Общие вопросы теории граничных задач - Дезин А.А.

Автор: Дезин А.А.
Теги: анализ математика математическая физика
Год: 1980
Похожие
Коэффициентные обратные задачи механики.
Численные методы решения обратных задач математической физики
Приближенные методы математической физики
Численные методы решения обратных задач математической физики
Текст
                    А.А.ДЕЗИН
ОБЩИЕ
ВОПРОСЫ
ТЕОРИИ
ГРАНИЧНЫХ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1980
22.16
Д 26
УДК 517
Д е з и и А. А. Общие вопросы теории граничных задач.—
М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы,
1980.
Книга посвящена актуальной проблеме описания граничных
задач для общих дифференциальных операторов, безотносительно
к их типу в классическом смысле. Под граничной задачей пони-
мается система условий, определяющих сужение так называемого
максимального дифференциального оператора, порождаемого об-
щей дифференциальной операцией в конечной области евклидова
пространства. Это сужение должно одновременно быть расширением
минимального оператора и обеспечивать однозначную разреши-
мость соответствующего дифференциального уравнения при любой
правой части из гильбертова пространства функций с суммиру-
емым квадратом. Описанная задача связана с рядом специальных
вопросов спектральной теории операторов, изложению которых
отводится значительное место.
Библ.— 41 назв.
20203—094
Д "053(02)-80 ’	1702050000
© Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1980
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие................................................. 6
Памятка читателю............................................  10
Глава I. Элементы спектральной теории....................... 11
§ 0. Вводные замечания...................................... 11
§ 1.	Основные определения...................................  12
1.0. Предварительные замечания (12). 1.1. Основная струк-
тура (12).	1.2. Специальные подмножества (14). 1.3. Опе-
раторы (17). 1.4. Функционалы (21).
§ 2.	Спектр оператора...................................... 23
2.0. Предварительные замечания (23). 2.1. Основные опреде-
ления (24). 2.2. Функции от оператора (26). 2.3. Связь спек-
тров данного и обратного операторов (29).
§ 3.	Специальные классы операторов .'...................... 30
3.0. Предварительные замечания (30). 3.1. ВН-операторы.
Определения и основные свойства (30). 3.2. ВН-операторы.
Теория Фредгольма—Рисса (32). 3.3. Самосопряженные ВН-
операторы (За). 3.4. Самосопряженные, нормальные и уни-
тарные операторы (38). 3.5. Некоторые дополнительные со-
глашения (40).
Глава II. Функциональные пространства и операторы,
порождаемые дифференцированием ........................ 42
§ 0.	Вводные замечания ...................................  42
§ 1.	Пространство ОН (Г) .................................  43
§ 2.	Дифференциальные операции и максимальный опера-
тор ................................................... 46
§ 3.	Минимальный оператор и правильные операторы ...	49
3.1.	Минимальный оператор (49). 3.2. Транспонированные
операции и сопряженные операторы (50). 3.3. Существование
правильных операторов (51).
§ 4.	Слабые и сильные расширения дифференциальных опе-
раций ..................................................... 55
4.0. Предварительные замечания (55). 4.1. Основные опре-
деления (56).
§ 5.	Операторы осреднения.................................  59
5.0	. Предварительные замечания (59 ). 5.1. Осреднения на пря-
мой (59). 5.2. Осреднения в многомерной области (63).
5.3	. Осреднения и операции дифференцирования (65). 5.4. Лем-
ма Фридрихса (67).
§ 6.	Совпадение слабых и сильных расширений................ 68
6.1.	Случай постоянных, в главном, коэффициентов (68).
6.2.	Случай переменных коэффициентов (70).	6.3. Некото-
рые примеры (;2). 6.4. Эквивалентность слабых и сильных
расширений как следствие однозначной разрешимости задач
(74). 6.5. Случай обыкновенной дифференциальной операции
к76).
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
$ 7. Пространства W........................................ 71
7.0.'Предварительные замечания (77). 7.1. Слабые и сильные -
обобщенные производные (77).	7.2. Пространства w™ Wm
и теоремы вложения (78).
Глава III. Обыкновенные дифференциальные операторы 82
§ 0.	Вводные замечания....................................  82
§ 1.	Описание правильных операторов при п = 1 . . . .	83
1.1.	Операторы, порождаемые условиями Коши (83). 1.2.
Описание правильных операторов (87).
§ 2.	Обыкновенная дифференциальная операция первого
порядка..............................................  89
§ 3.	Теория Биркгофа....................................... 93
§ 4.	Дополнительные замечания.............................. 96
4.1.	Замечания общего характера (%). 4.2. Дополнительные
замечания, относящиеся к обыкновенным дифференциальным
операциям (97).
Глава IV. Модельные операторы............................. 100
§ 0.	Вводные замечания.................................... 100
§ 1.	Тензорные произведения и модельные операторы ...	100
1.1.	Тензорные произведения гильбертовых пространств (1С0).
1.2.	Модельные операторы (102).
§ 2.	Операторы на n-мерном торе........................:	103
2.1.	Определение П-операторов и их основные свойства (103)
2.2.	Некоторые дополнительные свойства П-опсраторов (109).
2.3.	П-операторы, порождаемые некоторыми классическими
дифференциальными операциями (113).
Глава V. Операторные уравнения первого порядка . .	115
§ 0.	Вводные замечания...............'...................  115
§ 1.	Оператор	Dt	—	А;	спектр......................... 116
§ 2.	Оператор	Dt	—	А;	специальные граничные условия	.	123
§ 3.	Оператор	Dt	—	А;	классификация.................. 127
§ 4.	Операторы,	неразрешенные относительно Dt	.	.	.	.	132
§ 5.	Дифференциальные свойства решений операторного
уравнения и примыкающие вопросы......................... 135
§ 6.	Некоторые операторы с переменными коэффициента-
ми в главной части.........................'............ 139
§ 7.	Заключительные замечания . . ........................ 142
Глава IV. Операторные уравнения высшего порядка .	144
§ 0. Вводные замечания.................................... 144
§ 1.	Операторные уравнения второго порядка................ 145
1.0.	Предварительные замечания (145). 1.1. Элементарные фор-
мулы (145). 1.2. Общая схема (146). 1.3. Задача Коши (147).
1.4.	Существование правильных операторов (149). 1.5. Задача
Дирихле (151). 1.6. Использование стандартных условий (154).
1.7.	Заключительные замечания (155).
§ 2.	Операторные уравнения высшего порядка (тп > 2) .	155
2.0. Предварительные замечания (155). 2.1. Двучленные урав-
нения (156). 2.2. Обшее операторное уравнение (159).
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
Глава VII. Общие теоремы существования правильных
операторов....................................... 162
§ 0.	Вводные замечания............................ 162
§ 1.	Лемма о сужении области...................... 162
§ 2.	Теорема существования правильного	оператора	...	164
§ 3.	Описание правильных операторов	в	параллелепипеде	.	169
3.0. Предварительные замечания (169). 3.1. Описание правиль-
ного оператора за счет подбора базиса (169). 3.2. Существова-
ние правильно подобранного базиса (173). .3.3. Окончательный
результат (174).
Глава VIII. Специальное операционное исчисление ...	176
§ 0.	Вводные замечания................................  176
§ 1.	Построение операционного исчисления............... 177
§ 2.	Некоторые примеры........................•'	. . .	184
§ 3.	Необходимость ограничений на резольвенту . . . .	188
Заключительные замечания .............................. 192
Дополнение. О некоторых системах уравнений, содер-
жащих малый параметр	. . . •.................... 195
Литература............................................. 205
ПРЕДИСЛОВИЕ
Постараемся прежде всего разъяснить смысл заглавия
предлагаемой книги. Основным объектом изучения в ней
являются граничные задачи для линейных дифференци-
альных уравнений в частных производных, рассматривае-
мых в конечной области тг-мерного евклидова простран-
ства. Исследуемая проблема — вопрос о зависимости
характера разрешимости данного уравнения от способа
выбора граничных условий, т. е. от дополнительных тре-
бований, которым на тех или иных частях границы долж-
но удовлетворять решение.
Раздел математического анализа, занимающийся изу-
чением граничных задач для уравнений в частных про-
изводных, называют зачастую математической фи-
зикой.
В классических курсах, посвященных этому предмету,
рассматриваются, как правило, строго определенные клас-
сы уравнений, задачи для которых имеют непосредствен-
ный физический смысл, или же некоторые обобщения та-
ких задач.
В связи с расширением сферы приложений математи-
ческих методов в настоящее время часто возникают зада-
чи, связанные с исследованием уравнений в частных про-
изводных, не принадлежащих ни к одному из классиче-
ских типов. Выяснение правильных постановок задач
и исследование специфических свойств решений для по-
добных уравнений оказываются тесным образом связан-
ными с изучением вопросов общего характера.
ПРЕДИСЛОВИЕ
7
К таковым можно отнести, например, следующие:
1.	Чем определяется особое положение классических
уравнений математической физики (и их обобщений) сре-
ди всех возможных уравнений?
2.	Можно ли указать разумную (в том или ином смыс-
ле) граничную задачу для взятого наугад уравнения, и ес-
ли да, то как это сделать?
3.	Какова природа патологических явлений, возни-
кающих при «неправильной» постановке граничной за-
дачи?
Вопросы подобного рода нуждаются, разумеется,
в уточнении и весьма далеки от полного решения. Но в свя-
зи со сказанным выше ясно, что не следует считать их
имеющими чисто умозрительный характер. Умение ори-
ентироваться' в нестандартных ситуациях оказывается
зачастую весьма ценным для математика или физика, за-
нятого решением конкретных задач. Учитывая это, ав-
тор старался сделать книгу доступной для возможно бо-
лее широкого круга читателей.
Граничная задача для уравнения в частных производ-
ных — объект богатый и сложный и допускает рассмот-
рение с весьма различных точек зрения. Основой подхо-
да, используемого в книге, является теория линейных
операторов в гильбертовом пространстве. В некоторых
построениях используются и пространства иной струк-
туры, но гильбертово пространство функций с интегри-
руемым квадратом является основным. При этом во мно-
гих случаях весьма удобным оказывается формулировать
свойства разрешимости той или иной граничной задачи
в терминах свойств спектра сопоставляемого задаче опе-
ратора.
Первая (вводная) глава «Элементы спектральной тео-
рии» посвящена краткому изложению необходимых све-
дений из соответствующих разделов функционального
анализа.
ПРЕДИСЛОВИЕ
3
Во второй главе рассмотрены общие приемы сопостав-
ления граничной задаче линейного оператора в гильбер-
товом пространстве.
Общность перечисленных выше вопросов вынуждает
в дальнейшем наложить на изучаемые операторы ряд
весьма жестких ограничений. Выяснение правильных по-
становок задач и исследование специфических свойств ре-
шений для «неклассических» уравнений удобно начинать
с рассмотрения идеализированных моделей, например
с рассмотрения уравнений с постоянными коэффициента-
ми при замене части граничных условий условиями перио-
дичности, что позволяет применять различные варианты
метода разделения переменных. На использовании приемов
такого типа основывается по существу основная часть
книги (главы IV—VI). С их помощью исследование сво-
дится к рассмотрению специальных классов операторных
уравнений, для которых удается получить содержатель-
ные и достаточно полные результаты.
Дополнительные сведения о содержании книги чита-
тель может почерпнуть из подробного оглавления. Мно-
гочисленные замечания общего характера содержатся во
вводных пунктах, отмеченных цифрой «О».
В заключение хотелось бы сделать еще следующее
замечание. Если книги, в которых методы функциональ-
ного анализа применяются При исследовании граничных
задач, условно разбить на две группы:
1) руководства по функциональному анализу, в кото-
рых дифференциальные операторы используются в качест-
ве конкретных примеров,
2) руководства по теории уравнений в частных произ-
водных, в которых функциональный анализ является од-
ним из методов исследования,
то, относя данную монографию ко второй группе, хоте-
лось бы при этом оговорить, что по замыслу автора важ-
нейшей ее темой должно являться раскрытие именно са-
ПРЕДИСЛОВИЕ	9
мого механизма использования общих понятий функцио-
нального анализа при изучении определенного класса
конкретных классических объектов.
В заключение пользуюсь случаем выразить призна-
тельность профессору Ш. А. Алимову, прочитавшему ру-
копись и сделавшему ряд ценных замечаний.
А. А. Дезин
ПАМЯТКА ЧИТАТЕЛЮ
Книга разбита на главы; главы — на параграфы; параграфы —
на пункты. Формулы, теоремы, утверждения нумеруются внутри
параграфа. При ссылках внутри параграфа указывается номер;
при ссылках на другой параграф данной главы указывается допол-
нительно параграф (или параграф и пункт). В остальных случаях
указывается и глава.
Цифра в квадратных скобках означает ссылку на соответству-
ющую книгу в списке литературы; при добавлении буквы «С»—
на статью. Наличие ссылки не означает, что указываемая книга
или статья является единственным (или первоначальным) носите-
лем нужной информации.
Использование «знака Халмоша» fl, обозначающего конец до-
казательства (быть может, лишь намеченного) или подчеркиваю-
щего отсутствие такового, не является до конца формализованным.
В некоторых ситуациях, и без того предельно ясных, он не употреб-
ляется.
Определения далеко не всегда выделены в специальный абзац.
Зачастую они находятся непосредственно в тексте. Определяемое
понятие набирается при этом курсивом.
ГЛАВА I
ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
§ 0. Вводные замечания
Эта глава носит вводный характер. В ней собраны ос-
новные факты теории линейных операторов, важные для
дальнейшего. Содержание главы с избытком покрывается
стандартными руководствами, например перечисленными
в списке литературы. В ряде случаев в тексте приведены
точные ссылки.
Мотивы включения в книгу подобной главы очевидны:
всегда полезно дать краткий перечень сведений, предпо-
лагаемых известными. Такой перечень должен устранить
возможные терминологические разногласия и служить
для недостаточно искушенного читателя компасом в пла-
вании среди, океана утверждений, составляющих содер-
жание порой устрашающих по объему курсов функцио-
нального анализа.
Несколько сложнее мотивировать наличие (или отсут-
ствие) доказательств. Тем более, что приводимые доказа-
тельства в некоторых случаях достаточно подробны, а
в некоторых имеют характер кратких указаний. Очевид-
но, что наличие доказательств всегда делает картину бо-
лее полной. Кроме того, иногда доказательство позволя-
ет сделать замечания,, представляющиеся автору сущест-
венными, иногда — указать на полезный технический
прием, а иногда цель доказательства — просто несколько
облегчить задачу читателя, непременно желающего, что-
бы «все было доказано».
К числу упомянутых выше «существенных замечаний»
относятся указания на специфичность выбранной точки
зрения, диктуемой основным предметом изучения — гра-
ничной задачей. Не все перечисленные в данной главе
факты используются в дальнейшем в равной степени. Не-
которые приведены лишь для полноты картины, которая
должна служить общим фоном дальнейших построений.
Глава не содержит примеров. Набором примеров к ней
служит все дальнейшее изложение.
J 2	ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
§ 1. Основные определения
1.0. Предварительные замечания. Естественным мес-
том действия «абстрактной» спектральной теории опера-
торов, т. е. теории, не конкретизирующей способов зада-
ния изучаемых операторов, является комплексное бана-
хово пространство. Хотя основные наши рассмотрения
будут связаны с вполне определенным функциональным
пространством, являющимся гильбертовым, некоторые
факты естественно излагать в несколько более общей си-
туации. Тем более, что именно в такой ситуации они обыч-
но приводятся в стандартных руководствах.
Следует отметить, что, когда речь идет не о «спектраль-
ной теории операторов», а о «спектральной теории», в со-
временных руководствах основным объектом оказывается
элемент некоторой банаховой алгебры. Тогда точка зре-
ния, принятая в данной главе, выглядит уже не как «абст-
рактная», а как «конкретная».
1.1. Основная структура. Если, отправляясь от ис-
ходных понятий «наивной теории множеств» — множест-
ва и соответствия, проследить цепочку аксиом, входящих
в определение банахова пространства, то мы получим
следующую картину.
Абелевой группой называется непустое множество G
элементов а, 6, с, . . ., в котором определена бинарная
операция «+», сопоставляющая каждой паре а, Ъ элемен-
тов из G единственный элемент с ЕЕ G (а + Ъ = с). Опе-
рация «+» подчинена при этом следующим дополнитель-
ным требованиям: она ассоциативна ((а + Ъ) + с = а +
+ \Ь + е)), коммутативна (а + Ъ = Ъ + а), существует
нейтральный элемент 0 (а + 0 = а) и для любого а Е
существует обратный элемент —а такой, что а + (—а) =
= -0.
Комплексным линейным пространством УС называется
абелева группа, в которой определено умножение элемен-
тов а, &, с, . . . на комплексные числа а, £,	. . ., при-
чем предполагаются выполненными следующие условия:
а (а 4- Ъ) = аа + а&, (а + £)а = аа + |5а,
(оф)а = а (ра),	1а = а.
При замене комплексных чисел вещественными полу-
чим определение вещественного линейного пространства.
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ	13
Ограничившись в приведенном определении числами
а, 0, у, . . ., мы подчеркнули, что смотрим на наши объ-
екты с позиций анализа. Алгебраист включил бы в опре-
деление элементы а, 0, у, . . ., принадлежащие произ-
вольному полю SK
Нормой называется вещественная неотрицательная
функция || а (I, определенная на элементах аЕ^и удов-
летворяющая следующим требованиям:
1)	|| а || = 0 влечет а = 0,
2)	|| аа|| = | а (И а ||,
3)	II а 4- Ъ || < || аЦ + || Ь ||.
Пространство ЗС с введенной в нем нормой называют
нормированным линейным пространством (эпитет «комп-
лексное» или «вещественное» в дальнейшем, как правило,
опускается).
Последовательность {хп} элементов называется по-
следовательностью Коши, если для любого г 0 сущест-
вует N (е) такое, что условие т, п^> N влечет || хп — хт ||<
в. Пространство ЗС полно, если для любой последова-
тельности Коши существует элемент х ЕЕ к которому
эта последовательность (в очевидном смысле) сходится.
Полное линейное нормированное пространство назы-
вается пространством Банаха (^-пространством).
В линейном пространстве обычным образом определено
понятие линейной зависимости элементов и, следовательно,
понятие размерности: максимального числа линейно неза-
висимых элементов. Хотя интересующие нас пространства
будут, как правило, бесконечномерными, мы не включаем
бесконечномерность в определение 5-пространства. Таким
образом, множество комплексных чисел с нормой-моду-
лем является примером одномерного 5-пространства.
Нормированное линейное пространство, не являющееся
полным, будем называть предбанаховым. Всякое предба-
нахово пространство может быть превращено в банахово
путем абстрактной процедуры присоединения к нему
пределов сходящихся последовательностей ([10], гл. II,
§ 3.4).
Всякое 5-пространство является одновременно и мет-
рическим, и топологическим пространством, но эта сторо-
на вопроса не будет нас интересовать.
< Комплексное линейное пространство называется
предгильбертовым, если каждой упорядоченной паре эле-
и
ГЛ I ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
Motrrots г/, Ь сопоставлено комплексное число (а, Ъ) — ска-
лярное произведение, удовлетворяющее следующим тре-
бованиям:
1)	(а, а) > 0 и (а, а) = 0 влечет а — О,
2)	(а, Ь) = (6, а) (черта означает комплексное сопря-
жение),
3)	(а + Ь, с) = (а- с) + (й, с),‘
4)	(аа, Ъ) = а (а, Ъ).
Если в предгильбертовом пространстве положить
II я ||2 = (а, а), то из классического неравенства (Коши —
Буняковского)
\(а,Ь) |<|(а||||Я|
немедленно следует, что так определенная функция || а ||
является нормой и, таким образом, предгильбертово прост-
ранство автоматически является предбанаховым.
Скалярное произведение непрерывно: lim (а^, Ъ) =
к
= (lim ак, Ъ).
к
Предгильбертово пространство, являющееся полным,
называется гильбертовым. Всякое гильбертово простран-
ство является ^-пространством. Чтобы в банаховом прост-
ранстве можно было ввести скалярное произведение, по-
рождающее норму, эта норма должна удовлетворять не-
которым специальным требованиям ([7], гл. I, § 5; тер-
мин «предгильбертово пространство» имеет в этой книге
совершенно иной, чем у нас, смысл).
1.2. Специальные подмножества. Подмножество 53'
банахова пространства S3, в свою очередь являющееся
^-пространством с нормой, индуцированной нормой S,
называется подпространством S3.
Часто приходится сталкиваться с подмножествами
S3' CZ S3, являющимися линейными пространствами, но
не удовлетворяющими требованию полноты относительно
нормы в 53. Мы будем называть такие подмножества ли-
нейными многообразиями.
Простейший способ образования линейных многооб-
разий в S3 — рассмотрение линейной оболочки некоторого
фиксированного подмножества (Z S3, т. е. всех конеч-
ных линейных комбинаций элементов Ж Если при этом
в S3' включаются и все предельные элементы, т. е. пре-
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
15
делы сходящихся (в норме 3S) последовательностей эле-
ментов .Ж, то соответствующая замкнутая линейная обо-
лочка будет подпространством в 53. Различие возникает,
естественно, лишь при наличии в бесконечного числа
линейно независимых элементов.
Подмножество @ CZ 53 плотно в 53, если его замыка-
ние совпадает со всем 53. Множество элементов Jf- полно
в 53, если линейная оболочка плотна. Полное множест-
во {еА.} элементов 53 (конечное или счетное) образует базис,
если в представлении произвольного элемента х = У xkek
к
числа хк определены однозначно. Хотя имеется ряд
важных примеров ^-пространств, не имеющих счетного
6йлиса, нам таковые не встретятся.
Переходя теперь к более специальному интересующему
нас случаю гильбертова пространства, отметим прежде
всего следующее важное утверждение.
Лемма (об ортогональном разложе-
нии). Пусть Jf' — линейное многообразие в гильберто-
вом пространстве 3£ и JV* — множество элементов ЦЕХ
таких, что (<р, у) = 0 для любого у ЕЕ JW'. Тогда ЛГ —
подпространство Ж и для любого х ЕЕ Ж существует един-
ственное представление вида
х = Хм ® Xjr,	(1)
где хм €= -М (замыканию JW'), а х^ ЕЕ
Замечание. Подпространство «/Г называется ор-
тогональным дополнением к Jlf (к .X), а равенство (1) —
ортогональным разложением элемента х. Знак © имеет
соответствующий смысл и используется также в записи
Доказательство леммы. Заслуживает рас-
смотрения, очевидно, лишь случай бесконечномерного
То, что Ж — подпространство, немедленно следует из
свойств скалярного произведения.
Если х ЕЕ то утверждение тривиально. Пусть х
и inf [] х — у || =d. Тогда существует последователь-
ней
ность {уп} такая, что || х — уп |( = dn-+ d при п оо.
Покажем, что последовательность {уп} — сходящаяся,
т. е. нижняя грань достигается на некотором элементе
у ЕЕ «#. Воспользовавшись определением нормы в Ж через
ttt	1'4 t ;»ЛГМП1ТМ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
НИМирнмЙ кппдрлт, получаем
I 4 Ml х  IIs I- II х — Уп II2 =	;
— 4-(II2* — ут — УпНМ II Ут— УпГ)- (2)1
>2d2, справедливо неравен-
II	Л II Ут + Уп
Поскольку 2 Их----2 1
ство
4 +	2d2>^\\ут-УпII2,
которое и доказывает, что последовательность {уп} схо-
дится к некоторому у е= Ж
Покажем, что х — у е </Г. Действительно, функция
вещественного параметра t\
F {t) = || х — у + tz\\~
при произвольном фиксированном элементе z 6Е Л долж-
на иметь минимум при t = 0, т. е. F' (0.) = 0. Отсюда (рас-
смотрев пару векторов и, iz) заключаем, что (х — у, z} =
— 0 для любого z ЕЕ Полагая х^ = у, х^ = х — у,
получаем представление (1). Единственность такого пред-
ставления очевидна. Ц
Приведенное доказательство поучительно своей «гео-
метричностью» (особенно наглядной в вещественном гиль-
бертовом пространстве). Как нетрудно заметить, прове-
денное рассуждение сохраняет силу при замене подпрост-
ранства Л на произвольное замкнутое выпуклое множество
(для которого yi, у2 ЕЕ влечет , (уг + у2)/2 ЕЕ Л).
Элемент х — у определяет «перпендикуляр»,.опущенный
из х на .//; в цепочке равенств (2) использовано классиче-
ское соотношение между диагоналями и сторонами парал-
лелограмма. Наличие такого соотношения — характерис-
тическое свойство гильбертовой нормы, упоминавшееся
выше. Нетривиальная проверка существования элемента
у, на котором достигается нижняя грань,— следствие бес-
конечномерности.
Из доказанной леммы немедленно можем получить
Следствие. Множество Л (Z полно тогда и
только тогда, когда равенство (у, х) = 0, справедливое
при любом у Л-, влечет х = 0-. 	•-
§ 1. ОСНОВНЫЕ'ЮПРЕДЕЛЕНИЯ
17
К произвольному счетному базису?<{<р^} в гильберто-
вом пространстве применим классический процесс орто-
гонализации, позволяющий перейти к ортонормирован-
ному базису {ек}, удовлетворяющему условиям (ек, е^) =
— 6kj (символ Кронекера). В этом случае коэффициенты
разложения х = 2 %кек произвольного элемента х ЕЕ
к
определяются равенствами а* = (х, ек). Произвольнаяор-
тонормированная система элементов {ек} образует базис
тогда и только тогда, когда для любого х ЕЕ X
• 1ИР=S|(*,MI2-	(3)
Замечание. Воспользовавшись наличием в УС
счетного ортонормированного базиса, можно получить
бол^е короткое (но менее поучительное) доказательство
леммы об ортогональном разложении.
Если — базис в то существует однозначно
определенная система элементов {ф^} такая, что (<pfc,
Ф;) = §кг Система {ф\-} также является базисом, называе-
мым биортогональным к базису {%}. В случае биортого-
нально сопряженных базисов коэффициенты разложений
х=^хкук, У = ^Ук^к определяются формулами хк =
к	к
= Ук = (у, <₽*)•
Базис {(£*} в Ж называется базисом Рисса, если сущест-
вуют постоянные ci, с2 такие, что для любого хЕЕЗЦ
представленного в виде я = 2*НР&> справедливы нера-
к
венства
С13Ы2<ИМ2
к
С2З | |2-
к
(4)
Неравенства (4) служат некоторой «заменой» равенства
(3) в случаях, когда последнее не имеет места.
1.3. Операторы. Функцию Т, определенную на некото-
ром множестве © (Т) С Si и сопоставляющую каждому
элементу х е © (Т) однозначно определенный (единст-
венный) элемент у = Тя, у ее 91 (Т) е где ®i,
,®2 — ^-пространства, принято называть оператором.
Множества £) (Т), К (Т) называются соответственно об-
ластью определения и областью значений оператора Т.
1S	ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ	1
В дальнейшем будут рассматриваться только линейный
операторы Т, т. е. операторы, удовлетворяющие требо-
ванию
Т (ах + Ру) = аТя + PTy
(5)
для любых чисел а, р и элементов я, у ЕЕ © (Т).
Вместе с © (Т), SR (Т) важнейшим связанным с Т мно-
жеством является N (Т) = Ker Т — ядро оператора Т,
т. е. совокупность Э (Т) таких, что Чх = 0. Из (5)
немедленно следует, что каждое из множеств ©, SR, N
есть линейное многообразие.
Оператор Т"1: S32 (читается: «действующий из
S32 в Sil») называется обратным к Т, если Т~*Т = Е
(тождественное отображение) на £ (Т). Необходимым и
достаточным условием существования Т”1 является, оче-
видно, требование 7V.(T) = 0 (определенный вышеуказан-
ным образом оператор Т'1 называют иногда левым обрат-
ным).
Нормой Т называется ЦТ |] = sup (Ц Тх ||.>/|| х Hj) (нор-
xeS(T)
- мы для х. Тх берутся в 5^, SB2 соответственно). Оператор
Т ограничен, если его норма конечна (Ц Т || < оо). Важным
следствием линейности Т является следующий факт.
Лемма. Оператор Т ограничен тогда и только тог-
да. когда он непрерывен, т, е, для любой последовательности
{^п} в Sii из ее сходимости (хп —> х) следует сходимость
последовательности Тяп в Si2 (Та*л —> Та:).
Рассматриваемый в рамках теории линейных нормиро-
ванных пространств линейный оператор Т, являющийся
неограниченным, есть объект в некотором смысле «патоло-
гический»: его определение «плохо согласовано» с элемен-
том основной структуры — нормой. Трудности, связанные
с изучением операторов, порождаемых дифференциро-
ванием, тесно связаны с тем, что это изучение в наибо-
лее «удобных» функциональных пространствах неизбеж-
но приводит к рассмотрению неограниченных операторов.
Основные способы преодоления упомянутой трудности
связаны с использованием ограниченности обратного к за-
данному оператора и с введением понятия замкнутости,
более слабого, чем ограниченность (непрерывность).
Оператор Т:	замкнут. если сходимость хп ->
-> х и Tzn -4- / влечет я ЕВ © (Т), Тя = /.
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
19
Ограниченный оператор (естественным образом рас-
ширенный по непрерывности; см. ниже) всегда замкнут.
Обратное, вообще говоря, неверно. Тем не менее справед-
ливо следующее утверждение.
Теорема (Банаха). Замкнутый оператор, об-
ласть определения которого — все пространство
ограничен.
Эта теорема, являясь одной из форм так называемой
теоремы о замкнутом графике, имеет много обличий. Чи-
тателю предоставляется привести ее формулировку к ука-
занному виду, в котором она будет нами использоваться.
При переформулировке граничных задач на языке тео-
рии операторов неизбежно использование тех или иных
обобщенных решений изучаемого уравнения, определяе-
мых путем расширения области определения операции
дифференцирования. Приведем абстрактный эквивалент
подобной процедуры.
Оператор Т называется расширением оператора Т,
Т: .©J	если £> (Т) CZ £> (Т) и на й (Т) оба оператора
совпадают.
Стандартными примерами использования расширений-
являются расширение по непрерывности на все простран-
ство ограниченного оператора с плотной областью опре-
деления и «замыкание» заданного оператора Т, т. е. по-
строение минимального замкнутого расширения Т ZD Т
(если такое расширение существует). Как уже отмечалось
выше, мы будем широко использовать тот факт, что опе-
раторы, порождаемые операцией дифференцирования, об-
ладают замкнутыми расширениями.
Последнее из интересующих нас в этом пункте опреде-
лений приведем для случая гильбертовых пространств
5^2- Пусть Т:	и элемент у ЕЕ обладает
тем свойством, что существует элемент	такой, что
для любого а: Е Э (Т) выполнено равенство
(Тх, у)2 = (х, &)х
(скалярные произведения в	соответственно). Оп-
ределим тогда оператор Т* (сопряженный к Т), Т*:	->
полагая (при выполнении приведенных выше ус-
ловий) у ЕЕ £)(Т*), T*z/ = h. Определение корректно
тогда и только тогда, когда выполнено условие: множество
20
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТЫ. СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
© (Т) плотно в Действительно, это обеспечивает одно-
значную определенность элемента А; оператор Т*, как
очевидно, линеен, и © (Т*) содержит по крайней мере
нулевой элемент.
Весьма полезно следующее очевидное следствие вве-
денных определений.
Утверждение 1. Оператор Т*, являющийся
сопряженным по отношению к некоторому оператору Т,;
замкнут.	_	
Действительно, если уп -> у, T*z/n = hn -> А, то в ра-|
венстве (Та:, уп) = (х, йп) в силу непрерывности скаляр-]
ного произведения можно перейти к пределу. Ц
Еще одно полезное утверждение удобно сформулиро-
вать, пользуясь «алгебраическим» языком. Начертим
, схему (так называемую диаграмму)
*
I	I
I Inv	[ Inv
I	I
y-1 -x-	qp-1»
’в которой горизонтальные стрелки обозначают переход
к сопряженному оператору, а вертикальные — к обрат-
ному. -
Утверждение 2. Если для заданного оператора
Т: ^->^2 определены операции, изображенные на диа-
грамме сплошными стрелками, то пунктирная стрелка
дополняет диаграмму до коммутативной, т. е. оператор
Т*”1 существует и Т*-1 = Т~1$;
Доказательство. Оператор Т*"1 существует.
Действительно, если равенство (Tiz, v) = (Tw, w) выпол-
няется для любого элемента	(Т), то в силу плот-
ности в множества fR (Т) (иначе не может существовать
оператор Т-1*) верно равенство v — w, т. е. N (Т*) = 0.
Докажем включение Т*"1 CZ Т”1*. Пусть и ЕЕ © (Т*"1),
и пусть и = Т*у. Тогда для любого элемента w е © (Т)
верно равенство
.(Tip, и) = (w, и\.	(6)
Если теперь Ты = h, w = то (6) дает
(Т-% и) = (h, v),
т. е. и ЕЕ £) (Т-1*) и T-1*u = v = Т*"1^.
§ 1. 0СН0ВЕЗЬ1Е>С)ПРЕДЕЛЕНИЯ	21
Наличие обратного включения проверяется аналогич-
ными рассуждениями;
1.4. Функционалы. Линейный оператор Ж: S3 -> С,
где С — банахово пространство комплексных чисел (С
можно рассматривать и как гильбертово пространство со
<чй!лярным произведением (а, [$) = а(3), называется функ-
ционалом (или комплексным функционалом, в отличие от
оои/есгпсенных функционалов X’ S3 —> R).
Поскольку функционалы являются специальной раз-
новидностью операторов, все сказанное об операторах
в предыдущем пункте непосредственно на них распрост-
раняется.
Совокупность всех ограниченных функционалов над
заданным ^-пространством S3 образует так называемое
сопряженное к S3 пространство Ж*, играющее важную
роль во многих рассмотрениях. Особое положение гиль-
бертова пространства Ж среди банаховых пространств
в значительной мере определяется тем, что всегда до-
пускает естественное отождествление с Ж т. е. в этом
смысле имеет место «самосопряженность». Докажем соот-
ветствующее утверждение.
Лемма (Р и с с а). Пусть X — ограниченный функ-
ционал, заданный над линейным многообразием JM' GZ Ж-
Тогда существует единственный элемент h GE {замы-
канию Jf') такой, что для любого х е Л’
X {х) = {х, К).	(7)
При этом \\Х Ц = || h |].
Доказательство. Можем рассматривать .//
как гильбертово пространство CZ 3t (со скалярным про-
изведением, /Задаваемым произведением в и функцио-
нал X считать расширенным по непрерывности на все
пространство
Если X (х) ~ 0 для любого х 6= то достаточно по-
ложить h 0. Если X ф 0, то N {X) (ядро X) является
замкнутым подпространством, отличным от Рассмот-
рим разложение N {X) © Подпространство @
одномерно. Действительно, для любой пары элементов
1,	•=	0, £ te) — О2=И= 0, имеем
х (Лк. __22_\ = о.
\ Qi а2 )
22	ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
Пусть q — базисный элемент, || q || = 1, X (q) =
Тогда X (х) — (х, |3д) для любого х ЕЕ Действительно,
представим х в виде х — х$ @ zg, и пусть х& — kq. Тогда
£(*) = <№)-£ (kq) к$,
(z, 0g)	0 (х, q)-k$ (q, q) *= к$.
Единственность в найденного элемента h =
очевидна. Кроме того,
ИЛ = sup -1т7Г-<1йпгк= '-TTi^1 = 1Р1=И1М,
И Х И	II II	I * I
и на х ЕЕ неравенство переходит в равенство. Ц
Приведенное доказательство является очевидной моди-
фикацией рассуждений, применимых в случае конечно-
мерного пространства Ж- Уравнение X (х) — 0 опреде-
ляет некоторую гиперплоскость. Размерность ее в общем
случае бесконечна, но размерность ортогонального до-
полнения всегда равна единице. Это использовано в до:
казательстве.
Как мы увидим, лемма Рисса является весьма удобным
инструментом при доказательстве различных теорем суще-
ствования решений операторных уравнений.
Следствие. Ограниченный функционал, заданный
на линейном многообразии	может быть продол-
жен с сохранением нормы на все пространство 3t.
Действительно, формула (6) дает, очевидно, искомое
продолжение.
Для произвольного 5-пространства приведенное след-
ствие составляет содержание так называемой теоремы
Хана — Банаха. Доказательство ее значительно сложнее
из-за отсутствия в этом случае явного описания «общегс
вида» линейного функционала.
Теорема Хана — Банаха вместе с приведенной выше
теоремой Банаха и так называемым принципом равномер-
ной ограниченности (которым нам не представится слу-
чая воспользоваться), называемым также теоремой Ба-
наха — Штейнгауза, являются «тремя китами» класси-
ческой теории 5-пространств.
§ 2. СПЕКТР ОПЕРАТОРА
23
§ 2.	Спектр оператора
2.0.	Предварительные замечания. Одной из наиболее
привлекательных черт объектов, рассматриваемых в ли-
лейном функциональном анализе, является существование
для многих из них аналогов, имеющих значительно более
простую природу. Наличие таких аналогий обогащает
интуицию и имеет большую эвристическую ценность. Наи-
более часто обращаются к параллелизму, существующе-
му в теории конечномерных и бесконечномерных гильбер-
товых пространств (здесь уместно отметить книгу [17]),
т. е. к аналогии вектор (точка в евклидовом пространст-
ве) — функция (точка в функциональном гильбертовом
пространстве), и к параллелизму между алгеброй комп-
лексных чисел и алгеброй, порождаемой семейством ком-
мутирующих операторов над фиксированным 5-прост-
рапством.
Примеры обращения к первой из аналогий имеются
в замечаниях к приведенным выше доказательствам лемм
об ортогональном разложении и об общем виде функцио-
нала. Во многих вопросах теории операторов оказывает-
ся весьма плодотворным обращение и ко второй из упо-
мянутых аналогий. При этом на первый план выступает
сопоставление объектов: аналитическая функция — функ-
ция от оператора. Построение аппарата, позволяющего
содержательным образом использовать соответствующую
аналогию, является одной из основных задач спектраль-
ной теории.
При построении алгебры операторов, т. е. при прове-
дении рассмотрений, в которых существенную роль играет
операция перемножения пары линейных операторов Тх,
Т>, и тем более при определении функций от операторов
приходится прежде всего ограничиться случаем, когда
операторы действуют в рамках одного фиксированного
5-пространства: Т1? Т2: 5В 53. Иначе конструкции
становятся труднообозримыми.
Здесь уместно сделать замечание, важное для пони-
мания общих установок книги. С точки зрения приложе-
ний к теории граничных задач упомянутое ограничение
означает весьма существенное сужение рассматриваемого
круга вопросов. Значительная часть проблематики, свя-
занной с рассмотрением левой части дифференциального
24	ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
уравнения в качестве линейного оператора L, относится
например, к вопросу об отыскании правильно подобран
ной пары пространств S32 такой, что. £) (L) —
Ж (L) — или к отысканию семейств пространств 33^
S3* таких, что	и соответствующее отображё
ние — изоморфизм. Эта область применения методов функ
ционального анализа в теории граничных задач остается
по существу вне нашего поля зрения.
Переходя к изложению основных понятий спектраль-
ной теории,' заметим, что, помимо использования е<
в указанном выше плане, при построении функций от опе-
ратора (в первую очередь — от оператора дифференциро-
вания) соответствующий язык (терминология п. 2.1)
оказывается весьма удобным при описании свойств кон-
кретных операторов, возникающих при исследовании тех
или иных классов граничных задач для уравнений с ча--
стными производными.	i
С формальной точки зрения содержание спектральной)
теории составляет изучение сопоставляемой оператору
специальной операторной функции комплекс-
ного параметра X е С- Эта функция Т (X): S3 S3 имеет,
вид	>
Т(Х) = Тх = Т —ХЕ,	(1)
где Е: S3 -+ S3 — тождественный оператор. Наличие \
операторного множителя Е в формуле (1) явно, как пра-
вило, не указывается, т. е. определение Т% записывается
в виде
ТХ=Т — X.
Сейчас мы перечислим основные факты, связанные
с функцией и приведем соответствующую терминоло-
гию, а в следующем пункте постараемся выяснить особую
роль указанной функции в операционном исчислении, т. е.
при построении функций от оператора Т.
2.1.	Основные определения. Пусть Т: S3 -> S3 — не-
который фиксированный замкнутый оператор (вообще
говоря — неограниченный) с областью определения © (Т),
плотной в S3. Пусть — определенная выше оператор-
ная функция параметра лЕ С- Множество р (Т) СЕ С на-
зывается резольвентным множеством оператора Т, .если
§ 2. СПЕКТР ОПЕРАТОРА
25
для любого р (Т) оператор Тх1 существует, ограничен
и определен на всем пространстве S3. Операторная функ-
ция Rx = Rx (Т) — Тх1 параметра л называется ре-
мловентой оператора Т.
Замечание. Предположение замкнутости опера-
тора Т, влекущее замкнутость Тх1 (когда последний суще-
<*тиуст), делает излишним требование ограниченности
если £) (Тх1) — S3- Но мы предпочитаем явно ого-
иорить это важное свойство резольвенты.
Утверждение 1. Если || Т |] < 1, то точка
\ = 1 принадлежит р (Т).
Доказательство этого утверждения может
н.1ть получено за счет рассмотрения частичных сумм ряда
.V
£Т* (ряда Неймана), дающего представление оператора
1 — Т)-1 (поскольку Т ограничен, Э (Т) — S3 и опре-
деление произвольной степени Т не вызывает Затрудне-
ний). Щ
Утверждение 2. Множество р (Т) открыто
I с.
Действительно, если Ао СЕ р (Т), то оператор
(Т - Хо)’1 [1 — е (Т —
1ри достаточно малых по модулю г является ограничен-
ием оператором, заданным на всем S3. В то же время
Т —^s(T —%o)"T1 =
= {[ 1 — е (Т — ХоГКТ - МГ1 = [Т - (^0 + е)Г\
>ткуда и следует утверждение 2. 3
Замкнутое множество ст (Т) — С \р (Т) называется
пектром оператора Т. Точка Е (7 (Т) принадлежит
почечному спектру Ро (Т), оператора Т, если оператор
?хх не существует; точка л Е о (Т) принадлежит непре-
уывному спектру Со (Т) оператора Т, если оператор
V существует, множество © (Тх1) плотно в S3. но опера-
ор Тх1 неограничен; точка лЕ а (Т) принадлежит ос-
паточному спектру Ro (Т) оператора Т, если оператор
'х1 существует, но множество © (Тх1) неплотно в S3.
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
Очевидно, о (Т) — Ро (Т) (J Со (Т) (J 7?о (Т), npi
чем множества в правой части равенства не пересекаются
Если % ЕЕ Ро (Т), то N (Т%) у= 0, т. е. уравнение
(Т - %) и = 0	(2
имеет ненулевое решение. В этом случае % называют за
частую собственным значением оператора Т, а ненулевы
решения уравнения (2) — собственными элементам,}
(собственными векторами, собственными функциями; см
гл. II), принадлежащими соответствующему собственном;
значению.
Приведенное подразделение точек спектра называю':
обычно грубой классификацией- Действительно, возможнь
разнообразные дальнейшие уточнения. Например, дл;
собственного значения X размерность N (Т%) может быт!
конечной или бесконечной, для X ЕЕ Ro (Т) обратный опе-
ратор может быть ограниченным или неограниченным
и т. д. Во многих курсах функционального анализа
имеются существенные отклонения от приведенной тер-
минологии.
Утверждение 3 (тождество Гильбер-
т а). Если %!, Х2 ЕЕ р (Т), то
R>* — R%2 ~ (^i '— ^2) И	(3)
Из (3) следует перестановочность резольвент при ре-
гулярных (принадлежащих резольвентному множеству)
значениях %.
2.2.	Функции от оператора. Как уже упоминалось, раз-
делы спектральной теории, предметом которых является
определение функций от оператора, называют обычно опе-
рационным исчислением. В основной части книги построе-
ние операционного исчисления будет проводиться либо
в особенно простой ситуации — при наличии у данного
оператора системы собственных функций, образующих;
базис Рисса, либо за счет использования специальных кон-1
струкций, не укладывающихся в рамки элементарной тео-1
рии, но использующих некоторые ее основные резуль-1
таты.
Данный пункт содержит набросок некоторых класси-1
ческих рассмотрений, использующих резольвенту опера- 1
тора и параллелизм, существующий между комплексными
аналитическими функциями и операторными аналитичес-
§ 2. СПЕКТР ОПЕРАТОРА
27
кими функциями. Очень удобное для наших целей изло-
жение соответствующих вопросов имеется в книге [21],
к сожалению^ мало доступной.
При описании (и использовании) упомянутого парал-
лелизма основную роль играют понятие голоморфности
и процедура интегрирования для операторных функций.
Обычное определение голоморфности связано с однознач-
ностью и дифференцируемостью. Требование однозначно-
сти не нуждается в комментариях, но понятие дифферен-
цируемости в связи с возможностью введения различных
топологий может иметь различные формы. Удобным фор-
мальным определением голоморфности, обходящим эти
трудности и влекущим дифференцируемость в любом ра-
зумном смысле (представимость рядом и т. п.), является
следующее
Определение. Операторная функция S (z):
Si голоморфна в SO CZ С, если для любого ограничен-
ного линейного функционала X: Si С соответствую-
щая комплексная функция X [S (z)] голоморфна.
Утверждение. Если %0 ЕЕ р (Т), то R% (Т) го-
ломорфна по К е некоторой окрестности точки %0. |
Важнейшим свойством голоморфных операторных
Функций является наличие для них аналога интегральной
формулы Коши. Опишем нужную для записи этой форму-
лы процедуру интегрирования.
Определение. Операторная функция S (z):
Si -> Si комплексного переменного z Е С непрерывна
и точке z0 в смысле равномерной операторной топологии,
если она определена в некоторой окрестности этой точки
и для любого е > 0 существует 6 (е) > 0 такое, что
|| S (z) — S (z0) || < 8 при любом z из указанной окрест-
ности, удовлетворяющем неравенству |z — z0|<6.
Если I ~ {z (Z), i Е [0, 1]} — кусочно гладкая кривая
на С и S (z) непрерывна (в указанном выше смысле) вдоль
кривой . Z, причем S (zj S(z2) — S (z^ S (zj для любых
24, z2 Е Z, то нетрудно определить оператор
Ir — J S (z) dz, If. Si Si.
i
Достаточно воспользоваться римановским определением
интеграла и рассмотреть предел сумм вида ^S(zi) Az$,
28
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
где Zi ?= Zi (t), &Zi Zi — Zi-! и 0 tQ < tr < . . . <
< tn = 1 — подходящее разбиение отрезка [0, 1]. Пре-
дел берется, естественно, при размельчении разбиений и не
зависит от выбора параметризации кривой Z. Голоморф-
ность подынтегральной функции влечет независимость
в обычном смысле интеграла от выбора кривой, соединяю-
щей заданные точки.
Сформулируем теперь некоторые важнейшие факты,
лежащие в основе конструкций операционного исчисле-
ния.
Л в/М м а. Пусть Т: S3 33 — ограниченный опера-
тор, © (Т) — S3, || Т П М. Тогда интеграл
(2яг)-1	( (z — Vj-'dz	(4)
| Z \'=*М
даст представление единичного оператора Е: S3 S3.
