Автор: Стародубцев Ю.Н.
Теги: электротехника электрические машины и аппараты электронно-и аппаратостроение трансформаторы
ISBN: 5-93037-138-5
Год: 2005
Текст
Ю.Н.Стародубцев
Ю. Н. Стародубцев
Теория и расчет
трансформаторов
малой мощности
Издательское
предприятие
РадиоСофт
МОСКВА
2005
УДК 621.3
ББК 31.261.8
С77
Стародубцев Ю. Н.
С77 Теория и расчет трансформаторов малой мощности.— М.: ИП РадиоСофт,
2005.— 320 с.: ил.
ISBN 5-93037-138-5
В книге приводится теория и расчет трансформаторов малой мощности. Представ-
лены общие сведения, термины и определения основных понятий электротехники,
которые необходимы для понимания электромагнитных процессов, происходящих
в трансформаторной цепи. Рассмотрены шесть основных типов трансформаторов: си-
ловые трансформаторы, трансформаторы тока и напряжения, согласующие сигналь-
ные трансформаторы, трансформаторы звуковой частоты, импульсные трансформа-
торы. Выделены их общие черты и приближения, которые используются при расчете
конкретных типов трансформаторов. Приводятся основные формулы, порядок и при-
меры расчета трансформаторов с использованием современных аморфных и нанокри-
сталлических сплавов.
Книга предназначена для специалистов, инженеров и студентов старших курсов
по специальности электротехника, радиотехника и связь.
УДК 621.3
ББК 31.261.8
ISBN 5-93037-138-5
© Ю. Н. Стародубцев, 2005
© Оформление. Издательское
предприятие РвдиоСофт, 2005
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ........................................................ 7
Глава 1
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
1.1. Уравнения Максвелла .......................................... 8
1.2. Электромагнитные параметры вещества.......................... 11
1.3. Энергия электромагнитного поля............................... 13
1.4. Граничные условия............................................ 14
1.5. Ферромагнитные вещества...................................... 15
Глава 2
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ И МАГНИТНАЯ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
2.1. Закон Ома для участка электрической цепи..................... 17
2.2. Электродвижущая сила......................................... 19
2.3. Замкнутая электрическая цепь................................. 20
2.4. Закон полного тока........................................... 22
2.5. Магнитный поток.............................................. 23
Глава 3
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
3.1. Электродвижущая сила индукции................................ 25
3.2. Самоиндукция................................................. 28
3.3. Включение электрической цепи Lr под напряжение............... 30
3.4. Магнитная энергия индуктивной катушки........................ 32
3.5. Взаимная индукция............................................ 33
3.6. Магнитная энергия двух индуктивно связанных контуров......... 35
3.7. Согласное и встречное включение индуктивных катушек ......... 36
Глава 4
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
4.1. Переменный электрический ток................................. 39
4.2. Символический метод расчета электрической цепи............... 41
4.3. Комплексное электрическое сопротивление...................... 43
4.4. Мощность электрической цепи переменного тока................. 44
4.5. Электрическая емкость........................................ 47
4.6. Заряд конденсатора........................................... 49
4.7. Конденсатор в цепи переменного тока.......................... 51
4.8. Мощность электрической цепи гС............................... 53
4.9. Колебательный разряд емкости................................. 55
4.10. Параллельное соединение rLC................................. 55
4.11. Комплексная проводимость.................................... 57
4.12. Электрическая цепь с сосредоточенными параметрами........... 58
4
Глава 5
ИСТОЧНИКИ ЭНЕРГИИ
5.1. Источник электродвижущей силы............................... 62
5.2. Источник тока............................................... 63
5.3. Эквивалентный генератор..................................... 64
5.4. Согласование сопротивлений ................................. 65
5.5. Параметры источника энергии................................. 67
Глава 6
МАГНИТНЫЕ ПАРАМЕТРЫ МАГНИТОПРОВОДА
6.1. Измерение магнитных параметров.............................. 69
6.2. Кривая намагничивания....................................... 71
6.3. Петля магнитного гистерезиса................................ 75
6.4. Магнитная энергия и магнитные потери на гистерезис.......... 78
6.5. Динамическая петля магнитного гистерезиса................... 81
6.6. Комплексная магнитная проницаемость......................... 85
Глава 7
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА
АМОРФНЫХ И НАНОКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СПЛАВОВ
7.1. Аморфные и нанокристаллические сплавы....................... 86
