Министерство высшего и среднего
специального образования УССР
Черновицкий
ордена Трудового Красного Знамени
Государственный Университет
ТРЕТЬЕ
ЭПЮРНОЕ ЗАДАНИЕ
/для заочников/
Черновцы ЧТУ 1984 г.
МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
УССР
ЧЕРНОВИЦКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
В. В. ЧЕРВИНСКАЯ
ТРЕТЬЕ ЭПЮРНОЕ ЗАДАНИЕ
(ДЛЯ ЗАОЧНИКОВ)
TIGER ELECTRONICS
ЧЕРНОВЦЫ ЧГУ 1984
В.В.Червинская
Третье эпюрное задание (для заочников)
Печатается по решению редакционно-издательского совета Черновицкого государствен-
ного университета
Автор: Червинская Валентина Витальевна, кандидат технических наук,
доцент
Ответственный за выпуск: Степан Михайлович Грабко, кандидат технических наук
Литературный редактор: Нямцу Анатолий Евгеньевич
Подписано к печати 05.05.84.
Формат 60x84/8. Бумага типографская • 2.
Офсетная печать. Усл.печ.листов 2,97.
Уч.-изд.листов 3,2. Заказ 298. Тираж 700.
Бесплатно
Лаборатория копировально-множительной печати Черновицкого государственного
университета
г.Черновцы, ул.Коцюбинского,2
@ Черновицкий ордена Трудового Красного Знамени государственный университет,
1984
3
ПРОГРАММА ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
ЛАЯ HI-ГО ЭПЮРНОГО ЗАДАНИЯ
Содержание программы	Страницы	Номера задач» ре Задачи, решае- паемых в аудите- мне дома (обя- ойи (обязательно)зательные)	
		C3J	[3]
ТЕМА 9			
ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПО-			
ВЕРХНОСТЕЙ			
9.1. Общие сведения о нахождении ли		6.1	6.1
нии пересечения поверхностей	4	(рис. 199, 202,	(рис. 198, 200,
9.2. Способы нахождения точек, при-		203, 206, 207,	204, 208)
надлежащих линии пересечения поверх-		209)	6.2
костей	5	6.3	6.4
9.3. Классификация пересечения по-		6.6	6.5
верхностей	10		6.7
9.4. Пересечение соосных поверхнос- тей, расположенных частным образом по отношению к плоскостям проекций	13		
9.5. Пересечение поверхностей с об- щей вершиной, расположенных частным образом по отношению к плоскостям про- екций	17		
9.6. Взаимное пересечение двух по- верхностей, проецирующих к плоскостям проекций	18		
9.7. Пересечение конуса с многогран- ными и криволинейными поверхностями	23		
9.8. Построение линии пересечения сферы и тора с многогранными и криво- линейными поверхностями	28		
9.9. Построение линии пересечения при одной наклонной поверхности к какой -либо плоскости проекций	34		
9.10. Применение способа преобразо-			
вания комплексного чертежа	36		
Литература: I. Червинская В.В., Лотоцкая В.И. "Первое эпюрное задание", ЧТУ,1983.
2. Червинская В.В., Лотоцкая В.И. "Второе эпюрное задание", ЧТУ,1983.
3. Червинская В.В., Лотоцкая В.И., Выграненко Е.Ф. "Рабочая програм-
ма практических занятий по начертательной геометрии", ЧТУ,1981.
ТЕМА 9. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ВЗАИМНОГО ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
ДВУХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
9.1 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О НАХОЖДЕНИИ ЛИНИИ
ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ничивают линию пересечения поверхностей на видицую и
Машиностроительные детали сложной формы состоят из сочетания простых гео-
метрических поверхностей: многогранников, цилиндров, конусов и т.д. Геометричес-
кие поверхности пересекаются между собой, образуя линии пересечения, проекции ко-
торых необходимо строить на чертежах.
В общем случае две многогранные поверхности пересекаются по пространствен-
ной ломанной линии, а криволинейчатые поверхности - по пространственной кривой ли-
нии, которая может распадаться на две или более части. Чтобы построить линию вза-
имного пересечения двух поверхностей, необходимо найти ряд точек, принадлежащих
одновременно обеим поверхностям.
Построение начинается с определения проекций характерных или опорных
точек. К опорным точкам относятся точки, проекции которых лежат на пересечении
очерковых (контурных) линий поверхностей геометрических тел. К опорным относятся
также самая ближняя и самая дальняя, самая левая и самая правая точки пересечения
(по отношению к наблюдателю, стоящему лицом к плоскости Dg). К опорным же относят-
ся точки - границы видимости линии пересечения (точки видимости), которые разгра-
невидицую.части. На рис. I
такими точками будут, напри-
мер, точки I, 2, которые яв-
ляются точками Пересечения
кривой и видимого контура,
т.е. они лежат на очерковых
образующих. Следует от-
метить, что линия пере-
сечения, переходящая из
видимой части поверхнос-
ти 6 невидимую непремен-
но пересекает бидимый
контур. Таким образом, точ-
ки видимости находятся на
контуре изображенного тела.
Когда опорные точки находят-
Рис.д
ся далеко друг от друга, для
более точного построения линии пересечения после опорных определяют промежуточные
(случайные) точки.
5
9.2 СПОСОбЫ НАХОЖДЕНИЯ ТОЧЕК, ПРИНАДЛЕЖАЩИХ
ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ.
СПОСОБ СЕКУЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ И СПОСОБЫ
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СФЕР
Необходимые для построения линии пересечения точки, как уже отмечалось, ли-
бо находятся непосредственно на пересечении очерковых образующих, либо должны быть
соответствующим способом определены. Наиболее распространенным способом определе-
ния указанных точек является способ секущих плоскостей или способ вспомогательных
сфер (посредников). Способ вспомогательных секущих плоскостей частного положения
следует применять тогда, когда обе поверхности пересекаются указанными плоскостями
по графически простым линиям. Очевидно, если такой вспомогательный посредник (на-
пример, плоскость на рис. I) пересекает обе заданные поверхности (например, усе-
ченный конус и цилиндр) по линиям встречающимся между собой в некоторой точке(М)'
-общей для заданных поверхностей , то указанная точка принадлежит линии пересече-
ния поверхностей. Совокупность таких последовательно соединенных между
содой соотдетст&ующим ад разом точек определит линию
пересечения п од еру ноете й. При этом бепомаеательные
посредники быбирают гпакимобразом, чтобы они пересекали заданные
поверхности по наиболее простым плоским линиям (прямоугольникам, окружнос-
тям) , как например, на рис. I плоскость т пересекает цилиндр по прямоугольнику, а
конус по окружности. Чем больше будет найдено промежуточных точек, тем точнее бу-
дет построена линия пересечения поверхностей.
Выбор решения задачи определяется конкретно для каждого сочетания геомет-
рических поверхностей и в зависимости от их расположения друг к другу и по отно-
шению к плоскостям проекций. Как покажем в дальнейшем, многие задачи можно решить
и способом секущих плоскостей и способом вспомогательных сфер.
Остановимся на сущности способа вспомогательных сфер.
А. СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
Прежде бсего отметим, что способ^дспомогательных концентрических ссрер
может быть использобан до-пербых, только в том случае если обе поверхности явля-
ются телами вращения; до - вторых в том случае, когда оси обоих тел вращения пере-
секаются (тогда точка пересечения принимается за центр вспомогательных сфер’; и
д~третьих тогда, когда оси поверхностей вращения параллельны какой-либо плоскос-
ти проекций,так как только в этом случае окружности пересечения будут проецировать-
ся на эту плоскость в виде отрезков прямых. На рис. 2,6 это отрезки АгВг и
на комплексном и на рис. 2,г, аксонометрическом чертеже. На рис. 2,в - это отрез-
ки (т2/7г и Именно на этих рисунках показана сущность методачвспомогатель-
ных сфер. Разберем конкретный пример.
Пример Построить линию пересечения прямого кругового конуса и наклонно-
го кругового цилиндра (рис. 2,а).
6
Низшие (I и 4) и высшие (2 и 3) опорные точки найдены непосредственно на
пересечении контурных образующих.
Анализируя чертеж видим, что поскольку в данном примере выполняются все три
указанные выше условия, то наиболее удобно определить промежуточные точки, методом
секущих концентрических сфер проведенных из точки пересечения осей - 0(0$).
Рои этом концентрические ссреры должны пересекать оде поверхностиодновременно.
1'сгда линиями пересечения вспомогательной сферы, конуса и цилиндра вращения, как
видно по рисункам (рис. 2,6 и рис. 2,в) являются окружности, которые изображаются
на плоскости проекций параллельные осям поверхностей вращения отрезками прямых к .
ним перпендикулярных. В пересечении указанных отрезков (например, отрезков CD ибИ
для точки 7 на рис. 2,а) находятся точки принадлежащие линии пересечения. При
построении линии пересечения следует помнить: I) радиус наименьшей сферической по-
верхности (посредника) должен быть касательным'к той поверхности* образующие кото-
рой более удалены от центра. Так, например, на рис. 2,а такой касательной к конусу
является сфера радиуса Rmin(определяет наиболее ближнюю к оси конуса левую точку 6)
2) радиус наибольшей вспомогательной сферы (например, на рис. 2,а - это радиус
долкен быть немного меньше наиболее удаленной точки линии пересечения (как, напри-
мер, на указанном рисунке от опорной точки I).