Доказательство леммы опирается на тот факт,
что в сделанных предположениях спектр Т расположен
и круге | z | М. Лемма является аналогом утверждения,
относящегося к интегралу (4) в случае, когда Т - G С:
интеграл равен 1 или 0 в зависимости от того, лежит ли
точка £ внутри, или вне круга | z 1	2М.
Рассматривая интегралы вида (2лiy1 § (z — Т)"1 dz
г ,
вдоль замкнутых кривых Г, лежащих в р (Т), но охваты-
вающих лишь части множества о (Т), можно получить
«части» оператора Т, т. е. операторы вида Рг Т — ТРГ,
где Рг — оператор проектирования (коммутирующий с Т)
на соответствующее подпространство S3.
Так же, как в теории аналитических функций интег-
рал (4), в котором Т— £ ЕЕ С, непосредственно связан
с интегральной формулой Коши.
/ (?) =	(z) (£ - z)~4z,
указанные выше построения позволяют принять инте-
грал
J /(z)(z-Tpdz
I z I =2М
(5)
за определение функции / (Т). Это определение согласует-
ся с непосредственным определением простейших функ-
§ 2. СПЕКТРЫ ОПЕРАТОРА
ций от Т (например, полиномов) и является вполне разум-
ным и в других отношениях (см. [5]). При этом, разумеет-
ся, необходимо предположение об аналитичности / на
множестве о (Т).
Сказанного достаточно, чтобы сделать понятным исклю-
чительную роль резольвенты оператора при изучении
его структуры.
Приведенные факты и их различные следствия и моди-
фикации отнюдь не являются тривиальными, но картина,
к сожалению, еще существенно усложняется при переходе
к неограниченным операторам Т, для которых точкой
спектра неизбежно оказывается и точка z — со. Имею-
щиеся в этом направлении стандартные результаты недо-
статочны для интересующих нас примеров. Некоторые
специальные применимые в этом случае конструкции бу-
дут рассмотрены в гл. VIII.
2.3.	Связь спектров данного и обратного операторов.
Как нетрудно заключить из сказанного выше, изучение
спектра ограниченного оператора существенно проще, чем
спектра неограниченного. Выше отмечалось также, что
неограниченность операторов, порождаемых дифференци-
рованием, частично компенсируется во многих случаях
ограниченностью соответствующих обратных операторов.
Покажем, что информация о спектре оператора Т-1 весь-
ма полезна при изучении спектра Т.
Лемма. Если Т: S3 -> S3 — неограниченный замк-
нутый оператор, для которого оператор Т-1 существует,
ограничен и задан на всем S3 (О Е р Т), то число и, О
принадлежит спектру Т тогда и только тогда, когда
К = и-1 принадлежит спектру Т"1.
z Доказательство. Достаточно установить со-
ответствие между резольвентными множествами соответ-
ствующих операторов. Пусть сперва р Е рТ. Тогда опе-
ратор
Т(Т-ИГ = Е + И(Т-И)-1
ограничен. Но Т(Т — р)“1 = [(Т— и) Т-1]"1 = п [X— Т-1]'1,
т. е. ХЕрТ'1.
Если же X е рТ-1, то ограничен оператор
Т-x (X _ Т'1)"1 = [(X — Т"1) Тр = X [Т — п]'1
и, следовательно, и €= рТ. М
30
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
Ясно, что в сделанных предположениях всегда 0 ЕЕ
€= СоТ-1. Очевидно также, что если р, е 5аТ, то л Е
ЕЕ РаТ"1 и размерности соответствующих собственных,
подпространств совпадают.
§ 3.	Специальные классы операторов
3.0.	Предварительные замечания. Операторы, инду-
цируемые конкретными операциями анализа (дифферен-
цированием, интегрированием, операцией умножения на
функцию и т. п.), обладают, как нетрудно предвидеть,
целым рядом специальных свойств, для описания которых
могут быть использованы характеристики, допускающие
абстрактное определение. Эти характеристики, как пра-
вило, теснейшим образом связаны со свойствами спектра
соответствующих операторов, и естественно привести их
определения в главе, посвященной спектральной теории.
Основным объектом рассмотрений данного параграфа
являются так называемые вполне непрерывные операторы
(Bll-операторы). Изучение спектра этого класса операто-
ров удается достаточно далеко продвинуть, отправляясь
непосредственно от их основного свойства: «почти конеч-
номерности».
Два последних пункта содержат краткое описание не-
которых других специальных типов операторов.
3.1.	ВН-операторы. Определение и основные свойства-
Операторы, обратные к операторам, порождаемым диффе-
ренцированием, обладают зачастую свойством, более
сильным, чем обычная ограниченность: они обладают так
называемой полной непрерывностью (являются ВН-опе-
раторами). Исходные определения естественно привести
на языке отображений 5-пространств.
Определение. Множество ©. ЕЕ S3 компактно
в S3, если из всякой бесконечной последовательности эле-
ментов {хп}, лежащих в можно выбрать подпоследо-
вательность, сходящуюся к некоторому элементу х CES3.
Компактность определенная таким образом, назы-
вается иногда секвенциальной. Из определения следует,
что компактное множество замкнуто и ограничено.
Определение. Оператор Т: S3T -> ЗЗ2 вполне
непрерывен, если для любого ограниченного множества
§ 3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ ОПЕРАТОРОВ
31
CZ множество (замыкание в 5?2 образа .// при
отображении Т) компактно в
Из определения немедленно следует ограниченность
ВН-оператора Т (образ единичного шара при отображе-
нии Т компактен и, следовательно, ограничен). Простей-
ший пример ограниченного оператора, не являющегося
вполне непрерывным,— единичный оператор (единичный
шар в бесконечномерном пространстве не компактен).
Типичный пример ВН-оператора дает оператор проекти-
рования на конечномерное подпространство SB' С‘ S?n-
Типичность этого примера характеризуется теоремой,
утверждающей «почти конечномерность» всякого ВН-
оператора.
Теорема (аппроксимации). Оператор Т:
Si -> Ss вполне непрерывен тогда и только тогда, когда
он допускает равномерную аппроксимацию конечномер-
ными операторами.
Достаточность приведенного критерия устанавливается
за счет того без труда проверяемого факта, что оператор Т,
являющийся пределом равномерно сходящейся последо-
вательности {Тп} ВН-операторов (|| Tn — Т || -> О при
п->оо), вполне непрерывен.
• Доказательство необходимости также нетрудно полу-
чить, если считать известным, что для компактного мно-
жества @ = ЧМ и для любого е > 0 существуют конечное
покрытие @ открытыми шарами радиуса 8 с центра-
ми в точках Xi ЕЕ @ и подчиненное этому покрытию раз-
ложение единицы: система функций {ф^ (z)}, х ЕЕ та-
ких, что ф£ > 0, фг (х) = 0 при х $£ и для любого
х (= @ выполнено равенство 2фг(^) = 1. Заметив тогда,
i
что отображение Т может быть представлено в виде
ту=3<МТу)Ту, у^Е^М,
i
и образовав конечномерное отображение Т#:
Т^У =S<Pi (Ту)
i
ВИДИМ, что
II Ту - TNy 11 = 3 <Pi (Ту) || Ту - Xi || < е
32
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
равномерно по у, поскольку <р£ (Ту) =# 0 лишь при усло-
вии II Ту — ^ !| < 8. 
При рассмотрении спектральных свойств ВН-оператс-
ров мы должны будем, естественно, предполагать, что
5В1 =	= 53. При этом, как всегда, интересовать нас
будет главным образом случай гильбертова пространства
Итак, пусть теперь Т — ВН-оператор, действующий
из 3t в Отметим удобный для приложений «техниче-
ский» вариант приведенной выше теоремы. Пусть {е —
некоторая ортонормированная последовательность. Го-
ворят, что Т: 3£	31 треуголен относительно этой после-
довательности, если для любого к
T^=Sak.	(1)
г=1
Теорема 1. Если Т — ВН-оператор, треуголь-
ный относительно ортонормированной последовательно-
сти {с[}. то в равенстве (1) |а£ | —> 0 при к —оо.
Доказательство может быть получено немед-
ленно, без обращения к теореме аппроксимации: допустив,,
что теорема неверна, можем построить последовательность
(ej такую, что из {Т^} нельзя выбрать сходящейся под-
последовательности. Q
Отметим еще следующее утверждение.
Теорема 2. Если Т: 36 ЗС является В Н-опера-
тором, то таков же оператор Т*.
Доказательство. Считаем известным, что
оператор, сопряженный к ограниченному, ограничен.
Если теперь {zn} — произвольная ограниченная после-
довательность, то, рассмотрев скалярный квадрат
(Tk(zn	\хп £д.]) = (ТТ‘ \хп #£.], \хп
и воспользовавшись тем, что произведение ВН-оператора
на ограниченный есть снова ВН-оператор, видим, что из
{Т*хп} можно выделить сходящуюся подпоследователь-
ность. Ц
3.2.	ВН-операторы. Теория Фредгольма — Рисса.
Близость в описанном выше смысле ВН-операторов к ко-
нечномерным влечет близость уравнений, содержащих эти
операторы, к конечным системам линейных уравнений.
Соответствующая аналогия, использовавшаяся первона-
§ 3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ ОПЕРАТОРОВ
33
чально в теории интегральных^ уравнений, может быть
прослежена и в «абстрактной» ситуации, причем, вообще
говоря, в значительно более общей (см. [Cl], [С9]), чем
рассматриваемый нами случай гильбертова пространства.
Классические «теоремы Фредгольма» являются следствием
нескольких лемм, характеризующих специфические
спектральные свойства ВН-операторов. Будем, не огова-
ривая этого специально, считать, что рассматриваемые
нами ВН-операторы действуют в гильбертовом простран-
стве, обладающем счетным базисом. Элементы этого про-
странства будем называть также «векторами» (особенно
часто используя словосочетание «собственный вектор»).
Лемма 1. Если Т — В Н-оператор, то для любого
фиксированного 8 > О существует лишь конечное число
линейно независимых собственных векторов ип оператора
Т, принадлежащих собственным значениям таким,
что |	> 8.
Доказательство. Допустим противное. Взяв
бесконечную последовательность {un} линейно независи-
мых собственных векторов, построим ортонормированную
последовательность {еп}:
к
ек — 3 ffei*
1
Оператор Т будет треуголен относительно этой ортонорми-
рованной. последовательности. Кроме того (в очевидных
обозначениях),
* .	[k-1
^ек = S Фк^гЩ — ^кек + S Р* (^г — ^к) иг =
1 1
к—1
= ^кек + 5	1 М > 8’
1
что противоречит теореме 1.
Следствие. Пусть Т — ВН-оператор. Тогда
1.	Каждому отличному от нуля собственному значе-
нию Т принадлежит лишь конечное число линейно незави-
симых собственных векторов.
2.	Множество собственных значений Т не более чем
счетно.
2 А. А. Дезин
34
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
3.	Единственной предельной точкой множества соб-
ственных значений Т может быть нуль.
Лемма 2. Если Т — ВН-оператор, то для любого
% О SR (Тх) — замкнутое подпространство.
Доказательство. Пусть / Е Ж (Т%). Доста-
точно показать существование независящей от / постоян-
ной с > 0 такой, что среди решений уравнения Т\и = /
найдется решение и, для которого || и || с [| / ||.
Допустим, что такой постоянной не существует. Тогда
существует последовательность {Д} 6Е	[| Д || ->0 при
&->оо, обладающая тем свойством, что для минималь-
ного по норме решения уравнения Т>д = Д верно равен-
ство || ux-ll = 1. Выберем подпоследовательность {и^}, для
которой {Т^Д} сходится. Из равенства
ТгД — hub = Д	(2)
следует, что сходится и последовательность {и^}. Пере-
ходя в (2) к пределу, получим Ти — \и = 0. Но тогда
и'к — и — решение уравнения (2), сколь угодно малое по
норме. Противоречие.
Следствие. Если Т — ВН-оператор, то един-
ственной точкой непрерывного спектра СоТ может быть
нуль.
Утверждение. Если Т — ВН-оператор, то
нуль принадлежит спектру Т.
Доказательство. Если это не так, то опера-
тор Т-1 существует, ограничен, задан на всем Ж и, следо-
вательно, Т-1Т = Е — ВН-оператор. ЕЦ
Определение. ВН-оператор называется воль-
терровым (У-оператором), если нуль является для него
единственной точкой спектра.
У-операторы являются чрезвычайно важным подклас-
сом ВН-операторов, связанным с граничными задачами
определенного типа.
Лемма 3. Если Т — ВН-оператор и К 0 — соб-
ственное значение Т, то SR (1\) =^=
Доказательство. Допустим противное. От-
правляясь от собственного вектора иг 0, можем постро-
ить бесконечную цепочку {un} векторов, определяемых
равенствами = иь_г, к = 2, 3, ... Построенные
векторы линейно независимы. Можем использовать их
для построения ортонормированной последовательности
§ 3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ ОПЕРАТОРОВ	35
к
ек =	относительно которой оператор Т треуголен.
1
z	к
В представлении Тек = 2	что противоречит
1
теореме 1. g|
В качестве непосредственного следствия доказанных
лемм получим две первые теоремы Фредгольма (разные
авторы нумеруют их, впрочем, по-разному). Взяв неко-
торое к 0 и записав равенство
(Txu, v) = (и, Т^),
видим, что согласно лемме 2 ортогональное дополнение
к подпространству Ж (Тх) есть не что иное, как ядро опе-
ратора Т^, т. е. имеют место разложения
Ж = Я (ТХ) © N (Т^) = Я (Т?) © N (ТХ),
так что* справедлива первая теорема Фредгольма.
Теорема (Фредгольма) 1. У равнение
Тх^ = /,	^ ¥= О,
разрешимо тогда и только тогда, когда f ортогонален
N (Т£)г
Воспользовавшись теперь леммой 3, можем сформули-
ровать вторую теорему Фредгольма.
Теорема (Фредгольма). 2. Число л © О яв-
ляется собственным значением оператора Т тогда и толь-
ко тогда, когда X — собственное значение оператора Т*.
Несколько особняком стоит третья теорема Фредгольма.
Теорема (Фредгольма) 3. При любом
л © О размерности dim N (Тх), dim N (Т^) одинаковы.
Доказательство. Допустим противное, и
пусть ег, . . ., ек_ — ортонормированный базис ядра
N (Тх), а . . ., гк, гк+1, ... — ортонормированный
базис N (Т^). Построим ВН-оператор W, положив
к
Wu = Tlu © S ej)
i
Ядро оператора Wx пусто. В то же время вА.+1 ортогона-
лен Ж (Wx). Противоречие.
3.3.	Самосопряженные ВИ-операторы. Как было от-
мечено выше, существует важный класс ВН-операторов,
2*
36
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
имеющих в качестве единственной^ точки спектра нуль.
Другим важным классом являются ВН-операторы, заве-
домо обладающие «достаточным» числом собственных зна-
чений и собственных векторов,— это самосопряженные
ВН-операторы. Конечномерными аналогами этих классов
являются, с одной стороны, линейные преобразования,
представимые в нормальной форме единственной жорда-
новой клеткой, а с другой — преобразования, представи-
мые симметричной (или эрмитово-симметричной) матри-
цей.
Отметим, что существует обширная теория, имеющая
своим предметом различные «нормальные формы» линей-
ных операторов в бесконечномерном случае, но мы не
будем ее касаться.
Как и в конечномерном случае, собственные значения
самосопряженного оператора, очевидно, вещественны,
а собственные векторы, принадлежащие различным соб-
ственным значениям, ортогональны. В основу доказатель-
ства существования ненулевых собственных значений
у самосопряженного ВН-оператора может быть положена
следующая «геометрическая» лемма.
Лемма 4. Пусть Т — ограниченный самосопряжен-
ный оператор. Тогда
i|T|| = suP |(^; а)| .	(3)
X и х И
Доказательство. Обозначим правую часть (3)
через 5Т. Поскольку, как это очевидно, |] Т || =
= sup	, имеем || Т || > 5Т. Надо доказать обрат-
ное неравенство. Можем считать Т 0. Пусть х =0= 0 —
произвольный элемент для которого Тх У= 0. Пусть
X > 0 определено равенством %2 = || Тх || || х || “Ч Пусть
и = V1!#. Тогда
|| Тх ||2 = (ТА,#, и) =	{(Т [кх 4- и\, 'кх + ^) —
— (Т [кх — и], кх — и)}	5т {|| кх + и ||2 + Н кх — и |]2} =
= 4-sT{|jM2-HM2}-
Но4(||М2 + 1М2) = 11М1|Т*|Ь Т. е. ||Т[|< 5Т. 
§ 3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ ОПЕРАТОРОВ
37
Лемма 5. Если Т — самосопряженный ВН-опера-
тор, || Т || = | % ( =^= О, то одно из чисел является
собственным значением оператора Т.
Доказательство. Пусть {хп} — последова-
тельность, обладающая тем свойством, что || хп || = 1 и
(Тхп, хп) = 'кп-^'к при п->оо. Рассмотрим числовую
последовательность
Р* = || Txn - ktn || 2 > 0.
Имеем
р2 = (Тхя, Тхп) - 2л (Txn, хп) +	2V - 2Пп, (4)
и правая часть стремится к нулю при п оо, т. е. р^ 0.
Отсюда следует, что если {Та^} — сходящаяся подпосле-
довательность, то подпоследовательность {хп} также схо-
дящаяся, Хп,-^ х, || х || = 1, и, переходя к пределу в (4),
заключаем, что Тх — 'кх = 0. Ц
Теорема 3. Пусть Т — самосопряженный ВН-
оператор, Т 0. Тогда существует конечная или беско-
нечная последовательность {Хп} ненулевых собственных
значений оператора Т, которая может быть занумерова-
на таким образом, что | %х | = || Т ||, |	| > | Xfc+1| .
Если при этом последовательность бесконечна, то
lim | %£ | = 0, и если М — замкнутая линейная оболочка
всех векторов, принадлежащиж {%&}, то
Доказательство. Пусть хх — собственный
вектор, принадлежащий %х, и ^х — одномерное подпро-
странство, натянутое , на хг. Разложение	© Ж'
приводит оператор Т, т. е. T3£i CZ Т&6' CZ . Опе-
ратор T («часть» Т, действующая в 3£') снова является
самосопряженным ВН-оператором. Если Т = 0, рас-
смотрение закончено; если Т' =Д 0, то существует л2 =# 0—
собственное значение оператора Т', j Х2 I = II Т' Ц
^ || Т ||, и мы можем повторить приведенное построение.
Ортогональное дополнение к линейному многообразию
.// (определенному в условиях теоремы) необходимо дол-
жно принадлежать N (Т). Ц
Из наших рассмотрений следует, что совокупность
собственных векторов самосопряженного ВН-оператора
38
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
всегда может быть представлена в виде ортонормирован-
ием последовательности.
Теорема (Гильберта — Шмидта). Если
Т — самосопряженный ВН-оператор, {ек} — ортонорми-
роеанная последовательность его собственных векторов
uf^'Riy), то существует представление f = ^fkC-k,
к
где fx = (/> ек)- Если сумма бесконечна, то равенство
понимается в смысле сходимости соответствующего
ряда в Ж-
Доказательство. Утверждение очевидно, если
Т конечномерен. Если нет — пусть — первые
(в смысле теоремы 2) N собственных векторов оператора Т,
/ = Ти и
N	N
f = 5	+ PN, U — 2	+ rN.
1	1
Тогда f}: = 7^щ:, рл= TrN иJ|pjv|]<|||| rN i«| %N+1| ||uJ|,
t. e. || pN !| -> 0 при N -> oo. gg
3.4.	Самосопряженные, нормальные и унитарные
операторы. Свойства спектра самосопряженного опера-
тора — вещественность собственных значений и «доста-
точнее число» таковых — сохраняются и при отсутствии
предположения о полной непрерывности. Эти свойства по-
зволяют значительно модифицировать набросок «опера-
ционного исчисления», приведенный в § 2. Подставляя
в формулу (5) § 2 / (z) = 2 и пользуясь контурами, стяги-
вающимися к вещественной оси (см. [21]), для получения
системы проекторов, удается представить самосопряжен-
ный оператор Т в виде интеграла
4-ос
т= J МЕЦТ),	(5)
где % — вещественный параметр, — некоторое семей-
ство проекционных операторов (так называемое разложе-
ние единицы), связанное с Т, а действие оператора (Т):
ЗС на элемент и соответствует, грубо говоря, проек-
тированию и в собственное подпространство Т, отвечающее
собственному значению %.
Если {фь-} — система собственных функций оператора
Т, образующих базис в УС, и = Е 0 (Т), то форму-
§ 3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ ОПЕРАТОРОВ	ЗУ
ла (5) сводится, как и в п. 3.3, к правилу
Ти = 2
В высшей степени нетривиальным является тот факт, что
формула (5) сохраняет смысл и при наличии у Т участков
непрерывного спектра.
Функции от оператора Т при наличии представления
(5) определяются путем замены в (5) параметра % на / (л).
Замечай и е. Стандартные доказательства пред-
ставления (5) (см., например, [1]) не используют «общего»
операционного исчисления § 2, опираясь на другие методы.
Многочисленные преимущества формулы (5) по срав-
нению с формулами § 2 наводят на мысль использовать для
произвольного оператора Т его представление в виде
суммы самосопряженных операторов:
__ Т-иТ* , . Т— Т*
А--- о Т о.-
(6)
Реализация этой идеи наталкивается на ту трудность, что
операторы Т и Т*, вообще говоря, не коммутируют и
представление (6) не дает желаемых упрощений. Оно,
однако, наводит на мысль о выделении класса операторов
Т, которые действительно можно рассматривать как сум-
му Т = Тх + *Т2, где Т1? Т2 — самосопряженные опера-
торы. Этот класс характеризуется свойством, называемым
нормальностью.
Определение. Оператор Т нормален, если
ТТ* _
Весьма важные для нас в дальнейшем модельные опе-
раторы с частными производными (гл. IV) будут как раз
обладать свойством нормальности.
Если снова обратиться к аналогии. между алгеброй
операторов и алгеброй комплексных чисел, то совокуп-
ность самосопряженных операторов естественно сравнить
с подалгеброй вещественных чисел, а нормальные опера-
торы — с «комплексификацией» этой подалгебры. Сразу
ясна и неполнота аналогии: куда отнести «произвольный»
оператор Т?
Принятая манера изложения обязывает упомянуть
еще об одном классе операторов — аналогах комплексных
чисел вида (я — вещественное число), для которых
40
ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
| е™ | = 1. Это так называемые унитарные операторы,
играющие фундаментальную роль в физике, но не рас-
сматриваемые нами в дальнейшем.
В конечномерном евклидовом пространстве унитарные
операторы являются вращениями. В произвольном гиль-
бертовом пространстве всякий унитарный оператор U.
допускает представление вида U = exp (ZT), где Т —
некоторый самосопряженный оператор. Точнее — сущест-
вует интегральное представление
2Л
и = J еА dEx, Ео = 0, Егя = Е,
о
где Е% — семейство проекционных операторов, задаю-
щих некоторое разложение единицы, порождающее (фор-
мула (5)) самосопряженный оператор Т.
3.5.	Некоторые дополнительные соглашения. В дан-
ном пункте мы условимся по поводу некоторых нестан-
дартных терминов, которые будет удобно использовать
в дальнейшем. Эти термины относятся к классам операто-
ров, по получивших общепринятых наименований, но ча-
сто встречающихся при анализе разрешимости граничных
задач.
Назовем оператор L: Ж Ж с плотной областью опре-
деления С-оператором, если оператор L”1 существует и
является вольтерровым (F-оператором). Выбор буквы С
мотивирован тем, что подобные операторы возникают
обычно при изучении задачи Коши (Cauchy). Из введен-
ного определения следует, что С-оператор есть неограни-
ченный оператор, для которого любая конечная точка
комплексной плоскости принадлежит резольвентному мно-
жеству (нуль принадлежит спектру LT1 и в сделанных
предположениях не может принадлежать ни точечному,
ни остаточному спектрам; вторая часть утверждения сле-
дует из связи между спектрами операторов и L).
Удобно назвать qC-оператором (квази-С-оператором)
оператор L:	с плотной областью определения, если
существует оператор L"1 (не обязательно являющийся
ВН-оператором), для которого единственная точка спек-
тра — нуль.
Оператор L: ЗС ЗС назовем ^[-оператором (от слова
«модельный»), если для него существует полная система
§ 3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ ОПЕРАТОРОВ	41
собственных функций, образующая базис Рисса в
Из сказанного в данной главе ясно, что для М-операторов
особенно просто осуществимо построение операционного
исчисления.
Если для М-оператора L существует оператор L”1,
то он снова является, очевидно, М-оператором; Но один
из этих операторов может быть ограниченным, а другой —
неограниченным. В то же время и, например, оператор
умножения на константу является М-оператором (для него
любой элемент — собственный).
ГЛАВА II
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
И ОПЕРАТОРЫ, ПОРОЖДАЕМЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕМ
§ 0. Вводные замечания
Настоящая глава посвящена обсуждению Некоторых
результатов общего характера, относящихся к дифферен-
циальным операциям с частными производными, рассмат-
риваемым в ограниченной области V n-мерного евклидова
пространства Rn. В главе вводится необходимая термино-
логия и уточняется характер интересующих нас в дальней-
шем задач. Основным предметом обсуждения являются
по существу способы сопоставления конкретным объектам
классического анализа абстрактных объектов, описание
которых составляло содержание гл. I.
В § 1 вводится основное для дальнейшего гильбертово
пространство ОН (7) комплексных функций с интегрируе-
мым квадратом модуля. Наряду с формальным определе-
нием приведен ряд дополнительных замечаний, имеющих
своей целью сделать изложение более доступным для тех
читателей, для которых интеграл Римана привычнее, чем
интеграл Лебега. Эти замечания подчеркивают одновре-
менно те стороны лебеговской теории, использование ко-
торых существенно для проводимых построений.
Следующие два параграфа содержат определение и
предварительное изучение основных понятий, относящихся
к «общей теории» граничных задач. Дальнейшие парагра-
фы (которым предпослано введение в начале § 4) посвя-
щены различным аспектам определения сопряженного
оператора, рассматриваемого в конкретной ситуации,
и построению специального аппарата, позволяющего
получать нужные результаты. Соответствующие кон-
струкции имеют- самостоятельный интерес и приведены
с подробностью, превосходящей непосредственные нужды
основных гл. IV—VII.
§ 1. ПРОСТРАНСТВО И (V)	43
§ 1. Пространство IH (V)
Пусть V — ограниченная область евклидова прост-
ранства с границей dV = S, состоящей из конечного
числа кусков достаточно гладких (например, класса С2)
(п — 1)-мерных поверхностей, пересекающихся под нену-
левым углом. Нижеследующие построения, осуществимы
и при значительно менее ограничительных предположе-
ниях, но некоторая регулярность границы V необходима.
Характер минимальных требований, относящихся к 7,
при которых остаются справедливыми результаты данной
главы, нас не интересует.
Основным функциональным пространством, в котором
будут проводиться дальнейшие рассмотрения, является
гильбертово пространство X2 (7) = (7) = н комплекс-
ных функций над V с интегрируемым по Лебегу квадратом
модуля.
При определении пространства И (7) нам удобно'
рассуждать следующим образом. Пусть_С (7) — множе-
ство непрерывных в замкнутой области V функций, обра-
зующих комплексное линейное пространство с обычными
операциями поточечного сложения и умножения на ком-
плексные числа. Определив на С (V) скалярное произве-
дение равенством
(u, v) = \ uv d7, и = и(х), v = v(x),
V	(1)
dV = dx, х Е Г, dx = dxT . . . dxn,
превратим С (7) в предгильбертово пространство. Попол-
нив его по норме, порождаемой введенным скалярным про-
изведением, получим гильбертово пространство Н (7).
Изучение природы присоединяемых к С (7) в резуль-
тате абстрактной процедуры пополнения «идеальных,
элементов» является предметом теории функций. Извест-
но, что каждый элемент построенного таким образом про-
странства !Н (7) может быть отождествлен с классом функ-
ций, интегрируемых по Лебегу и совпадающих  почти
всюду.
Если, понимая интеграл (1) в смысле Римана, желать
оставаться в рамках римановской теории интегрирования,
то следует" учитывать, что не всякий элемент Н (7) пред-
ставим интегрируемой функцией. Темне менее для любого
1А	ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ,
элемента u Е И (I7) всегда определено, например, число
lim (un, 1), .которое не зависит от выбора последователь-
П-К»
ности Коши {un} G С (У), представляющей элемент и,
и может быть символически записано в виде udV.
В каждом конкретном случае проводимые ниже построе-
ния могут быть оправданы и без обращения к теории
Лебега, за счет дополнительных предельных переходов.
Но осуществление соответствующей работы в полном
объеме оказалось бы весьма неэкономным.
Для нас существенно, что Н (V) — полное (гильбер-
тово) пространство, в котором линейное многообразие
С (V) по определению плотно. При обращении к вложе-
нию С (F) CZ И (Ю следует иметь в виду следующее за-
мечание. Утверждение «элемент является непрерыв-
ной функцией» понимается в том смысле, что соответству-
ющий класс функций содержит непрерывную функцию
и (х), я G Г (как очевидно, однозначно определенную),
с которой во всех рассмотрениях можно этот класс отож-
дествлять. Соответствующие замечания справедливы и
в отношении вложений линейных многообразий Ск (F),
С™ (7) (к раз дифференцируемых или бесконечно дифферен-
цируемых функций) в Н (Р). '
Замечание. Читателю, возможно, полезно будет
непосредственно проверить, что для элемента и S !Н (0, 1),
представимого функцией, равной единице на и
нулю на (-^-,1), не существует представляющей его не-
прерывной функции.
В соответствии с вышесказанным, в ряде случаев (на-
пример, в нижеследующей лемме) удобно, опираясь на
результаты теории функций, говорить об элементах
!Н (V) как о функциях (определенных и конечных почти
всюду). Нам потребуется в дальнейшем одно свойство
таких функций, называемое зачастую «непрерывностью
в среднем».	'	;
Будем считать и (х) €= 1Н (V) определенной на всем
DRn, полагая и = 0 при я F, и пусть
= sup К I и (х + h) — и (х) |2 dx\ I*.
§ 1. ПРОСТРАНСТВО 84 (Г)
45
Здесь
х + h = (Xi + hlt . . .. xn + hn), | h |2 =	+ . . . + Ч-
Замечание. Приводя такое определение S^u,
мы опираемся на тот факт, что функция й (х), определен-
ная в некоторой области Г □ F, совпадающая с м .Е 1Н (F)
в V и равная нулю в Г \ V, есть элемент IH (Г). Можно
считать этот факт известным, а можно и доказать его, по-
строив (исходя из соответствующей последовательности
для и (х)) последовательность функций {«J, непрерыв-
ных в замкнутой области Г и таких, что щ -> й в IH.
Лемма (о. непрерывности в среднем).
Для любого фиксированного элемента u 1Н (У) число
$ъи стремится к нулю при 6 -> 0.
Доказательство. Достаточно выяснить пове-
дение 53$, например, при 6^1. Пусть V CZ Ух, где V± —
ограниченная область в Rn такая, что х + h ЕЕ Ух для
любого х ЕЕ V при | h |	1. Пусть й (я) GE Н (Ух) есть
функция, совпадающая с заданной и (х) в V и равная
нулю на Ух \ V (см. замечание). Пусть {йг (х)} — сходя-
щаяся к й (х) последовательность непрерывных функций.
При обусловленном в определении продолжении
и (х) нулем вне V и | h |	1 будем иметь
У | и (х + h) — и(х) |2	= К | й (х + h) — й (х) |2
у	J Цг	J
(й (х + h) — щ (х + h) |2 dx^ I* +
+{f 1Щ (* + h) — ui (x) |2d#|,2+ К | щ (x) — и (x) |2dxV2.
Фиксировав 8 > 0, можем выбрать номер I таким
образом, что 1-е и 3-е слагаемые в правой части не будут
превосходить в/3 каждое, а затем выбрать 6	0, так, что
I + h) - щ (х) I 2 < 82 (9 mes У)"1
при [ h |	6 (за счет равномерной в замкнутой области
непрерывности функций щ (х}). Это влечет	8
при указанном выборе 6.
ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
46
§ 2. Дифференциальные операции и максимальный
оператор
Над функцией и (х) е С™ (У) обычным образом мджет
быть определена . линейная дифференциальная операция
L(D)u== 2 aaDau.	(1)
jaj^m
Здесь а = (ах, ап) — целочисленный мультииндекс и
Pa = D“*...D“n D^^-,	|a| = a1 + ... + an.
к
Коэффициенты аа могут быть либо комплексными числа-
ми, либо комплексными функциями аа = аа(х), принад-
лежащими по крайней мере С (7).
Поясним смысл использованного термина «операция».
В сделанных предположениях можно, конечно, сразу рас-
сматривать L (D) как оператор L: В4 (У) —> !Н (F), задан-
ный на линейном многообразии С™ (У) Q И (У) (еще раз
подчеркнем, что и непрерывность и дифференцируемость
мы всегда подразумеваем в замкнутой области V). Но,
во-первых, в качестве оператора мы всегда будем рассмат-
ривать лишь замыкание в !Н введенной операции, а, во-
вторых, с одной и той же операцией^ — выражением вида
(1) — мы будем связывать, как правило, целое семейство
различных операторов, действующих из И (У) в 1Н (У).
Покажем на простейшем примере незамкнутость в 1Н
операции вида (1) при ее «классическом» понимании.
Пример 1. Пусть У = (0, 1) интервал вещест-
венной оси и операция L (D) = Dx рассматривается как
оператор Dx: 04 -> 1Н с областью определения — линей-
ным многообразием С1 всех непрерывно дифференциру-
емых на [0, 1] функций. Определенный таким образом
оператор Dx незамкнут. Действительно, если
( х при
U(x) = \ А	л,	л
7	(1 — X при
то нетрудно построить последовательность гладких функ-
ций ик -> и при к оо (сходимость в 84) таких, что
f 1, о<^<7/2,
/	§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ
47
(сходимость в И), но при этом и С1, т. е. не принадле-
жит © (Рх).
Считая область V фиксированной, не будем в дальней-
шем явно указывать ее в обозначениях. При рассмотре-
нии замыкания операции L (D) в IH безразлично, считать
ли ее первоначально заданной на С™, или на С00, и обычно
выбирают последнее.
Замыкание в 84 операции L (Z>), определенной перво-
начально на С00, называется максимальным оператором,
L; Н -> IH, порождаемым L (Z>).
Подробная расшифровка этого определения заклю-
чается в следующем. Элемент zz Е считается принадле-
жащим © (L), если существует последовательность
{ик} ЕЕ С™ такая, что
и% —> и, L (25) Uj{ —>• / GE 84
(2)
(сходимость в IH) *).
Эпитет «максимальный», отнесенный к оператору L,
указывает, что среди операторов L: IH —> IH, связы-
ваемых обычно с операцией (2), оператор L обладает
наиболее широкой в определенном смысле областью
определения © (L). При рассмотрении замыкания того
или иного оператора надо, конечно, быть уверенным
в корректности соответствующей процедуры. Другими
словами, надо быть уверенным, что для данного опера-
тора Т: 84 -> !Н не могут существовать две различные по-
следовательности ujc и, и такие, что Ти£
Ти£ f (сходимость в И), причем /'
Пример 2. Пусть V = (0, 1) — интервал вещест-
венной: оси, оператор Т: IH 14 определен так, что © (Т) =
= С СЕ М, и для любого элемента и е С элемент / = Ти
определен равенств ом^ / (х) = const = и (1/2). Существу-
ют, очевидно, последовательности {щ}, {иЬ} непрерывных
функций, сходящихся в 1Н, например, к функции zz0 (х) =
= 1, такие, что = 0,	= 2 (при любых к). Та-
♦). Другой стандартный способ определения замыкания — через
введение графика оператора (см. [5]). Замыкание графика дает
замыкание оператора.
48
ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ким образом, введенный оператор Т не допускает замы-
кания.
Из приводимых ниже рассмотрений будет следовать,
что в сделанных нами предположениях операция L (D)
всегда допускает замыкание. Мы не станем пока останав-
ливаться на этом факте. Он будет отмечен в соответству-
ющем месте.
Во всех дальнейших рассмотрениях центральную роль
будут играть операции L (Z>) с постоянными коэффициен-
тами аа. В этом случае ядро 7V(L) максимального опера-
тора при тп > 1 заведомо отлично от нуля, т. е. решение
уравнения
Lu = /	(3)
(равенство в IH; оператор L понимается в соответствии
с (2)) не единственно. Элементами, принадлежащими
ядру, будут, например, функции вида exp	|при
соответствующем подборе постоянных ск.
Удобно сформулировать это замечание в следующей
форме.
Утверждение 1. Если L (D) — операция с по-
стоянными коэффициентами, т^1, то точечный спектр
соответствующего оператора L: Н IH заполняет всю
комплексную плоскость С.
Если в качестве операции L (Z>) в (1) брать «классиче-
ские» операции (оператор Лапласа; операторы, входящие
в волновое уравнение или в уравнение теплопроводности)
или их простейшие обобщения, то уравнение (3) соответ-
ствует рассмотрению в V классических уравнений без
каких-либо дополнительных граничных условий. Тогда,
кроме утверждения о неединственности решения, можно
утверждать еще и разрешимость уравнения (3) при любой
правой части / Е lH.
Оказывается, при постоянстве коэффициентов в опе-
рации (1) аналогичное утверждение (о разрешимости (3)
при любой / Е 1Н) остается справедливым и в случае про-
извольной операции L (D). Но доказательство его не яв-
ляется тривиальным. Оно будет нами получено после
ряда дополнительных построений.
§ 3. ПРАВИЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
49
§ 3.	Минимальный оператор
и правильные операторы
3.1.	Минимальный оператор. Обозначим через С™
линейное многообразие функций из С°°, подчиненных до-
полнительному требованию обращения в нуль, вместе
с производными всех порядков на S — границе V.
С точки зрения теории граничных задач самый «узкий»
или так называемый минимальный оператор, связанный
с операцией (1), может быть получен путем выбора в ка-
честве первоначальной области определения для L (Z?)
многообразия С™. Точнее, минимальным оператором,
связанным с операцией L (D), называется оператор
Lo: Н И, определяемый как замыкание в IH операции
L (D), заданной первоначально на С£.
Мы не будем в дальнейшем каждый раз останавливать-
ся на подробном описании процедуры замыкания (или
области определения соответствующего оператора), ис-
пользующем предельный переход, аналогичный указанно-
му в (2) § 2.
Из наших определений немедленно следует включение
Lo CZ L, т. е. максимальный оператор является расшире-
нием минимального.
Если обратиться теперь к операциям с постоянными ко-
эффициентами и рассмотреть, подобно тому, как мы рас-
смотрели уравнение (3) § 2, уравнение
Lou = /,	(1)
естественно ожидать, что решение его всегда единственно»
но существует далеко не при всех правых частях / е= И.
Действительно, как мы увидим, в сделанных * предпо-
ложениях эти факты в точности эквивалентны утвержде-
нию о разрешимости уравнения (3) § 2 при любой / €= 1Н
и о неединственности соответствующего решения.
Отмеченные свойства уравнения (1), будучи сформули-
рованы в терминах спектральной теории, влекут утвер-
ждение:
У т в е р ж д е н и е 1. Если L (D) — операция с по-
стоянными коэффициентами, тп > 1, то остаточный
спектр соответствующего оператора Lo: !НIH запол-
няет всю плоскость С-
50	ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
X -
3.2.	Транспонированные операции и сопряженные
операторы. Приведенные выше замечания о связи между
свойствами уравнений (3) § 2 и (1) напоминают классиче-
скую теорию Фредгольма (п. 3.2 гл. I), и не удивительно,
что доказательство соответствующих утверждений- осно-
вывается на привлечении к рассмотрениям сопряженных
к L, Lo операторов.
Если в (1) § 2 коэффициенты аа операции L (JD) при-
надлежат классу С™, то однозначно определена транспо-
нированная (или формально сопряженная с L (D)) опера-
ция I? (D), связанная с L (D) соотношением
(L (D) u, и) = (и, V (D) 0,
которое должно выполняться для любых u, v Пере-
ход от L (D) к V (Р) осуществляется интегрированием по
частям. Последнее всегда осуществимо при достаточной
гладкости коэффициентов аа.
В то же время для операторов L, Д» связанных с L(Z>),
обычным образом (п. 1.3 гл. I) могут быть определены со-
пряженные (в смысле теории операторов) операторы L*,L*-
!Н —> IH (область определения операторов L, Lo, очевидно,
плотна в 84). При этом в ряде важнейших случаев оказы-
ваются справедливыми равенства
L = (l4)*, Lo =(!?)*,	(2)
L‘ = bJ,	I4=L*.	(3)
Первое из равенств (2) лежит в основе конструкции
следующего пункта этого параграфа. Доказательство его
приведено в § 6.
Пока что мы заметим следующее. Включение L.CZ
С (Lo)* очевидно. Действительно, если «G Э (L),
v s © (Lo), то достаточно записать равенство
(L (Р) щ, г>) - (щ, V (Р) ps) '
для элементов иг,^аппроксимирующих последовательно-
стей, входящих в соответствующие определения, и перей-
ти к пределу при г, к -> оо. Нетривиальным является
доказательство включения (Lo)* CZ L? требующее исполь-
§ 3. ПРАВИЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
51
зования регуляризации или так называемых операторов
осреднения.
Оператор (Lo)* называют иногда «слабым» расширением
оператора L, а сам вопрос о справедливости равенств (2),
(3) является специальным случаем проблемы эквивалент-
ности «слабых» и «сильных» расширений дифференциаль-
ных операций (см. §4).
3.3.	Существование правильных операторов. В области
V будем считать заданной некоторую дифференциальную
операцию L (D) вида (1) § 2. Сохраняя обозначения, ис-
пользованные выше, введем следующее, важнейшее для
дальнейшего, определение.
Определение. Расширение L: Ш IH опера-
тора Lo (Lo CZ L) назовем разрешимым, если существует
оператор Lr1, определенный на всем Н.
Сужение L: ЧН 1Н оператора L (L CL) назовем
правильным, если существует оператор L”1, определен-
ный на всем IH.
Замкнутый оператор L: 1Н->1Н, являющийся одновре-
менно разрешимым расширением Lo и правильным су-
жением L, назовем правильным оператором, порождае-
мым, операцией L (D).
Центральной проблемой, которая будет занимать нас
в основных главах книги, будет проблема нахождения спо-
собов описания правильных операторов, порождаемых
общей дифференциальной операцией с постоянными коэф-
фициентами, и изучение зависимости свойств этих опера-
торов от характеристик исходной операции и от условий,
задающих область определения правильного оператора.
Замечание. Зачастую разрешимым расширени-
ем, порождаемым операцией L (Z)), называют оператор
L: Н-> 1Н, который мы назвали правильным. При под-
робном рассмотрении соответствующего круга вопросов
такая терминология неудобна. Поясним это примерами.
Пример 1. Пусть V — интервал (О, Ъ), L (D) =
= Dx и оператор Т: Н IH задан на © (L) равенством
ъ	.	,	.
Tu=Dxu + ^^.
V
О
Тогда Т является разрешимым расширением минималь-
52	ГЛ. И. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ного оператора Lot
х	Ъ
о	о
не являясь сужением L.
Пример 2. Пусть снова V = (0, 6), L (D) = Dx.
Оператор Т: IH -> 1Н, определенный как замыкание в IH
операции L (Z7), рассматриваемой на элементах и€ЕС\
подчиненных дополнительно условию
и (0) = (g, L(D)u),
(скобки — скалярное произведение в IH), будет для лю-
бого элемента q е= Неправильным сужением оператора L:
X	4
T-V = p(l)^ + (?J).
о
Но этот оператор будет расширением Lo тогда и только
тогда, когда q = const. (Приведенный пример является
частным случаем рассмотрений п. 1.2 гл. III.)
Как будет показано ниже, правильные операторы, по-
рождаемые операций L (Р), существуют при весьма
широких предположениях относительно этой операции.
Цепочка включений Lo GZ L (Z £ и приведенные примеры
говорят о том, что правильный оператор получается либо
снятием части нулевых граничных условий, входящих
в определение Lo, либо сужением оператора L, опять-
таки за счет введения некоторых граничных условий.
Полное описание правильных операторов, порождаемых
обыкновенной дифференциальной операцией (п = 1), бу-
дет дано в следующей главе именно в терминах граничных
условий.
Классические граничные задачи для уравнений матема-
тической физики также дают примеры правильных операто-
ров. Однако общая теорема о существовании правильного
оператора, одно из доказательств которой мы собираемся
сейчас привести, устанавливается путем обращения к
абстрактным конструкциям функционального анализа
и является, вообще говоря, неэффективной в том смысле,
что не дает способов описания правильных операторов
в терминах граничных условий. Другое доказательство
§ 3. ПРАВИЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ .	53
этой теоремы вместе с некоторой ее эффективизацией будет
дано в гл. VII.
Лемма 1. Пусть замкнутые линейные операторы
То, Т: IHj —IH2, T0GZT, обладают тем свойством, что
для То существует ограниченный обратный оператор
То1 : 1Н2 —> Н1? а область значений SR (Т) оператора Т —
все пространство 1Н2. Тогда существует оператор Т:
1НХ М2, То CZ Т G2 Т, такой, что оператор Т"1 су-
ществует, ограничен и определен на всем пространстве 1Н2.
Доказательство. Утверждение тривиально,
если 2? (То) = 1Н2: достаточно положить Т = То. Пусть
91 (То) — собственное подпространство 1Н2 и ©0 CZ
максимальное линейное многообразие, отображаемое опе-
ратором Т на JR (То). Очевидно, Ker Т CZ ©о и для Т,
рассматриваемого на IH \ ©0, существует обратный опе-
ратор, заданный на 1Н2 \ 9i (То). Тогда искомый оператор
Т можно определить, положив Т = То на © (То) и Т = Т
на \ ©о- Ограниченность Т-1 следует из теоремы
Банаха: п. 1.3 гл. I.
• Сделаем некоторые замечания. Нас будет в дальнейшем
интересовать лишь случай = !Н? = Ш, но при за-
писи леммы удобнее оперировать с парой пространств. .
Нельзя определить Т, просто выбросив ядро оператора
Т: построенный таким образом оператор не будет, вообще
говоря, расширением для То.
Оператор Т, обладающий требуемыми свойствами, оп-
ределен, разумеется, неоднозначно. Даже в простейших
примерах, как мы увидим, может существовать континуум
различных операторов Т.
Лемма 2. Пусть для оператора Т:	1Н2,
обладающего плотной областью определения © (Т) CZ Нх,
существует ограниченный обратный оператор Т"1:
1Н2—> IHj. Тогда уравнение
*£*u = f.	'
разрешимо для любого элемента f ЕЕ
Д о к а з а т е л ь с тв о. Утверждение леммы озна-
чает существование’для любого элемента / ЕЕ Hx элемента
и ЕЕ такого, что равенство
(Tz>, и)2 = (и.
