А.Н. КОЛМОГОРОВ
Избранные труды
Том 4
МАТЕМАТИКА
и
МАТЕМАТИКИ
Книга 2
О МАТЕМАТИКАХ
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
ОТДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В.А. СТЕКЛОВА

А.Н. КОЛМОГОРОВ
Избранные труды
в шести томах
Том 4
МАТЕМАТИКА
И
МАТЕМАТИКИ
Книга 2
О МАТЕМАТИКАХ
е
МОСКВА НАУКА 2007
УДК 51
ББК 22.1
К60
Серия основана в 1932 г.
Редакционная коллегия:
Ю. С. ОСИПОВ (главный редактор), А. А. ГОНЧАР,
В. В. КОЗЛОВ, С.М. НИКОЛЬСКИЙ, Ю.В. ПРОХОРОВ,
В. А. САДОВНИЧИЙ, В. М. ТИХОМИРОВ, А. Н. ШИРЯЕВ
Ответственный редактор и составитель
А.Н. ШИРЯЕВ
Подготовка текста
Т.Б. ТОЛОЗОВА, Н.Г. ХИМЧЕНКО
Колмогоров А. Н. Избранные труды : в 6 т. /А. Н. Колмогоров ; Мат. ин-т
им. В. А. Стеклова РАН. - М. : Наука, 2005- . - ISBN 5-02-033939-3.
Т. 4 : Математика и математики : в 2 кн., кн. 2 : О математиках. / [сост. и
отв. ред. А. Н. Ширяев]. - 2007. - 382 с. - ISBN 978-5-02-036066-2 (в пер.).
В четвертый том шеститомника Избранных трудов академика Андрея Николаевича
Колмогорова вошли его разнообразные статьи, объединенные общим названием “Мате-
матика и математики”. Вторую книгу тома “О математиках” составляют эссе, посвящен-
ные жизни и творчеству И. Ньютона и Н. И. Лобачевского, и статьи А. Н. Колмогорова,
написанные им единолично или в соавторстве, о многих современных ему математиках.
Для научных работников, преподавателей, аспирантов, студентов и всех тех, кто
интересуется историей математики.
Тем план 2006 — 1-124
ISBN 5-02-033939-3	(с) Российская академия наук и Издательство
ISBN 978-5-02-036066-2(Т.4, кн.2) “Наука”, серия “Избранные труды” (разра-
ботка, оформление), 1932 (год основания),
2007
© Редакционно-издательское оформление.
Издательство “Наука”, 2007
IV
Эссе об И. Ньютоне
и
Н. И. Лобачевском

НЬЮТОН И СОВРЕМЕННОЕ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ1
Как известно, Ньютон страдал двумя фобиями — «боязнью споров»
и «боязнью философии». Ввиду этого в случае Ньютона особенно необ-
ходимо придерживаться правила, которое мы отнесли бы и к изучению
работ большинства представителей математических и естественных наук:
изучать методологию ученого в первую очередь непосредственно по его
научным работам, а не по его методологическим высказываниям.
Нижеследующее является, может быть, несовершенной попыткой при-
менения этого правила к математическим работам Ньютона.
Судьба математических работ Ньютона весьма своеобразна. Решающи-
ми годами во всем творчестве Ньютона были 1665-1666 гг. В этот короткий
период вчерне были сделаны все основные открытия Ньютона в матема-
тике, механике и физике. Если учесть, что речь идет о создании мате-
матического анализа (дифференциального и интегрального исчисления) и
математического естествознания2, то этот случай следует признать един-
ственным в истории науки.
Опубликовано в журнале «Математика в школе». — 1982. — X» 8. — С. 58-64.
Статья возникла из юбилейного доклада, прочитанного в 1943 г., и была опублико-
вана в сборнике «Московский университет — памяти Исаака Ньютона». — М.: Изд-во
МГУ, 1946. - С. 27-42.
Своим интересом к научной методологии математических работ Ньютона я обязан
замечательным публикациям Алексея Николаевича Крылова. В частности, все противо-
поставление здоровой ясности ньютоновского мышления математической мистике Лейб-
ница и Эйлера мною заимствовано у Алексея Николаевича. Если я более, чем это делал
Алексей Николаевич, подчеркиваю и отличие ньютоновской «строгости» от современной
«теоретико-множественной», то это дань естественному различию поколений.
2Ньютоном не только были сделаны фундаментальные открытия в математическом
естествознании, которые излишне здесь перечислять, так как они общеизвестны, но и
было впервые создано математическое естествознание и в смысле системы математи-
ческого изучения всех механических, физических и астрономических явлений. До него
можно говорить лишь о подчинении математическому методу исследования отдельных,
разрозненных частей естествознания. Конечно, идеи Лейбница о возможности матема-
тизации всего человеческого познания были еще универсальнее. Но именно в силу своей
абсолютной общности и неконкретности, они и оказались бесплодными. См. по поводу
универсальной применимости и в то же время ограниченности математического метода
мою статью «Математика» в БСЭ.
6
IV. Эссе об И. Ньютоне и Н. И. Лобачевском
Считают, что три основные математические работы Ньютона3 были на-
писаны в следующие годы:
1)	«Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов» —
в 1665 г.;
2)	«Метод флюксий» — позднее «Анализа с помощью уравнений», но
до 1671 г.;
3)	«Рассуждение о квадратуре кривых» — основной текст в 1665-1666
гг.; окончательная редакция, введение и заключительное «Поучение» —
значительно позднее, по-видимому, в семидесятых годах после «Метода
флюксий».
Опубликованы же эти три работы были:
1)	в 1711 г.;
2)	после смерти Ньютона в 1736 г.;
3)	в 1704 г. в виде приложения к «Оптике».
Все эти работы были опубликованы в виде не вполне согласованных
между собою фрагментов, иногда носящих явные следы разновременности
их написания.
Даже части одной и той же работы иногда носят явные следы разно-
временности их написания; в случае «Рассуждения о квадратуре кривых»
такая несогласованность вполне сознательна, так как основной текст пред-
назначен для воспроизведения состояния ньютоновских представлений в
1665-1686 гг., хотя они и сильно отличались от его взглядов в момент на-
писания введения и «Поучения»4.
Совершенно иначе отнесся Ньютон к редактированию своего знамени-
того труда по механике — «Математических начал натуральной филосо-
фии» или своей «Оптики». В последовательных изданиях они подвергались
чрезвычайно тщательной, а иногда, может быть и несколько болезненно
мнительной редакции и переделке. Для нашей цели охарактеризованное
состояние текстов математических работ хотя и затрудняет создание связ-
ной характеристики научной методологии Ньютона в каждый период его
работы, но дает и некоторое преимущество — возможность проникнуть в
лабораторию его научной мысли.
Ньютон и Лейбниц. Как известно, возникновение современных диф-
ференциального и интегрального исчислений было в значительной мере
подготовлено работами математиков первой половины XVII в.: Кеплера,
Кавальери, Декарта, Ферма и др. Однако не без основания, в собственном
смысле слова, открытие этого исчисления приписывают Ньютону и Лейб-
3Цитируется далее по переводу Д. Д. Мордухай-Болтовского.
4Введение к «Рассуждению о квадратуре кривых» кончается словами: «Найти по
флюксиям флюэнты — задача более трудная, и первый шаг решения равнозначен квад-
ратуре кривых, о которой я некогда и написал нижеследующее».
Ньютон и современное математическое мышление
7
ницу, так как они первые свели решение всех разнообразных задач, при
рассмотрении которых их предшественники пользовались методами ана-
лиза бесконечно малых, к систематическому применению двух обратных
друг другу операций: дифференцирования и интегрирования.
В смысле печатной публикации приоритет принадлежит Лейбницу, дав-
шему развернутое изложение основных идей нового исчисления в статьях,
опубликованных в «Акта Эрудиторум» в 1682-1688 гг.
Наоборот, в отношении времени фактического получения основных ре-
зультатов есть все основания считать приоритет принадлежащим Ньютону,
который основные идеи дифференциального и интегрального исчислений
нашел в течение 1665 и 1666 гг., а к 1671 г. обладал уже законченной си-
стемой изложения своей теории, зафиксированной в «Методе флюксий»,
в то время как Лейбниц начал свои исследования по анализу бесконечно
малых лишь в 1673 г.
Мы не будем долго останавливаться на не вполне выявленном во-
просе о степени независимости Лейбница. По этому поводу известно
следующее.
Первая из указанных выше работ Ньютона — «Анализ с помощью урав-
нений», написанная в 1665 г., была в рукописи около 1669 г. передана
Барроу и Коллинзу и получила некоторую известность среди английских
математиков. Лейбниц во время своего путешествия в Англию, которое
непосредственно предшествовало началу его работ по анализу бесконеч-
но малых, несомненно, должен был кое-что слышать о содержании этого
сочинения Ньютона; однако с самой рукописью Лейбниц познакомился у
Коллинза только в 1678 г., когда его собственные исследования в основном
были уже произведены. К тому же следует иметь в виду, что в «Анализе с
помощью уравнений» Ньютон еще не дает явного изложения своего обще-
го метода флюксий, ограничиваясь изложением некоторых его элементов
применительно к отдельным частным задачам. В этом же 1676 г. Ньютон в
ответ на запросы Лейбница, переданные ему через Ольденбурга, изложил
Лейбницу с двух письмах перечень основных своих результатов, не рас-
крывая полностью метода их получения. Эти письма, по-видимому, уже не
могли дать Лейбницу много нового.
Обратное влияние Лейбница на Ньютона могло сказаться только на вве-
дении к «Рассуждению о квадратуре кривых», которое, как указывает сам
автор, написано значительно позднее основного текста этого сочинения.
Что касается основного текста «Рассуждения» то, судя по характеру изло-
жения, он написан между «Анализом с помощью уравнений» и «Методом
флюксий», т. е. между 1665 и 1667 гг.
Значительно интереснее, что Ньютон и Лейбниц подошли к созданию
дифференциального и интегрального исчислений с совершенно различ-
8
IV. Эссе об И. Ньютоне и Н. И. Лобачевском
ных сторон и с совершенно противоположными методологическими уста-
новками.
Различие их подходов очень ярко, хотя и несколько упрощенно и при-
страстно в пользу Ньютона обрисовано А. Н. Крыловым в следующих вы-
ражениях5:
«Ньютон открыл и дал основы бесконечно малых, исходя из понятий
механических и геометрических. Он всегда применял при своих рассуж-
дениях геометрические представления и был абсолютно строго в них и
абсолютно точен в языке и выражениях, поэтому он сперва устанавливает
то понятие о пределе переменной величины, которым пользуются и сейчас,
и все учение о «флюксиях», или, по теперешней терминологии, «производ-
ных», основывается на разыскании пределов отношения двух бесконечно
малых величин, находящихся в определенной взаимной зависимости и из-
меняющихся совместно. Он, ставя основную задачу интегрального исчис-
ления нахождение «флюэнты» по данной ее «флюксии», т. е. первообраз-
ной функции по данной ее производной, пользуется все время геометриче-
скими представлениями и самое свое сочинение называет: «De quadratura
curvarum».
Иначе поступил Лейбниц — вместо исчезающего в пределе приращения
переменной или ее функции, рассматриваемого Ньютоном, он ввел новый
термин «бесконечно малое». Он не дал этому понятию точного и строгого
математического определения, а в некоторых своих пояснениях он как бы
даже не различает математических понятий «бесконечно малое» от «весь-
ма малое» и «бесконечно большое» от «весьма большое», уподобляя для
примера одно земному шару, другое пылинке. Более того, он связывает
понятие о бесконечно малом с философскими понятиями о «конечной или
бесконечной делимости материи», о «неделимом атоме», о «монаде» и пр.,
которые весьма далеки от чистой математики, имеющей дело не с самими
величинами, а с числами, служащими им мерою».
В действительности Ньютон ни в одном из своих сочинений не дал
вполне последовательного изложения метода флюксий, соответствующе-
го полностью характеристике А. Н. Крылова. Наряду с методом «первых
и последних отношений», т. е. в современной терминологии с методом пре-
делов, Ньютон пользуется «методом моментов», который в существенном
совпадает с «методом неделимых» его менее требовательных в отношении
логической строгости современников и предшественников.
Интересно проследить историю употребления Ньютоном «метода мо-
ментов» и «метода первых и последних отношений» по его произведениям.
В самом раннем своем произведении — «Анализе с помощью уравне-
ний», написанном в 1665 г., Ньютон уже владеет совершенно отчетливым
5А. Н. Крылов, Леонард Эйлер. — М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1933. С. 16.
Ньютон и современное математическое мышление
9
представлением о пределе, хотя и не формулирует его в качестве опреде-
ления, а лишь описывает по одному частному поводу, когда пишет:
«Далее следует еще обосновать решение буквенных неявных уравне-
ний, а именно то, что чем далее развертывается при достаточно малом х
результат, тем более он подходит к истинному значению, так что разность
(р, q или гит. д.), на которую он отличается от точного значения у, де-
лается, наконец, меньше всякой данной величины; и что при бесконечном
продолжении результат становится равным самому у».
Однако там, где это ему удобно, Ньютон пользуется в «Анализе с по-
мощью уравнений» без стеснений «моментами», и замечание: «Я не боюсь
говорить о точечной единице или бесконечно малой линии, так как еще
при употреблении метода неделимых геометры имели в виду только отно-
шения», — мало помогает делу.
В более позднем «Методе флюксий» основное изложение метода флюк-
сий обходится совсем без «моментов».
Мы увидим далее, что для сохранения преимуществ, которые мог бы
дать «метод моментов» (однородность записи при изучении неявных зави-
симостей между величинами), Ньютон становился здесь на параметриче-
скую точку зрения, рассматривая все связанные друг с другом величины
как функции вспомогательного переменного — «времени», которое явно в
выкладки не входит. Уже одно это заставляет считать, что освобождение от
«метода моментов» не было случайным, а явилось осуществлением вполне
сознательно намеченной программы.
Тем не менее при рассмотрении геометрических применений Ньютон в
«Методе флюксий» вновь возвращается к «методу моментов».
Еще большую непоследовательность Ньютон обнаруживает в «Рассуж-
дении о квадратуре кривых». В ведении к этому произведению буква о
обозначает уже не «бесконечно малый» момент, а обыкновенное конечное
приращение. Например, приращение о переменного х соответствует прира-
щение
похп~1 + оохп~2 4- • • 	(а)
для х2. Только деля (а) на о, Ньютон получает
пхп~1 + охП~2 + • • •
и после перехода к пределу: пхп~х. Первоначальному методу моментов со-
ответствовало бы утверждение, что момент хп равен просто похп~1. Вве-
дение заканчивается словами:
«Пользуясь методом первых и последних отношений, можно с помощью
аналогичных рассуждений получить в любых случаях флюксии как пря-
мых, так и кривых линий, а также флюксии поверхностей, углов и других
10
IV. Эссе об И. Ньютоне и Н. И. Лобачевском
величин. Подобное построение анализа посредством конечных величин и
исследование первых или последних отношений нарождающихся или ис-
чезающих конечных величин согласно с геометрией древних, и я желал
обнаружить, что в методе флюксий нет необходимости вводить в геомет-
рию бесконечно малые фигуры.
Можно, правда, провести анализ на каких угодно фигурах, и конечных,
и бесконечно малых, которые представляют себя подобными исчезающим,
так же как и на фигурах, которые в методе неделимых обычно считаются
бесконечно малыми, но только при этом следует действовать с должной
осторожностью.
Найти по флюксиям флюэнты — задача более трудная, и первый шаг
решения равнозначен квадратуре кривых, о которой я некогда и написал
нижеследующее».
Рассмотрение следующего далее основного текста «Рассуждения о квад-
ратуре кривых» сразу убеждает нас в том, что он не является осуществ-
лением программы построения анализа посредством рассмотрения исклю-
чительно конечных величин и теории пределов, а построен на широком
употреблении моментов в смысле бесконечно малых. Так, уже на первых
страницах мы видим, что при возрастании времени на «момент» о флюэн-
ты х, у, z возрастают на ох, оу, oz, где х, у, z, — флюксии (т. е. производ-
ные).
Это и естественно, если считать, как обычно принято, что основной
текст «Рассуждения о квадратуре кривых» написан вскоре после «Анализа
с помощью уравнений» и много ранее «Метода флюксий». Как бы то ни
было, программа, намеченная в введении к «Рассуждению о квадратуре
кривых», так и осталась не осуществленной полностью (так как в «Методе
флюксий» она осуществлена лишь частично).
Очень важно еще отметить, что в «Поучении», которым заканчивается
«Рассуждение о квадратуре кривых» и которое, как и введение, написано,
по-видимому, позднее основного текста и даже позднее «Метода флюксий»,
Ньютон делает очень важный следующий шаг к полному осуществлению
своей программы, приближаясь к современному определению дифферен-
циала. Об этом будет сказано далее.
Наиболее окончательное изложение своего «метода первых и последних
отношении» Ньютон включал в свои «Математические начала натуральной
философии» (1-е изд. в 1686 г.).
Можно думать, что это изложение «метода первых и последних отноше-
ний», т. е. теории пределов, является тщательно продуманным изложени-
ем тех точек зрения на понятие предела, которые к 1686 г. Ньютон считал
окончательными и наиболее совершенными. К этому месту «Начал» мы
еще вернемся.
Ньютон и современное математическое мышление
11
Аналогично, логически завершенного и в то же время достаточно пол-
ного изложения метода флюксий Ньютон не дал, ограничившись кратким
изложением своих окончательных методологических позиций в этом вопро-
се во введении к «Рассуждению о квадратуре кривых» и в шестом отделе
второй книги «Начал». Не желая ставить свои «Начала» под угрозу напа-
док за нестрогость и неточность изложения, Ньютон предпочел основное
содержание «Начал» изложить, не пользуясь методом флюксий.
Мы не будем анализировать причин, в силу которых произошло это от-
ступление Ньютона от ясной и вполне осуществимой программы строгого
и отчетливого построения математического анализа. Несомненно, что яс-
ность и строгость изложения в смысле, требовавшемся Ньютоном (или удо-
влетворяющем и в наши дни таких прекрасных математиков-прикладни-
ков, как А. Н. Крылов), была еще очень далека от тех представлений о
математической строгости, которые были позднее выдвинуты Коши или
Вейерштрассом и господствуют в современной математике, однако по срав-
нению со своими современниками Ньютон стоял в этом отношении на чрез-
вычайной высоте.
Часто высказывается мнение, что, избегая употребления бесконечно ма-
лых в лейбницевском смысле, Ньютон терял преимущества, предоставля-
емые лейбницевским алгоритмом вычислений с дифференциалами. Ниже
мы покажем, что это мнение не вполне правильно. В упрощенных атоми-
стических концепциях Лейбница было, однако, преимущество простоты.
Трудно поэтому сказать, в какой мере более систематическое развитие и
своевременное опубликование Ньютоном его системы построения матема-
тического анализа могли бы уберечь математику от погружения на столе-
тие в период мистической веры во всесилие математических алгоритмов,
хотя бы и лишенных всякого ясного смысла.
В самом деле, с Лейбница начинается период развития математики,
достигшей своей кульминационной точки в работах Эйлера, который ха-
рактеризуется не простым пренебрежением к математической строгости
в смысле точного наблюдения за тем, чтобы математические понятия не
отрывались от первоначально вложенного в них реального смысла (к че-
му так стремился Ньютон), но активным, воинствующим убеждением в
пользе и законности применения математических алгоритмов за преде-
лами, в которых употребляемые в этих алгоритмах знаки имеют реаль-
ный смысл.
С еще большей яркостью, чем в спокойном обращении с актуально бес-
конечно малыми, отразились настроения этой эпохи алгоритмической ми-
стики в отношении к комплексным числам или к расходящимся рядам. Не
давая никаких разъяснений о смысле интегрирования комплексных вели-
12
IV. Эссе об И. Ньютоне и Н. И. Лобачевском
чин, Лейбниц находит интегралы действительных функций, разлагая их
на комплексные слагаемые и интегрируя по формальным правилам эти
слагаемые каждое в отдельности.
Когда результат оказывается совпадающим с найденным без употреб-
ления комплексных величин, то Лейбниц называет это «чудом», вытекаю-
щим, однако, по его мнению, с неизбежностью из предустановленной гар-
монии, царствующей в мире. Об аналогичных настроениях Эйлера, свя-
занных с его верой в то, что каждый естественно возникающий в анализе
ряд (хотя бы и расходящийся и с неограниченно возрастающими членами)
имеет вполне определенную сумму6, которая и раскрывается при помощи
тех или иных формальных преобразований, много писал А. Н. Крылов в
цитированной выше работе об Эйлере7.
Все это столь чуждое духу Ньютона направление имело для развития
математики и положительное значение: не обоснованные вначале расшире-
ния старых математических алгоритмов получали впоследствии свое стро-
гое обоснование, и, быть может, чрезмерная осторожность в момент их
первого появления привела бы к задержке движения науки вперед.
В настоящее время, однако, все это направление следует считать окон-
чательно исчерпанным: при современном уровне логическо-математиче-
ской культуры любая гипотеза о возможности расширенного употребления
того или иного алгоритма или о возможности пополнить рассматривавший-
ся ранее запас математических объектов новыми, обладающими теми или
иными желательными нам свойствами, может быть немедленно провере-
на, и, в случае если она верна, соответствующие новые определения смыс-
ла данного алгоритма в расширенной области могут быть даны с полной
отчетливостью, а новые объекты могут быть сконструированы.
Например, если от первой идеи о возможности получать правильные
результаты при помощи выкладок с комплексными числами (бывшими то-
гда просто знаками неосуществимых операций!) до отчетливого построения
комплексных чисел (как пар действительных чисел с соответствующими
определениями смысла действий над ними) пришли целые столетия, то
в 19 в. куммеровская идея о возможности восстановления в надлежащей
6Например,
1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1 +••• = !;
1 -2 + 4-8+ 16-32 + ••• = 1;
1 - 3 + 9 - 27 + 81 - 243 +   • = |.
4
7Следует отметить, что Ньютон ограничивается весьма общими и приблизительными
указаниями относительно сходимости употребляемых им рядов, но сознательного поль-
зования расходящимися рядами у него нет, а необходимость исследования сходимости
для законности пользования разложением в ряд неоднократно подчеркивается.
Ньютон и современное математическое мышление
13
расширенной области единственности разложения на простые множители в
тех системах целых алгебраических чисел, в которых она без этого расши-
рения не имеет места, почти тотчас же нашла свое логически безупречное
воплощение в виде теории «идеалов».
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ АНАЛИЗА У НЬЮТОНА
Предел. В наиболее законченном виде ньютоново представление о пре-
деле изложено им в первом отделе первой книги «Начал». Ввиду дальней-
ших применений здесь более всего говорится о пределах отношений исче-
зающих (т. е. стремящихся к нулю) или неограниченно возрастающих ко-
личеств. Первое впечатление от высказываний Ньютона вполне подтвер-
ждает мнение А. Н. Крылова, считающего, что мы имеем здесь вполне
современную строгую теорию пределов. Приведем в виде примера таких
звучащих вполне современно высказываний Ньютона следующее место из
«Поучения» к первому отделу первой книги «Начал»8 9:
«Предельные отношения исчезающих количеств не суть отношения пре-
делов этих количеств, а суть те пределы, к которым при бесконечном убы-
вании количеств приближаются отношения их и к которым эти отношения
могут подойти ближе, нежели на любую наперед заданную разность, но
которых перейти или достигнуть* на самом деле не могут ранее, чем эти
количества уменьшатся бесконечно. Дело объясняется проще на бесконечно
больших величинах. Если две величины, разность которых задана, будут
обе увеличиваться до бесконечности, то между ними существует предель-
ное отношение, которое равно единице, однако нет предельных значений
для самих величин, т. е. таких наибольших их значений, отношение ко-
торых как раз было бы равно единице. Поэтому если в последующем для
простоты речи я буду говорить о величинах весьма малых или исчезающих,
или зарождающихся, то не следует под этими словами разуметь количеств
определенной величины, но надо их рассматривать как уменьшающиеся
бесконечно».
Естественно, однако, спросить себя, почему все это сказано лишь в за-
ключительном «Поучении» ко всему изложению теории пределов, начина-
ется же это изложение вовсе не с определения понятия предела, а с леммы.
8Перевод А. Н. Крылова. В своем переводе А. Н. Крылов несколько модернизи-
рует терминологию Ньютона, заменяя ньютоновы «первые и последние отношения>
«предельными отношениями>, и т. д. Логическое строение ньютоновых рассуждений
А. Н. Крылов передает, однако, достаточно точно.
93десь, конечно, со строго формальной точки зрения содержится ошибка: из того,
что отношение х : у стремится к пределу а при х —» оо, у —» 0, вовсе не следует, что
I : 1/ / а при I, у / 0.
14
IV. Эссе об И. Ньютоне и Н. И. Лобачевском
Лемма 1. Количества, а также отношения количеств, которые в
продолжении любого конечного времени постоянно стремятся к равен-
ству и ранее конца этого времени приблизятся друг к другу ближе, неже-
ли на любую заданную разность, будут в пределе равны.
Так как лемме дается доказательство, то понятие предела, очевидно,
считается уже данным заранее. Напрасно, однако, вообще было бы искать
у Ньютона определения этого понятия: он вовсе и не считает нужным такое
определение давать, считая понятие предела одним из основных исходных
понятий, которые подлежат не определению, а только пояснению на при-
мерах. Это особенно ясно из такой аргументации Ньютона (данной тоже в
«Поучении» к рассматриваемому разделу «Начал»):
«Делают возражение, что для исчезающих количеств не существует
«предельного отношения», ибо то отношение, которое они имеют ранее ис-
чезания, не есть предельное, после же исчезания нет никакого отношения.
Но при таком и столь же натянутом рассуждении окажется, что у тела,
достигающего какого-либо места, где движение прекращается, не может
быть «предельной» скорости, ибо та скорость, которую тело имеет ранее,
нежели оно достигло этого места, не есть «предельная», когда же достигло,
то нет скорости. Ответ простой: под «предельной» скоростью надо разу-
меть ту, с которою тело движется не перед тем, как достигнуть крайнего
места, где движение прекращается, и не после того, а когда достигает, т. е.
именно ту скорость, обладая которою, тело достигает крайнего места и при
которой движение прекращается. Подобно этому, под предельным отноше-
нием исчезающих количеств должно быть разумеемо отношение количеств
не перед тем, как они исчезают, и не после того, но при котором они исче-
зают».
Здесь Ньютон, защищая состоятельность понятия предела, апеллирует
к очевидности того факта, что тело может иметь определенную (не равную
нулю) скорость в момент прекращения своего движения.
Резюмируя, мы можем сказать: понятие предела (как и понятие ско-
рости) является для Ньютона одним из исходных понятий, не подлежа-
щих в силу их примитивного характера и интуитивной ясности прямому
определению. Однако во всех своих утверждениях о свойствах пределов и
способах их нахождения Ньютон вполне точен и ни в чем не расходится
с нашими современными представлениями.
Попутно разъясняется еще одно недоразумение. Часто Ньютона упре-
кают в непоследовательности за то, что он нередко говорит о предельном
значении отношения А — х : у при х —> 0, у —> 0 как о значении, к которому
отношение стремится и которого в конце концов достигает. Часто счита-
ют, что тем самым он приходит к определению в духе Лейбница-Эйлера
предельного отношения как отношения двух актуально бесконечно малых
Ньютон и современное математическое мышление
15
или, еще вульгарнее, двух нулей. В действительности дело объясняется
тем, что у Ньютона функция автоматически считается определенной «по
непрерывности» в тех точках, в которых она имеет определенный предел.
Например, положив
¥>(*) = <
мы в настоящее время говорим, что функция /(ж) определена только при
х 0 0; замечая же, что
lini/(ж) = 1,	(2)
I—>0
мы определяем новую функцию
при х / 0,
1 при х = 0,
которая уже определена для всех действительных х. Ньютоновскую же
концепцию можно сформулировать применительно к этому примеру так:
как только имеет место (2), то функция (1) определена не только там, где
она вычисляется непосредственно по формуле (1), но и при х = 0, так как
в силу (2) /(0) = 1.
Так как функции (флюэнты)10 у Ньютона по самому определению не-
прерывны, то в таком подходе к делу нет логической ошибки.
Точно так же с формально логической точки зрения нет никакого пре-
ступления в том, чтобы считать понятие предела первоначальным поня-
тием, которому не дается формального определения. Нас такое изложение
в настоящее время не удовлетворило бы, но с нашими представлениями
о необходимости логической последовательности и строгости оно не нахо-
дится в противоречии в отличие, например, от лейбницевских определений
производной и интеграла (как отношения или суммы актуально бесконеч-
но малых), которые со строго формальной точки зрения можно признать
только ошибочными или бессмысленными.
Производная. «Флюксия» (т. е., в современной терминологии, «про-
изводная») у Ньютона всегда есть скорость изменения «флюэнты» (функ-
ции). Анализ соответствующих мест сочинений Ньютона заставляет ду-
мать, что понятие скорости ему представлялось столь ясным, что никакой
10Ньютоновская «флюэнта», говоря современным языком, всегда есть непрерывная
функция /(х), имеющая своей областью определения интервал (а; 6), со включением его
начальной точки а в случае существования предела limx_o f(r) и включением конеч-
ной точки b в случае существования предела linix^j, f(x) (возможность отсутствия этих
пределов была хорошо известна Ньютону), полупрямую (а,+оо), или (—сю, Ь) (с вклю-
чением а или Ь в случае существования соответствующих пределов), или полностью
прямую (—оо,+оо).
16
IV. Эссе об И. Ньютоне и Н. И. Лобачевском
потребности в определении скорости как предела отношения приращения
изменяющейся величины к приращению времени At при At —» 0 он не
чувствовал. В соответствии с этим соотношение
Ат
х = lim ——
At—о At
является для Ньютона не определением флюэнты х, а лишь формулой,
позволяющей находить аналитическое выражение флюксии по аналитиче-
скому выражению флюэнты.
Дифференциал. На различных вариантах, в которых мысль Ньюто-
на приближалась к современному понятию дифференциала, стоит остано-
виться подробнее.
В настоящее время, считая переменные х, у, z,... функциями основного
независимого переменного t, мы определяем дифференциалы dx,dy,dz,...
как главные части Ат, Ду, Az,..., т. е. как функции двух переменных t
и At, линейные по At и обладающие тем свойством, что разности Ах —
dx, Ду — dy, £±z — dz,... бесконечно малы по сравнению с At. В силу этого
определения
dx = xAt, dy = yAt, dz = zAt,
где х, у, z — производные.
Применения дифференциалов в анализе распадаются на две группы:
1) В первой группе приращение At можно считать произвольным посто-
янным. Во всех такого рода вопросах преимущество пользования диффе-
ренциалами над употреблением производных сводится к формальному пре-
восходству удобного и легко обозримого алгоритма, которое выражается,
например, в том, что при рассмотрении нескольких переменных х,у, г,...
нет необходимости выбирать одно из них за основное независимое перемен-
ное и можно вести все выкладки в однородной форме, записывая диффе-
ренциальные уравнения
^ = /(z,y,z),	^=y(z,y,z),
UJu	CLJL
в виде
dx _ dy _ dz
P(x,y,z} Q(x,y,z) R(x,y,z)
и т. п., или в том, что вместо формул

Dxf~\x) =
1
/'(ЛЧ*))
Ньютон и современное математическое мышление
17
для производной функции и обратной функции при употреблении диффе-
ренциалов получаются простые тождества:
dz	dz dy	dy	1
dx	dy dx'	dx	£’
y	dy
Во многих курсах анализа 19 в., а иногда и теперь ограничиваются та-
ким пониманием дифференциала: дифференциал независимого переменно-
го t есть по определению некоторая произвольная константа At, а диффе-
ренциалы зависимых переменных х, у, z,... суть по определению
xAt, уЫ, z&t, ...
2) Существует, однако, вторая группа применений понятия дифферен-
циала, которая существенно опирается на соотношения
Ах = xAt-t-o(t), Ду = yAt 4-o(t), Az = iAt 4-o(t),
где o(At) обозначает величину, бесконечно малую по сравнению с At. Здесь
At, естественно, должно уже рассматриваться как переменное. К этой
группе относятся определение интеграла как предела суммы дифферен-
циалов и все применения дифференциалов, связанные с геометрическими
рассмотрениями «бесконечно малых треугольников», «бесконечно близких
нормалей к кривой», «бесконечно малого угла» между такими нормалями
и т. д. Полное овладение той идеей, что весь этот способ геометрических
рассуждений с бесконечно малыми, если он производится на базе надле-
жащих определений, вполне соединим с полной логической строгостью,
представляет заметные трудности. Я вспоминаю, например, как еще в 20-х
гг. нашего века в московской школе Н. Н. Лузина относились к такого рода
рассуждениям (культивировавшимися тогда особенно Б. К. Млодзиевским)
с большим скептицизмом.
После этих вступительных замечаний переходим собственно к Ньютону.
У него мы находим следующее:
а)	По преимуществу в текстах раннего происхождения (1665) под на-
званием «момент» Ньютон вводит в наивном лейбницевском смысле поня-
тие актуально бесконечно малого. Такого рода рассуждения в менее ответ-
ственных местах употребляются и в поздних работах Ньютона. Следует,
однако, помнить, что сказано в «Началах»:
«... если во всем последующем изложении я и рассматриваю какие-либо
величины как бы состоящими из постоянных частиц, или если я принимаю
за прямые линии весьма малые части кривых, то следует разуметь, что
это не неделимые, а исчезающие делимые величины, что это не суммы и
не отношения определенных конечных частей, а пределы сумм и пределы
18
IV. Эссе об И. Ньютоне и Н. И. Лобачевском
отношений исчезающих величин, и сущность этих доказательств в том и
состоит, чтобы все приводить к предыдущим леммам»11 12.
б)	В «Методе флюксий» в несколько необычной форме развивается кон-
цепция, вполне эквивалентная по существу современной трактовке диффе-
ренциалов с постоянным At.
Нам кажется недостаточно подчеркнутым в большинстве работ по ис-
тории математики, что ньютоновское дифференциальное исчисление в той
форме, как оно изложено в «Методе флюксий», обладает всеми фор-
мальными алгоритмическими преимуществами лейбницевского исчисле-
ния дифференциалов.
Дело в том, что в «Методе флюксий» флюксии всегда мыслятся как
производные по некоторому вспомогательному переменному t, которое ни-
где явным образом в выкладки не входит. По поводу этого «времени» Нью-
тон говорит следующее:
«Но так как мы здесь привлекаем к рассмотрению время лишь в той
мере, в какой оно выражается и измеряется равномерным местным дви-
жением, и так как, кроме того, сравнивать друг с другом можно только
величины одного рода, а также скорости, с которыми они возрастают или
убывают, то я в нижеследующем рассматриваю не время как таковое, но
предполагаю, что одна из предложенных величин, однородная с другими,
возрастает благодаря равномерному течению, а все остальные отнесены к
ней, как ко времени. Поэтому по аналогии за этой величиной не без осно-
вания можно сохранить название времени. Таким образом, повсюду, где
в дальнейшем встречается слово время (а я его очень часто употребляю
ради ясности и отчетливости), под ним нужно понимать не время в его
формальном значении, а только ту отличную от времени величину, посред-
ством равномерного роста или течения которой выражается и измеряется
12
время» .
11 Цитируемое замечание стоит в «Началах» после одиннадцати лемм, в которых за-
ключена ньютоновская теория пределов.
12По поводу этих строк из «Метода флюксий», можно было бы еще заметить, что
А. Н. Крылов в цитированной выше характеристике, может быть, слишком поспешно
зачисляет Ньютона в последовательные сторонники обоснования анализа «исходя из
понятий механических и геометрических». Верно, что, апеллируя к понятию скорости,
Ньютон не сумел обойтись при обосновании анализа без понятий кинематики; но сейчас
мы видели, что ему была близка идея о том, что по существу чистый анализ от рас-
смотрений, связанных с введением времени (мы бы сказали: «в реальном смысле этого
слова» — Ньютон говорит: «в его формальном значении», — различие чисто терминоло-
гическое), не зависит.
Излишне добавлять, что и до настоящего времени прогрессивной научной методологи-
ей является та, которая ясно видит происхождение абстрактных понятий из обобщения
конкретного опыта, но умеет и выделить их в полной чистоте, отбрасывая все для них
несущественное.
Ньютон и современное математическое мышление
19
Что касается производных
dy dz dx
dx ’ dx dy'
какого-либо одного из явно входящих в задачу переменных по другому, то
в «Методе флюксий» они всегда выражаются в виде отношений флюксий:
У £ i
. )	• 5	* * *
х х у
Поэтому флюксии в выкладках здесь играют скорее роль наших диффе-
ренциалов, чем производных.
Например, желая найти из соотношения
х3 — ах2 + аху — у3 = 0	(1)
максимум переменного х, Ньютон получает из (1)
Зх2х — 2ахх 4- аух 4- аху — Зу2у = 0,	(2)
а полагая в (2) х = 0, приходит к
ах - Зу2,	(3)
что дает вместе с (1) возможность вычислить максимальное значение х и
соответствующее ему значение у. Ясно, что (2) соответствует современной
записи с дифференциалами:
Зх2 dx — 2ах dx 4- ay dx 4- ах dy — Зу2 dy = 0.	(2х)
Мы ограничиваемся этим очень простым примером, чтобы не отвлекать
читателя от обсуждения принципиальных вопросов.
Заметим, однако, что в «Методе флюксий» решается много весьма за-
мысловатых (особенно если принять во внимание отсутствие у Ньютона
общих правил дифференцирования частного и функции от функции) за-
дач, при решении которых преимущества ньютоновской записи, соответ-
ствующей нашим операциям с дифференциалами, становятся уже вполне
ощутимыми.
Полная равносильность приемов, употребляемых Ньютоном в «Методе
флюксий», с очерченным выше первым современным подходом к понятию
дифференциала вполне естественна. Если AZ произвольное постоянное, то
его можно положить равным единице, а тогда
dx — xAZ — х, dy — уЫ — у,
20
IV. Эссе об И. Ньютоне и Н. И. Лобачевском
в)	К «Трактату о квадрате кривых» приложено «Поучение», написан-
ное, по-видимому, подобно уже упоминавшемуся введению, значительно
позднее основного текста. Это «Поучение» начинается так:
«Мы выше сказали, что у флюэнт имеются первые, вторые, третьи,
четвертые и другие флюксии.
Эти флюксии находятся в том же отношении, что и члены бесконеч-
ных сходящихся рядов. Так, если флюэнта есть хп и при своем течении
переходит в (z + о)п, то она разложится в сходящийся ряд
2 _
(z + о)п = zn + nozn-1 + - n o2zn~2 +
2^
n3 — 3n2 + 2n о „ о
-------------o3zn-J
6
Первый член этого ряда zn будет той флюэнтой, второй noz”-1 — ее первым
приращением или первой разностью, которой при ее зарождении пропор-
циональна первая флюксия; третий
будет вторым приращением или второй разностью, которой при ее зарож-
дении пропорциональна вторая флюксия; четвертый
п3 — Зп2 + 2п о „ о
------Z-----о г
о
будет ее третьим приращением или третьей разностью, которой при ее за-
рождении пропорциональна третья флюксия, и т. д. до бесконечности»13
Здесь Ньютон, ограничиваясь частным случаем14
/(2) =
13Бернулли (Commercium epislolicum Leidnitii et Joh. Bernoulli. — T. 2. — C. 294) нахо-
дил здесь у Ньютона ошибку. Скорее следовало бы говорить лишь о неудачной терми-
нологии. Ньютоновские второе, третье, четвертое и следующие приращения (разности)
равны соответственно
d2zn d3zn <fz"
2 ’ 6 ’ 24
Лучше было бы назвать вторым, третьим, четвертым и следующими приращениями
(разностями) сами дифференциалы d2zn, d3zn, d*zn,...
14Как известно, рассматриваемый Ньютоном ряд для любого п (даже комплексного,
хотя Ньютон имел, надо полагать, в виду только действительные п) сходится в нашем
современном смысле слова при достаточно малом о, если только z о. Вообще же гово-
ря, в вопросе о сходимости рядов в сочинениях Ньютона не всегда господствует полная
ясность, хотя в тенденции его понимание сходимости ряда, ужо начиная с «Анализа с
помощью уравнений», совпадает с современным: ряд сходится, если достаточно большое
число его членов дает сумму наперед заданной точностью.
Ньютон и современное математическое мышление
21
рассматривает функцию f(z), разлагающуюся в сходящийся ряд по степе-
ням конечного приращения о независимого переменного z:
f (z 4- о) — Со 4" C*iо + С2о2 + С$о3 + • • •
и называет второй, третий, четвертый и т. д. члены этого ряда соответ-
ственно первым, вторым, третьим и т. д. приращением (разностью) функ-
ции f(z\ Утверждение Ньютона, что эти «приращения» пропорциональны
соответствующим флюксиям, верно в том смысле, что в равенствах
п2	п3
С1О = оЖ, C2o2 = -f"(z).	=	...
2	О
коэффициенты
о2 о3 о4
о, —, —, —,...
’ 2 ’ 6 ’ 24
не зависят от вида функции f(z). «Приращения» Ньютона связаны, если
положить dz = 0, с современными дифференциалами соответствующих
порядков равенствами:
C1O = df, C2o2 = }-d2f, C3o3 = ±d3f, ...
2	о
Мы видим, что здесь ньютоновский «момент» независимого перемен-
ного сделался (в отличие от ранних работ Ньютона) переменной конечной
величиной, а «первое приращение» функции определяется как второй член
в разложении /(z+o) по степени о, т. е. как главная линейная часть полного
приращения
/(z + о) - /(z).
Это и есть современное определение дифференциала.
Как обычно и отмечается, приведенный отрывок из «Трактата о квад-
ратуре кривых» показывает, что Ньютон в момент написания «Поучения»
к этому трактату был очень близок к открытию ряда Тейлора (если не
сказать просто — открыл этот ряд!). К сожалению, это было, по-видимому,
в период, когда в математике Ньютона более всего интересовало уже не
дальнейшее продвижение вперед, а отстаивание своего приоритета в отно-
шении ранее достигнутого.
ЛОБАЧЕВСКИЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МЫШЛЕНИЕ ДЕВЯТНАДЦАТОГО ВЕКА
По предшествующей статье П. С. Александрова читатель мог в доста-
точной мере познакомиться с системой неэвклидовой геометрии, которая
была построена Лобачевским и противопоставлена им традиционной систе-
ме эвклидовой геометрии. Каково же значение этого основного создания
Лобачевского для дальнейшего развития геометрии и вообще математиче-
ских наук? Непосредственное значение той конкретной системы неэвкли-
довой геометрии, которая была развита Лобачевским, оказалось несколько
уже, чем это представлялось ему самому: геометрия Лобачевского — лишь
одна из бесчисленного числа различных возможных неэвклидовых гео-
метрий.
Но если взглянуть на дело с более широкой точки зрения, то можно ска-
зать, что создание геометрии Лобачевского явилось поворотным пунктом,
определившим в значительной мере весь стиль математического мышле-
ния девятнадцатого века, столь противоположный стилю мышления мате-
матиков предыдущего восемнадцатого века. Недаром в наши дни студенты
наших университетов знакомятся с общими вопросами логических основа-
ний математики и с аксиоматическим методом, главным образом, из курса
«оснований геометрии», значительную часть которого составляет изложе-
ние неэвклидовой геометрии Лобачевского. Если этот обычай и следует
теперь признать устарелым, то он во всяком случае является хорошей ил-
люстрацией определяющего влияния, которое оказало создание геометрии
Лобачевского на все дальнейшее развитие математического мышления. Ха-
рактеристике тех общих тенденций развития математики в девятнадцатом
веке и в наше время, которые имеют одним из своих самых мощных источ-
ников работы Лобачевского, и посвящена в основном настоящая статья.
I
Мы начнем с более узкого вопроса о значении самой системы неэвкли-
довой геометрии Лобачевского. Из всей системы аксиом Эвклида* 1 Лоба-
чевский, примыкая к вековой традиции, подвергает специальной дискус-
сии только одну аксиому параллельных. Традиция эта имеет известные
Печатается по книге: П. С. Александров, А. Н. Колмогоров. Николай Иванович
Лобачевский. 1793-1943. — М.-Л.: ОГИЗ, Гостехиздат, 1943. Две первые статьи книги —
Николай Иванович Лобачевский (краткий очерк жизни и деятельности) и Что такое
неэвклидова геометрия? — написаны П. С. Александровым.
1 Различие, существующее у Эвклида между «аксиомами» и «постулатами», для нас
не существенно; мы называем и те и другие аксиомами.
Лобачевский и математическое мышление девятнадцатого века
23
основания: из всех аксиом Эвклида аксиома параллельных является един-
ственной аксиомой, которую нельзя проверить ни в каком ограниченном
куске пространства. Основания эти не имеют, однако, в какой-либо мере
окончательного логического значения, так как аксиому параллельных лег-
ко заменить той или иной не менее убедительной наглядно-равносильной
аксиомой, не имеющей отмеченного недостатка, например аксиомой о су-
ществовании хотя бы одной пары не равных, но подобных треугольников.
Благодаря тому, что все аксиомы Эвклида, за исключением аксиомы па-
раллельных, у Лобачевского сохраняются, Лобачевский приходит к суще-
ствованию только двух различных геометрий: обычной геометрии Эвклида
и одной единственной неэвклидовой геометрии, с которой под названием
«геометрии Лобачевского» и знакомит читателя предшествующая статья
П. С. Александрова. Все теоремы, общие этим двум единственно возмож-
ным геометриям, составляют содержание так называемой «абсолютной»
геометрии.
Заметим, что утверждение о сосуществовании в пределах «абсолютной»
геометрии только двух различных вариантов — эвклидова и неэвклидова —
получило точный логический смысл лишь после установления понятия пол-
ноты системы аксиом, опирающегося на понятие изоморфизма различных
осуществлений (моделей) данной геометрии. Две системы объектов (в слу-
чае элементарной геометрии — «точек», «прямых» и «плоскостей»), свя-
занных некоторыми отношениями (в случае элементарной геометрии — от-
ношениями принадлежности, порядка и конгруэнтности), называются изо-
морфными, если их возможно поставить в такое взаимно-однозначное со-
ответствие, что соответствующие объекты оказываются в обеих системах
одновременно связанными, или не связанными, одноименными отношени-
ями. Система аксиом называется полной, если все ее осуществления изо-
морфны, и неполной, если существуют два не изоморфные ее осуществле-
ния. В статье П. С. Александрова уже отмечалось, что приведенная в ней
система аксиом геометрии Эвклида полна. Наоборот, система аксиом «аб-
солютной» геометрии, т. е. система аксиом, получающаяся из системы ак-
сиом геометрии Эвклида простым отбрасыванием аксиомы параллельных,
неполна, так как имеет кроме осуществлений, в которых эвклидова акси-
ома параллельных выполняется, также и осуществления, в которых эта
аксиома нарушается. Присоединяя к аксиомам «абсолютной» геометрии
вместо эвклидовой аксиомы параллельных аксиому Лобачевского о суще-
ствовании двух параллельных, мы получаем вновь полную систему акси-
ом. Таким образом, все неэвклидовы осуществления «абсолютной» геомет-
рии изоморфны между собой, т. е. существуют (как говорят, «с точностью
до изоморфизма») только два типа осуществлений «абсолютной» геомет-
рии — эвклидов и один единственный неэвклидов, изученный Лобачевским.
24
IV. Эссе об И. Ньютоне и Н. И. Лобачевском
Однако, отбрасывая и заменяя новыми аксиомами не одну аксиому па-
раллельных, а и другие аксиомы эвклидовой геометрии, можно получить
много новых «неэвклидовых» геометрий, отличных от геометрии Лобачев-
ского. Некоторые из этих новых геометрий не менее интересны, чем гео-
метрия Лобачевского. В конце статьи П. С. Александрова читатель мог
познакомиться с одной из таких геометрий, именно с «эллиптической» гео-
метрией Римана. С этой точки зрения название «абсолютной» геометрии,
даваемое геометрической системе, получающейся из эвклидовой путем от-
брасывания только одной аксиомы параллельных (и ее следствий), кажется
нам теперь несколько случайным и неудачным.
II
Система аксиом называется непротиворечивой, если существует хотя
бы одно ее осуществление (хотя бы одна ее модель), построенное из объ-
ектов любой природы. В настоящее время все непротиворечивые системы
геометрии считаются с чисто логической стороны равноправными. Конеч-
но, они могут быть более или менее интересными и важными в зависимости
от того, сколь большое место занимают в системе изучаемых нами матема-
тических или внематематических образов различные их осуществления; но
все такие оценки по степени интереса и важности не имеют безусловного
характера и меняются со временем.
Более того, с формально-логической стороны мы теперь придаем окон-
чательное значение при доказательстве непротиворечивости той или иной
системы геометрии лишь «внутриматематическим» их осуществлениям.
Например, непротиворечивость эвклидовой геометрии доказывается не на
основании экспериментально установленной приближенной ее пригодности
в окружающем нас «физическом» пространстве, а существованием ее «ко-
ординатной» аналитической модели. Как показано в статье П. С. Алексан-
дрова, из непротиворечивости эвклидовой геометрии вытекает, тоже по-
средством чисто математических конструкций, без обращения к физиче-
скому эксперименту, и непротиворечивость геометрии Лобачевского.
Естественно, однако, что только что сказанное ни в какой мере не устра-
няет вопроса о том, какая из логически мыслимых (не противоречивых)
систем геометрии реально осуществляется в «физическом» пространстве,
в котором мы живем и действуем. Только вопрос этот переносится из обла-
сти чистой математики в область физики, и в соответствии с этим ответ
на него теряет полную однозначность.
Чтобы проще понять смысл последнего утверждения, не будем рассмат-
ривать вопрос во всей общности, а ограничимся той его постановкой, кото-
рая была доступна во времена Лобачевского. Лобачевскому были извест-
Лобачевский и математическое мышление девятнадцатого века
25
ны только две системы геометрии: эвклидова и его собственная. Вопрос
поэтому стоял лишь о том, какая из этих двух систем геометрии осуществ-
ляется в реальном мире. Оставаясь в пределах этой постановки вопроса,
которую мы теперь бы расширили, Лобачевский правильно указывал на
желательность экспериментальной проверки предложений обеих конкури-
рующих геометрий. Для такой проверки удобно, например, выбрать тео-
ремы о сумме углов треугольника, которая в эвклидовой геометрия равна
двум прямым, а в геометрии Лобачевского всегда меньше двух прямых.
Некоторое осложнение вносит в вопрос то обстоятельство, что все ре-
альные измерения имеют ограниченную точность. Ввиду этого точное ра-
венство суммы углов треугольника двум прямым никогда не может быть
установлено: всегда останется возможность, что эта сумма в действитель-
ности меньше двух прямых, но отличается от двух прямых на величину
столь малую, что она не поддается измерению. Поэтому эксперименталь-
ное измерение углов треугольников может привести только к одному из
следующих двух результатов:
а)	Найдется хотя бы один треугольник с суммой углов, заведомо мень-
шей двух прямых. В этом случае эвклидова геометрия заведомо неприме-
нима к реальному пространству; поскольку же мы поставили перед собой
лишь задачу выбора между двумя геометрическими системами — Эвкли-
да и Лобачевского, в этом случае нам придется признать, что в реальном
пространстве действует геометрия Лобачевского.
б)	В пределах точности наших измерений у всех измеренных треуголь-
ников сумма углов равна двум прямым. В этом случае можно сказать, что
реальное пространство, в пределах точности наших измерений и в под-
вергнутой изучению его части, подчиняется геометрии Эвклида, но нельзя
отрицать и применимости к реальному пространству геометрии Лобачев-
ского.
Такое положение вещей вполне понятно. В статье П. С. Александро-
ва было указано2, что в геометрии Лобачевского существует «абсолютная
единица длины», называемая еще «радиусом кривизны» пространства. Фи-
гуры пространства Лобачевского, размеры которых очень малы по срав-
нению с этим радиусом кривизны R, с большой точностью подчиняются
закономерностям эвклидовой геометрии. В частности, чем меньше сторо-
ны треугольника по сравнению с R, тем меньше сумма его углов отличается
от двух прямых. Поэтому, если размеры всех доступных нашему измере-
нию треугольников малы по сравнению с R, то при измерении их углов с
доступной нам точностью мы можем никакого отклонения суммы углов от
двух прямых не заметить.
23амечание в сноске на стр. 69-70 [изд. 1943 г.].
26
IV. Эссе об И. Ньютоне н Н. И. Лобачевском
Если бы в реальном пространстве осуществлялась геометрия Лобачев-
ского, то имело бы смысл говорить об отношении
К "
R
нашей обычной стандартной меры длины — метра — к абсолютной мере
длины R. Так как доступные нашему измерению треугольники имеют сто-
роны в какое-то ограниченное число метров, то чем меньше /С, тем меньше
сумма их углов будет отличаться от двух прямых, т. е. геометрия реально-
го пространства в доступной нам его части будет тем меньше отличаться
от эвклидовой. В соответствии с этим естественно условиться считать, что
гипотезе применимости к реальному пространству эвклидовой геометрии
соответствует
А' = 0.
Тогда описанное выше положение с экспериментальным различием между
гипотезами применимости к реальному пространству геометрии Эвклида
или Лобачевского можно будет резюмировать так:
Исходим из допущения, что реальное пространство подчинено «абсо-
лютной» геометрии в смысле, разъясненном выше. Экспериментально мож-
но лишь приближенно определить константу К. Если К заведомо отлично
от нуля, то в реальном пространстве действует геометрия Лобачевского.
Если К так мало, что в пределах точности измерений неотличимо от нуля,
то допустимы как гипотеза точного осуществления в реальном простран-
стве геометрии Эвклида, так и гипотеза геометрии Лобачевского с очень
малым значением К3
3С намечающимся здесь непрерывным переходом от геометрии Лобачевского к гео-
метрии Эвклида при
К -О
мы встретимся в несколько другой форме еще далее. Этот переход может вызвать у
читателя известное недоумение. Выше было сказано, что все осуществления геометрии
Лобачевского изоморфны друг другу, т. е. обладают в точности одинаковыми внутрен-
ними геометрическими свойствами. Теперь же оказывается, что свойства пространства,
подчиненного геометрии Лобачевского, зависят от константы К и при К —* 0 простран-
ство Лобачевского как бы непрерывно превращается в пространство Эвклида.
Объяснение не сложно. Так как все осуществления (модели) геометрии Лобачевско-
го изоморфны, то с отвлеченной чисто математической точки зрения мы может вы-
брать какую-либо одну из них и считать ее единственным настоящим «пространством
Лобачевского». Применение геометрии Лобачевского (как и всякой другой отвлеченно-
математической «геометрии») к реальному физическому пространству исходит из ги-
потезы, что реальное пространство может быть отображено на эту идеальную модель
пространства Лобачевского с сохранением отношений принадлежности, порядка и кон-
Лобачевский и математическое мышление девятнадцатого века
27
Естественно впрочем, что ввиду большей простоты геометрии Эв-
клида во втором случае мы предпочтем просто сказать, что в, пределах
точности наших наблюдений в реальном пространстве действует геомет-
рия Эвклида.
Общий принцип относительности Эйнштейна внес дальнейшие измене-
ния в постановку вопроса о геометрии реального физического простран-
ства, которые мы лишены возможности здесь подробно излагать. Эти из-
менения не касаются основной, намеченной выше логической схемы: чи-
стая математика изучает различные «геометрии», опирающиеся каждая
на свою особую систему аксиом. Каждая такая «геометрия» должна быть
непротиворечивой в том смысле, что существует хотя бы одно ее осуществ-
ление в виде системы объектов любой природы, в которой выполнены все
аксиомы данной геометрии. Такие системы объектов любой природы, в ко-
торых выполняется та или иная система геометрических аксиом, и называ-
ются в чистой математике «пространствами» (Эвклида, Лобачевского, Ри-
мана и т. д.). В противоположность идеальным математическим простран-
ствам свойства реального физического пространства известны нам только
приближенно. В соответствии с этим не имеет смысла вопрос о том, какая
из различных идеальных «геометрий», рассматриваемых чистой матема-
тикой, окончательно и с полной точностью отражает свойства реального
пространства. Осмыслен же только вопрос о том, какие из идеальных ма-
тематических геометрий удовлетворительно отражают наши познания об
устройстве реального пространства, имеющиеся на данный момент. Ответ
на этот последний вопрос может меняться со временем, и никогда не может
стать вполне однозначным.
Создание Лобачевским первой неэвклидовой геометрии послужило ис-
ходным пунктом для выработки всей этой современной системы взглядов
на соотношения между идеальными математическими «пространствами»
и их «геометриями» и геометрией реального физического пространства.
груэнтности. Эта гипотеза получает, однако, полную количественную определенность
лишь после того, как будет указано отношение
длины отрезков идеального математического пространства Лобачевского, изображаю-
щих реальные отрезки длины в один метр, к абсолютной единице длины. Изменяя К,
мы меняем не абстрактное математическое пространство Лобачевского, а размеры той
области G' этого пространства, на которую мыслится отображенной доступная нашему
наблюдению область G реального пространства. Чем К меньше, тем меньше область
G1 и тем меньше отличаются геометрические свойства расположенных в ней фигур от
свойств фигур эвклидовой геометрии, в частности, тем меньше отличается сумма углов
треугольников, помещающихся в области G', от двух прямых.
28
IV. Эссе об И. Ньютоне и Н. И. Лобачевском
Специально же именно геометрия Лобачевского, с точки зрения современ-
ной физики, не занимает никакого особого места среди множества других
геометрий, могущих оспаривать у эвклидовой геометрии право на пре-
имущественную пригодность для изображения свойств реального про-
странства.
III
Роль различных «воображаемых» геометрий, созданных математикой
девятнадцатого века, не ограничивается, однако, заготовлением, так ска-
зать, «про запас» различных пространств, которые могли бы в будущем
приводиться в качестве идеализированных моделей устройства реального
физического пространства. Одной из основных черт математики девят-
надцатого века является проникновение геометрических методов в самые
различные области математики, совсем не относящиеся к «геометрии» в
первоначальном смысле этого слова. Если функции одного переменного
У = /(*)
удобно изображаются графически на координатной плоскости (z,y), а функ-
ции двух переменных
z = f(x,y)
удобно изучать, исходя из геометрического рассмотрения соответствующей
поверхности в координатном трехмерном пространстве (x,y,z), то не менее
естественно изучать функции п переменных
У = f(xi,x2,...,xn),
опираясь на геометрические рассмотрения в «(п + 1)-мерном координат-
ном пространстве» (zi, 12,  •  , хп, у). В механике и физике принято пред-
ставлять себе процесс изменения системы с любым числом степеней сво-
боды как процесс «движения» точки, изображающей ее состояние, в «фа-
зовом пространстве» соответствующего числа измерений. При объедине-
нии на основе принципа относительности Эйнштейна пространственных и
временных отношений в одно целое вполне естественно за объединенным
пространственно-временным четырехмерным многообразием «мировых то-
чек» сохранить название «пространства». В качестве первого по времени
примера теории, на первый взгляд не имеющей ничего общего с геометри-
ей и все же разработанной геометрическими методами, можно указать на
Лобачевский и математическое мышление девятнадцатого века
29
грассмановскую теорию цветовых ощущений, где каждое цветовое ощуще-
ние рассматривается как точка «пространства цветов», в этом простран-
стве проводятся «прямые», «плоскости» и т. д. — метод, ставший принятым
в цветоведении4.
Специально геометрия Лобачевского нашла очень серьезные примене-
ния в теории функций комплексного переменного. Подготовленный чита-
тель может с ними познакомиться по книге Ф. Клейна «Неэвклидова гео-
метрия»5.
Своеобразное переплетение различных геометрических систем происхо-
дит далее, когда те или иные более сложные образы одной геометрии при-
нимаются за основные элементарные образы другой геометрии. Это приво-
дит к дальнейшему расширению круга применений различных «вообража-
емых» геометрий. Из § VII статьи П. С. Александрова читатель мог усмот-
реть, что изучение системы окружностей, лежащих в эвклидовой плоско-
сти и ортогональных некоторой выделенной окружности К в отношении
их пересечений и углов между ними, может быть сведено к изучению пря-
мых плоскости геометрии Лобачевского. Такого рода рассмотрения имеют
интерес не только с точки зрения осуществления геометрии Лобачевско-
го, но и в качестве метода для изучения геометрических свойств систем
окружностей эвклидовой плоскости.
Быть может, самым интересным из таких применений геометрии Лоба-
чевского в пределах эвклидовой геометрии является «внутренняя» геомет-
рия поверхностей постоянной отрицательной кривизны. На нем мы оста-
новимся несколько подробнее.
Основные идеи внутренней геометрии поверхностей принадлежат Гаус-
су. «Внутренними» свойствами поверх-
ности называются те ее свойства, кото- /	~7	/	\
рые не меняются при любом ее изгиба- /	/ ff\ /
нии без растяжений и сжатий. Напри- /____________/ и \/
мер, свертывая квадрат (а) черт. 1 в ци-	, х	/, х
/1 \
линдрическую поверхность (о), мы не
меняем его внутренних свойств.	Черт. 1
К числу основных геометрических образов внутренней геометрии по-
верхности принадлежат геодезические линии: это — такие линии, лежащие
на данной поверхности, достаточно малые дуги которых представляют из
себя кратчайшее соединение своих концов. На плоскости геодезические ли-
ния — это обыкновенные прямые, на поверхности сферы — большие круги.
На любой достаточно гладкой поверхности из каждой ее точки выходит по
4О проникновении геометрических методов в различные области математики см. мою
статью <Математика» в БСЭ, откуда заимствованы предыдущие строки.
5ОНТИ, 1936, глава 11.
30
IV. Эссе об И. Ньютоне и Н. И. Лобачевском
каждому заданному направлению одна и только одна геодезическая линия,
а две достаточно близкие точки соединяются одной единственной геодези-
ческой дугой минимальной длины. (Оговорка «достаточно близкие» здесь
существенна, как показывает пример северного и южного полюса на зем-
ном шаре, кратчайшее соединение которых осуществляется любым мери-
дианом.)
Особенно интересны поверхности, которые с точки зрения их внутрен-
ней геометрии обладают достаточной однородностью, т. е. такие поверхно-
сти, для которых достаточно малый их кусок, вырезанный вокруг какой-
либо точки Р, может быть без растяжений и сжатий и только с изгибанием
наложен на поверхность так, что точка Р перейдет в любую другую точку
Р1, а заданное направление PQ — в любое заданное направление P'Q'
(см. черт. 2). Этим свойством об-
ладает плоскость и поверхность
сферы (в случае плоскости и
сферы требуемое наложение осу-
ществляется даже без изгибания).
Естественно, что тем же свой-
ством обладают все те поверхно-
сти, которые (хотя бы по кускам!)
накладываются на плоскость или
поверхность сферы с изгибанием,
например поверхности цилиндри-
ческие и конические (они накла-
дываются или, как говорят, «раз-
вертываются» на плоскость).
В 1839-1840 г. Миндинг показал, что поверхности, обладающие сфор-
мулированным выше свойством однородности, характеризуются тем, что
их «гауссовская кривизна»6 во всех точках одинакова, их называют поэто-
му «поверхностями постоянной кривизны». Тогда же Миндинг показал,
что все поверхности данной гауссовской кривизны накладываются друг на
друга (хотя бы по кускам) и поверхности различной кривизны друг на
друга без растяжений или сжатий не накладываются.
Отсюда вытекает, что вся внутренняя геометрия достаточно малых кус-
ков поверхностей постоянной кривизны определяется одной константой —
гауссовской кривизной поверхности а. Если же помимо изгибаний ввести
в рассмотрение преобразования подобия, т. е. считать внутреннюю геомет-
рию двух поверхностей одинаковой в случае возможности превратить одну
из них в другую (хотя бы по кускам), производя последовательно преобра-
6См. определение этого понятия в любом учебнике дифференциальной геометрии.
Лобачевский и математическое мышление девятнадцатого века
31
зования подобия и изгибание, то окажется, что существуют (в «локальном»
смысле, т. е. с точки зрения внутренних геометрических свойств поверх-
ности, доступных обнаружению на ее сколь угодно малых кусках) только
три различные внутренние геометрии поверхностей постоянной кривизны,
соответствующие случаям
а > 0, а = 0, а < 0.
Так как сфера радиуса R имеет гауссовскую кривизну
1
a~ R?'
то первый случай осуществляется на поверхности сферы.
Соответствующая «локальная» геометрия есть «локальная» геометрия
Римана, о которой сказано в конце статьи П. С. Александрова: на поверх-
ности постоянной положительной кривизны сумма углов треугольника, со-
ставленная из геодезических дуг, больше двух прямых и т. д.
Случай а = 0 осуществляется на
плоскости.
Случай а < 0 осуществляется на
поверхности, называемой «псевдосфе-
рой» (см. черт. 3), и на ряде других по-
верхностей, найденных тем же Миндин-
гом. На этих поверхностях постоянной
отрицательной кривизны и осуществля-
ется «локально» геометрия Лобачевско-
го: сумма углов треугольника, состав-
ленного из геодезических дуг, здесь все-
гда меньше двух прямых и т. д. В печа-
ти на это обстоятельство было указано
впервые Бельтрами в 1868 г.
IV
Конечно, значение работ Лобачевского в истории науки — не в том, что
построенная им новая система геометрии нашла интересные применения в
теории функций комплексного переменного или к изучению поверхностей
постоянной отрицательной кривизны. Таких применений можно указать
еще несколько, но все они вместе при всей их важности доставили бы авто-
ру лишь славу крупного исследователя в некоторой специальной области
геометрии.
32
IV. Эссе об И. Ньютоне и Н. И. Лобачевском
Основное значение работ Лобачевского состоит в том, что из них вы-
росли все современные взгляды на геометрию как чисто математическую
науку и на отношения, в которых находятся изучаемые ею эвклидовы и
неэвклидовы, трехмерные, многомерные и бесконечномерные «простран-
ства» — к реальному миру и единственному реальному пространству.
Признание равноправия, с точки зрения логики и чистой матема-
тики, эвклидовой и неэвклидовой геометрии и вообще множественности с
отвлеченной точки зрения геометрии было первым по времени и основным
фактором перестройки всей системы взглядов на математику в целом, про-
исшедшей в девятнадцатом веке.
Если математики древнего мира хорошо укладывались в рамки пред-
ставления о математике как науке о числах, величинах и геометрических
фигурах (единственного реального трехмерного эвклидова пространства),
математика XVII-XVIII веков выдвинула на первый план идею измене-
ния величин (функциональной зависимости между изменяющимися вели-
чинами) в анализе и геометрических преобразований (проекций и т. п.) в
геометрии, то девятнадцатый век с его пространствами различного числа
измерений и различной «связности», абстрактными группами, кольцами
и полями в алгебре и тому подобными новыми образованиями уже реши-
тельно не укладывается в эти старые рамки.
Овладеть всем разнообразием образований, изучаемых современной ма-
тематикой, нельзя без аксиоматического метода7, позволяющего система-
тически обозреть различные возможности развития той или иной теории,
открывающиеся в зависимости от того, как видоизменяются исходные до-
пущения, положенные в ее основу (аксиомы). Первым примером последова-
тельного проведения таких аксиоматических исследований, которые стали
теперь привычными не только математикам, но и механикам и физикам,
явилась неэвклидова геометрия Лобачевского.Таким образом, и за предела-
ми собственно геометрии идеи Лобачевского оказались мощным стимулом
ко всему дальнейшему развитию математических наук.
7См. мою статью <Математика» в БСЭ.
ВЕЛИКИИ русский ученый-новатор
(К столетию со дня рождения
Николая Ивановича Лобачевского)
1.
Николай Иванович Лобачевский был одним из виднейших русских уче-
ных, исследования которого оказали огромное влияние на мировое разви-
тие целой области науки. Основная заслуга Лобачевского состоит в созда-
нии «неэвклидовой геометрии», называемой часто учеными «геометрией
Лобачевского». Создание этой геометрии, отличной от обычной «эвклидо-
вой», привело к полному изменению взглядов на самый предмет геометрии
вообще. В свою очередь это изменение взглядов оказалось исходным пунк-
том для изменения взглядов на предмет и задачи математики в целом.
До Лобачевского было принято считать, что в окружающем нас ми-
ре с полной точностью и несомненностью действует эвклидова геометрия.
Так как экспериментальная проверка геометрических предложений может
иметь только приближенный характер, то из мнимой очевидности точно-
го осуществления в действительном мире эвклидовой геометрии делался
вывод об априорном, сверхопытном происхождении геометрических истин.
С наибольшей последовательностью эта точка зрения была проведена в
философии Канта. Сколь ни странным теперь нам кажется этот ход мыс-
лей, вера в то, что логически мыслима только эвклидова система геомет-
рии, была чрезвычайно сильна. Когда Гаусс, пользовавшийся всеобщим
признанием в качестве величайшего математика своего времени, пришел
к противоположному заключению, то он так и не решился опубликовать
свои выводы, чтобы не быть осмеянным. Это сделал вместо него из далекой
Казани Лобачевский.
Правда, и до Лобачевского математиков смущала неудача всех попыток
доказательства так называемого постулата о параллельных на основе более
элементарных и более очевидных геометрических аксиом. Все ограничива-
лось, однако, бесконечными попытками доказать этот постулат. Лобачев-
ский же понял, что все такие попытки обречены на заведомую неудачу,
так как, заменяя эвклидовский постулат о параллельных противополож-
ным ему утверждением, можно получить стройную логическую систему
«неэвклидовой геометрии», не содержащую в себе никаких противоречий.
Таким образом обнаружилось, что логически возможна не одна, а по край-
ней мере две системы геометрии. Позднее было обнаружено, что логически
мыслимых систем геометрии имеется бесконечное множество. Лобачевский
Газета «Известия», 2. XI.1943.
34
IV. Эссе об И. Ньютоне и Н. И. Лобачевском
с полной ясностью указал, что решение вопроса о том, какая из этих си-
стем геометрии осуществляется в действительном окружающем нас про-
странстве, дается только опытом. Так как опыт здесь может быть только
приближенным, то решение это не может быть вполне окончательным: если
для тел обычных земных размеров и при доступной нам в данную минуту
точности измерений удовлетворительно соблюдаются закономерности эв-
клидовой геометрии, то это отнюдь не значит, что они обязаны соблюдаться
и в больших масштабах или в малых частях пространства внутриатомных
размеров, а также для тел обычных размеров при увеличении точности
измерений.
Позднее аналогичная проблема возникала относительно механики Нью-
тона. Принципы этой механики было принято считать априорно очевидны-
ми, подобно геометрии Эвклида. Однако опыт показал, что для больших
скоростей, сравнимых со скоростью света, действует другая механика —
механика принципа относительности Эйнштейна. Возникшее на этой почве
глубокое преобразование наших представлений о пространстве и времени
далось ученым двадцатого века легко и сразу было облечено в безукориз-
ненную математическую форму, так как с принципиальной, логической
стороны обстановка была аналогична переходу от эвклидовой к неэвкли-
довой геометрии.
После Лобачевского мы представляем себе, что геометрия, как матема-
тическая наука, изучает не реальное пространство, в котором мы живем и
действуем, а различные, по терминологии Лобачевского «воображаемые»
пространства, в которых действуют различные логически мыслимые си-
стемы геометрии. Какая из этих математических отвлеченных схем лучше
подходит к свойствам реального пространства, это — уже вопрос физи-
ки, а не чистой математики, и решается он лишь приближенно и поэтому
никогда не вполне окончательно.
Такая точка зрения на геометрию оказалась плодотворной и с совсем
другой стороны. Именно, оказалось, что и те логически мыслимые геомет-
рические системы, которые заведомо не подходят в качестве математиче-
ских моделей реального пространства, могут иметь важные применения.
Например, реальное пространство заведомо трехмерно; это не мешает, од-
нако, «четырехмерной» и «многомерной» геометрии быть очень полезной
во многих вопросах как чистой математики, так и механики, физики или
химии.
2.
Отец Лобачевского был уездным землемером города Макарьева Ниже-
городской губернии. Отец умер, когда Лобачевскому было всего четыре
года. Окончив Казанскую гимназию, Лобачевский тринадцати с полови-
ной лет поступил в университет. Сначала он увлекается медициной, но
Великий русский ученый-новатор
35
уже пятнадцати лет выделяется успехами в математике и вскоре читает
под руководством Бартельса глубокие и трудные работы Лапласа и Гаус-
са. В 1811 году, не имея еще полных восемнадцати лет, Лобачевский кон-
чает университет и сразу получает звание магистра. Вскоре он приступает
к самостоятельному преподаванию в том же Казанском университете, чи-
тая, кроме различных отделов математики, еще и физику, механику и
астрономию.
На двадцатые годы приходятся основные научные открытия Лобачев-
ского и написание первых фундаментальных научных работ. Это, однако,
не мешает ему проявлять большую энергию во всех других областях своей
деятельности. В 1827 г. Лобачевский делается ректором Казанского уни-
верситета.
Обязанности ректора Лобачевский понимает с необычайной широтой и
входит во все решительно стороны университетской жизни. От юношества,
обучающегося в университете, он требует не только усердия в занятиях, но
и широкой культуры, большого увлечения и гражданской доблести. Об
этом может дать представление следующий отрывок из его речи «О важ-
нейших предметах воспитания»:
«Но вы, которых существование несправедливый случай обратил в на-
лог другим, вы, которых ум отупел и чувство заглохло, вы не наслажда-
етесь жизнью! Для вас мертва природа, чужды красоты поэзии, лишена
прелести и великолепия архитектура, незанимательна история веков!»
«Я утешаюсь мыслью, что из нашего университета не выйдут подоб-
ные произведения растительной природы; даже не войдут сюда, если к
несчастью родились с таким назначением. Не войдут, повторяю, потому
что здесь продолжается любовь славы, чувство чести и внутреннего досто-
инства!»
На посту ректора Лобачевский оставался девятнадцать лет, пока в об-
становке усиливавшейся реакции конца царствования Николая первого не
был смещен, несмотря на протесты совета университета. Последние годы
жизни Лобачевского были печальны. Его университетская деятельность
была грубо оборвана. Лобачевский скончался 12 февраля 1856 года.
3.
Таков был Лобачевский: великий ученый, подлинный новатор в науке,
не побоявшийся выступить с идеями, которые в его время казались почти
бредом сумасшедшего, неутомимый деятель на поприще русского просве-
щения, обаятельный, страстный и любвеобильный человек.
Мировое признание научных заслуг Лобачевского пришло не скоро, но
в конце девятнадцатого века стало всеобщим. Внешним выражением этого
признания является, между прочим, то, что присуждаемая периодически
36
IV. Эссе об И. Ньютоне и Н. И. Лобачевском
в Казани научная премия имени Лобачевского сделалась высшим знаком
отличия для крупнейших геометров мира. Ее получили создатель теории
непрерывных групп Софус Ли, крупнейший математик современности Да-
вид Гильберт, создатель общих концепций современной дифференциальной
геометрии Эли Картан.
Научные работы Лобачевского относятся к «чистой» математике; основ-
ные его идеи лежат даже на границе математики и философии. На рас-
стоянии прошедших ста с лишним лет выяснилась, однако, их глубокая
действенная сила для науки в целом, как «чистой», так и «прикладной».
Так бывает всегда с большими научными идеями, сколь бы отвлеченными
они ни казались при своем зарождении. Внимание, которое приковывает к
себе юбилей Лобачевского в годы Великой Отечественной войны, доказы-
вает, что наша страна достаточно сильна, чтобы о такой «чистой» науке
помнить и среди напряженных боев.
Всей своей жизнью Лобачевский опровергал ходячее представление о
сухом и далеком от практических дел «чистом ученом». Живи Лобачев-
ский в наше время, несомненно, он нашел бы свое место и в непосред-
ственной борьбе, которую наше Родина ведет за свою свободу и за лучшие
идеалы всего человечества.
Статьи
о математиках
в энциклопедических
изданиях

АДАМАР1, Жак (р. 1865) — выдающийся современный французский
математик, член Парижской академии наук (1912). Неоднократно приез-
жал в СССР с научными докладами и на научные конференции. Известен
исследованиями в самых различных областях математики. В теории чисел
доказал высказанный П. Л. Чебышевым асимптотический закон распре-
деления простых чисел. Создал значительную часть современной теории
целых аналитических функций. В теории дифференциальных уравнений
особенно существенны работы Адамара по задаче Коши для гиперболи-
ческих уравнений. Большое влияние оказали идеи Адамара на создание
функционального анализа и на развитие функционального подхода к за-
дачам уравнений математической физики (понятие «корректности» поста-
новки краевой задачи, см., и т. п.). В механике Адамар занимался про-
блемами устойчивости равновесия и исследовал свойства траекторий, опи-
сываемых механической системой вблизи положения равновесия. В своих
методологических высказываниях Адамар обычно выступает против вся-
кого ограничения выбора предмета и метода математического исследова-
ния (например за неограниченное пользование так называемой аксиомой
выбора, см. Множеств теория) и против агностицизма, исходя из есте-
ственной для крупного математика убежденности в разрешимости каждой
математической проблемы. Однако философское обоснование этих поло-
жительных взглядов на неограниченные возможности научного прогресса
у Адамара явно неудовлетворительно; оно представляет собой соединение
объективного идеализма с узким эмпиризмом. Адамар много занимался
вопросами школьного преподавания и написал учебник геометрии (переве-
денный на русский язык).
Соч. A.: Hadamard J. Lemons de g£om£trie £16mentaire, v. 1-2, P., 1898-1901
(рус. пер.: Элементарная геометрия, ч. 1, 3 изд., М., 1948, ч. 2, 1938); Lectures on
Cauchy’s problem, N.Y., 1923; Cours d’analyse, t. 1-2, P., 1927-30; Selecta. Jubil6
scientifique, P., 1935 (содержит полный список работ Адамара), и др.
АЛЕКСАНДРОВ2, Александр Данилович (р. 1912) — русский совет-
ский математик, член-корреспондент Академии наук СССР, лауреат Ста-
’БСЭ-2. - 1949. - Т. 1. - С. 388.
2БСЭ-2. - 1950. - Т. 2. - С. 83.
40
V. Статьи о математиках в энциклопедических изданиях
линской премии (1942); профессор Ленинградского университета. Известен
своими работами по геометрии выпуклых тел (см.). В его работах тесно пе-
реплетаются исследования глубоких свойств самых элементарных геомет-
рических фигур с использованием современных теоретико-множественных
методов.
Соч. А.: Существование выпуклого многогранника и выпуклой поверхности с
заданной метрикой, «Математический сборник. Новая серия», 1942, т. 11, вып. Р2;
Внутренняя геометрия произвольной выпуклой поверхности, «Доклады Акад, на-
ук СССР. Новая серия», 1941, т. 32; Внутренняя геометрия выпуклых поверхно-
стей, М.-Л., 1948.
АЛЕКСАНДРОВ3, Павел Сергеевич (р. 1896) — русский советский
математик, член-корреспондент АН СССР, лауреат Сталинской премии
(1943). Президент Московского математического общества. Профессор
Московского университета, где создал свою школу (среди его учеников —
члены-корреспонденты АН СССР Л. С. Понтрягин и А. Н. Тихонов). Начал
научную работу в области теории множеств и теории функций действитель-
ного переменного, получив ряд замечательных результатов. Затем вместе
с П. С. Урысоном (см.) посвятил себя разработке топологии (науки о каче-
ственных свойствах геометрических фигур, т. е. свойствах, не связанных с
понятием длины, величины углов, и т. п.). А. является главой советской то-
пологической школы, получившей мировое признание. А. создана одна из
основных глав теории топологических пространств — теория бикомпактных
пространств, существенно продвинута теория размерности, созданы методы
комбинаторного (алгебраического) исследования множеств и пространств
общей природы; им доказан ряд основных «законов двойственности» (свя-
зывающих топологические свойства геометрической фигуры с топологиче-
скими свойствами дополнительной к ней части пространства).
Соч. А.: О гомологических свойствах расположения комплексов и замкнутых
множеств, «Известия Академии наук СССР. Серия математическая», 1942, т. 6,
N* 5; Комбинаторная топология, М.-Л., 1947; О понятии пространства в тополо-
гии, «Успехи математических наук», 1947, т. 2, вып. 1; О размерности замкнутых
множеств, там же, 1949, т. 4, вып. 6; Общая теория гомологии, «Ученые запис-
ки Московского гос. ун-та», 1940, вып. 45, основные теоремы двойственности для
незамкнутых множеств n-мерного пространства, «Математический сборник. Но-
вая серия», 1947, т. 21, вып. 2; Мёпклгез sur les espaces topologiques compacts,
«Verhandelingen der K. Akademie van wetenschappente Amsterdam», 1929, D. 14,
№ 1 (совм. с П. Урысоном); Untersuchungen fiber Gestalt und Lage abgeschlossener
Mengen beliebiger Dimension, «Annals of Mathematics», Princeton-N.Y., 1929, v. 30.
АХИЕЗЕР4, Наум Ильич (p. 1901) — советский математик, профес-
сор Харьковского университета, член-корреспондент Академии наук УССР
3БСЭ-2. - 1950. - Т. 2. - С. 84.
4БСЭ-2. - 1950. - Т. 3. - С. 565.
V. Статьи о математиках в энциклопедических изданиях
41
(с 1934). Крупный продолжатель направления П. Л. Чебышева и С. Н. Бер-
нштейна в теории наилучших приближений. Значительная часть научных
достижений А. собрана в монографии «Лекции по теории аппроксимаций»,
удостоенной в 1948 премии им. Чебышева.
Лиш.-. Математика в СССР за тридцать лет 1917-1947. Сб. статей, под ред.
А. Г. Куроша [и др.], М.-Л., 1948 (имеется библиография трудов А.).
БАНАХ5, Стефан (1892-1945) — один из крупнейших польских мате-
матиков, профессор Львовского университета (1924-45). После воссоедине-
ния Львова с Советской Украиной в 1939 Б. — член Львовского горсове-
та и декан физико-математического факультета университета. Б. — один
из создателей современного функционального анализа (см.). Его именем
обычно называют линейные пространства, в которых наиболее плодотвор-
но изучаются линейные функционалы и операторы. Основное сочинение
Б. «Теория линейных операций» издано на польском (1931), французском
(1933) и украинском (1948) языках. В годы немецкой оккупации Б. стал
жертвой неслыханных издевательств: фашистские варвары заточили его в
застенок, именовавшийся у них институтом. Там крупнейший ученый был
использован для кормления вшей с целью выработки противотифозной сы-
воротки.
Список работ и краткую биографию Б. см. «Успехи математических
наук. Новая серия», 1946, т. 1, вып. 3-4.
БАРИ6, Нина Карловна (р. 1901) — советский математик, проф. Мос-
ковского университета. Основные работы Б. относятся к теории функций
действительного переменного. Ей принадлежит ряд глубоких исследова-
ний, относящихся к вопросу об однозначности определения коэффициентов
тригонометрического ряда (см.) по изображаемой им функции.
Лит.-. Математика в СССР за тридцать лет 1917-1947. Сб. статей, под ред.
А. Г. Куроша (и др.], М.-Л., 1948 (имеется библиография).
БЕРНШТЕЙН7, Сергей Натанович (р. 1880) — советский матема-
тик, академик (с 1929). Основные труды Б. относятся к теории дифферен-
циальных уравнений (см.), теории приближения функций многочленами
(см. Приближение и интерполирование функций) и теории вероятностей
(см.). Изучая уравнения с частными производными второго порядка эл-
липтического типа (эти уравнения играют весьма важную роль в задачах
физики и механики), Б. еще в начале своей деятельности (1903) установил,
что при некоторых весьма общих условиях их решения являются аналити-
ческими функциями, т. е. представляются степенными рядами; опираясь
5БСЭ-2. - 1950. - Т. 4. - С. 183.
6БСЭ-2. - 1950. - Т. 4. - С. 245.
7БСЭ-2. - 1950. - Т. 5. - С. 52.
42
V. Статьи о математиках в энциклопедических изданиях
на этот факт, он разработал новый метод отыскания решений по задан-
ным граничным значениям. Другой большой цикл исследований Б., посвя-
щенный приближению функций многочленами, составляет существенный
вклад в теорию, созданную П. Л. Чебышевым и продолженную учеными
петербургской школы. Значение этих исследований — в раскрытии связей
между тем, насколько хорошо функция может быть приближена много-
членами различных степеней, и дифференциальными свойствами функций
(например наличием производных до определенного порядка, аналитично-
стью и т. п.). Из работ Б. и его учеников составилась ветвь теории функций,
которую сам Б. называет конструктивной теорией функций. В теории веро-
ятностей Б. принадлежат: первое по времени аксиоматическое построение
теории вероятностей (1917), исследование предельных теорем, продолжа-
ющее и в некотором отношении завершающее классические исследования
А. А. Маркова (старшего) и А. М. Ляпунова, исследование стохастических
дифференциальных уравнений, а также разработка применений методов
теории вероятностей к задачам физики и статистики.
За научные работы: «О суммах зависимых величин, имеющих взаимно
почти нулевую регрессию» (1941), «О приближении непрерывной функции
линейным дифференциальным оператором от многочлена» (1941), «О до-
верительных вероятностях Фишера» (1941), опубликованные в 1941, Б. бы-
ла присуждена Сталинская премия 1-й степени.
Соч. Б.: Исследование и интегрирование дифференциальны уравнений с
частными производными второго порядка эллиптического типа, «Сообщения
Харьковского математического об-ва. Вторая серия», 1908-1909, т. 11; О наи-
лучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной
степени, там же, 1912, т. 13,	2-3; Опыт аксиоматического обоснования теории
вероятностей, там же, 1917, т. 15; Экстремальные свойства полиномов и наилуч-
шее приближение непрерывных функций одной вещественной переменной, ч. 1,
Л.-М., 1937; Теория вероятностей, 4 изд., М.-Л., 1946; О первой краевой задаче
(задаче Дирихле) для уравнений эллиптического типа и о свойствах функций,
удовлетворяющих этим уравнениям, «Успехи математических наук», 1940, вып. 8
(совм. с И. Г. Петровским); Sur la nature analytique des solutions des £quations aux
derivees partielles du second ordre, «Mathematische Annalen», B.-Lpz., 1904, Bd 59
(c. 20-76).
JIum.\ К семидесятилетию Сергея Натановича Бернштейна, «Известия Акад,
наук СССР. Серия математическая», 1950, т. 14, У°3 (Список работ с 1941 года);
Кузьмин Р. О., Математические работы С. Н. Бернштейна, «Успехи математиче-
ских наук», 1940, вып. 8.
БРАУЭР8, Лёйтзен Эгберт Ян (р. 1882) — голландский математик.
В 1911-13 Б. получил впервые ряд важных результатов в области тополо-
гии (см.). В их числе: а) теорему об инвариантности числа измерений (два
8БСЭ-2. - 1951. - Т. 6. - С. 62-63 (совм. с С. А. Яновской).
V. Статьи о математиках в энциклопедических изданиях
43
эвклидовых пространства разного числа измерений не могут быть взаимно
однозначно и взаимно непрерывно отображены друг на друга); б) теорему
о неподвижной точке (всякое непрерывное отображение замкнутого шара в
себя оставляет неподвижной по меньшей мере одну его точку). В своих ра-
ботах по основаниям математики Б. исходит из позиций субъективного иде-
ализма и упорно пытается использовать трудности, связанные с теоретико-
множественными концепциями современной математики, для пропаганды
реакционных установок возглавляемого им интуиционизма (см.). Неза-
висимую от философии интуиционизма ценность имеет проведенный Б.
анализ математических доказательств существования с точки зрения по-
лучения конструкции тех объектов, существование которых доказывается.
В частности, А. Н. Колмогоровым было показано, что правила так назы-
ваемой интуиционистской логики находят свое реальное осуществление в
логике конструктивного решения математических проблем.
Лит.-. Александров П. С., Комбинаторная топология, М.-Л., 1947; Гуревич В.
и Волмэн Г., Теория размерности, пер. с англ., М., 1948; Вейль Г, О философии
математики. Сб. работ, пер. с нем., М.-Л., 1934 (см раздел: О новом кризисе основ
математики).
ВЕЙЛЬ9, Герман (р. 1885) — немецкий математик, эмигрировавший в
1934 в США. До 1930 — профессор Высшего технического училища в Цю-
рихе (Швейцария), в 1930-33 — профессор Гёттингенского университета
(Германия), с 1934 — профессор в Принстоне (США), член Национальной
академии наук США. Работы В. принадлежат к различным областям ма-
тематики. Первые работы В. были посвящены тригонометрическим рядам
и рядам по ортогональным функциям. В теории функций комплексного
переменного В. впервые дал строгое построение тех разделов этой теории,
которые опираются на понятие «римановской поверхности». В математи-
ческом анализе работы В. посвящены дифференциальным и интегральным
уравнениям. Введенные В. в теорию чисел так называемые «суммы Вей-
ля» получили большое значение в аддитивной теории чисел (особенно в
работах И. М. Виноградова).
Наиболее значителен комплекс работ В. по теории непрерывных групп
и их представлений с применениями к проблемам геометрии и физики.
Им была вместе с Петером доказана полнота системы неприводимых пред-
ставлений компактной группы и были изучены представления и характеры
полупростых групп. Введенное им понятие пространств аффинной связно-
сти играет существенную роль в современной дифференциальной геомет-
рии. За работы по геометрии В. получил премию имени Н. И. Лобачев-
ского. В ряде своих работ В. популяризовал значение идей теории групп
и современной дифференциальной геометрии для физики. Однако его соб-
9БСЭ-2. — 1951. — Т. 7. — С. 106-107 (совм. с С. А. Яновской).
44
V. Статьи о математиках в энциклопедических изданиях
ственные попытки построения «единой теории поля» не имели успеха. При
помощи методов теории групп В. получил некоторые результаты, относя-
щиеся к теории атомных спектров.
В области философии математики В. известен как представитель инту-
иционизма (см.) — разновидности реакционного субъективного идеализма.
Обнаружив неудачу предпринятой им в 1918 в работе «Континуум» попыт-
ки упрочить шаткий, с его точки зрения, фундамент классического мате-
матического анализа, В. примкнул к установкам Брауэра (см.). Признав
таким образом задачу обоснования классической математики неразреши-
мой, В. провозгласил наступление нового кризиса основ математики. Бес-
плодность и вред пропагандируемых В. философских установок видны, в
частности, из того, что сам В. вынужден отказываться от них в своих кон-
кретных математических работах.
Соч. В.: Weyl Н., Die Idee der Riemannschen Flache, 2 Aufl., Lpz., 1923; Raum.
Zeit. Materie, 5 Aufl., B., 1923; Gruppentheorie and Quantenmechnik, 2 Aufl., Lpz.,
1931; в рус. пер. — Алгебраическая теория чисел, М., 1947; Классические группы,
их инварианты и представления, М., 1947; Теория представлений непрерывных
полупростых групп при помощи линейных преобразований, «Успехи математи-
ческих наук», 1938, вып. 4; Об определении замкнутой выпуклой поверхности ее
линейным элементом, там же, 1948, т. 3, вып. 2.
ВИНЕР10 (Wiener) Норберт (26.XI.1894, Колумбия, Миссури, -
19.III.1964, Стокгольм), американский ученый. К 14 годам изучил высшую
математику, в 18 лет стал доктором философии Гарвардского универси-
тета. Раннее развитие В. отражено в его книге «Я вундеркинд» (1953).
С 1919 преподаватель, с 1932 профессор Массачусетского технологического
института. Занимался математической логикой и теоретической физикой.
В 1920-30-е гг. получил известность как математик работами по теории
потенциала, гармоническим функциям, рядам и преобразованиям Фурье,
тауберовым теоремам, общему гармоническому анализу. Большое значение
в теории случайных процессов получила введенная В. мера в пространстве
непрерывных функций («винеровская мера»).
Во время 2-й мировой войны 1939-45 В. занимался электрическими се-
тями, вычислительной техникой, в частности в связи с баллистическими
расчетами. Несколько позднее, но независимо от А. Н. Колмогорова, раз-
вил теорию интерполяции и экстраполяции стационарных случайных про-
цессов. В. развил для таких процессов теорию их «фильтрации», получив-
шую широкие технические применения. В 1945-47 работал в кардиологиче-
ском институте в Мехико. В эти годы у В. возникла идея о необходимости
создания единой науки, изучающей процессы хранения и переработки ин-
формации, управления и контроля. Для этой науки В. предложил название
10БСЭ-3. - 1971. - Т. 5. - С. 72.
V. Статьи о математиках в энциклопедических изданиях
45
«кибернетика», получившее общее признание. Естественно, что конкретное
содержание этой новой области знания не является созданием одного В.
Не меньшую роль сыграли в формировании кибернетики, например, идеи
К. Шеннона. Но В. принадлежит, несомненно, первое место в пропаганде
значения кибернетики во всей системе человеческих знаний.
Философские и социологические взгляды В. эклектичны. Однако долж-
ны быть отмечены его настойчивые высказывания о моральной ответствен-
ности ученых в деле сохранения мира и борьбы против использования до-
стижений науки в агрессивной военной политике. В сочинениях писателей-
фантастов получила большой отклик идея В. о возможности «бунта ма-
шин».
Соч. В.: Я — математик, 2 изд., М., 1967; Интеграл Фурье и некоторые его
приложения, М., 1963; Преобразование Фурье в комплексной области, М., 1964
(совм. с Р. Пэли); Кибернетика, 2 изд., М., 1968; Кибернетика и общество, М.,
1958; Новые главы кибернетики, М., 1963.
ГИЛЬБЕРТ11, Хильберт (Hilbert) Давид (23.1.1862, Велау, близ Кё-
нигсберга, - 14.11.1943, Гёттинген), немецкий математик. Окончил Кёниг-
сбергский университет, в 1893-95 профессор там же, в 1895-1930 профес-
сор Гёттингенского университета, до 1933 продолжал читать курс лекций в
университете, после прихода гитлеровцев к власти в Германии (1933) жил
в Гёттингене в стороне от университетских дел. Исследования Г. оказали
большое влияние на развитие многих разделов математики, а его деятель-
ность в Гёттингенском университете в значительной мере содействовала
тому, что Гёттинген в 1-й трети 20 в. являлся одним из основных мировых
центров математической мысли. Диссертации большого числа крупных ма-
тематиков (среди них Г. Вейль, Р. Курант) были написаны под руковод-
ством Г.
Научная биография Г. резко распадается на периоды, посвященные ра-
боте в какой-либо одной области математики: а) теория инвариантов (1885—
93), б) теория алгебраических чисел (1893-98), в) основания геометрии
(1898-1902), г) принцип Дирихле и примыкающие к нему проблемы вариа-
ционного исчисления и дифференциальных уравнений (1900-06), д) теория
интегральных уравнений (1900-10), е) решение проблемы Баринга в теории
чисел (1908-09), ж) основы математической физики (1910-22), з) логиче-
ские основы математики (1922-39).
В теории инвариантов исследования Г. явились завершением периода
бурного развития этой области математики во 2-й половине 19 в. Им до-
казана основная теорема о существовании конечного базиса системы ин-
вариантов. Работы Г. по теории алгебраических чисел преобразовали эту
"Печатается по изданию: БСЭ-3. — 1971. — Т. 6. — С. 519. См. также: БСЭ-2. —
1952. — Т. 11. — С. 370-371.
46
V. Статьи о математиках в энциклопедических изданиях
область математики и стали исходным пунктом ее последующего развития.
Данное Г. решение проблемы Дирихле положило начало разработке так
называемых прямых методов в вариационном исчислении. Построенная Г.
теория интегральных уравнений с симметричным ядром составила одну из
основ современного функционального анализа (см. Гильбертово простран-
ство) и особенно спектральной теории линейных операторов. «Основания
геометрии» Г. (1899) стали образцом для дальнейших работ по аксиомати-
ческому построению геометрии. К 1922 у Г. сложился значительно более
обширный план обоснования всей математики путем ее полной формали-
зации с последующим «метаматематическим» доказательством непротиво-
речивости формализованной математики. Два тома «Оснований матема-
тики». написанных Г. совместно с П. Бернайсом, в которых эта концепция
подробно развивается, вышли в 1934 и 1939. Первоначальные надежды Г.
в этой области не оправдались: проблема непротиворечивости формализо-
ванных математических теорий оказалась глубже и труднее, чем Г. пред-
полагал сначала. Но вся дальнейшая работа над логическими основами
математики в большой мере идет по путям, намеченным Г., и пользуется
созданными им концепциями. Считая с логической точки зрения необхо-
димой полную формализацию математики, Г. в то же время верил в силу
творческой математической интуиции. Он был большим мастером в выс-
шей степени наглядного изложения математических теорий. В этом от-
ношении замечательна «Наглядная геометрия», написанная Г. совместно
с С. Кон-Фоссеном. Для творчества Г. характерны уверенность в неогра-
ниченной силе человеческого разума, убеждение в единстве математиче-
ской науки и единстве математики и естествознания. Собрание сочинений
Г., изданное под его наблюдением (1932-35), кончается статьей «Познание
природы», а эта статья лозунгом «Мы должны знать — мы будет знать».
Соч. Г.: Gesammelte Abhandhingen, Bd 1-3, В., 1932-35: в рус. пер. — Основа-
ния геометрии, М.-Л., 1948; Основы теоретической логики, М., 1947 (совм. с Ак-
керманом); Наглядная геометрия, 2 изд., М.-Л., 1951 (совм. с С. Кон-Фоссеном).
Литл Проблемы Гильберта. Сборник, под ред. П. С. Александрова, М., 1969;
Weyl Н., David Hilbert and his mathematical work, «Bulletin of the American Math-
ematical Society», 1944, t. 50, p. 612-54; Reid C., Hilbert, B., 1970.
ГНЕДЕНКО12, Борис Владимирович (p. 1912) — советский матема-
тик, действительный член Академии наук УССР (с 1948), с 1950 — про-
фессор Киевского университета. Исследования Г. относятся к теории ве-
роятностей и истории математики. Основные из них посвящены предель-
ным теоремам для сумм независимых случайных величин, а также истории
русской (в том числе советской) математики. Работая во Львовском уни-
12БСЭ-2. - 1952. - Т. 11. - С. 545.
V. Статьи о математиках в энциклопедических изданиях
47
верситете (1945-50), Г. много сделал для восстановления этого научного
центра.
Соч. Г.: Об области притяжения нормального закона, «Доклады Акад, на-
ук СССР», 1950, т. 71, №3; Предельные распределения для сумм независимых
случайных величин, М.-Л., 1949 (совм. с А. Н. Колмогоровым); Курс теории ве-
роятностей, М.-Л., 1950.
Лит.\ Математика в СССР за тридцать лет. 1917-1947. Сб. статей, М.-Л.,
1948 (имеется библиография трудов Г.).
ИМШЕНЕЦКИЙ13, Василий Григорьевич (1832-1892) — русский ма-
тематик и механик, один из основателей Харьковского (1879) и Петербург-
ского (1891) математических обществ, с 1881 — академик. Работы И. отно-
сятся к теории дифференциальных уравнений с частными производными,
где им были значительно развиты и обобщены методы К. Якоби, О. Ко-
ши и др. Он распространил прием отделения переменных на уравнения с
частными производными первого порядка и дал новое приложение способа
изменения произвольных постоянных к интегрированию уравнений с част-
ными производными второго порядка. Это значительно увеличило круг
решаемых задач в различных прикладных науках.
Соч. И.: Интегрирование дифференциальных уравнений с частными произ-
водными 1-го и 2-го порядков, М., 1916; Канонические дифференциальные урав-
нения гибкой нерастяжимой нити и брахистохроны в случае потенциальных сил,
Харьков, 1880.
Лит.: Андреев К. А. [и др.], Жизнь и научная деятельность Василия Григо-
рьевича Имшенецкого, М., 1896 (имеется библиография трудов И.).
МАРКОВ14, Андрей Андреевич [2(14).6.1856, Рязань, - 20.7.1922, Пет-
роград], русский математик, специалист по теории чисел, теории вероят-
ностей и математическому анализу. С 1886 адъюнкт Петербургской АН,
с 1890 экстраординарный, а с 1896 ординарный академик. Родился в семье
мелкого чиновника. В 1878 окончил Петербургский университет со степе-
нью кандидата и в том же год}' получил золотую медаль за работу «Об
интегрировании дифференциальных уравнений при помощи непрерывных
дробей». С 1880 приват-доцент, с 1886 профессор, с 1905 заслуженный про-
фессор Петербургского университета. Научные исследования М. примыка-
ют по тематике к работам старших представителей петербургской мате-
матической школы П. Л. Чебышева, Е. И. Золотарева и А. Н. Коркина.
Блестящие результаты в области теории чисел, которые М. получил в ма-
гистерской диссертации «О бинарных квадратичных формах положитель-
ного определителя» (1880), послужили основой для дальнейших исследова-
ний в этой области. Работы М. по анализу относятся к теории непрерывных
13БСЭ-2. - 1952. - Т. 17. - С. 607.
14Печатается по изданию: БСЭ-3. — 1974. — Т. 15. — С. 379. См. также: БСЭ. — 1938. —
Т. 38. - С. 152-153; БСЭ-2. - 1954. - Т. 26. - С. 294-295.
48
V. Статьи о математиках в энциклопедических изданиях
дробей, к изучению предельных значений интегралов при некоторых усло-
виях, наложенных на подынтегральную функцию, к вопросам улучшения
сходимости рядов и к теории наилучших приближений. М. дал чрезвычай-
но простое решение вопроса об определении верхней границы производной
от многочлена по данной верхней границе самого многочлена. В теории ве-
роятностей М. восполнил пробел, остававшийся в доказательстве основной
предельной теоремы, и тем самым впервые дал полное и строгое доказа-
тельство этой теоремы в практически достаточно общих условиях. Даль-
нейшие работы М. по распространению основной предельной теоремы на
последовательности зависимых величин привели к замечательной общей
схеме «испытаний, связанных в цепь». На этой элементарной схеме М.
установил ряд основных закономерностей, положивших начало всей со-
временной теории случайных марковских процессов. М. много занимался
различными приложениями теории вероятностей и дал, в частности, обще-
принятое ныне вероятностное обоснование метода наименьших квадратов.
Учебник М. «Исчисление вероятностей» (1900) оказал большое влияние на
развитие этой науки, а по точности получаемых простыми средствами ре-
зультатов представляет интерес до сих пор. Широкое распространение по-
лучил также его учебник «Исчисление конечных разностей» (1886, литогр.
изд., 2 изд., 1910). М. был прогрессивным ученым, выступал с разобла-
чением реакционных направлений в науке, протестовал против действий
царского правительства, отказавшегося утвердить М. Горького почетным
членом Академии наук.
Соч. М.: Избр. труды. Теория чисел. Теория вероятностей, [М.], 1951 (имеется
биография, написанная А. А. Марковым-сыном, библиография трудов М. и лит.
о нем); Избранные труды по теории непрерывных дробей и теории функций, наи-
менее уклоняющихся от нуля, М.-Л., 1948; Исчисление вероятностей, 4 изд.,
М., 1924.
Лит.: Материалы для биографического словаря действительных членов Ака-
демии наук, ч. 2, П., 1917 (автобиография и список трудов М.).
МИЗЕС15, Рихард (р. 1883) — немецкий математик и механик. В 1905
окончил Венский университет. Был профессором Страсбургского (1909-18)
и Берлинского (1920-33) университетов. В 1933 эмигрировал из фашист-
ской Германии; в 1933-39 — профессор Стамбулского университета (Тур-
ция), с 1939 — Гарвардского университета (США). Основные работы от-
носятся к теории вероятностей. Работал также в области аэромеханики и
прикладной механики. В теории вероятностей М. ввел в общее употребле-
ние интегралы Стилтьеса и первым подробно разъяснил значение теории
цепей Маркова для физики.
,5БСЭ-2. - 1954. - Т. 27. - С. 414.
V. Статьи о математиках в энциклопедических изданиях
49
М. сделал попытку обоснования теории вероятностей, идентифицируя
вероятность с пределом частот в бесконечной последовательности испыта-
ний. М. выступал против субъективистского истолкования вероятности как
меры субъективной уверенности в наступлении события. Однако, будучи
махистом, М. не видит за фактом устойчивости частот появления события
А при многократном повторении некоторой совокупности условий S объ-
ективной зависимости наступления события А от осуществления условий
S. Самую постановку вопроса об объяснении причин устойчивости частот
М. считает бессмысленной; по мнению М., можно говорить о вероятности
Р(А | S) только после того, как устойчивость частот наблюдена. Это мне-
ние противоречит практике научного исследования (см. Вероятность).
Лит.: Mises R., Vorlesungen aus dem Gebiete der angewandten Mathematik,
Bd. 1 — Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Anwendung in der Statistik und theoret-
ischen Physik, Lpz.-W., 1931; в рус. пер. — Вероятность и статистика, М.-Л., 1930;
Теория полета, М., 1949.
СЛУЦКИЙ16, Евгений Евгеньевич (1880-1948) — советский матема-
тик. В 1901-02 учился в Киевском университете, в 1902-05 — в Мюнхен-
ском политехникуме; в 1905 поступил на юридический факультет Киевско-
го университета, который окончил с золотой медалью. С 1913 — препода-
ватель Киевского коммерческого института. С 1926 работал в Централь-
ном статистическом управлении. С 1934 — в Московском университете, с
1938 — в Математическом институте Академии наук СССР. С. является
одним из создателей современной теории случайных функций (распреде-
лений в функциональных пространствах). Часть работ посвящена оценке
параметров (коэффициентов корреляции и т. п.) по рядам связанных на-
блюдений. Результаты, полученные в этой области, С. применил к теории
гидрологических процессов. Последние годы жизни С. работал над состав-
лением таблиц функций от нескольких переменных.
Соч. С.: Таблицы для вычисления неполной Г-функции и функции вероятно-
сти т2, под ред. акад. А. Н. Колмогорова, М.-Л., 1950.
Лит.: Колмогоров А. Н., Евгений Евгеньевич Слуцкий [Некролог], «Успехи
математических наук», 1948, т. 3, вып. 4 (имеется библиография научных тру-
дов С.).
СМИРНОВ17, Николай Васильевич (р. 1900) — советский математик.
Лауреат Сталинской премии (1951). В 1926 окончил Московский универ-
ситет. С 1937 — преподаватель, а с 1939 — профессор Московского го-
родского педагогического института. Одновременно (с 1938) — сотрудник
Математического института Академии наук СССР. Основные труды С.
16БСЭ-2. - 1956. - Т. 39. - С. 378.
17БСЭ-2. - 1956. - Т. 39. - С. 406.
50	V. Статьи о математиках в энциклопедических изданиях
посвящены теории вероятностей и особенно математической статистике.
Теория непараметрических методов (см.) математической статистики в
значительной мере создана С. Награжден орденом Трудового Красного
Знамени и медалью.
Соч. С.: Предельные законы распределения для членов вариационного ряда,
М., 1949.
Литл Математика в СССР за 30 лет. 1917-1947. Сборник статей, под ред.
А. Г. Куроша [и др.], М.-Л., 1948 (имеется библиография трудов С.).
VI
Статьи
о математиках
в других изданиях

ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ
(к семидесятилетию со дня рождения
и пятидесятилетию научной деятельности)
7 мая 1966 г. исполнилось семьдесят лет профессору Московского уни-
верситета, действительному члену Академии наук СССР Павлу Сергееви-
чу Александрову.
Павел Сергеевич родился в городе Ногинске (ранее Богородск) в семье
известного земского врача Сергея Александровича Александрова.
Математическое образование Павел Сергеевич получил в Московском
университете, куда он поступил в 1913 г. На выбор профессии серьезно
повлиял его школьный учитель математики Александр Романович Эйгес,
правильно оценивший способности своего лучшего ученика.
Учителями, или, как теперь принято говорить, научными руководите-
лями, студента П. С. Александрова были профессора Дмитрий Федорович
Егоров и Николай Николаевич Лузин. Первыми научными результатами
Павла Сергеевича были теорема о мощности борелевских множеств, а так-
же построение широко известной A-операции, названной так другим за-
мечательным учеником Н. Н. Лузина Михаилом Яковлевичем Суслиным
в честь П. С. Александрова. Не будет преувеличением сказать, что эти
результаты П. С. Александрова вместе с другими явились основными в
фундаменте теории борелевских и аналитических множеств.
Как бы в ответ на эти успехи Н. Н. Лузин поставил перед Павлом Сер-
геевичем труднейшую и, как теперь понятно, не разрешимую имеющимися
тогда средствами проблему континуума. Неудача оказалась большим уда-
ром для Павла Сергеевича, и он на несколько лет, к сожалению, отошел от
математики.
Громаднейшее влияние на Павла Сергеевича оказала его тесная друж-
ба с Павлом Самуиловичем Урысоном. Вместе они стали заниматься тогда
у нас еще неизвестной ветвью математики — абстрактной или общей то-
пологией. Ими была построена теория компактных (счетно-компактных)
пространств, а самим Павлом Сергеевичем — теория пространств биком-
пактных (компактных — в новой терминологии).
Успехи математических наук. — 1966. — Т. 21, вып. 4. — С. 4-7 (совм. с Л. А. Люст-
ерником, Ю. М. Смирновым, А. Н. Тихоновым и С. В. Фоминым).
54
VI. Статьи о математиках в других изданиях
Теория бикомпактных пространств вместе с ее дальнейшим развитием в
работах ученика Павла Сергеевича — Андрея Николаевича Тихонова явля-
ется незаменимым вкладом Павла Сергеевича в современную математику.
Совместные с П. С. Урысоном, а также и самостоятельные исследования
проблемы метризации топологических пространств несомненно были неко-
торыми из тех зерен, из которых потом возникла равномерная топология.
Отметим также результаты Павла Сергеевича, относящиеся к бикомпакт-
ным расширениям топологических пространств. Прибавим к этому, что
столь широко употребляемое ныне в общей топологии понятие локально-
конечного покрытия впервые было определено П. С. Александровым.
Во время своих заграничных поездок, начавшихся с 1923 г., П. С. Алек-
сандров стал заниматься другим направлением топологии — комбина-
торной топологией, в те времена почти неизвестной в Советском Союзе.
Он сумел объединить обе эти ветви вместе и широко развить полученную
им теорию, которая несомненно послужила достаточным основанием для
современной алгебраической топологии. Прибавим к этому, что одно из
основных понятий алгебраической топологии — так называемая «точная
последовательность» — было придумано Павлом Сергеевичем.
Главнейшими понятиями этой объединенной теории являются найден-
ные П. С. Александровым чисто геометрическое понятие нерва системы
множеств и весьма абстрактное понятие спектра симплициальных ком-
плексов, оказавшиеся пригодными и необычайно удобными для исследова-
ния сколь угодно общих и абстрактных образований. Одной из важнейших
теорем здесь явилась так называемая теорема об е-сдвигах компактов в по-
лиэдры, по существу утверждающая, что каждый компакт (теперь можно
сказать, что почти всякое топологическое пространство) можно аппрокси-
мировать сколь угодно точно столь простыми геометрическими фигурами,
как полиэдры. В свою очередь эта теорема открыла возможность постро-
ения так называемых спектральных групп гомологии (и когомологий), а
стало быть, и самых разнообразных гомологических инвариантов для ши-
рокого класса топологических пространств. До сих пор подобные группы
и инварианты были известны лишь для полиэдров.
Большая роль принадлежит Павлу Сергеевичу и в теории размерности
топологических пространств, начатой еще П. С. Урысоном. Это касается
прежде всего теории существенных отображений в полиэдры и гомоло-
гической теории размерности. Дело в том, что более ранние определения
размерности Брауэра, Менгера и Урысона «практически» позволяли де-
лать оценку размерности сверху, в то время как определения П. С. Алек-
сандрова позволяют оценивать размерность снизу. Полученные Павлом
Сергеевичем результаты гомологической теории размерности привели к
решению задачи Урысона о характеризации размерности компактов, ле-
П. С. Александров (к 70-летню со дня рождения)
55
жащих в евклидовых пространствах, с помощью гомологических свойств
дополнительных открытых множеств. Эти же результаты позволили Льву
Семеновичу Понтрягину решить еще одну важную задачу о размерности
произведения компактов. На том же пути им же был найден и доказан зна-
менитый закон двойственности для компактов, расположенных в евклидо-
вых пространствах, и дополнительных к компактам открытых множеств.
Обе задачи были поставлены П. С. Александровым, который впоследствии
обобщил этот закон двойственности Л. С. Понтрягина на произвольные
множества. Другие очень интересные формы столь же общего закона двой-
ственности были еще позднее получены учеником Павла Сергеевича — Ки-
риллом Александровичем Ситниковым. Заметим еще, что не без влияния
П. С. Александрова некоторые совсем иного рода законы двойственности
были найдены Андреем Николаевичем Колмогоровым.
Вот весьма вкратце кажущиеся нам главнейшими научные результаты
П. С. Александрова.
Павел Сергеевич непосредственно не занимался приложением тополо-
гии к анализу, но он очень много сделал для самой возможности такого
ее применения. Анализ не мог ограничиться правильными образами клас-
сической комбинаторной топологии. Предельный переход превращает их в
сложные образы теоретико-множественной топологии. С другой стороны,
анализ не может ограничиться конечномерными образами, поскольку ему
приходится иметь дело также и с бесконечномерными функциональными
пространствами. Поэтому перенесение гомологических понятий на множе-
ства весьма общей природы имеет принципиальное значение для топологи-
ческих методов анализа. Например, пространство допустимых кривых в ва-
риационных задачах обычно локально-компактное бесконечномерное про-
странство. Отсюда топологические методы вариационного исчисления ши-
роко используют общую гомологическую теорию Павла Сергеевича. Гомо-
логическая теория размерности, основные понятия которой были созданы
Павлом Сергеевичем в 1932 г., также может служить ярким примером при-
менения гомологических методов к изучению теоретико-множественных
объектов сложной природы.