7
б. способ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ЭКСЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР
Способ эксцентрических сфер применяется тогда, когда нельзя воспользовать-
ся способом секущих концентрических сфер или плоскостей и только при условии если:
I) в пересечении участвуют поверхности вращения или поверхность вращения с какой-
либо другой криволинейной поверхностью; 2) обе поверхности имеют круговые сечения;
3) обе поверхности имеют общую плоскость симметрии. Тогда каждое кругобое сече-
ние принимается за параллель вспомогательной сферы, центр которой ле-
жит на прямой, проходящей через параллели перпендикулярно к ее плоскости.
Центр, вспомогательной ссреры дерется на пересечении этой прямой с осью
другой поверхности.
Пример. Построить линию пересечения поверхности открытого тора (кольца)
с конусом вращения (рис. 3,а и б).
8
Поскольку конус полностью врезается в тор, здесь имеет место вид полного
проницания. Следовательно, кривая линия пересечения должна представлять собой две
отдельные пространственные линии. Опорные точки данных поверхностей верхней линии
пересечения - низшая £ ( 1g) и 'ысшая 2 ( 2 %) определятся на пересечении очерко-
вых образующих конуса с верхней очерковой образующей тора. Опорные точки нижней
линии пересечения - низшие точки 7 и 8 - определяться на пересечении оснований
конуса и тора, высшая точка 9 (9g) определится на пересечении очерковых образующих
конуса с нижней образующей тора. Указанные опорные точки также являются граница-
ми видимости пересечения на фронтальной проекции.
Определяем метод нахождения промежуточных точек. Из анализа чертежа видим,
что хотя обе поверхности и являются поверхностями вращения, Однако их оси не пе-
ресекаются. Следовательно, метод концентрически к сфер сразу отпадает. Нельзя
воспользоваться и методом секущих плоскостей, так как горизонтальные плоскости пе-
ресекут тор по эллипсам, а фронтальные - конус по гиперболам. Здесь можно восполь-
зоваться методом эксцентрических сфер, так как фронтальная плоскость 6 , прохо- ‘
дящая через ось конуса,является в тоже время плоскостью симметрии для поверхности
тора. Центры эксцентрических сфер находятся в различных точках С* , Сг, •-. С13оси
конической поверхности.
Покажем на примере построения точки, какие графические построения необходи-
мо сделать, чтобы построить промежуточные точки линии пересечения. Через ось вра-
щения 0 ( 02) тора проводим гориэонтально-проецирующие плоскости г. Эти плоскости
пересекут тор по окружности, проецирующейся на плоскость Z7g в виде отрезка прямой
Л 8 (АгВг), Эту же окружность можно получить проведением сферы, центр которой -
СЧ С£ ) расположен на пересечении оси конуса с перпендикуляром, восстановленным
через середину отрезка АВ к плоскости Т1 . При этом указанный перпендикуляр, оче-
видно, будет касательным к оси тора. Таким образом,сфера, проведенная из центра С2 ,
пересечет конус по окружности - DE ( О^Е^Ч Пересечение окружностей АВкОЕ опре-
делит точку принадлежащую линии пересечения. По аналогии получены остальные точки.
Удобство способа вспомогательных сфер заключается в том, что все построе-
ния можно произвести на- одной проекции. Остальные проекции линии пересечения стро-
ятся по линии связи с учетом того, что искомые точки лежат на одной из данных по-
верхностей как, например, на рис. 3,а найдены точки по их принадлежности поверх-
ности конуса.
Некоторые задачи, как,например, задачи на пересечения
сферы с поверхностью вращения, ось которой на-
ходится в одной -фронтальной плоскости с цент-
ром сферы можно решить одним из трех способов: I) с помощью секущих плос-
костей (рис. 4,а); 2) с помощью секущих концентрических сфер (рис. 4,6); 3) с по-
мощью секущих эксцентрических сфер (рис. 4,в).
Для решения задачи с помощью секущих плоскостей необходимо иметь две проек-
ции геометрических тел, фронтальную и горизонтальную (рис. 4,а), для решения зада-
чи методом сфер достаточно одной проекции (рис. 4,6 и 4,в).	'
Опорные точки 1 и 2 найдены на пересечении очерковых образующих. Для опре-
деления промежуточных точек на рис. 4,а использованы секущие горизонтальные плос-
кости, пересекающие заданные поверхности по окружностям, в пересечении которых на-
ходятся искомые общие точки - линии пересечения поверхностей.
%о же касается использования способа сфер для определения промежуточных
9
6	b
точек, то, как видно из рис. 4,6 центр концентричес-
ких сфер можно взять в любой точке оси тела вращения.
По этому же принципу в данной задаче использован спо-
соб вспомогательных эксцентрических сфер (рис. 4,в)
центры которых берутся в разных точках оси тела враще-
ния. На рис. 4,6 центры концентрических сфер /?г,
Я3 ,... проведены из одного центра 0 ( 02 ), на рис.4,в
’ис-	вспомогательные сферы радиусов /?^ , /?2 , й3 , проведе-
ны из разных центров О1, 0г, 0s,... .
Вы bod . Задача пересечения сферы с любой поверхностью Враще-
ния (цилиндром t конусом и т.д.), ось которой находится В одной фрон-
тальной плоскости с центром ссреры решается подобным образом.
, Смотри также задачу на пересечение конуса со сферой в таб... 6 (случай I),
которую можно решить одним из трех указанных методов. В табл. 6 (случай I) она
реиена методом секущих плоскостей. На рис. 5,а методом секущих концентрических
сфер, а на рис. 5,6 методом эксцентрических сфер.
10
9.3 КЛАССИФИКАЦИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Ввиду многообразия возможных сочетаний поверхностей и методов нахождения
их линии пересечения произведем разбивгу на типы, виды и группы пересечения по-
верхностей, участвующих в пересечении.
А.	ТИПЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Можно указать два типа пересечения поверхностей геометрических тел: тип
наружного пересечения (рис. 6) - это проницание одной поверхности другой и внут-
реннее пересечение - это врезание одного геометрического тела в другое (рис. 7).
В.	ВИДЫ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Возможны четыре вида пересечения поверхностей:
1-й бид • все ребра, например, многогранника (на рис. 6 и 8 это пирамида)
или все образующие поверхности вращения (на рис. 9 — это циливдр) участвуют в пе-
ресечении. Это вид полного проницания. В этом случае.линия пересечения двух поверх-
ностей распадается на две линии;
не все ребра (на рис. 10 - это куб) илине всеобразующие поверхнос-
ти (на рис.II - это шар) участвуют в пересечении. В результате на рие. 10 1уб, а
на рис. II шар частично врезаются в коническую поверхность. Это бид частичного
Рис. 9
Рис. 10
Рис.11
11
Врезания или частичного пересечения поверхностей . Как видно из приведенных
рисунков, при полном пересечении образуются д8е замкнутые пинии пересечения,
а при частичном - одна замкнутая пиния.
5-й Вид : обе пересекающиеся поверхности имеют в одной точке общую плоскость
касания ( Si ) (рис. 12). Плоскость касания S2 определяется образующими а и 6 : пе-
ресекающиеся между собой в общей точке - А.
4-й бид : обе пересекающиеся поверхности имеют две общие касательные плоскос-
ти Si и . Так, например, на рис. 13 одна касательная плоскость определяется обра-
зующими а и S , вторая С и d, которые пересекаются между собой в точках А, и В .
Это вид двойного соприкасания поверхностей. В этом случае в пересечении участвуют
все образующие одной и второй поверхностей (например, цилиндров J и н на рис. 13).
При этом кривые пинии пересечения распадаются на дбе крибые пересекающи-
еся между содой б z АиВ . Здесь следует ответить, что точка, в которой две поверх-
ности имеют общую касательную плоскость, называется точкой, прикосновения этих
поверхностей. . Этот 4-й вид пересечения встречается в деталях машин, приборов
и аппаратов. Так на рис. 14 дан
подобный пример построения линии
Рис. 12
а
Рис. 14
Рис. 15
пересечения на
тройном растру-
бе. Оси всех
трех труб (двух
конических 7 и
й и одной ци-
линдрической hi )
находятся в од-
ной фронтальной
плоскости. Впи-
шем сферу с цент-
ром 0 ( 0g ) в
точке пересече-
ния их осей.
Очерковыми об-
разующими 'двух
конусов и ци-
линдра являются
касательные к
окружностям, изображающим
сферу. Линии пересечения
конусов 1 , у и цилиндра л7
будут плоскими кривыми
второго порядка. Они изоб-
разятся на плоскости проек-
ций параллельной их оси
вращения отрезками прямых,
соединяющие опорные точки
1,2 и 3, лежащие на кон-
турных образующих поверх-
ностей.
Этот последний вид пересечэяия относится к особому случаю пересечения по-
верхностей. Остановимся на нем более подробно. Сформулируем теоремы, которые име-
ют большое значение для определения линии пересечения поверхностей 2-го порядка:
Теорема i. Если две поверхности второго порядка имеют общую плоскость сим-
метрии, то линия их пересечения проецируется на эту плоскость в виде кривой вто-
рого порядка.
Теорема 2 (Теорема о дбоином прикосновении). Если две поверхности 2-го
порядка имеют две точки прикосновения (т.е. касания), как это, например, представ-
лено на рис. 13 и 14, то линия их пересечения распадается на пару кривых 2-го по-
рядка, плоскости которых проходят через хорду прикосновения, т.е. через прямую,
соединяющую точки касания.
Теорема 3 (Теорема Монжа). Если две поверхности второго порядка описаны
около третьей или вписаны в нее, то они пересекаются по двум плоским кривым,
плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания
Доказательство этой теоремы основано на использовании теоремы о двойном
прикосновении.