54	• ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
справедливо при любом v Е © (Т). Вводя в рассмотрение
элемент w: Тр = w. v = T-1U7, можем записать цепочку
равенств
7)1 =	/)х = (и>, u)2 = (Tv, u)2.	,
При переходе от второго члена к третьему использован
тот факт, что скалярное произведение (Т-1гг, f)± опреде-
ляет при заданном элементе / Е ограниченный линей-
ный функционал над w (| (Т-1ш, /)х| < ЦТ-11| || wЦ2|| /lli),
допускающий представление в виде скалярного произве-
дения (и?, и)х, где и — некоторый элемент 1Н2 (лемма
Рисса, п.1.4 гл. I). Сравнениехпервого и последнего чле-
нов цепочки дает утверждение леммы. Н	х
Из доказанных лемм и рассмотрений предыдущего
пункта немедленно следует
Теорема. Если операция L (D) с достаточно глад-
кими коэффициентами, определенная в некоторой области
V С (Рл, такова, что операторы Lo, Ц обладают огра-
ниченными обратными и справедливо равенство L = (Ц)* \
то существует порождаемый L (Р) правильный оператор
L: 1Н (7) -> IH (7).
Замечание 1. Доказательство сформулирован-
ной теоремы для произвольной операции с постоянными
коэффициентами, использовавшее идеи работы [С1], бы-
ло впервые получено в [18]. При этом существование огра-
ниченного оператора Lq1 следовало из неравенства
|| и|| < с |i Lou|j,	(4)
установленного для и CZ © (Lo) за счет использования пре-
образования Фурье. Для наших дальнейших построений
(гл. IV—VII) будет характерно использование ряда
Фурье, что во многих отношениях более естественно при
изучении дифференциальных операций в ограниченной
области, приближая рассмотрения к классическим мето-
дам математической физики и позволяя, в частности, зна-
чительно упростить доказательство неравенств типа не-
равенства (4).	"
Замечание 2. Отказавшись от предположения
о справедливости равенства L = (Ц)*, можно сформу-
лировать несколько более слабое утверждение: суще-
ствует порождаемое L (Р) разрешимое расширение
§ 4. СЛАБЫЕ И СИЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ	55
оператора Lo такое, что
LoCZLsC(U)*
Возможность применения лемм 1, 2 для доказательства
существования правильных операторов не исчерпывается,
разумеется, тем случаем, когда роль оператора То .из лем-
мы 1 играет минимальный, а роль оператора Т — макси-
мальный оператор. В дальнейшем встретятся примеры
использования этих лемм и в других ситуациях.
Здесь уместно повторить еще раз, что нахождение спо-
собов эффективного описания правильных операторов,
порождаемых различными классами дифференциальных
операций, и изучение свойств этих операторов в зависимо-
сти от свойств исходной операции и от выбранных «гра-
ничных условий», определяющих оператор, составляют
основной предмет данной монографии.
§ 4.	Слабые и сильные расширения
дифференциальных операции
4.0	. Предварительные замечания. Как уже отмеча-
лось, особое место, занимаемое пространством Гильберта
среди иерархии линейных нормированных пространств,
обусловлено его «самосопряженностью» — возможностью
естественного отождествления пространства функциона-
лов с исходным пространством (лемма Рисса). Другим
аспектом той же «самосопряженности» является наличие
в алгебре операторов над гильбертовым пространством
операции инволюции — перехода , к сопряженному опе-
ратору, принадлежащему той же алгебре. Фундаменталь-
ная роль этой операции хорошо известна.
Понятие сопряженного оператора неизбежно возникает
и в процессе применения методов функционального ана-
лиза к исследованию конкретных объектов — операторов,
порождаемых дифференциальными операциями в прост-
ранстве функций с суммируемым квадратом.
Примеры использования этого понятия мы видели
в предыдущих параграфах. Уже при рассмотрении этих
примеров бросается в глаза различие в способах опреде-
ления операторов L и L*: если оператор L: !Н->И,
порождаемый дифференциальной операцией, определен
как замыкание в fri этой операции, рассматриваемой
56	ГЛ. И. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
первоначально на гладких функциях, то оператор L*:
IH -> IH определен интегральным тождеством, дающим,
как часто говорят, «слабое» расширение операции V (D).
Определение оператора L* с помощью интегрального
тождества во многих отношениях неудобно: свойства эле-
мента у Е Н, являющегося решением уравнения L*z> =
= g, зачастую с трудом поддаются изучению. В связи
с этим существует специальный аппарат осреднений (или
регуляризаций), позволяющий в ряде случаев установить
эквивалентность «слабого» и «сильного» (замыканием)
определений операторов, порождаемых дифференциаль-
ной операцией.
Рассмотрению соответствующего круга вопросов и пос-
вящены §§ 4—6. В данном параграфе приводятся общие
определения «слабого» и «сильного» расширений, в § 5
строится аппарат осреднений, а в § 6 устанавливается ряд
упомянутых выше теорем эквивалентности.
4.1	. Основные определения. Пусть в области] V GZ
задана дифференциальная операция L (D) вида (1) § 2,
обладающая достаточно гладкими коэффициентами, поз-
воляющими определить операцию 1/ (D). Пусть первона-
чальная область определения операции L (D) состоит из
линейного многообразия Fr гладких функций, подчинен-
ных дополнительно некоторой системе однородных гранич-
ных условий, которые мы символически запишем в виде
Ги [s = О,	(Г)
где S — граница V.
Функцию и G: Fr, удовлетворяющую уравнению
L(D)u = /,	(L)
будем называть классическим решением задачи L — Г.
Оператор Lr: Н -> Н, определяемый как замыкание
в 1Н онорг^чи L (Z>), рассматриваемой на Fr, назовем
сильным расширением операции L (D) при условиях (Г).
Выбранное название подчеркивает, с одной стороны,
тот факт, что решение и£М операторного уравнения
Lru = /
сильное решение задачи L — Г) является лишь обобщен-
ным, т. е. не обладает, ъообще говоря, всеми производны-
ми, входящими в операцию L (D), понимаемыми в обычном
§ 4. СЛАБЫЕ И СИЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ	57
(классическом) смысле, и может не удовлетворять усло-
виям (Г). С другой стороны, расширение (или решение)
названо «сильным» постольку, поскольку зачастую ис-
пользуются более «слабые» определения расширении клас-
сической операции L (29) или решений задачи L — Е.
Такие «слабые» расширения Lr ZD Lr определяются
чаще всего следующим образом. Пусть
*Fls = 0	(iy)
— некоторая система однородных граничных условий та-
кая, что для гладких функций и, г, подчиненных условиям
(Г), (ty) соответственно, справедливо равенство
(L(29)u, и) = (и, Ъг (D)v).	(1)
Пусть L*7: Н -> !Н — оператор, порождаемый опера-
цией V (29) и условиями (ty) так же, как оператор Lr по-
рождался операцией L (29) и условиями (Г) (т. е. замыка-
нием операции L* (29), определенной первоначально на ли-
нейном многообразии $\7 гладких функций). Тогда из
равенства (1) немедленно следует включение
LrCZ(L^)*	(2)
(ср. § 3), т. е. оператор (L^)* может быть взят в качестве
оператора Lr ZD Lr, о котором, шла речь выше.
В большинстве наиболее интересных случаев оказы-
вается возможным указать некоторую «минимальную»
систему у однородных граничных условий такую, что для
гладкой функции и выполнение равенства
Is = о	(у)
необходимо ряя справедливости (1) при любой гладкой р,
удовлетворяющей условиям (ty). Тогда оператор (Ц?)*
называется слабым расширением операции L (29) при усло-
виях (у).
Наличие включения (2) означает, что выполнение усло-
вий (Г) влечет выполнение условий (у) (^г CZ $"?)•
\ В ряде важнейших случаев удается доказать равен-
ство
Lr = (L|?)*.	(3)
ч 58	ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Естественно при этом было бы ожидать совпадения усло-
вии (Г) и (у). Но это не обязательно так. Условия (Г)
могут содержать «излишние» требования, которые не ока-
зывают реального влияния на свойства элементов из Э (Lr)
(«не удерживаются в замыкании»).
Если, например, V = (0, b), L (D) = Dx, многообра-
зие состоит из элементов и ЕЕ С°° (F), удовлетворяю-
щих дополнительно условиям
и [0 = и' |о = . . . = и(&)[0 = О, & > 1,
а многообразие гГг2 состоит из элементов w €Е С1 (F),
удовлетворяющих требованию w | 0 = 0, то, как хорошо
известно (и как это* будет следовать из наших дальнейших
рассмотрений), операторы Lrx, ЬГг совпадают, и если
условия (ty) имеют вид v |х=ь = 0, то для каждого из
этих операторов может быть установлено равенство (3).
Записанные нами выше равенства (2), (3) § 3 являются
частными случаями равенства (3). При этом, если (Г) —
условия, определяющие минимальный оператор, a (ty) —
отсутствие условий, то, как и в приведенном выше при-
мере, наличие равенства (3) не означает совпадения усло-
вий (Г) и (у).
Если вместе с условиями (Г), (у), (iy) могут быть введе-
ны условия (/Г) (связанные с (у) так же, как (ty) связаны
с (Г)), причем
Г = у, ty = ЙГ,	(4)
то условия (Г)-, (tT) называются сопряженными.
Пример, в котором
и| о = 0,	(Г) и [ж=ь = 0, (ЙГ)
»\^=ь = р'1х=ь = о, (ty) И о = 0, (7)
показывает, 'что справедливость первого из равенств (4)
не гарантирует справедливости второго.
Привыкший к операторному формализму читатель за-
метил, конечно, что в равенстве (3) оператор (L^)* иг-
рает роль «второго сопряженного» по отношению к Lr,
т. е. мы имеем дело с вариациями на тему классического
равенства Т = Т**.
§ 5. ОПЕРАТОРЫ ОСРЕДНЕНИЯ	59
§ 5.	Операторы осреднения
5.0	. Предварительные замечания. Операторы осред-
нения представляют собой аппарат, позволяющий сопоста-
вить элементу того или иного функционального простран-
ства его регуляризацию, т. е. элемент того же простран-
ства, обладающий большей гладкостью (регулярностью)
и в то же время близкий к нему в соответствующей норме.
Оператор осреднения определяется обычно как сверт-
ка данного элемента с функцией, дающей ту или иную глад-
кую аппроксимацию дираковской б^функции (играющей
роль единицы в алгебре с операцией умножения — сверт-
кой). В зависимости от характера изучаемых задач к ис-
пользуемой регуляризации могут предъявляться некото-
рые специальные требования, которые и определяют выбор
оператора осреднения.
В §§ 5, 6 мы будем считать, как это принято при рас-
смотрении соответствующих вопросов, пространство И
вещественным гильбертовым пространством. Переход,
в случае надобности, к комплексному случаю осущест-
вляется автоматически.	.
5.1	'. Осреднения на прямой. Пусть <в (g) ЕЕ С°° — чет-
ная неотрицательная функция такая, что (|) = 0 при
| £ | > 1 й J ©(£)	= 1 (если пределы интегрирования
не указаны, то интегрирование ведется по всей вещест-
венной прямой). Простейшим примером функции о (£),
обладающей требуемыми свойствами и называемой ядром
осреднения, является функция • © (|) = a (£)/j а (|)d£,
где а(£) = exp (^Li) ПРИ I В I < 1 и а (?) = 0 ПРИ
IB l>i.
Обозначим через ©8 (х, х) функцию 8-1©	•
Для любого 8	0 будем иметь
j ©8 (х, х') dx — $ ©8	х') dx' = 1
и ©8'(х, х') = 0 при | х — х' | > 8.
Пусть теперь V = (0, Ь) — конечный интервал веще-
ственной прямой и и е Н = И (V). Для любого 8	0
определим оператор Je: N -*• IH равенством
JgU (х) = \ ©е (я, х') и (х') dx'.
60	ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Оператор (и его различные модификации, с которыми
мы встретимся ниже) будем называть оператором осред-
нения. Установим некоторые основные свойства подобных
операторов.
J-1. Для любого элемента и ЕЕ И Jzu GE С°\ причем
D™Jzu = У [Р?<о8 (х, х)\ и (х) dx.	(1)
V '
Д о к а з а т е л ь с т в о может быть проведено по
индукции. Если для т — 1 равенство (1) верно, то доста-
точно заметить, что при вещественных б 0
б"1 [Dm^Jzu (х + 6) — Dm^Jzu (я)] =
= б"1 [Dx ‘Лог (я + 6, я') — Dx 'Ч (я, х')} и (х') dx =
= \ [Dx (08 (я + %')] и (#') dx',
V
а затем оценить разность между последним членом этой
цепочки равенств и правой частью (1) при б 0, пользуясь
гладкостью функции (о (£). 
J-2. Для любого г 0 || Jz ||	1.
Вместо доказательства 7-2 удобно установить несколь-
ко более общий результат.
Лемма.1. Пусть К: IH1Н — интегральный опе-
ратор
Ли	К (х, х) и (х) dx',
ядро которого непрерывно и удовлетворяет условиям
JIК (х, х) Idx<М,
V	v
Тогда || К || < М.
Доказательство. Достаточно заметить, что
|| Ku ||2 = ( I ( К (х, х') и (х')dx' |2 dx
V 1V
j Q J К (х, х' | dx' § (К (х, х') 11 и (х') (2 dx'} dx
М ( | и (х') |2 dx'.
V
§ 5. ОПЕРАТОРЫ ОСРЕДНЕНИЯ
61
Мы воспользовались представлением | К | = | К Г/г | К\Ч:,
неравенством Коши — Буняковского и Гпеременой по-
рядка интегрирования.
Из доказанной леммы и свойств ядра (о (£) немедлен-
но следует J-2.
Замечание. И лемма 1 и доказательство сохра-
няют, очевидно, силу и в том случае, когда V — произ-
вольная ограниченная область в R”. Мы этим в дальней-
шем воспользуемся. Вообще, обобщение устанавливаемых
свойств на случай п 1 не вызывает затруднений. ака
J-З. При 8	0 норма разности Jzu — и стремится
к нулю.
Доказательство. Для оценки в Н; нормы
]| Jzu — и ||2 достаточно, очевидно, оценить интеграл
I (и) = А К ®8 (х, х') [и (х') — и (x)j dx' |2 dx
V V
\ Н | <о8 (х, х') |2 dx' \	|и(х')— u(x)|2dx')dx.
Для придания точного смысла второму из интегралов
внутри фигурных скобок при любом х S V следует счи-
тать и (х) = 0 при х V. Очевидно, \ | ©8 (х, х') |2 dx' cs-1
V
равномерно по . х и постоянная с зависит лишь ст
вида © (|). Если положить теперь х' = х + т, | т |	8,
dx' = dx, будем иметь
I (и) се-1 \ ( Г (и (х + т) — и (х) |2 dx\dx =
V Чт|<г	‘
= се-1 \ I \ (и (х 4- т) — и (х) |2 dx) dx	c'ffizu,
|Ч<8 ‘й	'
где ffizu -> 0 при 8—>• 0 (непрерывность в среднем; п.
Замечание.* Нетрудно убедиться, что для любо-
го фиксированного 8 |> О оператор J8 переводит ограни-
ченное множество Л CZ Я в множество элементов JZM,
равномерно ограниченных и равностепенно непрерывных.
Отсюда следует, что множество JZM компактно в С (тео-
рема Арцела) и тем более в И. Таким образом, при фик-
сированном 8 > 0 оператор Jz. Н Н (как и всякий
62	ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
интегральный оператор с гладким ядром) вполне непре-
рывен.
J-4. Если а (х) ЕЕ С (V), то при любом и Н
|| aJzu — Jz (аи) || -> 0 при &-+0.
Действительно, достаточно заметить, что
|| aJzu — Jz (аи) |] < || a (Jzu — и) || + || аи — Jz (аи) [|. Ц|
Свойство J-4 устанавливает перестановочность «в пре-
деле» оператора осреднения с операцией умножения на
достаточно регулярную функцию.
J-5. Для любых гм Е !Н справедливо равенство
(Jzu, v) = (u, Jzv).	(2)
Равенство (2) немедленно следует из возможности пе-
ремены порядка интегрирования.Д|
В дальнейшем нам потребуются операторы осредне-
ния, обладающие тем свойством, что построенные с их
помощью гладкие функции оказываются удовлетворяю-
щими дополнительно некоторым однородным граничным
условиям. В одномерном случае простейшими из таких
операторов являются, например,
Jzu = со8	и dx\
у
Jzu = <о8	~и (х) dx'. (3)
Свойства J-1, 2, 3, 4 доказываются для этих операто-
ров точно так же, как для оператора Jz. Свойство J-5 не-
сколько видоизменяется.
J-5a. Для любых и, v ЕЕ Й справедливо равенство
(Ли, v) = (u, J%v).
Но, кроме того, имеет место еще одно свойство.
J-ба. Для любого элемента и IH (F) справедливы
равенства
|х=о = О, JZU |х=Ъ — 0.
Утверждение следует, немедленно из (3): при х = О
(ж = &) ядро оператора J8 (JJ) равно нулю тождественно
при любом х' ЕЕ V = (О, Ь). И
§ 5. ОПЕРАТОРЫ ОСРЕДНЕНИЯ
63
Нетрудно построить и оператор, обеспечивающий вы-
полнение однородных условий на обоих концах рассмат-
риваемого интервала:
т С Гх — (1 — х' — 2е \ / /\ л '
Jги = \ С0е ( ------—-—  ) и (х ) ах .
V
Свойство J-1 остается при этом неизменным. При доказа-
тельстве J-2, 3 происходит переход от якобиана, равного
единице, к якобиану, равному 1 — 4&"1s, что ничего не
меняет. В свойстве 7-2 надо заменить в неравенстве еди-
ницу на некоторое число Еъ ->1 при 8 -> 0. Существен-
ны лишь видоизменения свойств 7-5, 6.
7-5Ь. Для любых и, v ЕЕ Н (V) справедливо равенство
(j&u, v) = (u,Jzv),
< где
С / (1 — 4д”1е) х — х' + 2е \	,
JgV = \ (0е ( --------------\ v(x)dx.
V	'
Кроме того, можно утверждать
7-6 Ъ. Для любого элемента и ЕЕ IH (V) справедливы
равенства	'
J1х=о = 7gU |х=Ь = 0.
Оператор Jz «размазывает» осредняемый элемент (как,
впрочем, и исходный оператор 78), и Тги не удовлетворяет,
вообще говоря, однородным условиям ни на одном из
концов отрезка 10, Ъ}.
5.2	. Осреднения в многомерной области. Переходя
к случаю, когда V — ограниченная область пространства
Rn, определим оператор Jz равенством
Jzu (х) = <ое (яг, Xi)... <е£ (хп, хп) и (xf) dx', (4)
v
где х = (л?!, . . ., хп) и х', dx' определены соответственно.
- Формулировка свойств с J-l по J-5 остается прежней
(с заменой, естественно, Dm . на частную производную
где а — некоторый мультииндекс; § 2). Приведенные
доказательства также сохраняют силу (с очевидной заме-
ной оценки у I (ое I2 dx' сгГ1 на сг~п в доказательстве
v
свойства J-3 и т. п.).	•	-
64
ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Операторов типа J7, Jt в многомерном случае исполь-
зовать мы не будем и остановимся подробнее лишь на опе-
раторах типа je, Jz-
Пусть область V такова, что существует семейство
{ф8 (г)}, 0 < 8 < 80, диффеоморфных отображений ф8:
V Vе С2 V области V на некоторую свою подобласть,
гладко зависящих от г и таких, что
7-1. Отображение <р° = 1 — тождественное} якобиа-
ны j (ф8), у"1 (ф8) равномерно относительно х ЕЕ V стре-
мятся к единице при г -> 0.
7-2. Если х ЕЕ S = 57, то при любом х' ЕЕ 78 для
евклидова расстояния d (х, х') выполнено неравенство d (х,
х') > &8, где 1 — некоторое фиксированное число.
Область 7, удовлетворяющую условиям 7-1, 7-2, ус-
ловимся называть нормальной.
Сделанные относительно границы 7 в начале настоя-
щей главы (п. 1.1) предположения заведомо достаточны
для нормальности.
Замечани еЛ]Несколько менее ограничительное,
чем упомянутые, предположение, обеспечивающее нор-
мальность, может быть сформулировано следующим обра-
зом. Область 7ft звездна относительно шара CZ 7^
(радиус шара положителен), если для любой точки х ЕЕ
ЕЕ 57fc_K0Hyc с основанием и вершиной х лежит цели-
ком в Vk. Область 7, являющаяся объединением конечно-
го числа областей 7fe, каждая из которых звездна относи-
тельно некоторого шараЛ^, нормальна.
В рассмотренном выше одномерном случае (7 = (0, Ь))
мы использовали отображения ф8 вида
ф8 (х) = (1 —	+ 28.
Если положить ф8 = (фх, . . ., ф£), то оператор Jc
может быть определен теперь равенством
(х) = \ (о8 f-----I •.. <Og (—— ---I и (х ) dx . .
V
Оператор является оператором осреднения, впол-
не аналогичным соответствующему оператору в одномер-
ном случае. Сформулируем свойство J-5b (предполагая,
естественно, что 0	8	80).
§ 5. ОПЕРАТОРЫ ОСРЕДНЕНИЯ
65
J-5b. При любых и, р Е Н (7) справедливо равенство
(Jzu. и) = (u, J8v),
где
7 С /ФК*) —	—М /лл'
' v
Оператор Jz снова оказывается «размазывающим»
оператором осреднения, в то время как для Jz справед-
ливо свойство 7-6 Ь.
7-6 Ь. Для любой и Е И (V) справедливо равенство
Ьу = 0.
5.3. Осреднения и операция дифференцирования. Как
отмечалось выше, осреднения являются основным аппа-
ратом, позволяющим устанавливать эквивалентность сла-
бых и сильных расширении дифференциальных операции.
Мы приведем сейчас общую схему использования осред-
нений в этих целях.
Пусть Da — некоторый дифференциальный моном ви-
да D^. . . Элемент и е И (V) принадлежит © (Р^п)
(области определения операции Ра, понимаемой в слабом
смысле), если существует элемент / е И (7), такой, что
для любой «допустимой» функции <р (ж) верно равенство
J uDa<pdV<= (— 1)м 5 /<р dV.	(5)
V	. V
Определение «допустимости» для ф, помимо необходимого
требования достаточной гладкости, в каждом отдельном
случае может включать те или иные дополнительные ус-
ловия типа граничных. (На этой стороне вопроса мы спе-
циально остановимся в следующем параграфе.)
Пусть теперь некоторый оператор осреднения Jz (не
обязательно совпадающий с оператором, обозначенным
таким образом в формуле (4)) таков, что сопоставляет
произвольному элементу v Е Н (7) допустимую функ-
цию ф = Jzv. Тогда, полагая в (5) ф = Jzv, кълучзш. ра-
венство
(u, D*Jzv) = (-l)M (/, Jzv)	(6)
(скобки — скалярное произведение в IH).
3 А. А. Дезин
66	ГЛ. И. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Сомножитель DaJzv в левой части (6) можно рассмат-
ривать как результат применения к v некоторого интег-
рального оператора DaJz с ядром Рх®г («» ®z):
DaJzv = ([Z>x®e(z, z)]v(х)dx' = \D*Jz\v.
V
Как это следует из определения оператора осреднения,
при любом 8 у> 0 этот интегральный оператор обладает
сопряженным [Z)aJ8]*, причем	-
(«, [PVJ0 = ([PV8]*«, v) = (-l)W (Z>« [J8 и], v),
-	(7)
- где последний член равенства получается за счет исполь-
зования четности <в (£) и замены Ра<в8 (х, х’) на
(—1)1а10®<о8 (х, х') (с введением, быть может, некоторого
дополнительного множителя Ez -> 1 при 8 -> О, включае-
мого в определение J8; ср. предыдущие пункты).
Оператор J8 также является оператором осреднения,
отображающим IH на некоторое линейное многообразие
М (Z Н гладких функций, удовлетворяющих, быть мо-
жет, некоторым дополнительным условиям типа гранич-
ных. Если теперь положить
8S = 2“fc, к = 1, 2, . . .; ик — JZku -* и при гк ->'0,
то в силу (6), (7) и произвольности v Н
Н Dauk = J8*/-> / при А:-> оо,
т. е. и G 3 (Р?л) влечет u g 3 (D^) — области опре-
деления оператора D^, определяемого уже как замыка-
ние в Я операции Z>a, заданной первоначально на линей-
ном многообразии У/.
Замечание. Считая гладкую функцию <р в (5)
допустимой, если она финитна в V (равна нулю вне неко-
торого компактного подмножества V' CZ V), придем к оп-
ределению обобщенной производной . . . D^1, при-
нятому в [16]. Предположив, что V нормальна, и взяв
в качестве J8 оператор j8 (п. 5.2), получим включение
© (Рсл) CZ £> (Da)> где Л® — соответствующий макси-
мальный оператор.
§ 5. ОПЕРАТОРЫ ОСРЕДНЕНИЯ
67
5.4. Лемма Фридрихса. Поименованная лемма будет
использована в некоторых рассмотрениях следующего
параграфа, которые лежат несколько в стороне от основ-
ной линии изложения, но представляют существенный
принципиальный интерес.
Утверждение леммы непосредственно примыкает к
свойству J-4 п. 5.1 и утверждает, что перестановочность
(в пределе) осреднения с умножением на гладкую функ-
цию имеет место и «под знаком производной». Как и в
п. 5.1, мы ограничимся случаем п = 1, V = (О, Ь). Пе-
ренесение построений на случай произвольного п не вы-
зывает. затруднений. Прежде всего сформулируем один
вспомогательный результат.
Утверждение 1. ПустьК^ IH -> !Н — семейство
интегральных операторов вида К8и = \ Kz (я, х') и (х) dx',
V
причем
. КА. Существует постоянная М, не зависящая от 8,
такая, что || К8 j[ М.	-
К-2. Для некоторого числа к, произвольных достаточно
малых т и х ЕЕ Vx = (т, Ъ — т) существует г' = s' (т) та-
кое, что
Г Kz (х, xr) dx'= к для любого 8 в' (т).	(8)
v
К-3. Kz (х, х') = 0 при | х — х' | > кг, к = const.
Тогда || К8и — хи ||	0 при 8 -> 0.
Утверждение является некоторым обобщением свойст-
ва J-3 п. 5.1 (где х = 1) и доказывается с помощью тех же
рассуждений (надо лишь дополнительно использовать
стремление к нулю при т -> 0 интеграла по V \ Vx, где
равенство (8) может не иметь места). |
Лемма (Фридрих с^а). Пусть и ЕЕ Н (У), «Е
ЕЕ С1 (7) и Jz -— стандартный оператор осреднения. Тогда
|| D (aJzu) —. DJZ (аи) || -> 0 при г -> 0.
Доказательство. Прежде всего заметим, что
DJZ (аи) =	'
= D У <о8 (х, х) а (х) и (х) dx' = — J (D'a>z) a (х') и (х) dx =
V	V
= — \ {D' [<о£а (x')]}.u (х) dx'+ \ (о8 • [D'a (s')] и (s') dx', (9)
V	V
3*
68	ГЛ. П. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
где D' — дифференцирование по х'. В то же время
D(aJzu) = Da- a>z-u (х) dx' — J ]P'®Z\ а (х) и(х) dx'. (10)
V	V
Разность между последним членом цепочки (9) и первым
членом правой части (10) стремится, очевидно, к нулю
(перестановочность осреднения с умножением на непре-
рывную функцию). Разность остающихся членов запи-
шем в виде
D' {<о8 (я, х') [а (х) — а (х') ]} и (х') dx'
v
и воспользуемся приведенным выше утверждением, пола-
гая Kz = D' {<д8 [а — а']}. Соответствующее семейство
операторов равномерно ограничено (надо воспользовать-
ся тем, что | а — а' | С& при | х — х' |	е), выполне-
но свойство К-2 с х = 0 и требование локальности К-3. Щ
Приведенная лемма имеет много вариантов. Полезно
отметить, что от функции а (х)9 достаточно требовать ку-
сочной дифференцируемости и липшиц-непрерывности.
Из леммы Фридрихса немедленно следует, что в слу-
чае, когда w G Э (Рсл), а (х) ЕЕ С1 (и, следовательно,
au Е й (Рсл)), справедливо утверждение:
|| D (aJzu) — JZD^ (аи) Ц -> 0 при 8	0.
§ 6.	Совпадение слабых и сильных расширений
дифференциальных операции
6.1.	Случай постоянных, в главном, коэффициентов.
Для операций L (D) вида (1) § 2, коэффициенты которых
Оа, | а | > 2, постоянны, вопрос об эквивалентности сла-
бых и сильных расширений при наличии операторов
осреднения, «хорошо приспособленных» к рассматривае-
мым граничным условиям, решается весьма просто за счет
перестановочности осреднения с умножением на констай-
ту и аппроксимативной перестановочности с умножением
на гладкую функцию в случаях, охватываемых свойством
J-4 § 5 или леммой Фридрихса. Что следует понимать
под «приспособленностью» осреднения к граничным усло-
виям, станет ясным в ходе наших рассмотрений.
§ 6. СОВПАДЕНИЕ СЛАБЫХ И СИЛЬНЫХ РАСШИРЕНИИ 69
Будем считать заданной область V С Rn и операцию
L (D), коэффициенты которой удовлетворяют сделанным
выше предположениям. В соответствии с обозначениями
§ 4 пусть у, ty — некоторые сопряженные системы гра-
ничных условий. Пусть оператор осреднения Jg’ таков,
что для любой уеИ (F) и для-любого е > 0 J^v —
гладкая функция, удовлетворяющая граничным услови-
ям ty. Тогда, если u Е £ (Б?1) (области определения сла-
бого расширения операции L (D) при условиях у: L“ =
= (Ltv) *) и Ъ^и = /, то для любой v Е И
(и, I/ = (/, J*v).	(1)
Дальше остается применить схему, изложенную в п. 3
§ 5. Если интегральный оператор L* таков, что для
сопряженного оператора верно равенство
[V (Р) J?]*U = L (Р) Ди + Ле (и),
причем выполнены условия:
1)	Jg — оператор осреднения, обладающий тем свой-
ством, что для любого е 0 гладкая функция Ли при
любой u GE IH удовлетворяет условиям у,
2)	для любого элемента zz Е !Н |] ц8 (ц) ||	0 при
е 0, то равенство (1) немедленно приводит к равенству
L (Р)Ли = Л/ - т]е (Ц),
где правая часть стремится к / при е 0.
Определив последовательность {и*}, как в п. 3 § 5,
получаем включение
Обратное включение, как всегда, очевидно.
Если взять теперь в качестве Lv максимальный опера-
тор, порождаемый операцией L (D), а в качестве J? —
оператор J8, определенный в п. 2 § 5, то получим теорему.
Теорема. Для операции L (D), коэффициенты ко-
торой аа при | а | > 2 постоянны, в нормальной области V
справедливо равенство
L = (Ц)*.
70	ГЛ. П. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
6.2.	Случай переменных коэффициентов. В случае об-
щей дифференциальной операции L (D) вида (1) § 2, со-
держащей переменные коэффициенты аа, | а 1, во-
прос о совпадении операторов Lv, L^31 становится значи-
тельно более сложным. Основной причиной возникающих
осложнений является недопустимость, вообще говоря,
перестановки под знаком производной порядка больше
единицы операций умножения (на гладкую функцию) и
осреднения, т. е. отсутствие в этом случае аналога леммы
Фридрихса.
Приведем простейшую модель, выясняющую характер
возникающей трудности. Возьмем в качестве оператора
осреднения оператор
x-f-h
Кли(х) = ^- j u(g)d£,
X—h
сопоставляющий элементу и ЕЕ И абсолютно непрерыв-
ную функцию (функцию Стеклова). Тогда, если а =
= а (х) ЕЕ С\ то
D (aKhu) = а (х) Khu -f-	[u (х + h) — и(х — h)].
В то же время DKh(au) можно представить в виде
D Kh (аи) +	~и (x + h) +
+ a(X2hh)'^w^x + h) — u(x — 7г)]
и, очевидно, при h 0
|| D (aKhu) - DKh (аи) Ц -> 0
для любого элемента u G1Н. Таков механизм леммы
Фридрихса.
Если же, предполагая а = а (х) ЕЕ С2, провести срав-
нение между
D2 (аК\и)	и +	+ aD2 Kfa,
и D2K*(au), представив последнее выражение в виде
4&2Z)2Kh (аи) = [а (х + 2h) — 2а (х) + а (х — 2Л)]и (x+2h)-\-
+ [а (х) — а (х — 2h)] [и (х + 2Л) — и (х)1 +
+ а (х — 2h) [u (х + 2fe) — 2и (х) + и (х — 2fe)I,
'§ 6. СОВПАДЕНИЕ СЛАБЫХ И СИЛЬНЫХ РАСШИРЕНИЙ	71
то при оценке нормы
|]Р2<аКл2и)-Р2К?(аи)||	(2)
не удается отнести множитель (2fe)’2 (входящий в Кд)
ко вторым разностям, взятым от функции а (х), и стремле-
ние нормы (2) к нулю при h -> 0 имеет место лишь при
дополнительных предположениях относительно и (х).
Приведенное рассмотрение не противоречит, разу-
меется, тому факту, что, как будет показано ниже, в слу-
чае обыкновенной дифференциальной операции слабое и
сильное определения расширений всегда совпадают.
Остановимся на характере дополнительных предполо-
жений, при которых может быть установлен некоторый
аналог леммы Фридрихса. Пусть, например, L (D) —
операция порядка т и из того, что u G © (ЬуЛ), следует
существование элемента ЕЕ такого, что для любой
Е Н верны равенства
(u, Dtffv) = (—1)131 (/з,	(3)
при любых мультииндексах 0, 113 | т — 1. Другими
словами, из u Е S (БуЛ) следует существование всех
слабых производных от и порядка до т — 1 (слабые про-
изводные определяются с учетом граничных условий у).
Используемый оператор осреднения обычно бывает
таков, что (3) сохраняет силу и при замене J%v на^
a (x)J^v (а (х) — гладкая функция) и даже на [а (х) J^v}
(однородные граничные условия для J^v выполняются
тождественно, так что домножение на достаточно гладкую
функцию и даже дифференцирование не нарушают их вы-
полнения).
Будем предполагать, что оператор осреднения обладает
указанным свойством, и рассмотрим в равенстве
(u, UJ?v) = (/, /Гр), е > О (4)
(справедливом при любом элементе р Е Н и означающем,
что = /), один из членов левой части, содержащий,
например, старшую производную Z)a, | a j = т. Пусть
72	ГЛ. П. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
D® = р₽рь |р | = т — 1. Тогда
(-1)|а| («, Ра M"v]) = (-1)'“' (и, D9 [Dk (аЛ)]) =
= - (Д Dk	+ ъ, v) =
= (aaDaJlu + т]е, v), (5)
гДв II Ц8 II	0 при г -> 0. При получении цепочки равенств
(5)	мы воспользовались леммой Фридрихса и равенством
= D$JzU, вытекающим из (3).
Цепочка равенств (5), играющая роль леммы Фридрих-
са, позволяет немедленно установить, что при сделанных
предположениях слабое и сильное определения оператора
L?: IH Н эквивалентны. Действительно, преобразуя
все члены левой части (4) таким же образом, как это сде-
лано в (5), придем к равенству
+ Ц8, v) = (Л/, V),
которое, как и в случае постоянных коэффициентов, дает
требуемую эквивалентность.
6.3.	Некоторые примеры. Л. Хёрмандером был выде-
лен класс операций L (D) с переменными коэффициентами
(«главного типа» [С17]), обладающих следующим свойст-
вом. Пусть тп — порядок L (D), u €= 1Н и локально удо-
влетворяет уравнению LCJIu = /, где / G Н. Тогда и обла-
дает (опять-таки локально) всеми производными до
порядка 771 — 1 включительно.
Точно это означает следующее. Пусть и ЕЕ Н имеет
носитель, сосредоточенный в шаре достаточно малого ра-
диуса (напомним, что носителем функции и (х) называется
замыкание множества, на котором и 0; для элемента
и ЕЕ IH определение нуждается в некоторых очевидных
оговорках), и при любой v ЕЕ Сх удовлетворяет равенству
.(«,1/(ВД=М	(6)
при некоторой / ЕЕ IH. Интегрирование в определении
скалярного произведения, ввиду условия на носитель и,
можно считать распространенным на все пространство.
Утверждается, что тогда существуют принадлежащие И
функции такие, что
(u,D^) = (-l)l^l (/?, v) :
§ 6. СОВПАДЕНИЕ СЛАБЫХ И СИЛЬНЫХ РАСШИРЕНИЙ 73
для любой z?EE С°° и любого мультииндекса 0 такого, что
I Р |< т — 1.
Используя результаты предыдущего пункта, отсюда
немедленно можно заключить, что для операции главного
типа всегда справедливо утверждение: если и €Е 1Н и
удовлетворяет сделанным выше предположениям (включая
равенство (6)), то
|| LJ8u — /1| -> 0 при 8 -> О
при любом из операторов осреднения J8. Интегрирование
в определении нормы — по всему пространству.
Приведем пример, показывающий, что использование
равенств вида (3) не является обязательным при доказа-
тельстве эквивалентности слабых и сильных расширений
операций с переменной главной частью. Наши рассмот-
рения будут при этом иметь «глобальный» характер,
в отличие от локальной точки зрения, использованной
выше.
Пусть У — единичный квадрат плоскости fo, я^),
расположенный в первом квадранте, и
L (Z>) = xJDl - D±D2.
Покажем, что из u G © (L^) следует иЕ ® (L), хотя
рассматриваемая операция не принадлежит главному
типу в У и равенства вида (3) для u Е Э (L^1) не могут
быть, вообще говоря, доказаны (см. [С19]).
Если zz Е Э (L031), то существует элемент /Е та-
кой, что равенство
(u, L7z?) = (/, Jv)
(скобки — скалярное произведение в И (У)), выполняется
для любого элемента z? ЕЕ И, если оператор осреднения J
обладает тем свойством, что превращает v вх функцию из
cs°(y).
Возьмем в качестве J оператор /8Д, где Jz — «сжи-
мающий» оператор, рассмотренный в п. 1 § 5, действую-
щий по хх, a Л] — такой же оператор (с радиусом осред-
нения ц), действующий по переменной Тогда
(u, btJzJxp) = (u, [x^D*— D1D2\JZJ^) =
== (ft^J8Jq	Z?) — {DiP^JzJq^>	(7)
74	ГЛ II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Возьмем последовательность = 2“\ к = 1, 2, . . .,
и обозначим w* = и. Тогда первое из скалярных
произведений правой части равенств (7) может быть запи-
сано в виде (7n {x^w^ v) (множитель rr2 перестановочен
с дифференцированием и осреднением по хх). Выберем
последовательность таким образом, что
II *nfe (XgW^)	|| — ]| Qk ||	,
что возможно в силу свойств осреднений. Обозначив через
jk оператор будем иметь равенства
(u, Vj*г>) = ([Л2©1 — D1Z>2] 7ku + q,!, v) = (Jif, v),
справедливые для любого элемента v е И. Или
LJlsu = j]cf—<ti, ggfc|I-*O при к-^оо,
что и доказывает принадлежность и области определе-
ния L. '
Приведенный пример интересен еще и с той точки зре-
ния, что рассмотренная операция L (D) была указана
Хёрмандером в качестве операции, для которой «глобаль-
ное» совпадение (в наперед заданной области V) слабого
и сильного расширений не может быть установлено при
использовании «стандартных» операторов осреднения (см»
[С 19]). Употребленный выше прием выбора различных
радиусов осреднения по разным переменным часто оказы-
вается полезным (см. [G3]).
6.4.	Эквивалентность слабых и сильных расширений
как следствие однозначной разрешимости задач. Пусть
V — нормальная область, L (D) — некоторая дифферен-
циальная операция* заданная в У, и у — система гранич-
ных условий, позволяющая сопоставить операции L (D)
операторы Lv,	(см. §4). Будем предпола-
гать также, что для L (D) определена транспонированная
операция, а для условий у — сопряженная система усло-
вий ty.
Вопрос о совпадении L?, L^31 играет центральную роль
в одной из классических схем доказательства того, что
оператор Lv: IH IH — правильный или что уравнение
= /, / (ЕЕ	(8)
. § 6. СОВПАДЕНИЕ СЛАБЫХ И СИЛЬНЫХ РАСШИРЕНИЙ 75
имеет единственное обобщенное решение при любом, эле-
менте / €= И. Приведем упомянутую схему. • 4
Пусть для оператора Lv, понимаемого «в сильном смы-
сле» (т. е. как сильное расширение операции L (D) при
условиях у), удалось установить так называемое «энерге-
тическое неравенство»:
II и II < с II Lru ||.	(9)
Из (9) немедленно следуют два утверждения:
1. Сильное решение уравнения (8) единственно.
2. Область значений SR(L?) CZH — замкнутое подпро-
странство Н.
Но согласно введенным определениям (§ 4) подпро-
странство	z
- ’	^©91(1^)
состоит из слабых решении уравнения L*yv = 0.
Если для сильных решении сопряженной задачи спра-
ведливо неравенство, аналогичное неравенству (9):
|| v|l<cl|L^I|,	(9-0
а слабое решение является одновременно сильным, то из
неравенств (9), (9-0 и приведенного рассуждения немед-
ленно следует правильность операторов Ly,	IH —> IH.
Указанная схема находит наиболее широкое примене-
ние в случае, когда L (D) — система линейных дифферен-
циальных операций первого порядка, а и = (z^,... . uN).
Это связано как раз с тем, что в такой ситуации использо-
вание операторов осреднения наиболее удобно (см. .[С18},
[С20]).
Нес сейчас интересует возможность обращения приве-
денных рассуждений в том смысле, что из неравенств (9),
(9-0 й теоремы существования и единственности сильного
решения соответствующей задачи при любой правой части
из 1Н автоматически следует совпадение L?, Ьул- Действи-
тельно, из разрешимости уравнения = g при любом
элементе g е IH следует, что уравнение = 0 имеет
только нулевое решение;' следовательно, уравнение
Ъ™и = / разрешимо однозначно, т. е. слабое решений
необходимо совпадает с сильным.
76	ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
6*5. Случай обыкновенной дифференциальной опера-
ции. Пусть теперь Lv:	—оператор^ порожден-
ный обыкновенной дифференциальной операцией вида (1)
§ 2 (n = 1) и некоторой однородной системой граничных
условий V, для которой определена сопряженная система
условий ty. Обычно не представляет труда установить для
классических (а следовательно, и для сильных) решений
уравнений
Lvu = f, Ltvv = g
как неравенства (9), (9-i), так и теоремы существования
решений. Как следствие рассмотрений предыдущего пунк-
та получим тогда
Утверждение 2. В сделанных предположениях
справедливы равенства
Ъ™ = Lv, L$* = LtV	(10)
Наличие равенств (10) не снимает, вообще говоря, во-
проса об эффективном построении последовательности
функций из (удовлетворяющих, быть может в пределе,
требуемым граничным условиям), аппроксимирующих
слабое решение. Регулярных методов построения подоб-
ной последовательности неизвестно.
Приведенное утверждение 2 неприменимо непосред-
ственно к случаю, когда Lv = L (где L — соответствую-
щий максимальный оператор). Но использование специ-
фики случая п = 1 позволяет установить требуемое сов-
падение слабого и сильного определений и в этом случае.
Утверждение 3. Если L (D) — обыкновенная
дифференциальная операция, для которой справедливы
классические теоремы представления общего решения одно-
родного уравнения L (D)u = 0, то = L.
Доказательство. Заметим, что, поскольку
N (ядро оператора L^) допускает представление
в виде
ту(ьсл) = 1неэч14),
где 14 понимается ’в [сильном (т. е. можно считать — в
классическом) смысле, справедливо равенство
N (L"1) = N (L) = 2V.
§ 7. ПРОСТРАНСТВА W	77
Если теперь iz Е Э (ГЛ1), L^u = f, a v (= IH — некото-
рое решение уравнения Lv = /, то L071 (v — u) = 0, т. е'.
и = v + v, vGtf, следовательно, u GE © (L). Н
Следствие. В сделанных предположениях Lo = L^1-
х Действительно, из совпадения L, Ьсл следует совпаде-
ние сопряженных с ними операторов. |
§ 7.	Пространства W
7.0.	Предварительные замечания. Одним из важней-
ших вопросов, относящихся к исследованию свойств пра-
вильных операторов или свойств соответствующих «обоб-
щенных решений» некоторой граничной задачи -
L(D)w = /, yu|s = 0,	(1)
является вопрос о том, при каких дополнительных пред-
положениях относительно /, S = дУ, у и, наконец, отно-
сительно самой операции L (D) можно утверждать, что
решение уравнения
. Lvu = /,
принадлежащее априори лишь пространству !Н (У), будет
«классическим», т. е. будет обладать производными, вхо-
дящими в уравнение и граничные условия (а может быть,
и производными более высокого порядка), и будет удов-
летворять равенствам (1) в «обычном» смысле.
Как мы уже отмечали, этот вопрос, несмотря на всю
его важность, лежит в стороне от основной проблематики
книги. Но некоторые указания на способы его изучения
будут нам полезны. Важнейшую роль в этом изучении
играют специальные функциональные пространства —
пространства ТУ*, функций, обладающих всеми «обобщен-
ными производными» до порядка к включительно. Кратко-
му описанию этих пространств и некоторых их свойств
посвящен данный параграф. Основным первоисточником
относящихся к этим пространствам сведений является
монография [161. Общему рассмотрению всего примыкаю-
щего круга вопросов посвящены книги [3], [15].
7.1.	Слабые и сильные обобщенные производные. Для
нужных нам конструкций удобно использовать' введенные
выше общие определения различных расширений произ-
78	ГЛ. П. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
вольной операции L (25). Будем считать фиксированной
некоторую нормальную область V CZ Rn. Пусть Da =
=	. . Dnn — фиксированный моном. Полагая
L (25) = 25% можем определить соответствующие мини-
мальный и максимальный операторы D% 25*.
Определение. Элемент и €Е ’Н обладает в V
слабой (сильной) обобщенной производной 25% если
weS<) (иеЭ(Ра)).
Соответствующие производные будем обозначать
25*лЫ, 25аы.
Установить наличие слабых производных у того или
иного элемента и ЕЕ Н оказывается зачастую проще, чем
наличие сильных. Так, например, справедлив следующий
критерий существования слабой производной.
Утверждение 1. Если иЕ и существует
последовательность гладких функций	и (сходимость
в Н) такая, что || D^ut || С, то существует
Доказательство. Для любой <р ЕЕ С™ (V)
верно равенство
$Рв<р.и^7 = (— 1),а|	(2)
V	V	'
Выбрав слабо сходящуюся подпоследовательность {25az4}
и подставив ее в (2), а затем переходя к пределу при
£->оо, получим требуемое.
?В то же время при доказательстве таких, например,
фактов, как наличие младших производных при существо-
вании старших, допустимость умножения на гладкие
функции и т. п., «слабое» определение производной не-
удобно. Поэтому весьма полезно следствие рассмотре-
ний § 6.
Утверждение _2. В нормальной области V
слабое и сильное определения производной (или операторы
ZJ^i, 25®) эквивалентны.
7.2.	Пространства W™ и теоремы вложения. Счи-
тая по-прежнему фиксированной нормальную область
V CZ Rn, определим на функциях u Е скалярное про-
изведение, полагая
{и, v}m = Г 2 DauDav +uv] dV. (3)
§ 7. ПРОСТРАНСТВА W	79
Пополнение С™ по норме, порождаемой таким скалярным
произведением, дает гильбертово пространство Wm'. Для
нормы в W™ введем обозначение | u, JF™]:
| и, ИР»|2 = {и, и}т.
Отсутствие слагаемого uv в (3) привело бы нас к «полунор-
ме», т. е. к определению пространства, в котором элемен-
ты — полиномы степени меньше т — имеют нулевую
норму.
