
в ней. В этом случае полезно проводить обратные вычисления
от конечной точки до точки, в которой по практическим сообра¬
жениям удобно начинать гравитационный разворот траектории
выведения.
Таким образом, траекторию выведения с маневром гравита¬
ционного разворота можно рассчитать следующим путем: за¬
даемся углом 01 наклона траектории в момент выключения дви¬
гательной установки и подходящими значениями скорости V\ и
высоты у\ рассматриваемой ступени в этот момент времени.
Затем выбираем приближенное значение скорости v(t) для мо¬
мента t < 11 (Дt в секундах меньше, чем О, следовательно, Д/
отрицательно). Записав формулу (6.54) в форме
где
sin 0 (t) = th J^Arth sin 0! — A*)] >
f* v (0 + 0 (0 + 0j *]
0(0 + 0!
(6.57)
(6.58)
ГРАВИТАЦИОННЫЙ РАЗВОРОТ
95
найдем 0(0- Видно, что до расчета 0(/) необходимо предвари¬
тельно получить пс, хотя величина пс мало чувствительна к уме¬
ренным вариациям 0(/). Некоторая практика позволяет быстро
оценивать 0(/) с точностью, достаточной для определения пс.
Если рассматривается первая ступень, то пс ^ 1.
Следующий шаг состоит в вычислении —А у = у (/) — y(tx) =
= v (/) sin 0(/) А/, причем используется то же самое значение v,
что и в выражении (6.57). Зная у\, можно найти в = -^— и
Роо
внешнее давление ра. Подставляя pat a, v(t) и 0(/) в уравнение
Рис, 6.6. Гравитационный разворот.
(6.56), получаем новую величину v(t), которая используется
в качестве второго приближения. Процесс повторяется до тех
пор, пока не будет достигнута удовлетворительная степень сов¬
падения значения v(t), подставляемого в формулу (6.57), и зна¬
чения v(t), которое получается из уравнения (6.56). Затем вы¬
числяем —Ах = x(t)—Х\ = v (t)cos 0(/) А/. Таким образом мы
получим полную совокупность значений параметров траектории
9(0» У(0» x(t) в конце первого шага интегрирования на
интервале —At = t — t\. Затем весь этот процесс повторяется на
следующем шаге.
По такой методике получена траектория А, показанная на
рис. 6.6. Аналогично можно дополнительно рассчитать траекто¬
рии В, С и т. д. Посредством графического представления ре¬
зультатов и их сопоставления можно найти связь между началь¬
ными и конечными условиями, позволяющую легко вычислить
начальную траекторию с программированным отклонением,
96
КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ НА АКТИВНОМ УЧАСТКЕ
[ГЛ. б
которая должна быть связана с траекторией гравитационного
разворота.
Имея такой удобный график, можно немедленно установить
начальные условия. В пределах точности графика можно исполь¬
зовать тот факт, что малые вариации начальной точки траек¬
тории С не очень сильно меняют положение точки С\ в которой
выключается двигательная установка. Величины допустимых
отклонений немедленно находятся с помощью упомянутого выше
сводного графика. Тогда по уравнениям движения с гравита¬
ционным разворотом вычисляется точная траектория, ведущая
к точке С\ лежащей вблизи точки С; однако теперь расчет ве¬
дется «по движению», а не в обратном направлении, как раньше,
поскольку известно, что мы достигаем желаемой точки С'. Урав¬
нение (6.53) записывается в форме
Arth sin 0О — Arth sin 0[ = — j' ^~dt, (6.59)
и
где индексы «О» и «1» обозначают начальную и конечную точки
траектории с гравитационным разворотом. Пределы интегриро¬
вания по сравнению с записью в уравнении (6.53) поменялись
местами. Следовательно, если п — 1 и п суть два последователь¬
ных шага интегрирования, уравнение (6.57) принимает вид
sin 0,г = th J^Arth sin 0^-! — Д/j, (6.60)
описывая изменение 0 во времени.
6.8. Гравитационные потери
Помимо вычисления конкретных траекторий, использование
функций для расчета отклонения траектории позволяет также
построить обобщенные графики и с их помощью быстро оце¬
нить влияние данной вариации параметров активной траекто¬
рии. При последующем обсуждении предполагается, что приме¬
нимы соотношения (6.35).
В числе обобщенных графиков интересно, например, по¬
строить график интеграла отклонения /0. Это сделано на
рис. 6.7, где величина этого интеграла представлена как функ¬
ция начального и конечного значений угла наклона траектории.
Найдя из подобного графика величину /0 для данной про¬
граммы поворота от 0О до 0Ь можно немедленно с помощью
соотношений (6.11) вычислить гравитационные потери, если за¬
даны коэффициент заправки Л и начальная тяговооруженность п0.
6.8]
ГРАНИГЛЦИОННЫЕ ПОТЕРИ
97
Обобщенный график, дающий коэффициент уменьшения ско¬
рости в момент выключения двигательной установки [этот коэф¬
фициент определяется по выражению (6.11)] как функцию Л
для ряда программ отклоне¬
ния, представлен на рис. 6.8.
Чтобы сохранить справед¬
ливость графика, использо¬
валось значение tio = 1. Для
того чтобы найти при
п0ф 1, надо взять значение
r\v с графика и пересчитать
его по формуле
_ 1 / 1 ~ ЛV
1 \
(По),
По !
П0
(6.61)
Предположим, например,
что Л = 0,89, а траектория
выведения вертикальна: 0о =
= 01 = 90°. Тогда для п0 = 1
найдем, что = 0,6, в то
время как для п0 = 4 полу¬
чим г]-у = 0,9. Структура фор¬
мулы (6.61) показывает, что
при п0 = 2-7-4 дальнейшее
увеличение r\v становится
совсем малым. Помимо вы¬
соких значений начального
ускорения, благоприятными
являются, как видно, также
большие значения Л (хотя
реально достижимое увели¬
чение значений Л оказывает
меньший эффект, чем увели¬
чение /г0), поскольку высо¬
кое значение коэффициен¬
та заправки ведет к боль¬
шим ускорениям в момент
выключения двигательной
установки.
На практике программа разворота может в корне отличаться
от используемой здесь теоретической функции. Однако эта раз¬
ница не может превосходить определенных пределов, обуслов¬
ленных ограничениями для нагрузок на конструкцию (если рас¬
сматриваются слишком большие углы атаки при полете в атмо¬
сфере), аэродинамическим нагревом (если большие скорости
10 12 14 1В
в0 (градусы)
20 22
Рис. 6.7. Интеграл отклонения для раз¬
личных начальных и конечных углов
наклона траектории при заданных пара¬
метрах ступени.
7 К. Эрике, т. II
98 КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ НА АКТИВНОМ УЧАСТКЕ [ГЛ. 5
достигаются на слишком малой высоте) или энергетическими
соображениями (если траектория остается вертикальной в тече¬
ние излишне долгого периода времени). На рис. 6.9 приведено
сравнение между графиками угловой скорости отклонения для
программы ракеты V-2 и программы для d0/dg, полученной с
помощью соотношений (6.35). Видно, что, несмотря на большую
разницу между кривыми 0, графики для 0(/) довольно хорошо
совпадают на большей части траектории и что, следовательно,
можно использовать dQ/dl для оценки гравитационных потерь.
Рис. 6.8. Потери идеальной скорости вследствие активного дви¬
жения в гравитационном поле.
Важно учесть, что так называемые гравитационные потери
скорости частично компенсируются за счет выигрыша в потен¬
циальной энергии (высоте). Однако существуют и истинные по¬
тери в том смысле, что приходится тратить энергию на подъем
не только полезной нагрузки, но и топлива *). Это топливо может
быть столь же эффективно израсходовано на высоте, скажем,
60 км, как и на высоте 300 км. Мы ничего не выигрываем при
подъеме топлива выше, чем это необходимо. В действительности
энергия теряется при этом, поскольку она расходуется на работу,
которая не служит главной задаче выведения, а именно: сообще¬
нию полезной нагрузке максимального количества механической
энергии. Другими словами, механическую энергию выгоднее со¬
общить полезной нагрузке в форме кинетической энергии, по¬
скольку сообщение кинетической энергии может быть осущест-
]) Для численных примеров см. § 5.3.
6.8]
ГРАВИТАЦИОННЫЕ ПОТЕРИ
99
влено с меньшими потерями, чем сообщение потенциальной энер¬
гии, при котором мы вынуждены расходовать часть механиче¬
ской энергии на подъем топлива, а не полезной нагрузки. Меха¬
ническая (то есть кинетическая и потенциальная) энергия, кото¬
рой обладает топливо, потеряна в том смысле, что ее нельзя
более использовать. Это становится понятным, если учесть, что
с использованием топлива на больших, а не на малых высотах
не сопряжено никаких энергети¬
ческих преимуществ. Эти рассуж¬
дения, конечно, изменятся в тех
случаях, когда рассматривается
полет в атмосфере. Очевидно, что
необходимо подняться на опре¬
деленную высоту, зависящую от
скорости, которой мы хотим до¬
стигнуть, для того чтобы избе¬
жать неприятных эффектов, обу¬
словленных сопротивлением атмо¬
сферы (потери энергии, аэроди¬
намические нагрузки, нагрев).
Однако выше этого уровня нет
необходимости подниматься, по¬
скольку это связано с гравита¬
ционными потерями.
Влияние этих потерь на траек¬
тории космических аппаратов,
стартующих с различными на¬
чальными ускорениями с круго¬
вых орбит, будет обсуждаться в
§ 7.7. В настоящем параграфе мы
в основном рассматриваем гра¬
витационные потери при старте с
поверхности планеты. Графики, приведенные на рис. 6.8, позво¬
ляют быстро и довольно точно оценить величину коэффициента
скорости r\v в момент выключения двигательной установки. Из
предыдущего обсуждения следует, что коэффициент r\v не точно
характеризует величину гравитационных потерь, поскольку не
сделано никаких допущений относительно высоты, которая бу¬
дет набрана при выведении, связанном с данной программой
разворота. К сожалению, эта высота зависит не только от про¬
граммы разворота и коэффициента заправки (двух параметров,
которые являются аргументами при построении графиков, приве¬
денных на рис. 6.8), но также и от времени работы двигательной
установки, а значит, и от начального ускорения и абсолютной
скорости, как указывают на это уравнения (6.27) и (6.29). По
Время работы двигателя (секунды}
Рис. 6.9. Сравнение программы
для ракеты V-2 с двумя програм¬
мами, полученными при исполь¬
зовании функций (6.35).
7*
100 КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ НА АКТИВНОМ УЧАСТКЕ [ГЛ. б
этой причине невозможно вывести общее соотношение, связы¬
вающее v\v и у, которое позволило бы оценить реальные грави¬
тационные потери. Однако можно сослаться на рис. 4.15
(см. «Космический полет», т. I), на котором дана зависимость
энергетической скорости vE, являющейся для круговой орбиты
величиной, эквивалентной энергии, от высоты этой орбиты (по¬
тенциальная энергия на фиктивной круговой орбите нулевой вы¬
соты принимается за нуль отсчета).
Поднимающийся орбитальный аппарат, приближающийся к
перигею орбиты (см. § 2.2) высотой, скажем, 150 км
(500 000 фут), имеет энергетическую скорость 8016 м/сек
(26 300 фут/сек) по сравнению с круговой скоростью 7905 м/сек
(25 950 фут/сек) на орбите нулевой высоты. Однако при этом
подъеме нельзя достигнуть большей величины коэффициента
скорости, чем примерно 0,86 (несмотря на использование всех
двух или трех ступеней). Круговая скорость на высоте 150 км
составляет 7812м/сек (25 630 фут/сек). Разница между идеальной
и действительной скоростями в момент выключения двигательной
установки составляет, таким образом, 7812/0,86—7812» 1280 м/сек
(предполагается, что для каждой из трех ступеней /г0 = 1,5).
Из этих 1280 м/сек только 8016—7905=111 м/сек расходуется на
создание большей орбитальной энергии аппарата. Если бы пе¬
ригей орбиты аппарата мог располагаться на нулевой высоте,
а перелет на круговую орбиту высотой 150 км совершался по
коапсидальному касательному переходному эллипсу, выведение
на орбиту могло бы быть осуществлено с суммарной затратой
энергии, эквивалентной скорости 8016 м/сек. Таким образом,
гравитационные потери, которые неизбежны, если имеется в
виду выведение с Земли при помощи больших химических ра¬
кет с начальными ускорениями около 1,5 g, составляют в этом
случае около 1200 м/сек (4000 фут/сек). То же самое справед¬
ливо для выведения на суборбитальные траектории баллистиче¬
ских ракет.
Следовательно, мы можем констатировать:
1. При активном выведении имеют место потери кинетиче¬
ской энергии, которые не компенсируются увеличением потенци¬
альной энергии. Подъем на орбиту не является консервативным
процессом типа движения по орбите в гравитационном поле,
когда происходит обмен между кинетической и потенциальной
энергиями.
2. Существование этих потерь делает неизбежным переход
на круговую орбиту или в перигей околокруговой орбиты на
такой малой высоте, какую только позволяют атмосферные усло¬
вия. Эти минимальные высоты лежа г для земных условий в
диапазоне 120-е-150 км. Гравитационные потери при выведении
6.8]
ГРАВИТАЦИОННЫЕ ПОТЕРИ
101
Граница,
атмосферы
L
T777777777777777777777r^TS'''^'
а)
больших химических ракет на эти высоты составляют около
1200 м/сек.
3. Важным следствием из двух предыдущих выводов яв¬
ляется заключение, что подъем на орбиту с минимально возмож¬
ным перигеем и последующий оптимальный по энергии переход
на более высокую орбиту (действительную орбиту назначения)
по коапсидальному касательному эллипсу, то есть гомановский
переход, представляют собой наиболее экономичный метод выве¬
дения спутника на высокую орбиту, подчиненный ограничениям,
обсуждавшимся в § 3.5. Значимость
этого метода может быть легко оце¬
нена, если рассмотреть орбиту вы¬
сотой порядка 1220 км (4- 106 футов
или 660 морских миль). Из рис. 2.2
видно, что для такой орбиты энер¬
гия, выраженная через скорость,
равна vE = 8515 м/сек (27 950 фут/
/се/с), или на 610м/сек (2000фут/сек)
больше, чем круговая скорость на
орбите нулевой высоты. Для косми¬
ческого корабля с химическим дви¬
гателем, совершающего переход с
круговой орбиты высотой около
150 км (500 000 фут) на указанную
высокую орбиту, гравитационные
потери практически равны нулю, по¬
скольку ускорения достаточно ве¬
лики для того, чтобы в почти гори¬
зонтальном полете получить необходимое изменение скорости
без существенного изменения высоты. Таким образом, гравита¬
ционные потери при подъеме на орбиту высотой 1220 км остают¬
ся приблизительно равными 1200 м/сек. Однако, поскольку
орбитальная энергия все-таки на 610 м/сек больше, чем для
орбиты нулевой высоты, необходимо по меньшей мере сообщить
аппарату это приращение скорости.
Влияние атмосферы обычно является основной причиной,
заставляющей подчеркивать необходимость вертикального стар¬
та. Однако и при отсутствии атмосферы требуется такая же ме¬
тодика для того, чтобы воспрепятствовать столкновению аппа¬
рата с Землей. В случае активного полета в атмосфере высота
конца активного участка ограничивается некоторым минималь¬
ным значением. Этого не требуется при отсутствии атмосферы.
В этом случае аппарат сначала поднимается на некоторую вы¬
соту, а затем «пикирует» с нее, причем величина высоты подъема
должна обеспечивать возможность обратного превращения всей
Рис. 6.10. Подъем на орбиту
с поверхности небесного тела
при наличии и отсутствии ат¬
мосферы.
а) Наиболее экономичный подъем
с поверхности тела, имеющего атмо¬
сферу; б) наиболее экономичный
подъем с поверхности тела, не
имеющего атмосферы.
102
КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ НА АКТИВНОМ УЧАСТКЕ
[ГЛ. 6
накопленной потенциальной энергии в кинетическую энергию к
моменту выключения двигательной установки. Оптимальное
(в энергетическом смысле) положение точки, соответствующей
концу активной траектории, находится тогда как раз на нулевой
высоте над поверхностью планеты, поскольку в этом случае в
течение активного полета не аккумулируется потенциальной
энергии больше, чем это абсолютно необходимо. Тем самым гра¬
витационные потери, связанные исключительно с накоплением
потенциальной энергии в процессе активного выведения, мини¬
мизируются. Оба типа выведения (при наличии и отсутствии
атмосферы) показаны на рис. 6.10.
6.9. Оптимизация траекторий активного выведения
в вакууме и атмосфере
Основываясь на предыдущем обсуждении, можно теперь рас¬
считать оптимальную траекторию выведения. В случае полета
в атмосфере зададимся минимальной высотой, выше которой
атмосферные условия соответст¬
вуют остальным требованиям. Те¬
перь необходимо обеспечить на¬
бор достаточной вертикальной
скорости и высоты в течение пер¬
вого участка траектории выведе¬
ния, чтобы, несмотря на потери
высоты в течение второго участ¬
ка траектории, к моменту выклю¬
чения двигательной установки
было реализовано нужное значе¬
ние высоты.
Этот принцип иллюстрируется
рис. 6.11 (кривизной Земли пре¬
небрегаем). Предположим, что
двухступенчатая ракета должна
достичь в конце активной траек¬
тории скорости 1>2Ь вектор кото¬
рой составляет угол 02i с мест¬
ным горизонтом. Условия в мо¬
мент выключения двигательной
установки первой ступени будем
обозначать индексом «11». Во время работы первой ступени
создается вертикальная составляющая идеальной скорости
9+сс) v cos о
г;,
/ In
Г Fcos(0+a)(t) л t2/
J° r\
/ in
Г t
Горизонт
Первая ступень Вторая ступень
Рис. 6.11. Диаграмма скоростей в
прямоугольной системе координат.
^u = J lf(7j-sin(PW^<
о
(6.62)
6.91 ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИЙ АКТИВНОГО ВЫВЕДЕНИЯ 103
где ф = 0 + а. Из этой величины необходимо вычесть созданную
гравитационным притяжением скорость
tu
(Уе)и = “ J gdt = - \-^dt (6.63)
о о
для того, чтобы получить вертикальную составляющую истинной
скорости в момент выключения двигательной установки
(Уеff)„ = °11 Sin е„ = Ун - (Уе)п- (6-64)
Горизонтальная составляющая дается выражением
£и = о„ cos 0U = J -Fc^t){t) dt. (6.65)
о
Значения параметров траектории в момент времени tu, то
есть в конце работы первой ступени, суть v[U 0П, уп.
За время Д/2 = ^21 — U\ работы второй ступени гравитацион¬
ное притяжение создает вертикальную скорость
ti\
(йг)2.= \l^i)dt, (6.66)
*11
которую необходимо вычесть из вертикальной составляющей
идеальной скорости в момент t2\
121
y2l = оп sin 0„ + J Fs'™(t)(t) dt, (6.67)
#u
так что истинная вертикальная скорость в конце активной тра¬
ектории будет определяться формулой
(^eff)2l = У21 Sin 02. = У-21 ~ {Уа\г (6-68)
Горизонтальная составляющая равна
*21
x2l = v2l cos е21 = vu cos 0U + J dt. (6.69)
tK
Высота в момент t21 дается выражением
*21 *21 *21 *11
г/21 = У и + Л^и sin 0„ + { J Fsi**t)U) ~ J J dt> (6-7°)
tu t\\ t\\ t\ 1
где t2l — /ц = Д/2-
104 КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ НА АКТИВНОМ УЧАСТКЕ [ГЛ 6
Для полностью активного выведения аппарата на орбиту
спутника должны удовлетворяться в конце работы двигательной
установки следующие условия: высота У2\ должна быть макси¬
мальной, 021 = 0, то есть в момент выключения двигательной
установки аппарат должен лететь горизонтально, и 021= (где
vc — местная круговая скорость). Перкинс [3] предложил эле¬
гантный метод рассмотрения этой задачи, и мы в дальнейшем
будем следовать его анализу, используя нашу терминологию.
Основываясь на требованиях задачи полета, сформулируем
требования к параметрам траектории в момент выключения
двигательной установки:
t/21 = yn + A^„sine1I+ J j FZ(t)U) dt~ J/7Д0
£[1 t\\ t 11 t 11
y"sin0"+ J LZ(t)t] dt - Jtдо^ = °>
^11
»„ cos eu + J ^^-dt - , (6.73)
f.l
где г2i = r0o + У21 расстояние от центра Земли до аппарата в
момент выключения двигательной установки.
Для того чтобы вывести основную формулу для оптималь¬
ной программы разворота траектории 0(/), рассмотрим упро¬
щенный случай движения в прямоугольной системе координат,
использовавшейся выше1). Условия в момент времени tu изве¬
стны, а (г/g)21 оценивается по формуле (6.66), причем для г
используется некоторое приближенное среднее значение. Таким
образом, необходимо определить только приращение скорости
за счет тяги второй ступени. Если предположить, что малое при¬
ращение скорости Av создается тягой за интервал времени At
при приблизительно постоянном значении угла 0, то для прира¬
щения горизонтальной составляющей скорости получим сле¬
дующее выражение:
Avx = Av cos ф. (6.74)
Подобным же образом, если Дt2 есть время работы второй
ступени, а £ — соответствующее безразмерное время, можно
определить зависимость увеличения высоты Ау2\ точки, соответ-
= шах,
(6.71)
(6.72)
Рассматривается плоское поле тяготения. (Прим. персе.)
6.9]
ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИЙ АКТИВНОГО ВЫВЕДЕНИЯ
105
ствующей концу активного участка, от того же самого прира¬
щения скорости:
Ду21 = А^2 (1 “ £) Д'v s'n Ф- (6.75)
Малые изменения Avx и Дг/2ц возникающие из-за вариаций 0,
составляют:
dAvx = — Av sin ф dip, (6.76)
dky2[ = Д/ (1 — I) Дц cos ф dip. (6.77)
Предположим теперь, что функция 0(/) между точками а и
b (рис. 6.12) описывает оптимальную программу разворота. Бу¬
дем также учитывать, что величина
горизонтальной составляющей ско¬
рости в момент выключения двига¬
тельной установки должна удовле¬
творять определенному значению
(должна быть равна круговой ско¬
рости). Для этого необходимо по¬
требовать, чтобы малые вариации t —*-
0 + ос В точках (X и Ь не вызывали Рис. 6.12. Оптимальная про¬
бы изменений vx в момент выклю- грамма по 0.
чения двигательной установки. Это
требование удовлетворяется, если сумма вариации в точке а
dAvx = —Ди sin(0 + a)ad(0 + a)a и в точке b d&vx = —ДцБт(0 +
+ a)bd(Q + а)ъ равна нулю, что дает уравнение
sin фa d<pa = - sin ф„ d(pb. (6.78)
Поскольку высота г/21, по определению, максимальна, вариа¬
ции йфа и dipb должны быть равными и противоположно направ¬
ленными, так как они не должны изменять величины у2ь Это
требование удовлетворяется уравнением (6.78), которое пока¬
зывает, что высота, набираемая за счет вариации ф в одной
точке, будет теряться за счет вариации в другой точке и наобо¬
рот. Очевидно, что уравнение (6.78) должно удовлетворять
этому условию в дополнение к уравнению, относящемуся к ве¬
личине vx в момент выключения двигательной установки. Дей¬
ствительно, если высота г/21 могла бы быть увеличена вариа¬
цией ф в точках а и b без уменьшения vx, то программа, иллю¬
стрируемая кривой на рис. 6.12, не являлась бы оптимальной, то
есть не могла бы служить отправной точкой анализа. С другой
стороны, если высота у2\ не меняется, вариации с?Дг/гь опреде¬
ляемые выражением (6.77), в точках а и Ь должны быть рав¬
ными по величине и противоположными по знаку, и можно на¬
писать:
(1 - |а) cos фв diРа = - (1 - |*) cos <р„ dtp*. (6.79)
106
КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ НА АКТИВНОМ УЧАСТКЕ
[ГЛ. 6
Предположим теперь, что точка а есть начальная точка, а
точка Ь — некоторая промежуточная точка траектории в период
работы второй ступени двигателя. Тогда £а = 0, а £ь = £ и фа = фо»
фь = ф. Поделив уравнение (6.78) на уравнение (6.79), получим
искомую оптимальную программу по тангажу в плоском поле
тяготения, максимизирующую высоту у2\ при 021 = 0 и v2\ = vc:
tg<P = tg<p0(l -1). (6.80)
Уравнение (6.78) удовлетворяет условию, задающему значе¬
ние горизонтальной составляющей скорости в момент време¬
ни t2\. Уравнение (6.79) обеспечивает выполнение условия
максимизации высоты у2\, совместимого с уравнением (6.78).
Начальное значение угла тангажа вектора тяги в начале
работы второй сту¬
пени есть ф0 при | = 0.
Конечное значение это¬
го угла ф = 0 при 1=\.
Это последнее условие
требует выполнения
обязательного равенст¬
ва а = 0 при выходе в
конце активного участ¬
ка на горизонтальную
траекторию (01 = 0).
Если 0i =£0, то для удо¬
влетворения уравнения
(6.80) требуется вы¬
полнение равенства
а = —01.
Наиболее важный
результат проведенно¬
го анализа состоит в
том, что наилучшая
программа тангажа
есть просто линейная
функция времени.
На практике даль¬
ность активного полета
спутников или межконтинентальных снарядов на участке вы¬
ведения слишком велика, чтобы пренебрегать кривизной Земли.
Истинная ситуация схематически изображена на рис. 6.13, где
показана траектория, для которой угол наклона в конце актив¬
ного участка не равен нулю, как предполагалось ранее, и имеет
малое, но конечное значение, как это присуще траекториям
снарядов дальнего радиуса действия. Такая траектория выбрана
tii
tjj
J'FcosW+aXt)
*27
К
dt *27
Jvdt
В атмосфере
77^7
Горизонт
в момент
выключения
1,11 двигателя
переой ступени
В атмосфере
Уп \JL
^7777^7777777,
Горизонт
ъ в момент выключения
двигателя второй ступени
В вакууме
Рис. 6.13. Диаграммы скоростей и высот для
случая активного выведения (негоризонталь¬
ный старт).
6.9]
ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИЙ АКТИВНОГО ВЫВЕДЕНИЯ
107
для того, чтобы стало более заметным изменением наклона го¬
ризонта между моментами времени t\\ и t2ь Как уже указыва¬
лось, угловая дальность полета снаряда соответствует углу Ф21,
вершина которого находится в центре Земли. Следовательно,
это тот угол, на который повертывается при движении местная
горизонталь или вертикаль. Вектор гравитационного прираще¬
ния скорости при работе второй ступени более не параллелен
соответствующему вектору приращения при работе первой сту¬
пени, а наклонен под углом, меньшим угла Ф2, так как в мо¬
мент времени tu вектор гравитационного ускорения параллелен
вектору (yg)n, в то время как в момент времени t2i он наклонен
на угол Ф2. Наиболее важным элементом (рис. 6.13) является
получаемый с помощью программы тангажа для второй ступени
вектор, связывающий конец вектора гравитационного прираще¬
ния скорости с концом вектора скорости в момент выключения
двигательной установки. Его модуль v2\ и ориентация 02i зара¬
нее заданы. Величина энергетических требований пропорцио¬
нальна длине этого вектора. Поэтому желательно сделать ее
минимальной. Самым коротким расстоянием является прямая
линия А. Требуемое отношение масс составляет:
121
J v dt
щл) = 1Що_\(А) = —!— = еХр Ь—— = ехр А^2 -, (6.81 а)
2 Vmi /2 1-Л2 F £o(/sP ftx/sp
где Ди2— минимальное приращение скорости при работе второй
ступени, необходимое для достижения заданных условий в мо¬
мент выключения двигательной установки.
Однако если выбрать программу Л, то высота у2\ окажется
очень малой (см. нижнюю схему на рис. 6.13). Это приемлемо
для выведения аппарата в вакууме, но не для выведения в ат¬
мосфере. Для того чтобы установить некоторое допустимое ми¬
нимальное значение высоты у2ь нужно выбрать программу
типа В. Соответствующие энергетические требования окажутся
большими:
t21
|' v dt
««»»
Причина, по которой в формуле фигурирует приращение иде¬
альной скорости вместо Ди2, заключается в том, что увели¬
чивается только требуемое значение полной энергии, а не эф¬
фективное приращение скорости при работе второй ступени,
так как вследствие достижения к концу активного участка
108 КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ НА АКТИВНОМ УЧАСТКЕ [ГЛ. в
большей высоты, чем в случае движения при отсутствии атмо¬
сферы, гравитационные потери возрастают. Отношение масс,
определяющее конструктивное решение аппарата, зависит от
суммарных энергетических требований, характеризуемых при¬
ращением идеальной скорости а не эффективным прира¬
щением скорости Ди2.
Используем эти соображения при расчете оптимальной тра¬
ектории полностью активного выведения на орбиту спутника.
Условия задачи иллюстрируются рис. 6.14 (021=О). Для угла
(Вертикаль
в момент
t = tjj Вертикаль
мального полностью активного выведения на
орбиту спутника.
наклона вектора гравитационного приращения скорости Пер¬
кинсом1) было предложено эмпирическое значение 0,4 Ф2, полу¬
ченное на основании многочисленных расчетов траекторий.
В момент времени t\\ вектор скорости аппарата равен
Vn (viu Он). Мы предполагаем, что программное отклонение
траектории начинается в этой точке и происходит в течение
достаточно долгого интервала времени, что требует учета кри¬
визны Земли. Таким образом, когда в момент времени t2\ конца
программной фазы движения достигается скорость y2i = ^огь,
линия местного горизонта оказывается наклоненной под углом
Ф21 по отношению к линии горизонта в момент времени t\\.
В течение программного участка активного полета за интервал
]) См цитировавшуюся выше работу.
6.9]
ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИЙ АКТИВНОГО ВЫВЕДЕНИЯ
109
времени /21 — ^11 сила притяжения сообщает аппарату скорость
(г/g)21 = Avg = g(t2\ — /ц). Среднее значение угла между век¬
тором (уё) 21 и вертикально в момент времени tu есть хФ2\, где
0 < х < 1. Многочисленные расчеты траекторий носителей типа
ракеты «Атлас» показали, что х ^ 0,4. Для достижения v2\
концы векторов (уё)2\ и v2\ надо соединить. В случае соеди¬
нения прямой линией этот вектор равен вектору приращения
Av2t определяемому из выражения (6.81а), что соответствует
минимальным затратам топлива. Программа тангажа А пред¬
полагает, что направление вектора тяги постоянно и в момент
окончания работы двигательной установки наклонено к гори¬
зонту под углом т.
Однако поскольку в случае программы А высота точки
выключения двигательной установки не максимальна, направ¬
ление вектора тяги F должно варьироваться в зависимости от
времени, оставаясь касательным к кривой, обозначенной бук¬
вой В, что приводит к большим значениям требуемой идеаль¬
ной скорости (A^idh, как это указывает уравнение (6.8lb).
В противоположность ранее рассмотренному случаю, когда
пренебрегалось кривизной земной поверхности, линия, от ко¬
торой отсчитывается программный угол тангажа, более не
совпадает с горизонтом. В программе А отсчетным направле¬
нием служит вектор А. Если в программе тангажа В в качестве
линии отсчета использовать среднее значение направления тяги
Д, то будет возникать остаточная составляющая скорости,
нормальная к направлению Д, что приведет к нарушению ус¬
ловия горизонтальности полета в точке выключения двигатель¬
ной установки. Этого можно избежать, увеличив угол наклона
оси отсчета по отношению к местному горизонту в момент вре¬
мени t2\ от т до г]. Однако высота точки, соответствующей концу
активного участка траектории, максимизируется по отношению
к местному горизонту в момент времени t2ь а не относительно
линии отсчета. Скорость v2U требуемая для выведения аппарата
на данную орбиту (круговую или эллиптическую), изменяется
с высотой г/21 конца выведения. На основании этих соображений
можно прийти к выводу, что оптимальная программа тангажа В
является программой, которая дает минимальную длину кривой
В, соединяющей концы векторов (yg)2i и v2l, при максимальной
высоте г/21- Эта оптимальная программа единственна. Действи¬
тельно, если высота г/21 была бы больше максимальной, скорость
v21 была бы слишком малой, если же высота г/21 была бы
меньше максимальной, то скорость v2{ была бы слишком боль¬
шой и выключение двигательной установки могло бы про¬
изойти еще до полного выгорания топлива. Таким образом, если
110 КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ НА АКТИВНОМ УЧАСТКЕ [ГЛ. 6
аппарат располагает большими энергетическими возможно¬
стями, чем это необходимо для полета согласно программе Л,
высота конца активного участка может быть увеличена. Это при¬
ращение становится максимальным при использовании опти¬
мальной программы тангажа. Уравнение для оптимальной про¬
граммы тангажа с учетом кривизны Земли имеет вид [3]:
**= arctg l+TtgHgto ~(р+ф2|)> (6-82а)
где г|?2 — угол тангажа в течение программного участка полета
за время t2\ — отсчитываемый от местного горизонта
\ Ось отсчета
\ программы
тангажа В
Рис. 6.15. Схематическая диаграмма векторов, соот¬
ветствующая условиям, показанным на рис. 6.14.
в точке пуска, совпадающего с горизонтом в момент времени
t\\, поскольку можно пренебречь кривизной Земли на участке
полета от момента старта до момента времени tu\ £=
*21 “ *11
безразмерное текущее время полета на программном активном
участке, отнесенное к полной длительности полета на этом уча¬
стке; фо = (0 ± а)о — угол тангажа, то есть угол между век¬
тором тяги и осью отсчета в начале программного участка полета
(£ = 0). При £ = 0 угол гр дается выражением грго = Ф20 —
— ((3 + Ф2) (рис. 6.15), за исключением использования про¬
граммы Л, где ф2о = 0 и Р = т; при g = 1 имеем \|)2i = — (|3 +
,+ Ф21) или, в случае программы Л, *ф2| = — (т + Ф21), то есть
получаем то же значение, что и при £ = 0. Траектория, со¬
G9]
ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИЙ АКТИВНОГО ВЫВЕДЕНИЯ
111
гласно заданному условию, параллельна местному горизонту
в момент времени t2\ (то есть 02i = 0), но вектор текущей ско¬
рости может быть параллелен конечному вектору скорости
(то есть а = 0) только тогда, когда р (или т) равно нулю. Это
не выполняется при условиях, изображенных на рис. 6.14, кото¬
рые соответствуют изменению направления вектора тяги в конце
активного участка траектории (а < 0).
Рис. 6.16. Диаграмма скоро¬
стей для случая оптимального
полностью активного выведения
на орбиту спутника с использо¬
ванием программы тангажа Л
при нулевом угле между век¬
тором тяги и местным горизон¬
том в момент времени t2\.
Рис. 6.17. Диаграмма скоро¬
стей для случая оптимального
полностью активного выведе¬
ния на орбиту спутника с ис¬
пользованием программы тан¬
гажа В при нулевом угле
между вектором тяги и мест¬
ным горизонтом в момент вре¬
мени /21-
На рис. 6.16 показан случай, когда т = 0; следовательно,
а = 0 для программы А. Случай т = 0 возможен только тогда,
когда значение скорости (yg)21 почти равно средней величине
вертикальной составляющей уп в момент времени £ц. Это озна¬
чает, что вертикальная составляющая скорости, существующая
в момент времени /ц, в основном исчезает за время работы вто¬
рой ступени из-за действия гравитационного ускорения.
Рис. 6.17 иллюстрирует ситуацию для случая оптимальной про¬
граммы Ву когда направление тяги в конечный момент времени
параллельно местному горизонту (а = 0). В этом случае Р > т,
что может иметь место только тогда, когда (у^)21 > г/11.
Условия в начале программного участка известны: у20 = Уц и
У20 = У\\. Величины располагаемого отношения масс р2, удель¬
ного импульса, тяги и начальной тяговооруженности также мо¬
гут предполагаться известными. Тогда с помощью соотношений
112 КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ НА АКТИВНОМ УЧАСТКЕ [ГЛ. б
(5.70) можно вычислить время активного полета t21 — t\\. Ис¬
пользуя значение g для высоты, средней между высотой у и и
высотой орбиты г/21 = УотЪ> на которую выводится аппарат,
можно определить гравитационное приращение скорости
g(t21 — tn). Среднее направление действия силы тяжести на от¬
резке времени между /ц и t2\ обозначим через хФ21. Исполь¬
зуя значение х = 0,4, получим эффективное выражение для
среднего гравитационного приращения скорости (г/^Ь i =
= g(h\— I) cos 0,4Ф2ь Построив диаграмму скоростей по¬
добно тому, как это делалось на рис. 6.14, 6.16 или 6.17, можно
графически определить угол т и среднее значение активного при¬
ращения скорости Av2 (длину вектора А). Это — только первое
приближение, поскольку еще не известны точно конечная высота
г/21 и, значит, v21. Длина вектора Л численно равна g00/sp In [i(2A\
отсюда при задании /8р можно найти и Если ц2л)>р2, то
запланированная высота выведения аппарата недостижима, по¬
скольку не хватает топлива. Если р<Л)^р,2, то возможна только
программа тангажа А и соответствующая высота г/(Л) есть мак¬
симально достижимая при располагаемом запасе топлива. Если
<р2, становится возможной программа тангажа В. Теперь
выбираются значения ф0 и р. Далее можно рассчитать траекто¬
рию с помощью следующих уравнений (в целях простоты пре¬
небрегаем влиянием атмосферы):
Начальное значение угла атаки дается формулой (см. рис. 6.15)
Необходимо помнить, что если кривизна земной поверхности
учитывается, то ср более не равно 0 ± а, но ср2о = Ф20 + Ф21 ± Р =
= 020 ± «го + Ф21 ± Р, где « + р» соответствует условиям, изобра¬
женным на рис. 6.14 и 6.16, а «—р» — условиям, показанным па
рис. 6.17. Далее, cp2i = Ф21 + Ф21 ± Р или, поскольку в общем
(6.82Ь)
и
(6.82d)
(6.82с)
(6.82е)
(6.82f)
vx = х {t) = v (t) cos 0 (t).
a20 — 'Фго 020-
(6.82g)
6.9] ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИЙ АКТИВНОГО ВЫВЕДЕНИЯ 113
случае г|)21 = =F р— Ф21, находим, что <р2\ = 0. Это означает, что
конечное направление вектора тяги параллельно линии начала
отсчета программы тангажа В. Так как местный горизонт на¬
клонен под углом Ф21 по отношению к горизонту в момент вре¬
мени *20 = *и, то угол наклона вектора тяги по отношению к ме¬
стному горизонту в конечный момент времени есть ±р, и по¬
скольку, по определению, 02i = 0 (горизонтальный вектор ско¬
рости), получаем:
«21 = ± Р, (6.82И)
где положительный знак берется при условиях, показанных на
рис. 6.17, а отрицательный — при условиях, соответствующих
рис. 6.14 и 6.16. Для моментов времени между t2о и *2i имеем
для а, используя для промежуточных значений индекс «2»:
«2 = 4>2 - 02 + Ф2» (6.82i)
где \р2 находится из выражения (6.82а), а
t
02= 02O- (6.82j)
*11
t
^ 180 X 180 f v cos 0 л /с ог»1 \
ф2 =~ТЩ = — J -г- dL (6-82k)
*11
Угол Ф2 есть угол между местным горизонтом и горизонтом
в момент времени t2o = *11, в то время как Ф20 = 0 и
—— =J8° ['1й = ф21.
П J Г Ч J Г
*11 *11
В соответствии с уравнениями (6.82а) и (6.82f)
дальность даются соотношениями:
dy — v (t) sin 0 (t) dt,
t
y{t) = yn + V\\t+ J у sin ddt,
<t\\
t
x = r (t) Ф2 = J v cos 0 dt.
*11
Предполагается, что совместное интегрирование уравнений
движения заканчивается в тот момент времени, когда израсхо-
8 К. Эрике, т. II
(6.82т)
высота и
(6.82п)
(6.82р)
(6.82q)
114 КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ НА АКТИВНОМ УЧАСТКЕ [ГЛ. б
дован имевшийся запас топлива (поскольку интервал времени
t2\— fii, а следовательно, и | определялись на основе задания
р2). Однако высота у2\ в момент выключения двигательной уста¬
новки может оказаться слишком большой (необходимо задаться
меньшим фго) или наоборот. Кроме того, может оказаться, что
конечная скорость v2\ = v0Tb не горизонтальна (это не требует
коррекции (3). В этом случае нужно несколько раз повторить ин¬
тегрирование, варьируя систематически ф2о и р до тех пор, пока
не будет получено достаточно хорошее приближение к номи¬
нальным конечным условиям или не будет получено достаточно
данных для того, чтобы построить графики конечных значений
траекторных параметров как функций ф20 и р и найти нужные
величины фго и р интерполированием. Этот метод становится
весьма трудоемким, если для интегрирования уравнений не ис¬
пользуется электронная вычислительная машина.
С математической точки зрения другой возможный метод за¬
ключается в интегрировании среднего приращения скорости
за счет работы двигательной установки с применением (6.82а)
к различным вариациям ф2о и (3 и представлением ф2о и р на гра¬
фиках как функций среднего приращения скорости Av2 и отноше¬
ния масс р2. Тогда при заданном Да2, графически найденном для
конкретного случая с помощью векторной диаграммы показан¬
ного на рис. 6.14, 6.15 и 6.17 типа, значения Ф2о и р, принадлежа¬
щие данной совокупности т и Av2 = g00/sp lnp^, могут быть при
заданном р2 непосредственно взяты с графика и без дальней¬
ших итераций использованы для расчета оптимальной траекто¬
рии выведения. Применяя этот метод, мы должны выполнить
следующие операции:
1. Предполагаем, что заданы р2, /sp2 и начальная тягово-
оруженность п0. Далее считаем, что известны начальные зна¬
чения высоты и угла 02О наклона траектории по отношению
к местному горизонту. Поскольку 02i = 0, мы можем грубо
определить средний угол наклона траектории 02 = -у02о- Затем
грубо оцениваем высоту конца активного участка и определяем
среднюю высоту У2 = \ (у2\ — у2о), что дает среднее расстояние г
до центра Земли. Эти средние значения можно определить
таким упрощенным способом, поскольку предполагается, что
для аппаратов, проходящих при выведении через атмосферу,
программный участок полета начинается не раньше, чем аппарат
пройдет наиболее плотные слои ее, так что угол 02О относи¬
тельно мал (например, меньше 20°). Используя эти средние зна¬
чения, можно с достаточной степенью точности найти дальность
активной траектории Ах2 с помощью уравнения (6.84), приведен¬
6.9] ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИЙ АКТИВНОГО ВЫВЕДЕНИЯ 115
ного в § 6.10, которое мы запишем в следующей форме:
£007sp2 л Г ^2 “ 1п ^2 - 1 1 Пс g I Ц2 - 1 \2 .
Дх2 = — COS 09 о — 1 Sin 02 +
«0 Ч Ц2 2 «о goo V М-2 / 2
+ (?го COSe20), ъ-п 2
^00 sp2 М-2 J *
Здесь v2o = V\u 02о = 0ц, rtc = 1—[vtl(K/r)] cos В2 a v2 — средняя
скорость в течение активного полета, оцененная грубо как
У 20 + 021
2 > гДе y2i — скорость в момент выключения двигатель-
ной установки (номинальная орбитальная скорость) на ожидае¬
мой в этот момент высоте у2\. Зная Дх2, можно найти угол
^ 180° Д* QO Ч
Ф2, = -^——. (6.82s)
2. Выбираем значения р и ф0. Теперь по уравнению (6.82а)
можно вычислить ф2 как функцию g.
3. На этом этапе известны только ф2о, фгШ и |3, но не угол т.
Необходимо определить угол т, чтобы привязать эту общую
схему к конкретному случаю, для которого т можно найти из
векторной диаграммы, зная Цц, 0ц и t2\ — t\\. Теперь, чтобы оп¬
ределить т (рис. 6.18), нужно помнить, что вне зависимости от
программы тангажа вектор результирующего активного прира-
t
щения скорости J v dt должен совпадать с вектором А. Вектор
результирующего активного приращения скорости может быть
разложен на две составляющие, одна из которых J vcoscpdt
t\\
параллельна оси отсчета программы тангажа, а другая
J г) siriq>dt нормальна к нему (рис. 6.18). Соответствующие
и
ускорения равны:
г) cos ф (0 = cos {arctg [tg ф20 (1 - £)]},
г) sin ф (if) = 7^777 sin {arctg [tg ф20 (1 -£)]},
(6.82t)
поскольку, согласно (6.80), 1§ф(/) = tg ф0(1 — £). Угол между
направлением отсчета и направлением средней скорости
а*
116 КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ НА АКТИВНОМ УЧАСТКЕ [ГЛ. 6
(вектором А) получается тогда из формулы
t
J v sin ф (/)
Р — т = arctg —t . (6.82u)
J i) cos ф (t)
tn
Таким образом, становится известным угол т для данного со¬
четания р и ф0. С помощью интегрирования находим параллель¬
ную и нормальную составляющие вектора активного прираще¬
ния скорости для всего времени активного периода полета
Рис. 6Л8. К определению угла т.
t2\ — tu = -s-?2 2 , выражая их через безразмерный параметр вре-
п0
мени £=(/ — tu)/(t2\ — /п). Векторная сумма параллельной и
нормальной составляющих вектора активного приращения ско¬
рости (то есть приращения скорости, обусловленного только
действием тяги) даст тогда среднее значение активного прира¬
щения скорости (вектор А; см. рис. 6.19):
Ди2 = V (Ду2sin ф)2 + (Ау2 cos ф)2 = goc/sp2 (6.82v)
6.9] ОПТИМИЗАЦИЯ ТРАЕКТОРИЙ АКТИВНОГО ВЫВЕДЕНИЯ 117
На предыдущих трех этапах расчета устанавливалась связь
между р2, ф0, |3 и т при заданных р2, /SP2 и п0. Знание vn
и 0ц не является необходимым для этого обобщения анализа,
но они должны быть известны для определения Ф2Ь Варьируя
большим числом значений фо и (3 (для заданной совокупности
(т2, /sp2 и по), можно построить диаграмму, связывающую
£oc/sp2 * Av2=i/(Av2 sin<p)2+(Av2 cosy)2
Единственным источником
неточностей в значениях па- Д l~Av созр=
раметров, составляющих по-
добный график, являются vm?(t)dt
ошибки в определении Ф21. t„ г''
В качестве контрольной
/ г Л Рис. 6.19. Связь между параллельной и
проверки (или в случае, ко- нормальной к оси отсчета программы
ГДа есть основания сомне- тангажа составляющими вектора актив-
ваться В ТОЧНОСТИ получен- ного приращения скорости и средней
ных значений Ф21) нужно величиной Да2.
рассчитать действительную
траекторию, интегрируя следующие уравнения, основанные на
соотношениях (6.82b), (6.82g)— (6.82i):
V (t) = cos (ф2 + Ф2 - 02) - g sin (ф2 + Ф2 - а2), (6.82w)
6 W = UJI) !^Ц) Sin + ф2 ” ^ “ g C0S + ф2 " аг) +
_l lifL cos _|_ ф2 _ (6.82х)
1 r(t)
f(t) = y (I) = v (0 sin (ф2 + Ф2 - а2), (6.82у)
x(t) = v (0 cos (ф2 + Ф2— ct2), (6.82z)
где ф2 + Ф2 — 6 = «2, фг определяется из уравнения (6.82а),
02 — из равенства 02= j Qdt, а мгновенное значение угла на-
л,
клона местного горизонта к горизонту в момент времени сле-
t
180° Г х
дует из соотношения Ф2 = —— —dt. Конечное значение угла
Ф21 дается уравнением (6.82т). Если разница между этой ве¬
личиной и первоначально найденным значением недопусти¬
мо велика, то вычисление т и Av2 необходимо повторить,
118
КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ НА АКТИВНОМ УЧАСТКЕ
[ГЛ. 5
используя в уравнении (6.82а) новое значение Ф21. Для часто
встречающегося случая, однако, когда траектория програм¬
много полета является пологой, первоначальная оценка будет
справедливой в пределах, определяемых точностью графика.
6.10. Уравнения движения
при наклонном прямолинейном выведении
Активное выведение вдоль прямой линии, наклоненной к го¬
ризонту под углом 0, вряд ли будет встречаться на практике.
Однако в некоторых случаях имеет место достаточно близкое
приближение к этим условиям, так что будет удобно исполь¬
зовать простые уравнения, описывающие этот тип выведения.
Например, полет второй или третьей ступени космических уско¬
рителей (или, давая более общее определение, полет ступени,
двигательная установка которой работает при движении вдоль
пологих траекторий при пренебрежимо малом аэродинамическом
сопротивлении или полном отсутствии его) представляет собой
пример указанных ситуаций. Пусть п — номер рассматриваемой
ступени, а п— 1 —номер предшествующей ступени. Тогда урав¬
нения движения дают следующие выражения:
для приращения скорости
~~~ ~ In [in пс ~~~ sin б„ > (6.83)
для приращения горизонтальной дальности
Soo'tp п п Г 1
Ахп = —cos е„
щ
1 «с я (Vn-'\2 . а ,
2 «о goo \ / Sln0« +
1 (fl COS0,)n-i fin- П /с ОА\
ioo^Tn isrJ’ (6,84)
для приращения высоты
Ауп = Axntg8n, (6.85)
где ve — скорость истечения, ц — отношение масс, пс — коэффи¬
циент разгрузки, А — коэффициент заправки, п0 — начальное
ускорение (в единицах g), -п" 1 = A„, a vx и 01 — значения в
Вя
момент выключения двигательной установки предыдущей сту¬
пени.
Уравнения эти полезны, например, если требуется при за¬
данных значениях у\,п-и ^i.n-ь 0i, п—1 получить значения у\у П,
V\, п, 01,п в момент выключения двигательной установки. Для
этого задаемся вероятным значением 0П и из уравнения (6.84)
вычисляем Ахп. Подстановка этих значений в выражение (6.85)
дает Ауп. Поскольку желаемая величина Ауп известна, меняем
6.11] УПРАВЛЕНИЕ ВОЗМУЩЕННЫМ ДВИЖЕНИЕМ 119
0П до тех пор, пока величина ДуПу получаемая из выражения
(6.85), не совпадает с заданным значением Ауп. После этого по
уравнению (6.83) вычисляем Avn.
Если 0П —► 0, уравнения превращаются в уравнения движе¬
ния в бессиловом поле.
6.11. Управление возмущенным движением
и разворот траектории
Обсудив с разных точек зрения проблему расчета активных
траекторий, коротко вернемся к вопросам, разбиравшимся
в § 5.4 и 5.7, для того чтобы окончательно связать между собой
законы изменения нормальной силы и программы разворота
траектории.
Из двух уравнений движения (5.23) и (5.24) второе описы¬
вает разворот траектории. Это уравнение с учетом соотношения
(5.42) можно записать в следующей форме:
F cosp дС. F'
а0 = —-— sin а + qAa + — cos a — g cos 0. (6.86)
Соответствующим уравнением моментов служит уравнение
(5.39). Однако теперь будем учитывать аэродинамический демп¬
фирующий момент, которым ранее пренебрегалось. Тогда урав¬
нение (5.39) примет вид
/ф + Мй ± Ма + Мс = 0. (6.87)
Заметим, что аэродинамический момент Ма положителен (вос¬
станавливающий момент) для аэродинамически устойчивого ап¬
парата, демпфирующий момент определяется соотношением
Md = Icd ф, (6.88)
где ф = d , а коэффициент аэродинамического демпфиро¬
вания равен
1 dC, (]
Cd = T~dTATS [сек~1 (6.89)
Здесь А — площадь миделева сечения аппарата, q — динамиче¬
ский напор, a S — расстояние от центра масс до задней кромки
сопла аппарата (см. рис. 5.12). Тогда уравнение (5.40) приобре¬
тает вид
Ф + саф + сха + с2Р = 0 (6.90)
или
L S-H дС AqS2 . /
_ У S-с дсГ F'(S-c)V~ F'(S-c) Ф- (6-91)
120
КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ НА АКТИВНОМ УЧАСТКЕ
[ГЛ. 6
Уравнения (6.86) и (6.90) составляют систему уравнений
программы разворота и управления, описывающих управление
координатами положения с помощью вектора тяги. Это озна¬
чает, что вектор тяги должен создавать в любой данный мо¬
мент времени управляющую силу, по величине и направлению
точно такую, какая требуется. Другими словами, отклонение
вектора тяги всегда должно быть пропорционально ошибке1).
На практике это, конечно, невозможно из-за инерционности дви¬
гателя или двигателей, которые нужно отклонять, или — в слу¬
чае отработки возмущений переходного процесса — из-за того,
что на измерение ошибки, определение корректирующего уси¬
лия и соответствующее отклонение вектора тяги требуется
время. Следовательно, управляющая сила всегда приклады¬
вается с запаздыванием. В результате аппарат стал бы совер¬
шать недемпфированное движение, и чем больше запазды¬
вало бы управляющее усилие, тем более вносило оно возмуще¬
ний, вызывая все возрастающее «перерегулирование» аппарата.
Эта ситуация иллюстрируется простым примером в верхней
части рис. 6.20. Предположим, что аппарат находится в пра¬
вильном горизонтальном положении. Внезапно возмущение от¬
клоняет его нос вверх. Выдается команда коррекции, которая
поворачивает двигатель на угол р. Однако к тому времени,
когда двигатель отработал первоначальную команду и откло¬
нился на угол р, отклонение по тангажу на угол ф уже ча¬
стично скомпенсировалось. К моменту, когда ф = 0, остается
значительное управляющее усилие, которое, будучи не равным
нулю, отклоняет нос аппарата вниз. Аппарат «перерегулируется»
и задержка между появлением ошибки ф и коррекцией р вызы¬
вает нарастающие колебания угла тангажа.
Каждый водитель знает, что, для того чтобы демпфировать
рыскание автомобиля, например, во время юза, он должен
всегда «опережать» мгновенное направление движения автомо¬
биля. Подобным же образом (хотя это уже не столько регули¬
рование, сколько наведение), если автомобиль совершает по¬
ворот, квалифицированный водитель начинает поворачивать
«баранку» в обратную сторону еще до того, как автомобиль
закончит поворот. Другими словами, вместо управления коорди¬
натой положения вектора тяги надо управлять скоростью ее
изменения. В этом случае возмущение демпфируется и затухает
(см. рис. 6.20, б).
1) Термин «ошибка» относится здесь к разности положений вектора уско¬
ряющей тяги в разные моменты времени в процессе выполнения программы
разворота, а также к ошибкам в полном смысле этого слова, которые вы¬
зываются, например, внезапными возмущениями типа порывов ветра и кото¬
рые требуют коррекции.
6.11] УПРАВЛЕНИЕ ВОЗМУЩЕННЫМ ДВИЖЕНИЕМ 121
В первом случае (регулирование по координате) уравнение
автопилота дается соотношением
Р = а0(ф—J ад + д2ф, (6.92)
4 о ^
где д0 безразмерно, ах измеряется в секундах, а размерность
д2— сек2. Во втором случае (управление по скорости) имеем:
Р = ао — J со dt^J + Д1Ф + Д2ф [сек-1], (6.93)
где До измеряется в единицах на секунду, д2 — в секундах, а а\
безразмерно. Угол отклонения вектора тяги в этом случае на¬
ходится с помощью интегрирования (6.93) на борту аппарата.
Рис. 6.20. Управление положением аппарата вдоль активной траек¬
тории.
а) Угол р отклонения вектора тяги запаздывает по фазе по сравнению с
ошибкой ориентации ф; б) угол Р отклонения вектора тяги опережает по фазе
ошибку ориентации ф.
Если пренебречь переходным процессом, можно (теорети¬
чески) использовать для управления аппаратом и координату
положения при условии, что влияние инерционности двигателя
и т.д. вызывает некоторое постоянное запаздывание, которое мо¬
жет быть учтено постоянным членом в уравнении коррекции1).
') Уравнение управления. (Прим. ред.)
122
КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ НА АКТИВНОМ УЧАСТКЕ [ГЛ. б
Это — только теоретическая аппроксимация, однако она доста¬
точно точно описывает изменение |3 в течение активного полета.
Мы будем, следовательно, в дальнейшем использовать урав¬
нение (6.92), в котором а0 — передаточный коэффициент для
ошибки в угловом положении, a J © dt — программный угол, на
который поворачивается с угловой скоростью 0 гироскоп ав¬
топилота за данный интервал времени. Коэффициент а0 яв¬
ляется функцией управляющего момента #с, который изме¬
няется со временем в зависимости от вариации управляющей
силы F' и изменения координат центра масс S и центра дав¬
ления Н.
Коэффициент
дсг
-T^S2
cd да /е? г\л\
а'~ с2 ~ vf'(S-c) (6*94)
учитывает влияние изменения аэродинамического демпфирова¬
ния (в единицах коэффициента управляющего момента) и ва¬
риации тяги на требуемую угловую скорость отклонения траек¬
тории.
Третий коэффициент
а<2 F' (S - с) (6-95)
связывает угловое ускорение отклонения траектории с измене¬
нием момента инерции аппарата, вариацией тяги и изменением
положения центра масс.
Мы будем комбинировать теперь уравнение отклонения
траектории и уравнение управления. С этой целью запишем
уравнение для управляющей силы в виде
F' = F sin р ^ = (6.96)
Для коэффициента управляющего момента от тяги получаем:
|r(S“c)|3
с2 = -^—7 , (6.97)
откуда выражение для угла отклонения тяги принимает вид:
Р = “ ~dF'' 1 (Cl° + Са<$ + ^ (6-98)
Vs~c)
и для управляющей силы имеем:
f' = -§j5-P“ --537 М + СЛ> + ф) = - С, (Сйф + ф).
(6.99)
6.11]
УПРАВЛЕНИЕ ВОЗМУЩЕННЫМ ДВИЖЕНИЕМ
123
Подставляя вместо С\ его значение (5.36), находим:
или, представляя S — Н = S — с — (Н — с),
Теперь можно подставить это выражение в уравнение
(6.86). Поскольку угол атаки на практике будет всегда мал,
если рассматривать большие аэродинамические напоры, то
можно положить sin а ~ а и cos а ~ 1 [это предположение
соответствует соотношению (5.42)]. Тогда уравнение (6.86) при¬
мет вид:
В течение примерно последней трети программы разворота
значение ф весьма мало. К этому времени, вообще говоря, на¬
бирается достаточная высота (даже в случае движения первых
ступеней, если рассматриваются мощные носители), так что
аэродинамический демпфирующий момент практически равен
нулю (cd—►О). Тогда для (3 имеем соотношение
а при са—'►О и ф—>0 уравнение (6.102) приводится к виду
Если управляющая сила создается только с помощью уп¬
равления вектором тяги, управляющий момент составляет
ЛТС = как это следует из выражения (5.37). Однако если
используются несущие поверхности, то по крайней мере часть
управляющего усилия обеспечивается аэродинамической силой.
В этом случае аэродинамический управляющий момент опре¬
деляется формулой
6 — угол атаки обтекаемой поверхности, d — расстояние от
точки приложения аэродинамической силы до центра масс,
1 г/ дСг Н — с\ I 1
и6 = (F cos Р + ~дГ^А -S=7l a~S=-c ^ + Ф)] ~ 8 cos 0.
(6.102)
(6.103)
т0 — tht
а
I дСТ Н-с\
i^F cos (1 + —0^- qA-g^-J — g cos 0. (6.104)
Me = 4^- bqAd = /c'6,
(6.105)
где
(6.106)
124
КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ НА АКТИВНОМ УЧАСТКЕ [ГЛ. 6
Са — аэродинамический коэффициент силы Fa> создаваемой аэ¬
родинамическим рулем:
Fa = CaqA~^-bAq. (6.107)
Аэродинамический момент должен быть добавлен к моменту
от тяги.
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
А —площадь миделева сечения;
а0 — передаточный коэффициент для ошибки в угловом по¬
ложении [см. уравнение (6.92)];
а1 — передаточный коэффициент для аэродинамического
демпфирования [см. уравнение (6.94)];
а2 — передаточный коэффициент при ф [см. уравнение
(6.93)];
СD — коэффициент силы аэродинамического сопротивле¬
ния;
CL — коэффициент подъемной силы;
с — расстояние от центра камеры сгорания до задней
кромки (среза) сопла аппарата (см. рис. 5.12);
cd — коэффициент аэродинамического демпфирования;
с{ — коэффициент аэродинамического момента вращения
[см. уравнение (5.36)];
с2 — коэффициент управляющего момента от тяги [см.
уравнение (5.38)];
F — сила тяги;
F' — управляющая и регулирующая сила;
F а — аэродинамическая управляющая и регулирующая
сила;
Fn — нормальная сила;
g — гравитационное ускорение;
Н — расстояние от центра давления до задней кромки
(среза) сопла аппарата (см. рис. 5.12);
I — момент инерции;
/0 —интеграл гравитационных потерь;
К — гравитационный параметр;
М — момент, создаваемый отклонением вектора тяги [см.
уравнение (5.34)];
Ма — аэродинамический момент [см. уравнение (5.35)];
Мс — управляющий момент;
Md— момент аэродинамического демпфирования [см. урав¬
нение (6.88)];
т — масса;
п — цомер ступени;
ЗАДАЧИ 125
па = п — продольная перегрузка;
пп — поперечная перегрузка;
q — динамический напор;
5 — расстояние от центра масс до задней кромки (среза)
сопла аппарата (см. рис. 5.12);
t — время;
v — скорость;
ve — скорость истечения из сопла;
Г - вес;
а - угол атаки;
р — угол отклонения вектора тяги;
6 —угол отклонения аэродинамического руля; угол атаки
обтекаемой поверхности;
т]*, — коэффициент уменьшения скорости за счет гравита¬
ционных потерь;
— коэффициент уменьшения скорости для начального
ускорения F/Wo = п0 = 1 g\
0 — угол наклона траектории к местному горизонту;
Л — коэффициент заправки;
р, —отношение масс;
£ = у- — безразмерный параметр времени;
Ф — угол тангажа;
X = “— отношение скорости полета к скорости истечения.
Индексы (нижние):
d — демпфирование;
id — идеальный;
О —начальное значение;
1—значение в момент выключения двигательной уста¬
новки.
ЗАДАЧИ
1. Одноступенчатая ракета стартует вертикально (0О = 90°), а к мо-
менгу выключения двигательной установки ее траектория отклоняется на
угол 0J = 30°. Коэффициент заправки Л = 0,875, начальная тяговооруженность
п0 — 1,25. Определите коэффициент уменьшения скорости в момент выключе¬
ния двигательной установки (выведение происходит в вакууме). Используйте
графики, приведенные в этой книге.
2. Вычислите скорость изменения наклона траектории —^ для активного
выведения (90°^ 0^30°), используя аналитическое выражение (6.17) для
программы разворота.
3. Рассчитайте активную траекторию ракеты при следующих условиях:
/6р = 234,2 сек (v. = 2339 м/сек), ч0 = -£-= 1,5, Л = 0,725 (ц = 3,639), t =
W о
«= 113,3 сек. Программный разворот происходит от 0q = 90° до 0* = 30°.
126
КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ НА АКТИВНОМ УЧАСТКЕ
[ГЛ. 6
а) Вычислите траекторию, используя приведенные в § 6.2 и 6.3 соотно¬
шения для случая полета при отсутствии атмосферы.
б) При расчете в п. а) активного участка следует иметь в виду, что угол
атаки сначала отрицателен, а потом положителен. Определите величину
t
§ — Т" для = 0 и затем пересчитайте траекторию вплоть до момента вы-
ч
ключения двигательной установки для случая использования гравитационного
разворота. Возьмите шаг по |, равный 0,1, кроме интервала между значе¬
ниями, где а = 0, для которых шаг раздробите в 10 раз. При пересчете траек¬
тории учтите влияние центробежной силы и изменение g с высотой, используя
таблицу, приведенную ниже.
4 Определите, направлена ли сила, искривляющая активную траекторию,
радиально (к центру Земли) или нормально к мгновенному направлению по¬
лета (то есть нормально к траектории) в плоскости траектории?
5. Назовите два типа сил, искривляющих траекторию.
6. Пусть космический аппарат, траектория которого рассчитана в за¬
даче 3, в действительности выводится на орбиту в атмосфере Земли, причем
зависимость скорость — высота остается прежней. Для случаев (а) и (б) за¬
дачи 3 сравните стационарную аэродинамическую изгибающую нагрузку
aq = a^p00Gv2/2, где poo — плотность воздуха у поверхности Земли, а = »
Р 00
v — скорость полета, а а(г> — угол атаки (в радианах). Интерполируйте зна¬
чения о по таблице, приведенной ниже.
Высота у
Отношение
g/goo
Отношение
плотностей 9
о = Р (у)/Роо
тыс. фут
км
0
0
1,000
1,000
10
3,048
0,999
0,743
20
6,096
0,998
0,545
30
9,144
0,997
0,394
40
12,192
0,996
0,278
50
15,240
0,995
0,188
60
18,288
0,994
0,110
70
21,336
0,993
0,064
80
24,384
0,992
0,037
90
27,432
0,991
0,023
100
30,480
0,990
0,014
120
33,528
0,988
0,0053
140
36,576
0,986
0,0023
160
39,624
0,984
0,0011
180
42,672
0,983
0,0006
200
45,720
0,982
0,0004
') Плотность у поверхности Земли (на экваторе) Poo ^ 1,223 г/см3.
7. Что означает термин «программа тангажа»?
8. Укажите основные особенности программ тангажа, оптимальных по
критерию максимума набора высоты на активном участке полета, при мини¬
мальных гравитационных потерях, при учете и при пренебрежении кривиз¬
ной Земли.
ЛИТЕРАТУРА
127
9. Почему в ситуации, изображенной на рис. 6.14, было бы неправильным
отсчитывать средний угол наклона вектора тяги т от горизонта в момент вы¬
ключения двигательной установки, как от начальной оси программы тангажа,
вместо того чтобы повернуть начальную ось отсчета на угол р?
10. Предположим, что вторая ступень космического носителя имеет на¬
чальную скорость относительно инерциальной системы отсчета и20 =
= 3045 м/сек (учтен эффект вращения Земли), угол наклона вектора которой
02о — 18°. Коэффициент заправки ступени А=0,865, то есть |я = 7,41, In р,=2,01.
К моменту выключения двигательной установки аппарат должен набрать
скорость V21 — 8526 м/сек, ориентированную горизонтально при макси¬
мально возможной высоте [то есть выведение происходит не на круговую,
а на эллиптическую орбиту, точный эксцентриситет которой неизвестен до
тех пор, пока не определена максимальная высота; это принято в данной
задаче для того, чтобы избежать связи между значениями скорости и высоты
в конце активного участка полета (как в случае выхода на круговую ор¬
биту), так как тогда потребовалось бы решать задачу последовательными
приближениями]. Угол между местным горизонтом в точке запуска и
точке расцепки с первой ступенью <Рц = 0, угол между местным горизон¬
том в точке расцепки и точке выключения двигательной установки Ф21 = 4°.
Скорость истечения для второй ступени goo/sp = 3045 м/сек, начальная тяго-
вооруженность п0 = 1,3, среднее значение £=9,44 м/сек2, а наклон вектора
гравитационного приращения скорости к вертикали в точке расцепки состав¬
ляет 0,4Ф2. Определите с помощью рис. 6.20 начальный угол тангажа ф0 и
соответствующий угол р поворота оси отсчета для оптимальной траектории
выведения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Oberth Н., Wege zur Raumschiffahrt, Oldenbourg Publ., Munich, 1923.
2. S с h г 0 e d i n g e г P., Die Leistungsgrenzen grosser ballistischer Raketen-
geraete, Peenemuende Archive Rep., No. 62/8, 1940
3. P e r k i n s F. М., Flight Mechanics of Ascending Satellite Vehicles, Jet
Propulsion, vol. 26, No. 5, Pt. 1, pp. 352—358, May 1956.
4. Sir у J. W., Satellite Launching Vehicle Trajectories, Orbit Theory, Pro¬
ceedings of the American Mathematical Society Symposium on Orbit Theory,
April 1957, American Mathematical Society, vol. IX, Providence, Rhode Is¬
land, 1959.
5. Davis L., F о 11 i n D., В 1 i t z e r L., Exterior Ballistics of Rockets, Prin¬
ceton, N. J., Van Nostrand, 1958.
ГЛАВА 7
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
7.1. Введение
В этой главе рассматриваются те аспекты проблемы актив¬
ного космического полета с нерелятивистскими скоростями, ко¬
торые связаны с механикой движения летательных аппаратов
с малой тягой. Механика полета с малой тягой имеет приложе¬
ние в трех важных областях астродинамики, а именно: в задаче
крейсерского полета во внешних слоях планетных атмосфер
(где требуется создавать малую поддерживающую тягу для
парирования сопротивления среды), в задаче маневрирования
на орбите с целью относительно малых ее изменений (например,
для компенсации возмущений, для встречи или для маневров
причаливания) и в задаче межорбитальных (планетоцентриче¬
ских или гелиоцентрических) перелетов с малой тягой.
Обсуждение начинается с анализа механики полета сателлои-
да-спутника, который поддерживает свою деформируемую атмо¬
сферным сопротивлением орбиту с помощью очень малой силы
тяги порядка КН-нЮ-4^ (§ 72—7.5). Параграф 7.6 вводит
читателя в механику полета с малой тягой в целом, причем осо¬
бое внимание уделяется межорбитальным перелетам и двига¬
тельным системам с источником энергии, отделенным от устрой¬
ства, непосредственно создающего тягу. В § 7.7 обсуждается
влияние маневров с конечной величиной ускорения на характе¬
ристики космического аппарата, в отличие от импульсных ма¬
невров, рассматривавшихся в предыдущих главах. Приближен¬
ные соотношения для ограниченных маневров под влиянием ма¬
лых касательных сил приведены в § 7.8 в качестве первого шага
при анализе динамики движения с малой тягой и для обоснова¬
ния постановки задачи об орбитальном маневрировании
(§ 7.14). В § 7.9 даны точные дифференциальные уравнения ак¬
тивного движения в различных плоских и пространственных си¬
стемах координат, определяющие составляющие ускорения кос¬
мического аппарата, а также изменение орбитальных элементов
ВВЕДЕНИЕ
129
под влиянием малых сил тяги, действующих в различных на¬
правлениях в плоскости орбиты и перпендикулярно к ней. По¬
скольку не все космические траектории с малой тягой требуют
работы двигательной установки на всем пути к цели (имеются
в виду как участки ускорения, так и участки торможения), то
в § 7.9 обсуждается вопрос об определении оскулирующей кеп-
леровой орбиты в момент выключения двигательной установки.
В последующих параграфах с помощью точно рассчитанных гра¬
фиков траекторных параметров, представленных в обобщенной
форме, читатель может быстро найти для широкого диапазона
начальных ускорений (от 1 до 10~5 местного значения гравита¬
ционного ускорения) и удельных импульсов (400 -г- 15 000 сек)
и для любого центрального поля основные данные, потребные
для определения кеплеровой орбиты, получающейся после ак¬
тивного участка. Решение точных уравнений движения требует
численного интегрирования. Результаты такого интегрирования,
выполненного с помощью электронной вычислительной машины,
приведены в § 7.10 для касательного ускорения тяги и в § 7.13
для радиального ускорения.
В обоих случаях предполагалось, что движение начинается
с круговой орбиты и происходит в центральном поле, и с неко¬
торыми исключениями для случая касательной тяги результаты
даны в обобщенной форме, что позволяет использовать их для
любого центрального поля при надлежащем выборе значений
безразмерных параметров, наиболее важный из которых — уско¬
рение тяги — дан в единицах гравитационного ускорения на по¬
верхности Земли (goo), а не в местных значениях g. Безразмер¬
ные графики для касательной тяги охватывают широкий диа¬
пазон ускорений (от 1 до 10-4) и удельных импульсов
(450 сек -т- оо). Для межорбитального перелета в планетоцент¬
рическом поле или выхода из него касательная тяга более
эффективна, чем радиальная, из-за заметного градиента грави¬
тационного поля и сравнительно малой протяженности сферы
действия планеты. В гелиоцентрическом поле, характеристики ко¬
торого обладают противоположными свойствами, маневры с ис¬
пользованием радиального ускорения играют довольно важную
роль. Поскольку гелиоцентрическое поле слабо (в области пла¬
нетных орбит), малое ускорение в планетоцентрическом поле
может оказаться весьма большим в гелиоцентрическом. Напри¬
мер, на расстоянии одной астрономической единицы от Солнца
ускорение составляет 6-10"4goo- Таким образом, величина 10_4goo
соответствует 1/6 местного гравитационного ускорения на орбите
Земли, но вне сферы ее действия. Поэтому безразмерные гра¬
фики для радиального ускорения даны для величины ускорений
1/6 и больше. Все эти графики позволяют получить основные
9 К. Эрике, т. II
130
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[гл. 1
данные, необходимые для определения плоских элементов оску-
лирующей кеплеровой орбиты, возникающей при выключении
тяги, как функции произвольного момента времени или значения
расстояния. Вследствие принципиальной важности касательной
ориентации тяги в § 7.11 представлен обобщенный анализ актив¬
ных траекторий в случае постоянной касательной тяги. В § 7.12
исследуются вопросы, связанные с экономичностью траекторий
с касательной тягой. С помощью полученных результатов
в § 7.14 проводится суммарное исчерпывающее обсуждение и
сравнение траекторий с постоянной ориентацией вектора тяги
для орбитального маневрирования и межорбитальных переле¬
тов, охватывающее случаи касательной, трансверсальной, ра¬
диальной, нормальной и бинормальной ориентаций ускорения
тяги. Уход из глубины сферы действия центрального поля сил
можно осуществить, создавая касательное, трансверсальное и
переменное по знаку радиальное ускорения, или с помощью не¬
прерывного радиального ускорения не меньшего, чем g\8. Ис¬
пользование нормальной и бинормальной ориентаций ускорения
тяги ограничивается орбитальным маневрированием.
Наиболее важным аспектом межорбитального перелета
с двигателем малой тяги, имеющим высокое значение /sp и раз¬
дельную систему создания мощности, является задача о пере¬
лете при заданных краевых условиях (например, между орби¬
той Земли и орбитой Марса) с отношением масс, минимальным
для данных параметров двигательной системы (удельного веса
а системы создания мощности и коэффициента эффективности е
преобразования электрической мощности в мощность тяги) и
для заданного времени перелета. Если вариация вектора тяги по
величине и направлению никак не ограничивается и если изме¬
нение величины тяги может сопровождаться равным, но проти¬
воположным по знаку изменением удельного импульса так, что
эффективность использования оборудования, создающего мощ¬
ность, поддерживается на максимальном уровне (например,
удельный импульс удваивается, когда тяга уменьшается напо¬
ловину), то переход между двумя фазовыми точками при задан¬
ном времени активного полета можно наиболее экономично осу¬
ществить с помощью специальной программы управления век¬
тором тяги. Эта программа задает направление вектора тяги
и его величину как функции времени в течение активного пе¬
риода полета и тем самым указывает оптимальное значение по¬
требного отношения масс и, следовательно, величины весовых
долей оборудования для создания мощности и создания тяги,
несущих конструкций, оборудования, остающегося после окон¬
чания активного участка, и полезной нагрузки. Определение
программы управления вектором тяги в одномерном, двумерном
7.1]
ВВЕДЕНИЕ
131
и пространственном случаях, являющееся задачей вариацион¬
ного исчисления, составляет содержание § 7.15—7.19.
Результаты расчетов оптимальных компланарных маневров
перехода для двух наиболее важных случаев (гиперболического
пролета и встречи или захвата) представлены в § 7.20 в виде
серии безразмерных графиков (рис. 7.102—7.114), которые при¬
менимы к межорбитальным перелетам во внешних областях
планетоцентрических полей и в гелиоцентрическом поле, причем
особое внимание уделялось переходам от Земли к другим пла¬
нетам солнечной системы.
В § 7.21 и 7.22 эти результаты оптимизации сравниваются
с оптимизацией при наличии ограничений, которые наклады¬
ваются на изменение модуля вектора тяги. Поскольку тяга из¬
меняется, то допускается также вариация удельного импульса,
хотя это и не является необходимым условием. Этот случай
отличается от прежнего тем, что отношение масс теперь не мо¬
жет быть минимизировано выбором оптимальной программы
для ориентации и величины вектора тяги при фиксированном
(заданном заранее) времени активного полета; отношение масс
должно минимизироваться за счет поиска такой программы из¬
менения направления тяги при фиксированной (заданной зара¬
нее) величине тяги, чтобы время активного полета (теперь уже
не заданное заранее) становилось минимальным. Это легко по¬
нять, если учесть тот факт, что расход топлива (а значит, и от¬
ношение масс) непосредственно определяется только величиной
тяги и временем активного полета, в то время как ориентация
вектора тяги влияет на время активного полета. Таким обра¬
зом, если нужно минимизировать отношение масс, следует
варьировать направление тяги и либо ее величину (фиксируя
время перелета), либо время перелета (фиксируя величину
тяги). Первый случай реализуется в задаче об абсолютной ми¬
нимизации отношения масс для фиксированного времени пере¬
лета (которое не минимально, поскольку тяга дросселируется
для полной минимизации отношения масс). Второй случай ве¬
дет к относительной минимизации отношения масс за счет ми¬
нимизации времени перехода, в течение которого топливо расхо¬
дуется, чтобы поддерживать средний (или постоянный) уровень
тяги, который выше, чем в случае абсолютной минимизации
массового отношения.
Первый случай представляет общий теоретический интерес
и поэтому был отражен в большом числе обобщенных графиков
в § 7.20. Второй случай имеет особый интерес для практики,
поскольку он обеспечивает более короткое время полета к дру¬
гим планетам и позволяет избежать инженерных проблем,
связанных с практическим осуществлением неограниченного
9*
132
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
изменения величины тяги и удельного импульса. Предельный
случай заключается в сохранении постоянной величины тяги. Од¬
нако сохранение ускорения постоянным требует снижения тяги
до 1/3 -ь 1/10 ее первоначальной величины и приводит к значи¬
тельно лучшим отношениям масс без существенного увеличе¬
ния времени перелета. Решение вопроса о том, может ли вариа¬
ция тяги сопровождаться равной, но противоположной по
знаку вариацией удельного импульса, зависит от рассматри¬
ваемого диапазона значений отношения масс и практических
ограничений конкретных двигательных установок и их компо¬
нент. Поскольку эти вопросы обсуждаются в томе III настоящей
серии, обсуждение практической реализации второго случая
оптимизации откладывается до глав, посвященных анализу си¬
стем и схем полета (том III).
Последний параграф этой главы посвящен различным ас¬
пектам применения прерывистой касательной тяги в пери¬
центре орбиты.
7.2. Сателлоид
В космическом полете главный интерес всегда будет пред¬
ставлять исследование небесных тел, их атмосфер, если они
существуют, и их поверхностей. Этот процесс вполне есте¬
ственно начинается с Земли, рассматриваемой как небесное тело;
и прежде чем человек сможет отправиться в дальний космос, он
должен сперва освоить «каботажные» полеты и навигацию, ко¬
торые важны не только для обеспечения безопасности его воз¬
вращения, но также и для создания возможности операций
вблизи других «островов» в космосе. Другими словами, период
спутниковых операций должен предшествовать астронавтической
или межорбитальной фазе в развитии космических полетов чело¬
века [1].
Высотные пуски ракет дают возможность только кратко¬
временного исследования атмосферы, в то время как «облет¬
ные» эксперименты, характеризующиеся большим временем пре¬
бывания на данных высотах, могут быть выполнены с помощью
аппаратов типа ракетного самолета или спутника.
Создание устойчивой орбиты спутника требует некоторой ми¬
нимальной высоты для того, чтобы спутник оставался вне плот¬
ных слоев атмосферы в течение определенного периода времени,
зависящего от его назначения. При заданном времени существо¬
вания спутника начальная высота его полета является функцией
формы тела (коэффициента сопротивления CD) и отношения
W/A веса к площади миделева сечения1). Операционные высоты
!) См. главу 2.
7.2]
САТЕЛЛОИД
133
Области
полета
1 сателлоидов
у и внешних
участков
траекторий
спуска
спутников простираются примерно от 230 км (120 морских миль)
и выше.
На меньших высотах можно использовать ракетные само¬
леты. Хорошо известно [2, 3], что для минимизации расхода топ¬
лива необходимо быстро разогнать такой аппарат до большой
скорости, выведя его затем на пассивную траекторию планиро¬
вания, имеющую нужную дальность. Равновесная высота такого
сверхзвукового планера при заданной скорости полета зависит
от параметра подъемной
силы [4], определяемого
как отношение коэффи¬
циента подъемной силы к
нагрузке на крыло, где
нагрузка на крыло есть
отношение веса к несу¬
щей поверхности пла¬
нера.
Для технически реаль¬
ных значений параметра
подъемной силы [0,63 —
— 3,14 см2/н (0,003 -
— 0,015 фут2 j фунт)] и ско¬
рости порядка 7,2 км/сек
(24 000 фут/сек) высота
планирования лежит ме¬
жду 70 км и 90 км
(24 000 фут и 300 000 фут).
Даже при умеренных зна¬
чениях аэродинамическо¬
го качества определенно
не требуются большие
скорости для того, чтобы пролететь половину земной окружно¬
сти — наибольшее расстояние, необходимое для достижения
любой точки на Земле из данного места пуска.
Таким образом, на высотах примерно между 90 км и 180 км
существует область, слишком высокая для планирующих кос¬
мических аппаратов из-за весьма неблагоприятных аэродинами¬
ческих условий и слишком низкая для спутников, поскольку ат¬
мосфера здесь еще недостаточно разрежена, чтобы позволить
спутнику существовать достаточно долго (рис. 7.1). Поскольку
период обращения на этих высотах составляет около 5200 сек,
слова «достаточно долго» предполагают длительность порядка
многих тысяч секунд. Интегральный эффект аэродинамического
торможения, действующего во время полета, резко снижает
время пребывания спутника на данной высоте.
Рис. 7.1. Земля и орбита высотой 100 мор¬
ских миль в истинном масштабе (иллюст¬
рация узости зоны, доступной для полета
сателлоида и входа его в атмосферу).
134
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
Численная величина соответствующего торможения может
быть совсем малой и в то же время вызывать сравнительно бы¬
струю деградацию орбиты. Потому начальные высоты орбит
спутников должны лежать выше 180 км1).
Поскольку в области выше 90 км торможение мало, тре¬
буется лишь небольшая сила тяги для уравновешивания силы
сопротивления и препятствования вырождению орбиты в спи¬
раль спуска.
Космический аппарат, летающий на этих высотах, должен
был бы обладать малой, но непрерывной тягой. Высокая скорость
полета и малое сопротивление делают возможным поддержание
орбиты с помощью этой тяги на протяжении значительного числа
оборотов. Аппарат, подобно спутнику, сможет осуществлять дви¬
жение вокруг Земли по круговой траектории с круговой ско¬
ростью. Тем не менее движение при наличии тяги имеет суще¬
ственные отличия от движения спутника. Поэтому для такого
аппарата предложено название сателлоид.
Вследствие хорошо известных ограничений химических ра¬
кетных двигателей сателлоид не может оставаться на своей
орбите то же время, какое считается необходимым для некото¬
рых спутников (по крайней мере несколько недель). Однако са¬
теллоид не «состязается» со спутником, а скорее дополняет его.
Сателлоид может легко находиться в течение 5, 10, 20 или
больше оборотов на тех высотах, где спутник не просуществует
одного или двух оборотов. Если рассматривать нехимические
двигательные системы, превосходство сателлоида для этих вы¬
сот будет еще более явным.
Изложенные выше характеристики сателлоида и его проме¬
жуточное положение между самолетом и космическим кораблем
позволяют выдвинуть большое число предложений о полезном
использовании его при развитии космических полетов человека,
а также при исследовании небесных тел, когда будет освоен
межпланетный полет.
Сателлоид можно применить для исследования атмосферы,
создания орбитальных пассажирских аппаратов, развития мето¬
дов «накопления», с помощью которых космические аппараты
смогут сжижать газы (кислород и другие пригодные для того
газы) для использования их в своих двигательных системах
при продолжении космического путешествия, а также для иссле¬
дования внеземных атмосфер, особенно при составлении радио¬
локационной карты Венеры.
9 Эти числа основываются на атмосферных данных Гриммингера, об¬
суждавшихся в главе 3 тома I.
7.3]
МЕХАНИКА ПОЛЕТА САТЕЛЛОИДА
135
Сателлоид может также служить для испытания новых дви¬
гательных систем малой тяги (типа ионного двигателя), по¬
скольку необходимый вакуум достигается на высотах порядка
140-150 км1).
В этом параграфе рассматриваются основные уравнения,
определяющие полетные характеристики сателлоида при полете
по круговым орбитам с круговой и докруговой скоростями, так
что можно оценить требования к тяге, расход топлива, отноше¬
ние масс, время полета и влияние высоты, значений аэродина¬
мических коэффициентов и угла атаки. В случае свободномоле¬
кулярного потока невозможно дать общее соотношение между
сопротивлением и углом атаки. Поэтому для описания этой
связи в области возможных значений параметров приводятся
три различных аналитических выражения.
а) Сателлоид с круговой скоростью. При движении с круго¬
вой скоростью не нужна аэродинамическая подъемная сила.
Для аппарата предпочтителен нулевой угол атаки. Торможение,
вызываемое аэродинамическим сопротивлением, в единицах g
выражается следующим образом:
Тяга равна силе сопротивления: F = —n(i)W(t). Поэтому расход
топлива в течение крейсерского полета дается формулой
Если обозначить общее время работы двигателя через tb, то вес
топлива, затраченного за этот период, составит
Складывая с весом топлива вес Wb аппарата в момент вы¬
ключения двигателя, учитывающий вес остатков рабочего тела,
получаем начальный вес аппарата W0. Ввиду того, что после
окончания активной фазы полета аппарат будет совершать пла¬
нирующий спуск через плотные слои атмосферы, площадь S
!) Легко видеть, что круговая орбита сателлоида является неустойчи¬
вой. Автор нигде (за исключением нескольких замечаний в конце § 7.5) не
касается вопросов ее стабилизации. Учет требуемых затрат на управление
траекторией существенно^ меняет многие оценки, данные в этой главе, что
читателю необходимо иметь в виду. (Прим. перев.)
7.3. Механика полета сателлоида
(7.1)
(7.3)
136
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
несущих поверхностей будет определяться при задании удельной
нагрузки Wb/S. Начальное значение нагрузки составляет тогда
Wo/S, и с помощью подстановки соответствующих величин в вы¬
ражение (7.1) получаем начальное и конечное значения про¬
дольной перегрузки п. Требуемое значение коэффициента за¬
правки (отношения веса топлива к начальному весу сателлоида)
находится из уравнения
Wn qCn S th
Л = 1Г=Т^1Г^ = гао/-- (7.4)
^0 sp ^0 sp
Окончательно отношение масс определяется уравнением
^-A-ir-^V-exp£^^. (7.5)
тЬ !~A ^sp-Vb 2fsp
Последнее выражение в правой части следует из классиче¬
ского уравнения для отношения масс, если использовать вели¬
чину /г, являющуюся линейной функцией времени, когда ско¬
рость и высота сохраняются постоянными.
б) Сателлоид с докруговой скоростью. Если отношение ско¬
рости полета к местной круговой скорости v/vc меньше единицы,
то аппарат должен иметь положительный угол атаки для созда¬
ния подъемной силы, уравновешивающей кажущийся вес аппа¬
рата Й7арр, то есть часть веса, которая не компенсируется центро¬
бежным эффектом, возникающим из-за кривизны траектории:
Гарр = W [ 1 - (-^)2] = Ltot = qCLS + F sin a, (7.6)
где полная подъемная сила есть сумма аэродинамической подъ¬
емной силы и вертикальной составляющей тяги (предполагается,
что ракетный двигатель размещен в кормовой части сателлои¬
да). Составляющая тяги по направлению полета составляет
тогда
F cosa= —nW. (7.7)
Разрешая это равенство относительно F и подставляя значение
п из выражения (7.1), получаем:
F sin a = qCDS tg a. (7.8)
Подстановка этого выражения в равенство (7.6) дает вели¬
чину требуемого динамического напора для данной докруговой
скорости:
„ .-(-М2
МЕХАНИКА ПОЛЕТА САТЕЛЛОИДА
Высота находится из соотношения для плотности1):
137
(7.10)
Расход топлива за единицу времени дается уравнением (7.2),
где CD теперь является функцией угла атаки и, следовательно,
будет больше, чем в случае круговой скорости. Уравнения (7.3),
(7.4), (7.5) также остаются справедливыми без изменений.
Если несущая поверхность наклонена к направлению полета
больше, чем линия действия тяги (то есть если угол между осью
тела и плоскостью крыла положителен), и если создается зна¬
чительная подъемная сила, то вертикальная составляющая силы
тяги может быть нулевой и в соотношениях (7.9) и (7.10) исче¬
зает tg а.
В общем случае тяга, требуемая для сателлоида с докруго-
вой скоростью, равна
Предыдущие уравнения показывают, что величина аэродинами¬
ческого качества должна быть большой, для того чтобы обеспе¬
чить наибольшую высоту полета при данной скорости или мини¬
мальную скорость полета для данной высоты.
В обычном случае, когда совпадают линия действия тяги, ось
симметрии тела и хорда крыла, на определение угла атаки вли¬
яет не только наклон кривой dCJda, но также увеличение подъ¬
емной составляющей силы тяги F sin а. В свободномолекуляр¬
ном потоке наклон поляры для тонкой пластины при диффузном
отражении молекул от стенки (см. § 7.4) дается соотношением
где s есть отношение скорости полета к наиболее вероятной ско¬
рости молекул газа в состоянии покоя. Для случая зеркального
отражения это соотношение приобретает вид:
F=V(Wapp-qCLSf + (qCDS)\
(7.11)
+ (8 sin a cos а — 4 sin3 а) erf (5 sin а). (7.13a)
‘) Здесь принято обозначение q = р/роо = 0
«= у — уг. {Прим, ред.)
'у где р = const, Д*/ =
138
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
При а—>0 эти два уравнения обращаются соответственно в
уравнение
dCL
da
_Уя_Сг_,
а=о S Ci + SV*
для диффузного отражения и в уравнение
dCbs I _ 8
da |а=0
(7.12b)
(7.13b)
для зеркального отражения [10].
В целях сравнения с аэродинамической подъемной силой
подъемную составляющую силу тяги можно выразить в форме
LF = CLFqS, (7.14)
где коэффициент подемной силы, обусловленной тягой, дается
формулой
CLP = ^-^CFsina~^-^CFa. (7.15)
Осуществимость концепции сателлоида базируется на пред¬
посылке очень малой силы тяги. Это в свою очередь требует
низкого динамического напора, предпочтительно меньшего, чем
1 фунт/фут2 (4,725- 10-4 атм или 47,88 н/м2). Давление в камере
сгорания имеет порядок 21-^34 атм или 21 • 105 н/м2-*Срс<34Х
Х105 н/м2. Полагая динамический напор равным 47,88 н/м2
(1 фунт/фут2), получаем для отношения pjq оценку 43 000 -^
72 000. При соответствующем коффициенте тяги, составляю¬
щем при настоящих условиях CF~1,7, и при тяге величиной,
скажем, 44,5 н площадь At критического сечения сопла двига¬
теля составляет 0,1290-^0,0774 см2 для диапазона давлений в
камере, упомянутого выше. Если предположить, что создающая
подъемную силу поверхность1) составляет около 46,5 м2
(500 фут2), то получим, что величина отношения S/At лежит
в пределах 3,5- 10б-^-6,2-106 и что произведение At/S • pjq имеет
порядок 0,012. Таким образом, видно, что в качестве характер¬
ного значения для сателлоида можно принять:
CLF~ 0,012C>sina « 0,021 sin a (7.16)
и
dCr
J LF
da
0,021 cos a. (7.17)
!) Для «сухого» веса (веса планера) 10 000 фунт (4,5 Т) с нагрузкой
па крыло 20 фунт/фут2 (957,6 н/м2).
7.3]
МЕХАНИКА ПОЛЕТА САТЕЛЛОИДА
139
При малых углах атаки наклон графика вертикальной состав¬
ляющей тяги составляет, следовательно, около 0,021, в то время
как наклон графика аэродинамической подъемной силы в диа¬
пазоне 10 <^5 ^СЗО составляет 0,29 -i-0,10 для диффузно-неупру¬
гого отражения и 0,450,15 для зеркального отражения. Дру¬
гими словами, кривая подъемной составляющей тяги проходит
только на 15% (или менее) ниже кривой аэродинамической
подъемной силы. Таким образом, условия полета в корне отли¬
чаются от ситуации, обычно имеющей место при полете ракет¬
ных снарядов и самолетов, где из-за значительно большей мощ¬
ности тяги составляющая подъемной силы, обусловленная
ориентацией тяги на ненулевом угле атаки, составляет сущест¬
венную часть суммарной подъемной силы и превосходит аэроди¬
намическую составляющую подъемной силы. В то же самое
время это обстоятельство делает организацию полета с докру-
говой скоростью более сложной проблемой. Для сателлоида с
круговой скоростью значение 5 лежит между 18 (высота 160 км)
и 30 (высота около 90 км).
в) Влияние переменности веса на траекторию сателлоида
с докруговой скоростью.
1. Обсуждение выбора переменных. Для сателлоида с круго¬
вой скоростью изменение веса не влияет на тягу и (или) на вы¬
соту полета, потому что вес компенсируется центробежным эф¬
фектом и, следовательно, не входит в качестве переменной ве¬
личины в механические уравнения полета.
При выводе уравнений движения сателлоида с докруговой
скоростью также предполагалась независимость их от измене¬
ния веса. Это, однако, не совсем правильно, поскольку кажу¬
щийся вес и компенсирующие его факторы — аэродинамическая
подъемная сила и подъемная составляющая тяги — входят как
функции времени в уравнения, определяющие траекторию. Сле¬
довательно, выведенные выше уравнения являются лишь при¬
ближенными.
Кажущийся вес №арр есть функция скорости полета, которая
в свою очередь совместно с высотой определяет тягу двигатель¬
ной установки космического аппарата и угол атаки (F,v,y, а).
Следовательно, так как Waрр меняется из-за расхода топлива,
любой из этих параметров или комбинация их также должны
меняться.
Систематическое рассмотрение позволяет выделить некото¬
рые характерные случаи.
1) и и а постоянны. У к F меняются: у возрастает, F убы¬
вает.
2) у и г/ постоянны, а и f меняются: оба параметра убы¬
вают.
140
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
3) v и F постоянны, а должна была бы оставаться по¬
стоянной, сохраняя постоянным v, ввиду требования F = const;
но тогда у возрастает, заставляя увеличиваться v. Следова¬
тельно, а должна возрастать таким образом, чтобы увеличение
сопротивления и уменьшение члена F cos а сохраняли v постоян¬
ной по мере увеличения у, который тогда становится функцией
увеличения а. С точки зрения управления, осуществление этого
варианта полета было бы весьма затруднительным.
4) у и а постоянны. F должно уменьшаться для постоян¬
ства у из-за требования a = const. Дросселирование тяги ведет к
падению скорости, если сопротивление не может быть умень¬
шено. Таким образом, у не может удерживаться на постоянном
уровне, и без изменения геометрии аппарата эти условия не мо¬
гут быть выполнены.
5) у и F постоянны, а должна уменьшаться, чтобы ском¬
пенсировать эффект уменьшения веса, который в противном слу¬
чае вызовет рост у\ но с уменьшением а уменьшается также и
лобовое сопротивление, вследствие чего будет расти v. Заранее
нельзя сказать, возможно ли при одновременном действии этих
двух факторов удержать у на постоянном уровне. Во всяком
случае этот метод управления был бы также довольно затруд¬
нительным.
6) а и F постоянны, v и у изменяются: оба параметра
возрастают. Этот случай, по-видимому, не очень годится для
исследовательского аппарата, на траектории которого должны
оставаться постоянными скорее высота и скорость, нежели
угол атаки. Подобный случай может иметь практическое зна¬
чение как переходный режим, когда после фазы активного вы¬
ведения на орбиту выполняется с помощью «верньерного»
маневра приближение к номинальным значениям высоты и
скорости.
Таким образом, для дальнейшего исследования интерес пред¬
ставляют случаи (1), (2) и (6). Второй случай, когда остаются
постоянными высота и скорость, наиболее близок к условиям
полета сателлоида с круговой скоростью. Однако первый слу¬
чай несколько проще для исследования, поскольку он не вклю¬
чает изменения аэродинамических коэффициентов из-за измене¬
ния угла атаки. Влияние изменения угла атаки на аэродина¬
мические коэффициенты не может быть корректно оценено в
настоящий момент вследствие недостаточного знания самой ве¬
личины коэффициента аккомодации, а также влияния коэффи¬
циента аккомодации на изменение температуры поверхности
аппарата, возникающее при вариации угла атаки.
2. Постоянная скорость, постоянный угол атаки, v — const,
следовательно, v = 0, Fsр = const, a = const, а значит, у = y(t) и
7.3] МЕХАНИКА ПОЛЕТА САТЕЛЛОИДА 141
F = F(t) \ поскольку y = y{t), угол 0 наклона траектории к мест¬
ному горизонту, так же как и 0, должен отличаться от нуля.
Основные уравнения, определяющие траекторию, суть:
mv = 0 = F cos а — D — gtn sin 0, (7.18)
mvb = Fsina + L — gappmcosQy (7.19)
где
2арр = ,£Гоо[1-(-у2].
Из уравнения (7.18)
f=JD_ + J?msin0_
cos a cos a v 7
Подставляя значение F из выражения (7.20) в уравнение (7.19),
получаем:
mv& = qSCD tg a + gtn sin 0 tg a + qSCL — gappm cos 0, )
или 1 (7.21)
mvb = m (g sin 0 tg a - gapp cos 0) + qS (CL + CD tg a). J
Разрешая это уравнение относительно динамического напора,
находим:
mu0 + т (gapp cos 0 g sin 0 tg a)
ч S(C,KbI„) • <7-22>
Также имеет место соотношение
q = <Tp00f2/2,
откуда
или
2m ( u0 + gapp cos 0 — g sin 0 tg a ^
CT = 'V'l Ci + ^tga J.
2 W / v0 + gapp cos 0 — g sin 0 tg a
a =
^OO^OO^2 S \ CL + CD^a
). (7.23)
Это уравнение дает изменение высоты как функцию веса при
постоянном угле атаки. Для 0 = 0 и 0 = 0 только gapp остается в
числителе внутри скобок и уравнение (7.23) сводится к уравне¬
нию (7.10).
142 ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ [ГЛ. 7
Вес топлива дается соотношениями1)
t
Гр = -J— f F dt, (7.24)
rsP J
F = — = (7-25)
cos a 2 cos a r 47
так что
v2SC 1
Г„ =
p 2F cos
sp о
Мгновенное значение веса составляет:
i
Г
fs-J р (')<«• (7-26)
o2SCn Г
Г = Г0 - Гр (0 = Го - 2/7 c”a J Р (t) dt. (7.27)
sp О
Это уравнение учитывает изменение высоты.
Подстановка уравнения (7.27) в уравнение (7.10), замена
р/роо на а и решение относительно р дают:
ГК® со\х'(—Л Г
Р W = v2S (СL + СD tg a) ~ fspcosa(CL + CDtga) j P ® dt (7'28)
Дифференцирование равенства (7.28) по времени дает урав¬
нение
q Г j __ (
TF = “Т ^7—Р (0. (7-29)
dt Fsp cos a (СL + CD tg a) ^ w '
которое можно записать в форме
cJi-Ufl
= !: \ Of / J J± /у OQ4
р ^sp cos a (CL + CD tg a)
После интегрирования получаем значение плотности в момент
времени t:
\ с /Г|-(—)*] }
f>(t) = Р,_оехрI — -б ir Ir *—г(- (7.31)
е(=0 Fspcosa(CL + CDtga) J >
!) Соотношение (7.25) справедливо только при 0 = 0. (Прим. ред.)
7.3]
МЕХАНИКА ПОЛЕТА САТЕЛЛОИДА
143
Следовательно, используя соотношение (7.25), находим выра¬
жение для тяги как функции времени:
f «> -1-0 'ехР { - >„ со, . (cL + cD I,«) ) ■ <7-32)
Расход топлива до момента времени t определяем с помощью
выражения (7.26):
WAt) = -
v2SC,
р Sfjpcosa
Pi=0 I г / „ \2-i I X
■Hi)’]
X exp
Упрощая, окончательно имеем:
WM-qt.<lSCL + Clf^ ] I - rap | -
с4-(*Л
Fsp cos a (CL + tg a) _
^spcosa(CL + CD 1§а) / JO
(7.33)
Расход топлива за оборот получаем из выражения (7.33) заме¬
ной t на период обращения
(7.34)
-ш
t
Т V
Используя первое уравнение (7.21) и полагая 0 и б весьма
малыми, можно написать:
«.„'"o-«?o.w-?.-.S(Cl + C„tgo)-ll?,[l -(£)’]• (7.35)
Разрешая относительно W0 и подставляя в выражение (7.33),
получаем окончательно для отношения масс Wo/Wb'.
= ехр
cDxtot
-Ш
vFs cos a CL + CD tg a
(7.36)
где Xtot обозначает всю длину траектории, а не длину Хс одного
оборота.
С целью определения изменения высоты за время полета вы¬
разим зависимость плотности от высоты с помощью формулы
р = р ге-РдУ,
(7.37)
144 ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ [ГЛ. 7
где рг — номинальное значение плотности на высоте уг, а
Ду = у — уг. Принимая в формуле (7.37) р за pf и используя со-.
отношение (7.31), можно написать выражение для рДу:
р Ау = р С°^ 1, ^ ' - 1п~~~, (7.38)
К У ^sp cos a (CL + CD tg а) pr
откуда при t = 0 имеем:
Уо ~ Уг = &Уо = “ J 1п • (7-39)
При t = tb, где tb — суммарное время поддерживаемого полета,
получаем:
Уь~Уг = &Уь = PFspcos[(C^+c|jga) ~ (7-40)
и формула для разности высот в начале и конце полета сател¬
лоида приобретает очень простой вид:
л л \T7)j 1, Го „ ,,ч
Аг/р Ауо-Уь Уо f,Fspcosa(CL +CD tga) р 1п Г6 ‘ (7,4Ч
Среднее значение угла возвышения определяется так:
sin6=J(pL=_J^. ^
tot
Последнее соотношение указывает, что Xtot является не го¬
ризонтальным расстоянием, а наклонной дальностью из-за на¬
клона траектории на угол 0. Истинная горизонтальная
дальность, очевидно, составляет Xtot cos 0. Однако различие
между горизонтальным расстоянием и наклонной дальностью
мало из-за малой величины угла наклона.
То, что изменение высоты действительно совсем мало, иллю¬
стрируется следующим примером. Допустим, что сателлоид на¬
чинает полет на высоте yi=ll3 км (370 000 фут) и имеет сравни¬
тельно большое отношение масс W0/Wb = 4: (In 4= 1,387). Разность
между начальной высотой и высотой в конце работы двигателя,
согласно формуле (7.41), составляет:
1,387
Уь~Уо = —р-.
Как показано в главе 3 тома 1, значение р для этого случая при¬
близительно равно 9у~> так что Af/=12,6 км (41 400 фут).
7.3]
МЕХАНИКА ПОЛЕТА САТЕЛЛОИДА
145
Увеличение высоты составляет около 11% от начального значе¬
ния или 0,00033 от окружности Земли. Поскольку сателлоид
с указанным отношением масс должен совершить много оборо¬
тов, то, очевидно, что средний угол возвышения б весьма мал.
Даже если все увеличение высоты происходило бы за один
оборот, средний угол возвышения составлял бы только Г08".
Подобное отношение масс слишком велико, чтобы быть осу¬
ществленным на практике. Однако если бы оно все-таки было
реализовано, полученное изменение высоты, хотя и малое, вы¬
звало бы уменьшение плотности окружающей среды на 50%.
Это указывает, что важно провести более подробный и точный
анализ уравнений, выведенных в этом разделе и на последую¬
щих страницах.
3. Постоянная скорость, постоянная высота, v = const, значит,
v =0, Fsv = const, а переменна и, следовательно, F = F(t)\ по¬
скольку у = const, то угол наклона траектории 0 должен быть ра¬
вен нулю.
Основные уравнения движения принимают вид:
0 = — D + F cos а, (7.43)
0 = F sin а + L - mgapp, (7.44)
где mgapp=^app — мгновенное значение кажущегося веса кос¬
мического аппарата.
Поскольку интересующий нас диапазон угла атаки а во вре¬
мя маршевого участка полета занимает область сравнительно
малых значений (чтобы лобовое сопротивление не было чрез¬
мерно большим), то последующий анализ можно упростить,
положив cosa~l и sina^a, после чего основные уравнения
запишутся в виде
F-D = 0, (7.45)
Fa + L — И^арр = 0. (7.46)
Поскольку а переменная, то L и D должны быть выражены
через а. Физические особенности свободномолекулярного потока
не таковы, чтобы из них следовала необходимость представле¬
ния аналитического выражения для сопротивления в виде сум¬
мы сопротивления формы Cd0 и сопротивления, зависящего от
угла атаки, CDl(а). Скорее нужно отдельно рассматривать обте¬
кание каждого элемента поверхности, когда он изменяет свой
угол наклона к набегающему молекулярному потоку. Однако
после того как коэффициент сопротивления для данной формы и
данной скорости полета вычислен как функция а, становится
возможным формально выразить полученные кривые в виде
J0 к. Эрике, т. Ц
146
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7.
зависимости CD = CDo + CDl (а) или, в некоторых пределах изме¬
нения а, в форме CD = aa.
Поэтому анализ изменения угла атаки будет приведен для
следующих трех случаев зависимости коэффициента сопротив¬
ления от угла атаки:
Коэффициент подъемной силы во всех случаях определяется
как функция угла атаки с помощью соотношения
Аналитическая методика одинакова во всех случаях: сначала
получаем выражение для F(t) и уравнение для a(t), откуда ва¬
риации тяги AF = F0 — F(t) и угла атаки Да = ао— а(t) могут
быть найдены как функции изменения кажущегося веса ДИ?арр,
которое возникает из-за уменьшения веса топлива.
Случай 1. CDtot = CDo + CDla2.
Подставляя зависимость (7.47) в уравнение (7.45), а соот¬
ношение (7.50) в уравнение (7.46), преобразуем уравнения дви¬
жения к следующему виду:
Преобразование равенства (7.54) приводит к кубическому
уравнению для тяги. Это основное соотношение содержит в ка¬
честве переменных параметров только F и Н7арр;
cDtol = Cd0 + Cdl а2,
Coiot = Cd0 + CDl a,
Cotot = aa.
(7.47)
(7.48)
(7.49)
dC, r
CL = 4Ta = CLa-
(7.50)
(7.51)
(7.52)
(7.53)
/ У
F + C'LqS
что при подстановке в уравнение (7.51) дает:
(7.54)
F3 + F2 [?S (2C'L - CD„)] + F [^S2(cf - 2C'LCDo)\ -
7.3] МЕХАНИКА ПОЛЕТА САТЕЛЛОИДА 147
Решение этого уравнения приводит к следующему несколько
громоздкому выражению для переменной тяги:
F (0 = { - ^ (2 Cl - CDof + (2 C'L - CDa){c? - 2 C'LCDo) +
+ j (/S3C'l CDq + qSCDl U7app) + [ [ - (2C'l - CdJ +
+ (2 C'L - CDo)(CL-2C'LCDo)-j(yq3S3C,L2CDo - qSCD[Wapp)]2 +
+ [1 <?2S2 (c'l - 2C[cJ - j ?2S2 (2Cl - CDofJ]12 }'/3+
+ { - (2CI - Cd0T + (2CL ~ CDo) (C'l - 2C[C J +
+1 ((/Vcl*Cd0 + qSCdlWapp) - [ [ - ^ (2Cl - CaJ +
+ ^-3(2C[ -CDo)(CL-2C'LCDo)-j(q3S3CLCD-qSCDLW!ipp)J +
+ [i^2S2(c22-2C[cJ-l^S2(2Ci-CDo)2p]',2}l/3. (7.56)
Это уравнение дает текущее значение требуемой тяги в за¬
висимости от момента времени t и текущего значения кажуще¬
гося веса. Разность между начальной тягой в любой момент
времени t и тягой в момент времени tb полного выгорания топ¬
лива находится из уравнения (7.56) заменой в нем члена И7арр
на соответствующую разность Д^арр кажущихся весов. Эта раз¬
ность, конечно, представляет собой расход топлива за данный
период времени:
ДГарр=Гр(г)[1-(-£)2]. (7.57)
Для того чтобы найти изменение угла атаки, начнем с урав¬
нения (7.51), разрешив его относительно а:
= (7-58)
Из второго уравнения движения (7.52) находим формулу для
тяги:
F = ~L~C'LqS. (7.59)
Подстановка значения (7.59) в уравнение (7.58) дает:
2 Гарр С[ %
aqSCDL
10*
148
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
или кубическое уравнение для а
(7.60)
которое имеет решение
а =
2qSCD^
W
арр ^
6qSCD^ y^SCD^
2q^DL у
Тогда изменение угла атаки Да = ао— а(/) находится из ре¬
шения (7.61) заменой Waрр на ДИ7арр для рассматриваемого ин¬
тервала времени.
С помощью решения (7.61) можно найги только изменение а
за целый период поддерживаемого полета. Для определения
любого промежуточного значения необходимо знать изменение
расхода топлива с течением времени. Эта величина является
функцией силы тяги и находится из соотношения
Для того чтобы определить изменение угла атаки для заданного
момента полета, скажем, за оборот, необходимо выразить а не
как функцию №арр, а как функцию времени. Разделив равенство
(7.63) на da, имеем:
Дифференцируя уравнение (7.60) по а и заменяя Н7арр на ncWVy
получаем:
а комбинируя равенства (7.64) и (7.65), находим в конечном
dWp = — wSpF dt.
Используя уравнение (7.51), можно исключить F:
dWp =* — wsp(]S (Cd0 + CoL(F)dt.
(7.62)
(7.63)
(7.64)
(7.65)
счете:
Cn. + c:
7.3]
МЕХАНИКА ПОЛЕТА САТЕЛЛОИДА
149
С помощью интегрирования по периоду оборота tr, определяе¬
мому выражением
«о / С', — 2СГ
tr = -
'D о
1 +
3 сг
2., СЖ
I da,
(7.67)
(г +
получаем щг, то есть угол атаки по истечении одного оборота:
3 VCD0CDl ( f cdl\
Щ'-arctg(a,, j/ -j-
'Г>о
3«0 V^DfpDL
CL~2CD0
+ arctg Oq
>/■
CL>L \ trnc®)sp VCDqCDl
'Do
(7.68)
Это уравнение надо решать подбором. Для заданного диапазона
изменения угла атаки от ао до а\ время полета определяется
выражением
f = ■
Сг —2СГ
ао — а1 +
3 V CD0CDl
агсЧ“°/чЬ
— arctg (а,
(7.69)
Случай 2- CDtot ~ сDo + CD[a.
Аналогично предыдущему случаю, получаем:
F(t)=-±(c'LqS-CDoqS) +
+ |/Г — Co0qSy + q2S2Co0CL + qSCoLWaPp»
(7.70)
(7.71)
2 С,
CL~CL
• а0 + ln а0 +
nf>sPtrCDL
CL ~ CL
t = -
C'l-C
a0 + ■
Do
2 Cr
ln-
JDo
(7.72)
(7.73)
150
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
Случай 3. CD{o[ — aa.
В этом случае соответствующие уравнения принимают вид:
4. Угол атаки и тяга постоянны. Когда вес космического ап-
F .
парата уменьшается за счет расхода топлива, член —sinа в
уравнениях движения возрастает и аппарат набирает высоту.
Это вызывает уменьшение сопротивления, так как величина
плотности падает. Однако следствием этого является увеличе¬
ние разности F cos а — D, за счет чего возрастает скорость, и
этот эффект препятствует снижению сопротивления. Уменьше¬
ние плотности можно найти следующим образом. Основные
уравнения движения можно теперь записать в виде
Опять предположим, что 0 и 0 малы и их величинами можно
пренебречь. Решая уравнение (7.79) относительно плотности,
получаем:
-/л ^app-fsina ^om
Р (0 — 2 CLSv2 ’ (7.80)
Начальные условия суть: *о = 0, W=W0, v = v0, а конечные —
t = tb, W = Wо— Wp, v = Vb. Таким образом, используя выра¬
жение (7.80), изменение плотности среды в течение периода
полета сателлоида можно окончательно выразить посредством
следующего удобного соотношения:
F{t) = — ^ C'LqS + -|/i- C'lq2S2 + qSaWapp, (7.74)
F D . Q
v = — cos a я sin 0,
m m s ’
0 = F sin a + L — cos 0 — mt>0.
(7.78)
(7.79)
(7.81)
7.3)
МЕХАНИКА ПОЛЕТА САТЕЛЛОИДА
151
и, если Vb = vc
Ро - Рь = 2
_Го_
cLs
-(*)■
_р_
Го
■-Н
• sin а
(7.82)
Предполагая, что величина сопротивления постоянна, и пре¬
небрегая слагаемым g’sinB, можно проинтегрировать уравнение
(7.78), чтобы получить скорость в конце работы двигателя:
. Fcosa — D . ( mQ\ ,п ооч
°»=»о + ^ 1п(—). (7.83)
Изменение сопротивления будет линейным, по крайней мере для
умеренных вариаций скорости. Следовательно, величину D мож¬
но заменить средним арифметическим начального и конечного
значений D = у (D0 + Db). Полагая CD постоянным, имеем:
D = (Роио + РbvD- (™)
Наряду с другими параметрами уменьшение плотности за¬
висит от начального и конечного значений скорости. Увеличение
скорости, определенное из уравнения (7.83), есть функция отно¬
шения масс и среднего сопротивления. Сопротивление, однако,
как показывает уравнение (7.84), находится по изменениям
плотности и скорости. Следовательно, уравнения с (7.82) по
(7.84) образуют замкнутую систему, которая должна решаться
итерационным способом.
Соотношения, представленные в § 3.3, позволяют осуществить
детальный анализ динамики космических аппаратов с непре¬
рывной тягой при докруговых значениях скорости.
5. Сравнение требований к тяге при различных скоростях.
Период функционирования сателлоида зависит в первую оче¬
редь от расхода топлива и, значит от величины требуемой тяги.
Очевидно, что уровень требуемой тяги уменьшается с умень¬
шением плотности или увеличением высоты. Тем не менее тре¬
бования к тяге в значительной степени определяются также
скоростью полета, особенно в тех случаях, когда величина распо¬
лагаемой аэродинамической подъемной силы много меньше
увеличения кажущегося веса из-за снижения скорости, так что
эта разность должна компенсироваться подъемной составляю¬
щей силы тяги.
Рассмотрим два сателлоида равного веса и с одинаковыми
несущими поверхностями, номинальные скорости полета котд-
152
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
рых v' и v" различны. С величинами эгих скоростей связаны со¬
ответствующие значения кажущихся весов, динамических напо¬
ров и коэффициентов сопротивления, равно как и коэффициен¬
тов подъемной силы. Из уравнения (7.11) можно немедленно
найти отношение двух соответствующих значений требуемой
тяги:
F' ~¥ «„Scisf + tfcisf ■
Когда отклонение величины скорости от круговой превышает
10%, кажущийся вес становится очень большим по сравнению
с подъемной силой, получаемой в случае диффузного отраже¬
ния, так что в первом приближении член, содержащий подъем¬
ную силу, в уравнении можно опустить.
Более того, динамический напор q" можно выразить через q'
/ v" \2
как q'\—r\ , предполагая, что оба космических аппарата летят
на одной и той же высоте и, следовательно, плотность оди¬
накова; уравнение (7.85) можно тогда записать в упрощенном
виде:
F' У «рр f + (4'C'DS)2
Если сателлоид с докруговой скоростью сравнивается с са-
теллоидом, имеющим круговую скорость, то уравнения можно
записать так:
_F_
F
при учете аэродинамической подъемной силы и
F
' лГ ГНЖ+/JLV^4
у (»А,л +U/K
(7.88)
при пренебрежении соответствующими членами. Индекс «с» ука¬
зывает на величины параметров, относящихся к сагеллоиду с
круговой скоростью.
7.41
АЭРОТЕРМОДИНАМИКА САТЕЛЛОИДЛ
153
7.4. Аэротермодинамика сателлоида
Из-за упоминавшихся выше технических требований аэро¬
динамика сателлоида является, в сущности, аэродинамикой сво¬
бодномолекулярного потока. В этом случае аэродинамические
коэффициенты зависят в значительной степени от физики взаи¬
модействия между молекулами и стенкой движущегося тела
[5-13].
Теория различает три основных типа взаимодействия:
зеркальное отражение,
диффузное упругое отражение,
диффузное неупругое отражение.
Зеркальное отражение предполагает, что молекулы отра¬
жаются от стенки под углом, равным углу падения (оптическое
отражение). Составляющая импульса молекулы, перпендикуляр¬
ная к стенке, меняет знак, а изменение касательной составляю¬
щей равно нулю, то есть касательная составляющая импульса
не передается стенке и, следовательно, сила трения на стенке
равна нулю. По этим причинам сопротивление в случае
зеркального отражения мало, а подъемная сила сравнительно
велика.
Если мы будем рассматривать обычные металлические по¬
верхности, необходимо предположить, что отражение будет почти
полностью диффузным. Эту ситуацию можно сравнить с па¬
дением теннисного мяча на булыжную мостовую. Строго говоря,
это сравнение применимо только к упругому диффузному отра¬
жению, когда время соприкосновения между молекулой и стен¬
кой настолько мало, что обмена энергией между ними не про¬
исходит; например, несколько соударений молекул воздуха
о стенку, если молекулы попадают в углубление стенки [14].
Если же имеет место большое число столкновений (от десяти до
тысячи и более), стенка и поток обмениваются энергией. Моле¬
кулы, обладающие высокой скоростью, будут передавать энер¬
гию стенке, и отражение становится неупругим. В случае диффуз¬
ного упругого отражения нормальная к стенке составляющая
импульса меняет свой знак, как и в случае зеркального отраже¬
ния, но весь касательный импульс передается стенке, так что
сила трения («сопротивление трения») становится очень боль¬
шой. По этим причинам сила сопротивления много больше, а
подъемная сила много меньше, чем в случае зеркального отра¬
жения.
То же самое в основном верно и для диффузного неупругого
отражения. Касательная составляющая импульса передается
стенке. Нормальная составляющая импульса не просто меняет
154
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
знак, сохраняясь по модулю, как прежде, но частично расхо¬
дуется на возбуждение молекул стенки и высших степеней сво¬
боды молекул потока, так что термин «диффузноеть» в этом слу¬
чае относится не только к направлению отражения, но также к
величине импульса отдачи покидающей стенку молекулы. С воз¬
растанием времени взаимодействия возбуждаются сперва по¬
ступательные, а затем вращательные и, наконец, колебательные
степени свободы ударяющейся о стенку молекулы. Если энергия
соударения (скорость движения) достаточно велика, а время
взаимодействия значительно, колебательные степени свободы
двухатомных молекул могут быть настолько возбуждены, что
наступит диссоциация.
Космический аппарат, движущийся с круговой скоростью на
высотах, характерных для сателлоида, обладает удельной энер¬
гией порядка 7,6ккал/г. Энергия диссоциации водорода, азота и
кислорода составляет соответственно 51,6; 9,758 и 5,11 ккал/г.
Таким образом, круговая скорость сателлоида является до¬
статочной для диссоциации азота и, еще более вероятно, кисло¬
рода. Однако большая часть кислорода на этих высотах, по-види¬
мому, постоянно находится в диссоциированном состоянии из-за
условий окружающей среды, на что указывают спектральные ха¬
рактеристики полярных сияний и ночного неба. Одноатомный
кислород образуется фотохимическим путем с помощью ультра¬
фиолетового излучения. Имеет место определенное изменение
концентрации одноатомного кислорода в зависимости от вре¬
мени суток, что объясняется частичной рекомбинацией его до
молекулярного состояния при отсутствии солнечного света. Влия¬
нием диссоциации или даже ионизации на аэродинамические ко¬
эффициенты в свободномолекулярном потоке можно пренебречь
в первом приближении, когда рассматриваются только энергети¬
ческие соображения1). Помимо этого, учтем, что для возбужде¬
ния колебательной степени свободы требуется значительное
время взаимодействия. Следовательно, можно принимать во вни¬
мание только поступательные и вращательные степени свободы.
Дальнейшие уточнения нуждаются, по-видимому, в дополнитель¬
ных наземных экспериментах и главным образом в данных по¬
летных испытаний в свободномолекулярном потоке при натураль¬
ном масштабе скоростей. Измерения на спускающемся спутнике
могли бы быть чрезвычайно полезны для получения надежной
информации в этом вопросе.
9 Этот вывод неприменим к континуальному потоку даже при малых
скоростях, во-первых, потому, что кислород в естественном состоянии не дис¬
социирован, а во-вторых, поскольку все молекулы испытывают много боль¬
шее число соударений в пограничном слое.
7.4]
АЭРОТЕРМОДИНАМИКА САТЕЛЛОИДА
155
Степень энергетического взаимодействия молекул газа со
стенкой учитывается коэффициентом аккомодации [11]
й = 1гаг* (7-89)
где Ei — энергия набегающего потока, Ег — энергия отражен¬
ных молекул, a Ew — средняя энергия молекул газа при темпе¬
ратуре, равной температуре стенки.
Для поступательных и вращательных коэффициентов акко¬
модации (см. работы [14—20], взятые из библиографии в [21])
указан широкий диапазон значений. Последние данные [19] го¬
ворят о том, что наиболее вероятное значение коэффициента
аккомодации лежит между 0,87 и 0,97. Однако эти измерения
велись при таких отношениях молекулярных скоростей, которые
меньше интересующих нас здесь значений. Таким образом, сей¬
час невозможно определить «правдоподобный» коэффициент
аккомодации, и расчеты будут ограничены двумя граничными
ситуациями: а = 0 (упругое отражение; нет обмена энергией со
стенкой) и а=1 (абсолютно неупругое отражение).
Если допустить возможность зеркального отражения, можно,
используя вместо энергии температуру, записать выражение для
коэффициента аккомодации в следующем виде:
a=f^yт~, (7.90)
■*0 1 W
где Т0 — температура торможения в набегающем потоке со ста¬
тической температурой Тс, а Тг — температура отраженного по¬
тока. При полностью диффузном отражении /=1 и а = 0 для аб¬
солютно упругого рассеяния (кинетическая энергия набегаю¬
щего и отраженного потоков та же самая, следовательно, их теп¬
ловые температуры те же) и а= 1 для абсолютно неупругого
рассеяния (в этом случае Tr = Tw).
а) Аэродинамические коэффициенты. Аэродинамические ко¬
эффициенты находятся с помощью надлежащего применения
фундаментальных уравнений, определяющих давление в набе¬
гающем и отраженном потоках и касательное напряжение на
стенке. Вывод их помещен в различных книгах, посвященных
вопросам аэродинамики свободномолекулярного потока [5—13].
Давление, производимое налетающими молекулами, отно¬
сится к динамическому напору q = v2y как
~ e~s2sina + ■• + sin2 aj[! + erf (ssina)]. (7.91)
156 ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ [ГЛ. 7
Давление в потоке отраженных молекул:
-?Г = гк e_s2sin“ + Цг НГ If[1 + erf (s sin “)!• (7-92)
Касательное напряжение, создающееся при передаче каса¬
тельной составляющей импульса газа стенке, составляет:
— = e~s2 sin2 ° 4- sin a cos а [ 1 + erf (s sin а)]. (7.93)
q S У тс
При расчете касательного напряжения не нужно различать
напряжения, вызываемого падающими и отраженными моле¬
кулами, поскольку при диффузном рассеянии не существует
определенного направления отражения и, следовательно, тг = 0,
тогда как т=тг-.
В случае зеркального отражения касательная составляющая
импульса вообще не передается стенке и, следовательно, т = 0.
Для диффузного отражения в общем случае коэффициенты
сопротивления и подъемной силы для плоской пластины при
угле атаки а находятся из соотношений:
D Г Др . (а) Дрг(аП . 2 т (а)
CD=^s=[— д q J s,nct + cos а (7.94)
И
L (а) Др (а) ] 2т (а) . ,п
CL = ^S=[—q q J C0S ° q Sln “* <7-95>
Здесь Дpi(a) представляет собой разность между давлениями,
создаваемыми набегающими молекулами на лобовой и задней
стенках:
A р, (a) = pi (a) - pi (- a). (7.96)
Подобным же образом Дрг(ос) есть разность между давлениями,
вызываемыми отраженными молекулами на лобовой и задней
стенках:
- Дрг (- а) = Рг (а) - Рг (- а). (7.97)
Поскольку тг = 0, сумма всех сил трения 2^ = 2^ состав¬
ляет:
2т(а) = т(а)-т(-а). (7.98)
7.4]
АЭРОТЕРМОДИНАМИКА САТЕЛЛОИДА
157
Преобразуя уравнения (7.94) и (7.95) с помощью соотноше¬
ний (7.91), (7.92) и (7.93), получаем для такой пластины выра¬
жения:
Со ‘ е"' + If+2 sin “ (‘ + i-)erf (s sln “>
(7.99)
и _
~ sin a cos a Cr . cos a . ч /7 ,лт
CL = ^ -gj- + ^2 erf (s Sin a). (7.100)
Для упругого диффузного рассеяния
/ VT7
Яг- = -^—====- = -^т=- = 1 (7.101)
с‘ /*.£*
и для абсолютно неупругого рассеяния
irrY1^' (7Л02)
В последнем случае необходимо перед определением аэроди¬
намических коэффициентов найти температуру на стенке.
Для достаточно больших скоростей полета, таких, что
s sin а>сп11 давление на задней стороне тела равно нулю и, сле¬
довательно, Pi(—a)=0, pr(—a)=0, т(—a)=0. В том диапазоне
скоростей, который рассматривается здесь, эти соотношения оп¬
ределенно верны для «фюзеляжа» сателлоида и в некоторых
случаях справедливы для задней плоскости его крыльев, уста¬
новленных под некоторым углом атаки.
Если рассмотрим клин с полууглом раствора р, обтекаемый
под углом атаки а, го найдем те же соотношения, что даются
уравнениями (7.96), (7.97), (7.98), только а заменяется на 6 =
= a + p, а —а заменяется на —6 = a — р. Если коэффициент со¬
противления клина надо отнести к миделеву сечению, то в при¬
веденных выше выражениях члены, в которые входят давление
и сила трения, надо разделить на cos a.
Ранее было установлено, что в случае зеркального отраже¬
ния pr = pi и т=:0, так что
qCDs = [2pi (a) -2pt{- a)] sin a, (7.103)
qCLs = [2pi (a) - 2pi (- a)] cos a, (7.104)
158
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
что дает:
CDs = ^ у- sin2 а • e~~s2s[n2a-\- ^ 2 s^-— + 4 sin3aj erf (5 sin a), (7.105)
Cl = —sin a cos a • e~s2 sin2 a + / 2cos -+ sin2 a cos a ] erf (s sin a).
s S V тс V S2 1
(7.106)
Дифференцирование по углу атаки выражений для коэффи¬
циента подъемной силы в случае диффузного и зеркального от¬
ражений дает уравнения поляр (7.12а) и (7.13а).
б) Температура поверхности сателлоида. При расчете тем¬
пературы поверхности сателлоида в свободномолекулярном
потоке в основном использовался метод, указанный в [21], при¬
чем учитывались новые данные о параметрах атмосферы. Также
предполагалось, что теплопередача из внутренней полости
сателлоида отсутствует и что тепло не удаляется с помощью
внутреннего охлаждения или других методов искусственного
охлаждения (неохлаждаемая изолированная обшивка).
Основное уравнение баланса энергии дает:
Ei-Ri = Er-Rn (7.107)
где Ei — энергия, отдаваемая стенке набегающими молекулами,
а Ri — энергия радиации, приходящейся на стенку. Индекс «г»
обозначает излучаемую энергию. Равновесная температура
стенки дается, как показано в [21] для одноатомного газа,
следующей формулой, где вся энергия, приносимая молеку¬
лами, зависит от их поступательного движения, Ei = Et, а
*S0 = 1,92—^ постоянная Солнца на расстоянии одной
см • мин
астрономической единицы от него:
aEt — ankTw 4-eS© — eoTAw =0. (7.108)
Можно видеть, что для коэффициента аккомодации а = 0 тем¬
пература стенки определяется только радиационным равнове¬
сием. Следовательно, в последующих вычислениях будет рас¬
сматриваться только случай а= 1, который особенно важен, так
как здесь получаются наиболее высокие значения температуры
стенки (однако при изменении а от 0,7 до 1,0 увеличение темпе¬
ратуры стенки не очень значительно). При этих условиях ура¬
внение для температуры стенки в случае одноатомного газа та¬
ково:
Е^ —g tikTщ + gSq — еоТw = 0, (7.109)
7.4] АЭРОТЕРМОДИНАМИКА САТЕЛЛОИДА 159
Для двухатомного газа энергию налетающей молекулы мож¬
но разделить на энергии поступательного и вращательного дви¬
жений согласно соотношению £* = Et + nER. При а = 1 уравне¬
ние выглядит следующим образом:
Et + nkTi — nkTw + eSQ — eoT4w = 0. (7.110)
Для смеси одноатомного (индекс ') и двухатомного (ин¬
декс ") газов уравнение можно записать в виде
Et + Е" + n'kTt - {п + п")-|kTw + eS© -soT4w = 0. (7.111)
Некоторые входящие сюда параметры будут определены ниже.
Число молекул воздуха п, попадающих на 1 см2 поверхности
в секунду, дается формулой
п =■ Ncj?± {e-s2sin26_j_ ]/nssin6[l + erf (s sin6)]}, (7.112)
2 у гс
где
— число молекул воздуха в единице объема,
cm = }/r2gjfT (7.114)
— наиболее вероятная скорость молекул в покоящемся газе,
б — угол наклона (полуугол раствора клина ± угол атаки) об¬
текаемой поверхности. В формулах (7.113) и (7.114): NA =-
= 6,02 • 1026 —^ число Авогадро, gp— плотность в кг/см3,
кмоль
М — молекулярный вес в кг/кмоль, а Г — местная абсолютная
температура.
Поступательная энергия молекул, попадающих на переднюю
сторону стенки, дается соотношением
Et = n(^ + ykT), (7.115)
где, согласно [21],
1 + А- 5 sin б [1 + erf (5 sin 6)] es2 sin2 6
Ф = 1 + 7= ТГ- (7.116)
1 + s sin 6 [1 4- erf (s sin 6)] e
Для v = 0 = s (космический аппарат неподвижен) ф = 2,
что дает хорошо известное соотношение Et = 2tikT для поступа¬
тельной кинетической энергии молекул стационарного газа,
160 Полет с Малой Тягой ггл. 1
пересекающих данную плоскость. Для очень больших значений
u(s sin 6> 1,6) ф становится равным 5/2.
Для используемой здесь модели атмосферы предполагается,
что до 110 км она состоит из молекулярных азота и кислорода.
В этом случае Et вычисляется непосредственно. Молекулярный
вес воздуха принимается равным 28,95^29, а масса одной мо¬
лекулы
т = -jjjf- ** 4,81 • 1СГ23 г. (7.117)
На высотах около 130 км и выше атмосфера предполагается со-
стояще из N2 и атомарного кислорода. В этом случае
E't = n(^-v2 + ^kT), (7.118)
Е'/ = п" (^У2 + #Г), (7.119)
п' + п" = п, (7.120)
где п' и п" представляют собой соответственно число частиц
атомарного кислорода и двухатомного азота, попадающих на
единицу площади поверхности за секунду. Общее число частиц
п вычисляется согласно формуле (7.112), причем в качестве но¬
вого молекулярного веса используется М = 24. При полностью
диссоциированном кислороде весовое соотношение кислорода и
азота находится в пределах от 0,23 : 0,77 до 0,374 : 0,626.
Число частиц атомарного кислорода п' получаем из равен¬
ства
n' = n'*NA, (7.121)
где
П'* = %г (М' = 16) (7.122)
— число киломолей атомарного кислорода, попадающих на еди¬
ницу площади поверхности за секунду,
W' = 0,374я'М (М = 24) (7.123)
— вес молекул атомарного кислорода, попадающих на единицу
площади поверхности за секунду, а
n=~tr (7Л24)
'V А
— число киломолей воздуха, попадающих на единицу площади
поверхности за секунду [вес молекул воздуха, налетающих на
7.5]
САТНЛЛОЙД земли
161
поверхность, составляет W = п*М (М = 24)]; п вычисляется со¬
гласно формуле (7.112), причем М = 24. Точно так же находится
число молекул азота, попадающих на единицу площади стенки
за секунду. При определении п" следует использовать вместо
коэффициента 0,374 коэффициент 0,626.
7.5. Сателлоид Земли
В этом параграфе с помощью некоторых ранее выведенных
соотношений даются некоторые численные оценки сателлоида
Земли.
Рис. 7.2. Зависимость динамического напора от
высоты при местной круговой скорости (атмо¬
сфера Хавенса — Колла — Лагова).
На рис. 7.2 показана зависимость динамического напора от
высоты при местной круговой скорости. При построении гра¬
фика использовались характеристики атмосферы, приведенные
на рис. 3.18 (глава 3 тома I) для модели атмосферы Хавенса —
Колла — Лагова.
11 К. Эрике, т. II
162
ПОЛЕТ С МАЛОЙ тягой
[ГЛ. 7
На рис. 7.3 представлена зависимость динамического напора
от скорости для большого числа высот. Сравнение двух графи¬
ков показывает, что в границах рассматриваемого диапазона
скоростей влияние высоты на величину динамического напора
значительно превосходит влияние скорости.
Рис. 7.3. Зависимость динамического напора от
скорости для разных высот (атмосфера
Хавенса — Колла — Лагова).
Величина отношения скоростей s — vc/cm для сателлоида с
круговой скоростью представлена на рис. 7.4 как функция вы¬
соты. Для вычисления ст использовалось соотношение (7.114).
Для двух различных диапазонов высоты были приняты два зна¬
чения молекулярного веса. Кривая, разделяющая эти диапа¬
зоны, обозначена крупным пунктиром. В действительности, по¬
скольку возрастание степени диссоциации будет постепенным,
более вероятно, что этой кривой будет соответствовать линия,
проведенная мелким пунктиром. Отношение скоростей, которое,
грубо говоря, является в молекулярном потоке аналогом числа
7.5]
САТЕЛЛОИД ЗЕМЛИ
163
Маха, используемого в континуальном потоке, значительно из¬
меняется с высотой и достигает весьма больших значений в диа¬
пазоне малых высот.
С помощью соотношений (7.100) и (7.106) на рис. 7.5 по¬
строена зависимость коэффициента подъемной силы для пла¬
стины в функции угла атаки. В качестве параметра исполь¬
зуются различные отношения скоростей и рассматривается как
90 %
80 ^
701
во I
SO I
90 700 710 120 130 140 150 160
Высота у (ш)
Рис. 7.4. Отношение скоростей как функция высоты
для сателлоида с круговой скоростью.
vc = f (у) — круговая скорость; cm = f(T, М) — наиболее вероят¬
ная скорость молекул; М — молекулярный вес.
диффузное, так и зеркальное отражения. Рис. 7.6, являющийся
результатом численных расчетов по формулам (7.99) и (7.Ю5)
для случаев диффузного и зеркального отражений, показывает
изменение коэффициента сопротивления в зависимости от угла
атаки для различных значений s. Сравнение рис. 7.5 и 7.6 от¬
четливо показывает преимущества зеркального отражения, если
оно может быть реализовано. Наклон кривой коэффициента
подъемной силы для диффузного отражения практически по¬
стоянен при всех рассмотренных скоростях, в то время как для
зеркального отражения в изучаемой области наклон возрастает
с увеличением угла атаки. При диффузном отражении коэф¬
фициент подъемной силы обращается в нуль, когда скорость
И*
164
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
неограниченно возрастает. Из уравнения (7.100) немедленно
следует, что величина Сь должна в предельном случае равняться
нулю, в то время как для зеркального отражения
(сд^оо = 4 sin2 a cos а. (7.125)
Это вдвое больше значения, которое получено для гиперзвуко-
вого предельного случая в континуальном потоке. Этот послед¬
ний случай соответствует вязкому ньютонову течению (вязкость
Угол атака а (градусы)
Рис. 7.5. Сравнение коэффициентов подъемной силы
для гладкой пластины в свободномолекулярном
потоке.
обусловливается торможением набегающих молекул в погра¬
ничном слое). Следовательно, равенство (7.125) дает величину
коэффициента подъемной силы в идеальном ньютоновом потоке
с бесконечной скоростью. Для коэффициента диффузного сопро¬
тивления в этом случае получаем:
{Ср)$-+оо = 2 sin а, (7.126)
7.5]
САТЕЛЛОИД ЗЕМЛИ
165
тогда как для зеркального отражения
(Сп ) = 4 sin3 а.
V «?/£-> ОО
(7.127)
На рис. 7.7 представлена зависимость параметра сопротивле¬
ния qCD от коэффициента сопротивления для случая круговой
скорости при нескольких значениях высоты. Основываясь на
10
0,9
0,8
0,7
I 0,6
i
Г
1 0,4
1
£
у
4
S =
■-10
V/
f.
х
/
V
✓Ч
soo
i
¥
/
Диффузно¬
упругое
отражение
¥
\
j
rs=10
\Г12
U 74
-А 16
1р
р
/
S= 14
X
У
/
-oo
Зеркальное
отражение
\
/
'/
1 I
Л
У
/Г s
— со
1 -
О 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
Угол атаки а (градусы)
Рис. 7.6. Сравнение коэффициентов сопротивления
для гладкой пластины в свободномолекулярном
потоке.
найденных ранее значениях динамического напора, была полу¬
чена в соответствии с уравнением (7.2) кривая зависимости рас¬
хода топлива (в фунтах за секунду на квадратный фут миде-
лева сечения) от высоты при круговой скорости. Она изобра¬
жена на рис. 7.8 для нескольких значений удельной тяги. CD
было принято равным 0,1 с тем, чтобы упростить использование
графика для других значений Ср, поскольку расход топлива
166 ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ [ГЛ. 7
прямо пропорционален коэффициенту сопротивления. На более
обобщенном графике (рис. 7.9) расход топлива на квадрат¬
ный фут за секунду дан в зависимости от -рА- для некоторых
sp
10-5\
О 0,1 Ц2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
Коэффициент сопротивления Од
Рис. 7.7. Изменение параметра сопротивления kQ
в зависимости от коэффициента сопротивления для
сателлоида с круговой скоростью.
характерных высот. Стрелки около каждой кривой указывают,
какую абсциссу графика (верхнюю или нижнюю) надо исполь¬
зовать.
Предполагая, что профиль сателлоида будет представлять
собой клин с полууглом раствора 10°-f-200, из рис. 7.6 получим
значение коэффициента сопротивления порядка 0,35^-0,70. Для
Ср — 0,7 расход топлива на квадратный фут мидедеца сечения
7.5]
САТЕЛЛОИД ЗЕМЛИ
167
за оборот представлен на рис. 7.10 как функция высоты для раз¬
личных значений удельной тяги. Удельная тяга в 250 се/с может
быть реализована без труда, например на основе кислородного
окислителя и газолина в качестве горючего. Приняв это значение,
Рис. 7.8. Зависимость расхода топлива с высотой
для различных значений удельного импульса.
(Сателлоид с круговой скоростью; CD = 0,1.)
получим, что расход топлива составит менее чем 1 фунт/фут2Х
Хоборот («42,6 н/м2 • оборот) на высотах порядка 115 км
(380 000 фут). На больших высотах величина удельной тяги уже
не так важна, поскольку рассматриваются очень большие вре^
мена пребывания сателлоида на орбите.
При использовании предыдущей информации и представлен¬
ных в § 7.3 [п. (а)] теоретических соотношений была рассчитана
168
Полет с малой тягой
[Гл. 1
для конкретного примера зависимость основных параметров са¬
теллоида с круговой скоростью от высоты. Результаты пока¬
заны на рис. 7.11 и 7.12. Для веса космического аппарата после
Ь/Ь^сйг)
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Т
-/Fsp (w 5сен)
Рис. 7.9. Расход топлива за секунду на единицу
площади миделева сечения как функция коэф¬
фициента сопротивления и удельного импульса для
различных высот. (Сателлоид с круговой ско¬
ростью.)
полного расхода топлива было принято значение 10000 фунт
(4,45-Ю н). Величина площади крыльев 500 фут2 была полу¬
чена из условия, что при планирующем спуске на поверхность
Земли желательна малая нагрузка на крыло, не превосходящая
20 фунт 1353 рис. 7.Ц показывает, что на высотах ниже
фут2 \ м2)
7.5]
САТЕЛЛОИД ЗЕМЛИ
169
115 км параметры сателлоида для одного оборота практически
постоянны, то есть отношение масс, необходимое для одного
оборота, очень близко к единице. Выше 115 км расход топ¬
лива на один оборот падает до величин, меньших 20 фунт
(79 н), если в качестве топлива используются кислород и газо¬
лин со средним удельным весом 8,3 фунт/галлон (около 9 н/л)
Рис. 7.10. Расход топлива сателлоидом нлединицу
площади несущей поверхности за оборот.