Таким образом и в этом частном случае линия пересечения распадается на две
кривые второго порядка, например, в тех случаях, когда двелересекаю^еся порерх-
ности вращения второго порядка описаны вокруг одного и того же шара. И еслиплюс-
кость сиихетрии таких пересекающихся поверхностей параллельна какой-либо плоскости
проекции (например, как на рис. 15 изображены два пересекающихся цилиндра описан-
ные вокруг одного и того же шара), то линия их пересечения проецируется на эту
плоскость (в данном случае фронтальную плоскость проекций) в виде двух прямых ли-
ний.	.
На рис. 16 и 17 показан частный случай пересечения двух конусов 7 и П , на-
клоненных к плоскости проекций Оба конуса на указанных рисунках описаны вок-
руг одного и того же шара ш . На плоскость, параллельную оси их симметрии /7g - их
13
линия пересечения проецируется в виде прямых линий. На рис. 16 в виде двух эллип-
сов, а на рис. 17 в виде эллипса и гиперболы.
Таким образом, 6 этом биде пересечения, те. когда из центра пересе-
чения осей поверхностей можно Вписать сферу, пинии пересечения на плоскости
проекций Поси их симметрии, строятся очень просто. Для этого надо найти опорные точ-
ки на пересечении очерковых образующих и соединить их прямыми линиями. Построение
проекций линии пересечения на других плоскостях проекций сводится к построению то-
чек по принадлежности их поверхностям и понятны по чертежам (об этом см. 2-е эпюр-
ное задание, ЧТУ, 83 г., темы 7.4 и 7.5,стр. 30-40).
Еще примеры подобных видов частного пересечения рассмотрены для пересече-
ния двух цилиндров в табл. I (случай 3), цилиндра и конуса в табл. 2 (случай 3),
двух конусов в табл. 3 (случай 3).
Выбод. Решая задачи на взаимное пересечение поверхностей двух геометричес-
ких тел, прежде всего необходимо определить: I) какие поверхности участвуют в пе-
ресечении; 2) вид их пересечения, чтобы установить одна или две линии пересечения
будут в заданном случае; 3) характер их расположения относительно плоскостей про-
екций.
Приведенная разбивка пересечения двух поверхностей на типы, виды, группы и
характер расположения относительно плоскостей проекций дает возможность выработать
наиболее рациональный метод построений линий их взаимного пересечения.
В последующих разделах рассматриваются на конкретных примерах различных по-
верхностей особенности построения линии пересечения для каждого типа, вида, группы
и характера расположения относительно плоскостей проекций.
Вначале рассмотрим тип наружного пересечения двух геометрических тел, когда
их поверхности расположены частным образом относительно плоскостей проекций и в
порядке деления их на группы: двух многогранников, многогранников с криволинейной
поверхностью и двух криволинейных поверхностей.
9.4 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ СООСНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ, РАСПОЛОЖЕН-
НЫХ ЧАСТНЫМ ОБРАЗОМ ПО ОТНОШЕНИЮ К
ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ
Дбе одноименные многогранные поверхности или поверхности Вращения с общей
Вертикальной осью и расположенные честным образом по отношению к плоскостям про-
екций пересекаются по плоской линии подобной (конгруэнтной) основанию.
В этом случае нет надобности находить точки, определяющие линию пересечения. Она
строится сразу.
Действительно, как показано ниже, если поверхности имеют общую ось, то на
плоскость, перпендикулярную оси,их линия пересечения проецируется в соответству-
ющую фигуру сечения поверхности (например, шестигранная пирамида - конгруэнтные
шестиугольники, поверхность вращения 2-го порядка - конгруэнтные окружности и т.д.).
Причем, поскольку в данном случае пересечение поверхностей полное (вид полного
пересечения)’, - подучаются две линии пересечения (рис. 18, 19, 20 и др.).
14

Д2
А.	ПЕРЕСЕЧЕНИЕ СООСНЫХ МНОГОГРАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ.
Пример 1. Построить линия пересечения призмы й пира-
миды. Поверхности соосны (рис. 18,а и б). Ребра призмы и вы-
сота пирамиды 1 к плоскости
проекций Пг .
Из анализа чертежа ус-
танавливаем: поверхность приз-
мы шестигранная 1 к ГЦ, и пи-
рамида шестигранная с высотой
JL к ГЦ. Линии пересечения -
два плоских шестиугольника:
верхняя (1,2,3,4...) и ниж-
няя (5,6,...) подобных осно-
ванию пирамиды (призмы) полу-
чается проведением двух го-
р' ризонтальных плоскостей и)
( о)2) и ( Т?)» Пересечение
указанных плоскостей с ребра-
ми пирамиды даст искомые опор-
точки пересечения (1,2,3,...,7,8), Причем , так
призма горизонтально-проецирующая, то нижняя
т2
Z'
5’
At
X
Л
6-г
8,
"г
ные
как
линия пересечения совпадает с проекцией призмы.
Пример 2. Построить линию взаимного пересе-
чения пятигранной пирамиды 7 и шестигранной прямой
Рис.18
призмы й (рис. 19,а и б).
Поскольку здесь
имеет место вид пол-
ного пересечения по-
верхностей, в пересе-
чении должны получить-
ся две ломанные линии.
Первая ломанная - от
пересечения верхнего
основания призмы с
пирамидой, очевидно,
является плоской кри-
вой - пятиугольником
1,2,3,4,5. Вторая ли-
ния будет пространст-
венной ломаной линией!
б,14.Сравнивая этот
пример (рис. 19) с
предыдущим (рис. 18)
отмечаем, что в обоих
примерах поверхности
с общей вертикальной
15
осью. Однако, поскольку во втором случае (рис. 19,а й б) поверхности разногранны,
линия пересечения не плоская ломаная, как на рис. 18, а пространственная.
На рис. 19 для построения линии, через рёбра пирамиды I проведены горизон-
тально-проецирующие плоскости Т , проходящие через ребра пирамиды и призмы. Зада-
ча сводится к определению точек встречи ребер пирамиды или призмы с гранями этих
поверхностей.
Б. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ СООСНЫХ МНОГОГРАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ С КРИВОЛИНЕЙЧАТЫМИ
Пример!. Построить линию пересечения ци-
z'
s'
линдра вращения и правильной шестиугольной пирамиды
с общей вертикальной осью (рис. 20,а и б). Верхняя
линия пересечения - плоская линия, подобная основа-
нию (точки 1,2,3,...) получена в результате пересе-
чения фронтально
проецирующего ос-
нования цилиндра
с ребрами пирами-
ды. Нижняя линия
пересечения сос-
тоит из шести
конгруэнтных от-
резков - эллип-
сов, поскольку
грани пирамиды
пересекают цилиндр
под углом к обра-
зующим. Высшие
точки 5 и 6 полу-
чены в пересече-
нии очерковых об-
разующих цилинд-
ра и ребер пира-
миды SA и ЗВ . На этой же горизонтальной паралле-
ли будут лежать и высшие точки 7 и 8.
z
X
Л?
02
X'
6
а
Рис.20
Пример 2. Построить линию взаимного пересечения прямого кругового
конуса с соосной ему правильной шестигранной призмой (рис. 21,а и б). Поверхность
призмы горизонтально-проецирующая, поэтому на горизонтальной плоскости проекций
она проецируется в правильный шестиугольник. Поскольку грани призмы - это плос-
кости пересекающие, конус параллельно его оси (или двум образующим), то. линия пе-
ресечения состоит из шести одинаковых гипербол (рис. 21,а и б). Однако, только
гипербола, расположенная в плоскости Т ( Tj) на передней грани призмы проециру-
ется на плоскость Dj без искажения. Остальные гиперболы на плоскости проекций
Па и П3 проецируются искаженными.
Для построения линий пересечения обе поверхности рассекаются горизонталь-
ными плоскостями 6 ( 6g ). Шестигранник рассекается по шестиугольникам, равным
основанию, а конус - по окружностям. Самая верхняя секущая плоскость проведена
через ваивысщую точку (13- пере-
сечение профалышх жоитурвдх ли-
ний поверхностейрезнврунриэ-
ш 5 ). Она рассекает конус по
окружности, касательной к горизон-
тальной проекции призмы - шести-
угольнику (точки 1,2,3). На этой
линии находятся фронтальные проек-
ции ^2 ’ 2? * ^2 вершин гипербол. Са-
мые нижние точки 4,5,6,7 фронталь-
ной и профильной проекции линии
пересечения определены горизон-
тальной плоскостью £ , проведенной
через фронтальные проекции опор-
ных точек - 4g, 7g. Для построе-
ния промежуточных точек 8,9,10,11,
12,13 применена горизонтальней
плоскость уровня й) ( йОг).
Рассмотренный случай пере-
, сечения шестигранной приз®! с ко-'
нической поверхностью вращения ;
17
часто встречается в конструкциях различных машиностроительных деталей: штуцеров,
гаек, головок болтов и т.п. Построение точек линии пересечения на гайке (рис.22,а
и б) аналогично рассмотренному примеру на рис. 21.
В.	ПЕРЕСЕЧЕНИЕ СООСНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 8РДЩ.ЕНИЯ
Пример I. Построить
линию пересечения детали, состоя-
щей из трех соосных поверхностей:
тела вращения I, сферы П и конуса ш
На рис. 23,а приведен комплексный
чертеж этой детали, а на рис.23,б
в аксонометрии расчлененная эта де-
таль на составляющие ее геометри-
ческие поверхности. Линия пересече-
ния плоскости Пг - прямые линии,
на плоскости ГЦ - конгруэнтные ок-
ружности.
