Автор: Кудряшов С.Н.   Радченко Т.Н.  

Теги: дифференциальные, интегральные и другие функциональные уравнения   конечные разности   вариационное исчисление   функциональный анализ   физика   математическая физика   задачи по физике  

ISBN: 978-5-9275-0879-2

Год: 2011

Похожие

Сборник задач по математической физике

Дифференциальные уравнения и краевые задачи: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB

Справочник по интегральным уравнениям. Точные решения

Функции Бесселя и их приложение к физике и механике

Текст 
                    УДК 517.95
ББК 22.311
К 88
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Южного федерального университета
Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор Наседкин А. В.\
кандидат физико-математических наук, доцент Цибулин В. Г.:
кандидат физико-математических наук,
доцент Виноградова Г. Ю.:
кандидат физико-математических наук, доцент Цвиль М. М.
Учебное пособие подготовлено и издано в рамках национального
проекта «Образование» по «Программе развития федерального
государственного образовательного учреждения высшего
профессионального образования “Южный федеральный
университет” на 2007-2010 гг.»
Кудряшов, С. Н.
К 88 Основные методы решения практических задач в кур¬
се «Уравнения математической физики» : учебное пособие /
С. Н. Кздряшов, Т. Н. Радченко; Южный федеральный уни¬
верситет. — Ростов-на-Дону; Издательство Южного федераль¬
ного университета, 2011. — 308 с.
ISBN 978-5-9275-0879-2
Данное учебное пособие является результатом значительной
переработки четырех методических указаний А.Д. Алексеева,
Т. Н. Радченко, В. С. Рогожина и Э. Г. Хасабова, опубликованных
в УПЛ РГУ в 1992 году. Добавлено много новых задач, приведены
подробные решения стандартных задач. Расширена теоретическая
часть.
Пособие будет полезно при изучении теоретического курса «Урав¬
нения математической физики» студентами факультета математики,
механики и компьютерных наук, физического факультета и факуль¬
тета высоких технологий.
ISBN 978-5-9275-0879-2
УДК 517.95
ББК 22.311
© Южный федеральный университет, 2011
© С. Н. Кудряшов, Т. Н. Радченко, 2011
© Оформление. Макет. Издательство
Южного федерального университета, 2011


Оглавление
Предисловие	 6
Глава I. Метод характеристик 	 8
§ 1. Приведение к каноническому виду уравнений в частных
производных второго порядка 	 8
§ 2. Общее решение линейного уравнения второго порядка
в частных производных	 13
§ 3. Задача Коши для уравнения в частных производных второго
порядка 	 18
§ 4. Задачи с данными на характеристиках 	 28
Задачи 	 30
Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье .. 49
§ 1. Уравнение колебания струны 	 50
§ 2. Уравнение продольных колебаний стержня 	 57
§ 3. Общая схема метода Фурье 	 63
§ 4. Задачи о колебании в среде с сопротивлением 	 66
§ 5. Неоднородные задачи 	 68
5.1.	Стационарная неоднородность 	 69
5.2.	Неоднородные задачи со специальными неоднородностями . 72
5.3.	Вынужденные колебания физических объектов
с неоднородностями общего	вида 	 75
§ 6. Задача о колебании прямоугольной мембраны 	 81
Задачи 	 84
Глава III. Уравнения параболического типа. Метод Фурье .. 104
§ 1. Основные уравнения. Однородные начально-краевые задачи ... 104
§ 2. Краевые условия	 107


§ 3. Теплопроводность шарообразных тел с центрально¬
симметричным распределением температуры	 109
Задачи 	 114
Глава IV. Уравнения эллиптического типа	130
§ 1. Краевые задачи для уравнения Лапласа и Пуассона
в пространстве и на плоскости 	 130
§ 2. Уравнения Лапласа и Пуассона в прямоугольнике 	 132
§ 3. Краевые задачи в круговых областях для уравнений
Лапласа и Пуассона 	 138
Задачи 	 142
Глава V. Метод интегральных преобразований 	 160
§ 1. Преобразование Фурье и его свойства	 160
§ 2. Задача о теплопроводности бесконечного стержня 	 163
§ 3. Синус-, косинус-преобразования Фурье 	 166
3.1.	Косинус-преобразование Фурье 	 167
3.2.	Синус-преобразование Фурье 	 167
§ 4. Преобразование Лапласа 	 169
4.1.	Функция-оригинал. Функция-изображение 	 169
4.2.	Основные свойства преобразования Лапласа 	 171
4.3.	Таблица изображений 	 172
4.4.	Определение функции-оригинала по известному
изображению 	 174
Задачи 	 176
Глава VI. Задачи, решение которых требует привлечения
функций Бесселя 	 180
§ 1. Введение в теорию функций Бесселя 	 180
1.1.	Радиальные колебания круглой мембраны 	 183
1.2.	Задача о малых колебаниях тяжелой нити 	 188
Задачи 	 191
Ответы к задачам	207
Ответы к задачам главы I	207


Ответы к задачам главы II	 224
Ответы к задачам главы III 	 249
Ответы к задачам главы IV 	 269
Ответы к задачам главы V	 288
Ответы к задачам главы VI 	 290
Литература	306


Светлой памяти нашего учителя —
профессора Рогожина Владимира Сергеевича
посвящается
Предисловие
Предлагаемый задачник является результатом обобщения многолетне¬
го опыта преподавания курсов «Уравнения с частными производными»
и «Уравнения математической физики» на дневном и вечернем отделени¬
ях механико-математического и физического факультетов Южного феде¬
рального университета. За основу было взято учебное пособие [8], в доста¬
точной мере апробированное в течение ряда лет на физфаке и мехмате.
В данном издании оно значительно переработано, пополнено не только
большим числом новых задач, но и новыми разделами. В некоторой сте¬
пени были использованы материалы известных задачников [4, 5, 10] без
ссылок на источники.
Авторы не ставили задачу охватить все методы, используемые в мате¬
матической физике, а постарались подготовить доступное для широкого
круга читателей введение в традиционные аналитические методы решения
задач на практических занятиях в вузе.
Каждый раздел задачника содержит краткое изложение теоретическо¬
го материала и подробное решение типовых задач. К некоторым заданиям
приводятся указания необходимого объема, способствующие самостоятель¬
ному решению. Главы I-IV содержат примеры большого диапазона трудно¬
сти, что позволяет использовать задачник при многоуровневом обучении
и для специальностей инженерного типа.
Все ответы приведены в конце книги. Если задача имеет несколько ва¬
риантов решения с нетождественными на первый взгляд ответами, то за¬
писаны соответствующие варианты ответов.
Приводимый набор заданий позволяет использовать пособие для прове¬
дения плановых контрольных работ и при текущем контроле. Оно может
быть полезным научным работникам для предварительного ознакомления
с излагаемым учебным материалом.


Предисловие
Будем весьма признательны всем читателям, которые обратят наше
внимание на неизбежные в работе такого объема недосмотры.
Авторы от души благодарят Е. В. Ширяеву и И. В. Ширяеву за помощь
в оформлении работы.


Глава I
Метод характеристик
В главе I приводятся задачи для уравнений в частных производных вто¬
рого порядка, решаемые методом характеристик. Основная идея метода —
упростить исходное уравнение с помощью специальной замены независи¬
мых переменных, привести его к каноническому виду, а затем по возмож¬
ности найти общее решение и решить специальные задачи (задачу Коши
или задачу с данными на характеристиках).
§ 1. Приведение к каноническому виду уравнений в частных
производных второго порядка
В этом разделе рассматриваются дифференциальные уравнения в част¬
ных производных второго порядка, линейные относительно вторых произ¬
водных, следующего вида:
д‘^и	о(	ди ди\
(1.1)
Здесь и = и{х,у) — искомая функция, А = А{х,у), В = В{х^у),
С = С(х,у), / у, U,	— заданные функции, причем Л, В, С
в рассматриваемых областях непрерывны вместе со своими первыми про¬
изводными.
Выражение /S. — В^ — АС называется дискриминантом этого уравне¬
ния. Если в некоторой области D плоскости хОу выполняется неравенство
А > О, то уравнение (1.1) называется гиперболическим в этой области.


§ 1. Приведение к каноническому виду уравнений в частных производных..
При Д = О в области D уравнение (1.1) называется параболическим, а при
А < О в D — эллиптическим в области D.
Заменой переменных х, у на новые г| по формулам
I = (Pl(x,y), л = Ф2(^,у)
(1.2)
при соответствующем выборе функций cpi(x,y), ф2(х,у) в каждом из ука¬
занных трех случаев уравнение (1.1) может быть приведено к так называ¬
емому каноническому виду, а именно:
_ Л	ди ди\	.
-77- = г Е,,г\,и,—,— в случае гиперболического,
\	9£, ^л/
ди ди\
Е,,г\,и,-^,— \ в случае параболического.
в случае эллиптического уравнения.
дц^
д‘^и д‘^и	f	ди ди^
дЕ,‘^~^дг[‘^	\ ’^’^’5£,’5лу
При осуществлении указанной замены переменных понадобится выра¬
жение X и у через £, и Л- То есть система уравнений (1.2) должна быть
разрешимой относительно хну. Известно, что условием такой разреши¬
мости является неравенство
^(фьФ2)
д{х,у)
= det
fdipi d(pi\^
дх ду
д(р2 дц)2
\ дх ду /
— det
(1.3)
Поэтому при выборе функций (pi, (р2 мы должны заботиться о том, чтобы
в рассматриваемой области они удовлетворяли этому неравенству.
Для нахождения функций (pi(x,y), (р2(х,у), при которых замена пере¬
менных (1.2) приводит уравнение (1.1) к каноническому виду, составляется
следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:
А dy^‘ — 2В dx dy -\- С б^x^ = 0.
(1.4)
Оно называется характеристическим для уравнения (1.1).
Если А{х, у) = С{х, у) = Ов области D, то В{х, у) ^ 0 в D (иначе урав¬
нение (1.1) не является уравнением второго порядка в этой области). Тогда
уравнение (1.1) является гиперболическим в указанной области и после
деления на Б(х, у) приобретает канонический вид. Поэтому в дальнейшем
нас будут интересовать случаи, когда в D или Л ^ 0, или С ^ 0.


10
Глава I. Метод характеристик
При А О уравнение (1.4) разрешается относительно dy и распадается
на два уравнения:
Ady — {В \/Д) dx = О,
Ady-{B- л/А) dx = 0.	(1.52)
При С ^ о уравнение (1.4) распадается на два уравнения:
С dx — {В л/Д) dy = о, С dx — {В - V~K) dy = 0.
1.	Пусть уравнение (1.1) в области D является гиперболическим (Д > 0)
и для определенности Л 7^ 0. Тогда уравнения (1.5i) и (1.52) различны
и действительны. В этом случае для приведения уравнения (1.1) к кано¬
ническому виду следует в формулах (1.2) в качестве (pi(x,y) взять какой-
нибудь интеграл^ уравнения (1.5i), а в качестве ц>2[х^у) — какой-нибудь
интеграл уравнения (1.62) (или наоборот).
2.	В случае параболического уравнения (Д = 0) уравнения (1.5i) и (1.62)
одинаковы и имеют вид
Ady — Bdx = 0.	(1.5)
В этом случае для приведения уравнения (1.1) к каноническому виду в ка¬
честве одной из функций (pi(x,y), (р2{х,у) следует взять какой-нибудь
интеграл уравнения (1.5). Другую же из этих функций можно выбрать
произвольно, но так, чтобы выполнялось неравенство (1.3) (можно пока¬
зать, что в качестве этой другой функции всегда годится или х, или у).
3.	Если Д < о в области D, т. е. уравнение (1.1) эллиптическое в этой
области, то коэффициенты В±\/Д в уравнениях (1.5i) и (1.62) комплексно
сопряженные. Поэтому комплексно сопряженные и интегралы этих урав¬
нений. Для приведения уравнения (1.1) к каноническому виду в этом слу¬
чае достаточно взять какой-нибудь интеграл ip{x^y) любого из уравнений
(1.5i), (1.62) и в формулах (1.2) положить
(pi(x,^) = Recp(x,y), ц>2{х,у) = Imcp(a;,?/)
или наоборот.
При замене переменных (1.2) производные функции и = и{Е^^г\) =
= г^(£,(х, ^),ri(x,у)) по старым переменным т, у, как известно из анализа,
^ Если общее решение обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка разрешено
относительно произвольной постоянной, т. е. записано в виде равенства ф(х, у) = С, то это равенство
называется общим интегралом раесматриваемого уравнения, а входящая в него функция (р{х,у) —
интегралом этого уравнения.


§ 1. Приведение к каноническому виду уравнений в частных производных...
11
выражаются через ее производные по новым переменным £,, г| по следу¬
ющим формулам:
ди	ди 9£, ди дц	ди	ди дЕ,	ди дг\
дх	дЕ^дх^ дг\дх' ду	дЕ^ду	дцду'
д‘^и _ д‘^и /д‘^и дЕ,дх\ д‘^и V дид‘^Е, дид\
дх^‘ дЕ^	дЕ,дг\ дх дх дц^ \9з;/ дЕ,	дх\ дх^- ’
д^-и д‘^и V 2	дид\
ду^‘ дЕ? \ду) дЕ^дц ду ду дц^ \ду) дЕ, ду‘^ дг\ ’
д^^и
д‘^идЕ,дЕ, ^ д'^и I"дЕ^дц ^ дЕ^дц^^ ^ д^^идцдц
+
+
дхду дЕ^дхду дЕ,дг\\дхду дудх) дц^дхду
ди (9^£, ди д\
+ 77т-:т-т^ + -
• +
дЕ, дхду дх\ дхду'
Подробное обоснование описанного метода можно найти, например, в [6].
Замечание 1. При нахождении функций (pi(x,y), ф2(х,полезно
иметь в виду следующий известный из теории дифференциальных урав¬
нений факт: если ф(х,у) есть интеграл уравнения
М(х, у) dx Н- N{x, y)dy = О
(уравнения (1.5i), (1.52), (1-5) именно таковы), то Ф(ф(х,у)), где Ф(г) —
любая дифференцируемая функция, также является интегралом этого
уравнения.
Например, если \п{х-\-у — 5) является интегралом указанного уравнения,
то функция X + у также является интегралом этого уравнения. В самом
деле,
х + у =	+ 5,
а функция Ф(г) = -h 5 дифференцируема при любом г.
Замечание 2. Аналогичное рассуждение относится и к уравнениям
параболического типа. Так, если ф(х,у) = с общий интеграл уравнения
(1.5), то в качестве замены берем
£,= (р{х,у)


12
Глава I. Метод характеристик
или
£. = Ф(ф(х,2/)),
где Ф(2:) такая же, как и выше. Пусть, например, (1.5) записалось в виде
3xdy -\-ydx = 0.
Разделяя переменные, получим
dy _ dx
У Зх’
или
111
In \у\ =	+ Inc.
Отсюда обилий интеграл запишется в виде у^ = с. Но замена £, = у^
неудобна. Лучше £, =	или £, = у^х. При подстановке последней
редакции £, «хлопот» будет поменьше.
Для уравнения эллиптического типа изменять (pi(x,y) и (р2(а:,у) нель¬
зя. Максимум допустимого умножить на —1 для удобства (см. пример 1.1).
Рассмотрим некоторые примеры задач.
Пример 1.1. Уравнение
^ д‘^и 2^^'^
-Ь- 2х^^ + у— = о
(1.7)
ду^ ' ду
привести к каноническому виду в области х ^ 0, у ^ 0.
Решение. Имеем
А = В‘^ - АС = х^у^‘ - 2х^у‘^ < о
в указанной области. Следовательно, в этой области заданное уравнение
является эллиптическим. Составляем для него характеристическое урав¬
нение:
y^dy^ — 2ху dx dy -Ь 2x‘^dx^ = 0.
Разрешая его относительно dy^ получаем два уравнения:
ydy-(l-\-i)xdx — ^ и у dy — {1 — i)xdx =
Найдем интеграл какого-нибудь из этих уравнений (например, первого).
Так как
-у^ + (1 -\-г)х^ = С


§ 2. Общее решение линейного уравнения второго порядка...
13
есть общий интеграл этого уравнения, его интегралом является комплекс¬
ная функция
ф(х, у) =	-Ь гх^.
Как указывалось выше, для приведения заданного уравнения к канониче¬
скому виду достаточно произвести замену переменных:
E, = Re(p(x,y) =	-у^, т] = 1т(р(х,у)
(1.8)
Легко видеть, что условие (1.3) для этих функций выполняется. Про¬
изводя замену (1.8), мы по формулам (1.6) получаем
ди ди^ ди^
д‘^и
ду‘^
д‘^и
дхду
ди . ди
ди ^ од‘^и
'' ~^di ^ W'
(д^^и	д“^и \
дx^'
д'^и
ди ди ^ 2 f 9^'^	^
^Ж^^Ж^ ^ \ЖЁ ^ ^дЕ,дт] ^
Подставив полученные выражения в (1.7) и заменив х и ^ на £, и г| по
формулам (1.8), мы приходим к следующему каноническому уравнению:
1
д'^и д^^и
ц-idE,' 2цдц
ди 1 ди ^
+ ж-1ж- = 0.
§ 2. Общее решение линейного уравнения второго порядка
в частных производных
Уравнение (1.1), будучи приведенным к каноническому виду, может
иметь простое выражение, а в некоторых случаях и проинтегрировано,
другими словами, можно записать общее решение. Под общим решением
уравнения с частными производными второго порядка понимаем выра¬
жение, содержащее две произвольные, достаточно гладкие, независимые


14
Глава I. Метод характеристик
функции определенных аргументов, которое обращает данное уравнение
в тождество.
Заметим, что класс уравнений, для которых можно найти общие реше¬
ния в явном виде, небогат представителями. Все уравнения эллиптического
типа (если решение ищется в действительной области) исключаются. При¬
ведем простейшие примеры интегрирования уравнений гиперболического
типа.
Пример 2.1. В каноническом виде уравнение (1.1) записалось в такой
форме:
Решение. Здесь и — неизвестная функция от £, и г|. Перепишем равен¬
ство (2.1):
д fdu\ „
д1\дц'~ ■
(2.2)
Если и решение уравнения (2.1), а (2.2) понимается как тождество, то
равенство нулю производной dujdx\ по £, означает, что последняя не зави¬
сит от £,, а значит, является функцией только ц, dujdx\ = С{г\), С{г\) —
произвольная функция. Сама ц(£,,г|) находится неопределенным интегри¬
рованием с произволом в виде некоторого слагаемого, зависящего только
от £,:
w(^.,-n) J С{т\)(1ц +
Нет особого смысла записывать решение с интегралом от произвольной
функции С(г|), но удобно этот интеграл обозначить другой произвольной
функцией, например	Итак, общее решение (1.1) представилось сле¬
дующим образом:
u(f,,ri)'^-<p(f)^\l)(Ti).
Пример 2.2. Уравнения вида
д‘^и
или
J, .ди
(2.3)


§ 2. Общее решение линейного уравнения второго порядка.
15
Решение. Найдем общее решение уравнения (2.3), второе решается анало¬
гично. Положив в (2.3) V = ди/дг\, получим
|^ + а(ф = 0.	(2.4)
Разделим равенство (2.4) на н, считая н ^ 0:
IА=
О
Слева стоит производная щ1пн. Теперь
= -а(£,),
1пи = — J а(£.) d£. + 1пС(т)),	(2.5)
u = C(Ti)-e--f“<^)*
С{г[) — произвольная функция, а так как при С(г|) = 0 имеем г; = 0, то
потери общности не произошло. Далее из уравнения
ди
^ = С(л)
дх\
получаем
=	J^c«ri + (P(0-
Полагая J С(г|) dr\ = ф(г|), получаем общее решение уравнения (2.3):
Ц£,,Л) = Ф(£,)+Ф(л)-еЧ«(^)<'^
где ф(£,) и i|;(r|) — дважды непрерывно дифференцируемые произвольные
функции.
Можно решить (2.4) умножением на интегрирующий множитель
|х(£.) = expjj o(£.)d£.|
Предлагаем читателю воспользоваться предложенным методом для инте¬
грирования уравнения


16
Глава I. Метод характеристик
Пример 2.3. Решить уравнение
2^
ду^
ди
' дх
ди
ду
(2.6)
В области X О, у ^ 0.
Решение. В указанной области справедливо А =	> 0. Следователь¬
но, в этой области уравнение (2.6) гиперболическое. Для приведения его
к каноническому виду составим характеристическое уравнение
x^ б^y^ у^ dx^ = о,
которое распадается на пару различных уравнений
X dy -К у б!х = о и xdy — ydx = 0.
Обш,ие интегралы этих уравнений соответственно таковы:
ху = С и - = С.
X
Функции же
У
(Pl{x,y) = ху и (Р2{х,у) = -
X
являются их интегралами. Поэтому в результате замены переменных
l^xy,
X
(2.7)
уравнение (2.6) будет приведено к каноническому виду.
Вычисляем частные производные по формулам (1.6):
ди	ди 9£,	дидц	ди
дх	д1,дх~^	дх\дх	дЕ,^ с
ди	_ дидЕ,	дидх]	ди
ду	дЕ^ду	дцду	дЕ,^
X 2х
д^'и 2
:У
д‘^и
9x^	5£,^
д^-и
ду‘^ дЕ}
у^ д^^и	д‘^иу‘^	ди2у
х^ дЕ-,дх\	дх\^ х^	9г1 х^ ’
2 о
х^ -h2
1
дЕ,дг[ x^'
-2у
X X
X -у"


§ 2. Общее решение линейного уравнения второго порядка...
17
Смешанную производную, естественно, не вычисляем. Подставим найден¬
ные производные в уравнение (2.6) и приведем подобные члены:
д‘^и
д‘^и
^ {xY - xV) +	(-2у2 - 2у2) + ^ ( ^ - ^ ) +
ди
^ ^ = о
После очевидных преобразований получаем
^ 2 9‘^и 2уди
-	^ = о,
оЕ^дц X дг\
д^'и 1 ди
+ —— = 0.
или
дЕ^дх] 2ху дц
С учетом, что Е, — ху^ окончательно имеем
д^и 1 ди
дЕ^дц 2Е.дт[
(2.8)
ди
Обозначим — = г;(£,.г|). Тогда (2.8) принимает вид
дц
ди V ^
■
Это есть уравнение типа (2.3). На основании (2.5) его обш,ее решение опре¬
деляется равенством
dv
V
Отсюда
С аи if
J V +J
1
1 гД
2J I
С(Т1).
gC(n) =
ш(п)
VI VI
(вследствие произвольности С{г\) функция си(г|) также является произ¬
вольной). Итак,
ди cu(ri)
дц~ VI'
Решение уравнения (2.9) получается интегрированием по Г|;
ш(л)
(2.9)
J
с?л +ф(0-


18
Глава I. Метод характеристик
Вместо проргзвольной постоянной мы написали здесь произвольную функ¬
цию il>(£,), так как указанная функция и удовлетворяет уравнению (2.9)
при произвольной iK£,), в чем легко убедиться. Обозначив
J o)(Ti)dTi = ф(г1),
где функция ф(г1) снова произвольна, мы получаем общее решение урав¬
нения (2.8) в виде
и = ^ф(г1) + гК£,).
Возвращаясь к переменным х, у по формулам (2.7), выводим общее реше¬
ние исходного уравнения (2.6):
Напоминаем, что функции ф и ф здесь произвольны.
§ 3. Задача Коши для уравнения в частных производных
второго порядка
Для уравнения (1.1), помимо общего решения, зачастую ставится зада¬
ча определения частных решений, удовлетворяющих специальным требо¬
ваниям. В данной главе это будет задача Коши, которую мы сформули¬
руем, предположив для простоты, что уравнение (1.1) определено на всей
координатной плоскости хОу.
Пусть L — простая гладкая бесконечная кривая. Для уравнения гипер¬
болического типа требуем, чтобы L пересекала характеристики под нену¬
левым углом. Кривая L разобьет плоскость хОу на две области:	и D~,
которым соответствуют внутренние нормали и п~. На L задаются две
достаточные гладкие функции ф(х,?/) и '\\>{х,у). Задача Коши формули¬
руется следующим образом.
В области найти частное решение уравнения (1.1), удовлетворяющее
условиям
u\l= Ч>{х,у),
9п+
Если L задается уравнением у
может быть «ослаблено»: ^
ду
у{х) (или X
г|)(х,у).
х{у)), то второе условие


§ 3. Задача Коши для уравнения в частных производных второго порядка
19
В дальнейшем в главах II, III, V и VI неизвестная функция зависит
от времени t и геометрических координат (x^y^z). Условия задачи Коши
задаются при ^ = О и называются начальными данными, их число равно
высшему порядку производной по ^ в заданном дифференциальном урав¬
нении.
Пример 3.1. Найти решение уравнения
д‘^и д‘^и
дхду
удовлетворяющее начальным условиям
д‘^и
О,
Ру
= 0.
(3.1)
(3.2)
у=0
Решение. На всей плоскости хОу справедливо А = 1 -Ь 3 > 0. Следова¬
тельно, на всей плоскости уравнение (3.1) является гиперболическим, а его
характеристическое уравнение dy‘^ — 2dxdy — 3	= 0 распадается на два
уравнения: dy = —dx и dy = 3dx. Их общие интегралы — х у = С
и у — Зх = С, а функции х-\-уиу — Зх — интегралы этих уравнений.
Поэтому к каноническому виду приводит следующая замена переменных:
£, = X + у, т] = у-3х.
В результате этой замены мы получаем уравнение
dh^dx]
= 0.
(3.3)
(3.4)
Обозначив
мы приводим его к виду
ди
dv
’
откуда заключаем, что функция v отт| не зависит, т. е. имеет вид v = ш(£,),
где ш(£,) — произвольная функция. Таким образом, для функции и мы
имеем уравнение
ди
щ =


20
Глава I. Метод характеристик
Интегрируя по находим общее решение уравнения (3.4):
W = J о)(£.) (Д + Ф(л) = ф(£.) + ф(л).
Здесь обе функции ф(£,), i|)(ri) произвольные. Возвращаясь к переменным
X, у, получаем общее решение уравнения (3.1):
и{х, у) = ф(х + у) + л\){у - Зх).
(3.5)
Наша задача состоит в том, чтобы из бесконечного множества решений
(3.5)	выделить то, которое удовлетворяет условиям (3.2). Иными словами,
мы должны найти вполне определенные функции ф и ф, при которых
функция и удовлетворяет условиям (3.2). Из (3.5) имеем
^ = ц>'{х + у) + г1)'(у - Зх).
ду
Полагая здесь и в (3.5) у = О, из (3.2) получаем
ф(х) + ф(-Зх) = Зх^,	(З.б)
ф'(х)+ф'(-3х) = 0.	(3.7)
Из последнего равенства желательно получить уравнение, в которое
вместо производных ф'(х), ф'(—Зх) входили бы функции ф(х), ф(—Зх).
Казалось бы, этой цели можно достичь, роменив в (3.7) сумму производ¬
ных на производную суммы функций. Но этому мешает то обстоятельство,
что штрихи в (3.7) означают производные указанных функций по их ар¬
гументам (ф'(х) есть прор13водная по х, ф'(—Зх) — производная по — Зх).
Поэтому вначале в (3.7) перейдем к производным по одной и той же пере¬
менной (например, по х). Имеем
dip(—Зх) й*ф(-3х) d{—3x)
dx
d{—3x)
dx
-ф'(-3х).(-3).
откуда
ф'(—Зх)
Теперь (3.7) принимает вид
1 ^ф(-Зх)
3 dx
d(p(x) Ыф(-Зх) d / , .	1 , / о ч \


§ 3. Задача Коши для уравнения в частных производных второго порядка
21
Отсюда
ф(а;) - дФ(-Зх) = С.
(3.8)
Из (3.6) и (3.8) находим
.4	3 2	3^	. . „ ^	9х^	3^
(р(ж) = -х^ + -С, гК-Зх) = — - -С.
Наконец, положив —3x = z, получаем
Ф(г)
3
С.
4	4
Требуемые функции ф и ф найдены. Подставляя их в (3.5), мы получим
искомое решение задачи:
/	,	3,	,9	3^ (у - ЗхУ 3^	2
Ф, у) =	+ у) +		+ У ■
Замечание 3. Осложнения, связанные с неодинаковостью аргументов
функций ф и ф в (3.6) и (3.7), устранятся, и решение поставленной задачи
упростится, если произвольную функцию ф в (3.5) мы представим в виде
сложной функции	— Зх)), где ф — произвольная, а си — определен¬
ная функция, причем последняя выбирается так, чтобы 4>(ш(у — Зх)) при
^ = О принимала вид i()(x). В нашем случае, очевидно, следует положить
cv(z) = — 2/3. Тогда общее решение уравнения (3.1) будет иметь вид
и(х, у) = ф(х + у) + ф	+ у) + Ф (а^ - I) ,
а поэтому вместо (3.6) и (3.7) мы получим
ср(х) + ф(х) = Зх^
(Р'М - ^Ф'(а) = (^ф(х) - ^Ф(а;)^ = 0.
Той же цели мы могли бы достичь, если бы в (3.3) вместо т] = у —Зх взяли
Г1 = X — у/3, воспользовавшись замечанием 1.


22
Глава I. Метод характеристик
Пример 3.2. Найти решение уравнения
д^и
удовлетворяющее начальным условиям
I	f f \
32/‘
ди
5г/2
= Мх)
О,
(3.9)
(3.10)
у=1
где fo{x), fi{x) — заданные функции.
Решение. В области х 7^ 0, t/ ^ 0 справедливо А = 4x^y^ > 0, следователь¬
но, в указанной области уравнение (3.9) является гиперболическим. Его
характеристическое уравнение
x'^dy^ -h 2ху dx dy — 3y‘^dx‘^ — 0
распадается на два уравнения:
xdy — ydx = 0 и xdyЗу dx = 0.
Функции у/х и х^у являются интегралами этих уравнений соответственно.
Поэтому для приведения уравнения (3.9) к каноническому виду произве¬
дем замену переменных:
1	= - и Т) = х^у.
X
в результате этой замены мы получим уравнение
дЧ
-^ = 0.
дЕ^дц 4т|
При dujdh, = V оно принимает вид
ди V
(3.11)
дг[ 4т|
= 0.
Это есть уравнение типа (2.3). В соответствии с (2.5) его общее решение
имеет вид
J V 4 9л


§ 3. Задача Коши для уравнения в частных производных второго порядка
23
откуда V =	Общее решение уравнения (3.11) получается из урав¬
нения
интегрированием по £,:
и = J С,{Г)(Д + С2Ы) =	+ С2(л)
(функции С(£,), Ci(£,), С2(г|), С'з(£,) произвольные). Возвращаясь к пере¬
менным X, у, получаем общее решение уравнения (3.9):
и{х,у) =	(I) + С2{х'^у).
(3.12)
Теперь наша задача состоит в том, чтобы из бесконечного множества функ¬
ций С2 и Сз выбрать такие, при которых (3.12) будет удовлетворять усло¬
виям (3.10).
Когда в соответствии с (3.10) мы положим в (3.12) у = 1, аргументы
функций С2 и Сз окажутся равными 1/х и А это, как видно из предыду¬
щего примера, вызовет определенные осложнения. Поэтому произвольные
функции С2 и Сз мы, имея в виду замечание 3, заменим другими произ¬
вольными функциями, положив
(D ^ ^ (‘^^ (х)) ”	= -ф (а>2(х^г/)),
где функции (риф произвольны, а cui и CU2 выберем так, чтобы аргументы
функций (риф при у = 1 оба оказались равными х. Для этого следует
положить
1
(JOl{z) = - и 0)2(2:) =
Z
Действительно, тогда
С'з (^) = ф (^) и С2{х^у) = ф (^{x^yf^^^ = ф (ху^/^) .
Теперь общее решение уравнения (3.9) получает более подходящий вид
и{х,у) =	(^^) + ф (ху^/^) .	(3.13)


24
Глава I. Метод характеристик
Отсюда находим ди/ду\
^	=	1а;3/4 -3/4 л
4	^
,^7/4у-7/4^//3^
+
+
Полагая здесь и в (3.13) ^ = 1, из (3.10) получаем
+ф(а:) = /о(х),
^х^1^Ц){х) - х^/'‘ф'(х) + ^хф'(о;) = /i(x).
(3.14)
Исключая из этой системы уравнений функцию ф(х), мы приходим к сле¬
дующему уравнению относительно функции ф(т):
ф'(х) = Jx ^l*f'o{x) - ^х '^I'^fiix).
Отсюда
ф(х) = ix ^/Vo(a;) + ^ J а; Q/o(a;) - /i(a:)^ dx + С (3.
15)
(слагаемое с /о(х) проинтегрировано по частям). Мы увидим далее, что по¬
следующие формулы получат более компактный вид, если неопределенный
интеграл в (3.15) заменргть интегралом от той же функции с переменным
верхним пределом. Тогда будем иметь
ф(х) = ^х	(^fo{z) - fiiz)^ dz + С, (3.
16)
Xq — произвольное фиксированное число. Как известно, интегралы в фор¬
мулах (3.15), (3.16) могут отличаться друг от друга только на постоянное
число, что, ввиду наличия в этих формулах произвольного постоянного С,
ничего не меняет.
Из (3.14) и (3.16) находим
(\Гго) -	dz - Сх^/\
'Тгл	^	'


§ 3. Задача Коши для уравнения в частных производных второго порядка
25
Подставляя найденные функции ф и ф в (3.13), получаем решение постав¬
ленной задачи:
и(х, у) =	к +
+ ^ J	dz + c\+ l/o	-
^..1/3
[fM - Л(г)) * - Cx^>V‘ =
-F'V" J
Xq
x/y
+YW' j
д.^1/3
r/(^o) - Л(г) dz.
Рассмотрим еще один пример.
Пример 3.3. Найти решение уравнения
ди
^^дхду ~	^	^
удовлетворяющее начальным условиям
I	о ^ ди
и\ = X — 2,
\у=1
ду
= X
у=1
Решение. Составим характеристическое уравнение
—2х dx dy — Зу dx‘^ = О,
(2х dy -f Зу dx) dx = 0.
Приравниваем по очереди нулю сомножители. Равенство
2х dy -\-3ydx = о
(3.17)
(3.18)


26
Глава I. Метод характеристик
является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменны¬
ми. Разделяя их, получим
2dy 3dx
— -h	= 0.
У X
Интегрируем каждое слагаемое
2	In 1^1 -Ь 31п \х\ = In Cl,
отсюда
= Cl-
Далее, dx = 0 и х = С2 Первый вариант замены:
£. = х^у^, г\ = X.
Функция £,, как и в предыдущем примере, на прямой у = I принима¬
ет значение = х^, что мало согласуется с данными (3.17), но мы не
меняем ее, а, как и в примере 3.1, запишем удобное общее решение. Это
преобразование вполне будет оправдано простой заменой переменных. Вы¬
числяем производные при £, = ц = х:
ди ди^ п п ди ди ди^ о
д‘^и	5	3
дхду di?-
. о ди^ 2
^2х у +
хЗ
х2х
д'^и д^и ^ R 2	ч
X -Зу
Подставим найденные производные в данное уравнение:
g(l2xy-12xV) + ^4xV-b
ди
д1
{\2х^у - бх^у -Ь бх^у) = 0.
После приведения подобных членов получаем
л д‘^и	о ди


if Задача Коши для уравнения в частных производных второго порядка
27
окращаем на 4х^у и меняем х на г):
д^и Зди
+ -7ТТ = 0.
д£,дц т) дЕ,
ди
I lycTb V = тогда
дВ,
dv 3v
Л ’
Воспользуемся равенством (2.5), поменяв в нем местами £, и Т):
-3 Г^ + 1пС(£,),
J Л
СД) ди СД)
с dv
J V
In |f|
Г('нерь
V =
(алее
31
'^дось С(£,), ф(л) и г|)(£,) — произвольные функции,
tK£,) = |C(£,)d£,.
11('реходим к переменным х ^A у
и{х,у) = ^\|)(xV) + ф(Ц-
Преобразуем л\){х^у^) к произвольной функции от аргумента £,i =
= 9	= 9{U)-
11 гак,
и(х.
у) = ^9 (V''®) + ф(а:)-
(3.19)
Подберем функции д и (р, удовлетворяющие начальным условиям (3.17).
Найдем предварительно производную ди/ду из равенства (3.19)
ди \ ! 7 o/q\ 2
-1/3
(3.20)


28
Глава I. Метод характеристик
Подставим 2/ = 1 в равенства (3.19) и (3.20) и удовлетворим условиям
(3.17):
—д{х) + ф(х) =	- 2,
X
1	// ч 2	3	//4^5
-^9 (^)^з = ^	=	■
Интегрируем последнее равенство:
Далее,
д{х) = - + С.
1 /х'
ф(х) =х -2-^1—+ С
Подставляем найденные выражения для д{х) и (р{х) в (3.19), заменив ар¬
гумент в д{х) на ху'^^^:
и{х,у) =
1	С
+ -^ + - 2 ■
С
4	х^'
После небольших упрош,ений получаем окончательный результат:
х^(у^ — 1)	2 о
и{х, у) =				 + х^ - 2.
§ 4. Задачи с данными на характеристиках
Помимо условий задачи Коши, для уравнения (1.1) на практике воз¬
никают другие требования. В частности, для уравнения гиперболического
типа ставится задача нахождения частного решения по значениям на двух
характеристиках разных семейств. Приведем характерный пример.
Пример 4.1. Найти решение уравнения
д‘^и д‘^и 1ди ^	.
(4.1)
если и{х,у) = (pi(x) на характеристике х —	= 0	(Li)
II и{х, у) = ф2(х) на характеристике х -h	= 1,	(L2)


§ 4. Задачи с данными на характеристиках
29
где (pi(x) и ф2(^) — функции, заданные соответственно на отрезках
0^х^1/2и1/2^х^1, причем (pi (1/2) = ф2 (1/2) (рис. 4.1).
Решение. Из условия видно, что решение иш,ется в полуплоскости у < О
в области, ограниченной линиями Li, L2 и ^ = 0.
Легко видеть, что подстановкой £, = х — 2у/^, г| = х-\-2л/^ уравнение
(4.1) приводится к каноническому виду
д‘^и
д1дц
= 0.
Поэтому (см. пример 2.1) его обш,ее решение таково:
u{x,y) = Ql{x-2^ДД|) + Q2{x-\-2^ДД|),	(4.2)
где 01 и 02 — произвольные функции. Наша задача состоит в том, чтобы
выбрать такие 0i и 02, при которых функция (4.2) удовлетворяет условиям
задачи.
На характеристике Li, т. е. при 2^/^ = х, мы по условию имеем
01(О) + 02(2х) = Ф1(х).	(4.3)
Аналогично на L2, т. е. при 2л/^ = 1 — х, справедливо
0i(2x - 1) + 02(1) = Ф2(^).	(4.4)
Из (4.4), полагая 2х — 1 = z, получаем
'z + r
0i(z) = ф2
02(1),
(4.5)


30
Глава 1. Метод характеристик
а из (4.3) при Z = 2х получаем
02(2:) = ф1 (^0 -0i(O).
Требуемые функции 0i и 02 найдены. Подставляем их в (4.2):
«(X, V) = Ф,	+ Ф,	-Ш0) + е,ш
Подставляя в (4.3) х = 1/2, получим 0i(O) + 02(1) = Ф1 (1/2), так что
искомое решение задачи приобретает вид
и{х,у) = ф1
X +
+ Ф2
X - 2у/^+ 1
Задачи
Определить тип заданного уравнения в заданной области.
-I /	гл
► 1.1. {у + 1)^ - 2^^ + х-^ “ ^	®
В прямоугольнике 1<х<3,0<у<1.
. _ д‘^и д‘^и	д‘^и
В круге + (у — б)^ < 1.
д‘^и од‘^и 2^^^
+у—,-^-^ + у^ = о
''Эх*
В квадрате |х| < 1, |у| < 1.
З‘^и
►	1-4- {x + y)-^ + {x-y)-^+xu = Q
В круге (х — 5)^ + у^ < 1.
/	г» 2^^	/	гл
►	1.5. (x+l)^-2x^ + (l,-3)j^ + « = 0
В квадрате 0<х<1, 0<у<1.


Задачи
31
^ д'^и	. (9^гi	д‘^и
►1-6.	+	= о
В полосе 2 < X + у < 5.
В кольце 1 < x^ + у^ < 7.
В квадрате 0<а:<2, 0<у<2.
д^и д‘^и д^и ди
в квадрате 1<х<2, 2<у<3.
ди
г
дх
в круге + y^ < 1
-. -tr. о	/	2	г.	гл
1.10. 2х— +	+ ^ - (^ - 2)^ - 2у^^ = О
д^'и
д‘^и
д‘^и ди
►	1.11. 5х^ - 4х^-^ + 22/^ + 2/^	^ = О
ах^	дхду	ду^	дх
в прямоугольнике 1<х<3, 4<у<8.
д^^и	д‘^и	д‘^и	ди
►	1.12. 5х— - 4х^-^ + 2у— + у— - U = О
дх^	дхду	ду^	дх
в прямоугольнике 5<х<9, —1<у<1.
Указать одну из подстановок, приводящих данное уравнение к канони¬
ческому виду, указать тип уравнения и ожидаемый канонический вид.
д^и д‘^и д‘^и
^	~ ^‘дхду
►	1.14. 2
►	1.15
д^^и
дх^- дхду
д‘^и
9x^
д^^и д‘^и
(9у2
,д‘^и
0.
д^и
0.
-1 -.^	2a:^^'^	гл


32
Глава I. Метод характеристик
►	1.17.
►	1.18.
►	1.19.
►	1.20.
► 1.21.
► 1.22.
►	1.23.
►	1.24.
►	1.25.
►	1.26.
►	1.27.
►	1.28.
►	1.29.
►	1.30.
►	1.31.
р2г/
д‘^и
дх^
^ ^ л~~2 ~
охоу оу^
д‘^и
д‘^и
-2х'
^д‘^и
ду^
= 0.
^ ^ / .
од'^и
^ д^'
д^'и
д^'и
+ sin" X— = 0.
охоу	оу^
о	г л	гл
+ <“+*'>5?'
9^г^
у)
дx^‘
д‘^и
дхду
д^'и
р 	= о
ду^ ■
д'^и
д‘^и
c08^gj|-2emx.cos„jj^
+ sin X
д‘^и
ду'^
0.
&^и
■уд^и
д‘^и	2
4	п
с«, „^ = 0,
с» X—
^д'^и	2
0.
+ У ^ + 3^-0.
д‘^и ^ . 9
ди
5y^ ' '"9х
ди
sin^ + 2 sin X—^	^
ах"^	ахау оу^ оу
ди
+ sinx— = 0.
дх
„д‘^и	^ д^-и
+ 2е'
-2х
д^'и ди
+ ^ = 0.
дхду '	9?/2 дх
4 а^и 4 а^и ди
cos x^+sm y-^-i- = 4.
д'^и
9x2
tg"2:i-5-2ytgx
9^u
)9^u S-u
дхду ^ 9^2


Задачи
33
о„д^и	д^и	д‘^и	,,ди	ди
► 1.32. е + Зе	^—h 2-^-^ + е 	— = 0.
ох^	охау	оу^	ох	оу
лд^'и
, д‘^и ди 1 ди
+ 5^ - 7^ +
= 0.
►	1.33. X ^^2 +4^ дхду ' " ду^- дх ' хду
9 д^и	д‘^и д^и	ди ди
► 1.34. sin^ у^ - 4 sin у-^~^ + 4— + 2 cos 	^
ахау ду^	дх ду
-I or	о
► 1.35. —+ 2ctgx^-^
ах"^	дхду
2
+ Ctg Хт^-^ - COSX
ду^
ди
дх
0.
-. о^	2	2	о	гл
► 1.36. tg x^ + ctg „^-smx^ + 2c»9^ = 0.
.1.37.(x + v)g+2v|| + (i,-x)g = 0.
, 1.38. (x49)g-2x„^+„^0 = 0^
9^гг
►1-39-	+ + +
+ (x^ + 2y)
d'^u
dip'
nd'^u	2\
-	&5 - <^ +	>&a; +	+ '>a? = “■
Привести к каноническому виду.
д'^и д^и
1	910	О	гл
-. ^о	л
^	^	^	'^'дх~^ду^ ■
д^^и ди _ q
^	’	* 9х^ 9хЗу ”*” 9y^ дх ду


34
Глава I. Метод характеристик
►	1.46.
►	1.47.
►	1.48.
►	1.49.
►	1.50.
►	1.51.
►	1.52.
►	1.53.
►	1.54.
►	1.55.
►	1.56.
►	1.57.
►	1.58.
►	1.59.
►	1.60.
д^и	ди	Q
дх^‘	дхду	ду‘^	дх~^ ду
д‘^и	б^и	б^и	ди	Q
5x2	дхду	5^/2 дх~^ ду
д^^и	д‘^и	5^u	ди	9и_
5x2	дхду	5^2 ^ дх	ду
д‘^и	д‘^и	д‘^и ди	ди
5x2	дхду	5^2 ^ дх	ду
д^^и	5^u	д^^и	ди с.ди_
5x2	дхду	5у2	дх~^	ду
5^гi	5^п	д‘^и	ди	_	q
5x2	дхду	5?/2	дх~^	ду
д'^и	д‘^и	д‘^и	ди ди
5x2	дхду	5?/2	дх~^ ду
5^^	д‘^и	д‘^и	ди ди
5x2	дхду	ду^-	дх~^ ду
д‘^и	д“^и
5x2	5х5у
5^гг
5^г/ f ди ди'^
5x2 дхду 5у2 5х
ди
2—= 0.
ду
,д‘^и
„ „	5^?х 5^гг (ди ди\
5^u	5^ii
5x2	5х5у
^5^'u	„ [ди	ди
5^ii ^ 5^гл 5^и ди .ди
5^гг 5^гг
5x2	5х5у
^5^г^	^5и ^5ii
0.
5^г^	5^ii	5^гi	ди ди
5x2	дхду	ду^-	дх^ ду


Задачи
35
► 1.61.
► 1.62.
► 1.63.
X д^-и	у д‘^и	1ди	1ди	^
у	X ду^-	у дх	хду
дх^
з5^'г^ ди
^дх‘^	^ ду‘^ дх
ду
o5^гx	д^и	пд^и	ди
► 1.64.	- бху-^-^ + 9у^ +	= 0.
дх^	дхду	ду^	ду
►	1.65.
►	1.66.
►	1.67.
►	1.68.
2д‘^и	д^'и	1ди
^	ду‘^	уду
5^гг 9^гг
ди
дхду ду^
- —+ (1 + е^^)—= 0.
ду
д‘^и д‘^и 1 ди
+
-^ = 0.
4 2^ _ 4
^ дх‘^	^дхду ' ду‘^ уду
од‘^и	д‘^и пд^-и ди
5^гi
(9^'u
9?i
► 1.69. cos"^ ~ 2 cos j/ +	— X cos^ у— -\-{tgy — x cos у)
►	1.70.
►	1.71.
►	1.72.
►	1.73.
►	1.74.
►	1.75.
5x2
5^'u	. 5^гi
^ + 2sinx^-^
dx^	дхду
дхду 5у2
2
- cos	= 0.
dy^
dx
du
%
0.
5^г^ d^-u	f sin у	\ ди
^ od‘^u	d^-u
o5^ii 5гх
2^^'^ _ .
X 7^ - 2xsin?/
5x2
d^'u
дхду
+ sin у
5^u
5t/2
0.
2 5^'u	4 5^u 5гл
X ^ + cos	+ X— = 0.
5x2
d^^u
^5x2
5^ii 5^u
sin^ y-^ + 2 sin у r. r. + -7^ + cos у
дхду 5у2
ди
дх


36
Глава I. Метод характеристик
► 1.76. е ^—2 + Зе	^—h 2-^-2 — 2— = 0.
ах"^ ахау оу^ ау
1-77. fc + 4—+ -- = 0.
9x^	9у2 у ду
► 1-78. t/2	_ 2уе^——^
^ = 0-
► 1.79.
дх^
д‘^и
дх^
дхду
ау2
2 5хх ди
дх у ду
4х
дхду
+ 8х^
19гх 9гх
5у2 X 5х 9у
1.80.	+ 4х^;^ + 2х^— + 4ху—
дх^	дхду ду^ дх ду
0.
о 9^гx
► 1.81. cos у^-^ — 4 cos у
9^гх
ди
те
1 or,	и
^	д^
ч оо	о
► 1.83. ^ - 2 cos х^-^
ах"=	дхду
2?/
9^гх
5у^
+ = 0.
— Sin X
9у2
ау
0.
► 1.84. sin^ х^ - 2у sin X—— + у^— = 0.
дх^	дхду ду^
-I or 1 2	о 1
► 1.85. cth Х-—г — 2ycthx
.a^гx
ди
► 1.86. tg"^x-
ax^
д^'и
+ 2/ ^ + 2у— = 0.
дхду ду
2у tgx
а^п
+ г
.а^гх
+ tg*^
ду
ди
0.
"ах^	ахау ау^ ' *"ах
Привести уравнения к каноническому виду в каждой из областей, где
тип уравнения сохраняется.
-. о^ a^'U а^гх
а^гх	а^гх	ди
►	1.88. ^ + у^ + а— = 0, а = const.
дх^	ду^	ду
-. оо	о
►	1.89.	y^	+ Xj^ = 0.


'Задачи
37
д^и
^ дх^
► 1.90. Х— + У^
д‘^и
^ ду‘^
► 1.91. Найти общее решение уравнений в задачах:
а) 1.41, б) 1.42, в) 1.43, г) 1.44, д) 1.46, е) 1.48, ж) 1.49, з) 1.50,
и) 1.52, к) 1.53, л) 1.55, м) 1.57, н) 1.59, о) 1.60, и) 1.66, р) 1.71.
Найти общее решение следующих уравнений.
^д‘^и ди ди
5—+ —- —= 0.
^	’	’ дх'^ дхду " ду^- ' дх ду
1 Г.О	гл
► 1.93.	- sinx^-TT + (sinx - ctgx)— = 0.
ох^	дхду	дх
► 1.94. 4х
д‘^и
дх^‘
д^и
►	1.95. — - 4х
дх^
д'^и
►	1.96.	- ,
д^‘и
ди
^ дхду дх
д‘^и
:—
л 2^^^
+ 4х^—рг
дхду
ау2
д'^и
1
ди
+ 2— = (
дхду
дх
0.
к^и .	, ди
■»* »3-^ + 2(х-1)^=0.
*■ ■ ■ ~ ~ ■
дх^ дхду ду^ х дх
1 лгч	о	гл
►	1.99. х-—^ -	- 5— = 0.
дхду ду^ ду
►	1.100. х-^ -	+ 4— = 0.
дхду дх
д‘^и
►	1.101. ^ - 2COSX-
ахау
.	д‘^и д’^и
►	1.102. х^ +	= 0-
дх^ дхду
д^и	2	/г.	. .ди
+ COS	- 2—+ (2cosx + sinx)—= 0.
ду^ дх	ду


38
Глава I. Метод характеристик
д^и д^и	ди
►	1.103.	4х—— - у—	+	3—	= 0.
охоу оу^	оу
►	1.104.	- 2ху-^-^ + Г+ X— + у— = 0.
ох^ охоу оу^ ох оу
9x2
д^и	д‘^и	ди
►	1.106. Зх— - У-— + 4— = 0.
9x2	9x9^/	9х
►	1.108. 2х^-„|^ +6^ = 0^
9x2	охду	дх
9^'u	.	9^?i
►	1.109. —+ 2sinx^-^
9x2	9х9у
9^гi 9г^
9гх
cos^x-^ + ^ + (sinx + C0SX + 1)^ = о
д^и	9^u
1.110. — + 2sinx-—
9x2	охоу
' 9у2 9х
9^гi
9^
ди
■ cos"' X-;—X + COS X— = 0.
9у2	Оу
д^'и . д‘^и	2
► 1.111. 7ГТ ~ 2sinxT—г	(3 + cos^x)t-^ - COSX— = 0.
9х-2	дхду	9^/2	9у
9^гл
9^ti
9^г/ 9гг
. ди
1.112. ^-2 sinx^—^—(3+cos^ х)^-г+х—+ (2—sinx—cosx)— = 0
9x2
дхду
9^2 5х
ду
► 1.113.	- Зху^-^ + 2y^^ + Зу— = 0.
9x2 дхду 9у2	9^/
► 1.114. Зх^
jd“^u
9x2
1бх?/
д^-и
.д‘^и
ди
д‘^и X 9^гi х^9^и	2 9и у‘^ - х‘^ ди 3_q
^	9x2 у Qxdy у2 ^^2 X 9х у^ ду ^
^	^ ТТу	” ^^ду j ^ ^ ■
в следующих задачах требуется найти решения указанных уравнений
при задаваемых начальных условиях.