Павлу Сергеевичу принадлежит заслуга создания советской топологи-
ческой школы, пользующейся сейчас всеобщим признанием. И в настоящее
время Павел Сергеевич много внимания уделяет воспитанию способной мо-
лодежи университета, решившей заниматься общей топологией. Только за
последние два года трое из его учеников защитили докторские диссерта-
ции — это Борис Алексеевич Пасынков, Владимир Иванович Пономарев и
Александр Владимирович Архангельский. Павла Сергеевича всегда окру-
жают его ученики разного возраста и положения — от известных ученых
до студентов-первокурсников.
56
VI. Статьи о математиках в других изданиях
Для одних он читает курсы лекций, вместе с другими проводит семина-
ры как учебного, так и научно-исследовательского характера, а также ру-
ководит научной работой. Лекции Павла Сергеевича можно слушать как
литературные произведения: столько в них чувства, мастерства и арти-
стичности в лучшем смысле этого слова. Павел Сергеевич руководит ка-
федрой высшей геометрии и топологии, а также и математическим отделе-
нием Московского университета, и это руководство отнюдь не формальное.
Он заведует отделом по общей топологии Математического института Ака-
демии наук СССР. Тридцать три года подряд Павел Сергеевич был пре-
зидентом Московского математического общества, которому отдал много
своих сил, а начиная с 1964 г. является его почетным президентом. В те-
чение многих лет он является главным редактором настоящего журнала
[«Успехи математических наук»], а также входит в состав редакции жур-
налов «Математический сборник» и «Труды Московского математического
общества». Отметим еще, что Павел Сергеевич был в числе первых орга-
низаторов Московской олимпиады для школьников в 1935 г.
Научная, педагогическая и общественная деятельность Павла Сергее-
вича Александрова высоко оценена: в 1929 г. он был избран членом-коррес-
пондентом Академии наук СССР, а в 1953 г. — действительным ее членом.
Он является членом многих иностранных академий. Правительство Совет-
ского Союза наградило Павла Сергеевича орденами «Знак Почета», «Тру-
довое Красное Знамя» и тремя орденами Ленина. За работу «Гомологи-
ческие свойства расположения комплексов и замкнутых множеств» Совет
Министров СССР присудил ему Государственную премию первой степени.
П. С. АЛЕКСАНДРОВ
И ТЕОРИЯ ^-ОПЕРАЦИЙ
Множества точек числовой прямой, допускающие сколько-нибудь про-
стое определение, либо конечны, либо счетны, либо имеют мощность кон-
тинуума. Вопрос о том, будет ли это верно в применении к любому подмно-
жеству числовой прямой, составляет, как известно, проблему континуума.
В начале двадцатого века казалось естественным искать решение проблемы
континуума, рассматривая все более общие классы точечных множества.
В ряду классов борелевских множеств
Е Fa, Fa6i Fa6a, ...;
G-, Ga, Gag, Ga^a,
положительное решение проблемы очевидно для класса Fa (и, конечно, для
заключенных в нем классов F и G). Юнг в 1906 г. добрался до класса Gsff, а
в 1914 г. Хаусдорф в первом издании своих «Оснований теории множеств»
показал, что решение остается положительным для множеств класса Gsff6a-
Естественно, что дальнейшее продвижение в этом направлении должно
было сильно интересовать математиков, занимавшихся теорией множеств.
Полное положительное решение проблемы для всех борелевских множеств
было найдено в 1916 г. П. С. Александровым [1] и Хаусдорфом [4].
Как П. С. Александров, так и Хаусдорф приходят к решению про-
блемы континуума для борелевских множеств, доказывая, что борелевское
множество, мощность которого больше счетной, содержит совершенное
подмножество. В основе доказательства у обоих авторов лежит рассмот-
рение схемы порождения любого борелевского множества Е:
£ = nUE",
jl и
J2 г2
JA IA
где все цепочки множеств
г»Х1 piiiz
’	7172’  ' ' ’	7172-7A
Успехи математических наук. — 1966. — T. XXI, вып. 4. — С. 275-278.
58
VI. Статьи о математиках в других изданиях
обрываются при каком-либо конечном Л на замкнутом (у Хаусдорфа от-
крытом) множестве.
Общее число замкнутых множеств, из которых получается таким обра-
зом борелевское множество Е, счетно. Их можно занумеровать натураль-
ными числами
Fl, F?,..., Fs,...
и записать множество Е в виде
Е = Ф(Г1,Г2,...,Гв,...),
где Ф — знак некоторой операции над множествами Fs. Легко видеть, что
операция эта а) аналитическая и б) положительная в смысле определе-
ний, введенных Канторовичем и Ливенсоном [5].
Определение 1. Операция
Е = Ф(Е1,...,Ез,...)
называется аналитической, если из равносильности включений
X € Eg <	► У С Eq
(при любом s) вытекает равносильность включений
х € Е «—> у е Е,
т. е. если принадлежность точки х к множеству Е полностью определяется
номерами тех Ех, в которые входит точка х.
Определение 2. Операция
Е = Ф(Е1,...,Ев,...)
называется положительной, если из
E's С Es (при всех .$)
вытекает
Ф(^,...,Е',...)СФ(Е1,...,£;3,...).
П. С. Александров и теория бз-операций
59
Любая аналитическая операция может быть заменена аналитической
положительной операцией над множествами Е3 и их дополнениями. Класс
же аналитических положительных операций совпадает с классом 6 s- опера-
ций, т. е. операций, которые могут быть записаны в виде
Ф(Еь...,Ев,...) = U П Es,
See seS
где 0 — некоторое множество подмножеств натурального ряда.
В пространстве подмножеств натурального ряда существует естествен-
ная топология1. Рассмотрения, проведенные П. С. Александровым в замет-
ке [1], по существу обозначают следующее:
1. При записи конструкции (1) в виде is-операции
Е = Ф(Еь...,Ев,...) = П U F3	(2)
see seS
множество 0 оказывается (при наиболее естественном его построении) за-
мкнутым.
2. Если множество последовательностей в формуле (2) замкнуто, то
операция Ф из замкнутых множеств F3 производит множество Е, кото-
рое либо конечно, либо счетно, либо содержит совершенное множество.
Естественно возникает вопрос, какие множества Е можно получить,
применяя is-операции с замкнутым 0 к: а) замкнутым множествам, б) от-
крытым множествам, в) борелевским множествам? Ответ во всех случаях
один: суслинские множества и только их. При этом нет необходимости
пользоваться всеми возможными is-операциями с замкнутыми множества-
ми 0. Можно указать одну такого рода стандартную is-операцию, которая
из замкнутых (открытых) множеств производит все суслинские множества.
Хорошо известно, что такую операцию можно записать более обозримым
образом, если нумеровать исходные множества не натуральными числами,
а «кортежами» из натуральных чисел
s = {si,...,sn}.
Интересующая нас Л-операция определяется формулой
~ Е3х П E8lS2 EsiS2S3 И • • • ,
!Эта топология задается, например, расстоянием
п€^1 Д Кд
где Ei А Ез обозначает симметрическую разность множеств Е\ и Ез-
60
VI. Статьи о математиках в других изданиях
где суммирование распространяется на все последовательности S1S2S3...
По этой операции суслинские множества называют также А-множествами.
Определение Д-операции по существу содержится в той же заметке
П. С. Александрова [1]. Произвольное борелевское множество Е получает-
ся в этой заметке «с точностью до счетного множества» из «канонических
множеств» 7Гр. Так как эти канонические множества, являясь конечны-
ми пересечениями исходных множеств, Е1^ ’замкнуты, а пренебрежение
счетным множеством несущественно (легко избегается), то тем самым бы-
ло установлено, что любое борелевское множество получается Д-операцией
из замкнутых множеств. К сожалению, более систематического изложения
с явным определением Д-операции и формулировкой теоремы о том, что
каждое борелевское множество является Д-множеством, П. С. Алексан-
дров не опубликовал. Естественно возник вопрос о том, является класс
Д-множеств более широким, чем класс борелевских множеств, или же он
существенно шире. В том же 1916 г. вопрос этот был решен М. Я. Сусли-
ным, который показал, что существуют A-множества, не являющиеся боре-
левскими, что и привело к развитию самостоятельной теории суслинских
множеств. М. Я. Суслиным, в частности, было установлено, что вообще
суперпозиция Д-операции по схеме
Е = А{Е$},
Es = д{е;}
приводит только к множествам Е, которые могут быть получены из мно-
жеств Е^ (взятых с новыми номерами и с повторениями) однократной Д-
операцией. В общей теории <5«-операций такие операции называются нор-
мальными.
В работе [2] П. С. Александров ввел еще одну (Ss-операцию над множе-
ствами, названную им Г-операцией. Чтобы компактно высказать ее опре-
деление, следует заметить, что каждому кортежу
S = (si,...,sn)
соответствует множество Es числовых последовательностей
SjS2•••Sn^n+l • • • ,
имеющих начало s\S2---sn- Множество кортежей 0 называется Г-цепью,
если соответствующие множества Es покрывают все множество числовых
последовательностей (которое в такого рода вопросах принято называть
«бэровским пространством»), Г-операция определяется формулой
Е = U П Es,
ecfse©
где (5 — множество всех Г-цепей.
П. С. Александров и теория 6з-операций
61
П. С. Александров устанавливает формулу
Ж) = г{ё3},	(3)
где Е обозначает дополнение к множеству Е. По существу здесь П. С. Алек-
сандров для частного случая A-операции вводит «дополнительную» к ней
Йе-операцию. Общее определение (Js-операции Ф, дополнительной к данной
Йе-операции Ф, и обобщающая (3) формула
Ф(Е\,... ,Е3,..= Ф(ЁЬ...	  )
лежат в основе моей работы [6].
В заметке [3] П. С. Александров пользуется тем, что Г-операция при-
водит к «положительному» определению множеств, дополнительных к А-
множествам, и доказывает топологическую инвариантность этого класса
множеств.
Теория Йе-операций далее разрабатывалась мною, Хаусдорфом (второе
издание «Оснований теории множеств»), Канторовичем, Ливенсоном, Ля-
пуновым и многими другими.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
[1]	Р. Alexandroff, Sur la puissance des ensembles mesurables B, Conipt. Rend. Acad.
Sci. (Paris) 162 (1916), 323-325.
[2]	P. Alexandroff, Sur les ensembles comptementaires aux ensembles (A), Fund. Math.
5 (1924), 160-165.
[3]	P. Alexandroff, Sur 1’invariance topologique des ensembles compl£mentaires aux
ensembles А, Матем. сб. 5 (1924), 310-318.
[4]	F. Hausdorff, Die Machtigkeit der Borelscher Mengen, Math. Ann. 77 (1916),
430-437.
[5]	L. Kantorovitch and E. Livenson, Memoir on the Analytical Operations and Pro-
jective Sets, Fund. Math. 18 (1932), 234-279.
(6]	A. H. Колмогоров, Об операциях над множествами, Матем. сб. 35 (1928),
415-421.
ПАВЕЛ СЕРГЕЕВИЧ АЛЕКСАНДРОВ
(к восьмидесятилетию со дня рождения)
7 мая 1976 г. исполнилось восемьдесят лет Павлу Сергеевичу Алексан-
дрову.
Родился Павел Сергеевич 7 мая 1896 г. в городе Богородске (ныне —
Ногинск). Его отец, Сергей Александрович Александров, принадлежал к
передовой русской интеллигенции своего времени. Он оказал большое вли-
яние на формирование мировоззрения Павла Сергеевича, привил ему еще
в юношеские годы уважение и интерес к науке, а также уважение к труду,
направленному на благо народа. Сергей Александрович закончил меди-
цинский факультет Московского университета. Он отклонил предложение
остаться для работы в университете, так как считал, что медицину нужно
нести в народ, и уехал работать участковым врачом в Ярославскую губер-
нию. Позднее Сергей Александрович работал старшим врачом Богородской
уездной земской больницы, а все последующие годы — с 1897 по день сво-
ей смерти в 1920 г. — старшим врачом Смоленской губернской больницы,
которая благодаря ему выдвинулась в число лучших в то время больниц
России. Сергей Александрович был крупным специалистом-хирургом и в
то же время ярким представителем русской земской медицины.
Мать Павла Сергеевича, Цезария Акимовна Александрова (урожден-
ная Здановская), была хорошо образованным человеком, отдавшим все
свои силы воспитанию детей. «В доме всегда было много музыки», — вспо-
минает Павел Сергеевич, все братья и сестры которого обучались музыке.
Мать обучала Павла Сергеевича французскому языку, в раннем детстве
он хорошо овладел также немецким языком.
В годы обучения в Смоленской общественной гимназии (Павел Сер-
геевич был в ней первым учеником и окончил ее с золотой медалью) на
своеобразный склад ума и математическую одаренность Павла Сергеевича
обратил внимание его учитель математики Александр Романович Эйгес.
Павел Сергеевич, в отличие от обычных школьных математических та-
лантов, не увлекался решением математических задач на построение или
головоломных уравнений. Еще в гимназии Павел Сергеевич изучал небес-
ную механику и математический анализ. Но его преимущественный инте-
рес был направлен к фундаментальным вопросам математики — основа-
Успехи математических наук. — 1976. — Т. 31, вып. 5. — С. 3-14 (совм. с А. В. Ар-
хангельским, А. А. Мальцевым, О. А. Олейник).
П. С. Александров (к 80-летню со дня рождения)
63
ниям геометрии и неевклидовой геометрии. А. Р. Эйгес правильно оценил
своего ученика и оказал решающее влияние на выбор им математической
профессии.
А. Р. Эйгес, будучи человеком большой и широкой культуры, оказал
большое влияние на литературные вкусы своего ученика и на его гумани-
тарные интересы. По окончании гимназии (1913 г.) Павел Сергеевич по-
ступил в Московский университет, рассчитывая сделаться по окончании
курса преподавателем математики в гимназии, так как деятельность учи-
теля казалась ему всегда привлекательной. И с этих пор вся жизнь Павла
Сергеевича неразрывно связана с Московским университетом.
Уже на первом курсе он по совету В. В. Степанова принял участие в
семинаре Д. Ф. Егорова. В. В. Степанов, бывавший часто в семье Алек-
сандровых еще в Смоленске, с самого начала студенческой жизни Павла
Сергеевича проявлял большой интерес к его математическим занятиям и
своими советами содействовал их успеху.
На втором курсе произошла встреча Павла Сергеевича с Николаем Ни-
колаевичем Лузиным. Павел Сергеевич вспоминает об этом так. «После
лекции Лузина я обратился к нему за советом, как мне заниматься мате-
матикой дальше, и был прежде всего поражен внимательностью Лузина к
собеседнику — 18-летнему студенту... Я стал тогда же учеником Лузина,
и это было в эпоху его наивысшего творческого подъема... Видя Лузина
в эти годы, я видел действительно то, что называется вдохновенным от-
ношением к науке. Я не только учился у него математике, я получил и
урок того, что такое настоящий ученый, а также и урок того, чем может
и должен быть профессор университета. Тогда же я понял, что наука и
приобщение к ней новых молодых людей — две стороны одной и той же
деятельности — деятельности ученого».
В 1915 г. Павел Сергеевич получает свой первый научный результат:
доказывает фундаментальную теорему о мощности В-множеств. Он дока-
зывает, что каждое несчетное борелевское множество содержит совершен-
ное подмножество. Аппарат, созданный Павлом Сергеевичем для доказа-
тельства этой теоремы, — A-операция (названная так М. Я. Суслиным в
честь Павла Сергеевича) — оказал очень существенное влияние на дальней-
шее развитие теоретико-множественных методов. Теорема Александрова о
мощности борелевских множеств произвела сильное впечатление на Лебе-
га, считавшего, что она вызывает значительный и философский интерес.
Так блестяще началось научное творчество Павла Сергеевича Алек-
сандрова — творчество, которому суждено было длиться долго. Пытаясь
сейчас обнять единым взглядом все сделанное Павлом Сергеевичем, мы
прежде всего испытываем глубокое впечатление от внутреннего единства,
гармонии созданного им. Это единство состоит, в частности, в глубокой
64
VI. Статьи о математиках в других изданиях
взаимосвязи всех поднятых им тем и вопросов. Труды Павла Сергеевича
Александрова — нечто неизмеримо большее, чем собрание выдающихся на-
учных результатов — это сама живая наука в одном из ее воплощений. Его
творчество неотделимо от всего развития топологии как одна из тех глав-
ных сил, которые прямо или косвенно проявились во всех происходивших
в этой науке крупных движениях.
Это влияние Павла Сергеевича связано, в частности, с его даром по-
чувствовать необходимость в новой математической концепции, остро уви-
деть ее и несколькими основополагающими результатами выявить ее роль,
обозначив тем самым исходящий от нового понятия творческий импульс.
Так было с понятием A-операции и связанными с ним результатами Павла
Сергеевича, о которых уже говорилось выше. Добавим лишь, что сейчас
A-операция принадлежит к числу самых плодотворных понятий дескрип-
тивной теории множеств. Другой фундаментальный результат П. С. Алек-
сандрова из этой области — теорема о гомеоморфизме всякого абсолютного
С<5-множества полному метрическому пространству. Этот результат стал
основой внутренней топологической характеризации полноты, найденной
П. С. Александровым.
Ярчайшим примером остроты математического «видения» является
введение П. С. Александровым понятия бикомпакта и выяснение им, уже
в самом начале развития теории бикомпактных пространств, самых суще-
ственных свойств бикомпактов. Павлом Сергеевичем было, в частности,
показано, что в классе регулярных пространств бикомпактность тожде-
ственна абсолютной замкнутости, откуда была выведена, с помощью тео-
ремы о сохранении бикомпактности при непрерывных отображениях, даль-
нейшая теорема о непрерывных разбиениях, порождаемых непрерывными
отображениями бикомпактов в хаусдорфовы пространства.
Созданная П. С. Александровым (на предварительном этапе в содру-
жестве с П. С. Урысоном) теория бикомпактных пространств стала осно-
вой большинства дальнейших теоретико-множественных исследований и
проникла своими идеями в теорию непрерывных групп, функциональный
анализ, математическую логику и многие другие разделы математики.
Творчество Павла Сергеевича Александрова никогда не развивается в
пустоте, ему не свойственно замыкаться в самом себе. На свое математиче-
ское творчество Павел Сергеевич всегда смотрел и смотрит как на основу
общения с людьми. И в этом отношении его достижения и влияние — не
меньше собственно научных достижений: Павел Сергеевич стал одним из
тех немногих людей, которым прямо обязана становлением и расцветом
математика в нашей стране и прежде всего московская математическая
школа.
П. С. Александров (к восьмидесятилетию со дня рождения)
65
Современная московская математическая школа по существу началась
с Д. Ф. Егорова и Н. Н. Лузина. В первые годы после Великой Октябрь-
ской революции, несмотря на суровое время, научная работа в области
математики в Московском университете быстро расширялась. Павел Сер-
геевич принадлежал тогда, вместе с группой других блестящих молодых
математиков, «Лузитании» — окрестности Н. Н. Лузина. Л. А. Люстерник
вспоминает об этом времени в стихах, полных энтузиазма:
... Пусть твой багаж не очень грузен,
Вперед! В себе уверен будь!
Великий бог — профессор Лузин
Укажет нам в науке путь!
А божество уж окружало
Созвездие полубогов:
Иван Иванович Привалов,
Димитр Евгеньевич Меньшов,
И Александров, остро взвинчен,
И милый Павел Урысон,
И философствующий Хинчин, —
И несколько других персон.
Дни легендарной «Лузитании»,
Дни увлечений и исканий...
В 1918 г. по предложению Н. Н. Лузина Павел Сергеевич стал зани-
маться континуум-проблемой. Неизбежная, как теперь это ясно, неудача в
ее решении привела его к разочарованию в своих математических силах.
Он уехал сначала в Новгород-Северский, где работал режиссером драма-
тического театра, а затем в Чернигов, где был председателем театрального
комитета, входившего в Губернский отдел народного образования. В Чер-
нигове Павел Сергеевич читал лекции по русской и зарубежной литера-
туре, циклы лекций о Достоевском, Гоголе, Гёте, которые пользовались
очень большим успехом. В Чернигове он познакомился с некоторыми ока-
завшимися там поэтами, музыкантами, художниками. Там, в частности,
произошло его знакомство с Л. В. Собиновым. В 1920 г. П. С. Александров
вернулся в Москву, где был тепло встречен Д. Ф. Егоровым, Н. Н. Лузи-
ным, И. И. Приваловым, В. В. Степановым.
В 1920-1921 гг. Павел Сергеевич жил в Смоленске, преподавал в Смо-
ленском университете, но ежемесячно приезжал в Москву для сдачи экза-
менов, соответствующих теперешним кандидатским. Во время этих экза-
менов Павел Сергеевич и подружился с П. С. Урысоном.
С 1921 г. П. С. Александров начал работать в качестве приват-доцента в
Московском университете. В 1921-1923 гг. он прочитал курс теории функ-
ций действительного переменного и первый в Московском университете
66
VI. Статьи о математиках в других изданиях
курс общей топологии, а также несколько других курсов, например, курс
теории Галуа.
Лето 1922 г. Павел Сергеевич и Павел Самуилович Урысон провели
вместе вблизи Болшева под Москвой, и именно этим летом ими было поло-
жено начало серьезным исследованиям по топологии в нашей стране. От-
сюда ведет начало ныне известная во всем мире московская топологическая
школа. В то время понятие топологического пространства уже существова-
ло — оно наметилось в работах М. Фреше (1906 г.) и в книге Ф. Хаусдорфа
(1914 г.). Но это была лишь абстрактная общая схема. Наполнить понятие
топологического пространства богатым геометрическим содержанием, сде-
лать его необходимым общим достоянием всех математиков — это и было
дело, начатое у нас в стране в июле 1922 г. П. С. Александровым и
П. С. Урысоном.
Уже первые результаты были весьма значительны. П. С. Александров и
П. С. Урысон начали с построения теории счетно-компактных пространств,
далеко развитой затем П. С. Александровым в теорию бикомпактных и
локально-бикомпактных пространств. П. С. Александровым и П. С. Уры-
соном была решена проблема метризации, причем были введены понятия,
оказавшие большое влияние на дальнейшее развитие исследований в смеж-
ных областях; мы еще скажем об этом ниже. Наконец, П. С. Александро-
вым в 1925 г. была дана окончательная, ныне общепринятая форма аксио-
матики топологического пространства.
Летом 1923 г. и 1924 г. П. С. Александров и П. С. Урысон были в
Гёттингене и установили научные контакты со знаменитой Гёттингенской
математической школой, которую в то время возглавлял Д. Гильберт. Сво-
ими учителями П. С. Александров считает Д. Ф. Егорова, Н. Н. Лузина,
Л. Брауэра, Э. Нётер и Д. Гильберта, так как именно эти математики ока-
зали наибольшее влияние на формирование научного мировоззрения и на
все научное творчество Павла Сергеевича. О научной жизни в этот период
в Гёттингене П. С. Александров писал в своих воспоминаниях о Р. Куранте
(УМН 30:4 (1975), стр. 205-226) и в воспоминаниях о X. Хопфе, которые
сейчас готовятся к печати.
Научная атмосфера Гёттингенского университета того времени имела
сходство с научной атмосферой в Лузинской школе в годы ее расцвета.
Особенно интересным и плодотворным было общение с Э. Нётер и ее уче-
никами, а также с Р. Курантом и его школой. Летом 1924 г. П. С. Алексан-
дров и П. С. Урысон поехали в Бонн к Хаусдорфу и затем в Амстердам к
Брауэру. Хаусдорф проявил большой интерес к их новым результатам, из-
ложению и обсуждению которых были посвящены все вечера, проведенные
в доме Хаусдорфа.
П. С. Александров (к восьмидесятилетию со дня рождения)
67
Ежедневно в Бонне Павел Сергеевич и Павел Самуилович переплывали
Рейн, что было совсем не безопасно и вызывало неодобрение Хаусдорфа.
Пребывание у Брауэра в 1924 г. оставило у Павла Сергеевича особенно теп-
лые воспоминания. Научные беседы с ним были очень интенсивны. Часто
они прерывались музыкой. И Брауэр, и Хаусдорф были хорошими пиани-
стами. После короткого пребывания в Париже в августе 1924 г. П. С. Алек-
сандров и П. С. Урысон поехали в Бретань и поселились на берегу океана в
рыбацком поселке Ба (Bourg de Batz). 17 августа 1924 г., в возрасте 26 лет,
П. С. Урысон погиб во время купания в Атлантическом океане. Еще утром
того же дня он увлеченно работал, им была написана первая страница его
новой статьи...
С весны 1925 г. по лето 1926 г. П. С. Александров находился в Гол-
ландии. Вместе с Брауэром он готовил рукописи П. С. Урысона к изда-
нию, читал корректуры. Благодаря их усилиям, ничего из того, что сде-
лал П. С. Урысон, не пропало. Летом 1925 г. и затем в последующие годы
вплоть до 1932 г. П. С. Александров читал лекции в Гёттингене, участвовал
в семинарах Э. Нётер, вел топологический семинар с X. Хопфом. 1926 г.
положил начало большой дружбе П. С. Александрова и X. Хопфа, их науч-
ному общению и плодотворной совместной работе. В 1926 г. П. С. Алексан-
дров вместе с Хопфом и Нейгебауэром путешествовали по югу Франции.
Начиная с осени 1927 г. Павел Сергеевич вместе с X. Хопфом провели год
в Принстоне (США), где в то же время находились такие выдающиеся то-
пологи, как Александер, Лефшец, Веблен. Научное общение этих ученых
оказалось чрезвычайно плодотворным для развития топологии. Тогда же
Павел Сергеевич и X. Хопф обсуждали план совместной книги «Тополо-
гия», сыгравшей затем исключительно важную роль в развитии топологии
и всей математики в целом. Закончена книга была осенью 1935 г. в Кры-
му, недалеко от Ялты, где в это время находились П. С. Александров,
А. Н. Колмогоров и X. Хопф. Особое место в жизни П. С. Александро-
ва занимает его дружба с А. Н. Колмогоровым, начало которой относится
к 1929 г. Вместе с А. Н. Колмогоровым Павел Сергеевич много путеше-
ствовал по Волге, Днепру и другим рекам, по Кавказу, по Крыму, по югу
Франции. С 1935 г. начинается, как говорит Павел Сергеевич, комаровский
период в его жизни.
С Комаровкой, деревушкой под Москвой, где находится дом, принадле-
жащий с 1935 г. П. С. Александрову и А. Н. Колмогорову, связано немало
событий в истории математики Московского университета за последние
40 лет. Здесь были задуманы и выполнены многие выдающиеся работы.
В Комаровке часто бывали, а иногда жили продолжительное время мно-
гие ученики Павла Сергеевича и Андрея Николаевича. Комаровку посеща-
68
VI. Статьи о математиках в других изданиях
ли также выдающиеся зарубежные математики (Адамар, Фреше, Банах,
Хопф, Куратовский и другие).
Открытый характер творчества Павла Сергеевича, его педагогическое
мастерство и личное обаяние быстро привлекли к нему учеников. Одним из
первых учеников Павла Сергеевича был Андрей Николаевич Тихонов (он
слушал лекции Павла Сергеевича по топологии — тогда доцента МГУ —
в 1923 г.). А. Н. Тихонов внес важный вклад в теорию бикомпакт-
ных пространств, доказав фундаментальную и теперь знаменитую теоре-
му о бикомпактности произведения любого множества бикомпактных про-
странств. А. Н. Тихоновым же было открыто «правильное» определение
топологии произведения любого множества пространств и доказаны важ-
ные теоремы о погружении в бесконечномерные кубы, чем были созданы
основы теории бикомпактных расширений.
Открытый характер творчества Павла Сергеевича проявляется, в част-
ности, и в том, что, получая центральные основополагающие результаты в
новой, только что открытой области, он никогда не стремится ее исчерпать,
рассматривая свою работу как основу для творчества своих непосредствен-
ных учеников и других исследователей. Это качество, несомненно, связано
также с широтой научных интересов Павла Сергеевича, личным научным
творчеством которого глубоко затронуты все основные разделы топологии.
Примеров сказанному — поистине огромное число, и мы не будем их здесь
приводить.
Обратим внимание лишь на крайний случай, когда важнейшее, как бы-
ло затем обнаружено развитием топологии, понятие локально конечного
покрытия, было введено Павлом Сергеевичем как бы мимоходом (1924 г.).
Тогда Павел Сергеевич доказал, что в каждое открытое покрытие сепа-
рабельного метрического пространства можно вписать локально конеч-
ное открытое покрытие, т. е. доказал паракомпактность сепарабельных
метрических пространств. Через 20 лет этот результат был передоказан
Ж. Дьёдонне (введшим термин «паракомпактное пространство»), а через
24 года, в 1948 г., А. X. Стоун показал, что от требования сепарабельности
можно отказаться — что составляет содержание его замечательной теоре-
мы о паракомпактности произвольного метрического пространства. Тео-
рема Стоуна явилась главным средством для получения метризационных
теорем Бингом, Нагата и Смирновым в 1950-1951 гг.
Мы видим, таким образом, что у истоков современных метризацион-
ных критериев и теории паракомпактных пространств находится поня-
тие локально-конечного покрытия, введенное П. С. Александровым еще
в 1924 г.
В связи с этим уместно сказать и о первом общем метризационном кри-
терии, принадлежащем П. С. Александрову и П. С. Урысону и полученном
П. С. Александров (к 80-летию со дня рождения)
69
ими в 1923 г. На современном языке этот критерий звучит так: для того
чтобы топологическое пространство было метризуемым, необходимо и до-
статочно, чтобы оно было паракомпактом, имеющим счетную измельчаю-
щуюся систему открытых покрытий.
Следует отметить наконец очень наглядные новые критерии метризуе-
мости, полученные в 1961 г. П. С. Александровым и А. В. Архангельским.
В 1925-1929 гг. П. С. Александров в ряде фундаментальных и чрезвы-
чайно целеустремленных работ создает основы гомологической теории об-
щих топологических пространств и общий метод перенесения на теоретико-
множественные объекты методов комбинаторной топологии. При этом он
кладет в основу своих рассуждений понятие нерва покрытия, введенное
им в 1925 г., — чрезвычайно простое, но фундаментальное по значению
понятие. Именно, нерв покрытия ш пространства X есть симплициальный
комплекс Nu, вершины которого взаимно однозначно соответствуют эле-
ментам покрытия причем какие-нибудь вершины ei,...,ejt комплекса
Nw тогда и только тогда образуют симплекс в Nu, когда соответствующие
этим вершинам элементы покрытия о) имеют непустое пересечение. Если
покрытие о/ вписано в покрытие ш (или, как говорят, следует за ним), то
естественным образом определено симплициальное отображение тг£ («про-
екция» нерва N^' в нерв N^). Поэтому, если, например, X — бикомпакт, а
о) пробегает направленное семейство всех его открытых конечных покры-
тий, то определен так называемый проекционный спектр S бикомпакта X,
состоящий из направленного семейства комплексов Nu и связывающих эти
комплексы проекции тг£ . Этот спектр определяет некоторым естествен-
ным образом свое предельное пространство, и оно оказывается гомео-
морфным бикомпакту X. Таким образом, оказывается принципиально
возможным истолковать все топологические свойства пространства X
как свойства его проекционного спектра, т. е. сводить их к свойствам
комплексов Nu и их симплициальных отображений. В частности, это
относится (и, конечно, в первую очередь) к размерностным и гомологи-
ческим свойствам.
Принципиальное значение возникающей таким образом новой точки
зрения на теоретико-множественную топологию и методы ее построения
не нуждается в пояснении.
В результате возник некоторый синтез комбинаторно-алгебраических и
теоретико-множественных методов в топологии, в большой степени опре-
деливший развитие топологии в течение ряда лет.
Первым применением понятия нерва была известная теорема Алексан-
дрова об е-сдвигах компактов на полиэдры, состоящая в том, что любой
лежащий, например, в гильбертовом пространстве компакт данной размер-
ности п можно при любом е посредством так называемой е-деформации
70
VI. Статьи о математиках в других изданиях
(т. е. непрерывной деформации, смещающей каждую точку меньше чем
на е) превратить в полиэдр той же (и не меньшей) размерности. Эта тео-
рема в свою очередь легла в основу доказательства теоремы Нёбелинга-
Понтрягина о вложимости «-мерного компакта в (2п + 1)-мерное евкли-
дово пространство. Любопытно, что этот чисто теоретико-множественный
результат требует комбинаторных методов при доказательстве.
Понятие обратного спектра отображений в настоящее время мы нахо-
дим почти в любой области математики. В топологии на нем основаны
большинство гомологических рассмотрений, а в последнее время спектры
стали стандартным инструментом и в теоретико-множественной топологии.
Первым примером применения построенной теории гомологии была го-
мологическая теория размерности, созданная П. С. Александровым в 1928-
1930 гг. и представляющая собой одно из важнейших открытий в топо-
логии. Как это характерно для творчества П. С. Александрова, в основе
теории лежат прозрачные геометрические идеи. Вот одна из таких идей:
размерность компакта Ф не ниже п, если на нем имеется нетривиальный (не
гомологичный нулю на некотором подкомпакте Ф' С Ф) цикл размерности
п-1, гомологичный нулю на всем Ф. Другие характеристики размерности,
предложенные П. С. Александровым, основаны на столь же геометричных
понятиях зацепления циклов и «разбиения» гомологии.
Значение теории, построенной П. С. Александровым, не только в том,
что она дает новый, мощный инструмент исследования (пример тому —
решение Л. С. Понтрягиным проблемы поведения размерности при пере-
множении пространств, целиком основанное на гомологической теории раз-
мерности). Важный аспект ее состоит и в том, что получила прямое под-
тверждение сама теория размерности, созданная совсем незадолго до это-
го. Именно, факт совпадения в широком классе компактных пространств
гомологической размерности и размерности через покрытия инвариантов,
построенных с абсолютно различных точек зрения, показывает правиль-
ность и естественность определения размерности.
Как обычно, большие продвижения в одной области связаны с продви-
жениями и в соседних областях. Так, для гомологической теории размер-
ности П. С. Александрову понадобилось одно утверждение об отображени-
ях полиэдра в сферу. Доказательство этого утверждения было «заказано»
X. Хопфу, и из этого произошла классическая теорема Хопфа о классифи-
кации непрерывных отображений n-мерного и (п — 1)-мерного полиэдра в
п-мерную сферу, впервые изложенная в письме Хопфа к П. С. Алексан-
дрову, опубликованном в «Математическом сборнике».
Работы П. С. Александрова в этом направлении были продолжены и
развиты многими математиками: А. Н. Колмогоровым, К. А. Ситнико-
вым, К. М. Куратовским, Г. С. Чогошвили, Е. Г. Скляренко, В. И. Кузь-
П. С. Александров (к 80-летию со дня рождения)
71
миновым, И. А. Шведовым — разумеется, здесь названы не все. Некото-
рые результаты из этой области получили замечательные чисто теоретико-
множественные обобщения. Так, теорема П. С. Александрова об е-сдвигах
компактов в полиэдры многие годы спустя предстала в новом облачении —
в форме теоремы Даукера, характеризующей паракомпакты в терминах
и-отображений их в метрические пространства. Этот результат Даукера —
один из центральных сейчас в теории паракомпактных пространств.
Другое применение построенной гомологической теории — теория двой-
ственности, восходящая к Дж. Александеру и получившая дальнейшее раз-
витие после открытия А. Н. Колмогоровым и Дж. Александером когомоло-
гических групп. Предметом двойственности этого типа являются соотноше-
ния между группами гомологии компакта в евклидовом пространстве (или,
более общо, многообразии) и его дополнения. Ясно, что сама постановка
задачи здесь включает определение групп гомологии открытого множе-
ства — дополнения к компакту. Теория Александрова позволила поставить
всю область на твердую основу. На этом пути Л. С. Понтрягин нашел и
доказал свой известный закон двойственности для компактов, лежащих в
евклидовом пространстве. Окончательную же формулировку такого типа
законы получили после создания Л. С. Понтрягиным теории двойственно-
сти локально-бикомпактных групп.
Таким образом, к середине тридцатых годов оказались связанными в
единое целое до того совершенно различные ветви топологии — алгебра-
ическая, восходящая к А. Пуанкаре, и теоретико-множественная, идущая
от Фреше-Хаусдорфа, и в этом огромная заслуга П. С. Александрова.
Отражением этого синтеза двух основных ветвей топологии должна
была служить совместная трехтомная монография П. С. Александрова и
X. Хопфа «Топология». К сожалению, война помешала завершению этого
труда, и написанным оказался лишь первый том, известная во всем мире
«Топология I», по которой учились все современные топологи. Написан-
ная выдающимися представителями обоих направлений в топологии книга
по богатству заложенных в ней идей, по яркости изложения остается
непревзойденной.
Следующий большой этап в творчестве П. С. Александрова имеет сво-
ей кульминацией его так называемую «казанскую» работу, написанную в
1941-1942 гг., посвященную изучению гомологическими методами формы
и расположения комплекса (и замкнутого множества) в объемлющем ком-
плексе (и замкнутом множестве). Не перечисляя конкретных результатов,
полученных в эти годы П. С. Александровым, достаточно сказать, что в
указанной работе впервые были выписаны все элементы точной последо-
вательности, столь сейчас употребительного инструмента во всех разделах
математики, использующих алгебраические методы.
72
VI. Статьи о математиках в других изданиях
Наконец, в конце сороковых - начале пятидесятых годов П. С. Алек-
сандров, а затем его ученики, среди которых прежде всего нужно назвать
К. А. Ситникова, занимаются построением гомологической теории неза-
мкнутых множеств в евклидовых пространствах, что привело к дальней-
шему развитию и самой гомологической теории (работы Г. С. Чогошвили и
его учеников). Павлу Сергеевичу принадлежит, в частности, первый общий
закон двойственности для незамкнутого множества, лежащего в евклидо-
вом пространстве, и целый ряд других результатов. Результаты П. С. Алек-
сандрова по гомологической теории и теоремам двойственности для неза-
мкнутых множеств составили знаменитую большую его работу «Основные
соотношения двойственности для незамкнутых множеств», опубликован-
ную в «Математическом сборнике» в 1947 г.
Работа по созданию гомологической теории топологических про-
странств и, в частности, гомологической теории размерности велась Пав-
лом Сергеевичем Александровым параллельно с работой в чисто теорети-
ко-множественном направлении. В 1939 г. им было проведено важное иссле-
дование бикомпактных расширений вполне регулярных пространств. Здесь
примененная новая точка зрения оказалась весьма плодотворной, и в част-
ности, появилась впоследствии в работах В. И. Пономарёва и многих дру-
гих авторов.
Другой весьма существенный результат из теоретико-множественной
топологии, полученный П. С. Александровым в этот период, утвержда-
ет, что каждый бикомпакт веса, равного данному кардинальному числу т,
является непрерывным образом замкнутого подпространства обобщенного
канторова дисконтинуума DT. Еще в 1927 г. П. С. Александровым было
доказано, что каждый компакт является непрерывным образом обычного
канторова дисконтинуума D^°. В связи с этим Павлом Сергеевичем было
введено понятие диадического бикомпакта как непрерывного образа всего
обобщенного канторова дисконтинуума DT при каком-нибудь т. В ответ на
в вопрос П. С. Александрова Марчевский доказал, что не каждый биком-
пакт веса т при т > Ко диадичен, в противоположность со случаем т = Но-
Теория диадических бикомпактов, которой таким образом положена осно-
ва, оказалась весьма интересной и важной.
Павлом Сергеевичем была выдвинута также гипотеза о диадичности
пространства любой бикомпактной группы, доказанная впоследствии
Л. Н. Ивановским и В. И. Кузьминовым. Доказано также, что метризуе-
мость диадического бикомпакта следует уже из первой аксиомы счетности.
Эти исследования были продолжены А. В. Архангельским, В. И. Поно-
марёвым, Б. А. Ефимовым, М. Катетовым, Р. Энгелькингом и многими
другими математиками как у нас, так и за границей.
П. С. Александров (к 80-летию со дня рождения)
73
Вообще, под самым непосредственным влиянием Павла Сергеевича раз-
вивалась вся теория непрерывных отображений топологических про-
странств. Она началась по существу с создания П. С. Александровым еще
в двадцатые годы теории непрерывных отображений и отвечающих им
непрерывных разбиений бикомпактов. Вероятно, нет ни одного важного
положения этой теории, которое не послужило бы отправной точкой даль-
нейших исследований. Так, уже упоминавшейся теореме П. С. Александро-
ва о представлении каждого компакта, как непрерывного образа канторова
совершенного множества, соответствуют теперь теорема о том, что каж-
дый бикомпакт является непрерывным образом нульмерного бикомпакта
того же веса, и вся теория диадических бикомпактов. Вся теория непре-
рывных отображений бикомпактов развилась в теорию совершенных отоб-
ражений произвольных вполне регулярных пространств, весьма общую и
насыщенную богатейшим конкретным материалом. П. С. Александрову
принадлежат первые фундаментальные результаты об открытых отобра-
жениях бикомпактов и постановка основных с задач в этой области. Им
было доказано сохранение размерности dim при открытых счетнократных
отображениях (бикомпактов) — результат, теснейшим образом связанный с
проблематикой открытых нульмерных отображений и открытых конечно-
кратных отображений, в частности, с задачей о существовании открытого
нульмерного отображения куба на куб большей размерности. Под влияни-
ем Павла Сергеевича были выполнены первые основополагающие работы
по теории замкнутых непрерывных отображений небикомпактных метри-
ческих пространств на метрические пространства. Учеником П. С. Алек-
сандрова И. А. Вайнштейном был получен фундаментальный результат о
периферической бикомпактности всякого такого отображения. Это утвер-
ждение послужило прообразом и ступенью ко многим важным результатам
в общей теории замкнутых отображений, полученным у нас и за границей
(А. X. Стоуном, К. Моритой, Н. С. Лашневым и др.).
Особенно много внимания общей теории непрерывных отображений Па-
вел Сергеевич уделяет в период, начавшийся в 1954 г., когда семинар для
начинающих, созданный Павлом Сергеевичем, увлек большую группу пер-
вокурсников и определил для многих из них их научное будущее. Начиная
с этого времени, Павел Сергеевич в значительной степени концентри-
руется на теоретико-множественных вопросах топологии и воспитании
учеников в этой области. В обзорах, опубликованных в УМН в 1960 и
1964 гг., Павел Сергеевич подводит первые итоги работы этой только
что выращенной им группы молодых ученых и определяет направле-
ния дальнейшего исследования, формулируя множество интереснейших
конкретных задач.
74
VI. Статьи о математиках в других изданиях
Особенно большое влияние на развитие исследований в общей тополо-
гии в последние годы оказал обзорный доклад П. С. Александрова на Вто-
ром Пражском симпозиуме по общей топологии и ее применениям в 1966 г.
В этом докладе были сформулированы основные принципы взаимной клас-
сификации пространств и отображений. Сегодня трудно даже перечислить
все интересные исследования, вызванные к жизни этим докладом.
Павел Сергеевич никогда не мыслил научной деятельности вне педа-
гогического воздействия, вне контакта с учениками. Он сам отмечает че-
тыре основные хронологические группы своих учеников, четыре «пласта»
или «слоя». К первой группе относятся А. Н. Тихонов, Л. А. Тумаркин,
В. В. Немыцкий, А. Н. Черкасов, Н. Б. Веденисов. В это же время учени-
ком Павла Сергеевича стал Л. С. Понтрягин, который уже в первые аспи-
рантские годы сделал крупные открытия в топологии. Ко второй группе
(сороковые годы) принадлежат Ю. М. Смирнов, К. А. Ситников, О. В. Ло-
куциевский, Е. Ф. Мищенко. К поколению пятидесятых годов относятся
А. В. Архангельский, Б. А. Пасынков, В. И. Пономарёв, а также Е. Г. Скля-
ренко и А.А. Мальцев, бывшие в аспирантуре соответственно у Ю.М. Смир-
нова и К. А. Ситникова. Группу самых молодых учеников образуют
В. В. Федорчук, В. И. Зайцев и Е. В. Щепин. Конечно, перечислить всех
учеников Павла Сергеевича — невозможно, и мы указали только неко-
торых.
Трудно назвать кого-либо из видных советских топологов, на кого Па-
вел Сергеевич не оказал бы большого и часто решающего влияния, и можно
сказать, что все они в том или ином смысле являются учениками Павла
Сергеевича.
Пожалуй, наиболее тесные отношения сложились у него с учениками
1954 г. зачисления в университет. Воспитанию их и тех, кто пришел позд-
нее, Павел Сергеевич отдает буквально все силы. Воздействие Павла Сер-
геевича на занимающегося в его топологическом классе молодого человека
никогда не сводится к чисто математическому влиянию, сколь бы ни бы-
ло существенно и значительно последнее. Это и физическое воспитание в
топологических прогулках, в дальних многодневных лодочных походах (в
Ново-Окатово, по реке Медведица и др.), в переплывании Волги и других
мощных водных преград, или многочасовых лыжных прогулках по подмос-
ковным местам с яркими фантастическими названиями, данными самим
Павлом Сергеевичем (поход к Жар-птицам, например!).
Воспитание в смысле Павла Сергеевича — это (и прежде всего!) вос-
питание чувств, эмоций. В недавнем номере газеты «Московский универ-
ситет», обращенном к первокурсникам, Павел Сергеевич писал: «Любая
научная одаренность слагается из трех компонентов — интеллектуального,
П. С. Александров (к 80-летию со дня рождения)
75
волевого и эмоционального... Именно способность к всезахватывающему
эмоциональному напряжению и составляет необходимое, часто решающее
условие для научного творчества». Отсюда глубокий интерес Павла Сер-
геевича ко всей, в частности, эмоциональной личности своих учеников и
стремление помочь ее сформированию — музыкальными вечерами в уни-
верситете или личными приглашениями в Малый зал консерватории, пуб-
личным выступлением о призвании ученого в актовом зале МГУ или бесе-
дой в домашнем кругу в Москве, Комаровке или на прогулке.
Но главным образом «воспитание чувств» осуществляется личным при-
мером Павла Сергеевича, его заботой об учениках и добротой к ним. Эмо-
ция для Павла Сергеевича составляет важнейший элемент не только науч-
ного творчества, но (и даже в большей степени) и педагогической деятель-
ности. Не спокойно-сдержанное, рассудочно-холодное восприятие достав-
ленного ему учеником результата, а яркая эмоциональная оценка его — вот
что характерно для Павла Сергеевича. Способность увлечься сделанным
другим человеком — благороднейшее качество, в полной мере присущее
Павлу Сергеевичу Александрову. «Есть в математике нечто, вызывающее
человеческий восторг» — эти слова Ф. Хаусдорфа и есть тот принцип, из
которого исходит Павел Сергеевич в отношении к математическому твор-
честву своих учеников и вообще всех близких ему математиков. Радость,
проявляемая Павлом Сергеевичем, вливает новые силы и дает новое вдох-
новение.
Научная и педагогическая деятельность Павла Сергеевича органически
сочетается с общественной и административной. Во время международных
поездок, начавшихся с 1923 г., он встречался с Гильбертом, Брауэром, Ха-
усдорфом, Хопфом, Курантом и многими другими зарубежными матема-
тиками, с некоторыми из них он долгое время сотрудничал и дружил. Об-
разовавшиеся таким образом международные контакты Павла Сергеевича
служили и служат поднятию престижа советской математической науки и
содействуют росту и расцвету московской математической школы. С 1958
по 1962 г. П. С. Александров был вице-президентом Международного ма-
тематического союза.
Павел Сергеевич руководит кафедрой высшей геометрии и топологии
в Московском университете, заведует отделением математики МГУ и про-
являет в этом качестве большую заботу о всем аспирантском коллективе.
Возглавляет Павел Сергеевич и отдел общей топологии Математического
института АН СССР им. В. А. Стеклова. В течение тридцати трех лет Па-
вел Сергеевич был президентом Московского математического общества,
а в 1964 г. он избран почетным президентом. П. С. Александров — член
редколлегий нескольких ведущих математических журналов, главный ре-
76
VI. Статьи о математиках в других изданиях
дактор журнала «Успехи математических наук». В 1935 г. он был в числе
первых организаторов Московской математической олимпиады для школь-
ников. Большую роль в развитии науки и математического образования в
наглей стране сыграли книги, написанные Павлом Сергеевичем: «Введе-
ние в общую теорию множеств и функций», «Комбинаторная топология».
Недавно вышли новые книги Павла Сергеевича Александрова: «Лекции по
аналитической геометрии», «Теория размерности» (совместно с Б. А. Па-
сынковым) и «Введение в гомологическую теорию размерности».
Научная, педагогическая и общественная деятельность Павла Сергее-
вича высоко оценена: в 1929 г. он был избран членом-корреспондентом Ака-
демии наук СССР, а в 1953 г. — действительным ее членом. П. С. Алексан-
дров является также членом Гёттингенской академии наук, Австрийской
академии наук, Академии Леопольдина в Галле, Польской академии на-
ук, Академии наук ГДР, Национальной академии наук США, членом Аме-
риканского философского общества в Филадельфии, почетным доктором
Берлинского университета им. Гумбольта, почетным членом Голландско-
го математического общества. Правительство Советского Союза наградило
Павла Сергеевича многими орденами, присвоило ему звание Героя Соци-
алистического Труда. За работу «Гомологические свойства расположения
комплексов и замкнутых множеств» Совет Министров СССР присудил ему
Государственную премию первой степени, а за цикл работ по гомологиче-
ской теории размерностей Павлу Сергеевичу Александрову присуждена
международная премия имени Н. И. Лобачевского.
Трудно переоценить ту роль, которую сыграли П. С. Александров и со-
зданная им научная школа в развитии советской математики, в повышении
ее международного престижа.
П. С. Александров имеет исключительно высокий международный ав-
торитет, пользуется глубоким уважением математиков всего мира.
Пожелаем Павлу Сергеевичу доброго здоровья, многих лет жизни и
продолжения его замечательной деятельности на благо нашей науки.
ВОСПОМИНАНИЯ О П. С. АЛЕКСАНДРОВЕ
Павел Сергеевич Александров умер за полгода до моего восьмидесяти-
летия. Будучи редактором журнала «Успехи математических наук», он в
марте 1981 г. счел нужным приготовить для последующего опубликования
в журнале небольшую статью обо мне. В ней он пишет следующее: «Моя
дружба с А. Н. Колмогоровым занимает в моей жизни совершенно исклю-
чительное, неповторимое место; эта дружба перешагнула в 1979 г. через
свое пятидесятилетие, и за весь этот полувековой период не только не дала
никакой трещины, но не сопровождалась даже никакой ссорой, не было у
нас за все это время и какого бы то ни было взаимного непонимания по
вопросам, сколько-нибудь важным для нашей жизни и миросозерцания;
даже тогда, когда наши взгляды на какой-нибудь из этих вопросов были
различны, мы относились к этим взглядам друг друга с полным понима-
нием и сочувствием». Наша тесная дружба началась в 1929 г. Публикуя
сейчас описание нашей с Павлом Сергеевичем жизни в начальный период
этой дружбы (1929-1931 гг.), я хочу предварить его признанием, частично
повторяющим приведенные выше слова Павла Сергеевича: для меня эти
пятьдесят три года нашей тесной и неразрывной дружбы явились осно-
вой того, что вся моя жизнь в целом оказалась преисполненной счастья, а
основой моего благополучия явилась непрестанная заботливость со сторо-
ны Павла Сергеевича. Наше личное знакомство началось через небольшой
срок после моего поступления в Московский университет — в 1920 г. Наши
первые встречи в 1920-1929 гг. описаны в первой главе. Вся вторая гла-
ва посвящена нашему путешествию летом 1929 г. по Волге и на Кавказ.
В третьей главе рассказывается о нашей поездке за границу (в Гёттинген
и Париж) в 1930-1931 гг. В заключение приводятся выдержки из писем
Павла Сергеевича ко мне из США, куда весной 1931 г. он отправился из
Европы и где он пробыл около четырех месяцев.
Глава 1. Первые встречи
Я поступил в Московский университет с довольно большими знаниями
по математике. Из книжек «Новые идеи в математике» я знал, в частности,
начала теории множеств. Многие вопросы я изучал по статьям энцикло-
педии Брокгауза и Ефрона, восстанавливая самостоятельно то, что в этих
статьях написано слишком кратко.
Успехи математических наук. — 1986. — Т. 41, вып. 6. — С. 187-203 (в разделе «Ма-
тематическая жизнь в СССР>).
78
VI. Статьи о математиках в других изданиях
В те годы студенческая стипендия имела очень небольшую материаль-
ную ценность, но студенты второго курса получали, кроме стипендии, паек,
состоявший из пуда (16 кг) печеного хлеба и килограмма масла (будет ли
это масло растительным или коровьим, зависело от последнего слова нау-
ки — кажется, сначала было растительное масло, а потом сливочное). По-
этому первым делом, которым я занялся, была сдача минимума экзаменов,
позволявшая перейти на второй курс (обязательного посещения лекций то-
гда не было).
Я выбрал для слушания в первый год курсы теории множеств Ивана
Ивановича Жегалкина и проективной геометрии (специально занимавшей
меня еще до университета), которую читал Алексей Константинович Вла-
сов. Среди первых выбранных мною курсов был и курс теории аналити-
ческих функций Николая Николаевича Лузина (этот курс читали в тот
год два лектора — Лузин и Болеслав Корнелиевич Млодзеевский; немного
позднее я узнал, что наиболее фешенебельно было слушать оба эти кур-
са — для того чтобы иметь возможность их сравнивать, конечно, ругая
Болеслава Корнелиевича за нестрогость). Лекции Николая Николаевича
посещались многими старшекурсниками и даже доцентами.
С курсом Н. Н. Лузина связано первое мое достижение, после которого
на меня было обращено некоторое внимание. Николай Николаевич любил
импровизировать на лекциях, и на лекции, посвященной доказательству
теоремы Коши, ему пришло в голову использовать такую лемму: пусть
квадрат разделен на конечное число квадратов; тогда для любой констан-
ты С найдется такое С, что для всякой кривой длины не больше С сумма
периметров задевающих кривую квадратов, не превосходит С. Через две
недели я обратился к председателю студенческого математического круж-
ка Семену Самсоновичу Ковнеру с небольшой рукописью (эта рукопись
сохранилась, она датирована 4 января 1921 г.), где это утверждение было
опровергнуто (в доказательстве моем был, правда, сначала небольшой про-
бел, но он был потом мной очень быстро исправлен). Обо всем этом было
доложено Николаю Николаевичу, который согласился с моим замечанием,
а для теоремы Коши дал в лекциях правильное доказательство.
Вскоре ко мне обратился Павел Самуилович Урысон, предложивший
регулярно бывать у него. Он стремился заинтересовать меня проблемами
из области топологии, имея в виду, в частности, задачу о числе геодези-
ческих на замкнутых поверхностях. В 1921-1922 гг. я постоянно общался
с В. В. Степановым, и, работая у него в семинаре, мне удалось решить
одну проблему, к которой Н. Н. Лузин проявлял длительный интерес, —
я доказал существование рядов Фурье-Лебега со сколь угодно медленно
убывающими коэффициентами Фурье. Это побудило Николая Николае-
вича предложить мне регулярно приходить к нему вместе с небольшой
Воспоминания о П. С. Александрове
79
группой его младших учеников, имея в виду, по-видимому, что основным
предметом моих занятий станет метрическая теория функций (теория ин-
теграла, теория рядов Фурье и т. п.). Как будет видно из дальнейшего, это
предначертание я через некоторое время выполнил, однако ранее этого мне
удалось получить результаты в дескриптивной теории функций, представ-
лявшиеся мне чрезвычайно важными: я начал разработку общей теории
операций над множествами. Поскольку моя работа в этом направлении не
входила в планы Николая Николаевича, я отнес первый набросок теории
операций П. С. Урысону, а он направил меня с ним к Павлу Сергеевичу
Александрову. Это было вполне разумно, так как мои общие теоремы о
произвольных операциях над множествами были естественным обобщени-
ем теорем об A-множествах, принадлежащих Александрову.
Мне запомнились вытащенные откуда-то Павлом Сергеевичем огром-
ные листы бумаги со схемами образования множеств все более высоких
классов, созерцание которых в конце концов привело Павла Сергеевича
к тому результату, что все В-множества любого класса являются А-мно-
жествами. Эти листы раскладывались по полу и Павел Сергеевич вместе
со мной ползал по ним, желая сделать наглядным получение В-множеств
высоких (хотя бы и трансфинитных) порядков в результате однократного
применения А-операции.
Тем временем (летом 1921 г.) мной был получен результат, заслужив-
ший всеобщее внимание в международных кругах специалистов по мет-
рической теории функций, — я построил почти всюду расходящийся ряд
Фурье. Метрическая теория функций на этом перевесила, и в течение 1922—
1925 гг. я занимался по преимуществу теорией тригонометрических и ор-
тогональных рядов. Почва для научного общения с Павлом Сергеевичем
была утеряна, а написанные в 1921-1922 гг. мои дескриптивные работы
пролежали в письменном столе Н. Н. Лузина, находившего их методологи-
чески неправильными, без всякого движения до 1926 г.
Также и наши личные контакты с Павлом Сергеевичем были в это вре-
мя весьма ограниченными, хотя мы встречались довольно часто, например
на концертах в Малом зале консерватории. Здоровались, но не вступали
в какую-либо беседу. По-видимому, меня несколько смущали крахмальные
воротнички и некоторая общая чопорность Павла Сергеевича. Тем не менее
весь этот период я чувствовал его хорошее отношение ко мне и его заботу.
Именно Павел Сергеевич добился того, что мои работы по дескриптивной
теории были все же опубликованы. Он же был инициатором моего остав-
ления на работе после аспирантуры в Институте математики и механики
при Московском университете.
В те годы срок пребывания в аспирантуре не был строго лимитирован
(был, например, случай, когда молодой математик оставался в аспирантуре
80
VI. Статьи о математиках в других изданиях
7 лет!). Поскольку пребывание в аспирантуре доставляло полную свободу
предаваться научным исследованиям, не имея других обязанностей, я так-
же предпочел не форсировать ее окончание. В 1928-1929 гг. соблюдение
сроков аспирантуры стало более строгим, и в 1929 г. произошел небыва-
лый ранее по численности выпуск — около 70 человек. В этом выпуске был
и я (пробыв в аспирантуре 4 года).
Возник вопрос о месте дальнейшей работы. В Институте математики и
механики имелась на этот год одна вакансия старшего научного сотрудни-
ка. На эту вакансию, кроме меня, мог претендовать и один из математи-
ков старшего поколения, а директор института Дмитрий Федорович Его-
ров, хотя и знал хорошо мои научные достижения, в вопросе о зачислении
научных сотрудников считал обязательным следовать критерию старшин-
ства. Мне лично представлялась привлекательной и другая возможность.
В 1928 г. в Харькове был организован Украинский математический инсти-
тут во главе с Сергеем Натановичем Бернштейном, находившимся тогда в
зените своей международной славы и авторитета в СССР. Для этого ин-
ститута было выстроено уже специальное здание, но личный состав его
еще нужно было формировать. Я получил от Сергея Натановича пред-
ложение сделаться научным сотрудником этого института, причем по его
плану началу моей работы в институте должна была предшествовать го-
дичная стажировка за границей, для чего он предпринял шаги для полу-
чения мной рокфеллеровской стипендии. Однако против такого решения с
большой энергией восстал Павел Сергеевич, и в итоге ему удалось убедить
Д. Ф. Егорова отдать предпочтение моей кандидатуре.
Глава 2. Путешествие 1929 г. Комаровский дом
На лето 1929 г. Общество пролетарского туризма и экскурсий объявило
о возможности за очень небольшую плату в одном из приволжских горо-
дов (Ярославль, Нижний Новгород, Казань и др.) получать лодку, парус
и палатку, чтобы сплавляться с этим оборудованием до какого-нибудь ни-
жележащего города. Например, получив оборудование в Ярославле, сдать
его в Самаре.
Имея уже некоторый опыт лодочных плаваний, я решился стать орга-
низатором подобного путешествия. Я считал, что разумное число участни-
ков в таком плавании — 3 человека. В первую очередь я пригласил моего
близкого друга Глеба Александровича Селиверстова. Выяснилось, однако,
что отплыть вместе со мной в наиболее желательный для меня срок он
не может (меня особенно увлекала возможность провести это путешествие
довольно рано, в период белых ночей). Договорились, что Селиверстов при-
соединится к нам позже. Другим участником был намечен знакомый мне
Воспоминания о П. С. Александрове
81
еще по средней школе Николай Дмитриевич Нюберг. Мне до сих пор не
совсем ясно, как я решился предложить быть третьим компаньоном Павлу
Сергеевичу. Однако он согласился сразу.
16 июня 1929 г. мы отплыли вниз по Волге из Ярославля. Для Павла
Сергеевича подобного рода сплавное лодочное путешествие было новостью,
но он сразу же энергично взялся быть нашим провиант-мейстером и заку-
пил уже перед отъездом из Москвы множество всяких вкусностей. Со дня
отплытия — 16 июня — мы с Павлом Сергеевичем и исчисляем нашу друж-
бу, продлившуюся, как уже сказано, 53 года.
Мы получили лодку «осташковского» типа — такую, какими пользова-
лись тогда все волжские бакенщики. Две пары весел были после некоторого
переоборудования лодки размещены на корме и на носу, что давало воз-
можность одному или даже двум членам команды спать в середине лодки
во время гребли. Косой парус был довольно примитивным, но все-таки да-
вал возможность двигаться при боковом ветре. На всех трех участников
плавания были куплены в Москве популярные тогда у молодежи «юнг-
штурмовские» костюмы. При этом имелось в виду, что повседневной одеж-
дой будут трусы и майки. Странным образом мы не взяли с собой никаких
путеводителей, кроме пароходного расписания, по которому можно было
определять пройденное расстояние и расстояние до ближайшей пристани.
Из литературы была взята лишь «Одиссея».
Пункт окончания плавания не был однозначно установлен. Предпола-
галось, что, сдав лодку, мы отправимся на Кавказ, так как на август месяц
у Павла Сергеевича было намечено пребывание на Черном море вместе с
несколькими его учениками (среди которых должен был быть Лев Семено-
вич Понтрягин). На Кавказе мы оба предполагали заниматься математи-
кой, поэтому в багаж Павла Сергеевича входила еще портативная пишущая
машинка и складной столик, купленный в Гёттингене.
Типичный пейзаж побережий больших среднерусских рек, будь то Ока,
Днепр, Дон или Волга, довольно однообразен. Река обычно разбивается
на несколько рукавов, которые текут посреди зеленых заливных лугов и
обтекают песчаные острова, заросшие ивняком. Пески на Волге отмыты до
почти полной белизны (мое описание относится к двадцатым-тридцатым
годам, до сооружения на Волге больших водохранилищ).
Пейзаж этот не лишен своеобразного величия. Он сразу стал близким
Павлу Сергеевичу, и в последующие годы мы с ним много раз плавали по
Белой, Каме, Волге и Днепру.
Мы во время плавания по Волге выбирали свой путь обычно по какой-
нибудь Воложке (так называют на волжском наречии второстепенные про-
токи). По наличию в Воложке достаточно сильного течения можно было
судить, вынесет ли она нас в главное русло.
82
VI. Статьи о математиках в других изданиях
Свой лагерь мы разбивали обычно на песчаных островах, на их верх-
них или нижних оконечностях, где особенно чувствуется течение воды. В
первые дни путешествия мы часто плыли и ночью: в летние белые ночи
особенно захватывающее впечатление производит скольжение вдоль зарос-
ших ивняком берегов, наполненных птичьим пением. Хотелось, чтобы это
продолжалось бесконечно.
Восприятие природы у Павла Сергеевича не было направлено на какие-
нибудь особые достопримечательности. Оно возбуждалось по преимуще-
ству самыми простыми впечатлениями, такими, например, как только что
описанное мною восприятие звуков и красок белых ночей. Неоднократно
мне случалось подсмотреть, как на таком речном рассвете Павел Сергеевич
поет какие-то бессловесные мелодии.
Конечно, мы не пренебрегали тем, чтобы погулять по Костроме с ее
торговыми рядами, монастырями, церквами или побродить по Нижегород-
скому кремлю, или вылезти на высокие обрывы волжских берегов, или
посетить дом Ульяновых в Ульяновске. Но над всем этим доминировало
непрерывное движение — вниз по течению с короткими остановками для
купания и приготовления еды (на кострах и также на имевшемся с на-
ми примусе). Запас провианта в 1929 г. очень легко было возобновлять на
небольших базарчиках, расположенных непосредственно около пристаней.
Много времени, впрочем, оставалось на чтение «Одиссеи» и на ничегоне-
делание, и, конечно, на разговоры «обо всем».
В Казани, как это и было намечено, нас покинул Николай Дмитриевич
Нюберг. Предполагалось, что в строго намеченный день и час мы встре-
тимся в Свияжске с Г. А. Селиверстовым, который придет ему на сме-
ну. Несмотря на то, что накануне была сильная буря, мы в назначенный
час стояли на платформе железнодорожной станции Свияжск, но никакого
Г. А. Селиверстова там не обнаружили.
Посетив Казанский кремль с его Сумбекиной башней и здание Казан-
ского университета, мы вдвоем с Павлом Сергеевичем отправились в даль-
нейшее плавание к месту слияния Волги с Камой мимо высоких берегов,
покрытых яблоневыми садами, — родины антоновских яблок — и на 21-й
день с момента нашего отплытия из Ярославля благополучно прибыли в
Самару. Там мы сдали лодку и причитающееся к ней оборудование. 1300
километров было позади.
Дальнейший наш путь лежал на Кавказ. До Астрахани мы плыли в
двухместной каюте первого класса речного парохода. Каюты высших клас-
сов на пароходе морского типа, на котором мы плыли из Астрахани в Баку,
были чрезвычайно малопривлекательны. Мы предпочли купить билеты
4-го класса, расстелить на палубе полог нашей палатки и объявить его по-
верхность нашей неприкосновенной территорией. На этом пологе можно
Воспоминания о 11. С. Александрове
83
было сидеть и лежать сколько угодно. После однодневного пребывания в
Баку мы отправились по железной дороге до станции Акстафа, затем на
автобусе в Дилижан, а оттуда пешком (с пишущей машинкой и складным
столиком) — на озеро Севан. Естественно, что нас сразу привлек скали-
стый островок (ставший теперь, с понижением уровня озера Севан, полу-
островом), и нам захотелось на нем поселиться. Это оказалось несложным.
Кельи расположенного там монастыря пустовали, и мы заняли одну из
них. Постоянное население острова состояло тогда из архимандрита мона-
стыря (имевшего довольно обширный дом), его служанки (присматривав-
шей за несколькими коровами), начальника метеорологической станции с
небольшим семейством и, наконец, «капитана», который и в самом деле
командовал «севанским флотом» из одной моторной и нескольких обыч-
ных весельных лодок. Его колоритная фигура была несколько раз описана
в литературе (например, Мариэттой Шагинян).
Архимандрит ежедневно открывал нижнюю церковь (на вершине хол-
ма стояли еще два пустующих храма), зажигал свечи и в полном одиноче-
стве совершал службу. Заведующий метеостанцией, видимо, исполнял свои
обязанности. Капитан же по временам привозил почетных гостей (Сарья-
на или тогдашнего председателя ВЦИК Армении, например), но был готов
покровительствовать и скромным туристам.
На острове мы оба взялись за работу. Со своими рукописями, пишущей
машинкой и складным столиком мы уходили в уединенные бухты. В про-
межутках между занятиями много купались. Для занятий я прятался в
тень, Павел Сергеевич же часами лежал на открытом солнце лишь в тем-
ных очках и белой шляпке-панамке. Эту склонность работать совершенно
раздетым на жгучем солнце он сохранял до весьма позднего возраста.
Павел Сергеевич работал на Севане над отдельными главами своей сов-
местной с Хопфом монографии «Топология» и помогал мне писать немец-
кий текст моей статьи о теории интеграла. Я, помимо писания этой статьи,
был занят размышлениями об аналитическом описании марковских про-
цессов с непрерывным временем, результатом которых стал впоследствии
мемуар «Об аналитических методах в теории вероятностей».
Как положено, на озере Севан преобладала солнечная погода, но иног-
да с востока из-за гор наползали облака, спускавшиеся вниз к воде и при
соприкосновении с ней исчезавшие. Здесь мы провели безвыездно (если не
считать экскурсии в монастырь Эриванг под руководством нашего капита-
на) около 20 дней. У Павла Сергеевича приближался срок его условленного
приезда в Гагры, и мы отправились вместе в Эривань (где на несколь-
ко дней нас приютило какое-то студенческое общежитие). Стояла сорока-
градусная жара, небо было мглисто-синее, и только после захода солнца
неожиданно появлялся конус Арарата, висящий в этой синеве. Мы посе-
84
VI. Статьи о математиках в других изданиях
тили Эчмиадзин (где из-за отсутствия надлежащих туалетов не решились
посетить Католикоса). Из Эчмиадзина мы отправились пешком на Ала-
гез (переночевав сначала у озера, где нас очень мило приютили физики,
изучавшие космические ливни). После ночлега (уже без одежды, в одних
лишь трусах) мы поднялись на южную вершину Алагеза, что не представ-
ляло никакой сложности (4000 м). С вершины открылся вид на скалистую
северную вершину (4100 м), отделенную от южной большим снежником, в
самой низкой части которого было видно небольшое озерко с ледяными и
снежными берегами. Павел Сергеевич непременно захотел спуститься туда
и выкупаться, я же предпочел подняться на северную вершину. Из Эривани
мы направились в Тифлис. Там мы пошли в бани Орбелиани и попросили
дать нам опытных банщиков. Мне дали старого перса, очень маленького
роста. Он поработал надо мной с очень большой энергией, а в конце всей
процедуры положил меня на живот, вспрыгнул мне на спину и начал меня
массировать ногами. Процедуры эти нам очень понравились.
В Тифлисе мы на некоторое время расстались с Павлом Сергеевичем.
Он отправился в Гагры — поездом до Батуми, потом пароходом; я же пред-
принял небольшое пешеходное путешествие в район верхнего Терека и Ар-
дона.
Мой маршрут начался в Коби, куда я приехал на автобусе. Из Коби я
отправился вверх по Тереку так, что с правой стороны оставались Казбек
и Гимарай-Хох, а с левой — вершины Главного хребта, из которых самая
высокая — Зильга-Хох (3840 м). Поднявшись на Трусовский перевал, я
расположился на ночлег под открытым небом — я был оборудован для
этого, имея спальный мешок из козьего пуха, вложенный в большой ме-
шок из газгольдера. Проснувшись утром с ощущением комфорта и тепла,
я обнаружил, что меня покрывает горка снега от прошедшего ночью сне-
гопада. Но облака рассеялись, и я благополучно поднялся на Зильгу-Хох.
Вернувшись к Трусовскому перевалу, я отправился в Заромак, и оттуда
к Цейскому леднику. Подкормившись на турбазе, я начал подниматься на
этот ледник, где и провел следующую, совершенно ясную ночь. Это было
мое первое соприкосновение с миром вечных снегов, произведшее на меня
большое впечатление.
На автобусе и по железной дороге через Туапсе и Сочи я попал в Гагры,
где соединился с Павлом Сергеевичем и жившей в Гаграх компанией ма-
тематиков. Мы все увлеклись купанием в довольно сильном прибое, когда
преодоление набегавшей волны уже требует выработанной техники — надо
бросаться под волну вниз головой; Павел Сергеевич этим искусством обла-
дал в полной мере. Стоило посмотреть на его восторженное лицо, когда он
бросался навстречу морским волнам! Плавал я несколько хуже Павла Сер-
геевича, но в целом оказался достойным партнером в его культе активного
Воспоминания о П. С. Александрове
85
и непосредственного соприкосновения с природой, культом солнца, воды и
снега.
Вспоминаю наше житье там. На гагринском побережье обращал на себя
внимание двухэтажный дом, стоявший у самого берега таким образом, что
балкон второго этажа нависал над морем, и морские волны разбивались
прямо под ним. Нам с Павлом Сергеевичем очень захотелось поселиться
на этом балконе. Хозяйка дома была бывшая абхазская княжна, и нам не
сразу удалось получить разрешение на житье там. Но когда мы располо-
жились со своими мешками на этом балконе, то были атакованы целыми
полчищами клопов, и сразу же у нас пропала всякая охота там жить. При-
шлось снять другое помещение, хотя бы и удаленное от моря.
Я не помню точно, когда нами было принято решение поселиться вме-
сте; во всяком случае с готовым таким решением мы вернулись из Гагр в
Москву. Мы нашли в дачном поселке Клязьма на улице Писарева недавно
отстроенный дом, состоявший из двух половин по 3 комнаты в каждой, и
общей кухни, без удобств и без водопровода. Одну из половин этого дома
мы и сняли. С нами поселилась моя тетушка Вера Яковлевна, которая вела
все хозяйство. В другой половине жили хозяева; мне запомнилось только
имя и отчество хозяйки — Вера Архиповна. У хозяев была корова, от ко-
торой мы снабжались молоком.
Вселились мы в этот дом довольно поздней осенью, но успели еще на-
чать регулярно бегать для купания на одну из двух наших речек — Клязь-
му — поближе и Учу — подальше. Помещение было снято нами на два
года, но в 1930-1931 гг. мы оба много времени провели за границей, так
что фактически наше житье в нем продолжалось около года.
Осенью 1931 г. мы вместе с Верой Яковлевной переселились в располо-
женную в том же поселке Клязьма дачу на Некрасовской улице, принад-
лежавшую брату Павла Сергеевича — Михаилу Сергеевичу Александрову.
Жили мы там на своеобразных условиях: в летнее время занимали доволь-
но обширные мансардные помещения, а на зиму переселялись в нижнюю
половину. Помещение здесь было несколько больше, чем на улице Писаре-
ва, но дом был также без удобств. С нами поселилась в качестве домашней
работницы Маша Барабанова, которая еще до революции в нашем имении
под Ярославлем была моей нянькой.
В 1935 г. мы приобрели у наследников Константина Сергеевича Стани-
славского часть старинного помещичьего дома в поселке Комаровка близ
Болшева (в последующие годы мы выкупили дом полностью). Этот «дом в
Комаровке» удовлетворял всем нашим потребностям, давая возможность
разместить большую библиотеку и помещать в отдельных комнатах наших
гостей — на несколько дней и даже на более длительное время.
86
VI. Статьи о математиках в других изданиях
В конце тридцатых годов установился удовлетворявший нас обоих рас-
порядок. Как правило, из семи дней недели мы проводили 4 дня в Ко-
маровке, один из которых полностью посвящался физкультурному отды-
ху — лыжам, гребле, большим пешеходным экскурсиям (протяженность
длительных лыжных походов была в среднем около тридцати и доходила
до 50 километров; в солнечные мартовские дни мы проводили на лыжах
в одних трусах до 4 часов подряд). В остальные дни обязательной была
утренняя зарядка, дополнявшаяся зимой еще бегом на лыжах до 10 км.
Мы никогда не были моржами, купающимися круглый год ежедневно: мы
купались по произволу, когда захочется. Особенно мы любили плавать в
только что вскрывшихся реках, еще посреди сугробов по берегам. Утрен-
няя пробежка на расстояние около километра при не слишком больших
морозах делалась в одних трусах и босиком. Заплывы в ледяной воде я
делал только очень маленькие, а Павел Сергеевич — значительно более
длинные. Но зато бегал на лыжах в раздетом виде на значительно боль-
шие расстояния — я.
Одним из любимых способов организации лыжных пробегов был такой.
Мы приглашали математическую молодежь, скажем, в Калистово, и отту-
да начинали двигаться в направлении Комаровки. Некоторые, не добрав-
шись до Комаровки, садились в автобус и уезжали домой. Добравшимся
предлагался душ, по желанию — валяние в снегу и затем — обед. В пери-
од расцвета Комаровского дома число гостей за обеденным столом после
лыжного бега достигало 15 человек.
Примерный распорядок дня в Комаровке был такой. Завтрак — в 8-9
часов. Умственная работа — с 9 до 2. Второй завтрак — около 2. Лыжный
пробег или пешеходная прогулка — с 3 до 5. В период наиболее строгой
организованности — предобеденный сон в течение 40 минут. Обед — в 5-6
часов. Потом — чтение, музыка, беседы на научные и общие темы. В самом
конце — короткая вечерняя прогулка, особенно — в лунные зимние ночи.
Сон — в 10-11 часов.
Весь этот распорядок нарушался в двух случаях: а) когда научные по-
иски становились азартными и требовали неограниченного времени и б) в
солнечные мартовские дни, когда лыжные прогулки делались единствен-
ным занятием.
Глава 3. Поездка за границу 1930-1931 гг.
Хлопоты о предоставлении мне рокфеллеровской стипендии не увенча-
лись успехом, но мне была предложена полугодичная командировка Нар-
компроса в Германию и Францию. Уже находясь за границей, я направил
в Наркомпрос заявление, что назначенной мне суммы хватит для 9-
Воспоминания о П. С. Александрове
87
месячного пребывания. Наркомпрос тут же удовлетворил мою просьбу, и
дал согласие на продление моего пребывания за границей до 9 месяцев.
Павел Сергеевич имел приглашение читать лекции в Гёттингенском
университете, и в июне 1930 г. мы вместе отправились из Москвы в Берлин.
Там Павел Сергеевич остановился у X. Хопфа, я — в гостинице. На улицах
Берлина чувствовалась напряженность политического и экономического
положения. Толпы безработных, часто очень плохо одетых. Многие дома
садовых участков украшены флагами: красными — коммунистов, желто-
красно-черными— социал-демократов, бело-красно-черными— крайне пра-
вых партий.
В Берлине мы прожили 3 дня и затем переехали в Гёттинген. Там Павел
Сергеевич поселился в доме Нейгебауэра, а я снял меблированную комнату.
В соседнем дворе находилась студенческая корпорация с ее довольно шум-
ной жизнью и нередкими дуэлями (которые кончались в наиболее острых
случаях порезом щек, с одной стороны, не слишком опасными, а с другой —
достаточно хорошо видными). Среди студентов-математиков корпорантов
было немного, и они не пользовались особой популярностью. Иногда даже
студенты-корпоранты при входе в Математический институт университета
снимали корпоративные знаки отличия.
Будущее Германии представлялось еще совсем неопределенным. Ку-
рант то ли в шутку, то ли всерьез говорил, что вероятно национал-соци-
алисты придут к власти, но ненадолго, а потом власть перейдет к коммуни-
стам, и уж совсем в шутку добавлял, что в этом случае Павел Александров
приедет из Москвы в качестве комиссара Гёттингенского университета.
Математический институт, постройка которого была закончена неза-
долго до нашего приезда, представлял исключительные удобства для на-
учных занятий. Молодым ученым, приезжавшим в институт, предоставля-
лась маленькая отдельная комната с письменным столом, двумя стульями
и полочками для книг и всяческих бумаг, а также выдавался ключ от биб-
лиотеки, где можно было, уже никого не спрашивая, брать любые книги,
относить их в свою рабочую комнату. Предполагалось, конечно, что по ми-
новании надобности взятые книги немедленно относятся в библиотеку и
ставятся там на надлежащее место. Серьезно работающим студентам так-
же выдавался ключ от библиотеки, с теми же правами и обязанностями.
Профессора имели довольно обширные кабинеты, и ключ профессора
открывал свой собственный кабинет, все аудитории института и, конечно,
библиотеку. А директор института и его заместители могли своим одним
ключом отпирать все помещения института. Нейгебауэр, заказавший та-
кую систему ключей, очень ею гордился. Гёттинген в те годы воспринимал-
ся как первый математический центр Германии и как достойный конкурент
Парижа во Франции и Принстона в США. Такое положение Гёттингена до-
88
VI. Статьи о математиках в других изданиях
стиралось при очень ограниченном постоянном составе сотрудников. Орди-
нарных профессоров-математиков было всего четверо: Гильберт, Курант,
Ландау и кажется Бернштейн (достигший 68-летнего возраста Гильберт
должен был перейти на пенсию, а на его место был уже приглашен Герман
Вейль). На положении ассистентов находились многочисленные молодые
сотрудники Куранта (Фридрихе, Реллих, Ганс Леви и др.). Не имела по-
стоянной профессуры сама Эмми Нётер, уже воспринимавшаяся как глава
современной общей алгебры. Ее ученики Ван-дер-Варден, Дёринг тоже на-
ходились на положении ассистентов.
Зато необычно большим для того времени было число ученых, пригла-
шенных на семестр или какой-либо иной срок, а также число математиков,
приезжавших сюда по собственной инициативе.
Основной состав Гёттингенских математиков группировался вокруг
Гильберта, Куранта, Ландау и Эмми Нётер. Это был очень дружный кол-
лектив, и Павел Сергеевич рассматривался в нем как человек, органически
ему принадлежавший. Можно даже сказать, что в этом обществе он был
чрезвычайно популярен, а с Курантом, Нейгебауэром и Э. Нётер его свя-
зывала личная дружба. У меня также были в Гёттингене разносторонние
научные контакты. Прежде всего — с Курантом и его учениками по линии
предельных теорем, где диффузионные процессы оказываются пределами
дискретных случайных процессов, затем по интуиционистской логике — с
Г. Вейлем, и, наконец, по теории функций — с Ландау. С последним, впро-
чем, мои контакты развивались не самым удачным образом. Ландау очень
хотелось получить ответ на вопрос, может ли непрерывная функция ни
в одной точке не иметь ни конечной, ни бесконечной производной (в из-
вестных примерах Вейерштрасса и Ван-дер-Вардена в некоторых точках
имеются бесконечные производные). Я с большим азартом взялся за эту
задачу и вскоре построил нужный пример. Он оказался очень громозд-
ким, но я написал его с полной подробностью и отнес Ландау. Ландау был
очень доволен, всем рассказывал об успехе молодого русского математи-
ка, и просил меня возможно быстрее подготовить изложение примера для
печати. Но, к моему ужасу, через несколько недель я увидел в Fundam.
math, статью Безиковича, в которой такой пример был построен, причем
технические приемы Безиковича и мои были чрезвычайно схожи!
Мои занятия обобщением понятия интеграла и теорией меры делали
для меня чрезвычайно желательными личные контакты с Каратеодори, и
поэтому за две недели до окончания летнего семестра (он завершался в
Германии 1 августа) я отправился из Гёттингена в Мюнхен, куда вскоре,
освободившись от своих обязанностей в Гёттингенском университете, при-
ехал и Павел Сергеевич. Так как наш дальнейший путь лежал в Париж,
а по дороге мы собирались попутешествовать, то лишние вещи мы отпра-
Воспоминания о П. С. Александрове
89
вили из Гёттингена в Париж и оказались тем самым в Мюнхене в обличье
пешеходных туристов: я, как младший, — в шортах, Павел Сергеевич —
все-таки в брюках.
В Мюнхене я встретился с Каратеодори. Ему понравилась моя работа
по теории меры, и он настоял на ее возможно быстром печатании (я пере-
дал ему также мою уже готовую работу, посвященную обобщению понятия
интеграла, которая представлялась мне очень большим достижением. Но
Каратеодори, хотя и рекомендовал ее в Math. Annalen, отнесся к ней до-
вольно холодно).
На летнее время у нас обоих было приглашение Фреше приехать к нему
на побережье Средиземного моря с тем, чтобы поработать вместе с ним по
теории вероятностей в моем случае, и по теоретико-множественной топо-
логии — в случае Павла Сергеевича. Наш план состоял в том, чтобы после
небольшого путешествия по Германии и южной Франции приехать к Фре-
ше, который жил тогда в местечке Санари недалеко от Тулона, а оттуда
поехать в Париж.
Первые два дня путешествия мы провели в Баварских Альпах на ма-
леньком озерке Шпитзензее в небольшой гостинице. Оттуда мы проделали
«восхождение на Ротванд». По туристской тропе на Ротванд шествова-
ли солидные баварцы в шляпах с пером, в баварских кожаных штанах,
альпинистских ботинках с триконями и с альпенштоками в руках. Не без
желания подтрунить над почтенными баварцами, мы проделали все восхо-
ждение босиком (мы и вообще-то любили с Павлом Сергеевичем хождение
босиком).
Дальнейший наш путь был направлен к двум из самых замечательных
готических соборов — в Ульм и Фрейбург. В каждый из этих двух городов
мы приезжали после полудня, снимали номер в гостинице, и отправлялись
гулять по городу, отыскивая различные пункты, из которых собор особенно
хорошо виден.
Поужинав, мы возвращались к собору на закате солнца, и еще раз при-
ходили к нему утром. Павел Сергеевич относился с искренним интересом
к такому обстоятельному знакомству с памятниками готической архитек-
туры, но не забывал при этом по многу раз повторять слова Верлена «1а
тег est plus belle que les cath£drales».
В Ульме мы несколько раз купались в Дунае. Течение его около Ульма
очень быстрое, и местные купающиеся юноши нам продемонстрировали,
что самое приятное купание получается, если, оставив свою одежду, пу-
ститься вниз по течению через весь город с тем, чтобы потом прибежать
по набережной к месту отправления. Это мы и проделывали, оставив одеж-
ду на попечение местных купальщиков.
90
VI. Статьи о математиках в других изданиях
В Ульме мы нашли гостиницу за сходную цену. Фрейбург был в этом от-
ношении менее гостеприимным: цена гостиничного номера нам показалась
чрезмерной. Мы отправились тогда в окрестности Фрейбурга, где вскоре
нашли маленькую деревенскую гостиницу с очень приятными крохотными
комнатками. Там мы и переночевали (на постелях поразительной белизны
и свежести), чтобы утром снова вернуться к собору. Затем мы на местном
поезде отправились во Францию, в Мюнхаузен (Munhous по-французски)а.
Затем мы предприняли еще небольшое путешествие по Франции — частич-
но пешком, частично на местных автобусах. Один полный день — с ранне-
го утра до позднего вечера — мы потратили на экскурсию на «семь озер»,
раскинувшихся на альпийских лугах на высоте около 2000 м. Два дня мы
провели на берегу Роны, еще один — на берегах озера Аннеси. Потом день
мы провели в Марселе и оттуда поездом отправились в Санари, где нас
ожидал уже Фреше, заказавший нам комнату в том же пансионе де ля
Горже, в котором жил сам. Пансион был окружен фруктовыми садами,
неподалеку имелся небольшой пляжик, на который мы приходили вместе
с Фреше. Мы купались и плавали, а Фреше prenait le bain de pieds.
Невдалеке находится мыс Горже — живописная группа красных скал.
Мы особенно любили работать, забираясь на эти скалы, прыгать с них,
купаться под ними. Павел Сергеевич работал, как обычно, на самом солнце,
я — в тени.
Фреше занимался в это время марковскими цепями с дискретным вре-
менем и различными типами и множествами состояний. Мы обсуждали с
ним всю марковскую проблематику в широком аспекте. Такая довольно
монотонная жизнь продолжалась около месяца, нарушаясь сравнительно
редко небольшими экскурсиями.
В сентябре мы покинули Санари и поездом отправились в Бретань —
через всю Францию. Нашей целью был небольшой поселок Батц, где нахо-
дится могила Павла Самуиловича Урысона. Пустынные гранитные берега,
на которые накатываются огромные океанские волны, представляют собой
полный контраст с берегами Средиземного моря. Могила Урысона находи-
лась в полном порядке, ибо за ней ухаживала мадемуазель Корню, в доме
которой жили в свое время Александров и Урысон. И сумрачная природа
Бретани, и воспоминания о П. С. Урысоне настраивали нас на молчали-
вые прогулки по берегу океана. Мы ходили в рыбацкий поселок Крузик,
рыбацкую деревушку Гюрбаль...
Из Батца мы приехали, наконец, в Париж. Прямо с вокзала мы от-
правились в гостиницу на улице Турнефор, где постоянно останавливал-
ся Н. Н. Лузин во время своих приездов в Париж. Довольно большие и
“Имеется в виду город Мюлуз (Mulhouse) в департаменте Верхний Рейн, Франция. —
Прим. ped. т. 4 Избр. тр.
Воспоминания о П. С. Александрове
91
несколько сумрачные комнаты этой гостиницы были приятны ощущением
полного спокойствия, но... здесь оказалось много клопов (в те времена
это было обычно во Франции). Павел Сергеевич начал с некоторым азар-
том расправляться с клопами и складывать их трупы на отдельный лист
бумаги. Затем мы собрали свои вещи и отправились прочь. Распоряди-
тельница при входе стала обеспокоенно спрашивать нас: «В чем дело? Вы
чем-нибудь недовольны?» На это Павел Сергеевич величественно ответил
ей: «Объяснение Вы найдете в нашем номере!» Следующая гостиница не
понравилась Павлу Сергеевичу, как слишком шумная, в третьей по ко-
ридору шмыгали слишком небрежно одетые женщины... Лишь методом
последовательных приближений удалось отыскать в Латинском квартале
гостиницу и не слишком дорогую, и удовлетворяющую всем требованиям
Павла Сергеевича. В ней мы и оставались те две недели, которые провели
там вместе.
Павел Сергеевич был в Париже не в первый раз. Он многое любил в
этом городе, — и больше всего ту особую атмосферу, которая охватывает,
по-видимому и до настоящего времени, всех попадающих в этот город. Это
тем более естественно для русского человека, так как из сочинений русских
классиков можно почерпнуть огромное количество сведений о Париже, его
географии, достопримечательностях, уличной жизни, и многом другом.
Павлу Сергеевичу были с достаточной полнотой известны наиболее за-
мечательные произведения искусства, хранящиеся в парижских музеях.
Но при этом нужно сказать, что в области изобразительных искусств у
Павла Сергеевича был центр притяжения, который перевешивал все дру-
гие впечатления, — музей Родена. Фотография, изображающая скульптуру
Родена «Бронзовый век», всегда украшала его комнату в Комаровке. Она
и поныне висит там...
Естественно, что мы, как и большинство людей, попадающих в Париж,
предавались неодолимой страсти просто бродить по его улицам без заранее
намеченной цели. Мы посещали также и парижские плавательные бассей-
ны (они были в ту пору интересны и еще четко выраженными социальными
чертами; мы посещали разные — от нескольких аристократических до наи-
более громадного демократического бассейна Пищин де ля Гар).
Павел Сергеевич уехал из Парижа в конце сентября, а я оставался там
до середины декабря. Для меня еще вместе с Павлом Сергеевичем мы на-
шли вблизи университетского городка и парка Монсури небольшую мебли-
рованную комнату в спокойном семейном доме.
Мне было естественно, оказавшись в Париже, интересоваться оценкой
моих работ и получить какие-нибудь советы для продолжения своей рабо-
ты в первую очередь у корифеев математики старшего поколения — Бо-
реля и Лебега. Но мой контакт с ними, к сожалению, весь ограничился
короткими чисто официальными визитами. Помощь Бореля оказалась су-
92
VI. Статьи о математиках в других изданиях
щественной, впрочем, при продлении французской визы. Разрешение было
дано немедленно после вручения письма, подписанного Emile Borel, Ancient
Ministre de la Marine (Эмиль Борель, бывший морской министр).
В сфере науки я вынес очень многое из контактов с П. Леви. Он неод-
нократно приглашал меня к себе домой, где мы вели длительные содержа-
тельные научные беседы. С представителями более молодого поколения я
как-то за этот короткий период времени не сумел вступить в какие-нибудь
интересные общения.
Осенняя погода в Париже чрезвычайно неприятна, особенно неприятно
в станциях и тоннелях парижского метро, куда врывается через наружные
двери холодный воздух, сгущающийся до клубов водяного пара. При этом
и стены метро, и ваш костюм покрывается влагой. По-видимому, из-за это-
го я сильно простудился и приехал в Гёттинген больным. Павел Сергеевич
немедленно уложил меня в прекрасную частную лечебницу, где на рожде-
ство в мою одноместную палату была даже внесена украшенная елка. По-
сле выздоровления я был определен Павлом Сергеевичем в сравнительно
недорогой, но хорошо обставленный пансион Крейцнахер, и только в се-
редине января мне было разрешено перебраться в присмотренную заранее
комнату квартиры семейства одного почтальона. Условия жизни там были
довольно спартанские. Мой почтальон вместе с женой, взрослой дочерью
и двумя мальчиками занимал достаточно большую квартиру из четырех
комнат, из которых, однако, постоянно отапливалась зимой только кух-
ня, а остальные комнаты обычно не отапливались. Раз комната все равно
не отапливалась, я счел разумным держать окно постоянно открытым, а
спать под пуховым одеялом и в ночном колпаке. Моя комнатка была очень
маленькой и стоила, если мне не изменяет память, 15 марок в месяц. Но,
кроме того, я приплачивал за то, что мог по утрам заниматься в гостиной
около топившейся для меня печки, при этом мой договор с хозяином пре-
дусматривал, что гостиной я мог пользоваться только в будние дни, ибо по
праздникам и в воскресные дни гостиная и столовая топились только в ин-
тересах гостей, и, следовательно, заниматься там я не мог. Восстановление
моей закаленности произошло довольно быстро, и уже к середине февра-
ля я по утрам в трусах и майке бегал на расстояние примерно полтора
километра в университетскую купальню Кли.
Глава 4. Из писем П. С. Александрова из США
(Из письма от 20 февраля 1931 г.)
... У меня уже были здесь две лекции; первая происходила с точки зре-
ния языка очень печально, но вторая (сегодня) была значительно лучше.
Я, кроме того, беру уроки английского языка у одной почтенной и прият-
ной дамы, учительницы немецкого языка в здешней гимназии. Взял пока
Воспоминания о П. С. Александрове
93
2 урока, и ими очень доволен. Но только стоит это удовольствие не 2 мар-
ки, как у тебя, а 2 */2 доллара. Но я надеюсь, что не долго буду брать эти
уроки; в настоящее время это все-таки прямая необходимость.
Читаю я достаточно общий курс топологии — от комбинаторной (вклю-
чая законы двойственности) до теории размерности включительно; все про-
вожу с устремлением в замкнутые множества; слушается курс, по-видимо-
му, с интересом, и слушатели бесконечно более подготовлены, чем, думаю,
сейчас где бы то ни было. В числе слушателей — Александер, так что ауди-
тории более компетентной и ответственной для преподающего трудно себе
представить. А сам Александер читает совсем элементарный курс топо-
логии; в настоящее время рассказывает с удивительным изяществом про-
стейшие вещи из абстрактной топологии — аксиомы отделимости и проч.,
но будут и бикомпактные пространства и т. п. Одним словом, нынешний
топологический сезон в Принстоне мог бы весь происходить в Москве.
Кстати, ты мне многократно говорил о чисто комбинаторной топологии.
Прочитай только что (летом) опубликованную статью Alexander’a «Com-
binatorial theory of complexes», Ann. Math., 31, №2, 292-320. Это — одна
из последних тетрадей Annals, лежащих в Lesezimmer. Статья совершенно
элементарная (ничего не предполагает) и изящества необыкновенного. По-
немногу занимаюсь главным образом книгой. И еще надо писать рецензии
для Zentralblatt’a о топологическом Enzyklopedie — Artikel Tietze-Vietoris’a
(завтра надо будет это сделать, боюсь, уйдет полдня), Anhang для Hilbert’а,
FuBnoten к моей работе, так что дела действительно много. Александер бе-
рется доказать, что двумерный комплекс, состоящий из всех двумерных
граней шестимерного симплекса, не может быть топологически включен
в четырехмерное пространство, и что вообще (аналогичным образом) тео-
рема о том, что А'-мерный комплекс всегда умещается в E2fc+1, улучшена
быть не может.
Каждый день плаваю в плавательном бассейне, действительно превос-
ходном, во много раз больше Гёттингенского. Не знаю точно, сколько он
длины — ведь тут длины измеряются не в метрах, а не то в ярдах, не
то еще в каких-то подобных единицах, — но во всяком случае нет ника-
кой потребности, чтобы он был больше (следующее желательное усовер-
шенствование мыслится уже в другом направлении — чтобы он был под
открытым небом). Души при бассейне снабжены бесплатно предоставляе-
мым мылом в неограниченном количестве — поверти вертушку, и полная
ладонь очень мылкого мыльного порошка, который, будучи смочен, сра-
зу (даже без мочалки) дает большое количество пены. При этом условии
особенно легко становится требовать, чтобы все перед плаванием мылись с
мылом. Полное отсутствие всяких трусов в плавательном бассейне также,
естественно, способствует чистоплотности (и что-то я, вопреки опасениям
94
VI. Статьи о математиках в других изданиях
Fr6chet, никаких грыж, которые следовало бы скрывать из эстетических
соображений купальными костюмами, ни у кого из купающихся не видел).
Впрочем, большинство купающихся, как и естественно ожидать, студен-
ты, большинство — прекрасно сложены, так что думаю, что с эстетической
стороны купающиеся в принстонском плавательном бассейне юноши стоят
значительно выше, чем публика французских пляжей, даже если грыжи и
прячутся под купальными костюмами.
Принстонский Athletic-Field (Spielplatz) помещается в двух шагах от ме-
ня; постараюсь туда проникнуть, чтобы бегать и т. п. Но для бегания в Аме-
рике полагаются трусы и майка (безрукавка), так как этот Athletic-Field
виден с улицы, и простота нравов меньшая, чем в Германии! Вообще — уди-
вительное дело: американцы не понимают радости подставлять голое тело
солнечным лучам, ветру, вообще всем естественным воздействиям окружа-
ющей открытой природы. При этом удовольствие делать движения в го-
лом виде они отлично понимают — в различных залах Gimnasium’a можно
видеть молодых людей в ничтожнейших трусах, а часто и совсем голых,
бросающих мяч об стену, делающих различные гимнастические упражне-
ния и т. п. Но перенести все это на открытый воздух (хотя-бы и с несколько
большими трусами) — не додумались. А между тем, в частности, и с эсте-
тической стороны американское университетское юношество принадлежит,
несомненно, к наилучшим образом выглядящим молодым людям, так что
не имеет оснований так тщательно прятать свою наготу.
Очень хорошо, что купил себе Trainingsanzug. Но только если ты наде-
ваешь его на голое тело (например, когда по утрам бегаешь), то необходимо
иметь два, чтобы можно было достаточно часто их стирать. Узнай, не са-
дятся ли они при стирании (beim Waschen eingehen). Вероятно, садятся;
это надо иметь в виду и купить соответственно больших размеров. А эта
комбинация — верхняя половина Trainingsanzug’a с белой рубашкой и гал-
стуком — тебе, наверное, очень идет, — тебе вообще идут свободные и есте-
ственные костюмы. Купи или закажи себе непременно костюм с короткими
штанами, это и красиво, и практично, и может быть употребляемо во всех
обычных (не торжественных и не вечерних) случаях. Непременно купи се-
бе все такое особенно в случае, если придется неожиданно возвращаться в
Москву (считаю эту возможность, к сожалению, не исключенной). Если же
ты благополучно дождешься в Германии меня, то, пожалуй, лучше костюм
покупать или заказывать вместе со мною. Между прочим, непременно об-
думай к моему возвращению, что из спортивных и экскурсионных вещей
нам с тобой купить: палатку и т. п. Особенно желательной представляет-
ся мне действительно основательная палатка, достаточно основательная,
чтобы мы с тобою могли в ней долго жить и чтобы в ней можно было
заниматься (значит, в частности, чтобы был в нее доступ свету). Такую
Воспоминания о П. С. Александрове
95
палатку нам необходимо иметь, чтобы быть независимыми от всяких аб-
хазских княжен и иметь возможность без клопов и проч, неприятностей
располагаться даже на продолжительное время там, где нам вздумается.
Ты все это сообрази, как следует, и узнай, где такие вещи лучше все-
го покупать, выпиши себе проспекты, узнай цены и т. п. В Америке это
покупать едва ли стоит, здесь все-таки все дороже, чем в Германии. Та-
кие вещи можно, конечно, покупать где угодно, но, кажется, лучше там,
где мы собирались покупать лодку (сосед Нейгебауэра Шелленберг зна-
ет адрес некоего Bergverlag’a1 в Мюнхене, где можно получить все такие
справки, проспекты и т. п.; постарайся к нему обратиться прямо или через
Нейгебауэра).
Я тебе советую приобрести и лыжный костюм, тем более что он тебе
кажется удобным. Все это стоит, по существу говоря, совсем недорого, а
фактическая ценность этих вещей (т. е. получаемые от них блага, по вы-
ражению Александра Яковлевича) очень велика.
Ты мне почти ничего не пишешь о своих спортивных упражнениях, а
мне очень интересно иметь о них постоянный подробный отчет: сколько, в
каком костюме, при какой температуре бегал? в какое время дня? прямо
ли из дому или только на Spielplatz’e? Купался ли у Klie? Плавал ли в
Schwimmhalle? Какую и где делал гимнастику (дома, у Klie)? Кроме того,
ты ничего не пишешь о своем самочувствии. Кашляешь ли ты, и быва-
ешь ли охриплым? Как твой насморк? А главное, как общее самочувствие?
Тебе бы очень хорошо покупать себе, кроме молока, сливки. Оказывается
(мне это говорил один биологический химик) маленькая бутылочка сливок
(стоящая 13 центов) содержит больше питательных веществ, чем большая
(больше чем пол-литра) бутылка молока (стоящая здесь 9 центов). Между
прочим, цены здесь устанавливаются (на разной густоты сливки и моло-
ко) в почти полном соответствии с действительной питательностью — т. е.
с химическими анализами (содержание жиров и т. п.). Да и субъективно
это подтверждается — насыщающее действие сливок очень велико. Между
прочим, распространены сливки в Америке чрезвычайно — люди, покупа-
ющие молоко (напр. моя Mrs Gulich), покупают достаточно часто и сливки,
так как знают, что это более концентрированная форма того же молока, а
не некоторый изысканный предмет роскоши: во всех таких вопросах амери-
канская «домашняя хозяйка» бесконечно развитее своей немецкой Collegue:
Grete как будто бы дама более высокой марки, но тем не менее мне долго
пришлось убеждать ее, что платить на две десятых цены больше за в пол-
тора раза большее яйцо — выгодно; а что платить 13 центов за маленькую
бутылочку сливок столь же выгодно, как 9 центов за большую бутылку
'Вспомнил: Berg Verlag Rudolf Rother, Munchen (кажется, Munchen, 49), все-таки
проверь у Schellenberg’a.
96
VI. Статьи о математиках в других изданиях
молока — в этом я ее и не надеюсь убедить. А моя Mrs Gulich все это
отлично понимает. Поэтому в Америке и можно цены устанавливать в со-
ответствии с химическими анализами (а не глупостью покупательниц). Но
ты-то покупай и сливки и молоко (так как сливки будешь пить с кофеем,
а молоко — само по себе). Конечно, если бы и сливки ты мог пить живьем,
было б лучше всего.
Вес свой мне тебе сообщить довольно трудно: ведь здесь все шиворот
навыворот: вес человеческий исчисляется не в килограммах, и даже не
в английских фунтах, а в некоторых специальных единицах, называемых
«stone», что значит — камень! Вероятно, это вес того камня, о который
споткнулась лошадь Вашингтона, когда он ехал избираться в первые пре-
зиденты Соединенных Штатов! Но я постараюсь выяснить соответствую-
щие коэффициенты и тогда тебе напишу. Скоро вышлю тебе деньги. Я
пока еще не получал денег: оказывается, следующую мне сумму мне пред-
полагали выплачивать помесячно: 5 марта, 5 апреля, мая, июня (т. к. не
предполагается, чтобы люди, приглашаемые для чтения лекций, приезжа-
ли в Америку с 50 долларами в кармане). Но я возьму вперед. Кроме того,
я пользуюсь здесь неограниченным кредитом (не только у отдельных лиц.
но и, например, в университетском магазине, где только что купил себе
машинку (в кредит) за 60 долларов. Она будет иметь, кроме обычного
латинского алфавита, знаки +, —, <, >, =, е, ^2, показатель п (Еп) и
индексы 1, 2, также, конечно, о, \ " Пока эти знаки присоединяются, мне
дали на время обычную...)
(Из письма от 22 марта 1931 г.)
... Я положительно влюбляюсь в нее, даже с некоторым волнением
смотрю на нее каждый день, и она совершенно серьезно играет большую
роль в моей жизни. Вокруг нее всегда какая-то полная тишина, и даже
таинственность, и сама она прямо какая-то воплощенная Ундина — тихая,
прозрачная и трогательная, особенно, когда смотришь на нее, освещенную
яркими солнечными лучами, скользящую среди больших, старых, но не
обнаженных еще деревьев.
И имя у нее удивительное — Stony Brook — что означает «Каменная реч-
ка», такие имена бывают (вернее, бывали) у дочерей и невест индейских
царьков. Каждый раз, когда я на нее смотрю, я говорю про себя: ты назы-
ваешься Stony Brook, и произносить ее имя доставляет мне удовольствие.
Имя вполне ей соответствует — вода в ней чистая, зеленая и холодная, а
дно каменистое.
К месту, где я купаюсь, надо долго идти по зарослям, и вдруг, подняв-
шись на небольшую грядку, — сразу перед тобою речка с нависающими
Воспоминания о П. С. Александрове
97
над нею большими, много на своем веку видавшими, точно тургеневскими,
деревьями. Длинный участок она течет параллельно каналу, в конце этого
участка я и купаюсь. Между нею и каналом через заросли идет тропинка;
вероятно, по ней ходят только зачарованные принцы любоваться на Stony
Brook в лунные ночи, так как я там еще ни разу не видал ни одного че-
ловека (впрочем, я около тропинки нашел две консервных банки, так что
зачарованные принцы иногда кушают консервированные бобы; также
несколько следов костра — очевидно, здесь иногда устраиваются пик-
ники).
Как бы то ни было, я на этой тропинке ни одного человека до
сих пор не видел, и пользуюсь ею для того, чтобы по ней бегать до
и после купания.
На другом берегу Stony Brook — лесистое болото, и далее (далеко) —
фермы, а на другом берегу канала — бесконечные фруктовые сады, произ-
водящие совершенно запущенное впечатление. Без конца водяных птиц, по-
этому все в целом производит действительно таинственное впечатление —
разве не таинственна иллюзия настоящей природы в получасе ходьбы от
Princeton’а? До ближайшей автомобильной дороги тоже полчаса ходьбы
моими зарослями (без них было бы двадцать минут). И заросли очень хо-
роши. Воображаю, какое это будет раздолье, когда начнется настоящая
весна, и все зазеленеет здешней совершенно непроницаемой, густой, колю-
чей, вьющейся зеленью. Нет, положительно гораздо лучше всякого Klie и
может конкурировать с лучшими местами на нашей Уче...
Несколько дней тому назад я сделал большую, четырехчасовую про-
гулку, и исследовал течение своей Stony Brook на протяжении более 15 ки-
лометров. Это было часто сопряжено с трудностями и даже опасностями,
так как приходилось не только пролезать через заросли безо всяких тропи-
нок, но, что гораздо хуже, — через частные владения, обнесенные прово-
локами, на которых вместо колючек через каждые 10 шагов было прибито
печатное объявление, гласящее, что всякий посторонний, входящий сюда,
нарушает законы С.Ш.А., со всеми вытекающими из этого последствиями!
Но последствий, слава Богу, не было никаких. Вообще же, как тебе уже
неоднократно писалось, главное в Princeton’e — это солнце. Я сегодня про-
снулся от восхода солнца — вижу в окно землю, деревья, дома, залитые
ярко-розовым светом, также облачка, близкие к горизонту, потом сразу
безо всякого перехода — синее небо. Было действительно прекрасное зре-
лище, продолжавшееся, естественно, всего несколько минут. На Клязьме
мы с тобою все дрыхнем, когда солнце восходит, а, наверное, бывает не
хуже!..
98
VI. Статьи о математиках в других изданиях
(Из письма от 25 марта 1931 г.)
«City’s Lights»
A Romantic Comedy
written and directed
by Charles Chaplin
«Огни большого города»
Романтическая комедия,
написанная и поставленная
Чарли Чаплиным
Вчера я видел в здешнем кинематографе. Естественно, нужна была чья-то
инициатива, чтобы вообще меня затащить в кинематограф. Эта инициати-
ва была проявлена Alexander’oM, и я не жалел о ней. Первый раз в жизни я,
уходя из кинематографа, чувствовал прикосновение с большим, серьезным,
человеческим и общечеловеческим искусством. И это впечатление господ-
ствует надо мною и весь сегодняшний день, что и в применение в театру
является, по крайней мере для меня, одним из основных критериев значи-
тельности впечатления.
Основное в Чаплине — ему удалось создать новый художественный об-
раз, правда, единственный, но положительно новый, которого раньше в
человеческом искусстве просто не было (хотя в жизни, конечно, был — во
времена царя Соломона, так же как и в наши времена). Пожалуйста, не
пойми это как сравнение масштабов, как количественную оценку, но так
же как Шекспир открыл Гамлета, а Гоголь — Акакия Акакиевича, так
Чаплин открыл этот единственный играемый им образ смешного и тро-
гательного неудачника, странника, неизвестно откуда приходящего и куда
идущего, точный адэкват шубертовского «шарманщика» — «willst du zu
meine Liedern deine Leier drehn?».
Художественное открытие Чаплина, конечно, не в этом вековечном со-
держании, а в том удивительном, трогательном и чистом, свободном от
всякой риторики, целомудренном воплощении, которое он для него нашел.
И вот тут я понял просто материальное превосходство в известном отноше-
нии кинематографа над театром — это создание искусства ведь останется
практически, надо надеяться, «на вечные времена». Между прочим, произ-
ведение в лучшем смысле слова современное: вся эта стыдливость, боязнь
всякой фразы и многое другое воспринимаются как нечто, невозможное ни
в XIX, ни в XVIII веке. Не знаю, можно ли понять, что я этим хочу сказать;
скажу только, что романтика современная (а Чаплин является именно ее
представителем), если угодно, более романтична, чем бывшая 100 лет то-
му назад (везде, за исключением, впрочем, музыки) — более романтична в
смысле знания, что ничего-то словами нельзя сказать!
Сюжет во всем этом представлении, конечно, достаточно безразличен,
и его, если угодно, некоторая подчеркнутая механичность — та стандарт-
ность, которая существовала в «органические периоды театра» — например
Воспоминания о П. С. Александрове
99
в итальянской commedia del arte — только усугубляет содержание основ-
ных образов, точнее — основного образа. Но выражение глаз в конце пьесы,
жест, с которым он подымал при прощании свой неизменно потрепанный
котелок, поцелуй руки, — действительно, нельзя забыть. То, что все это
происходит на экране — просто необходимо, — в настоящем театре вся кра-
сота бы пропала, все сделалось бы грубым, ото всего осталась бы одна
оболочка.
Между прочим, часто я сомневаюсь в этом пресловутом единстве дей-
ствительности (вопрос, которого мы много раз касались в письмах), и пла-
тоновская концепция дуалистического мира часто искушает меня...
НАУМ ИЛЬИЧ АХИЕЗЕР
(к семидесятилетию со дня рождения)
6 марта 1971 г. исполнилось 70 лет крупному советскому математику
Науму Ильичу Ахиезеру.
Первые работы Наума Ильича в киевский период его жизни (1922-1933)
были посвящены теории функций комплексного переменного с применени-
ем к аэродинамике. Интерес к вопросам аэродинамики Н. И. Ахиезер со-
храняет и в более поздние годы, публикуя работы по теории струй, теории
решеток и т. д.
Но уже в 1927 г. Н. И. Ахиезер обратился к той области математи-
ки, работы в которой принесли ему наибольшую известность, — теории
аппроксимаций. В этой области Н. И. Ахиезер решает ряд труднейших
задач чисто алгебраического характера, являясь в этом отношении непо-
средственным преемником Чебышёва, Маркова и Золотарёва, глубоко вхо-
дит в проблематику асимптотического характера, выдвинутую на первый
план С. Н. Бернштейном, с которым у Н. И. Ахиезера устанавливается на
долгие годы тесное сотрудничество, и, наконец, вместе с М. Г. Крейном
принимает самое активное участие в формировании направления в теории
аппроксимаций методами функционального анализа.
С самого начала для работ Н. И. Ахиезера по теории аппроксимаций
типично искусное владение методами теории функций комплексного пере-
менного при решении чисто действительных экстремальных задач. Пере-
числим здесь лишь некоторые из результатов, полученных Н. И. Ахиезером
на этом пути:
В 1930 г. им решена задача о полиноме с тремя фиксированными коэф-
фициентами, наименее уклоняющемся от нуля на данном интервале, и за-
дача о наилучшем приближении полиномами некоторых функций на двух
интервалах.
В 1947 г. решены аналогичные задачи для целых функций экспоненци-
ального типа.
В 1952 г. решена задача о наименее уклоняющихся от нуля целых функ-
циях экспоненциального типа с четырьмя фиксированными коэффициен-
тами.
В 1965 г. Наум Ильич обобщил этот результат на случай, когда коэф-
фициенты удовлетворяют п линейным связям.
Успехи математических наук. — 1971. — Т. 26, вып. 6. — С. 257-261 (совм. с Ю. М. Бе-
резанским, М. Г. Крейном, Б. Я. Левиным, Б. М. Левитаном, В. А. Марченко; в разделе
«Математическая жизнь в СССР»).
Наум Ильич Ахиезер
101
В 1946 г. доказан аналог неравенства С. Н. Бернштейна для производ-
ных от неограниченных на вещественный оси функций экспоненциального
типа.
В 1960 г. совместно с Б. Я. Левиным неравенство С. Н. Бернштейна
распространено на некоторые классы многозначных функций.
Наконец, совсем недавно этот же подход Наум Ильич применил для
изучения ортогональных полиномов на множестве, которое получается вы-
брасыванием из вещественной оси конечного числа интервалов.