Если в качестве исходного линейного многообразия
на котором вводится произведение (3), брать Cf (F) —
гладкие функции, обращающиеся в нуль на границе F,
то слагаемое uv в (3) можно опустить. Получающееся про-
странство обозначается обычно Wm (или PF71). В качестве
объекта дальнейших рассмотрений выберем именно про-
странство W™ и приведем ряд основных фактов, к нему
относящихся. Что касается доказательств, мы ограничим-
ся простейшей схемой в случае т, п 2, что позволит
выяснить смысл формулируемых утверждений. Достаточ-
но развернутое изложение соответствующих построений
имеется почти во всех современных курсах функциональ-
ного анализа (например,* в [5], [8]).
Утверждение 3. Имеет место вложение
W1 (Z И, и для элементов и ЕЕ W1 справедливо неравен-
ство '	.
4 ||и]|<с |u, ТГ1 |,	(4)
где постоянная С зависит лишь от области F. Кроме того,
для любой гладкой (п — 1)-мерной гиперповерхности Q Q F
определен интеграл ^u2dQ. и если Q граница V9mo
Q
^u?dQ = O.
Q	* '
Доказательство. Пусть F = (0, X (0, &2).
Если и ЕЕ С}, можем записать, например, следующую це-
почку неравенств:
bi	bl у	Ь1 у
$ и2(ж, y)dx = J (J -^rdy'Jdx^ J у jj (-^fdy'dx^
о	0 0	о о
VF1!2. (5)
80	ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Проинтегрировав итоговое неравенство, следующее из (5),
по у в пределах от 0 до Ь2, получим
откуда следует (4) для элементов и ЕЕ С}. Если теперь
{щ} — последовательность элементов CJ, сходящаяся к и
в норме W1, то из (4) следует, что последовательность яв-
ляется сходящейся и в !Н. Отождествление предельных
элементов дает требуемое вложение, й неравенство (4)
сохраняет силу для произвольного элемента и ЕЕ W1.
Соответственно (5) дает существование исходного инте-
грала для и ЕЕ W1 при любом у ЕЕ [0, &2] и равенство
bi
У и2 (х, 0) dx = 0. Некоторое обобщение этих рассужде-
о
нии дает существование подобного интеграла по любой
гладкой кривой, лежащей в V. |
Утверждение 4. При 2т п элементы Wm
суть непрерывные функции, обращающиеся в нуль на гра-
нице V.
Замечание. Элементы пространств W*, как и
элементы пространства !Н, суть некоторые классы экви-
валентности. Утверждение. о непрерывности элемента
и ЕЕ W™ следует понимать в том же смысле, что и утвер-
ждение о непрерывности некоторого элемента И (см. § 1).
Доказательство. Снова, если ueCq и
V = (0, &i)x(0, &2)> используя цепочки неравенств, ана-
логичные (5), и соответствующие рассуждения с аппро-
ксимирующими последовательностями, получим существо-
вание сужения производной элемента и 6= И72 на любую
кривую I GZ V и принадлежность самого элемента соответ-
ствующему пространству W1 (Z) (концы кривой лежат на
dV\). Если же и ЕЕ W1, например, на (0, Ь), то для соответ-
ствующей аппроксимирующей последовательности можно
использовать представление
х
S *
§ 7. ПРОСТРАНСТВА W
81
и очевидные рассуждения (например, оценка разности
I и (xi) — и fo) j) позволяют установить уже непрерыв-
ность соответствующего элемента и 6Е Ясно, что для
непрерывной функции условия обращения в нуль на гра-
нице V выполняются в обычном смысле. |
Замечание. Нетрудно увидеть, что, опираясь
лишь на использованные примитивные рассуждения, уже
при п = 3 для доказательства непрерывности и Wm
нам пришлось бы потребовать тп, = 3, тогда как на самом
деле достаточно т = 2. Для получения точных результа-
тов нужен более сложный аппарат.
Утверждение 4 (и его различные варианты) является
тем основным инструментом, позволяющим устанавливать
гладкость обобщенных решений, о котором шла речь во
введении. Доказав, с помощью тех или иных дополни-
тельных построений, принадлежность обобщенного ре-
шения некоторому пространству типа W171 при достаточно
большом тп, можем сделать вывод о его гладкости в класси-
ческом смысле.
Утверждение 5. Вложение T#*+1 CZ Wk вполне
непрерывно.
Утверждение означает, что всякое множество, ограни-
ченное в является компактным в W*. При доказа-
тельстве достаточно рассмотреть вложение W1 в IH.
Приведем стандартную схему рассуждений. Ограничен-
ность множества Jf, CZ влечет его ограниченность в Н
и равностепенную непрерывность в среднем (ср. § 1).
Отсюда следует, что для любого фиксированного в>0
множества {J8/}, / М (Дъ — оператор осреднения),
равностепенно непрерывно в классическом смысле в С (V).
Оно, следовательно, компактно (теорема Арцела), и для
любого Ci > 0 существует конечная 8х-сеть в С, что влечет
существование соответствующей сети и в Н. Ц
Этим кратким изложением простейших фактов, отно-
сящихся к теории функциональных пространств, элементы
которых обладают обобщенными производными, мы и огра-
ничимся.
Г Л А В А Ш .
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
ОПЕРАТОРЫ
§ 0. Вводные замечания
Изучение интересующих нас аспектов теории гранич-
ных задач естественно начать с достаточно подробного
рассмотрения ряда свойств обыкновенных дифференциаль-
ных операторов. Во-первых, обыкновенная дифференциаль-
ная операция является простейшим объектом в интере-
сующей нас теории, допускающим исчерпывающее (во
многихотношениях) изучение. Во-вторых, основным типом
интересующих нас в дальнейшем операторов будут опе-
раторы, действующие в тензорном произведении про-
странств Но 0	0 . . . 0 Нп (гл. IV) и построенные
из коммутирующих друг с другом операторов Lfe:
При этом материалом для построения будут служить
обыкновенные дифференциальные операторы, обладающие
теми или иными свойствами, зависящими от входящих в их
определение граничных условий.
Следует заметить, что с точки зрения теории граничных
задач для уравнений с частными производными описанный
выше объект является «модельным», т. е. весьма упрощен-
ным по сравнению с основным объектом общего харак-
тера — произвольной линейной дифференциальной опера-
цией, рассматриваемой в некоторой ограниченной области
пространства R”. Но мы надеемся показать, что и указан-
ная модель является заслуживающей изучения и позво-
ляющей проанализировать многие явления, встречаю-
щиеся в теории граничных задач.
Третьим доводом в пользу подробного анализа обык-
новенных дифференциальных операций (тесно связанным
со вторым) является то соображение, что многие специфи-
ческие явления, возникающие при изучении операций
с частными производными, удобно прослеживать на языке
перехода от обыкновенной дифференциальной операции
(например, от операции L (A, D) = A2Z>2 +	+ Ао,
где А& — числа) к соответствующему «уравнению с one-
§ 1. ОПИСАНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ПРИ п-1	83
раторными коэффициентами» или «уравнению в банаховом
пространстве» (т. е. к операции L (А, Р), в которой
Ак — операторы). При осуществлении подобного перехода
является неизбежным предварительное внимательное
рассмотрение ряда свойств обыкновенных дифференциаль-
ных операций. •
§ 1. Описание правильных операторов
при п = 1	z
В качестве примера интересующей нас задачи, которая
в случае обыкновенной дифференциальной операции до
конца решается, мы приведем полное описание правиль-
ных операторов в случае, когда V — конечный интервал
вещественной оси.
1.1. Операторы, порождаемые условиями Коши. Пусть
xer = (0,&), H = H(F), D = L(Dy=^ak(z)bk
.	,	о
(1)
и Lc: IH Н - оператор, определяемый как замыкание
в 1Н операции (1), рассматриваемой первоначально на
гладких функциях, подчиненных условиям Коши:
u io = и'|о = . . . = u<^I0 = 0.
В дальнейшем будем предполагать, что ак (х) непрерыв-
ны в V и а^ = 1.
Теорема 1. Оператор L71: Н -> Н существует и
является вольтерровым.
3"а м е ч а н и е. Информация, относящаяся к реше-
ниям уравнения Lcu = /, которую мы получим в процессе
доказательства, далеко не будет исчерпываться утвер-
ждением теоремы. Само доказательство мы проведем,
следуя схеме, допускающей обобщение на так называе-
мые гиперболические операторы с частными производными
(см. [4]).
Лемма 1. Пусть для неотрицательной интегри-
руемой функциир (х), х^ (0, &), справедливо неравенство
р(х)<^сУр(£)й£ + о(х), c = const>.0, (2)
о
84 ГЛ. ХП. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
где а (х) > 0 — ограниченная неубывающая .функция х.
Тогда верно неравенство
р (х) < еРЪ (х).	(3)
Доказательство. Введем обозначение
X	—	.
J<p = У <р (£) d%. Тогда,- записав неравенство (2) в виде
о
р dp 4~ о и применяя к этому неравенству операцию
d, получим
dp c2Z2p + do.
Внося эту оценку для с/р в (2), будем иметь
р c2Z2p + do 4-0.	(4)
Можем снова применить операцию d к неравенству (4)
и снова внести результат в (2). Повторяя эту процедуру
п раз, получим
р «Зс™J*«p + c’Jno 4- с”"1 Г^о + ... 4- о.	(5)
Заметив теперь, что
=	o(g)dg<-^o(t)	(6)
О
for (t) — неубывающая) и что
ъ
en = c™J™p(t)^c™^p(t)dt	(7)
. о
стремится к нулю при п оо, внося (6) и (7) в (5) и пере-
ходя к пределу при п оо, получаем (3). (|
Лемма 2. Если zz Е Э (Lc), т 1, Lcu = / Е
то
X
"	(8)
О
где постоянная с зависит лишь от т и коэффициентов а^
операции (1).
Доказательство. Достаточно, очевидно, про-
вести доказательство неравенства (8) для гладких функ-
§ 1. ОПИСАНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ПРИ п-1
85
ций и (х), удовлетворяющих условиям Коши. Домножим
равенство
L (D)u (я) = / (х)
на Dw“1u и проинтегрируем в пределах от 0 до х. Получим
J	+ X J ®	= J f (5) D^uQ.
О	0 0	о
Воспользовавшись теперь равенством
| J DmuDm-'ufc, | = -±-1J D (D^uf <^| = 4-| Dm~lu («) I2 ’
о ,	о
и оценками
max[ак(х) [<М, |Z)suZ>m_1u|< — ([D*u|2 + | D”1’1»|«),
к, х	2
| f ©	I2 < 4 (If I2 + I P’n-lw I2)’
а так же тем, что для любого & > О
J|Z)*u|2<£ =
о
X £	X £	X
= J | J D*+1udr) |2J I DUlu 12<^< 4$ ।р*+1»№
0 0	0 0	о
получим	. .
] Dm~xu (х) |2 < С J | D^hi |2 J | /12 d|. "
0	0
Обращаясь к лемме 1, получаем отсюда утверждение лем-
мы 2. (J
Следствие. В условиях леммы 2 справедливо нера-
венство
II и||< с II LCU1|.	(Ф)
Неравенство (Ф) является, очевидно, «огрублением»
неравенства (8).
Лемма 3. Все точки % (= С ( | X | < оо) принадле-
жат резольвентному множеству оператора Lc.
86 ГЛ. 1П. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Доказательство!. Существование при лю-
бом % (которое может быть включено в а0) ограниченного
оператора (Lc — X)”1 немедленно следует из (Ф). Нужно
лишь убедиться, что областью определения этого опера-
тора является все пространство 1Н, т. е. что уравнение
Lc, = f (или просто Lcu = f) разрешимо при любом
/ ё= Н. Это немедленно следует из классической теории
обыкновенных дифференциальных уравнений (например,
для / 6= С, что достаточно в силу наличия (Ф)). Ц
Доказательство 2. Если поставить целью
получение доказательства, не зависящего от классических
рассмотрений, как это приходится делать для операторов
с частными производными, то можно воспользоваться
схемой, изложенной в п. 6.4 гл. II.
Ортогональное дополнение к SR (Lc) (области значений
оператора Lc), являющееся в силу (Ф) замкнутым под-
пространством в Н, состоит из слабых решений уравнения
L*cp = О,	(9)
где tc — условия Коши при х = Ъ. Все будет доказано,
если мы покажем, что (9) влечет v = 0. Сильное решение
уравнения (9) заведомо тождественный нуль (в силу на-
личия соответствующего неравенства (Ф) для операции I/
и условий tc, что считается очевидным). Но, чтобы утвер-
ждать совпадение слабого и сильного решений (§ 6 гл. II),
мы вынуждены потребовать а* (х) е С*. И
Можно еще заметить, что при доказательстве эквива-
лентности слабого и сильного определений оператора L
для обыкновенной дифференциальной операции мы ис-
пользовали конечномерность ядра L, подразумевая соот-
ветствующий классический результат. Но этот результат
немедленно следует из установленной выше (независимо)
единственности решения задачи Коши.
Из леммы 3 и леммы о связи спектров операторов Т,
Г1 (п. 2.3 гл. I) немедленно следует вольтерровость опе-
ратора L;1, т. е. утверждение теоремы 1.
Заметим еще, что постоянная с в неравенстве (Ф),
записанном для оператора Lc— %, будет, очевидно, зави-
сеть от X. Вопрос о характере этой зависимости есть во-
прос о поведении резольвенты оператора Ъс. Проведение
соответствующего изучения резольвенты, обычно также
§ 1. ОПИСАНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ПРИ п-1	87
относимого к изучению спектральных свойств оператора
(понимаемых в расширенном смысле), нам .в дальнейшем
неоднократно понадобится.
В случае обыкновенной дифференциальной операции
неравенство (8) и следующее из него неравенство
немедленно влечет и соответствующую оценку для про-
изводной порядка т.
Лемма 4. Если и s © (LC), т >> 1, Lci4=/EH,
то
ПР’М II/II,
где с — постоянная, не зависящая от f.
Доказательство. Домножая равенство
L (D)u = f на u и интегрируя в пределах от 0 до &;
используя ограниченность ак (х) и неравенство Коши—
Буняковского, немедленно получим
яг—1
|| Dmuf — с|| ZTu|[ SII № II < II / Н il^ll-
О
Производя сокращение на || Dmu || и воспользовавшись
тем, что нормы, всех производных к т — 1, оце-
ниваются через норму / (ср. доказательство леммы 2),
получаем требуемое. £
1.2. Описание правильных операторов. Пусть по-преж-
нему V = (0, Ь), Н = Н(Р) .и L {D) — обыкновенная
дифференциальная операция (1). Мы будем пользоваться
терминологией гл. II.
Лемма 5. Если L — правильное сужение максималь-
ного оператора L, то оператор L'1 допускает представ-
ление
яг-1
= S М/W,	(Ю)
/ 0
где f — произвольный элемент IH, Lc — оператор г по-
рождаемый условиями Коши, — ограниченные линей-
ные функционалы над И, a {(fyjo*"1 — некоторая фундамен-
тальная система решений {фиксированная) уравнения
L(Z>> = 0.
88 гл. HI. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Доказательство. Из конечномерности ядра L
немедленно следует существование для любого элемента
и s © (L) сильных производных и<*>, к т, и, следо-
вательно, представимость всякого решения уравнения
Lu = /, как и в классическом случае, в виде суммы част-
ного решения и общего решения однородного уравнения,
т. е. в виде правой части равенства (10) при некоторых по-
стоянных 1к. Выбор постоянных будет зависеть, вообще
говоря, и от /, и от выбранного сужения оператора Е
(в классическом случае —от соответствующих граничных
условий). Зависимость от / линейна в силу линейности L;
соответствующие функционалы должны быть ограничены
в силу ограниченности L”1 и независимости системы ре-
шений {<о&}.Н|
Л е м м а 6. Для фиксированного правильного сужения
L область © (L) состоит из элементов us© (L), под-
чиненных дополнительно системе условий,
u(»j0 = Vi (зъ, Lu)(o^(0),	; = 0,1,..., т — 1. (11)
о
Здесь круглые скобки — скалярное произведение в И,
a {Sblo*”1 — набор элементов !Н, определяющий правиль-
ное сужение.
Доказательство. Всякий элемент и S © (L)
имеет, как отмечалось, т обобщенных производных, и,
следовательно, граничные значения и, а так же производ-
ных, входящих в (11), определены (ср. § 7 тл. II). Заменяя
в левой части (10) L”1 / на и, реализуя функционалы
1к (/) в виде скалярных произведений (g&, f) (лемма Рис-
са), замечая, что в нуле значения Lc1/ с производными
до порядка т — 1 равны нулю и заменяя / на Lu, при-
ходим к системе условий (11). В
Лемма 7. Правильное сужение L CZ L является
расширением соответствующего минимального оператора.
Lo тогда и только тогда, когда элементы {q^} в форму-
ле (11) принадлежат ядру оператора L*.
Доказательство. Необходимость.
Пусть Lo CZ L. Тогда для любого us© (Lo) справедлива
формула (11), причем и^>|0 = 0 для всех значений у,
§ 2. ОБЫКНОВЕННАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ОПЕРАЦИЯ 89
входящих в (11). Но тогда из независимости следует,
что (ок, Lov) = 0 при всех к и для любого vE ® (Lo).
Но это и означает принадлежность ядру L' в силу
эквивалентности для обыкновенных дифференциальных
операций слабых и сильных расширений.
Достаточность. Если элементы {q*} в (11)
принадлежат ядру L*, то они, как отмечалось, имеют т
сильных производных и в (11) в произведениях (<&, Lu)
можно осуществить переброску оператора L на qk за счет
интегрирования по частям. Поскольку = 0, условия
(11) примут вид однородных граничных условий
и<»
. )6
- 2 Л(») =0,
0	0	10
7 = 0, 1
т — 1. (12)
Каждая сумма в (12) является линейной комбинацией
значений и и ее производных до порядка т — 1, взятых
в нуле и в Ъ. Коэффициенты этих линейных комбинаций
зависят от {q^}, {©»} и коэффициентов L (D). Из записи
условий (И) в форме (12) следует включение LocL. Ц
Проведенные рассмотрения позволяют, в частности,
сформулировать теорему.
Теорема 2. В сделанных предположениях любой
правильный оператор L, порождаемый обыкновенной диф-
ференциальной операцией L (£)), описывается заданием
области определения £ (L) с помощью условий (12), ко-
торым должен быть подчинен элемент из £ (L).
Из рассмотрений п. 1 следует, что при п = 1 линейное
многообразие £ (t) совпадает с пространством Wm (Г).
§ 2. Обыкновенная дифференциальная операция
первого порядка
Обыкновенной par exellence является обыкновенная
операция 1-го порядка. Мы рассмотрим ее весьма под-
робно, имея в виду, с одной стороны, проиллюстрировать
на простейших примерах результаты § 1, а с другой —
подготовить изучение соответствующих операторных
уравнений.
90 ГЛ. Ш. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Как и в § 1, будем считать, что V = (0, Ь), И =
= IH (V), a L (D) имеет вид
Ъ(2>) = Р-а(ж), D =	(1)
где а (х) — непрерывная функция (для простоты — веще-
ственная). Формула (10) § 1 примет вид
с
L-V = ^eS /(&)<£-Н(/)е°	,	(2)
0
где Z (/) — ограниченный функционал на Н. Если
1(f) — (q, f), QG H, то (11) § 1 запишется в виде
и 1о — (?> L») = 0-	(3)
Условия (3), описывающие область определения пра-
вильного сужения L операции L (D), будут граничными,
если q (х) удовлетворяет уравнению (D + a (x))q — 0,
X
т. e.q = рехр(—^a(l)dl) , где р — некоторая постоянная,
о
Тогда условия (12) § 1 запишутся в виде равенства
ъ
-5а<%
(l+p)ujo — ре 0 u|b = 0.	(4)
При произвольном комплексном параметре р гранич-
ные условия (4) дают описание всех правильных операто-
ров, порождаемых L (D). С несколько иной точки зрения
формула (4) дает все граничные условия, при которых
нуль не является точкой спектра для соответствующего
оператора L(P>: В4-> !Н, порождаемого операцией L (ZJ).
Замечание 1. Последнее обстоятельство нахо-
дит свое отражение в том факте, что, в отличие от ситуа-
ции, возникающей при задании граничных условий равен-
ством
ри |0 — хи\ь = 0	(5)
(fi, v — некоторые комплексные постоянные), при усло-
виях (4) дающая решение задачи формула (2) (в которой
надо еще вычислить значение постоянной 7(/)) не содержит
знаменателей, которые могли бы обратиться в нуль при
§ 2. ОБЫКНОВЕННАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ОПЕРАЦИЯ 91
некоторых значениях р (приводимая ниже формула (8),
дающая значение I (f) при условиях (5), такой знамена-
тель содержит).
Граничные условия (4) показывают, что все правильные
операторы, порождаемые операцией (1), заведомо описы-
ваются условиями вида (5) при произвольных p,v. Или,
чтобы иметь дело с одним параметром, условиями
ри |0 — п|ь = 0	(6)
и условием
и |0 = 0,	(7)
соответствующим значению р = . оо в (6). В рассматривае-
мом простейшем случае оказывается возможным дать пол-
ное описание структуры всех правильных операторов,
порождаемых операцией (1).
Теорема. Все правильные операторы, порождае-
мые операцией (1), описываются условиями (6), (7). Опера-
торы, порождаемые условиями (6) при р = 0 и условия-
ми (7), суть V-операторы, а порождаемые условиями (6)
при р =/= 0 — М-операторы (ср. п. 3.5 гл. I).
Доказательство. Достаточность условий (6),
(7) для описания всех правильных операторов нами уже
проверена. Часть утверждения, относящаяся к условиям
Коши на одном из концов интервала V, следует из резуль-
татов § 1. Остается выяснить спектральные свойства опе-
раторов, порождаемых условиями (6) при р =/= 0.
Решая уравнение (L (D) — к)и = / при условиях (6),
получим для определения постоянной с = I (f) в (2)
(где а (|) заменено на а (§) 4- %) формулу
р — exp [ j (<г(О + Ь) <%]
о
где I — некоторый интегральный оператор, определен-
ный на всем пространстве IH, вид которого нас пока не
интересует. Из (8) следует, что значения X, при которых
знаменатель не обращается в нуль, принадлежат резоль-
вентному множеству pL. Значения 1, при которых знаме-
натель обращается в нуль, суть
= b~l (In | р | + i arg р + 2kni),
к = 0,'±1, ±2, . . .,	(9)
92 ГЛ. Ш. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Ь
где р. = р. exp § а (£)	При % = ^соответствующее одно-
а
родное уравнение имеет нетривиальное решение
X
ий(«) = ехрЦа(|)Л+Xta;)	(10)
о
— собственную функцию, принадлежащую собственному
значению т. е. A* ge PaL. Совокупность собственных
функций (10) образует базис Рисса в Н. Действительно,
эта совокупность отличается от полной ортонормирован-
«	2fati	,	,
нои системы <рк = ехр	х лишь несущественным (не обра-
щающимся ни в нуль, ни в бесконечность) множителем. В
Замечание, 2. Полнота в И приведенной выше
системы функций {<рь} — факт классический. Но он мо-
жет быть без труда получен и из приведенных нами ранее
результатов спектральной теории. Действительно, пусть
,L (D) = iDx — а ъ. соответствующий оператор L: IH И
определен условиями (6) при р, = 1 (периодичность).
Тогда при PoL оператор L-1 (а — вещественное) —
самосопряженный ВН-оператор, как это немедленно сле-
дует, например, из явной формулы, дающей решение урав-
нения Lu = / (можно использовать и результаты § 7
гл. II). При этом всякая гладкая периодическая функция
принадлежит области значений оператора L-1 (уравнение
L-1/ = и заведомо разрешимо^ если ибЭ (L)), и, следо-
вательно, разлагается (п. 3.3 гл. I) по собственным функ-
циям {<ps} оператора L-1 (оператора L; п. 2.3 гл. I). По-
скольку множество гладких периодических функций
плотно в Н, система {<р^} полна в И.
Замечание 3. Неожиданно сложным (даже для
простейшей операции (1)) оказывается вопрос о спектре
правильного сужения оператора L, не являющегося рас-
ширением минимального, т. е. о спектре оператора, по-
рождаемого (1) и условиями (3) при q^N (Lz). Для глад-
кой функции q можно записать (3) в виде
ъ
(1 + ?)и[о — gu|b-f-^uLgdx = 0;
о
§ 3. ТЕОРИЯ БИРКГОФА
93
представляется интересным выяснить природу спектра
соответствующих операторов.
Формулы (9), (10) показывают, что наличие в L (D)
«младшего члена» а \х) вызывает лишь сдвиг спектра и
некоторое изменение структуры собственных функции,
что будет несущественно в большинстве интересующих
нас в дальнейшем построений, и мы сможем ограничиться
случаем а (х) — 0. В этом случае явная запись оператора
Lx1, порождаемого условиями (6), будет иметь вид
х	Ь
р, j	(g) gg	j	(£)
----------------------------• <“)
г е
§ 3.	Теория Биркгофа
К сожалению, при тп > 2 общая операция вида (1)
§ 1 уже не допускает столь исчерпывающего изучения,
как проведенное в § 2 для случая т = 1. Это относится
даже к операциям с постоянными коэффициентами, когда
возможна явная запись решения уравнения
L(D)u = 3akDfcu = /.	(1)
О
Под изучением мы понимаем, прежде всего, выяснение
зависимости свойств спектра (свойств разрешающего опе-
ратора) от выбора граничных условий. Если для опера-
тора первого порядка все по существу граничные условия
исчерпывались семейством, зависящим от единственного
параметра р,, и значения этого параметра определяли
положение вертикальной прямой комплексной плоскости,
на которой располагался весь точечный спектр, то. удов-
летворительного, ответа на вопрос: «Как охарактеризовать
спектры операторов L, порождаемых операцией (1) при
всех возможных выборах граничных условий, порож-
дающих правильные операторы?» не удается получить,
как мы увидим ниже, даже при т 2.
Природа возникающих трудностей объясняется нали-
чием в формуле, дающей решение уравнения (1), знамена-
теля, имеющего вид определителя А (играющего роль
функции р — ехр ЪК в формуле (11) § 2), зависимость
ГЛ. III. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
свойств которого (в частности — расположения нулей)
от большого числа параметров, входящих в граничные
условия общего вида, надо изучить. „
В плане преодоления указанной трудности имеется
ряд классических результатов, восходящих в основном к
Биркгофу; Основная идея заключается в описании клас-
сов граничных условий, позволяющих выделить «глав-
ную часть» упомянутого выше определителя и изучить
асимптотическое поведение его нулей, определяющих то-
чечный спектр соответствующего оператора. Построения
Биркгофа мы проиллюстрируем на простейшем примере
операции второго порядка. Подробное изложение соответ-
ствующих общих рассмотрений приведено в [13].
При т = 2 введением новой неизвестной функции
х	z •
v=uexp (-----g-jjai(£)d£) операция (1) приводится к виду
о
D*u + а (х)и	(2)
(для общей операции (1) соответствующей заменой можно
убрать член
Утверждение 1. При | р | —> оо линейно неза-
висимые решения уравнения
D2u + а (х) и + р2и ?= 0	(3)
допускают представление в виде
и1>2 == e±if>* И + О (1/р)]. Ц
Замечание. В случае общей операции (1) спра-
ведливо аналогичное утверждение: решения уравнения
(L (D) + рт) и s= 0 стремятся при | р | оо к функциям
== 1, . . т, где <ofc — набор корней из единицы,
т. е. стремятся к фундаментальной системе решений
уравнения (Pm + рт) и = 0.
Запишем теперь при xe=V — (0, Ъ) общую систему
однородных граничных условий для операции (2):
Г1 (и) = с^и' |0 + a10zz |0 + pju' -fb + p10u |ь 0, r
Г2 (u) = ct^u' |0 + «гои io + ^2U' lb + P20 u lb = 0. Y '
Если теперь CjU^p + c2u2jP — общее решение однород-
ного уравнения (3),’а	+ c2u2>p + up (/) — общее-ре-
§ 3. ТЕОРИЯ БИРКГОФА
95
шение соответствующего неоднородного уравнения, то
для получения решения, удовлетворяющего условиям (Г),
мы должны решить систему уравнении, определяющую
значения постоянных с2. Определитель этой системы
уравнений будет иметь вид
Д(Р, Г) =
Гг (uit р)
^*1 (и29 р)
р)
Утверждение 2. Значения р, при которых
Д (р, Г) = О, суть собственные значения операции при
условиях (Г), т. е. при этих значениях р уравнение (3)
имеет .нетривиальное решение, удовлетворяющее условиям
(Г). 
Рассмотрим теперь структуру определителя А, поло-
жив ua<p ер°*, о = 1, 2. Будем иметь
Гх («х.р) ~ «хРх + «хо +	=
= Р1 {ах + О (1/Р1) + е*>< [01 + О (1/Р1)]}.
Аналогично,
г2 = Рх {а2 + О (1/рх) +	[0.2 + О (1/рх)]},
а соответствующие представления для Га (и^р), а = 1, 2,
получаются заменой рх на р2.
Утверждение 3. Если выполнено условие
а1?2	^2?! =/= 0,	,	(4)
то расположение нулей определителя А (р, Г), рассмат-
риваемого как функция р, приближенно характеризуется
равенством
е^Рх-Рг) ^=1.	(5)
Равенство (5) получается, очевидно, просто приравни-
ванием нулю главной части определителя Д. Аккуратное
доказательство наличия соответствующих нулей Д ис-
пользует теорему Руше (см. [13]). |
Если учесть, что р2 = —рх = р, то получим р =
= Ъ-Чсял,' к = 0, ±1, ±2, . . ., т. е. множество собствен-
ных значений асимптотически совпадает с собственными
значениями задачи
u|o = u|b = O
для простейшей операции D2.
96 ГЛ. П1. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Условие (4) не является необходимым для возможности
выделения главной части А. В теории Биркгофа вводится
понятие нормированных граничных условии (при —
— a2Pi = 0 граничные условия (Г) станут нормированными
после исключения в одной из строк производных щ, и{>)
и определяется класс регулярных условий, позволяющих
описать асимптотику собственных значений и собственных
функций. Соответствующие построения используют выде-
ление доминирующей экспоненты среди набора
к = 1, . . ., тп, аппроксимирующего фундаментальную си-
стему решений уравнения (L (D) + рт)и = 0 (см. замеча-
ние к утверждению 1).
Позднее было введено понятие сильно регулярных гра-
ничных условий, позволяющих утверждать, что собствен-
ные функции соответствующей задачи образуют базис
Рисса в IH (V) (см. [С 11]).
§ 4.	Дополнительные замечания
4.1	Замечания общего характера. Приводимые заме-
чания общего характера относятся по своему содержанию
скорее к общим рассмотрениям гл. II. Представляется,
однако, более удобным (хотя и менее логичным) помес-
тить их после разбора одномерного случая.
Пусть V CZ Rn— нормальная область и L (Р) — об-
щая дифференциальная операция вида (1) § 2 гл. II.
Определение. Оператор Lv: И (V) IH (7),
Lo CZ L? CZ L, порождаемый операцией L (Z>) и некото-
рой системой граничных условий у, назовем правильным
в широком смысле, если резольвентное множество pL?(zC
этого оператора непусто.
Оператор, правильный в смысле определения п. 3.3
гл. II, будем называть иногда правильным в узком смысле.
.Граничные условия, определяющие правильный в
широком смысле {оператор Lv, являются «разумными»
в том отношении, что не страдают ни переопределенностью,
ни х недоопределенностью, и нарушение «правильности»
(однозначной разрешимости при любой правой части)
соответствующего уравнения связано, как правило, с на-
личием точечного спектра и «сингулярностью» определяю-
щих задачу параметров. Большое количество содержатель-
ных теорем, описывающих свойства тех или иных кон-
§ 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ	97
кретных операторов, порождаемых граничными задачами
для дифференциальных операций, содержат утверждения
об их правильности в широком смысле и характеризацию
множества сингулярных значений параметров.
В связи с проводимыми нами рассмотрениями естест-
венно указать терминологию, используемую зачастую
при изучении разрешимости операторных уравнений как
в гильбертовом, так и в банаховом пространствах (см. [11]).
Уравнение-
Ты — Т: IH !Н,	(1)
содержащее .замкнутый оператор Т: IH IH, называется
нормально разрешимым, если 91 (Т) — замкнутое под-
пространство !Н; оператор Т нетеров, если размерности
линейного многообразия N (Т) и подпространства @ =
= Н© SR (Т) конечны, и Фредгольмов, если эти размер-
ностиТравны (в иностранной литературе фредгольмовыми
часто называют нетеровы операторы). Размерность @
называют дефектом Т; разность размерностей N и
называют индексом.
Таким образом, уравнение (1), в котором Т — мини-
мальный оператор, является согласно утверждениям § 3
гл. II нормально разрешимым, но дефект Т в этом слу-
чае, при п > 1, бесконечен. Если Т — ВН-оператор, то
оператор — Фредгольмов при любом X =# 0; операторы
с ненулевым индексом, изучение которых составляет
важную часть теории граничных задач для эллиптических
дифференциальных операций, нам не встретятся. Если
% — точка непрерывного спектра оператора Т, то урав-
нение = / не является нормально разрешимым.
Приведенная терминология используется чаще всего
в случае, когда в уравнении (1) оператор Т действует в
5-пространствах, т. е. Т: Si-> S2- При выбранном нами
подходе, ограничивающемся случаем Т: IH Н, харак-
теристики, использующие определения спектральной тео-
рии, дают более полную информацию.
4.2	. Дополнительные замечания, относящиеся к обык-
новенным дифференциальным операциям. Вернемся к на-
шему модельному примеру L (D) — Рх, х ее (0, &).
В § 2 было отмечено, что в этом случае все правильные опе-
раторы, порождаемые L (Р), содержатся среди операто-
ров, задаваемых условиями (6), (7) § 2. При этом еоответ-
4 А. А. Дезин
98 гл. Ш. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ '
ствующий оператор правилен, если р, #= 1. в (6), и пра-
вилен в широком смысле при р = 1. Небезынтересно
прийти к этому результату путем более сложных рассуж-
дении.
Пусть оператор L (порождаемый Рж) правилен в ши-
роком смысле и Хе pL. На основании (4) § 2 можем
утверждать, что порождающие его граничные условия
содержатся среди условий, записываемых в виде
(1 + р) U |0 — ре-ы и |ь = 0.	(2)
Но не будут ли эти условия уже содержащимися среди
соответствующих условий при % = 0? Если да, то
1 + q = к (1 + р), q = kpe~*\ '	(3)
Единственный случай, когда уравнения (3) не позволяют
найти нужные значения к, q, связан с возможным нали-
чием равенства
1 + р = ре~ь\
при'выполнении которого (2) переходит в равенство
и |0 — и |ь = 0.
В результате получим несколько отличный вариант
теоремы, приведенной в § 2.
Теорема. Все правильные операторы, порождаемые
операцией Dx на (0, &), описываются условиями
(1 + ?) “1о — ? » 1ь = о,	(4)
«1о — «1ь = 0. 
Для операции L (D) = Z>|, х €= (0, Ъ), аналогом пер-
вого из условии (4) являются равенства
[pxu 4- (1 4- дг) и']0 — [pjU 4- (bp1 + дз)и']ь == 0,
[(1 + Рг)и + ?2w'lo — I.P2W + (bpz + q^)u’}b = 0,
дающие при произвольных р2, qx, q2 описание всех пра-
вильных (в узком смысле)'"операторов, порождаемых
Нетрудно записать соответствующие условия и для D* — 1
(аналог условий (2)). Но выяснение даже в этом простом
случае вида «лшнимального» набора условий (т. е. запи-
санного наиболее экономным образом) типа условий (4),
§ 4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ '	. $9
описывающего все правильные в широком смысле опера-
торы, порождаемые Z>|, является утомительным. Во вся-
ком случае, из приведенных рассуждении ясно, что в прин-
ципе для их полного описания достаточно четырех произ-
вольных параметров (входящих, вообще говоря,, в не-
сколько систем равенств). Введение пятого параметра X
приведету же к появлению эквивалентных условий.
Отметим, что запись граничных условии в форме (Г)
§ 3 даже после «нормировки» содержит значительно боль-
шее число параметров.
4*
Г Л А В А IV '
МОДЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
§ 0. Вводные замечания
Как отмечалось в предыдущей главе, важнейшим клас-
сом интересующих нас объектов будут уравнения, полу-
чающиеся из уравнений для обыкновенных дифферен-
циальных операций заменой коэффициентов — функций
на коэффициенты — операторы. Последующее использо-
вание формул, дающих решения обыкновенных уравне-
ний, для выяснения свойств решений уравнений опера-
торных неизбежно оказывается связанным с изучением
функций от операторов, т. е. с построением соответствую-
щего «операционного исчисления»..
Построение соответствующего исчисления предпола-
гает в первую очередь (п. 2.2 гл. I) знание спектра опе-
ратора (функция от которого подлежит определению).
В данной главе мы рассмотрим класс операторов, спектр
которых допускает исчерпывающее описание. Это и будут
те «модельные» операторы, которые широко используют-
ся в дальнейшем.
В § 1 рассматривается соответствующая общая кон-
струкция, а в § 2 подробно изучаются простейшие модель-
ные операторы — линейные дифференциальные операторы
с постоянными коэффициентами на n-мерном торе. Схема.,
используемая при изучении этих операторов (Д-операто-
ров), является одновременно прототипом построений,
применяемых в дальнейшем.
§ 1. Тензорные произведения и модельные операторы
1.1. Тензорные произведения гильбертовых прост-
ранств. Пусть Ш', IH" — пара сепарабельных гильберто-
вых пространств, в каждом из которых задан ортонорми-
рованный базис {фк}Г, {ФОГ- Образуем гильбертово про-
странство IH следующим образом. В качестве базиса В4
возьмем множество упорядоченных пар (р& ® %, оп-
ределив для этих пар скалярное произведение' по
§ 1. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И МОДЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 101
правилу
(фк 0 %, Ф1 0 Фг) = (фк, фг)(%,	(1)
где справа,— скалярные произведения в D-Г, И" соот-
ветственно. Таким образом, относительно нормы, порож-
даемой скалярным произведением (1), базис {<pfc 0.^Hj —
ортонормированный. Произведение (1) распространяет-
ся обычным образом на конечные линейные комбинации
З^фк 0 J’r	(2)
Пополнение по введенной норме множества конечных ли-
нейных комбинаций (2) дает (полное) гильбертово прост-
ранство 1Н = !Н' 0	— тензорное произведение исход-
ных гильбертовых пространств.
В соответствии с приведенной конструкцией для лю-
бой пары элементов / = е IH', g = е И*
определено их тензорное произведение
f ® g =	.
i, к
(поскольку 5 I fi I21 gTt I2 < oo).
i, к
Если теперь A':	— замкнутый линейный
оператор с плотной областью определения £> (А'), <р& е
© (А'), для любого к и оператор А": И"-*- Н" обла-
дает аналогичными свойствами, то над плотным в Н мно-
жеством элементов вида (2) (над множеством конечных
линейных комбинаций) определен оператор
А' ® А" (3 /гкфг 0 Фк) = 3 /гкА'фг 0 А"^.
Замыкание в IH заданного таким образом оператора
А' 0 А" (с плотной областью определения) определяет
оператор А' 0 А": М IH.
Если IH = 04' 0 Н" и IH', 04" — функциональные
пространства, то IH' может быть естественным образом
вложено-в И за счет отождествления с подмножеством
И' 0 1 (состоящим из элементов вида /0 1, / GE IH').
Имея в виду сказанное, элементы IH' рассматривают за-
частую как элементы 04 без каких-либо оговорок /и без
перехода в обозначениях от / к / 0 1). Аналогично об-
стоит дело с операторами A': IH' —> ОН': их отождествляют
с операторами вида А' 0 1.
102	гл. IV. МОДЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Приведенная конструкция возникает естественным
образом всякий раз, когда И', И" — наши стандартные
гильбертовы пространства функций над некоторыми об-
ластями V' cz Rn', V" CZ Rn". Тогда !Н — соответствую-
щее пространство над V' Х±У". При этом операции I/ (D) 0
0 Е" (D) и соответствующий оператор записываются в
обычно просто в виде
т. е. без использования обозначения 0 для тензорного
умножения.
Поскольку в гильбертовом пространстве переход от
базиса Рисса к ортонормированному базису и обратно
равносилен замене данного скалярного произведения
на эквивалентное (см. [1]), ясно, что приведенные выше
рассмотрения распространяются естественным образом
и на тот случай, когда {<р&}, {Ф;} базисы Рисса в И', Н".-
Переход от IH = Н' 0 1Н" к случаю произвольного
п
числа сомножителей IH = 0 В-г осуществляется автомати-
й=1
чески. -
1.2. Модельные операторы. Удобным классом опера-
торов, функции от которых допускают весьма простое
определение, являются М-операторы (п. 3.5 гл. I). Дей-
ствительно, если A: IH —> И есть М-оператор, {qy} —
система собственных функций оператора А, образующая
базис Рисса, и можно, следовательно, для любого элемен-
та и ее © (А) записать
« S=	Au —	-
то/ в предположении, например, что F (z) аналитична в
области Q cz С такой, что Е Й для всех Л, доста-
точно положить
F(A)u = ^F(K)u^k.	(3)
При этом и ЕН © (FA) всякий раз, когда ряд (3) сходится.
Область определения оператора F (А) заведомо плотна
(в нее попадают все конечные линейные комбинации эле-
ментов базиса), и приведенное определение согласовано с
конструкциями п. 2.2 гл. I и с требованиями, предъявляе-
мыми обычно к «операционному исчислению».
' § 2. ОПЕРАТОРЫ НА n-MEPHOM ТОРЕ ,	ЮЗ
Трудности, с которыми приходится сталкиваться при
попытке применения приведенной идеальной схемы к кон-
кретным ситуациям, возникающим при анализе гранич-
ных задач, бывают связаны обычно, с одной стороны, со
сложной природой соответствующих функций F (z), а с
другой — со стремлением включить в рассмотрения опе-
раторы, не являющиеся М-операторами (см. рассмотре-
ния гл. VIII).
Приведенная схема немедленно распространяется на
случай, когда	А*: 84*—и F (z17 . . .,zn) —
i
функция п комплексных переменных, удовлетворяющая
соответствующим, требованиям. Операторы А* предпола-
гаются при этом, разумеется, коммутирующими.
§ 2. Операторы на n-мерном торе
2.1. Определение П-операторов и их основные свой-
ства. Простейший «явный» пример описанной выше ситуа-
ции дают операторы на n-мерном торе, порождаемые диф-
ференциальными операциями вида (1) § 2 гл. II с постоян-
ными коэффициентами. С другой точки зрения это — опе-
раторы с постоянными коэффициентами, рассматриваемые
в параллелепипеде V GZ на функциях, подчиненных
условиям периодичности по всем переменным. Опишем
такие операторы подробнее.
Удобно считать, что V —просто n-мерный куб с реб-
рами длины 2л (некоторые замечания о возможном влия-
нии изменения параметров V мы сделаем в дальнейшем).
Пусть 5^°° — линейное многообразие гладких периодиче-
ских по всем переменным комплексных функций, а 84 (У) —
наше стандартное гильбертово пространство, в котором
множество плотно. Полиному А ($) с постоянными
комплексными коэффициентами
A(s),= 3 aas“, sa = s^.. .$пп, [а| = ах. + а„х (1)
' ,	|а|<т
сопоставим дифференциальную операцию A (—iD) таким
образом, что
А (— ID) eis'x — A (s) eisx,	s • x = sxxi	+ snxn~
104
ГЛ. IV. МОДЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Соответствующий оператор А: !Н IH определим как
замыкание в Н операции А (—-Ш), определенной перво-
начально на функциях, принадлежащих <^°°. Операторы
А описанной выше структуры назовем П-операторами.
Замечание. По определению, n-мерный тор Тл
есть прямое произведение п окружностей Т1 и наше
гильбертово пространство И (F) автоматически имеет
структуру тензорного произведения п пространств Н1
над Т1. Соответствующее замечание относится и к нашим
П-операторам А, представимым в виде суммы мономов,
каждый из которых является тензорным произведением
степеней оператора Рх, рассматриваемого на окружности.
Это и определяет специфику структура операторов в IH.
Дальнейшие построения основываются, однако, на «не-
посредственном» изучении операторов А, без обращения
к терминологии тензорных произведений.
Удобно для дальнейшего обозначить через & множе-
ство n-мерных целочисленных векторов ($х, . . .,$п),
— 0, ±1, ± 2, . . . Совокупность экспонент {eWe3C},
5-a:=5i^i + ... +snxn, образует, очевидно, ортого-
нальный базис в И и является одновременно набором собст-
венных элементов для каждого из операторов А. Для задан-
ного оператора А (порожденного операцией А (—iD))
каждое из чисел А ($), является собственным зна-
чением. Условимся обозначать множество этих чисел через
А (<^).
У тверждение 1. Любые два П-onepamopa Ах,
А2 коммутируют.
Утверждение немедленно следует из коммутативности
соответствующих операций А& (—iD).
Утверждение 2. Всякий П-оператор А норма-
лен (п. 3.4 гл. I).
Доказательство. Если A*: IH 1Н — опе-
ратор, порождаемый в сделанных предположениях опе-
рацией А,(—iD). то равенство AfA — АА* следует из
утверждения 1. Достаточно, следовательно, установить,
что А* = Ае, т. е. что слабое и сильное определения опе-
ратора А* эквивалентны. Но для операции с постоянны-
ми коэффициентами, рассматриваемой на гладких перио-
дических функциях, A (—iD)JzU r= J8A(—iD)u (где —
стандартный оператор осреднения) и требуемая эквива-
лентность немедленно следует из рассмотрений §6 гл. I.H
§ 2. ОПЕРАТОРЫ ИА n-МЕРИОМ ТОРЕ
1(6
Утверждение 2 может быть получено, очевидно^ и из
представления Au в виде
Au = %A(s)useis-x,	(2)
8
где
»(«)=5в^-«е0(А)'	(3)
3
(мы использовали «общую схему» п. 1.2).
Представление (2) позволяет немедленно перейти и к
рассмотрению операторов F (А), где F (z) — некоторая
функция, принимающая конечные значения и на множе-
стве А (&). Соответствующий оператор определяется
равенством
2?(A)u = SF(As)use«-*,	(4)
S
где — A (s). Как и в п. 1.2, « е 3 (F), если ряд (4)
сходится в 0-L
Обозначим оператор (4) просто через F, а множество
F (As), s Е через F (<У).
Утверждение 3. Спектр oF определенного выше
оператора F: IH -> IH состоит из замыкания на комплекс-
ной плоскости множества F (<$?), образующего точечный
спектр PcsF оператора F. Множество CoF = oF\PcF
образует непрерывный спектр оператора F.
Доказательство. Обозначим F (А5) через
F ($). Если X = F ($) при некотором a €= то (F — X) X
X е48'1 = 0, т. е. 1 — собственное значение оператора F.
Если же X F (<^), то оператор F^ существует. Дейст-
вительно, в этом случае из F}U = 0 следует us = 0 для
любого s е of, т. е. и = 0 (единственность разложения
в ряд Фурье). Кроме того, в этом случае множество
© (F^) плотно в Я, поскольку содержит все конечные
суммы вида (3).
