Текст
1. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ
1.1. Извлечение кория. Корень п-й степени иэ комплексного числа г имеет п различных значений, которые находятся по формуле
п,— пг\—г! фЧ-2л& . . , (p4-2nfe\ , „ , ,
у г = у |г| (cos-*—— Ьi sin —), <p=argz, L=0, 1,..., n—I,
1.2. Элементарные функции комплексного переменного. Значения показательной функции комплексного переменного z — x-^-iy вычисляются по формуле
ег = ev (cos у+i sin у).
Показательная функция ег обладает следующими свойствами! ez‘ + г»= ег* e2i,
где ?! и г2— любые комплексные числа;
ег+2л/г« = k — Q, ±1, , т. е. ег
(1)
т. е. ег
является периодической функцией с основным периодом 2ш'.
Тригонометрические функции sin г и cos г выражаются через показательную:
sin г =------, cos г
2» ’
Функции a»=sinz и to—cos г—периодические с действительным периодом 2л и имеют только действительные нули z — kn. и г = л/2 + йл (& = 0, ±1, ±2, ...) соответственно.
Функции tg г и ctg г определяются равенствами
Для тригонометрических функций комплексного переменного остаются в силе все известные формулы тригонометрии.
Гиперболические функции sh z, ch z, th z, cth z определяются равенствами
Имеют место тождества sh г— — i sin iz, ch z=cos iz.
Логарифмическая функция Ln z, где z Ф 0, определяется как функция, обратная показательной, причем
Ln г=1п | z |+i Argz=ln | z | + i (argz + 2nfe), fe=0, ±1, ±2, ...
Значение функции, которое получается при fe=0, называется главным значением и обозначается
1пг=1п |г 14-i argt,
б
Логарифмическая функция обладает следующими свойствами:
Ln (ZjZ2) = Ln г± + Ln г2, Ln (—) = Ln zt — Ln г2, \г2/
Ln?n = nLnz4-2n&’, k=0, ±1, ±2, ..., Ln y^z =Ln г.
Функции Arcsin z, Arccos z, Arctg z, Arcctg г определяются как обратные к функциям sin г, cos г, tgz, ctgz соответственно. Так, если г=cos го, то w называется арккосинусом числа г и обозначается w—Arccos г. Все эти функции являются многозначными и выражаются через логарифмическую:
Arcsin z=—i’Ln(iz4-]^l—z2), Arccos z=—i Ln (z-j-]/ z2—1),
, . i . 14-iz . i , z—i
Arctgz=LnArcctgz=-2- Ln
Значения, соответствующие главному значению логарифма, обозначаются теми же символами со строчной буквы (arcsin z, arccos z, arctg г, arcctg г); они называются главными значениями.
Общая степенная функция w — &, где а—любое комплексное число, определяется соотношением
га=еаьпг> г¥;0>
Эта функция многозначная; значение а“ = еа1пг называется глазным значением.
Общая показательная функция w=az, а=у=0 определяется равенством
аг = егЬп“.
Главное значение этой функции аг = ег1па.
1.3. Кривые на комплексной плоскости. Уравнение вида г= z(t)=x(i) -\-iy(i) определяет иа комплексной плоскости кривую, параметрические уравнения которой имеют вид
«=*(/), y=y(t}.
Исключением параметра i из этих уравнений получаем уравнение кривой в виде F (х, i/) = 0.
1.4. Дифференцирование функций комплексного переменного, условия Коши — Римаиа. Пусть функция иг=/(г) определена в некоторой области G комплексного переменного г. Пусть точки z и z+Az принадлежат области G. Введем обозначения Aoi = /(z-|-Az) —/ (г), Дг=Дх-Н &у.
Функция w = f(z), называется дифференцируемой в точке гей, если отно-
Kw „ , „ „
шение — имеет конечный предел при Кг -* 0. Этот предел называется произ-
, . , ... , , ( <1еА . Дш
водной функции w—f(z) и обозначается f (г) или -s—)» / (г)= 1™ -у •
\ ог/ дг-*о Д2
Пусть z=x-{-iy, w=f (г) = и(х, y) + iv(x, у), тогда в каждой точке дифференцируемости функции f (z) выполняются соотношения
ди _dv ди _ до
дх~~ ду' ду~ дх *
В
называемые условиями Коши — Римана.
Обратно, если в некоторой точке (х, у) выполняются условия Коши —Римана и, кроме того, функции и = и(х, у) и v = v(x,y) дифференцируемы как функции двух действительных переменных, то функция f(z) = u-j-io является дифференцируемой в точке z=x^-iy как функция комплексного переменного г.
Функция w—f(z) называется аналитической в данной точке г, если она дифференцируема как в самой точке г, так и в некоторой ее окрестности. Функция w=f(z) называется аналитической в области G, если она аналитична в каждой точке z е G,
6
Производная аналитической функции вычисляется по формулам
„. л_ди . dv _до ,ди_ди .ди до до
' '~дх~^1 дх~ ду 1 ду~ дх 1 ду~ду~^1 дх'
Пользуясь условиями Коши—Римана, можно восстановить аналитическую функцию ш=/(г), если известна ее действительная часть и = и(х, у) илн мнимая часть о = о(х, у) и, кроме того, задано значение /(г0) функции в некоторой точке г0.
Пусть, например, и—о* cosy, f(0) = l. Определить аналитическую фуни« цию /(г).
В силу условий (2) имеем
dv ди
ду = дх = &<жУ’ <3)
dv ди
йх = -^ = е8Ш^ <4>
Интегрируя уравнение (4) по переменной х, находим мнимую часть
и = е* sin у+С (у). (5)
Слагаемое С (у) представляет собой постоянную (относительно х) интегрирования. Дифференцируя (5) по у и сопоставляя результат с (3), получаем С (у)=0, откуда С (у) = С. Таким образом, имеем
о = сх sin у+С и / (г) = иЦ-['о = е-¥ (cos г/Ц-i sin (/) + С;
с учетом формулы (1)— /(г)=ег+С. Учтем дополнительное условие /(0) = 1й откуда С = 0; итак, /(г) = ег.
1.5. Интегрирование функций комплексного переменного. Пусть однозначная функция &=/(г) определена и непрерывна в области G, а Г — кусочно-гладкая кривая, лежащая в G; z = x-\-iy, f(z) = u-\-iv, где и = и(х, у), о = о(х, у} — действительные функции переменных х и у. Вычисление интеграла от функции о>==/(г) комплексного переменного г сводится к вычислению криволинейных интегралов по координатам:
j f (г) dz = J и dx—о dy-\-i J v dx-(-u dy.
Г Г г
Если кривая Г задана параметрическими уравнениями х=х(/), y = y(f)t а начальная н конечная точки дуги соответствуют значениям t = a и £ = то
_ Р
Р (z) dz = J / [г (/)] z' (/) d/, где z (/) =х (/) + iy (/).
Г а
Если w — f{z) — аналитическая функция в односвязной области G, то интеграл не зависит от пути интегрирования (зависит только от начальной и конечной точек). В этом случае для вычисления интеграла применяется формула И ьютона — Лейбница
Z*
j/(г) бг—Ф(г2)-®(2t), 21
где Ф(г) —какая-либо первообразная для функции /(г), т. е, Ф'(г)=/(г) в области G.
Если функция w = f(z) является аналитической в области G, ограниченной кусочно-гладким замкнутым контуром Г, и на самом контуре, то
ф f (г) da=O (теорема Коши)
V
1
и для. любой внутренней точки г0 е G
(интегральная формула Коши).
г
1.6. Ряд Лорана. Функция w = f(z), однозначная и аналитическая в кольце р< | г — г0 | < R, разлагается в этом кольце в ряд Лорана
f(2)= 2 CA(Z-Z«)* = 2 Ck(2-Z0)«+ 2 Cft(2-Z0)ft, (6)
fe = —co k = — co fe = 0
коэффициенты находятся по формулам
C._xU<£ xL , й=0, ±1, ±2, ... (7)
—2ш j (г —г0)&+1’ ’ ' '
'Г
Здесь Г — произвольная окружность с центром в точке г0, лежащая внутри заданного кольца. Разложение в ряд Лорана единственно.
В формуле (6) ряды
—1 00
2 С*(г-г0)* и 2 Cfc(z—г0)* fe = —со fe==O
называются соответственно главной частью ряда Лорана и правильной частью ряда Лорана.
На практике для нахождения коэффициентов Су, если это возможно, используют готовые разложения элементарных функций в ряд Тейлора.
Для примера разложим в ряд Лорана с центром в точке го = 0 функцию /(2) = гЗе1/г.
Функция г3е1,,г аналитична в кольце 0 < | г I с оо, следовательно, разложима в нем в ряд Лораиа. Воспользуемся разложением показательной функции в ряд Тейлора в окрестности точки £о = 0:
et=l+£+g-4-. + § + ...
и положим £=1/г, тогда
'<г>-В * * * * * * * * * * * * 21('+7 + я + - + Я’ + -)“
2 11 1
= Z34-22 4- + -gj 4- 4-... + + •”
В силу единственности ряда Лорана полученное разложение функции / (г) по
степеням г является рядом Лорана для функции f (г) = гзе1>/г в кольце
0< | г| <оо.
1.7. Изолированные особые точки однозначной аналитической функции.
Точка г0 называется изолированной особой точкой функции w=f (г), если f (г) —
однозначная и аналитическая функция в круговом кольце 0 < | z—г0 | < б, кроме
самой точки га.
Функцию ш=7(г) в окрестности точки г0 можно разложить в ряд Лора-
на (6), сходящийся в кольце 0<|г—2о|<6. При этом возможны три. раз-
личных случая, когда ряд Лорана: 1) ие содержит членов с отрицательными 00
степенями разности г—г0, т. е. /(г)= 2 С*(г~Zo)ft. В этом случае г0 назы-
k = o
ваяется устранимой особой точкой функции w=f(z); 2) содержит конечное
число членов с отрицательными степенями разности (г —г0), т. е, f (г) =
8
co
= 2 cft(z—2o)ft, причем C_„=#0. В этом случае Зд называется полюсом k——п
порядка п функции ш=/(з); 3) содержит бесконечное число членов с отрица-00
тельными степенями разности з—г0, т. е. /(г) = 2 Cft(z — z0)ft. В этом fe=—00
случае г0 называется существенно особой точкой функции w—f(z).
При определении характера изолированной особой точки используются следующие утверждения.