Это означает, что расход топлива на высоте 115 км составляет
2,8 галлона (11,2 л) на оборот или, другими словами, 8200 мор¬
ских миль на 1 галлон (3570 км на 1 л) топлива.
Тяга равна «сухому» весу космического аппарата, умножен¬
ному на величину перегрузки пь, показанную на рис. 7.12. В при¬
веденном выше примере величина тяги составляет 10 фунт
(4,45 н). В таких очень малых двигателях, по-видимому, можно
будет осуществлять точное регулирование тяги, необходимое
Для поддержания постоянных условий полета.
170
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
На рис. 7.13 для условий нашего примера показаны время
пребывания на орбите и число оборотов, которые может совер¬
шить сателлоид при расходе 1000 фунт (4,45 • 103 н) топлива и
удельной тяге 250 сек. На высоте 115 км сателлоид совершает
три оборота, что соответствует времени пребывания на орбите
Рис. 7.11. Зависимость параметров, характеризую¬
щих полет сателлоида за один оборот, от вы¬
соты. (Скорость круговая.)
^sp “ 250 сек'> С£) = 0,35 (диффузное отражение);
И^=104 фунт (44,5- Юз «); 5 = 500 фут2 (46,5 м2).
около четырех часов. Отношение времени пребывания к затра¬
там топлива быстро растет с высотой. Для высоты 127 км время
нахождения на орбите составляет 24 ч, что соответствует 18060-
ротам на постоянной высоте. Расходуя 100 фунт топлива, мож¬
но оставаться на орбите неделю, если ее высота 147,5 км
(484 000 фут).
Возможность создания сателлоида с докруговой скоростью
изучалась посредством сравнения отношения тяги F при полете
с докруговой скоростью с тягой Fc при полете с круговой ско¬
ростью (рис. 7.14), причем при вычислении аэродинамического
7.5]
САТЕЛЛОИД ЗЕМЛИ
171
коэффициента подъемной силы предполагалось, что отражение
диффузное. Найдено, что требуемый уровень тяги быстро воз¬
растает по мере того, как скорость становится докруговой. На¬
пример, при условиях, указанных на рис. 7.14, уменьшение
скорости до 0,933 vc вызывает увеличение тяги в 10 раз. Это, ко¬
нечно, обусловливается малой аэродинамической подъемной си-
Рис. 7.12. Зависимость начального и конечного
значений тяговооруженности сателлоида от высоты
п0 — начальная перегрузка; — перегрузка в конце актив¬
ного участка полета: FSp=250 сек; = 104 фунт;
S = 500 фут2; Ср = 0,35 (диффузное отражение); скорость
круговая; период 1 оборот.
лой, так что практически все увеличение кажущегося веса дол¬
жно компенсироваться тягой. Из-за очень сильного роста тре¬
буемого уровня тяги вертикальную составляющую тяги нельзя
создать просто увеличением угла атаки, как в случае обычных
аппаратов с ракетными двигательными установками. Необхо¬
димо существенно увеличить суммарную величину тяги. Следует
указать, что кривая (рис. 7.14) была рассчитана при том упро¬
щающем предположении, что коэффициент сопротивления по¬
стоянен. С увеличением угла атаки коэффициент сопротивления
172
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
также становится больше, что вызывает дальнейшее увеличение
требований к тяге.
Здесь следует упомянуть о том, что попытки расчета тре¬
бований к тяге при полете с докруговой скоростью для случая
зеркального отражения дали еще большее значение отно¬
шения F/Fc. Однако это происходит главным образом из-за того
Рис. 7.13. Время существования сателлоида при
расходе топлива 1000 фунт (4450 н).
Wb = 104 фунт; WQ = 1,1 • 104 фунт; S = 500 фут2; CD= 0,35;
обстоятельства, что при малых наклонах пластин (малых углах
раствора клина) и зеркальном отражении коэффициент сопро¬
тивления близок к нулю, поэтому тяга в случае полета с круго¬
вой скоростью также исчезающе мала.
Следовательно, вне зависимости от типа молекулярного от¬
ражения уменьшение номинальной скорости сателлоида ниже
7.5]
САТЕЛЛОИД ЗЕМЛИ
173
круговой сопровождается значительным увеличением требуемой
тяги и расхода топлива. Это утверждение справедливо только
для условий в свободномолекулярном потоке, который здесь и
рассматривается. Отношение F/Fc станет, без сомнения, более
благоприятным, если, выйдя из области свободномолекулярного
потока, спуститься на меньшую высоту, где можно получить
большую подъемную силу. Однако по¬
скольку увеличение подъемной силы
в значительной степени будет проис¬
ходить за счет роста динамического
напора, то сопротивление тоже возрас¬
тет, так что даже для большего аэро¬
динамического качества уменьшение
F/Fc в основном будет обязано возрас¬
танию величины Fc. Далее, аэродина¬
мический нагрев в этом случае будет
ограничивать практически доступный
диапазон докруговых скоростей до
значительно меньших значений, чем
рассматриваемые на рис. 7.14.
До сих пор не исследовался случай
выхода из области свободномолеку¬
лярного потока. Однако чувствуется,
что его изучение представляет инте¬
рес. При этом можно было бы при¬
менить теоретический анализ, пред¬
ставленный в § 7.3.
Результаты анализа рис. 7.14 по¬
зволяют сделать интересный вывод о
том, что сателлоид с круговой ско¬
ростью должен иметь резерв тяги по¬
рядка 400-^-600%, для того чтобы быть
в состоянии вернуться к номинальным условиям полета, если
скорость временно снизится. Однако это ограничение несуще¬
ственно, поскольку номинальное значение тяги очень мало.
Для оценок температуры на поверхности сателлоида в сво¬
бодномолекулярном потоке на рис. 7.15 даны кривые, характе¬
ризующие число молекул, соударяющихся с квадратным футом
обтекаемой поверхности за секунду, для различных значений
s sin 6 [б — полуугол раствора клина р или сумма р и угла ата¬
ки (р + а)]. Температуры поверхности (в предположении, что
нет теплопередачи во внутреннюю полость сателлоида) даны
на рис. 7.16 для двух случаев: наличия и отсутствия солнечной
радиации. Эти два случая грубо соответствуют полету на днев¬
ной и ночной сторонах Земли. На высотах между 90 и 100 км
20 г
£
15-
1,0 0,98 0,96 0,94 0,92 0,90 0,88 0,86
Отношение скоростей v/vc
Рис. 7.14. Сравнение тре¬
буемой тяги для сателлоида
с круговой и докруговой
скоростями.
Отклонения от круговой скорости
малы; сопротивление обусло¬
влено диффузным отражением;
CD = 0,1; подъемной силой нре-
небрегается Вес аппарата W
= 104 фунт; площадь несущей
поверхности S = 500 фут2; высота
орбиты у = 90 км (295 000 фут);
динамический напор
q = 2,58 фунт/фут2 (1,24 н/м2).
174
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
ГГЛ. 7
влияние солнечной радиации мало. Выше 130 км разница ста¬
новится заметной.
Однако на высоте около 110 км (360 000 фут) температуры
перестают быть критическими или даже жесткими с техниче¬
ской точки зрения, если принять во внимание, что периодиче¬
ская смена солнечного освещения и тени Земли, а также демп¬
фирующий эффект теплоемко¬
сти аппарата в действительно¬
сти значительно уменьшат экс¬
тремумы, показанные на рис.
7.16. Более того, в течение
постепенного аэродинамиче¬
ского спуска будут возникать
много большие температуры.
Именно они будут определять
параметры системы тепловой
защиты 1). Следовательно,
крейсерский полет сателлоида,
если высота траектории превы¬
шает 100-И 15 км, не предъяв¬
ляет больших требований к
тепловой защите, даже если
рассматриваются большие вре¬
мена пребывания на орбите с
использованием некриогенных
топлив.
Результаты расчетов по¬
казывают, что сателлоид при
полете с круговой скоростью
на высотах, близких к 115 км
(380 000 фут) или выше, расхо¬
дует мало топлива за оборот.
Если коэффициенты сопротив¬
ления, отнесенные к создаю¬
щей подъемную силу поверх¬
ности, составляют 0,35 ч- 0,70, а удельная тяга равна 250 сек,
величина расхода топлива на высоте 120 км лежит между
0,25 и 0,50 фунт на 1 фут2 за оборот (12 и 24 я на 1 м2 за
оборот). Сателлоид с полезным весом 10 000 фунт (4,45* 104 н)
и несущей поверхностью 500 фут2 (46,5 м2), расходуя 1000 фунт
(4,45-ДО3 н) топлива при удельной тяге 250 сек, может оста¬
ваться на орбите высотой 120 км 0,5 сут, совершая за это вре¬
да 100 110 1?0 130 140 150 160
у (км)
Рис. 7.15. Число молекул, сталки¬
вающихся за одну секунду с несу¬
щей поверхностью площадью 1 фут2
(0,09 м2).
На высотах от 90 км до 110 км атмосфера
состоит из N2, 02; от 130 км до 160 км — из
N2, О; в диапазоне 110-г-130 км — смешан¬
ный состав атмосферы.
!) Обычно сказанное относится только к спускаемому аппарату, а не ко
всему сателлоиду. {Прим. ред.)
7.5]
САТЕЛЛОИД ЗЕМЛИ
175
мя по отношению к инерциальному пространству 8,5 оборота.
На высоте 147,5 км время пребывания на орбите при тех же
прочих условиях составит неделю, или 115 оборотов. Пассив¬
ный спутник на такой высоте не совершил бы и одного оборота.
90 км
100км
110 км
130 км
(-140 км
160 км
— 130 км
— 140 км
— 160 км
О 1 2 3 4 5
s sin S
Рис. 7.16. Температура поверхности сателлоида
(лобовая часть).
ст = V2g {RIM) Т — наиболее вероятная скорость молекул
газа в состоянии покоя.
Оценка аэродинамического нагрева показывает, что для по¬
лета на высотах выше 110 км и при не очень наклоненных к на¬
правлению потока поверхностях (^15°) можно ожидать срав¬
нительно низких значений температуры обшивки.
Находящийся на круговой орбите сателлоид с непрерывной
тягой в свободномолекулярном потоке должен иметь круговую
скорость. В земной атмосфере ему следует двигаться на высотах
110 км или выше.
Проведенный выше анализ основан на формальном пред¬
положении о том, что Земля является идеальной сферой и что,
1 J 1
‘ v=26ОООфут/сек (7917м/сек)
при солнечной радиации,
_ v= 26000фут/се к (7917м/сек) '
без солнечной радиации
_ v -20000фут/сек (6020м/сек^
без солнечной радиации ^
176
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
следовательно, возможен полет на постоянной высоте или с по¬
стоянной скоростью вдоль траектории. В действительности са-
теллоид с круговой скоростью, номинальная орбита которого
определяется требованием равенства нулю радиального ускоре¬
ния, то есть условием равновесия между центробежной силой и
силой тяжести, будет следовать по возмущенной траектории,
которая будет испытывать довольно большие вариации высоты
и в меньшей степени — скорости. На рис. 7.17 показана некая
О 30 ВО 90 60 30 О -30 -60-90-120-150-180°
Широта
Рис. 7.17. Полярная траектория полета сателлоида с круговой
скоростью вокруг Земли, форма которой описывается уравне¬
нием международного опорного эллипсоида.
идеальная полярная траектория сателлоида с круговой ско¬
ростью, рассчитанная на цифровой машине из следующих усло¬
вий: сателлоид выведен на местную круговую орбиту (вектор
скорости горизонтален) высотой 105,6 км (346 500 фут) со
скоростью 7844,64 м/сек в точку с широтой 30° с. ш. курсом на
север; в качестве модели Земли взят международный опорный
эллипсоид [см. уравнение1) (1.3.196), дающее (г00)ф для а0 =
= (Пзо)о]-
Из графика, приведенного на рис. 7.17, видно, что высота
полета сателлоида колеблется между 326 000 фут (100 км) над
экватором и 402 000 фут (123 км) над полюсом, то есть ампли¬
туда колебаний высоты составляет значительную долю номи¬
нальной высоты траектории. Из рис. 7.12 видно, что такие коле¬
бания высоты теоретически требуют изменения ускорения тяги
0 Здесь и далее ссылки на уравнения, таблицы и рисунки тома 1
даются в аналогичном виде. {Прим. ред.)
7.6]
МЕХАНИКА ПОЛЕТА С МАЛОЙ ТЯГОЙ
177
примерно в 20 раз. В действительности, однако, изохорические
линии атмосферы на данной высоте будут, вероятно, не в пол¬
ной мере отслеживать форму Земли, так что на практике ва¬
риация ускорения будет меньшей. Из-за сплюснутости Земли
орбитальная скорость полета сателлоида изменяется от
7848,60 м/сек (над экватором) до 7834,58 м/сек (над полюсом).
7.6. Механика полета с малой тягой
Принципиальная важность исследования динамики космиче¬
ского полета с малым ускорением всеми хорошо осознана, по¬
скольку малость ускорения является характерной чертой почти
всех двигательных систем с удельным импульсом, превосходя¬
щим соответствующий предел для химических ракет. Основные
причины возникновения интереса к этим системам заключаются
в следующем:
а) они способны обеспечить более низкое отношение масс
для данной задачи (тем самым в большей степени облегчается
решение трудной и дорогостоящей задачи пуска с Земли);
б) они могут обеспечить более короткие времена полета к
другим планетам, особенно к планетам группы Юпитера, по¬
скольку двигатели малой тяги способны с увеличением расстоя¬
ния перелета создавать весьма большие скорости (см. также
§ 9.16);
в) создание постоянного не очень малого ускорения (напри¬
мер, больше 0,01 g), помимо решительного сокращения времени
перелета даже к таким близким, как Луна, телам, позволило бы
в большой степени улучшить условия жизнедеятельности эки¬
пажа и облегчило бы решение многих проблем биологического,
биотехнического и энергетического характера (таких, как тепло¬
отвод), связанных с продолжительным пребыванием в состоя¬
нии невесомости.
Расход массы '^"==^г прямо пропорционален величине тя¬
ги F и обратно пропорционален величине скорости истечения
ve=gooIsp, то есть т = —. Значения тяги, создающей сравни-
р
тельно большие ускорения, например порядка =п = 0,1,
gootn
требуют, следовательно, слишком большого массового расхода
(начальный вес становится огромным), если удельный импульс
^sp не очень велик. Уменьшение тяговооруженности до значе¬
ний, меньших чем 0,1 (скажем, 10“2 или 10_3), позволило бы
снизить расход массы т, однако удлинило бы время активного
полета и, значит, также увеличило бы расход топлива. Эконо¬
мичность в этом случае была бы даже еще хуже, чем прежде,
12 К. Эрике, т. И
178
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
поскольку значительную массу топлива пришлось бы подни¬
мать на большую высоту, прежде чем его израсходовать.
Соответствующие гравитационные потери высоки, как было пока¬
зано ранее (см. главы 5 и 6). При определенных условиях гра¬
витационные потери могут перекрыть выигрыш, полученный
с помощью умеренного увеличения удельного импульса, так что
расход топлива для выполнения данной задачи увеличится, а не
уменьшится и основная цель, ради которой увеличивали удель¬
ный импульс, не будет достигнута. Другими словами, всякое
уменьшение ускорения и соответствующее удлинение периода
полета с работающей двигательной установкой должно сопро¬
вождаться адекватным увеличением удельного импульса для
того, чтобы быть оправданным. Точное определение того, что
следует понимать под «адекватным» увеличением удельного им¬
пульса /зР, зависит от трех факторов: мощности гравитацион¬
ного поля, в котором выполняется маневр, требуемого измене¬
ния скорости (то есть энергетической характеристики маневра)
и величины удельного импульса. Если гравитационное поле сла¬
бо (например, гелиоцентрическое поле на расстояниях, больших
или равных одной астрономической единице), заданное умень¬
шение ускорения для того, чтобы стать оправданным, требует
много меньшего удельного увеличения импульса /sp, чем в силь¬
ном гравитационном поле (типа поля Земли на малых высотах
над ее поверхностью). Если требуемое изменение скорости мало,
УхМеньшение ускорения также требует меньшего увеличения /8р,
чем большое изменение скорости. Наконец, если удельный им¬
пульс высок (скажем, несколько тысяч секунд), заданное
уменьшение ускорения требует меньшего увеличения /8р, чем в
случае меньшего удельного импульса (порядка нескольких со¬
тен секунд).
Это очевидно из уравнения для отношения масс \х =
= ехр|——]. Если /8р велико, р совсем нечувствительно к
I &00 sp J
вариациям Дц, которые отражают изменения величины гравита¬
ционных потерь из-за изменения ускорения или являются след¬
ствием изменений энергетических характеристик маневра. Чем
выше /8р, тем меньше доля топлива в общей массе аппарата и
тем меньше, следовательно, влияние того обстоятельства, что
это количество топлива приходится в случае малого ускорения
переносить на большие расстояния.
Системы с высоким удельным импульсом /8р (см. § 9.16)
типа электрореактивных двигательных установок могут, следо¬
вательно, действовать с очень малыми ускорениями даже в
сильных полях тяготения планет без значительного ущерба в
экономических характеристиках из-за гравитационных потерь.
7.6]
МЕХАНИКА ПОЛЕТА С МАЛОЙ ТЯГОЙ
179
Этот факт имеет фундаментальное значение при оценке прак¬
тической пригодности таких двигательных систем, поскольку с
увеличением удельного импульса многие важные факторы
имеют тенденцию уменьшать допустимый уровень тяги, а зна¬
чит, и ускорения тяги. Эти вопросы будут обсуждаться в то¬
ме III настоящей книги.
Важные соотношения между удельным импульсом (или ско¬
ростью истечения), временем t активного полета и идеальной
скоростью Via (обобщенной характеристикой энергетического
уровня маневра и гравитационных потерь) легко устанавли¬
ваются с помощью следующего простого анализа. Заметим сна¬
чала, что удельный импульс есть мера энергии, содержащейся в
реактивной струе. Для ракет на химическом топливе эта энергия
обычно выражается в единицах разности энтальпий Ah [ккал/Г],
вто время как для электрореактивных двигателей энергия выра-
квт • сек 0
жается в электрических единицах, например в j,—. Здесь
мы будем выражать энергию в электрических единицах, исполь¬
зуя в качестве единицы веса килограмм:
1
ккал . л кет • сек
= 4,186
кГ
кГ
Скорость истечения, выраженная через Ah j, состав¬
ляет:
ve = ]/2go0/ Ah = 91,5 YAh [м/сек],
где g*00 = 9,81 м/сек2 — гравитационное ускорение на поверхно¬
сти Земли, а / = 426,944 кГм/ккал — переходный множитель для
энергии. Отсюда
/5р = ve/gQo = 9,34 У Ah [ккал/кГ] [сек],
Ah =
'sp
ккал
кГ
87,2356
А с, т2 л2/.2 Г кет кет-сек!
Д£ = x/sp — %Fjw [^77^ = ——!’
х = 4,186/87,2356 = 4,795 • КГ2 [-^
(7.128)
кет
сек2 кГ/сек кГ • сек
]■
где F — тяга (в кГ), w — весовой расход (в кГ/сек), а АЕ —
более общее обозначение для разности энергий вместо разности
Ah тепловых энергий (энтальпий).
Под «разностью» мы понимаем разность между энергией
газа при истечении и энергией газа перед расширением, то есть
кинетическую энергию истекающей струи, которая может быть
12*
180
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
газовыми продуктами горения, газом, нагретым извне (от ядер-
ного реактора), или потоком электрически заряженных частиц.
Величина энергии, требуемой для образования 1 кГ тяги при
заданном значении удельного импульса, получается при умно¬
жении АЕ на w/F= l//sp:
A£//sp = ДЕ [кГ тяги] = 4,795 • 10~2/sp =
sp ■
кет
7SP
20,855
кГ тяги
1 102/ п дж 1 ,
= * 7.129а
J 20,855 . н • сек J 4 7
Энергия, требуемая для образования 1 фунта тяги при задан¬
ном удельном импульсе, находится делением ранее приведен¬
ного числа на 2,2:
кет
АЕ [фунт тяги] = 2,18 • 10 2/sp = - sp
фунт тяги
(7.129Ь)
45,91
Мощность истекающей струи при заданной тяге есть мощность
реактивного двигателя
Pj = АЕ [кГ тяги] • F [кГ]. (7.130а)
Суммарная мощность двигательной системы есть
P = YPl> (7.130b)
где е — коэффициент эффективности преобразования мощности.
На практике всегда е<1, что означает, что двигательная система
не полностью использует располагаемую мощность при создании
тяги истекающей струи. В химических системах, например, газ не
может расширяться до нулевого значения энтальпии. То же са¬
мое справедливо для систем, использующих внешнее нагревание
газа, но с одним важным отличием. В ракетной двигательной
установке на химическом топливе с заданным уровнем тяги ма¬
лая величина е означает высокий массовый расход. Получаю¬
щееся в результате увеличение веса топлива значительно превос¬
ходит увеличение веса оборудования (большие баки, большие
насосы, большая мощность турбины, большие диаметры трубо¬
проводов, более тяжелые пневматические системы для подачи
топлива из баков).
В случае нагреваемого (за счет внешнего источника) газа
требуется более мощный источник энергии. Остальные эффекты
остаются в общем качественно такими же, как и для химических
систем (хотя и не обязательно сохранение количественных харак¬
теристик). В системах, где источник энергии и рабочее тело раз¬
делены, необходимо принимать во внимание влияние коэффи¬
циента е на систему преобразования энергии, которая отдает
мощность Р двигателю. Чем меньше 8 для данной тяги, тем боль-
7.6]
МЕХАНИКА ПОЛЕТА С МАЛОЙ ТЯГОЙ
181
ше должна быть мощность Р, значит, тем тяжелее должны быть
источник энергии и (в случае электрических двигателей) система
преобразования энергии. Заметим, что на габариты источника
энергии и величину выходной мощности дополнительно влияет
собственная внутренняя эффективность системы преобразования.
Таким образом, мы имеем, по существу, три параметра, характе¬
ризующих мощность. Перечислим их в порядке возрастания:
мощность реактивной струи Pj, мощность P = Pj/e, расходуемая
на создание тяги струи, и выходная мощность источника энергии
Р0 = Я/ес, где 8С — эффективность системы преобразования энер¬
гии. Здесь мы, не затрагивая вопросов, связанных с Ро и ес, бу¬
дем рассматривать только Pj и е.
Тяга теперь может быть определена соотношением
еР \квт] Pi [кет]
F = 45,91 —} = 45,91 — [фунт] =
sp
sp
= 20,855 Р![квт] [к/-], | (7.131)
sp
F= 1476
еР [кет]
ve{t) [фут!сек]
[фунт].
Общий расход топлива за t секунд горения составляет:
Wp = g,Mmp =
= 1476g00 J
dt = 4,75 • 104
I
J
e(QP(0
(t)
dt, (7.132a)
тогда при постоянных e, P и ve
Wp = 4,75 • 104-^ t = 45,91 1 [фунт],
ve ^sp
Wa
Wo-Wp
= eVi&lve,
viwn
Wq 4,75- 104e*
'">Ш
(7.132b)
(7.133)
Если W0 — вес аппарата в начале активного полета, Wb —
«сухой» вес без веса WP двигательной системы (то есть без всех
компонент, чей вес является функцией мощности струи Pj), Wp—
182 ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ [ГЛ. 7
вес остатков топлива в конце активного полета, —вес полез¬
ной нагрузки, то
, 1 „ Р * (7-134)
• = £ = 1 - аж- ~ А>
Г„ ~ ь ” Wо
W
где а = —-j£ отношение веса всех компонент двигательной
системы к отдаваемой ею мощности, то есть, другими словами,
а характеризует удельный вес двигательной системы на единицу
мощности; Л — фактор нагрузки для данного периода активного
полета
WP е Р
А = = 4,75 • 104 -2 ty (7 135)
r0 vj W0
так что, выражая через 7sp,
г_е-чл+|. ,) (7.136а)
или
£ = е-'Н’еЫ) +_W™L_ [e-7(V'id) _ i]. (7Л36Ь)
4,75 • 104 -Ц-
aviA
Полезно более внимательно рассмотреть член ^4,75 • Ю4^. Его
можно выразить в форме
4,75-10
а а Р aePj
Мощность истекающей струи Pj характеризует кинетическую
'Ир0* п
энергию —-—,так что если Pj задано в механических единицах,
а не в электрических, как раньше, то
^goo'V = 2§00*
aePj ае
Последнее выражение имеет размерность квадрата скорости.
W
С другой стороны, учитывая, что а = -у~, находим:
7.6] МЕХАНИКА ПОЛЕТА С МАЛОЙ ТЯГОЙ 183
Отсюда, извлекая квадратный корень, получаем:
218 —. / WD Г 2gQnt
\Фут/сек] = юеу —-у—. (7.137)
Это выражение соответствует выражению для скорости, выве¬
денному другим путем Лэнгмюром и Ирвингом1), которую они
назвали характеристической скоростью.
Суммарная мощность, требуемая для создания единицы тяги,
может быть записана через /зр и е:
Р 9 L Г кет 1 о L Г кет 1
T_2,18.10-!-f [_j_4,90-10-»-f I—j- (7.138)
Отношение масс, необходимое для данного периода активного
полета, минимально, когда £ максимальна. При минимальном
отношении масс вес полезной нагрузки максимален при задан¬
ном весе двигательной системы и прочих конструктивных па¬
раметрах. Для случая, когда £ максимальна, dtjd(ve/v^) =0. Обо-
v / ach \2
значая —— = хА = с, имеем:
uid V vid J
~ 1 п п 7
dx
с
-Цх
-Г [с + 2х3 (1 - е'1х) + х2] = 0,
откуда
или2)
(7-139)
= (7.140)
yid ^id f L ^id J
Изобразив это уравнение графически как зависимость от
V:
id
f opt
ve opt / \ i
получим кривую —- 1 =% -— , где у -> 1 для очень
uid yid \ yid /
больших значений t>ChMd. Для того чтобы получить зависимость
се opt от Uid, необходимо построить график ~ °Pt — X- Это соотно
vch
]) См. ‘главы 9 и 10 сборника «Космическая техника» под редакцией
Г. Сейферта. [В русском переводе (изд-во «Наука», 1964) соответствуют гла¬
вам 7 и 8. (Прим. ред.)]
2) В литературе имеются другие способы оптимизации скорости истече¬
ния (см. [33—36, 39—41]).
184
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
шение представлено на рис. 7.18. График связывает оптимальную
(то есть соответствующую £ = тах) постоянную скорость истече¬
ния с tJjd для двигательной системы постоянной тяги с отдель¬
ным источником мощности. Анализ уравнения (7.136Ь) показы¬
вает, что весовое отношение £ становится отрицательным для
—^->0,804, если скорость истечения постоянна. Поэтому гра-
VCh
фик на рис. 7.18 построен только до значения = 0,8.
Следует помнить, что V& характеризует активный маневр в
целом, то есть приращение скорости за счет работы двигателя и
гравитационные потери. Рис. 7.18
позволяет быстро определить
«адекватное» изменение /8р (об
этом см. выше в настоящем пара¬
графе), когда изменяются усло¬
вия задачи или отношение тяги
к весу.
Механика межорбитальных
перелетов с малой тягой в основ¬
ном рассматривает ускорения,
меньшие одной сотой ускорения
земного притяжения. Соответ¬
ствующими двигательными систе¬
мами являются в первую очередь
электростатические системы (на¬
пример, ионные двигательные
установки) и электродинамиче¬
ские системы (например, плазменные двигательные установки).
Ожидается, что первые образцы таких систем, которые будут го¬
товы к использованию во второй половине шестидесятых годов,
дадут ускорения в диапазоне от 50 до 150 pg (1 pg = 10~6 g)y то
есть это ускорение будет намного ниже местного гравитацион¬
ного ускорения вблизи планет и даже вблизи многих спутников
планет. Оно будет того же порядка или на порядок меньше, чем
местное гравитационное ускорение в гелиоцентрическом про¬
странстве1), и будет иметь тот же уровень, что и многие грави-.
тационные возмущения, которые будут действовать на межпла¬
нетный космический аппарат. Это обстоятельство предопреде¬
ляет весьма большую длительность активного полета (по срав¬
нению с системами большой тяги, дающими^О,^) и во многих
случаях также большие времена выполнения всей задачи. Вслед¬
Рис. 7.18. Зависимость постоян¬
ной оптимальной скорости исте¬
чения для постоянной тяги от
требуемой идеальной скорости,
заданной в единицах характери¬
стической скорости.
!) Имеются в виду относительно близкие к орбите Земли области гелио¬
центрического пространства. {Прим. перев.)
МЕХАНИКА ПОЛЕТА С МАЛОЙ ТЯГОЙ
185
ствие этого полет должен быть активным на всем протяжении от
орбиты старта до орбиты назначения.
При расчете активной траектории можно иметь в виду сле¬
дующие четыре возможных варианта:
а) предварительный выбор траектории и определение про¬
граммы для вектора тяги, которая реализует данную траекторию;
б) предварительный выбор программы для модуля тяги [и
(или) для ориентации вектора тяги] как функции времени с по¬
следующим расчетом траектории;
в) нахождение для данной задачи (определяемой началь¬
ными и конечными граничными условиями) программы для мо¬
дуля и направления вектора тяги, которая максимизирует полез¬
ную нагрузку (минимизирует отношение масс);
г) нахождение программы изменения только ориентации век¬
тора тяги при заданной заранее величине тяги, которая для кон¬
кретной задачи максимизирует полезную нагрузку ‘(минимизи¬
рует отношение масс для заданной зависимости модуля тяги
от времени).
В первом случае надо выбрать конкретную спиральную
траекторию и определить требуемые значения величины и на¬
правления тяги в каждой ее точке. Подобные исследования
были выполнены Форбсом [24] и Майчельсеном [25]. Форбс осно¬
вывал свой анализ на большом числе допущений, имевших своей
целью получить данный вид траектории (например, логариф¬
мическую спираль). Майчельсен находил программу для вектора
тяги (по величине и направлению) для целого ряда заранее полу¬
ченных траекторий и путем сравнения выбирал из них наилуч¬
шую.
Второй подход в основном аналогичен первому. Величина век¬
тора тяги изменяется в соответствии с программой, предопреде¬
ляемой инженерными соображениями или условиями задачи, или
же обоими этими факторами, в то время как ориентация вектора
тяги является свободным параметром. С другой стороны, на
ориентацию вектора тяги также могут быть наложены определен¬
ные ограничения: например, ускорение радиально на протяжении
одной части полета и трансверсально в течение другой. Подоб¬
ные органичения могут с первого взгляда казаться искусствен¬
ными, но, будучи применены к траекториям автоматических
станций с двигателями малой тяги, способствуют на практике
упрощению навигационной методики. Значительное число полу¬
чающихся при этом траекторий является пригодным (по край¬
ней м.ере в первом приближении) для конкретных задач. Среди
этой совокупности траекторий можно выбрать наиболее выгод¬
ные (с точки зрения существенных для данной задачи критериев)
и затем уточнить их.
186
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
При выборе одной из этих альтернатив уменьшение тяги мо¬
жет сопровождаться (а может и не сопровождаться) соответ¬
ствующим изменением удельного импульса. В частности, в слу¬
чае электростатических двигательных установок есть основание
надеяться, что на практике может иметь место широкая вариа¬
ция удельного импульса в диапазоне от 5000 сек до, возможно,
50 000 се/с, которая позволит мощности выходной струи оста¬
ваться постоянной за счет увеличения удельного импульса при
уменьшении тяги и наоборот (см. § 7.12). Если так, то влияние
уменьшения тяги в «крейсерском режиме» между маневрами на
экономичность старта и прибытия существенно усилится. Интуи¬
тивно ясно, что космический аппарат с переменной тягой должен
действовать в режиме большей (относительно) тяги при уходе от
планеты и затем двигаться на малой тяге в течение периода пере¬
лета в слабом гелиоцентрическом поле (особенно, если это со¬
провождается увеличением удельного импульса) подобно само¬
лету, двигатели которого работают на полную мощность во вре¬
мя взлета и набора высоты, а затем дросселируются в течение
экономичного крейсерского режима.
Итак, при использовании второй из вышеупомянутых методик
проверяются различные типы функций тяги, например, такое
уменьшение тяги, что ускорение остается постоянным (в против¬
ном случае оно возрастало бы с расходом топлива), или умень¬
шение тяги со временем по какому-либо другому закону. Для ка¬
ждого из этих законов получаются различные орбиты в зависи¬
мости от программы ориентации вектора тяги. Возьмем для
примера перелет от орбиты Земли к орбите Марса. Если бы
ориентация вектора тяги все время оставалась радиальной, кос¬
мический аппарат достиг бы орбиты Марса с трансверсальной
составляющей скорости, равной соответствующей составляющей
скорости Земли. Это означает, что угловая скорость движения
аппарата вокруг Солнца примерно вдвое превышала бы угловую
скорость Марса, и для перехода на орбиту Марса было бы недо¬
статочно уменьшить до нуля радиальную скорость космического
аппарата (сейчас мы не учитываем марсианского поля тяготе¬
ния). Следовательно, необходимо где-то «по дороге» уменьшить
трансверсальную составляющую скорости путем ориентации век¬
тора тяги таким образом, чтобы возникло отрицательное транс-
версальное ускорение. Это в свою очередь временно уменьшит ра¬
диальную составляющую или приведет к тому, что снижение тяги
(и, возможно, увеличение удельного импульса) будет меньшим.
Сразу видно, что перед нами встает здесь несколько вопро¬
сов: 1) следует ли нам устранять избыток трансверсальной ско¬
рости в ранней или поздней стадиях перелета; 2) следует ли ста¬
раться ликвидировать этот избыток за относительно короткий
7.6]
МЕХАНИКА ПОЛЕТА С МАЛОЙ ТЯГОЙ
187
период или мы можем делать это постепенно на протяжении все¬
го перелета; 3) когда бы мы ни делали это, должны ли мы умень¬
шать радиальную тягу, когда увеличиваем трансверсальную со¬
ставляющую тяги (то есть надо ли делать вариацию величины
тяги независимой от изменения ориентации тяги), или нам сле¬
дует поддерживать одну из составляющих тяги постоянной и из¬
менять тягу, когда мы варьируем величину другой ее составляю¬
щей. Отвечая на эти и другие подобные вопросы, мы могли бы
исследовать влияние выбора той или иной альтернативы в инди¬
видуальных случаях, сравнить значения продолжительности по¬
лета и расхода топлива, полученные для тех орбит перелета, ко¬
торые близки к удовлетворению краевых условий данной задачи
(в нашем примере: перелет между орбитами Земли и Марса), и
затем сконцентрировать свое внимание на наиболее благоприят¬
ных вариантах для их дальнейшего уточнения. Мы не будем, од¬
нако, действовать бессистемно, поскольку можем заранее пред¬
видеть некоторые определенные тенденции. Подобно самолету,
который должен сначала набрать высоту, а затем скорость, наш
межпланетный корабль должен сперва увеличить геоцентриче¬
ское расстояние, а потом уменьшить трансверсальную составляю¬
щую скорости. Если бы он замедлялся с самого начала, его ор¬
бита уходила бы внутрь орбиты Земли, так как возникала бы от¬
рицательная составляющая радиального ускорения и топливо
бесполезно расходовалось бы из-за слишком раннего трансвер-
сального торможения. С другой стороны, если мы сначала уве¬
личиваем расстояние, то скоро попадаем в область, где величина
трансверсальной скорости является избыточной, так что мы мо¬
жем начинать сбрасывать ее, не мешая при этом радиальному
движению. Позднее надо уменьшать каким-либо образом ра¬
диальное ускорение, чтобы помешать космическому аппарату
подняться выше орбиты Марса. Итак, мы можем заключить, что
в начальной стадии полета направление тяги в основном ра¬
диально; позднее, когда радиальная составляющая может быть
уменьшена, на этот маневр накладывается трансверсальное тор¬
можение (если мы желаем совершить очень быстрый перелет, то
нам следует, конечно, создавать большое радиальное ускорение
в течение первой фазы полета, а на оставшейся части пути при¬
кладывать отрицательное радиальное ускорение *); это не меняет
наших прежних выводов, но в большой степени увеличивает
расход топлива, то есть уменьшает полезную нагрузку при
!) При радиальном разгоне отрицательное радиальное ускорение во вто¬
рой фазе полета приходится создавать всегда. В противном случае (берем
используемый автором пример) космический аппарат выйдет на сильно эллип¬
тическую орбиту, расстояние до афелия которой будет больше радиуса орбиты
Марса. (Прим. персе.)
188
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
сокращении времени перелета). Отметим, что приведенный вы¬
вод отнюдь не означает, что ускорение тяги в начальный момент
должно всегда быть радиальным.
Радиальное ускорение является весьма неэффективным сред¬
ством увеличения орбитальной энергии, а именно это мы и
должны делать при перелете Земля — Марс. Трансверсальное
ускорение представляет собой более эффективное средство, по¬
зволяющее к тому же сократить время полета. Действительно,
это единственный способ уменьшить периоды перелета при ис¬
пользовании двигательной установки большой тяги (см. главу
9). Но мы не можем использовать его здесь прямо, поскольку
уже располагаем большей трансверсальной скоростью, чем у
Марса, за счет большой скорости движения по орбите Земли.
Таким образом, мы можем предполагать, что в- начальный мо¬
мент вектор ускорения должен быть в основном радиальным с
небольшой положительной трансверсальной составляющей (эта
составляющая будет больше, если в качестве цели выбирать
орбиты далеких планет, например Юпитера). На более поздних
стадиях полета радиальная составляющая должна быть умень¬
шена (до нуля или отрицательного значения в зависимости от
начальной величины ускорения и длительности полета), а транс-
версальная составляющая становится отрицательной, уменьшая
угловую скорость до величины, соответствующей орбите цели,
к которой мы приближаемся. Если эта орбита круговая, ра¬
диальная составляющая скорости должна быть обращена в нуль.
Подобным же образом можно качественно охарактеризовать
программу ориентации вектора тяги при полете к внутренним
планетам, например к орбите Венеры.
Выше нами была рассмотрена сущность механики межорби-
тальных перелетов с малой тягой. Учет возмущений вводит
дополнительные условия, но слабые возмущения не вносят каче¬
ственных изменений. Если бы мы, следуя второй из указанных
ранее методик, провели расчет большого числа траекторий, то
нашли бы, что программы ориентации вектора тяги, близкие к
приведенной схеме, позволяют осуществить перелет с наиболь¬
шими значениями полезной нагрузки.
Однако эта методика, подобно первой, имеет принципиальный
недостаток, состоящий в том, что если даже общий характер
траектории предопределен, то остается еще большое число воз¬
можных программ, принадлежащих к одному и тому же классу,
любая из которых может быть весьма близкой или, наоборот,
довольно далекой от наилучшей программы, обеспечивающей
максимум полезной нагрузки при заданном времени перелета.
Другими словами, число свободных параметров еще так велико,
что оптимизация траектории перелета в конкретной задаче ме¬
7.6]
МЕХАНИКА ПОЛЕТА С МАЛОЙ ТЯГОЙ
189
тодом проб и ошибок даже с помощью электронной вычисли¬
тельной машины потребовала бы необычайных усилий.
Для того чтобы преодолеть этот недостаток, мы должны по¬
пытаться оптимизировать аналитически программу вектора тяги
либо по величине и направлению, либо только по направлению,
если величина определена независимо. Такая оптимизация яв¬
ляется делом вариационного исчисления. Ограничения задаются
гравитационным полем, в котором происходит переход между ор¬
битами, и краевыми условиями, определяемыми орбитой аппа¬
рата в начале активного маневра и орбитой цели, которой дол¬
жна касаться орбита аппарата в конце активной траектории.
Варианты в) и г) (стр. 185) расчета активных траекторий сво¬
дятся к применению вариационного исчисления.
При третьей из возможных методик тяга свободно меняется
по направлению и величине (теоретически может падать до ну¬
ля, что соответствует крайне высоким удельным импульсам, по¬
рядка нескольких сотен тысяч секунд). Основной задачей яв¬
ляется максимизация полезной нагрузки при заданном верхнем
пределе модуля тяги вне зависимости от времени перелета, то
есть время перелета может быть сокращено только за счет по¬
вышения предела величины тяги. Например, если максимальное
начальное ускорение тяги равно 100 pg\ получаем некоторую дли¬
тельность полета, которая определяется единственно из условия
максимизации полезной нагрузки. В соответствии с этим уско¬
рение тяги вдоль траектории может падать до 1 или даже
меньших значений.
Рассматривая это как некоторый крайний случай, следует
признать подобный анализ чрезвычайно важным. Ирвинг и Блюм
[28] были, по-видимому, первыми, кто сообщил о решении задачи
данного типа. Они оптимизировали вектор тяги по величине и на¬
правлению так, чтобы для перелета Земля — Марс получить ми¬
нимальный вес космического аппарата без полезной нагрузки.
Авторы постулировали возможность использования ионных дви¬
гательных установок и рассматривали вариации удельного им¬
пульса, соответствующие вариациям тяги, вплоть до 300 ООО сек.
Такая постановка задачи, конечно, привела к очень низким зна¬
чениям расхода топлива. Полеты к Марсу с возвращением рас¬
сматривались как сумма двух одинаковых оптимальных переле¬
тов (то есть орбита полета «туда» идентична обратной орбите).
То, что это ведет к некоторой негибкости при планировании опе¬
рации и к долгим периодам пребывания около Марса, осознава¬
лось, конечно, авторами, но рассматривалось как несущественное
при решении модельной задачи оптимизации. Изменение орбит
перелета (ухода от Земли и возвращения) может разнообразить
эту ситуацию. Положение здесь аналогично тому, что описано
190
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
в главе 9 [30—32] для траекторий аппаратов с двигателями боль¬
шой тяги.
Интересной модификацией «неограниченной» минимизации
отношения масс, которая выполняется при использовании третьей
методики, является «ограниченная» минимизация отношения
масс. Ограничение состоит в том, что величина тяги не является
больше свободным параметром. В действительности тяга не мо¬
жет меняться произвольно или так, чтобы сохранять ускорение
постоянным, или еще каким-нибудь предписанным образом. По¬
лучается снова вариационная задача. Разница заключается
в том, что в этом случае мы оптимизируем не направление век¬
тора тяги и его модуль (последний предполагается теперь задан¬
ным заранее), а только направление, причем так, чтобы миними¬
зировать время перелета и, следовательно, расход топлива. На¬
пример, если при перелете Земля — Марс начальное ускорение
составляет 100 \ig, то время перелета, очевидно, сократилось бы
по сравнению с «неограниченной» оптимизацией, если бы вели¬
чина 100 pg поддерживалась на протяжении всей активной траек¬
тории. Задача оптимизации состоит теперь в нахождении такой
программы ориентации тяги, для которой уменьшение времени
полета максимально, поскольку в этом случае увеличение рас¬
хода топлива по сравнению с оптимальным случаем при отсут¬
ствии ограничений на модуль тяги минимально. .Оптимизация
с такими ограничениями наиболее важна для космических аппа¬
ратов с малой тягой, на которых имеются экипажи, поскольку
здесь уменьшение времени полета важнее, чем максимизация
суммарной полезной нагрузки. Эта четвертая постановка задачи
была исследована Фолдерсом [42].
Несколько другой подход к этой же проблеме представлен
в § 7.22. Оптимизация без ограничений на модуль тяги рассмат¬
ривается в § 7.15—7.19. Оба метода оптимизации требуют боль¬
шой вычислительной работы, поскольку оптимальная траектория
и программа тяги находятся численным интегрированием.
Общее аналитическое решение точных уравнений движения
с малой тягой нельзя найти из-за неконсервативного характера
этой системы и нелинейности уравнений. Замкнутые решения
имеют только приближенный характер. Четырьмя наиболее важ¬
ными упрощениями являются следующие предположения:
1) движение происходит в центральном поле сил;
2) вектор тяги имеет фиксированную ориентацию;
3) ускорение постоянно;
4) нелинейные эффекты не учитываются.
Первое предположение часто оказывается существенным
в противоположность ситуации при использовании большой тяги.
В последнем случае время работы двигателя настолько мало,
МАНЁВРЫ ПРИ КОНЕЧНОМ ЗНАЧЕНИИ УСКОРЕНИЯ
191
а сама тяга настолько велика, что возмущениями в течение ак¬
тивного участка можно пренебречь. Это, вообще говоря, неверно
для двигателей малой тяги.
При втором упрощении направление вектора тяги предпола¬
гается либо касательным к траектории полета, либо радиальным,
либо трансверсальным. Подобные ограничения не позволяют оп¬
тимизировать направление вектора тяги с целью минимизации
расхода энергии. Помимо этого, становится невозможным пари¬
ровать возмущения. Третье упрощение означает, что либо тяга
постоянна и постоянна масса космического аппарата (очень вы¬
сокий удельный импульс), либо тяга изменяется таким образом,
что отношение F/m(t) тяги к мгновенной массе аппарата сохра¬
няется постоянным. Это — несколько искусственное предположе¬
ние, которое, однако, может оказаться справедливым для ионных
систем, регулируемых, по-видимому, в широком диапазоне уско¬
рений. Четвертое упрощение базируется на той концепции, что
малую тягу можно рассматривать как возмущающую силу.
После того как эта сила действует некоторое время, использова¬
ние элементов исходной невозмущенной орбиты становится бес¬
смысленным, так как отклонения от нее слишком велики. Перво¬
начальные граничные условия тем самым более неприменимы
(из-за высших порядков возмущений), и результаты становятся
все менее точными. Здесь существует предел для пренебрежения
эффектами высокого порядка.
Если стараться улучшить любое из этих упрощений, например
использовать разложение в ряды, то уравнения быстро стано¬
вятся непригодными для аналитического решения и в то же
время еще недостаточно точными для расчета активных траекто¬
рий в течение дней или недель. Наконец, если любое из этих
упрощений заменить точным условием, становится неизбежным
численное интегрирование.
По этой причине «точные» расчеты траекторий, которые тре¬
буются для навигации при реальных полетах, должны быть вы¬
полнены на электронной вычислительной машине. Перкинс [26]
показал, что при определенных условиях (которые по случай¬
ному совпадению включают первые три из приведенных упроще¬
ний) траектории малой тяги могут быть выражены в удобной
обобщенной безразмерной форме. Этот вопрос будет обсуждать¬
ся в § 7.11.
7.7. Маневры при конечном значении ускорения
В предшествующих главах с целью упрощения орбитальные
маневры предполагались импульсными. Это в свою очередь пред¬
полагало, что тяговооруженность бесконечно велика и изменение
орбитальных элементов происходит мгновенно. На практике эти
192
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
Ц\Л. 7
условия являются довольно хорошим приближением тогда, когда
длительность активного участка полета мала по сравнению с пе¬
риодом обращения тела по мгновенной орбите (или, для гипер¬
болической траектории, по сравнению со временем полета от
перицентра до точки, где значение истинной аномалии весьма
близко к предельному). При этих условиях активные «кусочки»
траектории лежат почти на исходной орбите, гравитационные по¬
тери пренебрежимо малы, а возмущения «не имеют времени»
для того, чтобы повлиять на активную траекторию. Если умень¬
шать тяговооруженность, ситуация начнет меняться. Прежде
всего уже на активном участке траектория начнет значительно
отклоняться от первоначальной. В случае ускоренного движения
это означает, что нельзя более пренебрегать смещением аппарата
на активном участке за счет вновь созданного ускорения, а так¬
же пренебрегать гравитационными потерями. Помимо этого,
имеет место постепенное изменение всех орбитальных элементов,
что требует предварительного выбора программы работы двига¬
теля, если условия его выключения должны обеспечивать задан¬
ные значения оскулирующих элементов. Наконец, если тяго¬
вооруженность становится крайне малой, необходимо учитывать
возможность очень длинных активных участков, занимающих
более или менее значительное число оборотов аппарата. Уско¬
рение тяги теперь может иметь тот же порядок величины, что и
ускорения возмущающих гравитационных полей. Это ведет к
дальнейшему усложнению программы активного полета, осо¬
бенно если требуется высокая навигационная точность.
В этом параграфе рассматривается диапазон ускорений от
больших, но ограниченных, до умеренно малых (Ю-3^). До¬
полнительное обсуждение этого режима содержится в § 7.12.
Предполагается, что тяга направлена по касательной, поскольку
для рассматриваемого режима касательная тяга дает наиболь¬
шее приращение кинетической энергии для данного изменения
идеальной скорости Численным интегрированием системы
двух уравнений движения
F К . «
V = п- sin 0,
т г2 ’
• gcos0 , о 1\
е = -^-тг- (v -1)>
(7.141)
где v = у-щ-' > было рассчитано большое число орбит разгона
в диапазоне начальных ускорений lg0o ^ по ^ Ю-3 goo, причем
F F
п =— , а диапазон изменения удельного импульса со-
w о mgоо
ставляет 1000 сек > /зр > 400 сек. Комбинации этих значений п0
7.7]
МАНЕВРЫ ПРИ КОНЕЧНОМ ЗНАЧЕНИИ УСКОРЕНИЯ
193
и /sp покрывают область применения ракет на химическом топ¬
ливе с высокой энергетикой (02/Н2, F2/H2), ядерных двигателей и,
возможно (для малых величин п0), работающих на водороде
солнечных теплообменных систем и электрореактивных двига¬
тельных установок, хотя для последних /sp может превосходить
1000 сек, в то время как ускорение их может падать гораздо
ниже 10-3 goo-
Большое число примеров траекторий и сведений по механике
полета с такими двигательными установками, а также с двига¬
телями весьма малой тяги представлено в § 7.12. Здесь показаны
влияние /sp и ускорения, а также суммарных энергетических за¬
трат при маневре на отношение масс таких систем. В качестве
начальных условий берется круговая орбита старта с начальной
(круговой) скоростью л/ — = л/ —^— на высоте у0 =
г г г гоо “Г Уо
= 500 км = 270 морских миль. На рис. 7.19 показано изменение
отношения масс, которое требуется для достижения местной
параболической скорости, в зависимости от удельного импульса
и величины начального ускорения *) п0. Это отношение масс учи¬
тывает расход топлива как на создание скорости, так и на по¬
тери. В идеальном случае изменение скорости находится из соот¬
ношения At>id = gWspln |Ll.
Импульсное приращение скорости составляет для выбранной
стартовой орбиты 3094 м/сек. Таким образом, отношение скоро-
о ^^imp
стеи есть - и отношение гравитационных потерь к импульс^
Д /\7J
ному приращению скорости равно—. Например, для
i пр
nQ = 1 и /Sp = 400 сек величина р = 2,24 и, следовательно,
Aaid==3167 м/сек; ситуация приближается к условиям для им-
/ Atf t) \
пульсного маневра (-д^-= 0,979 ]. Для более высоких удель¬
ных импульсов отношение скоростей еще ближе к единице.
С другой стороны, для п0 = 10"3 и Isр = 400 сек имеем:
Ду •
р = 5,6; yid= 1,6767 м/сек; -^-^ 0,458.
Для того чтобы найти, насколько следует повысить удельный им¬
пульс при уменьшении ускорения от 1 до 10_3, нужно провести на
графике горизонтальную линию из точки п0 = 1, /чр = 400 сек.
0 Имеется в виду безразмерная величина ускорения, то есть тяговоору-
женность двигательной установки. (Прим. перев.)
13 к. Эрике, т. II
194 ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ [ГЛ. 7
Видно, что она пересечет кривую п0 = 10_3 при /зр « 800 сек.
Таким образом, неблагоприятное влияние, оказываемое на вели¬
чину отношения масс для маневра параболического ухода сни¬
жением начального ускорения в 1000 раз, может быть скомпен¬
сировано примерно удвоением удельного импульса. Хотя эти
300 400 500 600 700 800 ООО 1000
Удельный импульс hp (секунды)
Рис. 7.19. Отношение масс, требуемое для
достижения параболической скорости, как
функция удельного импульса при старте
с разными начальными ускорениями с круго¬
вой (вокруг Земли) орбиты высотой 500 км.
графики получены для частного примера, выбранного нами, и не
обладают общностью, они тем не менее отражают общую тен¬
денцию, а именно: исключительную выгодность даже умеренного
увеличения /8р по сравнению с характерным для химических топ¬
лив уровнем, которое может быть получено с помощью простей¬
шей ядерной двигательной установки — ядерного теплообменного
двигателя. Это станет еще очевиднее в последующих главах.
7.7] МАНЕВРЫ ПРИ КОНЕЧНОМ ЗНАЧЕНИИ УСКОРЕНИЯ 195
Время работы двигателя можно подобным же образом бы-
AIsv ^ - 1
стро оценить по формуле tx = - , где Л = . Таким обра-
TIq \Х
зом, в двух приведенных примерах время активного полета со¬
ставляет t\ ^ 222 сек и i\ ~ 32 800 сек ^ 9 ч. Следует отметить,
Рис. 7.20. Отношение масс в зависимости от удель¬
ного импульса для различных импульсных прира¬
щений скорости. (Старт с круговой орбиты высотой
500 км над Землей. Для объяснения кривых см.
таблицу 7.1.)
что хотя п0 = 10“3 и Isр « 800 сек, отношение масс снижается
снова до 2,24, а время активного полета значительно больше, чем
222 сек: tx ~ 1780 сек. Это происходит из-за меньшего расхода
массы топлива за единицу времени на единицу тяги и показы¬
вает, что системы с более высоким /8р могут работать дольше
при тех же гравитационных потерях, чем системы с меньшие
временем работы, но низким удельным импульсом,
13*
196
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
Для систем с очень высоким /sp, таких как ионные двига¬
тели с /sp порядка 10 000—20 000 сек, эта тенденция находит
свое крайнее выражение: месяцы активного полета в поле тяго¬
тения Земли не требуют значительного увеличения отношения
100
90
80
70
60
50 —
40
30 к- —
20
1
300 400 500 600 700 800 900 1000
Удельный импульс lsp (секунды)
Рис. 7.21. Отношение масс в зависимости от
удельного импульса для различных импульсных
приращений скорости. (Старт с круговой орбиты
высотой 500 км над Землей. Для объяснения
кривых см. таблицу 7.1.)
масс. Конечно, если бы такие длительности полета оказались не¬
приемлемыми, подобные системы с двигателями малой тяги не
имели бы практического значения.
На рис. 7.20—7.24 показана та же самая зависимость отноше¬
ния масс от удельного импульса для дискретной последователь¬
ности начальных ускорений. Кривые на каждом графике пред¬
ставляют идентичный набор приращений скорости, вызывающих
переход с круговой орбиты на гиперболическую (кривые 2—14;
7.7]
МАНЕВРЫ ПРИ КОНЕЧНОМ ЗНАЧЕНИИ УСКОРЕНИЯ
197
I
I
I
I
C^J 1^, Ч*. cv^
rf ооо iv апнэтоншд
Рис. 7.22. Отношение масс в зависимости от удельно- Рис. 7.23. Отношение масс в зависимости от удельно¬
го импульса для различных импульсных приращений го импульса для различных^ импульсных приращении
скорости. (Старт с круговой орбиты высотой 500 км скорости. (Старт с круговой орбиты высотой 500 км
лад Землей. Для объяснения кривых см. таблицу 7.1.) над Землей. Для объяснения кривых см. таблицу 7.1.)
198
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
кривая 1 относится к параболическому уходу). Определение этих
кривых дано в таблице 7.1.
Видно, что кривые занимают область от параболического до
высокоэнергетического гиперболического ухода, включая траек¬
тории гиперболического ухода из солнечной системы. Энергия
Удельный импульс (секунды)
Рис. 7.24. Отношение масс в зависимости от удель¬
ного импульса для различных импульсных прира¬
щений скорости. (Старт с круговой орбиты высотой
500 км над Землей. Для объяснения кривых см.
таблицу 7.1).
активного маневра при переходе от нижней к верхней граничной
кривой изменяется приблизительно в 10 раз. Приведены данные
для достаточного числа дискретных значений п0, что позволит за¬
интересованному читателю построить кривые для промежуточных
значений ускорения.
Кривые на рис. 7.19—7.24 можно также при надлежащем вы¬
боре начального ускорения использовать для оценки маневров
7.7] МАНЕВРЫ ПРИ КОНЕЧНОМ ЗНАЧЕНИИ УСКОРЕНИЯ 199
Таблица 7.1
Объяснение кривых, приведенных на рис. 7.20—7.24
Номер кривой
Импульс
скорости, At>jmp
(м1сек)
Г иперболический
избыток V
относительно
Земли Шеек)
Гиперболический
избыток V
оо
относительно
Солнца (м/сек)
1
3 090
0
2
3 660
3 250
—
3
4 270
4 940
—
4
4 880
6 280
—
5
5 490
7 380
—
6
6 100
8 410
—
7
6710
9 390
—
8
7 320
10 300
—
9
7 930
11 200
—
10
8 540
12 000
—
И
8 770
12 300
0
12
9 150
12 900
3600
13
9 760
13 700
5850
14
10 370
14 500
7590
перехода из точки, близкой к перицентру гиперболы, на круговую
орбиту, для перехода между круговыми орбитами на разных
высотах или перехода между круговыми орбитами вокруг раз¬
ных небесных тел. Для Юпитера, например, графики на
рис. 7.19—7.24 применимы для старта с круговой орбиты радиуса
г2/ = 2,176 • 106 км высотой г/^2,106*106 км.
Эквивалентные расстояния для Венеры и Марса меньше радиуса
планеты. Для перехода на параболу с круговой орбиты высотой
1852 км над Марсом при щ# = 0,1 условия были бы следующими:
на поверхности Марса go0d./g0oe = 0,40894 (таблица 1.3.1 в), сле¬
довательно, на высоте 1852 км
g* /азю\2
~^- = 0,40894 U— =0,164.
goo® \ 5162 /
Поправочный множитель для значений я0, которые вычисля¬
лись относительно веса на поверхности Земли (я0 = ~m~g~) со~
ставляет поэтому -g-pgj- = 6,1, и начальная тяговооруженность,
равная 0,61, в рассматриваемом случае соответствует (при той
же величине удельного импульса) тяговооруженности, равной 0,1
(см. рис. 7.19). Ту же поправку следовало бы ввести при
200
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
использовании рис. 7.20—7.24, но надо помнить, что то же самое
A^imp создает больший избыток у*, для Марса, чем для Земли.
Таким образом, для заданного значения относительно
Марса следует рассчитать правильное А^шр на стартовой орбите
около Марса высотой 1852 км% Эта величина находится интерпо¬
лированием между кривыми (рис. 7.20—7.24) точно так же, как
данные, соответствующие правильному п0 = 0,61.
Эти оценки представляют также интерес в связи с проблемой
выхода космических аппаратов с весьма малой тягой на около-
параболические или параболические траектории. Обычная кон¬
цепция пуска таких аппаратов состоит в сборке их на орбите,
выведении затем по медленно разворачивающейся спирали до
местной параболической скорости и дальнейшем ускорении до
достижения нужных условий для перелета по гелиоцентрической
орбите. Этот метод не только затруднителен и требует много вре¬
мени (почти три месяца для ухода от Земли при старте с низкой
орбиты с ускорением 10-4 g), но он также приводит к продолжи¬
тельному пребыванию космического аппарата в радиационных
поясах Земли, что вызывает необходимость в более мощной ра¬
диационной защите экипажа, чем та, что предусматривается на
случай бурь на Солнце. Одна альтернатива состоит в том, чтобы
космический аппарат проходил через радиационный пояс без
экипажа, который доставлялся бы затем на его борт в районах,
близких к лунной орбите, с помощью транспортных кораблей с
химическими или ядерными двигательными установками. Второй
альтернативой была бы сборка и отправка аппарата с ор¬
биты, находящейся за пределами радиационного пояса (напри¬
мер, на расстоянии 20г00). Это не только очень дорого из-за
затрат энергии транспортными космическими аппаратами, стар¬
тующими с Земли (см. главу 3), но также требует неоднократ¬
ного пересечения радиационных поясов. Третья альтернатива
предусматривает пуск аппарата с малой тягой на параболиче¬
скую (или сильно эллиптическую) траекторию либо с низкой
орбиты сборки, либо прямо с поверхности Земли посредством
мощного ядерного ускорителя (проект автора «Урания», см. таб¬
лицу 1.2.1). Ступень с двигательной установкой большой тяги
поднимает межпланетную ступень с малой тягой с поверхности
Земли на орбиту ожидания и затем, после короткого пассивного
полета, на параболическую орбиту. Тем самым ступень с боль¬
шой тягой выбрасывает межпланетный космический аппарат
с малой тягой из поля Земли, несмотря на то, что выключе¬
ние двигательной установки по достижении параболической
’(или околопараболической) скорости может произойти в непо¬
средственной близости Земли. Эта методика имеет несколько
преимуществ.
7.8]
МЕХАНИКА ПОЛЕТА ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ МАЛЫХ СИЛ
201
Во-первых, можно использовать двигатели с еще меньшей
тягой, поскольку теперь не нужно бороться с мощным гравита-
тионным притяжением Земли. Напряженность поля Солнца на
расстоянии одной астрономической единицы составляет всего
6 • 10-4 goo. Аппарат с ускорением 6 • 10-5 g, которому тре¬
буется около восьми месяцев для того, чтобы покинуть поле
Земли, действует в гелиоцентрическом поле как аппарат
с тяговооруженностью /г0 = 0,1 вблизи Земли. Процесс разгона
с мощным ускорителем требует только около трех дней, что сни¬
жает общее время выполнения задачи аппаратом с малой тягой.
Вторым преимуществом является резкое сокращение времени
пребывания корабля в радиационных поясах Земли. С точки зре¬
ния весовых характеристик параболический старт обусловливает
меньший вес энергетической установки (из-за меньшей величины
тяги). При мощности, одинаковой с несколько сильнее ускоряе¬
мым кораблем (например, Ю"4^), который должен самостоя¬
тельно выйти из поля тяготения Земли, меньшие требования
к тяге обусловливают более высокий удельный импульс и, зна¬
чит, меньшее отношение масс.
7.8. Механика полета при воздействии малых сил
Если на орбитальный космический аппарат действует возму¬
щающая сила, очень малая по сравнению с местной гравитацион¬
ной силой, то изменения начальной орбиты также малы. Здесь
мы обозначаем эту силу через F, не уточняя, является она силой
сопротивления газовой среды, напряженностью возмущающего
поля тяготения или силой тяги. До тех пор, пока она мала,
можно пользоваться так называемым методом малых возмуще¬
ний. Обозначая возмущение i-го порядка скорости по траектории
через A*vh запишем его как отношение изменения скорости Av
к возмущающему ускорению в /-й степени. Таким же образом
определяются возмущения расстояния г и угловой скорости дви¬
жения f):
(7.142)
Функция скорости может быть записана в форме
оо
202
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
Подобные же выражения можно составить для г и rj. Здесь v0 —
скорость при отсутствии возмущений. Процедура сложения воз¬
мущений как независимых величин является допустимой (см.
§ 2.9), что обеспечивается сходимостью рядов, то есть условием
^ I* которое является необходимым для получения схо¬
дящихся рядов.
Если F — сила сопротивления или сила гравитационного воз¬
мущения, то члены высшего порядка не равны нулю, поскольку
изменения траекторных параметров, вызванные первоначально
возмущениями, изменяют теперь в свою очередь саму возму¬
щающую силу, которая опять оказывает возмущающее влияние
на тело, и т. д. Однако если возмущение, как предполагается
здесь, очень мало, этими изменениями можно пренебречь, что
позволит исключить члены высшего порядка. При учете только
возмущений первого порядка соотношения для скорости, рас¬
стояния и угловой скорости приобретают вид:
o«t>„±-£-AX
r~r0±-£- AVi.
р
Л »»1о AV
(7.143)
Если возмущающей силой является постоянная тяга, то
между возмущающей силой и возмущениями траектории нет об¬
ратной связи и соотношения с учетом членов первого порядка
справедливы. Из этих уравнений дифференцированием находим:
й = -^-Д*г>1, (7.144а)
г = -£-Д*г,. (7.144Ь)
Если возмущающая сила — ускоряющая или замедляющая
F F г
касательная сила, tov= ± — + g sin 0 = ± — + g — • Подстав-
ТТЬ ПЪ V
ляя вместо г приведенное выше выражение, получаем для воз¬
мущения й:
Д*й! = ± 1 + -I2- AVj = ± 1 =F f]o A*r{.
Если радиальные скорости г не очень велики (например, на
околокруговой орбите и при касательных возмущающих силах),
7.8] МЕХАНИКА ПОЛЕТА ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ МАЛЫХ СИЛ 203
радиальное ускорение составляет просто rrf — g0 = rf]2 — u0fj0 =
= r)V cos 0 — u0r]o, где cos 0^1, откуда
Г = A% = Щ - y0rio = {v0± A*yi) (йо + - ^оЙо-
Перемножая выражения в скобках и опуская члены в степени
выше первой, получаем:
A7j = =Р v0A% ± i)QA*v{ = =ь г0г)0 ± ЛоД*^,
где равенство v0 = rj0г0 более или менее справедливо только для
начальной околокруговой орбиты. Из этого уравнения мы исклю¬
чаем г)0ГоД*г)ь для того чтобы получить выражение, являющееся
функцией только t и г. Вспоминая, что v2 = г2 +(nrj)2 и снова
пренебрегая членами высших порядков, имеем: v = rr\ = v0 ±
± Ш а*у‘=Ь * (-£-) Av>] |> * Ш а*ч * чт°дает:
Д*г>, = + г0 Д’г)] ± f|0 Д*г|.
Умножая это выражение на г]о, разрешая относительно f]0r0A*r],
и подставляя в соотношение для Д*п, получаем:
Д *?, = ±2т,0 Д*о, + figAV, = ±2т|0 Д t + -ng Д*г„
т)о At = Дг|0, Д’г, = d2 A'rjd (At)2
или, используя вместо аргумента t аргумент Дг|0, можем на¬
писать:
d2A*r! d2Д*Г! 2 . _
= = ± -V Дт10 -+- Д г
d(A%)2 d(t|0 Atf f)2
Интегрирование этого уравнения дает в случае замедляющей ка¬
сательной силы типа силы сопротивления:
Д*г, = [ ■- f|o At + sin (f|0 At)], (7.145a)
По
Д*г, = — \ [т)0 At — sin (fio Д^)]» (7.145b)
По
Дг= _ 2DJm_ [1^2 д; — sin (f)c Д/)], (7.145c)
где индекс «с» относится к круговой начальной орбите, a D —
сила сопротивления. Это уравнение идентично уравнению (2.196).
Если сила является касательной и ускоряющей движение, то
интегрирование дает:
ДV, = \ [г)о Д* — sin (т)о Д0]. (7.146а)
По
204 ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ (ГЛ. 7
Если касательная сила F — малая ускоряющая или замед¬
ляющая тяга F, имеем для случая старта с околокруговой ор¬
биты:
Дг = ± [i\cM - sin(r|. At)]. (7.146b)
Гс
Используя соотношение и = Д*у,, подставляя в него v =
= ±+ g-osin0= ±и учитывая, что г = (-^)д7,
и go/v0 = r\o, находим значение A*tfj:
A vj = 1Ь1-ыг|дАг|,
После интегрирования имеем:
А*^ = ± At — fioAV,
и, подставляя значение (7.146а) вместо А*Г\ и Д^2- вместо А/,
. Чо
получаем:
т Т~ ^Лт1° ”sin Лт1°^
Чо Чо
A*Oj = =F Д^2- ± Д- sin Ачо-
1 Чо Чо 10
Таким образом, для замедляющей касательной силы типа сопро¬
тивления
Д*а, = 4-j (Дт10 - 2 sin Дт1о), (7.147 а)
Да = Щт. Д^ — 2 sin (f]c Д/)]. (7.147b)
Чг
Это уравнение идентично уравнению (2.195). Для малого каса¬
тельного ускорения (верхний знак) или замедления от силы тяги
имеем:
A4>!= =ьД-(Ачо~ 2sin А40), (7.148а)
Чо
Ду= + -^-[f|tA<-2sin(ri(;A/)]. (7.148b)
чс
Изменение угловой скорости дается выражениями:
Л д*г,, = ДГ1 = + (f! - Т)с) = - (f - ,
Ali~ ±1^т; (для г~г->-
) (7.149)
7.8]
МЕХАНИКА ПОЛЕТА ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ МАЛЫХ СИЛ
205
Если сила ускоряющая, величина fj будет уменьшаться, если за¬
медляющая — увеличиваться. Для одной четвертой части обо¬
рота находим в случае ускоряющей силы:
то есть как скорость, так и расстояние увеличивается в течение
этого периода. Если тяга очень слаба, скорость будет умень¬
шаться во втором и третьем квадрантах. В общем, как будет
показано в § 7.12, скорость уменьшается, колеблясь около не¬
которой средней кривой, по мере того как космический аппарат
под влиянием очень малой тяги движется по раскручивающейся
спирали. Мгновенное значение угла наклона траектории полу¬
чается из соотношения
где р — отношение масс, р — удельный расход массы в едини¬
цах начальной массы.
Выведенные выше соотношения справедливы при двух огра¬
ничениях:
а) радиальная составляющая скорости предполагается рав¬
ной нулю или по крайней мере пренебрежимо малой;
б) члены в степени выше первой опущены, поскольку предпо¬
лагается, что они очень малы.
Первое условие ограничивает анализ орбитами, близкими
к круговым. С возрастанием отклонения от круговой формы ор¬
биты, то есть по мере того, как со временем растет радиальная
составляющая скорости, точность этих уравнений падает. Второе
условие ограничивает анализ относительно малыми отрезками
времени At или, что в итоге то же самое, относительно малыми
интервалами времени < = 2 Д<, если движение изучается на про¬
тяжении ряда последовательных малых интервалов. Если
F/m I it
Tie \2
(f-2), (7.150a)
(7 л 50b)
cos 0 = — .
V
(7.151)
Если ускорение тяги постоянно, то
F
(7.152)
(7.153)
(7.154)
206
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
рассматриваемый период времени становится достаточно боль¬
шим и возникает значительное отклонение от начальной около-
круговой орбиты, члены высших порядков (высших степеней) в
выражениях для скорости и расстояния не могут более считаться
малыми и уравнения становятся все менее точными.
Одним из способов смягчить первое ограничение является
включение члена, учитывающего радиальную скорость, в уравне¬
ния для возмущений расстояния и скорости. Второе ограничение
можно обойти выбором новой номинальной (начальной) орбиты
каждый раз, когда Д/ или t = 2 становится настолько боль¬
шим, что отклонения от предыдущей номинальной орбиты
должны рассматриваться как значительные в пределах точности
вычислений. Это, по существу, тот же принцип, который должен
был использоваться при применении одного из методов вариации
параметров (метод Лагранжа или метод Энке при численном
расчете возмущений; см. главу 6 тома I книги «Космический по¬
лет»). Поскольку вычисляются только отклонения от невозму¬
щенной орбиты, а не сама новая орбита, влиянием изменения ор¬
биты на скорость изменения пренебрегаем. Пока этот эффект
мал, расчет можно проводить с хорошей точностью. Когда он
становится слишком велик и желаемая точность не достигается,
надо принять в данный момент оскулирующую орбиту за новую
невозмущенную (номинальную или начальную) орбиту, по отно¬
шению к которой должны вычисляться отклонения.
Для того чтобы уменьшить влияние первого ограничения, мы
можем действовать следующим образом. Радиальное ускорение
на активной орбите с ускоряющей касательной тягой можно за¬
писать в виде (см. § 7.10)
р
где —— абсолютное ускорение, обусловленное тягой. Для ва¬
риации Дг радиального ускорения, вызванного тягой, мы можем
написать, используя индекс «0» для обозначения величин, отно¬
сящихся к начальной (или номинальной) орбите:
и выделить квадратичные члены в числителе. Сделаем опять
упрощающее предположение о том, что можно пренебречь воз¬
мущениями высоких порядков (то есть примем, что Д2а, ДуДг,
Д2г, ДЧ и т. д. равны нулю), помня, что это справедливо в случае
соблюдения второго условия и что нам надлежит об этом забо¬
Можно записать знаменатели в форме
7.8]
МЕХАНИКА ПОЛЕТА ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ МАЛЫХ СИЛ
207
титься, периодически производя смену нашей номинальной ор¬
биты. С этим упрощением совместимо и второе предположение,
а именно, что — С 1 и — 1. Если это было бы не так, то
Го V0
членами с возмущениями высших порядков нельзя было прене¬
бречь. После второго упрощения мы можем аппроксимировать
выражения в знаменателях так:
1 I Дг 1 , До
А г » Л*. ~ 1 г. •
\+— г° ’ 1 + — v°
Дг Дг \
Го г0) +
Го Щ
В результате получаем:
Ол / 2 До Дг \ /л / 2 Дг
Дг = —— (1 + _ JL(i +_
Го V V0 Г0 I г0 \ Го
+ —Д-fl + — \--rf1 V (7.156Ь)
Щ «о \ 'о vo ) го\ го )
Для того чтобы привести это дифференциальное уравнение
к достаточно удобному для последующих операций виду, мы вы¬
нуждены сделать третье упрощение, предположив, что начальная
и последующие круговые орбиты не слишком отклоняются от
окружности, то есть что их эксцентриситет остается малым
(е <0,02).
Тогда го/^ои t'o/vq становятся весьма малыми и вторым и
третьим членами в правой части можно пренебречь. Это не про¬
тиворечит нашим намерениям, поскольку мы тем не менее полу¬
чаем радиальную составляющую возмущения и тем самым не
ограничиваемся анализом круговой номинальной орбиты. С дру¬
гой стороны, это означает, что условие а) не полностью сни¬
мается и что определенные ограничения имеют место. С точ¬
ностью до членов первого порядка малости относительно возму¬
щений, уравнение (7.156Ь) теперь приобретает вид
vl I 1 , 2 . 1 \ К I 1 2 \
А7‘ =7Г№+1Га v‘~7:Ar,/~7!
Как и прежде, мы можем подставить
Д’о, = Д*--£-Д*г,. Г7.157)
rovo
Подставляя Д*Уь умножая и производя упрощения, получаем:
Д.,, , ^ Д, - 2flS ^ д.г_ + 2 ^ д.г, _ ^ _ М .
208
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
Третий и четвертый члены в правой части тождественны и
взаимно уничтожаются, так как четвертый член можно преобра¬
зовать следующим образом:
Д7. = 2
о
Записывая оставшиеся члены в правой части таким образом,
чтобы каждый содержал множитель 'По==(“^")~> и помня, что
г)оД/ = Дг]о, имеем:
Д7,
А2
Тогда
d («по АО2
Интегрирование дает:
Аг
Khl
k F/m F/m
d2krl rQ - Kfrl
F/m
+
П2о H2(^) -»loAVr
+ 2
Ш А^-д*г
(7.158a)
(7.158b)
AVj =
F/m
/ rn \ rn — K/Vn
= 2 j (Ar]0 - sin Ar]o) + F/m (1 - cos Дт]0) =
Klr0
Kir,
(Ar|o - sin Ari0) +
Kiri
F/m
(1 — COS Дт]0)
(7.159a)
Если v0 = vc и r0 = rc, TO
/С
'ouo
было бы равно единице. Это
упрощение не согласуется с третьим из допущении, сделанных
выше, и, следовательно, здесь не будет проведено. При тех же
условиях выражение г0 ~ обратилось бы в нуль. Указанные
упрощения свели бы последнее уравнение к уравнению (7.146а).
Член г0 —представляет собой вариацию радиуса-вектора на
уо
эллиптической номинальной орбите. Суммарное изменение ра¬
диуса можно окончательно записать в виде
Дг =
2 — —-2 (T|o^-sinr|oO +
tn A/Tq
COSf)p/)
. (7.159b)
7.8]
МЕХАНИКА ПОЛЕТА ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ МАЛЫХ СИЛ
209
Подставляя соотношение (7.159а) в уравнение (7.157) и полагая
а ^ кЦого
д^ = —^ , получаем:
^0
Ли
F/m
К/Го
v0
Klr0
*/'о
— 2 Дт]0 + 2 sin Аг|0
1 -
К/Г0
- v0-
Fjm
•(1 + cosAr|0) j,
(7.160а)
Kt'a
2 1г|о + 2 sin(fio АО
1 -
К1г0
[ 1 + cos (f] Д/) ] 1. (7.160b)
Предположение о круговой орбите старта ведет к упрощен¬
ным соотношениям (7.148а) и (7.148Ь). В этом случае можно
сначала использовать их, а при первой смене опорной орбиты
одновременно перейти к уравнениям (7.160а) и (7.160Ь). Послед¬
ние уравнения в случае слабо эллиптической начальной орбиты
должны использоваться с самого начала. С их помощью процесс
вычисления может быть распространен на более эллиптические
орбиты, которые не могут быть рассчитаны с такой же точностью
при использовании упрощенных уравнений, до тех пор, пока
эллиптичность не превзойдет некоторого предела, определяемого
требуемой точностью расчета.
Очевидно, что любой набор уравнений остается применимым
в течение тем большего отрезка времени, чем меньше ускорение,
поскольку в этом случае орбита, представляющая собой раскру¬
чивающуюся или скручивающуюся спираль, остается в течение
большего времени круговой или соответственно эллиптической
в приемлемых пределах. Для малых начальных ускорений по¬
рядка 5 • 10-5 или 10-5 местного гравитационного ускорения ор¬
биты меняют свою форму очень мало до тех пор, пока величина
скорости не начинает приближаться к местному параболиче¬
скому значению. Точность еще остается хорошей при тяговоору-
женности порядка 10~4, но быстро ухудшается при значениях,
больших 10'3.
Соотношения для Дг и Ди указывают на наличие периоди¬
ческой осцилляции sin(rj0AO около среднего векового изменения
г)0ДЛ Пренебрегая периодическим членом и полагая f)0 = — и
го
14 К. Эрике, т. II
210 ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ [ГЛ. 7
F
— = uId, получаем:
А г = (^)2 т|0 А*, |
[ (7.161)
Ау = - oid-f г)0 А*,
U0 I
где, как и прежде, индекс «0» относится к параметрам номиналь¬
ной орбиты в начале интервала времени At. Чем меньше At, тем
выше точность. Записывая уравнения в дифференциальной фор¬
ме, имеем:
dr = 2yid (-^-)2 <*io> (7.162)
dv= - yid-^drio, (7.163)
где г0 и Vo — теперь местные значения на орбите, которая не обя¬
зательно является круговой. Разделив первое из этих уравнений
dr
на второе, получаем соотношение для :
(7.164а)
интеграл которого равен
i(i)1-1 <7Л64Ь>
или в случае околокруговой орбиты
rv2 К. (7.164с)
Подстановка дифференциала истинной аномалии dr]0 = dt —
Г 0
в (7.161) и интегрирование дают:
<7Л65)
t
где £>id = j* dt по определению. Для постоянной тяги
yid==^oo/sPln^ (7.166а)
или для постоянного ускорения, выражая п в единицах goo,
yid = £oont' (7.166b)
Уравнение (7.165) устанавливает, что уменьшение скорости
с течением времени равно скорости, создаваемой касательной
7.91 УРАВНЕНИЯ АКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ 211
тягой, или в силу соотношения (7.164а) гравитационные потери
скорости вдвое больше скорости, созданной тягой.
Подстановка выражения (7.165) в (7.164Ь) дает нам соот¬
ношение для радиуса-вектора:
-2
(7.167)
Если использовать равенство (7.166а), то нетрудно найти время
работы двигателя:
<7Л68>
7.9. Уравнения активного движения
в центральном поле сил
Для того чтобы вывести точные уравнения движения, обра¬
тимся к уравнениям Лагранжа, выведенным в § 6.9 тома I на¬
стоящей книги. За исключением замены символа обозначав¬
шего координаты, на х{ и Г на Eki напишем общее уравнение
в той же форме, что и в томе I:
<7Л69>
где Ek — удельная кинетическая энергия космического аппарата,
a Fx.— составляющие главного вектора действующих на аппарат
сил, отнесенные к массе аппарата. Поскольку уравнение (7.169)
записано для произвольной системы, необходимо уточнить харак¬
тер сил. Здесь мы будем рассматривать только ускорение, созда¬
ваемое тягой, и силу центрального поля тяготения. Траектория
тела определяется координатами его положения х{ и составляю¬
щими вектора скорости Х{ вдоль координатных линий. В двумер¬
ном (плоском) случае мы имеем четыре переменные: хи х2, хи #2,
в трехмерном случае существуют шесть переменных: хи х2, х3,
хи Х2, #3. Это — минимальное число ограничений, которые на¬
кладываются на траекторию. Позднее мы увидим (§ 7:15—7.18),
что для того, чтобы оптимизировать активный участок полета
с точки зрения минимизации отношения масс космического аппа¬
рата, необходимо наложить дополнительные ограничения, кото¬
рые определят программу тяги.
Без этих дополнительных ограничений мы найдем активную
траекторию, не рассматривая вопросов, связанных с двигатель¬
ной системой, следовательно, не обязательно максимизируя по¬
лезную нагрузку аппарата.
14*
212 ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ [ГЛ. 7
Применяя уравнение (7.169), как указано в § 6.9 тома I, и
используя полярные координаты, имеем для двумерного случая
(плоское движение):
%\ = г, x<i = г); *! = г, i2 = Л'»
x = rcosri, g = rsinri;
X = f COS Y] — ГТ] sinr],
*/ = rsinr]-fnf| cost];
£* = + F2)= 4"+ r2,i2b
+ V-F/m).
При i = 1 члены в уравнении Лагранжа имеют вид:
^• = 0 + y2rfi2 = ni2,
-^ = ±2r = r
дг 2 ’
4 (дЕк\ ,
dt \ дг) ’
р dt/ , f X , f
=-57 + fr = - 72 + fr-
Отсюда получаем первое уравнение движения:
г — гг)2 + 73- — fr = 0. (7.170а)
Определяя мгновенное значение удельного кинетического мо¬
мента через С = r2fj, получаем:
/-£+5-f,-0. (7.170b)
При i = 2 находим:
= 0
(9т1
1 1 д / . 2\ • С
ад ~ 2 ал ^ГТ))— rri г
1 d (дЕк\ 14,,.ч .. , .. 1л
7 -dt (-W) = 7~Ш ^ ^ = ГТ1 + ГТ1 = 7 с>
Fr,~^ + l,~lr
Второе уравнение движения:
гт) + гг)-^ = 0, (7.171а)
C-rfv = 0. (7.171b)
7.9] УРАВНЕНИЯ АКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ 213
Интегрирование уравнений (7.170) и (7.171) дает скорости г
и лг|, а значит, и С/г. Координаты положения находятся после
интегрирования уравнений
r-vr = 0, (7.172)
С-г2г) = 0. (7.173)
С2
Из уравнения (7.173) следует, что член в (7.170Ь) опреде-
ляет мгновенную центробежную силу nrj2, — местное гравита¬
ционное ускорение, a fr и /ч?—радиальная и трансверсальная
составляющие ускорения тяги. Для f = 0 мы имеем уравнения
движения, определяющие кеплерову орбиту:
К
С2
К
Г-ГГ)2 + ТТ = Г- — + 7г = 0,
у С = 2гц + rf\ = va + = 0,
(7.174)
где va = гч\ — трансверсальная составляющая орбитальной ско¬
рости.
Обозначая угол между вектором скорости на траектории и
местным горизонтом (нормалью к радиусу-вектору), то есть угол
наклона траектории, через 0, а плоский угол между вектором
ускорения тяги и трансверсальным направлением через ф, можно
написать (рис. 7.25):
fr = ± f sin ф, (7.175а)
где fr берется положительным, если оно направлено от центра
притяжения. Аналогично
fn=±f созф, (7.175Ь)
где положительно, когда действует по направлению движения.
Угол ф вектора активного ускорения отсчитывается от местного
горизонта и принимается положительным, когда измеряется про¬
тив хода часовой стрелки (если смотреть по направлению дви¬
жения), и отрицательным, когда измеряется по ходу часовой
стрелки. Угол между вектором ускорения тяги / и вектором ско¬
рости v на траектории всегда равен |ф — 0j. Угол ф соответ¬
ствует углу тангажа (см. главу 6). Как ф, так и 0 равны нулю,
когда соответствующие векторы лежат в плоскости местного го¬
ризонта, и положительны, когда они направлены от центра
214
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
притяжения. Другими словами, угол 0 отсчитывается по той же
схеме, какая была ранее указана для отсчета угла ф.
Уравнения (7.175) применимы для произвольной ориентации
вектора тяги в плоскости орбиты. Теперь можно определить по¬
ложительную (ускоряющую) и отрицательную (замедляющую)
Северный полюс
ориентации вектора тяги для траекторий, уходящих из поля при¬
тяжения и углубляющихся в него. Вектор тяги положителен,
когда скорость увеличивается. Траектория считается уходящей,
если радиальная составляющая скорости г положительна, то есть
увеличивает расстояние от центра притяжения (рис. 7.25).
7.9]
УРАВНЕНИЯ АКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ 215
Ускорение
Замедление
Касательная тяга: \f\ = \ft\
(рис. 7.26)
Траектория ухода (раскрутки):
Ф = 0
Ф = 180° + 0
fn = / cos е
fr\ = f cos (18О° + 0)= —f cos 0
fr = f sin 0
fr = f sin (18O° + 0) = —/sin0
Траектория входа (скрутки):
. (7.176a)
<х>
1
II
CD
1
О
CD
СО
II
©-
ф= 180°-0
= / cos (— 0) = / COS 0
= f cos (180°—0)= —/ cos 0
fr = / sin (— 0) = —/ sin 0
fr = f sin (180° — 0) = f sin 0
Трансверсальная тяга: I/ I = 1/^|
(рис. 7.27)
Траектория ухода:
Ф = 0
Ф = 180°
h = f
f~ = f cos 180° == -f
fr-0
fr-0
Траектория входа:
. (7.176b)
Ф = 0
Ф= 180°
fi\ — f
fy] = f sin 180°= -/
fr-0
fr = 0
Радиальная тяга: | ^ | =* \tr |
(рис. 7.27)
Траектория ухода:
Ф = 90°
Ф = 270°
fn = 0
ft\= 0
fr = f
fr-f sin 270°= -f
Траектория входа:
. (7.176c)
Ф = 270°
Ф = 90°
/т] ~ 0
f4 = o
fr = f sin 270°= -/
fr = f sin 90° = f
216
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
Рис. 7.26. Активный старт с орбиты при касательной
ориентации вектора тяги.
Радиальное выведение
Рис. 7.27. Активный старт с орбиты при радиальной
или трансверсальной ориентации вектора тяги.
7.9]
УРАВНЕНИЯ АКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ 21?
Составляющие мгновенного вектора скорости и координаты
положения космического аппарата в этот момент даются фор¬
мулами:
t t
ur = r = r0 ± J rdt = r0 + rr\ --p- + j frdt, (7.177a)
0 0
t
r = r0± J rdt, (7.177b)
0
t t
*j= % ± J 4\dt = rio + yn ± 7 | fndt (7.177c)
ИЛИ
C-=C0±r j fvdt, (7.177(1)
0
r\=^, (7.177e)
t
П = % + J r\dt (7.177f)
0
(последний интеграл всегда положителен, поскольку изменение ц
всегда будет считаться положительным в направлении движе¬
ния) ;
0 = У^Т^[. (7.177g)
В приведенных выше уравнениях индекс «О» обозначает на¬
чальные значения (в момент включения тяги). Все остальные
члены относятся к текущему моменту времени i.
Мгновенные значения угла наклона траектории и скорости
его изменения в общем случае равны (то есть вне зависимости
от наличия или отсутствия тяги, так как если первоначальная
пассивная орбита есть некое коническое сечение, отличное от
окружности, то вариация 0 не равна нулю):
0 = a resin (г/и), (7.177h)
гцг — r2r\ — rrf| _ Cr-rC + rr2Г) (7 1 ,
v2 rv2 * ( • )
Если исходная орбита круговая, то 0 = 0 = 0.
В ситуации, определяемой уравнениями (7.175), если разность
|ф — 0| постоянна (но не равна нулю, как в случае касательной
тяги), ф и ф изменяются как 0 и 0.
218
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
При трансверсальной ориентации вектора тяги г Ф 0, даже
если fr = 0, поскольку изменяются и г и г). Скорость изменения
кинетического момента центра масс аппарата максимальна, ра¬
диальные изменения минимальны. При радиальной ориентации
тяги С = О, потому что кинетический момент сохраняется, но
г\ Ф 0, так как г изменяется, a г] =
Система координат, используемая впоследствии для изучения
активных траекторий полета в пространстве, изображена на
Рис. 7.28. Иллюстрация маневра Рис. 7.29. Система координат для
изменения плоскости орбиты с по- случая пространственного актив-
мощью малой тяги. Точка О — на- ного движения,
чало активного маневра, точка
1 — окончание (стрелки указывают
направление ускорения тяги).
рис. 7.29. Уравнения движения в центральном поле сил наклады¬
вают те же ограничения, что и в случае плоского движения.
Переменные суть: координаты положения г, Я, (3, составляющие
вектора скорости г, гр и г A cos р. Кинетический момент орбиты
С = г X v, где модуль вектора С составляет С = г(лг|). Мы мо¬
жем возвести в квадрат это выражение и написать:
С2 = г2 (гг])2 = г2 (r2i2 cos2 р + г2р2) = r4A,2 cos2 р + г4р2.
Здесь первый член представляет собой квадрат той состав¬
ляющей кинетического момента, которая ортогональна эквато¬
риальной плоскости (проекция вектора скорости на плоскость
р = 0 есть гХ cos р, а соответствующая составляющая кинетиче¬
ского момента, направленная вдоль оси г, равна r2A,cosP). Вто¬
рой член гАр2 есть квадрат той составляющей кинетического
момента, которая связана с меридиональным движением тела.
Эта составляющая кинетического момента лежит в плоскости
Р = 0. По определению, вектор кинетического момента направлен
7.9] УРАВНЕНИЯ АКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ 219
к наблюдателю, которому угловое движение кажется происходя¬
щим против хода часовой стрелки. Нормальный к плоскости
орбиты вектор направлен к наблюдателю, который смотрит на
орбиту с Северного полюса. Что касается меридионального дви¬
жения, то считаем, что вектор кинетического момента ориентиро¬
ван обратно направлению полета, когда р положительно, и по
направлению полета, когда р отрицательно, то есть когда тело
движется от самой северной точки орбиты в южном направлении
(Р > 0 в северном полушарии небесной сферы). Следовательно,
это эквивалентно тому, что направление этого вектора прини¬
мается отрицательным.
Итак, имеем:
Радиальная составляющая скорости снова вводится соотно¬
шением
Далее, мы должны вывести уравнения движения, то есть
найти три составляющие ускорения, вызываемого тягой и силой
притяжения. Обращаясь к уравнению (7.172), получаем:
C^ = r2X cos р,
(7.178а)
(7.178Ь)
(7.179а)
(7.179Ь)
(7.179с)
По определению,
v2 = V2 + V2 +
c2 = cl + cl
(7.179(1)
(7.179е)
= г> *2 = Р> *3 = Л; хх = г, х2 = р, х3 = X)
x = r cos р cos X, y = r cos р sin Л, 2 = rsinP;
х = г cos р cos X — гр sin р cos X — rX cos р sin X,
у = г cos р sin X — rp sin р sin X -f rX cos р cos X,
z = г sin р + гр cos Р;
220 ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
При i = 1 члены в уравнении Лагранжа равны
= гр2 + гЯ2 COS2 р,
дЕк . J_(dEk\_z
дг ~ ’ dt \ дг ) '
— + f = — — + f
дг ^Тт г2 +/г'
Первое уравнение движения:
г — гр2 — г Я2 cos2p + -р- — fr = 0,
При t = 2:
\ )
~+f
Второе уравнение движения:
"г" "Ж" = ~r^2 sin ^cos ^
1 дЕк _ л _ _ С±
г ^ -ГР" г ’
_j / dEk \ J /_2д\ С\
г dt\ д& ) г dtv Р>~ г ’
-L f = f
dp ^'Р 'Р-
гЯ2 sin р cos р — — fp = 0,
Сх - г2Я2 cos2 р tg р + rf р = О,
или, обозначая г2Я2 cos2 р = v\ = Cl/r2,
Cl
Cx--^-tgP + rfp = 0.
При t = 3:
1 d£fe n
X U>
г cos P dX
1 dEk ; n Co
TcosTff “Ж = C0SP = ~>
rcosp ж{~ж) = r cos p Ж ^
Ir+b-k
[ГЛ. 7
(7.180a)
(7.180b)
(7.181a)
(7.181b)
(7.181c)
7.9]
УРАВНЕНИЯ АКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ 221
Третье уравнение движения:
Дифференцирование и подстановка и дает:
vx + -r--~ig^-k = 0. (7.182а)
Умножая на г и подставляя
= ЧГ ^ cos Р) = ^
И
имеем окончательно:
Cp + -V^tgp-rf, = 0.
(7.182b)
При р = 0 трехмерные уравнения сводятся к выведенным
ранее для плоской задачи.
Предыдущие двумерные и трехмерные уравнения движения
определяют траектории относительно сферической системы ко¬
ординат. Для того чтобы найти изменение элементов орбиты в
течение активного полета, необходимо путем последовательного
интегрирования решить систему дифференциальных уравнений.
Соответствующие уравнения легко выводятся с помощью метода
вариаций постоянных Лагранжа при учете возмущающей силы
или могут быть найдены косвенным путем по методу вариации
координат Энке. Оба метода подробно обсуждались в главе 6
тома I настоящей книги и будут здесь применяться без дальней¬
ших пояснений. Поскольку оба метода определяют изменение
орбитальных элементов, обусловленное силой или силами, кото¬
рые действуют помимо силы центрального поля, мы будем при¬
нимать в рассмотрение только силу тяги. Порождаемое ею уско¬
рение можно разложить на следующие составляющие:
касательную Т = f cos (qp — 0),
нормальную N = f sin (qp — 0),
радиальную R = / sin cp,
трансверсальную S = f cos qp,
бинормальную W = / sin a.
(7.183a)
222
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
Эти составляющие ускорения связаны соотношениями:
Т = R sin 0 + S cos 0 = f (sin 0 sin qp + cos 0 cos qp), 1
N = R cos 0 — S sin 0 = f (cos 0 sinqp — sin 0 cosqp), J (7*^b)
R = T sin0 + Wcos0 = f [sin0 cos(ф — 0) + cos0sin(qp — 0)], 1
S = T cos 0 — ./V sin 0 = f [cos 0 cos (qp — 0)—sin 0 sin (qp — 0)], j (7*^c)
f2 = N2 + T2+W2 = S2 + R? + W2. (7.183d)
В последующих уравнениях индекс «О» относится к оскули-
рующей (инвариантной) орбите на каждом шаге интегрирова¬
ния. Гравитационный параметр тела обозначен через К, а кине¬
тический момент — через С.
Используя уравнения Лагранжа, находим уравнения для ва¬
риаций элементов эллиптической орбиты, вызванных определен¬
ными выше ускорениями:
2^0 'Г_2ао(оа0 \ 2ag
а — ^ Т Оо \ г0 / С0 ’ о + ^еоcosт1о
= -^г- (#е0 sin % + s), (7.184a)
О ^ t/i Г°\— Г° \г • 1
2 —тт.- Т 1 1 — N sinriQ =
е0Кг0 \ а0 / а0 10 J
Q
= [R sin т]о + S (cos £0 + cos г\0)\
е =
с = — (-фр- IV sin % + г \ = r0S,
°о \ Со У
2г
Гр —
Р, о
ео V го !
rn sin Г|п
т+ ”. 0 N| =
2г
Р. о
ГР, о
1 + еп
\ Р. о о /
sinrio
. 2 Г А, о Г 1 ( Г А, 0 Лт '•о S»n -По
Гл И0 L б0 I Г0 / 2/Ч 0
= _Vu + *si
С0 L е0 \ Г0 А, 0 /
Зц0 . 3 ,/Т" / . eg \
** 25Га 57 к ^l^osmTto + ^s),
Sin -По
,2
(7.184b)
(7.184с)
(7.184d)
(7.184е)
(7.184f)
“= ik \2Т sin %+N (2е°+й" cos ть)] ~ жcos /о=
_2.
S sin г],) (1
eg
•]
R cos г|01 — ~~~ cos /q, (7.184g)
1 at
7.9]
УРАВНЕНИЯ АКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ 223
С0 V\~el
cos г|0 — 2е0 R — S (l + sin , (7.184h)
К еи
о ) \ /
(7.184])
(7.1841)
В приведенных уравнениях со есть угловое расстояние пери¬
центра, измеряемое от восходящего узла, и = со + г) — аргумент
широты, определяемый как измеряемое в плоскости орбиты угло¬
вое расстояние от восходящего узла до точки на орбите, в ко¬
торой находится аппарат. Средняя аномалия объекта при про¬
хождении через восходящий узел есть а= \хТР, где р — среднее
движение,
а ТР — время движения космического аппарата от перицентра
до восходящего узла по оскулирующей орбите; а определяет
положение аппарата на оскулирующей орбите в момент про¬
хождения восходящего узла. Угловое расстояние восходящего
узла от фиксированного направления отсчета в пространстве
(например, от направления Солнце — точка весеннего равно¬
денствия) обозначается знаком Д. Наконец, i — наклонение
плоскости орбиты по отношению к данной плоскости отсчета
(рис. 7.28). Если изменение наклонения отсчитывается от поло¬
жения орбитальной плоскости в начале активного маневра, то
начальное значение и считается равным нулю.
При совместном интегрировании шести независимых уравне¬
ний из числа приведенных выше находим непрерывное изменение
шести орбитальных элементов в течение активного полета. Ин¬
декс «О» определяет величины, относящиеся к орбите, принятой
в данный момент за номинальную (то есть к оскулирующей ор¬
бите в начале интервала времени, на протяжении которого
можно, считая параметры данной номинальной орбиты постоян¬
ными, провести интегрирование с удовлетворительной точ¬
ностью). За время интервала At, в течение которого используется
данная номинальная орбита, параметры а0) е0, соо, оо, <Q,o, h,
а также С0, ро остаются постоянными, в то время как v0, г0,
(7.184к)
224
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
г]о изменяются согласно соотношениям для центрального поля
сил:
Чем меньше Д/, то есть чем чаще происходит смена номинальной
орбиты, тем выше точность. Вследствие того, что 0 = 0 (/), R и 5
изменяются с течением времени (за исключением того случая,
когда с помощью надлежащего программирования тяги раз¬
ность ф — 0 изменяется так, что ф = const), из написанных
выше уравнений можно легко найти изменение элементов в слу¬
чае касательного, бинормального, радиального и т. д. ускорений
тяги, подставляя вместо отсутствующих ускорений нули.
Если орбита становится гиперболической или была гипербо¬
лической уже в начале активного маневра, вариация орбиталь¬
ных элементов дается теми же соотношениями, что и для эллип¬
тической орбиты, с заменой а0 = —ci0. Кроме того,
где знак «минус» указывает на то, что большая полуось гипер¬
болы уменьшается с увеличением скорости.
При прямом интегрировании в прямоугольных координатах
(метод Коуэлла) процедура последовательного выбора опорной
орбиты исключается, поскольку вычисляются координаты, а не
их приращения, (как в методе Энке). Это означает, что учиты¬
вается не только влияние ускорения тяги, но также влияние
гравитационного ускорения. Если используются сферические или
полярные координаты, получаются те же уравнения, что приве¬
дены ранее в этом параграфе. Они описывают пространственное
dt Чо [(г0)Д(_о+'Л]2 И*)12’
t
Го (0 = (го)д< =0 + \ г dt (0 < г < ДО,
о
t
(7.1841)
%> (0 = Ыд<= о + / По dt (0<г< ДО,
о
e0(0 = arccos-^^r|o.
а =
- 2 аЪТ
0 оо »
(7.185)
оо
7.9]
УРАВНЕНИЯ АКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ
225
движение и являются вполне общими для центрального поля сил
вне зависимости от эксцентриситета орбиты.
Если возьмем прямоугольную систему координат xyz с нача¬
лом в притягивающем центре, где ху — плоскость начальной ор¬
биты или некая другая фиксированная плоскость, от которой от¬
считывается наклонение орбиты, а г — нормаль к плоскости ху,
то для пассивного движения в центральном поле сил имеем:
S + К 4- = О {s = x, у, г),
(7.186а)
а для активного движения
x + Kjr-X-g,
•• . rs 2 v df
z Н- К ~y — X — —z—,
г3 dz
(7.186b)
где X, У, Z — составляющие ускорения тяги вдоль соответствую¬
щих осей координат. Они связаны с Ry S и W соотношениями:
X = R (cos и cos SI — sin и sin SI cos i) —
— S (sin и cos SI — cos и sin SI cos i) + W sin SI sin /,
Y — R (cos и sin SI + sin и cos SI cos i) — (7.186c)
— S (sin и sin <Q, — cos и cos SI cos i) — W cos SI sin /,
Z = sin и sin i + S cos и sin i + IT cos i.
С другой стороны,
/? = X (cos w cos SI — sin к sin SI cos /) +
+ Y (cos m sin Д + sin a cos Д cos i) + Z sin и sin /,
S = — X (sin z/sin SI + coswsin SI sin/) + / (7.186d)
+ Y( — sin и sin SI + cos и cos SI cos i) + Z cos и sin i,
= J sin SI sin i — F cos sin z + Z cos z.
Составляющие X, Y и Z можно выразить через 7, jV и W, если
в соотношения (7.186с) подставить вместо R и S их значения
(7.183с). Численное интегрирование уравнений системы (7.186Ь)
дает скорости х, у, г и координаты х, у, г. Процесс нахождения
всех орбитальных элементов по этой информации описан в
§ 2.13.
При анализе плоской задачи в центральном поле сил надо
знать только три величины, а именно: расстояние до притяги¬
вающего центра, скорость и ориентацию вектора скорости
15 К. Эрике, т.
226
ПОЛЕТ С МАЛОЙ тягой
[ГЛ. 1
(например, угол 0 наклона к местному горизонту). Параметры
орбиты находятся затем из много раз использовавшихся нами
соотношений:
h = V2 - 2Kir, а = К!К
С = rv cos 0 = rvay e = YI + hC2/K2,
rP — a{\e — \\), rA = a(e+ 1), (7.187)
b = C/V\h1, P = C2/K, cos t] = •
Если в момент прекращения работы двигательной установки кос¬
мический аппарат находится на гиперболической траектории, то
положение асимптоты, а значит, и ее ориентация находятся из
соотношения cos Ф = — .
е
7.10. Раскрутка с помощью малой касательной тяги
в центральном поле сил
С помощью полученных в предыдущем параграфе уравнений
движения при фиксированной ориентации вектора тяги были рас¬
считаны траектории для ряда случаев, включая случаи направ¬
ленной по касательной тяги. Результаты представлены и обсу¬
ждаются в этом параграфе.
Сначала рассмотрим активные траектории, реализуемые при
сравнительно малом значении удельного импульса /зр = 450 сек.
Малый удельный импульс более отчетливо выявляет особенности
и характеристики орбит малой тяги, чем большой удельный им¬
пульс, который с конструктивной точки зрения был бы более уме¬
стен для большинства величин ускорений, рассматриваемых в
этом параграфе. Параметры траекторий активного полета с кру¬
говой скоростью 7586 м1сек (24 890 фут/сек) при /зр = 450 сек и
высоте орбиты старта 556 км (300 морских миль) представлены
на рис. 7.30—7.36, где для пяти кривых, отличающихся началь¬
ными значениями ускорений, дана взаимная зависимость таких
параметров, как время активного полета, расстояние г в едини¬
цах земного радиуса, отношение скорости v к местной параболи¬
ческой скорости vp, величина скорости в единицах круговой ско¬
рости на начальной орбите (^с)зоо моРских миль и отношение масс.
Рис. 7.30 показывает, что в течение значительного периода вре¬
мени, зависящего от отношения ~$г- = п0, высота практически не
увеличивается. Следовательно, отношение скорости к местному
параболическому значению также остается приблизительно по¬
стоянным, за исключением случая, когда п0= 10"1 (рис. 7.31).
Время, (секунды)
7.10]
РАСКРУТКА С ПОМОЩЬЮ МАЛОЙ КАСАТЕЛЬНОЙ ТЯГИ
227
Рис. 7.30. Расстояние в зависимости от времени работы дви¬
гательной установки (/sp = 450 сек).
Рис. 7.31. Скорость в единицах местной параболической скорости
как функция времени (/sp = 450 сек).
15*
228
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
Когда высота начинает увеличиваться, скорость падает ниже ве¬
личины круговой скорости на стартовой орбите (рис. 7.32), опять-
таки за исключением случая, когда я0 = 0,1. Причина убывания
скорости заключается в возрастании потенциальной энергии за
счет кинетической. Этот процесс продолжается до тех пор, пока
комбинированный эффект уменьшения земного притяжения и
увеличения ускорения вследствие снижения веса (тяга остается
Рис. 7.32. Скорость в единицах круговой скорости на началь¬
ной орбите как функция времени работы двигательной уста¬
новки (7sp = 450 секу
постоянной) не приведет к быстрому возрастанию скорости. Ко¬
лебания скорости полета в начале кривых лг0 = 10-1 и п0= 10-2 вы¬
званы слабой эллиптичностью спирали.
Для того чтобы связать эти зависящие от времени параметры
с расстоянием, на рис. 7.33 и 7.34 построены графики скорости
в зависимости от отношения г/г00. Кривые отношения масс, тре¬
буемого для работы в течение определенного отрезка времени,
представлены на рис. 7.35 и 7.36. Особый интерес представляет
последний график, где дама зависимость отношения масс от v/vp.
Он показывает, что вплоть до некоторого момента заданное из¬
менение скорости требует меньшего отношения масс при более
высоких начальных ускорениях. За точкой, абсцисса которой
и/^р~1>7, ситуация становится обратной. Причина этого заклю¬
чается в увеличении угла наклона траектории, что ведет к боль¬
7.10] РАСКРУТКА С ПОМОЩЬЮ МАЛОЙ КАСАТЕЛЬНОЙ ТЯГИ 229
шим гравитационным потерям, чем вблизи Земли, и в том факте,
что удвоение величины vjvv около Земли означает создание го¬
раздо большего приращения скорости, чем увеличение vjvv в два
раза на высоте, скажем, 20 г00.
г/гоо
Рис. 7.33. Расстояние в зависимости от скорости
(/sp = 450 сек).
V/Vp
Рис. 7.34. Скорость в единицах местной параболической ско¬
рости в зависимости от расстояния (/sp = 450 сек).
На рис. 7.37 изображены две траектории для случая, когда
лг0 = 10-1 и п0= 10~2. Можно видеть, что в случае, когда /г0= 10-1,
внутри сферы относительного радиуса г/г00 = 2 достигаются зна¬
чительно более крутые углы, чем при лг0 = 10-2 на расстоянии
г/гоо = 5. Эта область начальных ускорений 10_1>я0>10'2 имеет
первостепенный интерес для операций в поле системы «Земля —
Луна», поскольку (рис, 7,36) эти величины требуют минимдльногр
230
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
Рис. 7.35. Отношение масс в зависимости от времени
(АР = 450 сек).
Рис. 7.36. Отношение масс в зависимости от отношения скэ-
рости движения аппарата к местной параболической скорости
(/sp = 450 секу
[ГЛ. 7
7.Ю] РАСКРУТКА С ПОМОЩЬЮ МАЛОЙ КАСАТЕЛЬНОЙ ТЯГИ 231
отношения масс в диапазоне скоростей 0,7 ^ у- <Л,0, а также
потому, что эти начальные ускорения обеспечивают время пе¬
релета к Луне много меньшее, чем можно достигнуть с помощью
ракет на химическом топливе, двигатели которых создают боль¬
шие ускорения, но обладают ограниченными удельными импуль¬
сами. Более подробная информация о траекториях с n0=lO~lg
и п0 = 10-2£ содержится
в графиках, приведенных
на рис. 7.37—7.45. Ко¬
лебания скорости на пер¬
вых двух оборотах пока¬
заны на рис. 7.38 для
По= Ю"2. Первый оборот
совершается примерно за
5500 сек, второй заканчи¬
вается после истечения
15 000 сек от момента
старта. Сначала скорость
возрастает выше местно¬
го кругового значения.
Это вызывает изменение
круговой формы орбиты
на эллиптическую. Одна¬
ко тяга слишком слаба,
чтобы поддерживать уве¬
личение скорости при
быстром росте угла на¬
клона вектора скорости.
Этот угол, определяемый
для эллиптической орби¬
ты соотношением
eshMi_
ь 1+6 COS Т|
достигает максимума при cos г] =—е. Поскольку вначале траек¬
тория близка к круговой, угол ri = 90° соответствует четверти пе¬
риода обращения. Рис. 7.38 показывает, что после одной пятой
оборота кривая прогибается вниз. С этого момента скорость на¬
чинает падать, поскольку потенциальная энергия увеличивается
с большей скоростью, чем кинетическая. Угол наклона траекто¬
рии не возвращается к нулевому значению, но остается положи¬
тельным. Однако он все же уменьшается и по окончании одного
оборота достигает минимального значения -^1°,43. Этот минимум
соответствует выравниванию скорости, означающему, что ув.ели->
Рис. 7.37. Две активные траектории (каса¬
тельная тяга; /зр = 450 секу
232
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
чение потенциальной энергии замедлилось, так как скорость по¬
лета удерживается на постоянном уровне. Космический аппарат
сохраняет примерно постоянное значение скорости в течение почти
3000 сек, то есть в течение более чем первой четверти второго
Рис. 7.38. Скорость как функция времени активного полета
(f/W0 = 10“2; /8р = 450 сек).
Рис. 7.39. Время в зависимости от скорости (/sp = 450 секу
оборота. После этого угол наклона траектории опять становится
крутым, что вызывает новое уменьшение скорости. Значение угла
наклона постепенно увеличивается почти до 4°,3 (рис. 7.43) и
остается приблизительно постоянным в конце второго оборота.
7.10]
РАСКРУТКА С ПОМОЩЬЮ МАЛОЙ КАСАТЕЛЬНОЙ ТЯГИ
233
Однако этот угол слишком крут для того, чтобы скорость «вы¬
ровнялась» во второй раз. Когда начинается третий оборот,.угол
наклона траектории быстро увеличивается (рис. 7.43), расстоя¬
ние растет (рис. 7.37), а скорость резко падает (рис. 7.38) до тех
36
34
132
| 30
t 28
1 26
I*
и
!'20
А
18
16
14,
фу
rJ
/
\
/
/ w0-,u
\
у
/
\
У
\
, ^
1 г 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
г/'оо
Рис. 7.40. Скорость в зависи¬
мости от расстояния
(7sp = 450 сек).
36
32
^28
\24
120
*76
I*12
8
4
О
12 3 4
5 6
г/г00
If
jw„
Jo
f
I
/
/
/
(
s
/
✓
s
"U
/
/
/
/
s
s
/
/
1 JU
у
и
7 8 9
11 12
Рис. 7.41. Радиальная скорость
как функция расстояния (ка¬
сательная тяга; 7sp = 450 сек).
пор, пока не достигает минимального значения, равного
4420 м/сек (14 500 фут/сек) на расстоянии четырех радиусов Зем¬
ли (рис. 7.40). В этой точке угол наклона составляет 35°,7. Од¬
нако, несмотря на продолжаю¬
щееся возрастание угла на- 3
клона, скорость тоже начинает
увеличиваться, поскольку тяго-
вооруженность F/W увеличи- |
лась почти в три раза, а на- ^,
пряженность гравитационного
поля упала почти до 1/16 сво- о
его первоначального значения. 0.70,80,91,0111,21,314151,61,71,8192,02,1
Для двух наиболее важных v2vp
траекторий с ускорениями Рис> 7Л% Число оборотов в за„
10 g и 10 g приведены гра- мости от отношения скорости дви-
фики (рис. 7.39—7.45), иллю- жения аппарата к местной параболи-
стрирующие детали соотноше- ческой скорости (/sp = 450 сек),
ний между параметрами, кото¬
рые очевидны после предыдущих обсуждений, но могут ока¬
заться полезными при углубленном изучении этих траекторий.
Понятно также, почему в случае, когда tto=10_1g, нет таких же
осцилляций, как при n0=lO'2g.
Рис. 7.45 заслуживает краткого комментария. На нем в зави¬
симости от мгновенного значения скорости показано изменение
апогейного расстояния, до которого поднялся бы космический
234
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
70
60
50
1
40
§38
20
10
О
П><1
■ jy=10~2
- щ
г F
=т~1
/
'/
f
/
/
V
г
0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,6 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0
v/vp
Рис. 7.43. Угол наклона траектории в зависимости от отно¬
шения скорости движения аппарата к местной параболи¬
ческой скорости (/sp = 450 секу
Рис. 7.44. Угол наклона траектории в зависимости от
расстояния (7sp = 450 секу
7.10]
РАСКРУТКА С ПОМОЩЬЮ МАЛОЙ КАСАТЕЛЬНОЙ ТЯГИ
235
аппарат в свободном полете по эллиптической траектории,
если бы при данном значении скорости (или расстояния, или
времени активного полета) тяга была бы выключена. Можно
видеть, что при п0 = 10~2 нельзя достигнуть даже расстояния
в апогее, равного десяти земным радиусам, если скорость не
уменьшится до 4724 м/сек, то есть почти до минимального значе¬
ния. Следовательно, высота апогея возрастает крайне быстро,
вплоть до радиуса лунной орбиты (гА/г00 = 60) и выше этого
значения, еще до того, как скорость начинает расти. Сравнение
30
I
!
15п
О 10 20 30 40 50 60 70
га/гоо
Рис. 7.45. Апогейное расстояние как функция скорости
в момент выключения двигательной установки в произ¬
вольной точке на спиральной траектории (/sp = 450 секу
с рис. 7.39 показывает, что в течение нескольких сотен секунд
отношение гА/г00 увеличивается с 10 до 70. Поэтому та ветвь
кривой, где скорость резко возрастает, на практике не нужна
для операций в долунном пространстве. Этот результат также
можно усмотреть из рис. 7.33 и 7.34, на которых приведены от¬
ношения v/vc [где vc= (vc) зоо морских миль] и v/vv (vp — местная
параболическая скорость). В случае, если п0 = 10~2, отношение
v/vp = 1 достигается при 5,33 г00, когда v = 4877 м/сек (рис.
7.30), а время движения составляет примерно 31 000 сек (рис. 7.27).
В этой точке радиальная скорость равна 2865 м/сек (рис. 7.41),
число оборотов — 2,56 (рис. 7.42), а угол наклона траектории
составляет около 36° (рис. 7.43).
Другой вывод, который можно сделать при изучении
рис. 7.45, состоит в том, что требования к точности, особенно
к точности выключения двигателя, не являются слишком жест¬
кими вплоть до г = 6 Гоо для случая, когда По = Ю-2, или почти
А° 2 г00 для случая, когда п0 = 10-1. За этими границами тре¬
бования к точности резко увеличиваются. Однако даже в этой
ситуации практически не возникает затруднений, поскольку
/Щ~10
V
—=in ~2
/
236
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
сила тяги и создаваемое ею ускорение настолько малы, что ве¬
личины возможных ошибок времени выключения двигателя
укладываются в пределах допусков.
0.1
0,2
0,0
0,4
0.5
0,6
Время активного полета = —JL
Т0 2icVrt
7*
0,7
18
1В
14
12
10
I
8
I
6
4
2
О
Рис. 7.46. Число оборотов и расстояние в зависимости от времени ак¬
тивного полета для ^0=1^ф (касательный разгон).
£
Время активного полета. Т/Т0
Рис. 7.47. Расстояние в зависимости от вре-
(каса-
тельный разгон).
мени активного полета для nQ=
Эти орбиты обладают теми же характеристиками, что и ор¬
биты с высоким удельным импульсом, так что проведенный
подробный анализ справедлив в общем случае для траекторий
с малым касательным ускорением.
7.10]
РАСКРУТКА С ПОМОЩЬЮ МАЛОЙ КАСАТЕЛЬНОЙ ТЯГИ
237
Если выразить параметры орбиты в безразмерной форме, то
они становятся независимыми от конкретного гравитационного
поля, в котором первоначально были получены. Такие кривые
изображены на рис. 7.46—7.73. Они представлены здесь в ка¬
честве справочного материала, для того чтобы помочь читателю
быстро определить характер траектории аппарата с малой тягой
О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Расстояние г/г0
Рис. 7.48. Скорость на траектории в зависимости от расстояния
для Aio=lg0 (касательный разгон).
в произвольном центральном поле для любых представляющих
практический интерес значений ускорения и удельного импульса.
Условия, при которых были получены эти графики, следую¬
щие:
1. Исходная орбита является круговой. Соответствующие
значения скорости и расстояния составляют: v0=YK/ro и
г = г0.
2. Орбита расположена в центральном поле сил.
3. Тяга непрерывна и все время направлена по касатель¬
ной.
4. Начальное ускорение п0 дается в единицах g0 =
= 9,81 м/сек.
Для использования в других гравитационных полях приве¬
денные на графиках значения п0 следует поделить на местное
гравитационное ускорение1). Так как за стандартную величину
1) Автор систематически употребляет одно и то же обозначение п0 для
начального ускорения и начальной тяговооруженности. При выполнении дан¬
ной рекомендации автора будет найдена величина местной тяговооружен¬
ности. (Прим. перев.)
238
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
начального ускорения принято его выражение в единицах
местного значения g = K/r2 для исходной орбиты, то нам
необходимо, например, разделить п0 на 0,85, если рассматри¬
вается геоцентрическая орбита старта на высоте 556 км
(300 морских миль), или разделить на 6-10~4, если старт про¬
исходит с гелиоцентрической ор¬
биты на расстоянии одной астро¬
номической единицы от Солнца.
На рис. 7.46—7.73 представлены
графики траекторных парамет¬
ров для значений п0= 1; 0,5; 10"1;
10-2; 10-3 и 10-4g0.
5. В соответствии с требова¬
ниями для расчета оскулирую-
щих кеплеровых орбит для плос¬
кого маневра (§ 7.10) для каж¬
дого значения п0 необходим на¬
бор графиков для определения
трех величин, а именно: скорости
v, расстояния г и угла наклона
0. Эти параметры, а также время
активного полета представлены
в следующем безразмерном
виде:
Расстояние 7/г0
Рис. 7.49. Скорость на траектории
в зависимости от расстояния для
по= 1^0 (касательный разгон).
параметр скоростиv = f ,
У Klr о
параметр расстояния г* = г/г0,
время активного полета т =
t _ t __ tvc
Т0 2 %Y rljK 2 яг0
Кроме этого, даны графики
для числа оборотов, поскольку
эта информация может оказаться
полезной при оценке величины возможных возмущений от дру¬
гих небесных тел.
6. Диапазон значений удельного импульса составляет:
/sp = 450, 750, 1250, 5000, 15 000 сек, оо.
При малых ускорениях первые два значения импульса не рас¬
сматриваются. Такие комбинации не имеют практического зна¬
чения, разве что для малых маневров коррекции, поскольку
гравитационные потери при долгих активных участках слиш¬
ком велики. Диапазон /Sp = 450 -г- 1250 сек определяет область,
в (градусы)
7.10]
РАСКРУТКА С ПОМОЩЬЮ МАЛОЙ КАСАТЕЛЬНОЙ ТЯГИ
239
Расстояние г/г0
Рис. 7.50. Угол наклона траектории в зависимости от расстояния
для ^о=1^0 (касательный разгон).
Рис. 7.51. Угол наклона траектории в зависимости от
расстояния для (касательный разгон).
240
ПОЛЕТ С МАЛОЙ тягой
[ГЛ. 7
О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,5 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 13 1,4 1,5
Время активного полета — =
га е
* 1
»
16 ^
8
4
О
т0 гпу/гШ
Рис. 7.52. Число оборотов и расстояние в зависимости от времени
активного полета для tto = O,5g0 (касательный разгон).
Рис. 7.53. Расстояние в зависимости от времени
активного полета для = 0,5^ф (касательный разгон).
7.10J
РАСКРУТКА С ПОМОЩЬЮ МАЛОЙ КАСАТЕЛЬНОЙ ТЯГИ
241
1
2 4 6 8 10 12 14 1В 18 20 22 24 26 28 30 32 34
Расстояние г/г0
Рис. 7,54. Скорость на траектории в зависимости от расстояния
для nQ = 0,5^ф (касательный разгон).
Расстояние г/г0
Рис. 7.55. Скорость на траектории в зависимости от
расстояния для nQ = 0,5^ (касательный разгон).
10 К. Эрике, т. II
242
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
Рис. 7.56. Угол наклона траектории в зависимости от рас¬
стояния для nQ = 0,б£ф (касательный разгон).
0,8
0J
^ 0,6
I
И
I 0,4
I 0.3
^ 0,2
0,1
/
/
/
.. \\
/7
/
V
/
/
/
/у
/
/ 4UL
1 оборе
:ло
,7
у
1ГПОВ
//Расстояние
/ ^SP 1
\45П
7500
5000jy
О//
1 2 3 4 5 6 7
Время активного полета -О = —I—-
' т0 2nV0Jp<
170
160
140
120 $
С
100
80
§
1
60
40
§
20
0
Рис. 7.57. Число оборотов и расстояние в зависимости от вре¬
мени активного полета для nQ = 10“(касательный разгон).
v/Vffib
7.10]
РАСКРУТКА С ПОМОЩЬЮ МАЛОЙ КАСАТЕЛЬНОЙ ТЯГИ
243
О
8
7
£
'
г
3
2
f
/
У
/
/
/
У
/
,/
/
/
/
К
/
/а
700
//
У
4
/
/
/
'5L
у
/ж
Y
*
X
/
У
ISP=450/
750.
/
/
''15000
/
/
С
У
/
/
<<
У
/
—Достигаемая местная
параболическая скорость
1 1 1 II 1 1 ГГ
0,5 0,75 1,0 1,25
Время активного полета Т/Т0
15
Рис. 7.58. Расстояние в зависимости от времени актив¬
ного полета для nQ = 10_1£ф (касательный разгон).
О 10 20 30 40 50 60 70 50 90 100 110 120 130 140 150 160 170
Расстояние г/г0
Рис. 7.59. Скорость на траектории в зависимости от расстояния для
п0= 10-1£ф (касательный разгон).
16*
244
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
характерную для перспективных термодинамических систем
[с нагревом от Солнца (/sp^ 650 сек), от ядерного реактора
(/sp1 ООО сек) и от дуги]. Диапазон /8р = 5000 15000 сек —
область электрических двигательных установок (ионных и плаз¬
менных).
На основании результатов вычислений, представленных
в этом параграфе, и из анализа, проведенного в линейном при¬
ближении (§ 7.8), можно устано¬
вить следующие фундаменталь¬
ные характеристики орбит, для
которых начальное ускорение
мало, а тяга касательна:
1) Скорость сначала умень¬
шается до момента, когда
2/г sin (f|/) > nr\t. Поскольку rj
уменьшается с течением времени
по мере того, как спираль стано¬
вится круче, скорость будет по¬
степенно возрастать. Вычисления
показывают, что это происходит
незадолго до достижения пара¬
болической скорости, соответст¬
вующей рассматриваемому цен¬
тральному полю.
W 15 2,о 2,5 2) Величина скорости не
Расстояние г/га уменьшается монотонно, а колеб-
Рис. 7.60. Скорость на траектории лется около некоторого среднего
в зависимости от расстояния для значения. Амплитуда колебаний
п0 =» 1O”V0 (касательный разгон), дается периодическим членом в
уравнении для Av. По мере того
как спираль раскручивается, период обращения вокруг центра
притяжения быстро растет и, следовательно, эти колебания ста¬
новятся настолько медленными, что их можно не учитывать (см.
пункт 3 ниже).
3) Величина расстояния растет, хотя и колеблется около
среднего значения. Поэтому значение угла наклона вектора
скорости колеблется, возрастая. Апсиды оскулирующего эл¬
липса непрерывно совершают дрейф против хода часовой
стрелки, когда тяга ускоряет аппарат (в противоположность
тому, что имеет место при маневре замедления) 1).
Следовательно, перицентр «следует» за космическим аппара¬
том. Аномалистический период обращения аппарата быстро воз¬
растает, по мере того как спираль становится круче начальной
*) См. таблицу 3.1.
7.10]
РАСКРУТКА С ПОМОЩЬЮ МАЛОЙ КАСАТЕЛЬНОЙ ТЯГИ 245
Расстояние г/г0
Рис. 7.61. Угол наклона траектории в зависимости от рас¬
стояния для п0 = \Q~lg$ (касательный разгон).
4.0
3,5
3.0
I 3.5
I*7
| 1,5
Ч
0,5
L
.//I
/
us
Y-
ч
ГГ
450 \
\ 7/Г/7 Ч
/
1250Ц
5000J i
/ Число
I оборотов
IDOL
/и
у
/
hp
Г
450 г 72
-750 | 50
\ \
50
00 \
15000
Г
ч
у
[
L
У
Расстояние
l... I I
1500
500
О
О 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85
Время активного полета =27t Jr3/K
Рис. 7.62. Число оборотов и расстояние в зависимости от
времени активного полета для п0 = Ю-2£ф (касательный
разгон).
v/ущ
246
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
Время акты ее ого полета Т/Т0
Рис. 7.63. Расстояние в зависимости от времени
активного полета для /г0 = 1О_2^0 (касательный
разгон).
Расстояние г/г0
Рис. 7.64. Скорость на траектории в зависимости от расстояния
для п0 = 1СП2£ф (касательный разгон).
7.10]
РАСКРУТКА С ПОМОЩЬЮ КАСАТЕЛЬНОЙ ТЯГИ
247
Расстояние г/г0
Рис. 7.65. Скорость на траектории в зависимости от расстоя
ния для гс0=1°-2£е (касательный разгон).
Расстояние г/г0
Рис. 7.66. Угол наклона траектории в зависимости от
расстояния для /г0= 10”2g$ (касательный разгон).
248 ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
Рис. 7.67. Число оборотов и расстояние в зависимости от
времени активного полета для п0 = 10_3^ф = lOOOpg (каса¬
тельный разгон).
[гл. 7
Расстояние г/г0
РАСКРУТКА С ПОМОЩЬЮ КАСАТЕЛЬНОЙ ТЯГИ
Рис. 7.68. Скорость на траектории в зависимости от расстояния
для п0 = lO~3g0 = lOOOjig (касательный разгон).
Расстояние г/г0
Рис. 7.69. Угол наклона траектории в зависимости от расстоя¬
ния для п0 = lO“3g-0 = 1000ц£ (касательный разгон).
250 ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ [ГЛ. 7
Рис. 7.70. Число оборотов и расстояние в зависимости от времени активного
полета для п0 = Ю-4^ = lOOpg (касательный разгон).
Рис. 7.71. Скорость на траектории в зависимости от рас¬
стояния для л0= Ю~4£ф= lOOpg (касательный разгон).
7.10]
РАСКРУТКА С ПОМОЩЬЮ КАСАТЕЛЬНОЙ ТЯГИ
251
Рис. 7.72. Скорость на траектории в зависимости от
расстояния для nQ = lO—4g0 = 100p,g (касательный
разгон).
О 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Расстояние г/г0
Рис. 7.73. Угол наклона траектории в зависимости от
расстояния для п0 = lO~4g0 = lOOpig (касательный разгон).
252
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
орбиты. Поэтому ц изменяется все медленнее и медленнее.
Вследствие того, что колебания расстояния и колебания ско¬
рости являются функцией rj, они быстро вырождаются.
7.11. Обобщенные уравнения для активных орбит
с постоянным касательным ускорением тяги
Весьма интересное исследование, проведенное Перкинсом
[26], позволяет получить обобщенные уравнения усредненной
траектории полета аппарата с малым касательным ускорением
тяги. Автор ввел три обобщенных безразмерных параметра:
параметр высоты X = tixl2-^=r~> (7.188)
параметр скорости У = д-1/4— = (Kv)~l/4 о, (7.189)
параметр времени Т = — nMt = t. (7.190)
Го К
Здесь X, У, Т — обозначения Перкинса, а для остальных
величин используется принятая нами система обозначений.
Подстановка этих параметров в уравнения движения
(7.170а) — (7.171а) дает обобщенные уравнения, соответствую¬
щие двум степеням свободы:
Y - 72 Р 1 _L * /7Ю1 )
X £ ^2 I у > (7.191а)
У=1-^Г, (7.191b)
из которых можно исключить параметр времени и получить
уравнение, в которое будут входить X, У, dY/dX и d2Y/dX2.
Интегральные кривые этих уравнений будут зависеть от на¬
чальных значений А и У и их производных, то есть от частного
вида исходной орбиты.
Однако в случае исходной круговой орбиты в центральном
поле сил положение начальной точки несущественно, поскольку
рассматривается вектор скорости в произвольной точке на рас¬
стоянии г > rQ. В этом случае можно ожидать, что одна кри¬
вая X = f (У) или X = f (Г), или У = f (Т) будет применима
ко всем траекториям.
Для усредненной круговой траектории (7.164Ь) имеем:
У2Х= 1. (7.192)
В логарифмическом масштабе — это прямая линия с угло¬
вым коэффициентом, равным —1/2, проходящая через начало
7.11]
ПОСТОЯННОЕ КАСАТЕЛЬНОЕ УСКОРЕНИЕ ТЯГИ
253
координат. Для усредненной величины угла наклона траекто¬
рии комбинирование соотношений (7.192) и (7.191Ь) дает, по
определению,
sin 0 =~Y'= 2Х2 = уГ. (7.193)
Поскольку 0 = 0 только при X = 0 и У = оо, уравнение (7.192)
должно представлять собой асимптоту, которую Перкинс на¬
звал круговой асимптотой. В двойном логарифмическом мас¬
штабе ее можно изобразить прямой линией. Наклон этой
асимптоты, выраженный через У и Г, находится с помощью
дифференцирования выражения (7.165) по времени и приведе¬
ния результата к безразмерной форме:
W-- <7-194>
Из равенств (7.188) и (7.189) находим:
-т- = тг- (7-195>
Теперь, если активный полет длится достаточно долго и траек¬
тория асимптотически приближается к радиальному направле¬
нию, гравитационное ускорение становится пренебрежимо ма¬
лым и траекторные параметры асимптотически стремятся к
следующим значениям:
г ->и,
v-*ng00 =
1 F с,
Г 2 m t ’
F .
V —> t.
tn
(7.196)
Подстановка этих значений в соотношение (7.195) дает зна¬
чение углового коэффициента другой асимптоты, названной
Перкинсом асимптотой на бесконечности:
dlnY =1 (7 197)
dlnX 2- V.ivi)
Поскольку угловой коэффициент круговой асимптоты равен
-—1/2, Перкинс предположил, что усредненная траектория
должна быть логарифмической гиперболой. Однако точные рас¬
четы на машине показали, что это не совсем так. Перкинс
пришел к выводу, что на гиперболу накладываются длиннопе¬
254
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
риодические колебания. Это предположение аргументировалось
тем, что анализ Перкинса давал определенные и справедливые
в общем случае значения для усредненного угла наклона траек¬
тории в точке минимума скорости umin и в точке достижения па¬
раболической скорости vp. Это не вполне подтвердилось при
численных расчетах, которые показали, что при разных началь¬
ных ускорениях получаются несколько отличные значения (см.
ниже).
Предельное уравнение, полученное Перкинсом для асимптоты
на бесконечности, имеет вид
Кроме того,
Y2/X = 2.
"1_Ю
dt А,и‘
(7.198)
(7.199)
В отличие от круговой асимптоты, асимптота на бесконечно¬
сти является одной и той же для всех постоянных значений ка¬
сательного ускорения.
I
Я:
lo¬
53
II
1
о Начальт
1
ые точка
О'2
ч
77ар а боли-
^ ческа я
Y2X=2
бесконечность.
У2/Х- 2
1 ,''70°""-:'
>' 7/7'^
Ч
s'
Круговая"^'''-*.
у*Х =7 70г<
X
S
\
N
s'
I
■ч
ч
rn
-2
70'
100
X=nr/2r/r0
10
10г
Рис. 7.74. Параметр скорости в зависимости от параметра рас-
гоп / Flm \
стояния при постоянной касательной тяге |2oJ [ п =—г^)* '
«ы
Таким образом, с помощью введенных выше параметров Пер¬
кинсом была построена новая .и весьма полезная система коор¬
динат, которая изображена на рис. 7.74. Круговая асимптота
проходит из левого верхнего в правый нижний угол, а асимптота
на бесконечности из левого нижнего в верхний правый угол.
Параболическая асимптота, или асимптота ухода, проходит па¬
раллельно круговой асимптоте, пересекая линию X = 10° при
7.11) постоянное касательное ускорение тяги 255
Y = У 2. В этой системе Перкинсом было построено большое
число траекторий для разных значений ускорения, найденных
с помощью численного интегрирования на электронной вычис¬
лительной машине. Если они начинаются на круговой асимптоте,
то исходной орбитой служит окружность. Для всех таких орбит
при ускорении, меньшем 10~2g, получается одна и та же кривая.
Мы будем называть ее средней кривой малой тяги. Средняя кри¬
вая малой тяги пересекает асимптоту на бесконечности при
X ~ 1,5 и затем приближается к ней снизу. Создается впечатле¬
ние, что если начальная скорость выше круговой, то соответ¬
ствующая средняя кривая в большей степени приближается к
упомянутой выше аппроксимирующей гиперболе. Это видно на
примере с ускорением Ю-2^ и начальной скоростью и0 = 2ис, то
есть при старте с гиперболы.
Для траектории с ускорением 10-1 g средняя кривая малой
тяги вначале неприменима. Соответствующий график сначала
описывает некоторое колебание, но затем переходит в среднюю
кривую малой тяги. Траектория с ускорением 10°g начинается
в точке Y = X — 10°. Она подобно траектории с ускорением
10_1£ поднимается на начальном участке над средней кривой
малой тяги, затем приближается к ней, но только медленнее, чем
в случае траектории с ускорением 10~l g. При еще больших уско¬
рениях кривые имеют другую форму, что иллюстрируют графики
для 101 g и 102 g. Сначала они поднимаются практически верти¬
кально (то есть высота не возрастает) до параболического значе¬
ния скорости и затем постепенно приближаются снизу к асимп¬
тоте на бесконечности. Отсутствие изменений высоты выражает
импульсный характер этих маневров с очень большой величиной
ускорения. Время достижения параболической скорости при
старте с круговой скоростью вычисляется тогда при постоянной
тяге просто как частное от деления разности скоростей при вы¬
соте старта на постоянное ускорение.
На рис. 7.75 представлен график средней кривой малой тяги
и двух асимптот в масштабе, удобном для численных оценок.
Способом, аналогичным тому, который использовался при по¬
строении графиков в системе ХУ, траектории можно представить
в системе YT. Это показано на рис. 7.76, где время представлено
как разность между временем полета и временем, необходимым
для достижения параболической скорости. Следовательно, при
Т — Тр = 0 достигается параболическая скорость. Для любого
Другого характерного момента времени (то есть при использо¬
вании в качестве начала отсчета любого другого значения X)
кривая останется неизменной, но абсцисса сдвинется. Мы снова
получим некую среднюю кривую малой тяги. Пунктирные линии
обозначают кривые при начальных ускорениях, больших 10-2 g0o.
256
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
Рис. 7.75. Средний параметр скорости на траектории в зависимости от
параметра расстояния при постоянной касательной тяге. Средняя кри¬
вая малой тяги — кривая, общая для всех траекторий разгона с каса¬
тельной малой тягой (п ^ Ю~2), связывающая параметр скорости с па¬
раметром расстояния [26] ( п = — ,ШЛ .
V К/г о)
7
N
5
4
3
2
7
О
\п=70'3
/
\
Наклон
Наклон /
~+1 /'
V /
/
/
/
\
\
/
/
/
10*
\
/'
' /
/
/
10°^
r /
У
/ /
/
/
/
101<s
/
/
/
T
п^10~2
° Начальные
точна
5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Т~ТР
Рис. 7.76. Параметр скорости в зависимости от разности
значений параметра времени при постоянной касательной
7.11]
ПОСТОЯННОЕ КАСАТЕЛЬНОЕ УСКОРЕНИЕ ТЯГИ
257
На рис. 7.77 и 7.78 безразмерные параметры X и У, а также кру¬
говая аси_мптота и асимптота на бесконечности изображены как
функции 0 и sin 0.
С помощью этих основных графиков (рис. 7.74—7.78) Пер¬
кинс заключил, что характерными точками являются: точка
1
6ei
Асимптота
на
оконечности
sin 0-1 \
Y
sinO-yi'
Уг
at
Круговаж
lummoma
/ /
><' ,
sin0=2X2
"'0,07 0,03 0,7 аз го вкрадусь,)
sind
Рис. 7.77. Параметры скорости и вре- Рис. 7.78. Параметры скорости и рас-
мени в зависимости от синуса угла стояния в зависимости от угла
наклона траектории при касательной наклона траектории [26].
тяге [26].
конца эффективной аппроксимации траектории круговой орби¬
той (то есть точка, в которой средняя кривая малой тяги начи¬
нает уклоняться от круговой асимптоты), точка минимума ско¬
рости vmin и точка достижения параболической скорости vv.
Данные, характеризующие скорости и другие параметры в этих
точках, приведены в таблице 7.2.
Таблица 7.2
Характерные точки на средней кривой малой тяги
^min
X
0,30
0,741
0,879
Y
1,85
1,494
1,509
е
9°,4
33°,3
39°,2
т
/г“1/4-1,85
п~1/4-0,96
„-‘М —о,809
17 К. Эрике, т. II
258
ПОЛЁТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
7.12. Характеристики спиральных траекторий
с касательной тягой в центральном поле сил
Быстрые изменения активной траектории при приближении
к параболической скорости требуют очень точного прогноза зна¬
чений параметров траектории в этот момент. Малейшие неточ¬
ности могут легко привести к значительному искажению резуль¬
тата. Мы установили, что для этой цели лучше всего подходит
полуэмпирический метод.
В последующем обсуждении мы сохраняем использовавшиеся
раньше упрощения: околокруговая начальная орбита, близкий
к окружности виток спирали при приближении к параболи¬
ческой скорости, тангенциальная тяга и ускорение тяги
F/m К Ю~2 goo (goo = 9,81 м/сек2 = 32,17 фут/сек2). Тогда, по¬
скольку Т = F/m =/, уравнение (7.184а) принимает вид
Изменение в величине большой полуоси соответствует, очевидно,
изменению орбитальной энергии на единицу массы. Эта энер¬
гия может быть определена, как
а ее изменение
Скорость в начале траектории является околокруговой:
Vq^Yk/cl, Вспоминая соотношение (7.148Ь), мы можем напи¬
сать:
da _ 2a2V с
1Г~~ К h
(7.200)
dh' s. dh ; 0 ,
-1r = vf или w = h = 2vt.
(7.201b)
= v0 HF (Ari — 2 sin Дг)) = v0 + °(Arj - 2 sin Ari) =
v0/a V K/a
-'•+1f TTwF^-25'11^*-
(7.202)
v
■/t (Ari-2 sin Ал)].
Знак «минус» относится к ускоряющей тяге, а знак «плюс»—*
к замедляющей. Отношение ускорения тяги F/m к местному гра¬
витационному ускорению К/а2 очень мало, и поскольку а воз-
7.12] СПИРАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ С КАСАТЕЛЬНОЙ ТЯГОЙ 259
растает, v уменьшается, как показано выше. Чем меньше
f/(K/a2), тем дольше скорость остается околокруговой.
Вспоминая, далее, уравнение (7.153), можем написать:
f = f-f = —К—. (7.203)
1 t 1
^00 sp Ve
С помощью соотношений (7.201) и (7.203) уравнение (7.200)
можно записать в виде
1г = 1—2f2fo \ _ • (7-204)
Решение этого уравнения:
а 1
а0
Ое ln L V К/ао tfo \
VKI^ \ ve V~KK /.
(7.205)
где а0 — большая полуось околокруговой начальной орбиты.
Когда скорость ve становится очень большой {^-Ыи± ->• oj, то
а 1 (7.206)
а0
(>--ММ"
\ V Kla.1
Когда достигается параболическая скорость, — = оо и, следо-
а0
tf
вательно, >-°--= 1. Отсюда получается выражение для опре-
V К/а0
деления интервала времени от момента околокругового старта
до выхода на параболу:
t = —-jF— (7.207)
Сравнение расчетов по этой формуле с данными численного
интегрирования показывает, что оценка t получается завышен¬
ной от 5% (при f0 « 10-5goo) до почти 25% (при /0 ~ Ю“2 g*oo).