При этом, если для любого s Е выполнено условие
| X — F (з) | > 6 > 0 (т: е. X^F (<$0), то оператор
ограничен и задан на всем Ж:
. ^-M’1/ = 3(F(a)-Xr/s^
106
ГЛ. IV. МОДЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
(предполагается, что элемент / представлен разложением
вида (3)). Если же %	\ F (<У), то существует
последовательность {s^} такая, что | F (s^) — % | = —» 0 .
при к —> оо и соответствующий оператор F^1 будет неог-
раниченным (поскольку |[ F^e^'x || / [|е^'зс|[ = ej1). Ц
Таким образцом, структура спектра операторов F (А)
весьма прозрачна. К сожалению, для семейств операторов
F (А, ^), i Е (03), с которыми нам придется сталкиваться
при рассмотрении операторных уравнений, изучение со-
ответствующих вопросов оказывается значительно более
сложным.
Простота операторов F (А) и самих операторов А
(F (z) = z) не мешает им быть в ряде случаев весьма
«плохими», т. е. иметь пустое резольвентное множество.
У т в е р ж д е н и е 4. При п 2 множество рА для
П-оператора А всегда непусто} при п > 2 существуют
операторы А, спектр которых заполняет всю комплексную
плоскость.
Д оказательство. При п = 1 утверждение
тривиально; при п = 2 достаточно рассмотреть отобра-
жение вещественной плоскости (sx, s2) комплексную
плоскость z = х + iy, задаваемое равенствами
х = Re А ($х, s2), у = Im А ($х, s2).
В силу алгебраического характера отображения образ
множества целочисленных точек плоскости (sx, s2) не мо-
жет оказаться плотным на z-плоскости.
При п = 3 множество значений полинома
А ($) = + as2 + i ($3 + ₽$2),
где а, р иррациональны, плотно на комплексной плоско-
сти. Это следует из равномерной распределенности в еди-
ничном квадрате дробных долей пары (as, ps2) при s = 0,
± 1, ±2, . . . (см. [9]) *). Н
Определим обычным образом для s Е величину
| s |, полагая [si2 — 2s£.
Утверждение 5. Оператор A"1: IH 1Н, об-
ратный для некоторого П-оператора А, является ВН-опе-
*) Приведенное теоретико-числовое утверждение сообщено авто-
ру проф. А. Г. Постниковым.
§ 2, ОПЕРАТОРЫ НА n-МЕРНОМ ТОРЕ^
107
ратором(п. 3.1 гл. I) тогда и только тогда,, когда | А ($) |—>
оо при | $ ] -> оо.
Доказательство. Н е о б х одимость.
Если сформулированное условие для А не выполнено, то
для некоторого М > 0 существует бесконечное число
s Е таких, что [ A (s) | М. Если — А ($)>- беско-
нечный набор соответствующих собственных значений, то
pts = Х71 — собственные значения оператора А~* (%5 =0= 0,
поскольку, по предположению, оператор А-1 существует).
При этом |	| > М~\ что исключает полную непрерыв-
ность оператора А-1 (лемма 1, п. 3.2 гл. I).
Достаточность. Пусть условие утверждения
выполнено. Тогда для любого г > 0, выбрав М (s) так,
что (2л)пЛ/“2 < в2 , и выбрав Nj(M) из условия | А ($) [ >
> М при [ 5 | > N (Л/), будем иметь
А^ = А^+А?,	(5)
где А№/= 3 (Л/А ($))£**'*—конечномерный оператор,
.	|s|<N
а для нормы второго слагаемого в (5) (остатка ряда)
справедлива оценка
|s|>N
ls|>W
Отсюда и из теоремы аппроксимации (п. 3.1 гл. I) следует
полная непрерывность оператора А*1. Я
Утверждение 5 допускает, очевидно, и другую форму-
лировку.
Утверждение 5'. Оператор А х: Ш ->• IH, об-
ратный для некоторого П-оператора А, является ВН-
оператором тогда и только тогда, когда для любого
N > 0 множество линейно независимых собственных
функций оператора А, принадлежащих собственным зна-
чениям 15, удовлетворяющим условию | %s| < 2V, конечно. Я
Таким образом, для рассматриваемого класса опера-
торов А*1 лемма 1, п. 3.2 гл. I, дает необходимое и доста-
точное условие полной непрерывности. Следовательно,
отсутствие для А"1 свойства полной непрерывности долж-
108	ГЛ. IV. МОДЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
но быть связано либо с наличием для А бесконечного чис-
ла собственных значении, лежащих в конечной части
плоскости, либо с бесконечномерностью собственного
подпространства, принадлежащего тому или иному
Как мы увидим в следующем пункте, полная непрерыв-
ность А-1 теснейшим образом связана с «устойчивостью»
оператора А.
Следующее утверждение дает описание «дифферен-
циальных свойств» элементов, являющихся решениями
уравнений, содержащих П-операторы.
Утверждение 6. Пусть А, В — П-операторы
и существует оператор А-1. Тогда для того, чтобы опе-
ратор ВА”1 был ограниченным оператором, допускающим
расширение на все пространство IH, необходимо и доста-
точно выполнение условия
|В($)/А($)]<^М < оо для любого s€=tf. (6)
Доказательство. Условие, очевидно, доста-
точно, поскольку обеспечивает почленную применимость
оператора В к ряду, представляющему элемент и = А”1/,
и одновременно ограниченность оператора ВА”1. Посколь-
ку область определения оператора А”1 заведомо плотна
в 1Н, оператор ВА”1 допускает расширение на все прост-
ранство.
Необходимость условия (6) следует из того, что эле-
менты базиса {efe x}, $€=&>. являются собственными функ-
циями оператора ВА”1, а числа В ($)/А (5) — соответствую-
щими собственными значениями. Оператор не может быть
ограниченным при наличии неограниченно возрастающей
последовательности собственных значений.®
Утверждение 6 может быть, очевидно, переформули-
ровано в терминах принадлежности решения и = А"1/
тому или иному пространству типа W (§ 7 гл. II).
Уместно отметить также следующее специфическое
обстоятельство. Хотя при В (5) const оператор В заве-
домо неограниченный, оператор ВА"1 может быть огра-
ниченным и при неограниченном операторе А"1. Тривиаль-
ный случай: В = А. Несколько менее тривиальный:
А = АХА2, причем А^1 — ограниченный оператор, а не-
ограниченность А-1 вызвана неограниченностью А^1 (нап-
ример, А2 (5) = sx + as2, где а иррационально). Тогда
ВА”1 ограничен при В = Д2.
§ 2. ОПЕРАТОРЫ НА n-МЕРНОМ ТОРЕ
109
2.2 Некоторые дополнительные свойства П-операто-
ров. Продолжим рассмотрение П-операторов и установим
еще ряд их свойств, полезных для дальнейшего.
Во многих случаях удобно рассматривать А (5) как
сумму
А (з) = R (з) + fQ(s),	(7)
где R, Q — полиномы с вещественными коэффициентами.
Такое расщепление А (5) соответствует, очевидно, расщеп-
лению нормального оператора А: 1НХ —> 1НХ на симмет-
ричную и кососимметричную части.
Сохраняя обозначения предыдущего пункта, х рассмот-
рим для вещественных полиномов R (5) соотношения
lim |R(s)| = oo,	(С)
|s|-
infR(s)>—— oo, supR(s)<^Af <+оо. (В)
Будем говорить, что R обладает С-свойством (В-свойством),
если для него выполнено соотношение (С) (одно из соот-
ношений (В)).
При п = 1 каждый полином обладает G-свойством и
обладает В-свойством тогда и только тогда, когда его
старший член имеет четную степень. При п > 2 не всякий
полином обладает С-свойством. Специфика рассматривае-
мого «компактного» случая, связанная с использованием
ряда Фурье (а не интеграла Фурье) и дискретностью
множества находит свое отражение в справедливости
следующего утверждения.
У т в е р ж д е н и е 7. При~т$^2 введенные свойства
полиномов R ($) независимы.	'
. Д о к а з а т е,л ь с т в о. То, что (В) не влечет, вооб-
ще говоря, (С), достаточно очевидно (например, R (5) =
= ($i — *2) 2)- Примером полинома, обладающего С-свой-
ством и не обладающего В-свойствомЛ может служить
R (5) = ($! + 1/2)($2 + 1/2)Л0н; не обладает,очевидно,
В-свойством, но, поскольку | з* + V2 | > | зк |/2 и од-
новременно I $& + V2 I > V2, зк = 0, ±1, ± 2, . . .,
наличие С-свойства следует из неравенства | R ($) | >
> |sfc|/4, влекущего неравенство I R (*) | > (|$i | +
+ U 1)/8. 
Замечание. Если в (С) отказаться от условия
s Е допуская' произвольные значения 5 е= Rn, то (С)
110
ГЛ. IV. МОДЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
влечет (В) при п > 2, поскольку в этом случае С-свойство
эквивалентно существованию предела lim В ($) г=.± ос.
'	ls|-*co
Это следует из того, что вещественный полином, прини-
мающий значения, разных знаков вне некоторого шара,
принимает вне этогочшара и нулевое значение, поскольку
при п > 1 дополнение к шару связно.
Наличие В-свойства у одного из полиномов, В или Q,
в (7) сразу обеспечивает наличие полуплоскости, свобод-
ной от точек спектра оператора А. Но, как мы сейчас
увидим, это не обеспечивает каких-либо (даже весьма сла-
бых) свойств «устойчивости» спектра относительно воз-
мущений оператора. Введем соответствующее определе-
ние.
Определение. Оператор А устойчив относи-
тельно оператора Ао, если для любого z ЕЕ рА существует
6 = 6 (Ао, z) > 0 такое, что условие | г | <6 влечет
z е р (А + еА0).
Утверждение 8. Если существуют у > 0 и
М=М (у) такие, что для любого s ЕЕ & выполнено требо-
вание*.
\s \ >М влечет | А ($)/А0 (5) | > у, (8)
то оператор А устойчив относительно Ао.
Доказательство. Пусть 2 Е рА и, следо-
вательно, существует г 0 такое, что для любого 5 Е
| z _ а (5) ] > г > 0.
Предполагая требование (8) выполненным, найдем
прежде всего условия на 8, при которых z Per (А.+
4- вА0). Допустим, что z Е Ра (А + вА0), т. е. при не-
котором sE^ выполняется равенство А ($) + sA0 ($) =
= z. Оно возможно лишь при Ао (5) =0= 0, и мы можем
тогда записать
|z-~ А($)|х.	г у
|Ао(5)| ^|Ао(^)|	2 *
(9)
Выберем теперь число N~^> 0 столь большое, что, во-
первых, при | $ | < М выполнено условие
|Ао(^)|<ЛГ	(10)
§ 2.\ОПЕРАТОРЫ НА тг-МЕРНОМ ТОРЕ	,111
• и, ьо-вторых,
 .?--*#>-!-• («)
Теперь, если выполнено {10), из (9) заключаем, что при
| з | < М
| 8 | rN~l.
Если же | Ао (з) | > N, и, следовательно, | з | > М, то,
воспользовавшись (8), (9), (11), получим .
I ।	| z — A (s) | . | А ($) | _ |z| х
11	|A«(s)|	|Ao(s)|	7V=^2-
Следовательно, при | е | <^ 6 = min (r/N, у/2) точка z не
может принадлежать Ра (А + еА0).
Если теперь допустить, что z £ Ссг (А + вА0), то
должна существовать последовательность {3s} е такая,
что
A (3s) 4- sAo(3s) = z + т|>, | Tfe |“*° при k-+ oo.
Тогда'для достаточно больших номеров к должны иметь
|z-Ms —A (ss)	0, |2 + i]s|<|zj + l
и, повторяя вышеприведенные рассуждения, можем най-
ти 6 > 0 такое, что условие | г | <6 влечет z£p(A +
+ eAo)- И
-Утверждение 9. Если существует последова-
тельность {?} €= & такая, что
|A(ss)/A0(ss)| = dJt-tO, |А^)рос при ксо,
то оператор А неустойчив относительно Ао.
Действительно, при выполнении приведенных условий
для любого z е рА можно, очевидно, добиться выполне-
ния равенства _
А (з) + 8Ао (з) = z
при сколь угодно малых 8. В
Из утверждения (9) ясно, что наличие, например, для
R (з) С-свойства является в некотором смысле необходи-
мым для того, чтобы соответствующий оператор R обладал
хотя бы минимальными свойствами устойчивости. Точ-
нее, имеет место следующее утверждение.
112	ГЛ. IV. МОДЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ	s
Утверждение 10. Если R ($) не обладает С-
свойством, то оператор R неустойчив относительно про-
извольного, вообще говоря, оператора Ro первого порядка.
Доказательство. Согласно предположению
существует бесконечная последовательность {/} €= &
такая, что | / | оо при к -> оо, но | R (/) | М < оо.
Пусть {(?*} — множество точек пересечения лучей Osk
(направленных из начала координат в точку $*) с единич-
ной сферой. Тогда, как это немедленно следует из утверж-
дения 9, оператор R неустойчив относительно любого опе-
ратора Ro, Ro (s) = ^alsi, такого что существует предель-
ная точка <р последовательности {<р*}, не лежащая на пе-
ресечении гиперплоскости 2 alsi = 0 с единичной сфе-
рой. я
Другая трактовка утверждения 9 — необходимость
требования полной непрерывности оператора А”1 для на-
личия разумных свойств устойчивости у П-оператора А.
Замечание. В рассмотрение вопросов, связан-
ных с устойчивостью, естественно включить изучение воз-
можного влияния малых возмущений куба V = [0, 2л]п
на разрешимость задачи. Очевидно, переход от V, напри-
мер, к параллелепипеду Ve = [0, 2л]п~1-Х [0 хп 2л—г]
(с сохранением условий периодичности) эквивален-
тен добавлению множителя ((2л—е)/2л)& в коэффициенты
одночленов, входящих в А ($) и содержащих сомножитель
($п)\ Подобные возмущения включаются, таким, образом,
в приведенную выше схему рассмотрений.
В заключение отметим, что при рассмотрении зависи-
мости спектра А от свойств R (s), Q ($) важнейшую роль
играет следующее обстоятельство. Пусть R (5) зависит от
группы переменных / е CZ а ($) — от группы
переменных s' cz cz дР (например, при п = 3 R ($) =
= $1 + Q ($) = $1 + $3). Условимся говорить, что
a)	Q ($) вполне зависит от R ($),
б)	Q ($) частично зависит от R ($),
в)	Q ($) не зависит от R ($),
если
а)	множества <^', связаны соотношения <^' Z)
б)	множества <S^Z, имеют ненулевое пересечение,
но включения CZ нет,
в)	пересечение Г) состоит из нуля.
§ 2. ОПЕРАТОРЫ НА n-МЕРНОМ ТОРЕ	113
При п = 3 ПОЛИНОМЫ R .($) = $! + 4 И Q ($) = $1 +
+	$з иллюстрируют случаи а), б), в) соответ-
ственно.
Если кососимметрическая часть Q оператора А явля-
ется вполне зависящей от R, то спектр А полностью укла-
дывается на некоторую регулярную кривую у = <р (х)
комплексной плоскости z = х + iy. Но, как было пока-
зано в п. 2.1, уже случай частичной зависимости Q ($)
при п > 3 может привести к пустому множеству рА.
2.3. П-операторы, порождаемые некоторыми класси-
ческими дифференциальными операциями. В свете прове-
денных рассмотрений поучительно отметить свойства П-
операторов, порождаемых некоторыми дифференциаль-
ными операциями классических типов.
Так, например, ясно, что особое место занимают опе-
раторы А (—iD) порядка 2т с вещественными коэффи-
циентами, главная однородная часть которых определя-
ется полиномом, обладающим тем свойством, что
3 аа8а>сЗ«Г, с>0.
|а|=2т	^=1
Соответствующий оператор А-1 вполне непрерывен, спектр
чисто точечный, достаточно «редкий» и устойчивый отно-
сительно возмущений любым оператором Ао порядка <^2тп.
С классической точки зрения мы имеем дело с подклас-
сом эллиптических операторов. Близкими свойствами
обладают «квазиэллиптические» операторы, для которых
коэффициенты соответствующих полиномов вещественны
и обеспечивают выполнение неравенства
|a|	к=1
Примером эллиптического «неположительного» поли-
нома является А (5) =	+ is2. Соответствующий опера-
тор (Коши—Римана) также обладает весьма «хорошими»
свойствами, но ясно, что ситуация специфична для раз-
мерности п = 2.
Можно условиться говорить, что А ($) обладает силь-
ным С-свойством, если
lim [А($)| = оо.
114	ГЛ. IV. МОДЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
\ .
Соответствующие операторы А принадлежат классу так
называемых гипоэллиптических операторов. Типичным
представителем является полином i$i ± соответствую-
щий операторам прямой и обратной; теплопроводности.
Полином А ($) существенно неоднороден и содержит как
вещественную, так и мнимую компоненту.
«Хорошие» свойства перечисленных классов П-опера-
торов (полная непрерывность оператора А-1, устойчивость
спектра) тесно связаны с «разумностью» для этих классов
граничных условий типа периодических по всем пере-
менным. Картина существенно меняется при переходе
к П-опёраторам, отвечающим классическим операция^
гиперболического типа.
Типичными представителями соответствующих клас-
сов полиномов являются
$1 + 3	— 3 3 * s* -	(12)
2	2
(as — вещественные). Порождаемые этими полиномами
П-операторы «плохие» (А-* не вполне непрерывен, спектр
неустойчив). Для операций, соответствующих полиномам
(12), «хорошими» будут операторы, задаваемые условиями
периодичности по переменным з2, . . ., зп и условиями ка-
чественно иного характера (условиями Коши, «нерегу-
лярными» с точки зрения § 3 гл. III) по выделенной пере-
менной, соответствующей slt играющей роль «времени».
Исследованием соответствующих конструкций мы зай-
мемся в следующей главе.
Одновременно отметим, что для получения правиль-
ного оператора, порождаемого, наприМёр, операцией
3 (а* 4" ic*)
1
с вещественными с\ п > 5 приходится, вообще го-
воря, привлекать граничные условия весьма необычного
характера. Мы их рассмотрим в § 2 гл. V.
Г ЛАВ A V
ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО
ПОРЯДКА
§ 0. Вводные замечания
Данная глава является в определенном смысле цент-
ральной во всем нашем изложении. В ней на простейшем
объекте — операторном уравнении первого порядка, по-
рождаемом, некоторым специальным классом граничных
задач для уравнений с частными производными, исходя
из приведенных выше конструкций и результатов,
рассматривается весь крут интересующих нас вопросов.
При переходе к более сложным объектам изучение соот-
ветствующих вопросов оказывается связанным с целым
рядом трудностей технического характера, тогда как
построения этой главы предельно прозрачны и элемен-
тарны.
Пусть t ЕЕ (0, Ъ) = Vtr IH* = IH* (7t) — соответствую-
щее гильбертово пространство и Dt: 54* ->54* — какой-
либо из операторов, порождаемых операцией Dt. Тогда
под операторным (или дифференциально-операторным)
уравнением 1-го порядка понимается обычно уравнение
вида
Ъи = (А^* + А^и = /,	(1)
Ао, Ах: 53->53, где 53 — некоторое ^-пространство иА& -•
коммутирующие с Dt операторы с плотной в $ областью
определения. При этом оператор L рассматривается как
действующий в пространстве !Н = IHf ® 53.
Поскольку для нас основным объектом изучения явля-
ется граничная задача, роль 53 будет в большинстве слу-
чаев играть пространство	(7), где V — огра-
ниченная область пространства переменных х ЕЕ Rn. Опе-
раторы А* будут соответственно операторами, порождае-
мыми операциями А^ (—iD) над V. Более того, основные
рассмотрения данной главы будут относиться к случаю,
когда Ак — П-оператор (гл. IV), а оператор Ао = 1.
116 гл. V. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Возможность перенесения соответствующих результатов
на случай, когда Ао, Ах — произвольные М-операторы
(п. 3.5 гл. I), спектры которых подчинены соответствую-
щим требованиям, достаточно очевидна и специально не
оговаривается. Рассмотрению операторных уравнений
при значительно более слабых предположениях относи-
тельно операторов (формулируемых в терминах свойств
резольвенты) посвящена гл. VIII.
При указанной выше специализации операторов Dt и
А^ оператор L в (1) оказывается порожденным некоторой
дифференциальной операцией L (D) над Vt X V. На про-
тяжении главы приводятся многочисленные примеры со-
ответствующих дифференциальных операций параллельно
с исследованием их свойств. Эти примеры являются «мо-
дельными» в том смысле, что соответствуют изучению
классических операций математической физики при мак-
симально упрощающих это изучение предположениях.
Но используемый подход позволяет одновременно охва-
тить широкий класс «неклассических» операций и выяс-
нить ряд специфических характеристик различных гра-
ничных задач.
Первые три параграфа посвящены подробному изуче-
нию простейшего операторного уравнения первого по-
рядка, а остальные — различным вопросам специального
характера.
§ 1. Оператор Dt — А; спектр
Как отмечено во введении, простейшим операторным
уравнением первого порядка является уравнение вида
Lu s (Dt — А) и = /,	(L)
где / €= 1Н = !Hf 0 1НЖ, Dtt	— правильный опера-
тор, порождаемый при t ЕЕ (О, Ъ) условием
Н и |е==0 — и |/=ь = О,	(Г)
a А: !НЖ 1НЖ — некоторый П-оператор (§. 2 гл. IV).
В соответствии с определениями входящих в уравнение
(L} операторов элемент Е ЕН мы будем называть реше-
нием задачи L — Г, если существует последовательность
гладких функций щ (х, £), сходящаяся в 1Н^к и, такая,
что щ 2л-периодичны по переменным”^, удовлетворяют
3 1. ОПЕРАТОР Dt — А; СПЕКТР	Ц7
условиям (Г) по t и L (D) щ = f (сходимость в !Н)
при i -> оо.
В сделанных предположениях исследование определяе-
мого задачей L — Г оператора L сводится по существу к
исследованию оператора, задаваемого формулой (11) § 2
гл. III, в которой числовой параметр^ заменен на опера-
тор А. Но нужные нам’утверждения уже не могут быть по-
лучены автоматически из рассмотрений, типа приведенных
в п. 2.1 гл. IV. Хотя получаемый результат выражается
утверждением о том, что свойства L исчерпывающим
образом характеризуются свойствами оператора А (или
exp &А), соответствующее доказательство требует ряда
вспомогательных построений.
Если ввести обозначение
Т (%) = ехр Ъ (А + %)
(оператор Т (X):	понимается в смысле определе-
ний § 2 гл. IV), то справедлива следующая теорема.
Теорему. Точка X комплексной плоскости принадле-
жит одному из множеств pL, PoL, CoL тогда и только
тогда, когда число ц в условиях (Г) принадлежит соответ-
ственно рТ (%), РоТ (X), СоТ (%).
Замечание. При 0, оо оператор, порождае-
мый Dt, является регулярным и спектр L может быть полу-
чен на основе теоремы о спектре суммы коммутирующих
операторов (см. [6]). Но для нас очень важно включение в
общую картину классической задачи Коши («обратной»
при [I = 0 и «прямой» при ц = оо), соответствующей
«нерегулярному» случаю.
Из утверждения теоремы следует, что L, как и А,
не имеет остаточного спектра.
Исследование задачи L — Г, т. е. доказательство при-
веденной теоремы, основано на рассмотрениях, близких к
использованным в § 2 гл. IV, при изучении П-операто-
ров А. Если спектр П-оператора А определялсясвойствами
бесконечной цепочки равенств (А ($) — %) и$ = fs, s€E £7,
то для задачи L — Г аналогичную роль играет цепочка
обыкновенных дифференциальных уравнений .
Dtus.^A(s)u$ = f ,	(1)
(мы сохраняем обозначения гл. IV), где us = us (t), f$ (t) —
118 ГД. V. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
зависящие от t коэффициенты разложений ' 
us	f= -3 fs(t)e^x, _ (2)
se^
справедливых для произвольных элементов и. f ЕЕ IH.
Решения уравнений (1) должны быть, естественно, подчи-
нены условиям
I о 1b = О,	(Р$)
вытекающим из условий (Г).
Лемма 1. Задача L — Г однозначно разрешима при
любом элементе / Е !Н (или нуль принадлежит pL)
тогда и только тогда, когда все уравнения цепочки (1) при
условиях (Г$) однозначно разрешимы и существует незави-
сящая от s постоянная с 0 такая, что
II Цз !h < с II fs II t при любом	(Ф5)
(норма в неравенствах (Ф5) берется в
Доказательство. До статочност ь.
Пусть'все уравнения (1) однозначно разрешимы при любых
f$ ЕЕ .ty и неравенства (Ф5) выполняются равномерно по
SEE&- Тогда для достаточно гладких решений задачи;
L — Г справедливо неравенство
II ы|| < Hi Lull .	' (Ф)
Действительно, в этом случае коэффициенты us в представ-
лении (2) заведомо могут быть найдены как решения урав-
нений (1) при условиях (Г$), и остается заметить, что
HIPMW Зим?-
Поскольку оператор L определен как замыкание в И
операции LX(Z>), заданной на гладких функциях, подчи-
ненных соответствующим условиям, из сказанного следует,
что (Ф) остается справедливым для любого элемента и ЕЕ
ЕЕ £ (L). Из (Ф) следует существование ограниченного
оператора L”1. Кроме того, © (Lr1) = 1Н, т. е. задача.
L — Г однозначно разрешима при произвольном / Е
Действительно, £ (L”1) содержит заведомо все конечные
суммы вида (2), т. е. оператор L"1 задан на плотном множе-
стве, а, следовательно, в силу ограниченности на всем
пространстве 1Н.
§ 1. ОПЕРАТОР Dt—А; СПЕКТР '
119
Необходимость. Нарушение однозначной раз-
решимости какого-либо из уравнений (1) означает сущест-
вование нетривиального решения us (t) однородного урав-
нения, но тогда соответствующая функция us (f) е™х
является нетривиальным решением однородной задачи
L - Т.	•
Если же все уравнения (1) при условиях (Fs) однозначно
разрешимы, но существует последовательность {f^} такая,
что
то оператор L-1 существует, задан на плотном множестве
(на конечных суммах вида (2)),'но является неограничен-
ным (достаточно рассмотреть для уравнения (L) последо-
вательность правых частей вида	Поскольку
L"1 замкнут, © (L-1) не может в этом случае совпадать со
всем пространством И (теорема Банаха; п. 1.3 гл. 1).Ц
Перейдем теперь непосредственно к доказательству
теоремы. Оно будет проведено в несколько этапов.
Прежде всего заметим, что, поскольку Dt — А — % =
= Dt — (А +.%), где А + % — снова П-оператор, доста-
точно провести доказательство указанного в теореме соот-
ветствия спектров для случая % = 0. Оператор Т (0)
условимся обозначать просто через Т.
Л е мм а 2. Если jx е рТ, то нуль принадлежит pL.
Доказательство. Достаточно установить, что
при р ЕЕ рТ выполнены условия леммы 1. Согласно ут-
верждению 3, § 2 гл. IV, предположение леммы влечет
существование 6	0 такого, что
| р — exp &А (5) | > ё при любом s Е <?.	(3)
Из (3) немедленно следует однозначная разрешимость всех
уравнений (1). Остается проверить равномерное выполне-
ние неравенств (Ф$).	'
Воспользуемся представлением решений уравнений (1)
формулой {11) § 2 гл. III, не указывая явно зависимости
А от 5. Пусть А = г + где г, у вещественны. Будем
иметь
| и|2 < 21 р, —	И| р I	f + *4 $ е<^>А/йт IJ .
11	10	1	11
120 ГЛ. V. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
При г (s) = г = 0 (как и при любом фиксированном
значении г) выполнение неравенства (Ф5) с некоторой
постоянной с9 очевидно. Полагая г 0, получим
I $ dr Г< 1| /1|? = Fx (r)I|j / И?,
*0	1
I С	|2	1 _ p2<i-b)r
IJ e(^)A/ dr | <	------II f ||2 = f2 (г) II f II?.
Определим число M равенствами М = Ъ"1 (1 + In | р |)
при р 0 и М = 0 при р = 0. Тогда для значений г,
подчиненных неравенствам — оо < г М, величины
Fr (г) и e2,brF2 (г) ограничены постоянными и выполнение
неравенств .(Ф5) с некоторой постоянной, не зависящей от-
5, следует из (3). Если же М < г < + оо, то, заметив, что
в этом случае
|ц —еЬА12>(|н| —еЬг)2> 4-е2Ьг
видим, что величины e~2brFx (г) и F2 (г) снова равномерно ч
ограничены, т. е. снова неравенства (Ф5) выполняются с
некоторой постоянной не зависящей от $. Ц
Лемма з. Если р G= Р о Т, то нуль принадлежит
PoL.
Доказательство. В условиях леммы верно
равенство р = для некоторых s0 Е и функция
exp + tA. ($0)] дает нетривиальное решение однород-
ной задачи L — Г. Ц
• Лемма 4. Если р G СоТ, то нуль принадлежит
CoL.
Доказательство. Как и при доказательстве
утверждения 3, § 2гл. IV, из условия р РоТ немедленно
заключаем, что оператор L-1 * существует и область
© (L"1) плотна в Н (содержит заведомо все конечные
суммы вида (2)). Докажем неограниченность оператора L-1.
Согласно предположению леммы существует последо-
вательность {$*} ЕЕ & такая, что
| р — exp &AS| =	-> 0 при к -> оо.
(4)
Здесь Afc = А (/). Возьмем последовательность правых
§ 1. ОПЕРАТОР Dt—А; СПЕКТР '	121
частей
Л = exp (tf-x), II Д || 2 = (2л)в&.	(5)
Покажем, что норма решений ик задачи L — Г при правых
частях вида (5) неограниченно растет при к —> оо.Вид ик
при правых частях (5) дается формулой
ик = ик (*) exp (is*-х), [| йк |[2 = (2л)п || ик (t) ||?,
где ик (t) вычислено по формуле (11) § 2 гл. IV при % =
= Afe, f = 1, т. е.
t	ь
ик (t) = (р, — ebAs)-1 (р. 5 е(г~х)А*йг 4- ?As j e(i-T)A*dx) .
о '	t
Производя интегрирование и исключая из рассмотрения
случай А& = О (что всегда возможно за счет перехода/ если
нужно, к соответствующей подпоследовательности), по-
лучим
(в)
S ' р — е *	'
Если р. = 1, то ик не зависит от t, | А& | -4- 0 в силу (4)
и | ик |-4-оо при к -4- оо, что и устанавливает неограничен-
ность L-1 в этом случае.
Если р, 1, то для достаточно больших к | Ак |
> т) > 0, член Aj1 и множитель (р — 1) в (6) могут быть
отброшены и достаточно показать, что неограниченно
растут нормы функций
vk = eiA»(p — е^^А»1.
Положим Afc = гк 4- iqk', где гк, дк вещественны. Тогда
„	»2	е К — 1
Если р. = 0, то правая часть (7) превращается в
•
(г| +	’
122 ГЛ. V. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Теперь нужно заметить, что рост (при г -> — оо)числителя
в (8) не может быть скомпенсирован ростом знаменателя
(за счет наличия в.нем слагаемого 2 r^g^), поскольку г, q —
фиксированные полиномы. Но тогда ||	||? ->• оо при
коо.
Случай р = оо может быть, очевидно, рассмотрен ана-
логично. Если же теперь р О, 1, оо, то для достаточно
больших к
о <	< I А® | < г)2 < оо.
“Тогда, отбрасывая в знаменателе (7) множитель ] Afc| 2
и замечая, что |	| "^ | егЬг* — 1 | > а > 0 (поскольку
для достаточно больших к | е2ЪГк — 1 |	0, гк
— N), видим, что|[ vk ||| растет вместе с | р — еЬА* I”2. |
Из доказанных лемм 1—3 немедленно следует сформу-
лированная ранее теорема. Многочисленные применения
доказанной теоремы будут рассмотрены нами в § 3 при
изучении различных типов операторов L. Пока что ограни-
чимся некоторыми замечаниями, выясняющими особое
положение для уравнения (L) задачи Коши. Как и выше,
мы без оговорок будем использовать запись р = оо для
обозначения граничного условия и ]f=0 = 0.
Предположение 1. При р = 0, оо и произ-
вольном П-операторе А точечный спектр оператора L пуст.
Утверждение следует из того, что точки 0, оо не могут
принадлежать РоТ. Н'	. .
Предложение 1 означает, что решение задачи Коши для'
уравнения (L) всегде единственно.
Предложение 2. При р = 0, оо либо все конеч-^
ные точки комплексной плоскости С принадлежат pL;
(если 0 или оо принадлежат р Т), либо все точкиС принадЛ
лежат СвЪ (если 0 или оо принадлежат СоТ).
Утверждение следует из того, что принадлежность точ-;
ки нуль (бесконечность) множеству р Т или CVT не зави<
сит от замены А ($) на A (s) + k	:]
Таким образом, при р = 0, оо оператор L является^
^С-оператором (п. 3.5 гл. I) всякий раз, когда оператор^
L-1 ограничен. Очевидна так же связь предложения 2 с|
наличием для решений задачи Коши «энергетических^
неравенств» (п. 1.1 гл. III), справедливость которых неЗ
зависит от вида «младшей части».
3 2. ОПЕРАТОР Dt — А: ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ	123
В соответствии с замечанием, приведенным после фор-
мулировки основной теоремы, отметим, что при р, 0, до
множество PaL может быть описано формулой
— А ($) -{- b"1 [In | р | + i arg р + 2 kx.i\,
s	к = 0, ± 1, ± 2, ...
При этом
oL = PcL, CoL = oL \ PcL<
§ 2. (Итератор Dt — A;
специальные граничные условия
Прежде чем использовать результаты § 1 для анализа
свойств тех или иных конкретных операций с частными
производными (что мы сделаем в § 3), рассмотрим некото-
рые вопросы общего характера. Сохраним обозначения и
предположения § 1.
Из основной теоремы § 1 немедленно следует, что вся-
кий раз, когда резольвентное множество оператора Т =
= ехр & А (А — П-оператор; Т: !НХ -> непусто, су-
ществуют правильные операторы, порождаемые операцией
L (D) = Dt - А (- ID)	(1)
и граничными условиями по t вида
р. U ] 4=0 — W I t=b = 0.	.	.	' (2)
Но, до аналогии с утверждением 4, § 2 гл. IV, нетрудно
установить следующий факт.
Утверждение 1. При п = 1 множество рТ
всегда непусто; при п 1 существуют операторы А
такие, что оТ заполняет всю комплексную плоскость С.
Доказательство. При п = 1 утверждение
тривиально. Для доказательства второй части утвержде-
ния достаточно заметить, что спектр Т заведомо заполняет
всю плоскость С» если этим свойством обладает спектр А.
В то же время множество значений функции exp Ъ A (s),
s S и функции от $ и kt
exp [&A(s) Н- г2л&],
к = 0, ± 1, ± 2, . . . ,	(3)
очевидно,. совпадают. Но для
&/2л A (s) = + as2.+
124 ГЛ. V. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
(а, р — иррациональные) множество значений функции
&А (s) + 2кл1 = 2л А ($) 4- ik j
(значения $ й к — как в формуле (3)) плотно на С, как это
следует из доказательства утверждения 4, § 2 гл. IV. Ц
Итак, при п 2 существуют П-операторы А такие, что
при любом выборе р, в условиях (2) каждая точка комп-
лексной плоскости принадлежит либо точечному, либо
непрерывному спектру соответствующего оператора L:
Н —> [Н. Тем не менее, обращаясь к рассуждениям,
использованным в § 3 гл. II, нетрудно убедиться, что при
любом П-операторе А должны существовать такие гранич-
ные условия по t (т. е. условия на и (х, t) при t = 0, &),
что определяемый ими оператор L: IH -> IH — правиль-
ный. Проведем соответствующее рассмотрение.
Утверждение 2. При любом П-операторе А
для оператора Lo: 1Н->1Н, определяемого операцией
L (D) вида (1) и-условиями по t:
U I t=o = и I е=ь = о,	(4)
существует ограниченный, обратный оператор L©1.
Доказательство. Достаточно заметить, что
при условиях (4) для ие 3 (Lo), удовлетворяющей
уравнению Lou = /, при определении и3 (t) в представле-
нии (2) § 1 можно воспользоваться любым из равенств:
t	ъ
us—^ ev~x)Asfsdx, us = — 5e('"T)A«/s dx. (5)
0	t	\	
Из первого равенства следует, что
p(‘-T)ReA*dT	(6)
О
и аналогичную оценку можно записать, исходя из второго
равенства (5). Таким образом, пользуясь первым из ра-
венств (5) при Re As 0 и вторым при Re As 0, немед-
ленно убеждаемся в равномерном по s Е выполнении
неравенств (Ф3) § 1, что и влечет существование ограничен-
ного оператора Lq\ Н
§ 2. ОПЕРАТОР Di—А; ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ	125
Нетрудно тенерь догадаться, что «^-минимальный»
оператор Lo, определенный в утверждении 2, должен иг-
рать роль минимального оператора из § 3 гл. П. В качест-
ве «Z-максимального» оператора мы возьмем оператор L,
порождаемый операцией L (Z?) на функциях, свободных от
каких-либо условий но t. Поскольку в рассматриваемой
ситуации заведомо имеет место эквивалентность слабого и
сильного определений операторов Lo, L, пользуясь конст-
рукциями § 3 гл. II, немедленно получаем
Утверждение 3. Справедливо равенство
SR (L) = 1Н. И
Утверждение 4. Существует правильный опера-
тор L такой, что Lo CZ L CZ L. Щ
Теперь, однако, в отличие от общей ситуации гл. II, мы
сможем при любом, П-операторе А явно описать класс
граничных условий по t, определяющих L. Прежде чем
переходить к такому описанию, отметим два утверждения,
вытекающие из результатов § 1 гл. III и § 1 настоящей
главы.
Пусть Ls: IHtlHf, t ЕЕ (0, &), — некоторый опера-
тор, порождаемый обыкновенной дифференциальной опе-
рацией Dt — А (5). Набор таких операторов при
порождает, очевидно, оператор L: Н IH (с соответст-
вующей областью определения), если условиться, что
Ъи = 2	(0 где для и использовано представ-
ление (2) § 1.
Утверждение 5. В используемых предположе-
ниях всякое правильное сужение оператора L определяется
набором {Ls}, правильных сужений максимальных
операторов Ls, порождаемых на (0, Ь) обыкновенными диф-
ференциальными операциями Dt — А ($).
Набор правильных сужений {Ls}, sGE&\ определяет
правильное сужение L оператора L тогда и только тогда,
когда нормы операторов L71: IH t -> IH* равномерно no
s GE ограничены-.
Утверждение 6. Утверждение 5 сохраняет силу
при замене слов «правильное сужение» на слова «правильный
оператор». |
Укажем теперь способ задания граничных условий по
t, порождающих правильный оператор L: Н IH при
126 ГД. V. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
произвольном П-операторе А. Для заданного А разобьем
& на дваг подмножества <S^+, полагая
если Re А ($) <^ 0; see&+, если Re А ($) ^> (к
Это разбиение индуцирует разбиение 1НХ на сум-
му ортогональных подпространств: 1НХ = ф 1НХ, где
(1н;) — замкнутая линейная оболочка векторов
exp is*x, s ЕЕ ($ GE <У“). Обозначим через р,“, р+
операторы проектирования в IHX, соответственно.
Т е.о р е м а. Задание области определения оператора
L условиями
k=o — V>+u k=b = 0	(7)
определяет правильный оператор L: 24 —> IH при любом
П-операторе А.
. Доказательст во. Достаточно заметить, что
условия (7) эквивалентны требованию определения и3 (t)
(при решении уравнения Lu = /) по первой из формул (5)
при s Е и по второй — при у ЕЕ &+- В силу наличия
оценок вида (6) это обеспечивает равномерное по s Е
выполнение неравенств (Ф5) § 1, откуда и следует утверж-
дение теоремы.	z $
Замечание. Условия (7) дают простейший пример
использования так называемого псевдодифференциального
оператора (нулевого порядка) для описания граничной
задачи. Одним из первых примеров условий такого типа
были предложенные в [С7] при рассмотрении граничной
задачи в полупространстве для ультрагиперболического
оператора. Как будет отмечено в гл. VI (при рассмотрении
операторных уравнений второго порядка), в случае
ультрагиперболического оператора можно обойтись и
обычными условиями типа условий (2). В то же время, как
это следует из приведенных построений, в некоторых слу-
чаях неизбежно использование «специальных» условий
типа (7).
Утверждение 7. В используемых предположени-
ях для правильного операторами, определяемого условиями
(7), каждая точка % (конечная) комплексной плоскости С
принадлежит pL. Если, кроме того, | Re А ($) | -> оо
при |$|—» оо, то оператор L“x — волыперров.
Действительно, переход от оператора А к А + к
при любом фиксированном конечном % приведет лишь к
8 3 ОПЕРАТОР Dt—А; КЛАССИФИКАЦИЯ	127
замене неравенства Re A (s)	0 (при з на нера-
венство Re A (з) М или к аналогичному «сдвигу» в нера-
венстве Re А (з)	0. Это, очевидно, не отразится на
справедливости оценок вида (6).
Выполнение условии второй части утверждения приве-
дет к убыванию || us || t, обеспечивающему полную непре-
рывность оператора L-1 (ср. доказательство утверждения
5, § 2 гл. IV). 
Таким образом, определяемая условиями (7) задача
близка в некотором смысле по своим свойствам к задаче
Коши (подробно рассмотренной в заключительной части
§ 1). Соответствующий оператор L является (в терминоло-
гии п. 3.5 гл. I) дС-оператором.
§ 3. Оператор Dt — А; классификация
Мы продолжаем сохранять обозначения и определения
§ 1. Различия в свойствах рассматриваемых операторов L
проистекают, естественно, из различия свойств входящих в
их определение П-операторов А. В п. 2.2 гл. IV были пере-
числены некоторые основные типы операторов А, и настоя-
щий параграф непосредственно примыкает к этому пункту.
Однако при переходе к операции L (D) на первый план
выступает различие ролей вещественной R (з) и мнимой
Q (з) частей полинома А (з) = R -}- iQ.
Напомним, что мы условились вещественный полином
R (з) называть обладающим С-свойством, если существует
предел
lim |R(s)|=oo,	(С)
JsJ-иоо, 8&Р
и обладающим В-сеойством, если выполнено одно из нера-
венств
infR(s)^>—— оо, supRМ<2оо. (В)-
Полином R ($) обладает сильным С-свойством (В-свойст-
вом), если /С) (одно из соотношений (В)) выполняется при
произвольном IRn. Приведенные определения были
прокомментированы в п. 2.2 гл. IV.
Называя уравнение (L):
Lu== (Dt— A)u = A	(L)
128 ГЛ. V. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
рассматриваемое вместе с условиями (Г):
(Ш |f=0 — и к=ь = О,	(Г)
«задачей L — Г», условимся называть эту задачу регуляр-
ной, если соответствующий оператор L — правильный
(т. е. О е pL или р Е= рТ).
Полиномам R (s), Q ($) однозначно соответствуют не-
которые самосопряженные П-операторы R, Q, и мы можем
говорить о спектрах oR, oQ и т. д. Наличие у R (s) В-
свойства обеспечивает расположение oR на луче вещест-
венной прямой (или расположение оА в соответствующей
полуплоскости) и является необходимым и достаточным
условием регулярности либо прямой, либо обратной задачи
Коши для (L). Отсутствие при этом у R сильного В-свой-
ства говорит о некорректности задачи Коши в некомпакт-
ном случае (т. е. при замене Тпна₽п), соответствующем
непрерывному спектру (полином ($2 + а)2 + при неце-
лом а обладает В-свойством, но не обладает сильным
В-свойством).
Дополнительное наличие С-свойства является необхо-
димым условием устойчивости регулярной задачи относи-
тельно возмущений оператора А. Если R обладает С-
свойством, не обладая В-свойством, можно всегда гаранти-
ровать наличие достаточного запаса регулярных значений
и ЕЕ рТ, ц #= 0, оо. Отсутствие при этом сильного С-
свойства говорит о специфичности соответствующей задачи'
для компактного случая. Наконец, отсутствие у R обоих
свойств В, С может привести к ситуации, в которой pL
пусто.
Переходя к рассмотрениям, включающим кососиммет-
рическую часть Q оператора А, условимся называть
регулярную задачу L — Г устойчивой относительно возму-
щений оператором Ао = Ro + ZQ0, если существует 6 > О
такое, что для любого оператора вида
Dt — (А + eR0 + Zr]Q0)
задача L — Г остается регулярной при | & | + | ц | S
(в отличие от п. 2.2 гл. IV, теперь удобнее различать
возмущения R и возмущения Q).
При выяснении влияния свойств Q на спектр Т осо-
бую роль играют окружности О$:
Озо = {z : [ z | = exp R (s0), s0 G
§ 3. ОПЕРАТОР Р:—А; КЛАССИФИКАЦИЯ
129
Спектр РоТ принадлежит, очевидно, объединению О&
окружностей О3. Среди 08 естественно выделить окружно-
сти неустойчивости 0s, обладающие. тем свойством, что
сумма кратностей точек Pol, лежащих на 0s, бесконечна.
При и О& задача L — Г заведомо регулярна и, более
того, устойчива относительно произвольных возмущений
Q. При р е= рТ, р, е= 03, где О3 не является окружностью
неустойчивости, задача устойчива относительно достаточно
малых возмущений Q. Если же регулярная задача соответ-
ствует значению р, €= 0$, то заведомо сколь угодно малым
возмущением оператора Q можно получить оператор, для
которого р, е РоТ (модель ситуации: «задача Дирихле
для волнового уравнения»; см. ниже).
При наличии у R С-свойства вопрос об устойчивости
задачи, для которой р, О&, сводится к вопросу об устой-
чивости спектра R, рассмотренному нами в п. 2.2 гл. IV.
Далее, как и в указанном пункте, весьма существенно
соотношение между группами переменных л от
которых зависят R (s), Q (з) соответственно.
Следует заметить, что различие между частичной зави-
симостью Q и независимостью (п. 2.2 гл. IV) несущественно
для дальнейшего и мы будем называть Q независимым в
любом из этих случаев. Для характеризации свойств L
достаточно различать три типа полиномов Q:
1.	Q = 0;
2.	Q^O, Q вполне зависит от R;
3.	Q^O, Q является независимым.
Полезно отметить, что при наличии у R свойства (С)
окружности неустойчивости существуют лишь у операто-
ров с независимой кососимметрической частью Q.
Учитывая все вышесказанное, можно было бы расклас-
сифицировать операторы А (и, следовательно, L), сопостав-
ляя каждому А пару символов (X, Y) и считая, что первый
символ характеризует свойства R, а второй — свойства Q.
Построенная по такому принципу полная таблица содер-
жала бы более 20 типов операторов А. Представляется,
однако, более целесообразным ограничиться разбром серии
наиболее характерных примеров.
Удобно сосредоточить внимание на сильных С- и В-
свойствах. Условимся поэтому писать в паре (X, Y) вместо
X символ С (или В), если R обладает сильным С-свойством
(сильным В-свойством), символ если для R не выполне-
5 А. А. Дезин
130 гл. V. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
НО НИ ОДНО ИЗ СВОЙСТВ В, С, и нуль при В = 0. Символы
0,3, Н на месте Y будут означать соответственно операторы
Q, тождественно равные нулю, зависимые от R или неза-
висимые.
Тип (С, 0); п 1. Простейший пример соответствую-
щего оператора порождается операцией
L(P)=D/±(D?+D1),
являющейся с классической точки зрения параболической.