7.2. Магнитопроводы ГАММАМЕТ®.................................... 87
7.3. Магнитопроводы с высокой начальной магнитной проницаемостью ... 90
7.4. Магнитопроводы с низкими магнитными потерями................ 96
7.5. Магнитопроводы с прямоугольной петлей гистерезиса........... 96
7.6. Магнитопроводы с линейной петлей гистерезиса................ 99
7.7. Магнитопроводы с высокой запасенной магнитной энергией..... 102
7.8. Магнитные потери при несинусоидальном напряжении........... 105
7.9. Использование типичных магнитных свойств в расчетах........ 109
Глава 8
ИНДУКТИВНАЯ КАТУШКА
8.1. Собственная емкость индуктивной катушки.................... 110
8.2. Последовательная эквивалентная схема....................... 113
8.3. Параллельная эквивалентная схема........................... 115
8.4. Магнитный поток рассеяния.................................. 117
8.5. Векторная диаграмма ....................................... 118
8.6. Комплексное магнитное сопротивление........................ 119
8.7. Сопротивление магнитных потерь ............................ 121
Глава 9
ТРАНСФОРМАТОР
9.1. Эквивалентная схема........................................ 123
9.2. Совершенный и идеальный трансформаторы .................... 125
5
9.3. Магнитная энергия.......................................... 127
9.4. Входное сопротивление ..................................... 128
9.5. Коэффициент трансформации.................................. 131
Глава 10
ТРАНСФОРМАТОР С МАГНИТОПРОВОДОМ
ИЗ ФЕРРОМАГНИТНОГО МАТЕРИАЛА
10.1. Эквивалентная схема....................................... 133
10.2. Векторная диаграмма....................................... 136
10.3. Режим холостого хода...................................... 137
10.4. Режим нагрузки............................................ 139
10.5. Режим короткого замыкания................................. 139
10.6. Коэффициент полезного действия............................ 141
10.7. Собственная емкость....................................... 143
Глава 11
СИЛОВОЙ ТРАНСФОРМАТОР
11.1. Основные приближения...................................... 146
11.2. Мощность трансформатора................................... 148
11.3. Тепловой режим............................................ 149
11.4. Потери в обмотках......................................... 151
11.5. Габаритный параметр....................................... 154
11.6. Расчетные формулы......................................... 155
11.7. Формулы для напряжения прямоугольной формы................ 157
11.8. Взаимосвязь параметров.................................... 158
11.9. Примеры расчета........................................... 162
Глава 12
ТРАНСФОРМАТОР ТОКА
12 J. Общие требования........................................ 166
12.2. Эквивалентная схема....................................... 167
12.3. Векторная диаграмма....................................... 169
12.4. Токовая и угловая погрешности............................. 170
12.5. Номинальные параметры..................................... 172
12.6. Витковая коррекция........................................ 174
12.7. Расчетные формулы......................................... 175
12.8. Примеры расчета........................................... 179
Глава 13
ТРАНСФОРМАТОР НАПРЯЖЕНИЯ
13.1. Общие требования.......................................... 183
13.2. Погрешность напряжения.................................... 184
13.3. Номинальные параметры..................................... 186
13.4. Расчетные формулы......................................... 189
13.5. Пример расчета............................................ 193
6
Глава 14
СОГЛАСУЮЩИЙ СИГНАЛЬНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР
14.1. Сигнальный трансформатор................................. 197
14.2. Уравнения передачи....................................... 198
14.3. Характеристическое сопротивление четырехполюсника........ 200
14.4. Затухание и постоянная передачи.......................... 201
14.5. Затухание вносимое четырехполюсником..................... 202
14.6. Согласующий трансформатор................................ 205
14.7. Рабочее затухание трансформатора......................... 207
14.8. Входное сопротивление.................................... 210
14.9. Расчетные формулы........................................ 211
14.10. Пример расчета ......................................... 214
Глава 15
ТРАНСФОРМАТОР ЗВУКОВОЙ ЧАСТОТЫ
15.1. Эквивалентная схема в области нижней, средней и верхней частоты 219
15.2. Коэффициент передачи..................................... 221
15.3. Характеристика линейных искажений........................ 223
15.4. Характеристика нелинейных искажений...................... 226
15.5. Входное сопротивление.................................... 229
15.6. Выходное сопротивление................................... 230
15.7. Коэффициент полезного действия........................... 232
