В. И. ЗУБОВ
УСТОЙЧИВОСТЬ
ДВИЖЕНИЯ
\чFное пособие
д:щ пулов
ш тии.Лы(шан шко.иГ

В. И. ЗУБОВ
УСТОЙЧИВОСТЬ
ДВИЖЕНИЯ
(методы Ляпунова
и их применение)
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством высшего и среднего специального
образования СССР в качестве учебного пособия
для студентов механико-математических специальностей
университетов
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1984

ББК 22.2
3-91
УДК-531.01
Рецензенты:
кафедра теоретической механики Московского физико-техни-
физико-технического института и д-р физ.-мат. наук М. С. Никольский
(ордена Ленина Математический институт им. В. А. Стеклова)
Зубов В. И.
3-91 Устойчивость движения (методы Ляпунова и их
применение): Учеб. пособие для мех.-мат. спец.
ун-тов). — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш.
шк, 1984. — 232 с.
45 к.
В книге A-е издание вышло в 1973 г.) излагаются основные проб-
проблемы современной теории устойчивости для систем, определенных в эв-
эвклидовом и функциональном пространствах и методы их решения. По
содержанию данное пособие примыкает к знаменитой работе академика
А. М. Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения». За пос-
последние годы наблюдается бурный рост этой науки, вызванный потреб-
потребностями развивающейся техники и особенно потребностями автомати-
автоматического регулирования.
о 1703000000—441 ББК 22.2
3001@1)-84 4"84 531
§ Издательство «Высшая школа», 1973
Издательство «Высшая школа», 1984,
с изменениями

ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное учебное пособие по своему содержанию непо-
непосредственно примыкает к знаменитой работе А. М. Ляпу-
Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения». Кратко
напомним основные результаты этой работы. А. М. Ляпу-
Ляпунов сводит задачу об устойчивости к исследованию устой-
устойчивости нулевого решения хх = х2 = ... = хп~ О системы
обыкновенных дифференциальных уравнений
■2Zj- = U{xi,...,xntt) (s=l,...,n), A)
правые части которых — степенные ряды переменных хг, ...
..., хп без свободного члена, сходящиеся в окрестности
Х-± Х2 ••« == Хп ==z U.
Если правые части, т. е. коэффициенты упомянутых ря-
рядов, не содержат /, то, как отмечал А. М. Ляпунов, можно
говорить об установившемся движении (автономная систе-
система). При общем исследовании устойчивости нулевого реше*
ния A) он применил два созданных им метода: разложе-
разложение решений системы A) в ряды специального вида и исполь-
использование функций V (х1у ... хпу t)y которые вместе со своими
производными по t, вычисленными в силу A):
обладают некоторыми свойствами как функции (хъ ...,
хп, t). Эти функции, если они построены, «дают достаточные
условия устойчивости или неустойчивости. При построении
такого рода функций А. М. Ляпунов использовал доказан-
доказанную им общую теорему о решении систем уравнений с част-
частными производными, не удовлетворяющих условиям из-
известной теоремы С. В. Ковалевской. Функции V, которые
уже упоминались выше, будем называть функциями Ля-
Ляпунова, а последнюю теорему называть вспомогательной
теоремой.
В работе А. М. Ляпунова установлены условия, при ко-
которых одни линейные члены уравнений A) решают вопрос

об устойчивости, и рассмотрен ряд важных частных слу-
случаев, когда этот вопрос можно решить только рассматри-
рассматривая члены высших порядков (сомнительные случаи). В од-
одном из сомнительных случаев автономной системы A)
дан прием построения периодических решений. При даль-
дальнейших исследованиях отвлекались от систем дифферен-
дифференциальных уравнений и рассматривали точки Р я-мерного
пространства, двигающиеся при изменении / по определен-
определенным законам, — динамические системы. Такие системы
рассматривались далее не в я-мерном эвклидовом простран-
пространстве (хъ ..., хп), а в каком-либо метрическом пространстве.
В первой главе пособия рассматриваются динамические
системы в метрическом пространстве и вопрос об устойчи-
устойчивости (в различных смыслах) инвариантных множеств,
т. е. множеств, состоящих из траекторий. При применении
второго метода Ляпунова функции V заменяют функциона-
функционалами. Исследуется поведение траектории в окрестности ин-
инвариантных множеств при наличии устойчивости и в неко-
некоторых случаях характеризуется вся область асимптотиче-
асимптотической устойчивости с помощью соответствующего функцио-
функционала. Эта глава носит чисто теоретический характер и не
содержит конструкций соответствующих функционалов.
Во второй главе результаты главы первой применяются
к системам дифференциальных уравнений вида A). В ча-
частности, рассматривается тот случай, когда правые части
суть однородные функции (хи ..., .v7l). Указывается в этом
случае необходимое и достаточное условие асимптотиче-
асимптотической устойчивости.
Далее для случая аналитических правых частей урав-
уравнений A) и автономных систем рассматривается тот сомни-
сомнительный случай, когда характеристическое уравнение пер-
первого приближения имеет k нулевых и k пар одинаковых
чисто мнимых корней с простыми элементарными делителя-
делителями, причем остальные корни имеют отрицательную веще-
вещественную часть. Дается условие существования k голоморф-
голоморфных интегралов, что приводит к достаточному условию ус-
устойчивости нулевого решения. Дается также достаточное
условие асимптотической устойчивости. При отсутствии
нулевых корней строится семейство ограниченных решений
(аналогично семейству периодических решений у А. М. Ля-
Ляпунова, о чем было сказано выше). Автор рассматривает
и тот случай, когда правые части уравнений A) содержат t.
Третья глава связана в основном с обобщением вспомо-
вспомогательной теоремы А. М. Ляпунова о системах уравнений
с частными производными и применением его первого мето-

да. Упомянутый результат приводит, естественным образом,
к обобщению известных результатов Врио и Буке, а также
Пуанкаре, касающихся построения решений дифференци-
дифференциальных уравнений в окрестности особых точек. Рассматри-
Рассматриваются автономные системы A), правые части которых го-
голоморфны и не содержат линейных членов. При некоторых
дополнительных предположениях строятся интегральные
кривые, стремящиеся к началу координат при f-> + оо.
Если это начало — точка асимптотической устойчивости,
то таким путем получаются все интегральные кривые.
В некоторых случаях даются необходимые и достаточные
условия асимптотической устойчивости.
В четвертой главе обобщается понятие Динамической си-
системы в метрическом пространстве с той целью, чтобы полу-
получить схему, подходящую для исследования устойчивости
в том или ином смысле для задач, связанных с уравнениями
в частных производных. Как и в первой главе, строится
аналог второго метода Ляпунова. Кроме того, даются оцен-
оценки расстояния движущейся точки до исследуемого инва-
инвариантного множества. В применении к системам обыкновен-
обыкновенных уравнений это дает новые результаты.
В пятой главе результаты предыдущей главы приме-
применяются к уравнениям в частных производных.
В предисловии к работе «Общая задача об устойчивости
движения» А. М. Ляпунов писал: «В этом сочинении я имел
лишь в виду изложить то, что пока удалось мне сделать для
решения поставленной мною задачи и что, может быть,
может послужить точкою отправления для дальнейших
изысканий такого же характера».
Эти слова оправдались в широкой мере. В печати появи-
появились сотни работ, непосредственно связанных с исследова-
исследованиями А. М. Ляпунова. В настоящем учебном пособии эти
исследования получили существенное обобщение и разви-
развитие.
Акад. В. И. Смирнов

ВВЕДЕНИЕ
В принятом на XXVI съезде КПСС программном доку-
документе «Основные направления экономического и социально-
социального развития СССР на 1981—1985 годы и на период до 1990
года» в частности, указывалось: «... сосредоточить усилия
на решении следующих важнейших проблем: развитие ма-
математической теории, повышение эффективности ее исполь-
использования в прикладных целях ...»*. В свете этих задач яв-
является актуальным развитие и обобщение современной те-
теории устойчивости движения, восходящей еще к работам
классиков естествознания — трудам А. М. Ляпунова и
. А. Пуанкаре.
Цель книги — познакомить читателя с новыми резуль-
результатами, полученными в теории устойчивости движения, а
также подытожить некоторые исследования автора в этой
области математики. Известно, что задача об устойчивости
сводится к исследованию не только систем обыкновенных
дифференциальных уравнений, но и систем уравнений с
частными производными. Поэтому в настоящей работе те-
теория излагается так, чтобы ее можно было применять для
решения задач об устойчивости как в случае систем обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений, так и в случае
систем уравнений с частными производными.
Приведем краткое содержание пособия. Книга состоит
из пяти глав. В § 1—5 гл. 1 даны основные сведения, свя-
связанные с понятием метрического пространства, а также вы-
выяснен смысл терминов, используемых в пособии; § 6 й 7
подготовительные, в них содержатся примеры динамиче-
динамических систем в различных пространствах. В § 8 дано опре-
определение понятия динамической системы в метрическом про-
пространстве, а также приведены основные теоремы из [5].
В §9—10 даны основные определения, связанные с поня-
понятием устойчивости по Ляпунову инвариантных множеств
динамической системы, а также исследованы свойства не-
некоторых устойчивых инвариантных множеств. В §11 ре-
*Материалы XXVI съезда КПСС. М., Политиздат, 1981.

шается вопрос о качественном строении окрестности устой-
устойчивого (асимптотически устойчивого) инвариантного мно-
множества. В частности, установлено, что для устойчивости,
по Ляпунову, инвариантного множества М динамической
системы / (р, t) необходимо, а в случае наличия достаточно
малой компактной окрестности множества М и достаточно,
чтобы не существовало движений / (/?, t), р £ М, имеющих
а-предельные точки в М. Полученные здесь результаты
являются новыми даже для теории обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений.
В § 12, 13 даны критерии устойчивости и неустойчиво-
неустойчивости инвариантных множеств при помощи некоторых функ-
функционалов. Эти функционалы являются аналогом функции
Ляпунова и поэтому изложенный здесь метод можно счи-
считать некоторым развитием второго метода Ляпунова. Все
результаты этих параграфов носят локальный характер.
Приведем, например, один из них. Для того чтобы инва-
инвариантное множество М было равномерно асимптотически
устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой
окрестности S (М, г) множества существовал функционал
У, обладающий следующими свойствами:
1) по числу ct > О можно указать с2 > О такое, что
V (р) > с2 при р (/?, М) > сг\
2) V (р) -> 0 при р (/?, М) -+ 0;
3) функция V (/ (/?, t)) не возрастает при / (/?, t) £ S (М, г)
и V (/ (Р> 0) ""*" 0 ПРИ ^->+°° равномерно относительно
р б S {М, бх), где 8t — некоторое число такое, чтоО < 8± <
<г.
В § 14 изложена одна из центральных теорем, носящая
нелокальный характер. Здесь показано, что, для того чтобы
инвариантное открытое множество Л, содержащее доста-
достаточно малую окрестность множества М, было областью
асимптотической устойчивости равномерно асимптотически
устойчивого и равномерно притягивающего множества М,
необходимо и достаточно, чтобы существовали два функцио-
функционала V (р) и Ф (р) таких, что:
1) V (р) задан и непрерывен в А, Ф (р) задан и непреры-
непрерывен в R, Ф (р) = 0, р 6 М9 при этом — 1 < V (р) < 0
при р е Л; Ф (/?) > 0 при р (/?, М) ф 0;
2) по у2 > 0 мож но указать Yi и аъ что V (р) < —уи
Ф (р) > <*i при р (/?, М) > v2; ^
3) V -^ 0 и Ф -> 0 при р (р, М) -^ 0;

5}V(p)->— 1 при p(/7, ?)->0, p£A, qeA\A
и ^ 6 M.
Здесь, как и выше, р я q — элементы пространства /?,
а р (/?, М) — метрическое расстояние точки р до множества
М.
В § 15 содержится метод, позволяющий оценивать рас-
расстояние от движения до исследуемого инвариантного мно-
множества. Теоремы, полученные здесь, можно рассматривать
как дополнение к § 12—14; § 1—15 исчерпывают содержа-
содержание первой главы, посвященной исследованию инвариант-
инвариантных множеств динамических систем.
В гл. 2 дано развернутое применение идей и метода гл. 1
к теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
В § 1 гл. 2 для стационарных систем дифференциальных
уравнений изложена теорема § 14 гл. 1, при этом показано,
что функция Ляпунова V может быть выбрана дифферен-
дифференцируемой до того же порядка, что и правые части системы.
В этом же параграфе дано представление этой функции при
помощи криволинейного интеграла и решена задача об ана-
аналитической структуре правых частей системы, имеющих на-
наперед заданную область асимптотической устойчивости.
В § 2 гл. 2 рассматривается случай голоморфных правых
частей. Функция V в этом случае, существование которой
установлено в § 1 этой главы, представлена в форме сходя-
сходящихся рядов, аналитическое продолжение которых позво-
позволяет получить функцию во всей области асимптотической
устойчивости. Метод построения таких рядов можно ис-
использовать для приближенного решения некоторых нело-
нелокальных задач совместно с построением ограниченных ре-
решений в виде рядов, сходящихся либо при t > О, либо при
t £ (— оо, -f- oo). Эти ряды получены из факта, что любое
ограниченное решение описывается функциями, аналитиче-
аналитическими по t в некоторой полосе или полуполосе, содержащей
вещественную полуось. В § 3 гл. 2 развивается теория урав-
уравнений с однородными правыми частями. В частности пока-
показано, что для того чтобы нулевое решение системы было
асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно су-
существования двух однородных функций: определенно поло-
положительной W порядка т и определенно отрицательной^
порядка (т + 1 — [х) таких, что dVldt = W, где^ — по-
показатель однородности правых частей системы. Если пра-
правые части системы дифференцируемы, то эти функции удов-
удовлетворяют системе уравнений в частных производных, ре-
решение которой можно найти в замкнутой форме. Это обстоя-
8

тельство позволяет дать необходимое и достаточное условие
асимптотической устойчивости в случае, когда правые
части являются формами степени \х непосредственно на
коэффициенты этих форм. В § 4, 5 гл. 2 рассмотрены сом-
сомнительные случаи: k нулевых корней и 2k чисто мнимых.
Здесь получен ряд результатов об устойчивости, а также
о существовании интегралов системы и семейства ограни-
ограниченных решений. В § 6 гл. 2 теория, развитая в гл. 1, приме-
применена к теории нестационарных систем уравнений. Здесь
сформулированы теоремы, вытекающие из результатов § 14,
а также предложен способ исследования периодических
решений.
В § 1 гл. 3 решена задача об аналитическом представле-
представлении решений уравнений в частных производных в случае,
когда не выполнены условия теоремы С. Ковалевской.
Полученные здесь теоремы применены в § 2 гл. 3 к систе-
системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Это до-
дополнило исследования Врио и Буке, А. Пуанкаре, Пика-
ра, Хорна и других и дало возможность в § 3 гл. 3 изложить
способ построения рядов, описывающих семейство О-кри-
вых для системы уравнений, разложение правых частей
которых не содержит членов, линейных относительно иско-
искомых функций. Способ построения таких рядов позволил
дать другой подход к решению вопроса об устойчивости
в случае систем, рассмотренных в § 3—5 гл. 2, и сформули-
сформулировать теоремы об устойчивости, опирающиеся на свойства
решений некоторых систем нелинейных алгебраических
уравнений. Таким образом, гл. 3 представляет собой по-
попытку решения вопроса об устойчивости при помощи пер-
первого метода Ляпунова.
В гл. 4 снова рассмотрены метрические пространства и
семейства преобразований в них. В § 1 гл. 4 вводится по-
понятие общей системы в метрическом пространстве.
Общая система есть двупараметрическое семейство one-
раторов из R в /?, обладающих свойствами, подобными тем,
которые имеются у решения задачи Коши и смешанной за-
задачи для уравнений в частных производных. Таким обра-
образом, общие системы являются абстрактной моделью этих
задач. Здесь также развито понятие устойчивости инва-
инвариантных множеств общих систем. В § 2 гл. 4 второй метод
Ляпунова распространяется на решение вопросов об устой-
устойчивости инвариантных множеств общих систем. Получен-
Полученные теоремы являются необходимыми и достаточными.
В основе их лежит метод исследования двупараметриче-

ских семейств операторов при помощи однопараметриче-
ских семейств функционалов. Здесь же предложен общий
метод оценок расстояния движения до инвариантного мно-
множества. В § 3 гл. 4 даны некоторые применения развитой
теории к задаче Коши для систем обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений. При этом получены результаты, не
встречающиеся в известной литературе.
Гл. 5 посвящена некоторым применениям развитой те-
теории к исследованию вопроса об устойчивости нулевого
решения систем уравнений в частных производных в слу-
случае задачи Коши или смешанной задачи. В § 1 гл. 5 изложе-
изложены общие теоремы, содержащие метод решения задачи об
устойчивости и носящие ориентировочный характер. В § 2,
3 гл. 5 приведены конкретные системы уравнений в част-
частных производных, для которых найдены критерии асимпто-
асимптотической устойчивости. В § 3 исследование устойчивости
решения задачи Коши для линейных систем уравнений ве-
ведется с помощью однопараметрического семейства квадра-
квадратичных функционалов, заданных в W^K Здесь получены
критерии устойчивости по норме W^K Однако теоремы
вложения позволяют выделить те случаи, когда устойчи-
устойчивость будет по норме в С. В этом же параграфе приведен
ряд примеров исследования устойчивости в случае смешан-
смешанной задачи.
Содержание второго издания учебного пособия по срав-
сравнению с первым, вышедшим в 1973 г., подвергнуто незна-
незначительной переработке, что позволило избавиться от не-
некоторых погрешностей изложения. Дополнительно приве-
приведены новые результаты, дающие представление о приклад-
прикладном значении развиваемой теории.
Для успешного понимания всего изложенного материала
необходимо иметь знания по математике в объеме трех кур-
курсов университета. Однако в некоторых местах требуются
также дополнительные знания.
Некоторые проблемы, рассмотренные в пособии, были
сформулированы в беседах с Н. П. Еругиным и В. В. Не-
мыцким, а также в работе семинара под * руководством
Н. П. Еругина. Идеи и методы решения этих проблем
были почерпнуты прежде всего в трудах А. М. Ляпунова,
Н. П. Еругина, Е. А. Барбашина, Н. Н. Красовского,.
В. В. Немыцкого и акад. С. Л. Соболева.
Автор приносит сердечную благодарность акад.
В. И. Смирнову и доц. А. П. Тузову за внимание, проявлен-
проявленное к настоящей работе.
10

Основные определения и понятия методов Ляпунова.
Теория устойчивости движения как отрасль математиче-
математической науки была создана трудами великого русского уче-
ученого акад. А. М. Ляпунова [1] в конце XIX в. В последние
годы наблюдается бурное развитие этой теории, вызван-
вызванное потребностями развивающейся техники и особенно ав-
автоматического регулирования. Теория устойчивости дви-
движения развивается по двум путям: расширением круга за-
задач и созданием новых и усилением уже известных методов
исследования. Приведем краткую характеристику предме-
предмета и основных методов этой теории.
Пусть дана система дифференциальных уравнений
п, 0 (S~l,..../l), A)
п
правые части которой заданы в области 2*s2 < #, t > О,
s=l
и удовлетворяют там некоторым условиям, которые гаран-
гарантируют существование системы непрерывно дифференцируе-
дифференцируемых функций x8 = x8(t, х\°\ ..., х(п°\ t0) (s = 1, ...,/z),
удовлетворяющих системе A) и обращающихся при t = t0
п
в величины х{*\ где ^x{s0J < Я, to> 0. Предположим, что
s=l
/в @, ..., 0, f) = 0 при / > 0, так что система A) имеет ну-
левое решение хг = 0, ..., л:^ = 0.
Определение 1. Нулевое решение системы A)
назовем устойчивым по Ляпунову, если по любому г > 0
и для данного t0 > 0 можно указать б > 0 такое, что
]£*!(*, *i0), ..., хк°\ to)<s при 2x(s0J<62 будет, если
s=l s=l
Если, кроме того, 2^? (U х^\ •••» ^«0)» 'о) "^ 0 ПРИ
s = l
/-> +оо, то нулевое решение системы A) называется асим-
асимптотически устойчивым.
Определение 2. Однозначную непрерывную
п
функцию V (хъ ..., хп, t), заданную в области ^x2s < Нъ
s = l
t > Ту назовем положительно определенной, если выпол-
выполнены следующие условия:
1) У@, .... 0, 0 = 0;
И

2) существует функция Уг{хъ ..., хп) такая, что Vx (О, ...
.... 0) = 0и V±> О при 2**2 < нъ причем V (хъ ...,
8=1
..., хп, 0 > V± {хъ ..., хп).
При выполнении условия 1 функцию V (хъ ..., #„, /)
называют отрицательно определенной, если V (хъ ...,
..., хп, t) <—V1(xl9 ..., хп).
Определение 3. Будем говорить, что функция
V (хъ ..., хп, t) допускает бесконечно малый высший предел,
п
если V (х1у ..., хпу /)->0 при ^xl -> 0 равномерно при
l
s=l
Определение 4. Производной функции 1/(лг1э ...
..., л:п, ^) вдоль интегральной кривой
(г (i г\0) г@) / ^ г ^/ ri0) г@)'/ Л
системы A) назовем выражение
at
Если функция У непрерывно дифференцируема по всем
своим аргументам, то полной производной функции V в
силу системы A) будем называть выражение
at ot . oxi
Как показал А. М. Ляпунов, общая задача об устойчи-
устойчивости движения для некоторых величин может быть сведе-
сведена в большинстве случаев к решению вопроса об устойчи-
устойчивости нулевого решения системы A). Для решения вопроса
об устойчивости нулевого решения системы A) А. М. Ляпу-
Ляпунов предложил два метода. Кратко изложим эти методы.
Теорема 1. Если система дифференциальных уравнений
A) такова, что можно найти положительно определенную
функцию Vy производная которой W, вычисленная на ос-
основании системы A), удовлетворяла бы неравенству W < О,
то нулевое решение системы A) устойчиво.
Теорема 2. Нулевое решение системы A) будет асимпто-
асимптотически устойчивым, если выполнены условия теоремы 1
и, кроме того, функция W определенно отрицательна, а
функция V допускает бесконечно малый высший предел.
Теорема 3. Если система A) такова, что можно найти
функцию 1/, которая обладала бы в силу этих уравнений
положительно определенной производной Wt притом до-
12

пускала бы бесконечно малый высший предел и была бы
такова, что при всяком f> Т (Т — достаточно большая
величина) надлежащим выбором сколь угодно малых вели-
величин xs (s = 1, ..., /z), ее можно было бы сделать положи-
положительной, то нулевое решение неустойчиво.
Теорема 4. Если система A) такова, что можно найти
ограниченную функцию V при достаточно малых \xs\ и
t > 7\ производная которой на основании системы A)
dV
приводилась бы к виду -j = XV + W, где К — положи-
положительная постоянная, a W > О, и если в последнем случае
найденная функция V такова, что при всяком / > Т над-
надлежащим выбором величин xs (s = 1, ..., /г), численно
сколь угодно малых, ее можно сделать величиной одинако-
одинакового знака с W, то нулевое решение системы A) неустойчи-
неустойчиво.
Эти четыре теоремы составляют основное теоретическое
содержание второго метода Ляпунова в его первоначальной
форме. Функцию V {хъ ..., хП9 /), позволяющую решить во-
вопрос об устойчивости нулевого решения системы A), назы-
называют функцией Ляпунова. В связи с этими теоремами во-
возник ряд вопросов:
1) являются ли достаточные условия, сформулирован-
сформулированные в этих теоремах, также и необходимыми;
2) можно ли с помощью функции Ляпунова отыскать
область изменения начальных значений х[°\ ..., х{п°\ t0
таких, что 2*s (t> x[°\ ..., х(п°\ to)-+0 при t->-+oo\
s = l
3) можйо ли с помощью функции Ляпунова указывать
те или иные оценки функций xs (/, лг}0), ..., х{п°\ tQ), отве-
отвечающих достаточно малым |*S0)|, ..., \х(п0)\.
Эти основные проблемы являлись и являются предметом
исследований ряда крупных советских и зарубежных мате-
математиков. В настоящей работе второй метод Ляпунова изло-
изложен применительно к изучению вопроса об устойчивости
инвариантных множеств динамических систем и двупара-
метрических семейств преобразований в метрическом про-
пространстве.
Для большей ясности изложения отметим следующее:
если функция Ляпунова V (хъ ..., хП9 t) удовлетворяет ус-
условиям теоремы 1 и, кроме того, допускает бесконечно
малый высший предел, то для любого е > 0 можно указать
п
число б > 0, не зависящее от /0 > Г, такое, что при 2*i0J <
13

л
< б для любого to > Т имеет место неравенство ]£л:|
*[0), ..., х{п°\ tQ)<e при t>t0.
Действительно, не ограничивая общности, возьмем
е>0ие<#1и положим Я = inf У (х1у ..., хпу f) при
24 = е.
Функция V (х1у ..., хпу t) имеет бесконечно малый выс-
высший предел, поэтому можно указать S > 0 такое, что при
п
2*f < б будет V (хъ ..., *п, /) < А,, / > Т. По условию,
s=l
полная производная функции У в силу системы A) неполо-
неположительна, следовательно, V (х1у ..., хпу t) < V (х\°\ ...,
при t>t0, i
... 4, о)< р >0, jxo> is<6.
.s = l
Здесь аргументы хъ ..., л:п функции V представляют собой
функции, удовлетворяющие системе A), т. е. xt = xt (ty
п
xi\ ..., х{п°\ t0). Поэтому имеем 2#| < г при / > t0. Итак,
нулевое решение системы A) в этом случае устойчиво и,
кроме того, для каждого г > 0 число б > 0 можно выбрать
не зависящим от /0 > Т. Такую устойчивость будем назы-
называть равномерной [41] относительно /0. Всюду в дальней-
дальнейшем, когда речь идет об устойчивости нулевого решения
системы нестационарных уравнений, будем считать, что
подразумевается устойчивость, равномерная относительно
tOy а термин «неустойчивость» означает факт, противополож-
противоположный устойчивости, равномерной по /0. Следует отметить, что
в случае, когда правые части системы не зависят явно от
времени, из устойчивости нулевого решения следует устой-
устойчивость, равномерная по /0 >—оо.
Кратко опишем первый метод Ляпунова. Предположим,
что правые части системы A) разлагаются в ряды по степе-
степеням величин xs, сходящиеся при достаточно малых |*s|
(s — 1, ..., п) и всех t > 0. Первый метод решения вопроса
об устойчивости состоит в построении общего решения в
виде рядов, сходящихся при t > 0, по виду которого уста-
устанавливают факт устойчивости или неустойчивости. Пояс-
Поясним этот метод подробнее.
Рассмотрим систему уравнений
= И PsiXi + Xsixi,..., хп). B)
dxs
dt
Будем предполагать, что функции Xs разлагаются в ряды
по степеням чисел хъ ..., хПУ сходящиеся при достаточно ма-
14

лых \xs\ и не содержащие членов линейных относительно
хъ ..., хп. Обозначим через Хь (I = 1, ..., п) корни уравне-
уравнения \Р — ХЕ\ = 0, где Р = \\ptk\\. Пусть Re ^ < О при
t < k. Тогда, как показал Ляпунов, система B) имеет се-
семейство решений в виде рядов
сходящихся при \оц\ < а и t> 0, где а > 0 постоянная.
Отсюда следует, что при k = n нулевое решение системы
B) асимптотически устойчиво, т. е. не зависит от выбора
голоморфных функций Xs (хъ ..., хп) (s = 1, ..., п).
Если среди чисел Хг существует по крайней мере одно
число X] такое, что Re (Kj) > 0, то система B) имеет се-
мейство решений в виде рядов xs = 2 ^s7' @ а/ J'^ ^ ^»
сходящихся при |оь/| < а, / < 0, следовательно, ,vs ->- 0 при
^^ оо; тогда нулевое решение системы B) неустойчиво
и независимо от выбора голоморфных функций Xs [6].
Если среди чисел Xt (i = 1, ..., п) нет чисел с положи-
положительными вещественными частями, но существуют такие,
что Re Ki = 0, то вопрос об устойчивости нулевого решения
системы B) решают, рассматривая члены разложений функ-
функций Xs. Этот случай особенно труден.
Случаи, когда Re ^ <0 при i= 1, ..., п и существуют
%г такие, что Re Я,- = 0, называют сомнительными*
А. М. Ляпунов детально рассмотрел некоторые из этих сом-
сомнительных случаев, а именно: случай одного нулевого кор-
корня, случай двух нулевых корней и случай двух чисто мни-
мнимых корней. При исследовании случая одного нулевого кор-
корня Ляпунов впервые применил следующее утверждение.
Теорема. Пусть дана система уравнений в частных про-
производных вида
(/=!>•..,*), C)
где Хъ ..., Хп\ 1Ъ ..., Zk — голоморфные функции пере-
переменных хъ х2, ..., хп, гъ гъ ..., zk9 обращающиеся в нуль,
*Функции Ks * mk @ являются, вообще говоря, полиномами
по степеням Л
15

если все эти переменные равны нулю; функции Xs не со-
содержат в своих разложениях членов ниже второго порядка,
а функции Zjf если и содержат члены первого порядка, то
только не зависящие от величин гъ ..., ?к. Коэффициен-
Коэффициенты р8оу Qjt — некоторые постоянные. Тогда, если хь ...
..., кп — корни уравнения
Ри ^> Pi2>
Р-2Ъ Р22 Х>
Pin
Р2П
PnV Pn2> • • •> Рпп И
а %ъ ..., Хк — корни уравнения
-О,
если, кроме того, вещественные части всех xs отличны от
нуля и одного и того же знака и между величинами xs и
А,у не существует соотношений вида т1к1 + т2к2 + ... +
+ тпКп = \/1/ = 1» •••» k), где все ms (s = 1, ..., п) были
бы целыми неотрицательными числами, удовлетворяющи-
п
ми условию ^jns >> 0, то всегда найдется одна определен-
определенная система голоморфных функций Zlf ..., Zh переменных
Хь -••> хп> удовлетворяющих уравнениям C) и обращающих-
обращающихся в нуль при х1 — ... = хп = 0.
В данной книге рассматривается также вопрос об ус-
устойчивости в сомнительных случаях, а именно, когда сре-
среди величин %t имеются k с нулевыми вещественными частя-
частями или когда среди величин Xt имеются 2k чисто мнимых,
а остальные имеют отрицательные вещественные части. Это
исследование ведется с помощью второго метода и некото-
некоторых вспомогательных теорем, аналогичных вспомогатель-
вспомогательной теореме Ляпунова. Уделено также внимание построе-
построению решений и их оценкам.
Теоремы второго метода, полученные при исследовании
инвариантных множеств в метрических пространствах,
применяют при исследовании вопроса об устойчивости си-
систем обыкновенных дифференциальных уравнений и систем
уравнений в частных производных.
16

Глава 1
УСТОЙЧИВОСТЬ ИНВАРИАНТНЫХ МНОЖЕСТВ
ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В МЕТРИЧЕСКОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО. ОСНОВНЫЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Определение 1. Множество R элементов р, при-
природа которых безразлична, назовем метрическим простран-
пространством, если любым двум элементам р £ R и q 6 R соответст-
соответствует вещественное неотрицательное число р (/?, q), удовлет-
удовлетворяющее следующим условиям:
О Р (р> q) = 0 лишь при р = q\
2) р (/>, q) = Р (<7> р);
3) р (р, q) < Р (р> z) + р (г, 9) при любом г 6 Я-
Число р (/?, д) обычно называют метрическим расстоя-
расстоянием, или просто расстоянием от элемента р до элемента
q, а элементы пространства R — точками.
Определение 2. Точку р £ R называют преде-
пределом для последовательности ръ ..., рп, ... 6 R, если
Р (Рп, /?)->-О при п->+оо. Если последовательность
А; 6 #, п = 1, 2, ..., имеет предел, то, как легко убедиться,
она обладает следующими свойствами:
1) любая бесконечная подпоследовательность последо-
последовательности /?л, ..., рп, ... также имеет предел;
2) предел единствен, т. е. если рп -+ р, рп -+ qfro p ~ q.
Определение 3. Множество всех точек р £ R,
обладающих свойством 0 < р (р0> р) < г, называется г-ок-
рестностью точки р0. Здесь г — положительное число.
Определение 4. Множество X cz R называется
открытым в R, если из р0 6 X следует, что существует та-
такая окрестность точки /?0, что любая точка р из нее содер-
жится в X.
Определение 5. Точка р0 называется предель-
предельной для множества X cz R, если существует последователь-
последовательность р1у ..., рП1 ... £ X такая, что рп-+Ро при /*->
->• +°°.
Определение 6. Множество X a R, содержа-
содержащее все свои предельные точки, называется замкнутым в
R. Легко показать, что множество Y cz R, служащее до-
17

Полнением открытого множества X a R, до всего про-
пространства R, является замкнутым в ^, и наоборот.
Определение 7. Множество, которое получает-
получается из X присоединением всех его предельных точек, назы-
называется замыканием X и обозначается X.
Определение 8. Границей открытого множества
А называется множество А \ А.
Определение 9. Последовательность рп £ R на-
называется сходящейся в себе, если для каждого е > О
можно указать величину N& такую, что при п> NB и
m > Ne будет р (рп, рт) < е.
Последовательность, имеющая предел, сходится в себе.
Определение 10. Пространство R называется
полным, если любая сходящаяся в себе последовательность
рп (: R имеет предел. Легко видеть, что любое замкнутое
множество X, содержащееся в полном R, является в свою
очередь полным пространством (по отношению к расстоя-
расстоянию, индуцированному из R).
§ 2. ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ
Пусть X и Y — два множества, содержащиеся в R.
Определение 11. Если дан закон, ставящий в
соответствие каждому элементу р £ X некоторый элемент
q 6 У у то говорят, что в множестве X задан оператор F
такой, что q = Fp. При этом множество X называется об-
областью задания оператора F.
Определение 12. Оператор F называют непре-
непрерывным в точке /?0 6 X, если по любому е > 0 можно ука-
указать число б > 0 такое, что при р (/?0, р) < б, р 6 X будет
р (Fp, FPo) < e. Рассматривают также семейство операто-
операторов, зависящее от параметра т, являющегося элементом
множества Z, природа которого безразлична.
В дальнейшем будем изучать свойства таких семейств
операторов, для которых множество Z является подмноже-
подмножеством множества вещественных чисел или подмножеством
множества пар вещественных чисел.
Определение 13. Если дан закон, согласно ко-
которому любому элементу р 6 X соответствует вещественное
число V (/?), то говорят, что на множестве X задан функцио-
функционал V.
По аналогии с определением 12 можно ввести понятие
непрерывности функционала V в точке р0 6 X.
Рассматриваются также семейства функционалов, за-
зависящие от некоторого параметра т £ Z. Ясно, что Vx (p)
18

при закрепленном р £ X определяет функционал на множе-
множестве Z. Далее рассмотрим семейства функционалов, завися-
зависящие от вещественного параметра т, так что при закреплен-
закрепленном р 6 X выражение Vx (p) определит вещественную функ-
функцию вещественного аргумента т. Эти семейства функциона-
функционалов применены далее при изучении некоторых свойств се-
семейства операторов. Такой подход к изучению свойств се-
семейств операторов, заданных в метрическом пространстве
R, составляет основное содержание второго метода Ляпу-
Ляпунова в абстрактной форме. В дальнейшем будет приведена
более точная характеристика этого метода.
§ 3. ОКРЕСТНОСТЬ МНОЖЕСТВА
Рассмотрим множество X cz R. Пусть р и q — две точки
такие, что р 6 R, a q £ X. Величина р (/?, q) ограничена
снизу при любом q 6 X, поэтому существует inf p (/?, q).
q<EEX
Определение 14. Расстоянием от точки р до
множества X назовем inf р (/?, q) и будем обозначать р (/?, X).
qtEX
Ясно, что р (/?, X) является функционалом, заданным
при р £ R. Покажем, что этот функционал непрерывен в
любой точке р0 6 R- Действительно, возьмем любые точки
р eR и q еХ; тогда р (/?, q) < р (/?, р0) + р (р0, q), отку-
откуда inf р (/?, q) < inf р (р0, q) + р (р9 р0) или р (р, X) <
X X
q q
< р (/?о, X) + р (р, р0). Аналогично из р (рОу q) < р (ру р0) +
+ р (р, q) имеем р (р0, X) < р (р, р0) + р (/?, X). Сопостав-
Сопоставляя оба неравенства, получим |р (/?, X) — р (/?0, Х)\ <
< р (р, ро)у откуда следует сделанное выше утверждение.
Определение 15. Под г-окрестностью множест-
множества X £ R будем понимать совокупность всех точек р £R,
обладающих свойством 0 < р (/?, X) < г, где г > 0 —
некоторое число. В дальнейшем эту окрестность будем
обозначать через S (X, г).
Определение 16. Множество X cz R называет-
называется ограниченным, если sup p (/?, q) <C +оо для некоторого
^X
peR
Следует отметить, что из ограниченности множества
S (X, г) не следует ограниченность множества X.
§ 4. КОМПАКТНОСТЬ
Определение 17. Множество М cz R называет-
называется компактным в R, если из любого бесконечного подмноже-
подмножества Y cz M можно выделить бесконечную сходящуюся
последовательность.
19

Если предел любой выделенной таким образом последо-
последовательности содержится в М, то множество М называется
компактным в себе. Если само пространство R компактно,
то легко показать, что оно полно. Можно также устано-
установить следующее: непрерывный функционал, заданный на
компактном в себе множестве, ограничен и достигает своих
точной верхней и точной нижней границ.
Определение 18. Множество Y cz R называет-
называется е-сетью множества X cz R, если для каждого р 6 X мож-
можно указать q 6 Y такое, что р (/?, q) < бе.
Теорема Хаусдорфа. Для того чтобы множество X cz R
было компактным, необходимо, а в случае полного R и до-
достаточно, чтобы существовала при любом е > 0 конечная
е-сеть множества X. Отметим, что компактное множество
является ограниченным.
Определение 19. Метрическое пространство R
называется сепарабельным, если существует счетное мно-
множество элементов G cz R такое, что, какие бы г > 0 и
р 6 R ни взять, найдется qR £ G такое, что р (/?, q£) < ь\
Из теоремы Хаусдорфа и определения 17 непосредственно
следует, что компактное пространство сепарабельно.
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Определение 20. Множество G называется груп-
группой по сложению, если выполнены следующие условия:
1) любым х, у 6 G сопоставлен г 6 G, который обозна-
обозначим z = х + у\
2) х + {у + г) = (х + у) + г;
3) существует правый нулевой элемент 0 такой, что
х + 9,= х\
4) "существует правый противоположный элемент (— х)
такой, что х + (\—x) = Q.
Группа называется абелевой, если х + у = у + х.
Определение 21. Множество L называется ли-
линейной системой, если оно есть абелева группа по сложению
и если определено умножение элементов этого множества
на комплексные числа, т. е. из х 6 L и % — комплексное
число следует %х 6 £> при этом указанное умножение об-
обладает свойствами ассоциативности и дистрибутивности.
Определение 22. Множество Е называется ли-
линейным нормированным пространством, если Е — линей-
линейная система и если каждому элементу х 6 Е ставится в со-
соответствие неотрицательное число ||я|| — норма. При этом
выполняются следующие условия:
а) |М1 = 0 только при х = 0;
20

б) | [ал: 11 = |а| ||jc||, а — комплексное число;
в) \\х+у\\ < \\х\\+ \\y\\.
Если положить р (#, у) = ||# — у||, то мы определим
в множестве Е метрику. Таким образом, линейное норми-
нормированное пространство — частный случай метрического про-
пространства. Если линейное нормированное пространство Е
лолно, то его называют пространством Банаха или ти-
типа В.
Приведем примеры линейных нормированных прост-
пространств и отметим их основные свойства.
1. Рассмотрим пространство непрерывных функций
Ф (хп • ••> хп)у заданных в Еп> таких, что sup Ы < +оо.
п
Пространство, полученное из совокупности этих функций
в результате введения нормы ||ф|| = sup |ф|, является ли-
х^Е
п
нейным типа 5.
2. Рассмотрим совокупность функций ф (хъ ..., хп)> за-
заданных в конечной области Q пространства Епу суммируе-
суммируемых по Q вместе с |ф|^, /?> 1. Положим ||ф|| = {С |ф|р dQ }xI
Можно показать [3], что это равенство определяет норму.
Соответствующее пространство обозначают через Lp.
3. Пространство n-мерных комплексных векторов X =
= (хь ..., хп), в котором положено
является наиболее простым примером пространства типа В.
§ 6. ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА В д-МЕРНОМ
ЭВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Рассмотрим систему п дифференциальных уравнений
d^f = fs(^ .-., Хп) E=1, ..., П). A.1)
Предположим, что функции fx (хъ ..., хп), ..., fn (%,..., хп)
заданы при —oo<<xs<+<x> и непрерывны там. Если,
кроме того, эти функции удовлетворяют условию Липши-
Липшица по переменным хъ ..., хп в любой конечной области g
пространства Еп, т. е.
l/s (*!,..•> *»)— /e (*i-... xn)\<Lg( 2 \xt — xt\\
21

(Lg — постоянная, s= 1, ..., n)\ (xl9 ..., xn)£g, (xL, ...
• ••» Xn) 6 g> то система A.1), как известно [4], определяет
в Еп семейство интегральных кривых.
Ради краткости интегральную кривую, проходящую че-
через Х@) = (л:|0), ..., л;^0)) при t = О, будем обозначать через
X = X (t, Х@))> гДе X — вектор (х19 ..., хп). Вообще гово-
говоря, не всякая интегральная кривая X = X (/, Х@>) систе-
системы A.1) может быть определена при всех значениях аргумен-
аргумента t. Однако существуют условия для функций fs (хъ ...
..., хп), s = 1, ..., п, при выполнении которых любая инте-
интегральная кривая системы A.1) определена при всех /6
£ (—оо, +оо). Одним из таких условий является ограничен-
ограниченность правых частей системы A.1). Действительно, пусть
IM*i, ...,xn)\<m(s= 1, .... л) A.2)
при X £ Еп. Установим, что любая интегральная кривая
системы A.1) в этом случае определена при всех t 6 (— °°>
+оо). Покажем, например, что интегральная кривая X =
= X (ty Xv°)) определена при t > 0. Возможны два случая:
либо эта интегральная кривая ограничена при t > 0, либо
не ограничена. В первом случае, последовательно приме-
применяя теорему существования [5], можно показать, что инте-
интегральная кривая определена при всех t > 0. Во втором
случае предположим, напротив, что интегральная кривая
определена лишь при £<Г<+оо. Тогда, как следует
из равенства xs = x{s0) + Г /s (хъ ..., хп) dx, получим оцен-
о
о
ку \xs (U XW) — x(s0)\< mT (s = 1, ..., п), что противоре-
противоречит предположению о неограниченности интегральной кри-
кривой. Условиям A.2) всегда можно удовлетворить, вводя в
систему A.1) новое независимое переменное, например, по
формуле
2l
Любая интегральная кривая X = X (т, Х@)) вновь по-
полученной системы
dxs fs (*ь. . ., хп)
dx n
1 + 2 f *
A.Г)
определена при всех значениях т 6 (— °°, +°°). Однако
геометрически интегральные кривые систем A.1) и A.Г)
будут совпадать.
22

Отметим, далее, что если_Х (т, Х<°)) — интегральная
кривая, то любая функция X (х + с, Х<0>), где с— ве-
вещественная постоянная, также удовлетворяет системе A.Г).
Таким образом, в пространстве Ьп с помощью системы
A.1) удалось определить семейство интегральных кривых
Х"= X (т, Х@)), обладающих следующими свойствами:
а) при любой конечной величине Х@) векторная функция
X (т, Х@)) определена при всех т 6 (— °°, +°°), при этом
б) векторная функция X (т, Х<°>) непрерывна по сово-
совокупности своих аргументов, что следует из теоремы о не-
непрерывности по начальным данным [1];
в) для любых величин т и тх имеет место равенство
X (т + Tlf Х<°>) = Х~(т, Х(хъ Х«»)). A.3)
Действительно, на основании сделанного выше замечания
левая часть равенства A.3) является решением системы
A.Г). При этом при т = 0 имеем равенство X (х19 Х@>) =*
в= X (О, X (ть Х@)), которое справедливо в силу п. «а»;
тогда по теореме единственности [1] равенство A.3) спра-
справедливо для любого т 6 (—оо, +оо) и для любого хх 6
€(-00, +ОО).
Векторную функцию двух аргументов X (т, Х@>) можно
рассматривать как однопараметрическое семейство опера-
операторов, заданных в ЕП9 или как однопараметрическую груп-
группу преобразований пространства Еп на себя. Действитель-
Действительно, элементами группы являются преобразования X (т, Х@>),
соответствующие данному т, Х@) 6 Еп. Каждым двум таким
преобразованиям X (т1э Х<°>) и__Х (т2, Х@>) отвечает их
суперпозиция — сумма X (т1э X (т2, Х<°>)) = X (тх + т2г
Х@>). Действие сложения преобразований ассоциативно.
Кроме того, имеется нулевой элемент [тождественное пре-
преобразование X (О, Х@>) =5 Х<0)] и каждому преобразова-
преобразованию Х"(т, Х@)) отвечает обратное преобразование
Х(—т, Х«»).
Однопараметрическую группу преобразований прост-
пространства Еп на себя, обладающую свойствами, указанными
в п. «а», «б», «в», называют динамической системой в Еп
и изучают независимо от конкретного вида функций
f8 (х±, ..., хп)9 порождающих ту или иную динамическую
систему.
23

§ 7. ПРИМЕРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Рассмотрим линейное уравнение в частных производных
ди . v-i 1 ди
аи+%Ь
аи+%Ьг
A.4)
где а> Ьъ ..., Ьп — вещественные постоянные. Образуем
пространство Ф непрерывно дифференцируемых функций
Ф (хъ ..., хп), заданных при X 6 Еп и таких, что ф (хи ...
..., хп) -»■ L<p при ||Х2|| ->- +оо, где £ф — конечная веще-
вещественная постоянная. Положим
ЦфЦ-sup |ф|.
Для любой функции ф 6 Ф можно найти решение уравне-
уравнения A.4) и (ф, t)y обладающее свойством и (ср, 0) = ф (хъ ...
..., #п). Легко проверить, что
и (Ф, 0 = е** ф (^ + bxU ..., хд + М- 0-5)
Совокупность решений A.5) уравнения A.4) при ф 6 Ф
представляет собой однопараметрическое семейство преоб-
преобразований пространства Ф на себя, порожденное однопара-
метрическим семейством операторов щ (ф) = и (ф, t). Это
семейство преобразований обладает следующими свойст-
свойствами:
а) и (ф, t) непрерывно в любой точке (t> ф) по обоим
аргументам, т. е. по любому е > 0 можно указать величины
6i и 62 > 0 такие, что при \t± — t2\ < 61 и ||ф! — ф2Ц <С
< б2, имеем \\и (фь tx) — и (ф2, £2)И < е- Действительно,
— и (ф2, t2) = eati фх (х± + b±tlf ..., хп
^ [ф1 (х, + Mi) - ф2 (^ + Ь^)] +
*»'•) [ф2 (^ + Ш) + е**> [ф2 (xi + Ш
Здесь ф (хг + 6i/, ..., хп + ftn/) = ф (*< + &**)•
Отметим, что из |1Ф| < +оо следует, что любая функ-
функция ф 6 Ф равномерно непрерывна во всем пространстве
£л и ограничена там.
Функция ф2, равномерно непрерывна, поэтому по е > 0
можно указать 8г > 0 такое, что при |*x — t2\ < SA
имеет место неравенство е"** |ф2 (^ + /Д-) — фа (а:^ +
24

+ h WIE- Функция ф2 ограничена, следовательно, мож-
можно выбрать столь малое б2 > 0, что (е0** — е0**) ||ф2||< £
при Ki — t2\ < б2. Можно также указать величину у > О
такую, что eat* ||9i —Ф2||<« при \\^х — Ф2||<7. По-
Положим б = min (filf 62). Оценивая правую часть равенства
A.6), получаем \\и (фь tx) — и (ф2, /2)||< Зе при \tx — t2\<
< б и ||фх — ф2|| -< V- Следует отметить, что полученная
оценка не является равномерной относительно tx и ф, т. е.
б^== 82 (tly ф), б2 = б2 (tu ф);
б) непосредственной проверкой легко убедиться, что
и (и (ф, ^i), t2) = и (ф, t± + t2). Это также следует из того,
что любая функция и (ф, t + С), где С — вещественная
константа, является также решением уравнения A.4) и
п. «в» § 6;
в) для любой функции ф (хъ ;.., хп) 6 Ф существует
единственное решение w (ф, /), непрерывно дифференциру-
дифференцируемое по всем аргументам (xly ...,'xn, t) уравнения A.4), оп-
определенное формулой A.5) и такое, что и (ф, 0) = ф.
Однопараметрическое семейство операторов и (ф, /),
обладающее свойствами «а», «б», «в», назовем динамической
системой в функциональном пространстве Ф. Это семейство
операторов при всех / 6 (—°°, +°°) дает группу преобра-
преобразований пространства Ф на себя.
Приведем другой пример динамической системы в функ-
функциональном пространстве.
Рассмотрим систему уравнений
ди дх) . dv ди , , ч , \ / \ /л п\
Образуем пространство 4я пар функций ф (х), о|) (х), х 6
£ (— оо, +сх)), каждая из которых непрерывно дифферен-
дифференцируема и имеет конечные пределы яри х-> +оо и #->
-> оо. В множестве функций W введем норму, положив
П(ф» ty)ll = SUP 1ф1 + SUP №lt x 6 (—°°» +°о). Можно
проворить, что пара
и (Ф, яр, 0 - [ф (* - 0 + ф (х + t) + я|> (^ + 0 -
-q(x-f))/2, A.8)
^ (ф, *, *) = Ы>(*-')+1>(*+') + ф (*+')-
является решением системы A.7), удовлетворяющим на-
начальным данным Коши: и (ф, 'ф, 0) = ф (л:), и(ф, \(), 0) =
Формулы A.8) дают однопараметрическое семейство пре-
преобразований пространства W на себя. Непосредственно
25

можно установить следующие свойства этого семейства
преобразований:
а) и (ф, г|), /) ^ определены при всех t 6 (—00, +оо),
v (ф, if, t) J для любой пари (ф, гр) £ ¥.
При этом (w (ср, а|), 0), и (ф, г|>, 0)) = (ф, о|));
б) непосредственной проверкой можно показать, что:
и {и (ф, г|>, *,), и (ф, гр, ^), t2) = м (ф, i|>, tx + /2),
у («, (ф, г|), /х), и (ф, гр, /х), /2) = у (ф, а|), ^ + /2);
в) при х ->■ +оо и л:-^—оо функции, являющиеся
элементами пространства Y, имеют пределы, поэтому мож-
можно утверждать, что ф (х) hi|) (х) равномерно непрерывны
при х 6 (—оо, +оо), если (ф, я|)) б^Р". Используя это, по
аналогии с приведенным выше примером можно установить,
что и (ф, i|), t) и у (ф, г|), t) — непрерывные функции своих
аргументов (ф, ip, f).
Семейство преобразований пространства Ч' на себя, об-
обладающее свойствами «а», «б», «в», называется динамической
системой в пространстве W.
Можно изучать различные свойства динамических сис-
систем в пространстве Ф или в пространстве W независимо от
уравнений, порождающих эти динамические системы.
§ 8. ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА В МЕТРИЧЕСКОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
Определение 1. Динамической системой в метри-
метрическом пространстве R называется однопараметрическое се-
семейство операторов Ft, t 6 (—00, +°°), заданное в R и об-
обладающее следующими свойствами:
а) на любом элементе р £ R семейство операторов Ft
принимает значения Ft (/?) £ R при t 6 (—°°> +°°) так, что
^о (р) = Р\
б) значение оператора Ft (p) является непрерывной
функцией по совокупности (/, /?), т. е. по любому е > О
можно указать величины 8г > 0 и б2 > 0 такие, что р (Ftt (/7),
Ft2(q))<p при р (/?, q)<&! и \t±— t2\<82. Здесь
fii = 6i (^i. Pi)> б2 = б2 (*2, /?2);
в) Fu (Ft2 (p)) = Ftl + и (р).
В учебной литературе принято Ft (p) обозначать через
/ (р, t). Последнее свойство семейства операторов позволя-
позволяет рассматривать динамическую систему как однопарамет-
рическую группу преобразований пространства R на се-
себя. Действительно, элементами этой группы являются
преобразования / (/?, /), р £ R. Двум таким преобразова-
6

ниям /(/?, U) и /(/?, /2) отвечает их сумма /(/(/?, У, *2) =
= / (/?> ^i + t2). Это действие сложения преобразований ас-
ассоциативно. Кроме того, имеется нулевой элемент группы
преобразований / (/?, 0) = р (тождественное преобразова-
преобразование). И далее, каждому преобразованию / (/?, t) пространст-
пространства R на себя можно указать обратное / (р9 —t), так что
/ (/ (/7, t), —t), = f (/7, 0) = /7. ФуНКЦИЮ / (/7, t) ПрИ фиКСИ-
рованном /7 назовем движением. Множество всех точек
/ (р, 0» ^ 6 (—°°, +°°), где /7 фиксировано, назовем траек-
траекторией динамической системы.
Если / (/7, t) = р при / 6 (—оо, +°°), то точку р назо-
назовем точкой покоя динамической системы.
Если f (py t + т) = / (/7, t) ф р> то движение / (/7, О
назовем периодическим с периодом т.
Теорема 1 [5] (о непрерывной зависимости движений
по начальным данным). Рассмотрим движение /(/7, t). По
любому е > 0 (сколь угодно малому) и по любому Т > О
(сколь угодно большому) можно указать величину б > О
столь малую, что при р (/7, <7)< б будет р (/ (/7, t), f (qy t)) <
< e при f 6 [О, Л.
П Предположим, что утверждение теоремы 'неверно.
Тогда существуют две последовательности qn ->- р,
tn 6 [О, Т] такие, что для некоторого 8>0иГ>0 имеем
Р (/ (р> tn), f (qny tn)) > e. Выберем из ограниченной после-
последовательности tn сходящуюся подпоследовательность tnh->-
->■ t0 при А->+°°, t0 6 [0, 71. Тогда получаем qn-*py
tnh -> t0, но р (/ (/7, /nft), / (^nft, /nft)) > 8, что противоречит
свойству непрерывности функции / (/7, /) в точке (р, t0).
Тем самым теорема доказана полностью.
Определение 2. Множество М cz R называет-
называется инвариантным по отношению к динамической системе
/ (/7, t), если оно состоит из траекторий этой динамической
системы, т. е. из р 6 М следует / (/7, t) 6 М, t 6 (—°°, +°°)-
Теорема 2 [51. Замыкание инвариантного множества
М является инвариантным множеством.
□ Возьмем точку р 6 М. Если при этом окажется, что
р 6 М, то / (/?, О также 6 -М при £ 6 (—оо, +оо), а значит
и £ УИ. Если же р ^ М \ Му то существует последователь-
последовательность /?!, ..., рп, ..., 6 М такая, что рп~+ р. Тогда и / (
О "*■ / (Z7» 0- Следовательно, / (/?, Q 6 М при t 6 (—°°
Ясно, что / (/7, /) при этом 6 Л1 .\ М.
Следствие. Граница открытого инвариантного мно-
множества состоит из (целых) траекторий динамической систе-
системы / (/?, t).
27