Оператор А — самосопряженный, со спектром на луче
вещественной оси, имеющим единственную предельную
точку, оо или —оо. Оператор А-1 вполне непрерывен.
Среди задач L — Г всегда регулярна либо прямая, либо
обратная задача Коши.
Тип (С, 0); п = 1. Этот случай является в некотором
смысле особым, поскольку при п = 1 нет импликации
С => В. Классический пример, иллюстрирующий возника-
ющую ситуацию, дает
L(D)==Z), + ZZ>X
(оператор Коши — Римана). И прямая и обратная задачи
Коши нерегулярны. Регулярные задачи устойчивы.
Тип (С, 3). Простейший пример:
±D* Ч-PFV
В общем случае, если спектр R расположен на положи-
тельной полуоси, то спектр А — в правой полуплоскости,
причем в каждой конечной области С число точек спектра
конечно.
Тип (С, Н). Простейший пример:
L(D)=Dt±D[ +D2.
Спектр А снова в некоторой полуплоскости, но может
оказаться плотным на некоторых вертикальных прямых.
Все окружности Os являются окружностями неустойчиво-.
сти. При этом, если множество точек РоТ на конечно,
то каждая имеет бесконечную кратность; если же кратно-
сти конечны, то точки РоТ плотны на Os. Один случай
может переходить в другой при сколь угодно малых воз-
мущениях Q или параметра Ъ.
§ 3. ОПЕРАТОР Dt -А: КЛАССИФИКАЦИЯ .	131
Тип (В, 0). Пример:
L(D) = Z)t +(Z>i-2>t)8.
Оператор А — самосопряженный; спектр А — на полуоси.
Основное отличие от типа (С, 0) заключается в наличии
предельных точек спектра на конечных интервалах веще-
ственной оси и в поведении относительно возмущений
оператора R.
Тип (В, 3). Пример:
L (D) = Dt + (Dx -	+ РГ1.
Отличие от типа (С, 3) — опять-таки в наличии предельных
точек в конечных областях С (имеются окружности не-
устойчивости).
Тип (В, Н). Пример:
L(D)=Dt +(Di-P2)2+D3.
Все окружности О$ — окружности неустойчивости; основ-
ное отличие от типа (С, Н) — в поведении относительно
возмущений оператор# R.
Тип (~, 0). Пример:
L(D)=Dt +Dl-D*.
Оператор А — самосопряженный, но спектр его не являет-
ся полуограниченным. Сколь угодно малые возмущения R
(или параметра &) могут вызвать переход от чисто точечного
спектра А (содержащего точки бесконечной кратности) к
спектру, заполняющему всю вещественную ось.
Т и п (~, 3). Оператор А получается в этом случае
добавлением к «плохому» R зависимого кососимметриче-
ского оператора. Спектр А разбросан по всей комплексной
плоскости, но всей плоскости С заведомо не заполняет.
Тип (~, Н). Этому типу принадлежит приведенный в
§ 2 пример оператора А такого, что спектр L уже при
п = 2 заполняет всю плоскость С.
Тип (0,-Н). Простейший пример:
ЦР)^+Д,
Спектр А расположен на мнимой оси; приведенный пример
соответствует простейшему гиперболическому оператору.
Единственная окружность 03 (единичная) является окруж-
ностью неустойчивости. И прямая и обратная задачи Коши
132 ГЛ. V. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
регулярны. Ситуация неустойчива относительно возмуще-
ния А = ZQ симметричным оператором R.
Интересно отметить, что тому же типу принадлежит
оператор Шрёдингера, порождаемый операцией
L (D) = Dt±iDx
(можно заменить Dx на оператор Лапласа Д). Родство опе-
ратора Шрёдингера с простейшим гиперболическим опера-
тором является одним из классических (но не тривиаль-
ных) фактов теоретической физики.
Этими примерами мы пока и ограничимся. Отметим в
заключение следующий факт.
Утверждение. Операция L (Р) рассматривае-
мого типа гипоэллиптична (см. [19]) тогда и только тогда,
когда оператор А имеет тип (С, 0).
§ 4. Операторы, неразрешенные относительно Dt
Перейдем теперь к рассмотрению вопроса о том, какие
специфические черты отличают общее операторное урав-
нение	ъ
Ъи ~ AoDtu + Atu <= /	(1)
от уравнения, рассматривавшегося в §§ 1—3, т. е. от урав-
нения, в котором Ао^ 1. Возникающие явления соответ-
ствуют, в определенном смысле, явлениям, присущим в
классической теории задачам «с граничными условиями на
характеристике».
В отличие от рассмотрений предыдущих параграфов,
мы обратимся к рассмотрению (в рамках нашей схемы)
одного из классических уравнений в частных производных,
связанного с операцией
L(D)=DxDt.
Применение нашей схемы означает, что мы хотим рас-
сматривать в прямоугольнике V «= (0 < х < 2л) х (0 <
< t < Ъ) уравнение
= DxDtu — ku «= /	(2)
при условиях периодичности по х и условиях
к=0 — и |1=ь <= 0	(Г)
по t.. Предполагая, что /ЕЩУ), определим решение
задачи (2) — (Г) как элемент u Е Н, удовлетворяющий
§ 4. ОПЕРАТОРЫ, НЕРАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО Dt 133
уравнению (2), в котором оператор L>_: IH-> Н пони-
мается как замыкание в Н операции Lx (D), заданной
первоначально на функциях, обладающих непрерывной
производной DxDt и удовлетворяющих указанным выше
граничным условиям в классическом смысле.
Если теперь и (t, х) — достаточно гладкая функция,
удовлетворяющая уравнению (2) и граничным условиям в
классическом смысле, то, используя наше стандартное
представление
i	и (t, х) «= Sus (t) е***, s G -У,
и аналогичное представление для / (t, х), получим для us
цепочку равенств
isDtua — Aus = /s,	(3)
в которых каждая из us удовлетворяет дополнительно
условиям (Г). Рассмотрим вопрос о построении решения
исходной задачи, исходя из цепочки уравнений (3).
Пусть сперва р =£ 0, оо. Тогда при А О, $ =# О
функции us (t) определяются при условии
ь А
. р-е “¥=0	(4)
по формуле (11) § 2 гл. III. Выполнение условия (4) влечет
автоматически равномерное по s G выполнение нера-
венств (Ф5) из § 1 (следствие одномерности оператора Ао).
Если же А Ф 0 таково, что при некотором $ G условие
X л .
.Y	— t+zsx
(4) нарушается, то соответствующая функция е™ —
собственная.
При X у= 0, s 6= 0 значение и0 определяется равенством
(5)
но при этом u0 (t) не будет, вообще говоря, удовлетворять
условиям (Г) (если не подчинить специально этим условиям
функцию /о (О)-
Наконец, при А *= 0, s = 0 функция и0 (t) остается
произвольной, а соответствующее уравнение в (3) разреши-
мо лишь при дополнительном условии /0 (t) — 0.
При р = 0, “к =f=- 0, s 0 все уравнения (3) заведомо
однозначно разрешимы, а случай А =£ 0, s = 0 снова при-
водит к уравнению (5). Существенное отличие условия
р «= 0 от «регулярных» условий (Г) проявляется теперь в
134	ГЛ. V. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
том, что точка % «= 0 принадлежит PoL, а соответствую-
щее пространство собственных функции бесконечномерно
и состоит из всех функций вида и (t) (точнее — вида и (t) 0
0 1; см. § 1 гл. IV).
Случаи <= оо рассматривается аналогично.
Проведенные рассмотрения позволяют дать исчерпыва-
ющее описание спектра оператора L: И —> !Н, порож-
даемого операцией L (D) и условиями (F).
Теорема. При р, =И= 0, оо спектр определенного
выше оператора L: 1Н -> Н является чисто точечным, а
множество собственных значений описывается равенством
К>,к =	+ *argp, + 2kni]; s,k = 0, ±1,... (6)
При р «= 0, оо единственной точкой спектра оператора L
является точка Q ЕЕ PoL; соответствующее пространство
собственных функций состоит из всех функций вида
и (0 0 1.
Доказательство. К приведенным выше рас-
суждениям остается добавить, что при фиксированных
регулярных (не принадлежащих описанному спектру)
значениях X приведенное в § 1 доказательство существо-
вания и единственности обобщенного решения при равно-
мерном по s Е выполнении неравенств (Ф3) § 1 очевид-
ным образом применимо и в рассматриваемой ситуации.
Действительно, определение (t) из равенства (5) при
построении гладкой аппроксимирующей последователь-
ности функций, удовлетворяющих условиям (Г), ничему не
мешает, поскольку в аппроксимирующей (в Л (V)) после-
довательности для правых частей всегда можно считать
функции /ол (0 (или даже fi(t,x)) удовлетворяющими
условиям (Г). |||
Замечание. Как и в соответствующем замечании
к основной теореме § 1, отметим, что формула (6), соответ-
ствующая случаю [х =Н= 0, оо, является иллюстрацией клас-
сического утверждения: «спектр произведения коммутиру-
ющих операторов есть прямое произведение их спектров».
Сделанное замечание показывает, с другой стороны, что.
выбранный нами подход (способ определения решения
уравнения (2)) является «естественным» с точки зрения
включения рассматриваемой задачи в теорию операторов
в Н.
§ 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ 135
•
Ясно, что и установленные свойства задачи Коши свя-
заны со спектральными характеристиками операторов Dx,
Dt при соответствующих граничных условиях, но приме-
нимой к этому случаю абстрактной теоремы неизвестно.
Теперь, чтобы несколько приблизить наши рассмотре-
ния, связанные с уравнением (2), к изучению общего объек-
та (1), добавим в (2) «младшие члены», т. е. рассмотрим
вместо (2) уравнение
= (DxDt 4“ а?Рх — ty и = f> (7)
где аь а2 — некоторые постоянные. Тогда уравнения (3)
заменятся уравнениями
(is 4- aty Dtu$ 4- (a2is — ty us = fs.	(8)
К уравнениям (7), (8) можно снова применить приведен-
ную выше схему рассуждений. При этом бросается в глаза
очень сильное влияние членов, которые мы охарактеризо-
вали как «младшие», на характер разрешимости задачи
(7) — (Г); в частности — на характер разрешимости задачи
Коши, что связано с наличием теперь и при условиях Коши
(в задаче (2) — (Г)) точечного спектра.
Отмеченное явление сильного влияния «младшей части»
хорошо известно в классической теории так называемых
«характеристических» (см. замечание в начале настоящего
параграфа) задач.
С соответствующими усложнениями приведенная схема
переносится, очевидно, и на общее операторное уравне-
ние (1).
§ 5. Дифференциальные свойства решении
операторного уравнения и примыкающие вопросы
Вернемся снова к рассмотрению простейшего уравнения
Lu = (Df-A)u = /	(L)
при условиях
k=o-“- w \t=b = О, .	(Г)
сохраняя все предположения1, и выясним прежде всего
дифференциальные свойства решений регулярных (§ 3)
задач L — Г.
Под изучением дифференциальных свойств понимаются
рассмотрения, аналогичные проведенным при доказатель-
136 гл. V. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
стве утверждения 6, § 2 гл. IV. К вопросу о дифференци-
альных свойствах непосредственно примыкает вопрос о
полной непрерывности оператора L-1, а наличие для L*1
свойства полной непрерывности позволяет включить в
рассмотрения операции L (D) -|- М (Z>), получающиеся за
счет возмущения L (D) «младшими членами», содержащими
зависящие от t, х коэффициенты.
Итак, пусть и (х, t) — решение регулярной задачи
L — Г. Тогда из оценок,* использованных при доказатель-
стве леммы 2, § 1, немедленно следует, что для коэффициен-
тов и3 (£) нашего стандартного представления (2) § 1
функции и (t, х) справедливы неравенства
II<0 Ik<(7^|-II/5 (0 Иь	r(s)¥=O,	(1)
где постоянная с уже не зависит от $. Для значении 5,
для которых г ($) = 0, неравенство (1) должно быть
просто заменено неравенством!
II Щ (0 || t < с || f8 (01k,
где с опять-таки не зависит от 5.
Оценка (1) является, очевидно, точной, т. е. в ней
нельзя заменить г ($) на какой либо полином (0 такой,
что
I Г | / I 71 | -> 0 при | $ | -> ОО.
Из сказанного немедленно следует утверждение.
Утверждение 1. Решение и регулярной задачи
L — Г обладает обобщенной производной Dtu £ iH и при
любом t GE [0, Ъ} принадлежит области определения опера-
тора А: 1НХ -> тогда и только тогда, когда сущест-
вует постоянная М < оо такая, что
| А ($) | / 1 т* (0 | М равномерно по s	(2)
Доказательство. Достаточно воспользоваться
равенством Dtu$ = f$ -[- А (5) и$, оценкой (1) и заметить,
что Au GE IH тогда и только тогда, когда Dtu GE Н 
Утверждение 2. При выполнении условия
соответствующий оператор L”1: IH -> IH (задача L — Г
регулярна) вполне непрерывен тогда и только тогда, когда
lim |-А ($) | = 00,
JsJ-*OO
§ 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ 137
Доказательство утверждения 2, использующее (1) и (2),
повторяет доказательство соответствующего утвержде-
ния 5, гл. IV. |
Пример. Для оператора. L:	порождае-
мого, в наших предположениях, регулярной задачей для
операции
b(D)=Dt 4-i(Dx +D2),
решение уравнения (L) будет обладать производной
Dtu GE Н, но оператор L-1 не будет ВН-оператором.
Наличие для оператора L-1 свойства полной непрерыв-
ности позволяет рассмотреть возмущения оператора L,
качественно отличные от рассмотренных выше возмуще-
ний А теми или иными П-операторами.
Пусть М (D) имеет вид (обозначения гл. II)
M(D)u.= 3 aa(t,x)Dau,	(3)
|a|<p
где Oa непрерывны по t и обладают по хк гладкостью»
достаточной для определения операции М' (D). Пусть
L: Н -> Н — некоторый фиксированный оператор вида
(L), удовлетворяющий условиям утверждения (2). Пусть
И71. Р+1 — гильбертово пространство функций, обладающих
в рассматриваемой области Vt х V (§ 1) обобщенной
производной Dt и всеми производными (обобщенными)
по хк (§ 7 гл. II) до порядка р +1. Если из; u G £ (L)
следует, что и И71. ”+1 (что определяется справедли-
востью (2) и свойствами А ($), даваемыми утверждением 6,
§ 2 гл. IV), то, во-первых, на" u cg £> (L) определен естест-
венным образом оператор М: Н -> И, порождаемый
операцией (3) (поскольку существуют входящие в определе-
ние (3) обобщенные производные, принадлежащие Si), и,
во-вторых, ВН-оператором будет не только оператор L"1:
И -> И, но и оператор L-1M,' как это немедленно сле-
дует из утверждений § 7 гл. II.
Рассмотрим теперь операторное уравнение
(L-|-M)u=/,	(4)
где операторы L, М понимаются в указанном выше смыс-
ле. Полезно при этом отметить, что в силу использован-
ных соглашений оператор левой части (4) может быть не-
посредственно определен обычным образом, т. е. как за?
138 ГЛ. V. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
мыкание в И операции L (D) -|- М (Z>), рассматриваемой
первоначально на гладких функциях, 2л-периодических
по xjt и подчиненных условиям (Г) по t.
Уравнение (4) эквивалентно, в сделанных преположе-
ниях, уравнению
(1 + L-1M) и = L-1/ = g.	(5)
Можем, не уменьшая общности, считать, что 1 ЕЕ
ЕЕ р (L-1M). Действительно, в противном случае мы за-
менили бы М на хМ, где х — некоторое число, сколь угод-
но близко к 1 (оператор L-1M является ВН-оператором,
и 1 может быть лишь изолированным собственным значе-
нием). Если 1 Е р (L-1M), то уравнение (5) и, следова-
тельно, уравнение (4) разрешимы при любых g, f IH,
т. e. существует ограниченный оператор (L 4- М)-1.
Утверждение 3. В сделанных предположениях
оператор (L 4-М)-1 вполне непрерывен.
Действительно, L 4- М = L (1 -|- L-1M) и (L 4- М)-1 =
= (14- L-1M)-1L-1, где (1 4- L-1M)-1 — ограниченный,
a L-1 — вполне непрерывный операторы. 
Воспользовавшись теперь теоремой п. 2.3 гл. I о связи
спектров данного и обратного операторов и характери-
стиками спектральных свойств ВН-операторов (пп. 3.1,
3.2 гл.1), можем высказать соответствующие утвер-
ждения о спектре оператора L 4- М. Более того, связав
с оператором L 4- М сопряженньш оператор (L -|-М)*,
можем установить для этой пары аналоги теорем Фред-
гольма. Достаточно перейти к операторам (L 4- М)-1,
(L 4-М)-1*, воспользоваться равенством (L 4-М)-1* =
= (L -|- М)*-1 (п. 1.3 гл. I) и. связью между спектрами
данного и обратного операторов.
Наибольший интерес, однако, представляет возмож-
ность заменить (L 4- М)* на L' 4- М\ где последний опе--
ратор определен, исходя из операции I/ (D) 4- М‘ (Я),
таким же образом, как был определен оператор L 4- М,
с заменой (Г) на условия
v |(=о - !» U = 0-	(Гг)
Утверждение 4. В сделанных предположениях*
теоремы Фредгольма справедливы для пары операторов
L 4-М, I/ 4-Мг.
,§ &. НЕКОТОРЫЕ ОПЕРАТОРЫ
139
Доказательство сводится, очевидно, к проверке ра-
венства
(L + M)*=I7+M*.	(6)
Но равенство L* «= 17 немедленно следует из получен-
ных нами ранее результатов (постоянство коэффициентов,,
условия периодичности). Следовательно, регулярность
значения р, автоматически влечёт регулярность условий
(1\). Кроме того, оператор (U)’xMf: IH -> IH вполне
непрерывен, и уравнение (I/ + М*) v «= h (при дополни-
тельном предположении 1 о [(Ье)~хМЧ) однозначно раз-
решимо при любом h IH. Это обеспечивает (п. 6.4 гл. II)
справедливость равенства (6).
В рамках проведенных построений можно рассмотреть
и случай 1 cr (L~XM). В этом случае, в силу полной не-
прерывности оператора L“XM, должна иметь место принад-
лежность единицы точечному спектру. При этом ядро
соответствующего оператора конечномерно и условия
разрешимости уравнения (5) запишутся обычным обра-
зом, через ортогональность правой части элементам ядра
сопряженного оператора.
Все сказанное выше резюмируется обычно словами:
«Уравнение (4) нормально разрешимо». Дополнительное
предположение 1 ст (L-1M), как правило, не рассмат-
ривается.
§6. Некоторые операторы с переменными
коэффициентами в главной части
В’этом параграфе мы остановимся на некоторых приме-
рах операторов простейшего типа:
L = Z)f-A,
у которых в определение А (в «главную часть») входят
функции, зависящие от х или t.
В качестве первого примера рассмотрим оператор, по-
рождаемый операцией
L (D) и = Dt u - А (х) u,	(1)
где А (х) — некоторая непрерывная при х е Ю, 2л]
функция.
140 ГЛ. V. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
По-прежнему считаем, что t ЕЕ [0, &]. Нас будет инте-
ресовать оператор L: И -> И, Н «= Нг 0 Нх, определя-
емый как замыкание в Н операции (1), рассматриваемой
первоначально на гладких функциях, подчиненных ус-
ловию
ри |t=0 — и |(=ь = 0.	(Г)
Как и ранее, при изучении спектра L достаточно
ограничиться случаем X = 0 (случай произвольного X сво-
дится к нему заменой А на А + X). Операция умножения
на функцию порождает в Нх оператор с непрерывным
спектром, и естественно ожидать, что спектр L полу-
чается «размазыванием» точечного спектра оператора Dt
(порождаемого условиями (Г), р 0, оо), поскольку
в (1) мы имеем дело с разностью коммутирующих опера-
торов.
Действительно, справедливо утверждение.
Утверждение 1. При выполнении условия
р — exp [7>А (ж)] Ф 0,	[0,2л],	(2)
уравнение
Lu = f	(3)
однозначно разрешимо при любом f s И. Если же в неко-
тором конечном числе точек х, ЕЕ [0,2л), 7 = 1, . . ., N,
условие (2) нарушается, то нуль принадлежит CaL.
Доказательство. Первая часть утверждения
следует из того, что при выполнении условия (2) решение
уравнения (3) дается формулой (11) § 2 гл. Ш с заменой
в ней X на А (х).
Для доказательства второй части утверждения доста-
точно заметить, что та же формула дает решение уравне-
ния (3) и при нарушении условия (2) в точках х$, если
правая часть / подчинена дополнительно условию
f (t, х) = 0 при' | х — X} |	8, 7 = 1, ...,7V, (4)
t е [0, Ъ}.
Совокупность / Е И, подчиненных условию (4) (при все-
возможных е > 0), плотна’ в Н. Оператор L-1, заданный ;
на^этомтплотномтмножестве, будет, очевидно, неограни-
ченным’(его норма будет неограниченно расти при стрем-
лении 8 в условии (4) к нулю). В
§ 6. НЕКОТОРЫЕ ОПЕРАТОРЫ
141
«Патологическим» случаем, в котором условие (2) на-
рушается в бесконечном числе точек, мы интересоваться
не будем. При р = 0, оо (прямая и обратная задачи Коши)
уравнение (3) всегда однозначно разрешимо.
Второй из интересующих нас примеров показывает,
что уже для операции вида
L (D) = Dt - Ф (0 А,
где А — П-оператор, а ф (1) — гладкая функция, ут-
верждение о возможности всегда задать соответствующий
правильный оператор L с помощью некоторых условий по
t (при f = 0, Ъ) становится неверным (в отличие от утвер-
ждений 2—4, § 2).
Мы рассмотрим простейший случай А = D*, ф (£) =
= 2t — Ъ, т. е. операцию
L(D)=Dt-(2t-b)D^	Ге[0, Я (5)
Замечание. Операция (5) соответствует, очевид-
но, «обратной теплопроводности» при t » 0 и «прямой
теплопроводности» при t = &, что и определяет природу
рассматриваемого примера.
Напомним, что Z-минимальным оператором, порож-
даемым операцией L (D) рассматриваемого типа, мы на-
звали оператор, задаваемый условиями
и ||—о = и | t=b = 0.
Для доказательства несуществования правильного опе-
ратора, порождаемого операцией (5), достаточно проверить
следующее утверждение (ср. утверждение 2, § 2).
Утверждение 2. Для t-минимального оператора
Lo, порождаемого операцией (5), обратный оператор
Lq1 : И Н является неограниченным.
Доказательство. Если воспользоваться на-
шим обычным представлением и"Zut (<) е** и аналогич-
ным представлением для f (t, z), то для решений уравне-
ния (3) с оператором L, определяемым операцией (5), бу-
дем иметь
+(2i-b)^ut = ft.	(6)
Возьмем последовательность функций {/(^} вида
. fa (t, z) = к* (2t - b) e*x, F=l, 2, ...
142 гл. V. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Соответствующими решениями уравнения (3) будут, как
это следует из (6), функции вида
z4(jt) = [eW)_l]e^
удовлетворяющие,- очевидно, условиям '	|i==0 =
= u(^h=b *= 0. При этомII и(А)[|/Ц/(А-) II -> оо при&—> ОО. g|
Отметим наконец, что- использованная схема позво-
ляет изучить модель простейших задач сопряжения. Пусть
например, Vt = (—Ъ <£<&),
L = Dt — Аа,
где о = 1 при t €= (—6, 0), о = 2 при t €Е (0, &) и Аь А2 —
некоторые П-операторы. Если к условиям вида (Г) (взя-
тым при t = ±Ъ) добавить условие непрерывности
и (t, х) при t = 0, то свойства соответствующим образом
определенного оператора L: И !Н, IH = Ify (F^) 0IHX,
будут определяться спектрами операторов Аа и вы-
бором параметра р, в (Г).
Рассмотрения такого типа допускают, очевидно, боль-
шое число вариантов.
§ 7. Заключительные замечания
Как отмечалось во введении, настоящая глава является
в некотором смысле центральной во всем изложении,
и естественно дополнить ее рядом замечаний, относя-
щихся к структуре наших построений в целом.
Проведенные рассмотрения операторных уравнений
1-го порядка показывают, что предложенный подход поз-
воляет изучать модели разнообразных ситуаций, возни-
кающих при исследовании граничных задач для линейных
дифференциальных операций с частными производными,
рассматриваемых в ограниченной области. Параграфы 1—3
и 5 были посвящены «основному случаю», а §§ 4, 6 — за-
дачам специального характера, число которых можно бы-
ло бы значительно умножить (рассмотрев, например,
уравнения с малым параметром, с вырождающимися ко-
эффициентами, с подвижной границей и т. п.). Нам, од-
нако, хотелось сосредоточить внимание на принципиаль-
ной схеме1 исследования.
В следующей главе эта схема будет применена к опе-
раторным уравнениям 2-го порядка (причем мы ограни-
§ 7. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ	143
чимся «основным случаем») и будут сделаны некоторые
замечания об использовании ее при рассмотрении урав-
нения произвольного порядка.
Глава VII посвящена изучению (в выбранном круге
идей) общего вопроса о существовании правильного опе-
ратора, порождаемого произвольной дифференциальной
операцией с частными производными и постоянными ко-
эффициентами в ограниченной области.'
С общей точки зрения (п. 2.2 гл. I) проведенные нами
построения сводились к изучению свойств оператора L-1
(определявшегося задачей L — Г), заданного как неко-
торая функция оператора А (или коммутирующих опе-
раторов Ао, Aj), зависящая от дополнительного пара-
метра t е (О, Ь). Изучение облегчалось тем, что А пред-
полагался М-оператором. .
При отказе от последнего предположения построение
разрешающего оператора L-1 (в аналогичной ситуации)
неизбежно связано с использованием резольвенты А,
которая должна быть подчинена при этом специальным
дополнительным требованиям, заменяющим соответст-
вующие требования на спектр, нами использовавшиеся.
Как нетрудно догадаться, построения, использующие ре-
зольвенту А, значительно уступают по простоте случаю,
рассмотренному в данной главе.
Конструкции, пригодные для осуществления указан-
ного перехода в рамках нашей схемы, будут изложены
в гл. VIII. Тогда мы сможем убедиться, что для операции
L (D) = Of -(- aDx, t [0, &], х ^Е 10, 2л],
где а 0 — вещественное число, условия Коши по t-.
и |t=0 = 0
определяют правильный оператор не только при условиях
периодичности (или регулярных) по х, но и при условии
1х=0 ==
Г Л А В A VI
ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
§ 0. Вводные замечания
Сохраняя предположения и обозначения вводного па-
раграфа гл. V, общее дифференциально-операторное урав-
нение тга-го порядка можем записать в виде
Lu = (АоРГ + АхРГ1 + ... + А^) и = /.	(1)
Хотя в принципе схема рассмотрений гл. V (в предполо-
жении, что Ай суть П-операторы или M-операторы) при-
менима непосредственно и к уравнению (1), ряд моментов
технического характера вынуждает существенно изме-
нить план исследования. Достаточно отметить, что при
т > 2 уже не существует удовлетворительного (а при
т 4 — никакого) явного представления корней _ ха-
рактеристического уравнения ‘
2	= 0, А& = const,	(2)
через коэффициенты, что меняет способ использования
решений вспомогательного обыкновенного уравнения (1)
(в котором А* — те или иные числа), возникающего в ходе
наших рассмотрений. Кроме того, граничные условия об-
щего вида, определяющие правильные операторы, порож-
даемые обыкновенными дифференциальными операциями
(1), содержат по крайней мере тп2 существенных парамет-
ров (§§ 2, 3 гл. III), и достаточно прозрачной характери-
зации свойств спектра соответствующих операторов при
всех возможных выборах граничных условий получить
не удается.'
Естественно поэтому, что при рассмотрении уравне-
ний вида (1) приходится ограничиваться специальными
типами операторов и специальными классами граничных
условий (при t = 0, Ь). В данной главе мы рассмотрим
случай т, = 2, ввиду его сравнительной простоты и непо-
§ 1. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
145
средственной связи с классическими объектами теории
граничных задач для уравнений математической физики,
и некоторые специальные классы граничных задач для
частных случаев уравнения (1).
Отметим еще, что рассмотрение связанного с (1) ха-
рактеристического уравнения вида (2), в котором Aj. —
операторы, естественно приводит к понятию операторного
пучка — одного из популярных объектов классической
спектральной теории (см. [С 13 ]).
§ 1.	Операторные уравнения второго порядка
1.0.	Предварительные замечания. При изучении опе-
раторного уравнения вида (1) § 0 при т == 2 основное
внимание, как и в гл. V, можно сосредоточить на случае
Ао = 1. Переход к общему случаю может быть проведен
так же, как в § 4 гл. V.
Сохраняя предположения § 0 гл. V, запишем интере-
сующее нас уравнение в виде
Lu = (D} + 2ВР4 - А) и = /.	(1)
Если А, В — П-операторы (или М-операторы), основным
техническим средством при изучении (1) служат формулы,
дающие решение соответствующего обыкновенного диффе-
ренциального уравнения, в котором А, В — постоянные.
Существенным отличием от гл. V является то обстоятель-
ство (уже отмечавшееся вьппе), что граничные условия
общего вида, определяющие правильный оператор, порожг
даемый обыкновенной дифференциальной операцией (1),
содержат по крайней мере четыре существенных пара-
метра (§ 3, гл. III) и достаточно прозрачной характери-
зации свойств спектра соответствующего оператора при
всех возможных способах выбора граничных условий по-
лучить не удается.'
Отметим еще, что, поскольку в данной главе § 1 соот-
ветствует целой гл. V, пункты настоящего параграфа от-
вечают приблизительно параграфам предыдущей главы.
1.1.	Элементарные формулы. Если
F + 2Вк - А— 0	(2)
есть характеристическое уравнение для (1), ки к2 — его
146 ГЛ. VI. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
корни,
к1Л = -В ±	+	(3)
то при кг кг решение задачи Коши
и |t=0 = u't |f=0 = 0	(4)
имеет вид
и (О = \	----/ (т) dx = I (0 /,	(5)
а общее решение уравнения (1) может быть представлено
формулой
и (0 =	+ c2e*2' +1 (0 /•	(6)
В случае кратных корней к1 = к2 = к представление (5)
надо-заменить на (5'):
t
u(t) = \e^-^(t — x)f{x)dx = i(t)j, (5')
о
а (6) — на (6'):
и (0 «= сгеи + с£еи +? (г) /.	(6')
Полезно заметить, что lim I (t)= I (0.
1.2.	Общая схема. Основные рассмотрения настоящей
главы будут относиться (как и в гл. V) к случаю, когда
А, В в (1) суть П-операторы, и мы сохраним все ранее вве-
денные обозначения. Для изучения свойств уравнения
(1) мы снова воспользуемся представлением и, f рядами
вида (2) § 1 гл. V и рассмотрением получающихся цепо-
чек обыкновенных дифференциальных уравнений. Реше-
ния этих уравнений будут даваться формулами (6), '(6')
при значениях корней кх (s), Л2 (0, зависящих от А (0,
В (s), sE т. е. от значений полиномов, порождаемых
П-операторами А, В.
Правильные операторы, порождаемые в сделанных
предположениях операцией L (D), будут определяться теми
или иными дополнительными условиями, позволяющими
определить постоянные clt s с2> s ® формулах (6), (6').
Наличие равномерных по оценок
II МО lit < * II МО lit	(Фл
§ 1. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 147
будет (как и в гл. V) автоматически давать теорему су-
ществования и единственности соответствующего обоб-
щенного решения уравнения (1), в котором оператор ле-
вой части понимается снова как замыкание дифференци-
альной операции, заданной первоначально на гладких
функциях, принадлежащих тому или иному специальному
линейному многообразию.
В приводимых ниже рассмотрениях мы будем, как пра-
вило, ограничиваться анализом «общего случая»: кг Ф- к2,
т. е. формулами (5), (6), дающими семейства решений us (t).
Дополнительное изучение случая кратных корней не
представляет труда.
1.3.	Задача Коши. Предполагая, что А, В в (1) — П-
операторы, рассмотрим прежде всего классическую за-
дачу Коши.  :
Теорема 1. Если существует некоторая, последо-
вательность {«(г)? CZ У такая, что может быть выбрана
соответствующая последовательность корней к ($(г)) «= kt
уравнения (2), удовлетворяющая требованию: Re 4°°
при	то для оператора L: Н -> И, порождаемого
операцией (1) и условиями Коши (4), непрерывный спектр
заполняет всю комплексную плоскость (Св L == С).
Если же существует постоянная М такая, что при-
любыхз S У выполнено условие Refc1>2 ($) «С М < 4°°>
тио pL — С, т. е. все точки комплексной плоскости при-
надлежат резольвентному множеству указанного опера-
тора'.
Доказательство. Пусть для заданных A (s),
В ($) выполнены предположения первой части утвержде-
ния теоремы и {sj (Z — соответствующая последова-
тельность. Взяв последовательность правых частей До «
= es(i) x (для которой, очевидно, || Д{) || = const), не-
медленно получаем, что для соответствующих решений
W(i) уравнения (1), получающихся из формул (5) или (5')
при / (т) = 1, справедливо утверждение:
II “(оll-х» при г->оо
(это очевидно для формулы (5'); для формульГ(5) надо до-
полнительно заметить, что, например, при Re кг > М > О
будем иметь || и || > М' > 0 равномерно по кг кг, при-
чем М' -> +©о при + оо).
148 ГЛ. VI. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
При выполнении для заданных А ($), В ($) предполо-
жений второй части теоремы опять-таки из (5), (5') полу-
чаем для решений цепочки соответствующих обыкновен-
ных дифференциальных уравнений оценку (Ф3), равно-
мерную по s G Это, как отмечено выше, немедленно
дает теорему существования и единственности решения
соответствующего операторного уравнения при любой
правой части из IH.
Остается заметить, что если предположения теоремы
выполняются при некотором полиноме А (5), то они ав-
томатически будут выполняться и при замене А (5) на
А (s) + X, где X — произвольная комплексная постоян-
ная. ||
Теорема, аналогичная теореме 1, имеет место, оче-
видно, и для обратной задачи Коши:
и 1^=^ — ut — 0.	(7)
Приведем соответствующую краткую формулировку.
Теорема Г. Если существует последовательность
{$(!)} CZ & такая, что при соответствующем выборе корней
к ($(£)) уравнения (2) можно удовлетворить требо-
ванию '&&&£*-+> —хю при i -> 00, то для оператора (L) —
— (7) будем иметь С oL *= С. Если же при любых s GE &
выполнено условие Re къг ($) > — М — оо, то pL «= С.
Теоремы 1,1' содержат, очевидно, стандартный ре-
зультат о «некорректности» задачи Коши для эллиптиче-
ского ^уравнения [2-го порядка рВ=О, А($)= З
C6L = С) и «корректности» ее для гиперболического
(В = О, А = — 3	рЬ = С) • Более того, поскольку
для уравнений 2-го порядка всегда можно считать вы-
полненным предположение В *= 0, из (3) немедленно сле-
дует, что прямая (4) или обратная (7) задача Коши всегда
одновременно либо «корректны», либо «некорректны».
Как показывает пример операции
L(D) = Df — 2DlDt + Di — Dl; В = 4, А = — sj — 4?
Re 0, Re О,
в общем случае это далеко не всегда так.
§ 1. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 149
Согласно теоремам 1, 1' оператор, определяемый ус-
ловиями Коши и являющийся правильным,' необходимо
будет ^-оператором (п. 3.5 гл. I). При этом, однако,
опять-таки в отличие от «классического» случая диффе-
ренциальных операций математической физики, он не
обязан быть С-оператором (например, при А — (sx 4-
+ а4)2, В = 0).
1.4.	Существование правильных операторов. В каче-
стве следующего шага при изучении уравнения (1) дока-
жем утверждение, аналогичное утверждению 4, § 2 гл. V:
покажем, что даже в случае, когда спектр П-операторов
А, В заполняет всю комплексную плоскость, существуют
правильные операторы, порождаемые (1) и задаваемые
некоторыми граничными условиями при t «= 0, Ъ. В про-
цессе доказательства этого утверждения отчетливо вы-
рисовывается принципиальное отличие случая т «= 2 от
m *= 1. Соответственно меняется план доказательства.
Лемма. Существует постоянная М 0 такая, что
для любой пари комплексных чисел А, В правильный опе-
ратор L:] lHf —> IHf, порождаемый операцией (1), может
быть определен (соответствующими граничными усло-
виями при t = 0, &) так, что
(8)
Доказательство. В качестве граничных усло-
вий, определяющих искомый правильный оператор, возь-
мем условия вида
,	ри |о — u|b = 0, u.u't lo — Ut |ь е= 0	(9)
(другими словами, будем рассматривать Df как квадрат
оператора Dt, определяемого первым из условий (9)) и бу-
дем решать уравнение
Lu = (D? + 2RDt — А) и (t) — f (t),	(10)
разлагая u, / по собственным функциям оператора Dt,
имеющим в этом случае вид
eKpt, %р <= Ъ~г {In | р | -|- i arg р -f- 2pm},
Р = 0, ±1, ...
150 ГЛ. VI. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
Если и = SupeXpf, то для решения и уравнения' (10)
коэффициенты иР определяются из равенств
ир (g Н- 2Bg — А) fp, р — 0, zfcl, ~4~ 2, ...
Для доказательства леммы достаточно теперь проверить,
что при некотором Мй 0 для любых А, В число ц в (9)
может быть выбрано так, что для всех р одновременно '
|g + 2Bg-A |>М0.	(11)
Но поскольку
| Z2 + 2Bz — А I «= I Z — М 2 — *2 I,
где к2 — фиксированные комплексные числа, а все
найденные нами собственные значения g лежат на пря-
мой Rez == Ь-11п | р |, очевидна возможность выбора , р,
обладающего требуемыми свойствами (даже при произ-
вольном наперед заданном Af0). g|
Замечание. Мы занимаемся по существу изу-
чением операторной функции z2 -f- 2Bz — А комплекс-
ного параметра z. Как было отмечено в § 0, такая функция
дает пример так называемого пучка операторов.
Отмеченное выше принципиальное отличие от рас-
смотрений гл. V заключается в невозможности ограни-
читься в (9) выбором значений р = 0 или р = оо (усло-
виями Коши). Невозможность следует из формулы (5)
и соответствующей формулы для обратной задачи Коши:
при + оо, — оо норма оператора L-1, определяе-
мого любой из этих формул, неограниченно растет.
Пусть теперь А, В — произвольные П-операторы,
А ($), В (а) — соответствующие полиномы. Воспользо-
вавшись снова представлением
и (t, х) «= Sus(i)	(12)
и задавшись некоторым числом Мо, выберем параметр
р «= р8 в граничных’ условиях! (9) для us (t) (определяемой
из соответствующего уравнения (10), в котором А = А8,
В <= Вs), так, чтобы выполнялись неравенства (11). Счи-
тая теперь заданным некоторый набор {p«}, s €Е еЛ в ко-
тором все' ps обладают указанным свойством, положим
(для заданной L-1/ «= и, где и задается представ*
лением (12), в котором (в очевидных обозначениях) м,
= Ls-1fs- Определенный таким образом оператор L-1__
ограниченный оператор, заданный на всем Н.
§ 1. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 151
Сформулируем полученный результат в виде теоремы.
Теорема 2. Для произвольной операции L (D) вида
(1) оператор L: Н -> И , определенный равенствами
£>(L) = L-11H,	Lu = L (L-1/) =/,
где L-1 — описанный выше оператор, является правильным
оператором, порождаемым операцией (1). Ц
Следует отметить, что теперь, опять-таки в отличие от
случая т — 1, построенный оператор L уже не будет,
вообще говоря, gC-оператором (не исключено наличие
точечного спектра). Нетрудно, однако, привести примеры
операций, для которых предложенная конструкция поз-
воляет определить правильный оператор, являющийся
gC-оператором (это будет так, если в (9) всегда можно вы-
бирать либо р. = 0, либо р. = оо), в то время как ни пря-
мая, ни обратная задачи Коши такого оператора не опре-
деляют. Достаточно взять, например,
L(Z)) = D1 +{Dl-Dl)Dt.
1.5.	Задача Дирихле. Если граничные условия по t,
определяющие правильный оператор, могут быть выбраны
не зависящими от $ и обеспечивающими одновременно
справедливость неравенств (11) при всех значениях А ($),
В (5), то мы получаем правильный оператор L: !Н 84,
задаваемый условиями, которые мы условимся называть
стандартными (в отличие от условий, которые мы на-
звали специальными в § 2 гл. V и в которых граничные ус-
ловия по t при определении us (t) зависят от $).
Условия (9) не охватывают, однако, таких, например,
классических стандартных условий, как условия Ди-
рихле:
U lt=o - и |t=b = 0.	(13)
Рассмотрим их отдельно.
Теорема 3. Точечный спектр оператора L: Н IH,
порождаемого операцией (1) и условиями (13), состоит из
точек комплексной плоскости С, имеющих вид
— p^ — b\s} — Ms),	р = ±1, ±2,...,se^.
Дополнение C\PoL к точечному спектру принадле-
жит целиком либо резольвентному множеству pL, либо
непрерывному спектру CaL оператора L.
152 гл. VI. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
Доказательство. Выполнение равенства
Х + р2§ + В2(з) + А(а) = 0	(14)
при некотором целом р 0 (и фиксированном %) эквива-
лентно выполнению при некотором s & равенства
e»x(S)6 е-	где] klt к2 вычислены согласно (3) при
В «= В (s), А = A (s) + X. Но тогда функция
zxv (t, х) е= exp (is-x 4- кг($) t) — exp (is-x + k2 (s). i)
является собственной функцией рассматриваемой задачи,
принадлежащей собственному значению %.
Выполнение равенства (14) при р <= 0 соответствует
случаю кратных корней: кг — к2 *= к. Но в этом случае,
как это следует из (5'), (6'), соответствующий оператор
L71 всегда существует (в (6')
ь
С1 = 0, с2 = — b~le-*b J eW-V (b — x)f dr), т. е. X PoL.
О
Если % PoL, то решения и8 (t) соответствующей
цепочки (п. 1.2) обыкновенных дифференциальных урав-
нении при условиях (13) (предполагается кг к2) даются
формулой
,	М k2t
Us(t) = i(t)fs- e^t i(b)fs. (i5)
Если | Re&j (s) I, j Rek2 (s) | равномерно по$Е^ огра-
ничены или при j Re fcj (s) | oo, | Re k2 (s) | -> оо выпол-
нено условие
lim (Refci (s) / Refc2 ($)) -= -1,	(16)
то из (15) (и соответствующей формулы в случае кратных
корней) может быть получена цепочка оценок (Фв) п. 1.2,
обеспечивающая существование и единственность решения
уравнения (1) при любой правой части f Е= К
Если же указанные условия не выполнены, то, взяв
последовательность {$(;)} с <У, для которой нарушено
условие (16), и соответствующую последовательность
{i%)} решений уравнения (1) при правых частях/^ —
§ 1. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 153
<= exp (что соответствует выбору = 1 в (15)),
получим
Н U(j) II / II /0> II -> оо при ] -> ОО,
т. е. неограниченность оператора L-1.
Остается заметить, что выполнение или невыполнение
приведенных условий не зависит, очевидно, от замены
A (s) на А ($) + X. Ц
Отметим некоторые следствия доказанной теоремы.
Условия (16) заведомо выполняются для уравнений 2-го
порядка с вещественными коэффициентами. Для опера-
тора Лапласа (В = О, А = Ss|) весь спектр расположен
на отрицательной полуоси; при X PoL оператор L-1:
И —> И, как нетрудно установить, вполне непрерывен
и норма его определяется расстоянием от X до блйжай-
шей точки спектра.
Для классической гиперболической операции (В =
«= О, А = —Ssl) условия Дирихле также определяют пра-
вильный (в широком смысле; п. 4.1 гл. III) оператор, т. е.
дополнение к точечному спектру является резольвентным
множеством. Но при этом возникает типичное явление
неустойчивости точечного спектра: при Z = О, А =
^s2 (п «= 1) выполнение или невыполнение при некоторых
целых р (р 0) и $ равенства (14): рп == Ь$ зависит от со-
измеримости или несоизмеримости & и л и нуль может быть
сделан точкой точечного спектра (или резольвентного
множества) за счет сколь угодно малого изменения пара-
метра Ь (или замены А на (1 + в) А при сколь угодно ма-
лом в).*^"'
Наконец, для операции
L (D) == D} - 2D*xDt + Di- Dy.
рассмотренной в конце п. 1.3, дополнение к точечному
спектру принадлежит непрерывному спектру, а резоль-
вентное множество пусто, т. е. условия (13) не определяют
в этом случае правильного оператора.
Подчеркнем, что возможность возникновения подоб-
ной ситуации (в которой дополнение к точечному спектру,
не являющемуся всюду плотным на С, принадлежит
непрерывному спектру) есть специфическая черта так
называемых распадающихся (т. е. не содержащих связи
154 ГЛ. VI. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
между значениями неизвестной функции при t *= 0 и
t <= Ъ (см. [13])) условий, которым принадлежат условия
Дирихле. Для условий (9) при р, 0,оо подобная возмож-
ность исключена.
1.6.	Использование стандартных условий. Из приве-
денных рассмотрений следует, что ни задача Коши, ни
задача Дирихле не порождают правильных операторов
(в используемых предположениях) для таких, например,
операций, как
L(D) = Z)?+^n+1, п = 0,1,...,	(17)
= +	(18)
В то же время спектр соответствующих П-операторов
А (В <= 0) является достаточно «редким» и нет оснований
предполагать, что для получения правильных операто-
ров, порождаемых (17), (18), необходимо прибегать к об-
щей конструкции п. 1.4.
Действительно, уже такие классические стандартные
условия, как условия периодичности (ps «= р 1 в (9)),
порождают для (17), (18) правильные в широком' смысле
операторы (неудобство условий периодичности по всем
переменным заключается в том, что нуль всегда будет
точкой спектра для L, если А (0) *= 0).
Тем более существует бесчисленное множество спо-
собов выбора вещественных р в условиях (9), при которых
| In 1 р | 2nip ± &У"A (s) | > Мо > 0
при р = 0, ±1, + 2, ... и при любых sE'Z если
А ($) «= a (is1)2r+1, A(s)
как в примерах (17), (18).
Более того, как это было показано в [С 5] и как это не-
медленно следует из соответствующих явных формул
для нахождения и, из уравнений Lus = fs, вместо условий
(9) для описания правильных операторов L, порождаемых
операциями (17), (18), можно пользоваться условиями,
несколько более близкими к классическим:
u]| t=0 = 0, pu'f | f=0 — и |<=ь = 0.	(19)
Следует отметить, что условия (19) не являются ре»
гулярными по Биркгофу (§ 3 гл, III) для операции Df — А
J 2. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА 155
и рассмотрения п. 1.3 (использование разложения по соб-
ственным функциям оператора L: 54->1Н) в этом случае
неприменимы. Необходимо именно исследование явных
формул, задающих L7\ подобное проведенному в пп. 1.3,
1.5 (или в гл. V).
Более подробный анализ (см. IC13]) показывает, что
необходимость обязательного использования двух гра-
ничных условий «нелокального» характера (типа второго
из условий (19)) возникает неизбежно в случае, когда для
обоих корней кг (з), к2 (з) значения Re кг (з), Re&2 ($) одно-
временно могут принимать как сколь угодно большие по-
ложительные, так и сколь угодно большие отрицатель-
ные значения (что возможно, очевидно, лишь при В у= 0).