15.8. Коэффициент трансформации................................ 234
15.9. Постоянная времени и максимальная магнитная индукция..... 235
15.10. Индуктивность рассеяния и собственная емкость........... 237
15.11. Трансформатор с активным сопротивлением приемника....... 239
15.12. Пример расчета ......................................... 243
Глава 16
ИМПУЛЬСНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР
16.1. Импульсный режим......................................... 247
16.2. Магнитопровод в импульсном режиме ....................... 248
16.3. Эквивалентная схема...................................... 252
16.4. Формирование фронта прямоугольного импульса.............. 256
16.5. Формирование вершины импульса............................ 261
16.6. Срез импульса и обратное напряжение...................... 263
16.7. Расчетные формулы........................................ 266
ТЕРМИНОЛОГИЯ................................................... 269
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ........................................... 290
ЛИТЕРАТУРА..................................................... 304
ПРЕДИСЛОВИЕ
Почти все изданные ранее книги данной тематики посвящены одному какому-
либо типу трансформаторов, например, трансформатор тока, трансформатор на-
пряжения, трансформатор звуковой частоты и т. д. И это понятно: у всех типов
трансформаторов имеется специфическая терминология, особенности расчета
и применения. С другой стороны, все трансформаторы имеют общую теорию,
а различие состоит лишь в^тех приближениях, которые используются для реше-
ния конкретных задач. Поэтому в книге много внимания уделяется общим подхо-
дам и тем приближениям, из которых вытекают соответствующие формулы для
расчетов различных типов трансформаторов.
Обычно при изложении расчетов трансформаторов предполагается, что чита-
тель хорошо знаком с терминологией. При этом опускаются понятия и определе-
ния, знание которых обеспечивает осознанный расчет трансформаторов в новых
нестандартных условиях применения.
Для большинства читателей, особенно для тех, кто имеет только общую подго-
товку, как раз наибольшую трудность представляет поиск понятий, терминов
и определений, разбросанных по различным источникам. Поэтому в первых гла-
вах приведены некоторые общие сведения из физики и электротехники, которые
необходимы для формирования языка общения с читателем. Эта выборка носит
ограниченный характер, обеспечивая читателя знаниями, которые пришлось бы
искать и систематизировать с использованием многочисленных учебников и на-
учных статей. В приложении приведены термины, встречающиеся в книге, и их
определения. Предпочтение отдавалось терминам, соответствующим государ-
ственным стандартам России.
В старых книгах использованы традиционные для того времени материалы,
в основном электротехническая сталь, и в некоторых случаях — ферриты. Однако
за последнее время появились новые магнитомягкие материалы — аморфные
сплавы, которые имеют уникальные магнитные свойства. В данной книге во всех
примерах используются современные аморфные и нанокристаллические сплавы,
в частности, производства научно-производственного предприятия «Гаммамет»
(адрес сайта: www.gammamet.ru).
В книге приведена теория и расчет шести основных типов трансформаторов:
силовые трансформаторы, трансформаторы тока и напряжения, согласующие сиг-
нальные трансформаторы, трансформаторы звуковой частоты, импульсные транс-
форматоры. Приводятся основные формулы, порядок и примеры расчета транс-
форматоров.
В конце книги приведен список основной литературы, на которую имеются
ссылки в тексте [1-106], и список дополнительной литературы [107-160], которая
может оказаться полезной для углубленного изучения различных типов трансфор-
маторов.
Книга предназначена для специалистов, инженеров и студентов старших кур-
сов по специальности электротехника, радиотехника и связь. Ее можно использо-
вать также в качестве учебника по теории и расчету Трансформаторов малой
мощности.
Автор выражает благодарность директору НПП «Гаммамет» Белозерову В. Я.
за поддержку и постоянный интерес к работе.
Автор будет признателен за все замечания и пожелания, которые можно на-
правлять по адресу: 620141, Екатеринбург, а/я № 62, e-mail: star@ekanet.ru или
gammamet@mail.ru.
Глава 1
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
1.1. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
Уравнения Максвелла представляют математическую формулировку основных
постулатов классической электродинамики. К основным макроскопическим урав-
нениям относятся [1,2]:
rotE=-^, (1.1)
Ct
rotH=J+^-. (1.2)
Ct
Здесь введены следующие обозначения величин характеризующих электро-
магнитное поле: Н — вектор напряженности магнитного поля, А/м; В —- вектор
магнитной индукции, Тл; Е — вектор напряженности электрического поля, В/м;
D — вектор электрической индукции, Кл/м2; J — вектор плотности электрического
тока проводимости, А/м2.
