С.А.Тынянкин
Зелёная Лошадь,
VUSM,
Лекции
по
Тригонометрии
для школьников старших классов
и студентов нематематических
специальностей
высших и средних специальных
учебных заведений.
Издание второе,
лучше первого.
Волгоград - 2009

ББК22.11
Т93
УДК51
Тынянкин Сергей Александрович
Т93 Зелёная Лошадь, или Лекции по тригонометрии
для школьников старших классов и студентов
нематематических специальностей высших и
средних специальных учебных заведений.
Курс лекций предназначен для школьников старших классов
средней школы и студентов. В Курсе изложены основные понятия
тригонометрии, выведено большое количество формул и приведены
примеры. Особое внимание уделено обратным тригонометрическим
функциям. В конце книги приведены справочные сведения.
© Тынянкин С.А., 2009.

Оглавление
3
Оглавление
Оглавление.	3
Предисловие.	6
Немного об обозначениях.	7
Распределение содержания лекций по уровням.	7
Глава 1. Измерение углов.	8
1.1.	Радианная мера угла.	8
1.2.	Величины некоторых углов.	10
1.3.	Связь мехду градусной и радианной мерами угла.	11
Глава 2. Основные понятия тригонометрии.
2.1.	Тригонометрический круг.
2.2.	Определение тригонометрических функций.
Глава 3. Воспоминания о свойствах функций.
3.0.	Кванторы.
3.1.	Область определения. Область значений.
3.2.	Понятие чётности и нечётности функций.
3.3.	Понятие периодичности функций.
3.4.	Возрастание и убывание функций.
3.5.	Понятие экстремума функции.
3.6.	Великий Принцип Зелёной Лошади.
3.7.	Примеры.
Глава 4. Свойства тригонометрических функций.	25
4.1.	Чётность и нечётность.	25
4.2.	Периодичность.	27
4.3.	Область значений тригонометрических функций.	30
4.4.	Знаки тригонометрических функций.	37
4.5.	Интервалы возрастания и убывания
тригонометрических функций. Максимумы и минимумы. 38
4.6.	Графики тригонометрических функций.	42
Глава 5. Тригонометрические тождества. 50
5.0.	Значения тригонометрических функций
некоторых аргументов. Часть 1.	50
5.1.	Основные тригонометрические тождества.	51
5.1.1.	Тригонометрическая единица.	51
5.1.2.	Формулы сложения.	51
5.1.3.	Функции двойного аргумента.	56
5.1.4.	Функции тройного аргумента.	57
5.1.5.	Формулы понижения степени. Часть 1.	59
5.1.6.	Выражение s/n(а) и cos(a) через tg\-^-1. 60
12
12
13
17
17
17
18
19
20
21
22
22

4
Оглавление
5.1.7.	Выражение	и СМ“^"
через sin[a) и cos(a).	62
5.1.8.	Преобразование произведений
тригонометрических функций в суммы.	63
5.1.9.	Преобразование сумм тригонометрических
функций в произведения.	64
5.1.10.	Формулы без названия. Часть 1.	66
5.1.11.	Формулы понижения степени. Часть 2.	67
5.1.12.	Формулы без названия. Часть 2.	68
5.2.	Зависимости между тригонометрическими
функциями одного и того же аргумента.	69
5.3.	Формулы приведения.	71
5.4.	Значения тригонометрических функций
некоторых аргументов. Часть 2.	75
5.5.	Преобразование выражений вида
Р(a) = a*cos[а) + b*sin(a).	77
5.6.	Значения тригонометрических функций
некоторых аргументов. Часть 3.	80
5.7.	Первое Пояснение о вычислениях в радикалах
функций других аргументов.	87
5.8.	Второе Пояснение о вычислениях в радикалах
функций других аргументов.	88
Глава 6. Обратные тригонометрические функции.	90
6.0.	Некоторые рассуждения об обратных функциях.	90
6.1.	Обратные тригонометрические функции: определения.	92
6.2.	Обратные тригонометрические функции:
необходимые и принципиальные пояснения.	94
6.3.	Функции у(х) =arcsin(x); у(х) = arccos(x);
у(х) = arctg(x); у(х) = arcctg(x).	95
6.3.1.	Функциональные свойства функций
у(х) = arcsin(x); у(х) = arccos(x);
у(х) = arctg(x); у(х) = arcctg(x).	97
6.3.2.	Алгебраические свойства функций
у(х) = arcsin(x); у(х) = arccos(x);
у(х) = arctg(x); у(х) = arcctg(x).	99
Глава 7. Решение основных тригонометрических уравнений. 110
7.0.	Основные пояснения.	110
7.1.	Решение уравнения sin(x) = а.	110
7.1.1.	Решение уравнения sin2(x) = а2 .	112
7.2.	Решение уравнения cos(x) = а.	113

Оглавление
5
7.2.1.	Решение уравнения cos2(x) = а2 .	113
7.3.	Решение уравнения tg(x) = а.	114
7.3.1.	Решение уравнения tg2(x) = а2 .	115
7.4.	Решение уравнения ctg(x) = а.	116
7.4.1.	Решение уравнения ctg2(x) = а2 .	116
7.5.	Замечание о тангенсах и котангенсах.	117
7.6.	Решение уравнения a*cos(x) + b*sin(x)	= с . 118
7.7.	Примеры.	120
Глава 8. Тригонометрия и геометрия.	124
8.0.	Предварительные рассуждения.	124
8.1.	Подобие треугольников и связи между
сторонами и углами треугольников.	126
Глава 9. Решение основных
тригонометрических неравенств.	128
9.0.	Предварительные замечания.	128
9.1.	Решение неравенства s/'n(x) > а.	128
9.2.	Решение неравенства cos(x) < а.	129
9.3.	Решение неравенства tg(x) > а.	131
9.4.	Решение неравенства ctg(x) < а .	132
9.4.1.	Решение неравенства ctg(x) > а. 132
9.5.	Решение неравенства sin2(x) > а2 .	133
9.6.	Решение неравенства cos2(x) < а2 .	134
9.7.	Решение неравенства tg2(x) > а2 .	134
9.8.	Решение неравенства ctg2(x) < а2 .	135
9.9.	Две немного более сложные задачи.	136
9.10.	Размышление о Бесконечности.	137
Глава 10. Тригонометрия и комплексные числа. 138
10.0.	Предварительные замечания.	138
10.1.	Тригонометрическая форма записи числа.	138
10.1.1.	Формулы Муавра - Лапласа.	141
10.2.	Извлечение корня целой степени из числа.	143
10.3.	Вычисление функций кратных аргументов.	145
10.4.	Замечание.	146
10.5.	Примеры.	147
10.6.	Заключительный вздох.	149
Глава 11. Итоги. Справочные сведения. 150
11.1.	Тригонометрические функции.	150
11.2.	Обратные тригонометрические функции.	158
11.3.	Тригонометрические функции некоторых аргументов. 159

6
Предисловие
Предисловие.
Этот Курс лекций написан на основе лекций по тригонометрии, читавшихся
мной школьникам в течение нескольких лет. Основная цель этого Курса - сообщить
учащимся знания, поэтому я не придерживаюсь никакой официальной программы,
рождённой Министерством образования. Здесь я излагаю то, что считаю необходи¬
мым знать хорошему школьнику для возможности получения в дальнейшем хорошего
образования в хорошем высшем учебном заведении и для возможности заниматься
деятельностью, имеющей творческий характер.
Тригонометрия необъятна, и утонуть в этом Океане очень легко. Для успеш¬
ного написания курса лекций очень полезно вовремя задать себе некоторые рамки,
выход за которые нежелателен: может получиться нечто весьма бесформенное, ме¬
дузообразное, не имеющее выраженной цели, и в целом на редкость бестолковое.
Поэтому я старался изложить только основные идеи, усвоение которых позволит
решать достаточно сложные задачи и изучать более высокие разделы математики,
использующие тригонометрию. Одна из целей Курса - повышение математической
культуры учащихся, и я старался излагать материал, не забывая про это. Поэтому
изложение ведётся на строго классической основе; я старался не пускать науко¬
подобную пыль в глаза учащимся, забивая их головы умными названиями. Текст на¬
писан именно в формате лекций, но не в формате учебника: он более подробен,
чем учебник, некоторые места логических линий излагаются детальней, чем это
должно быть в учебнике.
Курс не рассчитан на самостоятельное изучение, и в нём не показана техни¬
ка решения задач: это должно быть сделано в другом Курсе. Курс предназначен
ВСЕМ учащимся средних школ. Изложение получилось достаточно объёмным, и для
лучшего освоения Курса изучение его возможно многоступенчатым; наличие трёх
уровней здесь представляется более или менее оправданным. Распределение мате¬
риала Курса на три уровня показано на отдельной странице. Предполагается, что
учащиеся, желающие освоить науку сию, могут в процессе изучения углубляться в
неё, постигая последовательно материал по предложенным этапам.
Второе издание Курса несколько расширено: добавлена Глава 10 «Тригономет¬
рия и комплексные числа» и увеличено количество формул в справочной Главе 11.
Кроме того, Оглавление сделано более подробным. Во втором издании исправлены
замеченные ошибки и опечатки, злодейски приникшие в первое издание.
Я желаю всем учащимся уверенности, спокойствия, знаний, отличного на¬
строения: перед изучением этих лекций, во время изучения и всегда.

Распределение содержания лекций по уровням.
7
Немного об обозначениях.
При записи решений тригонометрических уравнений я нигде не употребляю
теоретико-множественных форм записи. Такие записи здесь неоправданны, и к тому
же, например, обозначение множества целых чисел буквой Z не является в матема¬
тике общепринятым. Всюду, где это требуется, употребляется указание на пере¬
менную, значение которой находится, и на тип числа, являющегося параметром в
записи решения. Например, вместо очень модной, но тяжеловесной записи:
{я-л; п g Z} , из которой неясно, какая неизвестная величина равна пп , и что
такое Z , пишется вполне хорошо читаемая запись: «х= пг\; п - целое», из ко¬
торой ясно, что есть где, и кому есть куда.
Формулы в тексте обозначаются, как правило, буквами русского алфавита
справа от формулы. Обозначения сокращены, то есть не указывается раздел, в ко¬
тором находится формула. Это означает, что при ссылке, например, на формулу
(А) имеется в виду формула, ближайшая к ссылке вверх по тексту.
Распределение содержания лекций
по уровням.
Здесь даётся распределение материала Лекций по предполагаемым уровням
изучения. Указание на какой-либо пункт Лекций означает указание на все под¬
пункты, которые этот пункт содержит. Например, запись: Гл.1 означает, что име¬
ется в виду весь материал Главы 1.
Уровень I, основной: Гл.1; Гл.2; Гл.З; п.п. 4.1 - 4.2; 4.3.1 - 4.3.2; 4.4;
4.6.1 - 4.6.4; 5.0 - 5.4; 6.0 - 6.2; 7.0 - 7.5.
Уровень II, повышенный: П.п.: 4.3.3; 4.5; 4.6.5; 4.6.6; 5.5; 5.6; 6.3; 7.6.
Уровень III, слегка углублённый: П.п.: 5.7; 5.8; Гл.8; Гл.9, Гл.10.

8
Глава 1. измерение углов.
Глава 1. Измерение углов.
1.1.	Радианная мера угла.
Основное понятие тригонометрии - угол. П6-
этому определение единицы измерения углов - это
то, с чего надо начинать...
Определение 1.1. Пусть на плоскости имеется неко¬
торый угол. Строится окружность произвольного
радиуса, равного R, и центр этой окружности по¬
мещается в вершину угла. Измеряется L - длина
дуги, отсекаемая сторонами угла на окружности.
L
Величина а = — принимается в качестве меры
угла и называется радианной мерой угла. Угол,
для которого — = 1 , то есть L = R , называется
R
углом в 1 радиан.
1.1.0.	Историческая справка о градусной мере угла
и об исчислении времени.
В инженерных задачах, в разного рода технических и тому подобных приложе¬
ниях встречается так называемая градусная мера угла. Единицей угла считается
—— часть развёрнутого угла, и эта единица называется градусом. Эта мера угла
1 80
удобна инженерам, капитанам, геодезистам, и прочим весьма достойным людям, од¬
нако неудобна математикам. Исторически градусная мера угла возникла на основе
смешанной десятично-шестидесятеричной системы счисления, существовавшей ещё в
древнем Вавилоне. Бумаги в те времена не было, и граждане древнего Вавилона
(они не знали, конечно, что их Вавилон - древний...) пользовались глиняными
табличками, на которых наносились надписи клинописным шрифтом: это был единст¬
венно удобный способ наносить и хранить информацию на таких носителях. Таблич¬
ки имели размеры примерно от 10x15 см и более. Эти таблички после записи ин¬
формации обжигались в печах, и могли храниться практически неограниченное вре¬
мя. Поэтому табличек этих найдено величайшее множество, и они имеются во мно¬
гих музеях. Часть надписей удалось расшифровать. Выводы, сделанные на основе
полученной информации, были в значительной степени косвенными: таблички не
имели учебного назначения. Но всё же на основе расшифрованной информации уда¬
лось сделать более или менее достоверные выводы о существовавшей тогда матема¬
тике. Десятично-шестидесятеричная система счисления имеет, по всей видимости,
два источника: астрономический и чисто геометрический.
Астрономический источник состоял в том, что вавилонцы на основе многове¬
ковых наблюдений знали: продолжительность цикла смены времён года равна 365

Глава t. измерение углов.
9
дням. Это число близко в 360. Число 360 очень хорошо для математиков: оно де¬
лится на многие целые числа, и потому его удобно взять за основу счисления.
Поэтому по всей видимости календарь вавилонцев имел в основе 360 дней.
Вторая причина: геометрическая и вполне жизненная.
Представим себе менеджера тех времён, который управляет работой, напри¬
мер, крестьян в поле, или рабочих на постройке некоторой Башни. Вспомним при
этом, что часов в те времена не существовало, кроме солнечных, технология из¬
готовления которых проще, чем технология изготовления процессора «Пентиум». И
вот этот Менеджер Древнего Вавилона (МДВ) должен указать своим подчинённым,
сколько времени им предстоит сегодня работать, в какое время им будет достав¬
лен обед, продолжительность обеденного перерыва, и так далее. МДВ располагает
простейшим прибором: циркулем с шагом, сравнимым с размерами самого МДВ: так
проще всего пользоваться прибором, отмерять расстояния на поле, и т.д. МДВ
изображает на поле окружность и строит своим циркулем правильный шестиуголь¬
ник: ему известно, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу опи¬
санной около шестиугольника окружности, поэтому построение выполняется очень
легко. Если отметить радиусы окружности, проведённые в вершины шестиугольника,
и воткнуть, говоря научным языком, штырь в центр окружности, то, очевидно, по¬
лучатся солнечные часы, деление которых окажется равным одной шестой части су¬
ток, то есть 4 часам. Это по понятным причинам слишком большой промежуток вре¬
мени для бытовых целей. Поэтому МДВ строит биссектрисы угров: имеющимся цирку¬
лем и простейшей линейкой это тоже сделать легко, даже если требуется провести
биссектрисы точно, не «на глазок». МДВ получает углы, соответствующие проме¬
жуткам времени, равным 2 часа, а потом в случае необходимости строит биссек¬
трисы построенных углов и получает углы, соответствующие промежуткам времени,
равным 1 час, что уже вполне приемлемо для его целей. Затем он говорит (по
древневавилонски!!!), что вот когда тень от штыря совпадёт вот с этим радиу¬
сом, то наступит время обеда, а вот когда тень от штыря... и так далее.
Отсюда и произошло имеющееся сейчас исчисление времени суток и отсюда же
произошла градусная мера угла. Деление часа на 60 минут и минуты на 60 секунд
имеет своим истоком также математику Вавилона. Более мелкое деление часа не¬
удобно по технологическим причинам, в том числе из-за' трудностей изготовления
точных песочных часов, более крупное деление неудобно по причинам бытовым. Де¬
ление полного угла на 360 частей также сложилось исторически и из многих воз¬
можных вариантов представляется наиболее удобным.
Однако по причинам, связанным с математическим анализом такое деление уг¬
ла неудобно, выглядит искусственно, и для математиков по многочисленным причи¬
нам неприемлемо.
Поэтому
\
/
в Математике градусной
меры угла
НЕТ
/
\

10
Глава 1. измерение углов.
Кстати,
Анекдот в тему: Студент отвечает на экзамене по химии свойства воды: «Ну...
профессор... вода - это бесцветная прозрачная жидкость... плотность её... ко¬
эффициент преломления... вязкость... температура кипения при нормальных усло¬
виях 90 градусов... « - «Позвольте, голубчик, но ведь вода кипит при 100 гра¬
дусах!!!» - «Ой, профессор, извините! Это я спутал с прямым углом!!!...»
1.2.	Величины некоторых углов.
Прежде чем измерять тот или иной угол, логично прежде всего ответить на
вопрос: если построить окружность с центром в его вершине, то что окажется ду¬
гой угла? После этого измерение угла выполняется согласно Определению 1.1, то
есть длина этой дуги делится на соответствующий радиус.
Начинаем с полного угла. Его дугой является вся окружность. Пусть радиус
окружности равен R; тогда длина окружности: L = 2nR . Получаем величину пол-
L 2nR 0
ного угла:	а = — = 	 = 2/г .
R R
Замечание об измерении длины дуги окружности и о числе п\ здесь наша задача -
только измерить длину дуги и разделить эту длину на радиус окружности. Это оз¬
начает, что мы не должны задумываться о том, что такое длина кривой линии, как
измеряется эта длина, и так далее. Таким образом, мы полагаем здесь, что нам
известно, что такое длина кривой линии, и известен способ измерения длины дуги
окружности. Кроме того, полагаем известным, что отношение длины окружности к
длине её диаметра равно некоторому числу, обозначаемому греческой буквой п.
историческая справка: Обозначение отношения длины окружности к длине её диаметра
буквой я стало общепринятым после опубликования работ Л.Эйлера в 1730 - 1740
годах.
(1б^\
Древние египтяне полагали ;г = 1 — * 3,1605. Архимед, живший в 287 -
10 1
212 гг. до Н.Э., показал, что 3 + — < я < 3 + — . Существует понятие «китай-
77	7
ское число»: это приближённое значение числа к с точностью до 7-го десятичного
355
знака: ж » . Это приближение открыто китайским математиком Цзу Чуй Чжи в
V веке. Вычисление большого количества десятичных знаков для числа к практиче¬
ского и особого теоретического интереса не представляет; это вычисление выпол¬
няется на современных компьютерах весьма быстро и за несколько минут позволяет
получить тысячи десятичных знаков.
Французский математик А.Лежандр и немецкий математик 0.Ламберт доказали в
конце 18 века, что число п является иррациональным. В конце 19 века немецкий
математик Ф.Линдеман доказал, что число п является трансцендентным, то есть не
может быть корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффици¬
ентами. IS

Глаба t. измерение углоб.
11
История - весьма поучительная и интересная наука, однако продолжаем.
Развёрнутый угол, обозначим его р, равен половине полного: /? = -j = п .
Прямой угол, обозначаемый иногда буквой d (direct - «прямой» по латыни...)/
Обозначение: Если мера угла не укаэанаг-то подразумевается, что угол меряется в
радианах. Например, если написано, что угол равен 5, то имеется в виду, что он
равен именно 5 радиан, и ничего другого. Если тем не менее необходимо указать
на радианную меру, то употребляется обозначение «рад» без точки: 5 рад . Обо¬
значение « 5р « указывает сумму в рублях.
1.3.	Свядь между градусной и радианной мерами угла.
При том, что градусная мера угла математикам не нужна и даже мешает им,
всё же для прикладных це^ей необходимо иметь равенство, связывающее градусную
и общепринятую, то есть радианную меру угла. Это равенство находится очень
просто: записывается величина одного и того же угла в разных единицах; в рас¬
сматриваемом случае в градусах и в радианах. Весьма удобно сделать это для
развёрнутого угла:	л рад = 180°.	(1.1)
Далее делим равенство (1.1) на п\
Делим равенство (1.1) на 180 и для удобства записываем полученное равенство в
противоположном порядке:
1° = — рад * 0,01745329251994 рад .
180
Замечание: Ещё раз напоминаем сами себе, что при использовании градусной меры
угла указание на такую меру, то есть знак 0 , обязательно. При его отсутствии
угол считается измеренным в радианах.@
Р к
равен половине развернутого:d = — = —

12
Глаба 2. Оснобные понятия тригонометрии.
Глава 2. Основные понятия
тригонометрии.
2.1.	Тригонометрический круг.
Дальнейшие рассмотрения будем
проводить на координатной плоскости.
Полезно здесь вспомнить, что такое ось
абсцисс, ось ординат, абсцисса, орди¬
ната точки, начало координат, положи¬
тельное и отрицательное направления
осей координат, и все смежные понятия.
Заодно не мешает вспомнить, что такое
окружность, радиус окружности, центр
окружности...
Определение 2.1: Окружность, радиус ко¬
торой равен 7, и центр которой совпа¬
дает с началом координат на координат¬
ной плоскости, называется тригономет¬
рическим кругом. Угол на координатную плоскость помещается так, что вершина
его совпадает с началом координат, и одна из сторон, называемая первой сторо¬
ной^ совпадает с положительной полуосью абсцисс. Если при этом вторая сторона
угла' получена вращением первой стороны в направлении против часовой стрелки,
то угол считается положительным. Если вторая сторона угла получена вращением
первой стороны в направлении по часовой стрелке, то угол считается отрицатель¬
ным.
Принципиальное пояснение: Это Определение означает, в частности, что «сама по
себе» окружность, описанная в Определении, без построенного на плоскости ука¬
занным образом угла не есть в полной мере тригонометрический круг. Определяе¬
мая конструкция тогда «обретёт жизненную силу», то есть тогда может рассматри¬
ваться как тригонометрический круг в соответствии с Определением, когда на ко¬
ординатной плоскости вместе с кругом помещён указанным образом угол.
Филологическая тонкость: Строго говоря, здесь следует употреблять термин «три¬
гонометрическая окружность», поскольку Определение имеет дело именно с окруж¬
ностью, но не с кругом. Однако термин «тригонометрический круг», являющийся в
точном смысле неправильным, устоялся, прижился, математики его приняли, так
что пусть будет...!
Пояснение 1. Из Определения 2.1 следует, что фраза «имеется угол на координат¬
ной плоскости», и тому подобные, означает, что имеется в виду угол, располо¬
женный на координатной плоскости именно так, как указано в Определении 2.1.
Иное расположение угла должно быть оговорено специально.
Пояснение 2. Если при построении угла не указано, как именно получена вторая
его сторона, то определить величину угла и даже его знак невозможно. На рисун¬
ке 2.1 изображён угол, дуга которого отмечена буквой а. Из рисунка невозможно
определить, в какую сторону вращалась вторая сторона ОА угла, и сколько обо¬

Глаба 2. Осио8ныа понятия тригонометрии.
13
ротов она сделала при вращении.
Пояснение 3. Из предыдущих Пояснений следует, что в необходимых случаях следует
указывать, в какую сторону и на сколько именно вращалась вторая сторона угла
для получения необходимого угла.
ВаЖное Замечание: Из Определения 2.1 и из Пояснений 1, 2, 3 следует, что углы,
вторые стороны которых совпадают, но стороны эти получены вращением первой
стороны на разное количество полных оборотов или в разных направлениях, конеч¬
но, не равны между собой. Например, углы а = 2 , р = 2 + 4я , у = 2 - 8 я все
РАЗЛИЧНЫ]!! Это - совсем разные углы, и для таких случаев придуман термин:
«углы оканчиваются в одном месте координатной плоскости». Указанные здесь углы
\
/
ОКАНЧИВАЮТСЯ В ОДНОМ
МЕСТЕ КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ,
но
НЕ РАВНЫ МЕЖДУ СОБОЙ !■!
/
\
Мы ведь не говорим, что числа а - 2 , р - 2 + 4 я , у = 2 - 8я равны между
собой. Это - разные числа, и они равны величинам РАЗЛИЧНЫХ углов.0
2.2.	Определение тригонометрических функций.
Пусть имеется некоторое число а. Построим на координатной плоскости
угол, равный а.
Пояснение: Вполне можно было бы сказать
так: «Пусть имеется угол в тригономет¬
рическом круге...» Напоминаем сами се¬
бе, что угол строится на координатной
плоскости так, как указано в Определе¬
нии 2.1. Однако в дальнейшем нам
придётся иметь дело с функциями, аргу¬
ментами которых являются числа. Поэтому
мы сразу идём не от угла к числу, а от
числа к углу, тем более что такой под¬
ход в математике общепринят. 0
Так вот, пусть <на координатной
плоскости построен угол, равный задан¬
ному числу а; этот угол имеет смысл
обозначить той же буквой а. Обозначим
также точку пересечения второй стороны
угла с окружностью буквой А; основания
С
\
\ 1
1 S
0 /
Рис.2.2.
Определение
тригонометрических функций.

14
ГлаВа 2. ОсиоВиые понятия тригонометрии.
перпендикуляров, опущенных из точки А на оси координат обозначим буквами В и
С, как показано на рис.2.2.
Пояснение: На чертеже только лишь для примера показана дуга угла а как положи¬
тельного угла, меньшего полного. Для изложения дальнейших Определений это не-
Определение 2.2: Ордината точки А называется синусом числа а и обозначается;
ОС = sin(a) .
Определение 2.3: Абсцисса точки А называется косинусом числа а, и обозначается:
ОБ = cos(a).
Пояснение 1: Здесь, обратите внимание, длины отрезков записываются без знака
| |. Это означает, что мы имеем дело не с длиной отрезка, которая неотрица¬
тельна, но с длиной отрезка с учётом знака. Имеййо, если одна точка отрезка
совпадает с началом координат, а вторая лежит на положительной полуоси абс¬
цисс, то отрезок считается положительным, и так далее. Например, на рис.2.2
отрезок ОБ отрицателен, отрезок ОС положителен.0
Из Определений 2.2 и 2.3 следует, что величины «синус» и «косинус» имеют
размерности длины, то есть измеряются единицами длины, поскольку правые части
равенств в этих Определениях имеют размерности длины. Однако следует учиты¬
вать, что радиус тригонометрического круга не случайно выбран равным 1: на
число 1 проще всего делить. То есть если бы радиус тригонометрического круга
был бы выбран равным какому-то числу R, то для сохранения согласованности
всех определений в тригонометрии определения тригонометрических функций следо¬
вало бы давать несколько иначе. Например, так: синусом числа называется отно¬
шение соответствующей ординаты (здесь указывается, какая именно ордината име¬
ется в виду...) к радиусу; косинусом угла называется отношение соответствующей
абсциссы к радиусу, и так далее. Это здесь очень неудобно, хотя и существенно
используется в геометрии. Поэтому равенства в Определениях 2.2. 2.3 можно за-
и тогда левые части равенств окажутся безразмерными величинами. В Определениях
2.2 и 2.3 подразумевается, что в левой чадти в знаменателе стоит размерное
число 1, равное радиусу окружности, и тем самым деление на радиус, равный 1,
обезразмеривает (словечко какое!!!) значение синуса и косинуса. Таким образом,
синус, косинус и все последующие тригонометрические функции - величины безраз¬
мерные. ш
существенно. 0
2.2.0.	Важное Пояснение о размерности:
писать так:

Глаба 2. ОсиоВиые понятия тригонометрии.
15
л	.	sin(a)
Определение 2.4: Отношение —называется тангенсом числа а и обозначается
софт)
так:
Sll
in(a)
ся:
cos(a)
называ
cos(a)
л	Л i-	costa)
Определение 2.5: Отношение . 4 у называется котангенсом числа а и обозначает-
= ctg(a).
sin(a)
= sec(a).
Определение 2.6: Величина 	— называется секансом числа а и обозначается:
cos(a)
со;
•8(a)
Определение 2.7: Величина —— называется косекансом числа а и обозначается:
sin[a)
= csc(a) •
sin[a) v >
Замечание: В некоторых книгах ранних изданий встречается такое обозначение ко¬
секанса: cosec(tf) .
Пояснение для хорошего запоминания: Чтобы не путать, какая ИЗ двух величин назы¬
вается секансом, а какая - косекансом, следует запомнить, что в равенствах,
определяющих секанс и косеканс, приставка «ко» ровно одна: если она присутст¬
вует в левой части равенства, то её нет в правой части, и наоборот, если она
присутствует в правой части равенства, то её нет в левой части.
Замечание: Функция «котангенс» употребляется математиками не слишком часто; по
7
возможности делается замена ctg(a) =—г—г. Функции «секанс» и «косеканс»
tg(a)
употребляются ещё реже; чаще всего в тех случаях, когда по техническим причи¬
нам, например, из-за отсутствия места по высоте строки, нецелесообразно много
раз писать одну и ту же дробь, и тому подобным. Употребление записей —
sin(a)
1
и 	— в таких случаях перегружает выражение, и потому нежелательно. Матв¬
еева)
матики работают, как правило, с функциями «синус» и «косинус», заменяя в запи¬
сях секанс и косеканс согласно Определениям 2.6 и 2.7.
ВаЖнОв Пояснение О Скобках? В этих лекциях, как уже замечено читате¬
лями, все аргументы функций заключены в скобки. Как правило, в этом нет необ¬
ходимости, и математическая традиция не предполагает здесь обязательность ско¬
бок. / Но всё же... Запись аргументов функций в скобках более строга, более
«математична», поскольку позволяет визуально легко отделить название функции

16
Глаба 1. ОсиоВиые понятия тригонометрии.
от выражения для аргумента. Опыт показывает, что запись аргументов функций в
скобках порождает гораздо меньше ошибок у учащихся, и не только у них, и
позволяет избежать неясностей в восприятии. Неаккуратность записей может при¬
вести к печальным последствиям. Например, запись sin5x + 3 может учащимся
рассматриваться как угодно: как запись sin(5)*x + 3 , как запись sin(5x) + 3,
как запись sin(5x + 3), и при наличии фантазии и спешки ещё как-либо. Запись
sin(5x + 3) сомнений не вызывает, и заодно приучает учащихся к порядку в запи¬
сях. Кроме того, при записи компьютерных программ запись аргументов функций в ■
скобках обязательна, так что уж привыкать к порядку - так во всём!
Пояснение О числах U углах: Весьма полезно обратить внимание на логическую схему,
по которой определяются тригонометрические функции. Итак:
1.	Выбирается какое-либо число.
2.	Строится угол, величина которого равна этому числу.
3.	Определяются с привлечением геометрических иллюстраций и понятий тригоно¬
метрические функции этого угла. Получается, что угол - это что-то вроде неко¬
торого «промежуточного носителя» идеи. Так оно и есть: идея состоит в том, что
тригонометрические функции -
это функции ЧИСЛА,
но для их определения и
изучения их свойств
привлекается ПОНЯТИЕ УГЛА.
У
Ну, а если так, то теперь следует приступить к изучению свойств тригонометри¬
ческих функций.... И вспомнить некоторые основные понятия.

Глаба 3. Воспоминания о сВойстВах функций.
17
Глава 3. Воспоминания
о свойствах функций.
3.0.	Кванторы.
Знак V называется квантором общности и читается так: «для любого». За¬
пись Vx читается так: «для любого х».
Пояснение: Квантор общности НЕЛЬЗЯ употреблять там, где надо сказать,
например, так: « х - любое «. Этот квантор употребляется только тогда, когда
надо указать, что для любого х выполняется какое-либо условие. Двоеточие по¬
сле величины, для которой употребляется квантор общности, читается так: «тако¬
го, что», «такой, что», и т.п. Например, запись: Vz: ) < z < 7 читается так:
«Для любого z такого, что 1 < z <7 ...* Если требуется указать, например, что
z - любое число, то следует именно так и писать: «z - любое», и здесь запись
Vz недопустима.
Знак 3 называется квантором существования и читается так: «существует».
Например, запись: Vs > 0 3 8 > 0: читается так: «для любого е> 0 существует
8 > 0 такое, что...»
Пара знаков 3! читается так: существует и единственное». Эта запись
употребляется редко.
Кванторы V, 3, 3! общеприняты. Это означает, что их смысл не надо каждый
раз разъяснять в тексте, и они известны не только, к примеру, математикам в
Волгограде, но и аборигенам Новой Зеландии и даже заведующему ОблОНО.
3.0.1. Пояснение об определении того,
что такое функция.
Здесь мы будем использовать функциональные понятия, но пока не дадим оп¬
ределения того, что такое функция: предполагаем, что для целей этого раздела
читателям достаточно их предварительных знаний, и не будем поэтому загромож¬
дать конспект, который и так получается достаточно объёмным. Определение, того,
что такое функция, даётся в Главе 6. Такое расположение материала не вполне
логично, но представляется более удобным с точки зрения изложения. Желающим
никто не запрещает посетить сейчас Главу 6.
3.1.	Область определения. Область значений.
Определение 3.1: Множество значений аргумента, для которых функция определена,
то есть мохет быть вычислена, называется областью определения функции.
Примечание 0 СМЫСЛе: Некоторыми гражданами и~в некоторых учебниках употребляет¬
ся термин «функция имеет смысл», «уравнение имеет смысл», и уому подобные бес¬
смысленные термины. Следует заметить, что этот термин сам потому не имеет

18
ГлаВа 3. Воспоминания о еВойстВах функций.
смысла, что неясно, что следует считать имеющим смысл, а что следует считать
не имеющим смысла. Во всяком случае, точно известно, что не имеет смысла это
так называемое среднее образование... это облОНО... это Министерство так назы¬
ваемого образования....
Термина «имеет смысл»
в Математике НЕТ,
to есть зтот термин
не имеет смысла.
Определение 3.2: Множество значений, которые принимает функция, называется мно¬
жеством значений функции.
Замечание 0 масле: Какое-то масло масляное получается... Но мы должны быть фор¬
малистами: должны дать более или менее официальное определение тех объектов, с
которыми имеем дело. Поэтому получилась некоторая тавтология, но ничего не по¬
делаешь: аккуратность есть аккуратность...
3.2.	Понятие чётности и нечётности функции.
Определение 3.3: Функция у ■= /'(х) называется чётной, если для всякого х из об¬
ласти её определения выполняется равенство f(-x) = f(x).
Определение 3.4: Функция у = f(x) называется нечётной, если для всякого х из
области её определения выполнятся равенство f(-x) = -f(x) .
Определение 3.5: Функция, не являющаяся ни чётной, ни нечётной, называется
функцией общего вида.
Небольшое размышление: Хорошо бы повторить по учебнику русского языка, в каких
случаях пишется «ни», в каких случаях пишется «не»...
ВаЖное замечание об области определения: в некоторых учебниках и на школьных уро¬
ках при оглашении Определений 3.3 и 3.4 добавляется примерно такая конструк¬
ция: «если число х входит в область определения, то число -х также входит в
область определения, и выполняется равенство...» Указание на то, что оба чис¬
ла, х и -х, входят в область определения функции,- совершенно излишне, и
вот почему: если в определении указано, например, что верно равенство
f(-x) = f(x), то это уже означает, что величины f(x) и f(-x) можно вычислить. А
это как раз и означает, что числа х и -х входят в область определения функ¬
ции. Н как два тоже....
Теорема 3.1: Пусть область определения функции у = f(x) такова, что если какое-
либо число х входит в область определения функции, то число -х также входит
в область её определения. Тогда функцию у = f(x) можно записать в виде суммы
чётной и нечётной функций.