Каждая из этих работ требовала привлечения все новых методов теории
функций комплексного переменного. В частности, в цикле недавних работ
потребовалось при изучении свойств ортогональных полиномов на системе
интервалов выйти с вещественной оси не только в комплексную плоскость,
но и на специальные римановы поверхности.
Идеи функционального анализа не только нашли полезные примене-
ния в теории аппроксимаций, но и привели к существенному обновлению
самой проблематики теории аппроксимаций. Вместе с М. Г. Крейном (и па-
раллельно с Фаваром) Н. И. Ахиезер дает первое точное решение задачи
теории наилучших приближений нового типа, находя максимум En(f) для
тригонометрического полинома порядка п по классу всех периодических
функций, удовлетворяющих условию sup \f^(х)| М. Новые концепции
проходят красной нитью в широко известной монографии «Лекции по тео-
рии аппроксимаций», которая содержит ряд глубоких результатов самого
Н. И. Ахиезера и за которую Н. И. Ахиезеру в 1949 г. была присуждена
премия П. Л. Чебышёва.
Теория моментов и спектральный анализ интересуют Наума Ильича
не только как аппарат теории аппроксимаций, но и как самостоятельные
главы функционального анализа, которые Н. И. Ахиезер обогащает многи-
ми замечательными результатами. Он публикует совместно с М. Г. Крей-
ном монографию «О некоторых вопросах теории моментов», а совместно
с И. М. Глазманом получившую широкое распространение монографию по
спектральной теории операторов.
В 1933 г. Н. И. Ахиезер переезжает в Харьков для работы в основан-
ном С. Н. Бершнтейном Институте математики и механики Харьковско-
го университета. После переезда С. Н. Бернштейна в Ленинград в 1935 г.
Н. И. Ахиезер становится директором этого института. Здесь особенно про-
является его талант организатора, содействуя дальнейшему подъему всей
работы института, налаживая, в частности, его связи с другими институ-
тами в СССР и за границей.
С этого времени деятельность Н. И. Ахиезера неразрывно связана с
городом Харьковом. Он был депутатом Горсовета, много лет президен-
том Харьковского математического общества и редактором журнала об-
щества — одного из старейших в нашей стране.
102
VI. Статьи о математиках в других изданиях
Математический талант и личное обаяние Наума Ильича естественным
образом сделали его центром математической жизни города. Благодаря
исключительной энергии ему удалось сконцентрировать в Харькове значи-
тельные математические силы. Наум Ильич оказал определяющее влияние
на развитие харьковской школы аналитиков. Особенности личности Наума
Ильича отразились и в его монографиях, являющихся образцовыми произ-
ведениями математической литературы, соединяющими широту и ясность
общего замысла с виртуозностью выполнения деталей. На этих монографи-
ях воспитывались многие математики, и поэтому они вполне обоснованно
считают Наума Ильича своим учителем. Монографии Наума Ильича из-
даны во многих странах мира, они постоянно используются, цитируются
и, несомненно, способствуют популяризации советской математики за ру-
бежом.
Большой педагогический талант Наума Ильича пожалуй ярче всего
проявился в его лекциях.
«Лекции Наума Ильича для меня праздник» — эту фразу неоднократно
доводилось слышать от его студентов.
Преподавать Наум Ильич начал в Лименьской школе-коммуне, осно-
ванной М. Н. Лепешинским. Он с большим увлечением занимался препо-
даванием в этой школе и поныне любит вспоминать об этой своей деятель-
ности.
Последние 10 лет Наум Ильич с не меньшим увлечением принимает
участие в работе средней математической школы К® 27 города Харькова. Он
был одним из инициаторов ее создания, разрабатывает для нее программы,
заботится о постановке преподавания и сам преподает в ней.
Перу Наума Ильича принадлежит более 100 статей и 8 монографий.
Научные достижения Наума Ильича хорошо известны и уже освещались в
статьях, посвященных знаменательным датам его жизни. Мы остановимся
вкратце только на основных работах последнего десятилетия. За это время
Наум Ильич переработал и дополнил свои монографии по теории аппрокси-
мации, теории операторов (совместно с И. М. Глазманом) и эллиптическим
функциям.
В 1961 г. вышла в свет новая монография Наума Ильича «Классическая
проблема моментов».
В этот же период Наум Ильич вел научную работу по нескольким раз-
личным направлениям. В проблеме моментов его занимали континуальные
аналоги классических теорем. Здесь ему принадлежит развитие известной
работы М. Каца о детерминантах Фредгольма уравнения Винера-Хопфа
с эрмитово-положительным ядром. Результаты Наума Ильича по-новому
освещают весь круг вопросов. В другом большом цикле работ Наум Ильич
Наум Ильич Ахиезер
103
последовательно изучает ортогональные полиномы с весом на системе дуг
окружности и системе интервалов вещественной оси.
Метод, разработанный в этих работах, Наум Ильич применил также
к обратным задачам спектрального анализа. Ему удалось явным образом
восстановить операторы Штурма-Лиувилля по спектральным функциям
специального вида в случае, когда спектр имеет один или несколько лю-
ков. Те же идеи были использованы Наумом Ильичем для оригинального
обобщения преобразования Фурье.
Творческая деятельность Наума Ильича непрерывно продолжается.
Мы желаем Науму Ильичу от всей души доброго здоровья и творче-
ских радостей в его многогранной работе, получившей международное
признание.
К ШЕСТИДЕСЯТИЛЕТИЮ
СЕРГЕЯ НАТАНОВИЧА БЕРНШТЕЙНА
В марте этого года исполнилось шестьдесят лет со дня рождения одно-
го из крупнейших советских ученых, академика Сергея Натановича Берн-
штейна.
Творчество Сергея Натановича можно рассматривать как продукт сча-
стливого соединения широко воспринятого воздействия французской шко-
лы (Пикар, Адамар, Валле-Пуссен) с традициями знаменитых русских ма-
тематиков — Чебышева, Маркова, Ляпунова. В основе его творчества ле-
жит непоколебимое убеждение в том, что математический метод призван
пронизать насквозь современное естествознание. «В наши дни все матема-
тики и физики согласны, что область применимости математики не имеет
пределов, отличных от пределов самого знания» такими словами начинает-
ся изложение первой, юношеской, работы Сергея Натановича (1903 г.), в ко-
торой дано решение одной из знаменитых «математических проблем», вы-
двинутых Д. Гильбертом на Парижском математическом конгрессе 1900 г.,
именно — доказательство аналитичности всех интегралов дифференциаль-
ных уравнений в частных производных эллиптического типа. Уже в этой
работе заметны характерные собственные концепции Сергея Натановича в
отношении основных задач, стоящих перед анализом и теорией функций.
В теснейшем соответствии с детерминистическим принципом, руково-
дящим нами при изучении явлений природы, стоит аналитическая функ-
ция; можно даже сказать, что она оказывается подлинным математическим
выражением этого принципа. Поэтому понятие аналитической функции
становится главнейшим объектом математического естествознания: инте-
рес сосредоточивается на том, как отграничить функции, способные быть
однозначно «продолжаемыми», от тех, которые этим свойством не облада-
ют. Лишь первые действительно полезны; но исследователь должен изу-
чить те и другие, чтобы исчерпать все их взаимоотношения. В класси-
ческую, хотя и неустойчивую, идею аналитической функции, естественно
выступающую теперь на первый план, вносятся новые нюансы и корректи-
вы: с помощью новых критериев аналитичности устанавливается возмож-
ность элиминировать, как несущественный атрибут, комплексную плос-
кость независимой переменной; вводятся новые «квази-аналитические»
классы функций; рассматриваются такие типы дифференциальных урав-
нений, интегралы которых могут быть продолжаемы лишь однозначно. Об-
Известия АН СССР. Сер. математическая. — 1940. — Т. 4. — С. 249-260 (совм. с
В. Л. Гончаровым).
К шестидесятилетию Сергея Натановича Бернштейна
105
щее понятие функции строится на широкой базе равномерного предельного
перехода от простейших аналитических функций — рациональных полино-
мов. Теорема Вейерштрасса точно характеризует класс функций, которые
могут быть получены подобным способом в действительной области: это —
функции непрерывные.
Далее возникает единая классификационная схема, в основу которой
положена быстрота сходимости последовательности приближающих поли-
номов, причем, как оказывается, возникающая классификация тесно свя-
зана с дифференциальными свойствами или аналитической природой изоб-
ражаемой функции. Среди последовательностей полиномов, сходящихся к
данной функции, существенно выбрать ту, которая сходится быстрее всех
других: отсюда — естественный переход к «экстремальным» проблемам
наилучшего приближения. Вслед за целыми рациональными функциями в
качестве конструктивного элемента и объекта исследования вступают так-
же и простейшие трансцендентные — целые функции конечных порядков.
Вместе с тем, наряду с равномерной сходимостью, в общий круговорот
идей вовлекаются и иные типы сходимости, какова, например, сходимость
в среднем (квадратическая); отсюда — переход к «ортогональным полино-
мам» Чебышева и рядам, по ним расположенным.
Если в первые годы научной деятельности детерминистический прин-
цип служит для Сергея Натановича путеводной нитью, то с тем большим
вниманием он обращается позднее к учению о недетерминированных яв-
лениях — теории вероятностей, причем впервые осуществляет попытку со-
лидного аксиоматического обоснования этой теории. Здесь, как и в других
случаях, Сергей Натанович остается противником праздной игры ума и,
обращаясь к статистическим и биологическим приложениям, ищет выво-
дов, которые свидетельствовали бы в пользу детерминистического тезиса:
так возникают его капитальные работы, относящиеся к закону больших
чисел и другим предельным предложениям теории вероятностей.
Необходимо отметить,что основные линии, по которым движется мысль
Сергея Натановича — теория функций, дифференциальные уравнения эл-
липтического типа, теория вероятностей, — не только связаны между собою
органически, но и развиваются в тесном взаимном проникновении: доста-
точно напомнить хотя бы о «многочленах Бернштейна» и о доказательстве
теоремы Вейерштрасса, связанном с теорией вероятностей. Нельзя также
не упомянуть об одной черте, характерной для всего творчества Сергея
Натановича: это — предпочтение, отдаваемое конкретно поставленным про-
блемам высокой степени трудности перед близко лежащими и естествен-
но возникающими обобщениями. Преодолевая препятствия, встречающие-
ся на избранном им пути наибольшего сопротивления, Сергей Натанович
106
VI. Статьи о математиках в других изданиях
иной раз намного опережает своих современников и захватывает в своих
исследованиях обширные области, планомерное освоение которых принад-
лежит будущему.
В дальнейшем мы остановимся на важнейших внешних этапах научной
и общественной деятельности Сергея Натановича.
По окончании средней школы в 1898 г., в возрасте восемнадцати лет,
Сергей Натанович уехал за границу, в Париж, уже успев установить свое
призвание к научной работе в области математики. В 1903 г. он закончил
свою первую блестящую работу, которую в следующем году защитил в
качестве диссертации на степень docteur^s-sciences и тогда же опубликовал
в Mathematische Annalen\ в ней разрешена в положительном смысле уже
упоминавшаяся 19-я проблема Гильберта — «являются ли аналитическими
решения регулярных задач1 вариационного исчисления?». Как указывает
Сергей Натанович в предисловии к этой работе, при выполнении ее он
был «вдохновляем в равной степени Пикаром и Гильбертом: первым — в
отношении средств, вторым — в отношении цели».
После непродолжительного пребывания в Гёттингене Сергей Натано-
вич возвратился в Россию, в 1906 г. закончил сдачу магистерских экзаме-
нов в Петербурге и затем (в 1908 г.) переехал в Харьков, приняв приват-
доцентуру в Харьковском университете. Последовали защиты двух дис-
сертаций: в 1908 г. магистерской, в 1913 г. — докторской. Первая из них,
посвященная уравнениям эллиптического типа, помимо ранее полученных
результатов, содержала решение 20-й проблемы Гильберта, касающейся во-
проса о существовании интеграла эллиптического уравнения при заданных
граничных значениях на контуре области, т. е. обобщенной проблемы Ди-
рихле. Вторая диссертация на тему «О наилучшем приближении непре-
рывных функций посредством многочленов данной степени» объединила
различные результаты первостепенной важности, полученные Сергеем На-
тановичем на протяжении нескольких предшествующих лет; сюда относят-
ся исследования о порядке наилучшего приближения, которые незадолго
до того заслужили премию Бельгийской академии наук и затем были из-
ложены Сергеем Натановичем на Международном конгрессе в Кембридже
(1912 г.). В частности, укажем на ряд основных предложений, устанавли-
вающих зависимость между порядком наилучшего приближения Enf(x) и
дифференциальной природой функции2 (существование и непрерывность
последовательных производных, условия Липшица различных порядков),
’Под регулярной задачей вариационного исчисления понимается нахождение мини-
мума интеграла ff F(p, q, z, x, у) dxdy, где F — аналитическая функция, p =	, <7 = и
F£,Fgq ~ ВД2 -* 0- Уравнение Лагранжа в случае регулярной задачи — эллиптического
типа.
2Эти результаты примерно в те же годы были дополнены Е. Джэксоном.
К шестидесятилетию Сергея Натановича Бернштейна
107
или же — в случае аналитической функции — расположением и свойствами
ее особенных точек. Кроме того, отметим очень тонкую оценку наилучше-
го приближения3 |ж| и важный результат, касающийся полноты систе-
мы степеней х на конечном промежутке (обобщение теоремы Вейерш-
трасса).
До революции Сергей Натанович был лишен возможности широко раз-
вернуть свою учебно-педагогическую деятельность (лишь в 1917 г. он был
избран профессором в Харьковском университете); но научные заслуги его
не могли не получить всеобщего признания, и в предвоенные годы его имя
было уже широко известно и внушало исключительное уважение как в
ученых кругах, так и среди студенчества.
Накануне войны 1914 г. в Mathematische Annalen появляется замеча-
тельный мемуар Сергея Натановича «Sur la d6finition et les ргорпё!ёз des
fonctions analytiques d’une variable гёе11е», в котором изложена его концеп-
ция аналитической функции и, между прочим, впервые вводятся квази-
аналитические классы в действительной области. В годы войны и в после-
довавший за ними революционный период интересы Сергея Натановича
направляются преимущественно в сторону теории вероятностей. Его рабо-
ты этого периода представляют собой блестящее завершение исследований
Чебышева, Маркова и Ляпунова по предельным теоремам для сумм слу-
чайных величин. Доказательство основной предельной теоремы для слу-
чая независимых величин получает такую общность, что наложенные при
этом ограничения оказываются по существу теми самыми, которые впо-
следствии были установлены (В. Феллером) в качестве не только необхо-
димых, но и достаточных. Впервые дается строгое доказательство двумер-
ной предельной теоремы, что позволяет обосновать применимость к ряду
вопросов естествознания теории нормальной корреляции; сам Сергей На-
танович, исходя отсюда, установил важный и неожиданный для биологов
факт, что законы наследования количественных признаков Гальтона не
противоречат гипотезе Менделя, а, наоборот, вытекают из нее при есте-
ственных предположениях. Устанавливаются также крайне широкие усло-
вия, при которых предельная теорема сохраняется для рядов зависимых
величин. К этим фундаментальным результатам Сергей Натанович присо-
единяет остроумные и тонкие решения множества более частных проблем
теории вероятностей и математической статистики.
В 1923 г., по приглашению Парижского университета, Сергей Натано-
вич прочел курс лекций в Сорбонне, посвященный экстремальным свой-
ствам и наилучшему приближению аналитических функций. Этот курс
был опубликован в 1926 г. в виде монографии в коллекции Борел я и за-
3См. также относящиеся к обобщению этого вопроса недавние работы 1938 г.
108
VI. Статьи о математиках в других изданиях
служил премию Парижской Академии наук4; новым существенным вкла-
дом, в нем содержащимся, является исследование приближения функций
действительного переменного на бесконечном промежутке и исследование
наилучшего приближения аналитических функций, имеющих существен-
ную особенность.
Среди научных работ Сергея Натановича, написанных им в последу-
ющие годы, нужно указать на выдающийся по новизне идей мемуар об
абсолютно-монотонных функциях (Acta Mathematica, 1928), ряд статей и
доклад на Болонском конгрессе 1928 г. о регулярно-монотонных функци-
ях и цикл лекций по ортогональным полиномам, прочитанных в 1929 г.
в Институте Пуанкаре в Париже и в Политехнической школе в Цюрихе
(воспроизведен в Journal de Mathematiques).
Усиленная научная деятельность Сергея Натановича не помешала ему
одновременно принимать энергичное участие во всех делах, касающихся
высшей школы на Украине и, в частности, Харьковского университета.
В 1928 г. он становится во главе вновь организованного (в значительной
степени по его инициативе) Украинского института математики и закла-
дывает основу для развития этого исследовательского центра. В 1929 г.
происходит избрание Сергея Натановича действительным членом Акаде-
мии Наук СССР. В 1930 г., в качестве председателя организационного ко-
митета, он проводит энергичную работу по созыву 1-го Всесоюзного съезда
математиков, на котором выступает с обзорным докладом о современном
состоянии и проблемах теории приближения функций. С 1933 г. Сергей
Натанович живет в Ленинграде и принимает активное участие в работе
Академии Наук. Педагогическая деятельность его протекает в Ленинград-
ском государственном университете и в Ленинградском индустриальном
институте.
В последнее десятилетие Сергей Натанович направляет свое внимание
главным образом в сторону изучения различных вопросов интерполяции и
механических квадратур; следует упомянуть, например, об окончательном
выяснении пределов применимости так называемой квадратурной форму-
лы Чебышева. С другой стороны, возвратившись к теории вероятностей,
Сергей Натанович не только пополняет свои прежние исследования, но и
публикует фундаментальные работы по новому методу «стохастических
дифференциальных уравнений», который позволяет получать совершенно
новые типы предельных теорем.
Источник математического творчества Сергея Натановича неиссякаем,
и мы верим, что еще долгие годы его неутомимая мысль будет приносить
зрелые плоды.
4В 1928 г. Сергей Натанович был избран членом-корреспондентом Парижской Ака-
демии наук.
О РАБОТАХ С. Н. БЕРНШТЕЙНА
ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
(к восьмидесятилетию со дня рождения)
6 марта этого года исполнилось 80 лет со дня рождения Сергея Ната-
новича Бернштейна, одного из крупнейших математиков нашего времени.
1.	К проблемам теории вероятностей Сергей Натанович впервые обра-
тился в 1911-12 году. В этих первых работах по теории вероятностей преоб-
ладают интересы чистого аналитика. Замечательные по точности оценки,
данные в работе [1], были самим Сергеем Натановичем усовершенствованы
в 1943 г. [44] и позднее далее уточнялись Феллером. В работе [3] дается при-
менение вероятностных методов к доказательству теоремы Вейерштрасса,
относящейся к чистому анализу, вошедшее во многие учебники.
2.	Несколько позднее внимание Сергея Натановича привлекло то обсто-
ятельство, что логические основы теории вероятностей в то время остава-
лись еще недостаточно выясненными. В статье [4] «Опыт аксиоматическо-
го обоснования теории вероятностей», опубликованной в 1917 г., высказа-
но требование, что теория вероятностей, подобно геометрии, должна по-
лучить аксиоматическое обоснование, а объекты ее исследования должны
получить строгое математическое определение.
Таким основным объектом в аксиоматике С. Н. Бернштейна являет-
ся случайное событие, вероятность же является производным понятием.
В первую очередь строится система абстрактных объектов (случайных со-
бытий) и определяются соотношения равнозначности, включения и алгеб-
раические действия над событиями (объединение и совмещение), при этом
достоверное и невозможное события получают следующее внутреннее опре-
деление.
Событие П, входящее в рассматриваемую систему событий, называется
достоверным, если его объединение с любым событием А рассматриваемой
системы равнозначно событию Q.
Событие О называется невозможным, если его объединение с любым
событием А системы равнозначна событию А. При этом предполагается
еще, что достоверное событие не может быть равнозначно невозможному
событию.
Простейшей системой событий является система, состоящая из конеч-
ного числа несовместимых событий Л, (г = 1,2, ...,п; п — 1,2,...), объ-
единение которых есть достоверное событие, достоверного и невозможного
Теория вероятностей и ее применения. — 1960. — Т. 5, вып. 2. — С. 215-219 (совм. с
О. В. Сармановым).
110
VI. Статьи о математиках в других изданиях
событий. По соображениям, лежащим вне теории вероятностей (симмет-
рия), в ряде случаев события А, можно считать равновероятными, т. е.
сопоставить им одинаковые положительные числа.
Если теперь В есть объединение m таких событий А,, то вероятность В
есть монотонно возрастающая функция f(m/n) дроби m/п не обязательно
аддитивная. Соглашение о том, что /(m/n) = m/n, является совершенно
произвольным и продиктовано лишь соображениями простоты, с таким же
успехом в качестве вероятности В можно было бы рассмотреть функцию
т/{п — т) или lg(m/n) и т. д.
Более сложные системы событий, приводящие к иррациональным веро-
ятностям, определяются конструктивно и связаны с предельным переходом
при п —» оо.
В последних изданиях курса теории вероятностей (см. работы [31] и
[48]) имеется краткое изложение указанной аксиоматики.
Мы видим, что в этой аксиоматике исходным допущением является воз-
можность сравнивать события по их большей, равной, или меньшей вероят-
ности, числовая же мера вероятности является производной. Такой подход
к делу в новейшее время разрабатывался американским математиком Ку-
п.маном.
3.	Начиная с 1921 г. появляется ряд работ Сергея Натановича, посвя-
щенных различным специальным вопросам применений теории вероятно-
стей [6], [8], [9], [11], [12], [14], [25], [29], [32], а в 1927 г. выходит первым
изданием фундаментальный курс «Теория вероятностей», который с боль-
шими дополнениями переиздается в 1934 и в 1946 гг. На математических
съездах в Москве (1927) и Цюрихе (1932) Сергей Натанович выступает с
большими обзорными докладами о проблемах теории вероятностей. Мы
будем говорить еще далее об основных теоретических результатах, полу-
ченных Сергеем Натановичем в этот период, а сейчас подчеркнем, что для
этого времени столь широкая постановка работ по всем основным теоре-
тическим и прикладным вопросам теории вероятностей была еще делом
совершенно новым. В некоторой мере с ней может сравниться лишь дея-
тельность Мизеса и его сотрудников в Берлине, развивавшаяся в те годы.
Естественно, что теоретические и прикладные работы Сергея Натанови-
ча и его курс теории вероятностей в значительной мере определили все
развитие исследований по теории вероятностей в СССР.
4.	Целый ряд работ Сергея Натановича связан с уточнением неравен-
ства Чебышева ([5], [10], [34]) и вычислением погрешности формулы Ла-
пласа ([1], [10], [44]), а также посвящен центральной предельной теореме
теории вероятностей в условиях, обобщающих условия Ляпунова.
Причем в работе [7] 1922 г. центральная предельная теорема доказа-
на при столь общих условиях, что ее частный случай, предполагающий
О работах С. Н. Бернштейна по теории вероятностей.
111
существование вторых моментов, эквивалентен теореме Линдеберга, опуб-
ликованной в том же году1. Таким образом известная работа Феллера
1936 г.2 показывает необходимость условий теоремы Бернштейна (для ве-
личин, имеющих вторые моменты, предельно пренебрегаемых и имеющих
нуль своей медианой).
Изложение указанных вопросов на русском языке можно найти в 4-м
издании курса теории вероятностей (работа [48], добавл. 1).
В этой же книге помещено первое доказательство двумерной предель-
ной теоремы, лежащей в основе широкого применения нормальной корре-
ляции.
5.	В работе [17] (русский перевод [45]) исследованы условия примени-
мости центральной предельной теоремы к слабо зависимым случайным ве-
личинам и цепям Маркова.
Общая теория слабо зависимых величин, разработанная Сергеем Ната-
новичем, позволила ему распространить центральную предельную теоре-
му на серии случайных величин, связанных в сингулярную цепь Маркова
с вероятностями перехода, неограниченно убывающими по мере роста п —
числа случайных величин, входящих в рассматриваемую серию. При этом
была исследована допустимая скорость убывания, в частности было по-
казано, что предельная теорема может перестать быть приложимой, если
вероятности перехода убывают, как п-1/3.
Эти фундаментальные и весьма тонкие результаты ныне стали класси-
ческими и послужили отправным пунктом целого ряда работ других ма-
тематиков.
Позже, в работах [39] и [41], Сергей Натанович, развивая общую теорию
почти независимых величин, впервые рассмотрел последовательность за-
висимых величин, частные суммы которых образуют дискретный мартин-
гал3, и доказал применимость центральной предельной теоремы к таким
величинам.
6.	Другой цикл работ Сергея Натановича ([25], [30], [35]) посвящен об-
основанию методом уравнений в конечных разностях теории непрерывных
стохастических процессов. В работах этого цикла проводится конструктив-
ное построение случайной величины, получающей независимые прираще-
ния за малые промежутки времени и такой, что в пределе, когда длины
промежутков убывают, а число их стремится к бесконечности, у нее су-
ществует предельный закон распределения Р(у, t), который удовлетворяет
*J. W. Lindeberg, Mathem. Zeitschr., Bd. 15, 1922.
2W. Feller, Mathem. Zeitschr., Bd. 40, 1936.
3См. Дж. Дуб, Вероятностные процессы, ИЛ, 1950 г., стр. 88.
112
VI. Статьи о математиках в других изданиях
известному уравнению Фоккера-Планка
др _ ар	...
dt ~ А ду + 2 ду ’	(
Наиболее полное изложение этих работ помещено в добавлении б 4-го
издания курса теории вероятностей (работа [48]), где отмечено, в частно-
сти, что предложенный метод доказательства существования предельного
распределения содержит эффективный способ последовательных прибли-
жений для нахождения решения уравнения параболического типа (I) при
B(y,t) 0 заданном начальном распределении вероятностей Р(у, 0).
Другой важной особенностью метода Сергея Натановича является на-
хождение достаточных условий, накладываемых на коэффициенты урав-
нения (I) и гарантирующих существование решения, имеющего вероятност-
ный смысл.
Наибольший интерес представляет ограничение
(О С t < Т, С не зависит от у), обеспечивающее соблюдение так называе-
мого принципа конечности. В этой же книге приведен пример, показыва-
ющий, что когда условие (А) нарушено, принцип конечности тоже может
быть нарушен.
В более новой терминологии здесь дело идет об условиях, когда у = —оо
и у = 4-ос являются «недостижимыми границами».
Сам Сергей Натанович в описанных работах не связывал с уравнени-
ем (I) представления о предельном случайном процессе с непрерывным вре-
менем. Параллельно с его исследованиями происходила, как хорошо извест-
но, разработка прямой теории таких процессов. С точки зрения этой теории
работы Сергея Натановича интерпретируются как посвященные предель-
ным теоремам о переходе процессов с дискретным временем в процессы с
непрерывным временем, и следует отметить, что проблематика такого ро-
да занимает все больше места в современной вероятностной литературе в
СССР и за границей.
7.	В статье [42] критикуется теория «доверительных вероятностей» Фи-
шера. Здесь Сергей Натанович предостерегает от неправильного толкова-
ния уровня значимости 1 — а как апостериорной вероятности покрытия до-
верительным интервалом неизвестного истинного значения параметра. На
остроумном примере показывается, что иногда кажущееся естественным
такое толкование числа 1 — а приводит к грубо ошибочным результатам.
Эта критика не затрагивает, впрочем, принятого в современных учебниках
О работах С. Н. Бернштейна по теории вероятностей.
113
математической статистики понимания смысла и практических способов
употребления «доверительных интервалов»4.
8.	Следует заметить, что ряд небольших по объему статей Сергея На-
тановича, на которых мы совсем не остановились в этом кратком обзоре,
послужили основой целого ряда исследований других математиков. При-
мером может служить статья [43], содержащая доказательство следующей
теоремы: «Пусть х и у будут две независимые случайные величины, име-
ющие равные дисперсии. Для того чтобы величины х + у и х — у также
были между собой независимы, необходимо и достаточно, чтобы каждая
из величин х, у подчинялась закону Гаусса». Эта статья (объемом менее
двух страниц) послужила основой целой серии работ разных авторов о
независимых линейных формах, построенных на случайных слагаемых.
9.	В целом, работы Сергея Натановича Бернштейна завершают клас-
сическое направление русской школы теории вероятностей, созданной
П. Л. Чебышевым, А. М. Ляпуновым и А. А. Марковым, и прокладывают
новые пути в развитии этой важной отрасли математики.
4 Для большей отчетливости рассмотрим пример построения доверительного интерва-
ла для неизвестной средней а по малой выборке объема п из нормальной совокупности
с известной дисперсией а* 2.
Зададимся «уровнем значимости» а и найдем иа из условия 2Ф(ио) = 1 - а (где
тогда априорная вероятность эмпирической средней х попасть
в интервал
uQa
у/п
(1)
п
равна 1 - а, каково бы ни было неизвестное среднее а.
Переписав (1) в другом виде (эквивалентном исходному)
х-----
у/п
(2)
будем границы неравенства (2) называть границами доверительного интервала, а чис-
ло 1 — а доверительной вероятностью, соответствующей этому интервалу. Введя новые
термины, мы не изменили существа дела и поэтому не совершили никакой ошибки.
Неправильно апостериорное истолкование числа 1 — а как вероятности покрытия
интервалом (х-иаа / у/пух+иаа / у/п) неизвестной средней а, после того, как наблюдения
произведены, х стало известно и границы неравенства (2) перестали быть случайными.
С помощью теоремы Байеса можно доказать (и это проделано в разбираемой статье),
что 1 — а есть математическое ожидание апостериорной вероятности неравенства (2), т. е.
некая средняя вероятность такого неравенства при различных х; что замена величины
ее средним значением может при малом числе наблюдений привести к грубым ошибкам
и лишь в предположении, что п достаточно велико, по закону больших чисел отклонение
апостериорных вероятностей от своего математического ожидания будет невелико.
Таким образом, как и следовало ожидать, при оценке неизвестной средней а по од-
ному или по малому числу наблюдений исключить указываемую теоремой Байеса роль
«априорной» информации о значении а, вообще говоря, нельзя.
114
VI. Статьи о математиках в других изданиях
Развитие теоретико-вероятностных идей Сергея Натановича можно
найти в работах его ленинградских учеников (Г. А. Амбарцумян, В. П. Сав-
кевич, О. В. Сарманов, Н. А. Сапогов), а также в работал А. Н. Колмого-
рова, Ю. В. Линника, Ю. В. Прохорова, Б. В. Гнеденко, В. П. Скитовича,
Р. Л. Добрушина, А. В. Скорохода, И. И. Гихмана, В. В. Петрова и др.
СПИСОК РАБОТ С. Н. БЕРНШТЕЙНА
ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ5
[1] [32] Sur le calcul арргосЬё des probabilit£s par la formule de Laplace, Сообщ.
Харьк. матем. об-ва, серия 2, 1911, т. 12, стр. 106-110.
[3]	[42] Demonstration du 1Ьёогёте de Weierstrass fondde sur le calcul des probabi-
lites, Сообщ. Харьк. матем. об-ва, серия 2, 1911, т. 13, стр. 1-2.
[4]	[83] Опыт аксиоматического обоснования теории вероятностей, Сообщ.
Харьк. матем. об-ва, серия 2, 1917, т. 15, стр. 209-274.
[5]	[84] О законе больших чисел, Сообщ. Харьк. матем. об-ва, серия 2,1918, т. 16,
стр. 82-87.
[6]	[86] О взаимоотношении между балловой оценкой и фактическим весом уро-
жая по Харьковской губернии за 1913-1918 гг., Статистический бюл. ЦСУ
Украины, 1921, №4, стр. 2-5.
[7]	[88] Sur le 1Ьёогёше limite du calcul des probability, Math. Ann., 1922, Bd. 85,
стр. 237-241.
[8]	[95] D£monstration math£matique de la loi d’heredit£ de Mendel. Comptes rendus,
Paris, 1922, t. 177, стр. 528-531.
[9]	[96] Principe de stationary et бёпёгаНваНопз de la loi de Mendel, Comptes
rendus, Paris, 1923, t. 177, стр. 581-584.
[10]	[98] Об одном видоизменении неравенства Чебышева и о погрешности фор-
мулы Лапласа, Уч. зап. н.-и. кафедр Украины, Отд. матем., 1924, вып. 1,
стр. 38-49.
[11]	[99] Решение одной математической проблемы, связанной с теорией наслед-
ственности, Уч. зап. н.-и. кафедр Украины, Отд. матем., 1924, вып. 1. стр. 83-
115.
[12]	[103] Введение к кн.: Теоретические основания выборочного метода. Выдерж-
ки из 4-го англ, изд., Elements of statistics, A. Bowley, под ред. С. Н. Берн-
штейна (ЦСУ УССР), Харьков, 1924, стр. 5-9.
[14]	[104а] Об экономическом барометре Конъюнктурного института, Хозяйство
Украины, апрель, 1925, №4, стр. 12-22.
[17]	[111] Sur Г extension du Мёогёте limite du calcul des probabiiys aux somme de
quantys dёpendantes, Math. Ann., 1926, Bd. 97, стр. 1-59.
5Во вторых скобках указан номер работы в «Списке трудов академика С. Н. Берн-
штейна», помещенном в конце I тома Собрания сочинений, Изд. АН СССР, 1952 г.
О работах С. Н. Бернштейна по теории вероятностей.
115
[25]	[163] Sur I’equation differentielle de Fokker-Planck, Comptes rendus, Paris, 1933,
t. 196, стр. 1062-1064.
[29]	[167] О рассеянии с поглощением, Докл. АН СССР, 1934, т. I, стр. 230-234.
[30]	[169] Proprietes de la th£orie des equations diffdrentielles stochastiques, I*re par-
tie, Труды Физ.-мат. ин-та им. Стеклова, Отд. матем., 1934, т. 5, стр. 96-124.
[31]	[171] Теория вероятностей, Изд. 2 и 3-е доп., М.-Л., 412 стр.
[32]	[175] О математическом ожидании простоя рабочих единиц при сложном про-
изводственном процессе. Уголь, М 117, Харьков, 1935, стр. 109-111.
[34]	[184] О некоторых видоизменениях неравенства Чебышева, Докл. АН СССР,
т. 17, стр. 275-277.
[35]	[203] Equations differentielles stochastiques, Paris, Hermann, 1938, 31 p. Act. Sci.
ind., стр. 738.
[39]	[211] Новые приложения почти независимых величин, Изв. АН СССР, серия
матем., 1940, т. 4, стр. 137-150.
[41]	[215] О суммах зависимых величин, имеющих взаимно почти нулевую регрес-
сию, Докл. АН СССР, 1941, т. 32, стр. 303-307.
[42]	[216] О «доверительных» вероятностях Фишера, Изв. АН СССР, серия ма-
тем., 1941, т. 5, стр. 85-94.
[43]	[217] Об одном свойстве, характеризующем закон Гаусса, Труды Ленингр.
политехн. ин-та, 1941, К’З, стр. 21-22.
[44]	[223] Возврат к вопросу о точности предельной формулы Лапласа, Изв. АН
СССР, сер. матем., 1943, т. 7, стр. 3-16.
[45]	[227] Распространение предельной теоремы теории вероятностей на суммы
зависимых величин, Успехи матем. наук, 1944, т. X, стр. 66-114. (Перевод
статьи К» 17).
[48]	[242] Теория вероятностей, изд. 4-е доп., М.-Л., 1946, 556 стр.
ИЗРАИЛЬ МОИСЕЕВИЧ ГЕЛЬФАНД
(к пятидесятилетию со дня рождения)
20 августа 1963 г. исполнилось 50 лет со дня рождения Израиля Моисе-
евича Гельфанда, члена-корреспондента АН СССР, профессора МГУ, имя
которого пользуется большой популярностью у нас и за рубежом.
Израиль Моисеевич родился 20 августа (7 августа) 1913 г. в м. Крас-
ные Окны Одесской области. В 1930 г., имея неполное среднее образование,
Израиль Моисеевич приехал в Москву, где работал первое время на случай-
ных местах (например, контролером у входа Ленинской библиотеки).
В это же время он начал преподавание математики, сначала элементар-
ной, а затем и высшей, на различных курсах и в вечерних институтах. Он
начал посещать лекции и семинары по математике в МГУ; как он сам гово-
рил, первой математической школой в его жизни был семинар М. А. Лав-
рентьева по теории функций комплексного переменного. В 1932 г. Израиль
Моисеевич был принят в аспирантуру; его научным руководителем стал
А. Н. Колмогоров, направивший Израиля Моисеевича на занятия функци-
ональным анализом, которым в ту пору в Москве интересовался еще очень
небольшой круг математиков. Большое значение в определении тем первых
научных работ Израиля Моисеевича имели также беседы с Л. А. Люстер-
ником и А. И. Плеснером.
Уже в самых первых работах Израиль Моисеевич получает результаты,
вошедшие в «золотой фонд» функционального анализа. Так, в работе [2]
доказана теорема: в полном нормированном пространстве всякое выпук-
лое замкнутое центрально симметричное множество, содержащее отрезок
на каждом луче, исходящем из начала, содержит целый шар. В настоя-
щее время аналогичное свойство является определением важного класса
линейных топологических пространств («бочечных»).
Кандидатская диссертация Израиля Моисеевича «Абстрактные функ-
ции и линейные операторы» (1935 г.) содержит ряд теорем об общем виде
линейных операторов в нормированных пространствах. Но, пожалуй, боль-
шее значение, чем сами эти теоремы, имел метод, разработанный Израилем
Моисеевичем для их доказательства. Именно, применяя к функции x(t) со
значениями в нормированном пространстве Е любой линейный функци-
онал /, мы получаем обычную функцию, которую можно изучать сред-
ствами классического анализа; а поскольку в силу теоремы Хана-Банаха
линейных функционалов в Е достаточно много, это дает и достаточно пол-
Успехи математических наук. — 1964. — Т. 19, вып. 3. — С. 187-205 (в разделе «Мате-
матическая жизнь в СССР»; совм. с М. И. Вишиком, С. В. Фоминым и Г. Е. Шиловым).
И. М. Гельфанд (к 50-летию со дня рождения)
117
ную информацию о самой абстрактной функции x(t). Сейчас эти сообра-
жения кажутся само собой разумеющимися, но впервые они были развиты
именно в диссертации Израиля Моисеевича. Следует также отметить его
работу об однопараметрических группах операторов [9].
Однако наивысшим достижением Израиля Моисеевича в довоенные го-
ды является созданная им теория коммутативных нормированных колец,
составившая его докторскую диссертацию (1938 г.). Хотя нормированны-
ми кольцами математики занимались и до Гельфанда (Рисе, Нагумо, Ма-
зур, Диткин), но только он обнаружил здесь то основное понятие, которое
позволило сцементировать разрозненные до того факты и создать новую
содержательную теорию — понятие максимального идеала. Теория норми-
рованных колец И. М. Гельфанда позволила найти новые тесные связи
между общим функциональным анализом Банаха и классическим анали-
зом. Так, известная теорема Винера: если функция x(t) разлагается в абсо-
лютно сходящийся ряд Фурье и не обращается в нуль, то обладает теми
же свойствами — оказалась, по существу, алгебраической; доказательство
ее, полученное Израилем Моисеевичем методом нормированных колец и
умещающееся в пяти строчках, сразу продемонстрировало силу новой тео-
рии и обратило на нее внимание всего математического мира. Основная
теорема теории об отображении любого коммутативного нормированного
кольца в кольцо непрерывных функций на некотором бикомпакте остается
до сих пор одним из крупнейших достижений функционального анализа.
Отметим важную составную часть этой теоремы: полное кольцо R всех
непрерывных функций на бикомпакте выделяется среди всех других тем,
что в нем имеется инволюция x(t) —> x(t) — антилинейный автоморфизм
х —+ х* кольца R, обладающий тем свойством, что |х*х| = |т‘| • |х| для
любого х € R.
Ближайшим некоммутативным аналогом кольца всех непрерывных
функций на бикомпакте является кольцо линейных операторов в гильбер-
товом пространстве, где также имеется инволюция — переход к сопряжен-
ному оператору. И вот в следующей блестящей работе [16], совместной с
М. А. Наймарком (1942 г.), Израиль Моисеевич показывает, что всякое
нормированное (некоммутативное) кольцо с инволюцией может быть реа-
лизовано в виде некоторого кольца линейных операторов в гильбертовом
пространстве с его естественной инволюцией. Эта работа послужила свое-
го рода мостом между теорией нормированных колец и теорией бесконеч-
номерных представлений групп, развитой И. М. Гельфандом совместно с
М. А. Наймарком в послевоенные годы.
В рамках короткой статьи, трудно было бы осветить всю научную дея-
тельность Израиля Моисеевича, начавшуюся более тридцати лет тому на-
зад и охватившую не только основные направления функционального ана-
118
VI. Статьи о математиках в других изданиях
лиза, но и теорию дифференциальных уравнений, задачи вычислительной
математики, а за последние годы также физиологию и биокибернетику.
Поэтому мы остановимся лишь на некоторых основных направлениях его
деятельности.
Работы по теории представлений
и автоморфным функциям
Алгебраические вопросы анализа всегда занимали важное место в науч-
ных интересах Израиля Моисеевича Гельфанда. В частности, еще в начале
40-х годов его внимание привлекла теория представлений непрерывных
групп, в которой ему удалось угадать область, наиболее ярко сочетающую
алгебраические и аналитические аспекты.
Теория конечномерных представлений, в основном применительно к ко-
нечным группам, была построена в работах Фробениуса и Шура. Фунда-
ментальные исследования по конечномерным представлениям непрерыв-
ных групп принадлежат Э. Картану и Г. Вейлю. В частности, для пред-
ставлений компактных групп исчерпывающая теория была построена в из-
вестной работе Петера и Вейля. Однако для групп не компактных поло-
жение здесь представлялось несравненно более сложным. С одной сторо-
ны, как оказалось, такие группы могут вообще не иметь нетривиальных
унитарных конечномерных представлений, а с другой — при рассмотрении
бесконечномерных представлений таких групп обнаружились существен-
ные осложнения теоретико-множественной природы. Таким образом, даже
сами постановки основных задач здесь не были ясны. Израилю Моисеевичу
удалось найти здесь правильный путь. Он заметил, что фундаментальное
значение имеют унитарные представления, и развил важную и глубокую
теорию бесконечномерных унитарных представлений локально бикомпакт-
ных групп.
В 1943 г. И. М. Гельфанд и Д. А. Райков [17] показали, что у любой
локально бикомпактной группы существует достаточно много неприводи-
мых унитарных представлений в гильбертовом пространстве. После этого
на очереди стала задача описать эти представления для наиболее важных
групп. Было совершенно не ясно, возможно ли здесь достаточно явное опи-
сание хотя бы для таких групп, как группа комплексных матриц второго
порядка.
В 1944-1948 гг. И. М. Гельфанд и М. А. Наймарк построили теорию
бесконечномерных представлений классических комплексных групп Ли.
Они установили, что неприводимые унитарные представления этих групп
могут быть заданы простыми явными формулами. Сперва укажем полу-
ченные ими формулы представлений для случая группы С комплексных
матриц второго порядка с определителем 1. У этой группы имеются две
И. М. Гельфанд (к 50-летию со дня рождения)
119
серии неприводимых унитарных представлений — основная и дополнитель-
ная. Представления основной серии строятся в пространстве функций f(z),
z = х + iy, с интегрируемым квадратом модуля. Оператор Т(д), соответ-
ствующий матрице д = задается следующим образом:
ТШ = f(тгЙ) + «Г’*" 2	(1)
\ pz + о /
где п — целое число, s — вещественное число.
Представления дополнительной серии строятся в пространстве функ-
ций f(z) с другим скалярным произведением; операторы представления
задаются формулой (1), где п = 0, a s = ig — мнимое число, — 2 д 2.
Заметим, что группа комплексных матриц второго порядка интересна
не только как математический объект. Эта группа локально изоморфна
группе Лоренца, и в силу этого результаты И. М. Гельфанда и М. А. Най-
марка явились существенным вкладом в теоретическую физику (ранее Ди-
раку удалось найти лишь отдельные представления этой группы).
Крупным достижением И. М. Гельфанда и М. А. Наймарка явилось
отыскание многообразий, на которых наиболее естественно реализуются
неприводимые представления классических комплексных групп Ли. Наи-
более просто описываются эти многообразия в случае группы G всех ли-
нейных преобразований комплексного n-мерного пространства с опреде-
лителем 1. В этом случае точками многообразия являются «флаги», т. е.
последовательности линейных подпространств Н^сНъС- • -С.Нп-1 (Нк обо-
значает ^-мерное подпространство, к = 1,...,п — 1). Элементы д группы
G естественным образом определяют преобразования z —> zg в многооб-
разии всех флагов. Операторы неприводимых представлений задаются в
пространстве функций /(z) формулой
T{g)f{z) = f(zg)a(z,g),
где a(z, д) — некоторая просто описываемая функция, зависящая от 2п - 2
параметров (параметры представления). Если под флагом понимать це-
почку подпространств с пропусками, например цепочку Н\ С Нп_\, то на
получаемых многообразиях строятся аналогичным образом так называе-
мые вырожденные представления группы G.
И. М. Гельфанд и М. А. Наймарк показали, что для неприводимых уни-
тарных представлений классических групп можно определить след опера-
тора Т(д) как обобщенную функцию на группе, и получили явную формулу
для этой функции. Они доказали, что представление однозначно опреде-
ляется своим следом, с точностью до эквивалентности.
После этих результатов естественно возникла задача описания унитар-
ных представлений вещественных полупростых групп Ли. Эта задача пол-
120
VI. Статьи о математиках в других изданиях
ностью не решена и до сих пор, несмотря на усилия многих математиков.
Однако в работах И. М. Гельфанда и М. И. Граева были получены важ-
ные результаты и в этом направлении. Было, в частности, установлено, что
существует столько различных серий представлений, сколько существует
неизоморфных максимальных абелевых подгрупп в группе, и что каждая
такая серия реализуется в пространстве функций, аналитических по неко-
торым из переменных. В важнейших случаях были найдены формулы для
характеров унитарных представлений. Хотя эти результаты были получе-
ны в основном на примере группы вещественных матриц n-го порядка, они
пролили свет на ситуацию в общем случае.
Отметим также изящные работы И. М. Гельфанда и М. Л. Цетлина
о конечномерных представлениях. В этих работах были явно описаны
все конечномерные представления для унимодулярной и ортогональной
групп.
Существенное место в работах И. М. Гельфанда заняли вопросы гар-
монического анализа на классических группах Ли. Если f(g) — функция
на группе G, то ее преобразованием Фурье естественно называть оператор-
ную функцию ТД/) = f f(g)Tn(g)dg, определенную на множестве непри-
водимых представлений Т„(д) группы G. (Для случая, когда G — груп-
па движений прямой, это определение совпадает с определением обычно-
го преобразования Фурье.) Возникает задача получить формулу обратно-
го преобразования Фурье. Эта задача была решена И. М. Гельфандом и
М. А. Наймарком для классических комплексных групп Ли.
Другая задача гармонического анализа на классических комплексных
группах Ли, решенная И. М. Гельфандом, — описание преобразования Фу-
рье «достаточно хороших» функций на группе (аналог теоремы Пэли-
Винера). Важность этой задачи в том, что ее решение вскрывает струк-
туру пространства всех представлений группы. Именно, И. М. Гельфанд
обнаружил, что преобразование Фурье функции f(g), помимо естествен-
ных условий роста и аналитичности, удовлетворяет некоторым алгебраиче-
ским соотношениям. Эти алгебраические соотношения возникают в особых
точках пространства представлений и связаны с существованием у груп-
пы G вырожденных (в частности, конечномерных) представлений. Одной
из наиболее интересных областей гармонического анализа является тео-
рия зональных сферических функций. Приведем их определение. Пусть G
— некоторая группа, U — ее подгруппа и Тд — неприводимое унитарное
представление группы G, действующее в гильбертовом пространстве Н.
Если в Н существует вектор инвариантный относительно операторов
Гц, u € U, то функция у>(д) —	называется зональной сферической
функцией. Классические зональные сферические функции соответствуют
тому случаю, когда G — группа вращений сферы, a U — подгруппа враще-
И. М. Гельфанд (к 50-летию со дня рождения)
121
ний вокруг фиксированной оси. При другом выборе групп G и U можно
получить много других специальных функций.
И. М. Гельфанд применил к изучению зональных сферических функ-
ций методы теории нормированных колец. Идея И. М. Гельфанда состоит
в том, что он рассматривает кольцо функций на группе, постоянных на
двусторонних классах смежности по подгруппе U. Это кольцо коммута-
тивно в случае симметрического пространства G/U. Отсюда немедленно
следует, что в пространстве любого неприводимого представления имеется
не больше чем один вектор, инвариантный относительно операторов Ти,
u € U. Этот факт является фундаментом всей теории1. Доказывается, что
зональные сферические функции задают гомоморфизмы кольца R в
поле комплексных чисел
М„(п = У f(SMg)dg.
И. М. Гельфандом в этой связи были введены так называемые операторы
Лапласа на группах, т.е. дифференциальные операторы, перестановочные
с движениями и такие, что их собственными функциями служат сфериче-
ские функции.
Одним из наиболее сильных результатов в теории сферических функ-
ций является полученное И. М. Гельфандом и М. А. Наймарком явное
выражение для зональных сферических функций на некомпактных сим-
метрических пространствах, связанных с комплексными группами Ли. Для
вещественных групп Ли эти исследования были продолжены Бхану Нурти,
Ф. И. Карпелевичем и С. Г. Гиндикиным.
Различные применения теории представлений обычно связаны с гар-
моническим анализом на однородных пространствах. Это относится, на-
пример, к изучению автоморфных функций, которое можно проводить в
рамках гармонического анализа на однородном пространстве с дискретной
стационарной группой.
В этой области И. М. Гельфанд и М. И. Граев предложили весьма эф-
фективный метод орисфер. Этот метод позволил им построить гармони-
ческий анализ для ряда важных пространств. Сущность метода орисфер
состоит в следующем. Пусть X — однородное пространство, в котором дей-
ствует комплексная полупростая группа Ли G. Назовем орисферами в X
траектории максимальной нильпотентной подгруппы группы G (в случае
обычного пространства Лобачевского это определение эквивалентно обыч-
ному определению орисферы). Интегрируя функцию /(х), х G X, по все-
возможным орисферам си, мы получим функцию в пространстве всех
'Для компактных симметрических пространств этот факт был установлен Э. Кар-
таном.
122
VI. Статьи о математиках в других изданиях
орисфер. Это пространство орисфер устроено, вообще говоря, проще, чем
исходное пространство X, и разложение функций по неприводимым
представлениям осуществляется элементарно.
После этого остается решить задачу интегральной геометрии: по функ-
ции <р(си) восстановить исходную функцию /(х).
В последние годы И. М. Гельфанд и М. И. Граев занимались представ-
лениями групп над произвольными полями. Здесь им удалось получить
сильные результаты о представлениях групп Шевалле-Диксона над ко-
нечными полями (как известно, эти группы представляют собой группы
матриц, аналогичные комплексным полупростым группам).
Успех в этой классической области, в которой работали многие матема-
тики, начиная с Фробениуса, связан с неожиданной возможностью приме-
нения к этим задачам методов бесконечномерных представлений.
Для группы матриц второго порядка над произвольным непрерывным
локально компактным полем К И. М. Гельфанд и М. И. Граев получили
единое для всех полей описание неприводимых унитарных представлений.
Отметим, что в этом исследовании возникли многие интересные классы
специальных функций на локально компактном поле.
Математические интересы И. М. Гельфанда всегда охватывали наряду с
новыми областями области классические. Одной из таких областей являет-
ся теория автоморфных функций. И. М. Гельфанду принадлежит замеча-
тельное соображение о том, что теория автоморфных функций является, по
существу, частью теории представлений. Именно, почти все задачи теории
автоморфных функций могут быть сформулированы в рамках следующей
задачи теории представлений. Задано представление полупростой группы
Ли G в пространстве функций /(х), х 6 X, где X — однородное простран-
ство с дискретной стационарной подгруппой. Задача состоит в том, чтобы
разложить это представление на неприводимые.
Еще в 1952 г. в работе И. М. Гельфанда и С. В. Фомина о геодезических
потоках на многообразиях постоянной отрицательной кривизны было пока-
зано, что размерность пространства автоморфных форм равна кратности,
с которой в заданное представление входит представление так называемой
дискретной серии. В последние годы И. М. Гельфанд и И. И. Пятецкий-
Шапиро начали систематическое изучение спектра представлений группы
G в пространствах G/Г, где G — произвольная полупростая группа Ли,
Г — ее дискретная подгруппа. В этом исследовании был успешно применен
метод орисфер, о котором мы уже говорили.
С помощью метода орисфер пространство функций f(x), х G G/Г, отоб-
ражается в пространство функций заданных на множестве компакт-
ных орисфер. Тем самым изучение спектра представления распадается на
две части: изучение спектра в пространстве функций и изучение спек-
И. М. Гельфанд (к 50-летию со дня рождения)
123
тра в ядре отображения /(х) —>	Было показано, что ядро отобра-
жения /(х) —»	т. е. пространство функций на G/Г, интегралы кото-
рых по любой компактной орисфере равны нулю, имеет всегда дискретный
спектр (см. Труды ММО, т. 12). Для изучения пространства функций ф(ш)
были применены методы теории возмущений. Возникающие при этом ана-
логи квантовомеханической S-функции представляют собой очень важные
теоретико-числовые функции типа дзета-функции Римана.
Для теории бесконечномерных представлений характерно сочетание ал-
гебраических методов с широким применением аналитического аппарата.
В свою очередь эта теория оказала большое влияние на проблемы анали-
за и нашла применение в ряде аналитических задач. Отметим в качестве
характерного примера описание всех релятивистских инвариантных урав-
нений, данное И. М. Гельфандом и А. М. Ягломом [31].
Работы по дифференциальным уравнениям
Различные вопросы, связанные с дифференциальными уравнениями,
привлекали внимание Израиля Моисеевича на протяжении многих лет.
Среди них следует в первую очередь упомянуть о получивших широкую
известность исследованиях И. М. Гельфанда и Б. М. Левитана по обратной
задаче Штурма-Лиувилля.
Рассмотрим уравнение
у" + (Л - ,W)j = О	(1)
на полуоси [0, +оо). Собственные функции <р(х, Л) этого уравнения обычно
нормируются граничными условиями в нуле
у>(О,А) = 1, <p'(O,X) = h.	(Г)
Разложение произвольной функции /(х) в интеграл Фурье по собствен-
ным функциям задачи (1) при этом принимает вид
/+оо
F(A)^(x,A)dp(A),
-оо
где р(А) — некоторая монотонная функция с точками роста на спектре.
Функцию #(Л) называют спектральной функцией задачи Штурма-Лиувил-
ля. Под обратной задачей Штурма-Лиувилля понимают задачу об отыска-
нии функции в уравнении (1) по тем или иным спектральным харак-
теристикам уравнения.
Обратной задачей в разных постановках занимались В. А. Амбарцу-
мян, Г. Борг, Н. Левинсон, В. А. Марченко, М. Г. Крейн и ряд физиков.
124
VI. Статьи о математиках в других изданиях
В частности, М. Г. Крейну в 1951 г. удалось решить обратную задачу по
заданным двум спектрам уравнения (1), отвечающим разным граничным
условиям на концах конечного интервала.
Наиболее плодотворной и общей оказалась обратная задача, состоящая
в определении функции q(x) в уравнении (1) по заданной функции р(А).
Впервые обратной задачей в такой постановке занимались В. А. Мар-
ченко (1950 г.) и шведский математик Г. Борг, доказавшие, что данной
функции р(А) может соответствовать не более одной функции q(x).
И. М. Гельфанду и Б. М. Левитану удалось найти линейное интеграль-
ное уравнение, связывающее функции р(Л) и q(x). Это уравнение позволи-
ло не только решить вопрос о существовании функции q(x), но и указать
конструктивный способ ее определения.
В основу решения обратной задачи легла идея ортогонализации систе-
мы функции cos \/Ах (0 А < оо) по весу р(А), подсказанная аналогией с
проблемой моментов. Подобно тому как в проблеме моментов умножение
на А порождает в базисе их ортогональных многочленов якобиеву матри-
цу (конечноразностный аналог оператора Штурма-Лиувилля), в базисе из
ортогонализованных косинусов появляется оператор Штурма-Лиувилля.
Эта работа вызвала большой интерес у математиков и физиков-теорети-
ков, откликнувшихся серией важных исследований (М. Г. Крейн, В.А. Мар-
ченко, Н. Левинсон, Л. Д. Фаддеев, Джост и Кон, Ньютон, Кей и Мозес
и др.).
Интерес физиков был вызван тем, что в квантовомеханической зада-
че рассеяния уравнение Гельфанда-Левитана сделало возможным опре-
деление потенциала поля по фазе рассеяния и позволило в радиально-
симметричном случае до конца исследовать задачу.
Другой важный результат, полученный И. М. Гельфандом для операто-
ра Штурма-Лиувилля, — это найденные им в сотрудничестве с Б. М. Ле-
витаном и Л. А. Диким замечательные формулы следов для такого опера-
тора, рассматриваемого на конечном интервале [54]. Пусть Ai, Аг,..., Ап —
собственные значения уравнения (1) при граничных условиях 3/(О)=з/(тг)=О,
и пусть Jq q(x) dx = 0. Тогда имеет место равенство
?(0)+9(7Г)	/9\
2JAn - п ) =--------.	(2)
71=1
Сходимость ряда (2) следует из классической асимптотики для Ап, но воз-
можность найти в явном виде его сумму явилась неожиданностью. Анало-
гичные формулы, содержащие целые степени Добыли выведены И.М. Гель-
фандом и Л. А. Диким в предположении, что функция q(x) достаточно
гладкая. Формулы следов могут быть использованы для численного опре-
И. М. Гельфанд (к 50-летию со дня рождения)
125
деления первых собственных значений задачи. Эти работы были продол-
жены рядом авторов. В частности, Л. Д. Фаддеев получил аналог формулы
(2) в случае непрерывного спектра.
В теории гамильтоновых систем с периодическими по времени коэффи-
циентами хорошо известна работа И. М. Гельфанда и В. Б. Лидского [60], в
которой дано полное описание топологической структуры областей устой-
чивости для линейных гамильтоновых систем. Это исследование удалось
провести благодаря алгебраизации задачи. В работе было показано, что
каждой линейной гамильтоновой системе отвечает некоторая кривая y(t)
(О t си) в группе G вещественных симплектических матриц, и обратно,
каждой такой кривой соответствует некоторая гамильтонова система.
И. М. Гельфандом поставлен ряд проблем по теории дифференциаль-
ных уравнений с частными производными, которые в значительной степени
повлияли на развитие ряда областей этой теории за последние два десяти-
летия. На семинаре, который проводил И. М. Гельфанд в 1945/46 г. в МГУ,
им были поставлены задача об описании области определения замыкания
дифференциальных операторов при соответствующих граничных услови-
ях и задача о нахождении корректно поставленных краевых задач, напри-
мер, для всех эллиптических дифференциальных уравнений. Эти пробле-
мы впоследствии нашли достаточно полное решение в работах участников
этого семинара М. И. Вишика и О. А. Ладыженской, а также в работах
Л. Хёрмандера и ряда других математиков.
В статье [103] И. М. Гельфандом была поставлена задача о гомото-
пической классификации всех эллиптических в смысле И. Г. Петровского
систем дифференциальных уравнений и краевых задач для них. Об этой
проблеме И. М. Гельфанд говорил еще на семинаре 1945/46 г. Как известно,
эллиптические краевые задачи нормально разрешимы в ограниченной об-
ласти, т. е. соответствующая однородная задача имеет конечное число к ли-
нейно независимых решений, а неоднородная задача разрешима лишь при
выполнении I дополнительных условий на правые части. Число х = к — I
называется индексом краевой задачи и является ее главным гомотопиче-
ским инвариантом. Для целого ряда случаев проблема И. М. Гельфанда
была решена в работах А. И. Вольперта, А. С. Дынина, М. С. Аграновича
и др. Общее ее решение было недавно дано в работах Атья и Зингера.
Работа [90] отличается от обычных математических статей. В ней мно-
го плодотворных идей, не всегда строго обоснованных. Отметим важное
понятие эволюционной системы, которое оказало большое влияние на ис-
следование структуры и устойчивости ударных волн обычной и магнитной
гидрогазодинамики. Математическое исследование уравнений магнитной
гидродинамики, намеченное в этой работе, было вообще одним из первых
и оказало сильное влияние на все последующие исследования по этому во-
126
VI. Статьи о математиках в других изданиях
просу. В статью включены также данная И. М. Гельфандом совместно с
Я. Б. Зельдовичем постановка и решение задачи об установлении данной
химической реакции, протекающей с образованием промежуточного про-
дукта активных центров.
Теория обобщенных функций
И. М. Гельфанд был одним из первых советских математиков, оценив-
ших значение и перспективы работ С. Л. Соболева, а затем Л. Шварца
по теории обобщенных функций. В дальнейшем развитии этой теории ра-
боты Израиля Моисеевича, а также его учеников и сотрудников сыгра-
ли первостепенную роль. Уже в работе И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова
[58] была осуществлена та идея, что обобщенные функции можно и нуж-
но строить на различных пространствах основных функций, выбирая для
каждого круга задач наиболее удобный класс пространств. Эта идея позво-
лила сделать из теории обобщенных функций гибкий аппарат, нашедший
применение в теории уравнений с частными производными, теории пред-
ставлений, в случайных процессах, интегральной геометрии и т. д. Около
десяти лет тому назад Израиль Моисеевич задумал серию монографий,
посвященных применению идей и методов теории обобщенных функций в
различных областях функционального анализа и смежных с ними. Сей-
час эта серия «Обобщенные функции», в которой вышло уже пять книг,
получила международное признание и известность; основное содержание
серии составили результаты, полученные И. М. Гельфандом и его школой.
Остановимся вкратце на содержании этих книг. Первые три выпуска этой
серии, написанные И. М. Гельфандом и Г. Е. Шиловым, посвящены по-
строению самого аппарата обобщенных функций, т. е. описанию различных
классов основных пространств и соответствующих пространств линейных
функционалов, построению теории преобразования Фурье для обобщенных
функций. Эти классы пространств послужили основой для исследований
по корректности и единственности задачи Коши для систем дифференци-
альных уравнений с частными производными.
В первом выпуске изложены также результаты И. М. Гельфанда и
3. Я. Шапиро, относящиеся к обобщенным функциям нескольких пере-
менных, в частности развита теория однородных обобщенных функций и
обобщенных функций п переменных, сосредоточенных на многообразиях
меньшего чем п числа измерений.
Израиль Моисеевич неоднократно высказывал мысль о том, что общую
теорему о спектральном разложении самосопряженного оператора нельзя
рассматривать как окончательное решение задачи спектрального анализа
и что важно уметь строить наряду с соответствующими разложениями еди-
И. М. Гельфанд (к 50-летню со дня рождения)
127
ницы и индивидуальные собственные функции (вообще говоря, обобщен-
ные), отвечающие отдельным точкам спектра. Эта идея была реализована
в работе И. М. Гельфанда и А. Г. Костюченко.
Более подробное изложение этого круга вопросов дано в третьем вы-
пуске «Обобщенных функций».
Круг вопросов, рассмотренных в последних двух выпусках «Обобщен-
ных функций», довольно сильно отличается от тематики первых трех вы-
пусков, связанной в значительной мере с вопросами теории дифференци-
альных уравнений. Четвертый выпуск, написанный И. М. Гельфандом сов-
местно с Н. Я. Виленкиным, в основном посвящен теории ядерных про-
странств, введенных А. Гротендиком. И. М. Гельфанд дал иную формули-
ровку этого понятия и выяснил его важную роль в ряде вопросов, напри-
мер при изучении мер в линейных пространствах. В связи с уже упоми-
навшейся выше задачей о нахождении обобщенных собственных функций
самосопряженных (и унитарных) операторов И. М. Гельфандом было вве-
дено понятие так называемого оснащенного гильбертова пространства. Под
этим понимается следующее.
Рассмотрим ядерное счетно-гильбертово пространство Ф, в котором, по-
мимо скалярных произведений, определяющих топологию этого простран-
ства, введено еще одно скалярное произведение. Пополнив Ф по этому но-
вому скалярному произведению, мы получим гильбертово пространство Н,
в котором Ф образует всюду плотное множество. Рассмотрим еще наряду
с Ф и Н пространство Ф' линейных функционалов на Ф. Тройка Ф, Н, Ф' и
называется оснащенным гильбертовым пространством. Это понятие при-
водит к таким законченным и изящным результатам, как, например, сле-
дующий: всякий самосопряженный оператор в оснащенном гильбертовом
пространстве обладает полной системой обобщенных собственных векто-
ров, отвечающих вещественным собственным значениям.
Далее, четвертый выпуск содержит теорию положительно определен-
ных обобщенных функций (гл. 2), теорию обобщенных случайных процес-
сов, построенную И. М. Гельфандом в 1955 г. и давшую точное математиче-
ское обоснование таким популярным у физиков понятиям, как, например,
«белый шум», а также теорию меры в линейных топологических простран-
ствах.
В пятом выпуске, написанном И. М. Гельфандом совместно с М. И. Гра-
евым и Н. Я. Виленкиным, строится гармонический анализ на группе Ло-
ренца и связанных с ней однородных пространствах (в частности, на трех-
мерном пространстве Лобачевского). В основу исследований положена ин-
тегральная геометрия. Интегральная геометрия, в том смысле как она по-
нимается в книге, является новым направлением в функциональном ана-
лизе, связывающим его с классическими идеями геометрии. Сущность ее
128
VI. Статьи о математиках в других изданиях
состоит в переходе от функций, заданных на множестве одних геометриче-
ских объектов, к функциям, заданным на множестве других объектов. На-
пример, если функцию /(ж), заданную на гиперболоиде Xq—х? ——хз — 1,
интегрировать по всевозможным его прямолинейным образующим и>, то мы
получим функцию заданную на множестве прямолинейных образу-
ющих. При этом возникает следующая задача интегральной геометрии: по
функции восстановить исходную функцию /(х). И. М. Гельфанд за-
метил, что многие задачи теории представлений легко могут быть сведены
к решению подобных задач интегральной геометрии.
В книге дается решение ряда интересных задач интегральной геомет-
рии. Некоторые из них не связаны непосредственно с теорией представле-
ний. Так, в книге изучается простейшее преобразование интегральной гео-
метрии. сопоставляющее функции в аффинном пространстве ее интегралы
по гиперплоскостям. Это преобразование тесно связано с обычным преоб-
разованием Фурье; однако оно более геометрично, и в этом его известное
преимущество.
Работы по вычислительной математике и физиологии
Весьма значительный вклад внес И. М. Гельфанд в развитие вычис-
лительной математики. Ему принадлежат большие заслуги в изыскании
общих методов численного решения уравнений математической физики, а
также в решении конкретных прикладных задач.
И. М. Гельфанд совместно со своими сотрудниками существенно про-
двинул спектральную теорию устойчивости разностных операторов. Часть
результатов этих работ изложена С. К. Годуновым и В. С. Рябеньким в их
книге «Введение в теорию разностных схем», см. также [121]. В частности
И. М. Гельфандом и К. И. Бабенко впервые был рассмотрен вопрос о влия-
нии границы на спектр разностного оператора. Требования устойчивости,
как правило, приводят к необходимости использовать неявные разностные
схемы. Поэтому возник вопрос о решении системы большого числа алгеб-
раических уравнений. Для этой цели был применен простой устойчивый
алгоритм, широко вошедший в вычислительную практику под названием
«прогонка». Этот алгоритм позволяет разрешать неявную схему как в слу-
чае одномерных, так и в случае многомерных задач.
И. М. Гельфанд первым понял фундаментальное значение для вычисли-
тельной математики методов исследования систем, описываемых большим
числом переменных, в которых привычные методы анализа оказывают-
ся неэффективными. Большое внимание привлекла работа [74], в которой
впервые был предпринят прямой расчет континуального интеграла.
Вычисление методом Монте-Карло средних по пространству траекто-
рий частиц было использовано затем при решении задач физики переноса
И. М. Гельфанд (к 50-летию со дня рождения)
129
[89], [97]. Эти работы во многом стимулировали интерес к созданию квадра-
турных формул для интегралов большой кратности. Другим направлением
в изучении сложных систем явились методы отыскания минимумов функ-
ций большого числа переменных [112]. И. М. Гельфандом был предложен
нелокальный метод поиска минимумов (так называемый «метод оврагов»).
Метод был использован для решения задач фазового анализа рассеяния
нуклонов [108], [109], для расшифровки структуры кристаллических ами-
нокислот [131], [132|.
В последние годы И. М. Гельфанд проявляет глубокий интерес к изуче-
нию сложных физиологических систем. Ряд важных идей И. М. Гельфанда
в этой области (континуальные управляющие системы и возбудимые сре-
ды, тактики построения движений [110], принцип наименьшего взаимодей-
ствия [120] и др.) сплотил вокруг него талантливый коллектив молодых
физиологов.
Педагогическая деятельность
Говоря о творчестве И. М. Гельфанда как ученого, нельзя не сказать
и о его педагогической деятельности. Тридцать лет тому назад, двадца-
тилетним юношей, Израиль Моисеевич начал преподавать в Московском
государственном университете, где он продолжает работать и до сих пор.
Чрезвычайно тесная связь между исследовательской работой и препода-
ванием является одной из характерных черт всей деятельности Израиля
Моисеевича. Постановка новых задач, неожиданных вопросов, стремление
взглянуть даже на хорошо известные вещи с новой точки зрения характе-
ризуют Израиля Моисеевича как педагога, независимо от того, ведет ли он
в данный момент разговор со школьниками или со своими товарищами по
работе.
Первым по времени из учеников Израиля Моисеевича был Г. Е. Шилов,
поступивший к нему в аспирантуру 25 лет тому назад. С тех пор Израиль
Моисеевич воспитал десятки учеников, многие из которых уже стали круп-
ными самостоятельными учеными. Помимо «прямых» учеников Израиля
Моисеевича, проходивших у него аспирантуру, многие математики испыта-
ли в той или иной мере научное влияние Израиля Моисеевича, встречаясь
с ним на лекциях, семинарах, в личных беседах. Широко известен руко-
водимый Израилем Моисеевичем семинар но функциональному анализу,
отметивший 20 лет своего существования как раз в тот день, когда его ру-
ководителю исполнилось пятьдесят. Этот семинар давно уже стал одним из
основных центров развития функционального анализа и одним из центров
воспитания математической молодежи.
Характерной чертой творческой деятельности Израиля Моисеевича яв-
ляется его умение организовать совместную, целеустремленную работу
130
VI. Статьи о математиках в других изданиях
коллектива. Большое число работ Израиля Моисеевича написано им в со-
трудничестве с его коллегами или учениками, часто совсем молодыми, для
которых такая совместная работа являлась одновременно и чрезвычайно
полезной школой. Таким образом, в деятельности Израиля Моисеевича от-
делить собственно исследовательскую работу от деятельности его как пе-
дагога и воспитателя молодежи практически невозможно.
Большой популярностью всегда пользовались лекции Израиля Моисе-
евича. Напоминая часто по форме живую беседу, они всегда требовали от
слушателей активности и внимания, будили мысль слушателей, давая пи-
шу для самостоятельных размышлений.
Широко известны учебники, написанные Израилем Моисеевичем по ли-
нейной алгебре, вариационному исчислению (совместно с С. В. Фоминым)
и теории представлений групп (совместно с 3. Я. Шапиро и Р. А. Минло-
сом).
Советские математики сердечно поздравляют Израиля Моисеевича и
желают ему многих лет здоровья и новых замечательных успехов в науке.
СПИСОК ПЕЧАТНЫХ РАБОТ И. М. ГЕЛЬФАНДА
2.	К теории абстрактных функций, ДАН 17 (1936), Х*5, 237-240.
9.	Об однопараметрических группах операторов в нормированном простран-
стве, ДАН 25 (1938), №9, 711-716.
16.	О включении нормированного кольца в кольцо операторов в гильбертовом
пространстве, Матем. сб. 12 (1943) (54):2, 197-217 (совм. с М. А. Наймарком).
17.	Неприводимые унитарные представления локально бикомпактных групп,
ДАН 42 (1943), №5, 203-205 (совм. с Д. А. Райковым).
31.	Общие релятивистски инвариантные уравнения и бесконечномерные пред-
ставления группы Лоренца, ЖЭТФ 18 (1946), X’ 8, 703-733 (совм. с А. М. Яг-
ломом).
54.	Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального
уравнения, ДАН 88 (1953), Х’4, 593-596 (совм. с Б. М. Левитаном).
58.	Преобразование Фурье быстрорастущих функций и вопросы единственности
решения задачи Коши, УМН 8 (1953), вып. 6, 3-54 (совм. с Г. Е. Шиловым).
60.	О структуре областей устойчивости линейных канонических дифференци-
альных уравнений с периодическими коэффициентами, УМН 10 (1955),
вып. 1, 3-40 (совм. с В. Б. Лидским).
74.	О численном вычислении континуальных интегралов, ЖЭТФ 31 (1956), вып.
6 (12), 1107-1109 (совм. с М. Л. Цетлиным).
89.	Вычисление континуальных интегралов методом Монте-Карло, Изв. высш,
учебн. завед., сер. матем., Xе 5(6) (1958), 32-45 (совм. с Н. Н. Ченцовым и
А. С. Фроловым).
90.	Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений, УМН 14 (1959), вып. 2
(86), 171-194 (совм. с И. И. Пятецким-Шапиро).
И. М. Гельфанд (к 50-летию со дня рождения)
131
97. Применение метода случайных испытаний (метода Монте-Карло) для ре-
шения кинетического уравнения. Труды II Международной конференции
по мирному использованию атомной энергии (Женева, 1958), т. 2, М., 1960,
628-633 (совм. с Н. Н. Ченцовым, С. М. Фейнбергом и А. С. Фроловым).
103.	Об аналитических уравнениях, УМН 15 (1960), вып. 3 (93), 121-132.
108.	Фазовый анализ рр-рассеяния при 95 MN, ЖЭТФ 40 (1961), вып. 1, 1106-
ПИ (совм. с Бором и др.).
109.	Фазовый анализ рр-рассеяния при 150 MN, ЖЭТФ 40 (1961), вып. 5, 1338-
1342 (совм. с Ивановой).
ПО. Некоторые соображения о тактиках построения движений, ДАН 139 (1961),
Х«5, 1250-1253 (совм. с М. Л. Цетлиным и В. С. Гурфинкелем).
112.	О некоторых способах управления сложными системами, УМН 117 (1962),
вып. 1, 3-25 (совм. с М. Л. Цетлиным).
120.	О тактиках управления сложными системами в связи с физиологией, Сб.
работ «Биологические аспекты кибернетики», М., Изд-во АН СССР, 1962,
66-73 (совм. с М. Л. Цетлиным и В. С. Гурфинкелем).
121.	О разностных схемах для решения уравнения теплопроводности. Метод
«прогонки» для решения разностных уравнений. Дополнения I и II к книге
С. К. Годунова и В. С. Рябенького «Введение в теорию разностных схем»,
М., Физматгиз, 1962 (совм. с О. В. Локуциевским).
131.	Отыскание структуры кристаллов с помощью метода нелокального поис-
ка, ДАН 152 (1953), №5, 1045-1048 (совм. с И. И. Пятецким-Шапиро и
Ю. Г. Федоровым).
132.	Отыскание кристаллических структур методом минимизации 7?-фактора,
ДАН 153 (1963), X’ 1, 93-96 (совм. с Б. К. Вайнштейном, Р. А. Каюшиной и
Ю. Г. Федоровым).
БОРИС ВЛАДИМИРОВИЧ ГНЕДЕНКО
(к семидесятилетию со дня рождения)
Исполнилось семьдесят лет со дня рождения действительного члена
Академии наук УССР, заведующего кафедрой теории вероятностей МГУ
профессора Бориса Владимировича Гнеденко.
Борис Владимирович родился в г. Ульяновске в семье землемера, в пят-
надцать лет поступил в Саратовский университет и через три года окончил
его. После окончания университета он несколько лет преподавал в Иванов-
ском текстильном институте. Прикладные работы Б. В. Гнеденко начались
с решения задач, поставленных текстильщиками г. Иванова.
В 1934 г. Борис Владимирович поступил в аспирантуру Московского
университета. Его научным руководителем был А. Я. Хинчин. В эти годы
основным направлением в теории вероятностей было исследование класса
предельных распределений сумм независимых случайных величин. Опира-
ясь на полученные А. Н. Колмогоровым и П. Леви представления процес-
сов с независимыми приращениями, А. Я. Хинчин и Р. М. Бавли показали,
что возникающий здесь класс безгранично-делимых распределений явля-
ется предельным для сумм независимых бесконечно малых случайных сла-
гаемых. Разработав новый метод введения сопровождающих безгранично-
делимых распределений, Б. В. Гнеденко нашел необходимые и достаточные
условия сходимости сумм к тем или иным конкретным распределениям, в
частности, условия сходимости сумм одинаковых слагаемых к устойчивым
распределениям.
Итоги всех этих исследований вошли в соответствующие главы вышед-
шей уже в послевоенные годы монографии Б. В. Гнеденко и А. Н. Кол-
могорова «Предельные распределения для сумм независимых случайных
величии». На основе своих работ по теории суммирования уже перед са-
мой войной Б. В. Гнеденко защитил докторскую диссертацию. Следует
отметить глубокую работу Б. В. Гнеденко о возможных предельных рас-
пределениях максимумов независимых случайных величин.
В трудные военные годы Б. В. Гнеденко активно участвует в научной
и общественной жизни Московского университета.
В 1945 г. Борис Владимирович переезжает на Украину, где в первые го-
ды работает во Львове, а с 1950 г. — в институте математики АН УССР, там
он становится заведующим только что созданного отдела теории вероятно-
стей. Кроме того, он заведует кафедрой математического анализа Киевско-
Успехи математических наук. — 1982. — Т. 37, вып. 6. — С. 243-248 (совм. с Ю. К. Бе-
ляевым и А. Д. Соловьевым; в разделе «Математическая жизнь в СССР»).
Б. В. Гнеденко (к 70-летмю со дня рождения)
133
го государственного университета, где вокруг него группируется коллектив
молодых математиков-вероятностников (В. С. Королюк, И. Н. Коваленко,
В. С. Михалевич, А. В. Скороход и др.). В 1945 г. Б. В. Гнеденко избирается
членом-корреспондентом, а в 1948 г. — действительным членом Академии
наук УССР.
В украинский период своей деятельности Б. В. Гнеденко занимается
многими проблемами. Он продолжил свои предвоенные исследования по
теории суммирования, получив ряд предельных теорем для сумм решетча-
тых случайных величин, сделал несколько интересных работ по непарамет-
рической статистике. Совместно с В. С. Королюком им получено уточнение
асимптотического поведения уклонений эмпирического закона от теорети-
ческого. В этот период появились первые работы Б. В. Гнеденко по истории
математики, из которых следует отметить монографию «Очерки по исто-
рии математики в России» и работы, посвященные М. В. Остроградскому.
В конце пятидесятых годов Б. В. Гнеденко стал заниматься теорией
массового обслуживания, прочитал и издал вместе с И. Н. Коваленко лек-
ции по теории массового обслуживания и заинтересовал ряд своих учени-
ков этой актуальной дисциплиной.
В 1960 г. Борис Владимирович переезжает в Москву, где становится
профессором кафедры теории вероятностей механико-математического фа-
культета МГУ, а через несколько лет — заведующим этой кафедрой. С са-
мого начала своей деятельности в Москве Борис Владимирович заинтере-
совался математической теорией надежности, приобретавшей в эти годы
большое значение, и в скором времени возглавил коллектив математиков и
инженеров, занимающихся теорией надежности. В 1965 г. вышла написан-
ная им (совместно с Ю. К. Беляевым и А. Д. Соловьевым) книга «Мате-
матические методы в теории надежности». Не прекращал он своей работы
и в области теории массового обслуживания — в 1986 г. вышла написанная
совместно с И. Н. Коваленко монография «Введение в теорию массового
обслуживания». В дальнейшем Борис Владимирович вместе со своими уче-
никами разрабатывал теорию суммирования случайного числа случайных
слагаемых. Развитые здесь методы нашли применение в асимптотическом
анализе надежности восстанавливаемых систем. В самое последнее время
Борис Владимирович снова вернулся к этой тематике и получил здесь но-
вые результаты.
Б. В. Гнеденко внес большой вклад в установление научных связей с
учеными социалистических и развивающихся стран. Им фактически со-
здана научная школа по теории массового обслуживания и надежности
в ГДР. Среди его учеников ряд ведущих ученых ГДР, Болгарии, Кубы и
других стран. Под его руководством велись и ведутся совместные научно-
исследовательские работы ученых МГУ и зарубежных университетов. Сре-
134
VI. Статьи о математиках в других изданиях
ди учеников Бориса Владимировича около 50 кандидатов наук и более
20 докторов наук, члены-корреспонденты и академики союзных республик.
Большое внимание уделяет Борис Владимирович вопросам математи-
ческого образования в школе и в высших учебных заведениях. Им напи-
сано большое число статей в журнале «Математика в школе». Изданная в
1981 г. книга «Математическое образование в вузах» является подведением
итогов многолетнего педагогического опыта. Б. В. Гнеденко неоднократно
подчеркивает, что математическое образование не может застывать на до-
стигнутом уровне. Содержание и форма получаемых учащимися и студен-
тами знаний должны изменяться в зависимости от потребностей общества.
Математика является мощным орудием познания окружающего мира и со-
циальных явлений, она воспитывает у человека строгое научное мышление.
Многогранна научно-организационная деятельность Б. В. Гнедеико. Он
является активным членом редколлегий журналов «Теория вероятностей
и ее применения», Известия АН СССР «Техническая кибернетика», «На-
дежность и контроль качества», «Заводская лаборатория», «Математика
в школе», «Квант». Большое внимание Борис Владимирович уделяет про-
паганде математических знаний и как член президиума Всесоюзного обще-
ства «Знание», и как председатель организации общества «Знание» Мос-
ковского университета. Трудно перечислить все виды организаторской де-
ятельности Б. В. Гнеденко. В МИНВУЗе он возглавляет секцию Научно-
технического совета, является членом пленума ВАКа, членом совета по
философским вопросам естествознания при президиуме АН СССР. Суще-
ственный вклад внес Б. В. Гнеденко в организацию работы кабинета на-
дежности в Политехническом музее.
Следует отметить и удивительные человеческие качества Бориса Вла-
димировича — доброго, тактичного и вместе с тем принципиального и тре-
бовательного человека, всегда готового помочь любому, обратившемуся к
нему за помощью или советом. На всех знающих Бориса Владимирови-
ча производит большое впечатление непрерывность его кипучей деятель-
ности. Написание своих собственных статей сменяется редактированием
статей других авторов, лекции и семинары чередуются с участием в раз-
нообразных совещаниях, поездки в вузы страны чередуются с зарубежны-
ми поездками. Дом Бориса Владимировича и его подруги жизни Наталии
Константиновны всегда открыт для гостей.
За заслуги в развитии математической науки, многолетнюю научно-
педагогическую деятельность и в связи с семидесятилетием со дня рожде-
ния Борис Владимирович Гнеденко награжден орденом Дружбы народов.
В настоящее время Борис Владимирович по-прежнему полон сил, энер-
гии и творческих замыслов. Пожелаем же ему долгих лет здоровья и даль-
нейших творческих успехов.
ЛЕОНИД ВИТАЛЬЕВИЧ КАНТОРОВИЧ
(к шестидесятилетию со дня рождения)
19 января 1972 г. исполнилось 60 лет со дня рождения выдающегося
советского математика и экономиста Леонида Витальевича Канторовича.
Леонид Витальевич родился в Ленинграде. В 14 лет он поступил в Ле-
нинградский университет, на математическое отделение, и в 1930 г. окончил
его. В 1934 г. ему было присвоено звание профессора, а в 1935 г. — ученая
степень доктора физико-математических наук (без защиты диссертации).
В 1958 г. Л. В. Канторович был избран членом-корреспондентом АН СССР
(экономика), а в 1964 г. действительным членом АН СССР (математика).
Уже в возрасте 15 лет Леонид Витальевич Канторович начал актив-
ную научную деятельность. Его первые работы относятся к дескриптивной
теории функций вещественной переменной и теории множеств. В те годы
теория функций вещественной переменной занимала одно из центральных
мест в математической науке и оказывала существенное влияние на раз-
витие многих других разделов математики. Леониду Витальевичу удалось
решить ряд трудных проблем, связанных с классификацией функций, в
частности, им построены универсальные функции для классификации Юн-
га и доказана невозможность аналогичного построения для классификации
Бэра. В ряде работ (частично совместных с Е. М. Ливенсоном) Л. В. Кан-
торович развил общую теорию аналитических операций над множествами
и дал новое построение теории проективных множеств, решив при этом
многие принципиальные задачи.
Следующий цикл работ Леонида Витальевича, относящийся к началу
30-х годов, связан с конструктивной теорией функций. Л. В. Канторович
исследовал ряд вопросов о приближении функций различных классов с
помощью полиномов С. Н. Бернштейна и сходных с ними полиномов.
В середине 30-х годов внимание многих советских ученых привлекла
новая область математики — функциональный анализ, который к этому
времени только еще начал оформляться в самостоятельное научное на-
правление. Леонид Витальевич был одним из первых советских матема-
тиков, активно включившихся в исследования по теории нормированных
пространств. В его работах, совместных с Г. М. Фихтенгольцем, дается ана-
литическое представление линейных функционалов в пространстве ограни-
ченных измеримых функций и некоторых линейных операторов.
Успехи математических наук. — 1972. — Т. 27, вып. 3. — С. 221-227 (совм. с Б. 3. Ву-
лихом, М. К. Гавуриным, Ю. В. Линником, В. Л. Макаровым, Б. С. Митягиным,
А. Г. Пинскером, Г. С. Рубинштейном, Д. К. Фаддеевым; в разделе «Математическая
жизнь в СССР»).
136
VI. Статьи о математиках в других изданиях
С 1935 г. Л. В. Канторович в большом цикле работ создает новое фунда-
ментальное направление в функциональном анализе — теорию полуупоря-
доченных пространств. В отличие от теории нормированных пространств
здесь на первый план выдвигается идея частичного упорядочения, рассмат-
риваются линейные пространства, в которых определено отношение поряд-
ка, согласованное естественным образом с алгебраическими операциями.
Такие пространства вошли в литературу под названием /С-пространств.
В связи с тем, что многие важные функциональные пространства оказы-
ваются одновременно и полуупорядоченными и нормированными, Леонид
Витальевич развивает теорию нормированных полуупорядоченных про-
странств, а также теорию пространств, нормированных в обобщенном
смысле — с помощью элементов некоторого АГ-пространства. (Другой под-
ход к теории полуупорядоченных пространств был в те же годы развит
М. Г. Крейном и его сотрудниками.)
Абстрактно нормированные пространства Л. В. Канторовича нашли
широкие применения в теории вычислительных методов. Вместе с тем,
Леонид Витальевич указал многочисленные приложения общей теории К-
пространств к различным вопросам теории функций и функционального
анализа: к теории интеграла, к решению положительной проблемы момен-
тов, к исследованию линейных операторов в конкретных пространствах.
Систематическое изложение теории /^-пространств было дано Леони-
дом Витальевичем в 1950 г. в монографии «Функциональный анализ в по-
луупорядоченных пространствах» (написанной совместно с Б. 3. Вулихом
и А. Г. Пинскером). В ней подведены итоги пятнадцатилетних исследова-
ний в этой области Л. В. Канторовича и его учеников.
Одно из важнейших мест в многогранном научном творчестве Леонида
Витальевича занимает вычислительная математика. Об этом убедительно
свидетельствует даже краткий перечень конкретных задач в этой области,
которым в течение четверти века посвящал свои публикации Леонид Вита-
льевич: конформные отображения, квадратуры и кубатуры, интегральные
уравнения, дифференциальные уравнения обыкновенные и в частных про-
изводных и т. п. В 30-х годах Л. В. Канторович совместно с В. И. Крыловым
публикует книгу «Методы приближенного решения уравнений в частных
производных» — первую в мире монографию, посвященную численным
методам для широкого круга задач (уравнения в частных производных,
бесконечные системы, интегральные уравнения, конформные отображения
и пр.). Наиболее значительных результатов в области вычислительной ма-
тематики достигает Леонид Витальевич, систематически используя идеи и
методы функционального анализа для исследования и нахождения новых
способов решения вычислительных задач. Широко известной стала его ста-
тья «Функциональный анализ и прикладная математика». За эту работу
Л. В. Канторович (к 60-летию со дня рождения)
137
Л. В. Канторовичу в 1949 г. была присуждена Государственная премия.
Сейчас, спустя почти четверть века после ее выхода в свет, хорошо видно,
какое большое влияние оказала эта работа на развитие рассмотренных в
ней разделов вычислительной математики (общая теория приближенных
методов, метод Ньютона для нелинейных функциональных уравнений, ме-
тод наискорейшего спуска для задачи о минимуме функционала). Еще бо-
лее существенно сказалась общая идейная направленность этих исследова-
ний Леонида Витальевича, проявившаяся особенно наглядно и конкретно
в развитии метода Ньютона. В значительной степени под влиянием этих
работ язык функционального анализа за короткий срок стал общеприня-
тым в работах по ряду важнейших разделов вычислительной математики.
В начале «машинной эры» Леонид Витальевич руководит конструирова-
нием новых релейных вычислительных устройств. Позднее он выдвигает
и разрабатывает совместно с учениками новые принципы автоматического
программирования. Под его руководством на рубеже сороковых и пяти-
десятых годов выполнялись вычислительные работы большого народнохо-
зяйственного значения.
Выдающийся вклад внес Л. В. Канторович в развитие экономической
науки. Его первая работа в этой области «Математические методы орга-
низации и планирования производства» вышла в 1939 г. Эта работа бы-
ла написана в связи с консультацией по решению конкретной планово-
производственной задачи (фанерного треста). Леониду Витальевичу уда-
лось разработать эффективный метод решения исследуемой задачи; при
этом оказалось, что этот же метод можно без существенных изменений
применять для решения широкого круга экстремальных задач. Тем самым
было создано новое направление — линейное программирование, эта заслу-
га Леонида Витальевича неоднократно подчеркивалась и американскими
математиками Данцигом и Купмансом, внесшими существенный вклад в
развитие линейного программирования в начале 40-х - начале 50-х годов.
Уже в конце 30-х годов Л. В. Канторович понимал, что разрабаты-
ваемые методы математического моделирования и анализа можно приме-
нить ко всему народному хозяйству и социалистической экономике в целом.
Теоретическая возможность рассмотрения процесса планирования социа-
листической экономики как единой экстремальной задачи дает основу для
построения логически стройной, отвечающей существу социалистического
способа ведения хозяйства, теории оптимального планирования и управле-
ния народным хозяйством.
Одним из самых значительных открытий Леонида Витальевича яви-
лось выяснение экономического смысла так называемых объективно-обус-
ловленных оценок, представляющих собой решение вспомогательной зада-
чи, в определенном смысле двойственной к задаче расчета оптимального
138
VI. Статьи о математиках в других изданиях
плана. С помощью этих оценок можно оперативно корректировать рассчи-
танный план с учетом изменений обстановки. Объективно-обусловленные
оценки тесно связаны с проблемой ценообразования. Они могут служить
основой для построения системы цен и других экономических показателей:
рента, плата за фонды, амортизация, норма эффективности капитальных
вложений и т. д., которые имеют важное значение для функционирования
сложной экономической системы и, в частности, для объективного сравне-
ния вариантов плановых решений.
Таким образом, теория ценообразования и экономических показателей
получила логически стройную основу для своего построения и развития.
Результаты своих исследований по теории оптимального планирования со-
циалистической экономики Леонид Витальевич изложил в известной мо-
нографии «Экономический расчет наилучшего использования ресурсов»,
вышедшей из печати с многолетним опозданием в 1959 г. За эту моногра-
фию Л. В. Канторович (одновременно с В. Л. Немчиновым и В. В. Ново-
жиловым) был удостоен в 1965 г. Ленинской премии.
В 60-е годы Леонидом Витальевичем была построена общая линейная
модель оптимального перспективного планирования экономики. Эта мо-
дель явилась окончательным звеном в обосновании возможности и необхо-
димости экстремального подхода к народному хозяйству в целом.
Анализ построенной модели позволил Леониду Витальевичу строго
обосновать ряд принципиальных положений теории планирования и це-
нообразования в социалистическиом обществе, проанализировать природу
основных экономических показателей, используемых в практике планиро-
вания. Леонид Витальевич специально анализирует такие показатели, как
норма эффективности капитальных вложений, план на производственные
фонды, рента в сельском хозяйстве, нормативы амортизационных отчисле-
ний, уровни оптовых цен в отрасли и др. По этому поводу им написаны как
научные работы, так и конкретные предложения в центральные директив-
ные плановые органы, а также методики расчета отдельных показателей.
Много внимания Леонид Витальевич уделяет конкретным разработкам
и их внедрению в народное хозяйство. Еще в довоенный период им совмест-
но с М. К. Гавуриным изучена математическая модель транспортировки
однородных грузов. В соответствующей работе предложены эффективные
численные методы для решения транспортной задачи в матричной и се-
тевой постановках, которые в настоящее время широко используются в
практике.
В 1951 г. вышла монография Л. В. Канторовича и В. А. Залгаллера,
посвященная методам рационального раскроя промышленных материалов,
обобщающая опыт внедрения указанных методов на ряде промышленных
предприятий страны.
Л. В. Канторович (к 60-летию со дня рождения)
139
Л. В. Канторович руководил работами по обоснованию оптимальных
тарифов на городской транспорт и такси. По инициативе Л. В. Канторови-
ча в начале 60-х годов начата комплексная разработка системы оптималь-
ной загрузки прокатных станов страны и прикрепления к ним потребите-
лей металлопродукции. Эти разработки приняты за основу создаваемой в
текущей пятилетке автоматизированной системы управления «Металл».
Много сил отдал Л. В. Канторович подготовке научных кадров. Сразу
по окончании университета в 1930 г. он начал преподавание в высших учеб-
ных заведениях. С 1941 по 1948 г. служил в должности начальника кафед-
ры в Военно-морской академии. С 1932 по 1941 г. и с 1944 по 1960 г. работал
в Ленинградском университете; за это время было воспитано несколько по-
колений специалистов по функциональному анализу, вычислительной ма-
тематике и математической экономике. Эти специальности создавались в
те годы, и первые курсы в ЛГУ читались Леонидом Витальевичем. Со-
зданная им к концу 50-х годов группа математиков-экономистов переехала
во главе со своим руководителем в Новосибирск. С 1960 по 1971 г., буду-
чи заместителем директора Института математики СО АН СССР, заве-
дующим Отделом математического программирования в этом институте и
заведующим кафедрой вычислительной математики НГУ, Л. В. Канторо-
вич немало способствовал становлению нового научного центра, расшире-
нию прикладных работ, связанных с развитием промышленности в Сибири.
В 1971 г. переехал в Москву, начал работать и Институте народного хозяй-
ства, готовящем высшие руководящие кадры народного хозяйства в нашей
стране.
Новые направления в науке и новые области приложения научных ре-
зультатов в жизни — характерные черты творчества Л. В. Канторовича.
Свое шестидесятилетие Леонид Витальевич встречает в расцвете своих сил,
с новыми планами, с новыми трудными задачами.
МАРК ГРИГОРЬЕВИЧ КРЕИН
(к пятидесятилетию со дня рождения)
3 апреля 1957 г. исполнилось пятьдесят лет со дня рождения одного из
крупнейших советских математиков Марка Григорьевича Крейна.
М. Г. стал заниматься математикой еще в школе. В четырнадцатилет-
ием возрасте он слушает курс лекций по аналитической геометрии, кото-
рый Б. Н. Делоне читал для студентов Киевского Политехнического ин-
ститута. Тогда же он делает первые доклады на семинаре Б. Н. Делоне,
в котором разбирались различные вопросы геометрической теории чисел,
а также теории Галуа. В 1922-1923 гг. М. Г. в качестве вольнослушателя
посещает лекции на старших курсах физико-математического отделения
Киевского ИНОа и принимает участие в различных семинарах академика
Д. А. Граве.
Весной 1924 г. М. Г. без согласия родителей уезжает в Одессу, считая
необходимым начать самостоятельную трудовую жизнь.
Живя случайными заработками, М. Г. продолжает самостоятельно за-
ниматься математикой. Отправляясь от прочитанных еще в Киеве по со-
вету академика Н. М. Крылова ряда статей, М. Г. пишет свою первую
научную работу «О производных контурах и производных системах». Эта
работа осенью 1924 г. была доложена на научно-исследовательской кафед-
ре математики при Одесском ИНО; в дальнейшем работа получила премию
на конкурсе научных работ 1925 г. при ВУКЕУ.
Судьбой Марка Григорьевича заинтересовались работавшие в Одес-
се Н. Г. Чеботарев и С. О. Шатуновский. М. Г. становится аспирантом
Н. Г. Чеботарева. По окончании аспирантуры М. Г. представляет 7 работ:
три по алгебре, три по геометрии и одну по теории функций комплексного
переменного. Кроме того, во время пребывания в аспирантуре он изучает
механику, активно участвуя в семинарах Г. К. Суслова при Одесском По-
литехническом институте. Блестящая алгебраическая техника, выработан-
ная под влиянием Н. Г. Чеботарева, живой интерес к задачам механики и
умение связывать сложные математические задачи с механическими сооб-
ражениями остаются до настоящего времени отличительной чертой многих
работ Марка Григорьевича.
После 1929 г. М. Г. работает в различных вузах в качестве доцента (до
1934 г.) и затем (с 1934 г.) профессора. В 1938 г. ученый совет механико-
математического факультета Московского государственного университе-
Успехи математических наук. — 1958. — Т. 13, вып. 3(81). - С. 213-217 (совм. с
М. Л. Красносельским; в разделе «Математическая жизнь в СССР»).
“ИНО — Институт народного образования. — Прим. ред. $-го тома Избр. трудов.
М. Г. Крейн (к 50-летию со дня рождения)
141
та присуждает М. Г. без защиты диссертации степень доктора физико-
математических наук. В феврале 1939 г. М. Г. избран членом-корреспон-
дентом АН УССР.
Научная деятельность М. Г., продолжающаяся свыше тридцати лет,
чрезвычайно интенсивна. Она охватывает различные разделы алгебры,
анализа, теории функций, функционального анализа, теории интеграль-
ных уравнений, дифференциальных уравнений, механики. М. Г. Крейном
опубликовано около 150 научных работ, в том числе ряд монографий. Круг
интересов М. Г. непрерывно расширяется: систематически появляются ра-
боты М. Г., посвященные новым вопросам. По-видимому, этим объясняется
тот факт, что некоторые развитые им теории до сих пор не нашли полного
изложения — М. Г., к сожалению, ограничился опубликованием основных
результатов этих теорий в статьях в Д(окладах) АН.
В этой статье невозможно дать полный анализ многочисленных резуль-
татов М. Г.; мы ограничимся кратким описанием лишь некоторых основных
линий его творчества.
1.	Исходя из предположения, что динамические свойства упругого кон-
тинуума должны определяться его статическими свойствами, М. Г. обнару-
жил, что в основе осцилляционных свойств упругого линейного континуу-
ма лежит тот простой алгебраический факт, что у матрицы, составленной
из коэффициентов влияния, миноры любых порядков не отрицательны.
Исходя из этого, была создана и совместно с Ф. Р. Гантмахером развита
теория осцилляционных матриц и теория осцилляционных интегральных
ядер. Эти матрицы и ядра обладают рядом замечательных спектраль-
ных свойств, которые позволяют исследовать колебания различных упру-
гих систем. М. Г. обнаружил, что функции Грина многих дифференци-
альных операторов являются осцилляционными ядрами. Пользуясь этим,
М. Г. выделил и изучил широкие классы обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений, решения которых обладают осцилляционными свойствами.
Тем самым впервые была создана общая теория, обобщающая на уравнения
произвольного четного порядка классические работы Штурма об осцилли-
ровании решений уравнений второго порядка.
2.	Существенную роль в творчестве М. Г. сыграла так называемая
проблема моментов. Известно, что первые глубокие результаты по сте-
пенной проблеме моментов были получены в классических исследованиях
П. Л. Чебышева и А. А. Маркова, а затем в работах 20-х годов Гамбургера,
Ф. Рисса, Неймана. Развивая и углубляя эти исследования, М. Г. увязывает
проблему моментов с теорией эрмитовых операторов в гильбертовом про-
странстве, с задачами теории вероятностей, с граничными задачами для
уравнения Штурма-Лиувилля и т. д. Большой цикл работ по проблеме мо-
ментов был выполнен М. Г. совместно с Н. И. Ахиезером; в частности, ими
142
VI. Статьи о математиках в других изданиях
было дано полное решение обобщенной проблемы моментов А. А. Марко-
ва. Как континуальный аналог проблемы моментов М. Г. строит теорию
продолжения эрмитово положительных функций. При переводе на язык
теории вероятностей результаты М. Г. дают решение некоторых задач из
получающей сейчас все больше применений теории экстраполяции и филь-
трации случайных процессов.
М. Г. дал новое изложение исследований А. А. Маркова, основанное на
геометрических идеях, позволяющее указать ряд существенных дополне-
ний к этим исследованиям, а также раскрыть многочисленные связи между
ними и работами последнего времени по теории функций.
3.	М. Г. принадлежит большой цикл работ по геометрии функциональ-
ных пространств. Им создано и вместе с учениками разработано новое на-
правление — геометрия конусов в пространстве Банаха. Были изучены раз-
личные свойства пространств с конусами, найдены условия их реализации
в виде пространства непрерывных функций (теорема братьев Крейнов -
Какутани), получены теоремы о свойствах операторов, оставляющих ин-
вариантным конус. Развитая теория нашла многочисленные приложения
(в проблеме моментов, в исследовании различных операторных уравнений
и особенно в теории интегральных уравнений с положительными ядрами).
Ряд работ М. Г. посвящен общей теории выпуклых тел в линейных про-
странствах. Из полученных здесь результатов отметим получившую широ-
кую известность и различные приложения теорему Крейна-Мильмана об
экстремальных точках выпуклого множества в функциональном простран-
стве.
4.	М. Г. было проведено глубокое исследование линейных операторов в
пространстве Гильберта с конечными индексами дефекта при помощи ме-
тодов теории аналитических функций. Были найдены общие формулы для
резольвент всех расширений таких операторов. М. Г. выделил класс так на-
зываемых целых операторов, в теории которых были установлены аналоги
всех основных предложений неопределенного случая классической степен-
ной проблемы моментов — вплоть до знаменитых неравенств Чебышева.
Теория целых операторов дала М. Г. возможность связать друг с другом и
в некотором отношении завершить решение таких классических проблем,
как степенная проблема моментов, проблема продолжения эрмитово поло-
жительных функций, проблема продолжения винтовых дуг в гильбертовом
пространстве с ее приложениями к проблеме экстраполяции и фильтрации
стационарных случайных процессов.
Теория целых операторов позволила найти в самом общем случае до-
казательство единственности распределения масс на симметричной струне
(с фиксированным натяжением и фиксированной длиной) с заданным спек-
тром частот. Много нового теория целых операторов вносит и в общую
М. Г. Крейн (к 50-летию со дня рождения)
143
теорию сингулярной краевой задачи для дифференциальных операторов
второго порядка.
5.	М. Г. получил полное описание и дал классификацию всех самосопря-
женных положительных расширений положительного эрмитова оператора.
Разработанная теория применена М. Г. к исследованию краевых задач для
дифференциальных операторов различных порядков. В качестве одного из
ярких результатов укажем неизвестное ранее и найденное М. Г. алгебра-
ическое правило определения числа отрицательных собственных значений
краевой задачи.
Созданная М. Г. теория расширения положительных операторов в ра-
ботах других авторов была применена к исследованию граничных задач
для уравнений с частными производными.
6.	Отправляясь от идей проблемы моментов и спектральной теории
операторов, М. Г. разработал новый метод получения теорем о спектраль-
ных разложениях функций — так называемый метод направляющих функ-
ционалов. Этот метод позволил устранить разрыв между общей теорией
спектрального разложения самосопряженных операторов и теорией раз-
ложения по собственным функциям конкретных дифференциальных опе-
раторов. Метод направляющих функционалов позволил впервые получить
основные спектральные теоремы для разложений по орфундаментальным»
функциям сингулярных краевых задач для дифференциальных операто-
ров любого четного порядка. Некоторые из этих теорем не были известны
даже для сингулярных краевых задач второго порядка. Метод направля-
ющих функционалов позволил единым способом получить для спектраль-
ных разложений утверждения типа теоремы Планшереля и типа теоремы
Бохнера-Хинчина.
7.	Обратной задачей Штурма-Лиувилля называют задачу об отыскании
коэффициентов линейного дифференциального оператора второго порядка
по различным характеристикам его спектров. Эта задача играет важную
роль в вопросах квантовой механики. Первые результаты по обратной зада-
че были получены В. А. Амбарцумяном и Боргом. Наряду с В. А. Марчен-
ко, И. М. Гельфандом, Б. М. Левитаном важные результаты в обратной
задаче принадлежат М. Г. Им были получены различные теоремы един-
ственности и критерии существования дифференциального оператора при
различных данных краевой задачи; многие из этих теорем являются в опре-
деленном смысле окончательными.
Для случая уравнения симметрической струны М. Г. дает простые и
легко проверяемые условия, при которых данная последовательность чисел
является спектром частот колебаний. Доказано, что распределение масс на
струне определяется единственным образом по спектру частот колебаний,
а также по некоторым функциям (например, так называемая переходная
144
VI. Статьи о математиках в других изданиях
функция), характеризующим движение струны. Из теорем М. Г. следует,
например, что замена конечного числа частот колебаний другими числами
приведет к системе чисел, являющейся спектром частот колебаний другой
струны.
Эти результаты в случае колебаний нити с конечным числом бусинок
приводят к замечательной механической интерпретации известных иссле-
дований Стилтьеса по непрерывным дробям и проблеме моментов.
8.	А. М. Ляпуновым была разработана теория зон устойчивости для
линейного дифференциального уравнения второго порядка с периодиче-
скими коэффициентами, играющая важную роль в вопросах динамической
устойчивости, в теории демультипликационного резонанса, в теории кри-
сталлических решеток и т. д. Очевидна важность обобщения исследований
А. М. Ляпунова на случай систем дифференциальных уравнений с перио-
дическими коэффициентами. Однако это обобщение наталкивалось на се-
рьезные трудности и в течение пятидесяти лет существенного продвижения
не было.
Лишь в последние годы М. Г. заложил основы теории устойчивости
для канонических систем уравнений с периодическими коэффициентами.
Он доказал существование бесконечного числа зон устойчивости и указал
методы для определения их границ. Одна из найденных оценок для границ
центральной зоны устойчивости является обобщением классического кри-
терия А. М. Ляпунова для одного уравнения. Некоторые признаки устой-
чивости, найденные М. Г., являются новыми даже для случая систем с
одной степенью свободы. М. Г. получил правило определения критических
частот в явлениях так называемого е-параметрического резонанса; инте-
ресно отметить, что оно расходится с тем ошибочным в общем случае пра-
вилом, которое получали ранее грубыми средствами теории возмущений.
Важную роль в теории М. Г. сыграл тот факт, что ему удалось обнаружить
у канонических систем так называемые мультипликаторы первого и второ-
го родов и изучить их движение в комплексной плоскости при изменении
параметра в системе.
9.	Совместно с Н. И. Ахиезером М. Г. явился одним из начинателей
получившего сейчас большое развитие направления в теории приближений,
получив точные оценки максимумов меры наилучшего приближения Еп(/)
по всем функциям f из некоторых важных функциональных классов.
10.	В теории топологических групп М. Г., кроме перенесения на ло-
кально компактные группы теоремы Планшереля, принадлежит своеоб-
разный принцип двойственности для произвольных (не коммутативных)
бикомпактных групп. Каждой такой группе ставится в соответствие алгеб-
раическое образование — «квадратная блок-алгебра», — характеризующее
М. Г. Крейн (к 50-летию со дня рождения)
145
ее однозначно и позволяющее обозреть все ее унитарные представления.
Описанные выше линии творчества М. Г. не охватывают всего круга его
результатов. За их пределами находятся, например, теория пространств с
индефинитной метрикой, различные теоремы о базисах в банаховых про-
странствах, изучение индексов нормально разрешимых операторов, фор-
мула следов в теории возмущений, новый метод решения линейных инте-
гральных уравнений и многое другое.
Работы М. Г. сыграли заметную роль в развитии ряда разделов ма-
тематики. Влияние его идей можно проследить в исследованиях многих
советских и зарубежных ученых.
Характерными для М. Г. являются научная общительность и умение
заражать молодежь творческим энтузиазмом. М. Г., работая в Одесском
университете в течение ряда лет, создал и возглавил известную одесскую
школу функционального анализа. Всюду, где работал М. Г. (Одесса, Харь-
ков, Киев, Куйбышев), его окружали ученики. Под его руководством на-
писано свыше двадцати кандидатских диссертаций; пять его учеников яв-
ляются докторами наук (М. А. Наймарк, Я. Л. Нудельман, М. С. Лившиц,
М. А. Красносельский, Ю. М. Березанский).
МАРК ГРИГОРЬЕВИЧ КРЕИН
(к семидесятилетию со дня рождения)
3 апреля 1977 г. математическая общественность отметила семидесяти-
летие выдающегося советского математика Марка Григорьевича Крейна.
Яркие страницы биографии М. Г. Крейна — раннее (еще в детстве) увле-
чение математикой; трудовое, полное лишений отрочество, насыщенное
упорным самообразованием; юность, озаренная первыми научными успе-
хами — кратко освещены в статье, посвященной шестидесятилетию Марка
Григорьевича (УМН, 23:3 (141), (1968), 197-214) и обозначаемой далее [LX].
Раннему расцвету математического таланта Марка Григорьевича (окон-
чание аспирантуры в 22-летнем возрасте с представлением семи научных
работ по алгебре, геометрии и теории функций) сопутствовало столь же
раннее раскрытие таланта педагогического — в 22 года Марк Григорье-
вич — доцент, а в 27 лет — профессор, заведующий кафедрой. К моменту
присуждения ему Ученым советом МГУ (без защиты диссертации) доктор-
ской степени (1938 г.) Марк Григорьевич — автор уже более 50 научных
работ. В 1939 г. он был избран членом-корреспондентом АН УССР. К это-
му времени в Одесском государственном университете, где он, начиная с
1930 г., возглавлял различные кафедры (теоретической механики и мате-
матической физики, теории функций, математического анализа), вокруг
Марка Григорьевича сплачивается большая группа молодых исследовате-
лей, с энтузиазмом и большим успехом разрабатывавших различные во-
просы функционального анализа и его приложений. Этот коллектив впо-
следствии получил известность в математическом мире как Одесская шко-
ла функционального анализа. Именно из его рядов вышли такие крупные
ученые, как М. А. Наймарк, М. С. Лившиц, В. П. Потапов.
В 1940 году по инициативе президента АН УССР А. А. Богомольца
М. А. Лаврентьев и М. Г. Крейн были командированы во Львов для уста-
новления деловых контактов с математиками Львова. Участие Марка Гри-
горьевича в этой работе было особенно полезным ввиду близости его на-
учной тематики к интересам работавшего в то время во Львове всемирно
известного математика С. Банаха.
В тяжелые военные годы педагогическая и научная деятельность Мар-
ка Григорьевича еще больше активизировалась. Он заведует кафедрой тео-
ретической механики в Куйбышевском индустриальном институте, участ-
Успехи математических наук. — 1978. — Т. 33, вып. 3. — С. 197-203 (совм. с В. М. Ада-
мяном, Ю. М. Березанским, Н. Н. Боголюбовым, И. С. Иохвидовым, М. А. Лаврентье-
вым, Ю. А. Митропольским; в разделе «Математическая жизнь в СССР».)
М. Г. Крейн (к 70-летию со дня рождения)
147
вует в организации Куйбышевского авиационного института. Из под его
пера выходят одна за другой выдающиеся научные работы, краткие сооб-
щения о которых печатаются в «Докладах АН СССР». Идеи, заложенные
в них, дали основу для разработки в последующие десятилетия как са-
мим Марком Григорьевичем, так и его учениками и последователями ряда
новых направлений в функциональном анализе, теории функций, теории
дифференциальных уравнений и в других разделах.
Научная молодежь продолжает окружать Марка Григорьевича и в по-
слевоенные годы, когда он (до 1954 г.) работает в Одесском институте ин-
женеров морского флота, а затем заведует кафедрой теоретической меха-
ники в Одесском инженерно-строительном институте. Для руководимых
Марком Григорьевичем в этих институтах научно-исследовательских се-
минаров, как и для всего его творчества, характерно тесное переплете-
ние теоретической и прикладной тематики. Поэтому не удивительно, что
из «недр» этих семинаров вышло не только большое количество ученых-
математиков, но и доктора технических наук А. А. Костюков, В. Г. Сизов
(теория корабля), доктор физико-математических наук Г. Я. Попов (тео-
рия упругости).
Сейчас в числе учеников, воспитанных Марком Григорьевичем, 17 док-
торов и более 40 кандидатов наук, причем многие из них возглавляют круп-
ные научные школы в различных городах нашей страны, так что задача
подсчета научных «внуков и правнуков» Марка Григорьевича является до-
вольно сложной.