1. Для того'чтобы точка г0 являлась устранимой особой точкой аналитической функции w=f(z), необходимо и достаточно существование предела lim /(г) = С0, причем | Со ! < оо.
г-»г„
2. Для того чтобы точка г0 являлась полюсом аналитической функции w=f(z), необходимо и достаточно существование предела lim /(г) = со.
г->г,
2'. Для того чтобы точка г0 являлась полюсом порядка п аналитической функции f (г), необходимо и достаточно, чтобы функцию f (г) можно было представить в виде / (г) = <р (г)/(з —з0)'г, где ф (г) —функция аналитическая в точке Zo, причем ф (Зд) =# 0.
2". Пусть Zo— изолированная особая точка функции /(г) = Х (г)/ц (г), где ft, (г) и [1 (г)—функции аналитические в точке Зд.
Если числитель ft. (г) и все производные до k — 1 порядка включительно в точке г0 равны нулю, ft/*’ (г0) #= 0, знаменатель ц (г) и все производные до I—1 порядка включительно также равны нулю в точке з0, p,Zl (г0) 0, то при
точка 2д является полюсом порядка n = l — k аналитической функции /(г). (Если I k, то точка Зд является устранимой особой точкой аналитической функции /(г).) В частном случае, при k—Q, 1=1 имеем: если ft. (г0) |х(го) = О, ц'(го)=#О, то Зд—полюс первого порядка функции f(z).
3. Пусть лри г->3д аналитическая функция w=f (г) не имеет пределов ии конечного, ни бесконечного. Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы точка з0 была существенно особой точкой функции w=f(z).
1.8. Вычеты. Пусть з0—изолированная особая точка функции w = [(z). Вычетом функции f (з) е точке Зд называется число, обозначаемое символом res^ [ (з) и определяемое равенством
reS20 f (z) = £ Hz) dz (8)
v
(другие обозначения: res/(30), res[/(z), z0J). Замкнутый контур интегрирования у лежит в области аналитичности функции f (з) и ие содержит внутри других особых точек функции f(z), кроме Зд.
Сопоставление формул (7) и (8) показывает, что вычет функции равен коэффициенту при минус первой степени в лорановском разложении f(z) в окрестности точки Зд:
re4Hz) = C_i. (9)'
Вычет в устранимой особой точке равен нулю.
Вычет функции / (г) в полюсе n-го порядка. вычисляется по формуле
1 d”-1
resz. f (г) = ёГ=Т)Г Д™ ₽f/ (г) (г~ г°)п]:
при П=1
res2. f ft = ,inl (2) (Z- Z«)].
Если функция w=f(z) в окрестности точки Зд представляется как частное двух аналитических функций, f (г) = ft (г)/ц (г), причем ft(3o)^0, ц(г„)=О,
9
|л' (zo)y=O (в этом случае г0—полюс первого порядка функции /(г)), то ' res£o/(2) = Z(zo)/p.'(г0),
Если точка z0 есть существенно особая точка функции а>=/(г), то вычет вычисляется по формуле (9).
Основная теорема Коши о вычетах. Если функция w~f(z) является аналитической на границ? Г области G и всюду внутри области, за исключением конечного числа особых точек zit г2, , гп, то
фН*) dz=2iu reSzfe/W- (10)
Г Л = 1
1.9. Вычисление несобственных интегралов от рациональных функций. Пусть R (х) —рациональная функция, R (х) = Pfe (x)/Qz (х), где Pk (х) и Qt (х) — многочлены степеней k и I соответственно. Если R (х) непрерывна на всей действительной оси и l^k-\-2, т. е. степень знаменателя, по крайней мере, на две единицы больше степени числителя, то
j R (х) dx=2гаres2OT R (г), — со т
здесь сумма вычетов функции R (z) = Pft (z)/Qz (г) берется по всем полюсам гт, расположенным в верхней полуплоскости Im г > 0.
1.10. Вычисление несобственных интегралов специального вида. Пусть R (х)—рациональная функция, R (x) = Pk (x)/Qi (х), где Pfc(x) и Qz(x)—многочлены степеней k и I соответственно. Если R (х) непрерывна иа всей действительной оси и /3=£-|-1 (т. е. R (х) —правильная рациональная дробь), то
J R (х) cos Ах dx= Re (2ш У] res-m R (z) eM, A > 0e
— oo 1 tn J
4-00
j R (x) sin Ax dx= Im /2nt У resgm R (z) e'M, A>0, — oo I m J
где сумма вычетов функции R (z) e'A* берется по всем полюсам zm, расположенным в верхней полуплоскости Im г > 0.
1.11. Вычисление определенных интегралов специального вида. Пусть R—рациональная функция cosZ и sin t, непрерывная внутри промежутка интегрирования. Полагаем тогда
. 1 / , 1 \ . , 1 ( 1 \ dz
COS^y^+y), = d/ = 7?;
кмеем
2л
R (cos/, sin/)d/ = ф F (z) dzt (II)
6 |z|=i
где путь интегрирования—окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Контурный интеграл в правой части равенства (11) вычисляется по формуле (10), где сумма вычетов функции F (г) берется по всем особым точкам, лежащим в области | z | < 1.
1.12. Преобразование Лапласа. Функцией-оригиналом называется функция /(/) действительного аргумента /, удовлетворяющая условиям: 1) /(/) интегрируема на любом конечном интервале оси t\ 2) для всех отрицательных t f (0 = 0; 3) /(/) возрастает не быстрее показательной функции, т. е. существуют такие постоянные М и <т0, что для всех t | f (0 | < Afe0**.
10
Изображением функции f (t) по Лапласу называется функция F (р) комплексного переменного р=о-Нт> определяемая равенством
СО
F(p) = J e-₽7(0d/j
0
обозначение:
Для любой функции-оригинала /(/) изображение F (р) определено в полуплоскости Rep>o0 н является в этой полуплоскости аналитической функцией.
Свойства
1°. Линейность: для любых комплексных постоянных Сг и Cj
(О+ОЛ (0 ?=’ CiF 1 (р) Ц-С2Л2 (Р)-
2°. Формула подобия: для любого постоянного (д>0
3°. Дифференцирование оригинала: если функции f(t), /' (/), ,..t f,rl> (/) являются функциями-оригиналами, то
t'(i)^pF(p)-f(O),
Г(/) = р2Г(р)-р/(0)-Г (0),
С /(T)dT=-^-.
/<»> (() ^pnF(p)—pn-if (0)—p^f (0) —(0).
Величина /**’ (0), /г—0, 1.и—1, понимается как lim /'*’(/).
/-* + о
4°. Дифференцирование изображения: F’ (р)— tf (t).
5°. Интегрирование оригинала:
о f (Л 6°. Интегрирование изображения: если является функцией-оригина-
лом, то СО
J F (р) dp ,=• Ш. р
7°. Формула смещения: для любого комплексного X
Д/)е~« = Г (р+А).
8°. Формула запаздывания: f(i—т) ^erP^F (р), т>0.
9°. Формула умножения изображений: t
Fl (Р) F2 (р) ~ f (l (т) /2 (/ - т) dx. (12)
б
Интеграл в (12) называется сверткой функций fi(t) и f2(t) и обозначается символом * /г-
Отыскание оригинала по изображению
Для нахождения оригинала f (t) по известному изображению F (р) наиболее широко применяются следующие приемы:
11
1) если F (р) есть правильная рациональная дробь, то ее разлагают на сумму простых дробей и находят оригиналы для каждой простой дроби, используя свойства 1°—9° преобразования Лапласа;
2) используют формулу разложения, согласно которой при некоторых достаточна общих условиях оригиналом для F (р) служит функция
/(/) = S respJF (р) е^),
k
где сумма Вычетов берется по всем особым точкам р* функции F (р).
1.13. Формулы соответствия. Широко применяются следующие табличные соотношения:
Г- ..1/Р; е<“'ч 1/(р-а); sin<B/-=.<в/(р34-га3); cos о)/'--р/(р3+<ог); sh (оГ—ю/(р-— io2); ch ю/= р/(р2—ю2); tn'^.nl/pn+1.
Левые части операционных соотношений предполагаются доМноженными ( 1, /2s 0, 1
на,функцию г| (/)=< Q / <^ О которая для сокращения записи, как правило,
опускается.
. 1.14. Изображение кусочио-линейной функции. Примерный вид графика кусочно-линейной (полигональной) функции представлен на рис. 1. Введем следующие обозначения:
Тр—точки разрыва функций f (/) или f (!)•, ah = ak—bk — скачки функций в узлах «стыка»;
₽* = tgY* — tg 6* —скачки производной f (/) в узлах «стыка».
Изображение полигональной функции имеет вид
F(p) = 2e k
1.15. Задача Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Решение линейных дифференциальных уравнений операционным методом предполагает три этапа: I) переход от исходных функций к их изображениям по Лапласу, при этом дифференциальное уравнение преобразуется в алгебраическое относительно изображения искомой функции; 2) решение полученного алгебраического уравнения; 3) получение искомого решения по его изображению.
Решим задачу Коши для дифференциального уравнения
х'-х=1 (13)
при начальном условии х (0) = 1.
Операционный метод решения такой задачи состоит в том, что искомую функцию н правую часть дифференциального уравнения считаем оригиналами и переходим от уравнения, связывающего оригиналы, к уравнению, связывающему их изображения. Для этого воспользуемся формулой дифференци-12
рования оригинала
*' (0 = рХ (р)—х (0) = рХ (р) —1.
Применяя свойство линейности, перейдем в уравнении (13) от оригиналов к изображениям:
[рХ(р)-1]-Х(р)=1/р.
Решим полученное уже не дифференциальное, а алгебраическое уравнение относительно неизвестного изображения X (р):
X (р) = 2/(р—1)—1/р.
Осталось по известному изображению X (р) найти соответствующий ему оригинал х (/). Используя свойство линейности преобразования Лапласа и табличные операционные соотношения (см. п. 1.13), получаем х(0 = 2е/—1. Это и есть искомое решение! задачи Коши.
Аналогично решаются системы линейных дифференциальных уравнений.
1.16. Формула Дюамеля. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами:
£{х(П}=аох"»(П+а1х'«-Ь(0+...+аях(О=/(О . (14)
при нулевых начальных условиях
х (0)=х' (0) =...(0) =0. (15)
(Заменой искомой функции задачу с ненулевыми начальными условиями можно свести к задаче с нулевыми условиями.)