ГлаВа 3. Воспоминания о сВоистбах функции.
19
Замечание: В отличие от Определений 3.3 и 3.4, здесь указание на вид области
определения функции необходимо. Если область определения функции у = f(x)' не
имеет вид, указанный в формулировке Теоремы, то равенства из доказательства
Теоремы записать будет невозмохно.
Доказательство: Записываем очевидное равенство:
,(>), 'Н '<(-') , <М -'И, (ЗЛ)
Замечание: Это равенство определено, то есть величины, входящие в него, могут
быть вычислены. Это имеет место потому, что заранее указано, что оба числа, х
и -х , входят в область определения функции.
. ч f(x) + f(-x)	f(x) - f(-x)
Обозначим: P(x) = ■ ■■ v—- ; Q(x) =	v—- .
Очевидно, функция P = P(x) - чётная,
ироническое размышление: Если математику лень что-либо доказывать, или он не
может это сделать - он пишет слово «очевидно». Но мы это докажем!I!IS
. f(-x) + f(x)
Так вот, Р(-х) = ————— = Р[Х), то есть функция Р = Р(х) оказалась
rf_x) _ f(x) -4f(x) - f(-x))
и в самом деле чётной. Далее, Ц-х) = ————— = 					 = -Цх), то
есть функция Q --- 0(х) и в самом деле оказалась нечётной. Равенство (3.1) за¬
писывается так: /‘(х) = Р(х) + 0(х), что и требовалось.
Кстати,
Анекдот В тему: Профессор на лекции по какому-то экзотическому разделу мате¬
матики (например, по сложению столбиком целых чисел...) написал на доске неко¬
торое весьма страшное выражение, затем произнёс: «Из этого равенства весьма
очевидно следует такое равенство:...» - и далее пишет на доске нечто не менее
кошмарное, но совершенно не похожее на предыдущее. Кто-то из студентов гово¬
рит: «Профессор, это совсем не очевидно!!!» Профессор на пару секунд задумыва¬
ется, затем убегает к себе в кабинет, через час приходит уставший, взъерошен¬
ный, испачканный чернилами с головы до кончиков пальцев, и говорит: «Нет, кол¬
лега, Вы были неправы! Это и в самом деле совершенно очевидно!!!»13
3.3.	Понятие периодичности функции.
Определение 3.6: Пусть функция у = f(x) определена на некотором множестве, и
пусть для этой функции существует число Т такое, что Т * 0 , Т не зависит от
х, и дря каждого х из области определения функции выполняется равенство
= f(x + Г). Тогда функция у = f(x) называется периодической, и наименьшее
из всех положительных Т , для которых выполняется условие периодичности, на¬
зывается периодом функции.	N
Пояснение 1: Указание на то, что число Т не зависит от х означает, что число
Т зависит, только от свойств функции у = f(x), и по сути дела и есть часть

20
Глаба 3. Воспоминания о свойствах функции.
СВОЙСТВ этой функции.
Пояснение 2: Аналогично Определениям 3.3 и 3.4 здесь нет требования, чтобы
вместе с числом х в область определения функции входило число х + 7 . Если
указано, что выполняется равенство f(x) = f(x + 7), то это уже означает, что
значение f(x + 7) можно вычислить, та есть число х + 7 входит в область
определения функции.
Пояснение 3: В Определении 3.6 периодом функции названо наименьшее из всех по¬
ложительных 7, для которых выполняется условие периодичности. Такая необходи¬
мость возникает вот почему. Допустим, имеется некоторая периодическая функция.
Это означает, что для всякого значения аргумента выполняется условие периодич¬
ности, в том числе и для значения, равного х + Т, то есть выполняется равен¬
ство f(x + 7) = f(x + 27). Далее, условие периодичности должно выполняться и
для значения аргумента, равного х + 27 , то есть выполняется равенство
f(x + 27) = f(x + 37), и так далее. Двигаемся теперь в другую сторону. Условие
периодичности должно выполняться для значения аргумента, равного х - 7, то
есть должно выполняться равенство f(x - 7) = f(x). Рассуждая аналогично, полу¬
чаем, что должна быть верной бесконечная цепь равенств:
....= f(x - 27) = f(x - 7) = f(x) = f(x + T) = f(x + 27) = f(x + 37) =
Здесь видно, что для периодической функции существует бесконечно много чисел
таких, что каждое из них можно прибавлять к произвольному значению аргумента,
и значение функции не изменится; это - числа, кратные некоторому числу 7.
Здесь можно пойти двумя путями. Путь первый: определить период как любое из
чисел, для которых выполняется определение периодичности, и ввести термин
«наименьший положительный период» с понятным значениям. Получится, что перио¬
дическая функция имеет бесконечно много периодов, и это может вносить некото¬
рую путаницу и излишнюю громоздкость в изложение. Путь второй: объявить перио¬
дом такое число, что во-первых, с ним работать удобно, а во-вторых, это - та¬
кое число, из которого легко получаются все остальные числа, удовлетворяющие
условию периодичности. С положительными числами легче работать: для их записи
не надо напрягаться со знаком «минус». Очевидно, что таким удобным числом яв¬
ляется именно то, которре и указано в определении периода.
историческая справка: В учебниках выпуска примерно до конца 1950-х годов имеет¬
ся как раз понятие «наименьшие положительный период», то есть то, что здесь
названо просто периодом. Сейчас в преподавании математики используется Именно
понятие «просто период», то есть такое, как в Определении 3.6. Некоторые раз¬
мышления убеждают нас в том, что такой подход более удобен, чем тот, который
имелся в литературе ранее.
3.4.	Возрастание и убывание функций.
Пусть некоторая функция у = f(x) определена при а < х < Ь .
Замечание: Областью определения функции может быть и множество другой структу¬
ры, например, а < х < Ь , [7 < х < 3; 4 < х < б] , и так далее. В этом случае

Глаба 3. Воспоминания о сВойстВах функции.
21
все дальнейшие Определения также имеют место.	'
Определение 3.7: Функция у = f(x), определённая при а < х < b , называется воз¬
растающей на этом множестве, если для любых х1 и х2 таких, что
а < х1 < х2 < b выполняется неравенство f^x^ < f(x2).
Определение 3.8: Функция у = f(x), определённая при а < х < Ь , называется убы¬
вающей на этом множестве, если для любых х1 и х2 таких, что а < х1 < х2 < Ь
выполняется неравенство f[x^ > /^х2).
Пояснение-1: Определение 3.7 означает, что большему значению аргумента на не¬
котором множестве соответствует большее значение функции. Определение 3.8 оз¬
начает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функ¬
ции.
Пояснение-2: Функция, возрастающая или убывающая на некотором множестве, вовсе
не обязана иметь такое же свойство на другом множестве. То есть функция, на¬
пример, возрастающая на каком-либо множестве, на другом множестве может быть
убывающей, либо не обладать свойством убывания или возрастания, либо может
быть вообще не определена на каком-либо другом множестве.
Определение 3.9: Функция, возрастающая или убывающая на каком-либо множестве,
называется монотонной на этом множестве. Употребляется термин «монотонно воз¬
растающая» или «монотонно убывающая» функция. Таким образом, «монотонность» -
это собирательный термин для понятий «возрастание» и «убывание».
3.5.	Понятие экстремума функции.
Пусть некоторая функция у = f(x) определена при а < х < Ь .
Замечание: Областью определения функции может быть и множество другой структу¬
ры, например, а < х < Ь , [7 < х < 3; 4 < х < б] , и так далее. В этом случае
все дальнейшие Определения также имеют место.
Замечание: Внимательный читатель заметил, что здесь полностью повторён текст
после заголовка: «3.4. Возрастание и убывание функций». От этого, заметим,
текст хуже не стал.
Определение 3.10: Функция у = f(x) называется имеющей максимум в точке х = xQ ,
принадлежащей множеству, на котором определена функция, если для любого
х ф xQ , также принадлежащего множеству, выполняется неравенство: f^xj > f(x).
Определение 3.11: Функция у = f(x) называется имеющей минимум в точке х = xQ ,
принадлежащей множеству, на котором определена функция, если для любого
x^xfl, также принадлежащего множеству, выполняется неравенство: f(xQ) < f(x).
Определение 3.12: Термин «экстремум» есть собиратег'ьга термин для обозначения
понятий «максимум» и «минимум».	>

11
Глаба 3. Воспоминания о сВоистВах функции.
3.6.	Великий Принцип Зелёной Лошади.
Анекдот В тему: Англия. Бар. Несколько почтенных джентльменов чопорно пьют пи¬
во и ведут неторопливую беседу. Вдруг в бар заходит лошадь зелёного цвета,
прохаживается по потолку, по стенам бара, спускается, на хорошем английском
языке заказывает шампанское, выпивает его, закусывает малосольным огурцом,
расплачивается и выходит. Несколько секунд джентльмены молчат, потом один из
них говорит: «Джентльмены! Я живу на свете 70 лет, но чтобы шампанское закусы¬
вали малосольным огурцом - вижу впервые!»
Цстория U3 Лизни: К некоему фермеру приехал его друг-математик, и Хозяин начал
хвастаться тем, что в его хозяйстве' все лошади - белого цвета. Гость не пове¬
рил, и Хозяин велел прогнать табун лошадей перед балконом, на котором стояли
гость и хозяином. Перед ними проскакали очень много лошадок, и Гость заметил
среди них одну зелёную. Он сказал Хозяину: «Вот видишь, твоя теорема о том,
что все лошади в твоём хозяйстве - белые, оказалась неверна! Оказалась верна
противоположная теорема: «НЕ ВСЕ лошади в хозяйстве - белые.».В твоём хозяй¬
стве по крайней мере одна лошадь зелёного цвета!»
ч
У
Если требуется доказать,
что какое-либо утверждение верно
для всех объектов ид некоторого множества,
то это утверждение следует доказывать
именно ДЛЯ ВСЕХ объектов.
Если же требуется опровергнуть тот факт,
что утверждение верно для всех объектов,
то достаточно ОДНОГО примера,
который эту общность опровергает.
Это принцип мы назовём
ПРИНЦИПОМ ЗЕЛЁНОЙ ЛОШАДИ.(ПЗЛ)
Название действует только в пределах
этого конспекта ! ! !
/
\
3.7.	Примеры.
Пример 1: Пусть имеется функция у(х) = х2 - Зх - 7 . Требуется выяснить, явля¬
ется ли она чётной или нечётной.
Пусть х = 3 . Тогда:

Глаба 3. Воспоминания о сВоистВах функции.
23
у(3) = З2 - 3*3 - 7 = -7 ) у(-3) = (-3)2 - 3*(-3) -7 =11.
Здесь получено, что по крайней мере для одного значения аргумента нарушается
условие чётности, и условие нечётности. Значит, согласно ПЗЛ, функция является
функцией общего вида.
Пример 2: Функция у(х) = х3 - х2 - 4х + 7 . Здесь можно сильно ошибиться, .если
действовать так же, как в предыдущем примере при х = 2. Вот что получаем:
у(2) = 3 ; /(-2) = 3, и может возникнуть мысль, что функция - чётная. Однако
условие чётности оказалось случайно верным только для одного значения х, а оно
должно быть верно при всех допустимых значениях х. Легко проверить, что для
х =1 условие чётности не выполняется, и условие нечётности также не выполня¬
ется. Значит, эта функция также является функцией общего вида.
Пример 3: Функция у(х) = V* • Здесь вопрос о чётности или нечётности вообще
не может быть поставлен: функция неопределена при х < 0 , поэтому при всех
х > 0 равенство -/х = J~x неопределено, так как его правая часть не может
быть вычислена.
Замечание: Запоминаем, как в рассматриваемой ситуации пишется слово «неопреде¬
лена»: оно пишется именно так, как здесь, и никак иначе.
г7
Пример 4: Функция у(х) = log.
1	+ х
. Вычислим у(-х):
у(-х) = log.
1 + х
1 - х
log.
1+Х
-log.
1-х
1 + х
то есть функция у(х) = 1од2
1-х
1	+ х
является нечетной.
-у(х)'
Пример 5: Функция у(х) = |2 + х| + |2 - х|. Здесь у(-х) = \2 - х| + |2 + х| = у(х),
то есть эта функция является чётной.
п /	_/ \ \1, если х - целое;
Пример 6: Функция, определяемая так: пх) = <
J [0. если х - нецелое.
Пусть х - целое; тогда -х - также целое, и равенство f(x) = f(-x) = 1 верно.
пусть х - нецелое, тогда -х - также нецелое, и равенство f(x) = f(-x) = 0
верно. Получаем, что рассматриваемая функция - чётная.
Пример 7: Функция f(x)
= х +
. Здесь f(-2) = -3 ; значение f(2) неопреде-
х - 2
лено. Поэтому эта функция является функцией общего вида.
Пример 8: Докажем, что функция у(х) = 2х2 - 5х + 1 - непериодическая. Предпо¬
ложим, что она - периодическая, и пусть её период равен Г. Тогда для всякого
х должно выполняться равенство: 2(х + Г)2 - 5(х + Г) + 7 = 2х2 - 5х + 1, то

24
Глаба 3. Воспоминания о с8ойсш8ах функции.
есть, после преобразований: Т(2Т + 4х - 5) = О . Отсюда:
Т = О;
2Т + 4х - 5 = О.
Значение Т = О не может быть периодом по определению периода. Из второго ра-
5 - 4х
венства совокупности: Т = —-— . Это выражение для Г также не может являть¬
ся периодом функции, так как оно зависит от х. Возможные варианты исчерпаны, и
каждый из них не удовлетворяет условию периодичности. Значит, является непе¬
риодической.
пример 9: Функция у(х) = Jx . Допустим, функция периодическая, и пусть Т - её
период. Тогда, например, при х = 0 имеет место равенство = ^0 - 15*Т
(понятно, что здесь множитель, равный -75, взят произвольно; это м^жет быть
любое отрицательное целое число. .Но при Т > 0 правая часть последнего равен¬
ства неопределена. Получили, что при п = -15 условие периодичности не выпол¬
няется, и в силу ПЗЛ функция является непериодической.
12
Пример 10: Функция у(х) = —		. Если доказывать непериодичность этой
v 1 х!6 + 7
функции тем же приёмом, как в Примере 8, то получится уравнение степени 28 от¬
носительно Т. Рассуждаем здесь несколько иначе.
Очевидно, у(0) = 0 . Если бы эта функция была периодической, то каждое
значение, которое она принимает, она принимала бы при бесконечно большом коли¬
честве значений аргумента. Но значение, равное 0, эта функция принимает только
при х = 0 . Значит, эта функция - непериодическая.

Гмба 4. СВойстВа тригонометрических функций
25
Глава 4. Свойства
тригонометрических функций.
4.1.	Чётность и нечётность.
Рис.4.1. Чётность и нечётность
тригонометрических функций.
Рис.4.2. Чётность и нечётность
тригонометрических функций.
углов треугольников ОАВ и ODC -
Построим на координатной плоскости
углы, равные х и -х. Точки А и D -
точки пересечения вторых сторон углов с
окружностью; В, С, Р, Q - основания
перпендикуляров, опущенных на соответ¬
ствующие оси; назначение остальных то¬
чек понятно из чертежа.
Пояснение-1: Чертёж, показанный на
рис.4.1 строго говоря, неверен, то есть
не соответствует Истине. Истина состоит
в том, что на самом деле точки Б и С
совпадают. Но это пока не доказано, то
есть нам это пока неизвестно, и поэтому
чертёж построен в весьма общем виде.Н
Пояснение-2: На рис.4.1 показаны точки
L, М, N, J. Эти точки несут вспомога¬
тельную службу: они будут использованы
в сомнительных случаях для уточнения
угла, который используется в рассмотре¬
ниях. Запись, например, ZAOB{N) обо¬
значает угол, внутренняя точка которого
есть точка N. Запись ZAOB(L) обозна¬
чает угол, внутренняя точка которого
есть точка L.
Докажем равенство треугольников ОАВ и
OCD. В этих треугольниках |ОД| = |OD|
как радиусы одной и той же окружности.
Далее, ZAOB(N) = /г - ZAOK(L) =
= к ~ М= п ~ N *
ZDOC(J) = к - ZDOK(M) = к - |х|,
то есть, опуская контрольные точки,
ZAOB = ZDOC . Кроме того, один из
[мой. Получаем, что

26	Гм8> 4. СВойстВа тригонометрических функций
ZOAB = к- ZOBA - ZAOB = -- ZAOB ;
2
ZODC = л - ZOCD - ZDOC = - - ZDOC ,
2
и в силу доказанного равенства углов АОВ и DOC: /.ОАВ = ZODC . Получи¬
ли, что АОАВ = AODC по стороне и прилежащим к ней углам.
Замечание: В доказательствах можно использовать только сформулированные и до¬
казанные признаки равенства треугольников. В курсе математики нет признака
равенства треугольников по стороне, одному прилежащему и одному противолежаще¬
му углам, поэтому здесь проделана некоторая необременительная работа по сведе¬
нию имеющейся информации о треугольниках к стандартной информации, для которой
можно применить признак равенства, то есть показано равенство именно углов,
прилежащих к соответственно равным сторонам в треугольниках.0
Из доказанного следует, что чертёж на рис.4.1 - неправильный, то есть на
самом деле точки В и С совпадают, и чертёж выглядит, как показано на
рис.4.2. Но отрезок ОВ и отрезок ОС (взятые с учётом знака, конечно) - это
значения соответственно cos(-x) и cos(x), и равенство этих отрезков означает,
что cos(-x) = cos(x), то есть функция у(х) - cos(x) - чётная. Отрезки ВА и
CD также равны по величине, но по знаку они противоположны, так как проек¬
тируются на разные полуоси оси ординат. Из построения имеем:
BA = OP = s/n(-x); CD = OQ = s/n(x), и равенство BA = -CD означает,
s/n(-x) = -sirt(x), то есть функция y(x) = sin(x) - нечетная.
Выясним теперь чётность или нечётность остальных тригонометрических функ¬
ций. С учётом полученных результатов имеем:
. ч sin(-x) -sin(x)
Это означает, что функция у(х) = tg[x) - нечётная. Далее аналогично:
, ч cos(-x) cos(x)	, .	/ ч / ч
ctg(-x) = —f =	у- = -ctg(x), то есть функция у(х) = ctg(x) -
v 7 sm(-x) -sm[x)	w	v	'
нечётная. •
Для соблюдения всех формальностей узнаем, являются ли чётными или
нечётными редко употребляемые функции у(х) = sec(x) и у(х) = csc(x):
1 1
sec(-x) =		—- =	— = sec(x), то есть функция у(х) = seclx) - чётная.
4 7 cos(-x) cos(x) 4 7	v 7 v 7
csc(-x) = 	7—- = 	= -csc(x), то есть функция y(x) = csc(x)
v 7 sin[-x) -sin[x)	v 7	v 7
нечётная.

Глаба 4. СВойстВа тригонометрических функции
27
4.2.	Периодичность.
Пусть на координатной плоскости
имеется некоторый угол, равный х. Если к
этому углу прибавить полный угол,	то
есть угол, равный 2п, то точка А со¬
вершит полный оборот по окружности и
займёт прежнее положение. В таком случае
абсцисса и ордината точки А, то есть
соответственно cos(x) и s/n(x), не иашг
нятся. Это означает, что
cos(x) = cos(x + 2лг), и
s/7?(x) = sin(x + 2/r).
Цопучено, что к произвольному значению
аргумента можно прибавить некоторое, не
зависящее от аргумента число, и значения
функции от нового аргумента окажется
равным значению функции от исходного ар¬
гумента, то есть случившееся полностью попадает под определение периодической
функции: это - Определение 3.6. Однако это не означает, что число, равное 2/г,
является периодом функции; период может оказаться и меньше, чем 2п. Докажем,
что период функций у(х) = s/n(x) и у(х) = cos(x) равен именно 2тг, и никак не
меньше. Применим для этого испытанный Принцип Зелёной Лошади. Начнём, напри¬
мер, с функции у(х) = s/7i(x) .
Предположим, что некоторое число q, мень¬
шее 2ж, является периодом функции
у(х) = s/n(x) . Это означает, что к произ¬
вольному значению аргумента можно приба¬
вить число q < 2к , и такое, что равенст¬
во s/r?(x) = sin^x + q) окажется верным. Но
71
вот возьмем, к примеру, угол X="J* йля
. (яЛ .
него имеем: з//7| —1=7; вторая сторона
этого угла пересекается с окружностью в
точке А (рис.4.4). Очевидно, на единичной
окружности существует только одна точка,
и это именно точка А, ордината которой равна 7, то есть в пределах одного
оборота существует только один угол х такой, что s/r?(x) = 7 : х = — . Это
X
А к12
х
Рис.4.4. И:
Принципу Зел'
0 JB
D
ллюстрация к
ёной Лошади.
X
(и
	 х + 2>г
Ml ^
1
Рис.4.3. Пер]
тригонометрич<
0 / 1
иодичность
эских функций.

28
ГмВа 4. СВойстВа тригонометрических функций
означает, что к углу, равному — , нельзя прибавить угол, меньший полного угла
так, чтобы ордината точки пересечения его второй стороны с окружностью была
равна 7. В свою очередь, из этого следует, что предположение о том, что период
функции у(х) = s/n(x) меньше 2л, оказывается неверным по крайней мере для caho¬
ot
го значения аргумента: х = — ; это значение оказалось Зеленой Лошадью при по¬
пытке доказать, что период функции у(х) = s/n(x) меньше 2п\ к аргументу
х = у нельзя прибавить число меньшее 2л так, чтобы значение функции не из¬
менилось. Перед этим было легко показано, что число 2л-можно прибавить к любо¬
му значению аргумента, и при этом значение функции у(х) = s/n(x) не изменится.
Вывод: период функции у(х) = s/n(x) равен 2/г .
Замечание 1: В качестве Зелёной Лошади для
функции у(х) = s/n(x) вполне можно использо-
—л
угол, например, равный —;
Рис.4.5. Иллюстрация к
Принципу Зелёной Лошади.
вать
. I -я |	„ Зтг
sin\ — I = -7; угол, равный — , и так да¬
лее. Получается, что здесь на самом деле
имеется некоторый табунок зелёных лошадок,
каждая из которых несёт свою службу вполне
прилично.
Замечание 2: Почему для доказательства ис¬
пользованы именно такие углы, для которых
синус принимает значения, равные 7 или
-7 ? Именно потому, что в пределах одного
оборота каждое из таких значений принимается только для одного значения аргу¬
мента. Если бы для доказательства мы пытались использовать иные значения функ¬
ции у(х) = s//?(x) , то показанный приём не сработал бы: значения функции
у(х) = s/n(x), не равные 7 и -7, принимаются в пределах полного оборота два
раза, как показано на рис.4.5. На чертеже рис.4.5 значение синуса, равное а
(а * 1; а* -7), принимается в пределах одного оборота два раза: для углов,
равных х1 и х2 .
Докажем, что период функции у(х) = cos(x) также равен 2л . Пусть
х = 0 ; тогда cos(x) = 7. (Вторая сторона угла х = 0 пересекается с окружно¬
стью в точке В на рис. 4.4. В пределах одного оборота косинус принимает зна¬
чение, равное 7, только если вторая сторона угла пересекается с окружностью в
точке 8. Это означает, что если мы хотим прибавить к аргументу, равному О,
какое-либо слагаемое так, чтобы значёние функции у(х) = cos(x) не изменилось,
то это слагаемое может быть равным только 2л, Таким образом, предположение о

Глаба 4. СВойстВа тригонометрических функций
29
том, что период функции у(х) = cos(x) меньше, чем 2к, оказывается неверным по
крайней мере для угла х = 0 , и этот угол является здесь Зелёной Лошадкой.
Вывод: Период функции у(х) = cos(x) равен 2 л-.
Замечание 3: Понятно, что Зелёной Лошадкой может быть не только угол х = 0 , но
и например, угол х =к , и так далее. Но для доказательства достаточно ОДНОЙ
Зелёной Лошадки, на то она и зелёная... умница...
Замечание 4: Аналогично рис.4.5 можно изобразить на тригонометрическом круге
значения косинуса, не равные 1 и -1, и увидеть, что в пределах полного оборо¬
та эти значения достигаются при двух различных значениях аргумента.
Перед тем, как определить период функ¬
ции у(х) = tg(x), докажем некоторое простое
равенство. Построим на тригонометрическом
круге углы, равные х и к + х (рис.4.6.).
Точки пересечения вторых сторон этих углов с
окружностью есть соответственно точки А и D;
основания перпендикуляров, опущенных из точек
А и D на ось абсцисс, есть соответственно
точки Б и С. В треугольниках ОАВ и ODC:
|0>А| = |OD| как радиусы окружности;
/АОВ = ZDOC	как вертикальные;
/ОАВ = ZODC как внутренние накрестлежа-
щие при параллельных прямых АВ и DC и се¬
кущей AD. Значит, АОАВ = AODC. Отсюда
= |ОС|. Эти отрезки равны по длине, но проти¬
воположны по знаку: DC = -АВ . Так как с учётом знака DC =sin(x+n);
АВ = s/n(x), то получаем, что s/n(x + л-) = -s/n(x). Аналогично, отрезки ОБ и
ОС равны по величине, но противоположны по знаку, откуда получаем:
cos(x + л-) = -cos(x).
Запишем теперь цепочку равенств:
sin(x + 7г) -sin(x) sinlx) , ч
tg х +*) = .—i	L = —12 =	= ^ x .
v 7 сов(х + л-) -cos(xj cos(x) v 7
Получили, что при прибавлении к произвольному допустимому значению аргумента
функции у(х) = fg(x) числа п значение функции не изменяется, то есть функция
у(х) = fg(x) периодическая, и к число может являться периодом этой функции,
но может и не являться, то есть период функции может быть меньше л-. Покажем с
использованием ПЗЛ, что период функции у(х) = fg(x) равен именно л-. Нашей
Зелёной Лошадкой на этот раз будет число х = 0 .
Итак, пусть х = 0 • Помним, что sin(0) = 0 - это ордината точки В на
sin{0)
рис.4.4. Тогда tg(O) = —^4* = 0 . Пусть период функции у(х) = tg(x) меньше,
v ' cos(0)	v 1 v 7
чем л-. Это означает, что к любому значению аргумента, в том числе и к значе¬

30
Глава 4. СВойстВа тригонометрических функций
нию, равному 0 , можно прибавить число q, меньшее ж, и значение функции от
этого не изменится. Но если прибавить к числу 0 число, меньшее ж, то точка В
займёт положение не на оси абсцисс, она будет находиться выше этой оси, и её
ордината окажется не равной 0, а следовательно, получим, что
sin(q)
ЩЯ) =	т~т * О • Здесь Зелёной Лошадью оказалось число 0, и для наших целей
v 7 cos[q)
этого достаточно, хотя вполне такой Лошадкой вполне могло быть число ж , 2ж, и
другие числа.
Вывод: период функции у(х) = fg(x) равен ж.
Определим периоды функций у(х) = cfg(x), у(х) = sec(x) и у(х) = csc(x).
Пусть период функции у(х) = cfg(x) равен Т. Это означает, что для любого
х выполняется равенство cfg(x) = cfg(x + 7"), и при этом Т не зависит от х. Ра-
1	1
венство ctg(x) = ctg(x + Т) запишем так: —— = —^ , откуда:
w v 7	tg(x) tg(x + T)
tg(x) = fg(x + Г)} и при этом Т - наименьшее положительное из всех возможных
чисел, для которых выполняется условие периодичности. Но такое число и есть в
точности Т = ж, и не меньше: это было только что доказано. Значит, период
функции у(х) = cfg(x) также равен ж.
Для функций у(х) = sec(x) и у(х) = csc(x) рассуждения в точности такие
же, как для функции у(х) = cfg(x), с учётом того, что период функций
у(х) = cos(x) и у(х) = s/n(x) равен 2ж. Получаем, что периоды этих функций так¬
же равны 2ж.
4.3.	Область значений тригонометрических функций.
4.3.1.	Область значений функций
у(х) = s/n(x) и у(х) = cos(x) .
Пусть на координатной плоскости имеется угол, равный х; и точка А
точка пересечения его второй стороны с окружностью; рис.4.7. Тогда s/n(x) -
это ордината точки А, то есть длина отрезка ОБ с учётом знака; cos(x) - это
абсцисса точки А, то есть длина отрезка ОС с учётом знака. Отрезки ОБ и
ОС - это катеты треугольников ОАВ и О АС, и гипотенуза этих треугольников
есть радиус окружности, то есть длина её равна 1. Длины катетов не больше
длины гипотенузы; длины катетов равны длине гипотенузы только для треугольни¬
ка, превратившегося в отрезок: один из углов такого треугольника равен 0. От¬
сюда: |ОБ| < |ОЛ| = 1; |ОС| < |0/\| = 1, то есть:
|s/'n(x)|<f; |cos(x)| < 1 .	(4.1)

Глаба 4. СВойстВа тригонометрических функции
31
функций у = s/n(x) и у = cos(x)
Рис.4.8. Область значений функций
у = s/n(x) и у = cos(x).
Важно отметить, что значения функ¬
ций у(х) = s/n(x) и у(х) = cos(x) не толь¬
ко удовлетворяют неравенствам 4.1, то
принимают все промежуточные значения ме¬
жду значениями, равными -1 и 1, включая
значения, равные -1 и 1. Доказательст¬
во этого факта есть доказательство того,
что для любого назначенного значения
функций у(х) = s/n(x) и у(х) = cos(x), то
есть для любых назначенных значений а и
b таких, что -1 < а <1 , -1 < b <1
найдётся по крайней мере одно значение
аргумента х такое, что будет выполняться
равенство s/n(x) = а и найдётся по
крайней мере одно значение аргумента та¬
кое, что будет выполняться ра¬
венство cos(x) = Ь .
Сейчас наши действия и
рассуждения	иллюстрируются
рисунком 4.8. Пусть имеется
некоторое а такое, что
-1 < а < 1. Откладываем на оси
ординат точку с координатой
(0; а); эта точка окажется внутри
круга или на окружности. В таком
случае перпендикуляр к оси
ординат, построенный в этой
точке, пересечёт окружность в
точках К и L , и углы х1 и х.
окажутся	такими,
s/n(xf) = sin^x^j = а , то есть зна¬
чения аргумента, для которых
значение функции равно а, суще-
ствуюАналогично, если построить
2
что
на оси абсцисс точку (Ь; 0), построить в этой точке перпендикуляр к оси абс¬
цисс, то он пересечёт окружность в точках М и N , и для соответствующих
углов хз и х4 получаем: cos^x^ = cos^x^ = b. Таким образом, повторяясь,
скажем, что значения аргумента, для которых значение функции равно Ь, сущест¬
вуют, то есть функция может принимать значения Ь.
Вывод: Функции у(х) = s/n(x) и у(х) = cos(x) принимают каждая все значения из
множества -1 < у < 1.
Если взять на оси абсцисс точку Q такую, что |OQ| > 1, то соответствую¬
щий перпендикуляр к оси абсцисс не пересечёт окружность. Это будет означать,

32
Глаба 4. СВойстВа тригонометрических функции
что угла z, для которого cos(z) = ±|00| , не
существует. Аналогично, если на оси ординат
построить точку Р такую, что |ОР| > 7, то
соответствующий перпендикуляр также не пере¬
сечёт окружность, и это будет означать, что
угла v, для которого sin(v) = ±|ОР|, не суще¬
ствует.
Отсюда
Вывод: Функции у(х) = sin^x)	и
у(х) = cos(x) принимают каждая все значения
у из множества -7 < у < 7 , и не могут прини¬
мать значений таких, что |s/n(x)| >7 и
|cos(x)| > 7.
Части осей абсцисс и ординат, на кото¬
рых откладываются значения косинусов и сину¬
сов соответственно, очень полезно как-то на¬
звать. Так и сделаем:
Определение 4.1: Часть ОСИ ординат, не выходящая за пределы тригонометрического
круга, называется линией синусов.
Равносильное Определение: Отрезок [-7; 7] оси ординат называется линией сину¬
сов.
Определение 4.2: Часть ОСИ абсцисс, не выходящая за пределы тригонометрического
круга, называется линией косинусов.
Равносильное Определение: Отрезок [-7; 7] ОСИ абсцисс называется линией косину¬
сов.
Пояснение: Эти Определения общеприняты. (Е1
4.3.2.	Область значений функций
у(х) = tg(x) и у(х) = ctg(x) .
Построим на координатной плоскости угол, равный х; пусть А - точка пере¬
сечения второй его стороны с окружностью (рис.4.9). Построим далее прямую (t),
проходящую через точку (7; 0) параллельно оси ординат; обозначим точку пересе¬
чения второй стороны угла с этой прямой буквой D; В - основание перпендикуля¬
ра, опущенного из А на ось абсцисс; С - точка (7; 0). Треугольники ОАВ и
ODC имеют общий угол, равный х, и кроме того, один из углов каждого тре¬
угольника - прямой. Значит, эти треугольники подобны.
Пояснение 1: Напомним сами себе, какие треугольники (и многоугольники вообще)
НАЗЫВАЮТСЯ подобными. Многоугольники НАЗЫВАЮТСЯ подобными, если их сходст¬
венные углы ПОПАРНО РАВНЫ МЕЖДУ СОБОЙ, и сходственные стороны пропорцио¬
нальны.
Пояснение 2: Очень полезно обратить внимание на приведённую здесь формулиров¬
ку. Если сказать так: «углы многоугольников равны... » - то становится неясно,
чему они равны, равны ли они все друг другу, и так далее. Здесь чётко указано,"

Глаба 4. СВойстВа тригонометрических функций
33
какое именно отношение равенства имеется в виду.
Пояснение 3: Признак подобия - это теорема, которая сообщает, что если выпол¬
няются некоторые минимальные условия, то и все остальные условия для того,
чтобы многоугольники ЯВЛЯЛИСЬ подобными, также выполняются. Признак подобия,
используемый здесь, утверждает, что если два угла одного треугольника попарно
равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны, то есть
равны между собой их третьи углы и пропорциональны их стороны. 0
Из подобия этих треугольников:
АВ
DC
ОБ
ОС
Отсюда:
N
(4.2)
|ОСЦ/Ш|
И
Далее учитывается то, что |ОС| =1 и равенство (4.2) получается в виде:
|DC|= —.	(4.3)
ОБ
Так как |ДБ| = |s/n(x)| ; |ОБ| = |cos(x)|, то равенство (4.3) принимает вид:
|ОС| = |fg(x)|.	(4.4)
Получено, что длина отрезка DC равна fgr(x). При этом, обращаем внимание, ес¬
ли бы точка находилась ниже оси абсцисс, то есть заняла бы положение точки Е,
то тангенс соответствующего угла был бы отрицательным, и длину отрезка СЕ
также удобно было бы считать отрицательной. Получено, что длина отрезка CD с
учётом знака, выбранного так, как здесь указано, численно равна fg(x). А так
как точка D может располагаться в любом месте на прямой (t) , то получаем
BblBog: Тангенс угла (то есть тангенс числа, равного этому углу) может прини¬
мать любые значения по величине и по знаку.
Из определения тангенса (Определение 2.4) следует, что тангенс - величина
безразмерная. С другой стороны, получаем из равенства 4.3, что длина отрезка
DC равна (как будто быШ) отношению длин отрезков, то есть длина отрезка -
безразмерная величина. Нет ли здесь противоречия? Здесь противоречия, конечно,
нет: если обратить взор на равенство 4.2, то обнаружится, что числитель этого
равенства имеет размерность квадрата длины, знаменатель имеет размерность дли¬

34
Гла8а 4> СВойстВа тригонометрических функции
ны, и все концы сходятся. В равенстве 4.3
размерный множитель |ОС), равный 7, не запи¬
сан, но размерность дроби от этого не меня¬
ется, и правая часть равенства 4.3 имеет
размерность длины. В свою очередь, равенство
4.4 можно записать так:
|DC| = ИМ = \OC\*tg(x), в правой (в
|08|
самой правой) части которого множитель |ОС|
равен 7 и имеет размерность длины. Таким об¬
разом, здесь снова происходит «обезразмери-
вание» длин отрезков, и можно произнести со¬
вершенно законно, что тангенс числа (или
тангенс угла) ЧИСЛЕННО РАВЕН длине соот¬
ветствующего отрезка. 0
Определение 4.3: Прямая, параллельная оси ор¬
динат, и проходящая через точку (1; 0), назы¬
вается линией тангенсов.
Пояснение о линиях тангенсов: Было показано, ЧТО период функции у(х) = tg(x) ра¬
вен п, то есть половине полного угла. Это означает, что можно построить ещё
один экземпляр линии тангенсов, проходящий через точку (-7; 0), и положитель¬
ное направление этой линии тангенсов будет направлением вниз, как показано на
рис.4.10. 0
Построим теперь прямую, параллельную
оси абсцисс и проходящую через точку
С с координатами (0; 7) ; обозначим
эту прямую буквочкой q. Пусть А -
точка пересечения второй стороны уг¬
ла, равного х с окружностью? В
основание перпендикуляра, опущенного
из точки А на ось ординат; D - точ¬
ка пересечения второй стороны угла с
прямой q.
Аналогично только что сделанным
рассуждениям о функции у(х) = fg(x)
обращаем внимание: треугольник ОВА
(я) 1
\С
0
'Л -
V.
Рис.4.11. Мне
функци
0
»жество значений
[и у = ctg(x)
подобен треугольнику OCD по двум равным между собой прямым углам и общему
BA I |CD	. .
углу COD. Из подобия: оЩ = ' С Уч®том того/ что |ОС| = 7, получаем:
cos(x)
s/n(x)
= И, то есть |CD| = |cfg(x)|. Замечаем, что если точка D лежит левее
оси ординат, то есть если угол х оканчивается во второй четверти, то