Определение 3. Точка q называется со-предель-
ной точкой движения / (/?, /), если существует последова-
последовательность чисел tn-*+oo при п->+оо такая, что / (/?,
tn)-+q при п->+оо. Точка q называется а-предельной,
если существует последовательность tn -> —оо такая, что
> tn)~*q при я->+оо.
Теорема 3 [5]. Если движение / (/?, t) имеет со-предель-
ные (а-предельные) точки, то множество всех ее со-предель-
ных (а-предельных) точек инвариантно и замкнуто.
□ Обозначим множество всех со-предельных точек дви-
движения / (/?, t) через Q. Покажем, что Й инвариантно. Пусть
q0 £ Й, тогда существует последовательность tn ->■ +оо при
п ->- +оо такая, что рп = / (р, tn) ->■ <7о ПРИ я -> + °°.
Ясно, что f (рпу t)-+f(qOi t)y поскольку функция / (/?, t)
непрерывна по аргументам t, р. Тогда точка / (q0, 0 6^
при любом t 6 (—°°, +°°), ибо существует последователь-
последовательность tn + t такая, что / (/?, tn + t)->- f (qOi t). Итак, мно-
множество Q инвариантно. Покажем, что оно замкнуто. Дейст-
Действительно, пусть q — предельная точка множества Q. Тог-
Тогда существует последовательность qn £ Q, qn->- q при
n-^+oo. Используя свойство метрического расстояния,
найдем: р (/ (р, t)y q) < р (q9 qn) + р (qn9 f (/?, t)). По любо-
любому e > 0 можно указать величину пе такую, что р (q> qn) <
< е/2 при п > п8. Так как qn G Q, то можно указать такое
/8, что р (qny f {ру te)) < е/2. Выбирая последовательность
fc^ ->■ 0 можно построить последовательность т* такую, что
т* ->- +оо и / (/?, т^) ->■ q. Это означает, что Q замкнуто в R.
Замечание. Если движение / (/?, t) при t > 0 ос-
остается в некотором компактном в /? множестве G, то это дви-
движение имеет со-предельные точки и при этом их мно-
множество Q cz G.
§ 9. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ
ИНВАРИАНТНЫХ МНОЖЕСТВ. ОСНОВНЫЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Определение 1. Замкнутое в R инвариантное
множество М называется устойчивым по Ляпунову, если
по любому е >> 0 можно указать величину б > 0 такую, что
при р (/?, М) < б имеет место неравенство р (/ (/?, t)f М) < е
при t > 0. Если, кроме того, р (/ (/?, ^), М) -> 0 при
^-^ +оо, то замкнутое инвариантное множество М назы-
называется асимптотически устойчивым.
Поясним это определение на примерах.
28

1. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
* f(Xx) (sl/i)
dt
A.9)
где fs @, ..., О) = О (s = 1, ..., я). Предположим, что
совокупность этих уравнений определяет динамическую си-
систему в Епу тогда X = 0 — точка покоя этой динамической
системы; X = 0 — замкнутое инвариантное множество. Со-
Согласно определению 1 (см. «Введение») оно устойчиво по
Ляпунову, если по любому г > 0 можно указать б >> О та-
такое, что при ||Х<°>||< б будет \\Х (t9 Я"<°>)|| < е при f > 0.
Таким образом, определение 1 в этом случае дословно сов-
совпадает с определением устойчивости по Ляпунову нулево-
нулевого решения системы A.9). Допустим далее, что система A.9)
имеет периодическое решение X = X (/, Yo) = X (t + со,
Yo); 0<co<+oo. Это решение образует замкнутое ин-
инвариантное множество динамической системы X (t, X(Q))^
которое согласно определению 1 устойчиво, если по любому
г > 0 можно указать величину б > 0 такую, что при
inf ||Х<°) — X (t, Уо)|| < б имеет место неравенство
г[0]
inf \\X(U Х<°)) —Х(т, К0)И<е при / > 0.
[0]
[]
2. Рассмотрим систему уравнений в частных производ-
производных
dus с ( dut \
-ir = ts[x1,...ixk1ult...,uni-J-j
(s= I л;/ = lf...,A;f = 1,. ..,n). A.10)
Предположим, что правые части системы A.10) являются
аналитическими в некоторой области G пространства, в ко-
которой изменяются аргументы ее правых частей. Предполо-
Предположим также, что в некотором функциональном пространстве
Е совокупность этих уравнений определяет динамическую
систему с точкой покоя U = 0, так что U = 0 — решение
системы A.10). Согласно определению 1, для устойчивости
решения U = 0 необходимо, чтобы по любому е > 0 можно
было указать величину б >> 0 такую, что ||£/(ф, /)|| <
<е, /6@, +оо), Ф££ при ||ф||<б.
3. Рассмотрим систему
^=*f,(xi,...*xn,t) (з=19...9п). A.11)
Предположим, что функции f8 (X, t) заданы в области
||X||</i, t>0 и непрерывно дифференцируемы там.
Следовательно, при этих предположениях через любую точ-
29

ку (Х{0\ t0) указанной области проходит единственная ин-
интегральная кривая системы A.11). Пусть fs (О, ..., О, t) = О
при s = 1, ..., п. Нулевое решение системы A.11) называет-
называется устойчивым по Ляпунову [1] равномерно относительно
/0 > 0, если по любому 8 > 0 можно указать величину
б>0 такую, что при ||Х<°>||<6 имеем \\Х (/, Х<°\
/0I1<е при 0 < t0 </.
Покажем, что можно построить динамическую систему
в пространстве (X, /), соответствующую уравнению A.11),
так, чтобы из устойчивости нулевого решения системы
A.11) следовала устойчивость инвариантного множества
X = 0, и обратно. Для этого положим
fs(xv..., xnj t) при />1 и ||X|
О при /^—1 и ||Х||< + оо,
)+
4
при ^ е (— 1,1) и HXIKAx.
Продолжим функции /s, сохраняя непрерывную диффе-
ренцируемость в область / >—1, ||Х|| >къ причем так,
чтобы 7s = 0 при ||Х|| >hv Система уравнений
-^=*7e(Xi,...,Xn,t) A.12)
имеет решение X = X (t, X^°\ /0), непрерывно зависящее
от начальных данных (Х@), t0) и определенное для любых
вещественных значений Х@), /0. Произведем в этой си-
системе замену независимой переменной по формуле
П —.
2
ds =? dt\/ I + 2/s2» тогда система
f-'/]/'+,?,
/=1
A.13)
определит в пространстве (X, 0 динамическую систему
X = X(s, XWt /о), /=*(*, ^@), <о), A.14)
30

для которой ось X = О является инвариантным множеством,
так как совпадает с движением X - 0 и / = s, s 6 (— °°,
+оо). Покажем, что из устойчивости нулевого решения си-
системы A.11), равномерной по t0 > О, следует устойчивость
инвариантного множества X = О динамической системы
A.14).
В силу устойчивости нулевого решения системы A.11),
равномерной по /0 > 0, можно указать величину б > О
такую, что ||Х (/, Х<°>, /0)!1< е @ < /0 < 0 при \\Х^\\ <
<; б. По найденному б > 0 на основании непрерывной за-
зависимости движения динамической системы A.14) от началь-
начальных данных можно указать столь малую величину бх > О,
что имеет место неравенство \\Х (s, X@), to)\\<.b при
||Х<°>||< Ьг и s 6 [0, 5], to = —\. При этом величину S
можно выбрать столь большой, чтобы было t E, Х{0\ —1) >
> 1. Покажем, что найденная величина 8г > 0 отвечает взя-
взятому е согласно определению 1. Действительно, при
||Х<°)|| < 62 для t0 <— 1 имеем \\X\\ - ||Х<°>||< е, пока
t (s, Х<°>, /0) < — 1. При t (s, Х(°>, *0) > — 1 это же нера-
неравенство имеет место в силу выбора величины 6г.
Таким образом, величина бх является искомой. Обрат-
Обратное утверждение очевидно. Легко показать также, что нуле-
нулевое решение системы A.11) асимптотически устойчиво тог-
тогда и только тогда, когда асимптотически устойчиво инва-
инвариантное множество X = 0 динамической системы A.14).
Определение 2. Замкнутое инвариантное мно-
множество М динамической системы / (/?, t) называется неустой-
неустойчивым по Ляпунову, если существует число 8 > 0 такое, что
для любого б > 0 можно указать по крайней мере одну точ-
точку р 6 5 (М, б) такую, что р (/ (/?, /), М) > г для некото-
некоторого t > 0. Смысл этого определения можно выяснить на
приведенных выше примерах.
Определение 3. Если замкнутое инвариантное
множество М динамической системы / (/?, t) асимптотически
устойчиво, то совокупность А всех точек р 6 R и р £ М,
обладающих свойством р (/ (/?, t), М)-*~0 при t-*- +oo,
называется областью асимптотической устойчивости этого
инвариантного множества.
Теорема 4. Область асимптотической устойчивости ин-
инвариантного множества М динамической системы f (p, f)
является открытым множеством, содержащим достаточно
малую окрестность М.
П Пусть инвариантное множество М асимптотически
устойчиво. Тогда по любому р. > 0, согласно определению 1,
можно указать величину б > 0 такую, что при р (/?, М) < б
31

будет р (/ (/>, /), М) < е при t > О и р (/ (/?, /), Л4) -> О при
/~^+оо, откуда следует, что любая точка множества
S (Mf б) содержится в А. Таким образом, А содержит до-
достаточно малую окрестность множества М. Покажем теперь,
что множество А открыто. Пусть р£.А. Возьмем е >> О
такое, что S (М, е) с А. По взятому е > 0 можно, соглас-
согласно определению 1, указать величину б > О, по которой,
в свою очередь, можно определить величину Т > О такую,
что р (/ (р. Г), М) < 6/2. Величина Т существует, так как
р 6 А. По теореме о непрерывной зависимости по началь-
начальным данным для величин Т и ех > 0 можно указать у > О
такую, что р (f (/?, Г), / (^7, Г)) < гл при р (/?, q)< у. В си-
силу непрерывности функционала р (/?, М) (см. § 3) величину
вх можно выбрать столь малой, что р (/ (q, Г), М) < б.
Тогда р (/ fa, О» Л^) ~^ 0 при /->• +оо, где ^ = /_(^/, Г).
На основании свойства 3 динамической системы / (q, f) =
== / (^»' + Т1)» отсюда имеем р (/ (q, t), M) -> 0 при / -> +°°.
Следовательно, ^6-^ при р (р, ^) < V- Тем самым теоре-
теорема 4 доказана полностью.
Определение 4. Границей области асимптотиче-
асимптотической устойчивости называется непустое множество всех то-
точек #6 Л\Л_и q 6 М. Как следует из теоремы 2, множество
(А \ А) \ (A cz 7И) инвариантно. Следовательно, грани-
граница области асимптотической устойчивости также является
инвариантным множеством.
Задача настоящей главы состоит в том, чтобы: 1) указать
условия устойчивости некоторого инвариантного* множест-
множества М динамической системы / (/?, /); 2) дать способ отыскания
границы области асимптотической устойчивости; 3) дать
методы, позволяющие оценить функцию р (/ (/?, /), М),
t > 0. В дальнейшем эти задачи будем считать основными.
§ 10. РАВНОМЕРНО АСИМПТОТИЧЕСКИ УСТОЙЧИВЫЕ
И РАВНОМЕРНО ПРИТЯГИВАЮЩИЕ ИНВАРИАНТНЫЕ
МНОЖЕСТВА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Определение 1. Асимптотически устойчивое зам-
замкнутое инвариантное множество М динамической системы
/ (р, t) называется равномерно асимптотически устойчи-
устойчивым, если можно указать величину бх > 0 такую, что для
любого Я > 0 существует Т (Н) > 0, обладающее следую-
следующим свойством: при р (/?, М) < бх и при t > Т р (f (р, /),
М) < Я. Выясним смысл этого определения на конкрет-
конкретном примере. Рассмотрим уравнение х = g (t) x. Функция
g (t) задана при t £ (—оо, +оо) и непрерывна там, g (/) < 0,
32

f
9)d9->—оо при /->+оо. Введем новую независи-
независимую переменную по формуле d% = dt. Система^ == g {{) х9
Ё- = 1 определит динамическую систему
Г
ft
A.15)
на плоскости (х> t). Ось я = 0 является асимптотически
устойчивым инвариантным множеством этой динамической
системы.
Для того чтобы это инвариантное множество было равно-
равномерно асимптотически устойчивым, в данном случае необ-
ходимо и достаточно, чтобы J g @) d& -> —оо при т -> +<*>
to
равномерно относительно t0 6 (—°°, +«>), Если, например,
g (/) = —1/A+ |f|), ТО X - *о*о/(*о + Т + 1) И < - t0 + Т,
^о >*0> т > 0. В этом случае |дг| -*- 0 при т~> +оо, но не-
неравномерно относительно t0.
Теорема 5. Если замкнутое инвариантное множество М
динамической системы / (/?, f) равномерно асимптотически
устойчиво, то существует при / 6 (—°°» +°°) непрерывная
функция L (/), строго монотонно убывающая от +оо до 0
при возрастании t от —оо до +оо, и такая, что р (/ (/?, t)9
М) < L (t) при t > 0 и р (/7, М) < б1э бг — величина из
определения 1 этого параграфа.
□ Положим к (t) = sup p (f (p, t)f M). Из определения
p(, о
/ настоящего параграфа следует, что функция X @ задана
при t > 0, X (t) > 0 и X @ -> 0 при ^~> +оо; X (t) < et
при t 6 @, +оо), где 8j < +oo. По величине ex/2fe можно
указать величину tk такую, что при t > tk получим X (t) <
< гг/2к. При этом величины tk можно выбрать так,
что tk ->4-°°. Положим /ft @ = [2в!^+1 — £i ih +
+ 0Н2* (^+1 - tk)] при * 6 Uk, tk+1] и ft > 1.
Ясно, что /fe @ > X (^) при t 6 t^fe, ^+1^ Будем считать
функцию lt(t) заданной при t£ (—оо, /2). Положим L(t)~
= Zfe (t) при / б [/Л> /Л+1]. Здесь k > 1 и L @ = /i @ при
f £ (—оо, £2). Функция L (/) удовлетворяет всем условиям
теоремы 5.
Определение 2. Асимптотически устойчивое
замкнутое инвариантное множество М динамической си-
2 Зак. 49 33

стемы / (р, 0 называется равномерно притягивающим, если
можно указать число б2 такое, что для любого 0 < h < б2
существуют числа Т > О и а > О такие, что при /i< p (/?,
М) < б3 и. при ^ 6 [О, 71 имеет место неравенство р (/ (/?,
t), M) > а. Поясним это определение на примере, приве-
приведенном выше. Для того чтобы асимптотически устойчивое
замкнутое инвариантное множество X = 0 динамической
системы A.15) было равномерно притягивающим, необхо-
димо и достаточно, чтобы [ g (8) dQ при любом конечном
т > 0 был равномерно ограничен снизу относительно
to 6 (—°°, +оо). Положим g (t) = — \t\. Тогда при t0 > О
и т > О получим л; = .Го£~т'о~т2/2, / = т -f /0. Ясно, что
\х\ -^ 0 при t0 -> +оо, каково бы ни было т > 0. Это оз-
означает, что инвариантное множество х — 0 не является рав-
равномерно притягивающим.
.Теорема 6. Асимптотически устойчивое замкнутое ин-
инвариантное множество М динамической системы / (/?, /),
имеющее достаточно малую компактную окрестность, явля-
является равномерно асимптотически устойчивым и равномерно
притягивающим.
□ Покажем сначала, что М равномерно асимптотически
устойчиво. Предположим противное. Тогда, какое бы
бх > 0 ни брать, существует по крайней мере одно число
Н > 0 такое, что можно указать две последовательности
рп и tn такие, что р (рп, М)< 6г и р (/ (рп, tn), M) > Я,
tn ~^ +°°. Величину Ьг можно выбрать столь малой, что из
последовательности ръ ..., рпу ... можно выбрать сходящую-
сходящуюся подпоследовательность pnk. Пусть pnh ->■ р0 при k ->
Ясно, что р0 6 Л — области асимптотической устойчи-
устойчивости множества М. Поэтому можно указать величину
Т (Я) такую, что р (/ (/?0, 71), М) < б (Я), где величина
6> 0 выбрана по Я в соответствии с определением 1 §9.
По величине Т (Я) и г2 > 0, в силу теоремы о непрерывно-
непрерывности по начальным данным, можно указать величину гг > 0
такую, что при "р (/?0, q) < ^ имеем р (/ (р0, t), f (q, f) ) <
< r2 при t'£ ['О, 71]. Используя непрерывность функционала
p (/?, M), величину г2 можно выбрать столь малой, что
p(f(q, П М)<6(Н). Тогда р (/ (q, t), M)< Я при
р (у£?0, ^) < Л/и ^:^ 71' Выберем, далее, номер ^ так, чтобы
было tnk > 71 и р (/?0, /?nfc) < гь тогда, по предположению,
имеем р (f-(pnk, tnh), М)> Я и поэтому р (/ (prtfc, Ц), М) <
< Я. Полученное противоречие доказывает теорему.
34

Покажем теперь, что М является равномерно притя-
притягивающим. Предположим противное, т. е. какое бы ба ни
взять, существует по крайней мере одна величина Л.> О
такая, что для любого Т > О
inf
h<p(p, М) < б3
В этом случае можно указать последовательности рп и tn,
ап такие, что tn 6 [0,* 71, А < р (рЛ, М) < б2, аЛ > 0 и
ап -> 0, п -> +оо, а р (/ (рП1 tn), M) < ап. По предположе-
предположению, множество М имеет достаточно малую компактную
окрестность, поэтому величину 62 можно считать столь ма-
малой, что из последовательности рп можно выбрать сходящую-
сходящуюся подпоследовательность рпк. Положим pnk~>- р0, &tnh->-
-Wo£[O, Л, тогда f(pnh, tnk)-+f(p0, /о)- На основании
этого и в силу непрерывности функционала р (р, М) мож-
можно утверждать, что р (/ (р0, t0), М) '= 0. Следовательно,
/ (ро> U) 6 М, что невозможно, так как р (/?0, М) > А>0 и
М инвсфиантно, т. е. из / (р0, t0) 6 М следует / (/ (р09 t0) t) £
g М. При t — — t0 имеем р0 6 М.
Полученное противоречие показывает, что сделанное
выше предположение неверно. Тем самым теорема доказана
полностью.
Замечание, Эта теорема показывает, что необхо-
необходимые и достаточные условия того, чтобы замкнутое инва-
инвариантное множество М было раномерно асимптотически
устойчивым и равномерно притягивающим (см. определение
2 § 10), являются в то же время необходимыми и достаточ-
достаточными условиями асимптотической устойчивости замкнуто-
замкнутого инвариантного множества М, имеющего достаточно ма-
малую компактную окрестность.
§ И. КАЧЕСТВЕННАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА С ТОЧКИ
ЗРЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ, ОКРЕСТНОСТИ
ИНВАРИАНТНОГО МНОЖЕСТВА
Теорема 7. Необходимым и достаточным условием ус-
устойчивости по Ляпунову для замкнутого инвариантного
множества является то, что
6(8)- inf 9(f(p,t),M)>0
t ^ о
p(p,Af)=8
при любых достаточно малых 8 > 0.
□ Необходимость. Из определения устойчиво-
устойчивости по Ляпунову следует, что существует функция- б (е),
удовлетворяющая следующим условиям:
2* 35

1) б (е) > О для достаточно малых г > 0;
2) р (/ (р> t), М)< е для t > 0 при р (/?, М) < б».
Докажем, что 6 (е), определенная в формулировке теоре-
теоремы, такова, что 6 (е) > 6 (е) для любого достаточно малого
е > 0. Пусть это не так; тогда существует по крайней Mejpe
одно достаточно малое е > 0, такое, что б(е)<б(е).
А тогда существуют такие р и момент /, что р (р, М) — е,
t < 0, что точка Q = / (/?, 7) удовлетворяет условию
р (Q, М)< б (е) и р (/ (Q, —/), Л4) = ё". Это условие проти-
противоречит свойству устойчивости, согласно которому р (/ (Q,
t), М)<г для t > 0. Полученное противоречие и показы-
показывает, что б (в) должно быть положительным при любом до-
достаточно малом г > 0.
Достаточность. Пусть выполнено заключение
теоремы 7. Покажем, что замкнутое инвариантное множество
устойчиво по Ляпунову. Подчиним произвольную функцию
6 (е) следующим двум условиям:
1) б (е) определена для произвольного достаточно мало-
малого е > 0 и положительна;
2) б (е) < б (г) для всех таких е, для которых б (е)
определена.
Теперь следует показать, что б (е) для упомянутых
г > 0 входит в определение устойчивости по Ляпунову
множества М, т. е. р (/ (/?, t), М)< е для t > 0 при р (/?,
М)< 6 (б).
Положим, что существует по крайней мере одна точка р
и по крайней мере один момент 7> 0, что р (/?, М) < б"(е)
и Р (/ (р* 0» М) = е^для некоторого е > 0, достаточно ма-
малого; тогда точка Q ~ f (p, t) обладает тем свойством, что
р (Q, М) = е, р (fJQ, —Г), М)< б (е), и для этого е
получаем: б (е) < б (е), что противоречит выбору функции
б (е). Это противоречие показывает, что М устойчиво в
смысле Ляпунова и т. д.
Замечание. Заключение теоремы 7 состоит в выпол-
выполнении неравенства б (е) > 0 для произвольного достаточно
малого е > 0. Это эквивалентно отсутствию движения
/ (ру t), р (рУ М) = t\ имеющего а-предельные точки в М
при добавочном условии, что множество М обладает доста-
достаточно малой компактной окрестностью, которая не содер-
содержит целых траекторий динамической системы. В самом деле,
положим, что существует достаточно малая компактная
36

окрестность Af, не содержащая целых траекторий динамиче-
динамической системы /4/7, t). Если не существует движения / (p,t)
такого, что р 6 М и / (/?, t) не имеет а-предельных точек,
принадлежащих М, то 6 (е) > 0 для любого достаточно
малого е > 0. Обозначим через б (р% г) функцию, опреде-
определенную условием б (/?, е) = inf p (/, (/?, /), /W), где /7 удов-
летворяет условию р (р, М) = е. Тогда в силу отсутствия
а-предельных точек в множестве М для любого движения
б (/?, е) > 0 для е > 0. Ясно, что б (е) = inf б (/?, е).
р(р,Л*)«е
Если б (е) = 0 для некоторого е > 0, то существует
последовательность точек рм, для которой выполняют-
выполняются следующие условия: 1) б (pN, е) -> 0, N ->■ +°о;
2) р (р#, М) = е, N = 1, 2, ... Для произвольной полутра-
полутраектории / (pN, t), t < 0, которая оставалась в е-окрестно-
сти множества М в силу предположения компактности этой
окрестности, необходимо существует по крайней мере одна
целая траектория, принадлежащая а-предельному множе-
множеству полутраектории и содержащаяся полностью в ранее
упомянутой окрестности. Таким образом, произвольное
движение / (/?#, t) покидает множество р (р, М)<ев ко-
конечное время и, следовательно, существует последователь-
последовательность /jv такая, что tN<. 0 и р (/ (pNf /дг), М) = б (/?лг, е).
Далее, эта последовательность /#, коечно, обладает свойст-
свойством tN-^—оо, в противном случае существует ограничен-
ограниченная подпоследовательность этой последовательности и в си-
силу компактности выбранной окрестности множества М су-
существует движение, начинающееся в точке р0, р (р0, М) = е,
которое достигает множества М в конечное время, что про-
противоречит инвариантности этого множества. На основании
свойства последовательности ts и компактности выбранной
окрестности существует точка Qo со следующими свойства-
свойствами: 1) р (Qo, М) = е; 2) р (/ (Qo, t), M) < е, t < 0. Точ-
Точка Qo — одна из предельных точек последовательности
Qat, Qn = / (рлг, /лг).
Эта полутраектория должна покидать замыкание е-ок-
рестности множества М, иначе движение, начинающееся
в достаточно малой окрестности Qo, также покинет замкну-
замкнутую окрестность Qo в конечное время, так как есть движе-
движения, проходящие через точки рм, орицательные полутра-
полутраектории которых остаются произвольно долгое время в
е-окрестности.
Таким образом, предположение б (е) = 0 для е > 0 при-
приводит к существованию движения / (Qo, t) такого, что
37

P (/ (Qo, 0. M) < e Для КОи p (Qo, Af) = e. Последнее
противоречит предположению, что целые траектории дина-
динамической системы отсутствуют в этой окрестности. Обрат*
ное утверждение очевидно: если б (е) > 0 для е > 0, то
6 (/?, е) > 0 и, очевидно, не существуют движения, предель-
предельные точки которых лежат в множестве М.
Доказанное утверждение будем считать видоизменением
теоремы 7: необходимое и достаточное условие устойчивости
по Ляпунову для замкнутого инвариантного множества Mf
имеющего достаточно малую компактную окрестность, не
содержащую целых траекторий, состоит в том, что не су?
ществует движения / (/?, /), р 6 М, имеющего а-предельные
точки, принадлежащие М. В последующих теоремах будет
использовано видоизменение теоремы 7.
Теорема 8. Для того чтобы замкнутое инвариантное
множество М динамической системы / (/?, /) с достаточно
малой компактной окрестностью было асимптотически ус-
устойчивым, необходимо и достаточно выполнение следующих
условий:
1) не существует движения/(/?, t), имеющего а-предель-
а-предельные точки в М, р (ГМ\
2) существует достаточно малая окрестность множества
М, не содержащая траекторий динамической системы
f(t)
□ Необходимость. Пусть замкнутое инвари-
риантное множество М асимптотически устойчиво, тогда
оно просто устойчиво. Поэтому условие 1 выполнено в силу
теоремы 7. Покажем, что выполнено также и условие 2.
Пусть, напротив, какую бы окрестность М ни взять, в ней
найдется по крайней мере одна точка р такая, что движение
/ (/?, t) остается в этой окрестности при t 6 (—°о, +°°).
Возьмем любую последовательность tn ->■—оо. Тогда из
последовательности рп = f (/?, tn) можно выбрать сходящую-
сходящуюся подпоследовательность pnk в силу компактности достаточ-
достаточно малой окрестности множества М. Пусть pnk -> р0- Ус-
Условие 1 выполнено, поэтому имеем inf p (/(/?, f), M) —
t<t>
= б (р) > 0. По величине 8=6 (/?), согласно определению 1
§ 9, можно указать некоторую величину б > 0. Зная б
укажем величину 7> 0 такую? что р (/ (р0, Г), М)< 6.
Далее, согласно теореме о непрерывности по начальным
данным, по величинам Т и гх > 0 укажем величину г2 > 0
такую, что при р (р0, q) < г2 имеем р (/ (р0, Т), f (q, T)) <
38

<С гг. На основании непрерывности функционала р (/?, М)
величину гг можно выбрать столь малой, что р (/ (q, Т), М) <
<; б при. р (ро> q)<r2< По величинам г2 и Т можно указать
nk столь большое, что Т + tnk < 0 и р (р0, /?„Л) < г2.
Тогда, с одной стороны, р (/ (рПк, Г), М) < б, с другой сто-
стороны, / {рпр T) = f(p, T+ tnh). Поэтому р (/ (/?rtft, Г),
Л4) > б (/?). Полученное противоречие показывает, что сде-
сделанное предположение неверно. Следовательно, условие 2
выполнено. Таким образом, необходимость условий доказа-
доказана полностью.
Достаточность. Пусть условия 1, 2 выполне-
выполнены. Покажем, что М асимптотически устойчиво. Как было
показано в теореме 7, при выполнении условия 1 множест-
множество М устойчиво. Следовательно, по любому достаточно ма-
малому f > 0 можно указать соответствующее б > О такое,
что при р (/?, М) < б имеем р (/ (/?, t), M) <г, t > 0. По-
Покажем, что при этом также р (/ (/?, f)> М) -> 0 при *->■ +оо,
Пусть это не так. Тогда существует точка р такая, что
р (/?, М) < б и р (/ (/?, /), М) -/» 0 при /-> +оо. В силу
компактности достаточно малой е-окрестности множества М
в этом случае можно указать последовательность tn -> +°°
такую, что pn = f (/?, tn) ->■ ^ при я ->■ +оо, q£ M и р (q,
М) <б.
Движение / (q, f) целиком состоит из со-предельных то-
точек движения / (/?, t). Следовательно, расстояние р (/ (q,
t)y М) ^ е при t 6 (— °°, +°°). А тогда в е-окрестности
множества М содержится траектория динамической систе-
системы / (/?, /), что противоречит условию 2. Таким образом,
Р (/ (ру 0> Щ-+- 0 при ^~> +оо какова бы ни была точка
/?, р (р, М) < б. Теорема доказана полностью.
Лемма. Для того чтобы замкнутое инвариантное мно-
множество М с достаточно малой компактной окрестностью, не
содержащей траекторий динамической системы / (/?, t)t
не_ имело а-предельных точек для некоторого движения
р £ Л4, необходимо и достаточно, чтобы не существовало
движения / (qr f) такого, что q 6 Л1, а р (/ (^, 0» Л1) -> 0
при /-^ —оо.
П Необходимость. Если существует точка /?,
р ^ Му такая, что р (/ (/?, /), УИ) ~> 0 при /-^ оо, то су-
существует последовательность tn -*—оо такая, что р (рп,
М)-^0 при я-> +оо, pn — f (/?, /п). Из последовательно-
последовательности л, ..., /?п, ... в силу компактности достаточно малой
окрестности множества М можно выбрать сходящуюся под-
39

последовательность pnh-*q- Тогда ?£M, p(q, / (р, tnh))-^0
при nh -+• +00. Следовательно, точка q является а-предель-
ной точкой движения / (/?, /). Таким образом, если существу-
существует движение / (р, t)9 р 6 Af, обладающее свойством р (f (р,
t), М) ->- 0 при t-+- —00, то это движение имеет а-предель-
ные точки, содержащиеся в М. Необходимость условия
можно считать доказанной.
Достаточность. Предположим, что не сущест-
существует движения / (р, t), р 6 М, р (/ (р, t)f M) ->• 0 при <г->
->•—оо. Покажем тогда, что не существует движения
/ (р, t), имеющего а-предельные точки в М. Пусть, напро-
напротив, существует такая точка р £ М, что некоторые из а-
предельных точек движения / (р, t) содержатся в М. Тогда
для любого достаточно малого е > О равенство р (/ (р, t),
М) = г имеет место для сколь угодно больших значений
|/|. Возьмем две последовательности tn и t'n, t'n<.tn, такие,
что t±-+ —00, р (/ (р, tn), М) = е, р (/ (р, Q, jVf) = е, и
р (/ (р, t\ М)< г при te (tn, Q, inf p (/ (/7, t), M) -
mtnt t'n\
= Pn ~^ 0 при n -> +°o. Положим pn = f (p, tn). На осно-
основании компактности достаточно малой окрестности множест-
множества М последовательность tn можно считать выбранной так,
что рп ->■ ро ПРИ п "-* +°°. Используя теорему 1 о непрерыв-
непрерывной зависимости по начальным данным, покажем, что
p{f(po> t), М)<епри *<0. Затем покажем, что движение
/ (q, 0, где q есть а-предельная точка для движения / (р09
/), q £ М, обладает свойством р (/ (q, t), M) < е при
t 6 (—00, +00), что приводит к противоречию с условием
леммы, так как р > 0 с самого начала было выбрано любым
сколь угодно малым.
Для этого покажем сначала, что tn — tn-+ —00 при
п-*+оо. Пусть, напротив, tn — tni^—°°- Более того,
пусть tn— tn > N, N > —00. Выберем величины %п так,
чтобы р (/ (/?, tn + тп), М) = ря. Ясно, что хп удовлетворяет
неравенствам jV < тп < 0. Из последовательности тп по-
поэтому можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.
Будем считать, что тп с самого начала таково, что т^ -> t0.
Тогда из рп -> р0, т71 -> /0 имеем: / (рл, тл) -> / (ро> <о) = 7о-
Откуда следует, что,_с одной стороны, q0 6 М, а с другой
/ (<7о> —W = Ро» Ро 6 Л^» что невозможно, так как мно-
множество М инвариантно. Таким образом, сделанное предпо-
предположение tn — tn > N неверно. Более того, это не имеет ме-
места также для любой бесконечной подпоследовательности
40

t'n — tnK Следовательно, t'n — tn -> —oo. Покажем далее,
что р (/ (Роу 0» М)<е при /<0. Действительно, если суще-
существует конечная величина Т< О такая, что р (/(р0, 7), Л1)>
> е, то при достаточно больших значениях п в силу не-
непрерывности по начальным данным имеем p(f(pn, Г), М)>
> е, что невозможно, поскольку р (/ (рпу t)f M) < е при
f 6 [0, t'n — tn]. Таким образом, р (/ (ро> /), М) *$ е при
/ < 0. На основании этого и в силу компактности доста-
достаточно малой окрестности множества М существует точка
q£M, являющаяся а-предельной для движения / (ро> /).
Движение / (q, t) состоит из а-предельных точек движения
/ (Роу 0» следовательно, р (/ (о, t), М) < е при t 6 (— °°,
+оо), что противоречит сделанному в теореме предположе-
предположению об отсутствии в достаточно малой окрестности траек-
траекторий динамической системы. Лемма доказана полностью.
Теорема 9. Для того чтобы замкнутое инвариантное
множество М с достаточно малой компактной окрестностью
было асимптотически устойчивым, необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы были выполнены следующие условия:
1) не существует движения / (/?, /), р g M такого, что
р (/(/?, 0, М)->0 при t-+— oo;
2) существует достаточно малая окрестность множества
М, не содержащая траекторий динамической системы
/ )
)
D Из леммы следует, что условия 1 и 2 теоремы 9 вы-
выполнены тогда и только тогда, когда выполняются условия
1 и 2 теоремы 8. Таким образом, теорема 9 представляет
собой другую формулировку теоремы 8.
При этом следует отметить, что теорема 9 позволяет де-
делать конкретные выводы о наличии асимптотической устой-
устойчивости инвариантных множеств динамических систем, оп-
определенных системой дифференциальных уравнений.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
■^ = М*1...м*п). 0-16)
Предположим, что функции f8(xl9 ..., хп) заданы в Еп и
удовлетворяют там некоторым условиям, гарантирующим
существование единственного решения X = X (t> X(o>), не-
непрерывного по Х(о>, t> проходящего при t = 0 через точку
Х<°>, и/8=@, ..., 0) = 0.
Теорема 10. Для того чтобы нулевое решение системы
A.16) было асимптотически устойчивым, необходимо и до-
достаточно выполнение следующих условий:
41

1) не существует интегральной кривой системы A.16)
X - Х(/,Х<°>), |Х<°>|^0такой,что|Л:|->-0при t-+— со;
2) существует достаточно малая окрестность точки X =
= 0, не содержащая никакой интегральной кривой X =
- X (/, *«>>), / 6 (-оо, +оо), |Х<°>| # 0.
□ При помощи замены независимого переменного по
формуле
1= 1
построим систему уравнений
dxfi /k (Xi,. . ., Xji) ,i
ds
A.17)
Система A.17) определяет в пространстве Еп динамиче-
динамическую систему X = X (s, Х<°>), для которой точка X = О
является замкнутым инвариантным множеством. Приме-
Применяя теорему 9 к этой динамической системе и считая, что
множество М совпадает с X = 0, мы без труда можем уста-
установить справедливость теоремы 10.
Рассмотрим систему A.16) при п = 2. Предположим, что
точка хх = л:2 = 0 для системы A.16) в этом случае явля-
является изолированным положением равновесия.
Теорема 11. Для того чтобы точка хг = х2 = 0 для си-
системы A.16) при /2 = 2, являющаяся изолированным поло-
положением равновесия, была асимптотически устойчивой, не-
необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
1) не существует интегральной кривой системы A.16)
X = X(t, X<°>), |X<°>|=£0 такой, что |Х|->0 при t-+
->• —оо, п = 2;
2) существует по крайней мере одна интегральная кри-
кривая X = X (/, Х^) системы A.16) такая, что |Х| -»- 0 при
/-> +оо, п = 2.
П Рассмотрим динамическую систему, определяемую
системой дифференциальных уравнений A.17) при п = 2.
Покажем, что при выполнении условия 2 теоремы 11 су-
существует достаточно малая окрестность точки хх = х2 —
— О, не содержащая траекторий динамической системы
X *= X (s, X<°>), s 6 (— оо, +оо). Предположим противное,
что в любой достаточно малой окрестности xl=^ хг = О
существуют траектории динамической системы. Тогда су-
существует периодическое движение, охватывающее эту точ-
42

ку [5]. Этот факт следует из того, что точка хх = х2 = О
является изолированным положением равновесия для си-
системы A.17) и условия 1 теоремы 11. Однако наличие перио-
периодического движения в сколь угодно малой окрестности точ-
ки хг = х2 — 0 противоречит условию 2 теоремы 11, по-
поскольку тогда имеет место нарушение единственности, а
именно: интегральная кривая X (/, Х@>) -> 0 при /-> +оо
пересекла бы все такие периодические решения, что невоз-
невозможно. Таким образом, существует достаточно малая ок-
окрестность точки хг = х2 = 0, не содержащая траекторий
X = X (s, X<°>), s 6 (-~оо, +оо). Отсюда следует, что выпол-
выполнение условий 1 и 2 теоремы 11 влечет выполнение условий
1 и 2 теоремы 10, откуда следует справедливость теоре-
теоремы 11.
Этот чисто качественный анализ поведения движений
динамической системы в окрестности инвариантного мно-
множества позволяет для некоторых систем дифференциальных
ураьнений вида A.16) дать конкретные достаточные призна-
признаки асимптотической устойчивости нулевого решения, а
также его неустойчивости. Впервые достаточное условие
неустойчивости нулевого решения системы A.16) приведено
в работе [6] и заключается в наличии интегралвной кривой
X X(t Х<°>)>0 при t-+— оо.
§ 12. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ
УСТОЙЧИВОСТИ
Теорема 12. Для того чтобы замкнутое инвариантное
множество М было устойчиво по Ляпунову, необходимо и
достаточно, чтобы существовал функционал У, заданный в
достаточно малой окрестности S (М, г) множества М, об-
обладающий следующими свойствами:
1) для любой достаточно малой величины сг > 0 можно
указать величину С2 > 0 такую, что V (р) > с2 при р 6
eS(M, г) и р(/?, М)>с1\
2) для любой сколь угодно малой величины 72 > О
можно указать величину уг > 0 столь малую, что V (р) <
< 72 при р (р, М) < 7i#,
3) функция V {f (p, t)) является невозрастающей при
* > 0, р 6 S (М, г), для всех t, пока / (/>, t) £ S (М, г).
□ Необходимость. Пусть замкнутое инвари-
инвариантное множество М устойчиво по Ляпунову. Покажем, что
условия теоремы 12 выполнены. Возьмем некоторое е> 0.
Согласно определению 1 § 9, ему отвечает некоторая величи-
величина б > О такая, что при р (/?, М) < б имеет место неравен-
43

ство р (/ (р, /), М) < е при * > 0. Следуя работе [7], поло-
положим V (р) ~ sup р (/, (р, г), М). Этим самым функционал
V (р) определен в S (М, б). Функционал V (р) удовлетво-
удовлетворяет условию 1, так как V (р) > р (р, М)> откуда следует,
что при р (р, М) > q и р (р, М) < б будет V (р) > с2,
Покажем, что имеет место условие 2. По величине у2 >
> 0, согласно определению 1, можно указать величину
Yi > 0 такую, что при р (р, М) < Yi справедливо неравен-
неравенство р (/ (/?, t), М) < 72 при t > 0. Следовательно,
sup р (/ (р, t), М) < y2» тогда V (р) < у2 при р (/?, М), <
t ^о
< Yi- Таким образом, показано, что функционал V (р)
удовлетворяет условию 2. Покажем далее, что V (р) удов-
удовлетворяет условию 3. Пусть точка р £ S (М, б), тогда / (/?,
/( 6 S (М, б) для всех значений t 6 [0, Т). Следовательно,
определено значение функционала в любой точке / (/?, 0»
Гб [0, Г). Ясно, что
V = (/ (/?, F)j - sup p (/ (/(р, Г), <). А1 = sup р (/ (р, * + & М) =
= sup__p(/(p, /), М).
Таким образом,
Итак, V (f (p, tj) < У (р) при любом достаточно малом
t> 0. Этим необходимость условий 1—3 теоремы 12 дока-
доказана полностью.
Достаточность. Пусть в некоторой окрестно-
окрестности множества S (М, г) существует функционал V, обладаю-
обладающий свойствами 1, 2, 3. Покажем, что замкнутое инвариант-
инвариантное множество М устойчиво по Ляпунову. Возьмем е > 0
и е < г и положим, следуя Ляпунову, X = ini V (p) при
р (р, М) = е. В силу свойства 1 X >0. На основании свой-
свойства 2 по величине X можно указать величину б > 0 такую,
что V (р) <Х при р (р, М) < б. Покажем, что найденная
величина б > 0 соответствует взятому е > 0 согласно оп-
определению 1 § 9, т. е. при р (р, М) < б справедливо нера-
неравенство р (/ (р, ^) М) < е при ^ > 0. Предположим против-
противное, а именно: пусть существует точка р 6 5 (М, 6) такая,
что при некоторой конечной величине £ >• 0 имеет место
равенство р (/ (р, 7), М) = е. Тогда 1/(/ (р, 7)) >Х. Но в
44

силу свойства 3 V (/ (р, t)) < V (р) < >w. Таким образом,
получено противоречие, которое показывает, что сделан-
сделанное предположение неверно, и, следовательно, инвариант-
инвариантное множество М устойчиво по Ляпунову.
Теорема 13. Для того чтобы замкнутое инвариантное
множество М динамической системы /(р, /) было асимптоти-
асимптотически устойчиво по Ляпунову, необходимо и достаточно,
чтобы существовал в некоторой достаточно малой окрест-
окрестности S (Му г), г > О, множества М функционал V\ обла-
обладающий всеми свойствами 1—3, указанными в теореме 12,
и, кроме того, V (/ (р, t))-*0 при *-^+oo для любого
движения / (р, t) 6 S (М, г), при t 6 [0, +оо).
□ Необходимость. Пусть М асимптотически
устойчиво. Тогда множество М устойчиво по Ляпунову и,
следовательно, в некоторой достаточно малой окрестности
S (М, б) можно построить функционал V (р), удовлетворяю-
удовлетворяющий условиям 1—3 теоремы 12. В силу асимптотической
устойчивости М все движения / (р, f), начинающиеся в
^-окрестности множества М, остаются в S (М, б) при
/ > 0. Пусть / (р, 0 — одно из этих движений. Покажем,
что V (f (/?, /)) ->0 при t-+ +oo. По е' > 0 укажем величи-
величину Т > 0 такую, что р (/ (/?, t), М) < ь\ при t > Г. Су-
Существование величины 7\ обладающей указанным свойст-
свойством, следует из факта асимптотической устойчивости.
Ясно, что V (/(/?, 0) = sup р (/ (р, t + т), М). Из
р (/ (pj + т), М)<г при т > 0 следует, что V(f(p, t)) < e'
при t > Т. Таким образом, V (/ (/?, 0) -* 0 ПРИ < ~^ + °°-
Этим необходимость условий доказана полностью.
Достаточность. Пусть условия теоремы 13 вы-
выполнены. Докажем, что инвариантное множество М асимп-
асимптотически устойчиво. Из выполнения условий теоремы
13 следует, что в окрестности S (М, г) существует функ-
функционал V (р), удовлетворяющий условиям 1—3 теоремы
12. Следовательно, множество М устойчиво по Ляпунову,
т. е. для любого е > 0 можно указать величину б > 0 та-
такую, что р (/ (/?, 0» М) < r при р (/?, М) < б. Покажем, что
величину б можно, вместе с тем, выбрать так, что р (/ (р,
t)% М) -> 0 при t -> +°° и при р (/?, М) < б. Действитель-
Действительно, по найденной величине б > 0 указанным в теореме 12
способом построим (как по е) величину 6и такую, что
при р (р, М) < 6Х имеет место неравенство р (/ (р, t)y M) <
< б при t > 0. Ясно, что V (/ (р, 0) задана при / б [0, +оо)
для любого р 6 S (M, 6i). Покажем, что величина 6j искомая.
Действительно, пусть это не так, т. е. существует по край-
45

ней мере одна точка р £ 5 (М, б,) такая, что р (/ (/?, t),
МУ>Уг>0 ПРИ t>°- Тогда V (f (p, t)) > уг > 0 со-
согласно свойству 1, что противоречит условию V (/ (/?,
/))->0 при /~^+оо. Зтим теорема доказана полностью.
Замечание. При доказательстве теоремы исполь-
использован следующий легко устанавлир^смый факт: при устой-
устойчивости множества М условие < (/ (/?, /), М)у^0 при
/ ->- + оо равносильно р (/ (/?, /), М) > с± > 0 при / 6
ею, +оо).
Теорема 14. Для того чтобы замкнутое инвариантное
множество М было равномерно асимптотически устойчи-
устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрест-
окрестности 5 (Му г) множества М существовал функционал 1/,
удовлетворяющий всем условиям теоремы 13, и, кроме того,
чтобы существовала величина бх > 0 такая, что V (/ (/?,
/))~^ 0 при t->- +оо равномерно относительно р £ S (М,
Si).
□ Необходимость. Пусть множество М равно-
равномерно асимптотически устойчиво. Покажем, что условия те-
теоремы 14 выполнены. Как следует из определения 1 § 10,
инвариантное множество М асимптотически устойчиво.
Поэтому существует функционал У, удовлетворяющий ус-
условиям теоремы 13. Согласно определению 1 § 10 сущест-
существует величина 8L > 0 такая, что для любой величины
Н > 0 можно указать величину Т (Н) > 0 такую, что
р (/ (р, О, М)< Н при t > Т (Я) для р б 5 (М, б2). Из опре-
определения функционала имеем V (/ (/?, t)) = sup p (/ (/?, t +
т^ о
+ т), Л4). При /? 6 S (М, 62) получаем V (/ (/?, t)) = sup p X
X (/(/?, 6), М)<Н при t>T{H). Таким образом, !/(/(/?,
t)) -*• 0 при ^ -^ +оо равномерно относительно р 6 5 (М> б^.
Достаточность. Как следует из теоремы 13,
при выполнении условий теоремы 14 множество М асимпто-
асимптотически устойчив о. Поэтому по в > 0 и в < г можно ука-
указать величину б > 0 такую, что при р (/?, М) <С б будет
р (/ (/?, /), М)< г при /> 0, р (/ (р, t)y М) -* 0 при /->
-> +со. Предположим, что Л4 неравномерно асимптотиче-
асимптотически устойчиво/ Тогда существует по крайней мере одна
величина Н > 0 такая, что какую бы величину Т > 0 ни
взять, существует точка p£S(M, б) такая, что р (/ (/?,
Т), Л1) > Я. Согласно условию 1 теоремы 12, по величине
Я можно указать величину с2 > 0 такую, что У (р) > с2
при р (р, М) > Я, так что имеем V (/ (р, 71)) > с2. Это про-
противоречит равномерному стремлению к нулю V (/(/?, /))
46

при р 6 S (М, 8t). Поскольку величину б > 0 можно вы-
выбрать столь малой, чтобы было б < бх. Тем самым теорема
доказана полностью.
Теорема 15. Для того чтобы замкнутое инвариантное
множество М динамической системы / (р, t) было равномер-
равномерно притягивающим, необходимо и достаточно, чтобы были
выполнены все условия теоремы 13 и чтобы, кроме того, для
любой величины h > 0 можно было указать две величины
Т > 0 и а > 0 такие, что при р (/?, М) > h V (/ (/?, t)) > a,
*€№, П
П Необходимость. Пусть множество М явля-
является равномерно притягивающим. Тогда, согласно опреде-
определению 2 § 10, множество М асимптотически устойчиво.
Таким образом, в некоторой окрестности 5 (УИ, г) множест-
множества М существует функционал 1/, удовлетворяющий всем
условиям теоремы 13.
Из определения 2 § 10 следует, что для любого h> 0
можно указать величины Т > 0 и а > 0 такие, что при
h < р (/?, М) < б2, где б2 — некоторая величина, соот-
соответствующая, по определению 1 § 10, некоторому в2 > 0,
имеет место неравенство р (/ (р, t), М) > а при t 6 [0, Т].
Функционал V удовлетворяет условию 1 теоремы 12.
Итак, по величине а можно указать величину сг > 0 та-
такую, что V (р) > с2 при р (/?, Л1) > а. Следовательно,
V (/ (/л 0) > ?2, так как р (/ (р, /), ЛГ) > ее при t 6 [0, Г].
Тем самым необходимость условия доказана.
Достаточность. Предположим, что условия те-
теоремы выполнены. Покажем, что множество М является
равномерно притягивающим. Действительно, из условий
теоремы следует, что множество М асимптотически устой-
устойчиво. Поэтому для любого е > 0 можно указать величину
б > 0, такую, что р (/ (р, /), М)< е, t > 0 при р (/?, М) <
< б. Предположим, что множество М не является равно-
равномерно притягивающим. Тогда найдется по крайней мере
одна величина 0 < h < б такая что, какую бы величину
Т > 0 ни взять, найдется последовательность рп, п -> +оо,
обладающая свойством h < р (рп, М) <С б, a inf p (/ (/?л,
<Е|0,Л
/), М) = 0, я = 1, 2, ... Следовательно, по любому сг > 0
можно указать две величины т 6 [0, Л и nft > 0 такие, что
р (/ (ptihi), M) < ct; тогда согласно условию 2 теоремы 12
имеем: V (/ (/?,2/{, т) <С с2, при этом величина с2 сколь угодно
мала, если сх достаточно мало. Таким образом, получено про-
противоречие. Следовательно, сделанное выше предположение
неверно. Тем самым теорема доказана полностью.
47

Установим связь теорем 12 и 13 с достаточными призна-
признаками устойчивости и асимптотической устойчивости нулево-
нулевого решения системы A.11), равномерной по t0 (см. «Введе-
«Введение»).
Как было показано в § 9, используя систему A.11),
можно в пространстве (X, t) построить динамическую систе-
систему X = X (s, Х(о>, /0), t = t (s, Х@>, to)> определяемую си-
системой уравнений A.14), A.13), так что вопрос об устойчи-
устойчивости нулевого решения системы A.11) будет эквивалентен
вопросу об устойчивости инвариантного множества X = 0.
Теорема 16. Для того чтобы инвариантное множество
X = 0 динамической системы A.14) было устойчиво, не-
необходимо и достаточно, чтобы в некоторой области 0 <
< \Х\ < г, t 6 (—оо, -f <х>) существовала функцияV(X, t),
обладающая следующими свойствами:
1) для любой достаточно малой величины сг > О можно
указать величину с2 > О такую, что V (X, f) > c2 при
\Х\>сг\
2) для любой сколь угодно малой величины у2 > О
можно указать величину уг > 0 столь малую, что V (X, t) <
<72 при |X|<Vi;
3) функция V (X (s, Х<°>, g, / (s, X<°>, t0)) является не-
возрастаклцей при всех s>0, пока |Х (s, Х<°>, /0I<^-
Условие 3 теоремы 16 означает, что функция V (X (s, X<°>,
/0), t (s, X(°\ t0)) дифференцируема вдоль интегральных кри-
кривых системы A.12) почти для всех 5, и при этом имеет место
неравенство dV/ds ^ 0 (по теореме Лебега о диференцируе-
мости монотонной функции [34]). Это же утверждение спра-
справедливо и для функции V (X (ty Х@>, /0)э /), причем dVldt <
<0 почти везде для t > tOt пока |Х (t, X<°>, to)\<r.
В достаточном признаке устойчивости нулевого решения си-
системы A.11), предложенном Ляпуновым, условие 3 теоремы
16 заменено более жестким, а именно: предполагается, что
функция V {хъ ..., хП9 t) имеет непрерывные частные произ-
производные по всем своим аргументам и функция
A.18)
Однако в доказательстве А. М. Ляпунова условие A.18)
нужно лишь для того, чтобы имело место условие 3 тео-
теоремы 16. Таким образом, достаточный признак Ляпунова
является, как показывает теорема 16, в то же время и не-
необходимым.
48

Условия асимптотической устойчивости нулевого реше-
решения системы A.11), данные А. М. Ляпуновым, являются,
как показывает аналогичный анализ, только достаточны-
достаточными. Однако при доказательстве требуется лишь, чтобы вы-
выполнялись условия 1—3 теоремы 16 и чтобы, кроме того,
V (X (s, Х<°\ /0), t (s, X<°>, t0)) -^ 0 при s~> +оо для лю-
любых (Х<0\ *0) таких, что |X(s, Х<°>, *0)|<r. Таким обра-
образом, достаточные условия Ляпунова по существу являются
также и необходимыми.
§ 13. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ
НЕУСТОЙЧИВОСТИ
Рассмотрим некоторый функционал V (/?), заданный при
Определение. Если величина V (/ (/?, t)) — V (р)
определена при всех достаточно малых t и если существует
lim y(p)t
то он называется производной функционала V в точке р
вдоль движения / (р, t).
Теорема 17. Для того чтобы замкнутое инвариантное
множество М динамической системы / (р, t) было неустой-
неустойчиво, необходимо и достаточно, чтобы существовал в неко-
некоторой окрестности S (М, г) множества М функционал V,
обладающий следующими свойствами:
1) функционал V ограничен в 5 (УИ, г)\
2) в сколь угодно малой окрестности множества М су-
существует по крайней мере одна точка р такая, что V (р) >
>0;
3) для любой точки р 6 S (My r) имеет место равенство
dt
где А, > 0, a W — неотрицательный функционал, задан-
заданный в S (М, г).
□ Необходимость. Пусть множество М неус-
неустойчиво. Тогда существует по крайней мере одна величина
е > 0 такая, что в любой сколь угодно малой окрестности
S (Му б) множества М существует точка р такая, что
Р (/ (ру 0> М) = е при некотором t > 0. Возьмем точку
р 6 S (My е). Возможны два следующие случая:
1) р (/ (р, 0, М)< е при t > 0;
2) существует величина t (p) такая, что р (/, (pt (p)),
М) = 8 и р (/ (/?, t)> M) < е, когда t 6 [0, t (р)). Положим
49

В первом случае V (р) = 0, во втором случае V (р) = *-'<*>.
Таким образом, функционал V (р) определен в любой точ-
точке множества 5 (М, е) и ограничен там: V (р) < 1. Как
было отмечено, точки р второго типа существуют в любой
сколь угодно малой окрестности S (М, б) множества М.
Поэтому построенный выше функционал удовлетворяет ус-
условию 2. Покажем теперь, что функционал V удовлетворяет
также условию 3. Действительно, если точка р 6 S (Л4, е)
относится к первому типу; то V (/ (/7, t)) = 0, пока / (/?,
t) 6 S (Му t), поэтому dV/dt = V вдоль любого такого
движения.
Если точка р — точка второго типа, то V (/ (р, /)) =
= et—Hp)i откуда dVldt = У. Таким образом, условие 3
выполняется вдоль любого движения /(/?, t) 6 S (М, е)
. при Я = 1 и Г - 0.
Достаточность. Пусть в некоторой окрестности
замкнутого инвариантного множества М существует функ-
функционал V, обладающий свойствами 1—3. Покажем, что мно-
множество М неустойчиво. Пусть, напротив, множество М
устойчиво. Тогда по любому г > 0, согласно определению
1 § 9, можно указать величину б > 0 такую, что при
р (/?, М)< б получим р (/ (/7, t)y М)<г<г, t > 0. В
этом случае на любом движении / (/?, /) функция V (J (/?, /))
ограничена при t >0 и р 6 5 (М, б), так как это движение
лежит в области задания функционала V. Согласно усло-
условию 2, в S (М, б) существует точка р такая, что V {р) > 0.
Функция V (/ (р, /)) удовлетворяет линейному дифферен-
дифференциальному уравнению j- V (/ (/?, /)) = XV (/ (/?, /)) +
+ W (f (/?, /)) с начальным данным условием V (/ (/7, 0)) =
= V (р). Интегрируя это уравнение и переходя к неравен-
неравенству, имеем V (/ (/7, /)) > V (р) Iй при / > 0, что противо-
противоречит ограниченности функции V(f, (p, /)). Полученное про-
противоречие свидетельствует, что множество М неустойчиво.
Применим теорему 17 к отысканию условий неустойчи-
неустойчивости нулевого решения системы A.11).
Теорема 18. Для того чтобы нулевое решение системы
A.11) было неустойчиво по Ляпунову*, необходимо и до-
достаточно, чтобы существовала функция V (X, /), заданная
в области t >Т, 0< \Х\ </г [область В (Г, /г)], обла-
обладающая следующими свойствами:
* Здесь, как было отмечено во «Введении», термин «неустойчи-
«неустойчивость» означает свойство, противоположное устойчивости, равно-
равномерной по t0 ^ Т.
50