Десятилетие 1967-1977 гг. в жизни М. Г. Крейна было чрезвычайно на-
сыщенным, причем не столько внешними событиями (отметим лишь избра-
ние его в 1970 г. иностранным почетным членом Американской академии
искусств и наук), сколько интенсивной научной деятельностью, к характе-
ристике которой мы и переходим.
Авторы юбилейной статьи [LX] сетовали на невозможность полностью
проанализировать в ней научное творчество Марка Григорьевича. Тем
труднее такая задача сейчас, когда количество публикаций Марка Григо-
рьевича приблизилось к 250, а их «приращение» за последние 10 лет со-
стоит, в основном, из крупных работ фундаментального характера, в том
числе — двух новых монографий. Поэтому мы поставили перед собой более
скромную задачу — дополнить содержащийся в [LX] анализ основных ли-
ний творчества М. Г. Крейна кратким обзором упомянутого приращения.
Проблема моментов, теория приближений и теория S-матриц.
Итогом многолетних исследований М. Г. Крейна, его учеников, сотрудни-
ков (Н. И. Ахиезер, А. А. Нудельман и др.) по проблеме моментов яви-
лась написанная совместно с А. А. Нудельманом монография [226]. В ней
с современных позиций рассмотрен большой круг вопросов, ведущих свое
148
VI. Статьи о математиках в других изданиях
начало от классических работ П. Л. Чебышёва и А. А. Маркова по теории
функций, наименее уклоняющихся от нуля, по обобщенной проблеме мо-
ментов и по теории «предельных величин» интегралов. В книге детально
исследована структура выпуклых и конических оболочек кривых, установ-
лены изопериметрические неравенства для выпуклых оболочек, построена
теория ортогональных и квазиортогональных многочленов, решен ряд экс-
тремальных задач теории квадратур, интерполирования и экстраполиро-
вания в различных классах функций, изложены результаты исследований
М. Г. Крейна по абстрактной L-проблеме моментов. Здесь уместно выде-
лить одну черту, присущую Марку Григорьевичу: прекрасно зная работы
классиков, отправляясь от них во многих своих исследованиях, он посто-
янно держит в поле зрения давние нерешенные вопросы. Так в свое время
были продолжены и развиты теория квадратурных формул Чебышёва-
Маркова, исследования А. М. Ляпунова по теории устойчивости и многое
другое (об этом подробнее см. в [LX]). В рассматриваемом нами «прираще-
нии» также имеется немало примеров внимания Марка Григорьевича к на-
следию классиков. Так в [226] впервые и притом простыми средствами ре-
шается до конца принципиальная задача по проблеме моментов Стилтьеса,
неявно содержавшаяся в мемуаре П. Л. Чебышёва 1892 г. и не отмеченная
в комментариях ни в одном издании сочинений этого великого математи-
ка. Некоторые вопросы, затронутые в книге [226], получили дальнейшее
развитие в работе [242].
К проблемам, затронутым в монографии [226], непосредственно при-
мыкает также цикл совместных исследований [207]-[210], [218]-[221]
М. Г. Крейна, В. М. Адамяна и Д. 3. Арова. Центральное место в них
занимает проблема отыскания среди функций на единичной окружности
с заданными коэффициентами Фурье при отрицательных степенях экспо-
ненты е,е, 0	0 < 2тг, функций, удаленных от нуля в метрике £оо(0,2тт)
на расстояние, не большее заданного числа р > 0 (обобщенная проблема
Шура). Ее частными случаями являются многие проблемы продолжения
теории аналитических функций, включая проблемы Каратеодори-Фейера,
Шура, Неванлинны-Пика, проблему Сарасона и поставленную М. Г. Крей-
ном проблему продолжения акселерант.
В работах этого цикла на основе подхода, представляющего собой свое-
образный синтез теории расширений изометрических операторов и теории
бесконечных блочно-ганкелевых матриц, был установлен критерий одно-
значной разрешимости и получено полное описание всех решений сформу-
лированной проблемы, найдены континуальные аналоги соответствующих
предложений и изучены их многомерные, а также и индефинитные вариан-
ты, навеянные старыми работами Т. Такаги и Н. И. Ахиезера. Матричные и
континуальные аналоги построенной теории привели ее в соприкосновение
М. Г. Крейн (к 70-летию со дня рождения)
149
с давними исследованиями Марка Григорьевича по прямым и обратным
задачам теории акселерант и S-матриц канонических дифференциальных
операторов, опиравшимися на другие методы. В последнее десятилетие на
новой основе М. Г. Крейн и Ф. Э. Мелик-Адамян получили окончательные
результаты по теории S-матриц для канонических дифференциальных опе-
раторов с суммируемыми потенциалами (209), [215].
Теория операторов. В обзорном докладе М. Г. Крейна [204] на Меж-
дународном конгрессе математиков (Москва, 1966), в частности, подчер-
кивалась важность для всей теории линейных операторов в гильберто-
вом пространстве аналитического аппарата характеристических матриц- и
оператор-функций, основы которого были заложены учеником Марка Гри-
горьевича М. С. Лившицем. За последнее десятилетие в работах М. Г. Крей-
на, его учеников и сотрудников и других авторов получила подтверждение
правильность высказанного в [204] прогноза о том, что дальнейшее разви-
тие теории потребует эволюции первоначального понятия характеристиче-
ской оператор-функции, содержавшего, как обычно бывает, ряд слишком
жестких ограничений. Эта эволюция, не завершившаяся и ныне, частично
отражена в работах [211], [213], [222].
В работе [214] М. Г. Крейн и HI. Н. Саакян, развивая созданную Мар-
ком Григорьевичем теорию резольвентных матриц эрмитовых операторов,
установили важную связь между резольвентной матрицей произвольного
эрмитова оператора с любыми равными дефектными числами и характе-
ристической функцией некоторого У-узла в смысле [213]. Эта связь откры-
вает путь к реализации абстрактно заданного эрмитова оператора в виде
канонического дифференциального оператора, отличающийся от указан-
ного в [204].
Ряд работ Марка Григорьевича и его учеников посвящается исследова-
нию обобщенных резольвент эрмитовых операторов специальных классов.
Эти исследования были продолжены в работах М. Г. Крейна и И. Е. Ов-
чаренко [236], [239], [243].
Как известно, Марк Григорьевич является одним из создателей тео-
рии линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. К
сказанному об этом в [LX] следует добавить, что идеи работы [182] по-
служили основой для большого потока исследований многих авторов по
теории операторов в произвольных J-пространствах (называемых в недав-
но вышедшей за рубежом монографии Яноша Богнара пространствами
Крейна). Что же касается спектральной теории операторов в простран-
ствах Пх, то после решающего шага, сделанного в совместной работе [176]
М. Г. Крейна и Г. К. Лангера, где были построены спектральные разло-
жения я-самосопряженных и тг-унитарных операторов, в результате даль-
нейших исследований М. Г. Крейна и Г. К. Лангера [223]—[225], [229], [233],
150
VI. Статьи о математиках в других изданиях
[244], [245] эта теория была доведена до уровня, сравнимого с теорией опе-
раторов в гильбертовом пространстве.
Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений.
Один из важных этапов в творчестве М. Г. Крейна за истекшее десятиле-
тие — завершение оригинальной монографии [217], написанной совместно
с Ю. Л. Далецким. В опубликованной книге, в частности, систематизиро-
ваны многолетние исследования Марка Григорьевича но теории устойчи-
вости.
В 1973 г. в небольшой статье [228] М. Г. Крейн с удивительным изяще-
ством показал, что неравенства для старших коэффициентов разложения
функции Ляпунова А(Л), высказанные в виде предположения А. М. Ля-
пуновым в 1902 г., справедливы даже в случае многомерных уравнений и
являются следствием одного общего принципа усреднения ядерных опера-
торов.
Другие вопросы. В обозреваемый период Марком Григорьевичем бы-
ла написана совместно с И. С. Кацем монографического характера статья
[206], посвященная теории спектральных функций струны, которую жела-
тельно было бы рассматривать как начало подробного изложения резуль-
татов по этой теме, анонсированных М. Г. Крейном еще в 1951-1954 гг.
Кроме того, работы Марка Григорьевича по спектральной теории струны
пополнились исследованием [212], посвященным континуальным аналогам
неравенств Чебышёва-Маркова в теории спектральных функций.
Хотя значительная часть результатов М. Г. Крейна по обратным за-
дачам спектральной теории струны и их связям с проблемой прогнози-
рования стационарных случайных процессов опубликована в виде кратких
сообщений, тем не менее эти результаты получили широкое признание и из-
вестность, а разработанный Марком Григорьевичем аппарат спектральной
теории струны уже вошел в арсенал рабочих средств теории стационарных
случайных процессов.
Примером умения М. Г. Крейна увязывать теоретические и приклад-
ные исследования, видеть в частных технических задачах лежащие в их
основе математические закономерности является решенная им совместно
сП. Я. Нудельманом радиотехническая задача построения реализуемой
передаточной функции, аппроксимирующей с предписанной точностью в
интервале частот (luj,с^г) наперед заданную функцию F G	при
условии максимальной (в энергетическом смысле) частотной избиратель-
ности.
Большой цикл исследований М. Г. Крейна по уравнениям Винера-Хоп-
фа (см. [LX]) пополнился за прошедшее десятилетие работами [234], [235], в
которых указывается общий признак, когда уравнения Винера-Хопфа мо-
гут быть сведены к нелинейным интегральным уравнениям, аналогичным
М. Г. Крейн (к 70-летию со дня рождения)
151
рассматривавшимся В. А. Амбарцумяном в связи с задачей о лучистом рав-
новесии, и с исчерпывающей полнотой изучается одно семейство уравнений
Винера-Хопфа, допускающих такое сведение.
Нам, конечно, не удалось охватить всего, что создано Марком Григо-
рьевичем за последние десять лет. Мы надеемся, что в какой-то мере по-
ниманию этого вклада может способствовать простое (и далеко не полное)
перечисление новых понятий, введенных и исследованных впервые в рабо-
тах М. Г. Крейна и занявших прочное место в науке.
I.	Геометрия банаховых пространств. Конус в банаховом простран-
стве; конус телесный, воспроизводящий, нормальный, миниэдральный, по-
чти миниэдральный, острый; u-норма в пространстве с конусом. Простран-
ство с двумя нормами. Раствор двух подпространств. Интерсферическое
дробнолинейное преобразование. Регулярно-выпуклые множества. Устой-
чивость базиса в банаховом пространстве.
II.	Теория расширений эрмитовых операторов. //^-оператор
(укороченный оператор). Жесткое и мягкое расширения. Резольвентная
матрица эрмитова оператора. Q-функция эрмитова оператора. Масштабное
подпространство. Целый эрмитов оператор.
III.	Спектральная теория. Направляющий функционал; метод на-
правляющих функционалов. Винтовая дуга в гильбертовом пространстве;
проблема продолжения. Эрмитово-положительная функция на конечном
интервале; проблема продолжения эрмитово-положительных функций;
проблема продолжения эрмитово-положительных ядер. Проблема продол-
жения эрмитовых функций с х отрицательными квадратами; винтовая ду-
га в бесконечномерном пространстве Лобачевского. Переходная функция
П(<). Акселеранта. Бесконечный определитель возмущения. Функция спек-
трального сдвига.
IV.	Операторы в пространствах с индефинитной метрикой.
Плюс-оператор. Дефинизирующий многочлен, тг-самосопряженная спек-
тральная оператор-функция я-самосопряженного оператора. Сильно и сла-
бо деформированные квадратичные пучки операторов.
V.	Теория функций, ^-проблема моментов Маркова. Абстрактная
L-проблема моментов. Минифункция. Каноническая (Г,р)-функция.
VI.	Несамосопряженные операторы. Ф-оператор; Ф+- и Ф_-опера-
торы. Факторизация оператора вдоль цепочки.
VII.	Матрицы, дифференциальные и интегральные операто-
ры. Вполне неотрицательные и вполне положительные матрицы и ядра.
Осцилляционная матрица; осцилляционное ядро; осцилляционный диффе-
ренциальный оператор. Каноническая система положительного типа (с по-
ложительным эрмитианом). Центральная зона устойчивости. Род мульти-
пликатора; мультипликаторы I и II рода. Главные граничные условия.
152
VI. Статьи о математиках в других изданиях
VIII.	Теория представлений компактных групп. Квадратная блок-
алгебра (алгебра Крейна). Алгебра ЭЯ^-функций на компактной группе.
Нарисованная нами картина была бы неполной, если бы мы не сказали
о выдающемся лекторском таланте Марка Григорьевича, о его научной
щедрости, вместе с тем, требовательности по отношению к своим ученикам,
об атмосфере энтузиазма, которая возникает при творческом общении
с ним.
Пожелаем же Марку Григорьевичу сохранить эти драгоценные каче-
ства и высокий творческий потенциал еще на долгие годы.
СПИСОК ПЕЧАТНЫХ РАБОТ М. Г. КРЕЙНА 1
[176]	О спектрально функции самосопряженного оператора в пространстве с ин-
дефинитной метрикой, ДАН 152:1 (1963), 39-42 (совм. с Г. К. Лангером).
[182]	Об одном новом применении принципа неподвижной точки в теории опера-
торов в пространстве с индефинитной метрикой, ДАН 152 (1963), 1023-1026.
[204]	Аналитические проблемы и результаты теории линейных операторов в гиль-
бертовом пространстве, Труды международного конгресса математиков
(Москва, 1966), 1968, 189-231.
[206]	О спектральных функциях струны. Дополнение II к книге Ф. Аткинсона
«Дискретные и континуальные граничные задачи», М., «Мир», 1968, 648-
737 (совм. с И. С. Кацем).
[207]	О бесконечных ганкелевых матрицах и обобщенных задачах Каратеодори-
Фейера и Ф. Рисса, Функц. анализ 2:1 (1968), 1-19 (совм. с В. М. Адамяном
и Д. 3. Аровым).
[208]	О бесконечных ганкелевых матрицах и обобщенных задачах Каратеодори-
Фейера и Шура, Функц. анализ 2:4 (1968), 1-17 (совм. с В. М. Адамяном и
Д. 3. Аровым).
[209]	К теории S-матриц канонических дифференциальных уравнений с суммиру-
емым потенциалом, ДАН Арм. ССР 46:4 (1,968), 150-154 (совм. с Ф. Э. Ме-
лик-Адамяном).
[210]	Об ограниченных операторах, коммутирующих с сжатием класса Соо еди-
ничного ранга неунитарности, Функц. анализ 3:3 (1969), 86-87 (совм. с
В. М. Адамяном и Д. 3. Аровым).
[211]	представлениях линейных операторов и мультипликативных представлени-
ях их характеристических функций, Функц. анализ 3:4 (1969), 1-27 (совм. с
В. М. Бродским, И. Ц. Гохбергом).
1Начало списка см. в УМН 13:3 (81), (1958), 218-224, продолжение в УМН 23:3 (141)
(1968), 197-214. Этот список не включает многочисленных научно-публицистических
работ М. Г. Крейна (памятных и юбилейных статей о русских и советских математи-
ках, предисловий к переводам монографий иностранных авторов и др ). [В настоящем
издании мы воспроизводим только те пункты списка работ М. Г. Крейна, на которые в
тексте имеются ссылки. — Прим. ред. j-го тома Избр. трудов.]
М. Г. Крейн (к 70-летию со дня рождения)
153
[212]	Неравенства Чебышева-Маркова в теории спектральной функции струны,
Матем. исслед., Изд-во АН Молд. ССР 5:1 (1970), 77-101.
[213]	Определение и основные свойства характеристической функции S-узла,
Функц. анализ 4:1 (1970), 88-90 (совм. с В. М. Бродским и И. Ц. Гохбергом).
[214]	Резольвентная матрица эрмитова оператора и связанные с нею характери-
стические функции, Функц. анализ 4:3 (1970), 103-104 (совм. с III. Н. Саа-
кяном).
[215]	Некоторые приложения теоремы о факторизации унитарной матрицы,
Функц. анализ 4:4 (1970), 73-75 (совм. с Ф. Э. Мелик-Адамяном).
[217]	Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом про-
странстве, М., «Наука», 1970, 1-534 (совм. с Ю. Л. Далецким).
[218]	О новых неравенствах для характеристических чисел интегральных уравне-
ний с гладкими ядрами, Матем. исслед., Изд-во АН Молд. ССР 5:1 (1970),
22-39 (совм. с И. Ц. Гохбергом).
[219]	Аналитические свойства пар Шмидта ганкелева оператора и обобщенная
задача Шура-Такаги, Матем. сб. 85 (128): 1 (9) (1971), 39-73 (совм. с
В. М. Адамяном и Д. 3. Аровым).
[220]	Бесконечные блочно-ганкелевы матрицы и связанные с ними проблемы про-
должения, Изв. АН Арм. ССР 6:2-3 (1971), 87-112 (совм. с В. М. Адамяном
и Д. 3. Аровым).
[221]	Ганкелевы операторы, задачи экстраполяции матриц-функций и теория
S-матриц, Тезисы докладов Всесоюзной конференции по теории функций
комплексного переменного, Харьков, 1971, 6-8 (совм. с В. М. Адамяном и
Д. 3. Аровым).
[222]	О характеристических функциях обратимого оператора, Acta Sci. Math.
32:1-2 (1971), 141-164 (совм. с В. М. Бродским и И. Ц. Гохбергом).
[223]	О дефектных подпространствах и обобщенных резольвентах эрмитова опе-
ратора в пространстве Пх. I, Функц. анализ 5:2 (1971), 59-71 (совм. с Г. Лан-
гером).
[224]	О дефектных подпространствах и обобщенных резольвентах эрмитова опе-
ратора в пространстве Пх. II, Функц. анализ 5:3 (1971), 54-69 (совм. с Г. Лан-
гером).
[225]	Uber die verallgemeinerten Resolventen und die charakteristische Funktion eines
isometrischen Operators im Raume Пх, Colloquium Math. Soc. Janos Bolyai 5
(1971), 353-400 (совм. с Г. Лангером).
[226]	Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи, М., «Наука», 1973,
1-558 (совм. с А. А. Нудельманом).
[228]	Об одном предположении А. М. Ляпунова, Функц. анализ 7:3 (1973), 45-54.
[229]	Uber die Q-Funktionen eines тг-hermiteschen Operators im Raume Пх, Acta Sci.
Math. 34 (1973), 191-230 (совм. с Г. Лангером).
[233]	Об индефинитной степенной проблеме моментов, ДАН 226:2 (1976), 261-264
(совм. с Г. Лангером).
154
VI. Статьи о математиках в других изданиях
[234]	О нелинейных интегральных уравнениях, играющих роль в теории уравне-
ний Винера-Хопфа. I, Матем. исслед., Изд-во АН Молд. ССР, вып. 42
(1976), 47-90.
[235]	О нелинейных интегральных уравнениях, играющих роль в теории уравне-
ний Винера-Хопфа. II, Матем. исслед., Изд-во АН Молд. ССР, вып. 45
(1977), 67-92.
[236]	До теорп узагальнених резольвент непцльно заданих ермИових стиснень,
ДАН УРСР, cepin А, № 10 (1977), 881-884 (совм. с И. Е. Овчаренко).
[239]	Об обобщенных резольвентах и резольвентных матрицах положительных
эрмитовых операторов, ДАН 231:5 (1977), 1063-1066 (совм. с И. Е. Овчарен-
ко).
[242]	Про одну штерполящйну проблему, спорщнену з проблемою моментов Стьч-
тьеса, ДАН УРСР, серия А, № 12 (1977), 1068-1072 (совм. с А. А. Нудель-
маном).
[243]	О факторизации а-секториальных матриц-функций на единичной окруж-
ности, Матем. исслед., Изд-во АН Молд. ССР, вып. 47 (1978) (совм. с
И. М. Спитковским), 41-63.
[244]	Uber einige Fortsetzungsprobleme, die eng mit hermiteschen Operatoren im Rau-
me Пх zusammenhangen, I. Einige Funktionen-klassen und ihre Darstellungen,
Math. Nachricht. 77 (1977), 187-236 (совм. с Г. Лангером).
[245]	Uber einige Fortsetzungsprobleme, die eng mit hermiteschen Operatoren im Rau-
me Пх zusammenhangen, II. Verallgemeinerte Resolventen, u-Resolventen und
ganze Operatoren, J. of Funct. Anal. (1978) (совм. с Г. Лангером).
ЛАЗАРЬ АРОНОВИЧ ЛЮСТЕРНИК
(к пятидесятилетию со дня рождения)
31 декабря 1949 г. исполнилось 50 лет со дня рождения одного из самых
выдающихся и ярких представителей московской математической школы,
члена-корреспондента АН СССР Лазаря Ароновича Люстерника.
После того как московская математическая школа сформировалась на
основе культивирования Д. Ф. Егоровым и Н. Н. Лузиным новых методов
теории множеств и теории функций действительного переменного, область
ее интересов стала быстро расширяться. Особенно интенсивен был этот
процесс овладения новыми областями математики в середине двадцатых
годов, когда с учреждением при Московском университете Института ма-
тематики в этом институте работы старшего поколения были поддержаны
инициативой большой группы математической молодежи. Уже в самых
первых своих работах Л. А. Люстерник пошел в этом отношении по са-
мостоятельному пути, начав продолженный потом И. Г. Петровским ряд
московских работ по прямым методам вариационного исчисления и специ-
ально по задаче Дирихле (1924).
Еще более значительное новое направление было создано Л. А. Люс-
терником совместно с Л. Г. Шнирельманом в развитии некоторых работ
П. С. Урысона в области применения к вариационному исчислению
«в целом» топологических методов. Доказанная Л. А. Люстерником и
Л. Г. Шнирельманом в 1929 г. теорема о трех геодезических остается и
в настоящее время одним из самых блестящих достижений математики
последних десятилетий. Вместе с рядом учеников Л. А. Люстерник раз-
рабатывает топологические методы анализа в течение всего следующего
двадцатилетия. Наиболее общие и окончательные результаты по вариаци-
онному исчислению в целом были получены Л. А. Люстерником с приме-
нением нового топологического аппарата в 1943-1946 гг. За эти работы ему
была присуждена Сталинская премия.
В тридцатых годах в круг интересов Л. А. Люстерника попадают соб-
ственные значения линейных и нелинейных дифференциальных уравне-
ний, где он тоже получает ряд интересных результатов. С возникновением
в Москве интереса к функциональным пространствам Л. А. Люстерник
не только поддерживает его своей широко известной статьей в первом то-
ме Успехов математических наук, но и начинает важную новую область
исследований, которую проще всего охарактеризовать как перенесение на
Успехи математических наук. — 1950. — Т. 5, вып. 1. — С. 234-235.
156
VI. Статьи о математиках в других изданиях
бесконечномерные пространства основных понятий и приемов дифферен-
циальной геометрии поверхностей и многомерных пространств.
Для всех перечисленных направлений работы Л. А. Люстерника типич-
но стремление к соединению современных теоретико-множественных мето-
дов с подлинной геометричностью. Как свою блестящую геометрическую
интуицию, так и теоретико-множественную культуру Л. А. Люстерник на-
правляет на решение труднейших задач анализа.
Участие в практических работах военного времени в период 1942—
1944 гг. включило в круг интересов Л. А. Люстерника проблемы вычис-
лительной и машинной математики и, начиная с 1946 г., он выступает с
рядом интересных научных работ в этой области.
В качестве профессора Московского университета, руководителя науч-
ной молодежи, автора учебников и популярных книг Л. А. Люстерник яв-
ляется горячим пропагандистом тех широких объединяющих идей, которы-
ми руководится его собственное научное творчество, и прогрессивного со-
ветского направления в математике, не знающего никакого разрыва между
новейшими достижениями теоретической науки и непосредственной прак-
тической работой прикладного математика. Глубокий интерес Л. А. Люст-
ерника к общим задачам развития математики, научного математического
образования и организации научных исследований в нашей стране нашел
свое выражение и в том обстоятельстве, что Л. А. Люстерник явился со-
здателем начавших выходить под его редакцией в 1936 г. Успехов матема-
тических наук. Во всей работе редакции этого издания за истекшие 13 лет
Л. А. Люстернику принадлежит бесспорно первое место.
Всем хорошо известна разнообразная деятельность Л. А. Люстерни-
ка по организации математической работы со школьниками и учителями,
критике программ, по составлению новых учебников и вообще по всем во-
просам математического просвещения. В последние годы Л. А. Люстерник
проводил большую работу по созданию научной школы в области вычисли-
тельной математики. Он был одним из инициаторов создания специального
института, развертывающего в АН СССР работу в этом чрезвычайно акту-
альном направлении, а также соответственных кафедр в МГУ. Мы видим,
таким образом, что трудно найти раздел советской математической жизни,
в котором не поработал бы Л. А. Люстерник.
ГУРИИ ИВАНОВИЧ МАРЧУК
(к шестидесятилетию со дня рождения)
Гурий Иванович Марчук родился 8 июня 1925 г. в семье сельского учи-
теля. В 1942 г. он закончил среднюю школу и стал студентом математико-
механического факультета Ленинградского государственного университе-
та. В 1943-1945 гг. служил в Советской Армии. После демобилизации про-
должил учебу в университете, здесь же вступил в ряды КПСС.
Научная деятельность Гурия Ивановича Марчука началась в Ленин-
градском университете. Сразу же после окончания университета он по-
ступил в аспирантуру и в 1952 г. защитил кандидатскую диссертацию
«Динамика крупномасштабных полей метеорологических элементов в ба-
роклинной атмосфере». В 1953 г. Г. И. Марчук начал работать в Физико-
энергетическом институте (г. Обнинск), где Гурий Иванович заведовал ла-
бораторией, затем математическим отделом института — здесь проявился
его талант ученого и организатора.
Заведование кафедрой высшей математики в Обнинском филиале Мос-
ковского инженерно-физического института помогло Гурию Ивановичу в
те годы вовлечь в науку большую группу талантливой молодежи. В корот-
кий срок он создал сильный коллектив математиков-прикладников в об-
ласти ядерной энергетики, принимал участие в разработке первой в мире
атомной электростанции. Г. И. Марчук предложил новые методы расче-
та ядерных реакторов, которые и по настоящее время составляют основу
математического моделирования и имитационных расчетов.
В 1956 г. Г. И. Марчук защитил докторскую диссертацию «Численные
методы расчета ядерных реакторов», которая легла в основу его одноимен-
ной книги (М.: Атомиздат, 1958). Эта книга принесла автору широкую из-
вестность как в Советском Союзе, так и за рубежом. В 1961 г. за научные
достижения Гурию Ивановичу была присуждена Ленинская премия, а в
следующем он избирается членом-корреспондентом АН СССР.
В 1962 г. Г. И. Марчук был приглашен в Сибирское отделение Ака-
демии наук СССР: ему поручалось на базе вычислительного центра Ин-
ститута математики СО АН СССР организовать самостоятельное научно-
исследовательское учреждение, оснащенное современной вычислительной
техникой, которое могло бы активно участвовать в решении проблем раз-
вития науки и производства в Сибири. Менее чем через два года состоя-
Успехи математических наук. — 1985. — Т. 40, вып. 5. — С. 3-17 (совм. с Н. Н. Бо-
голюбовым, В. С. Владимировым).
158
VI. Статьи о математиках в других изданиях
лось официальное открытие Вычислительного центра Сибирского отделе-
ния АН СССР.
Под руководством Г. И. Марчука в Вычислительном центре СО АН
развернулись интенсивные исследования по актуальным направлениям вы-
числительной математики и ее применения в ряде важных проблем науки
и техники — физике атмосферы, теории переноса излучения, геофизике,
механике сплошной среды, а также работы по вычислительной технике и
ее программному обеспечению. По этим направлениям Г. И. Марчук орга-
низовал постоянно действующие научные семинары, тематические конфе-
ренции и симпозиумы. Вскоре возглавляемый Г. И. Марчуком коллектив
стал основным научным центром исследований по вычислительной мате-
матике в Сибири и одним из крупнейших в нашей стране и за рубежом.
Вместе с Гурием Ивановичем в коллективе работали такие известные уче-
ные, как Н. Н. Яненко, М. М. Лаврентьев, А. С. Алексеев, С. К. Годунов,
А. П. Ершов, Г. П. Курбаткин. Вычислительный центр СО АН СССР сыг-
рал огромную роль в организации эффективного использования средств
вычислительной техники в народном хозяйстве Сибири, Дальнего Восто-
ка и Средней Азии — он стал прообразом и «кадровой базой» создания
новых вычислительных центров Сибирского отделения в Красноярске и
Иркутске. В этом несомненная заслуга Гурия Ивановича и созданной им
сибирской научной школы по вычислительной и прикладной математике.
Как и в период работы над проблемами ядерной энергетики, в эти го-
ды в научной деятельности Г. И. Марчука вычислительная математика,
разработка и обоснование ее методов занимает особое место. Математи-
ческое моделирование конкретных процессов является для него не только
обширной сферой применения методов вычислительной математики, но и
средством для постановки ее новых актуальных проблем. Среди многочис-
ленных результатов его исследований в области вычислительной матема-
тики прежде всего нужно отметить развитие теории сопряженных урав-
нений и алгоритмов возмущений для задач с линейными и квазилиней-
ными дифференциальными операторами, исследования по разностным и
вариационно-разностным методам в математической физике, методам рас-
щепления, итерационным методам решения задач алгебры. Значительное
внимание Г. И. Марчук и его ученики уделяли в эти годы методам стати-
стического моделирования в применении к сложным задачам атмосферной
оптики; их работы стали основополагающими в этом направлении. Призна-
нием большого личного вклада Г. И. Марчука в развитие вычислительной
математики явились его выступления на Международном конгрессе мате-
матиков в Москве в 1966 г. с обзорным докладом «Вычислительные методы
в теории переноса» и в Ницце (Франция) в 1970 г. с пленарным докладом
«Методы и проблемы вычислительной математики», а в 1979 г. Г. И. Мар-
Г. И. Марчук (к 60-летию со дня рождения)
159
муку в составе коллектива авторов за работы по развитию и применению
методов статистического моделирования была присуждена Государствен-
ная премия СССР.
Большое место в научной деятельности Г. И. Марчука в этот период
занимают вопросы гидротермодинамики атмосферы и океана. Его иссле-
дования в этой области привели к построению замкнутой системы уравне-
ний гидротермодинамики атмосферных процессов в квазигеострофическом
приближении и полной системы квазилинейных уравнений, описывающих
совместную динамику атмосферы и океана. Для решения сформулирован-
ных математических задач им были предложены современные эффектив-
ные численные методы, в основу которых положена идея расщепления опе-
раторов задачи на простейшие по физическим процессам. В 1975 г. за цикл,
работ по гидротермодинамическим методам прогноза погоды и физике ат-
мосферных процессов ему была присуждена премия им. А. А. Фридмана
АН СССР.
Важный цикл исследований выполнен Г. И. Марчуком в области мо-
делирования изменений среды под воздействием загрязнений, вызванных
производственной деятельностью человека. Выдвинутая Г. И. Марчуком
идея использования для этих целей теории сопряженных уравнений пе-
реноса и диффузии примесей, позволила ему сформулировать и решить
проблему оптимизации размещения промышленных предприятий, при ко-
тором загрязнение определенных экологических зон минимально.
Отличительная черта Гурия Ивановича — постоянный интерес к но-
вым, неожиданным применениям математики. Он — один из основателей
нового, актуального направления прикладной математики — математиче-
ского моделирования в иммунологии и медицине. В 1974 г. его внимание
привлекла проблема математического моделирования иммунных реакций
человеческого организма, возникающих в результате вирусных и бактери-
альных инфекций. Ему впервые удается построить систему нелинейных
дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, адекватно
описывающих эти процессы. Этот и последующие результаты Г. И. Мар-
чука в области математической иммунологии получили международную
известность и признание. В настоящее время они интенсивно развивают-
ся и находят применение в медицинской практике. В 1981 г. за создание
и развитие новых методов математического моделирования Г. И. Марчук
был награжден Золотой медалью им. М. В. Келдыша АН СССР.
В своей научной и научно-организационной работе Г. И. Марчук по-
следовательно проводит в жизнь основной принцип — фундаментальные
исследования с последующим внедрением результатов в народное хозяй-
ство. Отсюда комплексный подход в решении важных народнохозяйствен-
ных проблем, тесная кооперация специалистов различного профиля в рам-
160
VI. Статьи о математиках в других изданиях
ках конкретной проблемы, особое внимание развитию технической базы
исследований — современной вычислительной технике и ее программному
обеспечению. По инициативе и при активном личном участии Г. И. Марчу-
ка в Вычислительном центре СО АН СССР интенсивно развиваются рабо-
ты по системам разделения времени, вычислительным центрам коллектив-
ного пользования, пакетам программ и машинной графике, автоматизиро-
ванным системам управления, архитектуре новых вычислительных машин
и систем. Успехи коллектива Вычислительного центра СО АН СССР и
личные достижения Г. И. Марчука в области вычислительной математики
и математического моделирования получили широкое признание в нашей
стране и за рубежом. В 1968 г. Г. И. Марчук был избран действительным
членом Академии наук СССР, в 1967 и в 1971 гг. за выдающиеся научные
и научно-организационные заслуги награжден орденами Ленина.
С первых дней работы в Сибирском отделении АН СССР Гурий Ива-
нович Марчук активно включился в научно-педагогическую деятельность
Новосибирского государственного университета. С 1966 г. он заведовал ка-
федрой динамической метеорологии, а затем кафедрой вычислительной
математики. Он читает студентам механико-математического факультета
основной курс по методам вычислений и ряд специальных курсов по мате-
матическому моделированию. Материал этих лекций был положен в основу
его известной книги «Методы вычислительной математики», которая неод-
нократно издавалась на русском и иностранных языках. Среди учеников
Г. И. Марчука более сорока кандидатов и более десяти докторов физико-
математических наук.
Научная, научно-организационная и педагогическая деятельность
Г. И. Марчука была много шире рамок Вычислительного центра СО АН
СССР. Он и по сей день член целого ряда научных и ученых советов, член
редакционных коллегий многих ведущих и зарубежных журналов, среди
которых «Известия АН СССР, Серия физики атмосферы и океана», «Ма-
тематический сборник», «Сибирский математический журнал», «Метео-
рология и гидрология», «Journal of Computational Physics», «Numerische
Mathematik», «Journal of Computer and System Sciences», «Applied Math-
ematics and Optimization», «Advances in Applied Mathematics», «Calcolo» и
другие. Он — научный руководитель и активный участник многих всесо-
юзных и международных симпозиумов, конференций, всесибирских школ
молодых ученых, которые не только способствовали подъему научного по-
тенциала Сибири и Дальнего Востока, но и оказали значительное влияние
на развитие ряда научных направлений в нашей стране.
Большой вклад сделан Г. И. Марчуком в развитие дружеских связей
советских ученых с учеными Болгарии, Чехословакии, Франции, Индии и
многих других стран. Он избран почетным доктором Тулузского универ-
Г. И. Марчук (к 60-летию со дня рождения)
161
ситета (Франция), почетным доктором физико-математических наук Кар-
пова университета (ЧССР), почетным доктором Дрезденского (ГДР) и Бу-
дапештского (ВНР) технических университетов, иностранным членом Ака-
демий наук Народной республики Болгарии, Германской Демократической
Республики, Чехословацкой Социалистической Республики. Г. И. Марчук
награжден Чехословацкой академией наук Золотой медалью «За заслуги
перед наукой и человечеством».
Талант крупного научного и общественного деятеля с особой силой про-
явился у Гурия Ивановича на посту заместителя председателя СО АН
СССР, затем председателя СО АН СССР и вице-президента АН СССР.
Исходя из задач, поставленных перед наукой XXIV съездом партии, опи-
раясь на тот огромный и уникальный опыт организации науки, который
был накоплен президиумом Сибирского отделения АН СССР, Г. И. Мар-
чук сформулировал широкую программу дальнейшего усиления фунда-
ментальных и прикладных научных исследований в Сибирском отделении.
Эта программа тесно связана с задачами, стоящими перед Академией на-
ук СССР в целом, и развивает основополагающие принципы работы От-
деления, сформулированные академиком М. А. Лаврентьевым: сочетание
фундаментального научного поиска с приложениями науки в народном хо-
зяйстве и с подготовкой научных кадров.
Г. И. Марчук выдвинул развернутые предложения, направленные на
концентрацию сил и ресурсов на важнейших, ведущих направлениях на-
уки. Большое место в этих предложениях отведено математизации и ав-
томатизации научных исследований, широкому применению вычислитель-
ной техники, кооперации институтов Сибирского отделения с институтами
Академии наук СССР и высшими учебными заведениями, а также с науч-
ными учреждениями социалистических стран. Опираясь на высокий авто-
ритет академической науки, Г. И. Марчук в своей организационной работе
последовательно проводил принцип тесного взаимодействия с советскими
и партийными органами. Задачи, сформулированные Г. И. Марчуком, бы-
ли поддержаны научной общественностью и Президиумом Сибирского от-
деления АН СССР и стали основой организационной работы в Сибирском
отделении в течение ряда последних лет. По инициативе Г. И. Марчука бы-
ла сформулирована крупномасштабная программа «Сибирь», направлен-
ная на комплексное освоение природных ресурсов Сибири, на выделение
важнейших проблем производительных сил Сибири и определение таких
путей их решения, которые бы обеспечили максимальные темпы развития
экономики огромного и исключительно важного для жизни страны реги-
она. Программа «Сибирь» — наиболее крупная интегральная программа,
сформированная Сибирском отделением АН СССР за все время его суще-
ствования.
162
VI. Статьи о математиках в других изданиях
Правительство высоко оценило заслуги Гурия Ивановича Марчука в
развитии науки и техники, его вклад в дело внедрения научных дости-
жений в народное хозяйство и подготовку научных кадров, присвоив ему
в 1975 г. звание Героя Социалистического труда (Указ Президиума Вер-
ховного Совета СССР от 1.08.75). В марте 1976 г. на XXV съезде КПСС
Г. И. Марчук был избран кандидатом в члены ЦК КПСС, а вскоре назна-
чен членом Государственного комитета Совета Министров СССР по науке
и технике. В 1980 г. академик Гурий Иванович Марчук стал заместителем
Председателя Совета Министров СССР и Председателем Государственно-
го Комитета СССР по науке и технике. На XXVI съезде КПСС он избран
членом Центрального Комитета КПСС.
Несмотря на большую загруженность государственными делами, Гурий
Иванович Марчук ведет активную научную работу и возглавляет отдел
вычислительной математики АН СССР при Отделении математики. Здесь
вновь проявляется, стремление Гурия Ивановича к новому эксперименту в
организации науки — созданию небольшого коллектива высококвалифици-
рованных ученых с современной высокоэффективной организацией труда.
Сотрудники отдела участвуют в выполнении ряда государственных про-
грамм в области вычислительной математики и отображения ее методов
на архитектуру ЭВМ, математического .моделирования атмосферы, океа-
на и космоса, математического моделирования в иммунологии и медицине.
Под руководством Г. И. Марчука работают научные семинары: «Атмосфе-
ра — океан — космос», «Вычислительная математика и вычислительная
техника», «Экономика и технический прогресс», «Проблемы иммунологии
и медицины»(соруководитель — академик АМН СССР Р. В. Петров). В
работе семинаров активно участвуют видные ученые Москвы, Ленин-
града, городов Сибири, Дальнего Востока, научных центров Союзных
республик.
И в Москве, и в Новосибирске, и в Обнинске научная и научно-органи-
зационная работа Гурия Ивановича неотделима от активной общественно-
политической. С 1956 г. Г. И. Марчук — член Обнинского городского коми-
тета КПСС, с 1960 г. — кандидат в члены Калужского областного комитета
партии, он трижды избирался депутатом Новосибирского областного сове-
та депутатов трудящихся, с 1972 г. — член Новосибирского обкома КПСС,
в 1975 г. избран депутатом Верховного Совета РСФСР, а в 1979 и 1984 гг. —
депутатом Верховного Совета СССР.
Гурия Ивановича часто можно услышать в Академии народного хо-
зяйства и на промышленных предприятиях, в министерствах и вузах, в
Академии общественных наук при ЦК КПСС, в Доме журналистов. Гурий
Иванович — общительный, жизнерадостный человек, полный энергии и оп-
тимизма. Его чуткость, внимание, постоянная помощь в решении различ-
Г. И. Марчук (к 60-летию со дня рождения)	163
ных проблем снискали ему глубокое уважение со стороны многочисленных
учеников, коллег и всех, с кем ему приходится общаться.
Все свои силы и неиссякаемую энергию Гурий Иванович Марчук отда-
ет главному делу своей жизни — беззаветному служению советской науке,
научно-техническому прогрессу и строительству коммунистического обще-
ства в нашей стране.
Шестидесятилетие Гурий Иванович Марчук встречает в расцвете сво-
его замечательного таланта. Пожелаем ему здоровья и дальнейших твор-
ческих успехов в его плодотворной и многогранной деятельности.
ДМИТРИЙ ЕВГЕНЬЕВИЧ МЕНЬШОВ
(к девяностолетию со дня рождения)
18 апреля 1982 г. исполнилось 90 лет со дня рождения профессора Мос-
ковского университета, члена-корреспондента АН СССР Дмитрия Евгенье-
вича Меньшова.
Замечательно, что свой 90-летний юбилей Дмитрий Евгеньевич встре-
чает полный творческой энергии и новых планов.
Дмитрий Евгеньевич родился в Москве 18 (6) апреля 1892 г. в семье
врача Евгения Титовича Меньшова (1852-1904). До 12-летнего возраста
Дмитрий Евгеньевич воспитывался дома, причем большую роль в его до-
машнем воспитании и образовании играла мать Александра Николаевна
Меньшова (1856-1918), урожденная Татищева. В 1904 г. Дмитрий Евгенье-
вич поступил на гимназическое отделение Лазаревского института восточ-
ных языков. В гимназические годы уже вполне определилась его склон-
ность к математике и физике, хотя она сочеталась с большим интересом к
изучению грамматик древних и современных языков. В 1911 г. после окон-
чания с золотой медалью гимназии Д. Е. Меньшов поступил в Московское
инженерное училище, но через полгода оставил его, решив заняться са-
мостоятельным изучением высшей математики. За полгода он проработал
курс анализа по учебнику К. А. Поссе и курс аналитической геометрии,
С осени 1912 г. Дмитрий Евгеньевич — студент физико-математического
отделения Московского университета. С тех пор вот уже в течение 70 лет,
за исключением нескольких лет в период гражданской войны, вся твор-
ческая жизнь Д. Е. Меньшова теснейшим образом связана с Московским
университетом.
В студенческие годы Дмитрий Евгеньевич слушал лекции Д. Ф. Его-
рова, Л. К. Лахтина, К. А. Андреева и других профессоров. С теорией
функций действительного переменного Дмитрий Евгеньевич впервые по-
знакомился на 2-м курсе в семинаре Д. Ф. Егорова. С осени 1914 г. спецкурс
по теории функций начал читать Н. Н. Лузин, только что вернувшийся из
научной командировки в Гёттинген и Париж. Именно с этим курсом лек-
ций Лузина связана первая научная работа Д. Е. Меньшова. Н. Н. Лузин
читал свой курс так, что теория функций действительного переменного
излагалась в нем как живая, развивающаяся наука, в которой еще многое
предстоит сделать. Он делился со студентами нерешенными проблемами.
Успехи математических наук. — 1982. — Т. 37, вып. 5. — С. 209-219 (совм. с С. М. Ни-
кольским, В. А. Скворцовым, П. Л. Ульяновым; в разделе < Математическая жизнь в
СССР»),
Д. Е. Меньшов (к 90-летию со дня рождения)
165
Один из предложенных Лузиным вопросов касался выяснения взаимо-
связи между двумя обобщениями интеграла Лебега: интегралом Бореля и
интегралом Данжуа. Студент 3 курса Меньшов дал ответ на этот вопрос,
доказав, что интеграл Данжуа шире интеграла Бореля. Этот результат,
полученный осенью 1914 г., составил содержание первой научной работы
Д. Е. Меньшова, опубликованной позднее, в 1916 г., в «Математическом
сборнике».
Когда Дмитрий Евгеньевич сообщил Н. Н. Лузину о своем резуль-
тате, тот пригласил его для беседы. Так состоялось научное знакомство
Д. Е. Меньшова с Н. Н. Лузиным, и Дмитрий Евгеньевич стал одним из
первых учеников Лузина, среди которых были также П. С. Александров
и А. Я. Хинчин. Эта группа молодых ученых, работавших в семинаре Лу-
зина, и составила ядро новой московской школы теории функций. Школа
эта быстро росла за счет притока талантливой молодежи1.
В этот период становления и расцвета московской математической шко-
лы начинаются интенсивные исследования по теории тригонометрических
рядов, и одним из основополагающих и принципиально важных резуль-
татов в этой области явился знаменитый пример нуль-ряда, построенный
Д. Е. Меньшовым в 1916 г.
Это было вскоре после того, как, защитив дипломную работу «Риманов-
ская теория тригонометрических рядов», выполненную под руководством
Д. Ф. Егорова и Н. Н. Лузина, Дмитрий Евгеньевич окончил Московский
университет и был оставлен при университете для подготовки к профес-
сорскому званию, т. е., по современной терминологии, стал аспирантом.
Он досрочно, менее чем за два года, сдал магистерские экзамены. Вскоре,
однако, после смерти матери, в наступившее голодное время гражданской
войны, Д. Е. Меньшов вынужден был уехать из Москвы. Сначала, в кон-
це 1918 г., Дмитрий Евгеньевич едет работать в г. Иваново, затем вскоре
переезжает в Нижний Новгород, где работает в университете в должно-
сти профессора. Весной 1920 г. он возвращается в Иваново, где работает
профессором Ивановского педагогического института, а с января 1921 г. —
также в Ивановском политехническом институте. В это же время в Ива-
нове работал Н. Н. Лузин и его ученики А. Я. Хинчин, В. С. Федоров
и др.
Осенью 1922 г. Дмитрий Евгеньевич возвращается в Москву. Он работа-
ет преподавателем Московского лесотехнического института (1922-25 гг.).
Одновременно с осени 1922 г. Дмитрий Евгеньевич начинает работать в
должности сверхштатного преподавателя Московского университета, яв-
ляясь также сотрудником Института математики и механики при МГУ
*0 школе Лузина подробнее см. П. С. Александров. Страницы автобиографии. УМН,
1979, 34 : 6 и 1980, 35 : 3.
166
VI. Статьи о математиках в других изданиях
(1923-34 гг.). В 1927 г. он становится доцентом, а в 1935 — профессором
Московского университета.
В 1935 г. Д. Е. Меньшову вместе с группой других уже признанных
математиков была без защиты диссертации присуждена степень доктора
физико-математических наук. Это было вскоре после того, как система
научных степеней, отмененных после революции, была введена в ее совре-
менном виде.
С 1941 по 1979 г. Дмитрий Евгеньевич заведовал кафедрой теории
функций (с 1943 г. — кафедрой теории функций и функционального ана-
лиза) Московского университета.
Параллельно с работой в университете Дмитрий Евгеньевич работал в
Московском педагогическом институте им. В. И. Ленина (1929-35 гг.) и в
Математическом институте им. В. А. Стеклова АН СССР (с 1934 по 1941 г.
и с 1947 г. по настоящее время).
Характерной чертой научного творчества Д. Е. Меньшова на протяже-
нии его долгой работы в математике является то, что он берется за решение
труднейших, узловых проблем теории функций и с исключительным упор-
ством занимается избранной задачей, пока не доводит ее до окончательного
решения.
Основные направления исследований Д. Е. Меньшова относятся к тео-
рии тригонометрических рядов, теории общих ортогональных рядов и тео-
рии конформных отображений плоских областей и теории моногенности.
В каждом из этих направлений он получил основополагающие результаты,
которые определили и до сих пор определяют дальнейшие исследования в
этих областях теории функций.
О первом выдающемся вкладе Дмитрия Евгеньевича в теорию триго-
нометрических рядов мы уже упоминали. Остановимся подробнее на ис-
следованиях Д. Е. Меньшова в этой области.
Хорошо известны роль и значение теории тригонометрических рядов в
общем развитии современной математики и, в частности, в теории функ-
ций. Вопросу представления функций сходящимися тригонометрически-
ми рядами и единственности такого представления посвятили свои работы
многие блестящие математики. Еще в XIX в. было известно (Г. Кантор,
В. Юнг), что никакая измеримая всюду конечная 2тг-периодическая функ-
ция не может являться суммой для двух различных тригонометрических
рядов, каждый из которых сходится к ней всюду, исключая, быть может,
счетное множество точек. Другими словами, было известно, что если три-
гонометрический ряд сходится к нулю при всех х Е [0,2тг]\Е, где Е конечно
или счетно, то все коэффициенты этого ряда равны нулю. В начале XX ве-
ка этот результат был обобщен Валле-Пуссеном, который доказал, что если
тригонометрический ряд всюду на [0,2тт] \ Е, где Е конечно или счетно, схо-
Д. Е. Меньшов (к 90-летию со дня рождения)
167
дится к интегрируемой функции /(т), то этот ряд является рядом Фурье
от /(ж).
К этому времени огромный прогресс в теории функций был достигнут
благодаря применению меры и интеграла Лебега. При этом выяснилось,
что в большинстве вопросов метрической теории функций возможно было
пренебрегать множествами меры нуль. Это обстоятельство побудило мно-
гих выдающихся математиков начала XX в. искать доказательства того,
что сформулированные выше теоремы Кантора, Юнга и Валле-Пуссена
остаются справедливыми для случая, когда Е — произвольное множество
меры нуль. Естественно, что в этой обстановке крайне неожиданным явил-
ся построенный в 1916 г. Д. Е. Меньшовым пример почти всюду сходяще-
гося к нулю тригонометрического ряда, не все коэффициенты которого
обращаются в нуль (такие ряды позднее стали называть нуль-рядами).
Этот фундаментальный результат, продемонстрировав глубину пробле-
мы единственности разложения функций в тригонометрические ряды, на-
правил исследование в этой области в совершенно новое русло и положил
начало интересной и трудной теории единственности тригонометрических
рядов, активно разрабатываемой до сих пор как в нашей стране, так и
за рубежом. На базе этого результата Д. Е. Меньшова Н. Н. Лузиным и
Н. К. Бари были введены в 20-х годах понятия U- и М-множеств. Мно-
жество Е С [0,2тг] называется [/-множеством, если из сходимости три-
гонометрического ряда к нулю при всех х G [0,2тг] \ Е следует, что все
коэффициенты ряда равны нулю. В противном случае множество Е назы-
вают М-множеством. В этой терминологии результат Д. Е. Меньшова из-
вестен как пример совершенного М-множества меры нуль. В связи с этим
начались глубокие исследования свойств U- и М-множеств (Н. К. Бари,
О. С. Ивашев-Мусатов, И. И. Пятецкий-Шапиро, А. Райхман, А. Зигмунд,
Р. Салем, Т. Кернер, Ж. Кахан, И. Кацнельсон и др.), обнаружившие, в
частности, тесную связь теории единственности с теорией чисел, поскольку
принадлежность данного множества к классу U- или М-множеств опреде-
ляется во многом его арифметической природой. Отметим, что до сих пор
в этой области остаются открытыми простые по формулировке, но, по-
видимому, очень трудные по существу проблемы. Например, не найдено
необходимое и достаточное условие того, чтобы совершенное множество
было М-множеством.
Позднее понятия [/-и М-множеств, а также нуль-рядов были распро-
странены на ряды по другим системам функций, а также на различные
понятия сходимости и суммируемости. В этом направлении также ведут-
ся активные исследования. Упомянем, например, из теории общих ортого-
нальных рядов результат Б. С. Кашина (1977), построившего пример ор-
тогональной системы, по которой не существует нуль-рядов в смысле схо-
димости почти всюду. Широко развивается также теория единственности
168
VI. Статьи о математиках в других изданиях
для рядов по некоторым конкретным ортогональным системам, отличным
от тригонометрической (Ф. Г. Арутюнян, В. Вейд, Дж. Кури, Г. М. Муше-
гян, Р. И. Овсепян, М. Б. Петровская, В. А. Скворцов, С. Б. Стечкин,
А. А. Талалян, П. Л. Ульянов, Н. Файн, В. Шапиро, А. А. Шнейдер
и др.).
К проблеме представления функций тригонометрическими рядами
Д. Е. Меньшов обращался неоднократно и, кроме упомянутого примера
нуль-ряда, он получил в этой области ряд других результатов, ставших
классическими. Один из них связан с проблемой Н. Н. Лузина о возмож-
ности представления любой измеримой функции тригонометрическим ря-
дом, сходящимся к ней почти всюду. В 1915 г. Н. Н. Лузин доказал, что
для всякой почти всюду конечной измеримой 2тг-периодической функции
/(х) существует тригонометрический ряд, который почти всюду на [0,2я]
суммируем к /(х) как методом Абеля, так и методом Римана. Вскоре по-
сле этого И. И. Привалов распространил результат Н. Н. Лузина на мето-
ды суммирования Чезаро (С, а) порядка a > 1. Вопрос о справедливости
аналогичной теоремы для обычной сходимости почти всюду оставался от-
крытым около 25 лет. и лишь в конце 30-х годов Д. Е. Меньшов получил
фундаментальные результаты в этом направлении. Сначала он установил,
что всякая 2тг-периодическая, измеримая и конечная функция f(x) пред-
ставима тригонометрическим рядом, который почти всюду на отрезке
[0,2л] сходится к f(x) (конечно, такое представление не единственно вви-
ду существования нуль-рядов). Этот результат является очень глубоким,
так как даже для случая интегрируемых функций /(х) ряд Фурье -Лебега
от /(.г) не может быть взят в качестве ряда, представляющего функцию в
смысле сходимости почти всюду. Это вытекает из построенного А. Н. Кол-
могоровым примера всюду расходящегося ряда Фурье-Лебега от некоторой
функции f(x) € £[0,2тг].
Таким образом, проблема Н. Н. Лузина полностью решена Д. Е. Мень-
шовым для случая конечных функций. Что касается произвольных изме-
римых функций /(х), т. е. в случае, когда функция /(х) может принимать
значения +оо и —оо на множествах положительной меры, то до сих пор
не решен вопрос о возможности представления их тригонометрическими
рядами, сходящимися почти всюду. Более того, до сих пор неизвестно да-
же существование тригонометрического ряда, который бы сходился к +оо
на некотором множестве положительной меры. Однако если в проблеме
Н. Н. Лузина требование сходимости почти всюду заменить на сходимость
по мере, то для этого случая Д. Е. Меньшовым получен исчерпывающий
результат. Точнее, он доказал, что для произвольной измеримой функции
/(х), определенной на отрезке [0,2тг], существует тригонометрический
ряд, который сходится по мере на [0,2тг] к функции /(х), и, кроме того,
его коэффициенты стремятся к нулю.
Д. Е. Меньшов (к 90-летию со дня рождения)
169
К этим результатам по теории представления тесно примыкает послу-
жившая для них вспомогательным средством следующая замечательная
теорема Д. Е. Меньшова по теории сходимости тригонометрических рядов:
любую измеримую почти всюду конечную на [0,2тг] функцию f(x) мож-
но так изменить на некотором множестве Е С [0,2тг], мера которого
меньше наперед заданного е > 0, что получится непрерывная функция с
равномерно сходящимся рядом Фурье.
Аналогом этой теоремы для весьма тонкого случая суммирования ме-
тодом Чезаро отрицательного порядка является следующая недавняя тео-
рема Д. Е. Меньшова (см. работу [85]): Пусть а < 0 и а —1, —2,... Тогда
для любой измеримой функции f(x), конечной почти всюду на [0,2тг], и для
любого положительного числа е можно определить измеримое множе-
ство Е G [0,2тг], mesE > 2л — е, непрерывную 2л-периодическую функцию
д(х), совпадающую с f(x) на Е, и такую возрастающую последователь-
ность натуральных чисел пь (к = 0,1,2,...), что чезаровские а-средние
Сп^(х,р) сходятся равномерно к д(х) на всей оси х при к —> оо.
Работы Д. Е. Меньшова по проблеме представления функций рядами
открыли новую область исследования как в теории тригонометрических
рядов, так и в теории рядов по другим системам (системы Хаара, Уолша,
общие ортонормированные системы). Работа в этой области активно про-
должается уже более 40 лет (Н. К. Бари, В. Я. Козлов, А. И. Маркушевич,
А. А. Талалян, В. А. Скворцов, Ф. Г. Арутюнян, Г. М. Мушегян, Б. С. Ка-
шин, Н. Б. Погосян, Бен-Али Браун, Д. Ватерман, К. Гоффман, Дж. Прайс
и др.).
Другой большой цикл работ Дмитрия Евгеньевича Меньшова относит-
ся к теории ортогональных рядов, т. е. рядов по ортонормированной си-
стеме функций {у?п} из £2[л,Ь]. К тому времени, когда в самом начале
20-х годов Д. Е. Меньшов получил первые результаты в этом направлении,
был открытым вопрос о сходимости почти всюду рядов Фурье из Ь],
т. е. рядов 52сп9?Т1(.т) с условием 52с^ < оо. В частности, ничего не было
известно в этом отношении и для рядов по тригонометрической системе.
В связи с этим многими математиками предпринимались попытки найти
условия на коэффициенты Сп ортогонального ряда (более сильные, чем
условие 52 сп < °°)> которые обеспечили бы сходимость ортогонального
ряда почти всюду. В 1909 г. Вейль опубликовал следующую теорему: если
< оо, где шп = у/п, то ряд 52сп(/?п(а:) сходится почти всюду, какова
бы ни была ортонормированная система {<^п}. 9. Гобсон ослабил условие
на а>п в теореме Вейля до требования шп = па, а > 0 (1913), М. Планше-
рель — до требования о>п = 1п3п (1913). Возникла задача о дальнейшем
понижении роста чисел шп, получивших название множителей Вейля.
170
VI. Статьи о математиках в других изданиях
Летом 1920 г., еще работая в Иванове, Дмитрий Евгеньевич установил,
что для любой последовательности шп = о(1п2 п) существуют ортонор-
мированная система {</?п} « функция f из £2(0,6] такие, что ряд Фурье
функции f по системе {</?п} расходится почти всюду на [0,1],
в то время как 52 ^пС2 < 00. Поскольку до этого было неизвестно, нуж-
но ли вообще для сходимости почти всюду ортогонального, в том числе и
тригонометрического, ряда требовать от коэффициентов чего-нибудь, кро-
ме условия 52 сп < °о, то ясно, сколь принципиальную роль сыграл этот
результат в теории ортогональных рядов.
В том же 1920 г. Д. Е. Меньшов доказывает, что условие ^и>пс^ < оо,
шп = 1п2п, обеспечивает сходимость ряда ^Спфп^х) почти всюду для
любой ортонормированной системы {</?п(т)} (последний результат незави-
симо был получен также X. Радемахером в 1922 г.). Таким образом, бы-
ло доказано, что последовательность = In2 п является непонижаемым
множителем Вейля во всем классе ортогональных систем. Этот результат
Д. Е. Меньшова общепризнан в качестве основного в теории сходимости
ортогональных рядов. Заметим, что для тригонометрической системы мно-
жители Вейля были понижены А. Н. Колмогоровым, Г. А. Селиверстовым
и А. И. Плеснером до Inn (1925); окончательно же эта задача была решена
лишь в 1965 г. Л. Карлесоном, доказавшим, что для каждой функции f
из £2(0,2тг] ее тригонометрический ряд Фурье сходится к ней почти всюду,
т. е. в этом случае непонижаемая последовательность множителей Вейля
есть шп = 1.
Продолжая свои исследования по изучению множителей Вейля,
Д. Е. Меньшов в 1937 г. показал, что последовательность шп = 1п2п яв-
ляется также непонижаемым множителем Вейля и для ограниченных
в совокупности ортогональных систем. Точнее, он доказал:
Существует ортонормированная на [0,1] система алгебраических
многочленов {Рп(а:)}, которая ограничена в совокупности на отрезке [0,1]
и для которой последовательность {1п2п} является точным множите-
лем сходимости Вейля.
Вопрос о множителях Вейля Дмитрий Евгеньевич рассмотрел и в свя-
зи с методами суммирования ортогональных рядов. В 1921-1922 гг. он до-
казал, что числа шп = (InInn)2 (n = 2,3,...) являются непонижаемы-
ми множителями Вейля для суммирования ортогональных рядов мето-
дом Абеля и методами Чезаро (С, а) при а > 0. Этот результат является
основным в теории суммирования ортогональных рядов. Подобный резуль-
тат был также независимо получен С. Качмажем, основавшим свое дока-
зательство на непонижаемости ivn = ln2n в качестве множителей Вейля
сходимости ортогональных рядов.
Д. Е. Меньшов (к 90-летию со дня рождения)
171
Дмитрию Евгеньевичу принадлежит первый существенный результат
в теории безусловной сходимости ортогональных рядов (ряд J2 Сп<рп(х),
х G [а, 6], называется безусловно сходящимся почти всюду, если при любой
перестановке членов он сходится в каждой точке х € [а, Ь], исключая разве
лишь точки некоторого множества меры нуль, зависящего, вообще говоря,
от перестановки ряда; отметим, что безусловная сходимость ряда почти
всюду не эквивалентна абсолютной сходимости почти всюду). Он доказал
(работа 1927 г.), что из сходимости ряда ^2 |Сгг|2—е при каком-либо е > О
(е < 2) следует безусловная сходимость ряда	какова бы ни
была ортонормированная система {т?п} из L2[a, 6].
Приведем еще одну интересную и важную теорему из этой области,
также принадлежащую Д. Е. Меньшову: любую ортонормированную си-
стему {у>п} из L2[a, 6] можно так переставить, что ряд Фурье любой
функции f Е L2[a,b] по переставленной системе будет суммироваться к
функции f методом Чезаро (С, а) любого положительного порядка а, в
частности, методом средних арифметических.
Эти работы Дмитрия Евгеньевича стали тем фундаментом, на котором
основывались и основываются многочисленные исследования советских и
зарубежных авторов по теории сходимости и суммируемости ортогональ-
ных рядов (Г. Алексия, Н. К. Бари, С. В. Бочкарев, А. Зигмунд, С. Качмаж,
Б. С. Кашин, В. И. Коляда, В. Г. Кротов, Л. Лейндлер, Е. М. Никишин,
В. Орлич, А. М. Олевский, А. А. Талалян, С. Н. Полещук, Э. А. Сторо-
женко, К. Тандори, П. Л. Ульянов и др.).
В 20-е годы и в начале 30-х годов Д. Е. Меньшов опубликовал ряд работ
по теории функций комплексного переменного, относящихся, в основном,
к теории конформных отображений и к теории дифференцирования функ-
ций комплексного переменного (теории моногенности). В 1926 г. вышла
первая его работа по теории конформных отображений, которая содержа-
ла результаты, полученные еще в 1923 г. В этой работе дан утвердительный
ответ на давно стоявший вопрос: только ли аналитические функции с от-
личной от нуля производной совершают однолистные непрерывные отобра-
жения плоских областей друг на друга, сохраняющие углы между любыми
пересекающимися внутри отображаемой области кривыми. По существу,
именно этот результат Д. Е. Меньшова окончательно сделал теорию кон-
формных отображений плоских областей одной из глав теории аналитиче-
ских функций.
В проблеме моногенности (аналитичности) функций Д. Е. Меньшовым
получены необычайно красивые и важные результаты, связанные с ответом
на вопрос: каковы априорные минимальные условия на /(z) в области G,
из которых следует ее моногенность, а значит, и ее бесконечная дифферен-
цируемость в G. Приведем некоторые из этих результатов Д. Е. Меньшова.
172
VI. Статьи о математиках в других изданиях
1. Если функция f(z}, непрерывная в области G, в каждой точке zqEG
имеет производную по переменному z вдоль какой-либо пары прямых, пе-
ресекающихся в точке Zq, то она аналитична в G.
2. Если непрерывная в области G функция f(z} в каждой точке z Е G,
исключая разве лишь счетное множество этих точек, имеет асимпто-
тическую производную по комплексному переменному z, то она анали-
тична в G.
Хорошо также известна и вошла во многие учебники теорема Лума-
на-Меньшова: Пусть вещественные функции и(х, у) и и(х, у) непрерывны
в области Gue каждой точке z = х + iy этой области, исключая раз-
ве лишь счетное число таких точек, сугцествуют частные производные
ди/дх, ди/ду, dv/дх, ди/ду, которые почти всюду в G удовлетворяют
условиям Коши-Римана:
ди	ди	ди	ди
дх	ду	ду	дх
Тогда f(z) = и(х, у) + iv(x,y} аналитична в G.
Эти исследования Д. Е. Меньшова позволили глубже проникнуть в при-
роду моногенности и повлекли за собой публикацию большого числа ра-
бот различных авторов (В. С. Фёдоров, Г. П. Толстов, Ю. Ю. Трохимчук,
Е. П. Долженко и др.).
С 50-х годов Дмитрий Евгеньевич проводит исследования по очень
трудной проблеме о пределах неопределенности тригонометрических и об-
щих функциональных рядов.
Им получены, например, следующие важные результаты:
1) Для произвольной неотрицательной и измеримой на отрезке [0,2тг]
функции <р(х} существует функция f(x} 6 L[0,2тг], для частных сумм
Sn(x,f) тригонометрического ряда Фурье которой справедливы равенства
lira Sn(x, f) = f(x) + <p(x), lim Sn(.r, /) = /(x) - </?(x)
n-*oo	П—*OO
для почти всех x G [0,2тг].
Эта теорема дает полное описание возможного характера расходимости
рядов Фурье-Лебега.
2) Если д(х} и f(x} — конечные измеримые функции на отрезке [0,2тг] —
удовлетворяют неравенству g(x} f(x} для почти всех х Е [0,2тг], то
можно найти тригонометрический ряд с коэффициентами, стремящи-
мися к нулю, для которого функция д(х} (ф>ункция /(х)) при почти всех
х G [0,2тг] является нижним (соответственно верхним} пределом после-
довательности его частных сумм. Это утверждение сохраняет силу и
для случая f(x) = —g(x} = +оо при х € [0,2тг].
Д. Е. Меньшов (к 90-летию со дня рождения)
173
Эти результаты были существенно пополнены дальнейшими исследова-
ниями Д. Е. Меньшова, проведенными в 60-е годы. Чтобы сформулировать
соответствующие теоремы, приведем необходимые определения:
Пусть {/т(^)} — произвольная последовательность измеримых функ-
ций, определенных на отрезке [а, 6]. Последовательность	может яв-
ляться последовательностью частных сумм некоторого произвольного ря-
да из измеримых функций. Функция <р(х, Е), определенная почти всюду
на некотором множестве Е С [а, 5] положительной меры, называется пре-
дельной функцией последовательности {fm} (или ряда с частными сумма-
ми fm), если при некоторых тп^ | оо
lim = у?(х,Е)
к—»оо
для почти всех х € Е.
Предельная функция <р(х, Е) называется предельной функцией в стро-
гом смысле, если последовательность fmk(x) = 1,2,...) расходится
почти всюду на [а, 6] \ Е.
Предельная функция tp(x, Е) называется предельной функцией в узком
смысле, если для любой подпоследовательности {i^} С {тд-} натуральных
чисел последовательность функций fvk(x) (к = 1,2,...) расходится почти
всюду на [а, £>] \ Е.
Дмитрий Евгеньевич доказал, что справедлива следующая теорема:
Если М = {<р(х, £?)} есть множество всех предельных функций неко-
торой последовательности {/т(я)} (ш = 1,2,...), определенных и изме-
римых на отрезке [0,2тг] функций, то существует тригонометрический
ряд с коэффициентами, стремящимися к нулю, для которого М есть мно-
жество всех предельных функций, причем все эти предельные функции
являются предельными функциями в узком смысле.
Другими словами, наперед заданное множество М, определяемое неко-
торой произвольной последовательностью {/mJ, одновременно являет-
ся множеством всех предельных функций, множеством всех предельных
функций в строгом смысле и множеством всех предельных функций в уз-
ком смысле одного и того же тригонометрического ряда.
Более того, эта теорема остается справедливой и для любого нормиро-
ванного базиса пространства Lp, р> 1.
Другая теорема Д. Е. Меньшова о пределах неопределенности:
Для любых двух измеримых на отрезке [0,2тг] функций д(х) и f(x),
удовлетворяющих неравенству д(х) /(т) почти всюду на [0,2тг], и для
любого регулярного конечнострочного метода Т можно определить три-
гонометрический ряд с коэффициентами, стремящимися к нулю, для ко-
торого Т-средние имеют пределы неопределенности по мере, равные f(x)
и д(х).
174
VI. Статьи о математиках в других изданиях
В 70-е годы Дмитрий Евгеньевич продолжает вести активную иссле-
довательскую работу. Мы уже упоминали один из его полученных в эти
годы результатов, касающихся суммирования тригонометрических рядов
методом Чезаро отрицательного порядка.
Одна из его недавних монографий (см. [90]) посвящена универсальным
тригонометрическим рядам, представляющим в смысле суммируемости по
мере при помощи своих подрядов все измеримые функции. А именно, до-
казана теорема:
Для любого регулярного конечнострочного метода суммирования Т су-
ществует тригонометрический ряд с коэффициентами, стремящимися к
нулю, такой, что для любой измеримой функции f(x), определенной по-
чти всюду на [0,2тг] (и, быть может, принимающей бесконечные значе-
ния на множестве положительной меры), можно найти такой подряд
этого ряда, что для него последовательность {rn(z)} Т-средних част-
ных сумм сходится по мере к f(x) (подряд ряда определяется как
ряд ^2ui> где u'i равно либо щ, либо 0).
Исследования Д. Е. Меньшова самых последних лет (см. [89]—[93]) по-
священы выяснению взаимоотношения между сходимостью подпоследова-
тельностей частных сумм ряда и его суммируемостью методами (С, а) и
Абеля. Эти вопросы Д. Е. Меньшов рассматривает как для числовых, так
и для функциональных рядов.
В случае числового ряда с комплексными членами и частными суммами
Sn выясняется вопрос (см. [91]), при каких условиях, налагаемых на члены
ряда и на последовательность номеров {пд.}
По = 0 < П1 < 712 < • • • < Пк < • • • ,	(1)
из соотношений
lim Snic, |5| < оо
fc—>оо
следует суммируемость данного ряда методами (С, а) к значению S.
Аналогичный вопрос изучается для функционального ряда. Для то-
го, чтобы сформулировать полученные в этом направлении результаты
(см. [93]), введем определение. Скажем, что последовательность функций
{/п(^)}п^=о> определенных в некоторой окрестности точки хо, сходится рав-
номерно в точке хо к значению S, если для любого е > 0 найдутся 6 > 0 и
натуральное N такие, что |/n(z) — S| < е для всех п > N и х € (zq —<5, zq+<5).
Будем писать в этом случае: limn_00(zo)/n(2;) = S.
В этих обозначениях справедлива теорема:
Пусть для некоторой последовательности натуральных чисел (1) и
последовательности неотрицательных чисел {тд.} ряд ^,cT]k(nk—Tik-i)2/nk,
Д. Е. Меньшов (к 90-летию со дня рождения)
175
где суммирование распространено на все те натуральные к, для которых
~ пк-1) сходится при некотором С > 0. Пусть далее ряд
оо
(2)
п=0
где V’n(^) — непрерывные комплекснозначные 2тг-периодические функции
такие, что |V>n(x)| т/k, пд._1 < п п^, к = 1,2,..., имеет частные
суммы Sn(z), для которых Пт^_00(то)>5Пц.(т) = S. Тогда ряд (2) равно-
мерно суммируем в точке xq методом (С, 1) к значению S, т. е. для
(С, 1)-средних ап(х) limn_00(xo)o-n(2:) — S.
Аналогичная теорема остается справедливой для случая, когда вместо
равномерной (С, 1)-суммируемости в точке Xq в утверждении фигурирует
в некотором смысле равномерная суммируемость в точке методом Абеля
(см. [93]).
Завершая этот обзор результатов Д. Е. Меньшова, отметим, что он да-
леко не полный. Так, мы упомянули лишь одну теорему из целого цикла
работ по суммированию тригонометрических рядов методами Чезаро от-
рицательного порядка. За эти работы Д. Е. Меньшов удостоен в 1975 г.
присуждаемой Академией наук СССР премии им. П. Л. Чебышева. Со-
всем не коснулись мы его достижений в теории представления непрерыв-
ных функций в виде суперпозиции более простых функций. Не упомянули
мы среди его ранних результатов работу по теоретико-множественной то-
пологии, посвященную канторовым кривым, — одну из первых работ по
топологии, выполненных в Московской математической школе.
Исследования Д. Е. Меньшова широко известны как в СССР, так и за
рубежом. Он является одним из признанных ведущих ученых по теории
функций с мировым именем.
Дмитрий Евгеньевич активно участвовал в работе всех всесоюзных ма-
тематических съездов, выступая с результатами своих исследований. Неод-
нократно он делал доклады и на международных съездах математиков,
достойно представляя советскую школу теории функций. Так в сентябре
1928 г. Д. Е. Меньшов делает доклад «Конформные отображения плос-
ких областей» на Международном математическом конгрессе в Болонье
(Италия). В 1958 г. он выступает с докладом «О сходимости тригономет-
рических рядов» на Международном съезде математиков в Эдинбурге (Ан-
глия), а в 1966 г. Д. Е. Меньшов сделал доклад «Пределы неопределенности
по мере тригонометрических рядов» на Международном конгрессе матема-
тиков в Москве.
Более 50 лет тому назад Д. Е. Меньшов был избран членом Француз-
ского математического общества и Польского математического общества.
176
VI. Статьи о математиках в других изданиях
Находясь в 1927 г. в годичной командировке в Париже, он неоднократно
выступал на заседаниях Французского математического общества и на се-
минаре Адамара по проблеме единственности тригонометрических рядов
и по проблеме моногенности функций.
За выдающиеся достижения в теории функций Д. Е. Меньшов избира-
ется в 1953 г. членом-корреспондентом Академии наук СССР. В 1951 г. ему
присуждается Государственная премия за фундаментальные исследования
по проблеме представления функций тригонометрическими рядами. Ха-
рактеризуя научный облик Д. Е. Меньшова, широту его интересов, нельзя
не упомянуть серьезного увлечения Дмитрия Евгеньевича теоретической
физикой, прежде всего квантовой теорией поля. И хотя он упорно отказы-
вается публиковать свои работы в этой области, неизменно отшучиваясь:
«Я не тороплюсь», — у его ближайших коллег, знакомых с этой стороной
его деятельности, нет сомнений в том, что и здесь его занятия отличают-
ся свойственной ему во всем глубиной и обстоятельностью. Дилетантизм
вообще органически чужд натуре Дмитрия Евгеньевича. Если он чему-то
посвящает свое время — будь то теннис или пешие прогулки по Подмос-
ковью, — можно быть уверенным, что он относится к этому занятию с
искренним увлечением и полной серьезностью.
Такой же глубиной и полнейшей самоотдачей проникнута и вся огром-
ная педагогическая деятельность Д. Е. Меньшова. Он читал для студентов
почти все общие математические курсы и, кроме того, разнообразные спе-
циальные курсы. Его лекции отличаются высоким научным уровнем, бес-
подобной точностью изложения и большим педагогическим мастерством.
Ежегодно он ведет несколько семинаров по различным разделам теории
функций, которые предназначены для математиков различных квалифи-
каций и возрастов — от семинаров для студентов младших курсов до по-
стоянно действующего семинара для научных работников.
Всемирно известен семинар по теории функций действительного пере-
менного в Московском университете, которым Дмитрий Евгеньевич руко-
водит с 1936 г. сначала совместно с Н. К. Бари, затем с П. Л. Ульяно-
вым. Являясь центральным семинаром по этим вопросам в нашей стране,
он вовлекает в свою работу не только московских математиков, но и спе-
циалистов по теории функций из других городов, а также из-за рубежа.
Культивируемый Дмитрием Евгеньевичем стиль этого семинара, включаю-
щий в себя неукоснительную требовательность к докладчику в отношении
строгости и четкости изложения, продуктивное обсуждение возникающих
по ходу доклада вопросов и постановку новых проблем, делают семинар
прекрасной школой для молодых ученых.
За время работы в Московском университете и в Математическом ин-
ституте АН СССР Дмитрий Евгеньевич подготовил много специалистов
Д. Е. Меньшов (к 90-летию со дня рождения)
177
высшей квалификации по теории функций, в том числе более 35 докторов
и кандидатов наук. Среди учеников Дмитрия Евгеньевича — Г. П. Толстов,
С. Б. Стечкии, А. Л. Брудно, В. Г. Челидзе, А. А. Талалян, И. И. Вол-
ков, Ю. Б. Гермейер, В. М. Даревский, Е. П. Долженко, К. В. Ефре-
мов, Н. П. Купцов, В. А. Скворцов, И. Я. Пламенное, Г. Я. Поплавская,
Г. X. Синдаловский, Хоанг Туй, В. А. Ходаков, Ф. В. Широков, А. А. Шней-
дер, М. П. Щеглов, О. А. Зиза, И. А. Виноградова, С. Г. Козловцев,
М. Ф. Полуянова, М. Радулеску, М. И. Лившиц, Б. В. Панников, Д. В. Пе-
черский, Э. Г. Буданицкий, И. П. Миловидова, Н. Н. Холщевникова,
А. Ю. Петрович, М. Бахбух, А. М. Юрченко, Л. Сабри-Авад и др.
Кроме того, многие математики, не являясь его прямыми учениками,
прошли период научного формирования под большим влиянием Д.Е. Мень-
шова. Если же учесть, что многие ученики Дмитрия Евгеньевича уже вос-
питали большое число своих собственных учеников, то нет сомнения в том,
что научное потомство Д. Е. Меньшова составляет сейчас не одну сотню
высококвалифицированных специалистов, работающих во многих городах
нашей страны и за рубежом.
За большие заслуги в развитии отечественной математики и в деле под-
готовки математических кадров Д. Е. Меньшов награжден орденами Лени-
на, Трудового Красного Знамени, Октябрьской Революции, «Знак Почета»,
а также медалями, среди которых медаль «За оборону Москвы».
Замечательные научные достижения Д. Е. Меньшова, его беззаветная
преданность науке, исключительная научная добросовестность, высокое
педагогическое мастерство наряду со многими прекрасными человечески-
ми качествами легко объясняют то всеобщее глубокое уважение и любовь,
которые окружают его в коллективе студентов и преподавателей механико-
математического факультета и коллективе сотрудников Математического
института им. В. А. Стеклова и которыми проникается каждый, кому по-
счастливилось общаться с Дмитрием Евгеньевичем.
От души поздравляем Дмитрия Евгеньевича с замечательным юбилеем,
желаем ему хорошего здоровья и новых успехов во славу советской науки.
СПИСОК ПЕЧАТНЫХ РАБОТ Д. Е. МЕНЬШОВА2
85.	Свойства чезаровских средних отрицательного порядка и некоторых других
Т-средних для рядов Фурье от непрерывных функций. — Матем. сборник,
1971, 86 : 3, с. 419-445.
89.	Взаимоотношение между сходимостью подпоследовательностей частных
сумм числового ряда и суммируемостью методом Абеля. — ДАН, 1977, 235,
с. 27-29.
2 Начало списка см. в УМН, 1962, 17 : 5, с. 172-175 и в УМН, 1972, 27 : 2, с. 185-195.
178	VI. Статьи о математиках в других изданиях
90.	Пределы неопределенности, по мере Г-средних подрядов тригонометрическо-
го ряда. — Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, 1978, 149, с. 5-58.
91.	Взаимоотношение между сходимостью подпоследовательностей частных
сумм числового ряда и его суммируемостью методами (С, а) и Абеля. — Ann.
Math., 1980, 6 : 1, р. 3-50.
92.	Свойства подпоследовательностей частных сумм функциональных рядов. —
ДАН, 1980, 256, с. 550-552.
93.	Свойство подпоследовательностей частных сумм функциональных рядов. —
Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, 1981, 157, с. 119-137.
ДЖОН ФОН НЕЙМАН
Один из крупнейших математиков XX в. Джон фон Нейман родился
28 декабря 1903 г. в Будапеште. Будапешт дал миру многих замечательных
ученых XX в. Достаточно назвать имена Э. Вигнера, Л. Силарда, Т. фон
Кармана и многих других. Сам фон Нейман считал это проявлением силь-
ного стремления к творчеству в различных его формах, характерного для
интеллектуального климата средней Европы тех лет.
Его отец, Макс фон Нейман, был состоятельным банкиром и полу-
чил за свои заслуги наследственный дворянский титул «von» от императо-
ра Франца-Иосифа. Полное имя Джона было сначала Маргиттан Нейман
Янош, т. е. Янош Нейман из Маргитта. Позже в Германии он именовался
Иоганн фон Нейман, а с переездом в США — Джон фон Нейман. В семье
фон Нейманов было трое сыновей, из которых Джон был старшим.
До десяти лет он обучался дома, а затем в Высшей лютеранской школе
Будапешта, которая была в то время одним из лучших учебных заведений
Венгрии. Его первый преподаватель математики Л. Ратц скоро заметил
необыкновенные математические способности Джона и с согласия отца на-
чал давать ему частные уроки, а затем ввел в университет. Позже его за-
нятиями руководили профессора Будапештского университета Кюршак и
М. Фекете, а также признанный наряду с Ф. Рисом лидер венгерской ма-
тематической школы — Л. Фейер, который назвал его «Величайший Янчи
(уменьшительное от Янош) нашей страны». В двенадцатилетнем возрасте
он изучил книгу Э. Бореля «Теория функций». К 18 годам Дж. фон Ней-
ман уже считался профессиональным математиком.
Сохранилось много рассказов об удивительных способностях юного фон
Неймана, восхищавших всех, кто общался с ним. Он обладал поразитель-
ной памятью, не ослабевавшей в течение всей его жизни, позволявшей ему
мгновенно запоминать разнообразные сведения. У него были замечатель-
ные лингвистические способности, он знал классические языки и пять ев-
ропейских языков, интересовался всемирной историей. Есть свидетельство
о его феноменальных вычислительных способностях — свойство, не обя-
зательно сопутствующее собственно математическому дарованию и часто
принимаемое за склонность к математике. Любовь к счету фон Нейман со-
Статья опубликована как приложение к книге: Джон фон Нейман. Избранные тру-
ды по функциональному анализу. Т. I / Академия наук Союза ССР. Сер. «Классики
науки». — М.: Наука, 1987 (с. 337-351; совм. с А. М. Вершиком и Я. Г. Синаем).
180
VI. Статьи о математиках в других изданиях
хранил всю жизнь, а скорость, с которой он решал задачи, по выражению
друзей, «внушала ужас». Один из математиков писал, что фон Нейман
обладал «самым быстрым мозгом, который я когда-либо встречал».
После окончания Высшей школы в Будапеште фон Нейман проходит
курс химии сначала в Берлинском университете (1921-1923 гг.), а затем в
Высшей технической школе в Цюрихе (1923-1925 гг.). Химия была выбрана
по совету известного механика Т. фон Кармана — друга семьи — как ком-
промисс между желанием отца дать сыну надежную деловую профессию и
математическими устремлениями сына. В 1924 г., находясь в Берлине, фон
Нейман часто бывал у Д. Гильберта и интересовался подходом великого
математика к физике и к теории доказательств. Несомненно, что Гильберт
оказал на фон Неймана большое влияние, и многие считают фон Неймана и
Г. Вейля наиболее выдающимися учениками Гильберта. Во время обучения
в Цюрихе фон Нейман много общался с Вигнером, ставшим впоследствии
выдающимся физиком, и оказал на него сильное влияние, проявившееся, в
частности, в интересе Вигнера к теории групп. Их дружба продолжалась
в течение всей жизни Дж. фон Неймана.
Большую часть времени фон Нейман проводил в обществе математи-
ков. В Цюрихе в это время работали Г. Вейль и Г. Пойа, с которыми фон
Нейман установил близкие отношения. Однажды, во время отъезда Вей-
ля, фон Нейман заменял его в качестве лектора. Почти одновременно он
получил диплом химика в Цюрихе и степень доктора философии по мате-
матике в Будапеште (1926 г.). Затем он продолжил занятия в Гёттингене.
Химия постепенно отходит на задний план.
В 1927 г. фон Нейман становится приват-доцентом Берлинского уни-
верситета и с этого момента целиком посвящает себя математике и теоре-
тической физике. В 1929 г. фон Нейман переехал в Гамбург, где получил
должность приват-доцента Университета. В 1930 г. он впервые приезжа-
ет в США для чтения лекций в Принстонском университете. Атмосфера
одного из лучших американских университетов произвела благоприятное
впечатление на фон Неймана. Он быстро освоился, и приглашение было
продлено еще на один год. В Германии в то время было чрезвычайно труд-
но получить место профессора. По подсчетам самого фон Неймана, мате-
матическое ожидание числа вакансий в год равнялось трем, а претендентов
было около 40. К тому же фон Нейман видел активизацию деятельности
нацистов и отчетливо понимал, к каким последствиям приведет их приход
к власти.
Итак, в 1931 г. фон Нейман занял постоянную должность профессора
Принстонского университета. В 1933 г. он переходит во вновь организо-
ванный Институт высших научных исследований (Institute for Advanced
Study) и становится одним из его первых сотрудников. Институт был со-
Джон фон Нейман
181
здан организаторскими усилиями математиков А. Флекснера, О. Веблена
и их друзей как эксперимент в области научной и преподавательской де-
ятельности. С момента основания Принстонский университет и Институт
высших научных исследований были независимы один от другого, хотя пер-
вое время институт помещался в одном из зданий университета. С 1940 г.
Институт высших научных исследований имеет отдельное здание несколь-
ко в стороне от города. В нем всего два этажа, отдельное крыло занято
под библиотеку; рядом — большой лес, поблизости — дома для приезжа-
ющих ученых. Полный перечень первых профессоров-математиков инсти-
тута таков: Дж. Александер, А. Эйнштейн, М. Морс, О. Веблен, Дж. фон
Нейман, Г. Вейль. И в дальнейшем число постоянных профессоров оста-
валось весьма небольшим. В то же время институт приглашал активно
работающих математиков со всего мира на относительно небольшие сро-
ки. Такая структура оказалась удачной и в дальнейшем была повторена
в ряде других стран. Приглашение 30-летнего фон Неймана в институт
было, конечно, признанием его замечательных способностей и вклада в на-
уку. Сотрудником института фон Нейман оставался почти до конца своей
жизни (до 1954 г.).
Сообщество выдающихся ученых, собранных в Принстоне, стимулиро-
вало работу фон Неймана в различных областях математики и ее прило-
жений. С каждым годом в его поле зрения попадают новые области ис-
следований, новые математики, рождаются новые идеи. Этой бурлящей
научной атмосфере одного из лучших научных центров мира фон Нейман,
безусловно, многим обязан; сам он высоко ее ценил и считал залогом своей
дальнейшей научной работы.
В последующие годы он не раз посещает Европу (в 1936 г. Кембридж,
Институт Пуанкаре (Франция)). В 1935 г. фон Нейман участвовал в Мос-
ковской топологической конференции. В середине 30-х годов завязываются
его связи с советскими математиками. В журнале «Математический сбор-
ник» печатаются в 1936 г. его известная работа о мере Хаара и статья о ма-
тематическом аппарате квантовой механики.аМенее известно, что другая
его работа «Некоторые неравенства в теории матриц и метризация мат-
ричных пространств» была напечатана в записках Томского университета
(1937, т. 1).
В 1930 г. фон Нейман женился, будучи еще в Венгрии, на Мариэтте
Ковачи. В 1935 г. у фон Нейманов родилась дочь Марина. Впоследствии
она стала крупным экономистом и одно время входила в Совет по пробле-
мам экономики при президенте США. Позднее она работала профессором
экономики в одном из американских университетов.
a«The uniqueness of Haar’s measure» (т. 1, с. 721-734) и «On an algebraic generalization
of the quantum mechanical formation. I» (т. 1, c. 415-484. — Прим. ped. m. 4 Избр. mp.
182
VI. Статьи о математиках в других изданиях
В 1938 г. фон Нейман женился вторично, после поездки в Венгрию, на
Кларе Дан. К. Дан была одной из первых программисток, при ее непосред-
ственном участии было издано шеститомное собрание работ фон Неймана
(см. ниже [с. 184]). Она лишь на несколько лет пережила своего мужа.
С начала 40-х годов и во время второй мировой войны фон Нейман де-
лает поворот в своей научной и практической деятельности в сторону при-
ложений математики. Впрочем, прикладными вопросами он интересовался
на всех этапах своего творчества. Он становится одним из первых специа-
листов и идеологов машинной математики во всех ее аспектах, занимается
гидромеханикой, атомной физикой, техникой, метеорологией, математиче-
ской экономикой, теорией игр. С 1954 г. он — член комиссии по атомной
энергии. По существу, в последние годы жизни лишь немногие его работы
связаны с довоенной проблематикой, в основном они относятся к перечис-
ленным выше областям. Незадолго до смерти фон Нейман выступает на
Международном математическом конгрессе в Амстердаме (1954 г.) с до-
кладом «Нерешенные проблемы в математике». К сожалению, рукопись и
стенограмма этого доклада не сохранились или вообще не существовали.
По свидетельству слушателей, доклад содержал глубокий анализ значи-
тельной части математики и ее приложений.
Биографы и современники описывают Дж. фон Неймана как жизнера-
достного и общительного человека, обладавшего чувством юмора, умелого
рассказчика, много знавшего (особое увлечение — история), читавшего,
хорошо понимавшего людей. Но наибольшее впечатление производила ра-
бота его блестящего ума, похожая на работу «идеальной логической маши-
ны». Он умел с удивительной простотой и последовательностью раскрыть
суть сложных проблем. Черты его стиля видны в публикуемых в этой кни-
ге работах и характерны для всего его творчества. Чтение большинства
его работ оставляет впечатление органичности, адекватности проблемы и
данного им решения. Можно сказать, что для каждой исследованной им
задачи он умел подбирать наиболее характерный, но далеко не очевидный
путь, ведущий к ее решению и вскрывающий ее связи с другими задачами.
В начале 50-х годов у Дж. фон Неймана, до тех пор обладавшего хо-
рошим здоровьем, обнаружились первые признаки смертельной болезни
(рак). Она продолжалась несколько лет и протекала мучительно. Но да-
же находясь в больнице, фон Нейман не прекращал научной деятельности,
давал консультации и советы по многим математическим и общим пробле-
мам. Он скончался 8 февраля 1957 г. в возрасте 53 лет.
Заслуги фон Неймана были широко признаны и в США, и во всем мире.
Он был членом Национальной академии США и многих иностранных ака-
демий, состоял членом многих научных обществ различных стран. С 1951
по 1953 г. он был Президентом Американского математического общества.
Джон фон Нейман
183
Джон фон Нейман был лауреатом премий Альберта Эйнштейна, Энрико
Ферми и др., входил в редакционные коллегии известнейших журналов,
советы различных лабораторий, университетов и т. п.
Его педагогическая и лекторская деятельность не прекращалась в те-
чение всей его жизни. Многие его книги являются записями его лекций,
читавшихся в основном для специалистов. В списке его работ около двух-
сот названий, некоторые из этих работ вышли уже после его смерти, под-
готовленные учениками и последователями. Из многочисленных ученых,
бывших его сотрудниками или учениками, назовем наиболее близких —
П. Халмош, И. Сигал, И. Гальперин, О. Моргенштерн, С. Улам, А. Тауб.
Что же касается личного или научного влияния, то его испытали многие
математики. Он поддерживал контакты с большим числом ученых, зна-
чительная часть его работ выполнена в сотрудничестве с другими мате-
матиками. Воздействие его оригинальных и глубоких научных идей про-
должается до настоящего времени. Более того, ценность некоторых из них
раскрывается только сейчас, по прошествии 30-40 лет. Джон фон Нейман
по праву считается одним из самых выдающихся ученых нашего столетия.
* * *
Творческое наследие Дж. фон Неймана огромно. Первая его работа
«О нулях полиномов Чебышева» (совместная с М. Фекете) вышла в 1922 в.,
когда ему было лишь 18 лет. Его научная активность в течение всей жизни
была ошеломительной. Описать здесь даже приблизительно все аспекты
его творчества не представляется возможным Помимо основных работ по
математике и ее приложениям, он — автор работ собственно по физике
(среди них одна из первых работ по теории лазеров), химии (вспомним,
что он получил образование химика) и др. Его осведомленность в этих,
а также биологических, экономических и других вопросах позволяла ему
создавать математические модели явлений с подлинно естественнонаучной
широтой и глубиной.
Уже упоминалось, что фон Нейман — автор примерно двухсот работ,
среди них около десяти монографий. Многие циклы статей также могут
считаться монографиями (например, цикл статей по кольцам операторов,
помещенный в т. 2 наст. изд.). Ряд его работ посвящен решению отдель-
ных, как правило, узловых проблем. Однако в наиболее характерных для
него работах открываются совершенно новые области с новыми понятиями,
задачами и связями.
Основные библиографические источники таковы: Bull. Amer. Math.
Soc., 1958 (выпуск назван «John von Neumann 1903-1957» и посвящен це-
ликом фон Нейману). В нем помещены статьи С. Улама, Дж. Биркгофа,
Ф. Мюррея, Р. Кэдисона, П. Халмоша, Л. Ван-Хова, X. Куна и А. Таккера и
184
VI. Статьи о математиках в других изданиях
К. Шеннона о жизни и творчестве фон Неймана. Там же приведена библио-
графия его работ. В последующие годы появился ряд воспоминаний о фон
Неймане: Halmos Р. The legend of John von Neumann.- Amer. Math. Month.,
1973, vol. 80, Я® 4, p. 382-394; Wigner E. John von Neumann.- Yearb. Amer.
Philos. Soc., 1957, p. 149; Ulam S. Adventures of a mathematician. N. Y., 1976;
Goidstine H. The computer from Pascal to von Neumann. Princeton: Univ,
press. 414 p., и др., которые содержат много интересных фактов о жизни и
творчестве фон Неймана. Некоторые из них переведены на русский язык,
например статья Шеннона в книге: Шеннон К. Работы по теории информа-
ции и кибернетике. М.: Изд-во иностр, лит., 1963. 829 с. и Вигнера в книге:
Этюды о симметрии. М.: Мир. 1970. 318 с.
В начале 60-х годов в издательстве Pergamon press под редакцией
А. Тауба с участием Э. Вигнера, Э. Теллера, С. Какутани и др. вышло
шесть томов работ фон Неймана (Neumann J. von. Collected works / Ed.
A. H. Taub. Oxford, etc.: Pergamon press, 1960-1962. Vol. 1-6). В это собра-
ние было включено несколько неопубликованных ранее и незаконченных
работ с комментариями и рефератами известных математиков (Дж. Бирк-
гофа, И. Гальперина, И. Капланского, Г. Куна, Г. Макки, О. Моргенштер-
на, А. Таккера, Г. Ханта и др.). Содержание этих томов, каждый из кото-
рых насчитывает около пятисот страниц, далеко не исчерпывает научно-
го наследия фон Неймана. Книги (например, Neumann J. von. Continuous
geometry. Princeton Univ, press, 1960. 250 p., до сих пор не переведенная на
русский язык), записи лекций не вошли в собрание и выходили отдельно
(например, лекции по теории автоматов, теории меры). Фактически в этом
издании собраны журнальные статьи. Тематика работ по томам хорошо от-
ражает весь спектр занятий фон Неймана, и мы приведем заголовки этих
томов.
Т. I. Логика, теория множеств и квантовая механика.
Т. II. Операторы, эргодическая теория, почти периодические функции
на группах.
Т. III. Кольца операторов.
Т. IV. Непрерывная геометрия и другие вопросы.
Т. V. Структура вычислительных машин, теория автоматов и числен-
ный анализ.
Т. VI. Теория игр, астрофизика, гидродинамика и метеорология.
В настоящее издание включены избранные работы по функциональ-
ному анализу из H-IV томов. Об их содержании и месте в современных
исследованиях говорится более подробно в комментариях.
Укажем несколько переводов статей и книг фон Неймана на русский
язык.
Джон фон Нейман
185
1.	Статья об автоматах в кн.: Автоматы. М.: Изд-во иностр, лит., 1956.
2.	Вычислительная машина и мозг. — Кибернет. сб., 1960.
3.	Статьи по теории игр в кн.: Матричные игры. М.: Физматгиз, 1961.
4.	Математические основы квантовой механики. М.: Наука, 1964.
5.	Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970.
6.	Теория самовоспроизводящихся автоматов. М.: Мир, 1971.
* * *
Несмотря на многообразие интересов и полученных результатов, в твор-
честве фон Неймана можно выделить несколько ведущих идей, объединя-
ющих совершенно разные на первый взгляд работы. Одной из таких идей
была идея аксиоматизации, утверждение которой характерно для первых
десятилетий XX в. В творчестве фон Неймана первый, наиболее известный
цикл работ относится к аксиоматической теории множеств и основаниям
математики. Следы этих работ можно обнаружить во всей его дальнейшей
деятельности. Попав в начале 20-х годов в Гёттинген, фон Нейман проник-
ся «духом Гёттингена», в частности заинтересовался работами по основа-
ниям математики. Он сразу включился в активную работу по аксиомати-
ческой теории множеств и внес в нее существенно новую идею «различения
множеств и классов», фактически предвосхитив современный категорный
подход к математическим структурам и теориям. Система аксиом фон Ней-
мана, несколько видоизмененная позже Бернайсом, стала общепринятой и
была впоследствии использована К. Гёделем в его классических работах
по континуум-гипотезе. Другая большая работа этого периода относится к
зарождавшейся в то время теории доказательств. К этому циклу относится
также ряд статей, посвященных конкретным проблемам теории множеств
и теории функций: эффективное построение замкнутого множества конти-
нуальной мощности, состоящего из чисел, линейно независимых над полем
рациональных чисел, разложение интервала на счетное число непересека-
ющихся конгруэнтных подмножеств и ряд других.
Постепенно интересы фон Неймана смещаются к дескриптивной тео-
рии функций и теории меры, затем к функциональному анализу, теории
операторов и квантовой механике. Остановимся на статье «Zur allgemeinen
Theorie des Mafies» («К общей теории меры», см. наст. кн.). Сначала в
ней проводится глубокий анализ работ Хаусдорфа, Банаха и Тарского,
посвященных существованию евклидово-инвариантных неотрицательных
нормированных конечно-аддитивных мер в Rn. Нормированность означа-
ет, что мера единичного куба равна 1. Отрицательное решение этой про-
блемы для п 3 связано, как показал фон Нейман, с чисто алгебраически-
ми свойствами группы движений, а именно с тем, что группа SO(n) при
186
VI. Статьи о математиках в других изданиях
п 3 содержит свободную подгруппу с двумя образующими. В этой же ста-
тье был введен класс групп, называемых сейчас аменабельными (в работе
фон Неймана — измеримые группы), получивший в последние годы широ-
кое применение в алгебре и функциональном анализе. Группа называется
аменабельной, или группой с инвариантным средним, если для всякого ее
непрерывного действия на компакте найдется инвариантная борелевская
мера. Интуиция фон Неймана проявилась в том, что этот класс групп, вы-
деленный им впервые по весьма специальному поводу, в действительности
оказался принципиально важным. Он допускает ряд других описаний в
терминах действия, представлений и др., полученных в последние годы.
Главное их свойство можно выразить приблизительно так: аменабельные
группы — это группы, допускающие естественные аппроксимации конечны-
ми группами в очень широком смысле. На аменабельные группы перене-
сены основные факты общей теории представлений, эргодической теории,
теории факторов и т. д.
Несколько нарушая хронологию, перейдем к работам фон Неймана по
теории меры и эргодической теории (начало 30-х годов). Идеи его основ-
ных работ этого цикла были подытожены в Принстонских лекциях 1934 г.,
изданных лишь в 1950 г. Фон Нейман одним из первых понял важность ме-
ры Хаара на локально-компактных группах. Ему принадлежит простое до-
казательство существования и единственности меры Хаара для локально-
компактных групп. В это же время он получил первое серьезное продвиже-
ние в пятой проблеме Гильберта. Его статья «Die Einfiihrung analytischer
Parameter in topologischen Gruppen» публикуется в этой книге. В работах
по теории интегрирования фон Нейман глубоко проанализировал струк-
туру пространств с мерой и выделил наиболее важный класс таких про-
странств — стандартных пространств, или, как их теперь называют после
работ Рохлина, пространств Лебега. Аксиоматика фон Неймана подверг-
лась изменениям, но его подход послужил фундаментом для всего после-
дующего применения теории меры к эргодической теории (см. наст, изд.,
т. 2, коммент. V).
Упомянем еще об одной важной идее фон Неймана в теории меры: ему
принадлежит определение того, что сейчас называют «лифтингом», т. е.
отображением, являющимся правым обратным к отображению, появляю-
щемуся при факторизации пространств функций, операторов и т. п. по мо-
дулю совпадения почти всюду по мере. Наличие лифтинга с теми или ины-
ми свойствами (мультипликативность, положительность и др.) оказалось
полезным во многих задачах, и сейчас это понятие широко используется и
в приложениях.
Вклад фон Неймана в эргодическую теорию особенно значителен. Ис-
токами этой теории считаются статистическая механика и классическая
Джон фон Нейман
187
динамика. В трудах фон Неймана, а также Биркгофа, Купмана и Хин-
чина были сформулированы первые фундаментальные факты. После по-
явления работы Купмана 1931 г. об унитарных операторах, сопряженных
с сохраняющими меру преобразованиями, фон Нейман опубликовал свою
знаменитую работу, содержащую «эргодическую теорему фон Неймана»
для унитарных операторов. Эта теорема утверждает, что для любого уни-
тарного оператора U и любого вектора h гильбертова пространства суще-
ствует предел
1 п
lim-V[Jfch = h, Uh = h, ||/i||	||h||.
П—>ОО n
fc=l
По свидетельству Халмоша, ученика и сотрудника фон Неймана в об-
ласти эргодической теории, фон Неймана привлекала здесь прежде все-
го связь теории меры и спектра. К основным результатам фон Неймана
в эргодической теории следует отнести уже упоминавшуюся эргодическую
теорему фон Неймана, классификацию эргодических динамических систем
с дискретным спектром, основы теории аппроксимации динамических си-
стем, построение теории разложения динамических систем на эргодические
компоненты, примеры сохраняющих меру преобразований с непрерывным
спектром, конструкции факторов с помощью динамических систем. По сви-
детельству Какутани, фон Нейман рассматривал вопрос о применении по-
нятий теории информации к эргодической теории. Как известно, решаю-
щий шаг в этом направлении был сделан Колмогоровым.
Почти одновременно с работами по эргодической теории и теории меры
появляются работы по теории операторов, а затем и по алгебрам операто-
ров. Эта тема проходит через все творчество фон Неймана. По существу
вся относящаяся к этому направлению огромная ветвь функционального
анализа сформировалась под влиянием работ фон Неймана. В начальный
период основным стимулом были проблемы квантовой механики и теории
дифференциальных уравнений, а первой публикацией — совместная работа
Гильберта, фон Неймана и Нордхейма 1927 г. Эта работа была отправной
точкой для дальнейших исследований по основаниям квантовой механи-
ки. Вскоре фон Нейман занялся общей проблемой построения спектраль-
ной теории неограниченных самосопряженных операторов. Спектральная
теория ограниченных самосопряженных операторов, построенная Гильбер-
том, имела своим источником теорию интегральных уравнений. Фон Ней-
ман понял важность аналогичной теории, относящейся к неограниченным
операторам, для квантовой механики.
Дальнейшие исследования (Реллих, Фридрихе, Крейн и др.) спектраль-
ной теории дифференциальных операторов (индексы дефекта, теория рас-
ширений, обобщенные спектральные разложения и др.), равно как алгебра-
188
VI. Статьи о математиках в других изданиях
ическая теория операторов, в качестве исходного пункта имели спектраль-
ную теорему Гильберта-Неймана.
В 1931 г. фон Нейман опубликовал до последнего времени сравнитель-
но малоизвестную работу «Однозначность оператора Шредингера» (Die
Eindeutigkeit der Schrodingerschen Operatoren), помещенную в этой кни-
ге. Он рассмотрел следующую задачу: описать все решения уравнения
PQ—QP = hl/2т, где P,Q — самосопряженные операторы в гильбертовом
пространстве Н. Это уравнение играет важную роль в квантовой меха-
нике. Оно допускает и другие формулировки; например, если V(a) =
— exp(2maP/h), U(/?)= exp(2m0Q/h), то V(oi)U{0)— ехр(2тгга/?/h)V(j3)U(л)
(представление коммутационных соотношений в форме Вейля), или если
Е'(А), —оо < Л < оо, — проекционное семейство для Р, то С7(/3)Е(А) =
= Е(Х + 0). Фон Нейман показал, что все решения упомянутого уравнения
сводятся к операторам импульса и координат в пространстве векторнознач-
ных функций. В дальнейшем этот результат фон Неймана оказался очень
важным в теории представлений коммутационных соотношений в кванто-
вой теории поля, в эргодической теории, в частности в теории К-систем, в
спектральной теории стационарных случайных процессов, в теории пред-
ставлений, в теории рассеяния (см. книгу П. Лакса и Р. Филлипса «Теория
рассеяния») и др. Заметим, кстати, что фон Нейман еще в 1938 г. обратил
внимание на то обстоятельство, что в квантовой механике бесконечного
числа частиц имеется много неэквивалентных представлений коммутаци-
онных соотношений, что позже оказалось весьма важным для квантовой
теории поля.
К этому же периоду относятся первые работы фон Неймана по общей
теории операторов. По свидетельству самого фон Неймана, его работы в
этом направлении составляют один из трех его основных вкладов в ма-
тематику. Интерес к проблематике теории операторов, колец операторов
сохранялся у него в течение всей жизни. Последние работы фон Неймана
в этом направлении были сделаны после 1950 г.
Фон Нейману вместе с Вейлем принадлежит заслуга построения первой
математически безупречной формулировки квантовой механики на основе
теории операторов в гильбертовом пространстве. Детальное и последова-
тельное изложение содержится в уже упоминавшейся книге фон Неймана
«Математические основы квантовой механики» (1932 г.), выдержавшей ряд
изданий. Этот подход и изложение квантовой механики, квантовой стати-
стики, квантовой логики стал теперь общепринятым. Среди конкретных
достижений фон Неймана отметим введение им матрицы плотности, ко-
торая с тех пор является основным понятием квантовой статистической
механики. С помощью матрицы плотности фон Нейман вводит квантово-
механическую энтропию в виде S = —fcTr(plnp), где р — матрица плотно-
Джон фон Нейман
189
сти, к — постоянная Больцмана, а также определяет квантовое равновесное
распределение Гиббса.
Другие работы фон Неймана посвящены проблеме измерения в кванто-
вой механике — вопросу, который дискутируется до сих пор, — и проблеме
«скрытых параметров». Суть ее состоит в том, возможно ли квантово-
механическую систему представить как результат определенного проек-
тирования некоторой классической системы. Результат фон Неймана был
отрицательным и показал невозможность чисто детерминистического опре-
деления квантовой механики.
Большие усилия фон Нейман предпринимал для выяснения алгебраи-
ческой и логической структуры квантовой механики, надеясь с помощью
надлежащего абстрактного анализа прийти к естественным обобщениям
квантовой механики. Ему принадлежит ряд совместных работ с Вигнером,
Йорданом и Биркгофом на эту тему. Историки математики часто приводят
в качестве удивительного примера взаимодействия математики и физики
такую ситуацию: теория операторов в гильбертовом пространстве появи-
лась почти одновременно и независимо от квантовой механики, но именно
она с начала 30-х годов стала единственным адекватным языком современ-
ной квантовой теория.
Наряду с упоминавшейся выше характерной для творчества фон Ней-
мана идеей аксиоматизации следует отметить и другую идею — алгебраиза-
цию анализа. Функциональный анализ тех лет базировался в основном на
линейной алгебре. Фон Нейман одним из первых понял важность для ана-
лиза и его применений (физика и другие области) общей алгебры — теории
колец, групп, их представлений и т. д. Пионер применения теории групп в
физике Вигнер неоднократно подчеркивал решающую роль и инициативу
фон Неймана в этом направлении. Известная работа Йордана, Вигнера и
фон Неймана посвящена алгебраическим аспектам и обобщениям кванто-
вой механики. Совместная работа с Сигалом — одна из первых работ по
представлениям полупростых групп Ли. Современное изложение теории
представлений симметрической группы основано на комбинаторной лемме
фон Неймана (см.: Ван-дер-Варден. Алгебра. М.: Наука, 1972. 623 с.).
Известный цикл работ (совместно с Ф. Мюрреем) по кольцам операто-
ров и примыкающие сюда статьи по бесконечным тензорным произведе-
ниям и прямому интегралу колец заслуживают особого упоминания. Цикл
работ по кольцам операторов и статья о бесконечных тензорных произ-
ведениях включены в настоящее издание. Они представляют собой ис-
ключительное явление в математической литературе. В них постепенно
развертывается совершенно новая область исследований с многочисленны-
ми связями с другими разделами математики. Эти работы на несколько
десятилетий обогнали свое время, они были до конца поняты и стали ин-
190
VI. Статьи о математиках в других изданиях
тенсивно использоваться лишь с середины 50-х годов. В настоящее время
основные понятия и многие результаты этого цикла вошли в учебники и
монографии по функциональному анализу, алгебраическим методам в фи-
зике и др.
Основное открытие здесь — факторы, т. е. слабозамкнутые самосопря-
женные алгебры операторов гильбертова пространства с тривиальным цен-
тром. Оказалось, что кроме факторов, изоморфных алгебре всех опера-
торов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н, dimH = п и
п = 1,2, ...,оо, называемых факторами типа 1п, существуют совершен-
но новые классы факторов — факторы типа II и III. Для характеризации
этих типов вводится новое понятие размерности ортогональных проекто-
ров, принадлежащих фактору. В факторах типа II эта размерность при-
нимает либо все значения из отрезка [0,1] (факторы типа Hi), либо все
значения из [0, оо] (в факторах типа Пос)- В факторах типа III размер-
ность принимает лишь два значения: 0 и оо. В настоящее время известно
много примеров неизоморфных между собой факторов типа II и III (Сакаи,
Макдуфф, Пауэрс и др ), имеется некоторая частичная классификация и
инварианты (Араки, Конн).
Первые примеры факторов фон Нейман черпал из близких ему об-
ластей: теории представлений групп, теории динамических систем (скре-
щенные произведения и др.). Эти примеры подробно изучались в даль-
нейшем (Макки, Дай, Сигал, Араки). Сейчас несомненно, что в теории
представлений, квантовой теории поля, теории динамических систем с бес-
конечным числом степеней свободы, статистической механике факторы
типа II и III будут играть заметную роль. Особенно важным оказался
класс аппроксимативно-конечных факторов, выделенный фон Нейманом
как класс, допускающий аппроксимацию матричными алгебрами. Мюр-
рей и фон Нейман доказали, что существует ровно один с точностью до
изоморфизма аппроксимативно-конечный фактор типа Щ. Сейчас дока-
зана единственность аппроксимативно-конечного фактора типа Поо, а для
факторов типа III получена классификация многих важных специальных
случаев (Конн). Обо всем этом подробнее см. наст, изд., т. 2, коммент. I.
Квантовая логика и теория непрерывных факторов, с одной сторо-
ны, и геометрия и теория структур — с другой, привели фон Неймана к
следующему замечательному открытию — непрерывной, точнее, непрерыв-
номерной геометрии. Этот цикл работ (конец 30-х годов) создавался им в
окружении видных специалистов — алгебраистов и геометров — Биркго-
фа, Веблена и др. Вейль в своей известной лекции «Полвека математики»
(1950 г., т. е. за несколько лет до прорыва в современной топологии) гово-
рил, что непрерывная геометрия, или «геометрия без точек», — наиболее
интересное достижение геометрии первой половины XX в. Первым приме-
ром непрерывной геометрии была структура проекторов факторов типа Щ.
Джон фон Нейман
191
Более точно, подобно тому как в обычной проективной геометрии рас-
сматривается дедекиндова структура с дополнением всех подпространств
конечномерного пространства над некоторым полем, фон Нейман предло-
жил рассматривать структуру ортопроекторов фактора типа Hi. Оказа-
лось, что она действительно представляет собой дедекиндову структуру
с дополнением и в ней выполнены все аксиомы проективной геометрии.
Заметим, что проверка выполнения этих аксиом далеко не тривиальна.
Особенно трудно доказывается аксиома о перспективности. Сверх того, в
такой проективной геометрии нет минимальных элементов, а размерность
может принимать любые значения из отрезка [0,1].
Фон Нейман аксиоматизировал эту ситуацию и ввел общие непрерыв-
ные геометрии. Оказалось, что они не исчерпываются описанными выше:
имеются геометрии, отличные от факторных. Попутно в качестве так назы-
ваемых координатизирующих колец им были введены регулярные кольца,
играющие в настоящее время важную роль в общей гомологической алгеб-
ре. Вообще, весь этот цикл работ оказал сильное воздействие на теорию
структур булевых алгебр и колец. Исследования по непрерывной геомет-
рии были продолжены Гальпериным, Маедой, Халмошем, Магарам, но,
пожалуй, будет правильно сказать, что в отличие от теории операторов
непрерывная геометрия еще ожидает своего нового прочтения.
Несколько особняком стоит малоизвестная работа фон Неймана «Ап-
проксимативные свойства матриц высокого порядка», включенная в эту
книгу. Хотя она примыкает к циклу статей о факторах, ее особая роль
в том, что в ней едва ли не впервые реализуется идея об асимптотиче-
ском изучении матричных алгебр — идея, подхваченная лишь значитель-
но позже. Следует сказать, что функциональному анализу 30-40-х годов
эта идея, как ни странно, была чужда: основные проблемы касались изуче-
ния «готовых» бесконечномерных пространств, фактически тех или иных
пространств функций. Рассмотрение асимптотических или аппроксимаци-
онных свойств пространств, алгебр и т. п. стало популярным значительно
позже и отчасти благодаря работам фон Неймана. Заметим также, что
в упомянутой работе неявно присутствует е-энтропия некоторого компак-
та, — оценка которой играет основную роль (подробнее см. комментарии к
этой статье).