Допустим, что известно решение уравнения L{x (/)}=! (с той же левой частью и правой частью, равной единице) при условиях (15). Обозначим его %1(/). Тогда решение х(/) задачи (14) —(15) можно выразить через хх (t) и /(/) с помощью одной из формул:
т t
х (/) = j х[ (т) f (i—т) d?, х (0 = | х{ (t—x)f (т) dr,
( f
X (0=Z (°) xi \ f (t) xi (i—T) dT, X (/)=Z (0) Xj (0 + f f (t—т) хг (?) dr. b o
Каждое из этих выражений называют формулой (или интегралом) Дюамеля.
Метод решения дифференциальных уравнений, основанный ва формуле Дюамеля, применяют, как правило, в тех случаях, когда возникают трудности при нахождении изображения F (р) правой части f (/) уравнения (14), а также при необходимости многократного решения задачи (14) —(15) для различных функций Z(0-
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1. Комплексные числа, действия над ними.
2. Показательная и логарифмическая функции комплексного переменного. Формулы Эйлера.
3. Степенная функция. Тригонометрические и гиперболические функции.
4. Производная функции комплексного переменного.. Условия Коши —Римана. Понятие аналитической функции.
5. Геометрический смысл модуля и аргумента производной функции комплексного переменного. Понятие о конформном отображении.
13
6. Интеграл от функции комплексного переменного^. f его свойства,
7. Теорема Коши для одно- и многосвязных областей. Фор--мула Ньютона — Лейбница.
8. Интегральная формула Коши.
9. Существование производных всех порядков у аналитической функции:.
10. Ряд Тейлора. Теорема о разложимости аналитической функции в ряд Тейлора.
11. Ряд Лорана. Кольцо сходимости. Теорема Лорана.
12. Классификация изолированных особых точек.
13. Вычеты. Вычисление вычетов.
14. Основная теорема Коши о вычетах. Вычисление контурных интегралов. '
15. Вычисление несобственных интегралов с помощью вычетов. Лемма Жордана.
16. Преобразование Лапласа. Функция-оригинал. Существование и аналитичность преобразования Лапласа. Поведение изображения в бесконечности.
17. Свойства преобразования Лапласа: свойство линейности, теорема подобия, теорема затухания (смещения), теорема запаздывания.
18. Дифференцирование оригинала и изображения.
19. Интегрирование оригинала и изображения.
20. Методы отыскания оригинала по заданному изображению.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать равенство . п+1. . п „ sm —в sm -g- 9
sin 9+sin 29+...+sin п9 =------о----, 9+=2лп, п = 0, ±1,...
sin у
У казаки е. Рассмотреть геометрическую прогрессию е10, е1®0, ...., е"10.
2. Доказать, что в полярных координатах г, <р условия т. „ ди 1 dv dv 1 ди
Коши - Римана имеют вид Тг = - ~
3. Доказать, что функция w = | z | нигде не дифференцируема.
4. Пусть функция и{х, у) гармоническая в некоторой области G, т. е. Аи = 0 в любой точке (х, у) е G. Для каких ф сложная функция/[и (х, у) ] будет также гармонической в. области G?
5. Пусть функция 7(г) — аналитическая в круге | z\ ^R и М = = max |/(г)|. Для всех внутренних точек круга |г[<2? дока-|г| = Л
зать неравенство
|Л«>(г)1 MR п-1 2 4
14
6. Числа А„, определяемые условиями Ао = I, Ar = I, Лга+2 — = Л„ + Ап+1, п = 0, 1, .., называются числами Фибоначчи. До-
оо
казать, что в некоторой области Anzn = Определить
п —О
область сходимости ряда.
7. Доказать, что для четной функции /(г) имеет место равенство reszj(z) = — res-2J(z), а для нечетной функции— равенство reszJ(z) = res_zJ(z).
8. Функции /(г) и ф(г) в точке г = г0 имеют полюс соответственно порядка тип. Что можно сказать о характере особой точки z = z0 для функций: a) /г)ф(г); б) /(г)/ф(г); в) /г) + ф(г)?
9. Функции f (z) и g (г) — аналитические в точке z0, причем /(zo)=#O, g (г0) g' (z0) = 0, g"(zo)^O. Найти вычет функции <p(z) = /(z)/g(z) в точке г0.
10. Являются ли оригиналами функция f (/) = т] (/) sin ef2 и ее производная f (/)? Здесь
1, *>0, о, Т<0.
11. Используя теорему умножения изображений, найти реше-t
ние интегрального уравнения $ y{i) cos (t — т) dr = 1 — cos t. о
РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ
Задача t. Найти все значения корня (см. П. 1.1). /т.
1.1. 4/ Г г —1. 1.2. V rl+t'Eg., 1.3. ' А
1.4. 1.5. /Т. 1.6.
1.7. /=т. 1.8. /^7. 1.9.
1.10. t/l+1/З V 32 ' 1.11. /8. 1.12. /8Г.
1.13. /Тб. 1.14. ]/z±zi£3. 1.15. /=8.
1.16. /=к. 1.17. /—1/16. 1.18. /—8 + 18 /3<
1.19. /178. 1.20. /1/8. 1.21. /17Тб.
1.22. /—8 —i'8/З. 1.23. /^Т/8. 1.24. /-1/8.
1.25. /—128+ 7128/3. 1.26. /27. 1.27. / 1/256.
1.28. /—128 — 1128 /3. 1.29. /7/27. 1.30. /256.
1.31. >/-127.
45
Задача 2. Представить в алгебраической форме (см. п. 1,2).
2.1. sin (n/4 + 20. 2.2. cos(n/6+2i), 2.3. Ln 6.
2.4. sh (2-J-ni/4). 2.5. ch(2+ni/2). 2.6. Ln (1 +0.
2.7. sin(n/3 + 0. 2.8. cos(n/4+0. 2.9. Ln(/3 + i).
2.10. sh(l+ni/2). 2.11. ch(l—m). 2.12. Ln(l+/3i).
2.13. Ln (—1+0. 2.14. cos (n/4 — 20. 2.15. sin (л/2—50..
2.16. sh(3 + ra/6). 2.17. ch(l+ni/3). 2.18. Ln (-1-0.
2.19. sin (rt/6—30. 2.20. cos (.4/3 +30. 2.21. Ln (1—i).
2.22. sh(l—Л1/3). 2.23. ch (2—ni/6). 2.24. I2*.
2.25. sin (Л/3—20. 2.26. cos (.4/6 —0. 2.27. i3*.
2.28. sh(2—ni). 2.31. ch (З + га/4). 2.29. (—i)5A 2.30. (— 1)*L
Задача 3. Представить в алгебраической форме (см. и. 1.2).
3.1. (—1+«Уз)-31.
3.4. Arete
3.7. Aclh
3.10. (—1 -«•)«.
3.13. ArctgfH^-).
/4__q; \
3.16. Arthf^-g-i .
\ 5 /
3.19. Arccos (—5).
3.22. и = sin — z
3.2. Arcsin 4. 3.3. Arch (—2).
, B Ar ,, /3—4i\ 3.5, Arcthl—g—j. 3.6. a * М + згх Arcctg (—p— . \ □ 1
3.8, Cos(^y—ij. 3.9. . /. Л .\ sh(l-TJ.
3.11. sin(n/4 + i). 3.12. Arch (30.
Areth(8-+HL3). 3.15. . t /3/3 — 81 Arctg (
3.17. Arete (=^3±*) . 3.18. . ..(3—i2y3 Arcth ( yt—
3.20. Arsh (—40. 3.21. (_/3+f)-«.
1 3.23. и>=ег 3.24. . t /2/3+31 Arcctg 1
4+2ju при z— „ 7-7-. ' n2+4
при 2 =
8+2ni л2+ 16'
3.25. АПН .
3.2,. Arefe
3.31. (—12 + 51’/.
3.26. Arcth f 4 ~t3> \.
\ о /
3.29. Arccos (—31).
3.27. w = ch iz при z=n/4+2i.
3.30. (4 — 30'.
Задача 4. Вычертить область, заданную неравенствами.
4.1. |г— 1|й£1, |г+11>2. 4.2. |z+i|=al, | г | < 2.
4.3. |z-i|^2, Rez>l. 4.4. |z-f-l |Ssl, |z+i|<t.
4.5. |z+l |< 1, | г—i|s£l. 4.6. |z+i|^2, | г— i|>2.
4.7. |z-l-i|==cl, Imz>l, Rez>:l.
4.8. |z—l+i|Ssl. Rez< 1, Imzs£—I.
4.9. [z—2—i(<2, Rez>i3, Imz<l.
4.10. (z—1—i|Ssl, 0<Rez<2, 0<Imz<2.
15
4.11. |z+i|<2, (XRezsgl. 4.12. | z—0<argz<n/4.
4.13. |z—i\^2, 0<Imz<2. 4.14. |z-f-»|>l, — л/4 arg z < 0.
4.15. | z— 1 — i|<l, argz+n/4.
4.16. | z j < 2, — frt/4 - arg (z— 1) -Л л/4.
4.17. [zjsgl, arg (zH-j) > л/4.
4.18. 1 < j z— 1J^2, Im z>:0, Rez<I.
4.19. ij<2, RezscO, Imz>l.
4.20. |z|<2, Rez>;l, arg z< л/4.
4.21. |z| > 1, — Iclmzscl, 0<Rez + 2.
4.22. J z— 1 | > 1, — 1 -5 Imz< 0, 0^ Rez <3.
4.23. |z+» | < 1, —3a/4<rargzsC—л/4.
4.24. |z—— n/2 <arg(z—i) <n/4.
4.25. zz<2, Rez-i-l, Imz>—1. 4.26. zzs£2, Rez<l, Imz>—1.
4.27. l<zz<2, Rez> 0, Im z + 1.
4.28. | z—1 | < 1, argzsc л/4, arg (z—1) > л/4.
4.29. | z—i;<l, arg z>: л/4, arg(z+l — i)-S л/4.
4.30. |z—2—i|^l, 1 Re z< 3, 0< Imzeg3.
4.31. | Rez|sg 1, | Imz| <2.
•/-Задача 5. Определить вид кривой (см. п. 1.3)
5.1. z—3 sec/ + i2 tg/. 5.2. z=2 sec/ —/3 tg/.
5.3. z= — sec/+<3 tg/. 5.4. z=4 tg/—I3sec/.