Отметин, что этот част-
ный случай пересечения исполь-
зуется для построения линии
пересечения поверхностей
дращения способом посред-
ников - концентрических
ссрер (см. пункт 9.1, стр. д).
9.5 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ С ОБЩЕЙ ВЕРШИНОЙ,
РАСПОЛОЖЕННЫХ ЧАСТНЫМ ОБРАЗОМ ПО
ОТНОШЕНИЮ К ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ
Пример I. Постро-
ить линию пересечения двух пи-
рамид с общей вершиной. Пере-
сечение их оснований определя-
ет опорные точки I и 2. Соеди-
няя опорные точки с вершиной,
получим линию пересечения (рис.24).
В некоторых частных случаях ли-
нии пересечения криволинейных
поверхностей могут также ока-
заться прямыми линиями, напри-
мер, в случае пересечения двух
18
Рис. 25
циливдров с параллельными осями (вершина в бесконечности рис. 25) или двух кону-
сов с общей вершиной (рис. 26) - цилиндры и конусы пересекаются по образующим.
9.6 ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ ПОВЕРХНОСТЕЙ,
ПРОЕЦИРУЮЩИХ К ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ
А. ПРИЗМА ИЛИ ЦИЛИНДР ПРОЕЦИРУЮЩИЕ К ДВУМ
ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ
Пример I. Построить линию пересечения поверхностей двух прямых трех-
гранник призм (рис. 27). Грани и ребра заданных двух призм взаимноперпендикулярны.
Призма I 1 к плоскости проекций П< , а призма П 1 к плоскости проекций П3 , .
Горизонтальная проекция линии пересечения в данном случае, совпадает соот-
ветственно с горизонтальной проекцией призмы 1, а профильная с профильной проекци-
ей призмы $ . Фронтальную проекцию- ломанной линии пересечения можно построить по
горизонтальной и профильной проекции, по точкам пересечения ребер одной призмы с
гранями другой. Анализируя чертеж, видим, что два ребра вертикальной'призмы - I
(ребра Д и В ) и два ребра горизонтальной призмы *? (ребра D и Е ) участвуют в пе-
ресечении. Остальные ребра призм Т и й в пересечении не участвуют, т.е. случай час-
тичного пересечения (одна замкнутая линия пересечения 1,2,...8).
Вывод. Чтобы построить линию пересечения многогранных поверхностей,
необходимо найти точки пересечения ребер первой поверхности с гранями второй и
ребер второй - с гранями первой. Подученные точки соединить, последовательно обхо-
дя по граням одной из поверхностей. Соединение точек в порядке обхода по граням
наглядно представлено на рис. 27,6.
Пример 2. Построить пересечение двух геометрических тел: призмы I и
цилиндра я,поверхности которых проецирующие (рис. 28) : призма J 1 к плоскости
проекций П3, цилиндр й 1 к плоскости проекций . Поскольку грани АВ и CD призмы
I наклонены к образующим цилиндра й - то эти участки пересечения представляет со-
бой части эллипсов. Опорные точки 1,2 и 3 определяются на пересечении очерковых
образующих цилиндра и проецирующего основания призмы на плоскость % . Дая ностро-
19
20
В первом случае таблицы диаметр горизонтального
ения промежуточных точек проведены вспомогательные, горизонтальные плоскости Т .
Они пересекают цилиндр п по окружности, горизонтальная проекция которой совпадает
С проекцией всей поверхности, а призму - I по прямоугольнику (проведем вертикаль-
ные линии связи до пересечения с окружностью в точках 4 (4^), 5 (53),... - проме-
жуточных точках линии пересечения. Строим точки на фронтальной проекции.
Примечание: в виду симметричности фигуры обозначены точки толь-
ко четверти.
П ри меры 3, 4 и 5 приведет в табл. I, в которой представлены три слу-
чая пересечения двух взаимноперепендикулярных цилиндров, оси которых пересекаются
и расположены в одной, например, фронтальной плоскости. Даны их комплексные черте-
жи и наглядные изображения, нахождения опорных и промежуточных точек. Для опреде-
ления последних в таблице использован метод секущих, например, горизонтальных плос-
костей. Плоскости рассекают горизонтальный цилиндр по прямоугольникам, а вертикаль-
ный - по окружностям. Пересечение указанных сечений дает общие точки для двух по-
верхностей - промежуточные точки линии пересечения.
Примечание как будет показано в дальнейшем '(например, см. рис. 38)
промежуточные точки в подобного рода задачах могут быть найдены и"йй^^^^|ер".
В данном и7 последующих чертежах, чтобы не загромождать чертеж.точки-яычер-
чены, но обозначаются только некоторые, например, на четверти заданных геометри- ;!
ческих тел.
цилиндра (	) меньше вер-
тикального ( Dg), во вто-
ром случае диаметр гори-
зонтального ( D?) больше
вертикального ( Dg). В
третьем случае приведен
особый случай пересечения,
— когда у пересекающихся
цилиндров одинаковые диа-
метры и поэтому они имеют
две общие касательные плос-
кости - это вид двойного
соприкосновения поверхнос-
тей (см. п.9.1).
В этом случае
линия пересече-
ния. распадается
на два эллипса,
пересекающихся
между собой в
точках касатель-
ных плоскостей.
Указанные эллип-
сы на фронталь-
ной плоскости
проекций проеци-
руются в виде
21
Таблица 1
Различные случаи бзаимного пересечения дбух цилиндроб
А
22
прямых линий, на горизонтальной и профильной совпадают с окружностямисоответст-
вующими проекциями цилиндров.
П р и м е р 6. Построить линию пересечения двух прямых круговых цилиндров
(рис. 29,а и б). Поверхность цилиндра I £ к плоскости проекций П-j, а цилиндра й
к плоскости проекций П3. Оси цилиндров не пересекаются. Анализируя чертеж, видим,
что данные поверхности касаются друг друга в одной точке (I) - точке касания. В
этой точке, как уже отмечалось обе поверхности имеют общую касательную плоскость.
Линия пересечения распадается на две кривые, касающиеся друг друга в общей точке
I, что наглядно видно на рис. 29,6). После точки касания строим другие опорные точ-
ки, расположенная на очерковых образующих, проводя секущие плоскости. Промежуточ-
ные точки определятся проведением вспомогательных плоскостей Т, которые пересе-
кают оба цилиндра по образующим. На пересечении соответствующих образующих нахо-
дим промежуточные точки 2,3,4,... . Соединив последовательно опорные и промежуточ-
ные точки (видимые - сплошными контурными, а невидимые штриховыми линиями) получим
линию пересечения цилиндров.
б.	ЦИЛИНДР МАИ ПРИЗМА ПРОЕЦИРУЮЩИЕ К ОДНОЙ
ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИИ •
Пример I. Построить линию пересечения крыши здания I с трубой (приз-
, мой в) и с пристройкой под слуховое окно (полуцилиндром ш ) (рис. 30).
Задача решается проведением горизонтальных плоскостей т и использованием
профильной плоскости проекций. Построения понятны из чертежа.
23
Пример 2. Построить линии пересечения прямого кругового конуса с пря-
мым круговым цилиндром. Оси цилиндра и конуса не пересекаются
(рис. 31,а и б).
Для построе-
ния линии пересече-
ния проводим ряд
вспомогательных го-
ризонтальных плос-
костей - Т . Они
рассекают конус по
окружностям, а ци-
линдр - по образую-
щим. Прежде всего
определяем опорные
точки 1 и 2 - гра-
ницы видимости ли-
нии пересечения на
фронтальной плоскости
проекций. С этой
целью через очерко-
вые образующие ци-
линдра проводим го-
ризонтальные плос-
кости Т1и *Г2. Они
рассекут конус по
окружности радиуса
и /?г ♦ а цилиндр
по образующим АВ и
С 0 . Опорными точ-
ками будут также
пересечении профильной контурной образующей - SE
точки 4 и 5, расположенные на
конуса и окружности цилиндра на профильной плоскости проекций. Точки 3 и
31 - границы видимости линии пересечения на горизонтальной плоскости проекций по-
лучены проведением горизонтальной плоскости Т3( Tg ). Последняя рассекает конус
по окружности радиуса Промежуточные точки определятся также проведением гори-
зонтальных плоскостей.
Полученные точки на комплексном и на аксонометрическом чертеже соединяем
плавной кривой линией.
9.7	ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КОНУСА С МНОГОГРАННЫМИ И
КРИВОЛИНЕЙНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ
Пример!. Построить линии взаимного пересечения конуса вращения с приз-
мой. Поверхность призмы фрснтально-проецирующая. (К сведению студентов; призма по
своей форме напоминает здание, а,следовательно,верхняя его часть - крышу этого
здания рис. 32,а и б).
Ось конуса 1 к плоскости проекций П<. Вначале найдены опорные точки на пе-
24
Эллипс
fb,
Puc.32
42
2з
<&-
J63
&


ресечении очер-
ковых образую-
щих и ребер приз-
мы. Для постро-
ения точек на
проекциях ис-
пользованы го-
ризонтальные
се1дгщие плоскос-
ти Т. Каждая
такая плоскость
пересекает приз-
му по ребру (как
например1, для
опорной точки I)
или по прямоу-
гольнику, а ко-
нур по окружнос-
ти (радиусов ,
R2 , R3,...).
Наклонные грани
призмы пересека-
ют конус по эл-
липсам (проекции линии соеди-
няющей точки 1-2-3), а грани
призмы, параллельные оси ко-
нуса пересекаютего по; гипер-
болам (проекция линии/ сое-
диняющей точки 3-4-5),
Пример 2. Постро
ить линию пересечения прямо-
го кругового конуса с пира-
мидой частного положения. Вы-
сота пирамиды 1 к плоскости
проекций П5(рис. 33,а и б).