Большое место в творчестве фон Неймана занимает цикл работ по тео-
рии игр, эконометрике и т. п. Первая публикация фон Неймана по теории
игр относится к 1928 г., в которой появилась ставшая вскоре знаменитой его
теорема о минимаксе, утверждающая существование оптимальной страте-
гии в так называемых играх двух партнеров с нулевой суммой. Понятие
стратегии, чистой и рандомизированной, появилось раньше в работах Бо-
реля. Однако Борель даже выражал сомнение в справедливости теоремы
192
VI. Статьи о математиках в других изданиях
о минимаксе. В дальнейшем деятельность фон Неймана в теории игр и
математической экономике продолжалась в сотрудничестве с австрийским
экономистом Моргенштерном. Результатом их сотрудничества была боль-
шая монография «Теория игр и экономическое поведение», в которой бы-
ла развернута общая теория игр и лиц. Эта монография остается и сейчас
основным источником для всей теории игр. Теория матричных игр являет-
ся прекрасным примером модели, сочетающей математическое изящество
и законченность, с одной стороны, и большую сферу приложений — с дру-
гой. Основная теорема о минимаксе нетривиальна; ее первое доказатель-
ство фон Нейман основывал на теореме Брауэра о неподвижной точке, а
затем связал ее с двойственностью в линейном программировании.
Впрочем, в теории игр фон Нейману принадлежат не только общие
концепции и результаты. Ряд его работ посвящен анализу стратегий в кон-
кретных играх, таких, как шахматы и карточные игры: бридж и покер.
Приведем любопытную историю, характерную для фон Неймана и ил-
люстрирующую, в частности, то, насколько стимулирующим было его воз-
действие на окружающих. Речь идет о его роли в теории, называемой сей-
час линейным программированием. Один из создателей вычислительного
алгоритма для решения задачи линейного программирования (симплекс-
метода) Дж. Данциг пишет: «В октябре 1947 г. я впервые посетил фон
Неймана в Принстоне. Я попытался описать один из примеров задачи ли-
нейного программирования». Вначале фон Нейман слушал невнимательно
и попросил поскорее перейти к существу. Данциг решил сформулировать
общую задачу: «В течение одной минуты я изложил геометрическую и ал-
гебраическую постановку на доске. Фон Нейман встал и сказал: “Ах, это”.
Затем он прочел мне полуторачасовую лекцию по математической теории
линейных программ. (Позже я искал что-либо подобное в литературе и
не нашел.) Увидев, что я сижу с открытым ртом и хлопаю глазами, фон
Нейман сказал что-то вроде: “Я не хочу, чтобы Вы думали, что я сочинил
это мгновенно здесь же. Я утверждаю просто, что две проблемы экви-
валентны — та, что я здесь излагаю перед Вами, и одна из тех, что мы
изучали с Моргенштерном в связи с теорией игр”». «Впервые, — пишет
Данциг, — я услышал о двойственности, о лемме Фаркаша. Фон Нейман
обещал написать по моей задаче несколько соображений». Позже Данциг
всегда подчеркивал, что идея двойственности принадлежит фон Нейману,
хотя среди работ фон Неймана, посвященных этому кругу вопросов, и в
частности в написанной им после беседы с Данцигом работе «О пробле-
ме максимизации», где предлагается итеративный метод решения задачи
линейного программирования, о двойственности вовсе не упоминается. За-
метим, что идея двойственности в этих задачах на самом деле была пред-
ложена несколько ранее Л. В. Канторовичем (1939 г.), что не было тогда
Джон фон Нейман
193
известно в США. Далее Данциг пишет, что итогом встречи с фон Нейма-
ном была его (Данцига) работа, где на основании теоремы двойственности
обосновывался симплекс-метод. Можно не сомневаться, что подобных эпи-
зодов в жизни фон Неймана было немало.
В 40-х годах, отчасти в связи с проблемами военного времени и рабо-
той в Комиссии по атомной энергии в США, фон Нейман большую часть
времени стал уделять прикладным вопросам. К этому периоду относится
появление первой быстродействующей вычислительной машины, в созда-
нии которой фон Нейман принял самое непосредственное активное участие.
Одними из первых задач, исследовавшихся на этой машине, были задачи
газовой динамики, и в частности одномерной газовой динамики. Работы
фон Неймана в этой области долгое время существовали лишь в форме
недоступных отчетов и только сравнительно недавно были опубликованы.
Особенность решений задач газовой динамики состоит в неизбежном
появлении разрывов и других сингулярностей. По поводу всего этого кру-
га задач фон Нейман писал: «Вопрос о том, встречается ли в действи-
тельности в природе решение, найденное математическими средствами, и
можно ли заранее исключить существование нескольких решений с хоро-
шими или плохими свойствами, чрезвычайно труден и неопределен. Эти
проблемы рассматривались как в классической литературе, так и в более
недавней литературе на разных уровнях строгости. В конечном счете в этой
области трудно быть в чем-нибудь уверенным. Исследователь-математик
находится здесь в постоянном состоянии неуверенности, поскольку обыч-
ные теоремы существования и единственности решения, которые хотелось
бы иметь, еще никогда не были доказаны и, возможно, неверны в их обыч-
ной форме... Таким образом, в механике жидкости встречается широкий
спектр математических возможностей для перемещающихся разрывов, со-
гласованных с разумным термодинамическим поведением. Возможно, что
существуют условия, которые выделяют одно и только одно решение во
всякой разумно поставленной проблеме. Однако мы можем только дога-
дываться о том, каковы эти условия, и должны целиком основываться на
физической интуиции в поисках их. Поэтому здесь нельзя быть излишне
определенным (specific) ни в одном пункте. И по поводу любого найден-
ного решения трудно сказать с большой степенью уверенности, то ли это
решение, которое должно существовать в природе».
Фон Нейману принадлежат глубокие и разнообразные исследования
разрывных решений уравнений газовой динамики, вывод условий на скач-
ках, анализ взаимодействия ударных волн. Классической является работа
фон Неймана и Рихтмайера, в которой разработан численный метод ре-
шений уравнений газовой динамики, основанный на введении фиктивной
вязкости, устраняющей разрывы, которую затем устремляют к нулю.
194
VI. Статьи о математиках в других изданиях
В двух совместных работах с С. Чандрасекаром фон Нейман рассматри-
вал весьма интересный вопрос о существовании и свойствах сил в системе
гравитирующих масс. Из-за дальнодействующего характера сил гравита-
ции нетрудно указать такие конфигурации масс, когда силы, действую-
щие в данной точке, не определены или бесконечны. Это не так для чи-
сто случайных расположений масс. В предположении, что расположения
масс статистически независимы, осуществляется предельный переход, ко-
торый теперь называется термодинамическим предельным переходом. Фон
Нейман и Чандрасекар получили и исследовали совместное распределение
вероятностей для силы и ее производной по времени.
Фон Нейман многие годы интересовался проблемами турбулентности
и метеорологии, более точно, проблемами глобальных движений атмосфе-
ры. Он был тесно связан с исследовательской метеорологической группой
и активно участвовал в разработке численных методов прогноза погоды.
Помимо общего интереса, эта проблема привлекала фон Неймана теми пер-
спективами, которые открылись бы в случае ее положительного решения.
Собственно проблемам турбулентности посвящена лишь одна статья
фон Неймана «Недавние теории турбулентности», которая не предназна-
чалась для публикации, а представляла собой лишь текст прочитанного
доклада. Этот текст был включен в полное собрание сочинений фон Ней-
мана. По мнению специалистов в теории турбулентности, статья Неймана
представляет собой одно из самых ярких и стимулирующих обсуждений
проблем турбулентности, в особенности того развития теории турбулент-
ности, которое началось после работ Колмогорова.
Дж. фон Нейман внес огромный вклад в практику программирования
и методов вычислений. К сожалению, мы можем судить об этом только со
слов его коллег и друзей, поскольку огромное множество предложенных
им идей, приемов, схем не было им опубликовано, но давно стало досто-
янием многих групп исследователей. Необходимость использования ЭВМ
была ясна уже в начале деятельности по анализу ядерных реакций. По
свидетельству одного из ближайших сотрудников фон Неймана в это вре-
мя — Улама, интерес фон Неймана к использованию ЭВМ объяснялся, с
одной стороны, его ранними работами по теории множеств и по теории до-
казательств, на которых сказывалось влияние Гильберта, выдвинувшего
общую программу изучения математических доказательств как своего ро-
да конечную игру, с другой — к вычислительным проблемам фон Неймана
привели его исследования в эргодической теории, квантовой механике и
вообще в математической физике. Фон Нейман предложил первые методы
перевода математических действий на язык команд для вычислительных
машин, что привело к появлению стандартных схем и цепей для постро-
ения машинных кодов. По существу это была не только теоретическая,
Джон фон Нейман
195
но и инженерная деятельность, в которой фон Нейман принимал самое
непосредственное участие. Несколько лет спустя фон Нейман был удосто-
ен премии Э. Ферми. В решении жюри специально отмечался его вклад в
развитие теории и практики вычислений на ЭВМ.
Одно из прямых изобретений фон Неймана — метод Монте-Карло для
нахождения многомерных интегралов. В основе лежит идея построения с
помощью ЭВМ случайной выборки точек и получения интеграла в виде
среднего арифметического значений функций в этих точках. Фон Нейману
принадлежит изобретение датчика случайных чисел, разнообразные мето-
ды численного нахождения собственных значений матриц большой размер-
ности, процедура обращения матриц, метод поиска экстремума функций
нескольких переменных.
Фон Нейман предложил новые способы решения ряда задач, основан-
ные на сведении данной задачи к игровой или теоретико-вероятностной
ситуации. Теоретико-вероятностная интерпретация, как правило, опреде-
лялась ее физическим смыслом. Таким образом, фон Нейман предложил
вероятностные модели для решения кинетического уравнения Больцмана
и ряда проблем гидродинамики. В других задачах фон Нейман использует
ту или иную игровую схему с участием ЭВМ.
Одним из последних циклов работ фон Неймана была серия лекций и
незаконченных работ по теории автоматов. В 60-е годы, уже после смерти
фон Неймана, его сотрудник и специалист по кибернетике Бёркс обрабо-
тал имеющиеся материалы и издал их отдельной книгой (рус. пер.: Теория
самовоспроизводящихся автоматов). Итог этого большого труда состоит
в доказательстве возможности сконструировать автомат, способный к са-
мовоспроизведению. Бёркс завершил детальное описание такого автомата,
у которого 29 состояний, а взаимодействуют лишь ближайшие соседи, в
некотором смысле он является универсальной машиной Тьюринга (в даль-
нейшем число состояний было уменьшено). Этот результат имеет глубокое
научно-философское значение. Однако сейчас ясно, что еще более важным
оказались сама постановка вопроса и подход к его решению. Теория кле-
точных автоматов, коллективов автоматов, эволюционные геометрические
модели морфогенеза — все это выросло из идей фон Неймана.
Еще по крайней мере две идеи, связанные с теорией автоматов, долж-
ны быть упомянуты. Первая — постановка вопроса о создании надежных
автоматов, составленных из ненадежных элементов, и вторая — идея ве-
роятностных автоматов. Обе они получили дальнейшее теоретическое и
прикладное развитие. Фактически работы по автоматам относятся в рав-
ной мере и к теоретической биологии, и к теории программирования, и
к математической логике (сам он говорил о «логической теории автома-
тов»). В лекциях фон Нейман упоминал также нейрофизиологию, турбу-
196
VI. Статьи о математиках в других изданиях
лентность, квантовую механику, химию ферментов и многое другое. В ка-
честве математического аппарата он имел в виду привлечь нелинейные
дифференциальные уравнения в частных производных, логику, теорию ин-
формации, теорию вычислительных и аналоговых машин и др. Видимо, да-
леко не все идеи фон Неймана по теории автоматов удалось расшифровать
и тем более реализовать.
В разные периоды своей жизни фон Нейман занимался теоретической
физикой, гидродинамикой, экономикой и теорией игр, был инженером и
конструктором ЭВМ, вычислителем и создателем разнообразных прибли-
женных и численных методов. Однако всегда и прежде всего он был мате-
матиком.
* * ♦
Полезно обратиться к высказываниям самого фон Неймана о матема-
тике. В полное собрание его сочинений включены две его статьи общего
характера: речь перед выпускниками Принстонского университета «Роль
математики в науке и обществе» и статья в сборнике «Единство знания»
под названием «Метод в физических науках» (Method in physical sciences).
Фон Нейман пишет: «Для начала мы подчеркнем утверждение, которое,
как я уверен, вы слышали и раньше, но которое следует повторять снова
и снова. Науки не пытаются объяснять, едва ли они пытаются интерпре-
тировать, они в основном предлагают модели. Под моделью понимается
математическая конструкция, которая при помощи языковых средств опи-
сывает наблюдаемое явление». Далее фон Нейман пишет: «Оправданность
данной математической конструкции покоится только и единственно на
том, что она будет работать, т. е. правильно описывать явления в доста-
точно широкой области. Кроме того, она должна удовлетворять некоторым
эстетическим критериям, т. е. в зависимости того, сколь много она описы-
вает, она должна быть относительно простой». Эта цитата показывает, как
фон Нейман подходил к рассмотрению прикладных проблем.
В статье о роли математики фон Нейман выделяет в качестве пер-
вого момента выработку некоторых стандартов в наших знаниях (certain
standards of objectivity, certain standards of truth), которые создаются неза-
висимо от разных других сторон развития науки. Далее, математика пред-
ставляет собой прекрасную школу логического мышления, обдумывания
(thinking). Здесь фон Нейман подчеркивает роль этого свойства математи-
ки в применении к областям, которые нельзя относить к точным наукам:
«Мне кажется, что одно из главных достижений математики в области на-
шего мышления в том, что она показала огромную гибкость в создании
концепций, такую степень гибкости, которую трудно было бы достичь без
математики». И наконец, фон Нейман останавливается на вопросе о полез-
Джон фон Нейман
197
ности математических теорий: «Большая часть математики, которая стала
полезной, развивалась без всякого намерения быть полезной и в ситуации,
где никто, возможно, и не знал, в какой области она станет полезной; и не
было даже никаких указаний на то, что это когда-либо произойдет. В це-
лом, несомненно, верно, что в математике существует промежуток времени
между математическим открытием и моментом, когда оно становится по-
лезным; этот промежуток может длиться от 30 до 100 лет, иногда даже
больше, и вся система развивается без определенной цели, без всякой свя-
зи с полезностью (usefulness) и без всякого стремления к развитию того,
что полезно». В конце фон Нейман пишет: «И мне кажется исключитель-
но поучительным следить за ролью науки в повседневной жизни и отме-
чать, как в этой области принцип laissez faire (приблизительно, свободного
творчества. — Примеч. ред.) приводит к неожиданным и поразительным
результатам».
СЕРГЕЙ МИХАЙЛОВИЧ НИКОЛЬСКИЙ
(к восьмидесятилетию со дня рождения)
Сергей Михайлович Никольский родился 30 (17) апреля 1905 г. в Перм-
ской губернии, в городке Завод Талица, находящемся теперь в Свердлов-
ской области, в семье помощника лесничего. Вскоре после рождения Сер-
гея Михайловича его отец получил назначение на должность лесничего на
запад тогдашней России, в Августовские леса Сувалкской губернии, рас-
положенной на границе с Пруссией. Там и прошли детские годы Сергея
Михайловича. До тринадцати лет он учился в гимназии, сначала в г. Су-
валки, затем в г. Чернигове, куда в связи с началом первой мировой войны
переехала семья Никольских. Позднее, живя в деревне в лесной местности
Воронежской губернии, куда в Шиловский лес получил новое назначение
его отец, и не имея возможности посещать школу, он продолжил свое обра-
зование по математике, физике и естественным наукам под руководством
отца, который любил математику и, обнаружив у сына математические
способности, всячески поощрял его занятия математикой. Сергей Михай-
лович лишился отца в 16 лет, из них 4 года им не пришлось жить вместе.
Отец считал, что Сергей станет инженером. В те времена профессия ин-
женера была гораздо престижнее, чем профессия математика, под кото-
рой подразумевалась профессия учителя. Поэтому молодежь стремилась
поступать в высшие технические учебные заведения. Юные годы Сергея
Михайловича протекали в тяжелое время империалистической и граждан-
ской войн; многие юноши и девушки работали тогда наряду со взрослыми.
С. М. Никольский был в их числе, он начал работать с 14-летнего возраста
и с 16 лет зарабатывал себе на жизнь. До двадцатилетнего возраста он про-
работал пять лет по найму (в лесничестве, в совхозе, в губполитпросвете,
на металлургическом заводе), совмещая с семнадцати лет работу с обуче-
нием в техникуме. Для поступления в высшее учебное заведение в те годы
была необходима путевка (командировка) с места работы. Такие путевки
в определенном числе распределялись между организациями. С. М. Ни-
кольский получил командировку профсоюза в Екатеринославский (теперь
Днепропетровский) университет, называвшийся в то время Институтом на-
родного образования. Факультет можно было выбирать самому, и он вы-
брал физико-математический, а позднее — его математическое отделение,
где в то время особенным влиянием на студентов пользовался профессор
Успехи математических наук. — 1985. — Т. 40, вып. 5. — С. 269-279 (совм. с В. К. Дзя-
дыком, Л. Д. Кудрявцевым и С. Л. Соболевым; в разделе «Математическая жизнь в
СССР»).
С. М. Никольский (к 80-летию со дня рождения)
199
математики Г. А. Грузинцев. Так Сергей Михайлович стал математиком,
но, перед тем как начать работать в университете, он успел еще порабо-
тать в г. Каменске (теперь Днепродзержинске), где преподавал на вечернем
рабфаке и фабзауче физику и математику. В университете он, наряду с ве-
дением упражнений, читал лекции по математическому анализу. Кроме
университета он работал в Днепропетровске в технических вузах (в Гор-
ном, Транспортном и Фармацевтическом институтах), которые открыва-
лись в то время ввиду большой потребности в инженерных кадрах для
осуществления политики индустриализации страны. В 1932 г. С. М. Ни-
кольский стал заведующим кафедрой математики в Транспортном инсти-
туте, совмещая деятельность заведующего кафедрой с большой работой в
Днепропетровском университете. В этот период Сергей Михайлович встре-
тился с Ниной Ивановной Шлепкиной, которая стала его верным другом и
женой. Трое их детей стали впоследствии математиками: старший сын —
Юрий Сергеевич — ныне кандидат физико-математических наук, доцент
кафедры высшей математики Московского физико-технического институ-
та; младший — Михаил Сергеевич — доктор физико-математических наук,
старший научный сотрудник Математического института им. В. А. Стек-
лова АН СССР и профессор Московского университета; дочь — Наталия
Сергеевна — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры выс-
шей математики Московского института нефте-химической и газовой про-
мышленности им. Губкина.
В самостоятельную научную работу Сергей Михайлович был вовлечен
А. Н. Колмогоровым, приезжавшим в тридцатых годах вместе с П. С. Алек-
сандровым в Днепропетровск из Москвы для чтения лекций. Под руковод-
ством же А. Н. Колмогорова С. М. Никольский в 1935 г. окончил аспи-
рантуру при Московском государственном университете и успешно защи-
тил там кандидатскую диссертацию в области функционального анализа.
После этого он вернулся в Днепропетровский университет, где стал заве-
дующим кафедрой теории функций, доцентом. Сергей Михайлович читал
в университете курсы математического анализа, теории функций действи-
тельного переменного и математической физики. Под влиянием А. Н. Кол-
могорова, который в этот период продолжал систематически приезжать в
Днепропетровский университет, С. М. Никольский продолжал заниматься
функциональным анализом и начал работу в области теории приближения
функций. Уже первые его результаты были настолько серьезны, что при-
влекли к себе внимание крупных математиков, работавших в этой области,
и получили их высокую оценку. В Днепропетровске А. Н. Колмогоров ру-
ководил семинаром по теории приближений, а С. М. Никольский активно
ему помогал. С тех пор Днепропетровск стал известным научным центром
в этой области.
200
VI. Статьи о математиках в других изданиях
В 1940 г. С. М. Никольский поступил по конкурсу в докторантуру Ма-
тематического института им. В. А. Стеклова АН СССР. Пробыв в докто-
рантуре немногим более года, он в январе 1942 г. успешно закончил док-
торскую диссертацию по теории приближения функций многочленами и
был оставлен старшим научным сотрудником Математического института,
в котором и работает до настоящего времени; с 1953 по 1961 гг. он был за-
местителем директора института, ас 1961 г. стал, после М. А. Лаврентьева,
заведующим отделом теории функций. В 1954 г. он принял активное уча-
стие в организации советского реферативного журнала по математике и
стал его первым главным редактором. Все это время С. М. Никольский
не прекращал своей интенсивной педагогической деятельности. С 1943 г.
по 1947 г. он заведовал кафедрой высшей математики в Московском ав-
тодорожном институте. В 1944 г. ему было присвоено звание профессора
кафедры высшей математики. С 1947 года и по настоящее время он рабо-
тает профессором Московского физико-технического института (с 1950 г.
по 1954 г. заведовал в нем кафедрой высшей математики).
В 1968 г. С. М. Никольский был избран член-корреспондентом АН
СССР; а в 1972 г. — ее действительным членом.
Многие более подробные сведения о биографии С. М. Никольского и
обстоятельный анализ его научной деятельности до 1975 г. с точными
формулировками полученных им результатов помещены в юбилейных
статьях А. Н. Колмогорова и С. Б. Стечкина, посвященной пятидеся-
тилетию С. М. Никольского (УМН, 1956, т. 11, вып. 2 (68), с. 237-240),
В. К. Дзядыка, А. Н. Колмогорова и Л. Д. Кудрявцева, посвященной его
шестидесятилетию (УМН, 1965, т. 20, вып. 5 (125), с. 275-287), и их же
статье, посвященной его семидесятилетию (УМН, 1975, т. 30, вып. 4 (184),
с. 271-280). Поэтому в настоящей статье мы ограничимся лишь общим об-
зором основных направлений научных исследований С. М. Никольского до
1975 г., и более подробно осветим его деятельность за последнее десяти-
летие.
В своих исследованиях С. М. Никольский решил ряд проблем, насущно
важных для дальнейшего развития математики, обогатил области матема-
тики, в которых он работал, постановками новых задач, имеющих прин-
ципиальное значение. Его труды представляют собой фундаментальный
вклад в теорию линейных уравнений в функциональных пространствах,
теорию приближения функций, теорию численных методов, теорию диф-
ференцируемых функций многих переменных и ее приложений к матема-
тической физике. Характерной чертой большей части результатов, полу-
ченных С. М. Никольским, является их логическая завершенность. Многие
из них формулируются как необходимые и достаточные условия или как,
в известном смысле, окончательные (неулучшаемые) оценки.
С. М. Никольский (к 80-летию со дня рождения)
201
Результаты его научных исследований изложены в трех опубликован-
ных им монографиях и более чем в 150 научных работах, многие из кото-
рых переведены на иностранные языки и широко используются специали-
стами во всем мире.
Первые исследования С. М. Никольского, выполненные еще в тридца-
тые годы, относятся к теории линейных операторов в банаховых простран-
ствах. Они были проведены в то время, когда функциональный анализ в
нашей стране начал еще только развиваться. Исходные результаты рас-
сматриваемой С. М. Никольским проблемы, относящиеся к случаю, когда
изучаемый оператор вполне непрерывен, принадлежат Ф. Риссу и Ю. Ша-
удеру. С. М. Никольский обогащает эту область новой постановкой во-
проса и решением ряда принципиальных задач. Он рассмотрел уравнение
(Е — АА)(х) = 0 и сопряженное ему в комплексном банаховом пространстве
и нашел необходимые и достаточные условия для того, чтобы для операто-
ра Е — АД выполнялась альтернатива Фредгольма. Он установил критерии
дискретности и непрерывности спектра линейного оператора А в терминах
разложимости оператора Е — ХА в сумму ортогональных в определенном
смысле друг другу операторов, обратимого и вполне непрерывного. Эти
результаты С. М. Никольского получили большое применение в теории
сингулярных интегральных уравнений. Впоследствии эти исследования в
указанной постановке послужили основанием для развития целого направ-
ления в функциональном анализе в ряде работ других авторов у нас в
стране и за рубежом (С. Н. Крачковский, Аткинсон и др.).
Следующий большой цикл работ С. М. Никольского, начатый еще в
Днепропетровске, относится к теории приближения функций. В класси-
ческих работах начала нашего столетия С. Н. Бернштейна, Д. Джексона
и Ш. Ж. Валле-Пуссена был широко изучен вопрос о зависимости поряд-
ка приближений от свойств гладкости приближаемой функции. В середине
тридцатых годов, начиная с одной работы А. Н. Колмогорова, возникла но-
вая тенденция получать асимптотически точные оценки приближений для
различных важных классов функций. С. М. Никольский широко поставил
изучение таких задач и в случае приближений периодических функций
тригонометрическими полиномами успешно решил ряд относящихся к это-
му вопросу первоочередных проблем. Эти результаты составили его док-
торскую диссертацию. После их опубликования С. М. Никольский занял
ведущее положение в этой области математики.
Когда были получены точные и асимптотически точные оценки прибли-
жений для периодических функций, в ряде важных для анализа случаев
возник вопрос о получении оценок этого рода в непериодическом случае.
Трудности, которые здесь возникли, пытались преодолеть ряд крупных ма-
тематиков. С. М. Никольскому удалось получить первые асимптотически
202
VI. Статьи о математиках в других изданиях
точные результаты в этой области. Существенно отметить, что С. М. Ни-
кольский получил асимптотически точные оценки, зависящие не только от
степени приближающего многочлена, но и от положения точки, в которой
происходит приближение. Он получил также ряд новых асимптотических
оценок для индивидуальных функций, имеющих заданные особенности.
Третий большой цикл работ С. М. Никольского относится к теории
дифференцируемых функций многих переменных. Начало этому циклу по-
ложили полученные Сергеем Михайловичем новые, точные в смысле по-
рядка неравенства (известные теперь во всем мире как «неравенства Ни-
кольского») для тригонометрических многочленов и целых функций экс-
поненциального типа. Эти неравенства позволили С. М. Никольскому об-
наружить методами теории приближений как зависимости, существующие
между разными дифференциальными свойствами функций многих пере-
менных в разных метриках, так и зависимости между дифференциальны-
ми свойствами функций, рассматриваемых на пространствах разного числа
измерений. Он существенно развил теорию С. Л. Соболева вложения клас-
сов дифференцируемых функций. Для функциональных пространств, со-
стоящих из функций, удовлетворяющих интегральному условию Гёльдера-
Зигмунда, С. М. Никольский впервые получил точные прямые и им обрат-
ные теоремы вложения. Тем самым было показано, что рассматриваемые
пространства образуют замкнутую систему относительно теорем вложе-
ния. Теоремы вложения были получены С. М. Никольским не только для
изотропных, но и для анизотропных функциональных пространств.
В 1952 г. за цикл работ по теории приближения функций Сергею Ми-
хайловичу была присуждена Государственная премия.
После того как С. М. Никольским были получены основные из ука-
занных результатов по вложению классов функций, у нас и за границей
появилась тенденция изучать другие важные классы дифференцируемых
функций с точки зрения выяснения их замкнутости в себе относительно
теорем вложения. Эти исследования существенно обогатили математиче-
ский анализ и его приложения.
Теоремы вложения С. М. Никольского явились для него основой ис-
следований, связанных с прямым вариационным методом, который в свою
очередь послужил ему базой для решения ряда задач математической фи-
зики. Ряд работ С. М. Никольского посвящен обоснованию решения вариа-
ционным методом первой краевой задачи для достаточно общих уравнений
эллиптического и гипоэллиптического типов. С. М. Никольский получил
условия разрешимости краевой задачи в терминах свойств граничных дан-
ных, изучил дифференциальные свойства решений. К этим исследованиям
примыкает его цикл работ по вариационной задаче Гильберта в п-мерном
пространстве.
С. М. Никольский (к 80-летию со дня рождения)
203
Некоторые свои исследования по теории дифференцируемых функций
многих переменных С. М. Никольский подытожил в монографии «Прибли-
жение функций многих переменных и теоремы вложения», первое издание
которой вышло в свет в 1969 г. (в 1975 г. его перевод на английский язык
был опубликован издательством «Шпрингер»), а второе — в 1977 г. Мо-
нография С. М. Никольского получила высокую оценку специалистов и
стала настольной книгой математиков, работающих в этой области. За эту
монографию Сергей Михайлович был удостоен в 1975 г. премии АН СССР
им. П. Л. Чебышева. Ряд его исследований вошел в монографию «Инте-
гральные представления функций и теоремы вложения», написанную им
совместно с О. В. Бесовым и В. П. Ильиным и опубликованную в 1975 г.
(ее перевод на английский язык был опубликован в США в 1978-1979 гг.).
Эта монография была удостоена Государственной премии в 1977 г.
С. М. Никольским создана теория наилучших квадратурных формул
для классов функций одной переменной и получены точные оценки для
некоторых таких классов. Эти результаты собраны в его монографии
«Квадратурные формулы», первое издание которой вышло в 1958 г., вто-
рое — в 1974 г., третье — в 1979 г. Она также была переведена на английский
язык и издана в 1964 г. в Индии и в 1966 г. в Англии.
Идеи, развитые С. М. Никольским в его исследованиях, оказались весь-
ма плодотворными; они получили свое дальнейшее развитие в работах его
учеников и последователей и позволили им получить много глубоких ре-
зультатов и по теории приближения функций, и по теории вложения функ-
циональных классов, и по теории квадратурных формул.
Последние годы Сергей Михайлович, в большей части совместно с
П. И. Лизоркиным, занимался изучением дифференциальных свойств ре-
шений уравнений эллиптического типа с сильным вырождением. Они, про-
должая свои совместные исследования, начатые еще в 1964 г., рассмотрели
первую краевую задачу для эллиптического уравнения
ад= L (~^k]Dk(akiDlu) = F(x),	(1)
aki(x) = aik(x), x = (27,..., zn) € Q C Rn, r > 1,
I — м T . . . -Г
52
/с j > 0,	I j0, j 1,2,..., n,
сильно вырождающегося на границе 3Q ограниченной области Q. Вырож-
дение уравнения (1) характеризуется выполнением неравенств типа
(X)I < ср(х)~2(г+«)+1*1+|/|-|А|5	а = (Аь ..., An), IА| 7,
204
VI. Статьи о математиках в других изданиях
1/2
где р(х) — расстояние от точки х G Q до 5Q, а 7 - фиксированное целое
неотрицательное число.
В предположении, что 0 < г + а — | < г и что существует натуральное
so, удовлетворяющее неравенству г+а— | < $о < т+а+|, рассматривается
краевая задача с граничными данными
3s и
=9^ (s = 0,
du3 dQ
(v — внешняя нормаль на ЭП). Дается точное внутреннее описание про-
странства НГ17(П) правых частей уравнений (1), когда однородная краевая
задача (1)-(2) имеет обобщенное решение в классе функций с конечной
весовой нормой
ii«Hh2’-q(q) = | [ (р~2а 52	+ы2й dx
1 Jn V |fc|=r	'
(В случае 7 < г функция, принадлежащая Нг ^, является, вообще говоря,
обобщенной.) При этом доказывается, что дифференциальный оператор L
О
(см. (1)) изоморфно отображает пространство W^a (И) (т. е. подпростран-
ство пространства WJ а(П), состоящее из функций с нулевыми граничными
данными (2)) на пространство ЯГ17(П), откуда, в частности, следует суще-
ствование и единственность решения однородной краевой задачи (1)-(2) в
О
классе IVj (П) ПРИ е	Рассмотрена ими и неоднородная зада-
ча (1 )-(2); изучены дифференциальные свойства ее решения, установлена
оценка его весовой нормы через норму в пространстве /fr7(Q) правой ча-
сти уравнения (1) и соответствующую норму граничных данных. В случае
однородной задачи (1)-(2) эта оценка имеет вид
Ии11и'2г+1ДЯ) II ^11 Hr, (Я)-
Показывается, что при определенных условиях имеет место и неравен-
ство противоположного знака с некоторой константой.
Последнее время С. М. Никольский снова вернулся к задачам теории
приближения функций. В своих совместных с П. И. Лизоркиным рабо-
тах он занимается изучением приближения функций на сфере с помощью
гармонических полиномов в метрике Lp. Например, в случае L2 ими пол-
ностью доказана теорема типа Джексона и ее обращение на (п — 1)-мерной
сфере а n-мерного пространства Rn. Сферический сдвиг S„f(x) функции
/(х) € £р(<т), 1 р +оо, определяется как среднее значение функции на
«окружности» ху = cos7, х G сг, у С ст. Для того чтобы при 2k > г — 2р > 0
выполнялось неравенство
11(3, - Е)‘Д-711 ы,) « п-,' 2"
С. М. Никольский (к 80-летию со дня рождения)
205
(где Е — единичный оператор, Д — оператор Лапласа-Бельтрами), необ-
ходимо и достаточно, чтобы наилучшие приближения El/(f')2 функций f в
метрике Lzicr) полиномами порядка и по сферическим гармоникам подчи-
нялись оценке
E^fh^ (р=1,2,...)
(ci и С2 — постоянные). Ряд результатов получен и в случае произвольного
р 1, наиболее полные для четной размерности п пространства Rn.
Как уже отмечалось, идеи и методы С. М. Никольского постоянно на-
ходят свое дальнейшее развитие в работах других математиков. В настоя-
щее время он является признанным главой большой созданной им школы
теории функций и ее приложений, представители которой работают в раз-
ных частях нашей страны. Многие из них занимают ведущее положение
в разработке ряда научных направлений. Большую роль в создании и де-
ятельности научной школы С. М. Никольского играет семинар по теории
дифференцируемых функций многих переменных и ее приложениям, ко-
торым руководит С. М. Никольский совместно с В. И. Кондрашовым (до
1971 г.), Л. Д. Кудрявцевым и с 1984 г. С. Л. Соболевым на протяжении
более тридцати лет. Сюда приезжают ученые, работающие в этой области,
из разных городов Советского Союза и из-за границы, чтобы рассказать о
своих результатах, обсудить очередные научные проблемы, ознакомиться
с исследованиями постоянных участников семинара: учеников С. М. Ни-
кольского и учеников его учеников. Сергей Михайлович подготовил более
35 кандидатов наук. Из его учеников 11 имеют ученую степень доктора
физико-математических наук: Т. И. Аманов, О. В. Бесов, В. И. Буренков,
Я. С. Бугров, В. К. Дзядык, Н. П. Корнейчук, Л. Д. Кудрявцев, В. П. Мо-
торный, М. К. Потапов, А. Ф. Тиман, С. В. Успенский, среди них члены-
корреспонденты всесоюзной и республиканских академий наук.
Труды С. М. Никольского высоко ценятся не только в нашей стране,
но и за рубежом: ему была присуждена золотая медаль Больцано Чехосло-
вацкой академии наук, он был избран иностранным членом Венгерской и
Польской академий наук. В 1954 г. С. М. Никольский по приглашению орг-
комитета Международного конгресса математиков в Амстердаме сделал на
этом конгрессе секционный доклад по теории приближений.
Сергей Михайлович неизменно продолжает уделять большое внимание
педагогической деятельности, прежде всего в Московском физико-техни-
ческом институте, где он остается профессором кафедры высшей мате-
матики. Сергей Михайлович — замечательный лектор: его увлеченность,
страстность, влюбленность в математику никого не могут оставить равно-
душными. На своих лекциях он раскрывает перед студентами силу и кра-
соту математических методов, пробуждает в них жажду знаний, желание
206
VI. Статьи о математиках в других изданиях
овладеть математикой, а у некоторых (они все готовились стать физиками)
и стремление к самостоятельному творчеству в математике. Не случайно,
что четверть штатного состава отдела теории функций, возглавляемого
С. М. Никольским в Математическом институте АН СССР, состоит из вы-
пускников физтеха. На основе читаемых им лекций по математическому
анализу им написан широко известный учебник «Курс математического
анализа», выдержавший уже три издания (в 1973, 1975 и 1984 гг.) и поль-
зующийся заслуженной популярностью как среди студентов, так и среди
преподавателей; имеются переводы этого курса на английский, испанский,
латвийский языки. Учебник принят в качестве основного в ряде универси-
тетов и высших технических учебных заведений с повышенной математи-
ческой подготовкой.
Совместно с профессором Я. С. Бугровым С. М. Никольский написал
трехтомный курс высшей математики, по которому сейчас ведется препо-
давание в технических вузах и который удостоен медали «За науку» Мин-
вуза СССР. Большой интерес проявляет Сергей Михайлович и к обучению
математике в средней школе. Совместно с профессором М. К. Потаповым
и учителем Н. К. Решетниковым им написан экспериментальный учебник
«Алгебра б», который проходит сейчас опытную проверку в ряде школ.
С. М. Никольский всегда активно участвует в научно-организационной
и общественной деятельности. Являясь заместителем председателя Наци-
онального комитета советских математиков и членом ученого совета Меж-
дународного математического центра им. С. Банаха, где представляет на-
шу страну, он тратит много сил и энергии на организацию и укрепление
международного содружества ученых. В 1983 г. в сложной международной
обстановке в Варшаве должен был состояться очередной международный
конгресс математиков. С. М. Никольский приложил много усилий в меж-
дународных организациях для того, чтобы конгресс состоялся, и активно
участвовал в его организации. Конгресс прошел весьма успешно. С. М. Ни-
кольский возглавил на нем советскую делегацию, насчитывающую около
300 человек.
В течение сорока лет С. М. Никольский — сначала заместитель ответ-
ственного редактора «Трудов Математического института им. В. А. Стек-
лова АН СССР», а затем — последние пятнадцать лет — ответствен-
ный редактор. Он является также главным редактором советской секции
советско-венгерского математического журнала «Analysis Mathematica»,
членом редколлегий журнала «Успехи математических наук» и РЖ «Ма-
тематика». С. М. Никольский — член бюро Отделения математики АН
СССР, член методической комиссии по образованию при Отделении ма-
тематики АН СССР, член партбюро (более тридцати лет) и председатель
комиссии народного контроля МИАН. Он — член президиума научно-ме-
С. М. Никольский (к 80-летию со дня рождения)
207
тодического совета по математике при Минвузе СССР, председатель мето-
дической комиссии МФТИ.
Под его председательством (1975-1978) программная комиссия научно-
методического совета по математике при Минвузе СССР разработала но-
вые программы курса высшей математики для студентов инженерных спе-
циальностей. Ныне технические вузы нашей страны работают по этим про-
граммам: они были утверждены Минвузом СССР в 1979 г. и переутвержде-
ны без всяких изменений в 1983 г. Любому делу, за которое берется Сергей
Михайлович, он отдается до конца, делает все добросовестно, не жалея сил
и времени.
Партия и правительство высоко ценят труд академика С. М. Никольско-
го. Он награжден орденами Ленина, Октябрьской Революции, Трудового
Красного Знамени и рядом медалей. Одну из них — «За оборону Моск-
вы» — он получил за участие в 1941 г. в строительстве противотанковых
укреплений в районе Малоярославца.
Благодаря своим исключительным человеческим качествам: высокой
гражданственности, принципиальности, честности, доброжелательному от-
ношению к людям, отзывчивости, простоте и непосредственности, он ока-
зывает огромное положительное влияние на людей, с которыми общается.
Сергей Михайлович любит людей, щедро делится с ними своим опытом,
знаниями, вдохновляя их своим энтузиазмом и требовательностью к вы-
полняемой работе.
Будучи умудренным большим жизненным опытом и наделенным лите-
ратурным талантом (он незаурядный рассказчик), С. М. Никольский напи-
сал интересные воспоминания о приезде П. С. Александрова и П. С. Кол-
могорова в Днепропетровск (УМН, 1983, т. 38, вып. 4 (232), с. 37-49) и о
своем друге А. А. Мальцеве (УМН, 1972, т. 27, вып. 4 (166), с. 232-230).
Сергей Михайлович любит общаться с молодежью, вокруг него много
учеников. Он всегда готов поддержать и одобрить начинающего ученого,
тактично прийти к нему на помощь, когда это нужно. Кто бы ни пришел к
нему, он никому не откажет в разговоре, внимательно выслушает и щедро
поделится своими знаниями, интуицией, опытом, а для продолжения бесе-
ды пригласит на воскресную загородную прогулку. Сергей Михайлович —
большой любитель природы, и, являясь очень активным и деятельным че-
ловеком, он и отдыхать любит в действии, в движении. Редкая неделя
проходит без того, чтобы он не отправился на большую прогулку по Под-
московью со своими коллегами, учениками, детьми, внуками, а когда нет
компании — и один. Если есть снег — на лыжах, когда нет — пешком или
на велосипеде. В летние месяцы Сергей Михайлович любит побродить по
горам. Немало маршрутов он исходил по ущельям и перевалам Кавказа,
Алтая и Крыма, много изведал троп в Забайкалье, Приморье, на Саха-
208
VI. Статьи о математиках в других изданиях
лине, Камчатке. Сергей Михайлович всегда любил и греблю, в молодости
ему приходилось иногда грести по 12 часов в день много дней подряд.
Летом 1938 и 1939 гг. он с А. И. Мальцевым, совместно с их научными
руководителями А. Н. Колмогоровым и П. С. Александровым, совершили
два больших путешествия на лодках. Одно из них от Красноуфимска по
рекам Уфе, Белой, Каме, Волге (1600 км), другое — по Волге от Юрьева
до Саратова. Летом 1953 г. Сергей Михайлович с сыном Мишей, В. М. Ку-
рочкиным и Л. Д. Кудрявцевым спустились на лодках по Оке от Калуги
до Серпухова.
Где бы ни был Сергей Михайлович — дома, на отдыхе, в командировке,
в нашей стране или за границей — он всегда найдет время для спорта: бега,
лыж, плаванья, гребли, туризма. Регулярные занятия спортом неотдели-
мы от Сергея Михайловича. В этом, безусловно, одна из причин того, что
он, как всегда, полой сил и энергии, успешно продолжает свою многосто-
роннюю и плодотворную деятельность. Как всегда, ему свойственны энту-
зиазм и увлеченность в занятии наукой, большое чувство ответственности
в отношении любого дела, доброжелательное и внимательное отношение к
людям, принципиальность во всех поступках.
Пожелаем Сергею Михайловичу еще долгие годы плодотворно рабо-
тать в науке и всегда оставаться таким же энергичным, жизнерадостным,
бодрым и веселым, каким все его знают!
ОЛЬГА АРСЕНЬЕВНА ОЛЕЙНИК.
МАТЕМАТИК
Исполнилось 25 лет работы в Московском университете выдающего-
ся математика нашей страны Ольги Арсеньевны Олейник. Двадцать лет
О. А. Олейник является профессором кафедры дифференциальных урав-
нений механико-математического факультета.
Окончив среднюю школу в 1942 г. в г. Пермь, где она в годы войны жила
в эвакуации, Ольга Арсеньевна поступила на физико-математический фа-
культет Пермского университета. Будучи студенткой, она, как и все комсо-
мольцы ее курса, совмещала занятия в университете с работой на военном
заводе. Пермский областной комитет ВЛКСМ отметил ее работу почет-
ной грамотой «За самоотверженный труд в дни Великой Отечественной
войны».
В Пермском университете в военные годы работала профессор Мос-
ковского университета С. А. Яновская. Она руководила математическим
кружком, который объединял наиболее талантливых студентов. После воз-
вращения Московского университета из эвакуации многие участники перм-
ского математического кружка, в том числе и Ольга Арсеньевна, были пе-
реведены в Московский университет.
В Московском университете Ольга Арсеньевна начала работать в науч-
ном семинаре, которым руководил Иван Георгиевич Петровский. Работа в
этом семинаре в значительной степени определила ее научные интересы.
В 1947 г. Ольга Арсеньевна с отличием окончила механико-математический
факультет Московского университета и поступила в аспирантуру Инсти-
тута математики МГУ. Ее научным руководителем был И. Г. Петровский.
В 1950 г. О. А. Олейник защитила кандидатскую диссертацию на те-
му «О топологии действительных алгебраических кривых на алгебраиче-
ской поверхности» и начала работать научным сотрудником Математиче-
ского института им. В. А. Стеклова АН СССР и одновременно преподавать
на механико-математическом факультете МГУ. В 1952 г. за исследование
уравнений с частными производными с малым параметром при старших
производных она была награждена Президиумом Академии наук СССР
премией им. Н. Г. Чеботарева.
В 1954 г. Ольга Арсеньевна защитила докторскую диссертацию «Крае-
вые задачи для уравнений с частными производными с малым параметром
при старших производных и задача Коши для нелинейных уравнений в це-
Вестник Московского университета. Сер. 1. — 1975. — К» 4. — С. 118-124 (совм. с
П. С. Александровым и С. Л. Соболевым).
210
VI. Статьи о математиках в других изданиях
лом». С 1955 г. О. А. Олейник — профессор кафедры дифференциальных
уравнений механико-математического факультета Московского универси-
тета. В 1964 г. за работы по теории пограничного слоя ей была присуждена
премия имени М. В. Ломоносова первой степени.
В 1967 г. О. А. Олейник избрана иностранным членом Итальянской
академии наук в Палермо.
Работы О. А. Олейник относятся к теории уравнений с частными
производными, топологии алгебраических многообразий, математической
физике и теории пограничного слоя. Ею опубликовано 127 научных
работ.
В работе О. А. Олейник [1], выполненной еще в студенческие годы,
рассматриваются классические вопросы теории линейных эллиптических
уравнений второго порядка. Она доказала, что условия разрешимости зада-
чи Дирихле для произвольного линейного эллиптического уравнения вто-
рого порядка с достаточно гладкими коэффициентами те же, что и для
уравнения Лапласа (эти уравнения имеют одни и те же регулярные гранич-
ные точки). Указанный результат вошел во многие учебники, и в частности
в учебник Адамара по уравнениям с частными производными. Близким во-
просам посвящены работы О. А. Олейник [11, 14, 24], которые повлекли
за собой серию работ ряда авторов, продолжающуюся до настоящего
времени.
В 1949-1951 гг. выходят в свет работы О. А. Олейник по топологии
алгебраических многообразий (см. [2-9]; работы [2, 3, 8] написаны совмест-
но с И. Г. Петровским). Они дают ответы на ряд вопросов, поставленных
Гильбертом в его 16-й проблеме. В работах О. А. Олейник даны оценки
эйлеровой характеристики (п- 1)-мерной алгебраической поверхности по-
рядка тп в n-мерном пространстве; установлены теоремы о расположении
алгебраической кривой на алгебраической поверхности в трехмерном про-
странстве, а также получены оценки чисел Бетти и оценки числа кусков ал-
гебраической поверхности порядка тп в n-мерном пространстве. Известные
топологи Д. Милнор и Р. Том в 1965 г. другими методами получили оценки
чисел Бетти и числа кусков действительной алгебраической поверхности,
однако эти оценки оказались слабее оценок О. А. Олейник, полученных
ею в 1949 г. Эта область математики интенсивно развивается в последние
годы, и результаты, полученные И. Г. Петровским и О. А. Олейник, зани-
мают в ней одно из центральных мест (см. обзор Д. А. Гудкова в «Успехах
матем. наук», 29 : 4, 1974).
Следующий цикл работ О. А. Олейник (1951-1953) (10, 12, 15, 22] по-
священ изучению поведения решений краевых задач для эллиптических и
параболических уравнений второго порядка с малым параметром при стар-
Ольга Арсеньевна Олейник
211
ших производных при стремлении параметра к нулю. Это были первые в
СССР работы по названным вопросам, и они вызвали многочисленные про-
должения.
Большое число работ О. А. Олейник посвящено нелинейным уравне-
ниям с частными производными. В теории нелинейных гиперболических
уравнений трудным и важным для приложений является вопрос об иссле-
довании решения задачи Коши в целом, то есть для большого промежутка
времени. Трудности здесь возникают уже при определении понятия ре-
шения. Необходимость изучения этих вопросов диктуется потребностями
физики, в частности задачами газовой динамики. О. А. Олейник впер-
вые систематически исследовала задачу Коши в целом для квазилиней-
ных уравнений первого порядка, являющихся модельными для уравнений
газовой динамики. В работах 1954-1958 гг. (см. [18, 19, 20, 22, 23, 25, 26,
27, 30, 33, 34, 36, 37]) дано физически оправданное определение обобщен-
ного решения задачи Коши; указан аналог условия возрастания энтропии;
доказаны существование и единственность обобщенного решения задачи
Коши, его непрерывная зависимость от начальных условий; исследованы
качественные свойства решений; показано, что эти решения могут быть
получены методом «исчезающей вязкости», то есть как пределы решений
параболических уравнений с малым параметром при старшей производной
при стремлении этого параметра к нулю. В работе [28] доказана единствен-
ность обобщенного решения задачи Коши для системы уравнений газовой
динамики, то есть решения, содержащего ударные волны и волны разре-
жения. Работы О. А. Олейник по разрывным решениям нелинейных гипер-
болических уравнений вместе с работами Е. Хопфа являются основопола-
гающими в этой области. Позже эти работы продолжались ее учениками,
а также многими другими математиками.
Надо сказать, что И. Г. Петровский постоянно обращал внимание своих
учеников на необходимость заниматься не только «чистой математикой»,
но и приложениями математики к задачам механики, физики и других
областей точного естествознания.
О. А. Олейник и ее ученикам принадлежат важные исследования урав-
нений фильтрации жидкостей и газов в пористой среде [31, 32, 58, 64].
Это — нелинейные уравнения параболического типа, вырождающиеся при
некоторых значениях искомой функции. Названные исследования устано-
вили ряд существенных для механики фактов. В частности, был определен
класс функций, в котором задача имеет единственное решение; доказана
конечная скорость распространения возмущений.
Для уравнений, описывающих распространение тепла в телах, находя-
щихся в различных фазовых состояниях (задача Стефана) О. А. Олейник
в работах [45, 65] дала новый подход к построению решений. (Нахождение
212
VI. Статьи о математиках в других изданиях
приближенного решения задачи сводится к решению некоторого квазили-
нейного уравнения со специально сглаженными коэффициентами.) Этот
же метод сглаживания коэффициентов был применен ею в задачах ди-
фракции для уравнений эллиптического и параболического типов [39, 40,
46, 48].
О. А. Олейник внесла крупный вклад в теорию пограничного слоя, яв-
ляющуюся одним из важнейших разделов современной гидродинамики. В
ее работах создана математическая теория уравнений пограничного слоя
(1963-1972; работы [53, 55-58].
Начало теории пограничного слоя было положено в докладе Л. Прандт-
ля на Международном математическом конгрессе в 1904 г. Им были выве-
дены уравнения пограничного слоя, носящие теперь его имя. На протяже-
нии шестидесяти лет по теории пограничного слоя были написаны сотни
статей и монографий, однако до последнего времени из-за сложности си-
стемы уравнений Прандтля основные вопросы математического характера,
касающиеся этих уравнений, не были решены. В многочисленных работах,
главным образом механиков, строились различные частные решения систе-
мы Прандтля, предлагались без обоснования приближенные методы реше-
ния этих уравнений. В работах О. А. Олейник построена полная математи-
ческая теория уравнений пограничного слоя для двумерных стационарных
и нестационарных течений несжимаемой жидкости. Созданные при этом
методы исследования применимы также и для сжимаемой жидкости и для
некоторых трехмерных течений. Ольга Арсеньевна доказала теоремы су-
ществования решений основных задач теории пограничного слоя; установи-
ла в тех же классах функций теоремы единственности; исследовала вопрос
об устойчивости решений при возмущениях внешнего течения, начальной
функции и поверхности обтекаемого тела. Она указала простые методы по-
строения приближенных решений и доказала их сходимость; изучила урав-
нения пограничного слоя для симметрических и осесимметрических тече-
ний в окрестности точки остановки. Для задачи образования пограничного
слоя при постепенном разгоне, которой ранее занимались Блазиус, Гертлер
и другие, ею доказаны существование и единственность решения и изуче-
на асимптотика решения при малых значениях времени, а также вдали от
обтекаемого тела. В работах О. А. Олейник исследовано положение точки
отрыва, указаны случаи безотрывных течений, изучено влияние вдува и
отсоса через границу обтекаемого тела на положение точки отрыва. Мето-
ды О. А. Олейник использовали ее ученики, а также другие математики
в нашей стране и за рубежом для исследования различных задач теории
пограничного слоя.
В работах Ольги Арсеньевны [60, 62, 70, 74, 91], [93-96, 102] построе-
на теория уравнений второго порядка с неотрицательной характеристиче-
Ольгя Арсеньевна Олейник
213
ской формой, то есть уравнений эллиптического типа, допускающих любое
вырождение внутри области и на ее границе. Эллиптические уравнения,
вырождающиеся только на границе области, были изучены ранее в рабо-
тал многих математиков. Начало этим исследованиям было положено в
известной работе М. В. Келдыша (1951 г.). Для уравнений второго поряд-
ка с неотрицательной характеристической формой, или, как их еще на-
зывают, эллиптико-параболических уравнений, итальянским математиком
Г. Фикера была рассмотрена первая краевая задача и было доказано су-
ществование ее обобщенного решения. В 1956 г. им был поставлен вопрос
об единственности обобщенного решения этой задачи. Этот трудный во-
прос решен Ольгой Арсеньевной в 1963 г. (см. [60]). Ею получено также
обобщенное решение этой задачи методом эллиптической регуляризации.
Результаты исследований О. А. Олейник по уравнениям второго порядка
с неотрицательной характеристической формой изложены в монографии,
написанной совместно с ее учеником Е. В. Радкевичем [93] в 1971 г. В этой
же монографии содержатся их совместные результаты по исследованию
гладкости обобщенных решений и гипоэллиптичности уравнений второго
порядка. В частности, они получили необходимое и достаточное условие
гипоэллиптичности уравнения второго порядка с аналитическими коэф-
фициентами.
О. А. Олейник принадлежат также исследования гиперболических
уравнений второго порядка с кратными характеристиками [68,83,90] (1966—
1970 гг.). Ею даны точные условия, при которых задача Коши для таких
уравнений поставлена корректно. Названные работы продолжены учени-
ком Ольги Арсеньевны В. Петковым. Сейчас эти вопросы находятся в цен-
тре внимания многих математиков.
В последние годы Ольга Арсеньевна получила ряд глубоких и важных
результатов об аналитичности решений линейных уравнений с частными
производными и систем (1972-1974; работы [99-101], [103-105], [109, 114,
116, 117, 121]). Этот вопрос связан с 19-й проблемой Гильберта. С. Н. Берн-
штейн, Г. Леви и И. Г. Петровский установили, что все решения эллиптиче-
ских уравнений и систем с аналитическими коэффициентами аналитичны.
О. А. Олейник совместно с ее учеником Е. В. Радкевичем нашла новый
подход к изучению этого вопроса. Они установили априорную оценку ана-
литического продолжения решения в комплексную область для уравнений,
обладающих только аналитическими решениями. При помощи этой оценки
выделены широкие классы уравнений с частными производными и систем,
обладающих неаналитическими решениями. Этот же подход позволил им
получить точные оценки решений эллиптических и параболических систем,
зависящих от параметра, что, в свою очередь, дало им возможность уста-
новить ряд теорем типа теоремы Лиувилля и Фрагмена-Линделёфа для
214
VI. Статьи о математиках в других изданиях
самых общих эллиптических и параболических систем (см. [107, 108, ПО,
112, 113, 118, 119, 122, 124]). Совместно с Е. М. Ландисом [111] ею ис-
следованы вопросы об обобщенной аналитичности решений эллиптических
и параболических уравнений, о возможности эллиптического продолже-
ния решения параболического уравнения, рассматриваемого на характери-
стике. Ими получено отсюда много интересных следствий о качественном
поведении решений эллиптических и параболических уравнений. Исполь-
зуя аналитичность решения параболической системы по дополнительно-
му, специально введенному пространственному переменному и априорную
оценку его аналитического продолжения для комплексных значений этого
переменного, О. А. Олейник доказала [120, 123, 125, 126] теоремы един-
ственности решения задачи Коши, краевой задачи без начальных условий
и общих краевых задач для параболических систем общего вида в неогра-
ниченных областях в классах растущих функций. Предложенный ею метод
исследования позволил изучить асимптотику решений при больших значе-
ниях времени, а также асимптотическое поведение по пространственным
переменнным фундаментального решения и функции Грина для параболи-
ческих систем. В самое последнее время ею получен ряд результатов для
механики дисперсных сред [127, 128].
Отметим, что О. А. Олейник является автором ряда обзорных статей
[27, 47, 52, 81] в журнале «Успехи математических наук», каждая из кото-
рых, по существу, является монографией по одному из актуальных разде-
лов математики.
Широка и многогранна педагогическая деятельность О. А. Олейник.
Ее лекции по курсу дифференциальных уравнений с частными производ-
ными, которые она на протяжении многих лет читает студентам механико-
математического факультета, непрестанно обновляя и совершенствуя их,
пользуются неизменной популярностью. Читаемые ею специальные курсы,
посвященные различным вопросам современной теории уравнений с част-
ными производными, связаны с наиболее актуальными проблемами теории
и богаты идеями.
В течение ряда лет О. А. Олейник руководит научно-исследовательским
семинаром. Этот семинар пользуется известностью далеко за пределами
Московского университета, и многие видные математики, как советские,
так и зарубежные, считают для себя честью сделать доклад на этом семи-
наре.
Последние годы много внимания уделяет Ольга Арсеньевна руковод-
ству кафедрой дифференциальных уравнений механико-математического
факультета.
По инициативе О. А. Олейник организован семинар по дифференциаль-
ным уравнениям и математическим проблемам физики имени И. Г. Пет-
Ольга Арсеньевна Олейник
215
ровского, в работе которого принимает участие большое число известных
ученых. Она является главным редактором издания «Труды семинара име-
ни И. Г. Петровского».
С большим вниманием Ольга Арсеньевна относится к своим студентам
и аспирантам. Под ее руководством выполнено и защищено более 25 канди-
датских диссертаций. Несколько ее учеников стали докторами наук и про-
фессорами. Учениками О. А. Олейник являются Ю. В. Егоров, С. Н. Круж-
ков, А. М. Ильин, Н. Д. Введенская, Т. Д. Вентцель, А. С. Калашников,
Е. В. Радкевич, Т. Джураев, Г. Намазов, В. Петков (Болгария), И. Копачек
(Чехословакия), Я. И. Канель, Д. А. Силаев, А. И. Суслов, В. Н. Самохин
и другие.
Иван Георгиевич Петровский высоко ценил математическое дарование
и научные достижения Ольги Арсеньевны и всегда гордился ею. Рабо-
ты О. А. Олейник получили широкое международное признание. Многие
иностранные университеты и академии приглашали ее для чтения лекций
(Нью-Йоркский, Стенфордский, Калифорнийский, Мерилендский, Прин-
стонский, Миннесотский, Чикагский университеты в США, Высшая нор-
мальная школа в Пизе, Институт Пуанкаре в Париже, Национальная ака-
демия Линчеи в Риме, Институт автоматики и информатики Франции
(IRIA), Академия наук Румынии, университеты Парижа, Рима, Гёттинге-
на, Карлсруэ, Флоренции, Генуи, Палермо, Софии, Бухареста и ряда дру-
гих городов).
В 1970 г. О. А. Олейник была приглашена Международным оргкоми-
тето*м для чтения доклада на Международном математическом конгрессе
в Ницце. Ольга Арсеньевна получала приглашения участвовать во многих
международных конференциях по уравнениям с частными производными
и гидромеханике (Польша, США [Беркли], Франция, Италия, Венгрия, Ка-
нада [Квебек], Болгария и др.).
Ее монография [89] по теории пограничного слоя издана в США (Мин-
несота) в 1965 г. Монография [93] переведена на английский язык в Нью-
Йорке и на итальянский язык в Риме.
О. А. Олейник ведет большую общественную и организаторскую рабо-
ту. Она является членом правления Московского математического обще-
ства, главным редактором издания «Труды Московского математического
общества», заместителем главного редактора журнала «Успехи математи-
ческих наук», членом редколлегии журнала «Вестник Московского универ-
ситета». Она избрана членом Советского комитета защиты мира, членом
Комитета советских женщин. О. А. Олейник награждена медалью Всемир-
ного Совета Мира за активную деятельность по укреплению мира между
народами и почетной грамотой Советского комитета защиты мира.
216
VI. Статьи о математиках в других изданиях
Ольга Арсеньевна Олейник принадлежит к числу ученых, которыми
всегда будет гордиться Московский университет.
Она встречает свой юбилей в расцвете творческих сил. Пожелаем ей
многих лет столь же плодотворной работы, многих успехов и больших до-
стижений в науке.
СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ НАУЧНЫХ РАБОТ О. А. ОЛЕЙНИК
1.	О задаче Дирихле для уравнений эллиптического типа. «Матем. сб.», 24
(66), 3 14, 1949.
2.	О топологии действительных алгебраических поверхностей. «ДАН СССР»,
67, 31-33, 1949 (совм. с И. Г. Петровским).
3.	О топологии действительных алгебраических поверхностей. «Изв. АН СССР,
сер. матем.», 13, 389-402, 1949 (совм. с И. Г. Петровским).
4.	Некоторые оценки чисел Бетти действительных алгебраических поверхно-
стей. «Докл. АН СССР», 67, 425-427, 1949.
5.	О топологии действительных алгебраических пространственных кривых.
«Докл. АН СССР», 70, 13-15, 1950.
6.	Оценки чисел Бетти действительных алгебраических гиперповерхностей.
«Матем. сб.», 28 (70), 635-640, 1951.
7.	О топологии действительных алгебраических кривых на алгебраической по-
верхности. «Матем. сб.», 29 (71), 133-156, 1951.
8.	О топологии действительных алгебраических поверхностей. «Успехи матем.
наук», 6 : 4(44), 208-209, 1951 (совм. с И. Г. Петровским).
9.	Об алгебраических кривых на алгебраической поверхности. «Успехи матем.
наук», 6 : 4(44), 209-210, 1951.
10.	О второй краевой задаче для уравнения эллиптического типа с малым
параметром при старших производных. «Докл. АН СССР», 79, 735-737,
1951.
11.	О свойствах решений некоторых краевых задач для уравнений эллиптиче-
ского типа. «Матем. сб.», 30 (72), 695-702, 1952.
12.	Об уравнениях эллиптического типа с малым параметром при старших про-
изводных. «Матем. сб.», 31 (73), 104-117, 1952.
14.	Об эллиптических уравнениях 2-го порядка. «Успехи матем. наук», 7 : 3(49),
106-107, 1952.
15.	О краевых задачах для уравнений с малым параметром при старших произ-
водных. «Докл. АН СССР», 85, 493-495, 1952.
18.	Задача Коши для нелинейных дифференциальных уравнений с разрывными
начальными условиями. М., 1954, 1-20.
19.	О задаче Коши для нелинейных уравнений в классе разрывных функций.
«Успехи матем. наук», 9 : 3(61), 231-233, 1954.
20.	О задаче Коши для нелинейных уравнений в классе разрывных функций.
«Докл. АН СССР», 95, 451-454, 1954.
Ольга Арсеньевна Олейник
217
22.	Краевые задачи для уравнений с частными производными с малым парамет-
ром при старших производных и задача Коши для нелинейных уравнений в
целом. «Успехи матем. наук», 10 : 3(65), 229-234, 1955.
23.	Некоторые задачи теории нелинейных уравнений с частными производными
и уравнения с малым параметром при старших производных. Труды 3-го
Всесоюзного матем. съезда, т. 2. М., 1956, стр. 21.
24.	Об устойчивости задачи Неймана. «Успехи матем. наук», 11 : 1(67), 223-225,
1956.
25.	Задачи Коши для нелинейных дифференциальных уравнений первого поряд-
ка с разрывными начальными условиями. М., Труды Матем. о-ва, 5, 433-454,
1956.
26.	О разрывных решениях нелинейных дифференциальных уравнений. «Докл.
АН СССР», 109, 1098-1101, 1956.
27.	Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений. «Успехи
матем. наук», 12 : 3(75), 3-73, 1957.
29.	Первая краевая задача и задача Коши для квазилинейных уравнений пара-
болического типа. «Матем. сб.», 41 (83), 105-128, 1957 (совм. с Т. Д. Вент-
цел ь).
30.	Решение задачи Коши и краевой задачи для нелинейных уравнений в клас-
се разрывных функций. «Докл. АН СССР», 113, 503-506, 1957 (совм. с
Н.Д. Введенской).
31.	Об уравнениях типа уравнений нестационарной фильтрации. «Докл. АН
СССР», 113, 1210-1213, 1957.
32.	Задача Коши и краевые задачи для уравнений типа нестационарной филь-
трации, «Изв. АН СССР, сер. матем.», 22 : 5, 667-704, 1958 (совм. с А. С. Ка-
лашниковым и Чжоу Юй-линь).
33.	О поведении решений задачи Коши для некоторых квазилинейных уравнений
при неограниченном возрастании времени. «Докл. АН СССР», 120 : 1, 25-28,
1958 (совм. с А. М. Ильиным).
34.	Об одном классе разрывных решений квазилинейного уравнения первого по-
рядка. «Науч. докл. высш, школы, физ.-матем. н.», 3, 91-98, 1958.
36.	О единственности и устойчивости обобщенного решения задачи Коши для
квази линейного уравнения. «Успехи матем. наук», 14 : 2, 165-170, 1959.
37.	О построении обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного урав-
нения первого порядка путем введения «исчезающей вязкости». «Успехи ма-
тем. наук», 14 : 2, 159-164, 1959.
39.	Об уравнениях эллиптического и параболического типа с разрывными коэф-
фициентами. «Успехи матем. наук», 14 : 5, 164-166, 1959.
40.	Решение основных краевых задач для уравнений второго порядка с разрыв-
ными коэффициентами. «Докл. АН СССР», 124 : 6, 1219-1222, 1959.
45.	Об одном методе решения общей задачи Стефана. «Докл. АН СССР», 135 : 5,
1054-1057, 1960.
46.	Решение основных краевых задач для уравнений второго порядка с разрыв-
ными коэффициентами. Тр. Всесоюзн. совещ. по дифференц. уравнениям,
Ереван, 1960, 113-114.
218
VI. Статьи о математиках в других изданиях
47.	Квазилинейные параболические уравнения второго порядка со многими неза-
ви симыми переменными. «Успехи матем. наук», 16 : 5, 115-155, 1961 (совм.
с С. Н. Кружковым).
48.	Краевые задачи для линейных уравнений эллиптического и параболического
типа с разрывными коэффициентами. «Изв. АН СССР, сер. матем.», 25 : 1,
3-20, 1961.
52.	Линейные уравнения второго порядка параболического типа. «Успехи матем.
наук», 17 : 3, 3-146, 1962 (совм. с А. М. Ильиным и А. С. Калашниковым).
53.	On the equations of a boundary layer. Abstracts of short communications. Intern.
Congress Math., Stockholm, 1962, 3.13.
55.	О системе Прандтля в теории пограничного слоя. Материалы к совмести.,
советско-америк. симпозиуму по уравн. с части, производи., Новосибирск,
1963, 1-9.
56.	О системе уравнений Прандтля в теории пограничного слоя. «Докл. АН
СССР», 150 : 1, 28-31, 1963.
57.	О системе уравнений теории пограничного слоя. «Ж. вычисл. матем. и ма-
тем. физики», 3 : 3, 489-507, 1963.
58.	Sur certaines equations paraboliques d£generescentes de la mecanique. «Les
£quations aux derivees partielles», Colloques Intern. CNRS, 117, Paris, 1963,
175-180.
60. Об одной задаче Г. Фикеры. «Докл. АН СССР», 157 : 6, 1297-1300, 1964.
62.	A boundary value problem for linear elliptic-parabolic equations. Lectures Series
46, Univ. Maryland, 1965, 1-30.
64.	On some degenerate quasilinear parabolic equations. Seminari 1962-1963 di anali-
si, algebra, geometria e topologia, 1, Roma, 1965, 355-371.
65.	On Stefan-type free boundary problems for parabolic equations. Seminari 1962-
1963 di analisi, algebra, geometria e topologia, 1, Roma, 1965, 388-403.
68.	Задача Коши и краевая задача для гиперболических уравнений второго по-
рядка, вырождающихся в области и на ее границе. «Докл. АН СССР», 169 : 3,
525-528, 1966.
70.	О линейных уравнениях второго порядка с неотрицательной характеристи-
ческой формой. «Матем. сб.», 69 : 1, 111-140, 1966.
74.	Alcuni risultati sulle equazioni lineari e quasi lineari ellittico-paraboliche a deri-
vate parziali del secondo ordine. «Atti Accad. Naz. Lincei, Rend. Cl. fis.-mat.»,
Ser. 8, 40 : 5, 775-784, 1966.
81.	Математические задачи теории пограничного слоя. «Успехи матем. наук»,
23 : 3, 1-64, 1968.
83.	О гиперболических уравнениях второго порядка, вырождающихся внутри
области и на ее границе. «Успехи матем. наук», 24 : 2, 229-230, 1969.
89.	Mathematical problems of boundary layer theory, Lectures Notes. Spring Quarter,
Univ, of Minnesota, Minneapolis, 1969, p. 1-115.
90.	On the Cauchy problem for weakly hyperbolic equations. «Commun. Pure and
Appl. Math.», 23 : 4, 569-586, 1970.
91.	Hypoellipticitg et regularite locale des solutions faibles des equations aux d£riv£es
partielles du second ordre. Ecole Polytechnique, S£minaire Goulaouic-Schwartz,
1970, p. 1-15.
Ольга Арсеньевна Олейник
219
93.	Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой.
«Математический анализ. 1969 г.». «Итоги науки», ВИНИТИ, 1971, стр. 1-
252 (совм. с Е. В. Радкевичем).
94.	О локальной гладкости обобщенных решений и гипоэллиптичпости диффе-
ренциальных уравнений второго порядка. «Успехи матем. наук», 26 : 2, 265-
281, 1971 (совм. с Е. В. Радкевичем).
95.	On linear second order equations with nonnegative characteristic form. Actes
du Congres intern, des mathem., 1/10 Sept., 1970 (Nice), France, 2, Gauthier-
Villars, Paris, 1971, p. 771-777.
96.	On hypoellipticity of second order equations. AMS, Proceedings SPM, Berkeley,
1971, p. 145-151.
99.	Об аналитичности решений линейных дифференциальных уравнений и
систем. «Докл. АН СССР», 207 : 4, 785-788, 1972 (совм. с Е. В. Радке-
вичем).
100.	О системах дифференциальных уравнений, имеющих неаналитические ре-
шения. «Успехи матем. наук», 27 : 5, 247-248, 1972 (совм. с Е. В. Радке-
вичем).
101.	Об аналитичности решений одного класса гипоэллиптических уравнений
второго порядка. «Успехи матем. наук», 27 : 6, 241-242, 1972 (совм.
с Е. В. Радкевичем).
102.	О линейных уравнениях второго порядка с неотрицательной характеристи-
ческой формой. В сб.: «Международный конгресс математиков в Ницце,
1970». Доклады советских математиков. М., 1972, стр. 231-238.
103.	Об аналитичности решений линейных уравнений с частными производными.
«Матем. сб.», 90 : 4, 592-607, 1973 (совм. с Е. В. Радкевичем).
104.	On the analyticity of solutions of partial differential equations and systems. Aste-
risque 2 et 3, Colloque intern. CNRS, Sur les equations aux d£riv£es partielles
lineaires, 1973, p. 272-285.
105.	Об одном классе линейных дифференциальных уравнений, имеющих неана-
литические решения. «Успехи матем. наук», 28 : 3, 191-192, 1973 (совм.
с Е. В. Радкевичем).
107.	Оценки для собственных функций и решений некоторых систем уравнений
с частными производными, зависящих от параметра. «Успехи матем. наук»,
28 : 4, 223-224, 1973 (совм. с Е. В. Радкевичем).
108.	О поведении на бесконечности решений некоторых систем уравнений с част-
ными производными. «Успехи матем. наук», 28 : 5, 249-250, 1973 (совм.
с Радкевичем Е. В.).
109.	Об аналитичности решений дифференциальных уравнений с частными про-
из водными (развитие теории И. Г. Петровского). «Успехи матем. наук»,
28 : 5, 257-259, 1973 (совм. с Е. В. Радкевичем).
ПО. Теоремы Лиувилля для систем уравнений с частными производными. «Ann.
polon. math.», 29, 293-302, 1974 (совм. с Е. В. Радкевичем).
111.	Обобщенная аналитичность и некоторые связанные с ней свойства решений
эллиптических и параболических уравнений. «Успехи матем. наук», 29 : 2,
190-206, 1974 (совм. с Е. М. Ландисом).
220
VI. Статьи о математиках в других изданиях
112.	Theorems of the Lionville type for elliptic systems of partial differential equati-
ons. Rendiconti scienze fisiche, Accademia Nazionale dei Lincei, 3,1974, p. 1-4.
113.	О собственных функциях и поведении решений некоторых систем уравне-
ний с частными производными, зависящих от параметра. «Revue Roumaine
de mathematiques pures et appliqu£es», 19 : 1, 47-54, 1974 (совм. с E. В. Рад-
кевичем).
114.	О некоторых свойствах решений уравнений второго порядка с неотрицатель-
ной характеристической формой. «Вести. Моск, ун-та, матем., механ.», № 1,
125-134, 1974.
116.	Об условиях аналитичности всех решений линейного уравнения второго
порядка. «Успехи матем. наук», 29:3, 221-222, 1974 (совм. с Е. В. Рад-
кевичем).
117.	Об условиях существования неаналитических решений линейных уравнений
с частными производными произвольного порядка. «Тр. Моск, матем. о-ва»,
31, 17-33, 1974 (совм. с Е. В. Радкевичем).
118.	Аналитичность и теоремы типа Лиувилля и Фрагмена-Линделёфа для об-
щих эллиптических систем дифференциальных уравнений. «Матем. сб.», 95
(137) : 1 (9), 130- 145, 1974 (совм. с Е. В. Радкевичем).
119.	Аналитичность и теоремы типа Лиувилля и Фрагмена-Линделёфа для об-
щих параболических систем дифференциальных уравнений. «Функц. анализ
и его прилож.», 8 : 4, 59-70, 1974 (совм. с Е. В. Радкевичем).
120.	Об единственности решения задачи Коши для общих параболических систем
в классах быстрорастущих функций. «Успехи матем. наук», 29 : 5, 229-230,
1974.
121.	Об аналитичности решений линейных уравнений с частными производными
второго порядка. «Тр. семинара им. И. Г. Петровского», 1, 163-173, 1975
(совм. с Е. В. Радкевичем).
122.	О поведении решений общих параболических систем дифференциальных
уравнений в неограниченных областях. «Докл. АН СССР», 220 : 5, 36-39,
1975 (совм. с Е. В. Радкевичем).
123.	Об единственности решения краевых задач и задачи Коши для общих па-
раболических систем. «Докл. АН СССР», 220 : 6, 34-37, 1975.
124.	Аналитичность и теоремы о поведении решений общих эллиптических и па-
раболических систем дифференциальных уравнений в неограниченных об-
ластях, Ин-т проблем механики АН СССР, препринт №47. М., 1974, стр. 3-
83 (совм. с Е. В. Радкевичем).
125.	О поведении решений линейных параболических систем дифференциальных
уравнений в неограниченных областях. «Успехи матем. наук», 30 : 2, 219—
220, 1975.
126.	On the behaviour of solutions of the Cauchy problem and the boundary value
problem for parabolic systems of partial differential equations in unbounded do-
mains. Rendiconti di Matematica, ser. IV, vol. 8, Fac. 2, 1975.
127.	О распространении тепла в одномерных дисперсных средах. «Прикл. матем.
и механ.», 39 : 5, 1975 (совм. с В. Г. Марковым).
128.	О сходимости решений эллиптических и параболических уравнений при сла-
бой сходимости коэффициентов. «Успехи матем. наук», 30:4, 1975.
ИВАН ГЕОРГИЕВИЧ ПЕТРОВСКИЙ
(к пятидесятилетию со дня рождения)
18 января 1951 года исполнилось пятьдесят лет со дня рождения одного
из крупнейших советских математиков — Ивана Георгиевича Петровского.
И. Г. Петровский начал самостоятельную научную работу в конце два-
дцатых годов. Являясь учеником Д. Ф. Егорова, он сразу попал в среду
чрезвычайно расширившихся к этому времени интересов математической
школы, созданной в Москве Д. Ф. Егоровым, Н. Н. Лузиным и их учени-
ками старшего поколения. Уже в своих первых исследованиях И. Г. Пет-
ровский проявил типичные черты его позднейших работ: не замыкаясь в
какой-либо одной области математики, он присматривается к основной и
наиболее глубокой проблематике в различных областях науки, выбирает
для себя какую-либо трудную и точно поставленную задачу и сосредото-
чивает на ней все свои усилия, привлекает для этого большой аппарат и
часто неожиданные средства и, как правило, кончает полным и исчерпы-
вающим ее решением.
Задача об определении примитивной F(x) по значению производной
«относительно заданной функции G(x)» настойчиво выдвигалась в конце
двадцатых годов Н. Н. Лузиным. Одним из первых успехов И. Г. Петров-
ского было полное ее решение [2], [8]. Совсем в другой области И. Г. Пет-
ровский получает тоже вполне окончательные и завершающие результаты
по решению задачи Дирихле [1]. Выработанные при этом методы он приме-
няет к решению задач, которые были тогда в центре внимания московских
специалистов по теории вероятностей [4]. Разработанный им в этой области
метод положен в основу известной книги А. Я. Хинчина «Асимптотические
законы теории вероятностей».
К 1933 г. относится первая работа И. Г. Петровского по алгебраической
геометрии [3]. Здесь И. Г. Петровский вступил в совершенно новую для
московской математики того времени область. Вопрос о топологической
природе алгебраических кривых и поверхностей в действительной обла-
сти чрезвычайно привлекателен по простоте постановки задачи, но очень
труден. Им занимался Гильберт, но литература по этому вопросу невели-
ка — именно ввиду его трудности. Подробное изложение замечательных
Успехи математических наук. — 1951. — Т. 6, вып. 3. — С. 160-164 (совм. с П. С. Алек-
сандровым; в разделе «Математическая жизнь в СССР»).
222
VI. Статьи о математиках в других изданиях
результатов И. Г. Петровского в этой области появилось в 1938 г. [20]. Но-
вые результаты в том же направлении, охватывающие уже и случай по-
верхностей, получены им в сотрудничестве с О. А. Олейник в 1949 г. [31],
[32], [33]. В этом направлении исследования И. Г. Петровского имеют не за-
вершающий, а скорее пионерский характер, и следует думать, что к этим
исследованиям их автор будет еще неоднократно возвращаться — не в его
характере оставлять что-либо не законченным.
В отличие от первых работ И. Г. Петровского по алгебраической геомет-
рии его статья [7] о поведении интегральных кривых вблизи изолированной
особой точки остается в списке его работ без продолжений, что и естествен-
но, так как в намеченных автором пределах вопрос был им разобран с ис-
черпывающей полнотой. Это замечательное исследование И. Г. Петровско-
го заслуживало бы того, чтобы его результаты были изложены возможно
более доступным образом и вошли в учебники в большей мере, чем это уже
стало принятым.
С 1936 г. начинается публикация работ И. Г. Петровского по задаче
Коши и по вопросу об аналитичности решений для систем уравнений в
частных производных, которые принесли ему наибольшую славу и послу-
жили основанием для присуждения ему Сталинской премии первой степе-
ни. Эти работы составляют решающий шаг в направлении перехода всей
теории уравнений с частными производными на новую более высокую сту-
пень развития.
Как известно, первым этапом развития теории уравнений с частными
производными являлось изучение их с точки зрения теории аналитических
функций. Центральное место здесь занимают теоремы С. В. Ковалевской
о существовании решений. При всей значительности и общности результа-
тов этого направления они несколько оторваны от соответствующих задач
естествознания, так как гипотеза аналитичности решений и начальных зна-
чений оказывается часто плохой идеализацией действительности.
В конце девятнадцатого и начале двадцатого века это классическое на-
правление было почти заменено господством точки зрения «уравнений ма-
тематической физики», т. е. рассмотрением специальных краевых задач,
подсказанных физикой и механикой непрерывных сред, при помощи аппа-
рата, который тоже заимствован из физических представлений (источни-
ки, волны и т. п.). Результаты этого направления были очень обильны, но
само это изобилие сделало необходимым переход к третьему этапу: обще-
му и систематическому изучению систем дифференциальных уравнений с
точки зрения тех специфических их свойств, которые выявляются при ре-
шении отдельных специальных задач математической физики, т. е. к вы-
яснению того, какие краевые задачи в известном смысле «свойственны»
И. Г. Петровский (к 50-летию со дня рождения)
223
данной системе дифференциальных уравнений, нахождению общих крите-
риев аналитичности решений и т. п. В этом направлении до И. Г. Петров-
ского был высказан ряд общих соображений (введенное Адам аром понятие
«корректности» решений) и был получен ряд глубоких результатов (в част-
ности, С. Н. Бернштейном была решена задача Гильберта о доказательстве
аналитичности решений одного нелинейного эллиптического дифференци-
ального уравнения). Но работы И. Г. Петровского впервые показали, что
в этом направлении можно продвинуться настолько далеко, что уже вы-
рисовываются общие контуры будущей теории систем дифференциальных
уравнений, улавливающей все те их существенные черты, которые опре-
деляют их естественно-научные применения, и в то же время свободной
от ограниченности исследований второго периода, когда создавалось та-
кое положение, что теория уравнений в частных производных сводилась к
коллекции отдельных специальных задач.
К основным исследованиям по условиям существования и корректно-
сти решений задачи Коши И. Г. Петровский в 1943-1945 гг. присоединил
глубокие исследования о характере зависимости от начальных данных (о
«лакунах») — работы [25], [26], [27]. Было заранее очевидно, что глубокий
общий замысел И. Г. Петровского в перестройке всей теории уравнений с
частными производными, хотя он исходил из общих теоретических устрем-
лений, а не из отдельных специальных задач, не останется бесплодным и в
смысле решения таких специальных задач. Одним из признаков того, что
и сам И. Г. Петровский от своих общих построений переходит к развер-
нутой работе над специальными физическими и механическими задачами,
служит работа [28] о скорости распространения волн Релея.
Общественная и организационная деятельность И. Г. Петровского ши-
роко развернулась, когда незадолго до начала Великой Отечественной вой-
ны он стал деканом механико-математического факультета Московского
государственного университета. Все наиболее трудные военные годы он с
исключительной энергией руководил факультетом, соединяя принципиаль-
ную твердость в отстаивании интересов порученного ему дела развития на-
уки и воспитания научных кадров с широким человеческим вниманием к
интересам членов факультетского коллектива.
В 1946 г. И. Г. Петровский избирается в действительные члены Акаде-
мии наук СССР. В АН СССР он сначала является заместителем директора
Математического института, а затем избирается академиком-секретарем
Физико-математического отделения. В мае 1951 г. И. Г. Петровский был
назначен ректором Московского университета, где он был студентом, ас-
пирантом, а затем непрерывно вел преподавание в качестве профессора
и воспитал целую школу учеников. И. Г. Петровский редактирует круп-
224
VI. Статьи о математиках в других изданиях
нейший советский математический журнал «Математический сборник», а
также «Труды» Математического института АН СССР. За свою научную и
педагогическую работу И. Г. Петровский награжден тремя орденами Тру-
дового Красного Знамени.
СПИСОК НАУЧНЫХ РАБОТ
ИВАНА ГЕОРГИЕВИЧА ПЕТРОВСКОГО
1.	Einige Bemerkungen zu den Arbeiten von 0. Perron und L. A. Lusternik uber das
Dirichletsche Problem (Матем. сб., 1928, 35, 105-110).
2.	Sur les fonctions primitives par rapport & une fonction continue arbitrage (Comp-
tes rendus, 1929, 189, 1242-1245).
3.	Sur la topologie des courbes planes r£eles et alg£briques (Comptes rendus, 1933,
197, 1270-1272).
4.	Uber das Irrfahrtproblem (Math. Ann., 1934, 109, 425-444).
7.	Uber das Verhalten der Integralkurven eines Systems gewohnlicher Differential-
gleichungen in der Nahe eines singularen Punktes (Матем. сб., 1934,41, 107-156).
8.	Sur Tunicite de la fonction primitive par rapport & une continue arbitrage (Ма-
тем. сб., 1934, 41, 48-59).
20.	On the topology of real plane algebraic curves (Ann. of Math., 1938, 39, 197-209).
25.	О зависимости решения задачи Коши от начальных данных (Доклады АН
СССР, 1941, 38, 163-165).
26.	О диффузии волн и лакунах для систем гиперболических уравнений (Изве-
стия Акад. Наук СССР, сер. матем., 1944, 8, 101-106).
27.	О диффузии волн и лакунах для гиперболических уравнений (Матем. сб.,
1945, 17 (59), 289-370).
28.	О скорости распространения разрывов производных смещения на поверхно-
сти неоднородного упругого тела произвольной формы (Доклады АН СССР,
1945, 47, 258-261).
31.	О топологии действительных алгебраических поверхностей [Докл. АН СССР,
1949, 67, 31-32 (совместно с О. А. Олейник)].
32.	О топологии действительных алгебраических поверхностей [Известия Акад.
Наук СССР, сер. матем., 1949, 13, 389-402 (совместно с О. А. Олейник)).
33.	О топологических свойствах алгебраических линий и поверхностей (Вестник
МГУ, 1949, № 11, 23-27).
ИВАН ГЕОРГИЕВИЧ ПЕТРОВСКИЙ
(к семидесятилетию со дня рождения)
18 января 1971 г. исполнилось 70 лет одному из крупнейших матема-
тиков нашего времени, ректору Московского государственного университе-
та имени М. В. Ломоносова, Герою Социалистического Труда, академику
Ивану Георгиевичу Петровскому.
Научные исследования И. Г. Петровского относятся к различным обла-
стям математики: теории уравнений с частными производными, алгебраи-
ческой геометрии, теории вероятностей, теории обыкновенных дифферен-
циальных уравнений.
Иван Георгиевич Петровский является создателем современной теории
систем уравнений с частными производными. Работы И. Г. Петровского, в
которых в математическую науку были введены гиперболические, парабо-
лические и эллиптические системы дифференциальных уравнений, а также
установлены фундаментальные факты, касающиеся их решений, уже более
трех десятилетий определяют развитие этой области математики. Исследо-
вания Ивана Георгиевича по задаче Коши для гиперболических уравнений,
по аналитичности решений эллиптических систем, по диффузии волн и ла-
кунам восхищали и восхищают математиков всего мира своей красотой и
глубиной полученных результатов.
Исследования И. Г. Петровского по топологии действительных алгеб-
раических кривых явились крупным вкладом в решение 1б-й проблемы
Гильберта. В теории вероятностей им созданы новые методы исследова-
ния, развитие которых продолжается и в настоящее время.
Вся жизнь Ивана Георгиевича связана с Московским университетом.
Здесь он был студентом, аспирантом, доцентом, а затем профессором,
заведующим кафедрой дифференциальных уравнений, в годы воины —
деканом механико-математического факультета, и вот уже двадцать лет
И. Г. Петровский — ректор Московского университета. С именем Ивана
Георгиевича связано много ярких событий в жизни Московского универ-
ситета. Им организованы исследования по многим новым разделам науки,
созданы новые кафедры, лаборатории, привлечены к работе в университе-
те крупнейшие ученые нашей страны.
Много лет он ведет большую государственную работу на посту члена
Президиума Верховного Совета СССР.
Вестник Московского университета. Сер. матем., мех. — 1971. — Т. 26, Я* 1. — С. 111—
117 (совм. с П. С. Александровым, М. И. Вишиком, О. А. Олейник, А. Н. Тихоновым).
226
VI. Статьи о математиках в других изданиях
Научные интересы И. Г. Петровского всегда концентрировались вокруг
крупных узловых проблем математики. Ему удавалось найти исчерпыва-
ющие решения даже самых трудных проблем, которые он рассматривал.
Мы коротко расскажем о некоторых из них.
Задача Коши играет исключительно важную роль в вопросах матема-
тической физики. И. Г. Петровский выделил классы систем дифференци-
альных уравнений, для которых задача Коши поставлена корректно. Для
системы уравнений вида
Я”»?/	, ako+ki+-+kt1 .
..... dtkQ dxkx.. ,dxk,	(1)
J=1 fco+kiH-l-k,^M
(г = 1,..., N, ko < rij) с начальными условиями
dtk t=t0
= <rf(xi,...,xs)	=	k = 0,...	- 1)	(2)
он нашел знаменитое «условие А» корректности задачи Коши.
Для систем первого порядка по t «условие А» состоит в том, что эле-
менты фундаментальной матрицы решений системы обыкновенных диф-
ференциальных уравнений, полученной после преобразования Фурье по х
из системы (1),
~~ = £ (Г ......*'(“(3)
7=1 v w	7
растут при a —» оо не быстрее некоторой степени а. Возникает вопрос
о выделении более узких классов, для которых «условие А» выражается
алгебраически с помощью коэффициентов системы. И. Г. Петровский вы-
делил два важных класса таких систем, названных им параболическими
и гиперболическими системами. Пользуясь аппаратом теории обобщенных
функций, И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов и их ученики, а также многие зару-
бежные математики продолжали и развивали эти исследования И. Г. Пет-
ровского.
Исключительно важное значение имеют работы И. Г. Петровского по
задаче Коши для общих линейных и нелинейных систем уравнений, на-
званных им гиперболическими. В частности, система вида (1) называется
гиперболической по Петровскому, если характеристическое уравнение
Det
Е
fcoH---b-ka=nj
(t) Afc° a J1
Xni6ij
(4)
a^‘
= 0
И. Г. Петровский (к 70-летию со дня рождения)
227
имеет при любых действительных а = (aj,... , as), |а| О, О t Т,
вещественные и различные корни А. (Отметим, что определение И. Г. Пет-
ровского более общее и допускает случаи совпадения корней.)
И. Г. Петровский доказал разрешимость задачи Коши и непрерывную
зависимость ее решения от начальных условий (корректность) для общих
нелинейных гиперболических систем. Основную роль в этом исследовании
играет полученная им априорная энергетическая оценка решения. При вы-
воде этой оценки он по существу использует псевдодифференциальные опе-
раторы, для которых лишь в последние годы построена общая теория и
которые теперь стали мощным орудием исследования. Знаменитая работа
Ивана Георгиевича Петровского о задаче Коши стала исходным пунктом
исследований таких известных математиков, как Ж. Лерей и Л. Гординг.
Недавно для гиперболических по Петровскому уравнений были исследова-
ны общие краевые задачи, а также задача Коши для псевдодифференци-
ал ьных гиперболических уравнений.
И. Г. Петровскому принадлежит также заслуга введения в математику
понятия параболических систем уравнений, являющихся обобщением из-
вестного уравнения теплопроводности. Так, для системы вида (1) диффе-
ренцированию искомой функции по t приписывается определенный вес р,
который берется минимально возможным для того, чтобы выполнялось
условие kop + ki -I-\-ks njp. Параболичность по Петровскому означает,
что если для системы (1) взять «главную часть с весом р», а затем для нее
составить характеристическое уравнение, аналогичное (4), то при любых
мнимых а = (ai,..., as), |а| / 0, 0 t Т, корни А характеристического
уравнения имеют отрицательную вещественную часть.
Иван Георгиевич Петровский доказал, что для параболических систем
уравнений вида (1) задача Коши всегда поставлена корректно. В послед-
ние двадцать лет изучению систем, параболических по Петровскому, было
посвящено большое число работ советских и зарубежных авторов. Изучена
задача Коши для параболических систем с коэффициентами, зависящими
от I и от t; исследованы для них общие граничные задачи, а также соот-
ветствующие задачи для параболических псевдодифференциальных урав-
нений.
Известно, что все непрерывные решения уравнений Лапласа аналитич-
ны. Естественно возникает вопрос о том, для каких систем уравнений с
частными производными имеет место свойство аналитичности решений.
Этот вопрос, включающий в себя 19-ю проблему Гильберта, во всей общ-
ности (для нелинейных систем уравнений любого порядка с любым чис-
лом независимых переменных) был поставлен и решен в известной работе
И. Г. Петровского 1937 г. В ней он впервые выделил класс систем, назван-
228
VI. Статьи о математиках в других изданиях
ных им эллиптическими. Именно, линейная система вида
N
Е Е .....................
j=l kl+-+ks^nj	ОХ1 axs
согласно определению Петровского называется эллиптической, если при
любых действительных a
Det
Е ............” 
&1+-- +кв=П]
<**• /О,

Нелинейная система уравнений называется эллиптической, если эллиптич-
на соответствующая система уравнений в вариациях. Иван Георгиевич Пет-
ровский доказал основную теорему о том, что все достаточно гладкие ре-
шения произвольной (вообще говоря, нелинейной) эллиптической системы
уравнений любого порядка с любым числом независимых переменных ана-
литичны, если все уравнения, составляющие систему, аналитичны относи-
тельно всех входящих в них аргументов.
За последние пятнадцать лет появился ряд работ, в которых изуча-
лись локальные свойства решений дифференциальных уравнений: степень
гладкости решения, бесконечная дифференцируемость решений и вопрос
о гипоэллиптичности, принадлежность к классам Жеврея, аналитичность
по части независимых переменных и т. д. Эти работы идейно подготови-
ла основополагающая работа И. Г. Петровского об аналитичности решений
эллиптических систем уравнений.
Системы дифференциальных уравнений, которые теперь принято на-
зывать эллиптическими по Петровскому, составляют важный раздел тео-
рии уравнений с частными производными. Многочисленные исследования
посвящены изучению общих краевых задач для эллиптических по Петров-
скому систем. Недавно в работах известных математиков Атия, Ботта и
Зингера решена проблема индекса общей краевой задачи для эллиптиче-
ских по Петровскому систем.
Выдающееся место в современной математике занимает фундаменталь-
ное исследование И. Г. Петровского о лакунах и диффузии волн для ги-
перболических уравнений. Хорошо известно, что значение решения задачи
Коши для гиперболического уравнения в заданной точке не зависит от на-
чальных данных вне основания характеристического конуса, построенного
для этой точки, то есть внешность основания характеристического конуса
является лакуной. Поверхность характеристического конуса разбивает его
основание на несколько областей. Важно установить, какие из этих обла-
стей — лакуны.
И. Г. Петровский (к 70-летию со дня рождения)
229
Для однородного гиперболического уравнения с постоянными коэффи-
циентами И. Г. Петровский установил необходимые и достаточные условия
того, что данная область является лакуной. Эти условия выражаются че-
рез топологические инварианты поверхности характеристических норма-
лей, рассматриваемой в комплексном пространстве.
Недавно появилась статья крупнейших зарубежных математиков Атия,
Ботта и Гординга, посвященная Ивану Георгиевичу Петровскому, которая
содержит изложение и некоторые обобщения результатов его работ о ла-
кунах. Несомненно, что эти работы И. Г. Петровского будут и в дальней-
шем привлекать внимание и вызывать восхищение виднейших математиков
мира.
Исследования Ивана Георгиевича по системам уравнений с частными
производными удостоены Государственной премии.
Замечательные результаты получены И. Г. Петровским по топологии
действительных алгебраических кривых. Вопрос об изучении взаимного
расположения ветвей действительной алгебраической кривой на плоскости,
а также вопрос о числе, характере и расположении отдельных полостей ал-
гебраической поверхности в пространстве были поставлены Гильбертом в
его 16-й проблеме. Привлекая теорию Морса о критических точках функ-
ций, заданных на многообразии, И. Г. Петровский провел глубокие исследо-
вания расположения овалов алгебраической кривой на проективной плос-
кости. Из его результатов, в частности, следует, что алгебраическая кривая
четного порядка п не может состоять более чем из §(3п2 — 6п) 4-1 овалов,
расположенных вне друг друга. Таким образом, им впервые была доказа-
на гипотеза Гильберта о том, что кривая 6-го порядка не может состоять
из одиннадцати овалов, расположенных вне друг друга. Вопросы тополо-
гии действительных алгебраических поверхностей изучались в совместных
работах И. Г. Петровского и О. А. Олейник.
Большое влияние на все последующее развитие теории случайных про-
цессов оказали работы И. Г. Петровского по теории вероятностей. Предло-
женный в этих исследованиях метод верхних и нижних функций получил
в дальнейшем широкое применение. Роль этого метода ярко показана в мо-
нографии А. Я. Хинчина «Асимптотические законы теории вероятностей».
Мы не упомянули здесь о многих других интересных и важных работах
И. Г. Петровского. Заметим, что им написаны учебники по трем основным
университетским курсам: уравнения с частными производными, обыкно-
венные уравнения, интегральные уравнения. Эти учебники переведены на
многие языки мира. Они удостоены Государственной премии.
Научно-организаторская деятельность И. Г. Петровского в Московском
университете началась в 1940-1944 гг., когда он был избран деканом меха-
нико-математического факультета МГУ. Он руководил факультетом в от-
230
VI. Статьи о математиках в других изданиях
ветственный и трудный период его эвакуации в Ашхабад, затем в Сверд-
ловск и реэвакуации в Москву. Много сил Иван Георгиевич отдал тому,
чтобы коллектив факультета в трудные годы войны мог вести на высо-
ком уровне научную и учебную работу, сохранить свои основные кадры и
пополниться новыми.
В мае 1951 г. И. Г. Петровский стал ректором Московского универси-
тета. Русские университеты знали многих выдающихся руководителей. На
первом месте среди них — великий Лобачевский, девятнадцать лет бывший
ректором Казанского университета. Вот уже двадцать лет И. Г. Петровский
стоит во главе Московского университета, и эта деятельность его войдет в
историю науки как большое дело выдающегося ученого, отдавшего много
сил воспитанию молодежи и развитию всей нашей культуры.
Развитие и процветание университета является для Ивана Георгиеви-
ча Петровского делом первостепенной важности, которому он отдает все
свои силы и мысли. В своей деятельности он всегда проявляет глубокое
понимание того, что будет важным для науки и для нашей страны в буду-
щем. В Московском университете при его участии и поддержке создаются
новые кафедры, организуются исследования в новых областях науки. Так,
на механико-математическом факультете по его инициативе созданы ка-
федры математической логики, вычислительной математики, химической
механики; организована лаборатория прикладной теории вероятностей и
математической статистики, лаборатория математических методов в био-
логии. Большое внимание И. Г. Петровский уделил созданию и развитию
Института механики университета. По инициативе Ивана Георгиевича в
МГУ создан вычислительный центр, один из первых в Советском Союзе.
На физическом факультете при участии и поддержке И. Г. Петровского
открыты кафедра физики высоких энергий, кафедра волновых процессов.
Им были привлечены для работы в МГУ такие крупные ученые-физики,
как академики Ландау, Арцимович, Леонтович и др.
Учитывая современное состояние и перспективы развития астрономи-
ческой науки, И. Г. Петровский перевел астрономическое отделение ме-
ханико-математического факультета на физический факультет. Большое
внимание Иван Георгиевич уделял строительству южной Крымской стан-
ции Астрономического института МГУ, которая стала теперь современной
хорошо оборудованной обсерваторией. На химическом факультете по ини-
циативе и при поддержке Ивана Георгиевича созданы кафедра высокомо-
лекулярных соединений, кафедра природных соединений, кафедра радио-
химии. Большую заботу проявляет И. Г. Петровский о развитии биохимии
в МГУ. На биолого-почвенном факультете по его инициативе создана ла-
боратория биохимии во главе с академиком Белозерским, куда привлечено
И. Г. Петровский (к 70-летию со дня рождения)
231
для работы много талантливой молодежи. При участии И. Г. Петровского
создана кафедра вирусологии, усилена кафедра цитологии.
Много внимания уделял И. Г. Петровский развитию геологического фа-
культета, созданного в 1949 г. При его поддержке геологическим факуль-
тетом организованы исследования в новых научных направлениях (экспе-
риментальная петрология, экспериментальная геохимия, тектонофизика),
привлечены к работе крупные ученые.
При большом участии И. Г. Петровского созданы факультет психоло-
гии, Институт восточных языков, факультет журналистики, кафедра на-
учной информации, филиал физического факультета в Дубне при Между-
народном институте ядерных исследований.
Исключительно большое внимание И. Г. Петровский уделял строитель-
ству здания гуманитарных факультетов, приобретению новейшего лабо-
раторного оборудования для естественных факультетов, пополнению биб-
лиотек отечественной и иностранной литературой. Благодаря инициативе
и усилиям И. Г. Петровского Вычислительный центр МГУ получил луч-
шие для своего времени быстродействующие электронные вычислительные
машины. И. Г. Петровский придает большое значение использованию вы-
числительной техники в биологии, экономике и других науках. Он неодно-
кратно подчеркивал, что ученые механико-математического факультета,
а также других факультетов должны уделять большое внимание приложе-
ниям, воспитывать у студентов вкус к прикладным задачам. По его иници-
ативе в учебные программы введены многие курсы прикладного характера.
И. Г. Петровский последовательно проводит принцип единства учебного и
научного процесса в МГУ, целью которого является подготовка высококва-
лифицированных научных кадров для нашей страны.
Трудно перечислить все то, что сделал И. Г. Петровский для развития
науки в Московском университете, для того, чтобы Московский универ-
ситет по праву занимал одно из самых первых мест в мире по уровню
научных исследований и качеству подготовки молодых специалистов. Мы
привели здесь лишь некоторые примеры его многосторонней и трудной де-
ятельности на посту ректора Московского университета.
Значительная часть деятельности И. Г. Петровского связана с Акаде-
мией наук СССР. В 1949-1951 гг. он был академиком-секретарем Отделе-
ния физико-математических наук АН СССР, а с 1953 г. является членом
Президиума АН СССР.
Иван Георгиевич Петровский — в течение многих лет — главный ре-
дактор журнала «Математический сборник» и «Трудов Математического
232
VI. Статьи о математиках в других изданиях
института им. В. А. Стеклова». Многообразна общественная деятельность
И. Г. Петровского как депутата Верховного Совета СССР, как члена Со-
ветского комитета защиты мира.
Советские математики вместе со всем коллективом Московского уни-
верситета желают И. Г. Петровскому доброго здоровья и сил для работы
на благо Московского университета, во имя процветания нашей науки, во
славу нашей великой Родины.
ИВАН ГЕОРГИЕВИЧ ПЕТРОВСКИЙ
(к семидесятилетию со дня рождения)
18 января 1971 г. исполнилось 70 лет со дня рождения одного из круп-
нейших математиков современности Ивана Георгиевича Петровского.
Научные работы И. Г. Петровского хорошо известны математикам все-
го мира. О значении многих из его работ уже было рассказано в ряде ста-
тей, в частности, в УМН (т. XVI, вып. 3, 1961). Оглядываясь сейчас на
все, что сделал И. Г. Петровский в математике, еще яснее можно видеть
огромное влияние его работ на развитие математической науки. Его ис-
следования предопределили основное направление развития общей теории
систем уравнений с частными производными, а также некоторых разделов
математической физики, алгебраической геометрии, теории вероятностей.
Научные интересы И. Г. Петровского концентрируются вокруг круп-
ных узловых проблем математики. Ивана Георгиевича всегда интересуют
конкретные, точно поставленные, трудные задачи. При этом всегда оказы-
вается, что выбранная им для исследования проблема является централь-
ной для той или иной области математики. Эту задачу он решает со всей
полнотой и законченностью, причем глубина полученных результатов, со-
зданные им новые методы и вскрытые им новые проблемы приводят к тому,
что это исследование Ивана Георгиевича становится отправным пунктом
для нового направления в математике.
Многие из работ И. Г. Петровского на десятки лет опередили свое вре-
мя. Его работы, выполненные в тридцатых-сороковых годах, стоят сейчас
в центре внимания ведущих математиков мира. Мощное развитие анализа
и алгебраической топологии последних лет помогает до конца осмыслить
глубину результатов и идей, заложенных в этих работах И. Г. Петровского.
Несомненно, что его работы будут служить источником идей для многих
поколений будущих исследователей. Ниже мы расскажем о некоторых ма-
тематических работах И. Г. Петровского, относящихся к различным обла-
стям математики.
Системы уравнений с частными производными. Во второй поло-
вине тридцатых годов И. Г. Петровский опубликовал работы, сыгравшие
выдающуюся роль в создании общей теории дифференциальных уравнений
с частными производными.
К тридцатым годам основным объектом изучения в теории уравнений с
Успехи математических наук. — 1971. — Т. 26, вып. 2. — С. 3-24 (совм. с П. С. Алек-
сандровым, В. И. Арнольдом, И. М. Гельфандом, С. П. Новиковым, О. А. Олейник;
в разделе «Математическая жизнь в СССР»).
234
VI. Статьи о математиках в других изданиях
частными производными были уравнения второго порядка трех основных
типов: гиперболического, параболического и эллиптического, обобщающие
соответственно волновое уравнение, уравнение теплопроводности и урав-
нение Лапласа. И. Г. Петровский выделил три широких класса систем,
вошедших в математику под названием гиперболических, параболических
и эллиптических по Петровскому систем. Эти системы сохраняют основ-
ные свойства соответствующих уравнений второго порядка. Относительно
решений этих систем: И. Г. Петровский установил ряд фундаментальных
фактов.
В своей известной книге о задаче Коши Адамар [1] ввел понятие кор-
ректности задачи Коши для уравнения с частными производными. Это
понятие включает в себя существование, единственность и непрерывную
зависимость от начальных данных решения задачи Коши. В этой же книге
Адамар доказал корректность задачи Коши для гиперболических уравне-
ний второго порядка с аналитическими коэффициентами путем построения
сингулярных решений. В дальнейшем С. Л. Соболев [2] доказал коррект-
ность задачи Коши для уравнения второго порядка с гладкими коэффици-
ентами. Другой подход к этой задаче был предложен Шаудером [3], кото-
рый показал, что классические энергетические неравенства для гиперболи-
ческих уравнений второго порядка позволяют перейти от локальных реше-
ний задачи Коши, получаемых с помощью теоремы Коши-Ковалевской, к
глобальным решениям, сначала для уравнений с аналитическими, а затем
и гладкими коэффициентами.
В работе 1937 г. [4] И. Г. Петровский вводит понятие гиперболической
системы и исследует вопрос о корректной разрешимости для нее задачи
Коши. Для того чтобы формулировать результаты этой работы, введем
следующие обозначения:
Т	(1’1, ... , Хп)> С (£1 > • • • , Сп) > u(t, 1)	(til (t, 1), . . . , Un(t, x)),
n
a = (ao, = (ao> <*1, • • •, «п) — мультииндекс, |a| =	&j,
j=0
”	(?lal	,
lQ'l = 52QJ’ D° =	.. Qx%n ’	=^1,
j=l	1
Рассмотрим нелинейную систему
dniu
-Ft(t,x,u, ...,Dau,...) = 0,	(1)
or’1'
где для производных от Uj, стоящих в качестве аргументов функций F,,
выполняются неравенства |а| nj, qq < nj.
И. Г. Петровский (к 70-летию со дня рождения)
235
Систему (1) И. Г. Петровский называет гиперболической, если уравне-
ние относительно Л
det
Е
|а|=п.
\аоса'
d(DaUj) *
= О
при любом вещественном ненулевом векторе £ имеет вещественные и раз-
личные корни. (На самом деле И. Г. Петровский дает более общее опреде-
ление, допускающее в некоторых случаях и кратные корни.)
Он доказал, что для нелинейной гиперболической системы (1) зада-
ча Коши корректно разрешима в малом, т. е. для достаточно малых t, а
для линейной гиперболической системы с переменными коэффициентами —
в большом.
В основе доказательства этого утверждения лежит получение энерге-
тических оценок для линейной системы первого порядка
+C(t,x)u +(2)
at i—‘	oxi
j=i	J
с периодическими по x коэффициентами:
E(t) ect
rt r
^(0) + / /	dxdt
(3)
где
и R — область периодичности.
Для доказательства неравенства (3) И. Г. Петровский определяет опе-
ратор
где матрица T(t,x,а'/|а'|) приводит матрицу A(t,x,az) = ajAj(t,х)
к диагональному виду, что возможно ввиду гиперболичности системы (2).
(Оператор (4) по принятой теперь терминологии является, по существу,
псевдодифференциальным оператором.)
В случае постоянных коэффициентов для каждой вектор-функции
u^a )(t) получается система обыкновенных уравнений
—— =	+ TCT~lu(a >(t) 4- /(Q \
at
(5)
236
VI. Статьи о математиках в других изданиях
где Л(а') — диагональная вещественная матрица. В силу системы (5)
l“(Q,)(*)|2 = 2 Re+ 2Re J2/(Q,)u(a,)
a'	a'	af
« Cj £ |u<“W + C2 £ 1/'“'W-
a'	a'
Из этого неравенства сразу следует оценка (3).
В случае переменных коэффициентов в системе (2) для функций u^Q \i)
также можно написать бесконечную систему уравнений, которая не распа-
дается, как в случае системы (2) с постоянными коэффициентами. Однако
главные члены системы, растущие по а', будут такими же, как в систе-
ме (5), и это позволяет И. Г. Петровскому получить для интеграла энергии
оценку вида (3). При этом интеграл энергии имеет вид
У2 |г/а \t)|2 — [ Bu(t,x)u(t.x)dx,	(6)
a'	jR
где В — псевдодифференциальный оператор нулевого порядка. Примене-
ние теоремы Коши-Ковалевской и полученной энергетической оценки поз-
воляет доказать существование решения задачи Коши.
Таким образом, в работе И. Г. Петровского впервые возникли интегра-
лы энергии, определяемые сингулярными интегралами (псевдоди фферен-
циальными операторами).
В конце пятидесятых годов Кальдерон [5], Мидзохата [6], Ямагути [7]
вновь вывели энергетические оценки для гиперболических систем, факти-
чески пользуясь методом И. Г. Петровского. Использование готового к то-
му времени аппарата псевдодифференциальных операторов, естественно,
позволило формально упростить доказательство И. Г. Петровского.
В случае одного гиперболического уравнения высокого порядка Ж. Ле-
ре [8] построил интеграл энергии [6] с дифференциальным оператором В
и получил оценки типа (3). Л. Гординг [9], используя метод Лере, устано-
вил энергетические оценки типа (3) для сопряженного оператора и доказал
теорему существования решения задачи Коши функциональным методом,
освободившись тем самым от применения теоремы Коши-Ковалевской.
В работе [10] И. Г. Петровский исследовал вопрос о том, для каких
систем уравнений задача Коши оказывается поставленной корректно. Он
рассмотрел произвольную систему с гладкими коэффициентами, завися-
щими только от времени, вида
N
aF7 = E Е	+	(7)
j=l |a|<M,ao<Hj
И. Г. Петровский (к 70-лети ю со дня рождения)
237
(М — некоторое число) и для нее задачу Коши
д1щ _
= <рц(х) (/= 0,1,... ,п, - 1; i =
t=o
(8)
где fi и <pu предполагаются ограниченными функциями вместе с производ-
ными до некоторого порядка.
И. Г. Петровский находит необходимое и достаточное условие того, что-
бы для системы (7) задача Коши была поставлена корректно в классе огра-
ниченных функций. Это — знаменитое «условие А» Петровского. Для си-
стем первого порядка по t (общий случай сводится к этому с помощью
стандартной замены неизвестных функций) «условие А» состоит в том,
что элементы фундаментальной матрицы решений системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
= ЕЕ
j=l а'
получающейся из (7) после преобразования Фурье по х, растут при |£| —> оо
не быстрее некоторой степени |£|.
И. Г. Петровский показывает, что гиперболические системы удовлетво-
ряют «условию А», и выделяет еще один важный класс уравнений, назван-
ных им параболическими, для которых также выполнено «условие А».
Припишем дифференцированию по х вес 1, а дифференцированию по
t — вес 2Ь. Предположим, что число 2Ь выбрано таким образом, что обоб-
щенный порядок дифференцирования функций щ в системе (7) не превос-
ходит 2Ьщ. Отбросив те производные функции и,, i = 1,..., N, обобщенный
порядок которых меньше 2Ьп,, мы выделим главную часть системы (7).
Условие параболичности Петровского состоит в том, что корни Л характе-
ристического уравнения
det
N
Е Е	- А"-<5«
j=l |a'|+2bao=2t»ij
= о
имеют вещественные части, меньшие отрицательной константы при всех £,
для которых |£| = 1.
Для таких систем И. Г. Петровский построил матрицы Грина и для ре-
шений задачи (7), (8) получил представление, аналогичное представлению
решений задачи Коши для уравнений теплопроводности в виде интеграла
Пуассона. Продолжая матрицы Грина в комплексную область, Иван Ге-
оргиевич доказал аналитичность решений параболической системы (7) по
пространственным переменным при аналитичности /i(t,x) относительно х.
238
VI. Статьи о математиках в других изданиях
Следует отметить, что в работе [10] И. Г. Петровский систематически
использовал преобразование Фурье — метод, который затем становится од-
ним из основных при исследовании систем уравнений с частными произ-
водными.