Помимо оценки относительной погрешности этой методики, ука¬
занные числа позволяют эмпирически уточнить приведенное
выше уравнение, записав его в виде
<,УШ_„ГКГ.Г. (.05.-, о), (7.208)
И to I \ ve /
где tp — период активного полета от околокруговой начальной
орбиты со средним радиусом ад до рнхода на параболическую
17*
260
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
траекторию при предположении, что ve->oo, а ф — некоторый
эмпирический поправочный коэффициент, график которого дан
на рис. 7.79. Если —^^-не обращается в нуль, то параболиче-
ve
ская скорость достигается при
1 +
Ve
V к/а0
In
(-
t V К/др
veV К/а0
fo =0,
tfo
или
. = —gg_(l ohe)
YWo Y К1а0
(7.209)
Это выражение несколько менее точно, чем формула для tv
при ие —► оо, поскольку ф определялось только для предельного
1.00
| 0,95
§
0,90
| 0,85
1 0,80
Начальное касательное ускорение л0(д)
Рис. 7.79. Эмпирический поправочный коэффициент для вычис¬
ления времени активного полета с касательной тягой от около-
круговой начальной орбиты со средним радиусом а0 до точки
достижения местной параболической скорости (а = оо).
случая, когда ve —► оо, но тем не менее вполне пригодно для
получения достаточно точных оценок. В приведенной выше
форме оно применимо к спирали ухода. Его можно обобщить
на случай спирали захвата (скрутки), если записать так:
Теперь член
tn
Y К/а0
M±(eY>«a«К - i).
(7.210)
считается отрицательным, поскольку
спираль захвата эквивалентна спирали ухода с учетом того,
что вес космического аппарата увеличивается. Время прини-
7.12] СПИРАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ С КАСАТЕЛЬНОЙ ТЯГОЙ 261
мается положительным и отсчитывается от момента, когда кос¬
мический аппарат находится на конечной орбите спутника.
Р
Зная tp, f0 = — и ve (или /sp), можно получить формулу
для расхода топлива при маневре ухода (или захвата):
тр = mtp = f0tp, (7.211)
или
—— = А = ф (l — е Vr‘^*°/ve) (раскрутка) (7.212а)
т0
= (р{е^к/а°^е — l) (скрутка). (7.212Ь)
т0
Мгновенное значение ускорения можно выразить через ско¬
рость истечения и массовый поток в форме f = ftgoo = ~~"> ки¬
нетическая энергия мадого элемента массы бт в истекающей
ve
струе составляет (—6т)-о-, а если рассматривать бт как се¬
кундный расход массы т, то мощность струи равна Р> =
i.
2
f2 (ml_m)2v2 th d 1
2Pj — tnv2 m2 dt m
Интегрируя это уравнение, чтобы найти массу космического
аппарата как функцию времени, получаем:
L+J^-Л. (7.213)
т (t) mQ
о
Вспоминая, что согласно уравнению (7.130b) Pj = еР, и обозна¬
чая, как и прежде [см. уравнение (7.134)], отношение веса WP
всех компонент двигательной установки, зависящих от мощности,
к мощности Р, создаваемой источником, через a =—jf- =
мы можем найти отношение масс, требуемое для данного ма¬
невра:
Л
-^= 1 +4---^- (7,214)
т\ 2 е ^оотр А ' f
262 ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ [ГЛ. 7
Это уравнение было выведено в [33]. Видно, что отношение
масс пропорционально интегралу по времени от квадрата уско¬
рения тяги. Этот интеграл сравнивается в [33] с идеальной
Г £ dt
скоростью Vid = /—, которая определяет отношение масс
J ve
^ о
■—= exp fракет, не обладающих независимой системой
создания мощности. Указывается, что для этих систем (в первую
очередь для ЖРД) отношение масс минимизируется (максими¬
зируется полезная нагрузка) при минимизации интеграла по вре¬
мени от ускорения тяги, в то время как для упомянутых ранее
систем (в первую очередь для электрических двигателей) отно¬
шение масс минимизируется при минимизации интеграла по вре¬
мени от квадрата ускорения тяги.
Для перехода с околокруговой орбиты спутника на парабо¬
лическую траекторию с постоянной касательной тягой имеем:
jp<H-
р
m
о 1 h
Ш о
где \х = — соответствующее отношение масс. Для спирали
ухода
^ 1 — А 1 — ф [l — ехр(— VK/a0/ve)] * (7—16)
для спирали захвата (скрутки)
** 1-ф[ехр(//С/а0/^)-1]* / (7.217)
Используя приведенное соотношение для tPl получаем: для
спирали ухода
fp
(72l8a)
J I +<plexp(- V KKlve)\
для спирали захвата
*р
Г Л1 __ /о«>еФ [exp (/Klajve) - lj nlou
J d‘ ~ l-9l«xp(KW»,)-l]' t7'218b)
= (7.215)
7.13]
ПОЛЕТ С МАЛОЙ РАДИАЛЬНОЙ ТЯГОЙ
263
где /о в этом случае — ускорение на конечной орбите спутника.
Для постоянного ускорения тяги при ц = 1 и с учетом выраже¬
ния (7.208) равенство (7.215) принимает вид
*р
J Pdt-foY £ {VKKhe = 0). (7.219)
о
Из этих соотношений следует, что величина массы топлива, тре¬
буемого для достижения параболической скорости ухода, суще¬
ственно зависит от скорости на начальной орбите. Напротив,
экономия в величине отношения масс пропорциональна умень¬
шению УIС/а. Это означает, что выведение космического аппа¬
рата с малой тягой с помощью ступени с большой тягой на
сильно эллиптическую геоцентрическую начальную орбиту (зна¬
чение У К/а мало) не только в значительной степени сократило
бы время раскрутки, но также и уменьшило требуемое значение
отношения масс. Подобным же образом величина отношения
масс для данного маневра захвата около планеты может быть
уменьшена при выходе на более или менее эллиптическую ор¬
биту захвата, как уже было указано ранее (см. также главу 9)
для маневров захвата с использованием большой тяги.
7.13. Полет с малой радиальной тягой
В случае радиальной тяги используются уравнения (7.176с)
и (7.177). Интегрирование этих уравнений на электронной вы¬
числительной машине дало обобщенные графики траекторных
параметров, показанные на рис. 7.80—7.84 для п0 = lg® и на
рис. 7.85—7.88 для по = g®/6. Эти величины были выбраны
потому, что они относятся к более перспективному для ра¬
диальной ориентации тяги диапазону ускорений, чем область
очень малых ускорений. Исследование радиального ускорения
представляет интерес в основном в связи с возможностью ис¬
пользования аппаратом энергии Солнца. Подобные аппараты
могут действовать на основе поглощения и концентрации энер¬
гии солнечного излучения в бойлере с целью нагрева, жидкости,
которая может представлять собой либо рабочее тело, либо
приводить в движение турбину энергетической установки. Энер¬
гия последней идет на образование электрической дуги, которая
в свою очередь нагревает рабочую жидкость1). В этом случае
получается малая тяга, но большой удельный импульс. Началь¬
ное ускорение, создаваемое солнечным двигателем с прямым
*) Эта и другие двигательные установки будут обсуждаться в следую¬
щем томе.
264
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
020
\°'15
1
Щ0.10
§
%0,05
18
16
14
12 л
10
1
' ■
6 §
4
2
О
О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 7,0
Время активного полета -^-= -—Z==
F Т0 27cYrf/K
Рис. 7.80. Число оборотов и расстояние в зависимости
от времени активного полета для ^o=lg0 (радиаль¬
ный разгон).
(
J
/
1
/
J
1
/
/
/
]
/
Г
7
5000
/
/
-1250
Out
J
V
у\
0
15000
ПТ*
'UU
5000,
//
г
Н50
1250
4
Г
-J
* ho
Г
^Достигаемая местная параболическая скорость
\
TXT.rjJJXT I 'I птпг
Рис. 7.81. Расстояние в зависимости от активного вре¬
мени полета для nQ~ l(радиальный разгон).
[ГЛ. 7
7.13]
ПОЛЕТ С МАЛОЙ РАДИАЛЬНОЙ ТЯГОЙ
265
Рис. 7.82. Скорость на траектории в зависимости от рас¬
стояния для п0 = 1^0 (радиальный разгон).
Расстояние г/г0
Рис. 7.83. Скорость на траектории в зависимости от расстоя¬
ния для л0= 1^0 (радиальный разгон).
266
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[,гл. 7
Рис. 7.84. Угол наклона траектории в зависимости
от расстояния для = lg^ (радиальный разгон).
/
Рис. 7.85. Число оборотов и расстояние в зависимости от вре¬
мени активного полета для nQ = £ф/6 (радиальный разгон).
Расстояние г/г0
7.13]
ПОЛЕТ С МАЛОЙ РАДИАЛЬНОЙ ТЯГОЙ
267
Рис. 7.86. Расстояние в зависимости от времени активного полета
для до = £0/6 (радиальный разгон).
Расстояние г/ г0
Рис. 7.87. Скорость на траектории в зависимости от расстояния
для nQ = £ф/6 (радиальный разгон).
268 ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ [ГЛ. 7
нагревом, имеет порядок 10~3#. В гелиоцентрическом простран¬
стве на расстоянии одной астрономической единицы от Солнца
10 3
это составляет -=1 67р\ Солнечный дуговой двигатель
6 • 10 s
создает начальное ускорение от 10_4g до 6-10_4g, то есть
Расстояние г/г0
Рис. 7.88. Угол «наклона траектории в зависимости от расстояния
для nQ = £ф/6 (радиальный разгон).
(0,167-j-l,0)g в гелиоцентрическом пространстве на расстоянии
одной астрономической единицы. Эти условия и использованы
при построении вышеупомянутых восьми рисунков. Исполь¬
зование солнечной энергии требует очень большой площади
коллектора радиации (рефлектора). Если тяга ориентирована
радиально, то линия действия тяги и оптическая ось (или оси)
коллектора (коллекторов) параллельны. Это упрощает ряд
конструктивных и управленческих задач при разработке по¬
добного аппарата по сравнению со случаем касательной
тяги, где линия действия тяги и оптическая ось составляют
при старте практически прямой угол по отношению друг к
другу.
7.14]
ТРАЕКТОРИИ С ИНВАРИАНТНОЙ ОРИЕНТАЦИЕЙ ТЯГИ
269
7.14. Обсуждение и сравнение траекторий
с инвариантной ориентацией тяги
для орбитальных маневров и межорбитальных перелетов
Параграфы 7.10—7.13 были посвящены обсуждению каса¬
тельной и радиальной тяг — двух случаев фиксированного на¬
правления ускорения, которые имеют наибольшее практическое
значение при плоском движении. Двумя другими альтернати¬
вами являются трансверсальная и нормальная (перпендику¬
лярная к вектору мгновенной скорости) ориентации. Кроме
того, может существовать бинормальное ускорение, ортогональ¬
ное мгновенной плоскости орбиты, которое изменяет наклонение
и ориентацию линии узлов исходной орбиты по отношению
к плоскости отсчета. В этом параграфе сравниваются характе¬
ристики траекторий, получающихся при действии ускорения
тяги, способ ориентации вектора которого относится к одному
из пяти перечисленных вариантов. В качестве переменных ис¬
пользуются безразмерные параметры, определяемые с помощью
следующих характерных величин: r0, v0=~\/ радиус и
г Г0
скорость для начальной (круговой) орбиты, г) — центральный
угол и t — время активного полета. Тогда безразмерные пере¬
менные суть:
Кинетический момент и соответствующий ему безразмерный
параметр определяются так:
Орбитальная энергия и ее безразмерное выражение вводятся
следующим образом:
г* = г (t)/r0,
v* = v (t)/v о.
т= *1То. sid = t/2nVr3olK,
f = 2ят = tlVr3olK.
C = r (гт|),
с
где а = е2 _~у — безразмерный параметр большой полуоси,
а е2 = 1 + С*2 /г* — эксцентриситет.
270
ПОЛЕТ С МАЛОЙ тягой
[ГЛ. 7
Наконец, безразмерный параметр ускорения определяется
как
„ _ F/пt _ f = fo
К/4 ~ К/d ’ ° К/г* '
Составляющие ускорения, обусловленного тягой, относительно
указанных направлений суть:
касательная щ = /г cos (qp — 0),
нормальная /г/г = /г sin (qp — 0),
радиальная пг = г* = п sin qp,
трансверсальная /ц = ^ (г*т)') = п cos Ф>
бинормальная nw = n sin а,
где 0 — угол наклона траектории, а ф — угол наклона вектора
тяги в продольной плоскости (рис. 7.25). Определение положи¬
тельного направления для каждого вектора ускорения было
указано в начале § 3.8. Из этих определений немедленно сле¬
дует, что
С* = r*nл = r*n cos ф v
и
к* = 2пг + 2г*т]' (rV) = 2(/г sin ф + r\'n cos ф).
1. Касательное ускорение тяги. В § 7.10 были приведены
обобщенные графики, характеризующие траектории при дей¬
ствии касательного ускорения. Их применение совместно с ис¬
пользованием второго и четвертого уравнений системы (7.187)
для расчета активных траекторий ухода с орбит Венеры и Зем¬
ли описано в § 9.16. С помощью набора обобщенных гра¬
фиков траекторий касательного торможения в центральном
поле сил рассчитывались (в случае ограниченной скорости вы¬
числений на машине) активные траектории ухода со средних
орбит Сатурна, Юпитера, Марса и Земли по направлению
к Солнцу. Их характеристики также представлены в § 9.16.
Эти траектории не являются, конечно, траекториями встречи
в том смысле, что краевые условия в конце полета соответст¬
вуют условиям сближения с какой-либо планетой.
Если надо вычислить усредненную траекторию при старте
с круговой орбиты при постоянном ускорении малой тяги
(rtf^lO-2), удобнее всего воспользоваться методом Перкинса
7.14] ТРАЕКТОРИИ С ИНВАРИАНТНОЙ ОРИЕНТАЦИЕЙ ТЯГИ 271
(§ 7.11). Пусть заданы г0, v0 и п0. Тогда можно определять либо
v и 0 при заданном г>г0,
либо
г и 0 при заданном v<v0.
В первом случае мы вычисляем X = X(t) из соотношения
(7.188) и сравниваем со значением X = X(v\) = 0,3, взятым из
таблицы 7.2. Если X(t) <0,3, то мы еще находимся на «кру¬
говой асимптоте» и должны искать У(t) с помощью уравнения
(7.192). Затем мы вычисляем значение У = У(0) при старте
с начальной (круговой) орбиты, которое, согласно соотноше¬
нию (7.189), составляет У(0) = n~i/4. Тогда становится извест¬
ным Y(t) — У(0) = ДУ. Отсчитывая время от старта [t = 0,
Г(0) =0], как это следует из соотношения (7.190), и помня,
что мы находимся на круговой орбите, из уравнения (7.194)
имеем:
АТ = Т (t) - Т (0) = Т (t) = - ДУ, (7.220а)
откуда с помощью выражения (7.189) можно определить t по
T(t):
Ьсек) = уЩП~тТ{1:) (7-220Ь)
или в единицах периода обращения по стартовой орбите
*-К-^5ГТ(1)- (7-220с)
Усредненное значение угла наклона траектории находится
из формулы (7.193).
Во втором случае, когда задано v, вычисления производятся
аналогичным образом. Теперь мы вычисляем Y(() с помощью
выражения (7.189), убеждаемся посредством сравнения Y(t)
с У(гц) = 1,85, что мы на круговой асимптоте [то есть что
Y(t) > У(1>0], находим X по уравнению (7.192) и затем опре¬
деляем Г и 9, как описывалось выше. Вне зависимости от того,
что задано, г или v, если мы желаем найти, сколько времени
активного полета осталось до достижения местной параболи¬
ческой скорости, нам следует рассчитать с помощью табли¬
цы 7.2 Т = Тр (Тр = п~'и — 0,809) и отсюда через соотношение
(7.190) определить tv. Тогда время, остающееся до достиже¬
ния параболической скорости, составит tv — t.
Если мы находимся на допараболическом участке, но уже
ушли с круговой асимптоты, то есть если X(/)>0,3 или
272
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
Y(t) <1,85, то неизвестные значения Y(/) или X(t) следует
либо взять с графика (рис. 7.75), либо рассчитать следующим
образом. Предположим, что задано v. Тогда Y(t) определяется
из уравнения (7.189) и отсюда же получаем v и ~]f ^ =-^- —
ускорение тяги). Далее, оценивается г, вычисляется X(t) и
X(t) гг
тогда г = - у--:- -. Если полученная величина г существенно рас-
V v/K
ходится с оценкой, то итерация повторяется до тех пор, пока
не достигается удовлетворительного совпадения.
Та же самая процедура применяется и для определения Г;
оценивается значение t и с помощью соотношения (7.190) вы¬
числяется T(t). Сравнение со значением t, полученным из соот-
(К \! /4
-Tg-J , показывает, насколько точной была
оценка. Величину 0 можно с достаточной точностью ндйти
с помощью графиков, представленных на рис. 7.78.
Для случая захвата и спирального спуска на конечную ор¬
биту захвата можно легко применить анализ Перкинса, если
касательное ускорение тяги постоянно, поскольку траектория
скрутки в этом случае подобна траектории раскрутки.
Пока значения траекторных параметров совместимы ^ ус¬
ловиями для круговой асимптоты (v > V\), можно применять
соотношения, выведенные в § 7.8 и 7.12, и результат будет хоро¬
шим, если рассматриваются небольшие изменения траектории
под действием касательного ускорения тяги. Положим, что тяга
действует в течение интервала времени At. Тогда на основании
выражения (7.146Ь) находим:
Дг ± Щ- (г^Д^ — sin f)c At), (7.221a)
%
Дг « ±Щ- (Дл — sin Дт]), (7.221 b)
г* ^ 1 + 2^ (Дг| — sin Дг)), (7.221с)
где положительные и отрицательные знаки относятся соответ¬
ственно к ускоряющей и замедляющей тяге. Из соотношения
(7.148Ь)
Ду ~ + |4r|cAf-2sin(T|cAi)], (7.22Id)
Дц « (Ari — 2 sin Дг]), (7.221е)
и из выражения (7.202)
v* ~ 1 + nt (Дг] — 2 sin Дт]).
(7.22 И)
7.14] ТРАЕКТОРИИ С ИНВАРИАНТНОЙ ОРИЕНТАЦИЕЙ ТЯГИ 273
В приведенных соотношениях для А г и Av можно взять зна¬
чение цс, соответствующее началу интервала At. Точность повы-
. Ал
сится, если вместо г\с использовать г)с + —£-> где, согласно выра¬
жению (7.149),
Дг| « ± fz-y-, (7.221 g)
а г взято для начала интервала At. Дальнейшее улучшение точ¬
ности достигается с помощью итерационного уточнения А г и
Ац по уравнениям (7.22lb) и (7.22 lg). Для усредненной траекто¬
рии можно брать большие величины At, поскольку исчезают
циклические члены:
(Ar)mean~ ±2fM/y]n (7.22lh)
(Omean ~ 1 ± 2tlt At), (7.22li)
(Mmean « Hh ^ Arj/f]^, (7.22 lj)
(^ )mean ^ 1 Щ (7.221k)
Время достижения параболической скорости при очень боль¬
ших скоростях истечения, которые характерны для электростати¬
ческих двигательных установок, можно оценить приближенно
с помощью выражений (7.209) и (7.210):
к ~ тгт о -е-Хо) ~ ¥г~ о - е-Хо)> (7-2211)
ft, о Щ, о
Я И
нения (7.20lb) следует:
где %0 = —г° ■. Для изменения орбитальной энергии из урав-
Ve
h= + 2vft. (7.221m)
I/"
Учитывая, что Л= ——, из выражения (7.205) получаем при
постоянной тяге формулу для текущего значения орбитальной
энергии:
A(f) = A0[l + ^1п(1 ~4;ко)]\ (7.22 In)
где h0— начальное значение орбитальной энергии. Для постоян¬
ного ускорения уравнение (7.206) принимает вид
h{t) = hQ[\-^pj. (7.221р)
Текущее значение большой полуоси (среднего радиуса) полу¬
чаем из выражения (7.205) или уравнения (7.206). Формула для
18 К. Эрике, т. II
274 ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ [ГЛ. 7
эксцентриситета мгновенного оскулирующего эллипса следует
2 1 , Q2h
из равенства е1 = 1 + —
e4t) = l+^h0[l+^\. (7.22 lq)
Другие важные соотношения для характеристики активной
траектории с касательным ускорением следуют из § 7.9 [уравне¬
ния (7.184а — 7.184f)]. Например, уравнение (7.184а) пока¬
зывает, что для околокруговой орбиты (а « г)
(Г)шеап- =P2f<7^j-, 1
(Пшеап ~ + 2tltv\ )
подобным же образом,
Cmean-^ + rf, (ф-*0), (7.22U)
(Wmean - -+ J *|/|- (г)теа„ <* ~ 3ft у=г. (7.221 и)
На гиперболической орбите изменение большой оси при каса¬
тельной тяге описывается с помощью уравнения (7.185):
a= + 2fta(7.22 lv)
Поскольку гиперболическая орбитальная энергия составляет
и К К 2
h - Т 9 а а “ Vooy
то
h = —-^2 а = ±2vft. (7.221 w)
Это соотношение идентично выражению (7.221т).
2. Трансверсальное ускорение тяги. Из уравнения (7.174)
следует, что
f-^+тг-о,
(7.222а)
С = rf„.
(7.222Ь)
С = (г3г + /Сг)1/2,
(7.222с)
Из первого уравнения
и второе уравнение принимает вид
|-(r3f + /Cr),/8 = rfr (7.222d)
7.14] ТРАЕКТОРИИ С ИНВАРИАНТНОЙ ОРИЕНТАЦИЕЙ ТЯГИ 275
Для постоянного трансверсального ускорения Цзянь [27] по¬
лучил приближенное решение, предположив, что для малой
трансверсальной тяги определенно имеет место условие г—* О,
а значит, г3 г «С 1, так что
-If Vfr « rfv (7.222е)
или
-|r (r*)1/2-rX- (7.222f)
Решение уравнения (7.222f), определяемое граничным условием
1
г* = 1, есть
откуда
(1 -Г/д* ’
2 пц
6«п
(1 -fn^Y '
1
1 -Гпц >
(7.222g)
(7.222h)
(7.222i)
(7.222j)
"• ~ • <7-222k>
Цзянь нашел, что местная параболическая скорость достигается
при
г* ~ -Д=- (7.2221)
Р /2я„ '
И
1 - (2nn)Ui
*1 ~ - V • <7-222т)
Приведенные выше уравнения быстро теряют точность в слу¬
чае, когда величина скорости приближается к параболическому
значению, потому что тогда член гг3 более не является прене¬
брежимо малой величиной. Мгновенное значение эксцентриси¬
тета оскулирующей орбиты получается из соотношения
е2 = 1 + С*2 й*:
276
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
Другое приближенное решение уравнений (7.222а) и
(7.222Ь) было представлено в [43]:
г*« 1+ я„ (2Г - 2sin Г) + я» (зг2 + ЗГ2 cos Г - Г sin Г -
-4 sin2/* + 2 cos -2)+ (7.222q)
г* » 2я„ (1 — cos /*) +
+ я2 (бГ + Ы* cos Г — 3Г2 sin t* — 3 sin Г — 8 sin t* cos f) + ...,
(7.222r)
C*= 1 +/*я„ (f2 + 2 cos f - 2) * ... (7.222s)
Что касается изменения большой полуоси и орбитальной
энергии на траектории с трансверсальным ускорением тяги, то
из выражения (7.184а) следует, что
a=±2-|-rr)f11 (7.222t)
и, далее,
й = ± 4 « = 2nif„, (7.222 и)
где знак «плюс» относится к эллиптической, а «минус» — к ги¬
перболической орбите. Сравнение уравнения (7.222и) с урав¬
нениями (7.221т) и (7.221w) показывает, что при касательном
ускорении орбитальная энергия возрастает пропорционально и,
но при трансверсальном ускорении увеличение энергии пропор¬
ционально только трансверсальной составляющей rf[ скорости.
При малых эксцентриситетах разница несущественна, поскольку
rf) ^ v, но видно, что на сильно эллиптических и гиперболиче¬
ских орбитах орбитальная энергия возрастает быстрее при ка¬
сательном ускорении, чем при равном по величине трансверсаль¬
ном ускорении. Поскольку гиперболическая орбитальная энергия
равна h = vlo, гиперболический избыток скорости более эффек¬
тивно накапливается с помощью касательной тяги:
v2 е2 sin2 т)
/ ч г- = 1 +tg2e = 1 +ТТ- Гп. (7.222v)
(У'Х))/^ (ГГ))2 (1+ecosT))2 v '
Преимущество касательного ускорения при создании гипер¬
болического избытка скорости рассматривалось также в [29].
Изменение кинетического момента максимально, конечно, при
трансверсальном ускорении:
(рД
С = ± rf„.
(7.222w)
7.14]
ТРАЕКТОРИИ С ИНВАРИАНТНОЙ ОРИЕНТАЦИЕЙ ТЯГИ
277
Средняя угловая скорость р меняется менее сильно при транс-
версальном ускорении, чем при касательной ориентации тяги.
3. Радиальное ускорение тяги. Из уравнения (7.171Ь) сле¬
дует, что С = 0, а значит, С = const. Из уравнения (7.170Ь)
r--^ + 7r-fr = 0 (7.223а)
или, в безразмерной форме,
C‘2- + -i = «r- (7.223b)
I Г
Двукратное интегрирование этого уравнения дает искомое
решение в замкнутой форме. Частные решения были найдены
Цзянем [27] и Домбровольским [44]. Полное решение, представ¬
ленное Коплендом [45], с несколькими уточнениями, внесенными
Карренбери [46], дает следующие результаты.
Первое интегрирование уравнения (7.223Ь) при предположе¬
нии, что старт происходит с круговой орбиты, приводит к урав¬
нению
С2 = 4- - + 2Пг (г* - 1) - 1, (7.223с)
Г г*
из которого можно видеть, что радиальная скорость равна нулю
при г* = 1 и при
(7.223d)
Поэтому космический аппарат не может совершить маневр
ухода, если пГ<поскольку г* остается ограниченным. Это
было впервые замечено Цзянем [27]. Если пг>~у то аппарат
может выйти на траекторию ухода, так как *“>0. Невозмож¬
ность ухода в случае, когда пг<^> связана с тем обстоятель¬
ством, что при строго радиальном ускорении кинетический
момент аппарата, равный начальному значению кинетического
момента на круговой орбите, остается постоянным. Когда непре¬
рывно действует радиальное ускорение, исходная круговая ор¬
бита искажается в эллипс. В перигее радиальное ускорение
данной величины менее эффективно изменяет орбиту, чем в апо¬
гее. Если радиальное ускорение слишком мало, оно только по¬
ворачивает большую ось эллипса, не увеличивая высоты орбиты
свыше некоторой определенной величины. Это условие начинает
иметь место при пг = .
278
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
Уравнение (7.223d) применяется в случае непрерывной тяги.
Легко видеть, что при должным образом управляемой (путем
включения и выключения) тяге маневр ухода можно совершить
ускорение действовало в положительном (от притягивающего
центра) направлении только на участке орбиты от перицентра
к апоцентру и было нулевым (или отрицательным) на остальной
части орбиты при движении от апоцентра к перицентру. Цзянь
нашел для времени достижения параболической скорости соот¬
ношение
Решение Копленда — Карренбери [45, 46] для t* и централь-
суть неполные эллиптические интегралы соответственно первого
и второго рода с амплитудой
Эти интегралы затабулированы (см., например1), [22]) как
функции ф и a = arcsin&. Для траекторий, входящих в глубь
!) См. также Бронштейн И. Н., Семендяев К. А., Справочник
по математике, Гостехиздат, 1948. (Прим. ред.)
также и при пг<у. При этом необходимо, чтобы радиальное
(7.223е)
ного угла г] можно в случае пг>у записать в виде
f~Vi; [р~ V1 ~4*2 {тг ~ ?г) ~7i + /г]+ const ’
(7.2231)
■Л = arcsin (2k V I/г* - 1/r*2) - kli + const, (7.223b)
И
Ф
/2 = £ (Ф, k)— | Y\—k2 sin2 qp dqp
о
qp = arccos (1 — 2/r*)
(7.223h)
и модулем
k = sina =
VBnr '
(7.223i)
7.14] ТРАЕКТОРИИ С ИНВАРИАНТНОЙ ОРИЕНТАЦИЕЙ ТЯГИ 279
сферы притяжения, п2 < 0 и
f = [Х313 + (*, - Х3) /2 + fi-*2)sin2<p1 +
J^—2(xi — х3) L 1 — k2 sin2 ф J
+ const, (7.223j)
„РУ-гм,,-,,) */»-*■/,) +const, (7.223k)
где
ф
I3 = I (ф, a,k) = f d<f —
J (sin2 ф — a) I — k2 sin2ф
есть неполный эллиптический интеграл третьего рода и
a=-^-k2. (7.2231)
Х2
Величины х\ > *2 > х3 представляют собой три действитель¬
ных корня уравнения г*2 = 0, а именно: г* = 1 и решения
(7.223d). Константы в уравнениях (7.223f), (7.223g), (7.223j)
и (7.223k) надо выбрать так, чтобы t* = 0 и г) = 0 для г* = 1.
Для связи с параметрами, использованными на рис. 7.80 и 7.85,
имеем:
т = f/2n,
>:/2л, I
ц [рад] | (7.223т)
2я • )
^ 2я
Максимальная высота, достигаемая на каждом обороте, со¬
ставляет.:
Г'л- <7-223")
или для очень малых ускорений
r\ ~ 1 + 2пп (7.223р)
чему соответствует сидерический период обращения
rSid ** 2я (1 + nr). (7.223q)
Если радиальное ускорение аг создается давлением солнеч¬
ного излучения, то ат меняется пропорционально г2. Тогда урав¬
нение радиального движения тела в гелиоцентрическом про¬
странстве, согласно уравнению (7.170Ь), принимает вид
' г3 I г2 г2 U
или
r~jr + ''V"r =0- (7-223r)
С2 , К0-КГ
280
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
где Кг = а/l — эффективный гравитационный параметр излу¬
чающего тела. Уравнение (7.223г) идентично уравнению движе¬
ния в центральном поле с более слабым гравитационным потен¬
циалом, чем тот, который создается массой излучающего тела.
Этот результат был получен ранее [47] другим способом (см.
§9.16).
Вариация орбитальной энергии на траектории с радиальным
ускорением составляет
ft* = 2пг (г* — 1) — 1. (7.223s)
4. Нормальное ускорение тяги. Поскольку сила, действую¬
щая нормально к вектору мгновенной скорости в плоскости ор¬
биты, не изменяет орбитальной энергии (см. главу 3), уход из
сферы действия небесного тела с помощью нормального уско¬
рения невозможен. По той же самой причине большая полуось
и, следовательно, сидерический период остаются постоянными
(см. таблицу 3.1). Так как эксцентриситет, однако, может ме¬
няться, если сила меняет знак в течение одного оборота, то вы¬
соты апоцентра и перицентра также могут изменяться. Таким
образом, маневры с нормально ориентированной малой тягой
могут быть использованы для вариации эксцентриситета орбиты
без изменения орбитальной энергии или большой оси. В этом
случае имеют место следующие безразмерные соотношения:
h* = г*2 + г* ~ф- = const, (7.224а)
С* = -п^У 2(Tnv) • (7.224b)
Интегрирование последнего уравнения дает [22]:
у
С = С0 — 8 |/ -фг J sjn4 0 rf0 = Cq + 1/"sin5 0cos 0j,
(7.224c)
x = arcsin |/7г*, у = arcsin]/ ftV.
Уравнение для орбитальной энергии теперь можно записать
в виде
где ft* = const, а С* дано выше, и использовать его для опреде¬
ления минимального г\г и максимального г*тяу расстояний, до-
7.14]
ТРАЕКТОРИИ С ИНВАРИАНТНОЙ ОРИЕНТАЦИЕЙ ТЯГИ
281
стигаемых на одном обороте. Для существования этих экстре¬
мумов необходимо, чтобы г* = 0, тогда
Численные расчеты по этим уравнениям показывают, что
что дает прямую линию, если построить график зависимости
(г*А — 1) от перегрузки. Это указывает, что г*А можно эмпири¬
чески определить простым соотношением
Если большая полуось а должна оставаться инвариантной, то
гР должно уменьшаться на ту же величину, на которую воз¬
растает гА:
5. Бинормальное ускорение. Изменения долготы узла и на¬
клонения, обусловленные бинормальным ускорением, описы¬
ваются уравнениями (7.184i) и (7.184j). В безразмерной форме,
принимая за единицы измерения г0 и С0 и полагая начальное
значение аргумента широты и0 = 0 (из-за чего угол и становится
равным /*), получаем для околокруговой орбиты:
и
(7.224d)
гА « 1,0002 « 1 + 2 • 1(Г4 при Пп= 10“4»
г*а~ 1 + 2 • 10“3 при пп = 10—3,
га ~ 1 + 2 • КГ2 при tin = 1СГ2,
(7.224е)
(7.224Г)
откуда
(7.224g)
(7.224И)
d^l ^ sin Г
dx ~ sin i Пwy
di ,*
» nwCOS t .
(7.225a)
(7.225b)
282
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
Эти соотношения являются приближенными, потому что
угол и изменяется вследствие вращения линии узлов. Вспомним
установленный в главе 3 факт, что влияние перпендикулярного
к орбите импульса на изменение <0, и i зависит от того квад¬
ранта, в котором этот импульс выдается. Таким образом, если
бинормальное ускорение действует в одном и том же направ¬
лении в течение одного оборота, величины и i совершают
цикл колебаний, возвращаясь к своим первоначальным зна¬
чениям. Если изменение наклонения должно быть достигнуто
на нескольких оборотах, то бинормальное ускорение должно
периодически изменять свой знак, как это показано на рис. 7.28.
Изменение наклонения в каж-
jr* дом квадранте составляет:
я/2
АI
квадрант
— flw
cos т = пи
(7.225с)
так что если направление уско¬
рения меняется должным об¬
разом, то
Д/оборот= 4лм,. (7.225 d)
Подобным же образом
4 tim 4nw
А Поборот
Sin I
Рис. 7.89. Безразмерное расстояние,
на котором достигается параболиче¬
ская скорость, как функция ускоре¬
ния тяги.
sin iQ
(7.225е)
где i0 — значение наклонения
в начале бинормального ма¬
невра.
6. Сравнение орбит. Из основных обсуждавшихся здесь
способов ориентации вектора тяги только касательная, транс-
версальная и, в условном смысле, радиальная ориентации
дают возможность осуществления маневра ухода при непре¬
рывном действии ускорения. Поэтому эти три способа и их
комбинации имеют первостепенное значение для межорбиталь-
ных перелетов.
На рис. 7.89 и 7.90 показаны зависимости параметра
расстояния г* при достижении параболической скорости и соот¬
ветствующего значения безразмерного времени тр от касатель¬
ного и трансверсального ускорений. Эти величины для касатель¬
ного ускорения получены из рис. 7.57, 7.58, 7.62, 7.63, 7.67, 7.68,
7,70 и 7.71; для трансверсального ускорения они подсчитаны
7.14]
ТРАЕКТОРИИ С ИНВАРИАНТНОЙ ОРИЕНТАЦИЕЙ ТЯГИ
283
с помощью уравнений (7.2221) и (7.222т), где ускорение предпо¬
лагалось постоянным, и, следовательно, либо менялась тяга,
либо значение удельного импульса принималось равным бес¬
конечности. Видно, что разница между графиками мала.
Идеальная скорость (или характеристическая скорость), со¬
ответствующая периоду активного полета, равна
£4d === ^oo/sp 1п |Д» = ft,
где р — отношение масс. Заметим, что отношение масс, требуе¬
мое для достижения местной параболической скорости, соста¬
вляет:
f fb
ц=ехр га;
Используя обобщенные графики типа представленных в пре¬
дыдущих параграфах, можно легко найти отношение масс для
заданных ориентаций вектора тяги и удельного импульса.
Рис. 7.90. Безразмерное время полета до момента до¬
стижения местной параболической скорости в зависи¬
мости от ускорения тяги.
Сравнение разгона космического аппарата при касательной,
трансверсальной и радиальной ориентациях тяги (рис. 7.91)
показывает, что радиальная ориентация тяги требует для до¬
стижения заданной конечной скорости много большего отноше¬
ния масс. Однако сравнение расстояний, на которые удаляется
космический аппарат при касательной и радиальной ориента¬
циях тяги, показывает, что радиальная тяга требует меньшего
отношения масс для достижения заданного расстояния в конце
активного полета.
С точки зрения минимизации энергии интересно найти ориен¬
тацию тяги, обеспечивающую нужное изменение орбитальной
энергии за кратчайшее время. Эта задача анализировалась в [37]
284
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
и [38] для случая больших и малых значений ускорения тяги.
Результат показывает, что ускорение тяги не должно быть каса¬
тельным на большей части активного участка траектории. Век¬
тор тяги скорее должен быть ориентирован под малым отрица¬
тельным углом атаки, при-
2'Ю4
Щ=10~1д00
у0=300морских миль
г0=3740морских миль
Т0=1,59 часа
Ориентация
вектора тяги:
.раОиальная
. трансверсальная
у касательная
/А Vid)
.jiid-exp (faij
A vidp10280фут/сек
\ /Г7_—Лл I
\AVid~7Um(py
(По=°о)
близительно равным —0/2,
где 0 — угол между векто¬
ром скорости и местной
трансверсалью (местным
«горизонтом»). К концу ак¬
тивного участка траектории
направление тяги должно
изменяться так, чтобы в ко¬
нечной точке совпадать с
вектором скорости. Другими
словами, большую часть ак¬
тивного участка траектории
ориентация тяги должна
быть промежуточной между
касательной и трансверсаль-
ной. Это объясняется двумя
причинами. Во-первых, из:
менение орбитальной энер¬
гии дается соотношением
=2v • f, то есть h может
изменяться быстрее всего
при фиксированном /, если
вектор тяги параллелен век¬
тору скорости. Во-вторых,
как указал Ирвинг [33],
h v2
уравнение энергии у = —
К
—— показывает, что в слу¬
чае фиксированного / вели¬
чина h возрастает быстрее
при больших значениях у, чем при меньших. Скорость на траек¬
тории, однако, увеличивается быстрее при горизонтальной ориен¬
тации тяги.. Отсюда возникает требование горизонтальной
ориентации тяги. В результате взаимодействия этих двух факто¬
ров наиболее эффективная ориентация тяги оказывается проме¬
жуточной между трансверсальной и касательной, но чем боль¬
ше ускорение, тем меньше отличается она от касательной. При
больших значениях /, свойственных ЖРД и ЯРД, касательная
2 3 4 5 6 76 910
Отношение масс/г
Рис,
ния
7.91. Сравнение значений отноше-
масс, требуемых для достижения
параболической скорости при активном
разгоне с круговой орбиты высотой
300 морских миль (556 км) с разными
ориентациями тяги.
7.15]
ПРОГРАММА ТЯГИ, МИНИМИЗИРУЮЩАЯ ОТНОШЕНИЕ МАСС
285
ориентация очень близка к оптимальной. Гиперболический избы¬
ток скорости наиболее эффективно создается с помощью каса¬
тельного ускорения. Если, с другой стороны, задача состоит в
нахождении ориентации тяги, которая позволяет космическому
аппарату быстрее набрать высоту, то следует использовать ра¬
диальное ускорение. Легко усмотреть, что радиальное ускорение
весьма малоэффективно в смысле увеличения орбитальной энер¬
гии [см. также краткое обсуждение уравнения (3.6b), где пока¬
зано, что изменение направления полета сопряжено с большими
затратами топлива]. Таким образом, в случае, когда время пере¬
лета связано с увеличением орбитальной энергии, следует избе¬
гать использования радиального ускорения. Однако, поскольку
период перелета зависит от радиальной составляющей скорости,
радиальное ускорение может ускорить перелет. Выбор преиму¬
щественно радиальной ориентации тяги может стать оптималь¬
ным, если он обеспечивает наиболее приемлемый компромисс
(с точки зрения задачи в целом) между весом полезной нагруз¬
ки и уменьшением времени перелета.
7.15. Программа тяги, минимизирующая отношение
масс в общем случае
До сих пор мы занимались механикой движения космиче¬
ского аппарата под влиянием малой тяги. Любая задача полета
характеризуется динамическими условиями в точках старта и
цели (краевые условия) и неким критерием, зависящим от су¬
щества задачи. Широко распространенным критерием служит
требование минимальной величины отношения масс. Само по
себе это требование часто является слишком ограничивающим
или даже нереальным с точки зрения системы: ограничивающим
потому, что существует, очевидно, лишь одна траектория, вдоль
который реализуется минимальное значение отношений масс, что
допускает один возможный вариант взаимного расположения
тел при перелете и делает его редким событием (по крайней
мере в случае перехода между орбитами планет); нереальным
потому, что минимальная величина отношения масс, по суще¬
ству, связана всегда с большими временами перелета, что предъ¬
являет повышенные требования к оборудованию космического
корабля и превращает полеты с человеком на борту к другим
планетам в нечто почти невозможное. Следовательно, фактор
времени выступает в качестве второго и притом важного кри¬
терия. «Оптимальный» вариант на практике всегда является
компромиссом между требованиями этих двух критериев. Любой
из них может теоретически рассматриваться как независимая
переменная. В действительности фактор времени более удобно
286
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
принять за независимую переменную, поскольку он в большей
степени связан с условиями задачи, такими как наличие или от¬
сутствие экипажа, тип, ресурс и надежность оборудования и т. д.
Проблема, таким образом, состоит в минимизации отношения масс
для заданного диапазона представляющих интерес периодов.
Смысл критерия минимального отношения масс состоит в
выполнении задачи с максимальным весом полезной нагрузки
при заданном начальном весе космического аппарата. Очевидно,
что минимизация отношения масс требует конкретной программы
управления тягой, которая должна минимизировать расход топ¬
лива. Управление тягой может быть определено как запрограм¬
мированное (или регулируемое другим способом) изменение век¬
тора тяги по величине и направлению. Непосредственной задачей
управления вектором тяги является ведение аппарата вдоль ак¬
тивной траектории, удовлетворяющей навигационным требова¬
ниям, которые вытекают из данного операционного критерия
или критериев.
В случае одномерных траекторий (прямолинейный полет в
отсутствие поля) тяга может иметь только одно направление
(или положительное, соответствующее ускорению, или отрица¬
тельное— замедлению). В случае двумерных траекторий (пло¬
ское движение в гравитационном поле) положительный (или
отрицательный) вектор тяги может быть разложен на две со¬
ставляющие: радиальную и трансверсальную. В случае трех¬
мерных траекторий (некомпланарные перелеты в гравитацион¬
ном поле) вектор тяги имеет три составляющие: радиальную,
трансверсальную (широтную на небесной сфере) и бинормаль¬
ную (меридиональную на небесной сфере). С возрастанием раз¬
мерности задачи усложняется процесс определения программы
тяги, минимизирующей отношение масс.
При полете космического аппарата с малой тягой, которая
действует на всей траектории или вдоль значительной ее части,
имеется вполне достаточно времени для выполнения малых кор¬
рекций траектории. Все двигательные установки космических
аппаратов допускают, конечно, неограниченную возможность
управления направлением тяги благодаря отсутствию внешних
сил (по крайней мере для нерелятивистских скоростей). Что
касается управления модулем тяги, то характеристики электри¬
ческих двигательных установок (особенно электростатических)
позволяют регулировать тягу в большем диапазоне, чем это
имеет место для адиабатических систем. Модуль тяги можно
менять или вариацией удельного импульса при постоянном мас¬
совом расходе, или вариацией массового расхода при постоян¬
ном удельном импульсе, или же за счет изменения обоих этих
фактороц. Уравнение (7,214) показывает, что один из способов
7.15] ПРОГРАММА ТЯГИ, МИНИМИЗИРУЮЩАЯ ОТНОШЕНИЕ МАСС 287
снизить отношение масс \х = — заключается в том, чтобы под-
держивать малую величину удельной мощности a = —j£~. Для
данного космического аппарата величина WP фиксирована, и
значение а можно поддерживать на самом низком уровне толь¬
ко тогда, когда величина Р все время максимальна. Это озна¬
чает, что одним из способов минимизации отношения масс (мак¬
симизации полезной нагрузки) является поддерживание выход¬
ной мощности на максимальном уровне в течение активного
полета. Следовательно, вариация тяги должна сопровождаться
противоположным по знаку изменением удельного импульса,
чтобы удовлетворялось требование P = Pmax = const. При этом
предполагается, что коэффициент е эффективности преобразо¬
вания энергии, определенный ранее как отношение мощности
истекающей струи к мощности на входе в систему создания
тяги, постоянен. Однако известно, что в ионных двигателях эта
величина имеет тенденцию к уменьшению своего значения при
увеличении удельного импульса. Если коэффициент е остается
приблизительно постоянным в рассматриваемом интервале
удельных импульсов (5000 сек^С1550ООО сек), то а также
остается постоянным и равным WP/Pm3iXy и для минимизации
отношения масс надо оптимизировать величину j f2 dt. Если е
существенно меняется при вариации /8р, то становится необходи-
ственно более сложную задачу, поскольку параметры траекто¬
рии теперь взаимно связаны с конструктивными параметрами.
Между этими двумя группами параметров не существует явных
функциональных соотношений. В настоящее время слишком рано
предсказывать поведение е в реальных ионных двигательных
установках. Можно надеяться, что вариация е в диапазоне
5000 сек /8р ^ 20 000 сек будет умеренной. Поэтому мы будем
здесь предполагать, что коэффициент е постоянен или что можно
ввести некоторую среднюю эффективную величину. Это делает
задачу минимизации отношения масс эквивалентной задаче ми¬
нимизации интеграла
мым оптимизировать величину
Это составляет суще-
т
т
(7.226)
о
о
где Т — общая длительность активного полета. Эта оптималь¬
ная задача в зависимости от постановки может иметь два ре*
Шения:
288
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
ГГ Л. 7
/] — минимум для полностью активной траектории, /2—ми¬
нимум для траекторий, содержащих пассивный участок (F = 0),
следующий за активным.
Любое из этих решений должно, конечно, минимизировать
отношение веса топлива WP к начальному весу W0i то есть ми-
wp
нимйзировать коэффициент заправки A = -^r-. Первое решение,
дающее абсолютный минимум А, сводится к программе управле¬
ния тягой, первоначально найденной Ирвингом и Блюмом [28,33]
при условии, что е постоянно, так что не накладывается никаких
ограничений на изменение тяги и удельного импульса при по-
стоянной максимальной мощности на выходе. Как упоминалось
выше, если такие ограничения должны накладываться из-за
сильного изменения е, то эффективное значение а также испыты¬
вает существенные изменения, так что в этом более общем случае
т
/[ = Y J dt = minimum. (7.227)
о
Поскольку минимизация 1\ при условиях, определяемых част¬
ным видом задачи, дает абсолютный минимум А (а значит, и
отношения масс = — , где гат — масса космического аппа-
ttlrp
рата в момент времени 71), то следует, что минимизация l\ ве¬
дет к несколько большему значению А (то есть A^>Ai).
Вторая постановка задачи предполагает минимальность
уровня ускорения тяги f, что не имеет места, когда ищется Л.
Это следует из того факта, что минимум Л может достигаться
при таких оптимальных значениях /, при которых значения ско¬
рости вдоль траектории будут меньше величин, обеспечивающих
достижение цели по пассивной траектории в случае выключения
двигателя. Тем самым поиски /2 ведут к большим значениям
A(A2>Ai). Кроме того, решение при втором варианте поста¬
новки задачи зависит от отношения времени t2 активного полета
при оптимизации /2 к продолжительности Т активного полета
при оптимизации h для одного и того же полета. Рхли отно¬
шение t2/T (вне зависимости от их индивидуальных значений)
очень велико (близко к единице), то оптимизация /2 дает про¬
грамму управления, близкую к соответствующей программе для
/ь Отличие состоит в том, что /2 больше из-за более жестких
ограничений времени активного полета. Когда отношение t2/T
уменьшается, необходимый уровень / возрастает и постепенно
становится максимальным в течение всего активного участка
полета. При данных прочих условиях невозможно иначе полу¬
чить более короткое время активного полета. Минимальное
ПРОГРАММА ТЯГИ, МИНИМИЗИРУЮЩАЯ ОТНОШЕНИЕ МАСС 289
время работы двигательной установки обусловливает постоян¬
ство тяги, для которой необходимо найти оптимальную вели¬
чину скорости истечения. В этом случае коэффициент е теоре¬
тически постоянен.
Второе решение (/2) может найти практическое применение
для полетов без возвращения, например, в случае траекторий
гиперболического пролета автоматических станций мимо других
небесных тел, когда отсутствие маневра захвата устраняет не¬
обходимость повторного запуска сложной двигательной уста¬
новки. В этом случае уменьшение активного участка облегчает
решение практических задач, связанных с уменьшением надеж¬
ности и увеличением вероятности метеорной опасности в тече¬
ние долгих периодов активного полета.
Решения, минимизирующие 1\ и /2, принципиально разли¬
чаются только в том случае, когда решение, оптимизирующее
/2, ведет к постоянству силы тяги. Поэтому мы будем рассматри¬
вать здесь оптимизацию интеграла /ь отождествляя его с функ¬
ционалом /, определенным выше с помощью уравнения (7.226).
Минимизация I есть вариационная задача с краевыми усло¬
виями и ограничениями, возникающими либо из соотношений
небесной механики, либо из практических требований. Например,
в момент приближения к планете-цели кинетический момент
аппарата и направление его полета должны быть достаточно
близки по величине к соответствующим значениям для центра
масс планеты с тем, чтобы можно было с малой тягой выпол¬
нить маневр захвата в течение того малого периода времени,
которым мы располагаем при гиперболическом пролете. В при¬
веденном примере краевые условия и ограничения заданы толь¬
ко в одной из конечных точек траектории. Решение этой задачи
для случая плоского полета было дано в [33]. Оно обобщено в
§ 7.18 для случая трехмерной траектории (что позволяет рас¬
сматривать перелеты между некомпланарными орбитами) с по¬
мощью метода Эйлера — Лагранжа. Сущность вариационного
метода состоит в следующем.
Пусть некое функциональное выражение A{xyx,t) содержит
одну зависимую переменную x(t) и ее производную х (t) = «
Интеграл / = J А(х, х, t) dt должен принимать экстремальное
значение (максимум, минимум или точка перегиба). Если варьи¬
ровать x(t), полагая *(/)+е£(0» то соответствующая вариация
интеграла / определится соотношением
и
s г df (х + е£) Г / дЛ I дА Л ,,
6/ = £--ав -е J (lF*+
*1
19 К. Эрике, т. II
290 ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ [ГЛ. 7
Интегрирование по частям члена, содержащего g, дает:
Mlrit+*fa£-a-№-
*1
Если функция x(t) задана в конечных точках t\ и то пер¬
вый член обращается в нуль. Для того чтобы интеграл / прини¬
мал экстремальные значения, необходимо, чтобы 6/ = 0 для всех
допустимых1) функций g, поскольку, по определению, в стацио¬
нарной точке вариация функционала равна нулю. Это требование
ведет к дифференциальному уравнению Эйлера — Лагранжа
дА d ( дА \ 0
дх dt \ дх ) ’
определяющему x(t) в зависимости от двух постоянных интегри¬
рования, которые находятся из краевых условий. Они могут быть
заданы функцией B(x,t) такой, что
£A.RdB_
дх “т- р дх
дА . л дВ
дх Р дх
t.t,6x' = 0’
Ьх2 = 0,
X = t<i
где р — некоторый множитель Лагранжа, а х\ и х2 суть значе¬
ния х в моменты времени t\ и t2 соответственно.
Наличие ограничений помимо краевых условий означает, что
для решения б/=0 приемлемы только такие функции g, которые
удовлетворяют наложенным условиям, например J G dt = const,
# = 0 и т. д. Ядро функционала А должно быть заменено на
A+XG + \iH и т. д., где Я, ц и т. д. суть множители Лагранжа.
Уравнения Эйлера — Лагранжа, при выполнении которых
6/=0, принимают вид
дА . , dG , дН d (дА , . dG , дН\ л
лГ + л и + » W - 1Г (Ж+К Ж+» ж)=°-
а граничные условия суть:
дА , « dG , дН , Q дВ л л
_+Я_+ц_+Р_ 1 = *
дА . dG . дН дВ
дх дх ^ дх ^ дх
t-tt
6*о = 0.
t-t,
Значения множителей Лагранжа должны быть найдены
позднее из уравнений для краевых условий и ограничений.
‘) Здесь под допустимыми понимаются функции, имеющие непрерывную
производную на интервале [tь t2]. (Прим. ред.)
minimum.
7.15] ПРОГРАММА ТЯГИ, МИНИМИЗИРУЮЩАЯ ОТНОШЕНИЕ МАСС 291
Для иллюстрации этого метода мы используем принцип Га-
мильтона, который утверждает, что если тело под влиянием
произвольных потенциальных сил переходит из точки г{ в точку
г2 за время t2 — tь то его движение определяется тем требова¬
нием, чтобы интеграл ]) от разности между кинетической и по¬
тенциальной энергиями был минимален. Классический вариа¬
ционный принцип динамики выражается, таким образом, в форме
^2
J (Ek-u) dt = mi
1 2 *1
Граничные условия:
r(ti)=ri,
r{t2) = r2.
Кинетическая энергия Eh и потенциальная энергия U являются
функциями трех координат и соответствующих им трех состав¬
ляющих скорости. Для точки с единичной массой в централь¬
ном поле сил имеем в декартовых координатах:
Ек = у г2 = Т (х2 + у2 + i2),
U = U (г) = U {х, у, г),
Ek-U = \r2-U(r).
Дифференциальное уравнение Эйлера — Лагранжа принимает
тогда следующий вид:
dU d j dEk \ = 0
дг dt \ дг )
ИЛИ
dU
Г = ~^г-
Это — уравнения Ньютона для случая движения в централь¬
ном поле сил. При наличии одного или более ограничений вида
G(r)= 0 или G(r, /)=0 разность Ek—U следует заменить выра¬
жением Eh—U + X\G\ + X2G2 + ...; в случае одного ограничения
имеем:
-Ur + XGr-^-l^^O
dt \ дг I
ИЛИ
=0.
dt \ дг I дг дг
1) То есть действие по Лагранжу. (Прим. ред.)
19*
292
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
Это — обобщенная форма уравнения движения Лагранжа
(см. «Космический полет», том I, § 6.2).
Решения обоих уравнений движения дают экстремумы
(в данном случае минимумы) действия по Гамильтону в четы¬
рехмерном пространстве (г,/), поскольку граничные условия за¬
висят от времени. Таким образом, экстремумы действия по
Гамильтону в четырехмерном пространстве соответствуют дви¬
жению в трехмерном координатном пространстве под влиянием
заданных сил. Аналогично одномерное движение по закону
r = r(i) можно представить кривой на плоскости rt (§ 7.16), а
двумерное движение r(t), г|(£) можно представить кривой в про¬
странстве rr\t. Преимущество принципа Гамильтона состоит в
том, что уравнения Эйлера — Лагранжа инвариантны при пре¬
образованиях координат. Следовательно, можно немедленно за¬
писать уравнения движения в любой произвольной системе ко¬
ординат, для которой известен элемент дуги dr. Геометрический
смысл координат при этом неважен. Мы уже использовали это
обстоятельство в § 7.9, когда выводили уравнения движения в
полярной и сферической системах координат.
Если обозначить обобщенные координаты точки через gb q2,
7з, то связь между ними и абсолютными, то есть декартовыми,
координатами х, у, г будет задаваться в форме
[ x{qb <72, q3) = x(qk) = x{q)y
r = r {qu <72, <73) = j У (<7i, q2, q3) = У (qk) = У (q), •
I z(<7„ <72i q3) = z(qk) = z(q).
Отсюда следует, что вдоль кривой с координатами qi(t)y q2 (/),
<7з(0
r2 = hQik (q)qiqk•
i, k
p2
Поскольку T = y и U = U (q) или U = U {qy t), T0 уравнения
в обобщенных координатах при Ek—U = L запишутся как
d I dL \ _ dL _ ~
dt [ dq. J dqt “U*
Тогда, поскольку = 0, так как потенциальная энергия зави-
I
сит только от расстояния до центра и не зависит от скорости,
получаем:
d !dEk\ dEk dU n
dt V d4i I dcli d4i
то есть получаем уравнения движения Эйлера — Лагранжа, ис¬
пользовавшиеся в § 7,9,
7.15]
ПРОГРАММА ТЯГИ, МИНИМИЗИРУЮЩАЯ ОТНОШЕНИЕ МАСС
293
Если на движение тела накладываются v ограничений вида
Ол(9»0=0» то функцию L в приведенном выше дифференциаль¬
ном уравнении следует заменить на L + X\G\ + X2G2 + ...
В нашем случае, когда минимизируется интеграл /, заданный
уравнением (7.226) и равный
мы применяем уравнения Эйлера — Лагранжа для определения
такого закона изменения во времени составляющих вектора уско¬
рения / в течение периода t\ активного полета, что соответствую¬
щее ему значение / для данной задачи и заданной длительности
периода активного полета является минимальным. С динамиче¬
ской точки зрения, задачей является перелет из начальной точки
в конечную. Определение начальных и конечных условий дает
граничные условия. Характеристики гравитационного поля вдоль
пути определяют ограничения. Они особенно просты, если пред¬
полагается полет в центральном поле сил, однако отклонения
от этого условия можно учесть без затруднений, если не считать
таковыми усложнение уравнений и сопряженное с этим увели¬
чение вычислительной работы. Если, например, надо рассмо¬
треть поле притяжения сплющенного тела, то соотношение для
простого центрального поля
необходимо заменить на соотношение
где \|) — возмущающая функция для сплющенного центрального
тела (см. § 2.5). Если возмущения создаются другим небесным
телом, то они зависят от времени (из-за движения возмущаю¬
щего тела), и соотношение принимает вид
где г и pi—расстояния от космического аппарата до централь¬
ного тела и возмущающего тела соответственно, а Г\ — расстоя¬
ние от источника возмущений до центрального тела.
Если активный участок составляет только часть траекто¬
рии от точки старта до цели, то граничные условия в конце за¬
даются условиями в точке выключения двигательной установки,
\f2dt
= minimum
о
294
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
В случае полностью активной траектории условия в конце опре¬
деляются орбитальными характеристиками цели.
Интеграл I можно определить в общей форме:
т
/ = Т f Л МО. qi(t)\dt (1 = 1, 2. 3. .... п), (7.228)
О
где qi — введенные выше обобщенные координаты, а — их
производные по времени. Граничные условия даются соотноше¬
ниями:
[Bj (<7/, 0]г=о = 0 (/ = г'=1. 2. 3- •••• «).
[Bs{qh 0]f=r = 0 (j = n+ 1, п + 2, n + 3, ..2п),
(7.229)
где / — номер граничного условия. Ограничения вводятся в об¬
щем виде уравнениями
ОАЯь Qh 0 = 0 (*=1, 2, 3, v; v<n). (7.230)
Задача состоит в нахождении функций ?г(0» придающих
интегралу / минимальное значение и подчиненных данным гра¬
ничным условиям и ограничениям. Уравнения Эйлера — Ла¬
гранжа, удовлетворяющие требованию 6/ = 0, суть:
дА , V л dQk d { дА , V . dGk
'b^~dT~4i\жЛ^ к~Ж
k=\ 1 \ k=\ 1
dqt
= 0. (7.231)
Начальные условия должны удовлетворять уравнениям
дА , vi - d(Gu
4=1
dqt
V дВ>
/=1
6qt (0) - 0, (7.232)
а конечные — уравнениям
дА
Ж
4 = 1
dG„
dq.
2п
у ..
/ = П + 1
6(7, (Т) = 0. (7.233)
Здесь Xk{t) и представляют собой множители Лагранжа. Ве¬
личины qi(0) и qi(T) суть значения qi в начале и конце актив¬
ного участка, а 6дг(0) и 6qi(T)—их вариации. Если <7г(0) за¬
даны, то вариации 6qi(0) и pj(0)^p, равны нулю. Если заданы
<7г(7\), то 6qi{T)=0 и \ij(T) =рп+г = 0. Если <7г(0) или qi(T) не
заданы1), то значения членов в скобках уравнения (7.233)
1) То есть вариации 6^,(0) и bqi[T) не равны нулю. (Прим. ред.)
7.15]
ПРОГРАММА ТЯГИ, МИНИМИЗИРУЮЩАЯ ОТНОШЕНИЕ МАСС 295
равны нулю и соответствующие величины Bj равняются нулю
или являются функцией одной или нескольких обобщенных ко¬
ординат Таким образом, уравнения (7.230) и (7.231) опре¬
деляют п + v функций времени, а именно, q{{t) и hi{t), в то
время как из уравнений (7.229), (7.232) и (7.233) находятся 2п
значений множителей Лагранжа p,j, которые не зависят от вре¬
мени. Решения дифференциальных уравнений (7.230) и (7.231)
дают 2п постоянных интегрирования (граничных условий). Если
указанные выше n + v функций времени найдены, то задача ре¬
шена и искомая программа управления вектором тяги для дан¬
ного активного маневра и данной длительности активного по¬
лета известна.
Применяя эту методику к активному движению космического
аппарата в центральном поле (в качестве системы координат
используется декартова система с началом в центре притяже¬
ния), мы имеем дело со следующими величинами:
Яь Яь Яъ = Х\> *2» x3 = xh |
Яа> Яь ?б = *1> *2, X3 = xh (7.234)
Яту Яь Яд == fh /2» fs ^ fiy '
где — координаты х, у, -г; ±i — соответствующие составляющие
скорости, a fi — составляющие ускорения тяги И/т. Тогда подын¬
тегральная функция в выражении (7.226) принимает вид
А-Г-iff. (7-235)
i = 1
Ограничения задаются уравнениями (7.169) движения
в центральном поле сил, которые следуют из соотношений
d I dEk\ dEk _ F = du f .
dt ^ dx. j dxt 1 qi дх. 'I1'
Gk = it + ■§- ~ ft = ° (k = 1, 2, 3), (7.236a)
Gk = Xi-Vi = 0 (fe = 4, 5, 6). (7.236b)
Используя равенство (7.235), интеграл можно записать в виде
0 i = l
Вариация / дает:
296 ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ [ГЛ. 7
Вариация уравнения (7.236а) дает:
з
<7-2371»
k = l 1 *
Подставляя соотношение (7.237Ь) в уравнение (7.237а), полу¬
чаем:
т
^ = / ^1 ~dt*~ дх.дх. бХ/г)
О \ i и к ь к ]
Интегрирование первого члена приводит к выражению
т т
jfi^r{Ъх,) dt = \ U 6xi dt + П (6xt) |0Г- ft (Ьхд fQ. . (7.237c)
0 0
Последние два члена в правой части обращаются в нуль,
если точно указаны начальные и конечные условия, то есть если
заданы радиус-вектор и вектор скорости в начальной и конечной
точках траектории. Если граничные условия не полностью опре¬
делены, то эти члены не исчезают. Отсюда получаются дополни¬
тельные граничные условия, называемые условиями трансвер¬
сальности, которые должны удовлетворяться для выделения
абсолютного экстремума из всей совокупности возможных экстре¬
мумов, образующейся из-за недостаточности задания краевых
условий1). Условия трансверсальности представляют собой до¬
полнительные краевые условия, позволяющие найти абсолютный
экстремум, то есть такой, для которого / не изменяется (остается
стационарным) при малых вариациях граничных условий. Если
для некоторых случаев, которые будут обсуждены в § 7.19, гра¬
ничные условия заданы не полностью, то условия трансверсаль¬
ности можно написать с помощью уравнения (7.233). Предпо-
9 Проблема определения кратчайшего расстояния между точкой и пря¬
мой линией является примером вариационной задачи с неполностью задан¬
ными граничными условиями. В то время как начальная точка фиксирована,
положение конечной точки определено только в том отношении, что она мо¬
жет лежать только на одной линии, а не где-либо в пространстве. Даже
при этом ограничении существует, как легко усмотреть, бесконечное число
путей, соединяющих начальную точку с указанной линией. Все прямые линии
являются среди них экстремумами.
Наиболее короткой, то есть абсолютным экстремумом между всеми
этими относительными экстремумами, будет прямая, пересекающая линию-
цель под прямым углом. Это условие перпендикулярности является примером
условия трансверсальности, возникающего при неполном задании краевых ус¬
ловий. Неполное задание условий в конечных точках будет всегда порож¬
дать подобные условия трансверсальности.
7.16] ПРОГРАММА ТЯГИ ДЛЯ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ТРАЕКТОРИЙ 297
лагая, что последние два члена в правой части равенства (7.237cJ
уничтожаются, из уравнений (7.237Ь) и (7.237с) получаем для
вариации (7.237а):
т
+ <7.237d)
О \ i itk 1/5 /
Поскольку мы предположили, что начальные и конечные условия
полностью заданы, то коэффициенты при равны нулю. Для
того чтобы исключить бх/i, преобразуем
fi Ырк)Ьч 3 fk Ыж)6xi'
Тогда получаем искомое дифференциальное уравнение для /*:
(7'237е>
k = \ 1 Я
Это уравнение определяет программу изменения вектора тяги,
которая удовлетворяет условию 6/ = 0. Как указывалось ранее,
это — необходимое, но недостаточное условие для минимизации
интеграла. Не существует строгого математического доказатель¬
ства, что этот интеграл минимален. Можно представить, что до¬
статочно обширные расчеты дали бы нам множество программ
тяги и траекторий, которые удовлетворяли бы уравнению (7.237е)
для одних и тех же продолжительностей активного полета, но
значения интеграла /, а следовательно, и отношения масс были
бы различными. Однако в любом случае решение (7.237) суще¬
ственно ограничивает класс возможных траекторий полета и
тем самым упрощает задачу максимизации полезной нагрузки.
В последующих трех параграфах это решение будет применяться
к активному движению в одномерном, плоском и пространствен¬
ном случаях.
7.16. Программа тяги для прямолинейных траекторий
в бессиловом поле, минимизирующая отношение масс
Прямолинейные траектории в бессиловом поле являются од¬
номерными траекториями. Понятно, что одномерная траектория
может также существовать и в поле тяготения. Подобные траек¬
тории будут называться радиальными. С целью анализа харак¬
теристик (хотя и не обязательно навигационных характеристик)
космического аппарата можно аппроксимировать межзвездные
траектории одномерными моделями перелетов, поскольку галак¬
тическое поле тяготения слабо.
298
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
Так как U = 0, уравнения (7.236а) и (7.237е) при отождеств¬
лении оси х с расстоянием до непритягивающей точки, прини¬
мают вид
* = r = f, (7.238а)
f = 0. (7.238b)
Запишем первое из этих уравнений в виде
dt-§~fdl-0
* или
\ lu lldt-\ fdf = const' (7-239>
т
где в правой части стоит постоянная интегрирования. Интеграл
в левой части приводится к виду fr— J rfdt. Второй из этих
членов равен нулю, поскольку /=0 по определению. Тогда ре¬
шение приведенных выше уравнений таково:
fr — у f2 = const. (7.240)
Уравнения (7.238), (7.239) и (7.240) определяют ограничения’
при оптимизации одномерной траектории. В зависимости от гра¬
ничных условий мы различаем три основных случая.
1. В начальный момент времени космический аппарат по¬
коится по отношению к началу отсчета (г = 0 при ^ = 0) и распо¬
ложен в начале отсчета (г = 0 при / = 0). Аппарат также нахо¬
дится в состоянии покоя по отношению к началу отсчета, когда
он достигает намеченного пункта (г = 0 при t = T), который рас¬
положен на расстоянии D от начала отсчета (r = D при t = T).
Программа тяги характеризуется наличием участка постоянной
положительной тяги (ускорения) и равного по продолжитель¬
ности участка постоянной отрицательной тяги (торможения).
Каждая из этих фаз может занимать половину всего времени
полета (Т/2) или быть более короткой. Тогда появляется про¬
межуточная фаза пассивного полета. Типичные профили про¬
граммы ускорения показаны на рис. 7.92.
2. Тот же случай, что и случай 1, за исключением того, что
ускорение (положительное и отрицательное) меняется с по¬
стоянной скоростью (ускорение является линейной функцией
времени) от начального положительного значения до нуля и от
нуля до такого же по модулю отрицательного значения; при
этом возможен промежуточный участок с нулевым значением
ускорения (рис. 7.93).
7.16]
ПРОГРАММА ТЯГИ ДЛЯ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ТРАЕКТОРИЙ
299
3. Космический аппарат сначала неподвижен и находится в
начале отсчета. Затем он ускоряется в постоянном направлении
так, что преодолевает расстояние D за заданное время Т. Конеч¬
ная скорость гт не фиксируется.
Случай 1.
Граничные условия:
= fo>
Ограничения:
f = 0,
r = f,
(7.241)
/ = const = 0, / — реверсируемая, )
(7.242)
где т обозначает период монотонного изменения скорости в еди¬
ницах Т. Таким образом, общее время активного полета состав¬
ляет 2т от Т. Мы будем далее выражать текущее время t с
+ -F
о
-г
(с)
(Ъ)
(а)
W
(Ъ)
(с)
V
Рис. 7.92. Кусочно-постоянная
программа ускорения тяги с про¬
межуточным пассивным участком
и без него.
+ f
О
-f
Рис. 7.93. Кусочно-линейная про¬
грамма ускорения тяги с промежу¬
точным пассивным участком и без
него.
помощью безразмерного параметра £, = у. Из ограничения r=f
следует, что
r(t) = flT (0<£<т), (7.243а)
гх = fxT = V пасс, (7.243Ь)
где гх — скорость в конце периода ускорения т. Расстояние,
пройденное в течение активного полета, составляет:
Г (Оакт = Tf
rx = ±fx*T\
(7.244а)
(7.244b)
300 ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ [ГЛ. 7
где./ч — расстояние, покрываемое космическим аппаратом в те¬
чение периода ускорения т (это расстояние равно расстоянию,
покрываемому за время торможения т). Отсюда дальность пас¬
сивного участка составляет:
Гпасс = rj (1 - 2т) = /Г2т (1 - 2т), % (7.245)
и потому
£> = 2гт + гпасс = /72(т-х2). (7.246)
Тогда с учетом указанных выше граничных условий и огра¬
ничений уравнение для программы тяги, минимизирующей от¬
ношение масс, принимает вид
1-тЧГ^)- <7-247>
Общее время активного полета (сумма периодов ускорения и
торможения) равна 2x7. Следовательно, интеграл от квадрата
ускорения тяги J в этом случае имеет вид
2Т т
/(» = ! f . (7.248)
о
Как показано на рис. 7.92, существует бесконечное множе¬
ство законов изменения ускорения, удовлетворяющих данным
граничным условиям и ограничениям. Интересно выяснить,
имеется ли среди них такой закон, для которого lf] меньше, чем
для всех остальных. С этой целью продифференцируем интеграл
по г, в результате чего получим:
d М) _ _d_ Г 2т 1
dx ^ dx L (т — т2)2 J ’
Этот процесс ведет к квадратному уравнению Зт2 — 4т +1=0,
решения которого суть т=1 и т = 1 /3. Первое решение здесь не¬
применимо, поскольку оно противоречит граничному условию
гт = 0. Следовательно, т = 1 /3 представляет собой программу
ускорения для прямолинейной траектории в бессиловом поле,
для которой lf] ■ принимает минимальное значение. Это решение
констатирует, что космическому аппарату следует придавать
постоянное ускорение в течение одной трети всего времени пере¬
лета, затем аппарат должен лететь с выключенной двигательной
установкой последующую треть пути и тормозиться на остав¬
шейся трети траектории, создавая то же ускорение (по модулю),
716] ПРОГРАММА ТЯГИ ДЛЯ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ТРАЕКТОРИЙ 301
что и на первом участке. Уравнения движения в этом случае
имеют вид
/ = 0, (7.249)
f = 0, (7.250)
9 D
2 Т2
f = f= ± 1-р- = const, (7.251)
(7.252)
9Dt /0<|<1/3\
r^ ±2 1’ ^ \2/3<-.|< 1/’
^ пасс 6 7’’
Отсюда
(7.254)
r(0.KT = -jjlfl£>g. (7.255)
ГТ = |Д гпасс=|я. (7.256)
Случай 2.
Граничные условия:
7о = /о> ,!T~fr=~fo> 1
г о = 0, г т- = 0, (7.257)
г0 = о, rT = D. j
Ограничения:
f — 0, / = const =^0, f — реверсируемая,
r{t) = f(t), 7t = 0, т<1/2.
(7.258)
7(0 = fo(l-|) = fo-TfoT> <7-259>
r(0“fo<-4rfo4* (7’26°)
rx = hxT-\hTT = \hxT, (7.261)
г(0акх = ^ (7.262)
rt = |f0T272, (7.263)
Г „асе = 7ТГ (1 - 2т) = 1 f 0Т2х (1 - 2т), (7.264)
D = 2гт + гакт = -Г /0тГ2 (3 - 2т). (7.265)
302
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
(7.266)
(7.267)
(7.268)
Для минимизации If должно быть максимально зависящее
от т выражение в знаменателе. Дифференцирование его по т
дает квадратное уравнение с одним посторонним корнем. Прием¬
лемое решение т = 1 /2. Это означает, что минимум достигается
при законе изменения ускорения, обозначенном на рис. 7.93 как
профиль (а). Космический аппарат движется с ускорением в
течение половины пути. В момент Г/2 ускорение равно нулю.
В течение второй половины пути движение аппарата замед¬
ляется. Траектория не содержит пассивного участка.
Уравнения в этом случае таковы:
f = о,
f== — foj-= const,
f = -jr (1 ~ 2|).
г (2) 12 D2
JZ >
r r 6 D
lo It j2 >
f(t)=™u 1-1),
. 3D _ .
^ x 2 T ^max>
r(0aKT = 3D|2(l
г = —~ D г =0
' t 2 ’ nacc
Сравнивая «лучшие» значения if и if, видим, что случай 2
теоретически более экономичен:
if 8
ф- = - = 0,888 ... ~ 0,89. (7.277)
(7.269)
(7.270)
(2.271)
(7.272)
(7.273)
(7.274)
(7.275)
(7.276)
Таким образом,
fo= ~ fr 60
ТН (3 — 2т) ’
f(t) = f= т2х(3-2х) 0 “"г
2т Г
24D2
if = J f*dt =
Т3х (3 — 2т)2 ’
7.16]
ПРОГРАММА ТЯГИ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ТРАЕКТОРИЙ
303
Также легко видеть, что оптимальный закон, полученный в
случае 2, теоретически более экономичен, чем законы, являю¬
щиеся комбинацией случаев 1 и 2, как это показано на рис. 7.94.
Более того, поскольку кусочно¬
линейный закон при т = 1/2
ния вектора тяги, обеспечи¬
вающей наименьшее возможное значение отношения масс при
заданных краевых условиях и ограничениях.
Случай 3.
Этот случай в корне отличается от предшествующих, по¬
скольку конечная скорость гтФ0 и является свободным парамет¬
ром. Задача состоит в поиске программы ускорения, которое пе¬
ремещает космический аппарат на расстояние D за время Т при
минимальном отношении масс вне зависимости от того, какой
получается конечная скорость.
Граничные условия:
где (1 — е) есть доля начального ускорения f0 в момент времени
t = T\ следовательно, е является мерой наклона прямой линии,
изображающей график ускорения в зависимости от времени
(рис. 7.95). Поскольку /=const, получаем:
ный закон, не только удовле¬
творяющий всем граничным
условиям и ограничениям, но,
в частности, удовлетворяющий
и условию / = const в течение
всего времени полета Г, то он
является программой измене-
представляет собой единствен-
Рис. 7.94. Кусочно-линейная про¬
грамма ускорения тяги с конечными
минимальными значениями.
т
f*o = 0» rT = Т,
Ограничения:
/ = 0, f = const, f — нереверсируемая,
(7.279)
r(0 = fW = f = fo(l-e|) = f0-foe-f,
= = f0n(i --H).
(7.281)
(7.280)
Г (t) = J У2 - I fifi T = I foT2i2 (3 - e|),
(7.282)
304 ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ [ГЛ. 7
а так как вся траектория является активной, то при t = T
откуда начальное значение ускорения тяги равно
с 2D
/о ■
J2
М)
im-i —
2D
('-4)
J2
0 —eg).
if = | Р dt =
402 1 8+ 3
У’З
ЫГ
(7.283)
(7.284)
(7.285)
(7.286)
Среди многих возможных программ тяги, каждая из кото¬
рых удовлетворяет указанным выше условиям и ограничениям,
значение е (определяющее
h<Ta
Рис. 7.95. Оптимальная программа тяги
для полетов без возвращения.
частный вид закона управ¬
ления) , минимизирующее
интеграл, находится диф¬
ференцированием lf] ПО 8 И
приравниванием полученно¬
го выражения нулю. Это
дает квадратное уравнение с
двумя решениями: е = 3 и
е=1. Первое из них нару¬
шает условие нереверсируе-
/ = 0. f = Щ-{т — 1),
■1).
мости f. В качестве оптимального значения остается принять
е = 1, и тогда уравнения принимают следующий вид:
30 ,ч (7.287)
(7.288)
(7.289)
(7.290)
(7.291)
(7.292)
(7.293)
.. t 3D ,,
r = f = fr0
/(3) _ 3D2
— JZ »
f __ f = о
/0 у2 » IT
r(/) = 3-f l(l-ll),
3 D
rT = у -у — конечная скорость,
г(0 = |д|2(3-|).
7.17] ПРОГРАММА ТЯГИ ДЛЯ ПЛОСКИХ ТРАЕКТОРИЙ 305
Сравнение с оптимальными значениями интегралов в случаях
1 и 2 дает:
/(3) j( 3)
-^ = 0,22..., -ур- = 0,25. (7.294)
Таким образом, несоблюдение в конце полета условия гт = 0 при
равных прочих условиях снижает отношение масс в четыре раза
или даже больше. Соотношения, выведенные в этом параграфе,
поясняют основные свойства траекторных характеристик двига¬
тельных систем с разделенными источником мощности и горю¬
чим. Эти соотношения используются при обсуждении зондирую¬
щих полетов за орбиту Плутона и межзвездных перелетов в то¬
ме III настоящей серии.
7.17. Программа тяги для плоских траекторий,
минимизирующая отношение масс
Полярными координатами космического аппарата являются
радиальное расстояние г и центральный угол т], измеряемый от
фиксированного в инерциальном пространстве направления. Сей¬
час мы не станем определять это направление, поскольку оно яв¬
ляется одним из возможных краевых условий, но предположим,
что т] = 0 в начале активного полета и возрастает по направле¬
нию движения. Декартовы координаты суть х и у, причем пред¬
полагается, что положительное направление оси л: совпадает с
направлением на точку весеннего равноденствия, а положитель¬
ная ось у перпендикулярна оси х, причем совмещение оси х
с осью у совершается в плоскости движения против хода часовой
стрелки. Предполагается также, что движение происходит в цен¬
тральном поле сил. Следовательно, U = — у-У и уравнения дви¬
жения (7.170Ь), (7.171 Ь), (7.172) и (7.173) порождают ограни¬
чения G1, G2, G3 и G4.
В случае двумерной траектории уравнение (7.237е) принимает
вид
2
Ъ + y^tk " = 0- (7.295)
л-l ‘ к
Смешанная вторая производная равна
д*и К . З/С оосч
дхt дхк г3 г5 х‘Хк' (7.296)
Второй член в правой части представляет собой вторую произ-
К dU dU дг К х. Кх.
ВОДНУЮ ОТ U ПО Х{ И Xfo) U ~р~ ) Qj. дх. Г2 Г ~г^ *
20 к. Эрике, т. II
306 ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ [ГЛ. 7
что следует из аналогичного дифференцирования этого члена по
Хк\ первый член представляет собой вариацию гра¬
витационного ускорения при малом смещении бik (§ 7.15). Под¬
становка (7.296) в (7.295) дает:
2
fi + ^fi-^% fkXkXi = о. (7.297)
k = \
В векторных обозначениях при
| г I = Ух2 + f
и
I fl = V7T+7*
левая часть этого уравнения принимает вид
(7.298)
где (/-г) = fr cos (/г), a (fr) обозначает угол между векторами
/ и г. В полярных координатах вектор / равен:
f = f А + fr\K (7.299)
где kr и fen — орты радиального и трансверсального направлений.
При дифференцировании вектора ускорения тяги
Ht* rkr) + ~dP ^
надо помнить, что орты при дифференцировании вращаются.
Проектируя уравнение (7.298) на направления осей, задан¬
ные ортами kr и k'r\y получаем после преобразования два диффе¬
ренциальных уравнения второго порядка:
jf (К - vfr) - Л (f4 + rtf г) --yrfr = 0, (7.300)
-jf (fv + лМ + Л (fr — Л^т]) + 77 fit = 0. (7.301)
с
в которых можно произвести замену: г\
Уравнения (7.170b), (7.171Ь), (7.172), (7.173), (7.300) и
(7.301) определяют движение космического летательного аппа¬
рата. Каждое из двух уравнений движения и уравнений (7.300),
(7.301) имеет второй порядок. Следовательно, система имеет
восьмой порядок и требует восьми граничных условий.
7.18] ПРОГРАММА ТЯГИ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ТРАЕКТОРИЙ 307
Ирвинг и Блюм [28, 33] нашли два интеграла этой системы.
Первый из них имеет вид:
9 Г
rfv-fJ + ^fr-K 1> (7.302)
где К\ — постоянная интегрирования, возникающая при цикли¬
ческом изменении центрального угла ц. Уравнение (7.301) удо¬
влетворяется при замене на величину, найденную из инте¬
грала (7.302). Заменяя уравнение (7.301) на (7.302), понижаем
порядок системы с восьми до семи. Уравнение (7.302) совместно
с уравнениями (7.170Ь) и (7.171Ь) можно использовать для упро¬
щения уравнения (7.300), что дает:
1 = Т^ + ~7<ЗС2 f. + ^- <7-303)
Таким образом, движение космического аппарата определяется
уравнениями (7.170Ь), (7.171Ь), (7.172), (7.173), (7.302) и (7.303).
Если мы запишем в векторной форме уравнение (7.236а)
^r + Vf/— / = 0 (7.304)
и уравнение (7.237е)
*V)V[/ = 0, (7.305)
составим скалярное произведение этих двух уравнений и осуще¬
ствим интегрирование, то получим уравнение
Iff '4гг) + У ' VU) ~ = const’ (7.306)
которое для случая двумерных траекторий принимает вид
f*r + % + К (-£ - f) - ^ = к» (?-307)
Это — второй из двух интегралов, упомянутых выше. Его можно
использовать для контроля точности численного интегрирования
системы уравнений движения, проверяя, остается ли постоянной
левая часть уравнения (7.307). Обсуждение граничных условий
уравнений движения проводится в § 7.19.
7.18. Программа тяги для пространственных траекторий,
минимизирующая отношение масс
Система координат, в которой выводятся уравнения Эйлера —
Лагранжа в случае движения по активной пространственной тра¬
ектории, показана на рис. 7.29. Уравнения активного движения в
центральном поле, записанные во введенной таким образом
20*
308 ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ [ГЛ. 7
системе координат г, А, |3, представляют собой ограничения G&, ана¬
логичные ограничениям в случае плоского движения. Перемен¬
ными являются следующие параметры: координаты положения
г, А, Р; радиальная скорость vr\ составляющие кинетического мо¬
мента Сх и С3, а также составляющие ускорения тяги /: /V,
/л и f6.
Три уравнения движения имеют второй порядок, что ведет к
шести ограничениям, которые определяются приведенными выше
уравнениями (7.178а), (7.178b), (7.179с), (7.180Ь), (7.181с) и
(7.182Ь). Три дифференциальных уравнения (7.237е) для /г- так¬
же имеют второй порядок. Таким образом, общее число гранич¬
ных условий равно двенадцати, если начальное и конечное со¬
стояния должны быть полностью заданы. Они могут быть най¬
дены, если указаны начальное и конечное положения и векторы
скорости в этих точках.
В случае трехмерных траекторий уравнение (7.300) прини¬
мает вид
(fr - cos р - pf р) -
- ^ (Cpf* + cji - Cjp - CJ з + -£• fr)+^ f, = o, (7.308a)
где первый член можно также записать как
(7-зо8ь)
Уравнение (7.302) приводится к виду
['■" w(t^) + ^T- f] cos Р V+ 7(С • f)\ sin Р = К" (7-309)
а уравнение (7.303) — к виду
fr -т(П + П) + ^7^- f г + 7St С з +
+ (С-1) + [2Cjr - C&fx tgр + rrfp - r2f3l. (7.310)
Наконец, уравнение (7.307) принимает следующий вид:
/С2 К\ , 2К,Са 2Са tg В
П + П + Ъ+У'Ьг-?)-—^-(С-/)-
- Щг 12СД - Cjf, tg Р + rr/s - r!f„l - Кг <7.311)
Дифференциальными уравнениями, определяющими простран¬
ственную активную траекторию в космосе, являются, следова¬
7.19]
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
309
тельно, уравнения (7.178а) — (7.179с), (7.180b), (7.181с), (7.182Ь)
и (7.308) — (7.310). Уравнение (7.311) можно использовать для
контроля точности интегрирования, подобно уравнению (7.307)
в случае двумерных траекторий.
7.19. Граничные условия
Назначение дифференциальных уравнений, выведенных в
§ 7.17 и 7.18, состоит в определении траектории движения косми¬
ческого аппарата, подвергающегося сложному влиянию гравита¬
ционного поля и тяги, программа которой оптимизируется от¬
носительно к отношению масс. Движение аппарата в каждой
точке траектории задается векторами его положения и скорости,
то есть всего четырьмя величинами в случае плоского движения
и шестью в случае пространственного. Граничные условия — это
просто начальные и конечные значения этих параметров, а имен¬
но, в случае плоского движения:
г (0), т| (0), г (0), т| (0) или С (0) и г (Т), л (Т), г (Т), С (Т),
а в случае пространственного движения:
г (0), МО), Р(0), ПО), Ср (0), Сх (0)
г(Т), Я(Т), НППТ), Ср(П, СХ(Т).
Существуют, разумеется, постоянные интегрирования. Если
возможно выполнить интегрирование в замкнутой форме, их сле¬
дует подставить в полученные соотношения, и тогда искомая
траектория будет найдена как функция времени. Однако, -если
необходимо осуществлять численное интегрирование, ситуация
позволяет только начать расчет, исходя из некоторой системы
начальных условий, не давая информации о том, придем мы или
нет по истечении интервала времени Т к другой системе гранич¬
ных условий.
Следовательно, поскольку граничные условия в конечной точ¬
ке процесса итерации не используются при вычислениях, их сле¬
дует заменить другими условиями так, как это показано ниже.
Если желаемые условия в конце процесса итерации не осуще¬
ствляются, надо модифицировать начальные условия и повто¬
рять итерационный процесс вплоть до получения удовлетвори¬
тельных результатов. Легко видеть, что сопряженная с этим
вычислительная работа может стать очень трудоемкой, что потре¬
бует использования электронных вычислительных машин, если
работа должна быть выполнена в приемлемые сроки. Теперь мы
обсудим ряд случаев, имеющих важное практическое значение
310
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
при расчете траекторий движения космических аппаратов с ма¬
лой тягой.
1. Полностью заданы все краевые условия. Заданы все на¬
чальные и конечные значения координат и компонент скорости,
что составляет восемь величин в случае плоского движения и две¬
надцать в случае пространственного. Для того чтобы начать чис¬
ленное интегрирование, следует вместо конечных граничных усло¬
вий задать значения составляющих вектора тяги /г, /л, /V,
/п или в случае пространственного движения — значения /у, /р,
/г,Д,/з. Если нужно, эти начальные значения составляющих век¬
тора тяги необходимо варьировать до тех пор, пока не будут до¬
стигнуты желаемые конечные условия. С другой стороны, может
возникнуть необходимость варьировать начальное положение или
скорость для того, чтобы получить нужные условия в конечной
точке траектории. Вариация начального положения всегда под¬
разумевает также вариацию времени, то есть выбор более благо¬
приятного расположения объектов .в момент старта. Вариация
начальной скорости является краевой задачей подобно задаче о
выведении космического аппарата с малой тягой на начальные
орбиты различной энергии с помощью ступеней с большой тягой.
Таким образом, либо шесть, либо восемь начальных условий, за¬
дающих положение, скорость, вектор тяги и скорость его измене¬
ния, можно варьировать в пределах диапазона их допустимых
значений для достижения желаемых условий в конце траектории.
В некоторых случаях выгодно проводить обратное интегриро¬
вание, начиная с шести или восьми конечных условий. Это жела¬
тельно тогда, когда задание начальных условий допускает боль¬
шую гибкость, чем задание конечных условий, как в случае за¬
пуска космического аппарата с двигателем малой тяги с по¬
мощью мощного ускорителя, способного вывести полезную на¬
грузку на более или менее различные начальные орбиты. Здесь
процесс обратной итерации может привести к начальным усло¬
виям, которые лежат в допустимом, с точки зрения характери¬
стик носителя, диапазоне (имеются в виду значения начальной
скорости и начального веса аппарата). Таким образом, обобщая,
можно сказать, что итерацию следует вести от более жестко за¬
данных граничных условий к граничным условиям (если тако¬
вые имеются), допускающим большую гибкость.
Во всяком случае начальные условия для вектора тяги позво¬
ляют определить Ки после чего можно решать дифференциаль¬
ные уравнения.
2. В конце траектории заданы только г, г и С (или г,
г, р, Сх и Ср), но не г\ (или %). Начальные условия заданы пол¬
ностью. Это имеет место при решении задачи перелета на дру¬
гую орбиту без встречи в фиксированной точке орбиты цели.
7.19]
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
311
Можно показать, что в этом случае Кi=0. Следовательно, нужны
только семь или одиннадцать краевых условий, а именно, четыре
(или шесть) в начале траектории и три (или пять) в ее конце.
Снова, как и в случае 1, для того чтобы начать интегрирова¬
ние, конечные условия заменяются информацией о начальной ве¬
личине вектора тяги, то есть величинами /г, /п, /V (или fr, Д, /3,
3. В качестве конечных краевых условий заданы только С и
орбитальная энергия А (или С2, Сг и А). Начальные условия за¬
даны полностью. Такая ситуация имеет место в случае перелета
на орбиту космического аппарата, который должен исследовать
определенные области пространства, причем ориентация большой
оси орбиты несущественна. Для случая пространственного дви¬
жения это выражается следующими условиями:
где С2 — составляющая Сф (рис. 7.29), перпендикулярная пло¬
скости отсчета (то есть параллельная оси г).
В этом случае нельзя указать в конце траектории значения г
или т] (либо /', или (3, или К) сами по себе, поскольку задаются
только произведения расстояния и угловой скорости. Следова¬
тельно, оптимальная программа изменения вектора тяги более не
определяется только требованием удовлетворения заданным ко¬
нечным условиям. Помимо этого, необходимо удовлетворить ус¬
ловиям трансверсальности, которые в этом случае представляют
собой соотношения, связывающие тягу и параметры скорости.
Начальное значение вектора тяги должно теперь быть выбрано
так, чтобы оно удовлетворяло граничным условиям в конце тра¬
ектории плюс условиям трансверсальности. Обращаясь к соотно¬
шениям (7.229), мы имеем следующую ситуацию: начальные ус¬
ловия заданы полностью, указаны три конечных условия
где величины в фигурных скобках являются заданными. Для
остальных конечных краевых условий имеем:
fry /3) •
(7.312)
Вп+2 = в8 = о = [{с2) - с\ - с|]<=г>
Вп+з= Вд — 0 = [{CJ Ср cos
(7.313)
В j — В] о — Вп — В{ 2 — 0.
(7.314)
312 ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ [ГЛ. 7
Из уравнений (7.233) находим в случае пространственного дви¬
жения:
'cl(T) + Cl(T) к
fr(T)f(T) = fr(T)
Ср {Т) [С (Т) - f (Г)] tg р (Г) =
г3 (Т) г2(Т)
(7.315)
= j С* (Т) [rrfр - rf{i + 4Cjr - 2СрСх tg р (Г)]. (7.316)
Для случая плоского движения уравнение (7.316) исчезает, а
уравнение (7.315) приводится к своему двумерному аналогу
fr(T)nT) = fr(T)[^^-7jyy], (7.317)
что идентично уравнению, выведенному впервые Блюмом [33].
Из этих краевых условий следует далее, что
7^ = 0, (7.318)
так что только требуется задание совокупности семи (или один¬
надцати) граничных условий [пятое, шестое и седьмое в случае
плоского движения обеспечиваются заданием С(Г), h(T) и урав¬
нением (7.317); десятым и одиннадцатым условиями в случае про¬
странственного движения служат (7.315) и (7.316)]. В обоих ука¬
занных случаях получаем:
K2=f2(T). (7.319)
Уравнение (7.318) означает, что для случая плоского движения в
любой момент времени
2С(0
r(t)
■М0 = М*)'(0-/-(0М*) (7.320)
или в начальный момент времени
■Щщ1 fr (0) = fr, (0) г (0) - г (0) fv (0). (7.321 а)
Это условие для случая старта с круговой орбиты принимает вид
2С(0)-МО) = -г(0)М0).
Г(0)
(7.321b)
то есть в начале траектории (пока г^0) мгновенное значение ра¬
диального ускорения тяги пропорционально и обратно по знаку
изменению трансверсального ускорения тяги, причем коэффи¬
циентом пропорциональности служит угловая скорость движения
7.19]
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
313
по начальной орбите. Это означает, что при положительном (на¬
правленном от центра притяжения) радиальном ускорении тяги
трансверсальная составляющая ускорения должна убывать; дру¬
гими словами, вектор ускорения следует в начале траектории от¬
клонять к центру притяжения, если осуществляется уход с круго¬
вой орбиты на периферию поля, и наоборот. Когда больше нельзя
пренебрегать величиной г, используется уравнение (7.320).
Уравнение (7.319) означает, чтс в случае плоского движения
с учетом уравнения (7.318)
р (Т) = Р (0) + 2fr (0) - 2}г (0) г (0) = (7.322а)
= Р (0 + 2f, (t) [-£$- - ^'J - 2fr (t) г (t). (7.322b)
Таким образом, f2(t) находится из данных начальных условий
/(0), С(0), '"(О), г(0) и /, (0), /г(0) с помощью выражения
(7.321а). Впоследствии f2(() меняется согласно выражению
(7.322Ь):
Р (t) = f2 (Т) - 2U (t) [-£$- - ^] + 2К (0 г (0. (7.323)
При старте с круговой орбиты из уравнения (7.322а) следует, что
Р(Г) = Р(0), (7.324)
то есть начальное и конечное значения вектора ускорения одина¬
ковы. В промежутке между ними ускорение тяги снижается до
меньших значений, как на это указывает уравнение (7.323).
4. В качестве конечного граничного условия задана только
орбитальная энергия ft. Начальные условия заданы полностью.
Этот случай реализуется при простых маневрах ухода или за¬
хвата. Например, при приближении к планете-цели первоочеред¬
ная необходимость состоит в том, чтобы быть захваченным (то
есть выйти на планетоцентрическую орбиту отрицательной энер¬
гии) вне зависимости от начальной формы орбиты после захвата,
которая позднее может быть видоизменена, для того чтобы отве¬
чать специальным требованиям. В этом случае требуется допол¬
нительное условие трансверсальности. Уравнения (7.315) и
(7.317) остаются справедливыми для случаев соответственно пло¬
ского и пространственного движений. Уравнение (7.316) для слу¬
чая трехмерной траектории принимает вид
Cp(T)C(T)-f(T)tgP(T) = 0, (7.325)
поскольку член в скобках в правой части равенства (7.316) об¬
ращается в нуль. Дополнительное условие трансверсальности
314
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
выражается в случае пространственного движения в форме
fГ (Г) Г (Т) с /гр\ Г (Т) с /~,ч QOfU
г (Т) Ср(Г) Ск(Т)‘к^Т^ (7.326)
а в случае плоского движения — в форме
МП МП МП
г (Г) С(Г)'"У ' г (Г) Ti <Г> '
Последние два уравнения показывают, что в конце траекто¬
рии вектор ускорения тяги должен совпадать с вектором скоро¬
сти, то есть в конце траектории тяга должна быть касательной.
Уравнение (7.325) устанавливает, что скалярное произведение
C(T)-f(T) равно нулю (поскольку для случая пространственного
движения Р=£0, то tg(3=^0 и Сф=£0)..Уравнение (7.319) остается
справедливым. Уравнение (7.318) остается верным, поскольку ус¬
ловия случая 3 применимы также и в случае 4; следовательно,
соотношение (7.324) справедливо при старте с круговой орбиты.
5. При задании конечных граничных условий указаны только
координаты конечного положения. Это означает, что в случае
пространственного движения заданы г(Т), р(Г) и Х(Т), в случае
плоского движения — г(Т) и ц(Т). Начальные условия по-преж¬
нему заданы полностью. Этот случай имеет место при гиперболи¬
ческом пролете, то есть при совмещении временной и простран¬
ственных координат цели и космического корабля, но не при сов¬
падении скоростей объектов (в отличие от случая сближения,
когда аппарат осуществляет маневр стыковки с целью или ма¬
невр посадки на поверхность планеты). Другими словами, этот
случай соответствует случаю 3 для одномерных траекторий
(§ 7.16). Оптимальные условия те же самые. Поскольку конеч¬
ная величина скорости нас не интересует,, имеем три условия
трансверсальности. Для случая пространственного движения
fr(T) = 0, |
fft(r) = 0, (7.328)
МП = 0, >
а для случая плоского движения
Г = О,
f„ = o.
(7.329)
Уравнение (7.318) остается верным. Соотношение (7.311) прини¬
мает вид
/С2= -2г (0) I (0) = - 2г (Т) I (Г). (7.330)
Сводка граничных условий, начальных условий для вектора тяги, условий трансверсальности
ограничений для различных типов перелета с малой тягой
7.19]
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
315
со
03
Pf
s
4
VO
оз
н
<v
„ ч
7!
тг
~ к ^
2 s к
см
£
эполннтел
ограничен
(н)мер
уравнени
Нет
Нет
О
II
о
II
wN
-т
11 о
о
II
!<
CM
II "
О
II
О
CO
CO
H-’
cf
К ■ 5
^^
5 cj £ s о- 5
ю 3
Г- h-
ююо
05
3
п Я СО н 2
Н
н
н
— CM
— CM CM
CM
CM
Г Я и "
О
О)
<D
со
со со
CO CO
CO f.; CO
CO
CO
п о. С. ° О ш
►Г Н О) к — Л
X
с
С
X
Н Н-*
H-’
N*
h-i
^ и о.
^ '
X *
О 3
о
о
4—'
3 и
S с
^ 3
on со.
см
см
CM
CM
CM
CM
Е
0) и
О г-
CD
О)
CD
(D
CD
CD
Е >.
со
. 03
03
03
03
03
03
° ^
4—
о 3
о
о •ч-
tr
tr
tr
tr
tr
tr
« -
>»
>»
>•*
>>
>>
ТО -
^ ~
<-; ОТ4
ч
ч
4
4
4
4
S ^
о S
t+^. о
о
о
a
CJ
а
о
2 Е
а сз
со а.
' W,
V«*'4—
3 з
3
_г ^
О-
CQ
m
bd
CQ
bd
m
X
а
td
CQ
td
V.
с5
03
03
03
03
03
ьс:
bdr
X
Ы
, s
^ ч
к
Нч
с
к.
и
• о
о ч
р£
Ни ^
' «t
со. О
с-ч
О
Н. ^
E-S
со.'—'
нГ
СГ
Г~|
1^
5 <и
С С
3
Ё°
нГ
С
С
ег
С
5! 3
N
о 5
^ S
£ ^
• V.
' ^ ^
С
О
P
CO.
О.
р- v*
з £;
£
■Г*' СО
3 ^
о
С
k.
p
(_
о
L.
К
^ о
о ^
а
а> °
'—- «с
со. О
<и
<и
CD
CD
CD
CD
CD
<D
тч ^
3 з
оз
СО
03
03
03
03
03
03
Е о
*г к*.
tr
tr
tr
tr
tr
tr
tr
tr
2 *
>,
>»
>>
>»
>,
>>
>>
>>
ч <и
° S
Ч
ч
ч
ч
4
4
4
4
«з 3
о
о
о
о
о
о
CJ
О
Е я
з з
£ °
m
и
CQ
а
а
CQ
CQ
CQ
К я
Е
V. • К.
td
bd
«
bd
bd
bd
td
td
(Я
з £
03
аз
03
оз
03
03
03
03
а.
U
X
*
X
X
X
0,2
° ё
сх
о
к
S
Cl
О
К SK
S о
К Е
н ss ;
S ° i
CQ x :
2
H
53
S3
03
03 tr
X tr \o
ТО
оз
>>
КС
S кс аз
S Й 1
CX
sS
D
Ч
к[ *=[
X л s
S §
КС
*
03
00
к
КС
*
03 *
со О
bd
и E ,
О
td
О
td
а
а.
а>
hd
CD
« ’E
CJ
о
с
то
s о
н °н
т м
без
точ
S СО
н>о I
HJIV
НИЯ
CD
3
2
tr
S
4
О
Е
а> sh
О)
Sts
CD
Ij-
03
>>
VO
Ч
Ч с
0
ч
о
Ч
rri
cx
cx
£ к Я
CU
S X
<D
s H 3
Ч оз
<D
H
00
^ S сг
СХ
S tr
СХ
S E H
О со
4
E
CD
^ сз О
Сн =
<и
с
03 <v
н к
<D
С
03 CD E
H s VO
X
>5 00
>.
td
u
4
О
к с
Э
S о
s аа
<D '
U
CX
VO Е
VQ td
\о о о
VO
О
E
LO
г- Я
0 ^
сч
CO
316
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
Оно указывает, что /V не должно обращаться в нуль (если только
г не равно нулю), хотя /Г(Г) = 0; это означает, что кривая fr(t)
в конечной точке меняет знак с положительного на отрицатель¬
ный, а ее производная fr(T) равна начальному значению
/г(0) только тогда, когда г(0) = г(Г). В таблице 7.3 приведены
сведения о граничных условиях для пяти обсуждавшихся выше
вариантов плоского и пространственного маневров. В пятом столб¬
це таблицы указаны начальные условия для тяги, на которые мо¬
гут заменяться конечные граничные условия для того, чтобы на¬
чать численное интегрирование уравнений движения в надежде,
что некоторая начальная величина ускорения позволит получить
нужные граничные условия в конце траектории В случае 2 не¬
обходимо задать только семь (или одиннадцать) граничных усло¬
вий, потому что /Ci = 0. Начиная'со случая 3, становится невоз¬
можным определять программу тяги, минимизирующую отноше¬
ние масс единственно из требования удовлетворения конечным
условиям, указанным в четвертом столбце. Помимо них, должны
надлежащим выбором начального значения тяги удовлетворять¬
ся условия трансверсальности, определенные в шестом столбце.
7.20. Схемы перелетов с малой тягой
В отличие от траекторий перелетов с большой тягой (см. гла¬
ву 9), которые, по существу, состоят из участков кеплеровых ор¬
бит, в случае использования двигательной установки малой тяги
можно различать полностью активные перелеты (ПАП) и ча¬
стично активные траектории перелетов.
ПАП имеет место тогда, когда космический аппарат от исход¬
ного до конечного пункта следует по активной траектории. Ча¬
стично активные траектории характеризуются наличием участков
свободного полета, на которых космический аппарат движется по
оскулирующей кеплеровой орбите, элементы которой опреде¬
ляются условиями в момент выключения двигательной установки.
В случае встречи с точкой цели для частично активной траекто¬
рии существуют две совокупности конечных граничных условий.
Первая из них относится к точке выключения двигательной уста¬
новки, вторая — к точке встречи1). Условия при выключении
двигательной установки определяют вторую совокупность на¬
чальных граничных условий, которые меняются как функции вре¬
мени, то есть как функции положения космического аппарата на
оскулирующей орбите. Если встреча не предусматривается, вто¬
рой набор граничных условий отпадает. Положения, представ¬
1) Имеется в виду, что маневр встречи является вторым активным участ*
ком траектории. (Прим. ред.)
7.20)
СХЕМЫ ПЕРЕЛЕТОВ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
317
ленные в § 7.19, применимы ко всем вариантам конечных гра¬
ничных условий независимо от того, относятся они к точке вы-
ключения двигательной установки или к точке встречи на траек¬
тории ПАП.
Схемы маневров в планетоцентрическом пространстве и пере¬
летов с малой тягой в гелиоцентрическом пространстве различны.
Первая группа маневров характе¬
ризуется особо малыми ускорения¬
ми, поскольку значения ускорений,
создаваемых двигательными уста¬
новками, лежат в основном в пре¬
делах от 10 до 1000 \ige (lfig0 =
= 10“6£,А Поля тяготения боль¬
шинства планет являются более
мощными, чем поле Земли. С прак¬
тической точки зрения, особое зна¬
чение представляют полеты в сфе¬
ре действия Земли, включая перехо¬
ды с низких орбит на высокие (на¬
пример, на 24-часовую орбиту) и
обратно или полеты к Луне. В боль¬
шинстве случаев предусматривает¬
ся встреча с объектом назначения и
используются полностью активные
перелеты, поскольку малые ускоре¬
ния и сравнительно небольшие рас¬
стояния делают пассивные участки,
если те вообще могут существовать,
нежелательными. Гелиоцентрические
полеты характеризуются сравни¬
тельно высоким уровнем ускорения,
выполнением ухода или захвата с
малой тягой или обоих этих манев¬
ров и несравненно большими дальностями перелета. Относитель¬
но большие ускорения и большие расстояния увеличивают ве¬
роятность использования схемы частично активного перелета.
Рис. 7.96 иллюстрирует некоторые характерные схемы переле¬
тов с малой тягой в поле тяготения планеты (в поле тяготения
Земли). Рис. 7.96, а показывает перелет с низкой орбиты спут¬
ника на высокую. Из точки старта космический аппарат дви¬
жется по спирали в точку (/) встречи со спутником или в зара¬
нее намеченное положение (2) (как, например, в том случае,
когда экваториальный спутник с 24-часовым периодом «подвеши¬
вается» над заданной географической долготой). Когда аппарат
Рис. 7.96. Схемы перелетов с
малой тягой в планетоцентри¬
ческом пространстве.
а) Межорбитальный перелет со встре¬
чей в конечной точке; б) межорби¬
тальный перелет с захватом в ко¬
нечной точке или пролетом.
318
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
с начальным ускорением от 10-4 до Ю"3^ и достаточно большим
удельным импульсом (несколько тысяч секунд, так что расход
топлива умеренный и ускорение меняется не очень сильно) пере¬
ходит с низкой орбиты (300-:-600 км) на орбиту, высота которой
составляет три семь радиусов Земли, активная траектория за¬
метно отличается от траектории, состоящей из участка движения
с большим ускорением и пассивного полета. На рис. 7.96, а пока¬
зано, что спираль только начинает разворачиваться, когда уже
приходит время начинать фазу сближения [положение (а)], то
есть фазу, следующую за начальной фазой ускорения. Назначение
ее состоит в том, чтобы на нужном расстоянии от цели уравнять
кинетический момент и радиальную скорость аппарата с соответ¬
ствующими параметрами точки цели. Такой орбитальный пере¬
ход можно сравнить с полетом реактивного лайнера на короткое
расстояние. Прежде чем самолет выйдет на крейсерский режим
по высоте и скорости, уже наступает время осуществления ма¬
невра захода на посадку. Поскольку мы предположили, что рас¬
сматривается задача сближения с точкой, то это обусловливает
необходимость эвентуального выполнения конечных граничных
условий, но (й это важно) допустима определенная ошибка в ве¬
личине начального пролета из следующих соображенией: а) по¬
скольку точка цели практически (или в действительности) не об-,
ладает массой, так что космический аппарат может свободно
маневрировать в окрестности цели, не испытывая воздействия ее
собственного поля тяготения, б) поскольку рассматриваемые зна¬
чения орбитальных периодов позволяют выполнять маневры кор¬
рекции и осуществлять сближение в течение нескольких дней,
если не быстрее, и в) поскольку значения требуемой энергии
сравнительно малы, если реальные граничные условия в конце
траектории достаточно близки к расчетным для того, чтобы кор¬
рекция с помощью ускорений, меняющихся в рассматриваемом
диапазоне, выполнялась в течение указанного ранее интервала
времени. Что касается начальных граничных условий, то они мо¬
гут варьироваться более свободно, если мы предположим, что.до¬
ставка космического аппарата с малой тягой на начальную ор¬
биту выполняется с помощью мощной системы выведения (а не
производится сборка аппарата на его начальной орбите).
Рис. 7.96, б иллюстрирует перелет к цели, обладающей суще¬
ственной, с точки зрения динамики движения, массой и находя¬
щейся на удаленной орбите спутника (например, перелет к Луне
с низкой орбиты спутника). После начальной фазы ускорения
(раскрутки) траектории пролета и захвата расходятся. Очевидно,
что при пролете необходимо удовлетворить только некоторым
граничным условиям, а именно, надо, чтобы в заданный момент
пролета координаты имели значения г(Т), Х{Т) и Р^). Опять-
7.20]
СХЕМЫ ПЕРЕЛЕТОВ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
319
таки начальные граничные условия могут быть в известной сте¬
пени гибкими, если космический аппарат запускается с Земли,
фаза сближения, показанная на рис. 7.96, б, весьма продолжи¬
тельна, что подчеркивает разницу во времени перелета по срав¬
нению с траекторией пролета 1). Невозмущенная траектория по¬
степенно совмещала бы орбиту космического аппарата с орбитой
цели. Если, однако, цель обладает заметной массой, то возмуще¬
ние «уводит» космический аппарат с двигателем малой тягово-
оруженности на другую орбиту, начиная с ранее расположенной
по траектории точки (Р). Таким образом, необходимо, чтобы при
входе в сферу действия цели, где ее притяжение становится срав¬
нимым с активным ускорением аппарата, процесс сближения был
в основном закончен в том смысле, что гиперболический избыток
был бы малым (околопараболическим). Тогда можно предоста¬
вить аппарату возможность «погружаться» почти радиально в
гравитационное поле цели.
Из-за малости гиперболического избытка для выполнения за¬
хвата остается достаточно времени даже при очень малой тяге.
На рис. 7.96, б показано, что к точ¬
ке (Р) процесс сближения в основ¬
ном закончен; в точке (2) селеноцен¬
трическая энергия космического ап¬
парата переходит через нуль в об¬
ласть отрицательных значений; (3) —
точка, где энергия аппарата прихо¬
дит в устойчивую область (см. гла¬
вы 2 и 8). Тем самым завершается
процесс захвата. За ним могут сле¬
довать дальнейшие селеноцентриче¬
ские маневры, диктуемые конкрет¬
ными задачами данного полета.
Рис. 7.97 схематически иллюстри¬
рует перелеты с малой тягой в сол¬
нечной системе, сравнивая траекто¬
рии полета к близкой и более отда¬
ленной планетам. В обоих случаях
показаны орбиты захвата и пролета. Поскольку гравитационное
поле Солнца даже в районе орбиты Меркурия много слабее, чем
собственное поле планеты в ее окрестности, тот же диапазон
!) Траектории пролета и захвата вплоть до начала фазы сближения для
простоты показаны на рис. 7.96, б совпадающими. Как будет показано позд¬
нее в этом параграфе, для оптимальных активных траекторий эти два типа
перелетов отличаются, начиная со старта, поскольку в случае траекторий за¬
хвата радиальная составляющая ускорения в начальный момент много
больше.
Траектория
захвата
Рис. 7.97. Схемы перелетов с
малой тягой в гелиоцентриче¬
ском пространстве.
320
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
ускорений тяги (10_3 -н lQ“5g$), который дает очень «тугие» спи¬
рали траекторий вблизи планет, обеспечивает более «раскры¬
тые» спирали в гелиоцентрическом пространстве. За исключе¬
нием этого отличия, условия гелиоцентрического перелета анало¬
гичны условиям перелета в сфере действия планеты. Однако,
что касается граничных условий, то из-за существования манев¬
ра ухода здесь проявляется наиболее важное различие. Если
Рис. 7.98. Схемы быстрых и медленных пере¬
летов с малой тягой между Землей и Марсом
или Венерой (показаны направление и вели¬
чина оптимального вектора ускорения тяги).
Е — гиперболический пролет у цели; С — захват
целью.
маневр ухода выполняется с малой тягой, начальные условия
гелиоцентрической траектории задаются параметрами траекто¬
рии в момент достижения планетоцентрической параболической
скорости. Они варьируются в зависимости от двух факторов:
а) эллиптичности орбиты Земли, б) ориентации вектора парабо¬
лической скорости [см. уравнения (1.4.185) — (1.4.186с)], но эти
вариации весьма малы. Даже если используется ускоритель с
большой тягой, ситуация остается той же, если только ускори¬
тель не разгоняет космический аппарат до гиперболической ско¬
рости. За исключением этой последней возможности, мы имеем
для гелиоцентрических полетов с захватом жесткие начальные
и конечные граничные условия.
Рис. 7.98 иллюстрирует изменение направления и величины
вектора активного ускорения для некоторых оптимальных про¬
7.20]
СХЕМЫ ПЕРЕЛЕТОВ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
321
грамм ПАП между Землей и соответственно Венерой или Мар¬
сом. Траектории гиперболических пролетов обозначены буквой Е.
Путешествие к Марсу занимает период в пять месяцев при на¬
чальном гелиоцентрическом ускорении HOjig (g = g®). Время по¬
лета к Венере требует трех месяцев при примерно том же значе¬
нии начального гелиоцентрического ускорения. Пролетные траек¬
тории характеризуются в основном касательной ориентацией
тяги; тяга уменьшается до нуля в точке назначения, если конеч¬
ные условия заданы в виде г(Т), г](Г) [или г(Т), Я(Т), (3(Г)], как
указано в случае 5 § 7.19. Траектории перелетов, заканчиваю¬
щиеся захватом в поле планеты-цели, обозначены буквой С. Пе¬
релеты С-1, С-2, С-3 показывают влияние увеличения ускорения.
Все С-перелеты характеризуются необходимостью предваритель¬
ной коррекции гелиоцентрического участка орбиты космического
аппарата перед маневром захвата1). Если Е-перелеты могут
быть уподоблены «выстрелу» по цели, С-перелеты можно срав¬
нить с полетом самолета с маневрами взлета, посадки и проме¬
жуточной фазой крейсерского полета. Фаза сближения при этой
аналогии может сравниваться с посадочной глиссадой, а также
с самим маневром посадки. Для С-перелетов важнейшим требо¬
ванием является достижение необходимого уровня энергии ор¬
биты перелета наиболее экономичным образом. Как указывалось
в § 7.14, это достигается при ориентации вектора тяги, близкой
к касательной. Однако там, где требуется приблизить конечные
параметры орбиты к соответствующим условиям орбиты цели,
необходимо также учесть энергию, нужную для изменения на¬
правления полета космического аппарата (не только его энер¬
гии); это означает, что при С-перелетах не только сообщается
аппарату новый уровень энергии (более высокий при гелиоцен¬
трическом подъеме к Марсу и более низкий при спуске к Ве¬
нере), но также изменяется ориентация его кинетического мо¬
мента, в результате чего конечная оскулирующая гелиоцентриче¬
ская орбита имеет не только почти то же значение энергии, что
и орбита цели, но приблизительно те же эксцентриситет, ориента¬
цию большой оси и наклонение..Уравнения движения совместно
с ограничениями, обусловленными минимизацией отношения
масс, показывают, что более экономично при С-перелетах учиты¬
вать необходимость изменения ориентации с самого старта, вме¬
сто того чтобы сначала подобно пуле разгонять космический ап¬
парат, увеличивая его энергию с помощью касательной тяги, как
при Е-перелете, и позднее менять направление его полета. Это
ведет к составлению такой программы изменения вектора тяги,
9 Космический аппарат как бы «совершает посадку» на поверхность
сферы действия планеты.
21 К. Эрике, т. II
322
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
в которой с самого старта радиальная составляющая является
существенной, поскольку радиальная тяга, как было указано в
§ 7.14, более эффективна при изменении расстояния, но менее эф¬
фективна при изменении орбитальной энергии и изменении напра¬
вления полета, которое неизбежно, если энергия изменялась с по¬
мощью длительного воздействия касательной тяги. Поскольку
направление вектора скорости на орбитах планет примерно та¬
кое же, как и на орбите Земли, мы больше заинтересованы в вы¬
игрыше расстояния, чем в изменении направления траектории и
энергии; другими словами, мы желаем осуществить изменение
энергии гелиоцентрической орбиты, равное разности энергий ор¬
бит Земли и планеты-цели, при минимальном изменении направ¬
ления полета. Это можно выполнить наиболее эффективно, долж¬
ным образом комбинируя радиальную и трансверсальную тяги.
Получающаяся программа изменения вектора тяги схематически
показана на рис. 7.98 для перелетов к внешней и внутренней (по
отношению к Земле) орбитам планет. В течение осуществления
фаз ухода и захвата тяга является почти касательной; в момент
начала гелиоцентрического участка создается большая радиаль¬
ная составляющая тяги (положительная для Марса, отрицатель¬
ная для Венеры), которая монотонно убывает до такого же, но
обратного по знаку значения вблизи планеты-цели. Начальное
изменение орбитальной энергии создается в начале гелиоцен¬
трического участка (большое значение fn или Д), конечное из¬
менение происходит около планеты-цели. Меридиональная со¬
ставляющая тяги (не показанная) всегда мала, так как со¬
ставляет 30% или меньше от максимального значения двух
остальных составляющих тяги при перелетах к другим планетам,
поскольку орбиты планет имеют небольшой наклон по отноше¬
нию друг к другу.
Вернемся к рис. 7.98. Видно, что наличие радиальной состав¬
ляющей тяги ведет к быстрому удалению от орбиты старта. В то
же самое время космический аппарат ускоряется или замедляет¬
ся, как того требует задача. Вслед за «взлетом» со сравнительно
высоким уровнем тяги ускорение уменьшается (при соответ¬
ствующем увеличении удельного импульса), существенно умень¬
шая тем самым расход топлива. Эта часть перелета сравнима
с крейсерской фазой дальнего полета самолета. Потом начинает¬
ся фаза сближения. Происходит реверс тяги (рис. 7.98 и 7.99).
Радиальная составляющая тяги стремится приблизить ориента¬
цию вектора скорости космического аппарата к направлению ско¬
рости планеты-цели. Трансверсальная составляющая уравнивает
значения модулей векторов скорости аппарата и цели. Для пе¬
релета Земля — Марс по орбите С-1 требуется приблизительно
шесть месяцев при начальном гелиоцентрическом ускорении око¬
7.20]
СХЕМЫ ПЕРЕЛЕТОВ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
323
Время —-
| О
ло 140 jug-, по орбите С-2 соответственно четыре месяца и 370 jug
и по орбите С-3 — один месяц и 6000 pig. Соответствующие зна¬
чения при полете к Венере: четыре месяца и 150 pig для орбиты
С-1, три месяца и 385 pg для орбиты С-2 и один месяц и 3650 pg
для орбиты С-3. Полеты Земля — Венера требуют меньше энер¬
гии, чем полеты Земля —Марс при равных периодах перелета;
однако путешествия Земля — Венера с возвращением на Землю
требуют больше энергии, чем поле¬
ты к Марсу с возвращением. Эти
же соотношения имеют место в слу
чае полетов с большой тягой.
На рис.. 7.100 показаны анало¬
гичные условия перелета между
Землей и орбитой Юпитера с ис¬
пользованием орбиты С-3 как ча¬
стично активной траектории. Траек¬
тория £-перелета получается при
весьма малом начальном значе¬
нии гелиоцентрического ускорения
(около 28 pg при 800-дневном пе¬
риоде перелета), в то время как
орбита С-1 соответствует началь¬
ному гелиоцентрическому ускоре¬
нию около 79 pg (период перелета
два года), а орбита С-2 — 200 pg
(470-дневный перелет). Значения
для орбиты С-3 подобны значениям
для орбиты С-2. Следует заметить,
что для этих траекторий захвата
ориентация вектора скорости в
меньшей степени близка к касательному направлению, чем в слу¬
чае полета Земля — Марс. Причиной является, конечно, большее
изменение энергии. Наконец, на рис. 7.101 показано, как различ¬
ные типы орбит перелета можно скомбинировать при решении за¬
дачи полета с возвращением способом, подобным обсуждающе¬
муся в главе 9, для получения различных быстрых кольцевых
траекторий.
Для того чтобы определить отношение масс некоторого кос¬
мического аппарата с электрической двигательной установкой,
соответствующее данной задаче, необходимо сначала вычислить
значения отношений масс для отдельных активных периодов по¬
лета. Уравнение отношения масс для обособленного активного
периода полета задается уравнением (7.214). Интеграл в правой
части этого уравнения имеет размерность [длина2/время3]. После
- ,
Гелиоцентрический переход
1 I Захват
Рис. 7.99. Оптимальная про¬
грамма вектора тяги для пере¬
лета с захватом.
21*
324
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
умножения на член 1/goo размерность начинает совпадать с раз¬
мерностью скорости [длина/время].
Коэффициент а имеет размерность кГ/кет или фунт/кет. Пе¬
реходный множитель от кГ • м/сек к кет и, следовательно, от
м/сек к квт/кГ равен 1/102. Другими словами, если интеграл
вычислен в м2/сек3, его значение должно быть разделено перед
подстановкой в уравнение (7.214) на 102, если предполагается,
что а дано в кГ/квт, a goo = 9,81 м/сек2.
Рис. 7.100. Схемы быстрых и мед- Рис. 7.101. Примеры кольцевых поле-
ленных перелетов с малой тягой тов с использованием активных на
между Землей и Юпитером (показа- всем протяжении траекторий с малой
Переходный множитель от фунт • фут/сек к кет и, значит, от
фут/сек к кет/фунт равен 1/738. Таким образом, если интеграл
вычислен в фут2/сек2, а дано в фунт/кет, a g0o = 32,2 фут/сек2,
значение интеграла перед подстановкой в уравнение (7.214)
нужно поделить на 738.
В интересах экономии вычислительной работы и уменьшения
числа графиков, которые необходимо построить, желательно обоб¬
щить результаты анализа схем перелетов в центральном поле та¬
ким образом, чтобы сделать их применимыми к любому перелету
(того же семейства) в этом или другом центральном поле сил.
Запишем уравнение (7.214) в форме
ны направление, и величина вектора
ускорения тяги).
Е — гиперболический пролет; С — захват.
ТЯГОЙ.
0
(7.331)
где
*-2*ф(Ю- Ю2= 2000
м кГ • м/сек,
'QK2 WT
7.20] СХЕМЫ ПЕРЕЛЕТОВ С МАЛОЙ ТЯГОЙ 325
если а выражено в кГ/квт, a f2dt в м2/сек3, или
X = оо • 738 = 47427,2 [Щ- фунт-'фут- = Щ-], (7.332в)
6 0.00 L сек2 сек • кет кет сек3 J v }
если а дано в фунт/квт, a f2/dt в фут2!сек3. Из выражения
(7.331) находим:
t
Г «о emn , Г л*2 фит2 и
J f или (?-333)
о
Для того чтобы сделать это выражение безразмерным, выразим
ускорение тяги в единицах g у поверхности Земли:
я = —(7.334)
оо
а время — в единицах периода обращения Т0 по орбите старта
(круговой или околокруговой):
% = — =.tVc'°
Tq 2jt (2q
.. _ -Wf- <7-зз5>
При условии, что
t t
J n2 dt [сек] = T0 J ti2 dx (7.336)
о о
(используя тем самым в качестве единицы времени секунду, а
не период обращения), имеем:
t
Г & (71 X
n2dt = £ -= 0* - 1), (7.337)
J а ш0 ge>00
/ рл - Ф- /[тг ил" ^1 • <7-338>
о о
If *
J Р dt = 001 я2 dt или g]. (7.339)
о о
Для соотношений, относящихся к постоянной касательной
тяге [см. уравнение (7.209)], безразмерное время, необходимое
для достижения местной параболической скорости при старте
с околокруговой орбиты, составляет:
тр ~ф ^ he(7,340>
26
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ ?
Уравнение
вата) дает:
Уравнение
Уравнение
и соответствующее выражение получается для уравнения
(7.218Ь). Наконец, имеем:
хр
f n2dt = JE (7.344)
J 2я &0, оо
Задача гиперболического пролета около Луны требует толь¬
ко одного активного участка, который расположен в геоцентри¬
ческом поле. Если используется оптимальная программа уско¬
рения, то космический аппарат, отправляясь с околокруговой
орбиты ожидая вблизи Земли, следует по раскручивающейся
спирали. Его тяга, оставаясь близкой к касательному направ¬
лению и уменьшаясь во времени, обращается в нуль при пересе¬
чении сферы действия Луны. Альтернативным решением яв¬
ляется создание постоянной тяги (F = const, но / Ф const, потому
что масса аппарата уменьшается при расходе топлива). Этот
подход более привлекателен с инженерной точки зрения. При ис¬
пользовании высоких удельных импульсов (> 3000 сек) он дает
только небольшое возрастание отношения масс по сравнению с
оптимальной программой вектора тяги. Предполагая, что при¬
меняется постоянная тяга, мы можем различать две возможно¬
сти: а) начальное ускорение /0 достаточно велико для достиже¬
ния параболической скорости в долунном пространстве, б) пара¬
болическая скорость достигается в залунном пространстве
Ввиду относительной близости Луны для осуществляющей про¬
лет станции не представляет, вероятно, практической выгоды
продолжать двигаться с активным ускорением, если в долунном
пространстве достигнуто местное значение парабалической ско¬
рости. Следовятельцр, для случая (а) отношение масс можно
(7.209) для обратного процесса (процесса за-
(7.341)
(7.215) дает:
хр
| п2 dx = цга£гр. (7.342)
о
(7.218а) дает:
'{ (7.343)
7.20]
СХЕМЫ ПЕРЕЛЕТОВ С АААЛОЙ ТЯГОЙ
327
найти из выражения (7.216). Расстояние от «параболической»
точки выключения двигательной установки до Луны можно не¬
медленно найти из рис. 7.89. Если имеет место случай (б), то
здесь нет необходимости продолжать движение с тягой после
пересечения орбиты Луны. Из рис. 7.89 можно определить, ко¬
гда достигается расстояние, равное радиусу лунной орбиты (или
какой-либо его части, скажем, 0,9 или 0,95), и производится вы¬
ключение двигательной установки. Поскольку тяга предпола¬
гается постоянной, а удельный импульс и, следовательно, расход
массы также постоянны, то требуемое количество топлива со¬
ставляет просто wt и отношение масс равно
\i = {W0-wt)/WQ.
Отсюда, если это желательно для сравнения, можно найти ве¬
личину J f2dt с помощью уравнения
t
(7.345)
о
Полет к Луне с захватом включает два активных маневра:
геоцентрический перелет с маневром сближения (индекс «1»)
для выведения аппарата с промежуточной орбиты в точку, где
он может быть захвачен Луной, и лунный маневр захвата (ин¬
декс «2»). Пусть продолжительности активного полета геоцен¬
трического и селеноцентрического периодов равны t\ и t2. Тогда
в соответствующих единицах
и
^ = 1+ 1 f2dtt
'2 8! g00mp J
f dt,
2 e2 go0mp J
* П
М-12 = МчМ-г»
(7.346)
где m0 — масса аппарата при геоцентрическом старте, тх — мас¬
са аппарата в начале маневра захвата Луной (после сближения
и встречи с фиктивной поверхностью сферы действия Луны), ei
и 82 — коэффициенты эффективности двигательной установки
для данного периода полета. Интеграл для первого периода на¬
ходится численным интегрированием [см. рис. 7.109 и уравнение
и
(7.339)], которое дает приближенное значение для J f2dt при
328
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
известном времени долунного перелета в случае оптимальной
программы тяги. Отсюда можно вычислить ць если известны все
другие величины. Значение jll2 находится из выражения (7.217),
где К = К<г, а а0 — большая полуось околокруговой селеноцен¬
трической орбиты захвата.
Для кольцевых полетов к орбите спутника Луны и обратно
число, активных участков удваивается. Период полета Т можно
разбить на отрезки:
Т = tx + t2 + ^cpt +
где t] и t2 имеют тот же смысл, что и прежде, /cpt — период за¬
хвата Луной (период, когда аппарат с выключенной двигатель¬
ной установкой остается спутником Луны), /3— период ухода
от Луны и t4 — период активного возвращения на орбиту ожи¬
дания около Земли. Отношение масс [х3 следует из уравнения
(7.216), в то время как щ опять-таки находится численным ин¬
тегрированием. Если геоцентрическая траектория возвращения
аналогична траектории полета к Луне, то = и получаем для
суммарного отношения масс
^х =
Наиболее перспективным представляется использование элек¬
трических двигательных установок при межпланетных полетах
[по крайней мере до тех пор, пока ожидаемый диапазон началь¬
ных ускорений тяги не превосходит (100-^300) p,g].
Гиперболические пролетные траектории к другим планетам,
включают по меньшей мере два активных маневра: уход от
Земли и гелиоцентрический перелет. Маневр ухода от Земли
рассчитывается по уравнениям (7.209), (7.212а), (7.216) и
(7.218), если тяга постоянна и касательна. Дополнительные дан¬
ные, такие как число оборотов и т. д., можно найти из рассмо¬
трения рис. (7.52) — (7.66). Гелиоцентрическая полностью актив¬
ная траектория может быть оптимизирована с помощью интегри¬
рования уравнений плоского или пространственного движения,
выведенных соответственно в § 7.17 и § 7.18, при граничных
и прочих условиях, указанных для случая 5 в таблице 7.3. Если
вместо оптимальной программы применяется постоянная каса¬
тельная тяга вплоть до достижения местной гелиоцентрической
параболической скорости, то используются те же уравнения и
графики, что в рассмотренной выше задаче ухода от Земли.
В этом случае предполагается, что космический аппарат дви¬
жется с постоянной тягой и постоянным удельным импульсом
до момента выключения двигательной установки при достиже¬
нии местной параболической скорости, а затем следует участок
7.20]
СХЕМЫ ПЕРЕЛЕТОВ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
329
свободного полета до планеты-цели. Ввиду сравнительной сла¬
бости солнечного поля притяжения нежелательно, чтобы орбита
планеты назначения достигалась до момента выключения дви¬
гательной установки, за исключением той ситуации, когда уско¬
рение тяги очень мало [см. главу.9 и рис. (9.157)]. Для полетов
к внутренним планетам рис. 9.143—9.145 можно использовать
для определения отношения масс и других нужных данных.
В конце первого маневра (параболического ухода от Земли)
начальные условия гелиоцентрического участка таковы (пред¬
полагается плоский перелет со стартом с круговой гелиоцентри¬
ческой орбиты):
R(0)= 1,495-108 /сж = 0,8-108 морских миль = 1 а. е.9
Л (0) = 0,
R( 0) = 0,
С (0) = 4,449788 . 109 км2/сек.
Конечные граничные условия даются таблицей 7.3 (случай
5), а именно: fr{t2) = 0, f^(t2) = 0 при R(t2) и, далее, К\ = 0 и
^ = Y](/2), где угол перелета гД/2) является зависимой перемен¬
ной. Совместно со временем t2 гелиоцентрического перелета угол
перелета г}(^) определяет геометрию старта (то есть угол W по¬
ложения цели относительно точки старта: Ф = |г| (^2) ^2 — fjpifel
(см. главу 9). В случае плоского движения знание fr дает ориен¬
тацию вектора тяги /, которая определяется углом тяги ф (угол
тангажа) по отношению к местному горизонту (трансверсали).
Угол тяги отсчитывается против хода часовой стрелки от мест¬
ной трансверсали, ориентированной по направлению полета.
Как было отмечено в § 7.17 (для случая плоского движения) и
в § 7.19, оптимальная программа вектора тяги определяется как
функция времени (0<t<t2), если известны величины /(0), /ДО)
или ф(0), /ДО), обеспечивающие достижение расстояния R(t2)
за заданное время t2. Единственный путь нахождения точных
значений этих начальных условий тяги [/(0), ф(0) и /,.(0)] со¬
стоит в вариации их до тех пор, пока краевые условия на конце
не будут выполняться с приемлемой степенью точности. Этот
процесс требует значительного времени даже при расчетах на
электронной вычислительной машине. Следовательно, на прак¬
тике важно обобщить полученную информацию таким образом,
чтобы можно было использовать ее при решении максимального
числа задач.
Определение обобщенных параметров было приведено ранее.
В соответствии с этими определениями на рис. 7.102—7.104
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ.
Я11 'I'm 'ill1111 ''III11 "i1 11111 'I141111
j ffPc^ -fc# o* *}
1 1 1 1 1 Ml 1 1 11
' 1 4 4 4 1 1 11
1 1^1 4 4 11 If
—§
jlg^L
—^-
IIP 1 1Г
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
• w
=2*
1.1 111in 11ii
*
. 1 . 1 .III 11II
V\ \
O' W
I CO ^s> r<>
1 . 1 i 1 i 1 ,1 1 1 1 1
to
_I LiJ ill! 1111
r±-
1 1 11 llll 1 111
70~3 10~2 Ю'1 7 70 702
J*o n2dt (секунды)
Рис. 7.102. Характеристический интеграл для программы тяги,
минимизирующей отношение масс, как функция безразмерного рас¬
стояния г* и безразмерного параметра времени т в центральном
поле при гиперболическом пролете (пг = п^ — 0 при г = г*у
”(0)(Р9ъ)
Рис. 7.103. Начальное ускорение как функция г* и т для гипербо¬
лического пролета в центральном поле.
7.201
СХЕМЫ ПЕРЕЛЕТОВ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
331
показаны J п2 dt, п(0), ф(0) как функции отношения г* началь-
о
ного и конечного радиусов, времени t активного перелета и без¬
размерного параметра времени т.
К несчастью, диапазон гравитационных ускорений от малых
значений в гелиоцентрическом пространстве до больших значе¬
ний вблизи планет крайне широк, что вызывает соответствую¬
щее широкое изменение характерного времени (периода обра¬
щения Т0 по околокруговой начальной орбите), а значит, и т.
Рис. 7.104. Начальная ориентация вектора тяги как
функция времени t активного перелета.
Например, для гелиоцентрических перелетов, начинающихся с
орбиты Земли, Т0 составляет один год, следовательно, 1/12 <т< 5
для перелетов длительностью от одного месяца до трех лет. Для
планетоцентрических перелетов т принимает много большие зна¬
чения, например для геоцентрических операций, начинающихся
с близкой к Земле орбиты ожидания {Т0~ 1,5 ч), 16<т<480
для перелетов длительностью от одних суток до одного месяца.
Этот диапазон величин нельзя представить на графиках обыч¬
ного формата. Таким образом, выбор т указывает на те цент¬
ральные поля или их области, для расчета движения в которых
можно применить график.
332
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
С другой стороны, поскольку т является также функцией
/г(0), данный график можно применить для расчета движения
в любом центральном поле, если нам доступен достаточно ши¬
рокий диапазон начальных ускорений (например, для геоцентри¬
ческих полетов длительностью два часа величина т может оста¬
ваться в «гелиоцентрическом диапазоне», но начальные ускоре¬
ния будут для большинства полетов в 103104 раз больше).
Однако можно было бы получить значения т внутри «гелиоцен¬
трического диапазона» при сравнимых ускорениях тяги для ма¬
невров перехода, начинающихся и оканчивающихся во внешних
областях гравитационных полей планет. Маневры с малой тягой
между отдаленными орбитами вокруг Юпитера и Сатурна пред¬
ставляют определенный интерес с точки зрения астронавтики.
Видно, что диапазон изменения т, представленный на ранее упо¬
мянутых графиках, может быть использован в первую очередь
при операциях в гелиоцентрическом пространстве и во внешних
областях планетоцентрических полей для указанных зна¬
чений п( 0).
Графики, приведенные на рис. 7.105—7.108, дают конечные
значения скорости (в единицах местной круговой скорости),
угла наклона траектории 0(т) и угла перелета т](т). На основа¬
нии этих величин можно, как это указывалось в § 7.9, найти
элементы оскулирующей орбиты (пренебрегая возмущениями)
или элементы гиперболы пролета около планеты (в планетоцен¬
трических координатах), а также рассчитать гелиоцентрическую
орбиту после пролета у планеты. Приведенные выше графики не
претендуют на высокую точность. Они могут служить полезным
пособием для анализа задачи (определения приблизительных
нижних пределов отношений масс) или для выбора начального
значения вектора тяги при расчете оптимальной программы
т
тяги. В целях сравнения величину J* п2 dx для постоянной каса-
0
тельной тяги можно рассчитывать по уравнению (7.343).
Другой тип задач может включать более жесткие краевые
условия в конце гиперболического пролета, которые должны
обеспечивать продолжительное пребывание космического аппа¬
рата в окрестности планеты-цели (то есть снижать гиперболи¬
ческий избыток скорости). Если логически продолжить эту по¬
становку задачи, она перейдет в задачу о конечной встрече, то
есть в задачу о сближении скоростей аппарата и планеты по
величине и направлению (гиперболический избыток близок или
равен нулю), но без маневра захвата. В этом предельном случае
разница между гелиоцентрическим полетом с гиперболическим
пролетом и перелетом с захватом исчезает, поскольку начальные
в (градусы)
7.20]
СХЕМЫ ПЕРЕЛЕТОВ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
333
Рис. 7.105. Конечная величина скорости v (t) в еди¬
ницах местной круговой скорости.
Рис, 7,106. Конечное значение угла 0(т).
334
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
Рис. 7.107. Угол перелета ц (т) в зависимости от безразмерного расстоя¬
ния г*.
Рис. 7.108. Угол перелета ч\ в зависимости от безразмерного
параметра времени т.
7.20]
СХЕМЫ ПЕРЕЛЕТОВ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
335
и конечные граничные значения одни и те же. Между этим пре¬
дельным случаем и обсуждавшимся выше случаем неограничен¬
ного гиперболического пролета существует бесконечное множе¬
ство вариантов с частичными ограничениями скорости в конце
траектории. Требуемые значения энергии ограничены величиной
J Р dt снизу в произвольном случае пролета и величиной J f2 dt
сверху в случае полного уравнивания скоростей аппарата и
планеты. В то время как оптимальная программа неограничен¬
ного пролета предполагает нулевое ускорение в конце, пролеты
с ограничениями по скорости требуют создания ускорения в
конце пути в соответствии с граничными условиями, определен¬
ными для случаев 2 или 3 в таблице 7.3.
Для полетов с захватом к другим планетам гелиоцентриче¬
ские краевые условия в конце определяются случаями 1 и 2
таблицы 7.3 (предпочтительно случаем 2), поскольку здесь умень¬
шается объем вычислений и в то же время сохраняется точность
расчета сближения, так как угловую дальность перелета всегда
можно привести к нужному значению путем надлежащего вы¬
бора геометрии старта. Полеты с захватом включают три актив¬
ных маневра: уход из поля Земли, гелиоцентрический перелет и
захват планетой. Для расчета траектории ухода от Земли при¬
менимы те же соотношения, что и в случае расчета пролетной
траектории. Для расчета маневра захвата используются уравне¬
ния (7.210), (7.212Ь), (7.217), (7.218Ь) и график, приведенный
на рис. 7.79, если условия в конце гелиоцентрического участка
являются достаточно жесткими и планетоцентрический гипер¬
болический избыток скорости космического аппарата умень¬
шается до нуля или некоторой малой величины. Поскольку гра¬
фики, приведенные на рис. 7.68, и другие показывают, что ги¬
перболический избыток скорости быстро меняется с течением
времени, то, следовательно, отношения масс при маневре захвата
не очень различаются в случаях параболического подлета и под¬
хода с умеренным гиперболическим избытком. Эти начальные
краевые условия такие же, как и при гиперболическом пролете.
Краевые условия на конце в соответствии со случаем 2 таб¬
лицы 7.3 для плоского движения задают r(t2), r(t2) и.С(/2) (то
есть расстояние и вектор скорости), а также Кi=0; а эти усло¬
вия в свою очередь удовлетворяются надлежащим выбором на¬
чальных значений fr и /V (или f и ср, то есть /(0) и /V). Пред¬
полагая, что конечная орбита является круговой, получаем
г(^) = 0 и, следовательно, v2{t2) = C(t2)/r(t2). Рис. 7.109—7.114
/
иллюстрируют вариации величин J ri2dt, п(0), ср(0) и угловой
о
336
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
= 1 1 Ч 1 1 '1 1 1 1 1
T-f?
- Ч»
1 1 Ч Ч Ч 1 111
' 14 4 41 1/11
1 J
У 31!^
~ h
—;
~ШС^~
‘ *
=
- 9
, 1 .1.1.11111
. 1.1,1.4111
\
> -с3
У
1 . 1 . 1 .1.1 11 11
, Mill
:
1 ! 1 111 ilil I И
10~2 10~1 1 10 102 703
J* п2 dt (секунды)
Рис. 7.109. Характеристический интеграл для программы тяги, мини¬
мизирующей отношение масс, как функция безразмерного расстояния
г* и безразмерного параметра времени т активного перелета в цен¬
тральном поле.
п (О) (рръ)
Рис. 7.110. Начальное ускорение для случая перелета и цен-
тральном поле.
7.201
СХЕМЫ ПЕРЕЛЕТОВ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
337
дальности перелета г|(т) в зависимости от безразмерного рас¬
стояния г* для различных значений безразмерного параметра т
времени активного перелета при полетах в центральных полях.