5.5. z=3 tg/+i4 sec t. 5.6. z= — 4 tg/—/2 sect
5.7. z=3 cosec/+/3 ctg/. 5.8. z=4 cosec/—/2 ctg/.
5.9. z=ctg/ — 12 cosec/. 5.10. z.=—ctg/+/3cosec/.
5.11. z = 3 ch2/+i2sh2/. 5.12. z=2 ch 3/—/3 sh 3/.
5.13. Z = 5sh4/+i4ch4/. 5.14. z=— 4 sh 5/ — /5 ch 5/.
2 4 5.15. z =-^+14 th 2G 5.16. z=-r-rr+i2th4i.
ch 2/ ~ ch 4/
5.17. z = th5/-j—5.18. z=-+z —ictht 1 ch 5^ sh t
5.19. z=2ef/H—— o 5.20. z=3eiZ !—. 2eii 2ei7
5.21. z=—2e‘z + —. 5.22. z=2e2«z —.
ei/ e2i/
5.23. z=l+£+l-?±£. 5.24. г = Ь1 + ^.
1—/ 1 2—/ /(/—1)
5.25. z=|±i + T±7(2-40. 5-26.
5.27. z=/2 + 4/ + 20—i (/2+4/+4). 5.28. z=/s+ 2/+5 + 1 (/г+2/+1).
5.29. z = 2/3 + 2/ + l—i (/2+/+4). 5.30. z=t—2+i (/2-4Z+5).
5.31. z=/a —2/ + 3+1 (/2—2/+1).
17
Задача 6. Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию /(г) по известной действительной части и(х, у) или мнимой v(x, у) и значению f(z0) (см. п. 1.4).
6.1. «=х2— у2+х, /(0)=0. 6.2. и=х3—Зху + \, /(0) = 1.
6.3. v=cx(y cos у 4-х sin у), f (0) = 0.
6.4. ц=х2-!/2—2у, /(0)=0. 6.5. ц==^-1±1 cosy, f (0) = 2.
6.6. «=-тт~г>/(0=1+».
6.8. t>=evcosy, f (0)=l+t.
6.10. v=y--/(0=2.
9 x2+y ' '
6.12. u=y—2xy, f(0) — 0.
6.14. u=x2—y2 —2x4-1, /(0)=l.
6.7. v=e~y sin x4-y, f (0) = l.
°- ^-5+wJ(0)=1
6.11. u=e~^cosx, /(0) = l.
6.13. v=x2—y2 4-2x4-1. /(0)=l.
G.15. v—3x2y—y3—y, /(0)=0.
6.16. o=2xy4-y, /(0)=0. 6.17. o=3x2y—ys, /(0) = l.
6.18. u=e*(xcosy—ysiny), /(0)=0.
6.19. г?=2ху4-2х, f(O)=O. 6.20. u—\— siny-e*. /(0) = 14-;‘.
cOx 1 6.21. v=- -— sin y, f (0)=2. e-22'"-' х4^’/<|)-1+г-
6.23. и=е~У cosx4-x, /(0) = l. 6.24. o=e_^sinx, /(0) = l.
i. 6.26. u=xl(x2+y2)+x, /(1)=2.
6.27. o=x2—у2 —x, f(0)=0, 6.28. ц = —2xy—2y, f (0)=i.
6.29. v=2xy—2y, /(0) = l. 6.30. « = хЗ—3xy2 — x, f$)=0.
6.31. v=2xy+x,
Задача 7. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой (см. п. 1.5)
7.1. ^г; АВ:{у=х2; гд=0, zB=14-i}.
АВ
7.2. ( (z4-l)ezdz; L: {|z| = l. Rez=sO}. L
7.3. ) ImzMz; AB— отрезок прямой, гд=0, zB=24-2i. АВ
7.4. f (Z24-7z4-l)dz; АВ — отрезок прямой, 2Д=1, гд=1 —С АВ
7.5. ( [ z | dz; АВС — ломаная, гд=0, zB = —14-Z, гс— 14-i. АВС
7.6. ( (12z54-4z34-l) dz; АВ — отрезок прямой, гд= I, zB=^i, АВ
7.7. С z2dz; АВ— отрезок прямой, гд=0, гв— 1 +«. АВ
7.8. ( z3ez‘ dz; АВС —ломаная, zA — i, гв=\, zc = 0. ABC
18
7.9. f Re~dz; AB: {[ z|=l, Imz^O}, ВС — отрезок, ?B—l. zc=2, ABC
7.10. f (z2+cosz)dz; ABC — ломаная, зд=0, zB=l, ABC
C 2
7.11. I — dz; L — граница области: {1 < | z | < 2, Rez>0}.
7.12. f (chz+совй); ABC — ломаная, гд=0, z„=—1, zc=t. Abe
7.13. | z | zdz; L:{[z| = 4, Rez=a0}.
7.14. (chz-j-z) dz; L:{|z| = l, Imz=g0}.
7.15. ^(zjRcz3dz; L: {>2!=/?, ImzSsO}.
7.10. ( (Зг24-2г) d2; AB:{y=x‘!, 2д = 0, zB=l+«}. AB
7.17. (2Rez2dz; L : {| 2| = R; Imzs^O}. L
7.18. ? (z3—|—1) dz; ABC — ломаная, 2д = 0, zB= — I-f-Л Zc = t. ABC
7.19. $ e|z|2Imzdz; AB — отрезок прямой, 2A=l-f-i, zB=O. AB
7.20. (sin iz4-z) da; L : {| z | = 1, Re 23=0}.
7.21. ( zRez2dz; AB — отрезок прямой, гд = 0, zB=14-2f. AB
7.22. t (2z4-l)dz} AB : {y=x3, z,=0, 2В=1-М}. AB
,7.23.. ( zz dz; ЛВ:{|г| = 1, Re 2^0, Im г 3=0},
ABC
BC — отрезок, 2B=1, zc=0,
7.24. (cosi2-|-3z2) dz; L:{|z| = l, Imz^O}.
7.25. 11 21 dz; L : {| 2 | —У2, 3n/4 «g arg 2 << 5n/4}.
7.26. ( (z94-1) dz; ABC —ломаная, zA=0, zB=l-|-i, zc=i. ABC
7.27. 4т I zdz.
2i J |z| = R
7.28. (sinz-l-25) dz; ABC—ломаная, zB—l, zc=2£. ABC
7.29. 2lmz2dz; AB — отрезок прямой, гд=0, 2B=l-f-t.
7.30. (z3-f-sin z) dz; L:{|z|==l, Rez3=0}.
7.31. ?21 zI dz; L : {| z| — 1, Imz3=0}.
19
Задача 8. Найти ции по степеням z (см. все лорановские разложения данной функ-п. 1.6).
8 1 г 3 8.2. г—4 8.3. Зг—18
2234-2^—2 г4+г;1—2г2’ 2г3 + 322 — 9г *
8.4 2г~16 8.5. 5г—50 8.6. Зг—36
г4 + 2г3 —8г2 * 2г3+5г2—25г* г4+3г3—18г2*
8 7 7г“98 8.8. 4г—64 8.9. 9г—162
2г3 + 7г2—49г ’ г4+4г3—32г2 2г3 + 9г2—81г*
52-100 8.11. Пг-242 8.12. 6г— 144
°-lu- z«+5z3-50z2 ’ 22»+11г2—121г * г4 + 6г3—72г2 *
R1Q 132-338 223+1223—1692- 8.14. 7г—196 г4+7г3—98г2 ’ 8.15. 15г-450 2гэ +15г2 —225г *
8 18 8г —256 в-и’- г4+8гЗ—128г2 Ф 8.17. г+2 г+г2—2г2 ’ 8.18. г + 4 2г2 + г3—г4
8i9 Зг + 18 “•* ’ Эг+Зг2— 2г3 * 8.20. 2г+16 8г2+2г3—г4 * 8.21. 5г+50 25г +5г2—2гЗ*,
8 22 3г + 36 18г2 + 3г3—г4’ 8.23. 7г+98 49г+7г2—2гЗ' 8.24. 4г+ 64 32г2+4г3—г4'
8 25 9г+162 * 81г+9г2—2гЗ ’ 8.26. 5г+100 50г2+5г3—г4 * 8.27. 11г+ 242 121г + 11г2 — 2г3*
„ „„ 6г+ 144 8.29. 13г+338 8.30. 7г +196
°' 72z2 + 6z3 —24 ’ 169г+13г2—2г3 * 98г2 + 7г3—г4*
R,1 15г+450
225z+i5?2—223-
Задача 9. Найти все лорановские разложения данной функции по степеням z — г0 (см. п. 1.6).
9 1 2+1 1-1-2г 92 — 2 Ч/
®Л* z(z-l) ’ -° 1 1 и* г(г—1)’
о з г~Ь 1 2 з о/ 9.4 —JLiJ— 9-3- г(г-1) > *-« 5 ЯЛ* 2(2-1) ’ ! 2о= — 2+».
»-5- г(г+')' ” 1+31- .UV , г0=2 — 1.
г₽+',>• 2< ,+а- ’•8- Л+'ц , 2о = —2-Зг.
9-9- Йт« Zo-2+г. 9.10. *^31 > г0=3 —i.
9-«- йт> г»=~2+^ 9Л2-Йт> г0 = —2—2i.
9.13. ^+1» г0 2+г. 9-»4. , го=1-2/.
9Л5, гг + 1 > г° 3 + ‘* 9Л6- г»+1 ’ г0= — 3—2i.
0 1-7 4 z + 2 2-J-2Z 9 18 4 . г + 2 г — 1 _ 3(
9Л7-1 • (г-1)(г+3)’г° (г_ 1)(г + 3)’ -°
20
9Л9- 4 (2_i)(z + 3)> zo- 3 '• 9 20 4 • —г~^~2 • 4 (z-l)(z + 3)’ Zq — —2 -f-1.
2 9 9.21. T'.w or, z„ =—1 —2i. (г+1)(г-3)’ 0 9 22 4 • Z 2 ' 4 (z+l) (2-3)’ Z0 = 3 + i.
?—9 9-23-^(г+1)(г_3)-го-2 9.24. 4 (z+l)(z-3)’ 20 = —2 —t.
Э.25. г^4, z0 ——1 —3«, 2z 9.26. z2_|_4 t Zg— 3 + 2i.
_ • • 2z 9?