1) функция V (X, t) ограничена в области В G\ /i);
2) существуют точки (X, /) 6 В G\ К) (|Х| сколь угод-
угодно мало) такие, что V (X, t) > 0;
з) ^ v (х (/, х<°>, го> о - xv (X (/, *<•>, д, о +
+ IF (X (f, Х<°>, /0, 0 Д > 0, W> О задана в области В G, Л).
□ Для системы A.11), как было показано выше, можно
построить динамическую систему X == X (s, Х<°), /0), ^ =
= t (s, Х^о>, /0) в пространстве (X, /). Для того чтобы ин-
инвариантное множество X = 0 этой системы было неустой-
неустойчиво, необходимо и достаточно, чтобы существовала функ-
функция V (X, /), заданная в области В (—оо, 7?), обладающая
следующими свойствами:
1) V (X, t) ограничена в В (— оо, R);
2) существуют такие точки (X, /) (|Х| сколь угодно ма-
мало, t > Г), что V (X, 0 > 0;
з)
ds
Кроме того, не нарушая общности, V (X, t) можно счи-
считать неотрицательной.
Условия 1 и 3 следуют из теоремы 17, а условие 2 мож-
можно установить с помощью теоремы 17 и определения неус-
неустойчивости.
Вдоль интегральной кривой X = X (t, X<°), /0)> остаю-
остающейся при некоторых t > t0 в области В G, Л), имеем
откуда
где Wi — неотрицательная функция,
fi-i •
Таким образом, функция V (X, t), существующая в силу
теоремы 17 для динамической системы, отвечает всем усло-
условиям теоремы 18. Тем самым теорема доказана полностью.
Заметим, что Ляпунов дал достаточный признак неустойчи-
неустойчивости, в котором имеются все условия теоремы 18. Однако
он требовал наличия частных производных от V (X, t)
по переменным хи ..., хп, t. Это требование было нужно
51

лишь для того, чтобы существовала производная функции
V (X, 0 вдоль интегральных кривых системы A.11), т. е.
dt
Таким образом, по существу, 2-я теорема Ляпунова о не-
устойчивости содержит необходимое и достаточное условие
неустойчивости нулевого решения системы A.11).
Впервые необходимость условий 2-й теоремы о неустой-
неустойчивости для стационарных систем установлена в работе
Н. Н, Красовского [8]. Он же исследовал для случая ста-
стационарных уравнений условия обращения 1-й теоремы Ля-
Ляпунова о неустойчивости.
Замечание. При доказательстве теорем, содержа-
содержащихся в § 12 и 13, не были существенно использованы свой-
свойства непрерывности динамической системы / (/?, /) по обоим
аргументам. Групповое свойство динамической системы было
использовано только для t > 0, поэтому полученные здесь
результаты имеют место для более общих семейств преобра-
преобразований R на себя, чем динамическая система.
В гл. 4 рассмотрены такие общие системы, для которых
остаются в силе сформулированные результаты.
§ 14. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ
СУЩЕСТВОВАНИЯ РАВНОМЕРНО АСИМПТОТИЧЕСКИ
УСТОЙЧИВЫХ И РАВНОМЕРНО
ПРИТЯГИВАЮЩИХ ИНВАРИАНТНЫХ МНОЖЕСТВ
В этом параграфе даются необходимые и достаточные
условия того, чтобы открытое инвариантное множество Л,
содержащее достаточно малую окрестность замкнутого ин-
инвариантного множества М, было областью асимптотической
устойчивости равномерно притягивающего инвариантного
множества М. Эти условия принципиально позволяют ука-
указать границу области асимптотической устойчивости.
Теорема 19 [9]. Для того чтобы открытое инвариантное
множество A cz R, содержащее некоторую окрестность
замкнутого инвариантного множества М cz R, было об-
областью асимптотической устойчивости равномерно асимпто-
асимптотически устойчивого и равномерно притягивающего мно-
множества М, необходимо и достаточно, чтобы существовали
два функционала V (р) и Ф (/?), обладающие следующими
свойствами:
1) функционал V (р) задан и непрерывен в Л, функцио-
функционал Ф р) задан и непрерывен в /?;
52

2) —К V (р) < О при ре А; Ф (р) > 0 при р 6 R,
р (р, М) ф О и Ф (р) — О при /? € Vli;
3) по любому достаточно малому у2 >• 0 можно указать
величины Vi и ах такие, что К (/?) < —^ при р (р, М) > т2;
4) функционалы V и Ф стремятся к 0 при р (/?, М) -*■ 0;
5) если существует точка q £ М, q £ А \ А, то
limj/(/>)=-l;
Р(Р'бГт -
П Необходимость. Инвариантное множество
М по условию теоремы равномерно асимптотически устой-
устойчиво. Поэтому существуют число бх > 0 и непрерывная
строго монотонно убывающая от +°° до 0 функция L(t),
обладающая свойством р (/ (/?, t), М) < L (t) при р (р, М) <
< бх, (см. теорему 5). Рассмотрим функцию Ф (л:) = д»-1-"^),
где L (л:) — обратная функция по отношению к L (t)
и х > 0. Функция Ф (я) положительна, непрерывна и
Ф (х) -> 0 при л: -* 0.
Если а: > ах > 0, то Ф (х) > а2 (ах) > 0.
Таким образом, функционал Ф (р (/?, уИ)) = Ф (/?) об-
обладает требуемыми свойствами. Положим
(-+§ <3>{f(p.t))dt\-l, A.19)
где Ф (/ (/?, 0) == ф (Р (/ (/?» ^)» М))- Покажем, что из фор-
формулы A.19) следует равенство
1 + V(f (р, 0) = A + V (р)) ехр () Ф (/ (/7, О) Л'). A.20)
Из A.19) имеем
\ о
откуда
53

-exp/'- J ®{f(p,t),T)d%\=ll-V(f(p,t)).
Здесь использовано свойство «Б» динамической системы.
Таким образом, функционал V (р) определен формально
выражением A.20) вдоль всего движения / (р, t). Покажем
теперь, что интеграл
С)
'сходится при р 6 А, так что формула A.19) определяет не-
некоторый функционал при р 6 А. Если р 6 А, то можно ука-
указать величину Т (р) > 0 такую, что р (/ (р, t), М) < бх
при / > Т (р). Разобьем интеграл (*) на два:
т
+00
В интеграле I сделаем замену переменной интегрирования:
т
f = т + Т, тогда получим
JL- оо —I- оо J- с
т о
Так как р (ръ М) < 61э где рх == / (р, Г), то
L(t)>p(f (pl9t), M) при * > Г (р) A.21)
(см. теорему 5). Из неравенства A.21) следует tf<
< L-1 (р (/ (pi, О, Л!)), откуда
р (/ (plf О, М) е-' > р (/ (pl9 t), M) exp [-L-1 X
X (р (/ (Л» 0» ^f))l = Ф (/ (Pi» 0)- A.22)
-j-oo
Применяя A.22) к оценке интеграла f Ф (/ (р3) т)) dr, по-
о
лучаем
Таким образом, сходимость интеграла (*) доказана. Из не-
прерывности функционала In A + V (р)) = Vx (p) следует
непрерывность функционала V (р) при р 6 Л. Из формулы
A.19) имеем:
54

Vx (/>)=- j <b(f(p,t'))dt'.
Покажем непрерывность функционала Vx (/?) при р £ A:
-1- oo
I V1(p)-V1
• A.23)
и
Так как р> q £ А, то можно указать величину Т > О такую,
что
+ 00 +оо
f <b(f(p,t))dt<e1 и J O(f(qJ))dt<^
т т
где ех—некоторая положительная величина. По величинам
7 и г2 > 0 можно выбрать /*!>() (теорема 1) такое, что при
Р(Р*Я)< ri име^м: Р (/ (р, *), f (q, t))<r1 при t 6 [О, Л. Да-
Далее, г2 можно выбрать столь малым, чтобы |Ф (/ (/?, t)) —
— Ф (/ (q, t))\ < 6Х/Г при / 6 [О, Л; тогда из выражения
A.23) получаем
l^i (P) — Уг (q)\ < Зв! при р (/7, q) < rv A.24)
Таким образом, по ех указано гх такое, что имеет место не-
неравенство A.24). Это означает, что функционал V (р) не-
непрерывен в Л.
Покажем, что по величине 72 > 0 можно указать вели-
величину Yi > 0 такую, что V (р) < —7л при р (/?, М) > у2.
Так как множество М является равномерно притягиваю-
притягивающим, то по любой величине сг > 0 можно указать Т > О
и сс> 0 такие, что р (/ (/?, О» М) > а при / £ [О, Т] и
р (/7, М) > с2. Тогда можно указать величину р > 0 та-
такую, что Ф (/ (/?, 0) > Р при t 6 [О, Л. Из формулы A.19)
следует
V(p)<e ° —1<—clf
где сх > 0. Покажем теперь, что V (/?)-> 0 при р (/?, М) ->
По достаточно малому гг > 0 укажем, согласно опре-
4-оо
делению 1 § 9, б (ех) > 0 такое, что [ ФсН < ех при
о
р (р, М) < б (8j) в силу A.22). Таким образом, V (р) >
> ^-et.^ 1 ПрИ р (р^ М) < б (еа), где ех достаточно мало
и, следовательно, 1/ (/?)-> 0 при р (р, М) -> 0.
55

Покажем теперь, что lim V (р) = —1 при р (р, q)-+0,
где q 6 А \ Л и # £ M.
Возьмем е > 0, по нему введем 6 (е) > О согласно опре-
определению 1 § 9. Выберем далее последовательность точек
рп такую, что рп 6 Л, рп -> ^ и р (/?п, М) > б (е) при всех
п. Обозначим через тп величину, обладающую следующими
свойствами: р (/ (рп, /), М) > б (ь)/2 при / 6 10, тп) и
Р (/ (Рп» тп)» Щ = 6/2. Покажем, что тп ->• +сх> при п^-
-++ОО.
Предположим, что тп < т < +оо при /г = 1, 2, ...
По величинам т и гл > 0 можно указать величину г2> 0
такую, что при р (q, qx) < г± имеем р (/ (q, /), / (?ъ /)) < г2
при / 6 [0, т]. Заметим, что р (/ (q> т), М) > б, в противном
случае #6 Л. Поэтому величину г2 можно выбрать столь
малой, чтобы р (/ (qu t), M) > 6/2, t 6 [0, т]. Выберем чис-
число N столь большим, что при п> N р (рП1 q)<Z гъ тогда
P(f(Pn>in), M)> — при n>N,
что невозможно. Итак, последовательность тп неограничен-
неограниченна, и тогда не может иметь ограниченной подпоследователь-
подпоследовательности, что следует из приведенного выше рассуждения.
Таким образом, %п -> +оо при /г-> +оо, Из формулы
A.20) имеем
(^\ A.25)
Величину е > 0 , ас ней и б (е) можно выбрать столь ма-
малой, чтобы V(p) >—1/2 при р(р, М) = б(е)/2 (по свойству
4, настоящей теоремы), при этом также V (р) <— сг < 0.
Из выражения A.25) имеем
A.26)
При сделанных предположениях справедливо неравенство
Ф (/ (Рп, П) > а > 0 при f 6 [0, тп]. A.27)
Отсюда и из неравенств A.26) следует, что 1 + V (рп)~+0
при /г->+оо. Необходимость доказана.
56

Заметим теперь, что V (/ (/?, t)) -+• 0 при t~* +oo строго
монотонно при /7 6 Л.
Из выражения A.20) имеем
A.28)
Из формул A.28) и A.19) следует, что V (/ (/7, /)) строго
монотонно возрастает от —1 до 0 при строго монотонном
изменении t от — оо до +оо. Тем самым необходимость
условия доказана полностью.
Достаточность. Покажем, что множество М
асимптотически устойчиво по Ляпунову. По е > 0 найдем
К = sup V (/7). По найденному К можно указать б > 0 та-
Q{p,M)—&
кое, что V (р) > X при р (р, М) < б (свойство 3). Из усло-
условия 6 настоящей теоремы следует, что V (/ (/7, /)) > К (/7)
при t>0.
Если р (/7, М) < б, то необходимо р (/ (/7, /), М)< г
при t > 0, так как 1/ (/ (/7, Q) > X при £ > 0.
Покажем теперь, что р (/ (р, t), M) -* 0 при /-> +°° и
при р (/7, М) < б. Действительно, по г > 0, е' < б, мож-
можно указать по приведенному выше правилу б (е;).
Предположим, что р (/ (/7, f), М) > б' при / > 0, тогда
Ф(/(А 0)>Р(«'). A-29)
Применяя A.29) к условию 6, получаем
1 + V(f(p, t))>(\ +X)eV, A.30)
откуда следует, что V (/ (/7, /))->+оо при ^->-+0°, что
невозможно*. Таким образом, р (/ (/7, /), М) ~> 0 при
/->+°°, где р (/7, М) < б, поскольку существует такое
Т (&') > 0, что при t > Т (е') имеет место неравенство
Р (/ (Р> 0» М)<в'. Вместе с тем р (/ (р, t), M) стремится
равномерно к нулю относительно /7, р (ру М) < б, так как
неравенство A.30) справедливо для любых /7, обладающих
свойством р (/7, М) < б.
Покажем далее, что множество М является равномерно
притягивающим. По величине L > 0 можно указать е > 0
такое, что Ф (р)< L при р (/7, Л4)< е в силу того, что
Ф (/?)-*• 0 при р (/7, М)->0. Возьмем 0</i<6(e). По
*Условие б вдоль движения / (р, /) превращается в линейное
дифференциальное уравнение, определяющее для любого р £ А
t
функцию V (/ (/?, 0) = (I + К (/?)) ехр ( f Ф (/ (р, «))du) — 1.
о
57

h можно указать таксе сх (/г), что при р (/?, М) > h имеем
V (р) < — сл (/г), сл (h) > 0. Выберем т > 0 такое, что
A — сг {К)) еЬх = 1 — 7, где v > 0.
Ре с смотрим множество точек
/г<р(/7, М)<Ь. A.31)
Из условия 6 для точек множества A.31) имеем 1 + V (/(/?,
0) < A + V (/>)) eLt при / 6 [0, т], откуда V (/ (/7, 0) <
< — 7- Значит, существует а > 0 таксе, что р (/ (/?, t),
М) > а > 0 при f 6 [0, т], откуда следует, что множест-
множество М равномерно притягивающее. Покажем далее, что от-
открытое множество Л является областью асимптотической
устойчивости. Пусть р 6 А\ тогда из условия 6 получим со-
соотношение A.20).
Покажем, что р (/ (/?, /)> М)-> 0 при /-> -|-оо. Дейст-
Действительно, пусть это не имеет места, тогда р (/ (/7, t), M) >
> б (г) при /> 0. В этом случае
Ф(/(А 0)>Р(в) при >>0. A.32)
Применяя неравенстЕО A.32) к выражению A.20), получа-
получаем: 1 + V (р) = 0, что невозможно. Таким образом, при
peApff, (p, 0, Л1)->0, *-*+оо. Пусть p±eR и Рг£М.
Покажем, что если р (/ (ръ /), М) -> 0 при ^->+оо,то
рг 6 А. Действительно, так как р (/ (ръ /), М)-+ 0, то на
траектории / (plt t) найдется точка р2 такая, что р (р2, М) <
< б (е); тогда вся траектория / (pu t) 6 А, что следует из
инвариантности А. Тем самым теорема доказана полностью.
Замечание 1. Если в динамической системе / (р, t)
возможно допустимое преобразование s = J я|) (/ (р> t')) dff
о
где г|5 (р) — некоторый непрерывный положительный функ-
функционал, заданный в /?, такое, что замкнутое инвариантное
множество М вновь полученной динамической системы
F (p, s) будет равномерно асимптотически устойчивым и
равномерно притягивающим, то для динамической системы
/ (/7, /) можно дать необходимое и достаточное условие то-
того, что инвариантное множество Л, содержащее некоторую
окрестность множества М, было областью асимптотической
устойчивости равномерно асимптотически устойчивого и
равномерно притягивающего множества М динамической
системы F (p9 s).
Замечание 2. Уравнение I .+ V (р) .== А...при лю-
любом Я ^ @, 1) определяет множество точек, являющееся се-
сечением открытого инвариантного множества Л, т. е. любая
траектория, лежащая в Л, лишь один раз пересекает мно-
58

жество, заданное уравнением 1 + V = X при закреплен-
закрепленном Л, что следует из A.20).
Замечание 3. Совокупность 5 точек qy если они
существуют, обладающих свойством V (р)-* 1 при
р -> д, составляет границу области асимптотической устой-
устойчивости. Таким образом, с помощью функционала V (р) мож-
можно всегда принципиально решить задачу отыскания грани-
границы области асимптотической устойчивости.
Если множество граничных точек области асимптотиче-
асимптотической устойчивости пусто, то множество М назовем асимпто-
асимптотически устойчивым в целом.
Как следует из доказательства необходимости, в этом
случае V (рп) ->• — 1, где рп — некоторая последователь-
последовательность, обладающая следующими свойствами:
1) РпбА, р(рп, М)>8(е);
2)тп-^+оо при /г->-+оо (см. доказательство необ-
необходимости теоремы 19).
Если последовательность рп не содержит подпоследо-
подпоследовательности, сходящейся к точке, которая лежит на грани-
границе Л, то она вообще не содержит никакой сходящейся под-
подпоследовательности. В случае наличия компактности у до-
достаточно малой окрестности множества М и устойчивости
в целом хп ->• +оо тогда и только тогда, когда последова-
последовательность рп не содержит никакой сходящейся подпоследо-
подпоследовательности.
§ 15. МЕТОД ОЦЕНКИ
Теоремы, сформулированные в § 12—14, составляют ос-
основное теоретическое содержание второго метода Ляпуно-
Ляпунова применительно к исследованию устойчивости инвариант-
инвариантных множеств динамических систем, заданных в метриче-
метрическом пространстве.
Однако второй метод Ляпунова позволяет также полу-
получить метод оценок расстояния движения / (/?, t) до инвари-
инвариантного множества М, что и делается в настоящем парагра-
параграфе.
Рассмотрим замкнутое инвариантное множество М. Пред-
Предположим, что вне этого множества задан функционал V (/?),
обладающий следующим свойством. Существуют две функ-
функции //Zi (л:), и тг (х), заданные при х > 0, непрерывные,
строго монотонно возрастающие от 0 до +°° при х 6 [0,
+оо], такие, что
т1 (р (/7, М)) < V (р) < т2 (р (/7, М)). A.33)
59

Если известна функция V (/ (/?, t)) при некотором р, то
используя неравенства A.33), всегда можно дать оценку
для функции р (/ (/?, t), M). Действительно, из неравенства
A.33) имеем пг1 (р (/ (р, t), М)) < V (/(/?, /)) <т2 (f (/?, t),
УИ))._Отсюда получаем р (/(/?, t)y М) < тТ1 (V (f (/?, t)))
и т2 г (V (/ (р, t))) < р (/ (/?, /), УИ). Следовательно,
m2X(V) <р(Д М) ^/пг1^)- A.34)
Таким образом, если функционал V (р) удовлетворяет
условию A.33), то с его помощью можно получить оценку
A.34). Всюду далее через V [р) будем обозначать функцио-
функционал, удовлетворяющий неравенствам A.33). Предположим,
что в некоторой окрестности S (М9 г) множества М заданы
два функционала Уг и W, обладающие следующими свой-
свойствами:
1) функционал Vx удовлетворяет неравенству
fli V» < Vi < a2Vl* при р 6 S (М, г), A.35)
где пи U (i = 1, 2) — положительные постоянные;
2) функционал W удовлетворяет неравенствам
— ^V*» < W <— b2Vk» при /? £ S (М, г), A.36)
где ib|, kt (i = 1, 2) — некоторые положительные постоян-
постоянные;
3) функция Vx (/ (p, t)) непрерывно дифференцируема
по / при / (р, 0 6 5 (М, а), и, кроме того,
-^- = №; A.37)
dt v ;
4) величины kt и lt связаны соотношениями
Возьмем Х>1. Умножая обе части равенства A.37)
на функцию V-i (/ (р, t))-% и интегрируя затем в пределах
от 0 до U где величина t выбрана так, что / (/?, t) £ S (М, г),
получаем
Vl(P) t .A.38)
1 +A -Я) V^1 (P) J ^ (P, x) KfX ^
Выберем сначала Kt > 1 и Я3 > 1. В этом случае, применяя
к A.38) неравенства A.35) и A.36), получаем
60

Vl(p) A.39)
Применим к неравенству A.39) неравенство A.35); тогда
^-_ lfl2fll и J . A.40)
V l + fa-tiiaiV1*)**-1 Ь2аГ*ш t
Положим далее Ях = 1Д2 > 1. В этом случае, умножая ра-
равенство A.37) на функцию V (f (p, t))~l и интегрируя,
получаем
t
Vi(/(p,/)) = V1(p)e° . A.41)
Применим далее к неравенству A.41) неравенства A.35)
и A.36); тогда получим
У , t)9 A.42)
где через g (/?, t) обозначена правая часть неравенства
A.40). Пусть теперь %х = %2 = 1; тогда, применяя к равен-
равенству A.41) неравенства A.35) и A.36), имеем
Г^МР)^^, A.43)
Через gi (/?, /) обозначена левая часть неравенства A.42).
Теорема 20. Если в окрестности S (М, г) замкнутого
инвариантного множества М динамической системы / (/?, t)
существуют два функционала V1 и W> обладающие свойст-
свойствами 1—4, то инвариантное множество М асимптотически
устойчиво. При этом для любого движения / (/?, t) £ S (М, г)
имеют место следующие неравенства:
A.40) при Ях> 1, А,2> 1;
A.42) при Xj= 1, Я2> 1;
A.43) при Хх = К2 - 1.
D Функционал Vx удовлетворяет всем условиям теоре-
теоремы 12. Действительно, условия 1, 2 теоремы 12 следуют из
61

неравенств A.35) и A.33); условие 3 теоремы 12 выполнено
в силу A.37). Таким образом, по е<г можно указать
б > 0 такое, что если р (/?,.• М) < б, то. р (/. (р, t)y М) <
< е при t > 0. Таким образом, / (/?, t) £ S (М> г) при
р 6 5 (Л4, б). Поэтому при Kt > 1, как было показано выше,
для всех / > 0 имеем вдоль таких движений оценки A.39)
и A.40), при Кг = 1, А,2 > 1 — оценку A.42), при Ях =
= К2 = 1 — оценку A.43). Таким образом, теорема 20 до-
доказана полностью.
Приведем необходимые и достаточные условия, при вы-
выполнении которых замкнутое инвариантное множество М
асимптотически устойчиво и притом р (Д (ру /), М) удовлетво-
удовлетворяет оценкам определенного вида.
Теорема 21. Для этого чтобы замкнутое инвариантное
множество М было асимптотически устойчиво и при этом
имели место неравенства:
а) при / > 1
^m: A.44)
б) при / = 1
Л V (р) е-?>< <V{f(p, 0) < 4iV (P) е~^>
t>0, p (/(/?, 0, М)<г, A.45)
где Ci, pti diy qt — положительные постоянные (i = 1, 2),
необходимо и достаточно, чтобы существовали в некоторой
окрестности S (М, г) множества М два функционала VL
и №, удовлетворяющие следующим условиям:
1) ayV (р) < Vx (p) <azV (p); A.46)
2) _ blV° (рI < W (/?)<- ft, W (/?) A.47)
(/ > 1; a,, bt>0)\
3) функция Vi(f(p,t)) непрерывно дифференцируема
при / (/?, t) 6 S {Му г) и, кроме того, dVjdt = tt^.
П Необходимость. Пусть замкнутое инва-
инвариантное множество М асимптотически устойчиво, и при
этом выполнены оценки A.44) или A.45). Покажем, что су-
существуют два функционала Vx и W, заданные в 5 (Л4, г) и
удовлетворяющие условиям 1—3. Действительно, положим
W = — V1. Возьмем е > 0, г < г. По нему, согласно оп-
определению 1 § 9, можно указать б > 0 такое, что если
р (/?, М) < б, то / (/?, 0 6 S (Му г) при t > 0. Следователь-
Следовательно, для таких двжений имеют место неравенства A.44) или
A.45). Положим
62

\ ). A.48)
Пусть /> 1. Применяя неравенства A.44) к A.48), полу-
получаем
< d\ V1 (Р) f A +d2 N (/?y-»y/('-i) dt. A.49)
о
Полагая в неравенстве A.49) 1 -\- c2tVl~l = 9Ь 1 +
-h d2/K (/?)/-1 = 62, имеем
a[ V (p) J Gf~i rfG^ T/^pXaa 1/fp) f e2~"~i dG2. A.50)
о о
Из неравенства A.50) очевидным образом следует, что
построенный функционал Vx (p) удовлетворяет условию 1
теоремы 21. Покажем, что этот функционал обладает так»
же свойством 3:
4-сс
■ + т))Л. A.51)
0
+ 00
Из выражения A.51) имеем V (/ (р, t)) = — J W (/ (/?,
9)) d9, откуда с очевидностью следует, что dV/dt = W.
Тем самым необходимость условий доказана для случая
/ > 1. Случай / =; 1 является более простым и может быть
получен дословным повторением изложенного выше.
Достаточность. Пусть в некоторой окрестности
S (М, г) множества М существуют два функционала Vx и W,
удовлетворяющие условиям 1—3 настоящей теоремы. Эти
функционалы являются частным случаем тех, о которых
идет речь в теореме 20, а именно: если в теореме 20 поло-
положить /j_ == /а = 1, kx = k2 = /, то получим случай, рас-
рассматриваемый в теореме 21. Таким образом, достаточность
условий 1—3 следует из теоремы 20 и не нуждается в спе-
специальном доказательстве.
63

Глава 2
ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ
ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. СТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
В настоящем параграфе приведены различные случаи
применения теоремы 19 к системам дифференциальных урав-
уравнений, правые части которых не зависят явным образом от
времени.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
■^ = /.(*i.-.*n) (s=l,2,...,n), B.1)
at
правые части которой заданы в Еп и непрерывно дифферен-
дифференцируемы там по всем своим аргументам до порядка v вклю-
включительно, v > О*.
Будем считать, что при v = 0 правые части системы
B.1) непрерывны и, кроме того, удовлетворяют некоторым
условиям, гарантирующим единственность решения X =
— X (Х@\ t), проходящего при t = 0 через точку Х<°>. Та-
Таким образом, через каждую точку X £ Еп проходит лишь
одна интегральная кривая системы B.1). Известно, что
функция X — X (t, X<°>) непрерывно дифференцируема
по переменным х{0), ..., .v^0) до порядка v включительно.
Предположим далее, что система B.1) имеет нулевое ре-
решение, т. е. fs (О, ..., 0) = 0.
Теорема 22. Для того чтобы область A cz Еп, содержа-
содержащая достаточно малую окрестность точки X = 0, была об-
областью асимптотической устойчивости нулевого решения
системы B.1), необходимо и достаточно, чтобы существо-
существовали функции V {х) и ф (X), обладающие следующими свой-
свойствами;
1) функция V (X) задана и непрерывна в А, функция
Ф (X) задана и непрерывна в Еп\
2) —1<У(Х)<0 при Х£Л, ф(Х)>0 при X6
£Е \Х\0
* Правые части систем, рассмотренных в этой главе, считаем
вещественными функциями, если не утверждается обратное,
64

3) по любой величине у2 > 0 можно указать величины
Yi и аг такие, что V (Х)< — ух при |Х| > у2, ф |Х| > осг
при |Х| >у2\
4) функции V{X) и ф (X) стремятся к 0 при |Х|-*0;
5) если ГбЛчЛ и \Y\ Ф 0, то lim К (X) = — 1,
а если | X | ->- +°о, X 6 Л, то V (X) ->- -Х"У
При этом функцию ф (X) всегда можно выбрать так, что
функция V (X) будет непрерывно дифференцируема по всем
своим аргументам в области А до порядка v включительно.
Прежде чем перейти к доказательству, заметим, что с
помощью уже известной замены
систему B.1) можно преобразовать к виду
fh „ t„ х )* B 2)
ds
Совокупность уравнений B.2) определяет в пространстве
Еп динамическую систему*. Если инвариантное множество
X = 0 этой динамической системы асимптотически устой-
устойчиво, то множество всех точек Х<°>, обладающих свойством
|Х (s, Х<°>1 -> 0 при 5-^ +оо, \Х\Ф0 было названо ранее
областью асимптотической устойчивости инвариантного мно-
множества X = 0 и обозначено через Л. Было также показа-
показано, что множество А открыто. В данном случае оно к тому
же и связно, следовательно, является областью. Эту область
А в дальнейшем и будем называть областью асимптотиче-
асимптотической устойчивости нулевого решения системы B.1).
□ Точка X = 0 имеет компактную окрестность. Сле-
Следовательно, если нулевое решение системы B.1) асимпто-
асимптотически устойчиво, то инвариантное множество X == О
динамической системы B.2) является равномерно асимпто-
*Считаем здесь, что при v = 0 решения системы B.1) непре-
непрерывно зависят от начальных данных,
3 Зак. 49 65

тически устойчивым и равномерно притягивающим инва-
инвариантным множеством. Поэтому в этом случае применима
теорема 19. Условие 6 по теореме 19 принимает вид dV/ds =
= ф A + V). Переходя вновь к независимой переменной t,
получаем
Таким образом, теорема 22 будет доказана полностью, если
установить дифференциальные свойства функции V. На
основании теоремы 5 существует функция L (s) непрерыв-
непрерывная, положительная при s 6 (—°°» +°°)» строго монотон-
монотонно изменяющаяся от +оо до 0 при s->+oo, такая, что
L (s) > X2 (s, Х<°>) при s > 0 и |Х<0>| < 8Ъ где величина
бх соответствует, согласно определению 1 § 9 гл. 1, некото-
некоторому е > 0. При этом X = X (s, X<°>) — динамическая си-
система, определяемая совокупностью уравнений B.2). Поло*
жим
ф (X) = '
о
где Б — некоторая положительная величина. Функия ф (х)
непрерывно дифференцируема до порядка v включительно,
и любая ее производная dkq>/dxk, k < v, является строго
монотонно возрастающей функцией от 0 до+оо прих-> +оо,
Ф (х) задана при х > 0. Кроме того,
dxk "
что нетрудно установить с помощью теоремы о среднем.
Положим
B.3)
Ясно, что функция 1/ (Х<°>) = в-^(лс» _ if Где V —
функция, о которой идет речь в теореме 22. Из дифферен-
дифференцируемое™ функции Уг следует дифференцируемость функ-
функции V, и наоборот. Покажем, что функция V± (X@>) непре-
непрерывно дифференцируема по переменным д;A0), ..., х(п°\
Действительно,
Т ? 2 ^ Л. B.4)
/ g dx gd dxj
06

Чтобы показать сходимость интеграла в формуле B.4),
следует оценить функции dxh/dxj0). Эти функции удовлетво-
удовлетворяют системе линейных дифференциальных уравнений с пе-
переменными коэффициентами, получаемой дифференциро-
дифференцированием системы B.2) по переменной х}0). Действительно,
подставим в систему B.2) решение X = X (s, X@>). Про-
Продифференцировав полученное тождество, имеем
дх\0)
2
l
dxj
1°)
, £-1,2,.
B.5)
Функции dghfdxs в системе B.5) при достаточно малом
ограничены при всех s > 0. Поэтому имеет место оценка
ее?*,
где сир — некоторые положительные постоянные. Оценим
теперь интеграл в формуле B.4):
(X2)
Используя далее свойства функции L и выбирая число В
столь большим, чтобы было В > ру получаем
-Ь°° _1_
2c(X2f 2 е<Р-*
откуда следует, что формула B.4) определяет частную про-
производную функции V по переменной л:/0)при достаточно
малом |Х<°>|. Таким образом, V имеет производную по хH)
во всей области Л, так как интеграл, которым определяет-
определяется производная, всегда можно разбить на два, один из ко»
67

торых взят по конечному промежутку и заведомо сущест-
существует, а другой, взятый по бесконечному промежутку, может
быть оценен аналогично.
Используя примерно тот же ход рассуждений и тот же
метод оценок, можно показать при достаточно большом
В > О, что функция 1/j (Х(°>), а следовательно, функция
V (Х<°>) является непрерывно дифференцируемой по всем
своим переменным до порядка v включительно во всей обла-
области Л. Таким образом, теорему 22 можно считать доказан-
доказанной.
След ствие 1. Рассмотрим множество всех точек
X таких, что 1 + V (X) = %у X £ A, К g @, 1). Это мно-
множество представляет собой замкнутую поверхность Su ог-
ограничивающую область G%, которая содержит точку X =
= 0*. При этом поверхность S*, при любом А, £ @, 1) об-
образует сечение области Л, т. е. любая интегральная кривая
системы B.1) X = X (t, Х<°>) пересекает при XW£AS%
лишь один раз, переходя снаружи области G% внутрь. По-
Поверхность So* является границей области Л, 5Х совпадает
с точкой X = 0. Поверхность состоит из целых интеграль-
интегральных кривых систем B.1) [10]. Таким образом, уравнение
V = —1 дает всю поверхность So. Это позволяет утверж-
утверждать, что уравнение границы области асимптотической ус-
устойчивости нулевого решения B.1) принципиально найде-
найдено.
Следствие 2. Нулевое решение системы B.1) на-
называется асимптотически устойчивым в целом, если область
А = Епу т. е. X (t, Х<°>) ->- 0 при t-+ +<x> для любого Х<°),
и нулевое решение системы B.1) асимптотически устойчиво.
Теорема 22 дает необходимое и достаточное условие
асимптотической устойчивости в целом. Сформулируем их
отдельно. Для того чтобы нулевое решение системы B.1)
было асимптотически устойчиво в целом, необходимо и до-
достаточно, чтобы существовали две функции Уг (X) и ф (X),
обладающие следующими свойствами:
1) функции Уг (X) и ф (X) заданы в Еп и непрерывны
там: Уг @) = <р @) = 0;
2) Vi<0 при ХФ0 и Vi-*— оо при |X|2->+°o, a
Ф (X) > 0 при X Ф 0;
^Множество точек X таких, что 1 + V (Х)>Я, открыто, связ-
связно, ограничено. Следовательно, 1 + V (X) = X при X £@, 1) яв-
является уравнением замкнутой поверхности.
^**фуНКцию V (X) можно доопределить по непрерывности
в А.
68

3) по любой величине у.г > 0 можно указать величину
такую, что <р (X) > Yi при \Х\ > y2".
4) — -- „
1/
V
Нужно отметить, что впервые необходимые и достаточ-
достаточные условия асимптотической устойчивости в целом были
даны Барбашиным и Красовским [11]. Применительно к си-
системе B.1) эти условия сформулированы ими только при
V > 1.
Необходимый анализ функции, разрешающей вопрос об
асимптотической устойчивости в целом , был проведен так-
также в работе. Н. П. Еругина [12].
Следствие 3. Если v >1 и если нулевое решение
системы B.1) асимптотически устойчиво, то уравнение
0V с. ,
B.6)
имеет единственное непрерывно дифференцируемое реше-
решение, определенное условием V @) = 0, заданное при X 6 Л
и удовлетворяющее условиям теоремы B2) не при всякой
функции ф (хъ ..., хп). Для того чтобы уравнение B.6) име-
имело такое решение, достаточно, чтобы функция ф (X) обла-
дала свойством: J ф (X (t> X^))dt<< +oo при достаточно
о
малых |Х<°>|. Таким образом, функция ф, при которой
уравнение B.6) разрешимо при условии V @) = 0, зависит
от характера убывания функции X (t, X<°>) при /->• +°°.
Поэтому, если из каких-либо соображений известен при-
примерный порядок убывания функции X (/, Х<°>), то функцию
Ф (X) всегда можно построить. Например, при \Х (ty X@)) <
< се-***, с>0, р > 0 ( |Х<°>| достаточно мало) функцию
Ф можно выбрать в виде формы чисел хъ ..., ха или вообще
так, чтобы было ф (X) < \Х\т, т>0. Если, например,
\Х (ty Х<°>)| < t~ay а > 0 при t> 7, то т можно выбрать
так, чтобы было та > 1; тогда уравнение B.6) при любой
Ф < \Х\т имеет решение.
69

Приведем ряд примеров, иллюстрирующих изложенные
результаты.
,. + xy; y.
dt U' dt *
Соответствующее уравнение в частных производных
имеет вид
Его можно получить из формулы B.6), если положить
Легко проверить, что
V(X, f/)=-e-^/2-A'M2(l-A7/)]_l
— решение этого уравнения. Из вида этой функции сле-
следует, что кривая ху = 1 образует границу области устой-
устойчивости.
2. -%- = f1(x,y)=
Jf=f2 (x, у) =-- -Зу-
Соответствующее уравнение в частных производных
возьмем в виде
Его непрерывное решение V (х> у), определенное условием
V @, 0) = 0, имеет вид*
V (х, у) - [1 - (х/аJ'3 - [ylby/*]» - 1,
откуда следует, что интегральная кривая, ограничивающая
область устойчивости, задается уравнением (х/а)а/3 +
+ (ylbJ/z = Ь Семейство сечений области асимптотической
устойчивости имеет вид
[1 — (х/а)У3 — (у/ЬJ/3}» - Я; Я 6 @, 1).
3 dx _ (Г-*а + у»J* ■ dy _1—JC2 + y2_ 4a:2У
dt (x+iJ + / Уу dt ' 2 '
*Функция У не всюду дифференцируема, однако непрерывна
в А у что согласуется с теоремой 22.
70

Соответствующее уравнение в частных производных
имеет вид
дУ I
дх ("
\ дУ A-х
/ ду
ду { 2
дх ду (х
В рассматриваемой системе точка покоя имеет координаты
A, 0). Нетрудно проверить, что
— непрерывное решение, определенное условием V A, 0) =
= 0. Положив V (ху у) + 1 = 0, получим, что границей
области асимптотической устойчивости решения х = 1,
у = 0 системы является прямая х = 0, а область устойчи-
устойчивости совпадает с правой полуплоскостью. Найдем уравне-
уравнение семейства сечений, заполняющих область асимптоти-
асимптотической устойчивости. Для этого положим V (х, у) = Я — 1,
где к ^ @, 1); тогда будем иметь (х + 1 — 2/iJ + У2 =
= A — 2/ЯJ— 1. Следовательно, замкнутые кривые, за-
заполняющие область асимптотической устойчивости, явля-
являются окружностями.
4. -±
at
B.7)
Правые части B.7) заданы при любых х и у и удовлетворя-
удовлетворяют условиям, гарантирующим существование единствен-
единственного решения х (ty *@>, у@)), у (t, x(°\ #@)), при любых ко-
конечных значениях х@) и у(°\ и имеют единственную точку
покоя х = у = 0. Предположим, что знаки б (х) и s (x) про-
противоположны знакам х, аа (у) имеет тот же знак, что и у.
Рассмотрим соответствующее системе B.7) уравнение
в частных производных
^(s + a) + ^(x)s(x)(l+V) B.8)
дх ду
Функция
Iх у \
V (х, у) = ехр К б (х) dx—\a(y)dy\—\
\о , о /
71

является решением уравнения B.8). Если интегралы
X У
J b(x)dx и f o(y)dy стремятся к оо при |jc| -> + с» и
о "о
\у\ ->- +оо, то нулевое решение системы B.7) асимптотичес-
асимптотически устойчиво в целом.
В этом примере в качестве функции ф (х, у) взято выра-
выражение s (хN (х)у откуда следует, что при х = 0 ф @, у) =
= s @N @) = 0. Однако это обстоятельство не мешает
применить к уравнениям B.7) развитую выше теорию, так
как легко показать, что теорема 22 для уравнения B.8) ос-
остается в силе, если при этом правые части системы B.7)
таковы, что решения х (t, х@\ у@)), у (ty #@\ #@)) опреде-
определены при t 6 (—оо, +оо). Теорема 22 позволяет решить
вопрос об инвариантности границы 50 области А относи-
относительно малых изменений функций /s (хъ ..., хп).
Известно, что всякий раз, когда система B.1) получена
при решении практической задачи, то функции /s (хъ ..., хп)
известны лишь приближенно.
Выясним, насколько точно полученные факты совпадают
с действительностью, т. е. устойчива ли полученная каче-
качественная картина по отношению к малым изменениям функ-
функций /s (хъ ..., хп). Рассмотрим систему п уравнений:
&xi == f. ( y х } -\~ R (х х t) (I =?• 1 ti) ^2 9^
Предположим, что функции Д- (хъ ..., хп) непрерывно
дифференцируемы, Rt (хъ ..., хпу t) — некоторые непре-
непрерывные функции такие, что система B.9) удовлетворяет ус-
условиям существования и единственности.
Теорема 23. Если система B.1) имеет асимптотически
устойчивое нулевое решение, обладающее некоторой об-
областью асимптотической устойчивости Л, то можно назна-
назначить для функций Rt (хъ ..., хп, t) такой высший предел
R (X), что при \Rt (xl9 ..., хп, t)\<Z R (хъ ..., хп) система
B.9) будет обладать асимптотически устойчивым нулевым
решением с той же областью асимптотической устойчиво-
устойчивости.
□ В силу сделанных предположений относительно сис-
системы B.1) существует функция Ляпунова V (х1у ..., хп),
обладающая свойствами
yjW_f(x x)=W(x
72

где W (хъ ..., хп) — определенно отрицательная, непре-
непрерывно дифференцируемая функция, W (xlf ..., хп) <
< —а (Р) < 0 при 2 *? > Р > 0» причем У (хь ..., хп) ->
/= 1 __
->- +оо при (xx, ..., хп) ->- М* 6 Л \ Л, М* =^= 0. Соста-
Составим производную от функции V в силу системы B.9):
dV _ V^Lf / • • V dV D ( A —
— 2d dx- x>""Xn'~^2d~dZ *^15•••'л:л»^~
На основании неравенства Буняковского получим
п п" '" / dv \2
— ) х
/2^
X _, .. .. _.# _#
Выберем функцию R (хъ ..., л:п) такой, чтобы
i/ 2
2
Положим, например,
„ \_*(.Ч xn)\W(xx xre)
v ..., Xn) —
При такой функции R (хъ ..., xn) функция dVldt, вы-
вычисленная в силу системы B.9), будет определенно отри-
отрицательной при всех хъ ..., хп:
^<-«1<0пр„
73

Таким образом, построена функция V (хъ ..., хп) ДЛЯ
системы B.9), обладающая следующими свойствами:
О < V (хъ ..., хп) < +оо, (хи ..., х_п) £A\V {хъ ..., хп) ->
->- +оо при (х1у ..., хп)-+- М* 6 Л^Л, а производная от
функции V (хъ ..., хп), вычисленная на основании системы
B.9), обладает свойством B.10).
Тогда по теореме 22 область Л являе'1ся областью асимп-
асимптотической устойчивости нулевого решения х1 -=■■ ... = хп =
~ 0 системы B.9). Тем самым теорема доказана полностью.
Замечание 1. Если функции Rt (хъ ..., хп, t) та-
таковы, что \Rt\ < R (хи ..., хп) лишь в области Л, то утвер-
утверждение теоремы остается в силе.
Замечание 2. Если область Л совпадает со всем
пространством, то нулевое решение системы B.9) также
асимптотически устойчиво в целом.
Доказанная выше теорема дает некоторый способ иссле-
исследования систем др1фференциальных уравнений. Поясним
это на примерах.
5. Рассмотрим систему линейных уравнений с постоян-
постоянными коэффициентами:
^ = ypef*i(s==l,..-,/i), /7s/ = const. B.11)
dt ^md
Пусть корни уравнения
|Я-Щ = 0, pik = {Pik}, B.12)
имеют отрицательные действительные части.
Рассмотрим далее систему
Psi^t-{-Xs(xly..., хп). B.13)
Выясним, при каких функциях Xs (хъ ..., хп) нулевое ре-
решение хг= ... = хп = 0 системы B.13) будет асимптоти-
асимптотически устойчивым в целом. Воспользуемся теоремой 23.
Построим для системы B.11) функцию V (хъ ..., хп) в
виде определенно положительной квадратичной формы
п \• у а• —г г*оп^г —— l ii/ /у1 v* §
/,fe=l dt
где функция W является определенно отрицательной квад-
п
ратичной формой: W = 2 bihXiXk, bik = const. Составим
функцию
74

xn) = -
где a — некоторая функция от хъ ..., xnj —/ < а < /,
/< 1/ Bл). Если |Xf (*ь ...э хп)\< \Rt (X)|, то нулевое
решение системы B.13) асимптотически устойчиво в целом.
Если функции Хг (х1у ..., хп) разлагаются в ряды, то по-
последнее неравенство дает оценку коэффициентов этих ря-
рядов через произвольные величины bih и через коэффициенты
системы B.11) psiy причем константы bik связаны неравен-
неравенствами Сильвестра:
6.
<
dx
dt
о,
Ьц Ь12
^21 ^22
>o,
-.(-I)"
r2 -L ii%\ -L
X г У ) т
Ьц bx
Ф \Х"> .
2 ••• ^ln
B.14)
, у).
Система «первого приближения», полученная отбрасы-
отбрасыванием функций ф (х, у), яр (х9 у), имеет предельный цикл
х2 + у2 = 1. Построим функцию Ляпунова К для системы
первого приближения: У = —In A — х2 — у2), dVldt =
= —2 (х2 + у2). Возьмем
/? (х, У) - (х2 + у2) A - х* - у2) A + *2 + у2)-1.
Тогда, если |ср (л;, у)\< \R (х, у)\У № (х, у)\< \R (x, у)\%
то система B.14) имеет также предельный цикл. Отметим,
что вместо R (х, у) можно взять всякую другую функцию,
удовлетворяющую условиям теоремы 23.
Если нулевое решение системы B.1) асимптотически ус-
устойчиво, то любое решение X (ty Х(о>) при Х(о> С А опреде-
определено при / 6 [0, +оо]. Воспользовавшись теоремой 22, мож-
можно выяснить, при каких условиях эти решения будут оп-
определены также при t 6 (—°°, 0).
Теорема 24. Для того чтобы любая интегральная кривая
X = X (*,:Х<°>)Э Х<°> 6 А системы B.1) была определена
при / 6 (—°°> +°°), необходимо и достаточно, чтобы были
75

выполнены все условия теоремы 22 и, кроме того, чтобы
выполнялось двойное неравенство
ф(*1, ...,*п)"|/
П Необходимость. Пусть все интегральные
кривые продолжимы по t £ (—оо, +оо). Покажем, что ус-
условия теоремы выполнены. Действительно, нулевое реше-
решение системы B.1) асимптотически устойчиво. Поэтому су-
существует область А асимптотической устойчивости. В этой
области задана динамическая система X = X (t, X<°>).
Следовательно, при доказательстве теоремы 24 нет необхо-
необходимости вводить, например s, так что все проведенные рас-
рассуждения можно осуществить в терминах независимой пере-
переменной t. Кроме того, функцию ф, о которой идет речь в
теореме 22, можно выбрать так, чтобы
поскольку суть доказательства не требует неограниченно-
неограниченноф 1 /
V
сти функции ф 1 / 1 + 2 П-
V /=i
Достаточность. Пусть условия теоремы 24 вы-
выполнены. Покажем, что любая интегральная кривая X =
= X (t9 Х<°>) определена при всех t 6 (—°°, +°°). Дейст-
Действительно, пусть это не так, т. е. существует по крайней мере
одна точка Х@> Ф 0 и Х^ 6 Л такая, что интегральная
кривая X (t, Х<°>) определена лишь при t > Т > —оо.
Тогда вдоль нее имеем
l+V(X{t,X<0))) =
откуда следует, что V (X (/, Х<°>)) > [1 + V {)
— I > — 1 + 8, f > 0. С другой стороны, рассматривае-
рассматриваемая интегральная кривая неограниченна при t < 0 в силу
непродолжительности. Поэтому существует последователь-
последовательность величин tk < 0 такая, что |Х (tk, X@))l -*■ +°°. Тог-
Тогда V (X (tk, X<°>))-* 1, что противоречит полученному
выше неравенству. Таким образом, любая интегральная
76

кривая X (ty Х<°>), Х(о> 6 Л определена при всех
t 6 (—°°, + °°).
Возникает далее вопрос, как определяют область асимп-
асимптотической устойчивости нулевого решения системы B.1)
ее правые части и, наоборот, как по правым частям системы
B.1) определить область Л. Теорема 22 позволяет устано-
установить аналитический вид правых частей системы B.1), име-
имеющей наперед заданную область Л.
Пусть задана любая область Л, содержащая достаточно
малую окрестность точки X = 0. Границу этой области
обозначим через 5. Предположим, что граница 5 такая, что
можно построить непрерывно дифференцируемую функцию
V (X), заданную в Л и обладающую свойствами:
1) V @) = 0, — К V (Х)< 0 при X 6 Л;
2) уравнение 1 + V = X, X 6 @, 1) определяет замкну-
замкнутую поверхность S£, ограничивающую область G*,, за-
заданную условием V > X — 1;
3) !/->— 1 при \Х — Х]->0, где X 6 А \ Л, ХфО.
Определим правые части системы B.1) из линейных урав-
уравнений:
2 Л, (X)/«(*) = ?.(*) (*=*1,...,л), B.15)
где рц = дК/дл:* и ^ = фх A + 1/). Функция фх задана в
Еп, Ф1 @) = 0, фх > а > 0 при |Х| > р > 0. Пусть функ-
функции psij qsi (s > 2; i = 1, ..., n) выбраны так, что система
B.15) имеет решение /s = /s такое, что система уравнений
^■ = £(*i. .-..*») B-16)
имеет нулевое решение и удовлетворяет условиям сущест-
существования и единственности в А или в Епу если V задано в
Еп.
Теорема 25. Нулевое решение системы B.16) имеет
область асимптотической устойчивости Л, и наоборот, если
система дифференциальных уравнений B.1) имеет асимпто-
асимптотически устойчивое нулевое решение с областью асимпто-
асимптотической устойчивости Л, то ее правые части можно отыс-
отыскать из линейной системы вида B.15).
□ Система B.16) имеет нулевое решение. Кроме того,
существуют функции 1/иф, обладающие теми же свойства-
*Считаем, что S^ не пересекаются; если Хп £Л, \\Хп\\ ->■ +оо
при п -> +оо, то V (Хп) ->- —1,
77

ми, что и в теореме 22, так как
dt dxt
Следовательно, область А по теореме 22 является областью
асимптотической устойчивости нулевого решения системы
B.1).
Покажем, что имеет место также обратное утверждение.
Пусть А — область асимптотической устойчивости нуле-
нулевого решения системы B.1), v > 1. Тогда существуют функ-
функции V и ф, обладающие свойствами, указанными в теореме
22. Положим в системе B.15):
pSj = O, s=£j, s> I, pss= I, s>l,
dx
2
Здесь V и ф те же функции, что и в теореме 22. Полученная
таким образом система B.15) определяет правые части сис-
системы B.1).
Следствие. Если функция ф ограничена, то все
решения системы B.16) при Х<°> £ А будут определены при
*€(-«>,+оо).
Приведем пример к теореме 25.
7. Рассмотрим кривую 5 (х, у) = 0, ограничивающую
область А : @, 0) 6 А и 5 (х, у) < 0 при (#, #) 6 А. Если
5 @, 0) Ф 0, то можно считать, что 5 @, 0) = —1. Общий
вид систем, для которых кривая 5 (х, у) = 0 является ин-
интегральной кривой, был выведен Н. П. Еругиным [14], а
именно:
~~
B.17)
где М — любая непрерывная функция, а /х = /2 = 0 при
5 = 0. Выделим из этого множества систем класс, для ко-
которого точка х = 0, у = 0 асимптотически устойчива и
кривая S (х, у) = 0 служит границей области асимптоти-
асимптотической устойчивости. Для этого положим
78

М (х, у) = —V (xt y)w (х, у),
/г (х, y,S) = S (х, у) [-у (х, y)^ + S (x, у) йг (х, </)],
f% (х, y,S)^S (х, у) |y (x,[y) -g- -S (х, у) Ф (х, у) d2 (x, */)],
где ф @, О) = w (О, 0) = —
дх
dw
= 0.
Функции ср (л:, у) и w (x, у) являются положительно опре-
определенными функциями на всей плоскости, у (х, у) — про-
произвольная непрерывно дифференцируемая функция, а функ-
функции dx (x, у) и d2 (х, у) удовлетворяют соотношению
оставаясь в остальном произвольными непрерывно диффе-
дифференцируемыми функциями. Также предполагается, что
функции S (#, у) и w (х, у) непрерывно дифференцируемы
при любых значениях х и у. Рассмотрим уравнение
х9 у) ф(х9 у)dx(x,
Оно имеет единственное непрерывное решение, определен-
определенное условием V @, 0) = 0; 1 + V (х, у) = е^м^-У). На
основании предыдущих теорем можно утверждать, что ну-
нулевое решение системы B.17) асимптотически устойчиво и
кривая S (ху у) = 0 служит границей области А. Любое
решение системы B.17), начинающееся в области асимпто-
асимптотической устойчивости, продолжимо на полуось / 6 (—°°, 0),
если функцию ф (л:, у) считать ограниченной. Приведенный
класс уравнений можно существенно расширить, если везде
в предыдущих формулах заменить S (х, у) на F (х, у} 5),
где функция F (x, y% S) непрерывно дифференцируема,
F @, 0, S @, 0))< 0 и F (х, у, S (х, у)) = 0 при S (х9 у) =*
= 0. В области, ограниченной кривой 5 (*, у) = 0,
содержащей начало координат х = у = 0, функция
79

F (x, у, S (x, у)) ф 0. Как следует из изложенного выше,
важно знать методы отыскания функции V (X), устанавли-
устанавливающей факт асимптотической устойчивости нулевого ре-
решения системы B.1) и позволяющей определить всю область
Л. В теореме 22 (см. теорему 19) функция V (X) была по-
построена в виде
+ оо
Интеграл J ф (X)ds является криволинейным интегра-
о
лом первого рода, взятым по положительной полутраекто-
полутраектории, выходящей из точки Х<°>. Преобразуем его к криволи-
криволинейному интегралу второго рода. Для этого возьмем непре-
непрерывно дифференцируемую функцию Н (х9 ..., хп) и составим
полную производную
т fi —
в силу системы B.2), или
дН
Заменяя ds на это выражение, получаем
. B.18)
Криволинейный интеграл берется здесь по пути, являюще-
являющемуся интегральной кривой системы B.1), проходящей при
t > О через точку Х(°> и определенной при / > 0. Интересен
случай, когда этот интеграл не зависит от пути интегриро-
интегрирования, так как тогда нетрудно определить функцию V (X)
вдоль всякого луча. Этот интеграл всегда можно сделать
таким, положив Н = Н (V).
Допустим, что Я (X) — произвольная данная функция.
Тогда для независимости интеграла от пути интегрирова-
интегрирования достаточно, чтобы
80

была произвольной непрерывной функцией Я. Тем самым
выделен класс систем дифференциальных уравнений, об-
обладающих свойством: при заданной функции Я (X) и при
любой положительно определенной функции ср (X) интег-
интеграл
не зависит от пути интегрирования. Пусть система диф-
дифференциальных уравнений dxjdt = Д- (хъ ..., хп) (i =
= 1, ..., л) — принадлежит указанному классу.
Тогда Я (X) — соответствующая ей функция Ляпунова
V(x), являющаяся решением уравнений B.3).
Из B.19) имеем
Я °^ Г 1=1
Умножим обе части равенства на функцию 1 + V (X). Тог-
Тогда
2^
Из этого равенства следует
Получаем, что функция Ляпунова V (X) является функцией
Я. Если теперь функцию Я выбирать произвольной вместе
с функцией 0 (Я), то для любой системы B.1) всегда можно
их подобрать так, что интеграл B.18') не будет зависеть от
пути интегрирования.
Эти рассуждения могут оказаться полезными в случае,
когда рассматривается какая-либо конкретная система диф-
дифференциальных уравнений вида B.1).
§ 2. СЛУЧАЙ АНАЛИТИЧЕСКИХ ПРАВЫХ ЧАСТЕЙ
СИСТЕМЫ B.1)
Рассмотрим сначала линейные системы дифференциаль-
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
81

si^i (s=l,.-/i). B.20)
Коэффициенты psi правых частей системы B.20) будем счи-
считать произвольными комплексными числами.
Обозначим через А,1э ..,, ЯЛ корни характеристического
уравнения \Р — кЕ\ = 0, где Р = {/?*&}. Рассмотрим все-
всевозможные комплексные решения системы B.20):
X (/, Х<°>) - ^Х(°). B.21)
Равенство B.21) определяет в комплексном гс-мерном про-
пространстве динамическую систему.
Теорема 26. [16]. Если Re (A,,) < 0, то существуют две
эрмитовы формы 1/ и IF, обладающие свойствами:
1) формы V и —W определенно положительны;
2) полная производная формы V, вычисленная в силу
уравнений B.21), удовлетворяет равенству dVldt = W.
П Возьмем любую определенно отрицательную эрми-
эрмитову форму W : W (X) = Х*СХ*, где С — матрица, обла-
обладающая свойством С* = С. Положим
= J ~W(X(t, ХЩ dt. B.22)
о
Подставляя в равенство B.22) форму W9 вычисленную на
решении B.21), имеем
У(Х«») = — (Х<°>)* 5 (ftCeftXWdt. B.23)
о
Покажем сначала , что интеграл в формуле B.23) сходится.
Пусть S — матрица, преобразующая Р к канонической
форме, т. е. SPS~X = Л. Пусть К = sup Re (A,j), тогда из
формулы B.23) получим *=i,..., л
Элементы матрицы
ограничены по абсолютной величине при всех t > 0. По-
Поэтому интеграл в формуле B.23), сходится и, следователь-
следовательно, определяет квадратичную форму V (Х@>).
*Черта над символом матрицы означает комплексное сопря-
сопряжение, звездочка — транспонирование.
82