Задачи
39
d^'u	.	.	ди
“1.-0 = о,
= —х — 1.
t=0
д‘^и	д^и	д‘^и	{ди	ди\
► 1.118. 3^ + 5^-^	2— + 7 ( — + 2— ) = О (см. задачу 1.57);
ох^	охоу	оу^	\ох	оу J
ди
= 3^.
а:=0
д‘^и	д‘^и	д^и	ди	ди	,
► 1.119. 5^ + 6^-^ + ^ + — 4- — = о (см. задачу 1.53);
дх^	дхду	ду^	дх	ду
I	о
•‘U = 2S, ^
= 52/.
х=0
гл	ди	ди	^	^
1.120. 3^	+	2——	— + — +	—	= о	(см. задачу	1.46);
дх^	дхду	ду^ дх	ду
ди
^■"■=0 ^ di
= 42/.
а:=0
,Г...	^	/л /	л
► 1.121.	- 6--^ + 8-^ + ;^	2— = о (см. задачу 1.44);
ах^ охоу оу^ ох оу
»1,у=о = 2а;.
ди
ду
Зх + 1.
у=0
д‘^и д"^и д^и ди	ди ,
► 1.122. 4^^	- 8^ ^	+ Зтг^ + 2-	—	= о (см.	задачу 1.49);
1.<у=0
Зх,
дх^‘ дхду ду‘^ дх ду
ди
ду
2х + 6.
у=0
-.оо	о
^	~ ду
й„2	“1у=0	Qy
= F{^)-
у=0
► 1.124. 3
д^^и ^ д‘^и
ди
дх‘^ дхду ду‘^
3^гг	^ 9^и	^д^^и
+ 2^ = 0; w|y=o = /(а;), ^
^2/
ди
= Пх)-
4/=0
► 1-125. 2^ + 3^-5^ = 0;	= f{x),	-
дх^	дхду	ду'
д^^и	д^^и
► 1.126. 3— - 4-— - 7— = 0;
дх^	дхду	ду^
= Пх).
у=0
4=0 = /(^)’ ^
= Пх).
у=0


40
Глава I. Метод характеристик
д^и д^и д^и
^	~ ^дхду	^	“1у=о = /(а^)>
ди
ду
F{x).
у=0
д^и	ди	ди	,
► 1.128. 3^ - 4^-^ + ^~	+ ^ = О	задачу 1.60);
дх^	дхду ду^ дх	ду
I	/ \
4=o = 45W> ^
у=0
-. -.Г.Г.	А	ди ди ^	^
► 1.129. 7^ +		-^ 		— = О (см. задачу 1.92);
“U = /W. g
дх^^ дхду ду‘^ дх ду
= П^У
у=0
д‘^и д‘^и ди
► 1.130.	- y-Q^ + 2^ = О (см. задачу 1.96);
,	ди
”U = ». ^
= 2у\
► 1.131. 2х
Х=1
д‘^и д‘^и ^ди
У
'\у=1 ■
дхду ^ ду‘^ ду
ди
ду
О (см. задачу 1.97);
У=1
д^и д^^и ди
► 1.132. х-^ - Уд^ + 4— = О (см. задачу 1.100);
«и = з,-. I
= 2/.
Х=1
д^и д‘^и .	,	,	ди
►	1-133.	+	= о (см- задачу 1.102);	=2у+1,—
д^и д^и ди
►	1.134. 4х^^^ - у-^ + 3— = О (см. задачу 1.103);
гх1 = 4х^	—
^'у=1	’ ду
Х=1
► 1.135. Зх
= 8х.
у=1
д‘^и 9^'u ди
у-^-г — 2— = О (см. задачу 1.107);
дхду ду^‘ ду


'^пдачи
41
Щу=1 = ^
ди
1Ьх\
у=1
д^'и д^'и ди
► 1.136. 4x77-;^	^^79 +	~ ^ задачу 1.103);
I	9	. ди
“1...=^ +1. ^
дхду ду^- ду
= 4.
У=1
д‘^и д‘^и ди
= бх^^.
о (см. задачу 1.107);
I	гч ди
Ч.-."»- д-у
У=1
д^'и д^и ди
► 1.138. 4хт^ - Z/37757 + 7— = О (см. задачу 1.94);
дх"^ дхду дх
1.т=1
Зl/^
ди
дх
2у^\
Х=1
-I 10ГЧ д^-и д^^и ди
^	~ ^ду
О (см. задачу 1,99);
liy=l
ди
ду
= 2х^.
У=1
д“^и д^и ди
► 1.140. Зх^ - y-Q^ + 4^ = О (см. задачу 1.106);
“I-= ''»■■ I
= У
Х=1
д^^и ди
► 1.141. 2х^-^ — у + 5— = О (см. задачу 1.108);
9х^ дхду дх
ди
= 2у\
х=\
д^и д'^и ди
► 1.142. Зх^ - Уд^ + 4— = О (см. задачу 1.106);
“I'-= ' + »*' I
= У*-
Х=1


42
Глава I. Метод характеристик
д^и д^и ди
1.143. 2^;^ - y-Q^ +	= О (см. задачу 1.108);
I	^
»и. = о. ё;
= !/*.
х=\
д^и д^и ди
► 1.145. 3x|^-2v|^ + fi=0;
ох^ охду дх
“U.=2+3x^ I
=i‘.
y=l
.	с	ди
= 2у^ - у.
Х=1
(9^г^ 9^гi ди
► 1.146. 3:г-— - Ау— + ^ = 0;
аха?/	ду
ди
= 1-2х.
у=1
«1,=1 = 3^2 + 2х, —
1	1	о	г
► 1.147. 2х^-— - 5?/^ + — = 0;
дхду ду^ ду
I	о 9	.
“l!/=l = 3x2 ^	_
► 1.148. 4xg
— Ъх Н“ 2.
2/=1
► 1.150. Зх
д“^и
ди
«L=i = 1.
о.,
^ дхду
дх ~ ’’
5х ^
д^'и
ди
1 о 9
ди
^ дхду дх ’
wL-=i = Зу",
дх
д‘^и
ди
>
х=\
= 1-у.
х=1
«I - 3x2	—
%=1 - За; 1
= 4 - x^.
у=1
-I -.Г-.	21	^	I	О
►	1.151. 4xgj^ - ,_ + 7- = 0;	«I,., = ЗУ, ^
pTni Гр"!!	ди
►	1.152. ^2__а;2—= о (см. задачу 1.105); u|j^i = 2x2,	—
: 2/.
а:=1
= Х2.
t=l


Задачи
43
► 1.153.	- ЗХ!,|^ +	+ 3»^ = О (CM. задачу 1.113);
’\у=1
.	ди
1 + 2x2,	—
ду
4х\
Гр"'!!	ГрИ	ГрИ	г)и
► 1.154.	- 16ху--^ + 16^^^ +	^ О задачу 1.114);
дх
ди
"'U = 5х^ - 3x2,	_
Юх"* - 9x2.
у=1
од'^и од^'и	^ ди
►	1.155.	t	= О (см- задачу	1.105); u\^^^ = 2у/х, —
►	1-156.	^	^ -18»^^ -1= »:
,	^	ди
. 1.157.	x^f|-VfH + 6x|^ + 6y|^ = 0;
ах"^ ду^ дх ду
I	Q
"1,-. = з»^. ^
пд‘^и
►	1.158. х^-^ — Зху
у/х.
t=l
у=1
х\
д^'и
дх‘^	дхду
I	о
”1.,-. = 2х,	^	= х.
4- 2у^^-^ + ^2/"^ = о (см. задачу 1.113);
9у2
ду
У=1
fpii	/0^7/	д‘^1!	ди
► 1.159. 3x2— _ iQ^y__ ц. ]^5у2_ _|_ 15х— = о (см. задачу 1.114);
I	о 9и
»и.=2». 5J
Х=1
20 2
92^	. д'^и
► 1.160. ;^ + 2sinX;^-^
дх'^	дхду
ди
+ (sinx + COSX + 1)-д- = о (см. задачу 1.109);
ду
2 д“^и ди
cos X—+ —+
ду^ дх


44
Глава I. Метод характеристик
ди
“1г/=-со8х = l + 2sinx, —
sinx.
У=— COSX
2sinx^—^	cos x-^-z H-cosx— = О (см. задачу 1.110);
дх‘^
д‘^и
дхду
и
iy=— COSX
^	ди
= 1 + coso;, —
ду
'ду^
= 0.
ди
' ду
У= — COSX
д‘^и . д‘^и ,	2	ди
► 1.162.	- 2 sin а:т—	(3 + cos^'x)^-^ - cosx— = 0
^r^z.	(jxoy	oy^	uy
dx‘^
(cm. задачу 1.111); и
ди
y=cosx Sinx,
t/=COS X
1.
2^ ■
d^u	d^u
► 1.163. _-2sinx-—
ox^	oxoy
du
+ (2 — sin X — cosx)— = 0 (cm. задачу 1.112);
ду
/о 2 \д^и ди
(3 + COS	+ ^ +
ди
и\	=0	—
^^hj=COSX	Qy
COSX.
y=cosx
Ураврюние (1.1) приведено к каноничеекому врщу при помощи указан¬
ной подстановки (£,,г|)- Завершить пример, определив частное решение,
удовлетворяющее заданным начальным условиям.
9^гi ди
►	1.164.	- 2— = 0,	£, = 2х -h Зу, л = 4х - 5у;
I ^ ди
'^\х=0 ~	^
х=0
д‘^и 1 ди
►	1.165. -h= о, £, = ЗхН-8у, л=4х-5т/;
ди
= 7.
х=0
д^и ди
► 1-166.	- 4—= о, £, = 3x-h7y, л = 4х-5у;
1	1 ди
«и = 1. aj
= 2.
х=0


' Задачи
45
д‘^и ди
► 1.167.	+ 3^ = о, £,= 3ж-4у, Т1 = 5х + 6?/;
ди
"lr=o-2,
► 1.168.
= 3.
=0
д'^и ди
I	1
»1„„ = 1. 5J
► 1.169.
д1,дг[	дВ,
= 1.
д‘^и	ди
3— = 0, £, = 2х + Зу, Г) = 5х - 4у;
"1.^0 = 4.
- 2— = 0, £, = 5х - бу, л = ^ + 2у;
'П
1.
дЕ^дц дц
ди
1.170.
х=0
д‘^и 1 ди
^4х=о	2,
+ 7^ = 0,	£, = 2х - Зу, л = Зх + 4у;
= 1.
дВ^дц 4дг\
ди
► 1.171.
х=0
д"^и ди
+ 3— = 0,	£, = 4х - Зу, л = Зх + 2у;
дц
tl' г
ах
1.172.
= 5.
х=0
д‘^и ^ди
дВ^дц дг\
ди
О, £, = Зх — 4у, л = Зх + 5у;
"1.,..=о = У. ^
► 1.173.
Х=0
a^гl ди
+ 2— = 0, £, = 2х + Зу, л = Зх + 5у;
I	г.
<‘1... = 2х,	^
5£,5г) с>г|
= 3.
у=0
► 1.174.	-4—= о, £, = 3а; + у, п = 2у - 5х;
дЕ,дх\ дг\


46
Глава I. Метод характеристик
\у=0
Зх 5,
ди
ду
гу=0
► 1.175.
дШ\
О, 1 = х^у^, Ц = у\
«L.=1 =	+ 5,
ди
дх
Зу + 1.
Х=\
^	д‘^и 1 ди ^	^	9
► 1.176.	+ ТГ"^ ~	^ ^	Л =
9£,(9г1 Зг| 5£,
I
Зх Н“ 1.
У=1
1.177. ттттт- + --^ = 0, £, =	Ц =
д1дг[ ц д1
I ..о ди
и\ 1 = 2x^,	—
1у=1	’ Qy
— Зх Н” 1.
у=1
д‘^и Ади	о
► 1.178. тгтт^ +	= 0, £, = xy^ п = у;
г^1х=1 = Зу,
5£,5г1 п дЕ,
ди
дх
— 2 А- Зу.
Х=1
д‘^и 1ди	о о
► 1.179. тттт;—^—— = 0, £, = х^у^, Л =
и\у^1 = 22;^
дЕ,дт] Т1 дЕ,
ди
У=1
= Зх.
д‘^и Ади	^
1.180.	+ -■^ = 0, £. = у^х, Т[=у,
= 1 + 2у,
дЕ,дц Г1 дЕ,
ди
дх
► 1.181.
Х=1
д‘^и Ъ\ди
+
д1^дц Зг|9£,
3?/^.
О, £, = xV, Л = 2/;
w|x=i = Зу^
9гг
дх


Задачи
47
-.or.	А: ди ^	^	^ .
► 1.182.	+ —— = о, £, = xV, Л = у;
д1,дг[ Зг| 9£,
ди
Ч.=1 = У, ^
Зу -Ь 2.
► 1.183.
Х=\
д'^и 3 ди
+ “37 = 0, £. = xV, Ц = у
dL,dr\ X] д£.
Ч„.=3у^ I
— Зу + 2.
► 1.184.
Х=1
д'^и 9 ди
+	= 0,	^ = У Т] = х-,
дЕ,дц 2г| дЕ,
,	г, ди
= - 2.
► 1.185.
У=1
д'^и 2 5г/
9£,(9г| л
9
= 0,	£. = x2y^^ п = х;
= X.
► 1.186.
У=1
4 ди
+ ^^7 = 0’	^	г\ = х]
I - 4x2	^
ду
дЕ^дц Зг| дЕ,
= 6х
у=1
В следующих задачах требуется найти решения заданных уравнений по
заданных значениям ф(х), ф(х) искомых решений на дугах пары незави¬
симых характеристик.
д^и (9^г^
► 1.187. — = —, и{х, у) = (р(х) на -h X = о,
и{х, у) = \l)(x) на ?/ - X = о, ф(0) = 'ф(О).
д'^и д^и д‘^и
^ д^ ^	= ф(^) на у - ^ = О-
w(x,у) = \1)(х) на 5х — ^ = О, ф(0) = ф(0).


48
Глава I. Метод характеристик
►	1.189.
и{х,у) =
►	1.190.
и{х,у) =
►	1.191.
и{х,у) =
►	1.192.
и(х,у) =
►	1.193.
и(х,у) =
►	1.194.
и(х,у) =
►	1.195.
и{х,у) =
►	1.196.
и(х,у) =
д'^и д'^и
дх'^ дхду
О, и{х, у) = <р{х) на, у = 5х + 3,
^\>{х) нау = х-1,	ф(-1) =-ф(-1).
д^и	&^Vj
ф(х) на ^ + 2х + 2 = о, ф(1) = ф(1).
д‘^и
д‘^и
дх^ дхду ду^-
= О, 'u(x, у) = ф(х) на X — 2/ — 1 = О,
ф(х) на X + 3^/ + 1 = О, ф (1/2) = -ф (1/2).
д‘^'11 д^и д"^и
+ V “	!<) = f (I) Н. X + 2„ + 1 = 0.
ф(х) на Зх + 2?/ + 2 = о, ф (—1/2) = ф (—1/2).
О, (х > 0), гг(х, у) = ф(х) нау—1 = О,
д‘^и д‘^и 1 д‘^и
дх‘^~^ ^дхду хду‘^
ф(х) на x^ - у = О, ф(1) = ф(1).
д‘^и д‘^и
дхду	^9у2
о, (у > 0), и{х, у) = ф(х) на у -	= О,
ф(у)нах-2 = 0,	ф(2)=-ф(4).
д^^и д^и
2у^ +	= 0, (х > 0), и(х, у) = ф(х) на у -	= О,
ф(х) на у - 2 = О, ф(4)=-ф(4).
&^и	^	1 ди ^	,	,	, ,	9	«
(^>0)- «(х,у) = ф(х)нау-х2 = 0,
ф(х) на у + х^ - 2 = о, ф(1) = Ф(1).
д‘^и	д‘^и
^х2	^ ^ дхду	9y^ ' chx9y
ф(х) на у —	= О,
д‘^и 1 ди
+ ■
► 1.197
и(х,у) =
и{х, у) = ф(х) на у - е~^ = О, ф(0) = ф(0).
1
thx— = О,
дх


Глава II
Уравнения гиперболического типа.
Метод Фурье
В главе II рассматриваются начально-краевые задачи для уравнения
|'11перболического типа, решаемые методом Фурье (методом разделения
и('ременных). В качестве математических моделей берутся уравнения ма¬
лых колебаний однородных струн или стержней, являюхциеся линейными
уравнениями с постоянными коэффициентами. Начально-краевая задача
(Л’авится для струн и стержней конечной длины и формулируется следу¬
ющим образом.
В области 0<х<^, ^>0 найти решение уравнения
А
д^-и
дх^
^ди Ви ^
удовлетворяющее начальным условиям
ди,
и{х, 0) = /(х),	—(х, 0) = F(x), о <х <е
II краевым условиям при х = 0, х = ^, продиктованным характером по¬
ставленной физической задачи.
В приведенном уравнении А, В, С, D — постоянные. Уравнение будет
гиперболическим, если Л > 0 (в дальнейшем А = а > 0), д{хЛ) — из¬
вестная функция, не равная нулю при воздействии на физический объект
внешней силы.


50
Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье
§ 1. Уравнение колебания струны
Струна — туго натянутая нить, практически нерастяжимая, но легко
изгибаемая. Пусть она имеет длину ^ и в положении равновесия занима¬
ет отрезок [О, £] оси Ох. Изучаются малые поперечные колебания. Вводим
неизвестную функцию u{x^t), равную отклонению точки с абсциссой х от
положения равновесия в момент времени t. Известны физические пара¬
метры струны: р — линейная плотность, Т — натяжение струны, р(х, t) —
внешняя сила, рассчитанная на единицу длины. Без вывода (см. книги
[б. И]) приведем уравнение колебания (пока без учета сопротивления окру¬
жающей среды):
+!>(>:. о-	(II)
Если предположить, что сопротивление среды пропорционально ско-
ди
рости движения, т. е. равно fc—, к > О, то уравнение (1.1) перепишется
в виде	^
. ди гт^д^'и .	.	,	,
В условиях «малости» колебаний нетрудно показать, что натяжение
Т — постоянная величина. Предполагая в дальнейшем, что струна одно¬
родна, как следствие получим постоянство плотности р. Разделим урав¬
нение (1.1) на р и введем параметр а = yjTjp, после чего (1.1) примет
вид
д'^и 2^^'^	/ N
где g{x,t) =p{x,t)/p.
Та же операция с уравнением (1.2) дает такой результат:
(1.3)
д'^и ^ ди
од‘^и
(1.4)
Здесь для удобства положили 2у = к/р.
Если внешняя сила отсутствует, р(х, t) = О, то колебания называются
собственными или свободными. Они описываются уравнением
д‘^и
дх‘^
(1.5)


i? /.. Уравнение колебания струны
51
и предположении, что среда колебаний не препятствует движению струны.
Диалогично преобразуется и (1.4).
Для всех представленных уравнений ставится задача Коши: найти ре-
|||('иие уравнения, удовлетворяюш,ее начальным условиям
и{х, 0) =
ди.
^(х,0)
f{x),
= F{x)
(1.6)
(1.7)
Первое требование означает, что задается начальное отклонение, пер-
ппчиая форма струны, второе — задается начальная скорость. Второе усло-
mie реализуется на практике как удар по струне молоточком, форма и ско¬
рость которого определяется функцией F{x).
С учетом ограниченных размеров струны в точках х = 0 и х = £ за¬
даются краевые условия. Для струны наиболее характерные условия —
закрепленные концы, т. е. отклонения граничных точек равны нулю для
любого значения времени ^ > 0. Аналитически они записываются следую-
1ЦПМ образом:
г^(0, t) = и{£, t) = 0.	(1.8)
Технически можно осуш,ествить и мягкое (свободное) закрепление одно¬
го из концов струны, например, х = £, когда он без трения перемеш,ается по
прямой, проходяЕцей через точку (£, 0) перпендикулярно оси х в плоскости
колебания хОи. В этом случае выполняется условие
= 0.	(.9)
Диалогично, если свободен конец х = 0, то
ди,	,	,	,
—(0,0 = 0.	(1.9i)
Если концевая точка движется с сопротивлением, пропорциональным
о гклонению от положения равновесия, то такое краевое условие называ-
(Л'ся упругим закреплением. В этом случае имеют место зависимости
ди
дх
h\u
о,
х=0
ди
дх
+ h2U
о, h2 > 0.
(1.10)
х=£
Граничные условия вида (1.8), (1.9), (1.9i) и (1.10) называются одно¬
родными. На практике можно встретиться с неоднородными условиями.


52
Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье
например с подвижными концами, когда точки х = О или х = i переме¬
щаются по заданным законам. В этом случае равенства (1.8) перепишутся
так:
u{0,t) =	u{£,t) = y\){t).	(1-11)
Собирая все вместе, сформулируем начально-краевую задачу о колеба¬
нии однородной струны. В области 0<х<^, ^>0 найти решение урав¬
нения (1.1) или (1.5), удовлетворяющее начальным условиям (1.6), (1.7)
и двум краевым условиям (1.8) (или (1.9), (1.9i), (1.10) и т. д.).
Если начально-краевая задача однородная, то для ее решения можно
применить метод Фурье, изложению которого посвящен данный раздел.
Если задача неоднородная, то существуют несложные приемы сведения ее
к однородному случаю, об этом поговорим позже, после того как рассмот¬
рим основные однородные задачи.
В качестве примера исследуем задачу о собственных колебаниях стру¬
ны, закрепленной на концах. Повторимся, но четко поставим задачу.
Пример 1.1. В области 0<а:<^, ^>0 найти решение уравнения
удовлетворяющее условиям
д‘^и 2^^'^
(1.5)
dF ^ дх^' ’
и(0, t) — 0,
(1.8i)
u{£,t) = 0,
(1-82)
и{х,0) = /(х).
(1.6)
^{х,0) = Г{х).
(1.7)
Здесь f{x) и F{x) — достаточно гладкие функции на [0,£], удовлетворяю¬
щие условиям
/(0) = т = о, F(0) - F(£) = 0.
Решение. Задачу решаем методом Фурье. На первом этапе ищем нетри¬
виальные частные решения уравнения (1.5) в виде произведения u{x,t) =
= X[x)T{t), удовлетворяющие только краевым условиям. Подставляя
д‘^и
X{x)T''{t) и
X"{x)T{t)


1. Уравнение колебания струны
53
и уравнение (1.5), получаем
X{x)T"{t) = a^X"{x)T{t), или
T"{t) _ Х"{х)
a^T{t) ~ Х{х)'
Последнее соотношение является тождественным совпадением двух
(1)ункций от независимых переменных х w t. Это совпадение возможно
'только тогда, когда каждая дробь равна одному и тому же постоянному
значению, которое сначала обозначим через \л. Таким образом.
r\t) _Х'\х)
o?T{t) ~ Х\х)
(1.12)
13 результате функция Х(х) удовлетворяет дифференциальному уравне¬
нию Х'\х)/Х{х) = ц, которое перепишем в стандартной форме:
Х'\х) - \iX{x) = 0.
(1.13)
Вспомним, что искомая функция u{x,t) должна удовлетворять требовани¬
ям (1.8i) и (1.82). Рассмотрим сначала (I.81):
u{0,t) = X{0)T{t) = 0.
Функция T{t) не равна нулю тождественно, следовательно,
Х(0) = 0.	(1.14)
Точно так же выводим, что
Х{е) = 0.	(1.15)
В итоге требуется найти нетривиальные решения уравнения (1.13), удовле-
гворяюш,ие соотношениям (1.14) и (1.15). Такая задача для дифференци¬
ального уравнения 2-го порядка называется краевой (в отличие от задачи
Коши) или задачей Штурма—Лиувилля. Небольшое исследование пока¬
зывает, что при ц ^ О поставленная задача неразрешима. Пусть ц < 0
II для удобства ц = —Л^. Теперь уравнение (1.13) предстанет в виде
Х"{х)+Х^Х{х) = 0.
Общее решение находится легко:
X {х) = Cl cos Лх -h С2 sin Лх.


54
Глава 11. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье
Краевая задача (1.13), (1.14), (1.15) разрешима далеко не для всех |ii < 0.
Найдем соответствуюгцие значения ц, точнее Л, а также одну из постоян¬
ных Cl, С2 (вторая будет произвольной).
Пусть X = о, тогда Х(0) = Ci = 0. Если х = £, то Х(£) = C2sinA£ = 0,
С2 ^ о, а потому sinA£ = 0, откуда М = пк^ к Е Z. Обозначим \
( к\^
Значения —[ik= (^ ) называются собственными значениями. Каждому
А/г = ^ с точностью ДО множитсля С2 будет отвечать искомое решение,
которое, заменив С2 на запишем в виде
Xk{x) = Ак sin
пкх
(1.16)
Заметим, что А: = 0 мы отвергаем, так как |и < 0, придется расстаться
и с отрицательными к, которые не дают новых линейно независимых ре¬
шений, поэтому /с G N определяет все бесконечное множество {Хк{х)} ре¬
шений, которые называются собственными функциями задачи Штурма-
Лиувилля.
Перейдем к множителю T{t). Он согласно (1.12) будет удовлетворять
уравнению Т"/{о?'Т{1)) = —А| или
T'\t) +	Г(^) = 0.
Общее решение последнего уравнения, Tk{t), записывается следующим об¬
разом:
лт. /.ч	1-» пка^ ^	. пка^
Tk{t) = В к cos	-h С к sin
где Вк п Ск — постоянные неизвестные коэффициенты.
Первый этап мы завершаем представлением бесконечного множества
частных решений уравнения (1.5), удовлетворяющих заданным граничным
требованиям:
/	.4	/1-» пка^ ^ . пка\ .	. пкх
Uk{x, 0=1 Вк cos + Ск sin 1 Ак sin
Их можно записать в более простом виде:
/ ч f тска . . пка \ . пкх	. ^ .
Uk[x, t) = [Ок cos ——t -h Ok sin -—t sin ——.	(1.17)


/.. Уравнение колебания струны
55
i'i,^'Cb ak = AkBk, bk = AkCk произвольны. В целях упрощения процедуры
|)('|пения задач мы, не нарушая общности, будем в дальнейшем считать
мос'гоянный множитель Ak при Xk{x) равным единице.
Второй этап — выполнение начальных условий (1.6) и (1.7). Нетрудно
{яметить, что с помощью функции Uk{x,t) из (1.17) удовлетворить этим
I |)('бованиям не удастся. Отметим, что и любая конечная сумма функций
iik{x,t), хотя и удовлетворяет уравнению (1.5) и краевым условиям (1.8i),
(I.82), не решит задачу Коши, как ни выбирай а^, bk, в общем случае.
()с'1'ается единственная возможность взять сумму всех Uk{x,t), записав
,	.	/ пка , . пка \ пкх
L[x, О = 2^ ( COS —t + bk sm —t j sm —
k=i
(1.18)
II (1.18) a/c И bk пока неизвестны, но должны обеспечивать сходимость ряда.
I фс'дставление (1.18) назовем формальным решением поставленной зада¬
чи, хотя оно может и не быть решением в обычном виде, а именно иметь
д^и
||(М1рерывные производные 7^, связанные равенством (1.5).
ох"^ ot^
Подберем коэффициенты и 6/^; в (1.18) так, чтобы условия (1.6) и (1.7)
удовлетворялись. Предварительно продифференцируем формально ряд
(1.18)	по t\
ди	пка (	пка . пка \ пкх	,
— =	sm —t + bk cos —t jsm—.	(1.19)
11().дагаем в (1.18) t = О и с учетом того, что и{х, 0) = f{x), имеем
пкх
к=1
t sm -
= fix)-
(1.20)
'Замечаем, что ak являются коэффициентами ряда Фурье функции f{x),
разложенной на отрезке [0, £] в ряд только по синусам. Предполагая, что
сам ряд в (1.20) сходится на [0,£] равномерно, находим
£
2 f*	TXrCiT
йк = ^ j f{x)sin——dx, к = 1,2,...	(1.21)
'Точно так же, полагая t = 0 в равенстве (1.19), с учетом (1.7) получаем
F{x).
Епка.	. пкх
—hs>n —
к=1


56
Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье
Отсюда
. 7Хкх .
sin —— ах, а
7	^ 2 г ^. пкх ,
(1,22)
Можно считать, что формально для непрерывных f(x) и F(x) мы по¬
лучили решение задачи в виде ряда (1.18), в котором коэффициенты нахо¬
дятся по формулам (1.21) и (1.22). Но функциональные ряды, ряды Фурье
в том числе, — веш;ь капризная и не сходятся равномерно даже для непре¬
рывных функций. Можно показать, что для равномерной сходимости ряда
(1.18)	достаточно, чтобы f(x) имела кусочно непрерывную производную,
а F(x) была просто кусочно непрерывна при выполнении условий (1.8i)
и (1.82). Однако эти требования не обеспечивают, вообще говоря, существо-
.	с ,ч	дЧ д^и
вания у функции и(х, г) непрерывных вторых прорюводных и без
дх^ oF
чего говорить об u{x,t) как о решении уравнения (1.5) некорректно. Вве¬
дем определение.
Определение 1.1. Функцию u{x^t), представленную рядом (1.18), в ко¬
тором коэффициенты находятся по формулам (1.21), (1.22) назовем ре¬
гулярным (классическим) решением, если ряд допускает двукратное диф¬
ференцирование по X и t.
Непрерывность повторных производных автоматически следует из пра¬
вила почленного дифференцирования функционального ряда, требующего
равномерной сходимости формально продифференцированных рядов.
Приведем без доказательства достаточное условие существования регу¬
лярного решения в виде требования на степень гладкости f{x) и F{x).
Теорема 1.1. Если в поставленной в примере 1.1 задаче функция f{x)
удовлетворяет условиям /(0) = f{t) = 0, f"{0) = f"{^) = 0 и f{x) име¬
ет непрерывные производные f'{x), f"{x) и кусочно непрерывную f'"{x),
а F{x) удовлетворяет требованиям F(0) = F[() = 0, F\x) непрерыв¬
на, F"{x) кусочно-непрерывна, то u{x,t), представленная рядом (1.18),
будет регулярным решением.


^ 2. Уравнение продольных колебаний стержня
57
Если f{x) и F{x) обеспечивают лишь равномерную сходимость ряда
(1.18), то u{Xj t) называют обобщенным решением. На практике его равно¬
мерно с требуемой точностью приближают регулярными решениями. Са¬
мый естественный способ — ограничиться частичной суммой ряда (1.18)
при достаточно большом числе слагаемых.
§ 2. Уравнение продольных колебаний стержня
Изучим малые продольные колебания стержня.
Стержень — упругое цилиндрическое тело с постоянной площадью по¬
перечного сечения а. Направим ось абсцисс вдоль стержня. В качестве
неизвестной функции берется величина смещения сечения стержня с абс¬
циссой X в положении равновесия в момент времени t. Пусть x{t) коорди¬
ната этого сечения в момент ^ > О, тогда u{x,t) = x{t) — х. Визуально,
('стественно, u{x,t) увидеть нелегко. При выводе уравнения используют
закон Гука: сила натяжения Т при изменении длины образца Ах пропор¬
циональна его относительному удлинению Аи/Ах и площади поперечного
сечения а. Коэффициент пропорциональности (называется модулем Юнга,
обозначается Е) определяется для упругих тел экспериментально. Итак,
Аи	Аи ди
Т = Eg-—. Учитывая малость Аи, можно считать, что	—. Теперь
Ах’
Ах дх'
ди
T = Eg—.
дх
(2.1)
Само уравнение для функции u{x,t) имеет такой же вид, как и для
колебаний струны (1.1), а именно:
д^^и д'^и
(2.2)
Здесь р — объемная плотность стержня, р(х, t) — внешняя сила, рассчи-
'гаиная на единицу объема. Считая стержень однородным (в этом случае
р — постоянное число), после деления (2.2) на ра получаем
С) Е .	\
где	, g[x,t)
Р
dF
p{x,t)
2д\
(2.3)


58
Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье
Если внешние силы отсутствуют, р(х, t) = О, то получается уравнение
собственных колебаний
д‘^и 2^^'^	/п
Для всех уравнений ставится задача Коши: найти решение, удовлетво¬
ряющее условиям
ди
и{х, 0) = /(х);	—{х, 0) = F{x),
(2.5)
f{x) и F{x), как и выше, достаточно гладкие функции, f{x) — началь¬
ное растяжение стержня вдоль оси, F{x) — начальная скорость сечения
с абсциссой X.
Для конечного стержня, занимающего отрезок [0,-^] оси Ох, ставятся
краевые задачи. Перечислим основные типы граничных условий:
1.	Один из концов или оба жестко закреплены, т. е. смещение в гранич¬
ных точках равно нулю для любого ^ > 0:
и(0, t) = о,
t) = 0.
(2.6)
(2.7)
2.	Мягкое закрепление. Это означает, что концы (чаще всего один из
них) совершают свободные колебания, натяжение на концах равно ну¬
лю. Имеем при х = 0 из (2.1)
_1	_ ди
дх
= 0,
х=0
а так как E(J ^ 0, то
Аналогично в сечении х = t
ди
дх
ди
дх
= 0.
х=0
0.
(2.8)
(2.9)
3.	Упругое закрепление. В этом случае на концах стержня действует
внешнее сопротивление, пропорциональное отклонению и. Например,


§ 2. Уравнение продольных колебаний стержня
59
= 0,
х=0
hi > 0.
(2.10)
= 0,
х=£
/l2 > 0.
(2.11)
при X = О имеем (^аи + |3	= 0. Учитывая направление сил
натяжения при х = 0, краевое условие записывается так:
При X =
Эти условия могут быть неоднородными, типа гл(0,^) = ф(^), u{£,t) =
= л\){г) и т. д.
В качестве примера рассмотрим следующую задачу.
Пример 2.1. Один конец стержня закреплен, а на другой действует по¬
стоянная сила Q. Найти продольные колебания стержня, если в начальный
момент ^ = о сила перестает действовать.
Решение. Будем считать, что конец х = 0 закреплен и имеет место требо¬
вание (2.6), а конец х = £ имеет мягкое закрепление (2.9).
По условию задачи нетрудно сообразить, что начальные скорости сече¬
ний стержня равны нулю, что означает
ди,
dt
(х, 0) = 0.
(2.12)
Начальные отклонения найдем из условия, что стержень был предвари¬
тельно растянут силой Q и вся система находилась в равновесии до t = 0.
Точнее, силы натяжения Т при х = £ равнялись Q. По закону Гука
Т = E(j^ [б, с. 76]. Таким образом, при ^ = 0 выполняется равенство
ди
° дх
Q.
t=0
Отсюда
ди
дх
t=o
_Q
Еа'
Имтрегрируя последнее соотношение, получаем
и{х,0) =	+ С.
h/(j


60
Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье
Постоянную С найдем, используя условие (2.6), которое выполняется при
любом t ^ 0. При ^ О гг(0,0) = С = 0. Итак, начальные отклонения
равны
Q
\t=o
(2.13)
Все необходимые условия постановки задачи определены, и мы присту¬
паем к ее решению. Сначала четко сформулируем задачу:
Найти частное решение уравнения
_ 2^^'^
^ дх^ ’
(2.14)
удовлетворяющее краевым условиям (2.6), (2.9) и начальным (2.13), (2.12).
Ищем ненулевые частные решения уравнения (2.14), удовлетворяющие
только краевым условиям (2.6) и (2.9), в виде произведения u{x^t) =
= X{x)T{t). Подставляя функцию и в (2.14) и разделяя переменные т и
получаем, как и выше, равенство (1.12), из которого следует, что каждая
дробь равна некоторой постоянной, скажем ц:
V\t) Г\х)
o?T{t) ~ Х(х)
= Ц-
(2.15)
Как и раньше, краевые условия можно удовлетворить только с помощью
функции Х(х). Они записываются в виде
Х(0) = о,
Х'(£) = 0.
(2.16)
(2.17)
Несложный анализ показывает, что и в рассматриваемом случае этого
можно достичь лишь при отрицательном значении ц, для простоты
|х = —Л^. Вновь получили задачу Штурма—Лиувилля в такой постановке:
найти значения Л, при которых уравнение
X"(x)-hA^X(x) = 0
(2.18)
имеет нетривиальные решения, удовлетворяющие условиям (2.16) и (2.17),
и сами эти решения. Общее решение (2.18) записывается в виде
X(х) = Cl cos \х -h С2 sin Лх.


§ 2. Уравнение продольных колебаний етержня
61
Если X = О, то следует равенство С\ = 0. Находим производную
Х'{х) = C2AcosAx
и,	полагая в последнем равенстве х = получаем Х'{£) = C2AcosA^ = 0.
Постоянную С2, которая не будет равняться нулю, полагаем равной еди¬
нице, А тоже не равна нулю. Значит, выполняется равенство cosA^ = 0,
тогда
М:
п
(2,к	1), к G
Отсюда находим
^k = ^{^■k + l) и Xk = sin^{2k + l)x.
Заметим, что отрицательные значения к не дают существенно новых ре¬
шений и поэтому полагаем А: = 0, 1, ...
Перейдем к определению сомножителей T{t), которые удовлетворяют
уравнению
т"{1) + [^{2к+1)Ут = о.
Общее решение этого уравнения обозначим Tk{t) и запишем в виде
Tk{t) = ak cos ^(2fc -h l)at -h bk sin ^(2fc -h l)at,
здесь ak и bk — некоторые неизвестные коэффициенты. Искомые частные
решения уравнения (2.14)
Uk{x, t) = Xk{x)Tk{t), /с = о, 1, ...
Формальное решение представляем в виде ряда
щх.
оо
t) = ^ (йкcos ^{2к + \)at +
6fcsin^(2A: + l)ai) sin^(2fc + l)a;.
k=0
+ i
(2.19)
Предполагаем, что ряд (2.19) сходится равномерно в области 0 < х < £,
t > 0. Неизвестные коэффициенты найдем из расчета удовлетворить на¬
чальным условиям (2.12) и (2.13). Выполнение условия (2.12), равенство


62
Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье
нулю начальных скоростей, означает, что все bk = 0. Для определения ak
в равенстве (2.19) положим t = О и учтем требование (2.13). Получаем
к=0
l{x, 0) = ^ afc sin ^(2fc + 1)
Q
(2.20)
Заметим, что система синусов |sin^(2A; + 1)а;| ортогональна на отрезке
[о, £] и
е 7t	i
^sin^^(2A; + l)xcгx = -
о
для любого целого к ^ 0. Это позволяет счргтать ряд (2.20) обобщенным
рядом Фурье. Коэффициенты его записываются в виде
dk
2 г Q
о
xdx.
71
Интеграл берем по частям, полагая и = х, dv = sin ^(2fc + l)xdx. Далее,
7Т
Теперь
dk
4Q
Еоп{2к + 1)
(те	^ г 71	\
X COS 7Tz{2k + 1)х	— cos —{2к + 1)х dx .
у 2£	о ^	2£	J
Внеинтегральный член равен нулю, на нижнем пределе — за счет множи¬
теля X, на верхнем — в силу равенства нулю косинусов. Вычисляя остав¬
шийся интеграл, устанавливаем, что
dk —
sQe
7t
sin—(2А; + 1)а;
Ean^{2k + 1)2 2i
Подставляя пределы интегрирования и учитывая, что
7Г ,
sin^(2A: + l) = (-l)^


§ 3. Общая схема метода Фурье
63
окончательно получаем
ak = (-1)*
8Q£
ЕапЦ2к +1)2
Найденные коэффициенты подставляем в соотношение (2.19) и по тради¬
ции постоянные множители (не зависящие от к) выносим за знак суммы.
Искомое решение равно
"<*•*> = S § (airy J(2t + 1)«‘ »in ^(2t + 1 )х.
§ 3. Общая схема метода Фурье
Учитывая многообразие дифференциальных уравнений и краевых усло¬
вий, полезно рассмотреть достаточно общую постановку задач, объединен¬
ных близкими методами решения.
Пусть в области 0<x<£,t>0 требуется найти решение уравнения
, , д'^и д
удовлетворяющее краевым условиям
л
(3.1)
i|(o.O = o.
(3.2)
’ll'-*) = »•
(3.3)
1 = f{x),
(3.4)
1) = F{x),
(3.5)
при ^ > О и начальным условиям
и{х,
ди .
где f{x) и F{x) достаточно гладкие на [0,£] функции.
Будем считать, что р(х), р(х), р\х) и q{x) непрерывны на [0,£],
р(ж) > О, р[х) > О, q{x) ^ 0;
а, (3, у, 6 — неотрицательные постоянные иа-Ь|3>0,у-Ьб>0.


64
Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье
Поставленная начально-краевая задача может быть решена методом
Фурье. Иш,ем сначала нетривиальные решения уравнения (3.1) в виде про¬
изведения u{x,t) = X{x)T{t), удовлетворяющие краевым условиям (3.2)
и (3.3). Подставляя u{x,t) в (3.1), получаем
9{x)T"{t)X{x) = T{t)^	- qmt)X{x).
Разделим переменные:
(р{х)Х'{х)У
(){х)Х{х)
д{х)Х{х) T"{t)
T{t)
= -Л.
(3.6)
Здесь мы, как и выше, приравняем левую и правую части постоян¬
ной —Л, исходя из ранее приведенных рассуждений об условии тожде¬
ственного равенства двух функций от разных независимых аргументов.
Теперь для X (х) имеем уравнение
(р{х)Х'{х)У + (Лр(ж) - q{x))X{x) = О
(3.7)
С неизвестным параметром Л. Для (3.7) ставится краевая задача. Искомое
решение X (х) должно удовлетворять условиям
аХ(0) - 15Х'(0) = О,
(3.8)
уХ(£) + 5Х'(£) = О,	(3.9)
которые получаются подстановкой и = X{x)T{t) в равенства (3.2), (3.3).
Поставленная задача называется задачей Штурма—Лиувилля и строго
формулируется следующим образом.
Задача Штурма—Лиувилля. Найти такие значения X, называе¬
мые собственными значениями, при которых сую,ествует нетривиаль¬
ное решение уравнения (3.1), удовлетворяют,ее условиям (3.2), (3.3),
а также найти эти решения, называемые собственными функциями.
Имеют место следующие основные факты для задачи Штурма—Лиу¬
вилля.
1.	Существует счетное множество собственных значений Лх < Л2 <
< ... <Хп <.. , которым соответствуют с точностью до постоянного
множителя собственные функции Xi{x), Х2{х), ..., Хп{х), ...


§ 3. Общая схема метода Фурье
65
2.	Собственные значения неотрицательны, причем Л = О является
собственным значением тогда и только тогда, когда q{x) = О па [0,i]
и ос = у = О.
3.	Собственные функции образуют ортогональную на отрезке [0,£]
систему с весом р{х), т. е.
J р{х)ХДх)Х„{х) = I ^ Q
т ^ п,
т = п.
4- Теорема Стеклова. Всякая функция f{x), удовлетворяющая гранич¬
ным условиям (3.8), (3.9) и имеющая непрерывную производную второго
порядка, разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся на [О, £] ряд
Фурье по собственным функциям Хп{х):
ОО	i	j i
f{x) = ^ anX„{x), a„ = j p{x)f{x)Xn{x) dx / ^ p{x)Xl{x) dx.
n=l	0	'0
Для каждого собственного значения решаем уравнения относитель¬
но T{t):
r\t)
T{t)

ИЛИ
T"(t) +	= о, п = 1, 2, ...
Общие решения этих уравнений имеют вид
Tn{t) = Ап cos \/Л^ t + Вп sin ^/\ t,
где Ап, Вп — произвольные постоянные. В результате мы получаем счетное
множество решений уравнения (3.1) вида
Un{x,t) = Tn{t)Xn{t) = (Л„С05 \/л^^ + BnSin ^/\t)X„{x),
которые удовлетворяют краевым условиям (3.2), (3.3).
Чтобы удовлетворить начальным условиям (3.4), (3.5), составим ряд
и[х
,t) =	C0s\/x^t + BnSiny/Kt)Xn{x).	(3.10)
n=l


66
Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье
Если этот ряд сходится равномерно, так же как и ряды, получающиеся из
него двукратным дифференцированием по х и то сумма его будет удовле¬
творять уравнению (3.1) и краевым условиям (3.2), (3.3). Для выполнения
начальных условий (3.4), (3.5) необходимо
и(х,0) = У^АпХ„{х) = f{x),
П=1
ди{х, 0)
dt
^ у/КВ„Х„{х) = F{x).
(3.11)
(3.12)
п=1
Предположим, что функции f{x) и F{x) удовлетворяют условиям тео¬
ремы Стеклова, тогда их действительно можно представить в виде рядов
(3.11) и (3.12), а коэффициенты Ап и Вп находятся по формулам
J p{x)f{x)Xn{x) dx
—
Вп =
J p{x)F{x)Xn{x) dx
_J_o
у/^п
J 9{х)Х^{х) dx	"" J p{x)X^{x) dx
0 0
Подставляя найденные значения коэффициентов в ряд (3.10), получаем
решение нашей задачи.
Изложенный метод переносится на уравнения параболического и эллип¬
тического типов.
§ 4. Задачи о колебании в среде с сопротивлением
В этом разделе рассматриваются задачи о колебании струны в среде
с сопротивлением, которое либо пропорционально первой степени скоро¬
сти dujdt (задачи 2.7, 2.8, 2.9), либо сопротивленрю пропорционально от¬
клонению u{x^t) (задачи 2.10-2.14). Приведем несложный пример.
Пример 4.1. Найти решение уравнения
д‘^и ^ ди	^	па
удовлетворяющее условиям
и(0, t) = о, t) = 0;
(4.1)
(4.2)


§ 4. Задачи о колебании в среде с сопротивлением
67
,	. . 2пх ^ . Апх
и[х, 0) = Л sin ——h В sin —
ди
dt
(а;,0) = О,
(4.3)
(4.4)
В — постоянные.
Решение. Применим метод Фурье. Поскольку уравнение (4.1) встречает¬
ся впервые, приходится всю процедуру проделать с самого начала. Ищем
частное решение уравнения (4.1), удовлетворяющее (4.2), в виде произ¬
ведения u{x,t) = X{x)T{t) ф 0. Подставляя u{x,t) в (4.1) и разделяя
переменные, получаем
T"{t) + 2yT{t) ^	^ _ 2
o?T{t)	Х{х)
Для Х{х) получаем известную по примеру 1.1 краевую задачу:
х"{х) + л2х(х) = о, х(о) - х{е) = 0.
7тА/	7хкх
Отсюда Xk = ~Y ^ ^к{х) = sin fc G N.
Для T{t) запишется линейное уравнение с постоянными коэффициен¬
тами	^
T"{t) + 2yT'{t) +	T{t) = 0.	(4.5)
Соответствующее ему характеристическое уравнение имеет вид
пка
р 4- 2\р Н- ——	= 0.
Дискриминант этого квадратного уравнения А = у'^
пка
по условию
задачи отрицателен.
Для простоты полагаем — [nkajP)^ =	решение уравне¬
ния (4.5)
Tk{t) = ak6~^^ cos Wkt + bke~^^ sin cu^t, fc G N.
Формальное решение строится по формуле
i{x, t) = е ^ (afc cos uokt А bk sin uokt) sin
nkx
(4.6)
k=i


68
Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье
Производную dujdt вычислим заранее, и она равна
диь	^	7х.кх
— (х,^) = -yu{x,t) +	+ bkcos ш kt)(JOk sin—
к=1
В равенстве (4.6) полагаем ^ = 0:
. пкх . . 2пх _ . Апх
aksm-j- = Лзш— + Бзш—.
к=1
Отсюда а2 = А, й4 = В, все остальные ak = 0.
Вычисляем
оо	,	ос
OU .	7 7Г/СХ
— (ж, 0) = -V 2^ аи sm — + 2^ шфи sm
к=1	к=1
ди
в силу (4.4) -^(2;,0) = 0> откуда
7	^	7	"^'^2 Av , Ву
-yak + ojkbk = 0, b2 =	= —,	b4 = —.
0)2	0)2	0)4
Все остальные bk = 0. Ответ записывается равенством
и{х, t) =
А.	2тхх
	(0)2 COS 0)2^ + У sin 0)9^) sin ——h
0)2 ■ £
в	4тгх
Н	(0)4 cos 0)4! + у sin 0)4!) sin ——
0)4	i
Замечание. В ранее рассмотренных примерах коэффициенты при «коси¬
нусах с t» {ak) зависели только от начальных отклонений (f{x)), а при
«синусах с t» {bk) от начальных скоростей (функции F{x)) и равенство
нулю одной из этих функций означало обращение в нуль всей серии коэф¬
фициентов. Для приведенной задачи роль коэффициентов при косинусах
сохранилась, но уже bk зависят и от начального отклонения, и от на¬
чальной скорости, и bk ^ О для всех к, если F{x) = 0.
§ 5. Неоднородные задачи
В этом параграфе мы рассматриваем так называемые неоднородные за¬
дачи, т. е. в задачах либо присутствуют внешние силы, либо неоднородные
краевые условия (подвижные концы), либо то и другое вместе.


§ 5. Неоднородные задачи
69
5.1.	Стационарная неоднородность
Начально-краевая задача имеет стационарный характер, если неодно¬
родность условий определяется функциями, независимыми от времени t.
Другими словами, в этом случае функция g{x,t) в уравнении (1.3) запи¬
сывается как функция только х, д = д{х), а краевые условия типа (1.11)
имеют вид
u{0,t)=uo, u{i,t) = ui	(5.1)
с постоянными г^о и ui. Предполагается, что хотя бы одно из данных р(х),
щ, щ ненулевое.
Стационарную неоднородную задачу можно без особого труда свести
к однородной, представив
и(х, t) = v{x) -h w{x, t).
Слагаемое v{x) выбирают так, чтобы оно удовлетворяло неоднородному
уравнению и краевым условиям. Для v{x) получаем линейное дифферен¬
циальное уравнение второго порядка. Две произвольные постоянные, вхо¬
дящие в общее решение, определяются однозначно из расчета удовлетво¬
рить краевым условиям. Отметим, если краевые условия имеют вид
Ul,
дх	’ дх
то указанный метод может потерпеть фиаско. Для такой задачи приме¬
няется общий метод (см. п. 5.3). Не вдаваясь в подробности обоснованрш
корректности подобного способа решения, продемонстрируем его на при¬
мере.
Пример 5.1. Стержень подвешен вертикально и защемлен так, что сме¬
щение во всех точках равно нулю. В момент ^ = О стержень освобождается,
оставаясь закрепленным в верхней точке. Найти смещение сечений стерж¬
ня в любой момент t > 0.
Решение. В рассматриваемой задаче на стержень действует внешняя сила,
сила тяжести Р, на участке dx равная Р = тд = pugdx, д — ускорение
силы тяжести, р — объемная плотность, а — площадь поперечного сечения.
Уравнение продольных колебаний стержня запишется в виде (2.2)
ра
д^и
ТР
Еа—^ +


70
Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье
Поделив на ро* и положив = Б/р, получаем искомое уравнение
д^и 2^^^	/г Г.Х
Запишем краевые и начальные условия. Ось абсцисс направим верти¬
кально вниз, начало координат совместим с точкой закрепления стержня.
Пусть длина стержня равна i, по условию задачи конец стержня х =■ i
будет свободным. Это позволяет записать краевые условия в виде
и(0, t) = О,
ди
дх
Х=1
= 0.
(5.3)
(5.4)
(5.5)
Начальные смещения и скорости по смыслу задачи равны нулю
,	ди,
w(a;,0) = -^(^.0) = 0-
Последние соотношения означают, что собственных колебаний стержень
не будет иметь и фактически ищутся только вынужденные колебания, вы¬
званные силой тяжести. Свободный член в уравнении (5.2) не зависит от
времени, неважно, что и от х тоже. Полагаем u{x,t) = v[x) -f w[x,t).
Предполагается, что v{x) частное решение уравнения (5.2), удовлетворяю¬
щее краевым условиям (5.3) и (5.4), которые перепишутся в виде г’(О) = 0
и v'{tj = 0. Подставим v{x) в (5.2) и учтем, что dv!dt = 0. Получаем обык¬
новенное дифференциальное уравнение a^v"{x) -Г д = 0 или v” = —д/о?.
Отсюда у' = —gxja^ -h С\. Далее,
Г.2
у{х)
9^
~2о?
-|- С\Х -[- (С2.
Если X = о, то г;(0) = С2 = 0. Подставляя в производную у’ значение
X = £, получаем у'{£) = —д£1 о? -h Ci = 0. Отсюда С\ = д£jo?. В итоге
Ф) =
Для w{x,t) имеем задачу с однородными данными. Полезно записать
ее в полном виде.
В области 0<х<^, t>0 найти решение уравнения
d‘^w
~W
(5.6)


§ 5. Неоднородные задачи
71
удовлетворяющее краевым условиям
w^(0,i) = ^(^-0 = 0.
Начальные условия определяются равенством (5.5). Имеем
и{х, 0) = v{x) + w{x, 0) = о, ^{х, 0) =	0) = 0.
(5.7)
Отсюда
w{x, 0) = —v{x)
dw
dt
2a2
= 0.
{2£x — x^),
(5.8)
(5.9)
В последнем случае мы воспользовались равенством нулю производной
dv{x)/dt.
В результате для w{x,y) сформулирована задача, рассмотренная в § 2,
пример 2.1, но с другим начальным отклонением. Можно сразу записать
ее формальное решение (2.19);
оо
w{x,i) = ^ (акcos^(2А: + l)at + Ькsin ^(2А: + l)atj sin ^(2А; + 1)х.
к=0
Осталось удовлетворить начальным условиям. Из равенства (5.9) следует,
что все bfc = 0. Коэффициенты ak в силу (5.8) запишутся интегралом
ак = Jsin ^(2fc + 1)х dx.
Интеграл берется по частям, не разбивая его на сумму интегралов, исполь¬
зуя тем самым свойства разлагаемой функции — удовлетворение краевым
условиям. Приведем готовый результат:
16с;£2
a^7t^(2fc + 1)®’
Суммируя и и гс, записываем ответ:
1
А: = о, 1, 2
7	"5
„Гг Л 5(2x£-a;2)
=	2^2	^2^
^„2 ^ (2t + 1)3 ““	+1)«‘ '"i"


72
Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье
5.2.	Неоднородные задачи со специальными неоднородностями
Рассмотрим неоднородные начально-краевые задачи, неоднородность
которых имеет следующие представления. Свободный член уравнения
g{x,t) = x{t)(p{x)
И неоднородные части в краевых условиях записаны, например, в виде
= y{t), u{£,t) = z{t), причем x{t), y{t) и z(t) являются частными
решениями уравнения
Y"{t) = vy{t), ц^О,
т. е. функциями:	sin (3t, cos ^t.
Помимо метода решения общей неоднородной задачи, рассмотренного
ниже, можно предложить, на наш взгляд, более простой вариант.
Пример 5.2 ([10, 1(5102]). Изучить вынужденные поперечные колебания
струны, закрепленной на конце х = 0 и подверженной на конце х = £ дей¬
ствию возмущающей гармонической силы, вызывающей смещение, равное
Л sin си^.
Решение. По умолчанию предполагается, что начальные смещение и ско¬
рость равны нулю. Кроме того, считается, что частота си не совпадает ни
с одной собственной частотой струны:
Ш/с
пка
“Г’
пка
/cgN,
что означает отсутствие резонанса. Переведем задачу на язык формул.
Требуется найти решение уравнения
dfi ^ дх‘^ ’
(5.10)
удовлетворяющее условиям
'u(0, t) = 0,
(5.11)
t) = Л sin си^.
(5.12)
(5.13)


5. Неоднородные задачи
73
Итак, ищем только вынужденные колебания струны. Краевое условие
(5.12) удовлетворяет соотношению Y'\t) = —и является спецрь
Ш1ьным. Это позволяет найти частное решение (5.10), удовлетворяющее
граничным условиям, сохранив тем самым однородность исходного урав¬
нения. Представим u{x,t) в виде
и{х, t) = v{x, t) + гг(т, t).
Здесь v[x,t) — частное решение (5.10), удовлетворяющее (5.11) и (5.12),
а w{x,t) решает стандартную однородную задачу. Функцию v{x,t) запи¬
шем следующим способом v{x,t) = ф(х) sin си^, где ф(х) неизвестный мно¬
житель, удовлетворяющий равенствам
(5.14)
(5.15)
Ф(0) = о,
ф(£) = А.
Подставляя v{x,t) в (5.10), получаем
—cu^ф(x) sin ix)t = a^ф"(x) sin
Отсюда
ф"(а;) + ^ф(ж) = 0.
Общее решение последнего дифференциального уравнения равно
/ Ч	^	^	^	‘	^
(р[Х) = Cl cos —X + С2 sin —X.
а	а
Равенство (5.14) выполняется при С\ = 0. При х = £ имеем C2sin —i = И,
а
TzkOj	Ui)£	И.
гак как ш 7^ ——, /с G N, то sin — ^ 0 и С2 =	j. В итоге
£	а	sin —
а
, X А	. сих .
г»(х, t) =	J sin	sin uot.
sin— a
a
Для w{x,t) получаем задачу, которую сформулируем подробно. Найти
решение уравнения
dt‘^ ^ 9x^ ’
(5.16)


74
Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье
удовлетворяющее краевым условиям
гс(0, t) = w{£,t) = О
и начальным условиям, определяемым из равенств
и{х, 0) = v{x, 0) + w{x, 0) = о,
ди,	dv, dw,
^(х,0) = ^(а:,0) + -^(х,0) = 0^
Так как v[x^ 0) = 0, а 0) =	^ sin	, то
~А
(5.17)
dt ' sin ^ а
w{x, 0) = о,
Леи
си а:
sin
о)£
Sin ■
(5.18)
(5.19)
Таким образом, для w{x,t) получена простейшая начально-краевая за¬
дача (см. пример 1.1) и можно сразу записать формальное решение —
формулу (1.18):
W
/	ч	7	.	\
(х, t) = 2^ { ak cos —t -h bk sin —t I sin
k=l
В силу (5.18) все = 0, коэффициенты bk найдем из тождества
ткс
т
2Лси
, пка . пкх
к=1
Ао)	CUX
	т sin	.
sin^i^	а
Отсюда
Ьк = -
пка sin
CU р
J
а о
. CUX . пкх ,
sin		 sin —— ах.
а	£
Вычисляя интеграл известным приемом, находим
2Ло)а(-1)*
“ (7tfca)2-(cu£)2’
что совпадает с результатом в задачнике [10].
Складывая v{x,t) и w{x,t), записываем ответ:
,	^ ^sin—-sintut ^	^ (—l)*^sin^i • sin
u{x,t) =	+	^	^
пкх
к=1
{пкаУ — {£(Л)У


ri. Неоднородные задачи
75
ппа
Несколько слов о резонансе по какой-то частоте	когда кра-
7171 а
riioe условие (5.12) имеет вид	= Asin—^t. В этом случае задачу
можно свести к обндему случаю неоднородности (см. раздел 5.3) либо ре¬
шить приведенным способом, а в тех слагаемых найденного ряда, в кото¬
рых частота вынужденных возмущений совпадает с собственной, перейти
к пределу при ш —> си^, как это разъясняется в ответах к задачам 2.77
II 2.78.
5.3.	Вынужденные колебания физических объектов
с неоднородностями общего вида
В качестве примера рассмотрим вынужденные колебания струны с по-
'ршжными концами. На языке уравнений задача формулируется так.
В области 0<х<^, ^>0 найти решение уравнения
д‘^и 2^^^	/
удовлетворяющее краевым условиям
u{0,t) =
И начальным условиям
u{i,t) =-ф(^)
и(а:,0) = f{x),
^{х,0) = F{x).
(5.20)
(5.21)
(5.22)
(5.23)
(5.24)
Все функции, входящие в постановку задачи, достаточно гладкие на соот-
1и'гствующих множествах.
На первом этапе избавимся от неоднородности краевых условий. Пола¬
гаем
и{х, t) = v{x, t) Н- w{x, t).
Подберем v{x,t) так, чтобы она удовлетворяла только равенствам (5.21),
(5.22). Это можно сделать бесконечным числом способов. Самый простой
и удобный — записать v[x^t) линейной по х функцией:
v{x, t) = A(t)x -h B{t),
(5.25)


76
Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье
где A{t), B{t) — неизвестные коэффициенты, которые подбирают с расче¬
том удовлетворить неоднородным краевым условиям почти всех рассмат¬
риваемых видов. Исключение составляет пара
(p{t)
ДЛЯ которой представление (5.25) не срабатывает и приходится привлекать
вторые степени т, а именно:
у{х, t) = B{t)x -f- C(t)x^.
(5.26)
В рассматриваемом случае для выполнения условий (5.21) и (5.22) v{x,t)
берем в виде
v{x, i) = (l - ^) cp(t) +
Второй этап. Записываем условия, которым должна удовлетворять
w{x^ t), чтобы в сумме с f(x, t) решить поставленную задачу. Начнем с урав¬
нения
9^г’ д^'ги о f д^'w\
+ — =	+ —I +g{x,t).
dt^ dt^
Учитывая равенства
дх'^ дх"^)
д'^у
дВ
после несложных преобразований получаем
d^w	/	\
(5.27)
где gi{x,t) = g{x,t) - (l - |) (p"{t) -
Уравнение (5.27) остается в обш,ем случае неоднородным, но граничные
условия для w{x,t) будут однородными;
гс(0,^) = w{£,t) = 0.	(5.28)
Изменятся начальные условия:
w{x, 0) = и{х, 0) - v{x, 0) = f{x) - (l - I) (р(0) - |ф(0) = fi{x), (5.29)


§ 5. Неоднородные задачи
77
^(х,0) = F{x) - (l - I) Ф'(0) - |ф'(0) =
(5.30)
Если gi{x,t) = о, то для w{x,t) получается стандартная задача, рас¬
смотренная в первом параграфе, пример 1.1. Пусть gi{x,t) ф 0, тогда
ии{хф) представляем в виде суммы вынужденных и собственных колеба¬
ний струны:
w{x, t) = у[х, t) -h z[x, t).
Первому слагаемому отведем главную роль вынужденных колебаний стру¬
ны с закрепленными концами, возбуждаемых внешней силой
p{x,t) = P9i{x,t).
Функция г{хф) опишет собственные колебания, т. е. является действую¬
щим лицом уже цитированного примера 1.1, с начальными функциями
fi{x) и Fi{x).
Сосредоточимся на задаче о нахождении вынужденных колебаний
с р(х, t) общего вида. Применяемый метод называется в учебной литера-
гуре метод собственных функций. Отбрасывая промежуточные индексы
II обозначения, рассмотрим следующую задачу.
Пример 5.3. В области 0<x<£^t>0 найти решение уравнения
д‘^и
(5.20)
удовлетворяющее условиям
и{0, t) = и{£, t) = 0,
(5.31)
ди
w(a:,0) = = 0.
(5.32)
Решение ищем в виде обобщенного ряда Фурье по
цпям соответствующей задачи Штурма—Лиувилля
Х/.:(х) = sm{nkx / £)):
собственным функ-
(в данном случае
ос ,
/ \ м^ ^ / ч . Tikx
и{х, t) = ^ Tk{t) sin .
к=1
(5.33)