9-2л z2 + 4 , ‘0 — 2+3(« Э.28. г2 + 4 , Z0-3 + 2f.
2z z0=-i+3i. 9-00- г2 4 i <o —2 + 2i.
9?
8.31. -~r, z0=3 —2i, z- —4
Задача 10. Данную в окрестности точки г0 (см. функцию разложить в ряд Лор-ана п. 1.6).
10.1. z cos—г0 = 2. z—2 ’0 ° Г? 10.2. sin г-, а>=1. г— 1 ’ и
10.3. гег/(г“5), z0=5. . 2г—z . 10.4. sm ——тг-, zn=—2. г+2 ’ °
_ 3z 10.5. COS 20=l. г—t’ nc 5z .. Ю-6. sm—2^, z0=2i.
1л _ 3z—i i ‘°-7’ s,n3i+l’ г»=-у 37 10.8. z cos —+-, z0 = 1. z — 1 '
2» 10.9. г sin r, Zn= 1. z—1 ’ 2 Q 10.10. (z — 3) cos л ——, Zo=0.
10.11. z2 sin л zo = 0. ' 2
1U.U. -ca,22_2j, a.
.o z2 —4z „ 10.13. cos (г_2)3, z„=2. 10.14. sin^ii, z0—i. Z — l ’ u
10.15. sin 2 -, z0 = 3. z—3 ° 10.16. ze^, z0=2.
10.17. 20—3. 2z 10.18. sin 7, z0 = 4. z—4’ °
cr2 — 4г 10.19. sin (г_2)2, z0=2. 4г—2z2 10.20. е<г~О2, zo=l.
Jt П2
10.21. ге1г-0)2, z0=a. 10.22. 2ег—л, 2о=л.
10.23. zsinn^-i^, z=0. z 10.24. z eos я , Zq= 1. z —1 ’
10.25. z2 sin Z 3 z0=0. z Ю-26. ZSin-|^=g, 20=1. ^Z 1J
21
10.27. г cos—^-5, г0=3. г—3’ u
2
10.29. г cos--г0= 5.
2 —5 "
10.31. г sin nZ , z0—a. г —a’ v
2__ 1
10.28. z sin я---2л =2.
г—2’
2
10.30. z0=4.
Задача 11. Определить тип особой точки г = 0 для данной функции (см. п. 1.7).
111 е9г-1 11.2. г3е7/г% 11 2 sin 8z—6z
sin г — г + гз/б’ cosz— l+z2/2’
,, л cos7г—1 ,, e • sh6z—6г 11.6. e2— 1 —z
sh2 — 2—гЗ/6 * ”'5' ch z — 1 — z2/2 *
„ _ 6 11.7. zsm— z‘ 11 8 & ’ 119 SinZ2 —Z2
sin г—г+гз/6’ COS2—l+z2/2'
ii.io. shz—z —z3/6 £&Z 1 »•"’ Ch2-l-22/2’ 11.12. tnV4Z- e2—1 — 2
с; 11.13. z^cos-V. г2 ,, cos3z—1 11.14. . sin г — z+z3/6 .. sh2z — 2г COS 2 — 1+23/2’
11 ifi ch22-1 shz—г-гз/6’ e2’ 11.17. - chz—l-z2/2’ 11.18. ге4/г3.
11.19. gif.3,-23. e2 — 1—z 11.20. --C0S23—1 c. Sin 2—24-23/6 е7г— 1 11.21. COS2— 1 + Zz/2
sin 6z—6г Sh2— 2-23/6’ 11.23. г sin Д-. 23 1124 cos52~1 Ch 2 — 1 — Z2/2 ’
11.25. 4^=±2. e2—1 —2 11 9fi 3z 1 ' Sin 2—2 +23/6 ’ e*4—1 11.27. , , s. cos г — 1 +г2/2
11.28. -rSinZ4~* . Sh 2 — 2 — ZJ/6 2 11.29. zcos-,-. 23 11.30. — ch 2— 1 —zlft
11.31. (ег5-1)/(ег-1 -г).
Задача 12. Для данной функции найти изолированные особые
точки и определить их тип (см. п. 1.7).
12.1. e1/2/sin (1/г). 12.2. 1/C0S2. 12.3. tg22.
12.4. г tg ге1/г. 12 5 С' । 12.6. г2 + 1
23(2+ I)2’ (2-f)2(Z2 + 4)’
12.7. (г + л) sin 2 12.8. 181. 12.9. . 1 dgy.
г sin2 z ’
12.10. 1 ег+ Г 12.11. ctg яг. 12.12. sin jiz (2-1)3’
12.13. 1 sin г2 ’ 1 । sin3z—3sin2 г (sin г—г) * 12.15. 1 1 ег — 1 z ’
22
1 12.16. 12.17. thz. sin nz 12.18. . z3(l—cosz)
J/z 1 t 12.19. Ti—HTi >2.20. -=- + sin (ег —1)(1—z)3 z2 1 z2 z2 12.21. — (z2~ 4)2 cos ^—2
я . COSTS-2 12.22. z2 sin—. 12.23. . z z' — 1 12 24 51,11X2 *2-24- (z3-l)2-
12.25. —-n3-Z .12.26. ctg —-Л. z(l—cosz) s z z* 12.2У. —1 п3г2 e1/z. z(z3+l)e
12 28 cos яг 12 29 —s,n ,28’ (4z2 — 1) (z2 + l)‘ 1-29 z(l-cosz)° 12.31. Z4—1 12.30. ?— si— 22 z2(z2+l)
Задача 13. Вычислить интеграл (см. п. 1,7; 1.8).
13 1 &
<3> z(z2+l)’
J z|-= 1/2
£ dz
13 3 m
z(z3-|-4)‘
| z — 11 = 3/2
- С ег dz
13.5. ф —.
J sin z
|z-3| = i/2
C ze" ,
13.7. ф -4—dz.
j sm z
|z—I|=3
13.9. £ dz. J sin 2nz
| г-1/4 | = l/3
13.11. & -si,n73z^ dz.
J z- (Z — Л)
]z-3|=l
14 ti £ ег,' + 2
'J' sin 3zi
|Z| = I
13.15. £ dz.
J sm z
|Z-1 |=3/2
13.17. £ dz. j 4z2-|-itz
|z+l 1 = 1/2
C sin2 z — 3 .
13.19. ф -z;— dz.
z3 + 2«z
lz+I( = 2
I г | — ali
13 2 (?> ^d2
- - $ z2(z-l)*
|z—I —£|=5/4
, £ 2 +sin z , 13.4. ф —---. dz.
J z(?4-2i)
|z| = l
13.6. <$> ^±^dz.
j smz
lz —3/2| =2
C 2zl z—1 I .
13.8. ф —22 dz.
J Sin z
| z — 3/2 1 = 2
13.10. £ ±&ziL)dz.
J sin nz
|z-l/2| = l
13.12. £ dz.
J zz-1)
|Z-1/2| = I
<0.4 £ COS2 z +1 , 13.14. Ф —; t-dz.
J Z3 — Я1
(Z-2|=3
£ ' sin3z + 2 , 13.16. ф —r-s-dz.
г2—4 л2
|z — 6|=l
IO io £ COS3 z + 3 . 13.18. Ф -x-r; !— <z.
J 2z2 + nz
|z + 3/2| = t
13.20. -1-l.(e + 2)- dz.
J f , я\
izl-^zsin^z+^j
13.22. £ v dz.
У sm2z(z—re)
|z| = 1
23
13.23. $ ^±^dz. J sm 2z |z-I 1 = 2
13.25. £ г(г+л) J sin3z(z—-л) Iz — 3/2 I»l-
13.27. £ ff-t^dz. J I sin z
13.29. <£ -^dz. J z sm z 1.2. — л|==2
13.31. i — 'г' Iz- I i=2 (^2 + 4) Sin у
13.24.
13.26.
13.28.
j za 4- nz |'г|=2
sin2z , ------dz.
г cos г
13.30. § -±3+sin2z dz.
|z-372| = 2 sin % (г — л)
Задача 14. Вычислить интеграл (см. п. 1.7; 1.8).
14.1. £ cos za — 1 , ? z4 dz- lzj = l 14.2. (J |z) = ’ 2 —z2+3z3 V 4г3 = 1/2
14.3. |Z|=3 14.4. |Z| = sin z3 । i dz. 1 —cos z = 2
14.5. § =*+*+« ф. )zJ = l/3 14.6. |z]^ 1 — cos z2 , ;— dz. z2 Л
1*.7. |2|==1 14.8. 1 1 1 — sm - - -dz. z = 3
14.9. £ e222-^ to г3 dz. |z| = I/2 14.10. |Z| = 3 — 2z+4z4 z< ' t/3
14.11. £ z — sin г , Ф —тп— dz. J 2z4 |z|=2 14.12. |2| = 23_3z2+] -2г4- dz. = r
14.13. C 4г5—3z3-f~l d 3 zu |z( —1/3 14.14. |2| = в2г — г , 22 dZ- I
14.15. £ cos iz— 1 . to — dz. J г3 |zj = 1 14.16. |z^= cos iz—1 , 4— dz. 23 1
14.17. £ 1—2г*+32* $ Z4 d2* |zi = I/3 14.18. |г[ = z2+ cos г , гз dz- 3
14.19. £ z5—3z3-|-5z , Ф — to* J 24 Jz| = 1/2 14.20. £ |2J = 2— sin 2 ; dz. z4 2
14.2k £ cosz2—1 , Ф - 02. J z4 fz|=3 14.22. |z| = 2-j-3z3—5z4 Z3 ' 1/2
24
1
14.23. £ ——2—1 dz. j г3 )zl = l 14.24. z4 sin 4a dz. |zi==2
и.». $ |Z| = l/2 14.26. ¥-=1 dz. |z| = l
>W. $ . I?.I = V3 14.28. z3 cos ~ dz. |z|=2
„„ £ ег— sinz, 14.29. Ф -—— dz. |z| = l/3 ,4.30. X J 2zi |z|=3
C ?е’/г‘-1 14.31. Ф — - dz.
|Z|=1
Задача 15. Вычислить интеграл (см. п. 1.7; 1.8).