Глаба 4. СВойстВа тригонометрических функции
35
ctg(x) < 0, так как для углов х, оканчивающихся во второй четверти, имеем:
s/>7(x) > 0; cos(x) < 0 . Поэтому в этом случае знак отрезка CD следует считать
отрицательным; если же точка D находится правее оси ординат, как показано на
рис.4.11, то знак отрезка CD следует считать положительным, и здесь также
cfg(x) > 0 . Получаем, что на' построенной прямой q откладываются значения
cfg(x) при сделанных здесь соглашениях о знаке отрезка CD. Поскольку точка D
может находиться в любом месте прямой q, то отсюда следует
Вывод: котангенс угла (то есть котангенс числа, равного этому углу) может при¬
нимать любые значения по вели¬
чине и по знаку.
Определение 4.4: Прямая, па¬
раллельная оси абсцисс и про¬
ходящая через точку (0; 7),
называется линией котангенсов.
Пояснение о линиях котангенсов:
Функция у(х) = cfg(x) имеет
период, равный к. Это означа¬
ет, что можно построить второй
экземпляр линии котангенсов,
именно, прямую, проходящую че¬
рез точку (0; -7), но положи¬
тельное направление этой прямой будет противоположным положительному направле¬
нию первого экземпляра. Это показано на рис.4.12.0
Дополнение к Важному Пояснению о Размерности: все рассуждения о размерности,
сделанные в части, посвящённой тангенсу, здесь также должны быть проделаны и
приняты к сведению.Е
4.3.3.	Область значений функций
у(х) = sec(x) и у(х) = csc(x).
Неравенство, задающее область значений функции у(х) = cos(x), записываем
так: |cos(x)j < 7, и далее заменяем при допустимых значениях cos(x) (то есть
/ ч	1	1
при значениях, не равных 0): coslx) =	— : 	г < 7. Последовательно
sec(x) |sec(x)j
7	7 - sec(x)|
преобразуем: 	г - 7 < 0 ; —г-*	р-!- < 0 . Умножаем это неравенство на
sec(x)	Рес(х)
|sec(x)|. Этот множитель положителен, и при умножении знак неравенства поэтому
не изменится:‘7 - |sec(x)| < 0, откуда: |sec(x)| ^7 . Это неравенство записываем

36
Глаба 4» СВойстВа тригонометрических функции
(4.5)
(4.6)
в виде совокупности:
sec(x) < -1;
sec(x) > 1.
Для функции у(х) = csc(x) получаем аналогично:
csc(x) < -1;
csc(x) > 1.
Далее учитываем, что функции у(х) = cos(x) и у(х) = s/n(x) принимают каждая ВСЕ
значения у из множества -1 < у < 1 , откуда следует
Вывод: Функции у(х) = sec(x) и у(х) = csc(x) принимают ВСЕ значения, заданные
неравенствами (4.5) и (4.6).
Пояснение: Это утверждение, вообще говоря, здесь не доказано, и построено
больше на эмоциях, чем на логике. Докажем его строго.
Покажем, что какое бы ни было значение а такое, что |а| > 1, для него
найдётся по крайней мере одно значение х такое, что
Из равенства (4.7) получаем:
sec(x) = а .
cos(x) = —.
v 7 а
(4.7)
(4.8)
Если а > 1, то
то есть для такого значения а обязательно
найдётся (можно было бы обойтись и без слова «обязательно»...) такое значение
х, что равенство (4.8) выполняется. Это и доказывает тот факт, что функция
у(х) = sec(x) принимает ВСЕ значения такие, что |sec(x)| > 1 • Для функции
у(х) = csc(x) доказательство аналогично.@
4.3.3.1.	Геометрический смысл
функций
у(х) = sec(x) и у(х) = csc(x) .
Рис.4.13. Геометрический
смысл функции у = sec(x).
Построим на координатной плоскости угол,
равный х. Пусть А - точка пересечения второй
его стороны с окружностью; В - основание пер¬
пендикуляра, опущенного из точки А на ось абс¬
цисс, прямая DC проходит через точку D(l; 0)
параллельно оси ординат; С - точка пересечения
прямой О А с прямой DC, как показано на
ис.4.13. Треугольники ОВА и ODC подобны по
двум равным между собой углам (не будем повто-

Глава 4. Свойства тригонометрических функции
подробно; об этом речь ухе была). Из подобия:
37
ряться и доказывать это
\ОА\ ОС
т—!■ 		, то есть:
рВ\ OD
длина отрезка ОС численно равна sec(x) (здесь стоит ЕЩЁ РАЗ прочитать все
замечания о размерности!). Замечаем, что если х оканчивается в первой или
четвёртой четвертях, то sec(x) > 0; если х оканчивается во второй или в
третьей четвертях, то sec(x)<0;. Отсюда: геометрический смысл величины
sec(x) есть длина отрезка ОС, построенного на рис.4.13, и этой длине в необ¬
ходимых случаях приписывается знак «+», если угол х оканчивается в первой или
в четвёртой четвертях, или знак «-«, если угол х оканчивается во второй или в
третьей четвертях.
Обращаем внимание также, что если х = — + пк
при целом
значении к, то cos(x) = 0, sec(x) неопределён, и отрезка ОС не существует.
Построим теперь на координат¬
ной плоскости угол, равный х
(рис.4.14); пусть А точка пересече¬
ния его второй стороны с окружно¬
стью; В - основание перпендикуляра,
опущенного из А на ось ординат;
прямая CD параллельна оси абсцисс
и проходит через точку {0; -”/); С -
точка пересечения луча ОА с прямой
CD, Треугольник ОВА подобен тре¬
угольнику ODC по двум равным меж¬
ду собой углам. Из подобия:
о*| _ |ос|
'С	D
Рис.4.14. Геометрический смысл
функции у = csc(x).
ОБ| |OD| '
то есть:
1	ОС	I / ч| I I
i	г = J—1, и далее: scsix) = ОС . Получено, что длина отрезка ОС чис-
s/n(x) 1	i i i i
ленно равна csc(x). Аналогично предыдущему, имеет смысл сформулировать такое
правило знаков: отрезку ОС приписывается знак «+», если угол х оканчивается
в первой или во второй четвертях, то есть если s/7?(x) > 0 и csc(x) > 0 , и от¬
резку ОС приписывается знак «-«, если угол х оканчивается в третьей или в
четвёртой четвертях. Также аналогично предыдущему, если угол х имеет вид:
х = як при целом к, то точка С «уходит в бесконечность», то есть s//?(x) = 0,
и csc(x) неопределён.
4.4.	Знаки тригонометрических функций.
Эта часть изложения очень проста, и приведена здесь скорее для соблюдения

38	Глава 4. СВойстВа тригонометрических функций
полноты изложения.
Знаки тригонометрических функций определяются очень просто: для этого
достаточно взглянуть на тригонометрический круг.
Предположим, требуется выяснить знак числа а = sin(4) и заодно числа
b = cos(4). Замечаем, что п < 4 < , то есть угол, равный 4 радианам,
оканчивается в третьей четверти. Пусть А - точка пересечения второй стороны
угла, равного 4, с окружностью. Ордината точки отрицательна, то есть
sin{4) < О ; абсцисса также отрицательна, то есть cos{4) < 0 .
Ещё пример: число t = fg(-7/2) . Угол, равный -1/2, оканчивается в
четвёртой четверти. Пусть D - точка пересечения второй стороны угла, равного
-1/2 , с окружностью. Абсцисса точки D
положительна, ордината отрицательна.
Значит, cos^-1/2) > О , s/n(-7/2) < 0 ,
.	sin(-1/2)
и tg(-1/2) = —т—< 0 . Заметим,
v ' } cos(-1/2)
что тот же результат легко получается
из разглядывания линии тангенсов (если
её построить на чертеже I).
В целом запоминать эту информа¬
цию нет необходимости, как нет необхо¬
димости строить какие-то громоздкие
таблички, содержащие знаки функций. В
требуемых случаях гораздо проще рассу¬
ждать так, как показано здесь, и это
даст результат надёжней, чем построе¬
ние ненужных табличек.
4.5.	Интервалы возрастания и убывания
тригонометрических функций.
Максимумы и минимумы.
Исследуем тригонометрические функции на монотонность, не прибегая к мето¬
дам математического анализа. Рассуждения будут вполне строгими, если при этом
использовать в качестве иллюстрации и вспомогательного средства тригонометри¬
ческий круг.
4.5.1.	Функция у(х) = s//?(x).
Начнём с функции у(х) = s//?(x); иллюстрация здесь - рис.4.16.
Пусть х = . Вторая сторона этого угла есть луч О А; ордината точки А
равна -1, то есть здесь s//?(x) = -1. Поворачиваем вторую сторону угла в поло-

ГлаВа 4. СВойстВа тригонометрических функций
39
жительном направлении, то есть в направле¬
нии возрастания угла х. На рис.4.16 луч
ОР есть положение второй стороны угла при
некотором значении х таком, что
-л	л	_
— < х < — . Ордината точки Р при таком
вращении будет увеличиваться от значения,
равного -1 (это значение соответствует
~Л
углу, равному —) до максимального зна¬
чения, равного 1 (это значение ординаты
л
соответствует углу, равному у). Если
увеличивать угол х далее, от значения,
Рис.4.16. Интервалы	равного — до значения, равного —, то
монотонности функции у =зш(х) | есть если2завершать полный обороТ( 2Т0 ор_
дината точки Р начнёт уменьшаться. При х = л она станет равной О, то есть по¬
лучим s/'n(;r) = 0 , и далее ордината уменьшится до минимального значения, равного
-7. Таким образом, при ^ < х < Функция у(х) = s//t(x) уменьшается, и дос-
4	Зл-
тигает своего минимума, равного -7, при х = .
Теперь вспоминаем о периодичности функции у(х) = s/n(x). Результаты, полу¬
ченные для углов, изменяющихся в пределах одного оборота, то есть для чисел,
-л	Зл
изменяющихся в пределах < х < , надо продолжить для всех значении ар¬
гумента. Это делается прибавлением к границам промежутков возрастания и проме¬
жутков убывания функции числа, кратного 2л, что соответствует целому числу
полных углов. Таким образом получаем
Вывод: Функция у(х) = s/n(x) возрастает на промежутке
л _ ,	я л
— + 2лк < х < — + 2лк ,
2	2
и убывает на промежутке -j + 2лк < х < + 2лк для любого целого значе-
—л
ния к. Для любого целого к при х = — + 2лк функция имеет минимум, равный
-1; при х=^ + 2лк функция имеет максимум, равный 1. Функция равна 0 при
х = лп для любого целого л.

40
Глаба 4. СВойстВа тригонометрических функций
4.5.2.	Функция у(х) = cos(x) .
Пусть х = -тг . Точка пересечения
второй стороны угла, равного -тг , есть
точка А на рис.4.17; абсцисса этой точки
равна -1 , то есть cos(-/r) = -1. Очевидно,
это - минимальное значение косинуса. Пусть
луч ОР - вторая сторона угла, равного х
при некотором значении х. Если угол х
увеличивается до значения х = 0, то есть
вторая сторона его поворачивается против
часовой стрелки, то абсцисса точки Р
увеличивается до значения, равного 1. На
рис.4.17 абсцисса точки Р - точка Q, и
при увеличении угла х точка Q «перемеща¬
ется» от точки А до точки С. При х = 0
абсцисса точки Р достигает наибольшего
значения, равного 1. Если угол х увеличи¬
вается дальше, до значения, равного тг, то абсцисса точки Р уменьшается до
значения, равного -1.
Для записи окончательных итогов опять же учитываем, что функция
у(х) = cos(x) имеет период, равный 2тг, и поэтому при записи интервалов моно¬
тонности к каждой границе интервала прибавляем угол, равный кратному числу
полных углов. Итак,
Вывод: Функция у(х) = cos(x) возрастает на интервале -тг + 2тгк < х < 2тгк ; и
убывает на интервале 2кк < х < тг + 2як при любом целом значении к. Функция
имеет минимум, равный -1, который достигается при х = тг + 2тгк ; и имеет мак¬
симум, равный 1, который достигается при х = 2/г/с для любого целого значения
к. Функция у(х) = cos(x) равна 0 при х = у + тгп для любого целого значения
п.
4.5.3.	Функция у(х) = ф(х) .
Построим на координатной плоскости линию тангенсов (рис.4.18); для наших целей
достаточно одного её экземпляра, например, расположенного в правой полуплоско¬
сти. Выберем некоторый угол, оканчивающийся в первой или в четвёртой четвер¬
ти, пусть его величина равна х, и построим на линии тангенсов значение танген¬
са этого угла (то есть, напомним сами себе, значение тангенса числа х). Пусть
Р - точка пересечения второй стороны угла с линией тангенсов. Будем теперь
увеличивать угол х так, чтобы он оставался в первой или в четвёртой четвер¬
тях. Точка Р при этом будет перемещаться в положительном направлении линии
тангенсов (на рисунке - вверх); например, для угла х1 такого, что х1 > х , по¬
X = тг
А /О
D
\i
Р/^
V Л
х = -тг
Рис.4.17. Ин1
монотонности фув
JJ QIC
~в\* = -я/2
’ервалы
[кции у = соЦх).

Глаба 4. Свойства тригонометрических функций
41
лучим, что точка пересечения второй его стороны с линией тангенсов (точка Q)
находится выше точки Р, то есть углу, равному х1 , соответствует большее зна¬
чение тангенса, чем значение fg(x). Получаем,
-71	ТГ
что при < х < — большему значению аргу¬
мента соответствует большее значение танген¬
са, то есть на этом интервале функция
у(х) = fg(x) возрастает. Замечаем при этом,
±7Г
что при х=— тангенс неопределен: при та¬
ких значениях аргумента cos(x) = 0. Перед
записью результатов наших рассмотрений вспо¬
минаем, что функция у(х) = fg(x) имеет пери¬
од, равный тг, то есть равный половине полно¬
го оборота, и делаем
BblBog: Функция у(х) = fg(x) возрастает на
интервале + 7гк < х < ^ + тгк при любом
целом значении к. Так как она принимает любые
значения (доказано в п.4.3.2), то она не имеет ни минимумов, ни максимумов.
Пояснение: То, что функция у(х) = fg(x) возрастает на каждом из указанных ин¬
тервалов, вовсе не означает, что она возрастает на всей числовой оси. Функция
определена не при всех значениях х. Это уже означает, что она не может возрас¬
тать при тех значениях х, при которых она неопределена. Кроме того, функция
периодическая. Из этого следует, что если бы она возрастала на всей числовой
оси, то, например, равенство fg(x) = fg(x + тг), означающее периодичность функ¬
ции, было бы невозможно; вместо него следовало бы писать неравенство
tg(x) < tg(x + тг). Такие вот дела... @
4.5.4.	Функция у(х) = cfg(x) .
Построим на координатной плоскости линию котангенсов (рис.4.19), пусть
это будет линия котангенсов, расположенная выше оси абсцисс. Выберем некоторый
угол, обозначив его х, оканчивающийся в первой или во второй четвертях, и точ¬
ку пересечения второй его стороны с линией котангенсов обозначим Р. Если угол
х увеличивается, оставаясь в первой или во второй четвертях, то точка Р пере¬
мещается влево по линии котангенсов, то есть величина ctg(x) уменьшается. На¬
пример, если имеется угол х1 > х , как показано на рис.4.19, то точка Q пере¬
сечения второй стороны угла, равного х1 , оказывается левее точки Р. В терми¬
нах рассматриваемой функции это означает, что ctg^x^ < ctg(x), то есть при
О	< х < тг функция у(х) = cfg(x) убывает. Если учесть периодичность функции, то
здесь получаем такой

42
Глаба 4. СВойстВа тригонометрических функции
Вывод: Функция у(х) = ctg(x) убыва¬
ет на интервале кк < х < я + пк
при любом целом /с. Так как на каж¬
дом из этих интервалов функция при¬
нимает любые значения (п.4.3.2), то
она не имеет ни минимумов, ни мак¬
симумов .
Пояснение: Это Пояснение почти до¬
словно повторяет Пояснение в
п.4.5.3. Если функция убывает на
каждом из указанных интервалов, то
это вовсе не означает, что она убы¬
вает при всех значениях аргумента.
Доказательство этого факта - точно
4.5.5.	Замечания о функциях у(х) = sec(x) и у(х) = csc(x) .
Далее в изложении можно было бы исследовать интервалы возрастания и убы¬
вания функций у(х) = sec(x) и у(х) = csc(x). Однако это, по моему мнению, пе¬
регрузило бы настоящий курс, и без того уже достаточно объёмный. Указанные
функции редко используются в приложениях, и в случае необходимости, как прави¬
ло, заменяются на обратные величины. Поэтому я решил исключить из изложения
тему о монотонности функций у(х) = sec(x) и у(х) = csc(x), указав интересую¬
щимся на графики этих функций, из которых эта монотонность видна достаточно
хорошо.
4.6.	Графики тригонометрических функций.
Очень Распространённое Заблуждение: существо этого заблуждения состо¬
ит в том, что для построения графика функции достаточно составить таблицу зна¬
чений этой функции, нанести соответствующие точки на координатную плоскость и
соединить полученные точки «плавной линией».
Ах, если бы этого было на самом деле достаточно!
Если следовать этому так называемому «способу построения графиков», то
очень часто результатом таких трудов является жуткий урод, ничего общего с на¬
стоящим графиком не имеющий.
Хороший математик строит график вовсе не так. Хороший математик сначала в
той или иной мере исследует функцию: прежде всего определит Область Допустимых
Значений для неё; далее найдёт значения аргумента, при которых функция возрас¬
тает, убывает, имеет минимумы и максимумы, определит, если это необходимо,
является ли функция чётной или нечётной, и так далее. Далее математик опреде¬
лит некоторые «точки привязки» графика, если выражаться геодезическими терми¬
нами. Это - точки, так или иначе характерные для графика, и определяемые пер¬
сонально (график - Персона!!!) для каждого графика. Такими точками могут быть
точки экстремумов функции, нули функции, и так далее - это зависит от конкрет¬
ной функции. И только после этого, и после некоторых раздумий, математик со¬
р/t
Рис.4.19. Интерва
функции
У
1ЛЫ монотонности
У = cfg(x).
такое же, как в предыдущем Пояснении.

Глаба 4» СВойстВа тригонометрических функции
43
ставляет таблицу значений функции, в которую включает эти важные точки, и дру¬
гие точки, по которым можно так или иначе получить представление о графике.
Затем он, математик, изображает как может оси координат, размечает их должным
образом, наносит полученные точки и соединяет их, ЕСЛИ В ЭТОМ ЕСТЬ
НЕОБХОДИМОСТЬ, плавной линией.
После этого он любуется на своё творение («Красотищ-щ-щ-щ-а какая, чёрт
возьми 11!...») и приступает к строительству нового графика.
Мы так примерно и поступим; при этом будем учитывать информацию, получен¬
ную для каждой функции на предыдущих страницах.
4.6.1.	График функции у(х) = s/'n(x) .
Построим график функции сначала для значения аргумента, изменяющегося в
пределах одного полного периода, и затем многократно скопируем линию графика
для всей числовой оси. Здесь имеет смысл строить график на отрезке
-п Зп
	 < X < 	 .
2	2
Прежде всего отметим точки, в которых функция равна 0г это точки х = 0 и
х = /г (можно было бы также отметить точку х = 2/г , но значение х = 2/г входит
уже в следующий отрезок длины, равной 2/г). Далее, s/n|-^| = -7; sin
f...
-71	К
Если значение х изменяется от х = — до значения х = —, то функция возрас¬
тает от значения у =-1 до значения у =7. Далее, если аргумент изменяется от
значения х = ^ до значения х = , то функция убывает от у = 1 до у = -1.
Этой скромной информации достаточно для построения графика на качествен¬
ном уровне, без микронных точностей. В случае необходимости строится таблица,
и координаты большого количества точек графика находятся более точно. Далее
полученная часть графика копируется на всю числовую ось в пределах имеющейся
бумажной территории. Получается график, показанный на рис.4.20.
ВаЖное Замечание о Разметке и о Масштабах: Каких-либо специальных правил размет¬
ки графиков нет; график размечается в соответствии со свойствами функции, осо¬
бенностями графика, и так далее. Однако весьма желательно отметить масштаб, то
есть отметить отрезок, длина которого равна 1, или иному числу (если число 1
слишком велико или слишком мало для графика). Также желательно отметить, на¬
пример, точки пересечения графика с осями координат, точки экстремумов, гори¬
зонтальные и вертикальные асимптоты. Однако здесь важно знать меру: график,
перегруженных графическими деталями и разметкой, плохо воспринимается, так же
как и чистая кривая без разметки.
Что касается масштаба, то для графиков зависимостей в задачах физики мас¬
штабы по каждой из осей, как правило, различны, потому что размерности зависи¬
мой и независимой переменных различны: это могут быть, например, время и дав¬
ление; напряжение и сопротивление, и так далее. Здесь следует указывать мае-

44
Глаба 4. СВойстВа тригонометрических функции
Рис.4.20. График функции у(х) = sin^x)
штаб по каждой из осей с указанием единиц измерения. Для графиков функций чис¬
то математического характера нежелательно выбирать разные масштабы по различ¬
ным осям. Иногда различные масштабы - необходимость: например, если значения
функций очень велики по сравнению со значениями аргумента, или наоборот, аргу¬
мент измеряется миллионами единиц, а значения функции - долями единицы. В та¬
ких случаях масштабы указываются прямо на графиках и вблизи графиков текстом
желательно указать причины выбора различных масштабов по каждой из осей. Часто
можно увидеть совершенно кошмарную синусоиду: обычная синусоида у(х) = s/n(x)
сильно сжата вдоль оси абсцисс, и масштабы графиков вдоль каждой из осей явно
не совпадают. Сжатие или растяжение синусоиды возможно, если рассматривается
график функции у(х) = sin((ox) при различных значениях со. Принимаем всё это к
сведению и приступаем к построению следующего графика. (EI
Определение 4.5: Трафик функции y(x) = s//?(x) называется синусоидой.
Дополнение к Определению 4.5: Синусоидой также называется график любой функции
вида у(х) = a*sin(cox + <р). Этот график отличается от графика «стандартной» си¬
нусоиды тем, что он сжат (или растянут) вдоль оси абсцисс в зависимости от
значения параметра со, называемого частотой синусоиды, сжат (или растянут)
вдоль оси ординат в зависимости от значения параметра а, называемого амплиту¬
дой синусоиды и сдвинут вправо или влево вдоль оси абсцисс в зависимости от
величины и знака числа <р. Таким образом, термин «синусоида» понимается в зави¬
симости от существа задачи и его истолкование в каждом случае не должно вызы¬
вать сомнений. 19
Ч 4.6.2. График функции у(х) = cos(x) .
Здесь нет смысла повторять рассуждения, аналогичные сделанным при по¬
строении графика у(х) = s/n(x). Дальше будет показано (п.5.3), что график

Глаба 4. СВойстВа тригонометрических функции
45
функции у(х) = cos(x) -это также синусоида, но сдвинутая вдоль оси абсцисс вле¬
во на величину, равную у . Сейчас для наших целей достаточно общего вида гра¬
фика без анализа подробностей. График функции после прочитанных выше свойств
функции и сделанных (в умеIII) рассуждений о его виде выглядит, как показано
на рис.4.21.
4.6.3.	График функции у(х) = tg[x) .
Функция у(х) = fg(x) определена не при всех значениях аргумента: она неоп-
ределена при х = + /г/с (/с - целое). Прочитаем ещё раз об интервалах возрас¬
тания функции и строим сначала график функции для интервала —- < х < — и да-
-п	п
лее копируем полученную кривую на интервалы вида -у + /г/с < х < — + /г/с для
любого целого /с. Получаем такую Картину:

46
Глаба 4. СВойстВа тригонометрических функции
4.6.4.	График функции у(х) = cfg(x) .
Перед началом строительства графика прочитаем п.4.5.4, и строим график
сначала для интервале 0 < х < п . Затем, учитывая периодичность функции, копи¬
руем график на интервалы вида пк < х < л + пк для любого целого к, и получа¬
ем график, показанный на рис. 4.23.

Гла8а 4. СВойстВа тригонометрических функций
47
4.6.5.	График функции у(х) = sec(x) .
Для построения этого графика очень удобно построить как вспомогательный
график функции у(х) = cos(x), и график функции у(х) = sec(x) строить на основе
информации этого вспомогательного графика. Так и делаем: на рис.4.24 пунктиром
изображён график функции у(х) = cos(x).
Понятно, что логично построить график сначала для -у < х < у, и далее
правильно скопировать линии для остальных допустимых значений х.
Пусть х = 0 . Тогда cos(x) = 1 , и sec(x) = —= 1; эту точку отмечаем
w	w cos(x)
тс
на плоскости. Если х изменяется от х = 0 для х = — (при этом, конечно, х
не может быть равен ), то cos(x) уменьшается от значения, равного 1 до О,
1
оставаясь больше 0. Значит, обратная величина, то есть sec(x) =	— , уве-
v 7 cos(x)
личивается от значения sec(0)=1 до сколь угодно больших по модулю величин,
оставаясь положительной. Получаем часть графика, показанную на рис.4.24 в пре¬

48
Глаба 4. СВойстВа тригонометрических функции
делах от О < х < у. В силу симметрии графика у = cos(x) относительно оси
ординат график у = sec(x) также оказывается симметричным относительно оси ор¬
динат. Это означает, что часть графика, построенная в пределах 0<х<у,
должна быть отражена относительно оси ординат, после чего получается ветвь
-71	71
графика, находящаяся в пределах -у < х < —. Далее копируем эту ветвь на ко¬
ординатную плоскость столько раз, сколь позволяют наши запасы бумаги и терпе¬
ния, и получаем требуемый график.
4.6.6.	График функции у(х) = csc(x) .
Этот график строится аналогично графику у = sec(x), и получается таким,
как на рис.4.25.

Глаба 4. СВойстВа тригонометрических функций
49

50
Глаба 5. Тригонометрически» mo&gecmBa.
Глава 5. Тригонометрические
тождества.
5.0.	Значения тригонометрических функций
некоторых аргументов.
Часть 1.
1с(-1;0)
Рис.5.1. Значе*
рических функцк
х = 0; х — 7Tj
х = Зя/2
0 Ш1; 0)
0(0; -1)
1ия тригономет-
1Й аргументов
(2; х = тг;
?; х = 2п .
означает, что
сЩ-1 = 0.
cosj^J = О ■,
В дальнейшем нам пригодятся значения
функций некоторых аргументов. Некоторые
из этих значений вычислить очень просто:
достаточно использовать определения соот¬
ветствующих функций и тригонометрический
круг. Эти значения ухе использованы при
построении графиков, и в этом пункте мы
упорядочиваем имеющуюся информацию.
1.	х = 0 . Вторая сторона угла х = 0
пересекается с окружностью в точке
А(1; 0). Это означает, по определению
синуса и косинуса, что cos(0) = 7;
sin(0) = 0 . При этом tg(0) = - ДД = 0 ;
v 7	4 7 cos(0)
ctg(0) неопределён.
2.	X:
ресекает окружность в точке В(0; 1). Это
Тогда: tg\ — | неопределён;
тг	тг
— . Вторая сторона угла х = — пе-
3.	х = тг . Аналогично, внимательно изучая координаты точки С(-7;0), получаем:
cos(/r) = -7 ; sin(rr) = 0 ; tg[.тг) = 0 ; ctg(x) неопределён.
4.	х = -у-. Координаты точки D(0; -7) дают: cos^-^j = 0 ;	= -7 ;
'Зтг)	.. (Зя
Щ — \ неопределен; ctg —
0.

ГлаВа 5. Тригонометрические moikgecmBa.
51
5.1.	Основные тригонометрические тождества.
5.1.1.	Тригонометрическая единица,
или
Основное тригонометрическое тождество.
Пусть на координатной плоскости име¬
ется угол, равный а, и точка А - точка пе¬
ресечения второй его стороны с окружно¬
стью; точки В и С - основания перпенди¬
куляров, опущенных из точки А на оси коор¬
динат (рис.5.2). Замечаем, что
\АС\ = |Ов| = |s/fl(a)|. По Теореме Пифагора
для треугольника О АС:
|ОС|2 +|^С|2 = |ОД|2 , то есть:
С
cos2(ar) + sin2 (а) = 1. (5.1)
Рис.5.2. Основное
тригонометрическое	Определение 5.1: Равенство (5.1) называется
тождество.	основным тригонометрическим тождеством,
или тригонометрической единицей.
Замечание: Равенство (5.1), полезно заметить, есть воплощение Теоремы Пифагора
в тригонометрической форме.@
5.1.2.	Формулы сложения.
Пусть на координатной плоскости имеются два угла, а и р (рис.5.3.1).
Обозначим А и В - соответственно точки пересечения с окружностью их вторых
сторон; D, Е, F, G - основания перпендикуляров, как показано на рис.5.3.1.
Записываем координаты точек А и В: А = A^cosfa); sin(a));
В = B{cos[p); s/'n(/?)j. Тогда: |ВС| = |ОЕ| = |cos(/?) - cos(a)|;
pA\ = \FG\ = |s/n(a) - sin^fi)|. По Теореме Пифагора: |BC|2 + |C^|2 = \АВ\2 , то есть:
(cos(/?) - cos(a))2 + (sin(a) - s//?(/?))2 = |^В|2 .
Раскрываем здесь скобки:
cos2(/?) - 2cos(/?)cos(a) + cos2(a) + sin2(а) - 2sin(ar)s/n(/?) + sin2(fi) = \AE.
Далее учитываем равенство (5.1) и немного преобразуем:
2	- 2^cos(a)cos(/?) + sin(a)sin(fi)} = \АВ\2 .	(*)

52	Глаба 5. Тригонометрические тоАдестба.
косинуса разности. Часть 1.
пунктиром показаны старые
оси координат
Рис.5.3.2. Вывод формулы для
косинуса разности. Часть 2.
(Так как выполняется возведение
в квадрат, и (-Ъ)2 = (Ъ)2 для
любого Ъ, то знак абсолютной
величины можно при возведении
не писать.)
Повернём теперь оси коор¬
динат так, чтобы положительное
направление новой оси абсцисс
совпало со второй стороной угла
Р; это показано на рис.5.3.2.
Обозначим Н и J - основание
перпендикуляров, опущенных из
точки А на новые оси координат.
Получаем: ZAOB = а - J3 , и
координаты точек А и В в новой
системе координат оказываются
такими:
А = /\(cos(« - 0); sin(a - /?));
В = В{1; 0).
По Теореме Пифагора:
\не\2 +\ан\2 =|дб|2 ,
то есть:
(7 - cos(ar - /?))2 +
+ sin(a - р)2 = |>Ав|2.
Раскрываем квадрат суммы:
1	- 2cos(a - 0) +
+ cos2 (а - 0) +
+ sin2(а - 0) = \АВ\2.
Далее учитываем
(5.1), и получаем:
равенство
(**)
и (**), и обнаруживаем, что их
2	- 2cos(a -/?) = |
Теперь разглядываем одновременно равенства (*
правые части равны между собой. Вот именно, значит и левые их части также меж¬
ду собой равны (записываем равенство, начиная с левой части равенства (**) ):
2	- 2cos(a - 0) = 2 - 2^cos(cir)cos(/?) + sin(a)sin[0)).
Элементарные преобразования этого равенства дают:

Глаба 5. Тригонометрические mo)kgecm8a.
53
cos(a - 0) = cos(Qf)cos(/7) + sin(a)sin(0) (5.2) J
Принципиальное Пояснение: Вывод формулы (5.2) основан на том, что расстояние ме¬
жду точками - величина, не зависящая от системы координат; господа математики
называют такие величины инвариантами. Суть вывода в том, что это расстояние
записывается в двух различных системах координат, и полученные выражения при¬
равниваются. Сам факт неизменности расстояния - это истина, принимаемая без
доказательства. Более основательное обсуждение понятия расстояния, пространст¬
ва, и связанных с ними понятий может привести нас к весьма сложным теориям,
так что лучше здесь не углубляться... А то никогда тригонометрию знать не бу¬
дем... 13
Записываем теперь выражение для cos(a + 0) так:
cos(a + 0) = cos(tf - (->9)) = cos(a)cos(-/?) + sin(a)sin(-0) =
[далее учитываем, что функция «синус» - нечётная, функция «косинус» - чётная]
= cos(a)cos(/?) - sin(a)sin(/3).
Итого:
^	cos(a + 0) = cos(a)cos(/7) - sin{a)sin[0) (5.3) J
Продолжаем. Записываем по формуле (5.2) выражение для cosj^ “ аj :
cosj^- - a j = cos|^jcos(a) + s/^yjs//?(«) = [ пользуемся результатами п. 5.0 ]:
Фиксируем этот результат:
= 0*cos(ar) + 1*sin(a) = sin(a).
г
/ \
соя	а = sin(a)
(5.4)
}
	 Г
п	п
Заменяем в равенстве (5.3): а = — - 0; тогда: J3 = — - а , и равенство (5.4)
принимает вид: cos(0) = sin^ - 0 j. Это равенство записываем в противоположном
порядке:
(5.5)
Далее выведем формулу для синуса суммы двух аргументов. При этом пользу¬
емся полученными равенствами (5.2 - 5.5):

54
Глаба 5. Тригонометрические тождества.
sin(a + 0) = cosl | -(а + 0) ] = cos|
= cosj^y - a jcos(/?) + s/^l - a js/n(/?) = sin(a)cos(p) + cos(a)s/>7(/?).
Далее снова пользуемся чётностью функции «косинус» и нечётностью функции «си¬
нус»: sin(a - 0) = sin(a + (-/?)) = s/V?(a)cos(-/?) + cos(a)sin(-0) =
= sin(a)cos(p) - cos(a)sin(j3).
Ещё одна рамочка выглядит так:
^1
sin(a + 0) = sin{a)cos(0) + cos(a)sin[j3) (5.6)
s//?(a - /?) = s/'/t(«)cos(/?) - cos(a)sin{/3) (5.7)
N
Пришла пора заняться тангенсами и котангенсами.
Размышление перед битвой: Всякое равенство мохет рассматриваться как верное
или неверное только если определены все вырахения, входящие в это равенство.
Функция «тангенс» определена не при всех значениях аргумента; именно, она оп¬
ределена только при тех значениях, при которых косинус аргумента не равен О,
Поэтому равенства, которые сейчас будут выведены, определены только при допус¬
тимых значениях аргументов. Для тангенсов это такие значения а и /?, при кото¬
рых cos(a) ф 0 , cos(/?) ф 0 , и cos(cr + 0) ф 0 , то есть при а ф у + як ,
Р ф^ + яп , а + р ф -j + ят при всех целых к, п и т. Для котангенсов
это - аргументы такие, что sin(a) ф 0 , sin^p) ф 0 , и sin(a + 0) ф 0 , то есть:
а ф як , р ф яп , а + р ф ят при всех целых к, п и /77. 0
Преобразуем последовательно:
tg(a + в) = Sin(a + ^ = Slnia)°0S(fl) + cofoMl) =
'	cos(a + 0) cos{a)cos^0) - sin[a)sin[p)
[делим числитель и знаменатель этой дроби на cos(a)cos(/?), при этом учитываем
сделанное Замечание] =
sin(a)cos(p) + cos(a)sin(p)	s/n(ar)cos(/?)	cos(a)sin(p)
cos(a)cos(/?)	cos(a)cos(p)	cos(a)cos(/?)
cos(tf)cos(/?) - sin(a)sin(p)	cos(a)cos(/?)	sin(a)sin[p)
cos(a)cos(p)	cos(a)cos(/?)	cos(ar)cos(/?)