78
Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье
Условие (5.31) выполняется автоматически. Tk{t) пока неизвестные функ¬
ции, к определению которых мы и приступаем. Предварительно разложим
д{х, t) в ряд Фурье:
'ttIc'T
g{x,t) = ^gk{t) sin—,
k=l
где
nkx
9k{t) = - J g{x, t) sin ^ dx.
Подставляя в уравнение (5.20) разложения u{x,t) и g{x^t), получаем
ОО		J	о Q ОО	J	ОО	т
Err,/// \ . тхкх а 7Т X—^ т 9т / \ . Tzkx	х—^	/ \ тхкх
T!!{t) sin — = —— ^ en{t) sm — + ^gk(t) sin —.
k=l
k=l
k=l
Поскольку ряды по обе стороны равенства должны тождественно совпа¬
дать, то и их коэффициенты при одинаковых собственных функциях, в на¬
шем случае при синусах, должны быть равны. В результате имеем урав¬
нения
пут = -
Условия (5.32) удовлетворяются при начальных данных
ТД/) = -[^ \ n{t)+g,{t), кек
(5.34)
Г,(0) = П(0) = 0.
(5.35)
Итак, задача свелась к решению уравнения (5.34) с начальными условиями
(5.35), которая легко решается методом вариации постоянных. Запишем
сразу ответ:
пка,
пка
и
что и завершает решение поставленной задачи.
Заметим, что представленный метод применяется и при других крае¬
вых условиях, даже в обгцей схеме Фурье (см. § 3). В последнем случае
уравнение записывается так:
. .д‘^и д [ , .ди\ . .	/ ч / X


§ 5. Неоднородные задачи
79
краевые условия (3.2) и (3.3), начальные условия (5.32) нулевые. Решение
оо
шцется в виде u{x,t) =	где Xk{x) — собственные функции
к=1
соответствуюндей задачи Штурма—Лиувилля, g{x^t) представляется ря-
оо
дом g{x,t) = ^ gk{t)Xk{x). Проиллюстрируем замечание на конкретном
к=\
примере.
Пример 5.4. Изучить вынужденные колебания стержня, подверженного
действию внешней силы
р(х, t) = h{2x£ —
h — постоянная, со свободным концом х = in закрепленным концом х = 0.
Решение. Конец х = 0 стержня закреплен, а сечение х = ^ мягко закрепле¬
но (свободно). Поставленная задача сводится к интегрированию уравнения
(5.36)
dfi 5x2
где А = h/p, р — постоянная объемная плотность стержня. Краевые усло-
ния такие же, как в примере 2.1:
ди,
u{0,t) = 0,	=
Начальные условия нулевые:
ди,
и{х,0) =	= 0.
Собственные функции данной задачи были получены при решении при-
7Т
мера 2.1, а именно Xk{x) = sin —А2.к -h 1)х, А: = 0, 1,
н,(х, t) игцем в виде
поэтому решение
оо
i(x, t) = '^ Tkit) sin |^(2A; + l)x.
<1>уикцию g{x,t) = A{2x£ — x^)r разлагаем в ряд
k=0
2\4.2
(5.37)
g{x, t) = Ae ^ Qk sin Y^{2k + l)a;,
fc=0


80
Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье
где
2 г	п
ffk = jj (2х£ - х^) sin —(2к + 1)х dx =
32£2
п^(2к + 1)^’
Подставляя u{x^t) и g{x,t) в уравнение (5.36), получаем тождество
оо
sin^(2fc+l)x =
к=0
оо
-а^ Tk{t) (^(2fc + 1)^ sin Г{2к + 1)а;)
+
k=Q
Н	^—/ TTTi	TT^sin—(2А: + 1)х.
7гЗ ^(2/с + 1)3 2Г ^
Приравнивая коэффициенты при одинаковых собственных функциях, в на¬
шем случае при синусах, после небольших упрощений получаем дифферен¬
циальные уравнения
T'k{t) + ш\Тк{Ь) = \ikt^, /с = 0, 1,
(5.38)
где
п{2к + 1)о	Ъ2А^
^^к =		; Ц* =
2£	’	тгЗ(2А:+1)3’
которые решаются при условиях Tk{0) = Tj^{0) = 0. Общее решение одно¬
родного уравнения запишется так:
Tko{t) = Ak sin (Vkt -f- Bk cos LVkt.
Частное решение неоднородного уравнения представляем в виде
= Bt^ -h Ct -f- Z),
B, C, D — неизвестные числа. Подставляем Ть в (5.38). Имеем
2В -|- cv^(^Bt^ -|- Ct -|- Z)) =	.
[Ik	2В 2[L}^
Отсюда В = —7у\ С = 0; D =	тт =	г- Общее решение уравнения
cut
cut
CUT
(5.38) имеет вид
Tk{t) = Ak sin u)kt + В к cos Wkt +
cot
wl


§ 6. Задача о колебании прямоугольной мембраны
81
Определим и Б/и. Из равенства Т^(0) = О получаем Bk = —Условие
Т^(0) = О будет выполняться при = 0. В итоге
'^k(t) = ^^(cOSCVkt - 1) +
^к	щ
Подставляем значения Л, uok и цд; в Tk{t), а его в ряд (5.37) и записываем
ответ:
12Se^h ^ Г f
и{х, t) =
+ •
Е
к=0
_(2/с + 1)5
+
п(2к + l)at	,
cos	—	1
7Г
sin—(2/с + 1)2;.
о?-п\2к + 1)7 V'^““	2£
§ 6. Задача о колебании прямоугольной мембраны
Рассмотрим начально-краевую задачу о собственных колебаниях мем¬
браны, имеющую прямоугольную форму. Не нарушая общности, будем
считать, что мембрана совпадает с прямоугольником
Д = {О ^ X ^	0^2/^^}-
Предполагаем, что она закреплена по краю и возбуждается при t = 0
начальными отклонением и скоростью.
Таким образом, ставится задача: найти в области 0<x<£,0<y<h,
/; > о решение уравнения
д^и 2 (
= а
дВ' "" \дх"^ ду^) ’
удовлетворяющее краевым условиям
u{0,y,t) =u{e,y,t) = 0,	0<y<h,
u{x, о, t) = u{x, h,t) = 0,	0 < X < £
11 начальным условиям
u{x,y,0) = fix,у),
du,	,
— (x,^,0) = F[x,y).
(6.1)
(6.2)
(6.3)
(6.4)
(6.5)


82
Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье
Применяем метод Фурье. Ищем нетривиальное решение уравнения (6.1),
удовлетворяющее краевым условиям (6.2), (6.3), в виде
u{x,y,t) = T{t)v{x,y).
Подставляем произведение в уравнение (6.1) и разделяем переменные
T"{t)
a^T{t)
д\ d‘^v\ /	2
+	/»(*.») =-А.
Л — пока неизвестная постоянная. Функция v{x,y) удовлетворяет уравне¬
нию
г.	fn п\
И краевым условиям
и(0, у) = v{e, у) = v{x, 0) = v{x, h) = 0.
(6.7)
В результате для v{x,y) получили краевую задачу типа Штурма-Лиувил-
ля для двухмерного случая: найти значения Л, при которых уравнение (б.б)
имеет нетривиальные решения, и сами эти решения. Как и выше, искомые
значения Л называются собственными, а решения уравнения (б.б) — соб¬
ственными функциями. Функцию v{x^y) в свою очередь представим в виде
v{x^y) = X{x)Y{y) и, подставляя в уравнение (б.б), получим
X"{x)Y{y) + X{x)Y"{y) + l<^X{x)Y{y) = 0.
Разделяем переменные
-Л^.
Х"{х)	Г'{у)
Х{х) ^ Y{y)
Х'\х)
Х{х)
будут постоянными для {х^у) G Д, а так как Х(0) = Х{£) = 0,
Это равенство будет выполняться тождественно, если отношения
Y"{y)
"" Y{y)
У(0) =Y{h) = о, то в качестве Х{х) и Y{y) будем иметь соответственно
/ ч >4	•	/ N 7-»	• Ttm?/
Xk{x) = Aksm—, Ym{y) =


6. Задача о колебании прямоугольной мембраны
83
к,ш = 1, 2, ...; Ak, Вт — произвольные постоянные,
Тем самым показано, что задача (6.6), (6.7) имеет бесконечное множество
собственных значений и собственных функций
/	ч	.	л 7-»
'^ктКР^ч У)~ С-кт S1H ~	81П	, С]^ш ~ Aj^Bm^
t	П
Нетрудно показать, что эти функции при разных /сит ортогональны
li прямоугольнике i?, а именно: если [к — г)^ + (т — j)^ > О, то
JJ Vij ■ Vkm dx dy = о,
при этом
Я 9	2	2
Vk^x,y)dxdy =
Наметим по ходу дела, что собственные значения \km не обладают в об¬
щем случае свойством простоты, т. е. некоторым значениям \km могут
огвечать несколько линейно независимых собственных функций. Напри¬
мер, если R — квадрат [О,я; 0,я], ^ = /i = я, то собственные функции
Г[‘2 = sin X sin 2^ и V21 = sin 2х sin у отвечают одному собственному значе¬
нию Ai2 = Ао1 = 5.
Для множителя T{t) получаем уравнение
= О,
общее решение которого записывается в виде
'Bkmij'^ — ^кт '^кт^^ Н“ l^/cm
^кт, ^кт — произвольные ПОСТОЯННЬЮ.
Строим формальное решение
i(x,y,t) = Е Е(“* т COS \kmat + Ькт sin Afc„at) sin —— ■ sin
nkx nmy
~h~’
k=l m=l
|'Д(' CLkm = ockmCkm, bkm = P>kmCkm ~ неизвестные коэффициенты, обес-
||('чивающие равномерную сходимость рядов для u{x,y,t) и dujdt. Они
определяются из расчета выполнения начальных условий (6.4) и (6.5).


84
Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье
При ^ = О имеем
оо оо	,
. Tikx . пту ,	.
2^ 2^ akm sin — • sin-J- = /(x, у).
k=l m=l
Отсюда
Аналогично
e h
^km
eh
0 0
. nkx . nmy .	.
sin —— • sin —;— ax ay.
e h ^
e h
^kn
1	4 f f - nkx . nmy ,	,
J J F{x,y)sm — ‘Sm——dxdy.
0 0
Ha этом теоретическая часть завершается. Предлагаем решить следуто-
ш,ие задачи.
Задачи
Задачи на колебания в среде без сопротивления
► 2.1. Однородная струна £, закрепленная на обоих концах, находится
в положении равновесия, занимая отрезок [0,^] оси Ох, следовательно,
и(0,^) = о, u{e,t) = 0.
д^и	с.д^'и
Найти решение уравнения -7—^ = о.	любого t > 0, если задаются
ut^	их^
начальные условия:
\) и{хЛ) = f{x),	^{хЛ) = Г{х)-
^ . Зях 1 . 8ях ди,
2)	и{х, 0) = 5 sin — - - sin —,	—(х, 0) = 0;
ON	/	гчЧ	гл ^^/04	^	.	ЗЯХ	^ . 1ПХ
3)	г^(х,0) =0,	= 6sm—-sin—+ 3sin—;
,ч	,	^ч	1 . 2тгх ^	. 5ях 1 .	8ях
4)	г/(х,0) = -sin —+ 4sin— - -sin—,
. . snx ^ . рпх .	^
— (х, 0) = л sin ——h .D sin	Л и — постоянные, € N;


Задачи
85
dvL
5)	и{х, 0) = Ах, "^(^5 0) = о, А — постоянная;
.	,	.	ди	{ VQ, если а<х<(3,
6)	и(х,0) = 0,	^(^,0) = i Q
при X е [о, а] и [Р,^];
Ahx(i — х) ди,
7)	и{х, 0) =	^^2		 0) = 0;
8) и{х,0)
h
—X. О ^ X ^ с,
с
h{x — £)
с < X ^ £,
ди
dt
16/1
9) и{х, 0) =
о
(с-£)
/Х\4	^ /Х\3 X
Ы -чд +1
(х, 0) = 0;
ди,
,	h>0,	—(х,0) = 0.
► 2.2. Левый конец стержня х = О закреплен, а правый х = £ свободен,
это означает выполнение условий
. ч	ди, ^	,
?/(0, t) = о, ■7г-{£, t) = о для t > 0.
ох
Найти продольные колебания стержня, удовлетворяющие уравнению
д‘^и _ 2д‘^и
3/2	^ 3x2 ’
при следующих начальных условиях:
ди
1)	и{х,0) = f{x),	—{x,0) = F{x)-
. . Зях ^ . Иях ди,
2)	и{х, 0) = А sin — + В sin	—(х, 0) = 0;
04	/ ^ч ^ ди,	1 . 7ях 1 . 9ях
3)	Ц^,0) = 0, _(x,0) = -sm—--sm—;
.4/^4	•	ди,	. Зпх
4)	и(х, 0) = sm —,	—(ж, 0) = sm —;
ди
5)	и(х,0) = 0, -^(x,0) = vo]
6)	и(х, 0) = Y’	0) = 0;


86
Глава IL Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье
1 . Зттх 1 . Ьпх ди,
7)	и[х, 0) = J sin — - - sin —,	—(х, 0) = ^о;
ди
8)	и[х, 0) = X, —(х, 0) = vo\
гчч	/	гчч	^	л .	Зттх
9)	гг(х,0) = Ах, -^(^,0) = sin—-2sin—.
► 2.3. Проинтегрировать уравнение продольных колебаний стержня
д^u	2^^^
^ 9х^ ’
если левый конец х = 0 свободен, правый х = £ закреплен, т. е.
ди
^(0, t) = о, и{£, t) = о, t > о,
СО следующими начальными условиями:
ди
1)	и{х, 0) = f{x),	—{х, 0) = F{x)]
/	ч	.	^71х	^	7ях	ди,
2)	и{хД) = Acos—+ Bcos—, —(х,0)=0;
ON	/	.чч	о	9и,	^ Ъпх	2	1пх
3)	и[х, 0) = о,	—(х, 0)	=	2 cos —	- - cos —;
.4	/ ON	ON
4)	u[x, 0) = cos —,	—(x, 0) = cos
Зях 1 5ях
ди
5)	u(x,0) = 0, -^(x,0) = vo;
/	04 h(i — x) du,
6)	u{x, 0) =			,	-^{x, 0) = 0;
1 5nx 1 3nx du.
7)	u(a;,0) =-cos—--cos—,	—{x,0)=Vq;
N /	N	Л	/ ON	о
8)	u{x,0) =e-x,
du.
9) u{x, 0) = A{i - x),	—(x, 0) = vq.


Задачи
87
► 2.4. Изучить задачу о продольных колебаниях стержня, оба конца ко¬
торого свободны. Подобная задача возникает при движении ракеты в без¬
воздушном пространстве. Искомая функция и{х^ t), как мы говорили в § 2,
с. 58, удовлетворяет уравнению
д^'и пд‘^и
dt^
дх^
II краевым условиям
|(0,.) = 0, |№«) = о.
Решить задачу с начальными данными:
1)	и{х, 0) = f{x),	^{х, 0) = F{x)]
2)	и{х, 0) = о, ^{х, 0) = cos^
3)	и(х,0) = sin^^, ^(х,0)^0]
.4/^4	.	2тт2;	1 Зпх ди.	„ бтгж 2 7пх
4) и{х, 0) = 1 + cos —		 cos —, —(х, 0) = 2 cos —		 cos —;
5)	и(х,0) = у, у(х,0) = 0;
6)	и{х, 0) = sin^ ^(х, 0) = х;
dt
ди,
7)	и(х,0) = х, y(x,0) = vo;
04	/	/7	9и,	9 8пх
8)	и{х, 0) =е-х,	—{х, 0) = cos^ —;
04	/ 04 Зта ди,
9)	и[х, 0) = cos —,	—(х, 0) = £ - X.
► 2.5. В следуюш;ей серии рассматриваются задачи о продольных колеба¬
ниях стержня, один из концов или оба закреплены упруго.
В полуполосе 0<х<£, ^>0 для уравнения
^ дх‘^
решить начально-краевые задачи со следуюш,ими условиями:


88
Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье
ди
1)	и(0, t) = О,	t) + hu{^, t) = О, /г > О,
ох
ди
и{х, О) = /(ж),	—{х, О) = F{x);
ди
2)	гг(0, t) = О,	t) +	= О, /г > О,
ох
ди
и(а;,0) = 1,	-^(а:,0)=0;
ди	ди
3)	^(0,0 = 0, —{e,t) + hu{£,t) = 0, л > о,
ди
u{x,0) = fix), -^{х,0) = F{x);
ди	ди
^	= О, h>0,
ди
u(a:,0)=0, —{x,0) = l\
s ди,
5) ^(0,t)
ди
= О, ^(^7 О + hu{£, ^) = О, /г > О,
ди
и{х, 0) = Ах, А — постоянная; 0) = 0;
ди
6)	t) — hu(0, t) = о, h > О, и(£, t) = О,
дх
ди
и{х, 0) = f{x),	—(х, 0) = F(x);
ди	ди
7)	—(О, t) - hu{0, t) = 0, h>0,	t) = 0,
du
u{x, 0) = f{x),	—(x, 0) = F(x);
du
— hu{0, t) = 0,	-д-{£, t) + hu{£, t) = 0, /i > 0,
dx
du,
u{x, 0) = /(x),	—(x, 0)	F(x);
du	du
9)	—{0,t) - hiu{0,t) = 0, —{£,t) + h2u{£,t) = 0, hi>0, /12 > 0,


Задачи
89
ди
и{х, 0) = fix), —{х, 0) = F{x).
Задачи о колебании в среде с сопротивлением
► 2.6. В полу полосе 0<x<£,t>0 для уравнения
д'^и ди 2^^'^
(колебания в среде с сопротивлением) решить начально-краевые задачи со
следующими условиями:
CL7X.
1) у <—, u{o,t) = o, u{e,t) = o,
и{х, 0) = fix), ||(х, 0) = Fix);
2) u{0,t) = о, u{i,t) = о,
и{х, 0)
h
-X,
с
h{£ — х)
i-c
ди,
о ^ X ^ с,
, с < X ^
ди
dt
(х,0) = 0;
ди,
3) u{0,t) = 0,	=	и{х,0) = Ах, —(х,0) = 0, А = const;
дх '	dt
д'11	di I	di I
4)	g(0, t) = 0,	t) = 0, uix, 0) = fix),	0) = Fix);
du	du
5)	^(0, t) = 0, —(£, t) + huie, t) = 0, h>0,
du
uix,Q) = fix), —(x,0)=F(x).
Для 0<х<7г/2Д>0 решить начально-краевые задачи:
г»
^(0,i) = 0,	u(^, i)=0;	u(x,0) = /(x),	0) = F(x).


90
Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье
о о
ди
(У'll	/ 7Х \	0'ц
^(0,i) = 0,	ij=0;	u{x,0) = cosx, -^{x,0) = 0.
n r.	n
du /Я
u(0, i) = 0; II	= 0; u{x, 0) = /(x),	||(x, 0) = f (x).
о 1ГЛ	r
du /7Г
u(0,i) = 0,	u(x,0) =/(x),	^(x,0) = F(x).
/Я
u(0,0 = 0, II	= 0; u{x, 0) = fix), ^(x, 0) = 0.
d^u	d^u
^2.12.^-Ш = -„
du /7Г
UU /7Т	\
u(0,0 = 0,	^(2’*)^*^’
d'^u	d^u
du /71
sinx . ^ du,
-^+sm3x,	—(x,0) = 0.
u(0,0 = 0,	^(^>^)=0;	u(x,0) = /(x),	||(x,0) = F(x)
Текстовые задачи
► 2.14. Однородная струна длиной i, закрепленная на обоих концах, нахо¬
дится в прямолинейном положении равновесия. В некоторый момент вре¬
мени, принимаемый за начальный, она получает в точке х = с удар от
молоточка, который сообщает этой точке постоянную скорость vq. Найти
отклонение w(x, t) для любого момента времени.
Рассмотреть два случая.


Задачи
91
а. Струна возбуждается начальной скоростью
Vo, \х
I ^
О, \х
I
Этот случай соответствует плоскому жесткому молоточку, имеющему
ширину 7i/h и ударяющему в точке х = с.
б. Струна возбуждается начальной скоростью
ди,
п
vocosh{x — с), |х — с| < —,
О,
I	I
Этот случай соответствует жесткому выпуклому молоточку шириной
n/h. Такой молоточек в центре интервала возбуждает наибольшую ско¬
рость.
►	2.15. Решить задачу о малых поперечных колебаниях струны длиной 2^
с закрепленными концами х = —х = i, которая оттягивается в двух точ¬
ках X = —с и X = с на небольшое расстояние h от положения равновесия,
имеет форму ломанной линии и в момент t = О отпускается без начальной
скорости.
►	2.16. Однородный стержень длиной 2£ сжат силами, приложенными
к его концам, так, что он укоротился до длины 2^(1 —е). При ^ = О нагрузка
снимается. Показать, что смещение и{х, t) сечения с абсциссой х стержня
определяется формулой
u{x,t)
^ (—. (2n-hl)ra {2n-\-l)nat
^ (2n +1)2	2^	’
если точка х = О находится посередине стержня и а — скорость продоль¬
ных волн в стержне.
► 2.17. Изучить свободные продольные колебания однородного цилиндри¬
ческого стержня длиной у которого оба конца свободны и
ди{х, 0)
и{х, 0)
dt
= Ь,
а, Ь
постоянные.


92
Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье
►	2.18. Однородный стержень длиной £ находится в прямолинейном поло¬
жении равновесия. Один конец стержня х = О закреплен упруго, а другой
X = £ свободен. Найти продольные колебания стержня, если в начальный
момент времени его точкам сообщается скорость f{x).
►	2.19. Концы однородной струны длиной £ удерживаются с помощью
упругих сил. Изучить свободные поперечные колебания струны, если из¬
вестно в начальный момент времени смещение, а начальные скорости от¬
сутствуют.
Стационарная неоднородность
В полуполосе 0<х<£, t>0 решить следующие начально-краевые
задачи со стационарной неоднородностью, сх, (3, Л, г»о и т. д. — постоянные.
► 2.20.^=«^ + Asm —
ди
и{0, t) = О, и{£, t) = 0; и{х, 0) = 0,	~
ди
ди,
— (О, t) = о, и{е, t) = 0; и{х, 0) = о, -^{х, 0) = 0.
дх
^ д^'и ^д'^и	, . Ьпх
ди
и{0, t) = о, —{£, t) = 0; и{х, 0) = 0,
„	^ 7ТХ
► 2.23.^ = а^ + Лсоз-,
ди
Ж
(х,0) = 0,
ди,
ди	ди	VM
^(0, t) = о, -^{£, t) = 0; и{х, 0) = о, ^(х, 0) = 0.
д^и пд“^и , 5пх
► 2.24. -д^=а^ + Лсш—,
ди	ди
^М = 2,	^(^,0 = 2;	Щ,0) = 2х,
ди
di
(х,0) = 0.


Задачи
93
д‘^и ^д‘^и
dt^
дх^
► 2.25.	+ 3sin
ii(0, t) =
бга
Inx
— sin -
ди,
► 2.26.
ди ,
&<"'*>
► 2.27.
u{0,t) =
О, u{i,t) = 0]	гл(х,0) = 0,	—(x,0)=0.
Inx ^ llnx
du
= 0, t) = 0;	u{x,0) = 0,	—(x,0) = 0.
ЯХ 1 Snx
0,	—{i, t) = 0; u{x, 0) = 0,	—(x, 0) = 0.
dx
dt
► 2.28.
du -
d^u _ ^d^^u
dt‘^ ^ dx‘^ ’
du	du
6,	=	u(x,0) = 6x-1,	-^(x,0) == 2cos
dx
Г» ОГЧ di^u ^d^-u
► 2.29.	+ 3 cos ■
3nx
T’
du ,
5^^ dx^‘
du
= 0,	^(£,0 = 0;	u(x,0) = 2,
du
dt
dt
(x,0) = 0.
nx
T’
► 2.30.
du ,
	=
dt^
9x^’
du,
= 1, u{i,t) = 0]	u{x,0) = 0,	—(x,0) = 0.
► 2.31.
► 2.32.
u{0,t) =
9x^’
= 1,	it(£,i) += 0;	u(a;,0) = 0,	—(x,0) = 0.
2 9^г^
du,, .	^	du,	^ . 5ях


94
Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье
^	^ . Зга
Зи	ди
u{0,t) = 0,	^(£,ж) = а; и{х,0) = ах, -^{x,0) = vq.
^	5пх
— (0,^) = 0,	=	1х(:г,0) = £ - X + а+ ( — j
ди,	1 пх
^	суд‘^и
1^(0, t) = ^(£, f) = а; и{х, 0) = 0,	^(х, 0) = vq.
дх
dt
^	9	5ях
► 2.36.^ = a^+cos —
^(0,i) =	= а; ы(а:, 0) = ах, ^{х,0) = sii?^.
3^‘u суд^^и
и(0, t) = а, и{£, t) = 0; и{х, 0) = /(х),	—(х, 0) = 0.
9^u	^д'^и
Зи	Зи	1 7ГТ
^(0,f) = a, u{£,t) = ^-,	u(x,0) = |3,	^{x,0) = -cos-^.
2.39.
дГ ^ 5x^ ’
3u
— (0,t) — /ггг(0,^) = a, Л > 0,	u{£,t) = (3;
3u
u{x, 0) = /(x),	-^(x, 0) = F(x).


Задачи
95
►	2.40.
и{х, 0) =
►	2.41.
и{0Л) =
и{х, 0) =
►	2.42.
и{0, t) =
►	2.43.
и{0Л) =
►	2.44.
г^(0, t) =
►	2.45.
&(“•'>
►	2.46.
►	2.47.
= а, 7^(^, t) + hu{i. ^) = р. h > 0;
ох
fi^)^ ^(^>0) = 0-
дх‘^
+ X,
1, |«’,«) = 2;
di^ ^ 9x^ ’
(9?у	(9?/
о,	=	и(х,0) = 0,	^{х,0) = 0.
д‘^и
ди,
о, -^{e,t) = 2\ u(a;,0)
£х ди,
постоянная д > О,
ди	ди
О,	t) = 0; и{х, 0) = О,	—(х, 0) = VQ.
_ 2<9^w
dt^- ^ дх‘^ ’
ди
= (X, u{^Л) = ^\	гг(х,0) = 0, —(х,0) = г;о.
д^^и 2^^^
^ 9x^ ’
...	^	ди,	. Зпх 1 Ьпх
1, u{e,t)=0]	и{х,0) = 0,	“ 2
д‘^и ^д‘^и
— = a^^+bshx.


96
Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье
Ои
и{0, t) = О,	и{£, t) = О; и{х, О) = О,	~
З^и
ди
и{0, t) = О,	и{£, t) = О; и{х, О) = О,	~ ^•
^	cyd^-u ^ ди ^	ап
► 2.49. ^	- 2v^. 0<v<-,
Зи	Зи
—(О, t) = о, и{£, t) = А; и(х, О) = О, —(х, О) = О.
„ д^и Д'^и
Зи	Зи
—(о, t) - hu{0, t) = а,	О + fiu(£, t) = -а;
ди.
u(x,0) = 0,	—(х,0) = 0.
д^и д^и
► 2.51.	+ 10и + 2sin2x • cosх — 10 - 20х, О < х <
п
ди,
д^-и 2^^'^ г •
► 2.52.^ = a^^ + 5sm—-2х,
гг(0, t)
ди
£^х
1 . 7тгх
ди, .	^ . 7ях
— (х, 0) = 2 sin ——.
аг ^	2£
Неоднородные задачи со специальной неоднородностью
Решить приводимые уравнения с указанными условиями.
► 2.53.
д^‘u o9^гi
dt^
дх‘^
+ cos 2t • cos
ях an
Yt Y
^2,
^(0,0 = 0,	u(£,t) = 0;	u(x,0)=0,	^(x, 0) = 3cos


'Задачи
97
►	2.54.
«(О, t) =
н(х,0) =
►	2.55.
►	2.56.
/^(0, t) =
►	2.57.
/^(0, t) =
^	п(2кЛ-1)а	^ ^
^ =	+				7^3, к = 0,\,...,
ди
О, —U,t) = 3cos3t;
ох
28а
Зх ди,
sin —,	—(х, 0) = 0.
27cos(3^/a) а ’ dt
Зпх . ^ Зпа , ^
^ =	+	■=■”2*,	—7^2,
= 0>	=	“(т^>0) = 0,	^(1,0) =0.
д‘^и од'^и
а"^^—т + xsin 2t,
п{2к + 1)а
21 ^ 0,1,...,
ди ,, ^	/ ч ди ,	,	9а	2
О, — (£,^) = 2sin2^;	а(х,0) = 0, —(х,0) = -:	, sin-x.
дх
г,д^и
а + sm ■
Зтгх
- sin 2t,
dt ’	4cos(2£/a) a
Tx(2k + l)a
dx
ф2, fc = 0, 1, 2, ...,
dt'^ dx^ '	2£
du	du
0>	1) = sin 2^; u{x, 0) = 0, —(x, 0) =
sm -X
COS -
► 2.58.
du ,
► 2.59.
u{0,t) =
a(x, 0) =
d'^u _ ^d‘^u
dt^- ^ dx‘^
+ e ^cos
nx
du,
= 0,	u{^, t) = 0; u{x, 0) = 0,	0) — 0.
^	я(1 + 2А:)а	,
:й? = “^ + 2«»21. —* = M. -
du
0,	— (£, ^) = 2cos2^;
dx
5a . 2x du,
^(X,0)=0,
► 2.60.
5u _ ,
CL -7T^ + e ^sin2^,
ank
di^ dx‘^
du
= 0,	—(£, t) = 0; u(x, 0) = 0
7^2, fceN,


98
Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье
ди,	,	2	( asin-x а(е ^ —cos—)	2х
^	4 + а^ у 2	2sinf	а J
►	2-61--^ = a^ + 3xcos2i, 	fc = 0, 1, 2,
ди
u{0,t) = О, —{£,t) = 3cos2t;
ox
/	. 2x du,
u{x. 0) = 		^ sin —,	—(x, 0) = 0.
8 cos — a at
a
„ „„ d^u od^u	„ fcTta , „
►	2.62.=	+ cos 2i,	—^2, кеП,
di j	di 1
— (0,i) = 0, —{e,t)=0;
u{x,0)
i
2£
1 -T-^ \ cos	1 cos — + sin	e
4(a2 +1) \ sin - V о / о a a
2x
2x 1
2x
|(x,0) = 2^
В области 0<x<^, ^>0 решить задачи для уравнения
д^и	, г/
ди
с начальными условиями и(х,0) = 0; —(х,0) = 0 и с указанными крае¬
выми условиями и свободным членом f{x,t).
7Х.Х
► 2.63. u{0,t) = о, u{£,t) = о, f{x,t) = Ae~^sin—.
ди	7ZX
►	2.64. —(О, t) = о, и{е, t) = о, f{x, t) = Ае~* cos —.
(/11	ТХ.Т*
► 2.65. u(0, t) = 0,	t) = 0, f{x, t) =	sin —.
►	2.66. ^(0, t) = ^(£, t) = 0, f{x, t) = Ae~^* cos
dij	dll
►	2.67. ^(0,i) =


'Ьщачи
99
►	2.68. u{0,t) = О, u{i,t) = о, f{x,t) = Axe ^
►	2.69. u(0,i) = о, |^(£,i)=0, f{x,t)=Asmt,	^ 1;
n = 0, 1, ...
d^u du d^u .	n
►	2.70. -^ + 2-^ = ^+8ec«,x, 0 < i<-, t> 0,
^(0,0 = 0,	u(|,()=0;	к(я',0) = 0,	^(x,0)=0
►	2.71. Изучить вынужденные поперечные колебания струны, закреплен¬
ной на конце х = О и подверженной на конце х — ^ действию возмущающей
гармонической силы, вызывающей смещение, равное Hsintu^, си ^ nnaji,
II е N.
►	2.72. Изучить продольные колебания однородного цилиндрического
( гсржня, один конец х = 0 которого заделан, а к другому концу х = i при-
,'1()жена сила F = Л sin си^, направление которой совпадает с осью стержня,
си ф 7г(2п -h 1)а/2£), п = о, 1, ...
Решить следующие смешанные задачи.
► 2.73.
(hi
9^2	^ дх‘^
ди
-h sin2^, о < X < £, t> о.
ди,
2х
—-(0,t) = 0, —(i,t) = -sin — sin2^, гг(х,0) = 0, -^(x,0) = —2cos—.
().v	ox	a a	dt	a
d‘^u <)d^u
( > 0,
da, ,	du,	,	,	.	,	, Aa ch-
—(0,t) = 0,	—{e,t) = Ae\ u{x,0) = —
(ГХ	ox	sn-
a
d^u du d^u .	7T
► 2.75.^ + 2- = ^ + 8ecosx, 0 < x <-.
**(^>*)=*>'	u(x,0) = cosx, ^(x,0)=0
du,	Aa ch'-
^ > 0,
d'^u od'^u
nka
2.76.	= u-^ + A sin cut, 0 < X < £, t>0, cu^^ ——, к eN
dt^
dx^-
du,
(/((), t) = 0,	u(£, t) = 0, u{x, 0) = f{x),	—(ж, 0) = F{x).


100
Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье
►	2.77.	+ Лзт ■ sincu^, О < х < i, t > О,
ди
и(0, t) = О, и{1, t) = О, и{х, О) = /(х),	-^(х, О) = F(x).
_	, nNa	nNa ,	,
Рассмотреть случаи ш ф —— и си = —— (резонанс).
►	2.78. Однородная струна длиной закрепленная на концах х = О и х = ^
колеблется под действием внешней гармонической силы
F — p/(x)sincu^,
рассчитанной на единицу длины. Найти отклонение u{x,t) струны при
произвольных начальных условиях. Исследовать возможность резонанса
и найти решение в случае резонанса.
Задачи на общую неоднородность
►	2.79. ^=«^5^+ /(!,(),
ди	ди
и{0, t) = О, —(£, t) = 0;	и{х, 0) = 0, —(х, 0) = 0.
►	2.80. ^ = а ^ + /(1,0,
di I	di I	di I
—{0,t) = 0.	—(£,i) = 0;	u(x,0) = 0,	—(x,0) = 0.
d^'u d^u	,
"• да = 55 +	“ '>* •
du
u(0, t) = 0,	u{^, t) =- 0; u(x, 0) = 0,
-"■“■55-“55+
du	du
^(0, t) = 0, u{i, t) = 0;	u(x, 0) = 0, —(x, 0) = 0.
► 2.83.
r.d'^u
а-^ + й.
ди	ди
и{0, t) = о,	t) = 0; u(x, 0) = о, —(х, 0) = 0.


Задачи
101
► 2.84.
dt^ дх^ ^	’ ’
ди,
о, w(£, t) = 0; и[х, 0) = О,	^) “ ^•
г. or	2^^^	2
► 2.85. ^	+ rf.
ди.	,
► 2.86.
а(0,^) =
ди,
ди,
= о, —(£, ^) = 0;	^(а:, 0) - 1,	—[х, 0) = 0.
д‘^и д^-и
(9^^	9х^
, О < X < я, t > О,
(9и,
u{7i,t) = t^]	ii(x,0) = sinx, —(x,0) = 0.
d‘^u d‘^u
эг = ^'	'>»■
► 2.87.
w(0,t) = e~^	= гг(х, 0) = cosxsinx, ^(x,0) = l.
du,
dt
► 2.88,
u(0,t) =
► 2.89.
_ д^u
dx^~ dt^’ 0	^	^
1 du
■t,	^(n,t) = l; u(x,0) = sin-x, —(x,0) = l.
dx
dt
d‘^u du d^'u , r. t	о
ТГТ + 2— =	+ 4x + 8e^ cosX, 0 < x < -,	^ > 0,
dt^ dt dx^	2
du	fix. \	du
— {0,t) = 2t,	u\^—,tj=nt,	?x(x, 0) = cosx, —(x,0) = 2x.
9^'u ^d^u
dfi ^ dx^- ’
► 2.90.
u{0, t) = e“^	t) = 1; u{x, 0) = 0,	^(x, 0) = 0.
du,
dx
di^u cydi^u
=
du,
dt
► 2.91.
«(0,^)=^^	^(£,f) = l; u(x,0)=0,	^(a;,0) = 3sin-^.
dt^ 9x^ ’
du,
du,
dx
dt
nx
2i


102
Глава II. Уравнения гиперболического типа. Метод Фурье
► 2.92.
ди,
о д‘^и
ди,
пх
— (0,1) = е \ и{е, t) = 1; и(х, 0) - 1,	—(х, 0) = ^ - х + 2 cos —.
дх
_ . _ д^и
ди
ди,
2i
tt(0, t) = e \	—{£, t) = t] u(x, 0) = 1,	—(x, 0) = X - 1.
dx
du
du,
du,
d^{0,t)	1;	u(x,0)
►	2.95. Однородная прямоугольная мембрана закреплена по периметру
прямоугольника R = [0, £; 0, h] и имеет в начальный момент ^ = 0 форму,
являющуюся графиком функции f{x,y) = Аху{£ — x){h — у), А — малое
число. Определить отклонение мембраны от положения равновесия в лю¬
бой момент t > о, если сопротивление окружающей среды практически
отсутствует, а начальные скорости равны нулю.
►	2.96. Однородная мембрана в положении равновесия совпадает с пря¬
моугольником R = [0,£; о, /г]. В момент времени ^ = 0 она получает удар
по центру прямоугольника плоским молоточком так, что
ди
— (х,2/,0) = F{x,y)
vq, если|х — i/2\ < е, jy — hj2\ < 6,
о для остальных точек.
Изучить свободные колебания мембраны, если она остается закрепленной
на границе для любого t > 0.
► 2.97. В области Д = [0,	0, ^], t > 0 найти решение уравнения
д'^и _ 2 (д‘^и\
dt‘^ ^ \9х2	ду‘^) ’
удовлетворяющее условиям
,	. . 2тгх . пу
и{х, у, 0) = Л sin • sin —,


'Задачи
103
ди.	^ . ПХ . 2пу
— (х, у,0) = В sin Y • sin —.
А, в — постоянные числа,
и{0, у, t) = и{£, у, t) = и{х, О, t) — и{х, £, t) = 0.
► 2.98. В области R = [0, £\ 0,h], t > 0 найти решение уравнения
д^-и 9 /д^-и д^'и\	, . 71Х	. пу
-f Asm — • sin
\дх‘^	ду^J	^	h
{А — постоянное число), удовлетворяющее условиям
w(0, у, t) = и{£, у, t) = и{х, о, t) = и{х, /г, t) = 0,
Ои
и{х,у,0) = —(х,у,0) = 0.


Глава III
Уравнения параболического типа.
Метод Фурье
Без особых теоретических трудностей метод Фурье (метод разделения
переменных) переносится на уравнения параболического типа. Краевые
задачи для дифференциальных уравнений, возникающие в ходе решения
начально-краевых задач, практически совпадают с рассмотренными во
второй главе и, как станет ясно в будущем, носят более естественный ха¬
рактер.
§ 1. Основные уравнения. Однородные начально-краевые
задачи
В первую очередь рассмотрим уравнение теплопроводности. Пусть неко¬
торое трехмерное тело, занимающее объем Q, неравномерно нагрето, тогда
тепло из более горячих точек будет перемещаться в более холодные обла¬
сти. Выберем в гладкую поверхность AS единичной площади с норма¬
лью п, направленной в сторону уменьшения температуры. Через и{х, у, г, t)
обозначим температуру точки (x,y,z) G в момент времени t — неиз¬
вестную функцию распределения температур, подлежащую определению
в дальнейших задачах. Вывод уравнений для u{x,y,z,t) основан на ис¬
пользовании гипотезы Фурье, по которой тепловой поток q через А5, т. е.


^ 1. Основные уравнения. Однородные начально-краевые задачи
105
количество тепла, проходящего через единицу площади в единицу времени,
пропорционален производной ди/дп\
. ди
(1,1)
А’ > О — коэффициент теплопроводности, знак минус поставлен из-за убы¬
вания п(х, у, Z, А) в направлении п, так как q > 0. В общем случае к зависит
II от точки {x,y,z), и от направления п. Для упрощения задач предпола¬
гается, что к = k{x,y,z). Такие тела называются изотропными. Если тело
однородное, то к будет постоянным числом, определяемым эксперимен-
I’fUibHO. Через сир обозначим удельную теплоемкость тела и его объ-
('миую плотность соответственно. Для однородного тела они будут иметь
постоянные значения.
При составлении уравнения необходимо учесть наличие внутренних ис¬
точников тепла или его поглощения. Пусть M{x,y,z,t) — мощность (про¬
изводительность) источников, т. е. количество тепла, вырабатываемого еди¬
ницей объема тела в единицу времени.
Опуская несложные выкладки и рассуждения, приведем готовое урав¬
нение теплопроводности изотропного тела:
ди д
дх
ср
dt
jdu\ д fjdu\ д
) + M{x,y,z,t).
Для однородного тела оно примет вид
ди
dt
2 /д'^и	д‘^и д“^и\
(1.2)
к
M{x,y,z,t)
ср
Здесь = —, f{x,y,z,t)
ср
При отсутствии внутренних источников тепла уравнение (1.2) становит-
с‘я однородным:
Если исследуемое тело является тонкой пластиной с теплоизолирован¬
ными основаниями, то уравнения (1.2) и (1.3) перепишутся соответственно:
ди
(1,4)


106
Глава III. Уравнения параболического типа. Метод Фурье
ди _ 2 f
dt ^	ду^-
(1.5)
Наконец, для одномерного тела, являющегося тонким стержнем с по¬
стоянной (для простоты) площадью поперечного сечения и теплоизолиро¬
ванной боковой поверхностью, получаем уравнения
ди	. г г
dt
ди
уд'^и
dt ^ дх‘^
(1.6)
(1.7)
В последнем случае предполагается, что ось Ох направлена вдоль стерж¬
ня и температура сечения с абсциссой х не зависит ни от у, ни от 2. Заме¬
тим, что (1.6) и (1.7) являются основными объектами исследования в даль¬
нейшем.
Для каждого из приведенных уравнений по переменной t ставится за¬
дача Коши — задача определения температуры в исследуемой области
при ^ > О по известному начальному распределению при ^ = 0. Зада¬
ча Коши формулируется следующим образом: найти в области Q х (0, сю)
((х, у, z) G ^,t > 0) решение соответствующего уравнения, принимающего
при ^ = о значения:
(p{x,y,z) для (1.2) и (1.3);
(р{х,у) для (1.4) и (1.5);
и{х,0) = ф(х) для (1.6) и (1.7).
(1.8)
(1.9)
(1.10)
Подобные уравнения описывают также диффузионные процессы в рас¬
творах или сплавах, когда из мест с высокой концентрацией частицы рас¬
творенного вещества переходят в места с меньшей концентрацией. Пусть
q — безвозвратный поток вещества, проходящий через поверхность AS
единичной площади в единицу времени, а С(х, у, z, t) — концентрация диф¬
фундирующего вещества в точке (х, у, z) в момент времени t. Если п —
нормаль к А5, направленная в сторону уменьшения C(x,y,z,^), то имеет
место закон Фика:
-D
дп ’
(1.11)
где D > о — коэффициент диффузии, который для простоты будем счи¬
тать независимым от времени, а еще проще — постоянным числом. Так как


2. Краевые условия
107
равенство (1.11) аналогично гипотезе Фурье, то С(, х, у, г, t) будет удовле-
'гворять уравнениям, аналогичным (1.2)-(1.7). Например, для трехмерной
области в задаче о выравнивании концентрации (отсутствие источников
новых частиц) уравнение диффузии имеет вид
dt
+ ■
\	дz^‘ ) ’
(1.12)
Физически совпадение уравнений объясняется единым механизмом мо¬
лекулярного переноса: для теплопроводности энергии, для диффузии мас¬
сы. Аналогично ставится и задача Коши.
§ 2. Краевые условия
Если область Q ограниченная и, значит, имеет гладкую или кусочно¬
гладкую границу S', то на S задаются дополнительные условия, называе¬
мые краевыми или граничными. Сформулируем для (1.2) и (1.3) основные
'1ЧШЫ граничных условий.
1.	На границе S задается для любого ^ > О значение температуры
u\g=MP,t)y P&S,
ф(Р, ^) — данная достаточно гладкая функция.
Если на границе поддерживается нулевая температуры, то 0.
2.	На границе S задается тепловой поток F{P,t). С учетом того,
что q = —ко—, ко — коэффициент пограничной теплопроводности, п —
ап
внешняя нормаль к S, краевое условие переписывается в виде
■ x(P,t), x{P,t) = -F{P,t)/ko, pes.
ди
ди
дп
Если граница (или ее часть) теплоизолированная, то
дп
0.
3.	Свободный теплообмен со средой. По определению это означает, что
гепловой поток, излучаемый телом, пропорционален разности температу-
ры тела u[x,y,z,t) и температуры окружающей среды щ'. q = ос{и — г^о)


108
Глава III. Уравнения параболического типа. Метод Фурье
на 5, а — коэффициент пропорциональности, зависящий от степени теп-
лоизолированности границы области О,. Краевое условие записывается со¬
отношением
fco^ + a(u-uo)) =0,	(2.1)
ко И п имеют тот же смысл, что и выше.
Подобным образом формулируются задачи для уравнений (1.4) и (1.5)
на граничной кривой L.
Подробнее остановимся на краевых условиях для уравнения теплопро¬
водности ограниченного стержня, занимающего отрезок [0, £]. Так как гра¬
ница отрезка несвязное множество, то граничные требования формулиру¬
ются отдельно для точки х = 0 и х = i.
Первый тип краевых условий:
u{0,t) =	= л\){1), t > 0.
Если концы стержня поддерживаются при нулевой температуре (стержень
лежит в тающем снеге), то
и(0, t) = и{£, t) = 0.
Второй тип краевых условий:
Если концы теплоизолированы на 100%, то
Третий тип краевых условий. С учетом того, что
ди	ди	.	ди	ди
—	= —	прих	=	£	и	—	=	- —,	если х = 0),
on	ох	on	ох
краевое условие	(2.1) запишется	следующим образом:
= 0,
(2.2)
(2.3)
, ди
- oci{u- щ)
, ди
ко2-^ + 0С2[и - ио)
х=0
х=£
о,


§ 3. Теплопроводность шарообразных тел...
109
где fcon, оСп, и = 1; 2, значения fco и а на концах стержня.
Если щ = О, то обычно краевые условия свободного теплообмена со
средой с нулевой температурой записывают в следующем виде:
'ди
дх
hiu
О, h\ > О,
х=0
ди .
+ h2U
ох
= 0, fl2 ^ 0.
(2.4)
(2.5)
Естественно, что на концах стержня могут быть заданы различные кра¬
евые условия.
Аналогичные краевые условия имеют место и для уравнения фильтра¬
ции. Так, если граница об.ласти S фильтрации непроницаемая для рас¬
творенного вещества, то выполняется условие дС/дп\^= 0, п — нормаль
к S.
Основной метод решения начально-краевых задач для уравнений пара¬
болического типа — метод Фурье, подробно изложенный в главе II. Некото¬
рые особенности возникают при решении задач о теплопроводности в ша¬
ровых областях, которым посвящен § 3.
§ 3. Теплопроводность шарообразных тел с центрально¬
симметричным распределением температуры
Рассматривается задача о распределении температуры в шаре радиу¬
са R с центром в начале координат. Неизвестная температура u{x.y^z,t)
удовлетворяет уравнению (1.2)
ди
(3.1)
Если начальная температура и{х, у, z, 0) является функцией сфериче¬
ской координаты г =	+	краевое условие на сфере Sr и сла¬
гаемое f{x,y,z,t) являются функциями г, t, то задача называется цент¬
рально-симметричной. В этом случае значение температуры на каждой
сфере Sr, о < г < R, с центром в 0(0,0,0) будет зависеть только от вре¬
мени и сама неизвестная функция будет функцией от г, t, и = u{r,t).
В уравнении (3.1) переходят к сферическим координатам
г cos ф sin 0, у = г sin ф sin 0,
г COS0,


по
Глава III. Уравнения параболического типа. Метод Фурье
и оно запишется в виде
ди
dt
д
уди
дг V дг
1 д f .
+ —
+ f{г,t).
sin^0
Так как искомая функция и не зависит от 0 и ф, то (3.2) примет вид:
1 д f оди
(3.2)
ди
dt
(3,3)
в качестве примера рассмотрим следующую задачу.
Пример 3.1. Дан однородный шар радиуса R при начальной темпера¬
туре равной нулю. Шар нагревается равномерно по всей поверхности по¬
стоянным тепловым потоком q (симметричная задача). Найти радиальное
распределение температуры в любой момент временр! t > 0.
Решение. Так как внутренних источников тепла нет, то речь идет об инте¬
грировании уравнения
ди
dt
1 д
2ди
г‘^дг дг
(3.4)
Краевое условие на сфере г = R сначала представим так:
. ди
Sr
НО, учитывая, что на Sr нормаль п совпадает с направлением г, имеем
(3.5)
ди
дг
Sr
Q
к'
к — коэффициент теплопроводности. Соотношение (3.5) дополняется усло¬
вием в начале координат
|?i(0,t)| < оо, ^ > 0.
Начальная температура и{г, 0) = 0.
(3.6)


§ 3. Теплопроводность шарообразных тел...
111
Искомую функцию представим в виде суммы u{r,t) = v{r,t) + w{r,t),
где v{r,t) попробуем найти как частное решение уравнения (3.4), удовле¬
творяющее краевым соотношениям (3.5) и (3.6), для w{r,t), которое ищет¬
ся при краевых условиях dw/dr\^^j^= О, |ш(0,^)| < оо, ставится задача
сформулировать начальное требование при t = 0.
Функцию v{r^t) ищем в виде v{r,t) — A{t) -h B{r) с неизвестными сла¬
гаемыми. Подставим V в (3.4) и разделим переменные
АД) = ^ДгД'{г)у.
Это равенство будет выполняться тождественно лишь тогда, когда обе ча¬
сти равны постоянной М. Отсюда
A\t) = М, —(г^В'(г))' = М.
Интегрированием определяем, что
Со
A{t) = Mt + C,, В{г) = -^ + ^ + С,.
Мг‘^ Со
В итоге v(r, t) = —	hMt-fC, С = C\-\-C^. Ограниченность г’(0, t)
оа^ г
приводит к равенству С2 = 0. Число М определим из условия выпол¬
нения (3.5):
ду
дг
r=R
q	МД	ЦД
к'	Зо2	к'	Rk
Постоянная С роли не играет, и полагаем С = 0. Теперь
3qa^
v{r, t)
kR 2kR
Функция w{r^t) должна быть решением (3.4), ограниченной при г = 0,
dw/dr\^^j^= о и
-»1«=
Уравнение (3.4) известным приемом приведем к уравнению с постоянны¬
ми коэффициентами, положив w = У/г, где Y{r,t) — новая неизвестная
функция. Нетрудно подсчитать, что Y{r,t) будет решением следующей
смешанной задачи:
dt ^ дг‘^ ’


112
Глава III. Уравнения параболического типа. Метод Фурье
Y{0,t) = 0,
дг
Y
= 0,
r=R
4=0-
qpo
Искомая функция может быть найдена по методу Фурье стандартным при¬
емом. Полагаем У = X{r)T{t)^
Г
X
Знак V определим дополнительно, так как краевые условия на Х{г):
Х(0) = о, RX'{R) — X{R) = о — ранее в паре не встречались. Если v > 0,
у = то X{г) = С\ sh br -h С2 ch br, но C2 = 0 из-за X(0) = 0, a для г = R
должно быть Rb ch. bR — shbR = 0, это выполнится лишь при Ь = 0, что
невозможно. Если v = 0, то X = Аг В^ но В сразу равно 0, а Хо = Aqt
является собственной функцией. Наконец, положим у = — Л^. Теперь
X" -h Д2Х = о, Х(г) = Cl cosЛг -h С2 sinЛг.
Постоянная Ci = 0, так как Х(0) = 0, удовлетворение второго краевого
условия приводит к уравнению относительно Л
RX cos XR — sin XR = 0.
Положим Ai? = |х, для ц имеем соотношение
tg Ц = Ц.
Последнее уравнение имеет бесконечное число решений, мы ограничимся
только положительными и обозначим их по порядку Цх, \Х2, ..., причем
пк — п/2 < \ik < 7т/2 -h я/с и \ik -> 00, как пк. Тогда
X,(r)=Afcsin^, fc=l, 2.
Ло, Лх, ... — постоянные. Из общей теории следует, что система
Г . V^ir . Ц2Г \
,sm—
ортогональна на [0, R]. Далее, обычным способом находим
To(t) = Во, Tk{t) = Bke~\ R ) \


§ 3. Теплопроводность шарообразных тел...
113
Bk, А: = о, 1, ..., — постоянные.
Формальное решение запишется в виде ряда
Y(г, t) = аог + ^ а„е ( ^	* sin
П=1
ап = Ап' Вп-> п = О, 1, ... Удовлетворим начальному условию
Г.З
Y (г, 0) =оог + У2 ап sin
[ikV	qr'^
п=1
R 2kR'
(3.7)
Считая, что ряд (3.7) сходится равномерно, найдем его коэффициенты.
Умножим его на г и проинтегрируем по г на [0, R]\
R	R	^
С 2 J	^ г 4 J	3qR
о	о
Умножим равенство (3.7) на sin-- и интегрируем по г на [0,/?]:
R
R	R
1	Я г 3 . М^гГ* ,
^ ■аг = ---г-=:	т sin —— dr.
R	2kR J	R
0
r . 2
sin —(
Сначала находим
R
1 i?sin2p^\
R 2V^^	2 \in )
Sin —^dr = -
J i? 2
R-~-
R
= 1
tg^n
2V Цn(l + tg^ц„)/	2(1+ ц2)	2
Далее, беря интеграл по частям два раза, получаем
г 3 . м^г	tr	бит .	\ ЬП- с . \LnV
sin dr =	cos Н	^ sin |Lin	5" г sin —- dr.
J R	Цп /^^"o	^
Последний интеграл в си.пу ортогональности системы Х„(г), п = 0, 1, ...,
равен нулю. В итоге
R


114
Глава III. Уравнения параболического типа. Метод Фурье
Теперь, собирая все вместе, получаем
и{г, t) = V -\
г
Y Zqa^ qr^ 3qR 2qE?
kR
t +
3qR 2qR^^^-(i^Yt
10h
2kR Ш
n=l
з1п(ц„г/Д)
ЦпСОЗЦг!
где [iri положительные корни уравнения tg ц = \х.
Задачи
Однородные задачи
Напомним, что начально-краевая задача называется однородной, если
она ставится для однородного уравнения, в нашем случае это уравнение
теплопроводности стержня (1.7) или близких к нему, и при однородных
краевых условиях, например (2.2)-(2.5). В дальнейшем А, Б, щ, q и т.д.
обозначают некоторые постоянные.
► 3.1. Дан тонкий однородный теплоизолированный стержень длиной £.
Концы стержня х — О и х = £ поддерживаются при нулевой температуре
u{0,t) = u{£,t) = 0.
Определить температуру стержня для любого t > 0, тем самым найти
ди
решение уравнения
если задаются начальные условия:
1)	и{х,0) =
2)	и{х, 0) = Ах\
^ X, о < X < £/2,
£ — X, £/2 ^ X < £;
4)	и{х, 0) = х(£ — х).
► 3.2. Тонкий однородный с теплоизолированной боковой поверхностью
стержень имеет длину £. Проинтегрировать уравнение теплопроводности
стержня
3) гг(х,0) =
ди
dt
уд‘^и
(9x^’


Задачи
115
если при t > О его левый конец х = О поддерживается при нулевой тем¬
пературе, а правый X = £ теплоизолирован, что соответствует краевым
условиям
ди
u{0,t) =	= 0.
Начальная температура задана следующими функциями:
1)	и{х,0) = fix);
2)	п(т,0) =
04	/	о .	. Птг^
3)	^х(х,0) = 3sm-^-sin-^;
4)	и{х, 0) = Ах.
► 3.3. В полуполосе 0<x<£,t>0 найти решение уравнения
ди 2^^^
dt ^ дх^-
с граничными условиями
ди
дх
(0,^) = О, u{£,t) = О
при таких начальных условиях:
1)	и(х,0) = /(х);
о\ /	04	о
2)	г^(х,0) = 2cos—--COS—;
3)	2х(х,0) = Го;
4)	и{х, 0) = А{£ — х).
► 3.4. Некоторое вещество в начальный момент неравномерно растворено
в прямоугольном «аквариуме» длиной £. Записать процесс выравнивания
концентрации вещества в «сосуде» для любого t > О, если стенки сосуда
непроницаемы для вещества и растворителя. Задача сводится к интегри¬
рованию уравнения
ди _ 2^^'^
dt ^ дх‘^ ’


116
Глава III. Уравнения параболического типа. Метод Фурье
u(x,t) — концентрация вещества в сечении х, О < х < £, при ^ > О при
краевых условиях
g(o,o = o. |(u) = o.
Начальная концентрация задается условиями:
V 1) и(ж,0) = f{x);
2)	и(ж,0) =	;
' ON /	9 Зях ^ 4ях
3)	и{х, 0) = cos^ — - 2 cos
4)	и{х,0) = uq]
5) и{х, 0) =
г^о, о < X < /г,
о,	h < X < £;
6) u(a:,0) = -
► 3.5. В этой группе задач требуется в полуполосе 0<х<£, ^>0 найти
решение уравнения теплопроводности
ди
■)д^и
dt ^ дх^' ’
когда на одном или на обоих концах стержня с теплоизолированной боко¬
вой поверхностью происходит свободный теплообмен со средой с нулевой
температурой. Искомая функция должна удовлетворять следующим кра¬
евым и начальным условиям (Л, > 0):
1)	ii(0, t) = о,	+ hu{£, t) = о, и{х, 0) = /(х);
ох
2)	гг(0, t) = о,	+ hu{^, t) = 0, и{х, 0) = 1;
3)	*fM = o,
OX
4)	^ = 0,
дх
du{£,t)
дх
ди{£, t)
дх
-h hu{i, t) = о, ii(x, 0) = /(x);
-h hu{£, t) — 0, u{x, 0) = Ax\


Задачи
117
5)	— hu{0, t) = О,	и{(,, t) = О, и{х, О) = f{x)\
6)	— hu{{),t) = О,	и{£Л) = О, и{х,0) = щ\
дх
7) ^^^-hu{0,t) = 0,
ди{£, t)
дх
О,	u{x,0) = f{x)]
8)	_ hu{0, t) = ЩЛ + hu{e, t) = 0, u{x, 0) = fix)-,
ox
dx
9)	- /iit(0, t) =	+ hu{£, t) = 0, u{x, 0) = г^о.
дх
дх
► 3.6. Дан тонкий однородный стержень длиной £, с боковой поверхности
которого происходит свободный теплообмен со средой, имеющую нулевую
температуру. Можно показать, что температура сечений стержня (ось х
направлена вдоль тела) в любой момент t > 0 удовлетворяют уравнению
ди пд^'и ,9
-7^ =	— о и.
dt
дх‘^
кор
где имеет тот же смыс.л, что и выше, 6^ =	, ко — граничный коэф-
сра
фициент теплопроводности, р — периметр поперечного сечения, а — его
площадь.
Требуется проинтегрировать указанное уравнение со следующими гра¬
ничными и начальными условиями:
1)	п(0, t) = о, и{£, t) = о, и{х, 0) = /(^);
ч ^	ди(£, t) ^	, пх
2)	u{0,t)=0,	—^— = 0,	u(x,0)=sm—;
3)	U(0, t) = о,	_ д..
4)Ё1!М = о,
5)
дх
ди{0Л)
дх
дх
ди{£, t)
дх
= 0,	и{х,0) = f{x)]
ди(£
— hu(0, t) = —— = о, и(х. 0) = ito, h > 0.
дх


118
Глава III. Уравнения параболического типа. Метод Фурье
► 3.7. В полуполосе 0<а;<7Г, ^>0 решить начально-краевую задачу:
ди д‘^и
dt	^
=	»(x.0) = cos2i.
дх	’ дх
3.8. В полуполосе 0<х<тг, t>0 решить начально-краевую задачу:
ди	ди
dt	дх^^'
г^(0, t) = о, и{п, t) = о, и{х, 0) = sin 2х — sin х.
Начально-краевые задачи со стационарной неоднородностью
Определение стационарной неоднородности для уравнения параболи¬
ческого типа совпадает с введенным ранее в п. 5.1 главы II. Для уравне¬
ния теплопроводности стержня это означает, что интегрируется уравнение
(1.6), когда свободный член f{x^t) является либо постоянным числом, ли¬
бо функцией аргумента х, а в краевых условиях (2.2)-(2.5) справа вместо
нулей могут стоять константы, отличные от нуля.
Идея решения та же, что и в п. 5.1 главы II, а именно: искомая функ¬
ция u{x,t) записывается в виде суммы u{x,t) = v{x) -f- w{x,t). Функция
v{x) должна удовлетворять данному неоднородному уравнению и задан¬
ным краевым требованиям. Для w{x^t) в итоге получается задача инте¬
грирования соответствуюш,его однородного уравнения с однородными гра¬
ничными условиями, но с новым начальным условием, в которое наряду
со значением и{х,0) войдет v{x), w{x,0) = и{х,0) — v{x). Таким образом,
w{x,t) решает одну из ранее приведенных однородных задач.
В полуполосе 0<х<£, t>0 решр1ть следуюш,ие начально-краевые
задачи.
^ ^ ди <уд‘^и
1) u(0, t) = и{£, t) = uq, щ — const, u{x, 0) = 0;
2) u{0,t) = Ui, u{i,t) = U2, Ui,U2 — const, u(x,0) = 0;
3)	^(0, t) = 0, u{£, t) = uo, u{x, 0) = Щ]
4)	u{0,t) = u{i,t) = 0, u{x,0) = U2]


Задачи
119
дх
5)	u{0,t) =
6)	it(0, t) =
7)	u{0,t) =
о -.ГЧ
►	3 a
du
" ж
w(0, t) = 0,
du
-	a
i/(0,	= 0,
о -.o
►	® a
о -. ^ 5u
►	3.14. -
гх(0, t) = 0,
du
►	^ a
du
-	’ a
►	3.17.
dt
du
►	a
u{0,t) = 1,
о 4rv
►	a
^(0,t) = 2,
= ui, u(^, t) = ?X2,	ti(x,0) = iio;
= uo, ti(£, ^) = 0,	u(x,0) = 0;
= 0,	u{£, t) = Щ, u{x, 0) = 0.
Q^u
= a^-7^ + (x — £),	^(0, t) = u{i, t) = 0,	?x(x, 0) = 0.
dx^
od'^u
ifa-., .(.,.).-g
"■S-'
du{£, t)
/
o9^u	„ du(£,t)	,	. 5яа;
= a u(0,i) == 0,	= Щ, u{x,0) = щх + щвт—.
n
du(£,t)	x^
-g^=1. «(7,0) = -^ + ,X.
2d^U	.
=	u(0,t) = uo,
9x^’
2d^u du(0,t)
du(£, t)
dx
= Qo, u{x,0) = Qox.
3nx
a“^,	'	= 0,	u{£,t) = uo,	u{x,0) = uo	+ 3cos—.
nd^'u	du(0,t)	^	//, Ч ^	ГЧ
= «^1	- g- = 1. w(^i = 0. u{x, 0) ^ 0.
od^'u ^ .
=	+ 3sin
du{£, t)
3nx
IT’
ax =*'’ »(x.0) = sm^ + l.
= a
^	^ + 3 sin
dx^-
du{£, t)
3nx
Бпх
1, u(x,0) = x + 2 - 5sin-—.
dx	2£


120
Глава III. Уравнения параболического типа. Метод Фурье
►	3.20.
u{0,t) =
►	3.21.
u{0^t) =
►	3.22.
►	3.23.
u{0,t) =
►	3.24.
u(0, t) =
►	3.25.
du{0, t)
du	9 5^гi ^ . Зях
^=a^ + 3sm—,
du(£,t)	^	^	^
= 2, u(x,0) = 2x +1 - 5sm—.
1,
du{i,t)
2d‘^u	.
= CL + 4sin •
Зтгх
1,
dx
5ttx
= 2, гг(х, 0) = 2x + 1 — sin
^ _ 2^	ац(0,^) _	пч о
dt~ дх^' дх ~ дх “ ’
ди од‘^и . 7ТХ
1,
ди
du(£,t)	^	^ . Зях
= 2,	г^(х, 0) = 2 sin — + 2х + 1.
Зях
^-«^ + sin^ + 2a-,
du{£,t)
2,
Тттх
^ О, гх(х, 0) = 2 + 2£х —	- 3sin-—.
дх	2£
■уд'^и
2>пх
дх
►	3.26.
du{0,t)
дх
►	3.27.
ди{0, t)
дх
►	3.28.
a=“'5J5 + '“—
= 1, 9«М = 1, „(х,0)=;г-^:?.
1пх
dt "" дх^	£ ’
= 2,	*!М = 2, „(x,0) = 3cosi^ + 2x-4.
дх	£
ди
Зпх
dt "" дх^	2£ ’
= 1, и{£, t) = О, 'а(х, 0) = X — £ + 2 cos
dt дх^' дх	дх	^ ’ ^


Задачи
121
►	3.29
►	3.30.
и(0, t) =
►	3.31.
u{0,t) =
►	3.32.
du{0,t)
дх
►	3.33.
^ix(0, t)
дх
►	3.34.
►	3.35.
►	3.36.
►	3.37.
►	3.38.
//.(О, t) =
►	3.39.
0u{0, t)
du _
dt ^ 9x2
du 2^^'^
dt ^ 9x2 ’
du{£, t)
7ГХ
(3ix + sin —,	u(0, t) = u{^, t) = u{x, 0) = 0.
9x
hu{^,t) =	i/(x,0) = 0, Д > 0.
du 2^^'^
dt ^ 9x2 ’
du{i, t)
Uu
dx
+ hu{£, t) = U2, u{x, 0) = 0, h > 0.
du	2^^'^
dt ^ 9x2 ’
= 0,	^1 _|_ h{u{£, t) — uq) = 0, u{x, 0) = 0.
dx
du	X
^ = a^,«(x,0) = /W,
- h{u{0, t) — ui) — 0,	+ h{u{(,, t) — U2) = 0.
dx
du d^u
=	'?/(0,^) = 0,	u{i,t)=^uo,	u{x,0) = f{x).
du _ 2^^^
dt ^ 9x2
9ii 2
dt ^ 9x2
b^u, u{0,t)=uo,	u{£,t) = 0,	u{x,0) = f{x).
b^u, u{0,t)=uo,	u{£,t) = ui, u{x,0) = f{x).
du d^u
-^ =	- b^{u - щ),	u{0,t) = 0,	u{i,t)=0,	u{x,0) = 0.
du	9 d‘^u
b‘^{u - щ),
dx
dt 9x2
Щ, u{i,t)=ui, u{x,0) = f{x).
du	nd‘^u	,9
= Qi,	= Q2, u{x, 0) = fix).