Покажем теперь, что эта форма эрмитова. Положим
о
Установим, что Z)* = Z). Действительно,
D*= J (ept)*C*(ep*x)*dt^D, так как
о
С* = С. Из формулы B.22) следует, что эрмитова форма
V (X) является определенно положительной. Покажем те-
теперь, что выполнено условие 2. В самом деле,
о
—W(X(T+t,XM))dx.
о
Полагая в последнем интеграле т + t = 0, получаем
У (X (/, Х<°>)) = J — U7 (X (9, Х<°>)) de.
Дифференцируя полученное равенство, имеем dVldt = Н^.
Таким образом, существование эрмитовых форм V и W,
удовлетворяющих условиям 1 и 2, доказано. Как следует
из теоремы 19 (что ясно было и ранее), нулевое решение
системы B.20) асимптотически устойчиво в этом случае,
и область асимптотической устойчивости А совпадает со
всем комплекнсым д-мерным пространством.
Теорема 27. Если среди величин Къ ...Дд имеются
k > 0 с положительными вещественными частями, an — k
с отрицательными, то существуют две эрмитовы формы V
и W, обладающие следующими свойствами:
1) форма W — определенно отрицательная, форма V—
знакопеременная;
2) полная производная, вычисленная от формы V в силу
системы B.20), удовлетворяет уравнению dv/dt=W.
□ Сделаем линейное преобразование в системе B.20)
с неособой матрицей S, X^SY так, чтобы иметь
d ш (*-1> •••> п), ео=О. B.24)
dt
Величины tg-x являются либо единицами, либо нулями.
Возьмем первые k уравнений. Используя их, построим эр-
эрмитову форму
83

о
где Wx — определенно отрицательная эрмитова форма ве-
величин уи ..., yk. Будем считать, что Re (Xj) < 0 при
/ = 0, 1, ..., /г. Форма V± эрмитово отрицательна. На ос-
основании теоремы 26 и в силу первых k уравнений системы
B.24) имеем dVil&t =■ Wx. Возьмем далее определенно от-
отрицательную форму W2 величин ук+ъ ..., уп и, используя
последние уравнения системы B.24), построим, следуя
+ °°
теореме 26, эрмитову форму V2 = [ — W2dt. В силу по-
'о
следних п — k уравнений системы B.24) имеем dVJdt =
- W2. Положим V = Vx + V2 и W = W± + W2. Тогда,
перейдя вновь к старым переменным, получим две эрмитовы
формы, удовлетворяющие всем условиям теоремы.
Замечание. Если коэффициенты в системе B.20)
вещественны, то формы V и W в теоремах 26 и 27 можно
выбрать просто квадратичными с вещественными симмет-
симметричными матрицами.
Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравне-
уравнений
dt
= Fs(xL,...,xn) (s=l, ...,n), B.25)
правые части которых голоморфные функции по хъ ..., хп.
Предположим далее, что коэффициенты psi и Р[тх 1Пп) веще-
вещественны и вещественные части корней характеристического
уравнения \Р — КЕ\ = 0 отрицательны. Рассмотрим урав-
уравнение в частных производных
^ j B.26)
соответствующее системе B.25). Здесь функция ф (хи ..., хп)
— положительно определенная квадратичная форма
хъ ..., хп. В качестве функции ф (X) можно также брать
любую голоморфную положительную функцию, в разло-
разложении которой по целым положительным степеням вели-
84

чин х1у ..., хп наинизшие члены образуют положительно
определенную форму степени 2/л, т > 1. Легко показать
(см. теорему 22), что при выбранной таким образом функции
Ф (X) уравнение B.26) имеет решение, удовлетворяющее
всем условиям теоремы 22.
Как следует из теоремы А. М. Ляпунова [1], при таком
выборе функции ф (X) функция V (X) может быть получена
единственным образом в виде степенного ряда, сходящегося
при достаточно малых \х8\ и обращающегося в нуль при
X = 0. Будем искать решение V (X) в виде ряда
V (X) = V2 (X) + V, (X) + ... + Vm (X) + ..., B.27)
где Vm (X) — однородная форма т-н степени относительно
величин хъ ..., хп. Подставляя B.27) в B.26), получаем для
определения форм Vm (X) систему уравнений:
B.28)
где Rm — известная форма т-й степени, если уже найдены
V» ..., Vm-V
Из системы B.28) найдем последовательно формы У2>
VH, .... Как следует из теоремы 26, форма V2 (X) является
определенно отрицательной.
Известно [11, что ряд B.27) сходится в некоторой доста-
достаточно малой окрестности начала координат. Сделаем не-
несколько замечаний относительно свойства ряда B.27).
Теорема 28. Если правые части системы B.25) представ-
представляют собой ряды, сходящиеся при любых конечных значе-
значениях величин хъ ..., хп, то в достаточно малой окрестности
точки Х^ £ А функция V (X) может быть представлена в
виде ряда
2 mi>0
i— 1
сходящегося при \Х — ()
П Построим решение X (/, XW) системы B.25), прохо-
проходящее в момент t = 0 через точку Х<°> 6 А. Сделаем заме-
замену в системе B.25):
X = X(t, XW) + £, т. е. хх - xt (t, XV») + h B.29)
(i - 1, ...,».
85

Тогда система B.25) принимает вид
Решение этой системы можно представить в виде рядов [1]
где |@) — точка, через которую в момент t = 0 проходит
решение I (/, |<°>). Таким образом, £<°> = X — Х<°>. Эти
ряды сходятся при достаточно малых величинах £@>. Под-
Подставляя B.29) в правую часть равенства
j
получаем требуемое.
Следствие. Функция У (хъ ..., х„) = К (X), опре-
определенная как решение B.26) в виде сходящегося ряда в до-
достаточно малой окрестности начала координат, может быть
аналитически продолжена вдоль любого луча, исходящего
из начала координат вплоть до границы области устойчи-
устойчивости.
Отметим, что выбор функции ср (X) в уравнении B.26)
влияет на область сходимости ряда B.27), например урав-
уравнение
- 2 *i 7Г-=
°X
при Ф^
имеет решение
а приф(Х)= 2
[получим
Если в этом примере V (X) искать в виде ряда, то об-
областью его сходимости в первом случае будет все простран-
пространство, тогда как во втором — лишь его ограниченная часть.
Рассмотрим уравнение первого порядка dyldt = f (у), где
f (у) — целая функция, не имеющая вещественных корней,

отличйых от .v = 0. Уравнение для функции V имеет вид
/ (У)л^ = Ф (У) A + /2) A + V)- Нетрудно показать, что
при ф = f2 функция V также целая, более того, если / (у)
не имеет линейного члена в своем разложении по целым сте-
степеням у, выбором функиии ф можно добиться того, чтобы и
в этом случае V получилась в виде ряда.
Эти вопросы следует решить для случая системы урав-
уравнений. Построенная здесь функция V позволяет отыскать
некоторую область, целиком погруженную в Л.
Приведем теперь метод отыскания области, целиком
погруженной в область Л. Рассмотрим семейство поверхно-
поверхностей V2 (X) = —|х [см. B.27)], где р 6 @, +оо), р = const.
Если поверхность S есть граница области Л, то найдется
такое значение \х = \х> что поверхность V2 (X) = —jx будет
касаться в некоторой точке поверхности 5. Действительно,
так как семейство поверхностей V2 = —н> заполняет все
пространство, то найдется такое значение [л, при котором
у2 = —jx пересекает поверхность 5. Обозначим через —\х
наибольшее значение V2 (X) на куске поверхности 5, за-
заключенном внутри поверхности V2 == —ц. Тогда V2 (X) =
= —^ будет касаться 5.
Как было показано раньше, поверхность 5 имеет урав-
уравнение 1 + V (X) = 0. Тогда в точке касания Сбудем иметь
откуда* ^ Fi
dV
дхг
dV2
dV
dx2
dV2
- dx2
-0.
dV
dxn
dV2
dxn
dXi
Заметим, что V2 (X) является функцией Ляпунова для
системы B.25). Найдем dVjdt в силу системы B.25):
dt i=\ dXi
*Случай, когда S лежит целиком вне Л, исключен.
87

dV,
p('"t mn) x'"' ... Xm']
Функция В? — определенно положительная. Найдем мно-
множество точек X, удовлетворяющих уравнению W (X) = О,
и обозначим его через Wo, считая, что точка X = 0 не при-
принадлежит множеству Wo. Найдем наибольшее значение
функции V2 (X) на множестве Wo и обозначим его через
—\х0. Значение \i0 > 0, так как W (X) определенно поло-
положительная функция.
Теорема 29. Поверхность V2 (X) — —\i0 целиком со-
содержится в области Л.
□ Предположим противное, что поверхность V2 (X) =
= —\х0 частично содержится в области А. (Это следует из
свойства fx.) Тогда существует на куске поверхности 5 точ-
точка, в которой функция V2 (X) достигает наибольшего зна-
значения —Цо и, как было показано, W = 0 в этой точке, что
невозможно, так как —\х0 есть наибольшее значение V2 (X)
на множестве Wo. Следовательно, значение —\i0 не может
быть наибольшим для функции V2 на множестве №0, что и
требовалось доказать. ■
Отметим, что в приведенных рассуждениях функция ф
является произвольной определенно положительной квад-
квадратичной формой. Таким образом,
V2 (X) = -tx0 B.30)
есть семейство кривых, зависящих от параметров аЬъ =
= Ух.хк- Используя это, можно сформулировать ряд при-
признаков для установления характера области устойчивости.
Теорема 30. Для того чтобы область устойчивости была
ограничена, необходимо, чтобы семейство поверхностей
B.30) было ограниченным, а для неограниченности обла-
области устойчивости достаточно, чтобы это семейство было не-
неограниченным. (Доказательство очевидно.)
Для практического применения указанного метода мож-
можно с успехом использовать семейство поверхностей
Sn = -ц, B.31)
где Sn = v2 (X) + ... + vn (X), причем считаем, что Sn =
= —fx ограничивает область Sn > —|я, содержащую на-
начало координат X = 0. Определим для этого семейства
аналогично функцию Wn (X), Wn (X) = clSJdt и множест-
множество ее нулей WOn, причем X = 0 не принадлежит WOn. Для
семейства B.31) можно определить величины —fxOn» пред-
88

ставляющие наибольшее значение функции Sn на множестве
WOn. Как и раньше, можно показать, что поверхность
Sn = —1*>оп целиком содержится в области устойчивости,
и сформулированные выше выводы можно перенести на се-
семейство B.31). Таким образом, предложен метод построе-
построения семейства областей, целиком принадлежащих области
А.
Идея построения некоторой области, которая целиком
принадлежит Ау основанная на использовании функции Ля-
Ляпунова, была применена самим А. М. Ляпуновым, а затем
в различных формах и другими авторами. В настоящем па-
параграфе эта идея используется в иной форме.
Вообще говоря, при увеличении п семейство Sn = —\хоп
все более точно представляет границу области А. В этой
работе предложен способ построения малого решения в об-
области А и применен в комбинации с вышеизложенным
методом аналитический аппарат, позволяющий строить
любые решения в области А для исследования некоторых
нелокальных проблем.
Перейдем теперь к построению [39, 40] любого решения
области асимптотической устойчивости. Допустим, что за-
задана система дифференциальных уравнений
■^-М^.-мхД B.32)
где функции fi голоморфны в некоторой области G, т. е.
если точка (*(i0), ..., х(п0)) 6 G, то
ft(xlf ..., хп) —
"V p(^i» • ••» тп) /у r@))wi (х JC@))mn
—ряды, сходящиеся в области \xt — xio)|<p A= 1, ..., п).
Пусть некоторая интегральная кривая X (/, Х(о>) системы
B.32) остается в ограниченной области Gl9 целиком погру-
погруженной в G. Тогда она продолжима на все значения
t £ (—оо, +оо). Какова бы ни была точка (х(\г\ ..., Хпг)) 6
6 Glt найдутся такие числа М и р, что функция
является мажорантой рядов
m1+...+/7zn=0
89

Система дифференциальных уравнений dxjdt = F (X) яв-
является мажорантной для B.32). Пусть интегральная кри-
кривая X (t, X<°>) в момент t = tx достигает точки Хг. Тогда
по теореме Коши решение X (/, ЛЧ°>) можно представить в
виде рядов
xi-xl»= 2 «ktiXiW-W (i= 1, .... л), B.34)
сходящихся при \t — tx\ < А. Построим для этих рядов со-
соответствующую мажорантную функцию. Для этого найдем
решение уравнения B.33) в предположении, что при t = tt
Xt = Xй], тогда xt — х(/1) = г будет удовлетворять уравне-
уравнению
dz M
dt I— nz/p
Проинтегрировав его в предположении г = 0 при / = tu
получим
Из вида этой функции следует, что ряды B.34) сходятся при
|/— /i| < р/ BУИп) = h независимо от точки Х^\ лежа-
лежащей на интегральной кривой X (t, X(o>). Итак, доказана
теорема.
Теорема 31. Если интегральная кривая системы B.32)
остается в ограниченной области, погруженной вместе с
границей в область аналитичности правых частей системы
B.32), то функции, описывающие эту интегральную кри-
кривую, являются регулярными в полосе шириной 2Л, содер-
содержащей вещественную ось t.
Следствие. Если интегральная кривая X (/, Х<°>)
остается в области Gx при t 6 [0, +оо], то функции
x>i {U х\°\ ..., х(п0)) будут регулярными в полуполосе шири-
шириной 2ft, содержащей вещественную положительную полу-
полуось te ю, +оо).
Допустим, что X (/, Х^°>) — решение системы B.32)
остается в ограниченной области Gl9 целиком погруженной
в G. Тогда, как было показано, функции xt (t, x\°\ ..., х(п0))
регулярны в полосе шириной 2Л. Отобразим эту полосу
конформно на круг \у\<£ 1, ставя в соответствие t = 0,
у = 0. Тогда получим
у=((*"н—\)Ц<***к+1). B.35)
90

Сделаем теперь замену B.35) независимой переменной
в системе B.32):
* 4«(*i.-.*»)• B-36)
dy dt
Нетрудно видеть, что
Решение системы B.36), проходящее в момент у = О через
точку Х<°>, будет регулярным в круге \у\ < 1 и поэтому
может быть представлено в виде сходящегося ряда
Ь*=хГ+ 2 ^w(X(»))y* (i=l, .... п), B.37)
& = I
область сходимости которого \у\ < 1 или —оо < t<C +oo.
Дадим фактическое определение коэффициентов этих рядов.
Подставляя их в систему B.36) и приравнивая члены при
одинаковых степенях уу получаем следующие уравнения:
x(k+ 1)Л*+М — х (* — 1) Ak-1A = ум (k = 2, 3, ...),
(i=l, ..., n)y где tyki — полиномы относительно A^tdx <C.k)
с коэффициентами, являющимися комбинациями коэф-
коэффициентов разложений функций Д (X) по степеням
(xt — xj0)) (i = 1, ..., п) и целых положительных чисел,
причем нетрудно показать, чтоя^ = ft (x(\°\ ..., х(п0)). Пусть
у системы B.36) существует асимптотически устойчивое ну-
нулевое решение. Будем предполагать, что область его асимп-
асимптотической устойчивости А ограничена и целиком погруже-
погружена в область G вместе с границей.
Каждое решение, лежащее в области Л, можно предста-
представить рядами вида B.37), сходящимися при t 6 (—°°» +°°).
Теорема 32. Общее решение в ограниченной области
асимптотической устойчивости А системы B.32), целиком
погруженной вместе с границей в область G, может быть
представлено в виде рядов B.37), сходящихся п^и —оо <
</<!+оо. (Доказательство очевидно.)
Пусть теперь область А имеет произвольный характер.
Тогда любое решение X (/, Х<°>), начинающееся в ней при
t 6 [0, +оо), остается в ограниченной области <2Ь и поэтому
функции X (/, Х<°>, У<0)), Y(U ^@)* ^@)) регулярны в полу-
полуполосе шириной 2/г, содержащей полуось t 6 [0, +оо). Ото-
Отобразим эту полу полосу на круг |£| < 1 и сделаем замену
независимой переменной в системе B.32). Тогда получим
систему
91

Решение этой системы, проходящее в момент £ = 0 через
точку XW 6 А у может быть представлено в виде рядов
оо
х- = jc-0) -f- 'V b-(X)tk (i = 1 я) B 39)
сходящихся при |£|< 1- Конформное отображение полу-
полуполосы на круг осуществляет функция
Hshf-')/(shir+1)-
отсюда sh = ■
Дифференцируя это равенство по /, заменяя
Chl/l+sh
и полагая я/ B/г]/2) = со, получаем
Разложим правую часть этого равенства по степеням £:
Л
где Ci — известные постоянные. Подставив выражение
B.40) в формулу B.38), получим систему
Подставляя ряды B.39) в последнюю систему, получаем
возможность последовательно определить коэффициенты
этих рядов. Сделаем замену независимой переменной в
системе B.32): / = т + (/г/я) In A + ]/2). Тогда значению
т = 0 отвечает значение £, = 0. Следовательно, решение,
проходящее в момент т = 0 через точку Х<°>, может быть
представлено в виде рядов B.39), сходящихся при всех
/6Ю, +оо).
Теорема 33. Если система уравнений B.32) имеет асимп-
асимптотически устойчивое нулевое решение и правые части ее
голоморфны в любой точке Х^ £ Л, то любое решение
92

X (/, Х<°>), X<°> 6 А, может быть представлено рядами B.39),
сходящимися при |£|<1 или t 6 [0, +оо).
Замечание. 1. Рядами B.39) и B.37) можно поль-
пользоваться не только в области асимптотической устойчиво-
устойчивости. Например, ряды B.39) могут применяться для прибли-
приближенного представления предельного цикла вне области Л.
Замечание 2. Ряды B.39) и B.37) обладают тем
преимуществом перед рядами, представляющими общее ре-
решение в окрестности начала координат, построенными
А. М. Ляпуновым, что они, во-первых, не требуют отрица-
отрицательности или положительности вещественных частей всех
корней уравнения \Р — КЕ\ = 0, во-вторых, сходятся при
любых конечных значениях Х(о> 6 Л, в то время как ряды
Ляпунова сходятся в достаточно малой окрестности нача-
начала координат, в-третьих, в случае ограниченной области А
ряды сходятся при всех / 6 (—оо, +оо).
Замечание 3. Если решение остается ограничен-
ограниченным при t 6 (—оо, 0], то рассуждая как и в случае, когда
решение остается ограниченным при / 6 Ю, +°°), можно
прийти к таким же рядам B.39), но только сходящимся при
t 6 [0, —оо), следовательно, если решение ограничено при
всех t £ (—оо, +оо), то этими рядами можно представлять
как положительную, так и отрицательную полутраектории.
Вообще говоря, можно указать много способов построе-
построения общего решения в области асимптотической устойчиво-
устойчивости, поэтому прием, использованный здесь, нельзя считать
единственным. Различные виды общего решения можно по-
получить отображением полос с криволинейной границей на
круг.
Если при отображении полосы шириной 2h на круг
\у\ < 1 сопоставить точке у = 0 точку t — +оо, то полу-
получим общее решение в виде некоторых других рядов, кото-
которые можно применять при решении различных задач с боль-
большим успехом (см. Дополнение 1).
Применим теперь развитую теорию к задаче отыскания
предельного цикла.
Рассмотрим систему двух уравнений
-^- = M*i,*2) (^-Ь2), B.41)
правые части которой разлагаются в ряды:
/* = 2 Р\т*'"^ х?* х™; B.42)
93

сходящиеся при любых конечных значениях величин хъ х2,
и все корни уравнения \Р — ХЕ\ = 0 имеют отрицательные
вещественные части.
Найдем функцию Sn {х1у х2) = V2 (хъ х2)+ ... +Vn (xly
х2) и предположим, что ряд
V=V2+V3+ ... + Vn+ ... B.43)
сходится в некоторой области, содержащей границу области
А. Тогда семейство Sn (хъ %2) = —1, ограничивающее
область Sn >—1, содержащее точку @,0), будет сколь
угодно точно представлять границу области Л.
Если предельный цикл существует, то кривая Sn (хъ х2) =
— —1 сколь угодно точно дает его представление.
Если же, наоборот, окажется, что Sn = —1 ограничена
при и ->■ +оо и в достаточно малой окрестности этой кри-
кривой не оказывается точки покоя системы B.41), то предель-
предельный цикл существует и может быть приближенно представ-
представлен уравнением Sn = —1.
Допустим теперь, что область сходимости ряда B.43)
неизвестна, тогда для отыскания предельного цикла и его
приближенного представления можно рекомендовать сле-
следующий метод. Строим кривую Sn (хъ х2) = —[хоп, как
это было показано выше. Область Sn > —(я0п, содержа-
содержащая точку @, 0), целиком погружена в область Л. Возь-
Возьмем какую-либо точку на кривой Sn = —\хОп. Выпустим
из этой точки отрицательную полутраекторию, представив
ее в виде рядов B.39).
Если предельный цикл существует, то траектория огра-
ограничена и делает бесчисленное число оборотов, приближаясь
к нему, и поэтому ряды B.39) могут сколь угодно точно при
достаточно больших t представлять предельный цикл.
И, наоборот, если окажется, что решение в виде рядов B.39)
ограничено и траектория делает бесчисленное число оборо-
оборотов вокруг начала координат, то предельный цикл сущест-
существует и указанные ряды при достаточно больших значениях
/ дают сколь угодно точное его представление. Однако в
этом случае возможно, что границей области А является
замкнутая кривая, на которой лежат точки покоя системы
B.41).
Можно сформулировать другой принцип, требующий
меньших вычислений. Рассмотрим кривую Sn = —1, ог-
ограничивающую область Sn >—1, содержащую точку
@, 0), и возьмем на этой кривой точку. Выпустим из нее
траекторию, пользуясь рядами B.37). Если эта точка при-
принадлежит ограниченной области устойчивости, то при t-+
94

->- -f oo решение B.37) стремится к нулю, а при t-* оо
по поведению рядов B.37) можно судить о том, является ли
граница предельным циклом. Именно, если ряды описы-
описывают траекторию, делающую бесчисленное число оборотов
вокруг начала координат, то предельный цикл имеется.
Если же указанная точка не принадлежит области устой-
устойчивости, то используя ряды B.39), можно отыскать предель-
предельный цикл.
Однако не всегда изложенный второй принцип может
давать эффективный результат, так как он основан на со-
соображении, что Sn = —1 близка к границе области устой-
устойчивости, что можно гаранитировать лишь в случае, когда
область асимптотической устойчивости погружена в область
сходимости ряда B.43).
Ранее было показано, что V (хъ х2) в окрестности каж-
каждой точки (х\0), х{20)) 6 А разлагается в сходящийся ряд
2 40))*(*2-40))г- B.44)
k, 1 = 0
Используя это свойство V (хъ л;2), каждый раз можно путем
аналитического продолжения сколь угодно близко подойти
к границе А. Это аналитическое продолжение можно со»
вершать вдоль какого-либо луча кхъ начиная с точки @, 0),
В случае, когда существует предельный цикл, можно с ус-
успехом совершать аналитическое продолжение вдоль коор-
координатных осей хг или хг.
При приближении к границе, как было показано, функ-
функция V-*-—1. Учитывая этот факт, аналитическим продол-
продолжением можно обнаружить точки, расположенные вблизи
границы области А.
§ 3. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ОДНОРОДНЫМИ ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ
Определение. Функцию / (хъ ..., хп), заданную
в ЕПУ называют однородной порядка \х = plq, где р и q —
натуральные числа, причем q нечетно, если имеет место ра-
равенство
/ {схъ ..., схп) = с»4/ (хъ ..., хп)\ (А)
с?/? положительно при р четном, при р нечетном sign с?!** =
= sign с. При этом функцию / (хъ ..., хп) будем называть
положительно однородной, если с > 0, \л — любое.
Если однородная или положительно однородная функ-
функция f (хь ..., хп) непрерывно дифференцируема по всем
95

своим аргументам до порядка v включительно, v > 1, то
она удовлетворяет [15] линейному уравнению в частных
производных:
где [л — показатель однородности функции /. Если v > 2,
то функция df/dxj также является однородной порядка
[я— 1, что легко можно установить с помощью дифферен-
дифференцирования по переменной Xj соотношения (Л).
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
* %...,хп). B.45)
Правые части при v = 0 будем считать удовлетворяю-
удовлетворяющими некоторым условиям единственности. Предполо-
Предположим, что функции ХМ заданы в ЕП1 непрерывно дифферен-
дифференцируемы там по всем своим аргументам до порядка v > 0
включительно и являются однородными порядка fi, \x > 0.
Будем считать, что случай v = 0 соответствует непрерыв-
непрерывным функциям ХМ. Система B.45) имеет нулевое решение
X = 0. Исследуем его с точки зрения устойчивости по Ля-
Ляпунову.
Теорема 34. Если система дифференциальных уравнений
B.45) имеет интегральную кривую X = X (t, X<0)), то лю-
любая кривая семейства
Y = cX(<p-4, Х<°>) B.46)
является также интегральной кривой системы B.45); при
этом
сХ (с»-Чу ХМ) = X (t, cXW). B.47)
□ Пусть функция X (t, X(o>) является решением систе-
системы B.45). В этом случае имеем тождество
dXsitXi0))XM ( (/ хм), ..., xs (t, XW), ..., xn (
dt
Вычислим производную от семейства B.46) по переменной
/. Тогда получим
at at
xi^icx,, ..., cxn),

Таким образом, семейство функций B.46) образует се-
семейство интегральных кривых системы B.45). Покажем те-
теперь, что имеет место B.47). Действительно, при t = О ра-
равенство B.47) имеет место, а при гФО оно выполняется в
силу единственности решений B.45).
Следствие. Если X = X (t, Х<0)) — интегральная
кривая системы B.45), то семейство интегральных кривых
B.46) заполняет коническую поверхность, вершина которой
лежит в точке X = О, а направляющим множеством явля-
является интегральная кривая X = X (t, Х<°>).
Теорема 35. 1. Нулевое решение системы B.45) не мо-
может быть асимптотически устойчивым при р = 2/г, где k —
натуральное число.
2. Нулевое решение системы B.45) при \к > 0, р Ф 2k
и [Л Ф 1 может быть асимптотически устойчивым лишь при
вещественных возмущениях.
3. Нулевое решение системы B.45) при \i = 1 может
быть асимптотически устойчивым при любых комплексных
возмущениях. (Ср. теоремы 26 и 27.)
□ 1-.й случай. Пусть р = 2k и нулевое решение сис-
системы B.45) асимптотически устойчиво. Тогда существует
интегральная кривая X = X (t> Х<°>) этой системы, обла-
обладающая свойством X (/, Х@)) ->■ 0 при t-*- +°°. Рассмот-
Рассмотрим интегральную кривую X (t, —Х@)). В силу соотноше-
соотношения B.47) имеем Х(/, — Х<°>) = (—1)Х ((—1)<2*-?>/^,
Х<°>) = —X (—/, Х^°>), откуда следует, что интегральная
кривая X (t, —Х<°)) обладает свойством X (t, —Х<0)) ->• О
при t->—оо, что противоречит наличию асимптотической
устойчивости нулевого решения системы B.45) [6]. Таким
образом, при р = 2k нулевое решение системы B.45) не
может быть асимптотически устойчивым.
2-й случай. Пусть р Ф 2k и \х Ф 1. Предположим,
что существует такая система вида B.45), для которой ну-
нулевое решение асимптотически устойчиво при любых комп-
комплексных возмущениях. Пусть X (/, Х<°>) ->• 0 при £->• +оо.
ц J
Положим е- у—1. Рассмотрим интегральную кривую
X = X (/, еХ@>). В силу соотношений B.47) получим
еХ ( — /, Х<°>) = X (/, eXW), откуда следует, что рас-
рассматриваемая интегральная кривая обладает свойством
X (t, eX<°>)->0 при /->•—оо. Итак при рФ2ку \хф\ нуле-
вое решение любой системы вида B.45) может быть асимпто-
асимптотически устойчивым лишь при вещественных возмущениях.
В 3-м случае возможна асимптотическая устойчивость
при любых комплексных возмущениях, что следует из со-
соотношения B.47).
4 Зак. 49 97

Следствие. Если нулевое решение системы B.45)
устойчиво (асимптотически устойчиво) при достаточно ма-
малых возмущениях, то все решения системы B.45) ограни-
ограниченны при t 6 [0, +оо), т. е. \Х (t, Х<°))| < К (Х<°>) < +оо
при t > О (имеет место асимптотическая устойчивость в
целом). Этот вывод был получен В. С. Новоселовым. Если
нулевое решение системы B.45) асимптотически устойчиво,
то для достаточно широкого класса систем можно показать,
что имеет место неравенство
\Х (/, Х<°>)| < AJ-* при / > Т и |Х<°>| = 1, B.48)
где Аг — достаточно большая постоянная (Аг > 0), а —
достаточно малая (а > 0). Представляет интерес пока-
показать, что при наличии асимптотической устойчивости ну-
нулевого решения системы B.45) всегда имеет место неравен-
неравенство B.48). Если это утверждение считать доказанным, то
везде в последующих теоремах условие B.48) можно заме-
заменить требованием асимптотической устойчивости нулевого
решения системы B.45).
Теорема 36. Если система B.45) такова, что ее решения
удовлетворяют неравенству B.48), то существуют две функ-
функции V и W, заданные в Еп и обладающие следующими свой-
свойствами: *-
1) функции V и—W—положительно определенные;
2) функция W — положительно однородная порядка т,
функция V — положительно однородная порядка /и + 1 —
— \i, где m — достаточно большое положительное число;
3) функция V непрерывно дифференцируема вдоль ин-
интегральных кривых системы B.45), т. е. V (X (t, X<°>)) име-
имеет непрерывную производную и dV/dt = W.
D Положим W = —\Х\т, где т> 1/а и
+«
= j —W(X(t, Х<°>))Л. B.49)
Покажем, что формула B.49) определяет некоторую функ-
функцию, заданную в Еп. Действительно, пусть |Х<°)| = 1, тог-
тогда для интегральных кривых системы£B.45) имеет место не-
неравенство B.48). Оценим интеграл,'* входящий в правую
часть формулы B.49), с помощью B.48). Получим
т
Г
откуда следует,[что формула B.49) определяет при
*= 1 функцию V (Х<°>). "
98

Пусть теперь Х<°> — любая точка Е 7г, Х<°> ф О, Х<°> =
= |Х<°>|У<°), где Г*0) — единичный вектор |К<°>| - 1.
Из соотношения B.47) имеем
X(t, Х<°>) -1 Х<°> | Х(| Х<°> |^-* /, У<°>). B.50)
Используя равенство B.50) и неравенство B.48), получаем
-а<>А-1>Л1*--а при />7\ B.51)
Неравенство B.51) позволяет, как и в случае |Х@>| = 1,
показать, что интеграл, стоящий в правой части фэрмулы
B.49), сходится. Таким образом, формула B.49) определяет
функцию, заданную в Еп. При этом V @) = 0. Сделаем те-
теперь под этим интегралом замену, используя соотношение
B.50). Имеем
= J
откуда следует
B.52)
Равенство B.52) показывает, что построенная функция яв-
является положительно однородной порядка т + 1 — |х.
Покажем теперь, что функция V удовлетворяет условию 2.
Действительно, из формулы B.49) имеем
V(X(U *@))H f
о
+-
- f
о
+ 00
Полагая 9 = / + т, получаем V (X (/, Х(°>)) = J |Х F,
)| dQ. Дифференцируя обе части полученного равенства,
имеем dVldt = — |X@)|m = W. Таким образом, функция
V удовлетворяет условию 3.
Теорема 37. Если система B.45) такова, что ее решения
удовлетворяют неравенству B.48), то имеют место следую-
следующие неравенства:
4* 99

1) при )i € (О, 1)
1 ~r-»—a2t <|х(t,
< 1^| Z 2, >
где X = X (t, X@>) ^ О — любое решение системы B.45)
при *еЮ, 7\], Тг=& \XW\1-»;
2) при (х = 1
3) при |j, > 1 и рф
t
где ait biy pti ciy ciy dt (i = 1,2) — некоторые положи-
положительные постоянные.
□ Покажем, что имеют место оценки 2 и 3. Если уело»
вие B.48) выполнено, то, как показано в теореме 36, суще-
существуют две функции V (X) и W (Х)у удовлетворяющие трем
условиям, сформулированным в теореме 36. При этом
W (X) = —\Х\ту а функция V (X) в силу неравенства
B.52) удовлетворяет неравенствам
а[ \X|т+*-»*< V(Х)<п2 |X\т+1 ~Л B.53)
где а[= inf V(X), af2= sup V (X).
\X |=1 I X| = 1
Обратимся к теореме 20. Положим V (р) = |Х|, где
!/(/?) — функционал, о котором идет речь в этой теореме.
Полагая в теореме 20 1Л = 12 = т + 1 — fx, k± = k2 = т,
получаем из оценки A.40) утверждение 3, а из оценки
A.43) — утверждение 2 настоящей теоремы. Покажем те-
теперь, что имеет место утверждение 1.
Пусть |ы 6 @, 1) вдоль интегральной кривой X =
= X (t, X<°)) системы B.45) мы имеем dV/dt = Wy где V
и W — функции, построенные в теореме 36. Предположим,
что X (/, Х<°>) Ф 0, тогда определена функция у-х (X (t>
Х(о))), X > 0. Домножим равенство dV/dt = W на эту
функцию и проинтегрируем в пределах от 0 до t0. Тогда
получим
V(X(t9X<°))) =
100

-У
Используя неравенства для функции V (X), учитывая вид
функции W (X) и полагая X = ml (т + \ — \х), имеем
1 -V—
Применяя снова неравенство, которому подчинена функ-
функция I7, получаем, что имеет место утверждение 1 настоящей
теоремы.
Следствие 1. Теорема 37 показывает, что если ну-
нулевое решение системы B.45) асимптотически устойчиво и
имеет место оценка B.48) при сколь угодно малом а > О,
то в действительности любая интегральная кривая системы
B.45) удовлетворяет неравенствам, указанным в п. 1—3.
Следствие 2. Оценки, содержащиеся в п. 1—3 тео-
теоремы 37, являются точными, т. е. метод вычисления кон-
констант таков, что в конкретных примерах эти неравенства
превращаются в равенства, что показывает, например, ин-
интегрирование уравнения х = —х^9 |ы = 2k + 1, а именно:
оценка, получающаяся согласно п. 2 и 3, является точной,
т. е. неравенства переходят в равенства. Сделанное ут-
утверждение не основывается только на этом очевидном при-
примере, а следует из сущности метода.
Следствие 3. Как показывает вывод, оценка в
случае |ы 6 @, 1) имеет место лишь до тех пор, пока
|Х (t, X<°))| Ф 0. В силу асимптотической устойчивости
нулевого решения системы B.45) интегральная кривая,
вошедшая в точку X = 0 при t — Т, остается там при t > Г,
т. е. X (t, Х(о)) = 0 при t > Т. Как показывает оценка в
случае |ы 6 @, 1), любая интегральная кривая системы B.45)
входит в точку X = 0 в конечное время Т (Х<0)), так что
при t 6 [0, Т] имеет место оценка, данная в п. 1 теоремы 37,
а при / > Т (Х(°>) X (t, X<°>) = 0. Эта возможность отме-
отмечалась уже в работах [17, 18].
Теорема 38. Если система B.45) такова, что ее решение
удовлетворяет неравенству B.48), то существуют две функ-
функции V (X) и W (X), удовлетворяющие всем условиям теоре-
теоремы 36, и, кроме того, функцию W (X) можно выбрать таким
образом, что функция V (X) будет непрерывно дифферен-
дифференцируемой по всем своим аргументам включительно до того
же порядка v, что и правые части системы B.45). При этом
101

функции V и W при v > 1 удовлетворяют системе уравне-
уравнений в частных производных
^ B.54)
где m — показатель однородности функции W, достаточно
большое положительное число.
Пусть условие теоремы выполнено и v >1; тогда обя-
обязательно [х ^ 1. При выполнении этих условий справедли-
справедливы утверждения теоремы 37. Поэтому любая интегральная
кривая системы B.45) удовлетворяет либо неравенству
п. 2 теоремы 37, либо неравенству п. 3 при \i > 1 и \i Ф 2k.
Положим W (X) = —Хт\ тогда как было показано в теоре-
теореме 36, существует функция V (X), определяемая формулой
B.49): V (Х<°>) = I \Х (/, Х^)\т dt, X 6 Еп. Покажем, что
о
величину т всегда можно выбрать столь большой, что функ-
функция V будет непрерывно дифференцируемой по всем своим
аргументам до порядка v включительно. Продифференци-
Продифференцируем формально это равенство по переменной лг(/0). Тогда
получим
= Г
о
Г xt(t, x\°\ ..., *Г)
B.55)
Покажем, что интеграл, стоящий в правой части формулы
B.55), равномерно сходится, и тем самым эта формула оп-
определяет частную производную функции V по аргументу
X]. Для этого найдем прежде всего те оценки, которым удов-
удовлетворяют функции дХ(/дх}0). Эти функции удовлетворяют
системе линейных дифференциальных уравнений с пере-
переменными коэффициентами вида
^Уа __ 41 „ и ^<о) ^(о)\ ,, B 56)
dt
где
Da i I * « X
Г SI \ ' * ' -'-7 --»• / _
dxt
102

Покажем, что это действительно так. Подставляя решение
X = X (t, Х<°>) в систему B.45), получаем тождество. Диф-
Дифференцируя его по переменной х}°\ имеем
dt ~
xi > • • •' хп )
i= 1
А это и означает, что функции ' (р>— удовлетворяют
линейной системе B.56). Коэффициенты psi системы B.56)
являются однородными функциями величин xs (ty Х<°>) по-
порядка |u— 1, поэтому при \i = 1 имеем \psil < К <. +оо,
/ > 0. При \i > 1 и \ьф 2k имеем
\PsiV, х\°\ ...,^0))|
где d2 — положительная константа, о которой идет речь в
теореме 37. Умножая s-e уравнение системы B.56) на ys и
суммируя по s от 1 до пу получаем
2 л^.
где IFI — j/ Уу/. Используя оценки, которым удовлетво-
ряют функции /7s£ (^, Х^°)), при |ы = 1 найдем
г при |ы > 1 и |ы Ф 2k имеем
Щ d IKK
1 ^
откуда в первом случае имеем |F| < \Y^\eKnHy а во вто-
втором случае \Y\ < |Г<°)| A +rf2<|X<0)|»A-1)K/Ii/<fi. Оценим те-
теперь интеграл, стоящий в правой части формулы B.55) при
fi = 1. Имеем
103

I
о
Отсюда, выбирая величину т достаточно большой, получа-
получаем, что интеграл в формуле B.55) сходится равномерно и
формула B.45) определяет частную производную функции
V по переменной х{р. Покажем теперь, что этот интеграл
также сходящийся при \л > 1 и \i Ф 2k, если т выбрать до-
достаточно большим. Действительно,
Г2 ^^JP dt
О ' = х 7
j
т | X (t, Х<о> |<«-1 ^% Шг] dt
о
X
Из этой оценки следует, что величину т можно выбрать
столь большой, что интеграл B.55) будет сходящимся. Та-
Таким образом, при v > 1 функция V имеет частные производ-
производные первого порядка. Пусть v > 2; в этом случае, незна-
незначительно видоизменяя приведенные выше рассуждения,
можно показать, что существуют вторые производные функ-
функции V. При этом оценки функции —@)***@) легко получить
дх i дх k
из линейных неоднородных уравнений, которым они удов-
удовлетворяют. Эти уравнения можно получить, повторно диф-
дифференцируя по переменным х}°\ л40) системы уравнений
B.45). Принимая это во внимание, считаем, что величину
т можно выбрать столь большой, что функция V будет не-
непрерывно дифференцируемой по всем своим аргументам
до порядка v включительно.
Из теоремы 36 следует, что dV/dt = W, откуда
/-1 д*> '
104

Кроме того, функция V является однородной порядка
т — [х + 1, поэтому имеет место соотношение
Таким образом, функция V удовлетворяет системе B.54).
Следствие. В случае п = 2 функцию V (хъ х2)
при v > 1 можно всегда найти в замкнутой форме. Действи-
Действительно, найдем из системы двух уравнений
дхг дх2 дхх дх2
частные производные dVldx1 и dVldx2\ тогда получим:
VXl - А (хъ x2)V + В (хъ х2);
VXi = С {хъ x2)V + D (хъ х2), B.54')
где
А{Х1, Х2) = -("+1-и)Л^ в( } =
Первое из уравнений B.54') является линейным относи-
относительно V, при этом переменная х2 в него входит как пара-
параметр. Поэтому его общее решение имеет вид
Выберем функцию ф (х2) так, чтобы построенная нами функ-
функция удовлетворяла второму из уравнений B.54') и, кроме
того, чтобы V (хъ х2) = 0 при хг = х2 = 0. Положим
где
105

Подставляя функцию V = Мх(р (х2) + М2 во второе урав-
уравнение системы B.54'), получаем
где
x= \c(xl9
L
Легко установить, что
dN2
дх
2
Общее решение уравнения для функции ф имеет вид
Ф (хд = Y^i (х*) + ^2 (Х2)у гДе 7 — произвольная постоян-
постоянная. Положим у = —[Р2 + М2Мт1]РТ1 при x2 == л:2 = 0.
Тогда функция V (хъ х2) = уМгРг + МгР2 + М2 будет
удовлетворять при п = 2 системе B.54') и условию V = 0
при *! = лг2 = 0.
Построенная функция дает необходимое и достаточное
условие асимптотической устойчивости нулевого решения
системы B.45); оно асимптотически устойчиво тогда и толь-
только тогда, когда функция V (хъ х2) определенно отрица-
отрицательная. При этом подразумевается, что функция W (х1у х2)
является определенно положительной, однородной поряд-
порядка m > \л — 1.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
i£i.=X(s|1)(x1, ...,xn) + F8(Xl, ...,xnj)(s=\, ...,n). B.57)
dt
Функции Fs (хъ ..., хп, t) будем считать такими, чтобы су-
существовало решение X = X (t, Х<°\ t0) при любом Х<°> и
t0 > 0. Решение системы B.57) называют ограниченным
при / > /0, если имеет место неравенство \Х (/, Х<°>, ^0)| <
< К (tOi Х«») < +оо при / > t0.
Теорема 39. Для того чтобы любое решение системы
B.57) было ограниченным при t > t0 при любом выборе
функций Fs (xu ..., хп, f) так их,что
F8(X, 0l<C|X|^ B.58)
при |Х| > R, X < (л, [х > 1, где R — достаточно большая
положительная величина, С — положительная величина,
которая достаточно мала при X = \х в случае v > 1, необ-
необходимо и достаточно, чтобы решения системы B.45) удов-
удовлетворяли условию B.48).
106

□ Необходимость. Пусть любое решение сис-
системы B.57) при t > /0 ограниченно при любом выборе
функций Fs (xly ..., хп, t)9 удовлетворяющих неравенствам
B.58). Покажем, что решение системы B.45) удовлетворяет
неравенству B.48). Рассмотрим систему
;
dx
при (х > 1. Функции Fs = xs удовлетворяют условию B.58).
Поэтому любое решение этой системы ограничено при т > 0.
Кроме того, эта система имеет нулевое решение, асимпто-
асимптотически устойчивое при т~>—оо. Возьмем достаточно ма-
малое Х<°>. Тогда решение X = X (т, Х<°>) этой системы огра-
ограничено при т 6 (—°°, +°°). Рассмотрим функцию
X = z (t)X (— In г, Х<°>), B.59)
где z (t) — положительная функция аргумента /, удовлет-
удовлетворяющая уравнению dzldt = —z^\ Ясно, что
Продифференцируем обе части равенства B.59) по перемен-
переменной t Тогда получим
рдфферцру
ной t. Тогда получим
e iL Х( — In г, Х<°>) — Х(—lnz, Х<°))
dt d
Х( In г, Х)Х(lnz, Х)
dt dt dx dt
—X(— In г,
dx
откуда следует, что £foe/d* — z* (X^ (xl9 ..., xn)) =
= Х^> (xj, ..., Хдг). Таким образом, функции B.59) удов-
удовлетворяют системе B.45). Так как функция
X (—In z (t)y Х<°>), при t 6 [0, +оо) ограничена, то решение
системы B.45) удовлетворяет условию B.48). Итак, для
\i >> 1 необходимость условия теоремы доказана полно-
полностью.
Положим теперь fx = 1. Рассмотрим систему dxjdt =
= cxs + Х№\ где с — достаточно малая положительная
величина. Функция X=e~ci )C(t, Х<°>), где X (*, Х<°>) —
решение упомянутой системы, ограниченное при t > 0,
удовлетворяет системе B.45), а следовательно, имеет место
оценка \Х\ < A2e~d < Л^-« при |ЛГ<°>| = 1 и ^ > Г.
Таким образом, и в этом случае решение системы B.45)
удовлетворяет условию B.48).
107

Отметим, что при доказательстве необходимости условий
теоремы свойства дифференцируемости функций Х^ нигде
не использовались.
Достаточность. Правые части системы B.45)
дифференцируемы, v > 1, и решения этой системы удовлет-
удовлетворяют неравенству B.48). Следовательно, по теореме 38
существуют две функции V и W, обладающие всеми свойст-
свойствами, указанными в теореме 38, и удовлетворяющие сис-
системе уравнений B.54). Вычислим полную производную
функции V в силу системы B.57). Тогда получим
dV VI dV ( л/(Ц) , г- / *\\ т/ * тт//
dt £dt dxt
где W± =
Оценим функцию Wx\ \WX\ < \Х\т-*+ь CB при \Х\> R.
Существует величина Rx такая, что W + CB\X\m+h-v < 0
при \Х\ > /?ь так как W (хъ ..., хп) является однородной
функцией порядка т > т + X — |х, а при X = \х величина
С достаточно мала. Положим Vx = max V (X). Если точка
Х<°> такова, что V (Х<°>) > Vl9 то К (X (t, Х<°>, д) <
< У (Х@>) при / > /0, поскольку 77 < 0- Следовательно,
А{ \Х (ty Х<°>, /0)l w-^+1 < i42|X<°)|w-»l+1f
где Л{= inf V(X<°>), Лз= sup V(X<0>).
) @)
Таким образом, если решение системы B.57) начинается
при V (Х(о>) > Ki, то оно ограничено; если при таком Х<°>,
что V (Х<°>) < Ух, то остается в области V (X) < Vu ибо
все интегральные кривые пересекают поверхность V = Уг
снаружи внутрь. Таким образом, теорема доказана полно-
полностью.
Следствие 1. Если предположить, что система диф-
дифференциальных уравнений B.45) обладает свойством B.48)
и правые части ее непрерывно дифференцируемы, то можно
указать ту область G пространства ЕПУ в которую входит
любая интегральная кривая системы B.57) при /~^+оо
и остается там. Действительно, возьмем величину Rly ука-
указанную при доказательстве теоремы 39, и вычислим Vx =
= sup V (X). Область V (Х)^ Уг обладает указанными свой-
\X\=Ri
ствами. Действительно, в теореме было показано, что все
интегральные кривые, начинающиеся в ней, остаются там
108

при t > t0. Рассмотрим точку Х(о> вне этой области и пред-
предположим, что интегральная кривая X = X (t, X(o\ t0)
системы B.57) не попадает в область G: V (X) < Vx. Тогда
вдоль этой интегральной кривой имеем V {X (t, Х<°>, to)) >
> Vv Обозначим через W2 = sup (W + Wx). Ясно, что
W2 <C 0. Тогда вдоль указанной интегральной кривой
имеем -J < Ц72, откуда V (X (/, Х<°>, /0)) < V (Х<°>) +
+ W2(t—t0). Последнее неравенство показывает, что
существует положительная величина Т такая, что
V (X (U Х<°>, t0)) < 0 при t—tQ>T. Это невозможно,
так как по предположению V (X (t, Х<°\ /0)) > Vi ПРИ
/ > t0. Таким образом, существует величина Тх такая, что
V (X (/, Х<°), /0)) < Уъ при t— t0 > Тъ т. е. интеграль-
интегральная кривая попадает в область G и остается там.
Следствие 2. Если правые части системы B.45)
дифференцируемы и имеет место неравенство B.48) для ре-
решений системы B.45), то любая интегральная кривая
X (t, X<°>), начинающаяся вне области С, остается там не-
некоторое время /— ^0 < Т (Х<°>). На этом промежутке вре-
времени она будет удовлетворять следующим неравенствам:
при |ы = 1
р[ | Х<°) | е~р2 (t'to) <| X(U X(°\ t0) \<д[\ ХМ \е~д* {t"U)\
при (х > 1 и р Ф 2k
с I x(°) I d* I v@) I
llX ' ~ <\X(t X<°> /) IСl|X ' -
> Vlt т = t — t0 < 7\
где Tv (X<°>) — такая величина, что V (X G\ (Х<°>),
■^<0). ^о)) = ^i- Покажем это. При |Х| > Rt функция
W -{- Wi удовлетворяет неравенствам
-Ьг\Х\т < W + Wt < —6,|Х|<«, B.60)
а функция У — неравенствам
л; | х |«+i -и < v < л; | х \т+1 -•*. B.61)
Вдоль интегральной кривой X = X (t, Х(о>, /0) имеем
109

i + d-a.) V(x{0))x-] f
U
Это равенство справедливо при всех t > t0. Мы будем его
рассматривать только при t — t0 < 7\ (Х@>). В этом слу-
случае вдоль интегральной кривой будут выполняться нера-
неравенства B.60) и B.61). Применяя их к формуле B.62) и по-
полагая X = ml (/я + 1 — |ы), получаем, как и в теореме 20,
требуемое неравенство, которое имеет место лишь при
to < t < to + Тг (Х<°>).
Теорема 40. Если правые части системы B.45) диффе-
дифференцируемы и для решений этой системы имеет место нера-
неравенство B.48), то для любых функций Fs таких, что
|Fe| < с |Х<°>|* при \Х\ < АД > |ы, B.63)
где А — достаточно малое положительное число (при X =
= |ы с достаточно мало), нулевое решение системы B.57)
будет асимптотически устойчивым. При этом любая инте-
интегральная кривая X = X (t, X<°\ ^0) системы B.57) при
достаточно малых |Х<°>| удовлетворяет следующим неравен-
неравенствам:
при |ы = 1
р[ | Х<°> | е~Р* {t~i) <| X (/, Х<°>, t0) \
при |х > 1 и р Ф 2k
Ц-1
П Предположим, что система B.45) имеет дифферен-
дифференцируемые правые части и что ее решение удовлетворяет
условию B.48). Следовательно, по теореме 38, существуют
две функции V и Wj удовлетворяющие всем условиям тео-
теоремы 36 и системе B.54). Вычислим полную производную
от функции V в силу системы B.57). Имеем
~f = t ^
110

где
Оценим функцию W±: \WX\ < схВ2\Х\т-»+\ m — \x +
+ X > т. При \x == X с достаточно мало, поэтому в доста-
достаточно малой окрестности точки X = 0 можно указать по-
положительные числа Ьх и Ь2 такие, что —Ьх\Х\т ^ W +
+ Wx <-Ь2\Х\<" при
\X\<hl<h. B.64)
Функция V является однородной, поэтому она удовлетво-
удовлетворяет неравенству
следовательно, применим метод доказательства теоремы 20.
в которой следует положить kx = k2 = т, lx = /2 = гп —
— fx + 1» а вместо функционала V (р) взять функцию |Х|.
Следовательно, нулевое решение системы B.57) асимптоти-
асимптотически устойчиво и оценку интегральной кривой можно по-
получить, следуя теореме 20; таким образом, умножая обе
части равенства dVldt =1^+11^! на V^^ и интегрируя
в пределах от t0 до t, получаем равенство B.62), Применяя
к нему неравенство B.64) и неравенство, которому удовлет-
удовлетворяет функция V, при X =5 ml (т + 1 — |х) получаем
оценку, данную в теореме, соответствующую случаю |л>1
и р ф 2k. Если теперь равенство dVldt = W + Wx домно-
жить на V и проинтегрировать в пределах от t0 до t, то
получим
V (X О?, Х<°>, t0)) = V (Х<°>) ехр К Ч7К-! dx\ . B.65)
Применяя к B.65) неравенство, которому подчинены
функции V и W\ найдем требуемую оценку для величины
|Х (/, Х<°\ ^0)|- Таким образом, теорема 40 доказана пол-
полностью.
Следствие. Пусть V2 = inf V (X); область
V < V2 целиком лежит в области асимптотической устой-
устойчивости нулевого решения системы B.47). Действительно,
если V (Х<°>) <С V2, то при t > t0 имеет место неравенство
It <Ut
in

а значит, V (X (/, X<°>, /0)) < V (X<°>) < V2, при * > /0,
откуда следует, что интегральная кривая системы B.57),
начинающаяся в области V (X) < 1/2, остается там при
t > t0, и, кроме того,' \Х (/, Х<°>, /0)| ->- 0 при /->- +оо.
Таким образом, теорема 40 позволяет указывать также не-
некоторую область, целиком содержащуюся в области асим-
асимптотической устойчивости нулевого решения системы B.57).
Используем теперь при изучении системы B.45) теорему 22.
Положим (х > 1. Все решения системы B.57) при любом
выборе функций F8 (хъ ..., хп, /), удовлетворяющих усло-
условию B.58), по теореме 39, ограничены при t > t0 тогда и
только тогда, когда любое решение X ~ X (/, Х@>)
при |Х^0)| = 1 системы B.45) удовлетворяет неравенству
B.48). Положим в системе B.57) F8 = xsy тогда получим
систему
•^=ха + ХЫ (s-l,.,.,n). B.66)
В теореме 39 было показано, что из ограниченности ре-
решений этой системы следует выполнение условия B.48) для
решений системы B.45) и, наоборот, из выполнения усло-
условия B.48) для решений системы B.45) имеем, что все реше-
решения системы B.66) ограничены при t > 0. Нулевое решение
системы B.66) асимптотически устойчиво при t-> оо,
поэтому если все ее решения ограничены, то область асимп-
асимптотической устойчивости А для системы
-£*= -ха—ХМ (s= 1, 2,... , п) B.67)
at
ограничена. Если область асимптотической устойчивости
А нулевого решения системы B.67) ограничена, то любое
решение системы B.66), начинающееся при достаточно ма-
малом |Х<°>|, ограничено при / 6 (—°°, +°°), а тогда, как
было показано в теореме 39, любое решение системы B.45)
X = X (t, XW) при |Х^°)| = 1 удовлетворяет условию
B.48). Таким образом, получено следующее утверждение.
Теорема 41. Для того чтобы любое решение X =
=-■ X (*, Х<°>), |Х<°>| = 1, системы B.45) удовлетворяло
неравенству B.48), необходимо и достаточно, чтобы область
асимптотической устойчивости А нулевого решения сис-
системы B.67) была ограничена.
Следствие. Рассмотрим уравнение в частных про-
производных
112