Находим вначале опор-
ные точки. Так как обе дан-
ные поверхности имеют общую
плоскость симметрии, парал-
лельную плоскости проекций
П2 ♦ то контурные образую-
щие конуса I с контурными
ребрами AS и CS пирамиды.по
отношению к плоскости проек-
ций Л g пересекаются. Точки
пересечения 1,2,3 и 4 явля-
ются опорными точками гра-
25
раллельны и расположены в одной фронтальной плоскости (рис. 34).
wsufi видимости линии пересечения на плоскости проекций П2. Опорными точками гра-
ницами видимости линии пересечения на плоскости проекций ГЦ - будут точки 5 и 6
(обозначена только линия пересечения нижней симметричной части линии пересечения
поверхностей). Они найдены проведением горизонтальной плоскости Т (	, Эта плос-
кость пересекает конус по окружности, а пирамиду по ребру 58 ( О ). Промежуточ-
ные точки определены также проведением горизонтальных плоскостей. Эти плоскости
пересекают конус I по окружности соответствующего радиуса, а пирамиду по соответст-
вующему треугольнику. Остальные построения понятны по чертежу.
Пример 3. Построить линию пересечения двух конусов. Оси конусов па-
Решение
Опорные точки f
и 11 подучены в
пересечении осно-
ваний конусов на
плоскости .
Опорная точка б
- в пересечении
контурных образу-
ющих конусов на
плоскости /?2 .
Промежуточные
точки определять-
ся проведением
горизонтальных
плоскостей Т ,
пересекающих оба
конуса по окруж-
ностям. В пере-
сечении указан-
ных окружностей
получаем точки
2,3,4,... на го-
ризонтальной плоскости проекций и переносим их на плоскости проекций Г7-у и /73 .
В табл. 2 представлены три случая пересечения цилиндра перпендикулярного
к плоскости проекций Пд и конуса с высотой перпендикулярной ГЦ , а в табл. 3
двух.конусов. В таблицах даны комплексные чертежи и наглядные изображения указан-
ных поверхностей и показано нахождение опорных точек и промежуточных. В первом
и во' втором случае (в табл. 3) промежуточные точки определены с помощью метода
секущих концентрических сфер. В третьем случае, как уже отмечалось в п. 9.1 дос-
таточно построить лишь опорные точки на плоскости проекций П2 и соединить их пря-
мым линиями. На плоскостях проекций П1 и П3 точки строятся по общему принципу.
Примечание. Построение точек На поверхности см. £2] , Второе
эпюрное задание,огр. Зв - 40.
О	б
Рис. 54
3 случи у. Ссрерд, бписанная из точки
пересечения осей, касается конуса
и цилиндра. Линия пересечения - дое
плоские кри&ые.
2 случай. 1) Стера, лродеденная из	1'случай, и Ссрера, прпбеденная из
; очки пересечения осей конуса и иилинд- точки пересечения осей конуса и цилин-
ра, не пересекает цилиндр.	дра, не пересекает конус.
2) Необходимые точки можно наоти методом посредников-плоскостей или серер.


27
Различные случаи взаимного пересечения двух конусов	ц
г»
9.8	ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ СФЕРЫ И ТОРА
С МНОГОГРАННЫМИ И КРИВОЛИНЕЙНЫМИ
ПОВЕРХНОСТЯМИ
Пример. Построить линию пересечения полусферы с четырехгранной пирами-
дой. Ось сферы и пирамиды лежит в одной фронтальной плоскости (рис» 35,а и б).
Прежде всего
определим опорные
точки I и 2 на пере-
сечении фронтально-
го меридиана полу-
сферы с очерковыми
фронтальными ребра-
ми пирамиды. Опорные
точки 3 и 4,являющие-
ся границами видимос-
ти линии пересечения
на профильной проек-
ции ,определяться
проведением профиль-
ной плоскости 6
через •^ecipaj .
Водусф^а^^^^^^;.
сечетеяпо радиусу
, Характерными
точками будут и точ-
ки 5-6, лежащими на
профильном меридиа-
не. Получены они про-
ведением профильной
плоскости сО . Пира-
мида при этом сечет-
ся по треугольнику
ЕРИ (WIJ. Про-
межуточные точки
подучены проведением горизонтальных плоскостей Т, пересекающих полусферу по ок-
ружностям /?2 , Rs а пирамиду по конгруэнтным четырехугольникам.
Пример 2. Построить линию взаимного пересечения поверхности тора (по-
лукольца) с поверхностью пятигранной призмы. Поверхность призмы профильно-проеци-
рующая, следовательно,профильная проекция линии пересечения совпадает с частью
профильной проекции призмы (рис. 36,а и б).
Фронтальные проекции опорных точек 1,2 получены непосредственно в пересече-
нии ребра призмы С с верхней очерковой линией тора, а фронтальные проекции опор-
ных точек 3 и 4 - в пересечении фронтально-проецирующей грани АЕ с этой же верх-
ней очерковой линией тора.
29
Таблица 4
Различные случаи взаимного пересечения сферы с призмой.
50
Таблица 5
Различные случаи взаимного пересечения сферы с цилиндром
31
Таблица 6
Различные случаи взаимного пересечения конуса со сферой
32
Различные случаи взаимного пересечения тора с цилиндром.
Таблица 7
35
Для получения остальных точек линии пересечения проведен ряд вспомогатель-
ных фронтальных плоскостей Т (	) пересекающих тор по окружности, а призму по реб-
рам или прямоугольникам. Так, например, для построения точек встречи гориэонтально-
проецирующих граней призмы ДВ и DE с поверхностью тора (точек 5,6,7 и 8, и точки
им симметричные относительно горизонтальной оси тора) проведены фронтальные плос-
кости tiK Они пересекают тор по окружности радиуса . Строим фронтальную
проекцию этой окружности, в пересечении которой с указанными ребрами гриэмы поду-
чаем искомые точки и соединяем их на дуге окружности. Проводим еще ряд фронталь-
ных плоскостей, соединяем их плавной кривой между точками 1-5 и 2-7.
Пример 3. Построить проекции линии взаимного пересечения поверхнос-
тей сферы и прямого кругового конуса (рисунок см. случай 2, табл. 6 и на обложке
пособия).
Решение. Если в случае I, табл. 6, рассмотрено взаймное пересечение
сферы с конусом, когда оси расположены частным образом по отношению к плоскостям
проекций (оси лежат в одной фронтальной плоскости), что значительно облегчает ре-
шение задачи, то уже во 2-ом случае табл. 6 задача усложнена тем, что ни одна из
опорных точек не может быть получена непосредственно на пересечении очерковых
образующих. Поэтому для Нахождения точек линии пересечения здесь необходимо исполь-
зовать общий прием - проведение секущих плоскостей-посредников, пересекающих каж-
дую из заданных поверхностей по определенным линиям и определением,таким образом,
точек, общих для поверхностей сферы и конуса. Поскольку сфера частично врезается
в конус, в данном примере будет одна линия пересечения.
Так, например, для определения низшей (точки 1) и высшей (точки 2) на фрон-
тальной проекции вводим гориэонтально-проецирующую плоскость 6 ( <5^), проходящую
через ось конуса и центр сферы. Эта плоскость таким образом является для сферы и
34
Рис.37
конуса общей плоскостью симметрия (для ясности этот
этап построения вынесен на рис. 37). плоскость
пересекает сферу по окружности радиуса, равного
радиусу сферы, а конус по образующей. Для нахожде-
ния проекций точек 1 и, 2 , вращаем плоскость (Ь,
вместе с полученными в ней линиями, вокруг оси ко-
нуса до положения плоскости проекций /7$ , т.е.
на этом этапе сводим положения конуса и сферы к
I-МУ случаю, представленному в табл. 6. Получаем
точки 1] и 2* » а по ним сначала 1g к 2g * а затем
h и 2i.
Опорные точки 3 ( 3g) и 11 ( 11g ) на правой
контурной фронтальной проекции конуса определяются.
проведением вспомогательной фронтальной’плоскостью
л ‘ h ). Эта плоскость проходит через меридиан
конуса и рассекает поверхность сферы по окружности
радиуса (см. табл. 6, 2-й случай).
Для нахождения точек 5 и б на горизонталь-
ной проекции экватора сферы проводим горизонталь»
иую плоскость Т1( т/ ). Она пересекает конус по
окружности Rg , которая в пересечении с экватором
дает на плоскости проекций Hi точки 5* и 6? - гра-
ницы видимости линии пересечения. Таким образом,на
горизонтальной плоскости проекций видима та часть кривой линии пересечения, кото-
рая расположена на конусе вьвпе плоскости Т1 (tg ), а на фронтальной, плоскости -
часть кривой линии пересечения находится на сфере перед плоскостью об ( oQ ). Фрон-
тальная плоскость оС ( оС,), проведенная через центр сферы, пересекает сферу по ме-
ридиану, а конус - по гиперболе, определяющие опорные точки 7 и 8 - границы видимое
ти кривой на фронтальной плоскости проекций.
Все найденные на проекциях точки последовательно соединяем плавной кривой.
9.9	ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРИ О&НОЙ
НАКЛОННОЙ ПОВЕРХНОСТИ К КАКОЙ-ЛИБО
ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ
Рассмотрим пересечение цилиндров в случае, если один цилиндр частного поло-
жения, а ось втррого наклонена к плоскости проекций.