Создание теории обобщенных функций привело в пятидесятых-шести-
десятых годах к многочисленным исследованиям по задаче Коши для си-
стемы (7), продолжающим работу И. Г. Петровского. В частности, тео-
рия преобразования Фурье быстро растущих функций (И. М. Гельфанд
и Г. Е. Шилов) дала возможность указать для системы (7) предельный
рост решений по переменным х на бесконечности, при котором задача Ко-
ши остается корректной. В недавней работе Л. Хёрмандера [11] найдено
условие корректности и получено окончательное решение вопроса о разре-
шимости задачи Коши в классах обобщенных функций
Заканчивая введение к работе [10], И. Г. Петровский писал:
«Налагаемые нами условия на коэффициенты, состоящие в том,
что они зависят только от одного t, вызываются, вероятно, в
большинстве случаев только тем методом, которым мы всюду
пользовались в этой работе — методом Фурье. Мы старались
выяснить здесь только главные черты теории задачи Cauchy
для уравнений с частными производными. Но мы уверены, что
большинство доказываемых в этой работе теорем справедливы
и для более общих линейных и даже нелинейных систем.
Обобщение доказанных в этой работе теорем для гиперболиче-
ских систем уже сделано нами. Такое же обобщение, вероят-
но, возможно и для параболических систем. Для этого, должно
быть, будут полезны построенные нами для наших частных, па-
раболических систем матрицы Грина».
Эта программа И. Г. Петровского оказалась в полной мере выполнен-
ной: были построены матрицы Грина для произвольных систем, парабо-
лических по Петровскому, были получены точные оценки этих матриц
(в различных нормах), позволяющие доказать корректность задачи Ко-
ши в классах функций, растущих при |ж| —♦ оо как ехр{С|т|26^2Ь-}, где
26 — параболический вес (см., например, [12], [13]).
Для параболических по Петровскому систем в последние годы постро-
ена теория общих краевых задач (см. [14], [15]).
Что касается общей проблемы корректности задачи Коши для уравне-
ний с переменными коэффициентами, то она еще далека от полного реше-
ния (см. [16]).
В 1937 г. в работах И. Г. Петровского [17], [18] было дано наиболее пол-
ное и, в определенном смысле, исчерпывающее решение вопроса, постав-
И. Г. Петровский (к 70-летию со дня рождения)
239
ленного в 19-й проблеме Гильберта. Речь идет об описании класса диф-
ференциальных уравнений и систем, все достаточно гладкие решения ко-
торых аналитичны. И. Г. Петровский выделил класс систем дифференци-
альных уравнений, обладающих этим свойством, которые теперь принято
называть системами, эллиптическими по Петровскому. Именно, И. Г. Пет-
ровский доказал следующую теорему.
Пусть дана система
Fi(x, u, Dau) = 0 (г = 1,...,Л0,
где
х = (xi,... ,xn), и =	а = (ai,... ,ап),
причем в левую часть системы входят производные от Uj порядка не вы-
ше nj. Пусть Fj — аналитические функции своих аргументов в некоторой
области и в этой области определитель матрицы
EdFi cai .. . сап
|a|=nj	J
отличен от нуля при всех действительных (£i,.. . £п), Для которых |£| / 0.
При этих условиях все достаточно гладкие решения, лежащие в рассмат-
риваемой области, аналитичны по х.
С другой стороны, им же показано, что у системы (9) есть решения,
имеющие непрерывные производные как угодно высоких порядков, но не
являющиеся аналитическими по х функциями, если F, — линейные функ-
ции с постоянными коэффициентами от Uij и их производных, свободные
члены аналитичны по х, определитель матрицы (10) обращается в нуль
при некотором £, |£| / 0, но не тождественно равен нулю.
Для доказательства теоремы об аналитичности И. Г. Петровский про-
должает заданное решение и в комплексное пространство х так, чтобы для
и удовлетворялись уравнения Коши-Римана.
Для одного эллиптического уравнения второго порядка с двумя неза-
висимыми переменными теорема об аналитичности решений была впервые
доказана С. Н. Бернштейном [19] в 1903 г. на основе разработанной им
методики нормальных рядов, а в 1927 г. эта теорема для эллиптическо-
го уравнения второго порядка с любым числом независимых переменных
была доказана Г. Леви [20]. В 1957 г. Морри и Ниренберг [21], пользуясь
априорными оценками решений и теоремами вложения С. Л. Соболева,
доказали теорему Петровского об аналитичности решений для случая ли-
нейных эллиптических систем.
240
VI. Статьи о математиках в других изданиях
Отметим, что, как показывают построенные недавно примеры (см. [22],
[23], [24]), предположение о достаточной гладкости решения в теореме
И. Г. Петровского является существенным.
После работы И. Г. Петровского эллиптические системы явились объ-
ектом многочисленных исследований. Для эллиптических по Петровскому
систем построена законченная теория общих краевых задач (см., напри-
мер, [25], [26]), решена проблема индекса для таких задач (см., например,
[27], [28]), изучены локальные дифференциальные свойства решений.
Таким образом, выделенный И. Г. Петровским на основе локальных
свойств решений класс эллиптических систем уравнений оказался близ-
ким по свойствам к одному эллиптическому уравнению также и в смысле
разрешимости краевых задач.
Качественная теория гиперболических уравнений. Работы
И. Г. Петровского [29], [30], [31] по качественной теории гиперболических
уравнений, опубликованные в 1943-1945 гг., отличаются необычайно вы-
соким уровнем идей и средств как в теории дифференциальных уравне-
ний, так и в комплексной алгебраической геометрии. В этих работах было
введено понятие лакуны, имеющее отчетливый физический смысл, и дано
необходимое и достаточное условие для существования лакун для гипер-
болических уравнений любого порядка с постоянными коэффициентами.
И. Г. Петровским был разработан также эффективный метод сведения во-
проса о наличии лакун к изучению гиперплоских сечений комплексных ал-
гебраических многообразий. Им также даны достаточные геометрические
критерии существования лакун.
Мы приведем здесь некоторые результаты И. Г. Петровского, а так-
же их обобщения в изложении Атья, Ботта и Гординга, следуя их статье,
публикуемой в настоящем номере УМН.
Из теории обобщенных функций хорошо известно, что фундаменталь-
ное решение Е(х) оператора P(D),
Q
D = (£>1,..., Dn\ Dj =
может быть выписано в следующем явном виде:
Е(х) = (27г)-п [ Р($ 4-	d(C + iff),
J Rn
где т] — постоянный вектор, который мы выберем ниже.
Оператор P(D) порядка тп называется гиперболическим, если суще-
ствует вещественный вектор в такой, что а(0)	0, где а(£) — главная
часть полинома Р(С) и Р(£ + тв) / 0 для всех вещественных £, когда
St > const > 0.
И. Г. Петровский (к 70-летию со дня рождения)
241
Фундаментальное решение Е(х), определяемое формулой (11), имеет
носитель в полупространстве (х, в) > 0, если т/ = — св и постоянная с до-
статочно велика.
Рассмотрим наибольшее открытое множество, в котором Е(х) является
бесконечно дифференцируемой функцией. Пусть L — одна из его связных
компонент. Область L называется лакуной, если существует бесконечно
дифференцируемое продолжение функции Е{х} из L на L. Лакуна называ-
ется сильной, если Е(х) = 0 в L. И. Г. Петровский изучал сильные лакуны,
устойчивые относительно возмущений оператора P{D).
Изучение лакун основано на возможности деформировать контур ин-
тегрирования в формуле (11). По формуле Стокса (Коши) вектор г] в фор-
муле (11) можно заменить функцией г) — т/(£), если Р(£ 4- г$т/(£))	0 при
О < S О и (l, ??(£))	£|£| при больших |£|, Е — const > 0.
Если такая функция т/(£) существует, то интеграл (11) сходится абсо-
лютно и определяет голоморфную функцию от х.
В случае однородного полинома Р(£) (к этому сводится общий случай)
функцию 7/(£) также можно считать однородной степени 1 и заменить ин-
теграл в формуле (11) интегралом по некоторому контуру в комплексном
проективном пространстве СР’1-1.
Утверждается, что точка х принадлежит лакуне для всех операторов
Pk (Р предполагается однородным) тогда и только тогда, когда некоторый
(п — 2)-мерный цикл гомологичен нулю в пространстве X* \ X* Г) Л*, где
X — это плоскость х£ = 0, причем £ G С", А — поверхность Р(£) = 0 в Сп, а
знак * обозначает образ соответствующего объекта при естественном отоб-
ражении Сп —> СРП-1. Если тк — п < 0, то при этом лакуна оказывается
сильной.
С точки зрения алгебраической геометрии особенно неочевидно полу-
ченное при доказательстве этой теоремы утверждение о том, что из ра-
венств нулю интегралов специального вида по циклу вытекает, что сам
цикл гомологичен нулю. Это утверждение, по существу, сводится к теоре-
ме Гротендика (1966 г.) о том, что когомологии дополнений к алгебраиче-
ским многообразиям порождаются рациональными формами с полюсами
на этих многообразиях, и, фактически, доказательство такой теоремы в
важном частном случае впервые дано И. Г. Петровским в работе 1945 г.
Это, в частности убедительно характеризует топологический уровень этой
работы.
Для исследования лакун И. Г. Петровский пользовался формулами,
которые теперь известны под названием формул Герглотца-Петровского.
Позже было дано истолкование этих формул с точки зрения теории обоб-
щенных функций (см. [32]).
242
VI. Статьи о математиках в других изданиях
Следствием изложенных выше результатов И. Г. Петровского о лаку-
нах являются теоремы о зависимости решения задачи Коши от начальных,
данных. На основе работы И. Г. Петровского, в дальнейшем был получен
ряд результатов, дающих геометрические критерии существования лакун
(см. [33], [34]).
Несомненно, что глубокие результаты работы И. Г. Петровского бу-
дут и в дальнейшем привлекать внимание математиков и будут служить
источнике дальнейшего развития качественной теории гиперболических
уравнений.
Топология действительных алгебраических многообразий. Во-
прос об изучении взаимного расположения ветвей действительной алгеб-
раической кривой на проективной плоскости, а также вопрос о числе, ха-
рактере и расположении отдельных полостей алгебраической поверхности
в пространстве поставлен Д. Гильбертом в его 16-й проблеме. Исходным
пунктом для этих вопросов послужила знаменитая теорема А. Харнака
[35] о максимальном числе компонент действительной плоской алгебра-
ической кривой. Согласно теореме Харнака число замкнутых ветвей ал-
гебраической кривой порядка п на проективной плоскости не превосходит
^(п — 1)(п — 2) + 1. А. Харнак построил также алгебраические кривые с
этим максимальным числом компонент.
16-я проблема Гильберта выдвигает множество вопросов, часто просто
формулируемых, но решение которых вызывает очень большие трудности.
Примеры таких простых конкретных вопросов были указаны Гильбертом
при формулировке 16-й проблемы: каково взаимное расположение 11 ова-
лов алгебраической кривой шестого порядка, каково максимальное число
компонент (замкнутых кусков) алгебраической поверхности четвертого по-
рядка.
В 1891 г. Д. Гильбертом в работе [36] была высказана гипотеза, кото-
рую он повторил на Международном математическом конгрессе в 1900 г.
при формулировке своей 16-й проблемы, что алгебраическая кривая ше-
стого порядка с максимальным числом компонент не может состоять из
И овалов, расположенных вне друг друга.
В начале XX века было несколько попыток доказать это предложение,
и до последнего времени считалось, что первое доказательство было дано
швейцарским математиком К. Рооном в 1913 г. Однако это доказательство
оказалось неполным.
И. Г. Петровскому принадлежит глубокое исследование топологии дей-
ствительных алгебраических кривых на проективной плоскости ([37], [38]).
Из его результатов, как весьма частный случай, следует указанное вы-
ше утверждение Гильберта об алгебраической кривой шестого порядка.
И. Г. Петровским установлено, что алгебраическая кривая четного поряд-
И. Г. Петровский (к 70-летию со дня рождения)
243
ка п не может состоять более чем из |(3n2 —6n) +1 овалов, расположенных
друг вне друга.
Будем называть овал алгебраической кривой F(x, у) = 0, где F(x, у) —
многочлен степени п с действительными коэффициентами, положитель-
ным (отрицательным), если для точек некоторой окрестности этого овала,
лежащих внутри него, F(x,y) > 0 (F(x,y) < 0).
Теорему И. Г. Петровского относительно алгебраических кривых четно-
го порядка п можно сформулировать следующим образом. Пусть р означа-
ет число положительных, a m — число отрицательных овалов алгебраиче-
ской кривой четного порядка п. Тогда |р—тп| §(3п2—6п)+1, и существуют
кривые, для которых эта граница достигается. Такие кривые построены в
работе [38] методом, предложенным А. Харнаком для построения кривых
с максимальным числом компонент. Аналогичная теорема установлена и
для алгебраических кривых нечетного порядка п.
Легко проверить, что р — тп для четного п равно эйлеровой характе-
ристике замыкания множества конечных точек на проективной плоскости
(.т, у, z), для которых ZnF(£, 0 при 2 = 1.
В такой формулировке теорема И. Г. Петровского обобщается [39] на
алгебраические поверхности любого порядка п в действительном проек-
тивном пространстве Рт, а также на алгебраические пространственные
кривые [40].
Исследование топологии действительных алгебраических поверхно-
стей проведено в совместных работах И. Г. Петровского и О. А. Олей-
ник (см. [39]).
Пусть F(xi,... ,хт) — многочлен степени п относительно переменных
Xi,..., хт с действительными коэффициентами. Будем предполагать, что
система уравнений
dF	dF
F = 0,	д-=0, ..., о—=0
OXt	ихт
не имеет действительных конечных или бесконечных решений. Множество
Го точек (xi,... ,xm,xm+i) тп-мерного проективного действительного про-
странства Рт, для которых
=0,
\im+i хт+1/
представляет собой замкнутое (т - 1)-мерное многообразие (алгебраиче-
скую поверхность без особых точек).
Обозначим через £?(Го) его эйлерову характеристику, т. е. 52(—1)грг, где
рг — его r-мерное число Бетти по модулю два. В работе И. Г. Петровского
и О. А. Олейник [39] доказано, в частности, что для нечетного т
|Е(Г0)| (n - l)m - 2S(m, n) + 1
244
VI. Статьи о математиках в других изданиях
(для четного т, как известно, Е(Го) = 0). Здесь S(m, п) обозначает число,
тп-1-1
равное числу членов полинома 4-1 > степень которых не превосхо-
дит целую часть ^(тп — 2т — п).
Основным методом исследования в работах [38], [39] является изучение
изменения топологической структуры алгебраической кривой или поверх-
ности при изменении коэффициентов алгебраического уравнения, опреде-
ляющего алгебраическую кривую или поверхность. При этом существен-
ную роль играют результаты Морса ]41], связанные с исследованием изме-
нения топологии множества уровня при переходе функции через критиче-
ские значения, а также формулы Эйлера-Якоби.
Результаты и методы И. Г. Петровского наряду с результатами А. Хар-
нака и Д. Гильберта являются основополагающими в теории действитель-
ных алгебраических многообразий. Обзор результатов, относящихся к 16-й
проблеме Гильберта, можно найти в книге [42].
Теория вероятностей. Большое влияние на все последующее разви-
тие теории случайных процессов оказала работа И. Г. Петровского [43] о
проблеме блуждания, опубликованная в 1934 году. В принятых в насто-
ящее время обозначениях содержание работы можно описать следующим
образом. В евклидовом пространстве Rn рассматривается цепь Маркова,
для которой вероятность перехода за один шаг из точки х в множество А
равна р(х, А). Пусть G — область в /?п, имеющая гладкую границу, и пусть
7г(х, А) — вероятность того, что частица, начинающая движение из точ-
ки х, окажется в А в момент первого выхода из G. Задается непрерывная
функция ip на Rn \ G и исследуется предельное поведение функции
v(x) = /	<^(2/)7r(a:,dy),
JRn\G
когда переходная функция р(х,А) меняется таким образом, что переме-
щение частицы за один шаг стремится в определенном смысле к нулю.
Доказывается, что v(x) сходится при этом к решению задачи Дирихле для
эллиптического уравнения
Е	d2u	du
отвечающему граничной функции <р.
Не менее важным, чем этот результат, явился для последующего раз-
вития теории вероятностей и метод, которым он получен. Это — метод
верхних и нижних функций. На языке теории марковских процессов можно
определить верхние функции как функции, супергармонические для мар-
ковской цепи р(т, А) и мажорирующие <р на Rn \ G. Аналогично, нижние
И. Г. Петровский (к 70-летию со дня рождения)
245
функции — это субгармонические функции для цепи р(х, А), минориру-
ющие на Rn \ G. И. Г. Петровский показывает, что для любой верх-
ней функции v и любой нижней функции v выполняются неравенства:
v v V. После этого остается построить последовательности верхних
и нижних функций, сходящиеся к описанному выше решению задачи Ди-
рихле.
Роль предложенного И. Г. Петровским метода верхних и нижних функ-
ций для теории вероятностей ярко показана в монографии А. Я. Хинчина
«Асимптотические законы теории вероятностей» (Москва, ОНТИ, 1936).
Связь между вероятностями выхода марковского процесса из области и ре-
шением задачи Дирихле была установлена И. Г. Петровским в предельной
форме. В дальнейшем выяснилось, что предельного перехода не требуется,
если сразу рассматривать марковский процесс с непрерывным временем.
Соответствующие формулы позволили исследовать вероятностными мето-
дами многие вопросы теории дифференциальных уравнений (вырождаю-
щиеся эллиптические уравнения, уравнения с малым параметром и др.).
С другой стороны, предметом многих глубоких исследований стал вопрос
об условиях возможности предельного перехода от дискретных цепей Мар-
кова к процессам с непрерывным временем. Понятие супергармонической
функции, связанной с произвольным марковским процессом, легло в основу
современной теории потенциала и нашло приложения в теории оптималь-
ного управления.
Важное значение для теории вероятностей имеет также работа
И. Г. Петровского [44] о первой краевой задаче для уравнения теплопровод-
ности. Основной результат этой работы можно сформулировать на вероят-
ностном языке следующим образом. Пусть xt — одномерный винеровский
процесс. Если Ф(/) — монотонная функция и интеграл
/•ОС I	ф2(()
/ 7Ф(<)е- 2 dt	(12)
Jto 1
расходится, то с вероятностью единица |xt| Ф(£), начиная с некоторого
t. Если же интеграл (12) сходится, то с вероятностью единица найдется
последовательность tn —> оо такая, что |хц,| > Ф(/п). Опираясь на резуль-
таты Эрдёша и Феллера, можно получить отсюда весьма сильные результа-
ты относительно характера роста абсолютных отклонений сумм независи-
мых одинаково распределенных случайных величин от их математических
ожиданий. Эти результаты являются далеко идущим усилением так на-
зываемого закона повторного логарифма, полученного А. Я. Хинчиным и
А. Н. Колмогоровым.
Другие работы. Кроме описанных выше работ И. Г. Петровскому при-
надлежит ряд исследований в различных областях математики и матема-
тической физики. Остановимся на некоторых из них.
246
VI. Статьи о математиках в других изданиях
В 1934 г. И. Г. Петровский опубликовал работу [45], посвященную ис-
следованию поведения траекторий системы обыкновенных дифференци-
альных уравнений в окрестности особой точки. В этой работе рассмотрена
система
^ = Ах + ч>(х),	(13)
где А — постоянная матрица, а — непрерывно дифференцируемая
вектор-функция, обращающаяся в начале координат в нуль вместе со сво-
ими производными. И. Г. Петровский показал, что при условии, что все
корни характеристического уравнения det(A — ХЕ) = 0 имеют отличные
от нуля вещественные части, траектории системы (13) в окрестности нача-
ла координат ведут себя так же, как и траектории укороченной линейной
системы. Если некоторые из корней имеют нулевые вещественные части,
то можно выделить подмножество траекторий, поведение которых будет
определяться матрицей А. Это была, по существу, первая работа, в ко-
торой было проведено полное исследование окрестности особой точки в
пространственном случае.
В 1937 г. И. Г. Петровским совместно с А. Н. Колмогоровым и Н. С. Пис-
куновым была опубликована работа [46], выполненная в связи с некоторой
биологической проблемой — задачей о распространении гена. Идеи, разви-
тые в этой работе, оказались весьма плодотворными для многих областей
математической физики. Математическое содержание этой работы сводит-
ся к следующему. Рассматривается уравнение диффузии с нелинейной пра-
вой частью
<14>
где F(v) — достаточно гладкая функция, определенная на интервале
О v 1 и такая, что F(0) = F(l) = 0, F(y) > 0 (0 < v < 1); F'(0) = а > О,
F'(v) < а при v > 0, k = const > 0.
Было показано прежде всего, что уравнение (14) имеет решения типа
равномерно распространяющихся волн
v = V(x + Xt + C)	(15)
(С — произвольное действительное число), удовлетворяющие условиям
V(—оо) = 0, V(oo) = 1, при любых скоростях распространения А Ао =
— 2х/ка.
Однако, как было показано в работе [46], среди решений (15) только
решение, отвечающее минимальной скорости распространения Ао, облада-
ет свойством устойчивости в следующем смысле: решение задачи Коши,
И. Г. Петровский (к 70-летию со дня рождения)
247
отвечающее произвольным начальным данным таким, что и(т,0) = 0 при
х а, 0 < и(т, 0) < 1 при а < х < b, v(x, 0) = 1 при х > Ь (а и b —
произвольные действительные числа), стремится при t —* оо к некоторому
решению вида (15), соответствующему А = Aq.
Иными словами, рассмотрение решений вида (15) приводит к непрерыв-
ному спектру скоростей распространения, однако только решение, отвеча-
ющее А = Ао, является асимптотикой для решения задачи Коши указанного
типа.
Оказалось, что аналогичные вопросы возникают в ряде задач матема-
тической физики, в частности, в задаче горения.
Многочисленная литература по математической теории горения, кото-
рая в настоящее время охватывает многие сотни работ, существенно опи-
рается на идеи, впервые высказанные в этой работе.
Эта работа имела замечательные продолжения также и в несколько
ином аспекте. Если в уравнении (14) перейти к переменным
С - е1, т = e-t,
то решение (15) представляется в форме
и = V(ln£- Alnr + C) = u(^Y
т. e. примет форму так называемых «автомодельных решений».
До работы [46] был известен ряд автомодельных решений различных за-
дач теории теплопроводности, гидродинамики, газовой динамики, теории
упругости и т. д. Во всех них показатель А мог быть найден из соображений
размерности. Впоследствии был найден ряд автомодельных решений, пре-
жде всего в газовой динамике, в которых показатель степени в выражении
автомодельного переменного получался не из соображений размерности.
Этот показатель находился из условия существования в целом автомодель-
ного решения (так называемые автомодельные решения второго рода). Тем
не менее в некоторых случаях и это не позволяет однозначно определить
А, например, в задаче о сходящейся ударной волне.
Как видно, именно в работе [46] вопрос о подобных необычных реше-
ниях был поставлен впервые и для рассмотренной там задачи получил ис-
черпывающее решение. (По поводу развития заключенных в этой работе
идей см. статью Г. И. Баренблатта и Я. Б. Зельдовича, публикуемую в
настоящем номере УМН.)
И. Г. Петровский вслед за Л. А. Люстерником одним из первых стал
пользоваться методом конечных разностей для решения краевых задач,
В работе [47] он, применяя для уравнений в конечных разностях метод
априорных оценок С. Н. Бернштейна, дал новое простое доказательство
248
VI. Статьи о математиках в других изданиях
разрешимости задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом конечных
разностей в многомерном случае при весьма общих предположениях о гра-
нице области.
В работе 1945 г. [48] И. Г. Петровский рассмотрел задачу, связанную
с конкретными вопросами теории упругости. В ней исследуется скорость
распространения разрывов производных смещения на поверхности неодно-
родного упругого тела, свободного от действия внешних сил. Эта задача
связана с вопросом о скорости распространения волн Рэлея.
И. Г. Петровскому принадлежит инициатива качественного исследова-
ния в целом решений обыкновенных дифференциальных уравнений с ра-
циональной правой частью в комплексной области. В этом направлении
ему также принадлежит ряд основных идей и понятий [49]. На указанном
И. Г. Петровским пути получен ряд результатов (см., например, [50], [51]).
Исключительно важную роль в развитии теории уравнений с частны-
ми производными сыграла статья И. Г. Петровского [52], в которой был
поставлен ряд проблем. Многие математики черпали в ней задачи и идеи
для свои исследований.
Научно-педагогическая деятельность. Много сил отдал И. Г. Пет-
ровским воспитанию молодых математиков. С 1929 г. Иван Георгиевич
преподает на механико-математическом факультете МГУ. С 1933 г. он —
профессор Московского университета, а с 1951 г. — заведующий кафед-
рой дифференциальных уравнений механико-математического факультета
МГУ. Он читает курсы лекций, ведет семинары, руководит аспирантами.
На основе свои курсов лекций он написал широко известные учебники по
интегральным уравнениям, обыкновенным дифференциальным уравнени-
ям и уравнениям с частными производными. Особенно нужно отметить
его учебник по дифференциальным уравнениям с частными производны-
ми. Написанный более двух десятилетий назад этот учебник до сих пор
продолжает оставаться одни из лучших учебников в мире. В этом учеб-
нике И. Г. Петровский сумел на простых объектах продемонстрировать
центральные идеи теории, сделать это доступно и, в то же время, на вы-
соком научном уровне. В учебнике даются обзоры современного состояния
отдельных разделов теории уравнений с частными производными и ука-
зываются нерешенные проблемы. Для многих математиков изучение этой
книги положило начало их научным исследованиям. Учебники Ивана Геор-
гиевича много раз переиздавались и переводились на многие языки мира.
Они удостоены Государственной премии.
В течение многих лет И. Г. Петровский возглавляет (долгое время со
совместно с С. Л. Соболевым и А. Н. Тихоновым) основной научно-иссле-
довательский семинар по уравнениям с частными производными в Москов-
ском университете. На этом семинаре докладывались все основные работы
И. Г. Петровский (к 70-летию со дня рождения)
249
по уравнениям с частными производными московских и многих иногород-
них математиков. Зарубежные математики, приезжающие в СССР, счита-
ют для себя честью сделать сообщение в этом семинаре.
Некоторые из непосредственных учеников И.Г. Петровского стали круп-
ными учеными. И. Г. Петровский всегда с большим тактом направлял
работу своих учеников, воспитывая их самостоятельность. Он обращал
их внимание на интересные проблемы, и решение проблем, поставленных
И. Г. Петровским, принесло многим из его учеников известность.
Деятельность на посту ректора Московского университета.
И. Г. Петровский — не только замечательный ученый, но и выдающийся
организатор науки. Научно-организаторская деятельность Ивана Георгие-
вича в Московском университете началась в 1940 г., когда он был избран
деканом механико-математического факультета. Он руководил факульте-
том в сложных условиях эвакуации, и в период его возвращения в Москву.
Много сил И. Г. Петровский отдал тому, чтобы коллектив факультета в
трудные годы войны мог вести на высоком уровне научную и учебную
работу.
В 1951 г. И. Г. Петровский стал ректором Московского университета.
Вот уже двадцать лет продолжается эта поразительная по своим масшта-
бам научно-организаторская деятельность большого ученого на посту рек-
тора Московского университета. Ректорство И. Г. Петровского — это заме-
чательный период в жизни и истории Московского университета.
Не только талант организатора сделал И. Г. Петровского выдающимся
руководителем университета. Этому помогли его качества ученого, челове-
ка, гражданина.
Казалось бы, время ученых-энциклопедистов отошло в прошлое: стре-
мительный прогресс науки не позволяет одному человеку глубоко разби-
раться во многих различных областях науки сразу. Пример И. Г. Петров-
ского опровергает это. Ивана Георгиевича отличает широта образования
и интересов, обширные и глубокие познания в самых разнообразных об-
ластях как естественных, так и гуманитарных наук. Ему свойственны на-
стойчивость и сосредоточенность ученого, огромная работоспособность и
бесконечная любознательность. Нам, математикам, всегда было известно,
что Иван Георгиевич любит художественную литературу, что он библио-
фил, что лучший отдых для него — это возможность рыться в книгах, что
он любит и знает искусство, хорошо понимает живопись, что в молодости
он сам увлекался рисованием.
Но вот что пишет об И. Г. Петровском известный историк и археолог
А. В. Арциховский:
«Энциклопедическая образованность и широта научных инте-
ресов И. Г. Петровского позволяют ему следить за успехами
250
VI. Статьи о математиках в других изданиях
всех наук, естественных и общественных. В наше время науки
так дифференцировались и усложнились, что мало кто может
охватить всю их совокупность. И. Г. Петровский может. Я мно-
го раз убеждался, что ректор внимательно читает самые спе-
циальные исследования историков по всем разделам истории,
древней, средней и новой. Он всегда находит конкретные меры
содействия этим исследованиям. Мне пришлось с ним ездить по
Англии и убедиться, как подробно он знает историю этой стра-
ны. В залах Британского Музея он проявил глубокое понимание
творчества величайших мастеров эллинского веяния, Фидия и
Скопаса. Это связано с его интересом к истории Древней Гре-
ции. Я руковожу Новгородской археологической экспедицией.
Когда мы нашли первые берестяные грамоты, эти исторические
источники совершенно нового рода, Иван Георгиевич полностью
оценил значение открытия. Ему мы обязаны значительным рас-
ширением экспедиции и новыми ее достижениями. Когда он сам
посетил Новгород, он очень заинтересовался древнерусским зод-
чеством. На новгородских раскопках Иван Георгиевич внима-
тельно наблюдал все научные процессы, участвовал в разборке
находок и в чтении берестяных грамот, проявив при этом глу-
бокое знание истории Новгорода. И. Г. Петровский следит за
успехами всех наук. Точно так же в первой половине XIX века
ректор Казанского университета, великий математик Н. И. Ло-
бачевский следил за успехами всех наук, в том числе истори-
ческих. В XX веке это стало гораздо труднее, чем в XIX. Тем
удивительнее деятельность И. Г. Петровского».
Декан факультета психологии, профессор А. Н. Леонтьев рассказывает:
«Несколько лет назад, во время деловой беседы Иван Георгие-
вич задал мне совершенно неожиданный вопрос: что я знаю об
этологии? Оказалось, что он прочитал одну из работ Лоренца,
сильно его заинтересовавшую. “Может быть у нас, в МГУ, нуж-
но было бы иметь это направление?” — сказал он в заключение.
Нужно заметить, что в то время, когда происходил разговор,
собственно этологические исследования у нас нигде еще не ве-
лись, не существовало на русском языке и никакой литературы
по этологии. То, о чем я рассказал, это отнюдь не просто выра-
жение его интереса ко всему новому. Прежде всего, это — спо-
собность видеть существенные, не случайные проблемы науки,
к какой бы области знания они ни относились».
Заметим, что И. Г. Петровский — один из инициаторов создания факуль-
тета психологии в МГУ.
И. Г. Петровский (к 70-летию со дня рождения)
251
Характерными чертами И. Г. Петровского являются умение видеть, где
главное русло развития науки, умение находить внутренние связи в науках
и между науками, глубокое понимание того, что будет важным для науки
и для страны в будущем.
Биолог, академик А. Н. Белозерский, пишет:
«И. Г. Петровский — не только крупный ученый-математик, но и
организатор науки исключительно большого масштаба. Он об-
ладает важной чертой — предугадывать и понимать те новые
научные направления, которые только что появляются или же
в ближайшее время появятся и будут иметь важнейшее значе-
ние не только для развития науки, но и для экономики нашей
страны. Он всячески содействует этим новым возникающим и
зарождающимся областям знания, понимая, что они должны
развиваться в первую очередь именно в университете, так как
университет готовит кадры, которыми должны быть обеспече-
ны эти новые направления. При непосредственном участии и
помощи Ивана Георгиевича, а иногда и по его инициативе на
биолого-почвенном факультете создан ряд новых проблемных
лабораторий, отражающих устремления современной биологи-
ческой науки. Ему принадлежит огромная роль в создании меж-
факультетской лаборатории биоорганической химии, представ-
ляющей новое направление в биологической науке — молекуляр-
ную биологию, в создании кафедры вирусологии, проблемных
лабораторий по бионике, космической биологии и других».
Благодаря заботам И. Г. Петровского в Московском университете ор-
ганизуются исследования в новых областях науки, создаются новые фа-
культеты, новые кафедры, новые лаборатории, институты. По инициативе
И. Г. Петровского в университете были созданы первая в стране кафедра
вычислительной математики и один из первых в СССР вычислительных
центров. И. Г. Петровский способствует внедрению вычислительной тех-
ники в различные области науки (биологию, экономику, в гуманитарные
науки). Благодаря инициативе и усилиям И. Г. Петровского Вычислитель-
ный центр МГУ получил наиболее совершенные, современные ЭВМ.
При поддержке и участии Ивана Георгиевича возникли межфакуль-
тетские лаборатории прикладной теории вероятностей и математической
статистики, а также математических методов в биологии, организованы ка-
федры химической механики, математической логики. Большое внимание
и поддержку оказывал И. Г. Петровский созданию и развитию Института
механики при университете.
252
VI. Статьи о математиках в других изданиях
На физическом факультете при участии Ивана Георгиевича открыты
кафедры волновых процессов и кафедра высоких энергий, были привлече-
ны для работы крупные ученые-физики. Учитывая перспективы дальней-
шего развития астрономической науки, И. Г. Петровский переводит астро-
номическое отделение механико-математического факультета на физиче-
ский факультет. Большое внимание И. Г. Петровский уделяет строитель-
ству Южной Крымской станции Астрономического института, ставшей те-
перь современной хорошо оборудованной обсерваторией.
Академик Л. А. Арцимович пишет:
«И. Г. Петровский постоянно оказывает помощь физикам во
всех прогрессивных начинаниях. Он сыграл большую роль в пе-
рестройке работы физического факультета, энергично привле-
кая на работу в МТУ активно работающих ученых. В значитель-
ной степени благодаря заботам И. Г. Петровского физический
факультет является в настоящее время одним из очень круп-
ных научных центров страны, объединяя в себе лаборатории
по физике атомного ядра и космическим лучам, по нелиней-
ной оптике, физике плазмы, радиофизике и т. д. Иван Георгие-
вич постоянно следит за тем, чтобы на физическом факультете
поддерживался высокий уровень преподавания научных дисци-
плин, достойный первого вуза страны».
И. Г. Петровский всячески стремится расширить экспериментальную
базу университета, организовать работу его ученых и студентов на установ-
ках крупнейших научных центров страны. При его участии создан филиал
физического факультета в г. Дубне при Международном институте ядер-
ных исследований и филиал биолого-почвенного факультета в Пущине.
Министр просвещения СССР, известный химик, профессор М. А. Про-
кофьев пишет об И. Г. Петровском:
«Для него характерна удивительная способность помочь разви-
тию новых перспективных направлений. Я приведу в качестве
примеров области науки, близкие мне. Было время, когда вы-
сокомолекулярные соединения, в научном плане, хотя и разра-
батывались выпускниками МГУ, но это делалось вне универ-
ситета. Практически химия высокомолекулярных соединений в
МГУ отсутствовала. Надо было оценить значение этой отрас-
ли химии в науке и народном хозяйстве. Это блестяще сделал
ректор И. Г. Петровский. Вместе с тем он приложил огром-
ную энергию, чтобы привлечь квалифицированных ученых, со-
здать условия для работы и подготовки кадров. Вскоре кафедра
И. Г. Петровский (к 70-летию со дня рождения)
253
высокомолекулярных соединений становится научным центром
страны в области химических основ высокомолекулярных со-
единений, в котором сформировались крупные молодые ученые.
И. Г. Петровского давно волновало отставание исследований в
нашей стране по молекулярной биологии. По его инициативе
объединяются творческие силы биохимиков и химиков для раз-
работки этих вопросов. Создается межфакультетская лаборато-
рия, подводится необходимая материальная база. Из этой лабо-
ратории выходит ряд важных исследований мирового класса.
Выросли творческие молодые кадры.
В начале жизненного пути И. Г. Петровскому приходилось пре-
подавать математику в школе. Вероятно, с тех пор у него со-
хранилось любовное отношение к учителю, школе, системе про-
свещения. Такие интересные начинания как университетская
физико-математическая школа, заочная школа в МГУ по ма-
тематике, курсы повышения квалификации учителей, система-
тически организуемые университетом циклы лекций для учите-
лей г. Москвы и многое другое — все это инициатива ректора
МГУ. Добрый совет И. Г. Петровского по совершенствованию
школьного дела неизменно высоко ценится всеми работниками
народного образования».
Много внимания И. Г. Петровский уделяет развитию геологического
факультета МГУ, созданного в 1949 г. При его поддержке геологический
факультет получил ценное современное оборудование, были организованы
исследования в новых научных направлениях (экспериментальная петро-
логия, тектонофизика, экспериментальная геохимия и др.).
При большом участии и поддержке И. Г. Петровского в МГУ создан
Институт восточных языков, факультет журналистики, кафедра научной
информации.
Представители различных наук всегда обращаются к И. Г. Петровскому
за советом во всех тех случаях, когда возникают сложные и принципиаль-
ные вопросы. Развитие в университете западно-европейского языкознания,
современный уровень научной работы, большая аспирантура на филологи-
ческом факультете стали возможными в значительной степени благодаря
поддержке и заботам ректора И. Г. Петровского. И всегда он действует не
как администратор, а как ученый совершенно уникальный по широ-
те и глубине проникновения в общую систему современного научного
знания.
О другой стороне деятельности И. Г. Петровского, как ректора, расска-
зывает академик А. Н. Несмеянов:
254
VI. Статьи о математиках в других изданиях
«И. Г. Петровский начал свою работу на посту ректора, когда
строительство МГУ на Ленинских горах было в разгаре и еще
около двух лет оставалось до переезда в новые здания. Уже одно
строительство, осуществляемое небывалыми темпами, требова-
ло огромного и постоянного внимания. Не менее трудной зада-
чей было проектирование, заказ и приемка научного оборудо-
вания МГУ. Возникали кадровые вопросы — научно-учебные и
хозяйственные кадры, способные обеспечить работу нового ком-
плекса зданий МГУ, которому суждено было сыграть роль меж-
дународного научного центра — становились в порядок дня.
Все это было на фоне текущей учебно-научной жизни, кото-
рая должна была идти бесперебойно и которая одна способна
загрузить ректора полностью. Наконец, в 1953 г. — переезд в
новые здания, но и после него и до наших дней продолжает-
ся строительство на новом месте ряда дополнительных зданий,
в частности, огромного помещения для гуманитарных факуль-
тетов. Неизмеримо выросшее и пестрое население университет-
ского городка (дневное, вечернее, заочное отделения, советские
студенты из всех уголков нашей Родины и иностранные сту-
денты из социалистических, развивающихся и других стран) —
все это требовало и требует огромного внимания, времени, ор-
ганизационного таланта, любви к делу и к своему университе-
ту. Иван Георгиевич свою особую и первейшую задачу видит в
подборе достойных МГУ профессорско-преподавательских кад-
ров. Не меньшее значение он придает и тому, чтобы вовремя
развить в университете новое и важное направление. Мягкий и
деликатный, Иван Георгиевич становится “упрямым” и беском-
промиссным, когда дело касается созревших у него решений и
убеждений относительно развития университета».
Отметим, что по инициативе И. Г. Петровского создано более 70 кафедр
по новым и новейшим разделам науки (квантовой статистики, полупровод-
ников, радиохимии и др.), созданы проблемные лаборатории (квантовой
радиофизики, магнетизма, народонаселения, экспериментальной геохимии
И др.).
Мы привели здесь лишь некоторые примеры многогранной деятельно-
сти И. Г. Петровского на посту ректора. Трудно перечислить все то, что
сделал он для того, чтобы Московский университет по праву занимал одно
из ведущих мест среди университетов мира по уровню подготовки молодых
специалистов и уровню научных исследований.
Значительная часть деятельности И.Г.Петровского связана с АН СССР.
В 1949-1951 гг. он был академиком-секретарем отделения физико-матема-
И. Г. Петровский {к 70-летию со дня рождения)
255
тических наук, а с 1953 г. является членом Президиума АН СССР. И.Г. Пет-
ровский ведет большую общественно-политическую работу. Он — депу-
тат Верховного Совета СССР, член Президиума Верховного Совета СССР,
член Советского комитета защиты мира. За свою научную, организацион-
ную и общественную деятельность И. Г. Петровский удостоен звания Героя
Социалистического Труда, награжден пятью орденами Ленина и другими
орденами и медалями. За свои исследования в области систем уравнений с
частными производными он удостоен Государственной премии.
И. Г. Петровский является действительным членом Академии наук
СССР, почетным членом Московского математического общества, почет-
ным доктором Карлова университета (Чехословакия), почетным доктором
Лундского университета (Швеция), почетным членом Румынской Акаде-
мии наук.
Нельзя не отметить доступность Ивана Георгиевича, его доброжела-
тельность и простоту во взаимоотношениях с людьми. Эти свойства лично-
сти И. Г. Петровского вполне проявляются, в частности, в его отношениях
со студентами. Все это, вместе взятое, заставляет нас восхищаться этим вы-
дающимся ученым и человеком. Советские математики желают И. Г. Пет-
ровскому здоровья и сил, многих лет такой же вдохновенной, творческой
жизни для работы на благо нашей науки, во славу нашей Родины.
ЛИТЕРАТУРА
[1]	J. Hadamard, Le probteme de Cauchy, Paris, 1932.
[2]	С. Л. Соболев, M£thode nouvelle й r£soudre le probteme de Cauchy pour les
equations lin£aires hyperboliques, Матем. сб. 1(43) : 1 (1936).
[3]	J. Schauder, Dor Anfangswertproblein einer quasi-linearen hyperbolischen Diffe-
rentialgleichungen zweiter Ordnung, Fund. Math. 24 (1935), 213-246.
(4]	И. Г. Петровский, Uber das Cauchysche problem fur System von partiellen Diffe-
rentialgleichungen, Матем. сб. 2(44) (1937), 816-870.
[5]	A. P. Calderon, Integrates singulares у sus aplicaciones a equaciones differenciales
hiperbolicas, Univ. Buenos Aires, 1960.
[6]	S. Mizohata, Note sur le traitement par les operateurs d’int£grale singuli£re du
probteme de Cauchy, Journ. Math. Soc. Japan 11:3 (1959), 234-240.
[7]	M. Yamaguti, Sur l’in£galit£ d’£nergie pour les systfemes hyperboliques, Proc. Ja-
pan. Acad. 35 (1959), 37-41.
[8]	J. Leray, Hyperbolic differential equations, Inst. Advanced Study, Princeton, 1953.
[9)	Л. Гординг, Задачи Коши для гиперболических уравнений, М., ИЛ, 1961.
[10]	И. Г. Петровский, О проблеме Cauchy для системы линейных дифференциаль-
ных уравнений с частными производными в области неаналитических функ-
ций, М., Бюлл. ун-та (А), 1 : 7 (1938), 1-72.
256
VI. Статьи о математиках в других изданиях
[11]	Л. Хёрмандер, О характеристической задаче Коши, Математика, сб. перево-
дов, 13 : 1 (1969), 82-121.
[12]	О. А. Ладыженская, О единственности решения задачи Коши для линейного
параболического уравнения, Матем. сб. 27 : 2 (1950), 175-184.
[13]	С. Д. Эйдельман, Параболические системы, М., «Наука», 1964.
[14]	М. С. Агранович, М. И. Вишик, Эллиптические задачи с параметром и пара-
болические задачи общего вида, УМН 19 : 3 (117) (1964), 53-161.
[15]	В. А. Солонников, О краевых задачах для линейных параболических сис-
тем дифференциальных уравнений общего вида, Труды Матем. ин-та
им. В. А. Стеклова, 33 (1965).
[16]	Л. Р. Волевич, С. Г. Гиндикин, Псевдодифференциальные операторы и задача
Коши для дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами,
Функц. анализ 1 : 4 (1967), 8-25.
[17]	И. Г. Петровский, О системах дифференциальных уравнений, все решения
которых аналитичны, ДАН 17 (1937), 339-342.
[18]	И. Г. Петровский, Sur I’analyticite des solutions des systemes d’equations differen-
tielles, Матем. сб. 5(47) (1939), 3-70.
[19]	S. Bernstein, Sur la nature analytique des solutions de certaines £quations aux
d£rivees partielles du second ordre, C.r. Acad. Sci. (Paris) 137 (1903), 778-781.
[20]	H. Lewy, Uber den analytischen Charakter der Losungen elliptischer Differen-
tialgleichungen, Gottingen Nachrichten (1927), 178-186 (русск. перевод: УМН,
вып. VIII (1940), 100-106).
[21]	С. Morrey, L. Nirenberg, On the analyticity of the solutions of linear elliptic systems
of partial differential equations, Comm. Pure Appl. Math. 10 (1957), 271-290.
[22]	E. De Giorgi, Un esempio di estremali discontinue per un problema variazionale
di tipo ellitico, Bollettino della Unione Matematica Italiana, ser. IV, №1 (1968),
135-137.
[23]	В. Г. Мазья, Примеры нерегулярных решений квазилинейных эллиптических
уравнений с аналитическими коэффициентами, Функц. анализ 2 : 3 (1968),
53-57.
[24]	Е. Giusti, М. Miranda, Un esempio di soluzioni discontinue per un problema di
minimo relativo ad un integrale regolare del calcolo delle variayoni, Bollettino
della Unione Matematica Italiana, Ser. IV, №2 (1968), 219-226.
[25]	А. И. Вольперт, Об индексе и нормальной разрешимости граничных задач для
эллиптических систем дифференциальных уравнений на плоскости, Труды
Моск, матем. о-ва 10 (1961), 41-87.
[26]	Л. Хёрмандер, Линейные дифференциальные операторы в частных производ-
ных, М., «Мир», 1965.
[27]	М. Ф. Атья, И. М. Зингер, Индекс эллиптических операторов. I, УМН 23 : 5
(1968), 99-142.
[28]	Р. Пале, Семинар по теореме Атьи-Зингера, М., «Мир», 1970.
[29]	И. Г. Петровский, О зависимости решения задачи Коши от начальных данных,
ДАН 38 (1943), 163-165.
И. Г. Петровский (к 70-летию со дня рождения)
257
[30]	И. Г. Петровский, О диффузии волн и лакунах для систем гиперболических
уравнений, Изв. АН, сер. матем. 8 (1944), 101-106.
[31]	И. Г. Петровский, On the diffusion of waves and the lacunas for hyperbolic equa-
tions, Матем. сб. 17(59) (1945), 289-370.
[32]	И. M. Гельфанд, Г. Е. Шилов, Обобщенные функции и действия над ними. М.,
Физматгиз, 1958.
[33]	В. А. Боровиков, Некоторые достаточные условия отсутствия лакун, Матем.
сб. 55(97) : 3 (1961), 237-254.
[34]	С. А. Гальперн, В. Е. Кондратов, Задача Коши для дифференциальных опе-
раторов, распадающихся на волновые множители, Труды Моск, матем. о-ва,
16 (1967), 109-136.
[35]	A. Harnack, Uber die Veilheitkeit der ebenen algebraischen Kurven, Math. Ann.
10 (1876), 189-198.
[36]	D. Hilbert, Uber die reelen Zuge algebraischen Kurven, Math. Ann. 38 (1891),
115-138.
[37]	I. Petrovsky, Sur la topologie des courbes planes, reelles et algebriques, C. r. Acad.
Sci. (Paris) 197 (1933), 1270-1272.
[38]	I. Petrovsky, On the topology of real plane algebraic curves, Ann. Math. 39 (1938),
189-396.
[39]	И. Г. Петровский, О. А. Олейник, О топологии действительных алгебраических
поверхностей, Изв. АН, сер. матем. 13 (1949), 389-402.
[40]	О. А. Олейник, О топологии действительных алгебраических кривых на ал-
гебраической поверхности, Матем. сб. 29(71) : 1, (1951), 133-156.
[41]	М. Morse, Critical points, Trans. Amer. Math. Soc. 27 (1925), 345-396.
[42]	Проблемы Гильберта, Сборник под общей редакцией П. С. Александрова, М.,
«Наука», 1969.
[43]	I. Petrovsky, Uber das Irrfahrtproblem, Math. Ann. 109 : 3 (1934), 425-444.
[44]	I. Petrovsky, Zur ersten Randwertaufgabe der Warmeleitungsgleichung, Comp.
Math. 1 (1935), 383-419.
[45]	И. Г. Петровский, Uber das Verhalten der Integralkurven eines Systems gewohn-
licher Differentialgleichungen in der Nahe lines singularen Punktes, Матем. сб.
41 (1934), 107-156.
[46]	A. H. Колмогоров, И. Г. Петровский, Н. С. Пискунов, Исследование уравнения
диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его примене-
ние к одной биологической проблеме, М., Бюлл. ун-та, А, 1 : 7 (1937), 1-72.
[47]	И. Г. Петровский, Новое доказательство существования решения задачи Ди-
рихле методом конечных разностей, УМН, вып. VIII (1940), 161-170.
[48]	И. Г. Петровский, О скорости распространения разрывов производных сме-
щений на поверхности неоднородного упругого тела произвольной формы,
ДАН, 47, 258-261.
[49]	И. Г. Петровский, Е. М. Ландис, Поправки к статьям «О числе предельных
циклов уравнения	, где Р и Q многочлены второй степени» и
258
VI. Статьи о математиках в других изданиях
<0 числе предельных циклов уравнения = Q(s$ * где ? и Q ~ полиномы»,
Матем. сб., 48(90) : 2 (1959), 253-255.
[50]	И. Г. Худай-Веренов, Об одном свойство решений одного дифференциального
уравнения, Матем. сб. 56(98) : 3 (1962), 301-308.
[51]	Ю. С. Ильяшенко, Возникновение предельных циклов при возмущении урав-
нения — где R(z,w) — многочлен, Матем. сб. 78(120) : 3 (1969),
360-373.
[52]	И. Г. Петровский, О некоторых проблемах теории уравнений с частными про-
изводными, УМН 1 : 3-4(13-14) (1946), 44-70.
О РАБОТАХ Н. В. СМИРНОВА
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
(к шестидесятилетию со дня рождения)
17 октября этого года исполнилось 60 лет со дня рождения члена-
корреспондента АН СССР, профессора Николая Васильевича Смирнова,
крупнейшего советского специалиста по математической статистике.
За последние 30 лет Николай Васильевич написал более сорока науч-
ных работ, большинство из них представляет собой крупные, совершенно
оригинальные исследования по математической статистике, теории веро-
ятностей и их приложениям.
Первая группа работ Николая Васильевича посвящена так называемым
непараметрическим задачам, в эту группу входят работы [4, 6, 8, 10, 12,
13, 21, 22, 24, 37].
Уже первые работы [4, 6] этого цикла, посвященные распределению
критерия о/2 Мизеса, отличаются своей законченностью, точностью и ма-
стерством, с которым в них преодолены значительные принципиальные
и вычислительные трудности. Характеристическая функция предельного
закона получила простое и изящное выражение через определитель Фред-
гольма вспомогательного интегрального уравнения с симметрическим яд-
ром, целиком определяемым конкретным видом критерия (выбором поло-
жительной функции g(t)). Сам же предельный закон представлен в виде
ряда; члены ряда есть определенные интегралы, пределами интегрирова-
ния которых служат собственные числа ядра. Из этих выражений непо-
средственно следует, что предельный закон не зависит от вида закона рас-
пределения генеральной совокупности.
В работе [8], посвященной уклонениям эмпирической кривой, весьма
тонкие оценки и остроумные способы точного вычисления многомерных
интегралов, распространенных на сложные области, позволяют автору до-
казать ряд теорем, исчерпывающих вопрос о виде предельных законов.
В частности, в этой работе найдено простое асимптотическое выражение
для распределения односторонних уклонений D+ = supj. [Fn(x) — F(x)] эм-
пирической функции распределения Fn(x) от теоретической F(x):
Теория вероятностей и ее применения. — 1960. — Т. 5, вып. 4. — С. 436-440 (совм. с
Б. В. Гнеденко, Ю. В. Прохоровым, О. В. Сармановым).
260
VI. Статьи о математиках в других изданиях
Приведенные замечания о характере и стиле работ [6] и [8] относятся ко
всем, без исключения, исследованиям Николая Васильевича, отмеченным
в настоящем обзоре.
По степени трудности решенных задач их можно сравнить лишь со зна-
менитым доказательством центральной предельной теоремы методом мо-
ментов, выполненным академиком А. А. Марковым.
Аналитические методы, которыми пользуется Николай Васильевич при
решении этих задач своеобразны и тонки и в ряде случаев сводятся к изу-
чению асимптотического поведения n-кратных интегралов, распространен-
ных на области, ограниченные множеством поверхностей, число которых
растет по мере роста п.
Можно с уверенностью утверждать, что по силе методов, применяемых
Николаем Васильевичем при оценке многомерных интегралов и вычисле-
нии многократных сумм, ему принадлежит ведущее место в современной
математике1.
Не имея возможности останавливаться на рассмотрении каждой рабо-
ты, остановимся лишь на тех, которые получили наибольшую известность
среди советских и зарубежных специалистов.
Работа [10], посвященная оценке расхождения между эмпирическими
кривыми распределения в двух независимых выборках, получила, пожа-
луй, наибольшую и вполне заслуженную известность из работ этого цикла.
В этой работе получен весьма важный критерий оценки гипотезы о
том, что две выборки произведены из одной генеральной совокупности.
Предельный закон распределения соответствующей статистики содержит
лишь один параметр, не зависит от вида непрерывного закона генеральной
совокупности, и при этом оказывается таким же, как предельный закон
К(Л), найденный ранее А. Н. Колмогоровым для уклонений эмпирического
распределения от теоретического.
В работе приведены таблицы функции К(Х), позволяющие широко при-
менять этот критерий (получивший в мировой статистической литературе
наименование -- «критерий Смирнова») на практике. Указанные таблицы
были в 1948 году перепечатаны за границей (см. работу (16)).
Ко второй группе работ можно отнести работы [3, 5, 19] и [25], посвя-
щенные исследованию свойств членов вариационного ряда. Исследования
автора, связанные с вариационным рядом, начатые им в 1935-1937 годах
(работы [3] и [5]), завершились монографией [19], вышедшей отдельным из-
данием Трудов Математического института им. В. А. Стеклова в 1949 году.
В этой последней работе получены исчерпывающие результаты о предель-
ных законах средних членов вариационного ряда (отношение рангового
'См. статью А. Н. Колмогорова и А. Я. Хинчина о работах Н. В. Смирнова, удосто-
енных Сталинской премии, УМН, том VI, вып. 4(44), 1951, 190-192.
О работах Н. В. Смирнова по математической статистике
261
номера которых к числу членов сохраняет постоянное значение), а также
перечислены все возможные типы предельных законов для последователь-
ностей крайних членов с постоянным ранговым номером (см. теорему 5
второй части работы [19]). Найдены, также, области притяжения всех пре-
дельных типов законов.
Ряд работ этих двух циклов (опубликованных до 1950 года), в том числе
и работа [19], в 1950 году были отмечены Сталинской премией.
Работа [19] была переведена на английский язык и вышла в 1952 г.
в серии переводов Американского математического общества (см. работу
(25|).
Цикл работ по теории вероятностей, включающий работы [2, 7, 9, 20], по
трудности и важности решенных в них задач не уступает работам первых
двух циклов, а работа [7], о числе перемен знака в последовательности
уклонений, широко используется автором в его работах по математической
статистике.
Следует остановиться на работе [11] — «Об оценке максимального члена
в ряду наблюдений», эта работа, опубликованная в виде небольшой замет-
ки в «Докладах АН СССР» в конце 1941 года, долгое время оставалась
незамеченной за границей. Через 9 лет, в 1950 году американские ученые,
занимаясь аналогичными задачами, предприняли громоздкие вычисления
32-мерных интегралов на современных электронных машинах для состав-
ления важных для приложений таблиц. Аналогичные по точности и объему
таблицы получены в работе [11] совсем простыми вычислительными сред-
ствами, благодаря выведенным там рекуррентным соотношениям.
Все крупные специалисты по математической статистике, заинтересо-
ванные в практических приложениях статистических теорий, уделяли мно-
го времени и сил составлению и изданию различных таблиц (можно
указать, например, на большую работу, проделанную в этом направлении
Пирсоном в Англии и Е. Е. Слуцким в СССР). Николай Васильевич уде-
ляет этой важной и трудоемкой работе большое внимание.
Мы уже указывали на важность составленных им оригинальных таб-
лиц, содержащихся в работах [10, 11]; в настоящее время под руководством
Николая Васильевича печатаются крупные таблицы функций и интегра-
лов, необходимых для приложений статистики (см. работы [31, 32, 39]).
Недавно вышедшие книги [27, 38], соавтором которых является
Н. В. Смирнов, представляют собой вполне современное и достаточно пол-
ное изложение основ теории вероятностей и математической статистики в
технике, книги [27, 38] тоже содержат ряд весьма полезных и важных таб-
лиц. Нельзя не упомянуть, наконец, о работе [23], содержащей две важных
теоремы о преобразованиях Лапласа.
262
VI. Статьи о математиках в других изданиях
Заканчивая этот весьма беглый обзор математических работ Николая
Васильевича, сделаем еще несколько замечаний, характеризующих объем
его столь плодотворной научной деятельности.
Математические работы Николая Васильевича носят фундаменталь-
ный характер, число ссылок на них, число новых работ и диссертаций,
примыкающих к работам Николая Васильевича, непрерывно растет. Мож-
но отметить, например, исследования в следующих направлениях: а) отыс-
кание предельных распределений статистик, являющихся видоизменени-
ями статистик, рассмотренных Николаем Васильевичем (И. И. Гихман,
Г. X. Мания, А. Реньи, Е. Л. Рвачева, С. X. Туманян и др.), б) изучение
вероятностей больших уклонений (последние работы самого Николая Ва-
сильевича, работы А. А. Боровкова и др ), в) оценка скорости сходимости в
предельных теоремах, исследованных Николаем Васильевичем (В. С. Ко-
рол юк и др.).
В настоящее время Н. В. Смирнов является главой советской статисти-
ческой школы и в связи с этим ведет большую организационную и научно-
методическую работу.
Николай Васильевич является редактором Отдела теории вероятностей
и математической статистики Реферативного журнала, возглавляет недав-
но созданный в Математическом Институте им. В. А. Стеклова АН СССР
Отдел математической статистики и руководит научно-исследовательским
семинаром этого отдела, издает математические таблицы и систематически
рецензирует новинки статистической литературы.
Точные и изящные исследования Николая Васильевича служат приме-
ром для молодых математиков, учеников Николая Васильевича, воспита-
нию которых он уделял большое внимание за долгие годы своей педагоги-
ческой деятельности в Московском университете и в Московском педаго-
гическом институте им. Ленина.
Пожелаем же Николаю Васильевичу в день его шестидесятилетия здо-
ровья и долгих лет жизни и творческой работы.
СПИСОК РАБОТ НИКОЛАЯ ВАСИЛЬЕВИЧА СМИРНОВА
[1]	О некоторых случаях экстремальных значений среднего квадратического,
Вестник статистики, X’ 3-4, 1929.
[2]	О вероятностях больших уклонений, Матем. сб., 40 : 4 (1933), 443-454.
[3]	Uber die Verteilung des allgemeinen Glides in der Variationsreihe, Metron, XII,
2 (1935), 59-81.
[4]	Sur la distribution de iv2 (Criterium de R. v. Mises), Comptes Rendus Acad. Sci.,
202 (1936), 449-452.
[5]	О зависимости членов вариационного ряда, М., Бюллетень МГУ, Сер. А, 1 : 4
(1987), 1-12.
О работах Н. В. Смирнова по математической статистике
263
[6]	О распределении оАкритерия Мизеса. Матем. сб., нов. сер., 2 (44) : 5 (1937),
973-993.
[7]	О числе перемен знака в последовательности уклонений, Изв. АН СССР, сер.
матем., 3 (1937), 361-372.
[8]	Об уклонениях эмпирической кривой распределения, Матем. сб., 6 (48) : 1
(1939), 3-26.
[9]	Об одной предельной теореме в схеме независимых испытаний, Известия
АН СССР, сер. матем., 3 (1939), 319-328.
[10]	Оценка расхождения между эмпирическими кривыми распределения в двух
независимых выборках, М., Бюллетень МГУ, 2 : 2 (1939), 1-16.
[11]	Об оценке максимального члена в ряду наблюдений, ДАН СССР, 33 : 5
(1941), 346-350.
[12]	Приближение законов распределения случайных величин по эмпирическим
данным, УМН, 10 (1944), 179-206.
[13]	О критерии симметрии закона распределения случайной величины, Доклады
АН СССР, 56 1 (1947), 13-16.
[14]	Полиномы Чебышева и математическая статистика (рецензия), Советская
книга, № 7, 1947.
[15]	Евгений Евгеньевич Слуцкий (некролог), Изв. АН СССР, сер. матем., 12
(1948) [№5, 417-420].
[16]	Table for estimating goodness of fit of empirical distribution (перепеч. из рабо-
ты 10), Ann. of Math. Stat., 19, 1948.
[17]	Математическая статистика, сб. «Математика в СССР за 30 лет» (1917-1947),
1948, 728-738.
[18]	Романовский В. И. «Применение математической статистики в опытном де-
ле» (рецензия), Советская книга, Х«5, 1948.
[19]	Предельные законы распределения для членов вариационного ряда, Труды
Матем. ин-та им. Стеклова, 25 (1949), 1-60.
[20]	О распределении числа циклов в циклирующих системах, УМН, 4 : 4(32),
(1949), 192-193.
[21]	О критерии Крамера-Мизеса, УМН, 4 : 4(32), (1949), 196-197.
[22]	О построении доверительной области для плотности распределения случай-
ной величины, ДАН СССР, 74 : 2 (1950), 189-191.
[23]	О преобразованиях Лапласа (дополнение к книге Б. В. Гнеденко «Курс тео-
рии вероятностей», стр. 335-339), 1950.
[24]	О приближении плотностей распределения случайных величин, Уч. записки
Моск. гор. пединститута им. В.П. Потемкина, 3, 1951, 69-96.
[25]	Limit distributions for the terms of a variational series, Am. Math. Soc. Transl.,
67 (1952), 1-64 (перевод работы 19).
[26]	Об одном способе построения доверительной области для нормальной функ-
ции по данным выборки, Труды ин-та матем. и мех. АН Узб. ССР, 10 : 1
(1953), 122-130.
264
VI. Статьи о математиках в других изданиях
[27]	Теория вероятностей и математическая статистика в технике (совместно с
И. В. Дунин-Барковским), ГИТТЛ, 1955, 1 556.
[28]	О статистической оценке переходных вероятностей в цепях Маркова. Вестн.
Ленингр. ун-та, 11 (1955), 45-48.
[29]	Hansen, Hurwitz, Madow, Sample survey methods and theory, N. Y., 1-2, 1953
(рецензия). Бюл. Новые книги за рубежом, 1, (1955), 57-61.
[30]	Отклик на статью проф. Афончикова А. Ф. «Ошибки в инструкции по тех-
контролю», Текстильная промышленность, 6, 1956.
[31]	Таблицы нормального интеграла вероятностей, нормальной плотности и ее
нормированных производных (введение), 1957 (в печати).3
[32]	Таблицы функций распределения и плотностей распределения Стьюдента
(введение), 1957 (в печати).3
[33]	Фишер Рональд, Статья для БСЭ, том 45, 1957.
[34]	Saxer. Versicherungs mathematik, Teil I, Berlin, 1957 (рецензия), Бюл. Новые
книги за рубежом, сер. А, 7 (1957), 12-13.
[35]	Colloque sur Г analyse statistique. Tenu & Bruxelles 15-17 d£c. 1954 (рецензия).
Бюл. Новые книги за рубежом, сер. А, 9 (1957), 8-11.
[36]	Siegel. Nonparametric statistics for the behavioral sciences, N. Y. 1956 (рецен-
зия). Бюл. Новые книги за рубежом, сер. А, 3 (1958), 19-21.
[37]	Непараметрические методы статистики (совм. с И. И. Гихманом и Б. В. Гне-
денко), Тр. 3-го Всесоюзного матем. съезда, 3, 1958, 320-334.
[38]	Краткий курс математической статистики для технических приложений (сов-
местно с И. В. Дунин-Барковским), Физматгиз, 1959, 1-436.
[39]	Таблицы для вычисления функции двумерного нормального распределения
(совм. с Л. Н. Большевым), 1959 (в печати).6
[40]	Асимптотическая мощность некоторых непараметрических критериев, Тру-
ды Всесоюзн. совещ. по теории вероятн. и матем. статистике, Ереван, 1960,
98-100.
ВВ 1965 г. была опубликована книга: Смирнов Н. В., Большее Л. Н. «Таблицы мате-
матической статистики*, М., 1-464. — Прим. ред. 4-го тома Избр. трудов.
ьКнига вышла в 1962 г., М., 1-204. — Прим. ред. 4-го тома Избр. трудов.
ЛЕВ АБРАМОВИЧ ТУМАРКИН
ТОПОЛОГ
(к шестидесятилетию со дня рождения)
Один из выдающихся советских топологов старшего поколения Лев Аб-
рамович Тумаркин родился 14 января 1904 г. в городе Гадяче бывш. Пол-
тавской губернии (воспетом, как известно, Н. В. Гоголем). Еще будучи сту-
дентом Московского университета, Л. А. Тумаркин начал свою научную де-
ятельность и получил свои первые блестящие результаты в области тополо-
гии. Эти результаты состояли в том, что Л. А. Тумаркину простым и чрез-
вычайно остроумным методом удалось доказать, что все основные факты,
составляющие содержание урысоновской теории размерности, доказанные
П. С. Урысоном лишь для компактов, сохраняют свою силу и для любых
метризуемых пространств со счетной базой. Этот результат одновременно
и независимо от Л. А. Тумаркина был получен также знаменитым тополо-
гом В. Гуревичем (тогда — тоже совсем молодым математиком, учеником
Менгера в Вене). Сейчас теоремы Гуревича-Тумаркина воспринимаются
как классические; в 1925 г., когда они были впервые доказаны, они ка-
зались совершенно неожиданными и сразу же принесли обоим молодым
авторам известность среди математиков, интересующихся теорией размер-
ности — совсем новой тогда математической дисциплиной. П. С. Урысон и
Брауэр считали возможность построения теории размерности неразрывно
связанной если не непременно с самой компактностью пространства, то с
теми или иными ее аналогами или обобщениями (полнота, абсолютная Fa).
Поэтому результаты Л. А. Тумаркина, сообщенные Брауэру, произвели на
него очень сильное впечатление.
В то же время Л. А. Тумаркин доказал еще одну теорему, известную
под его именем и не требующую существования в пространстве счетной
базы: всякое множество М данной размерности, лежащее в метрическом
пространстве X, имеет в том же пространстве X «тумаркинскую оболоч-
ку» той же размерности, т. е. содержится в множестве М типа G$ той
же размерности, что и первоначальное множество М. Эта теорема имеет
много применений в теории размерности.
Очень значительным достижением Л. А. Тумаркина (опять-таки полу-
ченным им одновременно с В. Гуревичем и независимо от него) являет-
ся теорема, утверждающая, что всякий компакт размерности п содержит
канторово многообразие той же размерности (т. е. континуум размерности
Успехи математических наук. — 1964. — Т. 19, вып. 4. — С. 219-221 (совм. с
П. С. Александровым; в разделе «Математическая жизнь в СССР»).
266
VI. Статьи о математиках в других изданиях
п, связность которого не нарушается при удалении из него произвольного
множества размерности п — 2). Эта теорема представляет собой поло-
жительное решение проблемы, поставленной П. С. Урысоном, над которой
П. С. Урысон много думал и которой придавал большое значение. Несо-
мненно, что теорема о канторовых многообразиях, доказанная Л. А. Ту-
маркиным, принадлежит к самым глубоким фактам теории размерности.
И до сих пор в самых новых исследованиях мы встречаемся с вопросами,
непосредственно связанными с этой теоремой, ее усилениями и перенесе-
нием ее на новые классы пространств, в частности на бесконечномерные.
Одно из таких перенесений принадлежит самому Л. А. Тумаркину и полу-
чено им в самые последние годы.
Бесконечномерные пространства всегда интересовали Л. А. Тумаркина,
и им посвящены его недавние работы, служившие, в частности, предметом
его доклада на Международной конференции по топологии (1961 г., Прага).
Широко известна и до сих пор не решенная «проблема Тумаркина»:
всякий ли бесконечномерный компакт содержит компакт сколь угодно
большой конечной размерности?
Математик, уже в юности проявивший яркий талант, Л. А. Тумаркин
всю свою жизнь много энергии и времени отдавал и отдает преподаванию
математики в Московском университете и других высших учебных заведе-
ниях г. Москвы. Л. А. Тумаркин — один из основных профессоров кафед-
ры математического анализа в Московском университете. Курс анализа,
читаемый им уже несколько десятилетий, является плодом многолетней
большой работы и отделан с филигранной тщательностью. В этом кур-
се, как и во всей многосторонней педагогической работе Л. А. Тумаркина,
сказывается одна из основных черт Л. А. Тумаркина как университетского
преподавателя: его внимание, интерес и забота по отношению к средним и
рядовым студентам.
Это же свойство Л. А. Тумаркина отличало его в течение всех лет, ко-
торые он был деканом механико-математического факультета (как декан
Л. А. Тумаркин много сделал для факультета, и многие черты в тепереш-
нем облике факультета — начиная с его разделения на кафедры — сложи-
лись именно во время деканства Л. А. Тумаркина).
Во всех сторонах деятельности Л. А. Тумаркина проявляются основные
свойства его как человека: его доброжелательность, желание и готовность
помочь всякому человеку, его тонкий юмор и в то же время большая серьез-
ность и строгая добросовестность по отношению ко всем взятым на себя
обязанностям. Понятна та любовь, с которой к Л. А. Тумаркину относятся
и студенты, и его товарищи по работе.
Желаем нашему юбиляру еще многих лет такой же плодотворной ра-
боты в Московском университете!
НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ1
Первые мои воспоминания о Павле Самуиловиче Урысоне относятся к
зиме 1920-21 года, когда я только начинал свои занятия в университете.
Болеслав Корнелиевич Млодзеевский и Николай Николаевич Лузин объ-
явили параллельные курсы «Теории аналитических функций». Хотя курсы
были элементарные, предназначенные для студентов второго или третьего
года обучения, на лекциях Лузина собиралась почти вся «Лузитания» —
группа учеников Николая Николаевича, в основном, говоря современным
языком, аспирантского возраста. Некоторые из лузитанцев в качестве сво-
его рода соглядатаев появлялись и на лекциях Болеслава Корнелиевича.
Ученики Николая Николаевича были ревнители логической строгости и от-
мечали каждую оплошность Болеслава Корнелиевича в этом отношении.
Впрочем, Болеслав Корнелиевич вполне сознательно давал их критике бо-
гатую пищу. Как-то на своих лекциях по дифференциальной геометрии
он высказывал нам такое нравоучение: «Некоторые вам говорят, что не
существует бесконечно малых, а вот смотрите — я рисую на доске беско-
нечно малый треугольник!». В теории аналитических функций Болеслав
Корнелиевич без лишней, по его мнению, в элементарном курсе логической
скрупулезности быстро двигался от элементарных определений и теорем к
более глубоким конкретным аналитическим фактам.
Курс же Николая Николаевича надолго задержался на доказательстве
при самых общих предположениях (что тогда еще было необычным в эле-
ментарных курсах) так называемой «теоремы Коши», лежащей в основе
всей теории аналитических функций. По своему обычаю Николай Нико-
лаевич создавал доказательство на лекциях, обращаясь к помощи слуша-
телей. Ему пришло в голову построить доказательство теоремы Коши на
некотором вспомогательном чисто геометрическом утверждении, которое
и было предложено нам доказать. Мне удалось показать, что в действи-
тельности это утверждение ошибочно. Николай Николаевич сразу понял
идею примера, опровергающего это предположение. Было решено, что я
доложу опровергающий пример на студенческом математическом кружке.
Павел Самуилович взялся предварительно проверить мои построения
и доказательства, которые сначала были изложены не вполне строго. Го-
ворилось просто, что некую кривую, «очевидно», можно слегка сдвинуть
1 Впервые опубликовано в кн.: Л. С. Нейман. Радость открытия. — М.: Детская лите-
ратура, 1972. — С. 160—164.
268
VI. Статьи о математиках в других изданиях
так, что без большого увеличения длины она обойдет такие-то точки, и т. п.
Павел Самуилович очень деликатно, но настойчиво достиг того, что я сам
подсчитал все относящиеся сюда «эпсилон и дельта».
Хотя мое достижение было довольно детским, оно сделало меня извест-
ным кругу лузитанцев, от которого я стоял, впрочем, несколько в стороне,
колеблясь между культивировавшимися в их среде интересами, возник-
шим ранее увлечением проективной геометрией (которую старомодно, но
подлинно талантливо читал Алексей Константинович Власов) и смутным
желанием заниматься математикой, имеющей широкие выходы в физику
и естествознание. В следующем, 1921-22 учебном году я посещал лекции
Н. Н. Лузина и П. С. Александрова уже в качестве «своего», получив,
кажется, даже К916 в нумерации лузитанцев. Мои попытки заниматься
по следам лекций П. С. Александрова «дескриптивной теорией множеств»
первое время приводили лишь к скромным результатам. Не помню даже,
рассказывал ли я их кому-либо подробно. Тем не менее, что-то застави-
ло Павла Самуиловича обратить на меня свое внимание. Однажды после
одной из лекций Лузина Павел Самуилович подошел ко мне на универ-
ситетской лестнице и стал объяснять, что «в ближайшее время Николай
Николаевич не собирается брать себе новых учеников» и, поэтому, не за-
хочу ли я приходить к нему (Павлу Самуиловичу) и заниматься у него.
Я охотно согласился.
Много раз приходил я к Павлу Самуиловичу в его комнату в Старо-
пименовском переулке, где, кроме кровати и маленького рабочего столика,
помещались лишь кресло и один стул.
Беседы касались самых разных областей математики: интересы и зна-
ния Павла Самуиловича были широки. В наибольшей мере Павел Самуи-
лович пытался меня вовлечь в свои занятия проблемой Пуанкаре о замкну-
тых геодезических линиях на поверхности. Проблема привлекательна тем,
что формулировка вполне элементарна. Если не придираться к формаль-
ной отточенности определений, ее можно объяснить «человеку с улицы»,
взяв скользкий, окатанный морскими волнами камень и резиновое колечко.
Гипотеза Пуанкаре состоит в том, что по крайней мере тремя различны-
ми способами растянутое резиновое колечко можно надеть на наш камень
так, что оно, стремясь сократить свою длину, не будет соскальзывать (т. е.
так, что его длину нельзя уменьшить при маленьком сдвиге в стороны на
небольшом участке). При этом рассматриваются только расположения ре-
зинового колечка без самопересечений (т. е., например, не имеющие вида
восьмерки). На поверхности шара таких расположений колечка бесконечно
много (по любому «большому кругу»), на трехосном эллипсоиде — ровно
Научный руководитель
269
три (по трем главным сечениям). Гипотеза заключается в том, что случай
эллипсоида минимальный, что три замкнутых геодезических без самопе-
ресечений найдутся на любой замкнутой выпуклой поверхности (или, еще
более общим образом, на любой поверхности, «гомеоморфной» поверхно-
сти сферы). Самому Пуанкаре удалось доказать существование одной за-
мкнутой геодезической, Павел Самуилович доказал существование второй
и упорно искал доказательство существования третьей.
Весь примыкающий сюда круг вопросов мне очень нравился, он соответ-
ствовал моим представлениям о той математике, которой наиболее следует
заниматься. Но доказать существование третьей замкнутой геодезической
прямыми наивными рассмотрениями без привлечения новых методов, ви-
димо, было не так легко. (В 1923 году Павел Самуилович получил книгу
Блашке, где сообщалось, что задача решена Герглоцем, и излагалась вкрат-
це идея построения Герглоца. Потому ли, что он считал задачу решенной
или ввиду занятости теорией размерности и общей теорией топологических
пространств, сам Павел Самуилович более этой задачей не занимался и ни-
чего на эту тему не опубликовал. В 1927 году решение задачи, применимое
и для не выпуклых поверхностей, было дано Биркгофом. Немного позд-
нее в работах Л. А. Люстерника и Л. Г. Шнирельмана было показано, что
решение задачи о трех геодезических может быть получено в качестве част-
ного следствия построенной ими общей глубокой теории, имеющей много
других применений.)
Зато мои занятия более абстрактной теорией множеств, возбужденные
слушанием лекций П. С. Александрова, привели меня к замыслу весьма
общей «теории операций над множествами». Свои соображения по этому
поводу, а затем и результаты я рассказывал Павлу Самуиловичу. Убедив-
шись, что это направление исследований занимает меня более всего, Павел
Самуилович отправил меня к П. С. Александрову, считая, что тот может с
ббльшим успехом руководить моей работой по дескриптивной теории мно-
жеств.
В этом же году я начал заниматься в семинаре по тригонометрическим
рядам, где верховным руководителем был Н. Н. Лузин, а я занимался в
группе, руководимой Вячеславом Васильевичем Степановым. Результаты,
полученные мною в теории тригонометрических рядов, обратили на се-
бя внимание Николая Николаевича, и с некоторой торжественностью Ни-
колай Николаевич предложил мне приходить в определенный день и час
недели, предназначенный для группы учеников моего поколения, к нему.
По представлениям, господствовавшим в «Лузитании», моим званием дела-
лось теперь звание ученика Николая Николаевича, что не мешало, конечно,
научному контакту со старшими товарищами по «Лузитании».
270
VI. Статьи о математиках в других изданиях
Внутренняя логика моих собственных занятий привела меня к топо-
логии лишь много позднее, после увлечений математической логикой и
теорией вероятностей. Сейчас мне несколько грустно думать, что в столь
короткий период концентрированной научной активности Павла Самуило-
вича я соприкоснулся с его неповторимой творческой индивидуальностью
лишь по периферии его интересов.
Московская математика того времени была богата яркими и талантли-
выми индивидуальностями. Но Павел Самуилович и на этом фоне выде-
лялся универсальностью интересов в соединении с целеустремленностью
в выборе предмета собственных занятий, отчетливостью постановки за-
дач (в частности, передо мной, когда он считал себя ответственным за
направление моей работы), ясной оценкой своих и чужих достижений в
соединении с доброжелательством в применении к достижениям самым
маленьким.
ВСТРЕЧИ С ОТТО ЮЛЬЕВИЧЕМ
Мало найдется работников в области культуры и науки, которые в своей
работе не соприкасались бы так или иначе с Отто Юльевичем, — столь раз-
нообразен был круг его деятельности и интересов, интересов всегда самых
горячих. Работавшим с ним в одной специальной области всегда казалось,
что именно она и увлекает Отто Юльевича более всего. Замечательно и то
обстоятельство, что со всеми, кто с ним работал, Отто Юльевич находил
время и возможность установить не только деловой контакт, но и личные,
человеческие отношения, выражавшиеся с его стороны всегда в самом тон-
ком внимании к вкусам, интересам и нуждам каждого человека, которого,
казалось бы, он имел право рассматривать лишь как полезного сотрудника.
Мне довелось быть вовлеченным в сферу деятельности Отто Юльеви-
ча по трем различным линиям: в 1935 г. он привлек меня к руководству
математическим отделом БСЭ и МСЭ, что стало одной из моих работ на
следующие двадцать с лишним лет; годы с 1939 по 1942, когда Отто Юлье-
вич руководил работой Академии наук СССР, были для меня, в то время
члена Президиума, годами повседневного и наиболее интенсивного обще-
ния с Отто Юльевичем; с того же времени начались мои отношения с Отто
Юльевичем по Институту геофизики Академии наук, которым он руково-
дил. Сейчас, думая об этих годах, я, как, вероятно, очень многие, воспри-
нимаю эти встречи с Отто Юльевичем как нечто целое: драгоценную воз-
можность общения с мудрым и обаятельным человеком, жизненный опыт
которого далеко превосходил мой собственный.
Все эти годы Отто Юльевич с огорчением чувствовал некоторую ото-
рванность от жизни и работы математиков: это чувство свойственно че-
ловеку, привыкшему делать и воспринимать непомерно много. Он продол-
жал руководить семинаром по теории групп, поддерживал тесное общение
со своими учениками-алгебраистами, оставался редактором основного ма-
тематического журнала «Математический сборник»; как государственный
деятель нередко призван был вмешиваться в решение многих, относящихся
к математике вопросов. Отто Юльевича интересовало все, что происходит
в математике и у математиков; он часто говорил о возросшей интенсивно-
сти нашей математической жизни, об успехах математической молодежи.
Живя в основном жизнью механико-математического факультета Москов-
ского университета, я рассказывал Отто Юльевичу о том, что там проис-
Отто Юльевич Шмидт: Жизнь и деятельность. Сб., посвященный Герою Советского
Союза академику Отто Юльевичу Шмидту (1891-1956). — М.: Изд-во АН СССР, 1959. —
С. 184-185.
272
VI. Статьи о математиках в других изданиях
ходит, часто жаловался на всевозможные неурядицы и трудности. Помимо
разумных советов, а иногда и прямой помощи, Отто Юльевич никогда не
упускал случая сказать: «Не забывайте, какие исключительные возможно-
сти вы имеете, каких никогда ранее вы не имели». И этот принципиальный
оптимизм не воспринимался как казенное утешение, а обладал внушающей
силой.
Сейчас мне особенно вспоминаются встречи с Отто Юльевичем в по-
следнее десятилетие его жизни, когда, мужественно борясь с тяжелой бо-
лезнью, он стоял в стороне от крупной государственной работы, но зато
имел счастье сделать большой новый вклад в науку. К «понижению» сво-
его официального положения Отто Юльевич относился юмористически.
Как-то вместе с ним из «Узкого» мы поехали по делам Геофизического
института в Президиум Академии наук, просидели там несколько часов на
диванчике в неясности, состоится ли интересовавшая нас беседа. Уезжая
домой, он сказал: «Может и я не всегда замечал посетителей, проводивших
часы в таком положении».
Чуждый всякого собственнического чувства, Отто Юльевич настойчи-
во добивался того, чтобы в решении трудных проблем геофизики приняли
участие все, кого он считал к тому способными. Мне, к сожалению, уда-
лось лишь немного сделать в этом направлении, воодушевив двух молодых
математиков (К. А. Ситникова и В. М. Алексеева) на решение формальной
математической задачи строгого доказательства возможности «захвата» и
«обмена» в задаче трех тел. Возможность эта Отто Юльевичу была ясна
и была им показана с практической убедительностью при помощи прибли-
женных методов. Запросы Отто Юльевича как специалиста по космогонии
к математикам были значительно больше и еще далеко не удовлетворены
ни систематическими работами Г. Ф. Хильми, ни упомянутыми небольши-
ми опытами К. А. Ситникова и В. М. Алексеева. Хотелось бы, чтобы эта
линия математических исследований была продолжена шире.
VII
Памятные статьи

ВЛАДИМИР МИХАИЛОВИЧ АЛЕКСЕЕВ
(1932-1980)
1-го декабря 1980 г. умер профессор механико-математического факуль-
тета МГУ Владимир Михайлович Алексеев, человек яркого математиче-
ского дарования, глубокой внутренней культуры и одухотворенности.
В. М. Алексеев родился 17 июня 1932 г. в поселке Быково Московской
области. В школьные годы его интересовало многое, в том числе и мате-
матика. Первое серьезное впечатление о ней он получил в 1947 г. на лек-
ции для школьников П. С. Александрова «О лемме Шпернера». В тот же
день Владимир Михайлович записался в школьный математический кру-
жок при МГУ и с этого дня навсегда связал свою судьбу с математикой и
механико-математическим факультетом МГУ. Владимир Михайлович был
активным участником кружка, которым руководили О. В. Локуциевский
и Е. А. Морозова, успешно участвовал в четырех московских математиче-
ских олимпиадах.
В 1950 г. Владимир Михайлович становится студентом механико-мате-
матического факультета МГУ. С 1953 г. он начинает работать под руковод-
ством А. Н. Колмогорова. Владимир Михайлович неоднократно подчерки-
вал огромную роль, которую сыграло в его жизни общение с А. Н. Колмо-
горовым.
Научное творчество В. М. Алексеева связано, в основном, так или иначе
с проблемой финальных движений в задаче трех тел. Напомним, что под
задачей трех тел понимается проблема определения движения трех мате-
риальных точек, взаимодействующих между собой по закону всемирного
тяготения Ньютона. Проблема финальных движений состоит в описании
поведения движущихся точек при t —♦ —ос и t —> оо.
Впервые к проблеме финальных движений Владимир Михайлович об-
ратился в 1954 г., когда А. Н. Колмогоров предложил ему в качестве темы
курсовой работы рассмотреть вопрос об обмене в задаче трех тел.
Успехи матем. наук. — 1981. — Т. 36, вып. 4. — С. 177-182 (совм. с Д. В. Аносовым,
В. И. Арнольдом, М. И. Зеликиным, О. В. Локуциевским, Ю. С. Осиповым, Я. Г. Синаем,
В. М. Тихомировым, М. В. Якобсоном).
276
VII. Памятные статьи
Исследование финальных движений в проблеме трех тел было начато
еще Якоби. В 20-х гг. нашего века Шази исследовал всевозможные «одно-
сторонние» по времени, т. е. относящиеся только к t —> +оо или только к
t —> —оо типы финальных движений. Значительно более сложным оказал-
ся вопрос о «двусторонних» по времени типах финальных движений, т. е.
вопрос о том, в каких комбинациях могут сочетаться между собой типы
финальных движений при t —> —оо и при t —♦ +оо.
Обсуждение этого вопроса, имеющего очевидное принципиальное зна-
чение, возобновилось по инициативе О. Ю. Шмидта в конце 40-х гг. Значи-
тельный вклад внес К. А. Ситников, строго доказавший в 1953 г. возмож-
ность частичного захвата и в 1959 г. — возможность двусторонне осцилли-
рующих движений. Заметим, что ситниковский пример захвата относится
к тому случаю, когда значение полной энергии в системе центра инерции
h > 0. Окончательный результат принадлежит В. М. Алексееву. Оказыва-
ется, все основные шипы финальных движений при t —> —оо и при t —♦ +оо
могут любым «логически мыслимым» образом сочетаться друг с другом.
«Логически мыслимым» образом — это значит: за исключением тех ком-
бинаций, невозможность которых давно известна. «Основные типы» фи-
нальных движений — это те, которые не включают «исключительных»
параболических движений.
Работы Владимира Михайловича группируются по двум периодам, цен-
тральные результаты его работ вошли, соответственно, в его кандидатскую
и докторскую диссертации.
В течение первого периода В. М. Алексеев добавил к списку уже извест-
ных возможных комбинаций односторонних финальных движений обмен,
причем при произвольных значениях константы полной энергии h в систе-
ме центра инерции.
Принципиальное значение имело открытие возможности обмена при
h < 0. Возможность же обмена при h > 0, по-видимому, не вызывала
особых сомнений после работы К. А. Ситникова, так как соответствующий
пример можно построить с помощью соображений, близких к тем, которые
использовал Ситников. Итогом второго периода является сформулирован-
ный выше замечательный результат, включающий возможность полного
захвата, осцилляционной потери устойчивости (при t —♦ —оо расстояния
между телами ограничены, а при t —> +оо — движение осциллирующее),
захвата в осцилляцию (прилетевшее «из бесконечности» тело осциллиру-
ет при t —♦ +оо). Именно эти три типа движений — все они относятся к
случаю h < 0 — и надо было добавить к тому, что уже было известно.
Сложность вопроса в этих трех случаях (в отличие, скажем, от обмена
или частичного захвата) связана с тем, что соответствующие траектории в
фазовом пространстве образуют множества меры нуль и поэтому не могут
Владимир Михайлович Алексеев
277
выделяться посредством условий типа каких-либо неравенств, наложенных
на начальные значения.
Два периода творчества Владимира Михайловича существенно разли-
чаются по характеру используемых «технических» средств. В первом пери-
оде средства были традиционными для теории обыкновенных дифферен-
циальных уравнений: оценки возмущений, дифференциальные (или инте-
гральные) неравенства, некий вариант пограничного слоя, и т. п. Во втором
периоде существенно использовалось относительно новое средство — сим-
волическая динамика. Следует подчеркнуть, что для проблемы трех тел, а
также для изученной Владимиром Михайловичем задачи о движении од-
номерного нелинейного осциллятора в периодическом потенциальном поле,
применение этого средства было безусловно новым, и именно с этим связа-
но основное значение работ В. М. Алексеева не только для проблемы трех
тел, но и вообще для качественной теории обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений.
Наряду с основным результатом о двусторонних финальных движени-
ях в проблеме трех тел применение новых средств позволило Владимиру
Михайловичу открыть в этой задаче движения «квазислучайного» харак-
тера. Хотя из отдельных и несколько неопределенных высказываний Ада-
мара и Биркгофа видно, что они ожидали каких-то результатов подобного
характера, все же открытие таких движений в небесной механике было
открытием принципиально нового явления.
Для этого потребовалась разработка новых методов в теории динами-
ческих систем. Эти методы составили содержание докторской диссертации
Владимира Михайловича, защищенной им в 1969 г. Название диссерта-
ции — «Квазислучайные динамические системы». Ее тема связана с одним
из самых важных открытий шестидесятых годов в теории динамических
систем, состоящим в том, что в динамических системах, несмотря на их
полную детерминированность, могут возникать движения с таким же ха-
рактером поведения, как у типичных реализаций случайных процессов тео-
рии вероятностей. Как правило, так бывает, когда в фазовом пространстве
системы появляются подмножества, состоящие из неустойчивых траекто-
рий. Общее определение подобных подмножеств, называемых сейчас ги-
перболическими множествами, было введено С. Смейлом.
Гиперболические множества (в сравнении с более классическими объ-
ектами типа положений равновесия, квазипериодических решений, инва-
риантных множеств и т. п.) устроены сложно и как бы «неправильно». К
моменту появления первых работ В. М. Алексеева, относящихся к этому
кругу вопросов, был известен подход к описанию движений в гиперболиче-
ских множествах, называемый символической динамикой. При этом подхо-
де точки гиперболического множества кодируются двусторонне бесконеч-
278
VII. Памятные статьи
ными последовательностями символов из некоторого конечного алфавита.
Смысл такого кодирования в том, что движение в динамической системе
переходит в движение последовательности под действием преобразования
сдвига. Тем самым получается как бы своеобразное «представление» дина-
мической системы.
До работ Владимира Михайловича символическая динамика применя-
лась для исследования гиперболических множеств, заранее как-то задан-
ных (например, заранее найденных или специально построенных). Вла-
димир Михайлович так модифицировал этот подход, что с его помощью
оказалось возможным обнаруживать и локализовывать гиперболические
множества. Из всех методов, которые сейчас позволяют это делать, метод
В. М. Алексеева, названный им «методом маршрутных схем», является
наиболее эффективным и общим. Применение этого метода и позволило
ему решить проблему финальных движений. Ныне известны и другие его
применения.
Прогресс в небесной механике, одной из самых древних областей науки,
происходит рывками — каждый раз с появлением новых методов. Вехами,
отмечающими эти рывки, были «Новые методы небесной механики» Пуан-
каре, «Динамические системы» Биркгофа и инспирированные ими иссле-
дования Зигеля. Такими стали в 60-х годах, во-первых, работы по проблеме
малых знаменателей и, во-вторых, проникновение методов символической
динамики в небесную механику. Последним наука обязана Владимиру Ми-
хайловичу Алексееву.
В последние годы жизни Владимир Михайлович с одним из своих са-
мых близких учеников Ю. С. Осиповым с большим энтузиазмом исследо-
вал проблему захвата кометы системой Солнце-Юпитер. Работа осталась
незавершенной.
Работы В. М. Алексеева получили мировое признание. Он был пригла-
шен выступить с обзорным докладом на Международном Математическом
Конгрессе в Ницце в 1970 г. Расширенный текст этого доклада печатается
в этом номере «Успехов», и из него читатель сможет составить впечатление
о математическом и литературном стиле В. М. Алексеева.
С 1957 г. начинается педагогическая деятельность В. М. Алексеева в
Московском университете. Сначала он работает на кафедре математиче-
ского анализа, а последние десять лет — на кафедре общих проблем управ-
ления механико-математического факультета МГУ. Владимир Михайлович
с большим воодушевлением читал курсы: «Математический анализ», «Оп-
тимальное управление», «Геометрия и вариационное исчисление», «Выпук-
лые экстремальные задачи» и др. В его лекциях, блестящих и по содержа-
нию, и по форме, отражались важнейшие черты его характера — добросо-
вестность и тщательность. Проводя доказательства, он оговаривал все до
Владимир Михайлович Алексеев
279
мелочей с полным педантизмом, и это было его непременным правилом.
При этом его часто тревожила мысль: не может ли подобная педантич-
ность, выверенность и взвешенность оказаться губительной на пути рас-
крытия содержания математики. Эта тревога заставляла его добиваться
максимальной наглядности и живости изложения.
Владимир Михайлович был одним из соруководителей многих семина-
ров самого широкого профиля. Около двадцати лет он руководил совмест-
но с Я. Г. Синаем научным семинаром по теории динамических систем,
сыгравшим большую роль в развитии этого раздела математики, совмест-
но с В. А. Егоровым руководил семинаром по небесной механике, совместно
с М. И. Зеликиным и В. М. Тихомировым вел семинар по теории экстре-
мальных задач.
В. М. Алексеев написал две монографии: «Символическая динамика»
(издана в 1976 г. в Киеве) и «Оптимальное управление» (написана сов-
местно с В. М. Тихомировым и С. В. Фоминым). Первая из них содержит
по существу единственное до настоящего времени систематическое изложе-
ние символической динамики, необходимое сейчас каждому специалисту в
области динамических систем и эргодической теории.
Над второй монографией он работал с большим энтузиазмом в течение
нескольких последних лет. В ней виден отпечаток его необычайно широкого
научного и человеческого кругозора и педагогического мастерства.
Педагогическое дарование В. М. Алексеева ярко сказалось в его препо-
давании математики школьникам. В основе его лежало глубокое убеждение
в том, что прививать человеку любовь к математике надо, начиная с ранне-
го возраста. Многочисленные лекции для школьников, кружки в вечерней
математической школе, которые он вел, уже будучи профессором, наконец,
преподавание в школе-интернате при МГУ были данью этому убеждению.
Владимир Михайлович был среди основателей школы-интерната при МГУ.
Для многих выпускников интерната лекции В. М. Алексеева оставили одно
из самых ярких воспоминаний интернатской поры.
В. М. Алексеев был переводчиком и редактором переводов нескольких
весьма содержательных и разнообразных по тематике книг. Приведем их
впечатляющий список. Участие в редактировании издания трудов Пуанка-
ре в серии «Классики науки»; Н. Данфорд и Дж. Шварц «Линейные опе-
раторы», т. 1, 1962 г. (изд. редактор); С. Лефшец «Геометрическая теория
дифференциальных уравнений», 1961 г. (ред.); Ф. Хартман «Обыкновен-
ные дифференциальные уравнения», 1970 г. (ред.); Э. Хилле, Р. Филлипс
«Функциональный анализ и полугруппы», 1962 г. (ред.); Линь Цзя-цзяо
«Теория гидродинамической устойчивости», 1958 г. (перев.); Ю. Мозер
«Лекции о гамильтоновых системах», 1973 г. (ред.); 3. Нитецки «Введение
в дифференциальную динамику», 1975 г. (ред.); Л. Янг «Лекции по вариа-
280
VII. Памятные статьи
ционному исчислению и теории оптимального управления», 1974 г. (ред.);
Ч. Триг «Задачи с изюминкой», 1976 г. (ред.); «Избранные задачи», 1977 г.
(ред.); Р. Боуэн «Методы символической динамики», 1979 г. (ред.); А. Бес-
се «Пространства с замкнутыми геодезическими», 1981 г. (ред.). Редакти-
рование книги Бессе было последней работой, завершенной В. М. Алек-
сеевым. Этой работе он отдал все свои силы, несмотря на смертельную
болезнь. В. М. Алексеева отличало полное научное бескорыстие.
Его интенсивная научная и педагогическая деятельность приводили к
тому, что он постоянно находился в окружении своих учеников.
В. М. Алексеев проводил большую работу в Московском математиче-
ском обществе. Много лет был его секретарем, а последние годы был фак-
тически руководителем отдела «Сообщения Московского математического
общества» в УМН. В последние годы В. М. Алексеев много внимания уде-
лял медицинской кибернетике. С 1977 г. он возглавлял Лабораторию ма-
тематических методов во Всесоюзном Кардиологическом научном центре
АМН СССР.
Каждый из друзей Владимира Михайловича постоянно ощущал счастье
общения с ним. Память о нем мы сохраним на всю жизнь.
НАУМ ИЛЬИЧ АХИЕЗЕР
(1901-1980)
3 июня 1980 г. в возрасте 79 лет умер профессор Харьковского универси-
тета, член-корреспондент Академии наук УССР Наум Ильич Ахиезер. Не
стало человека, сделавшего очень много для развития советской математи-
ческой науки. Наум Ильич был глубоким исследователем, блестящим учи-
телем, автором широко известных монографий, главой большого матема-
тического коллектива. Ему принадлежат выдающиеся заслуги в создании
Харьковской математической школы. Он был бессменным председателем
Харьковского математического общества свыше 25 лет.
Математические достижения Наума Ильича относятся к теории ап-
проксимации, проблеме моментов, теории дифференциальных и интеграль-
ных операторов. В его работах гармонически сочетались классические ме-
тоды теории функций комплексного переменного с современными мето-
дами функционального анализа. Это позволило ему решить ряд трудных
задач, среди которых — задача о полиноме с несколькими фиксированными
коэффициентами, наименее уклоняющемся от нуля на интервале; задача о
полиноме, наименее уклоняющемся от нуля на системе интервалов; зада-
ча о наилучшей константе в теореме Джексона (совместно М. Г. Крейном);
задача о весовой аппроксимации полиномами (совместно с С. Н. Бернштей-
ном). Описание этих и других результатов Н. И. Ахиезера, полученных им
до 1970 г. включительно, было дано в юбилейных статьях в УМН, 6:2, 1951,
с. 191-194; 16:4, 1961, с. 223-234; 26:6, 1971, с. 257-261.
В период 1971-1980 гг. Н. И. Ахиезером были написаны статьи [122]—
[124], [127], [128]. В этот же период Наум Ильич опубликовал 3-е издание
широко известной (написанной совместно с И. М. Глазманом) монографии
«Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве». Это издание
вышло в двух томах [125], [126] со значительными дополнениями, учитыва-
ющими дальнейшее развитие теории операторов. В конце 2-го тома Наум
Ильич поместил приложение, в котором дано развернутое изложение най-
денного им ранее (в [105]) эффективного метода решения обратных задач
спектрального анализа для важных классов спектральных плотностей, ме-
тода, который сводит задачу к проблеме Якоби обращения гиперэллипти-
ческих интегралов. Позднее этот метод имел замечательные применения,
позволившие найти в явном виде решения ряда нелинейных уравнений ма-
тематической физики, и Наум Ильич в последние годы жизни имел счаст-
Успехи математических наук. — 1981. — Т. 36, вып. 4. — С. 183-184 (совм. с
М. Г. Крейном, Б. Я. Левиным, Б. М. Левитаном, Ю. И. Любичем, В. А. Марченко,
И. В. Островским, А. Я. Повзнером, А. В. Погореловым.)
282
VII. Памятные статьи
ливую возможность наблюдать, как с течением времени растет значение
его работ.
Н. И. Ахиезер был глубоким знатоком классиков отечественной мате-
матики и много сделал для распространения их идей. В частности, он был
комментатором и редактором собраний трудов П. Л. Чебышёва, А. А. Мар-
кова, А. М. Ляпунова, Н. Я. Сонина, С. Н. Бернштейна.
Н. И. Ахиезер интенсивно работал до самого последнего дня своей жиз-
ни. Незадолго до кончины он подготовил второе издание «Лекций по ва-
риационному исчислению», значительно переработанное и дополненное по
сравнению с первым. Он подготовил также для опубликования «Лекции
об интегральных преобразованиях» — изложение курса, который неодно-
кратно читал в Харьковском университете.
Многие поколения студентов Харьковского университета слушали заме-
чательные лекции Наума Ильича, поражавшие изяществом и оригинально-
стью. Эти лекции оказали значительное влияние на формирование многих
математиков. Н. И. Ахиезер от души радовался успехам молодых матема-
тиков, которые всегда находили у него поддержку.
Наум Ильич был яркой и обаятельной личностью, его духовные инте-
ресы были необычайно широкими, энергия и энтузиазм не покидали его до
последнего дня.
СПИСОК ПЕЧАТНЫХ РАБОТ Н. И. АХИЕЗЕРА
[105]	Континуальный аналог многочленов, ортогональных на дуге окружно-
сти, ДАН, 1961, 141 : 4, с. 769-772.
[122]	Об одном неопределенном уравнении чебышевского типа в задачах постро-
ения ортогональных систем. — В кн.: Математическая физика и функцио-
нальный анализ.— Харьков: Изд-во ФТИНТ АН УССР, 1971, вып. 2, с. 3-14.
[123]	О сепаратно аналитических функциях многих переменных и теоремах об
«острие клина». — УМН, 1973, 28 : 3, с. 27-42 (совм. с Л. И. Ронкиным).
[124]	О сепаратно аналитических функциях многих переменных. — В кн.: Вопро-
сы математической физики и функционального анализа. — Киев: Изд-во
«Наукова думка», 1976, с. 3-10 (совм. с Л. И. Ронкиным).
[125]	Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, т. 1. — Харьков:
Изд-во ХГУ, 1977 (совм. с И. М. Глазманом).1
[126]	Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, т. 2. — Харьков:
Изд-во ХГУ, 1978 (совм. с И. М. Глазманом).
[127]	К спектральной теории уравнения Ламе. — В кн.: Историко-математические
исследования, 1978, вып. 23, с. 77-86.
[128]	Чебышевское направление в теории функций. — В кн.: Математика XIX
века. — М.: Наука, 1982.
1 Монографии [125], [126] вышли в английском переводе: N. I. Akhiezer, I. М. Glazman.
Theory of Linear Operators in Hilbert Space. Vol. I, II. — Boston-London-Melbourne: Pitman
Press, 1981.
СЕРГЕИ НАТАНОВИЧ БЕРНШТЕЙН
(1880-1968)
26 октября 1968 г. завершил свой жизненный путь один из самых вы-
дающихся математиков нашей эпохи — академик Сергей Натанович Берн-
штейн.
Работы С. Н. Бернштейна относятся к различным разделам матема-
тики: теории дифференциальных уравнений с приложениями к геометрии
и вариационному исчислению, теории функций, где им построена целая
новая область, теории вероятностей и математической статистике. Резуль-
таты Сергея Натановича и созданные им методы оказали огромное влияние
на развитие математики в 20-м столетии и давно признаны классическими.
Часто говорят, что в своем творчестве С. Н. Бернштейн продолжал тра-
диции петербургской математической школы П. Л. Чебышёва, А. А. Мар-
кова и А. М. Ляпунова. И в самом деле, есть общность в тематике (прибли-
жение функций, предельные законы теории вероятностей), а также в том,
что всякое исследование у С. Н. Бернштейна, как и у знаменитого осно-
вателя петербургской школы, начиналось с трудной конкретной задачи,
решение которой требовало изобретения новых методов.
Однако личного контакта с представителями петербургской школы у
Сергея Натановича не было, а достижения этой школы он полностью оце-
нил позже, в начале же своей деятельности он относился к направлению
петербургской школы скептически.
С. Н. Бернштейн получил свое математическое образование в Париже.
Два сезона провел в Гёттингене. Его учителями были Пикар, Гильберт и
Адамар. Естественно, что, возвратившись в Россию, молодой Сергей На-
танович по своим взглядам, идеалам и математическим планам был пред-
ставителем французской математической школы, связь с которой у него
никогда не прекращалась. Между тем петербургская школа с ее стремле-
ниями к алгорифму и решению задач в конечной форме не признавала
многих важных направлений западно-европейской математики и работа-
ла в отрыве от них. Об этом Сергей Натанович довольно много говорил в
своей речи на защите докторской диссертации (19 мая 1913, Харьков). Вот
одна выдержка из этой речи (Собр. сочинений, I, стр. 213):
«Долгое время математики ограничивались конечным или ал-
гебраическим интегрированием дифференциальных уравнений,
Успехи математических наук. — 1969. — Т. 24, вып. 3. — С. 212-218 (совм. с
П. С. Александровым, Н. И. Ахиезером, Б. В. Гнеденко).
284
VII. Памятные статьи
но после разрешения многих интересных задач уравнения,
разрешимые этим способом, были фактически исчерпаны,
и нужно было либо отказаться от дальнейшего прогресса, ли-
бо отрешиться от формальной точки зрения и стать на новый
аналитический путь. Аналитическое направление в теории диф-
ференциальных уравнений утвердилось недавно; и еще семь лет
тому назад покойный проф. А. Н. Коркин в беседе со мною
пренебрежительно отзывался о “декадентских” исследованиях
Пуанкаре».
Первой работой С. Н. Бернштейна была его знаменитая докторская дис-
сертация, защищенная в 1904 г. в Париже перед экзаменационной комис-
сией в составе Пикара, Пуанкаре и Адамара. В этой диссертации доказана
и обобщена предугаданная Гильбертом его 19-й проблемой теорема о том,
что все решения регулярных аналитических вариационных задач анали-
тичны. Точная формулировка теоремы С. Н. Бернштейна такова: пусть
F(z,y,u,p,g,r,s,f) = 0
— аналитическое уравнение, и пусть и = и(х, у) — его трижды непрерывно
дифференцируемое решение, на котором выполнено неравенство
FrFt - |fs2 > О,
выражающее эллиптичность; в таком случае функция и(х, у) аналитична.
Требование трехкратной дифференцируемости Сергей Натанович поз-
же ослабил с помощью своего критерия абсолютной сходимости ряда Фу-
рье. Он считал возможным так усовершенствовать свой метод, чтобы ока-
залась достаточной дважды непрерывная дифференцируемость1, однако
так и не собрался за это взяться.
Свой результат С. Н. Бернштейн получил с помощью особого вида ря-
дов, которые он назвал нормальными. Он применил эти ряды и в несколь-
ких дальнейших работах, посвященных доказательству разрешимости
задачи Дирихле для некоторых классов нелинейных уравнений эллипти-
ческого типа. Изобретенные Сергеем Натановичем методы в дальнейшем
подвергались обобщению и модификации и в модифицированной форме
продолжают играть основную роль также в современных исследованиях
краевых задач для уравнений эллиптического и параболического типа.
Не останавливаясь на многочисленных общих результатах, полученных
С. Н. Бернштейном в теории нелинейных уравнений эллиптического типа
и ее применениях к геометрии, отметим лишь две замечательные теоремы:
1С помощью совершенно отличных рассмотрений это завершение теоремы было осу-
ществлено Л. Ниренбергом лет 15 тому назад.
Сергей Натанович Бернштейн
285
1) Поверхность z = z(x, у), имеющая для любых х, у непрерывные част-
ные производные первых двух порядков, полная кривизна которой непо-
ложительна и не равна нулю тождественно, не может оставаться на всем
своем протяжении между двумя фиксированными плоскостями z = ±h.
2) Поверхность, удовлетворяющая для всех х, у уравнению
(1 + <72 3)г — 2pqs -I- (1 + p2)t = О
(т. е. минимальная поверхность над всей плоскостью), есть плоскость.
Докторская диссертация 1904 года начинается следующими словами:
«В наши дни все математики и физики согласны, что область применения
9
математики не имеет пределов, отличных от пределов самого знания» .
Когда эти слова были написаны, автору было 23 года. Он был убежден
в неограниченной мощи математических методов, а также в детермини-
стичности законов, которым подчиняется мир , и в вытекающей отсюда
особой роли аналитических функций.
Претерпели ли с течением времени эти взгляды Сергея Натановича
какую-либо эволюцию, мы не знаем, однако в дальнейшем он обратился
к изучению недетерминированных явлений.
Вклад С. Н. Бернштейна в теорию вероятностей очень велик. Ему при-
надлежит первая аксиоматика этой науки, фундаментальные работы о пре-
дельных теоремах для сумм случайных величин, стохастически зависимых,
но таких, что связи убывают при увеличении разности индексов, новые
выдающиеся результаты о цепях Маркова, наконец, замечательный курс
теории вероятностей, четвертое издание которого вышло в 1946 г.
Среди работ Сергея Натановича по теории вероятностей одна посвяще-
на приложению к биологии (1924 г., Собр. сочин., IV том, стр. 80-107)4.
В этой работе доказано, что закон Менделя есть единственный из всех воз-
можных законов, который удовлетворяет принципу стационарности рас-
пределения индивидов но трем классам (два чистых и один класс гибри-
дов). В работе рассмотрен также случай замкнутого биотипа, содержащего
N классов. За два года до этой работы в редком издании (Наука на Укра-
ине, вып. 1) появилась статья под названием «О приложении математики
2 В собрание сочинений французская диссертация не вошла, и приведенная фраза
содержится лишь в авторском комментарии (том III, стр. 420).
3Может быть, здесь будет уместно заметить, что знаменитый физик-теоретик Макс
Борн, почти ровесник С. Н. Бернштейна, в 1921 г. высказал аналогичные взгляды и,
сверх того, «даже думал, что ясный и однозначный язык науки должен представлять
собой шаг на пути к лучшему пониманию между людьми». Однако в 1951 г. М. Борн
«уже ни во что это не верил». «Детерминистические законы уступили место стати-
стическим». А физики «лишь помогли изобрести и применить самые ужасные орудия
уничтожения».
4 Извлечение вошло в Курс теории вероятностей (изд. IV, стр. 63-66). Полный перевод
работы на английский язык вышел в Америке в 1942 г. (Ann. Math. Stat. 12).
286
VII. Памятные статьи
к биологии», в которой С. Н. Бернштейн высказывает ряд принципиаль-
ных соображений, из которых должно следовать, что законы Гальтона на-
следования количественных признаков не могут противоречить законам
Менделя. Позже (см. Курс теории вероятностей, IV изд., стр. 367) этот
неожиданный для биологов факт был доказан. Приведем здесь выдержку
из упомянутой статьи 1922 г.
«Перед математическим направлением в биологии выдвигает-
ся основная общая проблема: найти такую общую форму зако-
нов наследственности и изменчивости, которая охватывала бы
в единой системе явления менделизма, с одной стороны, галь-
тоновской регрессии, с другой, и согласовалась бы вообще со
всеми известными процессами эволюции, как, например, мута-
цией, совершенно так же, как теоретическая механика обнимает
всевозможные виды движений.
В данном случае роль, аналогичную основному постулату ме-
ханики — принципу инерции — играет закон, который можно
назвать законом стационарности Дарвина: если наличность у
индивида определенного простого признака не увеличивает и
не уменьшает его приспособленности к жизни (включая плодо-
витость и половой подбор), то процент индивидов, обладающих
этим признаком, передается неизменным (в смысле теории ве-
роятностей) из поколения в поколение. Таким образом, какова
бы ни была физиологическая природа процесса наследственной
передачи простых (моногенных) признаков, в формальном от-
ношении он характеризуется тем, что сам по себе не способен
в массе изменить процент индивидов, обладающих рассматри-
ваемым признаком. Замечательно, что разрешение чисто мате-
матической задачи об отыскании элементарной формы закона
индивидуальной наследственности, который подчинялся бы за-
кону стационарности Дарвина, приводит к элементарной форме,
совпадающей с законом Менделя. Этим устанавливается прин-
ципиальная равнозначность закона стационарности Дарвина и
закона скрещивания Менделя, который поэтому, в силу выше
сказанного, должен быть положен в основу математической тео-
рии эволюции».
Когда через год-два после сессии ВАСХНИЛ (1948) математическое
издательство просило С. Н. Бернштейна дать разрешение на переиздание
Курса теории вероятностей, исключив из него несколько страниц, посвя-
щенных биологическим приложениям, Сергей Натанович категорически
отказался. При этом он сказал о роли законов Менделя примерно то, что
Сергей Натанович Бернштейн
287
содержится в приведенной выдержке из его статьи. Пятое издание Курса
теории вероятностей, таким образом, не состоялось.
Наибольший удельный вес в творчестве С. Н. Бернштейна принадле-
жит теории приближения функций в самом широком понимании этого по-
нятия. Здесь Сергей Натанович создал новое направление, которое он на-
звал «конструктивной теорией функций». В своем докладе на юбилейной
сессии, посвященной 220-летию Академии наук, С. Н. Бернштейн говорит:
«Это направление весьма близко по духу математическому творчеству Че-
бышёва; неудивительно поэтому, что современная конструктивная теория
функций в большой степени использует и развивает идеи нашего покойного
великого сочлена».
Работам по конструктивной теории функций посвящены первые два то-
ма собрания сочинений, а также две монографии: «Lemons sur les propri£t£s
extr£males et la meilleure approximation des fonctions analytiques d’une vari-
able гёе11е profess£es & la Sorbonne» (Париж, 1926) и «Экстремальные свой-
ства полиномов и наилучшее приближение непрерывных функций одной
вещественной переменной» (ОНТИ, 1937). Первая из этих двух книг была
удостоена премии Bordin Парижской академией наук. Вторая книга пред-
ставляет первую часть задуманного большого сочинения. О плане второй
части Сергей Натанович несколько раз беседовал со своими учениками.
Она так и не была написана.
Основой конструктивной теории функций является теория наилучшего
приближения многочленами, а отправным пунктом последней — теорема
Вейерштрасса. В связи с лебеговым доказательством этой теоремы Валле-
Пуссен поставил в 1908 г. следующий вопрос: «Возможно или невозможно
аппроксимировать ординату полигональной линии посредством многочле-
на степени п с погрешностью, меньшей, чем ±?».