1.7.	Заключительное замечание. На этом мы закончим
рассмотрение операторных уравнений 2-го порядка.
Остается заметить, что анализ (подробный) условий пол-
ной непрерывности оператора L, дифференциальных
свойств решения, рассмотрение операторов, неразрешен-
ных относительно Z)?, различные подходы к классифи-
кации уравнений (1) по свойствам полиномов А (з), В (з)
могут быть проведены в рамках конструкций, использо-
ванных в гл. V. Мы не будем на этом останавливаться.
§ 2. Операторные уравнения высшего порядка
(ж > 2)
2.0.	Предварительные замечания. Как было отмечено
во введении к настоящей главе,,переход, при изучении
общего операторного уравнения вида (1) § 0, к случаю
т, 2 сопряжен с возникновением новых трудностей.
В данном параграфе мы приведем некоторые примеры
уравнений высшего порядка, для которых используемый
подход позволяет получить достаточно обозримые резуль-
таты, и сделаем некоторые замечания, относящиеся к об-
щему случаю. Наши рассмотрения будут носить обзор-
ный характер. Проведение подробных доказательств тре-
бует преодоления целого ряда технических трудностей,
связанных с исследованием формул, дающих решение гра-
ничных задач для цепочек обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений,
L5 (D4)	— Л, s G
156 ГЛ. VI. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
возникающих при используемом подходе, следующем об-
щей схеме п. 1.2 § 1. За доказательствами мы отсылаем
к работам [С 12], [С 13].
Отметим только, что упомянутые доказательства опи-
раются на внимательное изучение свойств функций Гри-
на, позволяющих записывать представления решений об-
щих граничных задач для обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений (использованная нами формула (11) § 2
гл. Ш также соответствует представлению решения с по-
мощью функции Грина).
2.1.	Двучленные уравнения. Под двучленным урав-
нением мы понимаем уравнение вида
Lu = (D? - А) и = /,	(1)
в котором относительно операции Dt и оператора А со-
храняются предположения гл. V. В простейшем случае,
которым мы ограничимся, А предполагается П-операто-
ром. Мы по-прежнему сохраним все определения и обоз-
начения гл. V.
Как и в § 1, изучение операторного уравнения (1) сво-
дится в основном к изучению формул, дающих решение
соответствующего обыкновенного дифференциального
уравнения (в котором А — числовой параметр) при тех
или иных граничных условиях.
Рассмотрим характеристическое уравнение, связанное
с (1):
zw - А = 0.	. (2}
Каждому комплексному числу А мы можем сопоставить
числа тп+(А), т_(А),тп0(А) — число корней уравнения (2),
для которых Re z > 0, Re z < 0 и Re z >= 0 соответственно...
Опуская явное указание аргументов A (AJ, заметим,
что,возможны следующие различные случаи расположения
корней уравнения (2) на комплексной плоскости:
при т четном:
I-а т+ = т0 = 0; I - b т+ = т_, mQ = 2;
при т нечетном:	(3)
П-а т+ = т_± 1, тп0 — 0; П-Ь т+^= тп,_, тп0 1.
Обращаясь теперь к случаю А = А (—Ш), сопоставим
обычным образом операции А (—iD) полином A (s), s Е
§ 2. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА	157
и П-оператор А: Их 1НХ. Заметив, что каждому значе-
нию А ($) соответствующих определенные значения чисел
т+ (з), т_ (5), т0 ($) в таблице (3), введем следующее оп-
ределение.
Определение. Оператор А: 1НХ !НХ назы-
вается стабильным, если существует N 0 такое, что
при [ s | ;> N каждое из чисел т+ (s), m_(s), mQ(s) прини-
мает фиксированное значение. В противном случае будем
называть А нестабильным.
Таким образом, для стабильного оператора числа
тп+, т_, mQ (при достаточно больших а) не зависят от 5 ЕЕ сЛ
Рассмотрим теперь простейшие («распадающиеся»)
условия по t следующего вида:
Dtu |f—о = 0,	к = 0, 1, • . kQ — 1;	(Ро)
D*tu \t=b = 0,	к = 0, I кь- 1;	(Гь)
kQ + къ т, 0	7П-
Предполагается при этом, что равенство — 0 (или
кь = 0) означает, что условия при соответствующем зна-
чении t отсутствуют. Если одновременно kQ 0, кь 0,
то определяемый указанными условиями оператор D™*
Hf обладает непустым точечным спектром, струк-
тура которого без труда может быть изучена. Соответст-
вующие рассмотрения имеются, например, в книге [13].
Теорема 1. Пусть А — стабильный оператор,
числа т+, т_, mQ определены таблицей (3) и условия (Го),
(Гь) выбраны так, что
kQ = т_в случае 1-а;
kQ = т_ или kQ т__ + 2 в случае I-Ь;
kQ — т_ в случае П-а;
kQ = т_ или kQ т_ + 1 в случае П-Ь.
.Тогда точечный спектр PoL соответствующего опера-
тора L: !Н !Н (если PgD™ 0) состоит из точек
^. = ^ — ^(8), %p^PaD^,	’	(5)
Дополнение к замыканию на С множества PoL принад-
лежит резольвентному множеству оператора L. Если
PcDT 0, то С-
158 ГЛ. VI. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
Если выбор условий по t (распадающихся) противо-
речиш^уксьванному в таблице (4), то для соответствующе-
го оператора L каждая точка комплексной плоскости С
принадлежит либо точечному, либо непрерывному спект-
ру. Исключение представляет случай I-Ъ, когда выбор к0 =
т_ + 1 приводит к наличию неустойчивого точечного
спектра. Н	.
Сделаем некоторые дополнительные замечания. Слу-
чаи PtsD™ ~ 0 в классе условии, удовлетворяющих тре-
бованиям таблицы (4), может встретиться лишь при зна-
чениях т = 1, 2, рассмотренных подробно ранее.
Под «неустойчивостью точечного спектра» подразу-
мевается явление, аналогичное рассмотренному в п. 1.5
предыдущего параграфа, в замечании о задаче Дирихле
для гиперболического оператора. Включение его подроб-
ной характеризации в условия теоремы представляется
слишком громоздким.
При отказе от требования стабильности оператора А мы
можем, очевидно, снова встретиться с операторами, спектр*
которых заполняет всю комплексную плоскость. Не-
трудно’заметить, однако, что и в этом случае использо-
вание для уравнения (1) конструкции, описанной в п. 1.3
предыдущего параграфа, позволяет определить правиль-
ный оператор.
Для описания правильных операторов L: IH IH
с помощью стандартных граничных условий при «не слиш-
ком плохих» операторах А оказывается необходимым (как
и в подробно изученных нами случаях т = 1, 2) расши-
рить класс граничных условий, присоединив к распадаю-
щимся условиям (Го), (Гь) нелокальные условия
|i==0 — D{ и |i==& — 0,	(Гц)
!i=0 D^U — 0.
Говоря о присоединении условий (Гц), мы всегда будем
подразумевать при этом, что |х =#0, оо.
Т е о р е м а 2. Пусть оператор А нестабилен. Тогда,
если
а)	т = 2g + 1	3 нечетно и к граничным условиям
То, Гь, kQ = къ = q присоединено одно условие вида (Гц),
= q + 1,	'
§ 2. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА	159
b)	zn = 2g 4 четно и к граничным условиям Го, Гь,
kQ = къ =т= q —: 1 присоединены два • условия вида (Гц),
кг = g, к2 = g + 1, то точечный спектр соответствую-
щего оператора L: И Н состоит из точек вида (5),
а дополнение к замыканию на\ С множества PoL принад-
лежит резольвентному множеству оператора L.
-Если же граничные условия по t выбраны распадающи-
мися {содержащими лишь условия вида Го, Гь), то допол-
нение к точечному спектру {имеющему структуру, опи-
сываемую по-прежнему формулой (5)) принадлежит не-
прерывному спектру оператора L. |
Замечание. Из утверждения теоремы не следу-
ет, что в случае Ь) нельзя обойтись одним нелокальным
условием.
Приведенные теоремы показывают, грубо говоря, что
для описания (в сделанных предположениях) правильного
оператора, порождаемого операцией (1), при стабильном
А всегда можно ограничиться правильно выбранными рас-
падающимися условиями, тогда как при нестабильном А
необходимо присоединение нелокальных условий.
2.2.	Общее операторное уравнение. При переходе
к общему уравнению вида (1) § 0 мы, как уже отмечалось,,
теряем возможность выписать явные формулы, выра-
жающие зависимость корней характеристического урав-
нения
ЗАте_/ = 0	(6)
i
от коэффициентов As (эти формулы еще имелись для дву-
членного уравнения, т. е. для корней уравнения (2)).
Таким образом, предположения относительно операторов
As, определяющие то или иное распределение корней
уравнения (6), приобретают неизбежно неявную форму.
Постулируя тот или иной характер поведения корней
(6) при всевозможных значениях параметров Aft — Afc (s),
s EE можно выделить различные классы операций и
подходящих стандартных граничных условий, определяю-
щих соответствующие правильные операторы. Как и при
рассмотрении двучленного уравнения, выбор «подходя-
щих» стандартных условий определяется количеством
корней уравнения (6), удовлетворяющих требованиям
160 гл. VI. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
Rez 0, Rez = 0, и характером «стабильности» выполне-
ния этих требовании [С13].
Возможно, конечно, выделение специальных Подклас-
сов уравнении, позволяющих осуществить более эффектив-
ное их исследование (подобное описанному в п. 1 исследо-
ванию двучленных уравнений).
Например, можно предполагать, что операция L (D)
задана «факторизованной», т. е. цепочка обыкновенных
дифференциальных уравнений, из которых определяются
коэффициенты разложения и$ (t) искомого решения, имеет
вид
(Dt- В, ($)) (Dt - В2 (s))... (Dt - Bm ($)) us = fs,
st=&>,(7)
где Bfc (s) — полиномы, определяемые соответствующими
операциями Bfc (—iD) (или П-операторами B:JHX (Нх).
Представляя (7) в виде
(Z>t — Bi (s))Lm_ltSus =/4,	(8)
предполагая, что условия
s^s (t=0 Bm-l, s«s |t=b == 9	(9)
при некотором |im-i (быть может, == pw_x (s)) обеспе-
чивают разрешимость (8) относительно sus, и продол-
жая этот процесс, можем найти us. При выполнении соот-
ветствующих равномерных оценок норм иа (t) условия вида
(9) будут давать описание правильного оператора.
В ряде случаев оказывается возможным вместо (9)
обойтись цепочкой условий
pZ>t«s b=0 — D*us |<=ь = 0, к = 0, 1, ..., т — 1, -
(Ю)
т. е. считать, что операции D\ в L (D) порождают степени
оператора Dt, определяемого условием
lt=o — и Ь=ь = 0.	(И)
Если, например, в условиях вида (9) рх = ... = p^.j — р
(и не зависят от $), то условия (11) позволяют привести
условие
р (Dt Bm ($))us fj=o (Dt • Bm ($)) us = 0
к виду
pDtus |i=p 7^t^s/t=i> = 0,
ИТ. Д.
§ 2. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА	161
Возвращаясь к общему случаю, заметим, что при до-
полнительном предположении Ао = 1 конструкция п. 1.4
§ 1 позволяет, очевидно, описать правильный оператор
L при произвольных операторах Afc, к = 1, . . ., т, яв-
ляющихся П-операторами.
Снятие требования Ао = 1, т. е. описание некоторого
класса правильных операторов,' сопоставляемых произ-
вольной дифференциальной операции с постоянными коэф-
фициентами, требует дополнительных рассмотрений, ко-
торые приведены в следующей главе.
6 А. А. Дезин
Г Л A В A Vfl
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
ПРАВИЛЬНЫХ. ОПЕРАТОРОВ
§ 0. Вводные замечания
Настоящая глава состоит из трех параграфов. В первом
устанавливается тот факт (сам по себе достаточно очевид-
ный), что правильный оператор, заданный в некоторой
области V CZ (удовлетворяющей нашим обычным тре-
бованиям), автоматически индуцирует некоторый правиль-
ный оператор в области V'с V.
Воспользовавшись этим, можно установить существо-
вание правильного оператора, порождаемого заданной
дифференциальной операцией с постоянными коэффици-
ентами, в произвольной ограниченной области V. Доста-
точно поместить эту область в параллелепипед достаточно
больших размеров,- ограничиваемый плоскостями, парал-
лельными координатным осям. В таком параллелепипеде,
в предположении, что координатные оси не имеют характе-
ристических направлений (чего всегда можно добиться
соответствующим поворотом осей), правильный оператор
описывается за счет конструкции, приведенной в п. 1.4
предыдущей главы. Это и дает доказательство теоремы
Хёрмандера, упоминавшейся нами в- п. 3.3 гл. II. Сказан-
ное составляет содержание § 2.
Последний параграф посвящен задаче описания пра-
вильного оператора, порождаемого произвольной опера-
цией с постоянными коэффициентами в фиксированном
параллелепипеде, высекаемом плоскостями, параллель-
ными координатным, без предположения о том, что оси не
имеют характеристических направлений. Это требует су-
щественной модификации построений, но зато дает эффект
тивизацию (и некоторые уточнения) вышеупомянутой тео-
ремы Хёрмандера для указанного класса областей.
§ 1. Лемма о сужении области
Условимся в дальнейшем области V CZ Кп, удовлетво-;
ряющие нашим обычным требованиям (§ 1 гл. II), называть
допустимыми.
§ 1. ЛЕММА О СУЖЕНИИ ОБЛАСТИ	163
Пусть У' с; V CZ Rn — пара допустимых областей,
!Н = IH (У), И' = Н (У') — соответствующие гильберто-
вы пространства и в У для некоторой дифференциальной
операции L (D) определен порождаемой ею правильный
оператор L : IH IH.
Лемма. В сделанных предположениях оператору L
всегда можно сопоставить некоторый оператор L': 0-Г —>
Ш', являющийся правильным оператором, порождаемым
операцией L (Р) над У'.
Доказательство. Построим оператор L', об-
ладающий требуемыми свойствами. Обозначим через Но
подпространство пространства 1Н, образованное элемен-
тами, тождественно равными нулю вне У'. Элемент v ЕЕ IH'
будем считать принадлежащим © (L'), если существует
элемент и ЕЕ © (L) такой, что Ъи ЕЕ1Н0, и |У/ = и. Полог
жим I/у = Lu.
Построенный оператор является расширением мини-
мального Lo, порождаемого L (Р) над У'. Действительно,
если г; ЕЕ £> (Lo), то существует последовательность G=
ЕЕ С™ (Г) такая, что в ft' u, L (D) vt =	/. Про-
должая Vi тождественным нулем вне У', получим последо-
вательность {я,} 6= С™ (У), позволяющую установить, что
соответствующая предельная функция v GE Н принадле-
жит © (Lo) CZ © (L), причем
v |У' = u, Lz? GE IHo*
Аналогично проверяется, что построенный оператор
является сужением максимального L'.
Уравнение L'v *= f однозначно разрешимо для любой'
правой части / ЕЕ Н'. Это немедленно следует из единст-
венности элемента и ЕЕ © (L) такого, что Lu = f, где
f Ez 8Н получается продолжением / нулем вне У'. Л
Пример. При п — 1 для дифференциальной опера-
ции
L (D) = Dt а, а = const,
и в предположении, что соответствующий правильный опе-
ратор L: IH IH порождается условиями
ци It=o — и \i=b>= О,
нетрудно явно выписать граничные условия, определяю-
6*
164	ГЛ. VII. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
щие описанный выше оператор I/. Достаточно в формулу,
дающую решение регулярной задачи для уравнения
Lu = f, подставить элемент /, тождественно равный нулю
вне V' ?=• (br < t <Z b2), где 0 < b± <Z b2 <Z b. Получим
для и © (L') равенство
№ъ/аи — е(ь+ь4аи [f=b2 = 0.	.(1)
При этом условие р — eab =^= 0 автоматически обеспечивает
регулярность задачи, соответствующей условиям (1).
В заключение полезно отметить, что если в использо-.
ванной в лемме конструкции заменить 84О на 1НФ —, под-
пространство 84, состоящее из элементов, совпадающих;
с некоторым фиксированным элементом <р на V \ V',
Ф ф 0, то определенный таким образом оператор Ьф не
даст, вообще говоря, расширения оператора L^.
§ 2. Теорема существования правильного оператора
Пусть в задана общая дифференциальная операция;
L (D) порядка т с постоянными комплексными коэффи-;
циентами. Выделив одну из координат . ., хп, можем;
записать L~(D) в виде
L(D) = b>D* + k1Dk-i + ... + A4s,	1
✓ . •
где D — операция дифференцирования по выделенной ко-;
ординате, а операции Ао, ..., А^ содержат дифференциро-’
вания лишь по остальным п — 1 переменным. Если выде-J
ленную координату можно выбрать таким образом, что;
L (Р), быть может, после деления на постоянную запи-|
шется в виде	1
L(D) = Dk + A1Ds-i+... + Ab	(1)|
то соответствующую дифференциальную операцию (запи-1
санную в форме (1)) будем называть приведенной. J
Будем считать в дальнейшем, что выделенная коорди-?
ната — это хг. Фиксируем некоторое целое N 0 и усло-«
вимся параллелепипед Q Ьида	5
Q: (0 < хг<. Ъ) X (0< х2 <z 2Nn) X ... X (0 < хп <2Ул)
называть стандартным параллелепипедом в Rn.	
§ 2. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ
165
Лемма 1. В стандартном параллелепипеде для лю-
бой приведенной дифференциальной операции L (D) с по-
стоянными' коэффициентами существует порождаемый
ею правильный оператор.
Доказательство. Достаточно, очевидно, рас-
смотреть случай N = 1, воспользовавшись рассуждения-
ми, примененными при доказательстве теоремы 2, п. 1.4
гл. VI.
Во-первых, существует постоянная М 0 такая, что
для любых комплексных чисел Ап ..., Ак правильный опе-
ратор L: Их (где tHx — гильбертово пространство
над интервалом 0 <	< &), порождаемый операцией (1)
(D = Dj), может быть определен (соответствующими усло-
виями при = О, Ъ) так, что ||L~1|| М. Доказательство
этого утверждения дословно повторяет доказательство
соответствующей леммы из п. 1.4 гл. VI.
Далее, взяв в качестве граничных условий по х2, ..., хп
условия периодичности (т. е. определив Аъ ..., А^ как
соответствующие П-операторы), воспользовавшись нашим
обычным приемом расщепления уравнения
L (Р) и = /
на цепочку обыкновенных дифференциальных уравнений
(Pl) us — fs4 s ,
и повторяя рассуждения, использованные при доказатель-
стве вышеупомянутой теоремы 2, § 1 гл. VI, получим тре-
буемое. (
Из леммы 1 и леммы предыдущего параграфа немедлен-
но получаем
Следствие. Если L (Р),— приведенная дифферен-
циальная операция с постоянными комплексными коэффи-
циентами и V — некоторая допустимая область е Rn,
то всегда существует правильный оператор
L: Н (V) -> Н (F), .	(2)
порождаемый операцией L (Р).
Доказательство. Можем, не уменьшая об-
щности, считать, что V целиком расположена в [Р^(т. е.
в части Rn, где х^ 0т к = 1, . . ., п) и Q — "некоторый
стандартный параллелепипед такой, что V GZ Q- Тогда
правильный оператор L: Й (0 IH (0, порождаемый
166	гл. VII. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
L (Р), существование которого гарантируется леммой 1,
определяет, согласно лемме из § 1, некоторый правиль-
ный оператор (2). Ц
Чтобы перейти теперь к случаю произвольной (непри-
веденной) операции L (Р) с постоянными коэффициентами,
рассмотрим вопрос о поведении изучаемых объектов при
гладких обратимых преобразованиях координат в или,
что то же самое, при гладких взаимно однозначных отоб-
ражениях Rn на себя.
Пусть указанное преобразование
<p: Rn Rn
задается формулами
х = <р (а/)-	(3)
Операция L (Р), заданная в координатах {я}, переход
дит при преобразовании (3) в операцию L' (Р') в коорди-^
натах {х'}. Вид операции L' (D') определяется классиче-;
скими формулами замены переменных.	i
Лемма 2. Пусть L (Р) — неприведенная дифферент
циальная операция с постоянными коэффициентами. Тог-}
да существует координатное преобразование (3), являю-'*
щееся поворотом, такое, что в новых координатах опера-^
ция L' (Р'), соответствующая исходной, является приве-}
денной.	4	|
Доказательство. Будем интересоваться груп-|
пой старших членов операции L (Р):	j
Цп(Р) = S aaDe.	1
Пусть искомое координатное преобразование задано форч
мулами	1
=	& = l,...,n,	1
>	..	-1
j
где {у£} — ортогональная матрица. Вычисляя значение^
коэффициента, например, при (Р^)™ в новых переменных^
будем иметь	~	1
= (тЬ*. .. -	+ и. т (D')u'; j
где La т (D') уже не содержит дифференцирования
§ 2. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ	167
Соответственно
С 14(1?')= 3 {OaY1’* (1>ЬТО + 4 »(£>')}•
/	|а|=т
Существует, очевидно, бесконечное число способов выбора
ортогональной матрицы {?£}, при котором
|а|=пг
Пусть теперь V — прообраз допустимой. области V
при отображении
<р:	(4)
порождаемом формулами (3). Пусть IH' = Н (К), IH =
= И (7). Рассмотрим соответствие между правильными
операторами	.
L:	L':
(порождаемыми операциями L (Р), L' (D')), индуцируе-
мое отображением (4).
Отображение (4) порождает обычным образом отобра-
жение
ф*:	н'.
Для его определения достаточно рассмотреть соответству-
ющее отображение
<р*: и (х) и' (х')
для функций — элементов С (F) и воспользоваться плот-
ностью С в И.
Пусть теперь L': Н' Н'— правильный оператор, по-
рождаемый L' (£>'). Положим для и CZ И
Lu — q)*"1L'<p*u,	(5)
считая, что и ЕЕ© (L) тогда и только тогда, когда <p*u s
е © (1Н'). Уравнение
Lu = /
будет при этом, очевидно, однозначно разрешимо для лю-
бого элемента / Е 1Н.	' _
Заметим далее, что если L'o, L' —.минимальный и
максимальный операторы, порождаемые над IH' операцией
L'	то,,поскольку L (Z>), L' (Z)') связаны между собой
168
ГЛ. VII. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ.
отмеченным выше классическим образом, а при определе-
нии Lo, L, Lo, L' использовано замыкание соответству-
ющих операций, заданных на гладких функциях, из (3),
(5) немедленно следует справедливость включении
LoCZLczL,
т. е. L — правильный оператор, порождаемый операцией
L(P).
Сформулируем полученный результат в виде леммы.
Лемма 3. Пусть V — допустимая область. V' —
прообраз V при отображении (3) и L': И' -> IH' — правиль-
ный оператор, порождаемый операцией L' (Р')« Тогда опе-
ратор L: Я —> IH, определяемый формулой (5), является
правильным оператором, порождаемым операцией L (Р).
Окончательный результат рассмотрений настоящего
параграфа сформулируем в виде теоремы.
Теорема. Если L (Р) — произвольная дифферен-
циальная операция с постоянными комплексными коэф-
фициентами и V — некоторая допустимая область в Rn,
то всегда существует правильный оператор
L: 1Н(7)-^Н(У),
порождаемый операцией L (Р).
Доказательство. Если операция L (Р) —
приведенная, то нужный результат дается сформулирован-
ным выше следствием леммы 1.
Если L (Р) — неприведенная дифференциальная опе-
рация, то (используя введенные ранее обозначения и лем-
му 2) можем утверждать, что существует преобразование
координат (3) (поворот), сопоставляющее L (Р) приведен-
ную операцию L' (Р'), снова являющуюся операцией с по-
стоянными комплексными коэффициентами. Тогда су-
ществует оператор
' L':
порождаемый операцией L' (Р') над И' (следствие лем-
мы 1), являющийся правильным, и оператор
L:
задаваемый формулой (5), дает, согласно лемме 3, пра-
вильный оператор, порождаемый операцией L (Р) над
н (У). 
§ 3. ОПИСАНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ	169
§ 3.	Описание правильных операторов
в параллелепипеде
3.0.	Предварительные замечания. Данный параграф
посвящен задаче непосредственного описания для произ-
вольной операции L (Р) правильного оператора,' ею по-
рождаемого, в фиксированном параллелепипеде Q, т. е.
описания, не исключающего случая, в котором операция
L (D) не является приведенной.
Факт существования и в этом случае правильного опе-
ратора L: Н (Q) -> Я (0, порождаемого L (Р), есть след-
ствие теоремы предыдущего параграфа. Но доказательство
этой теоремы не дает достаточно эффективного описания
области определения оператора L. В случае, когда L (D)—
приведенная операция, соответствующее описание-дается
леммой 1, § 2. Теперь мы хотим найти такое описание для
произвольной L (D) (в параллелепипеде Q).
Используемая конструкция, предложенная в [С10]г
представляет самостоятельный интерес. Она существенно
использует специальный вид рассматриваемой области
(являющейся параллелепипедом). Возможность той или
иной эффективизации общей теоремы предыдущего пара-
графа в случае произвольной V CZ остается невыяс-
ненной.
3.1.	Описание правильного оператора за счет подбора
базиса. Как нетрудно предвидеть (и как будет следовать
из приводимых ниже рассуждений), для построения в про-
извольном параллелепипеде правильного оператора, по-
рождаемого общей операцией L (D) с постоянными коэф-
фициентами, достаточно уметь строить такой оператор
в стандартном кубе
п
: Г = П(0<^<2л.).
1
Итак, пусть L (Р) — произвольная фиксированная
операция с постоянными коэффициентами и V — указан-
ный выше куб. Определим некоторый правильный опера-
тор L: И (У) |Н (У), порождаемый L (Р), пользуясь
следующими приемами.
Вещественному числу 0^,0 <«!'<!, сопоставим ба-
зис Рисса на отрезке = [0	2л], состоящий из
170	ГЛ. VII. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
х
экспонент	х
{^+*)хх}, fc = 0,±l,±2, . . .	(1)
Тогда произвольный элемент и е= И (У) представим в виде
и (х) = 2 “s (*2,	*п)	'	(2)
К
Внося формально представлевЁие (2) для элементов и, /
в уравнение.
L(D)u = /	(3)
и приравнивая выражения, содержащие множитель
€г<О1+*)Х19 расщепим (3) на бесконечную цепочку уравне-
нии
MD) ик = fk. к = 0 , ±1, ±2,	(4)
в которой операции (Z>) содержат дифференцирования
лишь по аргументам х2, . . ., хп.
Будем предполагать, ято для любого к Lk (D) ф 0 (как
будет показано ниже, этого всегда можно добиться соот-
ветствующим выбором аг), и каждой из операций L& (D)
сопоставим некоторым образом (считая, что это возможно}-
правильный оператор	.
L*: «х (Л) -> Их (KJ, .	 -
где Vr — куб с ребром 2л в пространстве переменных
х2, . . ., хп. Кроме того, предположим, что нормы операто-
ров Ьк1 равномерно по к ограничены:
(5)'
(см. ниже леммы 3 — 5). Определим теперь оператор
L: IH (У) Н (V), задав его на конечных суммах вида (2),
подчиненных дополнительному требованию ик ее © (Lft),
равенством <
Ъи = 3	<
’ 
и взяв его замыкание в И.
Лемма 1. В сделанных предположениях описанный
выше оператор L:4 IH -> И является правильным операто-
ром, порождаемым операцией L (Р).	<
§ 3. ОПИСАНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ	171
Д о-к а з а т е л ь с т в о. Однозначная разрешимость
уравнения Lu = / при любой правой части / Е И очевид-
на. (Решение дается рядом (2)>. в котором ик = LJ1/^.)
Также очевидно, что L CZ L, т. е. является сужением мак-
симального оператора, порождаемого L (D).
Чтобы убедиться, что Lo CZ L, т. е. что L является рас-
ширением минимального оператора, заметим, что базис
(1) состоит из собственных функций оператора Dt: IH (Zx)->
!Н (Zj), Zx = (0 < x1< 2л), порождаемого условиями
Ixi=o — ^1хх=2Л	0-	(Р1)
Отсюда следует, что гладкие финитные функции принад-
лежат области определения любой степени указанного
оператора Dx. Если теперь и ЕЕ © (Lo), {иJ	соответ-
ствующая аппроксимирующая последовательность глад-
ких финитных функций (ut u, L (D) щ -> g, сходи-
мость в И), то каждая из щ представима рядом вида (2),
допускающим почленное дифференцирование (любого по-
рядка) по хг п почленное применение операторов L^
(функции ик (z2, . . ., zn), будучи гладкими финитными;
заведомо принадлежат © (Lfr)). Следовательно, всякая
функция iz Е Э (Lo) представима рядом (2), дающим ре-
шение (в указанном выше смысле) уравнения Lu ?= /. И
Заметим теперь, что описанное выше построение при-
менимо в свою очередь к любой из операций Lk (D). Та-
ким образом, фиксировав вещественное число а2 (&),
О a2 (&) < взяв на отрезке Z2 — [0 х2 2л] базис
{ei[a.(k)+s]x2},	$ = 0, ±1, ±2,
и сделав относительно операций LA.S (D) (получающихся
расщеплением каждой из операций (4)) соответствующие
предположения, можем определить правильный оператор
L: IH IH как замыкание в И оператора, заданного на со-
ответствующих конечных суммах равенством
Lu =	3 L
На следующем шаге описанное построение может быть
применено к операциям Lk$ (D) и т. д.
Окончательный результат, который получается после
п шагов, мы сформулируем в виде двух лемм.
172	ГЛ. VII. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
Лемма]* 2. Система экспонент г (s), s ЕЕ £f, вида
е ($) = г ($х, . . ., sn) = exp i {[ах + $х] xY 4-
+ [с&2 ($1) 4" $2-1 ^2 4 •••4“	($1> • • ♦ 7 $71—1) 4"
где значения функций k = 1, . . ., п, лежат в полуин-
тервале [0, 1), образует базис Рисса в Н (F). Ц
Лемма 3. Если базис (6) таков, что для заданной
операции L (Р) с постоянными коэффициентами выполня-
ется неравенство
| L (Р) е (s) | ;> 6 ]> О для любых s ЕЕ (7)
то оператор L: IH 84, определяемый как замыкание в Н
оператора, заданного . на конечных суммах и = 2jws8($)>
S
Isk |-Л\, k=A,.. .,n, равенством
Lu = У uJL (D) 8 (s),
s
является правильным оператором, порождаемым L (Р)/
Д о к а зательство. То, что описанный в усло-
виях леммы оператор L является сужением максимального
L и что уравнение Lu = f однозначно разрешимо при лю-
бой/ее Ь, непосредственно очевидно. Остается проверить,
что L0CZL, т. е. L является расширением минимального
оператора. Но это следует из тождественного совпадения
оператора L нашей леммы с правильным оператором,
определяемым описанным выше процессом, в котором на
последнем шаге используются операторы LS1. ’.	, сопо-
ставляемые уравнениям
Ь*...^х (-0) (хп) = fsi...sn-i
решаемым при граничных условиях
е л(*, , n-i)uS1...8n_1|Xn=0	^..Лп-1|хл=2л = О?
т. е. за счет использования разложений функций от хп по
базису
{exp ъ [&71 ($15 • • •? $ti—1) 4~	$п — О»	ziz2,...
Условие (7) обеспечивает при этом осуществимость всех
п шагов. If
§ X ОПИСАНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
173
3.2.	Существование правильно подобранного базиса.
Теперь, чтобы для произвольной операции L (Р) с посто-
янными коэффициентами описать в кубе V некоторый по-
рождаемый ею правильный оператор, нам осталось про-
верить, что для любой такой операции существует базис
вида (6), удовлетворяющий условиям (7).
Лемма 4. Пусть
Р (z) = anz" + ...+ а0	(8)
— заданный полином с постоянными комплексными коэф-
фициентами. Тогда существует вещественное число а,
0^а<1, такое, что для любых к = 0, ±1, ±2, ...
выполнено неравенство
| Р [i (а + &)] |> |0nl(2n)-n.
Доказательство. Пусть Т — окружность
единичной длины, полученная отождествлением концов
отрезка [0, 1] с соответствующей параметризацией и ес-
тественной метрикой р (tlt /2) = min (| tr —t2\, |	— t2-J-
± 11). Пусть F: C -*• T — отображение комплексной
плоскости на указанную окружность, сопоставляющее
точке z — zL + iz2 точку F (z) = {z2} (дробная доля ве-
щественного числа z2). Очевидно, | z' — z" | ;> р (F (zz),
F (z")). Пусть	Bn — корни полинома (8). Тогда
существует точка а Т такая, что р (a, F (|р))	2_п
при всех р = 1, . . ., п. Это в свою очередь влечет цепочку
неравенств
п
IР (а + к)] |j= |«п| П I (а + *)	>
Р=1
п
> kn I П Р>, F (М) > I ап I (2п)~п: fl
Р=1
Лемма 5. Для любой фиксированной операции
L (D) с постоянными коэффициентами существует базис
вида (6) такой, что справедливо неравенство (7).
Д а к а з а т е я ь с т в о. Пусть L (£) — комплекс-
ный полином, сопоставляемый обычным образом операции
L (Р):
L (D)	= L (|)
174	ГЛ. VII. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
Представим L (|) в виде
L (В) = Li	+ д^4-... + ?^) =	
Здесь т1— степень L (£) по ^n, Lj— полином, являющийся
коэффициентом при а Р = 1, • •	— однознач-
но определенные рациональные функции переменных
51, • . Если т1.= 0, то Li = L. Продолжая этот
процесс, получим
1^) = !^ =
...=	&) Qn^ &, g2)...^ &
Пусть М = max тр, р = 1, . . ., п. Воспользовавшись
леммой 4, выберем число а19 0 < (Zj < 1, так, что
IVxlHcd + *1)И> 1* Г(2Л/)“М.
Теперь каждому значению sx соответствует фиксиро-
ванный полином
Qn-it$i (£2) = Qn-i U (?i ”Ь $i)> £2L
для которого снова, на основании леммы 4, может быть
выбрано число а2 = а2 ($i), О а2 < 1, так, что
I Qn-i^ U(a2 fe) + Й1 > (2М)“^
при всех целочисленных s2. На следующем шаге для поли-
номов
Qn-2,S1,S2 (5з)
выбираются соответствующим образом числа а3 ($и ^2)
и т. д.
Теперь ясно, что для базиса вида (6), в котором значе-
ния функций а% выбраны указанным выше образом, будет
выполнено неравенство
| L (Р) 8 ($) | > | а | (2М)"^
при всех s Е J
3.3.	Окончательный результат. Проведенные рассмот-
рения можно резюмировать в следующей теореме:
Теорема. В стандартном кубе V каждой фикси-
рованной операции L (D) с постоянными комплексными
£ 3. ОПИСАНИЕ ПРАВИЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
175
коэффициентами может быть сопоставлен правильный опе-
ратор L: И (У) -> IH (У), определяемый как замыкание
в 1Н (У)' операции L (Z>), заданной на конечных суммах
вида ^usz(s), где {е — специальный (правильно
S
подобранный) базис Рисса (6), построенный по полиному
L(g). 
Для перехода к случаю произвольного параллелепи-
педа достаточно заметить, что невырожденный параллеле-
пипед отображается на наш стандартный куб с помощью
обратимой замены переменных вида
= fikXfo = const У= 0, к = п.
Связь построенного для описания правильного опе-
ратора специального базиса с граничными условиями
(использовавшаяся при доказательстве лемм 1, 3) показы-
вает, что в приведенной конструкции можно перейти к опи-
санию L с помощью цепочек последовательно определяе-
мых «специальных граничных условий», являющихся мо-
дификацией «специальных граничных условий», использо-
ванных в § 2 гл. V или в п. 1.4 гл. VI.
Отмеченная связь правильного базиса с граничными
условиями позволяет также сформулировать следствие
доказанной теоремы, дающее еще одно уточнение резуль-
татов Хёрмандера.
След ст в и е. Если операция L (D) является фор-
мально самосопряженной (I? (D) = L (Z))), то построен-
ный выше правильный оператор L: IH —> IH — самосопря-
женный.
Действительно, всякий оператор, порождаемый опера-
цией L при условиях вида (I\) (c^—вещественное),— само-*
сопряженный. Это влечет самосопряженность и для опе-
ратора L. И
ГЛАВА VIII
СПЕЦИАЛЬНОЕ ОПЕРАЦИОННОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 0. Вводные замечания
Как мы уже отмечали, использованный выше подход
к изучению граничных задач для уравнений с частными
производными за счет сведения их к дифференциально-
операторным уравнениям применим, разумеется, и в тех
случаях, когда операторы Аь входящие в уравнение (1)
§ 0 гл. VI, не являются П-операторами или М-операто-
рами.
Данная глава посвящена описанию одной из схем, поз-
воляющей обобщить приведенные выше результаты на тот
случай, когда операторы Afc удовлетворяют значительно,
менее ограничительным предположениям. Используемая
схема (предложенная в [С 6] и основывавшаяся на работе
(С 16]) является по существу развитием и уточнением
ебщих соображений, относящихся к построению «опера-
ционного исчисления», изложенных в п. 2.2 гл. I. Естест-
венно, что при этом предположения относительно свойств
операторов Аь необходимых для получения содержатель-
ных результатов относительно разрешимости уравнения
вида (1) § 0 гл. VI, формулируются в терминах свойств
резольвенты.
Как и следовало ожидать, расширение класса операто-
ров А* делает построения менее прозрачными, а резуль-
таты — менее точными. Но приводимые рассмотрения, во
всяком случае, дают возможность без труда установить,
что для дифференциальной операции
Dt+aDx^ а > 0,
рассматриваемой в прямоугольнике V = [0 < t < 6] х
X [0 < х < 2л], условия Коши при t = 0 определяют :
правильный оператор не только при регулярных по х
условиях, но и при условиях Копт при х = 0.
Первый параграф посвящен общей схеме построения ^
интересующего нас операционного исчисления, а втор о :
§ L ПОСТРОЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 177
применению этого исчисления к анализу свойств простей-
шего операторного уравнения.
Следует признать, что достаточно полное/овладение
техникой операционного исчисления, описанного в § 1,
может потребовать от читателя знаний, несколько выхо-
дящих за пределы приведенного в п. 2.2 гл. I эскизного
изложения классической теории функций от операторов.
Переходя к изложению содержания последнего пара-
графа, следует заметить, что вышеупомянутое исследова-
ние'операторного уравнения, опирающееся на использо-
вание резольвент операторов Afr, особенно плохо приспо-
соблено для получения «отрицательных» результатов,
составляющих существенную часть нашего исследования.
Под отрицательными результатами понимается доказа-
тельство того, что всякий раз, когда граничные условия
(в рассматриваемом классе) выбраны «неправильно» или
когда (при заданных граничных условиях) спектр не
подчинен соответствующим ограничениям, получаемый
оператор L: И -> IH уже не будет правильным.
Доказательству (в некоторых простейших случаях)
необходимости налагаемых на Ак ограничений и посвящен
§3. \
«Заинтересованному читателю» предлагается сравнить
аппарат данной главы с конструкцией, использованной
в статье [С 8].
§ 1. Построение операционного исчисления
Хотя в приложениях описываемого ниже операцион-
ного исчисления мы по-прежнему будем отправляться от
нашего стандартного пространства IH (V), естественно в ос-
нову конструкции положить некоторое банахово прост-
ранство 53, поскольку дополнительное предположение
«гильбертовости» нигде не будет использовано..
Итак, пусть 53 — комплексное банахово пространство
(5-пространство) и Т:	53 — замкнутый линейный
оператор, вообще говоря, неограниченный, с плотной в 53
областью определения £> (Т) и непустым резольвентным
множеством. Наша задача — построение возможно более
широкого операционного исчисления, т. е. введение неко-
торой системы определений, позволяющей придать смысл
записи ф (Т) для как можно более широкого класса функ-
7 А. А. Дезин
178 ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНОЕ ОПЕРАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ций ф (z), z-^E С, при как можно менее ограничительных
требованиях на оператор Т.
Построим прежде всего линейное пространство 35 та-
кое, что 53 CZ 25 и на 55 определена любая степень опе-
ратора Т (соответствующим образом расширенного). По-
скольку мы предполагаем непустоту рТ, можно, не умень-
шая общности, считать нуль точкой регулярности, т. е.
предполагать, что Т"1 — ограниченный оператор, задан-
ный на всем^пространстве 53.
Пусть 33% — множество пар вида (v, к), где
a i — целое число (положительное или отрицательное).
Определим в 53 линейные операции, полагая для а, £ ЕЕ С
а (у, к) + Р (гу, к) = (аи +	к),
и введем норму
|| (у, Ar)||* = II у !!,
где справа — норма в 53. Тем самым мы превратили 33%
в 5-пространство.
Две пары (и, к) ЕЕ	(w, р) е 53р, р. к, назовем
эквивалентными^ если	v = w. в 53 (при р = к пола-
гаем Т° = 1). Определим теперь 55 как объединение про- ;
странств к = 0, ±1, считая элементом 55 класс:
эквивалентных пар. Заметив, что любые две пары могут;
быть представлены элементами одного и того же простран-
ства S&:	"	.
_	(и;, к) = (Т-* w,k + 1) = (Т-2ю, к + 2) = ...,	' i
определим в 55 естественным образом линейные опера-i
ции, превратив его в линейное пространство над С. Ис-;
ходное пространство 33 отождествим с 33q. Расширим^
оператор Т на все пространство 55, положив	j
Т (у, к) = (у, к + 1).	(QJ
Поскольку в случае, когда и v и Ту = w принадлежат^
мы имеем	'
Т (у, 0) = (у , 1) = (Т“Ч 1) = (iy, 0),	*
т. е. Т (у, 0) = (Ту, 0), определение (1) действительно за-1
дает расширение Т и согласуется с определением Т“1(у, к)= 1
= (Т“Ч к).	J
Замечание 1. Приведенное рассуждение экви-5
валентно утверждению: элемент у ЕЕ 33 = 33^ принадле-
§ 1. ПОСТРОЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 179
жиг области определения оператора Т: $ тогда й
только тогда, когда существует пара (u?, —1), эквивалент-
ная паре (и, 0). Действительно, если такая пара сущест-
вует, то Т (гя, 0) = Т (гр, —1) = (гр, 0),. т. е. Тр = гр.
Если же рЕ £> (Т), Тр = гр, р = Т-1гр, то (р, 0) =
= (Т^гя, 0) = (гр, —1).
Введем теперь в 85 дополнительную структуру, заме-
няющую топологизацию и являющуюся некоторым вари-
антом «счётной нормированности».
Определение. Множество SR CZ Я5 называется
ограниченным. если существует к такое, что 3R ограничено
в
Линейное пространство 85 с введенной в нем допол-
нительной структурой назовём О-пространством (прост-
ранством с ограниченными множествами).
Замечание 2. Более распространенным являет-
ся введение в 95 топологии индуктивного предела (см.
[8], [С15р цепочки пространств
.• .cz сг^ос: ^i(z ^2cz..
но это связано с дополнительными осложнениями всякий
раз, когда оператор Т-1 не является вполне непрерывным..
Замечание 3. Если Т — оператор, порождаемый
некоторой дифференциальной операцией, то $3%.к 1,—
некоторое пространство «обобщенных функций», а —
пространство «гладких» функций. Такая система обозна-
чений не согласуется с традицией, согласно которой отри-
цательными индексами нумеруются пространства обоб-
щенных функций (см. [2]), но более естественна при ис-
пользуемом подходе.
Займемся теперь построением некоторой алгебры опе-
раторов над 95, в рамках которой и будет построено опе-
рационное исчисление. Класс линейных отображений 25
в себя, переводящих каждое множество, ограниченное
в S3P. в множество, ограниченное в (быть может,
к < 0), обозначим через Каждое множество обла-
дает структурой ^-пространства: линейные операции опре-
делены естественным образом и для А s %*
|| A ||fc = sup sup 11,
Р	II U lip
причем правая часть, по предположению, конечна. '
180 ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНОЕ ОПЕРАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Объединение всех 91^ образует алгебру 91, аддитив-
ная группа которой обладает структурой О-пространства.
Действительно, в силу существования естественного вло-
жения 9f& CZ Sip, р к, для A ее 91&, В е Sip определе-
на линейная комбинация
аА -J- рВ GE 9tp;	а, [3 ЕЕ С,
и множество ф (Z SI ограничено, если оно ограничено
в некотором Slfc.
В качестве следующего шага на пути осуществления
плана, изложенного в п. 2.2 гл. I, реализация которого
позволит определить для A ЕЕ SI функции <р (А) со зна-
чениями в той же алгебре 91, мы должны рассмотреть
функции комплексной переменной со значениями в SI.
Замечание 4. В приложениях операционного
исчисления, построением которого мы занимаемся, рас-
сматривается, как правило, случай А = Т, т. е. фикси-
рованный элемент St, для которого строится исчисление,
совпадает с оператором, служившим для построения 95.
Но в принципе это не обязательно так.
Рассмотрим прежде всего резольвенту элемента А Е= 91.
Введем, как обычно, функцию комплексного параметра
А, (ЕЕ С:
Rx (А) = (ХЕ — А)"1 = (X — А)'1,	(2)
определенную для тех значений X, для которых существу-
ет задаваемый формулой (2) элемент 91.
Определение. Множество о^ (A) (Z С, обладаю-
щее тем свойством, что для любого 1 G С \	(А) функ-
ция R% (А) существует, принадлежит 91^ и. неравенство
|lRx(A)h<M(A,*) = const	(3)
(слева — норма в 91^) выполняется равномерно по %,
назовем к-спектральным для А.
Отметим, что множества не предполагаются замкну-
тыми.
Утверждение 1. Если Хе С \	(А), А ЕЕ-
ЕЕ Slz, то функция X (% — А)"1 ограничена в 91^+ь
Для доказательства достаточно заметить, что
X (X - А)"1 = 1 + А (X — А)"1.
§ 1. ПОСТРОЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Igl
В соответствии с обычным определением голоморфности
для функции со значениями в Б-пространстве, функцию
Ф (z), z ЕЕ С, со значениями в О-пространстве 91, назовем
голоморфной в открытом множестве Q CZ С, если она голо-
морфна в Q как функция со значениями в Б-пространстве
91к для некоторого фиксированного к.
Утверждение 1 позволяет установить стандартное свой-
ство резольвенты:
Утверждение 2. Во внутренних точках мно-
жества С \ о* (А) функция Rx (А) является голоморфной
функцией^ со значениями ~в 91.
Доказательство. Для %0 принадлежащего
внутренности множества С \	(А) и % достаточно близ-
ких к Хо можем воспользоваться тождеством
>.й — А	К—А — ^о) х0—4 7. — А
и ограниченностью в 91 умножения, что дает существо-
вание d/dkRK(A) в подходящем пространстве 9(z.
Перейдем теперь к описанию некоторого достаточно
широкого множества § == g(A) комплексных функций,
обладающих тем свойством, что для <р (z) Зг опре-
делена функция ф (А) е9(. Как и следует ожидать,
множество в свою очередь, является алгеброй.