П р и м’е р I. Оси цилиндров пересекаются. Поэтому опорные точки 1,2,3 и
4 определяются непосредственно пересечением контурных образующих (рис. 38).
Задача по определению промежуточных точек может быть решена и методом секу-
щих плоскостей и методом секущих поверхностей - сфер. Рассмотрим решение задачи
методом вспомогательных (секущих) сфер.
Секущие поверхности проводят через центр 0 ( 0g) пересечения цилиндров Т
и П на фронтальной проекции. Задача по определению линии пересечения практически.
35
Рис. 38
решается на основной фронтальной проекции. Затем точки строятся на горизонтальной
проекции. Первую сферическую поверхность радиуса из центра О ( 0g) проводим ка-
сательную к цилиндру большего диаметра - I. Она пересекает цилиндр I по окружнос-
ти, фронтальная проекция которой прямая линия 48 ( Д^), а цилиндр й по окружности,
фронтальная проекция которой прямая линия ГР ( CgDg). На горизонтальной плоскости
проекций эти окружности проецируются в виде эллипсов, однако, мы их не строим, по-
скольку для решения задачи они не нужны. На пересечении окружностей, например, АВ
( AgBg) и CD ( CgOg )» получаем фрс;-тальные проекции 5 ( 5g) и 6 ( 6g) точек, при-
надлежащих линии пересечения. Аналогично, увеличивая радиус сферы, получаем еще ряд
точек, например., 7 ( 1g ), 8 ( 82 )» 9 ( 9g) и 10 ( 10g). Горизонтальные проекции
точек линии пересечения получаем, пользуясь профильной проекцией горизонтального
цилиндра (окружности) и понятны по чертежу.
Пример 2. Оси цилиндров не пересекаются. Так как все образующие нак-
лонного цилиндра Г/ пересекают цилиндр I, то имеем вид полного пересечения поверх-
ностей, следовательно, кривая линия пересечения распадается на две пространственные
кривые (рис. 39,а и б).
Решение. Поскольку поверхность цилиндра I горизонтально проецирующая,
то горизонтальная проекция искомой линии пересечения совпадает с этой горизонталь-
ной проекцией цилиндра I. Поэтому,опорные точки 1,2,3,4 получаются на горизонталь-
ной проекции на- пересечении контурных образующих цилиндра й и окружности цилинд-
ра I. Фронтальные их проекции найдены при помощи связи и понятны пр чертежу. Из
36
них точки I и 3 - самые ближние к оси цилиндра 1,а 4 и 2 - самые дальние. Точки
5,6,7 и 8 - границы видимости линии пересечения на фронтальной плоскости проекций,
так как они расположены на видимой части поверхности цилиндра if.
Задача определения промежу-
точных точек может быть решена ме-
тодом секущих фронтальных плоскос-
тей, которые пересекают цилиндры
Т и « пб образующим. Для большей
точности построений, для нахожде-
ния этих точек удобнее всего про-
извести замену плоскости проекций
иа П5 перпендикулярную к обра-
Рис. 59
зующим наклонного цилиндра. Тогда последний спроецируется на плоскость П$ в виде
окружности (для упрощения, цилиндр I на плоское™ проекций fig не строим). Тогда,
например, проведенная плоскость Т ( Ту ) пересекает цилиндр I в точках 15i , Т4^,
151 , 1&1, а цилиндра /7 по образующим. Чтобы рровести эти образующие, откладыва-
ем неизменное расстояние иа" на плоскости Л5 от оси цилиндра до фронтальной плос-
кости т ( т, ) - получаем точки М2и Л/2. Строим через точки М2и Л/2 фронтальные проек-
ции образующих цилиндра й , в пересечении которых с вертикальными линиями связи
получаем искомые точки 15г , 44г , 15г » 1&г •
9.10	ПРИМЕНЕНИЕ СПОСОБА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА
Когда поверхности занимают случайное положение относительно плоскостей про-
екций, целесообразно одним из способов преобразования комплексного чертежа привес-
ти заданное расположение к частному. При этом чаще всего для преобразования комп-
37
лексного чертежа используется способ перемены плоскостей проекций или способ вра-
щения. ,
Рассмотрим это положение на примерах.
Пример I. Построить линию пересечения поверхности наклонной пятигран-
ной призмы (типа домика с двухскатной крышей) с шаровой поверхностью (рис. 40).
Переменим плоскость Пг на плоскость Л41 П1 и расположенную параллельно бо-
ковым ребрам призмы, эти ребра спроецируются на плоскость проекций П4 в натураль-
ную величину. Затем второй заменой плоскость проекций П$ расположим перпендику-
лярно к Л4и перпендикулярно к
боковым ребрам призмы. Боковая
поверхность призмы спроецирует-
ся неправильным пятиугольником
AsBfCgDf. Сферу проведем из цент-
ра 0$ в виде окружности неизмен-
ного радиуса.
Проанализируем теперь ха-
рактер пересечения на плоскости
проекций Пу. Стороны пятиуголь-
ника ABODE пересекают сферу по
соответствующим окружностям, про-
ецирующимся в виде эллипсов.
Поскольку ребро А находит-
ся за пределами окружности, про-
веденной из центра 0$ , делаем
вывод, что ребро А не участвует
в пересечении, по той же причи-
не линия пересечения будет ка-
саться ребра в опорной точке
Dx 1 . Опорными точками явля-
ются и точки 2 и 3 в системе
Л4'Л$, расположенные на экваторе
шара. Опорный точками являются
также точки 4*5 «С , в этих точ-
ках ребро призмы С пересекается
11
17
Ог
20
to,
В.
05
2ц
Рис. 40
Пг Х12
Л,
V «4
4
1&3


Ч^5-55
1b5sl75
38
с шаром и точки gs 9 = £ , в этих точках ребро Е пересекается с шаром. Для опреде-
ления промежуточных точек, берем на фронтальной проекции сторон А5В5, 85 £5, C$Dst
DsE$-n Е5А$ пятиугольника ряд точек 9,10,11,... . Проводим через них ряд секущих
плоскостей ( Т$ ,	,...), рассекающих сферу по соответствующей окружности, а
призму по пятиугольникам. Затем путем обратного проецирования, находим проекции
точек 1,2,3,... сначала в системе , а затем в основной, заданной системе
Пример 2. Построить линию- взаимного пересечения прямого кругового ко-
нуса с наклонным цилиндром (рис. 41).
Здесь также, как в предыдущем примере, проще решить задачу, преобразуя чер-
теж. Поскольку ребра призмы горизонтальные, в данном случае для решения задачи
достаточно одного преобразования.Заменим плоскость проекции Л^на Л4 к боковым
^ребрам призмы. Анализируя характер пересечения на Л4 видим, Ччто только ребро А не
участвует в пересечении, а ребро D4. касается основания конуса (линия пересечения
Рассмотрим построение точек в системе Л1.1П4, в которой поверхность приз-
мы проецирующая. Опорные точки 1 и ^получены в пересечении ребра призмы D с осно-
ванием конуса (в плоскости D4). Точки 2-3 - находятся на плоскости Л4 на Пересе-

л
102

чении контурной образующей
конуса с соответствующими
сторонами основания призмы.
Промежуточные точки
определятся проведением го-
ризонтальных плоскостей Т ,
пересекающих конус по окруж-
ностям, а призму по ребрам
или прямоугольникам. В ос-
тальном построения сечения
конуса гранями призмы анало-
гичны предыдущему примеру и
понятны из чертежа
61 -!
£4=64=^
А4
Рис.41
4*
1zsDz
Рассмотрим еще один пример.
Пример 3. Построить линию пересечения конуса с цилиндром. Образую-
щие цилиндра параллельны горизонтальной плоскости проекций (рис. 42).
Пример аналогичный предыдущему и его также удобно решить методом одного
преобразования. Поскольку цилиндр частично пересекает конус - линия пересечения
одна кривая. Задача в системе ГМПдв остальном сведена к задаче,рассмотренной в
Пункте 9.6 pic. 31,а, стр. 25 , настоящего пособия. После построение точек линии
пересечения в системе строим точки в системе П^Пе,которые находятся по их
проекциям в системе П11П4С сохранением соответствующих расстояний этих точек от
плоскости проекций (т.е. в данном случае при координате Z =гол$1).
Рис. 42
40
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К Щ-МУ ЭПЮРНОМУ
ЗАДАНИЮ
1 дыдор варианта задания . Из 30-ти вариантов заданий студен’г вечерней
формы выбирает тот, который соответствует его номеру по журналу, а заочной формы
- тот вариант, который совпадает с суммой 3-х последних цифр зачетной книжки. На-
пример, если номер книжки 7I387I, то он выбирает 16-й вариант, а если 713940, то
Данные для построения листа
выполнен по заданию представленному на рис. 45 и 46.
13-й вариант и т;д. 'При
цифре, заканчивающейся
тремя нулями, выполня-
ется 30-й вариант.
<?. Цель выполнения
Задания . Закрепить
знания студентов по по-
строению линии взаимно-
го пересечения двух по-
верхностей.
3. Содержание.
З-е эпюрное задание вы-
полняется студентами
вечерней формы обучения,
занимающихся по курсу
"Инженерная графика"
80 часов (два семестра)
и 119 час. (3 семестра)
на одном листе формата
12, в соответствии с
образцом, приведенным
на рис. 47. Образец лис-
та на рис. 47 выполнен
по заданию, представлен-
ному на рис. 43 и 44.
Данные для построения
листа заданий приведе-
ны в табл. 8 и 9.