Глаба 5. Тригонометрические токдестба.
55
sin(a) sin(p)
cos(a) cos(/?)
1 sin{a)sin{/3)
cos(a) cos(p)
tg(a) + tg(0)
1 - tg(a)tg(0)
Итого получилось:
Далее пользуемся нечётностью функции «тангенс»:
1	1 - tg(a)tg(-/3) 1 + tg(a)tg(p)
Как повелось, помещаем это в рамочку:
tg{a - ft) ■■
tg(a) - tg(p)
1	+ tg{ctyg{0)
(5.9)
ctg(a + p) = •
Записываем аналогичные преобразования для котангенсов:
cos(ar + р) cos(a)cos(/?) - sin(a)sin(fi)
sin(a + р) sin(a)cos(p) + cos(a)sin(p)
[делим числитель и знаменатель этой дроби на sin(a)sin(p) ] =
cos(a)cos(/?) - sin(a)sin(p) cos(a) cos(p) sin(a)sin(p)
sin(a)sin(p)	s/n(a) s/n(/?) sin(a)sin(p)
sin{a)cos^p) cos(a)sin(p)
sin(a)sin[p) sin(a)sin(p)
_ ctg(a)ctg(p) -1
sin(a)cos(p) + co$(a)sin(p)
sin(a)sin(p)
ctg(p) + cfg(«)
Формула для котангенса разности получается аналогично выводу формулы (5.9).
Оформляем рамку:
ctg(a + р) =
ctg(a)ctg(p) -1
ctg(a) + ctg(p)
\
(5.10)
(5.Ц)
v ' ctg(p) - cfg(a)
/

56
Глаба 5. Тригонометрические moikgecmBa.
Определение 5.2: Равенства (5.2, 5.3, 5.6, 5.7, 5.8, 5.9, 5.10, 5.11) называ¬
ются формулами сложения.
Замечание: Формулы для секанса и косеканса суммы и разности получаются из фор¬
мул для суммы и разности косинуса и синуса, используются крайне редко, и в
случае необходимости секанс и косеканс заменяются обратными величинами: коси¬
нусом и синусом, к которым применяются соответствующие равенства. @
5.1.3.	Функции двойного аргумента.
Положим в формулах (5.3), (5.6), (5.8) р = а. Получаем:
cos(a + а) = cos(<z)cos(cir) - sin(a)sin(a) , то есть:
	ч,
cos(2a) = cos2(a
) - sin2[а)
(5.12)
ц
	С
Далее используем равенство (5.1):
cos(2a) = cos2(or) - sin2[а) = cos2(а) - - cos2(a)j = 2cos2(a) -1 ; и далее:
cos(2or) = cos2[a) - sin2{a) = 1 - sin2(a) - sin2(a) = 1 - 2sin2(a). Эти достижения
логично поместить в одну рамочку:
cos(2a) = 2cos2{a) - 1
(5.13)
cos(2a) = 1 - 2sin2(a)
(5.14)
r
Продолжаем: sin(a + а) =
sin(a)cos(a) + cos(a)sin(a),
то есть:
1
sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
(5.15)
)
tg(a) + tg(a)
Для тангенсов это будет выглядеть так: tgia + а) = —v , ч \ \ ,
1	- tg(a)tg(a)
Из формулы (5.10) получаем:

Глаба 5. Тригонометрические mo)kgecm8a.
57
Определение 5.3: Равенства (5.12 - 5.17) называются формулами удвоения аргумен¬
та. Иные названия: функции двойного аргумента; формулы для функций двойного
аргумента.
Замечание: Аналогично формулам сложения для секанса и косеканса, формулы для
секанса и косеканса двойного аргумента используются крайне редко, так как в
случае необходимости секанс и косеканс заменяются косинусом и синусом соответ¬
ственно .
5.1.4.	Функции тройного аргумента.
Найдём выражение для sin(3aj:
sin[3a) = sin(2a + а) = sin(2a)cos(a) + cos(2a)sin(a) =
= 2s/n(tf)cos(a)cos(a) + sin(a^1 - 2sin2(a)j = 2sin(a)cos2 (a) + sin(a) - 2sin3(a) =
= 2sin(a^1 - sin2(a)j + sin(a) - 2sin3(a) = 3sin(a) - 4sin3(a).
Аналогично для cos(3a): cos(3ar) = cos(2cir)cos(a) - sin(2a)sin(a) =
= |2cos2(a) - ?jcos(a) - 2sin{a)cos{a)sin{a) = 2cos3(a) - cos(a) - 2sin2(a)cos(a) =
= 2cos3(a) - cos(a) - 2^1 - cos2(ar)jcos(a) = 4cos3(a) - 3cos(a).
Ещё одна рамочка:
sin[3a) = 3sin(a) - 4sin3(a)	(5 .18)
cos(3ar) = 4cos3(a) - 3cos(a) (5.19)
Дальше, как сложилось, занимаемся тангенсами и котангенсами. Выражения
для тангенса и котангенса тройного аргумента можно вывести, используя формулы
(5.8) и (5.10). Здесь, однако, показан несколько иной приём для вывода указан¬
ных формул. Заметим перед началом преобразований, что полученные равенства
верны лишь при тех значениях а, при которых определены все входящие в равенст¬
во величины. Действуем:
_ sin(3a) _ 3sin(a) - 4sin(a) _ 3sin(ajcos2(а) + s/n2(a)) - 4sin3(a) _
cos(3a) 4cos3(a) - Зсо5(а) 4cos3(a) - 3cos(a^cos2(qr) + sin2[a)j
3sin(a)cos2(a) - sin3(a)
=	3^	^2	 " = [разделим числитель и знаменатель дроби на
cos (а) - 3sin (a)cos(ar)
cos3(a)]

58	Глаба 5. Тригонометрические тоЖдестба.
3sin(a)cos (а) - sin (a) 3sin(a)cos (a) sin (а)
cos3(a)	cos3(a) cos3(a) 3tg(a) - fgf3(a)
cos (a) - 3s/V? (a)cos(a) cos (a) 3s/n (a)cos(a)
cos3 (a)	cos3 (a) cos3 (a)
Вот и получилась рамочка:
3tg (а)
Аналогично выводится выражение для ctg(3a). (Кстати, полезно это на самом де¬
ле проделать аналогично, но самостоятельно, а потом сравнить свои записи с
тем, что имеется здесь.)
_ cos(3a) _ 4cos3(a) - 3cos(a) _ 4cos\a) - 3cos(ajcos2(a) + s/V?2(a)) ^
sin(3a) 3sin(a) - 4sin3(a) 3sin{a)^cos2(a) + sin2(a)j - 4sin3(a)
cos3(a) - 3sin2(a)cos(a)
=	——^= [делим числитель и знаменатель этой дроби на
3sin(a)cos (a) - sin (a)
.3 Ctg3(a) - 3ctg(a)
sin (a) =		—.
1	П 3ctg\a)-1
Вот ещё один способ вывода интересующей нас формулы. Исходим из равенства
(5.20), в котором заменяем все тангенсы через котангенсы, то есть записываем
равенство (5.20) так:
1	ctg(a) ctg3(a)
ctg(3a) 1 _ 3
ctg\a)
, и преобразуем его. Сначала записываем обратные
1 -
величины к обеим его частям: ctg(3a) = ■
ctg (а)
■= [и далее умножаем
числитель и знаменатель этой дроби на ctg (a) ]
этих трудов пишем в рамку:
ctg(a) ctg3(a)
ctg3(a) - 3ctg(a)
3ctg (a) -1
. Результат

Глаба 5. Тригонометрические тоэкдеешВа.	59
ctg(3a) =
ctg3 (а) - 3ctg(a)
3ctg2(a) - 1
(5.21)
Определение 5.4: Равенства (5.18 - 5.21) аналогично равенствам п.5.1.3 назовём
формулами утроения аргумента, или формулами для функций тройного аргумента.
Эти названия, при всей их понятности, не являются, однако, широко употребляе¬
мыми.
Замечание: В задачах редко появляется необходимость использования формул для
функций четырёхкратных, пятикратных и так далее аргументов, поэтому они здесь
не выводятся. Способы их вывода аналогичны способу вывода формул трёхкратных
аргументов; кроме того, имеются и другие способы, в частности, основанные на
применении комплексной алгебры. В дальнейшем нам понадобится для вычисления
функций некоторых аргументов формулы для выражения sin(5a) и cos(5a) через
sin(a) и cos(ar). Эти формулы будут выведены, так сказать, на месте, чтобы
здесь не загромождать основной курс. @
5.1.5.	Формулы понижения степени. Часть 1.
Из равенств (5.13) и (5.14) получаем:
Делим равенство (5.23) на равенство (5.22), помня про то, что полученное
равенство верно только при тех значениях аргумента, при которых оно определе-
п
но, то есть при а * — + пк для любого целого к. Кроме того, делим равенство
(5.22) на равенство (5.23), и помним, что полученное равенство верно при тех
значениях аргумента, при которых оно определено, то есть при а*пп для любо¬
го целого п. Полученные результаты записываем в одну рамку:
2/ ч 1 - cos(2a)
tg (а) =	)—$■
' ' 1 + cos(2a)
2/ ч 1 + cos(2a)
ctg (a) =	)—f
V ' 1 - cos(2a)
(5.24)
(5.25)

60
Глаба 5. Тригонометрические тоЖдестВа.
Определение 5.5: Формулы (5.22 - 5.25) называются формулами понижения степени.
Замечание-1: Очень полезно не путать функции и твёрдо помнить, что ВСЕ выве¬
денные здесь формулы содержат в правых частях именно cos(2a), то есть
sin2(a), cos2(a), tg2(a) и ctg2(a) выражаются только через cos(2a), но не че¬
рез что-то другое. 13
Замечание-2: Формулы для cos3(a), sin3(а), и аналогичные будут выведены
далее.
Замечание-З: Название этих формул объясняется очень логично и просто: они выра¬
жают вторые степени функций через первые степени. При этом, заметим, аргумент
увеличивается в 2 раза.
5.1.6.	Выражение sin(a) и cos(a) через	.
Запишем выражение для sin(a) так: sin(a) = 2s//T^yjcos^yj . Здесь, как лег¬
ко увидеть, использовано равенство (5.15) для аргумента, равного у. Продол¬
жаем, разделив выражение для sin(a) на 1; при этом число 1 записываем в триго¬
нометрической форме (5.1): sin(a) = 2s/n|^jcosj^j =
K?Hf
2(
a
COS
{
~2
•fcll
I
' U ]
I
_._2f a_
~2
2s/n(§]°os[i
Ai)
COS
/ \
a
/ \
a
—
COS
UJ
[2J
COS
/ \
a
. 2
/ \
a
2
/ \
a
. 2
/ \
a
—
+ sin
—
cos
—
sin
—
UJ
I2J
- -L
12)
1 + *ii
COS
2 a
COS I-
cos
f)

Глаба 5. Тригонометрические тоЖдестба.
61
Аналогично для cos(ar):
cos
2 а
cos(a) =
sin
2 а
2 а
COS I-
. 2 а
Sin I-
COS
cos
га] . 2 a
COS I - + sin -
COS
v2y
sin
2 a
cos -
2 a
cos -
’Ml
Помещаем оба этих равенства в одну рамку:
Замечание-1: Аналогично предыдущим равенствам, содержащим тангенс, заметим, что
равенства (5.26, 5.27) верны при тех значениях аргумента, при которых они оп-
(аЛ
ределены. Это означает, что при cosl — = 0 правые части этих равенств неопре-
делена, и говорить о верности или неверности равенств нет смысла.
Замечание-2: Аналогично формулам (5.26, 5.27) можно получить выражения для
sin(a) и cos(a) через c^jyj • Однако эти формулы весьма малоупотребительны, и
здесь не выводятся и не приводятся
№

62	Глаба S. Тригонометрические тоАдестба.
5.1.7. Выражение
’^(т) и с^(т) че^ез s/n(a) и cos(a) •
Выполняем последовательно преобразования:
.И К?)	, >1
Щ — \ =	т^т = [умножаем числитель и знаменатель на 2соа — ]
ч§
wnf-lcosf-
2s/„
	- [используем равенства (5.15) и (5.22)] =
—	s s.	—	[ flwllv/lOJjr СП £/vlJPwЛw 1DQ ^ J • 1J | П | J • LL | J —	. >. •
2cos<§]	f+C0S(a)
Теперь делаем аналогичные преобразования, но умножаем числитель и знаме¬
натель дроби на 2siri — \ и учитываем равенства (5.15) и (5.23):
К?) •
,г<л 4fl 2s,"\lJ <-«■*■)
" 2J	*<«)
соя ■ ,
[2 [2 12
. Получили ещё пару формул:
Замечание: Эти равенства верны при тех значениях аргумента, при которых они оп¬
ределены, то есть при а ф /г(7 + 2к) для равенства (5.28), и при а * пп для
равенства (5.29) для любого целого к и п. ®
Выражения для	записываются сразу из полученных равенств:

Глаба S. Тригонометрические moikgeemBa.
63
J
sin(a)
(5.30)
sin(a)
(5.31)
1 - COs(tf)
\
r
Замечание: Аналогично предыдущим равенствам, эти равенства также верны при	тех
значениях аргумента, при которых они определены, то есть для тех значений	ар¬
гументов, при которых знаменатели не равны 0. Равенство (5.30) определенно	при
х * пк , равенство (5.31) определено при х±2пп для любых целых значений	к и
Замечание: Под суммами, как повелось в алгебре, здесь подразумевается алгебраи¬
ческая сумма, то есть несколько выражений, соединённых знаками «плюс» и «ми¬
нус» .13
Пусть необходимо преобразовать в сумму произведение s/n(a)cos(/?). Записы¬
ваем формулы сложения, в которых присутствуют произведения синуса на косинус:
sin(a + 0) = sin(a)cos(fl) + cos(a)sin(/3);
sin(a - 0) = sin{a)/cos^0) - cos(a)sin(/3).
Складываем эти равенства и делим полученную сумму на 2:
Преобразовываем в сумму произведение cos(a)cos(/?) и sin(a)sin[j3); для это¬
го записываем формулы сложения, содержащие cos(a)cos(/?):
cos(ar + 0) = cos(flr)cos(/?) - si n(a)sin(p) ;
cos(ar - 0) = cos(a)cos(/?) + sin{a)sin[0).
Полусумма и полуразность (из второго равенства вычитаем первое равенство) этих
равенств дают соответственно:
/7.0
5.1.8.	Преобразование произведений
тригонометрических функций в суммы.

64
Глаба 5. Тригонометрические тождества.
Эти достижения записываем в одну рамку, изменив порядок записи на противопо¬
ложный :
Определение 5.6: Эти формулы называются формулами преобразования произведений
тригонометрических функций в суммы.
Замечание: Специальных формул для преобразования произведений тангенсов и ко¬
тангенсов в суммы нет; в необходимых случаях выражения вида tg(a)jtg{0),
суммы преобразуются отдельно числитель и знаменатель по записанным здесь фор¬
мулам. @
5.1.9.	Преобразование сумм тригонометрических
функций в произведения.
Пусть требуется преобразовать в произведение, например, сумму
sin(a) + s/n(/?). Записываем синусы суммы и разности двух других аргументов,
обозначим их х и у:
s/n(x + у) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y);
s/V?(x - у) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y);
и складываем эти равенства (поскольку требуется записать в виде произведения
именно сумму синусов):
В левой части равенства (А) уже можно писать аргументы а и р, однако величины
х и у в правой части равенства (А) следует выразить через а и /?. Полусумма и
j
Л
г
и т.д., и в
5.1.9.1.	Преобразование в произведения
сумм синусов и косинусов.
s/'n(x + у) + s/n(x - у) = 2sin(x)cos(y).
(А)
Далее делаем замену:
(Б)

Глаба 5. Тригонометрические то)кдест8а.
65
полуразность уравнений системы (Б) дают:
ния для х и у в равенство (А) и получаем:
У =
а + р
2 '
а-р
Подставляем эти вырахе-
sin(a) + sin(p) = 2sir\^ * -
Аналогично получаем ещё три равенства и все четыре равенства пишем вместе:
sin(a) + sin(p) = 2s/'n^-^-i-^jcos^—
Р
sin(a) - sin(p) = 2sir{^-T^\o^ a + ^
cos(ar) - cos[p) = 2sir{a + ^ a
(5.35)
(5.36)
cos(a) + cos(p) = 2coJa * jcosf ^a ^ j (5.37)
(5.38)
Полученные равенства содерхат в левых частях суммы и разности одинаковых
функций. Для преобразования в произведения сумм и разностей разных функций
применяем простой приём, основанных на использовании равенств (5.4) и (5.5).
Например, пусть требуется записать в виде произведения сумму sin(a) + cos(/?).
Используем равенство (5.5): sin(a) + cos(/?) = sin(a) + s//?|y “ P^j = [Далее при-
_ . (a - P лЛ (a ■
равенство (5.35)] = 2smI—-— + —Icosl —
меняем
+ p n
Ещё пример:
cos(a) - sin(p) = cos(tf) - cosjy - p \ = 2siri^—^~ +
Пояснение: Выбор замены синуса через косинус или косинуса через синус, то есть
выбор формул (5.4) или (5.5) - вопрос собственного хелания, и не более того. В
виде вариантов мохет получиться разность косинусов, сумма синусов, и так да¬
лее, и в кахдом варианте следует применять одну из формул (5.35- 5.38). Таким

66
Глаба 5. Тригонометрические mokgecmBa.
образом, две полученные здесь формулы приведены исключительно для примера,
чтобы показать метод преобразований. Оформляем рамочку:
J	V,
sin(a) + cos{0) = 2siri?-^- +	(5.39)
cos(«) - sin(fi) = 2sJ-+ jW-j - ^Y~\ (5.40)
^			r
5.1.9.2.	Преобразование в произведения
сумм тангенсов и котангенсов.
Пусть требуется записать в виде произведения сумму tg(a) +tg(P)• Выполняем
преобразования:
tnlr,\ + tntn\ = S/n(g) + Sirip) = 4)"^ +	= Sinia + Р)
' ' ' 7 cos(ar) cos(p)	cos(a)cos(0)	cos(a)cos[0) *
Ещё пример:
cos(«) sin^0) cos(a)cos(/?) - sin(a)sin(fi) cos(a + 0)
sin(a) cos(/?)	sin{a)cos[j3)	sin(a)cos(/3) *
Помнить формы равенств при всевозможных сочетаниях тангенсов и котангенсов в
качестве слагаемых нет необходимости; достаточно помнить способ вывода этих
равенств, и в случае необходимости быстро этот вывод проделать. Поэтому в рам¬
ку помещаем только то, что выведено нашим напряжением мысли, оставляя читате¬
лям возможность поработать дальше самостоятельно.
tg(a) + tg(0) =
ctg(a) - tg(0) =
sin(a + 0)
cos(a)cos(/?)
cos(a + 0)
sin(ct)cos[0)
(5.41)
(5.42)
Определение 5.7: Формулы (5.35 - 5.42) и аналогичные равенства называются пре¬
образованиями сумм тригонометрических функций в произведения.
5.1.10.	Формулы без названия. Часть 1.
Запишем здесь ещё раз равенство (5.1): cos2(a) + sin2(а) = 1, и разделим

Глаба 5. Тригонометрические токдестба.
67
его на cos2(a): 1 + tg2(a) =	\—. Отсюда: cos2(or) =	—.
w	v ; cos (a)	w 1 + tg (а)
Разделим теперь равенство (5.1) на sin2(a): ctg2(а) + 1 = —\—. Из
sin (а)
■ */ ч	1
этого равенства: sin Iа = 	=—. Пары полученных равенств разумно про-
1	+ ctg (а)
нумеровать каждую одним номером:
Получим ещё одно симпатичное равенство: для секанса и косеканса.
1	1 sin2 {а) + cos2(a)
sec (а) + csc (а) =
cos (a) sin (а) cos (a)sin (а)
1	1	1 sec2(a)*csc2(ar).
cos {ajsin (a) cos (a) sin (а)
Получилась приятная вещица, достойная быть помещённой в рамку: сумма квадратов
секанса и косеканса равна произведению этих же квадратов.
J—
sec2(a
:) + csc2(ar
) = sec2(ar)*csc2(or)
(5.45)
V.
ц
	г
5.1.11.	Формулы понижения степени. Часть 2.
у
Из равенства (5.18) получаем: : sin3{а) =-^3*sirt(a) - sin(3a)}.
Из равенства (5.19) получаем: cos3(ar) = ^3*cos{a) + cos(3or)).
Эти равенства необходимо, конечно, поместить в рамку:

68
Глаба 5. Тригонометрические moikgecmfia.
J
V
л
г
Замечание: Специальных формул понижения третьей степени для тангенса и котан¬
генса нет; в необходимых случаях тангенс или котангенс записываются в виде ча¬
стного, и к числителю и знаменателю применяются формулы (5.46) и (5.47).@
Возведение в квадрат равенств (5.23) и (5.22) и последующее применение
Определение 5.8: Равенства (5.46 - 5.49) называются формулами понижения степе¬
ни.
Замечание-1: Формулы понижения четвёртой степени для тангенса и котангенса за¬
писываются аналогично формулам (5.24, 5.25) делением необходимым образом ра¬
венств (5.48) и (5.49).
Замечание-2: Аналогично равенствам (5.22 - 5.25), следует в необходимых случаях
указывать, какая именно степень понижается: вторая, третья, и так далее. Как
правило, здесь сомнений и неясностей не возникает.S
В нечастых случаях бывает полезно знать о существовании удобных равенств,
которые будут здесь легко выведены.
равенства (5.22) для cos2(2а) дают равенства:
Л
Г
5.1.12.	Формулы бед названия. Часть 2,
или
Преобразование разностей квадратов
тригонометрических функций в произведения.
sin2(а) - sin2(p) =
1	- cos(2a) - (l - cos{2/?)) _ cos(2fi) - cos(2a)
2
2

	Глаба 5. Тригонометрические пинкдестба.	69
2 2/?)
= 			^—-		 = s/n(a + /?)s/n(a - /?) .
Аналогично выводятся ещё два равенства; все эти результаты помещаем в рамку.
sin2(а) - sin2(0) = sin(a + 0)sin(a - 0) (5.50)
cos2(a) - cos2(y?) = sin(a + fi)sin(fi - a)	(5.51)
cos2(a) - sin2(0) = cos(ar + 0)cos(a - 0) (5.52)
Размышление: Выводы тригонометрических равенств можно продолжать сколь угодно
долго, поэтому важно вовремя остановиться, и перейти к следующему пункту. 13
5.2.	Зависимости между
тригонометрическими функциями
одного и того же аргумента.
Зависимости между функциями одного и того же аргумента лучше всего запи¬
сать в таблице, которая помещена далее; это - таблица 5.1.
Предварительное замечание о двойных знаках: в равенствах, которые сейчас будут
записаны в таблице, всюду, где имеется знак квадратного корня, записывается
также знак ±. По формальных причинам это необходимо: извлекается корень чётной
степени. Фактически наличие двойного знака перед радикалом означает, что знак
функции, стоящей в левой части равенства, может не совпадать со знаком функции
в правой части. Необходимо помнить простое правило: знак «+» или «-« выбирает¬
ся в зависимости от четверти, в которой оканчивается угол. 13
Из формулы (5.1) легко получаются выражения sin(a) через cos(ar) и cos(a)
через sin(a); эти выражения помещаем в нужные клетки таблицы.
■у
Далее записываем здесь второе равенство (5.44): sin (а) = 	=— и
1	+ ctg (а)
- . 2/ ч 1 . , s 1 tg2(a)
заменяем в нем ctg \а\ = —-— ; получаем: sm(a) =		— = —-—~■— .
tg (a)	1 + _L_ tg (a) + 1
tg (a)
После извлечения корня (с двойным знаком!!!) записываем полученное выражение в
клетку таблицы.

70	Глаба 5. Тригонометрические тождества.
. / \ ±1
Из первого равенства (5.44) получаем: smla) = .	^=- и записываем
^ + cfg2(«)
это в таблицу. Из второго равенства (5.43) получаем выражение cos(a) через
±1 j
tg(a): costa) = —===== . Заменяем здесь tg(a) = —— , и получаем:
+ tg2(a)	Ма)
±ctg(a)
cosfar) = ■■■■■■. ■■ ~ . Помещаем эти равенства в таблицу и занимаемся выраже-
Jl + ctg2(a)
sin(a) sinla) ±J1 - cos2(a)
ниями для tgia): tg(a) =	= —========= = —		—	. Выражение
со<а) ±Jl - sin2(a)	cosia)
tg(a) через ctg(a) записывается без особого напряжения. Аналогично пишем выра¬
жения для ctg(a), сразу помещаем их в таблицу и некоторое время любуемся ре¬
зультатом.
Законный Вопрос Лектору: Почему в таблице нет секансов и косекансов?
Законный ответ Лектора: Уже неоднократно упоминалось, что функции «секанс» и
«косеканс» употребляются редко; в случае необходимости заменяются соответст¬
венно через косинус и синус. Ну всё же, если Начальство требует, например, вы¬
разить косеканс через котангенс, то записываем сначала выражение синуса через
котангенс: sinla) = .	=, и затем заменяем:
+ ctg2(a)
	7-г = -р=^== / откуда: csda) = ±Jl + ctg2(a) .
cscia) ^1 + ctg2(a)	У
Ещё пример: выражение секанса через косеканс. Из равенства (5.1):
11	, ч ±csc(a)	г-.
	-— +	-— = 1, откуда: secfa) = .	-— . Просто и быстро! l*J
sec (a) csc (a)	Jcsc2(a) - 1

Глаба 5. Тригонометрические mo&gecmBa.
71
Таблица 5.1.
(под каждой формулой записан её номер)
через
что
что
sin(a)
cos
И
ctg(a)
sir>(a) =
±ijl - cos2 (a)
(5.53)
±tg(a)
I
1 + tg (or)
(5.54)
±1
1 + ctg2(a)
(5.55)
cos(a) =
±ijl - sin2(a)
(5.56)
±1
1 + tg2(a)
(5.57)
±ctg(a)
1 + ctg2 (a)
(5.58)
fg(a) =
±sin(a)
1 - sin (a)
(5.59)
h^t-COS2(a)
cos(a)
(5.60)
ctg(a)
(5.61)
ctg(a) =
±^1 -sin2 (a)
sin(a)
(5.62)
±cos(a)
1-cos (a)
(5.63)
tg{a)
(5.64)
5.3.	Формулы приведения.
Замечание: Очень важно запомнить, как пишется слово «привЕдение». Не следует
путать его со словом «привИдение», обозначающим совсем иное понятие.[3
Определение 5.9: Представление выражений вида sinl а + —] , cos[ а + —],
. {	( ккЛ	„	пк
Ща+~2~\' сЩа + ~£~\ ПРИ ~ ^ в форме, не содержащей слагаемое —,
называется формулами приведения.

72
ГлаВа 5. Тригонометрические пннкдестВа.
Пояснение: Обращаем наше внимание на то, что формулами приведения называются
только такие, в которых в левой части имеется слагаемое, кратное — . Преобра¬
зования выражении, например,
s/niz+'r)' t9[x~i
НЕ являются
формулами приведения.0
Преобразования выражений, описанных в Определении 5.9, выполняются по
формулам сложения п.5.1.2.
Замечание: В некоторых учебниках приведено довольно громоздкое правило для вы¬
полнения указанных преобразований. Следует заметить, что правило это весьма
надуманно, неудобно и ограничено в применении, и влечёт очень много ошибок в
результатах. Поэтому здесь оно не формулируется.0
Общие формулы здесь не нужны, и едва ли кто-то их помнит. В случае необ¬
ходимости формула сложения применяется к нужному выражению. Здесь на примерах
показано, как это делается. Иллюстрацией будет служить рисунок 5.4, на который
дальше делаться не будут.
Пример 1: Преобразование выражения
./ Зтг)
siii а	.
I 2 J
. (Зп
Прежде всего запишем значения sin —
cos(t^ ■
а + М2п +1)[
Рис.5.4. Формулы приведения.
Точка пересечения второй сторо-
Зп
~2~
точка D, Поэтому sin
ны угла, равного
с окружностью, есть
s/7?| а - = s/n(ar)cos^-^j - cos(a)sir^^-j = cos(cr). Простенько и надёжно, без
всяких умопомрачительных так называемых «правил»!
Пример 2: Преобразование выражения cos(a+77r). Здесь показаны два способа
преобразований: более формальный, чем быстрый, и более быстрый, чем формаль¬
ный.
Способ-1, более формальный, чем быстрый: применение формул сложения. Точка пе¬
ресечения второй стороны угла, равного 7л , есть точка С. Значит,
sin(7TT) = 0 , cos(7/r) = -1. Получаем:
cos(ar + 7/г) = cos(or)cos(7/r) - sin(a)sin(7 я) = -cos(cr) .
Способ-2, более быстрый, чем формальный: Пусть Е и F - точки пересечения

Глебе 5. Тригонометрические тоАдестбо.	73
вторых сторон углов, равных а н а + 7 л соответственно; G и Н - основа¬
ния перпендикуляров, опущенных из точек Е и F на ось абсцисс. Так как раз¬
ность углов а и а + 7 л равна нечётному числу полоборотов, то точки Е и
F - диаметрально противоположны. Тогда треугольники OEG и OFH равны, и
значит, |OG| = |ОН|. Но знаки этих отрезков противоположны, а это как раз и
означает, что противоположны соответствующие косинусы. Попутно получили, кста¬
ти, что sin(a + 7 л) = - sin(a).
Замечание: Несмотря на то, что на Способ-2 ушло больше бумаги, чем на Способ-1,
действия и рассуждения Способом-2 должны выполняться мгновенно, в уме и пра¬
вильно. S
Пример 3: Преобразование выражения tg(a +137 л). Здесь, строго говоря, нечего
преобразовывать: период функции «тангенс» равен л-, и в силу периодичности пи¬
шем сразу: tg(a +137л) = tg(a).
Пример 4: Преобразование выражения tg^a - . Замечаем, что вторая сторона
9л	0 , (9л\
угла, равного —, пересекает окружность в точке В, и	неопределен.
.< »*) «М-'#)
Это означает, что равенство tg\а	=	7—4- неопределено: его
L г > ,.
правая часть не может быть вычислена. Следует идти, конечно, иным путём: имен¬
но, таким:
■1 &п
sin(a)cos^pj - cos(a)s/^j
is(a “ т) С0^Нт) + *<“)■*{¥)
[учитываем, что sin
'9лЛ „ (9л) Л -cos(a) -1
—	\ = 1} cod — = 0 ] =	= —-г— = -ctg(a).
2)	{ 2 )	sin{a) tg{a) Уу >
(Здесь результат записан как через тангенс, так и через котангенс: кому что
нравится.)
4367л)
Пример 5: Преобразование выражения cos|a -
2
Сразу замечаем, что от-
4367л
считывать на тригонометрическом круге угол —-— затруднительно (можем не
успеть к обеду...), поэтому следует вспомнить о периодичности функции «коси-
4367л „ 4367л	3
нус». Разделим 	 на 2л: 	 = 1091 + — . Тогда:
2	2*2л	4

74
Глаба 5. Тригонометрические то)кдест8а.
4367л	3	Зл
	 = 2тг*1091 + 2к*— = 2тг*1091 + — . Далее записываем:
2	4	2
cos|a -
4367л:
= cos) а - 1091*2 л: - 1 = cosl а -
I	2) { 2
Зл-
cos(a)cos|^- + sin(a)sir^^-j = cos(a)*0 + sin(a)*(-1) = -sin(a) .
Некоторые формулы приведения часто используются, и их стоит запомнить
сразу и навсегда. Это - в первую очередь формулы (5.4) и (5.5), а также запи¬
санные в рамке формулы (5.65) и (5.66):
5.3.1.	Формулы приведения и
графики тригонометрических функций.
Выполним преобразования:
sir^x + уj = s/>?(x)c0s|^-j + COs(x)s//T^yj = s/n(x)*0 + cos(x)*t = cos(x),
то есть:	sin^x +1j = cos(x).
Это равенство означает, что график функции у(х) = cos(x) получается из
графика функции у(х) = s//i(x) сдвигом влево на величину, равную -у и график

Глаба 5. Тригонометрические токдестба.
75
функции у(х) = sec(x) =	r-r получается из графика функции
v 7 w cos(x)
у(х) = csc(x) = —- также сдвигом влево на величину, равную — . Вниматель-
w w sin(x)	2
ный взгляд на рис. 4.20 и 4.21 (п.4.6.1 и 4.6.2), и на рис. 4.24.и 4.25 (п.
4.6.6.) даст нам возможность в этом лично убедиться.
5.4.	Значения тригонометрических функций
некоторых аргументов.
Часть 2.
5.4.1.	Функции аргументов, равных — и —
6	3
Построим на координатной
плоскости
равный —
угол
(рис.5.5); на чертеже это -
угол СОА. Пусть точка А -
точка пересечения второй его
стороны с окружностью;
/СОВ = —. Тогда (не будем
6
слишком подробно останавливать¬
ся на доказательствах) ААОВ -
равносторонний, точка С - сере¬
дина стороны АВ; отрезок ОС -
медиана, биссектриса и высота в
ААОВ . Из всего этого следует,
что АС 1 ОС , и
Ис1=|ле1 = |м = {'
есть sinf—) = —
IfiJ 2
Теперь полу¬
чаем значения остальных функций. При этом имеем в виду, что для углов а, окан¬
чивающихся в первой четверти, cos(a) > 0 , tg(a) > 0 , ctg(a) > 0 , то есть перед
радикалами там, где возникает такая необходимость, выбирается знак «+».
Из равенства (5.56) таблицы 5.1:
‘	V3
2
со{ъ
=

76
Глаба 5. Тригонометрические пинкдестба.
Далее, из равенств (5.59) и (5.64):	= -j= = ; cfg^-j = >/з .
(к лЛ . /лЛ
Теперь воспользуемся равенствами (5.4) и (5.5.): cosl — - — = sinI — ,
то есть cosj^-j = s/n^jj = • Далее из равенств (5.59) и (5.64):
U
#М?)-7ГТ
5.4.2.	Функции аргумента, равного — .
Построим на координатной плоскости угол, равный — (рис.5.6). Точка пере-
4
сечения второй его стороны с окружностью обозначена буквочкой А, основание
перпендикуляра, опущенного из А на ось абсцисс, обозначено буквочкой В.
Так как ZAOB = ^, то ААОВ - равнобедренный, и |ДВ| = |08|. Обозначим
р. То Теореме Пифагора для А ОАВ имеем: |ОБ|2 + \АВ\2 = |ОД|2 , то есть
р2 + р2 = 1, откуда:
1 Я
р = -j= = -у . Получаем, что
/ лЛ л/2
= cosl— = —. Тогда

Гла8а 5. Тригонометрические moikgecmBa.
77
5.5.	Преобразование выражений вида
Р(а) = a*cos(a) + b*sin(a) при а2 + Ь2 ф 0 .
Замечание: Очень легко сообразить: условие а2 + Ь2 * 0 означает, что по край¬
ней мере одно из чисел а или Ь не равно 0. Это в дальнейшем пригодится. Если
бы было а = Ь = 0, то выражение Р(а) = a*cos(a) + b*sin(a) было бы равно О
при всех значениях а, и преобразовывать его было бы малосодержательно. 13
Обозначим R = ^а2 + Ь2 , и учитываем, что здесь R ф 0 . Записываем вы¬
ражения для Р(а) так: Р(а) =	+ -^s/7?(«)j .	(А)
Обозначим <р - такой угол, что cos(^) =	.
Законный Вопрос-1: Существует ли такой угол? Ведь мало ли что и как можно
обозначить!
Законный omBem-1: Такой угол существует:
(аV fbY .
легко видно, что — + — =1 . Это оз-
начает, что если отложить на координатных
осях (то есть на линиях косинусов и синусов)
соответственно отрезки, равные (с учётом
а Ь
знаков) — и —, как это сделано на
R R
рис.5.7, то перпендикуляры, восстановленные
в точках А и В (см.рис.5.7), пересекутся в
точке С, находящейся на окружности, но не
вне её и не внутри неё. Угол между положи¬
тельным направлением полуоси абсцисс и лучом
ОС и есть угол ф.Ш
С учётом сделанного обсуждения выражение (А) принимает вид:
Р(а) = R(cos((p)cos(a) + sin{(p)sin{a)) = Rcos(a - (р).	(Б)
Таким образом, выражение Р(а) = a*cos(a) + b*sin(a) можно преобразовать к ви¬
ду:	Р(а) = ^а2 + b2 cos(a - <р),
где (р - такой угол, что cos(^) =
т]а2 + Ь2
Определение 5.10: Величина R = ^а2 + ь2 называется амплитудой выражения
P(a) = a*cos(a) + b*sin(a).