По сути основные уравнения Максвеллв обобщают законы, полученные опыт-
ным путем: закон электромагнитной индукции Фарадея (1.1) и закон Био-Савара
для магнитного поля проводника с током (1.2).
Представленные уравнения связывают макроскопические параметры электро-
магнитного поля при следующих условиях: неподвижность материальных тел,
находящихся в электромагнитном поле; независимость от времени и напряжен-
ности поля материальных параметров е, ц и X, т. е. относительной диэлектриче-
ской проницаемости, относительной магнитной проницаемости и удельной элект-
рической проводимости; отсутствие в поле магнитов и ферромагнетиков [2]. Под
макроскопическими величинами понимаются средние значения физических вели-
чин в физически бесконечно малом объеме, поверхности или линии. Физически
бесконечно малый элемент объема (поверхности или линии) должен быть чрез-
вычайно большим по сравнению с расстояниями между молекулами среды или
по сравнению с микроскопическими неоднородностями среды и поля. С другой
стороны, такой элемент должен быть чрезвычайно малым по сравнению с макро-
скопическими неоднородностями среды и поля, т. е. средние значения физиче-
ских величин в любом из этих элементов должны бесконечно мало отличаться
от средних значений этих величин в соседних с ним элементах.
Из уравнений (1.1) и (1.2) при определенных дополнительных предположениях
следуют два других уравнения Мвксвелла.
1.1. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
9
Поскольку дивергенция ротора равна нулю [3], то из (1.1) получаем
div^4divB=°- (1-з)
т. е. в каждой точке пространства divB не зависит от времени. Если сделать пред-
положение, что в отсутствии токов и магнетиков магнитная индукция равна нулю,
то из (1.3) следует
divB = 0. (1.4)
Уравнение (1.4) является дополнительным уравнением Максвелла. Оно пока-
зывает, что в векторном поле магнитной индукции нет точек, где начинаются и за-
канчиваются векторные (или силовые) линии, т. е. линии, касательные к которым
совпадают с направлением вектора в точке касания [3]. Поэтому векторные ли-
нии такого поля либо замкнуты, либо уходят в бесконечность. Из этого можно
сделать вывод, что векторное поле В не имеет ни источников, ни стоков, что эк-
вивалентно отсутствию магнитных зарядов [4].
Основное уравнение (1.1) показывает, что при изменении магнитной индукции
возбуждается вихревое электрическое поле Е. Знак минус обозначает, что вектор
вихревого электрического поля образуют с направлением производной dB/dt ле-
вовинтовую систему (рис. 1 ,а).
Если взять дивергенцию от обеих частей уравнения (1.2) и изменить порядок
дифференцирования, то получаем
divJ+^-divD=O. (1.5)
ct '
После введения обозначения
divD=p3, (1.6)
можно записать (1.5)
divj=-^-. (1.7)
Величина рэ (Кл/м3) представляет объемную плотность электрического заряда
и равна отношению количества электричества, находящегося в элементе объема,
к объему этого элемента. Уравнение (1.7) является уравнением непрерывности,
выражающим закон сохранения количества электричества.
Если распределение зарядов не зависит от времени, то
dp3/dt=O и divJ=O. (1.8)
Следовательно, в стационарном случае линии электрического тока всегда
замкнуты или уходят в бесконечность.
Рис. 1. Левовинтовая система для вихревого электрического поля и направления dB/dt (а)
и правовинтовая система вихревого магнитного поля и направления электрическо-
го тока смещения dD/dt (б).
10
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Уравнение'(1.6) представляет еще одно дополнительное уравнение Максвел-
ла. Из него следует, что силовые линии векторного поля D начинаются в точках
пространства, где дивергенция больше нуля (положительный электрический за-
ряд), и заканчиваются в точках, где дивергенция меньше нуля (отрицательный
электрический заряд). В отсутствии электрических зарядов рэ = 0 и
divD = 0, (1.9)
т. е. векторные линии электрической индукции замкнуты или уходят в бесконеч-
ность.
Из уравнения (1.2) следует, что вихревое магнитное поле образуется не только
за счет тока проводимости J, обусловленного движением электрических зарядов,
но и вследствие изменения во времени электрической индукции D. По аналогии
с плотностью токов проводимости величину
8D
^см=~дГ (1-Ю)
называют плотностью токов смещения [2, 5].