Пусть Еп[/(х); —А, А] означает погрешность наилучшего приближения
функции /(х) многочленом степени п на отрезке [—А, А]. В таком случае
задача сводится к изучению при больших п величины Еп[|х|; —1,1]. Сам
Валле-Пуссен в 1910 г. нашел, что
En[|x|;-l,l] > п(1пп)3	(п>2),
где а — некоторая константа, а вскоре С. Н. Бернштейн доказал, что
Еп[|х|;-1,1] >
Q1
nlnn
Как видим, задача Валле-Пуссена привлекла внимание Сергея Натанови-
ча. Тут действительно было все, чтобы его заинтересовать: и полная кон-
кретность вопроса, и трудность его, и даже отсутствие каких-либо интуи-
288
VII. Памятные статьи
тивных соображений о том, как к задаче подойти5. Играло некоторую роль,
вероятно, и объявление Бельгийской академией наук о премии за решение
задачи Валле-Пуссена.
В 1911 г. С. Н. Бернштейн, как известно, решил проблему и показал,
что при любом п
х/2 — 1	2
4(2п - 1) < Е2пЧх,; -1’ < 7г(2п + 1)
Это неравенство удовлетворило бы даже ортодоксальных последователей
старой петербургской школы.
Ясное дело, что для получения своего результата Сергею Натановичу
пришлось развить специальный аппарат. Попутно возникли новые задачи,
их решение привело к важным результатам общего характера.
«Пример проблемы наилучшего приближения функции |z|, предложен-
ный Валле-Пуссеном, — пишет С. Н. Бернштейн, — лишний раз подтвер-
ждает тот факт, что хорошо поставленный частный вопрос приводит к
теориям более общей значимости».
Свою работу С. Н. Бернштейн послал6 в Бельгийскую академию наук.
На заседании 15 декабря 1911 г. эта работа была награждена премией.
Другой вариант работы был представлен в Харьковский университет в
качестве докторской диссертации. Защита, как мы уже упомянули выше,
состоялась 19 мая 1913 г. Здесь нет надобности говорить о многочислен-
ных разнообразных исследованиях С. Н. Бернштейна по конструктивной
теории функций. Мы остановимся лишь на одном результате, связанном с
изучением асимптотического поведения величины E’ndx); —1,1] при п —> оо.
В одной из работ 1950 г. Сергей Натанович пишет:
«Когда в 1912 г. мною впервые было установлено существование
предела
ц = lim nEn[|x|;-l, 1],	(1)
п—‘ОС
из глубины технически сложного доказательства лишь неясно
вырисовывалась какая-то связь решенной задачи с теорией це-
5С. Н. Бернштейн вначале думал применить метод нормальных рядов, но потом от
этого намерения отказался.
6Под девизом:
La vie est brfcve
Un pen de rdve
Un pen d’espoir
Et puis bonsoir.
Сергей Натанович Бернштейн
289
лых трансцендентных функций. Казалось также правдоподоб-
ным, что и при всяком s > 0 должен существовать предел
p(s) = lim nsEn[|a;|s; — 1,1] = lim En[|z|s; — n, n].	(2)
Однако прошло еще 25 лет, прежде чем мне удалось доказать
общее равенство (2) и выяснить его истинный смысл, а именно: в
работе 1938 г. я показал, что //(s) есть наилучшее приближение
на всей действительной оси посредством целых функций первой
степени».
Напомним, что целой трансцендентной функцией р-й степени С. Н. Бер-
нштейн называет целую трансцендентную функцию экспоненциального ти-
па р. В соответствии с дальнейшими работами Сергея Натановича обозна-
чим символом Др[/(а:)], соответственно Лр_о[/(т)], погрешность наилуч-
шего приближения /(ж) на всей действительной оси посредством целых
трансцендентных функций степени р, соответственно < р. Таким обра-
зом, сказанное в конце приведенной цитаты можно представить в виде
lim nsEn[|x|s;-l, 1] = Д1[|х|5].
71 —ОС
В течение семи лет, начиная с 1946 г., С. Н. Бернштейн опубликовал трид-
цать с лишним статей, посвященных наилучшему приближению на всей
оси целыми функциями конечной степени. Напомним, что в 1950 г. отме-
чалось 70-летие Сергея Натановича. Один общий результат, полученный в
эти годы, здесь уместно сформулировать:
Пусть f(x) непрерывна на всей оси, и пусть при некотором ст О
ЛИЛ*)] < оо-
В таком случае при любом т > бу, где7 у = 1,51..., имеет место неравен-
ство
П
Г
Ат[/(х)] Нт Еп f(x);
71 —ОС	L
lim Еп[/(х);--,-]	Дт_0[/(х)].
n—оо	L	Т Т J
Личный опыт работы в средней школе у С. Н. Бернштейна невелик. Он
преподавал (в реальном училище) всего один год (1907). Однако список
7 7 — корень уравнения
1 = 1п(\/i2 + 1 + х).
290
VII. Памятные статьи
работ Сергея Натановича свидетельствует о том, что вопросами препода-
вания математики в средней школе он интересовался на протяжении
ряда лет.
В 1907 г. в программы реальных училищ были введены элементы
аналитической геометрии и анализа. Эта реформа поставила перед учи-
телями ряд вопросов и вызвала дискуссию, в которой принял участие
и С. Н. Бернштейн. В Педагогическом сборнике №11 (1909) Сергей На-
танович пишет:
«Обсуждая вопрос о том, как вводить высшую математику в
среднюю школу, я не могу совершенно обойти молчанием, поче-
му изучение ее необходимо. Обыкновенно говорят, что значение
математики в средней школе заключается в том, что, являясь
образцом правильного логического мышления, она учит учени-
ка правильно мыслить. Не споря против того, что любая область
математики может служить блестящим образчиком точного ло-
гического мышления, я не замечал, однако (и опыт моих коллег,
вероятно, был не более счастлив), чтобы изучение математи-
ки, заключающееся лишь в повторении чужой логической мыс-
ли, развивало бы способность самостоятельно последовательно
рассуждать. В действительности мы видим, что доказательства
теорем и формул вызубриваются совершенно так же, как грам-
матические правила и стихотворения на незнакомом языке. Как
одно, так и другое скоро забывается и, в лучшем случае, в памя-
ти ученика остается не более школьной теоретической муд-
рости, которой ему загромождают голову в течение многих лет.
Не касаясь вопроса о том, как должны быть преподаваемы дру-
гие науки, я полагаю, что низшая и средняя школы должны
стремиться сообщать ученику по преимуществу лишь те знания
(и умения), которые не могут быть забыты, которые настоль-
ко органически сливаются с его сознанием, что он пользуется
ими инстинктивно, без колебаний и без усилия воли, так же как
он ходит, говорит и читает. Руководствуясь этим принципом, и
по математике не следует излагать теорий, которые при всем
их логическом совершенстве останутся чужды уму ученика и
забудутся им бесследно, а напротив, нужно научить ученика
пользоваться самостоятельно теми приемами математического
мышления, которые играют особенно важную роль в современ-
ной науке, технике и жизни, которые богаты разнообразными и
полезными приложениями и дают обильный материал для инте-
ресных упражнений. Этим свойством обладают, кроме арифме-
тики и элементарнейших частей геометрии и алгебры, элементы
Сергей Натанович Бернштейн
291
дифференциального и интегрального исчисления вместе с ана-
литической геометрией».
В конце этой статьи Сергей Натанович говорит и об университетском
преподавании:
«Однако при лекционной системе в университетах, при чрез-
мерном переполнении первого курса, где число студентов всегда
считается сотнями, помощь профессора совершенно ничтожна;
благодаря этому студент, неподготовленный к новым услови-
ям занятий, всецело предоставленный учебникам и самому се-
бе, лишь в редких случаях удовлетворительно справляется со
своей задачей; значительный процент слушателей совсем ухо-
дит с математического факультета; да и те, которые остают-
ся, большей частью недостаточно твердо владеют основаниями
высшей математики. Специальные курсы, посвященные отде-
лам науки, еще не вылившимся в окончательную, классическую
форму, должны были бы занимать центральное место в универ-
ситетской науке, так как только в них вполне проявляются даро-
вания, оригинальность и знания профессора, возвышающие его
над средним преподавателем; так как только здесь тонкое кри-
тическое замечание или случайно брошенная профессором глу-
бокая обобщающая идея даст более богатые плоды, чем система-
тическое руководство добросовестного, но заурядного учителя.
А между тем, наши специальные курсы, вследствие недоста-
точной подготовки студентов, либо почти не посещаются, либо
должны приспособляться к низкому уровню большинства слу-
шателей. теряя в значительной мере свой научный интерес».
В другой статье (Педагогический сборник, 1914), рецензируя практиче-
ское руководство по лабораторному методу в геометрии, где автор до мель-
чайших подробностей разрабатывает образцовые уроки, С. Н. Бернштейн
пишет: «Нельзя привести такого образцового урока, которому всякий пре-
подаватель должен был бы подражать. Урок зависит от состава класса и,
в особенности, от индивидуальности преподавателя». И далее: «Мне ка-
жется, что он (автор) слишком помогает ученикам и для их творческой
самостоятельной работы (ума, а не рук) остается очень уж мало места».
Как уже было отмечено выше, Сергей Натанович имел с 1904 г. ученую
степень docteur-fes-sciences. Несмотря на это, ему было нелегко получить ра-
боту по возвращении в Россию. Пришлось сдавать магистерские экзамены,
что он сделал в Петербурге в 1906 г. Далее, нужно было снова защищать
диссертации и в первую очередь магистерскую, что он сделал в Харькове
292
VII. Памятные статьи
сразу же после переезда туда (1908). Лишь тогда С. Н. Бернштейн полу-
чил право преподавания в Харьковском университете в качестве приват-
доцента; он продолжал работать в этой должности и после защиты док-
торской диссертации. Все это, конечно, было связано с условиями жизни
в царской России, так как среди студенчества и либеральной профессуры
Сергей Натанович неизменно встречал глубокое уважение. Здесь играла
роль не только мировая известность С. Н. Бернштейна как ученого, но
также его личные качества и прежде всего неизменная принципиальность
и смелость в сочетании с высоко развитым чувством гражданского долга.
Только после Революции Сергей Натанович был избран профессором
Харьковского университета, и тогда началось его активное участие в уни-
верситетской жизни. С его именем связана организация кафедры приклад-
ной математики, а позже научно-исследовательской кафедры; затем орга-
низация в Харькове Всеукраинского научно-исследовательского института
математических наук (1928) и организация первого Всесоюзного съезда
математиков (Харьков, 1930). Сергей Натанович участвовал во многих со-
вещаниях по организации научной работы на Украине и восстановлению
нормальной деятельности высших учебных заведений.
Он всегда отличался прямотой, и если считал нужным подвергнуть кри-
тике какое-либо мероприятие, то делал это со всей определенностью, неза-
висимо от того, кто был инициатором мероприятия.
Последним большим трудом Сергея Натановича Бернштейна было ре-
дактирование четырехтомного собрания сочинений и составление автор-
ских комментариев.
СЕРГЕИ НАТАНОВИЧ БЕРНШТЕЙН
(1880-1968)
Все математики и физики наших дней
согласны, что область применения
математики не имеет границ,
кроме границ самого знания)
26 октября 1968 года не стало крупнейшего математика XX века, старей-
шего члена Академии наук СССР, Сергея Натановича Бернштейна.
Сергей Натанович Бернштейн родился 5 марта (22 февраля) 1880 г. в
Одессе, в семье доктора медицины приват-доцента Новороссийского (Одес-
ского) университета Натана Осиповича Бернштейна. В 1898 году он окон-
чил гимназию и уехал учиться в Париж, в Сорбонне он учился до 1902 года,
одновременно, по совету своей матери, посещая лекции в Высшей элек-
тротехнической школе, после чего, в течение 1902 и 1903 года, учился в
Гёттингенском университете. В 1904 году в Парижском университете он
защитил свою диссертацию на ученую степень доктора наук, представлен-
ную экзаменационной комиссией университета в составе Пикара, Пуанкаре
и Ада.мара; в этой диссертации содержалось решение 19-й проблемы Гиль-
берта, опубликованное в 1903 г. [2]. В Россию он возвратился в 1905 году,
уже признанным ученым, однако ему пришлось сдавать магистерские эк-
замены (Петербург, 1906 г.) и вновь защищать две диссертации: магистер-
скую и докторскую.
В Петербурге он не мог найти постоянной работы и занимался частны-
ми уроками и электротехнической практикой, правда в 1907 году он был
избран профессором Женских политехнических курсов, но уже в 1908 г. пе-
реехал в Харьков, где был утвержден приват-доцентом Харьковского уни-
верситета и профессором Высших женских курсов общества трудящихся
женщин. В том же 1908 году Сергей Натанович защитил в Харьковском
университете магистерскую диссертацию: «Исследование и интегрирова-
ние уравнений с частными производными второго порядка эллиптического
типа» (опубликована в 1908 году [3]). Эта диссертация содержала решение
19-й и 20-й проблем Гильберта из числа тех двадцати трех, которые были
поставлены Гильбертом на Парижском международном съезде математи-
ков в 1900 году.
Теория вероятностей и ее применения. — 1969. — Т. 14, вып. 1. — С. 113-121 (совм.
с Ю. В. Линником, Ю. В. Прохоровым, О. В. Сармановым).
’С. Н. Бернштейн, Докторская диссертация, 1904 год, Math. Ann., том 59 (1904), 20-76.
Собр. сочин. том III, с. 420.
294
VII. Памятные статьи
Вторая докторская диссертация «О наилучшем приближении непре-
рывных функций посредством многочленов данной степени» была защи-
щена С. Н. Бершнтейном в Харькове в мае 1913 года. Эта работа была
напечатана в 1912 году [4] и в том же году была премирована Бельгийской
Академией наук и напечатана в ее мемуарах [5]. В Харьковском универси-
тете Сергей Натанович проработал около 17 лет, до 1917 года, в должности
приват-доцента кафедры чистой математики, а с 1917 года до 20 августа
1934 г. в должности профессора той же кафедры.
Научная, педагогическая, организационная и общественная деятель-
ность Сергея Натановича достигла расцвета лишь в годы Советской власти.
В 1924 г. он избирается членом-корреспондентом Академии наук СССР,
а в 1925 действительным членом Академии наук Украины. В 1928 году
Французская Академия наук избирает Сергея Натановича своим членом-
корреспондентом на место умершего перед тем Миттаг-Леффлера, а 12 ян-
варя 1929 г. Академия наук СССР избирает его своим действительным
членом. В 1923 г. Сергей Натанович прочитал курс лекций в Сорбонне,
опубликованный в 1926 г. в виде монографии [6] и заслуживший премии
Французской Академии наук. В 1928 г. он выступил на Болонском кон-
грессе с докладом о регулярно монотонных функциях, а в 1929 г. прочитал
цикл лекций по теории ортогональных полиномов в институте Пуанкаре в
Париже и в Политехнической школе в Цюрихе.
В 1928-1931 гг. Сергей Натанович был директором организованного
им Харьковского научно-исследовательского математического института
и выполнял ответственные поручения Наркомпроса Украины по органи-
зации высшего математического образования и научной работы в вузах.
В 1930 году в качестве председателя оргкомитета он проводит большую
работу по созыву 1-го Всесоюзного математического съезда, на котором
выступает с докладом о современном состоянии и проблемах теории при-
ближения функций. С 1911 по 1922 год он был секретарем, а с 1922 по
1941 год вице-председателем Харьковского математического общества.
С 1933 г. Сергей Натанович живет в Ленинграде и принимает активное
участие в работе Академии наук, его педагогическая деятельность проте-
кает в Ленинградском университете и в Ленинградском индустриальном
институте.
В 1942 г. ряд его работ, опубликованных в 1941 году, награждается
Государственной премией СССР 1-й степени.
С 1943 г. до последних дней своей жизни Сергей Натанович живет и
работает в Москве в Математическом институте АН СССР, сотрудником
которого он был ровно 36 лет (с 26 октября 1932 года), с 1944 г. он несколь-
ко лет состоял профессором Московского университета и вел семинар по
конструктивной теории функций. В 1940 г. С. Н. Бернштейн избирается
Сергей Натанович Бернштейн
295
почетным членом Московского математического общества, затем, в разгар
второй мировой войны, в 1944 г., Алжирский университет, представляющий
все университеты Свободной Франции, избирает его почетным доктором,
а в 1945 году почетным доктором избирает его Парижский университет.
В 1955 г. Академия наук Франции избирает его на вновь созданное место
своим иностранным сочленом. В 1966 году Сергей Натанович избирает-
ся почетным членОхМ Ленинградского математического общества. В 1952—
1964 годах основное внимание Сергей Натанович уделяет редактированию
и изданию 4-томного Собрания своих сочинений.
Научное наследие Сергея Натановича очень велико, с его именем свя-
заны важнейшие направления математики XX века — теория дифферен-
циальных уравнений, теория функций и теория вероятностей. В его тру-
дах соединились и получили блестящее развитие идеи двух крупнейших
математических школ — Французской (Пикар, Адамар, Валле-Пуссен) и
Русской, представляемой Чебышевым, Ляпуновым и Марковым.
Широта охвата вопроса, классическая ясность формулировок и закон-
ченность математических исследований Сергея Натановича видны на при-
мере следующих трех его теорем.
1.	«Если функция z(x,y) трижды дифференцируема, удовлетворяет
аналитическому дифференциальному уравнению
F(x,j/,z,p,g,r,s,0 = О
и неравенству (выражающему эллиптичность)
4FrFt - F2S > О,
где
_ dz _ dz _ d2z _ d2z _ d2z
? dx' dy' T dx2 ’ S dxdy' * dy2 ’
to z(x, у) есть аналитическая функция».
Этот результат, содержащийся в его диссертации 1904 г. и решающий
19-ю проблему Гильберта, стал классическим. Сергей Натанович указывает
(Собр. сочин., том III, с. 421), что Гильберт лично обратил его внимание на
эту проблему, а Пикар вдохновил своим примером решения более частной
задачи.
2.	«Наилучшее приближение Fn[|x|] функции |х| в промежутке (—1,1)
посредством многочлена степени 2п > 0 заключено между
у/2- 1	2
4(2п — 1) ” 7г(2п + 1)
296
VII. Памятные статьи
Позже Сергей Натанович доказывает утверждение: «Существует пре-
дел linin^oc пЕп[|а;|] = А, причем 0.278 < А < 0.286».
По поводу этого результата Сергей Натанович замечает (Собр. сочин.,
том I, с. 117): «Пример задачи о наилучшем приближении |х|, предложен-
ной Валле-Пуссеном, дает еще одно подтверждение того факта, что хорошо
поставленный частный вопрос способен быть отправной точкой для далеко
идущих теорий».
Именно из методов решения таких «частных» вопросов Сергеем Ната-
новичем и была создана конструктивная теория функций.
3.	Известны следующие две квадратурные формулы для вычисления
определенного интеграла: Чебышева
/•1	о ” „
/ /(х) dx = - fM
П к=1
и Котеса
Г1	п	✓
/ /(x)dx = £cj">/(1-^-),
J-'	*=0	'
которые должны давать точное значение, если /(х) есть многочлен степе-
ни п.
В формулах Чебышева нужно определить узлы Xk, все коэффициенты
там одинаковы и равны а в формуле Котеса неизвестны коэффициенты
узлы там известны и равномерно распределены на отрезке [-1,1].
Чебышев искусственным приемом нашел узлы для многочленов от 2-й
до 7-й степени. Котес вычислил коэффициенты многочленов до 10-й сте-
пени, причем у многочленов 8-й и 10-й степени некоторые коэффициенты
оказались отрицательными. Позже было выяснено, что для п = 8 формула
Чебышева невозможна, а для п = 9 она, напротив, существует и ей ши-
роко пользуются на практике. Работа С. Н. Бернштейна [7] дает ответ на
следующие два вопроса: а) Для каких п формула Чебышева может быть
построена, б) Для каких значений п все числа Котеса положительны.
Теорема С. Н. Бернштейна гласит:
«При п > 9 формулы Чебышева невозможны, при п 10 все числа
Котеса не могут быть положительными».
Хороший и довольно полный обзор работ Сергея Натановича по теории
функций сделан в книге [8] Н. И. Ахиезером.
Остановимся более подробно на работах Сергея Натановича по теории
вероятностей.
Сергей Натанович Бернштейн
297
Возможно, что интерес к теории вероятностей возник у Сергея Ната-
новича в связи с его педагогическими обязанностями — чтением курса тео-
рии вероятностей в Харьковском университете, его первый литографиро-
ванный курс лекций по этой теории вышел в 1911 году. Этот курс посте-
пенно перерабатывался и расширялся, последнее 4-е издание этой книги,
вышедшее в 1946 году, представляет собой выдающееся произведение, как
по объему содержащегося там материала, так и по глубине изложения.
В первых работах по теории вероятностей Сергея Натановича интере-
суют аналитические вопросы и видна отчетливая связь с его работами по
теории функций. Так в работе [9] (Собр. сочин., том I, стр. 105-106) бук-
вально в несколько строк дается доказательство теоремы Вейерштрасса,
использующее выражение для биномиальной вероятности.
Рассуждения Сергея Натановича сводятся к следующему.
Пусть произведено п испытаний по схеме Бернулли с вероятностью
успеха, равной х, a F(x) — любая непрерывная на [—1, 4-1] функция. Тогда
Вп(х) = У	- x)n~m
\ п /
тп=0
есть многочлен степени п. В силу непрерывности F(x) по любому е найдем
<5 такое, что F(x) — F(x) < | и F(x) - F(x) < j, где F(z) — наименьшее,
a F(x) — наибольшее значение F(i) на [z — 6, x + <5]. Через т] обозначим
вероятность неравенства |х—т/п\ > 6, а через L — максимум |F(z)| на [0,1].
Тогда часть суммы С™2,,п(1 “ z)n-m (= 1), где |х - т/п\ <5, равна
1 — г), а другая часть, где |х — т/п\ > 6, равна ту и
F(x)(l - г?) - Lr} < Вп(х) < F(z)(l -т]) + Lt],
или
F(x) 4- F(x) - F(.r) - (F(z) 4- L)rj < Bn(x) <
< F(x) + F(x) - F(z) + (L + F(z)r?.
В силу теоремы Бернулли, при п достаточно большом 7] можно выбрать
из условия т] < e/(4L), тогда последнее неравенство можно записать так:
. е 2L „ . .	. е 2L
~ 9~лТ£< Вп^ <	+ о + 77е’
£	4x7	£»	4x7
ИЛИ
sup |F(z) - Bn(z)| < Е,
в чем и состоит утверждение теоремы Вейерштрасса.
298
VII. Памятные статьи
В приведенном конструктивном доказательстве попутно построена по-
следовательность многочленов {Вп(т)}, получивших наименование поли-
номов Бернштейна, сходящаяся к непрерывной функции.
В работе [10], носящей тоже чисто аналитический характер, дается
оценка приближения формулой Лапласа биномиальной вероятности.
В основе теоретико-вероятностных работ Сергея Натановича лежит его
крупная статья [11], посвященная аксиоматическому обоснованию теории
вероятностей. Позже он уделяет внимание почти всем направлениям этой
теории, получившей теперь такой размах, какой в начале нашего века труд-
но было предвидеть.
К первой группе работ можно отнести исследования, связанные с за-
коном больших чисел и различными уточнениями неравенства Чебышева.
В классическом неравенстве Чебышева
(1)
где Вп = D(52£=1£fc), at — произвольное положительное число, за счет
некоторых дополнительных ограничений, налагаемых на случайные вели-
чины £*, Сергею Натановичу в работе [12] удалось существенно повысить
нижнюю границу вероятности неравенства с 1 - 1/t2 до 1 — 2е~1 .
Добавочные ограничения сводятся к следующему: величины £* предпо-
лагаются независимыми, предполагается существование всех моментов
причем 1/-й момент не должен расти быстрее где Н — некоторая по-
ложительная константа, а число t не должно превышать у/~В^/(2Н). Ука-
занные ограничения на моменты выполняются, например, если все & рав-
ноограничены.
А. Н. Колмогорову [13] принадлежит другое видоизменение неравен-
ства (1), в котором, в предположении полной независимости выражение
I Efc=i & - E*=i м&| заменено на sup^^ | £f=1 & - Е?=1 М£, |.
В работе [14] Сергей Натанович обобщает неравенство Колмогорова,
освобождаясь от независимости предположенной в [13], и требует лишь
независимость М(£д. |£i,... ,&_i) от значений СьСг, • • • то есть впер-
вые рассматривает мартингал, кроме того он и в этом случае заменяет
нижнюю границу, имеющуюся в (1), на 1 — 2е~( .
В последнее время в работах Ю. В. Прохорова найдены многомерные
аналоги неравенств Бернштейна.
Следующий цикл работ Сергея Натановича посвящен предельным тео-
ремам. В фундаментальной работе [15], вышедшей в 1926 году, содержатся
основные результаты, относящиеся к независимым случайным величинам,
по существу эквивалентные теоремам Линдеберга (1922 год) и Феллера
Сергей Натанович Бернштейн
299
(1935 год). Главным же результатом этой работы является разработанная
там теория слабо зависимых величин.
Случайные величины имеющие первые и вторые моменты, называ-
ются слабо зависимыми, если выполнены два условия
при п —* оо,
/в;	в„
где Вп = D(52£=1£jt), а Ок и есть соответственно верхние границы из-
менения M£jt и при той или иной фиксации Сь Сг, • • •, Cfc-i- Если при
этом M|£jJ3 остаются меньше Ск, то условие Ск/—» 0 при п —> оо
достаточно для применимости к Ck центральной предельной теоремы
теории вероятностей.
В этой же статье теория слабо зависимых величин с успехом приме-
няется к доказательству асимптотической нормальности суммы величин,
связанных в сингулярную цепь Маркова. Различным применениям, а так-
же уточнениям предельных теорем для зависимых величин и цепей Мар-
кова посвящены работы [16]-[19]. Дальнейшее развитие этих исследований
можно найти в работах Ю. В. Линника и Н. А. Сапогова.
Третий крупный цикл работ Сергея Натановича посвящен случайным
процессам. В работах этого цикла проводится конструктивное построение
случайной величины, получающей независимые приращения за убываю-
щие промежутки времени и такой, что закон ее распределения имеет пре-
дел Р(у, £), удовлетворяющий уравнению Фоккера-Планка.
Наиболее полное изложение этих работ помещено в добавлении 6 чет-
вертого издания курса теории вероятностей и в IV томе Собрания сочине-
ний, стр. 484-542.
Большое внимание в работах Сергея Натановича уделено применениям
теории вероятностей в биологии и статистике. Математической генетике
посвящена большая статья [20], две другие статьи [21] и [22] посвящены
математическому обоснованию законов Менделя.
Большой интерес представляет статья [23] о доверительных вероятно-
стях Фишера, вошедшая в цикл работ, отмеченных в 1942 году Государ-
ственной премией СССР, ее содержание обсуждается в обзоре [24], там же
приведен полный список работ Сергея Натановича по теории вероятностей
и математической статистике.
Теперь, когда пришло время прощаться с Сергеем Натановичем, можно
отметить некоторые памятные черты этого выдающегося ученого и чело-
века.
Сергей Натанович, несомненно, считал математику главным делом сво-
ей жизни и далеко предвидел пути ее развития. Его оценка роли матема-
300
VII. Памятные статьи
тики, помещенная выше в качестве эпиграфа, оправдывается на наших
глазах.
Сейчас математика властно вторгается в новые области знания, в гео-
логию, медицину, лингвистику, которые в начале XX века многим казались
совершенно чуждыми математике.
Сергей Натанович был исключительно требователен как к себе, так и к
другим математикам, а в его оценках математических работ наблюдались
следующие характерные черты. Иногда, казалось бы, незначительный ре-
зультат он хвалил и всячески поощрял его автора, а некоторые внешне
красивые результаты и даже целые направления он считал несуществен-
ными и слабыми.
Дело в том, что Сергей Натанович лучше других видел конечную цель
исследования, а также и пути, которые должны привести к этой цели. Ес-
ли на этом пути делался даже малый шаг, его Сергей Натанович горячо
поддерживал, если избранный путь уводил в сторону от главной цели, то
даже красивые результаты, лежащие на поверхности, он считал несуще-
ственными.
Сергей Натанович был патриотом отечественной науки и больше других
сделал для развития достижений Русской математической школы.
Советское Правительство высоко оценило научные заслуги академика
С. Н. Бернштейна, наградив его двумя орденами Ленина и орденом Тру-
дового Красного Знамени.
Всякий, кто близко знал Сергея Натановича Бернштейна, может гор-
диться тем, что был его современником.
Во всей своей жизни и деятельности Сергей Натанович отличался ис-
ключительной принципиальностью, требовательностью и прямотой, таким
он навсегда останется в нашей памяти.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
[1]	Собрание сочинений академика С. Н. Бернштейна: том I, 1952 г. Конструк-
тивная теория функций. Изд. АН СССР, 582 стр.; том II, 1954 г. Конструк-
тивная теория функций. Изд. АН СССР, 727 стр.; том III, 1960 г. Диффе-
ренциальные уравнения. Изд. АН СССР, 440 стр.; том IV, 1964 г. Теория
вероятностей. Изд. <Наука», 578 стр.
[2)	2Sur la nature analytique des solution de certaines Equations aux d6riv£es partiel-
les du second ordre. «Comptes Rendus», 137 (1903), 778-781. Собр. сочин.,
том III, стр. 5-7.
[3]	Исследование и интегрирование дифференциальных уравнений с частными
производными второго порядка эллиптического типа. «Сообщ. Харьк. матем.
об-ва», сер. 2, 11 (1908) 1-164. Собр. сочин., том III, стр. 24-109.
2При цитировании работ С. Н. Бернштейна автор не указывается.
Сергей Натанович Бернштейн
301
[4)	О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов
данной степени. «Сообщ. Харьк. матем. об-ва», сер. 2, 13 (1912), 49-144.
Собр. сочин., том I, стр. 11-104.
[5]	Sur Pordre de la meilleure approximation des fonctions continues par des poly-
ndmes de degr£ donne. «M£moires publi£s par la classe des sc. Acad, de Belgique»,
Ser. 2, 4 (1912), 1-103.
[6]	Lemons sur les propri£t£s extremales et la meilleure approximation des fonctions
analytiques d’une variable reelle. Paris, Gauthier-Villars (1926), 207 стр.
[7]	О формулах квадратур Котеса и Чебышева. «Доклады Акад, наук СССР»,
14 (1937), 323-327. Собр. сочин. том II, стр. 200-204.
[8]	Н. И. Ахиезер, Академик С. Н. Бернштейн и его работы по конструктивной
теории функций. Изд. Харьк. ун-та, 1955, 112 стр.
[9]	Demonstration du theor£me de Weierstrass fond£e sur le calcul des probabilit£s.
«Сообщ. Харьк. матем. об-ва», сер. 2, 13 (1912), 1-2. Собр. сочин., том I,
стр. 105-106.
[10]	Sur le calcul арргосЬё des probabilit£s par la formule de Laplace. «Сообщ. Харьк.
матем. об-ва», сер. 2, 12 (1911), 106-110. Собр. сочин., том IV, стр. 5-9.
[11]	Опыт аксиоматического обоснования теории вероятностей. «Сообщ. Харьк.
матем. об-ва», сер. 2, 15 (1917), 209-274. Собр. сочин., том IV, стр. 10-60.
[12]	Об одном видоизменении неравенства Чебышева и о погрешности форму-
лы Лапласа. «Уч. зап. научн.-иссл. кафедр Украины». Отд. матем., вып. 1
(1924), 38-48. Собр. сочин., том IV, стр. 71-79.
[13]	А. Н. Колмогоров, Uber die Summen durch den Zufall bestimmter unabhangiger
GroBen. Math. Ann., 99 (1928), 309-319.
[14]	О некоторых видоизменениях неравенства Чебышева. «Доклады Акад, наук
СССР», 17, 6 (1937), 275-277. Собр. сочин., том IV, стр. 331-333.
[15]	Sur 1’extension du theorfcme limite du calcul des probabilit£s aux sommes de
quantit£s d£pendantes. Math. Ann., 97 (1926), 1-59. Собр. сочин., том IV, стр.
121-176.
[16]	Sur les sommes de quant^s d£pendantes. «Изв. АН СССР», 20 (1926), 1459-
1478. Собр. сочин., том IV, стр. 177-191.
[17]	О линейных квази-непрерывных цепях Маркова. «Докл. Акад, наук СССР»,
1 (1934) 1-9, 361-365. Собр. сочин., том IV, стр. 276-285.
[18]	Determination d’une limite inf£rieure de la dispersion des sommes de grandeurs
liees en chaine singulifcre. «Матем. сборник», 1(43), (1936), 29-37. Собр. сочин.,
том IV, стр. 322-330.
[19]	Новые приложения почти независимых величин. «Изв. АН СССР», сер. ма-
тем., 4 (1940), 137-150. Собр. сочин., том IV, стр. 364-376.
302
VII. Памятные статьи
[20]	Решение одной математической проблемы, связанной с теорией наследствен-
ности. «Уч. зап. научн.-иссл. кафедр Украины», Отд. матем., вып. 1 (1924),
83-115. Собр. сочин., том IV, стр. 80-107.
[21]	D£monstration math£matique de la loi d’h£r6dit£ de Mendel. «Comptes Rendus»,
177, (1923), 528-531.
[22]	Principe de stationarit£et gdneralisations de la loi de Mendel. «Comptes Rendus»,
177, (1923), 581-584.
[23]	О «доверительных» вероятностях Фишера. «Изв. АН СССР», серия матем.,
5 (1941), 85-93. Собр. сочин., том IV, стр. 386-393.
[24]	А. Н. Колмогоров и О. В. Сарманов, О работах С. Н. Бернштейна по теории
вероятностей. Теория вероятн. и ее примен., V, 2 (1960), 215-221.
ИГОРЬ ВЛАДИМИРОВИЧ ГИРСАНОВ
(1934-1967)
16 марта этого года трагически погиб во время туристского похода по
Саянам Игорь Владимирович Гирсанов, один из наиболее одаренных мо-
лодых советских специалистов по теории вероятностей и ее применениям.
И. В. Гирсанов родился 10 сентября 1934 года в г. Туркестан Казах-
ской ССР. Он учился сначала в Баку, а потом в Москве, куда его семья
переехала в 1950 г. Еще школьником он был активным участником мате-
матического кружка при МГУ и неоднократно получал первые премии на
московских математических олимпиадах. С 1952 по 1960 г. И. В. Гирса-
нов — студент, а затем аспирант Московского университета. По окончании
аспирантуры он работает в Московском университете ассистентом, а затем
доцентом, с 1965 г. — возглавляет отдел во вновь организованной Лабора-
тории вероятностных и статистических методов при МГУ.
Научная работа И. В. Гирсанова в основном делится на два периода.
До 1961 года он входит в группу математиков, объединившихся вокруг
Е. Б. Дынкина и разрабатывавших теорию марковских процессов. Среди
работ этой группы ученых исследования И. В. Гирсанова занимают замет-
ное самостоятельное место. Еще в его дипломной работе было введено ока-
завшееся очень полезным понятие «сильно феллеровского» процесса (эта
часть дипломной работы опубликована в виде статьи [8]). Во второй части
дипломной работы (оставшейся не опубликованной) И. В. Гирсанов зани-
мается новой тогда проблематикой применения свойств марковских про-
цессов к выводу свойств решений дифференциальных уравнений в част-
ных производных. Одним из первых он изучает эллиптические и парабо-
лические уравнения с разрывными коэффициентами [7]. В работах [10]—
[11], посвященных стохастическим дифференциальным уравнениям Ито,
И. В. Гирсанов, в частности, выясняет условия, при которых разрывность
коэффициентов не нарушает единственности решения. Интересны его ра-
боты, посвященные общей теории марковских процессов, [3] и [4].
Обладая способностью быстро входить в новые для него области мате-
матики, И. В. Гирсанов в тот же период занимался и вопросами, далекими
от теории марковских процессов. В работе [2] он построил давно ожидав-
шийся тонкий пример динамической системы с простым спектром. Инте-
ресна и его совместная с Б. С. Митягиным работа [4] о квазиинвариантных
мерах в топологических линейных пространствах.
Теория вероятностей и ее применения. — 1967. — Т. 12, вып. 3. — С. 532-535 (совм.
с Е. Б. Дынкиным, Б. Т. Поляком, М. И. Фрейдлиным).
304
VII. Памятные статьи
Около 1960 года в нашей стране с особой остротой была выдвинута
проблематика оптимального управления народным хозяйством и произ-
водственными процессами. Многие математики откликнулись на эту по-
требность в форме более или менее подходящих теоретических экскурсов
в новую область, используя по возможности знакомый им аппарат. В част-
ности, специалисты по теории вероятностей стали заниматься управляе-
мыми случайными процессами. Данью этому увлечению являются рабо-
ты И. В. Гирсанова [9] и [12]. Но с 1961 года И. В. Гирсанов решительно
примыкает к тем представителям математической науки, которые поняли
свою задачу шире и решились, не пугаясь черновой работы, разобраться в
наиболее насущной реальной проблематике и взяться за решение конкрет-
ных задач, подбирая аппарат к задаче, а не задачи к интересующему их
аппарату.
Сначала Игоря Владимировича интересовали общие проблемы приме-
нения математики в экономике. Он занимался обоснованием экономико-
математических моделей народного хозяйства, вел энергичную полемику
с противниками проникновения количественных методов в экономику. Он
был одним из инициаторов создания математического отделения на эконо-
мическом факультете МГУ. С огромным темпераментом полемиста он бо-
ролся с вульгаризаторами и невеждами в этой новой области (см. [35], [36]).
Результаты работы [32] нашли совсем конкретное применение к опре-
делению оптимального объема молокоперерабатывающих заводов Москвы.
Особый интерес в последние годы И. В. Гирсанов проявлял к химическим
задачам. Ему принадлежит около 15 работ, опубликованных в специальных
химических журналах, и он руководил двумя диссертациями по химии. Он
занимался вопросами выбора оптимального режима управления химиче-
ским реактором, проблемами оптимального проектирования ректификаци-
онных установок, задачами подбора неизвестных параметров кинетических
уравнений по экспериментальным данным. В руководимом им отделе Ла-
боратории статистических методов МГУ было решено много практических
задач такого типа.
Занимаясь большой прикладной работой, Игорь Владимирович сохра-
нил интерес к принципиальным вопросам математической теории. Он ясно
представлял себе возможность и целесообразность единого функциональ-
но-аналитического подхода к задачам оптимизации. Этими идеями на-
правлялся прочитанный им на механико-математическом факультете
МГУ спецкурс [15], а также работа руководимого им семинара.
Игорь Владимирович Гирсанов был не только чрезвычайно одаренным
человеком. Более всего в нем поражала энергия, энтузиазм, полная само-
отдача во всем, чем бы он ни занимался. Организация математических
школ, преподавание в них, проведение олимпиад, лекции в Вечерней ма-
Игорь Владимирович Гирсанов
305
тематической школе при МГУ, кружки, занятия с экономистами, химика-
ми, биологами — он отдавался этому весь, до конца. Во Вьетнаме, где он
провел несколько месяцев в 1962-63 учебном году, он успел организовать
математическую олимпиаду. Это был человек с очень чуткой обществен-
ной совестью, готовый бороться с любой несправедливостью и помогать
другим, не думая о себе. Даже в таких личных увлечениях, как туризм,
его деятельность приобретала общественный характер. Он не только ходил
в трудные походы, но и всегда что-то организовывал, чего-то добивался,
кому-то помогал.
Гибель Игоря Владимировича Гирсанова — тяжелая утрата для совет-
ской математики и для всех, кто его знал.
СПИСОК [ЦИТИРУЕМЫХ] ПЕЧАТНЫХ РАБОТ
ИГОРЯ ВЛАДИМИРОВИЧА ГИРСАНОВА
[2]	О спектрах динамических систем, порождаемых стационарными гауссовски-
ми процессами, ДАН СССР, т. 119, К’5, 1958.
[3]	О некоторых топологиях, связанных с марковским процессом, ДАН СССР,
т. 129, №3, 1959.
[4]	Квазиинвариантньге меры в топологических линейных пространствах (совм.
с Б. С. Митягиным), Научные доклады высшей школы, №2, 1959.
[7]	О решении некоторых краевых задач для параболических и эллиптических
уравнений с разрывными коэффициентами, ДАН СССР, т. 135, К’6, 1960.
[8]	Сильно феллеровские процессы, Теория вероятн. и ее примен., т. V, вып. 1,
1960.
[9]	Минимаксные задачи в теории диффузионных процессов, ДАН СССР, т. 136,
№4, 1961.
[10]	О стохастическом интегральном уравнении Ито, ДАН СССР, т. 138, К* 1,1961.
[И] Пример неединственности решения стохастического уравнения К. Ито, Тео-
рия вероятн. и ее примен., т. VII, вып. 3, 1962.
[12]	Некоторые минимаксные задачи в теории управляемых, марковских процес-
сов. Теория вероятн. и ее примен., т. 7, вып. 3, (1962).
[15]	Лекции по математической теории экстремальных задач, ротапринт, Москва,
1964.
[32]	Математические методы решения задачи о размещении (совм. с Б. Т. Поля-
ком), Проблемы оптимального планирования, проектирования и управления
производством (Труды теоретической конференции, состоявшейся на эконо-
мическом факультете МГУ в марте 1962 г.), Москва, 1963 г.
[35]	Учебное пособие или собрание ошибок? (Вместо рецензии на книгу С. Д. Сыр-
цовой). Экономика и математические методы, №2, 1965, 308-310.
[36]	Математические методы в планировании машиностроительного производст-
ва. Экономика и математические методы, № 2, 1966, 314-318.
ВАЛЕРИИ ИВАНОВИЧ ГЛИВЕНКО
(1897-1940)
15 марта 1940 г. скончался известный советский математик Валерий
Иванович Гливенко. Мне хотелось бы в этой статье хотя бы в кратких
чертах осветить основные результаты его математического творчества.
Многих математиков больше всего привлекает решение отдельных, хо-
тя бы и очень частных, но известных своей исключительной трудностью
задач. Философский ум Валерия Ивановича всегда гораздо больше зани-
мало создание общих объединяющих концепций и раскрытие внутренней
логики построения широких математических теорий.
Вполне понятно поэтому, что первым его увлечением явилась матема-
тическая логика. Однако как раз в этой области он начал не с создания
своих собственных новых общих концепций, а с доказательства неожидан-
ной, не вытекавшей ни из каких общих соображений и трудной теоремы.
Этот результат Валерия Ивановича относится к так называемой «ин-
туиционистской» логике Брауэра. Логика эта имеет для математики боль-
шой интерес совершенно независимо от философских построений, которые
послужили Брауэру поводом для ее создания. В частности, она может рас-
сматриваться как логика решения конструктивных задач (противополага-
ясь обычной логике доказательства истинности суждений). При некоторых
отличиях логика Брауэра сохраняет и много общих черт с обычной. На-
пример, как показал еще сам Брауэр, вместо отвергаемого в ней принципа
исключенного третьего она сохраняет двойное отрицание этого принципа:
А V А.
Брауэр потратил много труда на разыскание для забракованных им пред-
ложений классической математики такого рода аналогов, сохраняющих си-
лу в интуиционистской математике. А. Н. Колмогоров и К. Гёдель занима-
лись установлением общих принципов построения таких аналогов. Одна-
ко если ограничиться областью логики суждений, наиболее окончательное
решение дается теоремой Валерия Ивановича: двойное отрицание каждого
истинного предложения классической логики суждений доказуемо в брау-
эровской логике суждений.
После этих блестящих первых работ Валерий Иванович ничего не опуб-
ликовал по математической логике. Однако специалистам хорошо известно,
насколько значительно было его участие в дальнейшем культивировании
этой отрасли математики в Москве.
Успехи математических наук. — 1941. — Вып. 8. — С. 379-383.
Валерия Иванович Гливенко
307
Почти одновременно с математической логикой Валерий Иванович об-
ращается к дескриптивной теории функций действительного переменно-
го. Наиболее замечательным его открытием в этой области мне представ-
ляется установление равносильности следующих свойств действительных
функций
У~ f(x1,X2,...,Xn)
действительных аргументов X], х2,.... хп:
1)	Функция f может быть определена неявно системой уравнений
^1(^1, Х2, ..., хп, у, 21, ..., zm) = О,
(p2(xi,X2,...,Xn,y,Zi,...,Zm) =0,
Pk(xi ,X2,...,Xn,y,Zl,..., Zm) = 0
с непрерывными левыми частями.
2)	Образ функции f в (п + 1)-мерном пространстве (xi, х2у..., хп, у)
есть множество типа Fff.
3)	Функция f определена на множестве типа FCT, и на любом замкнутом
множестве Р, лежащем в области ее определения, непрерывна за исключе-
нием нигде не плотного подмножества множества Р.
4)	Для функции f существует последовательность всюду непрерывных
функций fn такого рода, что
f = lim fn
п—*оо
и область определения функции f совпадает с множеством тех точек, где
члены последовательности fn постоянны начиная с некоторого номера п.
Возможность найти в пределах функций первого класса новый более
узкий класс функций, охватывающий все непрерывные функции и облада-
ющий столь интересным набором характеризующих его свойств, явилась
достаточно неожиданной.
К теории функций действительного переменного тесно примыкают ра-
боты Валерия Ивановича по общему определению предела и интеграла.
Здесь систематизирующие и обобщающие тенденции выступают на пер-
вый план, не оставляя места для каких-либо неожиданных и технически
трудных конструкций. Общее определение предела, к которому пришел
Валерий Иванович в результате длительных поисков и отбрасывания все-
го логически несущественного, представляется мне, тем не менее, крайне
важным для математики. В точности к той же концепции предела под на-
званием теории «фильтров» пришла независимо и молодая французская
школа.
308
VII. Памятные статьи
В такого рода вопросах, где дело идет о поисках наиболее окончатель-
ного и простого определения, тождественность результатов, полученных
разными школами, лишь подчеркивает их окончательность. В окончатель-
ном виде определение предела выглядит так:
Фильтром в множестве Е называется любая система F = {М} непустых
подмножеств М множества Е, обладающая тем свойством, что из G F
и М2 G F вытекает существование М Е F, заключенного в пересечении
лам2.
Если функция /(х) определена на Е и принимает значения из тополо-
гического пространства R, то пределом
lim/(г)
функции /(х) по фильтру F называется такой элемент у пространства R,
что для любой окрестности U(y) найдется множество М Е F, на котором
все значения /(х) принадлежат U(y).
Это общее определение вполне естественно и без всяких лишних ослож-
нений включает в себя все ранее рассматривавшиеся случаи. Если само
множество Е есть топологическое пространство, то для каждой точки хо
через
X —+ Хо
обозначается фильтр, состоящий из всех окрестностей точки хо- При этом
обозначении запись
lim /(х)
X—*ZO
приобретает обычный смысл. Если Е есть множество действительных чи-
сел, то через
х —> ±оо
обозначается фильтр, состоящий из множеств Мь, соответствующих все-
возможным положительным h и определяющихся при каждом h неравен-
ством
|х| > h.
Очевидно, что запись
lim /(х)
х—*±ос
Валерий Иванович Гливенко
309
получает в силу наших определений общепринятый смысл. Аналогично
определяются фильтры х —> +оо их—» —оо. Более сложные фильтры поз-
воляют дать удобные и крайне сжатые определения интегралов Римана
и Лебега. При этом элементами множества Е являются уже не числа, а
разбиения интервала на интервалы (в случае интеграла Римана) или мно-
жества на множества (в случае интеграла Лебега).
Почти одновременно с математической логикой и теорией функций дей-
ствительного переменного Валерий Иванович начинает работу в области
теории вероятностей. В этой области ему принадлежит целый ряд интерес-
ных результатов; некоторые из них имеют большое принципиальное зна-
чение. Отметим среди них весьма широкие условия применимости зако-
на больших чисел к суммам независимых слагаемых в общих линейных
(в частности, в функциональных) пространствах и теоремы о сходимости
эмпирических законов распределения к теоретическому. По поводу этих по-
следних теорем заметим, что, несмотря на их фундаментальную важность
для математической статистики и отсутствие всяких технических трудно-
стей в их доказательстве, до Валерия Ивановича даже самый вопрос не был
отчетливо сформулирован (несмотря на то, что у Р. Мизеса уже имелись
некоторые оценки расхождения между эмпирическим и теоретическим за-
конами в форме так называемого о)2-критерия).
Много внимания уделял Валерий Иванович применениям математики
(и особенно теории вероятностей) к вопросам теории наследственности.
Особенно следует отметить его «менделеевскую алгебру». Здесь дело идет
об изящном и остроумном алгебраическом алгоритме с тремя действия-
ми, передающем в сжатых математических формулах все закономерности
менделеевской наследственности при скрещиваниях в обширных смешан-
ных популяциях.
В последние годы в центре внимания Валерия Ивановича находилась
новая область математики — «теория структур». К ней Валерий Иванович
был приведен всей совокупностью своих предыдущих интересов (математи-
ческая логика, теория интегрирования, аксиоматика теории вероятностей).
Валерий Иванович получает в этой области тонкие результаты, касающие-
ся «нормированных структур», которые он связывает с метрическими про-
странствами (в обычном смысле Фреше). Эти результаты, так же как и упо-
мянутая «менделеевская алгебра», показывают, что систематизаторские и
обобщающие тенденции второго периода его деятельности отнюдь не ли-
шили Валерия Ивановича вкуса к острым и неожиданным математическим
конструкциям, с которых он столь блестяще начал в 1928-1929 гг.
Большинство из нас при жизни Валерия Ивановича все же считало, что
стремление к обобщению чрезмерно господствовало в его творчестве над
интересом к достаточному богатству и своеобразию открываемых новых
310
VII. Памятные статьи
конкретных фактов. Однако, рассматривая теперь совокупность оставших-
ся от Валерия Ивановича работ, мы видим большое богатство содержащих-
ся в них как общих идей, так и интересных математических конструкций.
Лично же знавшие Валерия Ивановича будут долго помнить его исклю-
чительный математический энтузиазм и заражавшую окружающих веру
в неограниченность и значительность перспектив дальнейшего развития
нашей науки.
ПАМЯТИ
БОРИСА ПАВЛОВИЧА ДЕМИДОВИЧА
(1906-1977)
23 апреля исполняется год со дня кончины видного советского мате-
матика, доктора физико-математических наук, профессора Московского
государственного университета Бориса Павловича Демидовича.
Борис Павлович родился 2 марта 1906 г. в г. Новогрудок (БССР). По
окончании школы (1923 г.) он поступает и отлично учится на физико-
математическом отделении педагогического факультета Белорусского го-
сударственного университета. Окончив в 1927 г. БГУ, Борис Павлович в
течение ряда лет преподавал математику в средних учебных заведениях
различных городов нашей страны. В 1931 г. Б. П. Демидович приезжает в
Москву, где поступает в аспирантуру Научно-исследовательского институ-
та математики и механики при Московском университете.
Развитие в МГУ качественных методов теории обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений тесно связано с организованным в 1930 г. В. В. Сте-
пановым специальным семинаром. Борис Павлович становится активным
участником этого семинара. В. В. Степанов, осуществляя общее руковод-
ство занятиями Бориса Павловича, выделил ему в качестве непосредствен-
ного научного руководителя В. В. Немыцкого. Между В. В. Немыцким и
его первым аспирантом Б. П. Демидовичем завязалась на всю жизнь самая
тесная творческая дружба.
В. В. Немыцкий поставил перед Борисом Павловичем задачу: как за-
даться топологическими свойствами траекторий динамической системы,
чтобы в нее можно было ввести интегральный инвариант, так чтобы вся-
кая область имела положительную меру? Борис Павлович показал (см.
[1], [2]), что для динамической системы в евклидовом пространстве Rn до-
статочным условием существования n-мерного интегрального инварианта
на инвариантном множестве конечной положительной меры является пери-
одичность движений почти всех точек рассматриваемого множества. Для
плоскости отсюда вытекает подтверждение гипотезы Пуанкаре о том, что
устойчивость по Пуассону почти всех точек множества конечной меры эк-
вивалентна существованию на этом множестве интегрального инварианта.
По окончании аспирантуры (1935 г.) Борис Павлович приглашается на
кафедру математического анализа механико-математического факультета
МГУ, где он работал до конца жизни. В 1936 г. Б. П. Демидович защищает
Успехи математических наук. — 1978. — Т. 33, вып. 2. — С. 197-202 (совм. с Н. В. Ефи-
мовым, В. М. Миллионщиковым, Н. X. Розовым).
312
VII. Памятные статьи
кандидатскую диссертацию «О существовании интегрального инварианта
на системе периодических орбит». В 1938 г. ВАК утверждает его в ученом
звании доцента.
В Московском университете широко раскрывается яркий талант Бориса
Павловича. Научное творчество Б. П. Демидовича в 30-60-е годы описано
в статье, посвященной его 60-летию (УМН 21 : 6(132) (1966), стр. 155—
160). Поэтому здесь, характеризуя в целом исследования Б. П. Демидовича,
мы более подробно остановимся на результатах, относящихся к последнему
десятилетию его жизни.
Научное наследие Бориса Павловича можно условно разбить на пять
основных направлений. Об одном направлении — динамические системы с
интегральными инвариантами — мы только что рассказали. Другие на-
правления связаны с исследованием периодических и почти-периодиче-
ских решений дифференциальных уравнений, изучением правильных си-
стем дифференциальных уравнений, получением условий ограниченности
и устойчивости решений дифференциальных уравнений.
В [7], [8] Б. П. Демидович, развивая некоторые идеи Лефшеца, устано-
вил условия существования периодических решений системы
< С = ¥’ю(«,Сл) +£</>и(*,Сл) +
5 = У?2о(^£л) +£^21(^£л) +П<Р22(М,7?),
где функции tpij непрерывны и периодичны по t, причем узю, <Р20 растут
медленнее г - \/С2 + т)2 при г —> оо.
В [16] Борис Павлович, продолжая исследования Лузина, показал, что
для известного «уравнения движения поезда»
С = v’(C) + W),
где — непрерывно-дифференцируемая монотонная функция, а.ф — непре-
рывная ограниченная функция, из почти-периодичности ф и ограниченно-
сти ее интеграла следует почти-периодичность всякого ограниченного ре-
шения этого уравнения. В [23] Б. П. Демидович предложил для изучения
аналогичной системы
£ = /(*)+р(0, xeRn,	(1)
применять симметризованные обобщенные матрицы Якоби
/(М) = ||(А/) + М/)т],	(2)
где А — положительно-определенная симметрическая матрица. При этом в
случае периодичности функции g(t) им получены условия существования
и единственности предельного периодического режима системы (1).
Борис Павлович Демидович
313
В [21], [22] Борис Павлович занимался исследованием системы
х = Ах 4- f(t,x, ц),	x€Rn,
где А — постоянная матрица, не имеющая собственных значений с нулевой
вещественной частью, д — малый параметр, f — непрерывная функция,
являющаяся о(х) (при ||х|| —> оо) равномерно по t. В случае периодичности
(почти-периодичности) по t функции f им выведены признаки существо-
вания периодических (почти-периодических) решений таких систем.
Общие нелинейные системы
х — f(t,x), х G Rn,
где /, f'x € C(Z+ х Rn), I+ = {0 < t < оо), изучались Б. П. Демидо-
вичем в [31]—[33], [35]. При этом предполагалось, что наибольшее харак-
теристическое число Л(£,х) матрицы вида (2) в рассматриваемой области
удовлетворяет неравенству Л(4, х) — с < 0, где с — константа, не зави-
сящая от t и х. При наличии периодичности (почти-периодичности) по t
правой части системы (4) даются условия существования ее периодических
(почти-периодических) решений.
В [29], [30] Борисом Павловичем исследовались системы
х = A(t)x + f(wt, х, д) + g(w<), х € Rn,	(5)
когда соответствующая линейная система х = A(t)x обладает экспоненци-
альной дихотомией решений, функция f удовлетворяет по х условию Лип-
шица с достаточно малой константой, g — непрерывная функция, G(t) =
|| Jq g(s) ds|| const, д — малый, aw — большой параметры. В случае перио-
дичности (почти-периодичности) по t функций A(t), G(t), /(оЛ,х,р.), glut)
устанавливаются условия существования периодических (почти-периоди-
ческих) решений системы (5).
В [15] Борис Павлович изучил поведение мультипликаторов периоди-
ческой системы при ее усреднении. В [17], [18] им исследовано поведение
решений линейных систем с периодическими и почти-периодическими ко-
эффициентами в процессе усреднения.
Согласно Ляпунову, характеристическим показателем ненулевого реше-
ния z(t) линейной системы
х = A(t)x, х е Rn,	(6)
называется величина
а = Х1И = Кт у In ||x(t)||.
314
VII. Памятные статьи
Для уточнения асимптотики решения x(t) Б. П. Демидович предложил
использовать понятие характеристической степени (31 определяемое соот-
ношением
t—*ОО	In t
Пусть xi(t),... ,xn(t) образуют нормальный базис пространства решений
системы (6), т. е. для любого другого базиса zi(£),... , zn(i) того же про-
странства имеем Xi[xt] Xi[^i] U =	если Х1[х1]	***	,Х1[хп]-
Тогда числа = Xi[?i] называются характеристическими показателями
системы (6), а числа [Зг = X2^i] “ ее характеристическими степенями.
Система (6) является правильной по Ляпунову, если для нее выполня-
ется равенство
lim - / Sp>l(s)ds
* Ло
i=i
(7)
Как известно, класс правильных систем весьма широк: в него, в частно-
сти, входят системы с постоянными и системы с периодическими коэффи-
циентами. В [44]—[46] Борис Павлович изучает асимптотическое поведение
решений правильных систем. В работах [37], [38], [40], [42] он вводит класс
вполне-правильных систем (системы Демидовича), для которых, помимо
равенства (7), справедливо соотношение
г 1
lim -—
t—оо In t
rt	n	
/ Sp t4(s) ds — t a,
.•/«о	»=i
i=l
В частности, им показано, что системы вида
х — А + |Л1 +	Лг(<) х, xeRn,
где А — постоянная матрица с простыми характеристическими корнями,
Asif.) — ограниченная матрица, е > 0, являются вполне-правильными, и
изучена асимптотика их решений.
Условия существования ограниченных решений выяснены Борисом
Павловичем для различных видов дифференциальных уравнений. В [11],
[12] он рассмотрел уравнение
п
е(п) +^[аг+ЬгЖ(п-^=0,	(8)
г=1
где а, — постоянные, bi(t) — непрерывные функции, причем lim^—оо 6i(t)=0.
В предположении, что корни уравнения Ап + щХп~г = 0 удовлетворя-
ют условиям: А1 = 0, Re А; < 0 при i / 1, им установлены весьма тонкие
Борис Павлович Демидович
315
признаки допустимого убывания возмущений bi(t), при которых все ре-
шения (вместе с производными) уравнения (8) являются ограниченными.
В [24] Б. П. Демидович показал, что любое решение линейной однород-
ной системы, компоненты которого монотонны, будет ограниченным, если
коэффициенты системы интегрируемы (не обязательно абсолютно) на по-
луоси.
Условия существования и единственности предельного ограниченного
режим у системы (1) даны Борисом Павловичем в [23]. В [21], [22] им выве-
дены условия существования, единственности и непрерывной зависимости
от параметра ограниченных решений системы (3), обобщающие результа-
ты Боля. Согласно Левинсону, система (4) называется диссипативной, если
для каждого ее решения x(t) выполняется, при t Тх = const, неравенство
||ге(4)|| < М = const. В [31]—[33], [35] Б. П. Демидович установил общие
условия диссипативности системы (4). Наконец, в [29], [30] он вывел усло-
вия существования ограниченного решения x(t) системы (5), подчиняюще-
гося оценке ||x(t)|| сш~1 supt G(t), где с — константа, зависящая лишь от
матрицы A(t).
Разнообразны результаты Бориса Павловича по исследованию устой-
чивости решений дифференциальных уравнений. В [11], [12] он получил
условия равномерной устойчивости относительно начальных данных си-
стемы
х = [Л + B(t)]x, х € Rn,
где А — постоянная матрица с одним нулевым собственным значением, а
матрица B(t) —> 0 при t —> оо. Устойчивость ограниченных (периодических,
почти-периодических) решений систем (3), (5), а также линейных перио-
дических систем, исследовалась Б. П. Демидовичем в [21], [22], [29], [30],
[15], [17], [18]. Условия устойчивости решений нелинейных диссипативных
систем (4) приведены в [31]—[33], [35].
В [37], [38], [40], [42] Борис Павлович изучает асимптотическое поведе-
ние решений системы
х = A(t)x + f(t, х), х е Rn,
(9)
где Л(<) — непрерывная матрица, ||/(t,х)||	с||х||г, г > 1, с > 0 — кон-
станта. Уточняя результат Ляпунова, он, в частности, показывает, что
если соответствующая линейная система х = A(t)x вполне-правильная,
ее характеристические показатели а, 0, а характеристические степе-
ни /Зг < —(г — I)-1, то нулевое решение системы (9) асимптотически
устойчиво.
316
VII. Памятные статьи
В (44]—[46], [49], [53] Борис Павлович исследует орбитальную устойчи-
вость автономных систем
х = f(x), х G Rn,	(10)
где f G C2(Rn). Ограниченное решение x(t) систем (10) называется орби-
тально устойчивый при t —» оо, если при некотором to для всякого £ > 0
существует <5 > 0 такое, что для каждого решения a*(t) системы (10), удо-
влетворяющего условию ||x(to) — f(to)|| < 5, выполнено неравенство
inf ||z(t) — т(т)|| < £ (to t < оо).
Если, сверх того, существует Д > 0 такое, что при ||x(to) — z(to) || < Д эта
нижняя грань при t —> оо стремится к нулю, то решение x(t) называется
асимптотически орбитально устойчивым.
Теорема Андронова-Витта утверждает, что если характеристические
показатели уравнения в вариациях системы (10) вдоль периодического ре-
шения все, кроме одного, отрицательны, то это периодическое решение
асимптотически орбитально устойчиво. Б. П. Демидович, углубляя этот
результат, показал, что у системы (10) асимптотически орбитально устой-
чиво всякое ограниченное (не обязательно периодическое) решение x(t),
inft ||i(t)|| > 0, уравнение в вариациях вдоль которого представляет собой
правильную систему, характеристические показатели которой все, кроме
одного, отрицательны.
Помимо рассмотренных циклов исследований, у Бориса Павловича име-
ется ряд результатов [9], [54], [55], касающихся специфических качествен-
ных свойств решений обыкновенных дифференциальных уравнений.
В 1963 г. Б. П. Демидович на механико-математическом факультете
МГУ защитил в качестве докторской диссертации совокупность основных
своих работ «Ограниченные решения дифференциальных уравнений» [39].
В 1965 г. ВАК утвердил его в ученом звании профессора.
Наряду с научной деятельностью Борис Павлович активно занимал-
ся педагогической работой в МГУ и одновременно в ряде ведущих ву-
зов Москвы (МВТУ им. Н. Э. Баумана, Военно-инженерная академия им.
Ф. Э. Дзержинского и др.). Он с большим мастерством читал лекции и вел
упражнения но многим общим и специальным курсам. В частности, неиз-
менным успехом на механико-математическом факультете МГУ пользо-
вался его спецкурс «Теория устойчивости». Богатый педагогический опыт
позволил Б. П. Демидовичу написать несколько методических [5], [6], [19]
и научно-популярных [3], [13] статей по математике.
Неоценимы заслуги Бориса Павловича в развитии математического об-
разования. Он является автором широко известного задачника по матема-
Борис Павлович Демидович
317
тическому анализу [14], монографии по теории устойчивости [43], соавто-
ром и редактором популярного втузовского задачника [27] и учебных посо-
бий [10], [28], [34], изданных (и неоднократно переиздававшихся) в нашей
стране и за рубежом. Кроме этого, им (частично в соавторстве) написаны
задачник [4] и учебные пособия [20], [25], [26], [36], [41], [48], [50].
Обладая авторитетом крупного ученого, Б. П. Демидович был при-
глашен редактировать ряд книг и переводов. В 1967-68 гг. он вел отдел
«Обыкновенные дифференциальные уравнения» Реферативного журнала
“Математика”».
Много сил и энергии отдал Борис Павлович воспитанию своих уче-
ников. Под его руководством было защищено 11 кандидатских диссер-
таций и большое число дипломных работ. После смерти В. В. Степано-
ва и В. В. Немыцкого он возглавлял (совместно с А. Ф. Филипповым и
М. И. Елыпиным) научно-исследовательский семинар по качественной тео-
рии обыкновенных дифференциальных уравнений на механико-математи-
ческом факультете МГУ.
Б. П. Демидович был членом методической секции при Ученом Совете
естественных факультетов МГУ, по заданию Минвуза СССР участвовал в
разработке учебных программ, входил в состав оргкомитетов ряда научных
конференций и выступал на них с обзорными докладами (например, [47],
[52]), возглавлял Оргкомитет XXXV Московской математической олимпи-
ады школьников [51] и т. д. И чем бы он ни занимался, он всегда подходил
к делу творчески и с большой ответственностью.
Научная, педагогическая и общественная деятельность Б. П. Демидо-
вича оценена высокими правительственными наградами — орденом «Знак
почета» и медалями, отмечена неоднократными благодарностями. В 1968 г.
Президиум Верховного Совета РСФСР присвоил ему почетное звание «За-
служенный деятель науки РСФСР».
Все, кто знал Бориса Павловича, относились к нему с глубоким уваже-
нием. Скромный, чуткий, безотказный в любом деле, он обладал большим
личным обаянием и авторитетом. Светлая память о Борисе Павловиче Де-
мидовиче будет жить в его трудах, в сердцах тех, кто его знал.
СПИСОК ПЕЧАТНЫХ РАБОТ Б. П. ДЕМИДОВИЧА
1.	О существовании интегрального инварианта на множестве периодических то-
чек, ДАН, 1936, 2 (11), № 1 (87), 11-13.
2.	О некоторых достаточных условиях существования интегрального инвари-
анта, Матем. сб., 1938, 3 (45) : 2, 291-310.
3.	Статьи в БСЭ, изд. 1, 43 и 46.
4.	Сборник задач по высшей математике, Изд-во МВТУ, 1944, соредактор и
член авторского коллектива.
318
VII. Памятные статьи
5.	Об одной теореме из курса анализа, Сборник методических работ кафедры
высшей математики МВТУ, Изд-во МВТУ, 1945, 47-52 (на правах рукописи).
6.	Об интегрировании полных дифференциалов, Изд-во МВТУ, 1945, 81-84.
7.	Периодические решения нелинейной системы второго порядка обыкновенных
дифференциальных уравнений с периодическими относительно независимой
переменной правыми частями, ДАН, 1948, 61, К’4, 601-603.
8.	Существование периодических решений для некоторой нелинейной системы
обыкновенных дифференциальных уравнений, Вести. МГУ, 1949, М 2, 13-25.
9.	Колебания стержня, изогнутого по дуге круга, Инженерн. сб., 1949, 5, вып. 2,
112-132.
10.	Краткий курс высшей математики, М.—JL, Гостехиздат, изд. 1, 1949, 1-406
(изд. 2, 1959, 432; изд. 3, 1962, 528) (совм. с В. А. Кудрявцевым) (перев. на
китайск. язык).
11.	Об одном критическом случае устойчивости в смысле Ляпунова, ДАН, 1950,
72, >6, 1005-1008.
12.	Об устойчивости в смысле Ляпунова линейной системы обыкновенных диф-
ференциальных уравнений, Матем. сб., 1951, 28 (70) : 3, 659-684.
13.	Дифференциальные уравнения, БСЭ, изд. 2, 1952, 14, 520-526 (совм. с
В. В. Немыцким и А. Н. Колмогоровым).
14.	Сборник задач и упражнений по математическому анализу (для университе-
тов и физматов педвузов), М.-Л., Гостехиздат, изд. 1, 1952, 516 (изд. 2, 1954,
511; изд. 3, 1956, 511: изд. 4, 1959, 511; изд. 5, 1962, 544) (перев. на румын, и
китайск. языки).
15.	О некоторых свойствах характеристических показателей системы обыкно-
венных, линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэф-
фициентами, Уч. зап. МГУ, 1952, вып. 163, Математика 4, 123-132.
16.	Об одном случае почти периодичности решения обыкновенного дифферен-
циального уравнения 1-го порядка, УМН, 1953, 8, вып. 6 (58), 103-106.
17.	Об одном обобщении принципа усреднения Н. Н. Боголюбова, ДАН, 1954,
96, №4, 693-694.
18.	О некоторых теоремах осреднения для обыкновенных дифференциальных
уравнений, Матем. сб., 1954, 35 (77) : 1, 73-92.
19.	Простое доказательство теоремы о среднем значении для гармонических
функций, УМН, 1954, 9, вып. 3 (61), 213-214 (перев. на румын, язык).
20.	Дифференциальные уравнения (конспект лекций), Изд-во Военно-инж. акад,
им. Ф. Э. Дзержинского, 1955, 200.
21.	Ограниченные решения некоторой нелинейной системы дифференциальных
уравнений, Труды III Всесоюзного математического съезда 1, М., 1956, 52.
22.	Об ограниченных решениях некоторой нелинейной системы обыкновенных
дифференциальных уравнений, Матем. сб., 1956, 40 (82): 1, 73-94.
23.	О существовании предельного режима некоторой нелинейной системы обык-
новенных дифференциальных уравнений, Уч. зап. МГУ, 1956, вып. 181, Ма-
тематика 8, 3-12 (перев. на англ. язык).
Борис Павлович Демидович
319
24.	Об ограниченности монотонных решений системы линейных дифференци-
альных уравнений, УМН, 1957, 12, вып. 2 (74), 143-146.
25.	Методы вычислительной математики, ч. 1, Изд-во Военно-инж. акад. им.
Ф. Э. Дзержинского, 1958 (на правах рукописи) (совм. с И. А. Мароном),
308.
26.	Методы вычислительной математики, ч. 2 (совм. с И. А. Мароном и Э. 3. Шу-
валовой), 1959, 300.
27.	Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов (редактор и
член авторского коллектива), М., Физматгиз, изд. 1, 1959, 472 (изд. 2, 1961;
изд. 3, 1962; изд. 4, 1966) (перев. на франц, и англ, языки).
28.	Основы вычислительной математики, М., Физматгиз, изд. 1,1960, 660 (изд. 2,
1963; изд. 3, 1966) (совместно с И. А. Мароном) (перев. на польск. язык 1960,
франц, яз. 1965).
29.	Об ограниченных решениях некоторой квазилинейной системы, ДАН, 1961,
138, № 6, 1273-1275.
30.	Вынужденные колебания квазилинейной системы при наличии быстро меня-
ющейся внешней силы, ПММ, 1961, 25, №4, 705-715.
31.	О диссипативности в целом некоторой нелинейной системы дифференциаль-
ных уравнений, УМН, 1961, 16, вып. 3 (99), 216.
32.	О диссипативности некоторой нелинейной системы дифференциальных урав-
нений, I, Вести. МГУ, 1961, №6, 19-27.
33.	О диссипативности некоторой нелинейной системы дифференциальных урав-
нений, II, Вести. МГУ, 1962, N91, 3-8.
34.	Численные методы анализа, М., Физматгиз, изд. 1, 1962, 368 (изд. 2, 1963,
400) (совм. с И. М. Мароном и Э. 3. Шуваловой).
35.	О некоторых нелинейных системах с D-свойством Левинсона, Тр. симпозиума
по не линейным колебаниям, т. 2, Киев, 1963, 156-160.
36.	Математические основы квантовой механики (конспект лекций), Изд-во Во-
енно-инж. акад. им. Ф. Э. Дзержинского, 1963, 200.
37.	Резюме доклада «Устойчивость решений нелинейной системы с вполне пра-
вильной линейной частью», Изд. Inst, fur Angew. Math, und Meeh., Berlin,
1964, 10-11.
38.	Об одном обобщении критерия устойчивости Ляпунова для правильных си-
стем, Матем. сб., 1965, 66 (108): 3, 344-353.
39.	Ограниченные решения дифференциальных уравнений, Доклад по совокуп-
ности работ, представленных на соискание ученой степени доктора физико-
математических наук, Изд. МГУ, 1963.
40.	Об одном обобщении критерия Ляпунова, Тезисы Всесоюзной конференции
по качественной теории дифференциальных уравнений, Самарканд, 1964.
41.	Уравнения математической физики, Изд. МГУ, 1965 (изд. 2, МГУ, 1976)
(совм. с В. П. Моденовым).
42.	Об одном обобщении критерия устойчивости Ляпунова, Труды Всемирного
математического конгресса, Москва, 1966.
320
VII. Памятные статьи
43.	Лекции по математической теории устойчивости, М., «Наука», 1967 (перев.
в ПНР).
44.	Об одном аналоге теоремы Андронова-Витте, ДАН 167 : 5 (1967), 994-996.
45.	Об орбитальной устойчивости ограниченных решений автономной системы.
I, Дифф, уравн. 4 : 4 (1968), 575-578.
46.	Об орбитальной устойчивости ограниченных решений автономной системы.
II, Дифф, уравн. 4 : 8 (1968), 1359-1373.
47.	Очередные проблемы качественной теории обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений, Тезисы Всесоюзной конференции по качественной теории
дифференциальных уравнений, Рязань, 1969.
48.	Дополнительные главы курса высшей математики, Изд. Воен. инж. акад. им.
Ф. Э. Дзержинского, 1971.
49.	Орбитальная устойчивость ограниченных решений автономных систем, Те-
зисы Всесоюзной конференции по качественной теории дифференциальных
уравнений, Рязань, 1971.
50.	Элементы теории множеств в курсе математического анализа, Изд. Воен,
инж. акад, им. Ф. Э. Дзержинского, 1972.
51.	XXXV Московская математическая олимпиада, УМН 28 : 4 (166) (1972), 231 —
232.
52.	Семинар по качественной теории обыкновенных дифференциальных уравне-
ний в Московском университете за последние годы, Тезисы Всесоюзной кон-
ференции по качественной теории обыкновенных дифференциальных урав-
нений, Самарканд, 1973.
53.	Об орбитальной устойчивости движений динамических систем, Тезисы кон-
ференции по качественной теории дифференциальных уравнений, Рязань,
1976.
54.	Дальнейшее развитие теоремы Н. Г. Четаева о неустойчивости движения,
Дифф, уравн. 13 : 5 (1977), 841-847 (совм. с Ю. В. Малышевым).
55.	Исследование окрестности инвариантных и исключительных множеств,
Вестн. МГУ, 2 (1978), 48-56 (совм. с Ю. В. Малышевым).
ВИКТОР НИКОЛАЕВИЧ ЗАСУХИН
(1915-1941)
Виктор Николаевич Засухин родился 13 февраля 1915 г. в Саратове,
Окончил школу фабрично-заводского ученичества, работал в Магнитогор-
ске. Поступив в Саратовский университет, на старших курсах был переве-
ден в Московский, который окончил в 1938 г. В Московском университете
проходил аспирантуру и защитил диссертацию в 1941 г. Получив военную
подготовку в Саратовском университете, в начале войны был призван в ка-
честве лейтенанта пехотных войск. Погиб на фронте Великой Отечествен-
ной войны в 1941 г.
В. Н. Засухин с большой настойчивостью и талантом занимался теорией
стационарных многомерных случайных процессов, общие контуры которой
к тому времени были лишь намечены в работах Крамера и А. Н. Колмого-
рова. В. Н. Засухин перенес на многомерный случай теоремы о разложении
процесса на сингулярную и регулярную компоненты. Самым замечатель-
ным достижением В. Н. Засухина является найденное им необходимое и
достаточное спектральное условие для «регулярности полного ранга» ста-
ционарного процесса. Эта теорема послужила исходным пунктом ряда глу-
боких исследований других математиков (Винер и Мазани, Розанов, Мат-
веев). В. Н. Засухин успел опубликовать одну единственную работу «К
теории многомерных стационарных случайных процессов», ДАН 33 (1941),
435-437.
Успехи математических наук. — 1970. — Т. 25, вып. 3. — С. 243. (Памяти математи-
ков, погибших в Великой Отечественной войне Советского Союза.)
ПАМЯТИ
МИХАИЛА АЛЕКСЕЕВИЧА ЛАВРЕНТЬЕВА
(1900-1980)
Советская математика, советская наука в целом понесли тяжелую утра-
ту — 15 октября 1980 г. скончался Михаил Алексеевич Лаврентьев.
М. А. Лаврентьев родился 19 ноября 1900 г. в Казани, в семье учите-
ля математики Алексея Лаврентьевича Лаврентьева, который позже стал
профессором механики сначала Казанского, а затем Московского универ-
ситета. С самого раннего возраста Михаил Алексеевич с увлечением искал
ответы на вопросы, возникающие из наблюдений за окружающим миром;
любовь к этому ему привил Н. Н. Лузин, бывший другом их семьи. Лю-
бознательность Михаила Алексеевича и его стремление к нестандартному
решению задач были поддержаны преподавателями Казанского коммерче-
ского училища, в котором он учился с. 1912 по 1918 г. В том же году он
поступил на физико-математический факультет Казанского университета,
где впервые ясно проявилось его намерение стать именно математиком. За-
нятия в университете проходили вечером — днем большинство студентов
работало; Михаил Алексеевич с третьего курса стал работать лаборантом
в механическом кабинете университета, вел занятия с первокурсниками.
В 1921 г. Михаил Алексеевич едет в Москву, куда вскоре переезжают
его родители. Здесь он сначала преподает физику в средней школе, а за-
тем по рекомендации Н. Н. Лузина начинает вести практические занятия
в МВТУ. Одновременно он посещает лекции Д. Ф. Егорова, Н. Н. Лузина
и семинар П. С. Александрова в Московском университете. Вскоре Миха-
ил Алексеевич становится одним из активных членов научной школы Ни-
колая Николаевича Лузина — знаменитой Лузитании. По характеристике
Михаила Алексеевича «это была школа развития самостоятельного мыш-
ления, способности расчленять проблемы, искать обходные пути, ставить
новые задачи. Развитие этих способностей интеллекта было очень важно
тогда (полстолетия тому назад) и приобретает особое значение сегодня, в
эпоху возросшей роли науки и научно-технического прогресса»1. И далее,
«Лузин многих из нас научил не только одержимости в достижении наме-
ченной цели, но показал также, как надо увлекать молодежь на научный
подвиг. Наука была для него главным содержанием жизни, и такому же от-
Успехи математических наук. — 1981. — Т. 36, вып. 2. — С. 3-10 (совм. с П. С. Алек-
сандровым, Н. Н. Боголюбовым, Л. А. Люстерником, Г. И. Марчуком, С. Л. Соболевым,
Б. В. Шабатом).
*М. А. Лаврентьев. Опыты жизни, 50 лет в науке. ЭКО (Экономика и организация
промышленного производства), 1979, К» 7, с. 120.
Михаил Алексеевич Лаврентьев
323
ношению к науке он учил своих учеников. Он говорил, что научную работу
нельзя вести по часам: от девяти до шести, оставляя ее, как оставляют ра-
бочий халат, уходя со службы. Он настойчиво внушал, что занятие наукой
есть трудное, тяжелое дело, требующее огромных усилий, исключительной
настойчивости»2.
В 1922 г. Михаил Алексеевич защищает в Московском университете
дипломную работу, в которой содержится решение одной из проблем, по-
ставленных Н. Н. Лузиным и П. С. Александровым. Его оставляют при
кафедре математического анализа в Московском университете, но рабо-
ту в МВТУ он продолжает до 1929 г. В 1923 г. Михаил Алексеевич стал
аспирантом (в терминологии тех лет — «научным сотрудником второго
разряда») только что организованного Института математики и механики
Московского университета; научным руководителем Михаила Алексееви-
ча был Н. Н. Лузин. В 1924 г. опубликованы первые три научные работы
М. А. Лаврентьева.
Эти работы, а также одна из работ 1925 г., посвящены дескриптивной
теории множеств и топологии. Среди результатов, полученных М. А. Лав-
рентьевым в этой области, отметим его знаменитую теорему о продолжении
гомеоморфизмов. Он получил также тонкие результаты о подразделении
классов борелевской классификации на более дробные классы.
Этим первым циклом своих исследований М. А. Лаврентьев сразу завое-
вал признание в математическом мире у нас в стране и за рубежом; в 1925 г.
он получил за свои работы премию Главнауки. В январе 1926 г. в Инсти-
туте математики и механики МГУ состоялись первые защиты диссертаций
(«выпускных аспирантских работ»); среди них была и работа М. А. Лав-
рентьева «К теории гомеоморфных множеств».
Почти сразу научные интересы Михаила Алексеевича стали распро-
страняться в область анализа, причем в его аналитических работах про-
являются и высокая теоретико-множественная культура и блестящая то-
пологическая интуиция. В 1925 г. он публикует свой знаменитый пример
дифференциального уравнения у' = f(x,y) с непрерывной правой частью,
для которого всюду нарушается единственность решения задачи Коши.
В 1927 г. Михаил Алексеевич начинает заниматься теорией функций
комплексного переменного — наукой, в которой ему принадлежат осно-
вополагающие исследования, выдвинувшие его в число ведущих специа-
листов мира. Первым результатом Михаила Алексеевича в этой области
явилось решение проблемы, поставленной П. Монтелем, — отыскание то-
пологических условий, характеризующих множества точек неравномерной
сходимости всюду сходящихся последовательностей полиномов.
2Там же, с. 122.
324
VII. Памятные статьи
Осенью 1927 г. Михаил Алексеевич был командировал на шесть меся-
цев в Париж. Здесь он слушает лекции Бореля, Жюлиа, Лебега, актив-
но работает в семинаре Ж. Адамара. По возвращении в Москву Михаил
Алексеевич избирается в члены Московского математического общества и
читает в университете первый курс по теории конформных отображений.
В 1927-1928 гг. он выполнил большой цикл исследований по этой теории.
Они относятся к изучению тонких свойств соответствия границ при кон-
формных отображениях в духе работ Н. Н. Лузина и И. И. Привалова и
характеризуются сочетанием сложных конструкций с ясными и естествен-
ными геометрическими идеями. В 1928 г. М. А. Лаврентьев участвует в
работе Международного математического конгресса в Болонье, где делает
доклад о своих первых результатах по теории квазиконформных отобра-
жений.
1929 г. становится переломным в научной деятельности Михаила Алек-
сеевича — в круг его непосредственных интересов входят прикладная ма-
тематика и гидродинамика. С этого года в течение шести лет он работа-
ет старшим инженером Центрального аэрогидродинамического института
(ЦАГИ), куда его привлек руководитель института, выдающийся ученый
С. А. Чаплыгин. Это были годы бурного развития самолетостроения и ста-
новления теоретической аэродинамики. Михаил Алексеевич быстро вошел
в проблематику ЦАГИ, ему удалось, как он говорил, «оправдать мате-
матику», т. е. применить методы, которые он развивал как математик, к
решению конкретных технических задач.
Здесь же начали проявляться способности Михаила Алексеевича как
выдающегося организатора науки. Он привлек к работе в ЦАГИ талантли-
вых молодых исследователей: М. В. Келдыша, Л. И. Седова, Г. И. Петрова
и других. Эта группа решила ряд актуальных гидродинамических проблем,
таких как проблема отрыва твердого тела от воды и удара об воду, пробле-
ма борьбы с неожиданно возникающей вибрацией самолета (флаттером)
и с прыжками переднего колеса при посадке (шимми). В своих воспоми-
наниях Михаил Алексеевич так характеризует этот период: «Из работы в
ЦАГИ я вынес для себя лично, во-первых, опыт приложения чистой ма-
тематики к важным инженерным задачам и, во-вторых, ясное понимание,
что в процессе решения таких задач рождаются новые идеи и подходы в
самих математических теориях».
С 1931 г. Михаил Алексеевич становится профессором Московского уни-
верситета, с которым он был связан многие годы, в 1934 г. ему присуждает-
ся ученая степень доктора технических наук, а в 1935 г. — степень доктора
физико-математических наук. В том же году его приглашают старшим на-
учным сотрудником Математического института имени В. А. Стеклова, где
Михаил Алексеевич Лаврентьев
325
он работал более 25 лет. В 1937 г. он возглавил отдел теории функций этого
института.
Это были годы воистину титанической научной деятельности Михаи-
ла Алексеевича. Глубине и разнообразию направлений его исследований
можно только поражаться. В 1934 г. он получил один из фундаменталь-
ных результатов теории приближений: по его знаменитой теореме плос-
кие континуумы, на которых любую непрерывную функцию можно равно-
мерно приблизить полиномами, характеризуются двумя топологическими
свойствами — отсутствием внутренних точек и связностью дополнения.
В совместных работах М. А. Лаврентьева и М. В. Келдыша исследована
возможность приближения на неограниченных континуумах, а также по-
строен пример области со спрямляемой границей, интересный и для теории
приближений и для теории граничных свойств аналитических функций.
В 1936 г. в известной серии, редактируемой Адамаром, выходит моногра-
фия Лаврентьева о функциях комплексного переменного, представимых
рядами полиномов.
Продолжаются исследования по теории конформных отображений. На-
ряду с красивыми геометрическими результатами и тонкими теоремами о
граничных свойствах отображений в тематике Михаила Алексеевича все
большее место занимают конкретные исследования, имеющие практиче-
ские приложения. Так, найденные им условия существования n-й гранич-
ной производной на дуге он применил к изучению течений со срывом струи.
Свои приближенные формулы для конформных отображений узких полос
он применил к теории волн в тяжелой жидкости, в частности, получил
очень красивое доказательство существования уединенной волны («соли-
тона»).
Особое место занимает вариационно-геометрический метод Лаврентье-
ва. Размах приложений этого метода оказался чрезвычайно широким —
от изысканных экстремальных свойств конформных отображений до дока-
зательства существования течений несжимаемой жидкости, обтекающих
произвольный профиль, или исследования движения грунтовых вод под
гидротехническими сооружениями — плотинами со шпунтовыми стен-
ками.
Но, пожалуй, наиболее ярким проявлением широкого диапазона науч-
ных интересов Михаила Алексеевича и его умения сочетать теоретические
и прикладные исследования была созданная им теория квазиконформных
отображений. Начало этой теории положили два источника. Одним из
них было желание Михаила Алексеевича разобраться в природе основных
фактов комплексного анализа, вскрыть главные идеи, ими управляющие,
отбросить несущественные предположения и тем самым распространить
теорию на более широкий круг объектов. Вторым источником послужили
326
VII. Памятные статьи
потребности практики — возросшие скорости полетов привели к необходи-
мости учета сжимаемости воздуха и, следовательно, к замене классической
системы и Коши-Римана более общими системами уравнений с частными
производными.
В своих первых работах (1928 и 1935 гг.) Михаил Алексеевич пони-
мает под квазиконформными отображениями гомеоморфизмы, которые в
каждой точке области преобразуют бесконечно малые эллипсы (с данным
отношением полуосей и наклоном) в окружности с точностью до малых
высшего порядка. На такие отображения он распространяет классические
свойства конформных отображений и, в частности, доказывает для них
аналог основной теоремы Римана. Общий подход Михаила Алексеевича к
идеям комплексного анализа в 1938 г. привел его к мысли о возможности
покинуть классическую плоскость и выйти на просторы многомерных ев-
клидовых пространств. В своей первой работе этого направления Михаил
Алексеевич нашел ряд очень интересных утверждений, отражающих спе-
цифику пространственного случая.
Эта деятельность Михаила Алексеевича привела к тому, что он ста-
новится общепризнанным главой советской школы теории функций ком-
плексного переменного и одним из ведущих мировых специалистов в этой
области. Он публикует несколько итоговых статей о развитии теории функ-
ций у нас в стране, выступает с обзорными докладами. Наряду с этим он
публикует ряд результатов по теории уравнений с частными производны-
ми, полученных совместно с М. В. Келдышем, — исследования сходимости
последовательностей гармонических полиномов и гармонических функций,
устойчивости решения задачи Дирихле и другие. Совместно с Л. А. Люст-
ерником он выпускает в 1935 г. две части курса вариационного исчисления;
этот курс не был закончен, но на его основе в 1938 г. издан краткий
учебник.
В эти же годы М. А. Лаврентьев опубликовал свыше двадцати своих
прикладных работ. Здесь и расчет нагруженного лонжерона, и построе-
ние потока, обтекающего дугу заданной формы, теория бипланной короб-
ки крыльев, теория колеблющегося крыла, задача о жестком ударе о воду,
движение крыла под поверхностью тяжелой жидкости и др. Он читает в
университете курсы математического анализа и вариационного исчисле-
ния, вместе с М. В. Келдышем и И. И. Приваловым ведет семинар по тео-
рии функций комплексного переменного, преподает в Московском химико-
технологическом институте, руководит отделом в институте им. Стеклова.
Многолетние контакты Михаила Алексеевича с инженерами, а также
его любознательность и привычка к нестандартному мышлению позволи-
ли ему быстро стать весьма ценным консультантом оборонных НИИ и КБ.
Именно в эти годы он знакомится с группой конструкторов нового ору-
Михаил Алексеевич Лаврентьев
327
жия, сыгравшего огромную роль во время Великой Отечественной войны
и получившего название «Катюша». Его начинают интересовать проблемы
пробивания брони и использования взрывов.
В 1939 г. в жизни М. А. Лаврентьева наступает новый этап: осенью
этого года его избирают действительным членом Академии наук УССР и
директором Института математики АН УССР. Он переезжает в Киев и
продолжает свои интересные исследования по теории функций комплекс-
ного переменного и его приложений. Грозные годы Великой Отечествен-
ной войны застали Михаила Алексеевича на посту заведующего матема-
тическим отделением АН УССР. В трудных условиях эвакуации в Уфе он
организовал исследования по актуальным инженерным задачам, связан-
ным с устойчивостью снарядов, с подводными взрывами и т. д. В 1944 г.
М. А. Лаврентьев был награжден орденом Отечественной войны.
Осенью 1944 г. Академия наук УССР была переведена в Москву. Ми-
хаил Алексеевич возобновил свои связи со специалистами Артиллерийской
академии и Военно-воздушной академии им. Жуковского и продолжил ра-
боту над теорией струй и кумуляцией. В 1944-1945 гг. он был заместите-
лем директора Математического института им. Стеклова Академии наук
СССР.
1946 г. явился годом высокого признания научных заслуг М. А. Лав-
рентьева — он был избран академиком Академии наук СССР и ему присуж-
дена Государственная премия первой степени за работы по теории струй
и квазиконформным отображениям. В том же году Михаил Алексеевич
становится вице-президентом Академии наук УССР; на этом посту, знаме-
новавшем признание и его организаторского таланта, он остается до 1948 г.
В это время в центре его научных исследований, которые он вел и в Москве
и в Киеве, находятся явления, связанные с кумуляцией.
Михаил Алексеевич поставил ряд опытов, показавших несостоятель-
ность существовавших объяснений этого явления. Нужна была его научная
смелость и оригинальность мышления, чтобы прийти к совершенно новой
концепции: при формировании кумулятивной струи и пробивании брони
возникают такие скорости, что прочностные и упругие силы становятся
пренебрежимо малыми но сравнению с инерционными. Тогда кумулятив-
ный конус снаряда и пробиваемую броню можно рассматривать как иде-
альные жидкости и воспользоваться методами теории функций комплекс-
ного переменного для расчета встречи жидких струй. Первое сообщение
Михаила Алексеевича об этой концепции было встречено с недоверием, но
результаты исследований оказались столь убедительными, что его концеп-
ция получила всеобщее признание. В 1949 г. за эти исследования М. А. Лав-
рентьев удостаивается Государственной премии первой степени.
328
VII. Памятные статьи
В 1947 г., накануне тридцатилетия Великой Октябрьской революции,
М. А. Лаврентьев на Юбилейной сессии Отделения физико-математичес-
ких наук АН СССР делает доклад «Пути развития советской математики».
В этом докладе, в частности, говорилось следующее: «Если по основным
разделам математики к 30-й годовщине Великой Октябрьской социалисти-
ческой революции мы можем рапортовать: мы догнали, а во многих разде-
лах и перегнали зарубежную математику, то в отношении машинной ма-
тематики нам еще нужно много усилий, чтобы догнать. Вычислительная
ячейка, созданная в 1935 г. в Математическом институте имени В. А. Стек-
лова, начинает выполнять, особенно за последние годы, крупные заказы.
Эта ячейка за 12 лет из двух комнат распространилась на целый этаж и
занимает сейчас больше половины всей площади Математического инсти-
тута. Дальше отделу приближенных методов распространяться уже неку-
да, кроме того, его задачи таковы, что для их решения нужен совершенно
другой размах».
Еще в киевский период своей деятельности Михаил Алексеевич энер-
гично поддерживал усилия С. А. Лебедева по созданию первой советской
экспериментальной вычислительной машины МЭСМ. Возглавив в 1949 г.
Институт точной механики и вычислительной техники в Москве, Миха-
ил Алексеевич превратил его в центр по созданию отечественной вычис-
лительной техники и пробил дорогу ее первенцу — БЭСМ-1 С. А. Лебе-
дева. В 1950-1953 гг. и в 1955-1957 гг. Михаил Алексеевич Лаврентьев
был академиком-секретарем Отделения физико-математических наук АН
СССР. В 1955 г. он избирается членом Президиума АН СССР и на этом
посту остается до конца своих дней.
С юношеских лет Михаил Алексеевич Лаврентьев начал преподавание
математики и подготовку научной смены. Это направление деятельности
непрерывно разрасталось и стало одной из главных его забот. С 1951 по
1953 гг. он снова работает в Московском университете. Здесь он становится
одним из создателей высшего учебного заведения нового типа — физико-
технического факультета. Этот факультет в дальнейшем был преобразован
в Московский физико-технический институт и сыграл исключительно важ-
ную роль в деле подготовки высококвалифицированных кадров для новых
отраслей науки и техники. Физтеховские лекции Михаила Алексеевича лег-
ли в основу книги «Методы теории функций комплексного переменного»,
написанной им совместно с Б. В. Шабатом. Эта книга выдержала ряд из-
даний и переведена на многие иностранные языки.
1957 г. стал одной из самых значительных вех в жизни Михаила Алексе-
евича Лаврентьева. После залечивания военных ран страна бурными тем-
пами наращивала силы, и на повестку дня стал вопрос о более широком
использовании Сибири, привлечения ее потенциала к развернутому стро-
Михаил Алексеевич Лаврентьев
329
ительству коммунизма. К этому времени стало очевидным, что большие
дела в народном хозяйстве не могут совершаться без большой науки, в Си-
бири же научных кадров было недостаточно, и они занимались главным
образом узкоспециальными проблемами.
Так родилась идея создания Сибирского отделения АН СССР. Михаил
Алексеевич принял самое активное участие в его организации. В 1957 г.
Михаил Алексеевич Лаврентьев избирается вице-президентом АН СССР.
18 мая этого же года выходит постановление Совета Министров СССР о
создании Сибирского отделения АН СССР, и его председателем избирается
академик Михаил Алексеевич Лаврентьев.
Михаил Алексеевич так формулировал принципы, положенные в осно-
ву организации Сибирского отделения: «Первый принцип — решение боль-
ших проблем современной науки. Именно потому, что наибольшее их число
решается на стыках наук, в научном центре должны быть представлены
крупными учеными все главные, фундаментальные научные дисциплины —
математика, физика, химия, биология, геология, геофизика, экономика.
Второй принцип — тесная связь с народным хозяйством, ибо наука нуж-
на всем его отраслям, нужна промышленности так же, как большая и раз-
нообразная промышленность необходима для решения научных проблем.
Третий принцип — правильное сочетание ученых старшего поколения
и молодежи. Основную массу в научном центре должна составлять моло-
дежь — студенты и аспиранты. Здесь должен быть университет, студенты
которого слушали бы лекции ученых, делающих науку в академических
институтах, и обучались бы на новейшем оборудовании этих институтов»3.
Эти принципы были воплощены в жизнь. Сибирское отделение стало
широко известным и у нас в стране, и во всем мире. Оно зарекомендовало
себя не только целой серией фундаментальных разработок, но и приложе-
нием их к самым животрепещущим задачам развития производительных
сил Сибири, Дальнего Востока и Европейской части СССР.
В 1959 г. был организован Новосибирский университет, в котором пре-
подают ученые Отделения, а базой для студенческой практики служат ин-
ституты Академгородка. Здесь же Михаил Алексеевич получил возмож-
ность осуществить идею широкого вовлечения в науку молодежи путем
тщательного поиска и отбора ее из числа школьников старших классов.
Для отобранных, по мысли Михаила Алексеевича, здесь же в Академго-
родке была создана специализированная физико-математическая, а потом
и химическая школа-интернат; вслед за этим появляется клуб юных тех-
ников.
Много усилий прилагал Михаил Алексеевич для сохранения и приумно-
жения природных богатств нашей Родины, развития ее производительных
3ЭКО, 1979, К» 11, с. 178.
330
VII. Памятные статьи
сил. Он часто проводил консультации по проблемам, возникавшим на круп-
ных стройках, совершал нелегкие экспедиции на северные окраины Сибири
и Дальнего Востока. Якутск, Магадан, Чукотка, Диксон, Камчатка, Кури-
лы — вот некоторые из пунктов, где побывал Михаил Алексеевич в эти
годы. Сооружение большим взрывом плотины в районе Медео, разработ-
ка, пропаганда и внедрение сварки металлов взрывом, забота о сохранении
чистоты воды уникального Байкала — вот некоторые из направлений его
практической деятельности. По предложению Михаила Алексеевича во-
круг Академгородка была создана сеть специализированных конструктор-
ских бюро и опытных производств, обеспечивающих скорейшее внедрение
идей ученых Сибирского отделения.
В 1963-1964 гг. М. А. Лаврентьев являлся председателем Совета по нау-
ке при Совете Министров СССР. Этому Совету, в состав которого входили
крупные ученые-руководители Академии наук СССР, поручалось вносить
в правительство рекомендации по наиболее полному использованию воз-
можностей, открываемых отечественной и мировой наукой для обеспечения
быстрейших темпов развития народного хозяйства. Наряду с кипучей орга-
низационной деятельностью Михаил Алексеевич продолжает интенсивные
научные исследования. В 1962 г. выходит его монография «Вариационный
метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа». Он
занимается исследованием кавитации кольцевых вихрей, закономерностей
плавания живых организмов, импульсных струй, удара о твердое тело ча-
стиц, летящих с космическими скоростями, задачами склейки вихревых и
потенциальных течений, проблемами распространения и предсказания цу-
нами и многим другим. Ряд результатов этих его исследований вошел в
его книгу «Проблемы гидродинамики и их математические модели» (сов-
местно в Б. В. Шабатом), которая вышла двумя изданиями и переведена
на французский язык.
Не увядает его интерес и к чисто математическим проблемам. Он со-
здает основы нелинейной теории квазиконформных отображений, вводит
понятие сильно эллиптических систем, которые являются наиболее далеко
идущим обобщением систем Коши — Римана с сохранением основных гео-
метрических свойств решений. В дальнейших работах Михаил Алексеевич
еще больше расширяет понятие квазиконформности, рассматривая вместо
уравнений с частными производными произвольные алгоритмы, которые
двум заданным областям определенного типа ставят в соответствие отобра-
жение одной области на другую, обладающее специфическими свойствами.
Продолжаются исследования различных классов отображений простран-
ственных областей.
Признание научных заслуг Михаила Алексеевича нашло отражение в
избрании его в 1962 г. членом Исполкома Международного союза мате-
Михаил Алексеевич Лаврентьев
331
матиков; с 1966 по 1970 гг. он являлся вице-президентом этого союза. В
1966 г. Михаил Алексеевич Лаврентьев был избран почетным членом Бол-
гарской академии наук, а в 1969 г. — членом-корреспондентом Германской
академии наук в Берлине и членом-корреспондентом Международной ака-
демии по астронавтике, в 1971 г. — иностранным членом Французской ака-
демии наук (с награждением крестом Командора ордена Почетного леги-
она), в 1975 г. — почетным членом Финской академии наук.
Михаил Алексеевич Лаврентьев в 1952 г. вступил в члены Коммуни-
стической партии Советского Союза. Он принимал активное участие в
общественно-политической жизни страны. На XXII, XXIII, XXIV съездах
КПСС он избирался кандидатом в члены ЦК КПСС, был депутатом Вер-
ховных Советов СССР и УССР ряда созывов. Заслуги Михаила Алексееви-
ча высоко оценены Коммунистической партией и Советским государством.
Ему присвоено звание Героя Социалистического Труда, он награжден пя-
тью орденами Ленина и другими правительственными наградами, удосто-
ен звания лауреата Ленинской и двух государственных премий. В 1977 г.
ему присуждена высшая награда Академии наук СССР — Золотая медаль
имени М. В. Ломоносова.
В самые последние годы жизни Михаила Алексеевича глубоко волнова-
ли неустойчивые процессы природы, такие, как знаменитая новороссийская
бора, цунами, обвалы в горах, сели. Он искал способы использования этой
неустойчивости, с тем чтобы сравнительно малыми усилиями можно было
направлять процессы в нужную сторону. Тяжелая болезнь не позволила
Михаилу Алексеевичу завершить эти исследования.
В некрологе, подписанном руководителями партии и правительства и
крупнейшими советскими учеными4, говорится, что с именем Михаила
Алексеевича Лаврентьева связаны выдающиеся достижения отечественной
и мировой науки, развитие и широкое применение математических методов
исследования в современном естествознании и технике.
Самоотверженное служение науке и советскому пароду, преданность
Родине и делу партии снискали Михаилу Алексеевичу Лаврентьеву за-
служенное уважение и авторитет. Светлая память о выдающемся ученом-
коммунисте Михаиле Алексеевиче Лаврентьеве навсегда сохранится в серд-
цах советских людей.
4
Правда», 18 октября 1980 г.
СВОИ ПУТЬ В НАУКЕ
[Памяти академика А. И. Мальцева (1909-1967)]
Я познакомился с Анатолием Ивановичем в 1933 году, когда он приехал
ко мне с уже сложившимся замыслом работы по математической логике.
Тогда же я узнал, что он два года назад окончил Московский университет
и работает в Ивановском педагогическом институте.
Математика в университете Анатолию Ивановичу давалась легко, но
попытки самостоятельной работы в области теории дифференциальных
уравнений успеха не имели. Стихия математического анализа, где за пре-
дельными переходами в конечном счете скрываются интуитивные пред-
ставления о свойствах непрерывных сред и непрерывно развивающихся во
времени процессах, осталась чуждой Анатолию Ивановичу и в дальней-
шем.
Математические дарования Анатолия Ивановича имели подчеркнутый
алгебраический и логический характер. Поступив ко мне в аспирантуру
(1934) по математической логике, Анатолий Иванович написал одну из за-
мечательных своих работ «Исследования в области математической ло-
гики» (опубликована в 1936 году), которая в последние годы в мировой
математической литературе упоминается даже чаще, чем непосредственно
после ее появления. Было, однако, решено, что Анатолий Иванович дол-
жен попробовать свои силы и в работе над более специальными трудными
задачами алгебры.
Надежды, что из Анатолия Ивановича вырастет алгебраист широкого
профиля, вскоре оправдались. Отмечу лишь его работу о строении абе-
левых групп без кручения (1938) и работы сороковых годов по группам
Ли, выдвинувшие Анатолия Ивановича сразу в первый ранг советских и
мировых алгебраистов.
В пятидесятых годах Анатолий Иванович увлекся общей теорией ал-
гебраических систем и теорией моделей, целью которых является выявле-
ние предмета науки алгебры во всем ее объеме. Естественно, что в таких
общих исследованиях особое значение приобретают логические вопросы
«конструктивности» изучаемых объектов, «разрешимости» возникающих
проблем, то есть вопросы логической природы отдельных алгебраических
теорий, изучаемых с общей точки зрения. Идеями такого синтеза логиче-
ской и алгебраической проблематики проникнуты основные работы Ана-
толия Ивановича в шестидесятых годах.
Наука и жизнь. — 1975. — № 7. — С. 112-115.
Анатолий Иванович Мальцев
333
Этот краткий обзор основных направлений работы Анатолия Ивано-
вича производится для того, чтобы читатели могли почувствовать свой-
ственную Анатолию Ивановичу принципиальность в выборе тематики. Он
стремился всегда идти по основным путям развития науки, видеть за от-
дельными теоремами их место в общей архитектуре науки.
К. С. Станиславский говорил молодым артистам, что они должны «лю-
бить искусство в себе, а не себя в искусстве». Та же проблема стоит и
перед ученым: как я с моими индивидуальными возможностями могу при-
нять наиболее продуктивное участие в развитие науки по ее объективно
обусловленным путям? Мне кажется, что Анатолию Ивановичу в большой
мере удалось решить этот вопрос для себя.
С той же широтой и серьезностью относился Анатолий Иванович и к
педагогической деятельности. В основном его заслугой является то, что
Ивановский педагогический институт сделался одним из лучших в нашей
стране, что он является и теперь, в отсутствие Анатолия Ивановича, цен-
тром живой научной и методической мысли. Когда Анатолий Иванович
переехал в Новосибирск, то здесь на первый план выдвинулись заботы о
создании большого, мирового уровня центра исследований по логике и ал-
гебре. И этот замысел нашел широкое осуществление.
С той же широтой и принципиальностью относился Анатолий Ивано-
вич к писанию книг, начиная от учебника алгебры для первого курса до
замечательной монографии по теории алгоритмов. Эти книги обдуманным
и целеустремленным образом ведут читателя не только к приобретению
некоей суммы знаний, но и к пониманию структуры и основных перспек-
тив математики.
От редакции
журнала «Наука и жизнь»
Анатолий Иванович Мальцев (1909-1967). Коротка жизнь этого заме-
чательного ученого. Значителен путь, пройденный им в науке.
Сын потомственного рабочего-стеклодува. Школьник, рано обратив-
ший на себя внимание своими математическими способностями. Студент
(1927-1931), затем аспирант (1934-1937) Московского государственного
университета. Под руководством А. Н. Колмогорова научная индивидуаль-
ность молодого ученого получила полное и яркое развитие.
Еще в 1936 году А. И. Мальцев доказал одну из основных теорем ма-
тематической логики, известную сейчас как локальная теорема Мальцева.
Созданный им метод «описания моделей» позволил дать общее решение
ряда проблем, ранее решавшимся с частных позиций.
334
VII. Памятные статьи
Круг исследований А. И. Мальцева тем временем ширится; от изуче-
ния конкретных алгебраических объектов (группы, кольца, лупы и т. д.)
он переходит к общей теории алгебраических систем и моделей, заклады-
вает основы того направления современной математики, которое принято
называть универсальной алгеброй. Эти работы приводят А. И. Мальцева
к исследованию логической структуры алгебраическим теорий, к синтезу
идей алгебры и математической логики. Для многих математиков было
тогда неожиданностью решение алгебраических проблем средствами мате-
матической логики. В последние годы жизни А. И. Мальцев работал над
проблемами самой математической логики, таких ее разделов, как теория
алгоритмов, теория нумераций. В 1964 году академику А. И. Мальцеву
было присвоено звание лауреата Ленинской премии за цикл работ по при-
ложениям математической логики к алгебре и теории моделей.
«Работы А. И. Мальцева, — писал академик В. М. Глушков, — полно-
стью относятся и так называемой «чистой» математике и не имеют непо-
средственных технических приложений, но в то же время эти работы —
неисчерпаемый источник идей и методов, находящих свое новое выраже-
ние в ряде областей прикладной математики, возникших в самое последнее
время под влиянием запросов электронной вычислительной техники и дис-
кретной автоматики».
Двадцать восемь лет — с 1937 по 1960 год — А. И. Мальцев проработал
в Ивановском педагогическом институте. Здесь начало складываться то
объединение математиков, которое стали называть алгебраической школой
Мальцева.
С 1960 года Анатолий Иванович работал в Сибирском отделении АН
СССР. «Анатолий Иванович, — вспоминает один из его сибирских уче-
ников и коллег, член-корреспондент АН СССР Ю. Л. Ершов, — всегда
понимал, какое направление развития в алгебре и вообще в математике в
данное время является главным, наиболее важным. Но одно дело — сле-
дить за новейшими результатами, быть эрудитом, другое дело — относиться
к этому действенно. Мне рассказывали, что Анатолий Иванович в 37 лет
впервые сел за рояль и сумел научиться играть. Пример поразительный;
но, по-моему, настоящее мужество требуется от человека, когда он в 50 лет
садится за учебники и изучает новую для себя науку, причем так, чтобы
потом работать в ней! Я имею в виду теорию алгоритмов; ею он до 50 лет
не занимался, но осознал, что в наше время теория алгоритмов являет-
ся растущим и очень важным разделом. И Анатолий Иванович не только
изучает ее, но и пишет работы по ней».
Летом 1938 года П. С. Александров, А. Н. Колмогоров, А. И. Мальцев
и С. М. Никольский совершили путешествие по Волге на лодке «Днепров-
ский селезень». «Наше путешествие от Красноуфимска до Ульяновска, —
Анатолий Иванович Мальцев
335
вспоминает С. М. Никольский, — продолжалось сорок дней. Мы прошли на
веслах что-то около 1 600 километров. В холодные дни проходили по 50-70
километров в день. Андрей Николаевич Колмогоров обычно греб в паре
с Анатолием Ивановичем Мальцевым, а Павел Сергеевич Александров —
со мной. Каждая пара, прежде чем смениться, должна была прогрести
10 километров и доказать это другой паре по километровым столбам, но-
мера которых делали большие лакуны в натуральном ряде чисел. Помню,
что однажды мы с Павлом Сергеевичем прогребли 27 километров кряду и
только тогда удалось доказать, что наш десятикилометровый урок выпол-
нен».
«Тайна необычайного влияния Анатолия Ивановича на людей, — вспо-
минает профессор Ивановского педагогического института С. В. Смир-
нов, — как мне кажется, лежала в большой артистичности, которой он об-
ладал. Артистичность эта шла от семьи, в которой он рос. Отец Анатолия
Ивановича Иван Алексеевич Мальцев, рабочий-стеклодув (сама эта про-
фессия требует известного артистизма), кроме того, был очень неплохой
художник. Мне приходилось бывать с Анатолием Ивановичем на художе-
ственных выставках и слышать его суждения о работах крупных худож-
ников. Эти суждения очень часто были неожиданными и всегда удивляли
своей глубиной. Артистичность, свойственная Мальцеву, сказывалась и на
его занятиях математикой. Тонкая отделка целого, отсутствие лишних де-
талей, умение находить главное — все эти особенности отличают Мальцева,
ученого и лектора. Он не старался говорить красиво и гладко, но сказанное
все же производило впечатление художественного произведения».
Член-корреспондент АН СССР М. И. Каргаполов, ученик и сотрудник
А. И. Мальцева по Институту математики СО АН СССР, вспоминает: «Ни
в Институте математики, ни в Новосибирском университете у Анатолия
Ивановича не было служебного кабинета. Всевозможные вопросы реша-
лись во время прогулок, на основанном им семинаре «Алгебра и логика» и
во время памятных всем шествий алгебраистов от университета до Морско-
го проспекта после заседания семинара. Анатолий Иванович, по существу,
никогда не приказывал и почти не «поручал», а просто говорил: «Интерес-
но сделать то-то, решить такой-то вопрос». Несмотря на такой, казалось
бы, мягкий стиль руководства, вокруг него царила атмосфера напряжен-
ного труда».
ИВАН ГЕОРГИЕВИЧ ПЕТРОВСКИЙ
(1901-1973)
Двадцать два года работы в качестве ректора первого и крупнейшего
университета нашей великой страны и притом работы настоящего руково-
дителя, вникающего во все дела, являющегося инициатором самых различ-
ных начинаний во всех направлениях деятельности университета — подвиг
достаточно уникальный. Он явился завершением жизни Ивана Георгиевича
Петровского, которая и вся представляется нам теперь именно подвигом.
Иван Георгиевич не принадлежал к числу ранних талантов. Юношеские
годы Ивана Георгиевича были не легки. Двадцати одного года Иван Геор-
гиевич поступил в 1922 г. в Московский университет, обладая уже не ма-
лыми знаниями в области математики, приобретенными самостоятельным
чтением. Он проводит нормальный пятилетний срок студентом и трехлет-
ний — аспирантом. Кажется не случайным, что он избирает своим научным
руководителем Дмитрия Федоровича Егорова, глубокого и тонкого учено-
го, но несколько сурового человека, неустанного труженика, чуждавшегося
всякой внешней эффектности.
Еще в студенческие годы Ивана Георгиевича горячо волнуют обще-
ственные дела — он избирается представителем студентов в математиче-
ской предметной комиссии и отдается этой работе со всей серьезностью,
свойственной ему во всем. Мне запомнился образ Ивана Георгиевича,
скромного молодого человека в синей косоворотке, стриженого под машин-
ку, когда ему было доверено в 1927 г. приветствовать от имени студентов
Московского университета Первый съезд советских математиков.
Студентом в 1926 г. Иван Георгиевич выполняет свою первую самосто-
ятельную научную работу по проблеме Дирихле. Тема работы возникла
в семинаре Д. Ф. Егорова и была связана с недавно сделанной работой
Л. А. Люстерника. Но результаты Ивана Георгиевича отличаются своей
окончательностью. Своеобразен самый характер возникновения дальней-
ших циклов работ Ивана Георгиевича. Неожиданно его увлекает проблема
из совершенно новой области. Он берется за изучение этой области, начи-
ная с первых ученических шагов. А через год, или через несколько лет...
появляется решение увлекшей его с самого начала проблемы. Так было с
его знаменитыми работами по топологии действительных алгебраических
кривых, начавшимися публикацией 1933 г. Так же внезапно возникло и
после концентрированных усилий привело к успеху увлечение Ивана Ге-
оргиевича близкими мне вопросами обоснования предельных теорем тео-
рии вероятностей при помощи дифференциальных уравнений предельных
Успехи математических наук. — 1974. — Т. 29, вып. 2. — С. 3-5.