78	Глаба 5. Тригонометрические moAgecmBa.
Примечание: Величину ср называют иногда вспомогательным углом, но «официально¬
го» названия для неё нет. Если вспомнить некоторые факты из электротехники, то
величину ср можно назвать также фазой.0
»	а	b
Законный Вопрос-2: Почему число (р выбрано так, что cos(^) = —; sin{<p) = — , то
не наоборот: cos(^) = s/n(^) =^? Что будет, если косинус и синус поменя¬
ются местами?
Законный omBem-2: Будет ПОЧТИ то же самое, что уже получено. Пусть у/ - такой
угол (то есть такое число), что cos(^) = —; sin(y/) = — . Тогда выражение для
Р(а) принимает вид:
Р(а) = R^cos(a)sin(i//) + sin^ajcos^^fj = ^а2 + b2sin(a + у/) . (В)
Здесь выбор замен, то есть выбор формы представления выражения для Р(а) в
форме (Б) или в форме (В) - вопрос конкретной задачи, вопрос интересов её ре¬
шающего, и так далее.0
5.5.0.	График функции у(х) = a*cos(^yx) + b*sin(cox) .
Пусть имеется функция у(х) = a*cos(tyx) + b*sin(cox), где а, Ь, со - неко¬
торые постоянные величины; при этом а + Ь2 > 0 (это означает, что по крайней
мере одно из чисел а или b не равно 0), и со ф 0 (при со = 0 функция
принимает очень «неинтересный» вид). В силу равенств (Б) или (В) функцию можно
записать так: у(х) = ^а2 + b2sin(cox + г), или у(х) = ^а2 + b2cos(cox + в),
где г или в - некоторые углы. Из этого следует, что график функции
у(х) = a*cos(6>x) + b*sin(cox) - также синусоида, «высота» которой (от оси абс¬
цисс ) равна л/а2 + Ь2 , и период равен , то есть это - обычная синусоида,
со
только сдвинутая на некоторую величину вдоль оси абсцисс, и растянутая в на¬
правлении оси ординат в ^а2 + Ь2 раз. График функции приведён на рис.5.8.
Примечание: Здесь в отношении графика неправильно употреблён термин «периодич¬
ность», поскольку понятие «периодичность» относится к функциям, но не к графи¬
кам. Однако это понятие несложно перенести на понятие графика: в данном случае
график копирует себя на всей числовой оси на каждом отрезке длины, равной

Глаба 5, Тригонометрические то&дестба.
79
5.5.1.	Важные частные случаи.
Рассмотрим	частные	случаи	преобразований	выражений
Р(а) = a*cos(a) + b*sin(a) при некоторых значениях а и Ь. Эти выражения час¬
то встречаются в задачах, и умение увидеть и преобразовать их оказывается
принципиальным для решения задачи. При этом иногда можно подбирать вспомога¬
тельный угол так, что выражение будет совпадать с тем, что здесь записано, с
точностью до знаков «+» и «-« перед слагаемыми; ниже это показано на примерах.
5 . 5 .1.1. Случай а = ±1; b = ±1 .
Рассмотрим сначала случай а = 1; b = 1. Выражение для Р(а) принимает
вид: Р(а) = cos(a) + sin(a). Здесь r = a/777 = 45, и дальнейшие преобра¬
зования такие
: cos(a) + sin(a) = V^-^=cos(tf) + -J=sin(a)
= [далее заменяем:
1
Г2
sin
(лЛ 1
— = cos
_!Л
II
{4
[4
Это же выражение можно преобразовать так:
cos(a) + sin(a) = cos(a)cos|^j + sin{a)sin^j = л[2со^а - ~j .
Выражение P(a) = -cos(a) + sin(a) преобразуется аналогично (в одной из форм):
(_ -j j \
-cos(a) + sin(a) = —=cos(ar) + —=s/n(a) =
lv2 V 2

80
ГлаВа 5. Тригонометрические тоАдестба.
= л]~2 -cos^jjcos(flr) + sir^^jsin{a) = -J~2coJ^a + .
Остальные сочетания знаков «+» и «-» величин а и b рассматриваются ана¬
логично.
5 . 5 .1.2 . Случай а = ±л[з ; Ь = ±1 или а = ±1; ь = ±4з.
R-Jyff
+ 1 = 2 . Рассмот-
Для каждого варианта этого случая имеем:
рим парочку примеров.
*J~3cos(a) - sin(a) = 2 ^-cos(a) - ^sin(a) = 2 cos^-jcos(tf) - s/n^-^js/n(a)
= 2co;
cos(ar) + J3sin(a) = 2
|c°s(a) + ^-sin(a)
= 2
s/nl ^ jcos^or) + cosl Js/'/T(cjr)
= 2sT + f •
Остальные варианты для этого случая преобразуются согласно разумению и целям
того, кто решает задачу.
5.6.	Значения тригонометрических функций
некоторых аргументов. Часть 3.
Здесь будут получены значения функций тех аргументов, для которых эти
значения не находятся непосредственно из геометрических соображений, как это
_ л к п п
сделано ранее для .аргументов, равных 0; —; —; —; — . При этом значения функ¬
ций здесь находятся для аргументов, оканчивающихся в первой четверти, то есть
получаемые значения - положительны; это учитывается при записи знака перед ра¬
дикалом.
5.6.1.	Значения функций для аргументов,
п Зп
равных — и —.
8 8
По формулам понижения степени (5.22) и (5.23):

Гла8а 5. Тригонометрические moikgecmBa.	81
ч?
1 + COS
Г2
2 [7772 ^ 2 + J2
4?
/ \
Л
1 - COS
~4
\ У
ПО
1	• (п ЗяЛ АяЛ J2 - ^2
формулам (5.4), (5.5): cod — = sd- - — = siri- \ = 1—-	;
Sll
Зп
~8~
= cos^| =
я) _ т/2 + Уг
Используем теперь равенство (5.24):
\
1 - COS
/ \
к
я
М
1 + cod
У
[4j
rjrvj Ш</2-1) nr~i
I 2 + -J~2 =JV2(V2+l) =i/2 + 1 =
[умножаем числитель и знаменатель на -/2 - 1 ]
I
Г
КМ -')
Затем пользуемся формулами (5.65) и (5.66):
1 1
tg
Зл | Ате л
Т ГМг'в
- |V2 f| - V2 - »
J2+1
,i|] V*-» (V5--KV2*,)
42+1.
4f -4f-f)-Чт
42+1) ct^} = tg\j\= 42 -1.
(Далее полученные результаты будут записаны в одной таблице.)
5.6.2.	Значения функций для аргументов,
п 5л
равных — и —.
*	12 12
Снова пользуемся формулами понижения степени:

82
Гм8« 5. Тригонометрические mo&gecmBa.
С°{=
(7Г^
1 + COS
_ х
1 + ~у~ _ ^2 + -/з _ -^2 + Уз _
2	! 2 \ 4
[умножаем числитель и знаменатель на V2 ]
уТТТд + |Уз+?| J5 + 1
242
менатель на V2] =
2 л/2	2 л/2	2 л/2
л/б + л/2
= [умножаем числитель и зна-
Аналогично получаем: s/njyjl =
V*,
л/б - л/2 л/з -У
s/n
со,
2	4	2V2
. (Я’ Я" ^	f Я- ^ л/б + >/2
= S/r7[y ~ T2J = CO\72j = 4 ;
isf—) = со/* _ JL| = s/iiL =	.
1,72J 1,2 72j {12)	4
bn
~12
Замечание: Только что полученные значения функций удобно записывать в двух
видах, как это показа
к ) ^~3 + 1	+ V2
J л
различных видах, как это показано на примере cosl —
со,
. Форма записи выбирается такая, которая удобна
к12) 2у[2	4
для целей поставленной задачи. 0
Вычисляем тангенсы и котангенсы, учитывая равенства (5.65) и (5.66):
f \
1
л
- cos
л
1
+ cos
2 - л/3
(2-43)
(2-43)
1	\2 -4з\=2- 4з .
2	+ л/з
= 2 +4з.

Глаба 5. Тригонометрические тоАдестба.
83
Второй способ: Замечаем, что ^ = -j - ^, и вычисляем:
*1 -cosT-W-1 =
4J I3J I4J 2 2 2 2
л/б-V2
4
5	л-
Аналогично можно вычислить значения функции для аргумента, равного —, если
5л л л	,	л-
учесть, что — = — + — . Для вычисления функции аргумента, равного — , мож-
л л л
но использовать также то, что — =	.
12	4 6
5.6.3. Значения функций от аргументов,
л л Зл 2л
равных —, — , —, —.
*	10 5 10 5
Перед началом непосредственных вычислений получим выражения для sin(5a) и
cos(5a). При этом будем использовать без специального упоминания равенства
(5.12 - 5.15), (5.18, 5.19).
sin(5a) = sin(3a + 2а) = sin(3a)cos(2a) + cos(3a)sin(2a) =
= ^3sin{a) - 4sin3(a)fl - 2sirt2(a)j + 14cos3(a) - 3cos(«)j*2s/n(«)cos(a) =
[после элементарных преобразований и замен cos2(а) = 1 - sin2(а),
cos4(a) = (l - s/n2(a)j = 1 - 2sin2(a) + sin4(a) ]
= 5sin(a) - 20sin3(a) + 16sin5(a) .
Аналогично: соЦ5ог) = cos(3a)cos(2a) - sin(3a)sin(2a) =
= |4cos3(a) - 3cos(a)j|2cos2(a) - tj - 3sin(a) - 4sin3 (a^2sin(a)cos(a) =
= 16cos5(a) - 20cos3(a) + 5cos(a) .
He забываем, что мы умеем рисовать красивые рамки:
sin(5a) = 5sin(a) - 20sin3(a) + 16sin5(a) (5.67)
cos(5«) = 16cos5(a) - 20cos3(a) + 5cos(a) (5 . 68)
	r
Теперь сообразим, что если а = —, то 5а = л , и sin(5a) = sin(л) = 0 , то
5

84
ГлаВа 5. Тригонометрические то)кдест8а.
есть число, равное s/n|^J, есть решение уравнения sin(5a) = 0. Воспользуемся
равенством (5.67), и запишем это уравнение так:
5sin(a) - 20sin3(a) + 16sin5(a) = 0 ,
и далее:
Отсюда:
s/n(a)|5 - 20sin2(a) + 16sin4(a)j = 0 .
sin(a) = 0;
5 - 20sin\ct) + 16sin\a) = 0.
Первое уравнение совокупности (А) является решением уравнения sin(5a) = 0 , но
не является решением поставленной задачи: очевидно, что	^ • ВтоРое
уравнение совокупности (А) - биквадратное относительно sin[a);	его решение
, ч ±J5 ± ^5
есть: sin(a) = —-—=	.	(Б)
V '	2у[2
Теперь необходимо разобраться, что именно у нас получилось. Отрицательные
я
значения синуса явно не подходят, так как угол — оканчивается в первой чет-
5
верти, и его синус поэтому положителен. Далее, из двух положительных значений
л
синуса одно принадлежит углу, равному —, второе значение есть значение
5
■J	2л
s/nl— . В самом деле, для угла а = —, также выполняется условие
sin(5a) = 0, и поэтому среди значений (Б) есть также значения s/n^^-j . При
О < а < j функция у(а) = sin(a) возрастает, поэтому большему значению синуса
соответствует большее значение аргумента. Таким образом, вместе с искомым зна-
• М	•г12А
чением s/nl — I попутно получено значение s/nl-^-1, и окончательно имеем:
(я\ ^5 - л/5 (2я'| V5 + V5
'"UJ " 2а/2 ’’ S'\ 5 ) = 2л/2
SII
{5)	2л/2	^ 5 )
Л
Косинус угла (то есть косинус числа) а = — находится аналогично. Для
а = имеем: cos(5flr) = 0 , то есть: 16cos5(a) - 20cos3(a) + 5cos(or) = 0 ,

Глаба 5. Тригонометрические токдестба.	 85
откуда:
costa) = 0;
2/ * - - <В>
16cos4(a) - 20cos2(a) +5=0.
Значение cos(a) = 0 интереса не представляет: оно соответствует значению
а = + тгк (при любом целом к). Второе уравнение совокупности (В) есть
второе уравнение совокупности (А), в котором sin(a) заменён на cos(a); поэтому
его решение - такое же, как у второго уравнения совокупности (А):
, . ±д/5 + л/5
costa = —-—=	.
v ’ 2J2
Отрицательные значения не подходят в силу того, что косинусы углов, оканчиваю¬
щихся в первой четверти, положительны. Из положительных значений значению
, ч	+ т[5	п
cos^aj =	— соответствует значение а = —, значению
/ ч л/5 - 5	Зтг	Зтг
cos(a) = ——-^=— соответствует значение а = —, так как для а = — име-
( Зд\
ем: cos(5or) = cosl — = 0, то есть уравнению cos(5a) = 0 удовлетворяют два
тг	Зтг
угла, оканчивающихся в первой четверти: а = — и а = . Функция
у(а) = cos(a) при 0 < а < -j убывает, и большему значению косинуса соответст¬
вует меньшее значение аргумента а. Имеем окончательно:
{10) 2л[2 \*oJ 2V2
Косинус угла, равного —, можно вычислить либо с помощью равенства
5
(5.1), либо с использованием равенства (5.13):
5	+ V5
2V2
-1 =
Замечаем, что
■J Зл) (тг Зтг) (лЛ
Sl\l0) = С°\2 ~1о)= С°\~5) =
•fs + 1

86	ГлаВа S. Тригонометрические токдестВа.
Далее:	I = cos
Щ-1 = 2*cos2
£| 1 45-1
5	4
Вычисляем тангенсы и котангенсы:
Л 71
siri —
t 1*1- V0'
ь°)~ м_ yiTvs" 2J5775" 42J5775
со.
10
= [записываем все
242
числа под одним радикалом]
И ~ 1) У5 - 245
\ю + 245 45
Заметим
Далее: tg\ —
, „о С0-1 - e«(f - i] - «(i] - iLgH.
j" i JUJl
= cU
«Щ-
co/f
2V2
л/б +1
= д/б - 2л/5 ;
ffif
5) Cf9(^) . (хЛ J5-245 V5-2V5 VV5-2
f9l
10
=J5-2Г5
4E
45(45 + 2)
[(VTlpTij
= -/бТгТб .
Для полноты картины под занавес:
щ
Зл-^j f(x)_t(x я)_ 1 _ 1 _ I 5 + 2>/5
10J = C9UJ = ^2 “ 5j =	^(5- 2Щ5 + 245) =
_ д/б + 2л/б
V5
Все эти сокровища также помещаются в таблицу, которая имеется в конце

Глаба 5. Тригонометрические то&дестба.
87
5.7.	Первое Пояснение о вычислениях в радикалах
функций других аргументов.
В незапамятные времена, примерно в начале 19 столетия (Нашей Эры) господа
математики указали серии углов, тригонометрические функции которых могут быть
записаны в квадратных радикалах. Однако... однако они не указали, как именно
это сделать для углов каждой такой серии. То есть была доказана лишь возмож¬
ность такого нахождения, но идеи для нахождения функций соответствующих углов
для каждой серии углов свои.
В частности, не могут быть записаны в квадратных радикалах функции углов,
п	л
равных —; равных —; но, например,
могут быть записаны в квадратных радика¬
лах функции углов, равных — ,
257
В задачах, не скажем что очень уж часто, но встречаются как раз такие уг¬
лы, функции которых могут быть записаны в квадратных радикалах; при этом для
нахождения функций некоторых хитроумно задуманных углов приходится применять
хитроумно задуманные приёмы, персональные для каждого случая. Здесь приведены
некоторые примеры таких вычислений. При этом часто бывает удобно в качестве
вспомогательной меры углов использовать как раз градусную меру, которая позво¬
ляет увидеть необходимые связи. Мы тоже так будем делать.
Пример 1, совсем простенький: вычисление со . Вспоминаем формулы понижения
степени, в частности, равенство (5.22), и учитываем, что cosl-^-
> О
С°\Т4
1 + COS
1 +
д/гТТз
^2 + ^2
Пример 2, то)ке несложный: вычисление '№■
Вот здесь-то и пригодится гра¬
дусная мера угла: именно, для прояснения ситуации. Переводим:
117Г 11 Л о лло ^ г-о . _.о ТС ТС
	= —*180 = 33 =15 +18 = — + — . Теперь ясно, что надо делать:
60 60 12 10
11п
~60
‘<*Т2 + То\-
щ
12
tg\
10
2 - л/З
1-^Ш То
У5 - 2-J~5
Я

88
ГлаВа 5. Тригонометрические mwkgecmBa.
2л[ё - V*5 + У5 - 2ч[ё
V5 - (2 - л/з^б - 2-fE
Пример 3, немнозкко более трудоёмкий: Вычисление	= s/r/-^- + f- + f-\.
Глубоко вдыхаем и приступаем:
. (п 71 7l\ . (71 7гЛ ( 7г)	(7Г 71 \ . ( 7t
s/ги —t- — + — = s/n — + — cos — + соя — + — \siri —
[8 10 12) [8 10) [12 J [8 10) [12
А) /я) «f^l • f ^ ll 1
— boa	 + СОЯ — В/Г7 — соя	| +
<8J [ю Is Г [lOJt [12
sin
2j2
V6+V2
1
4
/
^2 - л/2 ^5 - 1
IV6 -V?
2 4
4
2	2^2
Всё оказалось не так ух и страшно... Глубокий выдох...
5.8.	Второе Пояснение о вычислениях в радикалах
функций других аргументов.
В предыдущих разделах курса вычисля¬
лись функции углов, оканчивающихся в пер¬
вой координатной четверти; все полученные
значения оказывались поэтому положительны¬
ми. Если в задаче встречаются отрицатель¬
ные значения функций, то соответствующие
аргументы легко находятся с привлечением
тригонометрического круга и формул приве¬
дения. Рассмотрим, как обычно, примеры.
Пример 1:
cos(r/j =
-V2+V2 .,. V2- V2
Л__	; ЯЯ(7) = 2L_	 .
Изображаем тригонометрический круг (рис.5.8), и отмечаем на линиях косинусов и

Глаба 5. Тригонометрические токдесшба.
89
-л/г + л/г J2 - л/г
—2	 м _!	•
синусов значения, равные соответственно —1—		 и -—		; это - от¬
резки OD и ОБ . Рассуждаем примерно так: Если бы косинус угла был бы равен
д/г + л/г	д/г - л/г	п
—	, и синус был бы равен —	, то угол был бы равен —; его
2	2 8
вторая сторона пересекалась бы с окружностью в точке С, и выполнялось бы ра-
. . д/г + л/г
венство |ОЕ| = -—		. В силу равенства треугольников ОСЕ и ОАО полу¬
чаем, что ZAOD = — , тогда ZAOE = п - — = — , то есть искомый угол
8 8 8
ij = — + 2пк при любом целом к.
Пример 2: Найти угол г такой, что tg{r) = *J~3 -2. Вспоминаем, что
^(tj) = ^ ~ ^ ’ ФУНКЦИЯ <<тангенс>> “ нечётная, значит,	= ^ - 2 , и с
учётом периодичности получаем: г = + пп для любого целого п.
Полезный Совет: Рисуйте Тригонометрический Круг! 0

90
Глава 6. Обратные тригонометрические функции.
Глава 6. Обратные
тригонометрические функции.
6.0.Некоторые рассуждения
об	обратных функциях.
Предварительное замечание: В Определении 6.1 даётся определение того, что такое
функция; при этом рассматриваются только функции, определённые на числовых
множествах со значениями, принимаемыми также на множествах чисел. Ничто и ни¬
кто не мешает рассматривать функцию, определённую, например, на множестве та¬
буреток, находящихся в здании Университета, со значениями, принимаемыми на
множестве всех возможных цветов табуреток: функция	есть цвет табу¬
ретки, являющейся аргументом функции. Однако для наших целей необходимо только
рассмотрение функций, определённых на множестве чисел, со значениями, прини¬
маемыми также на множестве чисел, поэтому Определение 6.1 не будет слишком об¬
щим. В
Определение 6.1: Пусть имеется некоторые числовые множества X и У, и имеется
некоторое правило, которое каждому элементу из множества X ставит в соответ¬
ствие один или несколько элементов из множества У. В таком случае это правило
вместе с множествами X и У называется функцией; при этом множество X на¬
зывается областью определения функции, множество У называется областью значе¬
ний функции.
Пояснение 1 О многозначности: Из Определения 6.1 следует, что некоторым (или
всем) элементам из множества X могут соответствовать более одного элемента
из множества У. Это означает, что при некоторых (или при всех) значениях ар¬
гумента функция принимает более одного значения. Такие функции называются мно¬
гозначными. Например, многозначной является функция, которая для каждого не¬
отрицательного числа х выдаёт два числа, квадраты которых равны х. Эта функция
-	двузначная при х>0, и записать её можно так: уДх) = ±-/х . Её следует от¬
личать от функции У2(х) = -/х , которая для каждого неотрицательного числа х
выдаёт ОДНО неотрицательное число у такое, что у2 = х . Функции у = yt(x) и
у = У2(х) имеют совпадающие области определения, но разные области значений,
поэтому это - различные функции.
Пояснение 2: Из Определения 6.1 следует, что функция - это некоторое правило,
по которому каждому элементу из одного множества ставится в соответствие эле¬
мент или несколько элементов из другого множества. При этом функция - это что-
то вроде триединства Отца, Сына и Святаго Духа: именно, триединства соответст¬
венно Области Определения, Области Значений, и самого Правила. Отсюда следует
Пояснение 3: Если на различных множествах Xj, Х%, Xg... задано одно и
то же правило соответствия между элементами из этих множеств и элементами из

Глаба 6. Обратные тригонометрические функции.	91
некоторых множеств <К/, У2, У$,... то это означает, что заданы различные
функции, так как наборы (X, У, Правило Соответствия) здесь различны.0
Пример: Функция № 1: Любому х такому, что 3 < х <7 , ставится в соответст¬
вие его третья степень: у(х) = х3 . Здесь Х41 3 < х < 7 . Функция №2: Любому
х такому, что 3 < х <7 , ставится в соответствие его третья степень:
у(х) = х3 . Здесь Х%: 3<х<7. Таким образом, заданы, строго говоря, две
различные функции, так как множества Xj и Х% не совпадают; эти множества
отличаются одним элементом (этого достаточно для несовпадения множеств).®
Пусть имеется некоторая функция, то есть имеется некоторое Правило Соот¬
ветствия, множество X и соответствующее ему множество У. Для этой функции
придумывается такое Соответствие (или Правило, Алгоритм,...), по которому для
каждого элемента у из множества У находится тот самый элемент из множества
X, функция от которого равна у, то есть придумывается некоторое Правило Об-,
ратного Соответствия. При этом в процессе размышлений и построений происходит,
конечно, перемена местами элементов множеств X и У, но обозначения и названия
этих множеств оставляются, конечно, прежними. Выполняемые действия есть по су¬
ти дела действия по созданию некоторой функции, которая называется функцией,
обратной к данной функции. Область Определения и Область Значений построенной
функции и исходной при этом поменялись местами.
Пояснение 4: Важно понять, что для новой функции, построенной согласно нашим
намерениям, область определения также обозначается той же буквой X, что и об¬
ласть определения исходной функции. Это делается потому, что если имеется до¬
говорённость в какой-либо теории обозначать область определения всякой функции
какой-то одной буквой, то это будет делаться для всех функций, в том числе и
для построенной. То же можно сказать и об области значений: она также обозна¬
чается буквой У. Отсюда следует
Пояснение 5: Чтобы получить график функции, обратной данной функции, надо поме¬
нять местами оси абсцисс и ординат, то есть как бы «перевесить этикетки». Но
так как ось абсцисс должна быть горизонтальна, то после того, как «перевесили
этикетки», следует ещё и поменять местами эти оси. Для графика это означает,
что график обратной функции получается из графика исходной функции отражением
графика исходной функции симметрично относительно биссектрисы первого и
третьего координатных углов. 13
Пояснение 6: Здесь не приводится строгое определение обратной функции; для на¬
ших целей того, что изложено, более чем достаточно для понимания сути дела, а
этот конспект не является руководством по теории функций и функциональному
анализу (а жаль...!!!). №
итоговое Пояснение: пусть, к примеру, имеется функция
у(х) = х5 .	(А)
№ можем выразить из записанного равенства величину х:
х=^7.	(Б)
Однако такая запись не будет записью обратной функции: записи (А) и (Б) озна¬

92	Глаба 6. Обратные тригонометрические функции.
чают одно н то же, поскольку буквой х обозначается независимая переменная, то
есть аргумент, а буквой у обозначается значений функции. Чтобы получить за¬
пись обратной функции, надо поменять местами буквы х и у, то есть записать
так: х = у , а уя потом, если это возможно, выразить в явном виде у через х:
у = tfx . Для получения графика функции, обратной данной, надо график данной
функции отразить симметрично относительно биссектрисы первого и третьего коор¬
динатных углов.Е
6.1.	Обратные тригонометрические функции:
определения.
Определение 6.2: Функция, которая для каждого х такого, что -1 < х < 1 выдаёт
ВСЕ значения у такие, что s/n(y) = х, называется функцией «многозначный аркси¬
нус», и обозначается у = Arcsin(x).
Пояснение 1: Эта функция называется также «большой арксинус».
Пояснение 2: Из Определения 6.2 следует, что функция у = Arcsin[x) есть функ¬
ция, обратная функции у(х) = s/n(x): у этих двух функций поменялись местами об¬
ласти значений и области определений, но самое важное здесь то, что в опреде-

Глаба 6. Обратные тригонометрически» функции.	93
пении функции указано, что это - именно обратное действие к вычислению синуса.
Пояснение 3: Функция у = Arcsin^x) - многозначная функция, а совсем точнее -
бесконечнозначная. Подумаешь!... Ничего страшного... 0
График функции у = Arcsin(x) показан на рис.6.1. Это - симметричное отно¬
сительно биссектрисы первого и третьего координатных углов отражение графика
функции у(х) = s/'n(x).
Определение 6.3: Функция, которая для каждого х такого, что -1 < х < 1 выдаёт
ВСЕ значения у такие, что cos(y) = х, называется функцией «многозначный арк¬
косинус», и обозначается у = >4rccos(x).
Пояснение 4: Эта функция называется также «большой арккосинус».
Пояснение 5: Из Определения 6.3 следует, что функция у = /\rccos(x) есть функ¬
ция, обратная функции у(х) = cos(x).
Пояснение 6: Так же, как функция у = Arcsin[x), функция у = Arccos[x) - бес¬
конечнозначная функция. Нам ли этого бояться!0
График функции у = Arccos(x) изображён на рис.6.2. Это - симметричное
относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов отражение гра¬
фика функции у = cos(x).
Определение 6.4: Функция, ко¬
торая для любого х выдаёт
ВСЕ значения у такие, что
ф(у) = х I называется «мно¬
гозначный арктангенс», и
обозначается
у(х) = Arctg(x).
Пожелание: В этом месте сле¬
дует внимательно прочитать
все предыдущие Замечания в
этом пункте. В
График функции
у(х) = Arctg(x) изображён на
рис.6.3.
Определение 6.S: Функция, ко¬
торая для любого х выдаёт
ВСЕ значения у такие, что
сФ(у) = х t называется «мно¬
гозначный арккотангенс», и
обозначается так:
у(х) = Arcctg(x).
График этой функции изо¬
бражён на рис.6.4.

94	Глаба 6. Обратные тригонометрические функции.
6.2.	Обратные
тригонометрические
функции:
необходимые
и принципиальные
пояснения.
Функции, определённые в
п.6.1, есть функции, обрат¬
ные к основным тригонометри¬
ческим функциям. Это - не те
функции, которые используют¬
ся в основном курсе элемен¬
тарной математики, в частно¬
сти, для записи решений три¬
гонометрических уравнений; о
тех речь пойдёт впереди.
Многозначные функции имеют
ряд удобств и неудобств в
использовании, которые мы
здесь и обсудим.
Удобством многозначных
функций является их формаль¬
ность. Это означает, что ес¬
ли, например, имеется урав¬
решение может быть записано сразу и полностью: х = Агссо
Здесь не надо добавлять никаких «полных углов», и тому подобного: сама запись
через многозначный арккосинус уже содержит ВСЕ решения уравнения. Поэтому для
теоретиков такие функции удобны; они позволяют формально записать решения три¬
гонометрических уравнений и позволяют выполнять формальный анализ свойств
функций.
Это же свойство многозначности является и неудобством многозначных функ¬
ций. То, что нужно математику-теоретику, может не устроить математика-
прикладника и инженера, то есть человека, решающего задачи реального расчёта
сооружений, машин, сетей, цепей, и прочая, и прочая, и прочая... Этим весьма
достойным гражданам нужны не все решения уравнений вида s//?(x) = а , fg(x) = а ,
и тому подобных, с которыми непонятно что делать, а всего несколько или даже
одно решение, либо нужны решения, удовлетворяющие каким-либо дополнительным
условиям. Это могут быть решения, находящиеся в определённых пределах, наи¬
меньшие или наибольшие из некоторого множества решений, и так далее. Много¬
значные функции таких специальных решений выдать не могут: они выдают либо ВСЕ
решения, то есть бесконечно много чисел, либо ни одного, если, например, ре¬
шается уравнение cos(x) = 7. Поэтому для удобства математиков и вычислителей
У
2п
к
1 *
-я
Рис.6.4. Гра
у(х) = /
^фик функции
\rcctg(x)

Глаба 6. Обратные тригонометрические функции.	95
были придуманы функции, не являющиеся, строго говоря, обратными к тригономет¬
рическим, но происходящие от этих самых обратных, и удобные для использования.
Это не значит, что эти функции чем-то лучше или хуже многозначных: они так же
хороши, как и определённые в п.6.1, но служат иным целям.
6.3.	Функции у(х) = arcsin(x) , у(х) = arccos(x),
у(х) = arctg(x), у(х) = arcctg(x) .
Определение 6.6: Функция, которая для всякого х
такого, что -1 < х < 1 выдаёт ОДНО значение у
-л	71	. , V
такое, что — < у < — , и sin^yj = х , называ¬
ется арксинусом, и обозначается у = arcsin(x).
Пояснение 1: Эта функция, в отличие от функции
у = Arcsin^x), является однозначной.IS
График функции у = arcsin^x) показан на
рис.6.5. Этот график есть «вырезка» из графика
функции у = Arcsir^x). (Не следует путать вы¬
резку с антрекотом, лангетом... Это - очень
тонкие, сложные материи, всякий кулинар ска¬
жет...) При этом область значений функции, то
есть отрезок на оси ординат, который «вырезал¬
ся» для сотворения функции из функции
у = Arcsin(x), выбиралась так, чтобы любому значению функции у = s/n(x) соот¬
ветствовало ровно одно значение аргумента. (Эта идея будет хорошо видна немно¬
го позже, когда будет сооружаться другая функция.)
Определение 6.7: Функция, которая для всякого х такого, что -1 < х < 1 выдаёт
ОДНО значение у такое, что 0 < у < тг, и
cos(y) = х, называется арккосинусом, и
обозначается у = arccos^x).
Пояснение 2: Эта функция - однозначная.IS
График функции показан на рис.6.6.
Пояснение 3: Для конструирования функции
у = arccos^x) из графика функции у = ЛгссоЦх)
делалась «вырезка», соответствующая значениям
О < у < п , то есть не таким, которые выбира¬
лись при построении функции у = arcsin(x). Если
бы из графика функции у = Arccos^x) была сдела¬
на вырезка, соответствующая значениям
-1 < у < 1, то (смотрим график функции
у = Arccos^x) ) значениям х таким, что
Рис.6.5. График функции
у(х) = arcsin(x)

96	Глаба 6. Обратные тригонометрические функции.
О < х < 1, соответствовало бы две точки на «вырезанной» дуге, но значениям х
таким, что -1 < х < О не со¬
ответствовало бы ни одной
(ах, это двойное отрицание в
русском языке!!I) точки на
«вырезанной» дуге. Это было
бы, конечно, большим неудоб¬
ством, поэтому при построении
функции у = arccos(x) «выре¬
зание» части синусоиды дела¬
ется для других значений ор¬
динаты. IS
Определение 6.8: Функция, кото¬
рая для каждого х выдаёт ОДНО значение у такое, что tg(y) = х, и
< у < у, называется арктангенсом, и обозначается у = arctg(x) .
Пояснение 4: Эта функция - однозначная. Она определена ДЛЯ ЛЮБОГО значения х
в отличие от функций у = arcsin(x) и у = arccos^x), которые определены только
при -1 < х < 1.
Пояснение 5: Функция у = arctg(x) НЕ ЯВЛЯЕТСЯ функцией, обратной к функции
у = fg(x). При конструировании функции из всех ветвей графика многозначной
функции у = Arctg(x) взята только одна ветвь, именно: та, которая проходит че¬
рез начало координат. Это оказывается наиболее удобным вариантом из всех воз¬
можных .
Определение 6.9: Функция, ко¬
торая для каждого х выдаёт
ОДНО значение у такое, что
ctg(y) = х , и 0 < у < тг, на¬
зывается арккотангенсом, и
обозначается у = arccfg(x).
Пояснение 6: Здесь Пояснения
должны быть аналогичными По¬
яснениям 4 и 5. Различие со¬
стоит в том, что из всех вет¬
вей графика функции много¬
значной функции у = Arcctg(x) выбирается та, которой соответствуют значения у
такие, что 0 < у < л . 0
C'/rkj
‘У
0 х
Рис.6.7. График функ
"V/2 j
:ции у(х) = arctg(x).

Глаба 6. Обратные тригонометрические функции.	97
6.3.1.	Функциональные свойства функций
у(х) = arcsin(x) , у(х) = arccos(x), у(х) = arctg(x), у(х) = arcctg(x) .
6.3	.1.1. Свойства функции у(х) = arcsin(x) .
В Определении 6.6 указано, что функция у(х) = arcsin(x) определена (прихо¬
дится повторяться... ничего не поделаешь...) при -1 < х < 1, и принимает зна-
-71	71
чения — < у < — .
2	2
~7t	71	. / \
Далее учитываем, что при < у < — верно равенство: sin(yj = х. Пусть
при некотором значении у имеем: s//?(y) = х. В силу нечётности функции «синус»
получаем s//7(-y) = -s/n(y) = -х . При этом, если какое-то значение х входит в
область определения функции у(х) = arcsin(x) , то значение, равное -х, также
входит в область определения, то есть равенство s/n(—у) = -х определено, и
arcsin(-x) = -у . Это означает, что функция у(х) = arcsin^x) - нечётная.
—71	71
Далее, при -у < у < — , как было показано в п. 4.5.1, большему значению
у для функции х(у) = s/n(y) соответствует большее значение х. Это означает,
что большему значению х соответствует большее значение у, то есть функция
у(х) = arcsin(x) возрастает. Её минимальное значение достигается при минималь¬
ном значении аргумента: arcsin(-l) = ; максимальное значение достигается при
максимальном значении аргумента: arcsin{l) = ~ •
Заметим, что так как функция у(х) = arcsin^x) определена при -1 < х < 1 ,
то она не может быть периодической. Если бы функция была периодической, и её
период был бы равен некоторому числу Т , то она была бы определена, например,
при х =1 + Т , чего на самом деле нет.
6.3	.1.2 . Свойства функции у(х) = arccos(x) .
В Определении 6.7 указано, что функция у(х) = arccos^x) определена при
-1 < х < 1 и принимает значения 0 < у < п .
Так как при arccos(-1) = к, и arccos(l) = 0, то условие чётности и усло¬
вие нечётности функции не выполняются для значения х = 1. Согласно Принципу
Зелёной Лошади функция у(х) = arccos(x) не является ни чётной, ни нечётной, то
есть является функцией общего вида.

98	ГдаВа 6. Обратные тригонометрические функции.
При 0 < у < п равенства у = arccos^x) и cos(y) = х равносильны; и при
О <, у й п функция х(у) = cos(y) убывает. Это означает, что при х2 > х1 имеем
у2 = arccos(x2) < у1 = arccos^x^ , то есть функция у(х) = arccos(x) убывает. Её
наибольшее значение: arccos^-1) = п\ наименьшее значение arccos(l) = О.
Аналогично п.6.3.1.1, функция у = arccos^x) непериодическая.
6.3.1.3. Свойства функции у(х) = arctg(x) .
В Определении 6.8 указана область определения и область значений функции
у(х) = arctg(x): функция определена при всех значениях х и принимает значения
—71	К
	 < У < — .
2	2
При < у < —■ равенства у = arctg(x) и tg(y) = х равносильны, то
есть из равенства у = arctg(x) следует равенство tg(y) = х и из равенства
fg(y) = х следует равенство fg(y) = х. Это означает, что выводы, которые сде¬
ланы нами на основе одного из этих равенств, имеют место для другого равенст¬
ва . Пусть для некоторых х и у имеет место равенство х = fg(y), то есть при
■ < У < ■— верно равенство: arcfg(x) = у . Тогда в силу нечётности функции
х(у) = fg(y) верно равенство -х = fg(-y), то есть -у = arctg(-x). Получили, что
верно равенства: arctg(-x) = -arctg(x), то есть функция у(х) = arctg(x) -
нечётная.
Далее, при < у < -j функция х(у) = fg(y) возрастает, то есть если
У2 > У1 , то х2 = tg(y2) > Х1 = &(/*) • Это означает, что из двух значений аргу¬
мента х большему значению х соответствует большее значение у, то есть функция
у(х) = arctg(x) - возрастающая. Следовательно, эта функция - непериодическая. В
самом деле, если бы функция у(х) = arcfg(x) была бы периодическая, то это озна¬
чало бы, что существует некоторое Т > 0 такое, что для любого х выполняется
равенство arcfg(x) = arctg(x + Т) при том, что х < х + Т . Но в силу возрастания
функции это равенство выполняться не мохет, мохет выполняться только равенство
aectg(x) < arctg(x + Т).