Эти графики могут быть использованы в качестве пособия для
предварительного анализа и выбора начальных условий при
<р(0) (градусы)
Рис. 7.111. Начальная ориентация тяги в зависи*
мости от безразмерного расстояния г*.
расчете оптимальной программы тяги вдоль траектории. Гра¬
фики могут применяться к разнообразным задачам одного и
того же класса (то есть к полетам в центральном поле с крае¬
выми условиями случая 2 таблицы 7.3), например в гелиоцен¬
трическом пространстве для перелета от планеты к планете, за
исключением полета от Сатурна внутрь орбиты Земли, потому
что тогда г*> 0,1. Конечно, продолжительности полета раз¬
личны, поскольку величины Т0 в каждом случае различны и
22 К. Эрике, т. II
7j (градусы)
338
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
(ГЛ. 7
§ 90
&
§
^ 50
I
| 30
1
§ 10
V
I
I
4
V
Л-
\
\
\
- \
у
\
ч
d
7^
ч
1
/
//
{ /
<
Ч1'
/
//
/
У
i'
/
к
/
1
у
-?
V
А
\
1 -
—л
\
Время активного полета t (годы)
Рис. 7.112. Начальная ориентация тяги в зависи¬
мости от времени t для орбит различных планет.
Рис. 7.113. Угловая дальность перелета ц (т) в зависимости от без¬
размерного расстояния г*.
7.20]
СХЕМЫ ПЕРЕЛЕТОВ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
339
абсолютные значения ускорения тяги меняются, так как g0 ме¬
няется в каждом случае.
Среди практических проблем, которые должны быть разре¬
шены прежде, чем смогут быть реализованы низкие значения
отношений масс, соответствующие оптимальным программам
тяги, проблема вариации тяги при постоянной мощности являет¬
ся наиболее важной (хотя и не обязательно самой трудной).
t (годы)
Рис. 7.114. Угловая дальность перелета т] в зависи¬
мости от времени t активного перелета.
В двигательных установках с отделенным от движителя
источником мощности тяга и удельный импульс связаны усло¬
вием постоянства мощности. Уравнение (7.138) показывает, что
величина мощности на выходе прямо пропорциональна произве¬
дению тяги на удельный импульс и обратно пропорциональна
эффективности преобразования (к. п. д.) мощности, отданной дви¬
жителю, в мощность реактивной струи mv2/2 (эффективность об¬
разования электрической мощности в исходном источнике энер¬
гии, например в ядерном реакторе, просто учитывается удель¬
ным весом единицы мощности а = Wp/P и не рассматривается
в настоящих рассуждениях).
К. п. д. превращения электрической мощности в мощность
реактивной струи е = Pj/P зависит от величины удельного
22*
340
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
импульса по крайней мере для электростатических двигательных
установок, где поток одинаково заряженных частиц ускоряет¬
ся некоторым электростатическим полем. Если удельный им¬
пульс мал (/sp < 4000 сек, то есть ve < 40 000 м/сек), время пре¬
бывания частиц в ускорителе становится достаточно большим,
что вызывает расхождение пучка под влиянием кулоновых сил
взаимного отталкивания (эффект расфокусировки), в результате
чего часть заряженных частиц теряет возможность покинуть
ускоритель сквозь отверстие в противоположном электроде. По¬
скольку на зарядку этих частиц тратилась электрическая энер¬
гия, их отсутствие в истекающем пучке представляет собой
уменьшение эффективности. При увеличении удельного импуль¬
са величина к. п. д. быстро растет и, по-видимому, мало меняет¬
ся при значениях удельного импульса выше /sp = 10 000 сек,
когда е составляет 80% или имеет еще лучшие значения.
Сейчас [в начале 1961 г.1)] еще нет достаточных эксперимен¬
тальных данных, чтобы связать действительную эффективность
электростатических систем с величиной удельного импульса, по¬
скольку на эффективность устройства влияют также метод со¬
здания ионов и факт присутствия хотя бы слабой нейтрализую¬
щей среды (например, присутствие электронов, когда генери¬
руется пучок положительных ионов). Надо также подозревать,
что к. п. д. меняется с течением времени, то есть в зависимости
от продолжительности работы ионной двигательной установки.
Плазменные двигательные установки, использующие электро¬
проводящую, но внешне нейтральную смесь нейтральных ча¬
стиц, положительных ионов и электронов, будут иметь подобные
характеристики, хотя и по другим причинам (связанным с мето¬
дом получения плазмы). Поскольку описание деталей таких
систем приводится в третьем томе книги «Космический полет»,
они не будут здесь обсуждаться. Однако в этом томе будет уме¬
стным отметить, что (применительно к ионным двигателям) в
то время, как эффективность медленно растет с увеличением
удельного импульса, возникают практические затруднения дру¬
гого рода, если удельный импульс становится слишком большим
(/8р « 50 000 сек или больше в зависимости от массы заряжен¬
ной частицы, так как «критический» уровень /sp уменьшается с
увеличением массы частицы). Для того чтобы увеличить удель¬
ный импульс (то есть скорость истечения), надо увеличить на¬
пряжение (то есть градиент потенциального поля между элек¬
тродами), если нельзя изменить расстояния между электродами.
Поскольку максимальное напряжение может быть ограничено на
практике величиной 40 000 ^ 50 000 в, максимальный удельный
Время написания книги. (Прим. перев.)
7.21]
ПОСТОЯННАЯ ТЯГА И ПОСТОЯННОЕ УСКОРЕНИЕ
341
импульс соответственно ограничивается. Например, если исполь¬
зуются ионы цезия, то при напряжении 50 000 в /spmax~
« 27 400 сек, для ионов водорода (протонов) /Spmax — 316 000 сек
при том же напряжении.
Оптимальная программа вектора тяги, обсуждавшаяся в
§ 7.15—7.19, не ограничивает снизу значение тяги, в результате
чего могут появиться пассивные участки. Имеется в виду, что
двигательная установка будет выключаться, но система генера¬
ции электрической мощности не обязательно будет выключаться
в тех случаях, когда необходимо разогревать охлаждающую
жидкость, циркулирующую в больших радиаторах, для обеспе¬
чения готовности повторного запуска.
С практической инженерной точки зрения, ограниченные ва¬
риации /sp (например, между 5000 и 15 000 сек) более жела¬
тельны, чем большие вариации (даже в пределах максимального
напряжения) по причинам надежности, простоты и износостой¬
кости оборудования в течение длительных межпланетных путе¬
шествий. Для автоматических станций с электрическими двига¬
тельными установками, особенно для их ранних модификаций,
которые, как можно ожидать, появятся на сцене во второй поло¬
вине шестидесятых годов, постоянная тяга может быть более
желательной с точки зрения вероятности успешного завершения
полета (хотя и не с точки зрения минимальности отношения
масс).
Отклонения от оптимальной программы по техническим при¬
чинам будут, таким образом, в первую очередь вызываться огра¬
ниченным изменением удельного импульса. Поскольку это огра¬
ничение будет обусловливать выключение двигателя на тех уча¬
стках «крейсерской фазы» полета, где она очень мала, потери в
величине отношения масс будут не очень существенными и, по-
видимому, в большинстве случаев составят менее 10%.
Другой важной причиной увеличения отношения масс являют¬
ся возмущения, требующие более или менее мощных маневров
коррекции (например, возмущение Луной траектории близко
пролетающего космического аппарата). Однако такие возмуще¬
ния могут и не иметь места. В частности, в указанном примере
сильных возмущений можно избежать при соответствующем вы¬
боре времени старта.
7.21. Постоянная тяга и постоянное ускорение
Уравнение (7.214) показывает, что одним из факторов, спо¬
собствующих малости отношения масс при полете с электриче¬
скими двигательными установками, является малое значение
а = Wv/P. Для заданного генератора электрической мощности
342
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
вес Wp фиксирован и может удерживаться на минимально воз¬
можном уровне только в случае, если выходная мощность Р все
время максимальна и, следовательно, постоянна: Р = Ртах =
= const. Таким образом, изменение тяги F должно сопрово¬
ждаться противоположным изменением удельного импульса /яр,
согласно выражению (7.138). В § 7.20 указывалось, что требова¬
ние Р = Ящах = const на практике трудно сочетать с оптималь¬
ным законом регулирования тяги, минимизирующим отношение
масс. Поэтому, если надо соблюдать условие Я = Ятах = const
и в то же время избегать чрезмерного увеличения удельного им¬
пульса, необходимо уменьшить диапазон вариации тяги.
В предельном случае тяга сохраняется постоянной. Это озна¬
чает постоянство /8р. Оптимальное значение удельного импульса
/spop* определяется по соотношению (7.140). Влияние постоян¬
ства удельного импульса, даже если он оптимален, можно
учесть с помощью уравнений (7.140) и (7.136Ь). Видно, что урав¬
нение (7.136Ь) дает отрицательные значения для £, если
^ 0,804 vCh. Другими словами, идеальная скорость, величина ко¬
торой примерно больше 80% от характеристической скорости,
определяемой уравнением (7.137), не может быть достигнута
космическим аппаратом с электрической двигательной установ¬
кой, который движется с постоянной тягой и постоянным значе¬
нием удельного импульса /8р. В действительности предельное
значение отношения скоростей (при нулевой полезной нагрузке)
меньше 0,804, поскольку весовой коэффициент £ учитывает не
только полезную нагрузку, но также все остальное оборудова¬
ние аппарата, величина веса которого не зависит от мощности
реактивной струи Pj.
Сравнительно небольшое изменение тяги и удельного импуль¬
са /8р получается при постоянном активном ускорении. При по¬
стоянном ускорении тяга уменьшается пропорционально умень¬
шению веса космического аппарата, а идеальное приращение
скорости на единицу времени остается постоянным. Величина
идеальной скорости в конце работы двигателя равна
Расход топлива определяется по уравнению (7.132а), которое
при постоянных Р и е может быть записано в форме
Весовой коэффициент £, определяемый согласно второму
уравнению (7.134), должен выбираться максимальным с учетом
(7.347)
(7.348)
7.21] ПОСТОЯННАЯ ТЯГА И ПОСТОЯННОЕ УСКОРЕНИЕ 343
того, что ускорение постоянно:
,F(t)
m(t)
f= mTTT = const> (7.349)
где
f <'>- 1476 ^ <7-350)
[см. второе выражение (7.131)], а масса космического аппарата
в момент времени t < t\ вычисляется по формуле
t
т (0 = mQ — тр (t) = т0— 1476еР Г - ^ . (7.351)
5 VeW
Подставляя значения F(t) и m(t) в уравнение (7.349) и разре¬
шая его относительно ve(t)y находим:
/о , 4,75-104еР , /-
l^o^id (7.352)
что указывает на линейное изменение ve с течением времени,
поскольку £ = t/t 1. Начальное значение скорости истечения ve
при I = О
4,75 • 104еР , /7 о со \
»*> 7) п (7.353а)
^Ouid
конечное значение
Vel = VeO+Vid = Ve0 + К (7.353Ь)
Весовой коэффициент, подлежащий максимизации, равен:
Wp
О
^=1-а¥о_Л=1-аЖ ^7 ‘ (7.354)
В единицах P/W0
Р_
7о
£ ^ (7.355)
1 +
4,75- 104/,еР/Г0
т л ■ d£ * Р
Из условия —. р .■■ = (J находится величина -щ-, для ко*
"Ы
торой коэффициент £ максимален при данных условиях:
TF7 = 4,75 • ш4е*Г ~ (7.356)
где характеристическая скорость определяется равенством
Цсн = 66,51^//[л/с<?к].
344 ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ [ГЛ. 7
При таком определении P/W0 оптимальная скорость истечения
составляет:
oeopt(0 = »ch-°id(l-D. (7.357)
Ueopt(°) = ych-yid> (7-358)
°«opt! =tW (7-359)
Теперь можно определить весовые коэффициенты £ (относи¬
тельный вес полезной нагрузки, оборудования, не относящегося
к двигательной установке, и прочих конструкций), Wp/W0 (элек-
wp
тростанция и связанное с ней оборудование) и А = -^~ (полез¬
ное горючее, расходующееся на достижение скорости ui(i). Со¬
вместно они удовлетворяют соотношению
Wp
^ + 'г7+л = 1‘
Для случая постоянной тяги величина £ определяется по со-
Wp а Р
отношениям (7.136а) и (7.136Ь); , откуда, используя
третье уравнение (7.133) и учитывая, что, согласно равенству'
(7.137), 4,75-104 е/ = av2ch, находим немедленно:
(7.360)
Тогда
Л = 1 - = 1 - e~ViilVe. (7.361)
Для случая постоянного ускорения находим максимальное
значение £ из соотношений (7.355) и (7.356):
U = (l (7.362)
и из выражения (7.356), снова вспоминая, что член в знамена¬
теле этого выражения есть av\\u получаем:
= а -I— = (J _
Wo ro °ch \ °ct.
i (7.363)
откуда
w
A = I7-364)
4h
7.211
ПОСТОЯННАЯ ТЯГА И ПОСТОЯННОЕ УСКОРЕНИЕ
345
Таким образом, мы имеем очень простое соотношение для от¬
ношения масс при постоянном ускорении:
1
1 - «id/».
ch
(7.365)
На рис. 7.115 сравниваются максимальные значения £ [в случае
постоянной тяги используется уравнение (7.140)] и соответствую-
Vid / Ц.ih
Рис. 7.115. Вариация весовых отношений в зависимости
от значения идеальной скорости.
щие значения + = 1 — Л для постоянной тяги и ПОСТОЯН¬
НА о
ного ускорения как функции V\Jvсц. Для -^-<0,5 кривые, соот-
^ch
ветствующие постоянной тяге и постоянному ускорению, мало от-
u\d
личаются. При —^0,5 значение £ — 0,25, то есть отношение
vch
начального веса к сумме веса полезной нагрузки, «сухого» веса
систем, не имеющих отношения к двигателю, и веса остатков топ-
Ц^О 1 л гг W0 ^ л
лива, равно: = у ^ 4. Для случая, когда -^—>4, следует
£ ® £
346
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. ?
использовать более сложные программы тяги с изменением ско¬
рости истечения. При заданных а и е характеристическая ско¬
рость vCh меняется пропорционально квадратному корню из вре¬
мени активного полета t\. Чем больше tu тем больше усь и тем
меньше отношение yid/^ch при фиксированном значении uici (из-за
большой скорости истечения гравитационные потери малы, сле¬
довательно, не очень сильно меняется с течением времени t\).
С уменьшением отношения cW^ch величина £, а значит, и вес
полезной нагрузки увеличиваются. Чем больше время «рейса»
(то есть время, необходимое для достижения заданного значения
скорости uid), тем лучше отношение масс ц.
Если необходимо достичь одного и того же значения отно¬
шения ^id/^ch с помощью как программы F = const, так и про¬
граммы / = const и если значения а, е и £ одинаковы для обеих
программ, то обе программы потребуют одинакового времени по¬
лета. В действительности этот случай не имеет места. Значение
коэффициента £ должно быть меньше для случая постоянной
тяги, то есть вес полезной нагрузки будет меньше, если все осталь¬
ные составляющие £ не меняются. Если же значения £ одинаковы,
программа постоянного ускорения дает большее значение v\a/vc\v
Впервые это было замечено Ирвингом [33]. Это означает, что для
равных значений £ программа постоянного ускорения дает более
короткое время «рейса» при равной полезной нагрузке, чем про1
w
грамма постояной тяги. Положим, например, -^ = 20, или £ =
V-J
= 0,05. Для этого значения из рис. 7.115 находим, что —— « 0,78
uch
V-j
при f = const и—1— 0,73 при F=const. Поскольку обе програм-
°ch
мы имеют одно и то же отношение масс и поскольку vCh меняется
пропорционально Уtx > то продолжительности активного полета
при F = const и / = const относятся как = 1,14, то есть вре¬
мя активного полета увеличивается на 14%. С другой стороны,
если величина тяги по практическим соображениям ограничена
некоторым максимальным значением, то программа постоянной
тяги может стать «более быстрой», если окажется возможным
адекватное уменьшение полезной нагрузки. Изменение £ в зави¬
симости от отношения vejv\& для различных значений tW^id пока¬
зано на рис. 7.116 для случая постоянной тяги и на рис. 7.117 для
случая постоянного ускорения. Для случая постоянной тяги
использовалось уравнение (7.136Ь) с учетом того, что выраже¬
ние в знаменателе второго члена равно » а Для случая
7.21) ПОСТОЯННАЯ ТЯГА И ПОСТОЯННОЕ УСКОРЕНИЕ
постоянного ускорения использовалась формула
1 ve0 VM
е=-
1 +
vid/vch
veo/v<
wch "ch
347
(7.366)
ch
полученная подстановкой соотношения (7.353a) в уравнение
(7.355).
Рис. 7.116. Вариация £ в зависимости от отношения ve/viA
для различных значений vch/vid (случай постоянной тяги).
Проведенное выше обсуждение основывалось на представле¬
нии о бессиловом поле, поскольку мы имели дело с идеальной
скоростью. Если полученные результаты должны быть приме¬
нены к конкретным задачам, необходимо установить связь между
идеальной скоростью и действительной скоростью на траектории.
Вообще говоря, это выполнить нельзя, но можно осуществить
с достаточной степенью точности для некоторого предельного слу¬
чая, например, когда ускорение тяги гораздо меньше местного гра¬
витационного ускорения (порядка 10_3-И0"4 или меньше). При
Этих условиях радиальная составляющая скорости при переходе
348
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
с одной круговой орбиты на другую остается пренебрежимо
малой. Вспомним, что при очень малой тяге витки спирали близ¬
ки к околокруговым орбитам почти до момента достижения мест¬
ной параболической скорости. В окрестности этой точки предпо¬
ложение о близости активного участка к дуге круговой орбиты
нарушается. Мы видим, что указанные выше условия применимы
к перелетам между круговыми орбитами вблизи планет (предпо¬
лагая, что космические аппараты с электрическими двигатель¬
ными установками развивают ускорения порядка 10"3 -f- KHgoo),
Рис. 7.117. Вариация £ в зависимости от отношения ae0/yid для различных
значений vchjv[d (случай постоянного ускорения).
но они не применимы к полетам в более отдаленных областях
полей притяжения планет или в гелиоцентрическом пространстве.
Если тяговооруженность^ =п очень мала и если тяга транс-
версальна, близость витков спирали к круговой орбите означает,
что радиальная составляющая скорости остается очень малой, а
трансверсальная составляющая уменьшается в процессе набора
высоты, причем это уменьшение таково, что на любой высоте ско¬
рость на траектории соответствует местной «круговой» скорости
(возможны случаи «подъема» и «спуска», см. § 7.8). Поэтому
идеальная скорость может быть определена по разности потен¬
циальных энергий на начальной и конечной орбитах:
<7-367>
где знак модуля указывает на эквивалентность (в энергетиче¬
ском смысле) «спуска» и «подъема».
Таким образом, мы получили очень простое решение для слу¬
чаев постоянной тяги и постоянного ускорения, применимое к пе¬
7.21] ПОСТОЯННАЯ ТЯГА И ПОСТОЯННОЕ УСКОРЕНИЕ 349
релетам между околокруговыми и круговыми орбитами с пг = О
и Яг,« 1.
В качестве примера рассмотрим перелет с орбиты высотой
370 км (200 морских миль) на 24-часовую орбиту высотой
36 ООО км (19 350 морских миль). Округляя, имеем:
-i/— - 7650— (25100-^), l/— « 3080— flO 100-^,
У г0 сек \ сек ) } ?\ сек \ сек ) *
следовательно, ~4570 м/сек (15 000 фут/сек).
Пусть а = 35 кГ/квт (77 фунт!кет), е = 0,5 и ^ = 90 суток. Тогда
из соотношения (7.137) цсь=14 935 м/сек (49 000 фут/сек). Сле¬
довательно, v[d/vch = 0,307 и из уравнения (7.140) /Spopt =
= 1285 се/с ^1300 сек. Из последнего уравнения (7.133) следует,
что P/Wo = 3,03 квт/кГ (1,37‘Ю-3 квт/фунт), отношение масс
JH = 1,44, а коэффициент заправки Л = 0,305. Таким образом, из
выражений (7.134) находим, что для весовой доли полезной на¬
грузки, остатков топлива и оборудования, не относящегося к
двигательной установке, £ = 0,485. Наконец, с помощью равен¬
ства (7.138) находим значение начального ускорения:
По = — = Р/Г°--; = 4,85 . 10"8goo. (7.368)
W0 2,18- 10 /sp/e so° v '
Таковы характерные величины для постоянной тяги.
Для случая постоянного ускорения из равенства (7.347) на¬
ходим, что / = 0,59 ж/св/с2 (1,94- 10~г фут/сек2) или по = 6* 10~5goo.
При известном отношении tW^ch с помощью уравнений (7.362) и
(7.363) получаем: £max = 0,48, Wp/W0 = 0,213, Л=0,302 и, следова-
р
тельно, (и=1,44. Тяга изменяется от F0 до F(t\)=— и удельный
м-
импульс возрастает от начального значения /sp о до значения
Др (^i) = цЛро, (7.369)
где /8р о для оптимальных условий находится из уравнения
(7.358), Opt/g'oo= 1050 сек, и, согласно соотношению (7.369) или
(7.359), /sp(/,) = 1520 сек.
Как и ожидалось, характеристики практически идентичны, по¬
скольку -—^-<0,5. С этой точки зрения, таким образом, нет СМЫС-
^сИ
ла использовать более сложную программу изменения тяги.
Однако необходимо обсудить и другой аспект. Оптимальный
удельный импульс в обоих случаях слишком низок, чтобы быть
реальным для ионной двигательной установки. Более приемлемое
для практической реализации значение, скажем, 4000 сек (что
дает ve/via~8,5), приводит к значительному уменьшению полезной
350
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
нагрузки. Для постоянной тяги значение £ падает почти до
0,22 (см. рис. 7.116), а для постоянного ускорения £ = 0,27
(рис. 7.117). Видно, что программа постоянного ускорения срав¬
нительно менее чувствительна к отклонениям от оптимального
значения удельного импульса, чем программа постоянной тяги.
В общем случае, однако, обе программы обнаруживают умень¬
шение чувствительности к изменению /sp с увеличением отноше¬
ний yciiMd и Этого можно было ожидать, поскольку уве¬
личение flchMd обусловлено уменьшением величины а (лучшей
конструкцией электростанции) или лучшим к. п. д. е, или более
длительным периодом полета.
Если ускорение тяги близко по величине к местному грави¬
тационному ускорению или превосходит его, приведенный выше
метод использовать нельзя. В .последующем параграфе будет
дана схема более общего решения.
7.22. Программа ориентации тяги, минимизирующая
отношение масс при заданной зависимости тяги от времени
В предыдущем параграфе был в общих чертах описан метод,
позволяющий определять отношение масс для перелетов между
компланарными круговыми орбитами, если либо тяга, либо ак¬
тивное ускорение постоянны. Область применения этого прибли¬
женного метода ограничена диапазоном очень малых отношений
тяги к местному гравитационному ускорению, трансверсальной
ориентацией тяги и постоянством тяги или ускорения, создавае¬
мого ею. Для того чтобы получить более общее решение, необ¬
ходимо опять-таки сформулировать проблему как задачу вариа¬
ционного исчисления с тем отличием, что теперь речь будет идти
не о том, как минимизировать J f2 dt, поскольку / постоянно или
является заданной функцией времени (если тяга не постоянна).
Вопрос ставится скорее так: предположим, что f является по¬
стоянной величиной или известной функцией времени; каков
должен быть программный угол установки тяги, минимизирую¬
щий время перелета? Другими словами, если f задано, непо¬
средственно минимизировать отношение масс мы не можем, но
можем сделать это косвенно, минимизируя время активного по¬
лета при указанной программе тяги. В то же самое время мы
удовлетворяем также другому требованию, имеющему огромное
практическое значение, особенно при пилотируемых межпланет¬
ных полетах: уменьшению времени перелета и, следовательно,
уменьшению полного времени путешествия с возвращением на
Землю. Если системы малой тяги (величина п порядка 10-4g*oo)
станут конкурировать с ядерными системами большой тяги, то
7.22]
ПРОГРАММА ПРИ ЗАДАННОЙ ЗАВИСИМОСТИ ТЯГИ
351
обсуждавшаяся выше методика минимизации отношения масс
без ограничений не сможет применяться и должна быть заме¬
нена программой тяги, включающей участки более высоких
ускорений на траектории перелета (предполагая, конечно, что
начальные условия те же самые, поскольку программа миними¬
зации отношения масс без ограничений также будет иметь тен¬
денцию начинаться с наиболее высокого из возможных значе¬
ний ускорения, чтобы сократить время перелета).
Первая попытка найти программу ориентации тяги, миними¬
зирующую время перелета, была сделана Фолдерсом [42]. Им
рассматривался перелет с постоянным ускорением между кру¬
говыми орбитами, причем отношение радиусов этих орбит ис¬
пользовалось в качестве независимой переменной. Поскольку
этот метод обладает некоторыми практическими неудобствами
(скачкообразное изменение радиальной скорости в граничных
точках), мы будем исследовать поставленную задачу с помощью
подхода, аналогичного хметодике Ирвинга и Блюма, применяв¬
шейся для минимизации отношения масс при отсутствии ограни¬
чений на программу тяги. В этом случае задача состоит в ми¬
нимизации интеграла J Р* и поэтому вектор ускорения тяги
или его составляющие являются независимыми переменными.
Поскольку сейчас минимизируется время перелета, то за неза¬
висимую переменную принимается время. Если f постоянно или
является известной функцией времени, то единственной пере¬
менной, с помощью которой возможно минимизировать время
перелета, будет угол ориентации тяги ф, уже введенный в рас¬
смотрение в предыдущем параграфе [то есть ф(/) есть зависи¬
мая переменная].
Таким образом, необходимо минимизировать интеграл
т
/з = J ф [<7i (0. 41 (01 dt (/ = 1, 2, 3, .... п). (7.370)
о
Другими словами, надо найти функцию ф(0> Для которой ин¬
теграл /з принимает минимальное значение. Граничные условия
определяются согласно соотношениям (7.229). Как и. прежде,
они обусловлены характеристиками начальной и конечной ор¬
бит. При выборе в качестве независимой переменной времени Т
можно получить систему уравнений движения, интегрирование
которых даст траекторию минимальной продолжительности по¬
лета. Начальные условия следует варьировать до тех пор, пока не
будут удовлетворены конечные краевые условия. В случае, когда
минимизируется отношение масс без ограничений, начальными
условиями, подлежащими вариации, являются составляющие
352
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ 7
вектора тяги и их производные (см. таблицу 7.3). В настоя¬
щем случае варьировать надо угол ориентации тяги ср и его про¬
изводную по времени ф. Ограничениями, определяемыми соглас¬
но соотношениям (7.230), служат условия перелета в централь¬
ном поле сил, которые задаются уравнениями движения
(7.236а). Для случая плоского движения эти уравнения движе¬
ния задаются уравнениями (7.170Ь), (7.171Ь), (7.172) и (7.173).
(Мы не предполагаем здесь, что начальная или конечная ор¬
бита является круговой.) При задании уравнений движения вы¬
ясняется смысл переменных1) в выражении (7.370):
?i = r, г, Л, С, ф. (7.371)
Подынтегральная функция задается выражением
Ф = Л + Х1(г--^г + -^- -fsmy^J + hiC-rf cosy) + Х3 {r-vr) +
+ (7.372)
где А — ядро минимизируемого функционала, а члены при мно¬
жителях Лагранжа представляют собой ограничения типа
(7.230). В отличие от предположения, принятого в § 7.15, вели¬
чина А более не является переменной, поскольку она либо
постоянна (A =f2 = f2r + f^ = f2 sin2 ф + /2 cos2 ф), либо является из¬
вестной функцией времени {A=[f(t)]2}9 выражение для которой
следует из условия постоянства тяги. Составляющие ускорения
тяги, однако, меняются. Целью настоящего анализа является оп¬
ределение такого закона их изменения во времени, чтобы пере¬
ход от одной совокупности краевых условий к другой при задан¬
ной модели движения происходил за кратчайшее время.
Учитывая, что / есть постоянная величина или известная
функция времени, не зависящая от qiy применим уравнения Эй-
тт /^ooix дФ d / дФ \ п
лера — Лагранжа (7.231), то есть уравнения 1-^т-) = О,
к функции, описываемой выражением (7.372). В результате по¬
лучим:
*i - -7Г-) ■+ Ч cos Ф + Л3 + К = 0, (7.373)
О 4- "Ь 0 4~ Л.3 4- 0 = 0, i, 4- = 0, (7.374)
Я.4 = 0, (7.375)
^7^ + ^-7f = 0. (7.376)
A/j cos ф — X2r sin ф = 0. (7.377)
1) Заметим, что параметры в правой части выражения (7.371) не яв¬
ляются лагранжевым набором переменных с точки зрения аналитической
механики. (Прим. перев.)
7.22] ПРОГРАММА ПРИ ЗАДАННОЙ ЗАВИСИМОСТИ ТЯГИ 353
Из равенства (7.375) следует, что )н = const. С помощью урав¬
нения (7.377) получаем:
= X2r tgqp. (7.378)
Подставляя это значение Х\ в другие уравнения, приводим их
к виду
или
или
X2r tg ф j + COS ф + Я3 + -jr = О,
. / 2/С ЗС2 \ , , , Я3 , Я4 2С Л 0_„ч
Г tg ф ) + f cos Ф + т2 +17 “ = °’ (7.379)
^-(Я2г tg<p) + X3 = 0, (7.380)
^2r tg ф + ^2— тг = 0.
^^ф+1г-^=0- (7-381)
Теперь введем сокращенные обозначения
к32=-|^, (7.382а)
*32 = - ^7Г-Зк = «32 ^ - Т1 • (7'382Ь)
А2 Ag А ^
*42 = 47 ’ (7.383а)
*42=-«42Х (^4 = 0) (7.383Ь)
и преобразуем уравнение (7.380) к виду
■§t (г ^ *Р) “ кз2 ~ tg2 Ф + *42 7 tg Ф = 0. (7.384)
Преобразование уравнений (7.379), (7.381) и (7.384) дает соот¬
ношения для определения х32 и х4г:
. / 2/С 3С2\, , ( , 2С , х32х42 2С. Л
“ *32 + 7-] tg Ф + f COS ф + х42 — Н -t *327- tg Ф = 0,
(7.385)
*42 + *42 75-~*42 7^£ф = 0- (7.386)
Уравнения (7.170b), (7.171b), (7.172), (7.173), (7.384) —
(7.386) представляют собой требуемую систему дифференциаль¬
ных уравнений седьмого порядка. Поэтому необходимо задать
23 К. Эрике, г. II
354
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
восемь краевых условий, поскольку время активного полета так¬
же является неизвестным. Два из них получаются из условия
минимизации интеграла /3 [см. уравнение (7.370)], а шесть
остальных — при задании г(0), 7(0), С(0) и г(Т)у г(Т)у С(Т).
Можно, однако, существенно упростить задачу, если рас¬
сматривать перелет между круговыми орбитами. В этом случае
начальное значение Ха равно нулю. Следовательно, величина
равна нулю на всем интервале интегрирования, как это сле¬
дует из уравнений (7.383а) и (7.375). Уравнения (7.386) и
(7.173) исчезают, и остается система пятого порядка.
Граничным условиям можно удовлетворить, задавая начальные
и конечные значения г, г и С. Укороченная система состоит из
уравнений (7.170Ь), (7.171Ь), (7.172) и из следующих уравнений,
возникающих после упрощения уравнений (7.384) и (7.385):
*з2-^-Идф)+-^2Ф = 0. (7.387)
*^з2 ~f5r~) Ф f cos ф -Ь к32 ф = 0. (7.388)
Используя уравнение (7.387), исключаем х32 и х32 из (7.388)
и, применяя уравнения (7.170Ь), (7.171 Ь) и (7.172), получаем в
дополнение к уравнениям движения дифференциальное уравне-.
ние второго порядка относительно ф:
•• , о 1 (-2 ЗС . , 2С2 \ , 0 г . 3/С . f л
ф + 2 tg ф (у - ф + — J + 2 — ф ^з~ sin ф cos ф — cos ф = 0.
(7.389)
Уравнения (7.170Ь), (7.171Ь), (7.172) и (7.389) представляют
собой искомую систему, которую можно решать при задании
шести граничных условий для г, г = 0 и С. Уравнения надо ре¬
шать численным интегрированием. Начальные условия для угла
ориентации тяги [ф(0) и ф(0)] необходимо варьировать до тех
пор, пока не удовлетворятся конечные условия г = г(Т) и С =
= С(Т) при r = f(T) = 0.
На рис. 7.118 показаны характерные примеры изменения
ориентации тяги при постоянном модуле /. Космический аппа¬
рат «взлетает» с орбиты Земли способом, напоминающим набор
высоты самолетом. Для перелета Земля — Марс, например, на¬
чальный угол ориентации тяги составляет около 30°. Таким об¬
разом, аппарат стремится набрать как скорость, так и «высоту».
Угол ориентации вектора ускорения возрастает почти линейно
во времени в течение начального периода перелета, составляю¬
щего около 40% от общей его длительности. Это указывает (как
мы уже видели в § 7.20) на то, что для быстрых перелетов наи¬
7.22]
ПРОГРАММА ПРИ ЗАДАННОЙ ЗАВИСИМОСТИ ТЯГИ
355
более важно накопление радиальной скорости. Когда космиче¬
ский аппарат приближается к середине траектории, угол ориен¬
тации тяги изменяется от 90° до 270° и начинается процесс анну¬
лирования радиальной составляющей скорости, в то время как
трансверсальная составляю¬
щая увеличивается, сближая
элементы оскулирующей ор¬
биты с параметрами орби¬
ты Марса.
В отличие от программы
тяги для минимизации от¬
ношения масс, рассматри¬
вавшейся в § 7.20, здесь от¬
сутствует фаза, сравнимая с
крейсерским полетом само¬
лета, потому что тяга срав¬
нительно велика в течение
всего полета. Для космиче¬
ского аппарата, покидающе¬
го орбиту Земли с ускоре¬
нием 100 pg и сохраняющего
его постоянным, период пе¬
релета сокращается пример¬
но до 190 сут по сравнению с
225 сут при полете по про¬
грамме, минимизирующей без ограничений отношение масс (для
этой программы 190-дневный переход потребовал бы начального
ускорения около 150pig). Таким образом, уже для сравнительно
малой дальности перелета (сравнительно с полетами к перифе¬
рийным планетам солнечной системы) экономия времени пере¬
лета является существенной. Величина J f2dt> однако, равна
примерно (10”3)2- 190 • 86 400 = 16,4 м2/секг для оптимального
по времени перелета при /0 = 100 pig = const, в то время как
для оптимального по отношению масс перелета с /0 = 100 pig она
составляет около 11,5 м2/сек3. Вариация отношения масс за¬
висит от величины отношений а/е и m0/mp, но уменьшение отно¬
шения масс во всяком случае значительно и потери в допусти¬
мом весе полезной нагрузки являются более существенным об¬
стоятельством, чем выигрыш 35 суток во времени перелета.
Для того чтобы получить реально ощутимый выигрыш при
уменьшении времени полета с экипажем, необходимо применять
значительно большие активные ускорения. Единственная двига¬
тельная установка, способная в настоящее время обеспечить та¬
кую возможность, — это ядерная установка пульсирующего
Рис. 7.118. Пример программ ориентации
тяги для минимальных по времени пере¬
летов с постоянным ускорением на Ве¬
неру и Марс (стрелки указывают напра¬
вление векторов ускорения тяги).
23*
356
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
типа, которая может создавать ускорения, достигающие 1 g® и
превышающие эту величину при удельном импульсе (2000-^
-^-4000 сек), позволяющем поддерживать ускорение и сохра¬
нять высокое значение весовой доли полезной нагрузки1).
Схема полета к Венере, как указано на рис. 7.118, аналогич¬
на схеме полета к Марсу. Поскольку космический аппарат вхо¬
дит в область с большим гравитационным ускорением, в то
время как абсолютная величина его активного ускорения
остается постоянной, маневр «перекладки» тяги наступает не¬
сколько быстрее (что утрированно показано на рисунке). С дру¬
гой стороны, если бы поддерживалась постоянной тяга, увеличе¬
ние ускорения позволило бы отсрочить маневр переориентации
вектора тяги и тем самым еще уменьшить время перелета.
7.23. Прерывистая касательная тяга в перигее
В § 7.10 было показано, что если удельный импульс не очень
велик, то полет с тяговооруженностыо п0 = 10"2 предъявляет
тяжелые требования к величине отношения масс из-за значи¬
тельного увеличения радиального расстояния за время актив¬
ного движения. Уменьшение местной круговой или параболиче¬
ской скорости не является достаточной компенсацией. Другими
словами, увеличение потенциальной энергии является менее
экономичным методом ухода от центра притяжения, чем увели¬
чение кинетической энергии.
Выводы, полученные в § 7.12, справедливы для любого дви¬
гателя малой тяги. Однако в случае космического аппарата
с солнечной двигательной установкой спиральная траектория
может быть реализована только при непрерывном освещении
аппарата Солнцем. Такие орбиты должны быть круто накло¬
нены по отношению к эклиптике и не всегда удобны. Орбиты
меньшего наклонения проходят сквозь тень Земли и требуют
временного перерыва в активном маневре.
С энергетической точки зрения, прерывистая тяга, если при¬
кладывать ее в перицентре орбиты, в общем случае более удоб¬
на для космических аппаратов с умеренным значением удель¬
ного импульса и малым ускорением (типа космического аппа¬
рата с солнечной двигательной установкой). В этом случае
траектория маневра ухода состоит из последовательности пас¬
сивных эллипсов, каждый из которых получается после корот¬
кого периода активного полета вблизи перицентр-а. Очевидно,
что можно получить почти свободную от гравитационных потерь
!) Аналогичные характеристики может иметь ядерный двигатель С газо¬
фазной активной зоной. (Прим. перев.)
7.23]
ПРЕРЫВИСТАЯ КАСАТЕЛЬНАЯ ТЯГА В ПЕРИГЕЕ
357
траекторию раскрутки даже при очень малой тяге, если косми¬
ческий аппарат ускоряется только малыми импульсами вблизи
перигея. Тогда аппарат проходит по серии эллипсов с последо¬
вательно увеличивающимся апогейным расстоянием, всегда воз¬
вращаясь к первоначальному перигею и тем самым расходуя
топливо там, где это наиболее выгодно (в точке с наименьшей
потенциальной энергией). Этот процесс продолжается до тех
пор, пока не достигается нужное значение апогейного расстоя¬
ния или пока космический аппарат не покидает окончательно
гравитационное поле Земли. Главными недостатками этого ме¬
тода являются следующие два факта:
1. Маневр требует значительно больше времени.
2. Повторные запуски и выключения двигательной установки
требуют дополнительного оборудования и неэкономичны в смы¬
сле расхода топлива из-за неизбежной потери рабочего тела при
включениях и выключениях. Они также усиливают механиче¬
скую нагрузку на двигательную установку в целом.
Космические аппараты с малой тягой не могут существенно
увеличить свою энергию за один оборот, если активный участок
ограничивается непосредственной окрестностью перигея. Опера¬
ции вдали от точки перигея приводят к гравитационным поте¬
рям. В этом случае значительно увеличивается не только апо-
гейное, но и перигейное расстояние. Тем не менее этот эффект
мал, если отклонение от точки перигея не слишком велико. Рас¬
смотрим упрощенный случай возмущения эллипса отдельными
импульсами (толчками тяги). Согласно уравнениям (3.292а) и
(3.178), имеем
‘2(1 + е cos г]) 1
rp (1 — е) а
da _ 2а2 _ 2а2
Т ~~К~ ~ VW
(7.390)
Приращение daldv максимально, если г) = 0 (перигей), и
минимально, если импульс дается в апогее. Изменение формы
эллипса определяется изменением эксцентриситета. Соотноше¬
ние, связывающее изменение эксцентриситета с изменением ско¬
рости, следует из выражения (3.183):
-g- = |- (е+ cost!). (7.391)
Таким образом, видно, что приращение эксцентриситета под
влиянием данного положительного импульса складывается из
6 COS Т1
линейного члена 2 - и периодического 2—^. В точке пересече¬
ния малой оси с эллипсом cost] = —е, поскольку =0. При
меньших значениях т) положительный импульс увеличивает
358
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
эксцентриситет. При больших значениях г\ эксцентриситет умень¬
шается. Поскольку положительный импульс не может не увели¬
чить суммарное значение орбитальной энергии, то уменьшение е
означает, что увеличение перигейного расстояния гР превосходит
увеличение апогейного расстояния гА, то есть орбита прибли¬
жается к окружности. С точки зрения экономичности (миними¬
зации гравитационных потерь), это является нежелательным
эффектом. Следовательно, можно утверждать, что дуга актив¬
ного полета с прерывистой тягой должна ограничиваться по
крайней мере той половиной 1) эллипса, которая делится пери¬
геем на два равных участка (первый и четвертый квадранты).
Вопрос, следует ли ограничивать активный участок еще
больше, можно решить, если воспользоваться уравнениями в по¬
лярных координатах
г - 1 +6 (7.392)
rp 1 + е cos г]
г 1-е
г А \ + е cos л
(7.393)
Если рассматривать активный полет космического аппарата
с малой тягой как движение под действием серии малых им¬
пульсов, то г, гР и гА будут определяться мгновенными значе-.
ниями эксцентриситета. Уравнение (7.392) показывает тем не
менее, что когда ц = 0, отношение — = 1; это означает, что,
гр
когда импульс дается точно в перигее, величина гР не будет
меняться при любом значении эксцентриситета. Подобным же
образом из уравнения (7.393) видно, что импульс в апогее
(г) = 180°) не будет менять значения апогейного расстояния.
Однако если импульс создается в перигее, изменение апогей¬
ного расстояния максимально, так как, согласно уравнению
Г. 1+6
(7.392), —:. Это верно не только потому, что cost] = —1,
fp 1 е
но также и потому, что de/dv максимально [см. соотношение
(7.391)]. Аналогично этому максимальное смещение гР в сторону
увеличения имеет место в случае, если положительный импульс
дается в апогее, так как уравнение (7.393) показывает, что
гр 1 - е
= j-—, а значение е сильнее всего уменьшается в этой
точке. Результаты в промежуточных точках сильно зависят от т].
Когда cos г] = —е, величина ц > 90° (г] « 90° для эллипсов,
близких к окружности).
1) В угловой мере. (Прим. перев.)
7.23]
ПРЕРЫВИСТАЯ КАСАТЕЛЬНАЯ ТЯГА В ПЕРИГЕЕ
359
Уравнения (7.150а) и (7.150Ь) дают величину изменения
скорости и радиуса при работе двигательной установки в тече¬
ние четверти оборота. Однако, хотя возрастание скорости еще
отмечается при г\ = 90°, максимальное увеличение скорости
можно получить при работе двигательной установки вплоть до
г] « 50°. Поэтому с достаточной для практических целей точ¬
ностью можно утверждать, что оптимум по энергии имеет место,
если дуга активного полета около перигея заключена в интер¬
вале —50°^Ст]^50°. На околокруговой орбите высотой 556 км
(300 морских миль) это составляет около 28% окружности или
1500 сек активного полета в течение каждого оборота. На¬
пример, при ускорении 10~2g приращение скорости за такой
период будет приближенно равно =113 м/сек (г]с =
= 6,2832/5500 = 0,0011424). Изменение расстояния на интер¬
вале 0<^г]^50° составит Дг = 16 000 м. При значениях г], пре¬
вышающих 50°, высота начинает возрастать быстрее. Сравни¬
вая найденное выше приращение скорости с идеальным прира¬
щением скорости, получим, что последнее равно примерно
145 м/сек (480 фут/сек) (действие ускорения 10_2£ в течение
1500 сек). Таким образом, фактор скорости в этом случае со¬
ставляет 113/145 ~ 0,77.
Из рис. 7.36 находим, что для достижения параболической
скорости при /Sp = 450 сек необходимо отношение масс ц = 3,194.
Это соответствует ищ Ф g/sp In ц = 4877 м/сек (16 000 фут/сек)
по сравнению с 3048 м/сек (10 000 фут/сек), требующимися в
идеальном случае для ухода с орбиты высотой 556 км. Фактор
скорости в этом случае для непрерывной касательной тяги ра¬
вен 3048/4877 = 0,625. Если уровень эффективности, определяе¬
мый величиной фактора скорости 0,77, может поддерживаться
в течение всех периодов работы двигательной установки вблизи
перигея, то максимально достижимая скорость увеличивается до
4877 • 0,77 = 3755 м/сек, то есть по сравнению с импульсным
маневром потребуется дополнительно только 707 м/сек и про¬
изойдет увеличение высоты перигея. Энергетический выигрыш
по сравнению со случаем постоянной касательной тяги дости¬
гается за счет значительного увеличения длительности полета.
В предельном случае потребовалось бы около 27 оборотов для
того, чтобы увеличить скорость в перигее до значения параболи¬
ческой скорости.
Таким образом, видно, что характеристики системы с уме¬
ренно малой тягой, использующей удельный импульс порядка
450 -г- 600 сек, можно улучшить с помощью прерывистого ре¬
жима тяги, которая включается около перигея. Хотя время дости¬
жения параболической скорости в этом случае увеличивается,
оно все же меньше, чем соответствующее время для систем с
360
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
непрерывной тягой, создающей ускорения 10“4-^ 10-5 g. Поэтому
маневр с прерывистой тягой представляет потенциальный инте¬
рес для астронавтики.
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
At — площадь сечения сопла ракетного двигателя;
а— коэффициент аккомодации;
а —большая полуось;
b — малая полуось;
С — кинетический момент;
С* = r*2dr[ldt* — безразмерный параметр кинетического мо¬
мента;
CD — коэффициент силы лобового сопротивления;
CDs — коэффициент силы лобового сопротивления при зер¬
кальном отражении;
CF — коэффициент силы тяги;
CL — коэффициент подъемной силы;
С1$ — коэффициент подъемной силы при зеркальном отраже¬
нии;
ct — наиболее вероятная скорость набегающих молекул (но¬
минально то же, что и ст)
ст — наиболее вероятная скорость молекул;
сг — наиболее вероятная скорость отраженных молекул;
D — расстояние между точками старта и цели;
D — сила лобового сопротивления;
Е — энергия;
Е{ — энергия набегающих молекул;
Ер — вращательная энергия молекул;
Ег — энергия отраженных молекул;
Et — энергия поступательного движения молекул;
Ет — энергия молекул, имеющих температуру стенки;
е — эксцентриситет;
а
erf(A:) = _|r= e~x2dx — функция ошибок .v;
/я J
F — сила тяги;
FSp— удельная тяга (тяга на весовой расход топлива в се¬
кунду), или удельный импульс [используется также обо¬
значение Isр (Прим. ред.)]\
/ — доля массы диффузно отраженных молекул в общей
массе;
f = F/m — ускорение тяги;
g — гравитационное ускорение;
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
361
gapp = § [l — (v")f j “ кажущееся значение гравитационного ус¬
корения;
Л —постоянная орбитальной энергии;
Л*=±1/а*— безразмерный параметр орбитальной энергии;
/ — наклонение плоскости орбиты;
К — гравитационный параметр;
kD = qCd — параметр сопротивления;
k = 1,38-10-23 дж/град — постоянная Больцмана;
М — молекулярный вес, кг/кмоль\
т — масса космического аппарата;
т — масса молекулы;
trip — масса рабочего тела;
т' — масса атома кислорода;
т" — масса атома азота;
т — массовый расход за секунду;
N — нормальная составляющая силы;
N — число молекул воздуха в единице объема;
NА — 6,02-1026 кмоль~х — число Авогадро;
п — продольная перегрузка;
п — число молекул воздуха, попадающих на единицу пло¬
щади поверхности за секунду;
па ~~ трансверсальное ускорение;
tify — продольная перегрузка в конце активного участка;
пс — центробежный фактор (коэффициент разгрузки);
пг — радиальное ускорение;
nt — касательное ускорение;
п0 — начальное значение продольной перегрузки;
п'— число частиц атомарного кислорода, попадающих на
единицу площади поверхности за секунду;
п" — число молекул двухатомного азота, попадающих на
единицу площади поверхности за секунду;
гС — удельная плотность набегающего потока воздуха,
кмоль/м2-сек\
п** — удельная плотность набегающего потока атомарного
кислорода, кмоль/м2• сек\
Р — МОЩНОСТЬ, КвТ\
Рс — давление в камере сгорания;
Pj — мощность реактивной струи, квт\
р — параметр орбиты;
pL — давление, создаваемое потоком набегающих молекул;
рГ — давление, создаваемое потоком отраженных молекул;
g — динамический напор;
Р — радиальная составляющая силы;
362
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
R = 8,32 • 103 дж/град• кмолъ — универсальная газовая по¬
стоянная;
/?* —энергия падающего излучения;
Rr — энергия отраженного излучения;
г — радиальное расстояние от центра притяжения
г* — безразмерный параметр расстояния;
S — площадь несущей поверхности;
S — трансверсальная составляющая силы;
S© —солнечная постоянная;
5 = v/cm — отношение скорости полета к наиболее вероят¬
ной скорости молекул;
Т — касательная составляющая силы;
Т — безразмерный параметр времени [см. уравнение (7.190)];
Тi — температура набегающего потока молекул;
Гр —время полета от перицентра до восходящего узла по не¬
которой постоянной орбите;
Тг — температура потока отраженных молекул;
t — время;
tx — общее обозначение длительности активного полета;
tb — суммарное время работы двигательной установки;
tp — время активного полета, необходимое для достижения
местной параболической скорости при старте с круго¬
вой орбиты;
tr — период обращения;
Г = 2ят — безразмерный параметр времени;
v — скорость;
vc— круговая скорость;
vCh — характеристическая скорость [см. уравнение (7.137)],
vt. — скорость истечения;
V\d — идеальная скорость;
W — вес;
W — бинормальная составляющая силы (нормальная к пло¬
скости орбиты);
WарР = mgapр — кажущийся вес;
Wb — вес космического аппарата в конце активного участка
(«сухой» вес плюс гарантийные остатки рабочего тела);
aysp = 1//\ф — удельный расход топлива;
W' — вес молекул атомарного кислорода, попадающих на
единицу площади поверхности за секунду;
w — секундный расход топлива;
X — безразмерный параметр высоты [см. уравнение (7.188)];
Хс — расстояние, равное длине окружности Земли;
Хы — общее расстояние, пролетаемое сателлоидом;
У — безразмерный параметр скорости [см. уравнение
(7.189)];
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
363
у — высота (уг — номинальная высота, от которой ведется
отсчет);
а — угол атаки;
а = -jj- — удельная мощность (отношение мощности к ве¬
су оборудования, предназначенного для ее создания);
р —показатель экспоненты в соотношении, связывающем
плотность с высотой;
Р — угол клина;
б = р ± а — угол падения;
Д*1>1 — возмущение первого порядка величины скорости, сек\
— возмущение первого порядка величины радиального
расстояния, сек2\
Д*^! — возмущение первого порядка угловой скорости движе¬
ния, сек/м\
г — коэффициент лучеиспускания;
е — коэффициент эффективности [см. уравнение (7.1 ЗОЬ)];
£ —весовой коэффициент [см. уравнение (7.136а)];
т] — истинная аномалия (угловое положение);
т] —угловая скорость радиуса-вектора;
6 — угол наклона траектории к местному горизонту;
Л — коэффициент заправки;
X — долгота; '
р — отношение масс;
ц — среднее движение;
|= t/t\ — безразмерное время;
р — плотность;
а — отношение плотностей;
а = 5,67 • 10-8 —^^— постоянная Стефана — Больц-
’ м2 • сек • град4 ^
мана;
а —средняя аномалия космического аппарата при прохож¬
дении через восходящий узел;
т = t/2л Уг1/К — безразмерное время;
ф — угол ориентации вектора тяги;
— угол положения.
Индексы (нижние)
А — относится к апоцентру;
b — относится к концу активного участка;
с —относится к круговой орбите;
cpt— относится к захвату;
Р — относится к перицентру;
р —относится к топливу;
р — относится к параболической орбите;
364
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
п — нормальный;
г — радиальный;
t — касательный;
Р — меридиональный (касательный к меридиональному
кругу);
П — трансверсальный (азимутальный);
X — относится к долготе;
0 — начальное значение; номинальное значение; начало от¬
счета;
00 —значение на поверхности Земли;
1 — значение в момент выключения двигательной установки
(выведения на орбиту).
ЗАДАЧИ
1. Сателлоид, движущийся с круговой скоростью вокруг Земли на вы¬
соте 120 км, совершает 15 витков. Вес аппарата после окончания работы дви¬
гательной установки («сухой» вес) Wb=9,07 Т (20 000 фунт), площадь
несущей поверхности S = 92,9 м2 (1000 фут2), а ее форма может быть аппро¬
ксимирована клином с полууглом при вершине р = 15°. Угол атаки равен
нулю, отражение молекул диффузное неупругое. Удельный импульс 300 сек.
Определите требуемую тягу, отношение масс, расход топлива на одном витке
и равновесную температуру поверхности сателлоида на освещенной Солнцем
и ночной сторонах.
2. Сателлоид, описанный в задаче 1, имея то же Отношение масс, начи¬
нает полет на высоте уо = 100 км с постоянной скоростью [(v/vq)2= 0,8]. Ско¬
рость движения и угол атаки сателлоида с докруговой скоростью постоянны.
Определите угол атаки, вариации высоты и тяги и полную дальность полета,
используйте начальное значение 5, пренебрегая его изменением из-за вариа¬
ции высоты.
3. Космический аппарат движется по круговой орбите радиуса гс =
= 6926 км (3740 морских миль) (у = 556 км ^ 300 морских миль). Аппарату
сообщается тангенциальное ускорение, причем расход топлива соответствует
приращению идеальной (характеристической) скорости Дщд = 914 м/сек
(3000 фут/сек). Вычислите скорость и высоту в конце активного участка,
эксцентриситет, высоты апогея и перигея, большую полуось, угловую ско¬
рость т]ь кинетический момент С, угол наклона траектории к местному гори¬
зонту 0i, константу орбитальной энергии и истинную аномалию для этого
момента в следующих двух случаях: а) импульсное изменение скорости
(п = оо); б) постоянное ускорение тяги п = 0,1, gc = 0,1 К/г2с.
4. Космический аппарат с ядерным двигателем начинает движение с кру¬
говой орбиты высотой 500 км (270 морских миль) и достигает гиперболиче¬
ской скорости 5,49 км/сек (18 000 фут/сек). Удельный импульс 800 сек. Вес
аппарата в начале активного участка 907 Т (2 000 000 фунт). Сравните вес
водорода, расходуемого при значениях начального ускорения: а) п0 = lgoo;
б) по = 0,5goo; в) п0 = 0,lgco; г) по = 0,01g0o- Используйте соответствующие
графики главы 7 и в случае необходимости проведите интерполяцию.
5. Вычислите отношение масс космического аппарата, приведенного в
задаче 4, для случая старта с круговой орбиты спутника Марса высотой
1852 км (1000 морских миль). Начальное ускорение п0 = 0,01g@00; эквива¬
лентное импульсное приращение скорости Ду1гар = 3,05 км/сек (10 000 фут/сек).
ЗАДАЧИ
365
Используйте графики, представленные на рис. 7.20 -7.24, и в случае необходи¬
мости проведите интерполяцию.
6. Космический аппарат с начальным ускорением п0 = lg0o и удельным
импульсом 455 сек требует отношения масс р, = 2,0 для достижения местной
параболической скорости при старте с круговой орбиты высотой 500 км
(270 морских миль). Если начальное ускорение уменьшить до п0 = 10~3g0o, то
насколько нужно увеличить удельный импульс, чтобы величина отношения
масс осталась прежней? Используйте соответствующие графики главы 7.
7. Космический аппарат с двигательной установкой на химическом топ¬
ливе (О2/Н2; /Sp = 430 сек) сравнивается с аппаратом, имеющим электриче¬
скую двигательную установку с питанием от солнечных батарей (/sp =
= 650 сек). Начальный вес каждого аппарата 453,6 Т (106 фунт). Старт проис¬
ходит с круговой орбиты высотой уо = 500 км (270 морских миль). Значения
начального ускорения равны соответственно п0 = lgoo и п0 = 10~3£0э- Оба ап¬
парата могут достичь идеальной скорости, соответствующей импульсному при¬
ращению скорости Дщщр = 3,66 км/сек (12 000 фут/сек). Определите веса дви¬
гательной установки, конструкции, оборудования и величину резерва веса, если
вес полезной нагрузки в каждом случае составляет 30%- Используйте
рис. 7.20-7.24.
8. Сравните ответ задачи 7 с результатами аналогичного расчета при
п0 = 0,2 goo для химической и /г0=Ю~2£оо для электрической двигательных
установок.
9. Предположим, что космический аппарат на данной орбите должен изме¬
нить плоскость движения на конечный угол i. Поскольку это изменение про¬
водится относительно начального положения плоскости орбиты, маневр может
быть выполнен в любой ее точке, хотя наиболее экономично проводить его
в апоцентре (для эллиптической орбиты). Укажите, как можно рассчитать
маневр: а) в случае импульсного изменения скорости; б) в случае постоянной
тяги и малого ускорения. Тот факт, что задается только изменение наклоне¬
ния, предполагает, что характеристики орбиты в плоскости движения и, сле¬
довательно, значение местной скорости должны остаться неизменными1).
10. Предположим, что космический аппарат выполняет маневр поворота
плоскости движения при фиксированной ориентации вектора тяги ортогональ¬
но к начальному положению плоскости орбиты. Напишите уравнения движе¬
ния в этом случае (тяга постоянна).
11. Космический аппарат с двигательной установкой малой тяги (удель¬
ный импульс /Sp = 10 000 сек, постоянное ускорение п0 = 10~4g0o) осуще¬
ствляет раскрутку с начальной круговой орбиты искусственного спутника
Земли высотой 556 км (300 морских миль). Найдите значения средней ско¬
рости и радиуса-вектора аппарата через 50 сут после старта.
12 Для условий задачи И определите расстояние, скорость и время
с момента старта, при которых: а) становится неправомерной аппроксимация
траектории оскулирующей круговой орбитой; б) скорость аппарата имеет
минимальное значение; в) достигается местная параболическая скорость. Пе¬
риод начальной орбиты Т0 =5746 сек.
13. Космический аппарат разгоняется под действием постоянной танген¬
циальной тяги с начальным ускорением п0 = 0,5g0 (go — гравитационное уско¬
рение на начальной орбите). Удельный импульс /sp = 750 сек. Аппарат дол¬
жен быть выведен на гиперболическую траекторию с орбитальной энергией
h = v2OQ= 2,1 • 107 м2/сек2 (2,25 * 108 фут2/сек2). Начальная орбита — круговая
высотой 556 км (300 морских миль). Определите с помощью соответствующих
графиков расстояние до центра притяжения в точке перехода на гиперболу.
!) Для маневра с малой тягой это относится, вообще говоря, только к ко¬
нечной точке активного участка траектории. (Прим. перев.)
366
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
угол наклона вектора скорости и величину ускорения в этот момент, время
активного полета, отношение масс и отношение действительного приращения
скорости к идеальному.
14. Космический аппарат уходит от Земли с параболической скоростью и
выходит на близкую к круговой гелиоцентрическую орбиту радиуса 1 а. е.
Аппарат должен ускоряться до местной параболической скорости под дей¬
ствием постоянной тангенциальной тяги с начальным ускорением n0 = 0,\gQi
где g о = 6* 10“4£ф = б* 10~4goo. Найдите гелиоцентрическое расстояние
точки выхода на параболу, соответствующие значения угла наклона вектора
скорости и времени активного полета, число оборотов вокруг Солнца, пери-
гейное расстояние оскулирующей параболы, отношение масс, приращение
идеальной скорости и гелиоцентрические гравитационные потери. Удельный
импульс равен 15 000 сек. Где возможно, используйте соответствующие гра¬
фики.
15. Запишите уравнение плоского движения с тангенциальным ускоре¬
нием, уменьшающим скорость при сближении с небесным телом по произ¬
вольной траектории.
16. Космический аппарат с двигательной установкой малой тяги нахо¬
дится на близкой к круговой орбите искусственного спутника Земли с высо¬
той перигея уР = 204 км (110 морских миль) и высотой апогея уА = 370 км
(200 морских миль). Аппарат ускоряется постоянным тангенциальным ускоре¬
нием величиной 250(i^oo при постоянном удельном импульсе 10 000 сек. Вы¬
числите время активного полета до точки, в которой достигается местная
параболическая скорость.
17. Вычислите время до момента достижения местной параболической
скорости в задаче 16, приняв тягу постоянной.
b
18. Сравните значения интеграла J f2dt в задачах 16 и 17.
о
19. Сравните скорость возрастания гиперболического избытка скоро¬
сти Voo для тангенциальной и трансверсальной тяги соответственно на: а) ги¬
перболической орбите с эксцентриситетом е = 1,10 при т\ = 0, 90°, 120°;
б) гиперболической орбите с е = 1,5 при тех же значениях истинной ано¬
малии.
20. Аппарат с электрической двигательной установкой должен выйти на
гиперболическую орбиту относительно планеты Меркурий на расстоянии от
Солнца, равном среднему радиусу орбиты Меркурия. Время перелета от
орбиты Земли (после выхода из ее поля тяготения) составляет 0,25 года.
Найдите требуемую величину начального гелиоцентрического ускорения
(в единицах gф 00) для перелета с минимальным отношением масс с по¬
мощью графиков главы 7. Определите соответствующее значение начального
ускорения в местных (солнечных) единицах g.
21. Покажите, как применить рис. 7.102, 7.103, 7.109 и 7.110 в случае
поля, отличного от гелиоцентрического, если: а) дано начальное ускорение п0;
б) задано время движения до момента достижения параболической ско¬
рости.
22. Покажите, как применить рис. 7.102, 7.103, 7.109 и 7.110 в случае,
когда величина радиуса номинальной круговой гелиоцентрической орбиты
отличается от 1 а. е.
23. Аппарат с электрической двигательной установкой обращается во¬
круг Земли на высоте 35 700 км (19 300 морских миль). Определите начальное
ускорение, необходимое для перелета к Луне за 8 ч при минимальном отно¬
шении масс. Выразите начальное ускорение в единицах «земного» g и мест¬
ного g. Средний радиус орбиты Луны составляет 60,25г0о. Полем тяготения
Луны пренебречь.
ЗАДАЧИ
367
24. Аппарат с электрической двигательной установкой, находящийся на
орбите искусственного спутника Земли радиуса 1,1г00, должен перейти на
орбиту радиуса 1,32г0о за время, соответствующее т= 1,5. Определите время
перелета, разность высот начальной и конечной орбит и требуемое значение
начального ускорения.
25. Определите отношение масс для автоматического аппарата, который
должен за 10 месяцев совершить перелет с орбиты Земли на орбиту Юпи¬
тера и гиперболический пролет у Юпитера при программе вектора тяги, ми¬
нимизирующей отношение масс (пересечение орбиты Юпитера происходит на
гелиоцентрическом расстоянии, равном среднему радиусу орбиты). Удельный
вес двигательной установки а = 22,1 кГ/квт (49 фунт/квт), к.п.д. двигателя
е = 0,7 и отношение массы источника энергии к начальной массе аппарата
mp/mo = 0,4.
26. Определите отношение масс в случае перелета к Луне в задаче 23.
Примите, что а/е = 45,4 кГ/квт (100 фунт/квт), mp/m0 = 0,4.
27. Автоматический аппарат с электрической двигательной установкой,
имеющий начальный вес 4,54 Т (10 000 фунт), выводится на круговую ор¬
биту искусственного спутника Земли высотой 278 км (150 морских миль).
Необходимо совершить гиперболический пролет у Юпитера. Удельный вес
системы создания электрической мощности а = 4,54 кГ/квт (10 фунт/квт).
Вес энергетической установки составляет 50% от начального веса аппарата.
Двигательная установка работает с постоянным удельным импульсом
7000 сек\ на участке ухода от Земли к. п. д. е = 0,65. В дальнейшем выпол¬
няется минимизирующая величину отношения масс программа вектора тяги
и средний к. п. д. двигательной установки при этом е = 0,7. Определите вес
энергетической установки (ядерный реактор и система преобразования энер¬
гии), электрическую мощность на выходе, мощность реактивной струи, тепло¬
вую мощность на выходе ядерного реактора (предполагая, что к. п. д. преоб¬
разователя энергии равен 33,3), тягу при максимальной мощности на выходе
и соответствующее начальное ускорение. Приняв, что тяга постоянна, опре¬
делите время до момента достижения местной параболической скорости, се¬
кундный расход топлива и отношение масс. Затем определите время перелета
до Юпитера (до среднего радиуса его орбиты) при условии выполнения про¬
граммы вектора тяги, минимизирующей отношение масс (значение ускорения
максимально в начале гелиоцентрической траектории.) Найдите соответствую-
лива, а также суммарное отношение масс и полный расход топлива для всего
перелета. Определите полезную нагрузку как разность между начальным
весом и суммой весов а) энергетической установки; б) полного запаса топ¬
лива; в) гарантийного запаса и невырабатываемого остатка топлива (10%
и 2% соответственно от общего количества топлива); г) аппаратуры наве¬
дения и навигации; д) оборудования телеметрии; е) движителя; ж) другого
оборудования. Предположите, что вес систем, перечисленных в пунктах г—ж,
составляет соответственно 3%, 3%, 2% и 2% от начального веса аппарата.
Определите средний секундный расход топлива на гелиоцентрическом участ¬
ке. Найдите начальный угол ориентации тяги ср(0), значение гелиоцентриче¬
ской скорости перед пролетом, значение орбитальной энергии аппарата в
момент выключения двигательной установки. Наконец, определите угол на¬
клона вектора скорости и угловое положение аппарата на траектории пере¬
лета в конце активного участка.
28. Для того же полета, что и в задаче 27, предположите, что гелио¬
центрический перелет состоит из участка разгона с постоянной тангенциаль¬
ной скоростью и участка пассивного полета до орбиты Юпитера. Рассмотрите
щие значения интегралов
отношения масс и расхода топ-
о
о
368
ПОЛЕТ С МАЛОЙ тягой
[ГЛ. 7
случаи: а) тяги, создающей начальное гелиоцентрическое ускорение 0,5 gQ =
= 300 |ig@; б) тяги, создающей начальное ускорение 0,1 g0 = 60 Опре¬
делите в обоих случаях тягу, удельный импульс (предполагая, что на выходе
сохраняется максимальное значение мощности Р = 500 кет), время активного
полета до момента достижения местной параболической скорости, расстояние
в этот момент, секундный расход топлива, полный расход топлива на гелио¬
центрическом участке, соответствующее значение отношения масс р,2, зна-
ментов оскулирующей параболической орбиты: параметра, перигелийного рас¬
стояния, истинной аномалии в точке выключения двигательной установки
(начало пассивного участка), истинной аномалии ц в момент пересечения
орбиты Юпитера и длительности пассивного участка. Сравните длительность
гелиоцентрического активного участка, расход топлива на нем и общую
длительность гелиоцентрического перелета с соответствующими значениями
задачи 27. Предполагается, что величины а и е на гелиоцентрическом участке
задаются условиями задачи 27. Начальные условия для гелиоцентрического
участка те же, что были найдены в задаче 27.
29. Для аппарата с электрической двигательной установкой заданы сле¬
дующие параметры: а = 9,08 кГ/квт (20 фунт/квт); е = 0,5; время активного
полета /=100 q/r = 8 640 000 сек; иц = 9,14 км/сек (30 000 фут/сек). Тяга
постоянна. Определите оптимальный удельный импульс, начальную тяго-
вооруженность F0/Wo = n0/g, отношение электрической мощности на выходе-
к начальному весу P/W0, отношение мощности реактивной струи к началь¬
ному весу Pj/W0 и соответствующие весовые отношения Wp/W0, WP/W0 и •
W^/Wo. Используйте графики главы 7.
30. При тех же условиях, что в задаче 29, но для случая постоянного
ускорения найдите оптимальную программу изменения удельного импульса,
а также величины F0/Wo, P/W0, Pj/W0 и весовые отношения Wp/W0, WP/W0
и Wt/W0.
31. Космический аппарат с электрической двигательной установкой должен
совершить перелет от Земли к Марсу с возвращением. Перелет к Марсу вклю¬
чает гелиоцентрический пассивный участок на расстоянии среднего радиуса
орбиты Венеры. Обратный перелет — прямой от Марса к Земле. В начале ге¬
лиоцентрического участка аппарат характеризуется следующими данными: вес
аппарата Wi = 69 Т (152 000 фунт); тяга двигателя F\ = 8,62 кГ (19 фунт) при
удельном импульсе /sp=10 000 сек, соответствующем максимальной электриче¬
ской мощности на выходе энергоустановки; начальное ускорение п{ = 125
к. п. д. двигателя е = 0,752; удельный вес энергоустановки а = 4,54 кР/квт.
Вычислите мощность реактивной струи Pj, максимальную электрическую
мощность на выходе Р и вес WP энергоустановки. Предполагая, что тяга
была постояной и тангенциальной, определите начальный вес W0 и ускоре¬
ние По аппарата на круговой орбите искусственного спутника Земли высотой
556 км (300 морских миль), время разгона и отношение масс для достиже¬
ния местной параболической скорости. Найдите отношение масс и время пере¬
лета с орбиты Земли на орбиту Венеры при условии выполнения программы
вектора тяги, минимизирующей отношение масс (предполагается, что сбли¬
жения аппарата непосредственно с Венерой не происходит). После неко¬
торого (пока не заданного) времени ожидания на гелиоцентрической орбите
аппарат совершает перелет к орбите Марса, снова используя программу,
минимизирующую отношение масс. Определите время перелета и отношение
масс, предполагая, что начальная тяга равна 8,62 кГ для максимальной мощ¬
ности на выходе энергоустановки, соответствующей /8р = 10 000 сек. В конце
чение интегралов
а также величины следующих эле-
о
о
ЗАДАЧИ
369
этого гелиоцентрического перелета аппарат сближается с Марсом по парабо¬
лической траектории. До маневра захвата сбрасывается 372 кГ (820 фунт)
баковых отсеков. Маневр захвата выполняется с постоянным ускорением,
равным значению ускорения в начале маневра, при полном использовании
мощности на выходе (F = 8,62 кГ, /8р = 10 000 сек). Определите длитель¬
ность выведения аппарата на круговую орбиту искусственного спутника
Марса высотой 1852 км и отношение масс для этого маневра. Возможность
увеличения удельного импульса из-за дросселирования тяги при поддержании
постоянного значения ускорения не учитывать.
До ухода от Марса сбрасывается еще 454 кГ. Уход совершается с по¬
стоянной тягой 8,62 кГ при /Sp = 10 000 сек. Вычислите время и отношение
масс для достижения местной параболической скорости. Последующий пере¬
лет от Марса к Земле использует минимизирующую отношение масс програм¬
му вектора тяги при F = 8,62 кГ и /sp = 10 000 сек в начальный момент.
Найдите соответствующее время перелета и отношение масс. Аппарат дости¬
гает Земли с близким к нулю гиперболическим планетоцентрическим избыт¬
ком скорости. Перед началом маневра захвата сбрасывается еще 454 кГ из¬
лишнего груза. Маневр захвата, выполняемый с постоянной тягой (F = 8,62 кГ,
/sp = 10 000 сек), выводит аппарат на орбиту искусственного спутника Земли
высотой 556 км. Вычислите время маневра и соответствующее отношение
масс. Определите суммарное отношение масс, полный вес израсходованного
топлива, вес полезной нагрузки и полную длительность активного полета.
Эта задача предложена с целью познакомить читателя с методикой расчета
с помощью содержащегося в книге материала о траекториях полета с малой
тягой, включающих различные типы орбит перелета к планетам и орбит
возвращения. Использование орбиты Венеры в качестве орбиты ожидания
и ограничение ускорения в начале каждого активного участка уровнем, опре¬
деляемым тягой 8,62 кГ и удельным импульсом 10 000 сек, не обязательно
явятся оптимальными ни в смысле минимизации времени активного полета,
ни в смысле максимизации веса полезной нагрузки. По поводу расчета тре¬
буемого времени ожидания на гелиоцентрической орбите или времени выхода
на орбиту спутника планеты-цели в зависимости от взаимного расположения
Земли и планеты в момент выхода аппарата на гелиоцентрическую траекто¬
рию см. главу 9.
32. Сателлоид с электрической двигательной установкой обращается во¬
круг планеты на постоянной высоте под действием тяги F, равной аэроди¬
намическому сопротивлению D. Выведите аналитические выражения для опти¬
мального значения электрической мощности Popt, оптимального удельного
импульса /sp, оРt и соответствующих оптимальных весовых отношений W^/W0,
Wp/Wo и Wp/Wo. Указание: это задача оптимизации для случая постоян¬
ной тяги F = D. Из уравнения (7.136а) и последнего уравнения (7.133) сле¬
дует, что
Значение тяги дается вторым уравнением (7.131), которое, поскольку F = D,
принимает вид
Используя это выражение для исключения ve из соотношения (а), получаем
уравнение для £, содержащее в качестве независимого переменного только Р
(предполагается, что а, е, W0, t и D заданы). Это уравнение должно быть
продифференцировано по Р, а производная d^/dP приравнена нулю и по¬
лученное уравнение разрешено относительно Р = Рорt- Подстановка этого
(а)
ve= 14768-^-.
(Ь)
24 К. Эрике, т. II
370
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
выражения в уравнение (Ь) дает оптимальную скорость истечения ve, opt;
следовательно,
V opt = ve, opt Мсек]/9,81 ( = vgt opt ]фут/сек]/32,2).
Сравните полученное выражение для ve, opt с уравнением (7.137) для
vCh- И если выкладки были правильными, то обнаружится, что ve, 0pt = £>Ch.
Тем самым установлено другое выражение для P0pt, содержащее uCh, так что
с помощью второго уравнения могут быть найдены соотношения для Wp
(или Wp/Wo) и WP (или Wp/Wo). Итак, задача решена.
33. Космический аппарат с электрической двигательной установкой обра¬
щается вокруг Земли на высоте 130 км. Из-за его несимметричной формы
коэффициент силы лобового сопротивления положим равным CD ^ 2,5. Эффек¬
тивная площадь миделева сечения равна 9,29 м2\ а = 6,81 кГ/квт\ е = 0,5.
Время функционирования сателлоида составляет 6 месяцев, что требует вре¬
мени активного полета 6 • 30,44 • 86 400 » 1,58 • 107 сек. Для круговой орбиты
примем ve = 7,34 км/сек и плотность равной 1,55- 10“9 г/см3. Определите опти¬
мальные значения удельного импульса и выходной мощности энергоустановки,
вес энергоустановки WP и требуемый расход топлива. Оцените минимальный
начальный вес космического аппарата, если = 4,54 Т.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ehricke К. A., Analysis of Orbital Systems, Report on the Fifth Inter¬
national Astronautical Congress, Innsbruck, Aug. 5—7, 1954, F. Hecht, Ed.;
The Satelloid, Sixth International Astronautical Congress, Copenhagen, Den¬
mark, 1955, Astronautica Acta, vol. II, Fasc. 2, 1956.
2. S a e n g e r E., Raketenflugtechnik, R. Oldenbourg Publ., Munich and Berlin,
1933.
3. Saenger E., Bredt I., A Rocket Drive for Long Range Bombers, Dtsch.
Luftfahrt-Forschung, UM 3538, August 1944. Transl. by M. Hammermesh,
Radio Research Laboratory, Reproduced by R. Cornag, 900 Cheltenham
Road, Santa Barbara, California.
4. Ehricke K. A., On the Descent of Winged Orbital Vehicles, Astronautica
Acta, vol. I, No. 3, July 1955.
5. Z a h m A. F., Superaerodynamics, J. of the Franklin Institute, vol. 217,
pp. 153—166, 1934.
6. Saenger E., The Gas Kinetics of Very High Flight Speeds, ZW. B. For-
schungsbericht Nr. 972, May 1938 and NACA TM 1270, May 1950.
7. Tsien Hsue-Shen, Superaerodynamics, Mechanics of Rarified Gases,
J. Aero Sci., vol. 13, No. 12, pp. 653—664, December 1946.
8. Heineman М., Theory of Drag in Highly Rarified Gases, Communica¬
tions on Pure and Applied Mathematics, vol. 1, No. 3, pp. 259—273, Sep¬
tember 1948.
9. Snow R. М.. Aerodynamics of Ultra-High Altitude Missiles, Applied Phy¬
sics Laboratory, The Johns Hopkins Universiti, Silver Springs, Md.,
Rep. CM-498, September 20, 1948.
10. Ashley H., Applications of the Theory of Free Molecule Flow to Aero¬
nautics, J. Aero. Sci., vol. 16, No. 2, pp. 95—104, February 1949.
11. S t a 1 d e r J. R., Goodwin G., С r e a g e г М. O., A Comparison of Theo¬
ry and Experiment for High-Speed Free Molecule Elow, NACA TN 2244,
1950.
12. St alder J. R., Zurich V. J., Theoretical Aerodynamic Characteristics
of Bodies in a Free-Molecule-Flow Field, NACA TN 2423, July 1951.
13. Loeb L. B., Kinetic Theory of Gases, 2nd Ed., McGraw-Hill, New York, 1934.
ЛИТЕРАТУРА
371
14. Dickens В. G., The Effect of Accommodation on Heat Conduction Thro¬
ugh Gases, Proc. Roy. Soc., London, Ser. A, vol. 143, February 1934.
15. Roberts J. K-, The Exchange of Energy Between Gas Atoms and Solid
Surfaces, Proc. Roy. Soc., London, Ser. A, vol. 129, No. 809.
16. Roberts J. K., The Exchange of Energy Between Gas Atoms and Solid
Surfaces. II—The Temperature Variation of the Accommodation Coefficient
of Helium. Proc Roy. Soc., London, Ser. A, vol. 135, No. 826, February 1932.
17. Keesom W. H., Schmidt G., Researches on Heat Conduction of Rari-
fied Gases. I — The Thermal Accommodation Coefficient of Helium, Neon,
Hydrogen, and Nitrogen on Glass at 0°C, Physica, vol. 3, No. 7, July 1936.
18. Keesom W. H., Schmidt G., Researches on Heat Conduction by Rari-
fied Gases, III—The Thermal Accommodation Coefficients of Helium, Neon,
and Hydrogen at 12—20е K, Physica, vol. 4, No. 10, October 1937.
19. W i e d m a n n M. L., Trump ler P. R., Thermal Accommodation Coeffi¬
cients, A. S. М. E. Trans., vol. 68, No. 1, pp. 57—64, January 1946.
20. Amdur L, Pressure Dependence of Accommodation Coefficients, Jour, of
Chem. Physics, vol. 14, No. 5, pp. 339—342, May 1946.
21. Stalder J. R., Jukoff D., Heat Transfer to Bodies Traveling at High
Speed in the Upper Atmosphere, NACA TN No. 1682, August 1948.
22. Jahnke E., Emde F., Tables of Functions, 4th Ed., Dover Publications,
New York, 1945. [См. Янке E., Эмде Ф., Леш Ф., Специальные функ¬
ции, Изд-во «Наука», М., 1968.]
23. Ehricke К. A., On the Application of Solar Power in Space Flight, pre¬
sented at the International Astronautical Congress, Rome, September 1956.
24. Forbes G. F., The Trajectory of a Powered Rocket in Space, J. of the
Brit. Interplan. Soc., vol. 9, No. 2, pp. 75—79, March 1950.
25. M i с h i e 1 s e n H. F., Die Bahnbestimmung einer Schwachbeschleunigten
Rakete in einem zentralen Gravitationsfeld, in Probleme aus der Astro-
nautischen Grundlagenforschung (H. H. Koelle, Ed.), pp. 174—180, Stutt-
gart-Zuffennausen, 1952.
26. Perkins F. М., Flight Mechanics of Low Thrust Spacecraft, Paper pre¬
sented at the OSR—IAS Symposium on Astronautics, Denver, Colorado,
April 1958.
27. Tsien Hsue-Shen, Take-Off From Satellite Orbit, J. Am. Rocket Soc.,
vol. 23, pp. 233—236, July-August, 1953.
28. Irving J. H., Blum E. K., Comparative Performance of Ballistic and
Low-Thrust Vehicles for Flight to Mars, Vistas in Astronautics, vol. II, Per-
gamon Press, pp. 191—218, 1959.
29. Moeckel W. E., Trajectories with Constant Tangential Thrust in Cen¬
tral Gravitational Fields, NASA TR R-53, 1960.
30. Ehricke K. A., Whitlock С. М., Chapman R. L., Purdy С. H.,
Calculations on a Manned Nuclear Propelled Space Vehicle, Am. Rocket
Soc., Rep. 532-57, December 1957.
31. Ehricke K. A., Interplanetary Operations, Chap. 8 of Space Technology,
H. Seifert, ed., John Wiley and Sons, Inc., New York, 1959. [Имеется
русский перевод: Эрике К. А., Межпланетные полеты. В книге «Косми¬
ческая техника» (под ред. Г. Сейферта), Изд-во «Наука», 1964.]
32. Moeckel W. Е., Interplanetary Trajectories with Excess Energy, Proc. 9th
Int. Astronautical Congress (Amsterdam, 1958), vol. I, Springer Verlag,
Vienna, pp. 96—119, 1939.
33. Irving J. H., Low Thrust Flight: Variable Exhaust Velocity in Gravita¬
tional Fields, Chap. 10 of Space Technology, H. Seifert, ed., John Wiley
and Sons, Inc., New York, 1959. [Имеется русский перевод: Ирвинг Дж.,
Полеты с малой тягой в гравитационных полях при переменной скорости
истечения, В книге «Космическая техника» (под ред. Г. Сейферта), Изд-во
«Наука», 1964.]
24*
372
ПОЛЕТ С МАЛОЙ ТЯГОЙ
[ГЛ. 7
34. Seifert Н. S., Performance of a Rocket with Tapered Exhaust Velocity,
Jet Propulsion, vol. 27, p. 1264, 1957.
35. Cor nog R., The Optimum Velocity of Propellant Ejection, First Annual
OSFR Astronautics Symposium, San Diego, Calif. (February 1957), publ.
in Vistas in Astronautics, vol. I, Pergamon Press, New York, 1958.
36. Langmuir D. B., Low Thrust Flight: Constant Exhaust Velocity in
Field-Jree Space, Chap. 10 of Space Technology, H. S. Seifert, ed., John
Wiley and Sons, Inc., New York, 1959. [Имеется русский перевод: Лэнг-
м ю р Д. Б., Полеты с малой тягой при отсутствии сил тяготения и при
постоянной скорости истечения, В книге «Космическая техника» (под
ред. Г. Сейферта), Изд-во «Наука», 1964.]
37. Law den D. F., Optimal Programming of Rocket Thrust Direction, Astro-
nautica Acta, vol. I, No. 1, pp. 41—56, 1955.
38. L a w d e n D. F., Optimal Escape from a Circular Orbit, Astronautica Acta,
vol. IV, No. 3, pp. 218—233, 1958.
39. Shepherd L. R., Interstellar Flight, J. Brit. Interpl. Soc., vol. 11, July
1952.
40. Romick D. C., Basic Design Principles Applicable to Reaction-Propelled
Vehicles, Proceedings 5th Internat. Astronaut. Congr., Innsbruck, August
1954, Springer Publ. Co., Vienna, 1955.
41. S t u h 1 i n g e r E., Electrical Propulsion System for Space Ships with
Nuclear Power Source, J. Am. Astronaut. Soc. (Winter 1955).
42. F a u 1 d e г s C. R., Low-Thrust Rocket Steering Program for Minimum Time
Transfer between Planetary Orbits, Soc. Automot. Engineers, Paper 88A,
October 1958.
43. Levin E., Low Thrust Transfer between Circular Orbits, ASME Preprint
59-AV-2, March 1959.
44. D о m b г о w о 1 s k i A., Satellite Orbit Perturbations under a Continuous
Radial Thrust of Small Magnitude, Jet Propulsion, vol. 28, No. 10, p. 687,
October 1958.
45. Copeland J., Interplanetary Trajectories under Low Thrust Radial Ac¬
celeration, Jet Propulsion, vol. 29, No. 4, p. 267, April 1959.
46: К a г г e n b e г у H. K., Note on Interplanetary Trajectories under Low
Thrust Radial Acceleration, Jet Propulsion, vol. 30, No. 1, p. 130, January
1960.
47. Ehricke K. A., Instrumented Comets, Astronautics of Solar and Plane¬
tary Probes, Proceedings of the 8th Internat. Astronaut. Congress, Barce¬
lona, 1957, Springei Publ. Co., Vienna, 1958.
ГЛАВА 8
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
8.1. Введение
Полеты к Луне являются первым этапом попыток человека
исследовать отдаленные области космического пространства.
В этой главе на основании результатов, полученных в предыду¬
щих разделах книги, изучаются характеристики траекторий
в системе «Земля — Луна», а также оцениваются требования
к навигационной системе.
Различные траектории перелета Земля — Луна можно клас¬
сифицировать либо по тому влиянию, которое оказывает на них
Луна, либо по орбитальным характеристикам. Первая класси¬
фикация, представленная в § 8.2, позволяет выделить пять групп
траекторий, охватывающих диапазон от гиперболического про¬
лета около Луны до посадки на Луну. Классификация орбит
перелета на основе их механических характеристик обсуждается
в § 8.3 и более конкретно — в § 8.6 для случая траекторий по¬
падания в Луну. Траектории перелета могут быть разделены на
следующие группы:
1. Медленные траектории, которые весьма чувствительны
к ошибкам в величине начальной скорости, но относительно
мало зависят от ошибок в угле наклона вектора скорости в тот
же момент времени. Точка старта определяется как начало кеп-
леровой дуги траектории, по которой следует аппарат после вы¬
ключения двигательной установки.
2. Умеренно быстрые околопараболические траектории (то
есть эллипсы и гиперболы с эксцентриситетом, близким к еди¬
нице), которые сравнительно мало подвержены влиянию ошибок
в величине начальной скорости, но обладают большой чувстви¬
тельностью к ошибкам в угле наклона траектории в начальный
момент.
3. Быстрые орбиты перелета с большими гиперболическими
скоростями, для которых производные параметров траектории по
величине начальной скорости снова становятся существенными,
374
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
а производные по начальному углу наклона траектории продол¬
жают увеличиваться.
Гиперболический пролет около Луны обсуждается в § 8.4,
а облет Луны — в § 8.5. Методам и проблемам, связанным с по¬
садкой космического аппарата на Луну, посвящен § 8.7.
Представленный ниже анализ механики полета к Луне упро¬
щен за счет пренебрежения рядом эффектов второго и третьего
порядков малости, которые мало что вносят в понимание сущ¬
ности динамики перелета Земля — Луна. В число этих эффек¬
тов входят влияние сплюснутости Земли, эксцентриситета ор¬
биты Луны и ее наклонения по отношению к плоскости экватора
Земли и давления солнечного излучения. Однако при анализе
учтены два других фактора, оказывающих более заметное влия¬
ние на орбиты в долунном пространстве: трехмерность траекто¬
рий (то есть наклон плоскости орбиты перелета к плоскости лун¬
ной орбиты) и влияние гравитационного поля Солнца. Послед¬
ний эффект представляет собой наиболее важное отклонение от
идеализированной модели задачи трех тел, которая обычно при¬
меняется при вычислении траекторий перелета Земля — Луна.
Возмущающее воздействие притяжения Солнца учитывается
аналитически, и его влияние иллюстрируется рядом примеров
траекторий перелета в § 8.8. Что касается несферичности Земли,
то в главе 2 уже было показано, что на расстоянии, большем
десяти земных радиусов, возмущение от второй гармоники по¬
тенциала Земли становится меньшим, чем возмущение, созда¬
ваемое Луной (для траекторий аппаратов, движущихся в пло¬
скости лунной орбиты или вблизи этой плоскости). Это допуще¬
ние принято всюду в данной главе. Численное значение эксцен¬
триситета орбиты составляет е = 0,0549, что вызывает вариацию
расстояния до Луны от 55,9 г00 до 63,8 г00. [Для значений кон¬
стант, приведенных в таблицах 3.2 и 3.9 тома I книги «Косми¬
ческий полет», это соответствует разнице в начальной скорости
около 11 м!сек (35 фут/сек)]. Поскольку эксцентриситет лунной
орбиты влияет также на положение барицентра системы «Зем¬
ля— Луна», он вызывает не только периодическое измене¬
ние величины требуемой начальной скорости, но и вариацию
максимума теоретической скорости захвата (см. § 8.10), так как
колебания барицентра изменяют константу Якоби орбиты кос¬
мического аппарата. Указанная вариация имеет тот же порядок,
что и вариации начальной скорости. Эффектами, которые вызы¬
ваются эксцентриситетом лунной орбиты, нельзя пренебрегать
при точном программировании расчета траектории перелета
Земля — Луна, однако они не влияют существенно на основную
модель механики полета к Луне. Наклонение лунной орбиты по
отношению к экваториальной плоскости Земли, а также кине¬
8.2]
ТРАЕКТОРИИ ПЕРЕЛЕТА К ЛУНЕ
375
матика выведения сказываются на динамике перелета, по¬
скольку стартовая позиция (а значит, и начальная точка) дви¬
жется не в плоскости орбиты Луны.
Условия запуска космических аппаратов к Луне обсуж¬
даются в § 8.9. Влияние солнечного давления будет анализиро¬
ваться в главе 9, где рассматривается межпланетный полет. Из
полученных там результатов следует, что эффект давления сол¬
нечного излучения на траекторию перелета Земля — Луна пре¬
небрежимо мал для широкого диапазона средних значений
плотности космического аппарата. Два последних параграфа на¬
стоящей главы посвящены важной теме захвата аппарата Лу¬
ной, устойчивости орбит спутников Луны и определению усло¬
вий наблюдения лунных спутников.
Мы начнем с рассмотрения изолированной системы двух тел
Земля — Луна в пространстве. Тела этой системы, показанной
на рис. 8.1, совершают три основных движения, а именно: вра¬
щение Земли вокруг своей оси и вращение как Земли, так и
Рис. 8.1. Схема системы «Земля — Луна» в истинном масштабе.
Луны вокруг барицентра. Два последних движения можно опи¬
сать совместно одним типом, близким к круговому движению
в одной плоскости с периодом обращения 27,32166 суток по от¬
ношению к инерциальному пространству. Плоскость, в которой
происходит это движение (будем называть ее плоскостью лун¬
ной орбиты), наклонена по отношению к плоскости вращения
8.2. Траектории перелета к Луне
Сфера действия
Муны
Среднее суточное движение
системы «Земля-Луна» ~-?соэпМ~
\ вокруг барицентра ~36630мор-
\ ju = 13° 10'35'!03 скихмиль =
, \ ^64р00
Точка либрации L7 I
р=0,1449
Pact = 0J7197M=
=65934км=
Нейтральная точка
/
Н*- -f^=0,743(среднее значение)
У
Л
376
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
Земли (экваториальной плоскости) на угол, который периоди¬
чески изменяется между 18°, 2 и 28°, 8. Полный период вариа¬
ции от 18°, 2 до 28°, 8 и опять до 18°, 2 составляет 18,6 года (см.
«Космический полет», т. I, стр. 237—238 и § 8.9 настоящего
тома).
Таким образом, Земля вращается вне плоскости лунной ор¬
биты, но точка запуска, которая лежит внутри пояса, ограничен¬
ного параллелями ф= ±18°,2, будет всегда два раза в сутки
проходить через эту плоскость.
Траекторию перелета между Землей и Луной будем назы¬
вать орбитой перелета. При компланарном перелете начальная
точка, равно как и вектор скорости в этой точке, должна лежать
в плоскости лунной орбиты, а положение Луны должно быть
таким, чтобы она находилась в нужной точке своей орбиты,
когда космический аппарат будет ее пересекать (требования
к взаимному расположению). Смысл термина «нужный» изме¬
няется в зависимости от цели полета к Луне.
Исходя из назначения экспедиции, можно разделить полеты
к Луне на следующие группы, перечисленные по мере возра¬
стающего углубления в сферу действия Луны:
I. Гиперболический пролет.
II. Облет Луны.
III. Захват Луной.
IV. Попадание в Луну.
V. Посадка на Луну.
Все пять типов полета показаны схематически на рис. 8.2.
Гиперболический пролет может быть прямым или обратным,
как это уже обсуждалось в главе 4. В случае прямого пролета
(орбита а) геоцентрическая орбита огибает Луну против хода
часовой стрелки. Следовательно, энергия увеличивается и по¬
следующая орбита представляет собой удаленный от Земли эл¬
липс (орбита aj) или, если превзойден порог минимальной
энергии ухода (превышена местная параболическая скорость),
аппарат уходит на независимую гелиоцентрическую орбиту
(орбита а2). Орбита b огибает Луну по ходу часовой стрелки
(обратный пролет). При этом происходят потери энергии, так
что обратный путь к Земле оказывается более крутым, чем вос¬
ходящая ветвь траектории.
Облет Луны может рассматриваться как обобщение гипер¬
болического пролета. Аппарат, как и прежде, следует по гипер¬
болической селеноцентрической орбите. Следует различать пря¬
мой и обратный облеты Луны. Различие между случаями lb и
На только количественно, но облет по траектории класса Па
позволяет наблюдать гораздо большую часть поверхности Луны,
а это и является основной целью облета Луны. Обратный облет
8.2] ТРАЕКТОРИИ ПЕРЕЛЁТА К ЛУНЕ 377
требует точной навигации, поскольку траектории этого типа
особо подвержены возмущениям.
Захват Луной требует для своего осуществления устранения
гиперболического избытка скорости относительно Луны, то есть
Рис. 8.2. Траектория перелета Земля — Луна.
еще некоторого дополнительного импульса (маневр захвата).
В центральном поле Луны этот импульс должен равняться или
быть меньше разности между местной параболической и мест¬
ной круговой скоростями космического аппарата в данной точке,
что даст более или менее эллиптическую орбиту вокруг Луны.
Однако вследствие близости Земли максимально возможная
378
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
скорость захватываемого аппарата не только ограничена сверху
значением параболической скорости, но определяется констан¬
той Якоби орбиты захвата. Это ведет к необходимости опреде¬
ления критической допараболической скорости, которая не мо¬
жет быть превышена при надежном захвате (см. § 8.10).
Попадание в Луну можно определить как «твердую по¬
садку»: не снижая своей скорости, которая является гипербо¬
лической в селеноцентрической системе, космический аппарат
сталкивается с Луной. В то время как требования к точности
при выполнении маневра захвата несколько ослаблены (если не
задана точно орбита, на которую нужно выйти), требования
к точности для попадания в Луну являются достаточно жест¬
кими. Хотя притяжение Луны сравнительно слабо, оно все же
помогает расширить диапазон допустимых ошибок, так как обес¬
печивает попадание тех аппаратов, которые при отсутствии
гравитационного поля Луны прошли бы вблизи нее. Таким об¬
разом, можно определить диаметр эффективного сечения попа¬
дания в Луну (кажущийся диаметр столкновения), который
больше ее физического диаметра. Эти вопросы будут обсу¬
ждаться ниже (§ 8.3).
Посадка на Луну определяется как спуск на ее поверхность,
в течение которого ликвидируется по крайней мере основная
часть скорости сближения (грубая посадка) или вся эта ско¬
рость (мягкая посадка) с помощью тормозной установки, вклю¬
чающейся в возможно более поздний момент времени перед до¬
стижением поверхности Луны (маневр посадки).
Траектория Земля — Луна может рассматриваться как
в инерциальных координатах, так и в селеноцентрических.
В первом случае орбиту перелета можно с грубым приближе¬
нием считать геоцентрической. Если внести поправку на движе¬
ние Земли вокруг барицентра, можно получить точную геоцен¬
трическую орбиту. В случае орбиты перелета с геоцентрическим
движением против хода часовой стрелки (такая орбита будет
применяться на практике с целью использования скорости вра¬
щения Земли) угловое движение космического аппарата будет
происходить в том же самом направлении, что и угловое дви¬
жение оси «Земля — Луна». Это иллюстрируется рис. 8.3, на
котором показана орбита перелета и отмечен ряд положений
космического аппарата и Луны в одни и те же моменты вре¬
мени, отсчитываемого от момента старта.
Движение как аппарата, так и Луны вокруг барицентра
определяется по отношению к фиксированной в инерциальном
пространстве системе координат (по отношению к инерциальным
координатам). Из рассмотрения (рис. 8.3) положения космиче¬
ского аппарата по отношению к мгновенной оси «Земля — Лу¬
8.2.]
ТРАЕКТОРИИ ПЕРЕЛЕТА К ЛУНЕ
379
на» (показана пунктирными линиями) видно, что аппарат сна¬
чала находится «под осью». Однако, поскольку начальная ско¬
рость аппарата много больше скорости Луны, его угловая ско¬
рость тоже больше, несмотря на наличие большой радиальной
t=0
+х(103морских миль)
66,5 77,0 78,0 80,5 83,0 85^0
43,5
Рис. 8.3. Орбита прямого гиперболического пролета в геоцен¬
трических инерциальных координатах ху у.
3—
435
8^
^^\68,5
\73,*5
Т +(
(геоцентрической) составляющей скорости, так что после не¬
скольких часов полета космический аппарат «поднимается» над
осью «Земля — Луна». Он достигает точки максимального воз¬
вышения над осью (в рас¬
сматриваемом примере при- ? t
близительно через 42 часа
после старта) и затем «ка¬
сается» оси при сближении с
Луной.
Траектория, показанная
На рис. 8.3, представляет СО- Рис. 8.4. Орбита прямого гиперболи-
бой прямой гиперболический ческого Пролета во вращающихся коор-
пролет. Аппарат просто динатах тр
минует Луну, двигаясь вбли¬
зи оси и под нею, а затем поднимается над осью. Опорной
линией в этом случае служит вращающаяся ось «Земля —
Луна». На рис. 8.4 инерциальная система координат xyz за¬
менена вращающейся системой координат £ri£. Рассмотренная
выше траектория перелета представлена также в селеноцентри¬
ческих инерциальных координатах (рис. 8.5). Она изображает
36
>
Земля
30
X
§ 20
10
i i i i i i
V7600морских миль\
- \ спп г высота
бООморских мильJ
--
у
\
\
. V
\
\
<Гг
s_
7
f
О 50 ЮО 150 200 ' 230
г (тыс. морских миль)
Рис. 8,7. График скорости для медленного перелета к Луне,
8.3]
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОРБИТ ПЕРЕЛЕТА К ЛУНЕ
381
орбиту с точки зрения наблюдателя, находящегося на Луне.
Траектории быстрых и медленных перелетов во вращающейся
системе координат показаны на рис. 8.6.
Зависимость скорости от расстояния для типичной траекто¬
рии медленного перелета к Луне приведена на рис. 8.7.
Вне зависимости от типа орбиты перелета к Луне, имеются
некоторые фундаментальные механические характеристики тра¬
екторий, общие для всех типов. Они будут обсуждаться в сле¬
дующем параграфе.
8.3. Основные характеристики орбит перелета к Луне
Основные требования к характеристикам траектории Зем¬
ля — Луна можно вывести с помощью простого анализа в гео¬
центрической системе координат. Это было сделано в главе 2.
Здесь остается обсудить навигационные аспекты перелета Зем¬
ля — Луна. При изучении навигации в долунном пространстве
учитываются притяжение Луны и Солнца, условия запуска и
другие менее важные факторы, влияющие на траекторию косми¬
ческого аппарата.
Смысл используемых далее обозначений пояснен на рис. 8.8
и 8.9. Здесь применяется преимущественно геоцентрическая си¬
стема, а не барицентрическая, поскольку это более удобно. Си¬
стематический анализ траекторий с помощью вычислительной
машины не нуждается в использовании барицентрической си¬
стемы в отличие от исследований, проведенных в § 2.12 и 2.13,
поскольку, как было показано в § 2.14, численный расчет позво¬
ляет легко учесть центробежный член, возникающий из-за дви¬
жения центра Земли вокруг барицентра. Такой метод расчета
требует меньшей затраты времени.
Радиус-вектор, идущий из точки конца активного участка
(начала траектории свободного полета) в центр Земли и далее,
представляет собой ось х. Ось у направлена перпендикулярно
к ней в плоскости орбиты перелета. Угол между положитель¬
ными направлениями осей х и у составляет 90°, причем поворот
от оси л: в сторону оси у происходит против хода часовой стрел¬
ки. Ось 2 перпендикулярна к плоскости орбиты и указывает на
Северный полюс. Углы положения Солнца (Ф) и Луны (V) из¬
меряются против хода часовой стрелки от отрицательной полу¬
оси х. Следовательно, величина угла положения, равная 90°,
означает, что соответствующее тело находится на отрицательной
полуоси у. Начальная точка 1 определяется как точка, в которой
заканчивается выведение на орбиту перелета. Скорость в этот
момент времени обозначается через V\. Если начальная точка
совпадает с перигеем, ось х совпадает с большой осью эллипса
382
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
Рис. 8.8. Геометрические соотношения для ана¬
лиза механики перелета Земля —Луна.
Рис. 8.9. Геометрические соотношения для анализа
механики перелета Земля — Луна.
8.3]
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОРБИТ ПЕРЕЛЕТА К ЛУНЕ
383
перелета. В этом случае начальная скорость vx = vP состоит
из трансверсальной составляющей vP = va\ = —у и, возможно,
некоторой ортогональной составляющей vwX = ±2, появляю¬
щейся вследствие ошибок системы выведения (знак г зависит
от того, к Северному или Южному полюсу отклоняется вектор
скорости от расчетной плоскости орбиты). Если точка, где про¬
исходит выключение двигательной установки, не совпадает с
перицентром, то существует также радиальная составляющая
vr\ = ±х. Углы положения Солнца и Луны по отношению к пе¬
рицентру составляют тогда соответственно Ф ± гц и 4я ± гц.
Орбитальные условия старта 1) при полете к Луне опреде¬
ляются следующими факторами:
1) расстоянием от точки старта до центра Земли гх = г00 +
+ ух, где ij\ — высота точки старта;
2) вектором орбитальной стартовой скорости гц (t>i, 01,/), где
= ]/rv2a + v2r + v2w — скалярная величина, измеряемая относи¬
тельно инерциального пространства (то есть величина vx учи¬
тывает эффект вращения Земли для данной точки запуска и
географического направления запуска), 01 — угол, измеряемый
в плоскости орбиты перелета от местного горизонта, a i — на¬
клонение плоскости орбиты перелета к плоскости орбиты Луны;
3) углом положения Луны Ч**;
4) углом положения Солнца Ф.
В том случае, когда анализируются компланарные орбиты
перелета в рамках ограниченной задачи трех тел при заданной
дальности выведения, остаются только три свободных пара¬
метра: vu 01, гЕ, поскольку i = 0 и поскольку влиянием Солнца
пренебрегается (Земля, Луна и космический аппарат рассма¬
триваются в качестве трех тел). Только два из этих трех пара¬
метров могут быть выбраны независимо, если необходимо обе¬
спечить попадание в Луну или выполнить определенные требо¬
вания к вектору скорости в ее окрестности. Это оставляет срав¬
нительно малые возможности для вариации третьего параметра.
Эта допустимая вариация, обусловленная как размерами Луны,
так и ее гравитационным притяжением, при дальнейшем обсуж¬
дении будет называться допуском.
На рис. 8.10 представлены некоторые основные данные, ха¬
рактеризующие перелет Земля — Луна. Лунным и солнечным
притяжениями пренебрегается. Точка выведения предполагается
совпадающей с перигеем эллипса перелета. Принято допущение
о компланарности перелета, то есть принято, что плоскость дви¬
жения Луны и плоскость ху совпадают. На рис. 8.10 представ-
') В отличие от геофизических параметров старта, использовавшихся в
§ 3.14.
384
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
лены графики изменения следующих параметров в функции на¬
чальной скорости в перигее vP: времени перелета tP2y угла пере¬
сечения (32, геоцентрической скорости v2 в момент пересечения
лунной орбиты, истинной аномалии г]2 эллипса перелета в этот
Рис. 8.10. Основные данные для медленных и быстрых пере¬
летов к Луне со стартом в перигее.
момент времени и угла положения Луны W при старте. Высота
точки выведения у\ = 556 км (гх/г00 = 1,0872). Наименьшая на¬
чальная скорость для гА/г0о = 60,25 !) или гА\гх = 58,186 состав¬
ляет 10 645,2 м/сек (34 924,7 фут/сек)2). При скорости vP =
0 Приблизительно среднее расстояние от Земли до Луны.
2) Если учитывать притяжение Луны, то минимальная начальная ско¬
рость получается несколько меньшей [примерно на 15 м/сек (50 фут/сек)].
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОРБИТ ПЕРЕЛЕТА К ЛУНЕ
385
= 10 729 м/сек (35 200 фут/сек) или большей на 83,8 м/сек
(275 фут/сек) получается геоцентрическая параболическая ор¬
бита. При еще больших значениях скорости vP орбита перелета
становится гиперболой.
Максимальная рассматриваемая здесь начальная скорость
составляет 14 630 м/сек (48 000 фут/сек). Это соответствует ги¬
перболе с эксцентриситетом е = 2,73 и превосходит необходи¬
мую скорость для эллипса минимальной энергии при перелете
к Юпитеру1). Время перелета весьма быстро уменьшается при
переходе от гомановского переходного эллипса2) (гА/г00 =
= 60,25) к параболе и затем мало меняется при больших гипер¬
болических скоростях. Влияние ошибки в скорости на время
перелета и, следовательно, на неточность времени прибытия наи¬
более велико, таким образом, для медленных орбит. При отсут¬
ствии возмущений угол |32 для ГПЭ равен нулю (это значение
не показано на графике). Кривая зависимости (32 быстро воз¬
растает, но в гиперболической области резко меняет свой ха¬
рактер и становится почти горизонтальной. В то время как гра¬
фик изменения угла р2 становится менее крутым, значение ско¬
рости прибытия v2 увеличивается весьма быстро (особенно
в эллиптической области) по сравнению с изменением началь¬
ной скорости (в перигее) vP. Эти два эффекта, а именно: воз¬
растание р2 и v2 по мере роста vPy имеют тенденцию уменьшить
влияние, которое притяжение Луны оказывает на орбиту пере¬
лета. Наконец, видно, что угол положения Луны W сильно ме¬
няется в эллиптической области, затем проходит через макси¬
мум при очень малой гиперболической скорости и затем опять
уменьшается. Он асимптотически приближается к величине, не¬
сколько меньшей 90°, для горизонтального направления началь¬
ной скорости, показанного на рис. 8.8, если модуль скорости при
этом неограниченно увеличивается (рис. 8.11). Угол положения
определяется из следующих соображений. Допустим, что боль¬
шая ось орбиты перелета совпадает с осью х, от которой отсчи¬
тывается угол (см. рис. 8.8). Тогда угол 180° — ц дает «раскры¬
тие» орбиты перелета по отношению к оси х. Чем «быстрее»
орбита, тем более «раскрыта» она на расстоянии Луны и тем
меньше угол 180° —Чг, который проходит Луна в течение пе¬
риода перелета. Угол положения Луны при старте дается тогда
выражением
W = tl2_tic/i2 [град]. (8.1)
9 Связь между начальной скоростью и геоцентрическим эксцентрисите¬
том начальной орбиты дана на рис. 8.20.
2) В дальнейшем будем обозначать его ГПЭ.
25 К. Эрике, т. II
386 ПОЛЕТ К ЛУНЕ [ГЛ. 8
Среднее угловое движение Луны равно:
•*« “ шмт; - °’22997 lir - 13°10'35" за сутки,
=9,5-10~3-^- = 33'10",2 за час «0,56-^-.
Угол W, показанный на рис. 8.10, вычислялся согласно урав¬
нению (8.1). Влияние вариации угла W заключается в следую¬
щем. Пусть для гиперболической траектории старт запоздал
Рис. 8.11. Вариация истинной аномалии, угла наклона
траектории и угла положения Луны в зависимости от
энергии орбиты перелета.
и Луна прошла заранее намеченное положение (например,
¥ = 122° вместо Ч* = 120°). Тогда, для того чтобы перехватить
Луну или попасть в определенную точку около нее, новая на¬
чальная скорость должна быть меньше первоначально получен¬
ного значения. Наоборот, если подобная же отсрочка имела
место для эллиптической траектории, новая начальная скорость
для попадания в Луну должна быть больше. Особо интересен
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОРБИТ ПЕРЕЛЕТА К ЛУНЕ
387
тот факт, что для околопараболических начальных скоростей
угол положения Чг мало чувствителен к небольшим вариациям
величины скорости и, значит, к малым вариациям момента вы¬
ведения.
На рис. 8.11—8.16 показано, как меняются эти параметры
в широком диапазоне условий выведения. Принято, что высота
конца участка выведения сохра¬
няется постоянной и равной
185 км (100 морских миль), пе¬
релет компланарен, а лунная ор¬
бита является круговой. На рис.
8.12 качественно показано, как
748
144
140
136
132
128
■ 124
120
116
112
708
40 42 44
Vj (тыс. фут/сек)
)
104
36
/
Ч
/
\
\
\
в,
у ВО"
у 30°
у 15"
,О
—
г\
\
V.
V
\
/
Л
\
\
и
л
/
/
\
/
\
v
/
/
\
4s
\
X
/
/
\
\
к
/
\
4
\
д
\
N
V
\
ч.
\
\
V
\
ч
ч.
=100 морских миль
ч
ч
ч
ч
38
40 42 44 46
Vj (тыс. фут/сек)
48
Рис. 8.12. Вариация истинной ано¬
малии в точке прибытия как
функция модуля и угла наклона
вектора начальной скорости (ком¬
планарный перелет; круговая ор¬
бита Луны).
Рис. 8.13. Вариация угла положе¬
ния Луны как функция модуля
и угла наклона вектора начальной
скорости (компланарный перелет;
круговая орбита Луны).
изменяется истинная аномалия точки пересечения траектории
с орбитой Луны с возрастанием скорости перелета. Величина
угла наклона траектории в точке пересечения при этом увели¬
чивается. При попадании в Луну в точке пересечения начальное
значение угла положения Луны возрастает в первом приближе¬
нии как эксцентриситет орбиты перелета, что указывает на то,
что уменьшение времени перелета является доминирующим фак¬
тором. Однако, если эксцентриситет становится больше еди¬
ницы, угол положения Луны должен уменьшаться, поскольку
уменьшение времени полета происходит теперь менее быстро,
25*
388
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
(поЛдпйг) ztf
s. 5 S «5
н о 2 5 ^
g к s g S 3
£f Я R 5 ffi
О Я к K sS >•
gSМй.в'Ч
<° ЕС О К ^
К S * § g-g
5 “■•©•£ « s
MS я «'Я
2 с * ч ®
§•§.» | | к
в« о И3
ли*— о
rri Ч S л £
^ “ н а
00 о оЧ g *
ag§sg
а 3 •
8>*&|и
и о 2 ®
ич S Д
* * "
<D К
'S 1=3 s5
5 >ȣ
a, t* as
m О Л '
5 t: . а
* * о °
к tr Я
S я 2
H s
§ ^ ^
§.«5
г§ ^
чЧ
s g
§1
cd
« К
Я cd
ffl ffl
И 2
ю «
^ cd
о
Л «в 4
У h W
® а> cd
О. Ч «
, j
к а,
м
и _
Г< Оч
ы а>
К И
Ч
ч
»« >0
°§|
h s 2
<D ^ Д
Е- 9
К « cd
и s a
К У о
н
н а м
д £ а>
&£"
а
М д Я
®5о
* Ч'
2«я
«5Й*
ч
• О) Cd
к
* 0> и
Он R >,
8.3]
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОРБИТ ПЕРЕЛЕТА К ЛУНЕ
389
чем «расширение» орбиты перелета. В предельном случае бес¬
конечной скорости перелета величина угла положения Луны
достигает своего наименьшего значения. Вариация истинной
аномалии в точке прибытия изображена на рис. 8.12. Графики
изменения угла положения Луны даны на рис. 8.10 и 8.13. Экс¬
центриситет орбиты перелета изменяется в зависимости от на¬
чальной скорости и угла ее наклона к местному горизонту так,
как показано на рис. 8.14. Рис. 8.15 наглядно демонстрирует,
что в области гиперболических траекторий время перелета
Рис. 8.17. Некомланарный перелет Зегиля — Луна.
уменьшается менее быстро, чем в эллиптической области.
Рис. 8.16 иллюстрирует тот интересный факт, что угол пересече¬
ния орбит растет быстрее в эллиптической области.
На рис. 8.17 изображена схема пространственного перелета.
Некомпланарные орбиты перелета являются существенно более
чувствительными к ошибкам, чем плоские траектории, по¬
скольку ошибка в касательной составляющей начальной ско¬
рости смещает узловую точку вблизи Луны на расстояние
rx^ D и, следовательно, космический аппарат на расстоянии
радиуса орбиты Луны не будет находиться в плоскости лунной
орбиты. Кроме того, возрастает разница между скоростью Луны
и лежащей в плоскости ее орбиты составляющей скорости аппа¬
рата, так как величина этой составляющей равна v2 cos /, где
i — наклонение орбиты перелета. Таким образом, неточность во
времени начала перелета является сравнительно более опасной
в случае некомпланарного перелета.
Притяжение Луны стремится «сфокусировать» траектории
перелету около нее и тем самым увеличивает возможность
390
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
/
/
Рис. 8.18. Влияние притяжения Луны на проходящие вблизи нее траектории
полета с Земли.
7? г
= 60л25_
Чю
{Гипербола
, Парабола
35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Скорость аппарата при старте с круговой орбить/
высотой 300 морских миль (тыс. фут/сек)
46
Рис. 8Д9. Радиус эффективного сечения попадания в Луну в зависимости от
скорости старта с Земли.
8.4]
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПРОЛЕТ ОКОЛО ЛУНЫ
391
попадания (рис. 8.18). Понятие кажущегося радиуса столкнове¬
ния было определено на рис. 4.22 и уравнениями (4.78). Приме¬
няя это уравнение в случае полета к Луне, получим кривую,
представленную на рис. 8.19.
Проблема устойчивости траекторий полета к Луне имеет,
очевидно, большое практическое значение. Однако разнообра¬
зие орбит перелета и зависимость производных по ошибкам от
энергии орбиты перелета и от большого числа других парамет¬
ров настолько велики, что объем этой книги и ее общий харак¬
тер исключают возможность детального обсуждения этих вопро¬
сов. Через несколько десятилетий, когда полеты людей к
лунным базам смогут стать элементом повседневной жизни,
штурманы космических кораблей будут снабжены специализи¬
рованными бортовыми вычислительными устройствами, способ¬
ными производить надлежащий анализ траекторий Земля —
Луна. Вопросы определения допустимых пределов ошибок бу¬
дут рассматриваться ниже в основном в связи с расчетом тра¬
екторий попадания в Луну, который представляет собой хо¬
рошо исследованную задачу механики полета в долунном про¬
странстве.
8.4. Гиперболический пролет около Луны
Из двух типов гиперболического пролета, показанных на
рис. 8.2, основной интерес представляет прямой пролет. По¬
скольку в этом случае влияние Луны увеличивает геоцентриче¬
скую энергию космического аппарата, возникает вопрос, нельзя
ли использовать Луну в качестве «пращи», дополнительно уско¬
ряющей аппарат? Это позволило бы запустить его со скоростью
меньшей, чем требуемая гиперболическая скорость, или, может
быть, даже с допараболической скоростью. Ответ на этот вопрос
состоит в том, что Луну таким образом использовать можно, но
только в редких случаях, если вообще когда-нибудь эта возмож¬
ность окажется полезной на практике. Это объясняется двумя
причинами. Во-первых, как будет показано ниже, энергетиче¬
ский выигрыш, которого можно достигнуть выбором, подходя¬
щей орбиты встречи, сравнительно мал. Во-вторых, чувствитель¬
ность такой траектории к ошибкам велика, как это было пока¬
зано в главе 4, так что на последующие маневры коррекции
будет истрачена значительная часть и без того не очень
большого выигрыша энергии, полученного за счет влияния
Луны.
Применяя разработанную в § 4.5 и 4.6 теорию к случаю ги¬
перболического пролета около Луны, находим, что максимально
392
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
возможное теоретически отклонение рассматриваемого класса
траекторий нельзя реализовать, так как в этом случае аппарат
столкнулся бы с Луной.
В нашем случае орбиты перелета всегда являются гипер¬
болическими, поскольку рассматривается межпланетный пере¬
лет, и ни при каких условиях влияние Луны не будет доста¬
точно сильным для того, чтобы допустить старт с Земли с до-
параболической скоростью. Максимальный эффект, который
может быть достигнут, сводится к такому изгибу траектории,
при котором ветвь селеноцентрической гиперболы касается по¬
верхности Луны.
Соответствующие вычисления являются простым примене¬
нием анализа, приведенного в § 4.5, и поэтому не будут здесь
поясняться. Результаты их приведены в таблицах 8.1, 8.2 и 8.3.
В таблице 8.1 помещены основные данные о параметрах гео¬
центрических орбит перелета в порядке возрастания энергии.
Предполагается, что старт происходит в перигее, так что
V\ = vP. В последующих строчках даются угол пересечения
р2 = 02, геоцентрическая скорость v2 в момент пересечения лун¬
ной орбиты и соответствующий гиперболический избыток ско¬
рости по отношению к Луне (то есть скорость космического ап¬
парата относительно Луны), рассчитанные с учетом направле¬
ния полета и скорости обоих тел.
В таблице 8.2 перечислены экстремальные значения пара¬
метров, которые получились бы при пролете около Луны, если
бы вся ее масса была сконцентрирована в одной точке — центре
объема, который она занимает в действительности. Таким спо¬
собом можно найти требуемое расстояние пролета для макси¬
мальной скорости после пролета (оз)тах, которая, как было по¬
казано в § 4.5, направлена параллельно вектору скорости Луны.
Для осуществления подобного маневра, который обеспечил бы
максимальную выгоду для стартующего межпланетного ко¬
рабля, периселений рР должен был бы находиться на расстоя¬
нии меньшем, чем 124 км (66 морских миль), от центра Луны.
Поскольку радиус Луны роо = 1738 км (938,445 морской мили),
очевидно, что такой вариант пролета неосуществим. Даже и
в этом случае получающийся (максимальный) геоцентрический
гиперболический избыток скорости Voo менее чем в два раза
превышает значение у<х>, которое имело бы место без использо¬
вания влияния Луны. Если сравнить гиперболический избыток
^оо, необходимый для перелета к Венере или Марсу с мини¬
мальными энергетическими затратами, с полученными значе¬
ниями г£>, можно увидеть, что даже в случае максимального воз¬
растания скорости вследствие пертурбационного маневра это
Основные данные для гиперболического пролета около Луны 1)
Орбитальная скорость Луны и = 0,550236 морск. мили/сек. Геоцентрическая параболическая скорость на расстоянии
радиуса лунной орбиты vp D = 2/Сф//) = 0,778 морск. мили!сек\ v^ D = 0,60522 морск. мили2!сек2
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПРОЛЕТ ОКОЛО ЛУНЫ
393
«J >>
t* S
О О
X X
>> и
е S с
а о >*
•=; о
£ £ я
s ^ а
Я о и
о 2 о
JJ S
£ л
ShS
Р* а> о
<и 2
я е
s§
U §
р-
02
£м
ь-
со
00
со
СО
со
02
£ я
S £
-я
о
О
сч
сч
о fl
я
со
со
Я
00
°°L
сю
1 S
Q
сч*'
N-*
00
я"
я
я I
о 1
сч
р-
=Я
Я
К
р.
00
со
со
Я ""
со
сч
о
я
со
я Г3
00
о
00
я
СО
о ^
р.
си
Ol
00
tsT
00
00
я"
Я*4
<12 £
я ^
Z. (12
£
4 °-
5 02
о я
VO с
о
Р-
00
о
ю
00
со
о
00
о
я
сч
сч
сч
сч
я
trt" ^
Я с_,
я
:>
со
я*
о
СО*4
So
00
во
Я гн
с я
1 ю
1 р.
Р о
р
я
р.
00
о
о
я
00
*Я
tr S
о
ю
in
о
сч
Я *s-
ч °
3 02
я ^
я
О)
о
я
о>
«о
о
СО
00
in
со
CQ
*“4
02 ы
СО о.
Ен
сч
ь-
о Я
со
со
со
сч
Р“ О)
о
о
02
00
02
ь t=f
о
я
СО
г-
in
о
сч
00
г-
o'
00
о"
5 °
^5 О)
Я С_
in
о
я
ч
ю
2 н
00
со
со
оо
о
tn
о
о
СО
ю
02
СО
н
о
02
О
о
h-
я
со
«Я S
o'
in
h-
o'
о"
3 ё
Я а
v
02
* н
СО
о
02
со
ь-
2 я
о
о
in
я
in
со
В 2
о>
о
Ft
So
я
СОл
я
.о"
1П
о"
о
Ен я
Я СГ)
СЧ
сч
со
ч
со
09 .
я 1
со
ю
о
02
02
о
о
ю
ю
02
00
Он Нч
00
о
О
я
со
ю
См Р
о"
in'
о"
о"
1 ..
'Я
00
__
02
о
02
ФЩ
о
ю
о
о
сч
о
СО
о
ю
со
02
о
о"
Я
О
in
о
00
o'
in
о“
я"
я о
СО
сч
02
со
со
ю
я
сч
со
я
6 я
00
СО
о
я
о
00
ч
со
о
о
СО
in
ю
сч
о"
я
о"
я
О о.
со
СО
1
я
о
сч
я
СО
S о
о
сг
СО
о
О
00
я
ь-
in
о
о
о
со
Яж
о"
fc? о
я ^
V V
СП g
*
я
Р
Ен R
Р
о о
«
н
3
<22
р
р
g о
а
р
s'
"а
а
я 2
К °-
О <L)
*£
Р
р.
a
as
в °
о *
о
&Е
1 о
at
р
р
р
0,
р
С)
1 я
3
р
II
о
Q Я
8
сч
сч
еч
к.
р
Р-
р
ао
р
Si
*ч
. « JQ
■JQ Ем
E-i О
Я °
О Q,
fs
* о
к '
2 8
2 §
ч ..
gQ
я
я s
I s
o§
E-
«
О
H
VO Я
P. и
О
я
о
Ен
3
VO
*я
о
к
ч о
Ё? 952
я s
§ й
О)
Я
►=5
и VO
gs g
П S
" о
<U н S
е s я
о
Я * S
Я
р.
Ен
Я
а>
SJ
О
X
а>
Ч
си
я я
о я
Он о.
°g
“о ^
§ a
s> *
tr
я я
О- я
Ен О
Я ч
о я
я я
о 52
О)
Я
Я
я
<и
5* <г
О <Х)
о
(U
Он U
К Сч
я
я л
5 р
я я
О
Н ш
3
я
>>
t?
о
я
я
4
<V
Е-
Я
СЧ CJ
" о
я
Ен
О
£ 2
о °
2 я
Р. о
О О)
я Я
0 к
1 S
l) 1 морская миля/сек =* 6080 фут/сек =* 1853,2 м/сек. Орбита Луны предполагается круговой; компланарный перелет.
Таблица 8.2
Прямой гиперболический пролет около Луны для случая максимального теоретического увеличения скорости !)
(Основные данные по геоцентрическим траекториям перелета приведены в таблице 8.1.)
394
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
»Я
Я
Оч 00
г- ^
V N
CD ID
Ю <» 00
тр ~
05
2н ^ ^
^ «
Ю Ю
05 ^
CD О 00 Ю
CD СМ Ю СО О
ю сол аэ
o' ю" ^ CD" CD*4
CD
05 N 05
CD CD CD
ID Th О
O' rf тр
00
00 О
h- CO
°i c'l
ю" lO
О см
О. Is
CO CO
00 05
Ю S CD
CO 4 <4
О (N -H
—• CD
О О
О 05
CD CM Ю
о CM —Г
CD
05
СО о
CM cm"
Рч
я -
05 CM
PQ
ID
CO CN
co"
ID ^ ID
ID
CM
CM 2*
°° CM
CO 05
CD О
00 CD
S Ю CO
О CO CD
CO^ О CO^
о" см" —Г
CM
CD
CD CM
о" S
CM CD
—• CM
h- 05
o" o"
rf
•D CM
—' ID
CD
со
о
CD
CM
CO
s.
о
о
оГ
00
CM
00
LD
ID
<э
°°L
СО
o"
o"
IS
о
ID
о
CO
о
с»
CO
S-
CD
00_
<э
o"
o"
*—•
is
CD
00
CO
00
CO
CO
CO
b-
о
00
о
Tt<
Г-.
ID
CD
is
о
CD
CD
s-
C5
o"
o"
o"
ID
Ю
CM
ID
о
ID
CO
CO
is
CM
CM
00
CD
сэ
o-
С°л
w
CO
00
ID
ю"
CD
o"
o"
o"
« s
О 2? °
CD *. CO
О ^
a
a
*
cj
55.
о
«6
8 1
55.
О
Q. <U
У
CJ
55.
О
0 «
1
X 3
2 ^
E a
о
« *
со
a
a
a?
a
a
*
Cj
Ci.
О
q q
l) 1 морская миля/сек** 6080 фут/сек = 1853,2 м/сек. Орбита Луны предполагается круговой; компланарный перелет.
8.41
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПРОЛЕТ ОКОЛО ЛУНЫ
395
увеличение скорости не позволяет снизить требуемую величину
V\ = vP от гиперболических до эллиптических значений.
Рассмотрим, например, оптимальный в энергетическом
смысле перелет к Венере, при котором vто = 2,52 км/сек
(1,3636 морск. мили/сек). Однако v^ даже при параболической
начальной скорости v{ составляет только 2,25 км/сек (1,214 мор-
ской мили). Экономия, таким образом, не очень значительна,
поскольку и при оптимальном выполнении пертурбационного
маневра и без него требуется гиперболическая относительно
0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,0 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4
Эксцентриситет геоцентрической орбиты
Рис. 8.20. Старт межпланетного аппарата с использованием влияния Луны
и без него.
Земли начальная скорость. Максимальный выигрыш, который
на практике можно получить с помощью гиперболического про¬
лета, имеет место в случае орбиты, касающейся поверхности
Луны. Соответствующие данные приведены в таблице 8.3. Вид¬
но, что приращение скорости здесь значительно меньше1), осо¬
бенно при больших начальных скоростях, необходимых при по¬
летах к более отдаленным планетам.
Влияние пролета около Луны на межпланетную траекторию
иллюстрирует рис. 8.20. Три нижние кривые показывают изме¬
нение гиперболического избытка скорости £><*> в единицах пара¬
болической скорости на расстоянии радиуса лунной орбиты
vPt л = 1,41 км/сек = 4625 фут/сек. Нижняя кривая относится
к скорости, которая требуется для старта без учета встречи
с Луной. Вторая снизу кривая относится к варианту пролета,
при котором достигается наибольшее сближение с Луной, а
*) Чем в случае точечного возмущающего тела. (Прим. перев.)
Прямой гиперболический пролет около Луны на расстоянии радиуса Луны 1)
(Основные данные по геоцентрическим траекториям перелета приведены в таблице 8.1.)
396
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
ГГЛ. 8
со
00
cd
Я
Я
ч
хо
cd
со
4 S
о о
X «
>> а
2 £ о
с; S с
®£|
5о>,
* s s
Ч О
а) <и м
s t- а
м о ®
*8s
|83
£*2
5 °
trc
о,
О)
н
S
00
^_ч
00
00
см
ю
о
(О
аэ
а>"
о"
■4й"
см
00
3
»я
а *•
а |
О) тт
ю
S-
00
Tt
см
00
•—*
см
СО
со
05
сэ
*—11
ю
см"
о"
ю"
см
£ -
о
ч
IS-
см
00
со
ю
со
s«
00
ю
ТГ
см
со
°1
о
см
со
оо_
С0л
см
ю"
о"
см"
cd
Рч
CQ
ю
о
СМ
00
см
со
U0
см
05
СО
СО
»—1
см
см
СО
о"
см"
*
си
CJ
*а*
a
я.
о
OsJ)
<
a
ч
a
*
CJ
о.
о
a
ч
a
*
о.
о
>4
Н
О
о
Рч
о
Я
О
к
о
н
05
ч
о
см
СО
CM
05
S'-
00
о
о
СО
о
СО
ОО
05
00
о
о
со
ч.
05
(N
3
о"
о"
*
см
ч
СО
ю
см
Г}-'
1
ю
1^
05
со
со
05
СО
00
2
о
IO
10
S-
00^
1
00
о"
о"
о"
v
со
00
S-
05
00
СО
СО
СО
о
СО
о
со
'Sf
00
со
со
05
СО^
05^
00
•“1
о"
о"
о"
ч
см
со
см
СО
СО
см
00
СО
о
о
см
о
см
о
00
со
о
05
СОл
со
00
00
о"
о"
о"
Tf
ч
__
со
00
LO
00
00
СО
00
о
IS-
о
ю
Tf
СО
05
ю
S-
о
ю
Р0
СОл
ю
IS.^
о"
05
о"
о"
о"
ю
ЧСО
00
ю
см
СО
IS-
о
ю
со
со
05
со
о
00
о
00
СО
см
о
смл
S-
3
о"
о"
о"
о"
CM
чсм
со
00
,
ю
rf
<—ч
см
05
СО
о
о
о
05
05
LO
со
°°L
S-
о
СМл
СОл
СЧ.
о"
о"
о"
о"
Он
о
я .
о
с об
»Я s
Я
рн—:
О оо
н
« я
cd g
* Ч
ХО
* cd
§•*
| 5
*k_n H
<1 2
g
cd ®
s «
1=5 2
о с
С К
Я
<D Я
>.
Ч
£ «о
S О
as
г *
О Р
Ч
„ cd
2 *"•
то о
Я О
О
CJ . -
►Г <v
Я Е-1
S о
S СХ
я С
о _
си я
Р сх
« И
я
а>
•&
8.4]
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПРОЛЕТ ОКОЛО ЛУНЫ
397
именно к траектории, касающейся поверхности Луны. Третья из
этих кривых иллюстрирует изменение наибольшего возможного
увеличения скорости, то есть (Уг)шах, которое может быть во¬
обще получено при пролете около Луны. Самая верхняя кривая
на рис. 8.20 показывает изменение начальной геоцентрической
скорости для начальной точки, находящейся на высоте 556 км
(300 морск. миль). Эта кривая позволяет непосредственно оце¬
нить уменьшение начальной скорости, которого можно добиться
с помощью данного пертурбационного маневра [см. примеры
(а), (ft), (с) для Меркурия (рис. 8.20)]. Все эти графики для
скоростей построены как функции эксцентриситета геоцентриче¬
ского конического сечения. Показанный диапазон изменения
абсциссы, охватывает эллиптические, параболические и гипербо¬
лические орбиты по отношению к Земле.
В качестве примера рассмотрим старт к орбите Венеры. Зна¬
чок у оси абсцисс показывает, что без использования притяже¬
ния Луны потребовалась бы гиперболическая орбита с эксцен¬
триситетом е= 1,11. Соответствующая начальная скорость без
учета влияния Луны составляет: vx = 11,027 км/сек (5,95 морск.
мили/сек = 36 176 фут/сек). Наиболее близкий к Луне пролет,
траектория которого проходит над самой ее поверхностью, сни¬
жает эксцентриситет геоцентрической гиперболы до е = 1,055 и
скорость V\ до значения 10,86 км/сек (5,86 морск. мили/сек =
= 35 629 фут/сек). Если бы из маневра можно было извлечь
максимальный теоретический выигрыш, он дал бы е= 1,015 и
V] = 10,748 км/сек (5,8 морск. мили/сек = 35264 фут/сек), но
тогда, как показано в четвертой строке таблицы 8.2, космический
аппарат должен был бы пройти на расстоянии около 137 км
(74 морск. миль) от центра Луны. Из рис. 8.20 находим, что
параболическая скорость (е = 1,0) равна v\ = vv = 10,711 км/сек
(5,78 морск. мили/сек = 35 142 фут/сек).
Следовательно, без использования притяжения Луны гипер¬
болический избыток скорости, который должен создаваться за
счет энергии топлива, составляет 11 027— 10 711 = 316 м/сек,
в то время как касательный пролет сводит эту величину до
148 м/сек (487 фут/сек), а в крайнем случае она равнялась бы
37,2 м/сек (122 фут/сек). Таким образом, оптимальный и прак¬
тически осуществимый вариант уже дает большую часть теоре¬
тически мыслимого выигрыша, экономя 316— 148 = 168 м/сек,
то есть более чем половину гиперболического избытка скорости,
который требовался бы при отсутствии Луны.
Представляется особо интересным отметить, что выигрыш,
который можно получить за счет близкого пролета около Луны,
быстро уменьшается, если расстояние от Солнца до цели больше
радиуса орбиты Марса или меньше радиуса орбиты Венеры.
398
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
Изменение направления Д£, соответствующее касательному
к поверхности Луны пролету, представляет собой максимально
осуществимый при данных обстоятельствах угол поворота тра¬
ектории. Нетрудно рассчитать угол поворота для пролета на
больших расстояниях и вычислить время запуска с тем, чтобы
получить любое желаемое направление скорости после про¬
лета.
Для только что обсуждавшихся условий лучшее значение рР
меньше радиуса Луны. Следовательно, минимальное расстояние
пролета дает максимальное приращение скорости (при правиль¬
ном подходе). Однако не всегда дело обстоит таким образом.
Если угол пересечения мал и скорости не слишком отличаются,
так что V\ cos р « и, то оптимальное расстояние может быть
весьма большим. Предположим, что орбита Луны (и =
= 1019,6 м/сек = 0,550236 морск. мили/сек) пересекается под
углом р = 5° телом, движущимся со скоростью vx = 1,11 км/сек
(0,6 морск. мили/сек). Тогда находим, что (^2)шах = 1151 м/сек
(0,6209 морск. мили/сек), ^ = 47°45' и гР = 420 075 км
(226 700 морск. миль) (при этом, конечно, пренебрегается влия¬
нием Земли). Таким образом, для гипотетического, тела лучше
всего пройти мимо изолированной Луны на расстоянии Земли,
выиграв при этом 38,7 м/сек (0,0209 морск. мили/сек =
== 127 фут/сек).
Вывод, который можно сделать из приведенного выше ана¬
лиза, состоит в том, что использование лунного гравитационного
поля для ускорения (или замедления) межпланетных аппаратов
возможно. Однако «вклад», который даже при оптимальных
условиях может «внести» Луна в общий энергетический баланс
маневра ухода или захвата, сравнительно мал. Ввиду многих
трудностей и нерешенных проблем, связанных с пертурбацион¬
ным маневром (особенно из-за требований к взаимному распо¬
ложению Земли и Луны, высокой чувствительности к ошибкам
траекторий гиперболического пролета и того факта, что плос¬
кость лунной орбиты сравнительно сильно наклонена по отно¬
шению к плоскостям околоэклиптических межпланетных пере¬
летов), энергетический выигрыш, получаемый с помощью Луны,
недостаточно велик, чтобы оправдать необходимость этого ма¬
невра.
Несколько орбит перелета с осуществлением гиперболиче¬
ского пролета показаны на рис. 8.21—8.27.
На рис. 8.21 и 8.22 изображен близкий прямой пролет, веду¬
щий к большому гиперболическому избытку скорости (хотя и
недостаточно большому, чтобы достичь Венеры или Марса, по¬
скольку в этом случае должно было бы быть порядка
3000 -г- 3300 м/сек). Расчеты были проведены на электронной
8.4]
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПРОЛЕТ ОКОЛО ЛУНЫ
399
У
+50
Ф=130°
vp=-у = 34935,5В фут/сек = 10,651 т/сек
Гр = -х0 =3744морские мили =6913 км (гр - г00 ^300морских миль «540км)
рр =1365морских миль =2457км (yw-m = pmin -р00 ~ 400морских миль **719 км)
Гиперболический избыток при t=85hJ0: = 0,82369(vo£=-1054фут/сек**о,321 км/сек)
-«/2К®
m гв5,0 оо (тыс. морских миль)
ш 50 100_ 150 20° J Q '
rnn z=+547морских миль
х=218 765морских миль
z = 0
t-8
l
22
т
435
-50
2—1 морская миля г=-8,8морской мили z=-36морских миль ''
-у {тыс. морских миль)
Рис. 8.21. Прямой гиперболический пролет около Луны, получающийся
при гиперболическом старте с Земли (случай «пращи»).
Рис. 8.22. Гиперболический пролет (типа, показанного на рис. 8.21) на
близком расстоянии от Луны.
400
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
вычислительной машине для пространственного случая и огра¬
ниченной задачи четырех тел (то есть учитывалось влияние
Солнца при угле его положения Ф = 180°). На рис. 8.23 пока¬
зана ситуация, когда начальная фазовая точка принадлежит
эллипсу, который при отсутствии возмущений не достигал бы
лунной орбиты.
Интересно заметить, что при надлежащем расположении
Луны в момент старта притяжение Луны вызывает сильное из¬
менение направления движения космического аппарата (очень
wo-
Ф= т° I
vp=34905 фут/сек
ур=300морских миль
гх /гоо = 09, М(иевозмущеиная орбита/
рр =1199,5морской мили (ут,п ^260морских миль); tp=123?367 1
100 150
V (ть/с. морских миль)
Рис. 8.23. Сильно возмущенная траектория прямого гипербо¬
лического пролета, не покидающая системы «Земля —Луна».
медленного вблизи Луны), «выбрасывая» его после пролета на
удаленную в апогее от Земли орбиту. Подобный случай сравни¬
тельно не очень сильного возмущения показан на рис. 8.24. Гра¬
фики скорости и энергии для траектории, показанной на
рис. 8.24, даны на рис. 8.25. Видно, что лунное притяжение
уменьшает орбитальную энергию аппарата в течение всего пе¬
риода полета внутри орбиты Луны, поскольку Луна находится
«справа» от аппарата, наклоняя тем самым ось орбиты перелета
(прямого) в направлении по ходу часовой стрелки. Этот процесс
характерен и для обратного гиперболического пролета, при ко¬
тором уменьшается энергия космического аппарата и возрастает
энергия возмущающего тела (пропорционально их массам).
Однако при последующем прямом движении полная энергия
8.4]
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПРОЛЕТ ОКОЛО ЛУНЫ
401
Ф=!20°
vp=34891фут/сек
ур=300морских миль
гА /г00=38,1 (невозмущенная орбита)
рр=*9090морских миль (ymfn=8151 морская миля);1р=84*\
100 150 /зг ООО
х(тыс. морских миль)
Рис. 8.24. Прямой гиперболический пролет с уходом из системы
«Земля — Луна».
4
I
|
I
Время (часы)
Рис. 8.25. Г рафики скорости и энергии для гиперболического
пролета, показанного на рис. 8.24.
26 к. Эрике, т. II
у (тыс. морских миль)
402
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
Рис. 8.26. Орбита обратного перелета с прямым пролетом и
послепролетной траекторией с уменьшенной энергией.
200 л
S
I*
1'
1 7
1700-
!
V
И
1 3
§
9
Ж
0 -
^ 1
//-I
10
О -
0,2
X
\о,з
\
%
£
I
°'50
’ р до Луны
ч
(геоцентричеснс
у энергия
\
\Геоцентричесн1
\^схоросл?ь
7Я
\
К
50
150
Время (часы)
Рис. 8.27. Графики геоцентрической скорости, энергии
и селеноцентрического расстояния для перелета, пока¬
занного на рис. 8.26.
8.5]
ОБЛЕТ ЛУНЫ
403
аппарата значительно возрастает, хотя и не настолько, чтобы
вывести его на геоцентрическую гиперболу ухода. Полная энер¬
гия остается отрицательной, то есть траектория после пролета
является эллиптической.
Наконец, интересный и необычный случай представлен на
рис. 8.26 и 8.27. Космический аппарат запущен в сторону, про¬
тивоположную вращению Земли, на обратную орбиту перелета.
Гиперболический пролет около Луны является теперь прямым
пролетом, который, хотя и сильно изменяет последующую траек¬
торию аппарата, уменьшает тем не менее ее орбитальную энер¬
гию, как это показано на рис. 8.27.
8.5. Облет Луны
Класс облетных орбит включает траектории, которые, в от¬
личие от траекторий гиперболического пролета, возвращают
космический аппарат в непосредственную окрестность Земли.
Однако ввиду того, что эти орбиты также подвергаются влиянию
Луны, которое в некоторых случаях весьма значительно, следует
сразу указать на отличие их от траекторий гиперболического
пролета. Влияние Луны должно быть либо сравнительно сла¬
бым, допуская возможность возвращения аппарата к Земле по
не слишком возмущенному геоцентрическому эллипсу (обратный
облет), либо очень сильным, чтобы не просто отклонить аппарат,
но направить его на надлежащую траекторию возврата (прямой
облет). В обоих случаях начальные скорости должны быть низ¬
кими. Это — другое отличие от орбит гиперболического пролета,
которые в этом отношении не ограничивались. Для обратного
облета начальная скорость должна, очевидно, быть меньше пара¬
болической. В случае прямого облета начальная скорость дол¬
жна быть достаточно низкой, поскольку в противном случае сла¬
бое гравитационное поле Луны не сможет обеспечить полное
изменение направления полета. В результате этого чувствитель¬
ность облетных орбит к ошибкам очень высока.