■/■
B.68)
Легко убедиться, что любое решение системы B.67) удов-
удовлетворяет неравенству \Х (/, Х<°>)| < |Х<0>|е-а<, а 6 @, 1),
t >0 (при достаточно малых |Х<°>|). Поэтому при любой
определенно положительной функции ф (X) такой, что
Ф (X) < фх (|Х|), где фх (|Х|) строго монотонно стремится
+ -
к О при |Х| ->■ О и J фх (|Х<°>|е-а')^ сходится. Как следует
о
из теоремы 22, уравнение B.68) имеет решение V (X), удов-
удовлетворяющее всем условиям упомянутой теоремы. Извест-
Известно (см. теоремы 19 и 22), что область А совпадает с областью,
в которой имеет место неравенство —1 < V (X) < 0, поэ-
поэтому справедливо следующее утверждение.
Теорема 42. Для того чтобы решения системы B.45)
удовлетворяли условиям B.48), необходимо и достаточно,
чтобы уравнение B.68) имело решение V (X), обладающее
следующим свойством: область, где имеет место неравенст-
неравенство — 1 < V (X) < 0, содержащая достаточно малую окрест-
окрестность точки X = 0, ограничена.
Следствие. Если функции Х^ являются формами
нечетной степени, а функция ф (Ф) в уравнении B.68) —
аналитическая, то, как было показано в § 2 гл. 2, функцию
V можно получить в виде рядов, сходящихся при достаточ-
достаточно малых |a;s |, которые можно аналитически продолжить
на всю область А. При этом для выяснения ограниченности
области А полезно применить метод построения областей,
целиком погруженных в Л, предложенный в § 2 гл. 2.
Развитая в этом параграфе теория позволяет решить,
как было отмечено, ряд локальных и нелокальных про-
проблем. В следующем параграфе рассмотрено применение
этой теории к решению вопроса об устойчивости в малом
нулевого решения системы дифференциальных уравнений
в некоторых сомнительных случаях.
Приведем теперь пример, иллюстрирующий развитую
теорию. Рассмотрим систему двух уравнений
= 2
~= 2
dt
113

а также систему соответствующих уравнении в частных
производных:
где №(т) — определенно отрицательная однородная функ-
функция порядка т. Как было отмечено выше, можно найти
функцию V, удовлетворяющую этой системе в конечном
виде. Если найденная указанным способом функция V (х, у)
является определенно положительной, то все решения сис-
системы двух уравнений будут ограничены при t £ [0, +оо)
(теорема 39), поскольку функция V однородная порядка
т + 1 — |х, а тогда выполнены условия B.48) для решения
системы
следовательно, выполнены достаточные условия теоремы 39.
Если рассматриваемая система имеет нулевое решение
(Яоо = ^оо = 0) и не существуют другие точки покоя, то
при а10 + Ьо1 > 0 система имеет предельный цикл.
Если найденная функция V (х, у) является знакопере-
знакопеременной и ограниченной при \х\ + \у\ < +°о, то все реше-
решения системы двух уравнений не могут быть ограниченны-
ограниченными. Действительно,
При достаточно большом R имеет место \WX\ < cr™-1, если
r > R, г = I^x2 + у2. Выберем Rx столь большим, чтобы
было W + Ш?! < 0 при г > Rv Положим inf (W + Wx) =
r>Rx
= а и p = inf У (x, у). Возьмем точку *0, y0 такую, что
го>^и УЧко, у0) < 0. Тогда из dV/dt = W + W± име-
имеем V (t, xOi у0) < V (х0, у0) + at. Если V (х0, у0) < р, то
V (t, х0> уо)< р + а/ при f > 0.
Следовательно, интегральная кривая х (t, xQi yQ),
У (t, х0, у0) лежит вне круга радиуса Rx. Если предполо-
114

жить, что она ограничена, то, как следствие, получим, что
она определена при всех t > О, и тогда, с одной стороны,
функция V (ху у) на ней должна быть ограничена, а с дру-
другой стороны, оказывается, что V (t, хОу у0) -> оо при
t-*~-\-oo. Таким образом, взятая интегральная кривая не
является ограниченной.
Выше было приведено условие существования предель-
предельного цикла. Если воспользоваться конкретным видом функ-
функции V (х, у) и предположить, что точка х = у = 0 асимп-
асимптотически устойчива при t~* оо, то, используя метод
построения областей, целиком принадлежащих Л, можно
указать кольцо, содержащее предельный цикл. Н. Н. Кра-
совский рассмотрел систему вида B.45) в случае, когда
функции Л^) являются однородными формами величин
хъ ..., хп порядка (х [19]. В этой работе решается вопрос о
существовании функций, разрешающих задачу об устойчи-
устойчивости и удовлетворяющих оценкам определенного вида.
В ней же показано, что условие асимптотической устойчи-
устойчивости нулевого решения эквивалентно выполнению нера-
неравенства B.48) при а = 1/ (pi— 1). Легко установить, что
этот результат остается справедливым и для системы B.45)
в случае, когда функции Х^) непрерывно дифференцируе-
дифференцируемы. Поэтому условие B.48) эквивалентно асимптотической
устойчивости.
§ 4. СЛУЧАЙ k НУЛЕВЫХ КОРНЕЙ
[м систему
= Xs (Хъ ... , Xk, у19 . . ., Уп) (S=
Рассмотрим систему
dx
dt
dt
== 2 Pjtyt + Yj(xv...9 xh,y1,...,yn)(j=\,...,n). B.69)
Функции Xs и Yj разлагаются в ряды по целым положитель-
положительным степеням величин хъ ..., xky уъ ..., упу сходящиеся
при-достаточно малых |jce| (s = 1, ..., к) и \у^\ (/ = 1, ..., п)
и не содержащие членов, линейных относительно хъ ..., xh>
уъ ..., уп. Предположим далее, что собственные числа
hl9..., Хп матрицы Р = \\pji\\ имеют отрицательные дейст-
действительные части. Заметим, что неособым линейным пре-
преобразованием над искомыми функциями любая система
п + k дифференциальных уравнений с голоморфными пра-
правыми частями может быть приведена к виду B.69), если
115

характеристическое уравнение имеет k нулевых корней,
которым соответствуют простые элементарные делители.
Рассмотрим систему уравнений
п
2 РпУ1 + уЛхъ~-> Хк>У1> — >Уп) = 0. B.70)
/=1
Система B.70) определяет совокупность неявных функ-
функций yj= Uj (хг, ..., xh) (j = 1, ..., п). Функции ty (х19 ..., xk)
являются голоморфными при достаточно малых |*s| (s =
= 1, ...,k).
Теорема 43. Если Xs (хъ ..., xh, uly ..., ип) ^ 0, то си-
система B.69) имеет k не зависящих от t голоморфных ин-
интегралов.
□ Сделаем в системе B.69) замену: tjj = Uj + v\j (j =
= 1, ..., ai), где v\j — новые искомые функции. Тогда систе-
система B.69) принимает вид
at
п
..., xh9 их
где Vj=
— 2 -~ Xi(Xv..., Xh, «! + %.-•■. Un
/=1 dxi
Функции Vj являются голоморфными при достаточно ма-
малых \xs\, \v\j\, и разложения их по целым положительным
степеням хъ ..., xky т]х, ..., пп не содержат членов, линейных
относительно этих величин.
Рассмотрим систему уравнений в частных производных
=--Xs (xv ..., xk, t|i + "i, •.., i\n + un) (s= 1,..., fe). B.72)
Сделаем в системе B.72) замену xs = cs + /s, где /s — но-
новые искомые функции, a £s (s = 1, ..., k) — достаточно ма-
малые произвольные постоянные. При этом система B.72)
принимает вид
116

= 2 "Yei Лг + ^Л/i»..., /л, %»... > T|n»Ci>-»cft), B.73)
* = i
так как Xs (хь ..., лгл, мь ..., ип) = 0; здесь сц и Ysi —
голоморфные функции относительно съ ..., сЛ, обладающие
следующими свойствами: сц = 0, ysi = 0 при £! = с2 = ...=
— cfe = 0, / = 1, ..., /г, / = 1, ..., /г, s = 1 , ..., Л. При
достаточно малых |£e| (s = 1, ..., А) существует система го-
голоморфных функций [1] Д = Д (т)!, ..., т|Л, сь ..., cft), удов-
удовлетворяющая системе B.73). Каждая из этих функций об-
обладает свойствами
/s = 0 при Th = ... = rin = 0 и
B.74)
f8 = 0 при сг = с2 = ... = cft = 0 (s = 1, ..., А).
Возвращаясь к прежним искомым функциям, получаем
xs = cs + fs (%, ..., цпу съ ..., ck) (s = 1, ..., k). B.75)
Система B.75) в силу свойств B.74) разрешима относитель-
относительно с1у ..., ch, так что
Cs = *s + фз (A^i, ..., *ft, T]i, .-., Лд) (S = !» •••» *)• B-76)
Полагая в B.76) % = yj — щ (xl9 ..., xk) (j = 1, ..., n),
получаем систему голоморфных интегралов для системы
B.69)
св = xs + ф8 (^, ..., xk, уг — иъ ..., уп — ип). B.77)
Тем самым теорема доказана полностью*.
Перейдем к решению вопроса об устойчивости. Исполь-
Используя соотношения B.75), исключим из 2-й группы уравне-
уравнений в системе B.71) величины xs (s = 1, ..., k). Тогда по-
получим для определения функций v)j (/ = 1, ..., п) систему
уравнений
-^Г = S (Psi + Csi) 4i + V's (cl9..., ch,i\v ..., т|я).B.78)
at
Нулевое решение системы B.78) асимптотически устой-
устойчиво равномерно по отношению к величинам^ (s= 1, ...,й),
что означает следующее: по любому t > 0 можно указать
такое б > 0, что при всех достаточно малых \с8\ будет
*Эта теорема может быть также получена непосредственно из
результатов, содержащихся в [1,§65].
117

п
и 2 <п?~>0 при i~> +°°-
/=i
Действительно, найдем положительно определенную квад-
квадратичную форму величин %, ..., г)п как решение уравнения
При достаточно малых \r\j\ (/ = 1, ...э п) и |ce| (s = 1, ..., k)y
имеет место неравенство
dV ^ 1 п
dt 2
i — i
отк уда и следует утверждение. Таким образом, любое ре-
решение системы B.71) при достаточно малых \с8\ (s= 1, ..., k)
и h/0)| (/ = 1, • ••> п) обладает свойством т^- (t> v\\°\ ..., т|пО))->-
->■ 0 при /->- +оо и xs ->- cs, а значит, r/;—^ r/j (^, ..., ch)
при ^->+сх). Таким образом, при выполнении условий
теоремы нулевсе решение системы B.69) устойчиво. Выбе-
Выберем теперь достаточно малые величины x{s0)(s = 1, ..., k)
и т](/0) (/ = 1, ..., /г); тогда из B.73) определим единст-
единственную систему величин ^0) = x{s0) + q)s (*(i0), ..., До),
ri(?\ ...,яЬ0)). Из B.76) имеем xi0) = cs@)+Д (т](?>, ..., т]<0),
^(i}, ♦-., c{V) (s = 1, ..., &). Итак, x(t0\ ..., л:(Г можно рас-
рассматривать как функции величин г\\°\ ..., \){п0\ Если при
этом £(s0) (s = 1, ..., &) достаточно малы, то любое решение
системы B.71) обладает свойством xs (t, x(i), ..., х{%\ ri(?),...,
..., ti^, ^(?\ .... 40))> V?\ ..., ^0)) -^ Ло), y\j (t,
Л c(?)>...fc(V)->0 при *-*+«>, а следова-
следовательно, y; (/, ...) ->■ м7- (c(?}, ..., c(£}) при /->• +oo.
Итак, доказана следующая теорема.
Теорема 44. Если Xs (хъ ..., xk, иъ ..., ^/л) ^ 0, то
нулевое решение системы B.69) устойчиво по Ляпунову,
при этом любое решение этой системы х8 = cs, tjj =
= #7- (с2, ..., сл) условно асимптотически устойчиво.
Рассмотрим теперь общий случай, когда
Xs (хи ..., xhj иъ ..., ип) = X{V (xl9 ..., хп) Ф 0. B.79)
Сделаем в системе B.69) замену: yj = т];- + ^ (л:1э ..., xk)
(j = 1, ..., л). Функции t/y (^х, .*.., *л), являющиеся реше-
118

нием системы B.70), разлагаются в сходящиеся ряды по
степеням величин х1У ..., xh> при этом их разложения не
содержат членов, линейных относительно хъ ..., xk. Обо-
Обозначим через |х наинизшую степень форм, с которых в дей-
действительности начинается разложение функций: X(s0) =*
= X(s)[i + X<0)(*A+1) + ..., через v — наинизшую степень
форм, с которых в действительности начинается раз-
разложение функций: У(;р) = Vj (xi> •••> xk, 0, • ••> 0). Тогда
будем иметь 1/}0) - vy>(v) + l/@><v + 1> + ... Из вида функ-
функции Vj следует, что v > \i + 1. Положим, далее, в системе
B.71) *s = £s + cps (%, ..., T]n), где функции q>s (%, ..., nn)—
голоморфное решение системы уравнений.
Ясно, что ф5 = 0 при v)j = 0 (/ = 1, ..., /г). После этой
замены система B.71) принимает вид
5ft,
(s= 1, ...,*), (/= 1, ...,«).
Ясно, что Us = 0 при ii = ... =
замене имеют место следующие
= XT (Ii, -, Ik),
fc = 0. При такой
равенства:
6k). Положим:
где функции 1Дл) и 1/^> — однородные формы величин
Si. •••» £ь порядка Л/ с аналитическими по г)ъ ..., т)Л ко-
эффициентами, уничтожающимися при т]х = т]2 = ... ^
= \\п = 0. Далее указывается преобразование, которое
систему B.79) приводит к виду
Л
119

где Xs = 2
f = 1,...,£),(/= I,-,«)
— однородные формы степени Л/ относительно величин
#!, ..., xk с аналитическими по %, ..., г^ коэффициентами,
уничтожающимися при % = ... = у]п = 0.
Сделаем в системе B.71) замену искомых функций, не
нарушающую вопроса об устойчивости, по формулам
Ъв=х8+ 2 /><">(s=l,...,£). B.82)
Функции (/^ представляют собой формы относительно
величин х19 ..., xk порядка Л^ с коэффициентами, анали-
аналитическими по %, ..., т)Л, которые подлежат определению.
Подставляя формулы B.82) в систему B.80), получаем
B.84)
Здесь через Ui (s = 1, ..., Л), У/ (/= 1, ..., /г) обозначен
результат, получающийся при подстановке в функции Us
и Vj величин Is по формулам B.82). Далее, приравнивая
слева и справа в равенстве B.83) формы одного измерения
относительно величин хъ ..., xh, не содержащие dxjdt,
получаем систему уравнений, из которых последовательно
определим коэффициенты форм pW (s = 1, ..., k\ N =
= 1, ..., jj,— 1). Пусть N = 1. Положим
Функции ^j являются известными аналитическими функ-
функциями относительно к\ъ ..., тO1, уничтожающимися при
120

t|i = ... = r)n = 0. Положим далее Vjo)'= V} \Xl=...=xk=o.
Приравнивая формы первой степени относительно вели-
величин хх, ..., xh слева и справа в B.83), имеем
S=l / = 1 ^ /
(/=1, ..., k\ /=1, ..., &),
где 67S — символ Кронекера.
Система B.85) определяет единственную совокупность
k2 голоморфных функций фо- (%, ..., т)Л), уничтожающихся
при rif = 0 (/ = 1, ..., /г), что непосредственно следует из
вспомогательной теоремы А. М. Ляпунова.
Таким образом, коэффициенты форм Р{1} (s = 1, ..., k)
определены полностью. Приравнивая формы 2-го порядка
в равенствах B.83), стоящие слева и справа, получаем си-
систему уравнений, из которых на основании вспомогатель-
вспомогательной теоремы Ляпунова единственным образом определим
все коэффициенты форм P{V (s = 1, ..., k) в виде голо-
голоморфных функций относительно величин цъ ..., цПУ обра-
обращающихся в нуль при цъ ... = т)д = 0. Аналогично можно
найти единственным образом коэффициенты всех форм
pW) (yv < [х — 1) в виде голоморфных функций относи-
относительно г)!, ..., т)п, обращающихся в нуль при 111= ... —
= т]л = 0. Перенесем все члены, содержащие формы fx-й
степени относительно л^, ..., хПУ в левую часть B.83). По-
Получившуюся в результате этого форму fx-й степени от-
относительно хъ ..., xh обозначим через U(f\ Коэффициенты
форм Р{^ можно выбрать в виде голоморфных функций,
уничтожающихся при т|1э = ... = т)п = 0, таким образом,
что коэффициенты форм ' Z/(SM') будут наперед заданными
аналитическими функциями величин т]ь ..., цп, уничто-
уничтожающимися при Th = ... = т)л = 0. Разрешим равенства
B.73) относительно величин dxjdt\ тогда получим
dx° х
dt
при т|1=»... = т|п = О.
121

Легко проверить, что коэффициенты функций и{3ю можно
выбрать так, что Х^ = 0. Итак, преобразование B.82)
можно выбрать так, что в результате применения его к сис-
системе B.80) получаем систему B.81).
Теорема 45. Если нулевое решение системы k уравне-
уравнений
^ *>, B.86)
где функции Х<0)(^ — однородные формы степени \к отно-
относительно величин хъ ..., xk и являются первыми формами
в разложении функций Xs (хъ ..., xky иъ ..., ип)> асимпто-
асимптотически устойчиво, то нулевое решение системы B.69) так-
также будет асимптотически устойчивым. При этом любое ре-
решение системы B.81), начинающееся в области
iU@J+i
удовлетворяет неравенствам
_
I х@) I
|A—! . B.87)
□ Нулевое решение системы B.86) асимптотически
устойчиво. Тогда, как было показано в § 3 этой главы, су-
существуют две однородные функции V w W, обладающие
следующими свойствами:
1) функция V определенно положительна, функция W
определенно отрицательна;
2) функция W имеет порядок т, функция V — порядок
т + 1 — jr,
3) функция V непрерывно дифференцируема по всем
своим аргументам, и имеет место равенство
k ...
V v y!0) (|X) = w
д
, ' Выберем далее функцию Vt в виде определенно поло-
положительной квадратичной формы, удовлетворяющей урав-
уравнению
нению
122

что всегда можно сделать на основании теоремы
нова. Положим U = V + Vl9 V - V (xlt ..., xh)9
= Vi Oli» •••» Ля)- Вычислим полную производную
ции U в силу системы B.81). Тогда получим
dU dV . dVx Л dV v
dt dt п л ^ a
Ляпу-
функ-
функоткуда следует, что
^±У3\. B.88)
dr\j I
/
Функция -~- является однородной порядка т — ji, поэто-
поэтому при достаточно малых |*8| и \r\j\ (s = 1, ..., fe; / = 1, ...
..., п) имеем
-f" °°
s=l
Оценим теперь вторую сумму в выражении B.88):
п я / +«
£=1
2
Положим теперь m = \i + 1. Ранее было показано, что
v > (г + 1, поэтому функция d£//d£ = ^ является отри-
отрицательно определенной, следовательно, нулевое решение
системы B.81) асимптотически устойчиво, а тогда нулевое
решение системы B.69) также асимптотически устойчиво,
поскольку все замены, которые приводят систему B.69) к
виду B.81), не меняют вопроса об устойчивости.
Покажем теперь, что имеет место оценка B.87), в ко-
торой X (/, Х«») = (Xl (t, Х«»), ..., xh (t, XW)f Л1 (/, XW)f
..., т|Л (f, Х<°>)), где X (/, X<°>) — решение системы B.81).
Положим V (р) = |Х|, где V (р) — функционал в теореме
20. Функция U удовлетворяет следующим неравенствам:
|X|2 < 0 < аг |Х|2, так как V является при выбранном
123

т положительно определенной однородной функцией 2-го
порядка. Функция Wx удовлетворяет при достаточно ма-
малом |Х| неравенствам:
B.89)
Здесь
Применим к этому случаю теорему 20 (см. § 15 гл. 1).
Положим в ней 11^=12^2, ^=2, k2 = № + 1; тогда име-
имеем Х1 = 1, ^2 — (м^ + 1)/2> 1, откуда с помощью оценки
A.42) получаем оценку B.87). Возвращаясь к старым пе-
переменным, получим, что решение системы B.81) удовлетво-
удовлетворяет оценке B.87) при всех / > 0 для любых достаточно
малых |*(я°>| (s - 1, ..., Л), h(?>| (/ = 1, ..., п).
Примеры свидетельствуют, что оценка является точной
в том смысле, что в каждом конкретном случае можно из-
изменить лишь величины констант pt > 0, ct > 0.
Замечание. Величина т при доказательстве тео-
теоремы 45 выбрана таким образом, что т = \i + 1. Это выз-
вызвано тем, что v > [i + 1, где v — порядок форм, с которых
в действительности начинается разложение функций К(/)
по степеням величин хъ ..., xk. Однако, как было показано
в §3 этой главы, функция V (хъ ..., xh) в доказательстве
теоремы 45 дифференцируема только при достаточно боль-
больших значениях т. Полученное противоречие является в
действительности лишь видимым, так как величину v на са-
самом деле можно сделать сколь угодно большой. Покажем
это. Определим систему аналитических функций
и^У {хъ •••! xk) TaK> чтобы они удовлетворяли системе урав-
уравнений:
2 Pjt4t + Y3 = 0(/=1,...,л), B.90)
если r\t заменить функциями *г(/} (хъ ..., хк). Разложения
функций (/(/) в ряды по целым положительным степеням
величин хъ ..., xh начинаются формами порядка v, что лег-
легко установить при отыскании функций U{}) в виде произ-
произвольных степенных рядов, удовлетворяющих системе B.90).
Сделаем в системе B.81) замену гO- = t/j + и{}} (хъ ..., xh)\
тогда имеем
dt B.91)
124

= 2 ph
dt
где функции Y'i имеют вид
%
n
k dui]) —
- S -/- Xs (xl9..., xk, u\l) + yi9..., u(nl) +yn), B.92)
dX
= Y) при |/i = |/a ==... = 1/л = 0.
Из формулы B.92) следует, что разложение функции
У( °/' по целым неотрицательным степеням величин хъ ..., хк
начинается с форм порядка v2 = v — 1 + |i. Произведя
это преобразование над системой B.91), получаем некото-
некоторую новую систему дифференциальных уравнений, для ко-
которой величина v2 — v + 2 (\i — 1). Будем считать, что
над системой B.91) указанное преобразование произведено
I раз. Тогда разложение функций vty по целым неотрица-
неотрицательным степеням величин хъ ..., хк начинается с форм
порядка V/ = v + I ([I — 1). Тем самым сделанное утверж-
утверждение доказано. Таким образом, при доказательстве тео-%
ремы 45 величину v можно считать сколь угодно большой.
Соответственно величину т можно выбрать достаточно
большой.
Далее изложим общую теорему о неустойчивости, опи-
опираясь на которую можно сформулировать условия неус-
неустойчивости нулевого решения системы B.69) относительно
коэффициентов форм Х*0)^), которые приведены в следую-
следующей главе.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
~-~Xs (#!,..., xk> t)-\-Xs (Хц ... 9хк,ух, ..., уПУ /),
dyj _ B-93)
—- Yj (xv ..., Xhy yly..., yn> t).
,
Предположим, что функции, стоящие в правых частях си-
системы B.93), заданы в области
\х9\ <Ь \yj\ <Л, />0(/ = !• ...,/i;s= 1, ...,Л
и удовлетворяют там некоторым условиям, при которых
существуют решения системы B.93), проходящие через лю-
125

бую точку (x(l\ y(oj\ t0) области B.94). Предположим далее,
что в области
1*.1 <ЛЬ \yj\ <Aif <>0(s= 1, ...,*;/ = 1, ..., я) B.95)
функции Xs удовлетворяют неравенству
|Хв (х1у .'.., хк, у19 ..., упу 01 < G* (хи .... хЛ> О- B-96)
Рассмотрим также систему
-^ = Xs (xx...., xn, /) + Fs (хг,..., xn, t). B.97)
Теорема 46. Если система B.93) имеет нулевое решение
#! = ... = xh = у± = ... = уп = 0, то оно будет неустой-
неустойчивым при выполнении следующих условий:
1) при любом выборе функций FSJ удовлетворяющих
неравенству
\FS\ <Gs(X,t) при |хв| <АЬ B.98)
система B.97) имеет неустойчивое нулевое решение (s =
- 1, ...,Л);
2) существует множество В (k + 1)-мерного простран-
пространства точек ^(^, ..., x{k\ t0 со следующими свойствами:
а) по любой величине 6>0 найдется точка (х{\\ •••
«.., х~1°, t0) 6 В такая, что
1/ 2 *@)-2 < б;
б) интегральная кривая xs = xs (t, x{V, ..., x(l\ t0) си-
системы B.97) при любом выборе функций F89 удовлетворяю-
удовлетворяющих неравенству |FS| < Gs при \xs\ < h± и t> О, обладает
свойством: по у>0можно указать величину Т(х{\\ ... х[°\
t0, у) такую, что
k _
'V x2 (t X^ t) =■&
s=\
при t = t0 + T9 \X0\ < y и (X<°>, ^o) 6 В, где e — некото-
некоторое положительное число.
□ Пусть нулевое решение системы B.93) устойчиво.
Тогда по величине г > 0 можно указать величину б > О
такую, что при |л:E0)|<б, |у(/)|<б (s=l, ...,&; / =
= 1, ..., /г) имеет место неравенство |*в (/, Х<°>, У(°>, /0)| <
= (x(V, /., i^O, У@> = (у(?\ ...9,у{$). Подставляя в пер-
первую группу системы уравнений B.93) функции yj (t,
126

/0), получаем систему дифференциальных уравне-
уравнений вида B.97). Если е выбрано так, что е < къ то
из неравенства B.96) следует выполнение неравенства B.98).
Совокупность функций х8 (/, Х<°>, У<°>, /0) (s = 1, ..., k)
удовлетворяет системе B.97) и, кроме того, точку (Х<°\ /0)
можно выбрать так, чтобы имело место (Х(°\ t0) 6 В> тогда,
выбирая е < е, в силу п. «б» условия 2 теоремы 46 полу-
получаем \Х (*, Х<°>, У<°>, /0)| > е при t= to+T, T< +oo.
Следовательно, предположение об устойчивости нулевого
решения системы B.93) неверно.
Отметим, что теорема 43, доказательство которой приве-
приведено здесь полностью, может быть непосредственно полу-
получена из теоремы Ляпунова, содержащейся в [1, § 65].
§ 5. СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ ПАР ЧИСТО МНИМЫХ
КОРНЕЙ
Рассмотрим систему
dxs __ «
dt ~~~ si
dy
S
dt
dzj^
dt
У У 1J 1J 7 7 \
(Q I Ь\
О 1, ... , »W,
, 1 v | \Г (у лг 11 II У У \
/\/s Л$ -|~ / s «Aj, ... , Л/., l/l, ... , t//j, ^1, ... , ^П/>
B-99)
Предположим, что функции Xe, YSf Zj разлагаются в
сходящиеся степенные ряды относительно хъ ..., xk,
Уъ ..-, Уй» 2:1э ..., zn, не содержащие линейных членов. Бу-
Будем считать, что правые части системы B.99) вещественные,
величины Яь ..., ih положительны и такие, что
2И|*,^0 B.100)
при любых целых
Система
127

*' Ki-\ j B.101)
/=1
имеет решение xs = и8 (zly ..., г„), */s = vsjzly ..., zn), го-
голоморфное в окрестности точки z2 = ... =zn = 0. Сделаем
преобразование
*в = Я + ив>ув = £ + 0в B.102)
в системе B.99). Тогда получим
хъ ..., xhi Уху ... , у^, zx,..., zftj,
rf- = Kx8 + Y8, B.103)
Ясно, что Xs, У^, Zj обладают теми же двойствами, что и
исходные Х8, YSy Zjy кроме того, Х8 = Ys = 0, когда ^s =
= t/e = 0 (s = 1, ..., Л). Произведем далее в системе B.103)
замену
!^8 = rS C0S ^S^
- . * B.104)
y. = r.smb,,
в результате получим систему
dt dt
d- n B.105)
(s=l,..., Л),
где Rs — cos #SXS (r_i cos ftlL ..., rfe cos Oft, rx sin O^ ...,
..., rfesin Ofc, zlu..., zn) + sin #S7S (rx cos «j, ...,
,.., rh sin Oft> zb ..., zj, 6sj= ( cos $SYS — sin *s X8)/r89
Pj = Zj- (rx cos Oj, ..., zx, ..., zn). Функции Rs и Р^ голо-
голоморфны в окрестности гг = ... = rft = zx = ... = гп = 0.
При этом Rs ss 0 при г2 = ... = гЛ == 0. Коэффициенты в
128

разложениях функций Rs и Pj — периодические функции
относительно d, (i = 1, ..., k). Будем предполагать далее,
что функции 6S обладают теми же свойствами, что и Rs и Pj.
Заметим, что условия B.100) позволяют выполнить преоб-
преобразование системы B.103), после которого функции 6S
формально будут разлагаться в ряды по степеням гъ ..., rh,
zl9...9zn. Будем искать решение системы B.105) в форме
рядов:
B.106)
ki cly... ,ch).
2j
Функции г[т) и г|т) являются однородными формами отно-
относительно сь ..., ck степени т с периодическими коэффици-
коэффициентами относительно $ъ ..., -О^, подлежащими определе-
определению. Исключим параметр t в системе B.105). Тогда полу-
получим
_ /=1 l ' я B.107)
Подставляя ряды B.106) в систему B.107) и приравнивая
формы одной степени относительно величин съ ..., ск, име-
имеем систему уравнений
B.108)
Формы Щт) и Р[т-1) определены, если найдены функции'
r(sm*> и zim«>, m1<.m, m2<.m—\. Предположим, что функ-
функции B.106) определены из системы B.108) периодическими
относительно Ьъ ..., ®к и представляют собой при доста-
достаточно малых \с8\ решение системы B.107). Пусть построе-
построение рядов B.106) осуществлялось так, что r^m> = 0 при
т > 2 (О1э ..., тЭ1^ = 0). Исследуем в этом особом случае
5 Зак. 40 129

вопрос об устойчивости нулевого решения системы B.99).
Сделаем в системе B.105) замену
'.«Р.+ 2 'iw)(#i,...,^,Pi....,P*)> B.109)
m = 2
где Pi, ..., Рл — новые искомые функции. Тогда получим
лГ ^Г 1Г . B.И0)
Система B.110) имеет семейство решений ps = cs (s =
= 1, ..., &), Zj = 0 (/ = 1, ..., Л). Далее можно показать,
что система
имеет семейство решений
ps = cs + Fs (zlf ..., In, «i, ..., *Л, q, ..., ck)
(s= 1,...,^). B.112)
Функции /^ разлагаются в сходящиеся степенные ряды
относительно zlf ..., zn, с1э ..., с* при достаточно малых
|zy| и |cs|, при этом Fs = 0 при zx = ... = zn = 0. Исполь-
Используя равенства B.112), исключим величины ps из 3-й груп-
группы уравнений B.110). Тогда получим систему для опреде-
определения функций Zjy из которой следует, что при всех достаточ-
достаточно малых |cs| и при любом выборе непрерывных веществен-
вещественных функций <>! (/), ..., #£. (/), Zj (t) ->■ 0 при <-* +оо
равномерно относительно съ ..., ch, как только |^@)| до-
достаточно малы. Отсюда и из B.112) следует, что ps-*cs
при t-^+oo, а значит, нулевое решение системы B.99)
устойчиво. Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 47. Если система B.105) имеет семейство огра-
ограниченных решений B.106), то нулевое решение системы
B.99) устойчиво по Ляпунову.
Разрешим равенства B.112) относительно величин
Съ •••> ch\ тогда получим
С, = Ps + Фз (#1, #2> ..м #ft, Pi, ..м Pft,"Il» •••» Zn)
(S= 1,...,^). B.113)
130

Перейдем в равенствах B.113) к величинам гъ ..., rk и
на основании B.104) имеем
(s = 1 Л). B.114)
Можно показать, что функции ips разлагаются в сходящие-
сходящиеся ряды по целым положительным степеням величин xSy
ys, Zi. Таким образом, равенство B.114) дает k голоморфных
интегралов системы B.103), при этом
B.115)
где % голоморфно в окрестности точки гг = г2 = ... = rk ~
Г" ^~ л
Zl ... сп и.
Теорема 48. Для того чтобы система B.105) имела се-
семейство ограниченных решений B.106), необходимо и до-
достаточно, чтобы существовало k голоморфных интегралов
системы B.103) вида B.114), обладающих свойством B.115).
□ Необходимость условия установлена выше, а доста-
достаточность можно вывести, проводя обратные преобразова-
преобразования над интегралами B.115).
Перейдем к анализу общего случая. Предположим, что
г[т)(т < |д,) получены периодическими, а ср£Ди функций
/■(м-) (s = 1, ..., k) по крайней мере одна не определяется как
периодическая. Положим в системе B.107)
k
2
Ясно, что
R(* mi mftt ^ ^)щьо при 2 I Pj I = 0.
Обозначим через /?(°)(»*) форму
131
где

а через г<^ периодическое решение системы
У h —^_ = RM — R[°) <**). B.116)
. dO* s s
Сделаем в системе B.105) замену:
B.117)
m= 1
тогда получим
Pi»
dt
dlj » - BЛ18)
= ^s + @s, -тг^ I] o« £«•
Разложение функций Rs в ряды по степеням величин
рь ..., pft начинается с форм #(°><м.) (Pl, ..., pft), a разло-
разложение функций Pj при Si — ••• = Sn — 0 с форм
Теорема 49. Если нулевое решение системы
-4gL = tf<0) (и) (р1, ... >pft) (s= i,... д) B.Ц9)
асимптотически устойчиво, то нулевое решение системы
B.99) также асимптотически устойчиво. При этом любая
интегральная кривая системы B.118), начинающаяся в
достаточно малой области \xs\ < h, \ys\ < /г, \zj\ < h, удов-
удовлетворяет неравенствам
B.120)
при t > 0, где X (/, Х<°)) = (Pl,..., Pft, Flf..., гп), Х<°> -
@)
П Нулевое решение системы B.119) асимптотически
устойчиво, поэтому существуют две однородные функции
V и W, обладающие следующими свойствами:
132

1) функция V—определенно положительная, W —
определенно отрицательная;
2) функция V имеет порядок т -f 1 — Щ функция W
имеет порядок т\
к
3) J] — R{s0) <v = W. B.121)
Построим определенно положительную квадратичную фор-
форму Уъ удовлетворяющую уравнению
2 ^
= -t tf.
B.122)
Положим U = V + Vv Вычислим полную производную
функции U в силу системы B.118), тогда получим
dU
dt
dV dV1
dt dt
i= 1
+ £-TPj- B-123)
Оценим обе суммы, стоящие в выражении B.123). Имеем
dV /r.
B.124)
2 -t^Pj
[к -|ц+1 «
Elp.1 S
/=1 J /=
SIC1I+
= 1
|^|2
B.125)
Неравенства B.124) и B.125) имеют место при достаточно
малых |рв| и |lj| (s = 1, ..., Л; i = 1, ..., п) и при всех vs,
#s 6 (—°°, +°°). Функция f/ определенно положитель-
положительная, а ее производная dU/dt, вычисленная на основании
системы B.118), является определенно отрицательной функ-
функцией при т = \i + 1, следовательно, решение ps = 0 (s =
= 1, ..., fe), Су = 0 (/ = 1, ..., я), #s - Xst системы B.118)
асимптотически устойчиво. При ш = fx + 1 функция (/
удовлетворяет следующим неравенствам:
133

Функция dU/dt в указанной выше области удовлетворяет
неравенствам:
/ k п —
-h II22£/
Применим теперь к указанному случаю теорему 20, для чего
положим
Г Я=1
s = 1 / = 1
где V (/?) — функционал, о котором идет речь в этой теоре-
теореме. Используя далее те же рассуждения, что и при доказа-
доказательстве теоремы 45, получаем, что оценка B.120) имеет
место для решений системы B.118).
Замечание. При доказательстве теоремы 49 было
положено m — [х + 1- Это было необходимо, так как
v > ц + 1. Однако при доказательстве использованы диф-
дифференциальные свойства функции V (ръ ..., pft), которые
имеют место при достаточно больших значениях т (см. § 3
этой главы). Полученное противоречие можно устранить
тем же способом, что и в § 2, поскольку величину v можно
сделать сколь угодно большой.
- В следующей главе будут приведены условия для коэф-
коэффициентов форм RWM, при выполнении которых осуществ-
осуществляются все требования теоремы 46. Таким образом, полу-
получены условия неустойчивости нулевого решения системы
B.99).
§ 6. СИСТЕМА НЕСТАЦИОНАРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
В настоящем параграфе теорема 19 применяется при
изучении вопроса об устойчивости нулевого решения не-
нестационарных систем, а также об устойчивости периоди-
периодических решений. Рассмотрим систему обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений
dxs д , /We— 1 п\ (9 19fii
dt
правые части которой заданы при xs 6 (—°°> +°°)> ^6
6 (—°°, +<*>), (s = 1, ..., п) и удовлетворяют некоторым
134

условиям, при которых существует единственное решение
X = X(t, Х<°>, /о), X (/0, Х<°\ /о) = *@)>
t0 e (-00, +ОО), Х<°> 6 £я.
Будем считать, что функция X (t, X<°>, /0) непрерывно за-
зависит от начальных данных Х(°\ t0. Предположим далее,
что система B.126) имеет нулевое решение X = 0, т. е.
/,@, .... 0,/) = 0(s= 1, .... л).
Определение!. Нулевое решение системы B.126)
называется устойчивым по Ляпунову, если для любого
е > 0 можно указать величину б > 0 такую, что
\Х (t, Х<°\ /0)| < 8, t> /о ПРИ |Х«»| < б, t0 e (-ОО, +00).
Если, кроме того, \Х (/, Х<°\ /0)| —>- 0 при £->■ +оо, то
нулевое решение системы B.126) называется асимптоти-
асимптотически устойчивым.
Определение 2. Если нулевое решение системы
B.126) асимптотически устойчиво, то множество всех точек
(ХМ, tQ), обладающих свойством |Х(/, Х<°>,/0)|-> О при
i->+oo, называется: областью А асимптотической устой-
устойчивости (\Х(°ЦФО).
Определение 3. Асимптотически устойчивое ну-
нулевое решение системы B.126) называется равномерно
асимптотически устойчивым, если \Х (/, Х<°>, /0) | —>- 0 при
t — t0 ->■ +оо равномерно относительно t0 6 (—оо, +оо)
и |Х^°>| < б, где б > 0 соответствует на основании опреде-
определения 1 некоторому фиксированному 8 > 0.
Определение 4. Асимптотически устойчивое ну-
нулевое решение системы B.126) называется равномерно при-
притягивающим, если для любого h > 0, h < б можно указать
величины 7 > 0 и а > 0 такие, что \Х (t, X<°>, to)\>a
при < б (^0, t0 + Г] для любого- t0 6 (—оо, +оо) и при
h < |Х<°).| < б.
Если любое решение системы B.126) существует при
всех t 6 (—оо, +оо), то с ее помощью можно определить
динамическую систему X = X (т + t0, Х<°>, ^0), t = t0 +
+ т. В этом случае все приведенные выше определения яв-
являются частным случаем данных в § 9 и 10 гл. 1. Если лю-
любое решение системы B.126) определено при всех t£
£ (—оо, +оо), то для исследования вопроса об устойчиво-
устойчивости нулевого решения системы можно применить теоремы
§ 12—14 гл. 1 и, в частности, теорему 19.
Теорема 50. Если любое решение системы B.126) опре-
определено при / б (—оо, +оо), то для того чтобы область Л,
содержащая достаточно малую окрестность множества
135

X — 0, t 6 (—°°, +°°), была областью асимптотической
устойчивости равномерно асимптотически устойчивого и
равномерно притягивающего нулевого решения системы
B.126), необходимо и достаточно, чтобы существовали две
функции V (X, t) и ф (X, t), обладающие следующими
свойствами:
1) функция V (X, t) задана и непрерывна в Л; функция
Ф (X, t) задана и непрерывна в / £ (— <х>, +оо), X 6 Еп\
2) —KV (X, t) < О при (/, X) £ Л; ср (X, /) > 0 при
Х£Еп; /6(-оо, +оо) и |Х|^=0;
3) по любой величине 7г > 0 можно указать величины
Yi и осг такие, что У (X, t) <С —ух и ф (X, /) > аь при
1^1 > 72 и te (—«>, +°°);
4) функции ф (X, /) и V (X, /) равномерно [по
t£(—оо,-f°°)] стремятся к нулю при |Х|->0;
5) если (X, t) — точка границы области Л, (X) Ф 0, то
lim V(X,t) = —l при (X, t) 6 Л, |Х — Х\ -> 0, (/ — Т) ->
->0;
6) полная производная функции 1/, вычисленная в силу
системы B.126), удовлетворяет соотношению
□ (см. теорему 19).
Произведем теперь в системе B.126) замену независимой
переменной t по формуле
s=l
в результате получаем систему .
1,- • -, Хп, t)
Г —
/ = 1
B.127)
си __ 1
V
Совокупность дифференциальных уравнений B.127) оп-
определяет в пространстве (X, t) динамическую систему
X = X (s, Х«», /0), t= t (s, Х«», t0). B.128)
Если инвариантное множество X = 0, / = s, s 6 (—°°, +°°)
136

асимптотически устойчиво, то оно в то же время является
равномерно притягивающим. Действительно, введенная в
систему B.126) новая независимая переменная s является
длиной дуги интегральной кривой этой системы, рассмат-
рассматриваемой в (п + 1)-мерном пространстве (X, /), так как
Предположим, что |X@>| > h. Возьмем величину а такую,
что а > О и а < h. Тогда имеем: \Х (s, Х<°>, /0) ^ а при
s 6 [О, S], где величина S > 0 такова, что S < /г — а, ибо
интегральная кривая при переходе с поверхности цилиндра
|Х| = h на поверхность |Х| = а имеет длину, не меньшую,
чем h — а. Таким образом, если решение X =0, t = s асимп-
асимптотически устойчиво, то нулевое решение системы B.127)
является равномерно притягивающим. Если решение X = 0,
t = s системы B.127) равномерно асимптотически устойчиво,
то нулевое решение системы B.126) также равномерно
асимптотически устойчиво, что следует из неравенства
s>0.
Если же функции fs (xl9 ..., хп; t) ограничены при / £
g (—с», -foo) и |Х| < Я, то из равномерной асимптоти-
асимптотической устойчивости нулевого решения системы B.126)
вытекает равномерная асимптотическая устойчивость ре-
решения X = 0, t ~ s системы B.127). Действительно, пусть
%П < М при t 6 (-оо, +оо),' |Х| < К B.129)
тогда имеем:
откуда 0<s < (/— to)V^l + М. Отсюда следует приве-
приведенное выше утверждение.
Теорема 51. Для того чтобы некоторая область Л, со-
содержащая достаточно малую окрестность оси X = 0,
/ £ (—оо, +оо), была областью асимптотической устойчи-
устойчивости равномерно асимптотически устойчивого нулевого
137

решения системы B.126), достаточно, а в случае 2//2 < Л1,
/=i
/ £ (—00, +00), |Х|< /i, М < +оо, /г > 0 и необходимо,
чтобы существовали две функции V (X, t) и ф (X, /), обла-
обладающие следующими свойствами:
1) выполнены условия 1—5 теоремы 50;
2) полная производная функции V (X, /), вычисленная
в силу системы B.126), удовлетворяет равенству
О Необходимость. Пусть нулевое решение си-
системы B.126) равномерно асимптотически устойчиво. Тог-
Тогда, как было показано выше, при выполнении неравенства
B.129) решение X = 0, / = s системы B.127) является рав-
равномерно асимптотически устойчивым, и, кроме того, рав-
равномерно притягивающим. Тогда на основании теоремы 19
существуют две функции V (X, t) и ф (X, /), удовлетворяю-
удовлетворяющие условиям 1—5 теоремы 50 и, кроме того, условию
dV/ds= ф A + V), где dV/ds— полная производная функ-
функции 1/, вычисленная вдоль движения X = X E, Х<°>, /0),
t = t (s, Х<°>, /0) динамической системы B.128). Тогда
dV dV l
ds dt
откуда следует условие 2 теоремы 51.
Достаточность. Пусть существуют функции V
и ф, удовлетворяющие условиям 1—2 теоремы 51. Условие
2 теоремы можно записать в виде
ds
тогда выполнены достаточные условия теоремы 19 для ин-
инвариантного множества X = 0, / = s, s 6 (—<*>» +°°) ди-
динамической системы B.128). Следовательно, это инвариант-
инвариантное множество является равномерно асимптотически устой-
устойчивым и, как было показано выше, равномерно асимптоти-
асимптотически устойчивым будет также нулевое решение системы
B.126), что и требовалось доказать.
138

Замечание. Допустим, что
число h > 0 и достаточно мало. Функция т (t) неотрица-
неотрицательна и непрерывна. Сделаем в системе B.126) замену не-
независимого переменного / по формуле d% = dt (I + ш (/)),
тогда получаем
B130)
При х 6 (—°°, +°°) имеем / £ (—оо, +оо), и наоборот.
И кроме того, dx/d/ > 1 > 0, следовательно, t = тг (т),
где /72Х (т) — неявная функция переменной т, и в системе
B.130) / следует заменить на тх (т). Правые части системы
B.130) удовлетворяют условию B.129), так как они огра-
ограничены при т £ (—оо, +°°) и |Л"| < к, поэтому имеет мес-
место следующее утверждение.
Теорема 52. Для того чтобы область Л, содержащая до-
достаточно малую окрестность оси X = 0, t б (—оо, +<х>),
была областью асимптотической устойчивости равномерно
асимптотически устойчивого нулевого решения системы
B.130), необходимо и достаточно, чтобы существовали две
функции V (X, t) и ф (Ху t)y удовлетворяющие следующим
условиям:
1) выполнены 1—5 условия теоремы 50;
2) полная производная функции 1/, вычисленная в силу
системы B.126), удовлетворяет равенству
/■
—
dt f /=.1
П В системе B.130) сделаем замену независимой пере-
переменной по формуле
i~
^iW) J
dSt
тогда решение X = 0, / = s системы
d*fe =fft (a:i, ..., АГП> ^
ds
I/ i t (mJT
139

dx 1
" г ^= <2Л31)
является равномерно притягивающим, если нулевое реше-
решение системы B.126) асимптотически устойчиво. Кроме того,
из факта равномерной асимптотической устойчивости реше-
решения X = 0, т = s системы B.131) следует равномерная
асимптотическая устойчивость системы B.126), и наоборот.
Применяя теорему 19 к системе B.131), получаем, что,
для того чтобы множество А было областью асимптотичес-
асимптотической устойчивости равномерно асимптотически устойчивого
решения X = 0, т = s системы B.131), необходимо и доста-
достаточно, чтобы существовали две функции V (X, /) и ср (X, t),
удовлетворяющие 1—5 условиям теоремы 50 и соотноше-
соотношению dV/ds = ф A + К), откуда
л/ Г П f2
Переходя к переменной /, получаем
■/
V f?
/1 /i .
1 = 1
Тем самым теорема доказана полностью.
Замечание. Если предположить, что правые части
системы B.126) непрерывно дифференцируемы по всем своим
аргументам до порядка v включительно, то можно показать
точно так же, как это было сделано при доказательстве те-
теоремы 22, что функцию ф (Ху t). можно выбрать таким об-
образом, что функция V (X, t) будет непрерывно дифферен-
дифференцируема по всем своим аргументам до порядка v включи-
включительно. Если v > 1, то производная функции У, вычислен-
вычисленная в силу системы B.126), имеет вид .
Это замечание относится ко всем трем доказанным в этом
параграфе теоремам. Из этого следует, что функцию V мож-
можно

но найти как решение уравнения
(теорема 50), определенное условием V @, ..., 0, /) == 0.
Для функции ф, при которой существует подобное решение,
справедливы замечания, сделанные в § 1 этой главы. Вме-
Вместо функции V (X, /) можно рассмотреть функцию Vx =
= In A + V). Тогда во всех теоремах условие !/->■—1
следует заменить требованием V -> <х> при (Ху t) £ А и
(X, t) -> (Xj i) 6 А/А и, кроме того, dVJdt = ср (теорема
50).
Если область А совпадает со всем пространством (X, /),
исключая X = 0, tf £ (—с», +оо), то нулевое решение си-
системы B.126) называется асимптотически устойчивым в
целом.
Приведенная выше теорема содержит случай, когда
равномерно асимптотически устойчивое нулевое решение
системы B.126) асимптотически устойчиво в целом. Условия
асимптотической устойчивости в целом были впервые сфор-
сформулированы для непрерывно дифференцируемых правых
частей системы B.126) Е . А. Барбашиным и Н. Н. Кра-
совским (см. § 1 гл. 2).
Рассмотрим систему
■£££- = /,(*!,..., xn,t) + rs(xv..., Xn, t) (s= 1,..., п). B.132)
at
Функции rs будем предполагать такими, что выполняются
условия, при которых существует единственное решение
X = X(t, X(°>, g, /о 6 (-оо, +оо), XW 6 Еп. Если функ-
функции fs непрерывно дифференцируемы по всем своим аргу-
аргументам и нулевое решение системы B.126) равномерно
асимптотически устойчиво, то можно указать верхний пре-
предел для rs (хг, ..., хп, t) такой, что при \г8\ < г (х1у ..., xni t)
нулевое решение системы B.132) является асимптотически
устойчивым и имеет ту же область асимптотической устой-
устойчивости, что и нулевое решение системы B.126). Это утверж-
утверждение может быть установлено тем же методом, что и соот-
соответствующее утверждение в §1 гл. 2.
Теорема 53. Если нулевое решение системы B.126) рав-
равномерно асимптотически устойчиво, выполнено условие
B.129) и имеется асимптотическая устойчивость в целом, то
при наличии непрерывных производных правых частей
системы B.126) по переменным (X, t) можно указать функ-
141

цию 7?з (X, t) такую, что для любых.функций rt (X, t) лю-
любое решение системы B.132) будет ограничено при \rt\ <
< Rx (xly ..., хпу О, |Х| > Н и t £ (—оо, +оо).
П Нулевое решение системы B.126) равномерно асимп-
асимптотически устойчиво и при этом имеет место асимптотичес-
асимптотическая устойчивость в целом. Поэтому существуют две функ-
функции Vx (X, t) и W (X, /), обладающие свойствами:
Если составить полную производную функции Vt (X, t)
в силу системы B.127), то получим dVjds = ф, откуда
f — Ф^. B.133;
6
Из формулы B.133) следует, что
sup Vx (X, /) = М (/?) и inf Vx (X, /) = m (/?)
/g( —оо, +оо) /6(-«. +°°)
обладают свойствами М (R) -» оо и m (/?)-» оо при
/?-^+°°. Составим теперь полную производную функции
Vx в силу системы B.132). Тогда имеем
dV±_ у dv^ f Wj--
Оценим функцию Wx:
Выберем функцию R (X> t) так, чтобы имело место нера-
неравенство W + №2 > а при |Х| > Ях. Рассмотрим поверх-
поверхность Vx (X, /) = тНх. Она заключена между двумя ци-
цилиндрическими поверхностями, а именно: |Х| = Нг и |Х| =
= Я2, где Я2 выбрано так, что М (Н2) = т (Нг). Любая
интегральная кривая системы B.132) пересекает поверхность
V± (X, t) = т (Н^ снаружи внутрь, поэтому каждая ин-
интегральная кривая системы B.132), начинающаяся в об-
142

ласти Vx (X, t)> m (Hx)y остается ограниченной при
t-^+oo. Покажем теперь, что любая интегральная кри-
кривая системы B.132), начинающаяся внутри области
Vx (X, t)<m (Нх), входит в область Vx (X, t) > т (Нх)
и остается там и; следовательно, является ограниченной
при £->+оо. Пусть это не так, т. е. существует точка
(Х<°\ to), Vx (Х<°>, t0) < т (Нх) такая, что интегральная
кривая системы B.132) X = X (/, Х<°>, t0) остается при
t > t0 в области Vx (X, /) < т (Ях). Тогда вдоль рассмат-
рассматриваемой интегральной кривой будем иметь dVJdt > a,
откуда Vx (X {U Х<о), t0), t) > Vx (ХМ, t0) + a (t - t0), что
невозможно при всех t > t0, поскольку Vx (X (t, X<°\ t0),
t) < 0 при t > tQy что и требовалось доказать.
Вернемся теперь к рассмотрению стационарной системы
дифференциальных уравнений.
^- = /.(Х)(з-и.>Л). B.134)
Предположим, что система B.134) имеет периодическое ре-
решение X = X (t, X<°>). Рассмотрим вопрос об устойчивости
этого периодического решения. Если в системе B.134) сде-
сделать замену х8 = £s + xs (/, XW) (s = 1, ..., л), то полу-
получим систему уравнений в виде B.126), правые части которой
являются функциями, периодическими относительно ар-
аргумента ty и, кроме того, эта система будет иметь нулевое
решение. Вопрос об устойчивости этого нулевого решения
эквивалентен вопросу об устойчивости периодического ре-
решения системы B.134), и поэтому можно применить теоремы
50—52. Однако теоремы, сформулированные в § 12 —14,
позволяют непосредственно дать условия устойчивости,
асимптотической устойчивости и неустойчивости периоди-
периодического решения системы B.134) без сведения к системе
B.126). Применим теорему 19 для изучения вопроса об
асимптотической устойчивости периодического решения
системы B.134).
Теорема 54. Для того чтобы открытое множество А про-
пространства Еп% содержащее достаточно малую окрестность
замкнутой кривой X = X (tt X(°))> было областью асимпто-
асимптотической устойчивости периодического решения X =
== X (t, Xi°>) системы B.134), необходимо и достаточно,
чтобы существовали две функции V (X) и ср (X), удовлет-
удовлетворяющие следующим условиям:
1) функция V (X) задана и непрерывна в Л, функция
Ф (X) задана и непрерывна в Еп\
143

2) —1< V (X)< О при X 6 Л; ср (X) > 0 при X
(
3) по любой величине 72 > 0 можно указать вели-
величины Yi и аг такие, что V (X) < —Yi и Ф W > а\ ПРИ
inf |Х-Х(/, Х«>>)| >y2;
*€[0,Q] __
4)Ф->0иУ->0при inf |X —X(/, X<°>)|-+0, где
*6[0Q]
Q — период решения X (/, X<°>); ^_
5) если X есть точка границы А и X Ф X (t, X<°>), то
lim # V(X)=—1;
I х—х \-io
6) полная производная функции V, вычисленная в силу
системы B.134), удовлетворяет соотношению
D Произведем в системе B.134) замену независимой
переменной по формуле ds = dt I / 1 + 2 Л» тогда совокуп-
совокупность дифференциальных уравнений
B.135)
ds г — ds i ~
1/1+2 n 1/1+2 ff
определит в пространстве /^'динамическую систему, для
которой замкнутая кривая А = А (/, Х@>) является пери-
периодическим движением и представляет собой инвариантное
множество. Некоторая окрестность этого инвариантного
множества компактна, поэтому на основании теоремы 6 из
асимптотической устойчивости следует, что это множест-
множество является равномерно асимптотически устойчивым и рав-
равномерно притягивающим, поэтому применима теорема 19,
по которой существуют функции V и ср, удовлетворяющие
условиям 1—5 теоремы 54 и соотношению dV/ds = ср, где
dV/ds — полная производная функции У, вычисленная в
силу B.135). Переходя в этом соотношении к параметру
ty получаем, что функция V удовлетворяет условию 6 тео-
теоремы 54, что и требовалось доказать.
Замечание. Если функции Д- (X), стоящие в правых
частях системы B.135), непрерывно дифференцируемы, по
144