4— С 3jt2 ““ sm Зл-2 < 15.1» (v) 02. J г2—sh2«2z |z|=0,2 15.2. £> 1 +9^2dz. izlli z^sh-p
15.3. $ ^-^dz. |z|=0,5 Z2sin2---О 15.4. . £ --Зг~1 ~9г2/2 dz. |z|=2 г4 sin ~
ICC £ e2*-l-2z. 15.5. Ф ——— dz. J z sh2 4iz |z | = 0,5 15.6. £> e—^Os7zdz. j z sh 2лг 111=0,4
_ £ e82 ch 4г , 15.7. ф —— dz. j z sm 4лг |zj=0,2 15.8. £y=^zdz. j z2 sm 5лг |z|=o;i
„ £ sh3z— sin3z, 15.9. Ф t-t-s dz. j z3sh2z |Z|=1 ,, ,n £ e” —1 — sin4z . 15.10. Ф -. dz. j г3 sh Itaz |Z |=0,05
.r £ 6г—sin6z, 15.11. ф ---v., dz. J г2 sh2 2z 1*1 = 1 15.12. £> ^^-^^dz. |.z|l2 24sh4Z О
£ sh яг— пг , 15.13. ф dz. J .9-9 Л2 ]zi=6 г sm 1 g £ Ch4z—8z2—1 , 15.14. $ dz. |г| = 1 z’smy
(* eS? 1 i515- § Л *• |zl=0.9 £ е6г—cos8z, 15.16. ф — dz. J г sh 4z. |z|=C,5
15.17. £ r-ch..5gdz. J г sm 2гг 1*1 = 1 15.18. $ £^-008 4.2^ j s’ sm 5z |z| =0.5
15 19 к sh 3г-sin 3г 15.20. J e’sh 5z |z|=0.5
? 23sh-iz |z|=2
86-
15.21.
C sin Зг—Зг .
$ -^WTT^
I* [=2
С cos 2г—1+2г2
3 и лг.
|г(=2 г* sh -
15.23. (?) Sh --Z -у dz.
| г |=5 22sin2-|-
С е2г — 1 — 2г
15.25. ф -—~--г d;
J г sh2 2лг 1г | =0,4
15.27. (J ^-.-ch6!dz. J г sin nz
1*1 =0,5
15.29. £ 5h.‘*T_sin‘*dz.
|г|=4 г2 sh у
15.24.
15.26.
15.31.
)z|=0,5
е5г — cos 9г , ---:—:— аг.
г sh ntz
ch 2г—1 — 2г2
I 2 1 = I
. . 2зхг г*$т-д-О
dz.
е4г— 1 — sin 4г г2 sh 8 «г
121 =0.3
С ch 2г—cos 2г
J г2 sin 8г
I =0.2
15.30.
езг — 1 — sin Зг
Z2 sh Зяг 2‘
Задача 16. Вычислить интеграл (см. п. 1.7; 1.8).
16.1.
16.2.
16.3.
16.4.
/ . . П2 \ .
„ J 4sm—.—Idz.
С 1_____4—2t . nt ]
|,Л_Л2-2+‘)2 (г -4+‘) еЯг/2 4-‘' РЧ-t
) 2 6 j — 2
С I л
J \ „лг/2 |z— 4| = 3
о I. п,'г 2shl+2F
, dz.
(г—2—г)2 (г—4—i)J
£ f . '1
$ (гсЬ1+2
I гЦ- 2 [—2
2 sin (лг/2) \
(г+1)2 (г-1)Г
16.5.
9 гпч пг 2С 2+2/
<г —2—21)2(г—4 —2i)
16.6.
4 sh (л/г/4) \ (г + 2)2г У02,
ni , 1 — 5/___
еяг^+4 +(г-1+54)2 (г-3+51)
16Л.
2 sin (лг/6) \ (г+3)2 (г+1)/
26
„ . шг 2sm 2 —}- 14t
16.9.
, я I
la-77| =2 4z—1—7г)г(г—Э—7i)
<c £ I 1 . 2ch(ni?/4) \ ,
16.10. ф г sin —r-z- ' 1 dz.
J \ z-l-o (г-J-4)2 (г 4-2)/
Jz + 5j = 2
p ( 2 cos .
16.1!. $ I —------------------------------------
'e ' -H (2-1-31)2(2-3-31)
16.13.
16.14.
16.15.
16.16.
16.17.
16.18.
16.19.
16.12.
2 cos nz/2 j (2 — 2)2(2 — 4)/
(„ . Л2 \
2sm 2-2i_______Зш__V
(г— 14-i)2(2—З-Н) елг/2-|-1/
КТ I |=
C 7 3 2 cos лг/3 \ ,
J (Zch 2—2 + (2 —3)2 (2-5) |z-21=2
Sch-^L
1 — It
m * — r* I .
----------- ---------------------М2. елг/2 — i--(г— 1 -|-7i)2 (г—34-71) /
a, I , _h____* _ 2 sin лг/8
J \ г-3 (г-4)» (г—6)
|z-3| = 2
, u л*г
4 Sh 2=6?
_ , —£-------1(12.
IZ4-i| = 2 ^z~1 +3Z>2 <г-3+^ елг/2 —i /
§ (zcos7^4
|Z-4|=2
10chJti2/5 \
2cos-|^r
_________14-QI____
(г—1—5i)2 (г—3—5г)
<12.
16.20.
2sh лгг/12 (2-6)2 (2-8) J dZ<
1
16.21.
, . яг
4 sin 5-, ат _______24-2i______nt (2-l-i)2(z-3-i) + еЛ2/2-1
16.22.
2 ch тг/5’ j , (г-б)2 (г-3)/
27
16.23.
С л
, $
I z — 6t [ — 2
2 ch -.-- gT
1 + 6t
dz.
(г—1 —6г)2 (г—3—6г) /
16.24.
2
4 cos лг/4
2ch z—5 ”r (z-4)2(z—2)
16.25.
о u ”fZ 2sh2=W
16.26.
лг I .
-v , , ------1 dz.
iz4-b?i-2 Чг-1+6г)2(г-3+6г) е"г/24-1 /
I Z -f- Of j — z
C / u 1 . 2sin лг/6 ) j /ЬГТТ-+-з,.<;_!) + |z — 4 | = 2
16.27.
л
. лг
4c°s-CT
|z + 2i|=2 -
(z-l-|-2i)a(z-3-|-2i)
dz.
16.28.
С [ 1 , 4 ch nfz/2
J \г cos Т^З- + z(z—2)2 |г-3| = 2
16.29.
о . nz 2SM 2+4?
л
,2 2_2 '(2-1—27)2 (z-3-20 e^+l
dz.
16.30.
|z-2| = 2
i 2 sh яг/2 z?=+ ~ (z-l)2(z+l)
16.31.
Л
c u niz 6ch~2=^
I z + 2t । — 3
. dz. (z—2+2i)2 (z —4 —2/)/
Задача 17. Вычислить интеграл (см. п. 1.7; 1.8; 1.11).
2Л
2л
С d<
J 2-f-]/3sinf
2л
17.2.
17.3.
df
t___ d/
J 4 +/15 sin f
2л
17.5.
17.7.
17.9.
J 5+2 /6 sin t
2л z
17.4.
0
2Л
о
2Л
df 7+4/3 sin f
df
5—3 sin t
df
9 —4/5sinf
17.6.
17.8.
P________df
J 6-J-/35sinf
2 л
' 5 — 4-sinf о
2л
. 17.10.
df
J 8—3/7 sin f
2л
f df
J 4—У 7 sin Z
28
17 11. 2л d/ 2я Г7 10 I d/
3—/5 sin/ 0 3—2/2sin/ ’
17.13. 2л d/ 17.14. 2л d/
0 4 — 2 /3 sin t J 5—/21 sin/
17.15. Гл df 17.16. 2л d/
6 — 4 /2 sin/ 8—2 /15 sin/
17.17. 2л d/ 17.18. 2л d/
0 /3sin/—2 ’ J /15 sin /—4
17.19. 2л dt 17.20. 2л d/
0 2 /6 sin /—5 ’ /35 sin /—6
17.21. 2л d/ 17.22. 2л d/
0 4/3 sin/—7 ’ 0 4 sin /4-5
17.23. Гл d# 17.24. 2л d/
J 3 sin/4-5 J 3/7 sin /4-8 ’
17.25. 2л d/ 17.26. 2л d/
0 4 /5 sin /-f-9 ’ 0 /7 sin/4-4 ’
17.27. Гл d/ 17.28. 2л d/
0 /5 sin/4-3 ’ 0 2 /2 sin /4-3 ’
17.29. 2л d/ 17.30. 2л d/
0 2/3 sin/4-4 ' 0 |/21 sin/4-5
17.31. 2л d/
0 4/2 sin/4-6 ’
Задача 18. Вычислить интеграл (см. п. 1.7; 1.8; 1.11).
2л 2Л
18.1. ( al 18.2. at
J (14-/1W cos/)2’ 0 (/54-cos /)2 ’
18.3. 2л 1* d/ 18.4. 2Л d/
J (1 4- V' Wcos/)2 ' (2 /З-f-/11 cos/)2
18.5. 2л f d/ 18.6. 2л d/
J (3/24-2/3cos/)2 ' 0 (4-|-cos /J2 ’
29
18.7. 2л d/ 2л 18.8. J 0 dt
(4+3 COS 02 (j/5+/3cos/)z ’
18.9. 2л (ft 2л 18 10 d/
0 (|/7+2 cos О2 ’ 0 (4+|/7cos/)2 ’
18.11. 2л d/ 2л 18.12. J 0 dt
0 (3+|/5cos02 ’ (3+2 J/2 cos/)2 ’
18.13. 2л d/ 2л 18.14. f 0 dt
0 (2 f/2+|/7cos/)2 ' (|/6+ cos/)2 *
18.15. 2л 2л 18 16 - d/
0 (|/6 + |/5cos/)2 ’ 0 (j/7+ Ибо»/)2 ’
18.17. 2Л 'd/ 2л 18.18. f 0 d/
тк (]/ 2+cos/)2 (|7б+2 cos /)a
18.19. 2л d/ 2л 18.20. J 0 d/
0 (3+cos Z)2 (J/7+/2cos/)2 ’
18.21. 2л df 2л 18.22. j 0 d/
0 (|/3+cos/)2 (2+l/3cos/)2 ’
18.23. 2л dt 2л 18.24. 0 d/
0 (J/13+2|/3cos/)2‘ (2 +cos/)2
18.25. 18.27. 2л dt 2л 18.26. J 0 2Л 18.28. 0 d/
0 2л (3+2 cos/)2 ’ df (2+cos/)2 ’ d/
0 (|/ 10+ 3 cos /)2 ' (ИЗ+ j/2costf '
18.29. 2л d/ 2л 18.30. 0 dt
0 (к^+КЗсоз/)2 ’ (/7 +cos/)2
18.31. 2л Г d/
J 0 ()/ 5 + |/ 2 cos /)2
Задача 19. Вычислить 4~СО . С х*—х4-2 . 19,1, J х‘+10х2+9 dX* — 00 интеграл (см. п. 1.7; 1.8; 1.9). 4-CO 19.2. ( T-vTL- dx. J (x2 + 4)2 — 00
30
4-00 dx 4-oo If) 4 1 . dx
0 — 00
4-co dx 4-co IQ fi 1 _ dx
19.5. j (л. — 00 2-Х+1Г — oo (x24-4) (x24-9)2 ’
4-00 dx 4-00 19 9 I _ dx
1 J Х4+ 10х2+9’ —со —oo (x2 4-9) (x2 4-4)2 ’
+<? x2 dx 4-co 19.10. - —oo dx
19.9. 1 - — 00 (x“ + 3)2 * (x2 4-2) (x2 4-3)2 ’
4-00 19.11. J —СО dx 4-00 19.12. —oo ^ + l-dx.