На рис. 8.28 представлена траектория облета, которая при
отсутствии возмущений является эллипсом (с /\аЛоо = 68,5), пе¬
ресекающим орбиту Луны непосредственно перед ее приходом
в точку пересечения. Притяжение Луны влияет на траекторию
так же, как и при слабом обратном гиперболическом пролете,
уменьшая орбитальную энергию геоцентрического эллипса та¬
ким образом, что космический аппарат выходит на траекторию
столкновения с Землей, входя с околопараболической скоростью
в ее атмосферу примерно через 233 часа после старта. Соответ¬
ствующие графики изменения орбитальной энергии, геоцентриче¬
ской скорости и селеноцентрического расстояния представлены
26*
404
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
на рис. 8.29. Для сравнения на рис. 8.30 показан тот же самый
полет, но с начальной скоростью, уменьшенной на 21,9 м/сек
(72 фут/сек), что для невозмущенной орбиты дает отношение
^/>00 = 53,8. Видно, что космический аппарат подходит близко
к лунной орбите, но не к Луне. Он никогда не приближается к
Луне меньше чем на расстояние, равное примерно 31 500 км.
Это является основной причиной, по которой становится непрак¬
тичной орбита минимальной энергии (дающая аппарату возмож¬
ность только-только «проползти» область равновесия и за¬
тем упасть на Луну). В случае таких медленных орбит имеет
место следующая альтернатива. Либо Луна находится доста¬
точно близко, чтобы, начиная примерно с 280 000 км, сильно при¬
тягивать аппарат и «подтягивать» его к своей орбите (хотя она
и будет уходить из той точки своей орбиты, к которой прибли¬
зится аппарат), либо Луна будет находиться вблизи точки пере¬
сечения большой оси переходного эллипса (скажем, оси х) в мо¬
мент, когда аппарат проходит апогей, но тогда она большую
часть времени будет слишком удалена от аппарата для того,
чтобы оказывать на его полет значительное влияние, и в резуль¬
тате апогей возмущенной орбиты не будет располагаться вблизи
лунной орбиты. Требования близости апогея переходной траек¬
тории к лунной орбите и расположения Луны в точке орбиты,
близкой к этому апогею, несовместимы для таких медленных
орбит перелета, обладающих малой энергией.
250
Рис. 8.28. Облет Луны на близком расстоянии.
8.6]
ОБЛЕТ ЛУНЫ
405
Рис. 8.29. Г рафики геоцентрической скорости, энергии и
селеноцентрического расстояния для облета Луны, пока¬
занного на рис. 8.28.
х (тыс. морских миль)
vn = 34866фут/сек, %=~ 60°
Рис. 8.30. Сближение с Луной (медленное).
406
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
Необычный тип прямого облета Луны показан на рис. 8.31.
Космический аппарат сближается с Луной на своем обратном
пути к Земле. При прямом пролете энергия орбиты аппарата
возрастает, а нисходящая ветвь орбиты далеко отклоняется от
Земли. Для того чтобы проиллюстрировать высокую чувстви¬
тельность траектории к ошибкам, на рис. 8.32 изображен тот же
самый полет, но с большей на 0,91 м/сек начальной скоростькх
Рис. 8.31. Облет Луны с прямым гиперболическим пролетом
по нисходящей ветви траектории.
Величины наименьшего расстояния от Луны при пролете отли¬
чаются друг от друга почти на 9820 км, а орбитальные положе¬
ния аппарата через 266,133 н после запуска отличаются на
83 400 км в результате разницы в величине начальной скорости
всего лишь в 0,91 м/сек\ Хотя это частный пример, он тем не
менее указывает на большую неустойчивость этих орбит.
На рис. 8.33—8.35 показаны примеры орбит обратного облета
Луны в порядке возрастания степени их сближения с Луной.
Некоторые советские ученые очень удачно назвали такую орбиту
«орбитой бумеранга». Траектории этой группы являются наибо¬
лее сложными.
Величины допустимых ошибок в скорости, угле старта (как
в азимуте, так и в наклонении к начальному горизонту) и
у (тыс. морских миль)
8.5]
ОБЛЕТ ЛУНЫ
407
Рис. 8.32. Облет Луны (начальная скорость по сравнению
с облетом, показанным на рис. 8.31, увеличена на 0,91 м/сек).
Рис. 8.33. Обратный облет Луны на большом расстоянии
(«траектория бумеранга»).
408
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
ГГ Л. 8
времени запуска (которое связано с положением Луны) для об¬
летных траекторий изменяются в широком диапазоне в зависи¬
мости от типа перелета (прямой или обратный), допусков на
Рис. 8.34. Обратный облет Луны на близком расстоянии.
Рис. 8.35. Обратный облет Луны на близком расстоянии.
величины минимального расстояния до Луны и параметров, ха¬
рактеризующих условия возвращения на Землю. Условия воз¬
вращения накладывают наиболее сильные ограничения. Лиске
в работе [5] установил, что для попадания на Землю после
облета Луны ошибка в скорости не должна превышать ±23 м/сек,
8.5]
ОБЛЕТ ЛУНЫ
409
а допуск на угловое отклонение начальной скорости должен со¬
ставлять ±5°. Эти величины допусков, однако, рассчитаны толь¬
ко для прямого пролета около Луны на сравнительно большом
расстоянии от нее. Если рассматривается класс обратных облет¬
ных траекторий, допустимая ошибка в величине скорости близка
’ +300 +200 +700 OhJ -100 -200 -300 -400
+Avf=-Ayf- +Ах7; +Aij * -Av,= +Ayf; -Ax1t -Az,
-70-30
Отклонений от номинального значении начальной скорости
Рис. 8.36. Зависимость отклонений траекторных параметров
от ошибок в начальных условиях траекторий полета к Луне.
к 6 м/сек (рис. 8.36). Если автоматическая станция должна
войти в атмосферу Земли над континентальной территорией
Соединенных Штатов, начальная скорость должна выдержи¬
ваться, как это найдено в [5], с точностью ±0,15 м/сек.
Другим фактором, влияющим на требования по точности к
траекториям облета Луны, является притяжение Солнца. Эф¬
фект солнечного притяжения будет оценен в § 8.8.
410
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
В результате расчета семейства пространственных траекто¬
рий в рамках задачи четырех тел для заданных номинальных
условий и отклонений от них получен график ошибок, приведен¬
ный на рис. 8.36. При выполнении номинальных условий косми¬
ческий аппарат совершает обратный облет Луны, проходя мимо
нее на минимальном расстоянии 4130 км (2231 морской мили)
и возвращаясь в атмосферу Земли. Точкой, соответствующей
номинальной траектории, является точка пересечения трех кри¬
вых ошибок (см. рис. 8.36) с ординатой, выходящей из нуля
шкалы абсцисс. Каждая кривая дает зависимость величины про¬
маха от ошибок в одной из составляющих скорости (предпола¬
гается, что отклонения других составляющих при этом равны
нулю). Сплошная кривая для Az/i соответствует случаю обрат¬
ной траектории облета, а точками показана кривая, соот¬
ветствующая прямому облету. Отчетливо видно преобладаю¬
щее влияние ошибок в касательной составляющей скорости
(Az/i) по сравнению с влиянием угловых ошибок (Aii).
Пунктирная линия для (Az/i)geocentric иллюстрирует измене¬
ние эксцентриситета геоцентрического эллипса (см. также
рис. 8.11).
Интересно рассмотреть влияние отклонений в величине у
При А г/i « 4,5 м/сек (15 фут/сек) космический аппарат пересе¬
кает орбиту Луны перед Луной. При Аг/i ^ —3 м/сек (—10 фут/сек)
аппарат попадает в Луну. При вариации Аг/i от —3 м/сек до
—9 м/сек точка попадания перемещается по диску Луны от пе¬
реднего до заднего края (см. также рис. 8.37). При дальнейшем
уменьшении скорости космический аппарат не попадает в Лу¬
ну— он пересекает лунную орбиту вслед за проходом Луны, со¬
вершая тем самым прямой гиперболический пролет. Влияние
Луны на находящийся вблизи нее аппарат столь велико, что ве¬
дет к уходу аппарата на независимую гелиоцентрическую орби¬
ту. По мере того как величина у уменьшается, влияние Луны
ослабевает и она оказывается не в состоянии «выбросить»
аппарат на гелиоцентрическую траекторию; аппарат постепенно
перестает достигать лунной орбиты.
Производная Ap/Aii так мала, что даже при ошибке Aii =
= + 105 м/сек (01 ~—0,01 рад — —0°,55) аппарат может совер¬
шить облет Луны и вернуться в атмосферу Земли вдоль траек¬
тории, близкой к номинальной. С другой стороны, отрицательная
ошибка Aii (радиальная скорость направлена от Земли; угол 01
положителен) ведет постепенно к уменьшению минимального
расстояния от Луны и, наконец, к попаданию в нее. Производная
по отклонениям скорости в ортогональном к плоскости номи¬
нальной орбиты направлении так мала, что делает их практи¬
чески несущественными. Величина Azi =122 м/сек соответствует
8.5]
ОБЛЕТ ЛУНЫ
411
наклонению плоскости переходной орбиты к плоскости движения
Луны на угол i = 0,01145 рад = 39'23"
В целом рис. 8.36 показывает следующее. Для малых ошибок
в трансверсальной скорости производная минимального расстоя¬
ния до Луны составляет
Ар , QQi -км ( * Лг* морек. миль \
Д£Г=±881 W^l±145 фут/сек j
[эта величина уменьшается до значения « ±608 м™ек
(±100 морск. мильIфут!сек), если при старте достигается или
превосходится параболическая скорость].
Для ошибок в радиальной скорости, когда Азс\ положительно,
Ар _ . к, „ км ( q морск. миль\
(4- Ахд ~~ 9 м/сек \ фут/сек )9
а для отрицательных значений
Ар _ ОС | км I . о морск. мили \
(— Алгх) Z°9 м/сек \ фут/сек J*
Наконец, для отклонений ортогональной составляющей ско¬
рости
Ар _ I О С1 КМ ( I 1 А М0РСК- мили \
(±Аг!) * м/сек \ * фут/сек J*
Эта величина почти не зависит от направления ошибок (к Се¬
верному или Южному полюсу от плоскости лунной орбиты).
В любом случае минимальное расстояние до Луны при облете
возрастает.
Рис. 8.36 далее показывает, что при заданных условиях из¬
менение скорости на величину Аг/i =—3 м/сек превращает траек¬
торию близкого пролета в траекторию попадания в Луну, в то
время как несколько метров в секунду избытка скорости, напри¬
мер Ay 1 = 3 м/сек, увеличили бы р от 4130 км до 6800 км. Изме¬
нения порядка 6-4-9 м/сек в х\ и нескольких сотен метров в се¬
кунду в zi практически не изменили бы характера облетной
траектории. Любые практически вероятные ошибки в х\ и z\ не
оказывают влияния даже на условия входа в атмосферу. Од¬
нако меньшие 3 м/сек отклонения в уi вызвали бы существенное
изменение траектории возвращения.
Приведенные графики близки к результатам проведенных в
рамках ограниченной задачи двух тел (глава 3) оценок допусти¬
мых величин отклонений в х\, уi, i\. Найденные здесь значения
допустимых ошибок для траекторий попадания в Луну будут
уточнены и более подробно обсуждены в § 8.6.
412
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
8.6. Попадание в Луну
Орбиты попадания в Луну определяются начальной ско¬
ростью, углом запуска, углом положения Луны, наклонением
орбиты и, наконец, фокусирующим эффектом гравитационного
притяжения Луны. Обращаясь к графикам изменения угла поло-
Vj = 35574фут/сек
Невидимая а Земли
часть Луны
Vj =35590фут/сек
W
Направление
орбитального
Неимения
Невидимая с Земли
часть Луны
Е Н Земле
(точна прямого
попадания)
Смещение точен попадания
при увеличении v7
Прямое попадание
(V; =35582 фут/сен)
Медленная
траектория
а)
б)
Ныстрая
траектория
Медленная
траектория
Медленная
траектория
выстрая
траектория
Рис. 8.37. Смещение точки попадания как функция начальной
скорости для эллиптических и гиперболических орбит пере¬
лета.
а) Дрейф точек попадания по поверхности Луны при эллиптических на¬
чальных скоростях; б) дрейф точек попадания при околопараболических
и гиперболических начальных скоростях.
жения Луны, приведенным на рис. 8.8, 8.9 и 8.13, можно усмо¬
треть, что в случае эллиптических начальных скоростей точка
попадания должна по мере монотонного изменения скорости
монотонно перемещаться по лунной поверхности. Допустим, что
для заданного момента времени ( то есть для заданного угла по¬
ложения Луны ЧО из фиксированного пункта одновременно за-
8.6]
ПОПАДАНИЕ В ЛУНУ
413
пущено несколько космических аппаратов под одинаковым углом
пуска, но с разными скоростями, изменяющимися от «малого
значения» до «большого значения». Допустим, далее, что этот
диапазон скоростей позволяет всем аппаратам, запущенным
«залпом», поразить Луну. Тогда, если все переходные орбиты
находятся в одной плоскости, точки попадания распределятся
вдоль линии, которая пересекает Луну от восточного (правого)
до западного края, в порядке
возрастания начальной скоро¬
сти.
Космический аппарат, запу¬
щенный с наименьшей скоро¬
стью, будет лететь наибольшее
время и, следовательно, попадет
на заднюю кромку Луны. Об¬
ладающий наибольшей скоро¬
стью аппарат этой группы по¬
падет в переднюю кромку (за¬
падный край) Луны.
Если, однако, диапазон ско¬
ростей расширяется и для не¬
которого максимального угла
положения Луны начинает
включать малые гиперболиче¬
ские начальные скорости, кар¬
тина становится иной (рис.
8.37). С увеличением начальной
скорости точки попадания пе¬
ремещаются от восточного
края к западному и затем
обратно к восточному. При еще больших скоростях в диапазоне
чисто гиперболических орбит точки попадания располагаются от
запада к востоку в порядке возрастания начальной скорости.
Эти условия иллюстрируются рис. 8.38, где показаны две «поло¬
сы попадания» для таких соотношений между углом положения
Луны и начальной скоростью, при которых имеет место попада¬
ние в Луну. Для траекторий, соответствующих центральной ли¬
нии каждой из полос, имеет место «прямое» попадание. Видно,
что при малой начальной скорости точка попадания переме¬
щается от восточного края диска к точке прямого попадания,
которая не обязательно находится в центре видимого с Земли
лунного диска (см. рис. 8.37), и при возрастании скорости про¬
должает перемещаться к западу. Однако при определенных
углах положения Луны наблюдается максимальная устойчи¬
вость траектории по отношению к ошибкам в величине начальной
Мочальная скорость vt (фут/сек)
Рис. 8.38. Области попадания в Луну
в зависимости от начальной скорости,
угла ее возвышения и угла положе¬
ния Луны.
414
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
скорости (линия А—В). В этом случае точки попадания переме¬
щаются от восточного края к западному и обратно, что изобра¬
жено на рис. 8.37, б. При еще больших углах положения (выше
максимума центральной линии) точка попадания с увеличением
начальной скорости перемещается с востока к западу до неко¬
торого предела и затем назад, к восточному краю Луны.
Рис. 8.38 можно использовать при оценке допусков в величи¬
нах начальной скорости и угла положения Луны для траекторий
попадания в Луну. Рассмотрим сначала диапазон начальных
скоростей от va до ve (рис. 8.39). В точках пересечения ординат,
I
I
ф
200
К
л
|\
' \ ,
/1
/ |
I
1 чСх
1
1
1
1
1
Vop
к
L и _
V
у
Л
-0\
ч
\
У
1
ч
1
/
)
/
/
/
III
7е-
1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 -L.J-
1 I 1.1_
35400 36400 37400
Начальная скорость v, (фут/сек)
Рис. 8.39. Использование графиков,
приведенных на рис. 8.38, для оценки
допусков на величины начальной
скорости и угла положения Луны
для траекторий попадания в Луну.
Рис. 8.40. Суммарный допуск на ве¬
личину начальной скорости в зави¬
симости от ее номинального значения
для траекторий попадания в Луну
(компланарный перелет; круговая
орбита Луны).
соответствующих этим скоростям, с линией прямого попадания
находим допустимые отклонения скорости Av. Видно, что при
низких скоростях (левая часть графика) этот допуск очень мал,
но быстро растет при скоростях v > va. При скорости vb допуск
Avb достигает первого максимума, затем уменьшается при ско¬
рости vc и опять увеличивается, достигая второго максимума
при vd) причем Avd = Avb. Другими словами, Avc соответствует
минимуму «седла» между двумя максимумами: Avb и Avd. Далее
допуск снова уменьшается, не достигая, однако, таких малых
значений, как в эллиптической части графика (рис. 8.40). Сле¬
дует заметить, что эти значения Av определяют суммарный до¬
пуск. Среднее значение допуска не обязательно равно ± Av.
Это, в частности, очевидно в случае скоростей vb и vd (рис. 8.39),
8.6]
ПОПАДАНИЕ В ЛУНУ
415
для которых допуск имеет одно и то же значение Av. В случае
скорости vb допустимый недобор скорости совсем мал, а допу¬
стимый избыток весьма велик. Для скорости vd имеет место
обратная ситуация (см. также рис. 8.39). С другой стороны, для
скорости vc и для скоростей в крайних левой и правой частях
графика (va и ие) допустимая ошибка распределяется почти сим¬
метрично относительно номинального значения (линии прямого
попадания). Соответствующие положительный и отрицательный
допуски представлены графически на рис. 8.4Ь
Рис. 8.41. Плюсовые и минусовые допуски на отклонения
начальной скорости в зависимости от ее номинального
значения для траекторий попадания в Луну (компланар¬
ный перелет; круговая орбита Луны).
Значения допустимого отклонения угла положения Луны из¬
меняются иначе. В глубокой эллиптической области, где вели¬
чина допуска Av мала, значение ДЧ** велико (см., например, AWa
для va и Ч'а на рис. 8.39), но затем с увеличением скорости зна¬
чение ДЧ*’ уменьшается, причем сначала достаточно резко
(рис. 8.42).
Варьируя величину начального угла 01 наклона скорости, мо¬
жно установить требование по точности к направлению запуска.
Установлено (рис. 8.43), что допустимая ошибка в начальном
угле уменьшается с увеличением скорости перелета. В обоих слу¬
чаях (рис. 8.42 и 8.43) видно, что большее значение угла 01 при¬
водит к более мягким допускам в области гиперболических По-;
летов. Это нетрудно усмотреть, если провести сравнение верти¬
кального и горизонтального стартов с большими скоростями.
416
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
(ГЛ. 8
При горизонтальном старте малое отклонение направления ско¬
рости дает больший промах, чем при вертикальном старте.
Рис. 8.44 иллюстрирует связь допустимого отклонения на¬
клонения орбиты, то есть допустимого нарушения компланарно¬
сти перелета, с величиной начальной скорости при двух началь¬
ных углах: 0j = 0 и 01 = 30°. Интересно заметить, что большее
значение угла 01 сильно увеличивает чувствительность к откло¬
нениям от плоскости лунной орбиты.
• Начальная скорость vf (фут/сек)
Рис. 8.42. Суммарный допуск на величину угла
положения Луны и эквивалентный допуск на вре¬
мя старта как функции начальной скорости для
траекторий попадания в Луну (компланарный
перелет; круговая орбита Луны).
Результаты изучения орбит попадания в Луну можно резю¬
мировать следующим образом.
1. Начальное значение угла положения Луны увеличивается
с ростом величины начальной скорости в диапазоне эллиптиче¬
ских начальных скоростей. Оно достигает максимума при малой
гиперболической скорости, а затем уменьшается с дальнейшим
увеличением скорости (рис. 8.10, 8.13, 8.38). Таким образом, при
отсрочке старта начальная скорость должна быть увеличена в
диапазоне эллиптических скоростей и уменьшена в области ги¬
перболических скоростей, в то время как в диапазоне околопа-
раболических скоростей угол положения Луны W близок к мак¬
симуму и нечувствителен к вариациям начальной скорости.
2. Для диапазона эллиптических скоростей точки попадания
в Луну перемещаются от восточного (правого) края диска к за-
8.6]
ПОПАДАНИЕ В ЛУНУ
417
падному, по мере того как начальная скорость увеличивается,
оставаясь эллиптической. Направление смещения противополож¬
но при больших гиперболических скоростях. Если рассматривае¬
мый диапазон скоростей включает значение скорости, соответ¬
ствующее максимальному углу положения Луны, то точки по¬
падания смещаются от восточного края Лун& к западному и
обратно к восточному (рис. 8.37, 8.38, 8.42).
3. Для компланарных орбит допустимое отклонение началь¬
ной скорости для траекторий попадания в Луну является в ос¬
новном функцией начальной скорости и угла старта. Величина
суммарного отклонения изменяется примерно от 30 м/сек
(100 фут/сек) до 240 м/сек (800 фут/сек) (рис. 8.40). Допуск
несимметричен, и максимум положительного отклонения (избыт¬
ка скорости) имеет место всегда при меньших скоростях по срав¬
нению с максимумом отрицательного отклонения (недобора ско¬
рости) (рис. 8.41). За номинальное значение при определении
допусков принята величина скорости, при которой имеет место
радиальное падение на Луну. Допустимые ошибки в величине
скорости весьма малы при минимальных скоростях перелета, до¬
стигают больших значений при околопараболических (эллипти¬
ческих или гиперболических) скоростях и уменьшаются опять,
хотя и менее заметно, при высоких гиперболических ско¬
ростях.
4. При больших начальных скоростях допустимое отклонение
скорости значительно возрастает с увеличением угла 0ь При
малых начальных скоростях больший допуск наблюдается при
малом или нулевом угле 0j (рис. 8.41).
5. Допустимая ошибка, в угле положения Луны (времени
старта) велика при малых начальных скоростях и мала при вы¬
соких скоростях перелета (рис. 8.42).
6. Допустимая ошибка во времени старта увеличивается с
ростом угла 0ь если начальная скорость велика. При малых ско¬
ростях малые углы старта дают большее значение допуска
(рис. 8.42).
7. Суммарный допуск на угол наклона начальной скорости
быстро уменьшается с увеличением начальной скорости. Он силь¬
но меняется при малых скоростях, но остается почти постоян¬
ным при высоких гиперболических скоростях (рис. 8.43).
8. В случае больших углов 0! допустимая ошибка в угле
максимальна при высоких скоростях. При малой скорости ма¬
лые углы старта дают большее значение допустимой ошибки.
9. Сравнение допусков в величинах начальной скорости и
угла старта показывает, что при очень малых начальных скоро¬
стях имеет место мягкий допуск на угол старта, но жесткий —
на скорость. Если аппарат запускается с околопараболической
27 К. Эрике, г. II
418
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
скоростью, угол старта должен быть выдержан совершенно точ¬
но, в то время как допустимое отклонение скорости может иметь
значительную величину.
10. Допустимая ошибка в наклонении орбиты (допустимое
отклонение плоскости орбиты перелета от плоскости лунной ор¬
биты) резко уменьшается с увеличением начальной скорости
(рис. 8.44).
11. Допустимая ошибка в наклонении орбиты уменьшается
с увеличением угла старта для всех диапазонов начальных ско¬
ростей, но особенно при малых начальных скоростях (рис. 8.44).
3,0
tilt*
!1
'ОгЗО4
■0,=О
30400 37400 37000
Начальная скорость vf (фут/сек)
Рис. 8.43. Суммарный допуск на ве¬
личину угла наклона скорости в за¬
висимости от величины начальной
скорости для траекторий попадания
в Луну (компланарный перелет; кру¬
говая орбита Луны).
1
Ss й- •
|| ‘
Г
1
\ т.
в,=30°
\
\ч
к /
§ 35400 30000 35500
Начальная скорость v, (фут/сек)
Рис. 8.44. Допуск на ве¬
личину наклонения ор¬
биты как функция на¬
чальной скорости для
траекторий попадания
в Луну (компланарный
перелет; круговая орбита
Луны).
На рис. 8.45—8.47 приведены три примера траекторий попа¬
дания в Луну. Рис. 8.45 иллюстрирует попадание в Луну через
102,3 ч после старта. Здесь же показана (пунктирная кривая)
расчетная траектория, по которой следовал бы космический ап¬
парат, если масса Луны была бы сосредоточена в одной точке.
В этом случае гиперболический пролет был бы прямым и геоцен¬
трическая скорость аппарата после прохода около Луны оказа¬
лась бы весьма высокой [около 1950 мДек (6500 фут/сек) при
выходе из сферы действия Луны, что соответствует сильно ги¬
перболической траектории]. На рис. 8.46 сравнивается невозму¬
щенная траектория с траекторией попадания и орбитой аппа¬
рата в случае точечной массы Луны.
у (тыс. морских миль)
ПОПАДАНИЕ В ЛУНУ
Рис. 8.45. Траектория попадания космического аппарата
в Луну.
Траектория аппарата в случае^,
точечной массы Луны
50
Ф —120° Г Невозмущенная
vp=34m фут/се* H^SSSST
ур=300морских миль
224 ' Рпо ~
50 100 150
х (тыс. морских миль)
v0=34918фут/сек, Фо=-60°
Рис. 8.46. Траектория попадания космического аппарата
в Луну.
420
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
Наконец, на рис. 8.47 показан интересный случай попадания
в обратную сторону Луны по нисходящей ветви траектории. Эту
Рис. 8.47. Траектория попадания космического аппарата
в Луну («баскетбольный» запуск).
ситуацию можно назвать «баскетбольным» запуском. Ее осу¬
ществление явилось бы шедевром космического снайперского
искусства.
8.7. Посадка на Луну
Траектория посадки на Луну в основом обладает теми же
свойствами, что и траектория попадания в Луну, за исключением
последнего участка. Посадка на Луну требует по меньшей мере
одного маневра в конце перелета, а именно: торможения в
большей или меньшей близости от поверхности Луны (маневр
посадки), которое должно устранить целиком или частично вер¬
тикальную составляющую скорости и остаточную горизонталь¬
ную скорость. При посадке на Луну представляет особый инте¬
рес специальный случай радиального (вертикального) попада¬
ния, рассматривавшийся в качестве номинального в предыдущем
параграфе, поскольку он упрощает маневр посадки. Хотя воз¬
можно одновременно обратить в нуль касательную и радиальную
(вертикальную) составляющие скорости, было бы желательно
устранять касательную составляющую в процессе выполнения
отдельного предварительного маневра (рис. 8.2). Здесь имеются
8.7]
ПОСАДКА НА ЛУНУ
421
в виду те ситуации, когда касательная составляющая скорости
обязана своим происхождением ошибке в осуществлении наме¬
ченной траектории радиального попадания. В этом случае пред¬
варительный маневр имеет характер маневра коррекции, кото¬
рый должен привести аппарат ближе к району, выбранному для
посадки.
Маневр
захвата
Промежуточная орбита искусственного
спутника Луны (бколокругоеая)
Активный участок
Маневр коррекции плоскости
траектории перед выходом
на орбиту искусственноея
спутника Луны
Подлетная траектория
для радиального попадания
или мягкой посадка
Подлетная траектория
для грубой посадка
Свободное падение
после торможения '
при грубой посадке
Траектория попадания
при отсутствии торможения
Рис. 8.48. Методы посадки на Луну.
а) Маневр посадки с несколькими активными участками (посадка
с орбиты); б) прямая посадка на Луну.
Наиболее важные параметры, определяющие энергетические
затраты при посадке на Луну при заданной скорости столкнове¬
ния, суть тип посадки и селеноцентрическая скорость прибытия.
Существуют два основных типа посадки на Луну:
1. Маневр посадки с несколькими активными участками.
2. Прямая посадка.
Схемы обоих методов приведены на рис. 8.48,
422 ПОЛЕТ к ЛУНЕ [ГЛ. 8
Первый тип маневра посадки более гибок в смысле выбора
места посадки. По крайней мере он дает возможность сделать
выбор в пределах более или менее узкого кругового пояса вбли¬
зи плоскости орбиты захвата. Принципиальным недостатком
здесь являются высокие по сравнению с прямой посадкой энерге¬
тические требования.
Селеноцентрическая гиперболическая скорость на бесконеч¬
ности дается формулой
wr
, = У и2 + v\ — 2uv2 cos р2 >
где и — средняя орбитальная скорость Луны, a v2 и (32 имеют
тот же смысл, что и раньше. Известно, что и = 1,017 км/сек =
= 3335 фут/сек. Селеноцентрическая скорость в начале маневра
захвата на высоте у\ составляет:
т Г«
где wPil=y местная параболическая скорость. Следо¬
вательно, импульс захвата равен
Да», « w, - wc<, = we< i [У(^-)2 + 2 - l], (8.2).
где wCt, = V — местная круговая скорость. Импульс скоро-
Pi
сти при спуске с круговой орбиты радиуса pi равен [ср. уравне¬
ние (2.10)]
так что суммарные затраты импульса скорости при этом типе
маневра посадки составляют по меньшей мере:
2 Ддо^Дш, + wE', = Vwl> + wl, 1 +Wc.t(y 1 + -^ l), (8.3)
SA»>»-(/fe)!+2+/1+£ -■)• <8-4>
Это — идеальная оценка, которая не учитывает гравитацион
ных потерь при конечном времени выдачи импульса. Прямая по¬
садка в идеальном случае при выполнении маневра над поверх¬
ностью, то есть на расстоянии роо от центра Луны, требует им¬
пульса
(Aw)w - /< + <<» ~ Wc, 1 + 2 ’ <8,5)
8.7] ПОСАДКА НА ЛУНУ 423
2 К
где w2 по = ——. Эти затраты меньше, чем 2 Аил Разность
Роо
(5)Аа’)”(Ао')оо = «юе.1(|/1
увеличивается с увеличением высоты промежуточной орбиты
спутника Луны (с увеличением разности wE и wc), как это вид¬
но из таблицы 8.4.
Таблица 8.4
Разность импульсов скорости, необходимых для осуществления
мягкой посадки с промежуточной круговой орбиты спутника
Луны с несколькими активными участками и для прямой
мягкой посадки с торможением у поверхности
Высота ух
промежуточной
орбиты
искусственного
спутника Луны,
морские мили
Отношение
величины
радиуса-вектора
к радиусу Луны
Роо + У\
Роо
Местная
круговая
скорость wc l,
фут1сек
Разность
импульсов для
двух типов
маневров
(2 АйУ) “ (д°у)оо,
фут/сек
10
1,016
5478
43,6
20
1,0213
5450
57,8
40
1,0426
5340
112,0
60
1,0639
5339
167,5
80
1,0852
5287
220,0
100
1,1066
5235
268
200
1,2132
5000
506
300
1,3198
4794
714
400
1,4264
4611
895
600
1,6396
4301
1209
800
1,8528
4046
1459
1000
2,0660
3831
1671
2000
3,1321
3112
2395
3000
4,1982
2687
2820
4000
5,2643
2400
3100
Приведенные оценки затрат являются, однако, идеализиро¬
ванными, так как они получены в предположении, что скорость
изменяется импульсным образом и торможение при прямой по¬
садке осуществляется в непосредственной близости к лунной
поверхности. Спуск с круговой орбиты потребует затрат боль¬
ших, чем wE, вследствие гравитационных потерь, накопляющих¬
ся за конечный период работы двигательной установки. Время
работы двигателя при прямой посадке также конечно, и активный
участок должен начинаться на сравнительно большой высоте,
особенно вследствие того, что общее изменение скорости в этом
случае больше. Предположим, например, что космический аппа¬
рат сближается с Луной по вертикали со скоростью 2743 м/сек
424
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
(9000 фут/сек), а его двигательная установка способна создать
тормозящее ускорение около 3g в течение 90 сек, на протяжении
которых аппарат со средней скоростью, скажем, 1524 м/сек
(5000 фут/сек) будет падать на Луну с высоты 137 км. Где-то
на высоте между 35 и 55 км скорость аппарата будет иметь зна¬
чение, соответствующее местной круговой скорости. Таким обра¬
зом, этот процесс был бы более экономичным, чем маневр с про¬
межуточным участком полета по орбите высотой от 90 до 110 км.
Однако в зависимости от точности высотомера, установленного
на аппарате, торможение может начаться на большей или мень¬
шей высоте (от 18,5 до 185 км), в результате чего экономичность
маневра изменится. Или, если аппарат способен создавать сред¬
нее ускорение только 0,3-^0,5 g или меньше, активный участок
должен начинаться на много больших высотах, например на
высоте порядка 1100/сж или выше, в зависимости от точности
высотомера. Итак, аппарат с двигательной установкой малой
тяги должен быть выведен на промежуточную орбиту, высота
которой больше некоторого минимального расстояния, достаточ¬
ного для того, чтобы обратить в нуль скорость аппарата в тече¬
ние фазы его свободного падения и активного торможения.
Несмотря на ряд деталей, которые могут потребовать в отдель¬
ных случаях более тщательного рассмотрения, общая тенденция
заключается в том, что маневр посадки с несколькими активны¬
ми участками оказывается в той или иной степени менее эконо¬
мичным. Космический аппарат, двигательная установка которого
может создавать среднее ускорение от 2 до 4g, снабженный точ¬
ным высотомером, может достигнуть Луны более экономично с
помощью прямого маневра, хотя возможности управления сбли¬
жением и навигации позволяют вывести аппарат на промежу¬
точную орбиту высотой меньшей, чем 185 км.
На практике вопрос о целесообразности очень низкой про¬
межуточной орбиты, которая позволит маневру посадки с орби¬
ты конкурировать по экономичности с методом прямой посадки,
остается открытым, в особенности для случая посадки аппарата
на обращенную к Земле сторону Луны (только такой выбор
места посадки полезен, так как в противном случае аппарат дол¬
жен для передачи информации на Землю подниматься на орбиту
спутника Луны)1). Цель маневра посадки с орбиты заключается
в получении более широких возможностей выбора места прилу¬
нения, чем при методе прямой посадки. Однако космический ап¬
парат на орбите высотой, скажем, 122 км (двухчасовая орбита)
‘) Доводы автора неубедительны, так как аппарат может оставить на
орбите спутника Луны ретранслятор, с помощью которого можно поддержи¬
вать связь с Землей. (Прим. перев.)
8.7]
ПОСАДКА НА ЛУНУ
425
имеет относительно поверхности Луны скорость около 1400 м/сек.
Это не оставляет достаточного времени для принятия решения,
если не рассматривать случая нескольких оборотов по промежу¬
точной орбите. Кроме того, любое изменение курса дорого обой¬
дется в смысле экономичности. Следует иметь в виду, что и диа¬
пазон видимости ограничен. Все эти обстоятельства затрудняют
осуществление посадки.
С другой стороны, если место посадки выбрано заранее, его
можно достигнуть непосредственно при той же точности управле¬
ния, которая необходима для выхода на промежуточную орбиту
низкой высоты. С точки зрения выбора места для посадки более
желательна высокая орбита спутника Луны (высота около 370-г-
740 км\ см. рис. 8.108), поскольку она более выгодна для обозре¬
вания поверхности Луны и изменения плоскости орбиты. В этом
случае, по-видимому, маневр посадки с несколькими активными
участками менее экономичен на величину порядка нескольких
сотен метров в секунду. Существенна эта величина на практике
или несущественна — зависит от энергетических возможностей
аппарата1). Дополнительными факторами, которые необходимо
учитывать при использовании маневра посадки с орбиты, яв¬
ляются необходимость повторного включения двигательной уста¬
новки, точной ориентации аппарата в этот момент и, в случае
совершения нескольких оборотов по промежуточной орбите,
когда применяется криогенное топливо, опасность увеличения
потерь на испарение, поскольку иррадиация Луны, действующая
в дополнение к солнечной радиации, тем интенсивнее, чем ближе
аппарат к поверхности Луны. Однако последнее сображение, воз¬
можно, не очень существенно, если баки с топливом защищены
отражателем, который так или иначе все равно будет необходим.
Схема экспедиции может потребовать выхода на орбиту
спутника Луны, лежащую вне той плоскости, в которой ранее
двигался прибывающий космический аппарат. Для заданных
вектора скорости v2 и точки входа в сферу действия Луны селе¬
ноцентрическое наклонение i орбиты захвата задано однозначно
(рис. 8.49). Если необходимо другое значение наклонения, надо
изменить плоскость орбиты либо с помощью предварительного
маневра (рис. 8.52), либо посредством маневра, выполняемого
!) Эти замечания автора лишены определенности. Величина характери¬
стической скорости не может служить единственным показателем рациональ¬
ности той или иной схемы полета, в частности и схемы посадки на Луну.
Может оказаться, что при одинаковых начальных весах носителя вес полез¬
ного груза, возвращаемого на Землю после осуществления экспедиции на
Луну, получится большим для схемы, предусматривающей предварительный
выход на орбиту спутника Луны, чем для схемы прямой посадки и взлета
с поверхности луны. (Прим. ред.)
426
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
в комбинации с соответствующим маневром захвата. Если ма¬
невр поворота плоскости должен быть выполнен независимо,
лучше осуществлять его в момент, когда скорость минимальна.
Подходящим местом для совершения поворота плоскости орбиты
Рис. 8.49. Наклонение селеноцентрической орбиты за¬
хвата в зависимости от вектора геоцентрической ско¬
рости и положения точки входа в сферу действия
Луны.
I — IV: четыре геоцентрические орбиты перелета; i/ —i/y: накло¬
нения орбит к плоскости орбиты Луны; a — d: селеноцентриче¬
ские гиперболы, соответствующие орбитам I — — на¬
клонения селеноцентрических гипербол к плоскости орбиты
Луны; (a) — (d): проекции селеноцентрических гипербол на по¬
верхность Луны.
является область перехода от геоцентрических к селеноцентри¬
ческим траекториям, особенно та ее точка, где космический ап¬
парат входит в сферу действия Луны. Если местная скорость
равна Woo, то для изменения селеноцентрического наклонения Ai
требуется импульс = 2^^ sin . Совместно с определен¬
ным выше импульсом захвата Awx суммарный импульс, необхо¬
димый для раздельного поворота плоскости орбиты и маневра
захвата, составляет:
(8.6)
8.7) ПОСАДКА НА ЛУНУ
в то время как комбинированный маневр требует
Aw' = У + w2
с, I
•2wlwc jCOsAi.
427
(8.7)
На рис. 8.51—8.53 показаны графики изменения 2 Аяу и Aw'
в функции изменения наклонения орбиты Ai и начальной
Ю'|—
I 104
t
W3
■ 43ООО
- 36500
36300
36200
\ 36100
36000
10 20 30 40 50 60 70 60 90
Ai (градусы)
Рис. 8.50. Вариации импульса Ao>t для изменения плоскости
траектории и импульса Дач для плоского маневра захвата
в зависимости от начальной скорости V\ на высоте 30 км
(100 ООО фут).
скорости vi. Видно (рис. 8.51), что для заданной скорости Vi ком¬
бинированный маневр (Ао;') более экономичен при значениях Ai,
меньших некоторой определенной величины. Если величина Ai
становится слишком большой, то два маневра, выполняемых раз¬
дельно (2Аяу), оказываются более экономичными, чем один
комбинированный маневр. Для ситуации, изображенной на
428
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
ГГ Л. 8
рис. 8.51, когда начальная скорость v\ = 10,97 км/сек сравни¬
тельно мала, точка пересечения кривых соответствует значению
Ai « 53°. При возрастании начальной скорости v\ точка пересе¬
чения кривых быстро смещается в область высоких значений At.
О 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Ль (градусы)
Рис. 8.51. Сравнение раздельных маневра изменения пло¬
скости траектории и маневра захвата на высоте 30 км
и комбинированного маневра поворота плоскости и за¬
хвата на той же высоте.
'ZAw — раздельные маневры; ДШ| — комбинированный маневр;
t>i — 10,97 гсм1сек (36 000 фут/сек).
Как показано на рис. 8.53, затраты одинаковы для Ai = 90° при
v\ = 11000 м/сек (36 090 фут/сек) (см. врезку на рис. 8.53 —
пересечение кривой Ai = 90° с нулевой линией).
Для 'г>1 >11 000 м/сек комбинированный маневр поворота
плоскости орбиты и захвата всегда более экономичен, чем раз¬
дельное выполнение этих маневров. Этот вывод несколько изме¬
няется, если высота орбиты искусственного спутника Луны, на
которую выходит космический аппарат после маневра захвата,
превосходит нижний предел, равный 30000 м (100 000 фут). Чем
больше высота, на которой совершается маневр захвата, тем
дольше метод раздельного выполнения маневров сохраняет свое
преимущество в экономичности перед комбинированным мане¬
8.7]
ПОСАДКА НА ЛУНУ
429
вром. И все же на практике комбинированный маневр чаще ока¬
зывается более экономичным.
В дополнение следует заметить (см. рис. 8.50), что в преде¬
лах некоторого диапазона значений начальной скорости V\ и
угла поворота Ai более экономично производить запуск в нуж¬
ной плоскости прямо с Земли. Если, например, желательно
О 70 20 30 40 50 60 70 80 00
Ас (градусы)
Рис. 8.52. Сравнение раздельных маневра изменения плоскости траек¬
тории и маневра захвата на высоте 30 км и комбинированного ма¬
невра поворота плоскости и захвата на той же высоте для разных
значений угла поворота плоскости траектории.
вывести аппарат на орбиту полярного спутника Луны и затем
осуществить его спуск на поверхность Луны, то было бы более
выгодным запустить аппарат на околополярную1) переходную
орбиту с Тихоокеанского полигона, нежели с Атлантического,
поскольку отказ от использования орбитальной скорости Земли
является меньшей потерей по сравнению с необходимостью при¬
ложения импульса для такого большого поворота плоскости
орбиты около Луны.
Причина того, что преимущество раздельных маневров имеет
локальный характер, заключена в том факте, что с увеличением
начальной скорости V\ селеноцентрическая гиперболическая
9 Запуски космических аппаратов на околополярные орбиты произво¬
дятся в США с Тихоокеанского полигона. (Прим. перев.)
430
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
скорость на бесконечности растет быстрее, чем скорость W\
на высоте 30 ООО м над Луной. Маневры с приложением импуль¬
са по бинормали (маневры поворота) быстро становятся более
дорогими с возрастанием орбитальной скорости. На рис. 8.54
сравниваются вариация селеноцентрической скорости w\ на вы¬
соте у = 30 ООО м, гиперболический избыток скорости Woo и гео¬
центрическая скорость v2 при¬
бытия на лунную орбиту, при¬
веденные в функции V\.
' ' ' ' |
Lr
1^/7
=
90°
70°
50°
300
20°
10°
5°
Ai=90°
у-
-У
У
-70%
La зб’° з¥
Ц (тыс фут/сек) /
^24\
40 42 44 46 48
V, (тыс. фут/сек)
Рис. 8.53. Сравнение раздельных ма¬
невра поворота и маневра захвата на
высоте 30 км и комбинированного
маневра на той же высоте для раз¬
личных значений начальной скорости.
2Да> — раздельные маневры; Дш[ — комби¬
нированный маневр.
34
32
30
| 26
М 24
t 22
£ 20
^ 18
\ 1В
14
12
10
8
6
4
2
О
36 38
У,
\6
У
А
У.
У
/л
К
У
А
А
\
/
/
\
У/У
I I
/
Г л
J
А
II
А
V36(^1 го0
/
л
/
у=100морских миль
40 42 44
V/ (тыс. фут/сек)
46 48
Рис. 8.54. Скорость на высоте 30 км
над поверхностью Луны, селеноцен¬
трический гиперболический избыток
скорости wоо и геоцентрическая
скорость прибытия v2 в зависимо¬
сти от геоцентрической начальной
скорости.
В определениях, сформулированных в § 8.2, делается разли-
личие между жесткой и мягкой посадками на Луну. При же¬
сткой посадке перегрузка, действующая на космический аппарат,
может достигать 40 100. Поэтому научное оборудование, раз¬
мещенное на аппарате, а также энергетическая установка и
приемо-передающая аппаратура должны быть достаточно проч¬
ными. Поскольку такое оборудование создать возможно, жест-
8.7]
ПОСАДКА НА ЛУНУ
431
кая посадка практически осуществима и имеет определенную
научную ценность. Термин «мягкая посадка» предполагает, что
космический аппарат достигает лунной поверхности с нулевой
или малой скоростью, так что человеком или сравнительно хруп¬
кой аппаратурой столкновение может быть перенесено благопо¬
лучно. В этой связи надо помнить, что гравитационное притяже¬
ние у поверхности Луны составляет только около одной шестой
части земного. Скорость столкновения после падения с некото¬
рой высоты у равна v=Y2gy. Следовательно, допустимая вы¬
сота свободного падения на поверхность Луны относится к со¬
ответствующей высоте для Земли, как
^ = i®. =-i_ = 6,06, (8.8)
Уф g€ 0,165 v ’
то есть она примерно в шесть раз больше при равных допусти¬
мых скоростях соударения.
Контакт с Луной выдвигает задачи, которые характерны для
маневров посадки на все небесные тела, лишенные атмосферы.
Отсутствие атмосферы не только означает, что падение на по¬
верхность небесного тела должно быть остановлено с помощью
тяги ракетной двигательной установки, но также и то, что обыч¬
ные средства стабилизации в течение заключительной фазы
спуска, такие как крылья, парашюты или надувные баллоны с
переменной подъемной силой, не могут быть использованы.
Очевидное решение этой проблемы состоит в том, чтобы при
падении вплоть до соприкосновения с поверхностью планеты
осуществлять стабилизацию с помощью .реактивных сил основ¬
ной двигательной установки и управляющих двигателей, либо
только посредством управляющих двигателей. Другие методы
сводятся к ослаблению удара при посадке механическими сред¬
ствами.
Рис. 8.55 иллюстрирует случай полностью активной посадки
на Луну одноступенчатого аппарата, снабженного кислородно¬
водородной двигательной установкой. Водородный бак защищен
от солнечной радиации экраном с высоким коэффициентом от¬
ражения. Экран представляет собой покрытую алюминием плен¬
ку, обернутую вокруг бака. На рис. 8.55, кроме основной двига¬
тельной установки, видны малые управляющие двигатели, рабо¬
тающие на перекиси водорода. Полезный груз находится над
водородным баком. Автоматическая станция снабжена выдвиж¬
ными опорами типа «паучьи ноги», которые должны препятство¬
вать опрокидыванию аппарата после посадки. Однако почва мо¬
жет оказаться столь необычной, что опрокидывание, возможно,
не удастся предупредить. Двигательная установка аппарата как
432
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
Рис. 8.55. Мягкая посадка на Луну космического аппарата за счет
торможения с помощью реактивных сил основной двигательной
установки.
Рис. 8,56. Спуск на поверхность Луны с отделением полезного груза.
8.71
ПОСАДКА НА ЛУНУ
433
бы выметает с площадки, на которую он садится, пыль и облом¬
ки горных пород. Форма стремительно расширяющейся в усло¬
виях вакуума реактивной струи исключает возможность повре¬
ждения аппарата рикошетирующими камнями.
Несколько более элегантным методом посадки контейнера с
оборудованием является посадка с предварительным отделением
приборного отсека после прекра¬
щения работы основной двига¬
тельной установки при надлежа¬
щих значениях скорости и высо¬
ты над поверхностью Луны (рис.
8.56). Приборный отсек, снабжен¬
ный своей собственной системой
управляющих двигателей и стаби¬
лизированный с помощью инер-
циальной системы, опускается бо¬
лее медленно, чем остальная кон¬
струкция аппарата. Перекись
водорода или гидразин, исполь¬
зуемые в качестве однокомгюнент-
ного топлива1), хранятся в торо¬
идальном (имеющем форму буб¬
лика) баке, который при контакте
с поверхностью Луны образует
платформу для приборного отсе¬
ка и уменьшает вероятность опро¬
кидывания.
На рис. 8.57 изображена ак¬
тивная посадка пилотируемого
многоступенчатого космического
корабля. Для этого проекта ха¬
рактерно наличие двигателей, оси
которых могут быть направлены
почти горизонтально. По мере
того как спускающийся корабль Рис. 8.57. Спуск на Луну косми-
приближается К лунной поверх- ческого корабля. (Двигатели от-
ности, тяга все больше отклоняет- “’коЗля "оскоТам
ся от вертикали к горизонталь- ной почвы),
ному направлению, реактивные
струи сдувают в стороны пыль и камни и в то же время умень¬
шают осевую составляющую тяги, что позволяет кораблю мед¬
ленно опускаться.
*) Однокомпонентным топливом называют жидкость, которая с по¬
мощью катализатора разлагается, освобождая тепло, превращающее про¬
дукты разложения в горячий газ.
28 К. Эрике, т. и
434
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
Рис. 8.58 иллюстрирует грубую посадку на Луну автомати¬
ческой станции с помощью «Лр®НИКающ*г* острия» [9]. Эта схе¬
ма, предложенная Лангом из «Рэнд Корпорэйшн», включает
РДТТ и острый костыль. Когда аппарат сталкивается с Луной,
первый удар принимает на себя корпус РДТТ. Затем костыль
проникает в грунт Луны, рассеивая при этом процессе избы¬
точную энергию и обеспечивая ориентацию аппарата после того,
как он придет в состояние покоя. Применение костыля требует
Рис. 8.58. Возможный метод посадки автоматической станции на Луну.
тщательного устранения (может быть, целиком) боковой соста¬
вляющей скорости, поскольку в противном случае аппарат может
начать вращаться вокруг точки контакта острия с почвой и при¬
борный отсек разобьется о поверхность Луны, несмотря на
использование острия. Эффективность этого метода зависит, ко¬
нечно, от твердости лунной почвы. Однако при падении с боль¬
шой скоростью (несколько сотен метров в секунду) проникаю¬
щее острие может оказаться эффективным.
Быть может, двумя наиболее важными неизвестными усло¬
виями при рассмотрении задачи посадки на Луну являются
толщина пылевого покрова на поверхности Луны и частота и
размеры впадин (расщелин) на ее поверхности. С точки зрения
динамики посадки, неровности поверхности и наличие впадин и
расщелин могут оказаться факторами, имеющими критическое
значение.
На рис. 8.59 и 8.60 приведены две исключительно четкие фо¬
тографии северо-западной части Луны, сделанные доктором
Динсмором Элтером, бывшим директором обсерватории Гриф¬
8.7]
ПОСАДКА НА ЛУНУ
435
фитса (Лос-Анжелес, Калифорния)1). Некоторые участки фото¬
графий, выделенные рамками, увеличены на последующих ри¬
сунках, чтобы показать максимум деталей. Заметим, что мас¬
штаб для оценки расстояний можно получить, если учесть, что
Рис. 8.59. Северо-западная часть Луны.
восточно-западный диаметр кратера Платон (рис. 8.68) соста¬
вляет 79 км. Участки, изображения которых увеличены, выбира¬
лись в основном вдоль терминатора, где условия освещения
позволяют обнаружить мелкие детали поверхности.
*) Последующие данные представляют в настоящее время лишь истори¬
ческий интерес. Текст и рисунки настоящего и предыдущего параграфов содер¬
жали в американском оригинале путаницу в ориентации стран света на
Луне. При переводе в соответствии с решением XI Генеральной ассамблеи
Международного Астрономического Союза (Беркли, 1961 г.) принята ориен¬
тация, аналогичная земной. Исправлены также рис. 8.59—8.72, которые в аме¬
риканском издании представляли собой зеркальные изображения участков
лунной поверхности. (Прим. перев.)
28*
436
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
На фотографии, представленной на рис. 8.61, показаны Залив
Радуги и (к северу) Море Холода. Поверхность, образующая
Залив Радуги, кажется совершенно гладкой и ровной. Однако в
действительности она покрыта грядами мягких возвышенностей,
подобных тем; которые видны на рис. 8.62—8.67, 8.71 и 8.72.
Рис. 8.60. Северо-западная часть Луны.
Они создают впечатление песчаных дюн, но это впечатление мо¬
жет быть неверным. Вместо мягкого песка или пыли поверхность
может напоминать высушенную Солнцем, растрескавшуюся кор¬
ку грязи, но не податливую, как песчаные дюны, не твердую,
как гранит, а мягкую и обладающую особой консистенцией, ко¬
торая, возможно, неизвестна на Земле.
Космические лучи, межпланетная пыль и микрометеориты,
размеры которых составляют малую долю дюйма, бомбарди¬
ровали поверхность Луны в течение многих сотен миллионов
Рис. 8.63. Часть кратера Коперник и Карпатские горы (на севе
Рис. 8.64. Кратеры Архимед (слева) и Автолик
с южной горной областью (при заходе Солнца).
440
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
(ГЛ. 8
Рис. 8.67. Кратер Платон и области к северу Рис. 8.68. Кратер Платон и его окрестности
(Море Холода) и югу (Море Дождей) от него. (при заходе Солнца).
8.71
ПОСАДКА НА ДУНУ
441
лет. Эти удары, не смягчаемые сопротивлением атмосферы,
должны были источить ее поверхность. На Земле такое воздей¬
ствие создало бы слой песка и пыли. Однако при отсутствии
атмосферы гладкие поверхности имеют тенденцию слипаться
друг с другом. Внешние грани обломков горных пород раскалы¬
ваются и обламываются под ударами метеоритов и затем свари¬
ваются при столкновении друг с другом. Какую нагрузку на еди¬
ницу площади может выдержать такая поверхность — неизве¬
стно. Малое гравитационное ускорение Луны должно, очевидно,
способствовать увеличению предельно допустимого значения.
Рис. 8.69. Кратер Платон (по фотографии Фосса).
Падение микрометеоритов на поверхность Луны должно было
бы образовать равномерно распределенный «мягкий» слой тол¬
щиной около 30 -г- 60 см, сглаживающий маленькие ямки и не¬
ровности, возникшие в результате отдельных ударов (однако он
не заполняет глубокие ямы и расщелины, которые, как это
видно, имеются). На рис. 8.69 кратер Платон показан при ином
освещении. Видны детали, открытые Фоссом, одним из наиболее
выдающихся наблюдателей Луны нашего столетия. Его подроб¬
ные карты отдельных районов Луны выполнены с точностью до
300-ь600ж (1000-ь2000 фут), и на них нанесены многочислен¬
ные малые ямы и впадины диаметром по крайней мере 300 м,
которые не могут быть обнаружены с помощью фотографий из-
за атмосферных помех, действующих в течение времени экспо¬
зиции.
442
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
Надлежащим образом тренированный и адаптированный
глаз наблюдателя может уловить тончайшие детали, видимые
только долю секунды в момент минимума атмосферных возму¬
щений. Карта кратера Платон, составленная Фоссом, приведена
на рис. 8.70. В стороне видны области различной степени черноты
и большое число кратеров. Можно заметить впадину в юго-
восточной части карты и цепочки ямок или малых кратеров на
Рис. 8.70. Карта кратера Платон, составленная Фоссом.
северо-западном склоне большого кратера и вокруг стены кра¬
тера на юго-востоке.-Ни одну из этих деталей нельзя заметить
на фотографиях. Даже располагая данными лучших наблюдате¬
лей, мы не сможем быть уверены, что поверхность Луны не рас¬
сечена бесчисленными впадинами шириной от нескольких деци¬
метров до десятков метров и неизвестной глубины, в которые
может провалиться аппарат при посадке. Следовательно, по¬
садке автоматических станций должна предшествовать тщатель¬
ная разведка хотя бы некоторых участков лунной поверхности.
Эта разведка, выполняемая с помощью зондирующих аппаратов
и искусственных спутников Луны, призвана обеспечить ученых
основной информацией, необходимой для правильного выбора
схемы проекта и лучшего прогнозирования поведения косми¬
ческого аппарата при посадке.
444
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
(ГЛ. 8
Учитывая указанные особенности лунной поверхности, автор
настоящей книги предложил вариант посадки, использующий
для защиты полезного груза надувные эластичные равнопрочные
оболочки (контейнеры). При этом методе полезная нагрузка
может быть сброшена на Луну со сравнительно большой высоты,
причем отпадает необходимость тщательного устранения нера¬
диальных составляющих скорости [11]. В работе [11] этот метод
предложен в качестве стандартного метода снабжения лунной
Рис. 8.73. Снабжение лунной базы с помощью транспорт¬
ного корабля с ядерным двигателем, сбрасывающего
полезный груз в надувной оболочке.
базы с корабля, оснащенного ядерным двигателем, который, не
производя посадки, сбрасывает свой груз таким же образом, как
на Земле сбрасывают снаряжение с помощью парашютов1)
(рис. 8.73).
Этот метод может быть также применен для доставки науч¬
ного оборудования. Возможная схема эластичной оболочки по¬
казана на рис. 8.74, а ее столкновение с поверхностью — на
рис. 8.75. Внутреннее устройство контейнера таково, что оно
удерживает капсулу с полезным грузом на месте (в центре) и,
не позволяя капсуле колебаться, предупреждает возможный ее
удар о стенки контейнера при столкновении. Стенка контейнера
*) Преимущества этого метода подробно обсуждаются в томе III книги
«Космический полет».
ПОСАДКА НА ЛУНУ
445
состоит из двух оболочек, разделенных перфорированной рези¬
новой прокладкой. Таким образом, при падении контейнера на
острые скалы проколотой окажется только внешняя оболочка.
Перфорированная резиновая прокладка предназначена для до-
баллоны со сжатым газом
баллоны со сжатым газом
для внутреннего отсека
Рис. 8.74. Принципиальная схема эластичной конструкции
оболочки.
полнительного демпфирования колебаний внешнего давления и
предохранения контейнера от возможного чрезмерного сжатия.
Большая наружная поверхшость контейнера предохраняет по
Рис. 8.75. Столкновение эластичной оболочки с поверхностью.
лезную нагрузку от повреждений при контакте с поверхностью
Луны. После посадки оболочка разрушается с помощью специ¬
ального химического реагента или путем выделения какого-либо
газа, освобождая тем самым полезную нагрузку автоматической
станции.
На космический аппарат можно «погрузить» несколько по¬
садочных капсул и после выхода аппарата на орбиту искус¬
ственного спутника Луны выбрасывать их в нужных точках над
446
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
Лунный
спускаемый
аппарат
Двигатель
для спуска с орбиты
искусственного '
спутника Лунь/
Двигатель
предпосадочной
коррекции
Защитные
надувные
оболочки
Капсула
с полезным
грузом
Сбрасываемый
обтекатель
Спутник Луны
Приборный
отсек
поверхностью Луны. Такой спутник Луны со спускаемым аппа¬
ратом показан схематично на рис. 8.76.
Спускаемый аппарат снабжен двигателем на твердом топ¬
ливе (рис. 8.77) для торможения капсулы с полезной нагрузкой.
Спуск осуществляется в
три этапа:
1) сход аппарата с
орбиты спутника на элли¬
птическую орбиту, пери¬
селений которой лежит
вблизи поверхности Луны;
2) торможение до поч¬
ти нулевой горизонталь¬
ной скорости в периселе¬
нии;
3) сброс капсулы и ее
падение на поверхность
Луны.
Сформулируем пре¬
имущества рассмотренно¬
го метода.
Антенна
Внешняя
оболочка
Сбрасываемые
зонды С4)
Механизм
сброса зонда
Оптические
и ИМ-системы
Сжатый газ
баки
с топливом
Двигатели
системы
стабилизации
Антенна
и радиатор
Последняя
ступень
ракеть/'
носителя
Телескоп
баки
с топливом
Приборный
отсек
Сопло
двигательной
установки
Система
наддува
Рис. 8.76. Спутник Луны со спускаемыми
аппаратами.
Рис.
8.77. Спускаемый
аппарат.
1. Не требуется точно выполнять активный маневр посадки.
Кинетическая энергия, связанная с наличием остаточной ско¬
рости, поглощается при ударе стенками капсулы.
2. Система посадки в определенных пределах нечувстви¬
тельна к условиям на поверхности в точке посадки. Попадание
эластичного контейнера на горный склон ничем не хуже его па¬
дения на горизонтальный участок. Диаметр капсулы, который
должен быть, по-видимому, равен 3 -г- 6 м (что зависит от веса
полезного груза), предохраняет ее от исчезновения в неболь¬
8.7]
ПОСАДКА НА ЛУНУ
447
ших лунках и расщелинах. Лунная пыль является теперь жела¬
тельным фактором, так как она защищает капсулу от прокалы¬
вания и способствует демпфированию
удара.
3. Сход с орбиты спутника при ис¬
пользовании этого метода сильно упро¬
щается, поскольку не требуется ориенти¬
ровать тягу, как в случае посадки с ак¬
тивным торможением. Действительно,
аппарату вообще не нужно менять свою
ориентацию. Сначала освобождается соп¬
ло двигателя спускаемого аппарата. Дви¬
гатель, обеспечивающий маневр схода с
орбиты, укреплен на одном конце аппа¬
рата, двигатель для торможения в пери¬
селении — на другом конце и сопло его
направлено в противоположную сторону.
Вслед за сходом с орбиты и раскруткой
для стабилизации на активном участке
оболочка надувается, выталкивая пустой
корпус двигателя для маневра схода.
Стабилизированный вращением аппарат пассивно падает до
периселения, где он должен быть заторможен примерно до
Рис. 8.79. Посадка капсулы на Луну.
нулевой скорости по отношению к лунной поверхности. Затем
сбрасывается эластичная конструкция с полезной нагрузкой.
Рис. 8.78. Сброс полезной
нагрузки в эластичной
оболочке с орбиты искус¬
ственного спутника Луны.
448
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
4. Посадочные капсулы могут быть доставлены на Луну
также в точках, выбранных вне плоскости орбиты. Это делает
более заманчивым использование при исследовании Луны боль¬
ших кораблей с присущей им большой экономичностью. Такая
посадка автоматической станции путем сброса в эластичной ста¬
билизированной оболочке иллюстрируется рис. 8.78, 8.79.
8.8. Влияние солнечного возмущения
на траектории в долунном пространстве
Оценки влияния солнечного возмущения проведены в рабо¬
тах [12] и [13]. Пусть индексы «1», «2» и «3» относятся соответ¬
ственно к Земле, Солнцу и Луне и пусть г и R — расстояния от
космического аппарата до Земли и Солн¬
ца, D — расстояние от Земли до Луны,
а ат и аа — радиальная и трансверсаль-
ная составляющие ускорения.
Случай 1. Учитывается только влия¬
ние Земли (центральное поле сил):
Щ (Солнце)
аг
аа = 0.
Случай 2. Учитывается поле Земли и
Солнца (рис. 8.80).
а Масса Солнца гп2 влияет на космиче-
т-!(Земля) ский аппарат V по тому же закону, что
и масса Земли Пусть ах и а2 — уско¬
рения точки У, а а — ускорение Земли.
Эти ускорения можно разложить по на¬
правлениям, параллельному и перпенди¬
кулярному радиусу-вектору аппарата в
системе координат, связанной с Землей, что даст следующие
выражения для радиальной и трансверсальной составляющих
ускорения аппарата относительно Земли:
Яг == а\ + я cos Х\ — я2 cos г|э, аа = а sin %{ — а2 sin -ф, (8.9)
Рис. 8.80. Движение ко¬
смического аппарата
под влиянием Земли и
Солнца.
ИЛИ
Ki /С2 , /С2
аг— ) 72 cos X, + -rf- COS\]3,
r *v2
aa= ~ ■“f- sin Xi + ~f- sin г|).
(8.10)
Так как
г2 = R\ + - 2RxR2 cosx2, R22 = R\ + r2-2Rlr cos*, (8.11)
5.8]
ВЛИЯНИЕ СОЛНЕЧНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ НА ТРАЕКТОРИИ
449
sinx2 = -^sinx„
R^ + R^-r2 R\~ r cos %i
COSX2- 2 RtR7
R*
R, cos %\—r
R2
Ri sinxi
TO
cos -ф = COS Xi COS x2 - sin Xi sin x2;
sin г|з = sin Xi cos %2 + cos Xi sin %2 ■■
Из выражений (8.11) и (8.13) находим:
cos о|) Ri cos Xi — r
dR2
dr
1 dR2
r
(8.12)
(8.13)
R\ (r\ + r2 — 2Rtr cos Xi)S/’'
sin a|? Ri sin Xi
Rl (R^ + i2- Rxr cos X|)
■/, •
(8.14)
Теперь можно исключить не интересующие нас параметры хг.
г|), R2 и выразить радиальную и трансверсальную составляющие
ускорения космического аппарата через R\.
Г И Xi:
К\
°г=
Ri .
J cosх, —
Ri cos xi - г
*'[1+(i)2-2ircos*‘ Г
/C2.f1 1
da 2 Sin^! I 1 . 2
*■ l [i+y-vH
|S/2
(8.15) Рис. 8.81. Движение
космического аппарата
под влиянием Земли,
Солнца и Луны.
Случай 3. Земля, Солнце и Луна
(рис. 8.81).
Этот случай исследуется аналогично случаю 2. В результате
получаем следующие формулы для составляющих ускорения:
Кг
ar ^ar-~w\ C0SPl
D cos Pi — r
о[1+(^)2_2тсо5Р1Г1
a'a = aa--WSin&, I 1
(8.16)
29 К. Эрике, т. II
450
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
Упрощение. Поскольку r/R\ мало, пренебрежем членом (r/Ri)2.
Тогда после подстановки уравнений (8.15) в соответствующие
уравнения (8.16) получим:
а= —
А±.
л
cosxi -
COSXi “
R i
Hi
cosxi
j3/2
*3_
D2
COSp! —
cosp, ---
r \ 3/2
-2-^cosP/
/C2 .
aa = --^-sinx,
1 -
Hi
"25Г sin Pi
cosxi
3/2
1 -
(8.17)
Вызываемое Солнцем изменение величины радиальной со¬
ставляющей ускорения зависит как от угла хь так и от безраз¬
мерного расстояния от Земли r/R\. Влияние Солнца на транс-
версальную составляющую является, конечно, функцией толь--
ко xi•
Пример. Пусть координаты Солнца х= +оо, у = 0 (то есть
угол положения Солнца Ф= 180°). Тогда угол xi очень мал и
в первом приближении можно положить cos xi = 1, sin xi = 0.
Уравнения принимают вид:
А±_
.2
к2
§-sinp,
1 Ri
\ 3/2
ОН)
COS Pj —
А3
D2
D cos pj — г
I Г \3/2
D(l-2 — cosp,)
1 -
О ~27H0SPi)3/2
(8.18)
Другими словами, Солнце не создает трансверсальной со¬
ставляющей ускорения. Его влияние на радиальную составляю¬
щую ускорения относительно Земли максимально. Если бы рас¬
стояние г было равно нулю, то член, учитывающий притяжение
Солнца, также обратился бы в нуль, поскольку как космический
8.8]
ВЛИЯНИЕ СОЛНЕЧНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ НА ТРАЕКТОРИИ
451
аппарат, так и Земля свободно падали бы вместе на Солнце1).
Общее изменение радиальной составляющей скорости, обуслов¬
ленное влиянием Солнца в течение периода tt перелета Земля —
Луна, дается формулой
Из-за возмущений Луны и Солнца выражение для r(t) не
может быть дано в замкнутом виде и должно определяться чис¬
ленным интегрированием. Для того чтобы оценить величину
го
| ю
I
с? О
40
-го
О 40 SO' 120 160 200 240 280 320 360
(градусы)
Рис. 8.82. Вариация влияния притяжения Солнца на ра¬
диальную и трансверсальную составляющие скорости ап¬
парата при «мэдленном» перелете к Луне.
этих возмущений, выберем характерное время перелета t =
= 75 ч = 270 ООО сек и предположим, что среднее расстояние со¬
ставляет г = 220 ООО км (120 ООО морских миль). Тогда при Ri =
= 149* Ю6 км (80- Ю6 морских миль) r/R\ = 1,5- 10_3. Известно,
что К/R* = 6 -10~4 £Ф = 0,585-10-2 м/сек2 (1,94-10"2 фут/сек2).
Отсюда, согласно уравнению (8.19), получаем оценку Aiv =
= 4,72 м/сек.
Выбор г был несколько произвольным, соответствующим при¬
близительно 37 часам полета. Если бы мы выбрали г =
— 296 000 км (160 000 морских миль), результат составил бы
‘) Строго говоря, свободно падает барицентр системы «Земля — Луна».
Однако удобнее использовать в качестве начала отсчета центр Земли. До¬
пустимость переноса начала отсчета из барицентра в центр Земли обеспечи¬
вается введением поправки в ускорение а [см. уравнения (8.9)].
Д t>r = J* ar dt — J"
1 -
у(тып морских миль)
452
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
У
Рис. 8.83. Траектория аппарата при угле положения Солнца
Ф= 180°.
X (тыс. морских миль)
Рис. 8.84. Траектория аппарата при угле положения
Солнца Ф = 270°.
Рис. 8.85. Траектория аппарата при угле положения
Солнца ф = 90°.
8.9]
ЗАПУСК КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ К ЛУНЕ
453
дуг « 7,82 м/сек (26 фут/сек). Таким образом, в тех случаях,
когда автоматическая станция запущена с минимальной ско¬
ростью с расчетом на ее захват полем притяжения Луны, влия¬
ние Солнца может оказаться весьма сильным.
Если координаты Солнца суть х = 0, у = + оо, то радиаль¬
ная составляющая не равна нулю вследствие параллакса, возни¬
кающего из-за того, что r/R{ > 0. Однако ее значение меньше,
К2г
чем в ранее рассмотренном случае, а именно: у, что дает
Дуг » —2,4 м/сек (—8 фут/сек), если г = 220 000 км, a t = 75 ч.
В соответствии со вторым выражением (8.9) трансверсальная
составляющая ускорения равна нулю, поскольку при таком
взаимном расположении тел сила притяжения Солнца действует
на Землю и космический аппарат почти одинаково в одном и
том же направлении. Вариация влияния солнечного гравитацион¬
ного возмущения на радиальную и трансверсальную составляю¬
щие скорости аппарата при «медленном» перелете к Луне по¬
казана на рис. 8.82—8.85.
8.9. Запуск космических аппаратов к Луне
Движение точки запуска на поверхности Земли или соответ¬
ствующей ей точки орбитального старта (точки выключения дви¬
гательной установки, в которой аппарат переходит либо на про¬
межуточную орбиту ожидания, либо на надлежащую траекто¬
рию перелета к Луне) состоит во вращении по малому кругу,
параллельному экваториальной плоскости. Орбита Луны накло¬
нена примерно на 5° по отношению к плоскости эклиптики (точ¬
ные максимальное и минимальное значения даны в таблице 3.9
тома I книги «Космический полет»). Вследствие возмущений со
стороны Солнца плоскость орбиты Луны препессирует и со¬
вершает один оборот за 18,6 года. Экваториальная плоскость
Земли наклонена к эклиптике на угол 23°,45. Следовательно,
угол между экваториальной плоскостью Земли и плоскостью
орбиты Луны колеблется между 23°,45 + 5°=28°,45 и 23°,45 —
— 5°= 18°,45 в течение 18,6/2 = 9,3 года (рис. 8.86). В 1950 г.
этот угол достигал максимального значения, равного 28°,45, то
есть направление на восходящий относительно экватора узел
<0, лунной орбиты совпадало с направлением на точку весеннего
равноденствия (рис. 8.86); через 9,3 года, в 1959 г., плоскость
лунной орбиты имела наименьшее наклонение (18°,45). В 1968 г.
плоскость лунной орбиты опять достигнет наибольшего накло¬
нения.
В результате движения плоскости лунной орбиты относи¬
тельно экватора можно различить три зоны, ограниченные
454 ПОЛЕТ к ЛУНЕ [ГЛ. 8
параллелями (рис. 8.86). Внутри пояса широт ±18°,45 всегда
возможно в некоторый момент времени в течение сидерического
Нормаль к плоскости
лунной орбиты о /653 г.
кухя Точки запуска, расположенные в этой области земной поверхности,
Rxx$ есегба пересекают плоскость лунной орбиты деажбы е сутки
Точки запуска, расположенные е этой области земной поверхности,
Kvoj дважды в сутки пересекают плоскость лунной орбиты только в
определенные периоды в зависимости от ерь с <ртах
j 1 Точки, лежащие в этой области земной поверхности, никогда
I I не пересекают плоскости лунной орбиты
Точки, лежащие на этой широте, пересекают плоскость лунной
<рт]П орбиты однажды в сутки: один раз в /д, 5года; во все осталь¬
ное время пересекают дважды
Точки, лежащие на этой широте, пересекают плоскость лунной
Ртах орбиты однажды в сутки: один раз в 7д, б вода; во все осталь¬
ное время не пересекают этой плоскости
Рис. 8.86. Вариация плоскости лунной орбиты относительно
экватора Земли.
(звездного) месяца запустить аппарат в плоскости лунной ор¬
биты с помощью непрерывного приложения большой тяги. Вне
этого пояса это не всегда возможно; за пределами пояса ±28°,45
это невозможно никогда. Если такая точка «компланарного» за^
8.9]
ЗАПУСК КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ К ЛУНЕ
455
пуска совпадает по широте с максимальным наклонением Луны,
то из нее можно запустить аппарат в восточном направлении
и максимальным образом использовать скорость вращения
Земли. Если точка запуска лежит вне указанных выше пределов,
то, как объяснялось в § 3.14, надо использовать траекторию с
несколькими участками работы двигательной установки боль¬
шой тяги, разделенными этапами пассивного полета.
Если компланарный запуск невозможен, плоскость орбиты
перелета должна поворачиваться (перекашиваться) относитель¬
но плоскости лунной орбиты. В этом случае влияние лунного
притяжения уменьшается и возникает его ортогональная (к ор¬
бите перелета) составляющая, увеличивающая угол наклонения
(последний эффект менее существен). Эти два фактора ведут
к сужению допусков на время старта и угол запуска по сравне¬
нию с компланарными перелетами.
Последующее обсуждение в значительной степени основано
на материалах § 3.14, к которому, во избежание повторения, и
отсылается читатель.
Случай 1: ф = 0, =0 (i^ — наклонение плоскости лунной
орбиты относительно экваториальной плоскости) — невозможен,
ПОСКОЛЬКУ I(£ —j— 0.
Случай 2: ф = 0, 1 = 1^ф0 — в сутки возможны два положе¬
ния, когда точка старта находится в плоскости лунной орбиты.
Возможность запуска зависит в этом случае только от взаим¬
ного расположения объектов, которое в свою очередь зависит,
кроме всего прочего, от времени перелета. Этим краевым усло¬
вием можно удовлетворить путем перехода на промежуточную
орбиту и последующего ожидания момента, когда выполняются
требования к взаимному расположению объектов при условии
компланарности перелета (это было бы невозможно для точки
запуска, вращающейся в другой плоскости). Далее следует пе¬
реход на орбиту перелета (несколько активных участков). По¬
скольку ф<1([, запуск в восточном направлении невозможен
(см. § 3.14).
В точке компланарности географический азимут начальной
скорости задается тем условием, что наклонение между орбитой
перелета и орбитой цели равно нулю, так что. в уравнении
(3.324) sin ат = sin у = , откуда, разрешая уравнение (3.325)
относительно aD для азимута начальной скорости, измеренного
от направления на север против хода часовой стрелки, получаем
следующее уравнение:
COS I (г
sinaD = (8.20)
и COS ф v '
456
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 3
Если Н — часовой угол, а АН — разность между часовым
углом и угловым расстоянием до узла лунной орбиты:
А// = #-Д, (8.21)
то
sinA// = -^-. (8.22)
Это уравнение содержит время запуска в качестве зависи¬
мой переменной. Из выражения (3.326) следует далее, что
у-гаг=180° или, поскольку в рассматриваемом случае ат = у
[из уравнения (3.324)], ат = 90°, то есть вектор геоцентрической
скорости в точке цели направлен на восток. Уравнение (3.325)
показывает, что поскольку у = 90°, а ф задается на основании
выбора положения точки запуска, то возможность использо¬
вания этой орбиты зависит от выполнения требований ко взаим¬
ному расположению Земли и Луны, которые могут быть удовле¬
творены только надлежащим выбором air [в сущности, выбором
периода перелета (см. § 3.14)] и истинной аномалии перехода:
sin air
= secy. (8.23)
Sinritr
Случай 3: ф=£0,1([=£0,ф < i<[ — для изучаемого класса траек¬
торий полета к Луне этот случай эквивалентен случаю 2, если
рассматривать те же уравнения. Более подробные сведения о
различии между этими двумя случаями читатель может найти
в § 3.14.
Случай 4: ф = 1^=^0—положение точки старта позволяет осу¬
ществлять запуск только один раз в сутки в восточном напра¬
влении. Поскольку ф = i([, уравнение (8.20) дает:
sinaD=l, aD = 90°, (8.24)
и, следовательно, вектор начальной скорости направлен на вос¬
ток. Подобным же образом из уравнения (8.22) имеем:
sin АЯ = 1, АЯ = 90°. (8.25)
Это означает, что аппарат стартует из точки, лежащей на пер¬
пендикуляре к линии узлов лунной орбиты, или, другими сло¬
вами, старт начинается шестью часами раньше или позже того
момента, когда меридиан точки старта проходит через восходя¬
щий узел лунной орбиты. Значение меридиана точки старта на¬
ходится из разности долгот места запуска и конца активного
участка, который мы и принимаем за точку старта. Если в этот
момент Луна занимает положение, соответствующее данной ор¬
бите перелета (угол положения W имеет надлежащее значение),
8.9]
ЗАПУСК КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ К ЛУНЕ
457
то аппарат может с помощью непрерывного активного участка
выйти на орбиту перелета. В противном случае запуск должен
быть отсрочен на несколько дней или должна использоваться
промежуточная орбита.
Случай 5: ф > ц— компланарный перелет практически невоз¬
можен, так как широта места запуска больше, чем наклонение
плоскости орбиты Луны. В этом случае уравнение (3.249) пока¬
зывает, что минимальный наклон плоскости орбиты перелета к
плоскости лунной орбиты дается формулой
(йг)т1п = ф-1€- (8.26)
В данном случае
aD = 90°, (8.27)
следовательно,
ЛЯ = 90°. (8.28)
Дополнительные соотношения, которые будут приведены
ниже, получены в работе [141 способом, отличным от того, ка¬
ким пользовался автор в § 3.14. Вывод этих соотношений пред¬
лагается сделать читателю в качестве упражнений к настоя¬
щей главе. В целях единообразия используются прежние тер¬
мины и обозначения.
В общем виде наклонение itT плоскости переходной орбиты
относительно плоскости лунной орбиты определяется формулой
cos itr = cos ао sin i<x cos ДЯ +
+ sin do (sin i^ sin ф sin ЛЯ + cosi([ cos ф), (8.29)
которая, если рассматривать в качестве независимой переменной
ДЯ или aD, дает минимальное значение i\T при следующих усло¬
виях:
cos<pctgi,T
tg aD = sin ф tg ЛЯ + - -Со8дн ’ (8*3°)
tg ДЯ = tg aD sin ф. (8.31)
Эти уравнения при aD = 90° и ЛЯ = 90° переходят в ранее по¬
лученные соотношения.
Если принимать во внимание такие факторы, как вращение
Земли, изменение наклонения Луны, сплюснутость Земли, орби¬
тальная прецессия, вызванная влиянием Луны и Солнца, эл¬
липтичность лунной орбиты и орбитальные возмущения, обу¬
словленные солнечным притяжением и световым давлением, то
при расчете траекторий необходимо производить численное ин¬
тегрирование уравнений на электронных вычислительных маши¬
нах. Указанные малые возмущения не влияют на основные
458
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
характеристики траекторий перелета Земля — Луна, обсуждав¬
шиеся в этой главе, но тем не менее должны учитываться при
точном расчете траектории полета конкретного космического
аппарата. Поэтому перечисленные выше факторы не будут здесь
рассматриваться подробно, тем более, что теоретические сведе¬
ния, необходимые для включения в схему расчета, даны в дру¬
гих местах настоящей книги. Одновременный анализ большого
числа параметров будет рассмотрен в томе III книги «Космиче¬
ский полет», в разделе, посвященном исследованию операций.
8.10. Захват космического аппарата Луной
Для обеспечения захвата аппарата Луной необходимо с по¬
мощью специального маневра вблизи Луны устранить избыток
селеноцентрической скорости аппарата, в результате чего он
выйдет на более или менее эллиптическую орбиту захвата, пре¬
вратившись в спутника Луны.
Процесс захвата иллюстрируется рис. 8.87, на котором пока¬
заны положения аппарата относительно Луны в течение периода
сближения. Через 79,9 ч после старта с Земли аппарат достигает
точки В, расстояние от которой до Луны минимально и состав¬
ляет 556 км (300 морских миль). Геоцентрическая скорость аппа¬
рата в этой точке щ^3050 м/сек (10 000 фут/сек). Скорость
Луны на орбите ц~1007 м/сек (3300 фут/сек). Скорость относи¬
тельно Луны 0Уоо~2440 м/сек (8000 фут/сек), что превосходит
значение местной параболической скорости [^2074 м/сек
(6800 фут/сек)]. Вектор относительной скорости расположен
почти в плоскости местного горизонта. В точке В уменьшение
скорости на Дц = 1220 м/сек (4000 фут/сек) ‘перевело бы аппарат
на эллиптическую орбиту спутника Луны, как это изображено
на рис. 8.87, б, где в селеноцентрических координатах показан
маневр захвата.
На рис. 8.10 и 8.54 даны графики изменения геоцентрической
скорости v2 в момент пересечения лунной орбиты в функции на¬
чальной скорости V\. Видно, что скорость v2 возрастает быстрее,
чем скорость V\. Это указывает на то, что маневр захвата быст¬
ро становится дорогостоящим в смысле энергетических затрат
даже при умеренном увеличении начальной скорости.
Можно избежать увеличения энергетических затрат при
уменьшении времени перелета или значительно снизить их, если
выводить спутник Луны не на круговую, а на эллиптическую ор¬
биту. Рассмотрим, например, параболический перелет. Продол¬
жительность перелета в этом случае меньше 50 ч (в зависимости
от высоты старта), в то время как она составляет 120 ч для
Га/гр = 60 и 80 ч для гА/гР = 70. Как указывается в работе [1],
8.10]
ЗАХВАТ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ЛУНОЙ
459
суммарные энергетические требования могут быть существенно
снижены, если в качестве орбиты захвата выбрать эллиптиче¬
скую, а не круговую орбиту. На рис. 8.88 показаны параболи¬
ческая траектория перелета и три орбиты захвата: круговая,
Расстояние от Земли (тыс. морских миль)
Начало а кто оно г о
участка выхода ч
на орбиту искусствен- \
ног о спутника Луны
^300морских миль,
Конец активного.
участка
Ось симметрии
апсид гипер¬
болы подлета
Линия
апсид
/ орбиты
/ искусственного
/ спутника
ч Луны
Орсита искусственного
спутника Луны
Гипербола
подлета
%
Рис. 8.87. Схема маневра захвата аппарата Луной.
а) Маневр захвата в геоцентрических координатах; б) маневр захвата в се¬
леноцентрических координатах.
эллиптическая с рл/рр = 3 и эллиптическая с рл/рр = 6. Соответ¬
ствующие данные представлены в таблице 8.5. В случае пере¬
хода по эллипсу, для которого гА/гР = 60,25, селеноцентрический
гиперболический избыток скорости составлял бы ^«> = 485 м/сек
(1590 фут/сек) и селеноцентрическая скорость на высоте у\ =
= 113 км (61 морская миля) равнялась бы 0^=2360 м/сек
(7750 фут/сек). Так что в этом случае маневр захвата с
460
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
ГГ Л. 8
выходом на круговую орбиту потребовал бы До>1 = 725 м/сек
(2380 фут/сек) вместо Ate;х = 1210 м/сек (3980 фут/сек) (см. таб¬
лицу 8.5). Однако можно видеть, что, если выходить на эллипс,
для которого Ра/рр=6, параболический перелет становится не
менее экономичным, чем перелет по эллипсу с гА//'Р = 60,25.
Рис. 8.88. Параболическая траектория перелета к Луне с вы¬
ходом на круговую или эллиптическую орбиту спутника.
Маневр захвата, который следует за параболическим или
гиперболическим (или даже эллиптическим) перелетом, должен
выполняться с крайней осторожностью, чтобы избежать такой
ситуации, когда космический аппарат выводится на столь отда¬
ленную от Луны орбиту, что в сравнительно короткий срок снова
захватывается притяжением Земли. Наоборот, если скорость на
траектории перелета мала, аппарат столкнется с Луной прежде,
ЗАХВАТ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ЛУНОЙ 461
Таблица 8.5
Параболический перелет к Луне и выход на орбиту искусственного
спутника Луны
Высота старта над Землей . . .
Ур = 100 морских миль
Перигейное расстояние
гр = 3544 морские мили
Начальная параболическая ско¬
рость
v1 = Vp = 36 129 фут/сек
Параметр параболы
р = 7088 морских миль
Расстояние до Луны
D = г2 = 60,25 г0о
Истинная аномалия в точке перз-
сечения лунной орбиты
у\2= 164°58'
Угол наклона вектора скорости
02 = 82°30/
в точке пересечения лунной орбиты
Геоцентрическая скорость в точке
v2 = 4730 фут/сек
пересечения лунной орбиты ....
Селеноцентрический гиперболиче¬
w0о = 5420 фут!сек
ский избыток скорости
Орбитальная скорость Луны
3325 фут!сек
(средняя)
Для выхода на орбиту искусствен¬
ного спутника Луны на высоте
Ух = 61 морская миля:
wc = 5342 фут/сек
местная круговая скорость . . .
местная параболическая скорость
wp = 7554,8 фут/сек
Селеноцентрическая скорость на
высоте захвата
Ш! = 9220 фут/сек
Маневр захвата:
круговая орбита, Рл/рр = 1 . . . .
Wx = 3980 фут/сек
эллиптическая, Рл/Рр = 3 ....
Wx = 2760 фут/сек
эллиптическая, Рл/Рр = 6 ....
Wx = 2300 фут/сек
Эллиптические орбиты искусствен¬
ного спутника Луны:
ур = 61 морская миля
рр = 999 морских миль
Рл/рр = 3:
уА = 2059 морских миль,
рл = 2997 морских миль
РУРР = 6:
уА = 5056 морских миль.
рА = 5994 морские мили.
Параметры гиперболы подлета:
е = 2,02
эксцентриситет
большая полуось
а = 4050 морских миль
половина угла между асимптотами
Ф = 59°20'
чем будет выполнен маневр захвата. На рис. 8.89 изображены
четыре основных случая захвата аппарата Луной, а именно: вы¬
ход на орбиту искусственного спутника Луны с обратным дви¬
жением, выход на орбиту искусственного спутника Луны с пря¬
мым движением, столкновение и временный захват. Первые две
орбиты получаются в результате надлежащего торможения,
462
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
выполняемого на траектории прямого или обратного облета или
пролета. Две другие орбиты включают траекторию столкновения
и неустойчивую орбиту искусственного спутника Луны с избы¬
точной энергией.
Вопросы устойчивости орбиты искусственного спутника Луны
тесно связаны с общим анализом движения частицы в рамках
Рис. 8.89. Варианты выведения космического аппарата на
орбиту искусственного спутника Луны.
а) Выведение космического аппарата на орбиту искусственного спут¬
ника Луны с обратным движением; б) выведение космического аппа¬
рата на орбиту искусственного спутника Луны с прямым движением;
в) столкновение аппарата с Луной из-за недостатка скорости (орби¬
та А) и повторный захват аппарата Землей из-за избытка скорости
после временного выхода на орбиту искусственного спутника Луны
(орбита В).
ограниченной задачи трех тел (см. § 2.13, где читатель может
найти необходимые подробности).
Для аппарата, который становится перманентным спутни¬
ком Луны, константа Якоби для орбиты захвата должна быть
больше величины СЗначение Сь представляющее собой поро¬
говое значение энергии для орбиты искусственного спутника
Луны, можно найти с помощью данных, приведенных в главе 2.
g 10] ЗАХВАТ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ЛУНОЙ 463
Из таблицы 2.10 находим величину Сх для точки либрации L\\
С1== 3,360 км2!сек2. Подставим это значение С\ в уравнение
(2.323а) для максимума селеноцентрической скорости на устой¬
чивой орбите, записав это уравнение в следующей форме1):
“ - ТТУ+^+ Чг> + 2 (-7^ + -Т-) - С'’ <М2>
где (рис. 8.90) q2max = (|2 + f]2)max — квадрат максимального зна¬
чения селеноцентрической скорости спутника во вращающейся
* т(Г 1
барицентрической системе координат, т = = 0,01227,
in = 2,662 • 10~6 рад/сек — среднее угловое движение оси «Земля—
Луна». Предполагается, что аппарат находится над невидимой
8000
7000
I
£ 6000
а
§ 5000
\
4000
3000
О 500 JOOO 7500 2000 2500 3000
Высота орбиты искусственного спутника Муны у (морские мили)
Рис. 8.90. Максимально допустимая скорость qmax, пара¬
болическая и круговая скорости как функции высоты орбиты
спутника над поверхностью Луны.
с Земли стороной Луны. Приведенные ниже величины даны для
расстояния р = рооУ-
расстояние от центра Луны до барицентра
S(L = D - 50 = 384 400 - 4650 = 379 750 кму
расстояние от аппарата до барицентра
£ = р = Pqq -{- + у = 1738 + 379 750 Л~ у — 381 488 + у км,
г] = 0, поскольку аппарат находится на оси £.
9 Уравнение (8.32) может быть записано в такой форме, если все вхо¬
дящие в него величины приведены к безразмерному виду. (Прим. перев.)
<
д
Ч\
\\
\ \
\ч
\\
N
^ ([max
^Ч
гкф
.[уравненм.
коорд
?(S.3Z)] в
Ьнатах £
барицентр
. о, С
теских
\
ч
\ Ч
\\
\ \
\
/
/
/
/
/ и
1
/
/
/
/
/
464
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
Теперь можно вычислить правую часть уравнения (8.32) и
найти qmах как функцию высоты у маневра захвата над лунной
поверхностью. График изменения этой скорости приведен на
рис. 8.90 совместно с графиками изменения параболической и
круговой селеноцентрических скоростей, которые приведены для
сравнения Скорость qm3LX определяется во вращающейся бари¬
центрической системе координат Иногда бывает более удоб¬
ным выразить скорость либо в геоцентрических, либо в селено¬
центрических координатах с фиксированной ориентацией осей.
Рис. 8.91. Геоцентрическая, барицентрическая и селено¬
центрическая системы координат.
Соотношения для перехода от вращающихся барицентрических
к геоцентрическим координатам х, г/, г были выведены в томе I
книги «Космический полет» (стр. 495). Приведем их здесь снова
для удобства читателя. Вспомнив, что ср = р/, ф = р, запишем эти
соотношения в следующей форме (рис. 8.91):
х = £cosp£ — т] sin pi,
у = £ sin pi + т] cos pi
(8.33a)
(8.33b)
8.10] ЗАХВАТ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ЛУНОЙ 465
(z = 0 для рассматриваемого здесь случая движения в плоской
системе координат ху),
х = (i — рл) cos \it — (|Lig + f]) sin pi, (8.34a)
y = {i~ РЛ) sin p^ + (p£ + f]) cos p£. (8.34b)
Для перехода от вращающихся барицентрических к селено¬
центрическим координатам х\ у\ г' имеют место следующие со¬
отношения:
x' = (l- 1 Д-.) cosp./ --П sin pi, (8.35а)
У/ = (|- lHPff;.')sin^ + Ticosn^ (8.35b)
x' = (i- М^л) cos р/ - (г) + pg - -j ) sin p7, (8.36a)
y' = ii~ ЦЛ) sin p* + (f) + pg - yqr^r) cos pf. (8.36b)
С другой стороны,
| = x' cos p7 + y' sin pi + (8.37 a)
1 "T 771
Л = — x'sinp^ + yf cos \it. (8.37b)
Для того чтобы выразить qmах в селеноцентрических поляр¬
ных координатах р, ф (см. рис. 8.91), можно записать такие со¬
отношения для определения координат аппарата:
I = s2 - р cos ф = у- р cos ф, ^8.38а)
I2 = ( i +m~)2 - 2Р 1 £„• cos ф + р2 cos2 ф, (8.38Ь)
Л = р sin ф, (8.39а)
Л2 = р2 sin2 ф = р2 — р2 cos2 ф. (8.39Ь)
Отсюда
£2 + тМТ^г)2 + р2_2рТ^со8ф (8.40)
Далее, имеем:
г2 = D2 + р2 — 2Dp cos ф, (8.41)
30 К. Эрике, т. II
466 ПОЛЕТ К ЛУНЕ [ГЛ. 8
и уравнение (8.32) можно преобразовать, выразив qm эх ® СбЛб"
ноцентрических полярных координатах для случая С = СХ:
D X2 ' D
+ р — 2р cos ф
+
1 + т* ) 1 + т*
+ 2( г ■ +М-С,. (8.42)
\ Y D2 + р2 — 2Dp cos ф р /
Теперь необходимо найти селеноцентрическую скорость wx в
момент начала захвата в селеноцентрической системе коорди¬
нат. Поскольку wx есть функция q, можно определить доi шах че¬
рез полученную из уравнения (8.42) величину qmax- Используя
первую систему селеноцентрических прямоугольных координат
хг и у\ находим,что
ш2 = к'2 + у'2, (8.43)
и с помощью соотношений (8.36) выражаем до? во вращаю¬
щихся барицентрических координатах:
. ^2 . . /2 о
х + tj = w\ =
= i2 + Г)2 + ц2 (i2 + ri2) + ( , ^Dm. J + 2ц (if) - Til) - (f) + Hi).
(8.44)
Теперь перейдем к селеноцентрическим координатам р и ф:
|2 + г)2 = р2. (8.45)
Заменяя х, у, г, г) на i, г), р, ф, получаем:
|f) - r)i = р2ф. (8.46)
Используя уравнения, приведенные в главе 4 тома I книги «Кос¬
мический полет», заменяем т), V, г на ф, Vi2 + f)2, р:
ф = ^ —cos0=|cos0, (8.47)
так что
if) - т)4 = pq cos 0, (8.48)
и выражение для W\ принимает вид ')
2 = q2 + Ц2Р2 ± 2цр<? cos 0 - (х+^)2 “
--П^г[(Ч'СО8 0-рц)сО8ф + рэтф], (8.49)
ДО'
]) В тексте оригинала уравнение (8.49) ошибочно записано в виде
w\ = q2 + [x2P2 — 2рр<7 cos 0, что справедливо для геоцентрической системы
координат. {Прим. перев.)
8.10]
ЗАХВАТ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ЛУНОЙ
467
где знак «плюс» соответствует орбите с прямым направлением
движения, а знак «минус» — орбите с обратным направлением
движения.
На этом завершается преобразование, и величина скорости
wimaxB селеноцентрической системе координат, соответствующая
значению qmах, найденному из выражения (8.42) и идентичному
значению, определяемому по соотношению (8.32), вычисляется
с помощью уравнения
W|m« = ?ma* + W ± 2цр?тах COS 0 -
“ ( ] )2 - [(я cos 0 - P(x) cos ф + p sin ф]. (8.50)
Из-за малости jul разность между qmSLX и ^imax не слишком
велика. Следовательно, скорость, график изменения которой
приведен на рис. 8.90, может рассматриваться как характерная
величина, и скорость wx max здесь вычисляться не будет. Однако
важно отметить, что для целей лунной навигации величина пре¬
дельной скорости, найденная во вращающейся барицентриче¬
ской системе координат согласно соотношению (8.32), должна
быть выражена в соответствии с уравнением (8.50).
Таким образом, минимальный импульс для выведения авто¬
матической станции на орбиту спутника Луны определяется сле¬
дующим образом:
1. Для данных начальных условий вычисляется гиперболиче¬
ская скорость Wh прибытия аппарата к Луне и строится сетка
wh для большого числа положений (р, ф) аппарата в селено¬
центрической системе координат.
2. Для каждого из этих положений по соотношению (8.42)
находится величина qmах.
3. Из уравнения (8.50) определяются соответствующие зна¬
чения W j щах-
4. Вычисляется величина минимального импульса захвата
A®imin = wh-wlm3X. (8.51)
В заключение следует отметить, что приведенный метод рас¬
чета максимально допустимой скорости захвата является, во¬
обще говоря, приближенным, поскольку интеграл Якоби опре¬
деляет относительную энергию точечной массы, то есть энер¬
гию по отношению к вращающейся барицентрической системе
координат. Эта синодическая энергия равна разности орбиталь¬
ной энергии относительно инерциального пространства (сиде¬
рической энергии) и сидерического кинетического момента
(момента количества движения относительно оси £ или г).
Следовательно, только эта разность остается постоянной, но не
30*
468
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
орбитальная энергия или кинетический момент в отдельности.
Этот факт становится очевидным в свете предыдущих рассужде¬
ний об увеличении или уменьшении геоцентрической (инерциаль-
ной) орбитальной энергии в результате прямого или обратного
пролета.
Значит, если аппарат в результате захвата переходит на ор¬
биту искусственного спутника Луны с обратным движением, он
в ходе этого процесса теряет орбитальную энергию (или пропор¬
ционально ей — кинетический момент), в то время как переход
на прямую орбиту сопровождается увеличением орбитальной
энергии. Поэтому при переходе на обратную орбиту максималь¬
ное значение скорости захвата может быть несколько больше
максимума, определенного выше. Это обстоятельство дополни¬
тельно способствует большей устойчивости обратных орбит
спутников Луны к ошибкам выведения по сравнению с прямыми
орбитами. Для прямой орбиты спутника Луны максимально до¬
пустимая скорость захвата немного меньше величины, вычис¬
ленной во вращающейся (синодической) системе координат.
Этот результат был подтвержден в ходе многочисленных расче¬
тов траекторий на электронных вычислительных машинах в ком¬
пании «Конвэр — Астронотикс», а также был получен сотрудни¬
ками «Рэнд корпорэйшн» [15]. Допустимые ошибки, однако, за¬
ключены в узких пределах. При выведении на обратную орбиту
допустим избыток скорости порядка 2%, который не приводит
еще к уходу аппарата к Земле. В случае прямого маневра ско¬
рость захвата должна оставаться меньше теоретического мак¬
симума по крайней мере на 3%, чтобы аппарат не вышел на
неустойчивую орбиту спутника, которая, в конце концов, приве¬
дет его к столкновению с поверхностью Луны. Обе упомянутые
выше ситуации будут иллюстрированы примерами в следующем
параграфе.
8.11. Спутники Луны
После того как аппарат, следуя по одной из рассмотренных
ранее орбит перехода, прибудет в намеченную точку в окрест¬
ности Луны и совершит описанный в предыдущем параграфе
маневр захвата, он становится спутником Луны.
На рис. 8.92—8.96 представлены графики различных зависи¬
мостей между расстоянием до центра Луны (или высотой), кру¬
говой скоростью и периодом обращения спутников Луны, рас¬
сматриваемой как изолированное тело. Приведенные на графи¬
ках значения расстояний и периодов характеризуют радиусы
и периоды круговых орбит, а также большие полуоси и со¬
ответствующие периоды эллиптических орбит, для которых
11]
СПУТНИКИ ЛУНЫ
469
Время (чаш)
Рис. 8.92. Высота орбиты и круговая скорость искусственного спутника
Луны в зависимости от периода обращения.
Время (часы)
Рис. 8.93. Высота орбиты и круговая скорость искусственного
спутника Луны в зависимости от периода обращения.
Период (часы)
470
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
Рис. 8.94. Период обращения и круговая ско¬
рость искусственного спутника Луны в зави
симости от высоты.
Рис. 8.95. Период обращения и круговая скорость искусствен¬
ного спутника Луны в зависимости от высоты.
8.1П
СПУТНИКИ ЛУНЫ
471
отношение апсидальных расстояний при данном значении отно¬
шения а/pp находится из соотношения
Р л я
1 + ^ = 2 —.
Рр Р р
(8.52)
Интересно заметить, что минимально возможный период спут-
ника близок к двум часам (У1,825), в то время как для Земли
Расстояние до Луш р/Роо
Рис. 8.96. Круговая скорость и период обращения для круговых
селеноцентрических орбит.
Зг
^2
«I /
Приращение в 0,7р/Рм соответствует
изменению высоты на 03.85 мореной мили
vp - спорость в перигее
vA - спорость в апогее
10
^в
- S
I/
ft
-
- «
- |U
. ^
- 1 4
'1'
«%■
2
3
- 0
2ь
'1,0 1,2 14 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0
Рис 8.97. Графики зависимостей скорость — расстояние
и время — расстояние для селеноцентрических орбит.
минимальное значение составляет примерно 1Л,42 (84,5 мин).
На рис. 8.97 дан обзор условий для эллиптических орбит в се-
472
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
леноцентрическом пространстве. Пунктирные линии показывают
значения скорости в периселении и апоселении для эллиптиче¬
ских орбит, величина расстояния до апоселения которых отло¬
жена по оси абсцисс, начиная с круговой орбиты высотой около
30 000 м (100 000 фут). На этом же рисунке приведены кривые
Рис. 8.98. Смещение центра притя¬
жения для эллиптических орбит
облета Луны.
6
-s 5
§
2
1
2
7
1
Ра1Роо~2
/
/
/
/
О
У
J
/
У
/
У
У
Ра/Роо $
7,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,6 3,0
Рис. 8.99. Смещение центра притя¬
жения для эллиптических орбит об¬
лета Луны.
скорость — расстояние и время — расстояние для ряда эллип¬
тических орбит и параболы.
На рис. 8.98 и 8.99 показано смещение кажущегося центра
притяжения под влиянием Земли для селеноцентрических эл-
липсов с ра/роо=1,6; 1,8; 2 и 3. Анализ подобного явления в слу¬
чае Земли проведен в § 2.12. Видно, что возмущение окололун¬
ных орбит Землей сравнительно велико. Например, при рл/роо =
= 3, то есть при рА=5360 км (2900 морских миль) на линии
Земля — Луна дрейф центра притяжения составляет б/£>~
«2,2-10-5. Это соответствует расстоянию гА/г00=12,5 или
72 500 км (43 000 морских миль) от Земли.
Окололунная орбита, возмущаемая Землей так же, как
околоземная 24-часовая орбита (г/г0о « 6,7) возмущается Лу¬
ной, должна отстоять от Луны на расстоянии р/роо ^ 1,2875.
Это соответствует периоду 2,65 ч или высоте около 500 км
(270 морских миль), если имеется в виду круговая орбита спут¬
ника Луны.
8.11]
СПУТНИКИ ЛУНЫ
473
Можно ожидать, что вследствие практических ограничений
в точности управления и возмущений со стороны Земли орбиты
спутников Луны будут эллипсами. Окололунная эллиптическая
орбита с величиной апоселения порядка трех радиусов Луны бу¬
дет возмущаться Землей так же, как эллиптическая орбита
спутника Земли с апогейным расстоянием порядка 12,2 радиуса
Земли (около 40 лунных радиусов) возмущается Луной. Следо¬
вательно, для того чтобы иметь возможность пренебрегать влия¬
нием Земли на окололунную орбиту, надо рассматривать ор¬
биты, весьма близкие к Луне. Помимо этих побочных причин,
эллиптические орбиты являются более привлекательными по
энергетическим соображениям, поскольку разница в энергии ме¬
жду гиперболической (по отношению к Луне) орбитой прибы¬
тия и некоторым эллипсом с заданным расстоянием до перисе¬
ления меньше, чем разница между орбитой прибытия и круго¬
вой орбитой, радиус которой равен расстоянию от фокуса до пе¬
рицентра упомянутого эллипса.
На практике наименьшее расстояние спутника от Луны бу¬
дет зависеть как от точности орбиты перехода, так и от точно¬
сти, с которой может быть выполнен маневр захвата. Наиболее
вероятно, что первые спутники будут вращаться вокруг Луны на
высотах порядка 2000 -^-10 000 1).
Когда точности повысятся, станет доступным класс орбит
высотой 900-И800 км. На рис. 8.36, например, показано, что ап¬
парат, который должен выйти на орбиту спутника Луны высо¬
той 2400 км (1300 морских миль), при «недоборе» в момент
старта примерно 3 м/сек (10 фут/сек), или около 1/3500 началь¬
ной скорости, столкнется с Луной. Избыток начальной скорости
порядка 3 м/сек, грубо говоря, удвоит высоту захвата. Для того
чтобы ошибка в величине высоты захвата оставалась в допусти¬
мых пределах, необходимо выдерживать начальную скорость
с точностью примерно ±0,75 м/сек, что превосходит имеющиеся
в настоящее время возможности инерциальных систем. Как бы¬
ло указано ранее (§ 8.6), существенно ослабить допуск на вели¬
чину скорости можно, только используя гиперболические орбиты
перехода с малым эксцентриситетом. Однако для подобных
орбит не только значительно увеличивается величина энер¬
гии, требуемой для маневра захвата (она становится гораздо
больше импульса, равного 1200-f-1800 м/сек в случае медленных
орбит перелета), но также резко уменьшается значение допу¬
стимой угловой ошибки в начальный момент и повышаются тре¬
бования к точности выполнения маневра выхода на орбиту спут¬
*) Достаточно высокая точность наведения позволила уже первые совет¬
ские и американские спутники Луны вывести на более низкие орбиты. (Прим.
перев.)
474
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
ника Луны. А этот маневр, по-видимому, всегда будет выпол¬
няться менее точно, чем маневры выведения аппарата у Земли.
Если аппарат производит торможение в номинальной точке,
на рис. 8.36 отмеченной значком А, то он выходит на обратную
орбиту спутника Луны (обратный захват), поскольку аппарат
пересекает лунную орбиту перед Луной. Для выхода на прямую
орбиту необходимо, чтобы аппарат осуществил маневр захвата
в некоторой точке на линии Ду (на рис. 8.36 показанной точ¬
ками). Можно видеть, что допустимые ошибки для траекторий
прямого захвата много меньше, чем для траекторий обратного
захвата, так как при избытке скорости аппарат попадает в Лу¬
ну, в то время как недостаток скорости может помешать аппа¬
рату достигнуть орбиты Луны. Таким образом, для медленных
орбит, выводящих аппарат на близкое расстояние к Луне, об¬
ратный захват позволяет по крайней мере допустить большие
ошибки в скорости, имеющие положительный знак. Это может
до некоторой степени снижать требования к точности в начале
траектории. Помимо этого, как было указано в конце предыду¬
щего параграфа, небольшое превышение скорости захвата над
максимальной синодической скоростью допустимо в случае об¬
ратных орбит захвата, что немного смягчает требования к точ¬
ности маневра захвата. Для обратных орбит принципиально до¬
пустимы значительные ошибки в начальной скорости, если
приемлемы большие высоты орбит спутников. Это справедливо
до тех пор, пока не достигается граница устойчивости, которая
для околокруговых орбит близка к 54 ООО км.
Устойчивость сильно эллиптических орбит сравнительно низ¬
ка из-за влияния возмущений Солнца и Земли. Вспомним
рис. 2.80, на котором показано, что апогей орбиты с большим
эксцентриситетом в долунном пространстве сильно смещается
вследствие влияния Луны. Для орбит спутников Луны также
справедлив тот факт, что обратная эллиптическая орбита более
устойчива, чем прямая орбита.
На рис. 8.100 изображены два семейства обратных орбит
спутников Луны. Для одного из них скорость захвата немного
меньше, а для другого немного больше максимальной скорости.
Оба семейства траекторий отличаются главным образом ско¬
ростью вращения линии апсид. Вопрос о том, будут ли разли¬
чаться эти два класса орбит по своей асимптотической устойчи¬
вости, еще не исследован. На рис. 8.101 для иллюстрации про¬
цесса захвата спутника Луны Землей приведены пять обратных
орбит с различными значениями энергии захвата. На рис. 8.102
показана прямая орбита, которая в результате крайней близо¬
сти скорости захвата к максимальному значению вырождается
в траекторию столкновения с Луной.
8.И]
СПУТНИКИ ЛУНЫ
475
\ Импульс
захвата
\ /
\ /
\ /
Скорость на У
. орбите захвата
на 2,2 %> меньше [ N
максимальной.; *
Ра 12,5Роо \
Скорость на \
орбите захвата \
на 0,5% больше
максимальной; "^д
Ра ~ 20 рао \
0=0; а>=00°; р;=075морских \
миль
Рис. 8.100. Обратные орбиты искусственных спутников
Луны с низким и высоким значениями энергии.
Рис. 8.101. Обратные орбиты захвата (С) и пролета (Е),
приводящие к возвращению космического аппарата на
Землю.
478
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
Интенсивность излучения бортового источника света для таких
расстояний должна быть очень высокой. Положим, что яркость
одной международной свечи на расстоянии 1094 м (3600 фут«
« 0,59 морской мила) соответствует
первой звездной величине.
Тогда величина одной свечи на
любом другом расстоянии состав¬
ляет
1 Е
т = т0 — а 1п-=г-,
где m0 = 1 (первая звездная вели¬
чина), поток, падающий на единицу
площади на расстоянии 1094 ж, есть
а параметр Е для источника света
на расстоянии г вне атмосферы*)
составляет:
Здесь / — интенсивность излучения
источника света в одну свечу, а а —
коэффициент поглощения. Множи¬
тель а = 2,5 для визуальных на¬
блюдений, но для фотографических
наблюдений он несколько меньше. Для визуальных наблюдений
звездная величина, соответствующая источнику яркостью в одну
международную свечу, находящемуся вне атмосферы, состав¬
ляет, следовательно,
т = 1 — 2,51п [(-—) е~'\
Если предположить, что коэффициент поглощения равен 0,117,
а г = 185 км, то найдем, что т= 12,27. Если теперь оценивать
звездную величину источника света на больших расстояниях,
можно отбросить множитель е~а и, взяв га0= 12,27, принять
'о
т = т0 — 2,5 ln-^y.
Для источника света в одну свечу на расстоянии 370 000 км это
уравнение дает звездную величину 26?п,27. С увеличением интен-
9 Предполагается, что на расстоянии 1094 м мет поглощения; это со¬
гласуется с весьма малым значением коэффициента поглощения, принятым
для всей атмосферы.
; Галактическая широта
О 8 10 12 14 16 18 20
Видимая звездиая величина т
Рис. 8.104. Видимая плотность
звезд на квадратный градус как
функция звездной величины и
галактической широты. (Пло¬
скость галактического экватора
наклонена к плоскости небес¬
ного экватора на угол 62°).
8.11]
СПУТНИКИ ЛУНЫ
479
сивности излучения источника света эта величина уменьшается
в соответствии с выражением
т = т0 — 2,5In-/- .
h
Таким образом, для ///0 = 100 уменьшение составляет 5т, а для
источника света в один миллион свечей получается звездная ве¬
личина 11т,27.
Задача фотографического слежения облегчается, если увели¬
чивается время экспозиции. Периоды экспозиции в нашем слу¬
чае имеют порядок 0,1 + 1 сек при звездной величине источника
света 11т и апертурах в пределах 16-^20 дюймов. Это — срав¬
нительно большие значения времени экспозиции. Следует заме¬
тить (см. рис. 8.103), что отражающая солнечный свет сфериче¬
ская конструкция, яркость которой составляет 9Ш-И1т, не яв¬
ляется неосуществимой. Она может быть выполнена в виде
надувного баллона диаметром 12 + 30 м, сопровождающего
спутник.
Для исследования орбитальных возмущений необходимо, од¬
нако, чтобы вакуум вблизи Луны был достаточно высоким, то
есть чтобы среда не оказывала влияния на движение баллона в
течение длительного времени.
Помимо яркости спутника, очень важным фактором для ус¬
ловий наблюдения является контраст с фоном. Очевидно, что ос¬
вещенная поверхность Луны является неподходящим фоном.
Темная лунная поверхность дает отличные условия наблюдения
для короткого периода времени между появлением спутника
перед диском Луны и заходом его в конус лунной тени. Продол¬
жительность этого периода зависит, конечно, от высоты спут¬
ника. С другой стороны, можно надеяться на возможность
наблюдения во время движения спутника между двумя противо¬
положными краями лунного диска. Эти периоды видимости спут¬
ника около лунного диска и на максимальном угловом расстоя¬
нии от лунной периферии были вычислены для окололунных ор¬
бит радиусами, равными 1,01-7-2,4 радиуса Луны. Интересно
заметить, что максимальное угловое расстояние в дуговых се¬
кундах численно равно высоте у орбиты в морских милях, по¬
скольку одна секунда дуги на расстоянии 60 земных радиусов
приблизительно равна одной морской миле. Некоторые резуль¬
таты расчета представлены на рис. 8.105. Они показывают, что
Даже на сравнительно близком расстоянии от Луны спутник
Доступен для наблюдения в течение относительно долгого пе¬
риода времени около краев лунного диска. Заметим, что мини¬
мальные угловые расстояния составляют примерно 9-т-20 угло¬
вых секунд. Современная длиннофокусная аппаратура для
480
ПОЛЕТ к ЛУНЕ
[ГЛ. 8
фотографирования небесных тел имеет разрешающую способность
по крайней мере 0//,025. Отсюда следует, что задача слежения не
налагает ограничений на близость орбиты спутника к Луне. По¬
скольку при наблюдении спутника в отраженном солнечном
Рис. 8.105. Период видимости искусственного спут¬
ника Луны вне лунного диска и максимальное
угловое расстояние от края Луны.
свете наилучшие условия имеют место тогда, когда Луна и спут¬
ник находятся в полной фазе, желательно экранировать изобра¬
жение Луны в оптической системе маленьким металлическим
дискрм (чтобы уменьшить световые помехи), а также пользо¬
ваться длиннофокусной аппаратурой, которая обладает малым
полем зрения. В будущем можно будет также изучить вопрос
о наблюдении спутника Луны с помощью стабилизированного
8.111
СПУТНИКИ ЛУНЫ
481
спутника Земли, поскольку в этом случае не будут сказываться
атмосферные помехи.
Спутник может также производить поиски остаточной атмо¬
сферы Луны. Обнаружить оптические и электрические явления,
I
*
•■а
ф - кажущаяся угловая скорость поверхности
Земли относительно спутника
<р-кажущаяся угловая скорость поверхности ~
Муны относительно спутника
© - кажущаяся угловая скорость относительно у
самолета, движущегося со скоростью
320
2 4 6 6
у (сотни тыс. фут)
Рис. 8.106. Кажущаяся угловая скорость поверхности
Луны относительно спутника.
обусловленные ее существованием, можно только на близком
расстоянии. Если окажется осуществимой надлежащая точность
управления, спутник можно использовать для запуска очень
больших и легких «баллонов», которые пролетали бы очень
близко к поверхности Луны. Движение этих баллонов помогло
бы обнаружить атмосферные эффекты. К сожалению, круго¬
вые скорости около Луны малы, так что аэродинамическое
31 К. Эрике, т. II
482
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
торможение баллона будет меньше, чем в газе той же плотно
сти вблизи Земли.
Одной из наиболее интересных задач, решение которых свя¬
зано с применением спутников Луны, является, конечно, изуче¬
ние поверхности Луны. Это может быть осуществлено различ¬
ными путями: оптическим наблюдением, накоплением изображе¬
ний и передачей их на Землю; радиационной разведкой с целью
исследования возможности существования источников излуче¬
ния на поверхности Луны, которые могли бы явиться результа¬
том действия космического излучения на
минералы; организацией взрывов вблизи
поверхности для определения состава ее
верхних слоев и, наконец, с помощью
управляемой посадки и взлета спутников
Луны.
Для выполнения оптических наблюде¬
ний к Луне можно приблизиться в боль¬
шей степени, чем к Земле, причем из-за
малых круговых скоростей кажущаяся
скорость относительно поверхности Луны
будет небольшой. Под термином «при¬
близиться» здесь понимается не только
физическое сближение, но и достижение
такой максимальной высоты над поверх¬
ностью Луны, на которой еще возможно
использование лучшей оптической аппаратуры. Условия наблю¬
дения лунной поверхности иллюстрируются рис. 8.106 [1]. В пред¬
положении, что наблюдения производятся невооруженным гла¬
зом, кажущиеся угловые скорости относительно земной и лун¬
ной поверхностей сравниваются между собой с точки зрения
наблюдателя, движущегося с круговой скоростью на определен¬
ной высоте.
Кажущаяся скорость аппарата относительно поверхности вы¬
числена для спускающегося в атмосфере Земли орбитального
планера и для тропосферного самолета, который движется со
скоростью 305 м/сек (1000 фут/сек) на высотах соответственно
3000 м (10 000 фут) и 9000 м (30 000 фут). Для спускающегося
орбитального планера соотношение между скоростью и высотой
получено в предположении, что характеризующий подъемную
силу параметр CL/(W/S) постоянен и равен 0,24 н/м2
(0,005 фунт/фут2). Кажущаяся скорость, соответствующая высоте
порядка 30 000 м (100 000 фут), не будет, по-видимому, создавать
затруднений. Здесь не было сделано, однако, попыток точно оце¬
нить практический нижний предел высоты орбиты, позволяю¬
щий получить на спутнике Луны изображение ее поверхности
Рис. 8.107. Определение
параметров наблюдения.
8.11]
СПУТНИКИ ЛУНЫ
483
г 180\
^юоо г
в
I
I
1
600-
f гоо
Is
| О
\
I
• %J400
■ 11200
X
Л 800
■ 1 600
%
- I 400
-§
200
О
200 400 600 800 1000 1200
Высота, {морские мили)
Рис. 8.Ю8. Радиус видимой области, наклонная дальность и
величина поля зрения в зависимости от высоты полета спут¬
ника Луны.
I
i
7400
1200
WOO
800
600
400
200
О
I
i
I
I
I
| 20000
160
140
1120
- ^100
I 80
I
^ 60
20
О
X1
/
-6UL
Ы
У
/
кГ
У
/Наклонная
дальность
,
у
У
\
\
/17оле зрения
/
"П
О
70000
20000
Вь/сота (морские мили)
Рис. 8.109. Радиус видимой области, наклонная дальность и ве¬
личина поля зрения в зависимости от высоты полета спутника
Луны.
31*
484
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
Для параметров, характеризующих условия наблюдения со
спутника Луны, имеем следующие соотношения (рис. 8.107):
поле зрения
2р = 2 arcsin cos у j;
радиус видимой области
d = Рооф = Роо (90° - р - у);
наклонная дальность
3_ cos (р + у)
^ cos у
Значения этих, параметров в зависимости от высоты полета
спутника Луны даны на рис. 8.108 и 8.109.
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
а — ускорение;
а — географический азимут, отсчитываемый против хода ча¬
совой стрелки от направления на север;
а — большая полуось;
D — расстояние от Земли до Луны;
е — эксцентриситет;
g— гравитационное ускорение;
Н — местный часовой угол;
/ — наклонение плоскости орбиты перелета к плоскости лун¬
ной орбиты;
К — гравитационный параметр;
т* — отношение массы Луны к массе Земли;
qmах — максимальная селеноцентрическая скорость спутника во
вращающейся барицентрической системе координат;
# — расстояние от Земли до Солнца;
г — радиальное расстояние от центра Земли;
Гоо — радиус Земли;
s^ — расстояние от центра Луны до барицентра;
s0 — расстояние от центра Земли до барицентра;
t — время;
/j2 — время перелета из положения 1 в положение 2 на данной
орбите;
и — скорость движения Луны;
V — скорость на траектории;
v^ — геоцентрический гиперболический избыток скорости;
w — селеноцентрическая скорость;
йУоо — селеноцентрический гиперболический избыток скорости;
xyz — фиксированная система координат (см. § 8.3);
ЗАДАЧИ
485
у — высота;
р —угол между плоскостью лунной орбиты и плоскостью пе¬
ресекающей ее геоцентрической траектории (считается,
что орбита Луны не вполне круговая; если орбита Луны
предполагается круговой, этот угол пересечения плоско¬
стей обозначается через 0); в § 8.8 угол р имеет другое
значение;
£ — угол между векторами до,» и и\
Д£ — угол, на который поворачивается вектор Дооо при гипербо¬
лическом пролете около Луны;
г] — истинная аномалия;
0 — угол наклона траектории к местному горизонту;
1 — наклонение плоскости орбиты перелета к экваториальной
плоскости Земли;
i([ — наклонение плоскости орбиты Луны к экваториальной
плоскости Земли;
— среднее угловое движение Луны по орбите;
£г)£ — Бращающаяся барицентрическая система координат (см.
§ 8.10);
р — радиальное расстояние от центра Луны;
р00- радиус Луны;
Ф — угол положения Солнца (см. § 8.3);
Ф — географическая широта;
Ч' — угол положения Луны (см. § 8.3).
Индексы:
Л—относится к апоцентру;
а — трансверсальный (азимутальный);
с — относится к круговой орбите;
Р — относится к перицентру;
г — радиальный;
tr — относится к перелету;
до — ортогональный к плоскости орбиты (бинормальный);
1 — начальное значение;
2 —значение в момент прибытия (в точке маневра прибы¬
тия) ;значение непосредственно перед встречей с Луной;
3 — значение в момент пролета около Луны.
ЗАДАЧИ
1. Определите орбитальные условия старта для задачи полета к Луне.
2. Аппарат приближается к Луне по некоторой траектории с отрицатель¬
ным значением геоцентрической орбитальной энергии. Возможно ли разогнать
его до выхода на геоцентрическую гиперболическую орбиту с помощью поля
Луны?
3. Осуществим ли пролет мимо Луны, при котором достигается увеличе¬
ние геоцентрической скорости, максимально возможное теоретически при
Таком маневре?
486
ПОЛЕТ К ЛУНЕ
[ГЛ. 8
4. Обсудите, целесообразно ли использовать пертурбационный маневр
пролета мимо Луны при выведении аппарата на межпланетную траекторию.
5. Каково значение «нейтральной точки» между Землей и Луной для по¬
летов к Луне?
6. Опишите маневр обратного облета Луны.
7. Какой тип орбиты перелета вы выберете, если первостепенной задачей
является минимизация влияния ошибок в величине начальной скорости?
8. Какой тип орбиты перелета к Луне вы выберете, если необходимо ми¬
нимизировать влияние ошибок в угле наклона траектории в момент старта?
9. Предположим, что перелет космического аппарата к Луне намечено
осуществить по гиперболической траектории. Известно, что в случае, если
запуск откладывается, начальную скорость необходимо изменить, чтобы
встреча с Луной осуществилась. Ответьте, как надо изменить величину ско¬
рости: увеличить или уменьшить?
10. Объясните, почему некомпланарный перелет к Луне более чувстви¬
телен к ошибкам в величинах скорости и угла наклона траектории при стар¬
те, чем перелет в плоскости лунной орбиты.
11. Как с увеличением скорости перелета перемещается точка попадания
для эллиптических орбит столкновения с Луной: от заднего края диска
Луны к переднему или наоборот?
12. Для какого диапазона скоростей перелета точка попадания будет пе¬
ремещаться с увеличением скорости от заднего края лунного диска к перед¬
нему и затем обратно?
13. Как изменяется величина допустимой ошибки в угле наклона траек¬
тории с увеличением начальной скорости?
14. При каких скоростях допустимая ошибка во времени старта лунного
аппарата принимает большее значение: при малых (эллиптических) или боль¬
ших (гиперболических)?
15. Насколько существенно различие в величинах необходимой скорости
при прямом маневре посадки на Луну и разрывном маневре, включающем
выход на промежуточную круговую орбиту, и как изменяется это различие
с увеличением высоты промежуточной орбиты?
16. Если аппарат, осуществляющий посадку на Луну, должен отклониться
от плоскости своей селеноцентрической орбиты сближения, он может выпол¬
нить маневр изменения плоскости орбиты и маневр посадки в два этапа или
сразу*. Если маневр выполняется в два этапа, опишите наиболее экономичную
методику его выполнения. Может ли эта методика при определенных усло¬
виях стать более экономичной, чем одноэтапный маневр? Опишите эти
условия.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ehricke К. A., Basic Aspects of Operations in Cislunar and Lunar
Space, Am. Rocket Soc., Paper No. 235A-55, November 1955.
2. Clement G. H., The Moon Rocket, The RAND Corp. Paper P-833, May
1956.
3. Lieske H. A., Lunar Instrument Carrier-Trajectory Studies, The RAND
Corp , Res. Memo RM-1728, June 1956.
4. Ehricke K. A., G a m о w G., A Rocket Around the Moon, Scientific Ame¬
rican, vol. 196, No. 6, pp. 47—53, June 1957.
5. Lieske H. A., Accuracy Requirements for Trajectories in the Earth-Moon
System, Vistas in Astronautics, Pergamon Press, New York, 1957.
§. Ehricke K. A., Instrumented Comets — Astronautics of Solar and Pla¬
netary Probes, Barcelona, October 1957, Proceedings of the Eighth Inter¬
national Astronautical Congress, Springer Publ. Co.? Vienna, 1958.
ЛИТЕРАТУРА
487
7 G a z 1 е у С., Jr., "М as son D. D., Recovery of A Circumlunar Instrument
Carrier, los. cit., Ref. (5).
8 Walters L. G., Lunar Trajectory Mechanics Navigation, Journal of the
Institute of Navigation, vol. 6, No. 1, pp. 51—58, Spring 1958.
Q L a n g H. A., Lunar Instrument Carrier—Landing Factors, The RAND Corp.,
Res. Memo RM-1725, June 4, 1956.
10 Fauth Ph., Unser Mond (Our Moon), Dr. Hermann Eschen—Hagen Publ.,
Breslau, 1936.
11. Ehricke K. A., Spacecraft, Paper presented at the Jet Age Conference,
Washington, February 1958, Convair Rep. AZM-020.
12. Buchheim R. W., Motion of a Small Body in Earth-Moon Space, The
RAND Corp., Res. Memo RM-1726, June 1956.
13. E h r i с к e K. A., Cislunar Operations, Am. Rocket Society, Paper No. 467—
57, June 1957.
14. Riddell W. C., Initial Azimuths and Times for Ballistic Lunar-Impact
Trajectories, Convair (Astronautics), Rep. No. AZM-070, March 1959.
15. Buchheim R. W., Artificial Satellites of the Moon, The RAND Corp.,
Report P 873, June 1956.
16. Urey H. C., The Planets, Their Origin and Development, New Haven,
Yale University Press, pp. 20—25, 1952.
17. Tousey R., The Visibility of an Earth Satellite, Astronautica Acta, vol. II,
p. 101, 1956.
ГЛАВА 9
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
9.1. Введение
С наступлением эры межпланетных полетов человек с по¬
мощью созданных им космических аппаратов покинет пределы
«каботажного плавания» и отправится в «открытое море» кос¬
моса. Если полеты в долунном и окололунном пространствах
можно сопоставить с путешествиями первооткрывателей во вре¬
мена Одиссея и других мореплавателей Древней Греции, то
полеты в солнечной системе можно сравнить с достижениями
викингов, полинезийцев, Колумба, Магеллана и Васко да Гамы.
Однако от исследователей межпланетного пространства потре¬
буется еще большее личное мужество, так как на их долю вы¬
падет одиночество, никогда ранее не испытанное человеком:
ведь в обширном пространстве солнечной системы их родная
планета будет казаться им далекой звездой и временами будет
совершенно исчезать из виду. Кроме того, их ожидают более
длительные путешествия, так как полеты будут занимать от зна¬
чительной части года до значительной части жизни. Поэтому
уменьшение времени полета является основной задачей при про¬
ектировании межпланетного полета человека. Без решения этой
проблемы человеку навсегда придется ограничиться полетами
только в пределах солнечной системы, и при этом организация
каждой экспедиции будет стоить огромных усилий. Это озна¬
чает, что наш успех в межпланетных полетах неизменно связан
с успехом в разработке таких реактивных систем, которые, с од¬
ной стороны, обеспечат достаточно высокие приращения скоро¬
стей, позволяющие уменьшить время полета на Венеру или
Марс до 0,5 -г-1,5 года, а с другой стороны, обеспечат очень вы¬
сокую удельную тягу для того, чтобы свести к минимуму проб¬
лему выведения с Земли.
9.2. Траектории межпланетного полета
Траектория полного межпланетного перелета (в отличие от
перелета между орбитами спутников или перелета к Луне) со¬
стоит в основном из трех участков:
9.2]
ТРАЕКТОРИИ МЕЖПЛАНЕТНОГО ПОЛЕТА
489
1. Участок ухода от планеты старта.
2. Гелиоцентрический перелет.
3. Участок захвата планетой-целью.
Первый и последний участки траектории представляют собой
гиперболические орбиты, тогда как промежуточный участок,
обычно изображаемый в форме гелиоцентрического эллипса, мо¬
жет также иметь форму гелиоцентрической параболы или гипер¬
болы.
Рис. 9.1. Орбиты Венеры, Земли и Марса и сферы действия Земли
и Юпитера.
Уход от планеты старта и подход к планете назначения по
времени составляют лишь малую часть межпланетного пере¬
лета. Область пространства, где в качестве центрального тела
может рассматриваться планета, а не Солнце и где траектория
относительно планеты близка к гиперболической, определяется
как сфера действия планеты (рис. 9.1); ее размер приближенно
может быть выражен соотношением
( К . \ 2/5
г act = Rp\ (9.1)
[см. уравнение (1.6.244)].
Константы планет О
490
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ.
cd
Cf
к
ч
VO
cd
H
w с 5 2d
я s
*2 _ d Я
S’S W <D
щ S Q. д
tjgvo ffl
« я ° «
0) * К
o. s О X
n ^ = Q *
2 R о.® £ л E-
§.i£S*§5?
S*s~3-
° <u s д. Л -O
I-EgIs
ol "
к з:
К JQ н —
£ 4 ° II
t( са о 11
<l> Н О.Д\
as о®
UO х
0.0
К Я Н К N
ас f- «д о х
i § §-5 §
i О. н
Ьй £ «
а- и
с;
, к , .
' к о «uN <*>
К S.Q.K .
о ЧтЯ Q
та о>
О * о 5 « *
я К к “S .
CL О 4 ^ г м
5 к ^ о»
5 я ^ л
о g ° и j
Ю яс о О
00
со
ю
см
Tf
со
СП
со
о
О
СО СО 1
со
со
<э
<з
о —
см'
—
—
—
—
—
ю
00^ <N |
со" стГ
л —• со ю сп ю
CD ^ < О О
LO Ю СО
^ СО 00
id оо см
со со^ — сп
—" id" N-" о ю
— Ь- 00 — Ю ID
—* Ю СО ю
_
CD
.—i
ID
Tt«
СМ
CD
o'
о"
ю
CD
ч со
CM
CM
00
со
со
аэ
сю
о
<ю
СП
nT
см
00
CD
см
со
00
N.
ю
о
N.
со
—1
—Г
■в-2
00
Tf
00
со
СП
со
00
со
00
см
ю
о
со
см
см
00
сю
Tf
со
см
о
сГ
о"'
о
о"
о"
со"
О 9 СМ
<N
—
00^
СП
(N
СП
ID
стГ
оГ
СП
см"
см"
cd"
00"
со
ID
Tf
см
CM
CO
о
СО I
о
00
СП
CD
CD
00
см 1
ю
см
тр
N-
со
—
см
о
—
N-
CD 00 N
Ю со CD
О О —
см о о
o' о" o'
^ h- см
00 ID N.
^ ю ^
со о. о
o' о" о"
CD СО
00 00
о ^
о СМл
О*4 о"
N-
CM
N.
CD
00
CD
CD
00
CD
Ю
О
N.
ID
CO
CD
CM
CD
Ю
00
N
CD
сол
Tt*
о
CO
CO
o"
o"
—Г
id"
o"
о"
o"
СП
—
CM
CO
Ю ^ со
N 00 со
о — оо
С0е N О
о о" o'
00 CD CD
О N CD
ю О ^
05 СО СМ^
^ СП 00
h- СО
00 см
СО N О
СО О СМ
О СО 00
СМ ю —
— ю сп сп
00 00
ю —
О Ю
о" СП
со со
Си
>>
ЬЙ
о.
К И
>» 2
Е- н
с г0
—-I ^
^ са cq
ТРАЕКТОРИИ МЕЖПЛАНЕТНОГО ПОЛЕТА
491
RlSt[(D
.Д X 5 Ь г;
§2 ^ ¥ 1! m Е-
О g К ТО ТО °
“1ё|В7
S “ & 8 U
5 5
1“
5 о
х о * с
^ н ч
'J Ой
2<-> о
к к
то то
я я
Я я
<и я
я о
ч н
° Я
S
а> 2 s
я S Я Я£3 *.
Ss§gi§Ф
§•« I £ 4 ^
и ^ о о ,2 2
g^§ S о
X go а®
я
° 2
е ТО
52 н
я 2
>* (1)
5 я
Ч ТО
то ч
ТО U А
S«! ^Е-
D.® S И) s
О д е(я 5
н я то то
То р. ч
ч
с
СО
о
о
ю
о
о
о
о
СП
г-.
о
со
СО
о
тр
СО
см
тр
ю
тр
см
со
со
^р
t"-
со
о
со"
,-,111
0.000
о" ^ ^
I I I I I I I I I
ооооооооо
—«ЮОСМЮОЮЮСМ
Ож —w —I СО СЧ h- о о г-
тГ ^ со" см" СМ" со" —" со" со"
«о
о
(О
о
ю
О
ю
О
со
О
СО
О
со
О
ю
О
СО
О
—*
—
_
см
00
00
00
г^
00
СП
со
СП
Ю
см"
СО"
со"
о
о"
о"
о"
тр
тр
ю
00
со
X
СО
■о
СО
СО
со
я
О
о
ю
|>-
О
О
О
о
о
я х
см
СО
СО
см
о я
см
ь.
СО
й*4
о Я
о
см
00
05
__
ю
о
2i
Q
СО
со
СП
О
05
аэ
со
со
тр
СО
тр
CM
СО
СМ
ь."
см
со"
тр
оо"
СО.
СМ
СП
ч.
о.
тр"
СП
о"
со"
N-"
^Р
05
Г^-
Гр
Гр
см
*>■
СО
о
см
Гр
со
о
о
00
о
о
о
о
о
о
о
о
00
LO
о
о
о
ю
см
со
со
00
ю
ю
о
со
см
СО
со
СО
СП
СО
ю
ю
см
ю
см
со
я
>>
§(«П^2и>»ДС
£
2
&
ч
о
с
SK
я
я
у _
о «
Е-. ч
а> ч
о
а |
г*
П S
II S
Is
я
*оо
^ то
2 я
00 я
о со '
х
то
я
ч
о
о со
i< 53
- О
_а
- ®1
w. R
СП II л
>. го
Ч Н
: в
2 I
О о.
S-S
3>*
Г* в
о.
0)
•&
то я
492
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
(ГЛ. 9
Таблица 9.2
Значения скорости планет в различных единицах измерения
(средняя орбитальная скорость в единицах скорости Земли дана
в таблице 9.1)
Планета
Круговая скорость на среднем расстоянии
планеты от Солнца
а-е/сек
км/сек
фут/сек
Меркурий
Венера .
Земля . .
Марс . .
Юпитер .
Сатурн .
Уран . .
Нептун .
Плутон .
3,2006
10“
2,3413
10“
1,9913
10“
1,6132
ю ,
8,7301
ю“;
6,4475
10“
4,5467
10“
3,6322
10“'
3,1677
10“'
47,8484
156 983
35,0035
114 843
29,7701
97 670
24,1175
79 103
13,0516'
42 820
9,6390
31 624
6,7715
22 301
5,4300
17815
4,7357
15 537
Планета
Скорость в перигелии
Меркурий
Венера .
Земля . .
Марс . .
Юпитер .
Сатурн .
Уран . .
Нептун .
Плутон .
3,9430
10“.
2,3574
10“,
2,0078
10“
1,7102
10“
9,1620
10“
6,8156
10“
4,7666
10“
3,6635
10“
4,0836
10“
58,9464
193 462
35,2424
115 624
30,0
98 385
25,5678
83 884
13,6971
44 938
10,1894
33 430
7,1260
23 379
5,4769
17 969
6,1049
20 029
Планета
Скорость в афелии
а-е/сек
км/сек
фут/сек
Меркурий
2,5980- 10“7
38,8398
127 427
Венера
2,3415- 10“?7
34,6048
113 533
Земля
1,9746-10 7
29,54
96 840
Марс . .
1,6540 - 10“^
24,7266
81 124
Юпитер
8,3221 • 10“8
12,4415
40 818
Сатурн
6,0965- 10“®
9,1431
29 903
Уран
4,3369- 10“ 8
6,4836
21 272
Нептун
3,6012- 10“8
5,3838
17 663
Плутон
2,4572 • 10“
3,6736
12 052
ТРАЕКТОРИИ МЕЖПЛАНЕТНОГО ПОЛЕТА 493
Таблица 9.3
Характеристики тринадцати основных типов орбит перелета
Орбита
пере¬
лета
Крайние
точки
V
град
Описание орбиты
Внутренняя орбита
радиуса RL
Внешняя орбита
радиуса Rjj
0
1^11
180
0 = 0; орбита переле¬
та касательна к орбите
планеты при условии
компланарности орбит
(гомановский эллипс)
0 = 0; орбита переле¬
та касательна к орбите
планеты при условии
компланарности орбит
1
IV
< 180
0 = 0; Rp = RL, если
Rl — радиус круговой
орбиты
0¥=О; Ra > Ra\ пер¬
вое пересечение, если
Rv — радиус орбиты
планеты-цели
2
III ^ V
> 180
0 = 0; Rp = Rl, если
Rl — радиус круговой
орбиты
0 =7^ 0; RA Rjj\ вто¬
рое пересечение, если
Rv — радиус орбиты
планеты-цели
3
VI VIII
> 180
0=7^0; Rp < Rl; вто¬
рое пересечение, если
Rl — радиус орбиты
планеты-цели
0 = 0; Ra = Ry, если
Ru — радиус круговой
орбиты
4
VII VIII
< 180
0^=0; Rp < Rl; пер¬
вое пересечение, если
Rl — радиус орбиты
планеты-цели
0 = 0; Ra = Ry, если
Rv — радиус круговой
орбиты
5
IX XI
^180
0=7^0; Rp < Rl; вто¬
рое пересечение, если
Rl — радиус орбиты
планеты-цели
0^=0; Ra > Ry\ пер¬
вое пересечение, если
Ry — радиус орбиты
планеты-цели
6
IX XII
> 180
0^=0; Rp < Rl; вто¬
рое пересечение, если
Rl — радиус орбиты
планеты-цели
0=7^0; R А > Ry; вто¬
рое пересечение, если
Ry — радиус орбиты
планеты-цели
7
Х;=± XI
<180
0=^=0; Rp < Rl; пер¬
вое пересечение, если
Rl — радиус орбиты
планеты-цели
0=^0; Ra> Ry\ пер¬
вое пересечение, если
Ry — радиус орбиты
планеты-цели
494 МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ [ГЛ. 9
/7 родолжение
Орбита
пере¬
лета
Крайние
точки
V
град
Описание орбиты
Внутренняя орбита
радиуса R^
Внешняя орбита
радиуса Ry
8
X ^ XII
^180
0=^=0; Rp < Rl; пер¬
вое пересечение, если
R L — радиус орбиты
планеты-цели
б¥=0; RA> Rp, вто¬
рое пересечение, если
Ry — радиус орбиты
планеты-цели ■
9
Парабола
< 180
0 = 0; Rp = Rl> если
Rl - радиус круговой
орбиты
0=^0
10
XIII XIV
< 180
0 = 0; Rp = Rl, если
R L — радиус круговой
орбиты
0=^0
11
XV XVI
< 180
0=^=0; Rp < Rl\ пер¬
вое пересечение, если
Rl — радиус орбиты
планеты-цели
0^0
12
XVI XVII
^180
0=7^0; Rp < Rl\ вто¬
рое пересечение, если
Rl — радиус орбиты
планеты-цели
0=^0
Значение среднего синодического периода обращения пла¬
неты определяется средней угловой скоростью движения пла¬
неты относительно Солнца. Значения реальных синодических пе¬
риодов обращения колеблются относительно величины среднего
синодического периода; эти отклонения связаны с вариациями
угловой скорости планет из-за эллиптичности их орбит. Реаль¬
ный синодический период обращения Марса изменяется от 2 лет
34 суток до 2 лет 80 суток. Поскольку семь синодических перио¬
дов обращения Марса равны примерно 15 годам, то противо¬
стояние Марса будет происходить каждые 15 лет в одно и то же
время года.
Значения радиусов сфер действия планет, а также другие
основные константы планет приведены в таблицах 9.1 и 9.2.
Сферу действия не следует путать со сферой, в пределах кото¬
рой гравитационное поле планеты изменяет до некоторой ин¬
9.2]
ТРАЕКТОРИИ МЕЖПЛАНЕТНОГО ПОЛЕТА
495
тересующей нас степени гелиоцентрическую траекторию уда¬
ляющегося или приближающегося космического аппарата. Пре¬
делы этой области вокруг планеты, а следовательно, и интере¬
сующая нас степень возмущения зависят в какой-то мере от
II
Крайние
Орбита
точки
перелета
1 = 11
О
III ^ IV
I
III = V
2
VI ^ VIII
3
VII - VIII
4
IX = XI
5
IX = XII
в
X = XI
7
х = хп
8
Рис. 9.2. Девять основных типов эллиптических
гелиоцентрических орбит перелета.
точности навигации. Однако за такой предел можно принять
расстояние, на котором притяжение планеты составляет до 1/50
или 1/100 местного гравитационного притяжения Солнца (см.