122
Глава III. Уравнения параболического типа. Метод Фурье
ди(£
и{х, 0) = о, г/(0, t) — щ, —7г^ + hu{£, t) = 0.
ox
ди	д^и	ди
►	3.41. — =	— 2— +	+ е sin X, 0 < х < я, t > 0,
at	дх^	дх
ii(0, t) = о, и{п, t) = о, и{х, 0) = sin 2х.
Задачи с показательной неоднородностью
►	3.42. В полуполосе 0<т<£, t>0 решить смешанные задачи для
уравнения
ди од^^и
+ fix,t)
dt дх^-
с начальным условием и{х^ 0) = 0 и со следующими краевыми условиями:
пх
1) u{0,t) = о, u{i,t) — о, f{x,t) = Ае *sin—;
г/ —2t ЗтТХ
f{x,t) = e cos —
3)«“f‘)=0, „(«,() = 0,
f{x,t) = 4e3*cos—:
4) «(0,0 = 0, 9“Л')=0,
/ X /if* Зттх
f{x,t) = ^e'sin—;
5) «(0,0 = 0,
f{x,t) = 3e2‘sm—;
6)	= nie, t) = о, /(х,() = 3е ^'cos^,
7)	^ = ^ = 0, Лх,Ц = Зе-«соз5=,
du{0,t)	du{i,t)
, пх
8)^^ = 0,	^ = 0. f(x,t) = e-^sin^^.
дх


'Задачи
123
Решить задачи с показательными неоднородностями:
. _ ди ^д'^и
*■ а “ “
„(О,,) = о,	= Ле->, »(х,0) = Т.	^ 1, t = о, 1,
дх
2£
► 3.44.
ди
~di
X TiTZCL
//,(0,^)=0, u{£,t) = Ae~^, и{х,0) = А~,	——^1, /с е N.
£
^ ди г,д^и о, пх атг ,
/>а(0, t) _ 5гг(£, t)
дх
дх
/	O' £	л/2 а .	\/2
//.(х. 0) =	tff	;= cos	X Н	7= sin	X + 1.
V2 ал/2 а у/2 а
3.46.
a-'g.
. 2х
2£
^	. cos^ ^ пх	^ 9пх	п(1-\-2к)а
а(х,0) =	^ + 3cos—-5cos—,		—	^2,
COS—	2.£	2t
а
« ди с.д^^и ^ л+ . пх
»((), t) = о,	= 2е^*, и{х, 0)
ash^
ch
2i
/с = 0, 1, 2,
Задачи с неоднородностями общего вида
Следуюш,ая серия примеров содержит неоднородности общего вида, ко¬
гда либо свободный член, либо правые части краевых условий, либо и то,
и другое содержат переменную t. При решении прежде всего проверяем,
однородны ли краевые условия и, если это не так, то одним из подроб¬
но изложенных в п. 5.3 второй главы способов сводим задачу к варианту
с однородными краевыми условиями. В итоге получаем задание: проинте¬
грировать уравнение, например
ди	\
а = »^ + №.‘).


124
Глава III. Уравнения параболического типа. Метод Фурье
С ОДНИМ из видов однородных граничных условий, рассмотренных в данном
разделе, и обычным начальным условием и(х,0) = (р(х).
Наиболее простой способ решения проблемы — сразу применить метод
собственных функций (см. п. 5.3 главы II). Пусть для начала (р(х) = О,
тогда решение уравнения представляем в вргде
= '^Tk{t)Xh(x),
к=1
где Xk(x), а далее — соответственно собственные функции и собствен¬
ные значения сопутствующей краевой задачи для дифференциального
уравнения X" -f-	= 0. Тут же f(x,t) раскладываем в ряд Фурье—
оо
Бесселя по Xk(x): f(x,t) = fk{i)Xk{x). Для Tk{t) получаем дифферен¬
тах
циальные уравнения
Uit) = -a^lTkit) + h{t), к = 1,2,...,
решаемые с начальными условиями Т^(0) = 0.
Если ф(х) ф. о, то можно предложить два варианта решения задачи.
1.	Решение u{x^t) представляем в виде суммы
и{х, t) = v[x, t) + w{x, t).
функция v{x^t) решает задачу, рассмотренную в предыдущем абзаце, w{x^t)
будет решением однородной задачи с начальным условием
гс(х, 0) = ф(х).
2.	Функцию ф(х) представляем рядом Фурье—Бесселя
ф(^) = у^ФЛ(х).
к=1
Решение u{x,t) сразу представляем в виде указанного ряда. Tk(t) ищутся
как частные решения соответствующего уравнения с начальным условием
Т/,(0) = ipk-
=	+	.(0,,) = 0, ^ =	»(х,0)=0.


'Задачи
125
►	3.49.
►	3.50.
►	3.51.
►	3.52.
(ht{0^ t)
дх
►	3.53.
►	3.54.
►	3.55.
^-a^^ + At	- uix 0) - О
du cy&^U 9	Ч ^ duU,t) ^	,
' u(o,i) = o,	=0, u(x,o) = o.
du	c.d‘^u	,	,	duii.t)
w(0,i) = 0,	-^— = 0, u(x,0) = 0.
du	,5^u	,
Й ‘ “ 5J5 +	- Ч*.
= 0,	u{£, t) = 0,	^(x, 0) = cos
Зях
~W'
^	+ (2^ --^)i,	u(^,i) = 0, u(x,0) = l.
0"^u
^ ^ ^ ^
du d^u
ж ^	^	^	^
5u 5^u	_ .
►	3.56
//-((), ^) = 1 + ^, u(n, t) = \-{-t^ u{x, 0) = 1 + e^ sin 2x
►	3.57.
du ^di^u du(^,t)	^ duU,t) .	,	.
= «2—,	: ’ ^ =0,	- : ’ ^ ^Q,	iz(x,0)=0.
►	3.58.
►	3.59.
►	3.60.
►	3.61.
/M(0, t)
dx
dt	dx‘^ ’ dx
du	2^^^	du{{),t)
dt ^ 9x^’ dx
dx
= At,	=	u(x,0) = 0.
du ^d‘^u	du(0,t)	^	du(£,t)	.	.
= a2—,	: ’ ^ = 0,	-1 ’ ^ = t, u{x, 0) = 0.
dt 3x^ ’ 9x
du _	^d^^u	x^	3гг(0,^)
dt	^ dx^	2£'	dx
du _ 2^‘^u	2^ “ ^
dt	^ 9x^	^	£	2^’
= t,	= 1, u{x, 0) = 0.
dx
Ъпх
^ du(i,t)	.	.
0,	—^— = t, u{x,0)=cos—.


126
Глава III. Уравнения параболического типа. Метод Фурье
►	3.62.
u(0,t) =
►	3.63.
►	3.64.
►	3.65.
du(0,t)
дх
►	3.66.
►	3.67.
u(0, t) =
►	3.68.
►	3.69.
►	3.70.
►	3.71.
►	3.72.
►	3.73.
►	3.74.
du{0,t)
дх
ди
“(Х,0) = 0,
А{1
n—od
),
ди{£, t)
дх
ди 2^^'^ du{D,t)
dt
дх‘^'
дх
+ Ни{£, t) = О, а > О, Я > 0.
и{£, t) = 1, и{х, 0) = 0.
ди ^д‘^и
_ ,г	_ ,3
дх
=	u{£,t)=r,	гг(а:,0) = 0.
ди	с)д‘^и	.	^ 2>пх
= t, u{£,t)	=	D,	'u(x,0) = 0.
ди с.д^^и	,	du(£,t) о /	^
й=“^'	=	-8^ = ‘' »(*.») = 0^
ди	^д‘^и	^ . Зпх
а =“fe3	+	* + 3‘=in^.
о,	=	п{т.0)=0.
дх
ди г,д‘^и	9
а=“&3’ uM = t\
ди
dt
= а"
9a;^’
и(0, t) = О,
du{£,t)
дх
ди{£, t)
дх
ди од‘^и	.0	du{£,t)
дх
ди
~т
ди
суд‘^и	.	. С) dui£,t)
дх
= 1, и{х, 0) = 0.
= и{х, 0) = 0.
= 1, и{х, 0) = X.
= t, и{х, 0) = 0.
'^ — 0?-^,	ii(0, t) = Л sin cut, и{£, t) = 0. uix, 0) = 0.
dt dx^
du d‘^u	.	du(0,t) du(n,t) .	.	^
- = -^+и + 2сШ, ^ = -i^ = „(x,0) = 0.
du d‘^u
dt dx"^
и = xt{2 — t) -\-2 cos t,
_ 2 du{n, t)
— ^ )
dx
— t^, u{x, 0) = cos2x.


Задачи
127
Задачи о теплопроводности шарообразных тел
►	3.75. Дан однородный шар радиуса R, центр которого расположен в на¬
чале координат. Известно, что начальная температура любой точки шара
зависит только от расстояния г этой точки от центра шара. Во все время
наблюдения внешняя поверхность шара поддерживается при нулевой тем¬
пературе. Определить температуру любой точки внутри сферы в момент
Iвремени ^ > 0.
►	3.76. Решить задачу 3.75, предполагая, что поверхность шара все время
свободно охлаждается в среде, имеюш,ей равную нулю температуру.
►	3.77. В шаре 0 ^ г < R найти ограниченное решение и = u{r,t) урав-
ди
1 д
^ди
ди,
iiei-HiH = а^Аи, где Аи = -^-д- (1, по условиям —(R,t) = 0,
ot	or \ or J	or
u{r,0) = f{r).
►	3.78. Однородный шар радиуса R находится при постоянной темпера-
'гуре щ и окружен сферической оболочкой из того же материала толщи¬
ной i?, находящейся при равной нулю температуре. Все это охлаждается
в среде с равной нулю температурой. Найти температуру в точках внутри
шара на расстоянии г от центра в момент времени ^ > 0.
►	3.79. Однородное твердое тело ограничено двумя концентрическими
(“([зерами с радиусами R и 2R. Внутренняя поверхность тела непроницаема
Д.ЛЯ тепла. Шаровой слой нагрет до температуры щ и затем охлаждает¬
ся в среде с нулевой температурой. Найти температуру в точках внутри
шарового слоя в момент времени ^ > 0.
►	3.80. Начальная температура однородного шара 0 ^ г < i? равна Т.
Найти температуру шара при t > 0 для случаев, когда:
а)	поверхность шара поддерживается при постоянной температуре Р;
б)	на поверхности шара происходит конвективный теплообмен со сре¬
дой, имеющей температуру Р.
►	3.81. Найти распределение температуры в однородном шаре радиуса R.
Внутри шара, начиная с момента времени ^ = 0, действует источник тепла
с постоянной плотностью Q, а поверхность поддерживается при равной
нулю температуре. Начальная температура шара равна нулю.


128
Глава III. Уравнения параболического типа. Метод Фурье
►	3.82. Решить задачу 3.81 при условии, что поверхность шара все время
свободно охлаждается в среде, имеющей равную нулю температуру.
►	3.83. В однородном шаре О ^ г < Д, начиная с момента ^ = О, действует
источник тепла постоянной плотности Q. Начальная температура шара
равна Т. Определить распределение температуры в шаре при ^ > О, если:
а)	поверхность шара поддерживается при постоянной температуре Uq]
б)	на поверхности шара происходит теплообмен с внешней средой, тем¬
пература которой равна Р.
►	3.84. Дан однородный шар радиуса R при температуре равной Т. Шар
нагревается равномерно по всей поверхности постоянным тепловым пото¬
ком Q. Найти радиальное распределение температуры внутри шара в лю¬
бой момент времени ^ > 0.
►	3.85. В однородном шаре 0 ^ г < Д, начиная с момента t = 0 действу¬
ет источник тепла постоянной плотности Q. Начальная температура шара
равна Т. Определить распределение температуры в шаре при ^ > 0, если
с поверхности шара происходит теплоотдача потоком постоянной плотно¬
сти q.
►	3.86. В шаре 0 ^ г < Д найти ограниченное решение и = и{г^ t) урав¬
нения
ди 9 ^	^
= а^Аи -h Be \
at
л	1 9
где Аи = -г—
от
.ди
дг
Ае~\ п(г, 0)
а)	u{R,t)
б)	= Ле-
в)
дг
du{R, t)
дг
при следующих условиях:
/W;
u(r,0) = /(г);
+ /ш(Д, t) = Ае \ и{г, 0) = /(г).
3.87. В шаре 0 ^ г < Д найти ограниченное решение и = u(r, t) урав¬
нения
о?Аи — -Ь д(г, t).
ди
~di
. I д f суди
где Аи = -т:— г^—
дг \ дг
, при следующих условиях:


Задачи
129
а)	д{г, t) = О, u{R, t) = О, и{г, О) = /(г);
б)	д{г, t) = О, —~ = О, и(г, О) = /(г);
в)	о,
r)g(r,t) = 0,	^ hu{R,t) = О, u(r,0) = /(r);
д)д{г,г) = А, u{R,t) = 0, u(r,0) = /(r).


Глава IV
Уравнения эллиптического типа
§ 1. Краевые задачи для уравнения Лапласа и Пуассона
в пространстве и на плоскости
Дифференциальные уравнения
Лапласа;
и Пуассона:
д‘^и д‘^и
дх^ ду^-
д‘^и
д?
д'^и
дх‘^
д^и	д‘^и	.
ЯВЛЯЮТСЯ простейшими дифференциальными уравнениями эллиптическо¬
го типа. Эти уравнения описывают стационарные, установившиеся процес¬
сы, такие как установившаяся в теле температура, форма мембраны, на¬
тянутой на пространственную кривую и находящейся в состоянии равнове¬
сия, потенциалы поля тяготения и стационарного электрического
поля.
Большинство предлагаемых задач решается методом Фурье. Считается,
что функции, входящие в краевые условия, если это требуется при реше¬
нии задачи, разлагаются в равномерно сходящиеся ряды по собственным
функциям соответствющей краевой задачи. Вопросы обоснования решения
не затрагиваются, т. е. задача считается решенной, если найдено формаль¬
ное решение. Дважды непрерывно дифференцируемые функции, удовле¬
творяющие в области В уравнению Лапласа, называются гармоническими
функциями.


§ 1. Краевые задачи для уравнения Лаплаеа и Пуаесона...
131
Сформулируем основные краевые (гармонические) задачи для уравне¬
ния Лапласа в области В с границей дВ.
Первая краевая задача (задача Дирихле). Найти функцию и,
гармоническую в области В, непрерывную в замкнутой области Ё и при¬
нимающую на границе области дВ заданное значение, т. е. удовлетворяю¬
щую условию
г4|ав=-ф,
где Ф — заданная на дВ непрерывная функция.
Вторая краевая задача (задача Неймана). Найти функцию и, гар¬
моническую в области В, непрерывную в замкнутой области Ё вместе
с частными первыми производными по переменным х, у, z в простран¬
ственном случае (по х, у в плоском случае), такую что ее производная по
направлению внешней нормали к гладкому контуру дВ принимает задан¬
ное значение, т. е. удовлетворяющую условию
ди
дп
дв
где ф — заданная на дВ непрерывная функция.
Третья краевая задача. Найти функцию и, гармоническую в обла-
сги В, непрерывную вместе с первыми производными по переменным х,
/у, Z {х, у — в плоском случае), удовлетворяющую на границе области дВ
краевому условию
-—\- пи \	= ф.
/ дв
дп
Смешанная краевая задача. Смешанной краевой задачей называют
задачу об отыскании гармонической функции по краевому условию раз¬
личных типов на различных частях контура. Примером может служить
задача об отыскании гармонической функции, непрерывной вместе с пер¬
выми частными производными в замкнутой области Б, если на одной ча¬
сти контура дВ задается условие задачи Дирихле, а на другой — условие
задачи Неймана.
Если область В ограниченная, то задачу назовем внутренней, а если
В содержргт бесконечно удаленную точку, то внешней. Далее внутренние


132
Глава. IV. Уравнения эллиптического типа
задачи будут ставиться для областей, ограниченных замкнутой поверхно¬
стью (замкнутой кривой в случае плоскости), а внешние — для внешности
замкнутой поверхности (замкнутой кривой в плоском случае).
При постановке внешних задач требуем выполнения условий
\и{х, у, z)\ ^ А/г, А = const,
г = у/z^' в случае пространства,
\и{х,у)\ < с = const в случае плоскости.
(1.1)
Функции, определенные в бесконечной области В~, гармонические в лю¬
бой конечной ее части и удовлетворяюш,ие условию (1.1), называются гар¬
моническими функциями, регулярными на бесконечности. Известно, что
в классе гармонических функций, регулярных на бесконечности, внешняя
задача Дирихле не может иметь более одного решения. Внутренняя задача
Дирихле, если она разрешима, имеет единственное решение.
Все сказанное выше о постановке краевых задач для уравнения Лапласа
относится и к задачам для уравнения Пуассона.
Необходимым условием разрешимости внутренней задачи Неймана как
в пространственном, так и в плоском случае является равенство нулю ин¬
теграла от граничной функции ф:
J ф da = О (da — элемент поверхности дВ)^
дВ
J ф d5 = О {dS — элемент дуги кривой дВ).
дв
(1.2)
Если задача разрешима, то решение содержит произвольное постоянное
слагаемое.
Второе из условий (1.2) является достаточным для разрешимости внеш¬
ней задачи Неймана в плоском случае. Однако первое из условий (1.2)
не является достаточным для разрешимости внешней задачи Неймана.
§ 2. Уравнения Лапласа и Пуассона в прямоугольнике
При решении приведенных ниже задач для прямоугольных областей
приходится находить общее решение уравнения
Х"{х) - р?Х{х) = 0, ц > 0.
(2.1)


jj 2. Уравнения Лапласа и Пуассона в прямоугольнике
133
Это решение в обш;ем курсе дифференциальных уравнений записывается
равенством
Xoo(x)=Cie^ + C2e-^^,
С\, С2 — произвольные постоянные.
Этим представлением пользуются, если в поставленной задаче перемен¬
ная X принимает бесконечное значение, например в полуполосе.
Но обш,ее решение уравнения (2.1) можно записать по-другому, учиты¬
вая, что функции Xi{x) = ch|Tx, Х2{х) = sh цх также образуют фун¬
даментальную систему уравнения (2.1). Если при этом рассматриваются
краевые задачи на отрезке [0,£], то общее решение (2.1) удобнее предста¬
вить в виде
-^оо(^) = Cl ch \хх -h С2 sh \ix.	(2.2)
В связи с этим приведем некоторые тождества для гиперболических функ¬
ций, которые могут пригодиться при преобразовании полученных выраже¬
ний:
sh ach |3 =F sh |3 ch а = sh(a =р (3),	(2.3)
sh а ± sh (3 = 2 sh —^— • ch —^—,
sh2a = 2sh ach а,
ch ach (3 =F sh ash (3 = ch(a =F P),
chO = 1, shO = 0.
В данном разделе приводятся примеры решения краевых задач для
_	д‘^и	^ ,	л	ч
уравнения Лапласа	7^	-f 7^ = 0 (сокращено	/ли	= 0)	в прямоуголь-
ох^ оу^
ной области, как правило заданной неравенствами 0<х<а, 0<у<6.
Рассматриваются задачи Дирихле, Неймана и смешанные задачи. Повсе¬
местно применяется метод разделения переменных (метод Фурье). Полу¬
чить решение хотя бы задачи Дирихле другим методом (например, через
функцию Грина [8]), на наш взгляд, неэффективно. Приведем характер¬
ный пример.
Пример 2.1. Тонкая однородная прямоугольная пластина с теплоизоли¬
рованными поверхностями занимает область 0<х<а, 0<^<6. Найти


134
Глава IV. Уравнения эллиптического типа
стационарное распределение температуры в пластине, если две непарал¬
лельные ее боковые стороны поддерживаются при нулевой температуре,
а на двух других задан определенный температурный режим, независи¬
мый от времени.
Решение. Для простоты будем считать, что искомая температура и{х^ у)
равна нулю на сторонах, лежащих на осях координат, и согласно постанов¬
ке задачи Дирихле непрерывна на всей границе. Запишем задачу на языке
формул.
Найти частное решение уравнения
д‘^и
= 0,
(2.4)
ду‘^
удовлетворяющее условиям
и{х, 0) = о, и(0, у) = о, и(х, Ъ) = /(т), и{а, у) = F{y)\
/(х), F{y) непрерывны соответственно на [0,а], [0,6] и
/(0) = /(а) = F(0) = F(6) = 0.
Непосредственно метод Фурье неприменим. Разделим задачу на две
простые, положив и{х,у) = Ui{x,y) -\-U2{x,y).
Слагаемое щ{х^у) удовлетворяет (2.4) и условиям
щ{0,у) = щ{а,у) = о,
ui{x,0) = о, ui{x,b) = f{x).
(2.5)
(2.6)
Ищем нетривиальное решение уравнения Ащ = 0, удовлетворяющее
условиям (2.5), в виде щ{х^у) = Х{х)У{у). Разделяя переменные, полу¬
чаем тождественное равенство
Х(х) ^ ¥{у)	•
Чтобы оно выполнялось, каждая из дробей должна равняться постоян¬
ной, причем эти постоянные либо равны нулю, либо имеют разные знаки,
но совпадают по модулю. Имея в виду краевые условия (2.5), которые
выполняются при Х{0) = Х{а) = 0, отношение X”fX следует считать


§ 2. Уравнения Лапласа и Пуассона в прямоугольнике
135
отрицательным, равным для простоты —Л^. Для Х{х) получаем диффе¬
ренциальное уравнение Х"-\-Х^Х = О при Х(0) = X{а) = 0. Такая краевая
задача разрешима при > 0 и была решена в примере 1.1, глава II. Имеем
Xk = —, Xk{x) = sin	, fc G N.
a	a
Для Y{y) получаем уравнение
?)'
Y{y) = 0.
Так как область изменения переменной у конечная, то его обш,ее решение
согласно формуле (2.2) запишем в виде
Vfc(l/) = flfcch—+ 6ftsh—, кеП,
а	а
где ak,bk — неизвестные постоянные. Теперь
,	,	/	, пку ,	, пку\ . пкх
щ k[x, у) = { ak СП	h Ok sn	 sin	, /с G N.
’	V CL	a J a
Формальное решение запишем с помош,ью ряда
(х,у) = Y^iakch — + Ькsh — j si
\	а	п /
к=1'
пкх
sin
а J а
(2.7)
Предполагая, что ряд (2.7) сходится равномерно в данном прямоуголь¬
нике, найдем значения а/с, bk из расчета удовлетворить условиям (2.6). При
у = 0
оо	,
/	\^	• пкх
ui{x,0) = у ak sin	= 0.
а
к=1
Отсюда все ak = 0. Если в (2.7) у = 6, то
,	. пкЬ . пкх .. ,
bksh	sin	= /(х),
а	а
к=1
sh а J ^	а
dx.
(2.8)


136
Глава IV. Уравнения эллиптического типа
Функция U2{x^y) удовлетворяет условиям
Au2 = 0,	U2{x,0) =U2{x,b) = 0,	U2{0,y) = 0,	U2{a,y) = F{x).
Таким образом, сумма u\{x,y) + U2{x^y) удовлетворяет всем требованиям
на и{х,у). Функция U2{x,y) находится аналогично:
, ч	, тгкх . . пкх\ . пку
U2[X, у) = 2^ ( Cfc ch + dk sh I sin-j-.
k=l ^	'
При этом из равенств U2(0,^) = О, U2{a,y) = F[y) следует, что Ck = О, а
6
(2,9)
О
Формально ответ записывается в виде ряда
пку . пкх , , пкх
/ ч Л 1	1 1 '
1[х, у)=У Ok sh		 sin	\- dksh-
\ а	а
к=1 ^
. пку
г-^“—
где bk и dk находятся по формулам (2.8), (2.9).
Краевую задачу и\^^= О для уравнения Пуассона
Ди = fix,у),
(2.10)
где В — прямоугольник, а /(х, т/) — непрерывная в этой области функция,
решают в два этапа. Записав
и{х,у) = г»(х,у) + гг(х,у),
подбирают v{x,y) как частное решение (2.10) в простом варианте, ги{х,у)
решает задачу Дирихле для уравнения Aw = 0 с краевым условием
МдВ=
Пусть В — прямоугольник: О^х^а,	Если /(х, у) зависит
от одной переменной, скажем х, то можно считать v = v{x), и тогда из
(2.10) х"(х) = /(з:). Две постоянные интегрирования можно подобрать
так, чтобы v{a) = v{b) = 0. Рассмотрим пример.


§ 2. Уравнения Лапласа и Пуассона в прямоугольнике
137
Пример 2.2. Найти решение уравнения Аи = бх, равное нулю на границе
прямоугольника	О^у^Ь.
Решение. Представляем и = v{x) + w{x, у). Имеем
v'\x) = бх, г’(О) = v{a) = 0.
После интегрирования v{x) = x^ + Cix+C2, далее С2 = 0, так как i;(0) = 0,
v{a) = аС\ = 0, Ci = —а^ и, наконец, г’(х) = х^ — о?х.
Для w{x,y) получаем следуюш,ую задачу. В прямоугольнике 0 < х < а,
о < ^ < 6 найти решение уравнения Aw = 0, удовлетворяюгцее условиям
w(0,j/) = w{a,y) = о,
w{x, 0) = w{x, b) = —v{x) = a^x — x*.
Как видим, w{x,y) практически совпадает с функцией ui{x,y) из приме¬
ра 2.1, и формальное решение задачи для w{x,y) записывается рядом (2.7)
w{x, у) ='^{ flfc ch
к=1
В отличие от Ui(x,y), имеем
пку ,	, пку\ . пкх
— + bksh —- sin	.
а	а J а
пкх
(2.11)
/	• Л/iX	9	о
ш(х, 0) = > Uk sin	= а X — X ,
‘	п
к=1
где
2
~
a
Далее,
Z f, 2 о- пкх
= - [а х — X ) sin
а 3	а
dx.
ш(х,6) = ^ l^a/^ch— -Ь 6/,sh—^
Отсюда
ak ch
bk =
, ^ nkb ^ г, 2 зч •	7
+ bk sh	= - (а X — X ) sin	dx = ak,
a a 3	a
0
akch^
k=i
nkb
a
Qfc	^
sh	sh ^
nkx
, sin
a / a
ax — X .
nkx


138
Глава IV. Уравнения эллиптического типа
Теперь в (2.11)
W
(х,у) = ^
к=1 L
sh^
а
sh^
пкх
sin-
Формулу в круглых скобках можно упростить, воспользовавшись равен¬
ством (2.3). В итоге после сложения имеем
и{х, у) = х(х^ - а^) + £	(sh ^ + sh ^(6 - sin
к= 1 O'
где
dk
2 г, о Q4 . пкх 12а^(-1)^'"^^
Z г, 2 Зч •
= - [ах — X ) sin
а о	а
dx
п^к^
§ 3. Краевые задачи в круговых областях
для уравнений Лапласа и Пуассона
Пусть В является одной из следующих областей: кругом, круговым
кольцом или внешностью круга некоторого радиуса с центрами в начале
координат. В данном параграфе приведены примеры для решения краевых
задач (первой, второй и третьей) в этих областях. Для кольца можно рас¬
смотреть и смешанный вариант, разные условия на граничных окружно¬
стях. Поскольку эти примеры имеют некоторые особенности, мы позволим
себе небольшое разъяснение.
В уравнениях Лапласа или Пуассона переходим к полярным коорди¬
натам, полагая х = rcoscp, у = rsincp. Уравнение Лапласа, Aiz = О,
запишется так:
\ди 1 (9^гi _
^ f	9ф2
Если ищется непрерывное в круговых областях решение уравнения (3.1),
то появляется требование 2тт-периодичности функции гх(г, ср):
ii(r, ф) = и[г, ф ± 2тг).
(3.2)
Формальное решение находится методом Фурье также для кольца


§ 3. Краевые задачи в круговых областях для уравнений Лапласа и Пуассона 139
Й1 < Г < i?2 и записывается в виде
а Ь
и{г, (р)	=	In г + ^ T^{dn COS Пф + Ьп 8Ш Пф) +
Z Z
п=1
+ ^г "(cncosncp + d„sinn(p).
(3.3)
n=l
При решении задачи для круга О ^ г < R появляется дополнительное,
как бы краевое условие при г = О, поскольку точка г = О является осо¬
бой для уравнения (3.1). Достаточно потребовать ограниченности функции
и{г, ф) в начале координат:
|гх(0, ф)| < схэ.	(3.4)
С учетом (3.4) формальное решение (3.3) для внутренности круга пред¬
ставится равенством
оо
и{г, Ц>) =	+ ^г^(а„ COS Пф -1- sin Пф).
(3.5)
п=1
Коэффициенты 6о, и dn положили равными нулю.
При решении внешних задач (в области г > R) требуется ограничен¬
ность функции п(г, ф) на бесконечности, см. условия (1.1). Теперь полу¬
чаем
ао
Т
п(г, ф) = ^-Ь^Г ’^(Сп cos Пф -h sin Пф).
(3.6)
п=1
в формулах (3.3), (3.5), (3.6) а„,, 6^ (п = О, 1, ...), с„, dn (п G N) — неиз¬
вестные коэффициенты, определяемые при выполнении заданных краевых
условиях. Вывод представлений (3.5), (3.6) см. в [11, гл.1У, §3].
Краевые задачи в круге и кольце с центрами в начале координат для
уравнения Пуассона
несложным приемом сводят к соответствующим задачам для гармониче¬
ских функций. Искомую функцию и{х,у) (или в полярных координатах
п(г, ф)) записывают в виде суммы двух функций:
и{х,у) = у{х,у) -\-w{x,y)


140
Глава IV. Уравнения эллиптического типа
или
гг(г, ф) = у{г, ф) Н- w{r, ф).
В качестве v{x,y) берут какое-то удобное частное решение уравнения (3.7).
Слагаемое w{x,y) будет частным решением уравнения Лапласа с анало¬
гичными краевыми условиями.
Для определения функции v можно предложить два варианта. Если
f{x,y) — простая функция, полином порядка п, еще лучше однородный,
то f(x, у) можно искать в виде полинома порядка п + 2 с неизвестными ко¬
эффициентами (для однородной f{x,y) полином v{x,y) лучше записать
однородным). Подставляя v{x^y) в (3.7) и приравнивая коэффициенты
при одинаковых мономах х^у^, обнаруживаем большое число свободных
неизвестных. Этой свободой следует воспользоваться для придания v{x^y)
удобного вида, а именно максимально простого представления в полярных
координатах, что упростит дальнейшее нахождение w{x^ у), точнее гг(г, ф).
Пример 3.1. В единичном круге найти решение уравнения
д‘^и
^ + ^ = ^ + 2/.
(3.8)
обращающееся в нуль на границе.
Решение. Полагаем и{х, у) = v{x, y)-\-w{x, у). Слагаемое v{x, у) ищем в ви¬
де г2 = Ах^ -h Вх‘^у -h Сху‘^ -f Dy^. Удобная запись в полярных координатах
будет при условии А = В = С = D. Теперь
Ау = А{6х -Г2у -\-2х	6у) = 8А{х -h у).
Уравнение (3.8) сведется к равенству
8Л(х + у) = х + у,
откуда А = 1/8.
Функщш гг(г, ф), являясь решением (3.1), будет удовлетворять при г = 1
условию
^3
w\	= —г>|	= —;r(cos^ 0 -h cos^ 0 sin 0 -h cos 0 sin^ 0 -f- sin^ 0)
\r=l	lr=l	Q ^	^
После простых преобразований
Ф=0 ■
r=l
w
r=l
8
(cos0 + sin0).


§ 3. Краевые задачи в круговых областях для уравнений Лапласа и Пуассона
141
С учетом формулы (3.5) имеем
оо
w{r, ф) = — + ^г^(ап COS пф + Ьп sin гкр).
п=1
Отсюда
^ оо	^
j(l, 0) = — 4- ^(а^гСО8п0 + Ьп sin пв) = —-(cos0 + sin0).
w(
n=l
В итоге а\ = —1/8, Ь\ = —1/8, все остальные и Ьп равны нулю. Таким
образом,
W = --(г cos ф + г sin ф) = —~{х + у),
8'
8'
и{х, у) = 1(х^ + х'^у + ху'^+ у^ - X - у) =	^	- 1).
Изложенный вариант нахождения частного решения уравнения (3.7)
можно применить в задачах 4.42-4.47. Если же /(х,у) имеет непростой
вид, то лучше предложить более общий и надежный способ.
Уравнение (3.7) и слагаемое v сразу записать в полярных координатах:
д^'и 1ди 1 д^'и
^ +-^ +	=/(^> ф)’
V — у(г, ф).
(3.9)
(3.10)
Если /(г, ф) = g(r),i:ov ищется как функция r,v = v{r), являясь частным
решением уравнения
rv"{r) + v'{r) = rg{r), —> {гу\г)У = rg{r).
(3.11)
Если решение уравнения (3.9) ищется в кольце i?i < г < i?2, то при
интегрировании (3.11) постоянные можно считать нулевыми. Для круга
г < R
v{r) = J - J 'Т5('г) dr.
о ^0
Предлагаем решить этим способом пример 4.46.


142
Глава IV. Уравнения эллиптического типа
В общем случае применяют идею метода собственных функций. Разла¬
гаем /(г, ф) в полный ряд Фурье:
оо
f{r, ф) = у + '^{йпСовгир + bnSinmp),
П=1
где
dfi = Cinir) = ~ J /(^5 0) cosn0 d0, n = О, 1,
^ 0
1
bn ~	~ ^ J	n G N, —
известные коэффициенты. Функцию v{r,(p) записываем в виде ряда с неиз¬
вестными коэффициентами:
v{r, ф)
Л(г)
cos пф -h Вп{г) sin пф).
п=1
Подставляя г>(г, ф) в (3.9) и приравнивая нулевые слагаемые и коэффи¬
циенты при одинаковых тригонометрических функциях, получаем сово¬
купность дифференциальных уравнений (однородные или неоднородные
уравнения Эйлера). Однородные уравнения дают нулевые А„(г), Вп{г).
При решении задач для круга следует брать решения, ограниченные в точ¬
ке г = 0.
Задачи
Задачи для уравнений Лапласа в прямоугольнике
► 4.1. Показать, что задачу Дирихле для прямоугольника 0 < х < а,
о < у < Ь:
Аи = о,
и{0,у) =т]){у),	u{a,y)=F{y), О^у^Ь;
и{х, 0) = f{x), и{х, Ь) = ф(х), о ^ X ^ а.


Задачи
143
причем
ф(0) = /(0), гК6) = ф(0),	F(0) = /(a),	F(6) = ф(а),	(А)
МОЖНО привести к такой же задаче с условием равенства нулю значений
граничных функций в угловых точках (условия (А) обеспечивают непре¬
рывность граничного значения искомой функции).
►	4.2. Решить задачу Дирихле для прямоугольника О < х < а, О < у < Ь:
1)	Ащ = 0;
«i(0,j/) =-ф(у), Ui{a,y) = F{y),	o^y^b-,
ui(x,0) = 0, щ{х,Ь) = 0, о ^ X ^ a;
ф(0) = о, -ф(б) = о, F(0) = о, F{b) = 0;
2)	Аи = 0;
,	,	1 .	2пу	1	.	Зпу
и{0,у) =	-sm—, и(а:,0) = 0;
,	,	1 .	Any	1	.	Бпу	/	, X
и[а, у) = - sm -h - sin —, и[х, b) = 0;
А о Ъ о
3)	Аи = 0;
п(0, у) = 2 sin — 3 sin	и{х, 0) = 0;
Ь	Ь
, ч ^	.	2пу	. бяу	, ,,
та, у) = о sm —	h sm ——,	и[х, b)	= 0.
b	b
►	4.3. Решить задачи для прямоугольника 0<х<а,0<у<Ь:
1)	Аи = 0;
и(0, у) = Ау, и(а, у) = 0; и(х, 0) = 0, и{х, Ь) = 0;
2)	Аи = 0;
и(0, у)=0,	и{а,у)	= hy,	u(x,0)=0,	u(rr,6) = 0;
3)	Ди = 0;
и(0.у) = Ay, u(a,2/) = 3sin^ — 2sin^^; u(x,0) = 0, u{x,b) = 0.
b	b


144
Глава, IV. Уравнения эллиптического типа
►	4.4. Решить задачи Дирихле для прямоугольника 0<а;<а, 0<у<6:
1)	Au2 = 0;
«2(0, у) = о, U2(a, у) = о, U2(x, 0) = f(x), U2(x, b) = (р(т),
0<x<a,
/(0) =	0, /(a)-0,	cp(0) = 0,	(p(o)	= 0;
2)	Au = 0;
Ч ^	^ . 7ГХ . 3nx
ui0,y) = 0, uix,0) = 3sin	sin	;
a	a
1	27TX
u{a,y) = 0,	u(x,6) =-sin—;
3)	Au = 0;
^	/	Ч	1 . 27ГХ	^	3nx
u[0,y) = 0,	u[x,0) = -sm	[-2 sin	;
3d	d
/ Ч	/ , Ч	^ Зях	1 .	Зпу
u(a, у) = о, u[x, b) = 2 sin		 sin	.
d 2	d
►	4.5. Решить задачи для прямоугольника 0<х<а, 0<y<6:
1)	Aiz = 0;
Зтт	Зттх
u(0,2/) = 0, u{d,y) = 0]	и{х.0) = Ах: и{х,Ь) = —sin	;
а	а
2)	Аи = 0;
и{0,у) = 0,	u{d,y)=0]	i/(x,0) = 0, u{x,b) = Ax{d — х)]
3)	Агг = 0;
2тхх
и{0,у) = 0, u{d,y)=0]	и{х,0) = щ, и{х,Ь) = 3sin	.
а
►	4.6. Решить задачу Дирихле 4.1 для прямоугольника 0 < х < а,
о < у < Ь, считая выполненными условия:
ф(0) =/(0) = о, аКб) = (р(0) = о, F(0) = /(0) = 0, F(6) = ср(а) = 0.
►	4.7. Решить задачи Дирихле для прямоугольника 0<x<d, 0<у<Ь,
если заданы краевые условия:
тех
I)	и{0,у) = Ау{Ь — у),	u{x,0) = Bsin—, Л, Б — const;
а
u{d, у) = 0; и{х, Ь) = 0;


Задачи
145
ч ч	^ . З™	^ . 4пу /	^ч	^	. Ttx . Зпх
2)	гх(0, у)	= 2 sin —	3 sin ——, и{х,	0) =	2 sin	h sin ;
о	o'	a	a
u{a, y) = 0,	u{x, b) = 0;
1	2tcv	ixx
3)	u{3,y) = - sin——, u(x,0) = 3sin—;
2	b	a
/	4	0. Зяу ,	,,	1 . Anx
uia,y) = 3sin——, u[x,b) = - sin	;
b	2	a
4)	u(0, y)	= Лу(Ь - ?/),	u(x, 0) = 0;
/ Ч	о /14	Зтг . Зпх
u[a, У)	= О, щх, Ь)	= — sin	.
а а
►	4.8. Решить задачи для прямоугольника О < х < а, О < у < Ь:
1)	Аи = 0;
/0	4	7	/	04 о . Зят 1	. 5пх
и(0, у) = гьу, и{х, 0) = 3 sin		 sin	;
а 2 а
и{а, у) = 0; и{х, Ь) = 0;
2)	Аи = 0;
и{0,у) = 0, и(а;,0) = 0;
и{а,у) = Ау, и{х,Ь) = Вх{а — х);
3)	Аи = 0;
Зпх	пх
и{0,у) = 0, г^(т, 0) = 2 sin	; u{a,y)=uo, u(x,b) = 3sin—.
a	a
►	4.9. Найти распределение потенциала электростатического поля и{х, у)
внутри прямоугольника 0<х<а, 0<^<6, у которого вдоль стороны
х = 0, О^у^Ь потенциал равен Uq, а три другие стороны заземлены.
Электрические заряды внутри прямоугольника отсутствуют.
►	4.10. Решить смешанные задачи для прямоугольника О < о: < а,
О <у <Ь:
1) Ащ = 0;
5ui(a;,0)^p dui{x,b) ^ ^
wi(0,y) =/Ы, ui{a,y) ^ F{y);
2) Au2 = 0;
ду
ду
«2(0,у) = 0,	W2(a,J/) = 0;
du2{x,0)	du2{x,b)
-<р{х),		^;^=ф(а:);
ду
ду


146
Глава IV. Уравнения эллиптического типа
3) Айз = 0;
«з(0,у) =/Ы,	= ф(ж);
из{а, у) = F{y),	= H)(a:);
ду
4)	Ди = 0;
ч	^	ди(х,0)	^	.	71Х	1	.	2пх
и0,у =0, д ’ =2sin	-sin	;
ду	а	2	а
,	.	„	ди(х,Ь)	^	.	пх	1	.	Зтга
и(а,у) = 0,	—		= 3sm	h-sin	;
ду	а	3	а
5)	Аи = 0;
„(0,,) = 0, „(а,й = 0;	=
6) Аи = 0;
ду
Зпх
ду
\	9и(ж,0)
и(0, у) = ио, —^	= sin —
ду	а
. 2Щ ди{х,Ь)
и[а,у) =sm —, —^	= 0;
26 ’ ду
7)	Аи = 0;
u(0,y) = 0, и{а,у) = Ay-
8)	Аи = 0;
и{0,у) = Ь-у, и(а,у) = 0-,
ди(х,0)	„ ди(х.Ь)	„ . пх
—Б	= 0, —= 2sin—;
ду	ду	а
ди{х, 0)
ду
= 0,
duix.b) „ . 2пх
—		= 3sin	;
ду	а
9) Ли = 0;
«(0,») = 0, =
ду
,,11 4пу ди(х,Ь) ^ . пх
«(«.!/) = 2 +JCOS-, ^_ = 2sm-;
10) Ди = 0;
.	,	ди(х.О) 1 . Апх
и(3,у)=Ь-у,	—= -sin	;
ду 3 а


Задачи
147
,	.	ди(х, Ь) 1 . Апх
и{а, у) = щ, —^	= - sin	.
ду 4:	а
►	4.11. Стороны у = О и у = Ь прямоугольной пластинки О ^ т ^ а,
^ у ^ Ь теплоизолированы, а на других сторонах поддерживается тем-
I	юратура
ii(0, у) = А, и{а, у) = Ау, О ^ у ^ Ь, А — const.
Найти стационарную температуру внутри пластины.
►	4.12. Решить смешанные задачи для прямоугольника О < х < а,
{) < у < Ь:
1)	Аи = 0;
,	1 . 2пу	1 . Зпу	.	,
ди{а,у) 1 . 4пу 1 . Ьпу
=	+ 5™Т'
2) Аи = 0;
и{0,у) =
ди{а,у)
ч ^ . 2™	^ . 4пу ,	^ . 7ТХ
и{0,у) = 2 sin—	3sin——, и{х,0) = 2sin—;
о	о	2а
^ . 2тг1у . дпу .
5 sin—	hsin——, u[x,b) = 0:
b	b
dx
3)	Au = 0;
u{0,y) = Ay, u(x,0)=0;
du(a,y) ^	^ . Зях
“k^=o;	=
4)	Au = 0;
u{0,y) = 0,	u{x,0) = 0;
du{a,y)
dx
5) Au = 0;
By] u(x,6)=4sin
bnx
//-\ \ Л / r\\	• Зттх
u{0, y) = Ay, u{x, 0) = 2 sin —;


148
Глава IV. Уравнения эллиптического типа
ди{а,у) „ . 7гу	Зтгу t и\ а
—	= 3sin —	2 Sin ——; uix, о) = 0.
ox	b	b
►	4.13. Найти гармоническую в прямоугольнике 0<х< а, 0<у<Ь
функцию и{х,у) по одному из следующих условий:
Ч /лл	Ч	^	/ глЧ
1)	ii(0, У) = 0; и[х, 0) = 3 sin	sin	;
а	а
,	.	^	ди(х, Ь)	1 .	2тхх
»(«,V)=0;	= -s.n—;
2)	u(0, у) = 0; и{х, 0) = sin + 2 sin
За	а
/	ч	^ . Зта ди(х,Ь)	^	. Зпх 1 . 5тгх
и{а, у) = 2 sin —; —^	= 2 sin		 sin	;
2b ду	а	2 а
3)	и{0,у) = 3sin^; и{хМ) = Ах\
2Ь
.	-	^	ди(х,Ь)	Зп	.	Зпх
и[а, у) = 0; —^	= — sin	;
ду	а	а
4)	и{0,у) = 0; и{х,0) = 0;
, ч ^	ди(х,Ь) . .	,
и{а,у) = 5sin—;	——— = Ах[а - х).
►	4.14. Смешанная задача: найти гармоническую в прямоугольнике
0<х<а, 0<^<6 функцию и{х,у) по одному из следующих усло¬
вий:
1) и{х, 0) = f{x);	и{0, у) = (р{у);
^ =	ф(0) = /(0) = 0;
ду
дх
2)	и{х,0) = fix);
и{х, Ь) = ф(а;);	= F{y);
3)	и{х, 0) = А] и{х, Ь) = Вх]
ди{0,у)	ди{а,у)
дх
= 0;
дх
= 0; А, В — const;


Задачи
149
4) и{х, 0) = 0; и{х, Ь) = Вх]
ди{0, у)
дх
0; и{а,у) = 0; Б — const;
71Х
5)	ii(a:,0) = Asin—; u{x,b) = 0;
^(0, у) = Б;	— 0; А, В — const;
6)	и{0,у) = 3sin^; u(a;,0) = Uq;
duia.y)	ди{х,Ъ) ^ . Зга
7)	„(0,»)=0; 5^^1 = Ф(Х);
ди{а,у)
дх
дх
+ /гг^(а, у) = 0; и(х, 6) = гИ^).
► 4.15. Решить в прямоугольнике 0<х<а, 0<^<Ь задачи Неймана
для Аи = 0:
dui{0,y) ^	дщ{х,0)	^	дщ{а,у)	дщ{х,Ь) ^
du2{0,y)	^	du2{x,0)	^ du2{a,y) ^ du2{x,b) ^
2) 	57— = 0;  57	= 0; 	57 = 0;  57— = W);
дх
ду
дх
ду
дщ{0,у)	дщ{х,0)	^ диз{а,у) ^ дщ{х,Ь) ^
дх
ду
дх
ду
дщ{0,у)	дщ{хД)	дщ(а,у) ,	дщ{х,Ь)
Указать условия разрешимости каждой из этих задач.
► 4.16. Решить задачи Неймана для уравнения Аи = 0 в прямоугольнике
0<х<а, 0<?/<6 при следующих граничных условиях:
^ = Ф.(Х);
Указать условие разрешимости задачи;


150
Глава IV. Уравнения эллиптического типа
2)
3)
ди{0, у)	4пу
ди(х, 0)	1	пх
—		= - cos—;
ay	3	а
ди{а,у)
дх
ди{0, у)
дх
ди{а,у)
2 cos
cos
Бпу ди{х, Ь)
Ь ’ ду
пу ди{х, 0)
1	Зпх
-cos	;
2	а
= cos
,3пу^
ду
ди{х, Ь)
2 cos
= cos
2пх
а
9 Ъпх
а
дх	Ь ' ду
»
Задачи для уравнений Пуассона в прямоугольнике
►	4.17. Привести к задаче Дирихле для уравнения Лапласа Аи = 0 задачу
Дирихле для уравнения Пуассона: Аи = 2, и\^^= 0 в прямоугольнике В
{О < X < а, о < у < Ь). Решить эту задачу.
►	4.18. Найти решение уравнения Пуассона: Аи = —2 в прямоугольнике
(о < X < а, —Ь/2 < у < Ь/2), если оно на контуре этого прямоугольника
обращается в нуль.
►	4.19. Найти форму равновесия однородной прямоугольной мембраны
(о ^ X ^ а, о ^ у ^ 6), закрепленной по краям, если к мембране приложе¬
но нормальное давление Р на единицу площади.
Указание. Задача сводится к решению уравнения Пуассона
Р
Т
при нулевых граничных условиях на контуре прямоугольника.
\ Здесь Т — первоначальное натяжение мембраны, постоянное число
[б\гл. VI, §1].
►	4.20. Две стороны АС и ВС прямоугольной однородной пластинки
О АС В покрыты тепловой изоляцией, а две другие поддерживаются при
температуре, равной нулю. Найти стационарное распределение температу¬
ры при условии, что в пластинке выделяется тепло с постоянной плотно¬
стью Q.
Указание. Задача приводится к решению уравнения Пуассона
9.
к’
Аи :


Задачи
151
где к — коэффициент внутренней теплопроводности, при краевых усло¬
виях
.(0,») = 0;	^ = 0;	»(х,0) = 0; «фЧ = 0^
ду
Краевые задачи для гармонических функций в полуполосе
В заданиях 4.21—4.28 решаются краевые задачи для уравнения Лапласа
в полуполосе 0<т<а, 0<2/<оо. Метод Фурье применим только тогда,
когда на лучах х = 0, у ^ 0] х = а, у ^ 0 задаются однородные гранич¬
ные условия. Так как ищутся гармонические функции в неограниченной
плоской области, то, естественно, появляется требование ограниченности
решения в этой области, см. условия (1.1). Нетривиальные частные ре¬
шения уравнения Аи = 0 по-прежнему ищутся в виде и = X{x)Y{y),
п если Х{х) решает известные по предыдупдим примерам краевые зада¬
чи, то У {у) нецелесообразно записывать через гиперболические функции,
неограниченные при у -> оо, а следует представить через экспоненты:
У(у) =Cie^w -^С2б^2У_
Надеемся, что в особенностях задачи 4.29 читатель разберется самосто¬
ятельно.
►	4.21. Найти гармоническую в полуполосе 0<х<а, 0<^<оо
функцию и{х,у) по условию
и(0,?/) = 0,	и{а,у)^0,	и{х,0) = ц>{х), ф(а) = ф(0) = 0,
и{х,у) ограничена
►	4.22. Найти решение уравнения Лапласа Аи = 0 в полуполосе 0<х<а,
о < у < оо, удовлетворяюш,ее краевым условиям:
1)	и(0, у) = 0; и{х, 0) = А (^1 - 0;
и{а,у) = 0; и{х,у) ограничена;
2)	и(0,у) = 0; и(х,0) = Isin—- Isin—;
О а 4 а
и{а, у) = 0; и{х, у) ограничена;
3)	ti(0,2/) = 0; и{х,0) = Ах\
и[а,у) = 0; и{х,у) ограничена.