Глеба 6. Обратные тригонометрические функции.
99
6.3.1.4. Свойства функции у(х) = arcctg(x) .
В Определении 6.9 указано, что функция у(х) = arccfg(x) определена при
всех значениях х и множество её значений есть О < у < п .
Чётность или нечётность функции выясним с использованием Принципа Зелёной
arcctg(-x) = arcctg(x) не выполняется, и условие arcctg(-x) = -arccfg(x) также
не выполняется. Это означает, что функция у(х) = arcctg(x) не является ни
чётной, ни нечётной.
Доказательство того, что функция у(х) = arcctg(x) - убывающая, аналогично
доказательству возрастания функции у(х) = arctg[x) . Для хорошего закрепления
учебного материала мы его здесь, конечно, воспроизведём.
При 0 < у <п равенства у = arcctg(x) и х = cfg(y) равносильны, то есть,
повторимся, из каждого из этих равенств следует другое равенство. При
0 < У1 < У2 < я имеем: Х1 = ctg{y) > х2 = cfg(y2) * то есть из двух значений
аргумента х большему значению х соответствует меньшее значение у. Это озна¬
чает убывание функции у(х) = arcctg(x). Аналогично тому, как это сделано в
п.6.3.1.3, доказывается, что функция у(х) = arcctg(x) - непериодическая.
6.3.2.	Алгебраические свойства функций
у(х) = arcsin(x) , у(х) = arccos[x), у(х) = arctg(x), у(х) = arcctg(x) .
Пояснение о названиях: По сложившейся практике, обратными тригонометрическими
функциями часто, особенно в школьном курсе математики, называются функции
у(х) = arcsin(x) , у(х) = arccos(x), у(х) = arctg(x), у(х) = arcctg(x), которые,
строго говоря, обратными функциями к функциям у = s/n(x) , у = cos(x),
у = fg(x) и у = cfg(x) не являются. Чтобы не создавать новой математики (пола¬
гаем, что не все из читателей этого курса уже Академики), и не перегружать и
без этого перегруженных настоящим курсом читателей, мы также будем здесь упот¬
реблять устоявшийся термин «обратные функции», зная при этом, что он не совсем
точен. Это похоже на употребление не вполне аккуратного термина «тригонометри¬
ческий круг» вместо точного термина «тригонометрическая окружность».0
Под алгебраическими свойствами функций понимаются такие свойства этих
функций, которые не являются функциональными, то есть не являются свойствами
чётности, нечётности, периодичности, монотонности, и тому подобными. Алгебраи¬

100	Глаба 6. Обратные тригонометрические функции.
ческие свойства - это связи между различными значениями функций, между значе¬
ниями различных функций от одного и того же значения аргумента, и снова прихо¬
дится употреблять слова «и тому подобные»... Ну и стиль!!! Что скажут читате¬
ли!?
Особое Замечание: В этом курсе не рассматриваются дифференциальные свойства
функций, то есть свойства, связанные с понятием производной, интеграла, беско¬
нечно малых величин, и так далее. Все доказательства, имеющиеся в курсе, не
используют этих понятий, потому что в них не нуждаются.0
6.3.2.О.	Очень Важное Пояснение
о вычислении взаимно-обратных функций.
Из Определений 6.6 - 6.9 следует, что для тех х, для которых соответст¬
вующие величины входят в области значений функций, для которых они записаны,
выполняются равенства:
sin(arcsin(xty = х ; cos(arccos(x)) = х ;	(А)
tg(arctg(x)) = х ; ctg(arcctg(x)} = х ;	(Б)
arcsin(sin[x)^ = х ; arccos(cos(x)) = х ;	(В)
arctg{tg(x)) = х ; arcctg(ctg(x)) = х .	(Г)
Левые части равенств (А) определены при -1 < х < 1 (это - области определения
функций у = arcsin(x) и у = arccos^x)), и значения, которые получаются при вы¬
числении левых частей, также удовлетворяют условиям -1 < sin(z) < 1,
-1 < cos(z) < 1, где z - аргументы соответствующих функций. Таким образом, при
всех допустимых значениях х равенства (А) верны. То же самое имеет место для
равенств (Б) с той разницей, что они определены при всех значениях х.
Равенства
sin(arcsin(x^ = х и cos(arccos(x)) = х
определены и верны только при -1 < х < 1 .
Равенства
tg(arctg(x)) = х и ctg(arcctg(x)^ = х
определены и верны при всех значениях х.

Глаба 6. Обратные тригонометрические функции.	101
Рис.6.9. Графики функций
у = sin(arcsin(x)) и
у = cos{arccos[x)j
После этих замечаний несложно построить графики функций
у(х) = siniarcsin^ , у(х) = cos(arccos(x)}, у(х) = tg(arctg(x)) и
у(х) = ctg(arcctg(x)).
Очевидно, графики функций
у(х) = sin^arcsin^x)} и
у(х) = cos(arccos(x)j есть части графи¬
ка функции у(х) = х при -1 < х <1 ;
поэтому эти графики одинаковы и выгля¬
дят, как показано на рис.6.9. Графики
функции у(х) = tg(arctg(x)) и
у(х) = ctg(arcctg(x)) строить ещё ме¬
нее интересно: это - графики функции
у(х) = X .
С равенствами (В) и (Г) дело об¬
стоит иначе. При всех значениях х
можно вычислить s/n(x), и при этом по¬
лучится -1 < s//?(x) < 1, то есть аргу¬
мент для вычисления арксинуса получа¬
ется допустимым. Но сам арксинус при
этом должен находиться в пределах: < arcsin^sin^x)^ < -j . Таким образом, по¬
лучаем, что равенство arcsin^sin^x)} = х определено при всех значениях х, но
-К	71
верно только при — < х < — .
Аналогично, функция y(f) = arccos(t) такова, что при всех допустимых зна¬
чениях аргумента верно неравенство: 0 < arccos^t) < /г . Отсюда следует, что
равенство arccos(cos(x)) = х определено при всех значениях х, но верно только
при 0 < х < к .
Далее, функция y(f) = arctg(t) выдаёт значения у такие, что < у < -j,
но левая часть равенства arctg(tg(xty = х определена при всех х таких, что
для любого целого п. Отсюда получаем, что равенство
arctg(tg(xty = х верно только при < х < у .
Аналогично, функция y(f) = arcctg(t) выдаёт значения у такие, что
О < у < тг . Поэтому равенство arcctg(ctg(x)) = х определено при всех х таких,
что х ф 7гп для любого целого п, но верно только при 0 < х < tz .
71
X Ф — + 7ГП
2

102	Гм8« 6. Обратные тригонометрически» функции.
ч
/
Равенство arcsin(sin(x)) = х верно только при ^ £ х < ^ .
Равенство arccos(cos(x)) = х верно только при 0 <, х <, тг.
Равенство arctg(tg(x)) = х верно только при < х < -j .
Равенство arcctg(ctg(x)) = х верно только при 0 < х < тг.
/
ч
Возникает вопрос; а если, к примеру, в выражении arcsin(sin(x)) аргумент х не
-тг	Я-
находится в пределах — £ х < — ? Как правильно преобразовать, например, вы¬
ражение arcsm
( J5*
Лт
и тому подобные выражения, аргументы которых не на¬
ходятся в области значений функций «арксинус», «арккосинус», «арктангенс» и
«арккотангенс»?
Проясним ситуацию сначала для функции у(х) = arcsin^sir^x)}. Очевидно, эта
функция - периодическая, и имеет период не меньший, чем период функции
у(х) = s/n(x) . (Чтобы не загромождать эти лекции, не будем строго показывать,
что период функции у(х) = arcsin(sin(x)^ равен именно 2п. Значит, достаточно
исследовать функцию на отрезке, длина которого равна 2п , и распространить за¬
тем результаты на всю числовую ось.
Пусть j< xz • Тогда arcsin(sin(xfj = arcsin(sin(x - х)) , и при этом,
-л	71
замечаем, число тг - х находится в пределах — < к - х < — . Значит, здесь
можно записать: arcsin^sin^x)} = arcsir^sir^Tr - х)) = тг - х . Далее можно рассуждать
аналогично, но для построения графика полученной информации достаточно: график
-тг	Зтг
строится сначала для — < х ^ —, и затем его линия повторяется на всю чи¬
словую ось с учётом периодичности. Получается график, показанный на рис.6.10.

Глеба 6. Обратные тригонометрические функции.	103
Для функции у(х) = arccos(cos(x)} рассуждения аналогичны с учётом того, что об¬
ласть значений функции y(t) = arccos(t) есть 0 < у < л . При 0 < х < л , как уже
было сказано, имеет место равенство arccos(cos(x)) = х. Пусть теперь
л < х £ 2л . Тогда cos(x) = cos(2n - х), и при этом величина 2л - х находится
в пределах: 0 < 2л - х < л . Это означает, что при этих значениях х верно ра¬
венство arccos(cos(x)) = 2л - х . График функции у(х) = arccos(cos(x)) достаточно
построить для 0 <> х < 2л , и далее скопировать линию на всю числовую ось. Это
показано на рис.6.11.
График функции у(х) = arctg(tg(x)} строим с учётом того, что при

104	Глаба 6. Обратные тригонометрические функции.
х = у + тгк для любого целого к функция неопределена; на графике это обоз¬
начается концевыми стрелками. Функция у(х) = arctg(tg(xty периодическая; её пе¬
риод равен периоду тангенса, то есть равен тг. Поэтому достаточно простроить
график при < х< у , и далее скопировать его правильным образом на всю чи¬
словую ось. Получится график, изображённый на рис. 6.12.
Рис.6.12. График функции у(х) = arctg^tg^x^ . Концы линий,
обозначенные стрелками, не принадлежат графику.
Аналогично строится график функции у(х) = arcctg(ctg(x^j. При х = тгк (при
любом целом к) функция неопределена. Кроме того, её период равен периоду функ¬
ции «котангенс», то есть равен тг. Строим график при 0 < х < тг и далее копиру¬
ем правильным образом график на всю числовую ось. Получается картина, пред¬
ставленная на рис.6.13.
'У
ТГ
// /
/ //
-2ж ~п
0 * 2п х
Рис.6.13. График функции у(х) = arccfg(cfg(x)). Точки
графика, отмеченные стрелками, не принадлежат графику.

Гмба 6. Обратные тригонометрически» функции.	105
6.3.2.1.	Алгебраические свойства. Часть 1.
Вычислим для разминки sin^arccos^xj). Прежде всего заметим, что число (то
есть соответствующий угол), равное arccos(x), находится в интервале:
О < arccos^x) < тг . В терминах «углов» это можно сказать так: угол, равный
arccos^x), оканчивается в первом обороте в верхней полуплоскости. Если угол
оканчивается в верхней полуплоскости, то его синус неотрицательный. Это озна¬
чает, что в необходимом случае перед знаком квадратного корня следует ставить
знак «+», или не ставить никакого знака, что одно и то же.
С учётом этого записываем: sin^arccos^xty = ^1 - cos2(arccos(xjj = ^1 - х2 .
Аналогично вычисляем cos(arcsin(x^j. При этом имеем в виду, что угол, равный
arcsin(x), оканчивается в первой или в четвёртой четвертях (в пределах первого
оборота, но это здесь не существенно). Это означает, что косинус этого угла -
неотрицательный, и снова перед знаком квадратного радикала, если возникнет
проблема выбора, должен быть поставлен знак «+»:
cos(arcsin(xjj = ^1 - sin2(arcsin^xty = ^1 - х .
Вспоминаем наши симпатичные рамочки:
sin(arccos(xty = - х2
cos(arcsin(x)) = - х2
(6.1)
(6.2)
/
Теперь занимаемся тангенсами и котангенсами:
tg(arcctg(x))	1
ctg\arcctg{x)) х
Аналогично: c(g|arc(g(x)j =
1
tg(arctg(xj) х
Что за прелесть эти рамки! Каждая из них - поэма:

106
Глаба 6, Обратные тригонометрические функции.
Продолжаем изыскания: вычисляем sin^arctg^x^ и cos^arcfg(x)).
s/7?(arcfg(x)) - это синус такого угла, который оканчивается в I или в IV чет¬
верти, и тангенс которого равен х. Но если тангенс угла равен х, то синус, в
±х
соответствии с равенством (5.54), равен 		 . Остаётся определиться со
J777
знаком « + » или «-« в числителе. Рассуждаем итак: если х>0, то arctg(x) окан¬
чивается в I четверти, в которой синус положителен. Если х < 0 , то arctg(x)
оканчивается в IV четверти, в которой синус отрицателен. Получается, что знак
величины sin^arctg^x^ совпадает со знаком величины х, то есть окончательно:
х
sin(arctg(x)) =
Вычисляем cos^arcfg(x)). Это - косинус такого угла, тангенс которого равен
х, и угол этот оканчивается в I или в IV четвертях, в которых косинус поло¬
жителен. Тогда в соответствии с равенством (5.57) и с учётом положительности
косинуса получаем:	cos^arctg^x^ = —==
^1 + х2
Продолжаем. sin(arcctg(xty - это синус такого угла, котангенс которого ра¬
вен х, и угол этот оканчивается в I или II четвертях, то есть там, где синус
положителен. В соответствии с равенством (5.55) получаем:
sirr(arcctg(x)) = —==L
>Г
1 + х2
cos(arcctg(x)) - это косинус такого угла, который оканчивается в I или II чет¬
вертях, и котангенс которого равен х. В соответствии с равенством (5.58) полу¬
чаем: cos(arcctg(x)) = , ■ • Рассуждаем далее аналогично тому, как рассуж-
-у 1 + х
дали при определении знака для sin(arctg(xty: если х > 0, то arccfg(x) оканчи¬
вается в I четверти, в которой косинус положителен. При х < 0 arcctg(x) окан¬
чивается в II четверти, в которой косинус отрицателен. Получили, что знак ве¬
личины cos^arcctg^x^ совпадает со знаком величины х, и окончательно:
cos^arcctg^xty =
2
+ X
V*
Никто и ничто не мешает нам оформить рамочку

Глаба 6. Обратные тригонометрические функции.
107
Догадливые читатели, конечно, сообразили, что сейчас (после некоторого,
скажем, перерыва на обед...) мы вместе с ними будем вычислять значения танген¬
сов и котангенсов от арксинусов и арккосинусов. От судьбы не уйти!!!...
tg^arcsin^x^ - это тангенс такого угла, синус которого равен х, и угол
этот оканчивается в I или в IV четвертях. Если синус некоторого угла равен х,
±х
то согласно равенству (5.59), тангенс угла равен .	, то есть:
jl-x2
tgiarcsin^x)} = —=^^=. Теперь надо, разумеется, выбрать знак «+» или «-» в
у 7 - х2
числителе. При х > 0 угол arcsin(x) оканчивается в I четверти, в которой тан¬
генс положителен. При х < 0 угол arcsin(x) оканчивается в IV четверти, в ко¬
торой тангенс отрицателен. Получили, что знак величины tg(arcsin(xf) совпадает
со знаком величины х, то есть окончательно: tg(arcsin(x)) = -— .
у 7 - х2
Далее, tg(arccos(xty - это тангене такого угла, который оканчивается в I или в
II	четвертях, и косинус которого равен х. Равенство, выражающее тангенс через
j
±J1 - х2
косинус, - это равенство (5.60). Получаем: tg(arccos(x)) = —	. Рассуж¬
дения, аналогичные предыдущим, показывают, что знак величины fgf(arccos(x)) сов¬
падает со знаком величины х, то есть окончательно: tg(arccos(xty = ■ .
Чтобы не утомлять читателей скажем, что по аналогии с предыдущими рассуждения¬

108	Глаба 6. Обратные тригонометрические функции.
ми и с использованием равенств (5.62, 5.63) получаем ещё два равенства, запи¬
санные в рамку вместе с полученными:
tg(arcsin(x)) =
X
- x2
(6.
9)
tg^arccos^x)} =
1J1 - x2
X
(6.
10)
ctg(arcsin(x))
^1 - x2
X
(6.
11)
ctg(arccos(x))
X
t]i - X2
(6.
12)
Замечание: Равенства (6.1 - 6.12) можно свести в таблицу, которая была бы ана¬
логом таблицы 5.1 из п.5.2. Однако можно и не сводить, а записать просто так,
в рамочки... Е
6.3.2.2.	Алгебраические свойства. Часть 2.
Пусть имеется некоторый угол р (то есть некоторое число р) такой, что
-71	П
	 < р < — .	(А)
2	2
-71	7t	„	71
Умножим это неравенство на -1 : < -р < —, и прибавим — к каждой части
полученного неравенства; получаем:
0 - ~2 ~ Р ~ п •
Пусть, далее, s/n(p) = х; если р удовлетворяет условию (А), то верно равен¬
ство	р = arcsin(x).	(В)
Равенство s//?(p) = х запишем так: cos|^ - рj = х , и при этом в силу условия
(Б) верно равенство:	у - р = arccos(x)	(Г)
Складываем равенства (В) и (Г) и результат записываем в противоположном поряд¬
ке:	arcsin(x) + arccos(x) = ^ .

Глаба 6. Обратные тригонометрические функции.
109
Точно такими же рассуждениями и преобразованиями получаем равенство:
arcfg(x) + arcctg(x) = -j .
Помещаем эти равенства в рамочку:
J	К
arcsin(x) + arccos(x) = “ •	(6.13)
arcfg(x) + arccfg(x) = .	(6.14)
л		Г
Пусть q - такое число (то есть такой угол), что 0 < q < л ; тогда также
О	< /г - q < п. Пусть, далее, cos(q) = х ; тогда cos(/r - q) = - х. При запи¬
санных неравенствах для q и для к - q верны равенства:
q = arccos(x), и к - q = arccos(-x).
Сумма этих равенств даёт: arccos(x) + arccos(-x) = л .
Аналогично получаем: arccfg(x) + arcctg(-x) = п . Нажимаем несколько кнопочек, и
рамка готова:
arccos(x) + arccos(-x) = /г .	(6 .15)
arccfg(x) + arcctg(-x) = л .	(6.16)
Для полноты картины необходимо добавить ещё пару равенств, воплощающих
нечётность соответствующих функций:
arcsin(x) + arcsin(-x) = 0 . (6.17)
arctg(x) + arctg(-x) = 0 . (6 .18)
У

110	Глаба 7. Решение основных тригонометрических уравнений.
Глава 7. Решение основных
тригонометрических уравнений.
7.0.	Основные пояснения.
Под основными тригонометрическими уравнениями понимаются уравнения вида:
sin(x) - а ; cos(x) - а ; tg(x) = а ; ctg(x) = а ,
в которых неизвестной величиной является х, число а считается известным. Кро¬
ме того, часто встречаются уравнения вида:
s/'/?2(x) = а2 ; cos (х) = а ; tg (х) = а ; ctg (х) = а ,
которые мы также будем называть основными. При этом подразумевается, что вели¬
чина а - допустимая, то есть для уравнений s/7?(x) = а ; cos(x) = а;
s//?2(x) = а ; cos2(x) = а выполняется условие |а| < 1.
7.0.1. Пояснение
о	многозначных обратных функциях.
Формально решение основных уравнений можно записать с использованием об¬
ратных многозначных тригонометрических функций. Например, решение уравнения
s/n(x) = а можно записать так: х = Arcsin(a), и этим вопрос о записи решения
исчерпывается: сделанная запись ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ содержит ВСЕ ЗНАЧЕНИЯ х,
которых БЕСКОНЕЧНО МНОГО, такие, что sin(x) = а . Такая запись, однако, удоб¬
на для использования толйко чистыми теоретиками, которым нужно только формаль¬
но записать решение, не делая никакого его анализа и не интересуясь отдельными
значениями решений. Запись х = Arcsin{a) даёт либо ВСЕ решения, то есть беско¬
нечно много значений х, если |а| < 1, либо ни одного при |а| > 1; связи между
отдельными значениями здесь не видны, и решения, удовлетворяющие каким-то до¬
полнительным условиям, здесь записаны быть не могут. Это как раз и не нужно
вычислителям, инженерам, и тому подобным компетентным лицам, которые решают,
например, задачу о расчёте мостика длиной километров десять,... башенки высо¬
той в пару-тройку километров,... самолётика,... лодочки... подводной... кораб¬
лика... космического... Им нужно, например, ровно одно решение, или решения,
находящиеся в каком-либо заданном множестве, или решения, удовлетворяющие ка¬
ким-то иным условиям, то есть им нужно то, чего Функции с Большой Буквы делать
не умеют. Значит, нужно записывать решения через функции, названия которых на¬
чинаются с маленьких букв. Этому и посвящена настоящая Глава.
(Здесь очень полезно ещё раз прочитать пункт 6.2.)
7.1.	Решение уравнения s/n(x) = а .
Пусть имеется уравнение s/n(x) = а; полагаем при этом, что |а| < 1, то
есть уравнение имеет решение. Строим тригонометрический круг (рис.7.1), отме¬

Глаба 7. Решение основных тригонометрических уравнений.
111
чаем на линии синусов значение, равное а, и строим две серии углов jx^J и
jx2J таких, что для любого угла серии jxj и для любого ^гла серии jx2J
выполняется равенство s/n(x) = а .
Пояснение: Обозначение |xj есть обозначе¬
ние того, что имеется не один угол, равный
х1 , а бесконечно много углов, оканчивающих¬
ся в одном и том яе месте на тригонометри¬
ческом круге. Вообще, фигурными скобками
обозначаются часто разного рода множества,
и это обозначение хорошо бы принять к све¬
дению.®
Замечаем, что углы серии |xj оканчи¬
ваются в первой (при а > 0) или в
четвёртой (при а<0) четверти, то есть их
можно прямо записать через функцию arcsin,
потому что эта функция как раз и выдаёт
угол, оканчивающийся в первой или в
Рис.7.1. Решение уравнения
sin(x) = а .
четвёртой четвертях. Именно, можно записать так:
х1 = arcsin(a) + 2кк , к - целое.
Обращаем теперь внимание: углы серии |x2J нельзя записать непосредственно
через функцию arcsin, потому что эта функция не выдаёт углы, оканчивающиеся во
второй или в третьей четвертях. Здесь надо придумать, конечно, какой-то хитрый
приём, и мы его придумаем. Именно, замечаем, что углы серии {-*,} отличаются
от углов серии |x2J на половину полного оборота, то есть, например, на угол,
равный п (или на угол, равный Зтг, -7тг, и т.д.). Таким образом, можно запи¬
сать: х2 = -х1 + 7г + 2 тгк - -arcsin(a) + тг(2к + 1). Получаем, что решение урав¬
нения s/7?(x) = а может быть записано в виде совокупности двух равенств:
х1 = arcsin(a) + 2тгк;
х2 = -arcsin(a) + (2/с + 1)7г; к - целое.
Запишем теперь равенства совокупности (А) в виде одного равенства:
х = (-7)narcsin(a) + тгп; п - целое.	(Б)
(А)
Чтобы убедиться в соответствии записей (А) и (Б), обращаем внимание: при п
чётном в (Б) получается первое равенство совокупности (А); при п нечётном
получается второе равенство совокупности (А). Таким образом,

112
Глава 7. Решение основных тригонометрических уравнений.
Решение уравнения
s/'r?(x) = а
может быть записано в одном из двух видов
х1 = arcsin(a) + 2лк;
х2 = -arcsin(a) + (2/с + 1)л; к - целое.
х = (-1)" arcsin(a) + лп; п - целое.
Замечание: Форма представления решения в виде (А) или в виде (Б) зависит от
потребностей решающего задачу, то есть от того, что необходимо дальше делать с
решением: надо ли в дальнейшем делать какой-то отбор решений, просто записать
весь набор решений, и так далее.0
7.1.1 Решение уравнения sin2(x) = а2 .
~^JA\
" \ Y
/ Syr 1 )
*
7 I 4
me уравнения
\ 2
x) = a .
Рис.7.2. Pemet
sin (
Из уравнения s/V?2(x) = а получаем:
s/V?(x) = ±а .	(В)
Знак величины а , как правило, неизвестен,
поэтому на линии синусов отмечаем величины
|а| и —|а| , а также отмечаем серии углов,
синусы которых равны |а| и —|а| ; эти углы
показаны на рис.7.2.
Углы серии jxj оканчиваются в первой
четверти; углы серии |x3J отличаются от уг¬
лов серии jxyJ на целое число развёрнутых
углов, то есть на целое число л. Получаем,
что углы серий |xyJ и jx3J можно записать
так: х13 = arcsini^a^j + лк; к - целое. Аналогично, углы серий |x2J и |x4J могут
быть записаны так: х24 = arcs/n(-|a|) + лк = -arcsin(^aty + лк . Получаем, убирая
индексы:

Гмва 7. Решение основных тригонометрических уравнений.
113
7.2.	Решение уравнения cos(x) = а .
Отметим на линии косинусов значение,
равное а, и построим серии углов jxfJ и
|x2J, косинус которых равен а (рис.7.3).
Углы серии jx7J оканчиваются в I или в II
координатных четвертях. Замечаем, что об¬
ласть значений функции у(а) = arccos(a) как
раз и есть 0 < arccos(a) < /г . Поэтому серию
jxfJ можно записать так:
х1 = arccos(a) + 2/г/с; к - целое.
Углы серии |x2J не оканчиваются в I или в
II координатных четвертях, но эти углы мо¬
гут быть записаны так: х2 = -arccos(a) +2лк; к -целое. Окончательно получаем:
Рис.7.3. Решение уравнения
cos(x) = а .
Решение уравнения
cos(x) = а
может быть записано в виде:
х = ±arccos(a) + 2/г/с; к - целое.
7.2.1.	Решение уравнения cos2(x) = а .
Из уравнения cos2(x) = а получаем: cos(x) = ±а . Так как число а может
иметь любой знак, то для гарантии правильной иллюстрации на линии косинусов
отмечаем |а| и —|а| (рис. 7.4), и замечаем, что равенство cos(x) = ±а равно¬
сильно равенству cos(x) = ±ja| . Строим серии углов, косинусы которых равны |а|
и-|а|.

114
Гмве 7. Решение основных тригонометрических уравнений.
(м
*2 \
А
кЯ
Н ] .
*3 ft
Рис.7.4. Решение уравнения
2/ \ 2
cos (х) = а .
Углы серий jxj и jx3J можно записать так:
х13 = arccos(|a|) + пк; к - целое. Углы серий
|x2J и jx4J записываются так:
х2 4 = -агссоЩа|) + пк; к - целое. Оконча-
Решение уравнения
2/ \ 2
cos (х) = а
может быть записано в виде:
х = ±arccos(|a|) + пк; к - целое.
Замечание: Имеем в виду: arccos(-|a|) НЕ РАВЕН -агссоЩа||!!! в этой связи не¬
обходимо внимательно разобраться, как поя¬
вился знак «-« в записи выражений для|х2| и
jx4J : он появился по чисто геометрическим
соображениям, но не в силу несуществующего
свойства нечётности функции «arccos».@
7.3.	Решение уравнения fg(x) = а .
Пусть имеется уравнение fg(x) = а .
Строим на тригонометрическом круге два эк¬
земпляра линии тангенсов; при этом учитыва¬
ем, что положительное направление линии
тангенсов, лежащей в левой полуплоскости,
-	это направление «вниз» (рис.7.5). Отме¬
чаем на обеих линиях тангенсов значение,
равное а, и строим углы серий |х7} и jx2J :
тангенсы этих углов равны а. Углы серии
|xfJ оканчиваются в I или в IV четвертях, и

Глаба 7. Решение основных тригонометрических уравнений.	115
их можно записать поэтому в виде:	х = arctg(a) + 2пп; п- целое. Углы серии
jx2J отличаются от углов серии на целое число развёрнутых углов. С
учётом этого углы обеих	серий
х = arcctg(a) + пк; к - целое. Итак,
можно
виде:
Решение уравнения fgr(x) = а
может быть записано в виде:
х = arcfg(a) + пк; к - целое.
7.3.1.	Решение уравнения
tg2(x) = а2 .
Из уравнения tg2(x) = а получаем:
fg(x) = ±а. С учётом двойного знака в правой
части это равенство можно записать в виде:
tg(x) = ф| .
Строим на координатной плоскости, как
водится, две линии тангенсов, не забывая,
что линия тангенсов в левой полуплоскости
направлена вниз. Отмечаем на них значения
|а| и —ja|, и строим серии углов jxj , |x2J,
|x3J и jx4J, тангенсы которых равны |а| и
—|а| (рис.7.6). Углы серий |xfJ и jx4J могут
быть записаны в виде:
|а|) + 2пп; п - целое ;
углы серий jx2J и |х3| отличаются от углов серий |xyJ и |x4J на целое число
развёрнутых углов, то есть на целое число углов, равных п.
Объединяем полученные результаты:
Решение уравнения
tg2(x) = а2
может быть записано в виде:
х = ±arctg^a^j + пк; к - целое.

116	Глава 7. Решение основных тригонометрических уравнений.
7.4.	Решение уравнения cfg(x) = а .
На координатной плоско¬
сти строим две линии котан¬
генсов (рис.7.7). При этом,
аналогично предыдущему, не
забываем, что положительное
направление линии котанген¬
сов, расположенной в нижней
полуплоскости - это направ¬
ление справа налево. Один из
углов серии |xtJ находится в
интервале 0 < х1 < /г, поэто¬
му эту серию можно записать
так: х1 = arcctg(a) + к к; к -
целое. Углы серий jxfJ и
jx2J отличаются друг от дру¬
га на целое число
развёрнутых углов; поэтому
углы обеих этих серий можно записать так: х = arccfg(a) + пк; к - целое. Итак,
Решение уравнения
ctg(x) = а
может быть записано в виде:
х = arcctg(a) + пк; к - целое.
7.4.1.	Решение уравнения ctg2(x) = а2 .
Из уравнения cfg2(x) = а2 получаем: cfg(x) = ±а , и с учётом двойного знака
для дальнейшего удобства записываем: cfg(x) = ±|а|. Строим на координатной плос¬
кости (снабжённой, конечно, тригонометрическим кругом) две линии котангенсов,
и отмечаем на них значения ±|а| (рис.7.8). Углы серий |xfJ и jx^J могут быть
записаны в виде: х14 = ±arccfg(|a|) + 2пп , п - целое. Углы серий jx2J и jx3J
отличаются от углов серий |xtJ и |x4J на целое число развёрнутых углов, то
есть на целое число п.

Глава 7. Решение основных тригонометрических уравнений.
117
Таким образом,
Решение уравнения
ctg2(x) = а2
может быть записано в виде:
х = ±arccfg(|a|) + пк; к - целое.
7.5.	Замечание о тангенсах и котангенсах.
Математики иногда не любят употреблять функцию «arcctg», и в случае рабо¬
ты с уравнением cfg(x) = а при а * 0 заменяют уравнение cfg(x) = а на урав¬
нение fg(x) = —, после чего используется функция «arctg». Так же поступают
часто с уравнением cfg2(x) = а2 : при а ф 0 оно заменяется на уравнение
fg2(x) = . Решение уравнения cfg(x) = 0 записывается отдельно:
а

118
Глава 7. Решение основных тригонометрических уравнений.
7.6.	Решение уравнения a*cos(x) + b*sin(x) = с .
В п.5.5 показано, как получается равенство
a*cos(x) + b*s/n(x) = Ja2 + b2 cos(x - (p)
где (p - такой угол, что costa) = —=JL=; s/'nta) = .	.
v/ 2.2 12,2
-у a + Ь	ya + b
Второй вариант преобразования выражения Р(х) = a*cos(x) + b*s/n(x) :
a*cos(x) + b*s/n(x) = т]а2 + b2 sin(x + y/),
где у/ - такой угол, что s//?(^) = . 8 =•; cos^) =
V777’
2 2
В дальнейшем не забываем, что здесь а + Ь * 0. Это означает, что по
крайней мере одно из двух чисел а или b отлично от 0.
7.6.1.	Решение уравнения a*cos(x) + b*s/n(x) = с :
первый способ.
Пусть имеется уравнение
a*cos(x) + b*sin(x) = с .	(А)
Записываем его в виде:
а cos(x) + b. sin(x) = ° .	(Б)
V777 V777 V777
Обозначаем - такой угол, что costa) = . 8 - s/nta) = . . -, и при-
v/ I 2 ,2 v/ /2,2
yja + b	ya + b
водим уравнение (Б) к виду:
соЦх - ?) = 2° .	(В)
-у а + Ь
Отсюда: уравнение (В), а следовательно, и уравнение (А), имеет решение, если
< 1 , то есть |с| < д/7Т7.	(г)
V777
Если условие (Г) не выполняется, то уравнение (А) решений не имеет. Если
условие (Г) выполняется, то из уравнения (В) получаем:
х - <р = ±arccos
ija2 + b2
+ 2/г/с; к - целое, и далее:

Глаба 7. Решение осноВных тригонометрических уравнений.	119
х = (р ± arccos\ .	+ 2як; к - целое ,
Ja2 + Ь2
при этом <р - такой угол, что cos(^) = . 3 sin(<p) =
(Д)
Ja2 + b2
Ja2 + b2
Замечание: Здесь возникает соблазн записать угол (р сразу в виде:
<р = arccos
ija2 + b2
в виде: <р = arcsin
J а2 + b2
, или в более «тяжёлом»
виде: (р = ±arccos
yja2 + b2
+ 2пп , или (р = (~1)т arcsin
Причины, по которым это делать нельзя:
1.	Если записать угол (р в виде: (р = arccos
Ja2 + b2
+ ппп .
pTb2
то тем самым угол (р
считается оканчивающимся в I или в II четвертях. Но если, например,
cos(p) > 0 , то угол (р может оканчиваться в IV четверти. Поэтому запись угла
(р в неявном виде, то есть через указание на его синус и косинус, даёт точное
указание на четверть, в которой оканчивается угол <р. По этой же причине нельзя
записывать угол (р в виде: <р = arcsin
■Ja2 + b2
: такая запись указывает, что
угол оканчивается в I или в IV четвертях, но угол (р может оканчиваться в II
а
или в III четвертях. Записывать угол <р в виде: ср = ±arccos
b
рТь2
+ 2пп
или
в виде: (р = (-7) arcsin
+ ят нельзя по тем же причинам: такие
записи не указывают, где именно оканчивается угол (р.
а
2. Записи вида: (р = ±arccos
b
+ 2 яп или
(р = (-7) arcsin
а2 + Ь2
+ ят не нужны: для решения задачи достаточно
указать ОДИН угол такой, что его косинус и его синус принимают заданные значе¬
ния. Множественность окончательного решения всё равно указана в ответе в форме

120	Глаба 7. Решение основных тригонометрических уравнений.
(Д).
Уравнение (А) можно также записать в виде:
sin(x + уЛ =	и далее, проделав рассуждения, аналогичные выполненным,
I 2 и2
•у а + Ь
записать результат в виде:
х = —у/ + (-1)" arcsin
-yja2 + b2
+ д-п; п - целое ;
при этом у/ - такой угол, что sin(y/) =
а	л \ ь
; cos(^) =
yja2 + b2
Ja2 + b2
7.6.2.	Решение уравнения a*cos(x) + b*s/n(x) = с :
второй способ.
Применим равенства (5.12), (5.15) и (5.1) и запишем уравнение (А) в виде:
+ 2b*s/n| ■jlcosf-jl = с
(E)
После элементарных преобразований:
(с + a)sin2 - 2bs/V?j^-jcos •
Дальше решение предполагает несколько вариантов действий в зависимости от ве¬
личин а, Ь, с. Приводить здесь более или менее общую теорию окажется негуман¬
ным по отношению к учащимся; удобнее в учебных целях рассмотреть несколько
примеров, из которых будет понятен ход решения для каждого случая.
7.7. Примеры.
Пример 1: Уравнение: 6*cos(x) - 8*s/n(x) = 5 . Разделим уравнение на
10 = ^62 + 82 ; получаем уравнение в виде:
|eos(x) - |вЦх) = 1-.	(Ё)
Пусть у/ - такой угол, что sin(y/) = —; cos(y/) = —. Замечаем, что угол у/
оканчивается в первой четверти (его синус и косинус положительны); это не¬
сколько позже пригодится. Уравнение (Ё) принимает вид:
sin(y/)cos(x) - cos{i//)sin[x) = «j, то есть: sin(y/ - х) = -j . Технически проще бу-
_7
дет, если это равенство будет записано так: s/n(x - у/) =— . Отсюда:

Глаба 7. Решение основных тригонометрических уравнений.
121
х - у/ = (-1)"arcsin^-1-j + тгп; п - целое. Далее:
х — у/ +	+ пп ~ V + + + пП '
Так как угол ц/ оканчивается в первой четверти, то его можно записать в виде:
.(з)
у/ = arcsiii— , и окончательно получаем решение в виде:
х = arcsir^j + (-7)"+ 1*^ + тгп; п - целое.
Пояснение: Строго говоря, угол у/ должен быть записан так:
(з\
у/ = arcsinl — + 2тгк; к - целое, и вид решения станет от этого более громозд¬
ким. Однако в такой записи нет необходимости, так как множественность значений
угла уже заложена в слагаемом тгп . Для решения задачи достаточно ОДНОГО значе¬
ний такого угла, синус и косинус которого заданы. 0
Пример 2: Уравнение 2cos(x) + 5sin(x) = -2.
Записываем уравнение так:
2
cos4)-sin{i,
:44Ы|| = -21
+ 70s/'n^— \cos
vcostfJ+s/"ti
и после упрощений:	5s/nj^jcos|^j + 2cos2|^J = 0.	(Ж)
Здесь есть два пути решения, и мы покажем каждый их них.
2 X
Вариант 1: Перед тем, как делить обе части уравнения (Ж) на cos |^—J проверим,
не произойдёт ли при таком делении потери решений. Именно, возможна потеря ре¬
шения cos^jj = ^ • Подставим cos^jj = О в уравнение (Ж) и обнаружим, что
уравнение обрело вид верного равенства: 0 = 0. Это означает, что С08|^| = ^
является решением уравнения. Из равенства C0S(^"jj = ^ получаем:
х = тг(1 + 2п); п - целое . После того, как решение cos^jj = ^ учтено, можно
2( х^1
делить уравнение (Ж) на cos —I без опасения потери решении. После деления:

122	Глаба 7. Решение оснобных тригонометрических уравнений.
5tg\ -jj + 2 = 0, откуда:	= ' И х ~ ~^агс^('^) + ^ ~ целое*
Окончательный Ответ: х1 = я(1 + 2ri) ; х2 = -2arctg
(2
— | + 2пк ; п, к - целые.
Г *
Вариант 2: Выносим C0SrJ
за скобки в левой части (Ж):
C0S["j][^S/,n["j) + 2C°S
= О.
О)
Отсюда:
cost —1 = О;
5sin
+ 2coi
х = 7г(1 + 2п); п - целое. С равенством 5s//i^jj + 2cos^-^-j = 0 работаем так:
решение, в
5sin
г х
котором
cos| —1 = 0, ухе учтено. Делим равенство
= 0 на cos('jj и записываем то, что получается, в виде:
—. Здесь получаем решение в той хе форме, которая получена в
предыдущем варианте.
Пример 3: Уравнение 5cos(x) + 72s/n(x) = 13. Записываем уравнение в виде:
cos2[| - sin2 I
+ 24со>
13
2 X
cos —
2
+
и после упрощений:
9s/V?2|jy - 72cos^-jjs/n|^-jj + 4cos2
Замечание: Не все сразу увидят, что здесь левая часть - точный квадрат. Мы то-
хе делаем вид, что не обнарухили это сразу, и поступаем чисто формально.0
(И)
проверим, не произойдёт ли
Перед тем, как разделить уравнение на cos
при таком делении потери решений. Именно, мохно потерять решения, в которых
/
cos
■jj = 0. Подставим cos^jj = 0 в (И); получаем:	= 0 , то есть

Глаба 7. Решение основных тригонометрических уравнении.	123
имеем при одних и тех хе значениях х:
s/m|
= О (получается из уравнения).
Это противоречит равенству (5.1), то есть означает, что, что cos^jj = 0 не
гГ х
является решением уравнения (И) и при делении уравнения (И) на cos \ — \ потери
не случится. После деления:	-
= -j , и х = 2arcfg0j + 2пп; п - целое.
Ответ: х = 2arcfgj-jj + 2пп; п - целое.
ч2,
+ 4=0, откуда:

124
Глава в. Тригонометрия и геометрия.
Глава 8. Тригонометрия и геометрия.
8.0.	Предварительные рассуждения.
Выше тригонометрические функции определялись в значительной степени фор¬
мально, и исследовались безотносительно к конкретным свойствам геометрических
фигур. Вместе с тем истоки тригонометрии как науки - это понятие угла, свойст¬
ва прямоугольного треугольника, и некоторые другие чисто геометрические поня¬
тия. Возникает необходимость обозначения основной идеи, которая связывает чис¬
то формальный подход к определению тригонометрических функций и запись связей
между элементами треугольников с помощью тригонометрических функций. Такой
идеей является идея подобия многоугольников, и в первую очередь идея подобия
треугольников. В свою очередь, если вспомнить доказательства признаков подобия
треугольников, то окажется, что все эти доказательства основаны на Теореме Фа¬
леса, которую здесь имеет смысл сформулировать.
историческая справка: Приблизительные годы жизни Фалеса: 640 - 546 гг. до
Н.Э. Неплохо, даже если учесть приблизительность этих дат; обычно здесь по¬
грешность не превышает 5 лет. Он был современником Пифагора. 13
Теорема Фалеса: Если на одной стороне угла отложить некоторые отрезки, и через
их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую сторону угла, то

Глаба 8. Тригонометрия и геометрия.
125
эти прямые отсекут на второй стороне угла отрезки, пропорциональные отрезкам,
отложенным на первой стороне угла.
Замечание: Теорема не требует, чтобы отрезки откладывались от вершины угла, и
чтобы они обязательно не пересекались. Отрезки могут откладываться так, чтобы
они пересекались, концы их находились по разные стороны от вершины угла, и
т.д. (рис.8.1.)
Пояснение о теореме, обратной к Теореме Фалеса: Эта теорема не формулируется, то
есть она НЕВЕРНА ! В самом деле, если бы она была верна, то она формулирова¬
лась бы так:
Если на одной стороне угла отложить некоторые отрезки, а на другой сторо¬
не угла отложить отрезки, пропорциональные отрезкам на первой стороне угла, и
через концы отрезков на первой стороне угла и соответствующие им концы отрез¬
ков на второй стороне угла провести прямые, то эти прямые окажутся параллель¬
ными.
Неверность этой теоремы
иллюстрируется рисунком 8.2.
На рисунке представлен частный
случай: отрезки, отложенные на
одной стороне угла, равны меж¬
ду собой, и отрезки, отложен¬
ные на другой стороне угла,
равны между собой, как показа¬
но на рисунке. Вместе с тем
прямые C1D1 , C2D2 и C3D3 во¬
все не обязаны быть параллель¬
ными. Даже если они оказались
при некоторых положениях точек
D7 и D3 параллельными, то
можно построить точки К и L
так, что длины отрезков KD2 и
D2L окажутся равны между собой, но прямые КС1 , D2C2 и LC3 не будут парал¬
лельны: если бы они оказались параллельны, то это означало бы, например, что
через точку можно провести по крайней мере две прямые, параллельные D2C2 :
это прямые D1C1 и КС1 .
Теперь полезно сформулировать определение подобия многоугольников:
Определение 8.1: Два многоугольника называются подобными, если их соответствую¬
щие стороны пропорциональны, а углы, заключенные между сторонами одного много¬
угольника, попарно равны соответствующим углам другого многоугольника.
Это определение проиллюстрируем рисунком 8.3.
Обозначение: Подобие фигур обозначается символом « ~ « (в отличие от символа,
похожего на незаконченную восьмёрку, символ ~ имеется в шрифтах «Windows»).
Для треугольников в курсе математики формулируются три признака подобия.
Отличие признака подобия от определения подобия состоит в следующем. Определе¬
ние описывает некий набор свойств, при наличии ПОЛНОГО НАБОРА которых два
многоугольника НАЗЫВАЮТСЯ подобными. Признак подобия - это некая теорема, в
которой утверждается, что если выполняется некий минимальный набор условий для

126
Гм8е 8. Тригонометрия и геометрия.
каких-либо фигур, то и остальные условия в определении подобия также выполня¬
ются, то есть фигуры ЯВЛЯЮТСЯ подобными. При этом предполагается, конечно,
что при формулировках теорем подобия уже известно, какие фигуры НАЗЫВАЮТСЯ по¬
добными .
Признаки подобия треугольников имеют номера, о которых господа математики
когда-то договорились, и признаки эти формулируются так:
Признак 1: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам
другого треугольника, и угол, заключённый между указанными сторонами одного
треугольника, равен углу между соответствующими сторонами другого треугольни¬
ка, то треугольники подобны.
Признак 2: Если два угла одного треугольника попарно равны двум углам другого
треугольника, то треугольники подобны.
Признак 3: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам
другого треугольника, то треугольники подобны.
8.1.	Подобие треугольников и
связи между сторонами и углами в треугольнике.
Обычной является запись, выражающая одну из сторон прямоугольного тре¬
угольника через другую сторону и какую-либо функцию того или иного угла тре¬
угольника. Здесь показана формальная сторона соответствующих преобразований.
Пусть имеется прямоугольный треугольник ABC (рис.8.4), гипотенуза кото¬
рого есть АВ, и стороны а, Ь, с этого треугольника обозначены в соответст¬
вии со сложившейся традицией: против вершин А, В, С лежат соответственно
стороны а, Ь, с.
Построим на гипотенузе точку М так, что \АМ\ = 1, и опустим из М пер¬
пендикуляр на АС) его основание есть точка N. По признаку №2 подобия тре¬
угольников имеем: AABC ~ AAMN. Записываем отношение подобия:

Глебе 8. Тригонометрия и геометрия.
127
ас
MN
АВ
AM
(А)
Но так как \АМ\ = 1, и угол А острый, то есть sin(A) >0, то по определению
\MN\ = sin(A), и равенство (А) при¬
нимает вид
ВС
АВ
sin(A), откуда:
|ВС| = \AB\*sin(A).
Аналогично, также из подобия
этих же треугольников:
(Б)
Опять же, так как \АМ\ =1, то
МЛ/|
ВС
ВС
MN
АС
AN
|БС| = \AC\*tg(A).
АС
= sin(A) ?	\AN\ = cos(>4), и
sin(A)
= —27\	= Ща)' откуда:
cos(/\)	' '
Аналогичные рассуждения приводят нас к остальным связям между сторонами и
'углами в прямоугольном треугольнике. На основе этого дальше строятся все ос¬
тальные теоремы и формулы, в которых участвуют тригонометрические функции уг¬
лов треугольника и стороны треугольника. Во всяком случае необходимо понимать,
что идейные источники тригонометрии - это Теорема Пифагора и подобие много¬
угольников вообще и треугольников в частности и в особенности.

128	Глаба 9. Решение основных тригонометрических неравенств.
Глава 9. Решение основных
тригонометрических неравенств.
9.0.	Предварительные замечания.
Под основными тригонометрическими неравенствами подразумеваются неравен¬
ства вида s/'n(x) > а ; cos(x) < а ; и тому подобные, относительно неизвестной
величины х. К основным неравенствам следует отнести также неравенства вида
sin (х) < а ; tg (х) > а , и тому подобные. К неравенствам показанного здесь
вида сводятся так или иначе все или почти все тригонометрические неравенства.
Основным инструментом решения неравенств является, разумеется, тригонометриче¬
ский круг, который здесь будем рисовать, рисовать и ещё много раз рисовать...
Здесь нереально показать решения всех основных тригонометрических нера¬
венств: этих основных неравенств при наличии небольшой фантазии можно насчи¬
тать 48 штук. Записывать формальные решения всех их нет смысла: получится не¬
объятное собрание, запомнить которое и использовать так же формально никто не
сможет. Поэтому здесь показаны решения некоторых неравенств; при этом имеется
надежда, что учащиеся поймут идею, и сами смогут решить то, что им будет пред¬
ложено .
9.1.	Решение неравенства sin(x) > а .
Прежде всего заметим, что если
а>1, то неравенство решений не имеет:
синус не может быть больше числа, кото¬
рое больше или равно 1, Далее, если
а < -7 , то решение неравенства есть лю¬
бые значения х: при а < -1 для любого
х верно неравенство s/n(x) > -1 > а .
Пусть теперь -1 < а <1. Отложим на ли¬
нии синусов отрезок ОА = а .(рис.9.1)
(с учётом знака!1!). Из схемы на круге
следует, что неравенство sin(x) > а вы¬
полняется, если угол х оканчивается в
секторе, ограниченном углами х1 и х2 ,
то есть проекция Q точки Р пересече¬
ния второй стороны угла, равного х,
оказывается на отрезке АВ, Угол х1
оканчивается в I или в IV четверти,
поэтому его можно записать так: xf = arcsin(a) + 2тгк для любого целого к.
Угол х2 оканчивается во II или в III четверти, и его можно записать так:
х2 = тг - arcsin(a) + 2тгк , Таким образом, получаем решение неравенства:

Глава 9. Решение оснобных тригонометрических нерабеистВ.	129
При а > 1: решений нет; при а < -1 : х - любое; при -1 < а <1:
arcsin(a) + 2 тгк < х < -arcsin(a) + тг(2к + 1); к - целое.
Пример-1: Неравенство sin(7х) > . Замечаем, что arcsir^-^j = , и записы¬
ваем: AL + 2тгк < 7 х < ^ + 2тгк; к - целое . Далее пишем неравенство для х:
-тг 2тгк	тг 2тгк ,
—	+	< х < — +	; к - целое. Это и есть окончательный результат.
42 7	6 7
Пример-2: Неравенство s/n(5x) > -1 . Результат вполне можно писать в общем ви¬
де, однако он будет несодержательным. Здесь - специальный случай: правая часть
неравенства равна минимуму функции «синус». При всех значениях аргумента вы¬
полняется неравенство: s/n(5x) > -1. Остаётся только исключить те значения, при
— 71
которых s/n(5x) = -1, то есть исключить значения 5х = + 2тгк; к - целое.
-тг 2 тгк
Таким образом, окончательный результат: х ф — + ——; к -целое.
9.2.	Решение неравенства cos(x) < а .
Аналогично предыдущему, замечаем,
что при а < -1 неравенство решений не
имеет: cos(x) не может быть меньше или
равен числа, которое меньше минимально¬
го значения cos(x). Далее, при а > 1
неравенство верно при всех значениях х:
для любых значений х выполняется нера¬
венство cos(x) < 1 < а . Пусть теперь
-1 < а < 1 . Откладываем на линии коси¬
нусов отрезок ОА = а длины, равной а
(с учётом знака); конец этого отрезка
обозначен на рис.9.2 буквой А. Неравен¬
ство верно при тех значениях х, при ко¬
торых проекция Q точки Р пересечения
второй стороны угла, равного х, лежит
на отрезке ВА, включая его концы (не¬
равенство - нестрогое!). Это выполняет¬
ся, если угол х оканчивается в секторе, заключённом между углами, равными х1
и х2 . Угол, равный х1 , оканчивается в I или во II четверти, поэтому его можно
сразу, без всяких дополнительных слагаемых, записать в виде:
х1 = arccos(a) + 2тгп; п - целое. Теперь внимательно продумаем, как правильно
cos(x) < а

130	Глаба 9. Решение оеиобных тригонометрических нерабенстб.
3. Решение неравенства записано так:
записать угол, равный х2 . Если записать этот угол в виде:
х2 = -arccos(a) + 2 тгп (при том хе значении п), то попытки записать решение не¬
равенства приведут к неприятностям трёх видов:
1.	Решение неравенства записано так: х2 < х < xf , то есть в виде:
-arccos(a) + 2пп < х < arccos(a) + 2пп .
Легко увидеть, что таким образом записаны углы, оканчивающиеся в секторе
EOD(C), но не в секторе EOD(B), как требуется согласно неравенству.
2.	Решение неравенства записывается так: xf < х < х2 , то есть
arccos(a) + 2тгп < х < -arccos(a) + 2тгп.
Здесь - неприятность ещё более худшая: левая часть этого двойного неравенства
больше (или равна при arccos(a) = 0) правой части, так как arccos(a) > 0. За¬
метим, что двойное неравенство - это запись в кратной форме СИСТЕМЫ нера¬
венств, и его решение - это такие значения аргумента, при которых удовлетворя¬
ются ОБА неравенства: правое и левое.
х < arccosia) + 2пп;
; '	Так тем более
х > -arccos(a) + 2пп.
нельзя записывать решение: поскольку решение есть углы из некоторого сектора,
то он должен быть ограничен двумя сторонами угла, то есть решение должно быть
записано именно в виде системы.
Вывод: Чтобы правильно записать сектор EOD(8), необходимо придумать
подходящую форму записи угла, равного х2 . Несложно догадаться, что для этого
необходимо вращать радиус вектор в том же направлении, в котором его вращали
для получения угла, равного х1 , то есть в направлении, например, по часовой
стрелке. Тогда угол, равный х2 , запишется так: х2 = 2к - arccos(a), и оконча¬
тельно решение неравенства принимает вид:
arccos(a) + 2тгп < х < -arccos[a) + 2тг[п + 1); п - целое.
Пример-З: Неравенство cos(3x + 5)<^. Вспоминаем, что arccos^-jj = -j, и за¬
писываем сразу: — + 2тгп < Зх + 5 < — + 2тг + 2тгп . Немножко упрощаем:
3	3
—	+ 2тгп < Зх + 5 < — + 2тгп , и окончательно:
3	3
тг 5 2тгп	5тг 5 2тгп
	+	< х <	+	; п - целое.
9 3 3	9 3 3
Пример-4: Неравенство cos(4x) < -7. Решение пишем быстро и неформально! Со¬
ображаем, что косинус меньше -1 не бывает, он может быть только равен -7.
Поэтому это неравенство равносильно уравнению cos(4x) =-7, его решение есть:

ГлаВа 9. Решение осноВных тригонометрических нерабенстб»	131
4х = л(1 + 2/с), и окончательно:
тг(1 + 2/с)
х = —		 ; к - целое.
9.3.	Решение неравенства tg(x) > а
- строгое. Значение х
Откладываем на линии тангенсов от¬
резок ВА, длина которого (с учётом зна¬
ка) равна а; иллюстрация - рисунок 9.3.
(Можно было бы сказать и так: «Отмечаем
на линии тангенсов число а».) Точке А
на линии тангенсов соответствует углы
серии xQ = arctg(a) + /г/с для любого це¬
лого /с. (Не забываем, что период тан¬
генса равен развёрнутому углу, то есть
равен /г.) Неравенство выполняется для
тех значений х, для которых точка Р пе¬
ресечения второй стороны угла находится
выше точки А, или совпадает с ней, так
как неравенство нестрогое. Соответст¬
вующие углы оканчиваются в секторе
>АОС(Б), сектор этот показан на рисун¬
ке двусторонней стрелкой. Таким обра¬
зом, решение неравенства такое:
arctg(a) + /г/с < х < -j + /г/с ; /с - целое.
Пояснение: Обращаем внимание: здесь в
двойном неравенстве правое неравенство
■j + /г/с не может входить по геометрическим соображе¬
ниям: ZBOP не может быть равен — (и углы соответствующей серии не могут
быть равны -j + лк). Кроме того, формально правое неравенство в решении стро¬
гое потому, что + /г/cj неопределён. Е
9.3.1.	Решение неравенства tg(x) < а .
По аналогии с решением неравенства fg(x) > а углы, являющиеся решением
этого неравенства, должны оканчиваться в секторе AOD(E) (рис.9.3). Решение
неравенства записываем так: + /гп < х < arctg(a) + пп; п - целое.

132
Глеба 9. Решение осноВных тригонометрических неравенств.
Пример-5: Неравенство
-5 < tg(2x) < -/з . Чтобы не подхо¬
дить к решению совсем формально, изо¬
бразим тригонометрический круг, и на
линии тангенсов отметим тангенсы, рав¬
ные -5 и (рис .9.4). Очевидно, если
Р - точка пересечения второй стороны
угла, равного х, с окружностью, то эта
точка должна лежать между точками А и
Б, ординаты которых равны соответствен¬
но -5 и V3 . Таким образом, решение
неравенства, с учётом периодичности,
такое: -arctg{5) + тгп < х < -j + тгп ;
п - целое.
9.4.	Решение
неравенства cfg(x) < а .
О
ч
Б /\
"X /а
у/\ arcctg(a)
Рис.9.5. Решение нер
0 /
авенства cfg(x) < а .
образом, получаем решение неравенства:
arcctg(a) + тгп < х < тг(п + 1); п - целое.
9.4.1.	Решение неравенства cfg(x) > а
Откладываем на линии
котангенсов отрезок СА
длины, равной а (с учётом
знака); рис.9.5. Точка Р
пересечения второй стороны
угла, равного х, с линией
котангенсов, должна нахо¬
диться левее точки А, или
совпадать с ней (неравенст¬
во - нестрогое). Значит,
угол х должен оканчиваться
в секторе АОВ(Р), но его
вторая сторона не может
совпадать с лучом ОБ, по¬
тому что в таком случае ко¬
тангенс неопределён. Таким
Для решения неравенства используем рис.9.5, не перегружая его дополни¬
тельными линиями и буквами. Очевидно, точка пересечения второй стороны угла,
равного х, с линией котангенсов должна находиться правее точки А, откуда полу-

Глаба 9. Решение осноВных тригонометрических нераВенстб.
133
чаем решение:	яп < х < arcctg(a) + яп; п - целое.
Обращаем внимание: здесь левое неравенство - строгое по причине, указанной в
п.9.4: при х = яп котангенс неопределён.
9.5. Решение неравенства s/n2(x) > а2 .
• 2/ \ ^ 2
sin (х) > а .
Прежде всего рассматриваем случай
а2 > 1. Очевидно, здесь решений нет, и
в дальнейшем имеем в виду, что а2 < 7 .
Для определённости, чтобы не ста¬
вить лишние знаки абсолютных величин,
будем полагать а > 0 . Из неравенства
получаем:
sin(x) < -а;
sin(x) > а.
(здесь учтено,
что а > 0). Решением неравенства явля¬
ются те углы, для которых ординаты то¬
чек пересечения вторых сторон с окруж¬
ностью лежат на отрезках NK и LM. Это
означает, что соответствующие углы
оканчиваются в секторах ВОА(К) и
COD(/_); они показаны на круге двойными
стрелками. Замечаем, что здесь периодичность решений равна половине полного
угла, то есть равна я. Точке А соответствует значение угла, равное arcsin(a),
точке В соответствует значение угла, равное я - arcsin(a) (без учёта периодич¬
ности). Тогда решение неравенства записываем так:
arcsin(a) + ят < х < я - arcsin(a) + ят; т - целое,
или, после небольшого упрощения:
arcsin(a) + ят < х < - arcsin(a) + я(т + 1); т - целое .
Пример-6: Неравенство sin2(5x) > — . Из неравенства:
•	\ V3
sot(5x) > —;
•	,* \ -V3
sini5x) - “J--
Далее не
забываем, что arcsin
Гл/З
2
я	2я
— + ят < 5х < — + ят; т
3	3
я ят	2я ят
—	+	< х < — +	; т - целое .
15 5	15 5
целое . Окончательно получаем:

134	Глеба 9. Решение осно8ных тригонометрических нсра8енст8.
Пример-7: Неравенство sin2(11x)>1. Так как неравенство sin2(l1x)>1 невоз¬
можно, то решением могут быть только те значения х, при которых sin2(l1x) =1,
то есть sin(11x) = ±1. Отсюда: 11х = -j + пт; т - целое . Окончательно полу-
п пт
чаем решение неравенства: х = — + т - целое .
9.6.	Решение неравенства cos2(x) < а2 .
Пусть, для определённости, а > 0 .
Очевидно, при а = 0 неравенство реше¬
ний не имеет. При |а| > 1 получаем:
cos2(x) < 1 < а2, то есть неравенство
верно при всех х. Далее рассматриваем
существенный случай: 0 ф а <1. Из ис¬
ходного неравенства: -а < cos(x) < а .
Отмечаем на линии косинусов интервал
(-а; а) ? концы его - точки L и К на
рис.9.7. По аналогии с предыдущими не¬
равенствами легко увидеть, что неравен¬
ство удовлетворяется для тех значений
аргумента, которые оканчиваются в сек¬
торах ВОА^М) и COD[N). Это можно
записать таким двойным неравенством:
агссоЦа) + пк < х < arccos[-a) + пк ; Не¬
целое . С использованием равенства
(6.15) решение записывается так:
arccos(a) + лк < х < -arccos(a) + п{к + 1); к - целое.
Пример-8: Неравенство cos2(13x) < 7 . Решение можно было бы записать формаль¬
но, однако такая запись не показывала бы существо задачи. Замечаем, что нера¬
венство выполняется для всех значений аргумента кроме тех, для которых
cos(13x) = ±1, то есть для тех х, для которых 13х ф пт; т - целое . Отсюда
пт
т - целое.
окончательно:
х Ф
13 '
9.7.	Решение неравенства fg2(x) > а2
Полагаем, как прежде, а > 0 , и откладываем на линии тангенсов отрезки а и
-а ? концы этих отрезков обозначены соответственно буквами А и 8. Из ис-

Глебе 9. Решение осиоВиых тригонометрических нераВенстВ.	135
ходного неравенства:
tg(x) > а;
tg(x) < -а.
Решением являются те углы, вторые стороны
которых пересекают линию тангенсов в точках Р и Q, расположенных соответст¬
венно выше точки А или ниже точки Б; либо в точках А и Б (неравенство -
нестрогое); на рис.9.8 эти углы показаны двойными стрелками. Таким образом,
решение неравенства можно записать в виде:
arcfg(a) + тгп < х < — + тгп;
-тг
~2~
+ тгп < х <
-arctg(a) + тгп;
п - целое.
9.8.	Решение неравенства ctg2(x) < а2 .
Как обычно, полагаем
для определённости а > 0 и
откладываем на линии котан¬
генсов отрезки длиной (с
учётом знака), равной а и
-а ; этим отрезкам соответ¬
ствуют точки А и Б на
рис.9.9. Решением являются
те углы, вторые стороны ко¬
торых пересекают линию ко¬
тангенсов между точками А и
Б либо совпадают с этими
точками (неравенство - не¬
строгое ); на рис.9.9 соот¬
ветствующий сектор показан
двойной стрелкой. Решение неравенства записывается в виде:
arcctg(a) + тгк < х < arcctg(-a) + тгк; к - целое.
Пояснение: Очень полезно обратить внимание на то, какие выражение стоят в ле¬
вой и в правой частях неравенства; именно, где поставлен arccfg(a), а где по¬
ставлен arcctg(-a). Сообразить, что именно и где надо ставить, очень просто:
надо вспомнить, что больше: arcctg(a) или arccfg(-a)? А для этого надо,
опять же, пристально взглянуть на линию котангенсов.0
Для тех, кто не любит отрицательных аргументов функции «котангенс», реше¬
ние можно записать, вспомнив равенство (6.16):
arcctg(a) + тгк < х < ->arcctg(a) + тг(к + 1); к - целое.

136	Глаба 9. Решение осноВных тригонометрических неравенств.
9.9.	Две немного более сложные задачи.
1. Решить неравенство: sin40(x) + cos40(x) > 1.
Предварительные размышления: Наличие показателя степени, равного 40, мохет
вызвать тихую грусть... Нас посетят мысли о том, что обычные формальные преоб¬
разования приведут левую часть неравенства к вырахению такхе высокой степени,
и таким путём задача едва ли смохет быть решена... Значит, надо искать иные
пути.В
Записываем очевидные неравенства:
s/n40(x) < sin2(x)	(А)
cos40(x) < cos2(x)	(Б)
Обращаем внимание: в неравенствах (А) и (Б) равенство мохет быть только при
х = ^ при любом целом п. При этом вахно то, при любом из указанных значений
х оба неравенства становятся верными равенствами. Покахем это аккуратно. Рас¬
смотрим четыре случая.
1.	п = 4к; к - целое. Тогда х = 2тгк ; s/r?(x) = 0 ; cos(x) = 1 , и оба неравенст¬
ва (А) и (Б) очевидно верны.
2.	п = 4к + 1. Тогда х = 2тгк + ^ / s/n(x) = 7 ; cos(x) = 0 , и неравенства (А)
и (Б) такхе верны.
Случаи: 3. п = 4к + 2 и 4. п = 4к + 3 рассматриваются аналогично.
Складываем теперь равенства (А) и (Б), учитывая равенство (5.1):
sin40(x) + cos40(x) < 1 .	(В)
Из только что показанного следует, что в неравенстве (В) равенство имеет место
тгп
только при х = —. Однако, заметим, в задаче дано как раз неравенство проти-
вополохного знака. Значит, решением задачи могут быть только такие значения х,
тгп
при которых неравенство (В) становится равенством, то есть х = —.
Ответ: х = ; п - целое.
2. Решить неравенство: 2°jsin(x) + 2^cos(x) > 1.
Предварительные размышления: Эта задача, конечно, похоха на предыдущую. Зна¬
чит, в решении надо постараться использовать те хе идеи, которые использова¬
лись в решении предыдущей задачи.Е
Полезно начать с определения Области Допустимых Значений для неизвестных
[ sin(x) > 0;
величин. Эта область есть решение системы: < . [ Решение этой системы -
|cos(x) > 0.

	Глаба 9. Решение оснобных тригонометрических неравенств.	137
значения х, оканчивающиеся в I координатной четверти:
2 тгп < х < 2тгп + -j для целого п.
Так как при всех значениях х из Области Допустимых Значений верны неравенства
О	< s/n(x^< 1 и 0 < cos(x) < 1, то верны неравенства:
2°Js/n(x) > s/n(x) > s/n2(x),	(Г)
И	2°lcos(x) > cos(x) > cos2(x).	(Д)
Равенства здесь возможны только при х = 2/г/7 и при х = 2тгп + ■—; это проверя¬
ется непосредственно аналогично предыдущей задаче.
Складываем теперь равенства (Г) и (Д):
2°jsin(x) + 2°lcos(x) > 1.	(Е)
При этом равенство возможно только при х = 2тгп и при х = 2тгп + ^ # ПРИ ос"
тальных значениях х из ОДЗ имеет место строгое неравенство. Значит, решением
неравенства являются такие значения х: 2тгп < х < 2тгп + .
Ответ: 2тгп < х < 2тгп + - J ; п - целое.
9.10.	Размышление о Бесконечности.
Тригонометрия, как и всякая наука, необъятна, но деревьев в Лесу, даже в
очень большом, конечное количество. Если вовремя не остановиться - на бумагу
для Тригонометрии тех Деревьев может и не хватить. Тем более не останется на
Алгебру, на Геометрию....

138
Гмба 10. Тригонометрия и комплексные числа.
Глава 10. Тригонометрия
и комплексные числа.
10.0.	Предварительные замечания.
10.0.1.	Замечание об ударениях.
Термины «комплексное число»,
«комплексная плоскость»,
и тому подобные
произносятся с ударением
на Е
в слове «комплексное» ! ! !
10.0.2. Замечание об именах прилагательных.
Эта Глава посвящена комплексным числам, и во всей Главе под термином
«число» понимается комплексное число. Поэтому в тексте прилагательное «ком¬
плексное» перед словом «число» не употребляется, все рассматриваемые числа и
так подразумеваются комплексными. Исключение составляют случаи, для которых в
тексте делаются специальные указания.
10.1.	Тригонометрическая форма
записи числа.
Пусть имеется число
z = а + bi. (10.0)
Отмечаем на комплексной плоскости
точку с координатами (а, Ь), как
показано на рис.10.1; эту точку
также называем точкой z.
Определение 10.1: величина г = |Oz|
называется модулем числа.
По теореме Пифагора:
г =	.
Определение 10.2: угол между положи¬
тельным направлением действительной
оси и радиус-вектором Oz называет¬
ся аргументом числа.