всем своим аргументам до порядка v включительно, то функ-
функцию ф можно выбрать так, что функция V будет непрерыв,-
но дифференцируема по всем своим аргументам до порядка
v включительно. Если v > 1, то условие 6 теоремы 54 мож-
можно записать в виде
^i dv Г :
Приведем пример, поясняющий теорему 54. Рассмот-
Рассмотрим систему двух уравнений х = х + У — х (х2 + У2) =
= / 1 (*. У)* У = —х + У — У (х2 + У2) = /2 (х, у). Поло-
Положим ф \х, y)Vl + f\ + fl = 2 A — х2 — у2). Составим
уравнение в частных производных, соответствующее этой
системе:
Функция У, удовлетворяющая этому уравнению в частных
производных, имеет вид V = (х2 + у2)е1~~х2-у2 — 1 при
условии V = О (V = 0 при л:2 + у2 = 1). Окружность
х2 -\- у2 — 1 является периодической интегральной кривой.
Построенные функции V и ф удовлетворяют всем условиям
теоремы 54, откуда следует, что областью асимптотической
устойчивости является, в этом случае вся плоскость, за
исключением точек х = у = 0 и тех, которые лежат на ок-
окружности х2 + у2 = 1. В этом случае область асимптоти-
асимптотической устойчивости — открытое несвязанное множество.
Заметим, что с помощью метода, приведенного в § 1 этой
главы, можно построить все множество систем вида B.126),
имеющих равномерно асимптотическое нулевое решение с
наперед заданной областью А асимптотической устойчиво-
устойчивости, а также множество всех систем вида B.135), имеющих
данную замкнутую кривую своим периодическим асимпто-
асимптотически устойчивым решением с наперед заданной областью
А асимптотической устойчивости.
В [30] приведены необходимые и достаточные условия
равномерной асимптотической устойчивости. Однако ана-
анализ этих условий показывает, что при их выполнении ну-
нулевое решение системы дифференциальных уравнений яв-
является также равномерно притягивающим. Кроме того,
эти условия носят локальный характер. Следовательно,
подводя итог сказанному выше, можно утверждать, что эти
условия являются частными по сравнению с предложенны-
предложенными в настоящем параграфе.
145

Глава 3
ИССЛЕДОВАНИЕ ОКРЕСТНОСТИ НУЛЕВОГО
РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА
ЛЯПУНОВА*
§ 1, ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ИЗ ТЕОРИИ
УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Рассмотрим систему уравнений
1Г
(/=1....,*).
Функции Х8 и Zj разлагаются в ряды по целым положитель-
положительным степеням величин хъ ..., хП9 гъ ..., zki сходящиеся при
всех /6 fO, +00) при достаточно малых |дгв|, \zj\. Коэффи-
Коэффициенты в разложениях функций Х3 и Zj, а также коэффи-
коэффициенты p8i @, Яп (t), rn (t) заданы при t 6 [0, +оо), веще-
вещественны, непрерывны и ограничены. Будем предполагать
далее, что разложения функций Х8, Z/ не содержат членов,
линейных относительно величин хъ ..., Хп, гъ ..., zh. Рас-
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений, соответствующую системе C.1):
dx8
dt
C.2)
— 2
*Эта глава связана с результатами Брио и Буке [20], Пуанкаре
[21], Пикара [22], Хорна [23], Ляпунова [1], а также с работами
Еругина [24] и Шестакова [25] и дает их дальнейшее развитие»
146

Обозначим через \х1У ..., \in+k характеристичные числа ли-
линейной системы, образующей первое приближение для сис-
системы C.2). Будем считать, что \il9 ..., \in — характеристич-
характеристичные числа системы
и п
uXs ЧГ1 / j\ / 1 _\ /оо\
(s~ I,..., ft), (о.З)
dt
a (in+i, • ••> Ип+fe — характеристичные числа системы
Теорема 55. Если выполнены следующие условия;
1) lit > 0, i < я; 2) (И/ = \in+u i < /; 3) системы C.3)
и C.4) правильные, то система уравнений C.1) имеет семей-
семейство решений, зависящее от / произвольных постоянных,
представимое в форме .рядов
*у= S 2/<и)(Лсь...,с„ *,...,*„) (/=1 к), C.5)
tn= I
сходящихся при |cs| < cOi \х8\ <х0 (/), где с0 > 0 — по-
постоянная, а лг0 @ — положительная функция, вообще го-
говоря, достаточно быстро стремящаяся к нулю при *->■ +°°.
Функции г!ш) являются однородными формами степени т
относительно величин хъ ..., хп, коэффициенты которых
суть непрерывные функции U заданные при t > 0 с неот-
неотрицательными характеристичными числами, и одновремен-
одновременно полиномы по сх, ..., сг.
О Для системы C.2), следуя А. М. Ляпунову [1], по-
построим семейство решений, соответствующее характеристич-
характеристичным числам fiif i < n + I. Имеем:
п + 1
С
С mn+l(t)e
C.6)
+
(/-1 *). C.7)
147

Ряды C.6) и C.7) сходятся при t > 0, если \at\ < a, i =
=- 1, —, az -f- / (а — достаточно малое число); при этом
характеристичные числа функций
неотрицательны. Положим
• a<n+i = CiOti, / < /, Ps = е~^ • а8, s < п. C.8)
Якобиан функций C.6) по величинам C.8) при |3S = О
(s = 1, ..., п) совпадает с определителем фундаментальной
системы решений для системы C.3), если последний умно-
умножить на ^' + -+^п>...
D (xlf ... , хп)
C.9)
где С # 0. Разрешим C.6) относительно величин C.8), что
возможно в силу C.9). Имеем
Ps = Фз {U си .... cz, дс1э ..., л:,,) (s - 1, ..., л). C.10)
Используя соотношение C.10), исключим |3S (s < я) из
системы уравнений C.7). В результате получим семейство
решений C.5) для системы C.1).
Замечание 1. Рассмотрим случай, когда все ко-
коэффициенты в разложениях функций Xs, Zj и величины
Psi> Qjiy гл постоянные. В этом предположении систему C.1)
будем обозначать через (З.Г). .
Пусть Хи .-, ^тг — корни уравнения \Р — ХЕ\ = 0,
{Pik} = Ptk (i, k = 1, ..., я), а хх, ..., xft — корни урав-
уравнения \Q— xE\ = 0, {Q}o- = qij (/, / = 1, ..., k). Ясно,
что (i/ = —Re (%i), i < /г, }гЛ+2 = —Re (хг), t" < Л. Если
выполнены условия теоремы 55 для системы (З.Г), то коэф-
коэффициенты форм zjm> (t, съ ..., сь Хи -.., хп) можно предста-
представить в виде полиномов по t, cl9 •••> сь коэффициенты кото-
которых, в свою очередь, являются тригонометрическими
многочленами. Эти тригонометрические многочлены будут
периодическими функциями t, если величины Xt — xt (i < /)
соизмеримы. В противном случае они являются почти пе-
периодическими функциями. Если Xt — щ = 0 (i < 1), то
коэффициенты форм zim) — полиномы по съ ..., сь t.
Замечание 2. Систему (З.Г) можно неособыми ли-
линейными преобразованиями над искомыми функциями
143

гъ ..,, zk и над независимыми переменными хъ ..., хп при-
привести к виду
Л dzj ,
-ez-i^-i+x^zH-S О* **+ 2, (/=1, ...,£), C.11)
где 80 = ^o = 0, a es, 6j равны О либо 1.
Если Re (Xs) < 0, (s < az) и - Xt (i < /), то система
C.11) имеет семейство решен
)т)(^^.-.,^,^.,., хд)(/= !,..,,*). C.12)
т=\
Положим в C.12) / — A/^) In x1 и вновь полученные функ-
функции обозначим через о,- (/ = 1, ..., к). Функции
-, съ ..., cz> *lf ..., xn) (/=1, ..., Л)
C.13)
удовлетворяют системе уравнений
п — — — __ _
C.14)
Теорема 56. Если выполняются следующие условия:
1) Re (Xt) < 0, / < п\ 2) кг = Xh i < /, то система урав-
уравнений C.14), C.11) имеет семейство решений C.13), зави-
зависящее от / произвольных постоянных. При этом коэффици-
коэффициенты форм г]т) являются полиномами относительно съ ...
..., сь In xv Ряды C.13) сходятся при
0> I Xs
где х0 — функция, о которой идет речь в теореме 55, \хг\
достаточно мал.
Рассмотрим далее случай, когда функции C.13) не за-
зависят от In хг.
Теорема 57. Если выполняются следующие условия:
1) Re (lt) < 0, i < n\ 2) Xt = xi9 i < /; 3) et = 6Ь i < I —
149

— 1; 4) в| = 0, гп = 0, i, j ^ /; 5) не существует соотно-
п
шения вида 2тАг =■ х./> / < k при любых целых неотри-
цательных тг (У/пг > 1), за исключением случаев Kt =
/=i
= xf, i < /, то система (З.Г), C.11), C.14) имеет семейство
голоморфных решений, зависящее от I произвольных по-
постоянных, представимое в форме рядов
*;= 2 2/Л)(Сь...,^^...,^)(/=1,.-э*), C.15)
т= 1
где zim) — однородные формы степени т относительно
#i> •-•> Хп> коэффициенты которых являются полиномами
по съ ..., cz. Ряды C.15) сходятся при \cs\ <с0, \ха\ < г,
г > 0, с0 > 0.
П Проведем доказательство для системы C.14). Подста-
Подставим в C.14) ряды
2 */т)(*ъ...,*п) (/=1,...,А), C.16)
2
где а(т) — однородные, формы степени т относительно
*ъ •••» ^п с коэффициентами, подлежащими определению.
Приравнивая формы одинаковой степени, получаем си-
систему уравнений для определения ajm>:
S=l ^5
C.17)
Функции i?j.w) являются однородными формами степени т
относительно хъ ..., хп, зависящими от разложений функ-
функций Xs, Zj и от форм of, j = 1, ..., k, \i = 1, ..., /n— 1.
Если функция /?im> при т> 1 определена, то из усло-
условия 5 настоящей теоремы следует, что система C.17) имеет
[1] единственное решение в виде форм aj.m> (хъ ..., хп), j =
= 1, ..., k. Покажем, что система C.17) при т = 1 имеет
решение в виде системы линейных форм о{)\ зависящих от
/ произвольных постоянных. Положим
°{Г = У{Г + У{?\ /= 1 «, C.18)
150

где уI) — линейная форма относительно хъ ..., хь у}2) —
линейная форма относительно хг+ъ ...>хп. Для определения
этих форм имеем уравнения:
(ЗЛ9)
2 —
(/=!,...,/).
!,..., л). C.20)
Из условий 4 и 5 настоящей теоремы следует, что систе-
система C.20) имеет единственное решение в виде системы линей-
линейных форм #/2). Пусть функция xt = (tlie%it)lli\ является
решением системы
5/ 1 х/_1 + ^**| (/ = ifl...,/). C.21)
Тогда матрица фундаментальной системы решений для
C.21) имеет вид
:х 0 0 ... 0
:2 хг 0 ... 0 О
kt Xkl~\ xk1-2 XY
xk
... О
... о
Векторная функция
У (/) = X (О С, C.22)
где С= (съ ..., Cj)T, У = (^/i1), ..., У/A))т, дает общее решение
системы C.21), и в то же время функции г//1) (/ = 1, ..., /),
рассматриваемые как линейные формы величин хх (i = 1,
..., /), являются решением системы C.19). Таким образом,
линейные формы а}1} при / = 1, ..., / определены. Формы
151

а/дI / ^ I + 1> определяются единственным образом из сис-
системы C.17) при /тг=1. Тем самым система формальных ря-
рядов C.16) определена полностью. Сходимость рядов C.16)
следует из теоремы 55.
§2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ
Рассмотрим систему
z—T^ 2 Psi(z)yi + ps (г) z + Ys (z, уъ ..., уп) C.23)
dz 1 = 1
(s*= 1,... ,/г).
Функции Fs разлагаются в ряды
(S=l, ..., /2),
сходящиеся при |г| < zlt где ^ > 0 — постоянная и |^| <
<Уо (/ = 1, .... п). Функции Л|B), р8 (z)f Plm'mi ^Чг)
заданы при г 6 @, 1], вещественны, непрерывны и огра-
ограничены. Для системы C.23) в точке ух = ... = уп = 0, г = О
не выполнены условия существования решения*. Поэтому
возникает вопрос, при каких условиях существует решение
системы C.23) ys = ys (z) (s = 1,..., n) такое, что ys-+0
при z -^ 0. Далее выведены эти условия и дано аналитичес-
аналитическое представление таких решений.
Обозначим через 1, |яь ..., \кп характеристичные числа
системы
dz - у
It *'
l,...,n). C.25)
Теорема 58. Если выполнены условия: 1) |яг- > 0 при
/</; 2) система C.25) правильная, то система уравнений
C.23) имеет семейство решений, зависящее от / произволь-
произвольных постоянных, представимое в форме рядов
ys-= 2 *riWlf -'W/)(z)х
*Не выполнены, вообще говоря, условия теоремы Пеано.
152

X zm+mi »i+ " + mi ^ c?*... cp (s = 1,..., /г), C.26)
сходящихся при \z\ <z0, \ct\ <c0 (i = 1, ..., /), при этом
z0 < p, где p — достаточно малая постоянная, с0 > О
и z0 > 0 — постоянные. Функции K{sm' mi m'} (z)
обладают свойством K{sm'mi т° (z) z<* -> 0 при z->0,
где a > 0 — постоянная.
□ Рассмотрим систему уравнений
*~i dys dys dys y^ . _i^
~~ L ^^Х}~г~дГ+~п L Psi(e )yi~~
j=1 J i=\
-pa(e-*)z-Ya. C.27)
Для системы C.27) выполнены условия теоремы 55. По-
Поэтому существует система функций
у$ (t, сх,..., си хъ ..., хи z) =
° l— л). C-28)
удовлетворяющая системе C.27). Формы ysm) имеют вид
т + т 1 -+•... + /и^ = m
C.29)
(s=l,...,/i),
где ая ^ 1. Положим
Ху - zyf / - — Inz. C.30)
Тогда получим семейство решений C.26), удовлетворяющее
системе C.23), в чем можно убедиться непосредственной
подстановкой.
Замечание 1. Пусть функции C.24) являются ве-
вещественными постоянными. В этом случае систему C.23)
будем обозначать через C.23'). Пусть, как и выше, kl9 ...
..., Кп —корни уравнения \Р — ХЕ\ = 0, {Ptu} =~- Pik-
Легко показать, что для системы C.23') \it = Re (Xt). Таким
образом, при Re (Xt) > 0, i < /, система C.23') имеет се-
семейство решений C.26). При этом функции КТ'™1 W/)(z)
являются полиномами относительно In г, коэффициенты
которых — тригонометрические многочлены.
153

Замечание 2. Приведем в системе C.23') матрицу
Р к каноническому виду.' Тогда получим
JM $ (s = l /г), C.31)
dz
где е0 = 0.
Рассмотрим систему уравнений с частными производны-
производными, соответствующую C.31):
ЛЬ л дУ*
]г
л*). C.32)
По теореме 56 эта Система имеет решение в виде сходя-
сходящихся рядов
m-f rnl-\-..."{-m^= I
C.33)
(S=l,...,rt),
где ^Jm»mif ••••mi> _ полиномы по степеням In г. Если m +
+ 2 mi^t ifchj (/=1» •••♦ 0 при любых целых неотрица-
неотрицательных т, /п2, ..., тх таких, что т + т1 + ...+ mz ^ 2,
то величины Kim'mi m/) являются постоянными. Поло-
Положим
(In гI* z J
j ^ Н '
где постоянные lj выбраны так, что функции C.34) удовлет-
удовлетворяют системе
zJ^L = e._lX._
dz
Если функции C.34) подставить в ряды C.33), то полу-
получим семейство решений системы C.31).
Теорема 59. Если среди собственных чисел матрицы Р
в системе C.23') имеется / с положительными вещественны-
вещественными частями, то'существуетсемейство решений системы C.23'),
представимое в форме рядов
154

xz /el (M''=l ^...^(s=1,...,az), C.35)
сходящихся при \z\ <г0; |c>| <c0 (/ = 1,..., /); zo<P,
где N{sm'mi Ш/) (In z)— полиномы относительно In z.
Если же m + 2 т^г ¥= h {j=--1. ••-, 0-пРи /w + S m* ^
1=1 /=i
^2и Xj # 1 при / < /, где / — число всех величин Xt
таких, что Re (Хг) > 0, то величины N(sm> mu "" Ш/) являются
постоянными.
Рассмотрим систему
(s-l,...,n). C.36)
Будем считать далее, что правые части системы C.36) такие
же, как и в системе C.23'). Пусть гъ г2,..., zk, ... такая по-
последовательность, что \Zj\->0 при /-> + оо, a |arg г^| <
Установим, существует ,ли решение ys = i/5 (г),
s = 1, ..., /г, системы C.36), обладающее свойством
\ys(zj)\->0 при /-> +оо. C.37)
Если такое решение существует, то поставим задачу
его отыскания и аналитического представления при N Ф \.
1. Пусть N <. 1, W = /?/g, /?, q— натуральные числа.
Теорема 60. Система C.36) в случае Af = plq имеет един-
единственное решение, обладающее свойством C.37), представи*
мое в виде ряда
y,()S ' (s=l,...,n). C.38)
□ В системе C.36) положим z =s £^. Тогда имеем
откуда
-^- = 6^^/.(^.Уь....Ул). C.39)
Применяя к уравнению C.39) теорему Коши, получаем
требуемое.
155

II. Пусть N> 1.
Рассмотрим случай, когда
Ps =
Выберем некоторую функцию^, удовлетворяющую урав-
уравнению
г"Л[> — i|y/z - 0. C.40)
Теорема 61. Если в системе C.36) среди собственных чи-
чисел матрицы Р, {Pij} = Ра, имеется / чисел с положитель-
положительными вещественными частями: ?^,..., Кь то существует реше-
решение в виде рядов
Ув(г)= 2 &Г<М1 w'>(M)x
/
сходящихся при \ct\ < cOf |i[)| <i|;0, где c0, ip0 — некоторые
положительные постоянные.
Доказательство следует из теоремы 59.
Область |i[) (г) | < г|;0 на плоскости комплексного перемен-
переменного г не содержит, вообще говоря, никакого круга с цент-
центром в начале координат. Поэтому ряды C.41) удовлетворяют
условию C.37) лишь для некоторых специально выбранных
последовательностей гъ z2, ..., zfc,...; №fa)l
Решим теперь вопрос для особого случая. Если
< 0, i = 1, ..., я, то приведенный выше способ построения
решений, обладающих интересующим нас свойством, непри-
непригоден. Если даже ЯеХг > 0 при i = 1, ...,/, то может ока-
оказаться, что решение с нужными начальными данными не вхо-
входит в семейство решений, построенных в виде рядов.
Теорема 62. Если система C.36) при N = 1 имеет реше-
решение ys = ys (z) (s = 1, ..., n), которое обладает свойствами
0(г)-* 0 при г-* 0, z>0, ys(Zo) = yso), zo>O, C.42)
то функции ys (z) являются аналитическими в круге \z\ <
< т] (z0) с вырезом по сектору, содержащему отрезок отри-
отрицательной вещественной полуоси — ц (z0) < z < 0, где
т] (z0) — достаточно малая положительная величина.
Доказательство можно получить, видоизменяя доказа-
доказательство теоремы 25 [12].
Из предыдущей теоремы имеем следующее утверждение.
156

Теорема 63. Если существует решение ys = y8 (г) сис-
системы C.36) при N = 1, обладающее свойствами C.42), то
оно может быть построено в виде рядов
У. (*Н S V (*<>> У\°\ ..:, У}?>) Ут (г) (s= 1,..., /г),
т = 0
сходящихся при \V (г) |< 1, где Ч^ — некоторые извест-
известные функции, а К (г) — функция, отображающая круг
И < Л (го) с указанным выше вырезом на круг \V\< 1.
§ 3. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О-КРИВЫХ
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
-£JL= 2 X<m>(/,*b.~,*B)(s=l,...,n), C.43)
at
где функции Х[т) — однородные формы степени т относи-
относительно хъ ..., хп с вещественными, непрерывными огра-
ограниченными коэффициентами, заданными при t 6 (— °°,
+оо). Будем предполагать также, что ряды, стоящие в пра-
правых частях системы C.43), сходятся при достаточно малых
|*8| и всех — оо < t < + оо, а коэффициенты форм Х^
— вещественные постоянные. Интегральная кривая X (t,
Х@>) системы C.43) называется О-кривой, если X (t> X(°>)->
-> 0 при <->. + оо (/->— оо). Рассмотрим систему урав-
уравнений
dxs _v/li, <s=zly уПу
Правые части этой системы являются однородными фор-
формами порядка |л. Следовательно, к ней применима теория,
развитая в § 3 гл. 2. Напомним, что нулевое решение этой
системы может быть асимптотически устойчивым при fi =
= 2k + 1 лишь для вещественных возмущений, а при \х =
== 2k оно не может быть асимптотически устойчивым. В § 3
гл. 2 были даны необходимые и достаточные условия
асимптотической устойчивости нулевого решения этой сис-
системы с помощью функции Ляпунова. В настоящем параграфе
выводятся условия асимптотической устойчивости, связан-
связанные с некоторыми алгебраическими свойствами форм Х^\
157

а также условия неустойчивости, которые будут применены
для исследования сомнительных случаев, разобранных в
в §4,5 гл. 2.
Рассмотрим систему
J s- 1,..., k), C.44)
dy
где а = + 1 либо а = — 1. Пусть
*. = *в(ф. fl) E- 1, ..., п) C.45)
—решение системы C.44), определенное при ф £ (— оо, +°°).
Обозначим через fii,...., (xn характеристичные числа систе-
системы
//г п
S ^П / \ / 1 \ /О /1 С.\
где
/ \ с i S
=*i (Ф. а) •
Пусть 1, \xLi ..., (лп — характеристичные числа системы
dz
_
C.47)
( ( 1 )
dx
Вид функций ps (ф, а) будет приведен далее.
Теорема 64. Если выполнены следующие условия:
1) система C.44) имеет ограниченное при ф 6 (—°°,
+оо) решение C.45);
2) система C.46) правильная;
3) среди чисел fii,..., firt имеются / положительных:
fi* > 0 при i < /, то система C.43), имеет два семейства
решений, каждое из которых зависит от / произвольных по-
постоянных и представимо в форме рядов:
]
C.48)
(s= 1, ..., n\ j = 1,2),
158

сходящихся при \г\ < z0, \ctj\ <c0, zo<p, где z (at)—
— некоторая положительная функция, удовлетворяющая
уравнению
-^-=-«■4 C.49)
Ф = — In z. C.50)
Функции F(J'm'mi m<} (z) таковы, что za/f'm'Wl m*W
->- 0 при г-^0и любом а > 0.
D С помощью уравнения C.49) произведем в системе
C.43) замену независимой переменной, а затем замену ис-
искомых функций по формулам
х[!) = z (at) [xs (Ф, а) (-1)/+ г + yih]
(S= 1, ...,n; /= 1,2), C.51)
где yi;) — новые искомые функции. Для определения у[!)
получим систему
[ Д А| (Ф, а) У,+р8 (Ф, а) z]+ >7> C-52)
К системе C.52) можно применить теорему 58. В результате
получим два семейства решений, каждое из которых зави-
зависит от / произвольных постоянных и представимо в форме
рядов, которые благодаря замене C.51) определят семей-
семейство C.48). Тем самым теорема доказана полностью.
Замечание 1. Из уравнения C.49) следует, что
z(at) = z0 (I + 2katzlk)~1/2k. Поэтому „при достаточно ма-
малой величине z0 > 0 ряды C.48) будут сходиться при всех
at 6 [0, +оо). Таким образом, любая интегральная кривая,
входящая в семейство C.48), является О-кривой, при этом
она будет О+*кривой при а = 1 и О~-кривой при а = — 1.
В последнем случае имеет место неустойчивость.
Замечание 2. Пусть функции C.45) являются по-
постоянными: xs (ф, а) = as (s = 1,..., п). Тогда любая интег-
интегральная кривая, входящая в семейство C.48), обладает
свойством
*</>(/)
-^—- -+as(— I)/*1 при a?-^+oo. C.53)
г (at) ' * v ;
В этом случае величины psi (ф, а) = psi (а, аъ ..., ап). яв-
являются постоянными. Перейдем, к подробному анализу ок-
159

рестности положения равновесия системы C.43). Рассмот-
Рассмотрим систему алгебраических уравнений
ха + X™ fa,..., хп) = 0 (s = 1, ..., ft), C.54)
(I = 2& + 1, k — целое положительное. Рассмотрим матри-
матрицу Р {хъ ...,хп):
II ох^ ||
Р (*i,..., хп) = bsi (i, s = 1,... , ft).
II ^i II
Собственные значения этой матрицы обозначим через
%( (хъ ..., хп). Если система C.54) имеет решение xs =
=as(s= I, ..., п), то она имеет решение xs = — as (s= I,...,
..., ft). При этом ^ (аь..., an) = Х^ (—аъ ..., — ап). Дей-
Действительно, система C.54) не изменяется при замене xs на
— xs. Поэтому вместе с xs = as она имеет решение xs= —as.
дХ
Функции -^— являются формами степени 2k относитель-
но хъ ..., хП9 поэтому элементы матрицы Р не меняются при
замене xs на —xS9 откуда и следует, что Xi (аъ ..., ап) =
= К (— 01, --М — fln) (i = 1,..., n).
Теорема 65. Если система C.54) имеет вещественное ре-
решение xs = as (s = 1, ..., ft) и среди величин ^ («i,..., ^n)
(/ = 1,..., ft) имеются / с положительными вещественными
частями: ReXt > 0 при i < /, то существуют два семейства
решений системы C.43), каждое из которых зависит от / про-
произвольных постоянных и представимо в форме рядов:
l" iAf'>(lnz)x
=l,...,ft), C.55)
ХТ?!...тГ'2 f==1 jf C.56)
сходящихся при |z|<z0, \ct\ < со> lYiKYoi где функции
()
вообще говоря, полиномами относительно In г, если коэффи-
коэффициенты форм X{SM) (М ^ |я) постоянны. Величина z —
функция аргумента t, удовлетворяющая уравнению
160

f— -^ C-57)
— произвольные постоянные, c0, To> ^o > 0.
Доказательство следует из теоремы 64, так как теоре-
теорема 65 является ее частным случаем.
Теорема 66. Если система C.54) имеет вещественное
решение xs = as (s= 1,..., ft), то среди величин Xt (i =1, ...
..., ft) имеется по крайней мере одна с положительной ве-
вещественной частью.
□ Рассмотрим систему линейных форм
Положим xs = as, тогда
По теореме Эйлера,
Из системы C.54) имеем Х^ = — а8. Сравнивая последние
равенства, получаем ys = 2kas\ отсюда следует, что вектор
(аь..., ап) является собственным вектором матрицы Р% а
2k — собственным числом. Положим Хг = 2k. Тем самым
теорема доказана.
Следст вие. Если система C.54) имеет веществен-
вещественное решение х8 = а8, то существуют два семейства инте-
интегральных кривых системы C.43), каждое из которых зави-
зависит по крайней мере от одной произвольной постоянной и
представимо в форме рядов:
X{sl) = z(a8+ 2 /((«.Al,) (In 2)^2^+2*^. V C.58)
сходящихся при \c\ < c0, It I < To» ^6 [0, + oo).
Каждая кривая семейства C.58) и C.59) обладает свойством
4°-^+ oo, i = 1, 2.
6 Зак. 49 16J

Замечание. В случае, рассмотренном выше, лю-
любая интегральная кривая семейства C.55) входит при t-*~
-v + oo в точку Х=0, касаясь луча xs = ras (s = l,..,,ft;
т> 0). Любая кривая семейства C.56) входит в точку
X = 0 при /->- + оо, касаясь луча xs = — ias (s = 1,...
..., п;т>0).
Рассмотрим далее систему алгебраических уравнений
C.60)
Введем в рассмотрение матрицу
■— б*н
Собственные числа Q обозначим через (х* (хъ ..., хп
(i = 1, ..., ft). Если система C.60) имеет решение xs =
= bs (s — 1, ..., ft), то она также имеет решение xs = — 6S.
При этом [I,- (&ь ..., &п) = jlx, (—Ьъ ..., — Ьп).
Теорема 67. Если система C.60) имеет вещественное ре-
решение xs = bs и среди величин |л£ {Ьъ...у Ъп) имеются / с по-
положительными вещественными частями: Reji; > Опри i <
^ /, то система C.43) имеет два семейства решений, каждое
из которых зависит от / произвольных постоянных и пред-
ставимо в форме рядов:
2 Щм'м* Mi)(lny)x
+Af^l S
Af+ 2
и<2)_ „/ _^ _|_ V
C.61)
Л/+
'=' ^г). C.62)
сходящихся при \y\ < y0, \ct\ < c0, |7i| < y0. Величины
К1?'"" Ml* L^ Ml представляют собой, вообще говоря, по-
полиномы относительно In у, где у — положительная функ-
функция аргумента /, являющаяся решением уравнения Щ^
^- = у*. C.63)
dt * к '
Величины сОу Yo, у0 — положительные постоянные.
162

□ Заменим в системе C.43) t на— t, тогда доказатель-
доказательство настоящей теоремы сводится к доказательству теоремы
65.
Следствие. Общее решение уравнения C.63) име-
имеет вид
y = y/Y\—2tky2k ,
откуда следует, что положительное число у можно выбрать
столь малым, что \у (t)\ < у0 при /<0. Таким образом, если
система C.60) имеет вещественное решение и среди величин
(л£ имеются / с положительными вещественными частями
Re \it > 0, i < /, то система C.43) имеет два семейства ре-
решений, представимых в форме рядов C.61) и C.62), сходя-
сходящихся при \Cj\ < сОу |Yf | < То» ^6 [0, —оо). Любая инте-
интегральная кривая семейства C.61) обладает свойством
I**1*!""*" 0(s= 1, ...,я) при t-+—оо. При этом она входит в
точку X = 0, касаясь луча xs = xbs. Любая интегральная
кривая семейства C.62) обладает свойством |xsB)|~^0 (s=lt...
..., п) при / ->■ — оо. При этом она входит в точку X = 0,
касаясь луча xs = — rbs. Если система C.60) имеет вещест-
вещественное решение xs = bs (s = 1, ..., п)у то, как и выше (см.
теорему 66), можно утверждать, что среди величин \it (Ьъ ...
..., &п) имеется по крайней мере одна с положительной веще*
ственной частью \л,± = 2k.
Теорема 68. Если алгебраическая система C.60) имеет
вещественное * решение, то нулевое решение системы C.43)
является неустойчивым при любом выборе форм X{SM\ M >fi.
□ Если система C.60) имеет вещественное решение, то
l^i Fi,..., bn) =; 2k, а тогда можно утверждать, что сущест-
существуют два семейства решений, каждое из которых зависит от
одной произвольной постоянной и представимо в форме ря-
рядов:
xii}=y(b9+ 2 KiM'Ml)(\ny)c"*yM+™\ C.64)
Jy)^l\ C.65)
Af+Af, > 1 )
сходящихся при \с\ < c0, \y\ < Vo, / 6 (— °°, 0]. Согласно
следствию из теоремы 67 любая интегральная кривая се-
семейства C.64) обладает свойством |-Vs1) I —^ 0, t->— оо, s=l,...
..., /г. Аналогично имеем |л:5B) | -> 0, ^ оо, s= 1, ..., п.
^Разумеется, это решение отлично от тривиального.
163

____ на основании теоремы 10 можно утверждать, что
нулевое решение системы C.43) неустойчиво при любом
выборе Xi^, М > |я. Это следует из определений
§ 6 гл. 2 и доказательства необходимости теоремы 7, в кото-
котором не была использована компактность окрестности инва-
инвариантного множества.
Приведем пример. Рассмотрим систему
Ц±-= 5 XlM)(s=\ /г), C.66)
где функции Х[М) являются однородными формами степени
М относительно величин хъ ..., хп с вещественными коэффи-
коэффициентами. Предположим, что Х^} = 0 при xt = 0 (s = 2,...
..., /г; / = 2, ..., я); это означает отсутствие в этих формах
члена х*. Предположим, что ряды в правых частях системы
C.66) сходятся при достаточно малых |jcs| (s = 1, ..., п).
Обозначим через р коэффициент при х» в форме Х[М. Пост-
Построим для системы C.66) алгебраические уравнения C.54)
и C.60). Если р < 0, то система C.54) имеет решение хг =
2k
= V— 1/р, xt = 0; i = 2, ..., п. В этом случае система
C.66) имеет два семейства решений, каждое из которых за-
зависит от одной произвольной постоянной и представимо в
форме рядов C.58) и C.59), где следует положить аг =
2k
== V— 1/р, at = 0, i = 2, ..., п. При этом каждая кривая
семейства C.58) входит в точку X = 0, касаясь положитель-
положительной полуоси #!, а каждая кривая семейства C.59) — каса-
касаясь отрицательной полуоси хг. Если р > 0, то система C.60)
имеет решение хх= Vl/p, л:/ = 0, *' = 2, ..., л. Тогда су-
существуют два семейства интегральных кривых, каждое из
которых зависит от одной произвольной постоянной и пред-
2k
ставимо в форме рядов C.64), C.63), где bt = V\/p, bt = 0;
/ = 2,..., п. Каждая интегральная кривая семейства C.64)
входит в точку X = 0, касаясь положительной полуоси хг
при t-* оо. Аналогично, любая интегральная кривая
семейства C.65) входит в точку X = 0, касаясь отрицатель-
отрицательной полуоси хг = 0 при /-> —оо. На основании теоремы
68 при р > 0 нулевое решение системы C.66) неустойчиво
при любом выборе коэффициентов форм Xs(Af); M = ц, +
i * > • • • •
164

Теорема 69. Если система C.54) несовместна в поле комп-
комплексных чисел, то система C.60) также несовместна в поле
комплексных чисел.
□ Если система C.60) имеет решение xs = bs (s = 1, ...
2k
..., ft), то система C.54) имеет решение х8 = b8V— 1
(s=l, ..., ft), в чем легко убедиться непосредственной подста-
подстановкой.
Следствие Если система C.54) не имеет решений
2k
вида xs = b8 V— 1 (s = 1,..., ft), где bs вещественно, то
система C.60) не имеет вещественных решений.
Определение 1. Будем говорить, то интеграль-
интегральная кривай системы C.43) xs — xs (t) (s = 1, ..., n) имеет
определенное направление, если lim^y = as при at-*- +°o
(s = 1,..., /г), где аъ ..., ап — вещественные постоянные.
Величины аъ ..., ап являются вещественным решением ал-
алгебраической системы.
Xs + aX^ = 0 (s = I, ..., ft). C.67)
Всякое вещественное решение системы C.67), отличное
от нулевого, будем называть направлением.
Определение 2. Направление аъ ..., ап назовем
асимптотически устойчивым, если Re (Xs (а, аъ ..., ад))>0
(s = 1, ..., ft). Здесь, как и выше, либо а= + I [случай сис-
системы C.54)], либо а = — 1 [случай системы C.60)].
Сделаем в системе
dt ~~ s '"'
замену xs = z (t) [a8 + ys @1 (s = h •••» л), где у8 (t) —
новые искомые функции, величины аъ ..., ап — асимпто-
асимптотически устойчивое направление, соответствующее а = 1.
Полагая ф = — In г @, получаем следующую систему
для определения функций ys (t):
-^~ys + as + Xisli)(y1 + aliy2 + a2,...,yn + an) =
38*@i, Яг. •••> яп)#*+ C-68)
]У^
165
i= 1
s
= 2

Нулевое решение системы C.68) асимптотически устой-
устойчиво при /~^+оо. Обозначим через А (аъ а2,..., ап) область
асимптотической устойчивости нулевого решения системы
C.68). Положим
В (alt ..., ап) = (аъ а2,..., ап) + (dl9 ..., dn), C.69)
где точка (dl9 d2, ..., dn) 6 Л. Рассмотрим случай, когда систе-
система C.43) асимптотически устойчива и при этом каждая
О+-кривая имеет определенное направление. Тогда воз-
возможны два варианта:
1) существует конечное число вещественных решений
системы C.67) при а = 1;
2) существует бесконечное число вещественных решений
системы C.67) при а = 1.
В этих случаях система C.67) не имеет вещественных ре-
решений при а = — 1.
Теорема 70. Для того чтобы нулевое решение системы
C.43) было асимптотически устойчивым при любом выборе
форм X(SM)> М > |я и чтобы любая интегральная кривая
имела направление, причем число таких направлений было
бы конечно, необходимо и достаточно выполнение следую-
следующих условий:
1) система C.67) имеет конечное число вещественных ре-
решений при а = 1;
2) замыкание суммы областей В (аъ ..., ап), распростра-
распространенной на все асимптотически устойчивые направления по-
покрывает /г-мерную сферическую окрестность точки хг =
— Y =z = Y — О
Доказательство следует из теоремы 65 и предыдущих рас-
рассуждений.
Замечание. Если функции C.45) ограничены при
Ф £ (— оо, +°°), то существует О-кривая системы C.43) и,
более того, среди величин |яь ...,|я„ имеется по крайней
мере одна положительная (^ = 2&.
Решим вопрос об устойчивости для системы двух урав-
уравнений.
Теорема 71. Если система уравнений C.67) при а = 1,
п = 2 имеет вещественное ненулевое решение, то для асимп-
асимптотической устойчивости нулевого решения системы C.43)
при п = 2 необходимо и достаточно, чтобы система C.67)
при п = 2, а = —1 не имела вещественных решений, отлич-
*fib ..., \in — характеристичные числа системы C.46), которую
здесь считаем приводимой.
166

ных от нулевого, и, кроме того, чтобы нулевое решение систе-
системы C.43) было изолированным, т. е. чтобы система
имела единственное положение равновесия х2 = хг = 0.
Доказательство настоящей теоремы может быть получе-
получено из теорем 65 и 11.
Рассмотрим систему
* { = 1,2). C.70)
По предположению, эта система имеет, как следует из
теоремы 64, семейство интегральных кривых, входящих при
/->- +°° в точку х2 = хг = 0, причем каждая интегральная
кривая этого семейства имеет определенное направление.
Если система C.70) имеет интегральные кривые, входящие в
точку х2 = хг = 0 при t-> — оо, то либо эти интегральные
кривые имеют определенное направление, либо являются
спиральными кривыми. Первое невозможно в силу предполо»
жения, второе — на основании единственности решений сис-
системы C.70), так как спиральные кривые пересекались бы с
интегральными кривыми, входящими в точку х2 = хг = 0
при t-> + оо. Тогда, как следует из теоремы 11, нулевое
решение системы C.70) асимптотически устойчиво. Отсюда
имеем, что нулевое решение системы C.43) при п — 2 так-
также асимптотически устойчиво (см. § 3 гл. 2),
Вернемся теперь к вопросу об устойчивости в сомни-
сомнительных случаях, о которых шла речь в § 4, 5 гл. 2.
Предположим, что алгебраическая система C.67) имеет
вещественное решение xs = bs (s — 1, ..., л), которое явля-
является асимптотически устойчивым направлением. Всюду да-
далее будем считать, что правые части системы C.43) заданы
при t 6 (— оо, +оо). При этих предположениях система C.43),
как это было показано в теореме 69, имеет семейство ин-
интегральных кривых, представимых в форме сходящихся ря-
рядов C.61) и C.62) при / = п. Положим, например, в C.61)
С\ = с2 = ... — сп = 0. Полученные в результате этого
функции обозначим через х8 (/). Сделаем в системе C.43)
замену х8 = |в + х8.. Тогда для определения функций ls по-
получим систему уравнений
2
—2
i
C.71)
167

Система C.71) имеет нулевое решение, асимптотически
устойчивое при /-> оо равномерно по t0 < 0. Функ-
Функции Q{smit "" тп] (t) заданы, вообще говоря^ лишь при t£
£(—оо, т], 0 <т< + °о. Модули этих функций претер-
претерпевают сколь угодно малые изменения, если коэффициенты
форм X(sm) (т > |я), стоящих в правой части системы C.43),
изменяются на достаточно малые величины. Поэтому вне
зависимости от малых изменений коэффициентов форм Х5(д)
можно указать область |81 < г, t < 0, г > 0 такую, что
любая.интегральная кривая системы C.71), начинающаяся
в этой области, обладает свойством S (/, В(о\ t0) ->■ 0 при
£->■—оо. Следовательно, какую бы величину е < г
ни взять, по величине t0 < 0 можно указать 6*0 > 0 такое,
что в области |2|<б^0 существуют точки такие, что
|S(f, S(o>, to)\ = ^при t = 0. При этом 8*в ->■ 0 при/0->—оо.
Положим
8= 1 / £ X* ПРИ * = U.
Из приведенных выше рассуждений следует, что по любому
8>0, 8 < е, 8 < г и для любого t0 < 0 в области \Х —
— Х\< 8t0 можно указать точки Х{0°\ что \Х (f,X<°>, t°)\ ^
^ е — 8, где X (t, X<°\ t0) — решение системы C.43). Из
этого следует, что какое бы бх > 0 ни взять, можно указать
точки Х<°> такие, что |Х<°>| < 6Ь и такие значения t0, что
X (t, X<°\ t0) > е/2 при t=0. При этом множество таких
точек Х^°> и значений параметра t0 можно считать неизмен-
неизменным при достаточно малых изменениях коэффициентов форм
Х^\ т > [л. Рассмотрим теперь вновь систему B.69), ко-
которая в § 4 гл. 2 преобразованием, не нарушающим вопроса
об устойчивости, была сведена к системе вида B.81). Из
приведенных выше рассуждений и теоремы 46 получим сле-
следующее утверждение.
Следствие. Если система алгебраических уравне-
уравнений xs =- Xs°)(M') (s ■-= 1,..., k) имеет вещественное решение,
которое является асимптотически устойчивым направлени-
направлением, то нулевое решение системы B.69) неустойчиво. Тот же
результат имеет место для системы B.99), если система
уравнений ps = R{s0)ili) (рь ..., pk) (s = 1, ..., k) имеет ве-
вещественное решение, которое является асимптотически ус-
устойчивым направлением. Сформулируем теперь ряд общих
замечаний, относящихся к решению вопроса об устойчиво-
168

сти нулевого решения систем B.69) и B.99). Рассмотрим
вновь систему B.69). Будем считать, что она приведена к
виду B.71). Сделаем теперь над системой B.71) преобразова-
преобразование, не нарушающее устойчивости
x. = z.+ 2 Z^ («=!>-,*), C.72)
m = 0
где функции Zim) являются однородными формами степени
т относительно новых искомых функций гъ.,., zk с произ-
произвольными аналитическими коэффициентами относительно
Цъ-'-у Цп* подлежащими определению и обращающимися в
нуль при т}! = ...= цп = 0. Как следует из рассуждений,
приведенных в § 4, гл. 2, систему B.71), выбирая коэффици-
коэффициенты форм Z[m\ можно привести к виду
-|i--XS"B, 2„)+ ^ Я"' (S=l *),
C.73)
■^r = y.Pnv)i + Vj(z1,...,zh,rI,....,r]n) (/=1, .... n).
dt iTi
Если положить ./V =+°°, то получим, что первая группа
уравнений в системе C.71) принимает вид
^ =Х<° (*lf ...,eft)(s=l, ..., k). C.74)
Функции VJ0) = К;- (zb..., 2ft, 0, ..., 0) являются формально
аналитическими относительно величин гъ..., zk. Их разло-
разложения в действительности начинаются с форм порядка v ^
^ jii + 1 • В § 4 гл. 2 было показано, что в результате ряда
преобразований можно получить из системы C.73) систему,
в которой vi = v + / (и* — 1). Полагая / = +°°, получаем
преобразование
г S Mii^i.-»2ft)» C-75)
которое вторую группу уравнений в системе C.73) пре-
преобразует к виду
2
l
l
{fm)
где функции Y{fm) — однородные формы степени т относи-
относительно величин z/i,..., уп, коэффициенты которых представ
169

ляют собой ряды по степеням величин гь..., zk. Функций
ил в преобразовании C.75) являются аналитическими отно-
относительно гъ ..., zk и удовлетворяют некоторым алгебраи-
алгебраическим уравнениям, приведенным в § 4 гл. 2. Если преобра-
преобразования C.72) (N = +°°) и C.75) не формальные, т. е. ря-
ряды сходятся в некоторой достаточно малой окрестности точ-
точки гх = ...= zk = цг =...= \\п = О, то ряды в правых час-
частях системы C.76) также сходятся. В этом случае нулевое
решение системы B.69) является устойчивым, асимптоти-
асимптотически устойчивым, неустойчивым тогда и только тогда, когда
будет соответственно устойчивым, асимптотически устой-
устойчивым, неустойчивым нулевое решение системы C.74).
Для системы B.99) можно указать такие же преобразова-
преобразования, приводящие задачу об отыскании устойчивого нулево-
нулевого решения этой системы к задаче того же вида для системы
C.74). Таким образом, теперь возникает задача показать,
что преобразования C.72) и C.75) не являются формальны-
формальными, или указать те условия, при которых эти преобразова-
преобразования не будут формальными. Впервые на факт зависимости
решения вопроса об устойчивости нулевого решения систем
B.69) и B.99) от решения аналогичного вопроса для системы
C.74) указывал А. М. Ляпунов. Ряд общих теорем был
сформулирован проф. И» Г. Малкиным [27].

Глава 4
ИССЛЕДОВАНИЕ ВОПРОСА
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ИНВАРИАНТНЫХ
МНОЖЕСТВ ОБЩИХ СИСТЕМ
§ I. ОБЩИЕ СИСТЕМЫ. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
■^=/.(*1. ...,*,!. О ^=1, ..., AZ), D.1)
правые части которой заданы при t ^ О и X £ Еп и удов-
удовлетворяют некоторым условиям, при которых существует
решение Х=Х (/, Х<°>, /0) и />/0>0, Х<°> 6 £й. Будем счи-
считать, что каждое такое решение определено при всех t ^ t0
и таково, что X (/, Х<°> to)-^X^ при /->/0+0, при этом через
точку (Х@>, t0) может проходить бесконечное множество ре-
решений системы D.1), обладающих указанными свойствами.
Условимся далее через Ft0 (Х@>) обозначать совокупность
точек, принадлежащих всем таким решениям в некоторый
фиксированный момент t ^ t0. Пусть F* (Х<°>) ~> Х<°> при
t-+to + 0.
Будем F\o (X@>) называть движением, а совокупность всех
точек, принадлежащих этому движению при t ^ to>— траек-
траекторией этого движения. Приведем основные свойства, кото-
которыми обладает движение.
1) Для любого Х@> 6 Еп множество элементов
F} (Х@>) 6 Еп определено при любом t ^ t0.
° 2) Fl (X<°>) -> Х<°> при t->t<> + 0.
3) Пусть ХA> — некоторая точка множества F\\
тогда согласно свойству 1 определено движение F\t
при этом w ^ (Х<х>) - Fl (Х<°>) при / > *! по
6^(Х(°>)
Третье свойство движения следует из определения самого
движения как совокупности концов интегральных кривых,
рассмотренных в момент t, каждая из которых проходит че-
через точку (XS°\ /0).
Совокупность движений F\Q (X<°>) изображает двупара-
метрическое семейство преобразований Еп на себя, опреде-
определенное при всех / > t0 > 0 и обладающее свойствами 1—3.
Такое двупараметрическое семейство преобразований Еп на
171