Иван Георгиевич Петровский
337
случайных процессов с непрерывным временем. Заинтересовавшись пове-
дением интегральных кривых системы обыкновенных дифференциальных
уравнений вблизи особой точки, Иван Георгиевич также приходит к весьма
завершенным результатам.
Подобным же образом развивались и наиболее знаменитые работы Ива-
на Георгиевича, начатые в 1936 г., по условиям аналитичности и по услови-
ям разрешимости задачи Коши для систем дифференциальных уравнений
с частными производными. Работы Ивана Георгиевича по дифференциаль-
ным к уравнениям с частными производными преобразовали всю эту важ-
ную область математики. Можно даже сказать, что до Ивана Георгиевича
речь шла в работах по преимуществу либо об «аналитической теории»,
пользовавшейся рядами Тейлора и приводившей к формальным резуль-
татам, скрадывавшим реальное своеобразие отдельных типов уравнений,
либо о специальных типах уравнений, возникших по поводу отдельных за-
дач математической физики. По существу, именно с работ Ивана Георгие-
вича начинается период преимущественного интереса к систематическому
изучению систем уравнений с частными производными самого общего ви-
да с целью выделения из них в естественных классов, отличающихся теми
или иными общими свойствами (разрешимость задачи Коши, обязательная
аналитичность всех решений и т. п.). Влияние работ Ивана Георгиевича в
этом направлении и сейчас находится в стадии возрастания и в советской
и в мировой науке.
Основной пафос этого главного направления исследований Ивана Геор-
гиевича заключается в освобождении от связанности со случайными осо-
бенностями конкретных задач, уже возникших из частных запросов фи-
зики. Это та здравая абстрагирующая тенденция, которая приводит к со-
зданию больших новых общих математических теорий. Но это не значит,
что Ивана Георгиевича не занимали точно поставленные отдельные зада-
чи, непосредственно выдвинутые приложениями. Можно было бы привести
ряд примеров, где Иван Георгиевич внес существенный вклад в их решение.
Об иных же видах участия Ивана Георгиевича в работах по актуальным
приложениям математики, не отразившихся в печатных публикациях, ве-
роятно, еще будет когда-либо рассказываться. Отмечу еще, что как раз в
последние годы в семинарах Ивана Георгиевича получили особенно боль-
шое место вопросы современной теоретической физики, что лишний раз
подчеркивает неиссякаемую духовную молодость Ивана Георгиевича —
способность вновь и вновь воспринимать новое.
Но, возвращаясь к характеристике личности Ивана Георгиевича, под-
черкну еще раз, что исходным пунктом научных изысканий Ивана Георги-
евича обычно было возникшее убеждение в актуальности задачи, необхо-
димости ее решить. Надо быть необычайной силы математиком для того,
338
VII. Памятные статьи
чтобы такой подход к делу был так почти безошибочно продуктивным в
индивидуальной деятельности одного ученого, как это получалось у Ива-
на Георгиевича. Для подражателей есть опасность, увлекаясь созерцанием
задач, приглянувшихся в качестве особенно притягательных, так и ограни-
читься этим созерцанием. Организованная научная работа коллектива со-
стоит в выделении важнейших очередных задач и подбора к каждой задаче
людей, способных ее решить. Но у Ивана Георгиевича часто получалось,
что привлекавшие его задачи из совсем новых областей он решал сам.
Для Ивана Георгиевича работа ученого была всегда неразрывно свя-
зана с деятельностью профессора — воспитателя научной молодежи. Его
тщательно прочитанные лекционные курсы превращались в образцовые
учебники. Его научные семинары всегда были центрами живой научной
мысли. Своих личных учеников Иван Георгиевич воспитывал в традициях
интереса к науке и ее актуальным задачам, а не к своим успехам.
В 1940 г. Иван Георгиевич был избран деканом механико-математичес-
кого факультета Московского университета. Деканство Ивана Георгиевича
захватило трудные военные годы, когда основной коллектив университе-
та работал в Ашхабаде и потом в Свердловске. Все работники факультета
помнят неизменную заботливость Ивана Георгиевича в части материаль-
ных нужд и неуклонное стремление сохранить высокий потенциал учеб-
ной и научной работы. В 1949-1951 гг. Иван Георгиевич был академиком-
секретарем физико-математического отделения Академии наук СССР, от-
давая, как всегда, полную меру сил этой новой работе. С нее он и перешел
на пост ректора Московского университета, обязанности которого он ис-
полнял с полной энергией буквально до последних минут своей жизни.
У всех близко знавших или даже только соприкасавшихся с Иваном
Георгиевичем осталось неизгладимое впечатление от образа этого вечного
труженика и человека неиссякаемой юношеской увлеченности. Слово «по-
двиг» звучит в применении ко всей жизни Ивана Георгиевича без всякой
натяжки.
х) Примечание редакции УМН. В журнале «Вестник Московского уни-
верситета», сер. матем. и механ., № 1, 1974 г., приведен список публикаций
об И. Г. Петровском. Там же опубликована статья О. А. Олейник «Матема-
тические работы И. Г. Петровского», где дано подробное изложение работ
И. Г. Петровского.
ГЕОРГИИ ФЕДОРОВИЧ РЫБКИН
(1903-1972)
Умер Георгий Федорович Рыбкин. Директор одного из авторитетней-
ших издательств страны, математик и философ, общественный деятель —
он был ярким представителем того поколения, которое вступило в само-
стоятельную жизнь в годы, непосредственно следовавшие за Великой Ок-
тябрьской социалистической революцией, и которое заложило основы на-
ших нынешних достижений. Можно без преувеличения сказать, что немно-
го найдется людей, которые так много сделали для развития издания ма-
тематической литературы в нашей стране, как Георгий Федорович.
Рыбкин связал свою жизнь с книгоиздательским делом еще в 1923 г.,
когда он перешел на работу в Госиздат, руководителем которого был в те
годы Отто Юльевич Шмидт. «Этот кудрявый комсомолец», как ласково
называл молодого Рыбкина Шмидт, возглавил затем комсомольскую орга-
низацию издательства.
Ему тогда только что исполнилось 20 лет, но он уже имел за плечами
большой жизненный опыт. Сын бедного крестьянина деревни Ищеино Бо-
ровского уезда Калужской губернии, он рано лишился отца и с 12-летнего
возраста вынужден был зарабатывать на жизнь «мальчиком» в лавке ры-
боторговца в Охотном ряду. Пятнадцатилетним юношей в марте 1919 г.
Г. Ф. Рыбкин вступил в комсомол. Через несколько месяцев он уходит доб-
ровольцем на Польский фронт в составе Московского отряда лыжников.
В Красной Армии молодого бойца-разведчика принимают в ряды партии.
По окончании боевых действий он был демобилизован как несовершенно-
летний. До прихода в Госиздат Г. Ф. Рыбкин вел комсомольскую работу в
качестве освобожденного секретаря одной из комсомольских организаций
в Москве.
Среди молодежи издательства авторитет комсомольского вожака был
поистине непререкаем. И сейчас постаревшие ветераны издательского де-
ла с теплой улыбкой вспоминают, как много значило для них тогда каж-
дое слово Георгия Рыбкина. Но сам он отлично понимал всю недостаточ-
ность своих знаний и опыта. Все годы после демобилизации были запол-
нены упорной учебой. В 1926 г. он кончает вечерний рабфак. Проходит он
и практическую школу издательской деятельности, начиная с отборщика
литературы на книжном складе и кончая политредактором. Скромность
Успехи математических наук. — 1972. — Т. 27, вып. 5. — С. 223-225 (совм. с
П. С. Александровым, Б. В. Гнеденко, А. И. Маркушевичем, В. Б. Орловым, А. Т. Цвет-
ковым, А. П. Юшкевичем).
340
VII. Памятные статьи
и постоянное стремление к совершенствованию навсегда остались чертами
его характера.
В 1926 г. для Г. Ф. Рыбкина пришло время призыва в Красную Армию,
и он расстался с Госиздатом. После демобилизации Георгий Федорович
работает в различных издательских и научных организациях, одновремен-
но продолжая свое образование. Он кончает философское отделение МГУ
и учится затем в Институте красной профессуры, а с 1932 г. становится
аспирантом-ассистентом Института математики МГУ. С 1930 г. Г. Ф. Рыб-
кин начинает педагогическую деятельность, сначала на кафедре диамата
в Институте стали, а с 1934 г. — на кафедре высшей математики философ-
ского факультета МИФЛИ.
Напряженная работа и учеба сочетаются с активной общественной де-
ятельностью. В 1934 г. Георгий Федорович — парторг Института матема-
тики МГУ. Параллельно он выполняет и ряд других ответственнейших
партийных поручений. Первая половина 30-х годов была периодом форми-
рования того замечательного организатора и воспитателя, разносторонне
образованного математика и философа, каким Г. Ф. Рыбкин проявил себя
в дальнейшем.
С 1935 г., после окончания аспирантуры, Георгий Федорович возвраща-
ется к издательской деятельности, на этот раз в качестве старшего науч-
ного редактора отдела математики Большой Советской Энциклопедии. С
марта 1937 г. он переходит в Гостехиздат, с которым и был связан до конца
своей жизни, за исключением 1942-1944 г., когда капитан Г. Ф. Рыбкин
участвовал в боях на 1-м Прибалтийском и 3-м Белорусском фронтах.
Он вернулся в издательство из армии как инвалид Отечественной вой-
ны в августе 1944 г. и вновь стал старшим редактором математической
литературы. С 1946 г. Георгий Федорович в течение почти двух десятиле-
тий руководил Гостехиздатом (преобразованным в 1958 г. в Физматгиз). Он
же был первым руководителем Главной редакции физико-математической
литературы издательства «Наука», которая возникла на базе Физматгиза
в 1964 г.
Когда тяжелое состояние здоровья вынудило Георгия Федоровича отка-
заться от организаторской работы, он оставался редактором и неоценимым
консультантом для работников издательства до тех пор, пока болезнь еще
позволяла ему это.
Под руководством Георгия Федоровича более чем вдвое вырос выпуск
физико-математической литературы, созданы сотни оригинальных учебни-
ков, актуальные монографии, справочники, словари, научно-популярные
книги, выпущен ряд уникальных изданий, заслуживших высокую оценку
советской печати. В этот период марка Гостехиздата приобрела высокий
Георгий Федорович Рыбкин
341
авторитет во всем мире и практически все оригинальные книги издатель-
ства стали переводиться на иностранные языки.
Г. Ф. Рыбкин сыграл большую роль в деле передачи советского книго-
издательского опыта социалистическим странам. Издатели Чехословакии,
Польши и других стран многим были обязаны его советам и помощи. Эта
его деятельность была отмечена Золотой медалью за заслуги в деле разви-
тия дружбы и сотрудничества с Чехословацкой социалистической респуб-
ликой.
Перу Г. Ф. Рыбкина принадлежит много разнообразных публикаций,
начиная с 1930 г. Здесь можно было бы назвать документальные и литера-
турно-художественные воспоминания о гражданской войне, работы по на-
учному атеизму и диалектическому материализму, ряд статей в первом
издании Большой Советской Энциклопедии, кратком энциклопедическом
словаре, кратком философском словаре.
Однако основные научные интересы Георгия Федоровича лежали в об-
ласти истории математики. Он является автором ряда работ, анализирую-
щих деятельность Н. И. Лобачевского, М. В. Остроградского и его учителя
Т. Ф. Осиповского.
Огромной заслугой Георгия Федоровича является многолетний редак-
торский и составительский труд по «Историко-математическим исследова-
ниям». Он редактировал ряд изданий классиков математики, был длитель-
ное время активным членом редколлегии «Успехов математических наук».
Следует, впрочем, отметить, что вряд ли наберется много книг Гостехиз-
дата и Физматгиза, которые избежали его редакторской руки. Он очень
любил редакторскую работу и охотно отдыхал за нею от организационных
забот директора.
В памяти всех знавших Георгия Федоровича навсегда сохранятся его
прекрасные человеческие качества. Он был исключительно скромным и
непритязательным человеком, у которого его личные интересы всегда от-
ходили на задний план перед интересами дела. Как для руководителя для
него были характерны высокая принципиальность, умение прислушивать-
ся к критике, внимательность и тактичность в отношениях с людьми.
Жизнь, прожитая Георгием Федоровичем Рыбкиным, — образец чест-
ного служения нашей социалистической Родине.
ГЛЕБ АЛЕКСАНДРОВИЧ СЕЛИВЕРСТОВ
(1905-1944)
Глеб Александрович Селиверстов родился 24 июля 1905 г. в Иркутске.
Отец его, талантливый инженер Александр Николаевич Селиверстов, ра-
ботал тогда на строительстве транссибирской железной дороги. В средней
школе Г. А. Селиверстов проявлял хорошие способности, но более отли-
чался живостью характера, мастерским уменьем лазить по водосточным
трубам и шалостями. Однако, увлекшись в возрасте 15-16 лет математи-
кой, он в крайне короткий срок перешел от школьных учебников к курсам
анализа Гурса и Жордана, которые далеко не предназначались для начи-
нающих. Поступив в Московский университет в 1921 г., Г. А. Селиверстов
активно работал в 1922-23 г. в исследовательском семинаре В. В. Степано-
ва по тригонометрическим рядам, где сразу проявил способность не только
разбираться в современной научной литературе, но и преодолевать значи-
тельные трудности как самостоятельный исследователь.
Работа в Москве по тригонометрическим рядам в то время шла по пре-
имуществу но линии решения задач, поставленных Н. Н. Лузиным. В дис-
сертации Н. Н. Лузина был чрезвычайно приподнят вопрос о «множите-
лях Вейля», гарантирующих сходимость тригонометрического ряда почти
всюду. Действительно последовательно усиливавшие друг друга результа-
ты Фату, Вейля, Гобсона, Планшереля и Харди довольно быстро следовали
друг за другом. Но опубликованное в 1913 г. условие Харди
J21og2n(a£+ 5*) < оо	(1)
уже десять лет не поддавалось расширению. Г. А. Селиверстов вместе с А.
Н. Колмогоровым получили условие
22 log1+en (д2 + Ь2п) < оо.	(2)
Вскоре сами эти авторы и независимо А. И. Плеснер усовершенствовали
метод, приведший к условию (2), и получили условие
22 log n(a2 + Ь2) < оо,	(3)
которое оставалось наиболее широким в течение сорока лет вплоть до сен-
сационной работы Карлесона, установившего, что сходимость тригономет-
рического ряда почти всюду гарантирует просто условие
J2(an + b2) < ОО.	(4)
Успехи математических наук. — 1970. — Т. 25, вып. 3. — С. 244-245. (Памяти мате-
матиков, погибших в Великой Отечественной войне Советского Союза.)
Глеб Александрович Селиверстов
343
Таким образом единственный результат в чистой математике, связан-
ный с именем Г. А. Селиверстова, принадлежит теперь уже прошлому,
а совместность работы делает затруднительной оценку со стороны роли
двух авторов. Мне сейчас тоже не удастся восстановить последователь-
ность попыток и конструктивных идей, которые в конечном счете привели
к решению проблемы, по существу очень простому и теперь кажущемуся
неразложимым на самостоятельные части. Все постепенно выяснилось в
непрерывном дружеском обмене мыслями за столом с бумагой и каранда-
шом, или во время прогулок.
Но независимо от счета выполненных работ и у меня и, я думаю, у
всех учеников В. В. Степанова и Н. Н. Лузина того времени сохранилось
представление о Г. А. Селиверстове как о математике очень большой силы
с несомненным крупным научным будущим.
Но человеческие судьбы более капризны, чем такие прогнозы. Увлекаю-
щейся натуре Г. А. Селиверстова было тесно в рамках чистой математики.
Одно время он занимался в студии киноактеров, что по тем временам в
особенности требовало уменья прыгать через ряд стульев и тому подоб-
ных акробатических достижений. Потом он очень серьезно увлекся теат-
ром. Глубоко изучал философию. Необычным по нашим временам образом
имел очень горячие религиозные увлечения.
Чистой математике из принципиальных соображений была предпочте-
на деятельность в области ее технических применений. Отец Г. А. Сели-
верстова был крупным специалистом в области отопления. В это время
была настойчиво выдвинута практикой задача изучения «теплоустойчиво-
сти» зданий. Задача эта заключается в расчете колебаний температуры,
вызываемых непродолжительными (суточными и несколько суточными)
колебаниями наружной температуры и неравномерностью подачи тепла
от нагревающих устройств. Решение этой задачи зависит от теплоемкости
здания. Естественно, что большая теплоемкость толстых стен уменьшает
колебания внутренней температуры. Менее тривиально, хотя и понятно,
что характер расположения в стене теплоемких и изолирующих слоев име-
ет большое значение. Например, при расчете стационарного режима без-
различно, с какой стороны от толстой стены большой теплоемкости, но и
большой теплопроводности расположить тонкое теплоизолирующее утеп-
ление. Но с точки зрения устойчивости внутренней температуры при ко-
лебаниях наружной выгоднее этот теплоизолирующий слой расположить
снаружи.
Принципы расчета теплоустойчивости были даны Г. А. Селиверстовым
в работе [3]. Немного позднее он издал две специальные брошюры [4] и [5],
в которых дана детальная методика расчетов, снабженная номограммами
и таблицами.
344
VII. Памятные статьи
В 1942 г. Г. А. Селиверстов был призван в армию. В 1943-1944 гг. нахо-
дился на фронте. Был командиром минометного расчета. Мне запомнились
его просьбы к родителям, жившим в Москве, о присылке теплых вещей не
лично ему, а его солдатам.
В 1944 г. Г. А. Селиверстов погиб.
СПИСОК ПЕЧАТНЫХ РАБОТ Г. А. СЕЛИВЕРСТОВА
1.	Sur la convergence des s£ries de Fourier, C. R. Acad. Sci. (Paris)
178 (1924), 303-307.
2.	Sur la convergence des s£ries de Fourier, Atti Acad. Lincei Roma 3 (1926),
307-310.
3.	Математическая теория теплоустойчивости, Матем. сб. 38 : 3-4(1931),
70-73.
4.	К вопросу о тепловой инерции зданий, М., Госстройиздат, 1933.
5.	Теплоустойчивость зданий, М., Госстройиздат, 1934.
ЕВГЕНИИ ЕВГЕНИЕВИЧ СЛУЦКИИ
(1880-1948)
10 марта этого года скончался замечательный советский математик и
статистик Евгений Евгениевич Слуцкий. Неутомимая и разнообразная де-
ятельность Евгения Евгениевича и своеобразие его оригинальных твор-
ческих идей, направленных на самые различные области исследования,
производя сначала впечатление некоторой разбросанности, но, всматрива-
ясь в них пристальнее, можно уловить объединяющие их замыслы глубо-
кого ученого-мыслителя, усматривающего, а иногда и предвосхищающего
основные пути развития науки, не поддающейся разложению по тесным
рубрикам отдельных научных дисциплин.
К математике Евгений Евгениевич пришел со стороны экономики. По-
святив год изучению основных работ английской школы математической
статистики, Евгений Евгениевич издал в 1912 г. книгу «Теория корреля-
ции» [I]1, явившуюся большим самостоятельным вкладом в математиче-
скую статистику и сохранившую значение и интерес до настоящего вре-
мени. От разработки отдельных специальных «технических» вопросов в
рамках общей системы математической статистики английской школы (та-
кова, например, работа [5]) Евгений Евгениевич переходит к проклады-
ванию больших новых путей научного исследования. Основные слабости
работ английской школы в период начала исследований Евгения Евгение-
вича были таковы:
1)	строгие результаты относительно близости эмпирических выбороч-
ных характеристик к теоретическим относились только к случаю не-
зависимых испытаний;
2)	оставались на уровне восемнадцатого века представления о логиче-
ской структуре теории вероятностей, лежащей в основе всех методов
математической статистики;
3)	вспомогательный аппарат таблиц, употребляемых при статистиче-
ском исследовании, несмотря на огромную по объему работу по со-
ставлению таблиц, занимающих большие тома, оказался весьма несо-
вершенным в отношении охвата переходных от «малых» к «большим»
выборкам случаев.
Успехи математических наук. — 1948. — Т. 3, вып. 4. — С. 143-151.
ГВ квадратных скобках даны ссылки на помещенный ниже список работ Е. Е. Слуц-
кого, составленный Я. С. Четвериковым.
346
VII. Памятные статьи
Задачу устранения этих трех пробелов в наших знаниях и поставил пе-
ред собой Евгений Евгениевич. В вопросе изучения связных рядов испыта-
ний было естественно опереться в качестве исходного пункта на классиче-
ские работы А. А. Маркова (об интересе к ним Е. Е. свидетельствует [3]).
В отличие от работ чистых математиков Евгений Евгениевич продолжил
традицию А. А. Маркова в направлении практически применимых оценок
точности определения средних, дисперсий и коэффициентов корреляции
в связных рядах по ограниченному числу испытаний. Его работы [10, 30,
32, 33] содержат все наиболее существенное, что вообще известно по этому
поводу.
В области оснований теории вероятностей техническая сторона выбора
системы аксиом, проверки их независимости и т. п. осталась в стороне от
интересов Евгения Евгениевича. Но в работах [9] и [18] он впервые дал пра-
вильную картину чисто математического содержания теории вероятностей.
Каждая математическая теория возникает в процессе борьбы двух тенден-
ций: стремления к построению возможно более обозримого, замкнутого в
себе и развивающегося из простейших предпосылок по стройному логиче-
скому плану целого, с одной стороны, а с другой стороны, стремления к
охвату возможно более богатого материала конкретных фактов. Задачей
исследователя является нахождение такого простейшего ядра теории, ко-
торое подчиняет себе возможно больше фактов, оставаясь возможно более
простым. Когда данная теория возникает из прикладных исследований,
решение указанной задачи требует последовательного отбрасывания всех
тех особенностей конкретного материала, которые безразличны для по-
строения окончательной системы общих математических теорем. Хорошая
аксиоматика и должна отражать только это необходимое логическое ядро
дальнейших математических построений. В применении к теории вероят-
ностей таким ядром о теории является концепция булевской алгебры «со-
бытий», нормированной при помощи приписания каждому событию А «ве-
роятности» Р(А), или эквивалентная ей концепция вероятности как меры,
заданной на множестве «элементарных событий». Эта концепция охваты-
вает всю классическую теорию вероятностей, а благодаря своей общности
полнее всего раскрывает положение теории вероятностей среди других ма-
тематических теорий (метрическая теория функций и т. п.). Путь же к этой
концепции от конкретного реального смысла понятия «вероятность» есть
путь постепенного сведения более сложного к более простому (это относит-
ся и к концепции С. Н. Бернштейна, где в основу положены не числовые
значения вероятности событий, а качественное сравнение событий по боль-
шей или меньшей их вероятности, и к концепции Р. Мизеса, исходящей из
предельных значений частот при растущем числе испытаний). Дальнейшая
структура математической теории вероятностей всецело определяется тем,
Евгений Евгениевич Слуцкий
347
что на определенном указанным способом «поле вероятностей» вводятся
«случайные величины» (как измеримые относительно вероятности функ-
ции элементарного события) и к их предельному поведению естественным
образом применяются понятия сходимости «почти всюду» или «по мере»,
ортогональности и т. д. Сделанные сейчас сближения между теорией ве-
роятностей и метрической теорией функций восходят к более ранним ра-
ботам Э. Бореля, но программа систематического построения математиче-
ской теории вероятностей на указанных выше началах была обоснована и
в значительной мере осуществлена в работе Евгения Евгениевича [18].
Третье направление работ Евгения Евгениевича, вытекающее непосред-
ственно из отмеченных выше общих пробелов в состоянии математической
статистики, получило развитие значительно позднее в последние годы его
жизни, когда им были предприняты фундаментальные работы по составле-
нию таблиц неполной Г-функции (см. [46); таблицы закончены вычислени-
ем, а объяснительная статья к ним писалась Евгением Евгениевичем в по-
следние месяцы и осталась не вполне законченной) и неполной В-функции
(см. [47]).
Однако не один этот обобщающий и, так сказать, «плановый» подход к
научной работе был характерен для Евгения Евгениевича. Из очерченных
выше больших систематических трудов и из его разнообразной приклад-
ной деятельности выкристаллизовались новые направления исследования,
ориентированные не на упорядочение и расчистку наследия прошлого, а на
создание совсем новых разделов науки. Изучение стационарно связанных
рядов случайных величин привело Евгения Евгениевича к мысли, что меж-
ду процессами, составленными из строго периодических компонент, и про-
цессами существенно случайными, в которых связи между членами убы-
вают с увеличением расстояния во времени, существуют близкое родство и
возможность непрерывного перехода от процессов одного рода к процессам
другого рода. Практически это приводило к тому, что очень многие про-
цессы, в которых было принято усматривать наличие периодических ком-
понент, могут быть объяснены в качестве «циклических», но существенно
случайных. В ряде работ [23, 24, 31, 35, 42] Евгений Евгениевич широко
разработал эту концепцию, имеющую теперь уже вполне признанное зна-
чение в ряде областей статистического исследования.
В 1934 г. А. Я. Хинчиным было показано, что к самым общим стати-
стически стационарным процессам, рассматривавшимся в работах Евгения
Евгениевича, применим обобщенный аппарат гармонического анализа. Из
работ Евгения Евгениевича вместе с этим результатом А. Я. Хинчина и
возникла современная теория стационарных процессов, объясняющая наи-
более полно природу физических непрерывных спектров.
348
VII. Памятные статьи
После того как прикладные интересы Евгения Евгениевича сместились
из области экономики в область геофизики, ему было вполне естествен-
но от рассмотрения связных рядов случайных величин перейти к случай-
ным функциям непрерывно меняющегося времени. Своеобразные соотно-
шения между различными видами непрерывности, дифференцируемости и
интегрируемости таких функций составляют большую область современ-
ной теории вероятностей, создание которой в основном является заслугой
Евгения Евгениевича (см. [27, 28, 35, 41, 43, 44, 45)). Здесь из трудных и ин-
тересных с чисто математической стороны результатов следует специаль-
но отметить теорему о том, что «стохастически непрерывная» случайная
функция допускает реализацию в пространстве измеримых функций [43,
45], и теорему о том, что стационарная случайная функция с дискретным
спектром с вероятностью единица почти периодична по Безиковичу [44].
Работа над таблицами неполной Г- и В-функций привела Евгения Ев-
гениевича тоже к постановке новых задач общего характера, к разработке
которых он в последние годы жизни относился с не меньшим энтузиаз-
мом, чем к излагавшимся выше исследованиям по общей теории случай-
ных функций. Как известно, таблицы функций двух и трех переменных
неизбежно очень громоздки, что заставляет ограничиваться очень ред-
кой сеткой значении переменных. Для определения значений функции при
промежуточных значениях переменных приходится прибегать к интерпо-
ляции высшими разностями, но и она часто отказывается действовать с
достаточной точностью. Кроме того, в случаях, когда пределы изменения
переменных бесконечны, элементарное решение задачи составления исчер-
пывающих таблиц становится вообще невозможным. В номографии и при
составлении маленьких ориентировочных таблиц в таких случаях уже дав-
но применялся переход к более удобным новым переменным, меняющимся
в конечных пределах и таких, что функция от них зависит более «гладким»
образом, чем от первоначальных. Но в применении к большим таблицам с
пятизначной точностью задача выбора рациональной замены переменных
и рациональной сетки их значений, гарантирующей возможность интер-
полировать с заданной точностью, разрастается в предмет трудного на-
учного исследования. Методы такого исследования и были разработаны с
исключительной тонкостью Евгением Евгениевичем. Хотелось бы, чтобы
его тонкое мастерство в этой области нашло продолжателей.
Темы естественно-научных и экономических исследований Евгения Ев-
гениевича разнообразны. Из них мне хотелось бы остановиться здесь де-
тальнее лишь на одном цикле работ по периодичности солнечной актив-
ности. После своих исследований по механизму образования ложных, «ка-
жущихся» периодичностей Евгений Евгениевич был особенно хорошо во-
оружен для рассмотрения тех случаев, где все же можно подозревать «на-
Евгений Евгениевич Слуцкий
349
стоящую» периодичность. Так, по его мнению, обстоит дело с 11-летней
периодичностью солнечной активности. Как известно, ее проявление очень
не регулярно. Однако эти отступления от правильной периодичности мож-
но объяснять двумя способами: с одной стороны, можно предположить,
что самый механизм, производящий периодические колебания, действует
«грубо», подобно маятнику, подверженному непрерывному действию слу-
чайных толчков. В этом случае возникает приближенная периодичность,
теряющаяся на больших расстояниях во времени. С другой стороны, можно
предположить, что наблюдаемые нами явления суть искаженные какими-
либо «помехами» отражения некоего по своей природе очень строго пери-
одического процесса. В этом втором предположении после минования «по-
мех» истинная периодичность должна восстанавливаться с сохранением
расположения максимумов и минимумов вблизи некоторой строгой ариф-
метической прогрессии. Вторая концепция в применении к 11-летней пе-
риодичности солнечной активности представлялась Евгению Евгениевичу
более вероятной. В работе [38] он показал, что дошедшие до нас сведения
о полярных сияниях в умеренных и южных широтах, начиная с 500 г. до
нашей эры по 1600 г. нашей эры, группируются вокруг арифметической
прогрессии с разностью в 11,103 года. Если эту арифметическую прогрес-
сию проэкстраполировать на период после 1600 г., то ее точки ложатся
близко к годам, в которые наблюдались максимумы солнечных пятен (хо-
рошая корреляция между числом солнечных пятен и полярных сияний за
этот более современный период хорошо известна). Обработка других столь
же длительных рядов (толщины годичных слоев деревьев) с той же целью
не была Евгением Евгеньевичем закончена.
Новый коэффициент средней плотности населения [11], вычисление до-
хода государства от эмиссии [12, 13], статистика различных типов располо-
жения хромосом в клетке [17], связь солнечной постоянной с температурой
[34, 37], статистические методы прогноза в геофизике [40] — таковы те-
мы ряда других статей, в которых Евгений Евгениевич применяет методы
математической статистики к теории вероятностей, к различным специаль-
ным задачам. В заключение обзора его работ математического содержания
отмечу еще одну из излюбленных идей Евгения Евгениевича: там, где тео-
ретическое исследование не удается, даже при решении точно поставлен-
ных математических задач надо прибегать к статистическому эксперимен-
ту [23, 32, 39]. Эта идея являлась, мне кажется, другой стороной того же
максимализма Евгения Евгениевича, который приводил его в основаниях
теории вероятностей к позициям, свойственным обычно только чистым ма-
тематикам, да и то более молодого поколения. Если Евгений Евгениевич
350
VII. Памятные статьи
брался за абстракцию, то доводил ее до конца; если он добивался реше-
ния важной, по его мнению, задачи, то его не смущало нарушение чистоты
метода; если по ходу дела требовались таблицы, то он готов был тратить
годы на их составление.
Объективный взнос Евгения Евгениевича в человеческую культуру ока-
зался по преимуществу взносом математика: его естественно-научные и по-
лучившие завершение экономические работы интересны прежде всего с ме-
тодологической стороны как указания путей расширения силы и гибкости
математических методов исследования, а другие стороны его многогран-
ной личности и другие, быть может не менее яркие, его увлечения или
относятся лишь к началу его жизни, или культивировались замкнуто в до-
машнем и дружеском кругу. Но жизнь его была полна поисков работы,
деятельности и творчества в самых различных направлениях.
Родившись в семье провинциального учителя (апрель 1880 г.), Евгений
Евгениевич начал учиться на физико-математическом факультете Киев-
ского университета, зарабатывая средства к жизни частными уроками. За
участие в студенческих волнениях он в 1901 г. был сдан, по тогдашним
правилам, в солдаты вместе с другими 184 киевскими студентами. Вскоре
в результате студенческих беспорядков во всей стране правительство было
вынуждено вернуть киевских студентов, сданных в солдаты, в универси-
тет, но в 1902 г. Евгений Евгениевич был вновь уволен за демонстрацию
против начальства без права поступления в высшие учебные заведения в
России. С 1902 по 1905 г. он учится в Мюнхенском политехникуме на ма-
шиностроительном отделении. В 1905 г. сделалось возможным возвраще-
ние в Россию, и Евгений Евгениевич поступает на юридический факультет
Киевского университета уже со сложившимся намерением работать в на-
правлении приложения математических методов в экономических науках.
Окончив университет с золотой медалью, он не был оставлен при универ-
ситете из-за репутации революционно настроенного студента, но принял-
ся, независимо от оставления при университете готовиться к магистерским
экзаменам. Результатом этих занятий вместо магистерских экзаменов (ко-
торые Евгений Евгениевич сдал только много позднее — в 1916/17 г. при
Московском университете) была уже упоминавшаяся книга — «Теория кор-
реляции», доставившая Евгению Евгениевичу в 1913 г. положение препо-
давателя в Киевском коммерческом институте.
В 1926 г. Евгений Евгениевич переехал в Москву для работы в Цен-
тральном статистическом управлении. Помимо работ по применению ста-
тистических методов в экономической статистике, а позднее в геофизике,
Евгений Евгениевич Слуцкий
351
в Москве Евгений Евгениевич сблизился с московской университетской на-
учной школой, работавшей над общими проблемами теории вероятностей,
и в 1934 г. перешел на основную работу в Математический институт Мос-
ковского университета, а с 1938 г. в Математический институт Академии
наук СССР, где велись, в частности, его основные работы по составлению
таблиц.
Эти годы спокойной академической научной работы Евгений Евгение-
вич жил замкнуто, появляясь в университете и в институте лишь на на-
учных семинарах и на заседаниях Математического общества или для ин-
структирования вычислительной работы. Большая часть жизни протекала
дома, в комнате, до потолка заставленной книгами самого разнообразно-
го содержания, где математическая работа перемешивалась с занятиями
литературой, живописью, вечерними приемами друзей.
Изысканный, остроумный собеседник, знаток литературы, поэт и ху-
дожник, Евгений Евгениевич не был далек и от более простой человеческой
жизни, готовый с ласковой и несколько иронической улыбкой нянчиться с
детьми или энергично вмешиваться в случаи, требующие реальной прак-
тической помощи людям.
Во время Отечественной войны эвакуация с ее неизбежными житейски-
ми трудностями не остановила ни научной работы, ни внутренней одухотво-
ренной и всегда наполненной разнообразными интересами жизни Евгения
Евгениевича.
С возвращением в Москву возобновился описанный выше порядок жиз-
ни, но вскоре работа стала прерываться болезнью — долго не опознанным
раком легких. Отложив планы возобновления работ по периодичности сол-
нечной активности, Евгений Евгениевич стремился возможно скорее за-
кончить свои таблицы неполной Г-функции. Ими он занимался накануне
смерти, вечером рассказывал о своих впечатлениях от прочитанной «Саги
о Форсайтах», а утром скончался от внезапного сильного кровотечения.
НАУЧНЫЕ ТРУДЫ Е. Е. СЛУЦКОГО
(1912-1946)
[1] Е. Е. Слуцкий «Теория корреляции и элементы учения о кривых распреде-
ления». Известия Киевского коммерческого института, кн. XVI, 1912; Киев,
1912 (а также отдельным изданием), стр. IV+208.
[3) Е. Слуцкий «А. А. Марков. Пример статистического исследования над тек-
стом “Евгения Онегина”, иллюстрирующий связь испытаний в цепь». Изве-
стия Имп. Ак. наук, СПБ, 1913. Рецензия в газете «Киевская мысль», 1913.
[5] Е. Slutsky «On the Criterion of Goodness of Fit of the Regression Lines and on
the Best Method of Fitting them to the Data». Journal of the Royal Statistical
Society, t. LXXVII, ч. I (Dec. 1913), 1914, стр. 78-84.
352
VII. Памятные статьи
[9]	Евгений Слуцкий «К вопросу о логических основах исчисления вероятностей».
Доклад, читанный в заседании Секции теоретической статистики III Всеросс.
статист, съезда в ноябре 1922 г. Вестник Статистики, кн. XII, 1922, стр. 13-
21, а также «Памяти Николая Алексеевича Каблукова». Сборник статей по
статистике, т. 1, М., 1925, стр. 254-262.
[10]	Е. Слуцкий «О некоторых схемах корреляционной связи и о систематической
ошибке эмпирического значения коэффициента корреляции». Вестник Ста-
тистики, кн. XIII, 1923, стр. 31-50.
[11]	Евгений Слуцкий «О новом коэффициенте средней плотности населения».
Вестник Статистики, кн. XIV, 1923, стр. 5-19. Проф. Евгений Слуцкий «До
питания про переачну густоту населения». Записки соц1яльно-эконом1чного
вцццлу, т. I, КиТв, 1923. Украшьска Академ1я наук, стр. 138-150.
[12]	Проф. Е. Слуцкий «К вопросу о вычислении дохода государства от эмиссии».
«Местное хозяйство». Ежемесячный журнал Киевского Губэкосо, К9 2, но-
ябрь, 1923. Киев, 1923. (Приложение 1 к статье Л. Н. Яснопольского «Наше
денежное обращение в эпоху революции».)
[13]	Проф. Е. Слуцкий «Математические заметки к теории эмиссии». Экономиче-
ский бюллетень Конъюнктурного института, № 11-12. М., 1923, стр. 53-60.
[17]	Eugen Slutsky «Uber die zufallige zyklische Anordnung paarweise gleicher Elemen-
te», Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik, t. 6, 1926, стр. 150-
159.
[18]	Eugen Slutsky «Uber stochastische Asymptoten und Grenzwerte». Metron. т. V,
ДОЗ, 1/XII 1925. Padova, стр. 3-89.
[23]	E. Слуцкий «Сложение случайных причин, как источник циклических процес-
сов». Вопросы конъюнктуры, т. III, вып. 1, стр. 34-64, М., 1927. Е. Е. Slutsky
«The Summation of Random Causes as the Source of Cyclic Processes». Там же,
стр. 156-160.
[24]	Eugdne Slutsky «Sur un thdordme limite relatif aux sdries des quantites dventuel-
les». Compte rendus des sdances de I’Acaddmie des Sciences, t. 185, стр. 169,
18/VII 1927.
[27]	Eugdne Slutsky «Sur les fonctions dventuelles compactes». Atti del Congresso
Internazionale dei Matematici 3-10/IX 1928, т. VI, 1932, Bologna, стр. 111-115.
[28]	Eugene Slutsky «Sur les fonctions dventuelles continues, intdgrables et ddrivables
dans les sens stochastiques». Compte rendus des sdances de I’Acaddmie des scien-
ces, t. 187, стр. 878, 12/XI 1928.
[30]	Eugdne Slutsky «Sur Terreur quadratique moyenne du coefficient de correlation
dans le cas des suites des epreuves non inddpendantes». Compte rendus des
sdances de I’Acaddmie des sciences, t. 189, стр. 612, 21/X 1929.
[31]	Eugene Slutsky «Sur 1’extension de la thdorie de periodogrammes aux suites de
quantitds dependantes». Compte rendus des sdances de I’Acaddmie des sciences,
t. 189, стр. 722, 4/XI 1929.
[32]	Евгений Слуцкий «О квадратической ошибке коэффициента корреляции в
случае однородных связных рядов». Труды Конъюнктурного института, т. II,
Евгений Евгениевич Слуцкий
353
1929, М., 1930, стр. 64-101. Eugen Slutsky «On the Standard Error of the Corre-
lation Coefficient in the Case of Homogeneous Coherent Chance Series». Там же,
стр. 150-154.
[33]	Евгений Слуцкий «О распределении ошибок коэффициента корреляции в од-
нородных связных рядах». Журнал геофизики, 1932, т. II, вып. 1, стр. 66-98.
[34]	Евгений Слуцкий «К вопросу о существовании связи между солнечной посто-
янной и температурой». Журнал геофизики, 1933, т. III, вып. 3, стр. 263-281.
[35]	Е. Slutsky «Alcune applicazioni dei coefficienti di Fourier all’analisi delle funzioni
aleatorie stazionarie». Giornale dell’Istituto Italiano degli Attuari. т. V, K* 4, Ot-
tobre 1934, Roma, 1934, стр. 3-50.
[37]	Евгений Слуцкий «К вопросу о солнечной постоянной». Журнал геофизики,
1934, т. IV, вып. 3, стр. 392-399.
[39]	Евгений Слуцкий « Статистический эксперимент как метод исследования »
(Критические заметки к проблеме «Земля-Солнце»). Журнал геофизи-
ки, 1935, т. V, вып. 1, стр. 18-38.
[40]	Евгений Слуцкий «К вопросу об экстраполяции в связи с проблемой прогно-
за». Журнал геофизики, 1935, т. V, вып. 3, стр. 263-279.
[41]	Е. Е. Слуцкий <0 связных случайных функциях одной независимой перемен-
ной». Доклад на Первом всесоюзн. съезде математиков в 1929 г. в г. Харькове.
Труды Первого всесоюзного съезда математиков. М.-Л., 1936, стр. 347-357.
[42]	Eugen Slutsky «The Summation of Random Causes as the Source of Cyclic Pro-
cesses». Econometrica, t. 5, ч.К» 2, Apr. 1937, стр. 105-146.
[43]	E. Slutsky «Qualche proposizione relativa alia teoria delle funzioni aleatorie».
Giornale dell’Istituto Italiano degli Attuari, т. VIII, вып. 2, Apr. 1937, Roma,
1937, стр. 3-19.
[44]	Eugene Slutsky «Sur les fonctions al£atoires presque p£riodiques et sur la d£com-
position des fonctions al£atoires stationnaires en composantes». Actuality scienti-
fiques et industrielles, 738. Colloque consacr£ & la theorie des probabilites, 5me
partie, Paris, 1938, стр. 33-55.
[45]	E. Слуцкий «Несколько предложений к теории случайных функций». Тру-
ды Среднеазиатского государственного университета, Сер. V-a. Математика.
Вып. 31, Ташкент, 1939, стр. 3-15. (Из книги «Сборник, посвященный 30-
летию деятельности В. И. Романовского».)
[46]	Е. Слуцкий «О таблицах закона х2 (неполная Г-функция)». Известия Акад,
наук СССР, 1941. Сер. математическая, т. V, Х«2, стр. 183-184.
[47]	Е. Слуцкий «О таблицах обратной неполной бэта-функции». Труды Институ-
та математики и механики (Акад, наук Узб. ССР), вып. 1, 1946, стр. 41-49.
АЛЕКСАНДР ЯКОВЛЕВИЧ ХИНЧИН
(1894-1959)
19 ноября 1959 г. скончался Александр Яковлевич Хинчин, без сомне-
ния, известный каждому читателю «Успехов математических наук» как
один из самых выдающихся советских математиков, внесший существен-
ный вклад в теорию функций, теорию чисел и особенно теорию вероят-
ностей с ее применениями к статистической механике, физике и технике.
Пять лет тому назад к шестидесятилетию Александра Яковлевича в «Успе-
хах математических наук» была опубликована статья о жизни и творчестве
Александра Яковлевича, написанная его ближайшим учеником Б. В. Гне-
денко, что позволяет говорить здесь о всех сторонах разнообразной и пло-
дотворной деятельности Александра Яковлевича, а сосредоточиться на
том, чтобы обрисовать основные направления и этапы его научного
творчества.
1.	При всем разнообразии научных интересов Александра Яковлевича,
его творчество производит впечатление большого единства и целеустрем-
ленности. В первом приближении общее направление работ Александра
Яковлевича можно охарактеризовать как части необычайно широко за-
думанной программы изучения роли статистических закономерностей в
самых различных частях математики и естествознания; причем самым ори-
гинальным нотой программе было убеждение в единообразии логического
строения этих закономерностей в самых различных областях. От понятия
плотности множества действительных чисел в заданной точке в смысле
теории меры Александр Яковлевич естественно переходит к понятию плот-
ности последовательности натуральных чисел, показывая основную роль
этого понятия в ряде проблем аддитивной теории чисел. Исследование пре-
дельного поведения таков двоичного разложения, или неполных частных
и знаменателей подходящих дробей «почти каждого» (в смысле теории
меры) иррационального числа становится исходным пунктом работ Алек-
сандра Яковлевича, посвященных предельному поведению сумм независи-
мых и слабо зависимых случайных величин. Как только Биркхоф полу-
чает свою «эргодическую теорему» и терминах, относящихся специально
к консервативным динамическим системам, с конечным числом степеней
свободы, Александр Яковлевич обнаруживает, что, по-существу, эта тео-
рема относится к любым стационарным процессам самой общей природы,
детерминированным или случайным. Статистические законы предельного
Успехи математических наук. — 1960. — Т. 15, №4. — С. 97-110 (совм. с Б. В. Гне-
денко).
Александр Яковлевич Хинчин
355
поведения специального вида детерминированных систем Александр Яко-
влевич применяет для объяснения, самого происхождения вероятност-
ных закономерностей (см. работы [94] и [134]) о «методе произвольных
функций»). С другой стороны, в работах по аналитическим методам ста-
тистической механики [102]—[105], [107], [125], [129] Александр Яковлевич
применяет аппарат, разработанный в теории вероятностей при изучении
предельных распределений сумм независимых слагаемых, к обоснованию
физической статистики, которую он считает логически независимой от тео-
рии вероятностей.
Программа эта, конечно, связана с идеями, высказывавшимися еще
Шарлье и Пуанкаре, и была в общих грубых чертах намечена Борелем, но
Александру Яковлевичу принадлежит несомненное первенство в мировой
науке в смысле ее фактического осуществления, потребовавшего огром-
ной энергии, настойчивости и необычайного искусства аналитика. Даль-
нейшее развитие этой программы кажется сейчас особенно актуальным.
В теории чисел круг применений «вероятностных методов» все расширя-
ется (см. обзор И. П. Кубилюса в УМН XI, вып. 2 (1956)). Статистические
(действующие почти всюду) свойства иррациональных чисел оказывают-
ся все более глубоко входящими в решение основных задач классической
механики (см. доклад А. Н. Колмогорова на Амстердамском международ-
ном конгрессе математиков 1954 г.); в частности, при исследовании по-
ведения временных средних вдоль траекторий в классической механике
уже появился гауссовский нормальный закон распределения (см. заметку
Я. Синая в ДАН). Современная вычислительная техника в связи с мето-
дом «Монте-Карло» заставляет интересоваться уже с практической сторо-
ны теоретико-числовыми способами имитации случайных последователь-
ностей. В теории информации теория вероятностей тесно переплетается со
статистикой не вероятностного характера (см. обзорную статью А. Н. Кол-
могорова и В. М. Тихомирова в УМН XIV, вып. 2 (1959)).
2.	Все работы Александра Яковлевича первых лет его научного твор-
чества (1916-1922) относятся к метрической теории функций. В начале
двадцатого века в работах Бореля, Лебега, Фату было обнаружено, что ре-
шение большого круга вопросов теории функций и анализа становится зна-
чительно более простым, если пренебрегать множествами меры нуль, или
сколь угодно малой меры. Знаменитая теорема Егорова о том, что каждый
сходящийся на множестве конечной меры Е функциональный ряд стано-
вится равномерно сходящимся после исключения из Е множества сколь
угодно малой меры и теорема Лузина о том, что любая измеримая на Е
функция после исключения из Е множества сколь угодно малой меры ста-
новится непрерывной, сделались исходным пунктом работ московской шко-
лы в метрической теории функций.
356
VII. Памятные статьи
Как ученик Н. Н. Лузина, Александр Яковлевич, естественно, был увле-
чен этими идеями и очень скоро внес в их разработку свой оригинальный
и незабываемый вклад. В связи с обобщением интеграла Данжуа им было
предпринято всестороннее изучение локального (вблизи отдельных точек)
поведения измеримой функции действительного переменного с точностью
до множества, имеющего в избранной точке нулевую плотность. Это при-
вело его, естественно, к понятиям асимптотической производной и асимпто-
тических производных чисел (верхнего, нижнего, правого и левого), прочно
вошедшим в теорию функций. В большой работе «Исследования о строе-
нии измеримых функций» [13], ]19] Александр Яковлевич, в частности,
установил, что в почти всех точках, в которых у функции нет асимпто-
тической производной, поведение ее делается уже вполне неправильным,
так что отношение приращений	колеблется от — оо до +оо и
это колебание нельзя сократить исключением множества нулевой плотно-
сти. Дальнейшее развитие такого рода исследований, в особенности для
функций нескольких переменных, продолжается и до настоящего времени
многими математиками.
3.	В течение исключительно продуктивных 1923-1925 гг. Александр
Яковлевич заложил основы двух больших, тесно переплетающихся друг с
другом направлений математических исследований очень широкого значе-
ния. Если вначале (несмотря на уже упоминавшийся глубокий интерес к
такого рода задачам в их зачаточной форме Пуанкаре, Бореля и астронома
Шарлье) оба эти направления воспринимались как несколько декадентские
поиски осложненной новой тематики ради создания метрической теории
функций новых областей «применений» к теории чисел и теории вероят-
ностей, то сейчас достаточно ясно, насколько неизбежным образом полу-
ченные в обоих направлениях результаты входят в решение задач, форму-
лируемых во вполне классических терминах и имеющих ясное физическое
содержание.
Для Александра Яковлевича первым (по времени начала работы) из
этих направлений была «метрическая теория чисел», т. е. исследование
арифметических свойств иррациональных чисел, имеющих место «почти
всегда» (за исключением множества меры нуль). До Александра Яковле-
вича здесь были получены Борелем, Харди и Литтльвудом лишь весьма
несовершенные результаты. Александру Яковлевичу удалось получить на
ряд вопросов из этой области окончательные ответы в смысле необходимых
и достаточных условий: для того чтобы положительная функция <^(i) с мо-
нотонно убывающим t2(p{t) обладала тем свойством, что для почти всех a
неравенство
Р
Ct------
<7
<?(<»)
Александр Яковлевич Хин чин
357
выполняется для бесконечного числа пар целых чисел (р, <?), необходимо и
достаточно, чтобы расходился интеграл
/оо
t<p(t) dt.
Привлекательность этих исследований усиливается тем, что во всех по-
добного рода вопросах в силу известного закона «нуль, или единица» ис-
следуемое свойство имеет место или для почти всех а, или лишь для а,
образующих множество меры нуль, т. е. «почти никогда».
Опуская изложение других аналогичных результатов Александра Яко-
влевича, относящихся к поведению неполных частных и знаменателей под-
ходящих дробей разложения а в непрерывную дробь, или к совместно-
му приближению нескольких иррациональностей, остановимся подробнее
лишь на решении логически самой простой проблемы о размахе колебаний
отклонения числа рп(а) единиц среди первых п знаков двоичного разложе-
ния аот Это знаменитый хинчиновский «закон повторного логарифма»:
lim
п—>оо
Мп(а)
\/2п log log п
для почти всех а.
Здесь, вопреки тому, что сначала кажется, решение не вполне оконча-
тельно. Можно поставить вопрос так: каковы условия для того, чтобы при
заданной функции <р(п) для почти всех а неравенство
Цп(о) < у?(п)
соблюдалось для всех п, кроме, может быть, конечного числа. Из резуль-
тата Александра Яковлевича вытекает лишь, что условие
<р(п)
\/2n log log п
достаточно, а условие
х/2п log log n '
необходимо. Предпосылки для нахождения необходимого и достаточного
условия были созданы много позднее работой И. Г. Петровского Zur ersten
Randwertaufgabe der Warmeleitungsgleichung, Comp. Math. 1 (1939); 383-
419. Доказательство необходимости и достаточности условий, подсказыва-
емых работой Петровского, было дано Эрдёшем и Феллером.
358
VII. Памятные статьи
Логическая простота постановки проблемы асимптотического пове-
дения
Дп(а) = 6(«) + &(«) + • • • + Сп(<*),
где через ^п(а) обозначен к-R знак двоичного разложения а, заключается
в том, что с точки зрения теории вероятностей (принимая меру на отрезке
(О < а < 1) за вероятность) величины С*:(°) независимы. Что же касает-
ся, например, асимптотического поведения неполных частных непрерыв-
ной дроби, то с точки зрения теории вероятностей это частный случай за-
дач об асимптотическом поведении последовательностей «слабо зависимых
величии».
Дав вероятностную интерпретацию закона повторного логарифма,
Александр Яковлевич, начиная с 1925 г., обращается к систематическому
применению методов, выработанных в метрической теории функций и при-
мененных им с таким успехом для создания метрической теории чисел, в
теории вероятностей, в первую очередь к задачам, связанным с суммами
независимых величин. В работе 1925 г. [25], (совместной с А.Н. Колмого-
ровым) Александр Яковлевич дает очень просто формулируемое необхо-
димое и достаточное условие сходимости с вероятностью единица ряда из
независимых случайных величин. Большую известность ввиду ее исклю-
чительной простоты имеет теорема Александра Яковлевича, полученная
несколько позднее (работа [44], 1929 г.), в силу которой к последователь-
ности сумм
Сп = <1 + <2 + • • • + <п,
одинаково распределенных независимых слагаемых, классический закон
больших чисел применим при единственном условии (без которого закон
больших чисел в классической формулировке бессмыслен), что & имеют
конечное математическое ожидание.
4.	Во второй половине двадцатых годов Александр Яковлевич, продол-
жая работы по метрической теории чисел и работы по условиям примени-
мости обычного и усиленного закона больших чисел, включает в круг своих
интересов примыкающую к этим двум кругам проблем более классическую
проблематику. В теории диофантовых приближений он получает ряд заме-
чательных результатов классического характера (т. е. действующих всюду,
а не почти всюду). Особенно же широко в этот период Александр Яковле-
вич занимается изучением и переработкой классического наследия русской
теоретике-вероятностной школы Чебышёва, Маркова, Ляпунова, которое
к моменту появления в 1926 г. замечательных работ С. Н. Бернштейна об
условиях применимости классической предельной теоремы было еще недо-
Александр Яковлевич Хинчин
359
статочно известно в Москве. Плодом именно такого изучения классиче-
ского наследства явилась первая из монографии Александра Яковлевича,
посвященная предельным теоремам теории вероятностей [35], появившаяся
в 1927 г. Очень скоро в этом более классическом направлении работ по тео-
рии вероятностей, основанном на применении вместо методов метрической
теории функций классических аналитических методов, Александр Яковле-
вич получает важные результаты: обоснование двумерной предельной тео-
ремы по методу Линдеберга, перенесение на двумерный случай теоремы,
что при конечной дисперсии только нормальные распределения устойчи-
вы. Особенно следует отметить из этого периода работы [47], [48], которые
в некоторой степени предвосхищают современную проблематику «больших
отклонений», начавшую систематически развиваться после более поздней
работы Крамера.
В этот же период второй половины двадцатых годов Александр Яковле-
вич много занимается философскими и методологическими вопросами (см.
работы [30], [38], [43], [50] и входит в проблематику физической статистики
(ср. работу [51]).
5.	Начало тридцатых годов было новым периодом творческой актив-
ности Александра Яковлевича в смысле создания новых направлений ис-
следования. Мы имеем в виду создание новых методов решения задач мас-
сового обслуживания и создание обшей теории стационарных процессов.
Первое из этих направлений менее значительно по идейному замыслу, но
возникло из непосредственных запросов практики. В этот период разви-
тия математической жизни в Москве особенно важно было дать пример
решения задач, отчетливо и настойчиво поставленных техниками. Работа
[57], возникшая из прямого запроса специалистов по телефонии, содержит
весьма оригинальные новые приемы, оказавшие большое влияние на все
советские и зарубежные дальнейшие исследования в данной области. К
вопросам теории массового обслуживания А. Я. многократно возвращал-
ся впоследствии. Написание монографии [139] и примыкающих к ней ра-
бот [141] и [142] было одним из последних его занятий и увлечений перед
началом болезни, сделавшей непродуктивными самые последние три года
его жизни. К этим задачам Александра Яковлевича привлекали не только
практический интерес, но конкретность и изящество возникающих задач.
Без сомнения, однако, более значителен другой вклад в науку, сделан-
ный Александром Яковлевичем в начале тридцатых годов — создание основ
теории стационарных процессов. Идея о том, что уже одна стационарность
порождает автоматически ряд свойств процесса, имитирующих в извест-
ной мере поведение процессов периодических и почти периодических, в
Москве культивировалась на почве опыта в анализе статистических рядов
Е. Е. Слуцким. В работе [52], появившейся в 1932 г., но написанной, по-
360
VII. Памятные статьи
видимому, еще в 1931 г. и во всяком случае еще до знакомства с работой
Биркхофа, содержащей его эргодическую теорему, Александр Яковлевич
доказал, что любая стационарная последовательность событий
Ei, Е2, •.., Еп,...
подчиняется закону больших чисел в несколько ослабленной форме: если
Л _ Мп
sn —
п
есть число тех из событий Ед,..., Еп, которые фактически произошли, то
Р(К„-СП+д|<£)-1
при любом е > 0 равномерно по q. Аналогичное ослабление усиленно-
го закона больших чисел и составляет существенное содержание теоремы
Биркхофа. Поэтому вполне естественно, что почти непосредственно за по-
лучением работы Биркхофа, где теорема доказывалась с использованием
совершенно излишних специальных допущений лишь для динамических
систем с фазовым пространством в виде конечномерного многообразия,
Александр Яковлевич опубликовал в работах [58] и [62] современную об-
щую форму теоремы, называемой обычно теоремой Биркхофа-Хинчина1.
В случае «дискретного времени» и в вероятностной терминологии она гла-
сит: если последовательность случайных величин
<1,^2,• • • ,Сп,•••
стационарна и математическое ожидание конечно, то с вероятностью
единица существует конечный предел
iim ;,	+	&	+		+	{„
п—>оо	И
Второй общей основой современной теории стационарных процессов яв-
ляется их корреляционная спектральная теория, данная в работе 1934 г.
[67]. Она излагается теперь во всех курсах теории случайных процессов.
В те же 1932-1934 годы Александр Яковлевич занимается теоремами
об увеличении плотности последовательностей натуральных чисел при их
сложении. История вопроса такова. Еще в 1922 г. Александр Яковлевич,
по-видимому, первым в Москве, занимается вопросом о представимости
четных чисел в виде суммы двух простых. В 1930 г. JI. Г. Шнирельман
1 Название теорема Биркхофа-Хинчина кажется справедливым в силу важности дан-
ного Александром Яковлевичем обобщения оригинальной теоремы Биркхофа, независи-
мо от указанных обстоятельств истории развития исследований Александра Яковлевича.
Александр Яковлевич Хинчин
361
доказывает свою теорему о представимости любого натурального числа
суммой ограниченного числа простых слагаемых. При этом используется
лемма об увеличении плотности. Естественно, что Александра Яковлевича
заинтересовала как конкретная сторона вопроса о разложении на простые
множители, так и общая проблематика увеличения плотностей последова-
тельностей при сложении. В этом втором направлении Александр Яковле-
вич получил интересные результаты и своими публикациями значительно
способствовал тому, что Манну удалось в 1942 г. дать окончательную тео-
рему сложения плотностей.
В те же годы А. Н. Колмогоров опубликовал свои работы по аналити-
ческой теории марковских процессов и показал на простейших примерах
способы ее применения к получению соответствующих предельных тео-
рем. Аналогичными предельными теоремами занимались И. Г. Петровский
и С. Н. Бернштейн. В опубликованной в 1933 г. монографии [65] Александр
Яковлевич, следуя Петровскому, изложил в весьма общей и удобной форме
методы получения такого рода теорем о переходе от процессов с дискрет-
ным временем к процессам с непрерывным временем.
6.	Во второй половине тридцатых годов Александр Яковлевич воз-
вращается к изучению суммирования независимых случайных величин на
расширенной основе, подготовленной открытием Финетти «неограниченно-
делимых» распределений и примыкающими к Финетти работами Леви и
Колмогорова по теории процессов с независимыми приращениями. Для
Александра Яковлевича, перешедшего уже сорокалетний возраст, это тоже
период интенсивного творчества, дружеской конкуренции с П. Леви и тес-
ного сотрудничества со своим совсем молодым тогда учеником — Б. В. Гне-
денко.
В этот период работы Александра Яковлевича развиваются по двум на-
правлениям. С одной стороны, это чистая «арифметика законов распреде-
ления», т. е. проблематика разложения распределений в композиции рас-
пределений. Александр Яковлевич обнаруживает, что любое распределе-
ние разлагается в (композиционное) произведение неограниченно делимо-
го распределения и сходящегося произведения конечной или счетной по-
следовательности неразложимых распределений, но что это разложение
не единственно (в силу одного примера Б. В. Гнеденко). К исследованиям
Александра Яковлевича по арифметике законов распределения примыка-
ют важные исследования Д. А. Райкова, М. Г. Крейна, а в последнее время
Ю. В. Линника.
Другой стороной исследований Александра Яковлевича является про-
блематика предельных теорем, которая положена в основу планировки мо-
нографии [92], включающей, впрочем, в себя и вопросы арифметики за-
конов распределения. Работы Александра Яковлевича по предельным тео-
362
VII. Памятные статьи
ремам для независимых слагаемых тесно переплетаются с работами Леви,
Гнеденко и Дёблина. Однако именно Александру Яковлевичу принадле-
жит основная теорема о том, что предельное распределение сумм индиви-
дуально пренебрегаемых слагаемых является неограниченно делимым, и
наиболее ясная общая планировка всей проблематики.
Продолжаются в тридцатых годах и работы по теории чисел, что дает
Александру Яковлевичу повод для написания замечательных обзоров и
популяризации [73], [80].
7.	В сороковых годах научное творчество Александра Яковлевича раз-
вивается несколько более медленными темпами. Однако на этот период
падает создание одного из значительных вкладов Александра Яковлевич в
науку: точное доказательство основных предложений статистической фи-
зики (как классической, так и квантовой) при помощи методов, употреб-
лявшихся ранее в теории вероятностей для доказательства предельных тео-
рем о сходимости распределений к гауссовскому. Особую роль здесь полу-
чают методы получения «локальных теорем» о сходимости плотностей, ко-
торые Александру Яковлевичу приходится несколько усилить. Результаты
этих исследований Александр Яковлевич излагает в прекрасно написанных
монографиях [107], [125] и [129], переведенных на ряд иностранных языков.
В середине сороковых годов Александр Яковлевич еще раз возвращает-
ся к проблематике решения в целых числах диофантовых уравнений [112],
[114]-[123], получая ряд новых фундаментальных результатов. Продолжа-
ется и популяризаторская деятельность Александра Яковлевича, являю-
щаяся иногда [113] настоящим художественным творчеством в области на-
глядного и доступного изложения математических идей.
8.	Последний период творческой активности Александра Яковлевича
падает на 1953-1956 гг. Выше уже говорилось о работах этого времени по
теории массового обслуживания.
Другой темой, интересовавшей Александра Яковлевича в эти годы, бы-
ло строгое обоснование только что возникшей теории информации аме-
риканского математика Шеннона. Эта теория привлекает сейчас внимание
самых широких кругов математиков и техников, но основные ее положения
долго не поддавались строгому доказательству. В известных пределах, до-
статочных для многих применений, это удалось сделать Александру Яко-
влевичу в работах [136] и [143]. Эти статьи тоже были почти немедленно
по их появлении переведены на немецкий и английский язык и изданы в
ГДР и США.
Мы видим, таким образом, что готовность воспринимать и развивать
новые идеи не покидала Александра Яковлевича до последних лет его ра-
боты. Будучи по своим дарованиям редким соединением аналитика класси-
ческого склада и представителя теоретике-множественной культуры, воз-
Александр Яковлевич Хинчин
363
никшей в работах, по теории функций действительного переменного, Алек-
сандр Яковлевич как-то не замечал пресловутой противоположности меж-
ду «классической» и «современной» математикой.
Собственное творчество, развивавшееся по вполне оригинальным пу-
тям редкой глубины, гармонично соединялось у Александра Яковлевича с
изучением чужих достижений и вкусом к систематизации и популярному
изложению итогов научных исследований.
СПИСОК ПЕЧАТНЫХ РАБОТ А. Я. ХИНЧИНА
1. Исследования о строении измеримых функций, гл. 1, Матем. сб. 31 (1924),
265-285.
19.	Исследования о строении измеримых функций, гл. 2, Матем. сб. 32 (1925),
377-433.
25.	Uber Konvergenz von Reihen, deren Glieder durch den Zufall bestimmt werden,
Матем. сб. 32 (1925), 668-677 (совм. с А. Н. Колмогоровым).
30.	Идеи интуиционизма и борьба за предмет в современной математике, Вестн.
Ком. Акад. 16 (1926), 184-192.
35.	Основные законы теории вероятностей, Ассоц. ин-тов физмата МГУ, 1927;
второе изд., ГТТИ, 1932.
38.	Усиленный закон больших чисел и его значение для математической стати-
стики, Вестник статистики 29 (1928), 123-128.
43.	Роль и характер индукции в математике, Вестн. Ком. Акад. 1 (1929), 5-7.
44.	Sur la loi des grands nombres, Compt. Rend. Acad. Sci. (Paris) 188 (1929),
477-479.
47.	Uber die positiven und negativen Abweichungen des arithinetischen Mittels,
Math. Ann. 101 (1929), 381-385.
48.	Uber einen neuen Grenzwersatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Math. Ann.
101(1929), 745-752.
50.	Учение Мизеса о вероятностях и принципы физической статистики, УФН 9
(1929), 141-166.
51.	Die Maxwell-Boltzmannsche Energieverteilung als Grenzwertsatz der Wahr-
scheinlichkeitsrechnung, Труды семинара по теории вероятн. и матем. стати-
стике при МГУ 1 (1930), 1-11.
52.	Sulle succession! stazionarie di eventi, Giorn. 1st. Ital. d. Attuari, Anno III, 3
(1932), 267-272.
57.	Математическая теория стационарной очереди, Матем. сб. 39 (1932), 73-84.
58.	Zu Birkhoffs Losung des Ergodenproblems, Math. Ann. 107 (1932), 485-488.
62.	Zur mathematischen Begriindung der statistischen Mechanik, Zeitschr. fur angew.
Math, und Meeh. 13 (1933), 101-103.
65. Asymptotische Gesetze der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Springer, 1933, ОНТИ,
1936.
364
VII. Памятные статьи
67. Korrelationstheorie der stationaren stochastischen Prozesse, Math. Ann. 109
(1934), 604-615, УМН, вып. V, 42-51 (1938).
73. Цепные дроби, ОНТИ, 1935; 2-е изд., ГТТИ, 1949; чешское изд., 1952.
80. Метрические задачи теории иррациональных чисел. УМН, вып. I (1936),
7-32.
92. Предельные законы для сумм независимых случайных величин, ГОНТИ,
1938, 1-116.
94. Zur Methode der willkiirlichen Funktionen, Матем. сб. 3 (45) (1938), 585-589.
102.	Об аналитических методах статистической механики, ДАН 33 (1941), 438-
441.
103.	Средние значения сумматорных функций в статистической механике, ДАН
33 (1941), 442-445.
104.	О межмолекулярной корреляции, ДАН 33 (1941), 487-490.
105.	Дисперсии и законы распределения сумматорных функций в статистической
механике, ДАН 34 (1942), 61-63.
107.	Математические основания статистической механики, Гостехиздат, 1943, 1-
126; [Dover,] USA, 1949.
112.	Элементарное введение в теорию вероятностей, Гостехиздат, 1946; 2-е изд.,
1950; 3-е изд., 1952; 4-е изд., 1957; польские изд., 1952, 1954; румынское изд.,
1953; чешское изд., 1954; венгерское изд., 1954; немецкое изд., 1955; китайское
изд., 1958; французское изд., 1960 (совместно с Б. В. Гнеденко).
113.	Три жемчужины теории чисел, Гостехиздат, 1947; 2-е изд., 1949; украинское
изд., 1949; немецкое изд., 1950; японское изд., 1956.
114.	Две теоремы, связанные с задачей Чебышева, Изв. АН, сер. матем. 11 (1947),
105-110.
115.	Об одном предельном случае аппроксимационной теоремы Кронекера, ДАН
56 (1947), 563-565.
116.	Об одной общей теореме теории линейных диофантовых приближений, ДАН
56 (1947), 679-681.
117.	Теорема переноса для сингулярных систем линейных уравнений, ДАН 59
(1948), 217-218.
118.	К теории линейных диофантовых приближений, ДАН 59 (1948), 865-867.
119.	Принцип Дирихле в теории диофантовых приближений, УМН III (1948),
вып. 3, 3-28.
120.	Количественная концепция аппроксимационной теории Кронекера, Изв. АН,
сер. матем. 12 (1948), 113-122.
121.	О некоторых приложениях метода добавочной переменной, УМН III (1948),
вып. 6, 188-200.
122.	Регулярные системы линейных уравнений и общая задача Чебышева, Изв.
АН, серия матем. 12 (1948), 249-258.
123.	О дробных частях линейной формы, Изв. АН, сер. матем. 13 (1949), 3-8.
125. Об аналитическом аппарате физической статистики, Труды Матем. ин-та им.
Стеклова 33 [(1950), 1-56].
Александр Яковлевич Хин чин
365
129.	Математические основания квантовой статистики, Гостехиздат, 1951.
134.	Метод произвольных функций и борьба против идеализма в теории веро-
ятностей, Сб. <Философские вопросы современной физики», изд. АН, 1951,
522-538; французский перевод: Questions scientifiques, V, Paris, Editions de la
nouvelle critique, v. 1, 7-24, 1954.
136.	Понятие энтропии в теории вероятностей, УМН VIII (1953), вып. 3, 3-20;
румынское изд., 1955.
139.	Математические методы теории массового обслуживания, Труды Матем. ин-
та им. Стеклова 49 (1955), 1-123; китайское изд., 1958.
141.	Потоки случайных событий без последействия, Теория вероятн. и ее прим. 1
(1956), 3-18.
142.	О пуассоновских потоках случайных событий, Теория вероятн. и ее прим. 1
(1956), 320-327.
143.	Об основных теоремах теории информации, УМН XI (1956), вып. 1, 17-75.
ГЕОРГИЙ ЕВГЕНЬЕВИЧ ШИЛОВ
Советская математика и высшая школа понесли тяжелую утрату. 17 ян-
варя 1975 г. в возрасте 57 лет, полный творческих сил, научных планов и
намерений, скоропостижно скончался Георгий Евгеньевич Шилов — выда-
ющийся ученый и педагог, автор всемирно известных монографий и учеб-
ников, один из ведущих профессоров Московского университета. Накануне
Георгий Евгеньевич закончил работ}' над рукописью своего очередного
спецкурса, подготовил материал для нового кинофильма на математиче-
скую тему, принимал участие в очередных делах кафедры. Утром 17 ян-
варя он работал дома за письменным столом, беседовал с учениками, а
вскоре его не стало — он не вернулся домой после обычной прогулки в
окрестностях университета: отказало сердце.
Г. Е. Шилов родился 3 февраля 1917 г. в г. Иваново, но уже с 1921 г.
жил в Москве. Окончив семилетку, он поступил в химический техникум,
однако проучился там всего два года: хотя среди близких ему людей были
химики, его самого химия не заинтересовала. Георгий Евгеньевич вспоми-
нал, что в техникуме ему особенно не давался количественный практикум:
требовалась точность в третьем знаке, а у него обычно уже в первом бы-
ла ошибка. В шутку он потом говорил, что поступил в МГУ, последовав
советам повысить свой математический уровень.
16-летним юношей, успешно сдав вступительные экзамены. Георгий Ев-
геньевич становится студентом механико-математического факультета
МГУ. К 1941 г. Георгий Евгеньевич окончил аспирантуру мехмата (кото-
рую он проходил под руководством И. М. Гельфанда) и защитил канди-
датскую диссертацию, посвященную разработанной им теории регулярных
нормированных колец. В годы войны Г. Е. Шилов, находясь в рядах Со-
ветской Армии, внес большой вклад в разработку методов зенитного огня,
в повышение эффективности стрельбы зенитной артиллерии, в освоение
новой боевой техники, в совершенствование боевой подготовки личного со-
става. Офицер Г. Е. Шилов пользовался большим уважением подчиненных
и командования. За военные заслуги Георгий Евгеньевич был награжден
орденом Красной Звезды и несколькими медалями. После войны, в начале
1946 г., он вернулся к математике и преподаванию в МГУ, в 1950 г. стал
доктором физико-математических наук, а в 1952 г. — профессором.
Успехи математических наук. — 1976. — Т. 31, вып. 1. — С. 217-224 (совм. с
П. С. Александровым, И. М. Гельфандом, Е. А. Гориным, В. В. Грушиным, О. А. Олей-
ник, В. П. Паламодовым, С. В. Фоминым).
Георгий Евгеньевич Шилов
367
С Московским университетом почти неразрывно (не считая военных лет
и нескольких лет работы в Киеве) связана вся научная, педагогическая и
общественная деятельность Г. Е. Шилова. Здесь он сам делал первые шаги
в науке, здесь он воспитал основную массу своих учеников, многие из ко-
торых теперь сами стали известными математиками, здесь он сделал свои
основные открытия, которые принесли ему мировую известность, написал
большинство своих книг и статей, здесь, будучи большим знатоком, цени-
телем и пропагандистом музыкального искусства, он активно занимался
эстетическим воспитанием молодежи, в качестве профессора Московского
университета его узнали телезрители, и здесь, в Московском университете,
он закончил свой жизненный путь.
Георгий Евгеньевич Шилов был большой, оригинальной и многогран-
ной личностью. Однако его основные достижения, конечно, связаны с ма-
тематикой, с математическим анализом в широком смысле. Еще будучи
студентом 2-го курса, он вступил в научный контакт с И. М. Гельфандом,
который был в то время аспирантом А. Н. Колмогорова. Плодотворная сов-
местная работа И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова продолжалась более 30 лет.
Первая научная работа, выполненная Г. Е. Шиловым еще в студенче-
ские годы, была посвящена развитию исследований Э. Ландау и Ж. Адама-
ра об оценке модуля промежуточной производной. На эту задачу обратил
его внимание А. Н. Колмогоров. Г. Е. Шиловым, в частности, были пред-
сказаны точные константы в этих оценках. Окончательные результаты по
этому вопросу получены в известной работе А. Н. Колмогорова.
Крупнейшие открытия принадлежат Г. Е. Шилову в теории комму-
тативных банаховых алгебр (нормированных колец). Георгий Евгеньевич
явился одним из основоположников этой бурно развившейся ветви функ-
ционального анализа, обладающей не только исключительной внутренней
красотой, но и плодотворными контактами с классическими и новыми раз-
делами математики — гармоническим и комплексным анализом, теорией
приближений, теорией операторов, топологией.
В 1940 г. Г. Е. Шилов ввел и исследовал одно из важнейших понятий
общей теории коммутативных банаховых алгебр — понятие регулярного
кольца функций (это — терминология Г. Е. Шилова, теперь эти объекты
чаще называют шиловскими алгебрами). Пусть А — полупростая коммута-
тивная банахова алгебра с единицей над полем комплексных чисел (алгебра
функций), реализованная в виде алгебры непрерывных функций на про-
странстве Мд ее максимальных идеалов. Такую алгебру Г. Е. Шилов на-
звал регулярной, если для любого замкнутого множества Ф С Мд и любой
точки £ Ф существует функция а е А, для которой а | Ф = 0 и а(£) = 1.
К числу алгебр такого сорта относятся многочисленные классы функций,
исследуемые в анализе: совокупность всех непрерывных функций на ком-
368
VII. Памятные статьи
пакте, совокупность гладких функций на компактном многообразии, груп-
повые алгебры локально компактных абелевых групп (например, алгеб-
ра периодических функций с абсолютно сходящимся рядом Фурье) и т. д.
Вместе с тем были обнаружены интересные нестандартные примеры ре-
гулярных алгебр (скажем, регулярной, но не совпадающей с С(Х) может
оказаться алгебра всех равномерных пределов на плоском компакте X по-
следовательностей рациональных функций). Георгий Евгеньевич, впервые
используя прием, который теперь стал классическим, показал, что регу-
лярные в его смысле алгебры являются нормальными (указанное выше
условие отделимости автоматически распространяется на пары непересе-
кающихся замкнутых подмножеств пространства максимальных идеалов)
и для каждого открытого покрытия компакта Мд содержат подчиненное
этому покрытию и состоящее из элементов алгебры разбиение единицы.
Последнее обстоятельство позволяет легко установить, что локально при-
надлежащая к А непрерывная функция на Мд на самом деле является эле-
ментом алгебры А. Принципиальное значение имеет следующий открытый
Георгием Евгеньевичем факт: если Ф — произвольное замкнутое множество
в пространстве Мд максимальных идеалов алгебры А, то, кроме очевид-
ного идеала /(Ф) всех функций из А, равных нулю на Ф, этому множеству
естественно отвечает еще один замечательный идеал 7(Ф), который полу-
чается замыканием идеала функций, равных нулю в окрестности (своей
для каждой функции) множества Ф, а все другие замкнутые идеалы с об-
щими нулями Ф заключены между /(Ф) и 7(Ф). В некоторых случаях это
позволило до конца решить проблему описания замкнутых идеалов, в дру-
гих — указало ясный путь ее исследования. Георгию Евгеньевичу это позво-
лило ввести понятие наименьшего замкнутого примарного идеала, понятие
локального изоморфизма регулярных алгебр и, в частности, в применении
к групповым алгебрам с общих позиций получать тонкие аналитические
результаты типа тауберовых теорем.
Среди других результатов данного цикла заметное место занимает най-
денное Г. Е. Шиловым аналитическое условие регулярности: алгебра А
является регулярной, если она обладает системой образующих а, для ко-
торых J0°°(log ||etta||)/(l + t2)dt < оо. Подобные условия карлемановского
типа, впервые введенные Георгием Евгеньевичем, сыграли решающую роль
в теории несамосопряженных операторов с отделимым спектром.
В дальнейшем, продолжая систематическое изучение регулярных ал-
гебр, Георгий Евгеньевич рассмотрел важные подклассы этого класса, в
частности, разработал теорию однородных алгебр и алгебр типа С, устро-
енных аналогично алгебрам функций с несколькими непрерывными про-
изводными. На окружности все однородные алгебры типа С, содержащие
гладкие функции, исчерпываются серией алгебр с г непрерывными
Георгий Евгеньевич Шилов
369
производными. Однако уже на двумерном торе Георгий Евгеньевич, кроме
подобных алгебр, обнаружил существенно новые. В частности, он пока-
зал, что между алгеброй непрерывно дифференцируемых и алгеброй всех
непрерывных функций на двумерном торе имеется с точностью до изомор-
физма ровно одна однородная алгебра типа С, а именно, алгебра векторно-
гладких функций. Векторно-гладкие функции (т. е. функции со значени-
ями в 7?2, обладающие непрерывным ротором и дивергенцией, но, вообще
говоря, без непрерывных производных) и раньше встречались в анализе
(Помпею, 1911 г.), но занимали изолированное место, а здесь оказалось,
что этот класс столь же естествен с общих позиций, как и классы глад-
ких функций. Таким образом, своими работами по регулярным алгебрам
Г. Е. Шилов открыл принципиально новые возможности алгебраизации
аналитических проблем. Развитые им в этой области методы с успехом
применялись и в дальнейшем. В качестве примера можно назвать реше-
ния обратной проблемы Винера-Леви и проблемы спектрального синтеза,
полученные французской школой аналитиков.
Одним из наиболее популярных и полезных понятий в теории функцио-
нальных алгебр стало введенное Георгием Евгеньевичем понятие кольцевой
границы пространства максимальных идеалов, чаще называемой границей
Шилова. Граница Шилова — это наименьшее замкнутое множество в Мд,
на котором модули всех функций из А достигают максимума. Например,
если А — алгебра всех непрерывных функций на диске, аналитических
внутри этого диска, то Мд совпадает с диском, а граница Шилова — с то-
пологической границей диска. Георгий Евгеньевич доказал существование
и единственность кольцевой границы, нашел удобные критерии принад-
лежности к кольцевой границе данного максимального идеала, а затем
с успехом использовал это понятие в исследовании проблемы расшире-
ния максимальных идеалов. По обстоятельствам военного времени теорема
Г. Е. Шилова о кольцевой границе своевременно не была опубликована и
впервые стала известной из работы И. М. Гельфанда и М. А. Наймарка,
в которой они эффективно использовали границу Шилова для некоторых
построений в алгебрах с инволюцией. Еще самим Георгием Евгеньевичем
было замечено, что максимальные идеалы из Мд, отвечающие границе,
образуют наиболее устойчивую часть «максимального спектра алгебры»,
подобно тому как себя ведет граница спектра линейного оператора в бана-
ховом пространстве. Со временем стали обнаруживаться все новые и новые
связи понятия границы Шилова с основными понятиями анализа. Здесь и
абстрактные теоремы о среднем (интеграл по границе Шилова), теоремы о
представлении положительных функционалов, точки пика, крайние точки
выпуклых множеству локальный принцип максимума и многое другое.
370
VII. Памятные статьи
Одним из самых выдающихся достижений Георгия Евгеньевича в общей
теории коммутативных банаховых алгебр является доказательство теоре-
мы о разложении алгебры с несвязным пространством максимальных иде-
алов в прямую сумму идеалов (1953 г.), которая давала ответ на один из
центральных вопросов теории.
К началу 50-х годов аналитические функции одной комплексной пере-
менной, конечно, были привычным инструментом в работах по банаховым
алгебрам. Однако сейчас представляется ясным, что этот важный вопрос
теории вряд ли мог быть решен без привлечения совершенно новых идей.
На пути к доказательству своей теоремы Георгий Евгеньевич ввел поня-
тие совместного спектра элементов банаховой алгебры и, впервые приме-
нив в теории банаховых алгебр аппарат аналитических функций многих
комплексных переменных, создал операционное исчисление функций от
нескольких элементов алгебры (функциональное исчисление для банахо-
вых алгебр). Значение созданного здесь метода выходит за рамки конкрет-
ной задачи, сколь бы важной она ни была, метод Шилова по сей день с
успехом применяется во многих других задачах и совершенствуется. Тео-
рема Г. Е. Шилова устанавливает связь между нульмерной группой когомо-
логии пространства максимальных идеалов и разложением самой алгебры
в прямую сумму идеалов. Теперь, по существу на том же пути, найдены
интерпретации других когомологических характеристик этого простран-
ства. Для доказательства Георгий Евгеньевич использовал довольно гро-
моздкую интегральную формулу Вейля; позднее были найдены обходные
пути разрешимости проблемы Кузена, дифференциальные формы со зна-
чениями в алгебре и т. д., позволяющие развивать в рамках голоморфных
накрытий и более общих расслоений «многозначный» вариант исчисления
Шилова. Таким образом, открытие Г. Е. Шилова продолжает служить мо-
стом между теорией банаховых алгебр и комплексным анализом.
Второй важный цикл работ Г. Е. Шилова составляют выполненные им в
тесном контакте с И. М. Гельфандом работы по теории обобщенных функ-
ций и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Геор-
гий Евгеньевич занимался этой областью математики в течение примерно
10 лет, начиная с 1953 г. Теория Гельфанда-Шилова основана на использо-
вании широкой шкалы пространств «пробных функций», что существенно
расширило по сравнению с теорией распределений Л. Шварца возможно-
сти приложения метода обобщенных функций к аналитическим задачам.
Наиболее известный из таких классов пространств — это пространства ти-
па S, которые описываются скоростью убывания функций и их производ-
ных. Последовательно развитый метод преобразования Фурье обобщенных
Георгий Евгеньевич Шилов
371
функций позволил, в частности, решить давно поставленную И. Г. Петров-
ским проблему описания классов единственности в задаче Коши для диф-
ференциальных уравнений в частных производных с постоянными (или
зависящими только от времени) коэффициентами. Вскоре Георгий Евге-
ньевич получил новые результаты по проблеме квазианалитичности, что
позволило ему описать с большой полнотой и классы корректности. Эти
работы послужили мощным толчком для развития общей теории диффе-
ренциальных уравнений, ясные идеи, впервые сформулированные в них,
очень быстро завоевали всеобщее признание.
В конце 50-х годов Георгия Евгеньевича стала привлекать теория гипо-
эллиптических дифференциальных операторов и задача построения кон-
кретных классов корректности для уравнений в полупространстве и неко-
торых других бесконечных областях. Из классической теории известно, что
корректные краевые задачи имеются для основных типов уравнений, но
вид этих задач существенно зависит от типа уравнения. Например, для
уравнения теплопроводности или волнового — это задача Коши, а для урав-
нения Лапласа — задача Дирихле.
Г. Е. Шилов в своих работах указывает такие задачи для произвольных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Развитая
им теория охватывает важные неклассические уравнения, в частности, для
ультаргиперболического уравнения	4-	корректная задача
в полупространстве t 0 заключается в определении решения по задан-
ной начальной функции во всем пространстве и преобразования Фурье ее
производной по t в некотором конусе двойственного пространства.
Начиная с 1962 г. Георгий Евгеньевич занимался вопросами, связан-
ными с интегрированием в функциональных пространствах. В этот пе-
риод он часто цитировал «определение функционального анализа», дан-
ное Ж. Адамаром, как анализа, т. е. дифференциального и интегрально-
го исчисления, в применении к функционалам, которые Ж. Адамар рас-
сматривал в качестве функций от бесконечного множества числовых ко-
ординат. У Ж. Адамара аргумент менялся в каком-нибудь из конкретных
пространств, а Георгий Евгеньевич толковал это определение более широ-
ко. Среди существенных достижений этого периода — построение теории
квадратичных функционалов в пространстве с абстрактной мерой Винера
и оригинальной теории оператора Лапласа в бесконечномерном гильбер-
товом пространстве. Любопытно, что в такой ситуации оператор Лапласа
оказывается оператором первого порядка, и это позволило Георгию Евге-
ньевичу трактовать ряд вопросов (например, задачу Дирихле) в рамках
теории коммутативных банаховых алгебр.
372
VII. Памятные статьи
Кроме перечисленных основных линий в математическом творчестве
Г. Е. Шилова, нельзя не отметить его работ по классическому анализу,
рядам Фурье, дифференциальным уравнениям, геометрии, истории и ме-
тодике математики.
Методической и просветительской работой он занимался много и охот-
но: писал обзорные статьи, статьи для школьников и учителей, читал по-
пулярные лекции о математике и музыке, в последние годы работал на
телевидении, отдавая много сил и времени математическому образованию
вообще и в особенности втузовской математике.
Необычайно активной была научно-литературная деятельность Геор-
гия Евгеньевича. В списке его печатных работ имеется полтора десятка
крупных статей и 17 (не считая переводов и переизданий) книг, написан-
ных им самим или в соавторстве. Только книги, написанные после войны,
содержат более 5 000 страниц! Обычно первым этапом в подготовке той или
иной книги было чтение соответствующего лекционного курса. Именно так
возникли его известные учебники. После прочтения курса и тщательного
обдумывания способов изложения сам процесс написания книги занимал у
Георгия Евгеньевича обычно 3-4 месяца, из которых два нередко приходи-
лись на летний отпуск.
Восемь учебников, опубликованных Георгием Евгеньевичем после
I960 г., составляют созданный им оригинальный единый курс всего уни-
верситетского математического анализа, включающий линейную алгебру,
начала дифференциальной геометрии и обыкновенных уравнений и разви-
тый в различных направлениях: обобщенные функции, теория интегриро-
вания в бесконечномерных пространствах, банаховы алгебры и др.
Для статей и книг Георгия Евгеньевича характерны (не говоря об их
высоком научном уровне) удивительная ясность и внешняя простота. Его
доказательства обычно не упрощаемы, технически совершенны, он сразу
«заменяет идеями вычисления». Не только в личном общении, но и в сво-
их печатных работах он тщательно избегал внешнего лоска, красивости,
считая, по-видимому справедливо, что лишние эпитеты чаще создают до-
полнительную преграду, чем способствуют пониманию. Он никогда не на-
вязывал своего стиля другим, но как-то заметил при обсуждении рукописи
одного из своих учеников, что «эмоции должны возникать у читателя».
Внешне неброским, неторопливым был и стиль его лекций, но доступ-
ность формы совмещалась в них с поразительным богатством содержа-
ния. Истинный энтузиазм Георгия Евгеньевича, его убежденность, боль-
шой лекторский талант создали ему огромную популярность среди студен-
Георгий Евгеньевич Шилов
373
тов. Его математический вкус и эстетическое чувство помогали слушате-
лям воспринимать единство и красоту математики.
Блестящий математический талант, высокое педагогическое мастерство
всегда привлекали к Георгию Евгеньевичу математическую молодежь. Ка-
кой бы новой темой ни начинал он заниматься, эти занятия неизменно
сопровождались не только новыми научными результатами, но и новыми
специальными курсами, десятками курсовых и дипломных работ, актуаль-
ными темами диссертаций.
Г. Е. Шилов отдавал много сил своим ученикам, окружал их всесто-
ронним вниманием, заботой и любовью. Он создал большую научную шко-
лу. Среди учеников Георгия Евгеньевича — доктора наук: Б. С. Митягин,
В. П. Паламодов, А. Г. Костюченко, М. С. Агранович, Я. И. Житомирский,
Е. А. Горин, В. В. Грушин, В. М. Борок, А. Я. Хелемский.
Обзор научной и педагогической деятельности Г. Е. Шилова содержит-
ся также в статье, посвященной его пятидесятилетию, опубликованной в
«Вестнике Московского университета» ДО 6 за 1967 г.
Многообразная научная, литературная и педагогическая деятельность
не мешали Георгию Евгеньевичу много сил и времени отдавать обществен-
ной работе. Ряд лет он был членом Правления и вице-президентом Мос-
ковского математического общества, членом редколлегий центральных ма-
тематических журналов, огромный вклад внес (не занимая никаких адми-
нистративных постов) в становление на современном уровне функциональ-
ного анализа на механико-математическом факультете МГУ. Георгий Ев-
геньевич обладал счастливым сочетанием математического таланта и ода-
ренности гуманитарной, восприимчивости к искусству. Большой знаток и
ценитель искусства, он щедро делился своим достоянием. В этом, как и во
всем остальном, поражает масштаб его деятельности и ее притягательно-
сти: сотни музыкальных вечеров для студентов в переполненных гостиных
общежития, участие в работе Дома культуры, Дома ученых, Клуба ученых,
сотрудничество в журналах и т. д.
Ученики и коллеги Георгия Евгеньевича помнят его как человека боль-
шой душевной теплоты и доброжелательности, яркого математического та-
ланта.
Имя Георгия Евгеньевича Шилова навсегда вошло в математическую
науку.
Именной
указатель
Агранович М. С., 125, 373
Адамар (Hadamard J.), 39, 67,104,
277, 283, 284, 293, 295,324,
325, 367, 371
Александер (Alexander J. W.), 67,
71, 93, 98, 181
Александров А. Д., 39
Александров П. С., 40, 53, 57, 62,
77, 165, 199, 208, 268, 322,
323, 334
Александров С. А., 53, 62
Александрова (урожд. Зданов-
ская) Ц. А., 62
Алексеев А. С., 158
Алексеев В. М., 272, 275
Амбарцумян В. А., 123, 143, 151
Амбарцумян Г. А., 114
Андреев К. А., 164
Архангельский А. В., 55, 69, 72, 74
Арцимович Л. А., 230
Арциховский А. В., 249
Атья (Atiyah М. F.), 125, 228, 229
Ахиезер Н. И., 41, 100, 142, 144,
147, 148, 281, 296
Бабенко К. И., 128
Банах (Banach S.), 41, 67, 146
Баренблатт Г. И., 247
Бари Н. К., 41, 167
Бартельс М. Ф. (Bartels J. М. С.),
35
Безикович А. С., 88
Белозерский А. Н., 230
Березанский Ю. М., 145
Бернайс (Bernays Р.), 46, 185
Бернштейн Н. О., 293
Бернштейн С. Н., 41, 80, 100, 101,
104, 109, 213, 223, 239,
281-283, 293, 361
Бернштейн Ф. (Bernstein F.), 88
Бинг (Bing R. Н.), 68
Биркгоф (Birkhoff G. D.), 184, 277,
278
Блазиус (Blasius Н.), 212
Богнар (Bogner J.), 149
Богомолец А. А., 146
Борг (Borg G.), 143, 123, 124
Борель (Borel Ё.), 91, 324
Борн (Born М.), 285
Борок В. М., 373
Ботта, 228, 229
Брауэр (Brouwer L. Е. J.), 43, 54,
66, 67, 75, 265, 306
Бхану Нурти, 121
Вайнштейн И. А., 73
Валле-Пуссен (de la Vallde Poussin
С.), 104, 287, 295
Ван-дер-Варден (van der Waerden
В. L.), 88
Введенская H. Д., 215
Веблен (Veblen О.), 67, 181
Именной указатель
375
Веденисов Н. Б., 74
Вейль (Weyl Н.), 43, 45, 88, 118,
180, 181
Вентцель Т. Д., 215
Вигнер (Wigner Е.), 179, 180
Виленкин Н. Я., 127
Винер (Wiener N.), 44
Виноградов И. М., 43
Вишик М. И., 125
Власов А. К., 78, 268
Вольперт А. И., 125
Вулих Б. 3., 136
Гавурин М. К., 138
Гальперин (Halperin I.), 183, 184
Гамбургер (Hamburger Н. L.), 141
Гантмахер Ф. Р., 141
Гаусс (Gauss С. F.), 29, 33
Гельфанд И. М., 116, 143, 238, 366
Гёдель (Godel К.), 185, 306
Гёртлер (Gortler Н.), 212
Гильберт (Hilbert D.), 36, 45, 66,
75, 88, 104, 180, 283, 293,
295
Гиндикин С. Г., 121
Гирсанов И. В., 303
Гихман И. И., 114
Глазман И. М., 101, 102, 281
Гливенко В. И., 306
Глушков В. М., 334
Гнеденко Б. В., 47, 114, 354
Годунов С. К., 128, 158
Гординг (Gording L.), 227, 229
Горин Е. А., 373
Граев М. И., 120-122, 127
Гротендик (Grotendieck А.), 127
Грузинцев Г. А., 199
Грушин В. В., 373
Гудков Д. А., 210
Гуревич (Hurewicz W.), 265
Далецкий Ю. Л., 150
Дан (Dan К.), 182
Данциг (Dantzig G.B.), 137, 192
Делоне Б. Н., 140
Демидович Б. П., 311
Дёринг (Deuring М. F.), 88
Джост (Jost R.), 124
Джураев Т., 215
Джэксон (Jackson Е.), 106
Дикий Л. А., 124
Диткин В. А., 117
Добрушин Р. Л., 114
Дынин А. С., 125
Дынкин Е. Б., 303
Дьёдонне (Dieudonne J.), 68
Егоров В. А., 279
Егоров Д. Ф., 53, 63-66, 80, 155,
164, 165, 221, 322
Егоров Ю. В., 215
Ельшин М. И., 317
Ершов А. П., 158
Ершов Ю. Л., 334
Ефимов Б. А., 72
Жегалкин И. И., 78
Житомирский Я. И., 373
Жюлиа (Julia G.), 324
Зайцев В. И., 74
Зал галл ер В. А., 138
Засухин В. Н., 321
Зеликин М. А., 279
Зельдович Я. Б., 126, 247
Зигель (Siegel К.), 278
Зингер (Singer I.M.), 125, 228
Золотарёв Е. И., 48, 100
Ивановский Л. Н., 72
Ильин А. М., 215
Имшенецкий В. Г., 47
376
Именной указатель
Калашников А. С., 215
Кальдерон (Calderon А. Р.), 236
Канель Я. И., 215
Кантор (Cantor G.), 166
Канторович Л. В., 58, 61, 135
Капланский (Kaplansky I.), 184
Каратеодори (Carath6odory С.),
89
Каргаполов М. И., 335
Карлесон (Carleson L.), 342
Карман (Karman Т., von), 179, 180
Карпелевич Ф. И., 121
Картан (Cartan Е.), 36, 118, 121
Катетов (Katetov М.), 72
Кац И. С., 150
Качмаж (Kaczmarz S.), 170
Кашин Б. С., 167
Кей (Kay I.), 124
Келдыш М. В., 213, 324-326
Ковнер С. С., 78
Кон (Kohn W.), 124
Кон-Фоссен (Cohn-Fossen S.), 46
Кондрашов В. И., 205
Копачек (КорйСек J.), 215
Коркин А. Н., 48, 284
Костюков А. А., 147
Костюченко А. Г., 127, 373
Котес (Cotes R.), 296
Красносельский М. А., 145
Крейн М. Г., 100, 101, 123, 124,
136, 140, 146, 281
Кружков С. Н., 215
Крылов В. И., 136
Крылов Н. М., 140
Кудрявцев Л. Д., 205, 208
Кузьминов В. И., 70, 72
Кун (Kuhn Н. W.), 184
Купманс (Koopmans Т. С.), 137
Курант (Courant R.), 45, 66, 75, 88
Куратовский (Kuratowski К.), 67,
70
Курбаткин Г. П., 158
Курочкин В. М., 208
Кюршак (Kiirschdk J.), 179
Лаврентьев М. А., 146, 200, 322
Лаврентьев М. М., 158
Ладыженская О. А., 125
Ландау Э. (Landau Е.), 88, 367
Ландау Л. Д., 230
Ландис Е. М., 214
Лахтин Л. К., 164
Лашнев Н. С., 73
Лебег (Lebesgue Н.), 91, 324
Лебедев С. А., 328
Леви Г. (Lewy Н.), 88, 213, 239
Леви П. (L6vy Р.), 92, 361
Левин Б. Я., 101
Левинсон Н., 123, 124
Левитан Б. М., 123, 124, 143
Леонтович М. А., 230
Леонтьев А. Н., 250
Лепешинский М. Н., 102
Лере (Leray J.), 227, 236
Лефшец (Lefschetz S.), 67
Ли (Lie S.), 36
Ливенсон Е. М., 58, 61, 135
Лидский В. Б., 125
Лизоркин П. И., 203
Линник Ю. В., 114, 299
Лифшиц М. С., 145, 146, 149
Лобачевский Н. И., 22, 33
Локуциевский О. В., 74, 275
Лузин Н. Н., 53, 63-66, 78, 79, 90,
155,164,165, 221,267, 268,
322-324, 342
Люстерник Л. А., 65, 116, 155, 326
Ляпунов А. М., 42, 61, 104, 113,
144, 148, 150, 282, 283
Именной указатель
377
Мазур (Mazur S.), 117
Макки (Mackey G. W.), 184
Мальцев А. А., 74
Мальцев А. И., 208, 332
Марков А. А. (ст.), 42, 100, 104,
113, 141, 148, 282, 283
Марченко В. А., 123, 124, 143
Марчук Г. И., 157
Мелик-Адамян Ф. Э., 149
Менгер (Menger К.), 54
Меньшов Д. Е., 164
Меньшов Е. Т., 164
Мидзохата (Mizohata S.), 236
Мизес (Mises R., von), 48, НО, 309
Милнор (Milnor D.), 210
Миндинг (Minding Е. F. А.), 30
Минлос Р. А., 130
Миттаг-Леффлер (Mittag-Leffler
М. G.), 294
Митягин Б. С., 303, 373
Мищенко Е. Ф., 74
Млодзеевский Б. К., 78, 267
Мозес (Moses Н. Е.), 124
Монтель (Montel Р. А. А.), 323
Моргенштерн (Morgenstern О.),
183, 184, 192
Морита (Morita К.), 73
Морозов Е. А., 275
Морри (Morrey С.), 239
Морс (Morse Н. С. М.), 181
Нагата (Nagata J.), 68
Нагумо (Nagumo М.), 117
Наймарк М. А., 117-119, 121, 145,
146
Намазов Г., 215
Нейгебауэр (Neugebauer О.), 67,
88
Нейман Дж. фон (Neumann J.,
von), 141, 179
Немчинов В. Л., 138
Немыцкий В. В., 74, 311
Несмеянов А. Н., 253
Нётер (Noether Е.), 66, 67, 88
Никольская Н. С., 199
Никольский М. С., 199
Никольский С. М., 198, 334
Никольский Ю. С., 199
Ниренберг (Nirenberg L.), 239, 284
Новожилов В. В., 138
Нордхейм (Nordheim L.), 187
Нудельман А. А., 147
Нудельман П. Я., 150
Нудельман Я. Л., 145
Ньютон (Newton I.), 5
Овчаренко И. Е., 149
Олейник О. А., 209, 222, 229, 243
Осипов Ю. С., 278
Осиповский Т. Ф., 341
Паламодов В. П., 373
Пасынков Б. А., 55, 74
Петер (Peter F.), 118
Петков В., 213, 215
Петров В. В., 114
Петров Г. И., 324
Петров Р. В., 162
Петровский И. Г., 155, 209-211,
213, 221, 225, 233, 336, 361
Пикар (Picard J. Е.), 104, 283, 284,
293, 295
Пинскер А. Г., 136
Пискунов Н. С., 246
Плеснер А. И., 116, 170, 342
Пойа (Pblya G.), 180
Пономарёв В. И., 55, 72, 74
Понтрягин Л. С., 40, 54, 70, 71, 74,
81
Попов Г. Я., 147
Поссе К. А., 164
Потапов В. П., 146
Потапов М. К., 206
378
Именной указатель
Прандтль (Prandtl L.), 212
Привалов И. И., 65, 168, 324, 326
Прокофьев М. А., 252
Прохоров Ю. В., 114, 298
Пуанкаре (Рошсагё Н.), 71, 278,
284, 293
Пятецкий-Шапиро И. И., 122
Радкевич Е. В., 213, 215
Райков Д. А., 118
Реллих (Rellich F.), 88
Решетников Н. К., 206
Рисе (Riesz F.), 117, 141
Рыбкин Г. Ф., 339
Рябенький В. С., 128
Саакян Ш. Н., 149
Савкевич В. П., 114
Самохин В. Н., 215
Сапогов Н. А., 114, 299
Сарманов О. В., 114
Седов Л. И., 324
Селиверстов Г. А., 80, 82, 170, 342
Сигал И., 183
Сизов В. Г., 147
Силаев Д. А., 215
Силард (Sillard L.), 179
Синай Я. Г., 279
Ситников К. А., 55, 70, 71, 74, 272,
276
Скитович В. П., 114
Скляренко Е. Г., 70, 74
Скороход А. В., 114
Слуцкий Е. Е., 49, 345
Смейл (Smale S.), 277
Смирнов Н. В., 50, 259
Смирнов С. В., 335
Смирнов Ю. М., 68, 74
Собинов Л. В., 65
Соболев С. Л., 126, 205, 234, 248
Сонин Н. Я., 282
Степанов В. В., 63, 65, 78, 311
Стоун А. X. (Stone А.), 68, 73
Суслин М. Я., 53, 60, 63
Суслов А. И., 215
Суслов Г. К., 140
Такаги Т., 148
Таккер (Tucker A. W.), 184
Тауб (Taub А. Н.), 183
Тихомиров В. М., 279
Тихонов А. Н., 40, 53, 68, 74, 248
Том (Thom R. F.), 210
Тумаркин Л. А., 74, 265
Улам (Ulam S.), 183, 194
Урысон П. С.. 40, 53, 54, 64-68, 79,
90, 265, 267
Фавар (Favard J.), 101
Фаддеев Л. Д., 124, 125
Федоров В. С., 165
Федорчук В. В., 74
Фейер (Fejer L.), 179
Фекете (Fekete М.), 179, 183
Феллер (Feller W.), 107, 109
Фикера (Fikera G.), 213
Филиппов А. Ф., 317
Фихтенгольц Г. М., 135
Фомин С. В., 122, 130, 279
Фреше (Fr£chet М.), 66, 67, 89, 94
Фридрихе (Friedrichs К. О.), 88
Фробениус (Frobenius F. G.), 118
Халмош (Halmos Р.), 183
Хант (Hunt G.), 184
Харнак (Harnack А.), 242
Хаусдорф (Hausdorff F.), 57, 66, 75
Хелемский А. Я., 373
Хёрмандер (Hormander L.), 125,
238
Хильми Г. Ф., 272
Хинчин А. Я., 165, 221, 229, 354
Именной указатель
379
Хопф Э. (Hopf Е.), 211
Хопф X. (Hopf Н.), 66, 67, 70, 71,
75
Цеглин М. Л., 120
Чаплыгин С. А., 324
Чеботарев Н. Г., 140
Чебышев П. Л., 39, 41, 42, 48, 100,
104, ИЗ, 141, 148, 282, 283
Черкасов А. Н., 74
Чогошвили Г. С., 70, 71
Шабат Б. В., 328, 330
Шази (Chazy J. F.), 275
Шапиро 3. Я., 126, 130
Шатуновский С. О., 140
Шаудер (Schauder J.), 234
Шварц (Schwartz L.), 126
Шведов И. А., 70
Шеннон (Shannon С. Е.), 45
Шилов Г. Е., 126, 129, 238, 366
Шлепкина Н. И., 199
Шмидт О. Ю., 271, 276
Шнирельман Л. Г., 155, 360
Шур (Schur А.), 118
Щепин Е. В., 74
Эйгес А. Р., 53, 62, 63
Эйнштейн (Einstein А.), 181
Энгелькинг (Engelking R.), 72
Юнг (Young W. Н.), 57, 166
Яглом А. М., 123
Ямагути (Yamaguti М.), 236
Яненко Н. Н., 158
Яновская С. А., 209
Содержание
IV. Эссе об И. Ньютоне и Н. И. Лобачевском......................... 3
Ньютон и современное математическое мышление .................. 5
Лобачевский и математическое мышление девятнадцатого века....	22
Великий русский ученый-новатор ............................... 33
V.	Статьи о математиках в энциклопедических изданиях............	37
Адамар, Жак .................................................. 39
Александров, Александр Данилович ............................. 39
Александров, Павел Сергеевич ................................. 40
Ахиезер, Наум Ильич .......................................... 40
Банах, Стефан ................................................ 41
Бари, Нина Карловна .......................................... 41
Бернштейн, Сергей Натанович .................................. 41
Брауэр, Лёйтзен Эгберт Ян [совл<. с С. А. Яновской] .......... 42
Вейль, Герман [coejw. с С. А. Яновской] ...................... 43
Винер, Норберт ............................................... 44
Гильберт, Давид .............................................. 45
Гнеденко, Борис Владимирович ................................. 46
Имшенецкий, Василий Григорьевич .............................. 47
Марков, Андрей Андреевич ..................................... 47
Мизес, Рихард ................................................ 48
Слуцкий, Евгений Евгеньевич .................................. 49
Смирнов, Николай Васильевич .................................. 49
VI.	Статьи о математиках в других изданиях ...................... 51
Павел Сергеевич Александров (к семидесятилетию со дня рождения и
пятидесятилетию научной деятельности) [совл<. с Л. А. Люстперни-
ком, Ю. М. Смирновым, А. Н. Тихоновым и С. В. Фоминым].......	53
П. С. Александров и теория Js-операций........................ 57
Павел Сергеевич Александров (к восьмидесятилетию со дня рождения)
[сов.м. с А. В. Архангельским, А. А. Мальцевым, О. А. Олейник] ..	62
Воспоминания о П. С. Александрове ............................ 77
Содержание
381
Наум Ильич Ахиезер (к семидесятилетию со дня рождения) [совм. с
Ю. М. Березанским, М. Г. Крейном, Б. Я. Левиным, Б. М. Левита-
ном, В. А. Марченко] .......................................... 100
К шестидесятилетию Сергея Натановича Бернштейна (совм. с В. Л. Гон-
чаровым] ...................................................... 104
О работах С. Н. Бернштейна по теории вероятностей (к восьмидесяти-
летию со дня рождения.) [совм. с О. В. Сармановым] ............ 109
Израиль Моисеевич Гельфанд (к пятидесятилетию со дня рождения)
[совм. с М. И. Вишиком, С. В. Фоминым и Г Е. Шиловым] ......... 116
Борис Владимирович Гнеденко (к семидесятилетию со дня рождения)
[совм. с Ю. К. Беляевым и А. Д. Соловьевым] ................... 132
Леонид Витальевич Канторович (к шестидесятилетию со дня рожде-
ния) [совм. с Б. 3. Вулихом, М. К. Гавуриным, Ю. В. Линником,
В. Л. Макаровым, Б. С. Митягиным, А. Г. Линекером, Г. С. Рубин-
штейном, Д. К. Фаддеевым] ..................................... 135
Марк Григорьевич Крейн (к пятидесятилетию со дня рождения) [совм.
с М. А. Красносельским] ....................................... 140
Марк Григорьевич Крейн (к семидесятилетию со дня рождения) [совм.
с В. М. Адамяном, Ю. М. Березанским, Н. Н. Боголюбовым,
И. С. Иохвидовым, М. А. Лаврентьевым, Ю. А. Митропольским] .	146
Лазарь Аронович Люстерник (к пятидесятилетию со дня рождения) .	155
Гурий Иванович Марчук (к шестидесятилетию со дня рождения) [совм.
с Н. Н. Боголюбовым, В. С. Владимировым] .................. 157
Дмитрий Евгеньевич Меньшов (к девяностолетию со дня рождения)
[совм. с С. М. Никольским, В. А. Скворцовым, П. Л. Ульяновым] .	164
Джон фон Нейман [совм. с А. М. Вершиком и Я. Г. Синаем] .... 179
Сергей Михайлович Никольский (к восьмидесятилетию со дня рожде-
ния) [совм. с В.К.Дзядыком, Л.Д.Кудрявцевым и С.Л. Соболевым] .	198
Ольга Арсеньевна Олейник. Математик [совм. с П. С. Александровым
и С. Л. Соболевым] ............................................ 209
Иван Георгиевич Петровский (к пятидесятилетию со дня рождения)
[совм. с П. С. Александровым] ................................. 221
Иван Георгиевич Петровский (к семидесятилетию со дня рождения)
[совм. с П. С. Александровым, М. И. Вишиком, О. А. Олейник,
А. Н. Тихоновым] .............................................. 225
Иван Георгиевич Петровский (к семидесятилетию со дня рождения)
[совм. с П. С. Александровым, В. И. Арнольдом, И. М. Гельфандом,
С. П. Новиковым, О. А. Олейник] ............................... 233
О работах Н. В. Смирнова по математической статистике (к шестиде-
сятилетию со дня рождения) [совм. с Б. В. Гнеденко, Ю. В. Прохо-
ровым, О. В. Сармановым] ...................................... 259
Лев Абрамович Тумаркин. Тополог. (К шестидесятилетию со дня рож-
дения) [совм. с П. С. Александровым] .......................... 265
382
Содержание
Научный руководитель ........................................... 267
Встречи с Отто Юльевичем ....................................... 271
VII.	Памятные статьи ............................................... 273
Владимир Михайлович Алексеев (1932-1980)[совж. с Д. В. Аносовым,
В. И. Арнольдом, М. И. Зеликиным, О. В. Локуциевским, Ю. С. Оси-
повым, Я. Г. Синаем, В. М. Тихомировым, М. В. Якобсоном] ..... 275
Наум Ильич Ахиезер (1901-1980) [совж. с М. Г. Крейном, Б. Я. Леви-
ным, Б. М. Левитаном, Ю. И. Любичем, В. А. Марченко, И. В. Ост-
ровским, А. Я. Повзнером, А. В. Погореловым] ................. 281
Сергей Натанович Бернштейн (1880-1968) [совж. с П. С. Александро-
вым, Н. И. Ахиезером, Б. В. Гнеденко] ........................ 283
Сергей Натанович Бернштейн (1880-1968) [совж. с Ю. В. Линником,
Ю. В. Прохоровым, О. В. Сармановым] .......................... 293
Игорь Владимирович Гирсанов (1934-1967) [совж. с Е. Б. Дынкиным,
Б. Т. Поляком, М. И. Фрейдлиным] ............................. 303
Валерий Иванович Гливенко (1897-1940) .......................... 306
Памяти Бориса Павловича Демидовича (1906-1977) [совж. с Н. В. Ефи-
мовым, В. М. Миллионщиковым, Н. X. Розовым] .................. 311
Виктор Николаевич Засухин (1915-1941) .......................... 321
Памяти Михаила Алексеевича Лаврентьева (1900-1980) [совж. с
П. С. Александровым, Н. Н. Боголюбовым, Л. А. Люстерником,
Г. И. Марчуком, С. Л. Соболевым, Б. В. Шабатом] .............. 322
Свой путь в науке [Памяти академика А. И. Мальцева (1909-1967)] ... 332
Иван Георгиевич Петровский (1901-1973) ......................... 336
Георгий Федорович Рыбкин (1903-1972) [совж. с П. С. Александровым,
Б. В. Гнеденко, А. И. Маркушевичем, В. Б. Орловым, А. Т. Цветко-
вым, А. П. Юшкевичем] ........................................ 339
Глеб Александрович Селиверстов (1905-1944)...................... 342
Евгений Евгениевич Слуцкий (1880-1948).......................... 345
Александр Яковлевич Хинчин (1894-1959) [совж. с Б. В. Гнеденко] ... 354
Именной указатель ................................................. 374
Научное издание
Колмогоров Андрей Николаевич
Избранные труды
в шести томах
Т о м 4
МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИКИ
Книга 2
О МАТЕМАТИКАХ
Утверждено к печати
Ученым советом
Математического института
им. В. А. Стеклова
Российской академии наук
Зав. редакцией НА. Степанова
Редактор ИИ. Цитович
Художник Ю.И. Духовская
Художественный редактор В.Ю. Яковлев
Компьютерная верстка И И. Цитович
Подписано к печати 16.О4.21ХГ7
Формат 70 х КХ) '/|б. Гарнитура Таймс
Печать офсетная
Усл.печ.л. 31,3. Усл.кр.-отт. 31,3. Уч.-изд.л. 27,0
Тираж 1 КХ) экз. Тип. зак. 4509
Издательство “Наука”
117997, Москва, Профсоюзная ул., 90
E-mail: sccrct@naukaran.ru
www.naukaran.nj
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ГУП “Типография “Наука”
199034, Санкт-Петербург, 9 линия, 12