Глаба 10. Тригонометрия и комплексные числа.
139
Пояснение-1, Принципиальное и ВаЖное: читателям предлагается прочитать пояснение-
2 в п.2.1. Следуя этому Пояснению, необходимо сделать вывод, что если в каком-
либо рассмотрении не указано, на сколько именно вращался радиус-вектор Oz и
в какую сторону, то однозначно определить величину и знак аргумента числа не¬
возможно. Таким образом, всякое число имеет, вообще говоря, бесконечно много
аргументов, имеющих вид: {ф + 2пк; к - целое}.®
Определение 10.3: Наименьшее по абсолютной величине значение аргумента числа,
то есть значение, заключённое в пределах [-л; л] , называется главным значени¬
ем аргумента числа.
Пояснение-2: В некоторых курсах главным значениям аргумента называется аргу¬
мент, заключённый в пределах [0; 2п] . Такое определение аргумента не принци¬
пиально отличается от приведённого здесь. То или иное определение главного
значения аргумента употребляется в зависимости от удобства, от интересов и
вкусов автора курса, от требований конкретной задачи, и так далее.0
Обозначения: Модуль числа z обознается так: г = |z| .
Главное значение аргумента числа обозначается так: ф = arg(z) . Множест¬
во всех значений аргумента числа обозначается так: {ф} = Arg(z).
Замечание-1: Представляется полезным сравнить обозначение {ф} = Arg(z) с обо¬
значениями многозначных функций у(х) = Arcsin(x) , и других, определённых в
п.6.1. Здесь, как и в п.6.1, с Большой Буквы обозначается некоторая бесконеч¬
нозначная функция, именно, множество ВСЕХ значений аргумента числа.0
Из рис.10.1 и из Определений 10.1 и 10.2 следует, что:
а = r*cos{ф); b = r*s/7?(ф),	(10.1)
и число z = а + bi может быть записано в виде:
z = r(cos(<p) + i*sin(ф)).	(10.2)
Определение 10.4: Запись числа в виде: z = r{cos[(p) + i*sin(yj) называется три¬
гонометрической формой числа.
Замечание-2: Очевидно, для числа z = 0 + i*0 (то есть для числа, равного 0)
имеем: г = 0. Далее, при подстановке в равенство (10.2) значения г = 0 полу¬
чаем z = 0 независимо от значения ф. Поэтому для z = 0 значение ф счи¬
тается неопределённым.0
Пусть имеется число z = а + /*Ь . Число, комплексно-сопряжённое этому
числу, есть число z = а - bi . Записываем последовательно:
z = а - bi = r*cos(ф) - i*r*sin(q>) = r*(cos(q>) - i*sin(ф)).
Вывод: Число z, комплексно-сопряжённое к числу z = r(cos(ф) + i*sin(yj),
записывается в тригонометрической форме так:
z = r*(cos((p) - i*sin(y)).	(10.3)

140
Глаба 10. Тригонометрия и комплексные числа.
10.1.0.	Равенство между собой двух чисел,
записанных в тригонометрической форме.
Напомним себе некоторые основные определения и факты из комплексной ал¬
гебры .
Пусть имеется два числа: z1 = а1 + /*Ьу , и z2 = а2 + i*b2 . Они по
определению считаются равными между собой, если выполняются оба равенства:
|af = а2; bf = Ь2} . Если не выполняется хотя бы одно из таких равенств, то
числа считаются не равными между собой.
Пояснение-3:
Необходимо помнить, что для комплексных чи¬
сел нет понятия «одно число больше другого» или
«одно число меньше другого». Есть лишь понятия:
«одно число равно другому» и «одно число не
равно другому».
Пусть теперь для чисел z1 = а1 + /*bf , и z2 = а2 + i*b2 выполняется
условие равенства, то есть {ау = а2; = Ь2}. Это означает, что точки на
комплексной плоскости, соответствующие этим числам, совпадают.
Пусть числа z1 и z2 записаны в тригонометрической форме:
Z1 = г^со^ф,) + /*s/n(cp1)) и Z2 = г2(сов(ф2) + /*S/n(<p2)) .
Условие совпадения точек, соответствующих этим числам, есть условие того, что
г1 = г2 , и аргументы этих чисел отличаются друг от друга на величину, кратную
полным углам, то есть на 2кк при целом к : <р2 - (pt = 2пк . Итак, если два
числа z1 = r^cos^^ + /*s/n(<p7)) и z2 = r2(cos((p2) + /*s/n(<p2)) равны между
собой, то
{г, = r2; q>2 - <pj = 2пк; к - целое| .	(10.4)
Замечание-З: Очень часто в равенстве (10.4) полагается к = 0, то есть
Ф^ = Ф2 . Этим общность определения нарушается несущественно, и во всяком
случае всё равно оказывается, что из равенства двух чисел следует геометриче¬
ское (но не алгебраическое) равенство их аргументов: соответствующие углы
оканчиваются в одном и том же месте. 0
Замечание-4: По существу доказана теорема: из равенства двух чисел, то есть из
совпадения соответствующих точек на комплексной плоскости, следуют равенства
(10.4). Очевидно, обратное утверждение верно автоматически: из равенств (10.4)
следует, что соответствующие точки на комплексной плоскости совпадают, то есть

Глаба 10. Тригонометрия и комплексные числа.
141
10.1.1. Формулы Муавра - Лапласа.
Пусть имеется два числа, записанных в форме (10.2):
z1 = r^cos((pt) + /*s//?^)) и z2 = г2(соЦф2) + /*s/n^2)).
Перемножаем эти числа по обычным правилам алгебры:
z,*z2 = r,*r2*(cos((pt) + /*5/п(ф^со5(ф2) + i*sirfa2)) =
= г1 *г2 *|с о )*с о Цф2) + /2s/n^)*s/7?^2) +
+ /*cos^)*sm^2) + /*соЦф2)*5/п(ф7)) =
2
[группируем и учитываем, что / = -1 ]
= г1 *г2 *(с о Цф7 )*с о в(ф2) - s/n^)s/n^2) +
+ i^cos^^sin^ ф2) + с о Цф2 j*s / ^(ф^ )jj =
= [ обнаруживаем, что здесь присутствуют выражения, имеющиеся в равенствах
(5.3) и (5.6) ] = r^r^cos^^ + ф2) + /*s/n(ф7 + ф2)).
Выполним теперь деление двух чисел:
z rJcosLA + i+sinLA)
—- = —j	y = [ умножим числитель и знаменатель дроби на
z2 r2(cos((p2) + i*sin(<.p2)J
число, сопряжённое ко второму сомножителю знаменателя ]:
Г1 ^ (соЦф,) + /*s/n((pf))(cos(cp2) - /*s/n((p2)) ^
Г2 (сОв(ф2) + /*S/'л((р2))(сОв(ф2) - /*S/л{ф2))
rf cos^,)cos^2) + S/л(фг)s/л((р2) + /*(s/>7((pt)cOs((p2) - s/'n((p2)cos((pf))
r2	СОв2(ф2) - /'2«S/'n2(cp2)
г соЦф, - ф ) + bslrfa - ф ) rf ( , \ I \\
=	i—£J- = ^фоЦф, - ф2) + /<в/п(ф, - <p2y.
r2	COS (ф2) + Sin (ф2)	r2	'
[Обратим внимание: знаменатель предпоследнего выражения оказался равен 1 ].
Ах, эти рамочки!
Z1*z2 = г»*г2*(С05(ф» + Фг) + Р» + Ф2)) • (10-5)
■у- = y^os(4>j - Ф2) + '*sin{% ~ ‘Рг))* (10-6)

142
Глава 10. Тригонометрия и комплексные числа.
Определение 10.5: Равенства (10.5) и (10.6) называются формулами
Муавра - Лапласа,
историческая справка:
Муавр Абрахам де (26.05.1667 - 27.11.1754) - английский математик фран¬
цузского происхождения. Член Лондонского королевского общества. Иностранный
член Берлинской и Французской академий наук. Имеет работы в области математи¬
ческого анализа, теории вероятностей и теории комплексных чисел. Его работы по
математическому анализу отличаются исключительным остроумием и изобретательно¬
стью.
Лаплас Пьер Симон (23.03.1749 - 5.03.1827) - французский астроном, ма¬
тематик и физик. Наворочал в науке очень много, некоторые проблемы решил на
принципиальном уровне. Кроме огромных достижений в точных науках известен как
философ-материалист с сильным механистическим уклоном. Лаплас ответил однажды
Наполеону, что его гипотеза о происхождении солнечной системы не нуждается в
существовании бога. Представляет интерес также его деятельность на высоких ад¬
министративных постах: он успел побывать министром внутренних дел при Наполео¬
не, и занимал иные немалые должности, но эта очень интересная тема выходит за
рамки настоящего Курса.
Замечание к исторической справке: Внимательное изучение дат рождения и смерти вы¬
шеупомянутых джентльменов показывает: Муавр покинул Этот Мир тогда, когда
мальчику Пьеру было всего около пяти годиков... 0
Однако продолжаем...
Полагаем в равенстве (10.5) z = z1 = z2 ; вместе с этим, чтобы не пи¬
сать индексы, обозначим: г = г1 = г2 ; ср = ср7 = ср2 . Равенство (10.5) прини¬
мает вид:	z2 = r2(cos(2(p) + i*s/n(2(pj).	(10.7)
Это равенство также называется формулой Муавра-Лапласа, так как является
частным случаем равенства (10.5).
Далее, умножение равенств (10.2) и (10.7) даёт:
z3 = r3(cos(3y) + /*s//?(3(p)).	(10.8)
Продолжая умножение, легко получить:
zn = rn(cos(ri(p) + /*s//?(/7cp)). (10.9)
*4
Понятно, что равенства (10.7), (10.8), (10.9) также называются формулами
Муавра-Лапласа, так как являются частными случаями и развитием равенства
(10.5).

Глава 10. Тригонометрия и комплексные числа.
143
10.2.	Извлечение корня целой степени из числа.
Пусть имеется некоторое число z = r(cos(<p) + /*s//7(<p)). Поставим себе
задачу: извлечь из него корень целой степени п.
Прочитаем ещё раз Пояснение-1, и запишем число z в виде:
z = r(cos(y) + i*sin( ф))
Далее запишем выражение для корня в виде:
^r(cos{(p) + i*sin(<p)) = p(cos(\|/) + i*sin(y)).	(10.10)
Равенство (10.10) по определению корня степени п означает, что
(p(cOS(v|/) + /'*S/n(\j/)))n = г(сО$(ф) + /*5/л(ф)) .	(10.11)
С учётом равенства (10.9) записываем (10.11) в виде:
рn(cos(n\\f) + i*sin(n\\i)) = r(cos(y) + i*sin(ф)).	(10.12)
n
P = r;
В соответствии с (10.4) отсюда следует:
[m\f - ф = 2пк; к - целое.
Отсюда:
Р = Чг;
<р 2пк	(10.13)
V/ = — + 	.
п п
Равенство (10.10) принимает вид:
2пк
njr(cos(y) + i*sin(q>)) =	+ i*sin^-
+
(10.14)
И вот тут-то пришла пора разобраться должным образом в том, что у нас по¬
лучилось, то есть необходимо выяснить, сколько существует различных значений
qjr(cos((p) + i*sin(y)j и как эти значения расположены на комплексной плоско¬
сти.
Очевидно, при любом (целом) значении к число
пГ( (ф 2пк) . (Ф 2кк Y|
у г соя— + 	 + i*siri— +	 расположено на комплексной плоскости
{ {п п )	{п п ))
на расстоянии р = от начала координат, то есть при любом к это число ле¬
жит на окружности радиуса, равного tfT . В равенстве (10.14) значение к может
быть любым целым, и это уже наводит на мысли о том, что существует не единст-

144
Гмба 10. Тригонометрия и комплексные чаш.
венное значение
qjr(cos(q)) + i*sin(<p)) .
Пусть к = 0 . Тогда
аргумент ц/0 числа в пра¬
вой части равенства (10.14)
Ф
(рис.10.2; для определённо¬
сти взято п = 4 ).
Соответствующее значе¬
ние корня (пометим его ин¬
дексом 0) такое:
=
— такой:
+
При к = 1 получаем значе¬
ние аргумента:
ф 2я
\|/ = — + 	, то
7 п
есть
п
Vi ~ Vn
2 тс
п
	. Тогда значение корня
степени
п
будет
таким:
Наносим это значение на ком-
• • [ Ф 2л |
+ i*sm\ — +	1
{п п
плексную плоскость, и продолжаем наши труды. Нами уже было замечено, что все
значения корня расположены на окружности с центром в начале координат и с ра¬
диусом, равным Ч[Т . Но теперь замечаем ещё одну приятнейшую вещь. Именно, так
как при увеличении значения к на 1 значение аргумента получающегося числа
2я 1
увеличивается на 	, от есть на 	ю часть полного оборота, то оказывается,
п	п
что значения корня степени п находятся в последовательных вершинах правильно¬
го /7-угольника. Далее обнаруживается ещё что-то интересное. Продолжаем увели¬
чивать значение к и при к = п получаем значение корня степени п таким:
то есть, с учетом периодичности:
l[z п =	+ 2rcj + /*s/n^— + 2rcjj ,
t[z n = ^yrjcos^—j + /*s/n^—jj . Забавненько1 - думаем мы: получилось, что
это значение совпадает со значением, полученным при к = 0 . То есть в процессе
вычислений мы совершили полный обход окружности, имеющей радиус, равный tfT ,
и пришли в точку, соответствующую самому первому значению корня степени п. По¬
нятно, что при дальнейшем увеличении значения к будут получаться числа, уже
полученные при «первом обходе» окружности: соответствующие точки будут совпа¬
дать с построенными ранее.

Глаба 10. Тригонометрия и комплексные числа.	145
Оформим замечательную (иных не мохет быть!!!) рамочку:
Для всякого числа существует
ровно л различных значений корня степени п
из этого числа.
Эти значения расположены
на комплексной плоскости
в вершинах правильного л-угольника
с центром в нуле.
Замечание 5: В словах «с центром в нуле» имеется в виду, конечно, комплексный
ноль, то есть число 0 = 0 + i*0 . Это число, не забываем, располохено в точке с
координатами (0; 0) на комплексной плоскости.
10.2.0.	Очень Важное Замечание о Знаках Радикала.
В правой и левой частях равенства (10.14) и в иных аналогичных равенствах
присутствуют знаки радикалов. Некоторая тонкость состоит в том, что смысл этих
знаков несколько различен. Знак радикала в левой части равенства (10.14) озна¬
чает комплексный корень из комплексного числа, стоящего под знаком радикала.
Кроме того, если необходимо показать, что рассматривается не одно значение ра¬
дикала, а множество всех значений, то вырахение в левой части иногда заключа¬
ется в фигурные скобки, означающие мнохество каких-либо значений. Знак радика¬
ла в правой части равенства (10.14) означает самое обычное арифметическое зна¬
чение корня соответствующей степени из неотрицательного числа, равного модулю
рассматриваемого комплексного числа. То знаки радикалов есть в левой и правой
частях равенства (10.14) и аналогичных имеют несколько различный смысл. Обычно
здесь при интерпретации формул не возникает двусмысленностей, но тем не менее
указать на такое различие и помнить его представляется необходимым.
10.3.	Вычисление функций кратных аргументов.
В Главе 5 (пп.5.1.3, 5.1.4) показаны способы вычисления функций кратных
аргументов и в Главе 11 приведено несколько соответствующих формул. При этом
вычисления были специальными для кахдого случая кратности. Именно, вычисление,
например, sin(3a) выполнялось после вычисления sin(2a) и cos(2a) и с ис¬
пользованием полученных результатов, и т.д. Здесь приведён общий способ вычис¬
лений функций кратных аргументов.
Пусть, например, требуется записать sin(4a) через sin(а) и cos(a). За¬
пишем число z = cos(a) + i*sin(a). Очевидно, |z| = 7 . С учётом этого из равен¬
ства (10.9) при г = 1 получаем (с заменой обозначения ср на обозначение а:
(cos(a) + i*sin(а))4 = cos(4а) + i*sin(4a) .	(10.15)
Вспоминаем коэффициенты Бинома имени Ньютона для разлохения 4-й степени

146
Глава 10. Тригонометрия и комплексные числа.
суммы и получаем равенство (10.15) в виде:
cos4( а) + 4*i*cos3(a)*sin(a) + 6*i2*cos2(a)*sin2(a) +
+ 4*i3*cos(a)*sin3(a) + i4*sin4(a) = cos(4a) + i*sin(4a),	(10.16)
Учитываем, что i2 = -1 ; i3 = -i; и i4 = 1, записываем сначала действитель¬
ную, а затем мнимую части выражения в левой части равенства (10.16) и получаем
равенство (10.16) в виде:
cos4(a) - 6*cos2(a)*sin2(a) + sin4(a) +
+ i^4*cos3(a)*sin(a) - 4*cos(a)*sin3(a)j = cos(4a) + i*sin(4a). (10.17)
Теперь приравниваем отдельно действительные и мнимые части чисел в левой и
правой частях равенства (10.17), и записываем полученные равенства в порядке,
противоположном порядку в равенстве (10.17):
cos(4a) = cos4(a) - 6*cos2(a)*s/n2(a) + sin4(a) ;
sin(4a) = 4*cos3(a)*sin(a) - 4*cos(a)*sin3(a).
Преобразования первого из этих выражений с заменой, например,
s/n2(a) = 1 - cos2(а) даст равенство № 2.17 Главы И. Аналогичные преобразо¬
вания дадут равенство № 2.15 Главы И.
Замечание: Для соблюдения аккуратности в изложении укажем, что вычисления функ¬
ций cos(na) и sin(na) при любом целом значении п выполняются аналогично,
то есть весьма просто и формально.0
10.4.	Замечание о вычислении sinn(а) и cosn(a)
для натуральных значений п.
(Формулы понижения степени.)
Способом, несколько более громоздким, чем показанный в п.10.3, можно
весьма формально вычислять sinn(а) и cosn(a) при произвольных натуральных
значениях п. Однако показывать в этом конспекте эти вычисления представляется
излишним. Причина тому - именно повышенная громоздкость вычислений, которая не
оправдывает полученные результаты. В Главе 5 показан приём, которым вычисляют¬
ся sinn(а) и cosn(a) . Этот приём удобен для учащихся, технически не сложен и
его идея легко запоминается. Поэтому здесь вычисления s/7in(а) и cosn(а) с
помощью комплексной алгебры не показаны.

Глава 10. Тригонометрия и комплексные числа.
147
10.5.	Примеры: извлечение корней целых степеней
и возведение в целые степени
чисел, записанных в тригонометрической форме.
Пример 1. Вычисление и нанесение на комплексную плоскость всех значений %[7 .
Замечание 6 с лёгкими воспоминаниями о незабвенной молодости: Когда мы ходили в
средненькую школу, то наши достопочтенные учителя говорили нам, что yfl = 1 ,
и при этом не упоминалось ни словом о существовании иных значений корня. С
точки зрения курса школьной математики это было правильно: в программе сред¬
ненькой школы сейчас нет комплексных чисел, хотя в незапамятные времена они в
школьной программе присутствовали. Но вот только что мы видели, что имеется
всего 3 различных значения для УТ . Где остальные? Будем искать! !!0
Прежде всего изобразим число
z = 1 на комплексной плоскости
(рис.10.3) и запишем его в тригоно¬
метрической форме. Так как число
z = 7 находится на действительной
оси, то е^о аргумент может быть взят
таким: ф = 0 .
Замечание 7: Обращаем внимание на то,
что здесь аргумент может взят равным
2 л, 4я, то есть равным 2л m при
любом целом значении т. Для наших це¬
лей достаточно ОДНОГО значения аргу¬
мента , и мы можем выбрать такое, с
которым проще всего работать.0
Далее, модуль числа z = 1 оче¬
видно равен 1. Получаем, что число
z = 1 записывается в тригонометрической форме так: z = 1*(cos(0) + i*sin(0)).
Тогда в соответствии с равенством (10.14) все значения корня третьей степени
записываются так (здесь не записан первый множитель, равный 1):
{^7} = cos^^j +	.	(10.18)
Теперь записываем значения корня, соответствующие различным значениям к.
1.	Пусть к = 0. Получаем значение корня: $[Т =_cos(0) + i*sin(0) = 1 . Это
значение - известное «школьное» значение корня.
2
2.	Пусть к = 1. Значение корня: ЗЦ2 = cos|^-j + i*sir^^-j =
3.	Пусть к =2 . Значение корня: лГ/"3 = cos
Полученные значения нанесены на комплексную'плоскость на рис.10.3.
+ /*
4п) . . (4пЛ -1
-)+'*5,пЫ=- -
. V3

148
Глава 10. Тригонометрия и комплексные числа.
Замечание 8 для особо недоверчивых: Возведение в третью степень любого из найден¬
ных значений даст в результате, конечно, число 7. Это желательно проделать са¬
мостоятельно в виде лёгкой тренировки перед следующим забегом.0
Пример 2: Вычисление и нанесение на комплексную плоскость всех значений .
Пояснение 4: Здесь, с учётом набранного огромного опыта, вычисления выполняем и
записываем несколько быстрее, чем в предыдущем случае.
Прежде всего записываем, как повелось, число, из которого извлекается ко¬
рень, в тригонометрической форме. Число z = -7 находится на комплексной плос¬
кости в точке с координатами (-7; 0), и его модуль, то есть расстояние от
точки (-7; 0) до точки z = 0 , равен, очевидно, 7: |z| = г = 7 . На рис. 10.4
показано, что аргумент числа z = -7 равен к , то есть здесь ср = к . Всё готово
для подвига! - говорим мы себе, полагаем в равенстве (10.14) п=4, и по¬
следовательно к = 0; к = 1; к = 2 и /с = 3 . Так как здесь г =1 , и ЦТ = 7,
то этот множитель для простоты записей в дальнейших выражениях не пишется.
и п	41—7	г/71) • • Г *0 ^ ^
При к = 0 получаем: v-7Q = cosl —I + i*sm\ — I = —— + /* ^ ; это
значение показано на комплексной плоскости (рис.10.4).
1• -J
за— + i*siii— =
[4 )	{ 4 ) 2
JL-iJL.
Далее получаем: if-1 i = cos
(5к\ . (5п
со^— + i*siri —
+ /*
. V2
VJ . VJ
- /*
у-
Ф = п Л1
^0
/
-я ?
рис.
\ г *
10.4.
Замечаем, что при к = 4 ; к = 5 , и
так далее значения корней начинают
повторяться, то есть начинается об¬
ход комплексной плоскости «по второ¬
му кругу». Поэтому затеянные хлопоты
прекращаем, наносим полученные зна¬
чения корней на комплексную плос¬
кость , и некоторое время любуемся
этой красотой.
Затем трудимся дальше.

Глаба 10. Тригонометрия и комплексные числа.
149
Пример 3: Вычисление р = (1 - /)40 . Читатели ухе догадались, конечно, что
вычисления надо начинать с записи числа в тригонометрической форме. При этом
мы постараемся обойтись без рисунка, и выполнить необходимые преобразования
чисто формально.
Согласно равенству (10.0) для числа z = 1 - / имеем: а = 1; b = -1; из
Определения 10.1 получаем: г = Jl2 +{-1)2 = V2 . Из равенств (10.1):
л \ а 1	л \ ь ~1
у . -j_.
Некоторое напряжение памяти извлекает из загадочных глубин головного моз¬
га угол ф такой, что |сов(ф) =	5//7(ф) =	' ЭТ°Т ^Г0Л/ с точно-
-71
стью до слагаемого, равного целому числу полных углов, такой: ф = —. В та-
4
ком случае запись числа z = 1 -/ в тригонометрической форме имеет вид:
<т) + i*si	По формуле (10.9) имеем:
V^CO^) +	= (V2)403[cos[^i] + bsir^^-1 =
= (VTpjcos^lj -	• (10 • 19)
Вычислим отдельно компоненты правой части этого равенства:
(■Щ403 = {/2)402Щ = ((V2)2)20,*V2 = 2201*-J~2 ;
403п	403п 400п + Зп ... Зп
Далее записываем угол 	 так: 	 = 	 = 10 On +
4	4	4	4
(. . ^ Зп Л Г -V2*
эа 100п +	 = cod	 =	;
Тогда: cos,	 , 	,
I	4 ) {4 ) 2
■	Зп) . (ЗиЛ VI
siiilООп +—^\ = sin^—-\ = —— . Выражение (10.16) для числа р принимает
вид: р = 2201*j2*
-Л. iJL
2 " 2
= 2201*{-1 - /) = -2201(1 + /) .
Итак, окончательно: р = -2201(1 + /) .
10.6. Заключительный вздох.
Быть может, достаточно? Ну ладно...

150
Глаба 11. Итоги. Справочные сбедения.
Глава 11. Итоги.
Справочные сведения.
Здесь приведены формулы, выведенные в этих Лекциях, а такхе формулы, вы¬
вод которых отсутствует, но понятен из Лекций. Кроме того, приведена таблица
значений функций некоторых углов.
В этой Главе присутствуют формулы, не выведенные в основном тексте Лек¬
ций. Кроме того, в последующих изданиях возможны добавления формул в эту Гла¬
ву. Поэтому в этой Главе нумерация формул независима от нумерации формул в
тексте лекций.
11.1.0.	Основное тригонометрическое тождество.
1.1.	cos(tf - 0) = cos(a)cos^p) + sin(a)sin(0).
1.2.	cos(a + 0) = cos(ar)cos(/?) - sin(a)sin(p).
1.3.	sin(a + /?) = sin(a)cos(p) + со s(a)sin(/3).
1.4.	sin(a - 0) = sin(a)cos(0) - cos(a)sin(p).
1.5.	sin(a + p + y) = sin(a)cos(p)cos(y) + sin(p)cos(a)cos(y) +
1.6.	cos(ar + p + y) = cos[a)cos[p)cos[y) - cos[a)sin(j3)sin[y) -
11.1.	Тригонометрические функции.
0.1.
cos2 (a) + sin2 (a) = 1 .
11.1.1.	Формулы сложения.
+ sin(y)cos(a)cos(0) - sin(a)sin(p)sin(y) .
cos(p)sin(a)sin(y) - cos(y)sin(a)sin(p).
1.12. ctg(a + p + y) =
1.11. tg(a + p + y) =
tg(a) + tg(p) + tg(r) - tg(a)tg(/3)tg(y)
1 - tg(a)tg(p) - tg(a)tg(y) - tg(/})tg(y) '
ctg(a)ctg(/ji)ctg(r) - ctg(a) - ctg{0) - ctg(y)
ctg(fl)ctg(y) + ctg(a)ctg(r) + ctg(a)ctg(fi) - 1'

Глаба II. Итоги. Справочные сВедения.
151
2.1.
2.2.
2.4.
2.5.
2.6.
2.11.
2.12.
2.14.
2.16.
2.17.
2.18.
2.21.
2.23.
2.25.
2.31.
2.33.
2.34.
2.35.
11.1.2.	Функции кратных аргументов.
sin(2a) = 2sin(a)cos(a) ;
I	2.3. *<2а)- ^
1 + tg (а)	1 + ctg (or)
sin(3a) = 3sin(a) - 4sin3(a).
sin(4a) = 4cos(a^sin(a) - 2s/n3(a)j.
s/jr?(5a) = s/n(a)|5 - 20sin2(a) + 16sin4(a)^.
cos(2a) = cos (a) - s/'n (or);
cos(2ar) = 2cos2(a) - 1;	2.13. cos(2a) = 7 - 2sin2(a);
7 - fg2(a)	, 4 ctg2(a) - 1
C0Si2a) = . , 2 ?	2 • 15 • COS(2«) = , /2, , •
1	+ tg (a)	7 + ctg (a)
cos(3ar) = 4cos3(a) - 3cos(or) .
cos(4a) = 8cos4(ar) - 8cos2(ar) + 7 .
cos(5ar) = cos(a)|76cos4(a) - 20cos2(a) + .
f9(2a)=7^7YT; 2’22‘ tg{2a) = V?!a) '
1	- fg (a)	ctg (a) - 1
(3o). -«’(-). 2 2< ,фа) = . <*(<■) - <wV)
У1 1 f-3fg2(a)	> f - 6<g2(«) + fg»
fg5(a) - 10tg3(a) + 5tg(a)
tg(5a)
5tg4(a) - 10tg2(a) + 1
. ctg2(a) - 1	1 - tg2(a)
ctg(2a) =	Ц—— ; 2.32. ctg(2a) =	2_Li.
' 1 2ctg(a)	У1 ' 2fg(a)
, ^ c(g3(a) - 3ctg(a)
asi3a)- •
4ctg (a) - 4ctg(a)
cfg(5a) 5C^a^ ~ j0cfg3(a) + cfg5(g)
7	- 10ctg2(a) + 5cfg*(a)

152
ГлаВа 11. Итоги. Справочные сВедения.
3.1.
3.3.
3.4.
3.5.
3.11.
3.13.
3.14.
3.15.
3.21.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
11.1.3. Формулы понижения степени.
1 - cos(2a)	. э 3sin(a) - sin(3a)
sin2(а) = 		.	3.2. sin3(а) =
2
3	- 4cos(2a) + cos(4a)
8
sin4 (a) =
5	10sin(a) - 5sin(3a) + sin(5a)
sm (a) -	—	.
6/ . 10 - 15cos(2a) + 6cos(4a) - cos(6ar)
sin (a) =		—-		—-	1—- .
v ;	32
2/ 4 1 + cos(2a) 3/ 4 3cos(a) + cos(3a)
COS (a) =	. 3.12. cos (a)
4	3 + 4cos(2a) + cos(4a)
cos (a) 			—			—- .
v ' 8
5( ^ 10cos(a) + 5cos(3a) + cos(5a)
cos (a) =	—	.
6/ 10 + 15cos(2a) + 6cos(4a) + cos(6a)
cos (a) =		—			—			—- .
v ;	32
2/ 4 1 - cos(2a) 2/ . 1 + cos(2a)
tg la) =	>-4 .	3.22. ctg (a) =	.
' ' 1 + cos(2a)	1 - cos(2a)
11.1.4.	Преобразование произведений в суммы.
sin(a)cos[p) = sin(a + 0) + sin(a - /?)).
sin(a)sin[p) = ^cos(a - 0) - cos(a + /?)).
cos(a)cos(/?) = ~^cos(a + 0) + cos(a - p)j.
sin(a)sin(p)sin(y) = ~Jsin(a + p - y) + sin(a - p + y) +
+ sin(-a + P + y) - sin(a + p + yf) .

Глаба 11. Итоги. Справочные сВедения.
15В
4.5.
4.6.
4.7.
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
5.11
5.13
sin(a)sin(p)cos(y) = ^(cos(-a + р + у) + cos(a - Р + у) -
- cos(a + р - у) - cos(a + р + у)) •
sin(a)cos(p)cos(y) = -j(sin(a + р + у) + sin(a - Р - у) +
+ sin(a - р + у) + sin(a + р - .
co^arjcos^jcos^) = ^cos{a + р + у) + cos[-a + Р + у) +
+ cos(a - р + у) + cos(a + р - /)) .
11.1.5. Преобразование сумм в произведения.
in(a) + sirt[p) = 2s//t^—
/
sin(a) - sin(p) = 2sin
sinla) + sirHfi) = 2siri\——— Icor a ^
2 J { 2
a - p) (a + p
cos(ar) + cos(/?) = 2cos^ jcosj^- - - j .
cos(a) - cos[p) = 2sini--+-^\sir^ ^ °
sin(a) + cos(/3) = 2si^ + £jcos^-t£ - ^j =
2cos
P-a+!L\Ja + P *
2 4(2 4
sin{a) - cos(p) = 2sin^l - ijcos^L-^. + |j =
tg{a)+m = ^±L^.. 5.12. tg(a)-Ф) =
, . , . sinia + p)	,4/4 sin(P -a)
ctg(a) + ctg(fi) = v	. 5.14. ctg(a) - ctg(0) = , v .-A •
v ' v ; sm(a)sin(P)	v/ v } sin(a)sin(P)

154
Гмба 11. Итоги. Справочные сВедения.
11.1.5.1.	Частные случаи: а = р .
5.21.	sin( а) + cos(a) = VTs/n^a + yj.
5.22.	sin(a) + cos(a) = V2cos|a - -jj .
5.23.	s/n(a) - cos(a) = VJs/n^a - -jj .
5.24.	s/n(a) - cos(a) = -VJcos^a + .
11.1.5.2.	Преобразование разностей
квадратов функций в произведения.
5.31.	sin2(а) - sin2(0) = sin(a + 0)sin(a - 0);
5.32.	cos2(a) - sin2(0) = cos(a + 0)cos(a - 0).
5.33.	cos2(0) - sin2(a) = cos(a + 0)cos(a - 0).
5.34.	cos2(ar) - cos2(0) = s/n(a + fi)sin(fi - a).
11.1.5.3.	Преобразование выражения вида
P( a) = a*cos(a) + b*sin( a).
(n. 5.5. в тексте Лекций.)
5.41. a+cos(a) + b*sin(a) = ^a2 + b2 cos(ol - ф) ;
при этом ф - такой угол, что со^ф) =	-	* sin(y) = 	—
при этом ф - такой угол, что cos(v|/) =
Ь
а

Глаба 11. Umosu. Справочные дВадаиия.
155
11.1.6. Выражение sin(2a) и cos[2a) через tg(a) и ctg(a).
Эти формулы представлены в п.10.1.2; это формулы 2.2, 2.3, 2.14, 2.15.
Здесь эти формулы воспроизводятся ещё раз; при этом по сравнению с п.10.1.2
здесь аргументы уменьшаются в 2 раза.
6.1. sin( а) =
6.3. cos(a)
2.fg|-|
6.2. sin( a)
2*ctg\j-
1 + ctg2
6.4.
cos(a) =
MIL1
1 + ctg2(j
11.1.7. Выражение tg\
I) » <*(f
7.1.
черед sin[a) и cos(a) .
Знак « + » или « - « перед радикалом выбирается
в зависимости от четверти, в которой окаачивается угол ^ •
4~\=1~ С0<а) • 7.2. fgf—) = Sin{a)
У\2) sin(a)	У12 J 1 + cos(a)
7.3. fg-
1 - cos(a)
2 J + cos(a) ’
(cm.3.21.)
(аЛ 1 + cos(a)
7.4. cfg — =	rj-Y1
{2) sin(a)
, , a ) sin(a)
7.5. cfg — =	Ц—
[2J 1 - cos(a)
7.6. cfg
Vj _ 11 + cos(a)
2)	~ cos(a)
(cm.3.22.)
11.1.8. Равенства, содержащие sec(a) и csc(a)
8.1. 1 + fg2(a) =
cos (a)
= sec2(a).
8.3. 1 + ctg2(a) = 	— = csc2(a).
sin (a)
8.2. cos2(a)
8.4. sin2 (a) =
1
1 + tg (a)
1
1 + ctg2( a)

156
Глаба 11. U тог и. Справочные сбеденмя.
1	1
8.5. 			 +
cos2(a) sin2(a) cos2(a)*sin2(a) ’
то же: sec2(a) + csc2(a) = sec2(a)*csc2(a) .
11.1.9.	Суммирование некоторых
тригонометрических рядов.
9.1.	sin(a) + sin(a + (р) + sin(a + 2(р) +	+ sin(a + (п - 1)р) =
.(п<р) .( п -1
s/л! - j- \siii а + ——(
9.2.	cos(ar) + cos(a + <р) + cos(a + 2ср) +	+ cos(a + (п - 1)<р) =
.(п(р\ ( п -1
siii — со.
Частные случаи для (р = а (равенства 9.3 и 9.4):
9.3. sin(a) + sin(2a) + sin(3a) +	+ sin(na) =
■\2П“ + _Г
(in + i)a
2
• a
9.4. cos(ar) + cos(2ar) + cos(3a) +	+ cos[na) =
Sli
sirl—lcos|
W
(/7 + i)a
2
v	J
sirl—
9.11.	sin2(a) + sin2(a + <p) + sin2{a + 2<p) + 	+ sin2(a + (n - tty) =
n sin(n(p)cos(2a + (л - 1)р)
2	2sin(<p)
9.12.	cos2(a) + cos2(a + <p) + cos2(a + 2cp) + 	+ cos2(a + (n - =

Глаба 11. Итоги. Справочные сбедения.	157
п sin(n<p)cos(2a + (п - 1)р)
2	2sin(cp)
Частные случаи для (р = а :
п sin(na)cosl(n + 1)а)
9.13.	sin (а) + sin (2а) + sin (За) +	+ sin (па) = —	7-^		 .
,	, п sin(na)cos((n + 1)а)
9.14.	cos (а) + cos (2а) + cos (За) +	+ cos (па) = — +		-
11.1.10.	Выражение одних тригонометрических функций
через другие.
Знак « + » или « - « перед радикалом выбирается
в зависимости от четверти, в которой оканчивается угол а.
10.1.	sin(a) = ±ф - cos2(a)
10.2.	cos(a) = ±^1 - sin2(а)
ttg(a) _ ±1
+ tg2(a) ^1 + ctg2 (a)
±1	±ctg(a)
10.3. tg(a) =
+ tg2(a) J1 + ctg2 (a)
±sin(a) ±^7^"cos*(a) 1
-	sin2(a) " °°&) ~
±J1 - sin (a) ±cos(a)	1
10.4.	ctg(a) =		=	* - = —.
s,n(a)	- cos (a) &W

Глаба 11. Итоги. Справочные сВедения.
21.
21
21
22
22
22
22
22
22
11.2 . Обратные тригонометрические функции.
11.2.1.	Связи между обратными
тригонометрическими функциями
одного и того же аргумента.
Чётность и нечётность
обратных тригонометрических функций.
1. arcsin(x) + arccos(x) = —.
3.	arcsin(-x) = -arcsin(x).
5. arccos(x) + arccos(-x) = n.
21.2.	arctg(x) + arcctg(x) =
21.4.	arctg(-x) = -arcfg(x).
21.6.	arcctg[x) + arcctg[-x) = n.
11.2.2. Связь между тригонометрическими и
обратными тригонометрическими функциями.
1.	sin(arccos(x)) = ^1 - х2
3.	tg(arcctg(x)) = .
, 5. sin{arctg(xfj = . * .
+ х2
, 7. sinlarcctg(x)) = —=L
V
. 2. cos(arcsin(x)) = ^Jl - x2 .
. 4. cfg(arcfg(x)) = — .
22.6.	cos(arctg(x)) = ■ *
22
22
i
1	+ x
22
+ X
. 8. cos(arcctg(x))
^1 + x2
. 9. tg(arcsin(x)j =
,11. cfg(arcs/n(x)j
yjl - X2
-EL
22.10.	fg(arccos(x)j =
22.12. ctg(arccos(x)) =
- X2

Глаба 11. Итоги. Справочные сВедения.
159
11.3.	Тригонометрические функции
некоторых аргументов.
Для удобства в таблице приведены величины углов в градусной мере.
X
0
X
s/'n(x)
cos(x)
tg(x)
cfg(x)
0
0
0
1
0
Неопределён
я
12
15°
Vs - V2
4
>/б + л/2
4
2-л/3
2 + л/з
я
То
18°
л/б - 1
4
д/б + л/б
2л/2
д/б - 2л/б
л/б
д/б + 2л/б
я
1
22,50
V2-V2
2
J2+J2
2
42-1
42+1
я
1
300
1
2
л/З
2
л/3
3
4з
я
~5
36°
^5 - *J~5
2^2
л/б + 1
4
д/б - 2л/б
д/б + 2л/б
45
я
7
45°
Г2
2
л/2
2
1
1
Зя
То
54°
у[5 + 1
4
■^5 - -/б
2л/2
-J5 + 2л/б
45
^5 - 2л/б
я
1
60°
Гз
2
1
2
43
4з
3
Зя
“Г
67,5°
д/2+ V2
2
V2-V2
2
л/2 +7
42-1
2я
~5~
72°
д/б + V5
2л/2
л/б - 1
4
^5 + 2 л/б
д/б - 2-Уб
45
5я
12
75°
л/б + -/2
4
л/б -л/2
4
2 + л/з
2-4з
я
~2
90°
1
0
Неопределён
О

Сергей Александрович Тынянкин
Зелёная Лошадь,
или
Лекции по тригонометрии
для школьников и студентов
нематематических специальностей
высших и средних специальных
учебных заведений.
Ответственный эа выпуск: Тынянкин С.А.
Волгоград-87; а/я 1942;
тел. 8442-37-46-31;
E-mail: t51@mail.ru
Подписано в печать: 2.11.2009.
Гарнитура: COURIER
Формат 60x84/16
Бумага офсетная. Печать офсетная.
Физ.печ.л.10.
Тираж 400.
Заказ № 114.
Отпечатано с электронных носителей
в ОАО ИПК «Царицын»;
Волгоград-131, ул.Коммунистическая, 11.