себя будем называть общей системой в Еп. Если правые час-
части системы D.1) непрерывны, то она имеет решение X =
= X (t> Х@>, t0) при любом Х@) 6 Еп, определенное при
некоторых t ^ t0 ^ 0. Если каждое решение системы D.1)
существует при всех t ^ t0, то D.1) определит в Еп общую
систему. Если окажется, что при непрерывных правых час-
частях системы D.1) не все ее решения определены при /^
^^о^О> то> выполняя замену независимой переменной по
формуле
получаем систему
dxk
1 I г"С УЛ.* * I %* 7 / 7 \ /
правые части которой определены при / ^ О и X £ Еп.
При этом любое решение системы D.2) определено при всех
s ^ so ^ 0- Таким образом, система D.2) определит в про-
пространстве Еп двупараметрическое семейство преобразова-
преобразований FsSo (Х<0)), обладающее свойствами 1—3. Следователь-
Следовательно, если правые части системы D.1) непрерывны, то с ее по-
помощью всегда можно определить общую систему в Еп. При-
Приведем теперь пример двупараметрического преобразования
функционального пространства на себя. Рассмотрим для
этого систему дифференциальных уравнений в частных про-
производных
dus р ( diii Л .. ~.
~~~ is I -^l» •••» *^/i> **i> •••» Mjij , ••!, I I ^T.oj
a^ \ dxj ]
(s = 1, ..., n; i - 1,..., n\ j = 1, ..., k),
правые части которой заданы при /^Ои при
\хъ ...r xk, и1у ..., un, -—
где G — некоторая область Л^-мерного пространства. Пред-
Предположим, что существует некоторое функциональное про-
пространство Ф векторных функций ср = (срх (хъ ..., xk)> ...,
..., Фи (лг19...,л:ь)) таких, что при ф 6 Ф система D.3) при любом
/0 ^ 0 имеет решение V (t9 ф, /0), определенное при / ^ /0,
U (U ф, Q 6 Ф при / > tOy U (U ф, U) -> Ф при t-> t0 +
172

~f- 0. Элемент ф пространства Ф и положительная величина
t0 могут определять не одно решение U (/, ф, /о)> обладающее
указанными выше свойствами. Каждое такое решение в не-
некоторый момент / ^ t0 принимает определенное значение
из Ф. Совокупность значений, принимаемых всеми такими
решениями, обозначим через F\% (<p), т. е. какое бы реше-
решение системы D.3) U (/, ф, /0), определенное условием U (t,
Ф, ^о)"^ Ф ПРИ t-> to + 0, ни взять, окажется, что U (ty
ф, 'о) £ Р*и (ф) ПРИ Л1°б°м t ^ U- Будем Ft0 (ф) называть
движением, а множество всех точек Ft9 (ф), t 6 [/о>+°°) —
траекторией этого движения. Отметим основные свойства
движения:
1) для любого ф £Ф и любого t0 ^ 0 определено мно-
множество F\o (ф) 6 Ф при всех t > t0;
2) f'o (ф) ^Г Ф ПРИ ^ *о + 0;
3) пусть ф — точка пространства Ф такая, что ф ^
6^1(ф)» Т0ГДа определено движение F\t (ф) такое, что
^Fl (ф) = Fl (ф) при t > tx по ф 6 /1: (Ф).
Покажем, что имеет место свойство 3. Действительно,
множество Ftt (ф) представляет собой совокупность точек
пространства Ф, расположенных на решениях задачи Коши
для системы D.3), определенных следующими условиями:
U (t, ф, tQ) ~> ф при *->■ t0 + 0, U (t, ф, ^о) ->■ Ф при t->-
->^ + 0. Множество Т7^ (ф) представляет собой совокупность
точек пространства Ф, принадлежащих решениям задачи
Коши для системы D.3), определенных только условием
U (t, ф, /0) ->■ фпри <->■ ^о + О- Поэтому имеет место соот-
соотношение U F^ (ф) = Т7^ (ф) при / > /х по"ср 6 F'j (ф). Сово-
Совокупность движений Т7^ (ф) представляет собой двупарамет-
рическое семейство преобразований пространства Ф на се-
себя. Это семейство преобразований, обладающее свойствами
1—3, будем называть общей системой в пространстве Ф.
Перейдем к изложению теории в общем случае. ?•
Определение 1. Будем говорить, что в метричес-
метрическом пространстве R задана общая система, если определено
Ffto — двупараметрическое семейство преобразований R на
себя, обладающее следующими свойствами:
1) для любого р 6 R и t0^ 0 определено множество
Fu (р) ^ R при / > /0, Ft0 (p) не пусто;
2) Ft. (р) -> р при t-+ t0 + 0*;
*Это следует понимать так: для каждого 8 > 0 можно указать
б > 0 такое, что F\% (р) С 5 (р, е) при / — /0 < 6. .
173

3) для любого элемента рх 6 F\x0 (р) определено множест-
множество F\t (pj такое, что
О^ по p^F'tip).
Будем в дальнейшем F\o (p) при закрепленном р называть
движением, а совокупность всех точек, принадлежащих дви-
движению при t^t0 — траекторией этого движения. Множест-
Множество М cz R назовем инвариантным множеством общей сис-
системы, если М состоит из траекторий общей системы. Дадим
более точное определение инвариантного множества.
Определение 2. Множество М называется инва-
инвариантным по отношению к общей системе, если из р £ М сле-
следует, что F (t0, р) а М при любом /0 ^ 0. Здесь через
F (tOi p) обозначена траектория движения FJ0 (/?). Положим
далее
Р(*.Ро. *о)= SUP Р(Р Л1).
Введем понятие устойчивости инвариантного множества об-
общей системы, расположенной в метрическом пространстве.
Определение 3. Инвариантное множество М об-
общей системы в R называют устойчивым, если для любого
8 > 0 можно указать величину б >> 0 такую, что при р (/?0,
М) < S имеет место неравенство р (t, р0, ^0) < е при t ^
"^ to^O. Если, кроме того, р (t, p0, t0) ->■ 0 при £->+<»,
то инвариантное множество М называют асимптотически
устойчивым.
Определение 4. Асимптотически устойчивое ин-
инвариантное множество М общей системы в R называют равно-
равномерно асимптотически устойчивым, если существует вели-
величина 8Ь соответствующая некоторому гг (определение 3),
такая, что р (/, /?0, /0) -> 0 при t — t0 -> + °° равномерно
по t0 > 0 и р (/?0, М) < 82.
Замечание. Точно так же, как это было сделано в
§ 10, можно показать, что существует непрерывная строго
монотонно убывающая от +°° до 0 функция L (т), заданная
при г 6 (— оо, + °°) и такая, что р (t, р0, t0) < L (t — t0)
при р (pOi M) < 6V Действительно, положим X (t— t0) =
= SUp р (/, /70, t0).
р(р0. M)<6i
Ясно, что X (t—10) -> 0 при t — t0 -> + оо. Используя
тот же прием, что и в § 10, можно построить функцию L,
обладающую указанными выше свойствами.
174

Определение 5. Асимптотически устойчивое ин-
инвариантное множество М называется равномерно притяги-
притягивающим, если для любого h > О можно указать величины
Т > О и а > 0 такие, что р (/, /?0, t0) > а при 0 < t —
— /0 < Г и ft < р (/?0, М) $с: б2, где б2 — положительная
величина, соответствующая некоторому е2 > 0 (определе-
(определение 3).
Определение 6. Инвариантное множество М на-
называется неустойчивым, если существует некоторая вели-
величина е > 0 такая, что при любом б > 0 можно указать точ-
точку ро и число t0 > 0 такие, что для некоторого t > t0 име-
имеют место неравенства р (р09 М)< б и р (t, p0, t0) > e.
В настоящей главе будут приведены условия, при кото-
которых инвариантное множество М обладает тем или иным свой-
свойством устойчивости или неустойчивости, а также дан метод,
позволяющий оценивать функцию р (t, po> t0). Первое свой-
свойство общей системы, вообще говоря, довольно жесткое, так
как при решении, например, задачи Коши для систем урав-
уравнений в частных производных имеет место иногда следую-
следующий факт: задача Коши разрешима, например, для системы
D.3) при ф £ Rlt где ср — векторная функция переменных
*!,..., xki которой отвечает решение U = U (ф, t, t0) системы
D.3), обладающее свойством (/-> ф при /->■ t0 + 0. Одна-
Однако U (ф, t, t0) £ R при t > t0, где R — некоторое функцио-
функциональное пространство, содержащее в себе совокупность
функций Rx. В случае общей системы имеем R = Rv По-
Поэтому далее будем рассматривать также такие двупарамет*
рические семейства операторов F\o, которые определены
при t ^ t0 на любом элементе р0 6 ^i, а значения их попа-
попадают в R, где R — некоторое метрическое пространство,
Rx a R — его подмножество. Такие двупараметрические
семейства операторов будем называть в дальнейшем непол-
неполной общей системой, так что неполная общая система обла-
обладает вторым и третьим свойствами общей системы. Для слу-
случая неполной общей системы инвариантное множество М
будем считать подмножеством Rt. Все определения, данные в
этом параграфе об устойчивости инвариантного множества,
непосредственно переносятся на случай неполной общей сис-
системы. В этих определениях каждый раз следует лишь ого-
оговаривать, что движения F\Q (p0) существуют лишь при р0 6
е /?i или же ро 6 F*t0 (Pi).

§ 2. УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ И НЕУСТОЙЧИВОСТИ
ИНВАРИАНТНОГО МНОЖЕСТВА М ОБЩЕЙ СИСТЕМЫ
В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В настоящем параграфе будут приведены условия, при
которых инвариантное множество М обладает свойством
устойчивости или неустойчивости, а также предложен спо-
способ, позволяющий для некоторых общих систем оценивать
функцию pfc(/, рОУ t0) с помощью семейства функционалов.
Рассмотрим однопараметрическое семейство функционалов
Vu зависящих от параметра t ^ 0. Предположим, что для
любого элемента р 6 G cz R определена функция Vt (p)
вещественного переменного t, заданная при / ^ 0. Пусть,
далее,
V(t,po,to)~ sup Vt(n). D.4)
Теорема 72. Для того чтобы инвариантное множество
М общей системы в R было устойчивым, необходимо и доста-
достаточно, чтобы существовало однопараметрическое семейство
функционалов Vu обладающее следующими свойствами:
1) на любом элементе р из некоторой окрестности S (Mt
г) множества М определена функция Vt (p) вещественного
аргумента t, заданная при t ^ 0;
2) для любого достаточно малого сг > 0 можно указать
величину с2 > 0 такую, что Vt (р) > с2 при р (/?, М) > с±
и всех t ^ 0;
3) Vt (р) -> 0 равномерно относительно t ^ 0 при
р (р9 М) ->■ 0;
4) функция V (U Ро> ^о) не возрастает при всех t ^ /Оэ
для которых она определена.
□ Необходимость. Предположим, что множест-
множество М устойчиво. Тогда по е > 0 можно указать величину
б > 0, такую, что при р (р0, М) < б будет р (/, /?0, t0) < e
при t ^ t0. Положим
p(t9p0tt0) D.5)
при р (р0, М) < б. Равенство D.5) определяет семейство
функционалов, зависящее от одного параметра / ^ 0, кото-
которое на любом элементе р0 6 S (М, б). Из D.5) следует,
что Vu (ро) < ех при р (р0, М) < бь где бх < б — некото-
некоторая положительная величина, соответствующая, согласно
определению 3 § 1 гл. 4, взятому ех > 0. Отсюда имеем, что
семейство функционалов Vt9 определенное равенством D.5),
обладает свойством 3. Кроме того, Vt0 (р0) ^ р (р09 М),
176

следовательно, семейство функционалов Vt обладает также
свойством 2. Покажем теперь, что имеет место свойство 4.
Возьмем некоторую величину tx > t0. Рассмотрим выраже-
выражение р (/, р, ^), где р 6 F\\ (р). В силу свойства 3 общей систе-
системы имеем F\x (р) с= F*o (р0) при t < 4 и любом р 6 ^ (Po)-
Поэтому р (/, р, tx) ^ р (/, р0, /0) при t^t-L и любом
Р 6 /1; (ро)> откуда получаем Vh (p) =sup p (t, p, /х) <
< sup р (/, р0, /0) < 1^ (р0). Таким образом, при любом
t^ t
p
t0
элементе р £ f£ (р0) имеем Vtl (р) < V<e (p0), откуда
sup Vti(P)^V(t1,pOito)<:VtQ(po)
р е f{i (Po)
при любом tx ^ ^о- Отсюда следует, что построенное семей-
семейство функционалов обладает также свойством 4.
Достаточность. Предположим, что существует
семейство функционалов Vti зависящее от параметра / ^ О
и обладающее свойствами 1—4, приведенными в теореме 74.
Покажем, что инвариантное множество М устойчиво.
Возьмем е > 0 и е < г/2. Положим % — inf Vt (p) при
р (р, М) ^ е и р (р, М) < г/2. Выберем величину S
так, чтобы при р (р, Л1) < б и £ ^ 0 имело место
неравенство Vt (р) < Я. Покажем, что величина б со-
соответствует, согласно определению 3 § 1 гл. 4, выбранному
е. В силу условия 4 имеем Vto (р0) ^ V (/, р0, /0)> откуда
следует, что при р (р0, М) < б справедливо неравенство
V (^, /0> Ро) < ^ ПРИ ^ ^ ^о- Пусть существует момент t>
> t0 такой, что р (/, ро, ^о) ^ е- Тогда при этом V (t, p09
• /0) > >w, что невозможно, так как имеет место противополож-
противоположное неравенство при любом выборе величины t ^ t0 и для
любого ро 6 S (Л4, б). Таким образом, теорема доказана.
Замечание. Функция трех аргументов р (t, p0,
t0) может не быть, вообще говоря, непрерывной при t ^ tOi
поэтому может не существовать таких значений t, при кото-
которых е < р (t, ро, t0) < г/2 для некоторого р0 6 S (М, б).
В этом случае доказательство теоремы останется в силе, ес-
если считать, что семейство функционалов определено и вне
множества S (М, г/2). Например, можно положить
vt (р) = 1 при р е s (м, г/2), р е Af и vt (p) = о при р ем.
Таким же образом можно распространить на все простран-
пространство R семейство функционалов, построенное при доказа-
доказательстве необходимости условий 1—4 теоремы 72.
177

Теорема 73. Для того чтобы инвариантное множество М
общей системы в R было асимптотически устойчивым, не-
необходимо и достаточно, чтобы существовало однопарамет-
рическое семейство функционалов Vti обладающее следую-
следующими свойствами:
1) выполнены все условия теоремы 72 для семейства Vt;
2) функция V (/, р0, /0) ->■ 0 при t-^ + оо для любого
р0 6 S (М, 6), где б — некоторая положительная величина.
□ Необходимое ть. Пусть инвариантное множе-
множество М асимптотически устойчиво. Тогда оно просто устой-
устойчиво. Поэтому, как следует из теоремы 72, существует се-
семейство функционалов, определенное равенством D.5),
обладающее свойствами 1—4 этой теоремы. Покажем, что
построенное с помощью равенства D.5) семейство функцио-
функционалов удовлетворяет условию 2 настоящей теоремы.
По числу^е > 0 укажем б > 0 такое, что при р (р0, М) <
< б имеет место неравенство р (/, ро> t0) < е при t ^ /0 и,
кроме того, р (t> рр> to)->O ПРИ t-++ oo. Поэтому для лю-
любого 6lf соответствующего некоторому гг на основании опре-
определения 3 § 1 гл. 4, укажем величину Т > О такую, что
Р (*, Ро> Q < &г при t = Т. Тогда р (/, р, Т) < г± при t ^ Т
для любого р б Fj0 (po)9 следовательно, Vt (p) =
p (t9 p, Т)< ех, поэтому V (t, p0, t0) =-sup VT (p) < е„
при /7 g ff0 (ро)> ^Т1» тем более это неравенство имеет место
при t^T, так как установлено, что функция V (t, pOi t0)
не возрастает. Таким образом, условие 2 выполнено.
Достаточность. Пусть условия теоремы вы-
выполнены, тогда, как следует из теоремы 72, множество М
устойчиво. Поэтому по величине е > 0 можно указать
величину б > 0 такую, что при р (р0, М) < б имеет место
неравенство р (t, p0, t0) < е при i > t0. Далее, возможны
два случая:
р 1) либо р (t, po, t0) -► 0 при t-+ + оо;
I 2) либо р (/, /?0, t0) > v Ы > 0 при t > /0*
•" Действительно, пусть последнее не имеет места. Пока-
Покажем тогда, что р (t, /70, ^о) -*" 0 при /-> + оо# По величине
е^укажем бг такое, что р (t, pOi t0) <elyt^ t0 при р (pOi M)<
< 6i.no величине бь можно указать величину Т > 0 такую,
что р (Г,/?о, /0) < V, тогда р (*, р, Т) < рх при t^T для
любого p'z'FJi (po)- В этом случае р (f, p0, to)^e1 при ^ > Т.
Таким образом, р -^ 0 при t-*- + оо. Предположим теперь,
что существует движение общей системы Fto (p0) такое, что
178

p(t, Po, t0) > у (po) > 0. Тогда V (/, /?0, t0) > Yi > 0, что
противоречит условию 2 настоящей теоремы.
Теорема 74. Для того чтобы инвариантное множество М
было равномерно асимптотически устойчиво, необходимо
и достаточно, чтобы существовало однопараметрическое се-
семейство функционалов Vu обладающих следующими свой-
свойствами:
1) выполнены все условия теоремы 73;
2) функция V (t, /?0, /0) -> 0 при t— /0 ->■ +°° равно-
равномерно относительно /0>0и при р (/?0, М) < б.
П Необходимость. Пусть инвариантное мно-
множество М равномерно асимптотически устойчиво. Тогда
множество М устойчиво. Поэтому существует семейство
функционалов, определенное равенством D.5). Покажем, что
У {U Po, t0) -+■ 0 при t — t0 -> + °° равномерно относи-
относительно /0 ^ 0 и р (/?0, М) < б. Напомним, что
V(t,po,to)-= sup Vt(p).
Р^Р\ (Po)
По условию теоремы, функция р (/, /?0, /0) -> 0 при / —
— ^о~^ + °° равномерно относительно t0 ^0 и р (/?0, М) <б.
В силу этого по величине гг > 0 можно указать величину
6j > 0, соответствующую еь согласно определению 3 § 1 гл.
4, такую, что р (t, pOi t0) < бх при / = 71 + t0. Тогда
р (/, /7, г + g < % при * > г + г0 и любом р е fI+u (p0).
На основании этого р (t, p0, t0) < ex при ^ ^ Т + t0. Но
V(t,poJo)= sup Vf(/y= sup sup р(т,р,0.
Отсюда V (t, p0, t0) < ex при i ^ T -{- i0. Таким образом
условие 2 настоящей теоремы выполнено.
Достаточность. Пусть условия теоремы выпол-
выполнены. Покажем, что множество М равномерно асимптоти-
асимптотически устойчиво. Пусть функция р (t, /?0, ^о) -*■ 0 ПРИ
t— /0-> + °°> но неравномерно относительно t0 ^ 0
при р (/?0, М) < 61э где бг — достаточно малое положитель-
положительное число. Тогда существует по крайней мере одна величи-
величина h > 0 такая, что можно указать последовательность то-
точек рок 6 S (М, бх), последовательность величин tok ^ 0
и последовательность tk > tOk ^ 0 таких, что р (^, pOfe»
tok) >hnpnte Uoh9 thl th — tok-+ + oo, k-> + оо; тог-
тогда V (/, Pofe, ^ofe) > Ai > 0 ПРИ ^6 I^o. 'fcl. чт0 нево3"
179

можно, поскольку V (/, /?Оэ to) -^ 0 равномерно относитель-
относительно t0 > 0 и р (р0> М) < б.
Теорема 75. Для того чтобы инвариантное множество М
было равномерно притягивающим, необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы существовало однопараметрическое семейство
функционалов, обладающее следующими свойствами:
1) выполнены все условия теоремы 73;
2) по любому достаточно малому h > 0 можно указать ве-
величины Т > О и а > 0 такие, что V (t, pOi tQ) > а при t 6
€ Uo. *о + П, /о > 0 и Л < р (/?0, М) < 8, где 8 > h —
достаточно малая величина.
□ Необходимость. Предположим, что множе-
множество М является равномерно притягивающим. Тогда мно-
множество М асимптотически устойчиво. Поэтому равенство
D.5) определяет семейство функционалов, обладающих все-
всеми свойствами, указанными в теореме 73. Кроме того, по ве-
величине h в силу определения 5 § 1 гл. 4 можно указать ве-
величины Т > О и а > 0 такие, что р (/, р0, t0) > а при
t 6 Uo, t0 + Т] и р (р0, М) > h. Из D.4) имеем
V(*, А>» ^о) = SUP SUP P(т.
при / — ^0 < 7, откуда следует выполнение условия 2 тео-
теоремы 75.
Достаточность. Пусть существует однопарамет-
однопараметрическое семейство функционалов Vu удовлетворяющих всем
условиям теоремы 75. Из условия 1 следует, что множество
М асимптотически устойчиво. Покажем, что оно является
также равномерно притягивающим. Пусть это не так. Тогда
существует по крайней мере одна достаточно малая положи-
положительная величина h такая, что можно указать последова-
последовательность точек poky р (рои* М) ^А и последовательность
чисел toh и Тк таких, что р (Th + tOh> POh> toh) -> 0 при
й->+ оо. При этом Th < Ту где Т может быть любой
сколь угодно малой положительной величиной. Тогда, по-
поскольку Vt (р) ->• 0 равномерно относительно t ^ 0, при
р (/?, М) -> 0 имеем V (tok + Tky pok, tok) ~> 0 при k -»■ +oo,
что противоречит условию 2 теоремы 75, так как р (рои, М) ^
^ /i, a Tk<C Т. Тем самым теорема 75 доказана.
Пусть теперь общая система, определенная в /?, такова,
что Flt0 (р) при любом / ^ /0 есть одноточечное множество
и непрерывно по t.
Теорема 76. Для того чтобы инвариантное множество М
было равномерно асимптотически устойчивым и равномерно
притягивающим, необходимо и достаточно, чтобы существо-
180

вало два семейства функционалов Vt и Ф^ обладающих сле-
следующими свойствами:
1) при любом р 6 S (М,г), г>0, достаточно малом, оп-
определены величины Vt (p) и Ф, (/?), являющиеся функциями
вещественного аргумента t ^ 0;
2) при любой достаточно малой величине сг > 0 можно
указать положительные величины с2 и с3 такие, что Vt (p) <
< — с2, а Ф* (/?) > с3 при р (/?, М) > q и £ > 0;
3) Vt (р) -> 0 и Ф* (р) -> 0 при р (/?, Л1) -> 0 равномер-
равномерно относительно t ^ 0;
4)^-1^,ро,д=Ф(*,А>. <о). D-6)
□ Необходимость. Пусть множество М явля-
является равномерно асимптотически устойчивым и равномер-
равномерно притягивающим. Тогда, как было показано, существует
функция L(t), заданная при % 6 (—°°, +°°), непрерывная,
строго монотонно изменяющаяся от +°° до 0 и такая, что
при р (ру М) < 8Х имеет место неравенство L (t — /0) >
> р {ty Po, t0) при t ^ t0. Построим функционал Ф =
= р (р, М) e~L (p (Pt M)). Этот функционал обладает всеми
свойствами, указанными в теореме. Положим далее
V{F\q(p0), t)=- ^Ф(Fjf (po))dxnt^t0. D.7)
Формула D.7) определяет вдоль движения /^0 (р0) функ-
функционал, обращающийся при t = t0 в Vto (po) при
р (po, М) < 8Х. Действительно, V (F\o (р0). 0 > — 8i *'•"'•
где 8Х — некоторая положительная величина, которой
соответствует 8t согласно^ определению 3 § 1 гл. 4. Из
полученного выше неравенства следует, что Vto (ро)>—ех
при t0^ 0 и р (/;0, 7И) < 6Ь что означает выполнение
условия 3 теоремы 76.
Из выражения D.7) имеем
Покажем теперь, что семейство функционалов Vb опреде-
определенное формулой D.7), удовлетворяет условию 2 теоремы
76:
181

По величине Л, в силу того что множество М является рав-
равномерно притягивающим, можно указать величины Т и а
такие, что р (/, р0> t0) > а при / £ [/0, /0 + Т), и р (/?0, М) ^
> Л. Тогда Ф (Fi% (р0)) > Р при * 6 Uo, t0 + 7], где
Р — достаточно малая положительная постоянная. Тогда
имеем Vt0 (р0) ^ — РГ при р (/?0, Л4) > А и для любого
t ^ 0. Тем самым необходимость условий доказана.
Достаточность. Пусть существуют два семей-
семейства функционалов, удовлетворяющих условиям теоремы 76.
Семейство функционалов — Vt удовлетворяет всем услови-
условиям теоремы 72, поэтому множество М устойчиво. Пусть су-
существует движение F\o (р0), р (р0> М) < 8, где 8 > 0 до-
достаточно мало и соответствует некоторому {-'>0в силу оп-
определения 3 § 1 гл. 4 такое, что р (t, p0> t0) > у > 0. Тогда
на этом движении имеем неравенство Ф (t, р0, t0) > р > 0
при t > U. Далее имеем V(t, рОч t0) > (t — t0) p + Vto (po)>
что невозможно, так как V (t, р0У to)<C 0 при t ^ t0. Отсюда
следует, что любое движение F*o (р0) обладает при р (р0,
М) < 8 свойством р (/, р0У t0) ~> 0 при t — tQ ->■ + оо и
притом равномерно относительно t0 ^ 0 и р (рОу М) < 8.
Покажем теперь, что множество М является равномерно
притягивающим. Пусть это не так. В этом случае существу-
существует достаточно малое число А>0 такое, что при р (р09 M)>h
и любом Т > 0 имеем
inf р(/, р0, /0)=0, ^0>0
и существуют последовательности toh, tk, pok такие, что
Р (tk> Pok, Ub) -*■ 0 ПРИ k -►■ +оо. Из формулы D.7) имеем
j
to
Положим t0 = tohу р0 = /?о7?« Разобьем интеграл в правой
части на три интеграла
Vt.(Po) = J — ф(т? Ро, to)dx+ J + f — Ф(т, Ро> 'о)Л-
/ ^+7' 'Л
f
'Л
Эти интегралы можно сделать сколь угодно малыми: пер-
первый — в силу выбора числа 7; второй — выбирая poh,
tok с достаточно большим номером k\ третий — выбирая Тг
достаточно большим. Тогда получим, что существует величи-
величина k0 (е), обладающая свойством: — VtQk (pok) < е при k ^
182

^> k0 (e) и р (pOfc, М)>/г, а это противоречит свойству 2.
Таким образом, теорема доказана.
Замечание. В случае, когда общая система в мет-
метрическом пространстве обладает только свойствами 1—3 (см.
определение 1 § 1 гл. 4), можно также сформулировать тео-
теорему, аналогичную теореме 76.
Теорема 77. Для того чтобы инвариантное множество М
было неустойчиво, необходимо и достаточно, чтобы сущест-
существовали два семейства функционалов Vt и W h обладающие
следующими свойствами:
1) на любом элементе р £ S (М, г), г > О определены
функции Vt (р) и Wt (p) при t > 0;
2) функция Vt (р) ограничена при / 6 10, +оо) и р £
6 S (М, г);
3) для любого б > 0 можно указать точку р0 и значение
параметра t0 такие, что Vu (р0) > 0, р (/?0, М) < 8;
4) §;V (/, /?о, <о) ^ W (/, />о, /о) + ^ (/, Ло, ^о), U7, (/7) >
^ 0, Я = const > 0.
D Необходимость. Возьмем е > 0, о котором
идет речь в определении неустойчивости^множества М. Пусть
точка р 6 S (Му г). Если р (t, р, t0) < е при tf ^ ^0, то опре-
определим Vt (р) так, чтобы имело место равенство Vto (р) = 0*
Если существует величина tp такая, что р (t, p> t0) ^ e при
t = tPy р {t>£, to) < е при / 6 [^0, tp), то положим Vt (Z7^ X
X (р0)) = е*~{р-=- V (t, pOt t0). В первом и втором случаях
имеем равенство dVldt — V. Кроме того, семейство функцио-
функционалов Vt ограничено. Далее, в силу определения неустой-
неустойчивости для любого 8 > 0 можно указать точку р и значе-
значение параметра t0 такие, что р (/, р, t0) ^ е при t =
== tp. Поэтому Vto (p) > 0 при р (/?, М) < 8. Таким образом,
построенное семейство функционалов удовлетворяет всем
условиям теоремы.
Достаточность. Пусть условия теоремы вы-
выполнены. Тогда, какую бы величину б > 0 ни взять, можно
указать /?0, р (/?0, М) < 8 и значение параметра t0 такие,
что Vto (р0) > 0. Функция V (/, ро, t0) удовлетворяет ли-
линейному дифференциальному уравнению
dt
и начальному условию V (t, /?0, ^0) = У и (Ро) ПРИ t = t0. То-
Тогда имеем:
V(t,p0, Q>Vu(po)*«~u. D.8)
183

Если теперь предположить, что множество М устойчиво,
то окажется, что, с одной стороны, движение F\u (р0) при
" t^ t0 целиком лежит в области задания семейства Vt и,
* следовательно, V (t, pOi t0) ограничено при t > t0; а с другой
стороны, вдоль этого движения имеет место неравенство
D.8), противоречащее сделанному предположению об устой-
устойчивости. Таким образом, множество М неустойчиво.
Замечание. Аналогичную теорему можно доказать
в общем случае, когда множество F\Q (р0) не является одно-
одноточечным.
Изложим теперь метод, позволяющий для некоторых об-
общих систем оценивать функцию
р(*.й>Л)= SUP Р(Р>М).
PGFJ (р0)
Рассмотрим две функции Мх (х) и М2 (х), заданные при
х ^ 0, непрерывные, строго монотонно изменяющиеся при
х 6 [0, + °°)- Рассмотрим однопараметрическое семейство
функционалов Rti заданное в некоторой окрестности S (М,
г) инвариантного множества М> зависящее от параметра
t ^ 0. Предположим, что имеют место неравенства
Мг (р (р, М)) < Rt (р) < М2 (р (р, М)) D.9)
при ^ 6 [0, +оо). Тогда функцию р (/, р0, Q = р (Ffh (po)t
М) всегда можно оценить снизу и сверху, если известна
функция Rt {F\u (p0)) = R (t, po> t0) или известна какая-ли-
какая-либо оценка для этой функции. Действительно, из неравенст-
неравенства D.9) имеем р (*, р0, t0) < Mf1 (R (t, /?_0, t0)) и AfJ1 (R(t,
Po> to))<p(^ Po» *o). гДе ^i1» М2г суть обратные
функции. Обтединяя последние неравенства, получаем тре-
требуемую двустороннюю оченку для функции р (t, р0, t0).
Предположим, что в некоторой окрестности S (М> г) инва-
инвариантного множества М заданы два однопараметрических
семейства функционалов Vt и Wu обладающих следующими
свойствами:
1) для любого элемента р 6 S (Л4, г) определены функции
Vt (р) и Wt {р) при всех t e [0, +оо);
2) семейство функционалов Vt удовлетворяет неравенст-
неравенству
3) семейство функционалов Wt удовлетворяет неравенст-
неравенству
-^@^<^<-V2@R?«; D.11)
184

4) функция V (t, /?o, t0) непрерывно дифференцируема
при всех t ^ tOy пока она определена, и удовлетворяет соот-
соотношению
^V(ttpO9to)^W(ttpO9to). D.12)
Короче, jtVt= Wt. Здесь Ф, (t) и У, (/) (i = 1,2) — непре-
непрерывные положительные функции, заданные при t ^ О,
&ь U (i — 1>2) — положительные постоянные. Функции
Wt (t) могут также принимать и нулевые значения. Положим
далее к%11% = Я,,, /, (Яь 0 - Ч^ (/) ФГ^ @- Пусть А, > 0 -
некоторое число, a t "^ t0 таково, что V (/, рОу t0) Ф 0. Ум-
Умножим обе части равенства D.12) на У~% (ty /?0, t0) и проин-
проинтегрируем в пределах от t0 до f> tOy тогда при к 6 @, 1)
получим
D.13)
При X = 1 имеем
V(t,po,tQ)=Vt.(Po)ei*WV \ D.14)
при X > 1
'о, to)= . , А V<°(P0) — • D-15)
л —1 г *
1/ H-V,
Рассмотрим некоторые случаи.
1. Xt > 1 (i = 1,2). Используя неравенства D.10) и
D.11), приведем неравенство D.15) к виду
/
v
t
D.16,
185

На основании неравенства D.16) неравенство D.10) мож-
можно записать так:
/1
Л/ 1 -Ь(^1—1) (Ф2('о) Rto(Po)l2)K~l \fAK, *)dx
o,Po)< D.17)
V
1
Здесь и далее /?^ — семейство функционалов, обладающих
свойством D.9). Будем далее через Nt (t, p0, t0) обозначать
левую часть неравенства D.17), а через Af2 (/, р0, t0) — его
правую часть.
2. Пусть Л,х = Яд = 1. В силу неравенств D.10), D.11)
соотношение D.14) запишем в виде
-§fz(x, l)dA D.18)
Вновь используя неравенство D.10), запишем неравенст-
неравенства D.18) в виде
У
<
у Ф^О^ФяСо)^. (^'iexP (-J М*. {)dx\ DЛ9)
Обозначим левую часть неравенства D.19) через Рх (t> /?0,
/0), а правую часть — через Р2 (t> Ры 'о)«
3. Пусть 0 < %i < 1 (t = 1,2). На основании нера-
неравенств D.10), D.11) соотношение D.13) перепишем так:
1 -К Г 1
180

j <4-20>
Последнее неравенство имеет место, если подкоренное вы-
выражение положительно и V (t, p0, tQ) ф 0. Применяя к
D.20) вновь неравенство D.10), имеем
'•/" 7
7 ФМ
D.21)
Обозначим через Qx (t, p0, t0) левую часть неравенства D.21),
а через Q2 (/, р0* t0) — его правую часть.
4. Пусть %2= 1, А,!> 1; тогда, применяя к соотноше-
соотношениям D.14) и D.15) последовательно неравенства D.10)
и D.11), получаем
#i (*, Ро, t0) < R (/, />0, g < ^2 С, Ро, 'о). D.22)
5. Пусть A,x = 1, Я,2>1. Применяя к соотношениям
D.14) и D.15) неравенства D.10) и D.11), имеем
Pi (t, Ро, t0) < /? (/, Ро, Q < л^2 (<f /70, g. D.23)
6. При А,!> 1, А,2< 1
N± (t, Ро, Q < R (t, Po, t0) < Q2 (t, Po, t0). D.24)
7. При Aa< 1, A,a> 1
Qi (^ Po, to) < /? (Л /70, *0) < ^2 (/, Po, t0). D.25)
8. При ^ = 1, A,2< 1
Pi (t, Po, t0) < R {t, Po, t0) < Q2 {U Po, t0). D.26)
9. При X2 = 1, 11< 1
Qi (t, Po, t0) < R (U pOi t0) < P2 (t, Po, to). D.27)
Замечание. Все полученные здесь неравенства име-
имеют место до тех пор, пока выполнены следующие условия:
1) определена функция V (/, рОУ t0); 2) для всех t > t0,
пока V (t, po, t0) Ф 0; 3) подкоренные выражения, встреча-
встречающиеся в оценках, неотрицательны.
187

В тех случаях, когда в неравенствах справа стоит Q2
или слева О1, движение Ffto (р0) может в конечное время
войти в инвариантное множество М. Обозначим через
Si (t, po, t0) функцию, стоящую в правой части неравенства
в /-м случае (/ = 1, ..., 9), т. е. Sx = N2, S2 = Р2> S3 = Q2
и т. д.
Теорема 78. Если по любому е > 0 можно указать число
б > 0 такое, что при некотором / имеет место неравенство
Sj (t, Роу t^ < е при t ^ t0 > 0, ир (р0, М) < 8, то инва-
инвариантное множество М устойчиво и любое движение F\Q (p0)
при достаточно малом р (р0, М), а именно таком, чтобы
р (р0, М) < б (в), где г <г, будет удовлетворять оценкам,
соответствующим /-му случаю, до тех пор пока
V (t> /?o, t0) Ф 0 и подкоренные выражения неотрицательны.
Величину г можно указать эффективно, используя неравен-
неравенство D.9).
Доказательство следует из приведенных выше рассужде-
рассуждений. Приведем теперь необходимые и достаточные условия
устойчивости и асимптотической устойчивости, при которых
выполнены оценки определенного типа. Предположим, что
существуют два однопараметрических семейства функцио-
функционалов Vt tf Wty обладающих свойствами 1—4 при lt = 1
(i = 1,2), kt = l(i= 1,2), Ф, @ = аьФ (О, Ъ = Ь& (t),
где a,-, bt — положительные постоянные, а Ф (t) и Ч? (t) —
непрерывные положительные функции, заданные при t >
> 0. Впрочем, функция W (t) может также принимать и ну-
нулевые значения. Вдоль любого движения Ft, (po) пока
F*U (Po) € 5 (Af, г) и V (t, р0, t0) фО, имеют место неравен-
неравенства при * > /0, /6 @, 1):
i-i Г t
(О1/ «1 (Ф Со) Л. (Л>))'-'-а2 f V (т) Ф (x)-'
D.28)
при /> 1
ух Ф (/)-' Ф (t0) Rh (Po)
/-1 / i
]/ 1 +Y2 (Ф (<о) /?/, (Po))''1 j T (т) Ф (т)-' dx
188

чЬУо) Rto
1/ 1 +б2 (Ф (f0) Rto(p0)I-1 f У (т) Ф (т)-' Л
при / = 1
ех Ф-1 Ф (/0) Д/§ (р0) exp I — е2 J Y (т) Ф (т)-1 dx <
\ *о /
<#(/, А>, W< D.30)
< а,Ф-1 Ф (/0) Я,, (р0) ехр [-а2 J V (т) Ф (т)-г л).
Предположим далее, что
J V (т) Ф (т)-' dv-+-\-oo при / ->+оо D.31)
для некоторого / > 0.
Теорема 79. Если условие D.31) выполнено для некото-
некоторого I, то, для того чтобы существовали два семейства функ-
функционалов Vt и Wt, обладающих следующими свойствами:
1) для любого элемента р £ М определены функции
Vt (р) и Wt (/?), заданные при t ^ 0;
2) семейство Vt удовлетворяет неравенствам
apWRt < Vt<a2Q>(t) Rt\
3) семейство Wf удовлетворяет неравенству
4) функция V (t, рОу /о) непрерывно дифференцируема
и имеет место равенство ^ Vt = №*, необходимо и доста-
достаточно, чтобы были выполнены неравенства D.30), если / =1,
или D.29), если /> 1, или D.28), если / 6 @,1), где а£,
Рь 7ь ^м еь сг4 (/ = 1, 2) — некоторые положительные по-
постоянные.
□ Необходимость. Пусть существуют два
семейства функционалов Vt и Wt, удовлетворяющие усло-
условиям 1—4 настоящей теоремы. Тогда, как было показано,
выполняется одно из неравенств D.28) — D.30) в зависимо-
зависимости от того, будет ли I > 1, I = 1, / < 1.
Достаточность. Пусть указанные неравенства
выполнены. Положим Wt = — XY (t)Rlt и
189

-foo
Vt.(Po)=- $ W(ttpOito)dT. D.32)
Положим l> 1. Подставляя в соотношение D.32) неравен-
неравенства D.29), получаем
at^ Vt0(Po) ^
f ^(т)Ф(т)-^т /-1
>о J
1= t т± * '
J 1 + »«(ФМ^(Ро))н|У(т)Ф(тГ^т W
Интегралы в обеих частях неравенства D.33), взятые по
промежутку [tOt +oo), можно вычислить с помощью замены
t
в = J W (t) Ф (t)~l dt. В результате имеем аг Ф (^0) Rt0 <
< У to ^ ^гФ (^о) Rto> гДе fli» a2 — положительные константы,
связанные определенным образом с величинами yt и 8t.
Покажем теперь, что -j-. Vt = ^. Действительно,
что следует из равенства D.32), откуда получаем -^ = Wt.
Таким образом, семейство функционалов Vu определенное
с помощью равенства D.32), удовлетворяет всем условиям
теоремы. Пусть теперь / = 1. Подставляя в D.32) неравен-
неравенства D.30), имеем
5М1
X
о
ехр [ — е21 j W (х) Ф (т)-1 d% | dt < V*e (p0)
X
ехр I — a, / J ¥ (т) Ф (t)-1 dx dt. D.34)
190

Вычисляя интегралы в неравенстве D.34), получаем ахх
ХФ (/0) Rto < Vt < а2Ф (/0) Rto, где аъ а2 — положитель-
положительные постоянные, определенным образом связанные с ег-,
ot (i = 1,2). Как и выше, легко показать, что и в этом слу-
случае dVtldt = Wt. Пусть теперь 0< /< 1. Подставляя в
D.33) неравенства D.28), имеем
(Ф Со) Л. (Ро)I'1 ~«2 J Т (X) Ф (
X V (t) dt < Vto (Po) < f Ф (/)-' X D.35)
Г.
X к (Ф (t0) Rt. ЫI-1- Р2 S V (т) Ф (т)-«
Величины ^ и t2 выбраны так, чтобы левая и правая части
неравенства D.28) обращались в нуль соответственно при
t=tl9 t = t2(t2 ^ tx). В этом случае интеграл в равенстве
D.32) берется лишь в конечных пределах, соответствующих
случаю R (t, /?о> ^о) Ф 0- Вычисляя интегралы в нера-
неравенстве D.35), получаем агФ (/0) Rto < Vu< а2Ф (t0) Rto,
где а2 и аг — положительные постоянные, известным обра-
образом связанные с аг-, р* (i = 1, 2).
Следствие 1. Обозначим через U (/, р0, t0) правую
часть одного из неравенств D.28) — D.30).
Если по любому е > 0 можно указать б > 0 такое, что
при р (/?0, М) < б имеет место неравенство U (t, p0, t0) <
< б при t ^ t0 ^ 0, то инвариантное множество М устой-
устойчиво. Если, кроме того, U (/, р0, /0) ->■ 0 при /->- + оо,
то инвариантное множество М асимптотически устойчиво.
Следствие 2. Если при / 6 @,1) множество М ус-
устойчиво, то любое движение входит в множество М в конеч-
конечное время и остается там.
Следствие 3. Если множество М устойчиво (см.
следствие 1), то при наличии двух семейств функционалов
Vt и Wu заданных в областях 5 (М, г), г > 0 и удовлетво-
удовлетворяющих условию теоремы 79 для любого движения F\o (p0),
начинающегося при достаточно малом р (р0, М), имеет место
одна из оценок D.28) —D.30) при любом t > t0 до тех пор,
пока V (/, Ро, /0)^0в случае I 6 @,1), t < tx. Сделаем те-
теперь ряд общих замечаний. *•i
Замечание1. Первая теорема Ляпунова о неустой-
неустойчивости позволяет сформулировать достаточные условия
191

неустойчивости инвариантного множества М в случае об-
общей системы.
Теорема 80. Если существуют два однопараметрических
семейства функционалов Vt и Wt, обладающих следующими
свойствами:
1). при любом р £ S (My г), г > 0, М — некоторое инва-
инвариантное множество общей системы или неполной общей
системы, определены функции Vt (р) и Wt (p) веществен-
вещественного переменного /;
2) для любого сг > 0 можно указать с2 > 0 такое, что
при р (/?, М) > сх справедливо неравенство Wt (p) > съ
/6Ю, +оо);
3) Vt (р) ->■ 0 при р (/?, М) -> 0 равномерно относитель-
относительно / > 0;
4) по любой величине б > 0 можно указать точку р0 6
6 /?i или в случае общей системы р0 6 R и такое значение
параметра *0 > 0, что Vto (р0) > 0, р0 6 5 (М, б);
5) функция У (/, ^0, /0) непрерывно дифференцируема,
и имеет место равенство:
,PtoU) при всех t^t0,
at
пока функция V (t, p0, t0) определена, то инвариантное мно-
множество М неустойчиво.
Доказательство этой теоремы можно получить непосред-
непосредственно, применив тот же метод, что и в работе [1].
Замечание 2. Теорема 72 остается в силе и в слу-
случае неполной общей системы. При этом доказательство до-
достаточности условий, сформулированных в теореме, сохра-
сохраняется дословно с дополнительным упоминанием о том, что
движение Ff0 (р0) определено при р0 6 Rv При доказатель-
доказательстве необходимости в случае неполной общей системы фор-
формула D.5) определяет искомое семейство функционалов не во
всей окрестности множества М. Однако определенный с по-
помощью D.5) функционал можно распространить на некото-
некоторую достаточно малую окрестность множества М, например,
следующим образом. На множестве точек р таких, что р (/?,
М) = г'у положим
Vu{p)= inf Vt.(pu)>
Р(Ро. М)=е'
где inf берется по тем точкам /?0, в которых Vto (p0) уже оп-
определено. Изменяя е' непрерывно до 0, таким образом опре-
определим семейство функционалов Vit заданное в некоторой
окрестности множества М.
192

Легко видеть, что построенное таким образом семейство
функционалов будет удовлетворять всем условиям теоре-
теоремы 72.
Замечание 3. Теоремы 73, 74 и 75 также сохраня-
сохраняют силу для случая неполных общих систем. При этом дока-
доказательства достаточности условий, сформулированных в
этих теоремах, остаются справедливыми. При доказатель-
доказательстве необходимости следует учитывать замечание 2.
Замечание 4. Теоремы 76 и 77, как и предыдущие,
переносятся на случай неполных общих систем. При этом
доказательство достаточности условий, как и выше, оста-
остается неизменным. Функционалы, построенные при доказа-
доказательстве необходимости в этих теоремах, в случае неполной
общей системы определены не во всей достаточно малой ок-
окрестности множества М. Однако их можно доопределить
таким образом, чтобы выполнялись все условия этих теорем.
Теоремы 78 и 79 основаны на знании поведения функцио-
функционалов лишь вдоль движений, поэтому они также сохраня-
сохраняют силу и в случае неполной общей системы. Аналогичные
результаты, связанные с оценками, получены также в [38].
§ 3. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К НЕСТАЦИОНАРНЫМ
СИСТЕМАМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
-^■J- = M*i.-...**■, О (s=l,...,n), D.36)
правые части которой заданы при / ^ 0 и X 6 Еп. Пусть
X = О — решение системы D.36) и функции /я (X, /) не-
непрерывны. Предположим, что любое решение X = X (t, Х@>,
^определено при t ^ t0 !> 0. Тогда, как было показано,
совокупность уравнений D.36) определяет в Еп общую сис-
систему. Пусть X = 0 — инвариантное множество этой систе-
системы, т. е. любая интегральная кривая X = X (t, Х@>, f0)
системы D.36), определенная условием Х<°> = 0, облада-
обладает свойством X (t, Х<°\ t0) = 0, при t^ t0.
Теорема 81. Для того чтобы инвариантное множество
было устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы существо-
существовала функция V (X, /), заданная при t ^ 0, |Х| < г, обла-
обладающая следующими свойствами:
1) V (X, /) определенно положительна;
2) V (X, 0-^0 ПРИ W -* 0 равномерно относительно
7 Зак. 49 193

3) функция V (X (/, Х@\ *о)> 0 не возрастает при t > /0,
где |Х(*,Х<°>, *0)| <г.
Если, кроме того, V -> О при *-> + о°, |Х<°>| < 6,
то множество X = О асимптотически устойчиво.
Доказательство следует из теоремы 72 и 73, так как она
"является их частным случаем.
Отметим, что достаточность теоремы 81 получена в[1],
а необходимость в [7].
Замечание. Если условия теоремы 81 выполнены,
то, для того чтобы X = 0 было равномерно асимптотически
устойчивым и равномерно притягивающим, необходимо и
достаточно, чтобы V (X (/, Х<°>, >0), t) ->- О при t—t0-+ + oo
равномерно относительно /0^0 и |Х<°>| <би чтобы для
любого h > 0 (h — достаточно мало) можно было указать
величины Т > 0 и а > 0 такие, что V (X (tt Х<°\ /0)> t)>a
при t0 < / < t0 + Т и |Х@>| > Л. Это утверждение следует
из теорем 74 и 75.
Отметим, что теорема 76 позволяет сформулировать не-
необходимые и достаточные условия того, чтобы точка X = О
была равномерно асимптотически устойчивой и равномерно
притягивающей. Рассмотрим теперь, как применяется ме-
метод, позволяющий оценивать величину \Х (/, Х<°>, £0)|. Рас-
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
dXs
-jJ = Ps(*v .»,xn,t)(s=l, ...,n) D.37)
Функции ps (X, t) определены при / ^ О, \Х\2 < Н и удов-
удовлетворяют там некоторым условиям, при которых система
D.37) имеет решение X = X (/, Х^0), t0) при любых конеч-
конечных (Х@\ /0)» принадлежащих области to^0, |X<°>|2<
< Я. Далее будем предполагать, что ps (X\ t) = 0 при
X = 0 и при всех £ > 0. Рассмотрим две непрерывные поло-
положительные функции ф (t) игр @. Предположим, что они зада-
заданы при t ^ 0 и таковы, что величина
х (/, /о, *2) = *+W ('о)ф-К*) exp j - J A2 ^F ф-1 dH -^ О,
ф+ оо
г.
при t -> + о° и ограничена при всех / ^ /0 ^ 0f где k и
&2 — некоторые положительные постоянные.
Теорема 82. Для того чтобы нулевое решение системы
D.37) было асимптотически устойчиво и любое решение, на-
194

чинающеесГя в достаточно малой окрестности полуоси
X = О, / ^ О, удовлетворяло неравенству Lxx (/, t0, k±) х
X |Х<°>|2 <|Х (t, Х<°>, /0)|2 < L2x (/, /0, 62)|Х<°>|2, необходи-
необходимо и достаточно, чтобы существовали две функции
обладающие следующими свойствами:
1) V и 1^ заданы и непрерывны при |Х|2 < 6lf t ^ 0,
где бх > 0 — достаточно малая величина;
2) ах|Х|2< 2 fl«*«*!<*!!X
где аь 6^ (/==1,2) — некоторые положительные постоян-
постоянные;
3) функция W непрерывна и W = dVldt.-
Доказательство этой теоремы может быть получено из
теоремы 79, в которой следует положить Rt (p) = |X|2*+at
при / = 1, где Rt — семейство функционалов, о котором
вдет речь в § 2 гл. 4. Приведем примеры.
1. Предположим, что для системы D.37) существуют
•функции V (X, t) и W (X, /), удовлетворяющие условиям
теоремы 82, при этом ф (t) = (t + 1)«, of (t) = (t + 1)^,
где а ^ 0, P ^0, (они могут быть и отрицательными).
Тогда
где у = р — а+ 1=т^ 0, а если у = 0, то
Таким образом, при у ф 0 любое решение системы D.37), на-
начинающееся в достаточно малой окрестности полуоси t^0t
X = 0, удовлетворяет неравенствам:
Lx (Х<°>J х (^, /0, ^)< X2 < L2 (Х(°)J х (*, /0, й2),
а при у = 0 — неравенствам Lx (Х<0^J хА (/, ^0, &3) < X2 <
< L2 (Х<°>J хх (t, t0, kz). Исследуем подробнее харак-
7* 195

тер асимптотической устойчивости в этом случае. Для этого
рассмотрим функции
Зададим достаточно малое Я>0 и рассмотрим урав-
уравнения
(tjf)«> = Я, D.38)
*-*-(-'У*)вЯ# D.з9)
а1/—
Из уравнения D.38) находим t— t0 = t0 A/ УН — 1),
откуда следует, что t — /0 -*• + °° при *0 ->+оо. Таким об-
образом, функция (to/t)a* ->■ 0 при а2 > 0 и /->+оо неравно-
неравномерно относительно /0. Из уравнения D.39) имеем
D-40)
при v 6 @, 1) ^— ^о-~Н-°°, ^0-^+°°, что следует непосред-
непосредственно из формулы D:40). При у > 1 имеет место t — 00
t0 -> + оо; при v = 1 получаем £ — t0 = — (In Я)
()(
Таким образом, функция е •■ 0 неравномер-
но при у 6 @, 1). Из приведенного выше следует, что при
у < 1 нулевое решение системы D.37) не является равно-
равномерно асимптотически устойчивым, а при у > 1 оно не будет
равномерно притягивающим. Только при у = 1 нулевое
решение равномерно асимптотически устойчиво и равномер-
равномерно притягивающее. Таким образом, устойчивость такого
свойства является в некотором смысле исключительной.
Рассмотрим систему уравнений
22(x»')^ E=1,...,п), D.41)
где Р > — 1. Величины psi в системе D.41) постоянны и ве-
вещественны, а функции psi (Xt t) таковы, что pU (X, t) t~* ->
-Я) при £->+оо и Х-*-0. Будем предполагать также, что
функции p'si (X, t), t ^ 0, X2 < Я, обладают некоторыми
свойствами, обеспечивающими существование решения X ==
= X (t, Х<°>, /0) системы D.41) при любых Х@>, t0 из указан-
указанной области. Пусть собственные числа матрицы P—\\psi\\
имеют отрицательные действительные части. Найдем реше-
решение уравнения
19$

= ~ £ x? D.42)
в виде квадратичной формы
п
v = у.
Можно указать величины Т > О и бх >> 0 такие, что при
/^Ти \Х\2 < бх имеет место неравенство
В этом случае ^ = 0 и а = 0, следовательно, любое решение,
начинающееся из достаточно малой окрестности полуоси
X = 0, t ^ 0, удовлетворяет неравенствам
Lx (Х<°)J ехр [--i- (/»+1 _/J+1)
Как следует из изложенного, нулевое решение системы
D.41) неравномерно асимптотически устойчиво при р б
£(— 1, 0), а при р>0 не является равномерно притягива-
притягивающим, только при р = 0 оно и равномерно асимптотически
устойчиво, и равномерно притягивающее. Положим
D43)
где &, /, с — некоторые положительные постоянные, причем
l^k. Предположим, что х2 ->■ 0 при /->+оо и ограничено
при /^^о^Оис^О. Предположим также, что величина
t
0= |ф*+|гф"(' + 1)(ОЛ/ D.44)
обладает свойством в->+оо при /->4-°°«
Теорема 83. Для того чтобы нулевое решение системы
D.37) было асимптотически устойчивым по Ляпунову и для
любого решения, начинающегося в достаточно малой окрест-
ности полуоси X = 0, £ ^ 0, было выполнено неравенство
(U t0, M2c)<\X(t, Х<°\ g|2<
197

<N1\XM\*x%(t* to, N*), D.45)
гдес-[(|Х<о)|J V<p(to)\
необходимо и достаточно, чтобы существовали две функции
V (X, t) и W (X, t)> обладающие следующими свойствами:
1) функции V (X, t)wW (Xy t) заданы и непрерывны в об-
области (>0и |Х|2 <бх<Я;
2) V-(|XfL@ 2 au(X,t)xtxj9
где ац (X, t) и bfj (X, t) таковы, что существуют положитель-
положительные константы aiy bt (i = 1, 2) такие, что аг\Х\2 <
<2а,у х^ху < а2|Х|2 и 6JXI2 < 2&^х,х; < Ь2\Х\2;
3) полная производная функции V (X, t), вычисленная
в силу системы D.37), удовлетворяет уравнению dVldt = W.
Доказательство этой теоремы может быть получено из
теоремы 79, если положить Rt (р) = |Х|2^+2, где Rt — се-
семейство функционалов, о котором идет речь в § 2 гл. 4.
Рассмотрим положительно определенную функцию
Vx (X), заданную в некоторой окрестности точки X = 0.
Построим строго монотонно убывающие до нуля (с убыва-
убыванием |Х|) положительные функции Yx (|X|2), F2(|X|2) такие,
что Yx < Vi (X) < У2. Если система D.37) имеет решение
X (/, Х<°), t0) такое, что |Х|2-^0 при /->+оо, то и
Ух (X (f, X<°>, t0)) -+ 0 при t-> + oo. Тогда, зная ско-
скорость убывания функции Vt вдоль рассматриваемого реше-
решения, можно дать оценку убывания |Х (/,Х@>, /0I2- Дейст-
Действительно, вдоль этого решения имеем неравенство Yx (|X|2)^
< К, (X (t, X<°), Q) < Y2 (\X\% откуда Y;1 (Уг (X (t,Xi°>,
Q)) < |Х У,Х^,@)\* < ГГ1 (VAX (t, *<•>, t0)))- Положим
D.46)
где / > 1, с ^ 0. Предположим, что х3 обладает свойст-
свойствами:
1) х3 -> 0 при t-* + оо;
198

2) х3 ограничена при t^ t0 > 0 и с ^ 0. Положим
f
t
00
Теорема 84. Для того чтобы нулевое решение системы
D.37) было асимптотически устойчивым и любое решение,
начинающееся в области |Х<°>|2 <; 6, t0 > 0, где б > 0—
достаточно малое число, удовлетворяло неравенству
МхМХ^Хз^, t0, M2c(l), /)<У2(Х(/, Х<°>, д)<
< N.V, (Х<°>)х3 (*, /0, #2с (/), /),
где с (l) = [cp(MV\{X^)]l-\ необходимо и достаточно,
чтобы существовали две функции V (X, t) и W (X, t)
удовлетворяющие следующим условиям:
1)* функции V (X, /) и W (X, t) заданы и непрерывны в
достаточно малой окрестности полуоси t ^ 0, X = 0;
2) ад @ V\ (X) < V (X, 0 < а2 Ф (t) V, (X), D.48)
Ц7 = —tpU^i, где Wx удовлетворяет неравенствам
hV^ < Wx < &2Vi*. D.49)
Величины fl|, bj положительны; dV/Л = W.
Доказательство следует из теоремы 79, если положить
Rt (Р) = V, (X).
Теорема 85. Если существуют две функции V (X, /),
W (X, t)y обладающие следующими свойствами:
1) функции V (X, t) и W (X, /) заданы и непрерывны в
области t ^ 0, |Х|2 < б, б > 0 — достаточно малое;
2) V (X, *) и W (X, /) удовлетворяют неравенствам
^ (X, 0 [ф @1-1 < a2Vx (X),
@ < - W (X, 0 < b%V[* (X) г|) @, D.50)
где 1 < 1г < /2;
3) dV/d^ = Wy то нулевое решение системы D.37) асим-
асимптотически устойчиво и любое решение, начинающееся в до-
достаточно малой окрестности полуоси X = 0, t^ 0, удовлет-
удовлетворяет неравенствам
Vx (X<°>) Af^e (t, t0, M2c (I,), lx) < Vx (X (/, X<°>, t0)) <
< ^^ (X(°))x3 (/, tOt N2c (/2), /2), D.51)
где с (I) = [Ф (t0) Vx (X W)]'-1.
Доказательство этой теоремы следует из теоремы 78, если
положить Rt (р) = Vx (X).
Замечание. При 1г = 1, /2 > 1 утверждение тео-
теоремы остается в силе, если неравенства D.51) заменить сле-
следующими:
199

Mi УЛХ^) ф (t0) [Ф (ОН ехр (-
< Vx (X (t, Х<«, t0)) < #i Vx (X«>>) x8 (в,,
При /i = /2 = 1 теорема остается справедливой, если нера-
неравенства D.51) заменить следующими:
2. При исследовании общего случая, когда имеется один
нулевой корень, А. М. Ляпунов [1] для системы
—— = Л (х, Xi,..., хп)у
А П
-^=y,PalXt + Xa(x,Xl,...9Xn)(s=l,...9n)9
dt f*A
где функции X, Xs являются голоморфными, а их разложе-
разложения по целым положительным степеням величин х, хъ ...,
..., хп не содержат членов, линейных относительно этих ве-
величин: X (х9 0,..., 0) = gxm + ..., Xs (x9 0, ..., 0) = gsxf"* +
+ ..., где ms ^ m, построил функции V (X) и W (X) в виде
+ Wx (xlf..., xn) + S(xl9..., xn, x),
гДе W± (^i,..., xn) — определенно отрицательная квадра-
квадратичная форма. Пусть g< 0, m = 2\к + 1, где [х — целое
положительное. При этих условиях нулевое решение рас-
рассматриваемой системы асимптотически устойчиво. При до-
достаточно малых |*11,..., \хп\ функции V и W удовлетворяют
неравенствам

Полагая, /х = 1, /2 = [i -f 1, получаем, что любое решение,
начинающееся в достаточно малой окрестности точки xL =
...— л:д — х —- 0, удовлетворяет неравенствам
_^ / " $Л 2 (о) (о)
п I п \
,x?,...,40)X^iU@J + I] jc/0)S I x
—и
X
■ / "i
Чтобы судить о точности этой оценки, рассмотрим систе-
му ——=—x2v+\ —— = 2/7s«x«- В результате непо-
средственного интегрирования получаем
[п 1
2 ^'0J a
[
2 ^'0J ai6~Pl/» что соответствует данной выше
J
оценке.
3. Рассмотрим систему
, п
dxs . \л „ /л
Возьмем определенно положительную квадратичную форму
п
V — V с- • х- х-
Предположим, что функция
удовлетворяет следующим неравенствам:
( ( У
тогда любое решение рассматриваемой системы будет удов-
удовлетворять оценке D.51). В случае 1г = /2 = 1, который был
рассмотрен в [18], имеем оценку D.52).
8 Зак. 4 9 201

Глава 5
РЕШЕНИЕ ВОПРОСА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ
ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ
§ 1. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в ча-
частных производных:
г:
dt \
(i, s= 1, ..., п) (j = 1,..., £)
и предположим, что ее правые части заданы и непрерывны
в некоторой области G изменения всех своих аргументов,
содержащейся в TV-мерном эвклидовом пространстве. Рас-
Рассмотрим функциональное пространство Ф, элементами ко-
которого являются векторные функции ср = (фь ..., ф„),
где ср* (х19 ..., xk) — некоторые функции^ заданные в Eh.
Функциональное пространство Ф будем считать метричес-
метрическим, или линейным нормированным. Предположим, что для
^любого элемента ф 6 Ф можно построить решение U =
= U (ф, /) системы E.1), где U = (ии ..., ип) такое, что