последний столбец в таблице 9.1).
В дальнейшем, рассматривая гелиоцентрические орбиты пере¬
лета, будем пренебрегать планетоцентрическими участками.
Для систематизации множества возможных гелиоцентрических
траекторий полета последние разделены на девять типов
496
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
1ГЛ. 9
эллиптических орбит, параболическую и три типа гиперболиче¬
ских орбит перелета (перехода). Характеристики этих тринадца¬
ти типов орбит перелета !) приведены в таблице 9.3, а сами ор¬
биты изображены на рис. 9.2 и 9.3. На рис. 9-2 вверху показаны
перелеты с внутренней орбиты на внешнюю, а внизу — перелеты
с внешней орбиты на внутреннюю. Каждому типу эллиптических
орбит перелета «в один конец» присвоим номер — однозначное
^ число (например, «О» для гоманов-
ского перелета), а каждой траекто-
ч/ \/ рии перелета с возвращением — дву-
"х А значное число (например, «00» для
\1 х/ \/ Yxiv гомановской траектории облета).
При этом условимся, что в случае
полета с возвращением первая циф¬
ра двузначного номера будет соот¬
ветствовать номеру одностороннего
перелета от Земли к планете-цели,
а вторая цифра будет обозначать
номер одностороннего перелета от
планеты-цели к Земле (возвраще¬
ние). Если же при полете с возвра¬
щением используется гиперболиче¬
ский переход или имеется более
чем одна планета назначения, то
есть траектория полета представ¬
ляет собой последовательность нескольких переходных орбит,
то номера орбит перелета будем записывать последовательно,
отделяя их запятыми, начиная с орбиты полета от Земли и кон¬
чая орбитой возвращения к Земле.
Классификация орбит перелета, представленная на рис. 9.2
и 9,3, является вполне общей и не зависящей от эллиптичности
и наклонения орбит планет или произвольных орбит старта и
цели. Влияние эллиптичности и наклонения орбит, между кото¬
рыми осуществляется перелет, будет рассмотрено в последую¬
щих параграфах.
9.3. Гомановский перелет между планетами,
имеющими компланарные круговые орбиты
Очевидно, что такой подход является идеализированным.
Благодаря тому, что он допускает значительное упрощение,
серьезно не искажая при этом большинства маневров перелета,
XIV
Крайние
точки
XIII -XIV
XV ^ XVI
XV ^ XVII
Рис. 9.3. Три основных типа
гиперболических орбит пере¬
лета.
!) В дальнейшем встречается (в основном на рисунках) сокращенная
запись слов «орбита перелета» в виде ОП. (Прим. ред.)
9.3]
ГОМАНОВСКИЙ ПЕРЕЛЕТ МЕЖДУ ПЛАНЕТАМИ
497
такое приближение исторически стало отправным пунктом си¬
стематического исследования межпланетного полета, начиная с
первого исследования Гомана [1]. Исходя из этого, класс «О»
переходных орбит (рис. 9.2) назван его именем.
Рис. 9.4. Обозначения, используемые при описании гелиоцентрического
перелета.
Р — перигелий; А — афелий; # —расстояние от Солнца; т] — истинная аномалия; ДЧф,
— центральные углы, проходимые соответственно планетой старта и плапетой-целью
за время перелета; — центральный угол, проходимый космическим аппаратом за время
перелета; Ж — угол положения планеты-цели относительно планеты старта; х — централь¬
ный угол, проходимый космическим аппаратом за период нахождения на орбите спутника
планеты-цели (период захвата). (Положительными являются углы, отсчитываемые против
направления движения часовой стрелки).
Индексы: 0 —относится к планете старта; Т — относится к планете-цели; 1 — точка старта
и значение параметра в момент старта; 2 —точка прибытия и значение параметра в мо¬
мент прибытия; t — относится к переходу (перелету).
Ниже гомановские перелеты будут исследованы первыми.
Привлекаемые к исследованию уравнения хорошо известны чи¬
тателям этой книги из тома I «Космического полета» и будут
поэтому приводиться здесь без дальнейшего объяснения. Обо¬
значения, используемые при описании перелета, представлены
на рис. 9.4. Все другие используемые символы были -объяснены
ранее, а также собраны в списке основных обозначений в конце
этой главы. Планетоцентрические орбиты на начальном и конеч¬
ном участках перелета будут рассматриваться здесь только с
точки зрения определения энергии, необходимой для старта и
32 К. Эрике, т. II
498
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
перехода на орбиту спутника планеты-цели. Кроме того, будем
пренебрегать влиянием эксцентриситета, наклонения плоскостей
орбит планет и наклонения плоскости осуществляемой орбиты
перелета на требуемую энергию перехода. Обсуждение этого
вопроса отложим до рассмотрения в § 9.4.
Гелиоцентрическая скоросчь старта 1).
В случае перелета на внешнюю планету солнечной системы:
где n = RA/RP и VKo/Rp =V~Ko/a® (а® — большая полуось
земной орбиты).
В случае перелета на внутреннюю планету солнечной си¬
стемы:
При гомановском маневре старт и подход к орбите назна¬
чения осуществляются по касательной, следовательно,
так что для перелета на внешнюю или внутреннюю планету по¬
лучим планетоцентрическую скорость ухода
Здесь, как и в случае гелиоцентрических скоростей, звездочка
означает, что скорости взяты в безразмерной форме, полученной
в результате деления величины соответствующей скорости на
среднюю скорость Земли
Удобно выполнять расчеты траекторий межпланетных пере¬
летов, если скорости выражены в единицах средней скорости
Земли, а расстояния — в астрономических единицах. Тогда еди¬
ница измерения времени будет равна (1/2л) года, VL.®=1 и
п — 1
п+ 1 »
(9.2)
\
(9.3)
где
v\= VКо!Ra = VКе/а®. I
(9.4)
(9.5)
или при старте с круговой орбиты спутника
(9.6)
U® — Ус.аф— V К е/а® = V с, ®.
(9.7)
*) Под стартом понимается начало свободного движения после сообще¬
ния аппарату разгонного импульса. (Прим. перев.)
9.3]
ГОМАНОВСКИЙ ПЕРЕЛЕТ МЕЖДУ ПЛАНЕТАМИ 499
fcQ = 1. Это значительно облегчает промежуточные вычисления
и расчеты на электронных вычислительных машинах. Однако ко¬
нечный результат, получаемый в таких единицах, оказывается
громоздким и неудобным для использования. В таблице 9.2 по¬
мешены значения средней скорости, а также значения скорости
планет в перигелии и афелии в следующих единицах: а. е./сек,
км!сек и фут/сек\ в таблице 9.1 скорости даны в единицах сред¬
ней скорости Земли.
Полагая, что космический аппарат стартует в перицентре ги¬
перболы, получим время полета на расстояние, равное радиусу
сферы действия ract (время ухода), из следующих соотношений:
«-1 = (9-8)
оо, 1
е
(9.9)
cos Н = , (9.10)
1 +-^£L
а
Al = «tgtf-lntg(45° + -|), (9.11)
<я. ..с =«/■£-• <9'12>
Угол, образуемый асимптотой гиперболы ухода с ее осью,
равен:
cos Ф = -у. (9.13)
Угол поворота вектора скорости от его направления в пери¬
центре гиперболы в момент старта до направления вдоль асим¬
птоты в конце геоцентрического участка полета равен [см. ура¬
внение (4.27)] половине полного угла поворота вектора скорости
Д£, получаемого при гиперболическом пролете:
-j Д£ = 90° — Ф = arcsin -j. (9.14)
Время гелиоцентрического перелета по орбите перехода,
имеющей форму полуэллипса, легко подсчитывается по формуле
tt=n ]/" /(0 [(L е.)*!сек2\ [сек^ (9-15)
где
а= y^a + Rp) [а- в.], (9.16)
Ко = 3,96529 • 10'14 l(o. e.flcen2]. (9.17)
32*
500
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
Таким образом, угловые расстояния, проходимые Землей и пла¬
нетой-целью (индекс «р1») за время перелета, равны (см.
рис. 9.4):
А11ф = цф^, (9.18)
A'Hpi = М’рЛ- (9.19)
Отсюда следует, что угловое положение планеты-цели относи¬
тельно Земли в момент начала гелиоцентрического полета
Т, = т]* — Ат1р| = 180° — Аг|р1, (9.20)
а ее положение в момент прибытия
^^АЛф-л^А^ф-^О3. (9.21)
Выражения в правых частях уравнений (9.20) и (9.21) спра¬
ведливы только для гомановских переходов. В этих двух урав¬
нениях принят следующий порядок отсчета углов: угол XV\ по¬
ложителен в том случае, когда планета-цель находится «впе¬
реди» Земли, а угол Чг2 положителен в случае, когда Земля
находится «впереди» планеты-цели.
Гелиоцентрическая скорость подхода к планете-цели при пе¬
релете на внешнюю планету
K=V\=Kir (9.22)
и при перелете на внутреннюю планету
г* = V' = V" —
2 v Р A R
К=К=У'а-ТГ-- (9.23)
Р
Следовательно, разности гелиоцентрических скоростей космиче¬
ского аппарата и планеты-цели при подходе к ней аппарата бу¬
дут равны:
voo,2 Vр V^olap\ j перелет на внутреннюю (9.24а)
^K=vlo,2=Vp-VV^ J планету; (9.24Ь)
АГ2 = иос, 2= /^o/api - VA | перелет на внешнюю (9.25а)
AV;=tC,,2 =УЩ^~У'а ] планету‘ (9.25Ь)
Требуемая энергия, необходимая для перехода на замкну¬
тую орбиту относительно планеты-цели (то есть для осущест¬
вления захвата), зависит от типа маневра перехода на эту ор¬
биту и от высоты и эксцентриситета последней. Одноимпульс-
9.31
ГОМАНОВСКИЙ ПЕРЕЛЕТ МЕЖДУ ПЛАНЕТАМИ
501
ный маневр, превращающий гиперболическую орбиту в вытяну¬
тый эллипс, требует наименьшей затраты энергии. Двухимпульс-
ный маневр для получения круговой орбиты спутника (см. гла¬
ву 4) требует больших затрат энергии, однако при определен¬
ных условиях он является все же более экономичным, чем
одноимпульсный маневр для перехода с гиперболической на
круговую орбиту. Минимальная характеристическая скорость
для последнего типа маневра равна (см. главу 4):
Дул, 2= V2/tpi/r - \гК»\Гг
(значения г для каждой планеты приведены в таблицах 4.1 и
9.4).
Таблица 9.4
Вспомогательные данные для типичных орбит захвата и ухода
Планета
*Р1.
морские мили3
Минимальный одноимпульс¬
ный маневр
Маневр на расстоянии
1,1 радиуса планеты
г,
морские
мили
фут1сек
>
фут/сек
1,1^00,
морские
мили
фут/сек
Ы.1гю'
фут/сек
сек2
Меркурий .
3 408
(208)
(24 900)
(35 200)
1 490
9 200
13010
Венера . .
51 041
48 100
6 260
8 760
3 680
22 610
32 000
Марс . . .
6 754
7 050
5 940
8 850
1 965
И 260
15 920
Юпитер . .
19,914 • 106
4 265 000
13 130
18 550
41 500
133 100
188 000
Сатурн . .
5,963 • 106
1 291 000
13 060
18 460
34 200
80 200
114 400
Уран . . .
0,91207* 10б
280 000
10 960
15 500
15 100
39 500
66 700
Нептун . .
1,08* 10е
433 000
9 600
13 560
14 850
51 800
73 200
Плутон . .
52 146
3 000
25 300
35 800
2 000
23 400
32 800
Для сравнения рассмотрим одноимпульсный маневр пере¬
хода на эллиптическую орбиту, осуществляемый, например, на
расстоянии от центра планеты rP = 1,1 'г00, где г00 — радиус пла¬
неты-цели. Характеристики этого маневра определяются из сле¬
дующих соотношений:
я=Кр1/<2, (9.26)
^=УЛ,2= + (9-27)
tgO=-^7^, (9.28)
Др1 ГР
e = sec(D, (9.29)
Аоа. 2 = vht 2 - vPt Cpt, (9.30а)
502
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
где vPj Cpt — скорость в перицентре орбиты спутника планеты
(орбиты захвата). Если эта орбита круговая, то гР = гс, и
bvh,2=Vh'2—VKp\/rc. (9.30b)
Угловое положение планеты относительно Земли в момент
старта при возвращении по гомановской орбите определяется
следующим выражением:
Ч'з = ц( - Ат]® = - Ч’з- (9.31)
Следовательно, время пребывания у планеты-цели (период за¬
хвата)
360°-2^з
cpt |йф-1*р,Г (9'32)
Гомановский перелет при возвращении происходит по траек¬
тории полета к планете, но в обратном направлении. Поэтому
характеристическая скорость, необходимая для осуществления
всего полета, будет равна:
At>tot = Два, 1 + 2 + Avh, 4, (9.33)
если используются различные орбиты спутников Земли для
старта и захвата космического аппарата при его возвращении, и
Autoi = 2 (Avh, | + Avh, 2), (9.34)
если используются одинаковые орбиты спутников Земли.
Таблица 9.4 содержит вспомогательные данные для типич¬
ных радиусов орбит спутников планет, которые могут быть ис¬
пользованы для старта и захвата. В таблицах 9.5 и 9.6 собраны
Таблица 9.5
Орбиты гомановских перелетов от Земли к планете-цели
(основные параметры ОП № 0)
Планета-цель
et1;
Расстояние до
планеты-цели
от Солнца,
а. е.
Скорость
у планеты-цели
(скорость отправления
принята за единицу)
Меркурий
0,44
0,38709
2,58331
Венера
0,16
0,72333
1,38249
Марс
0,20
1,52369
0,65630
Юпитер
0,67
5,20280
0,19220
Сатурн
0,81
9,53884
0,10483
Уран
0,90
19,18196
0,05213
Нептун
0,93
30,05773
0,03326
Плутон
0,95
39,51774
0,02530
*) ef — эксцентриситет гелиоцентрической гомановской орбиты перехода.
9.3]
ГОМАНОВСКИЙ ПЕРЕЛЕТ МЕЖДУ ПЛАНЕТАМИ
503
сО
СР*
а
К
ч
ю
а
Н
к
4
s
<D
СО
5
6
О
О-
О
О X
^ «я
S £
со к
о ч
В U
сЗ
S 00
£ 3
^ а
со
к о 2
о t- н
а о <и
оки
кю
га о.
X о
►д
4 2
га к
5 а
я °
К £_
2 >»
к о.
£ *
<
_ а»
00
^ см
N. .—5
00^ CD
o' о"
Ю О
СМ СО
Ю 00
СМ —
О о
rrh Ю
00 —|
—I СМ
N О
CM CD
<юео
о" о"
^ 00 ^ CD CD ^t1
NN CP СО СО ОО
S CD 00 0О Ю 00
СО Ю —IСР о 00л
о" ——Г сГ —Г о"
СО о ю ю о см
О СО —■ — 00 см
NMOCMTJ-D
О^Ю 00 CM^CSN-*
оГ о" о" о о" о"
Tf СР СМ со о
00 О СО О N- см
■'ср t— N 00
СМ СМ СМ СМ СМ
о" о' o' о" о" о"'
СМ СМ О СО тН
оо со СО СМ О СР
I Ю ОО rf CD ^ СО
со CO^SNNS
о' о" о" о" о" о"
S?10
СМ со
СМ о
О о"
СО ^ 00 LO Ю
О О СР О CD Is-
CD СО СМ —• СР ОО
O.’I.’^'tO.O.
о о" o' о" o' о"
см —I темою см
ЮЮ 00 —' со о оо см
00 | I ^^TfNNOO
,—. —I I ^—■ СМ^СМ^СМ^СМ СМ^
о" о o' о" о" о' о о"
—■ to
О СР
ТС со
rf СО
о" о"
тН CD 00 CD N (М
СО Ю N СМ О Ш
N CD СР СМ СО СО
СО Tt« ^ЮЮЮ
о" о' О" CD CD CD
—. Ю
О СР
Tt< CD
СО
о" о"
^ CD 00 CD N CM
СО LO N СМ О LO
N CD О CM СО СО
СО ^ to Ю
о" О о" О** о" о'
СР ОО
CD Ю
N N
Ю
CD CD
S ^OO ^ CM К
^ CO N Ю CD CP
00 CM CO CM '
-4 iO LO^ LO^ to^
о' О CD CD o' CD
00 ^ 00 ^ CM N
CM Ю CM CD CD CO
CM CP I OO 00 00 Ю CO CM
£*3 0, 1 *л—„
o' o' О О o' o' CD CD
CP 00
CM CO
Ю OO
CM CD I
o' o'
1 I
00 CP Ю CP О CD
CP Ю N CP CP
о см eo со со со
о' о' о' о o' o'
— OO
CO CD
CP CM
О О О CP CM ^
-H Tf —< —< CD to
CM Ю ^ N- rt< CO
NW^O^O^
o' o' o' o' o' o'
—• CM
N CD
Tt< ^
N CP
CP
00 О Ю CP О CD
CP Ю N CP О
о см со со CO CO
OO ^ 00 CO -H
N CD О CD 00 СО 0O CM О
ONOOCOCMCMOOlO
CD О 00 ^ CO CM^ —^ ^
_T —~ o' o' o' o' o' o'
N СО О CO
00 CM О CM ^ OO CD CM
CD N O^ Ю CM^ tO ^ O^ ID
ОО^^ЮСР'СРО'СР
^ CO CO
CM 00
CP о
CM 00
o' o'
СЮ
o'
LO
o'
o'
T?
o'
; g ~ * «
t; R ►>*> j-j
;&«'■ '*g|gg §
4 S
50 гЯ
с и
=5>
•e-
g
CD
N
О
*0*
>>
н
a
vo
o.
о
2
t>>
(П
о
и
>»
Cl,
CO
§ я
II
504
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
значения основных параметров орбит и значения скоростей для
гомановских перелетов между Землей и другими планетами сол¬
нечной системы. Для сравнения в последних двух строках таб¬
лицы 9.6 приведены данные, характеризующие уход из солнеч¬
ной системы и радиальное падение на Солнце.
Характеристическая скорость, необходимая для перехода кос¬
мического аппарата с орбиты Земли на орбиты планет
д1/;о1 = ду; + л1/; (9.35)
имеет определенный характер изменения (см. главу 3), достигая
максимума при расстоянии до цели, равном 15,8 а. е., то есть
между Сатурном и Ураном. Этот общий характер изменения,
хотя и в искаженном виде, сохраняется и при более сложных
планетоцентрических и гелиоцентрических маневрах:
д0;о4 = 2(д0; + Д1$. (9.36)
Основу геоцентрических маневров составляют уход и возвра¬
щение космического аппарата на круговую орбиту высотой
556 км. Планетоцентрические маневры у планеты-цели состоят
либо в оптимальном одноимпульсном переходе на некоторую
оптимальную круговую орбиту (то есть в этом случае удовле¬
творяется требование минимума энергии, необходимой для пе¬
рехода на круговую орбиту при помощи одного импульса), либо
в переходе на круговую орбиту, имеющую радиус, равный 1,1
радиуса планеты-цели. Следует вспомнить (см. главу 4), что1)
для любой планеты (индекс «р1»)
vh = vPV2 =2 VKpi/r , (9.37а)
Vco=vp= /2Kpi/г, (9.37Ь)
Ау = vh ~ VKdr> <9-37с)
так что
bv = vh-V~^=VKvJf (9.37d)
Поэтому
*
^ = = (9-38)
Такой маневр захвата невозможен около Меркурия, так как
оптимальный радиус орбиты спутника г<г00у. В связи с этим
соответствующие значения таблицы 9.6 указаны в скобках.
9 Черточкой отмечены величины, соответствующие оптимальному одно-
импульсному переходу на круговую орбиту.
9.3]
ГОМАНОВСКИЙ ПЕРЕЛЕТ МЕЖДУ ПЛАНЕТАМИ
505
В последних трех столбцах таблицы 9.6 указаны значения
требуемой характеристической скорости, необходимой для осу¬
ществления ухода от Земли и захвата у планеты-цели при ра¬
диусах орбит спутников Земли и планеты-цели, равных 1,1 г00.
Видно, что полная характеристическая скорость путешествия
Дц*ы в этом случае значительно выше, чем полная характери¬
стическая скорость в случае, когда для старта и захвата исполь¬
зуется энергетически оптимальная орбита спутника. Это ярче
проявляется для больших планет.
В таблице 9.7 приведены значения времени, соответствую¬
щего отдельным участкам полета к планетам солнечной си¬
стемы, общее время полета и углы, характеризующие взаимное
положение Земли и планеты-цели.
Таблица 9.7
Гомановские орбиты перелета: углы положения и продолжительности
полета
Планета
Ы'
град/сутки
t
t
АТ10.
А^рГ
П/.
сутки
годы
град
град
град
Меркурий ....
Венера
Земля
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Плутон
4,092
1,602
0,986
0,524
0,083
0,0335
0,0117
0,006
0,004
105,5
146
258,8
997,3
2208,7
5853,3
11174
16650
0,2887
0,3999
0,7086
2,731
6,05
16,03
30.6
45.6
104
144
(2)1) + 263
(6)+18
(16)+ 11
(30) + 218
(45)+ 217
432
234
136
82,8
74
68.5
66^8
66.6
180
180
180
180
180
180
180
180
Планета
^2,
*cpt»
сутки
Т-Щ + ^cpt
град
град
град
сутки
годы
Меркурий ....
Венера
Земля
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
Плутон .....
-252
-54
44,4
97,2
106
111,5
113.2
113.3
-76
-36
75
83
-162
-169
38
37
76
36
-75
-83
162
169
-38
-37
67
468
455
214
341
346
292
291
278
0,772
2,08
2,66
6,05
13,03
32,998
61,98
91,97
1) Цифры в скобках означают число полных оборотов Земли. (Прим. перев.)
506
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
На рис. 9.5 приведены требуемые энергетические затраты
для полета на Луну и на различные расстояния в пределах сол¬
нечной системы. По оси ординат отложены значения A^tot тре¬
буемой характеристической скорости, затрачиваемой космиче¬
ским аппаратом на уход с орбиты спутника высотой 556 км
(300 морских миль). Круговая скорость на этой высоте равна
7600 м/сек (24 900 фут/сек). Значение характеристической ско¬
рости, необходимой для выхода на орбиту высотой 556 км, со¬
ставляет приблизительно около 9000 м/сек (29 500 фут/сек) для
40
-J5
130
I*
У 20
I*
I#
^ 5
О
о Спутник планеты-цели
~ Посадка на планету-цель
or Посадка на планету-цель
и возвращение на орбиту
спутника Зеши
Солнечный
зонд
Астероидный
зонд
\—• .
\
\
\
\
\
Гомановский перелете гипер¬
болическим пролетом
N ч Круговая орбита
ч захвата д
//
V v£
X
X
X
Г
(Круговая,*^
Эллиптическая \
орбита захвата'
Эллиптическая
•
Парабола-'
чеекая
И
V
Т е
34000 фут/сек (приблизительно равно
круговой скорости на высоте у=
=300 морских миль)
Рис. 9.5. Требуемые скорости космического аппарата, запускаемого
с орбиты спутника Земли высотой 556 км (орбиты планет круговые
и компланарные; гомановский перелет).
больших аппаратов, поднимающихся от поверхности с началь¬
ным ускорением около 1,5 g (если при этом не учитывать эф-
фекта вращения Земли). При старте в восточном направлении
из точек широтой ±23°,5 эта скорость может быть уменьшена
по меньшей мере на 400 м/сек (1300 фут/сек) благодаря враще¬
нию Земли. Следовательно, характеристическая скорость, необ¬
ходимая для получения круговой орбиты высотой 556 км при
старте из точек широтой от —23°,5 до +23°,5, равна ndep =
= 8600 м/сек (28200 фут/сек). Добавляя эту величину к Дщо4
(рис. 9.5), можно получить довольно точное значение характери¬
стической скорости, которая необходима для осуществления по¬
лета, начиная со старта с поверхности Земли. График, приве¬
денный на рис. 9.5, относится к случаю гиперболической встречи
с планетой при компланарном гомановском перелете. Макси¬
9.3]
ГОМАНОВСКИЙ ПЕРЕЛЕТ МЕЖДУ ПЛАНЕТАМИ
507
мальные значения характеристической скорости, обеспечиваю¬
щей захват на круговую орбиту спутника планеты, указаны на
рис. 9.5 для Венеры и Марса при высоте орбиты спутника
3700 км (2000 морских миль) для Венеры и 11 100 км (6000 мор¬
ских миль) для Марса. Вниз от этих значений лежит область
эллиптических орбит захвата.
Следует заметить, что даже полет на Луну с прилунением
без возвращения является более дорогим, чем полет без возвра¬
щения с энергетически оптимальным захватом, осуществляемым
у внутренних планет солнечной системы. Можно заметить также,
что скорость Ar;tot = 8600 м/сек (28 000 фут/сек) обеспечивает
полет космического аппарата без возвращения ко всем плане¬
там солнечной системы, если старт будет происходить с соответ¬
ствующей орбиты спутника. Скорость Autot = 8600 м/сек соответ¬
ствует приблизительно характеристической скорости МБР, рас¬
считанной на дальность 10 000 км (5500 морских миль). Однако
в действительности указанные на рис. 9.6 продолжительности
полетов по энергетически оптимальным траекториям перелета
делают невозможным полет автоматической станции к Юпи¬
теру по такой траектории вследствие необходимости удовлетво¬
рения требований по обеспечению связи, слежению и ограниче¬
ниям, накладываемым на ресурс работы бортовых систем. В этом
случае должны будут использоваться более быстрые орбиты
перехода. Эти траектории будут рассмотрены в следующем па¬
раграфе.
Наконец, на рис. 9.7 представлена зависимость общей дли¬
тельности полета от характеристической скорости при перелете
в оба конца (туда и обратно) по гомановским орбитам. Кривая
определяет приращения гелиоцентрической скорости для пере¬
хода с одной гелиоцентрической круговой орбиты на другую.
Отдельными точками в кружочках отмечены суммарные значе¬
ния энергетических затрат для выполнения планетоцентрических
переходов, причем предполагается, что орбиты старта и при¬
бытия к Земле имеют высоту 300 морских миль, а орбиты стар¬
та и прибытия к планете-цели удовлетворяют требованию опти¬
мального одноимпульсного перехода на круговую орбиту. От¬
дельные точки в треугольниках соответствуют случаю старта
и прибытия на круговые орбиты радиуса 1,1 г00 как у Земли,
так и у планеты-цели. Требование определенного взаимного
расположения Земли и планеты-цели, при котором может быть
обеспечен энергетически оптимальный переход, является при¬
чиной очень больших продолжительностей пребывания на ор¬
бите ожидания около планеты-цели в случае полетов к внутрен¬
ним планетам солнечной системы. Периоды пребывания имеют
Такой же порядок, что и время перелета в оба конца (перелет
508
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
к Марсу), или даже больше (перелет к Венере). Это ведет к
тому, что полное время полета равно 2 годам (полет к Венере)
и 2,68 года (полет к Марсу).
Для любой траектории перелета график полета жестко опре¬
деляется условиями определенного взаимного расположения
планет. Это означает, что расположение Земли и планеты-цели
Рис. 9.6. Продолжительности перелетов от Земли к планетам сол¬
нечной системы для гомановских орбит перелета (компланарные
круговые орбиты планет радиуса, равного среднему расстоянию
до Солнца).
в момент, когда космический аппарат покидает Землю, должно
быть таким, чтобы планета-цель и космический аппарат встре¬
тились, когда последний достигнет орбиты планеты. Необходи¬
мое расположение Земли и планеты-цели повторяется каждый
раз через определенный период времени (синодический период
обращений), который находится из соотношения
1 (9.39)
Т syn —
9.3]
РОМАНОВСКИЙ ПЕРЕЛЕТ МЕЖДУ ПЛАНЕТАМИ
509
где Tv\ — сидерический период обращения планеты, выраженный
в земных годах. Значения синодических периодов обращения
относительно Земли представлены в таблице 9.1.
Эллиптичность орбиты и наклонение ее плоскости совместно
вызывают изменение условий перелета (см. § 9.5—9.7). При
Рис. 9.7. Длительность полета и характеристическая скорость для меж¬
планетных гомановских перелетов с возвращением.
этом изменяется минимальный уровень энергии, необходимой
Для гиперболического выведения космического аппарата на ге¬
лиоцентрическую орбиту перелета, и период между двумя мини¬
мальными энергетическими уровнями может быть отличным от
синодического периода. Этот факт иллюстрируется таблицей 9.8,
в которой характеристики гомановского перелета между комп¬
ланарными круговыми орбитами планет сравниваются с при¬
мерными характеристиками энергетически оптимального пере¬
лета между действительными орбитами Земли и Венеры и Земли
и Марса. Временные интервалы между действительными датами
510
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ.
оо
05
ей
я
к
ч
VO
ей
S
2
2
я
л
ч
а>
н
X
Ой
:S
ей
Ч
>>
ef
К
а>
г
ей
н
й>
ч
О и
и
О —,
* Is-
32
ей I
S л
а ®
в 2
о ^
S ^
5 о
* 5.
О) В*
сг 4>
В С
<v ой
и
си н
а) а>
в в
СО ей
я в
ей a
S *
ч 2
О Н
2*\о
s&
о
и
о
в
о
п
о
в
ей
2
о
В
Й
о
ч
о
ей
си
U
о
CD
05
CQ Q
X
о
К
к
о
см
[40
00
CD
г:
05
ей
2
§3
со
ю
о
СМ
Ь2 05
CD
05
см
00
К
к
CD
К
2
о
2 см
05
к
К 'Ф
_
^°°
o'
Ю
CD
05
к
к
си
си
ао
VO
VO о
о
К
к о
о
Е-ч ^
К
в ^
о _
со
05
см
CD
05
CU
ей
2
ей
§■3
2 а>
ей
ей
Н
Е-
О
О
см
>>
>>о
CD
Сч
Ьч CD
05
CQ
CQ CD
ей
*05
СМ
00
см
CO
CO
05
К
CU
ей
cq
В
R
О
2 §
00
o"
В
о
Й
2 «
Е-
о'ю
я к
1 00
ей м
1 Ю —.
2 О
О
>
00
ю
IN- — —•
cu
<u
в
а»
CQ
к
Ч
2
<D
СО
H К о
V fr* ’ £
4 С СО
05 о к о
а, кс
о _ си
C|g*
си 51 ей о
ей Я Q, а> ^
Ь £ н
° с 5 ^
К SS Ч Е-i
в S* О О О
£ в Е ж °
д«л s 2
о2 я
в 2 си
*
йз
CJ
*0-
s
I’l't
ej К g
- Я §
ей о ?•
НО00
а) it
S S.g
8-ё!
с a <d
К в CU
1 § £
а.4
t-1* О) с?
CQtZ §
с.
>>
ч
ей
ао
ей
Е*
О
05
си
&°
—1
CD
CQ
2 о
05
О
2 N-
■в-
00 ^
Ч1
00
СМ
СМ
о"
В
К
ч
Си
ей
N.
ей
си О
со
CQ
Я О
05
Я
<и 00
К
•О4 05
СО
CD
ч*
CD
05
О
см
• о
со см
R
CU
VO
К
О
В
ю
CD
2о
. о
п 00
2 05
К
О
^ О
* Ч1 СМ
CD СМ —•
05
сГ.
«
си
VO
см
R
CD
Е-1
05
К
О
05
СМ
к
си
VO О
я Q
о
05 _Г
к
си
ао
VO
О
О
I960
к
Е-
в
О)
О
О
Tt<
200
140
ол
О
см"
со
в
я
о
ao
О
(Ю
о зК
>>СО
'—1
ж
К
I С5 00
оо"
ей
в
1 05
N-
ю
2
о
о
Й»
05
О
°ож
см
и
о"
3 с
си
S
1
к
ч
2
О)
со
о
Еч
В
к
о
к
С
си
о
Е-
К
В
я
0J
в
ей
о
Си а;
Е-
к
»В
к
1Г<
я
Ен
О
о
О
Я
я
О
ь,
•о-
сУ К
.. К
« £•'
Дяй**
о 2 я
с 2 си
а
си
. h ^
" С С» к
I iss*
- си ь S
. CN 8 ^ я ч
С » Я о ^
Е II « о &
*“ - 2 s «
. В (V § с
8 ч
5 ^ Йи О
ю -о
а о
о Я
KJ О)
**
f- О
<0 %
л О
г 5
9.3]
РОМАНОВСКИЙ ПЕРЕЛЕТ МЕЖДУ ПЛАНЕТАМИ
511
старта для траекторий минимальной энергии выведения флук¬
туируют вблизи величины синодического периода. Из-за боль¬
шего эксцентриситета марсианской орбиты эти флуктуации
больше для Марса (когда он рассматривается как планета-
цель), чем для Венеры. Как видно из таблицы 9.8, значения
гиперболического избытка энергии или скорости значительно
изменяются для этих планет в зависимости от года старта, при¬
чем эти изменения превосходят разность между энергиями го-
мановского перелета к Венере и Марсу.
Указанные вариации энергии связаны с вариациями гелио¬
центрической долготы точки старта относительно одного из узлов
орбиты планеты-цели. Например, особенно благоприятные усло¬
вия (в смысле взаимного расположения планет) перелета к Ве¬
нере имели место в 1959 г., когда был возможен компланарный
перелет от оДного узла орбиты Венеры к другому с углом пере¬
лета почти 180° [в этом случае условия полета были особенно
близки к условиям гомановского перелета (см. рис. 9.87)]. На¬
чиная с последующего взаимного расположения Земли и Ве¬
неры, когда обеспечиваются минимальные энергетические за¬
траты, точка старта удаляется от узла, вызывая монотонное
увеличение необходимой энергии для старта в период с 1961 по
1964 г. Так как в 1967 г. планета почти точно подойдет к про¬
тивоположному узлу (однако не так точно, как в 1959 г.), то
энергетические затраты в этом году будут минимальными, а за¬
тем вновь увеличатся.
Долгота восходящего узла Венеры приблизительно равна
76° (отсчитывается от направления на точку весеннего равно¬
денствия). Следовательно, Земля проходит его приблизительно
через 76 град : 30 град!месяц 2,5 месяца после 21 сентября
.(когда Земля проходит точку осеннего равноденствия), то есть
в начале декабря. Нисходящий узел орбиты Венеры Земля про¬
ходит в начале июня. Следовательно, эти месяцы являются бла¬
гоприятными для осуществления компланарных или почти комп¬
ланарных перелетов к Венере. Соответствующее время для пе¬
релетов к Марсу —начало ноября и начало мая. Можно видеть,
что энергетические затраты для перелета сравнительно невы¬
соки всякий раз, когда дата запуска приходится на любой из
этих периодов времени.
Дальнейшее обсуждение влияния эксцентриситета орбиты
планеты-цели и наклонения ее плоскости будет проведено в
§ 9.5. Углы перелета во всех случаях значительно меньше 180°.
Это тоже связано с эксцентриситетом орбит планет и наклоне¬
нием их плоскостей к эклиптике.
Можно также осуществить полет по орбитам перелета с
Углом перелета, превосходящим 180° (см. § 9.5), причем для
512
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. о
этого часто требуется меньшая энергия, чем для большинства
оптимальных быстрых орбит перелета. Однако эти орбиты имеют
несколько практических недостатков, в число которых входят
большая чувствительность к ошибкам и большее расстояние
между Землей и планетой-целью в момент прибытия к ней кос¬
мического аппарата.
Кроме того, нельзя рассчитывать траектории межпланетного
полета только из условия минимума требующейся энергии, так
как это условие определяет исключительно малый период (а
именно, один день), в течение которого необходимо осуществить
Рис. 9.8. Допустимые даты старта к Венере в функции гиперболического из¬
бытка скорости. (Числа около кривых обозначают время перелета в сутках.)
запуск космического аппарата. Такой подход не является реаль¬
ным хотя бы ввиду того, что минимальное значение затрачивае¬
мой энергии настолько меняется от одного года пуска к другому,
что минимальная энергия для одного взаимного расположения
планет в пространстве определяет сравнительно большой диа¬
пазон допустимых дат старта («окно» запуска) для другого
взаимного расположения планет. Рис. 9.72 иллюстрирует по¬
добное расширение диапазона допустимых дат старта по мере
увеличения обеспечиваемого гиперболического избытка скоро¬
сти. Диапазон допустимых дат старта определяется на этом
рисунке интервалом времени между точками пересечения линии
заданной скорости с восходящей и нисходящей ветвями кривой,
соответствующей некоторому конкретному времени перелета,
или между точками пересечения этой линии с крайними ветвями
семейства кривых, ограничивающих область допустимой дли¬
тельности перелета.
Рис. 9.8 и 9.9 иллюстрируют наиболее типичные случаи рас¬
ширения диапазона допустимых дат старта в зависимости от
9.3)
ГОМАНОВСКИИ ПЕРЕЛЕТ МЕЖДУ ПЛАНЕТАМИ
513
сполагаемого гиперболического избытка скорости при пере¬
летах Земля — Венера и Земля — Марс для ряда оптимальных
взаимных расположений планет в течение 1960—1970 гг. На
этих рисунках представлена более широкая область значений
гиперболического избытка энергии, чем те, которыё могут быть
§
l*v
IV
| о
■5
W
и///// \\
!
\ / / /////
vV\
Ш'/ X
\\
\ 1/171
\Ai
Ч III/ \
! И/
kN
\\Н/и/
\ V 'рЛу
\ V \ Н
7/
V
Л/г '
/964/65 1966/67V
’1968/69
2 4 В 8 10 12
1 i i i i i i i i i
2 4 6 8 10
Месяцы
12
г 1 1 1 1 1 1 -1 ■ 3
2 4 6 8 10
1
25
9,05%%
3,7411
0,935% |
"II.
!
■3
Рис. 9.9. Допустимые даты старта к Марсу в функции гиперболического
избытка скорости. (Числа около кривых обозначают время перелета в сутках.)
достигнуты с помощью первых межпланетных ракетных систем
(«Атлас — Кентавр» и «Сатурн»). Легко видеть, что для диапа¬
зона допустимых дат старта порядка одного-двух месяцев необ¬
ходимо обеспечить гиперболический избыток энергии порядка
1,6* 108 фут2/сек2.
Таблица 9.9
/монета дпнг. попета 1959
19L
10
1961
19
$2
1963
Венера
■3S-
I
I
X
■■
Марс
7-8месяцед
1964
196
ц5
19
66
I9i
67
19
68
Меркурии
Т^3 месяце
■
■
ш
■
я
я
■
■
т
я
Венера
3~4месяца
Марс
7-8месяцес
>
Юпитер
2-2/года
Сатурн
2,5,-Згода
ш
/969
1970
19
71
1*
772
19
73 .
Меркурий
»,Змесяца
я
■
■
■
■
венера
3~4 месяца
ш
Марс
7-8месяце6
Юпитер
2-2/года
Сатурн
2,5-Згода
В таблице 9.9 представлен график дат старта для полетов
к Меркурию, Венере, Марсу, Юпитеру и Сатурну в расчете на
33 К. Эрике, т. II
514
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. g
двух-трехнедельные диапазоны допустимых дат старта к Мер¬
курию и приблизительно на двухмесячные диапазоны допусти¬
мых дат старта к другим планетам. Длительности перелета,
соответствующие указанным диапазонам' дат старта, приведены
во втором столбце этой таблицы.
Диапазоны допустимых дат старта могут быть значительно
расширены при следующих условиях:
а) допускаются высокие энергетические затраты при старте
космического аппарата и захвате его планетой;
б) допускается, что планета и космический аппарат встре¬
чаются на очень большом расстоянии от Земли, что делает чрез¬
вычайно трудным, а может быть, и совсем невозможным радар¬
ное либо оптическое сопровождение и передачу данных.
Рис. 9.10. Влияние даты старта на орбиту перехода и расстояние
до Земли в момент подлета к планете-цели.
На рис. 9.10 приведено несколько возможных орбит перехода
для различных дат старта. Эти орбиты значительно отличаются
друг от друга по величине расстояния от Земли в момент под¬
лета к планете-цели и по требуемым затратам энергии, необхо¬
димой точности и длительности перелета. Длительность пере¬
лета может иметь практическое значение с точки зрения ресур*
сов солнечных батарей, времени хранения жидкого топлива и
9.3]
ГОМАНОВСКИЙ ПЕРЕЛЕТ МЕЖДУ ПЛАНЕТАМИ
515
вероятности повреждения поверхности космического аппарата
метеоритными частицами. Орбита перелета типа (А) от Земли
к Марсу является близким приближением к гомановскому пере¬
лету к Марсу и, следовательно, хорошо удовлетворяет требова¬
ниям минимальной энергии. Однако вследствие довольно про¬
должительного времени полета расстояние от Земли в момент
подлета к Марсу является очень большим (1,8 а. е.). Поэтому
более короткие орбиты перелета, такие как орбита типа (В),
являются желательными, а для небольших автоматических
станций они находятся практически вне конкуренции в связи
с теми возможностями, которые имеются в этом случае для
передачи данных (удовлетворительные требования к мощности
и к точности ориентации передающей антенны). При желании
осуществить запуск космического аппарата к Марсу с длитель¬
ностью перелета, значительно отличающейся ог той, которая
приведена в таблице 9.7, может быть использована орбита пе¬
релета типа (С). Хотя эта орбита не требует очень больших
энергетических затрат (если не иметь в виду захват около
Марса; см. ниже), расстояние от Земли до аппарата в момент
подлета к Марсу огромно. При этом совершенно неблагоприят¬
ным является то обстоятельство, что направление с Земли на
Марс почти совпадает с направлением на Солнце.- Вероятно,
вследствие этого качество радарной связи также будет наихуд¬
шим. В случае старта космического аппарата к Венере энергети¬
чески минимальный перелет обеспечивает хорошие условия
связи [орбита перелета типа (D), сходная с орбитой перелета
к Венере, которая могла бы быть реализована при осуществле¬
нии пуска 8 июня 1959 г.]. Вследствие этого более короткая
орбита перелета типа (Е) не дает улучшения условий связи.
К тому же при подлете к Венере угол между направлениями
«Земля — аппарат» и «Земля — Солнце» меньше, чем в случае
энергетически оптимального перелета. Далее, для старта косми¬
ческого аппарата к Венере в сроки, которые значительно отли¬
чаются от указанных в таблице 9,8, может быть использована
орбита перелета типа (F), что приведет к значительно боль¬
шим расстояниям от Земли до аппарата в момент его подлета
к Венере. Таким образом, более широкие энергетические
возможности перелета увеличивают диапазон допустимых дат
старта.
Проведенные выше рассуждения относятся в основном к по¬
летам автоматических станций. Для автономных пилотируемых
космических кораблей близость Земли необязательна и требо¬
вания к точности выведения более низкие ввиду лучших
навигационных возможностей, а энергетические требования
сравнительно менее жесткие благодаря использованию более
зз*
516
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
совершенных реактивных систем. Необходимость проведения
спасательных операций в межпланетном пространстве приведет
к осуществлению нового типа полетов, удовлетворяющих незна¬
чительному числу ограничений и требующих минимального вре-
& ени перелета.
9.4. Расчет медленных и быстрых орбит перелета
в предположении, что орбиты планет круговые
и компланарные
В предыдущем параграфе указывалось, что диапазон воз¬
можных дат старта расширяется с использованием орбит пере¬
лета, отличных от гомановских орбит. Для полетов без возвра¬
щения быстрые орбиты перелета особенно привлекательны. Наи¬
больший интерес представляет расширение возможного диапа¬
зона дат старта для полетов к Венере и Марсу, поскольку си¬
нодические периоды обращения этих планет относительно Земли
являются весьма продолжительными.
Расчет быстрых орбит перелета между круговыми компла¬
нарными орбитами планет наиболее удобно производить, если
в качестве независимых переменных использовать радиусы, про¬
веденные в точки перигелия и афелия, или гелиоцентрические
скорости и углы, задающие положение Земли в момент старта,
и определять время перелета и другие параметры как функции
этих переменных. Ниже будет представлено последовательно не¬
сколько схем расчета для пересекающихся орбит.
I. Основные предположения.
1. Орбиты планет полагаются круговыми и компланарными.
Следовательно, угол 0 пересечения орбиты планеты с траекто¬
рией перелета определяется как угол между направлением по¬
лета и нормалью к гелиоцентрическому радиусу-вектору в точке
пересечения с орбитой планеты-цели.
2. Гравитационным полем планет пренебрегается, за исклю¬
чением случая, когда определяется полная характеристическая
скорость полета.-
3. Единицей длины является астрономическая единица (а.е.),
равная большой полуоси аф земной орбиты, то есть аф=1,0 а. е.
4. Единицей скорости является круговая скорость на расстоя¬
нии одной астрономической единицы.
5. За единицу времени принята секунда.
6. Определенные выше безразмерные величины расстояния
и скорости будут обозначаться звездочками.
II. Эллиптические гелиоцентрические орбиты перелета № 1
и 4 (рис. 9.11 и 9.12).
Точка старта: R*pi Rд.
Рис. 9.12. Углы, определяющие взаимное расположение планет
для орбит# быстрого перелета № \,
518 МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ [ГЛ. 9
Независимые переменные: R*A, Rp.
Дополнительная независимая переменная а* = ^ (Rp + RA).
Расчет !):
1) Vp-VFAla\
2) ±ау; = ^, = у;-1,
3)
а ~flpl
—^-1
е а* *
У'л-УЩа-;
1П-Ч;
*р.
1
4) cos Е2 ■■
а
* *
а —а
л.
а’е ’
(sin £'2<0)
ае
(sin Е2>0)
5) эксцентрическая аномалия:
Е2 [град],
6) М2[рад] = Е2[рад] — esinE2;
7) tt[ceK] = M2yfj^, \/~ <М2-я);
Е2 [град]\
или
8b) cos х\2 =
9)
Ю)
cos Е2 — е
1 — е cos Е2
а*
4-(e*-i)
-1
V 1
tge2=-,^intb ;
Ь 1 1 + е COS Г)2
Н)
12)
13)
14)
-V--V;
V °pi а
^2=^2=l/4- + v;2-2r21/-4-cosв2;
" api V °pi
./„•* +HSL-
V2 у "оо. 2 + г* KQ ’
= л, - Av
(a. a-)3.
2
•) При вычислении времени tt величина Кq имеет размерность
[Прим, ред.)
9.4]
РАСЧЕТ МЕДЛЕННЫХ И БЫСТРЫХ ОРБИТ ПЕРЕЛЕТА
619
В приведенных уравнениях индекс «р1» означает параметры
планеты-цели, индекс «1» относится к параметрам в момент
старта (ухода), индекс «2» — к параметрам в момент подлета;
а* — большая полуось орбиты планеты-цели (в рассматривае¬
мом случае — радиус), а* — большая полуось орбиты перелета,
радиус орбиты спутника планеты, ц — истинная аномалия
на орбите перелета, % — угол между точками 1 и 2, М — сред¬
няя аномалия.
Из найденных выражений можно непосредственно опреде¬
лить полную затраченную гелиоцентрическую скорость AV’i +
+ A^2 = A^totH полную характеристическую скорость перелета
v* _j_ у* = v*ot, а также и другие интересующие нас параметры.
Следует указать, что можно избежать использования двух си¬
стем уравнений для расчета траекторий перелета на орбиты
внешней и внутренней планет-целей, если в случае перелета на
внутреннюю орбиту углы и время полета отсчитывать от афе¬
лия, а не от перигелия. При этом необходимо sin заменить
на — sin и cos ^ на — cos отсчитывая все значения углов
от афелия в обратную сторону. После такой модификации
уравнения внутренней и внешней траекторий перелета стано¬
вятся тождественными.
Ша. Эллиптическая гелиоцентрическая орбита перелета №7
Независимые переменные: R*p и /?*.
Расчет:
1)
2)
Р*= ftpO + ё)\
3)
р*~ 1 .
cos е ;
4)
а* =4 (*>+**»);
5)
*
II
ю
1
6)
t 0 esint,,
& 1 1 + е cos тц
7)
=< i = VvT +1 - w
8)
гг a*-\
cos £,= fl.e ;
9)
Mx = Ex — e sin Ex\
520
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ.
Рис. 9.14. Углы, определяющие взаимное расположение планет для
орбиты быстрого перелета № 7.
РАСЧЕТ МЕДЛЕННЫХ И БЫСТРЫХ ОРБИТ ПЕРЕЛЕТА 521
*
Р1 .
а -ап
Ю) cos £2 = —^ .
11) M2=E2-es\nE2-
12) tt[ceK} = (M2-Ml)^~-,
13) VI- л/4 V;
V api а
№>Н.
14) cos т)2 = 2 ;
is) ige2 = TflSV’
1 2v;
16) av;=v12=i/ V;-+—--r==cose2;
r v v api
17) W=]/<o ,. + ^^1
18)
Illb. Эллиптическая орбита перелета № 7 (другой метод).
Независимые переменные: 7?*, V*v 0Г
Расчет:
1) COST]^
v\ cos2 е, -1
Vl-vfcosH^i-vf) ’
2)
3) p* = yfcos29I;
4) е = ^-
' COS^l ’
5)
V\ = л/ 4—Л;
К «р! а
(p‘W-1
6) cosri2= ^ ;
7) ^ =
522 МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ [ГЛ.
8) cos =
9) М] = — esin Ei',
а — flni
10) cos Е2 = \
11) М2 = Е2 — е sin Е2)
12) ^М = (М2-М,)
13) ду; = , = у V? + 1 - 2V* cos 9, ;
14)
15)
/ *2 1
ЛП=<о.,= 1/ К +— -TT^cosO,;
' ар\ V ар 1
* _ 1 f ,Х*2 Л. — •
Vl ~ У °00. 1 + г* К0 ’
,/ .2 | 2 Кр1 .
U2 “ у Voo, 2 + г* /С© ’
16)
17) Т, = tj, - Дт|р1;
18) Ч^2= Дт1ф-Г1(.
IV. Эллиптические орбиты № 2 и 6 длительных перелетов
(рис. 9.15 и 9.16).
Оказывается, что наиболее удобными независимыми пере¬
менными являются R*p, R*a и, следовательно, а*. Расчет в этом
случае получается более длинным, чем расчет для рассмотрен¬
ных ранее орбит перелета. Процесс расчета для орбиты пере¬
лета № 6 может быть представлен в следующем виде:
1) rVl =У*= 1/2 — = У2-/г*
\ о!а® У
[h — постоянная энергия орбиты, h" — ^ j;
2) е = 7Г+Т (rt =
3) р*=Я£(1+в);
4) cos Ei = (sin Н\ < 0);
Рис. 9.15. Орбиты длительных перелетов № 2 и 6.
Рис. УЛЬ. Углы, характеризующие орбиту перелета № 2.
524 МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ |ГЛ. 9
5) время полета от положения 1 до перигелия (положение /
соответствует положению IX на рис. 9.2)
t\,P= [2rt-(£,-esin£i)];
6) время полета от перигелия до афелия
ip.а = л |f
* *
7) cos Е2 = (sin£2<0);
8) время полета от афелия до положения 2 (положение 2
соответствует положению XII на рис. 9.2)
-^-(E2-n)-esinE2,
9) полное время перелета
U = j/"[2я + (Е{ + Е2) — е (sin Е2 — sin £j)];
10) время перелета внутри орбиты внутренней планеты (пе¬
релет IX ->Х, см. рис. 9.2)
tit i' = 2t\}p ;
11) время перелета снаружи орбиты внешней планеты (пе¬
релет XI -+XII, см. рис. 9.2)
12, 2' = 2**2 *»
* j
cos тц = (sin rii < 0);
tg0,= ,lsinTl1 ;
° 1 1 + 2C0S T]l
‘ * \/~ *
= Voo, i = V V\ + 1 — 2V\ cos 0i ;
Щ- (sin%<0);
gsinr)2
1 + e cos rj2 ’
12)
с
13)
14)
AVi
15)
COS Г|2 =
16)
tg 02 =
17)
*
v2=
f _2 1_ e
1 / * * »
V aPi «
9.4]
РАСЧЕТ МЕДЛЕННЫХ И БЫСТРЫХ ОРБИТ ПЕРЕЛЕТА
525
21) гР, = т), - Дт]р1;
22) lF2 = Ат1ф - rjt.
Подобным же образом могут быть определены соответствую¬
щие параметры для орбиты № 2.
Последняя группа орбит перелета, которую необходимо рас*
смотреть, содержит гиперболические орбиты. Существует неко¬
торое различие между гиперболами, имеющими одну и две точки
пересечения с орбитами планеты старта и планеты-цели. В пер¬
вом случае предполагается старт по касательной и пересечение
с орбитой планеты-цели. Это, вероятно, будет наиболее часто
реализуемым типом гиперболического перелета. Во втором слу¬
чае появляется точка пересечения орбиты перелета с орбитой
планеты старта. Такая орбита является наиболее дорогой с
точки зрения расхода энергии. Процесс расчета для обоих
типов гиперболических орбит перелета будет описан последо¬
вательно.
V. Гиперболическая орбита перелета № 10 с одной точкой
пересечения (рис. 9.17 и 9.18).
Расстояние до Солнца в момент старта R*P = a$ = 1.
Независимая переменная г
Расчет:
1)
2)
3)
4)
5) cos #2 = f^2— 1
1 + api0°°, 1
526
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
Рис. 9.17. Гиперболические орбиты перелета № 10
и 11, имеющие одну или две точки пересечения с ор¬
битой планеты старта.
Рис. 9Л8. Углы, характеризующие орбиту перелета
№ 10.
9.4]
РАСЧЕТ МЕДЛЕННЫХ И БЫСТРЫХ ОРБИТ ПЕРЕЛЕТА
6) M2 = etgH2-lgtg(45c + -^-);
7)
V I
8) tt = M2 j/";
9) cos r]2 = Ar(e — sec tf 2);
10) tg 92 = . *sin% ;
} ъ 1 1 + e cos Д2
и)
v> л/-. It;
V %i a
2 1 2V2
12) Д1/) = «1о9=|/ VI +-S-- “7= cos 02;
* api V eDi
13)
14)
Ж
Co •
VI. Гиперболическая орбита перелета № И с двумя
ками пересечения (рис. 9.17).
Независимые переменные Ru V*> 0i.
Расчет:
1)
O' = ,2 ;
F, -2
2)
= cos2 0,;
3)
e=Y 1+£;
4)
cosri1=Pe ;
5)
*v; = vi^Vv? + i-
6)
* Л f *2 1 2 ,
и. = ]/ yco.,+7T-K^''
J vwo Wj
527
ТОЧ-
528 МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ [ГЛ. 9
Г '
7) v;= 1/4-+4-;
у а
8) cos г|2 =
*Pi
(р7а;,)-1
9) tg92=,-! 2 >
7 ь 1 \ -\- 6 COS Г]2
10) АП =^.2= У V? + -±-2V2COS
" “pi
1/ У “ + -
г аР1 /а;
11\ * _ / *2 ,2 /СР1
11) U2 — |/ Уоо,2 + л* ’»
12) COS Я, = ;
13) М1 = е1еЯ1-1п1ё(45° + 41-);
14) cos Я2 = ае ‘
а +ар1
15) М2 = е tg Я2 — In tg ^45° + j;
а*3
16) *,= |/ (М2-М1)\
17) V, = r,t-- Дг]р1;
18) Ч^Дт^-т^.
Ниже приводятся некоторые дополнительные уравнения, ко¬
торые иногда смогут оказаться полезными для расчета орбиты
перелета.
Разность гелиоцентрических скоростей аппарата и планеты-
цели в момент подхода (импульс прибытия)
АУ2 = ]/VI + ^ - 2У2 Y^ cos 02 , (9.40)
где
Vl = Vl + ^-^. (9.41)
g5] НАКЛОНЕНИЕ И ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ ПЛАНЕТНЫХ ОРБИТ 529
Угол пересечения 02 определяется при помощи следующих
уравнений;
Г V2pR2p
^Р п2 I 2^0
\ ■ + 1 , 0.42)
pl\p V pl\p
С05б='?тр;~Г "57^7- (9'43)
т R2
Таким образом,
ДУ2 =
где
4И
h
R,
- 1
(9.44)
п — Ra/ Rp•
9.5. Наклонение и эксцентриситет планетных орбит
Орбиты планет являются несоосными эллипсами, поэтому
энергетически оптимальная орбита перехода между двумя пла¬
нетами не касается орбит планет, и ее угловая дальность не рав¬
на 180°. Еще большее влияние на форму переходных орбит
имеет взаимное наклонение орбит планет. Рассмотрим проекции
планетных орбит I и II на небесную сферу (рис. 9.19). Пусть
орбита / будет орбитой планеты старта, а орбита II—орбитой
планеты-цели.
Предположим, что мы хотим осуществить переход с орбиты
I на орбиту II. Интересно найти связь между углом перехода
щ, то есть угловым расстоянием между точкой старта на орбите
I и точкой встречи на орбите //, и наклонением i плоскости ор¬
биты перехода к плоскости орбиты /. Очевидно, если переход
совершается из точки в точку Д, то он может быть осуще¬
ствлен с углом гр = 180° без ухода из плоскости / (узловой пе¬
реход). Однако возможность осуществления такого удобного
узлового перехода является редкой. Это справедливо, даже если
рассматривать узловой переход с углом перехода, отличным от
180°. Такие орбиты перехода показаны на рис. 9.20—9.22 (они
обозначены жирными линиями). Во многих из этих случаев
либо расстояния для связи до Земли в момент встречи с плане-
гой-целью становятся слишком большими, либо необходимые
затраты энергии являются весьма значительными.
34 К. Эрике, т. II
Рис. 9.19. Некомпланарные орбиты перелета.
/ — орбита планеты старта; // — орбита планеты-цели; арабскими цифрами
обозначены крайние точки на орбитах перехода между орбитами I и II,
Аг
Рис. 9.20. Орбиты № 0, 1, 2, 3, 4, 8 перелета к Венере.
НАКЛОНЕНИЕ И ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ ПЛАНЕТНЫХ ОРБИТ
Рис. 9.21. Трехмерные орбиты № 2 и 8 пере¬
лета к Венере (см. рис. 9.20).
2
532
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
Если ф — угловое расстояние между точкой старта [например,
точкой 1 (рис. 9.19)] и узлом, то для того, чтобы наклонение i
было равно нулю, должно соблюдаться равенство r|i = 180° — фь
Если мы теперь начнем вращать орбиту перехода относительно
ее линии узлов, то увидим, что расстояние между точкой 2
(точкой пересечения орбиты перехода с орбитой планеты-цели)
и точкой пересечения орбиты перехода с орбитой планеты стар¬
та монотонно уменьшается и достигает минимума при / = 90°, то
есть угол перехода гр увеличивается и достигает наиболее близ¬
кой к 180° величины при / = 90°. В общем случае, если расстоя¬
ние между точкой 2 (или 4) и ближайшей к ней точкой пересе¬
чения орбиты перелета с орбитой / обозначить через /, то для
центрального угла перехода получим выражение
% = 180° — /, (9.45)
где
sin in sin ш
/ = arcsin —г 7-т—: i : гг, . (9.46)
sin [arccos (sin ifI sin i cos ф — cos 1П cos *)] v 7
Последнее выражение для малых значений угла in (порядка
2-н4° для орбит Марса и Венеры) и для малых значений угла i
(i< 10°) упрощается, принимая вид
Iarcsin sin ф|, (9-47)
где in — наклонение плоскости орбиты II к плоскости орбиты /.
Следовательно, угол перехода гр является функцией углов in,
i и ф. Чем меньше значения in и ф, тем больше значение гр при¬
ближается к 180°. Наоборот, чем меньше величина ip, тем мень¬
ше должен быть угол i для данных планетных орбит и заданной
точки старта [ср., например, переход 5—4 с переходом 5—6
(рис. 9.19)].
Если ф большое [например, переход 3—4 (рис. 9.19)], то угол
гр может значительно отличаться от 180°, даже если i = 90°. Для
предельного случая, когда ф = 90°, имеем гр = 180° — in при
i = 90° [см. переход 5—6 (рис. 9.19)]. Весьма важно поэтому иметь
в виду, что из-за взаимного наклонения планетных орбит в
большинстве случаев центральный угол перелета меньше 180°,
даже если орбиты планет будут круговыми.
Эллиптичность орбит планет также вызывает отклонения зна¬
чений углов гр от 180°, даже если орбиты компланарные. Тем не
менее этот эффект значительно меньше из-за того, что большей
частью орбиты планет являются почти круговыми. Можно ви¬
деть, что по причинам неколтланарности орбит планет орбита
перелета может оказаться наклоненной до такой степени, что бо¬
лее быстрая орбита будет более экономичной, чем орбита пере-
9.5]
НАКЛОНЕНИЕ И ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ ПЛАНЕТНЫХ ОРБИТ
533
хода с центральным углом гр-> 180°. Очевидно, что это справед¬
ливо для орбит перелета, при которых происходит гиперболиче¬
ская встреча с планетой-целью без захвата. В этом случае вблизи
планеты-цели не затрачивается никакой энергии. Увеличение
энергии, необходимое для полета по более быстрой орбите, не¬
значительно, особенно, если старт происходит по касательной
к орбите планеты старта.
На рис. 9.20—9.22 изображено несколько орбит перехода ме¬
жду Землей и Венерой и между Землей и Марсом. Эти рисунки
иллюстрируют значительное разнообразие возможных точек
старта, обеспечивающих большую степень свободы выбора
и /
Рис. 9.23. К расчету начальных скоростей гелиоцентрического старта
для двумерного (плоского) и трехмерного (пространственного) слу¬
чаев.
орбиты перелета при наличии достаточных энергетических ресур¬
сов. До тех пор, пока не будет достигнута такая степень свободы
выбора, мы не сможем осуществлять регулярные межпла-.
нетные полеты. Это может показаться фантастическим некото¬
рым читателям, но ожидание чего-либо большего будет свиде¬
тельствовать о совершенной потере реализма. В то же время
должно быть совершенно ясным, что планирование полетов кос¬
мических кораблей на химическом топливе для межпланетной
миссии человека является пустой тратой времени.
Полная скорость в момент старта для случая плоского дви¬
жения определяется уравнением
о, = у о* + 0^,,
Здесь (рис. 9.23)
v£>, 1 = V\+ U% — 2Fi£/®(sin Si sin0© + cos 0i cos 0$)
-Kf+£/2e-2K1£/ecospI,
(9.48)
= (9.49a)
(9.49b)
(9.50)
534 МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ {ГЛ. 9
где г\ — расстояние от центра Земли до точки, в которой сооб¬
щается стартовый импульс, увеличивающий скорость космиче¬
ского аппарата до значения гиперболической скорости vx; Pi —
угол между вектором скорости космического аппарата и векто¬
ром скорости Земли в момент гелиоцентрического старта:
Р, = 0! - 9ф. (9.51)
Если при расчете, выполняемом для данного аппарата, в ка¬
честве независимой переменной взята величина Ооо, ь то для за¬
данного значения Pi достигаемая гелиоцентрическая скорость
старта находится из уравнений (9.49) в виде
К, = иф cos ft + (9.52а)
ИЛИ
V\ = cos р, + j — siri^Pj. (9.52b)
Для трехмерного случая, также представленного на рис. 9.23,
угол Pi должен быть заменен пространственным углом Вх по
формуле
cos Вх = cos pt cos lt9 (9.53)
где it — наклонение плоскости орбиты перелета к плоскости
эклиптики. В этом случае получаем:
<1= U%+ W-2£/®I/,cosB, (9.54)
или
V1 = U© cos В, + Vvi, 1 - U© sin2 В,, (9.55а)
V\ = cos В, + У i>£, — sin2 В, (9.55b)
И
ft = У + UI + V*- 2ифУ{ cos В,. (9.56)
Разность
Д»,,, - Vu‘r + U^ + V^-2U9V,zosB, -
- V4‘p + Ul+V‘-2U^V, cosp, (9.57)
представляет собой увеличение скорости А^ь обусловленное на¬
клонением it плоскости орбиты перелета к плоскости эклиптики,
вычисляемым относительно центра Земли или (в общем случае)
относительно центра планеты. Подобным же образом можно
найти приращение геоцентрической скорости по отношению к
параболической скорости в момент сообщения стартового им¬
пульса
Ду„, J = V v2p + «L, J - V (9.58)
9.5]
НАКЛОНЕНИЕ И ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ ПЛАНЕТНЫХ ОРБИТ
535
При использовании определенных таким образом геоцентри¬
ческих приращений kvif х и До», i геоцентрическая скорость
старта становится равной
о, = Ор + До»,,, + До*, 1 (9.59)
или для старта с круговой орбиты спутника
До, = ор + До*,,, + Дог> , - ос = о, - vc. (9.60)
Последние два соотношения являются весьма удобными, так как
они позволяют определить требуемую геоцентрическую скорость
космического аппарата при заданных it, V\ и f/®:
исо. 1 = ^1 = VV% + V2l-2ифУ1 cos (В, или р,).
Для того чтобы минимизировать геоцентрическую скорость
старта 01, необходимо найти правильное соотношение между
Уоо,! и Д0г, 1- Величина AV] определяет не только значение ге¬
лиоцентрической скорости космического аппарата, но также и
ее направление в плоскости орбиты Земли; другими словами,
AVi определяет угол |3ь В случае гиперболической встречи (без
захвата около планеты-цели) соответствующий выбор угла Pi
позволяет почти всегда получить относительно быстрые, умерен¬
но наклоненные к плоскости эклиптики орбиты перелета.
Наклоняя орбиту перелета описанным выше способом, можно
получить (с использованием одного стартового импульса) ор¬
биту перелета, не требующую никаких дополнительных манев¬
ров, исключая разве корректирующие маневры. Такая орбита
обладает двумя преимуществами: во-первых, упрощает выведе¬
ние космического аппарата на орбиту и, во-вторых, приводит к
уменьшению суммарной энергии, необходимой для того, чтобы
перевести аппарат на выбранную гелиоцентрическую орбиту пе¬
релета, так как приращения скорости, необходимые для раз¬
гона аппарата и изменения плоскости орбиты, складываются
векторно. Этот маневр старта является обратным процессу за¬
хвата', при котором для изменения орбиты используется грави¬
тационное поле планеты.
Вообще говоря, всегда более экономично осуществлять ма¬
невр изменения наклонения орбиты перелета в планетоцентриче¬
ском поле тяготения, а не в поле тяготения Солнца. Гелиоцен¬
трические изменения наклонения орбиты могут быть произве¬
дены, например, для переходов с центральным углом гц -> 180°
при неузловых точках старта для того, чтобы избежать чрезмер¬
ного наклонения орбиты, или для того, чтобы скорректировать
536
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
ГГЛ. 9
ошибку выведения, как это показано на рис. 9.24. Космический
аппарат, стартующий из точки 1 в направлении точки 2, совер¬
шает полет по орбите с малыми отклонениями, приводящими
к пересечению его орбиты с орбитой планеты-цели в точке 2
Коррекция плоскости траектории производится в гелиоцентри¬
ческом пространстве в точке /'.
Необходимо указать, что коррекция траектории не означает
возвращения аппарата на первоначальную (расчетную) траек¬
торию, потому что вследствие прохождения ошибочного участка
траектории изменяется время полета, так что первоначальная
(расчетная) точка встречи с планетой-целью навсегда упускает¬
ся1). Следовательно, коррекция траектории перелета является
процессом создания новой орбиты перелета, предназначенной
1) С помощью одного корректирующего импульса, вообще говоря, можно
изменить ошибочную траекторию так, чтобы обеспечить встречу с планетой-
целью в расчетной точке, но такая коррекция менее экономична, чем коррек¬
ция, обеспечивающая встречу в другой точке. Восстановить же расчетную
траекторию с помощью одного импульса нельзя принципиально, поскольку
корректирующий импульс дает возможность изменить вектор скорости кос¬
мического аппарата в момент коррекции, но не изменяет отклонения коорди¬
нат в этот момент, имеющие место вследствие ошибок выведения. (Прим.
Рис. 9.24. Определение корректирующего измене¬
ния плоскости орбиты (угла /Q.
ред.)
НАКЛОНЕНИЕ И ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ ПЛАНЕТНЫХ ОРБИТ
537
для встречи с планетой-целью, или по крайней мере для осу¬
ществления меньшего промаха, чем это имело бы место при сле¬
довании по ошибочной или восстановленной первоначальной
траектории.
Как уже сказано выше, корректирующий маневр выпол¬
няется в точке Г. В результате этого маневра наклонение ор¬
биты перелета изменяется на величину i't (см. рис. 9.24). Пер¬
воначальное значение наклонения it находится из выражения
б — угол между точками 1 и Д,г]г— центральный угол перелета,
iT — наклонение плоскости орбиты перелета к плоскости орбиты
планеты-цели.
Предположим, что первоначальное наклонение плоскости ор¬
биты перелета на угол it осуществляется в поле тяготения пла¬
неты старта. Тогда значение корректирующего гелиоцентриче¬
ского изменения наклонения находится из выражения
Требуемая скорость для гелиоцентрического изменения на¬
клонения определяется следующим образом:
Легко видеть, что tsV / является достаточно большим даже
(9.61)
где
(9.62)
(9.63)
где
Ayi./ = 2F1sin-j.
(9.64)
Для малых значений и. Значение i't увеличивается с ростом
Центрального угла перехода r\'t (при г]'>90о).
538
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
9.6- Плоские орбиты межпланетного перелета
Для орбит быстрого межпланетного перелета характерна ор¬
бита перехода № 1. Она касается в точке старта орбиты пла¬
неты старта и пересекает орбиту планеты-цели. Начальный угол
положения планеты-цели
а* (1-е2) {
¥1 “ Лг - ИРА = arccos ^ цр1 (Е2 - е sin Е2) j/"
и угол положения планеты-цели в момент встречи
а* (1-е2) ,
^р!
arccos —
-H0(£2-esin£2) J/^
приведены на рис. 9.42 и 9.47 для перелетов к Венере и Марсу
соответственно. Как уже отмечалось при рассмотрении перелета
Земля'—Луна (глава 8), величина начального угла положения
принимает минимальное значение в районе гелиоцентрической
параболической скорости космического аппарата и затем опять
возрастает. Это происходит по тем же самым причинам, что и
обсуждавшиеся в главе 8 при анализе случая вариаций угла
положения Луны относительно Земли.
На рис. 9.25 сравнивается в широких диапазонах требуемая
характеристическая скорость для быстрых орбит перелета № 1,
представленная в функции времени перелета. Рис. 9.26 показы¬
вает ту же самую зависимость (в несколько большем масштабе)
для полетов к внутренним планетам солнечной системы. При по¬
летах к Венере и Марсу возможно значительное уменьшение
времени полета без существенного увеличения начальной скоро¬
сти (скорости старта). Такого уменьшения времени полета
нельзя получить при полете к Меркурию, но оно возможно в
случае полетов к Юпитеру и Сатурну.
Скорости старта свыше 15 ООО м/сек для полета к Венере и
Марсу (с орбиты спутника Земли высотой 185 км) в настоящее
время являются чрезвычайно большими. Однако этим мы не
хотим сказать, что время полета к Венере или Марсу продол¬
жительностью 1—2 недели будет нежелательным. По данным
рис. 9.27 можно сделать вывод, что теоретические исследования
и техническая реализация реактивных систем еще должны быть
улучшены по крайней мере на несколько порядков, прежде чем
доожно будет серьезно рассматривать такие перелеты. Условия
становятся еще более неблагоприятными, если рассматривается
захват у планеты-цели. На рис. 9.27, где для случая полета к
0.в]
ПЛОСКИЕ ОРБИТЫ МЕЖПЛАНЕТНОГО ПЕРЕЛЕТА
539
Марсу приведены кривые требуемой скорости перелета в функ¬
ции времени полета, а также кривые суммарной скорости при
осуществлении захвата и без него. Как видно из рисунка, кри¬
вая импульса захвата около Марса поднимается быстро, в то
время как кривая импульса скорости при старте с орбиты спут¬
ника Земли растет медленно (вначале). Это характерно для
Рис. 9.25. Время перелета к планетам солнечной системы в зависи¬
мости от геоцентрической гиперболической скорости ухода с круговой
орбиты высотой 100 морских миль (орбита перелета № 1).
всех перелетов к Луне и планетам. Полет по быстрой орбите
перехода будет значительно более экономичным, если не потре¬
буется осуществлять захват. И наоборот, если захват (и даже
посадка на планету) является этапом полета, то возрастает це-.
лесообразность использования более медленных орбит перелета.
На рис. 9.28 более подробно показана зависимость гелиоцен¬
трической скорости в момент старта от времени гелиоцентриче¬
ского перелета для полетов к Венере, Марсу и Юпитеру. Основ¬
ной участок перелета к Венере и Марсу приходится на эллипти¬
ческий полет в сфере действия Солнца, поэтому значительное
Уменьшение времени перелета (которое намного меньше времени
перелета к внешним большим планетам) может быть достигнуто
540
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
1
III
1Гч
Чу
|(|
IP
S £ §
И *
141
^'§ii
ii^
S II
SI
^ 1
(1.5
III!
pli
§ § S II
^ ^ *^1
л '
*=£ S-
° 5
X ^
«8
*3 9S
о
cd Е-*
w О
л о
и>> CQ
с
§ к
К ч
« S
К о)
?°°
4 к
£ >>
д Си
W
^ 2
н л
о
2 ^
5 н
к к
О VO
s си
0Q О
cd
СО ,s
. О
«32
о ^ о
о д
>> v о
си 3 с
^ 3 >>
!§•
?ь
cd а
н о д
Й О ч .
й о а ^
X ~н О
w* Й S
о П °<
§Sfl
«О |
° п
£ * 2 §
4 о ^
>» си 2
с
(>/30/шАф 'О/ЯШ) qiUDOdOHJ
ч
QJ
си
О)
■
CU 5
о « д
Ч О 0)
а и S
s o
^ Он
Н д
X К
a VO
« CU Н
и О О
1
I
8*
I
I
I
&
^ хаз/шАф 'diqui) /1а/ vgoxA яшорйохо uvHOdhnduwatiogj
9.6]
ПЛОСКИЕ ОРБИТЫ МЕЖПЛАНЕТНОГО ПЕРЕЛЕТА
541
без перехода к гиперболической траектории в сфере действия
Солнца.
Ситуация полностью меняется при полетах к планетам внеш¬
ней солнечной системы, если используются траектории кепле-
рова движения, а не траектории полета с малой тягой. Система
900
800
700
f
§, 600
S
| 500
I
I
* 400
I 300
I
«§•
200
100
°0,10,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,70,80,9 1,0 1,11,2 1,3 1,4 1,5 1,6
Гелиоцентрическая скорости ухода
Рис. 9.28. Зависимость гелиоцентрической скорости в мо¬
мент старта от времени гелиоцентрического перелета
для полетов к Венере, Марсу и Юпитеру.
внешних планет является особенным миром, настолько отлич¬
ным от системы внутренних планет по размерам последних и ок¬
ружающим их условиям, что необходим совершенно новый
встронавтический подход.
Рассмотрим длительности перелета для случаев гоманов-
ского перехода, почти параболического перелета и для более
быстрых орбит перелета,
I
оп
оп>
№
ос
А
6
9
ОП№1
|
542
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
На рис. 9.29 показана зависимость времени перелета в об¬
ласть внешних планет солнечной системы от расстояния до
Солнца. Каждая из приведенных кривых представляет собой
кривую одногодичного перелета для каждой планеты, начиная
с Юпитера.
О 5 10 15 20 25 30
Расстояние до Солни,а (сотни млн. морен их миль)
Рис. 9.29. Время перелета к внешним планетам солнечной
системы в функции гелиоцентрической скорости ухода
с орбиты Земли (орбита перелета № 1).
На рис. 9.30 показана зависимость времени перелета от ге¬
лиоцентрической скорости ухода (старта) в единицах круговой
скорости на расстоянии одной астрономической единицы при по¬
лете «в один конец» к большим (типа Юпитера) планетам. Зна¬
чения, обозначенные кружочками в левой части графика, соот¬
ветствуют случаям энергетически оптимальных орбит перелета
к Юпитеру, Сатурну и Урану. Из этого графика можно видеть,
9.6)
ПЛОСКИЕ ОРБИТЫ МЕЖПЛАНЕТНОГО ПЕРЕЛЕТА
643
что значительное уменьшение времени перелета достигается за
счет увеличения гелиоцентрической скорости ухода до значений
параболической скорости. Ввиду того, что даже для орбиты пе-
18
16
J4
1
'si*
1
12
10
I 8
1
&
&
0:
§ 6
|
§
1
1
1
а
-
о ОП№
Прааш:
О
ОП №1
-
-
-
-
-
-
-
-
Параболи¬
ческая
\ /
/*
У9
-
\ \
/
-
\! V
!,
— 1
v,/\ = v;
Рис. 9.30. Зависимость гелиоцентрической скорости
ухода от времени перелета для эллиптических, пара¬
болических и гиперболических перелетов от Земли
к внешним планетам.
релета № 0 значение гелиоцентрической скорости ухода мало от¬
личается от значения параболической скорости (особенно при
полетах к Сатурну и более далеким планетам), сравнительно ма¬
лые приращения скорости ухода приводят к большому умень¬
шению времени полета. В режиме гиперболического полета уве¬
личение энергии обеспечивает дальнейшее сокращение времени
544
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
полета; при этом в области низких гиперболических скоростей
также получается значительное сокращение времени перелета,
особенно при полетах к Сатурну и планетам, расположенным за
ним. Для того чтобы уменьшить время перелета до одного года,
значения гелиоцентрической скорости ухода с орбиты Земли
должны быть равны: 1,456 КСф при полетах к Юпитеру, 1,9716 Vc^
при полетах к Сатурну и
3,335 при полетах к
Урану.
На рис. 9.31—9.37
приведены графики изме¬
нения центрального угла
перехода, угла наклона
вектора скорости к мест¬
ному горизонту, эксцен¬
триситета орбит перехода
и безразмерной скорости
ухода для перелета меж¬
ду компланарными круго¬
выми орбитами. Для
удобства охвата широкого
диапазона этих величин
они даны в зависимости
от отношения RP/a, где
а — большая полуось ор¬
биты перелета, a RP — пе-
ригелийное расстояние, и
от отношения RP/R, где
R — либо радиус орбиты
планеты-цели (в случае
орбиты перелета № 1),
либо радиус орбиты пла¬
неты старта. Скорости (гелиоцентрические) представлены в еди¬
ницах круговой скорости в перигелии. Эти вспомогательные
графики могут оказаться полезными при интерполяции или бы¬
строй оценке компланарных орбит перелета в гелиоцентриче¬
ском пространстве (или при соответствующем выборе значений
для любого другого центрального поля тяготения).
На рис. 9.38—9.42 показаны графики изменения различных
параметров орбит перелета № 0, 1, 4, 7, 9 и 10 в зависимости от
эксцентриситета орбиты перелета. Этими параметрами являют¬
ся: гелиоцентрические относительные скорости ухода и встречи
(V\ и V2 соответственно), время перелета tty центральный
угол перелета гц, углы наклона вектора скорости к местному
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
яР/а
Рис. 9.31. Зависимость центрального угла
перелета r\f от отношения перигелийного
расстояния Rp к большой полуоси а пере¬
ходного эллипса для различных значений
отношения перигелийного расстояния Rp
к радиусу R орбиты планеты-цели (орбиты
планет круговые и компланарные).
780
ПЛОСКИЕ ОРБИТЫ МЕЖПЛАНЕТНОГО ПЕРЕЛЕТА
545
* & v f-
я К я >*
к О щ Оц
2 00 в
_ s
° л<и Е-
о 2 о
«^ з *
s >>§. §
^ о/ С
о Н ьн
я в £
л h я ^
н о ^ я
о VO
О g Я Он
2 « £
к *
я в а ^
« ь
Я О
со
: g*V
о Q-?
• в к ~~L
S ° S ^
. к [У
• II V/
a s g -.
Си в о о
£
(тАрпОг) *U
о
2
в
о
В
В
в
со
в
СЦ
"V/ g
- с
Ч g
О о
>в *
s я
в я
<D >>
К СВ
В В
В
СВ Н •
« SJ ^
к ■ —<
в °“
IV/
О ^
В
н Q,
О
о V/
35 К. Эрике, т. II
546
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
ttVt. 9
Rp/CL
Рис. 9.34. Зависимость угла 0 наклона вектора скорости к мест¬
ному горизонту от отношения Rp/a на интервале значений
0,01 < Rp/R ^ О»1 (орбиты планет круговые и компланарные).
10
0,8
0,6
0,4
0,2
\
\
\
\
\
\
401
0,1
Rp/tL
го
Рис. 9.35. Эксцентриситет орбиты перелета в функции
отношения Rpja.
9.6]
ПЛОСКИЕ ОРБИТЫ МЕЖПЛАНЕТНОГО ПЕРЕЛЕТА
547
sS А
о о
bd я
о ^
(V „
tT >Я
s 2
Си Я
Рн си
И «
Si s
о СО
S си
С со
аЗ «
tH ю
»5 К
о
X
Он
£ ^ ^
* 95
К
s я
я £
s s
Р И
<1)
ч
со
CQ
Он
О)
н
0,Я
С я
X
со
со -
II
ХО
CL 03
Он Ен
<и
ч
си
Он
Он S
S Сс
53
2— я
м ч™ Си
X о
О н
® 2- я
CQ *н' <D
cfl О СО
СО X Он
>> Н
■в V/
'й.а;
* ~5
«
IV/
15
X
£ я
СО Е_
8
СО
О
к
ч
о
U
35*
548
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. э
Рис. 9.38. Орбиты № 0, 1, 4, 7, 9, 10 перелета Земля — Венера:
зависимость гелиоцентрических скоростей ухода V\ и встречи V2
от эксцентриситета орбиты перелета для различных значений
перигелийного расстояния Rp орбиты перелета (орбиты старта
и цели круговые и компланарные).
Примечание', при е=1 орбиты перелета превращаются в ОП №9, при
е > 1 орбиты перелета превращаются в ОП № 10 в соответствии с таб¬
лицей 9.3.
Рис. 9.39. Орбиты № 0, 1, 4, 7, 9, 10 перелета Земля ^ Венера: время tj
гелиоцентрического перелета.
в2 (градусы)
ПЛОСКИЕ ОРБИТЫ МЕЖПЛАНЕТНОГО ПЕРЕЛЕТА
Рис. 9.40. Орбиты № 0, 1, 4, 7, 9, 10 перелета Земля ^ Венера:
центральный угол гелиоцентрического перелета.
| 1 Г Г"Т"
Rp = 0,5 а.с.
Rj
R,
з = 0,6 а. е.
7 = 0.723 а. е.
<
/
/
4
6'
<
j,
\
— ' '
/№>
р1<*
*1
■<
* ОП №7
ОП№7-
гЧ
**
ОП №0-
\
\/ \
У
/
/
ОПА
/
/
Д
_k
И/Т
/
/
Рис. 9.41. Орбиты № 0, 1, 4, 7 перелета Земля ^ Венера: углы 0j
и 02 наклона вектора скорости к местному горизонту.
550
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 5
горизонту в моменты старта и встречи (01 и 02) и углы поло¬
жения планет в моменты старта и встречи (ЧЛ и Ч^). Орбиты
планет предполагаются круговыми и компланарными, поэтому
углы между векторами скорости аппарата и планеты в моменты
старта и встречи обозначены здесь через 01 и 02, а не через Pi и
р2. Здесь (и при построении последующих графиков) в каче¬
стве планеты старта принята Земля. Следовательно, условия,
Рис. 9.42. Орбиты № 0, 1, 4, 7 перелета Земля ^ Венера*. углы lFj
и 2 положения планеты-цели соответственно в момент старта и
в момент встречи. (При перелетах Земля — планета-цель угол по¬
ложителен, если планета-цель опережает Землю, и отрицателен,
если она отстает; знаки изменяются на обратные в случае переле¬
тов планета-цель — Земля.)
характеризуемые этими графиками, относятся к перелету от
Земли к Венере. Если обратить эти условия (то есть заменить
V2 на Vj, изменить знаки углов, определяющих взаимное рас¬
положение планет, и т. п.), то приведенные графики могут быть
использованы для расчетов орбит перелета от Венеры к Земле.
При старте угол Ч^ отсчитывается от радиуса-вектора пла¬
неты старта и считается положительным, если планета-цель при
старте находится впереди, и отрицательным, если планета нахо¬
дится сзади. При подходе аппарата к планете-цели угол Чг2
отсчитывается от радиуса-вектора планеты-цели и считается по¬
ложительным или отрицательным в зависимости от того, опере¬
жает или отстает планета старта в момент встречи от планеты-
9.6]
ПЛОСКИЕ ОРБИТЫ МЕЖПЛАНЕТНОГО ПЕРЕЛЕТА
551
цели. Угол Ч^з (начало обратного перелета) измеряется таким
же образом, как и угол 1Р2. Если читатель пожелает отсчиты¬
вать все углы положения от радиуса-вектора Земли, то знаки
углов ^2 и Ч'з просто должны быть заменены на обратные.
На рис. 9.43—9.47 представлены кривые изменения тех же
самых параметров для перелетов Земляк Марс по орбитам
Рис. 9.43. Орбиты № 0, 1, 4, 7, 9, 10 перелета Земля ^ Марс: зави¬
симость гелиоцентрических скоростей ухода Vx и встречи V2 от
эксцентриситета орбиты перелета для различных значений пери-
гелийного расстояния Rp орбиты перелета (орбиты старта и цели
круговые и компланарные).
Примечание: при е — \ орбиты перелета переходят в ОП № 9, при е > 1 орбиты
перелета превращаются в ОП № 10 в соответствии с таблицей 9.3.
перехода № 0, 1, 4, 7, 9 и 10, на рис. 9.48—9.52 — для перелетов
Земля ^ Юпитер и на рис. 9.53—9.57 — для перелетов Зем¬
ля ^Сатурн. При этом основные правила отсчета углов сохра¬
няются аналогичными приведенным выше для графиков пере¬
лета Земля ^Венера. При использовании этих графиков следует
помнить, что орбита перелета № 0 представляет собой гранич¬
ный случай орбиты № 1, а орбита № 4 есть граничный случай
орбиты № 7. Орбита № 0 есть также граничный случай орбиты
№ 7 и, следовательно, орбиты № 4 в том случае, когда RP =
^ 1,0 а. е. В соответствии со сказанным все значения, отмеченные
552
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. g
е
Рис. 9.44. Орбиты № 0, 1, 4*, 7 перелета Земля ^ Марс: время tt
гелиоцентрического перелета.
е
Рис. 9.45. Орбиты № 0, 1,4,7 перелета Земля ^ Марс: централь-
ный угол r\t гелиоцентрического перелета.
9.6]
ПЛОСКИЙ ОРБИТЫ МЕЖПЛАНЕТНОГО ПЕРЕЛЕТА
553
Рис. 9.46. Орбиты № 0, 1, 4, 7, 9, 10 перелета Земля ^ Марс: углы 0j
и 02 наклона вектора скорости к местному горизонту.
Рис. 9.47. Орбиты № 0, 1, 4, 7, 9, 10 перелета Земля ^ Марс: углы
и \F2 положения планеты-цели соответственно в момент старта и в мо¬
мент встречи. (При перелетах Земля — планета-цель угол положи¬
телен, если планета-цель опережает Землю, и отрицателен, если она
отстает; знаки изменяются на обратные в случае перелетов планета-
цель — Земля.)
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ [ГЛ..
Рис. 9.48. Орбиты №0, 1,4,7,9,10 перелета Земля ^ Юпитер:
зависимость гелиоцентрических скоростей ухода V\ и встречи V2
от эксцентриситета орбиты перелета для различных значений пери-
гелийного расстояния Rp орбиты перелета (орбиты старта и цели
круговые и компланарные).
Примечание', при е =• 1 орбиты перелета переходят в ОП № 9, при е > 1 орбиты
перелета переходят в ОП № 10 в соответствии с таблицей 9.3.
Рис. 9.49. Орбиты № 0, 1, 4, 7, 9, 10 перелета Земля ^ Юпитер;
время tt гелиоцентрического перелета.
6.6]
ПЛОСКИЕ ОРБИТЫ МЕЖПЛАНЕТНОГО ПЕРЕЛЕТА
555
на графиках кружками и представляющие собой орбиты № 0 и
jsft 4, могут быть соединены кривой (не показанной на графи¬
ках), которая определит вариации данного параметра в функ¬
ции Rp для орбиты № 4.
180
160
140
| 180
%100
§ оо
& 60
40
го
о
0.6 0,7 0,8 0,9 w 2 3 4 5 6
е
Рис. 9.50. Орбиты № 0, I, 4, 7 перелета Земля ^ Юпитер: централь¬
ный угол r\t гелиоцентрического перелета.
100
90
80
\70
160
50
* ^
^ 30
20
10
V 0,7 0,8 0,9 1,0 г 3 4 5 6
е
Рис. 9.51. Орбиты № 0, I, 4, 7, 9, Ю перелета Земля ^ Юпитер:
углы 01 и 02 наклона вектора скорости к местному горизонту.
В целях облегчения определения времени полета по орбитам
перелета, для которых значение Rp находится в диапазоне
0,6-ь 1,0 а. в., на рис. 9.58 и 9.59 для орбит космического аппа¬
рата представлены значения периодов обращения в зависимости
от эксцентриситета и большой полуоси соответственно.
Другая система кривых представлена для случая перелета
Земляк Венера. На рис. 9.60 и 9.61 показана зависимость
556
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
1000
900
800
700
1'ООО
1 500
'Si
^400
300
100
О
7*2
f 0П№0
'Г ПП №1
А
/j
> = 0,6 а. е.
?р = 0,8а.е. ■
Ър — 1,0 йв
&
//
/
%
\
ч\
^ 0П№7
\
1
/
onrFr ,
vS.\
' —
—
f
ф/
/
А
0П№4
110
100
90
80 ^
70 |
во I
50 ^
40
30
20
10
0,6 0,7 0,8 0,9 1,0,
Рис. 9.52. Орбиты № 0, 1,4,7, 9, 10 перелета Земля ^ Юпитер: углы
и 'Рз положения планеты-цели соответственно в момент старта и в момент
встречи. (При перелетах Земля — планета-цель угол положителен, если
планета-цель опережает Землю, и отрицателен, если она отстает; знаки из¬
меняются на обратные в случае перелетов планета-цель — Земля.)
0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Рис. 9.53. Орбиты № 0, I, 4, 7, 9, 10 перелета Земля Сатурн:
зависимость гелиоцентрических скоростей ухода Vx и встречи V2
от эксцентриситета орбиты перелета для различных значений
перигелийного расстояния Rp орбиты перелета (орбиты старта
и цели круговые и компланарные).
Примечание: при е=1 орбиты перелета переходят в ОП № 9, при е > 1
орбиты перелета переходят в ОП № 10 в соответствии с таблицей 9.3.
б]
ПЛОСКИЕ ОРБИТЫ МЕЖПЛАНЕТНОГО ПЕРЕЛЕТА
557
!
А>
Рис. 9.54. Орбиты № 0, 1, 4, 7, 9, 10 перелета Земля ^ Сатурн: время tf
гелиоцентрического перелета.
Рис. 9.55. Орбиты № 0, 1, 4,7, 9, 10 перелета Земля ^ Сатурн:
центральный угол гелиоцентрического перелета.
558
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. с
параметров орбиты № 4 от перигелийного расстояния (а не от
эксцентриситета). На рис. 9.62—9.65 представлена зависимость
тех же самых параметров (для перелетов Земля^Венера по ор¬
битам № 2 и 8) от афелийного расстояния для различных зна¬
чений RP.
90
80
70
I*
I 50
^ 40
* 30
го
70
гЧ
/
хГ
кО£
i
^ОП №9
•V
IJ
Ч
Ъ0Л№7
—т
П
\
ОП№1
if
i
\
—
- Яр = 0,6а.е.
- Пр = 0,8а.е. -
- Яр = 1,0а.е.
0П№0Д
11
ii
л
> ОП №4
000910
г
й
/
0П№10 /
—(L -.(■ L
1
1 1 1
°0,6 OJ 0,8 0,9 to a j 1 о о
е
Рис. 9.56. Орбить; № О, I, 4, 7, 9, Ю перелета Земля Сатурн:
углы 01 и 02 наклона вектора скорости к местному горизонту.
Для быстрого анализа и предварительного расчета характе¬
ристик самых разнообразных траекторий полета с возвращением
1800
1400
ООО
ООО
400
200
ИЛ
— ОП №4
I I I I
0П№0 "Prt
п ОП№1
Rp = 0,6 а.е.
Rp = 0,8 а.е.
Rp = 1,0 а. е.
1 /
А\\
/
0П№0
\А\
/
|
\
0П№7 1
У ч
IV
\
V
X..
г 0П№10
)ф/
/\
//
0П№4 <
V-
I
1
0,6 0,7 0,8 0,91,0
4
120
110 .
700
*1
80 &
70
60
50
в*
30
Рис. 9.57. Орбиты № 0, 1, 4, 7, 9, 10 перелета Земля ^ Сатурн:
углы 4е! и положения планеты-цели соответственно в мо¬
мент старта и в момент встречи. (При перелетах Земля —
планета-цель угол положителен, если планета-цель опережает
Землю, и отрицателен, если она отстает; знаки изменяются
на обратные в случае перелетов планета-цель — Земля.)
к Венере, Марсу, Юпитеру и Сатурну могут быть использо¬
ваны кривые, представленные на рис. 9.38—9.65. Кривые рас¬
считаны с помощью соотношений, приведенных в § 9.4. С по¬
мощью рис. 9.31—9.37, 9.58 и 9.59 можно путем интерполяции
ПЛОСКИЕ ОРБИТЫ МЕЖПЛАНЕТНОГО ПЕРЕЛЕТА 559
9.6)
определить параметры орбиты перелета и для других значений
р или Ra, чем те, которые приведены на рис. 9.38—9.65, и ис¬
пользовать их для расчета характеристик орбит перелета и тра¬
екторий полета с возвращением к Меркурию, Урану и далее.
Однако эти графики содержат данные только о гелиоцен¬
трических скоростях старта и встречи. Планетоцентрическая ско¬
рость старта в самом общем случае определяется уравнением
Api = \/~+ v2x + v2 - 2v ]/" cos (0i)pi * (9.65а)
которое для старта по касательн
(орбиты ожидания), то есть для
случая, когда (0i)pi = O, сводится
к известному уравнению:
A'pj = У + v1 -v, (9.65b)
где 2Kp\/r\ — квадрат местной па¬
раболической скорости, a v —
скорость на орбите спутника:
р= VIQEl. если орбита круговая,
и v = УКР\/г\ У 2 — {rja), если
орбита эллиптическая.
На рис. 9.66 для Венеры,
Земли, Марса, Юпитера и Сатур¬
на представлена зависимость пла¬
нетоцентрической параболиче¬
ской скорости от расстояния
r/гоо, где г0о — радиус соответ¬
ствующей планеты, значения ко¬
торого приведены в таблице 9.1.
Параболическую скорость в точке
старта легко найти непосред¬
ственно по величине расстояния
от точки старта до центра плане¬
ты г/гоо = гi/гоо. Гиперболический
Дится из выражения
AV = о» = V U\\ + V
е
Рис. 9.58. Зависимость периода
одного оборота по переходному
эллипсу от эксцентриситета орби¬
ты перелета для различных значе¬
ний перигелийного расстояния Rp
переходной орбиты (орбиты стар¬
та и цели круговые и компланар¬
ные).
избыток скорости Voo нахо-
— 2Up\V cos 0 . (9.66)
Орбитальные скорости планеты известны (см. значения сред¬
ней орбитальной скорости в таблице 9.1). Значения Г и 0 для
старта или встречи можно получить из графиков, приведенных
Рис. 9.59. Соотношение между большой полуосью а и периодом обращения.
Рис. 9.60. Орбиты № 0 и 4 перелета Земля ^ Венера: зависимость гелиоцен¬
трических скоростей ухода V\ и встречи V2, времени tt гелиоцентрического
перелета и периода обращения Т от перигелийного расстояния.
ПЛОСКИЕ ОРБИТЫ МЕЖПЛАНЕТНОГО ПЕРЕЛЕТА
Рис. 9.61. Орбиты № 0 и 4 перелета Земля ^Ве¬
нера: зависимость центрального угла гелиоцен¬
трического перелета, углов 0! и 02 наклона вектора
скорости к местному горизонту и углов и lF2 по¬
ложения планеты-цели от перигелийного расстояния.
Рис. 9.62. Орбиты № 2 и 8 перелета Земля ^ Венера: зависимость
гелиоцентрических скоростей ухода V{ и прибытия V2 от афелийного
расстояния для различных значений перигелийного расстояния орбиты
перелета (орбиты старта и цели круговые и компланарные).
36 К. Эрике, т. и
562
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
1ГЛ. 9
350
300
1 250
к
к
* 200
150
100
-
\
Л
ЪЧ’З’
II II II
\ -\ N.
h
X
-
0П№2 /
ОП №8 /
//
\V.
/
/
/
\
/
/
/
/
-
/
II II II
/
\л
0П№2 /
0П№8 *
120
1,0 1,02 1,04 1,06 1,08 1,10 1,12 1,14 1.16 1,16
8а (а.е.)
Рис. 9.63. Орбиты № 2 и 8 перелета Земля ^ Венера: зависимость вре¬
мени tt гелиоцентрического перелета и периода обращения Г по пере¬
ходному ^эллипсу от афелийного расстояния для различных значений
перигелийного расстояния орбиты перелета (орбиты старта и цели
круговые и компланарные).
20
18
16
I и
X
ю
8
6
|
в,
ч
\
\
/7/7 Мой .
\
\\Ч
\
К
\
ч
1
\
--
--
Ч,
N '
-1
т~“
\>
\
Ч
^ ЯD =
06
V
4 Л
}р~
0.65
/7/
1 AJо
'р =
0,723
\
/
&г \
I I
\
/
...1
\
20
18
16
14
12 §
10
а
8
6
4
2
0
5а (а.е.)
Рис. 9.64. Орбиты № 2 и 8 перелета Земля Венера: углы 0j
и 02 наклона вектора скорости к местному горизонту.
ПЛОСКИЕ ОРБИТЫ МЕЖПЛАНЕТНОГО ПЕРЕЛЕТА 563
6.6]
а рис. 9.38—9.65. На рис. 9.67 показана зависимость от
п для различных значений V!Uv\, при помощи которой можно
достаточно быстро определить приближенные значения v«>.
Рис. 9.65. Орбиты № 2 и 8 перелета Земля ^ Венера: цен¬
тральный угол r\t гелиоцентрического перелета и углы и lF2
положения планеты-цели соответственно в момент старта и
в момент встречи. (При перелетах Земля — Венера угол Ч?
отрицателен, если Венера отстает от Земли; знак изменяется
на обратный в случае перелетов Венера — Земля.)
Считая, что планетоцентрическая скорость ухода равна
и1 = Дг>1 + и, можно написать:
—=^== л/ 1 +( -V . (9.67)
/2^,/г, У \}/r2Kpl/rlJ
На рис. 9.68 представлена кривая зависимости vi/Y2Kpi/r\ от
иио /l/2/Cpi/r, , по которой можно быстро найти значение V\ при
известном значении vw.
36*
564
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
Таким образом находятся значения всех основных парамет-
ров быстрых орбит полета с возвращением, если орбиты планет
считать круговыми и компланарными. Иногда для целей осуще-
Рис. 9.66. Зависи viocTb параболической скорости
|/2/Ср1/г от расстояния г/г00, выраженного в еди¬
ницах радиусов соответствующих планет, в грави¬
тационных полях Венеры, Земли, Марса, Юпитера
и Сатурна.
ствления радиосвязи необходимо знать расстояние между Зем¬
лей и планетой-целью во время прибытия космического аппа¬
рата в район планеты-целй. Расстояние D между Землей и пла¬
нетой-целью определяется формулой
О = \га2^ + а2[Л — 2афар1 cos XF2 [морские мили] (9.68а)
ПЛОСКИЕ ОРБИТЫ МЕЖПЛАНЕТНОГО ПЕРЕЛЕТА 565
Й61
ИЛИ формулой
D* = V 1 + a*j — 2apl cos [а. е.]. (9.68Ь)
Зависимости расстояния D между Землей и соответственно
Венерой, Марсом и Юпитером от гелиоцентрической скорости
4
3
II
/
О 10 20 30 40 50 60 70 60 90
О
Рис. 9.67. Зависимость гелиоцентрической скорости AV7£/pI
^===VqoIUр]) от угла 0 наклона вектора гелиоцентрической
скорости к местному горизонту для различных значений
гелиоцентрической скорости V/Uр1 (Up\ ~~ орбитальная ско¬
рость планеты старта или планеты-цели).
старта от Земли для орбиты перелета № 4 к Венере и орбиты
перелета № 1 к Марсу и Юпитеру показаны на рис. 9.69.
Хотя траектория перелета № 7 является, по существу, невы¬
годной (в этом случае необходимы изменения направления век-
т°ра скорости как при старте, так и при подходе к планете-
566
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
цели), она тем не менее лучше удовлетворяет условию уменьше¬
ния времени перелета при достаточно малой энергии перехода
по сравнению с траекториями № 1 и № 4. Это было показано
Престоном-Томасом и представлено на взятом из работы [2]
рис. 9.70. Верхняя кривая представляет собой зависимость тре¬
буемой скорости перелета
с орбиты Земли на орбиту
Марса (орбиты планет кру¬
говые) от времени перелета
при использовании траекто¬
рии № 4, тогда как вто¬
рая кривая изображает ту
же самую зависимость для
траектории № 1. Как и
следовало ожидать, траекто¬
рия № 4 оказывается более
невыгодной (в энергетиче¬
ском смысле) для переле¬
тов Земля — Марс, чем тра¬
ектория № 1. Если исполь¬
зуется траектория № 7, не
являющаяся касательной ни
к одной орбите, то для дан¬
ного стартового импульса
,,иО 1 Voo 2 3 &V\ (см. рис. 9.70) появ-
ГЩ1 ляется возможность изме-
нять положение перигелия
Рис. 9.68. Планетоцентрическая ско- (или- КЭК ЭТ° НаЗВЭЛ Пр6'
рость еТуЖ/Г В момент старта или стон-Томас, «начальное рас-
захвата в функции гиперболического хождение», которое в исполь-
* /1 ГсП?—;— зуемых здесь обозначениях
избытка скорости у 2/Сп,/г, * м _
/ ,—- 1 Y р1/ 1 соответствует углу 01 между
\V2Kp\/ri ~~ параболическая скорость касательными к орбите Зем-
на планетоцентрическом расстоянии /л). ли и орбите перелета косми¬
ческого аппарата в момент
старта). В результате этого в зависимости от угла 01 изме¬
няются импульс скорости Д1/2 при переходе на орбиту Марса и
время перелета. Соответствующая кривая пересекается с первой
и второй кривыми. В этом частном случае предполагается, что
Д1Л = 16400 фут/сек (5 км/сек). Можно видеть, что для случая,
когда 01 = 5°, становится минимальным время перелета, но не
суммарная скорость AV\ + AV2- Оптимальный компромисс дости¬
гается при 01 — 7°. Такая траектория может рассматриваться как
наилучшая орбита перелета № 7 для Д1Л = 16 400 фут/сек.
Для других значений Д1Л оптимальные траектории находятся
9.61
ПЛОСКИЕ ОРБИТЫ МЕЖПЛАНЕТНОГО ПЕРЕЛЕТА
567
0Q
«
я
аз
<и
В
о*
«и
0
оа
СО
н
И
си
S
о .
S >,
и &
90 ^
° ^
f4 Г >
£ о.
Ч S
с
fg <1>
о-
•S «
О) я
4
5
си
оо
(■ЭИ) к
>>
*
(D
S
я
я
«
о
н
о
а>
со
я
Си
568
М Е Ж П ЛЛ1IET Н Ы П ПОЛЕТ
[ГЛ. (,
в других точках плоскости «скорость — время». Совокупность
всех таких оптимальных траекторий № 7 является огибающей
которая представлена на рис. 9.70 третьей (нижней) кривой’
Таким же образом траектория № 7 может быть оптимизирована
Огибающая наилучших значений
соотношения «энергия-время» на
' траекториях А№7 при постоянной
скорости старта
Траектория №7 (начальное
приращение скорости старта
Avr = /О 400 фут/сек)
Траектория №4
Траектория N?7
Траектория N90
\
\
■ I I I I I I I I 1 I
700 150 200 250
Время обностороннего перелета (сутки)
Рис. 9.70. Оптимизация орбиты перелета № 7 к Марсу
относительно суммарного импульса скорости и времени
перелета для старта с орбиты Земли при заданном на¬
чальном приращении скорости Д1С (с учетом только
гелиоцентрического поля притяжения).
для данного многоступенчатого космического аппарата, каждая
ступень которого соответствует одному импульсу скорости.
В реальном случае, конечно, следует принимать во внимание
также и поля тяготения самих планет. Однако это не изменяет
того основного вывода, что для заданного суммарного импульса
скорости наименьшее время полета достигается при использова¬
нии орбит № 7, а не орбит № 2 и 4.
БЫСТРЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ОРБИТЫ 569
9.7]
9.7. Быстрые пространственные орбиты
межпланетного перелета
При расчете пространственных орбит перелета необходимо
принимать во внимание как наклонение, так и эллиптичность
орбит планет. Естественно, что эти расчеты являются значитель¬
но более сложными, чем при упрощенном плоском анализе
(когда рассматриваются круговые или эллиптические орбиты
планет), и поэтому лучше всего их выполнять на электронных
вычислительных машинах. Наиболее подходящим методом рас¬
чета является метод Гаусса, когда вычисления проводятся при
заданном положении космического аппарата (например, в ге¬
лиоцентрической эклиптической системе) в начале и конце за¬
данного интервала времени1). В случае межпланетного перелета
начальное и конечное положения аппарата совпадают соответ¬
ственно с положением планеты старта в начале и планеты-цели
в конце временного интервала, который представляет собой
время перелета космического аппарата. Наклонение орбиты и ее
эллиптичность учитываются при задании положения этих планет.
При этом центральный угол перелета оказывается известным.
Время перелета является основной независимой переменной.
При расчете по методу Гаусса определяются элементы орби¬
ты перелета при заданных начальном и конечном радиусах пла¬
нет старта и цели, угле между ними и времени перелета между
начальной и конечной точками. Так как использование метода
Гаусса не ограничивается, конечно, случаем расчетов межпла¬
нетных полетов, то описание этого метода приведено в § 9.18
применительно к расчету эллиптических и гиперболических ор¬
бит перелета. Расчет проводится до момента вычисления эле¬
ментов гелиоцентрической орбиты перелета, таких как истинная,
средняя и эксцентрическая аномалии точек старта и цели.
Угол между вектором скорости и местным горизонтом в точ¬
ках гелиоцентрического старта и встречи с планетой опреде¬
ляется из соотношения
tg9=*sinT1 .
& 1 + е cos г|
Углы пересечения орбиты перелета и соответствующей орби¬
та планеты в плоскости орбиты перелета равны:
Pi = 0j — бф,
Р2 = 02 “ вр„
гле 00 и 0Р1 берутся из эфемерид планет.
9 Более удобен метод численного решения уравнения Эйлера — Лам-
бсрта (см., например, Эльясберг П. Е., Введение в теорию полета искус-
Сгвеиных спутников Земли, гл. VIII, Изд-во «Наука», 1965). {Прим. ред.)
570 МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЁТ [ГЛ. 9
Пространственный угол старта находится теперь из уравне¬
ния (9.53), где it — наклонение плоскости орбиты перелета к
плоскости эклиптики.
Гелиоцентрическая скорость на орбите перелета в момент
старта равна
или в единицах средней орбитальной скорости Земли и сред,
него расстояния от Земли до Солнца
а в точке цели
Изменения гелиоцентрической скорости для гиперболиче¬
ского ухода и захвата, то есть планетоцентрические избытки
скорости, определяются следующим образом:
(AF,)2 = vl, 1 = C/pi + V2i- 2t/p,y, cos Bi
(для старта с Земли Uvi=U$) и
(ДК2)2 = vlo, 2 = t/pi + V\ - 2UplV2 cos Bu
где t/pi — орбитальная скорость планеты-цели. Здесь исполь¬
зуются уже не средние орбитальная скорость и расстояния, а
локальные расстояния и скорость. В таблице 9.1 помещены зна¬
чения расстояний до перигелия и до афелия и эксцентриситетов
орбит всех планет. Соответствующие орбитальные скорости при¬
ведены в таблице 9.2.
Расстояние от Солнца в функции истинной аномалии
R=Rp }+е - ; (9.69)
F 1 -f е cos г\
скорость
<9.70)
где а — большая полуось орбиты планеты, значения которой
представлены также в таблице 9.1;
БЫСТРЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ОРБИТЫ 571
местный угол траектории
ftrfl— es[ny] - esin11 -
^е“ i + ecosn -НГ ’ (9*71)
-fd+e)
гелиоцентрическая широта (относительно плоскости эклиптики)
sin b = sin i sin (я — SI + л)> (9.72)
где значения средней долготы перигелия я и средней долготы
восходящего узла Д, отсчитываемых против хода часовой стрел¬
ки от направления на точку весеннего равноденствия, могут быть
взяты из «American Ephemeris and Nautical Almanac» или из
любого другого подходящего астрономического или морского
Ежегодника. Например, значения средних долгот перигелия и
восходящего узла, указанные в таблице 3.1а тома I книги «Кос¬
мический полет» и для некоторых планет помещаемые ниже,
взяты из Ежегодника 1957 г.:
Венера: я2 = 130°57'57",9; = 76° 17'33",7;
Земля: я© = 120° 12' 03",2; Де = 0;
Марс: я* = 335° 16'02",9; Д* = 49° 13' 33", 2.
Значения наклонения i плоскости планетной орбиты поме¬
щены в таблице 9.1. Долгота I планеты, измеряемая в плоскости
эклиптики от направления на точку весеннего равноденствия
против хода часовой стрелки, определяется из соотношения
sin (/-£*) = ^§7. (9.73)
Так как разность я — <0, равна аргументу перигея со, то уста¬
навливается определенное соответствие между значениями R, U
и 0 в восходящем узле орбиты, потому что Ь = 0 для ц = —со, и
тогда
.air, e sin to
tg 9 = tg 0O = •
ь b u 1 + e cos со
(9.74)
Соответственно с этим определяются все параметры гелио¬
центрической орбиты перелета. Затем методом, несколько раз
°писанным выше, вычисляются гиперболические скорости ухода
и захвата на заданные орбиты спутников.
572
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
По методу Гаусса с помощью вычислительного устройства
было рассчитано несколько орбит перелета к Венере, Марсу и
Юпитеру на период 1960—1972 гг. Основные результаты расче¬
тов представлены в виде графиков на рис. 9.71—9.82. На этих
рисунках вдоль оси абсцисс указаны даты возможных стартов.
Как видно из приведенных рисунков, старт к соответствую¬
щей планете-цели может быть произведен почти в любое время
120
100
оо
S' ВО
00
40
II 110 1.V 1.V//1/X1.Х1111.I111V 1.VU1IX1.X11.1 1.1111.V 1. VII 1.IXIX/ 1.11.Ш 1.V
1060-1961 1962 1964 1965 1967 1968-1969
Рис. 9.71. Пространственные орбиты перелета к Венере: зави¬
симость геоцентрической скорости в момент старта с орбиты
спутника высотой 100 морских миль от даты старта.
года при условии, что имеется достаточная энерговооружен¬
ность. Практические ограничения, по крайней мере в настоящем
и ближайшем будущем, связанные с энергетикой, исключают
для старта большие периоды времени. Однако периоды, в те¬
чение которых перелет может быть осуществлен при более уме¬
ренных энергетических требованиях, далеко не ограничиваются
несколькими днями. В действительности продолжительность диа¬
пазона допустимых дат старта равна примерно одному-двум ме¬
сяцам. Следовательно, не требуется выбора какого-то одного
дня в качестве лучшей даты старта, тем более, что ни один меж¬
планетный полет не может быть спроектирован таким образом,
чтобы космический аппарат мог выполнить свою миссию только
при старте в этот особый день.
По многим практическим причинам (например, отсрочка
на стартовой позиции) должны быть обеспечены некоторые
БЫСТРЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ОРБИТЫ
ГГ! I
тттг f I
80 суток
100 суток
1
1
1
ми суток
140 суток
1
1
1
\
\
\
\
1
\
\
L
\
\
1
1
Г1
\ i
\\
\
\
\
\
\
\\
111
}\\
\
\ \
\,
\
\\
-т
\\
1 г
■ ^
V
\\i
V
А
!
Л
^l1
V.
1 j
%
А.
V
А
I
\
А
ii
Л'
4
\
N
Л
V
г
■А
i
■4л
$
\\
°1.Х! 1.1 1.111 iv 1VHUXIX! 1.1 1.Ш IV тих IXt 11 1.111 IV 1.V/1 ИХ W 1.1 1.1/1 IV
1360-1961 1962 1964 1965 1967 1968-1969
Рис. 9.72. Пространственные орбиты перелета к Венере: зависи¬
мость гиперболического избытка скорости от даты старта.
Рис. 9.73. Пространственные орбиты перелета к Венере:
зависимость пространственных углов старта В{ и встречи В2
от даты старта.
574
/ЛЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
240
220
200
180
760
Чмо
'ZW
86
60
40
20
О
i Jl
' 80 суток
100 суток
1РП nsjmnv
f-—
-
tUU UJ/ftVf\
— 140 суток
T
- 1
t
r
/
-t-
t
(
-j—
*■
->
/
-t
/-7
I -
J
-y
t
A-t
7
t
* /
+—
L-
t i
f-r
- i
J-
r 1
f
-4-
j
•
i
(
7 -
-1-
(
i
t_
1 7
-h
~T
-f-
-/
-1
t *
L~/
1
t
7-
-r
i —
4
/ /
у
• /
I—
/ -
;
T
• /
i -
' t
J
>
1
A
/
V
7
t -
i
1-
A
f }
f
i
1
t—
/-
/—
- 1
-7-
/
A-
7-
f
/
f
-J.
-f~
/
f
1J1 1.1 7.11/ 7.V 1V/1VX W 1.11.1111.V1.VI11.1X1.X11.11.1111.V 7.V//1.IX 7.Х! 1.1 7.1111.V
1960-1961 1962 1964 1965 1967 1968-1969
Рис. 9.74. Пространственные орбиты перелета к Венере:
зависимость центрального угла перелета r\t от даты старта.
Рис. 9.75. Пространственные орбиты перелета к Марсу: зависимость
геоцентрической скорости в момент старта с орбиты спутника вы¬
сотой 100 морских миль от даты старта.
0.Я
БЫСТРЫЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ОРВНТЫ
575
-гт-
■I 14 г
ТТ~ГГГ 1 П
- 80 суток
\
-100 суток
- 720 суток
\
\
-740 суток
1
\
* uUU су/пок
1'/
- г
- I- -J
\
\
• 1
А
\ I
\\
\Л
-- и
- X- i
L i
i■
. _l L.-й
Х\
‘ 1
\\ /
у
‘‘V
!
\\
\ )
1,
Л L
'Н
/
Л\У
у
Л
\ J
\
iu г
VI '
\\
\
\
bi
\
\
¥
/
■J
\ 1
ч
у
№ tx/l 1/У Ш 1X0 1.IV tv/// IX// 1./V 1.VIII 1.XII X/V 1.VW 1X1/ 1./У 1У//1
т-136.1 1362-1363 1364-7365 1366-136.У 1366-7363
Рис. 9.76. Пространственные орбиты перелета к Марсу: зависимость гипер¬
болического избытка скорости от даты старта.
1360-136/ 7362-1063 1364-7365 7366-1367 1369
Рис. 9.77. Пространственные орбиты перелета к Марсу: зависимость
пространственных углов старта Вх и встречи В2 от даты старта.
576
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
допустимые отклонения времени старта, а следовательно, и не¬
который запас энергетических возможностей ракеты для осуще¬
ствления выведения минимально допустимой полезной нагрузки
Иллюстрация этого положения приведена на рис. 9.83 для част¬
ного случая запуска космического аппарата при помощи ракеты
«Атлас — Кентавр» по направлению к Марсу осенью 1960 г
Поскольку действительный вес полезного груза этого носителя
760
760
740
| 720
t
^ 700
£
во
60
40
80 сутон
700 сутон
720 сутон
\
~ ~ 740 с у тон
‘ 200 сутон
\
\
\
\
1
\
\
1
t
\
\
\
-~\Г
\
\\
\
'л
\
\\
\
\
Lv_.
\\
» 1
1 '
V
• 1
\
\
.
м Г
ДА Д-1-
\\
У1
1
1
\
\м
у;
н
%
\
V\v v
V
\\
1
’ \ 1
\ \
1
1
й
\
В и
\
V
11
\
1
1
Ат л
k\ 1
} \
\
'А
\
\!
V
1
Van
1
it
1
\
i'i
V.
i'i
\ \
1
1
1 \
V
v.\
V
1
i
\
\
7.V7/7 7ХИ 7.IV 7.V7/7 7X77 7.IV 7V/IJ 7.XII 7.IV 7VIII 7.ХИ 1IV 7.V/77 Ш
vy m
7960-7967 7962~7963 7964-7965 7966-7967 7966-7969
Рис. 9.78. Пространственные орбиты перелета к Марсу: зависимость
центрального угла перелета от даты старта.
не был еще объявлен в то время, когда писалась эта книга, по
оси ординат отложены значения условного веса космического ап¬
парата. По оси абсцисс отложены даты старта в период с 15 ав¬
густа по 30 октября 1960 г. Как видно из рисунка, в пределах
этого интервала времени полезная нагрузка изменяется почти
от нуля до значения 1,4 веса космического аппарата. Величина,
примерно равная 0,9 веса аппарата, считается минимально
приемлемым весом, в пределах которого можно еще осуще¬
ствить исследовательский полет, программа которого предУ'
сматривает выполнение большого количества измерений и пере¬
дачу фотографий поверхности Марса, полученных в непосред¬
ственной близости от планеты. В пределах этих ограничений
запуск возможен в период, равный почти двум месяцам.
240,
БЫСТРЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ОРБИТЫ 577
9.Л
I
I
I
tv
il
О
я
О
»Я
о ь
*
О Я
й) Н
Я о
К „
Q< J3
ь н
я £
(D <=(
и
° &
<и о
А ^
Ь 3
О ^
S *
К 3
я §
is.
^ о
” 35
>>о
0-0
(V —<
Е-
Я 9S
с о
н g
£ я
аЗ я
S4 >>
«8
sQ м
Н hQ
Я н
ХО Я
а,'О
я
Он
37 К. Эрике, т. II
578
Межпланетный полёт
03
Я
Е-
3
VO
er*
я
ч
о
vo
Оч
о
с
я
о
S
я
о
я
о
03
м «
а,
• ■ 03
>> н
Он о
а>
3
н
03
Е-
О
О
CD о
Ч Л
О) о
Оч «
а» о
3
н
я
VO
Он
о
CD
3
я
я
я
я
Он
н
CJ
о
Оч
с
о
00
03
я
■А
9.7]
БЫСТРЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ОРБИТЫ
579
33
<я
Оч
н
Оч
с
§ ^
К
л £
f-c CL)
О) Оч
«=5 Ь
5
Оч Д
<v
С s
30?
н
К ccj
VO н
Он О.
о д
н
о> °
3
к
33
33
д
Оч
н
о
о
Оч
00
О)
33
Qu
37*
580
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. g
Я
>=3
>=3
ей
о,
о
£
я
о
Я
m
03
со
к!
>? н
04 Q.
V СО
& Н
Я <j
1-5
я §
со с_
5 о
Ч Ji*
03 С-
04
О) СО
с f*
^ аз
„ Ч
3 аз
е- Оч
я аз
vo с
04
о
аз
3
я
я
Н
а
я
я
Оч
н
о
о
Оч
с
см’
00
СП
(mfynds) fU
я
Рн
9.Я
БЫСТРЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ОРБИТЫ
581
Из рис. 9.84 видно, что диапазон допустимых дат старта
примерно равен 50 суткам (то есть ±25 суток от 30 сентября
i960 г.), когда возможно выведение максимально полезной на¬
грузки. Вне этого периода значение полезного веса, выводимого
14г
I *
1§де
11^
У
Облает очень высоких значений
энергии, необходимой для получе¬
-<71
i\ys
/tбивал максимальной
Полезной нагрузки
ния больших нонлонений орбитьи.
v к плоскости энлиптики/(
-2° ^
!
X "
У.
Л .Л
п
Кривая пол
езной ] _
-У--
Viy
I
II
/
нагрузни для 760- у
Гневного перелета
1 Минимально приемлемь/й вес
[ космического аппарата.
/
/
\__Максима
| (7октяб,
1 , < , ,
льный вес
он 1960г.)
I i i i i .
. .[ ] I I
I
I I .
I -J _| J—
1 1 1 1
iiii.
l I I I
25
Август
31
10
30
20
Сентябрь
Дать/ старта (7900г.)
10
20
Рис. 9.83. Зависимость относительного веса космического
аппарата, который мог бы быть запущен в сторону Марса при
помощи ракеты «Атлас — Кентавр» в I960 г., от даты старта.
носителем «Атлас — Кентавр», падает очень быстро, так что
даже сравнительно большое уменьшение веса аппарата не уве¬
личивает существенно диапазон до¬
пустимых дат старта.
Влияние времени перелета и на¬
правления вектора гелиоцентриче¬
ской скорости старта на вес косми¬
ческого аппарата показано на рис.
9.85. По причине ограничений, нала¬
гаемых на вес космического аппа¬
рата, время перелета не может быть
менее 140 суток. Поскольку эта ве¬
личина определяется предельным
значением полезной нагрузки при
очень малых допусках на даты стар¬
та, на практике не представляется
возможным осуществить такой пе¬
релет. С другой стороны, макси¬
мальный вес космического аппарата
Достигается при использовании тра¬
ектории с большой продолжитель¬
ностью полета (>200 суток), кото¬
рая приводит к значительному расстоянию между Землей и кос-
Мическим аппаратом в момент подлета к Марсу. При этом возни¬
кает требование дополнительного веса, обусловленное увели¬
чением электрической мощности, необходимой для передачи
Рис. 9.84. Зависимость веса
космического аппарата, кото¬
рый мог бы быть запущен в сто¬
рону Марса при помощи ракеты
«Атлас — Кентавр» в I960 г.,
от даты старта.
582
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
изображения и прочих данных, и уменьшается допуск на точ-
ность ориентации узкого луча высокочастотного передатчика, а
следовательно, и допуск на точность ориентации антенны и уп¬
равления космическим аппаратом, что усложняет реализацию за¬
дачи в смысле обеспечения надежности на всей траектории по¬
лета. Поэтому время перелета примерно от 160 до 180 суток мо¬
жет оказаться наиболее привлекательным компромиссом между
Рис. 9.85. Влияние времени перелета и направления век¬
тора скорости старта на вес космического аппарата, ко¬
торый мог бы быть запущен в сторону Марса при по¬
мощи ракеты «Атлас — Кентавр» в 1960 г.
различными конфликтующими требованиями. Все это опреде¬
ляет диапазон допустимых дат старта, равный примерно шести
неделям. Если имеется возможность выводить значительно боль¬
ший полезный груз, этот диапазон может быть увеличен.
Возвращаясь к рассмотрению рис. 9.83, можно усмотреть та¬
кое же увеличение энергии во второй половине августа 1960 г.,
как это было найдено предварительно из кривых для простран¬
ственных орбит перелета к Венере, Марсу и Юпитеру. Это объ¬
ясняется необходимостью довольно большого изменения накло¬
нения плоскости орбиты перелета, что имеет место, когда ра¬
диус-вектор гелиоцентрической точки старта образует с линией
БЫСТРЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ОРБИТЫ 583
9.7]
узлов орбиты планеты-цели угол около 90°. Из рис. 9.87 видно,
что в этот момент радиус-вектор Земли составляет примерно 90°
с линией узлов орбиты Марса. В этом случае значительно боль-
Рис. 9.86. Диапазон Д^ дат старта к Венере
и Марсу.
а) Перелет к Венере; б) перелет к Марсу.
^ие преимущества можно получить изменением наклонения пло¬
скости орбиты космического аппарата в гелиоцентрическом про¬
странстве, чем при выполнении геоцентрического маневра ухода,
если только таким образом можно значительно уменьшить
584
Межпланетный полет
наклонение плоскости орбиты перелета. Даже если такие условия
могут быть выполнены, это будет означать введение дополни¬
тельного маневра на большом расстоянии от Земли и большое
время готовности к запуску двигателя после выведения на ор¬
биту с Земли. Для будущих космических аппаратов и в большей
степени для пилотируемых космических аппаратов это может
Рис. 9.87. Конфигурация планет в момент старта для перелетов
Земля — Венера и Земля — Марс на период 1959—1970 гг.
быть приемлемо, так как аппарат в этих случаях должен иметь
постоянную готовность к маневру в гелиоцентрическом про¬
странстве. Однако сначала, то есть в течение первых пяти —
семи лет, таких условий будут стараться избегать.
Следует заметить, что существует (см. рис. 9.83) некоторый
приемлемый диапазон дат старта в первой половине августа.
В течение этого периода старт космического аппарата может
быть осуществлен только внутрь орбиты Земли (отрицательные
значения угла р) при большем угле наклона вектора гелиоцен¬
трической скорости к местному горизонту. Это, конечно, озна¬
чает сравнительно длительное время нахождения космического
аппарата внутри орбиты Земли, вследствие чего он должен пе¬
ресечь траекторию Земли впереди планеты, начиная гелиоцен¬
9.8]
БЫСТРЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ С ВОЗВРАЩЕНИЕМ
585
трический подъем к орбите Марса (орбита перелета N?. 5). В те¬
чение этого времени космический аппарат подвергается доволь¬
но сильным возмущениям со стороны Земли, которые вызывают
увеличение даже малых ошибок выведения. Однако, если косми¬
ческий аппарат снабжен системой управления и способен совер¬
шить маневр на среднем участке траектории с изменением ско¬
рости в пределах 90-г-150 м/сек, такая траектория полета
может быть использована. Тем не менее она имеет тот недостаток,
что в течение начального участка полета внутри орбиты Земли
аппарат находится над освещенной частью Земли. Это делает
невозможными оптические наблюдения и может крайне ухуд¬
шить радиосвязь. Таким образом, даже по этой причине следует
отдать предпочтение старту в период сентября — октября ме¬
сяцев.
Проведенное выше довольно краткое обсуждение имело
целью показать неискушенному читателю многогранность и про¬
тиворечивость условий, которые существуют при определении
диапазона допустимых дат старта и выборе на практике не¬
скольких особых дат старта (то есть для первого носителя —
первая, вторая и третья даты старта; для вспомогательного но¬
сителя— первая, вторая и третья даты старта и т. д.).
Еще одна особенность состоит в том, что каждый носитель
должен осуществить старт к планете-цели в течение определен¬
ного диапазона ДtL дат старта протяженностью примерно от
двух недель до двух месяцев, когда угол наклона вектора гелио¬
центрической скорости старта к местному горизонту изменяется
от положительного до отрицательного при перелете Земля —
Венера (рис. 9.86, а) и от отрицательного до положительного
при перелете Земля — Марс (рис. 9.86,6).
На рис. 9.87 представлена конфигурация планет в момент
старта для пространственных перелетов Земля — Венера и Зем¬
ля— Марс на период 1959—1970 гг. Показаны положения Зем¬
ли и планет-целей при старте (соответствующие положения со¬
единены пунктирными линиями) для наиболее благоприятных
(с энергетической точки зрения) дат старта в пределах указан¬
ных месяцев (см. также таблицу 9.8). Каждая точка старта
с земной орбиты располагается внутри временного интервала
приблизительно от 20 до 30 суток, который и является диапазо¬
ном возможных дат старта.
9.8. Быстрые перелеты к внутренним планетам
солнечной системы с возвращением
Если межпланетный полет с возвращением производится та¬
ким образом, что орбита перелета при возвращении тожде¬
ственна орбите перелета к планете-цели, то время ожидания на
586
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
Рис. 9.88. Траектория полета 11 Земля —Марс.
Радиус орбиты старта у Земли 300 морских
миль; радиус орбиты захвата у Марса
1000 морских миль (радиус орбиты захвата
у Земли показан нижней кривой).
9.8]
БЫСТРЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ С ВОЗВРАЩЕНИЕМ
587
бите спутника планеты-цели (период захвата) определяется
°епосредственно синодическим периодом обращения планеты-
н ли по отношению к Земле. Следовательно, для двух соседних
цланет, угловые скорости обращения которых близки к скорости
обращения Земли, период захвата будет особенно длительным.
Это положение не изменяет-
15
\74
\f3
^ в
I7
1"
1
^ 4
13
& г
ь
^ о
ся (сравнительно с орбитой
перелета № 0) и в действи¬
тельности ухудшается при
использовании одинаковых
быстрых орбит (орбит пере¬
лета № 1) к Марсу и от
Марса, например, таких, ка¬
кие показаны на рис. 9.88.
Траектория полета состоит
здесь из двух орбит переле¬
та № 1. В связи с этим обо¬
значим1) ее ТП И. Хотя с
увеличением расстояния до
афелия продолжительность
перелета постепенно сокра¬
щается, все же, как это вид¬
но из рис. 9.88, период за¬
хвата увеличивается с увели¬
чением скорости, определяя
возрастание полного време¬
ни полета. Заметим, помимо
этого, что полная характе¬
ристическая скорость, пред¬
ставленная на рис. 9.88, рас¬
считана в предположении
геоцентрического старта с
круговой орбиты высотой
300 морских миль, захвата
и ухода с круговой орбиты
Марса высотой 1000 мор¬
ских миль и геоцентрического захвата на орбиту, радиус кото¬
рой выбирается таким образом, чтобы одноимпульсный маневр
Для перехода с гиперболической на круговую орбиту был опти¬
мальным (рис. 9.89).
\
\
\
>
\
Теоретическое значение ра¬
диуса орбиты для знергети-
чески оптимального одно-
Ss импульсного маневра
\
\
\
\
\
Практически
достижимое
значение
1В 1,8 2,0 2,2 2,4
Расстояние Оо афелия RA (а. е.)
Рис. 9.89. Зависимость геоцентрического
радиуса орбит захвата, для которых
одноимпульсный маневр является энер¬
гетически оптимальным, от расстояния
до афелия.
!) Эти обозначения изменены по сравнению с использовавшимися авто¬
ром ь работе [13] для того, чтобы располагать нормализованной системой,
в которой наряду с односторонними орбитами перелета рассматриваются дву¬
сторонние перелеты.
588
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
Эти примеры показывают, что наиболее важным фактором
влияющим на время симметричного полета к Венере и Марсу с
возвращением, является длительный период захвата, значитель¬
но превосходящий один год. Периоды захвата такой длительно¬
сти не всегда являются желательными. Так, например, для
первых полетов, которые, наиболее вероятно, будут иметь целью
пролет у планеты-цели, они будут в высшей степени нежела¬
тельными. К счастью, существует относительно простой способ
исправить это положение, а именно: «сочетать» орбиты перелета
к планете-цели и орбиты обратного полета, используя для этого
различные траектории перелета к планете-цели и от нее. Таким
образом достигается большая гибкость в решении навигацион¬
ных задач и период захвата может быть уменьшен по желанию.
Как период захвата, так и длительность двух перелетов стано¬
вятся зависимыми от цели путешествия и, следовательно, могут
контролироваться руководителями полета и навигатором. Гиб¬
кость перелета с точки зрения времени полета и формы орбиты
(ближайшее или самое дальнее расстояние от Солнца и т. д.)
обеспечивается соответствующим выбором одной из стандартных
орбит перелета, показанных на рис. 9.2 и 9.3. Гибкость перелета
достигается должным выбором двух различных орбит перелета
для полета к планете-цели и возвращения к Земле.
Так как две орбиты перелета могут быть различными, то при
использовании быстрой орбиты полета к планете-цели может
потребоваться медленная орбита возвращения или наоборот.
В связи с этим приобретают значение длительные орбиты пере¬
лета, такие как орбиты № 2, 3 и 6. Расчет таких (длительных)
орбит перелета с тц>180° был проведен в предыдущих парагра¬
фах этой главы.
Пример полета с возвращением при использовании ТП 22 к
Венере приведен на рис. 9.90 для случая круговых орбит планет
старта и цели, находящихся в одной плоскости. Несмотря на
сходство по основной форме (обе орбиты являются касатель¬
ными к орбите Венеры; для обеих орбит афелийное расстояние
Ra> и центральный угол перелета тц>180°), орбиты пере¬
лета от Земли к Венере и от Венеры к Земле отличаются афе-
лийными расстояниями. Скорости рассчитаны для геоцентриче¬
ского старта и возвращения на круговую орбиту высотой
300 морских миль и для захвата и ухода с круговой орбиты во¬
круг Венеры радиуса, равного 20 радиусам планеты. Приведен¬
ные значения скорости суть: скорость старта у Земли
скорость, необходимая для осуществления выхода на орбиту
спутника Венеры, полная скорость перелета Земля — Ве¬
нера
Лоф? = а\® + Лу2,¥;
Время (сутки) Скорость (фут/сек)
БЫСТРЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ С ВОЗВРАЩЕНИЕМ
Рис. 9.90. Траектория полета 22 Земля — Венера (орбиты планет
круговые и компланарные).
590
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
скорость старта от Венеры Дг>з, скорость перелета на орбиту
спутника Земли Дгч,е; полная скорость перелета Венера-^
Земля
Аа»е = Ч,? + Че
и, наконец, полная характеристическая скорость всего полета
Awtot = Ay®S + AlW
Графики изменения времени представляют собой: tti 1 —
время перелета от Земли к Венере, tt, 2 — время перелета от
Рис. 9.91. Траектория полета 21 Земля — Венера (орбиты планет
круговые и компланарные).
Венеры к Земле, tfCpt— время пребывания на орбите спутника
Венеры и Т — длительность всего полета.
Кривые приведены для фиксированного значения расстояния
до афелия орбиты перелета к Венере Ra, = 1,2 а. е.9 тогда как
9.8]
БЫСТРЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ С ВОЗВРАЩЕНИЕМ
591
расстояние до афелия орбиты возвращения принимается пере¬
менным. В целях сравнения на рис. 9.91 приведен случай для
Рис. 9.92. Траектория полета 15 Земля —Марс (орбиты планет кру-
говые и компланарные).
^а, — 1,1 а. е. Траектория полета к Марсу показана на рис. 9.92
также для случая круговых орбит планет, лежащих в одной пло¬
скости.
592
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. о
Во всех случаях видно, что изменение времени захвата /(.
вызывает увеличение характеристической скорости. В то время
как длительность полета к Венере при использовании ТП 22 не
может быть сделана меньше 500 суток, длительность полета
к Марсу по ТП 15 может быть сделана менее одного года с пе¬
риодом захвата в пределах одного-двух месяцев (для случая
Яр, = 0,9). У Я
Можно видеть, что полет к Марсу с возвращением требует
значительно более высокой полной характеристической скоро¬
сти. Длительность полета к Венере с возвращением может быть
уменьшена при помощи выбора незначительно отличающихся
траекторий полета, таких как ТГ1 26 или ТП 66; однако это бу¬
дет происходить за счет увеличения полной характеристической
скорости. И, наконец, на рис. 9.93 показан полет с возвраще¬
нием Земля ^ Юпитер по ТП И, а на рис. 9.94 —по ТП 00,
ТП 11, ТП99 и ТП 1010 (на последнем рисунке графики построе¬
ны в зависимости от эксцентриситета орбиты перелета). Было вы¬
брано большое разнообразие орбит перелета для того, чтобы
проиллюстрировать циклическую природу периодов захвата.
Можно видеть, что идентичные периоды захвата могут быть по¬
лучены при самых различных значениях полного времени по¬
лета и при различных величинах суммарной требуемой энергии.
Эти кривые для полетов с возвращением построены с помощью
рис. 9.38—9.65.
Задача достижения полной характеристической скорости по¬
лета, значение которой примерно в два-три раза больше значе¬
ния, необходимого для гомановского полета с возвращением
(ТП00), окажет решающее влияние на программу развития ре¬
активных систем с середины шестидесятых до конца семидеся¬
тых годов. Это приведет к упразднению (для всех практических
целей) реактивных двигателей на химическом топливе в пользу
мощных ядерных теплообменных систем или сложных сочетаний
ядерных теплообменных систем и электростатических двигате¬
лей и, в конечном итоге, в пользу различных типов ядерио-
взрывных двигателей (см. «Космический полет», т. III). Ни одна
из этих систем не будет пригодна для использования в ближай¬
шие 3—5 лет (с настоящего, 1959 г.), по крайней мере в форме,
подходящей для межпланетных полетов1). Однако и с точки
зрения множества других требований, экспедиция человека к
Венере и Марсу будет близка к практической реализации не
раньше, чем в начале или середине семидесятых годов. К этому
9 Естественно, что в те годы особые надежды возлагались на ядерные
реактивные двигатели, реализация которых, как видно из зарубежных публи¬
каций, даже в настоящее время еще далека от завершения. (Прим. ред.)
9.8]
БЫСТРЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ С ВОЗВРАЩЕНИЕМ
593
времени с уверенностью можно ожидать готовности ядерной ре¬
активной системы, которая, будучи отработана при предше-
Рис. 9.93. Траектория полета 11 Земля — Юпитер (орбиты планет
круговые и компланарные).
ствующих полетах на Луну, будет обладать такими преимуще¬
ствами и концентрацией энергии, которые необходимы для меж¬
планетных полетов человека. Вследствие этого разработку
38 К. Эрике, т. II
594
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
соответствующей ракеты с ядерной двигательной установкой не
обязательно будет фактором, определяющим задержку межпла¬
нетных путешествий, при условии, что будет начата интенсивная
Рис. 9.94. Траектории полета 00, 11,99 и 1010 Земля — Юпитер
(орбиты планет круговые и компланарные).
программа развития в 1962—1963 гг. или ранее, как только на¬
земными испытаниями будет соответствующим образом пока¬
9.9]
ПОЛЕТ К НЕСКОЛЬКИМ ПЛАНЕТАМ
595
зана практическая осуществимость большой ядерной двигатель¬
ной установки с использованием жидкого водорода.
Следует указать, что для траекторий полета 15 к Марсу
преимущество траекторий с Rp2 = 0,9 по сравнению с траекто¬
риями с Rp7 = 0,8 основывается не только на энергетических
рассмотрениях (указанные увеличения требуемой скорости при¬
водят к увеличению длительности полета), но вызывается также
и влиянием окружающих условий. С увеличением расстояния от
Солнца уменьшается опасность высокой плотности корпуску¬
лярной радиации (солнечные вспышки), хотя эта опасность
остается высокой примерно до расстояния Юпитера. Предохра¬
нительные меры по защите требуют значительного увеличения
веса. Необходимо также более основательно предохранять
жидкое топливо (если им является жидкий водород, который,
вероятно, будет использован для ядерных двигательных устано¬
вок) при приближении к Солнцу, чем в случае движения в про¬
тивоположном направлении. По этим причинам следует срав¬
нить выгоду от использования данного космического аппарата в
широкой области пространства с возрастающей при этом слож¬
ностью характеристик проектируемого аппарата. В настоящее
время мы не располагаем столь достаточными знаниями об ус¬
ловиях межпланетного пространства в диапазоне расстояний от
Солнца 0,5-^2 а.е.у чтобы быстро и уверенно выбрать, напри¬
мер, минимальное расстояние до перигелия при полете к Марсу.
Тем не менее это рассмотрение имеет целью показать, что ме¬
ханика космического полета, окружающие условия и условия
проектирования ракеты, равно как и требования жизнеобеспече¬
ния при пилотируемом полете, тесно переплетаются в выборе
трассы полета, которая наилучшим образом соответствует дан¬
ному космическому аппарату и общим целям путешествия.
9.9. Полет к нескольким планетам
Вместо того чтобы пытаться сократить время полета к одной
планете и обратно описанным в предыдущем параграфе спосо¬
бом, можно спланировать траекторию полета таким образом,
чтобы встретиться с одной или двумя планетами. Подход к этим
планетам поможет избежать не только длительного периода за¬
хвата, но, кроме того, уменьшит полное время путешествия и по¬
зволит провести исследования вблизи других планет.
Концепцией «многопланетного» полета с возвращением инте¬
ресовался еще Гоман, который в 1928 г. провел краткое исследо¬
вание полетов Земля — Марс — Венера — Земля и Земля —
Марс — Венера — Меркурий — Земля. Позже итальянский пио-
нер авиации и ученый Д. А. Крокко на седьмом Конгрессе
38*
596
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЁТ
Международной астронавтической федерации в Риме в 1956 г.
представил более полный анализ путешествия Земля — Маре—
Венера — Земля.
Из рассмотрения множества орбит перелета можно на основе
траектории полета к одной планете-цели построить большое
множество траекторий полета к двум или даже к трем плане¬
там в пределах внутренней солнечной системы. Из этих траек¬
торий могут быть выделены три типа, а именно: моноэллиптиче-
ская, триэллиптическая и биэллиптическая траектории полета.