152
Глава IV. Уравнения эллиптического типа
► 4.23. Найти гармоническую в полуполосе 0<х<а, 0<у<оо
функцию и{х,у) по условиям:
=	ф(0) = ф(«) = 0,
дх	дх
и(х, у) ограничена;
ду
ди{0,у)	ди{х,0)	Зпх	Апх
Z) —	= U; —;г	= 6 cos	cos	;
ox	ду	а	а
ди{а,у)
дх
= 0; и{х^ у) ограничена;
ди{0,у)	_ ^	ди{х,0)	_ 1	1	Зпх
3) о	— О? о	~ о	Q	’
дх	ду 2	3 а
ди{а,у)
дх
= 0; и{х,у) ограничена.
► 4.24. Найти гармоническую в полуполосе 0<о:<а, 0<у<оо
функцию по условиям:
ди{{),у) ди{а,у)
1)
дх	дх
и{х,у) ограничена;
= о, и{х,0) = Ц){х), ф(0) = ф(а) = о,
ди(0,у)	^	Ах
2—^ = 0; ^х,0	;
дх	а
ди{а,у)
дх
0; гх(х, у) ограничена;
3)	= 0; и{х, 0) = А{а - х);
дх
ди{а,у)
дх
0; и{х,у) ограничена.
► 4.25. Найти гармоническую в полуполосе 0<х<а, 0<у<оо
функцию по условиям:
ди( а ^
1)	ii(0,y) = —— — о, и{х,0) = ф(х), и{х,у) ограничена;
дх
2)	и{0,у) = 0;	и{х,0) = Ах;
ди{а, у)
дх
0; и{х, у) ограничена;


Задачи
153
3)	u{0,y) = 0; u{x,0) = щ]
ди{а,у)
дх
0; и{х, у) ограничена;
ч / ч	/ ^ч 1 Tty 1 . Зга
4)и(0,у) = 0;	= 2^^^^ “ 3^^^"^’
ди{а,у)
дх
0; и{х,у) ограничена.
►	4.26. Найти решение уравнения Лапласа Аи = 0 в полуполосе 0<х<а,
о < у < оо, удовлетворяющее условиям;
1)	= 0; и{х, 0) = /(х),
и{а,у) = о, и{х,у) ограничена;
2)	= о? 0) =	— х);
и{а, у) = 0; и{х, у) ограничена;
9'гх(0,у)	^	/ ^ч 1 Зга 1 5га
и{а,у) = 0; и[х,у) ограничена;
4)	^ 0; и(а;,0) = ио;
и{а,у) = 0; и{х,у) ограничена.
►	4.27. Найти решение уравнения Лапласа Аи = 0 в полуполосе 0 < х < а,
о < у < оо, удовлетворяющее условиям:
du{Q,y) ^	аи(х,0)
и{а,у) = 0; и[х,у) ограничена;
ди{0,у)	ди{х,0)	Злх	5ттх
2) —^	= 0; —^	= 3cos—	5COS-—;
дх	ду	2а	2а
и{а,у) = 0; и{х,у) ограничена;
04 ч о ди(х,0)
3)	и(0, у) = 0; —— = щх\


154
Глава IV. Уравнения эллиптического типа
ди{а, у)
дх
= 0; и{х, у) — ограничена.
► 4.28. Найти гармоническую в полуполосе 0<х<а, 0<^<оо
функцию по условиям:
1)	и(0,у) =	+ /iti(a,j/) = о, Л>0, «(ж.О) = ф(х),
и{х,у) ограничена;
2)	и(0,у)=0; и{х,0)=щ;
ди{а,у)
3)
дх
ди{0, у)
дх
ди{а,у)
дх
+ hu{a, у) = о, h > 0; и{х, у) ограничена;
= 0; w(x,0) = /(x);
+ hu{a, у) = о, /г > 0; и{х, у) ограничена;
,-,ди{0,у)_^	ди{х,0)_^
4)	^	— о, ^	— ito,
5)
6)
дх
ди{а,у)
дх
ди{0,у)
дх
ду
+ hu{a^y) = 0, /г > 0; и{х,у) ограничена;
— hu{0,y) = 0, h> 0] и{х,0) = f{x)]
и{а,у) = 0; и{х,у) ограничена;
ди{0^у)
дх
ди{а, у)
дх
—	2/) = о, /I > 0; и{х, 0) = f{x)\
= о, /i > 0; и{х,у) ограничена.
► 4.29. Найти решение уравнения Лапласа Аи = 0 в полуполосе В\
1)	В: о < X < +00, о < ^ < 6;
и(0, у) = Ау{Ь-у), и{х, 0) = 0;
и{х, у) ограничена; и{х, Ь) = 0;
2)	В: о < X < а, —схэ < у < 0;
'^(0, у) = 0; гх(х, 0) = щх]


'Задачи
155
ди{а, у)
дх
0; и{х,у) ограничена;
3) В: -оо <х<0, ^ <у <Ь]
ди{0,у)	ди{хД)
-^ = щ{ь-уУ,	=
и{х^ у) ограничена; г^(х, Ь) = 0;
А) В: о < X < +00, о < ^ < 6;
ди{х,Ь)
и[х, у) ограничена; —	=	0;	"
ду
Ъ) В \ о < X < а, —оо < 2/ < 0;
duiQ.y)	^	9ix(x,0)	^	Зтгх	Ъпх
—Б	= 0’ —Б	= 3cos-	cos^—;
ox	оу	2а	2а
и{а^у) — 0; и[х,у) ограничена;
6)	В: —оо <х<0,	^ <у <Ъ\
duiSl.y)	пу	Зпу	ди{х,0)
—^	= 3 cos — - cos	^	= 0;
ох	о	о	оу
/ ч	ди(х,Ь)
и[х, у) ограничена; —;г	= 0;
ду
7)	В0<х<оо, о < у < Ь]
ди(х,0)	^	ди(0,у)	1	Зпу	Ъпу
	= "■ ^^ = 3“” —'
ду
ди{х, Ь)
ду
= 0; и{х, у) ограничена.
Краевые задачи для уравнений Лапласа в круговых областях
► 4.30. Решить задачу Дирихле для круга 0 ^ г < Я:
Дт/ = 0,	г/(Д,0) = /(0),


156
Глава IV. Уравнения эллиптического типа
а)	/(0) = asin0 + Р cos20; б) /(0) = cos^ 0 + 2sin^ 0;
П=1
► 4.31. Решить задачу Неймана для круга О ^ г < Д:
du{R, 0)
Аи = О,
дг
т-
Указать условия разрешимости задачи:
а)	/(0) = а cos 0 + Р sin 30; б) /(0) = cos^ 0;
оо
в
/(0) = Е^^= о/(0) = Е^.
П=1	72=0
►	4.32. Решить задачу Дирихле для внешности круга г > R:
Аи = о, u{R, 0) = /(0), и{г, 0) ограничена;
а)	/(0) = acos0 + Р sin 20; б) /(0) = sin^0 + 2cos^0;
ч л/^ч 1 ^^sinn0
■>)/Р) = 5 + Е —
П=1
►	4.33. Решить задачу Неймана для внешности круга R < г < оо:
Аи = о,	Q) _	0) ограничена.
дг
Указать условия разрешимости задачи:
оо
а) /(0) = asin0 + Р cos 20; б) /(0) = 1 + cos0; в) /(0) = ^
cos 710
т1
77 — 1
ч л/^ч	COS770 ,	^COS770
'■)л®) = Е^гтт1- д)лв)-Е-5^^
► 4.34. Решить задачу Дирихле для кольца Rq < г < R:
Аи = 0,	77(До,0) =/(0),	77(Д,0) = ^^(0),
а)	u{Rq, 0) = о, и(Д, 0) = Д cos 0, А — const;
б)	u{Ro, 0) = Д, u{R, в) = В sin 20, А, В — const.
Исследовать решение в случаях До —> 0 и Д ^ оо.


Задачи
157
► 4.35. Решить задачу Неймана для кольца Rq < г < R:
Аи = О
ди{Н^, 0) ^	du{R, 6) ^
dr	’ dr
Указать условия разрешимости.
► 4.36. Найти решение уравнения Лапласа Аи = О в кольце R\ < г < R2,
удовлетворяюш,ее краевым условиям
du{Ri,Q)
dr
= /(0),	u{R2,e)=g{d).
►	4.37. Найти гармоническую в кольце Rq < г < R функцию гл(г, 0),
удовлетворяющую соответственно краевым условиям:
а)	_ q 0^ u(R, 0) = Q + Тsin 20, q. Q, Т — const;
dr
б)	u(Ro, 0) = T + C/q cos 0,	= 0, Uq, T — const.
dr
►	4.38. Решить задачу Дирихле для области, ограниченной лучами, вы¬
ходящими из начала координат (р = 0и(р = си, и дугами окружностей
г = Ri,r = i?2, R2 > Ri'
u{r,cv) = /(г),
Ri ^r ^ R2.
u{R\, ф) = 0, 0 ^ Ф ^ Ш,
An = 0, u{R2, ф) = 0, 0 ^ Ф ^ cju,
^(r,0) = 0, i?i ^ r ^ Й2,
►	4.39. Решить задачу Дирихле в той же области, что и в задаче 4.38, при
краевых условиях
ф) = F(ф),	и(Я2,ф) = 0,	7х(г, 0) = 0, ii(r, ш) = 0.
►	4.40. Найти гармоническую внутри кругового сектора 0 < г < F,
о < ф < си функцию и{г, ф), удовлетворяющую краевым условиям
и{г, 0) = о, и{г, си) = о, u{R, ф) = Дф, о ^ ф ^ CU, А — const.
►	4.41. Найти стационарное распределение температуры в тонкой пла¬
стинке, имеющей форму кругового сектора, граничные радиусы которого
поддерживаются при постоянной температуре u\^ а дуга окружности —
при постоянной температуре г^2.
^По условию задачи Неймана на контуре области задается производная искомой функции по на¬
правлению внешней нормали п к контуру. В с.пучае кольца dujdn на большей окружности Cr совпа¬
дает с dujdr, а на меньшей, Сл„, ди/дп = —dujdr.


158
Глава IV. Уравнения эллиптического типа
Краевые задачи для уравнений Пуассона в круговых областях
► 4.42. Привести к задаче Дирихле для гармонической функции задачу
Дирихле для уравнения Пуассона в круге О ^ г < R:
Аи = 4,
Решить задачу в случае д{г,в) = 0.
\r=R
= g{r,Q)-
► 4.43. Привести к задаче Дирихле для гармонической функции задачу
Дирихле для уравнения Пуассона в круге О ^ г < R:
Аи = ху,
Решить задачу в случае д{х, у) = 0.
д{х,у)-
►	4.44. Решить уравнение Пуассона Аи = 12{х^ — y^) в кольце а < г < Ь,
Ои
если и{а, 0) = 0,	-^{Ь. 0) = 0.
or
Начало координат находится в центре кольца.
►	4.45. Решить уравнение Пуассона Аи = 12(x^ — в круге 0 ^ г < i?
с условием	0.
►	4.46. Решить уравнение Пуассона Аи =	+ y^) в круге 0 ^ г < R
с условием	0.
с условием
►	4.47. Решить задачу Неймана для уравнения Пуассона Аи = в круге
т
or r=R
►	4.48. В круге 0 ^ г < Д найти решение уравнения Аи = х^у, удовле¬
творяющее условию u\^^j^= а cos 20.	/•
►	4.49. В круге 0 ^ г < Д найти решение уравнения Аи = Ах -f- By,
удовлетворяющее условию u\^_j^= ос.
►	4.50. В круге 0 ^ г < Д найти решение уравнения Аи = (x^ — у^)у,
удовлетворяющее условию	/(0).
►	4.51. В круге о ^ г < Д найти решение уравнения Аи = 8х^у, удовле-
т =»■
or r=R
творяющее условию


Задачи
159
4.52. В круге О ^ г < R найти решение уравнения Аи = 64(х^ — у^)у,
8и
а cos 0.
►
ди
удовлетвориюгцее условию —
or r=R
► 4.53. В круге О ^ г < R найти решение уравнения А =
творяюЕцее условию	asin20, ос^ А, В — постоянные
24х^у, удовле-


Глава V
Метод интегральных преобразований
Помимо метода Фурье, широкие возможности решений начально-крае¬
вых задач предоставляет метод интегральных преобразований. Мы оста¬
новимся на преобразованиях с бесконечными пределами, когда перемен¬
ная, по которой ведется преобразование, меняется в пределах от —сю до
-hoo или от нуля до -hoo. Более того, ограничимся преобразованием Фурье
и связанными с ним синус-преобразованием Фурье и косинус-преобразова¬
нием Фурье, а также преобразованием Лапласа.
§ 1. Преобразование Фурье и его свойства
Преобразование Фурье, на наш взгляд, самое простое интегральное пре¬
образование, применяемое в математической физике. Остановимся на неко¬
торых предварительных положениях.
Пусть для простоты f{x) непрерывна на (—оо,оо), имеет ограничен¬
ную производную в каждой конечной точке и абсолютно интегрируема на
J \f{x)\dx < оо,
— ОО
тогда для /(х) имеет место интегральная формула Фурье [12, с. 529]
^ оо оо
/(а^)	^ J j f (х) cos z{r-x) dr dz.	(1.1)


§ 1. Преобразование Фурье и его свойства
161
Рассмотрим еще интеграл
Ф(г) = J /(т) 8Ш2:(т — х) б!т.
Функция Ф{г) нечетная для любого х по z и хотя, как можно показать,
непрерывна по z, но не обязательно интегрируема на (—оо,оо), однако
интеграл от Ф(z) в смысле главного значения по Коши сходится и равен
нулю:
или
v.p. J Ф(z) dz = О,
-оо
^ оо оо
— J J /(т) sin z(t — x)dTdz = ^
(1.2)
Напомним, что
N
V.p. /(х) dx = lim /(х) dx.
J	N^oo J
-oo	-N
Умножая (1.2) на i и складывая с (1.1), получим интегральную формулу
Фурье в комплексном виде:
оо
dx dz.
(1.3)
Формула (1.3) позволяет построить прямое и обратное интегральные
преобразования Фурье. Прямое преобразование функции /(х) — обозна¬
чим его F{z) — записывается так:
1 °°
dx.
(1.4)
Возможны обозначения F{z) = f(z) = V f и др. Из формулы (1.3) следует,
что выражение
^ оо
V-^F = ^j F{z)e-^^^dz = f{x)


162
Глава V. Метод интегральных преобразований
является обратным преобразование Фурье.
Исходную функцию f{x) здесь и далее называют оригиналом или про¬
образом преобразования, F{z) — изображением или образом.
Перечислим некоторые свойства преобразования Фурье:
1.	Если /(х) абсолютно интегрируема на (—оо,оо), то F{z) непрерывна
в каждой точке оси и стремится к нулю при z —> ±оо [12, с. 637].
2.	Преобразование Фурье линейно и однородно, т. е. для любых чисел а,
(3 выполняется равенство
V{af + |3ff) = cxVf + ?,Vg.
3.	Преобразование производных. Заметим, что в теории дифференци¬
альных уравнений применяются интегральные преобразования, которые
операцию взятия производных или определенный дифференциальный опе¬
ратор переводят в более простую операцию. Без доказательства покажем,
как работает преобразование Фурье.
Пусть /(х) и f'{x) непрерывны и абсолютно интегрируемы на (—оо, оо),
тогда
V{f{x)) = {-iz)V{f).
Если еще и /"(^) удовлетворяет перечисленным выше требованиям, то
Vif'ix)) = i-izfVif) = -z^Vif).
4.	Преобразование интеграла. Пусть /(х) абсолютно интегрируемая на
X
(-00,00) функция, д{х) = Г f{QdE„ тогда V{g) = -V{f).
о	^
5.	Сдвиг в оригинале:
V{f{x - £.)) = е-^У(/).
6.	Сдвиг в изображении:	/*
y(e-“V(^)) = F(z - £.).
Как следствие, получаем формулы
V{cosxE,f{x)) = ^{F{z + £,) + F{z - £,)),
Visinxlfix)) = i(F(^ + 0 - F{z - Q).


§ 2. Задача о теплопроводности бесконечного стержня
163
7.	Преобразование свертки. Теоретически каждое интегральное пре¬
образование во множестве преобразующих функций (оригиналов) имеет
внутреннюю операцию, называемую сверткой, не всегда простую. Для пре¬
образования Фурье свертка определяется так.
Определение 1.1. Пусть f{x) и д{х) абсолютно интегрируемы на
(—сю, сю). Под сверткой этих функций (обозначается f * д) понимается
следующая операция:
^ оо	^ оо
f*9 = -7^ J -l)dl = -= J /(х - t)g{t) dt = h{x).
^	—оо	^ —оо
Заметим, что h{x) также абсолютно интегрируема по оси х и
f *9 = g*f-
Имеет место следующее свойство. Преобразование Фурье свертки рав¬
няется произведению преобразований компонентов, т. е.
Vif*g) = Vif)-V{g).
§ 2. Задача о теплопроводности бесконечного стержня
В качестве иллюстрации рассмотрим задачу об интегрировании урав¬
нения теплопроводности для неограниченного в оба конца тонкого одно¬
родного стержня с теплоизо.яированной боковой поверхностью.
Пример 2.1. В области —oo<x<oo,t>0 найти решение уравнения
ди
dt
удовлетворяющее условию
и{х, 0) = ^{х).
(2.1)
(2.2)
Решение. Преобразуем по Фурье обе части уравнения (2.1) по перемен¬
ной X, полагая V{u) = u{z,t)- Искомая функция u{x,t) обладает неко¬
торыми предварительными свойствами, не связанными условиями выво¬
да уравнения и физических особенностей решения. Так, автоматически


164
Глава V. Метод интегральных преобразований
ди д^и ди
и(хЛ), —, 7^, — непрерывны но х \\ t для х G (—оо.сю) и ^ > 0.
ох дх^ at
ди
о для ^ > 0. Используя
Приходится считать, что lim и = Ит
^—>•±00	а;—>•±00 ОХ
ВОЗМОЖНОСТЬ дифференцирования несобственных интегралов по t, можно
доказать справедливость равенства
V
ди
^{V{u)) = ^u{z,t).
dt) dt	dt
Преобразованное по Фурье уравнение (2.1) примет вид
4s)
или
du{z, t)
dt
a^z4{z,t).
(2.3)
Уравнение (2.3) по существу считаем обыкновенным дифференциальным
уравнением с параметром г, а решение ищется, удовлетворяющее началь¬
ному условию, которое получается преобразованием Фурье равенства (2.2):
V{u{x,0)) = V^(cp), или
u{z,0) = (p{z).	(2.4)
Решая уравнение (2.3), находим, что
u{z, t) = C{z)e
—a^z^t
(2.5)
где C{z) — неизвестная функция параметра z. Полагая в (2.5) ^ = О, по¬
лучаем, что C{z) = (p{z).
В терминах образов преобразования Фурье получаем
u{z, t) = ^{z)e
-a^zH
Искомую функцию находим обратным преобразованием Фурье. Это мож¬
но сделать непосредственными вычислениями, но мы воспользуемся свой¬
ством свертки в обратную сторону, записав
u{x,t) = V ^(и) = (р(х) *д(х),


§ 2. Задача о теплопроводности бесконечного стержня
165
где д{х) = V ^(е	Вычисляем:
д{х) =	= ^ J	=
v/^U
COS zxdx — i
i J e sin гх
Второй интеграл от нечетной функции равен 0. Сходимость обоих инте¬
гралов очевидна. В первом интеграле сделаем замену: £, = агуД, z = —
ay/t
При этом пределы интегрирования не меняются:
Г cos и- =
y/2nay/t	ay/t
Вычислим методом дифференцирования по р интеграл
оо
J{[i) — J cos p£,d£„	(2.6)
—оо
учитывая, что J(p) вместе с	часто встречаются в задачах с исполь¬
зованием преобразования Фурье. Имеем
оо	/	1	\
/(ц) = - J sinц£,df. = - J sm\iE,(--de~^j =
— ОО	—ОО	^	''
1	.. оо
= -е“^%шц£,	-- Г ц-е"^'созц£,сг£,=--цЛц).
Z	—оо Z «>'	Z
—оо
Внеинтегральное выражение, очевидно, равно нулю. Таким образом, J(p)
удовлетворяет уравнению J'{\x) = —-pJ(p), интегрируя которое находим
J(p) — СПостоянную С определяем из равенства
оо
J(0) = J dl, — у/п
— 00
X
как интеграл Пуассона. В итоге J(p) = у/пе А так как р = —то
ay/t
1 1 ^
• 	l=y/7ie ^аЧ
урЫ ayfl
1
е ,
аурй


166
Глава V. Метод интегральных преобразований
Искомая функция равна
1	_-^L	1
u(x,t) = ф(х) * 	7=е 4аЧ
а\/^
2а\/тй
J фМ
е ^аЧ dT.
(2.7)
§ 3. Синус-, косинус-преобразования Фурье
Названные преобразования используются при решении начально¬
краевых задач для уравнения теплопроводности в случае полубесконеч-
ного стержня, для определенности х G (0,оо), при таких краевых усло-
ди
ВИЯХ u{0,t) = либо —(0,^) = y{t). Начальное условие вида (2.2):
и{х, 0) = ф(х).
Если краевые условия однородны, то поставленная задача обычно сво¬
дится к случаю X G (—оо, оо), т. е. рассмотренному ранее. Если ii(0,	= 0,
то искомую функцию и{х, t) продолжают для X < о нечетным образом, по¬
лагая
й{х
.^) = I
и{х, ^), X > о,
-u{—x,t), X < о.
ф(х)
ф(х), X > о,
-ф(—х), X < 0.
u{x,t) находится по формуле (2.6), в которой u{x^t) = u{x,t) при х > 0.
ди
Если же —(0,^) = о, то u{x,t) продолжается четным образом:
дх
й{х, t)
г u{x,t),
X u{-x,t),
X > о,
X < 0.
Пусть краевые условия неоднородные. Рассмотрим варианты
u{0,t) = [i{t) и	=
а u{x,t) является решением уравнения (2.1) в области х > 0, ^ > 0. К ре¬
шению подобных задач привлекают косинус- или синус-преобразования
Фурье.


§ 3. Синус-, косинус-преобразования Фурье
167
3.1.	Косинус-преобразование Фурье
Полагаем в интегральной формуле (1.1) f{x) четной функцией, после
несложных рассуждений получаем
cos ZT cos zxdxdz.
0 0
Из последнего равенства выводим прямое преобразование
и обратное
= \/“ J /WcOS2TdT= Vcif)
^ о
f{x),	х>0;
f{-x), X <0.
— Fc{z) cos zx dz
n
(3.1)
Приведем без вывода формулу преобразования второй прор13водной f’\x)
в предположении, что lim f[x) = lim f\x) = 0:
Voif") =
(3.2)
3.2.	Синус-преобразование Фурье
Полагаем теперь в формуле (1.1) f{x) нечетной на (—оо,сю) функцией.
Имеем
!{х) = ^ Я/< т) sin ZT sin zx dx dz.
0 0
Прямое преобразование введем равенством
P's{z) = \/-J fi'z)sinzxd'x = Vsif),
^ 0
обратное запишется так:
X > о,
X < 0.


168
Глава V. Метод интегральных преобразований
Построим преобразование f"{x):
VsU")
(3.3)
Замечание. Исходя из формул (3.2), (3.3), при краевом условии u{0,t) =
ди
= ц(^) следует применять синус-преобразование, а если —{0,t) = у (t), —
их
то косинус-преобразование. Первые слагаемые в (3.2), (3.3) должны быть
известны.
Пример 3.1. В области а: > О, t > О найти решение уравнения (2.1)
ди
jd^'u
— = а	удовлетвориюш,ие условиям
ot дх^
= At),
ди
дх х=о
и{х, 0) = о,
lira и = Иш ^ = 0.
х^оо х-^оо ох
(3.4)
(3.5)
(3.6)
Решение. Учитывая замечание, применяем косинус-преобразование Фурье.
Преобразуем уравнение (2.1), обозначив Vc{u) = U{z,t):
Далее, с учетом равенств (3.2) и (3.4) имеем
dt
{z,t)
А-й
ди
дх
д:=0
dt
-a^z^U —	~ ‘ ^(^)-
Полученное уравнение имеет обш,ее решение вида
t
U{z,t) = е
—a^z^t
v(x)e“^^dT + C(2)
(3.7)
(3.8)


i. Преобразование Лапласа
169
Из начального условия (3.5) после его преобразования получаем началь¬
ное требование для (3.7) Vc{u{x^0)) = U{z,0) = О, которое удовлетворяется
111)11 C{z) = 0. Таким образом,
U{z,t) =
Искомое решение находим обратным преобразованием:
су 2 ^	^	\
u{x,t) = J( Jj coszxdz =
2о?
о ^0
t
^Jv(x)fJe	cos zx dzj dx
Внутренний интеграл заменой г
ал/t — т
сводится к J(|t). Равенство
(2.6) при [L
примет вид
a\/t — г
оо	сю
J	cos ZX dz =	J e“^^ cos ц£, dE, =
2a\/i
Окончательно
оо
ы
е cos (х£, df,:
2a\/i - т
л/яе 4a2(t-T)
u(a;, t) = —^ Г е 4а^-т) rfx.
v^J Vi^
§ 4. Преобразование Лапласа
4.1.	Функция-оригинал. Функция-изображение
Определим класс функций, на котором можно построить интегральное
преобразование Лапласа. В качестве функций-оригиналов определим мно¬
жество комплекснозначных функций f{x) вещественного переменного t,
—oo<t<oo, удовлетворяющих условиям:


170
Глава V. Метод интегральных преобразований
1.	f(t) однозначна и кусочно непрерывна для любого t, —оо < t < оо.
2.	f{t) = О для ^ < 0.
3.	При t +00 функция f{t) растет не быстрее показательной функ¬
ции. Это означает, что найдутся М > 0 и а > 0, при которых имеет
место оценка
|/(t)KMe“‘,	t>0.	(4.1)
В конкретных задачах условие 1 может быть усилено требованием су¬
ществования у f{t) производных до определенного порядка.
Преобразованием Лапласа функции f{t) назовем несобственный инте¬
грал с комплексным параметром р — х -Г iy
(4.2)
Функцию F{p), естественно, назовем функцией изображения или образом
преобразования, тогда f{t) будем называть прообразом. Требования на
f(t) обеспечивают существование F{p) в некоторой области комплексной
плоскости р. Для обозначения операции преобразования воспользуемся ва¬
риантом
т .=• F(p).
Для F{p) имеет место приведенная ниже теорема.
Теорема 4.1. Пусть f(t) удовлетворяет неравенству (4П), тогда F{p)
определена на множестве Rep ^ xq > а, непрерывна и, более того, ана¬
литическая по р в этой области.
Приведенная теорема подчеркивает важность постоянной а в оценке
(4.1), и в ряде случаев удается указать точную границу полуплоскости
определения F{p).
Например, для оригиналов со степенным ростом {П, v > 0) F{p) ана¬
литическая в полуплоскости Rep > 0, если f{t) =	— то в области
Rep > -hoc.


i. Преобразование Лапласа
171
4.2.	Основные свойства преобразования Лапласа
Свойство 1. Линейность и однородность
Если f{t) = F{p), g(t) = G{p), ос и ^ — комплексные постоянные, то
ocf{t) + ^g{t) =• aF{p) + (3G(p).
(4.3)
Свойство 2. Теорема подобия
Если f{t) = Е{р), а > О, то
Свойство 3. Теорема запаздывания
Если f{t) = F{p) и to > О, то
fit-к) = e“P‘"F(p).
Свойство 4. Теорема смещения
Если f{t) = F{p) и ос комплексное число, то
-at
fit) = Fip +а).
(4.4)
Свойство 5. Изображение производной
Если f{t), f'{t) и f"{t) являются функциями-оригиналами и изобра-
.исение F{p) аналитическое в полуплоскости Rep > а, то
fit) = pFip) - /(0), Rep > а,
fit) .=• p^Fip) - pf iO) - /'(0), Rep > a.
Свойство 6. Изображение интеграла
Пусть f{t) = F{p); Rep > a, a > 0, тогда
(4.5)
(4.6)
f	1
Г fir)dr= -F(p).
3	V
P
Свойство 7. Дифференцирование изображения
Пусть F{p) = f{t). Rep > a, тогда
F'ip) ^-tfit), Rep>a.
(4.7)


172
Глава V. Метод интегральных преобразований
Замечание. Это свойство часто используется для нахождения как пря¬
мого, так и обратного изображения.
Свойство 8. Интегрирование изображения
Если f{t) = F{p), Rep > а, то
.т
t
р
Определение 4.1. Сверткой двух оригиналов f{t) и g{t) назовем инте¬
грал вида
h{t) = f *9 = j f{'^)9{t - т) dr.
(4.8)
Свойство 9
Еели f{t) = F{p), Rep > a, g{t) = G{p), Rep > b, mo
/ * ^ = F{p)G{p), Rep > c = тах{а, b}.
Свойство 10. Преобразование функции двух переменных
Пусть f{x,t) является оригиналом по t для х G [а,Ь], тюгда
со
F{x,p) = J e~^^f{x, t) dt
nen„ueno 6ифф„и„ема. no mo % .=■ Anonnounno ^
OX ox	ox^
будет изображением с параметром х, х ^ [ci,b]. Если f{x,t) — функция,
епрерывно
. d‘^F{x,p)
дх‘^
4.3.	Таблица изображений
Для справок приведем таблицу изображений наиболее часто встречаю¬
щихся функций. Заметим, что функции, стоящие слева в записанных вы¬
ражениях, превращаются в функции-оригиналы, если положить f{t) = 0
при ^ < 0. Так, f{t) = 1 становится функцией Хевисайда
ц{г) = {1Д > 0; 0,t < 0}
и г|(^) = 1/р, Rep > 0.


ii 4. Преобразование Лапласа
173
1. 1 = r\{t) = Rep > 0.
P
-(Xp
r\{t - oc) =	, a > 0, Rep > 0.
P
II. f .=•	V > -1, Rep > 0.
nV+1
III. e	Rep > 0.
P-
1
IV. F=	, Rep > Re a.
p — a
V. sin cvt =
(JO
p2 +
P
Re p > I Im cu I.
VI. cos (jot =	Rep > 11тш|.
+ cu
VII. shcu^F=-
cu
^	r, Rep> Recu .
VIII.	chcui =
IX.	=
X.	t sin (jot =
p2 _	^2 ’
n!
XI.	^coscui =
XII.	^shcu^ =
(p + a)^+^ ’
2pcu
(p^ + cu^)^
p^ — cu^
(p2 + CU2)2
2pcu
(p^ — cu^)^
Rep > I Recu|.
Rep > — Re a.
, Rep > I Im cu|.
Rep > I Imcu|.
, Rep > I Re cu|.
p^ + cu^
XIII. ^ch (jot = T-7i	Rep > I Re cu|.
{p^' - cu^)^
XIV. sin cut =
cu
(p + a)^ + cu'
Rep > I Im cu| - Re oc.


174
Глава V. Метод интегральных преобразований
XV. е-“‘ cos uot =
р + ос
XVI. Jo{t) =
(p+a)2 + o)2’
Rep > 0.
Vf + 1
Rep > I Im cu| — Re a.
4.4. Определение функции-оригинала по известному
изображению
Решая задачу с применением преобразования Лапласа, мы в результате
получаем не искомую функцию, а ее изображение. Поэтому возникает за¬
дача восстановления оригинала по известному образу. Сначала не лишне
проверить необходимое условие на F(p), а именно; lim F{p) = 0. В против-
р—>оо
ном случае следует признать неразрешимость задачи указанным методом.
Естественно в простых случаях воспользоваться результатами приве¬
денной таблицы справа налево. Пусть F{p) — рациональная функция.
точнее правильная дробь
р(р)
Q{p)
. Применяя метод неопределенных коэф¬
фициентов, известный из математического анализа при интегрировании
рациональных функций, F{p) разлагаем на простейшие дроби и пользуем¬
ся таблицей изображений.
Возможен вариант применения свойства преобразования свертки. Так,
если многочлен Q{p) имеет кратные комплексные корни, то можно приме-
HPiTb многократные свертки. Например,
р + 1
Р
1
1
+ •
1
(^2	1)3	-h 1 -h 1	+ 1	+ 1)^ *
= COS t * sin t * sin t -h sin t * sin ^ * sin t.
В общем случае имеет место теорема, доказательство которой мы опус¬
каем.
Теорема 4.2. Пусть F{p) — правильная рациональная дробь с полюсами
Р\, Р2, ..Рт- Тогда
/«)=Е Res(eP*F(p), р = Рк)-
к=1


^ 4. Преобразование Лапласа
175
Диапазон задач, решаемых преобразованием Лапласа, велик и разнооб¬
разен. Мы ограничимся только задачами математической физики. Приве¬
дем характерный пример.
Пример 4.1. Найти решение уравнения
ди д‘^и
dt дх^
удовлетворяющее условиям
^ — 7^ — I/-h Bcosx, 0<х<оо, 0<t<oo.
dt дх^
ди
u{0,t) = Ае~‘^\	—(0,^) = 0, А, В — постоянные.
дх
(4.9)
Решение. Оценивая краевые условия (4.9), приходим к выводу, что преоб¬
разование Фурье неприменимо. Выручает преобразование Лапласа. Пусть
д‘^и
u{x,t) = U{p,t), для имеем в силу (4.6) равенство
fp’oi	dll
— -•	(р, t) - ри{0, t) - —(0, t) = p^t/(р, t) - Аре~^*.
Само уравнение после преобразования запишется так:
dt
(p2-i)t/+
Bp
+ 1
Ape
-2t
Полученное линейное уравнение относительно U решаем, например, умно¬
жением на интегрирующий множитель \i{p,t) =
,ди
_ (р2 _	== В
dt
dt
(е-(р"-1)«[/) = в
р2 + 1
-h 1
Аре
е-(р'-1)<^7 = _в
В итоге
U{p,t) = -
(р2 + 1)(р2 _ 1)
Вр	Ар
р2 + 1
(р2 + 1)(р2_Х)	р2ц_1
е-2* +


176
Глава V. Метод интегральных преобразований
Постоянную С определяем из условия на оо функции-преобразования,
Ит и{рЛ) = 0. Это равенство выполняется при С = 0.
р—>оо
Итак,
Далее,
U{p,t)
и (р, t) =
Вр
+ ^е-»
+ 1)(р2 - 1) р^ + 1
В/ р
2	\р‘^ Н-1	— 1/
Обратное преобразование с использованием формул VI и VIII (и. 4.3) дает
ответ
u{x,t) = — (cosx — chx) -h Ae~‘^^ cos X.
Задачи
►	5.1. Методом преобразования Фурье решить задачу о вынужденных
колебаниях бесконечной струны:
1.	Найти решение уравнения
= 0^-^ + f(x,t), -оо<х<оо, t>0,
удовлетворяющее условиям
ди
и{х, 0) = о,	~	< X < оо.
2.	Решить предыдущую задачу, если f{x,t) = xt.
►	5.2. Методом преобразования Фурье решить задачу Коши для беско¬
нечной струны (получить формулу Даламбера). В области — оо < х < оо,
t > о найти решение уравнения
д‘^и пд‘^и
дВ ^ 9х^ ’
удовлетворяющее условиям
ди,
п(х,0) = /(х),	—(х,0) = F(x),	—оо < X < оо.


Задачи
177
►	5.3. Решить начально-краевую задачу
д^и
W =	.>0, t>0;
гг(0, ^) = о, t > 0]
Он
u{x,0) = f{x),	—{x,0) = F{x),	х>0.
Указание. Применить синус-преобразование Фурье.
►	5.4. Применяя синус-преобразование Фурье, решить начально-краевую
задачу
0‘^и	2^^^ /гл	\
гх(0, t) =
it(a:,0) = 0,	^{х,0) = 0.
►	5.5. Решить начально-краевую задачу
0‘^и од'^и
dt^
X > о, t > 0]
ди,	,
— (0,0 = 0,	t>0;
Ои
u{x,0) = f{x),	—{x,0) = F{x),	х>0.
Указание. Применить косинус-преобразование Фурье.
► 5.6. Найти решение неоднородного уравнения теплопроводности беско¬
нечного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью
ди	г/ \
^ =	+	-оо < X < оо, t>0]
и{х, 0) = о, —сю < X < оо.
Указание. Применить преобразование Фурье по переменной х.


178
Глава V. Метод интегральных преобразований
► 5.7. Применяя синус-преобразование Фурье, решить краевую задачу
од‘^и
^ ^ 2
dt ^ дх^ ’
(О <	< оо);
w(0, t) = О, и[х, 0) = f{x).
► 5.8. Найти решение уравнения
ди 2^^'^
dt ^
X > о, ^ > о,
удовлетворяюш;ее условиям
и(0,^) = |Ll(^),	^>0,
и{х, 0) = о, X > 0.
Указание. Применить синус-преобразование по переменной х.
ди суд^^и ,	,
► 5.9. — = ^	X > о, ^ > о,
гл(0, t) = о, t > 0] и{х, 0) = о, X > 0.
^ ди
5.10. ^ = о
2^
9х^
-Ь /(х, t), X > О, t > О,
ди
— (О, t) = О, t > 0] и{х, 0) = О, X > 0.
дх
Указание. Применить косинус-преобразование Фурье по переменной х.
►	5.11. Найти решение уравнения Лапласа
д^^и д‘^и
при граничных условиях
^^(^>о) = о,	= /Ы-
Задачи 5Л2—5.24 решить при помощи преобразования Лапласа.
ди
►	5.12. тгз - ^ -\-и = X] 0<х,?/<оо,
дх^ ду
X	ди(0. у)
и{0,у) = у, ——— = 0.


'^пдачи
179
►	5.13.
a{0,t) =
►	5.14.
«(О, у) =
►	5.15.
►	5.16.
►	5.17.
►	5.18.
►	5.19.
►	5.20.
►	5.21.
►	5.22.
►	5.23.
►	5.24.
д^и ди	п, ^
^-^ + и = /(а:);	0<x,t<oo,
— и.
ох
ди	_
—	= 7^ -\-иЛ- В cos х; О < X. у < сю,
ду дх^
.Лe-^
дх
ди	, ди{^Л)
— = 7Г-7Т + U + е cos х; О < х, ^ < оо, гл(0, t) = —;г	= 0.
dt	дх^	дх
ди	д‘^и	1	гл	/гл	ч	ди(0, t)
7^ = 7^ + гх + ch х; О < х, ^ < оо, гг(0, t) = —^	=	0.
dt дх^	дх
ди	д“^и	^	.	ди(0, t)
7:^ =	7"—7 +	^ +	cosx;	0<x,t<oo,	u({j,t) = 1,	—7	=	0.
dt	дх^	дх
ди	д‘^и	.	\ гч 9^(0, t)
^ +	г/+	sinx;	0<x,t<oo,	'?i(0,t) = 0,	———	= 1.
дх
ди д^и	,	, ди(ОЛ)
7—= 77-7	+ 4г^	+ cos 2х;	0<х,^<оо,	^(0,^)	=	1,	—7	=	0.
dt	дх^	дх
ди д'^и ^	r^	/гл ч du(0,t)
7^ = 7^	- 4гг	+ cos2x;	0<х,^<сю,	u(0,t)=t,	—7	=	0.
dt	дх^	дх
ди д‘^и	л гл	ч	ди(0, t)
7г-= 7^ - IX + chx; 0<х,^<сю, u{0,t) = t, —7	= 0.
dt дх^	дх
ди	д^'и	,	.	ди(ОЛ)
7— = 7^ — 4гх + sh 2х; 0 < х, ^ < оо, гх(0, t) = 0, —7	= 2t.
dt дх^	дх
ди	д‘^и ,	1 ^	^	ч	du({),t)
— =	-д—z	— 4хх	+ ch 2х;	0	<	х, t <	00,	хх(0, t)	= t,	—7	=	0.
dt дх^	дх
ди	, л ^	ч	du(0,t)
7^ =	7-77	+ 4хх	+ sh2x;	0<х,^<сю,	u(0,t)	= l,	—7	=	0.
dt дх^	'	дх


Глава VI
Задачи, решение которых требует
привлечения функций Бесселя
При решении задач методом Фурье для областей, отличных от прямо¬
угольных (или полуполос), либо уравнений с переменными коэффициен¬
тами нередко применяются специальные функции. Наиболее популярны
функции Бесселя.
§ 1. Введение в теорию функций Бесселя
Уравнением Бесселя называется следующее дифференциальное уравне¬
ние второго порядка
х‘^у" 4- ху' -Ь (x^ - у‘^)у — О,	(1.1)
где V “ некоторая постоянная. Частное решение уравнения(1.1), записан¬
ное в виде ряда
»=Е-
^ fc!r(v -h /с + 1) ’
где Г обозначает гамма-функцию Эйлера, называется функцией Бесселя
первого рода порядка у и обозначается Jy{x). В нашей работе мы остано¬
вимся только на случаях Jq{x) и Л(х). Функция Jo{x) является решением
уравнения
х'^у" -h ху' -h х'^у = О,
или
х{ху'У -h х^у = О
(1.2)


§ 1. Введение в теорию функций Бесселя
181
и удовлетворяет условиям Jo(0) = 1, Jo(0) = 0. Она представляется в виде
ряда
к=0
(к\)
[У /х\
П V2/
2к
Этот факт легко проверить непосредственной подстановкой Jo(x) в урав¬
нение (1.2). Нетрудно показать, что радиус сходимости степенного ряда
равен бесконечности и, значит, Jo{x) имеет производные любого порядка
на (—оо,схэ). Второе частное решение уравнения (1.2), линейно независи¬
мое от Jo(x), можно получить известным в теории приемом. Оно представ¬
ляется в виде
В точке X = о это решение имеет логарифмическую особенность. Однако
для построения общего решения уравнения (1.2) привлекают другое част¬
ное решение — функцию Неймана, Nq{x), которая определяется пределом
А^о(:*:)
Ит
Jy{x) COs(v7l) — J-y{x)
sm{wn)
и в некотором смысле более удобна, чем У2{х)^ Функция А^о(^) линейно
независимая от Jq{x) и также неограниченная при х -э- 0. Общее решение
уравнения (1.2) представимо в виде
y{x) = C,Mx) + C2No{x).	(1.3)
Перечислим основные свойства функции Jq(x):
1.	Jq{x) — четная функция, определенная на всей оси.
2.	Уравнение Jq{x) = 0 имеет бесконечное счетное множество веще¬
ственных решений и не имеет комплексных. Положительные корни обо¬
значаются |Lifc, к е N. При к ^ оо и [ik ^ оо, причем Ит [ik/k = п.
к^оо
3.	Функции |jo ('^^^)} образуют полную систему ортогональных на
отрезке [0, £] функций с весом р(а;) = х, т. е.
i-Jo{^)jo{^)dx = 0,
если ца, ^ ц„.


182	Глава VI. Задачи, решение которых требует привлечения функций Бесселя
4. Если |Xfc = Иге, то
J xJ^ dx
(1.4)
функция Ji{x) определяется рядом
(-1)''	/т\2*+1
Мх) = XI
к=0
к\{к + 1)
id)'
который сходится на всей оси. Заметим, что Ji(0) = 0. Функции Jq{x)
и Ji(x) связаны формулами дифференцирования
Joi^) =
{xJi{x))' = xJo{x).
с помощью (1.5) и (1.6) несложно вычислить интегралы
X
J zJq{z) dz = xJ\[x),
о
X
J z^Jq{z) dz = 2x^Jq{x) + {x^ — 4x) Ji(t).
(1.5)
(1.6)
(1.7)
(1.8)
При вычислении интегралов от бесселевых функций полезно тождество
J xJy{k\x)Jy{k2x) dx =	(1.9)
i{hJ'y{he)jy{k2^) - k2J'y{k2e)Jy{htj)
i-2 _ i-2
n^2
, ki 7^ /C2.
Помимо системы Jq	функций, ортогональных на отрезке [0, £]
с весом р(х) = X, на практике для уравнения (1.1) рассматриваются и дру¬
гие системы, порожденные поставленными краевыми задачами. Основные
условия таковы (см., например, задачи 6.8, 6.9 и др.):
I. |Л(0)| <оо, Jy{i) = 0.


§ 1. Введение в теорию функций Бесселя
183
II.	|Л(0)| < оо, 4(£) = 0.
III.	|л(о)| < оо, ице) + ыце) = o,h>o.
(ОСцХ \
—^ j, где сх^г ~ соответ¬
ственно корни уравнений
Му) = Му) = О- y-^v(y) + ^Му) = о> h>o.
Каждое уравнение имеет счетное множество положительных корней
^	^ /ОСпХ\
и не имеет комплексных корней. Функции Jy J ортогональны с ве¬
сом р{х) = X на отрезке [0,£], что легко проверить, воспользовавшись
равенством (1.9) при к\ = и к2 = оСт ф оСп- Этим же тождеством
J fOCnX\
пользуются для вычисления квадратов норм Jy	•
Hi = jxJl (^) dx = Jim JiJ. (^) Л (^) dx =
0 0
,2а„Л(а)4((Хп) - aj;(a)Jv(oc^)
= lim f
OC-^OCn
Oi^ — Oii
неопределенность раскрывается по правилу Лопиталя. В итоге
9
(4К))2+ 1-- ДК)
Для более полного ознакомления с приведенными без доказательств фак¬
тами отсылаем читателя к учебникам [3, б, 11].
1.1.	Радиальные колебания круглой мембраны
В качестве примера приведем решение задачи №113 [10].
Пример 1.1. Найти собственные колебания однородной круглой мембра¬
ны радиуса Д, закрепленной по краям, если в начальный момент она пред¬
ставляет поверхность параболоида, а начальные скорости равны нулю.
Решение. Считаем, что мембрана занимает некоторую область D плоско¬
сти хОу с границей L, в задаче это круг радиуса R с центром в начале


184
Глава VI. Задачи, решение которых требует привлечения функций Бесселя
координат. Неизвестная функция и = и{х, у, t) является отклонением точ¬
ки D с координатами х, у в момент времени t. Проблема сводится к инте¬
грированию следующего уравнения:
д‘^и
~д^
2	д‘^и
при выполнении краевого условия
u{x,y,t)\^-=^ 0.
Кроме того, задаются начальные данные:
(х,у,0) = F{x,y).
и{х,у,0)
ди
dt
(1.10)
(1.11)
(1.12)
(1.13)
По условию задачи функция F{x,y) = 0. Определим начальное откло¬
нение. В декартовых координатах начальные отклонения мембраны запи¬
шутся так: и{х, у, 0) = А{х‘^ -1- y^) В, Ав В — неизвестные постоянные.
Одно условие на эти неизвестные — равенство нулю функции и на границе
круга, окружности -h у^ = Имеем AR^ В = 0. Второе ограничение
получим, положив значение и в точке 0(0,0) в момент t = 0 равным h.
Это дает равенство В = h. В итоге
и{х, у, 0) = А(д2 _ ^2 _ у2^ =
Перейдем в уравнении (1.10) к полярным координатам, полагая х = г cos (р,
у = rsincp. Это известная задача (см., в частности, пример JY^3484 [7]).
В результате замены уравнение (1.10) запишется в виде
= а
д^-и	1 ди
ди^	г дг	г
1 д‘^и\
9ф^/
(1.14)
Начальные и краевые условия решаемой задачи позволяют судить, что
искомая функция не будет зависеть от переменной ф. Такие колебания
д^и
мембраны называют радиальными. В этом случае -г = 0. Кроме того,
дц)^
точка г = о является особой и требуется дополнительное краевое условие,
естественно предположить ограниченность и = и{г, t) при г = 0.


§ 1. Введение в теорию функций Бесселя
185
Итак, требуется найти решение уравнения
д‘^и
~д^
удовлетворяющее условиям
2 / д‘^и	1 ди
V dv?	г дг
u{R,t) = О,
«(^0) =	-г^),
ди,
^(г,0) = 0.
(1.15)
(1.16)
(1.17)
(1.18)
(1.19)
Поставленная задача решается методом Фурье. Ищем частные реше¬
ния ураврюния (1.15), удовлетворяющие условиям (1.16) и (1.17), в виде
произведения u{r,t) = X{r)T{t). Подставляя искомую функцию в (1.15),
получаем
X{r)T"{t) = а\Х'\г) + X'{r)/r)T{t).
Разделим переменные:
X" -h X'/г
= Ц-
о?Т	X
Данная задача разрешима только для отрицательных ц, для простоты
ц = —Л^. Для Х{г) получаем уравнерше X" -\-Xjr = —Х^Х. Умножим его
на г^, теперь г^Х" И- гХ' -h Л^r^X 0, или
r(rx;); + AV^x = 0.
(1.20)
Равенство (1.20) отличается от уравнения (1.2) наличием параметра Л.
Сделаем замену: х = Хг, г = х/Х. Имеем X' = X'^fr'^ = ЛХ^. Отсюда
гХ' = хХ'^. Далее, г(гХ')^ = х{хХ'^У^. Теперь (1.20) запишется так:
фХ'Х + х^Х{х) =0.
Получено уравнение Бесселя нулевого порядка, общее решение которого
записывается в виде Х{х) = CiJq{x) -h C2Nq{x), а
X(r) = CiJo(Ar) + C2Xo(Ar).
(1.21)


186
Глава VI. Задачи, решение которых требует привлечения функций Бееееля
Как и в предыдущих задачах, граничные условия выполняются за счет
функции Х{г), которая должна быть ограниченной в нуле, |^(0)| < оо,
и равной нулю при г = R, X{R) = 0. Поскольку А^о(^) не ограничена
при X —> о, первое требование выполняется, если С2 = 0. Пусть г = R,
тогда CiJo(\R) = 0. Множитель С\ ф 0, для определенности положим
Cl = 1. В итоге имеем уравнение Jo(Ai?) = 0, положительные корни кото¬
рого равны [ik, к = 1,2, ... Определяем Xk = Ц/с/Д, а Xk{r) = Jo{^kr/R).
Для множителя T{t) получаем уравнение, мало отличающееся от рассмот¬
ренных ранее уравнений:
Т1!+ф^Уп = 0.	(1.22)
Общее решение уравнения (1.22) запишем в виде
Tkit)
dk cos + bk sm
К	к
Объединим его с найденными Xk{r) и построим формальное решение
задачи:
d{r, о = XI ('
Ofc cos + bk sin
)Mx)-
(1,23)
Предполагаем, что ряд (1.23) сходится равномерно в области 0 ^ г ^ R]
Определим неизвестные коэффициенты а^- и bk- Так как начальные
скорости мембраны равны нулю (условие (1.19)), то все bk = 0. Полагая
в равенстве (1.23) t = 0 и учитывая начальное условие (1.18), получаем
и{г, 0)
h
■л
(1.24)
к=\
Отсюда найдем коэффициенты a^^. Воспользуемся ортогональностью си¬
стемы |jo	свойствами 3 и 4 и равенством (1.4). Опуская детали,
2h ^
С1к =
записываем:
R^JK^k)
J г(Д2 - r^)Jo (^) dr.
о
Интеграл
h
/г(Л
2 2
Г
у.(^)*


§ 1. Введение в теорию функций Бесселя
187
вычислим интегрированием по частям, предлагая описанную ниже тех¬
нику. Сначала сделаем замену в интеграле	= х, с тем чтобы без
хлопот воспользоваться формулами (1.5) и (1.6). Имеем г = xR/[ik, dr =
= (R/\ik) dx, пределы для х: О ^	^ \ik- Теперь
h = —	(ц| - x^)xJq{x) dx.
i
Интегрируем по частям, полагая и = Ц.|—dv = xJ[i{x) dx = {xJi{x))'dx.
В последнем преобразовании мы воспользовались равенством (1.6). Далее,
du = —2xdx, V = xJi{x). Теперь
R^ (	v^k	\
h = — \	- x'^)xJi{x) +2 I x^Jiix) dx ) .
P-k\	0	i	J
Внеинтегральный член в последнем равенстве будет равен нулю, что
следует из свойств разлагаемой функции. В интеграле заменим Ji{x) на
—Jq{x), воспользовавшись равенством (1.5):
2R*
h
Л
^ ■ x‘^Jq{x) dx
2
и = Х^
du = 2х dx
dv = Jq{x) dx, V = Jo{x)
(x^Jo{x)
V
—2 J xJo{x) dx
0	J
И снова внеинтегральный член равен нулю, но теперь на верхнем преде¬
ле по причине того, что [ik — корень уравнения Jq{x) = 0. Далее, снова
применяем равенство (1.6) и завершаем вычисления:
h = \{xJi[x))'dx = ^^xJi{x)
u,_ J	\x^
Теперь ak
8h
И, наконец, искомая функция равна
Заметим, что при вычислении Д можно было сразу воспользоваться
равенствами (1.7) и (1.8), но мы хотели показать технику работы с функ¬
циями Бесселя и идею получения равенства (1.8).


188
Глава VI. Задачи, решение которых требует привлечения функций Бесселя
1.2.	Задача о малых колебаниях тяжелой нити
Рассмотрим еще один пример применения бесселевых функций — ин¬
тегрирование уравнения малых колебаний тяжелой нити. Полагаем, что
данная нить однородна, имеет линейную постоянную плотность, равную р,
практически нерастяжима и легко изгибаема. Реализуется, например, в ви¬
де тонкой цепочки. Пусть в положении равновесия нить расположена вер¬
тикально и закреплена в верхней точке. Направим ось абсцисс вертикально
вверх, нить закреплена в точке х = £, а.х = 0 — ее конец (не закреплен¬
ный). Пусть она выведена из положения равновесия, u{x,t) — отклонение
точки X от вертикали в момент времени t. Предполагая малыми u{x,t)
dvL { (ди \ ^	\
и — 1(—j ~01, можно вывести уравнение колебаний [6]
_ 2 ^
^ дх
ди
' дх
(1.25)
Здесь а~ = д, д — ускорение силы тяжести.
Уравнение (1.25) решается при начальных условиях
ди
и{х, 0) = /(гг),	—{х, 0) = F{x),
(1.26)
f{x) и F{x) — достаточно гладкие функции.
Краевое условие для х = £ сразу определяется постановкой задачи: нить
закреплена, а значит,
u{£,t) = 0.	(1.27)
В точке X = о мы не располагаем никакими условиями, кроме естествен¬
ного требования ограниченности и{х, t), что, оказывается, будет достаточ¬
ным. Итак,
|гг(0,t)\ < оо.	(1.28)
Приступаем к решению задачи, применяя метод Фурье. Ищем част¬
ные решения уравнения (1.25), удовлетворяющие только краевым услови¬
ям (1.27) и (1.28), в виде произведения u{x,t) = X{x)T{t). Подставляя это
произведение в (1.25) и разделяя переменные, получаем
T"{t) _ {хХ'(х)У
a^T{t) Х{х)
-Л^
(1.29)


§ 1. Введение в теорию функций Бесселя
189
Функция X (х) должна удовлетворять соотношению
{хХ'{х)У +	= О,
умножая его на х, имеем уравнение
х{хХ'{х)У + Х^хХ{х) = О,
(1.30)
которое решается при условиях |Х(0)| < оо, X{i) = 0. Равенство (1.30)
похоже на уравнение Бесселя (1.20), но показатель аргумента х во втором
слагаемом не равен двум. Однако заменой х = ЕУ этот «дефект» можно
устранить. Итак, пусть х = ЕУ, Х{ЕУ) = У(Е,). Теперь
Г(х) = ^ = ^ = ^
х'^	21	21 ’
хХ\х) = -£,У'(£.).
Аналогично х{хХ\х)У = ^£,(£,У'(£,))', и уравненрю (1.30) перепишется та¬
ким образом:
£,(£.У'(£,)У + 4Л2£.2УЦ) = 0,	(1.31)
при этом |У(0)| < оо, ¥{уД) = 0. Общее решение (1.31) равно
У(0 = Oi Jo(2A£,) + C2iVo(2Af,),
CM. равенство (1.21). Требование ограниченности У{Е,) в нуле будет выпол¬
нено лишь при С2 = о. Cl о, и для нахождения Л получим соотношение
Jo(2A\/£) = 0. Обозначая нули Jo(x) через Цх, Ц2, ..., получаем
Ak — произвольный множитель. Искомая функция
Xk{x) = AkJo
Функцию T{t) находим из уравнения
T"{t) + xWT{t) = o,
Tk{t) = Bk cos XkCd -f- Ck sin A/,a^,


190
Глава VI. Задачи, решение которых требует привлечения функций Бесселя
Вк, С к — произвольные постоянные. Формальное решение представляем
рядом
оо	/	I—\
X
= '^{ак cosXkCLt + bksmXkat)Jo ( [ik
k=i
(1.32)
Здесь положено a к = АкВк, bk = АкСк- Коэффициенты ак, Ьк неизвестны,
но предполагается, что ряд (1.32) сходится равномерно в области О < а: ^
t ^ 0. Найдем эти коэффициенты из расчета удовлетворить начальным
условиям (1.26). Имеем
оо
и{
(х,0) = f(x) =
к=1	^	^	'
Прош,е всего в этом месте снова вернуться к £, = л/х:
^ ^ (2/г Jo
к=1
По свойствам 3 и 4 функции Jo{[ik • t/V^) ортогональны на отрезке [О, \/£]
с весом р(£,) = £,, отсюда
С1к
О	\ V-/	о
Привлечем еш,е равенство (1.4), согласовав пределы интегрирования, и за¬
пишем:
ак
Возвращаемся кх = dx — 2£,J£,. Теперь
dk
Дифференцируя ряд (1.32) по t (приходится предполагать такую возмож¬
ность), обычным приемом аналогично получаем
Ьк
\ikaVIJf{[Lk)
jF{x)JoUkJ- ] dx.