(x2+9) (x2 +1 )2 ' [(X2 4-X4-l)2
4-00 19.13. — оо x*-M . (x2 + 4x4-13)2 ax’ 4-00 19.14. J - —00 (x24-5)2 d’*’
4-оо 19.15. — оо dx 4-00 19.16. 1 - x2+5 -fr x«4-5x24-6
(x2+l)a(x24-4) • — 00
4-°° 19.17. 1 — оо dx 4-00 19.18. — OO x24-3 (x2-10x4-29)2
(1 Ч-x2)2 ’
-н» dx 4*00 19.20. J —oo dx
19.19. \ • — 00 (x2+l)2(x-+5)2 • x44-7x24-12 ’
4-0° 19.21. | — со x24-4 . (X2 + 9)2 ix' %00 19.22. \ — 00 dx
(x24-l)^ '
+°° 19.23. 1 —'СО dx 4-=° 19.24. \ — co y2_ 1 -» T^-dr.
(x2 + 2)2 (x2+10)2‘ (x28x4-17)2
4-00 W.25. J — оо J^illdx (x2+4)2 • 4-oo 19.26. — 00 dx
(x24- I)4 ’
4-00 19.27. 1 — 00 dx 19.28. \ — oo —4Й-йГ<1х.
(x2 + 3)2 (x24-15)2 ' r*4-7x24-12
4-00 19.29. — ОО dx л? 19.30. 1 — 00 a
(x2-10x+29)2 ’ (x24-H)2
31
19.31.
dx?
(Л’2-НР(Х2+13Т'
Задача 20. Вычислить интеграл (см. п. 1.7; 1.8; 1.10).
20.1. 03 1 0 х sin Зх , («+<>>d'- 20.2. OO (• (x— 1) sin x , 1 4 ' Hy
— OO (x'M-9)2
20.3. оо — 00 cos 2х , W)2 dX' 20.4. oo — 00 x2 cos x ,
20.5. ОО (х+1) COS X х*4-5х24-6 * 20.6. oo x sin * dx
—со — 00 (x2+l)(^-f-9) *
20.7. оо — 00 (х2-}-3) cos 2х х44-Зх2-|-2 “ ’ 20.8. oo — OO (x3 — 2) cos 4 (x2^-!)2
20.9. оо —со (х2—xVsinx , х«+9х2 + 20 20.10. oo — 03 X COS X , x2-2x+17dX’
20.11. оо х sin 2х—sin х , (х24-4)2 20.12. oo cos 5x dx
— <33 —oo (xs+lHx^) ’
20.13. оо —г <33 х3 sin х , x*4-5x24-4 20.14. oo — 00 (x + l)sin2x x2+2x+2 a ’
20.15. оо —00 х sin x , (x2+ipdx- 20.16. 00 cos 2x . 7
20.17. оо cos x dx 20.18. oo cos x dx
у (^ + 1B ’ J (x2 +16) (X2+9)
20.19. оо x sin x dx 20.20. OO x cos x dx
—оо x2-2x4-10 * I — 00 x2 —2x4-10 ’
20.21. оо . x x sm -y X24-4 dx' 20.22. 4-оз sin 2x
—00 (x2-x4-l)a d* '
20.23. со sin 2x dx 20.24. oo (x34-5x) sin x ,
—<х (r2-x+D2 ’ >. —<33 x* 4-10x2 4-9
32
20.25.
f X1 cos x dx
J Ъ-J-10x24-9
20.26.
OO
f С*3~Ь 1)cos x
J x4+5x3+4
—oo
20.27.
(x3+l)sinx xi-|_5x24-4
20.28.
cos 2x — cos x , “(^+i)2~ "dx
20.29.
f (x2-|-x)sinx
J x» + 13x2 + 36 ’
— co
20.30.
oo
P (x2 + x)cosx .
J x*+13x2+36 •
—oo
20.31.
cos 3x — cos 2x ,
Задача 21. По данному жение (см. п. 1.12; 1.14).
графику оригинала найти изобра
33
21.31.
о а га 3s 4г
i
34
Задача 22. Найти оригинал по заданному изображению
(см. п. . 1.12).
22.1. 4р+5 22.2. Р
(Р— 2) (р2+4р+5)‘ (р+0 (р2+р+0 ’
22.3. 2р 22.4. 1
(р2+4р+8)2- р(р2+1Г
22.5. р+3 22.6. р
р3+2р2+3р‘ (Р+ О (Р2+4р + 5) '
22.7. 6 р3 — 8’ 22.8. 4 р3+8-
22.9. 1 22.10. р+4
Р- + Р3” р2+4р+5-
22.11. Р 22.12. 5
(р2+1)(р2+4)- (Р+0(Р2-2р+5)- .
22.13. 1 р3+р2+р ’ 22.14. Зр + 2 (Р + 1)?Р2+4р+5) ’
22.15. 1 22.16. 1
р(р3+1) Р3(р2—4)"
22.17. р (р2+1)(рЗ_2) ’ 22.18. 1 р3—1 •
е~ р/2 22.20. 5
22.19. (Р2 + 1) (р2 + 2)‘ . (р — 1) (Р24~4р-{-5)
22.21. 5р 22.22. 1
(р+2) (р2-2р + 2)- (р —2) (р2 + 2р+3) *
22.23. Р 22.24. 1—р
(р2 + 4р + 8)2 * Р (Р2+Зр +3) *
22.25. 2р +1 (Р + 1) (Р2 + 2р + 3) 22.26. 2 —Зр ’ (р — 2) (р2 — 4р+5) '
22.27. 2р+3 (Р—1)(р2-Р + 1)‘ 22.28. 2 —Р р3 —2р2 + 5р'
22.29. 2 (Р + О (Р2 + 2р + 2) 22.30. 2 —Р (р-1)(р2-4р + 5)’
22.31. Зр —2
(р_1)(р2_6р+10)-
Задача 23. Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее условиям у(0) = 0, у'(0) = 0 (см. п. 1.12; 1.15; 1.16).
23.1. у"—у = th t. 23.2.
23.3. i/ 2у -J- У — 0е 1+t2’ 23.4. / —2/+2i/ = 2e;cos t.
23.5. у” - у = th21. 23.6.
35
23 7 и" и' 6 e* 23.8. y" — 2y+y—j-^j.
23.7. У у
е2' 94 Q г/' । м' — 23.10. У'-2У'=^-
у ~^у 3_|_е/*
9Я 11 и" и 1 23.12. «/" + «/'= ।
*-з п-У У i+chf
2е2Г 23.14. y"—4y = -r^. * * ch3 2t
ZJ.1O. у чу ~Т" *У ch2 2f*
28J5. 23.16. i/,+y'=—^. y 1 * l+ef
е~^ 23.17. if -j~2y 4-0 = —^ j-p. 23.18. 2/ ,'-(1+e?/2)2
23.19. /-1/=^.. e2/ 94 9П if if —
*.3.^0. у у (l+e/)2-
/е— 23.21. f+2y e2f
Z3.^. у у 2+ef* 9Я 24 //.Lt/ --
23.23. if — </=^27«
"З-*'4- У \-У (l+e')2'
e”^ 23.25. у"+2y'+у = —*. 23.26. y’-2i/' + i/=4—. я я я ch’/
e— 23.27. if -j~2y' -j-y — cfr2 . 23.28. /—4z/=th22t
23.29. y" + 2y'=-^7.
х.з.30. у|1/ (i+ey
е-2«
23.31. у"-\Лу' + 41/ = ц _|_2/р
Задача 24. Операционным методом решить задачу ’Коши (см. п. Т.12; 1.15).
24.1. У’+г/ = 6е-/, £Г(0) = 3, 1/'(0) = 1. 24.2. 0"—0' = Z2, 0(O)=O, 0' (0)=l.
24.3. if+y'^+2t, 1/(0) = 0, у' (0) = -2. 24.4. if — y=cos 3t, 0(0)= 1, y' (0)=l.
24.5. 1/'+1/' + '/=7е2/, Н0)=1, у’ (0) = 4. 24.6. 0"+0'-20=-2(/ + l), 0(0)= 1, 0'(O)=1.
24.7. if—9i/=sin /—cos/, z/(0) = -3, у' (0) = 2. 24.8. 0"+20' = 2 + er, 0(0)= 1, 0' (0) = 2.
24.9. 2tf — у' — sin 3/, j/(0)=2, i/'(0)=l- 24.J0. 0"-|-20' = sin//2, 0(0) =-2, 0' (0)=4.
24.11. i/" + i/=sh/, y(0) = 2, у’ (0) = l. 24.12. 0"-f-40'-f-290 = e~2<, 0(O) = O, 0'(O)=1.
24.13. 0" —30'+20 = ef, 0(O) = 1, 0'(O)=O. 24.14. 20" 4-30'4-0=Зе11, 0(O)=O, 0'(O)=1.