Для студентов
вечерней формы обучения,
занимающихся пб курсу
"Начертательная геомет-
рия и черчение" 187-219
часов (четыре семестра)
образец задания дан на
рис. 48, а для студентов
-заочников - на двух
листах согласно рис.49и 50,
приведены в табл. 10 и II. Образец листа на рис. 48
Рис.47 Образец задания (серия АиЬ).
Задание 1. Построить линию пересечения
конуса I с цилиндрами а. Построить линию
среза конуса фронтальной плоскостью.
Задание 2. Построить линию пересечения тела
бращения > с конусом й и цилиндрам ш.
го
Построение линии бзаимного пересечения
пооерхностей 
Чертил	Иданс '	
Проберил	Петроб	
ОТФ угу
1>1
4’722322
Рис.48 Образец задания (серия В).
Развергпка боковой поверхности
Задание. Построить линию пересечения
конуса I с цилиндрами п. Z Построить развертку.
Построение линии взаимного
Чертил	Иванов		ОТФ УГУ	Г-1 _
Проверил	Петров	-		
Рис. 49 Образец задания для студентов заочной формы обучения (серия В).
Рис 50 Образец задания (серия А).
J А			9	
	В	С	А		
№3	Построение линии взаимного пересечения поверхностей				
Чертил		Ибаноб		ат(р чгу	/•7
Проверил		Петроб			№761255
45
КРАТКИЕ ПОЯСНЕНИЯ К ГРАФИЧЕСКОМУ ВЫПОЛНЕНИЮ
ЗАДАНИЯ
Для разнообразия пересечений в табл. 9 и 10 даны с разных сторон (по сим-
метрии) пересечения основной поверхности с другими поверхностями. 'Так, например,
на рис. 51 рассмотрен случай пересечения прямого кругового конуса 7 с четырехгран-
ной пирамидой П (слева), а с конусом ш (справа).Оси обеих конусов и четырехгранной
пирамиды параллельны между собой и параллельны фронтальной плоскости проекций (Hg)
(см. также пример на рис. 34, стр. 25).
На рис. 52 представлено пересечение тела вращения 7 с одной стороны с ко-
нусом Л , с другой с цилиндром д» . Оси тела вращения, конуса и.цилиндра параллель-
ны плоскости проекций flj . Для каждой стороны задача решается отдельно.
На рис. 51 и 52 изображения даны в трех проекциях, а на рис. 51,6 и 52,6
даны еще и наглядные изображения. Определения опорных точек и промежуточных (с
помощью вспомогательных секущих плоскостей) понятны по чертежу (рис. 51). На рис.52
опорные точки 1-2Ддля конуса и тела вращения) и точки 9-10 (для тела вращения и
цилиндра) найдены на пересечении очерковых образующих,на фронтальной плоскости про-
екций. Для нахождения промежуточных точек, в этой задаче использован способ сфер.
На рис. 53 рассмотрена аналогичная задача пересечения цилиндра 7 с одной
стороны с конусом вращения Л , с другой с трехгранной призмой ш (см, также обра-
46
зец задания,рис.
50). Поскольку
поверхность приз-
мы профильно-про-
ецирующая, для
удобства решения
задачи построе-
на профильная
проекция призмы.
Тогда, например,
для построения
фронтальной про-
екции точки 13
(13g) откладыва-
ется координата
у1. Построения
ясны по чертежу.
47
Приведем еще два характерных примера для студентов, выполняющих
задания по серии & с использованием метода секущих сзрер.
Условия задач. Построить линию пересечения конуса 7 с цилиндром
П и конусом /н (рис. 53а и 536).
Задачи следует решать в два этапа: вначале строить линию взаимного пересе-
чения двух поверхностей конуса 7 с цилиндром й , а затем конуса? с конусом . В
результате на рис. 53а получают две независимые непрерывные кривые линии пересече-
ния, а на рис. 536 одна кривая линия пересечения конуса 7 с цилиндром й - непрерыв-
ная - 1,2,3,...7, а вторая 8,9,10,...15 конуса 7 с конусом й? только до оси симмет-
рии.
Опорные точки определены непосредственно на пересечении очерковых образую-
щих, поскольку оси поверхностей лежат в одной фронтальной плоскости. Для определе-
ния промежуточных точек проведены из центра 0 ( 0g ) ряд концентрических сфер для
рис. 53а, а для рис. 536 из двух отдельных центром О % ) при пересечении кону-
са j с цилиндром tj и £ ( Сg ) при пересечении конуса 7 с конусом т (см. тему 9.2,
пункт В, стр. 5).
Рис. 55,5
Рис. 55, а
48
1. Перед построением линий взаимного пересечения поверхностей
следует установить-. I) какие поверхности пересекаются; 2) как они расположе-
ны относительно друг друга; 3) вид пересечения: полное или частичное проницание
одной поверхности в другую; 4) характер расположения геометрических тел относитель-
но плоскостей проекций.
2., Далее необходимо для каждой линии пересечения двух поверхностей выбрать
метод построения: определить ее опорные и промежуточные точки. Решая вопрос о том,
какой вспомогательный посредник выбрать для построения указанных точек линии пере-
сечения следует вначале выяснить не занимает ли,одна или обе поверхности проеци-
рующее положение. В этом последнем случае, как отмечалось в теме 9.6 решение
задачи значительно упрощается.
ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТКИ С НАНЕСЕНИЕМ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ.
В контрольных заданиях студенты заочной формы обучения, занимающихся по
курсу "Начертательная геометрия и черчение" 187 - 219 часов должен выполнить пос-
ле построения линии пересечения построение развертки с нанесением линий пересече-
ния на двух листах согласно образцов, представленных на рис. 49 и ВО. В каждом
задании (табл. 10 и II) студент должен выполнить развертку геометрической поверх-
ности обозначенной цифрой J . Построение развертки подробно изложено в 1-ом эпюр-
ном задании £43 (см. пункт 5.4,. стр. 36) и во 2-ом эпюрном задании С21(см. пункт 8.2,
стр. 48).
ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ
1.	Формат. Как и в предыдущих работах, графические работы 3-Го эпюрного за-
дания выполняются на листах чертежной бумаги формата 12 (297x420) карандашом. От-
ступив от левого края на 20 мм и от остальных краев формата на 5 мм обводят рамку
Чертежа. Толщина линии формата рамки согласно ГОСТ 2.104-68 равна S (от 0,7 до 1мм).
2.	Основная надпись . в правом нижнем углу формата выполняется основная над-
пись согласно рис. 54 и заполняется в соответствии подписи под рисунком.
3.	Требования к основной надписи иодозначениям,!). Основная надпись и
обозначения на чертеже должны быть выполнены стандартным шрифтом согласно ГОСТ 2.304-81.
2). Все надписи,должны иметь одинаковую величину и одиниковый наклон шрифта (75°
вправо). Величина написания*шрифта во всех графах - 3,5 мм, кроме 2-ой графы. В
последней величина написания (название эпюра) - 5 мм.
Рис. 54. В графах основной надписи записы-
вается: I - порядковый номер чертежа; 2 - наиме-
нование чертежа; 3 - фамилия студента; 4 - подпись
преподавателя; 5 - дата выполнения и сдачи работы;
6 - наименование учебного заведения, курс и груп-
па; 7 - масштаб выполнения чертежа; 8 - номор вари-
анта. ,	„	.	.....-	  —-
4. Графика выполнения
чертежей. I). Эпюры вначале
вьптолняются в тонких линиях
карандашом Т или 2Т "конструк-
тор" или "политехник" (толщи-
ной 0,2 - 0,3 мм) по размерам,
указанным в заданиях в масшта-
бе 1:1. Размерена чертежах
заданий наносить не следует,
они приведены в заданиях лишь
для вычерчивания изобра-
жений (см. образцы рис.
48 - 50).
49
2). При окончательном оформлении чертежа, следует применять следующие типы линий
в соответствии с ГОСТ 2.303-68 (действует совместно с СТ СЭВ 1178-78): а) линии
видимого контура, толщиной 5я1 мм; б) линии невидимого контура - штриховые тол-
щиной	, т.е. 0,4-0,5 мм (длина штрихов - 4 мм, разрывы между штрихами от
I до 2 мм); в) оси проекций и все линии^построения и штриховки - сплошные тонкие
^х0,3 мм; г) осевые и центровые линии - штрихпунктирные толщиной т.е. 0,3мм
(длина штриха I5-2CX мм, расстояние между штрихами 3-5 мм).
5. Все надписи на изображениях (нанесение обозначений) следует выполнять
; шрифтом 3,5 мм.
,6. Линии чертежа (как основные, так и вспомогательные) не должны пересекать
обозначений. В противном случае, линию построений для размещения обозначений до-
пускается прерывать.
Примечание : I. Вспомогательные линии при помощи которых произво-
дились построения на чертеже оставлять (см. образцы рис. 47 - 53); 2. Все опорные
и характерные точки линий пересечения и три-четыре промежуточные на чертеже обоз-
начать буквенно и кружочком, как это сделано на указанных образцах.
ОФОРМЛЕНИЕ ВЫПОЛНЕННЫХ ЭПЮРНЫХ ЗАДАНИЙ
Все листы заданий, подписанные преподавателем, следует сброшюровать в об-
щий альбом в порядке их нумерации. Лицевой обложкой альбома служит титульный лист.
Образец титульного листа для студентов,' занимающихся по курсу "Начертательная ге-
ометрия и черчение", показан на рис. 56, а по курсу "Инженерная графика" на рис.57.
Рамка титульного листа оформляется согласно ГОСТ 2.304-81 "Шрифты". Предваритель-
ная подготовка рамки с расстояниями между строками и размерами шрифтов для написа-
ния титульного листа указана на рис. 55.