Моноэллиптическая траектория полета состоит из единствен¬
ной эллиптической орбиты, соединяющей Землю с планетами-
целями. Из-за наклонения плоскостей орбит планет необходимо
в некоторых точках орбиты перелета прикладывать ортогональ¬
ные импульсы, изменяющие наклонение плоскости орбиты и не
изменяющие ее эксцентриситет и большую ось. Кроме того, пред¬
полагается, что в случае моноэллиптической траектории полета
захват вблизи планет не осуществляется. Наблюдения и измере¬
ния могут производиться только на небольшом участке гипербо¬
лического пролета, когда космический аппарат в течение не¬
скольких часов остается около планеты на расстоянии несколь¬
ких ее радиусов. Предполагается, что возмущения, вызванные
планетой при встрече с ней, корректируются предпочтительно
вблизи планеты, так что гелиоцентрическая траектория, почти
совпадающая с исходным эллипсом, возвращается к нему через
время, когда аппарат удалится на достаточное расстояние от
планеты.
Для обеспечения встречи с Землей в конце полета моноэл-
липтические траектории полета должны иметь период, равный
или кратный периоду обращения Земли. Если период орбиты Т'
измеряется в сидерических годах, а большая полуось — в астро¬
номических единицах, то
Для времени полета Т— Т\ равного одному или двум годам,
большая полуось эллиптической орбиты может быть равна либо
1 а. е., либо 1,5874 а. е. Если такая орбита касается орбиты Мар¬
са (а<? = 1,52), расстояние до перигелия в этом случае
то есть RP = 0,48 а. е. или RP= 1,5548 а. е. Последний случай, оче¬
видно, невозможен. Полет длительностью в один год, при кото¬
ром орбита космического аппарата касается орбиты Марса, про¬
ходит с заходом в область внутри орбиты Венеры. Расстояние
и
Я0 = 4я2 = 39,478418 а. е.3/год2
Т' = а3/2.
(9.75)
(9.76)
Rp — Г а Ra — Га Cl# ,
9.91
ПОЛЕТ К НЕСКОЛЬКИМ ПЛАНЕТАМ
597
до афелия для орбиты полета с двухлетним периодом равно
RA = 2a-RP = 3,1748 - 0,72,
то есть Ra~2,45 а. е., если орбита аппарата касается в периге¬
лии орбиты Венеры, или Ra = 2,79 а. е., если перигелий орбиты
аппарата лежит на орбите Меркурия.
Рис. 9.95. Моноэллиптические траектории одногодичного полета
с возвращением к Венере и Марсу или к Меркурию, Венере
и Марсу.
Так как при полете по орбите с двухлетним периодом косми¬
ческий аппарат неизбежно будет заходить далеко за орбиту
Марса, орбита с периодом в один год остается единственной,
представляющей практический интерес моноэллиптической ор¬
битой полета в системе внутренних планет. Если эта орбита ка¬
сается орбиты Меркурия (а§ = 0,38 а. е.), то расстояние от
афелия до Солнца RA = 1,62 а. а., то есть больше афелийного и
перигелийного расстояний орбиты Марса. Отсюда видно, что мо-
ноэллиптическая траектория полета длительностью в один год по¬
зволяет осуществить почти касательную встречу с Марсом и
Меркурием и «пересекающуюся» встречу с Венерой. Три траек¬
тории полета периодом в один год представлены на рис. 9.95.
Эти орбиты, будучи касательными к орбите Меркурия, могут
касаться орбиты Марса или пересекать ее, что происходит из-за
эллиптичности орбит обеих планет.
598
межпланетный полет
[ГЛ. g
Триэллиптическая траектория полета обеспечивает большую
возможность выбора времени всего полета, если предполагается
встреча по траектории, пересекающейся с Землей. В случае ка¬
сательной или близкой к ней встречи с планетой время полета
может быть равным 0,5; 1,5; 2,5 года и т. д. Из них наибольшее
практическое значение для полетов к планетам внутренней си¬
стемы имеет перелет с периодом, равным 1,5 года. В предполо¬
жении, что орбиты планет являются круговыми, а радиус каж¬
дой из орбит равен среднему расстоянию от соответствующей
планеты до Солнца (орбиты не обязательно компланарные), эта
траектория может быть составлена из трех полуэллипсов. Их
большие полуоси имеют значения (в астрономических единицах):
1 +R*
a i = -
а2 =
2
1+Rp 1-Я
Яз == о = а2 Н 9
(9.77)
Время полета Т (в сидерических годах) определяется следую¬
щим образом:
af2 + af + af = 27\
Один полуэллипс можно считать известным, так как необхо¬
димо знать заранее, какая из планет должна быть посещена
первой и как должна происходить встреча: по касательной или
по пересекающейся траектории. В последнем случае будет из¬
вестен и соответствующий афелий или перигелий. Положим, что
большая полуось а\ и период полета Т известны; тогда получим
в этом случае для а2:
[ \—R \ 3/2
af + \(h + —2^) =2Т~ af- (9*78)
Для того чтобы облегчить решение этого уравнения, на
рис. 9.59 приведена зависимость между большой полуосью а и
периодом обращения соответствующей орбиты. Предположим,
например, что должно быть осуществлено касание с орбитой
Марса (а «у» 1,52 а. е.),и пусть время полета Т =1,5 года. Тогда
fli = 1+^52 = 1)26( аз/2=1(414)
27-af = 3- 1,414= 1,586,
RA=a3 = 1,52,
-Ц^=-0,26,
af + (a2-0,26)3/2= 1,586.
ПОЛЕТ К НЕСКОЛЬКИМ ПЛАНЕТАМ 599
9.91
С помощью рис. 9.59
для а2 = 1,00 получаем 1,0 + 0,636= 1,636,
для а2 = 0,96 » 0,942 + 0,586 = 1,528,
для а2 = 0,98 » 0,97 + 0,610= 1,58.
Окончательно:
а2 = 0,987,
RP = 2а2 — Ra = 0,454,
а3 = 0,727.
Продолжительности перелетов по полуэллипсам равны:
y<=^. = -fi = °>707>
jaf=tt 2 = 0,487,
yflf з = 0,306.
Эти три значения времени перелета в сумме дают 1,5 года
Результирующая триэллиптическая траектория полета изображе¬
на на рис. 9.96. Как и в случае одногодичной моноэллиптической
Рис. 9.95. Полуторагодичная триэллиптическая траектория
полета с возвращением к Венере и Марсу.
Траектории, триэллиптическая траектория пересекает орбиту
Венеры, а не касается ее. Поднимая перилегий до сред¬
него расстояния до Венеры (а? = 0,72 а. £.), мы обязательно
600
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. g
изменяем афелий, и при этом уже невозможно осуществить ка¬
сание с орбитой Марса» В этом случае получаем:
Это уравнение удовлетворяется значением а2~1,0 а. е., при ко¬
тором Ra = 2^2 — Rp = 1,28 а.е., что значительно меньше даже
расстояния от Солнца до перигелия Марса. С другой стороны,
обусловливая встречу по касательной на среднем расстоянии до
орбиты Меркурия, получим для Т= 1,5 года расстояние в афе¬
лии настолько близким к среднему расстоянию до орбиты Мар¬
са, что касательная встреча с Марсом на его среднем расстоя¬
нии становится возможной; при этом необходим период захвата
у Марса около семи недель. Соответственно имеем:
Это определяет необходимый период захвата около Марса (или
около Меркурия, что, вероятно, будет технически значительно
более трудно осуществимым) порядка Д71 = /cpt = 0,1146 года.
Получаемая траектория полета представлена на рис. 9.97.
Биэллиптическая траектория полета должна обязательно пе¬
ресекать орбиту Земли либо на этапе полета к планете, либо на
этапе возвращения. Такая траектория полета показана на
рис. 9.98. При полете по биэллиптической траектории осущест¬
вляется только одно изменение траектории — вблизи Марса. Пе¬
риоды обращения по этим эллипсам равны (а — в астрономиче¬
ских единицах, Т — в сидерических годах):
= 0,86, af2 = 0,79,
2Т — af2 = 3 — 0,79 = 2,21,
af + (а2 + 0,14)3/2= 2,21.
Земля —Марс: а, = 1,26, у af2 = tt { = 0,7070 года,
Марс — Меркурий: а2 = 0,85, уа^/2 = tt 2— 0,3918 года,
Меркурий — Земля: а3 = 0,69, уОз/2= Д3 = 0,2866 года,
7= 1,3854 года.
Полное время полета
Т — ~2 ТI + у Т2 +
(9.79)
9.91
ПОЛЕТ К НЕСКОЛЬКИМ ПЛАНЕТАМ
601
где — Г, — полупериод перелета по эллипсу перехода «Земля —
Марс», \Т2~~ время перелета от Марса к перигелию, — время
Рис. 9.97. Полуторагодичная триэллиптиче- Рис. 9.98. Биэллиптическая
ская траектория полета к Меркурию, Be- траектория полета к Венере и
нере и Марсу с возвращением. Марсу с возвращением.
перелета от перигелия к точке пересечения с орбитой Земли,
находящейся на расстоянии R = = 1. Для истинной анома¬
лии имеем
ri = arccos = arccos
• О о
Р.ЯОа)
или в данном частном случае
r\ = arccos
п — 1
п+ 1 ’
Rp(l+e)-l
е =
(9.80Ь)
Время полета от точки с истинной аномалией г] = 0 до точки
с истинной аномалией ц получим из уравнения Кеплера:
«2/2 (Е — е sin Е) = af2 [arccos ~2~^ ~ е sin [arccos =
= af [arccos ~eVl~ [^r) } ’ (9>81)
602
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. Q
где, как и ранее, а2 — в астрономических единицах, — в сиде¬
рических годах. Таким образом, при заданной длительности Т
полета и заданной большой полуоси а\ можно определить а2 из
следующего уравнения:
■^af + t^T-jaf (9.82а)
или, подставляя ^ из уравнения (9.81),
af [1 + arccos -ej/l- ] = Т - i- af. (9.82b)
Последнее уравнение можно решить методом последовательных
приближений, однако это потребует значительно большего вре¬
мени, чем в случае решения уравнения (9.78). Поэтому, чтобы
быстро получить первое приближение, следует определить ц из
уравнения (9.80) и, используя это значение, обратиться к урав¬
нению (3.56а), из которого можно найти время т прохождения
части дуги эллипса в зависимости от истинной аномалии г\. По¬
сле этого для заданного эксцентриситета и истинной аномалии
немедленно получаем:
t^ = raf. (9.83)
Таким образом, для получения численного значения а2 можно
применить следующий порядок расчета: задаемся некоторым
возможным значением RP, вычисляем а2 = {Ra + Rp)/2, находим
т, затем вычисляем у2 (см. рис. 9.59) и и сравниваем сум¬
му этих двух величин с величиной Т — у af2. Этот процесс по¬
вторяется до тех пор, пока не будет найдено достаточно точное
значение величины а2. Если же требуется еще большая точ¬
ность, то необходимо обратиться к уравнению (9.82Ь), начиная
расчет с использования последнего и наиболее точного значения
а2, уже найденного из предыдущего расчета методом последова¬
тельных приближений.
Мы рассмотрели три типа траекторий полета. Подведем не¬
которые итоги этого рассмотрения.
а) Моноэллиптические траектории полета допустимы лишь
для орбит с периодом обращения в один год. Обладая опреде¬
ленным преимуществом, заключающимся в относительно корот¬
ком времени полета, они, однако, имеют ограниченные возмож¬
ности при выборе момента старта, удовлетворяющего конкрет¬
ным целям полета. Для таких орбит необходима высокая
энергия при старте и возвращении к Земле.
б) Триэллиптические траектории полета практически приме¬
нимы только для полуторагодичного полета, если при этом дуги
9.9]
ПОЛЕТ К НЕСКОЛЬКИМ ПЛАНЕТАМ
603
траектории суть полуэллипсы. Если же последнее условие отсут¬
ствует, то можно более гибко варьировать длительность полета
путем осуществления возврата к Земле по траектории, пересе¬
кающей орбиту Земли.
в) Биэллиптические траектории полета по своим характери¬
стикам напоминают триэллиптические траектории в том случае,
когда последние не состоят целиком из полуэллипсов.
г) Ни моноэллиптические, ни триэллиптические (состоящие
пз трех полуэллипсов) траектории полета не обеспечивают
встречу по касательной с орбитой Венеры. Такая встреча воз¬
можна только с Марсом и Меркурием. Пересечение орбиты Ве¬
неры осуществляется всеми рассмотренными траекториями.
Встречу по касательной с Венерой и Марсом, а также встречу
с Марсом по траектории, пересекающей орбиту Марса, можно
осуществить при больших периодах полета, равных 1,5^2 го¬
дам, при этом встреча с Землей при возвращении должна про¬
изойти по пересекающей траектории.
Значение требуемой энергии для таких полетов с возвраще¬
нием можно легко вычислить на основе упрощенной модели
компланарных круговых орбит планет. Однако, если во внима¬
ние принимаются реальные условия, включающие возмущения,
имеющие место при близкой гиперболической встрече, картина
может существенно измениться и возникнет необходимость оце¬
нить требуемую энергию для конкретной траектории. Тем не
менее одно правило всегда остается верным (см. § 9.5): при
всех случаях маневры, связанные с изменением гелиоцентри¬
ческих элементов орбиты, следует проводить во время гипер¬
болической встречи с планетой, а не в гелиоцентрическом про¬
странстве. Чем больше масса планеты, тем больше экономия
энергии.
При такого рода полетах к нескольким планетам с возвра¬
щением возникают две основные трудности, которые не имеют
места при полете к одной планете-цели и обратно.
Во-первых, интервалы между необходимым расположением
всех посещаемых планет чрезвычайно большие и, следовательно,
возможности осуществления такого полета значительно более
редки, чем в случае полета к одной планете. Период между дву-
Мя идентичными положениями трех планет Г3>8уп определяется
(в первом приближении) следующим образом (в предположе¬
нии компланарных круговых орбит):
Т3, syn —
Т
1 2, syn
Tf
1 2, syn
(9.84)
Т2, syn
^2, syn
Tf
■ 2, syn
T
2, syn
604
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
1ГЛ. g
где Т2, Syn и Т2, Syn — синодические периоды обращения по отно¬
шению к Земле, например, Венеры и Марса соответственно. Так,
при Т2) Syn=l,6 года для Венеры и Т2iSyn = 2,13 года для Марса
значение T3)Syn в первом случае будет равно 4- 1,6 = 6,4 года, во
втором случае 3*2,13 = 6,39 года. Это означает, что если в ка¬
кую-то эпоху Т = 0 лет все три планеты имеют нужное взаимное
расположение, то такое же расположение повторится через
6,4 года\ при этом Венера будет занимать нужное положение, а
Марс будет отставать на 0,01 года = 3,6 сут или после 6,39 года
Марс будет находиться в правильном положении, а Венера бу¬
дет отставать на 0,01 года. Эта разность является достаточно
малой и не оказывает значительного влияния в течение несколь¬
ких периодов после Г = 0. Однако в конце концов это «отстава¬
ние» той или другой планеты станет столь большим, что полет
к трем планетам будет невозможным до тех пор, пока эта раз¬
ность не возрастет до значения целого периода. В приведенном
примере, когда разность примерно равна 0,01 года, период
между точными одинаковыми конфигурациями планет равен
100 годам. Поэтому будут иметь место длительные периоды, ког¬
да одна планета-цель находится в неблагоприятном положении,
тогда как Земля и другая планета-цель занимают положение,
удобное для перелета. В случае использования пересекающихся
орбит и полетов по эллиптическим и гиперболическим орбитам
быстрых переходов в плоскости эклиптики могут быть исполь¬
зованы более или менее продолжительные участки этого пе¬
риода. Тем не менее практическое значение такого подхода за¬
висит исключительно от энергетических возможностей космиче¬
ского аппарата. Как и в случае полета к одной планете, ширина
диапазонов дат старта и частота их повторения увеличиваются
по мере роста возможностей использования быстрых орбит пе¬
релета.
Во-вторых, некомпланарность орбит планет требует дополни¬
тельной коррекции плоскости полета. Так как изменение пло¬
скости тем больше, чем дальше находится планета старта от ли¬
нии узлов, образуемой плоскостью орбиты этой планеты с пло¬
скостью орбиты планеты-цели, то некоторые конфигурации трех
планет будут более невыгодными энергетически, чем другие.
В результате этого орбиты перелета от одной планеты к другой
будут изменяться и соответственно интервалы между двумя воз¬
можными полетами к трем планетам приблизительно равной
энергии (если практически такая энергия достижима) будут
иногда меньше 6,4 года, а иногда больше, оставаясь зависи¬
мыми от положения точек встречи с этими планетами по отно¬
шению к линии узлов орбит Венеры и Марса.
9.9]
ПОЛЕТ К НЕСКОЛЬКИМ ПЛАНЕТАМ
605
Вследствие этого полет к трем планетам, включающий Зем¬
лю, Венеру и Марс, с точки зрения механики полета всегда яв¬
ляется более сложным, чем полет к двум планетам с возвра¬
щением. Ко всем такого рода затруднениям добавляется еще
значительно большее разнообразие в окружающих условиях, в
которых находится космический аппарат, начиная от марсиан¬
ских ri трансмарсианских условий пространства и кончая усло¬
виями вблизи Венеры или внутри орбиты Венеры. Изменения
корпускулярной радиации Солнца являются до сих пор извест¬
ными только очень приближенно, это относится также и к из¬
менениям плотности микрометеоритов. Кроме того, можно ожи¬
дать, что поясы корпускулярной радиации вблизи Марса и
Венеры будут значительно отличаться между собой. Все эти фак¬
торы приведут к усложнению конструкции аппарата и увеличе¬
нию его веса. Поэтому маловероятно, чтобы первые экспедиции
человека имели бы целью осуществление полета к двум плане¬
там-целям1). Для автоматических межпланетных станций такой
полет, по-видимому, также будет невыполним, так как он вле¬
чет за собой чрезвычайно высокие требования по точности вы¬
ведения. Однако доводом в пользу такого полета является мень¬
шая длительность полета (1 или 1,5 года) по сравнению с дли¬
тельностями энергетически оптимальных полетов к Венере и
Марсу. Этим подчеркивается лишь то, что при энергетических
затратах, необходимых для полета к трем планетам с возвраще¬
нием, значительно сокращается время полета к двум планетам.
В заключение следует указать, что полеты продолжитель¬
ностью в один или полтора года к одной планете-цели с возвра¬
щением могут быть осуществлены автоматической межпланет¬
ной станцией. В этом случае получаемые станцией данные не
обязательно должны передаваться на Землю с расстояний по¬
рядка астрономической единицы (расстояние Солнце — Земля),
а могут быть сохранены в «памяти» станции и переданы во вре¬
мя ее близкого прохождения около Земли. Следует отметить,
что гиперболическая встреча обладает большей чувствитель¬
ностью к ошибкам и поэтому такой полет становится трудно
выполнимым с точки зрения навигации и управления, особенно
при близкой гиперболической встрече.
Односторонний полег к планете-цели, предполагающий близ¬
кую встречу, без строгих ограничений, налагаемых на орбиту
после пролета, много проще, за исключением удовлетворения
1) В настоящее время показано, что при первых экспедициях к Марсу
Целесообразно предусматривать облет Венеры с корректирующим импульсом,
Издаваемым вблизи Венеры, так как это позволяет при той же длительности
перелета существенно уменьшить скорость входа в атмосферу Земли. (Прим
перев.)
606
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
требованиям большой мощности и точности ориентации передаю¬
щей антенны. Перед полетами такого типа (без возвращения)
ставятся менее сложные задачи. Тем не менее полеты с возвраще¬
нием длительностью в один и полтора года к одной планете-цели
обладают интересными и привлекательными возможностями.
9.10. Запуск межпланетных аппаратов
После изучения гелиоцентрического участка орбиты межпла¬
нетного полета ниже рассматривается процесс запуска (ухода)
с Земли.
Этот процесс состоит из следующих этапов:
Этап 1. Выведение с поверхности на круговую орбиту малой
высоты, имеющую соответствующий наклон к экватору.
Этап 2. Геоцентрический старт, изменяющий орбиту до соот¬
ветствующей гиперболы ухода. Второй этап может немедленно
следовать либо после достиже¬
ния круговой скорости (непре¬
рывный уход), либо после не¬
которого периода нахождения
на орбите ожидания (уход по
траектории с несколькими ак¬
тивными участками).
Этап 3. Гиперболический
полет, обеспечивающий выпол¬
нение гелиоцентрических усло¬
вий старта на достаточно боль¬
шом расстоянии от Земли,
где можно пренебречь притя¬
жением Земли по сравнению
с силами гелиоцентрического
поля.
При анализе процесса запуска эти этапы рассматриваются
в обратном порядке. Первыми должны быть определены сле¬
дующие параметры (рис. 9 99):
а) день и год гелиоцентрического старта (дата гелиоцентри¬
ческого старта) в предположении, что вариациями гиперболиче¬
ского избытка скорости в течение 24 часов можно пренебречь;
б) вектор скорости V\ гелиоцентрического старта космиче¬
ского аппарата.
Оба параметра определяются исходя из особенностей полета.
Например, из расчетов перелета, который проводится в § 9.18,
получаются следующие исходные данные для конкретного пере'
лета:
дата гелиоцентрического старта^
ского старта.
010] ЗАПУСК МЕЖПЛАНЕТНЫХ АППАРАТОВ 607
величина вектора V\ скорости ухода,
угол 0i наклона вектора гелиоцентрической скорости к мест¬
ному горизонту в начальный момент времени,
угол it наклона плоскости орбиты перелета к плоскости эк¬
липтики.
Третья и четвертая величины определяют направление век¬
тора V\ гелиоцентрической скорости старта. Дата старта опре¬
деляет начало вектора V{ в гелиоцентрической эклиптической
системе координат (в которой положение точки старта опреде¬
ляется долготой /, широтой b и расстоянием от Солнца R):
Vx = Vxkv, (9.85)
где kv — единичный вектор вектора Vx. Величина вектора Vx
находится из соотношения
V\=k\ + R\l\ + Vl,v (9.86)
где R1, /ь Vw, 1 — соответственно гелиоцентрическое расстояние,
гелиоцентрическая долгота и составляющая скорости, ортого¬
нальная к плоскости эклиптики в момент гелиоцентрического
старта (&i = 0, так как плоскость эклиптики является плоскостью
отсчета), или из соотношения
V2i = V2 sin2 01 + V\ cos2 01 cos2 it + V2 cos2 0, sin2 it. (9.87)
Единичный вектор kv равен:
kv = kr sin 0! + kt cos 0! cos it + kw cos 0! sin iu (9.88)
где kr, ki и kw — единичные векторы вдоль радиального, танген¬
циального и ортогонального к плоскости эклиптики направле¬
ний, причем направление kt определяется так, чтобы координат¬
ный триэдр был правосторонним:
kr = kx cos I + ky sin /, ]
ki= — kxsml + kycos ly | (9.89)
k = k J
Z">
где kx, ky, kz — орты эклиптической декартовой системы коор¬
динат1) (как гелиоцентрической, так и геоцентрической, по¬
скольку начало координат можно переместить из одного центра
в Другой параллельным переносом). Полагая, что kx=ky = kz=\,
Можно записать гелиоцентрические эклиптические единичные
!) Прямоугольной системы координат с плоскостью эклиптики в каче*
Стве опорной. {Прим. перев.)
608
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛГД
[ГЛ. q
векторы в виде
kr у
\ О /
k,=
\ U /
(9.90)
k =
KW
В результате расчета гелиоцентрического старта должна быть
определена разность между вектором V\ и вектором (7Ф скоро¬
сти Земли.
Для расчета геоцентрического старта должно быть задано
направление асимптоты гиперболы ухода в геоцентрической
экваториальной системе координат, в которой определяются ус¬
ловия старта с поверхности Земли. Несмотря на то, что время по¬
лета космических аппаратов с большой тягой в сфере действия
Земли значительно меньше длительности межпланетного по¬
лета, полет в сфере действия Земли имеет порядок нескольких
дней; вектор скорости Земли поворачивается примерно на один
градус в день. Для учета этого эффекта необходимо определить
геоцентрическую дату старта, которая отличается от гелиоцен¬
трической даты старта на время разгона около Земли до мо¬
мента, когда выполняются условия освобождения из поля тя¬
готения. Последние могут быть особо оговорены выбором коор¬
динат Too, rjoo положения аппарата на гиперболической орбите
либо в точке, в которой rjoo имеет незначительное допустимое от¬
клонение от истинной аномалии гц, либо в точке, находящейся
на расстоянии л», где гравитационное ускорение Земли стано¬
вится меньше солнечного гравитационного ускорения. Напри¬
мер, при местном гравитационном ускорении Земли g0=lO"D£oo
(гравитационное ускорение Солнца на расстоянии 1 а. е. равно
gQ » 6 • 10-4 gm) имеем гм = r00 V105 = 316 г00, что примерно в
пять раз больше расстояния от Земли до Луны. Выбор геоцен¬
трического радиуса «на бесконечности» г«, зависит от точности
анализа. Соответствующее расстояние, на котором можно осу¬
ществить переход от геоцентрической к гелиоцентрической си¬
стеме отсчета (от гиперболы к гелиоцентрической орбите пере¬
лета) с Землей в качестве возмущающего тела, определяется ра¬
диусом сферы действия Земли (145 г00; см. таблицу 9.1).
ЗАПУСК МЕЖПЛАНЕТНЫХ АППАРАТОВ
609
Пусть время между началом гиперболического полета и мо¬
ментом, когда выполняются условия перехода в поле притяже¬
ния Солнца, есть /оо, а 7^ — дата гелиоцентрического старта;
тогда дата геоцентрического старта будет определяться соотно¬
шением
(9.91)
Выражение для определения времени too через гиперболическую
истинную аномалию записывается в виде
t _ УеПГ\ л[_gl_ Г -esin 4°° (9.92)
00 V Кф L 1 + е cos rjoo 1 + е cos т) Vе2 — 1 J
= £inUU±VZZL + —Lzr, (9.93)
00 1 + е cos Чоо Vе2 — 1
+ ■ (9.94)
1 + е cos т] Ye2 — 1
где а и е — соответственно большая полуось и эксцентриситет
гиперболической орбиты ухода, К®— гравитационный параметр
Земли, г) — истинная аномалия гиперболы в точке разгона кос¬
мического аппарата до гиперболической скорости (при разгоне
в перигее t]i = 0) .
Время too может быть выражено через расстояние г от цент¬
ра Земли, считая / = 0 при /* = />:
1 2г„ _ _
е2 — 1 а (е2 — 1)
(9.95)
f г2 1 . 2г j In (BJB) 1
' а2 е2 — 1 а(е2 — 1) Ye2 — 1 J’
У ■~ + 2 — -е2 + \ + —+1
jfef — • <9-96>
Тf —5- + 2 —— е2 + 1 + —+1
В = 2 ? — 2 . (9.97)
Ye2-l
Так как время полета по гиперболе отсчитывается от мо¬
мента прохождения космическим аппаратом перигея, то при
39 К. Эрике, т. II
610
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
старте точно в перигее выражение для времени too принимает
вид
2 г.
1
In
1 ' а(е2 - 1) ' Ve2~ \ У
(9.98)
Считая, что для космических аппаратов с большой тягой в
связи с энергетическими ограничениями угол между векторами
U9 и Г, и отношение гиперболической скорости vh к скорости
j=AV7
Положение космического аппарата
> в момент гелиоцентрического старта
7; = 7/+*оо
^ (сутки)
Положение космического аппарата,
а момент геоцентрического старта Т/
Рис. 9.100. Связь между параметрами гелиоцентрического
и геоцентрического стартов.
U0 будут в общем случае малыми, удаляющийся от Земли аппа¬
рат в первом приближении можно рассматривать движущимся
почти под прямым углом к гелиоцентрическотму радиусу-вектору
(рис. 9.100). Следовательно, его гелиоцентрическая долгота за
время полета в геоцентрическом пространстве изменится на ве¬
личину
М [град] ^ [сут].
Пренебрегая изменением гелиоцентрического радиуса за время
too, можно определить угол между вектором скорости Vx и век¬
тором скорости £/0 [скорости точки на орбите Земли, в которой
линия «космический аппарат — Солнце» (или ее продолжение)
пересекает орбиту Земли (точка / на рис. 9.100)] в момент ге¬
лиоцентрического старта 7Y Этот момент времени (дата) опре¬
деляется целью полета. Вектор скорости в определенной выше
точке на земной орбите (этот вектор можно принять за Вектор
скорости Земли, хотя известно, что Земля -в общем случае не
9.Ю1
ЗАПУСК МЕЖПЛАНЕТНЫХ АППАРАТОВ
611
будет находиться точно в этой точке в момент времени t0о)
раВбН' U®=U®ko, (9.99)
где — единичный вектор вектора t/ф. Поскольку, как это ука¬
зывалось ранее, разностью гелиоцентрических расстояний до
космического аппарата и до Земли мы пренебрегаем и так как
различия в значениях их гелиоцентрических широт и долгот яв¬
ляются достаточно малыми и ими можно тоже пренебречь, до¬
пустимо считать, что космический аппарат и упомянутая точка
на земной орбите имеют одну и ту же широту (а именно, нуле¬
вую) и одну и ту же долготу /. По значениям эфемерид и эле¬
ментов орбиты Земли можно найти угол наклона траектории
00 и гелиоцентрическую долготу, которая определяет момент
гелиоцентрического старта. Расстояние от Солнца до Земли (то¬
ждественно равное расстоянию от Солнца до космического ап¬
парата) принимается за единицу. Используя ранее определен¬
ные единичные векторы kr и ku можно определить единичный
вектор ки следующим соотношением:
kv = kr sin 00 + kt cos 00. (9.100)
Тогда
t/®= {/©(£,. sin 0® +ft, cos 0®). (9.101)
Поскольку изменением скорости Земли за время tx можно пре¬
небречь, остается учесть влияние изменения долготы. Такое ис¬
следование будет проведно ниже при рассмотрении гиперболы
ухода.
Разность между двумя векторами скорости записывается в
виде
Wl = Vl-Ue=Vikv-U®ku, (9.102а)
или
AV, = (F, sin 0, — f/® sin 0®)ftr + (Vt cos 0, cos it — (7® cos 0®) ft, +
+ (V\ cos 0[ sin It) kz. (9.102b)
Величина этого вектора равна
s исо, I = + ^® ~ 2^i ^® (sin 0i sin 0® + cos 0i cos 0® cos it).
(9.103)
Этот вектор может быть представлен также в форме
AVj-Mci (9.104)
или в декартовых геоцентрических координатах (за опорную
плоскость принята плоскость эклиптики)
Д V, = x„k х + у Jke + zJtz, (9.105)
39*
612 МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ [Гл. 9
где хУоо и — составляющие гиперболического избытка ско¬
рости по координатным осям. Поэтому, учитывая, что kx = ky=s
= kz— 1, получаем:
к’-^ГТ-к‘Ъ + 1,’Ъ + ''-^Ь- <9-‘°6а)
kv = -v Уоо . (9.106b)
С другой стороны, скорости хжу у0о, г^ представляют собой
суммы всех составляющих векторов скоростей Vi и С/ф вдоль
осей х, у и г.
Таким образом,
~~jj- (Хоо) = (V1, radial ^0, radial) kx "Г (V1, azim ^0, azim) ( kx)> (9.107)
(Усо) = (^1, radial “ ^0, radial) + (^1. azim ““ ^0, azim) (9.108)
■jjT (^oo) = (1^1, orthogonal) (9.109)
Подставляя в формулы (9.107) — (9.109) радиальную, танген¬
циальную и нормальную составляющие вектора AVi из уравне¬
ния (9.102Ь), получаем:
= (V1 sin 01 — f/ф sin 0ф) cos / — (V \ cos 0! cos it — £/ф cos 0ф) sin/,
(9.110)
Уоо = {V\ sin 9i~^0 sin 0ф) sin l + (V i cos 0j cos it—U® cos 0Ф) cos /,
(9.111)
cos 0j sin it. (9.112)
Теперь необходимо перейти от выражения единичного век¬
тора асимптотического направления в геоцентрической эклипти¬
ческой системе координат к выражению этого вектора в геоцен¬
трической экваториальной системе координат. Переход осуще¬
ствляется при помощи уравнений (1.5.61). Обозначая величины
в экваториальной системе координат штрихами, а наклон ме¬
жду плоскостью эклиптики и экваториальной плоскостью Земли
10, получаем:
^=Ао, (9.113)
/Ko = yooC0Sl0-iocsini0’ (9.114)
2^, = £«, Sin cos 10, (9.115)
9.Ю1
ЗАПУСК МЕЖПЛАНЕТНЫХ АППАРАТОВ
613
откуда
k' =
Чоо* I
У'о,
z'
В геоцентрической экваториальной системе координат
./
^оо, 1
./
У оо
^оо, 1
^оо, 1
= cos б cos а,
= cos б sin а,
= sin б,
откуд<
k'v =
1
^оо, 1
' cos б cos аN
cos б sin а
> sin б
(9.116)
(9.117)
(9.118)
(9.119)
(9.120a)
При определении kv не было принято во внимание время
ухода /оо, поэтому полученный результат применим в том слу¬
чае, когда влиянием /оо можно пренебречь. Для того чтобы оце¬
нить влияние /оо, подсчитаем его величину с помощью одного из
приведенных выше уравнений1), предполагая разгон в перигее,
принимая расстояние до перигея равным гР и используя пред¬
варительно вычисленное значение ^оо, ь которое определяется из
условий гелиоцентрического старта (рис. 9.100). Найденная ве¬
личина /оо определяет Д/. Замена / на (/ — А/) вызывает измене¬
ние б от
sin6 = sin i0sin I (9.121a)
до
sin (б — A6) = sini0sin(/ — A/) (9.121b)
и изменение а от
До
sin a =
cos I
sin (a — Aa) =
cos 6
cos (/ — AO
cos (6 — Д6)
(9.122a)
(9.122b)
Таким образом, в зависимости от того, пренебрегаем мы
влиянием /оо или нет, получаем либо б = б0 и a = av, либо
1) Например, с помощью уравнения (9.98). (Прим. ред.)
614
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
(6 — Д6) = 6V и (а — Да) = a-о и можем написать в общем
случае:
/ cos 6V cos av \
*„ = 1 cos 6*,sinaj, I. (9.120b)
\sin6y /
Предполагается, что начало единичного вектора k'v находится
в центре Земли. (Расстоянием между вектором k'v и реальной
асимптотой можно пренебречь, поскольку значение имеет только
тот факт, что реальная асимптота параллельна вектору k'v.) По¬
сле нахождения вектора kv направление асимптоты гиперболы
становится известным в геоцентрической экваториальной си¬
стеме координат. Параметрами, определяющими вектор k'v, яв¬
ляются: дата гелиоцентрического старта Ти время ухода /
гиперболический избыток скорости Voo, i и прямое восхождение и
склонение точки на геоцентрической небесной сфере, в которую
направлен этот вектор. Теперь мы готовы к определению усло¬
вий старта.
Для того чтобы определить требуемый географический ази¬
мут точки старта и время старта, направление единичного век¬
тора положения точки старта необходимо связать с местным ча¬
совым углом #l, измеряемым от меридиана точки старта на за¬
пад до меридиана точки весеннего равноденствия, и географиче¬
скую широту фь точки старта (рис. 9.101) [3]:
/cos НL o,osyL\
kL = l sin HLcosyL 1. (9.123)
\sin(pL /
Угол между единичными векторами kL и k'v есть х (рис. 9.101),
cos к = kL • k'v (9.124)
и; следовательно, единичный вектор, нормальный к плоскости
орбиты ухода, равен
<9Л25>
(sin Н L cos ф^ sin бу — sin av sin ф^ cos 6V \
— cos Hi cosф^ sin6y -f- coscty sinф^ cos6y I. (9.126)
sin (a0 — HL) cos q>L cos
Из уравнения (9.124) находим:
cos и = sin ф/. sin би + cos (а„ — HL) cos cos 6„. (9.127)
9.Ю]
ЗАПУСК МЕЖПЛАНЕТНЫХ АППАРАТОВ
615
Ввиду того, что av, q>L и и известны, приведенные выше ура¬
внения могут служить для определения местного часового
угла Нь точки старта и, следовательно, времени старта.
Остается определить азимут точки старта aL (при невращаю-
щейся Земле), который измеряется от соответствующего север¬
ного направления в сторону восточного направления (рис. 9.101).
Рис. 9.101. Параметры геоцентрического старта.
Азимутальный единичный вектор определяется соотношением-
где kLt е и kL) N — единичные вектары, направленные из точки
старта соответственно на восток и север:
Таким образом, уравнение (9.128) может быть записано в виде
( — cos HL sin cos aL — sin HL sin aL \
— sin зтфА cos aL + cosHLsinaL I. (9.131)
cos ф^ cos aL J
ka — sin Ct[kLt E + COS CL[kLt ДГ.
(9.128)
(9.129)
(9.130)
616
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
Единичный вектор, нормальный к плоскости ухода, теперь ста¬
новится равным:
Приравнивая г-составляющие векторов из уравнений (9.126) и
(9.133), можно получить окончательно искомое соотношение для
определения aL:
a cos к определяется из уравнения (9.127). Азимут старта с уче¬
том вращения Земли приближенно определяется выражением
где t>oo — скорость вращения Земли в точке старта, vx — ско¬
рость аппарата в конце активного участка.
Итак, определены все основные параметры старта. В следую¬
щем параграфе будут рассмотрены конкретные случаи старта
при выведении межпланетных аппаратов.
В этом параграфе будет рассмотрено несколько способов
запуска межпланетных аппаратов. На рис. 9.102 показаны ос¬
новные разновидности запуска и ухода, а именно: непрерывное
активное выведение, оканчивающееся переходом на гиперболи¬
ческую орбиту ухода в перигее орбиты, именуемое в дальней¬
шем стартом в перигее\ непрерывное активное выведение на
гиперболическую орбиту с истинной аномалией г\\ в конце актив¬
ного участка, называемое в дальнейшем послеперигейным стар¬
том; выведение с несколькими активными участками с исполь¬
зованием круговой или эллиптической орбиты ожидания, пере¬
водящей аппарат в положение нужного азимута для выведения
на орбиту ухода.
Если используется орбита ожидания и широта точки старта
с Земли равна или больше склонения направления асимптоты
(9-132)
(9.133)
cosqp^ sin aL =
sin (ay — HL) cos cos 6V
sin к
откуда
(9.134)
(9.135)
9.11. Запуск и уход межпланетных аппаратов
0 lI] ЗАПУСК И УХОД МЕЖПЛАНЕТНЫХ АППАРАТОВ 617
гиперболы ухода (фь^б^), возможно восточное направление
старта с орбиты ожидания (наклонение орбиты ожидания равно
Направление
Рис. 9.102. Разновидности запуска с геоцентрическим
уходом.
Рис. 9.103. Уход при широте точки старта i=dr
и 2 < бу.
Фв), что приведет к различным наклонениям гиперболической
орбиты ухода, зависящим от широты точки старта при задан¬
ном направлении ухода (рис. 9.103). Для восточного направления
618
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. g
импульса при уходе с орбиты ожидания (aL = 90°) полу¬
чаем:, * '
cos (av - HL) = tg 6V ctg <p£. (9.136)
Если используется орбита ожидания и широта cpL точки стар¬
та с Земли меньше склонения 6^, тогда наклонение орбиты дол¬
жно быть по крайней мере равно обеспечивая при этом наи¬
больший азимут, то есть азимут точки старта, наиболее близкий
к восточному направлению. В этом случае, являющемся анало¬
гичным случаю 3 в § 8.9, получаем:
cos (а0 - HL) = tg ф£ ctg 6„ (9.137)
sina^ = ^7- (9.138)
Угол между радиусом-вектором, направленным в перигей, и
радиусом-вектором, направленным вдоль асимптоты гиперболы
ухода, является, по определению, предельным значением истин¬
ной аномалий (см. «Космический полет», т. I, § 4.7), вычисляе¬
мым по соотношению
cos% = cos 4f = - 7. (9.139)
где эксцентриситет гиперболы определяется следующим обра¬
зом-
W7~l = l + w;> <9Л40>
р :
vl = 4^ + V* ]
AOi
гр 00 1
. = vP — vr. I
(9.141)
В случае неимпульсного перехода с орбиты ожидания на ги¬
перболическую орбиту центральный угол г]ь, проходимый за вре¬
мя tb работы двигательной установки, равен:
% = 360°ф- (9.142)
(в предположении, что время работы двигательной установки
достаточно мало, а ускорение достаточно велико, чтобы в на¬
стоящем рассмотрений можно было считать пренебрежимо ма¬
лыми отклонения от круговой орбиты, которые могут иметь ме¬
сто из-за конечного времени работы двигательной установки).
В приведенном выше уравнении Г есть период обращения по не-
возмущенной (тягой) круговой орбите. Поэтому работа двига¬
тельной установки должна начинаться при орбитальной .долготе
a.ii]
ЗАПУСК И УХОД МЕЖПЛАНЕТНЫХ АППАРАТОВ 619
(То есть долготе в плоскости орбиты) ць + гр, тогда изменение
географической долготы относительно невращающейся Земли
будет:
АЯ = “ Ъ0051- (9Л43)
гдё I — наклонение плоскости орбиты к плоскости экватора.
Если орбита ожидания является не круговой, а эллиптической и
разгон осуществляется в точке 1 (рис. 9.102) с истинной анома¬
лией r\h (отсчитываемой от перигея гиперболы) и расстоянием
от центра Земли г, то мгновенная гиперболическая скорость
равна:
/ 2^ , Г l + 2eftcosi1ft + 4
о* = У — + vl = «со у ; • (9-144)
Угол наклона вектора скорости к местному горизонту в точке
разгона определяется следующим соотношением:
е. sin п.
и‘,,Д • <9-146>
Обозначая величины, относящиеся к эллипсу, индексом «е»,
в случае касания траектории ухода с эллипсом орбиты ожида¬
ния необходимо иметь
е*=ел.
Если г\е фиксировано (например, положением точки старта),
то эксцентриситет эллипса уже не может выбираться произволь¬
но, а определяется выражением
tg9g t fl , (9.146)
е Sin Ч\е — COS Це tg Qe ’ v 7
и тогда большая полуось
<9Л47>
Величина гР><? обычно равна примерно 185 км. Расстояние до
апогея определяется выражением
гА>е=2ае-гР,е. (9.148)
Скорость в перигее эллиптической орбиты ожидания
vP,e=V т^{ !+е.) (9.149)
r Р, е
620 МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ [ГЛ. g
и скорость в точке разгона (с координатами гь r\i)
так что приращение скорости до необходимого значения гипер¬
болической скорости равно:
Ди = vh-v, = --|Л(9.151)
Значение г]ь может быть определено по времени работы дви¬
гательной установки при тех же предположениях, что и выше,
следующим образом: вычисляем эксцентрическую аномалию
эллиптической траектории в точке гиперболического старта
Ех = 2 arctg (|/jyg tg ; (9.152)
определяем время прохождения по околоземной орбите от пери¬
гея до этой точки
tpi=^/r(Е{ -ее$>тЕх)\ (9.153)
методом итераций находим величину эксцентрической аномалии
в точке начала работы двигательной установки с помощью со¬
отношения
Е0 - ее sin Е0 = (tPi - tb) • (9.154)
где te — время работы двигательной установки; вычисляем но¬
вое значение ц из выражения
•По = 2 arctg (У tg -у-), (9.155)
откуда К)ъ ~ Т]1 — Ло-
Для непрерывного активного участка (рис. 9.104) конечные
условия активного участка совпадают с начальными условиями
на гиперболе ухода: vx = vh [см. уравнение (9.144)].
Для старта в перигее: vx = vP, угол наклона вектора ско¬
рости к местному горизонту равен нулю и угол х между векто¬
рами kL и kv становится теперь равным г]™ плюс центральный
угол, проходимый в течение активного участка (подъема).
un
ЗАПУСК И УХОД МЕЖПЛАНЕТНЫХ АППАРАТОВ
621
Для послеперигейного старта скорость в момент окончания
работы двигательной установки v\ = vh) к'ак это указывалось
выше, и угол наклона вектора скорости к местному горизонту
в конце активного участка определяется уравнением (9.145),
если определена истинная аномалия ь В противном случае
r\h 1 определяется из выражения
tg -Пл., =
V1 sin 20л, 1
2 v? cos2 0л>! — 1
(v^vJVK/r^. (9.156)
Так как предельное значение истинной аномалии определяется
уравнением (9.139), угол между векторами kL и kv будет равен
углу к = г]оо ± r\h, 1 плюс (минус) центральный угол, проходи¬
мый в течение активного полета.
Направление поле/па
в момент выключения
двигателя
Направление
асимптоты
(геоцентрическое
направление на цело)
Плоскость экватора
(вид «снизу»)
Рис. 9.104. Непрерывное выведение и уход.
Зная и для любого типа выведения, а также зная <pL и 8V,
можно записать уравнение (9.127) в следующей форме:
cos (а„ - Н L) =
COS X, — sin
ч>1
sin 6„
!<Pi
cos 6„
(9.157)
Теперь величина HL может быть найдена, так как av и 8V за¬
висят от времени года и гелиоцентрической ориентации асимпто¬
ты гиперболы ухода (касательная или направленная под углом
к вектору скорости Земли). Если из уравнения (9.157) сле¬
дует, что cos^ — HL)> 1 или cos>(av — HL)< — 1, необходимо
622
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
исправить х. Предельное значение х определяется следующим
образом:
( cos (qp^ — bv)y
C°S Hin.lt = (± cos q>L cos 60 + sin sin60) = j cos [180O ± ((pi + ^
(9.158)
Заметим, что (pL положительно, тогда как 6V может быть
и положительным и отрицательным, то есть вектор kv может
быть направлен как в сторону северных, так и в сторону юж¬
ных широт на небесной геоцентрической сфере. Так как в дан¬
ном случае нельзя изменить х при помощи вариаций cpL, bv
или тр, остается один путь — исправить х изменением ь Это
означает, что либо старт в перигее становится невозможным,
либо первоначально запланированный послёперигейный старт
должен быть изменен. Первоначальный послеперигейный старт
может быть рассчитан из условия минимизации 0^, ь при этом
y\ji, 1 определяется из уравнения (9.156). Поэтому, если из урав¬
нения (9.157) получается мнимое значение угла (av — HL), то
предельное значение х должно быть определено из уравнения
(9.158), что в свою очередь дает предельное значение угла
1 = к — г]оо, определяющее угол 0^,1 при помощи уравне¬
ния (9.156).
Далее из уравнения (9.134) может быть получено значение
соответствующего азимута старта для невращающейся Земли.
Так как азимут старта зависит от Нь и х, то переход от aL к а[
при помощи соотношения (9.135) для вращающейся Земли тре¬
бует подбора путем итераций величины HL из уравнения (9.157)
и величины х из уравнения (9.127) до тех пор, пока уравнение
(9.134) не приведет к значению aL, которое будет достаточно
близким к первоначально определенному значению aL и удовле¬
творяющим точным требованиям данного расчета. Подбор ука¬
занных величин не является длительным процессом благодаря
значительному различию между орбитальной скоростью аппа¬
рата и скоростью вращения Земли, вследствие чего всегда полу¬
чается малая величина отношения v00/v\.
Например, для выведения космического аппарата на круго¬
вую орбиту высотой 556 км с Атлантического полигона
(qpL ^ 28°,5; aooeqCOscpL = 408 м/сек) отношение скорости вра¬
щения Земли к скорости аппарата в конце активного участка
составляет = 0,054. Таким образом, для нулевого азимута
(северное или южное направление старта), при котором эффект
вращения Земли будет наибольшим, разность между aL и ^
9.11]
ЗАПУСК И УХОД МЕЖПЛАНЕТНЫХ АППАРАТОВ
623
будет составлять приблизительно 3°,15. Для наиболее часто
используемых азимутов старта (в диапазоне 60-г-120°) эта раз¬
ность лежит в пределах Г.
Пример применения методики, описанной в § 9.10 и 9.11.
1. Дано:
а) назначение полета — перелет к Марсу по ОП № 1
<0о. 1 = °); „
б) время: Земля находится в точке весеннего равноденствия,
то есть гелиоцентрическая долгота I = 0;
в) орбита Земли круговая (0Ф = 0);
г) наклонение плоскости орбиты перелета к плоскости эклип¬
тики it = 1°,5;
д) гелиоцентрическая скорость старта V\/U® = V\ = 1,15;
е) тип активного участка прерывный;
ж) орбита ожидания почти круговая, у = 185 км, соответ¬
ствующая круговая скорость Ук/г ^7800 м/сек; период обра¬
щения по орбите 1,4675 ч\
з) положение точки старта: Атлантический полигон (широта
cpL^28°,5 с. ш., долгота ^ — 80°,6 з. д.), местная круговая ско¬
рость на поверхности Земли ц0о = 464 cos 28°,5 ~ 408 м/сек;
и) выведение на орбиту ожидания: пренебрегается временем
и проходимым центральным углом;
к) место и тип маневра перехода с орбиты ожидания на ги¬
перболическую орбиту: в перигее гиперболы в предположении
импульсного маневра.
2) Требуется определить следующие величины: время стар¬
та, азимут старта, наклонение плоскости орбиты перелета к пло¬
скости экватора, географические и геоцентрические координаты
перигея и требуемую величину импульса скорости для маневра
в перигее.
3. Решение: в соответствии с условием (б) прямое восхожде¬
ние Солнца: ао= 180°; меридиан весеннего равноденствия (по
определению, = 0) совпадает с полуночным меридианом.
Так как местный часовой угол (МЧУ) HL меридиана точки ве¬
сеннего равноденствия измеряется от меридиана- точки старта,
точка на меридиане весеннего равноденствия имеет Я = 0.
В рассматриваемом случае значение Я = 0 соответствует на¬
чалу суток (нулевому часу). По условиям (а) и (в) единичный
вектор kVl параллельный асимптоте гиперболы ухода, проходит
через терминатор и, следовательно, HL = 6 ч, что соответствует
прямому восхождению av = 90°.
Из условий (а), (б) и (в) следует, что составляющие гипер¬
болического избытка скорости Уоо в геоцентрической эклиптиче¬
ской системе координат в соответствии с уравнениями (9.110) —
624 МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ [Гл Q
(9.112) определяются соотношениями
= О,
^ce = 0 + K,cosi<-£/©, (9.159)
zx = Vi sin it,
а в геоцентрической экваториальной системе координат в соот¬
ветствии с уравнениями (9.113) — (9.115)—соотношениями
*1 = 0,
^ = (ricos/<-t/e)cosi0-y|sin/<sini0, | (9.160)
К, = iVi cos lt - u®) sin lo + VI sin 4 cos lo> )
которые могут быть записаны в виде
у'оо = \-1Г cos & + 1о) - cos lo], I
® л } (9.161)
Ко= ^e[-^sin(^ + io)-sini0j. j
В соответствии с условием (г) при it + to = 1°,5 4- 23°,5 =
= 25° из уравнения (9.116) определяется единичный вектор k'v\
k'v = RGL\ 0,114
1,00 V 0,087
Принимая а = av и б = 6^, из уравнения (9.120Ь) получаем,
что cos 8V cos av = 0. Таким образом, либо угол 8Vy либо угол av
должен быть равен 90°. Однако на основании уравнения (9.119)
г'о/Уоо == == 0,087, и угол 6V не может быть равен 90°. Сле¬
довательно, cos av = 0 и прямое восхождение вектора k'v будет:
av = 90°.
Из уравнений (9.118) и (9.119) находим:
Ус0=^00 COS 60,
tg А, = K0W00 = 0,087/0,114 = 0,763,
60 = 37°23'~37°,4.
По условию (з) геоцентрическая широта точки старта
= 28°,5, то есть ф£ < 6,„ поэтому из уравнения (9.137) полу"
чаем:
aV-HL = arccos(tg28°,5ctg37°,4) = ± 44°41" « ± 44°,7.
Q Л1 ЗАПУСК И УХОД МЕЖПЛАНЕТНЫХ АППАРАТОВ 625
Вспоминая, что величина av — HL равна разности прямых
восхождений меридиональной плоскости, содержащей вектор kvy
и меридиональной плоскости, содержащей вектор kLl заключаем,
что проекция орбиты ожидания на плоскость гиперболы старта
должна пересекать вектор kL дважды, симметрично по отноше¬
нию к ^-меридиану. Таким образом, при av = 90°
I = 90° — 44°,7 = 45°,3 = 3\02 сидерического времени,
^1\ = 90° + 44°,7 = 134°,7 = 8Л,97 сидерического времени,
где HL — МЧУ меридиана точки весеннего равноденствия отно¬
сительно меридианов двух возможных точек старта, в которых
направление старта пересекается с плоскостью орбиты ожида¬
ния. Азимут старта в случае невращшощейся Земли вычисляет¬
ся по уравнению (9.138):
aL~ 64° 42' ~64°,7 или aL = 180° - 64°,7 = 115°,3.
В соответствии с условиями (е), (ж) и (з) имеем:
vJVW ~ 0,0524.
Тогда азимут a'L в случае вращающейся Земли немедленно на¬
ходится из уравнения (9.135):
а' « 63° 19' « 63°,3 или а' « 180° - 63°,3 = 116°,7.
Таким образом, для минимальной величины \a'L\ запуск дол¬
жен быть осуществлен либо в 3\02 сидерического времени при
а' «г 63°,3 либо в 8Л,97 сидерического времени при a'L ^ 116°,7.
Для гиперболы ухода находим:
ATt = = 0,15 • 29 800 = 4470 м/сек,
trL / 4470 \2
е= 1 +-jq^-=1 +(т8оо) ~ ьзгэ,
и предельное значение истинной аномалии (считая в рассматри¬
ваемом случае т] оо ^ П/)
Цоо » % = arccos (- jj = 138° 48' « 138°,8.
Следовательно, перигей гиперболы отстоит на 138°,8 от на¬
правления вектора k'v в плоскости гиперболической орбиты при
измерении против направления движения по орбите, то есть по
ходу часовой стрелки. Разгон космического аппарата до соответ¬
ствующей гиперболической скорости начинается в перигее
40 К. Эрике, т. II
626 МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ [ГЛ. g
с помощью импульса скорости vx — vc. Этот импульс равен:
О, - v.e = io4 ]/0,4472 + 2 • 0,782 - 7800 = 4100 м/сек
ИЛИ
= — = 0,526.
«с
Из уравнения (9.127) находим угол х между векторами kL
и k';.
х = 38° 10' « 38°,2.
При этом угол между направлениями на точку старта и точку
гиперболического разгона для северо-восточного направления
старта будет:
360° —138°, 8 + 38°,2 = 259°,4,
а для юго-восточного направления запуска —
360°- 138°,8-38°,2= 183°.
Угловая скорость на орбите старта равна 360/1,4675 =
= 245 град/ч. Таким образом, время, необходимое для прохож¬
дения от точки старта до точки гиперболического разгона, с уче¬
том условия (и) равно
259,4/245 » 1,06 ч,
183/245 ~ 0,75 ч.
В момент старта географическая долгота перигея составляет:
XP = XL + 259°,4 = - 80°,6 + 259°,4 = 178°,8 в. д.
Для северо-восточного запуска период нахождения на ор¬
бите ожидания равен 1,06 ч\ следовательно, в момент прибытия
космического аппарата в перигей географическая долгота пери¬
гея будет:
Л' ~ 178°,8 — 15° = 163°,8 в. д.
Наклонение плоскости орбиты ожидания к плоскости эква¬
тора равно:
i = arccos (cos qpL sin a') = 38° 17' « 38°,3.
Разность прямых восхождений меридиана точки старта и ме¬
ридиана, содержащего восходящий узел, равна:
Да = arcsin (tg ctg i) = 43° 24' « 43°,4.
Восходящий узел лежит на 43°,4 западнее меридиана точки
старта при запуске в северо-восточном направлении. Угловое
9.12]
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ВСТРЕЧА
627
расстояние от восходящего узла до меридиана перигея равно
43°,3 + 259°,4 = 302°,7.
Широта перигея, следовательно, равна:
фр = arcsin [sin i sin (360° — 302°,7)] = 31° 25' ю. ш. 32°,42 ю. ш.
При запуске космического аппарата в юго-восточном направ¬
лении географическая долгота перигея в момент старта
1р = - 80°,6 + 183° = 102°,4 в. д.,
а географическая долгота перигея в момент прибытия аппарата
в перигей
Х'р = 103°,5 - 0,75 • 15° « 92°,2 в. д.
Широта будет той же самой, что и раньше. Таким образом,
определены все требуемые данные.
9.12. Гиперболическая встреча в случае орбиты перелета,
касающейся орбиты планеты-цели, при полетах
к Венере, Марсу и Юпитеру (орбиты планет — круговые)
Рассмотрев в предыдущих параграфах орбиты гелиоцентри¬
ческих перелетов с учетом их эллиптичности и наклонения,
перейдем в настоящем параграфе к исследованию околопланет¬
ных участков полета, то есть захвата (или ухода) и гиперболи¬
ческой встречи или гиперболического пролета. Последнее, ве¬
роятнее всего, будет иметь место во время полетов к планетам
первых межпланетных зондов.
В целях иллюстрации процесса близкого прохождения пла¬
нетных зондов вблизи планеты ниже в качестве примера при¬
водятся результаты расчетов трёх траекторий, выполненных на
электронной вычислительной машине [4].
При расчетах орбиты планет предполагались круговыми и
компланарными. Значение гравитационного параметра Солнца
принималось равным *)
Ке = 1,3291976- 10й .
' u ’ сек2
Предполагалось также, что орбита Земли находится на расстоя¬
нии от Солнца, равном большой полуоси = 149,5-106 км =
= 1,0 а. е. Во всех случаях гелиоцентрические орбиты перелета
принимались за эллипсы, касательные к орбитам Земли и пла¬
неты-цели (рис. 9.105). Обозначения, используемые в расчетах,
приведены на рис. 9.105.
!) Необходимо отметить, что в различных главах автор использует раз¬
личные значения гравитационных параметров. (Прим. ред.)
40*
628
межпланетный полет
[Гл. 9
Траектория движения космического аппарата в прямоуголь¬
ной системе координат получена в результате интегрирования
следующей системы уравнений:
^ ^ _*__к х~х1
Ко R3 Kl л?
У=-Ко-^3-К
У-у 1
Я'
з *
(9.162)
где jc и у — координаты аппарата, а х{ и у\ — координаты пла-
неты-цели. Расстояние от аппарата до Солнца определяется
соотношением R2 = x2 + y2, коор¬
динаты положения планеты-цели
вычисляются по уравнениям
х\ = R1 cos Ф, у\ = R1 sin Ф, где
ф = ф0 + ц/, [л — среднее угловое
движение планеты-цели, a Rl —
расстояние от Солнца до плане¬
ты-цели.
Траектория рассчитывалась
как траектория невозмущенного
движения до тех пор, пока поло¬
жение аппарата (/?, т]0) не «со¬
впадет» с положением планеты-
цели (R1, Ф0). В этот момент вре¬
мени (/ = /о = 0) вводились возму¬
щения. В каждом случае началь¬
ное расстояние от аппарата до пла¬
неты полагалось равным не менее
3,7 • 106 км. Начальное возмущаю¬
щее действие соответствующей планеты на таком расстоянии
оказывалось пренебрежимо малым во всех случаях, кроме
случая полета к Юпитеру, когда начальное расстояние было
равно примерно 1,85*108 кл* (радиус сферы действия 4,8*107 км)
и когда возмущения уже заметны с самого начала движе¬
ния.
После начала действия возмущений при помощи стандарт¬
ных соотношений были получены следующие оскулирующие
элементы: энергия А; эксцентриситет е\ большая полуось а; па¬
раметр р; период Г; время tp, отсчитываемое от перигея; истин¬
ная аномалия rj; расстояния до перигелия и до афелия RP и Ra
и мгновенный гелиоцентрический момент количества движения С
(постоянная интеграла площадей).
Рис. 9.105. Обозначения, исполь¬
зуемые при расчетах орбиты кос¬
мического зонда.
0.121
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ВСТРЕЧА
629
а) Полет к Венере. Параметры гелиоцентрической орбиты
перелета к Венере таковы:
=0,723332 а. е. = 58,458* 106 морских миль,
RP = О,723332/?0 + 2 (г00)? [а. е.\ = 58,465* 106 морских миль,
где 2 (г0о) $ — диаметр Венеры (следовательно, в том случае,
если бы не было возмущений, космический аппарат должен бы
пройти на высоте одного радиуса от поверхности планеты).
Для Венеры:
= 325 256 км2/сек2\
среднее угловое движение = 5767",670 в сутки;
скорость в афелии 1/л = 27,3 км/сек;
эксцентриситет eQ = 0,1604866.
Возмущения были введены в рассмотрение при л = rj0 =
= 330°, когда R = 107 -106 км. при этом расстояние до Венеры
составляло примерно 3,7• 106 км. Из полного времени полета до
перигелия 7/2=146,0858 сут только 17,6046 сут (или 422,51 ч)
было бы затрачено на достижение перигелия от точки г)0 = 330°
при отсутствии возмущений. В это же время угол положения
Венеры составляет Ф0 ~ 61°,7951.
Рассчитанная траектория встречи, оказавшейся столкнове¬
нием, показана на рис. 9.106. В верхней части рисунка изобра¬
жена траектория полета от начала возмущенного участка до
столкновения. Нижняя часть рисунка иллюстрирует процесс
столкновения более детально. Столкновение получилось нецен¬
тральным; можно видеть, что малые изменения в начальных
условиях приведут к близкому прохождению. Теоретически ап¬
парат должен был бы пересечь орбиту Венеры через 407,667 ч,
то есть примерно за 15 ч до достижения теоретического пери¬
гелия, при этом аппарат находился бы впереди теоретического
перигелия на расстоянии 1,87* 106 км.
На рис. 9.107 показаны зависимости оскулирующих элемен¬
тов траектории столкновения от времени. Интересно отметить,
что eQ < 1 в течение всего времени полета, хотя аппарат «про¬
ходит» почти через центр Венеры. Ни при каких реальных усло¬
виях Венера не может «выбросить» космический аппарат из
солнечной системы. Так как значение eQ после столкновения
Уменьшается по сравнению со значениями до встречи, гелиоцен¬
трическая орбита после прохождения Венеры будет ближе к
круговой, чем первоначальная орбита полета.
630
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
^ Ra= 80816246 морских миль
Ф0= 61° 795099
7]0 = 330°
t - время в wacax
8,43\ . • ^ . 1 1 ,
0t98 0,99 1,00 101 1,09 1,03 1,04 Щ
х (млн. морских миль)
Рис. 9.Ю6. Столкновение космического аппарата с Венерой.
114
I
I
6,0 \
I
«Г
I
I
1
I
Рис. 9.107. Оскулирующие элементы орбиты столкновения
аппарата с Венерой.
9.121
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ВСТРЕЧА
631
На рис. 9.108 представлена траектория полета, отличаю¬
щаяся от рассмотренной только величиной Ф0 = 61°,5 вместо
ф0 = 61°,7951. Эта разность соответствует изменению времени
встречи примерно на 1080/5767,670 « 0,18725 сут ^ 4,5 ч в сто¬
рону уменьшения. В этом случае аппарат проходит около Венеры
через 350,09 ч после прохождения точки ц0 = 330° при мини¬
мальной высоте от поверхности планеты, равной 2070 км
Орбита перелета к Венере.
RP-58452374морские мила -
Rj=808/9785морских миль -
' ВЦ5
7}д = 330°
t - время в часах
"Q 2 4 В 8 10 12 14 1В 18 20 22 24 26 28
х (млн. морских миль)
Рис. 9.108. Близкий пролет космического аппарата око¬
ло Венеры.
(1118 морских миль). В 349,05 ч аппарат имеет высоту 18 530 км
(10 000 морских миль), находясь над теневой стороной планеты
(рис. 9.109). В 350,21 ч, то есть 1,16 ч « 70 мин спустя, он пере¬
сечет терминатор и пролетит над освещенной Солнцем стороной
351,1
^58,2(Л—
^ 515
А—А ш 350.03 —349*{ = 349.0
$17 5,19 5,21 5,23 5,25 5,27
х (млн. морских миль)
5J9 5,31
Рис. 9.109. Близкий пролет космического аппарата около
Венеры (см. рис. 9.108).
Венеры. Высота полета в это время будет составлять примерно
2300 км (1250 морских миль). В 350,5 ч, или через 1,45 ч после
прохождения высоты 18 530 км, аппарат завершит пол-оборота
вокруг Венеры. Его высота над поверхностью планеты возра¬
стает к этому времени до 7400 км (4000 морских миль) и про¬
должает увеличиваться далее, достигнув вновь 18 530 км в
351,1 ч, или через 2,05 ч после прохождения этой высоты на
пути к Венере. В течение этого периода аппарат совершает обо¬
рот вокруг Венеры на 202°, из которых 67°,5 приходятся над
632
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
1ГЛ. 9
(эвл/г<?1/лцг XnxDdDtVг101)д
^ у- y у у y у ^
(тХдпс/г) U
(ovh /2 Qi/rnv xnwdow г1Д1) j
JC5 Ч ^3 ^
^ ^
3 шзшпопс/шнэПозд
„ , -• a - , - , , -n: ^ ^ 55$ ^
3 шзшпзпйшнзпзмд
4
(гЗзл/гя1/пиг xnxodow шит пншоз)д/Ц
^(Qi/rnv xnxodotY 'ним) v
(г OD/j/gQimw xnxjdow ж лшоз)д/ц
(чип иг ХПМОйОИГ HlfW) V
Рис. 9.110. Оскулирующие элементы орбиты аппарата при его близком пролете около Ве¬
неры (см. рис. 9.108).
9.12]
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ВСТРЕЧА
633
освещенной ее частью. Выбор высоты 18 530 км является «от-
меткой», ниже которой траектория может быть названа «близ¬
ей» к планете-цели. Оскулирующие элементы, зависимость ко¬
торых от времени представлена на рис. 9.110, указывают снова
на изменение орбиты после встречи в сторону приближения ее
к круговой. К сожалению, вычисления (см. рис. 9.109) не были
достаточно продолжены, чтобы получить новые гелиоцентриче¬
ские элементы орбиты.
б) Полет к Марсу. Параметры гелиоцентрической орбиты
перелета к Марсу следующие:
R# = 1,523691 а. е. = 123 142 000 морских миль,
l^A = Rd+7000 морских миль = 123 150 000 морских миль,
так как диаметр Марса равен 3574 морским милям. В случае
невозмущенной орбиты аппарат прошел бы над Марсом на ми¬
нимальной высоте около 9650 км (5210 морских миль).
Для Марса:
К* = 4,40439 . 104 кмъ/сек2\
jlx^ = 1886",519 в сутки;
скорость в перигелии VР = 32,72 км/сек;
эксцентриситет е0 = 0,207537.
Возмущения вводятся в рассмотрение при r\ = rjo = 163°,
когда R = 227,17036-10б км, то есть когда расстояние1) до
Марса равно 5,48-106 км. Из полного времени полета до афелия
772 = 261,458 сут только 21,574 сут приходятся на перелет в
этой области. Соответствующий угол, характеризующий поло¬
жение Марса, равен Ф0 = 78°,695.
Значение г)0 = 163° приводит к особенно удобному полету, по¬
скольку преследуется цель только близкого прохождения, но не
проведения наблюдений. На рис. 9.111 и 9.112 показано, что
после постепенного приближения к Марсу, которое длится более
трех недель, аппарат проходит над его теневой стороной на вы¬
соте 7400 км (4000 морских миль) через 2) 551,79 ч. В 552,42 ч,
или на 0,63 ч « 38 мин позднее, достигается наиболее близкая
к поверхности Марса точка орбиты высотой 2280 км (1231 мор¬
ская миля), все еще расположенная над теневой стороной Мар¬
са. Если смотреть со стороны Марса, то наблюдатель увидит
0 Здесь было выбрано большее расстояние, чем в случае перелета к
Иенере, из-за более медленного движения в афелии, что вызывает большее
пРемя полета в окрестность Марса.
2) Считая от момента прохождения точки орбиты, для которой т]о = 163°.
634
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
движение аппарата в сторону, обратную движению Марса, по¬
тому что планета имеет большую орбитальную скорость. Нако.
нец, когда в 552,91 ч аппарат появляется над освещенной сто¬
роной планеты, его высота полета равна 5380 км (2900 морских
Максимальное
сближение
596 . 552
432
-10 -О -6-4 -2 О 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
х (млн. моренах моль)
Рис. 9ЛП. Близкий пролет космического аппарата около Марса.
миль). Аппарат достигает точки над полностью освещенным дис¬
ком Марса в 573 ч9 и в это время расстояние до Марса стано¬
вится равным примерно 1 ООО ООО км (550 000 морских миль).
Максимальное приближение
\ 123,140
• /
551*
к—V-H
V X V у
553*77
СГ
-166 -1.66 -1,64 -163 -1,62 -1,61 -■ -1,60 -1,59
х (млн. морских миль)
Рис. 9.112. Близкий пролет космического аппарата около Марса (см.
рис. 9.111).
Казалось бы, что траекторию аппарата следовало бы «рас¬
положить» внутри орбиты Марса. Такого рода орбита была рас¬
считана, однако она приводит к большему расстоянию прохож¬
дения от планеты. Аппарат движется на высоте, равной
18 530.01, в течение трех часов, то есть примерно на один час
больше, чем во время прохождения Венеры, когда достигается
почти та же минимальная высота.
На рис. 9.113 показаны изменения оскулирующих элементов
во время встречи. Видно, что аппарат теряет энергию за время
)12J гиперболическая встреча 635
(DDfi/zWW xnuodoiv 01)j
%■
&
$
—I
81
—r~
Iff
a.
IP
* Й ^
11!
*ss§.
I
'i ii и и и
3 ШдШПЗП0ШЛЭ03)/£
0Dfi /2wnw xrwodowг/01)Q
& ;» Sj. s>. & &
3 шзшпзпашнз7?ох£
L. UL- I I L—I-.1...I I I I
N'V К- V N' V
(яIf лиг xnxodow ШИГЛНШ03)0
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
-лиг
н й H
(gOBfy/z Qi/mv xnxodm шит лншол) £/q
Рис. 9.113. Оскулирующие элементы орбиты аппарата при его близком пролете около
Марса (см. рис. 9.111).
636 МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ [Гл. g
гиперболической встречи. Траектория была рассчитана таким
образом, чтобы можно было определить гелиоцентрическую ор.
биту аппарата после пролета около Марса (она показана на
Точка
максимального
Рис. 9.114. Гелиоцентрические орбиты космического аппарата
до и после близкого пролета около Марса.
рис. 9.114). Орбита после пролета не подходит близко к Земле,
кроме тех случаев, когда может быть осуществлена последую¬
щая встреча с Марсом.
в) Полет к Юпитеру. В качестве последнего, некоторым об¬
разом теоретического, примера была рассчитана траектория по¬
лета космического аппарата к Юпитеру. Приведем ее пара¬
метры:
= 5,202803 а. е. = 4,20 • 108 морских миль,
Ra = R2j. — Ю6 морских лшлб = 4,19- 108 морских миль.
Невозмущенная траектория должна была бы пройти около
Юпитера на расстоянии 1,85* 106 км (106 морских миль), то есть
примерно на расстоянии, равном среднему расстоянию от Юпи¬
тера до его спутника J IV (Каллисто) — самого отдаленного
из четырех открытых Галилеем спутников. Следует заметить,
9.12]
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ВСТРЕЧА
637
что при расчетах влияние спутников Юпитера не принималось
Бо внимание, так как учет их влияния дал бы весьма малое
уточнение, поскольку медленно двигающийся космический аппа¬
рат был бы буквально «втянут» Юпитером, подобно тому как
пылинка всасывается смерчем.
Другие параметры равны:
К'ц. = 1,27268 • 10* кмг/сек2\
[ijj. = 299", 128 в сутки;
VР = 38,65 км/сек;
£© = 0,67692.
Возмущения учитывались, начиная со значения т] = г|0= 160°,
когда R = 6,89726-108 км (3,72422-108 морских миль), то есть
420 7282>7 —
%тI
| 390
§
1380
%370
%
%360
35050 70 00 110 130 150 170 100 210 230
х (млн. морских миль)
Рис. 9.115. Орбита столкновения космического аппарата с Юпитером.
на расстоянии 183-106 км от Юпитера. Время полета аппарата
по невозмущенной траектории до точки RA составило бы Т/2 =
= 994,6 сут. К моменту прохождения точки т]0 = 160° проходит
уже 391,54 сут, или 1,0727 года полета. При t = 0 ускорение
силы притяжения Юпитера составляет величину порядка
4-10~7g-. Рассматриваемый полет подробно иллюстрируется
Рис. 9.115—9.117. В течение 6368 ч, то есть в течение 0,727 года,
Юпитер медленно, но неизбежно «изгибает» траекторию полета
До тех пор, пока не достигается «остановка» космического ап¬
парата. С этого момента времени начинается обратное движе¬
ние и в 7282,1 ч, или примерно через 914 ч ^ 38 сут, космический
аппарат сталкивается с Юпитером.
Громадное искажение траектории указывает на необыкно-
ненно большой допуск на требуемую точность полета. Рис. 9.115
7282,7
638
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
показывает, что отклонение расстояния до афелия на величину,
несколько большую миллиона морских миль, при невозмущен-
ном движении не сможет «спасти» аппарат от столкновения.
726z.i
Ц417
|
Ч 4 14
I 413
*»4/2'
50
Г7266
7/76
7069,7
\6900
Диаметр
Юпитера
6900 1
^6766
'736
\6640
6/60
52 54 56 58 60 62
ос (млн. морских миль)
64
66
68
Рис. 9.116. Орбита столкновения космического аппарата с Юпитером
(см. рис. 9.115).
30-
28-
^26-
§24-
^22-
§20-
^73-
76 -
74 -
72-
240
220
^200
| 780
%160
I 740
| 720
%700
\ 80
I 30
& 40
20
О
7277
7278
7273 7260
Время (часы)
7287
7282
-220^
Рис. 9.117. Оскулирующие элементы орбиты столкновения
с Юпитером (см. рис. 9.115).
аппарата
Такому отклонению при невозмущенном движении соответ¬
ствуют ошибка в гелиоцентрической скорости старта величиной
8,2 м/сек (28 фут/сек) и ошибка в геоцентрической скорости
старта величиной 4 м/сек (13 фут/сек).
9.13. Чувствительность к ошибкам выведения
и диаметр столкновения
для Венеры, Марса и Юпитера
Теория траекторных ошибок при межпланетном полете об¬
суждалась в главе 3 для случаев перелета в гелиоцентрическом
центральном поле тяготения и в главе 4 для случаев перелета
в поле двух тел. Применение результатов этих исследований
9.13]
ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ к ОШИБКАМ ВЫВЕДЕНИЯ
639
к энергетически оптимальным орбитам перелета от Земли к дру¬
гим планетам приведет к определению допуска на возможные
ошибки в векторе скорости в конце активного участка, при ко¬
торых все же обеспечивается столкновение с планетой. Пред¬
полагая, что при данной скорости произойдет точное столкнове¬
ние космического аппарата с центром планеты, можно опреде¬
лить допуск как предел вариации скорости в конце активного
участка, при котором возможно попадание в периферийные об¬
ласти диска планеты. Были получены два допуска на ошибки:
один на гелиоцентрические ошибки (перелет в центральном поле
сил), второй на геоцентрические ошибки (перелет в поле двух
тел). При оценке гелиоцентрических ошибок предполагается,
что аппарат точно уходит из геоцентрического поля и что ошиб¬
ка содержится в начальной гелиоцентрической скорости пере¬
лета. Геоцентрические ошибки есть ошибки в гиперболической
скорости ухода межпланетного аппарата в конце активного
участка.
В § 4.10 было показано, что чувствительность к геоцентри¬
ческим ошибкам значительно выше, чем к гелиоцентрическим.
Определенные без учета притяжения соответствующей плане¬
ты 1) допустимые гелиоцентрические и геоцентрические ошибки
Представлены в таблице 9.10. Очевидно, указанные значения
Таблица 9.10
Чувствительность к ошибкам
(приближение по касательной к планете-цели)
‘Венера
Марс
Юпитер
Притяжение планеты-цели не учитывается
Допустимая гелиоцентрическая
ошибка, обеспечивающая столкнове¬
ние (по отношению к точному стол¬
кновению с центром диска планеты),
м/сек
±0,512
±0,091
±0,345
Соответствующая допустимая гео¬
центрическая ошибка, м/сек . . . .
±0,044
±0,024
±0,155
Притяжение планеты-цели учитывается
Допустимая гелиоцентрическая
ошибка, м/сек
«±1,5
«±0,3
> ±30
Допустимая геоцентрическая ошиб¬
ка, м/сек
«±0,15
«±0,08
> ±15
0 То есть в действительности просто отклонения координат в ииерциаль*
Ном пространстве в пределах, определяемых соответствующим диаметром
планеты.
640
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
(ГЛ. э
допусков являются очень малыми, чтобы их можно было
серьезно рассматривать как технически реализуемые.
Однако в действительности «фокусирующий эффект» грави¬
тационного поля планеты значительно меняет положение. Этот
эффект возрастает в случае полета к большим планетам и по
мере увеличения времени пребывания космического аппарата
в поле притяжения планеты. Следовательно, в случае энерге¬
тически оптимальной орбиты перелета * возможная ошибка в
скорости определяется временем пребывания аппарата в поле
притяжения планеты в сочетании с величиной ее гравитационного
поля. На рис. 9.106, например, показано, что при полете к Ве¬
нере промах величиной 2г002= 6700 морских миль « 12 400 км
(который представляет собой расстояние, на котором аппарат
прошел бы мимо Венеры без учета ее притяжения) все еще при¬
водит к столкновению с Венерой. Видно, что, поскольку столкно¬
вение происходит довольно далеко от центра диска планеты,
допустимые промахи не могут быть много больше этой вели¬
чины. На основании вычислений, приведенных в § 9.12, можно
предположить, что возможные смещения перигелия на величину
порядка 18 530 км ведут к столкновению с Венерой. Так как для
Венеры Aft.,,,,/Ар, <» 23 000 (М-НУ^) (о».
таблицу 4.3), то приведенное выше смещение определяет, сле¬
довательно, допуск на гиперболическую (геоцентрическую) ско¬
рость старта, равный примерно ±0,15 м/сек. Хотя в процентном
отношении увеличение допуска является очень большим (по
сравнению с допуском в случае, когда притяжение планеты не
учитывается), абсолютное значение допуска остается чрезвы¬
чайно малым.
В случае перелета к Марсу минимальное расстояние от Мар¬
са с учетом его притяжения составляет 8700 км вместо 13 000 км
в случае, когда притяжение не учитывается (см. § 9.12).
Поэтому оказывается, что промах ± 11 000 км относительно
центра диска Марса в этом случае приводит к столкновению
с Марсом. Так как в соответствии с таблицей 4.3 для Марса
Aflapsis/A^ 21 800 M0P;K;iTb t1’35 • 105 ^)> указанный до-
пуск на ошибку в геоцентрической скорости равен примерно
± 0,08 м/сек.
В случае перелета к Юпитеру вычисления, приведенные
в § 9.12, позволяют сделать вывод, что возможные ошибки при
геоцентрическом старте должны быть в пределах ±30 м/сек.
Рассмотренные допуски на ошибки в скорости помещены
в таблице 9.10. На основании этих величин, а также данных
таблицы 4.3 можно определить, что диаметр столкновения для
9.Н]
ОПЕРАЦИИ ЗАХВАТА
641
Венеры равен приблизительно 40 000 км, или примерно трем
диаметрам планеты, а для Марса — приблизительно 22 ООО км,
йЛи около 3,4 диаметра планеты. В случае приближения косми¬
ческого аппарата по касательной к траектории планеты радиусы
столкновения являются особенно большими, так как относитель¬
ные скорости космического аппарата и планеты невелики, и ап¬
парат движется почти параллельно орбите планеты. В этом слу¬
чае аппарат находится на близком расстоянии от планеты
значительно дольше, чем в том случае, когда встреча происхо¬
дит по пересекающей траектории (планету можно считать не¬
подвижной, а траекторию встречи — правильной гиперболой).
9.14. Операции захвата
Тот, кто не знаком с механикой космического полета, часто
встречается с трудностями в правильном представлении манев¬
ра, который должен выполнить космический аппарат для того,
чтобы быть захваченным планетой-целью. Например, если аппа¬
рат приближается к Марсу по энергетически оптимальной ор¬
бите перелета, должна траектория его полета проходить внутри
или снаружи орбиты Марса? Ответ заключается в том, что если
подразумевается посадка аппарата на поверхность Марса, ма¬
невр захвата космического аппарата должен начинаться внутри
орбиты Марса. Если же космический аппарат не будет осуще¬
ствлять посадку, то с точки зрения механики полета не имеет
значения, с какой стороны осуществляется подход. Это по¬
ясняется рис. 9.118. Скорость аппарата в афелии VA примерно
на 2430 м/сек меньше, чем скорость Марса U&. Следовательно,
космический аппарат должен быть впереди Марса в момент при¬
ближения к афелию. Когда Марс догоняет аппарат, относи¬
тельная скорость невозмущенного космического аппарата Voo =*
= —2430 м/сек. Таким образом, аппарат движется по прямой к
соответствующей орбите захвата (орбите спутника), по которой
он будет обращаться против направления движения часовой
стрелки. Это показано в нижней части рис. 9.118, где изображен
этот процесс в планетоцентрической системе координат (Марс
расположен в начале координат). Космический аппарат прибли¬
жается к Марсу со скоростью Уоо = 2430 м/сек. Возмущающее
Действие Марса изменит направление вектора скорости Vco на
угол Д£, как об этом говорилось уже в § 4.4. Это направление
скорости не следует путать с гелиоцентрическим направлением
после встречи, которое образует с направлением скорости U#
Угол р2, определяемый выражением sin = у«> sin £2/^2, где
£2 = £, -AS, A£ = 2arcsin(j) и V\= U% + + 2(7^ cos£2.
41 К. Эрике, т. II
642
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
Однако аппарат не последует по уходящей ветви траектории
так как в перицентре или вблизи него аппарату будет сообщен
импульс прибытия Ду2гг = 2Кг/Гр + - xKajrp, где 1 < х < |А2,
Рис. 9.118. Захват космического аппарата у Марса, когда
перелет осуществляется по энергетически оптимальной эл¬
липтической орбите.
причем х= 1 для круговой орбиты захвата радиуса rPj х= 1,2
для эллиптической орбиты с гА/гР = 2,7, х= 1,3 для орбиты с
Га!гр = 5,8, х = 1,4 для орбиты с rAjrP = 30 и так далее. В по¬
следующих вычислениях будут использованы значения х = 1,2
и х = 1,3 для гА/гР ^3 и гА/гР « 6 соответственно.
Из рис. 9.118 можно видеть, что если бы аппарат при под¬
ходе был снаружи орбиты Марса и впереди него, то он вышел
бы на орбиту обратного вращения. Это было бы неблагоприят-
ОПЕРАЦИИ ЗАХВАТА
643
biM Для посадки, потому что спуск космического аппарата и
ь следующий его подъем на орбиту происходили бы против на¬
бавления вращения планеты. Если посадка не предполагается,
то как указывалось выше, направление подхода не имеет ни¬
какого значения с точки зрения механики полета.
Рассмотрим теперь быстрый полет к Марсу, например траек¬
торию перелета 12: время пребывания у планеты 30 сут; пери-
телийное расстояние эллипса орбиты возвращения 0,9 а. е.\ афе-
лийное расстояние эллипсов полета к Марсу и обратно RA =
^1,95 а.е. На рис. 9.119 изображена эллиптическая орбита
Рис. 9Л19. Гиперболическая встреча с Марсом при по¬
лете по быстрой переходной эллиптической орбите.
перехода к Марсу, которая пересекает орбиту Марса при
т1овв105о>5. Средняя орбитальная скорость Марса Ud =
^ 24 ООО м/сек (78 890 фут/сек). Скорость прибытия в точке
пересечения (то есть гелиоцентрическая скорость перед ветре-
чей) V, = У К [2/R* -2/{RA + RP)] » 23 400 м/сек (77 000 фут/ сек).
^гол пересечения Pi = 19° 53' и, следовательно, относительная
скорость1) Voo = 8170 м/сек (26800 фут/сек). Необходимо
1) Из соответствующих уравнений, приведенных в § 4.4 и 4.5.
41*
644
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
отметить, что если V\ cos fr < Uv\, то для определения ^ сле¬
дует использовать соотношение
sin(180°-£1) = -^sinpI, (9.163)
если же V\ cos pi > Uv\, левая часть заменяется на sin [в боль¬
шинстве случаев используется выражение (9.163)]. В рассматри¬
ваемом случае получаем = 102°,6. Полуось гиперболы захвата
оказывается равной 640 км (346 морских миль).
Теперь необходимо задать расстояние гР от планеты или вы¬
брать какой-то другой эквивалентный параметр. При рассмотре¬
нии гиперболической встречи можно выбрать:
а) любое произвольное расстояние пролета для осуществле¬
ния конкретных целей полета (то есть или максимально близ¬
кое приближение к планете, или приближение к ней на такое
расстояние, которое даст требуемое направление гелиоцентриче¬
ской скорости после гиперболической встречи);
б) расстояние, обеспечивающее оптимальный одноимпульс-
ный маневр для перехода на планетоцёнтрическую орбиту;
в) орбиту перелета таким образом, чтобы обеспечить мак¬
симальное приращение гелиоцентрической скорости вследствие
гиперболической встречи.
Эти условия определяют гР.
В рассматриваемом случае, когда предполагается захват
у Марса, можно выбрать условие (б).
Из § 4.3 следует, что расстояние г в случае выбора усло¬
вия (б) равно:
2 К
г = —^г = 2а= 1280 км (692 морские мили).
В случае, если выбирается условие (б), имеем г = 2а, е = 1 +
+ г/а = 3, половина угла между асимптотами гиперболы Ф =
= arccos^yj = 70° 31' и планетоцентрический угол отклонения
= arcsin = 38° 58' ^ 39°. Эти значения характеризуют
каждую гиперболу, рассчитанную для данного г. В рассматри¬
ваемом случае г < г00 (радиус Марса г00 = 3310 км) и, следо¬
вательно, осуществление такого маневра невозможно. На
рис. 9.119 тонкими жирными линиями показаны теоретическое
отклонение траектории на угол Д£, угол fr — fr и выигрыш
у2—V\ = 4560 м/сек (15000 фут/сек), который мог бы быть по¬
лучен, если бы такая гиперболическая встреча была возможной.
Теперь выберем условие (а) и положим гР = 5180 км
(2800 морских миль), то есть минимальное расстояние от пла¬
9.Н]
ОПЕРАЦИИ ЗАХВАТА
645
неты будет равно 1870 км (~ 1000 морских миль), что для
30-суточного пребывания на орбите спутника может оказаться
«безопасной» высотой, учитывая недостаточно изученную атмо¬
сферу Марса. В этом случае (толстые жирные линии на
рис. 9.119): е = 9,1; угол Д£ равен 11° 34'; угол Pi — р2 ~ 1°,5 и
у2 & 25 200 м/сек (83 000 фут!сек), то есть разность V2—V\ рав¬
на примерно \Ъ№ м/сек (6000 фут/сек) в том случае, когда целью
полета является пролет. Планетоцентрическая скорость в пери¬
центре гиперболы оказывается равной 9120 м/сек (3000 фут/сек).
Круговая скорость на расстоянии гР равна 2870 м/сек
(9450 фут/сек). Таким образом, для выполнения перехода на
круговую орбиту при гР = 5180 км импульс торможения должен
быть равным Д^агг = 9120 — 2870 « 6250 м/сек (20 550 фут/сек).
Для эллиптического захвата соответствующие значения импуль¬
са торможения равны 5680 м/сек (18 660 фут/сек) при гА/гР = 3
и 5400 м/сек (17 710 фут/сек) при гА/гР = 6. Хотя такая эконо¬
мия энергии при использовании эллиптических орбит захвата
не является пренебрежимо малой, но, с другой стороны, она и
не слишком велика. По этой причине траектория перелета 12
не может быть практически использована для космических аппа¬
ратов с двигательной установкой, работающей на химическом
топливе, в то время как ядерные или электрические реактивные
установки, использующие водород, имеют столь высокий удель¬
ный импульс (800-^2000 сек), что обеспечение таких импульсов
скорости является возможным; при этом отношение масс суще¬
ственно не меняется, кроме тех случаев, когда предусматри¬
вается посадка на планету.
Однако можно видеть, что для внешних планет захват на
эллиптическую орбиту осуществляется с относительно большей
экономией энергии вследствие того, что более мощные гравита¬
ционные поля внешних планет увеличивают разность между
круговой и параболической скоростями до значительно большей
величины [так, например, у «поверхности» Юпитера эта разность
равна почти 18 000 м/сек (60 000 фут/сек)]. При обсуждении воз¬
можности быстрого параболического перелета Земля — Луна
подчеркивалось, что возрастающая требуемая энергия для осу¬
ществления лунного захвата может быть частично, компенсиро¬
вана выбором соответствующей эллиптической орбиты захвата.
Это утверждение справедливо и для случаев перелета к внеш¬
ним планетам солнечной системы.
В качестве примера на рис. 9.120 показана гиперболическая
встреча с Юпитером космического аппарата, совершившего
перелет по параболической траектории. Расстояние в пери¬
центре гР выбирается таким образом, чтобы отклоненный век¬
тор Voo стал параллелен вектору 1/^, обеспечивая тем самым
646
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. g
максимально возможное приращение гелиоцентрической -скоро¬
сти после встречи. На рис. 9.121 показан случай захвата на
круговую и эллиптические орбиты. Для случая гА/гР = 6 изобра¬
жены два эллипса, иллюстрирующие различие между торможе¬
нием с малой тягой (большая полуось эллипса образует угол
(//) Планетоцешрическая система
Рис. 9.120. Гиперболическая встреча с Юпитером,
при которой получается максимальное приращение
скорости для гиперболического ухода из солнеч¬
ной системы.
с полуосью гиперболы) и быстрым торможением импульсного
типа. Пунктирной линией на рис. 9.121 изображены энергети¬
чески оптимальный одноимпульсный переход на круговую орбиту
спутника радиуса г и захват на эллиптическую орбиту с
г а!гР = 6.
ОПЕРАЦИИ ЗАХВАТА
Гипербола, обеспечив^
максимальное приращение
скорости
Гипербола энергетически
оптимального одно-
имп/льсного захвата
Рис. 9.121. Захват космического аппарата, совершаю¬
щего перелет от Земли к Юпитеру по параболической
орбите перехода, на круговую и эллиптическую орбиты.
ГА=б а.е.
Невозмущенныи
эллипс перехоба
Орбита, позволяющая
получить возвращение
при прохождении около
Юпитера на расстоянии
77,7 рабиуса Юпитера
Уход
с орбить/ Земли
Новая орбита
космического
аппарата
Невозмущенная
орбита перехг^а
Гиперболическая встреча,
вь/водящая орбиту космического
корабля из плоскости эклиптики
Рис. 9.122. Примеры маневров, выполняемых благо¬
даря гиперболической встрече с Юпитером и приво¬
дящих к быстрому возвращению в область внутренних
планет и к выведению орбиты космического аппарата
из плоскости эклиптики.
648 МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
Таблица 9 ц
Параболический перелет к Юпитеру
(I) Общие данные
(II) Гиперболическая
встреча для
максимального
увеличения скорости
(III) Захват для
случая (II)
(IV) Оптимальный
одноимпульсный
захват на круГо "
орбиту 0
Ra/R®=°°
Ро - 2 а. е.
т)0=127°,55'
^Р =
= 138 ООО фут/сек
Pi = 64°
Fi =
“ 60 600 фут/сек
ч-
= 42 860 фут/сек
*оо“
= 57 300 фут/сек
g, = 108° 23'
а=226 000 морских
миль
Д£- Ю8° 23'
е = 1,232
rP в
= 52 500 морских
миль (высота у =
= 15 200 морских
миль)
Ф = 35° 55'
р2 = о
^2 =
= 100 200 фут/сек
72-7,-
= 40 000 фут/сек
= 80 000 фут! сек
(гелиоцентриче¬
ский гиперболи¬
ческий избыток)
= 167 000 фут/сек
V =
оо
= 177 500 фут/сек
/5-
= 118 300 фут/сек
VP (г а!гр = 3) =
= 142 000 фут./сек
vp(rAlrP = 6) =
— 153 800 фут/сек
Vp(rA/rP=30) =
= 165 900 фут/сек
Лг,агг =
= 58 800 фут/сек
(круговая, гА = гр)
^иагг “
= 35 500 фут/сек
(эллиптическая,
rVrP = 3)
^рагг =
= 23 700 фут/сек
(эллиптическая,
Гд/ГР = 6)
гр=7=452 000 мор.
ских миль
Д£ = 38° 58'
S2 = £i-A£=69°23'
е = 3,0
Ф= 70° 3 Г
а = 226 000 мор¬
ских миль
р2 = 49° 06'
=82 000 фиг/сек
= 21 400 фут/сек
1/5-,-
= 57 300 фут/сек
0^=81 000 фут/сек
ОПЕРАЦИИ ЗАХВАТА
649
П родолжение
(1) Общие данные
(II) Гиперболическая
встреча для макси¬
мального увеличения
скорости
(III) Захват для
случая (II)
(IV) Оптимальный
одноимпульсный
захват на круговую
орбиту
^уагг “
= 11 600 фут!сек
(эллиптическая,
rjrp- 30)
= 40 500 фут/сек
Мгл/Г“3) =
= 48 600 фут/сек
Мгл/7 = 6)“
= 52 600 фут/сек
Мгл/7=30) =
= 56 700 фут/сек
^иагг ~
= 40 500 фут/сек
(круговая, г = г)
Дг,агг =
= 32 400 фут/сек
(эллиптическая,
га/7=3)
^уагг =
= 28 400 фут/сек
(эллиптическая,
га17= 6)
Дг,агг =
= 25 400 фут/сек
(эллиптическая
гА/г = 80)
Данные, относящиеся к представленным на рис. 9.120 и
9.121 случаям перелета, приведены в таблице 9.11. Из рас¬
смотрения столбца (II) видно, что можно достичь максималь¬
ного выигрыша в скорости величиной 40 ООО фут/сек
(12 000 м/сек) при приближении к Юпитеру по параболической
орбите перехода, перигелий которой находится на расстоянии
1 а. е. Представляет интерес сравнение энергетических требова¬
ний при выполнении захвата в случаях (III) и (IV). Оптими¬
зация одноимпульсного перехода (захвата) на круговую орби¬
ту приводит к уменьшению импульса скорости на величину око¬
ло 5500 м/сек (18 000 фут/сек). Тем не менее при переходе на
650
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
эллиптическую орбиту (что приводит к значительной экономии
энергии в любом случае) отличие случаев (III) и (IV) Пр
га\гр = 3 все же является пренебрежимо малым. Захват На
близком расстоянии в случае (III) при rAjrP = 6 немного выгод,
нее, но при гА/гР = 30 экономия значительно больше. Этот слу¬
чай представляет несомненный интерес, так как позволяет осу.
ществить исследование большой области пространства около
Юпитера при помощи сильно вытянутой и быстро прецессирую-
щей орбиты.
В заключение следует отметить, что гиперболическая встреча
может быть использована также для уменьшения скорости кос¬
мического аппарата и возвращения его в область старта. Подоб¬
ная ситуация изображена на рис. 9.122. В этом случае аппарат
пересекает орбиту Юпитера впереди планеты, в результате чего
он теряет энергию по отношению к Солнцу, и после ухода от
Юпитера «падает» в область внутренних планет. Обратный по¬
лет выполняется без каких-либо или с очень малыми затратами
собственной энергии аппарата.
9.15. Космическая навигация
Орбиты перехода или траектории полета определяются, ис¬
ходя из трех основных положений: цели полета, конструктивных
возможностей космического аппарата и местоположения точки
старта. Обзор космических летательных аппаратов был прове¬
ден в § 2.41). В таблице 9.12 помещены характеристики некото¬
рых космических перелетов [аналогично таблице 2.4 г)] с точки
зрения механики полета и его конечной цели. Два наиболее
важных различия между лунным и межпланетным полетами
состоят в больших изменениях расстояния от Земли и в большем
разнообразии траекторий перелета и захвата, а также энергий
переходных орбит при заданной угловой дальности перелета,
зависящей от положения точки гелиоцентрического старта по
отношению к линии узлов планеты-цели. Понятно, что выбор
траектории межпланетного перелета в общем случае более ело-
жен, чем выбор траектории полета к Луне.
Наиболее простым полетом с точки зрения механики полета
следует считать полет «блуждающей» межпланетной автомати¬
ческой станции, целью которого является просто создание не*
возмущаемой гелиоцентрической орбиты, которая даст возмож¬
ность исследовать некоторую область космического простран¬
ства, например пространство между Землей и Венерой, Зем¬
лей и Марсом и более далекие области. Для первых зондов,
]) См. «Космический полет», т. I.
Некоторые космические перелеты и их характеристика с точки зрения механики
9.15]
КОСМИЧЕСКАЯ НАВИГАЦИЯ
651
Я
£
£
Ч
\о
Я
Н
cd
н
ч
о
в
cd
Ен
Я
VO
Он
о
ч
cd
Он
8->
О
О)
(V
Он
Он
(V
О)
я
я
я
я
Ен
Ен
Я
я
VO
\о
Он
Он
О
о
ч
ч
я
я
я
я
я
я
<v
а>
ч
ч
ч
ч
£ *
« я
Ч
о
X
к
о
X
о
Я
ч
<D
С-.
з
Л &
н s
о 'О
§&
с
cd
ь
53
VO
Он
о
ч
cd
Он
н
о
я
(АЗ
<и о
Он и
О) со
с о
« 5
ь о
к Ч
VO о
о
к
я
1=3
си
Е-
I 53
м
Ен
Ч Ч
со О
« « Л
я О CQ н—ч
О) СО >> g
Ч К Я я
Ч^" X
■ё Я
^ ч о 5
о к 3
X ч о
Он
н
О)
я
со
53
Ч
О
ч
<° ,
53
К !
ч ;
°
ч
►Л
н
о
о
я
о 2
Ь Ч
со
m
х
ч 2
со 00
X _
° 5
а £
Я Он
PQ о/
я
о
*8
х g
о °
<L>
5 м
Я о
Он £-<
Ё 2
S'S
о s
9Я
к
ч
о
VO
я Л Я
Л о» Е-
S с о
я о
О Он
Я
ч
£
О)
СО
Я £
О <D
СО О
Он £
о 5 5J
о Ч о
§ 8 н
S о к
к А
Я О
я Я
cd пп
m w
я к
* я
Cl, Я
5“«
5°
2 cj
Я о
cd
Он
н °
о§
И 5
£ с
5 ч
S ж
Я Я
х £ £
Ч
cd
£
я
я
<и
Он
н
о я
Ю Е-
Я
Ч
£
со
2 ^
Я о
^£
О) Я
О о
4 8
кг< VO
О
(D
Я
Я
<U
Он
Н
О
Я
О)
я
я
§
o.*S
о» 2
в 5
Я >?
(—1 1-а
И
X
Я
£ S
5 s
CQ о
Ен о
О У
О) *
6 К
о Ч _
о я 2
О Ч
о 2
к и л
*3 2
ЧэЯ g
О с
Он Я Ч
m о _
0) к о
* £ о
J3 х
S R W
Я О)
я я
Он
Ен
Ч
а
о
О)
я
Я
§
vo
Он
а>
я
я
(-.
Он
я
я
я
£
А ^
О ы
VO д
0.1
ь я
о я
я Ч
S g
N о.
О о
£ ч
о
я *
я О)
5 я^
нЕ К
Ен
Ьн Ч О
5 У 2
►нн Я Он
Зн Ен о
Я
Ч
О
VO
Он
<и
я
я
ч
я
»я о
Я СО
я 9®
*5 S
<L>
3
я
>.
X
я
я
Ен
>>
Я
U
я
Ч
я
о
о
я
ч
ч
ч
Ен
Я
Он >,
я я
я >»
54
<D
£
л
»я _
Я Ч
Я *
А °
2 со
я
Ч*К
х 3
Ч О)
(АЗ я
^ я
Ч
О
3
о
»я
3
я
Ен
Ч
Е
я
н
>1
я
X
ч
я
о
о
я
ч
ч
ч
я
Он >>
я я
я о»
я
я
652
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[Гл. 9
предназначенных для встреч с планетой, с их ограниченной
мощностью передатчика и ограниченной точностью ориентации
антенны важно избежать чрезмерных расстояний от Земли.
В дополнение к этому способность нести полезную нагрузку для
таких зондов ограничена; отсюда следующей важной целью яв¬
ляется сохранение малой энергетики перелета.
К счастью, как это было показано ранее, требования малого
конечного расстояния и малой энергии перехода легко согла¬
суются и часто хорошо могут быть удовлетворены одновременно
благодаря существующему наклонению между орбитами планет
и благодаря тому факту, что орбита межпланетного перелета
может быть значительно укорочена умеренным увеличением
энергии, сообщаемой при старте. Для планетных зондов такие
орбиты требуют значительной энергии захвата, что, по крайней
мере для ранних, ограниченных- по энергетическим возможно¬
стям зондов, будет неприемлемым с точки зрения величины по¬
лезной нагрузки, которую они могут нести.
По мере увеличения энергии реактивного движения меж¬
планетных кораблей либо путем использования больших ракет
на химическом топливе, либо путем использовании ядерных или
электрических реактивных двигательных установок значительно
возрастет свобода выбора орбит перехода в случае перелетов,
предполагающих захват. В настоящее же время требование ми¬
нимальной энергии для осуществления захвата является прева¬
лирующим над требованием очень малого расстояния, необхо¬
димого для осуществления связи в процессе захвата.
Конечно, существует некоторая возможность выбора в том
смысле, что, если рассчитанная мощность передатчика полу¬
чается очень высокой, а следовательно, и вес системы энерго¬
питания очень большим, требуется оптимальный компромисс для
минимизации суммы веса горючего и веса генератора электри¬
ческой энергии. С другой стороны, спутник планеты, в противо¬
положность зонду, осуществляющему гиперболическую встречу,
должен иметь соответствующую аппаратуру для длительного
функционирования. В течение времени функционирования спут¬
ника планеты расстояние между Землей и планетой-целью бу¬
дет меняться в очень больших пределах. Следовательно, спутник
должен быть либо снабжен мощной установкой для осуществле¬
ния связи на очень больших расстояниях, либо должна быть
предусмотрена система хранения информации, которая может
быть опрошена с Земли в период противостояния планеты.
Преимущество любой альтернативы определяется выбором пла¬
неты-цели, ожидаемого времени работы (функционирования)
спутника, приемлемой энергетической установки, характера из¬
мерений, скорости передачи информации, ширины полосы пере-
космическая навигация
653
датчика и, наконец, точности, с которой возможно осуществление
перехода на планируемую орбиту захвата. Эта точность может
определять время существования спутника тем, что он может
быть либо заторможен при помощи атмосферного сопротивле¬
ния в случае очень низкого перицентра, либо может уйти от
планеты, если скорость в перицентре будет достаточно близка
к местной параболической. Поэтому
медленные орбиты перехода, выби¬
раемые из-за малой чувствительности
к ошибкам, представляют для спут¬
ника планеты желаемую траекторию
полета.
Исследовательский космический ап¬
парат, осуществляющий мягкую по¬
садку на планету, в противополож¬
ность аппарату, предназначенному для
мягкой посадки на Луну, может не
производить маневра гашения скоро¬
сти, если только часть аппарата, пред¬
назначенная для посадки, будет иметь
достаточную тепловую защиту (по-
лужесткая посадка зонда). Наиболее
вероятно, что для того, чтобы избе¬
жать траты энергии на торможение
«бесполезной» части конструкции, по¬
требуется составной зонд для посадки,
осуществляющий отделение внешней
орбитальной секции (которая может
быть каким-либо образом уничтожена)
от посадочной станции. Однако, с дру¬
гой стороны, если космический аппа¬
рат, предназначенный для осуществления посадки, способен
осуществить вход в атмосферу планеты с гиперболической ско¬
ростью, то есть без маневра гашения скорости (жесткая по¬
садка), то может оказаться желательным использование «бес¬
полезной» части конструкции для увеличения коэффициента
торможения зонда. Ввиду больших межпланетных расстояний
и малых относительных размеров планет для зондов, предна¬
значенных для посадки (мягкой или жесткой), имеет большое
значение выбор таких орбит перелета, которые обеспечивали бы
большой диаметр столкновения с планетой или которые позво¬
ляли бы произвести конечный маневр (для увеличения диа¬
метра столкновения с планетой) с малой затратой энергии.
На рис. 9.123 показаны примеры возможных орбит перехода.
Эти орбиты, конечно, не являются единственно приемлемыми;
Рис. 9.123. Выбор орбит
перехода при межпланет¬
ных полетах.
654
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
они только подчеркивают определенные тенденции для некото¬
рых полетов. Для зондов, осуществляющих гиперболическую
встречу, сравнительно наиболее благоприятными являются быст¬
рые орбиты перелета ОП № 1 и ОП № 7 к Марсу и ОП № 1
и ОП № 4 к Венере. Ясно, что при полете к Венере ОП № 4
имеет меньшую чувствительность к ошибкам в скорости, чем
ОП № 1, тогда как ОП № 4 к Марсу является потенциально
более чувствительной к ошибкам в скорости, чем ОП № 1. ДЛя
спутников планет ОП № 4 к Марсу и ОП № 1 к Венере обеспе¬
чивают сочетание быстрой орбиты перехода (при помощи не¬
касательного старта с орбиты Земли) и минимальной энергии
захвата (путем приближения по касательной к планете-цели,
минимизируя посредством этого вектор разности скоростей пла¬
неты и космического аппарата). В то же самое время обе ор¬
биты перехода не дают чрезмерного расстояния для связи
с Землей на протяжении маневра захвата.
Перелет к Венере по ОП № 2 (на рис. 9.123 не показан; см.
рис. 9.2) обеспечил бы малую энергию захвата. Однако в этом
случае при наблюдении с Земли Венера оказывается располо¬
женной близко к Солнцу и проблема связи может быть ослож¬
нена из-за солнечных помех. Если выбирается орбита перелета
с подходом к Венере не по касательной, то ОП № 4 может рас¬
сматриваться как пример орбиты перелета с меньшей чувстви¬
тельностью к ошибкам в скорости, чем ОП № 3 для спутника
Венеры при равных энергиях захвата. В случае полета зонда,
предназначенного для осуществления посадки, диаметр столкно¬
вения с планетой-целью максимизируется увеличением времен¬
ного интервала, в течение которого космический аппарат «блуж¬
дает» в космической окрестности планеты-цели. В этом отноше¬
нии наиболее удачными являются ОП № 8 к Марсу и ОП № 3
к Венере, выбранные так, чтобы афелийное и перигелийное рас¬
стояния не отличались значительно от гелиоцентрического рас¬
стояния до планеты-цели. Кроме того, на этих орбитах перелета
маневр торможения, предназначенный для увеличения диаметра
столкновения планеты-цели, выполняется вблизи планеты наи¬
более экономичным образом сравнительно с другими орбитами
перелета. Однако ОП № 8 имеет тот недостаток, что она дает
очень большое расстояние между Землей и планетой-целью во
время посадки (возможно даже нахождение планеты и Солнца
на одной линии с Землей). Это в высшей степени нежелательно,
так как совершающий посадку зонд может быть уничтожен при
посадке, так что нельзя рассчитывать на сохранение информа¬
ции с той же уверенностью, как и в случае полета зонда-спут¬
ника планеты. Этот недостаток ОП № 8 может быть устранен
или по крайней мере исправлен выбором ОП № 6. По этой
9.15]
КОСМИЧЕСКАЯ НАВИГАЦИЯ
655
орбите космический аппарат движется сначала впереди Земли,
так что Земля быстро догонит его и, следовательно, окажется
немного впереди Марса в момент, когда космический аппарат
появится в окрестности планеты. Тем не менее недостатком этой
орбиты является высокая чувствительность к ошибкам скорости,
которая обусловлена более длительным действием возмущений
со стороны Земли на начальном участке перелета и очень боль¬
шим углом перелета.
.Какая бы ни была выбрана орбита перелета, на практике
полет по этой орбите не может быть осуществлен точно по при-
цине неизбежных ошибок и погрешностей. Тем не менее не каж¬
дая погрешность обязательно ведет к траекторным ошибкам.
Следует иметь в виду различие между тем, что может быть
названо изменениями траектории по схеме с обратной связью и
ошибками разомкнутой цепи. Первые по своей природе яв¬
ляются изменениями начальных условий (условий старта), но
такими, что эти условия столь же правильны в смысле достиже¬
ния цели, что и первоначально планируемые начальные условия.
Например, первоначально планируемыми параметрами старта
космического аппарата могут быть его пространственно-временное
положение (х, у, z, t) в заданной геоцентрической системе ко¬
ординат и вектор скорости в конце активного участка (x,y,z).
В процессе маневра ухода положение аппарата в конце ак¬
тивного участка может определяться координатами х + 8ху
у + by, z + 6-г, t + 61. Для этого положения существует вектор
скорости старта (х 4- 8i, у + 8 г/, z + 6£), который полностью
компенсирует ошибки положения, так что новые семь парамет¬
ров являются такими же точными в смысле достижения цели,
как и первоначальные, однако новая орбита перехода будет не¬
значительно отличаться от первоначальной. Следовательно, важ¬
ным является не достижение точного положения в конце актив¬
ного участка, а получение комбинации семи параметров конца
активного участка, которые обеспечивают попадание траекто¬
рии в точку целы. Если имеется ошибка во времени, координаты
х, у, г, х, у, z должны быть изменены таким образом, чтобы ком¬
пенсировать эту ошибку. Если высота у точки, соответствующей
концу активного участка, имеет ошибку, координаты х, у, г,
Должны быть изменены таким образом, чтобы компенсировать
ошибку в высоте г/, и т. д. Важно то, что система наведения
должна скорректировать эти ошибки таким образом, чтобы кос¬
мический аппарат мог прибыть в некоторую правильную точку,
а не в заранее заданную точку конца активного участка. Систе¬
ма наведения может это сделать, если она допускает достаточ¬
ное число измерений и расчетов. Этот вопрос будет кратко об¬
суждаться ниже.
656
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
Схема с обратной связью означает, что система наведения
может выполнять необходимые измерения и компенсировать
ошибки, соответствующим образом управляя космическим аппа¬
ратом. Таким образом, изменения параметров в схеме с обрат¬
ной связью в принципе ведут не к ошибкам в траектории пере¬
лета, а только к ее незначительным отклонениям. В этом случае
мы будем иметь не единственно правильную траекторию, а бес¬
конечное число правильных траекторий. Конечно, эти траектории
мало отличаются одна от другой. Если
единственно правильная траектория
может быть представлена как кривая,
то изменяемые траектории по схеме
с обратной связью позволяют осуще¬
ствить полет по пучку кривых, а не по
одной кривой (рис. 9.124).
Нельзя сказать, что ошибки стар¬
та, определяемые как неправильные
пространственно-временные условия в
конце активного участка, в действи¬
тельности не могут иметь места; од¬
нако в этом ‘случае они не будут вхо¬
дить в схему с обратной связью. Они
вызываются такими условиями, кото¬
рые либо система наведения неспо¬
собна определить, либо система наве¬
дения и космический аппарат не мо¬
гут скорректировать. Например, если аппарат во время подъема
в атмосфере испытывает боковой снос в результате действия
сильного ветра и если система наведения не имеет возможно¬
сти определить, измерить и скорректировать этот боковой снос,
то будут иметь место ошибки разомкнутой цепи в положении
конца активного участка. Аналогично, если скорость имеет
большую ошибку, то может оказаться невозможным скомпенси¬
ровать такую ошибку изменением положения космического
аппарата.
Маловероятно, что в современных системах управления бу¬
дут иметь место большие ошибки. Первая причина появления
ошибок в определении положения конца активного участка обу¬
словлена неизбежными малыми погрешностями системы управ¬
ления и погрешностями механических систем аппарата, которые
будут рассмотрены ниже. Самый главный источник ошибок
разомкнутой цепи, то есть истинных ошибок траектории полета,
в настоящее время заключается в неточном знании используе¬
мых астрономических констант, то есть орбит планет, их масс
и особенно астрономической единицы.
Рис. 9.124. Схематическое
изображение пучка пра¬
вильных траекторий пере¬
лета, получаемого по схеме
с обратной связью.
9.151
КОСМИЧЕСКАЯ НАВИГАЦИЯ
657
Как указывалось в гоме I книги «Космический полет», раз¬
меры солнечной системы были определены очень точно Гауссом
на основании третьего закона Кеплера; более или менее точно
определены значения земного сидерического года и отношение
массы Земли к массе Солнца. Однако размеры солнечной си¬
стемы должны быть выражены в единицах среднего расстояния
от Земли до Солнца, то есть в астрономических единицах. Не¬
определенность астрономической единицы приводит к неопреде¬
ленности при выражении этих размеров в физических единицах,
например в сантиметрах, в которых градуированы все инстру¬
менты. При значении астрономической единицы, лежащем в пре¬
делах от 1,495* 108 до 1,496* 108 км, существует неопределенность
порядка ±50 000 км относительно значения 1,4955* 108 (1 ±
± 0,00033)/ои, то есть неопределенность около 3-10-4. Эта не¬
определенность основана на разногласиях между значениями,
полученными Рэйбом и Спенсер-Джонсом, и значениями, исполь¬
зуемыми в американских эфемеридах, и соответствует неопре¬
деленности в круговой скорости, на расстоянии 1 а. е. равной
почти 20 м/сек. Разность между значениями Рэйба и значения¬
ми американских эфемерид (1,4953 • 1013 см и 1,4950 • 1013 см
соответственно) дает неопределенность, приблизительно рав¬
ную 1/10 000. Геррик и его сотрудники приняли [5] значение
астрономической единицы, равное 1,495(1 ±0,0001)- 1013 см, со¬
ответствующее неопределенности 1/10000 или около 11,5м/сек.
В любом случае неопределенность является очень большой для
осуществления некорректируемых межпланетных перелетов.
Признано, что уточнение астрономической единицы будет наи¬
более важным вкладом в увеличение точности межпланетной
навигации ]).
Дополнительная ошибка разомкнутой цепи вводится неопре¬
деленностью гравитационного параметра Земли. Среди приве¬
денных в томе I книги «Космический полет» значений /Се экс¬
тремальные значения равны: /Се = 398 546 км3/сек2 и /Се =
= 398 587 км3/сек2. Давая равный вес этим значениям, можно
принять следующее среднее значение гравитационного пара¬
метра: /Се ~ 3,98566(1 ±0,00005) • 1020 см3/сек2. Это значение со¬
ответствует неопределенности порядка 0,45 м/сек в геоцентриче¬
ской параболической скорости. Неопределенность массы Луны
увеличивает эту неопределенность на пренебрежимо малую ве¬
личину, поскольку, как было показано ранее, масса Луны мало
«добавляет» к гравитационному параметру системы «Земля —
Луна».
!) Радиолокация планет, произведенная советскими и американскими
учеными, позволила уменьшить неопределенность астрономической единицы
примерно в 100 раз. {Прим. ред.)
42 К. Эрике, т. II
658
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. э
В этой главе ранее было показано, что приемлемый допуск
на геоцентрическую ошибку в случае столкновения с Марсом
или Венерой при компланарном гомановском перелете прибли¬
зительно равен ±0,15 м/сек и ±0,08 м/сек соответственно при
геоцентрической скорости старта, равной примерно 11 500 м/сек.
Такие требования по точности намного превосходят достигнутые
в настоящее время или ожидаемые в ближайшем будущем тех¬
нические возможности. Указанная неопределенность астрономи¬
ческих констант в значительной степени превосходит допуск на
Рис. 9.125. Старт марсианского зонда с орбиты ожидания.
технические погрешности. Однако, даже если неопределенность
астрономических констант будет сильно уменьшена, что, оче¬
видно, произойдет не в столь отдаленном будущем, остающиеся
погрешности являются гем не менее очень большими для осу¬
ществления точного межпланетного полета.
С точки зрения управления и навигации полет в космос со¬
стоит из четырех фаз:
активный участок (рис. 9.125),
геоцентрический уход (исключая случай полета к Луне),
промежуточный участок (долунный или гелиоцентрический
полет),
конечная фаза (рис. 9.126).
Активный участок может быть непрерывным или прерывным.
В первом случае он представляет собой подъем с поверхности
9.15]
КОСМИЧЕСКАЯ НАВИГАЦИЯ
659
под действием ускорения тяги до момента набора скорости ухо¬
да. Во втором случае космический аппарат поднимается на ор¬
биту ожидания и стартует с нее после участка свободного дви¬
жения (рис. 9.127). Необходимо заметить, что орбита ожидания
сама по себе не вносит неопределенности в условия в конце по¬
лета. Ее энергия остается постоянной при условии, что на аппа¬
рат действуют только консервативные силы (то есть нет таких
j.
Щу ■
Щ ^I Ip*'- ?
ч...
. *
Рис. 9.126, Маневр захвата зонда у Марса.
сил, как атмосферное сопротивление, электромагнитное сопро¬
тивление и т. п.). Наиболее вероятно, что орбита ожидания бу¬
дет иметь слегка измененную форму из-за ошибок выведения,
но ее параметры тем не менее должны быть точно известны.
Вследствие отклонений в форме орбиты высота и скорость кос¬
мического аппарата в любой точке на орбите будут также иметь
отклонения, что требует компенсации условий старта для задан¬
ного азимута на орбите по типу схемы с обратной связью. Если
такая компенсация вводится, то незначительные изменения фор¬
мы орбиты ожидания не обязательно вносят ошибки в операцию
при условии, что энергия орбиты ожидания точно известна. Ор¬
бита ожидания является обязательной для осуществления лун¬
ного и, особенно, межпланетного перелетов (разумеется, она
42*
660
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
обязательна также и для осуществления встречи спутников)
Без использования орбиты ожидания возможности таких переле¬
тов резко уменьшатся, если, конечно, не будут доступны большие
Ошибочная
орбита
Точная
орбита
Точная
орбита
ожидания
Ошибочная
орбита
ожидания
Погрешности
выведения на
орбиту ожидания
по схеме с обрат¬
ной связьw
Активный
участок
Пзознергетические
орбите/ ожидания
Ошибки выведения
— при запуске косми¬
ческого аппарата
на орбиту ожидания
ро схеме без обратной сВяза
(ошибки положения
и вектора скорости)
Точный маневр
ухода с точной
_____ орбиты ожидания
Маневр ухода,
измененный
таким образом,
чтобы получить _
точные условия'
старта _
Ошибочные условия 'старта, получаемые
в результате «точного» маневра ухода
с ошибочной орбиты ожидания
Рис. 9.127. Навигация при выведении.
Точные условия
старта
энергии для соответствующего разгона космического аппарата,
не будут построены стартовые установки во всех необходимых
точках планеты или не будет создана подвижная стартовая
установка (либо морской корабль, либо старт в воздухе).
Для управления (наведения) космическим аппаратом на ак¬
тивном участке траектории могут быть использованы два типа
9.15]
КОСМИЧЕСКАЯ НАВИГАЦИЯ
661
систем: радиоинерциальная и полностью инерциальная системы
наведения. Радиоинерциальная система, которая должна функ¬
ционировать в течение всего времени полета на активном участ¬
ке траектории, практически не может быть применена ввиду ши¬
рокого диапазона возможных точек старта с орбиты ожидания,
так как в этом случае потребовалось бы создание большого
числа станций наведения по всему земному шару. Следователь¬
но, на участке старта с орбиты ожидания может быть исполь¬
зована только полностью инерциальная система наведения.
Точность выведения космического аппарата в конечную точ¬
ку активного участка траектории зависит в основном от двух
факторов:
а) точности выключения двигательной установки в конце ак¬
тивного участка,
б) точности наведения.
При выдаче правильной во времени команды на выключение
двигательной установки следует принимать во внимание допол¬
нительный импульс после выключения двигателя (импульс по¬
следействия). Это означает, что импульс последействия должен
быть достаточно точно известен, чтобы ошибки в оскулирующей
орбите, обусловленные неопределенностью этого импульса, нахо¬
дились в заданных пределах.
Точность наведения зависит от точности измерений и от оши¬
бок управления. Оба условия — прогнозирование импульса по¬
следействия и точность наведения — наиболее просто выпол¬
няются, если ускорение в конце активного участка имеет малую
величину, то есть если мало отношение силы тяги к весу косми¬
ческого аппарата. Это — главная причина, по которой в конце
активного участка создают тягу преимущественно верньерными
двигателями, а не основной двигательной установкой. Для кос¬
мического аппарата с малой тягой это, конечно, не является не¬
обходимым.
Точность выключения двигательной установки космического
аппарата, снабженного инерциальной системой наведения и
верньерными двигателями, обеспечивающими ускорение в конце
активного участка от 10-2 до 5-10_2£ при характеристической
скорости от 1100 до 1200 м/сек, равна приблизительно (в состав¬
ляющих скорости по осям сопровождающего трехгранника):
касательная 6vt ^ ± 1,5 м/сек,
нормальная &vn ^ ± 3 м/сек,
ортогональная 6vw ^ ± 3 м/сек.
После активного участка начинается (см. рис. 9.127) фаза
Движения по орбите гиперболы ухода.
662
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
ГГЛ. 9
Гелиоцентрический старт, обусловленный геоцентрическим
уходом, имеет ошибки вследствие ошибок наведения при гео¬
центрическом старте и неопределенности геоцентрической па¬
раболической скорости (рис. 9.128). Вспоминая, что ошибка
Местный.
горизонт
Орбита
ожидания
Ошибка
Ошибка
в еь/соте
АФ
Ошибка, е момент
гелиоцентрического старта
вслебстеие погрешностей
системы наоебения
без обратной сеязи
Оереая ошибочная
орбита
Вторая ошибочная
У орбита
/ Третья ошибочная
/ орбита.
Третья олорная
орбита
\ Вторая опорная
' \ орбита
Переая опорная
орбита
Вторая коррекция
на среднем участке
траектории
Переая коррекция
на среднем участке
траектории
Рис. 9.128. Навигация на среднем участке траектории.
в геоцентрической скорости старта вызывает ошибку в гелиоцен¬
трической скорости старта, пропорциональную отношению гео¬
центрической скорости старта к гиперболическому избытку ско¬
рости (dVi/dui = vjvoo), получаем для геоцентрической ошибки
1 м/сек ошибку в гелиоцентрической скорости старта более
1 м/сек, а именно около 2,5 -^7,5 м/сек. Таким образом, ошибка
6vt = 1,5 м/сек вызовет ошибку 6VU равную 4 -f- 12 м/сек, если
направление гелиоцентрического старта является касательным
или близким к нему. Так как промах при перелете к Венере и
Марсу составляет примерно от 50 ООО до 500 ООО км на 1 м/сек
ошибки в геоцентрической скорости старта, то влияние даже та¬
кой малой ошибки (60/ = 1,5 м/сек) на точность баллистического
КОСМИЧЕСКАЯ НАВИГАЦИЯ
663
межпланетного перелета приводит к тому, что большинство це¬
лей полета не достигается. Так как коррекция во время фазы
ухода является более экономичной, чем поздняя коррекция
(рис. 9.128), то возникает необходимость в проведении первой
промежуточной коррекции вскоре после того, как космический
аппарат выйдет на гиперболу ухода (на расстояние 35 000-ь-
-f-70 ООО км от Земли) и затем второй коррекции в начале ге¬
лиоцентрического участка полета.
Гелиоцентрический полет представляет собой основную часть
межпланетного перелета. Вполне вероятно, что коррекции
уменьшат ошибку в гелиоцентрической скорости от ее первона¬
чального значения 9-^21 м!сек до значения 0,9^3 м/сек, так что
промах мимо планеты-цели будет составлять величину от не¬
скольких тысяч до десятков тысяч километров, но не сотни ты¬
сяч километров. Хотя измерения должны призводиться часто
(например, один раз в день), может потребоваться, возможно,
от одной до четырех дополнительных промежуточных коррек¬
ций 1).
Действительная гелиоцентрическая орбита перехода, по ко¬
торой совершает полег космический аппарат, отличается от пер¬
воначально рассчитанной орбиты. Тем не менее основная цель
космической навигации состоит не в том, чтобы точно следовать
по предварительно рассчитанной орбите, а в том, чтобы осу¬
ществить полет по такой орбите перелета, которая, во-первых,
привела бы аппарат в конечную пространственно-временную
точку и, во-вторых, располагалась бы как можно ближе к перво¬
начально рассчитанной орбите, для того чтобы обеспечить ожи¬
даемые энергетические условия при подходе к планете-цели.
Следовательно, в космической навигации можно различить
четыре основных этапа:
I. Выбор исходной (первой) опорной орбиты перелета.
II. Определение ошибок, то есть определение рассогласова¬
ния между исходной (первой) опорной орбитой и действитель¬
ной орбитой перелета.
III. Определение новой (второй) опорной орбиты перелета.
IV. Маневр изменения орбиты для выведения космического
аппарата с возможно большей точностью на вторую опорную
орбиту.
Под опорной орбитой здесь подразумевается любая приводя¬
щая к цели орбита, тогда как ошибочная орбита проходит мимо
планеты назначения. Перед первой промежуточной коррекцией
]) Полеты американских космических кораблей «Маринер» показали, что
требуемые условия в конце полета могут быть обеспечены с помощью двух
коррекций. (Прим. ред.)
664
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. Q
определяется действительная орбита, отличающаяся, естествен¬
но, из-за наличия ошибок наведения от первой опорной орбиты.
На борту корабля рассчитывается вторая опорная орбита. Сле¬
дующий затем маневр промежуточной коррекции изменяет ор¬
биту аппарата, приближая ее ко второй опорной орбите.
В свою очередь новая действительная (скорректированная)
орбита не будет точно совпадать со второй опорной орбитой. По¬
этому процесс навигации должен быть повторен через некото¬
рое время, необходимое для образования существенного разли¬
чия между скорректированным и вторым опорным положениями
космического аппарата, чтобы можно было достаточно точно
определить ошибку. Рассмотренные четыре этапа могут быть
кратко сформулированы следующим образом:
I. «Правильный старт».
II. Определение ошибок.
III. Определение новой опорной орбиты.
IV. Маневр коррекции (и в этом случае в конце маневра
условие I должно быть вновь выполнено по отношению к новой
опорной орбите).
Методы наведения при осуществлении космического полета
можно разделить на следующие четыре типа: без навигации по¬
сле выведения, с использованием наземной навигации, бортовой
навигации и комбинированной наземной и бортовой навигации
(таблица 9.13). Первый метод в настоящее время применим при
космических полетах на очень короткие расстояния, то есть при
полетах по баллистическим траекториям. Точность попадания
в цель при полетах по баллистическим траекториям зависит ис¬
ключительно от точности наведения в конце активного участка.
Время полета и чувствительность к ошибкам являются сравни¬
тельно малыми (см. главу 1). С увеличением расстояния до цели,
например, до спутника, Луны или планеты, баллистический ме¬
тод становится все более неточным, за исключением случая по¬
лета к Юпитеру, когда сильное гравитационное поле создает
значительный фокусирующий эффект, «исправляющий» даже
большие ошибки траектории перехода (то есть ошибки в геоцен¬
трической касательной скорости величиной порядка 15 м/сек).
Рост чувствительности к ошибкам баллистической траектории
перехода с увеличением расстояния происходит главным обра¬
зом вследствие следующих двух причин: возрастающего влияния
ошибок скорости в конце активного участка и возрастающей не¬
определенности используемых при расчетах астрономических
констант—расстояний до планет назначенияи их масс.
Операции на последней фазе полета (на конечном участке
траектории) (рис. 9.129) в большой степени определяются целями
Космическая навигация
0.15]
КОСМИЧЕСКАЯ НАВИГАЦИЯ
665
со
г-1
о>
СО
Я
Я
ч
о
та
Н
й а
о«
s я
О
2
о я
Е- Н
Я с
О) о
та
о.
* я
§
<и 3
я и
к О
<и о
2VO
00
S я
я
0>
Он
<г>
Я s
£ та
та я
ш
Е-*
4 3
о S* s
я 5
5 §
*г§
о R.
(У
<у та о
« С h
л С <и
§ я а
S2g
g § *
ш tr 2
ч я **
<u | S
4 о Й
^ о 5
е «1 ®
О к ь Я
я та я
я р. Ч
я ■
« I 8.
2
2 о «
* ° Я
о * 2
У о к
я§,л
g-ae
О <d О
Ч К V
о £ я
я О) я
Ч о н
та <и к
О. 3 О у
со я
я я
S
*я
я
я
о
<D
Я
я
Е-
О
Я
ч
ч
та
PQ
Ч
о
В
:>
та
л ^
& к
о V
О я
к я
^ та тая
оалаа
Ч tn с_ С-1 к
U О о О о
о е-
я о
о
я
О)
я
я
<v
я
я 2
О S
95 5 ^
Я я о
я 3 >я
g^ffl о
<и
s Я О
я
Е-
о
о
я
*
^ 2
си ч
я о °
S Я та
та о о
4J -» ,ЧУ О w
CQUKHPQ
о <v
Я Он
ч £
та S
сх, та
« Я
о
я
а
та
о.
о
та
VO
я «
£|
<D Я
та я
и
3
я
я
VL/ О '•'J НЧ
о* к сх та
fc Я ч Он
о та о
С З’яО
о я
4 я
§ я
я 5
2 3
Ч cD
Ч ы
си ё
§ Я
О) О
£ 3 2
ю н та
й я я
S о о
0Q Он я
>.°э
я о
та
о
5^2 2
О-3
я С та 0Q
О Е-.
« о
я о>
Ч л
CD О)
н Я
о я
Он я
к та
о.
<L) О
3
я
я
о
я
3 К
2 я
2 щ
4 <и
\о я
а> о
« я я
к О ’к Я
^ д та ^
з§ II
я ^ я
<у £ та £
я 5 Он g
Он^О h
° (D 2 я
g § s я
| 8 g 8
Я ~ Я ~
о я
- — Ч PQ
<v
Он
о л !
НОР I
<
я >> та
о, ь Е-|
с Он та
о о,
я vo та
я я
<и я
S та «
2 *
2" °
я с-.
х о
я я я
Я я о
я я а>
та а» я
я Он я
я <и g
Ч S а
О, 00 О
О Я Я
я я
^ ^ та
Ч Я 5
Я со £
CD Я
Я °
Он о.
О
та я
£ s
2 и
Я CD
2 ч
Ч СО
2 ч
г Он
я
я >»
я
я >,
g-e-S 5
Я Я я «
§ Я
^ х о 5
О <и Ь ^
Н Н Онрр
та
я
<и
»Я О)
3 я
я
н
н »я
2 3
2 я
II
о _
3 Л, я та
PQ я н Он
та та
я ч
й « 5 д
та я Ч Он
я ^
OhS
о о
я sS
" 8
та 2
Он ^
н ю
<D »Я
Я О
Я Я
л' А
ч
•ял
£ ч та
S я я
2 ^
§*^
я I
Я Si a
Яо
<V
00
Я V
я _
Я л
О 00
а> та
я vo
та <и
я я
00 я
о та
О Е-
я я
о та
о, Е-
Ен О
о я
<и
ч
о
о
tQ <D ЯРР ffl
я я та
я а я
2 и
666
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
полета космического аппарата. Под конечной фазой здесь пони¬
мается участок траектории полета, находящийся внутри сферы
действия планеты-цели, так что планета становится центром
притяжения, а орбита — планетоцентрической гиперболой. Сле¬
довательно, здесь мы имеем дело с обращенным процессом ухо¬
да. Если неконтролируемая гиперболическая встреча является
неудовлетворительной, мы оказываемся практически перед той
же проблемой, что и в случае маневра захвата, а именно: с точ¬
ным выходом космического аппарата на заданную высоту пери¬
центра орбиты. Конечные ошибки промежуточного участка
полета становятся начальными ошибками конечной фазы. Поло¬
жение плоскости гиперболы подхода относительно заданной
опорной плоскости (например, экваториальной плоскости плане-
Фикдированное
в пространстве
направление отсчета
Конечные гелиоцентри¬
ческие ошибки
(начальные плането¬
центрические ошибки)
Рис. 9.129. Навигация на конечном участке полета*
9.15]
КОСМИЧЕСКАЯ НАВИГАЦИЯ
667
тЬ1-цели) зависит от положения плоскости гелиоцентрической
орбиты космического аппарата относительно плоскости орбиты
планеты-цели и от скорости аппарата относительно планеты-
цели. Эта зависимость аналогична рассмотренной в предыдущей
главе для случая лунного захвата.
Маловероятно, что положение плоскости гиперболы подхода
имеет какое-либо значение в случае простой гиперболической
встречи или захвата на круговую орбиту: именно поэтому в по¬
добных случаях не предусматривается. затрат горючего для
проведения коррекции плоскости гиперболы подхода. Если по¬
ложение плоскости орбиты захвата имеет значение, как, напри¬
мер, в случае посадки на поверхность планеты или в связи с вы¬
полнением специальных наблюдений, то применимы те же рас¬
смотрения, что и в случае посадки на Луну (§ 8.7, рис. 8.52 и
8.53). При значительном изменении плоскости гиперболы под¬
хода маневр изменения плоскости должен быть выполнен не от¬
дельно в начале конечной фазы, а совместно с маневром за¬
хвата для экономии расхода горючего.
Ниже фазы навигации рассматриваются более подробно.
Как уже было сказано, для выведения космического аппа¬
рата на орбиту могут применяться полностью инерциальные си¬
стемы наведения. Инерциальная система наведения является
единственным известным до сих пор средством для получения
информации об изменении орбиты практически мгновенно после
того, как оно произошло. Именно поэтому она используется во
время выведения на орбиту ожидания и при переходе с орбиты
ожидания на гиперболу ухода !).
Существуют четыре основных элемента инерциальной систе¬
мы наведения (рис. 9.130):
Назначение
Техническая реализация
Создание инерциальной системы
отсчета
Стабилизированная плат¬
форма
Определения ускорения
Акселерометры
Определение скорости, положения
и траектории полета
Вычислительное устрой¬
ство
Определение движения опорных
тел
Часы
!) Когда космический аппарат находится вблизи Земли, гравитационная
сила должна быть измерена для правильного вычисления скорости и поло¬
жения (см. «Космический полет», т. III),
668
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
Стабилизированная платформа создает фиксированную в
пространстве опорную систему координат. При старте с поверх¬
ности Земли платформа ориентируется таким образом, чтобы
ее оси совпадали с осями опорной системы координат, ориенти¬
рованной заданным образом в пространстве (выставка). Точ¬
ность выставки определяет точность инерциальной системы на¬
ведения, так как счисление траектории полета осуществляется
Рис. 9.130. Основные элементы инерциальной
системы наведения.
в этой фиксированной в пространстве системе. Поскольку кос¬
мический аппарат до старта находится на вращающейся Зем¬
ле, платформа должна вращаться против направления враще¬
ния Земли, чтобы поддерживать постоянным свое направление
в пространстве. В момент старта эта компенсация прекра¬
щается.
Акселерометры устанавливаются на стабилизированной
платформе. Если используются акселерометры с одной степенью
свободы, то для измерения ускорения вдоль трех взаимно орто¬
гональных осей, параллельных соответственным осям опорной
инерциальной системы, требуются три акселерометра.
Вычислительное устройство дважды интегрирует измеряемые
ускорения для получения скорости и координат аппарата на
участке разгона, формирует управляющие сигналы, подаваемые
в систему стабилизации, и может вычислять орбиту, получаю¬
щуюся после выключения двигательной установки.
Система стабилизации осуществляет управление космиче¬
ским аппаратом, поддерживая неизменным его положение по уг¬
лам крена, курса и тангажа при действии внешних возмущении
космическая навигация
669
или изменяя эти углы в соответствии с сигналами системы на¬
ведения в целях контроля вектора тяги. Система стабилизации
содержит три позиционных гироскопа (по одному для каждой
оси: крена, курса и тангажа). Неизменное в пространстве поло¬
жение гироскопов позволяет измерять отклонения аппарата,
происходящие вследствие действия внешних возмущений, таких
как аэродинамические силы или эксцентриситет линии дей¬
ствия тяги.
Гироскопические датчики угловой скорости измеряют ско¬
рость изменения положения, а также скорость упругой дефор¬
мации аппарата. В прост¬
ранстве, где отсутствуют
аэродинамические силы и
где часто используются низ¬
кие отношения тяги к весу,
проблема упругости — по
крайней мере для конструк¬
ций снарядного типа — в
сильной степени упрощается.
Если начальное положе¬
ние аппарата (в начале ак¬
тивного участка полета) из¬
вестно точно, если стабили¬
зированная платформа вы¬
ставлена точно и если чувст¬
вительность акселерометров
достаточно высока, то условия в конце активного участка по¬
лета будут известны точно. При наличии точной информации
может быть вычислена оскулирующая орбита (по отношению к
опорной орбите), рассчитана новая опорная орбита и может
быть проведен маневр коррекции для выведения космического
аппарата на новую опорную орбиту.
К сожалению, инерциальная система наведения не свободна
от недостатков. Наиболее серьезным из них является так назы¬
ваемый дрейф (уход) гироскопов. Как известно, платформа
стабилизируется при помощи гироскопов. Каждый гироскоп ста¬
билизирует (чаще всего) одну ось; гироскопы устанавливаются
в кардановом подвесе на трехстепенной платформе, дающей
возможность произвольного углового движения корпуса аппа¬
рата относительно стабилизированной платформы. Это схемати¬
чески показано на рис. 9.131. Подвес позволяет ротору гиро¬
скопа свободно вращаться относительно одной оси (оси стаби¬
лизации). Если основание гироскопа (представляющее собой
его внешнюю раму) поворачивается относительно инерциаль-
ного пространства вокруг оси прецессии (входной оси), то воз¬
Ось вращения
ротора
Основание
гироскопа
Рис. 9.131.
Ось прецессии
(входная ось)
Ось стабилизации
(выходная ось)
^ Моментный
двигатель
Гироскоп, стабилизирующий
одну ось.
670
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
никает усилие в подвесе и гироскоп начинает вращаться вокруг
оси стабилизации (выходной оси). Возникающий электрический
выходной сигнал гироскопа используется для управления мо-
ментным двигателем, который поддерживает исходное положе¬
ние платформы по оси прецессии.
Очевидно, что ось стабилизации является единственной осью,
которая может внести ошибки в ориентацию. Трение в подшип¬
никах осей подвеса и другие возмущения создают момент по
оси стабилизации. Результирующее отклонение платформы по
оси прецессии от ее первоначальной ориентации называется
дрейфом гироскопа. Дрейф гиро¬
скопа обусловлен тремя основ¬
ными типами моментов: момен¬
том, пропорциональным направ¬
лению и величине ускорения ап¬
парата; моментом, пропорцио¬
нальным направлению и квад¬
рату величины ускорения; и, на¬
конец, моментами, не зависящи¬
ми от ускорения. Первый момент
вызывается статическим разба¬
лансом ротора; второй момент
обусловлен нежесткостью гиро¬
системы, и, следовательно, на его
величину влияют не только ли¬
нейные ускорения, но также и
вибрационные ускорения; третий
момент вызван действием меха¬
нических токоподводов к поплавку гироскопа. Уход гироскопа
сильно уменьшается во время полета с нулевым ускорением. По-
видимому, при нулевом ускорении возможно получение ухода
гироскопа не более Г-н2' в час.
На рис. 9.132 изображены три основные оси подвеса. Они яв¬
ляются равнозначными для случая, когда космический аппарат
совершает незначительные колебания около любой оси. Однако
аппарат может быть вынужден совершать повороты на большие
углы вокруг осей тангажа и курса (например, в целях ориента¬
ции или для выполнения маневра коррекции) или даже совер¬
шать вращение вокруг этих осей (в случае большого пилоти¬
руемого космического корабля — для создания центробежной
силы тяжести). Из рис. 9.132 видно, что если космический аппа¬
рат повернуть на угол 90° (или больше) относительно оси курса,
то ось крена и ось тангажа станут параллельными друг другу.
В этом случае теряется одна степень свободы (сложение pci-
мок). Для того чтобы избежать такого положения, необходима
Ось курса
I
Рис. 9.132. Стабилизированная
платформа (расположение осей
подвеса).
9.15]
КОСМИЧЕСКАЯ НАВИГАЦИЯ
Ь /1
четвертая ось подвеса. Следовательно, космический аппарат, ко¬
торый может иметь большие изменения углового положения,
должен быть снабжен четырехстепенной системой, допускающей
любой поворот.
Уменьшением существующих в настоящее время величин
уходов гироскопов можно значительно улучшить выставку плат¬
формы и обеспечить более длительное время работы инерциаль¬
ных систем наведения. Измерения скорости могут быть улуч¬
шены увеличением чувствительности акселерометров, которая в
настоящее время равна примерно
10~А g, до чувствительности по- Г ' ' )
рядка 10”5g-.