36
24.15. у" — 2у’ — Зу=2t, </(0)= 1, у' (0)=1. 24.17. 2//"-|-5//' = 29 cos t, И(0) = -1, У' (0) = 0. 24.19. y"f-4y=8 sin 2t, И(0)=3, 1/'(0) =—1. 24.21. zf-|-4{/ = 4е2/ +4/2, 4/ (0)= 1, у' (0) = 2. 24.23. {f-3tf+2y=l2e?t, У (0) = 2, у' (0) = 6. 24.25. z/"4-2//'4-10i/=2e^ cos 3t, F(0)=5, i/'(0)=l. 24.27. tf+y'—2y = e~(, //(0) = -l, //'(0) = 0. 24.29. y”+y= 2 cost, 24.16. (/"+4y = sin 2t, l/(0) = 0, z/'(0)=l. 24.18. tf+y'+y = P+t, 1/(0)= 1, j/'(0)=-3. 24.20. y"-y'- Gy=2, У (0)= 1, y' (0) = 0. 24.22. jf+4i/'+4i/=i3e2/, l/(0)=l, z/'(0)=2. 24.24 tf->r4y — 3 sin /-f-10 cos 3/^ 1/(0) = —2, i/'(0) = 3. 24.26. i/"-|-3i/' —101/= 47 cos 31—sin 3/, F(0)=3, i/'(0) = -l. 24.28. 1/" —2i/'=e4^+^—3). 1/(0) = 2, i/'(0) = 2. 24.30. if — у=4 sin /+5 cos 2t,
</(0) = 0, j/'(0)=l. 24.31. if ~3y’ -$-2y=2ef cos у, H(0) = -l, l/'(0) = -2.
</(0)=l, I/'(O) = O.
Задача 25. (см. п. 1.12; 1.15).
Варианты 1—8
Частица массы т движется прямолинейно под действием восстанавливающей силы F =— kx, пропорциональной смещению х и направленной в противоположную сторону, и силы сопротивления R = rv. В момент t ~ 0 частица находится на расстоянии х0 от положения равновесия и обладает скоростью v0. Найти закон движения x = x(t') частицы.
25.1. k = m, г = 2т, х0=1 м, уо=0.
25.2. k — m, г = 2т, х0=1 м, у0 = 1 м/с.
25.3. й = 5/п, г = 2т, х0=1 м, vo=0.
25.4. k = 5m, г —2т, х0=1 м, у0=1 м/с.
25.5. й = 5т, г = 4/п, х0 = 2 м, у0=1 м/с.
25.6. й = 5т, г = 4/п, х0=1 м, уо=0.
25.7. k = 3m, г — 2т, х0=1 м, уо = 0.
25.8. k = 3m, г = 2т, х0=1 м, v0=l м/с.
Варианты 9—16
Материальная точка массы т движется прямолинейно, отталкиваясь от начала координат с силой F = kx, пропорциональной расстоянию. На точку действует сила сопротивления среды R — rv, пропорциональная скорости v. Прц ( = 0 расстояние точки от
37
начала координат х^,. а скорость оо. Найти закон движения, х — = х (t) материальной точки.
25.9. k = 2m, г — т, х<>=1 м, vo = 0.
25.10. 6 = 2m, r — т, х0=1 м, i'0=l м/с.
25.11. А=3т, г—2т,
25.12. k—Зт, г —2т,
25.13. k=4m, г = 3т,
25.14. 6 = 4m, г — Зт,
25.15. k — 5m, г — 4т,
25.16. k—5m, г —4т,
х0=1 м, р0—1 м/с. х0 = 1 м, е0=2 м/с. х0 = 2 м, ео=0.
х0=1 м, i'0=l м/с. х0=1 м, v0=l м/с. х0 = 1 м, v0 = 2м/с.
Варианты 17—24
Материальная точка массы т совершает прямолинейное колебание по оси Ох под действием восстанавливающей силы F=— kx, пропорциональной расстоянию х от начала координат и направленной к началу координат, и возмущающей силы f= A cost. Найти закон движения x — x(t) точки, если в начальный момент времени х(0) — хо, v(0) = vo.
25.17. k = m, А = 2т, ха = 0, уо=0.
25.18. k = m, А = т, хо=0, v0 = I м/с.
25.19. k = m, А=2т, х0=1 м, vo=0.
25.20. k = m, А = т, х0=1 м, vo = 0,5 м/с.
25.21. k = 9m, А=8т, х0=1 м, t»o=0.
25.22. k = 9m, А = 4т, хо = О, ео=0.
25.23. k=9m, А=8т, *5 = 0, е0=3 м/с.
25.24. /г = 9т, А=т, х0 = 1/8 м, ро=3м/с.
Варианты 25—31
На материальную точку массы т действует сила сопротивления R = kv, пропорциональная скорости v. Какое расстояние пройдет точка за неограниченное время, если ей сообщена начальная скорость и0?
25.25. k=2m, уо=10 м/с. 25.26. , оо = 5 м/с.
□
25.27. k = 3m, v0 = 6 м/с. 25.28. k = m, v0=7 м/с.
25.29. fc = m/2, е0=6 м/с. 25.30. 6=0,Im, v0 = l м/с-
25.31. 6= 10m, f0=l м/с-
Задача 26. Решить систему дифференциальных уравнений (см. п. 1.12; 1.15).
26.1.
х == х -I* Зу 2, у = х—у+1; х(0)=-1, z/(0) = 2.
f х = — х Зу 4-1,
I У = х^-у, х(0) = 1, У (0) = 2.
38
26.3.
26.5.
26.7.
26.9.
26.11.
26.13.
26.15.
26.17.
26.19.
26.21.
26.23.
26.25.
26.27.
26.29.
26.31.
x = x4-4i/, t/=2x—1/4-9;
x (0) = 1, z/(0) = 0.
x = 2x4-51/, y = x —2z/4-2;
*(0)=l, y(O) = l.
x = 3x+y, y = —5x—3y-f-2; x(0) = 2, t/(0)=0.
x =—2x4-6^4*l« y=2x + 2 ' x(0)=0, HO) = 1.
x = x4-2i/,
У = 2х-|-г/-|-1; x(0) = 0, y(0) = 5.
x = — x—2y+l,
y=—~2 *+y; x(O)=l, y(0)=0.
x = 3x4-2i/,
У = ~2х~у+2, x(0) = 0, у (0) = l.
x = 2x4-8z/+l, у = 3x4-4//;
x(0) = 2, y(0) = l.
x = x4-</> y==4x + «/+l; х(0)=1, у (0)=0.
x = 3z/+2, y = x + 2z/;
x(0) = —1, i/(O) = l.
x = 2z/, у = 2x4-31/4-1; x(0) = 2, y(O) = l.
x=4«+3, y=x-}-2y;
x(O) = -l, y(0)=0.
x = x 4-3// 4“ 3. y = x—y + l; x(0)=0, y(O) = l.
x — 3y, y = 3x+l;
x(0) = 2, z/ (0) = 0.
x — —2x-±-y( y—3x;
x(0)=0, y(O) = l.
26.4.
26.6.
26.8.
26.10.
26.12.
26.14.
26.18.
26.20.
26.22.
J x =x 4-2J/4-1 g
I t/ = 4x—y\ x(0) = 0, y(0) = l.
f x — —2x+5z/-H»
t y=x+2^+l; x(0) = 0, y(0) = 2.
С x = —Зх—4//+1,
I i/ = 2x+3y; x(0) = 0, t/(0)=2.
J x = 2x4-3y-f-l, ( y = 4x—2y;
X(0) = -l, y(0) = 0-
J x=2x—2y,
| y = — 4x;
*(0)=3, y(0) = L
x = 3x~^*5ff-j~2,.
У = 3x -}-y 1;
x(0)=0, y(0)=2.
26.16. / X.
l У 2x ~|“3, x(0} =—1, y(0) = 0.
( x = 2x+2y + 2,
(. У = 4y +1;
x(0)=0, y(0) = l.
f x=x—2y4-l,
( y — —3x;
x(0) = 0, y(0) = l.
| x=x+4y+l,
{ y—2x-Y3y;
x(0) = 0, у (0) = 1.
26 24. / x-—2x-j-y-l-2, ( y = 3x;
X(0) = l, 1/(0) =0.
26.26. (
( y= x+2; x(0) = l, y(0)=0.
26.28. I i = - x+3y+2t I ?/=Jc+y+h
X (0) = 0, y(0) = l.
26.30. / * = x+34'-
( y=x—y-*(0) = k 1Z(O) = O-
Задача 27. Выяснить, во что преобразуется геометрическая фигура при отображении с помощью Функции w = f(z).
27.1. ау=е~; прямые х=С, у=С.
27.2. w-е-; полоса а<«/<Р, 0~а<р-^2л.
27.3. ю = ег; прямые y^kx^b.
27.4. w = e'-, полоса между у — х и г/ = х + 2л.
27.5. ю = ег; полуполоса х<0, 0 <; z/< а < 2п.
27.6. ег; полуполоса х > 0, 0 <у < а2л.
27.7. w = T—l—; область D : { z < 1, Imz> 0}. 1Н-г ’ 1 ' ’
27.8. w — In г; полярная сетка |z]=R, arg г = в.
27.9. w—In г; угол 0< argz<asg2«.
27.10. tw=lnz; сектор |г|<1, 0 < argz <а2л.
27.11. tw=ln г; кольцо гг < | г | < г2 с разрезом по отрезку [гь г2].
27.12. tw = cosz; прямоугольная сетка х=С, у—С.
27.13. tw = cosz; полуполоса 0<х<;л, у<0.
27.14. tt) = cosz; полуполоса ОсхСЛ/г, у > 0.
27.15. w = cos г; полуполоса — л/2 < х < л/2, у>0.
27.16. tw=cosz; полоса 0<х<л.
27.17. tw=cos г; прямоугольник 0 < х < л, —h <.у < /i, h > 0.
27.18. tw=arcsinz; верхняя полуплоскость.
27.19. w — arcsin г; первый квадрант.
27.20. w = chz; прямоугольная сетка х—С, у=С.
27.21. w = ch г; полоса 0 •< у < л.
27.22. w = ch z; полуполоса х > 0, 0 < у < л.
27.23. w = Arshz первый квадрант.
27.24. to = tgz; полуполоса 0<х<л, z/>0.
27.25. ui = tgz; полоса 0<х<л.
27.26. tt)=tgz; полоса 0<х<л/4.
27.27. tw=fgz; полоса — л/4<х<л/4.
27.28. w = cth z; полуполоса 0<//<л х > 0.
27.29. m=cthz; полоса 0<(/<л.
27.30. ц>=г д ; полуплоскость Rez<I.
27.31. о ц>=г I область £>: {1 < | z | < 2}.
40