После сдачи экзамена альбом сдается в архив кафедры на хранение.
Рис.55
50
МВиССОУССР
ЧЕРНОВИЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕ Т
Кафедра графики ОТФ
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Студент 1 курса 5 группы ИВаноВ А.Г.
Преподаватель	(Петренко СВ.)
Зачетная книжка № 781753
Вариант №13
г. Черной цы 1985 г.
Рис. 56
МВ и ССО УССР
ЧЕРНОВИЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра графики ОТФ
ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА
' Студент 1 курса 5 группы ИВаноВ А.Г.
Преподаватель	(Петренко С.В.)
Зачетная книжка №321569
Вариант № 13
г. Чернобцы 1983г.
Рис. 57
51
Таблица 8
Серия А и Б (с использованиемметода секущих плоскостей)
Построить линии взаимного пересечения: I) конусов 7 и н ; 2) открытого то-
ра (кольца) й с цилиндром 7 ; 3) правильной шестигранной призмы 7 со сферой и ;
,4) цилиндра 7 с правильной шестигранной призмой н ; 5) конуса 7 с телом ар» щеми я П ;
6) трехгранной призмы J и сферы и .
52
Продолжение то5л.8
Построить линии взаимного пересечения: 7) конус Т со сферой I ; 8) правиль-
ной четырехгранной пирамиды 7 со сферой й ; 9) цилиндров 7 со сферой у ; 10) пра-
вильной шестигранной призмы 7 и сферы у ; II) конуса 7 с трехгранной призмой у ;
12) цилиндра 7 со сферой у .
55
I
Продолжение mafy.8.
Построить линии взаимного пересечения: 13) конуса 7 с цилиндром ц ; 14) пра
вильной четырехгранной пирамиды Г и полусферы ц ; 15) правильной пятигранной пи-
рамиды 7 и цилиндра у ; 16) конуса 7 и цилиндра у ; 17) конуса 7 с четырехгранной
призмой у ; 18) сферы 7 с телом вращения н .
54
Продолжение mafia. 8
Построить линии взаимного пересечения: 19) пирамиды 7 с конусом н ; 20) то-
ра (кольца) н с трехгранной пирамидой 7 ; 21) цилиндра 7 с тором и ; 22) цилиндра
7 с тором (кольцом) П ; 23) четырехгранной призмы 7 и сферы н ; 24) правильной
четырехгранной призш 7 и цилиндра П .
55
Продолжение тадл 8
Построить линии взаимного пересечения: 25) цилиндра 7 и тела вращения П ;
26) конуса Т и полуцилиндра П ; 27) цилиндра Т и сферы П ; 28) трехгранной приз-
мы Т и поверхностью, заданной четвертью кольца ц ; 29) конуса 7 и тора П ; 30) пра-
вильной трехгранной призмы 7 и полусферы й .
56
Таблица 9
Серия А и Б (с использованием метода сфер)
Построить линии взаимного‘пересечения: I) цилиндра 1 с телом вращения Л ;
2) конуса t со сферой у ; 3) цилиндров i и Л ; 4) цилиндров < и й ; 5) конуса »
с цилиндром П ; 6) конусов • и й .
Продолжение та8л,9
Построить линии взаимного йересечения: 7) тора (кольца) П с цилиндрами 1 ;
8) конуса • с телом вращения й ; 9) конуса • с цилиндром й ; 10) конуса Т с те-
лом вращения й ; II) цилиндра I с конусом й ; 12) конуса • с цилиндром н .
owt>
58
Продолжение тадл. 9
Построить линии взаимного пересечения: 13) цилиндра Т с конусом й ; 14) ко-
нуса । с телом вращения й ; 15) конуса i и цилиндра й ; 16) конуса • и цилиндра й
17) конусов • и й ; 18) сферы Т и тела вращения й .
59,
Продолжение тадл. 9
Построить линии взаимного пересечения: 19) цилиндра 1 с конусами и ;
20) цилиндров Тип, 21) цилиндра Т с телом вращения й ; 22) цилиндра 1 с телом
вращения у ; 23) конуса ] с тором (кольцом) й ; 24) конуса • с цилиндром у .
60
Продолжение табл. 9
Построить линии взаимного пересечения: 25) цилиндров Т и н ; 26) конуса г
и цилиндра й ; 27) конуса J и тела вращения Г« ; 28) цилиндра » и тела вращения и ;
29) конусов Тип; 30) конуса 7 и цилиндра и .
61
Таблица 10
Серия В (с использованием метода секущих плоскостей)
Построить линии взаимного пересечения: I) конуса 7 с цилиндром ц , цилинд-
ра щ с правильной шестигранной призмой iv ; 2) сферы П с цилиндрами д и правильной
четырехгранной пирамидой ш ; 3) цилиндра 7 с правильной четырехгранной призмой П
и конусом iTi ; 4) открытого тора (кольца) й с цилиндром 7 и призмой и>; 5) тела вра
ценил п с цилиндром 7 и правильной четырехгранной пирамидой hi ; 6) сферы П с ци-
линдром 7 и правильной призмой jjj.
62
Продолжение гладя. 10
Построить линии взаимного пересечения: 7) прямой четырехгранной призмы й
с наклонным цилиндром 7 , цилиндра щ со сферой iy ; 8) кольца п с цилиндром 7 и
четырехгранной правильной призмой щ ; 9) правильной пятигранной пирамиды 7 с ци-
линдром н и четырехгранной правильной призмой щ ; 10) правильной шестигранной пи-
рамиды 7 с пятигранной призмой Г< и цилиндром 5н ; II) сферы П с правильной трехгран-
ной призмой 7 и конусом ш; 12) сферы ц с четырехгранной призмой 7 и цилиндром ш.
63
Продолжение та8л. 10
Построить линии взаимного пересечения: 13) усеченного конуса-Т и сферы П
с цилиндром ш ; 14) четырехгранной пирамиды 7 со сферой и и цилиндром ш ; 15) ци->
линдров 7 и П , восьмигранной пирамиды ш с квадратной призмой ГУ ; 16) сферы П с
конусом 7 и квадратной призмой щ ; 17) конуса 7 со сферой п и пирамидой щ; 18) шес-
тигранной призмы 7 со сферой П и цилиндром щ.
Продолжение тадл. 10
Построить линии взаимного пересечения: 19) цилиндра 7 с четырехгранной пи-
рамидой П и конусом щ♦ 20) цилиндра-7 со сферой П и цилиндром ш; 21) четырех-
гранных призм 7 с четырехгранной призмой ц и сферой щ J 22) конуса 7 и сферы Я»
со сферами й ; 23) конуса 7 и четырехгранной пирамиды П со сферами и* ; 24) конуса
7 и сферы щ с цилиндром й .
65
Продолжение та 8л. fО
Построить линии взаимного пересечения: 25) сферы П с наклонным цилиндром
7 и прямым цилиндром nj ; 26) сферы м с цилиндрам 7 и правильной четырехгранной
пирамидой щ ; 27) сферы й с конусом 7 и сферой щ ; 28) тела вращения П с цилинд-
ром 7 и Правильной четырехгранной призмой m ; 29) пятигранной призмы м с трехгран-
ной пирамидой 7 и цилиндром й» ; 30) сферы н с правильной четырехгранной пирамидой
7 и конусом m.
,66
Таблица 11
Серия В (с использованием метода сфер)
Построить линии взаимного пересечения: I) цилиндра I с конусом ц и цилинд-
ром щ ; 2) конуса 7 с конусом п и телом вращения щ ; 3) тора 7 с цилиндром П и ко-
нусом щ ; 4) тела вращения 7 с конусом П и цилиндром щ; 5) конуса 7 с цилиндром
П и конусом in ; 6) конуса 7 с цилиндром п и конусом m.
67
Продолжение табл. //
г Построить линии взаимного пересечения: 7) конуса 7 с конусом П и цилинд-
< ром Щ ; 8) конуса 7 с цилиндром Г» и конусом щ ; 9) тела вращения П с конусом. ]
. и цилиндром iTi ; 10) тела вращения 7 с цилиндром й и конусом щ ; II) конуса 7 с
^ цилиндром П и конусом П« ; 12) усеченного конуса 7 с конусом ц и цилиндром щ .
68
Продолжение maid- 11
Построить линии взаимного пересечения: 13) тела вращения ц. с конусами 7 и
Гн ; 14) конуса 7 с конусом у и цилиндром щ ; 15) тела вращения у с конусом 7 и
сферой у ; 16) конуса 7 с конусом у и цилиндром «у ; 17) тела вращения у с цилинд-
ром ] и конусом п) ; 18) тела вращения П с конусом 7 и цилиндром щ •
69
Продолжение табл. 11
Построить линии взаимного пересечения19) конуса 7 со сферой й и цилинд-
ром in ; 20) тела вращения П с цилиндром 7 и сферой щ ; 21) цилиндров 7 с конусом
й и цилиндром щ ; 22) конуса 7 с конусом й и цилиндром щ ; 23) тела вращения й
с конусом 7 и цилиндром щ ; 24) конуса 7 с конусом й «цилиндром •« и сферой iy
70
Продолжении тадл. 11
Построить линии взаимного пересечения: 25) конуса 7 с цилиндром й и конусом
iji ; 26) тела вращения П с конусом 7 и цилиндром й7 ; 27) тела вращения й с цилинд-
ром 7 и конусом П) ; 28) тела вращения й с конусом 7 и сферой н« ; 29) тела вращения
й с конусом 7 и цилиндром ц» ; 30) тела вращения й с цилиндром 7 и конусом ц» .