Для управления космическим
аппаратом на промежуточном
участке траектории может быть
использована инерциальная си¬
стема наведения совместно с
оптической системой слежения за
Солнцем, планетами и звездами
с целью управления стабилизи¬
рованной платформой и кор¬
рекции уходов гироскопов
(рис. 9.133). Платформа с кор¬
рекцией собственных уходов ги¬
роскопов может быть использо¬
вана в качестве запоминающего
чувствительного элемента в си¬
стеме ориентации космического ^ис* 9.133. Инерциальная система
г наведения, корректируемая при
аппарата и, следовательно, для помощи оптической следящей си-
контроля вектора тяги в течение стемы и предназначенная для дли-
маневра коррекции. С другой тельных космических полетов,
стороны, навигация на промежу¬
точном участке траектории может быть основана только на ис¬
пользовании оптической следящей системы (без применения ста¬
билизированной платформы). Однако в этом случае оптическая
следящая система должна обладать некоторой свободой движе¬
ния относительно корпуса космического аппарата для того, что¬
бы «не потерять» объекты визирования при изменении косми¬
ческим аппаратом своего положения в период осуществления
маневра коррекции.
Одним из тел, визирование которых должно осуществляться,
является Солнце. С точки зрения механики полета, Солнце —
единственное тело, лежащее в плоскости орбиты космического
аппарата в гелиоцентрическом пространстве. Следовательно,
Солнце может служить в качестве одного из тел, необходимых
672
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
для определения положения космического аппарата и для оп¬
ределения плоскости орбиты перехода. «Оптически» легче всего
осуществить поиск и слежение за Солнцем, нежели за любым
другим телом, видимым с космического аппарата в гелиоцентри¬
ческом пространстве. Более того, если аппарат снабжается
энергией от солнечных батарей, они должны быть ориентиро¬
ваны прямо на Солнце, так что стабилизация аппарата в на¬
правлении на Солнце обеспечивает в то же самое время пра¬
вильное положение фотоэлектрических элементов.
Однако при использовании Солнца в качестве визируемого
тела возникают и некоторые проблемы. Одной из них является
проблема защиты оптического устройства фильтром, имеющим
сильно отражающую поверхность, так как этот фильтр неиз¬
бежно скроет все звезды в поле зрения оптического устройства.
Положение Солнца по широте и долготе, определяемое для на¬
хождения положения космического аппарата и плоскости его ор¬
биты, должно измеряться по отношению к находящимся за ним
звездам, для чего необходимо визирование этих звезд. Реше¬
ние этой проблемы заключается в использовании для слежения
полуночного участка неба, когда осуществляется слежение за
звездным небом при помощи оптической системы, которая на¬
правлена точно противоположно оптической системе, следящей
за Солнцем. Затемненное изображение Солнца может быть- по¬
лучено в поле зрения «полуночного» оптического устройства, и
посредством этого может быть измерено угловое положение
«полуночного Солнца» по отношению к опорным звездам. Та¬
ким образом, может быть определено соотношение между изме¬
ренными углами, образованными «полуночным Солнцем» с опор¬
ными звездами, и действительными углами «Солнце — звезды»
(рис. 9.134).
На рис. 9.135 изображена орбита перехода «Земля — Марс»
и показаны одновременные положения Земли (Т) и космиче¬
ского аппарата (Р). При помощи измерения положения «полу¬
ночного Солнца» (F) относительно неподвижных звезд опре¬
деляются гелиоцентрические долгота и широта космического
аппарата. Далее, для того чтобы определить его положение,
остается найти только расстояние от космического аппарата до
Солнца. В случае полета к Марсу это лучше всего осущест¬
вляется наблюдением за Марсом, так как в течение всего пе¬
риода полета (исключая очень ранний участок) виден практи¬
чески полный диск планеты. Этим исключаются трудности, свя¬
занные с наблюдением тела с переменной фазой.
Плоскость орбиты Марса не совпадает с плоскостью орбиты
космического аппарата. Поэтому угол т между направлением на
планету-цель и направлением на точку F не лежит в плоскости
1.15]
КОСМИЧЕСКАЯ НАВИГАЦИЯ
673
Солнце
.Ашяшштжъ.
^ввввввявь
iiimram
IIIIIIMIIII
■■■■■■■■■■■в
VBBBBBBBBBBV
ЧВВВВВВВВВВГ
ЧВВВВВВР'
Поле визирования
Солнца
4ВВВВВВЬ.
4ВЕЭВВП9ВЯЬ
мвввввввеэвв
ВЕЗВВВИВЕЭВВВВ
MBBI
Точка. F
Поле визирования
полуночного неба
* - основные звезды
Рис. 9.134. Оптическое определение положения Солнца отно¬
сительно звезд.
7марта (встреча)
70ноября
F
[23 октября
70 октября 7000г
О октября7000г.
(старт)
Рис. 9.135. Ориентация космического аппарата во время перелета
Земля — Марс.
43 К. Эрике, т. II
674
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
рисунка (хотя это и показано по необходимости на рис. 9.135)
Как видно, угол т изменяется от довольно большого начального
значения до нуля на конечном участке промежуточной фазы по¬
лета (то есть когда космический аппарат приближается к сфере
действия Марса). Измерение угла т с точностью от ±0",5 до
±1 —чрезвычайно трудное дело, так как точность реальных
измерений аппаратурой, используемой на космических аппара¬
тах, составляет порядок нескольких минут, а не секунд. Такая
точность не удовлетворительна для целей точной навигации
с ограниченными резервами топлива (<С20% веса космического
аппарата). Однако в измерении истинного угла т нет необходи¬
мости. Более удобно определять положение Марса относительно
близлежащих опорных звезд (положение которых, конечно, хо¬
рошо известно) тем же способом, как и в случае «полуночного
Солнца». Это может быть выполнено с гораздо большей точ¬
ностью, так как погрешность измерений уменьшается при умень¬
шении угла. Например, в начале полета угол т имеет значение
около 50° или 180 000 дуговых секунд. При измерении этого угла
с точностью ±1" погрешность должна составлять одну часть от
180 000, то есть условие, практически недостижимое для микро¬
измерителей. С другой стороны, определение положения Марса
с той же самой точностью по отношению к звезде, находящейся
на расстоянии 50 дуговых минут, требует погрешности в одну
часть от 3000, что может быть достигнуто. По мере приближе¬
ния космического аппарата к Марсу планета попадает в поле
зрения полуночного визирующего устройства, так что угол т мо¬
жет быть измерен непосредственно. С уменьшением угла т бы¬
стро возрастает чувствительность к ошибкам измерений. Тем
не менее это в какой-то степени компенсируется уменьшаю¬
щимся расстоянием от аппарата до Марса. По необходимости,
для уменьшения неопределенности при малых углах т может
осуществляться слежение за другой планетой или одной или
двумя выбранными звездами.
Определение положения «полуночного Солнца» немного
сложнее, чем определение положения Марса, в связи с изменяю¬
щимся диаметром Солнца (примерно от 32х до 22'). Осущест¬
вляя сканирование диаметра Солнца в двух взаимно перпенди¬
кулярных направлениях, можно, по-видимому, определить поло¬
жение центра Солнца с точностью порядка ±0",5.
По мере приближения космического аппарата к Марсу Земля
движется в сторону более или менее близкого противостояния
Солнцу, что значительно затрудняет оптическое наблюдение за
Землей. Однако относительно короткие расстояния на протяже¬
нии первой половины полета позволяют иметь продолжительную
радиосвязь. При дальнейшем полете может быть использована
9.15]
КОСМИЧЕСКАЯ НАВИГАЦИЯ
675
рассматриваемая ниже вспомогательная навигационная систе¬
ма. На рис. 9.136 показаны одновременные положения Земли
(7) и космического аппарата (Р). Угол TSP = е в первоначаль-
ный момент времени равен нулю, затем он достигает максимума
а снова уменьшается до нуля, когда аппарат проходит мимо
Земли. При наблюдении с космического аппарата Земля не про¬
ходит прямо перед Солнцем по той причине, что наклонение /
Рис. 9.136. Быстрая орбита перелета к Марсу в гелио¬
центрической системе координат.
плоскости орбиты перехода составляет несколько градусов, тог¬
да как диаметр Солнца равен примерно 26 дуговым минутам
(см. нижний рис. 9.136). Затем угол е монотонно возрастает по
мере приближения космического аппарата к точке встречи
с планетой-целью. Используя снова описанный выше метод ви¬
зирования полуночного неба, можно определить положение точ¬
ки F. В точно вычисленный момент времени, когда положение
полуночной точки F' относительно Земли известно или может
быть точно определено, на Землю посылается телевизионное изо¬
бражение полуночного звездного неба. Сравнивая координаты
полуночной точки F относительно аппарата с координатами
43*
676
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
1ГЛ. 9
точки F' относительно Земли, можно достаточно точно опре¬
делить угол е. Следовательно, разность небесных широт Солн¬
ца, измеряемых с космического аппарата и с Земли, опреде¬
ляет плоскость орбиты аппарата. Разность небесных долгот
определяет линию, проходящую через Солнце в направлении
космического аппарата. Где-то на этой линии должен нахо¬
диться космический аппарат (рис. 9.137). При помощи радиоиз¬
мерений дальности можно определить положение космического
Рис. 9.137. Определение положе- Рис. 9.138. Быстрая орбита пере-
аппарата как точку пересечения круга радиуса Е (допплерово
расстояние) с гелиоцентрическим радиусом-вектором SF. Тем
самым определяются плоскость орбиты перехода и положение
аппарата в этой плоскости по отношению к Земле и Солнцу.
Для измерения расстояния и радиальной скорости радио¬
средствами интересно представить в геоцентрической системе
координат орбиту перехода космического аппарата, изображен¬
ную на рис. 9.135 и 9.136 в гелиоцентрической системе коорди¬
нат. Получающаяся в этом случае орбита изображена на
рис. 9.138. Следует отметить, что геоцентрическое движение кос¬
мического аппарата является почти радиальным, допуская из¬
мерения его радиальной скорости с помощью радиозамеров.
Траектория может быть непосредственно определена с высокой
точностью при помощи измерений расстояния и радиальной ско¬
рости после того, как оптически или радиосредствами установ¬
лено начальное гелиоцентрическое положение аппарата. Срав¬
нил аппарата на линии SF при
помощи радиоизмерений даль¬
ности.
лета к Марсу в геоцентрической
системе координат (на основе ге¬
лиоцентрической орбиты; рис. 9.136).
91б] КОСМИЧЕСКИЙ ПОЛЕТ И РАКЕТНАЯ ТЕХНИКА 677
ливая измеренные скорость и положение с расчетными, можно
определить гелиоцентрическую коррекцию.
Конечная фаза полета, связанная с маневром подхода по
планетоцентрической гиперболе, является обращенным процес¬
сом ухода, и ее исследование достаточно легко провести, исходя
из анализа ошибок и механики полета для гиперболического
ухода. Дальнейшее рассмотрение этого вопроса будет прове¬
дено в томе III книги «Космический полет».
Вообще целью этого параграфа является развернутое введе¬
ние в вопросы межпланетной навигации. Так как межпланет¬
ная навигация является очень важной частью операций в кос¬
мосе, этот предмет более подробно будет рассмотрен в томе III
книги «Космический полет» как с точки зрения механики по¬
лета, так и с точки зрения технической реализации.
9.16. Космический полет и ракетная техника
Проведенные выше исследования охватывают большое раз¬
нообразие таких операций, как полеты к Луне и полеты в пре¬
делах солнечной системы, включающие свободные перелеты и
маневры коррекции, использование кеплеровых орбит и траек¬
торий полета с малой тягой. Однако при этом не рассматрива¬
лись реактивные системы, при помощи которых могут быть вы¬
полнены эти операции. Изложение вопросов физики и техники
реактивного движения последует в томе III книги «Космический
полет». Здесь же уместно кратко обсудить различные аспекты
реактивного движения космического аппарата и, особенно, по¬
летов с малой гягой.
Все типы двигателей большой тяги, известные в настоящее
время, требуют значительного расхода массы. В ракетных дви¬
гателях на химическом топливе расход массы является наиболь¬
шим, потому что энергия истечения (370 ^ /sp ^ 450 сек) яв¬
ляется наименьшей. В ядерных двигателях удельный импульс
удваивается и, следовательно, расход массы для заданной ве¬
личины тяги уменьшается вдвое. В пульсирующих плазмен¬
ных1) двигателях типа, предложенного доктором Уламом из
лаборатории АЕС в Лос-Аламосе, вполне возможно увеличе¬
ние удельного импульса в 10 раз по сравнению с удельным
импульсом химических топлив. Принцип создания пульсирую¬
щего плазменного двигателя предполагает серию контролируе¬
мых взрывоподобных освобождений ядерной энергии, дающих
высокую скорость истечения газа. Этот метод реактивного дви¬
жения является единственно прогрессивным, способным обеспе-
0 В тексте оригинала «pulsed fission». (Прим. перев.)
44 к. эрике, т. II
678
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
ныть высокий удельный импульс и высокую тягу и определяю¬
щим по этой причине наиболее удачную ракетную систему для
полетов космических аппаратов в пределах солнечной системы •)
Траектории полета, осуществляемого космическим аппаратом на
любом из этих трех двигателей, состоят из сравнительно корот¬
ких участков активного полета и последующих продолжитель¬
ных участков полета по кеплеровым орбитам. Отсюда можно
сделать следующие выводы.
1. Независимо от того, принадлежит планета-цель к системе
внутренних или внешних планет, односторонний перелет может
быть ускорен только при помощи более быстрых переходных ор¬
бит (гр<180°). Пусть имеется заданное количество избыточной
энергии относительно требуемой для перелета по определенной
опорной орбите, например по гомановскому полуэллипсу (ОП
№ 0). Тогда избыток энергии даст более значительное уменьше¬
ние времени перелета в случае, когда не предусматривается за¬
хвата у цели, чем в случае, когда характер выполняемой опера¬
ции требует захвата в конце полета.
2. Длительность перелета с возвращением может быть со¬
кращена либо за счет уменьшения периода захвата у планеты-
цели, либо за счет ускорения перехода к планете-цели и обратно.
3. Из этих двух возможностей уменьшение периода захвата
является более эффективным в тех случаях, когда время энер¬
гетически оптимального перехода (по гомановской или почти
гомановской орбите) меньше синодического периода планеты
старта относительно планеты-цели. Указанные условия справед¬
ливы для всех внутренних планет солнечной системы при старте
с Земли (или с любой другой планеты земного типа).
Ранее в этой главе было показано, что периоды захвата мо¬
гут быть уменьшены выбором двух переходных орбит различ¬
ного типа. Если используются идентичные орбиты перехода с уг¬
лом перелета r\t ^ 180°, необходимый период захвата составляет
значительную часть синодического периода; период захвата уве¬
личивается по мере уменьшения угла перелета. Это обстоятель¬
ство вызвало бы возрастание длительности перелета по мере
уменьшения угла гц ниже значения 180°. Однако ввиду того, что
период захвата приближается к полному синодическому пе¬
риоду (как только период перехода приближается к нулю) и
длительность гомановских двусторонних полетов к Марсу, Ве¬
нере и Меркурию больше синодического периода обращения со¬
ответствующей планеты, в итоге длительность перелета должна
уменьшаться даже при полете по идентичным орбитам перехода,
!) Это утверждение автора сомнительно, поскольку в настоящее время
еще не ясны принципы создания таких систем. (Прим. ред.)
дЛб] КОСМИЧЕСКИЙ ПОЛЕТ И РАКЕТНАЯ ТЕХНИКА 679
если только может быть значительно уменьшен угол перелета
Читатель может легко проверить, что такой подход к умень¬
шению длительности перелета является чрезвычайно неэконо¬
мичным с энергетической точки зрения. Такие полеты невозмож¬
но осуществить с помощью химических или ядерных теплооб¬
менных реактивных систем. Полет по такого рода траекториям
осуществим только с помощью ядерно-взрывных систем.
Однако методом вариаций орбит перехода (то есть выбором
различных орбит перехода) можно снизить требуемую энергию
перелета к внутренним планетам до уровня, который находится
в пределах возможностей ядерных теплообменных реактивных
систем с /Spc<750 сек. Обе орбиты не обязательно должны быть
быстрыми (гр< 180°) —одна из них (а при некоторых условиях
даже обе) может быть медленной орбитой перехода (гр> 180°),
обеспечивая меньшую длительность перелета, чем длительность
двустороннего гомановского перелета. Соответствующим выбо¬
ром орбит перехода можно не только изменять в широких пре¬
делах период захвата (от нуля до периода захвата, связанного
с гомановскими перелетами), но также и уменьшать неэконо¬
мичность некоторых положений старта, вызванную наклоном и
эллиптичностью планетных орбит. Таким образом, вариация
различных орбит перехода дает возможность выбрать траекто¬
рию полета в соответствии с существующими требованиями в
пределах имеющихся энергетических возможностей.
4. Вторая упомянутая в п. 2 возможность — уменьшение вре¬
мени перехода — является более эффективным путем сокраще¬
ния длительности перелета с возвращением в тех случаях, когда
время энергетически оптимального, перехода значительно боль¬
ше синодического периода обращения планеты-цели относитель¬
но планеты старта. Это условие выполняется для всех внешних
планет солнечной системы при старте с Земли. Таким образом,
метод, неприемлемый для перелета к внутренним планетам сол¬
нечной системы, исключая случай применения ядерно-взрывных
реактивных систем, становится основным методом уменьшения
длительности перелета к внешним планетам солнечной системы,
даже если используются идентичные орбиты перехода к пла¬
нете-цели и обратно.
Рассмотрение синодических периодов обращения планет, по¬
добных Юпитеру (таблица 9.1), показывает, что выбор соответ¬
ствующих орбит перехода, возможно, будет способствовать
Дальнейшему сокращению длительности перелета благодаря со¬
путствующему уменьшению периода захвата до любого зна¬
чения. Поэтому в большинстве случаев выбор орбиты перелета
будет осуществляться из различных быстрых орбит. Однако
в случае полетов к внешним планетам солнечной системы метод
44*
680
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
вариаций орбит перехода должен применяться с большим чис¬
лом ограничений, потому что он может быстрее всего привести
либо к увеличению требуемой энергии полета, либо к техниче¬
ски очень трудно выполнимой орбите перехода (например, очень
близкое прохождение мимо Солнца), либо к тому и другому
одновременно.
Особое значение быстрых орбит перехода состоит в том, что
они, к счастью, не требуют столь высоких энергетических за¬
трат, которые необходимы для уменьшения длительности дву,
стороннего перелета к планетам земного типа. Большое отно¬
шение времени энергетически оптимального (то есть почти
гомановского) перехода к синодическому периоду обращения
даже Юпитера, ближайшей из внешних планет, приводит к тому,
что быстрые орбиты перехода дают эффективное сокращение
длительности перелета уже при сравнительно малых прираще¬
ниях энергии. Конечно, требуемые энергетические затраты для
перелета к внешним планетам существенно больше энергетиче¬
ских затрат, необходимых для перелета к планетам земного ти¬
па1). Это не исключает возможности использования ядерных
теплообменных реактивных систем и, особенно, перспективных
систем, использующих высокотемпературные реакторы и, ве¬
роятно, способных обладать удельным импульсом /зр^900-ь-
-г-1000 сек. Тем не менее сам факт более высоких энергетиче¬
ских затрат при полетах в область внешних планет солнечной
системы по сравнению с полетами в область внутренних планет
солнечной системы делает более привлекательными реактивные
системы с еще большим удельным импульсом, то есть системы
пульсирующего типа или системы с малой тягой электростати¬
ческого или электромагнитного типа.
Эта тенденция усиливается следующими тремя факторами:
а) длительность полета в область внешних планет солнечной
системы оказывается большей по сравнению с длительностью
полета в область внутренних планет солнечной системы, даже
если выбираются достаточно быстрые орбиты перелета; б) сол¬
нечная радиация в области за Юпитером является чрезвычайно
слабой; в) для орбит быстрых переходов требуемые величины
энергии захвата и последующего ухода являются очень боль¬
шими. Условия а) и б) сильно влияют на величину веса косми¬
ческого аппарата.
1) Существует область примерно равных энергетических требований при
перелетах к Юпитеру и Меркурию. Из таблицы 9.6 видно, что для захвата
на круговую орбиту радиуса, равного 1,1 радиуса Меркурия, полная энергия
перелета (с возвращением) Ai;Jot = 0,8748, тогда как для оптимального одно*
импульсного перехода на круговую орбиту около Юпитера Ar>JQt= 0»6832.
9.16]
КОСМИЧЕСКИЙ ПОЛЕТ И РАКЕТНАЯ ТЕХНИКА
681
Условие а) влияет не только вследствие больших потребно¬
стей экипажа, связанных с длительностью полета порядка
нескольких лет (хотя и не десятилетий), но также и в связи
с необходимостью длительного времени функционирования мно¬
гочисленной сложной аппаратуры, вес которой значительно воз¬
растает за счет веса запасных частей, ремонтного и испытатель¬
ного оборудования и большого веса подсистем, обеспечивающих
жизнедеятельность экипажа.
Влияние условия б) объясняется тем, что слабая солнечная
освещенность обусловливает низкую равновесную температуру
всех частей космического аппарата. Низкая равновесная темпе¬
ратура требует повышения электрической мощности для под¬
держания соответствующей рабочей температуры всех частей
космического аппарата. Кроме того, более высокая мощность
передатчика необходима для осуществления связи с Землей при
передаче изображений!) (из-за получающихся больших рас¬
стояний). Помимо других причин, требуемая мощность для пе¬
редачи возрастает пропорционально квадрату расстояния и ли¬
нейно с увеличением ширины полосы передатчика. Ширина по¬
лосы (то есть спектральная область видеочастот) определяет
количество передаваемых деталей и степень контрастной чув¬
ствительности, и, следовательно, она должна быть увеличена,
если увеличивается число линий на изображении2).
Наконец, условие в) — увеличение энергии ухода и захва¬
та — возникает из-за возрастающего угла пересечения орбиты
перехода с орбитой планеты-цели по мере уменьшения угла пе¬
релета гр. Смягчающее обстоятельство возникает в случае мощ¬
ных гравитационных полей планет, подобных Юпитеру, кото¬
рые уменьшают ту часть полной энергии захвата, которая об¬
условлена гиперболическим избытком скорости (см. § 9.5, а так¬
же таблицу 9.11).
!) В предположении, конечно, что планируется видеопередача на Землю.
Наиболее вероятно, это будет иметь место в случае полетов автоматических
зондов. Автор считает, однако, что это также было бы желательно и в слу¬
чае полетов пилотируемых исследовательских кораблей.
2) Следует указать, что к тому времени, когда при достаточном разви¬
тии техники космические полеты и, особенно, полеты пилотируемых кораблей
в область, внешних планет солнечной системы станут осуществимыми, смогут
быть предприняты некоторые попытки снижения требуемой мощности видео¬
передач. К числу таких попыток относится повышение чувствительности при¬
емников и размещение их в космосе или на Луне, что позволит использовать
для передачи очень высокие частоты, непригодные из-за поглощения в земной
ионосфере для работы приемников, расположенных на поверхности Земли.
Поглощение в ионосфере становится очень сильным для частот радиосвязи
свыше 1010 гц. [При наличии электроядерной двигательной установки пробле¬
ма снижения требуемой мощности передач не является столь актуальной.
{Прим. перев.)}
682
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
5. Подчеркивая принципиальное различие в методах умень¬
шения длительности двустороннего полета в область внутренних
планет и в область внешних планет солнечной системы, рассмо¬
трим несколько вопросов, связанных с полетом к Меркурию.
Полет в область внешних планет солнечной системы со¬
пряжен с более суровыми условиями почти во всех отношениях;
однако полеты в область внутренних планет солнечной системы
и, особенно, полеты в пространстве, находящемся внутри орбиты
Венеры, сопряжены с преодолением более тяжелых радиацион¬
ных условий, вызываемых солнечными вспышками. В настоящее
время имеются указания на то, что вокруг Юпитера существует
огромный радиационный пояс. В то же время пока ничего не
известно о наличии радиационных поясов вокруг Сатурна и пла¬
нет, находящихся за Сатурном. Можно ожидать, что Венера и,
возможно, Меркурий также имеют мощные радиационные поя-
сы1). При полете к Меркурию космический аппарат может под¬
вергнуться радиации такой интенсивности, что необходимо бу¬
дет отвести очень существенный вес для защиты экипажа и
предохранения чувствительного электронного оборудования.
В действительности вес радиационной защиты может дохо¬
дить до 20 000-^-35 000 кГ на человека. В этих условиях поло¬
жение может быть облегчено не только сокращением периода
захвата, но также и сокращением продолжительности перелетов,
так как малое время пребывания космического корабля в ра¬
диационных поясах допускает получение сравнительно больших
доз радиации и, следовательно, требует меньшего веса защитной
экранировки. Поэтому наиболее подходящим способом умень¬
шения длительности полета к Меркурию оказывается метод ва¬
риаций орбит перехода при условии, что будут исключены мед¬
ленные орбиты, ведущие в пространство, расположенное вну¬
три орбиты Меркурия. Это позволит использовать только такие
медленные орбиты, у которых RA>R0, если иметь в виду, что
выбор орбит для двустороннего полета к Меркурию ограничен
траекториями, почти совпадающими с орбитами перехода № 1,
2, 9 или 10 (см. таблицу 9.3). Все они, кроме ОП № 2, являются
быстрыми орбитами перехода.
Таким образом, хотя метод вариаций орбит перехода и
остается основным методом сокращения длительности полета,
условия космического пространства приводят к ограничениям
этого метода и влекут за собой различия между факторами,
определяющими сокращение длительности перелета к Венере и
Марсу, с одной стороны, и к внешним планетам, — с другой.
9 У Венеры радиационных поясов нет; это было установлено при поле¬
тах советских и американских автоматических станций. {Прим. перев.)
9 16] КОСМИЧЕСКИЙ ПОЛЕТ И РАКЕТНАЯ ТЕХНИКА 683
Поскольку дело касается выбора реактивных систем, все это, на¬
ряду с большим весом полезной нагрузки, ставит пилотируемые
полеты к Меркурию скорее в один класс с пилотируемыми по¬
летами к внешним планетам, нежели к Венере и Марсу.
Другое обстоятельство, также влияющее на выбор реактив¬
ной системы, заключается в том, что полет пилотируемого кос¬
мического корабля к Меркурию, целью которого является иссле¬
дование планеты в течение длительного периода, должен закон¬
читься посадкой на поверхность планеты (предпочтительно с
ночной стороны), осуществить которую необходимо как можно
скорее в целях достижения большей безопасности1). При этих
условиях становится необходимым обеспечить космический ко¬
рабль соответствующей ракетной системой с большой тягой для
осуществления посадки на поверхность Меркурия и старта с нее:
либо совершенной ядерной теплообменной системой, либо ядер-
но-взрывной системой. Дальнейшее обсуждение этого предмета
будет проведено в томе III книги «Космический полет».
Несмотря на более выгодные условия, сопутствующие пере¬
лету к Венере и Марсу, требуемые характеристические скорости
при малой длительности полета с возвращением тем не менее
должны быть около 18 000ч-27 ООО м/сек (60 ООО 4-90 000 фут/сек)
(для перелета длительностью примерно до одного года плюс —
минус несколько месяцев). Уменьшение длительности перелета
до малой части года (до нескольких месяцев) потребует характе¬
ристической скорости свыше 30 000 м/сек (100 000 фут/сек). Ни
одно из этих требований не может быть удовлетворено, если пе¬
релет совершает космический аппарат с двигательной установ¬
кой на химическом топливе, на что указывает очень большое
отношение начальной массы к конечной (рис. 9.139). Ядерные и
солнечные теплообменные двигатели (последние условно) об¬
ладают удельным импульсом, достаточным для того, чтобы по¬
лучить отношение масс в диапазоне 10^<Ijuic<l25, что, по-види¬
мому, находится в пределах сегодняшних технических возмож¬
ностей применительно к конкретным космическим аппаратам, и
позволяют поэтому избежать необходимости запуска большого
числа космических аппаратов («танкеров») для снабжения топ¬
ливом одного космического аппарата, несущего полезную на¬
грузку. Тем не менее из рис. 9.139 видно также, что при прибли¬
жении значения характеристической скорости к 30 000 м/сек
(100 000 фут/сек) ядерный теплообменный двигатель быстро
*) Защита от корпускулярной радиации и от интенсивного нагревания
в те периоды времени, когда космический корабль проходит над освещенной
стороной планеты. Кроме того, Солнце создает мощные возмущения, которые
могут значительно изменить орбиту космического корабля за длительное
время нахождения его на орбите спутника планеты.
684
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. g
^ ^ <Ni ^
(мао/ш/ф) яшояйомо ззмззллшопФзшмзФоу
9.16]
КОСМИЧЕСКИЙ ПОЛЕТ И РАКЕТНАЯ ТЕХНИКА
685
теряет свое преимущество. Полеты с такой характеристической
скоростью, если при этом требуются реактивные системы с вы¬
сокой тягой, должны осуществляться с помощью ядерно-взрыв-
ных или пульсирующих плазменных двигателей.
Высокое отношение тяги к весу космического аппарата тре¬
буется не всегда. Для выведения аппарата с поверхности небес¬
ного тела на орбиту необходимо использовать двигательную
установку, способную обеспечить отношение тяги к весу, пре¬
восходящее ускорение на поверхности. Приняв ускорение Земли
(g-ф) за единицу, получим, что двигательная установка должна
обеспечивать п>1 для Земли и Венеры, п>1/3 для Марса и
п > Уе для Луны. Последующие межорбитальные операции
могут выполняться при меньшем уровне ускорения тяги. В прин¬
ципе ускорение может быть произвольно малым. В действитель¬
ности существует нижний предел, который изменяется в зави¬
симости от области космического пространства, в которую со¬
вершается полет, и типа операции. В общем случае существует
тенденция в сторону уменьшения ускорения тяги при увеличе¬
нии удельного импульса.
Более высокие удельные импульсы, чем в случае ядерных
теплообменных систем, могут быть получены только путем сооб¬
щения газу большего количества энергии, чем это возможно для
ядерного реактора по условиям конструктивных ограничений.
Последнее достигается, например, при использовании электри¬
ческой дуги и индукционного нагрева. В таких электротермоди-
намических системах при использовании водорода или легких
металлов в качестве рабочего тела могут быть получены удель¬
ные импульсы порядка 1400-ч-2000 сек (источник энергии при
этом ядерный или солнечный).
Магнитогидродинамические (МГД) реактивные двигатели
основаны на получении в электропроводящем газе (плазме)
электромагнитного разряда с очень высокой температурой. При
импульсном разряде большой мощности может быть достигнут
удельный импульс величиной 20 000 сек [6—12]. Подобные си¬
стемы в настоящее время еще далеки от технической реализа¬
ции, но они являются лабораторными примерами реальных воз¬
можностей.
Удельный импульс приблизительно такого же порядка
(5000ч-20 000 сек) может быть получен в электростатических
реактивных системах, в которых осуществляется линейное уско¬
рение электрически заряженных частиц (ионов) между двумя
электродами. Принципиальная разработка электростатических
двигателей, по-видимому, близка к завершению, но даже самые
многообещающие варианты потребуют еще значительных иссле¬
дований и конструкторских проработок, прежде чем такие
686
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
двигатели найдут практическое применение на космических ап¬
паратах. При указанных значениях величины удельного им-
пульса отношение начальной массы космического аппарата
к конечной уменьшается до 2 5 даже для самых далеких поле¬
тов в пределах солнечной системы (см. рис. 139).
Однако увеличение удельного импульса не является полным
решением проблемы. Соответствующими параметрами аналогич¬
ного значения являются величина ускорения (отношения силы
тяги к весу) и число шагов превращения энергии, получаемой от
источника энергии (например от ядерного реактора), в энергию,
расходуемую на истечение струи (см. таблицу 9.14). Большое
число шагов превращения означает большой вес, сравнительную
сложность и малую эффективность двигательной установки, что
выражается в дополнительном весе радиатора, необходимого
для испускания в космос неиспользованной энергии в виде теп¬
лового излучения, если возможен только такой отвод энергии.
Таблица 9-14
Три основные характеристики реактивного двигателя
'и определяемые ими параметры полета
Характеристики реактив¬
ного двигателя
Параметры полета
Удельный импульс
Траектория полета
Снабжение с Земли
Частота полетов
Начальное ускорение
Траектория полета (особенно дли¬
тельность полета)
Способность осуществления посад¬
ки и старта
Гравитационные потери (исключая
удельный импульс свыше 5000 сек)
Маневренность
Число шагов превра¬
щения энергии
Эффективность системы (размеры
излучающей поверхности)
Надежность системы
«Сухой» вес системы (особенно вес
излучающих поверхностей)
Таким образом, по мере увеличения удельного импульса
наблюдаются два противоположных эффекта. Масса испускае¬
мого рабочего тела уменьшается, масса остальной конструкции
реактивной системы возрастает. Чем более продолжительным
является полет, тем более эффективным будет уменьшение мае-
9.16]
КОСМИЧЕСКИЙ ПОЛЕТ И РАКЕТНАЯ ТЕХНИКА
687
сы рабочего тела и тем больше становится приемлемым вес
конструкции двигателя. Для каждого уровня энергии полета
существует оптимальное компромиссное соотношение этих двух
масс, определяющее «оптимальный» удельный импульс. С уве¬
личением уровня энергии полета возрастает удельный импульс
и уменьшается величина ускорения. К счастью, неблагоприятное
влияние малого ускорения на время перелета снижается по мере
увеличения расстояния перелета вследствие того, что любое
ускорение в конечном счете приводит к очень высоким скоростям
полета, если только оно будет действовать в течение достаточно
большого интервала времени. Следовательно, оптимизация реак¬
тивной системы космического аппарата связана с установлением
наиболее подходящего компромисса между удельным импуль¬
сом, ускорением и сложностью системы, а не с максимизацией
непосредственно величины удельного импульса. Соотношение
между удельным импульсом и соответствующей величиной энер¬
гии, сообщаемой истекающей массе (при стопроцентной эффек¬
тивности превращения энергии источника в энергию истекающей
массы), и приблизительное отношение тяги к весу, которое мо¬
жет быть получено, представлены на рис. 9.140 в функции тре¬
буемой энергии для основных межпланетных полетов.
Рассмотрение целей полета определяет также выбор прием¬
лемых уровней ускорения. Конечно, это рассмотрение не огра¬
ничивается реактивной системой, а включает проблемы связи,
надежности космического корабля, маневренности, системы жиз¬
необеспечения, частоты операций и т. д. Вполне возможно, что
оно приведет к выбору реактивной системы, которая не будет
оптимальной с точки зрения только расхода горючего и уровня
ускорения.
Полеты к Луне связаны с выполнением переходов в долун-
ном пространстве. Операции в долунном пространстве мо¬
гут проводиться при низких ускорениях. Тем не менее суще¬
ствует предел минимальных ускорений, который желательно
принять по двум причинам: во-первых, долунные операции со¬
пряжены с меньшими энергетическими затратами, чем быст¬
рые межпланетные полеты, и, следовательно, необходимость
в очень высоком удельном импульсе не является столь на¬
стоятельной, как в случае межпланетных полетов (этот вы¬
вод следует изменить, если регулярные полеты к Луне срав¬
ниваются с отдельными межпланетными полетами); во-вто¬
рых, вследствие сравнительно низкой требуемой энергии и
близости Луны имеют место непродолжительные перелеты
(порядка двух дней или менее). Ясно, что быстрые перелеты к
Луне являются более удобными для пилотируемого корабля,
чем перелеты месячной длительности, при которых возможно
688
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
Рис. 9.140. Реактивные системы и космические полеты.
9.16]
КОСМИЧЕСКИЙ ПОЛЕТ И РАКЕТНАЯ ТЕХНИКА
689
получение большего веса полезной нагрузки от полного веса
корабля.
Быстрые перелеты Земля — Луна требуют начального уско¬
рения по крайней мере 10-2g$ и удельного импульса порядка
1000 -т- 1500 сек. Более высокие удельные импульсы, сопровож¬
даемые меньшими ускорениями, будут, по-видимому, более
W3 г
7 в минутах
1 в часах
• — Время в сути ах
г0=3744морские мили
у0=300морских миль
_ п-в единицах а300тракихшль ,
Время полета па активном участке
fминуть/, часы, сутки)
Рис. 9.141. Зависимость геоцентрического рас¬
стояния от времени активного полета (каса¬
тельная тяга).
■приемлемыми для грузовых космических аппаратов стандарт¬
ного типа, для которых время перелета не имеет большого зна¬
чения после того, как установлен систематический график по¬
летов.
Межпланетный полет космического аппарата с двигательной
установкой малой тяги состоит из трех фаз: уход от Земли, ге¬
лиоцентрический полет на активном участке траектории и за¬
хват у планеты-цели, если не предполагается столкновения с
планетой. На рис. 9.141 представлены зависимости между рас¬
стоянием и временем полета на активном участке в геоцентри¬
ческом поле в случае касательной тяги. На рис. 9.142 предста¬
влены время полета на активном участке траектории (в часах,
сутках и периодах обращения Луны, чтобы оценить влияние лун¬
ных возмущений для заданной даты старта) и расстояние (в ра¬
диусах Земли) как функции ускорения космического аппарата,
690
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. Q
стартующего с круговой орбиты высотой 556 км (300 мор~
ских миль) и достигающего местной параболической скорости.
Кривые даны для случая постоянных ускорений. Предположе¬
ние о постоянном ускорении при уходе от Земли является
достаточно оправданным для систем с очень высоким удель¬
ным импульсом (Др^бООО сек; соответствующее ускорение
Рис. 9.142. Полет с малой тягой: время полета .на активном
участке траектории и расстояние от Земли, на котором дости¬
гается местная параболическая скорость [старт с круговой
орбиты высотой */о = 556/си* (300 морских миль); касательная
тяга].
0,5 • 10-4-f-5 • 10“4 g'e). Однако в системах с /sp<:1500 сек воз¬
можно получение ускорения величиной от 10~3 до Для
таких систем получается большее отношение начальной массы
к конечной и, следовательно, большая разность между величи¬
нами начального и конечного ускорений. В случае достаточно
низкого удельного импульса, например равного 450 сек, измене¬
ние ускорения за время полета на активном участке траектории
может быть представлено горизонтальной линией (рис. 9.142),
соединяющей точку, соответствующую значению начального
ускорения n0=F/Wo (F — сила тяги, W0 — начальный вес), и
точку, соответствующую значению ускорения в конце активного
полета ti\=F/Wь
Можно видеть, что для перелетов к Луне случай n<\0~2g®
приводит к длительностям перелетов, которые уже не могут
классифицироваться как «короткие» в том смысле, что они не
9.16]
КОСМИЧЕСКИЙ ПОЛЕТ И РАКЕТНАЯ ТЕХНИКА
691
являются значительно более короткими, чем длительности энер¬
гетически оптимальных полетов космических аппаратов с дви¬
гательными установками на химическом топливе. Однако при
операциях в области внутренних планет солнечной системы
условия меняются. Поскольку здесь длительность полета состав¬
ляет сотни суток, приемлемым будет период ухода, соответ¬
ствующий даже ускорению 2-10_4g® 40 сут). Но при уско¬
рении 10_4ge один период ухода сут) становится того же
порядка, что и некоторые длительности быстрых перелетов к
Венере и Марсу. Тем не менее, если предположить, что на всем
пути к Марсу и на всем обратном пути к Земле космический
аппарат совершает активный полет (сначала ускорение, затем
торможение), то период захвата может быть сильно уменьшен
даже при таком низком уровне ускорения, что позволит сокра¬
тить длительность полета ниже значения периода гомановского
полета с возвращением, хотя это и вызовет уменьшение возмож¬
ной полезной нагрузки. Траектории таких перелетов получаются
с помощью метода вариаций орбит перехода, обсужденного в
этом параграфе и в § 9.8.
Вследствие больших расстояний полностью активные пере¬
леты должны выполняться с высокими скоростями. Однако в
противоположность системам с большой тягой преимущество
высокой скорости для систем с малой тягой не может быть ис¬
пользовано полностью, так как, вместо того чтобы двигаться
по высокоэнергетической орбите вплоть до окрестности планеты-
цели, космический аппарат должен начать торможение значи¬
тельно раньше. Причина этого заключается, конечно, в том, что
скорость и направление движения космического аппарата с ма¬
лой тягой относительно планеты-цели должны быть изменены
таким образом, чтобы при приближении к планете-цели маневр
захвата мог быть выполнен за ограниченное время, в течение ко¬
торого космический аппарат находится на заданном расстоянии
от планеты-цели.
В гелиоцентрическом пространстве условия улучшаются в
связи с низкой интенсивностью солнечного гравитационного поля
(6*10"4g$ на 1 а. е.), по сравнению с которой ускорение 10-4g$
не является уже малым. Во время подхода к Марсу (или к Ве¬
нере) космический аппарат будет легче и, кроме того, он будет
находиться в более слабом гравитационном поле, чем поле Зем¬
ли. Следовательно, маневр захвата и последующий уход потре¬
буют сравнительно меньшего времени, чем начальный уход от
Земли. Наконец, геоцентрический маневр захвата будет значи¬
тельно ускорен, поскольку космический аппарат будет к тому
времени еще более легким. Например, если для полета с возвра¬
щением требуется отношение начальной массы к конечной, равное
692
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
пяти, и космический аппарат осуществляет старт с начальным
ускорением п0 = 8 • 10-5 g® (период ухода 112 сут), то маневр
захвата при возвращении будет происходить с ускорением около
4*10-4£ф, уменьшая период захвата до 16 сут. Следовательно,
полная длительность полета наиболее эффективно может быть
уменьшена сокращением периода ухода. К счастью, именно на
этой фазе полета, а не на любой другой легче всего использо¬
вать ускорители с большой тягой. С помощью мощного ядерного
теплообменного межпланетного ракетного ускорителя (проект
«Урания»; см. таблицу 2.1 тома I книги «Космический полет»)
космический аппарат с малой тягой может быть выведен с по¬
верхности Земли целиком и ему может быть сообщена парабо¬
лическая скорость ухода. Получив необходимую скорость ухода,
аппарат отделяется от межпланетного ускорителя, продолжает
полет с малым ускорением, увеличивая свою скорость до гипер¬
болической, и совершает уход в гелиоцентрическое пространство
за время около двух — четырех суток вместо трех — четырех ме¬
сяцев. Это потребует начального веса носителя около 1800 -ъ
-^2000 Т для запуска с параболической скоростью космического
аппарата с малой тягой весом 200 Т. Такая система более под¬
робно будет обсуждаться в томе III книги «Космический полет».
Для быстрых перелетов к Венере и Марсу с орбиты спутника
Земли, выполняемых космическими аппаратами с малой тягой,
необходимо иметь начальное ускорение п0 ^
Механика полета с малой тягой в общем виде изложена в
главе 7. Здесь же, чтобы помочь читателю провести оценку
некоторых конкретных полетов с малой .тягой, на рис. 9.143—
9.154 представлены графики зависимости времени полета от ге¬
лиоцентрического расстояния и зависимости эксцентриситета и
большой полуоси оскулирующей орбиты (то есть кеплеровой
орбиты, по которой двигался бы космический аппарат после вы¬
ключения двигательной установки) от расстояния до Солнца.
Эти графики охватывают спиральные траектории от Венеры и
Земли, уходящие от Солнца, спиральные траектории от Марса
и Земли к Солнцу, а также спиральные траектории от Юпитера
и Сатурна к Солнцу. Во всех случаях тяга предполагается ка¬
сательной, а орбиты планет — круговыми (рассматривается
только гелиоцентрическая часть траекторий полета). Эти гра¬
фики легко объясняются в свете исследований, проведенных в
главе 7. На рис. 9.155 и 9.156 представлены графики зависимо¬
сти параметра идеальной скорости от времени активного полета
и начального ускорения космического аппарата при полете с
малой тягой.
Имеют место чрезвычайно большие продолжительности энер¬
гетически оптимальных переходов в случае полетов к внешним
9.16}
КОСМИЧЕСКИЙ ПОЛЕТ И РАКЕТНАЯ ТЕХНИКА
Рис. 9.143. Зависимость времени активного полета с малой
касательной тягой от гелиоцентрического расстояния при
уходе от Солнца с орбит Венеры и Земли (l pg = 10-6g).
Рис. 9.144. Зависимость эксцентриситета оскулирующей орбиты
полета с малой касательной тягой от гелиоцентрического
расстояния при уходе от Солнца с орбит Венеры и Земли
(l (ig = 10-6g).
45 К. Эрике, т. II
694
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ.
Рис. 9.145. Зависимость большой полуоси оскулирующей орбиты
полета с малой касательной тягой от гелиоцентрического расстоя¬
ния при уходе от Солнца с орбиты Венеры (l \ig= 10~~6 g).
Рис. 9.146. Зависимость большой по¬
луоси оскулирующей орбиты полета
с малой касательной тягой от гелио¬
центрического расстояния при уходе
от Солнца с орбиты Земли
(1 ng= I0“6g)'
1
<2=00
200/лд
4=00
WMff—
M I
200/jg
f
-m
/
>
f
р
t
1
I—
/
/
J
//
1
/'
f
г
\о, 1,1 i,z 1,3 1,4 %$
R(a. е.)
Рис. 9.147. Зависимость
большой полуоси оскули¬
рующей орбиты полета с ма¬
лой касательной тягой от ге¬
лиоцентрического расстояния
при уходе от Солнца с ор¬
биты Земли (продолжение).
9.16]
КОСМИЧЕСКИЙ ПОЛЕТ И РАКЕТНАЯ ТЕХНИКА
695
45*
Рис. 9.148. Зависимость времени активного полета Рис. 9.149. Зависимость эксцентриситета ^оскулирующей
с малой касательной тягой от гелиоцентрического орбиты полета с малой касательной тягой от гелиоцен-
расстояния при полете к Солнцу с орбит Земли и трического расстояния при полете к Солнцу с орбит
Марса (l pg = 10“6 g). Земли и Марса (l pg = 10~6 g).
636
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
<*
1,4
1‘2
^10
I
!<?<?
I
1^
к
0,2
}-
77 =
1 1 1 1 1
\
i
\ч
N..
<
/
\
><
J
J
.—■
\
V
л
Л
><
У
С
(jT
с
^n=-25uff
—■
|\
S:
X -50
ч-100
,-150
-200
\
О 0,2 0,4 0,0 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
Гелиоцентрическое расстояние Я (а. е.)
Рис. 9.150. Зависимость большой полуоси оскули-
. рующей орбиты полета с малой касательной тягой
от гелиоцентрического расстояния при полете к Солн¬
цу с орбит Земли и Марса (l p,g= 10~ g).
Рис. 9.151. Зависимость времени активного полета
с малой касательной тягой от гелиоцентрического
расстояния при полете к Солнцу с орбиты Юпитера
(1 ц§= 10_6 g).
(Гл. 9
КОСМИЧЕСКИЙ ПОЛЕТ И РАКЕТНАЯ ТЕХНИКА
1.0
I
1
0,9
I
\
"
I
\ 1
0,8
п-
е
JS
у
л
25рд'
-50 -
-100 '
V
\
0,7
I
\
1
I
\ 1
I»
I
\|
I
I®
I
а
I
I
||
1^
§
П-
--25рдЛ
I
г
1
50 -
+
у*
^0,3
-7UU -
\
0,2
I
Z
1
1
0,1
—
41 42 43 44 4,3 4,6 4,7 4,8 4,9 5,0 5,1 5,2
Гелиоцентрическое расстояние 8 (а. е.)
5,8
5,6
4,8
40 I
I
з.о I
■6.3'
3.0
1.8
Рис. 9.152. Зависимость эксцентриситета и большой полу¬
оси оскулирующей орбиты полета с малой касательной
тягой от гелиоцентрического расстояния при полете к
Солнцу с орбиты Юпитера (l |-ig= Ю~6 g).
703
I
I
I
S'
*
2-т
'
—*
■-
ш
чал
а А
■—.
! /
Г
vT
ШЛШ/И о
^п--25рд
^ -50
у^-100
Т7=-25рсг
-50^
-100
V—
Sp
л
л .
\
V
у,\
\
'А
\
т
0,520 9,522 9,524 9,52В 9,528 9,530 9,532 9,534 9,535 9,538 Шкала А
| | | i i i - | |_ i I '
9,45 9,46 9,47 9,48 9,49 9,50 9,51 9,52 9,53 9,54 Шкала В
Гелиоцентрическое расстояние R (а. е.)
Рис. 9.153. Зависимость времени активного полета с малой
касательной тягой от гелиоцентрического расстояния при
полете к Солнцу с орбиты Сатурна (I Ю“6 g).
698
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
Таблица 9.15
Приближенные параметры, характеризующие активный полет с малой тягой
И соответствующую оскулирующую параболу перелета
к Юпитеру и Сатурну
Планета-цель
Юпитер
Сатурн
Ориентация тяги
Касательная
Начальное ускорение (^ф)
6- КГ5
6- кг°
Ускорение в конце активного участка (£ф) • •
1,32- 1(Г4
1,92- 10“5
Гелиоцентрическое расстояние старта, а. е. . .
1,0
1,0
Гелиоцентрическое расстояние конца активно¬
го участка, а. е
1,74
4,66
Время геоцентрического ухода
сутки
годы
131
0,358
1310
3,58
Время активного гелиоцентрического полета
сутки
годы
176
0,48
2230
6,15
Время от старта с данной орбиты (у = 556 км)
до -начала параболического полета
сутки
годы
307
0,84
3540
9,73
Время параболического полета до планеты-
цели
сутки
годы
305
0,83
210,5
0,58
Полное время перелета до планеты-цели без
захвата
а) геоцентрического и гелиоцентрического
сутки
годы
б) только гелиоцентрического
сутки
годы
612
1,67
481
1,31
3750
10,31
2440,5
6,73
Время при импульсном энергетически опти¬
мальном перелете
годы
2,8
6,1
9.16] КОСМИЧЕСКИЙ ПОЛЕТ И РАКЕТНАЯ ТЕХНИКА 699
Продолжение
Планета-цель
Юпитер
Сатурн
Время при импульсном параболическом пере¬
лете
годы
1,15
2,6
Оскулирующая парабола
Расстояние до перигелия, а. е.
Теоретическая скорость в перигелии, фут/сек
Истинная аномалия конца активного участка
Истинная аномалия точки пересечения с кру¬
говой орбитой планеты-цели
Угол пересечения параболы и орбиты планеты-
цели
0,878
147 ООО
89°26'
131°28'
65°39'
3,03
79 ООО
72°32'
109° 19'
54°39'
планетам солнечной системы, особенно при полетах в простран¬
ство, находящееся за Юпитером. Совершенно ясно, что даже при
Рис. 9.154. Зависимость эксцентриситета и большой полуоси ос-
кулирующей орбиты полета с малой касательной тягой от гелио¬
центрического расстояния при полете к Солнцу с орбиты Са¬
турна (1 \ig = 10~6 g)
значениях начального ускорения п0< 10 4£ф имеется возмож¬
ность получить быстрые орбиты перелета. На рис. 9.157 пока¬
700
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
заны две гелиоцентрические траектории межпланетного перелета
с очень малой тягой к Юпитеру и Сатурну. Значения основных
параметров, характеризующих активный полет и оскулирующую
параболу перелета, приведены в таблице 9.15.
Выключение двигательной установки осуществляется при до¬
стижении космическим аппаратом параболической скорости.
Рис. 9.155. Зависимость параметра идеальной скорости vid/g
от времени активного полета при постоянном ускорении.
Параболическое движение выбрано для того, чтобы провести
сравнение с параболическим переходом к Юпитеру (рассмотрен¬
ным в § 9.6) при использовании большой тяги. Оскулирующая
парабола показана пунктирной линией, продолженной до ее со¬
ответствующего перигелия. Из таблицы 9.15 видно, что при
п0 = 6* 10 космический аппарат с малой тягой способен со¬
вершить быстрый перелет к Юпитеру, включая выполняемый с
малой лее тягой уход от 3,емли. Время перелета в этом случае
9.16]
КОСМИЧЕСКИЙ ПОЛЕТ И РАКЕТНАЯ ТЕХНИКА
701
значительно меньше, чем в случае перелета по энергетически
оптимальной орбите, хотя эта разность уменьшится, если косми¬
ческий аппарат будет выполнять маневр захвата с малой тягой
Рис. 9.156. Зависимость параметра идеальной скорости vid/g
от произведения величины начального ускорения на время
активного полета при постоянной тяге.
у Юпитера. Тем не менее время перелета все же больше, чем
в случае импульсного разгона до параболической скорости.
С другой стороны, несколько более длительное время разгона
переведет космический аппарат на оскулирующую гиперболи¬
ческую орбиту перелета, которая позволит еще сократить
702
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
ГГЛ. 9
длительность перелета. При этом уменьшение времени геоцентри¬
ческого ухода дает только незначительное уменьшение времени
перелета в целом. Следовательно, в этом случае не имеет смысла
использовать носитель для выведения. космического аппарата
на межпланетную орбиту. Так как перелет такого рода может
рассматриваться как «быстрый» при полетах к Юпитеру (это
Рис. 9.157. Траектории полета с малой тягой к Юпитеру и
Сатурну при параболическом переходе.
еще более справедливо для перелетов к планетам за Юпитером),
применение для подобных перелетов носителей с большой тягой,
выводящих космические аппараты на межпланетные орбиты,
становится еще менее целесообразным.
Совершенно другие условия имеют место для систем с
п0 = 6* 10-6£ф. При таком низком ускорении (в случае полетов
к Сатурну и планетам за Сатурном) может быть использована
двигательная установка с очень высоким удельным импульсом
(в пределах от 15 000 до 30 000 сек), что даст значительный
выигрыш в полезной нагрузке (по сравнению с меньшими удель*
ными импульсами и большими ускорениями) без всякой потери
9.16] КОСМИЧЕСКИЙ ПОЛЕТ И РАКЕТНАЯ ТЕХНИКА 703
в длительности полета к планетам за Сатурном. Длительность
полета к Сатурну в качестве планеты-цели чрезмерно увеличи¬
вается, если значение ускорения меньше 10_5g®. Время геоцен¬
трического ухода при этом занимает значительную часть
времени гелиоцентрического перехода. Отсюда вытекает необхо¬
димость в большей начальной скорости для уменьшения длитель¬
ности ухода, что значительно уменьшает длительность полетов
к внешним планетам солнечной системы. Однако в случае поле¬
тов к Сатурну в приведенном выше примере этого недостаточно,
так как время прохождения только гелиоцентрического участка
активного полета оказывается больше, чем время полного гома-
новского перелета к Сатурну. Таким образом, «быстрые» пере¬
леты не могут быть получены при полетах по траекториям с та¬
ким малым постоянно действующим ускорением. Тем не менее
траектории активного полета с такой малой тягой окажутся
«быстрыми» при полетах к Урану (без захвата) или Нептуну
и Плутону (включая захват). Этот пример показывает тщет¬
ность надежд, возлагаемых на пульсирующие плазменные или
фотонные реактивные системы при полетах к внешним планетам,
поскольку еще не известен способ увеличения ускорения в таких
системах до 10~5g®, даже если считать все остальные проблемы
разрешимыми. Между прочим, следует отметить другой недоста¬
ток систем с tto = 6-10-6g®. Космический аппарат проходит пояс
астероидов приблизительно за 3,8 года. Так как в этой области
более высокое содержание межпланетного вещества, то дли¬
тельное время пребывания здесь чрезвычайно опасно в связи с
большой вероятностью повреждения аппарата или даже уничто¬
жения его при столкновении, если только не будут использо¬
ваться траектории перехода, далеко отстоящие от плоскости
эклиптики.
Следовательно, с точки зрения механики космического по¬
лета реактивные системы могут быть разделены на четыре клас¬
са в соответствии с величиной создаваемого ими ускорения
(ниже эти системы расположены по убывающей величине уско¬
рения) .
I. Системы, способные выполнить взлет и посадку на поверх¬
ность:
« O,2g0 для Луны,
=* 0,6ge для Марса,
« для Венеры и Земли.
II. Системы для быстрых перелетов в долунном пространстве
(> ю-!гф).
704
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
III. Системы для быстрых перелетов к внутренним планетам
солнечной системы (^10Ve)*
IV. Системы для быстрых перелетов к внешним планетам
солнечной системы
^10~5£ф для Юпитера и далее,
^5*КГ6£ф(в сочетании с запуском, позволяющим осуще¬
ствить быстрый уход от Земли, или при старте с орбиты спут¬
ника Луны) для Сатурна и далее.
Характеристика соответствующих такому делению реактив¬
ных систем, известных в настоящее время, приведена в таб¬
лице 9.16. Эти системы кратко характеризуются удельным им¬
пульсом и отношением тяги к весу (ускорением). Их исследова¬
ние будет проведено в томе III книги «Космический полет».
В таблице 9.16 приведены четыре класса рассмотренных выше
реактивных систем, которые определяют основные полетно-меха¬
нические характеристики. Для сравнения приведен также и
случай межзвездного полета. Можно заметить, что только плаз¬
менные или ядерно-взрывные !) реактивные системы применимы
для всех операций и позволяют наибольшую свободу выбора
полетов во всей солнечной системе.
Наконец, необходимо сделать замечание по поводу прямого
использования давления солнечного излучения для получения
ускорения. По существу, это является идеальной формой реак¬
тивного движения, так как оно не требует расхода массы косми¬
ческим аппаратом и, следовательно, соответствует бесконечному
удельному импульсу. Автор предложил [4] использовать чрезвы¬
чайно светлые оптические тела в качестве автоматических меж¬
планетных станций, выталкиваемых при помощи давления сол¬
нечного излучения в домарсианское пространство. При этом
давление солнечного излучения используется для осуществления
движения зонда в межпланетном пространстве (после ухода от
Земли) и в то же самое время возможно оптическое слежение.
В работе [4] показано, что давление солнечного излучения равно:
pr = (l+^)^cos2a[^^]. (9.164)
Здесь R — коэффициент отражения (отражательная способность),
с — скорость света, a — угол между направлением солнечного
излучения и нормалью к освещенной плоскости, а S/ = S/R*2, где
S — значение солнечной постоянной на расстоянии 1 а. £•
(1,36 эрг/'см2 • сек = 1386,8 Г • см/см2 • се/с = 92 фунт • фут/фут2 • сек).
!) В тексте оригинала «fusion system». (Прим. перев.)
Характеристика реактивных систем с точки зрения основных целей космического
9.16]
КОСМИЧЕСКИЙ ПОЛЕТ И РАКЕТНАЯ ТЕХНИКА
705
о>
аз
Sf
Я
ч
VO
X Я
н |
О
С
О) f“*
ю «
4
*£ 2
О) «
о. 5
о ^
* Я
о О.
Sg
S
s ^ о 3
Е Я д 2
Э v £ £
£ 5 к о
* Я с; н
И Ч о 5
м
S
5 я о л
£ £ “2
£■* 2 £
S'4! Л
S О 1 Л
f- tf с * Н
S я ао
ч О с* « О
й 2 к
я£
d>
g * е
? я
£ u
6S
bo
+ + + +
+ +
+ +
■+ + + + +
+ +
+ + +
+
+ + +
+
AV« AV
i
о
AV
ю
•I*
_ I
T,o
*A\
о
о
о
о о
О
О
О
О
о
о
о
о
CX
О
о ю
О
ю
ю
ю
2 4> «
Ю
N- СО
1—•
*—!
•—<
»—I
£ Я
X ® ^
•I*
.|. .|.
•1*
•I-
■I-
■I-
л «у
О
о о
О
о
о
о
CX э<
о
о о
ю
о
о
о
C3 cj
X x
Ч1
С£> N-
00
о
о
ю
о
ю
82:
О
2 2ю
go
X .
go
0-3»
СЧ
X
X „
0x2!
/П Г1 ^
o x
X (D
2 S
r^VO
£ °
2v °
X P
X
X
E-
X
XO
X
X
4
—. X
3
Oh
>1
H
X о
а, з
о a
x
S
X
X
о
O E-1
3
x „
а® n
В <y a» 03
*=* Й *=* x ^
W g,t* xE
О О
4
о
ч
X
X
X
о
Он
X
с
н
о
X
X
4—•■
о
О)
X
X
X
X
о
о
<v
о
X
X
X
X
X
X
н
о
Е-
X
X
X
н
Е-
о
о
о
о
о
Он
3
сх
Е-
ч
н
' X
aj
X
о
X
о ,
ч
к
ч
5 CD hCD x
<v о
я X f->
s
cx
a)
3 5
ffi Cv
3 s
я
a.
x 2 1
m ® :
i ч j
о о .
x cx:
CX H ,
.ox,
з 4 °
£ К
о oj
706
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
R* — расстояние от Солнца в астрономических единицах. Для
идеализированного случая, когда Л =1,0 (100%-ная отражатель¬
ная способность), и нормального падения лучей (а = 0) давле¬
ние солнечного излучения в функции расстояния показано на
рис. 3.9 (см. том I книги «Космический полет»).
Ускорение тела, вызываемое давлением солнечного излуче¬
ния, равно давлению на единицу площади /?г, деленному на вес
тела, приходящийся на единицу площади поперечного сечения:
Пг = 4та (9Л65)
(в единицах g$, если W выражено в единицах, связанных с зем¬
ным .притяжением). Если рассматривать сферический баллон,
уголковый отражатель или мембрану, плоскость которой ориен¬
тирована нормально к направлению солнечного излучения, то
следует учитывать только радиальное ускорение (пг, г = ^г), так
как трансверсальное ускорение равно нулю (мГ|а = 0). В этом
случае движение тела определяется уравнением
R = Ri\2-g0 + g®nr,r> (9-166)
n d2R
где R = -jtг —радиальное ускорение, g0=-^r> = >
a f] — угловая скорость. Далее можно написать:
„„ gffiPr ge(l + /?)S^cos2a кг
W/A с (W/A) R2 R2 '
где /?ф — расстояние от Земли до Солнца, а Кг — радиацион¬
ный фактор, имеющий ту же размерность, что и гравитационный
параметр К [длина3/время2]. Таким образом, выражение для
радиального ускорения космического аппарата упрощается и
принимает вид
R2
R = R<\2- ° Р2 г • (9.168)
Так как на круговой орбите Rr\2 = Ko/R2, приведенное выше
уравнение означает, что тело под действием давления солнеч¬
ного излучения достигнет равновесия на более отдаленной кру¬
говой орбите, чем при отсутствии давления. В связи с тем, что
сила давления солнечного излучения убывает подобно гравита¬
ционной силе пропорционально I//?2, тело не будет ускоряться
в сторону ухода от Солнца. Следовательно, действие Кт «умень¬
шает» массу Солнца, сравнительно с массой «темного» Солнца
(рис. 9.158).
9.16]
КОСМИЧЕСКИЙ ПОЛЕТ И РАКЕТНАЯ ТЕХНИКА
707
Если же мембрана, движущаяся по круговой орбите, накло¬
нена на некоторый угол к местному горизонту (рис. 9.158), то
давление солнечного излучения создаст радиальную составляю¬
щую pr>r = pr cos а и трансверсальную составляющую рг, а =
=рг sin а. В этом случае появятся соответствующие ускорения:
пг, г = Рг, r/W/A cos а) = Pr cos2 a/{W/A)
и
пг, а = Рг sin а cos a/(W/A).
В результате мембрана будет двигаться по уходящей или при¬
ближающейся к Солнцу орбите, причем направление движения
будет зависеть от ее положения (рис. 9.158).
Рис. 9.158. Межпланетный перелет, выполняемый
с использованием давления солнечного излучения.
«Солнечные паруса» управляемого мембранного типа пред¬
лагались в работе [14]. Наиболее важной проблемой при созда¬
нии «солнечного паруса» является получение исключительно
малого отношения веса к площади при наибольшей отражатель¬
ной способности. Рассмотрим предельный случай, когда мембра¬
на состоит из покрытой серебром однослойной фольги толщиной
708
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
0,1 мм, весящей около 4,4 Г/м2. Предположим, что мы хотим
ограничить величину отношения полного веса (вес вспомогатель¬
ного оборудования плюс полезная нагрузка) к площади значе¬
нием 44 Г/м2. На расстоянии Земли это определяет значение
пг = 2,2 • Ю“5£ф. При а = 45° величина пг а = 1,1 • Ю-5£ф и ра¬
диальное ускорение пг г= 1,1 • 10-5£ф. Для того чтобы получить
представление о рассматриваемых величинах, допустим сна¬
чала, что действует только радиальная составляющая. Гравита¬
ционный параметр Солнца Ко — 1,3292 • 1011 кмъ/сек2. При
W/A = 44 Г/м2, а = 45° и R = 1,0 радиационный фактор Кт =
= 0,02344 • 1011 км3/сек2. Так как К® ~ 4 • 105 км3/сек2, радиа¬
ционный фактор Кг соответствует массе, равной около 5800 мас¬
сам Земли. Однако, поскольку масса Солнца эквивалентна при¬
мерно 332 500 массам Земли, соответствующее кажущееся умень¬
шение массы Солнца составляет только 1,76%. Таким образом,
Kq — Кг= 1,30576 • 1011 км3/сек2.
Пусть R =—Ko/h есть радиус гелиоцентрической круговой
орбиты, а /?' = — (К0 — Kr)h' — радиус равновесной орбиты с
учетом давления солнечного излучения; тогда, если R = R®, энер¬
гия движения по орбите h = —891 км2/сек2. На этом расстоянии
круговая скорость Vc, е — 29,9 км/сек. Если космический аппа¬
рат совершает параболический уход от Земли (без учета возму¬
щений), он должен иметь среднюю гелиоцентрическую скорость
29,9 км/сек. Однако если принять во внимание давление солнеч¬
ного излучения, то получим, что новое значение /Г в этой точке
равно h' = V2C,® — 2 (Ко — Kr)/R® = — 855 км2/сек2. Следователь¬
но, космический аппарат получает слишком высокую скорость и
находится в «перигее эллипса». Расстояние, на котором скорость
аппарата становится равной местной круговой скорости, будет
тогда являться радиусом теоретической круговой равновесной
орбиты R' = — (Ко — Kr)/h'= 152 900 000 км (радиус орбиты
Земли равен 149 500 000 км). Действительная орбита (если пре¬
небречь трансверсальным ускорением) в этом случае должна
быть эллипсом с перигелийным расстоянием, равным 1 а. е., и
афелийным расстоянием, равным 1,042 а. е. Однако при дей¬
ствии трансверсального ускорения скорость космического аппа¬
рата увеличивается, и при продолжающемся действии радиаль¬
ного ускорения он всегда переходит на новую, более отдаленную
равновесную орбиту, соответствующую мгновенной трансвер-
сальной составляющей скорости Rr). Результирующая «актив¬
ная» орбита проходит приблизительно между двумя траекто¬
риями активного полета, изображенными на рис. 9.157.
Время полета даже к Марсу является очень большим — по¬
рядка двух лет (включая время торможения около Марса, но
9.16]
КОСМИЧЕСКИЙ ПОЛЕТ И РАКЕТНАЯ ТЕХНИКА
709
без учета времени, необходимого для ухода от Земли). Есте¬
ственно поэтому, что для обеспечения экипажа космического ко¬
рабля потребуется полезный груз значительного веса. Исходя из
приведенных выше условий, можно «нагрузить» каждый квад¬
ратный метр поверхности паруса дополнительно сорока грам¬
мами; следовательно, каждый килограмм полезной нагрузки и
вспомогательного оборудования потребует 25 м2 поверхности
паруса. Малые зонды, несущие
50 кГ полезной нагрузки, будут
иметь площадь около 1250 м2.
Сомнительно, чтобы автоматиче¬
ский космический аппарат мог
соответствующим образом кон¬
тролировать положение такого
паруса, даже если бы он имел
полезную нагрузку весом около
50 кГ. Для экспедиции с соот¬
ветствующим оборудованием,
предполагающей осуществить по¬
садку на Марс, площадь паруса
будет измеряться тысячами квад¬
ратных метров. При попадании
в поле планеты, а возможно,
даже в гелиоцентрическом поле
(в зависимости от его интенсив¬
ности) от действия гравитацион¬
ных моментов возникнут напря¬
жения в фольге, которые значи¬
тельно затруднят поддержание
плоскости паруса и его положе¬
ния. Магнитные и электрические
поля также могут создавать зна¬
чительные моменты. Мембрана
может быть закручена и, таким образом, благодаря центробеж¬
ным силам можно избежать ее складывания. Это, однако, ни¬
сколько не упрощает контроля положения космического аппа¬
рата.
В силу этих факторов, а также из-за малой величины уско¬
рения, даже меньшей, чем для ионных двигателей, солнечные
паруса являются малопривлекательным способом движения.
Тем не менее при общем рассмотрении совершенно не оче¬
видно, что солнечный парус является не более чем интересной
физической схемой. В недалеком будущем единственным прило¬
жением давления солнечного излучения может быть его исполь¬
зование в целях ориентации (рис. 9.159), для малых коррекций
©
Центр масс
Восстанаеливающая сила
давления солнечного излучения
Восстанаеливающая сила
Центр масс
©
©
Рис. 9.159. Управление угловым
положением космического аппа¬
рата при помощи давления сол¬
нечного излучения.
710
ААЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9.
траекторий полета, изменения орбит космических аппаратов на
протяжении длительных интервалов времени или для переме¬
щения больших очень легких полиэфирных сфер с высокой от¬
ражательной способностью в домарсианское пространство.
9.17. Посадка на другие планеты
или на их естественные спутники
Конечной целью межпланетных перелетов является дости¬
жение поверхности других небесных тел или их естественных
спутников (лун). Условия для успешного спуска в значительной
степени изменяются в зависимости от выбора планеты-цели.
Планеты Венера и Марс являются относительно легко доступ¬
ными для автоматических межпланетных станций, поскольку
условия на их поверхности, по-видимому, не сильно отличаются
от земных. С точки зрения космической навигации Венера срав¬
нительно более легко «достижима» вследствие того, что ее
масса больше, чем масса Марса (и, следовательно, больше диа¬
метр столкновения), и поэтому в общем случае траектория пе¬
релета Земля — Венера является менее чувствительной к ошиб¬
кам, чем траектория перелета к Марсу. Для баллистического
перелета характерный допуск на планетоцентрическое расстоя¬
ние при подходе равен:
для Венеры ± 560 000 км,
для Марса ± 840 000 км.
Следовательно, для зонда, осуществляющего посадку, так
же как и в случае осуществления перехода на орбиту спутника,
требуется наведение на конечном участке траектории. Коррек¬
цию в течение конечной фазы полета следует осуществлять как
можно раньше, поскольку ранние коррекции всегда более эко¬
номичны. Венера имеет значительное преимущество перед Мар¬
сом вследствие большей ее массы. При промахе в 560 000 км
для осуществления столкновения с планетой необходим коррек¬
тирующий импульс, равный только около 21 м/сек, если он вы¬
дается на расстоянии 3,7*106 км [расстояние при расчете возму¬
щенной траектории перелета к Венере (рис. 9.108)], и около
44 м/сек, если импульс выдается на расстоянии 1,85 • 106 км.
В случае перелета к Марсу при промахе в 840 000 км потребуется
корректирующий импульс величиной 61 м/сек, если он будет вы¬
дан на расстоянии 3,7*106 о*, и около 125 м/сек, если импульс
выдается на расстоянии 1,85*106 о*. Полагая, что удельный им¬
пульс равен 300 сек, приходим к выводу, что упомянутые выше
маневры при подходе к Венере потребуют соответственно около
0,9% и 1,7% массы космического аппарата (то есть веса горю¬
*9.17] ПОСАДКА НА ПЛАНЕТЫ ИЛИ ИХ СПУТНИКИ 711
чего), тогда как аналогичные маневры при подходе к Марсу
потребуют примерно 3% и 5% соответственно.
Рассмотренные планетоцентрические расстояния, на которых
осуществляются указанные маневры коррекции, являются очень
большими, превосходящими расстояние, указанное в § 9.15 для
первого гелиоцентрического маневра коррекции у Земли. Сле¬
довательно, если навигация на конечном участке перелета осно¬
вывается на измерениях относительно планеты-цели, проблема
точности измерений является более серьезной, чем в случае
близких расстояний. Такие измерения должны содержать опре¬
деление диаметра планеты-цели, ее угловой скорости и, в за¬
висимости от располагаемой мощности, определение радиомет¬
рического расстояния и скорости. С точки зрения оптических
измерений Марс обладает тем преимуществом, что в период
подхода к нему космического аппарата он более полно освещен,
чем Венера, если только перелет осуществляется не по медлен¬
ным орбитам перехода, когда условия изменяются, так что в
этом случае подход к Марсу осуществляется с «наружной» сто¬
роны, а к Венере — с «внутренней». По-видимому, для быстрых
орбит перехода точность оптических измерений Венеры, выпол¬
няемых приближающимся к ней зондом, будет менее хорошей,
чем в случае перелета к Марсу. Если дело будет обстоять та¬
ким образом, то немного сократится разрыв между значениями
импульсов, необходимых для проведения коррекции на конеч¬
ном участке перелета. Поэтому для получения траектории столк¬
новения необходимо обеспечить величины импульсов конечной
коррекции около 60 м/сек (зонд для полета к Венере) и
150 м/сек (марсианский зонд). Аспекты выполнения таких ма¬
невров обсуждаются в томе III книги «Космический полет».
Спускающийся на Венеру зонд окажется в значительно бо¬
лее суровых окружающих условиях, чем зонд, спускающийся
на Марс. Дело в том, что атмосфера Венеры более плотная, ди¬
намически более подвижная и может быть насыщена пылью до
такой степени, что высокочувствительная оптическая и точная
механическая аппаратура, которая будет доставлена космиче¬
ской станцией на поверхность планеты для производства необ¬
ходимых измерений, через непродолжительное время может ока¬
заться серьезно поврежденной. Следовательно, предназначенные
для посадки на поверхность Венеры зонды преимущественно
должны снабжаться более грубой измерительной аппаратурой.
Сюда может относиться аппаратура для измерения скорости
ветра, интенсивности света (смены дня и ночи, яркости неба
и т. д.), но не фотографическая аппаратура, которая может ис¬
пользоваться при первых полетах, если это позволяет вес си¬
стемы.
712
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. а
Другой важной проблемой является передача данных
с поверхности Венеры1). Теоретически даже для передачи толь¬
ко фотографических изображений достаточно около 400 вт, если
эта передача ведется медленно. Однако до сих пор еще не из¬
вестны ни электрические характеристики ионосферы Венеры,
ни влияние сильных радиопомех, происходящих в атмосфере
или на поверхности планеты (см. «Космический полет», т. I,
гл. 3), что может резко изменить положение в сторону значи¬
тельного увеличения энергии, необходимой для передачи изо¬
бражений на Землю. Антенна космического аппарата, совершив¬
шего посадку на поверхность планеты, должна быть направлена
в сторону Земли, так как очевидно, что передача с помощью
антенны всенаправленного действия невозможна с точки зрения
энергетики. Поскольку положение оси вращения планеты неиз¬
вестно, динамика антенны должна позволять осуществлять ее
произвольное движение. Дополнительно к этому антенна должна
иметь достаточно прочную конструкцию, чтобы выдерживать
усилия от, по-видимому, очень сильных ветров и штормов, и
должна также быть способна поддерживать и отслеживать в
этих условиях заданное направление. Все эти требования, ко¬
нечно, усугубляют и без того серьезные инженерные проблемы,
которые, несомненно, все же будут когда-нибудь решены, оче¬
видно, за счет достаточного увеличения веса полезного груза.
Для осуществления высадки экспедиции Марс обладает
большими преимуществами по сравнению с Венерой, что, по-
видимому, сделает его первой целью такого рода перелетов. Эти
преимущества заключаются в более низких значениях энергии,
требуемой для полета космического корабля к Марсу, его по¬
садки на поверхность и старта с нее, а также в том, что в на¬
стоящее время условия на поверхности Марса известны с го¬
раздо большей достоверностью, чем условия на поверхности
других планет. Маловероятно, чтобы дополнительные исследо¬
вания условий на поверхности Марса и Венеры изменили кар¬
тину, разве что в сторону все возрастающей привлекательности
Марса. В то время как экспедиция с посадкой на поверхность
Марса может уже сегодня проектироваться с некоторой степенью
уверенности в ее благополучном завершении, об экспедиции с
посадкой на поверхность Венеры можно только размышлять
вследствие чрезвычайно малой достоверности любого предполо¬
жения, которое может быть сделано относительно особенностей
*) Первые успешные передачи информации из атмосферы Венеры были
осуществлены советскими автоматическими межпланетными станциями «Ве¬
нера-4», «Венера-5» и «Венера-б». Опубликованные в отечественной печати
данные, полученные этими станциями, позволят читателю критически отнес¬
тись к последующим рассуждениям автора. (Прии. перев.)
9.17]
ПОСАДКА НА ПЛАНЕТЫ ИЛИ ИХ СПУТНИКИ
713
условий на поверхности Венеры. Поэтому предварительно будут
необходимы по крайней мере быстрые исследовательские поле¬
ты человека к Венере, а может быть, также и к Марсу.
Более детальный анализ поверхности Марса, основанный на
материалах, собранных во время предшествующих исследова¬
тельских полетов космических аппаратов (пилотируемых или
автоматических), покажет, потребуется ли при выполнении ма¬
невра захвата изменять плоскость орбиты для того, чтобы полу¬
чить более благоприятные условия посадки. Посадка в полярных
областях потребует большей величины энергии захвата, если
плоскость орбиты захвата, получающаяся при сочетании гелио¬
центрической траектории подхода и траектории движения Марса,
будет лежать в поясе ±30° ареографической широты. Поэтому
необходимо исследовать возможность посадки космического ап¬
парата в тропических и субтропических областях Марса. Еще до
полета пилотируемого корабля, предполагающего произвести по¬
садку на поверхность планеты, при помощи входящих в атмо¬
сферу планеты зондов, зондов, совершающих посадку на поверх¬
ность планеты, и искусственных спутников планеты могут быть
выполнены атмосферные измерения и получены детальные све¬
дения о сезонных изменениях условий в атмосфере планеты и
на ее поверхности.
Венера — «одинокая» планета, не имеющая естественного
спутника больших размеров, чем астероид, а может быть, и во¬
обще не имеющая спутника. Марсианские луны, по-видимому,
являются очень малыми. Легко оценить навигационную задачу
посадки космического аппарата на Фобос и Деймос, но при этом
наиболее трудным является осуществление точной встречи пла¬
неты в пространстве и времени. Поэтому посадка на луны почти
неизменно связана с последовательным выполнением ряда пла¬
нетоцентрических маневров, а не одного комбинированного ма¬
невра, который предпринимался бы только для перехода аппа¬
рата из плоскости гиперболы приближения в плоскость орбиты
спутника. Сначала аппарат должен произвести маневр захвата,
который в этом случае по энергетическим соображениям должен
привести к эллиптической, а не к почти круговой орбите. Рас¬
стояние до Деймоса значительно больше расстояния одноим-
пульсного оптимального захвата. Следовательно, необходимо
расположить перицентр эллипса захвата как можно ближе к
планете и апоцентр — на расстоянии Деймоса. Таким образом,
экономится не только энергия захвата, но также и энергия по¬
следующего маневра встречи с Деймосом.
Плоскость получаемой орбиты захвата в принципе может
быть ориентирована множеством способов относительно плоско¬
сти орбиты Деймоса (рис. 9.160). В соответствии с навигацион¬
46 К. Эрике, т. II
714
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
ными возможностями пилотируемого космического корабля
можно предположить, что маневр захвата будет скомбинирован
с маневром изменения плоскости орбиты таким образом, чтобы
избежать неблагоприятной ориентации плоскости эллипса захва¬
та [см. эллипс (а) на рис. 9.160] и расположить эту плоскость
вблизи плоскости орбиты Деймоса. Несколько более трудной
навигационной задачей будет задача расположения линии узлов
вблизи апоцентра. Эта операция потребует, чтобы точка конца
активного участка маневра захвата лежала в плоскости орбиты
Деймоса. Подобно ограничению, налагаемому на положение
Рис. 9.160. Операция посадки на Деймос. Первый шаг:
создание удобного эллипса захвата.
конца активного участка маневра захвата, должны быть удовле¬
творены дополнительные ограничения, состоящие в том, что
межпланетный корабль должен находиться не только на задан¬
ном расстоянии от планеты-цели, но также должны быть выдер¬
жаны ареоцентрические широта и долгота (на ареоцентриче-
ской небесной сфере) точки конца активного участка маневра
захвата или заданные ареографические широта и долгота точ¬
ки на поверхности, находящейся под точкой конца активного
участка. В зависимости от точности выполнения этих условий
получаются эллипсы захвата типа (б), (в) и (г) на рис. 9.160.
Далее, было бы весьма удачно, если период обращения этого
эллипса был бы кратным периоду обращения Деймоса, так что
корабль смог бы встретить Деймос в апоцентре после того, как
он (корабль) совершит небольшое число оборотов по орбите.
В более вероятном случае два тела не смогут подойти близко
друг к другу в течение продолжительного времени, и следую¬
щий маневр в апоцентре должен изменить плоскость орбиты,
располагая ее точно в плоскости орбиты Деймоса, а также изме¬
нить период орбиты таким образом, чтобы можно было осуще¬
ствить встречу с Деймосом через достаточно короткое время.
9.17]
ПОСАДКА НА ПЛАНЕТЫ ИЛИ ИХ СПУТНИКИ
715
В действительности, это равнозначно расположению орбиты пе¬
рехода между эллипсом захвата и орбитой Деймоса для осуще¬
ствления встречи с этой луной.
На рис. 9.161 показаны экономичные орбиты перехода для
трех случаев орбит захвата, почти компланарных с орбитой Дей¬
моса. Маневр перехода выполняется в апоцентре либо внутри,
либо на орбите Деймоса, либо вне ее. Для того чтобы обеспе¬
чить экономичный захват и изменение орбиты в апоцентре, по¬
следний следует распола¬
гать за орбитой Деймоса,
независимо от расстояния
до перицентра. Это же спра¬
ведливо и в случае перелета
к Фобосу. Если навигацион¬
ная точность достаточно вы¬
сока для выполнения манев¬
ра совмещения плоскости
эллипса захвата с плоско¬
стью орбиты луны планеты-
цели, то требуемая энергия
для изменения плоскости
орбиты в апоцентре будет
весьма малой. В этом слу¬
чае наиболее экономично
расположить апоцентр вну¬
три орбиты луны планеты-
цели, обеспечивая этим
большее изменение скорости
во время маневра захвата. Чем больше это изменение скорости,
тем более экономичным становится изменение плоскости, осуще¬
ствляемое при том же маневре. Для быстрой оценки круговых
скоростей и периодов обращения спутников различных планет
на рис. 9.162 и 9.163 представлены зависимости этих параметров
от расстояния. Приведенные графики могут быть также исполь¬
зованы и для оценки соответствующих параметров эллиптиче¬
ских орбит, поскольку их период равен периоду круговой орбиты
радиуса, равного большой полуоси эллипса. Скорости в точках
апсид определяются по значениям эксцентриситета и круговой
скорости на расстоянии, равном большой полуоси. Эксцентри¬
ситет в свою очередь определяется расстояниями до апоцентра
и перицентра, принимаемыми за независимые переменные.
Из проведенного рассмотрения следует, что посадка на луны
планет-целей не является результатом выполнения простого про¬
цесса захвата. Во множестве случаев она не может быть выпол¬
нена при помощи единственного маневра, сочетающего в себе все
Рис. 9.161. Операция посадки на Дей¬
мос. Второй шаг: встреча с Деймосом.
46*
716
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 3
возможные изменения орбиты, как это получается в случае за¬
хвата и изменения плоскости орбиты, а скорее состоит из трех
раздельных маневров, между выполнением которых производится
Рис. 9.162. Круговая скорость как функция планетоцентри¬
ческого расстояния.
значительное число измерений положения космического аппа¬
рата и определений орбиты. Этими маневрами являются:
1. Захват на удобную эллиптическую орбиту, первоначально
определяемую следующими условиями:
а) перицентр располагается как можно ближе к планете;
б) плоскость эллипса захвата располагается насколько мо¬
жно ближе к плоскости орбиты луны планеты-цели;
в) апоцентр эллипса захвата должен находиться на орбите
луны планеты-цели или вне ее;
г) линия узлов эллипса захвата должна совпадать с его ли¬
нией апсид и находиться в плоскости орбиты луны планеты-цели
при изменении орбиты в апоцентре.
2. Переход к луне планеты-цели, начинающийся от апоцентра
эллипса захвата; при помощи маневра, который изменяет пло¬
скость орбиты корабля, располагая ее точно в плоскости орбиты
луны планеты-цели, и приводит к встрече траектории корабля
с луной.
9.17]
ПОСАДКА НА ПЛАНЕТЫ ИЛИ ИХ СПУТНИКИ
717
3. Посадка на луну. Если луна имеет очень малую массу
(как, например, спутники Марса), этот меневр будет напоминать
скорее маневр сборки, а не маневр посадки. Экипаж корабля
должен будет пройти предварительную многократную трениров¬
ку в выполнении этого маневра вблизи Земли при осуществле¬
нии встречи с космической станцией или во время заправки го¬
рючим.
Рис. 9.163. Зависимость периода обращения спутника от плаие-
тоцентрического расстояния для круговых орбит и от среднего
расстояния для эллиптических орбит.
Сложность проведения этих маневров превосходит ожидае¬
мые возможности любого запускаемого с Земли автоматического
зонда. Для пилотируемых кораблей, осуществляющих быструю
встречу с Марсом, не существует явной необходимости посадки
на марсианские луны. По-видимому, выгоднее будет иметь орби¬
ту спутника, которая может быть расположена так, чтобы удо¬
влетворять наилучшим образом конкретным целям перелета.
Установка исследовательского оборудования на Фобосе и Дей¬
мосе предпочтительнее установки его на искусственных спутни¬
ках Марса только в том случае, если расположение осей враще¬
ния и периоды обращения Фобоса и Деймоса благоприятны для
проведения исследований, при условии, что имеется доступная
энергия достижения этих лун. Если это так, такие операции, оче¬
видно, будут связаны с исследованием и изучением самих лун.
718
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
Например, для ядерно-реактивных кораблей, осуществляющих
быструю встречу, может оказаться полезным иметь космические
зонды, выполняющие специальные маневры для достижения
Фобоса, его исследования и установки на нем соответствующей
научной аппаратуры. Возможности выполнения таких переле¬
тов будут обсуждаться в томе III книги «Космический полет».
9.18. Определение пространственных эллиптических,
гиперболических и параболических орбит перелета
в гелиоцентрическом пространстве
или внутри сферы действия планет
При расчете орбит перелета может быть использован один
из следующих трех методов.
(A) В качестве независимых переменных выбираются наибо¬
лее приемлемые параметры переходной орбиты. Определяются:
время перелета, необходимые скорости перелета, соответствую¬
щее расположение планеты старта и планеты-цели в момент
старта, а следовательно, и дата старта.
(Б) В качестве независимых переменных выбираются гео¬
центрические (или в общем случае планетоцентрические) пара¬
метры старта (вектор скорости и точка старта). Определяются:
элементы орбиты перелета, необходимое расположение планет в
момент старта, а следовательно, и дата старта.
(B) в качестве независимых переменных выбираются дата
старта и время перелета. Выбор даты старта определяет распо¬
ложение планет в момент старта. Следовательно, расстояния
от планеты старта и планеты-цели до центрального тела в мо¬
мент старта или встречи определены. Выбором времени пере¬
лета фиксируется также угол перелета. Поэтому в действитель¬
ности в качестве независимых переменных используются рас¬
стояния от Солнца до планеты старта в момент старта и до пла¬
неты-цели в момент встречи, время и угол перелета. Остается
определить элементы орбиты перелета и требуемые импульсы
скорости.
Метод (А) является особенно удобным для параметриче¬
ского анализа перехода с одной орбиты на другую. Он является
менее подходящим для анализа перелета от одной точки до дру¬
гой (встреча), поскольку в случае применения этого метода вы¬
бор переходного эллипса определяет положение точки старта.
Выбор большой полуоси и эксцентриситета орбиты перехода не
позволяет непосредственно определить время (дату старта),
исключая метод подбора (сравнение с уже существующими рас¬
считанными орбитами к той же планете-цели). Метод (А) при¬
менялся в § 9.3 и 9.4,
9.18] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ОРБИТ ПЕРЕЛЕТА 719
Метод (Б) имеет подобные же недостатки при расчетах меж¬
планетного перелета от одной точки до другой. В большей сте¬
пени этот метод применим для расчета орбиты перелета от точки
на вращающейся Земле до точки на орбите спутника или на
Луне. Метод (Б) использован в § 2.2.
Применение методов (А) и (Б) не ограничивается только
указанными выше случаями перелета. Однако для межпланет¬
ных перелетов дата старта имеет
первостепенное значение в свя¬
зи со значительным влиянием
пространственных траекторий ге¬
лиоцентрического перелета на
требуемую полную энергию пе¬
релета. Следовательно, выбор
времени (даты) старта в каче¬
стве независимой переменной
имеет большое практическое зна¬
чение. В этом случае применим
только метод (В), разработанный
Гауссом. С использованием этого
метода построены рис. 9.38—
9.57.
I. Соотношение между секто¬
ром и треугольником эллипса.
Метод (В) основывается на тео¬
реме Ламберта. Ламберт по¬
казал, что время, необходимое
для прохождения телом дуги
произвольной орбиты в централь¬
ном поле сил, зависит только
от расстояний от двух крайних
точек дуги до центра притяже¬
ния, от длины хорды с, соеди¬
няющей эти точки, и от большой
полуоси орбиты (рис. 9.164, а).
С другой стороны, определяя
крайние точки и время перехода
между ними (рис. 9.164,6) и
вычисляя длину хорды с, можно определить большую полуось
орбиты перехода, а затем остальные элементы орбиты и век¬
торы скоростей в крайних точках. Длина хорды находится из
уравнения с = (г2+ r^ — 2rr2cosгр)1/2, где угол перехода тр изве¬
стен по заданному времени старта, которое фиксирует направле¬
ние гь и по заданному времени перехода tt> а следовательно, и
времени встречи, которое при известном наклонении i плоскости
а)
Рис. 9.164. Сектор эллипса и свя¬
занный с ним треугольник.
а) общий случай; б) применительно к
астронавтике.
720
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
орбиты планеты-цели к плоскости орбиты планеты старта
определяет направление г2. В переменных Z (долгота) и b (ши¬
рота), отсчитываемых на небесной сфере относительно плоско¬
сти орбиты планеты старта (широта которой, следовательно,
равна нулю), это означает, что известны долгота точки старта
/ь долгота /2 и широта Ь2 точки цели (рис. 9.165). Однако, по¬
скольку этот метод применим только для центрального поля сил,
//
Рис. 9.165. Проекция гелиоцентрической орбиты пере¬
хода на небесную сферу.
точки старта и цели должны находиться в одном и том же сило¬
вом поле. При известных /ь /2, Ьь Ь2 угол перехода определяется
из соотношений
cos % = sin bx sin b2 + cos b{ cos b2cos (Z2 — Z^, (9.169a)
cos t]t = cos Zj cos Z2 + sin lx sin Z2 cos Z. (9.169b)
Для условий, изображенных на рис. 9.165 (bi = 0),
sin bo )
sin %
Sin It }
cos % = cos (Z2 — Zj) cos b2. J
(9.170)
Если Z и ft, как в приведенном случае, относятся к гелиоцентри¬
ческой эклиптической системе координат, то предположение, что
Земля является планетой старта или планетой-целью, означает,
что по крайней мере Ь\ или Ь2 равно нулю и, следовательно,
одна из крайних точек орбиты перехода лежит в плоскости эк-
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ОРБИТ ПЕРЕЛЕТА
721
липтики (если пренебречь малыми отклонениями Земли от сред¬
ней плоскости эклиптики, обычно меньшими одной дуговой се¬
кунды).
Удвоенная площадь треугольника 152 (рис. 9.164) опреде¬
ляется выражением /Vbsinrp, удвоенная площадь эллиптиче¬
ского сектора — выражением УКр tt = Ctu где С — постоян¬
ная интеграла площадей. Отношение этих выражений
У-
VKp tt
(9.171)
дает уравнение для определения параметра р, который является
единственным неизвестным в правой части этого соотношения
при условии, что у может быть выражен только через величины
ru г2, tt и гр. Чтобы найти у в зависимости от ru r2, tu Ль пара¬
метр р должен быть выражен в функции этих же самых величин.
Такое соотношение может быть получено только при помощи
эксцентрических аномалий. После его нахождения необходимо
получить и второе соотношение, позволяющее исключить экс¬
центрические аномалии.
Из уравнений
/г, sin ^ = VrAsin -у,
1Ггх cos ^-= yVpCOS-l5-,
Vr2 sin у = j/r,, sin -у,
1/7^ cos = Yr р COS -у ,
(9.172)
где г а и гР — расстояния соответственно до апоцентра и пери¬
центра орбиты перехода, получаем:
yv^sin ~у cos -у = У г Аг р sin -у-cos у
У r\r2 cos у- sin -у — У г дГр cos sin -у-.
УЛъ sin -j-sin у = глзт ysin-y,
V Г\Г 2 COS -у COS у = Гр COS -у COS -у.
Вводя обозначения
= Лг - ill = 2/, Ч| + Т12=2F,
Et= Е2-Ex = 2g, Ех + Е2
(9.173)
= 2 F, )
(-2G J
(9.174)
722 МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ [ГЛ. 9
и вспоминая, что
Гд=а(1 + е),
Гр = а( 1 — е),
находим из разности первых двух уравнений (9.173)
(9.175)
(9.178)
Vr{r2 sin f = a ]Л — е2 sin g (9.176)
и из суммы двух последних уравнений (9.173)
VГ\Г2 cos f = a cos g — ае cos С. (9.177)
Из соотношений
rx = а — ае cos Еь
r2 = а — ае cos Е2
получаем:
г{ + г2 = 2а — 2ае cos g cos G. (9.179a)
Находя из уравнения (9.177)
ае cos G = a cos g — Yrxr2 cos /
и подставляя в уравнение (9.179а), получаем:
гх + г2 = 2a sin2 g- + 2 Vг{r2 cos f cos g. (9.179b)
Отсюда находим уравнение для большой полуоси орбиты пере¬
хода:
ГХ + г2 - 2 /йг2 cos f cos g /Ci 1on„4
а “ ‘ (9.180а)
Это уравнение содержит в правой части неизвестную величи¬
ну g, в силу чего нельзя непосредственно определить большую
полуось. Следовательно, необходимо установить соотношение,
которое содержало бы величину g в качестве единственной не¬
известной. Это может быть сделано следующим образом. Вспо¬
миная, что cosg = 1 — 2 sin2-у, запишем уравнение (9.180а)
в виде
гх + г2 — 2 Угхг2 cos f + 4 Yrir2 cos f sin2
« L- (9.180b)
Далее упростим это уравнение, различая следующие два случая:
cos f si cos 4- % > 0 при г>/ < 180°, 1
2 Н (9.181)
cosf<0 при rit>180o. J
0.18] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ОРБИТ ПЕРЕЛЕТА 723
Если написать выражение для случая cos/>0
г] + г2 — 2 Vr\r2 cos / = 4 Vr/2 /cosf, (9.182)
откуда через известные величины
; _ ГХ + Г2 1
(9.183)
41^r1r2cosf 2 ’
то уравнение (9.180Ь) переходит в уравнение
2|/ + sin2-|-j>/r1r2 cos/
(9.184а)
или после извлечения из обеих частей квадратного корня—в
уравнение
где знак « + » соответствует sin g > 0, а знак «—» соответствует
sin g < 0.
Если же cos / < 0, то, делая подстановку
Свяжем теперь g с (известным) временем полета при помощи
выражений, содержащих эксцентрическую аномалию, функцией
которой является g. Обозначая время полета от (неизвестного)
перицентра переходного эллипса до положения 1 и 2 соответ¬
ственно через tp\ и /р2, можно написать следующие соотноше¬
ния для средней угловой скорости р на переходной орбите:
(9.18 ib)
Г\ + г2 — 2 Vr{r2 cos / = — 4 V^rir2 ^cosf, (9.185)
получаем:
a = —
(9.186)
(9.187)
sin2 g
(9.188)
Следовательно, при tpz — tPl = tt
724 МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ [ГЛ. 9
Подставив в уравнение (9.189)
✓-> У rlr2 COS f
е cos G — cos g — *—L
из уравнения (9.177), получим уравнение (9.189) в виде
У j- tt=2g-sin2g + 2 VWos/slng^ (9Л90)
Исключая а из уравнения (9.190) с помощью уравнений
(9.184) и обозначая для положительного значения cos/
Ук и
(2 ут^1 cos /)
3/2
m, (9.191)
можно получить необходимое соотношение, содержащее един¬
ственную неизвестную величину g:
± « = Уi + sin2 i+У(i + sin2 -f-)3(2g —2g), (9.192)
где знак перед величиной m соответствует положительному или
отрицательному значению sin g, то есть прямой или обратной
орбите.
Аналогичным образом для отрицательного значения cos /
обозначим _
г r—Kt‘ ш = (9-193)
1%У rlr2 (— COS/)]
после чего получим:
± М = - УI - sin2 j-+ У (j- sin2 -§- )3 (2g~nS3‘g g). (9.194)
где правило для знака перед М то же, что и для знака перед m
в уравнении (9.192).
Теперь мы должны приступить к выводу двух требуемых
уравнений, упомянутых в начале этого параграфа, которые вы¬
ражают р в функции ги гъ гц и tt. Добавляя два соотношения
-^-= 1 + е cost]!,
— = 1 + е cos ть
Г2
(9.195)
и учитывая второе уравнение (9.174), можно получить уравнение
Р.(Г1 + Г2) — 2 + 2е cos f cos F (9.196)
r\'2
9.18] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ОРБИТ ПЕРЕЛЕТА 725
или аналогично уравнению (9.177)—уравнение
]/rrlr2cos F =а cos G — aecosg. (9.197)
Умножая последнее на е и суммируя почленно с уравнением
(9.177), получаем:
Yr,r2cosf Л-е Yr]r2cosF = а( 1 — e2)cosg = pcosg, (9.198)
или
е cos F = — cos f H—cos g. (9.199)
V rxr2
Подстановка этого значения в уравнение (9.196) дает:
р = 2 /1 — cos2 / + ~7^_ cos g cos f),
Г\Г2 \ V Г1Г2 I
откуда
p = 2^^ ^ (9<200)
ri + r2 “ 2 у rYr2 cos / cos g
Возводя в квадрат уравнение (9.171) и подставляя уравнение
(9.200), получаем:
У2= ? : г. (9.201)
2rxr2 cos2 / (rj + г2 — 2 у rxr2 cos f cos g)
Из этого уравнения с помощью уравнений (9.183) и (9.191) или
(9.186) и (9.193) соответственно можно найти:
у2 = «* {9>202а)
/' + sin2 —
у2 = — . (9.202Ь)
J — sin2-7^
Исключив у из этих уравнений, получим уравнение (9.192), если
cos/>0, или уравнение (9.194), если cosf<0.
Как было установлено ранее, величина у есть отношение пло¬
щади данного эллиптического сектора к площади определяемого
этим сектором треугольника. Величины т (или М),
(/ + sin2 -|-)1/2 и + sin2 J-)3/2 [(2g - sin 2g)/sin2 g]
пропорциональны соответственно площади эллиптического сек¬
тора, площади определяемого им треугольника и площади сег¬
мента, ограниченного дугой переходного эллипса и хордой.
II. Определение эллиптической орбиты перехода. Уравнения
(9.202а, Ь) определяют величину у, а следовательно [с помощью
726
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
уравнения (9.171)], и величину р. За исключением величины g
(половины разности конечного и начального значений эксцен¬
трической аномалии), правые части уравнений (9.202а, Ь) содер¬
жат только члены, являющиеся исключительно функциями изве¬
стных параметров ru r2, tt и гц. Следовательно, первым шагом
должно быть определение g. Значения / и т или J и М могут
быть определены с помощью уравнений (9.183) и (9.191) или
(9.186) и (9.193) соответственно. К сожалению, уравнения (9.192)
и (9.194) не могут быть разрешены относительно g, и поэтому
необходимо оценить начальное приближенное значение g. Это
может быть сделано переходом к более простому плоскому пе¬
релету между круговыми орбитами Земли и планеты-цели.
Обратимся к рис. 9.31—9.65 или к соответствующим анали¬
тическим выражениям, посредством которых можно получить
систему приближенных значений гц, т]2, гР и гА, откуда может
быть найдено первое приближенное значение g. Подсчитывая,
далее, величину т или М с помощью соотношения (9.192) или
(9.194), изменяем значение g до тех пор, пока значение величи¬
ны т или М не будет удовлетворительно согласовываться с пред¬
варительно точно вычисленным значением т или М. После то¬
го как величина g становится известной с соответствующей точ¬
ностью, определяются:
отношение у [из уравнений (9.202а, Ь)];
параметр р [из уравнения (9.171)];
большая полуось а [из уравнения (9.184а)];
эксцентриситет е из выражения е2= 1 —
начальная и конечная истинные аномалии из соотношений
расстояния гА до апоцентра и гР до перицентра [из уравне¬
ний (9.175)];
средние аномалии из уравнений
Mi = Ei — е sin 1
cos Г], = ~^—е—
Л2 = 'П1 + %;
(9.203)
эксцентрические аномалии из уравнении
(9.204)
Э181 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ОРБИТ ПЕРЕЛЕТА 727
наконец, средняя угловая скорость движения
(9 206)
Если Земля является планетой старта или планетой-целью,
соответствующая точка старта или цели должна располагаться
либо в восходящем, либо в нисходящем узле орбиты. Следует
заметить, что положение восходящего узла по отношению к точ¬
ке весеннего равноденствия, то есть долгота восходящего узла Г£,
является известным. Предположим, что точка старта совпадает
с восходящим узлом. В этом случае 1\ = <0, (обе величины изме¬
ряются в плоскости эклиптики против хода часовой стрелки от
линии весеннего равноденствия). Широта точки цели относи¬
тельно плоскости эклиптики есть Ь2. Аргумент широты равен
U2 = гц (вспоминая, что и измеряется в плоскости орбиты про¬
тив хода часовой стрелки от направления на восходящий узел).
Положение перигелия устанавливается определением его дол¬
готы :
со = и2 - т]2 = % — Лг = - Лп (9.207)
Если гр— т]2 < 0, космический аппарат не пройдет через пери¬
гелий, так как перигелий лежит «позади» восходящего узла. На¬
клонение плоскости орбиты перелета к плоскости эклиптики
определяется соотношением
<9-2о8а)
Наклонение плоскости орбиты перелета к орбите цели находит¬
ся из уравнения
sin i2 = ——- sin (9.208b)
где долгота f£pi восходящего узла орбиты планеты-цели, так же
как и /ь известна.
Таким образом, становятся определенными все элементы ор¬
биты перехода, включая наклонение ее плоскости к плоскости
орбиты планеты старта (м) и к плоскости орбиты планеты-
цели (/г).
Гелиоцентрическая скорость на переходной орбите в точке
старта
•F' = V TtV 2~-Т’ (9-209)
728 МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ [ГЛ. 9
угол наклона вектора скорости к местному горизонту
tg е, = esini" ; (9.210)
1?Г(1+е)
угол в плоскости между вектором скорости и касательной к
орбите планеты
Э[ = I 01 — 0р11. (9.211)
Следовательно, пространственный угол старта определяется
как
cosВх = cosPj cos/!. (9.212)
Гиперболический избыток скорости получается из соотношения
vL = t/pi + V2\ — 2Up\V\cos В\, (9.213)
и гиперболическая скорость ухода от планеты на расстоянии Г\
от центра планеты равна:
v^^ + vl. (9.214)
III. Применение рассмотренного метода к определению ги¬
перболической орбиты перехода. Аналогично эллиптическим ор¬
битам может быть проведено решение уравнений движения для
Рис. 9.166. Эллипс и гипербола.
гиперболических орбит. Покажем это, получив уравнения для
гиперболы, подобные уравнениям (9.172) для эллипса. Пусть
точка О (рис. 9.166)—центр конического сечения, Р — перицентр,
В — положение движущейся точки, a S — фокус, в котором нахо¬
дится центральное тело. Тогда
сектор SPB = сектор ОРВ — треугольник OSB. (9.215)
Принимая ОВ = р и ZPOB = ф, получаем выражение для
удьоецной площади сектора ОРВ в виде
2 Aqpb~~ J Р2^Ф>
(9.216)
9.18] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ОРБИТ ПЕРЕЛЕТА 72Q
где для эллипса и гиперболы
(9.217)
(см §4.5 и 4.7 тома I книги «Космический полет»), где а и Ь суть
большая и малая полуоси конического сечения. Следовательно,
2А0Р в — ab
dz
1 ±z2 ’
(9.218)
Для эллипса
тогда
Ь
z = tgE, (9.219)
2 А0РВ = аЬЕ (9.220)
и из уравнения (9.217) для эллипса следует:
р cos г|э = a cos Еу 1
р sin гр = bsinEy J
откуда
}
(9.221)
(9.222)
г cos г| = a cos Е — ае>
г sin rj = b sin Е.
Удвоенная площадь треугольника OSB равна:
2A0sb = (ае) (р sin Ф) = аЬе sin Е. (9.223)
Следовательно, удвоенная площадь сектора SPB будет равна:
2ASPB = ab{E — е sin Е). (9.224)
Так как С = ]/Кр есть удвоенная площадь сектора PSB, оме■
таемая радиусом-вектором за единицу времени, то удвоеннас
площадь, ометаемая за время t, есть t У Кр, откуда
2 ASPB = t VKp - bt У £ (9.225)
И
Е - е sin Е = * ]/. (9.226)
Для гиперболы введем обозначение
z = th Е. (9.227)
47 К. Эрике, т. II
730
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
Тогда
~порв ~ ии£,
pcos'if> = ach Еу
р sin ij) = b sh E = r sin тр
r cos t] = a (e — ch E).
~Aqpb — йЬЕу
(9.228)
В случае гиперболы удобно считать площади и углы г|э, Е, ц по¬
ложительными для положительных ординат точки В и отрица¬
тельными для отрицательных ординат. В этом случае уравнение
площадей (9.125) примет вид:
сектор SPB = треугольник OSB — сектор ОРВ. (9.229)
Отсюда аналогично случаю эллипса имеем
Угол г|) положителен в интервале значений от 0 до 180 — тр
(тр — предельное значение истинной аномалии для гиперболы,
равное 180° минус острый угол между большой осью и асимпто¬
той) и отрицателен в интервале значений от 360° — г|/ до 360°.
Угол Е положителен, когда т] принимает значения от 0 до гр, и
отрицателен, когда г] принимает значения от 360° — гр до 360°.
Имеем:
%Aspb = ab(eshE — £),
(9.230)
(9.231)
(9.232)
Из последнего уравнения (9.228)
(9.233)
г = a(echE — 1) j
и окончательно
\Гг sin^- = У а (е+ 1) sh -у, !
(9.234)
У г cos|-= у а (е- 1) ch у. j
С помощью уравнений (9.234) может быть образована систе¬
ма уравнений для гиперболы, аналогичная системе уравнений
(9.172) для эллипса.
6.18]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ОРБИТ ПЕРЕЛЕТА
731
Соотношения, установленные в разделе I этого параграфа
для эллиптических переходных орбит, остаются справедливыми
для гиперболических орбит перехода после необходимой их мо¬
дификации и замены тригонометрических функций на гиперболи¬
ческие. В частности, уравнения (9.184а), (9.187), (9.192) и
(9.194) переходят в следующие:
2^j-sh2^Vrir2 cos f
sh2 g
>^/ + sh2 cos /
sh2 g
m = -,//_ sh2 _£ + |/(/ _ sh* -§-)3 (^|f^), (9.237)
a = hh ’ <9-235)
= - — ’ <9-236)
M =-]// + sh2 f + у (/ + sh2 -§-)3 ( Sh sh3~g2g ) * (9-238)
Здесь /, m, / и M определяются таким же образом, как и в раз¬
деле I этого параграфа. Двойные знаки, стоящие перед т и М в
формулах (9.192) и (9.194), в соотношениях (9.237) и (9.238)
не используются, так как shg всегда положителен, если считать
наклонение орбиты изменяющимся от 0 до 180°, и, следователь¬
но, различие между прямыми и обратными орбитами в этом слу¬
чае может быть исключено.
Если а = 6, то Е = ф. В этом случае эллипс превращается в
окружность, а гипербола становится равнобочной. Если в до¬
полнение положить а = 1, то координаты точки В будут опреде¬
ляться особенно простыми соотношениями:
для эллипса: х = созф, г/ = sin-ф; ]
для гиперболы: x = ch\|?, г/ = sh яф; I (9.239)
для эллипса и гиперболы: 2A0PB=ty- J
IV. Определение гиперболической орбиты перехода. Мето¬
дика определения орбиты аналогична случаю, изложенному в
разделе II этого параграфа. При условии, что g известно, вели¬
чина у определяется из уравнений (9.202а, Ь), величина р — из
уравнения (9.171). Для принятых независимых переменных ги
г2, U значение r\t = Ц2 — r]i можно найти из уравнений (9.169)
или из уравнений (9.170), значение / или / — из уравнения
(9.183) или (9.186) и, наконец, значение m или М — из уравне¬
ния (9.191) или (9.193). Первое приближенное значение g опре¬
47*
732
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
гг Л. 9
деляется при упрощении перехода сведением его к двумерному
случаю, при этом могут быть использованы рис. 9.31—9.65 или
соответствующие аналитические выражения, посредством кото¬
рых устанавливается система приближенных значений тц, г]2, а
и е, которые в свою очередь дают возможность получить первые
приближенные значения Еь Е2 и (Е2 — Ei)/2 = g при использо¬
вании уравнений (9.233).
Далее определяется значение т из уравнения (9.237) или
значение М.из уравнения (9.238) и осуществляется варьирова¬
ние величины g до тех пор, пока значение т или значение М не
совпадает достаточно хорошо со значением, определяемым соот¬
ветственно уравнением (9.191) или уравнением (9.193). После
этого можно приступить к определению следующих величин:
большой полуоси а — из уравнения (9.235) или (9.236), высоты
у — из уравнения (9.202а) или (9.202Ь), параметра р — из соот¬
ношения (9.171), эксцентриситета е из выражения е2 = 1 + р/а,
эксцентрических аномалий Е\ и Е2 — из уравнений (9.233),
истинных аномалий и т\2 — из уравнений (9.234), време¬
ни t\ перехода от перицентра до первого положения или вре¬
мени t2 перехода до второго положения при помощи уравне¬
ния (9.231):
Долгота перицентра, наклонение плоскости орбиты перехода,
скорости и углы пересечения в конечных точках определяются
таким же образом, как и в случае эллиптических орбит перехода
[по уравнениям (9.207) — (9.214)].
V. Параболическая орбита перехода. Точный параболический
переход будет, по-видимому, весьма редким, но, поскольку его
расчет несложен, он здесь приводится ради полноты изложения
материала. Так как параболическая орбита является единствен¬
ной, практически нет смысла использовать время перехода tt в
качестве независимой переменной. По сути дела, орбита уже
определена. Поэтому мы используем в качестве независимых пе¬
ременных величины Г\ (и, следовательно, время старта) и гР.
Истинная аномалия точки старта определяется следующим
образом:
(9.240)
(9.241)
Время перехода между перицентром и точкой, находящейся на
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
733
расстоянии гь
(9-242)
Уравнение (9.242) после изменения индекса «1» на «2» при¬
менимо и для определения г]2, значение которого может быть
найдено методом последовательных приближений. Если значение
г]2 известно, то время перехода tt находится из соотношения
U = U + U. Соответствующее расстояние г2 равно:
и может быть больше расстояния до орбиты планеты-цели.
Один путь решения состоит в повторении этой процедуры при
варьировании либо tt или гР, либо и той и другой величиной
вместе до тех пор, пока не будет получено требуемое значе¬
ние г2. Другой путь предполагает выбор г2 в качестве независи¬
мой переменной, определяющей г\2 в соответствии с уравнением
(9.243); если t2 находится при этом вне области желаемых зна¬
чений, то необходимо проверить, позволяет ли вариация гР из¬
менить это положение. Если же это невозможно для всей об¬
ласти значений гР, тогда перелет не может быть осуществлен по
параболической орбите.
Методы, изложенные в этом параграфе, используются при
исследовании межпланетных полетов с возвращением, рассма¬
триваемых в томе III книги «Космический полет».
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
А — площадь;
а—большая полуось;
aL — азимут точки старта;
В — пространственный угол (cos В = cos a cos р или cos В =
= cos i cos Р);
b — малая полуось;
С — постоянная интеграла площадей;
с — скорость света;
D — расстояние по прямой линии между двумя телами, когда
ни одно из них не является центральным (то есть ме¬
жду двумя планетами);
Е — эксцентрическая аномалия;
е— эксцентриситет;
F — сила;
/ — ускорение тяги;
734
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
g— гравитационное ускорение;
goo“ гравитационное ускорение на поверхности планеты
(в основном на поверхности Земли), если это не огово¬
рено особо;
h = v2 — v2 — постоянная энергии;
/loo = vlo— постоянная энергии на гиперболической орбите;
Я— угол, аналогичный эксцентрической аномалии для ги¬
перболы;
Я — местный часовой угол;
i — наклонение плоскости орбиты к плоскости эклиптики
или к особо определенной плоскости орбиты в одном и
том же центральном поле;
/( = Gm = k2m — гравитационный параметр;
k — постоянная Гаусса;
k — единичный вектор;
/ — долгота в эклиптической гелиоцентрической системе ко¬
ординат, измеряемая от точки весеннего равноденствия
против хода часовой стрелки при наблюдении с север¬
ного полюса эклиптики;
М — средняя аномалия;
п — отношение расстояния до апоцентра к расстоянию до
перицентра;
п — ускорение (в единицах goo);
р — параметр конического сечения;
рг — сила давления солнечного излучения на единицу пло¬
щади;
R — гелиоцентрический радиус (расстояние от Солнца);
г — планетоцентрический радиус (расстояние от центра пла¬
неты);
г'Лы —радиус сферы действия планеты (см. таблицу 9.1);
г— планетоцентрическое расстояние, на котором космиче¬
ский аппарат может считаться «ушедшим» от планеты
(в «бесконечность»), то есть расстояние от планеты в
момент начала гелиоцентрической фазы полета (в этой
книге везде принималось rQO = rQiCi)\
Т — период обращения (сидерический, если не оговорено
особо);
Т — длительность полета;
Т — произвольный отрезок времени;
ТSid — сидерический период обращения;
Tsyn — синодический период обращения;
t — время;
tx — время полета от перицентра до точки 1 орбиты;
tr— время полета от перицентра до точки, находящейся на
расстоянии г\
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
735
f*—время перехода между двумя орбитами;
ty\ — время полета от перицентра до точки с истинной ано¬
малией г\\
— время полета по гиперболе от точки разгона до точки,
находящейся на расстоянии г*, (время ухода);
U — орбитальная скорость планеты (индексом отмечается
конкретная планета);
V — гелиоцентрическая скорость космического аппарата;
Д1/— величина вектора AV = V—U (в случае гелиоцентри¬
ческого ухода или приближения к планете AV = ^оо);
v — планетоцентрическая скорость космического аппарата;
Av — величина вектора Av = V\— v2, то есть величина им¬
пульсного изменения скорости в планетоцентрическом
поле;
Avw — ортогональный импульс (нормальный к плоскости ор¬
биты) ;
— гиперболический избыток скорости (v2oo = v2 — vfy
х, у, z — декартовы координаты;
а—прямое восхождение в геоцентрической экваториальной
системе координат, измеряемое от точки весеннего рав-
нодействия против хода часовой стрелки при наблюде¬
нии с Северного полюса;
а—угол атаки;
а —угол местного изменения плоскости орбиты, происходя¬
щего вследствие приложения ортогонального импуль¬
са Avw\
р—угол местного изменения направления вектора орби¬
тальной скорости v в плоскости орбиты, происходящего
вследствие приложения некасательного импульса в пло¬
скости орбиты;
у—угол между векторами AV и У, то есть угол между
асимптотой гиперболической орбиты и вектором У ге¬
лиоцентрической скорости (cos у = AV • V/AV • V);
6 — склонение в геоцентрической экваториальной системе
координат;
£ — угол между векторами AV и U, то есть угол между
асимптотой гиперболической орбиты и вектором U мест¬
ной орбитальной скорости планеты (cos £=AV-U/AV-U);
Д£ —угол изменения направлния вектора ДУ при гипербо¬
лическом облете планеты;
г) — истинная аномалия;
1^=180° — ф — предельное значение истинной аномалии;
т]/=|г]2 — Tpl—центральный угол перелета (перехода), то
есть разность истинных аномалий двух точек переход¬
ной орбиты;
736
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. Э
— истинная аномалия точки, находящейся на расстоянии
Гоо на гиперболической орбите;
6 — угол наклона траектории полета, измеряемый от нор¬
мали к местному радиусу-вектору (от местного гори¬
зонта) до вектора скорости;
t — наклонение плоскости орбиты перелета к экваториаль¬
ной плоскости Земли;
i0 — наклонение плоскости эклиптики к экваториальной пло¬
скости Земли (i0 = 23°,5);
х — единичный вектор;
|li — среднее угловое движение;
v = vlVWr — отношение орбитальной скорости к местной
круговой скорости;
р—величины селеноцентрического радиуса-вектора;
Ф — географическая широта;
Ф = 0±(3 — угол тангажа, отсчитываемый от местного гори¬
зонта;
Ч; — угол, характеризующий взаимное расположение планет;
со — долгота перигелия, измеряемая от восходящего узла.
Индексы:
А — относится к апоцентру;
а — азимутальный;
агг — относится к прибытию;
с — относится к круговой орбите;
cpt — относится к захвату;
dep — относится к старту;
Л —относится к гиперболической орбите;
L — относится к запуску;
Я —относится к перицентру;
р — относится к параболической орбите;
pi — относится к планете;
г — радиальный;
sid — сидерический;
syn — синодический;
Т — относится к цели или к орбите цели;
^— относится к переходу (перелету);
V — относится к фокусу гиперболы;
w — ортогональный к плоскости орбиты;
Ху у у z — относится к соответствующей оси системы коорди*
нат xyz\
00—значение на поверхности планеты;
1 — значение в момент выключения двигательной установки;
1 — значение в момент начала гелиоцентрического полета;
2 — значение в момент окончания гелиоцентрического по¬
лета;
ЗАДАЧИ
737
оо — значение «на бесконечности»;
* — значения расстояния, выраженного в астрономических
единицах, и скорости, выраженной в единицах средней
орбитальной скорости Земли.
ЗАДАЧИ
1. Космический аппарат покидает орбиту Земли (круговую), имея каса¬
тельную скорость, превосходящую в 10 раз скорость Земли (Vp=10). Опре¬
делите время перелета и угол пересечения орбиты аппарата с орбитой Сатур¬
на (круговой), скорость аппарата в момент пересечения и необходимый угол
положения Сатурна для получения близкой встречи.
2. Космический аппарат осуществляет гиперболический старт с геоцен¬
трической орбиты ожидания высотой 556 км. Гиперболический избыток ско¬
рости и оо = 3048 м/сек. Определите время ухода (время полета от перигея
до сферы действия радиуса г = r’act).
3. Определите средний синодический период обращения астероида Эрос
относительно Земли. Среднее расстояние от Эроса до Солнца а= 1,4581 а. е.
4. Пусть компланарный перелет от Земли к Венере осуществляется по
орбите перелета № 2 (см. таблицу 9.3) с RA = 1,3 а. е. Определите необходи¬
мое для выполнения перелета взаимное расположение Земли и Венеры в мо¬
мент старта.
Космический аппарат должен стать спутником Венеры. Определите в
этом случае оптимальный планетоцентрический радиус для одноимпульсного
захвата на круговую орбиту и полную величину характеристической скорости
для всего полета, начинающегося стартом с почти круговой орбиты спутника
Земли высотой 556 км. Орбиты Венеры и Земли предполагаются круговыми,
радиусы которых равны их средним расстояниям до Солнца. Средняя сидери¬
ческая скорость движения Венеры равна 5767,67 сек/сут.
5. Космический аппарат осуществляет перелет от Земли к Юпитеру по
орбите перехода № 7 с Rp = 0,6 а. е.\ длительность перелета составляет
0,4 года. Используя соответствующие графики, приведенные в § 9.6, опреде¬
лите углы положения 4яi и Ч^, угол перелета гц и величины импульсов старта
и захвата, то есть Дгч и Ду2 соответственно, в предположении, что орбиты
спутников являются круговыми радиусами г\ = 1,1 у Земли и г2 = 50 у Юпи¬
тера. (Поскольку используются графики, то можно ограничиться приближен¬
ными значениями.)
6. Используя графики, приведенные в § 9.6, и значения средних расстоя¬
ний от Солнца до Земли и Сатурна, сравните продолжительности гелио¬
центрических перелетов Земля — Сатурн для следующих случаев: а) ОП № 0;
б) ОП № 1 с R*a= 19; в) ОП № 1 с R*A = 49; г) ОП № 4 с Яр = 0,1;
д) ОП № 7 с Яр = 0,1 и^ = 19,9; е) ОП № 10 с в = 5.
7. Для случаев (а), (в) и (д) предыдущей задачи сравните значения
углов перелета гц, 01, 02 и значения отношений V\/VC)p и У2/УС|Р.
8. Сравните периоды захвата, длительности перелетов и требуемые им¬
пульсы гелиоцентрической скорости для следующих перелетов Земля — Вене¬
ра— Земля: а) ТП 02 с использованием Я^=1,1 для ОП = 8; б) ТП 82
с использованием Яр = 0,65 и Я^= 1,05 для ОП № 8 и R*A = 1,19 для ОП №2;
в) ТП 78 с использованием Яр = 0,5 и R*A = 4,5 для ОП № 7 и Яр = 0,6 и
Я^=1,15 для ОП № 8. При решении задачи используйте таблицы,
738
МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ
[ГЛ. 9
приведенные в § 9.3 для ОП № 0, и графики, помещенные в § 9.6 для
остальных переходных орбит.
9. Космический аппарат отправляется с почти круговой орбиты ожидания
высотой 185 км. Условиями гелиоцентрического старта являются
Vi = 34 000 м/сек, Pi = 5°, it — 10°. Определите: AVi = vизменения скоро¬
сти, происходящие из-за наличия Pi, it и В\\ геоцентрические значения р, /
и В, которые могли бы быть получены при таких же изменениях скорости, и
сравните найденные изменения скорости с изменениями, которые потребова¬
лись бы, если бы такое же изменение направления осуществлялось в гелио¬
центрическом пространстве при скорости Vi. Предполагается, что
~ 30 000 м/сек и круговая скорость на орбите ожидания равна 7800 м/сек.
10. Рассмотрите численный пример, иллюстрирующий методику расчета
перелета межпланетного аппарата и представленный в конце § 9.11. В этом
примере предполагалось прерывное выведение. Вычислите соответствующие
величины для случая непрерывного выведения. Проверьте, возможно ли вы¬
ведение космического аппарата в перигей. Для случая послеперигейного
подъема вычислите следующие данные для разгона в точке, максимально
близкой к перигею: х, r|i, 0i и аь. Вращением Земли и величиной угла, про¬
ходимого за время активного участка, пренебречь; широта точки старта
<р^ = 28°,5; склонение точки пересечения вектора kv с геоцентрической сфе¬
рой 6V = 37°,4; прямое восхождение av = 90°; предельное значение истинной
аномалии гиперболы составляет r\t = 138°,8.
И. Определите геоцентрическую гиперболическую скорость старта косми¬
ческого аппарата с орбиты высотой 185 км, необходимую для достижения
нулевой гелиоцентрической скорости.
12. Какова продолжительность радиального перелета на круговую ор¬
биту Меркурия, радиус которой равен среднему расстоянию от Меркурия до
Солнца, если свободное движение начинается при нулевой гелиоцентриче¬
ской скорости на расстоянии 1 а. е.?
13. В предположении круговых орбит планет на их средних расстояниях
от Солнца вычислите расстояния по прямой D (расстояние связи) между
Землей и планетой-целью в момент прибытия космического аппарата для сле¬
дующих случаев:
а) планета-цель Венера, ОП № 4, длительность перелета 140 сут\
б) планета-цель Марс, ОП № 1, длительность перелета 105 сут\
в) планета-цель Юпитер, ОП № 1, гелиоцентрические скорости старта:
Vi = 39 000 м/сек и Vi = 40 000 м/сек.
Расстояние D выразите в астрономических единицах.
14. Пусть космический аппарат запускается из района с широтой
= +28°,5 на орбиту ожидания высотой 185 км. Рассчитайте азимут стар¬
та aL для случая вращающейся Земли при следующих значениях наклонения
плоскости орбиты ожидания к экваториальной плоскости Земли: a) i = 28°,5;
б) i = 40°; в) i = 60°.
15. Какова разность продолжительностей перелета с орбиты Земли до
афелия и перигелия Меркурия? Предполагается, что орбита Земли круговая,
радиуса, равного среднему расстоянию от Земли до Солнца, и что в обоих
случаях используются гомановские переходы (ОП № 0).
16. Космический аппарат запускается ортогонально к плоскости эклип¬
тики, при этом ортогональный гиперболический избыток скорости равен
AV/£/0= 0,1 (цто ~ 3000 м/сек). Рассчитайте максимальную гелиоцентри¬
ческую эклиптическую широту bmах, соответствующую максимальной вы¬
соте 2 (в а. е.) над плоскостью эклиптики, время с начала гелиоцентриче¬
ского старта до момента достижения этой высоты и время возвращения
космического аппарата к Земле. Орбита Земли предполагается круговой ра¬
диуса, равного среднему расстоянию до Солнца, а ^0~ 30 000 м/сек.
ЛИТЕРАТУРА
739
ЛИТЕРАТУРА
1. Hohmann W., Die Erreichbarkeit der Himmelskoerper, R. Oldenbourg
Publ. Co., Munich, 1925.
2 Preston-Thomas H., Generalized Interplanetary Orbits, J. Brit. In-
terpl. Soc, vol. 11, No. 2, pp. 77—78, 1952.
3. Riddell W., Launch Azimuths and Times for the Initiation of Inter¬
planetary Mission Flights, Convair/Astronautics, Rep. ZN-7-362, July 1959.
4. Eh г i eke K. A., Instrumented Comets, Astronautics of Solar and Planetary
Probes, Proceedings of the Eighth International Astronautical Congress,
Barcelona, Oct. 1957, Springer Publ. Co., Vienna, 1958.
5. Herrick S., Baker R. М., Jr., Hilton C. G., Gravitational Constants
for Accurate Space Navigation, Proceedings of the Eighth International
Astronautical Congress, Barcelona, Oct. 1957, Springer Publ. Co., Vienna,
1958.
6. Bostick W. H., Experimental Study of Ionized Matter Projected across
a Magnetic Field, Phys. Rev., vol. 104, No. 2, pp. 292—299, 1956.
7. Kolb A. c., Shock Tube with Coupled External Field, Paper presented to
the American Nuclear Society, Washington, D. C., Dec. 10—12, 1956.
8. Bostick W H., Plasma Motors, Advances in Astronautics Sci., vol. 2,
p. 21, 1957.
9. Kolb A. C., Production of High-Energy Plasma by Magnetically-Driven
Shock Waves, Phys. Rev., vol. 107, p. 345, 1957.
10. Kolb A. C., Propagation of Strong Shock Waves in Pulsed Longitudinal
Magnetic Fields, Phys. Rev., vol. 107, p. 1197, 1957.
11. La ngmuir D. B., Problems of Thrust Production by Electrostatic Fields,
Vistas in Astronautics, vol. 2, p. 191, Pergamon Press, Inc., New York, 1959.
12. К a s h S. W., Magnetically Driven Shock Waves, Experiments at Lockheed
Missile Div., in R. К. M. Landshoff, ed., Magnetohydrodynamics, a sympo¬
sium, Stanford University Press, Stanfoord, Calif., 1957.
13. E hr i eke K. A., Interplanetary Probes: Three Problems, Astronautics,
Publ. of the Am. Rocket Soc., vol. 4, No. 1, p 20, Jan. 1959.
14. Garwin R. L., Solar Sailing — A Practical Method of Propulsion Within
the Solar System, Jet Propulsion, Publ. of the Am. Rocket Soc., vol. 28,
p. 188, 1958.
БИБЛИОГРАФИЯ
9.1. Guido von Pirquet, Fahrtrouten, Die Rakete, Journal of the for¬
mer Verein fuer Raumschiffahrt, vol. 2 (1928) and vol. 3 (1929), Breslau,
Germany.
9.2. Clarke A. C., The Exploration of Space, Harper and Brothers, New
York, 1951.
9.3. Clarke A. C., Interplanetary Flight, Temple Press, Ltd., London, 1950.
9.4. W. von Braun, The Mars Project, University of Illinois Press, Urbana,
1953.
9.5. Preston-Thomas H., Two Aspects of the Time Element in Interpla¬
netary Flight, Proceedings of the Fifth International Astronautical Con¬
gress, Innsbruck, Aug. 1954, Springew Publ. Co., 1955.
9.6. Crocco G. A., One Year Exploration Trip Earth—Mars—Venus—Earth,
Proceedings of the Seventh International Astronautical Congress, Rome,
1956.
9.7 E h г i с к e К. A., Whitlock С. М., Chapman R. L., Purdy С. H.,
Calcutions of a Manned Propelled Space Ship, Am. Rocket Soc., Paper
532-57, Dec. 1957,
740 МЕЖПЛАНЕТНЫЙ ПОЛЕТ [ГЛ. g
9.8. Vert re gt М., Interplanetary Orbits, J. Brit. Interpl. Soc., vol. 16,
No. 6, pp. 326—354, March—April 1958.
9.9. Ehricke K. A., Interplanetary Missiion Profiles, Convair Report
AZM-023, April 1958.
9.10. Moeckel W. E., Interplanetary Trajectories Excess Energy, Proceedings
of the Ninth. International Astronautical Congress, Amsterdam, 1958,
Springer Publ. Co., Vienna, 1959.
9.11 M a g n e s s T. A. et al., Accuracy Requirements for Interplanetary Bal¬
listic Trajectories, Proceedings of the Ninth International Astronautical
Congress, Amsterdam, 1958, Springer Publ. Co., Vienna, 1959.
9.12. Bossart K. J., Techniques for Departure and Return in Interplanetary
Flight, Paper presented at the Institute of Aeronautical Sciences, natio¬
nal Midwestern Meeting, 1958.
9.13. Ehricke K. A., Interplanetary Operations, in H. Seifert, ed., Space
Technology, John Wiley and Sons, Inc., New York, 1959. [Имеется русский
перевод: Эрике К. А., Межпланетные полеты, В книге «Космическая
техника» (под ред. Г. Сейферта), Изд-во «Наука», 1964.]
9.14. Brea k well J. V., Gillespie W. R., Ross S., Researches in Inter¬
planetary Transfer, Am. Rocket Soc., Paper 954—59, Nov. 1959.
9.15. Battin R. H., The Determination of Round-Trip Planetary Reconnais¬
sance Trajectories, J. Aero/Space Sci., vol. 26, No. 9, pp. 545—567, Sept.
1959.
9.16. Law den D. F., Interplanetary Rocket Trajectories, in F. Ordway, ed.,
Advances in Space Science, vol. 1, Academic Press, Inc., New York, 1959.
9 17. Baker R. M. L., Jr., Makemson Maud W., Introduction to Astrody-
namics, Academic Press, Inc., New York, 1960.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Блюм (Blum Е. К.) 189
Гамильтон (Hamilton W. R.) 291
Гаусс (Gauss К. F.) 569, 657, 719
Геррик (Herrick S.) 657
Гоман (Hohmann W.) 497, 595
Гриммингер (Grimminger G.) 134
Даламбер (D’Alembert G.) 22
Домбровольский (Dombrowolski А.) 277
Ирвинг (Irving J. Н.) 183, 189, 284, 307, 346
Карренбери (Karrenbery Н. К.) 277
Колл (Koll) 161
Копленд (Copeland J.) 277
Коуэлл (Cowell P. J.) 224
Крокко (Сгоссо G. А.) 595
Лагов (Lagov) 161
Лагранж (Lagrange J. L.) 206
Ламберт (Lambert I.) 719
Ланг (Lang Н. А.) 433
Лиске (Lieske Н. А.) 408
Лэнгмюр (Langmuir D. В.) 183
Майчельсен (Michielsen Н. F.) 185
Ньютон (Newton I.) 21, 291
Оберт (Oberth Н.) 63, 75
Перкинс (Perkins F. М.) 104, 108, 191, 252
Престон-Томас (Preston-Thomas Н.) 566
Рэйб (Rabe) 657
Спенсер-Джонс (Spenser-Jones G.) 657
Стелинг (Stehling К.) 64
Туси (Tousey R.) 477
Улам (Ulam S.) 677
Фолдерс (Faulders С. R.) 190, 351
Форбс (Forbes G. F.) 185
Фосс (Fauth Ph.) 441
Хавенс (Havens) 161
Цзянь (Tsien H.-S.) 275
Циолковский К. Э. 22
Шредингер (Schroedinger Р4) 77
Эйлер (Euler L.) 47
Элтер (Alter D.) 434
Энке (Encke L) 206, 224
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Акселерометр 668
Аномалия истинная 384, 518
— средняя 223, 518
— эксцентрическая 726
Аргумент перигея 571
— широты 223, 281
Асимптота круговая 253
— на бесконечности 253
— параболическая 254
— ухода 254
«Атлас» («Atlas») 109
«Атлас — Кентавр» («Atlas — Centaur» )
513, 576
Атмосфера Гриммингера 134
— Хавенса — Колла — Лагова 161
Величина спутника звездная 477
Вес аппарата текущий 28
— топлива относительный 24, 54
удельный средний 54
Время гелиоцентрического перелета 499
— горения 54
— ухода 499
Гибкость перелета 588
Гипербола логарифмическая 253
Гиперболический избыток скорости 276, 559
Гироскоп позиционный 669
Датчик угловой скорости 669
Двигатель верньерный 45
— ионный 184
— моментный 670
— плазменный 184
— электростатический 186
Движение вокруг барицентра 378
— Луны среднее 386
— оси «Земля — Луна» среднее 463
— среднее 223
Диаметр столкновения 378
— эффективного сечения попадания 37S
Долгота восходящего узла 571
— перигелия 571
— планеты 571
Допуск 383
Дрейф гироскопа 669
Закон движения Ньютона 2!
Запуск «баскетбольный» 420
Захват 319
- Луной 377. 458
- обратный 474
Избыток скорости гиперболический 276, 559
селеноцентрический 393
Импульс захвата 467
— последействия 661
— прибытия 528
— скорости 19
— суммарный 25
эффективный 27
Интеграл Якоби 467
Коллектор радиации 268
Константа Якоби 378
Константы планет 490
Координаты декартовы 305
— полярные 305
Коррекция траектории 663
Коэффициент аккомодации 155
— аэродинамического демпфирования 119
— весовой 24
— заправки 24
— объема топлива 54
— скорости 81
— траекторный 69
— ускорения начального 67
эквивалентного 67
— центробежной разгрузки 93
—287>ФеКТИВН°СТИ прео^разования энергии
Коэффициенты аэродинамические 155
Кривая малой тяги 255
Маневр захвата 377, 460
— импульсный 19
— пертурбационный 392
— посадки 378, 420
«Маринер» («Mariner») 663
Метод вариаций 289
— Гаусса 569
— Коуэлла 224
— Лагранжа 206
— малых возмущений 201
— Перкинса 270
— Рунге — Кутта 49
— Эйлера 47
— Эйлера — Лагранжа 289
— Энке 206, 224
Методы наведения 664
Множитель Лагранжа 290
Момент кинетический сидерический 467
удельный 212
Наклонение плоскости орбиты 223
Напряжение касательное 156
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛ
743
Облет Луны 376
Орбита бумеранга 406
— захвата 459
— кеплерова 213
оскулирующаи К
— номинальная 223
— обратная 474
— ожидания 559, 659
— околополярная 429
— опорная 663
— оскулирующая 669
— перелета гиперболическая 4
эллиптическая 495
— старта круговая 193
Ось прецессии гироскопа 669
— стабилизации гироскопа 669
Отношение масс 54
Отражение диффузное 153
— зеркальное 153
Параметр времени 54 . 252
— высоты 252
— Земли гравитационный 83
— излучающего тела гравитационный 280
— скорости 252
“' Солнца гравитационный 627
— сопротивления 165
— траектории 81
Параметры траектории обобщенные 252
Парус солнечный 707
Перелет полностью активный 316
— Земля — Луна 373
— параболический 458
Переход узловой 529
Период захвата 502, 587
— обращения аномалистический 244
сидерический 279
— синодический 494, 508
Платформа стибилизированная 668
Плоскость лунной орбиты 375
Подвес карданов 669
Поле Луны гравитационное 398
Полет активный 19, 658
изэнтропический 22
обратимый 22
— гелиоцентрический 663
— к Луне с захватом 327
— к планетам с захватом 335
Попадание в Луну 378
Поправка атмосферная 31
Посадка на Луну 378
грубая 378
мягкая 378
• прямая 421
Постоянная Гаусса 83
— гравитационная универсальная 83
— Солнца 158, 704
Потери аэродинамические 37
— гравитационные 21, 26
— скорости 20
— энергии 20
Поток континуальный 154
Принцип Гамильтона 291
— Даламбера 22
Проект «Урания» («Urania») 200, 692
Пролет гиперболический 15
около Луны 326, 376
Равновесие радиационное 158
Радиация корпускулярная 595
Радиус столкновения 390
— эффективного сечения попадания 390
Разворот гравитационный 82, 92
Разворот программный 94
Разгрузка центробежная 49
Ракета А 4Ь 37
— планирующая 37
— V-2 29
Расстояние восходящего узла угловое 223
— перицентра угловое 223
Расхождение начальное 566
Реверс тяги 322
«Редстоун» («Redstone») 63
Рефлектор 268
Решение Копленца — Карренбери 278
Сателлоид 14, 134
— Земли 161
Сателлоид-спутник 128
«Сатурн» («Saturn») 513
Связка ступеней 68
Сила гравитационная 20
— кориолисоза 91
— нормальная 81
— регулирующая 33, 39
— управляющая 32
— центробежная 213
Система координат барицентрическая 464
вращающаяся 379
геоцентрическая 464
— — инерциальная геоцентрическая 379
селеноцентрическая 380
селеноцентрическая 464
эклиптическая 607
— наведения инерциальная 661, 667
радиоинерциальная 661
Скорость идеальная 21
— Луны орбитальная 422
— планетоцентрическая параболическая 559
— планеты орбитальная 492
— подхода гелиоцентрическая 500
прибытия селеноцентрическая 421
— селеноцентрическая гиперболическая 422
— старта гелиоцентрическая 498
планетоцентрическая 559
— ухода планетоцентрическая 498
— фактическая 21
—* характеристическая 183
суммарная 21
Слежение фотографическое 479
Сложение рамок гироскопа 670
Сопротивление аэродинамическое 20, 35
Составляющая скорости трансверсальная
213
Составляющие ускорения тяги 213, 221
Спираль захвата 260
— логарифмическая 185
— ухода 260
Спутник Луны перманентный 462
Старт в перигее 620
— гелиоцентрический 606, 662
— геоцентрический 608
— послеперигейный 621
Степень устойчивости аппарата 46
Сфера действия планеты 489, 494
Тандем 68
Температура поверхности сателлоида 158
Теорема Ламберта 719
Типы орбит перелета 493
— посадки на Луну 421
Траектории Земля — Луна 373
Траектория активная 83
— баллистическая 664
— биэллиптическая 600
— вход;. 215
/44
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Траектория выведения оптимальная 102
— кольцевая 323
— минимальной энергии 92
— моноэллиптическая 596
— одномерная 297
— пролетная 321, 328
— радиальная 297
— раскрутки 215
— скрутки 215
— спиральная 185, 258
— триэллиптическая 598
— ухода 215
Тяга касательная 215
— поддерживающая 25
— радиальная 215
— трансверсальная 215
Тяговооруженность 52, 54
Угол атаки 83
— пересечения 384
— положения 381
— установки тяги 350
— часовой 614
Удлинение тела 36
Узел восходящий 223
Уравнение баланса энергии 158
— Кеплера 601
— поляры 158
— управления 121
Уравнения Ньютона 291
Ускорение бинормальное 281
— гравитационное местное 213
— касательное 34, 129, 270
— кориолисово 91
— нормальное 33, 280
Ускорение оптимальное 58
— радиальное 129, 277
— трансверсальное 274
— центробежное 33
— эффективное 29
Условия граничные 16
— старта орбитальные 383
— трансверсальности 296
Уход гироскопа 669
Фаза сближения 318
— ускорения 318
Фактор радиационный 706
— разгрузки 83
— скорости 359
«Фар-Сайд» («Far Side») 64
Формула Циолковского 22
Число Авогадро 159
«Эксплорер» («Explorer») 63
Экстремумы действия 292
Элементы оскулирующие 628
— эллиптической орбиты 222
Эллипс гомановский 385, 493
Энергия кинетическая удельная 211
— орбитальная 273
— радиации 158
— сидерическая 467
Эррозия газовых рулей 34
Эффект Кориолиса 91
— расфокусировки 340