Задачи
191
Замечание. Пример приведения уравнения (1.30) к уравнению Бесселя
показывает, что имеется достаточно большой класс уравнений второ¬
го порядка, которые несложными заменами можно привести к урав¬
нению Бесселя. Предлагаем читателю потренироваться на уравнении
х{ху'{х)У + \^х°^у{х) = 0.
Если получится, то предлагаем более сложный случай:
х^у” + аху' +	= 0^ Р 7^ 0-
Подсказка. Сделать сначала замену у = х^и, при этом подобрать а
так, чтобы коэффициент при хи' равнялся единице, потом задача сводится
к известной ранее, но уравнение будет некоторого порядка у.
Задачи
Задачи для уравнений гиперболического типа, требующие
применения функций Бесселя
6.1.	В круге о < г < i? найти частное решение уравнения
~дЙ ^
удовлетворяющее условиям
Л д f ди
|ii(0,t)| < оо, u{R,t) = 0;
ди
и{г, 0) = ф(г),	—(г, 0) = -ф(г).
► 6.2. Определить поперечные колебания круглой мембраны радиуса R
с центром в начале координат, вызванные начальной скоростью
/(^) =
Wo, о < г < R/2,
о, R/2 <г < R.
Указание. Задача сводится к решению уравнения
д^'и	2^ ^	гл	гл
яТ2 ^ ^ Ь о < ^	^ > о,
оП	г or \ or J


192
Глава VI. Задачи, решения которых требует привлечение функций Бесселя
при условиях
|u(0,t)| < оо, u{R,t) = 0;
ди
ti(r,0) = 0,	—(r,0) = /(r).
► 6.3. Найти собственные колебания круглой мембраны радиуса R, за¬
крепленной по краю, начальные отклонения которой равны нулю, а на¬
чальная скорость
ди
dt
t=o
{г’о, г ^ /г, о для h < г < R,r =
Последнее условие отвечает удару круглого плоского молоточка радиуса h
со скоростью Vq
► 6.4. Однородная круглая мембрана радиуса R с жестко закрепленным
краем совершает малые поперечные колебания, вызванные постоянной на¬
чальной скоростью щ точек мембраны.
Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения
д‘^и Л д f ди\	^
при условиях
\u{0,t)\ < оо, u{R,t) = 0;
u(r,0) = 0,	^{r,0) = UQ.
► 6.5. Изучить свободные радиальные колебания круглой мембраны, за¬
крепленной по краю, колеблюш,ейся в среде, сопротивление которой про¬
порционально первой степени скорости. Начальная скорость равна нулю.
Указание. Проинтегрировать уравнение
ди о f д‘^и	1ди\ ,
_ + 2ft- = a +	h>0,
при условиях
\u{0,t)\ < оо, u{R,t) = 0;
О
u(r,0) = ф(г),	-^(г,0) = 0,	^ > h, Vк, Jo(|ifc) = 0.


Задачи
193
► 6.6. Тяжелая однородная нить длиной £, подвешенная за один из сво¬
их концов, X = £, выводится из положения равновесия и отпускается без
начальной скорости. Найти отклонение нити от положения равновесия.
Указание. Найти решение уравнения
2 ^ f	гл	л
t > О,
при условиях
|гг(0,^)| < оо, u{£,t) = 0;
ди
u{x,0) = f{x),	—{х,0)=0.
► 6.7. Тяжелая однородная нить длиной i, закрепленная верхним концом
(х = £) на вертикальной оси, враш,ается вокруг этой оси с постоянной
угловой скоростью ш. Определить форму нити при ^ > 0, если заданы
начальные отклонения и скорость.
Указание. Задача сводится к решению уравнения
д f ди
^ дх Vdx
-h cu^гi,
о ^ X <	^ > о.
при условиях
|'u(0,t)| < оо, u{i,t) = 0;
u(a:,0) = f{x),	^{х,0) = F{x),	^	Jo(^ifc) = 0.
► 6.8. Дана цилиндрическая трубка радиуса R — настолько длинная, что
ее можно считать простирающейся в обе стороны до бесконечности. Ис¬
следовать малые радиальные колебания однородного газа, заключенного
в трубке.
Указание. -Уравнение колебания газа
dt‘^ ^ \9x^	dz^
следует преобразовать к цилиндрическим координатам г, ф, 2, напра¬
вив ось Oz по оси трубки. Учитывая радиальность колебаний и их ма¬
лость, следует считать, что функция и будет зависеть только от г, т. е.


194
Глава VI. Задачи, решения которых требует привлечение функций Бесселя
/ N	9и ^ ди ^ ^	.
и = u[r,t),	а значит, —	= О, —	= 0. В	результате u[r,t)	удовлетворяет
уравнению
при условиях
д‘^и 1 ди
дг‘1' ^ г дг
ди.
\u{o,t)\ < оо,	= 0;
ди
и{г, 0) = /(г),	—(г, 0) = F{r).
► 6.9. Определить поперечные колебания однородной круглой мембраны
радиуса R, вызванные начальной скоростью
f{r)
= |wo,
0,^ <r < R
}■
если край мембраны закреплен упруго.
Указание. Решить уравнение
(9^гi	2^ ^ f	гл
®	’ о ^ ^	^ > 0.
dt^ г дг \ дг J
при условиях
|u(0,i)l<oo,	+
r=R
= 0, ft > 0;
ди,
u(r,0) = 0,	—(r,0) = /(r).
► 6.10. Круглая однородная мембрана радиуса R, закрепленная по краю,
находится в состоянии равновесия при натяжении Т. В момент времени
^ = о к мембране приложено нормальное давление Р на единицу плош,ади.
Определить форму мембраны при ^ > 0.
Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения
д'^и	1ди	1 д^-и	Р
^^2	^ Qy'	(Р дР	Т
при следуюгцих условиях: u{D,t) равно конечной величине, u{R,t) = 0;
ди
u(r,0) = о, -^(лО) = 0.


Задачи
195
► 6.11. В круге О ^ г < Д найти частное решение уравнения
д‘^и
удовлетворяюш,ее условиям
Л д { ди .	^
г— + F,
гдг \ дг
ди,
lu(0,t)|<oo,	-^{R,t) = uo',
ди
и{г,0) = 0,	—(г,0)=0,
F п uq — постоянные числа.
► 6.12. Круглая однородная мембрана радиуса Д, закрепленная по конту¬
ру, находр1тся в состоянии равновесия при натяжении Т. В момент времени
t = О к поверхности мембраны приложена равномерно распределенная на¬
грузка / = Posincu^. Найти радиальные колебания мембраны.
Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения
д‘^и 1ди 1 д'^и До .
при условиях, что гл(0, t) равно конечной величине, и(Д, t) = О, и{г, 0) = 0,
Рассмотреть случай ш ф где > 0 корни уравнения Jo(x) = 0,
Д
кем.
► 6.13. в круге о ^ г < Д относительно функции и = и{гф) решить
задачу
г— , о ^ г < Д, t>0;
oF г or \ or )
|u(0,^)| < оо, u{R,t) = ггозтси^;
ди
и{г,0) = 0,	—(г,0)=0;
keN, М[1к) = 0-


196
Глава VI. Задачи, решения которых требует привлечение функций Бесселя
► 6.14. В круге О ^ г < Д относительно функции и = u{r,t) решить
задачу
ди^
О ^ г < Д, t > 0:
д‘^и 21 ^
^ г дг дг
ди
|гл(0,^)| < оо, — (Д,t) = liocosси^, t > 0;
or
u{r, 0) = 0,	|^(r, 0) = 0, шф	k€N,
где [Ik > 0 корни уравнения Ji(|x) = 0 или уравнения Jo(|i) = 0.
► 6.15. Определить поперечные колебания однородной мембраны ради¬
уса Д, вызванные непрерывно распределенной по мембране поперечной
нагрузкой плотностью geos cut, действующей с момента t = 0, если:
а)	край мембраны закреплен жестко;
б)	край мембраны закреплен упруго.
Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения
Л д [ ди .
= а	г— -h - cos cut
при условиях:
г дг \ дг J р
ди,
а) |w(0,f)| < оо, u{R,t)=Q\ u(r,0) = ^(г,0) = 0,
7о(Ы = 0;
а гс
б) |и(0,^)| < оо, +
dt
ди,
= о, h > 0; и{г,0) = -^(г-,0) = 0,
r=R	ОТ
Vfc, Мо(Ы + MJo(^fc) = 0.
а К
► 6.16. Найти в области 0^г<^, t>0 решение уравнения
9t^	^ \дг“^ ^ г дг)'
удовлетворяющее условиям
ди
|u(0,t)|<oo,	—{^,t)-\-hu{(.,t) = l, > 0;
дг
ди
u(r,0) = 0,	—(r,0) = 0.


Задачи
197
6.17. Найти в области 0^r<i^t>0 решение уравнения
о /д‘^и 1 ди
= а
■2 '	1
дг^- г дг
dt‘^ \ г«
удовлетворяюш,ее условиям
|г^(0,^)| < оо, u{i,t) = cos2^;
о
и{г, 0) = о, -^{г, 0) = о, ^	2, k£N, Jo(^fc) = 0.
► 6.18. Найти в области 0^r<£,t>0 решение уравнения
д‘^и 2 f 1ди\
а? = “	+
удовлетворяющее условиям
ди
|г^(0,^)| < сю, —{£,t) = sin2^,
or
ди,
аук
^(г,0) = 0, ^(г,0) = 0, Ц
7^ 2, /с G N, Jo (уА:) = о или Jl(yA:) = 0.
6.19. Найти в области 0^r<i?, ^>0 решение уравнения
д‘^и 2 (1ди\
dt^- ^ \	^ г дг )
удовлетворяющее условиям
l'u(0,^)| < оо, u{R,t) = щ]
ди
и{г, 0) = о, ■^(^5 0) “ ^5	'^0 ~ const.
►	6.20. Найти в области 0^r<i?, t>0 решение уравнения
д‘^и _ 2 (1
^ \9r^ ^ г дг)'
удовлетворяющее условршм
|гх(0,t)| < оо, u{R,t) = щ]
ди
и{г,0)=0,	-^{г,0) = 0.
►	6.21. Найти в области 0^r<i?, t>0 решение уравнения
д‘^и 2 f 19гА\
dt^- ^ V ^ г дг) ^
удовлетворяющее условиям


198
Глава VI. Задачи, решения которых требует привлечение функций Бесселя
|гл(0, t)| < оо,	— 0^ /г > 0;
л	Pin I
u{r,0) = —^{R^-P),	^(r,0) = 0.
► 6.22. Найти в области 0^г<Д, ^>0 решение уравнения
1 ди
+ ■
+ А cos cut,
\ дг‘^ г дг ^
удовлетворяюш,ее условиям
|и(0, t) I < оо, u{R, t) = щ cos cut,
г/о(4а2 + си2)+ЛД2 ^ /си
-фЦ, у к, Jo(^ = 0;
CL ±\
ди,
“<"■ “> = l4a^+V)Jo'ftfi) •'° ( а V ' Ж*’-’") = "■
► 6.23. Найти в области 0^г<Д, t>0 решение уравнения
д^-и п /д'^и 1ди^
dt^- ^	г дг
удовлетворяюш,ее условиям
, _	du(R,t)
|'u(0,t)| < сю, —:г	= uo cos cut;
dr
u(r,0) = 0,	||(r,0) = 0,	^	Vn, J'(y„) = 0.
Задачи для уравнений параболического типа, требующие
применения с^)ункций Бесселя
► 6.24. Найти распределение температуры внутри бесконечного кругово¬
го цилиндра радиуса R при условии, что начальная температура равна
и{г, 0) = щ[1 — г^/Д^), а на боковой поверхности поддерживается темпе¬
ратура, равная нулю.
Указание. Найти решение уравнения
ди 2 f	1ди^
dt ^ \ дг^‘ ^ г дг ^
при условиях
|tt(0,t)| < сю, u{R,t) = 0;
г-2	'
и{г, 0) = г^о 1
Д2


Задачи
199
► 6.25. Найти распределение температуры при t > О в бесконечном одно¬
родном круглом цилиндре радиуса если начальная температура цилин¬
дра равна а поверхность цилиндра теплоизолирована.
Указание. Задача сводится к интегрированию уравнения
при условиях
ди
dt
|ia(0,^)| < оо,
= а
1 ди\
дг‘^	г дг )
du{R, t)
dr
= 0;	и{г,0) = щг^.
► 6.26. Дан неограниченный цилиндр радиуса R, начальная температура
которого равна /(г). С боковой поверхности цилиндра происходит луче¬
испускание тепла в окружающую среду, температура которой считается
равной нулю. Найти распределение температуры внутри цилиндра в лю¬
бой момент времени t.
Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения
ди
dt
di^u
dj>2 г dr J
при условиях, что ix(0, t) равно конечной величине,
du{R, t)
dr
-h hu{R, t) = 0; u{r, 0) = f{r).
di^u	2
►	6.27. В круге о ^ г < Я найти решение и = и(г, t) задачи
ди
di^""
ди
|u(0,i)|<oo,	—{R,t) = 0,	u(r,0) = ф(г).
►	6.28. Найти распределение температуры при t > 0 в бесконечном од¬
нородном круглом цилиндре радиуса i?, если начальная температура ци¬
линдра равна ггor^, а на поверхности цилиндра происходит конвективный
теплообмен со средой, имеющей нулевую температуру.
Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения
ди
~di
Л д f ди
гдг \ дг


200
Глава VI. Задачи, решения которых требует привлечение функций Бесселя
при условиях
|t/(0,t)| < оо,	+ hu{R,t) = 0;	1а(г, 0) =
► 6.29. В начальный момент времени t = 0 температура бесконечной
однородной трубы Ь ^ г ^ d равна щ. Найти распределение температуры
в трубе при ^ > о, если поверхность трубы поддерживается при нулевой
температуре.
Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения
о1 д
—
ди
дг
ди
dt ^ г дг
при условиях
и{Ь, t) = u{d. t) = о, u(r, 0) = щ.
►	6.30. Исследовать радиальное распределение тепла в бесконечном кру¬
говом цилиндре радиуса R, боковая поверхность которого поддерживается
при постоянной температуре щ. Начальная температура внутри цилиндра
равна нулю.
Указание. Задача сводится к интегрированию уравнения
ди
~di
с условиями \u{0,t)\ < оо, u{R,t) = щ, п(г,0) = 0.
►	6.31. Найти распределение температуры при ^ > 0 в бесконечном од¬
нородном круговом цилиндре радиуса R, если начальная температура ци¬
линдра равна щг'^, а температура поверхности цилиндра поддерживается
равной Т.
Указание. Задача сводится к интегрированию уравнения
ди
1 ди
^^2 г дг
дг
= а
1 ди
г дг
с условиями |ii(0,^)| < оо, u{R,t) = Т, ii(r, 0) =
► 6.32. В бесконечном однородном цилиндре радиуса R с момента t = 0
выделяется тепло с постоянной плотностью Q. Считая температуру цилин¬
дра при ^ = о равной нулю, определить распределение температуры в нем
при ^ > о, если поверхность цилиндра поддерживается при температуре Т.


Задачи
201
Указание. Задача сводится к интегрированию уравнения
ди
dt
Л д ( ди
г дг
+
Q
дг J ср
Т, и{г, 0)
с условиями |и(0,^)| < (X), u{R,t) = Т, и{г,0) = 0, где с — коэффи¬
циент теплоемкости, р — плотность, к — коэффициент теплопроводности,
= к/{ср).
►	6.33. Найти температуру бесконечного кругового цилиндра, если его
начальная температура равна u(r, 0) = г/о, а на его поверхности с момента
^ = о извне подается постоянный тепловой поток плотности q.
Указание. Краевое условие задачи имеет вид	= q.
дг
►	6.34. Начальная температура неограниченного кругового цилиндра
о ^ г < R равна г^(г, 0) = щ, а на поверхности цилиндра происходит
конвективный теплообмен со средой, температура которой равна щ. Най¬
ти температуру цилиндра при ^ > 0.
du{R,t)
Указание. Краевое условие задачи имеет вид ■
дг
= h{ui -u{R,t)).
► 6.35. В круге о ^ г < Д найти решение и = и{г, t) задачи
ди
dt
д‘^и	1 ди
^^2	г дг
h^u, /г > о.
|гл(0,^)| < оо, u{R,t)=T]	и{г,0)
► 6.36. Найти решения уравнения
= а
ди
dt
в круге о ^ г <
д‘^и 1 ди
Q'p
■А
t > о, удовлетворяюш,ее условиям
ди,
11/(0, t)| < сю, тг-(^71) + hu{£, t) = 0;	i/(r, 0)
дг
4a^
► 6.37. В круге 0^r<^, ^>0 найти решение уравнения
^д‘^и
= I
dt
удовлетворяющее условиям
ди 2 {1
V	г дг
+ е
-4t


202
Глава VI. Задачи, решения которых требует привлечение функций Бесселя
►	6.38. В круге О ^ г < £, при ^ > О найти решение уравнения
dt ^ \ г дг ) ^
удовлетворяющее условиям
|u(0,t)|<oo,	u{£,t) = 2;	u{r,0)=0.
►	6.39. В круге О ^ г < £, при ^ > О найти решение уравнения
dt ^ \	^ г дг )'
удовлетворяющее условиям
|гх(0,^)| < оо,
ди{£, t)
дг
r.-t.
и{г, 0) = О, ^	1, Joijk) = 0.
► 6.40. В начальный момент времени ^ = О температура бесконечной
однородной трубы Ь ^ г ^ d равна щ. Найти распределение температуры
в трубе при ^ > о, если:
а)	внутренняя поверхность трубы теплоизолирована, а внешняя поддер¬
живается при температуре Т;
б)	начиная с момента ^ = 0 в трубе действуют источники тепла посто¬
янной плотности (3, а ее поверхности поддерживаются при темпера¬
туре щ.
Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения
ди 2,
dt
при условиях
du{b,t)
дг
= 0, i^(d,0) = T, гг(г,0) = 1/о, g{r,t) = {)\
Q
б) и{Ь, t) = u{d, 0) = щ, и{г, 0) = По, д{г, t) = —.
ср
► 6.41. В круге о ^ г < i? найти решения следующих задач:
ди
1 д f ди
dt
гдг \ дг
+ ще
-hH
|u(0,t)|<oo, u{R,t) = 0, u(r,0) = 0,	7^/г, Jo(li^) = 0;


Задачи
203
2	д f ди\
“ V
|u(0,i)|<oo, u{R,t) = Те u(r,0) = 0,	Л, Jo(ii„) = 0;
.	ofд‘^и 1 (9гг\	^2.
|ii(0,t)| < оо,
du{R,t)
дг
Те
и{г, 0) = о, ^ ^ h, Ji(|i„) = 0;
г)
dt
Л д f ди
г— 1 +е
гаг \ or
—h'^t
|ii(0, ^)| < ОО,	+ hu{R, t) = о, и(г, 0) = 'ф(г).
Задачи для уравнений эллиптического типа, требующие
применения функций Бесселя
Раздел был написан профессором В. С. Рогожиным во время подготовки
издания [2] и вставлен в данное руководство без изменений.
Рассматриваются краевые задачи для цилиндра Цд, ограниченного по¬
верхностями, уравнения которых в цилиндрических координатах г, ф, 2
имеют вид Z = 0^, Z = h (плоскости оснований цилиндра) и г = i? (его
боковая поверхность).
►	6.42. Найти гармоническую в щшиндре функцию и{г, г), удовлетво¬
ряющую одному из следуюгцих краевых условий:
а)	ti(i?,z) = 0,	?х(г,/i) = 0,	'u(r,0) =/(г);
б)	ix(i?, z) = о, u(r,h)^g{r), гг(г,0)=0;
в) u{R, z) = F[z), u{z, h) = 0, u{r, 0) = 0;
r) u{R, z) = F(z), u{r, h) = g(r), u{r, 0) = /(r).
►	6.43. Найти гармоническую в цилиндре Цд функцию и(г, ф, z), удовле¬
творяющую одному из следующих краевых условий:
а) u{R, ф, z) = о, и(г, ф. К) = о, и(г, ф, 0) = /(г, ф);


204
Глава VI. Задачи, решения которых требует привлечение функций Бесселя
б)	u{R,(p,z) = о, u{r,(p,h) = д{г,(р), u(r, ф,0)=0;
в) u{R,(p,z) = F{(p,z), u{r,<p,h) = 0, u(r, ф, 0) = 0;
г) u{R,(p,z) = F{(p,z), u{r,(p,h) =	u(r, ф,0) =/(r, ф).
► 6.44. Найти гармоническую в цилиндре Цд функцию и{г, z), удовлетво¬
ряющую одному из следующих краевых условий:
а)
б)
в)
г)
du{R,
z)
дг
du{R,
z)
дг
du{R,
z)
дг
du{R,
Z)
= 0,
= 0,
dz
= 0.
dz
= f{r);
dz
. .	ди(г,0)
=ф).	=
F(,),	«НМ = 0;
dz
dz
du{r,h)	a«(r,0)
=	■ =g(0,	■ Q-— = fiO-
dr	’ dz
Указать условия разрешимости.
► 6.45. Найти гармоническую в цилиндре Цд функцию и{г, ф, z), удовле¬
творяющую одному из следующих краевых условий:
б)
в)
г)
du{R, Ф,
z)
dr
du{R, Ф,
Z)
dr
du{R, Ф,
z)
dr
du{R, Ф,
Z)
= 0,
= 0,
dz
= 0,
dz
dz
5u(r, ф,0)
dz
dz
du(r,(p,h)	au(r, ф,0)
ar	—a;—
Указать условия разрешимости
► 6.46. Найти гармоническую в цилиндре функцию и{г, ф, г), удовле¬
творяющую одному из следующр1Х краевых условий:
а)	= о, u(r, ф, К) = о, u(r, ф, 0) = /(г, ф);


Задачи
205
u(r, (p,/i) =5(г, (р), u(r, ф,0)=0;
в)	= F{(p,z), u(r, ф, Л.) = О, u(r, ф,0) = 0;
дг
du{R, ф, г)
дг
= F{(p,z),	u{r,(p,h) = g{r,(f>), u(r, ф,0) =/(г, ф).
►	6.47. Найти функцию, гармоническую в полубесконечном цилиндре Ц^,
удовлетворяющую одному из следующих краевых условий:
а)	u{R, ф, z) = О, u(r, ф, 0) = /(г, ф), и{г, ф, z) ограничена;
б)	u{R, ф, 2:) = F{(p, z), u{r, ф, 0) = о, и{г, ф, z) ограничена;
в)	u{R, ф, г) = F{(p, z), u(r, ф, 0) = /(г, ф), г^(г, ф, г) ограничена.
►	6.48. Найти функцию, гармоническую в полубесконечном цилиндре ,
удовлетворяюЕдую одному из следующих краевых условий:
, du(R,ip,z) ^ 9ti(r, ф,0)	./ ч /	ч
а) 	—	= о, 	—	= / (г, ф), u(r, ф, Z) ограничена;
дг
dz
6)	= F(v.z).	= о,	ограничена;
в)
дг	’	’ dz
du{R,(p,z)	ди{г,Ц>,0) а. а а	ч
= Г (ф, Z), 	^	= j(r, ф), 1/(г, ф, 2:) ограничена.
дг
Указать условия разрешимости этих задач.
► 6.49. Найти собственные значения и собственные функции краевой
задачи
Аи + Хи = о,
'^\дв~ ^
в случае, когда В — одна из следующих областей:
а)	прямоугольник О^х^а,
б)	круг радиуса R с центром в начале координат;
в)	круговой цилиндр с высотой h.


206
Глава VI. Задачи, решения которых требует привлечение функций Бесселя
► 6.50. Найти собственные значения и собственные функции краевой
задачи
О
Аи -\-\и = О,
ди
дп дВ
в случае, когда В — одна из следующих областей:
а)	прямоугольник О ^ х ^ а, О ^ у ^ Ь]
б)	круг радиуса R с центром в начале координат;
в)	круговой цилиндр с высотой h.
►	6.51. Показать, что задачу Дирихле в области В для уравнения Пуас¬
сона Аи — р,	f можно привести к задаче Дирихле для уравнения
Лапласа и к задаче Дирихле для уравнения Пуассона с нулевым гранич¬
ным условием.
►	6.52. Решить в прямоугольнике Т {О < х < а, О < у < Ь) задачу
Дирихле для уравнения Пуассона Аи = д{х,у),	0.
►	6.53. Решить в круге К радиуса R задачу Дирихле для уравнения
Пуассона Аи = ^(г, (р), и\
дк~
0.


Ответы к задачам
Ответы к задачам главы I
1.1.	Эллиптический. 1.2. Гиперболический. 1.3. Параболический.
1.4.	Эллиптический. 1.5. Гиперболический. 1.6. Гиперболический.
1.7. Параболический. 1.8. Эллиптический. 1.9. Гиперболический.
1.10. Эллиптический. 1.11. Эллиптический. 1.12. Гиперболический.
1.13.	£, = 2у + X, г| = X, эллиптический,
8“^и	д‘^и _ /	ди ди\
1.14.	= Зх — 2у, Г) = 2х + у, гиперболический,
д‘^и _ /	ди ди\
1.15.	£, = 5х + ^,г| = х, параболический,
д‘^и _ Л ди ди\
J.
1.16.	£, = е^, т| = у, эллиптический,
8“^и д^^и [	ди ди^
1.17.	£, = х^ — 2е^, г\ = X, параболический.


208
Ответы к задачам
(	ди ди
1.18.	1, = у —	^г\ =	-\- гг^ гиперболический,
_ /	ди ди\
1.19. L, = cosx + T| = X, параболический,
д‘^и _ /	ди ди\
дг[^
д1^дх\)'
1.20. £, = ху, т| = 2х, эллиптический,
д'^и д^^и f	ди ди\
1.21. £, = 2е^ — у^, т[ — X у, гиперболический,
д‘^и ( д‘^и д‘^и\
0Щ=
1.22.	£, = e^cosx, ц = —, гиперболический,
X
д^^и ^ /	ди ди\
д1дг\ ^
1.23.	£, = COSX — siny, г{ = X, параболический,
д^'и _ /	ди ди\
1.24.	£, = 2х — г| = —I—, гиперболический,
X у
д‘^и _ /	ди ди\
=	J.
1.25.	£, = tgy — X, т| = X, параболический,
д^-и ^ /	ди ди\


Ответы к задачам главы I
209
1.26.	£, = cosy, г\ = sinx, эллиптический,
д‘^и	f	ди ди\
1.27.	£, = In?/ — —, ri = X, параболический,
X
д^и (	ди ди\
1.28.	£, = у + ctgx, г\ = X, параболический.
9^?x
ди ди
^2 ^ ).
-2х
эллиптический,
1.29.	£, = 2^ + 6"^^, л = е
д‘^и	д‘^и	[	ди ди\
1.30.	£, = ctgy, л = tgx, эллиптический,
д^^и	д^^и	[	ди ди\
1.31.	^ = у sin х,г\ = X, параболический,
д^-и _ {^ ди ди\
1.32.	£, = X — л = 2х — е^, гиперболический,
д^'и _ (^ ди ди\
2	1
1.33.	£, = ?/ Н—, л = —, эллиптический,
X	X
д‘^и д^-и	f	ди ди\
1.34.	£, = 2х — cosy, л = У) параболический,
д^^и	(	ди ди
дё^ дё^ ^


210
Ответы к задачам
1.35.	Е, = у — In(sinx), г[ = X, параболический,
д‘^и _ /	ди ди\
1.36.	£, = ln(cos2/), Л = In sin X, эллиптический,
д‘^и	[	ди ди\
1.37.	£, =	у2^ ^ — ^ гиперболический,
^ Л ди ди
1.38.	Е, = ху,ц = 3у
1	X
или £, = In?/ + - 1п(х^ + 9), л = arctg-, эллиптический,
Z	о
д‘^и	д‘^и f	ди ди\
1.39. £,
У
1пх, Л = X — у, гиперболический.
_ /	ди ди\
0Щ=
1.40.	Е, = ху -\-\nx, г[ = X + у, гиперболический,
д^^и _ /	ди ди\
дЩ=
1.41.	Е, = X — t,T] = X,
д‘^и
дВ^дц
д‘^и
= 0.
1.42.	£, = X + ?/, л = 2/,	^
д^и 1 ди
1.43.	t = x + 2v,., = x, —-j-=0.
1 ди
1.44.	£, = 4х + „,п = 2х + !,, _ - _ = 0.


Ответы к задачам главы I
211
д‘^и	ди
д'^и 1 ди
Ы6^£. = х-!,,ч = х + 3„,	_ + -_ = 0,
д‘^и д^и ди
1Л7Д = 2у-.,г, = у, ^ + ^ + ^ = 0.
1.4&t = x + 3v,r = x, ^ + Щ = 0-
д^и 1 ди
l^i = x + 2»,., = 3x + 2y, _-j_ = 0^
д"^и ди
1.50.	Е, = у -Зх,г[ = X, — + ^ = 0.
^	^	^ д'^и д‘^и 1 fди	ди
l,51,i = x + 2!,.n = 3x. _ + _ + j(^_ + _
1.52.	Е, = 2х-у,ц = X, ^ + Щ =
. го г	г
1.53.	!; = х-5„,л = х-!,, _ + j_ = 0.
д^^и д'^и ди
1.54.	£. = х + 9,л = х-2», _ + _+2- = 0.
-, ГГ Г о	о
1.55.	t = 2x + 3!,,n = x. _ + j_ = 0,
ди
1.56.	Е, = х + 2у,ц = 2х + у, ^ + ^ + 2^ = 0.
L57,£. = x + 3v.4-2x-»,	+ gj = ».
= 0.


212
Ответы к задачам
д^и ,	. ди ди
1.58. £, = X + у, Г) = 2/?	+ (^ +	— 0.
д^и	1 ди
I^59,£,= x + !/,n = 3i-», — + -- = 0^
д^и	1 ди
1.60,	£. = 1 + 3!,, л = х + 9. аЩ + 5э;; = 0-
1.61,	£, = XJ/, л =-. ^^ = 0,
X а£,аг|
5^гi 9^гi
1.62. f, = 1п(а: + Va;2 + 1), Т1 = \п{у + л/у^ + 1),	^	^ = ^•
1.63. Е, = у + х^,г\ = у-х
д^и
дЕ,дг\
= 0.
1.64. £, = х^у, Г1 = 2/,	^ + :;—^ = 0
дх\^ Зт|5г1
1.65. £, = X + Г1 = X — у
9^г^
дЩ
= 0.
,	^	,	9^гt	ди
1,66	£.	= +,л = + + е>,	^ +	а;;	= о.
— _ ,,2 _ ^2
+ - COS
д1,дх\ 4	2	\9г1	3£,у
д'^и
0.
дц^
д‘^и
5^u 1
1 1
дё
ап2^£,-
д^^и
’ ^
— X —
У — COSX,
ди\
	 п
dl)
— и.
+ :г-т^ = 0.


Ответы к задачам главы I
213
_	_	д^и 1ди
1.71. £, = x + cosy, г| = ж, •^7^ + -^ = 0.
дЕ^дц Г1 дЕ,
„ . о	l9^г^ Е ди
L72.£. = lv>,n = x, ^-^-=0.
. Г	у	2£, ди
1.73.	£, = xtg-, л = а;, ^ = £,2+.^2^-
д^и 2£,^
174.t = tg»,4 = lnx, ^ + ^ + j^- = 0.
д^и
1.75. £, = X+ cosy, г| = У, ^ = 0.
1.76. Е = еУ - 2х, л = е!' - а:,
д'^и
дЕдц
0.
,	^	2	4	51^
1.77.	£,-у,л- а:, ^	^	- 0-
О	1 ди
1.78.	^ = у^ + 2е^л = 1/, ^--^ = 0.
1.7<).Ь = !, + х^л = Л 9У + ар + 5ial = "
1.80.	i = 4х» - ЗЛ л = X, _ + j^-=0,
д^и
1.81.	£, = 2х + siny, л = 2/, ^ = 0-
1.82.	£, = х + 2е-^л = 2х,	^ + ^ = 0-
1.83.	Е, = X + у + smx, Г] = X — у — sinx,
д‘^и _ 1 ,1,^Г[(ди	Q
Э£,9л^4®‘^	2	дЕ


214
Ответы к задачам
X	д‘^и 2£, ди
1.85. £, = ^chx, Г1 = shx,
&^и	1
дц^ 1 +Г1^
^ ди ди
д‘^и 2Е,ди
1.86. ^ = 2/sin X, 11 = г/,	=
1.87. £, = X, г|
2
9^'u д‘^и 1 ди ^	^
я = ^ +
£. = X
1	/ ди ди\
дЕ^дц 6(л-£.)\9£, дц)
1.88. ^ = X, л = 2^У,	^ + ^ +
1 = х- 2^/^, г\ = х + 2v^,
^ а — 1/2	_
у < 0.
2а — 1 ди
1 ^
= 0,	у>0,
дЕ,дц л - f. ^
о, у < 0.
1.89. £, = л =	(2^ > О, у > 0),
£, =	л =	(ж < О, у < 0),
ди 1 ди 1ди
£, =	г| = (—x)^/^ + (х < О, 2/ > 0),
£, =	— (—2/)^^^, Л = х^/^ + (—2/)^'^^ (х > О, 2/ < 0),
11 f ди ^ди^
дЕ^дц Зл^ -
"^di ^дц}
1.90. £, = -v/i, л = х/У (г > О, у > 0),
I = \/^, Л = 'Жу (х > о, у > 0),
д“^и	д^и 1ди	19и _
5f,2	£,5£,	л ^
£. =	Л = л/У (а; < О, у > 0),


Ответы к задачам главы I
215
£. = v^, л =	{х>0,у < 0),
д'^и	1ди	1ди
д1? дц^	£,5£, л^
= 0.
1.91. э) и — (р{х — t)+ ф(а;);
б)	U = ф(а; + у)+ Ф(22; + у);
в)	U = (р{х + 2у) + ф(а: + 2у)е^'^^;
т) и = Ц){4х +	+ ф(2ж + у);
У-Х
д)	и = ф(х — у) ф(х + Зу)е 4
е)	и = ср(х + 3^) + ^\){x + Зу)е~^^^\
х-\-2у
ж)	и= (р{х+ 2у)-\-л\){Зх+ 2у)е 4 ;
з)	гх = (р{у — Зх) + ”ф(у — Зх)е~^]
и)	и = (р{2х -у)+ ф(2х -
х-у
к)	и = Ц){х — Ъу)е 4	—^);
л)	= ф(2х + Зу) + ^\){2x + Зу)е~^^^\
м)	и = ф(2х — у) + гКх + Зу)е^~^'^]
	Зх у
н)	и = (р{3х - у) +-\\){х + у)е 2 ;
х+3^
о)	li = ф(х + 3у) +ф(х + 2/)е	2 ;
п)	гг = ф(х) + ф(х + еУ)е~'"\
р)	гг = ф(х Н- cosy)- + ^Кх).
X
1.92. £, = X + у, г| =	- у,
	h = 0, и = (р{х + у) + lK5x — у)е“^^"^^^/®.
9£,^ б9г|
1.93.	= у, Г1 = у — COSX,
д^и 9гг ^	/ ч . /	ч
— — = о, и = ф(у) + Ц)[у — cosx)e^.
дЕ,дг\ дг\


216
Ответы к задачам
1.94.	£. = a:2/^ г\ = у,		— = 0, и= (р(ху'^)у^ + л\>{у).
d£,or| Г) at,
1.95.	£, =	+ 2/, г| = X,
д‘^и ди ^	^	.
^	= о, ф(х" + 2/) +	+ у)е\
д^и 1 Ои
1М. Е, = ху,Г{ = у,		:Н7 = ^’ ■“ = 2/ф(а;2/)+Ф(у)-
1.97. £, = Х2/^, л =
дЕ^дц л
9^'г/	1 ди
дЕ,дт[ л
О, и = ц){ху‘^)х + гКх).
1.98. Е, = х-^ -\-у,г[ = X,
= и = Ф(ж2 + у)х2 + ф(х2 + у).
д‘^и 2 ^'U
1.99.	£, = х^2/, Л = з:,	- -— = 0, и= ip{x‘^y)x‘^ + ф(х).
1	г	^	^	/ ч “Я . / ч
1.100.	£, = Х2/, л = 2/,	= 0, и= ip{xy)y'^ + гК2/).
д^и ди
1.101.	£, = у+ sinx, п = X,	W = ф(^.)+Ф(^.)е^’’-
1.102.	Л = 2/,
X
1.103.	£, = xy^ л = а;,	•« = 1ф(а;2/'‘) + Ф(2;).
д^и 1 (9ia
1.104.	f, = ху, л = 2/,	W = ф(а:^У)1пу+ Ф(а:^у)-
,	^	X д^и 1 ди
i.i05.t = xM = f. ад-5^а;^ = о. » =


Ответы к задачам главы I
217
1.106.
1.107.
1.108.
1.109.
д‘^и
1.110.
д'^и
1.111.
д‘^и
дЕ^дц
1.112.
тц
1.113.
1 ди
ху^
Л =
д1дг\
о
д'^и
1 ди
X, л
дЕ,дт\
о
д‘^и
3 ди
Г[ = У:
д1,дх\
~^д1^
X +
у + COSX,
Л = X
— у — cos
1 Л
+ 2^ =0- “ =	+ Ф(0)-
Е, = X У COS Х,Г[ = X — У — cos X,
= 0, U = ф(£,)+ гКт1).
Е, = 2х — у + cos X, г| = 2х + у — cos х,
= 0, и = ф(т1)+ф(£,).
£, = 2х — У + cos X, Г) = 2х + у — cos х,
+ щ = 0, и = ф(л) + 1К£.)е-1/^
Г	2	1	л	1	/	2 Ч	, / ч
£, = х^у, л = ^2/,	= 0, ^ = —ф(^“у) + Ф(^у)-
а£,сл Л
Р^П! О !
I.IIA. 1, = ху^1^,г\ =		"^ = 0>	='П^ф(£.)+'Ф(п)-
1.115.
д^и
дц^
1.116.
д^и
дВ,дц
дЕ,дц л 3£.
Е, = х^ + у^,ц = х,
“ = ч>Ю + ’И«ч’ + ^.
£, = X, Л = 2;^ + 2/,
“ = ^ф(^)+Ф(0)--у-
Л а£.	л	2


218
Ответы к задачам
1.117.	и =	— xt — t.
2
3	_ 7
1.118.	и = —“6 3 (^х Зу “Ь 3) “Ь у(1б — 18д^ “Ь ^у)'
1.119.	и ^ е“^/^(-25у + 5а; - 110) + 27у - 27х + 110.
1.120.	и = е“^/^(-12у - 4х - 54) + 14у - 14а; + 54.
1.121.	и = е*"/^(12а: + Зу + 12) - 10а; - 5у - 12.
1.122.	и = еУ!^{<6х + 4у + 24) - Зх - 6у - 24.
1.123. и{х, у) =
3/(х + у) +/(х - Зу) 1
х+у
+ 4 J
х-Зу
1.124. и(х,у) = 3/(х + у) - 2/( х +-yj+2 J F{x)dr.
^3
Х+Т^У
1.125. и{х,у) =
2/(х + у) + 5/(х - |у)	5
х+у
х+у
+ ■
J F(T)rfT.
2
х-т^у
1.126. и{х, у) =
3/(х - у) + 7/(х + fy) 7
Х+^У
10
+ Т5 J FW*.
1.127. и(х, у) = 3/ (^х + 1^ - 2/ (^х + I) + б J F(t) dx.
1.128. и = ^е ^ф(х + у) - 1ф(х + Зу) +
+ J [Зф(-г) + 2-\\>{z)]e^l'^dz.
Х+у


Ответы к задачам главы I
219
1.129. и =
fix + у) +	J [F{z) - f{z)y^^dz.
х-\-у
1
Х--^У
1.130.	и = {х‘^ — 1)у^ + у.
1.131.	и =	— !)•
1.132.	11 = Зу^ + (а;2-1)у^
1.133.	гг = 2^ + 1 + у 1пх.
1.134.	и — 4х^ + х{у^ — 1).
1.135.	гг = х + Зх2(г/^-1).
1.136.	гг =	+ г/^.
1.137.	и = x^^{у^ — 1).
1.138.	и = Зу^ + (х^ — 1)у^^.
1.139.	и = 4х^ + х^(г/^ — 1).
1.140.	и = 4г/^ +	~
1.141.	гг = г/^ + У^{х‘^ — !)•
1.142.	гг = ху^ + 1.
1.143.	и = (х — 1)у^.
1 г о ^	д^и 2ди ^	ф(£,)	,, ,
1.144.	t = i»„^n = x, _ + -- = 0, „ = _ + ф(л),
и = х‘^\у'^ + 2 + За;^ — lx"*.
4	4
1.145.	£, = x2y^ л = У, +	= W =-ф(£,)+т1)(л),


220
Ответы к задачам
2 2
и = X у
-	+ У® + 3 -	+ -у.
1.146. £, = a:V, Л = а;,	= О, и = -^^^+ф(л),
д1,дг\ 3г13£,
и =	— ху‘^ + Зх^ + Зх — ^.
1.147. £, = х'^у^, г| =
"бди
+
5£,^ Л
О, и ■■
ф(^)
+ 4’(л),
и =	+ ^у®^^ + Ъх^ — ^х —
8
8
Л Q	д^и Б ди	ф(^)
1.148. £, = J/V, т) = г/,	^F^ + :^^ = 0, и = —5^+ф(л),
5£,9г) Зг) 9£,
« = ^vV/4i-5»»
1.149. Е, = ху^, л = У,
5^и	2 9и
+ ■
дЕ,дг] л дЕ,
О, и ■■
ф(^)
+ Ф(л),
и =	- ху + 3у'^ ~^ + у.
О о	д^и 4 ди	ф(0	/ ч
1Л50Д = х^у^,ц = х, -^г^ + ^-^ = 0, и = ^^ + г|)(л),
дЕ^дц Зг| 5£,
1
и = 2{у^ “ 1) + 7X^(1 — у^) + Зх^.
о
0‘^11	3 Он
1.151. £, = a;y^ л = у, -^7^ “	= 0. « = лV(^.) + Ф(л),
от цдЕ,
= 8у'^{1-х ^/^) + Зу.
1.152.	и = — + хН'^.
1.153.	м = l + 2xV-
1.154.	и = Ьх'^у^ — Зх^у^.


Ответы к задачам главы I
221
1.155. и = 2y/od.
У
1.156. £, = г[ = —
д‘^и I ди ^	1/9	/ ч
= W = л ^ ф(^.)+Ф(Т1),
2у у ,
и = —= Н	;= 1пх.
у/х у/х
X ’ дЕ^дх] 2г{ (9£,
д‘^и 5 ди
1.157. f. = ya;^rl = —,	= О, и = ^ср(£,) + г^т)),
у ’ дЕ^дц 6г| дЕ,
18 X 1 x^
7/*^	9	9
1.158.	и = х{1 + у).
1.159.	и = {х"^ + х^^^)у^.
1.160.	и = 1 + sin(x — у — cosx) +	sin(x + у + cosx).
1.161.	и = 1 cosx • cos{y + cosx).
. .	.	, V — cos X \	^ , f У — cos X
1.162. и = smx ‘ cos -— 	 I + е sh '
1.163. и = 2е
_ су -{2x-y-cosx)/4
COS X • sin -
. у — cos X
3	44	19
1.164.	u = е2Чф(£,)+Ф(Г1),	+
112	47	Я47
1.165.	и = e“''/^(p(f,) + -ф(т1), и - ——е~Тб^ + —.
,	7 122	79
1.166.	U = е^Ч(р(£,)+гКт1),	“ =	^ + ^•
1.167. гг = е ^’i(p(f,) +-i|)(ti), и ■
40	2	_57
	е 2 ^
19	19
1 22
1.168. и = еЗ’1ф(£.) + ф(л), и = —+ —.


222
Ответы к задачам
1.169.	и
1.170.	и
1.171.	и
1.172.	и
1.173.	и
1.174.	и :
1.175.	и ■■
1.176.	и:
1.177.	и ■■
1.178.	и -
1.179.	и:
1.180.	и --
1.181.	и :
1.182.	и
1.183.	и -
е2^ф(л)+гК£,),	« =	+
= е ^/4ф(л)+Ф(^.), и =
50	16
	е 16
17	17
-V / ч . /гч	10 -^х	217
= е ^^ф(т1) + гК£,), и = -—е 2 + —.
or . .	. .	3	35	35
= еЗЧ(л)+1К^.), ^ = 2/+
= е“^^ф(т1) +	u = 2x + 3y.
= е^^ф(л)+iKf.), ^ = 0а; + у + 5-^ + ^е^!'.
= ф(£,)+ф(л), и = 3у^ + 5-^у + 1пх-^х'^^^у.
= ^ф(^.) + Ф(л), и =	- 1) +	+ 2а; - 2.
: Л“^ф(£.) + Ф(л), и = ^ху^ +	+ 2х^
: ^ф(^.) + Ф(л), и =	+ ^ух^^^ + ^2/ - ^•
: T|“V(^)+Ф(л)> и = ^ху*^^+ 2х^-^х.
Л“'‘ф(^.)+Ф(Л), U = ^a;^y^ + 1 + 2у - ^y^.
: л“^/®ф(£,) + гКл), и = ду^ + ^у* [х^’’!* - l).
:	+ о1)(л), u = yV -l^+2x + y-2.
■■ Л V(£.) + Ф(л), и = ^х®у +	+ Зу^ ~\у~\-


Ответы к задачам главы I
223
1.184.	и
1.185.	и
1.186.	и ■■
1.187.	и ■
= Т1 ®/2ф(£.)+гКл), '^ =	+	-‘I-
13
2 2
: nV(^.) + Ф(п). и =	+ х‘^ + 1 + -Х.
24	24
: г1“‘‘/^ф(£,) + ф(т1), и = —ху^!'^ + Ах^ - —X.
Ф|^)+Ф
1.188. и = ц)
2
Ъх — у
Щ-.Ф1
1.189. и = ц)
4
у-х-3
+ ^1)
у-х
- ф(0).
1.190. и :
1.191. и = ц)
1.192. и = (р
(?£±|i±i),,(.
М-2у + 2\	/1
1.193.	и
1.194.	и
1.195.	и
1.196.	и
V 2 I '	\	2
ф (^у/1-у + х^^ + ф {у/у) - ф(1).
ф(а;) + ф(1/ -	+ 4) - ф(2).
4>{у^) +	+ 4) - ф(4).
■2-у + 2\
|-Ф^2
2
- Ф(1)-


224
Ответы к задачам
+ -ф In ■
у+ v'4 + (e'^-?/)2
- ф(0).
Ответы к задачам главы II
2.1. 1) и[х, 4 = 2^ cos —^t + Bn sin -j-tj sin —
n=l
Л = ^ J /(a:) sin dx, Bn = J F(x) si
^ 3nat . Зях 1
2)	u(x, = 5 cos ^	• sin —		 cos
nnx ,
sin —— dx\
nnaJ ' t
0
3nat . Ъпх
£
.	6£	. яа^	. ЯХ £	. Зяа^	Зях
3) ufx, t) = — sin —— • sin —— -— sin —— • sin ——h
^	^	^	an £	£	Зап £	£
3£ . 7яа^ . 7ях
+ ;;— sin —— • sin	;
7ая £	£
,	-	1	2яа^	. 2nx	^	5nat	.	5nx
4)	uix, t)	= - cos ——	• sin ——h 4 cos —— • sin —
1	Snat	.	8ях	A£ .	snat	. snx	B£ . pnat . pnx
—7 cos —-— sin ——^	sin —-— sin ——^	sin —-— sin ——:
4	£	£	sna	£	£	pna	£	£	'
,	2M^
5) u{x,t) = ~:rz^
k=l
oo
(-1)
nka . nkx
cos ——t • sin ——;
n
6) u{x,t)
2£vo
7 9 \ COS - ^
an^ k^ \	£
k=l
-Ч /	32h ■Г—\	1
7) u{x,t) = —5- > 7-—
' ^	^	7t3	(2n + 1)3
n=0 ^	^
nkoi nk^\ nka nkx
		cos —^ I sin —t • sin —;
n(2n-\-l)a	n(2n-\-l)x
cos	T	1 • sin	:	;
8) u{x,t)
9) u{x,t)
2h£^	1 . nkc nka . nkx
00	..
Ет5ГТ
1536^	1	n(2k + l)a . n(2k + l)x
>	7—	— cos			1 • sin			.
Ъп^ ^ (2^ + 1)^	£	£


Ответы к задачам главы II
225
7т(2/с + 1)а	.	. я(2А: + 1)а\ .
2.2.	1) и{х, t) =	(а/, cos	^ t + bk sin	■ t jsin
k=0 ^	'
n{2k + l)x
Ye ’
dk
Sf{x)
. 7Г(2/с + 1)х
sin
2£
dx,
bk =
na{2k + 1)
c
Jf(x)
. n(2k + l)x
sin ■
2e
dx\
.	. Znat . Зтгх _ llnat . llnx
2) гг(х,0 = ^cos^^-sin—+ Bcos^^-sin-^;
. s e . Inat . 7nx
3)	„(x,t) = —sm—-sm —
2e . ^nat . 9ra
,	,	, bnat . Ъпх 2e . Зяа^ . Зга
4)	„(X, t) = cos — . sm — + — sm — . sin —;
. 7г(2п + l)at . 7г(2п + l)x
sin	—		 sin -
2£
r:\	(	A-\	^^0^	^
5)	“(*.») = ^E(2^rrij2
,	8/i^	(-1)*^ n{2k + \)at
6)	u{x, t) = — 2_^ —•	^ cos			 sm
7iz^(2fc + l)2
2i
2e
n{2k + l)x
2£ ’
5txx
,	1 inat . 3nx 1 5nat
7) „(X, f) = j cos — t. sm ^	- cos ^ . sm ^ +
svQe	1
^ {2k + 1)2
. я(2А: + l)at . п{2к + l)x
sm	—		 sin ■
8) »(*.*) = rfE((-l)
1
A:=0
COS
2i	2£
n{2k + l)a^ г’о . n{2k + l)a^
2i
H	sm -
a
2£
(2/c+l)2
n{2k + l)x
"" 2£ ’
,	, 2e , na . ra 4^ . Зяа . Зга
9) »(x, () = - sm -Ь sm - - — sm —1 ^ sm —+
+—E
k=Q
(-1)^
(2jt+l)2
n(2k + l)at n(2k + 1)2;
cos	—		 sm -
2i
2£


226
Ответы к задачам
оо	^	n{2k+l)at , ^	. 7i{2k + l)a£\ п{2к + 1)х
2.3.	1) и{х, t) = 2_^ (Ofc cos			+ bk sin			1 cos			,
k=Q ^	^
COS
n{2k + l)x
2^
dx,
bk
na{2k + 1)
\f{x)
COS
n{2k + l)x
2£
dx\
,	. bnat Ъпх ^ Inat Inx
2)	u{x, t) = A cos • cos — + Б cos • cos —;
, 4i . bnat Ъпх
3)	u[x, t) = -— sin	• cos
ояа 2t
M . Inat Inx
W ~ 4^	~W ’’
^. na nx 2£ , 3na 3nx
4) „(X, () = cos -t. cos - + — sm —i. cos — -
£ . Ъпа	Ъпх
— 3— sin	• cos :
5тга 2£	2£ ’
c X о S^'Uq (—1)^	. '7t(2Aj H“ \^at n(2k + l)x
5)	^ E (^f:h32
k=0
Rh
6) u{x,t) =
n^
k=0
{2k + iy
n(2k + l)at n(2k + l)x
cos	—		 cos 		•
2£
2£
-	.	-	1 ЪпаЬ Ъпх 1 3nat 3nx
7)«(x,l) = -COS—.COS^-jCOS^.COS^ +
+
S£vq
ат^
E
A—0
1)^'	. n(2k+l)at n(2k-\-l)x
sin	—		 cos -
{2k + 1)2
2£
2£
.	. s 2£ . nat nx 2£ . 3nat 3nx
8) u(x.t) = _s.„— . COS- - -s.„— .cos — +
8i^
+ sE
„.^(21+1)2
n{2k + l)at n{2k + l)x
cos	—		 cos ■
2£
9) u{x, 0 = ^ E (^4 cos	sin
^ k=0 ^	"
1	7t(2fc + l)x
2^
a
{2k + 1)2
cos -
2£


Ответы к задачам главы II
227
„ ,	,	, ап 6п ^ / Ttfca .	. пка \ пкх
2.4.	1) и{х, i) = Y + —i ^ I а* cos + bk sin-j-t j cos
k=l
e ’
z f . nkx .	.	^ ^ ^
-J /(z)cos —dx, A: = 0, 1, 2, ...,
2 ^	2	^	Txkoc
^0 = ^ J F{x) dx, bk = J F{x) cos dx, A; = 1, 2, ...;
,	1	^	. 6nat 6nx
“<*'*> = 2*+ ISS*‘“
.	1	1 lOnat IOtcx
3)	uix, t) = - — - cos —-— • cos —-—:
.	-	2nat 2nx 1 3nat 3nx
4)	= 1 + cos —^ • cos —^		 cos	• cos ——h
£	. 6nat 6nx 2£	. Inat Inx
+	——-2lSJ	’
rx	/	^4	^	4/г
5) t) = —	^ > ttt;	tttt cos
^	1	(2k + l)nat (2k + l)nx
/ TTT;	7TTT cos	;;	 • COS -
2 я2 ^ {2k + 1)2
.	1	1 2nat 2nx £
6) u{x, t) = ---cos -J- • cos — +	-
4^2
л/тгО 2_—/
1	. (2A; + l)nat {2k + l)nx
an^ ^ (2A^ + 1)^
sin
cos ■
7)	„{x,() = 5 + «,«-^gp^cos	^
,.	£ t £	, l^nat 167ГХ
8)	«(x,1) = 2 + 2 + 32;^™—-cos—+
A£ —^	1	(2k H“ l)7tn^ {2k -f- 1)ттх
+ ;^Е(ЙХТ?™	^	—-e—•
.	3nat 3nx £
9) u{x, t) = cos	• cos ——^ 2^
{2k + 1)яа^	(2A: + l)nx
			 cos	;;	;


228
Ответы к задачам
ап^ (2/с + 1)^
. (2к + l)nat (2к + 1)га
sin				 cos			.
к=0
2.5.	1) u{x,t) = y^(gfc cos aXkt + bk sin aA^t) sin
k=i
1	p
6fc
аЛйЦзтЛ^хР
J F(x) sin Xkxdx,
I	sin Л^а:|р = J sin^ A^x dx =
£(*2 + A?) + h
2{h^ + 4) ’
где Afc — положительные корни уравнения htgX£ = —A;
oo 2
2) M(x,i) =
(v/PT^-a)
Xk{i{h‘^ + A|) + /i)
[ьыые корни уравн(
3) u{x, t) =	cos d\kt + bk sin aA^t) cos A^^x
cos dXkt' • sin AfcX,
k=\	■ ' /сУ
где A/c — положительные корни уравнения htgX(, = —А;
о^к
bk =
1	р
-—j|2 J /(x)cosAfcxdx,
I cos Afcx||
aAfcll cosAfcxIl'
; J F{x) COsAfcXdx,
II Л ii2 Г 2л J £{h^ + A^) + /i
II cosAfcxIl = J cos Afcxdx =	2(^2 4. ^2^ ’
где A/; — положительные корни уравнения AtgA^ = /1;
ч / Ч 2/г	д/А2 + А| .	^
-ч о = - Е хкт+К)+ч ‘
где Xk ~~ положительные корни уравнения AtgA£ = /г;


Ответы к задачам главы II
229
г\ (	4-\	^	(1 +/г£) cosAfc^ — 1
5)	и{х, Ч = —г 2_^	7	^• cos AkX =
/==1 A|(l + W(^^)'
= 2А g	л|(,. + (,(^2 + л|))
где Л/;; — положительные корни уравнения Л tg Л£ = /г;
6)	u{x,t) = (gfc cos aXkt + sin a\t) {\ cos A^x + h sin A^x),
fc=i
1	f
oat =	J COSЛ)ЬЖ + hsinAa-x)/(a;) dx,
1	Г
bk = J	^
ll^A-(2;)lP = J(AacosAax +/isinAAx)^dx =
0
где Xk ~ положительные корни уравнения /itg A£ + A = 0;
oo
7)	u{x,t) = '^{йкcosaXkt + 6fcsinaA^i)(AacosAax + hsinXkx),
k=l
1	Г
оа= p-^^ypj (AacosAax + ftsinAAx)/(x)dx,
1	f
bk =	||Хд^(д.)||2 J (^^tcosAAX + ftsinAAx)F(x) dx,
||Xa(x)|P = J(AacosAax + ftsinAAx)^rfx =
0
где Afc — положительные корни уравнения h ctg X£ = A;
oo
8)	u{x,t) = y^(qfcCos aXkt + ^^sin аАд4)(A^; cos A^x + fesinA^x),
k=l


230
Ответы к задачам
I i
а-к =	J {^к cosХкХ + hsin\х) f{x) dx,
1 f
, , .p I (^fc cos XkX + h sin Xkx)F{x) dx,
aAfc||Xfc(x)||
ll^fcWII^ = J (A^-cosAfcX + /гsinAfcx)^cгa; =	+ 2h^
0
1/A h\
где Ajt — положительные корни уравнения ctg Ac = -	— — — 1;
2 \h A /
9)	u{x,t) = {ak cos gAfct + bk sin aA^t) (A^ cos A^x + /ii sin A^x),
k=i
1 ^
ak =	J (^/c cos A/,x + hi sinXkx)f{x) dx,
= Л II J / MI9 f cos A/,T + hi sin A^:x)F(x) dx,
aAk\\Xk{x)\\^ J
||XA:(x)|l^ = J (А/, COS AfcX + /li sinA/,x)^dx,
0
где Afc — положительные корни уравнения ctg A£ = -—[A —
hi + /i2
2.6.	1) u{x, t) = e‘	n COS + bn sin Qnt) sin
n=l
nnx
~T'
2 r	Ttna;	v , ^ f о/ \ •	j
fln = 7	/(a:) sin —— dx,	b„ = —a„ + — F(x) sin —^ dx,
t ^	C	Qn	^Qn Q	t
,	-	2£‘^he~^^ ^ 1	. ЯПС . япх_ , .
^	^ n=l


Ответы к задачам главы II
231
гх. / ч л	/ о /тта\^
Tn{t) = ch iVnt + —sh LVnt, если < v, = Wv^ - j ,
Шгг
ЛХЛ / Ч	.
Tn{t) = l + yt, — = V,
^	,	V .	7tna	I/nna\'^	„
T„(t) = cosШпГ + — smcUnt, если > y, (X>„ = \l \ —7- 1 — у
nna
T
I 1
3) u{x.t) = ^5]
^ (2n + l)^
n=0 ^	^
(-1)" +
sin ^ „ Xfi [t),
2£
Tn{t) = ( ch (v„t + ^ sh (X>nt^, если	> 0,
Tn{t) = ( cos Wnt + ^ sin Wnt ], если ш“^ = y'^ — (1 < 0,
V 2£
Tn{t) = l+yt,y= ^^^2/	’ ” = 0Л, • •
00
4) u{x, t) = ao — 6oe“^^^ +	^ Tn{t) cos
nnx
n=l
Tn{t) — O^n H” ^ ■
nna
nna	I /nna\^
T„(t) = o„chcu„i + 6„sho)„i, у >—^, iVn = \lу^ - i-rr-\
\ e J '
nna	//nna\^
T„{t) = an cos u)nt + b„sm(Vnt, y<—^, ш„= J	-y^,
1	£	^ I
bo = ^ J F{x) dx, ao = -^j f{x) dx + bo,
2	^ 2 ^
a„ = - J /(x) cos —— dx, bn(Vn ~^°'п = jj F{x) cos —— dx\
5) u{x,t) e	cosЛ^х,
n=l
r„(t) = an ch cu„t + bn sh cn„i, Шп =	- (Л„а)2, аЛ„ < v,


232
Ответы к задачам
Tfi(t^ — О'п	Oj\n —	)
Tn{t) = а„ cos (Vnt + bn sin w„t, to = у/(аЛ„)2 - v^, оЛ„ > v,

ЧК + h^)
Д + £(Л2 + /г2)
J /(x) cos A^x dx,
^	2(Д2 + /l2)	^	^
bn(^n - у an = , ,	F{x) cosXnXdx,
h + £(A2 + h^) J
где Xn — положительные корни уравнения AtgA£ = h.
2.7.	u(x, t) = (Ло + Bot)e~^ cos x +
oo
+ ^ cos2\/fc^ +	+ Bjtsin2V^A:2 + e“^cos(2fc + 1):з
A:=l
7T/2
= — Г /(^) cos(2/c + l)x dx, /с = 0, 1, 2, ...,
я
0
4
Бо = —	(Б(х) + /(x)) cos X dx,
71 3
я/2
Б,=
J [F(x) + /(x)] cos(2fc + l)x dx, A: = 1, 2, ...
ял/А;2 + к Q
2.8.	u{x, = (1 + t)e~^ cos x.
2.9.	г/(х, t) = (Лое* + Bq6~^) sin x +
oo
+ ^ cos a/(2/c + 1)2-21 + Б/г sin (2fc + 1)^-2sin(2A: + l)x,
A:=l
2 f	.	2
Ac	Ac
Ло = —	(/(x) + Б(х)) sinxc^x, Бо = —	(/(x) — Б(х)) sinxcZx,
0 0
7Г/2
4 r
= — f{x) sin(2A: H- l)x dx, A: = 1, 2, ...,
я


Ответы к задачам главы II
233
7г/2
Bk
ж) sin(2A: + 1)а; fc = 1, 2,
n^{2k + iy-2 J
2.10. и{х, t) = {Аое^* + Вое“^‘) sinx +
ОО
+ ^ (^Ak cos у/{2к + 1)^ — 51 Bk sin V^(2fc”+T)^~^^ sin(2A: + l)x,
k=l
x4o = — J (2/(x) + F{x))smxdx, Bq = — ^ (2/(x) — F(x))sinxdx,
A/j = — J f{x) sin(2A: + l)x dx, к = 1, 2, ...,
7Г/2
Bk =
	г J F(x) sin(2/c + l)x dx, fc = 1, 2, ...
7Tv/(2/c + 1)2 - 5 0
2.11. u{x,t) = {Aoe^^ + Boe~^^) sinx + {Aie^ + Bie~^) sin3x +
+
oo
^A/cCOs ^(2/c + 1)2 - lot + B/jSin \/{2k + 1)2 — 10sin(2A: + 1)д
k=2
n/2
Ло = ^ J (fix) +	) sinxdx,
2	/ 1 \
-	J	f fix) - -^Bix) j sin X dx,
n/2	^
Ai =	—	j	(/(x) + i^(2:)) sin 3x dx, Bi =	—	j	(/(x) — F{x)) sin 3x dx,
x4/e =	—	J	/(x) sin(2A: + l)x dx, к =	2,3,	...,
Bi
n/2
n/2
Bk =
7T^(2/c + 1)2 - 10
— J F(x) sin(2/i; + l)x dx, к = 2, 3,


234
Ответы к задачам
2.12. и(х, t) = - ch • sin X + ch ^ • sin 3x.
2.13. u{x, t) =	+ Bq6 sin x +	+ Bie sin 3x +
oo
+ ^ (^Ak cos \/{2k + 1)^ — 171 + Bk sin	sin(2/c + l)x,
k=2
Ло = — J (4/(x) + F{x)) sin X dx,
^ 0
^	Я/2
Бо = — J (4/(x) - F(x))sinxdx,
0
^	7T/2
Ai = ^	J ^2л/2 /(x) + sin 3x dx,
^	J (2V2 f{x) — F{x)^ sin3xdx,
4^
Ak = —	/(^) sin(2A; + l)x dx, /с = 2, 3, ...,
я
7T/2
я^(2А:+1)2-17
= Г F(a;) sin(2A: + l)xda;, к = 2, 3, ...
— 1 7
^ ^ ^	,	4voi	1	. nnc .	mr . nTTat	. птгх
2.14. a)	uix, t)	= —jr	> —	•	sin -— • sin	—— • sin —-—	•	sin ——:
^	^ ^	ая2	^ n2	e	2M e	i	'
n=l
4voh sin ^ • cos . nnat . mix
■ sin ■
Sin -
,	, Sh£ ^cos^^2±^	(2n + 1)тга; (2n+l)7rat
2.15. u{x,t) =		^!t7--cos-^^	:rr^	cos-
(^-c)Tt2^ {2n + iy
2£
2£


Ответы к задачам главы II
235
2.16.	Указание. Проинтегрировать уравнение	при условиях
ot^ дх^
^(-£,0 = 0, ^(£,£) = 0, <>0,
dvL
и{х, 0) = -£^,	0) = О5 —^<X<t
Если же учесть симметрию задачи, то задача приводится к интегрирова¬
нию того же уравнения при условиях
X X	ди,
г^(0, t) = о, 7^(^,= о, ^ > о,
ох
ди
и{х, 0) = -ti,	0) = О5 о < X < £.
2.17.	u{x,t) = а-\-Ы.
оо
2.18.	и{х, t) = Ьп sin • cos
п=1
1 ^ ^
Ьп = -— /(x)cosAnXdx / cos^A^xб^x ==:
AuaJ	/{
aA„((/i2 + A2)£ + /i) J £WcosA„TdT,
где А„ — положительные корни уравнения А tg А^ = h.
д"^и д"^и
Указание. Задача приводится к решению уравнения 	 = a^	 при
условиях
1^(0, i) = о,	+hu{e,t) = 0,
ди
и(х,0) = 0,	—(х,0) = /(х).
ОО	/	h
2.19.	и{х, t) = Un cos aAni ( cos A^x -h ^ sin A^
n=l	^
X ,
«П = J /(a:) ^COS A„a; + ^ sin A„xj cia;y' J ^cos A„x + ^ sin A„
2
X 1 dx.