U (ф, t) определено при всех t£ (— оо, +°°)» и У (ф, /) 6 Ф
при ^ 6 (— оо, +оо), (/ (ф, 0) = ф. Крометого, U (ср, /) не-
непрерывно по обоим своим аргументам. Пусть, далее, при
Ф = 0У(ф,/)^0. Таким образом, система E.1) имеет ну-
нулевое решение. Поставим вопрос об устойчивости этого ре-
решения. Если сделанные выше предположения относительно
системы E.1) выполнены, то в функциональном пространст-
пространстве Ф определена динамическая система U (ф, /), и точка ср =0
является замкнутым инвариантным множеством этой систе-
системы. Напомним основные определения, относящиеся к этому
случаю.
Определение 1. Решение U = 0 системы E.1)
называется устойчивым, если по любому е > 0 можно ука-
указать 6 > 0 такое, что при р (q>, 0) < б имеет место неравен-
неравенство р (U (ф, 0» 0) < е при t ^ 0. Если, кроме того,
р (U (ф, t), 0) -> 0 при *-> + оо, то решение (/ = 0. назы-
называется асимптотически устойчивым. Здесь и в дальнейшем
р (ф, 0)— метрическое расстояние между элементами ф и 0.
Определение 2. Множество всех точек <р £ Ф,
обладающих свойством р (£/(ф, /), 0) -> 0 при *"-> + оо,
202

будем обозначать через А. Если решение U = 0 асимпто-
асимптотически устойчиво, то множество А называется областью
асимптотической устойчивости нулевого решения системы
E.1), ОМ-
Определение 3. Асимптотически устойчивое ре-
решение 0 = 0 системы E.1) называется равномерно асимпто-
асимптотически устойчивым, если р ((/(ф, /), 0) -> О при £-> + оо
равномерно по ф, р, (ф, 0) < 8Х.
Определение 4. Точка U = 0 в случае асимпто-
асимптотической устойчивости называется равномерно притягива-
притягивающей, если по любому достаточно малому h > 0 можно ука-
указать величины Т > 0 и а > 0 такие, что р (U (ф, t)f 0) ^а,
когда / 6 [0, Я, а р (ф, 0) > А.
|||Теорема 86. Для того чтобы открытое инвариантное мно-
множество Л, содержащее достаточно малую окрестность точки
Ф = 0, было областью асимптотической устойчивости рав-
равномерно асимптотически устойчивого и равномерно притя-
притягивающего нулевого решения системы E.1), необходимо и до-
достаточно, чтобы существовали два функционала V (ф) и
W (ф), обладающие следующими свойствами:
1) функционал V (ф) задан и непрерывен в Л, функцио-
функционал W (ф) задан и непрерывен в Ф;
2) — К V (ф)< 0 при ф 6 Л; W (ф) > 0, ф 6 Ф и
р (ф, 0) > 0;
3) по любой величине у2 > 0 можно указать величины
уг и о^ такие, что V (ф) < —yi при р (ф, 0) > у2; № (<р) >
> аг при р (ф, 0) ^72;
4) W (ф)-> 0 и У (ф) -^ 0 при р (ф, 0) -> 0;
5) если ф есть точка границы области Л, р (ф, 0) Ф 0,
то
Ф € А, р (ф, ф)->0
6) полная производная функционала V (ф), вычисленная
на движении (/ (ф, /), удовлетворяет соотношению
или, короче,
Доказательство этой теоремы следует из теоремы 19,
так как система E.1) определяет динамическую систему, име-
имеющую ф = 0 своим инвариантным множеством.
8* 203

Замечание. Множество элементов ср £ф, удовлет-
удовлетворяющих соотношению V (ф) = X, X 6 (— 1, 0), образует
сечение А в том смысле, что любое решение О (ф, /), ф £ А
имеет с этим множеством общую точку и притом только одну.
Заметим, что любая теорема, доказанная в гл. 1 и относящая-
относящаяся к динамической системе / (р, t) в R, может быть перефор-
переформулирована для рассматриваемого здесь случая.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в ча-
частных производных:
dus -f (( х v и и ) dl(i \ E 2)
dt ls 1""'' h' 1' "'" nh dXj ' ""/ ;
(s,, i= 1, ..., п\ /=- 1, ..., k),
правые части которой заданы и непрерывны при t ^ 0 в не-
некоторой области G изменения своих аргументов xl9...,xk\
U\, ..., unj ~- , ... iV-мерного эвклидового пространства.
Предположим, что для любого элемента ф 6 Ф и /0 ^ 0
можно построить решение системы E.2) U = U (ср, /, /0),
обладающее свойствами:
1) для любого ф 6-Ф U (ф, t, to) определено для всех
t>t0 и U (ф, U Q 6 Ф для всех / > t0 > 0;
2) (/ (ф, /, t0) = ф при / = /0.
Взятому элементу ф^ Фи величине t0 ^ 0 может, во-
вообще говоря, отвечать не одно решение, обладающее ука-
указанными выше свойствами. Однако будем рассматривать
только те решения системы E.2), которые обладают указан-
указанными свойствами. Если любое решение системы E.2) опре-
определено при t ^ /о> то совокупность уравнений E.2) опреде-
определяет в пространстве Ф общую систему.
Предположим, что система E.2) имеет нулевое решение
U = 0, являющееся инвариантным множеством этой общей
системы, т. е. из ф = 0 следует
U (ф, *, t0) - 0 при t^ t0. E.3)
Напомним основные определения, относящиеся к этом слу-
случаю.
Определение 5. Инвариантное множество U =
= 0 называется устойчивым, если по любому г > 0 можно
указать б > 0 такое, что при р (ф, 0) < б будет р (U (ф, /,
^о)> 0) < е, 0 ^ t0 ^ /. Если, кроме того, р (U (ф, /, t0) 0)->
->- 0 при /-> +оо, то решение U = 0 называют асимпто-
асимптотически устойчивым.
Теорема 87. Для того чтобы решение U = 0 системы
E.2), обладающее свойством E.3), было устойчивым, необ-
204

ходимо и достаточно, чтобы существовало такое однопара-
метрическое семейство функционалов, что:
1) на любом элементе ф 6 5 @, г) определена функция
Vt (ф) вещественного аргумента t, заданная при t ^ О,
где S (О, г) — совокупность функций ф таких, что 0 <
<Р (ф, 0)<л;
2) для любого достаточно малого сг > О можно указать
величину с2 > О такую, что Vt (ф) > с2 при р (ф, 0) > сх
и всех / ^ 0;
3) Vt (ф) -> 0 равномерно относительно / ^ 0 при
р(Ф, 0)-*0;
4) функция Vt (U (ф, /, /0)) не возрастает при всех / ^
^ /0, для которых она определена;
5) если, кроме того, функция Vt (V (ф, /, t^-^O п\>и
I ->• +оо при всех t0 > 0 и р (ф, 0) < Slf где 8г > 0 до-
достаточно мало, то решение U = 0 системы E.2), удовлетво-
удовлетворяющее условию E.3), будет асимптотически устойчивым
и, обратно, если решение О = 0 асимптотически устойчиво,
то имеет место пункт 5.
Доказательство теоремы 87 следует из теорем 72 и 73.
Определение 6. Асимптотически устойчивое ну-
нулевое решение системы E.2) называется равномерно асимп-
асимптотически устойчивым, если р (U (ф, /, /0)> 0)-> 0 при / —
—(о-* + °° равномерно относительно t0 ^ 0 при р (ф, 0) <
< б2» гДе б2 > 0 достаточно мало.
Определение 7. Асимптотически устойчивое ну-
нулевое решение системы E.2) называется равномерно притя-
притягивающим, если по любой достаточно малой величине h >0
можно указать величины Т > 0 и а > 0 такие, что
Р (U (Ф, U to)9 0) > а при 0 < t0 < / < t0 + Т и р (ф, 0) >
>Л (для всех t0 >0).
Теорема 88. Пусть решение задачи Коши для системы
E.2) в пространстве Ф единственно.
Для того чтобы нулевое решение системы E.2), обладаю-
обладающее свойством E.3), было равномерно асимптотически устой-
устойчивым и равномерно притягивающим, необходимо и доста-
достаточно, чтобы существовали такие два семейства функциона-
функционалов Vt и №ьчто:
1) при любом ф 6 5 @, г) (г > 0 достаточно мало) опре-
определены величины Vt (ф) и Wt (ф), являющиеся функциями
вещественного аргумента / ^ 0;
2) по любой достаточно малой величине сх > 0 можно
указать положительные величины с2 и cs такие, что Vt (ф)>
> —с2, Wt (ф) > ся при р (ф, 0) > сг и f > 0;
205

3) Vt (ф) -> 0, Wt (ф) -> 0 при р (ф, 0) -> 0 равномерно
относительно t ^ 0;
4) Ik v * (*/ (Ф, г, «) = wt (и (Ф, *, g).
Доказательство теоремы следует из теоремы 76.
Приведем теорему о неустойчивости нулевого решения
системы E.2).
Теорема 89. Пусть система E.2) удовлетворяет услови-
условиям единственности решения задачи Коши в пространстве Ф.
Для того чтобы нулевое решение системы E.2) было не-
неустойчивым, необходимо и достаточно, чтобы существовали
два семейства функционалов Vt и Wu обладающие следую-
следующими свойствами:
1) на любом элементе ф 6 5 @fr), г> 0 определены
функции Vt (ф) и Wt (ф) при / ^ 0;
2) функция Vt (ф) ограничена при / 6 Ю, +оо), и ф 6
€ S @, г); .
3) для любого б > 0 можно указать точку ф0 и значение
параметра t0 такие, что У/о (<р0) > 0, р (ф0, М) < 6;
4) jt vt (и (ф, t, to))=wt (и (ф, f, g)+ r, (t/ (Ф,^, g,
W< (ф) > 0 Д = const > 0.
Доказательство следует из теоремы 77.
Замечание. Достаточность условий в теоремах 88
и 89 устанавливается без использования условий единствен-
единственности решения задачи Коши для системы E.2) в пространст-
пространстве Ф. Необходимость условий также можно доказать, не ис-
используя эти условия, незначительно усложняя те рассужде-
рассуждения, которые были проведены при доказательстве теорем
76 и 77. Поэтому требование единственности в теоремах
88 и 89 является несущественным и может быть снято.
Отметим, что общая теория, развитая в гл. 4, позволяет
ставить вопрос об устойчивости решений систем уравнений
с частными производными в случае не только задачи Коши,
но и различных смешанных задач для систем уравнений
высшего порядка. В последующих параграфах будет приве-
приведен ряд конкретных примеров решения вопроса об устойчи-
устойчивости для систем уравнений с частными производными.
§ 2. УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ
СИСТЕМ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в ча-
частных производных:
206

^ &i-|~- E-1,...,/г), <5.4)
где f9(uu ...» un) — непрерывные ограниченные функции,
заданные в Еп\ bt (i — 1,..., k) — вещественные постоян-
постоянные.
Рассмотрим линейное нормированное пространство Ф,
элементами которого являются векторные функции ф =*
= (фх,..., фп). Составляющие вектора Ф — непрерывно диф-
дифференцируемые функции переменных хъ...,хку заданные
в Ek и ограниченные там вместе со своими производными.
Пусть
/
Предположим, что система E.4) имеет решение V — О,
U = («1,..., ^п)« Поставим вопрос об устойчивости этого ре-
решения.
Теорема 90. Если функции ft непрерывно дифференциру-
дифференцируемы в Епу то для любого элемента ф б Ф существует семей-
семейство функций U ftp у /), обладающих следующими свойства-
свойствами:
1) семейство U (ф, t) задано при t 6 (—©о, +оо) и (/ (ф,
f) 6 Ф при любом /;
2) (/ (ф, /) непрерывно по обоим своим аргументам, т. е.
U . (ф1, t^—'V (ф2, /2) -> 0 при (tx — t2) -> 0, (t2) <
+оо и ||q>i —Ф8||-*О;
3) (/(ф, 0=ф при / = 0;
4) функция U (ф, 0 удовлетворяет системе E.4).
D Рассмотрим систему диф^ренциальных уравнений
-^- = /.(«1,...«»). E.5)
Правые части этой системы заданы в £"п, ограничены и не-
непрерывно дифференцируемы по всем своим аргументам.
Поэтому существует единственная векторная функция от
двух аргументов (/, £/<°>), обладающая следующими свойст-
свойствами:
1) функция U (/, t/l°>) задана при 1Д°> б Еп и t б (— с»,
+oo)f и (*, 1/<°>) б £п;
2) функция О (ty f/<°>) непрерывна по обоим аргументам,
т. е. \U(tv U\o))- U(tz, U{20))\-+0 при ft—*а|-*0 и
207

s=l
и непрерывно дифференцируема по параметру t и компонен-
компонентам вектора £/@>;
3) U (/, £/@>) удовлетворяет системе E.5) и (/ (/, £/<е>) =
- t/(°) при / = 0.
Отметим, что свойства 2 и 3 следуют из теорем существо-
существования и единственности для обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений. Первое свойство означает, что любая инте-
интегральная кривая системы E.5) определена при всех t 6 (— °°,
+оо); этот факт следует из того, что функции fs ограничены,
что является достаточным условием продолжимости любого
решения системы E.5). Рассмотрим векторную функцию
U = U (t, ф (*!-+ bxt, ..., xh + bkt)). Эта функция при
Ф £Ф непрерывно дифференцируема по переменным хъ...
..., xkt t. Покажем, что при любом конечном значении пара-
параметра t эта функция ограничена вместе с производными пер-
первого порядка по переменным хъ...,хк. Действительно,
возьмем s-компоненту- этой функции us = us (t, фх, ...
...,ФП(^ + tbt))(s = 1,..., n), (t, =1, ..., k). Дифференцируя
по переменной xj, получаем
dus у dus дщ
us __ у
.=1
Значения векторной функции ф (х3 + tbt) попадают в огра-
ограниченную область G пространства Еп. Поэтому при закреп-
закрепленном t каждой совокупности величин *lf..., xk можно со-
сопоставить вектор (/@> 6 G так, что U (/, (/@>) = U (/,
ф (Xi + /&i))» откуда в силу продолжимости решения систе-
системы E.5) на все значения / 6 (— °°» + °°) в силу ограни-
ограниченности области G и ограниченности функций d^t/dxj сле-
следует это утверждение. Таким образом U (/, ф (xt + tbt)) g
б Ф при-всех t 6 (— °°» +°°). Отметим, что {/ (/, ф) = ф
при t = 0 в силу свойства 3, которому удовлетворяет функ-
функция U (t, i/@>). Покажем теперь, что U (t, у (xt + tbt))
непрерывна по обоим своим аргументам. Из свойства 2 для
функции U (t, (/@>) получаем: | U (/х, фА (^ + /^О) ~^
— t/ (/2. Фг (^ + izbi)) I ->■ 0 при |/2—*il ->0и |фг (^ +
+ hbt) — ф2 (xt + t2bi) I -> 0, откуда имеем
h bt)—ф2 (xt +
208

+1Ф1 (x, + /a 64) — ф2 (xf + ^a 64) К || Ф1—Ф2|| -I-
+ ]/ t [VsiiXi + ^bd-VsAXi + ttbi)]2-
Применяя теорему Лагранжа о конечных приращениях, по*
лучаем \ух (хг + 1гЬг) — щ (xt + t2bt) | < М \ t2 — tx\ +
+ Цф1 — Ф2|» где М — величина, определяемая максиму-
максимумом 'модуля величин д<р$1/дх;. Отсюда следует, что при
1*2—М-* 0 и ||фх ||0
\\U (tl9 ф1 (xt + /А-)) - U (/2> ф2 (*, + /2
Покажем теперь, что функция U (/, ф (хи + tbt)) яв-
является решением системы E.4). Действительно,
dus ___ / dus \ , у dus
где f —j — производная, вычисленная в предположении,
что ф = const, a It = xt + tbt. Из этого соотношения име-
ди8 _ д /
Тем самым теорема доказана.
Замечание 1. Требование ограниченности функ-
функций /s («1,..., ип) использовано только для того, чтобы реше-
решения системы E.5) были продолжимы на все значения t 6
£(—оо, +оо). Поэтому требование ограниченности можно
заменить требованием продолжимости решений системы
E.5).
Замечание 2. Теорема 90 показывает, что система
E.4) в пространстве Ф определяет динамическую систему.
Решим теперь вопрос об устойчивости нулевого решения
системы E.4). Предположим, что нулевое решение системы
E.5) асимптотически устойчиво. Тогда, как следует из тео-
теоремы 22, существуют две функции V (wlf..., un) и W {иъ...
..., ип)у обладающие следующими свойствами:
1) функция V задана в области А асимптотической устой-
устойчивости нулевого решения системы E.5)_и удовлетворяет
там неравенствам — 1 < V <С 0.
Функция W задана в Еп и такова, что'по любому а > 0
можно указать р > 0 такое, что при |£/| > а будет W >
>Р, 1/@,..., 0)= U7 @ 0) = 0;
209

2) полная производная функции V, вычисленная в силу
системы E.5), удовлетворяет соотношению dV/dt = W A +
+ V);
3) V->—1 при \U—U\'->Qt U £A, IJ£ А/А, \и\фО.
Как следует из теорем 19 и 22, условие, что IF задано в
Еп, не является необходимым. Достаточно, чтобы W была
задана в А. Множество точек области А, обладающих свой-
свойством 1 + V (ul9 ..., ип) = Я, обозначим через 5я, А, 6 @,1).
Множество точек S^, образует замкнутую поверхность, огра-
ограничивающую область Ga,, содержащую достаточно малую ок-
окрестность точки иг = ... = яЛ = 0. Перейдем к построению
области асимптотической устойчивости нулевого движения
Ф =5= 0 динамической системы, определяемой совокупно-
совокупностью уравнений E.4). Функцию ф £ Ф отнесем в класс фя,
если все значения функции ф попадают в область G*,. При
этом имеется по крайней мере одна точка (£1э ..., Ik) такая,
что £/@> == ф (|lf ..., £Л) 6 SX. Таким образом,, установле-
установлено соответствие между функциями класса фь и точками зам-
замкнутой поверхности 5^, т. е. каждому £/<°> 6 Sx отвечает
функция ф0 6 фх такая, чтоф0 (^,..., gb) == (/@), и, наоборот,
любой функции ф0 6 фь отвечает по крайней мере одна точ-
точка (/@> 6 S%. Благодаря этому соответствию с помощью
функции V (иъ ..., ип) можно определить функционал
1/1(ф)=У(а^0),..., и{п0)), где ф 6ф^, UW 6 5^—точка, соответст-
соответствующая функции ф. Положим % (t) = К (t/ (^, t/@))) + 1
и покажем, что из ф 6 Фа, следует, что U (t, ф (xt+ ^г)Nф^@-
Действительно, при любом фиксированном значении t
положим #| = li — tbt. Тогда U (t, ц>) = (/ (^, (/@>), от-
откуда имеем, что функция (/ (^, ф (xt + i6^)) принимает зна-
значения, лежащие на поверхности S^t). Нетрудно показать,
что остальные значения этой функции лежат в области G&, (^.
Таким образом U (/, ф(лг* + tb^j) 6 Фь {t)> если Ф € Фа,- Бла-
Благодаря этому функционал, определенный на функциях
класса фь может быть вычислен вдоль всего движения
U (*• Ф (xt + tbt)) с помощью формулы V (U (U
= Vi (U (t9 ф (xt + tbt))). Отсюда
* В классе ф^ отнесем также те функции, замыкание множеств
значений которых строго содержится в G^.
210

Положим W (t/<°>) = Wx (ф). * Тогда имеем dVJdt =
^Wx(l + Vx). Обозначим через Лф теоретико-множествен-
теоретико-множественную сумму фя, т. е. Лф = 2 Фь-
0<Х<1
Теорема 91. Для того чтобы нулевое движение ф = О
динамической системы, определяемой совокупностью урав-
уравнений E.4), было асимптотически устойчивым, необходимо
и достаточно, чтобы было асимптотически устойчиво нуле-
нулевое решение системы E.5). При этом область асимптотичес-
асимптотической устойчивости Лф движения ф = 0 системы U=U(t>
Ф (xt + tbt)) состоит из тех функций ф, замыкания множе-
множества значений которых попадают в Л-область асимптотиче-
асимптотической устойчивости нулевого решения системы E.5). И наобо-
наоборот, область Л состоит из тех и только тех точек UOi кото-
которые являются значениями функций ф 6 Лф.
□ Необходимость. Пусть нулевое движение аси-
асимптотически устойчиво. Заметим, что Е„ cz Ф*, поэтому
U (/, i/<°>) ->- 0 при t-* + оо для всех достаточно малых
| £/<°>|. Здесь ф (*1,..., xh) = U°. Отсюда следует, что нулевое
решение системы E.5) асимптотически устойчиво. Обозна-
Обозначим через Л область асимптотической устойчивости нулевого
решения системы E.5), и пусть ф 6 Лф. Положим, что су-
существует точка 1Ъ ..., lk такая, что ф AЪ ..., %k) = /7@>
и i/<°> ^ Л. Тогда для xt = g| — #>| будем иметь /7 (/,
t/<°>) = (/(/, ф (Х| + /&0) т4 0 при t-+-+oo. Следовательно,
Ф ^ Лф. Обратное очевидно.
Достаточность. Пусть нулевое решение систе-
системы E.5) асимптотически устойчиво. Тогда, как было показа-
показано, существует множество Лф =: 2 Фь которое обладает
0Я1
следующими свойствами:
1) Лф есть открытое множество;
2) если ф 6 Лф, то U (t, ф (xt + tbt)) 6 Лф при t g (—oof
+сю) и, кроме того, в множестве Лф.определены два функ-
функционала Ух (ф) и tt^i (ф) такие, что выполняются условия:
а) — 1 < VL (ф) < 0 при ф 6 Лф. Для любого а > О
можно указать Р>0 такое, что при [[ф||>а будет||№l|
;
б) dVjdt =Wt(l + Vx).
Отсюда на основании теоремы 87 можно установить, что
множество, Лф является областью асимптотической устой-
устойчивости нулевого движения^) = 0.
*Вектор (фх, ..., фп) ё5£п> если cpt = const при X £ £&.
211

Рассмотрим систему уравнений о частными производ-
производными:
^ J E.6)
dt .=i dxt
где DЙ) — однородные функции порядка ц ^ 1 перемен-
переменных мь..., wn (|л = /?/^, ^ — нечетное, р Ф 2k). Как следует
из теорем § 3 гл. 2, необходимым и достаточным условием то-
того, чтобы нулевое решение системы
dus
было асимптотически устойчивым, является существование
двух положительно однородных функций V (uly..., ил) по-
порядка m— \х + 1 и №(#!,..., ип) порядка т, где W<. О
при /7 ^= 0, а К > 0 при U ф 0, и dV/dt - Г. Обозначим
через 2 & поверхность К = X, через 4я^—совокупность функ-
функций ф таких, что все значения функций ф попадают в обла-
область С?я,, ограниченную поверхностью 2& так, что существует
по крайней мере одно значение функции ф (£ь..., 1п) =
= /7<°> такое, что 1/<°> 6 2Я. Положим Уг (ф) = А, при
ф 6 ^я,, Vi (ф) == V ((/@>). Тогда, как и выию, имеем
К ({/ {U £/«)) - 1/! (t/ (/, ф (^ +Й,))) (f = 1 *), откуда
at
Функционалы Vx и Wx удовлетворяют следующим неравен-
неравенствам:
<h IIФ ||w-^+1 < Vi (Ф) <fl>l| Ф Г
-6i II t/(^ Ф) llw< ^(f/ (^ Ф)) < -К II t/ (Л Ф) IK E.8)
Применяя теорему 20, при \i > 1 получаем неравенства
при ^> 0, где с,-, df — положительные константы, связан-
связанные известным образом с положительными константами
ah bt (i = 1,2). Если ^i = 1, то оценка имеет экспоненци-
экспоненциальный вид
212

§ 3. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ НУЛЕВОГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
В настоящем параграфе теория, развитая в гл. 4, применя-
применяется к исследованию систем линейных уравнений с частот-
частотными производными. Рассмотрим систему линейных диффе-
дифференциальных уравнений с частными производными
1г i^f
/=1 (а.) ах\ •• -axkh
k
Суммирование ведется по всем 2 aj от 0 до тх. Предположим,
что коэффициенты alf1'"" ah) (/) являются вещественными
функциями переменного /, заданными при t ^ 0 и непрерыв-
непрерывными там. Эту систему уравнений можно записать в более
компактной форме следующим образом. Положим V =
= (иъ ..., ип) nsj =—.•> так что sj0) — 1. Тогда имеем
где Aai ak — квадратные матрицы элементов а*?1 afe).
Рассмотрим линейную систему векторных функций ф =
= (Фь •••» Фп) где ф^ fa,..., л:^) — функция, заданная в
Ek а имеющая там все обобщенные производные до порядка
т2 включительно и суммируемые с квадратом по Eh. Эту
линейную систему векторных функций будем обозначать в
дальнейшем через W^K В этой линейной системе можно
ввести норму так, что линейная система WBmz) станет линей-
линейным нормированным функциональным пространством [3].
Рассмотрим также линейную систему векторных функций
^ = (Фъ ...,i|>/i), где tyt (xi9...9 xk) задана в Eky непрерывно
дифференцируема там по всем своим аргументам до порядка
т3 включительно и отлична от нуля только внутри некото-
некоторой конечной области G$. Эту линейную систему будем обо-
обозначать через Сщ3. При т3 ^ т2 имеем Стз сг W<2m*). В про-
пространстве W^ определим семейство функционалов вида
У*(Ф)= f 2 ffc. ...P^Q, E.10)
213

где V$t pft— квадратичная форма величин sf\..sj||fe^ *=
-« уи так что
У,, Pft=y*Cpi „Y. E.11)
где Ср, pft — симметричная квадратная матрица, эле-
элементами которой являются непрерывно дифференцируемые
функции аргумента t, заданные при t^O. Найдем решение
системы E.9) U = U (яр, /, /0) такое, что U (Ф, ty t0) = t|> при
Вычислим на этом решении рассматриваемое семейство
функционалов, а затем найдем от полученной функции пере-
переменного / производную по t. Тогда имеем
h
k k
2 ai>0 S Pj =
/i /i
^^ EЛ2)
где Wp, pft — квадратичная форма выражений s?1,...
..., 4fc"« = У* так чт0 ^ 0ft = у*^Р« Pft7' где
Z?^ pft — квадратная симметричная матрица, выражаю-
выражающаяся равенством
А>, Pft =^*Ср. h +СР| р^Ч-АСр,....^. E.13)
k
ЗдесьЛ=Ла1,..., а^при 2 а/=0. функции W$-—ak' ^ h
представляют собой билинейные формы величин
= ^ и s?1... sJ*«4 = Z|f т. е.
l 3,2, E.14)
где Ва1 afti Pl 3fe - Ла1>. .>afeCPl н. Функции
^Pi^.-.p^. а!,....аЛ— билинейные формы тех же величин, т. е.
h
Из формул E.14) и EJ5) следует равенство Wk\!....ah> Pi Pft-
- ^Й!....р^1 c?n...,aft. Таким образом, имеем dVt/dt ==■
214

где Wt — семейство функционалов, оп-
определяемое равенством
Семейство функционалов Wt1^ определяется равенством
^1)=1 2 2 sK.sfi^Cfc h X
хЛЙ1 ttfts?l+Pl...s^+pftydQ. E.17)
В семейство функционалов \^{1) входят производные от
функций U't до порядка (N + тх) включительно. Предполо-
Предположим, что функции ut и все их производные до порядка (N +
+ тг) включительно при любом конечном t ^ t0 таковы,
что имеет место формула интегрирования по частям:
k
?1...sJ*m,s?'+Pi...s^+|1* UjdQ = (— 1)/=' ^Х
X Js?l + Pl... sj|*+p*ttjs?1... sJfc^dQ. E.18)
Применяя формулы E.18) к семейству функционалов
E.17), получаем
2 2 (— l)^1"' s?1+pl... aSfft+p* X
ft k
/1 /1
-ah x
215

Из равенств E.19) и E.17) имеем
) t t )V mx N
dt • .
Eh k k
I 2 *...x
X ...s;*t/*Gei «fti Pl....jPftSr'+p'...s^+^[/dQ, E.20)
где Ga,,.. ,aft.э eh~
к
2 «;
= (-')/=I ^,..,aftCpl,...,Pft-+Cpi ^ ^)/2<
E.21)
Если матрицы Ср4 ^ выбрать так, что
Ga, ak. Эп ...^ = 0, (A)
то производная семейства функционалов Vt> вычисленная
на решении U (яр, /, /0) системы E.9), имеет вид
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных
уравнений
~—^. E.23)
Пусть X (/, ^о) — матрица фундаментальной системы реше-
решений системы уравнений E.23) такая, что X (t, t0) = E
при t = /0. Легко установить, что векторная функция U =
= X (/, t0) i/<°), L^°> 6 £п удовлетворяет системе E.9).
Поэтому для асимптотической устойчивости нулевого реше-
решения системы E.9) в терминах какой-либо нормы необходимо,
чтобы нулевое решение системы E.23) было также асимпто-
асимптотически устойчиво (это же утверждение относится к случаю
устойчивости и неустойчивости). Предположим, что нулевое
решение системы E.23) асимптотически устойчиво, при этом
существуют две положительные функции цх (t) и % (/),
заданные при />0 и непрерывные там, такие, что имеет
место неравенство
Ф1 @
216

< <7i I ^@) I <Pi (t)~! Ф1 (/o)«xp (-qtj Ф1 (t) ф1 (т)-1 dx),
E.24)
где U = U (t, t0, £/<°>) — решение системы E.23). Тогда,
как было показано в теореме 82,. существуют две квадратич-
квадратичные формы
где С/; (/) и dtj (t) — непрерывно дифференцируемые функ-
функции аргумента /, заданные при t ^ 0, и такие, что имеют
место неравенства
а1ф1 (О |Х |2 < У^ам (/) |Х |2, E.25)
- *i*i (О IA-12 < W, < - Ь2ф1 (О |Х |2, E.26)
i^b E-27)
где dVjdt — полная производная квадратичной формы Vlf
вычисленная в силу системы E.23). Из выражения E.27)
имеем
х*\а*с+са+ i£-lx=A
L dt J
откуда
А*С + СА + -^- - D. E.28)
dt
Из сказанного выше следует: при любой квадратной сим-
симметричной матрице Z)= \\dij{t)\\ такой, что выполнены не-
неравенства E.26), уравнение E.28) имеет решение С= \\си\\9
причем выполнены неравенства E.25), в которых щ > О,
Ьг > 0—константы. Будем далее матрицы Ср, ^вы-
^выбирать так, чтобы они удовлетворяли уравнению E.28),
где D = D$lt.,. pfe— матрица, удовлетворяющая неравен-
неравенствам E.26). Матрицы Ср,,..., р^ будем выбирать таким об-
образом, чтобы по возможности удовлетворить соотношениям
(А). Положим далее
/-=1 Л.
2 Pi-о
z1
217

где R — функционал, о,котором идет речь в теоремах 78 и
79. Из равенства E.22) имеем
Ф1 @ сх R (U (if, /, g) <V(U (if, t% Q) ^ ф1 (t)c2x
ХЛ (!/(♦, f, /0)), E.29)
- di*i @ /? (t/ №, /, /o)) < W (U (if, U /о)) <
<-rfa*iW /?(t/(*. Л W), E.30)
откуда получаем
Л Я № <Pi (О <Pi Co) exp ( -р2 J ^ (т) ф1 (т)-1
^ Я\ R M Ф1 С) Ф1 Co) exP ( — 4i f ^i (т) Ф1 (t)~ l d% I
E.31)
при t^t0 (см. теоремы 78 и 79), где си diy piy qt (i= 1,2) —
некоторые положительные константы, связанные между "со-
"собой известным образом. Можно положить [31] ||t/||^^) =
= VR (U)y где U — любая функция из Wim*\ m2 ^ Л^.
Из этого следует, что неравенства E.31) показывают нали-
наличие асимптотической устойчивости нулевого решения систе-
системы E.9) по норме W{2N). При этом дается оценка скорости
убывания нормы любого решения. Как следует из теоремы
вложения Соболева, при k < 2N из неравенства E.31) мож-
можно получить оценку скорости убывания
II U (if, /, /0) ||с при / > /0, II U Цс - max \U |.
При исследовании было сделано два важных предположения:
одно о существовании решения системы E.9) U (if, /, t0) при
if 6 CWa, другое о выполнении формулы интегрирования по
частям E.18). Отметим, что оба эти требования выполняются
при известных предположениях относительно коэффициен-
коэффициентов системы E.9) [32], а именно при достаточно большом зна-
значении величины /п3 можно гарантировать существование ре-
решения U (if, t, t0), имеющего все производные до порядка
(N + tn^j включительно. При этом выполнена формула E.18)
Из полученных выше результатов следует утверждение.
Теорема 92. Если нулевое решение системы E.23) асимп-
асимптотически устойчиво и при этом выполнены неравенства
E.24), то при выполнении условий (А) нулевое решение си-
218

стемы E.9) асимптотически устойчиво в смысле нормы в
WBN\ при этом выполняются неравенства E.31). Далее, ве-
величину тг можно выбрать столь большой, что будет иметь
место вместе с E.31) неравенство
Iи(♦,и t0)Ik<лИ1Ц*> Ф1 (О-1 Ф1 Со)
X ехр / —q2 j я|>х (т) cpfl (т) dt J
/ —q2 j
при f ^ /0, где гр 6 Стз. При этом предполагается, что вы-
выполнены условия существования решений, сформулирован-
ныев [32]. Следует отметить, что устойчивость решения для
линейных уравнений с частными производными являлась
также предметом исследований в [33]. Покажем теперь, что
условия (А) можно заменить более общими, так что теорема
92 останется всиле. Рассмотримте матрицыС^,.,^^..,^
для которых 2aj + $t = 2уь где yt — целые числа.
Обозначим через fVl>(#,jVft диагональную матрицу, состо-
состоящую из диагональных элементов матрицы Gai aft> plt,..,pft>
для которой 2a/ + P* — 27^. Положим
k
S P//2
Если матрицы Z>vtJ...,vfc удовлетворяют условию E.28) и
Ов,,...^,^ эл=0 при 2а! + р,=£2у| по крайней
мере при одном значении i = 1, ..., Л, Gai afttPl Pft =
= ^vt vft ПРИ 2a* + Рг = 2Y* (f = J» •••> *)» то условия
теоремы 92 остаются в силе. При этом, как следует из [32],
при выполнении этих условий существует решение системы
E.9) U — U (% U /0), ip 6 Ст,, удовлетворяющее услови -
ям E.18).
Общие системы являются также абстрактной моделью
смешанной задачи для систем уравнений с частными произ-
производными. Поэтому теория устойчивости инвариантных мно-
множеств, развития в гл. 4, может быть применена к исследова-
исследованию вопроса об устойчивости решений смешанной задачи.
Покажем это на ряде простых примеров. Рассмотрим урав-
уравнение
219

+ 2 аг-^+а(Х^)и, E.32)
i=i дх*
где функции ац и а заданы при X £ D, t 6 [0, + оо), at —
вещественные постоянные и для всех значений аргументов
X 6 D выполнено условие
П
2 au (X, t) h lj > a (t) 2 Vt , E.33)
где a (t) — положительная непрерывная функция, заданная
при t ^ 0. Предположим, что уравнение E.32) имеет реше-
решение U (X, f), обладающее свойствами U (X, /) = ф (X)
при /=/0>0, (/ (X, /)=0 при X 6 S, где S—граница обла-
области QcD и ф (X) — элемент некоторого пространства
<Dq. При этом будем считать, что U (X, t) 6 £2 (й) при ^ ^ f0
и —~^—- существует в смысле! 2 (Q). Возьмем функционал
V= \ Wdu. Этот функционал определен в L2 (Й). Вычислим
полную производную этого функционала в силу уравнения
E.32):
dV
dt
интегрируя по частям, получаем
*У - о
dt
на основании неравенства E.33) имеем
Если функция а (X, *) неположительна, то dV/dt < 0 и
нулевое решение уравнения E.32) устойчиво. Используя
известное неравенство
220

получаем
— < —2а (/) [b (X, t) U2 dQ,
a
где b (X, /) = cj — a-1 (/) a (X, /)• При b (X, 0 > c2 > 0
нулевое решение систем E.32) асимптотически устойчиво и
удовлетворяет оценке вида
II t/111, (О < IIФ 111, (в) ехр (-2с2 Ja (т) dt] ,
где Га (т) dx-> + оо при /->-f оо.
Вернемся к системе уравнений. В [35] показано, что сме-
смешанная задача в области Q X [0 < t < + оо ) для сильно
параболической системы
dt \ дх
разрешима, если U и все ее производные по всевозможным
комбинациям х до (т — 1)-го порядка включительно на гра-
границе области Q обращаются в нуль при любом t 6 [0, + оо)
и U (X, 0Ь=о = ф №» ф (X) — векторная функция такая,
что Ф (X) 6 L2 (X).
В [36] показано, что нулевое решение этой системы асимп-
асимптотически устойчиво в L2 (£2). При этом за основу взят функ-
функционал
- f
4
и использовано условие (U, LU) ^ a ((/, U)\ a = const>0,
где (£/, I/)=f
t/ ;
Отметим еще, что известное продвижение в вопросе об устой-
устойчивости решений смешанной задачи для уравнений с част-
частными производными было дано Д.М. Волковым [37]. Его
результаты, как и примеры, приведенные выше, можно по-
получить также с точки зрения общей теории, изложенной в
гл. 4.
В заключение отметим, что развитая в гл. 4 теория имеет
большое ориентирующее значение, однако не может служить
универсальным средством для решения всевозможных за-
задач такого рода.

ДОПОЛНЕНИЕ 1
Решение проблемы интегрирования уравнений
движения тяжелого твердого тела
Рассмотрим тяжелое твердое тело, движущееся вокруг
неподвижной точки 0. Пусть правая декартова система ко-
координат Oxyz неизменно связана с этим телом. Условимся
считать, что ее оси направлены по главным осям интегра-
интеграции тела, так что оси. Ох соответствует момент инер-
инерции Л, оси Оу — момент инерции В, оси Ог — момент инер-
инерции С. Пусть центр инерции тела находится в точке (?, име-
имеющей координаты xGi yG, zg- Через rG будем далее обозна-
обозначать радиус-вектор этой точки относительно точки О.
Введем в рассмотрение также правую декартову систему
координат Olr\Z> и будем считать ее неподвижной. Пусть ось
0£ этой системы координат совпадает с направлением, об-
обратным направлению поля силы тяжести, которое считается
постоянным в каждой точке пространства. При этих пред-
предположениях уравнения вращательного движения тела мож-
можно записать в виде
Ар + (С — B)qr = mg (yGz — zGy),
Bq + (A — C) pr = mg (zGx — xqz),
Cr + (B — A) pq = mg (xGy — yox), A)
x = ry— qz, y = — rx + pz, z = qx — py.
В системе A) величины р, qy г представляют собой проек-
проекции мгновенной угловой скорости со тела на оси Ох, Оу, Oz.
Величины *, у, z — проекции орта оси ОС на те же оси, т —
— масса тела, g — ускорение свободного падения. При сде-
сделанных предположениях g <. 0.
При изучении движения твердого тела возникают следую-
следующие задачи:
1) найти аналитическое представление решений системы
A) при t 6 (— оо, + оо);
2) изучить аналитическую природу функций, представ-
представляющих решение системы A);
3) дать качественное исследование поведения решений
системы A).
222

Исследование решений системы A) тесно связано с изуче-
изучением движения твердого тела, так как, зная решения этой
системы, можно однозначно определить положение тела в про-
пространстве и его мгновенную угловую скорость с помощью
квадратур, вычисляемых от функций, которые описывают
упомянутое решение. Положение тела в пространстве одно-
однозначно определяется в случае, когда задано его начальное
положение.
Рассмотрим историю развития теории движения тяжелого
твердого тела. Система A) имеет во всех случаях три первых
интеграла, а именно:
*2 + */2 + z2= 1,
Ар" + Bq* + Cr* - 2mg (xGx + yQy + zGz) = Clf
Apx + Bqy + Crz = C2. . B)
В случае Эйлера, когда xq = уо = ?g = 0, любое
решение системы A) можно представить либо элементарны-
элементарными, либо эллиптическими функциями, так как его можно вы-
выразить с помощью функции г, удовлетворяющей уравнению.
r + kr+ lr3 = 0. C)
В случае Лагранжа, когда А = В и xg = Ув = 0, реше-
решение A) также выражается либо через элементарные, либо
через эллиптические функции, так как оно может быть вы-
выражено через функцию г, которая удовлетворяет уравнению
z + a0z2 + axz + a2 = 0. D)
Функции г и z лвляются решениями уравнений второго
порядка вида
w = ph И, E)
где pk (w) — полином степени k относительно w. Все функ-
функции, удовлетворяющие такому уравнению при k < 3 и не
сводящиеся к элементарным, называются эллиптически-
эллиптическими. При k>3 такие функции называются гиперэллип-
гиперэллиптическими, если они не сводятся к элементарным. Таким об-
образом, уравнения C) и D) в общем случае могут быть проин-
проинтегрированы только в эллиптических функциях.
В случае Эйлера и в случае Лагранжа решения системы
A), рассматриваемые как функции комплексного перемен-
переменного t, на всей комплексной плоскости являются однознач-
однозначными эллиптическими. С. В. Ковалевская дала утверди-
утвердительный ответ на вопрос о том, существуют ли другие слу-
случаи, когда все решения системы A) являются однозначными
223

эллиптическими на всей плоскости комплексного перемен-
переменного /. Это имеет место в случае А = В = 2С и уо = zG = 0.
При решении поставленной задачи основное затруднение
возникло при выяснении аналитической природы функций,
описывающих решения, и при аналитическом представлении
этих решений. Было показано, что любое решение системы
A) выражается в общем случае через гиперэллиптические
функции.
Рассмотренное направление развития теории, движения
тяжелого твердого тела можно считать завершенным. Однако
поставленные выше задачи решены только в указанных трех
случаях. Изложим другой подход к решению упомянутых
задач. Для задач механики характерно изучение движения
при вещественном значении независимой переменной t 6
£ (—оо, -f-oo), поэтому далее будем изучать решение системы
A) в вещественной области и использовать плоскость комп-
комплексного переменного там, где это необходимо.
Теорема 1. Любое вещественное решение системы A)
существует при / 6 (— °°> +°°)> и функции, представляю-
представляющие это решение, являются голоморфными в полосе шири-
шириной 2/i (A'> 0) на плоскости комплексного переменного,
симметричной относительно вещественной оси t 6 (—°°,
)
)
П Пусть задано некоторое вещественное решение систе-
системы A)
x=x(t)9 y = y(t), z = z(t), F)
отвечающее начальным условиям
Р @) = Ро, Я @) = q0, г @) - го,
х @) =-- xOj у @) = у0, z @) = z0. G)
Теорема будет доказана, если установить, что при любом
т 6 (— оо, +°°) функции F) являются голоморфными в
круге \t—т|<А. Покажем это. Первые интегралы B)
принимают на заданном движении F) определенное значе-
значение, тогда из интегралов х2 + y2+z2 = 1, Ар2 + Bq2 +
+ О2 - 2 mg (xGx + yQy + zGz) - Apt + Bql + O§ -
— 2mg (xqx0 + yoyo + zqz0) можно установить, что функ-
функции F) равномерно ограничены при 16 (— оо, +°о).
Отсюда вытекает, что существует h > 0, возможно
зависящее от величин G), такое, что функции F) будут раз-
разлагаться в степенные ряды по степеням величины t — т,
сходящиеся при \t — т| < h для любого т £ (— оо, + оо).
224

Теорема 2. Любое вещественное решение системы A)
может быть представлено в виде рядов
+ 2r^"' (8)
k= l
fe=i k=\
где г|) - (^ — 1) (eu + l)-1, Я - я/BА), А > 0 — неко-
торая постоянная. Ряды (8) сходятся при / 6 (— °°> + ооL
Рассмотрим способ построений рядов (8). Для этого в
системе A) сделаем замену независимой переменной t по
у
формуле ( = -% In уз^ » откуда dl — j- jz~^ • После такой
замены систем A) примет вид
А1 A -г}J) 4^ + 2 (С-В) qr= 2mg (yGz-zGy),
BX A — г|;2)-^ +2 (Л—С) pr=2mg {zax—xqz),
CX A-г|52) 4L + 2 (В —Л) pq = 2mg (xay-ya x), (9)
alb
Подставляя ряды (8) в систему (9) и приравнивая затем
коэффициенты при одинаковых степенях -ф, найдем уравне-
уравнения для определения коэффициентов рядов (8). Приравни-
Приравнивая свободные члены, получаем
AKPl = — 2 (С — В) q0r0 + 2mg (yGz0 — zGy0),
BX4l = — 2 (A ~ С) poro + 2mg (zGx0 —- xGzQ)y A0)
СКгг = — 2 (В — A) poqo + 2mg (xGyQ — yGx0),
225

\хг = 2(roy0 — qozo)y Цг = 2(— гол;0 + /Vo)> (Ю)
Я*! - 2 (qoxo — poyo).
Приравнивая в (9) члены, содержащие первую степень tj>,
найдем
АХр2 = — (С — В) {qQrx + qtr0) + mg{yG21 —
BXq2 = — (A—Qipo^ + pxr0) + mg (zG*i —
Ckr2 = — (B — A) (poqL + ptfo) + /ng (хоУг — Уахх), A0а)
^2 = (гоуг + ггу0 — qozt— ft*,,),
^2 = (— г0Х! — ггх0 + poz1 + ргг0),
И, наконец, приравнивая члены приф*, находим
=Ah(k-l)Pk-i-2 (С-5) 2 ?i
—1)^-1-2(Л—Q 2 ft
— xGzk),
+ 2mg(xGyk—yGXh), A1)
Л(Л—l)^-i+ ^ (riyj-<lizj)>
(^ = 2,3,..i).
Формулы A0), A0a) и A1) позволяют последовательно стро-
строить ряды (8).
Теорема 3. Матрица ориентации связанной системы Oxyz
по отношению к абсолютной системе О£т]£ определяется
единственным образом, если известно ее начальное значение
и решение системы A), а именно первые три функции F).
226

При этом матрица ориентации представляется в виде ряда
00
А = Ао + 2 Aktykt сходящегося при t 6 (—■ °о, +оо).
П Напомним, что i-й столбец матрицы A (i) состоит из
компонент 1-го орта системы 0£г]£, разложенного в системе
Oxyz. Пусть е3 — вектор с компонентами (О, О, 1). Тогда
(*> У, z)T = Ае3. Первую группу уравнений A) можно при
этом переписать в виде
6@ + ш X в о = mq (г0 X Ле3), A2)
где в— тензор инерции, представляющий собой диагональ-
/Л о о\
ную матрицу (О В О I э сэ — вектор мгновенной угловой
\ О 0 Су /
скорости тела. Далее, любой орт системы 01ц£> вращается
по отношению к системе Oxyz с угловой скоростью — о. .
Поэтому
А = - о X А. A3)
Будем искать решение системы уравнений A2), A3) в виде
рядов
Сделаем в уравнениях A2) и A3) замену независимой пе-
переменной по формуле dt = dyp ЦЦ1 --"ф2)]. Тогда получаем
систему
Ml — 'Ф2)© ~ + 2о х 6(D=2mg(rGx Ле3),
аф
ЯA—я|J)—^~2о х Л. A5)
Подставляя ряды A4) в систему A5) и приравнивая коэф-
коэффициенты при одинаковых степенях г|), находим
%АХ = — 2(о0 X Л о, Ы2 = — (юо*Х Лх + % X Л 0),
Я (Л+ 1) ЛА+1 = А. (А—1) ЛЛ-1 —
-2'2%Л,.(^ = 2,3,...). A6)
/,/=о
Формулы A6) дают возможность определить единствен-
единственным образом матрицу ориентации, если известны Ло и век-
векторы щ = (pti qu гг)т. Матрица Ло дается начальной ориен-
ориентацией, а векторы <о; единственным образом определяются из
уравнений A0), A0а) и A1). Решения уравнений A2), A3)
представляются функциями, голоморфными в полосе шири-
шириной 2ft, симметричной относительно вещественной оси t 6
227

£ (— oo, -f°°), так как система A2) — A3) имеет интегралы
(о, в со) — 2 (г0, Ле3) = Съ ААТ = £, где Лт — мат-
матрица, транспонированная по отношению к Л, а Е — еди-
единичная матрица. Из этого вытекает, что вещественные реше-
решения системы A2), A3) ограничены, но тогда их можно пред-
представить функциями, голоморфными в упомянутой полосе.
Установлено, что такие решения представляются сходящими-
сходящимися рядами указанного в теоремах 2 и 3 вида.
ДОПОЛНЕНИЕ 2
Расчетные движения и расчетная устойчивость *
В свое время проф. В. В. Немыцкий выдвинул задачу
изучения свойств устойчивости решений систем дифферен-
дифференциальных уравнений в окрестности некоторых движений,
не являющихся, вообще говоря, решениями рассматривае-
рассматриваемых систем. Пусть дана система
x=F(x, 0, *£Еп, A)
где функция F (х, /) определена и непрерывна по совокуп-
совокупности аргументов при ||*|| < /?, / ^ 0 и удовлетворяет ло-
локальному условию Липшица по х при j|#|| < /?, где R > О
— число или символ + оо, ||-|| — эвклидова норма в Еп.
Возникает задача изучения поведения решений системы
A) в окрестности точки х = 0 без предположения о выпол-
выполнении равенства F (О, /) = 0 при всех t ^ 0. В этом слу-
случае х = 0 может не являться решением системы A), такое
движение для рассматриваемой системы будем называть рас-
расчетным.
Определение. Движение х = О для системы A)
называется расчетно устойчивым, если для произвольного
е > 0 существуют такие б (е) > О, Т (г) ^ 0, что для лю-
любых *0, /0, ||Хо||< 6 (е), to^T(e) получим \\х (U t0,
хо)\\ <е при всех t^ /0. Если, кроме того, \\х (t, /o»^o) 11*^0
при /-> + оо, то движение х = 0, для системы A) называ-
называется асимптотически расчетно устойчивым. Движение х== О
для системы A) называется расчетно неустойчивым, если
существует е > 0 и для любых 6> 0, 7^0 можно ука-
указать такие х0, t0, \\хо\\ < в, /0^ 7\ что при некотором tx >
> /0 ПОЛУЧИМ | \Х (/ь tQ, Хо) 11 > 8.
При анализе свойств устойчивости расчетного движения
х = 0 системы A) оказывается применимым второй метод
А. М. Ляпунова.
""Настоящее Дополнение написано С. В. Зубовым.

ЛИТЕРАТУРА
1. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения.
М., 1950.
2. Люстерник Л. Л. и Соболев В. И. Элементы функциональ-
функционального анализа. М.—Л., 1965.
3. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального ана-
анализа в математической физике. Л., 1950.
4. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений. Минск, 1974.
5. Немыцкий В. В. и Степанов В. В. Качественная теория
дифференциальных уравнений. М.—Л., 1949.
6. Еругин Н. П. О некоторых вопросах устойчивости движения
и качественной теории дифференциальных уравнений в целом. ПММ,
т. XIV, вып. 5, 1950.
7. Joshizawa. On the stability of solutions of the differential
equation. Mem. Col. Sci. Kyoto Univ., № 1, 1955.
8. Красовский Н. Н. Об обращении теорем А. М. Ляпунова и
Н. Г. Четаева о неустойчивости для стационарных систем диффе-
дифференциальных уравнений. ПММ, т. XVIII, вып. 5, 1954.
9. Зубов В. И. К теории второго метода А. М. Ляпунова. ДАН,
т. 100, №5, 1955.
10. Еругин Н. П. Некоторые общие вопросы теории устойчи-
устойчивости движения. ПММ, т. XV, вып. 2, 1951, с. 227—236.
11. Барбашин Е. А. и Красовский Н. Н. О существовании функ-
функций Ляпунова в случае асимптотической устойчивости в целом»
ПММ, т. XVIII, вып. 3, 1954.
12. Еругин Н. П. Об одной задаче теории устойчивости систем
автоматического регулирования. ПММ, т. XVI., вып. 5, 1952.
13. Барбашин Е. А. Метод сечений в теории динамических
систем. Минск, 1979.
14. Еругин Н. П. Построение всего множества систем диффе-
дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую.
ПММ, т. XVI, вып. 6, 1952.
15. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интеграль-
интегрального исчисления. Т. 1. М.—Л., 1947.
16. Курцвейль Я- Устойчивость решений дифференциальных
уравнений. Лекция. Прага, 1956.
17. Еругин Н. П. О продолжении решений дифференциальных
уравнений. ПММ, т. XV, вып. 1, 1951.
18. Зубов В. И. Некоторые достаточные признаки устойчиво-
устойчивости нелинейной системы дифференциальных уравнений. ПММ,
т. XVII, вып. 4, 1953.
19. Красовский Н. Н. Об устойчивости по первому прибли-
приближению. ПММ, т. XIX, вып. 5, 1955.
20. Briotet Bouquet. Recherches sur les proprietes des fonctions
definies par des equations differentielles. I. Ecole Polytech. vol. 21,
1856.
229

21. H. Poincare. Sur les proprietes des fonctions^definies par les
equations differentielles. I. Ecole Polytech., Cahier.5, 1878.
22. E. Picard. Traite d* Analyse, t. 3, 1896.
23. I. Horn. Gewohnliche Differentialgleichungen beliebiger
Ordnung. Leipzig, 1934.
24. Еругин Н. П. Аналитическая теория нелинейных'обыкно-
нелинейных'обыкновенных дифференциальных уравнений. ПММ, т. XVI, вып. 4, 1952.
25. Шестаков А. А. Некоторые теоремы о неустойчивости в
смысле Ляпунова. ДАН СССР, т. 79, № 1, 1951.
28. Зубов В. И. Вопросы теории второго метода Ляпунова по-
построения общего решения в области асимптотической устойчивости.
ПММ, т. XIX, вып. 2, 1955.
27. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М., 1966.
28. Еругин Н. П. Рецензия на книгу Малкина «Теория устой-
устойчивости движения». Вестн. ЛГУ, 1953, № 5.
29. Дыхман Е. И. О принципе сведения. Изв. АН Казахской
ССР, 1950, № 7, сер. мат. мех., вып. 4.
30. Малкин И. Г. К вопросу об обращении теоремы А. М. Ля-
Ляпунова об асимптотической устойчивости. ПММ., т. XVIII, вып. 2,
1954.
31. Михлин С. Г. Проблема минимума квадратичного функци-
функционала. М. —Л., 1952.
32. Петровский И. Г. О проблеме Cauchy для систем линейных
уравнений с частными производными в области неаналитических
функций. Бюлл. МГУ, сер. А., т. 1, вып. 7, 1938.
33. Гусарова Р. С. Автореф. канд. дисс. МГУ, 1952.
34. Рисе Ф. и Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному
анализу. М., 1979.
35. Лянце В. Э. Об одной задаче для параболических систем
дифференциальных уравнений с правой частью. Матем. сб., 35, 2,
1954.
36. Вишик М. Я., Ладыженская О. А. Краевые задачи для урав-
уравнений в частных производных и некоторых классов операторных
уравнений. УМН, т. XI, вып. 6, 1956.
37. Волков Д. М. Труды III Всесоюзного математического съез-
съезда, т. Ill, M., 1956.
38. Красовский Н. Я. Обращение теорем 2-го метода Ляпунова
и вопросы устойчивости движения по первому приближению. ПММ,
т. XX, вып. 2, 1956.
39. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными
уравнениями. М., 1947.
40. Персидский К* П. К устойчивости движения. Матем. сб.
т. XI, II вып. 1, 1935, с, 37—42.
41. Персидский К» П. К теории устойчивости решений диффе-
дифференциальных уравнений. Успехи матем, наук, т.' I, вып. 5—6 (но-
(новая, серия), 1946,

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . , ...... 3
Введение ..... 6
Глава 1. Устойчивость инвариантных множеств динами-
динамической системы в метрическом пространстве . . 17
§ 1| Метрическое пространство. Основные определения 17
§ 2. Операторы и функционалы ..•••• 18
§ 3. Окрестность множества 19
§ 4. Компактность , 19
§ 5. Линейные нормированные пространства 20
§ 6. Динамическая система в я-мерном эвклидовом
пространстве 21
§ 7. Примеры динамических систем в функциональных
пространствах 24
§ 8. Динамическая система в метрическом пространстве 26
§ 9. Постановка задачи об устойчивости инвариантных
множеств. Основные определения 28
§ 10. Равномерно асимптотически устойчивые и равно-
равномерно притягивающие инвариантные множест-
множества динамической системы . 32
§ 11. Качественная характеристика, с точки зрения ус-
устойчивости по • Ляпунову, окрестности инва-
инвариантного множества 35
§ 12. Необходимые и достаточные условия устойчивости 43
§ 13. Необходимые и достаточные условия неустойчи-
неустойчивости 49
§ 14. Необходимые и достаточные условия существова-
существования равномерно асимптотически устойчивых
и равномерно притягивающих инвариантных
множеств .*♦♦*.. 52
§ 15. Метод оценки . * * * 59
Глава 2. Исследование задачи об устойчивости движения
для систем обыкновенных дифференциальных
уравнений , 64
§ 1. Стационарные системы дифференциальных урав-
уравнений 64
§2 Случай аналитических правых частей системы B.1) 81
§ 3. Системы дифференциальных уравнений с однород-
однородными правыми частями. . ♦ 95
§4. Случай k нулевых корней 115
§ 5. Случай нескольких пар чисто мнимых корней. . . 127
§ 6. Система нестационарных дифференциальных урав-
уравнений ..,.....,•, 134
23

Глава 3. Исследование окрестности нулевого решения
системы дифференциальных уравнений с помо-
помощью метода Ляпунова 146
§ 1. Вспомогательные теоремы из теории уравнений с
частными производными 146
§ 2. Представление решений систем обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений в окрестности осо-
особой точки 152
§ 3. Аналитическое представление О-кривых системы
дифференциальных уравнений специального
вида • 157
Глава 4. Исследование вопроса об устойчивости инвари-
инвариантных множеств общих систем 171
§ 1. Общие системы. Основные определения 171
§ 2. Условия устойчивости и неустойчивости инвари-
инвариантного множества М общей системы в. мет-
метрическом пространстве 176
§ 3. Некоторые приложения к нестационарным системам
обыкновенных дифференциальных уравнений 193
Глава 5. Решение вопроса об устойчивости для системы
уравнений в частных производных ...... 202
§ 1. Некоторые общие предложения . . . 202
§ 2. Устойчивость решений квазилинейных систем
специального вида 206
§ 3. Об устойчивости нулевого решения систем линей-
линейных уравнений с частными производными. . 213
Дополнение 1. Решение проблемы интегрирования уравне-
уравнений движения тяжелого твердого тела. . . 222
Дополнение 2. Расчетные движения и расчетная устойчи-
устойчивость 228
Литература 229
Владимир Иванович Зубов
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
(методы Ляпунова и их применение)
Зав. редакцией литературы по физике и математике Е. С. Гридасова. Редак-
Редактор Ж. И. Яковлева. Мл. редакторы С. А. Доровских. Н. П. Майкова. Худо-
Художественный редактор В. И. Пономаренко. Художник В. Н. Хомяков. Техниче-
Технический редактор Р. С. Родичева. Корректор В. В. Кожуткина
ИБ 4685
Изд. № ФМ-785. Сдано в-набор 19.01.84. Подп. в печать 12.09.84.
Формат 84Х1087з2- Бум. тип. № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая.
Объем 12,18 усл. печ. л. 12,29 усл. кр.-отт. 11,80 уч.-изд. л.
Тираж 4000 экз. Зак. № 49 Цена 45 коп.
Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., д. 29/14
Московская типография Х° 4 Союзполиграфпрома при Государственном коми-
комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
129041, Москва, Б. Переяславская ул., д. 46