Пусть А ее 91 и множество oQ =	(A) CZ С является
^-спектральным для А при некотором фиксированном зна-
чении q. Пусть G — открытое множество в С и aq CZ Gz CZ
CZ (7, где oQ —- замыкание oQ, a Gz — множество внутрен-
них точек G, расстояние которых до границы G больше
8	0. Не уменьшая общности, можем считать, что нуль
не принадлежит G и, следовательно, функция z"-1 голомор-
фна в G. Область G, обладающую по отношению к А ука-
занными свойствами, назовем А-допустимой.
Для любого целого к обозначим через линейное
многообразие комплексных функций, голоморфных во внут-
ренних точках G, непрерывных в G и таких, что для <р (ЕЕ
| <р (и) |<	| z р при z е G.	(3)
Если определить теперь для <р ЕЕ норму равенством
-|ф, 5kl:=sup|z"'t<p(z)|,
/	zsG
182 ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНОЕ ОПЕРАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
то превратится в S-пространство. Объединение всех
к = 0, ±1, ±2,.. ., естественным образом оказывает-
ся алгеброй, обладающей дополнительно структурой О-
пространства. Мы будем называть ее A-допустимой ал-
геброй Зг ==§(£).
Каждый элемент <р (z) ЕЕ допускает некоторое кано-
ническое представление контурным интегралом. Опишем
его. Пусть у — кривая (вообще говоря, неограниченная),
лежащая в G \ Gz и являющаяся границей области Gy
такой, что
СеСбуСС.
Если Кг — круг |z | г, то уг — часть у, лежащая
в Кг. Предполагается, что для любого г 0 кривая уг
спрямляема и существует постоянная с > 0 такая, что
длина уг сг.
Если уг (J Уг — граница области 6?v>r = Q Кг, со-
стоящая из уг и соответствующих частей у^ окружности
| z | = г, то для любого 2 е П &т и любой функции
Ф ЕЕ § при соответствующей ориентации кривых для
произвольного целого р справедливо представление
<p(z) = ^ V ф (S)-------dt..	(4).
vruvr
При (p E 'th и р > i + 2 в правой части (4) можно
перейти к пределу при г оо, получив	- 
zp с Ф(О	:
= - <5>
V
поскольку интеграл по у'г заведомо стремится к нулю
в силу быстрого убывания подынтегральной функции.
Согласно утверждению 2, резольвента R% (А) является :
голоморфной функцией X со значениями в 91 для к Ё С ;
в должным образом определенной области G CZ С. При ^
этом отмеченная голоморфность R% означает голоморф-
ность в некотором 5-пространстве и мы можем опериро- "i
вать с Rx соответствующим образом, рассмотрев, в част-
ности, интегралы, содержащие R^, вдоль кривых, <
§ 1. ПОСТРОЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	183
лежащих в G. Таким образом, формула
/ а \ Ар С Ф(0	-
ф — J £р (? - A)
' '	v
где интеграл понимается в том же смысле, что и интеграл
в (5), и заведомо существует для достаточно больших р,
определяет некоторый элемент Й.
Теорема. В сделанных предположениях формула
(6) определяет линейный ограниченный гомоморфизм hA:
hA: %	%; Ф (z) -> Ф (А)
A-допустимой алгебры § комплексных функций в алгебру
при этом
hA(Z)=A; hA(l) = l.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Линейность и ограничен-
ность гомоморфизма, определяемого формулой (6), доста-
точноочевидны. Проверим, что ф (А) в (6) не зависит от р
для значений р достаточно больших.
В обозначениях, использованных в формуле (4), при
некотором г > О можем записать цепочку равенств
Ар С Ф_(В._	С Ф^	=
У £Р(£-А) ь J ^(S-A)
1АрС	=
J SP+1(C-A)		\ J , V
Т	vrUvr Vr
-	'	= — Ap( -2-^-dC-
У гг1
7г
На последнем шаге мы воспользовались тем, что пер-
вый из интегралов в круглых скобках равен нулю в
силу голоморфности ф( Q в соответствующей области.
Переходя теперь к пределу при г —» оо и замечая, что
интеграл по у'г обращается при этом в нуль, получим
окончательно
Ар\^фЮ <% = АР+1^	d^.	(7)
J $Р(?-А) ъ J ^(S-A) ъ	’
У84 ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНОЕ ОПЕРАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Из (7) следуют равенства ЛдС&ф) = АЛА(ф), А"1 =
= feA(z“1). Проверка соотношения
(Ф1Ф2) =Мф1)Мф2)
проводится стандартным способом, использующим пред-
ставление <рх, <р2 интегралами вида (6) по соответствующим
кривым ух,у2 и тождество Гильберта (см. [5], стр. 609). |
Замечание 5. При исследовании сходимости
входящих в рассмотрения контурных интегралов бывает
иногда полезно использовать инверсию: £—>!/£, считая
(это всегда допустимо), что у не проходит через нуль.
Тогда образ у — ограниченная кривая.
Замечание 6. Достаточно очевидна возможность
распространения приведенных рассмотрении на совокуп-
ность Ах,..., А^ коммутирующих операторов (см. [С 16]).
Более сложную задачу определения операторной функ-
ции вида ф(£,А), где Л — дополнительный параметр,
мы рассмотрим в следующем параграфе при анализе
конкретного примера.
§ 2. Некоторые примеры
Рассмотрим возможности применения построенного
исчисления к интересующим нас операторным уравнениям»
Как обычно, сосредоточим внимание на простейших
примерах, выясняющих принципиальную сторону во-
проса.
Для уравнения
Lu = (Dt — А) и = /, t е (0, 6],	(l)z
возьмем формулу, дающую решение (в случае, когда
А — число) задачи Коши:	-
t
u(t) = \^-^f{x)dx.	(2)
о
Рассматривая как параметр и желая придать формуле
(2) смысл в рамках операционного исчисления, содержа-
щего функции от оператора А, мы должны, прежде всего,
рассмотреть функцию ф (z) = е**2, где т] [0, Ь]. Но для
такой ф оценка вида (3) § 1 выполняется (при любом к)
§ 2. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ
185
лишь в полуплоскости Re z М, где М — любое число.
Следовательно, если мы хотим, чтобы ср принадлежала
A-допустимой алгебре множеством, ^-спектральным
^для А при некотором к, должна быть полуплоскость
Re 2 > N, где N -— опять-таки любое число. При выпол-
нении этого условия функция ф (А) = А определяет
некоторый элемент алгебры 21 и для любой функции
f ЕЕ 85, интегрируемой по т, формула (2) определяет
элемент и ЕЕ 25, являющийся решением уравнения (1).
Действительно, интегрирование по параметру т (или
дифференцирование по t при проверке того факта, что
и (t) — решение уравнения (1)) осуществляется обычным
образом, как для функций числового параметра со зна-
чениями в некотором В-пространстве. Если оператор
А (или, точнее, его резольвента) обладает тем свойством,
что из принадлежности f пространству следует
то и элемент и (/), задаваемый формулой
(2), будет принадлежать
Решение уравнения (1), построенное за счет исполь-
зования операционного исчисления, назовем О-решением.
Поскольку проведенные построения обеспечивают на-
личие неравенства
|| и || с |[ f ||	(3)
(где слева —, норма в IHt ® ЗВы. а справа - в ® S&)
построенное решение в соответствующем смысле единст-
венно.
Замечание. Если при сделанных предположе-
ниях пространство есть наше стандартное простран-
ство Нх, а достаточно гладкой правой части / соответ-
ствует классическое (достаточно гладкое) решение урав-
нения (1), то построенное (2-решение будет сильным ре-
шением в смысле определений гл. II. Действительно,
построение гладких аппроксимаций {ft} правой части
всегда возможно, а тогда при сделанных предположениях,
согласно (3), сходящейся последовательности ft—> f будет
соответствовать сходящаяся последовательность гладких
решений Ui и.
Если обратиться теперь к конкретным дифференциаль-
ным операторам, пригодным для подстановки в формулы
(2) в качестве оператора А, потребовав дополнительно,
чтобы эти операторы не были М-операторами, т. е. чтобы
186 ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНОЕ ОПЕРАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
выход за рамки построении гл. V, VI был действительно
необходим, сразу становится ясной чрезвычайная жест-
кость наложенных на А ограничений. Так, если х ЕЕ Ю,Ь]У
то в качестве оператора А оператор a Z)x, рассматрива-
емый в Нх при условиях Коши: и |х=0 = их |х=0 = О,
не годится ни при каком а 0 (вещественном или ком-
плексном). Оператор a Dx, задаваемый условием и |х==0 =0,
годится лишь при вещественном а ^> 0. Правда, при вы-
полнении последнего условия можно зато взять вместо
aDx любой оператор вида
А == (iD-x 4" В,
где В — М-оператор, расположение спектра которого
на комплексной плоскости подчинено соответствующим
ограничениям.
Мы рассмотрим подробно указанный оператор, огра-
ничившись случаем В = 0. Использование при Ву= 0
операционного исчисления в сочетании с конструкциями
гл. V предлагается в качестве упражнения/можно взять,
например, в роли В П-оператор, порождаемый операцией
-D*-D*).
. Итак, если А порождается в пространстве Si = S3Q= JHX
операцией aZ)x, а^О, и условием й |х=0 =0, то
Rx (A) g = (А - X)"1 g = a-1 J e^-^g (I) <£.	(4)
о.
Отсюда и из сформулированных выше требований на
спектральные множества А, немедленно вытекает условие
а^>0. Из (4) следует также, что в рассматриваемом случае
(А—к)"1 действует ограниченным образом из в
Тогда оператор е^А, задаваемый, согласно (5) § 1, формулой
е,А = -2г-$Т(7ТГлГ*.
V
где у — некоторая вертикальная прямая, действует ог-
раниченным образом из So в So (или, что то же самое»
из !НХ в Нх) и формула (2) дает решение уравнения (1).:
Нормы неравенства (3) в этом случае суть нормы в Н,'.
и, как нетрудно убедиться (см. замечание к неравенству
§ 2. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ
Д87
(3)), С>-решение является сильным решением, а соответ-
ствующий оператор L: И —> И — правильным оператором.
Модификация приведенных построений при переходе
к обратной задаче Коши по t (и (<==ь =0) очевидны: полу-
плоскости Re z <1 с и Re z > с меняются* ролями.
Перейдем —теперь к тому случаю, когда опера-
тор Dtz !Ht —>	в уравнении (1). задается условиями
pw|t=o—w|t=b = O.	(Гц)
Решение и соответствующей задачи (при числовом
параметре А) дается теперь формулой (11) § 2 гл. III
(с заменой % на А). Если мы не желаем налагать на опе-
ратор А ограничений^ аналогичных использованным
в задаче Коши, то отдельное рассмотрение экспоненты
ечл невыгодно, (см. оценки, , использованные при дока-
зательстве леммы 2, § 1 гл. V) и нужны некоторые ви-
доизменения приведенной в 1 конструкции.
Пусть <p(z, t | /) при некотором фиксированном эле-
менте / ЕЕ Э5 есть голоморфная при z Е G С функция
z со значениями в 55, зависящая от £ ЕЕ 10, &] как от па-
раметра. Если, кроме тоге, при z ЕЕ Q выполнено не-
равенство	/
II <Р1К | z |Л	(5)
где слева — норма в 55 (т. е. в соответствующем В-про-
странстве S^), то для <р как функции от z существует
каноническое представление, аналогичное использован-
ному в § 1:
к
где р + 2 и контур у (вообще говоря, неограничен-
ный) удовлетворяет соответствующим требованиям. По-
скольку при соответствующих предположениях относи-
тельно спектральных множеств оператора А (аналогич-
ных использованным в § 1) при £ ЕЕ у будет определен
оператор (£—А)”1 — В;(А), формула (6) позволяет оп-
ределить элемент 55 вида
- <р (A, t| /) = АД  (S’f 1 °  <%.	(6')
'	. J (g — А)	-' '
Приведенные рассуждения ми хотим применить’к случаю;
188 ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНОЕ ОПЕРАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
когда
t	ь
q(z,t\f) = (p. — (р У еО-*)2/ (т) dr + ebz J (x) dr} .
о	t
(7)
В предположении, что | р — e*21 > б > О, рассмотре-
ния! 1 гл. V немедленно дают оценку вида (5). Если обо-
значить через Ма множество нулей функции р—
Мс = Zr^ln | р, { + i(argp + 2Ал), к = 0,+1, ±2,...,
то очевидны требования на контур у, входящий в опре-
деления (6), (6'), и результаты наших построений могут
быть сформулированы в виде теоремы.
Теорема. Если при некотором фиксированном
р, и фиксированном б>-0 множество точек {z: d(z, Ма) 6}
принадлежит k-резолъвентному множеству оператора А,
то формула (6'), в которой q(z,t \f) определена равен-
ством (7), определяет О-решение уравнения (1) при ус-
ловиях (ГЦ).Д|
Дополнительные рассмотрения типа приведенных в
случае задачи Коши позволяют установить, что при
соответствующих предположениях относительно резоль-
венты А (7-решение является сильным решением.
Проведенное нами с «операционной», точки зрения
изучение формул (2) и (7) еще раз подчеркивает глубокое
различие между задачей Коши и нелокальной задачей
(Гц). Задача Коши, когда она определяет правильный
оператор, чрезвычайно «устойчива» по отношению к оп-
ределенному классу возмущений, но задача (Гц) позво-
ляет использовать в качестве А значительно более широ-
кий класс операторов.
Разобранными простейшими примерами мы и огра-
ничимся. Способ использования предложенной схемы
в случае уравнений и задач, рассмотренных в гл. VI,
достаточно ясен,’но трудности анализа конкретных фор-
мул, естественно, возрастают.
§ 3. Необходимость ограничений на резольвенту
Характерной чертой рассмотрений гл. V, VI, где в
операторные уравнения входили П-операторы (или М-опе-
раторы) Afc. являлась окончательность результатов в
§ 3. НЕОБХОДИМОСТЬ ОГРАНИЧЕНИЙ НА РЕЗОЛЬВЕНТУ 189
\
смысле необходимости и достаточности требовании (по
крайней мере — в основной массе случаев) на резоль-
венты (на структуру их точечного спектра), обеспе-
чивавших правильность оператора, описываемого теми
или иными граничными усл<^ями по t.
Как нетрудно заметить-, применение операционного
исчисления позволяет построить (^решение операторного
уравнения при тех или иных преХположениях относи-
тельно оператора А (или операторов Afc), являющихся
достаточными. Но использованная конструкция не дает
непосредственно метода выяснения необходимости на-
ложенных на А ограничений для существования (или
единственности), например, сильного решения изучаемой
задачи. Даже в случае простейшего уравнения (1) § 2,
когда в нашем распоряжении имеется такой классический
результат, как теорема Хилле — Иосида (см. [7]) (да-
ющая необходимые и достаточные условия на резоль-
венту А, обеспечивающие существование ограниченного
в соответствующем смысле оператора дающего реше-
ние и (t) = StiiQ задачи Lu = О, и |ея0 = и0), попытка непо-
средственно использовать этот результат в нашей ситуации
наталкивается на затруднения.
Не располагая каким-либо общим методом изучения
поставленного вопроса, ограничимся рассмотрением не-
которых простых примеров. Пусть
L (D) = Dt + aDx,
где а — комплексное число и, как обычно, t ЕЕ [О, 6],
х е Ю, 2л]. Оператор Dxz 1НХ —> 1НХ задается теперь
условием Коши:	/
Нх=о = 0-	(1)
Если Df: !Hf —>	определить, исходя из условия
jxu |f=0 — и |t=b = О,
то при р, =/= 0, оо правильность (в широком смысле) со-
ответствующего оператора L: Н » Н при любом а немед-
ленно будет следовать из рассмотрений гл?У, если пе-
ременные х и t поменять ролями. Интересен для нас сей-
час, следовательно, лишь случай {1 = 0, оо. Возьмем, для
190 ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНОЕ ОПЕРАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
определенности, условия	/
и|^ = 0.	'	(2)
Тогда из результатов 2. следует,, что соответствующий
оператор L правилен',при^а/> 0 (это условие обеспечи-
вает нужные свойства резольвенты оператора А = —aD^).
Покажем. . необходимость . этого . требования, установив,
что его нарушение .приводит к’неограниченности опера-
тора LT1: Н —> Н. / - •
Так же, как иу рассмотрений § 2 следовало, что при
а > 0 осуществляется характерная для условий Коши
картина: pL = С, из приводимых ниже построений будет
следовать, что при нарушении этого условия непрерывный
спектр CgL заполняет всю комплексную плоскость С,
Итак, в уравнении
L(D)u = /,	'	. .
рассматриваемом при условиях (1), (2), возьмем семей-
ство правых частей /v вида
fv (/, х) = е™ —	(Зу
Соответствующее семейство решений uv имеет вид
л__p-ovt
*v = av -	'	(4)
Интересующее нас соотношение
||uv]|/||Luv||=||uv||/i|M|->oo
для некоторой последовательности значений {v*}, & —> оо,
заведомо будет иметь место, если для некоторых фикси-
рованных значенийx,t(x> 0, t > 0) выполняется условие
^=7^,,, ч*."*00
|е КГ | +1 е к |
при к —> оо. Пусть а = а! + га", vk = v£.+ iv£. Тогда
.
Поскольку для нужного- нам соотношения ^5) необхо^
димо* .чтобы обе- экспоненты стремились к -р-оо при А: ^->; со;
§ 3. НЕОБХОДИМОСТЬ ОГРАНИЧЕНИЙ НА РЕЗОЛЬВЕНТУ 191
\ .
можем положить v* = к. как и следовало ожидать,
соотношение (5) не может быть получено, если а'^>0,
а* = 0. Если а' <0, а" = 0, для получения (5) достаточно
положить vt = O. Если же а"#=0,то выбор, например,
vj =	(1 + а') (что влечет —а’к + a"vs = к) сно-
ва дает (5). Это. завершает наше рассмотрение. . ч
Естественно поставить вопрос/чем мотивирован выбор
семейства (3) или, что эквивалентно; (4)? Несколько рас-
плывчатым ответом может служить указание на то, что
использование семейства функций вида ev*—1 является
весьма удобным при выяснении характера поведения
резольвенты оператора Dx, порождаемого условиями
Коши.
Сделанное замечание можно проиллюстрировать рас-
смотрением несколько усложненного варианта операции
L(D):
- ;	' L (D) = Dt + aD*,
где оператор Dt снова определен условием (2), a Dx —
условием
' U |х=0 =	|х=э ~ 0.
Взяв тогда uv вида
' uv = (av)-1(l——1 — vx)
и, соответственно,
/v = L (Z))Uv =	—ve~av4 (1 + va:),
получим вместо (5) следующее выражение для
*к=------2
Сохраняя введенные ранее обозначения,' полагая
Vk = к, может установить неограниченность оператора
L-1: И —> Н, рассмотрев случаи:
1) а’ < 0; vs = 0,
2) а' = 0, а" #=0; vj =— а"к,
3) а'> 0,а">0; v* = — 2Л,	.
а' 0, а" < 0; vj = 2к,
'Этой, мы и закончим рассмотрение вопроса о необхо-
димости налагавшихся на резольвенту в § 2 ограничений.
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Автор надеется,/что достаточно внимательный чита-
тель на основе предшествовавших глав составил представ-
ление о характере общих вопросов, возникающих при
изучении граничных задач методами теории линейных
операторов, и овладел приемами исследования специаль-
ного класса модельных объектов, позволяющих дать на
некоторые из этих вопросов достаточно содержательные
ответы.
Рассмотренные модельные ситуации позволяют глуб-
же понять природу ряда специфических явлений, связан-
ных с объектами соответствующего раздела математиче-
ского анализа. Как было отмечено в конце главы Vlj
аналогичный подход можно использовать для изучения
линейных задач с малым (или большим) - параметром,
а также для уравнений, вырождающихся на границе или
меняющих тип. Предполагается, что читатель, используя
описанные в главах V,4VI приемы, сможет, в случае
нужды, сделать с их помощью нужную «прикидку» в
интересующей его ситуации.
Автор считает, что использованные в данной моногра-
фии конструкции существенным образом дополняют ту
точку зрения на линейные дифференциальные операторы,
которая изложена в книге [19].
Важнейшим вопросом, возникающим в связи с прове-
денными рассмотрениями, является вопрос о том, в ка-
кой мере свойства «модельных» задач сохраняются в
более общих ситуациях. Здесь было бы желательно иметь
разумную «теорию возмущений», позволяющую перехо-
дить от параллелепипеда (тора) к области, получающейся
после той или иной малой деформации, и от П-оператора
к близкому оператору с переменными коэффициентами.
Не следует, конечно, думать, что упомянутая теория
возмущений позволит, отправляясь от наших моделей,
получать результаты, применимые непосредственно7 к
' ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ	193
/
общим линейным дифференциальным операциям с пе-
ременными коэффициентами, рассматриваемым в произ-
вольной области. Но она должна доставить ценные на-
водящие соображения, относящиеся как к постановкам
задач, так и к характеру ожидаемых результатов..
Конкретизируя до некоторой степени соответствующую
проблематику, можно задаться, например, следующими
вопросами.
Для каких классов операций с переменными коэф-
фициентами существуют граничные условия такие, что
порождаемые ими правильные операторы будут М-опе-
раторами? Будут С-операторами? В какой мере и как за-
висит возможность выбора требуемых граничных усло-
вий от структуры области, в которой ведется рассмотрение?
Пока, однако, неясно, как хотя бы для оператора
Лапласа в круге (или в прямоугольнике) показать, что
для него не существует порождаемого им правильного
оператора, являющегося С-оператором (или доказать
противное).
Из результатов монографии [18] следует,что, например,
для ультрагиперболической операции (см. [С5]) должен
существовать порождаемый ею правильный оператор
L такой, что IT1:1Н —> !Н не только ограничен, но и
вполне непрерывен. Вопрос о способах описания такого
оператора в терминах граничных условий остается от-
крытым. Использование с этой целью конструкции п.1.4
гл. VI в сочетании с выбором р8, обеспечивающим рост
констант в неравенствах вида (11) § 1 гл. VI, наталкива-
ется на трудность, связанную с необходимостью допол-
нительного исследования свойств получающегося ба-
зиса.
Вопрос, сформулированный нами выше для ультра-
гиперболического оператора, снова является, очевидно,
специальным случаем общей задачи о зависимости (для
заданной дифференциальной операции L(D)) свойств опе-
ратора 1Г1 от выбора определяющих оператор L гранич-
ных условий.
В качестве еще одной формы этой задачи можно пред-
ложить исследование зависимости от характера гранич-
ных условий (однородных) гладкости решения и = IT1/
при / (= IH. Полезный относящийся сюда пример был
рассмотрен в [СЮ].
194 -	ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Несомненный интерес представляет применение изло-
женной схемы к системам уравнений. Здесь немедленно
возникает вопрос о рассмотрении операторных функций
нескольких комплексных переменных. В этом направ-
лении имеются пока, однако, лишь весьма разрозненные
результаты.
Очевидна также возможность перехода (в рамках
использованных идей) к некомпактному случаю как_
за счет использования классического преобразования
Фурье — Лапласа, так и за счет применения операцион-
ного исчисления главы VIII.
Заканчивая на этом изложение «общих вопросов»,
автору хочется выразить надежду, что дальнейшее их
изучение, правомерность и полезность которого он ста-
рался показать, позволит со временем говорить и об
«общей теории» граничных задач для линейных диффе-
ренциальных операторов с частными производными.
Д О П О Л НЕ Н И Е
О НЕКОТОРЫХ СИСТЕМАХ УРАВНЕНИЙ,
СОДЕРЖАЩИХ МАЛЬШ ПАРАМЕТР
За время подготовки книги к печати был реализован
один из пунктов плана дальнейшего использования пред-
ложенной схемы для анализа упрощенных вариантов
некоторых проблем, возникающих в линейной теории
граничных задач. Речь идет о системах уравнений, возни-
кающих при специальной линеаризации двумерных урав-
нений Навье — Стокса. Мы приведем изложение соответст-
вующих построений, следуя статье [1].
§ 1. Постановка задачи .
Пусть U = (u, v)— двумерная вектор-функция пере-
менных х, у, р = р (х, у) — некоторый скаляр и
8Д U+ KZ7 + gradp = 0,	(1)
div U = О	(2)
— классическая система уравнений, решения которой
описывают плоское установившееся течение вязкой не-
сжимаемой жидкости [2]. Конвективные члены в (1) могут
быть записаны либо в форме .
либо в форме
(3)
(4)
В последнем случае надо заменить р на скаляр у = р +
172 (u2 + v2).
При линеаризации-К в-качестве группы младших чле-
нов в (1) можно получить как гиперболический, так й
196	ДОПОЛНЕНИЕ
эллиптический операторы первого порядка. Например,
полагая в (4) v = 0, и = 1 (имеются в виду коэффициенты
при первых производных) и добавляя к первой строке в
(1) уравнение (2), получаем в качестве К классический
оператор Коши — Римана. Для получения гиперболиче-
ского (расщепленного) оператора достаточно положить в
(3) и = v = 1.
Нас будет интересовать поведение при 8 О решений
линеаризованной системы (1) — (2), рассматриваемой как
система с постоянными коэффициентами в прямоугольни-
ке, при специальном выборе граничных условий. При этом
основное внимание мы сосредоточим на случае, когда
К —оператор Коши — Римана. Соответствующие резуль-
таты в. гиперболическом случае более очевидны.
Мы начнем с рассмотрения усеченной системы, получа-
ющейся из (1) при р = 0 (уравнение (2) при этом опускает-
ся). Такое вступление дает возможность подчеркнуть
специфику полной системы (1) — (2).
Приведем теперь схему применения знакомой нам кон-
струкции, описанной в главах V, VI. Рассмотрим оператор-
ное уравнение
Le^e = {e(^ + M) + BDX-A} iZ8 = 0, (Le)
где х = [О, Ы, Dx — операция дифференцирования по х и
А, В, М — л-операторы, коммутирующие с £>х (роль пере-
менной t в указанных главах будет играть теперь перемен-
ная х).
Вместе с уравнением (£е) рассмотрим граничные усло-
вия по х (при х = 0, &), которые мы символически запишем
в виде
rtf8 = v	z (Г)
и которые будем считать имеющими смысл для любой
£7 €= £> (Ls). Наряду с (Д>) рассмотрим «невозмущенное»
уравнение
Lot7 = {BDX - A} U = О,	(£0)
присоединив к нему граничные условия
го = VO	(Го)
(условия (Го) получаются обычно «снятием» части условий
(Г)).'	- ' :
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ 197
Основное предположение. Задачи (Lt) — (Г), (£0) —
(Го) однозначно разрешимы при любых v, v0, и для решений
справедливы неравенства
II ^11< С || v ||', [| t7||<CH v0|| ',	(5)
записанные в соответствующих нормах. Постоянная С в
(5) не зависит от выбора решения, и первое из неравенств
выполняется равномерно по 8.
Сформулированное предположение необходимо нам для
установления интересующей нас связи между исходной и
невозмущенной задачами. Заметим теперь, что расщепле-
ние задач (£с) — (Г), (£0) — (Го) на бесконечные цепочки
соответствующих обыкновенных дифференциальных урав-
нений может быть проведено обычным образом, Справед-
лива
Теорема 1. Для выполнения основного предположе-
ния необходимо и достаточно, чтобы каждо е из упомянутых
выше обыкновенных уравнений (LZfS), (£<>,«) было однозначно
разрешимо при любых vs, v0>8, причем неравенства
Л ^siKClvsl,’ II U3 П < С I Vo,s I	(6)
должны выполняться равномерно по s из и по s соответст-
венно.
Доказательство проводится обычным образом.
Определение. При выполнении основного пред-
положения задача (Lz) — (Г) регулярно вырождается в
задачу (£0) — (Го), если
|| Uz - U Ц —> 0 при 8	0.
Теорема 2. При выполнении основного предположе-
ния задача (Lz) — (Г) регулярно вырождается при г —> 0
в задачу (LQ) — (Го) тогда и только тогда, когда для любого
фиксированного з ЕЕ Sf выполняется условие
II	при 8^0.	(7)
Доказательство. Проверим достаточность
приведенного условия. Фиксируем произвольное 6 > 0.
В силу основного предположения найдется N такое, что в
представлениях для Ue, U будем иметь
|з| >N	|S|>N
(8)
198	ДОПОЛНЕНИЕ
причём второе из неравенств выполняется равномерно по 8.
Последнее следует из равномерного по е выполнения не-
равенства (6) и независимости от 8 граничных условий;
Тогда, используя (8), будем иметь
|]^-Z7|| = .	.......
- = I E V., '.ф, - £ ил | < » +1 £ • (tz.,, - о.у ♦. |
з	з	'	| з |<N
и за счет выбора достаточно малого 8, в силу (7), может быть
получена оценка || Uz — U || < 6.
Необходимость для регулярного вырождения выполне-
ния условия (7) достаточно очевидна.
§ 2. Усеченная система
? Возьмем теперь в качестве (Le) уравнение
LZUZ=	+ KUZ = 0,	(9)
где К — либо оператор Коши — Римана
(ди дя х
дх + ду \
Й ' ; ь	(Ю)
а? аи / ’	v 7
дх — ду J
либо расщеплённый гиперболический оператор, получаю-
щийся из (3) при и = v = 1. Как отмечалось, предвари-
тельное рассмотрение этой системы позволяет подчеркнуть
специфику «полной» системы (1) — (2). В этой связи нас
будет прежде всего интересовать приводимый ниже отри-
цательный результат: отсутствие регулярного вырождения
в случае оператора К, имеющего вид (10). Но начнем мы с
исследования более простого гиперболического случая. ,
Итак, операторы М, А в (Le) порождаются теперь замы-
канием операций D\, Dy^ рассматриваемых на гладких
периодических (по у)	Оператор В — умножение
на константу. Полагая Uz = (иг, присоединим к (9)
граничные условия по х: .
“е |х=э = У-i (У)? We |х=Ь = v2 (у},	• (Гг)
Ч |х=о = v3 (^), vz = v4 (у) .	<Г2)
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ	199
и рассмотрим вместе с (9) невозмущенное уравнение
КС7 = 0.	(11)
В гиперболическом случае (К £7 определяется формулой
(З)прии = V— 1) .система (9) распадается на два независи-
мых уравнения: уравнение для
дил дцл
Ж+^ + -£=0	(12)
и аналогичное уравнение для vz. К каждому из уравнений
надо присоединить условия (1\) или (Г2). Вместе с (12) мы
должны рассмотреть невозмущенное уравнение для и:
^- + -5^ = 0.	(13)
дх ду	' '
Взяв для uz (х, у) стандартное представление
и-е(х, у) = y*tue, s(я) eis», seZ _	(14)
и соответствующие представления для Vi (у), v2 (у), видим,
что применение нашей обычной схемы сводится к рассмот-
рению бесконечной цепочки уравнений
(в Z>2 + Р — es2 4- &) *4 s = 0, D = Рх, (15)
к каждому из которых присоединены условия
^8,8 |х=*0 = Vl, ^8, S |х=Ь = ^2, 8	(16)
и одновременно — цепочки уравнений
'	(P + ^)us=0,	(17)
соответствующих уравнению (13).
При исследовании цепочки уравнений (15) положим в
(i6) для простоты vl s = 0, v2>s = vs, что, как нетрудно
убедиться,, не меняет качественного характера картины.
Тогда для uZys получим выражение
	<18>
где значения gj, g2 даются формулой
- W) = -^-(l±/1 -bW-M	(19)
200	—	ДОПОЛНЕНИЕ
В комплексной плоскости £ + и) значения подкорен-
ного выражения в (19) при произвольных г > 0, 5Е
лежат на параболе 4£ = 4 4- т]2. Отсюда следует, что
знаменатель в (18) не обращается в нуль и множители при
vs для х S (0, 5], 8 > 0, 5Е равномерно ограничены.
Следовательно, все уравнения (15) при выбранных гранич-
ных условиях однозначно разрешимы и для решении
справедливо неравенство ||	[| < С [ vs) с некоторой
постоянной С, не зависящей от 8, $.
При фиксированном $ и 8 -> 0 поведение £2 характе-
ризуется соотношениями
^«-8-S |2«-i5.	(20)
В соответствии с общими правилами выбора граничных
условий, обеспечивающих регулярность вырождения для
обыкновенных дифференциальных уравнений (см. ГЗ]),
присоединим к невозмущенному уравнению (17) условие
(6) = vs, что даст
(*) = vs №-*).	(21) •
Из (20), (21) немедленно следует, что для любого фиксиро-
ванного s
И UetS — Us j| -> 0 при 8 -> 0.
Проведенный анализ позволяет на основе результатов
§ 1 утверждать справедливость следующей теоремы.
Теорема 3. В сделанных относительно оператора К
предположениях задача (Г1<2) для уравнения (9) регулярно
вырождается при 8 —>0^ задачу Коши для уравнения (11),
определяемую условием U = v, v = (vlt v2).
Переходя jk случаю, когда оператор К в (9) имеет вид
(10), используя представление вида (14) для и, р, получаем
цепочку обыкновенных дифференциальных уравнений вида
8 Z)2Mg + Di^ — г 4- isvz = 0,
8 D2vz 4- Dvz — 8 &vz 4- isuz = 0	(22)
(мы не указываем явно зависимость Ug, vz от 5) и соответст-
вующую цепочку граничных условий, порождаемых (Г1>2).
Можем предполагать, что $	0 (при 5 = 0 получим рас-
смотренный выше расщепляющийся случай). После исклю-
чения vz.
vz — (sD2uz 4- Du^ — 8 s2^),
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ 201
получим для определения w< уравнение 4-го порядка.
Запишем соответствующее характеристическое уравнение
[е2 (|2 — s2) 4- 2 в? 4- 1 ]| (£2 — а2) = 0. Корни его имеют
ВИД |1>2 = + 8, ь,4 = — 8"1 ± 8.
Теперь непосредственное проведение элементарных
вычислений, позволяющих выяснить поведение семейства
решений системы. (22) в зависимости от 8 G <У, 8 > 0, уже
несколько утомительно и удобнее воспользоваться резуль-
татами работы [4J.
Упомянутые результаты позволяют утверждать, что
поведение ue<s полностью определяется свойствами опре-
делителя
* Д * q Р^ + е^-82),
esb e~sb «Ьь е5<ь »
sesb _se-sb _Л»Ь aeU>	? —^4-1-8 (^42 — 82)
(мы подставили в него значения |1>2), являющегося опреде-
лителем системы уравнений, позволяющей найти постоян-
ные ск в представлении и = S ехр (£& х), исходя из
граничных условий. Свойства этого определителя опреде-
ляются поведением корней к = 1, 2, 3, 4, $ е <5^, и
выбором, граничных условий. При использовании резуль-
татов [4] мы должны сделать оговорку, что вхождение в
граничные условия для s (х) (индуцированные условия-
ми (Г2) для ге) параметров 8, s, как нетрудно убедиться,
не меняет изученных в [4] структурных свойств указанного
определителя. Это позволяет установить теорему.
Теорема 4. При каждом фиксированном г задача
Г1>2 для системы (9) поставлена правильно. В то же время
при 8 —> 0 не существует равномерной по г оценки решений
системы (22), соответствующей первому из неравенств (5).
Действительно, из результатов [4] следует, что равно-
мерная по 8, $ оценка вида || и^ 31| С S | v^s | для реше-
ний системы (22) (т. е. для решений соответствующих урав
нений 4-то порядка) при выбранных граничных условиях
(два условия при х = 0 и два условия при х = Ъ) имеет
место тогда и только тогда, когда существуют постоянные
Мъ М2 такие, что корни характеристических уравнении
при любых sGE 1^8^>0 удовлетворяют (при соот-
ветствующей нумерации) условиям
?(!),$* £(2),	Ml, £(3),s> ?(4),s	M2.	(23)
202
ДОПОЛНЕНИЕ
Условия (23) выполняются, очевидно, в нашем случае
для любого фиксированного 8 > 0, но -в то же время при
любом Мх первое из условий (23) нарушается при достаточ-
но малых 8	0-	-
Утверждение о правильности постановки задачи (Г1>2)
при фиксированном 8 >‘0 не исключает возможной нераз-
решимости при некоторых 8 (играющих роль спектрального
параметра) и некоторых a GE граничных задач для (22)
из-за обращения в нуль основного определителя.
Теорема 4 дает интересовавший нас отрицательный
результат для случая оператора К вида (10).
§ 3. Полная система
Перейдем к рассмотрению полной системы (1) — (2).
Рассмотрим в первую очередь случай оператора К вида
(10). В прежних обозначениях можем записать получаю-
щуюся из (1) —Д2) цепочку уравнений в виде
8	4- DUz — 8	+ Dpz = 0,
8 D*vz + Dvz — 8 &vz —; isuz + ispz — 0,	(24)
Duz + iSVe, =0
(мы снова не указываем явно зависимость Ug, р8, ръ от а).
К уравнениям (24) надо присоединить граничные условия
(Г1>2). В целях упрощения выкладок положим
[х=о == 0,	|х=ь.= v (?/), р8^х=о = vz |х=ь == 0. (25)
Случай а = 0 снова требует отдельного рассмотрения,
на этот раз несколько более внимательного. Наличие
третьего из уравнений (24) порождает, как обычно, необ-
ходимость некоторых условий согласования, котцрые в
данном случае сводятся к требованию v0 = 0 в разложении
v (у) =	Значение р0>8 = const остается произволь-
на
ным. При а У=0, исключив ре, рг, получим для иг уравне-
ние 4-го порядка. Соответствующее характеристическое
уравнение имеет вид
[8 (g* - а2) + и а2 — а2) = 0
и обладает корнями
51>2 = ±S, 1зл = -^(Г±/1 + 4^).-	(26) .
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ 203
Основной определитель (системы уравнений, позволятощит
найти vs, исходя из граничных условий) имеет вид
	11 1 1	
	$	—5	$3	£4	
D (S, 8) .=	esb e~sb <&> Л»	127)
	sesb —se-’h-	
Покажем, что для достаточно малых 8	1		3, 5	0 (что
влечет ] $ | > 1) D (s, sj =/= 0, откуда следует однозначная
разрешимость всех уравнений (24). Удобно считать b 1.
Раскрыв определитель по первой строке и заметив, что
сумма отрицательных членов имеет вид (мы считаем t 1)
= 2 s (g3 — g4) (1 + е~ь'е), а среди положительных
членов содержится член вида = (£, 4- 8) (^ — g) <<*♦•>»,
получим	х -
di + & > f [(/1 + 4s2s2 — 2es) t? — 2	+ x
X(l+^«)],
что и, доказывает наше утверждение при $	1. Остается
заметить, что при замене 5 на —5 определитель меняет
^нак.
Одновременно распределение знаков корней (два
положительных и два отрицательных при всех $=#(),
8 > 0) гарантирует, согласно [4], равномерное по а, 8
выполнение при условиях (25) первого из неравенств (6).
Переходя к невозмущенной системе (получающейся из
(24) при 8 = 0) и снова исключая р, р, присоединим к
получающемуся уравнению 3-го порядка для us: D (Z>2 —
— s2)	= 0 условия
uj о = °, lt> = VS, |ь = °-	(28)
Нужный нам определитель, позволяющий найти Ug,
получается из (27) при = О вычеркиванием 2-й сороки и
3-го столбца и отличен от нуля при 5 #= 0.
Проводя .соответствующие рассуждения, заключаем,
что для системы (1) — (2) и невозмущенной системы вы-
полнено основное предположение. Остается проверить, что
при каждом фиксированном $ задача (25) регулярно вырож-
дается при 8 —> 0 в задачу (26). Это можно установить,
воспользовавшись результатами [3], или проверить не-
посредственно. В результате получим теорему.
204
ДОПОЛНЕНИЕ
Теорема 5. Решения системы (1) — (2), где К —
оператор Коши — Римана, рассматриваемой при гранич-
ных условиях (25), регулярно вырождаются при г —> 0 в
решения невозмущенной системы, рассматриваемой при
условиях и |0 = 0, и |ь = v, v |ь = 0.
В случае, когда К — расщепленный гиперболический
оператор, справедлива аналогичная теорема, устанавли-
ваемая значительно проще.
ЛИТЕРАТУРА
I.	Монография
[1]	А х ие з е р Н. И., Г л а з м а н И. М. Теория линей-
ных операторов в гильбертовом пространстве.— Мл Наука,
1966.
[2]	Березанский Ю. М. Разложение по собственным функ-
циям самосопряженных операторов.—Киев: Наукова Думка,
1965.
[3]	Б е с о в О. В., Ильин В. ^Никольский С. М.
Интегральные представления функций и теоремы вложения.—
Мл Наука, 1975.
[4]	Гординг Л. Задача Коши для гиперболических уравне-
ний.— Мл ИЛ, 1961.
[5]	Д а н ф о р д Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы,
т. I. Общая теория.— Мл ИЛ, 1962.
[6]	Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы,
 т. II. Спектральная теория.—.Мл Мир, 1966.
[7]	И о с и д а К. Функциональный анализ.— М.: Мир, 1967.
[8]	Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный
анализ. — М.: Наука, 1976.
[9]	Касселе Дж. Введение в терию диофантовых прибли-
жений.— М.: ИЛ, 1962.
[^Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы тео-
рии функций и функционального анализа.— Мл Наука,
{	1972.
[11]	Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом простран-
стве.— Мл Наука, 1971.
[12]	Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функцио-
нального анализа.—М.: Наука, 1969.
[13]	Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. —
Мл Наука, 1969.
[14]	Н а г у м о М. Лекции по современной теории уравнений
в частных производных.— М.: Мир, 1967.
[15]	Н и к о л ь с к и й С. М. Приближение функций многих пере-
менных и теоремы вложения.—М.: Наука, 1960.
[16]	С о б о л е в С. Л. Некоторые приложения функционального
анализа в математической физике.— Л.: ЛГУ, 1950.
[17]	Хал мош П. Конечномерные векторные пространства.—
Мл Физматгиз, 1963.
[18]	Хёрмандер Л. К теории общих дифференциальных опе-
раторов в частных производных.— Мл ИЛ, 1959.
[19]	Хёрмандер Л. Линейные дифференциальные операторы
с частными производными.—Мл Мир, 1965.
206	ЛИТЕРАТУРА	. ч
[20]	Lions J. L. Equations differentielles-operationelles et pro-
blemes aux limites.— Berlin, Springer Verlag, 1961.
[21]	Lorch E. R. Spectral theory.— N. Y.: Oxford Univ. Press,
1962.
II. Статьи
[1]	В иш и к М. И. Об общих краевых задачах для эллиптиче-
N ских дифференциальных уравнении.— Труды Моск. Матем-
Общества, т. 1 (1952), с. 187—246.
[2]	Гротендик А. Теория Фредгольма, сб. «Математика»,
т. 2, № 5 (1958), с. 51—104.
[3]	Д е з и н А. А. Граничные задачи для некоторых симметричных
линейных систем первого порядка.— Матемам. сб., т. 49 (91)
' № 3 (1959), с. 459—484.
[4]	Дезин А. А. Теоремы существования и единственности
решений граничных задач для уравнении с частными произ-
водными в функциональных пространствах.— УМН, т. 14,
№ 3 (1959), с. 21—73.
[5]	Д е з и н А. А. Простейшие разрешаемые расширения для уль-
- трагиперболического и псевдопараболического операторов.—
Докл. АН СССР, т. 148, № 5 (1963), с. 1013—1016.
[6]	Д е з и н А. А. Операторы с первой производной по «времени»
и нелокальные граничные условия.— Изв. АН СССР, сер.
матем., т. 31, № 1 (1967), с. 61—86.
[7]	ДикополовГ. В., Шилов Г. Е. О корректных задачах
для уравнений в частных производных в полупространстве.—
Изв. Ан СССР, cej>. матем., т. 24, № 4 (1960), с. 369—380.
[8]	Дубинский Ю.А. О некоторых дифференциально-опера-
торных уравнениях произвольного порядка.— Матем. сб., т. 90
(132), № 1 (1973), с. 3—22.
[9]	Л е р е Ж. Собственные значения и собственные векторы вполне
непрерывного эндоморфизма векторного пространства с выпук-
лыми окрестностями.— Сб. «Математика», т. 4, №5 (I960),
с. 73—83.
[10]	М а м я н А. X. Построение разрешимых расширений в парал-
лелепипеде для линейных дифференциальных рператоров с по-
стоянными коэффициентами.— Дифференциальные уравнения,
т. 6, № 2 (1970), с. 358 —370.
[11]	Михайлов В. П. О базисах Рисса в L2 (0, 1).— Докл,
АН СССР, т. 144, № 5 (1962), с. 981-984.	,
d™
[12]	Р о м а н к о В. К. К теории операторов вида — А.—
Дифференциальные уравнения, т. 3, № 11 (1967), с. 1957—
1970.
[13]	Р ома нк о В. К. Однозначная разрешимость граничных
задач для некоторых дифференциально-операторных урав-
, нений.— Дифференциальные уравнения, т. 13, № 2 (1977),
с. 324—335. .
[14]	Р о ма нко В. К. 6 граничных задачах для дифференци-
альных уравнений, не разрешенных относительно старшей
ЛИТЕРАТУРА
207
производной.—Док л. АН СССР, т. 235, №5 (1977), с. 1030—
1033.
[15]	Себаштьян-и-Силва Ж. О некоторых классах локально
выпуклых пространств, важных в приложениях.— Сб. «Мате-
матика», т. 1, № 1 (1957), с. 60—77.
[16J Себаштьян-и-Силва Ж. О символическом исчислении
перестановочных операторов с пустым или ^неорганиченным.
спектром.— Сб. «Математика», т. 8, № 13 (1§64)? с. ЭД—79.
[17]	Хёрмандер Л. Дифференциальные операторы главного
типа.—Сб. «Математика», т. 5, №5 (1961), с. 89—114.
[18]	F г е i d г i с h s К. О. The identity of weak and strong exten-
sions of differential operators.— Trans. Amer. Math. .Soc.,
t. 55 (1944), p. 132—151.
[19]	HormanderL. Weak and strong extensions of differential
operators.— Commun. Pure Apnl. Math., t. 14 (1961), p. 371—
379.
[20]	Lax P. D., Phillips R. S. Local boundary conditions
for dissipative symmetric linear differential operators. — Com-
mun. Pure Appl. Math., t. 13 (1960), p. 427—455.
Литература к дополнению
[1]	Д e з и н А. А. О некоторых системах уравнений, содержащих
малый параметр.—Матем. сб., т. 111 (153), № 3 (1980),
/с. 323-333.
[2]	Кочин Н. Е., К и б е л ь И. А., Р о з е Н. В. Теоретиче-
ская гидромеханика.— М.: Физматгиз, 1963.
[3]	В и ш и к М. И., ЛюстерникЛ. А. Регулярное вырож-
дение и пограничный слой для линейных дифференциальных
уравнений с малым параметром.— УМН, т. XII, № 5 (1957),
с. 3—122.
[4]	Р о м а н к о В. К. Граничные задачи для одного класса диф-
ференциальных операторов.—Дифференциальные уравнения,
т. 10, № 1 (1974), с. 117—131.
Алексей Алексеевич Дезин
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
М., 1980 г., 208 стр.
Редактор В. В. Абгарян
Техн, редактор Е. В. Морозова
Корректор О. М. Кривенко
ИБ № 1163£
Сдано в набор 18.02.80. Подписано к печати 15.07.80.
Т-13088. Бумага 84Х1081/32, тип. №1. Обыкновенная гар-
нитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 10,92. Уч.-изд. л.
10,7. Тираж 5800 экз. Заказ № 2967. Цена книги 1 р. 30 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
12-я типография издательства «Наука»,
121099, Москва, Г-99, Шубивский пер., 10