236
Ответы к задачам
Н h
где Лп — положительные корни уравнения {hi + /12) ctgM = \		—.
Л
д^и од^'и
Указание. Задача приводится к решению уравнения = а при
условиях
ди	ди
—(0,i) -/iiu(0,i) = о, —{i,t)-\-h2u{^,t)=0, hi, h2>0,
ди
u{x,0) = f(x),	—(x,0) = 0.
„	/ N ^ Л f i ■ 2	. Znx
2Ж „(!,() =2A(^—j sm ^'sm—.
/	Ч	r. Л f \ ^ ^ ‘1	Ъпх
2^21. „(1,0 = 22l(^—j sm ^'cos^.
^	/	Ч	^ Д \ ^ . 9 bnat . Ъпх
2,22,.(х,0 = 2Л(^—j sm ^'Sm^
2£
2.23,„(x.0=2A(^-j sm
2.24. u{x, = A ( j cos ( 1 — cos —^t j + 2x.
2.25. ti(x, t)
6	-— sin^ —— • sm -— - 2	—
\6an J	i	£ \7anJ
sm
, 7nat . 7nx
2£
■ sm •
2.26. u{x, t) = 2
+ 4
{—)
\llan)
sm
2^ V . 2
-— sm^ —— • cos -— +
7 an)	At	2t
Wnat	llnx
^	/ Ч	. nTiat . nx f 2t . 2 Зяа^ . Зтгх
2.27. ix(x, t) = 2 — sin^ --	^
, • sin — —	-— I sin"^
an) At 2t	\3an J
At '2t
,	,	^	2t . nat nx
2.28. n(x, t) = 6>x — l-\	sm —— • cos —.
na ^	^


Ответы к задачам главы II
237
^	/ ч ^	1	^ А Л 3nat\ Зпх
2.29. и{х, t) = 2-\- - { — )	1 — cos —— ) cos ——.
3 \ Q/7T У \	И J -с
. ч	.	8^ ^	1
2.30. и(х, t) = X —	7“—
^ ^	7г2	On 4-
^ (2п + 1)2	2^
п=0 ^	'
(2п + 1)ап (2п + 1)пх
cos	—	1 • cos -
2£
^	1	2(1 “h
2.31. it(a:,f) = x-i -	+	/^2д2^д
/c=l ^
1
где Afc — положительные корни уравнения tg М =
hX
x^ ( f \
2.32.u{x,t) = -—, + l^l + —,)x +
^ (_l)fc+i8£	(2k + l)nat . (2k+l)nx
/ —T7^—	xo	^ ‘		7Z7,	1“
k=0
71^(1 + 2ky
2£
2i
6£	. bnat . 5тгх
+	““IT-
^ oo /	Ч	Л f	\	f
2.33. uix, t) = OCX + A { -—	sin -— I 1
\ 3na J 2i
3na ,
cos —t 1 +
ая2 ^ (2k + 1)
k=0 ^	’
2.34. u{x, t) = a +
1	. n(2k + l)a . я(2А; + 1)
sin	—	1 • sin	—	X.
2£
2£
f 2£ \ Ъпх 2£ nx . na
I 	 1 cos —— H	cos — • sin -—t +
2£ 3na 2£	2£
	1
\5яа
я(2А: + 1)а n(2k + l)
cos	—	1 • cos	—	X.
2£
2£
2.35.	гг(х, t) =	~ ^) + '^ot +
4oc£ ^—>	1	Tc(2k H“ 1)(2 Tx(2k 4-1)
+ -rf		1	<-cos—
/c=0 ^	^


238
Ответы к задачам
2.36 «(x,t) = 01 + 1+(l
£, па	пх
	sin —t • cos —.
2na	e e
5na \ 5nx
cos 1 cos -
or, /	N	/ Ч
2.37.	u[x, t) = v[x) + > ak cos ——t • sin —
k=i
v{x) =
1 — e ^ (e ^ — l)x OCX
+
«А: =	- Ф)) sin ^ dx.
аЧ	I
nkx
/ Ч /	^	^	nx
2.38.	ii(x, t) = a(x — -^) + (3 H	sin —^ • cos — +
na 2£ 2i
Soc£	1	n(2k H“ 1)(2 n(2k H- l)x
*=0
2^
2£
2.39.	u{x,t) — v(x) + ^^(afcCosaAfct + 6^sinaA^t)(Л*:cosAfcX + /isinA^^x),
k=i
, ,	+ /гх
n(x) = ((3 - oc£) ^	+ ax,
2 f
ak = Д _|_	д2^ J ~ n(x))(AfcCosAfcX + /isin A^-x) dx,
«>fc =
оАД/г +	+ A2))
c
J F(x) {\k cos AfcX + h sin A/^^x) dx;
где Xk — положительные корни уравнения htgM = —A.
2.40. u{x, t) = v{x) + 2
- h + ^(/l2 + A2)
ak cos aA/ct • cos A/^x,
ak = J(/(^) - г>(£,)) cos \k^ dl, v{x) = ^	~ ac{£ - x)


Ответы к задачам главы II
239
где Л/г — положительные корни уравнения AtgA£ = h.
2,41. Ф,() = -^ + 21 + £51+1-
ш
„2 ^(2fc + l)2
Е
(—l)''	7т(2А: + 1)а	, 7t(2fc + 1)
cos
2£
i • sin -
2^
-X.
2.42. и{х, t) = OCX —
8od^ (-1)* Tx(2k + l)a . n(2k + l)
	T- >	77Г,	7T^ COS		1 ■ Sin		X.
я2^(2А; + 1)2
2£
2.43. u{x, t) = 2x +	+
8i^ (-1)*^+!
^ л2 E (2/b + 1)2 '
. n(2k + 1)
X sin			X.
2o2
n(2k + l)a
2£
t —
2i
2£	. n(2k+l)a ,
• sin —————t X
Tt(2fc + l)a
2^
21
2.44. u{x, t) =
gx{2i — x)
2d?-
00
n(2k-\-l)a	. n(2k + l)
■ cos	—	1 • sin	—	X ■
16
~	^ {2k +1)3	2e 	 2£
Svq£	1	. Tx{2k + 1)g	, Tx{2k H- 1)
H	^ > T—;	ГТТ sin	;	1 • sin	;—-X.
rrr2n	''
n^a " {2k + ly
2i
2t
2.45. u{x, t) = oi{x — ^) +
8£ ^ /	n{2k-\-\)a	(—. я(2А: + l)a ,
+ ^ > acos	—	1 H	sin		1 X
V?	2i	a
k=0
1
2£
n{2k + 1)
cos	—	X.
2e
{2k + 1)2	2i
.	,	-	, Si ^	1	Ti{2k + l)n . 7x{2k + l)x
2.46. u{x, t) = {x — i) -\—2 ^ T^T—^	■
„2^(2/,+ 1)2
2£
2e


240
Ответы к задачам
2£	Зпа	Зпх £	5тта	Ьпх
+ т:— sin -r—t • cos — 		— sin ——t • cos ——.
Зпа	2£	2£	5na	2£	2i
,	^/1/,	/,14	26 ^ (—1)^	Tika . nkx
2.47. u{x, t) = -r^{x sh ^ £ sh x) H	^	^‘
na^ к
k=i
2bnsh£^^ (—l)^k nkat . nkx
2^	cos ^ • sin -
k=i
ПЧ^ + ^2
2.48. u{x, t) =	“ 2x^^ + £^) +
3£^^	1
7Г^ ^ (2/c + 1)^
2.49. u(x, t) = A —
n(2k + l)a . 7г(2А; + 1)
cos		1 • sin	;	X.
AA V 1	/	Y . i\ • (2^ H“ 1)тг(^ — x)
	e > 7ГГТТ		ТГл	^
n ^ 2A: +1 V	^k J	2£
o)/c
{2k + l)an
Ye
oo
2.50. u{x, t) = —^ + 4a
1
^.^^A2fc+x(2/l + €(/,2 + A2,^l))
X (A2fc+1 COsA2fc+lX + /isin A2fc+ix) cos A2fc+1^,
где A2fc+i — положительные корни уравнения ctg A£ =
1 /А h
2\h A
2.51.	u(x, i) = 1 + 2t + -^ (e^* + e — 2) sin x + ^ (e* + e * — 2) sin 3x.
18 2
^	-	A£^	,	3nx x^	e^x	^	A£^	bnat	.	Ъпх
2.52.	uix, t) = —sin —— +		^ + 1 — ^ о о cos	• sin —— +
^	^	5a2^2	2£ 3a?	a?	Ъо?п^	2£	2£
(1	Inat A£	.	lnat\ .	Inx
+ (7'“—+ S^“"-2T)“"-m-


Ответы к задачам главы II
241
^	.	1	( с.	ant\ 6£	. bnat 5пх
2.53. и(х,	t)	= ^—7^5	cos — ( cos 2t	— cos 7:77 |	+ -— sin —77-	• cos
2.54. u{x,t) =
(fr-i
{ 28a
2£
2£
5na 2£
27 cos^ a
. 3x X \
sin		 cos 3t +
^	(2k-\-l)an	. (2k-hl)nx
+ ^ -TTTTx^—ГТТТ cos 	7^^	1 • sin -
k=0
пЩ{2к + 1)2
2.55. u{x,t) =
2£
3nx
m
-cos-
sin 2t
2£
2£
3na
. 3na
sin ——t
2£ ■
2.56. u[x, t) =
9a	2	x\
	7Г- sin -X —7 sin 2t +
8cos2£	a	4,'
8£^(—1)^	. (2n + 1)атг . 2n + 1
+ 7 —	7^ sin	;	1 • sin	^—nx.
k=0
an^{2n + 1)^
2£
a sin -X
1
2£
3nx
г sin -
2.57. u(x,t) =			^	.....
\2cosf^ 4_(^)2	2£
sin 2t +
U
1
. 3nx	3na
T.—  	о sm —— • sin ——t.
3na 4_^^^2	2£	2i
2.58.	u{x, t) =
2.59.	u{x,t) =
ant 2£ . ant
nx
5
i+(f)
I 5a , 2x x\
		^ sm		 cos 2t +
V 4 cos -	a 2
+ E:	cos	. sin
n=0
Tt2(l + 2n)^
2£
2i


242
Ответы к задачам
2.61. и{х, t) =
15а	. 2х	3 \
г sin	-X cos 2t +
8 cos
2(. '
(—1)^^	7i(2fc + l)a я(2А: + 1)
• cos	—	1 • sin	—	X.
k=
Ae^
{2k + 1)2	2£
2-62. «(^>^) = 4(a2 + i)
X cos2t + 2t.
2.63.	u{x, t) =
2.64.	u{x, t) =
2.65.	u{x, t) =
2.66.	u{x, t) =
2£
cos -
2£
o2^
2x
2x 1
e"" I cos	h sin	(
a	a a
,2x
^2 + (яа)2
4£2 + (тга)2
4A£^
nat i . TtaA . nx
cos ——^	sin —— sin —.
e na e )	£
, nat 2£ . яаА
Э — РПЯ	1	cm 	 1
nx
2£ na 2£ )	2£'
nf Ttat 4£ . nat\ . nx
Ч о I c — cos —— H	sin —- sin —.
16^2	(яа)2 V	2£ na 2i )	2£
Af
9^2 -f (2тга)2
A
_o. 2na 3£ 2na \ 2nx
e — cos——	sin—— t sin——.
£2nae	e
2.67.	u{x, t) = ^(e	+ 4t — 1).
2.68.	u{x, t) = A i X	^ sh - I e~^ +
V sh - a
2A£ V
+	/
ПТ
(-1)
k+l
E
2Ai
(-1)
/c+l
n
nka £ . nka \ . nkx
— cos ——t H	— sin ——t 1 sin -
£	nka £
nka	£ . nka \ . nkx
cos ——t H	— sin ——t sin ——.
£	nka £	£
Замечание. Вторые ответы в задачах 2.68 и 2.69 получены методом соб¬
ственных функций, с которым читатель может познакомиться в § 3, по¬
лучить возможность решить названные задачи по-другому и сравнить два
приема.


Ответы к задачам главы II
243
( X \	£	X \
2.69. и{х, t) = А \ cos —I	т sin - • sin	1 sin t +
V CL cos -a a I
2Aa^ 1
4A^	1
~ ^ ^ (2A: + l)(cu|
sin • sin
n{2k + l)x
2^
где (Vk =
(2A: + l)(a)2-l)
я(2А: + l)a
Yi ■
1	.	\ . n(2k-^l)x
sin t	sin (JOkt sin -
<^k
2t
Указание. См. замечание к задаче 2.68.
2.70. и{х, t) = 4(sh t — te^) cos x.
^	/ Ч ^	.	/ . uo£
2.71. u[x,t) = ^sin	sin cut / sin	h
a	a
2Лсиа
(-1)
n—1
n=\ 0)2
/япау
япа . nnx
: Sin ——t • Sin ——.
Указание. Задача приводится к интегрированию уравнения
dt^- ^ дх‘^
ди,
при условиях u(0,t) = О, u{(,,t) = А sin cut, и{х,0) = О, — (х,0) = 0.
^	Аа . сих .	/ си^ 4Лсиа
2.72. = —	sin	sin cut / cos	^		— x
E(JU3 a	a E(J
1
у (-ir^
r ^ nr(9<n J_ 1 ^	I 1 \ - \ 2
„=0^(2n+l)^2_('zi(2^)
. 7т(2п + l)a . n(2n + 1)
sin	—	1 • sin	—	X.
2£ 2£
Указание. Задача сводится к интегрированию уравнения
д‘^и
дЕ ^ 9x2
диА	ди,	.
при условиях u{0,t) = О, —(с, t) = sin cut, w(x,0) = О, —(х,0) = 0.
\J JL	Л/\J	С/1/


244
Ответы к задачам
2.73.	и{х, ^) = - — ( 7 + cos — ) sin 2t.
2	\4 а J
2.74.	и{хЛ) = Аае ^ch-/ sh-.
а/ а
2.75.	и{х, t) = (2е^ — е ^ — 3te cos х.
си^
си
2.76. и{х, t) = —т ( cos —	~ п) / cos 		1 ) sin cut +
си£
2а
El	пка ,	. пка \ . пкх
[ ап cos —t + bn sin —t i sin ——,
/c=l
= 7 J/(a;) sin ^ dx,
nka
J F(x)
Л cos
a){2x—^)
2a
CU COS
lu£
2a
Л \ . я/са: ,
H	sin —— ax.
O)	i
oo	Tzkx
2.77. u{x, t) = {ak cos cu/^t + 5^: sin cu/^t) sin —-—h
k=i	^
Л(сидг sin cut — CU sin cuivt) .
'		sin—-—,
сидг(си2 - О)]
2 i , . nkx
a* = II f{x) sin ^ dx, bk = ^ J F(x) sin ^ dx, Wk = ^
я/сх
nka
T
nNa
Резонанс: cu ^ сидг = —т. e. частота периодической возмущающей
силы совпадает с одной из собственных частот струны. Для нахождения
решения в случае резонанса вычисляем, воспользовавшись правилом Ло-
питаля, пределы:
, Л(cu^'sincut — cusincuTvt)	, cujvt cos cut — sin cujvt
lim —^^^ = lim A—
ш-^LV^r	CUдг(cU^ — Сидг)
A
LU—XJJjV
2сисидг
= -—^(tCUAT cos CUivt — sin (JOj\rt).
2шдг


Ответы к задачам главы II
245
Итак, в случае резонанса имеем
i(x, t) = ^{йк cos Wkt + bk sin cUfct) sin —^ +
it=i
+ -—TT {tiX)N COS CUiV^ — sin CU]S[t) sin
2cu
I
Nnx
00	ibTXX
2.78. u{x, t) = Yl, cos LVkt + bk sin cu^^) sin ——h
k=l	^
Л
Clk
7xkx
/	„-(cusintOfci - a)fcsina)i)sin——,
£	i
2 r , X . Tikx .	.	2 f . - nkx
^ = -p] 4>o[x)sm — dx, bk = —j (pi(x)sin —
dx,
7ika „	^ Г /./ Ч .
o.fc = —, A = -J/(x)sin —
nkx
dx.
Резонанс возникает в том случае, когда частота си внешней возмуш,а-
nkia
юш,ей силы совпадает с одной из частот cu/t^ = —-— собственных гармо¬
нических колебаний струны, закрепленной на концах. В случае резонанса
решение имеет вид
пкх
i{x, t) = ^(а/, cos LVkt -h bk sin LVkt) sin —— -h
k=l
fk	ixk\X
+	*^kit - tWki cos ШкД sin —	1-
k\
+E
fk
к
кфк^
, ^sin LVkt — LVk sin LVt) sin ——.
f o)fc(a)2 - 0)2)
nkx
T
Указание. Задача сводится к решению уравнения
д^ = «^ + /М*тш(


246
Ответы к задачам
при условиях
ii(0, t) = О, и(£, t) = 0;
u(x,0) = фо(х),	= (pi(x).
2Жи(а:.1) = ^ Е ^ / А(Ц «in
к=0	о
Л(0 = 7 J fix, f) sin '
t т
2£
21
-xdx, к = О, 1, 2,
ОО ^ t
2.80. u(2;,i) = cJtJ /о(0	^ X] I J /fc(0sin^(i-0<^t'COS-
™ k=l ^ 0
0 0
nkx
T'
fk(f) = 7 J fix, 0 cos ^ da;, A: = 0,1,2,...
/	^	8Л2^	1	. n{2k + l)
2.81. u(x.t) =	=—> —	^sm			-X +
7t5	Z^(2A; + 1)5	£
fc=0
16£8 1 /
+ „7 X ('Oi'-HV I ^
A—0
n(2fc + 1) \ . n{2k + 1)
.471- cos^— 	1 sin^— 	-X.
TV {2k-\-iy \	e )	e
2.82.	u(x, t) =	>	( sin
Tva^ ^ V
k=o ^
. n(2fc+l)a^ я(2А; + l)a^ ,
2£	2e
1	Tz(2k + 1)
cos	—	X.
{2k + ly 2e
32^ "
2.83. u{x, t)
- /
(9.k\
7X^0? “ {2k + l)'^ \яа(2А: + 1)
2£	. Ti{2k + l)a
sin
2i
t-t \ X
. n{2k + 1)
X sin	—	X.
2£


Ответы к задачам главы II
247
„	,	,	З2£3 ^	1
2.84. и(х, i) = —р-г > —	-т-
к^о
8^2
п'^а?{2к +1)2
1 _ с»	cos
2£
2£
/'+‘4	4/3 ОО	1
2.85. Мх,0 = 1 + |г + ^Е
X +
24 Tt^a? ^Q{2k + lY
2^2	/ 7t(2fc + l)a
cos ■
^	1,1 7t(2fc + 1)
t — 1 cos	1	X.
Tt^a?{2k + 1)2	i
2.86. u{x, i) = ^1 — t2 + sin X • cos t +	+
4	1 /	3	\
H— ^ — I (—1)^3^ — 1 + cos kt — -(—l)^’sinH j sinkx
^ fc=i
2.87.
n(x,i)= (l-^)
xt 1	^	^
e H	h - cos • sin 2x
n 2
— —	(e ^ cos kt — f 2A; + ^ | sin kt] sin kx.
Tt^fc(l + fc2)V	\ kj J
t	X
2.88. u(x, <) = X + f + cos - - sin — —
8
-E
71 ^
k=0
(-1)^	(2k + l)t . (2/c + l)x
- cos			sin			.
(2fc + 1)2
2.89.	u{x, t) = (2e^ — e ^ — 3te *) cos x + 2xt.
2.90.	u = X + e~^	^ I Ak sin ^ <47Xt + Bk
fc=0
:COS-
2k “h 1
2£
ant + C/c6
2k H“ 1
X sin ——7ГХ,
2i
где Ck = -
1
n{2k + 1) ^	a(2/c +
2^ J


248
Ответы к задачам
At
t=(-
\{2к + 1)я
+ Ck
2£
Вк — —Ск +
а{2к + 1)тт’
1 n-if Y
(2A: + 1)7tV	{2k + l)nJ
„	,	6£ . 7ta . то ^ / (-l)*^+i8£ 2к +1
2.91. „ = X + (» + - sm . .ш ^ + ЕД (а 1),„, cos —аж +
+
192^^
тг4(2А: + 1)4аЗ
2к Н" 1
sin	ant -
96^2
о?{2к + 1)^71^
. 2/с + 1
^ 1 sin - ях.
2.92. и = е \х- е) + 1 + — sin — • cos — +	- , ..хо 2 2 . л/?2
па 2£	2£	{2к + l^n^a^ +
9 2к -|-1
X I а cos ———nat Н-
Sf
2£
2к -|-1
X cos ——пх.
{2к + l^n^a
2к 1
sin ———nat +
Zc
4£2
-t
{2к + 1)2^2
2£
2.93. п =	+ е ^	^
16^2
X COS-
2.94. и :
/г=0
2А: + 1	.	2£
п{1 + 2/c)(4£^ + {{2к + 1)ая)2)
2£
аН^
-ant —
ап{2к + 1)
sin -
2к + 1
2£
-ant — е Ч sin
2/с + 1
~w
-пх.
2£ 12£
1-f
2£
-х2 Н- гх.
о ЛГ /	\	64л£2/^2
2.95. и(х,уЛ) = —-7— X
71^
ос оо	^	,
cos Л2/с+1,2т+1<^^
^2/c+l,2m+l =
X
Sin
п{2к + 1)	. п{2т + 1)
-X • sin
h
^п{2к + l)^^	^я(2т + l)^^
2.96. и{х, у, t) =
16vq
ап^


Ответы к задачам главы III
249
°° °^ ,sinSf^sinf-sinSf^
к=1 т=1
kmKkii
sin ^	. пкх . пшу
	^ • sin ^km(4t • sin —— • sin —		,
'^km
Tik
+ (-)•
/ Ч ^ /Г .	.TO В , r- , nx . 2ny
2.97. u[x,y,t) = Лcos voa^sin——-sin —H	psin Voat• sin — • sin ——.
^	^ ау5	^	^
^	I ^h\ (^	any/h^- +	\ . ЯХ . ny
2.98. и = —z	-r — I 1 — cos			1 I sin — • sin —.
h^ + P\an) \	eh	i h
Ответы к задачам главы III
4^0^	1	^ . (2/с + 1)ях
,.г.1)иМ = -Л^—еУ )
к—о
3.2. 1) и{х, t) =
(2fc + l)ra
а^е V	/ S1I1	—
к=0
2£
2 с,,,. {2к + 1)пх
= /Wsin
dx\
2)„(x,l) = le-®)4in55f
2« ’
3) u(x, i) = Зе
•3
= 3e V 2f у sjji —^— g \ 2e j gm
2£
2£ ’


250
Ответы к задачам
4) u{x,t)
8ле^ (-1)^ -(
■Е
fc=0
{2к + 1)2
^(2fc+^^	{2к + 1)пх
3.3.	1) и{х, t) =
Clf^€-
к=0
= H|/McosP‘ + '>’“
2£
2i
о-к — - I J{x) COS ^— dx;
2) u{x,t) = 2е“(^) *cos^ -	*cos^;
4То^ (-1)'^	(2к + 1)пх
^)u{x,t) = —^^j^e V	; cos	;
4)	Л = ^ V	cos
я2 ^(2А: + 1)2	2£	'
ОО
ппх
QjC\ %	^	/ О-ТТУ! \ ,
3.4. 1) и{х, ^) = у + XI ^ ) cos ^
П=1
) COS-
dx, п = о, 1, 2, ...;
„,,,11	14га
2)	u(2;,i) = ---e V е ) cos-y-;
04	/	4	1	1	Зга „ -(^)\ 4га
3)	w(x,~ 2	2^ ^		^ ^
4)	и(х,^) = Uq]
5)	и{х, t) = щ
h
2
.^sin^ -
кпх
е
+ -
71
Е
V ^ /
cos —
к=1
4
ОО
V
‘ е'(
^(2/с+1)ая
7т2
/с=0
(2fc+l)2
cos


Ответы к задачам главы III
251
3.5. 1) u{x,t) = 2
h^ + Ч
с
Ла;Х J f{x) sin dx,
где Xk ~~ положительные корни уравнения htgXi = —Л;
0^	.	-<ах,п . ,
2) .(i,()=2g	+	<='
где Лд; — положительные корни уравнения htgX£ = —Л;
00	/	7 2	-л 2	^	\
3)	и(х,<) = 2^ (	_|_ Д2^ Д J/(a:)cosAfca;da;j	созЛ^ж,
где Лд; — положительные корни уравнения XtgXi = h\
4)	и(х,t) = —Y,	,	.2\^	=
*^=1 Xl[l + u[^) j
~ h h + £{h? + \l)	"
где Xk — положительные корни уравнения AtgA^ = /i;
оо
5)	u{x,t) =
к=1
^ h -I- £(Д2 ^ ^2^ J fi^)^k{x) dx, Xk{x) = Afc COS Xx + h sin AfcX,
где Xk — положительные корни уравнения htgXi + X = 0]
оо
6)	u{x,t) =	Xk{x) = А^созА^ж + /гзтА^ж,
к=1
/I -
= uo J Х*;(ж) б(ж / J Х1(х) dx,
dk 2^/г0
Л;Л /^i /7,^ Ч- ЛГ 1 Ч- П, )
О	' О
где Xk — положительные корни уравнения htgXi = —А;
А,да + А2) + /г)
положительные ко
оо
7) u{x,t) — y^qfce~^^^^^^^(AfcCos XkX + /isinA^x),
A:=l


252
Ответы к задачам
ak = J /(x)(A/jCosAfcX + /isinA/^x) dxx
о
X ^J(A/c cos Ад;Х +/isin Afcx)^	=
2	r
= £^^2 Д^) fe J	^
где Ад; — положительные корни уравнения /zctgA£ = А;
оо
8) u{x,t) =	^(А^; cos A/tx +/isin
k=i
e
ak = J f{x){\k cos AfcX + /isin Ajtx) dxx
0
X ^J(Afc cos Ад;Х +/isin AA;X)^ dx^ =
2	f
^ ^(Д2 Д2~) ^ 2/l J	^
где Xk — положительные корни уравнения ctgA^
оо
9)	u{x,t) =	*(AfcCosAfcX + /isinAfca;),
AT
flfc =
fc=i
2uo fh,h'^ + '\l
— sinAfcf
£(/i2 + Af) + 2/i VAfc 2A|
где Afc — положительные корни уравнения ctg ~ ^ f ^
h
A
— b'^t
3.6. Указание. Можно сделать предварительно замену и = ve
l)u(x,i) = -^y /(a;)sm —dxje V	У sm—ж;
к=1 О


Ответы к задачам главы III
253
3) Ф t) = —Y	фаЩ+Ь^)1
6)U[X,t)	^2^(2fc + l)2®
sinAfco;, Afc
{2k + l)n
’
Й0 -b'^t	“((***")	knx
—e + > ai-e V	/ cos ——
4) u{x, t) = Ф ^ ak€
k=l
ak
= jf fix) cos ^ dx,
A: - 0, 1, 2, ...;
5) u(x, t) = 2huo :
1
frrA,№2 + A|) + /i)
Xfc(a:) = XkCos'KkX + /isinAfcX,
где Afc — положительные корни уравнения /ictgA^ = A.
3.7.	u{x,t) = e ^^cos2a;.
3.8.	u{x,t) = —e ^e^sinx + e ^^e^sin2x.
_/ (2/с+1)яау
on 1A / .A	4iio^e V '	)
Ш 1) »(x, 0 . «0 - — ^ 2t+l
■ Sin -
(2/c + l)ra
/c=0
2)	u{x,t)
{u2 — ui)	2	{—1)^U2 — Щ	i . knx
	^ +	6 ^	^ sin^^;
A;=l
3) u{x,t) =	+	(wi(l - (-1)*) + (-l)''wo) e ( 0 *sin^;
fc=l
9 1
4)	u{x,t) = Yie-x) + -Y,T («2(1
k=l
X
5)	u{x, i) = Ui + {U2 - Ui)- +
л\к\ \	* ■ knx
-1)^) - Ui) e V /


254
Ответы к задачам
9	1
+ й ^	- U2)) е
^ к=1 ^
t . кпх
V / sin——;
/ ч '^0//, ч 2г^о 1	(^\^f . кпх
6) и{х, t) = ^{i-x)-^^ -е-( ^	‘ sm —
7) и{х, t) — щ-
X 2'Uo ^ (—1)^	^ ■ кпх
— Н	У —;—е \ У sin —г-
2£^ ^ 1	^ . А:7Гх
к=1
+
3.11. u{x,t)
2a^ а^ о?п^ ^ (2А: + l)^^
^ ’
= _£^ + — +	7	sin
2^
3.12.	и(х, t) =	+ "7 + ух +
2а^
8де^ (-1)*^+^ _-(^^^^§^)'t^.^(2fc + l)7ta:
л2 ^(2fc + l)2
2£
/ 5ттй'\ , ЗтТХ
3.13.	u(x,t) = поз; + Иов v 2^ J sin-^.
3.14.	u{x,t) = 2-^ (ix^ — i'^x ~ ^ ) + 9^ +
4£^ ^	1
_l)*+i +
(2k + l)nj
2£
oi. /	.4	^	4tto4^ 1	. (2fc + l)TO
3.15.	u{x, t) = Qox + Щ - — ^ -e V	У sin	—	.
A;=0


Ответы к задачам главы III
255
( Зтга \ ^ ■	ЗтТЗТ
3.16.	и{х, t) = щ + 3e~v 2^ / cos
8£ ^	1
3.17.	»(x.t) = I-f+^gpSTT?
3.18.	„(!,() = j^(^l-e
„(2п + 1)
V	/ cos	—	X.
2£
. 5ттх
3.19.	и
3.20.	u{x,t)
‘<“=•‘' = * + ^+3^?
п .	4£2
^ jsin^ + 1 + е V2«l sin—.
. 5ях
4^^ Л -(^УЛ ■ t;
1 — е V 21 у дщ —^— 5g V 21; gm —^
J 21	21
5ях
Л -(^)'Л - Зга , -
(1-е	1 1дш—-5е
\ 21 у ЗШ ——
2£
3.21.	«(I, () = 21 + 1 +	(l - е‘( и ) sin - £-( а ) 'sin^
3.22.	«(X, t) = 2х - 8 + f	с» 2&±ilx.
/I л2
3.23.	u\
Н” 2б
4с
x(x,i) = -^2
. 3x7t
U.J ВШ —
. та ,	^	4^^ -/'^'1% . та
sin — + 1 + 2х +	i ^ sin — +
2£ 2£
(.24.«(х,1) = 2 + 21х-хЧ(|^)	e^“)‘sm^
-f—Vt
Зе V 21J gin
2£
n„+	/	3	M	37ГХ 1	1 .
3.25.«(x,0=x+(^—j cos—-- + -e
V ~(^)\ 3nx
- e V « / cos—T-.
a /	t
1	1	2nx
-e V 1 У cos-^
(зтга )


256
Ответы к задачам
3.26. u{x,t) = 2х-
4тгх / ^	7пх f	'
— 4 + Зе \ ^ ) cos ——h ( 3— I cos —— [e ^ ^ у — 1
7an J
(2iV	3ra	Ъпх
= X — t — -— cos —— + 2e	> cos
\3тт:а/	2£	2£
f 2£V -(Щ\ Зга
\Zna)	2^
	 Q
3.28. u{x, t) = gx -\	~
U{A-g)^	1	(2fc + l)ra
k=Q
{2k + iy
3.29. u{x,t) =		2 fl -	sin^.
^ ^ S + (an/£? V	J e
(3 + {an/£)
UiX
3.30.	u(x,() =	+ 2-ig
где \k ~ положительные корни уравнения htgM — —Л.
Щ — hui
3.31.	и{х, t) = ^ ос -\-ui —
1 “Ь £h
h? + Л|
ui -	1 e-“^^‘‘sinAfcX,
Me{h^ + Ч) + f^)\ уЛ^+Ч/
где Xk — положительные корни уравнения htgM = —Л.
3.33.	^ (l
где М — положительные корни уравнения hoXgM = Л.
3.33.	u{x,t) = w{x) + '^^ak.e
к=1
U2 — щ U2 + {l+^h)ui
°+	2 + th ■


Ответы к задачам главы III
257
Xk(x) = COS AkX + — sin AfcX,
где Ak — положительные корни уравнения ctg A£ ■
1 /Л h
2\h АГ
J ХЦх)
dx
{XI + hy + 2h
2A|
2Д2	r
= m + hV + 2h J
3	34. Ф,,) =	4 |£	= +
n=l	^
2^ . nnx _„2л2. r . ггтгх ,	/nnx^^ b‘^
+ £ E " “ J /(^)	= (t) +
n=l
3.35. u{x,t)
uosh^{x — i) 2tiuo^ к
sh Ч
E-
2 ^ knx
sin
A—l
г/1 sh ^x — uo sh - tj
P ^Ak
k=i ^
knx
sin——h
. /С7ГХ .2.2, f	. /С7ГХ ,	^2 I kn\^ P
+ £E®“—^	/(^)sm —d^,A2=(^-j +^.
3.36. u{x,t) =
sh Ч
+
2n , (—— щ ^2.2, . fcra
~^l2z2	~ +
£2
2
k=i
oo
knx
-a^Xlt
+ -	sin ——e “
k=l
J/Wsi
. /С7ГХ .	. 2	/	^ P
Sin —— ax. A
к I £ ; + „2-
^	^	sh-X + sh-(^ — x)
3.37. u{x, t)=uo-	^^
sh-r


258
Ответы к задачам
ibVua
Е
sin
по? “ {{2к + lyn^o? + 6^£^)
-(е^±^ + б2^,
2к -|-1
оо	f	I i2 \ .	_
Е“ (	/2 “г о 11	77,7Т
а^е V	/ sin—X,
3.38. и{х, t) = щ + w{x) +
П=1
(ui-uo)sh^(£-x) + (u2-wo)sh^a;
»(*) =	5^1	.
а. = ^ J(/(х) - w(x) - ко) sin dx
ОО	/ к^п^о? 1	l2^
оо	I ,	7
<3-0 _/)2|	>	-(	/2	+ О h кпх
—е + > Oke V	/cos-—
3.39. г^(х,	= w{x) + -^е	^ а/^е
к=1
»(i) = ?g.sh^x + 34|^ch^x,
£ ’
а* = IJ(/(а;) - w{x)) cos dx, п = 0, 1, 2, ....
3.40. и{х, t) = w{x) + ^	sin Л/^х,
к=1
w{x) = Uo
bch ^{£ — х) + hash ^{£ — х)
О'к
bch — -\- hash —
а	а
е	/ ^
J гс(х) sin Ла;Х dx / J sin^ Л^х dx
-2ща^
(a2A| + b2)WA| + d2) + /i)’
где А/;; — положительные корни уравнения /itgA^ = —А.
3.41. и(х, t) = (1 — е je'^sinx + e^ ^^sin2x.


Ответы к задачам главы III
259
3.42. 1) и
А
(т) -1
е ^ — е
(921\^Л . пх ап , ^
.	, пх ап
u = Ate sin—, Y =
2) и =
1
(^)2 _ 2 V	J V 2^ /
e-^‘ - е
и = te cos
3)	и
4)	и
Зпх / Зап\'
(If) +3
А
(W^
3<	-{^УЛ Зто
Q \ 2^ ) I QOS —-:
/Зтга\
rV 2^ /
5) U =
(W + 2
е — е
- е'
2£ ’
Znx
sin
2£
V 2^ >
7) и{х, t)
( бтга V   9
V 2^ J	^
3
е-2* - е
2С ’
-(If)'Л Зях
— р \ 2t )	COS —-:
(^) -4
/5тга V
з"1 ^ ;
2£
5яа;
cos -
04	1 -1	1	0>5
8) 11 — —~в 4“ ~ —	9—
>	2 2	'">'>’'^2
(2f)^-l
(^) Д 2тгх
\ ^ ) COS ——
2ап , ^	1	,	1 t	, X	2ап
при — ^ 1;	и = --е	+ 2 “ 2^ а	~	^
«	/	ч	аА	X
3.43. ix(x, t) =	т е sin —h
cos -	а
+
-У f-
Р ^\ (
2те
+ •
i ^ \{2к + 1)п	4^2 — о?[2к + l)^я^
/с=0
4(-1)Ма^£^	\	(2fc + l)TO
2^
(/тта\2^	\
о,»*, »(1,9 = —е ^ — 2^	'
ппх
п
п=1
п{'п?п^а^ — (?)
sin -


260
Ответы к задачам
Asm^ .	^\к+1 f 1	^ "(tV •
	^е"^ + 2Л> (-1)^"^М — +	—/ Г ч-о е ^ ^ sin—-.
sin-	^	\пк£ Р — (тскаУ)	£
а	к=1	^	\	/ /
_ _	/	\	-, f ^	• л/2 CL £	у/2	\ _9^
3.45.	и(х, п = 1 + —^ sin —X	-= tg	cos —X е +
1л/2 а	л/2	V2a а
+
1
(т) -2
, 2х
COS—	7ТТ /<2Я\2,	Qttt
ЗЛ6. u{x,t) =	+ 3cos —е“(2^) — 5cos-—е
cos —	2£	2£
3.47. u{x,t) =	^ +
ashrx	2	/
(f)' + 4
e^‘-e-(f)Msin™
2^ ■
348. B(I,()=(-) ((f) ‘-1 +
. тех
■ e (2") - I sm
2£'
3.49. u{x, t) =
4^
2
32 £3
^ \ \ . 2k 4“ 1
sm -^тта.


Ответы к задачам главы III
261
X I —t +
( it y/'i
\{2k + l)na
^ \ \ 2k 1
cos ———nx.
2£
3.53. u{x, t) = ^
(( 4(-l)^
128^^
у \п{1 + 2k)	а^7Г^(1 + 2^)*^
fan{2k+l)\^
л 2^ )
+
128£^
32f
2/c + 1
jt cos ———nx.
a^TX^{2k + 1)®	a^7t^{2k + 1)^ J 2£
3M. u{x,t) =—xt +- i^)+ ^a„e v e
n=l

^ f / 2 ff2\ ■ j 2Ae‘^{-iy
J x{x‘‘ - r) sin dx =
ЗаЧ^
a^n^v?
2£^A ^ 1
nnx
2ГЛ i _(пту.
+	/ -re w ; S
П'^а^ ^ п'^
n=l
k=l
3.56. u{x, t) = —e^~* sin x + sin 2a; + sin 2; + 1 + t.
3.57. u{x, t) = Q
aH Зх^-е 2i.^{-iy+^e
knx
k=l
A;2
■ cos -
,	, a?Af fAx'^ , Аг аД\ Т ,
3.58, и{х, () = -_-(^_-Ai + -- —j( + -i-- +
+	+ (-1)‘Г,„М^)	cos


262
Ответы к задачам
tx^ аЧ"^ й 2£3	~ (-1)'=+! / -Ж Л пкх
= —+ —-- + -1Г-Т >	— |l-eV«7 Icos—.
3.59. и{х,	+	+	fc4
k=l
2+2
3.60. u{x,t) = — + e
tx^	Ъпх d^t
—- + e V ^ /
3.61. u{x, t)
l-t 2 ^	£
+
f (^((-1)‘ - i)fe-W' - Л - ?±llA‘^r
^ Uknya^^^ ’ Я	7 W
cos ■
knx
T'
Hx \
3.62. u{x,t) = A{\ — e “ ) ^1 — Y-\-pj
\ 2Acif" ^	+ 	^	(e~{^y* -е~Л sin^
р(р+1) + ц| а2ц2-а£Ч	J £ ’
где Ц1, Ц2, Цз, ••• ~ положргтельные корни уравнения tg р. = —[i/p
{р = не).
3.63. и{х, t) = {х — e)t^ +1 + ^
24^ I -(2!1(|±1)у
А;=0
а^{п{2к + 1))®
4(-1)*^	_('27i(^+yj ^	2б£3
7t(2A: + l)^	^ a^(u(2fc + 1))"*7 ™	2^
2/с + 1
t cos———ях.
3.64. ii(x, t) = t^{x — e) -\-t^	^2 I
+
k=0
2	Г-»	\	^
+ АкГ + Bkt) cos	7TX,
где Afc =
48(-i)fc+i£2
a?{n(2k + 1))^’
{п{2к\2
12^
{an{2k + 1)YJ ’


Ответы к задачам главы III
263
Ck
2£
(а7т(2А: + 1)
Вк.
/ 2в
3.65.u{x,t) = t{x-e) + 3^^)
COS ■
Зпх
W'
3.66,„(x,() = i(Vl + g^P^p^^ll-e i ) 1-
{2k + l)n
^оя(|+1)у^	^6^3(_1)
*	\ . {2k + l)'Kx
{2k + lYTX^a?^ )	n
3	®7- “(*. <) = <>: + 3 (1^) [t +	Л-(??) • _ Л 'I ,i„
3.68. u{x. 1) = X +g I	1)) ^ ^ ‘
2f V / (-1)Vn(2fc + 1) -(=is±uy,	4„ U 24+1
a+(24TT)J 1	ё	’ +7*))“"“’“^
fan{2k+l)\^
V )* _-^
2k -|-1
sin ———nx.
2i
2k “1“ 1
—


264
Ответы к задачам
1OQ/4
3.71. и{х, t) = xt + t^ -\—-7—г
а^7Г^ ^
А;=0
. 2/c + l
{2к-\- 1)^
fa7ii2k+l)Y
Л 2^ )
t
Sin -
-пх.
/any
“V^/ (2A: + 1)V^“‘ 2^
3.72. u{x,t) ~ ^	—
/nna\2.	.
2cuA^^e w J^sin^ p
		^ev ^ / cos CUT dT.
0
Д
3.73.	'u(a:, ^) =	+ sin ^ — cos t.
3.74.	u{x, t) = cos 2x +	+ sin t — cos t + t^x.
^ oo	„	R
3.75.	u(r,t) =	V Д ) *sm — J p/(p)sindp.
^ n=l	0
Указание 1. Задача сводится к решению уравнения — = а^Аи при
условиях u\^^Q= 7(^)5	о, 1'^(07 01	^•
Оператор Лапласа Агг в сферических координатах имеет вид
Аи ■■
1 д
)ди\
+
r^‘ дг \ дг J Y sin 0 90
д ( .
Sin0— 1 +
90
1
9^гi
' sin^ 0 9(р2 ’
Так как начальное значение искомой функции и не зависит от углов 0
и (р, то гг = гг(г, ^), а уравнение задачи принимает вид
ди
1 9
^ди\
dt ^ Y дг \ дг)
Указание 2. Перейти к новой неизвестной функции v — ги.
о rjc f d.\	^
3.76. u{r^t) = —^Y.r^
к=1
COs2 K\ri
rf{r) sin Л^г dr) sin A^r,
0
ЯЛ
где An — положительные корни уравнения tg ДА	^.
1 - Дд
Указание. Краевое условие в задаче 3.75 следует заменить на следу-
du(R,t) , ч ^
юш,ее: ——- + hu(R, t) = 0.
дг


Ответы к задачам главы III
265
3	с
. и{г, f) = — J r^fir) dr +
3.77.
2	1 + Е?-К\	^ \ _аЧН ■ ^
рз X/	—~ \ J	dr)e sm \г,
к=1	^	'^О
где Л/с — положительные корни уравнения tg Кк = RX
•3 7Q ^	.1	~ \imRcOS [1,г1
3.78. ЩГЛ) = 4г/п > 	;	^—:	;Х7
^ ц„(4|д„Л-зт4^1„Д)
sin [igR - ц^Дсо5|а,гД sin \i^r
Г
где \1п — положр1тельные корни уравнения tg2p^7^ =
2\inR
Указание. Задача приводится к решению уравнения
l-2hR
I д f пди\
dt ^ r^ дг дг )
при условиях
ди ,
—+ /ггг
or
о, и{г,0)
r=2R
Г ^0,
I 0^
о ^ г ^ я,
R < г ^ 2R,
\u{0,t)\ < сю.
3.79. u{r,t) = ^Ak	{RkkCosXk{r - R)smkk{r - R)),
k=l	^
где Ai, Л2,... — положительные корни уравнения
(1 — 2Rh + 2Л^i7^) sin ЛЯ = (1 + 2Rh)RXcoskR,
3R^kl{l + 2Rh)uo
“ (1 + Л|Я2)[(1 + 2Я/г)Л|Я2 + {2hR + 2Л|Я2 - 1) sin^ Л/с Я] ‘
Указание. Задача приводится к решению уравнения
ди _ 2 1 5 / 2^'^
dt ^ г‘^дг V дг
/ глч	9и
при условиях и{г, 0) = щ, —
or
r=R
= О, 11/(0,t)\ <00.
r=2R
3.80. а) и = Р ■
2R{T-P) ^	кш
пг	к
к=1
Я


266
Ответы к задачам
re"“'^'^‘sinAfcr,
61 U	cos ДА,-
’	г ^Afc(l-Д/г-соз2ад^
где Afc — положительные корни уравнения tgXR = ДЛ/(1 — Rh).
Указание. Задача приводится к решению уравнения
ди 2 л	л	19/ 2^'^
^ = аД„, Д„ = -_
при условиях: а) u{R,t) = Р, т/(г, 0) = Т, |г^(0,^)| < оо;
ди
б)	t) + /ггх(Д, t) = hP, u{r, 0) = Т, |u(0, t)\ < оо.
dr
3.81. u{r,t) = §^{R"- r^) +	Ц^е-(Т) ‘sin
n=l
П'^
nnr
~W‘
Указание. Задача приводится к решению уравнения
9и 2 л Q л 19/ 29ti\
— = оД« + —, А« = ^—j
к
при УСЛОВР1ЯХ u{R,t) = о, гг(г, 0) =0, а‘^ = —, |u(0,t)| < оо.
ср
/а^\2
ООО /	QR.Q{R^-r^) 2HQR^^ собц^-еЧд]'
3.82. u{r,t) =	——	г:—2^-
ЗкН
6к
■ sin -
кг ^цЗ(1_^Я-С082 М Д’
ц
где Pi, р2 5 • • • ~ положительные корни уравнения tg р =	——.
1 — HR
Указание. Краевое условие в задаче 3.81 заменить на следующее:
ди
дг
+ Ни
r=R
»■ -г
3.83. а) и{г, t) — UQ + ^(R^ —
+—Е
71Г
п=1
6к
(—1Р /	^ QR^ \	. ппг


Ответы к задачам главы III
267
2Rh^ f
—
П=1
Q \	cos RT^n
Щ) K{l-Rh-cos^ R\n)
RX
где Xn — положительные корни уравнения tg XR =
1 — Rh
Указание. Задача приводится к решению уравнения
ди	2 л	Q
— = а^Аи + —,
at	ср
. I д { оди
при условиях: а) u{R,t) = Uq, u{r,0) = Т, |i/(0,t)| < оо;
Зи
б)	^(^5	+ hu{R, t) = hP, u{r, 0) = Т, |'u(0, ^)| < оо.
Здесь с — удельная теплоемкость, р — плотность, к — коэффициент
теплопроводности шара.
/ Зa^	— 5r^
3M^u(r.t) = T + Q-l^t-^^
2Q
kRr
Y.-
1
, XI cos ДЛ,
n=l
-e-“'^»‘sinA„r,
где Xn — положительные корни уравнения tg XR = RX.
Указание 1. Задача приводится к решению уравнения
ди 2 л л 1 ^
- = аД„.
ди
при условиях k—{R,t) = Q, и{г,0) = Т, к — коэффициент теплопровод-
дг
ности шара.
Указание 2. После замены v = ги, получаем неоднородную задачу
для функции V. Решение полученной задачи следует отыскивать в виде
V = y{r,t) + w{r, t), y[r,t) — Art + ф(г), где A и ф(г) находим из предпо¬
ложения, что y{r^t) удовлетворяет уравнению и граничным условиям для
функции V.
3.85. и{г, t) = T+	+ 77^(ЗД^ - 5г^) +
1
kRr ^ XI cos RXn
cpR
lOkR^
sin A^r,
n=l ^


268
Ответы к задачам
где Хп ~ положительные корни уравнения tg XR = XR.
Указание 1. Задача приводится к решению уравнения
ди
Q
— — а^Аи Н	, Аи
1 д f оди
dt
ср ’ r^'дr \ дг J '
Ои
при условиях k—{R^t) = —q, u{r,0) = Т.
Указание 2. См. указание 2 к задаче 3.84.
3.86. а) и = —Х(г) + а^е ^	/ sin-
г	г	R
к=1
. кпг
V / sin	.
Х{г)
{А + B)Rsin ^
sin -
Вг, ак = У^{rf{r) -Х{г)) sin ^ dr;
б) и = -—Х{г) + ^ Г r{rf{r) — Х{г)) dr +
2 +
Л2
П=1	^	^0
R	.
J(r/(r) -X(r))sinA„rdrje"“"^"‘ -втХпГ,
Х(г) =
AR'^a
Sin -
R cos - — a sin -
R	’
где An — положительные корни уравнения tg АД = АД;
в)	и = -—X(г) + - Ппв sin АпГ,
п=1
^cos^-sin^ + i?/isin^
а а	а
R
2(1 - Rh)
R{1 — Rh — cos2 RXn)
J(?’/(^) - ^(^)) sin Л„г dr,
0
где Л„ — положительные корни уравнения tg Ai? =
ДЛ
1 - Rh


Ответы к задачам главы IV
269
оо / R
3-87. а) W = -^	( J r/(r) sin ^
к=1 ^0
R
dr ]е
sm ■
кпг
Т’
б) U = ^ J г^/(г) dre +
Z
^ Г ^
1 + i?2A|
А^-
J г/(г) sin Ла;Г dr j е	sin Лд^г,
к=1	^0
где Ajt — положительные корни уравнения tgAi? = i?A;
.	_	_6^(П0 , 2по _б2( V- 2sin-^ -
в) и-е — + —е 2^ ■
П=1
2 ДАп — sin 2 ДАуг
sin A„t,
где Хп ~ положительные корни уравнения tg ДА = ДА;
о = S Ё	(J *)	™
п=1	X)	^
где Хп — положительные корни уравнения tg ДА = ДА;
д) u{r,t) = Х(г) +
2g-p^f,
/с=1 ^0
+	^ ( J Г (/(г) — X (г)) sin —;i7- rfr I е V / sm
knr \	i . knr
sm——dr] e v^ / sm——,
R }	R
A ARsh^r
^W = i?2-
|32 rp2sh^'
Ответы к задачам главы IV
4.1.	Указание. Положить и = v А Вх + Су + Dxy и подобрать коэф¬
фициенты А, Д, С, D гармонической функции А -h Вх -f Су Н- Dxy таким
образом, чтобы V удовлетворяла требуемому условию, т. е. обращалась бы
в ноль в угловых точках контура. Требуемое условие будет выполнено,
если
А = /(0), Б = 1(/(а) -/(0)), С = 1{МЬ)-М0)),
а	о
D = ^(^(a)-cp(0))-l(/(a)-/(0)).


270
Ответы к задачам
4.2. 1) щ(х.у) = 5: (
fc=l
sh^ ’
Ф-fe = ^ J Ф(у) sin ^ dy, Fk = ^ j F{y) sin ^ dy,
2) u(2;,y)
1
1 sh^(a-x) 27t?/
sh^
■ Sin -
Ij	j . 3tt^
1
1 sh^(a-x)
3 ^Pf
. 5nx . 5я?/
sn —— • sin ——;
0	b
sin—+
b
Anx Any
/ 2я(а — x)	27tx\ sin^
3) u{x,y)= (2sh			+ 5sh—j-p^
— 3sh
An(a — x) sin ^
sh^
sh^ . Qny
shfiss b '
_	,	2M-^ (-!)''+!	kn{a-x) sin^
4.3. 1) u(x, y) = — E —i- •	- 4~ •
k=\
sh^
2bh
2) u{x,y) = — E
_l)/c+l
Sin -
kny
k=l
sh^ b '
3) u(x,2/)
Sh2f
sh^ •^“-6
Зяу
sh% ™-r +
(_1)W sh^fel
я
k=l
kny
к
sh^
T sin
rvTZd
. .	.	,	,	-^ (j. , knib-y)	, /сяуЛ sin^
4.4. 1) U2{x, y) = E
\	a	a
k=l ^
Л = ^ J/Wsin^dx, (Pfc = ^j(p(x)
gfaM ’
a
knx
2) u(x,y) = 3-
sh
n{b-y)
nx sh
0
Зтг(6-?7)
Sin	dx\
a
sh^
•Sin
sh^
• Sin -
Зях 1 sh2^
2 зЬ2=й
• + :^
2nx
• sin -


Ответы к задачам главы IV
271
/ ч	. 2га {	2п{Ъ-у) , 37tj/\sin2^
3)ц(ж,у) = -	.,1 -sm	+ 2(sh^	^ + sh—
3 sh^
а
1 sh ^	. Бпх
	^ • sm	.
2sh^ а
sh
Snb
л г	^	2аЛ^(-1)^+^	. кп{Ь-у) sm^
4.5. 1) и(х, у) =	 > 	;	sh			+
^	^	гп ^ к	п	sh —
71	к
к=1
Зя sh ^	. Зях
+ T'5rs'™—•
а
2)и{х,у)	^3 ^ (2yt + l)3 ■ sh(2^M
А;=0	а
sm
(2А; + 1)га
3) и{х,у)
4uo
оо
Е75Г1
sh
(2А:+1)7т(6-у)
sh
(2А;+1)я6
. (2к + 1)ях
• sm	h
sh^ . 2ях
+ 3—^ • sm	.
sh^ a
4.6. u = U1 + U2 (cm. задачи 4.2.1, 4.4.1).
4.7. 1) u{x,y) = B
sh
Ф-у)
nx 8АУ^ ^ sh
sh=^
• sm -
{2k+l)n{a-x)	{2к+1)пу
^	(2k + 1)^
k=0	^	'
^ 37т(а-х)
2) u{x, y) = 2"'\ Л • sm
sh:M	. Any ,
^ sh=pi . 3nx
+ 2—.	• sm	1	rrar— • sm -
ЩЬ-у)
sh —
sh
Зяб
1
3) uix, y) = -  	^—
)	\ ^У!	2 sh^
sh	-ЛХ 1 sh ^	. 4ra
+ 3 		• sm	h - •	• sm -
,_2ny , sh^ „:„37Т2/
■ sm —+ 3			 ,
b sh^ b
sm ■
+
sh=^
2 ghlzrt


272
Ответы к задачам
,	8АЬ^^ sh	. {2к + 1)пу
^ ^(2fc + l)3sh^^^^	Ь
ЗязЬ2^ . Зга
^	- sin	.
д gjj37t6
а
+
4.8. 1)
а
,	. 2Ь/г ^ (—sh/cn(a —х)
=		b
к=1
+ 3'
	о		 sin
shM	a 2
a
sin^
	— +
sh^
	• sin
sh^
5nx
a
8a^B^	1
sh^ b
. Зта
sin
Q
a
.	,	2ЬЛ^^(-1)*+1
2)	u{l,y) = —^—^
k=l	0
^	1	. (2k + iy
^(2fc+l)3 ■ shlMilMa
k=0	a
gj^ ЩЬ-у)	о 	^-u Я1/
3)	«(x,y) = 2--^
)ra
—. A • sin
Зга
sh^
+ 3-
_l_ 4mq
я
sn -f . ra
—^ - sin	1-
sh— a
^	a
^Y^i2k+pn£
-	1	. (2^ + 1)яу
^(2/c + l)'shei^'®^'^ b ■
4.9
Л	^
,	. 4uo -
u{x,y) = — ^
7t ^
” sh (2fc+i)(«-^)"	(2fc + l)nt/
^ (2fc + l)shi^^^^	b
10. 1) ui{x, y) = ^{a - ж) +	+
la	la
'^ (c u	\ rn , fcra\cos^
+ |;(^Ash-^(a-i) + f.sh—j
A = fj/(!/)cos^
n
0
2) U2{x,y) = ^
A:=l
fc = 0, 1, 2,
-0 ^
А:я Va ^
^	'a


Ответы к задачам главы IV
273
2 г . - кпх
фА: = - (p[X)Sm
CL	CL
О
dx, "Ф/с = - J'Ф(^) sin с
п
3) из
dx, к = 1, 2,
„	LL	и
О	о
Ui{x,y)+U2{x, у), где U\{x, у) и U2(x,y) из задач 4.10.1 и 4.10.2;
.4	/ ч о /	, ™	, п(Ь-у)\ sin^
4 и(х,у) = - 3ch— -2ch—^^ +
^	^	я V	а	а )	sh^
а	2п{Ь-у)	sii
+ — ch
4тг	а	si
и
sin^ а	Зпу sin^
зЬМ^9я а	sh22^’
а	п
.	оо	^
5) и{х,у) = ~:4uoJ2
71^
^	1	(2А: + 1)я(6-у) sin»
6)	и(х,у) = —((
а
7)	и{х,у)
2о ch ^	. пх
		.		. 01*П 	 •
ЯО/
-a-
a
N ^
1
shf
ny
cos^ +
6
a
“ 2
shf
Зя
b
77“^ “
2a
46 ^
1
sh
(2А:+1)7Га:
b
cos
^ (2^’ + l)^ sh
{2к+1)па
b
{2к+1)пЬ ’
а
Зпх , Зпу
	sn
а	а
- +
+
	^ • sin
я sh —
а
/ ч Ь(а — х) 46
8)«(х,») = ^^ + ^
За ch ^	. 2ях
а
^	1 yi,e^±lM2z£l (2/1-+1)ду
^(2fc+l)2'	6
„ч . ч X 1 sh^ Any „а ch^
9).(i.!,) = 5j + j	cos—+2-.-pj
^	. TO
^ • sm —;
я sh— a
a
b	a
1A\	/	\ b{a-x) 46^	1 gj^ (2^±iM^z£)	(2k-\-l)ny
10) .(X,,) = A^+_ ^	shia^
/c=0	6
aox
H
a
a (\ , Any
+	( ~ ch
An V 4 a
k=0
lch—{b-y)\ —j^.
3 a ^	si^ Ask
b
sin —
a
4.11. u{x,y) = A A-


274
Ответы к задачам
ААЬ^
{2к + 1)2 gii
sh	{2к + l)ny
	тттггг;	 • cos	;	.
(2fc+l)Tta ■ *20S -	^
b
4.12. 1) u{x,y)
b
ch^
sin ■
2ny
1
3
sh ^	. iny
			^ . sin	- A	-
16Я ch^ b 25n ch^
sh^
ch2f
Sin -
Бпу
■ Злу
sm—;	h
0
2) u(x,y) = 2
sh
T^ib-y)
2a
«hi
• sm
nx
2a
I 1	-	56	. 2nx\ sin^
+ (2ch-(x-a) + -sh—
4тг
3ch—(x - a)
6
sm
b Sh^	6ЛУ.
ch^ бл ch^ b ’
3) u =	(-1)^'*'^	chx(2^-Q)
Зях
я
“ = .^2
л^
fc=l
26^5
ch ^
. ^Tiy „sh^
sm —+ 2—^ • sm ——;
b sh ^	2a'
(_l)fc+i sh^ . kny shf^ . 5ЛХ
> —• sm —;	h 4—^ • sm ——;
fc=i	b
oo /	1\А--И „и kn
5) U
2a
36
2bA ^ (-1)^^+^ ch ^(x - a) . kny
n Z^ к	ch^	6 ясЬ^
/с=1	ь	о
, ях . Я1/
•sh —-sm —-
6 6
26
^ Зях . Зяу ^sh
• sh —— • sm —	h 2— . ,
ЗясЬ^ 6	6	sh —
37i(b-y)
2a
2a
sm ■
Зях
2a
4.13. 1) u{x,y)
di^
Я,	. ЯХ
ch—[y — 0) • sm	h
+
a
4ясЬ^
, 2я1/	. 2ях
sh		 sm
ch
a
Зтг(у-б)
chM
Зях
• sm -
ch^^^^^	. 2ях ^sh^
2) u{x, y) = ^ . L. • sm	h 2 —2^
3ch22^
sh^
. Зя^


Ответы к задачам главы IV
275
2chM^ + |a.sh^^ 37tx 3sh^	5пх
Н	.		— • sin	—	• sin -
ch
Зяб
а
10я • ch
БпЬ
а
2аА •
3) и{х,у) = — XI
71
к=1
л 7i(a—x)
sh ^	. тху
+ 3	, It -sin
(_l)fc+i ch^
k7i{y-b)
knx sh ^	. Зга
ch
knb
• Sin -
+ •
сЬ2й
• Sin -
■ +
sh —
26
26’
sh
{2k+\)ny
7г4 A^(Ok-]-lY	(2/с+1)я6
/с=0	a
. i2k + l)ra
sin-^			h
+ 5
„:„37ty
sh^	■
oo
1.14. 1) u{x,y) = Х(Л'СЬ^(2А; + 1)(6-у) +
k=0
2aFu n	\ sin^(2fc + l)x
^ {2k + l)n ^ 2a^^ ^ ’^) ch^(2fc + l)6
OO
+ X	+ l)(o - x) +
fc=0
26il)jt я(2/с + l)x\ sin H(2A: + 1)^
{2k-\-l)n 2b J ch |^(2/c + l)a ’
где fk, Fk, ф/с, "ф/с — коэффициенты Фурье соответствующих
функций;
2) и{х, у) = ^ + ^((ро - /о)у +
Ь	, кпх .	, /с7Г, л .
+ • --Ша (Fkch—-^\>kch—{a-x)]sm —
+
А:я sh ^	^
где fk, Fk, ф/с, ф/с — коэффициенты Фурье соответствующих
функций;


276
Ответы к задачам
3) ц(х,у)=	+А-
2Ь
4аВ^
Tt2 ^
к=0
{2k + l)^sh^^^nb
2к+1	,2к + 1
• COS	пх • sn	ПЦ]
к=0 (2^ + 1)^ • sh
{2к+1)пЬ
2а
2	^ (2к+1)пу	(2к+1)пх
‘Sh-——^	COS-
2а
2а
5) и{х,у)
4В “
Ashf(6-y)sinf
+
4iJD
7Г ^
«hg
(2п+1)п{а-х)
+
^(2n + l)chi22^
б) u(x, у) = 3ch
. (2п + 1)яу
■ sin	;	;
3ti{x — а) sin
2b
2b
ch —
2b
+
1662^ (-1)^^
E-
{2k + 1)тта; _ sin
TT"* {2k + 1)^ """ 2b ch
A"=0	2a
n ^
1	. (2^г + 1)я(у - 6) sin
k=0
{2k + 1)
ch
2a
ch
2a
{2k+l)nb
2a
2a sh , Зтсх
H	^ • sin ——;
я ch ^ 2a
k=l
4>k n_ Л /. L^ \ sinAfcX
7) u(x,y) = ^ ( Фа,сЬЛ/ьу + ^shAfc(y - 6)
Afc	“7 chAfc6’
где A/c — положительные корни уравнения htgXa = —
2{h^ + Xl)
<Pk =
=
a(ft2 + A|) + h
J ф(х) sin \kxdx.
+ K) r , . ^	.
J ^(^)^mA,xdx.
4.15. 1) ui{x,y) = С-^Л
ch
kn{b—y)
k=l
gh2tt
- COS -
knx a
kn


Ответы к задачам главы IV
277
2 р	/сттх
^к = - (pi(x)cos	dx, /с = 1,2,..., VC = const.
а ^	а
о
а
Условие разрешимости J (pi(x) dx = 0;
о
2) щ{х, у) = С ^ Bk 1
/с=1 а	а
кпх
COS -
у ^	f^nrnf*
Вк = - \ Ф2(^) COS	dx, fc = 1,2,..., VC =
a ^	a
0
a
Условие разрешимости j Ф2(^) dx = 0;
kny
const.
oo	kn{a-x)
3) из{х, y) = C Ck		—
• COS -
t	I	V>’V-/0	_	«
kn qU ЬШ	h
k=\	h
kny
Ck = -rj ^i{y) cos ^dy, fc = 1,2,..., VC =
const.
Условие разрешимости J^\)l{y) dy = 0;
0
4) W4(a:, J/) = C + ^	• cos —,
C	К/7\у
Dk =	Ф2(у) cos dy, /с = 1,2,..., VC = const.
b
Условие разрешимости J il^2(y) dy = 0.
0
4
4.16.	1) u[x,y) = ^^'U/c(x,y) (cm. задачу 4.15) и должны выполняться
fc=i
условия разрешимости
а	Ь
j(pk{x)dx = 0, j y\>k{y)dy = 0, /с = 1,2;


27S
Ответы к задачам
2) и{х,у) = С ■
а ch
Зтг
4тт
chMizil
sh^f
3) решений нет.
7Г(6-у)
COS-
sh2^
а
Any
ПХ
COS	h
+ —
А
бя sh —
2Ь ch
5пх
Зпх
- cos-
5тг sh^
Бпу ^^
cos ——, ч С — const;
о
4.17.	Указание. Задачу Дирихле для уравнения Пуассона можно привести
к задаче Дирихле для уравнения Лапласа, если удается, не заботясь о вы¬
полнении краевого условия, найти какое-либо решение уравнения Пуассо¬
на Аи = /. Когда такое решение v найдено, то функция w = и — v будет
удовлетворять уравнению Aw = О и краевому условию w\dB = и\дв — у\дв-
Граничное значение функции и на контуре дВ области В задано, а значе¬
ние следует подсчитать, зная функцию v.
Если решение нашего уравнения отыскивать в виде
V = Ах'^ -h Вху -h Су‘^ -h Dx Ey К,
то решением будет любой многочлен, коэффициенты которого удовлетво¬
ряют условию 2А-\-2С = 2, Б, D, F, К — V, например, г’ = (т^ -h у^)/2.
Если потребовать, чтобы решение уравнения Пуассона v{x^y) обраш,алось
в нуль на границах х = О, х = а или у — у — Ь прямоугольника, то это
будет, соответственно, функция v{x^y) = х{х — а) или v{x^y) = у{у — Ь).
Если выберем условия г?(0,^) = О, v{a,y) = О, то
i{x,y) = ф-а) + ^'^
(2t+l)(6-2j;)
	2а
п^ “ (2fc -h 1)^
ch
{2k+l)nb
2a
Sin -
{2k 4- l)nx
4.18.	Cm. указание к задаче 4.17.
8a^ Ch	• Sin
u{x,y) = x{a-x)-^^
Ф (2A:+l)3.che^ ■
4.19.	Cm. указание к задаче 4.17.
p /	0,2 oo „и (2*:+1)л(6-2у)	•	(21:+1)лх\


Ответы к задачам главы IV
279
4.20. См. указание к задаче 4.17.
Q fx^ \	16Qa^^	д(2п±1)!М
к \ 2	) 1-тгЗ ^
2а
sm
(2п + 1)пх
^ (2п + 1)3 ch	2а
{2п+\)п{у-Ь) \	(2п+1)тгх
l^^Vh -
\	„и (2п+1)тг6 I Г9п -1-11S
2а
2а
ктг^
ch	/ (2п + 1)3
2а	/
!ш . кпх	2
^	. !^71Х	1с , - кпх
4.21. и[х,у) = > (р^е а sm	, (рА: = - (p(x)sin
а	а 9	а
dx.
к=1
.	/	\	v~^ 1 ——у . кпх
4.22. 1) ti(x, 2/) = — ^ -те а ^ sm	;
7Т	гь	а
к=1
,	1	. Зпх 1	. 4ях
2)	и[х,у) =-е а sm	-е а sm	;
3	(2	4	d
,	- 2аЛ. /сях
3)	и(х,у) = —^—-—е а sm—.
А:=1
4.23.	1) и{х, у) — С + 7 (pk6~~y cos	, У С = const,
к=1
4>к
= Г ф(х) cos dx.
кп 9	а
и
Условие разрешимости J ср(х) dx = 0;
о
,	,	,	а	Зпх а	4пх
2)и(х,у) = с	е а cos	Ь —е а cos	,Vc = const:
п	а 4п	а
3) решений нет.
. _ .	/	\ Фо	X—^	——у кпх
4.24.	1) г/(х,^) = —+ ^(pfce а У cos	,
к=1
Р ft	hiTTn
(Pfc = - Г (P(x)cos —
CL 9	d
dx, fc = 0, 1, 2 ...:


280
Ответы к задачам
А 4А^	1	[2к+1)пу	(2к + 1)пх
2)	“(>=-»)= 2 -^g(2iiTT?'	"		'
.	.	. аА 4аА ^	1	_{2k+i)ny (ok + l)nx
3) «(x,!,) = ^ + -;^l^pFn?'	“		5	■
oo
4.25.	1) u{x, y) = ^	sin ^(2A: + l)x,
/c=0
2 r	n
^k = -	ф(^) sin —{2k + l)x dx, /с = 0, 1, 2 ...;
a 0	2a
0
, SAa^ {—l)^	(2m>^	(2/c + 1)ях
2)u{x,y) = -^^^,—^—e	2a sin^	^—•
^(2fc + l)2
2a
3) „(x,„) = ^^
\	_{2k+l)my (Ok + l)nx
		 2a sin^	^	•
7Г ^(2A:+1)
1 _ш . nx 1	. Зга
2a
2a
4) u(x,y) = -e 2a sin-	-e 2a sin
^ ^	^	^	2a 3
^ _j2k+i)7iy {2k + l)nx
4.26. 1) u{x, y) = Y1
/c=0
2a
2 r
Л- = -	/(ж) cos
a J
{2k + l)ra .
2a
,	,	, 8Ла^ 1	{2k+i)ny (2k + l)nx
2) Ф.у) = -^Ьщтту^‘	“
, 1	Зга 1	5ra
3)	u{x,y) = -e 2a cos—	-e 2a cos
о	^Ci	“Г
4) u{x,y)
2a
Auo ^	(—1)^^	_{2k+i)7iy	(^2k + l)ra
	2_^ —	—e 2a cos ■
Tt f^(2fc + l)
2a
4.27. 1) u(x,j/)
2a
71 ^ 2/c + 1
_(2A:+1)7Iij	(2/c H- l)ra
e 2a cos ■
2a


Ответы к задачам главы IV
281
(рк
J Ф(а^)
(2к + 1)пх ,
COS			ах\
2а
, 2а	Зпх 2а	5га
2) и[х,у) =	е 2а cos—	1	е 2а cos——;
7Т	2а 7Т	2а
1баоа^ ^	_(2fc+i)7ry	(2/с + 1)га
=	2а sin>	^
П'^	^	+ 1)^
2а
LLi X
(Pk^~~^ sin-^—
п
k=l
4>к
2{o?h'^ + \il) f
a{[il + a^K^) + a^/l ^
Г . X . ЦА:^
(p(x)sin
a
dx,
\Lk = аЛ/г, где Л/г — положительные корни уравнения htgaXk = —
2)	и(х у) = f"	+ Ч-х,у^^
^)Чх,у)	^	л^(а(д2 + д2) + д)	sinAfeX,
где Afc — положительные корни уравнения htgaX = —Л;
оо
3)	и{х,у) = ^/fce“^*'^cosAfcX,
А:=1
где Ajt — положительные корни уравнения А tg аА = h]
4) и{х,у) = -щ2к ■
COS AfcX,
^а(/г2 + А2) + /. А2
где Afc — положительные корни уравнения А tg аА = h]
оо
5)	м(а:,2/) = ^ Д.е“^''^'(Л* cosA^a; +/isinA^a;),
к=1
Л- = /-.9 ,	2^ , t. Г /(^)(^* COS AfcX + /isin Afcx) dx,
<i{4 + h‘^) + hJ
где Afc — положительные корни уравнения /ztgAa = — A;


282
Ответы к задачам
6) и{х,у) = '^fke ^''^(AfcCosAfcX +/isinAfca;),
к=1
где Afc — положительные корни уравнения h ctg Аа = А.
862А.
4.29. l)u{x,y) = ^Y.
{2к+1)пх ^	(^2к + 1)пу
П'^ ^ (2к + ly
к=0
ь sin
. 8а ^	(-1У	(2А:+1)7гу	(2к-\-1)пх
2) а(х,2/) = —	2а sin>	^	•
^2^(2fc + l)2
16Ь^
3) и{х,у) = Uo—з“^
2а
{2к+1)пх	(^2к + 1)пу
е 26 cos
26
.4	/	ч	1	1	-—	^2/
4)	а(х,7/) =- + -е Ь cosy;
, 2а ^ Зях	2а ^ 5тгх
5)	и(х,у) = —е 2а cos	е 2а cos	;
7Г	2а	5тг	2а
/ ч	^	ЗЬ ш.	щ	Ь	^	Зпу ,, ^
6)	и[х, у)	=	С-\	е ь cos	—	—е ъ cos ——, V С =	const;
я	о Зп	о
^ч / ч	^	^ —	Зта	Ь ^	5та ,, ^
7)	а(х, 2/)	=	С +	-—е ь cos —	—е &	cos ——, VС	=	const.
9Я	о 071	о
4.30. а(г.
f,0) = '^ + ^(^) (/fccosfce +/fcsinfce),
1
Л = “ J/(^)cosA:a))d\l), А: = 0, 1, 2, ...;
^ о
а)	u(r, 0) = (^asin0 + cos20^ б) u(r, 0) = ^	^ (;^)
COS 20;


Ответы к задачам главы IV
283
в) u(r, 0) = 1 +
г \ ^ cos П0
п=1
Указание. Уравнение Лапласа в полярных координатах имеет вид
д‘^и 1ди 1 д^'и
дг^- ^ г дг r^■
= 0,
причем от функции гг(г, ф) помимо указанных условий требуем выпол¬
нения условий и{г, ф Н- 2п) = и{г, ф), и{г, ф) — ограничена при г —0.
Кстати в случае внешних задач нужно последнее требование заменить на
гг(г, ф) ограничена при г —> оо.
ОС	I.
4.31.	u(r, ф) = С + ^ (/fc cos А:ф + л sin А:ф), V с = const,
)с=1
2тг
fk И Д те же, что и в задании 4.30. Условие разрешимости J /(0) d0 = 0;
о
(3
а)	u(r, 0) = осг cos 0 -h -7^ sin 30 + с; V с = const;
3
б)	решения нет;
ч	/ г»ч	cosn0 ^
в) и{г, 0) = 2^ д„-1 ^3 + с; Vc = const;
n=l
г)	решения нет.
4.32. и{г, 0)
/о
2"^ У (7) (fk^oske + fksinke),
k=l ^
fk И fk те же, что и в задании 4.30;
R	f R\ ^
а)	и{г, 0) = ос— cos 0 -h (3 f — j sin 20;
б)	u{r, ^) = ^ + \ ^7^ cos 20;
..	00
3) u{r, 0) = ^+y;
n=l
R\ sinn0


284
Ответы к задачам
дА;+1
4.33. и{г, (р) = С —	—;—r~^{fk coskip + /fcsinfccp), VC = const,
Z—^
k=l
к
fk и fk те же, что и в задании 4.30. Условие разрешимости то же, что
и в задаче 4.31.
а)	и(г.в) = —ос—sin0	^cos20 + С, VC = const;
г	2
б)	решения нет;
дп+1
) и(г, 0) = —	—;	COS П0 + С, V С
^ п\г^
п=1
const;
г, д) решения нет.
4.34.	и{г, в) = ~^\пг 4--^-h''^{{akr^-\-bkr cos кд Л-{ckV^ 4-dkV ^’)sin/c0},
k=l
„ _ 5o - /о „ _ 9kR4 - fkR^^ и _	“ 9kRo
^0	1	/?!	’	A	■) ^k
Д/t ’	"	A;i-
7-k I U-k
folnR- golnRo _ gkRo" ~ fkR * j _ fkR^ ~ 9kRo
"0 =	]—R	> Cfc =			, dfc =			,
In ^	Afc	Afc
	 Г)к L>—k г)к jD—k
k — К Kq — KqK ,
fk И fk те же, что и в задаче 4.30, Qk и gk определяются аналогично.
4.35.	Искомая функция и{г, ip) определяется той же формулой, что и в за¬
даче 4.34, коэффициенты 5^, с^, dk определяются формулами
^0 = /о^о?	^^0 = 9qR^ ^oV const,
RR^igkRo'^-^ - fkR-’^-^)	, -RR^igkR^-^ - fkR'^-^)
Cf'k	I Д	Ч ^k
kAk
RRoigkR^-^ -	^
Ck = 	ГТ	, Ctk
kAk
-RRo{9kr>^-^ -
kAk	’	kAk
Ak, fk, 9k, fk, 9k те же, что и в задаче 4.34.
Условие разрешимости /о^?о = 9qR, оно равносильно равенству


Ответы к задачам главы IV
285
2п
j{Ihf{e)-R9{e))dd = 0.
4.36. n(r,0) = | + |i?iln^ +
+ Е
ifkR-'^ + кЩ''-^gky +
k{R!^-^->‘ + R’^Ro'^-^)
к=1
COS кв +
+
(ДД-* +1у-‘»)г* + (tJiS-‘» - R‘k)t
-sin A:0,
k{Rt^R->^ +
где fk, fk, 9k-, 9k имеют те же значения, что и в задаче 4.34.
4.37. а) д(г, 0) = Q +	fг — —^ cos 0 +
R^ + R^
R^T /г2 Rl\ . _
+	^ I ^ sin 20;
Rl + R?\Rl
L + K
б) u(r, 0) = Т + RoRUo-^-^ cos 0.
Kq +
4.38. u{r, ф) = E	’
Cfc
ln(i?2/-ffl) Ч / ,
2	r f{r) I kn . r
r J[r) . I Icn ^ r \ .	^ kn .	. H2
J	^‘ = T’ ' = '”д7
R2
£shA*.tu J r
Inf R
Ri'
Указание. Ввести новую неизвестную функцию t^(s, ф), положив
г
у{з,ц>) = u{e^R,(p),	5 = In-—, r = e^Ri.
R\
функция f(s, ф) удовлетворяет уравнению -;r-^ +	= 0. Ьсли
оц)^ as^
v{s,(p) = X(s)F((p),
TO для X{s) получится краевая задача
X"{s) + \^X{s) = 0,
x(o) = x{e) = 0,


286
Ответы к задачам
где £ = ln(i?2/i?i). Решив эту краевую задачу и уравнение, определяющее
оо
функцию Ук{ц>), строим Vk{s, ф), а затем и v{s,t) — ^ Vk> Возвращаясь
к=1
к переменной г получим ответ.
к=1
4.39. и{г, ф) = ^ Cfc sh — (In ^ - In
w \ Ri Ri
Г \ . ктир
sin	,
cu
Ck
cush
f	kn
F(9)sin—фйф
CU 0
2Ao)
4.40. u(r, ф) =	 >
7Г *
-1)
k-\	.^ Ч ^
/ r X a. . kn
— Sin	ф.
\RJ Ш ^
7Г	к
k=l
4.41. u{r, (p) = Щ +
4(U2	/ r\ sin 2^ТТф
■ЕШ'
Я ^ \KJ	2fc + l
A:=0
Указание. Так как граничные условия при ф = 0 и ф = ш ненулевые,
но не зависят от г, то решение можно искать в виде
u(r, ф) =г)(г, ф)+и;(ф),
где функция w{(p) удовлетворяет уравнению Аи = 0 и граничным усло¬
виям гг(0) = C/i, w{(Jo) = U2-
4.42. гл =	(см. указание к решению задачи 4.17
и ввести полярные координаты).
(r^ — i?^) =	(см. указание к решению
4.43.
24	^	^12
задачи 4.17; ввести полярные координаты).
сов2ф
sin 20
I
4.44.	u{r, ф) = ( (а^ + b*)r* - (а® + 26®)r^ - (о^ - 2Ь^)^ .
0'^
Указание. Ввести полярные координаты.
4.45.	и = r^(r^ — i?^) сов2ф = {х‘^ +	- В}){х^ — гр').
Указание. Ввести полярные координаты, решение отыскивать в виде
и = (ЛИ -h Вг^ -h Сг^ + Dr + Е) cos 2ф.


Ответы к задачам главы V
287
4.46. и = г"^- R\
Указание. Ввести полярные координаты, решение отыскивать в виде
и = ЛИ + Вг^ +	Dr Е.
4.47.	sin2(р + с =	— 2В?)ху + С,
С — произвольная постоянная.
Указание. Ввести полярные координаты.
1	1	/ г \ 2
4.48. и = —(И — гД^) sin ф + —(И — Д^И) sinЗф + а (—) cos2ф =
96	64	\Д/
=	- У^) + у{х^ +	04 ^ ^ - |g
4.49. и = (Х-\-
1
и =
/о
гВ?,
-(Л cos ф + В sin ф) = а +
8 8
4.50. и =	~	^	~ Д^И) sinЗф +
Ах + Вг/(^2^^2_д2)
+	+	(/fccos/сф+ ДзтА;ф)
2я	1
где Д = - Г /(0) cos кд de, Д = - Г /(0) si
ТС 3	тс 3
sin Ode.
4.51. и = :^(И — 5Д^г) sin ф + i ( И — |д^И ) sinЗф + С,
12	8 V 3
С — произвольная постоянная.
5<
С — произвольная постоянная.
1	/ г \ 2	3
4.53.	и = -(И - rR^) sin ф + а (—) sin2ф + -(И - Д^И) sinЗф.
4	V Д/	8
4.52. и = ^(5Д^г — И) sin ф + аг cos ф + f И —	) зтЗф + С,


288
Ответы к задачам
Ответы к задачам главы V
t x+a{t-T)
1 Г	С	Хь
5.1.	I) u{x,t) =—j dx J f{z,x)dz- 2)u{x,t) = —.
0 x—a{t—T)
^	^ x+at
.2. u{x,t) ^-{f{x - at) + f{x+ at)) + — J F{z)dz.
5.2
5.3. u{x,t) =
x+at
f{x + at) +f{\x-at\) signjx-at) ^	1 r
2	2d
x—at
5.4. u{x,t) =
0,	0 <t < x/a,
{t — x/df , t > x/a.
5.5.	=	+
+
^ У X+at	\x-at\
— f J F(2:) dz — sign(x — at) J F(z) dz
\ n	n
t	oo
g 4a2(i—t)
0 -oo
\/t-r
dl.
5.7. u{x,t)
1 ff
2a\/niJ V
(x-£,)^	(д:+£.)'
e“ 4a2i — e“ 4a2i ] /(£,) d£,.
5.8.	u{x, t) —
X re 4a^(t-T)
2a0t J (^ —
|и(т) dT.
t oo
- -
' (x-Vd	(д+£,)^ \
g 4а2(г-т) _ g 4a2((-T) j


Ответы к задачам главы V
289
(а^+^)^
оо оо
я/^(2/) sin Xydy^e ^^sinAdA.
5.10.	и{х, t)
5.11.	u{x,t)
5.12.	u{x,y)
5.13.	u{x, t) = t cos x + ^x sin X + J fix - s) sin 5 ds.
g 4a2(i-T) g 4a2(i-T)
0 0
X + y COS X — sin X + -X sin x.
5.14.	u{x,y)
5.15.	uix^t) -
5.16.	u{x^t) -
5.17.	u{x, t) -
5.18.	'u(x, t) ■
5.19.	и[х,1) ■■
5.20.	u{x, t) ■
5.21.	u{x, t) -
5.22.	u{x, t) ■■
5.23.	u(x, t) ■
5.24.	u{x, t) ■
- Ae~‘^y cos \/Зх — —X sin x.
1	3 .	1	2	.
-	cos X — - sin X — -e cos x + -e	sin x.
5	5	5	5
1 1 .
-	cosx — - cnx.
2	2
1
—-xsinx + cosx.
1	X
-	sinx + — cosx.
cos 2x — -xsin2x.
4
t ch 2x + ^x sh 2x — ^ ch 2x + - cos 2x.
4	8	8
^ chx.
^ sh2x.
: t ch2x.
cos 2x — ^ sh 2x + ^ sin 2x.
8 8


290
Ответы к задачам
Ответы к задачам главы VI
6.1.	и{г, ^	-^0 (^) >
где [ik — положительные корни уравнения Jo(|li) = 0.
со	г	uoR^ М\^к/‘2)	.	aцfc^	J	{[ккГ\
6.2. „(г. о = — Е	-R- ■ ^“(ir) ■
где [Ik — положительные корни уравнения Jo(|li) = 0.
2voh ^	(^)
6.3. u(r, ^) = —;—^
K=i	-
где |X/j; — положительные корни уравнения 7о(ц/с) = 0.
.	С1\^к
»	™ и '
K:=L
где \i-k — положительные корни уравнения Jo(li) = 0.
2Кщ^
6.4. u{r,t) =	2^
fc=i
-5
6.5. u(rJ) =	(cos^fci + ^sin^fci^	Jp^(P)-^o (^) ^P’
oVfe
,	V.,
где p.fc — положительные корни уравнения Jo(h) = 0.
6.6
/	1 ^	(и*.лД7^)	P ^
'■ “("•'> = <E—J /w*
где |ifc — положительные корни уравнения Jo(|i) = 0.


Ответы к задачам главы VI
291
6.7. u{x,t) = "^{ak COS aXkt + bk sin aXkt) Jo ( ^k\
k=i
dk
/''**>*('** Vi)
^ V ё ~ (7) ’	^	^
6.8. u{r, i) = J2 J(/(P) + iT{9))'? dp
+
,	(	^kat	. p.kat\ f\ikr\
+E	— J •'4-R-) ■
dk
оДц, j2(Hfc) I ( V)
где \ik — положительные корни уравнения Jq(M') ~ 0.
cn ^	auo’^ di{^)	■ a\ikt /Ркг\
6.9. u{r, t) =	>	2wE—T	~^do ^ ,
где \ik — положительные корни уравнения \xJq{\x) + hRJo{\i) = 0.
6.10.	.(r, 0 = 1	- rO - 2R^ g	eos A
где \Xk — положительные корни уравнения Jq(M') = 0-
«11	f d^ ,	,2 , «0 r-2 UqR
\2 R J 2 R 4


292
Ответы к задачам
— 2Ruq ^ ^
kJi \4М\^к)
cos ■
a[Lkt
R
где [Ik — положительные корни уравнения Jq{[i) =0.
Решение искать в виде и{г, t) = v{r, t) +w{r)-\- где A — постоянная,
w{r) + At‘^ — удовлетворяет уравнению и граничным условиям.
а^Ро ( Jo {uorja)
1 sin си^ —
6.12. u(r,t) = ^ о V Т /	7-. / ч
2aPQiX)R?	s\ii{\inat/R)J{){\Lnr/R)
где [in — положительные корни уравнения Jo(m^) = 0.
6.13. u{r,t) =
щ
Jo {(jjR/a)
sin (jot +
+ 2шаКщ ^		2 2\j (—T	(^),
где [in — положительные корни уравнения Jo(iLi) = 0.
6.14. u{r, t)
ащ
cu Ji {(ji)R/a)
^Jo (—
a) \ a у
2о?щ
cos iX)t H	+
+ 2a .0 E (^2Д2 _ ,2^2)	,
где [in — положительные корни уравнения Ji(|i) = 0
q cos iX)t
6.15. a) u{r,t)
+
p cu^Jo (шД/|
2qR^ ^	1
E-
-cos-
p ^ (а.2Д2 - a2p|) Ji(pfc)	Я V Л
где Цгг — положительные корни уравнения Jo(|i) = 0.
q (	ahJo{(Jor/a)
б) u{r,t) =
р cu^ \ahJo {(JoR/a) — сиJi (сиД/а)
— 1 cos ivt +


Ответы к задачам главы VI
293
	,
где \La — положительные корнр! уравнения	+ i?/iJo(|r) = 0.
6.16. u(r, t) = ^	^ afc cos Jo	,
k=l
где Yfc — положительные корни уравнения ^/iJo(y) +У^о(у) =
\ -1
Р-1МЫ
аЧП
cos
a\ikt f\ikr\
mV
Ук)
flfc — I I 1 + ( — ) 1 JoiYk) I Т~7'^^('Ук)-
2
hyk"
Jo (2r/a)
2g2|j.fcCos(aM.fc/£)^ / |^x
’	2^ JiiiikW-ia^kYr^y e
6A7.-u{r,t)	^2£/a)	^ Ji(Hfc)(4£2 _
где [Lk — положительные корни уравнения Jo(^) = 0.
^ о /	\ /aJo(2r/a) 1\ . ^
6.18. u{r, t) = ( ^	—7 | sin +
2 J' (2£/a)	4
5 + y ‘ + E
4^2g
^ ^	((«Tfc)^ - 4^^)Tfc Jo(Yfc)
■ ayк. j (УкТ\
sm—j,
где Vk — положительные корни уравнения Jo(t) =	7^ 2, V /с.
Й1П ^	2\ ,	Jo{\^nr/R) f AR'^ \ a\int
6.19.	»(r,t) = -(Д - r ) + «„ - 2 g	+ „.j С» —,
где — положительные корни уравнения Jo{\i) = 0.
ror, t	о -^cosiaiint/R) /\1пГ\
6.20.	»(r. 0 = «0 - 2«0 E	■'0 (-j^).
где \in — положительные корни уравнения Jo(|i) = 0.
/	\ -Ai? A .	9	9. jiiT Л
• •	^ + 4^^	-	E (^2 + {h£y)j2^y„) - V Д
где y„ — положительные корни уравнения ihJo{y) +у^о(т) ~
AR-^ YnJi(Yn)cos^ /Yn?’\


294
Ответы к задачам
^ глг. / ч f г^о(4а^ + ш^) +	_ /ш \
6.22. u{r,t) =	—	■■■ ргт^о (-^)-
\(4а^ + си^) Jo (cui?/a) \а /
2AR^ ^ (|ц2 - 4) cos(a|j^^/i^) х
z2 + 0)2^
4а2 + си"
cos cot +
4а2 + си
п=1
где |Li^ — положительные корни уравнения Jo(|Lt) = 0.
MpaJp (шг/g) 2цра^ _ 2цра^ ^ cos(ay„t/fi) ^ ^у„г
' ^	tuJo(a»i?/o)	Д ^ (а-у„)2 — (шД)^
где Уп — положительные корни уравнения Jo(y) = 0.
г г,А г	о	-^^-t
6.24.«(r,()=8,«g-j;y^e	,
где Цтг — положительные корни уравнения Jp(p.) = 0.
6.25. u{r,t)
“0^?^ , ,	d2'^	1	f^kr\
R )'
где \ik — положительные корни уравнения Ji(p.) = 0.
«(^	^ I р/(р)^. (^) ^р.
где \La — положительные корни уравнения |liJo(m^) + /ii?Jo(|x) = 0.
6.27, .(г, t) = е-*’- g	■ е-("^) ■ I рф(р) J. (f^) dp.
где \Xk — положительные корни уравнения Jq(ili) = 0, )lio = 0.
где [Ik — положительные корни уравнения iLtJo(M') + hRJo{[i) = 0.
6.29. u{r,t) = nup
Jp(And)e-‘»'^"*
*Л)(АпЬ) (/p(And)
[iVo(A„6)Jp(A„r) - Jp(A„6)7Vp(A„r)],


Ответы к задачам главы VI
295
где Хп — положительные корни уравнения
Jo{Xb)No{M) - Jo{M)No{Xb) = 0.
где \1п — положительные корни уравнения Jo{\i) = 0.
6.31 ,.(г,1)=Т + |:		е U1
где [Lk — положительные корни уравнения Jo(p^) = 0.
6.33, „(М) = г. - о	(М),
где [in — положительные корни уравнения Jo(p,) = 0.
*i^)
6.33,	„(г. О = », + - (^2	- Д1 - 2^ j - g
где [In — положительные корни уравнения Jq{[i) = 0.
Указание. Решение искать в виде и{г, t) = At v{r) + гг (г, t), где А —
постоянная, At + v{r) удовлетворяет уравнению и граничным условиям.
6.34.	„(г, ,) = ..+ 2(„. - «) g	e-^J, (^).
где [In — положительные корни уравнения [iJ^{[i) + hRJ{){[i) — 0.
о а / n=l
1	2	г , /l^N (.h^
" Л(Цп)	(if) о
где — положительные корни уравнения Jo(|x) = 0. Заметим, что Jq{ix) —
веш,ественнозначная функция для — оо < х < оо.


296
Ответы к задачам
л
6.36.	и{г, t) =	+ ^{2£ + he) -
^ V
УпМгп
№>’Vo(^r),
^ (у2 + Р-Ь?)Д{уп)
где Уп — положительные корни уравнения yJ^iy) + ^/iJo(y) = 0.
'9Jofr) l'
,4A(2f)	4
6.37. u(r,t) =	- .	- - \ e
-At
+ E-
2“ ЦпЛ(ц«)
где \in — положительные корни уравнения Jo(|t) = 0
^ Г
^ Va^^in Цп/
^2 _ ^2
6.38. u(r,t) = ^^ +
где \in ~ положительные корни уравнения Jq(M') = 0-
aJo (“)	2a^	9	e ( ^	^	/у/с \
где у/с — положительные корни уравнения Jo(t) ~
6.40.	а) и{г, t) — Т -\-
+ 7Т(«0 - т) У\	’ пгу .<Ш'^п<1)МКг) - MKd)N^{Kr)],
где \п — положительные корни уравнения
ATo(Ad)Л(Л6) - Jo(Ad)A^i(A&) = 0;
б) и{г, t) = it;(r) 4- Т +
4-
Д(М)е
—a^Xrit
2 ^ j2(A„d) - Д(Ап6) [
• и
J ргу(р)Фо(Л„р) dp
Фо(А„г)
, ч <3 / .2 2ч Qid'^ -е), d
w(r) = —(d — г ) —
4fc
j In
4A; In I r
Фо(АпГ-) = 77o(A„6)Jo(A„r) - Jo(A„6)A^o(A„r),
где A„ — положительные корни уравнения
iVo(A6) Jo(Ad) - Jo{Xb)No{M) = 0.


Ответы к задачам главы VI
297
6.41. а) u{r,t) = tto ( Jo ( —^ - Jo f—Ц e Vq ^
- 2uoR‘^ ^ •
\ a J J	''	\ a
I'M-
^ lLn(aV^-/i^-R^)Ji(lin)
где [In — положительные корни уравнения Jo(p-) = 0;
,, , ,,	Te-^•^ (hr
где \La — положительные корни уравнения Jo(m-) = 0;
-2аДУ-
Vi?/’
в) u{r,t)
■	Jo	+ ^(1 - e-y + ^
hJ,{!fyyaJ^	)+ Rf,2
где [Lji — положительные корни уравнения Ji{[i) = 0;
г) u{r,t)
+
y4Joif) + ajyf))
^ ' e-*’' +
k=l
■^k —
X
J r J2 (if) dr
0
frLr)-^
0 \	ч'>М4(?)+«Л(^
где [ik — положительные корни уравнения [iJq{[i) + hRJo{[i) = 0.
(М))
dr,
6.42. a) u{r, z) = y fk sh ^{h -z)Jol^r] J,n =
k=l
R
R
R
J rf{r)Jo (^r) dr
0	^ '
J rJi (if r) dr
Здесь Jo{oc) — функция Бесселя нулевого порядка первого рода,


298
Ответы к задачам
[1^ {к = I, 2, ...) — ее положительные корни.
Формулу для коэффициентов fm можно упростить, воспользовавшись
равенством
В котором Ji (х) — функция Бесселя первого порядка первого рода.
Указание. 1. Так как граничные значения искомой функции и не за¬
висят от полярного угла ф, то в уравнении для функции и, записанном
в цилиндрических координатах
д^‘u	1ди	1 д‘^и д'^и
дг"^	г дг	dz^
будет отсутствовать член с и не будет зависеть от ф.
аф"^
2. Коэффициенты разложения функции /(г) в ряд по функциям
Jo f j находятся на основе свойства ортогональности этих функций
с весом г на отрезке [О, Я].
||0
sh
k=l
J rg{r)Jo	dr
^ _ 0	^ ^
9k
J r J2	r)
dr
		/ к'пт \ ктТ
в)	u{r,z) =	(x у	^ Mix),
n = -Jj(z)si
knz ,
sin —— dz.
h
Замечание: функция Io{x) — вещественнозначная при вещественных
значениях аргумента х.
т) и = U\U2-\- где щ, U2, щ — решения задач а, б, в.


Ответы к задачам главы VI
299
6.43. а) и{г, ф, z) =
п=0 к=1
sh
r'J shf/i
§—(а^ cos пф + b'l зшпф),
2nR
а,. =
J J /(г, ф) • со8Пф • Jn rdrd(p
0 0	V /
£ • 7Г
J гД (f г) dr
о ^	^
J J /(г, ф) • sin Пф • Jn (\rdr dip
0 0	V /
Ч
2 при п = о,
1 при п > О,
^ J (fdr
/с = 1, 2, ...; n = О, 1, ...
Здесь Jn(x) — функция Бесселя первого рода порядка п,
— ее корни;
б) и(г,ф,2:) =
sh
cos Пф + sin Пф).
R / оЬ
п=о к=1	^	/ sli /г
Коэффициенты aj!, Щ. определяются формулами из решения задачи
а), в которых /(г, ф) заменено на р(г, ф). Эти формулы можно упро¬
стить воспользовавшись равенством
R
\ г л (I г) * = ^ЛМУ.
/ krcr \	knz
в) и{г, <P,z) = Y^^Ini -j- j sin -j-{ak cos тир +	sin тир),
n=0 k=l ^	''
h 2tc
a,. =
£ =
2 при П = 0,
1 при п > о,
2
nhj7X.Z
F{(p, z) cos Пф sin — d(p dz,
nhjTXz
F{(p,z)sinTupsm — d(pdz.


300
Ответы к задачам
Замечание: функция	= /п(х), называемая модифициро¬
ванной функцией Бесселя, при вещественных значениях х принимает
вещественные значения;
г)	использовать решение задач а, б, в.
VC = const, — корни производной функции Бесселя Jq{x),
J f{r)Joi4^)rdr
л° = й/л, fk = °——^	.
J dr
Задача разрешима, если выполнено условие J f{r)rdr = 0;
о
6).(r,.)=C-g»||iA«r).
VC = const, Qk определяется по формулам для коэффициентов Д
предыдущей задачи, в которых /(г) заменено на д{г).
R
Задача разрешима, если выполнено условие J д{г)г dr = 0;
о
,	,	-	^	^ ^ f knz\ knz Ikn. f knR^
B) »(B. B) = C + g	(—j cos —/	^
V C = const, Ffc = J F{z) cos
dz.
n
Условие разрешимости J F{z) dz = 0;
r) учесть решение задач a, б, в. Ответ и условия разрешимости оче¬
видны.


Ответы к задачам главы VI
301
6.45. а) и{г.
,Ф,.) = C-±±J, (f:) *У\:;>(а;сов„ф+ь;
sinncp),
VC = const, \l = \il/R,
где — положительные корни уравнения J'^{x) = 0.
R 2n
Условие разрешимости: J J /(r, (p) dr dcp = 0.
0 0
R 2n
JJ r/(r, (p)Л(Л^г) cosrup dr d(p
£ =
0 0
A: = 1, 2, ..., n = 0, 1, 2, ...,
tn\rJl(klr)dr
0
2 при n = 0,
1 при n > 0,
Л 2тг
JJ ^/(^5 ф)'^п(А^^) sin ncp dr dip
bl =
0 0
/с = 1, 2,	, n = 1, 2, ...;
6) u{r, Ф, ^) = c - X) X) Л (-^
n=0 A:=l
VC
«fc
= const,	£ = I
R J A^shA^/i
2 при n = 0,
1 при n > 0,
[oil cos n(p + sin пф),
R 2n
J J 5(»', ф)с^?'£^Ф
= 0,
0 0
2n R
JJ rg{r, ф) cos пф Jn(A’^!r) dr dip
0 0
k = 1,2,..., n = 0, 1,
e7tjrJ2(X^r)rfr
2я R
JJ rg{r, (p) sinncp Jn(A^r) dr dip
bl =
0 0
k= 1,2,..., n= 1, 2, ...;
7£j rJ^(klr)dr
0


302
Ответы к задачам
\	/	А ^ 1	knz	i ип -	\
в) ^(г, ф,г) = С + 2^ 2^ 1—г77кпк
72=0 /С=0	V ^	^	^
WC = const,
1 f	/сто
а^! =  	 ^(ф, ^2:) С08Пф cos —— dzdip, /с = 0,1,..., п = 0, 1, ...,
Oi-Уг. 3 J	h
о о
_ . /г	при к = о,
^	' h/2 при /с > о,	\ 71 при п > о,
Гп = I
2п при п = О,
1 f	kTiz
Ul = ^	J J F(ф, г) sinпф cos—^с(2:с/ф, /с = О, 1, ..., п = 1, ...
кГп Q Q
2я /г
Условие разрешимости: J J ^(ф, г) dz с/ф = 0;
о о
г)	учесть решение задач а, б, в. Ответ и условия разрешимости оче¬
видны.
6.46.	а) гх(г, ф,г) =
s\i\l{h-z)
^	, shA]J/i
72=0 /с=1	«
cosпф -h sinпф)Л(Л^г),
= 0.
2тг i?
JJ г/(г, ф) J„(A^r) cos Пф dr dip
рП _ .О
£7Tjr j2(A’^r) dr
о
n = 0, 1, ..., А:= 1, 2, ...,
2nR
И rf{r, ip)Jn(k^r) sinnip dr dip
Ы = —
_ J 2 при n = 0,
1 при n > 0,
n = 1, 2, ..., /с = 1, 2,
'^]гД{М^г)(1г
о
oV|
6) u(r,cp,z) =	Jn(Afer) (a^cosncp + bgsinncp).
shXlh
72=0 /c=l


Ответы к задачам главы VI
303
Коэффициенты а^, определяются формулами из решения задачи а,
в которых /(г, ф) заменено на ^(г, ф);
оо ОО J /^\	,
в) и{г, ф, г) =	кпЛ-АпЖ	sin ^ф).
^	^ кпт/ (кпВ \	и
=0 к=1 h^n[ h )
2	^	с 2
^ =	^ J JF(ф, г) cosпф • sin—^йгйф, ^ ~ j
П П	V
6? = г г ^(ф, г) sin пф •	dz d(p.
nh 3 j	h
0 0
0 0
2n h
2 при n = 0,
при n > 0,
6.47. a) u[r, Ф, z) = EE«- Jn(A^r)(a^ cos пф + Щ sinnф),
n=0 k=l
к =	и\4) - 0,
2n R
Ч
R
J J ф) COS nфJn(Л^r) dr dip,
en j rJ^^^X^r) dr ^ ^
0
fc = 1, 2, ..., n = 0, 1, ...,£ = 2 при n = 0, £ = 1 при n > 0,
bl = —	J J r/(r, (p)sinn(pJ„(A^r)(ird(p,
я / rJ^ilV^r) dr ^ ^
0
/с = 1, 2, .... n = 1, 2, ...;
6) гг(г, (
^	У Ь^пту \	IcTTZ
Ф, 2:) = ^ ^ In i -j- j {al cos rup + bl sin пф) • sin —,
n=0 /c=l	^	'
oil И определяются теми же формулами, что и в решении зада¬
чи 6.43в;
в)	учесть решение задач а, б.
оо оо	^
6.48. а) u(r, ф,2) = С -	Л(Л^г)-^«со8тгф + 6^8тпф),
п=0 к=1	к
VC = const, J^{X'^R) = о, а^, Ь'^ и условия разрешимости те же, что


304
Ответы к задачам
и в решении задачи 6.45а;
_22_	/ hjrr \	hjry
б)	и{г, ф, г) = С - ^ ^ hin ( —г— ] cos ——(а^ созпф + 6^ sinпф),
\/ С — const, а^, 5^ и условия разрешимости те же, что и в решении
задачи б.45в;
в)	использовать решение задач а, б.
6.49. а) Л„
^ I —+ -^
б)	Кк = j , п = о, 1, 2, ..,, /с = 1, 2, ..., где ix]J - корни урав-
нения Jn(|r) = 0. Каждому собственному значению \пк соответствуют
две собственные функции
л	cosmp, J„	sinrup.
Указание. Записать уравнение Аи + Лг/ = 0 в полярных координатах
и разделить в нем переменные;
в)	^тпк =	; m = о, 1, ...; А: = 1, 2, ...
Здесь R — радиус основания цилиндра, h — его высота,
^ (|1?\ . Ш7Г Г cos Пф,
'^тпк Jn (	1 Sin Z • <
\R J h I sin Пф.
. mnx . rmy	^ ^
Umn = sm	sin	m, П = 1, 2, ...;
a	0
Указание. Записать уравнение Аи + Лп = 0 в цилиндрических коор¬
динатах и искать его решение, удовлетвориюпдее краевым условиям
о, и\^^^= о,	о в виде п(г, 0, z) = v{r, d)Z{z). После раз¬
деления переменных для г’(г, 0) получим задачу б), а для Z{z) задачу
У' -h |Li2: = о, z(0) = z{h) = 0.
^	п^\	тпх	ппу	^ ^ ^
6.50. aj ^тп — '^ \	^	7 9 I 5 ^тп — cos • cos г , 7П, TL 0, 1, 2, ....
^ а^ ¥ J	а	о
^кп — ^
COS Пф,
sinпф,
J'nim = о,


Ответы к задачам главы VI
305
А; = 1, 2, .; п = о, 1, 2, ...;
ч	л /тп\^ f	т f \ ■	Г cosmp,
в)	\rnnk -[—) + (в:) ’	~Г { sinncp.
п = О, 1, 2, ...; m, fc = 1, 2, ...
Указание. См. указание к задаче 6.49.
6.52. и{х,у) = ЕЕ ■^тп^тпч
т=\п=1
а Ь
Лтп =	5mn = ^ J J д{х, у)Хтп{х, у) dx dy,
О о
^	о f пп?	п^\	, ч . гппх . ппу
Amn = 7t (	’ ^тп[Х, у) = SHI	• SIH
Хгпп и Хтп{^чУ) ~ собственные значения и собственные функции краевой
задачи (см. задачу 6.49а) Аи + Ли = О,	0.
оо сю	/ п \
6.53.	u(r, 0) = ЕЕ(^‘ П cos П0 + Bkn sin П0) Jn ( j,
п=0 к=1
дК
		9кп	р		 ^/гп ^
кп —	Т ч	I^kn	—	Т ч
^кп	^кп
Xkn — собственные значения краевой задачи Аи + Ли = 0, и|
0) = COS TiQJn	и х1„(г, 0) = sin п0 J„	~
собственные функции (см. задачу 6.496).
9кп —
^ Jcosn0d0 Jr5(r,0)J„ (^) dr, е„ = I ^
н 2тт	R	/ ^ \
hkn =-j sinnede j rg{r,e)Jn(^] dr,
2 при n = 0,
при n > 0,
0 0
A: = 1, 2, ..., n = 0, 1, 2, ...


Литература
1.	Алексеев А. Д., Кудряшов С. Н., Радченко Т. Н. Уравнения в частных производных
в примерах и задачах. — Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 2009. — 80 с.
2.	Алексеев А.Д., Радченко Т. Н., Рогожин В. С., Хасабов Э. Г. Практикум по урав¬
нениям математической физики: методическое пособие для студентов вузов. —
Ростов н/Д: Изд-во РГУ, 1992.
3.	Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции: учебное
пособие. — М.: Наука, 1984. — 384 с.
4.	Вицадзе А. В., Калиниченко А. Ф. Сборник задач по уравнениям математической
физики: учебное пособие для вузов. — М.: Наука, 1977. — 222 с.
5.	Вудак В.М., Самарский А. А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической
физики: учебное пособие. — М.: Наука, 1972. — 430 с.
6.	Глинер Э. В., Смирнов М. М., Кошляков Н. С. Основные дифференциальные урав¬
нения математической физики: учебник для вузов. — М.: Физматиз, 1962. — 776 с.
7.	Демидович В. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. —
13-е изд., испр. — М.: Изд-во Моек, ун-та, ЧеРо, 1997.
8.	Крикунов Ю. М. Лекции по уравнениям математической физики и интегральным
уравнениям: учебное пособие для студентов ВУЗов. — Казань: Изд-во КРУ, 1970. —
212 с.
9.	Николенко В. Я. Уравнения математической физики: учебно-методическое посо¬
бие. — М.: Изд-во МГУ, 1981. — 392 с.
10.	Смирнов М. М. Задачи по уравнениям математической физики: учебное пособие
для вузов. — М.: Наука, 1975. — 128 с.
11.	Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики: учебное посо¬
бие для студентов университетов. — М.: Наука, 1972. — 735 с.
12.	Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.:
Физматлит, 2005. — Т. 3. — 728 с.


Учебное издание
КУДРЯШОВ Станислав Никифорович
РАДЧЕНКО Тамара Николаевна
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
В КУРСЕ «УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ»
Редактор
Корректор
Компьютерная вёрстка
Дизайнер обложки
Л. С. Шутько
Л. С. Шутько
Е. В. Ширяевой
Л. В. Киреев