Таким образом, вместо (1.2) можно записать
rotH = J+JCM (1.11)
Взяв дивергенцию от обеих частей уравнения (1.11), получаем
div(j+JCM)=0, (112)
т. е. линии полного тока всегда замкнуты или уходят в бесконечность. Там, где об-
рываются линии тока проводимости, к ним должны примыкать продолжающие их
линии тока смещения.
Предположим, что ток проводимости равен нулю J = 0, т. е. полный ток являет-
ся током смещения. Тогда вместо (1.2) получаем
rotH=^. (1.13)
at
Уравнение (1.13) аналогично первому уравнению Максвелла (1.1), однако пра-
вые части уравнений (1.1) и (1.13) имеют разные знаки. Это означает, что вихре-
вое магнитное поле Н, возбуждаемое токами смещения, составляет с направле-
нием электрического тока смещения dD/dt правовинтовую систему (рис. 1,6).
Токи проводимости и смещения похожи в том, что они одинаковым образом
возбуждают магнитное поле. С другой стороны, токи проводимости связаны с дви-
жением электрических зарядов в проводящих средах, а токи смещения могут воз-
никать в диэлектриках и даже в вакууме, где нет никаких зарядов.
Напряженность электрического поля Е и магнитная индукция В являются ос-
новными макроскопическими величинами характеризующими электромагнитное
поле. Это силовые величины [6], т. е. их определяют через силу F, действующую
на электрический заряде
F = eB, (1.14)
F = e[vB], (1.15)
где F — вектор силы, Н; е — количество электричества, Кл; v — вектор скорости
движения заряда, м/с.
1.2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ВЕЩЕСТВА
11
Из (1.14) следует, что напряженность электрического поля Е равна силе дей-
ствующей на неподвижный единичный электрический заряд.
Переходя в (1.15) от одиночных движущихся зарядов к электрическому току,
получим
F = i[AZB]=AV[JB], (1.16)
где AZ — физически бесконечно малый элемент длины линейного проводника,
по которому протекает ток i; А1/ — физически бесконечно малый элемент объема
с плотностью тока J.
В соответствии с (1.16) магнитную индукцию определяют как силу, действу-
ющую на физически бесконечно малый элемент длины линейного проводника,
по которому протекает единичный ток и который ориентирован перпендикулярно
направлению В.
К уравнениям Максвелла необходимо добавить соотношения, связывающие
между собой основные величины электромагнитного поля через материальные
параметры е, ц и 1 [6]
О=се0В, (1.17)
В=Щ10Н (1.18)
(1.19)
В материальные уравнения (1.17)—(1.19) введены постоянные е0 и -
электрическая и магнитная постоянные соответственно, которые равны ц0 =
= 4л • 10'7 Гн/м и е0 = 8,854 • 10-12 Ф/м. При этом
БоМо=4-. (1.20)
и
где с — скорость распространения электромагнитной волны, которая в вакууме
совпадает со скоростью света, равной примерно 3 • 108 м/с. Параметры относи-
тельной диэлектрической проницаемости е, относительной магнитной проница-
емости ц и удельной электрической проводимости X, А/В-м характеризуют свой-
ства среды и считаются величинами не зависящими от времени. Величину обрат-
ную удельной электрической проводимости
Р = 7 (1.21)
называют удельным электрическим сопротивлением р, Ом-м.
1.2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ВЕЩЕСТВА
Если в пространстве имеются атомы или молекулы, то необходимо учитывать
электрическое и магнитное поле создаваемое этими частицами. Это микроскопи-
ческое поле зависит от степени упорядоченности электрических и магнитных мо-
ментов атомов и молекул [7]. Характеристикой упорядоченности электрических
моментов атомов служит вектор поляризации Р, Кл/м2, равный отношению элект-
рического момента физически бесконечно малого объема, т. е. суммы электри-
ческих моментов диполей всех атомов и молекул в данном объеме, к этому объе-
му Д1/
£Рэ
Д1/ ’
(1.22)
12
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
При этом электрический момент диполя рэ, Кл-м, равен произведению заряда
диполя е на его плечо I
Рэ=е1, (1.23)
где вектор I направлен от отрицательного заряда диполя к положительному заряду.
Аналогично вводится характеристика упорядоченности магнитных моментов —
намагниченность М, А/м
м=^. (1.24)
Величина рм, А-м2, представляет магнитный момент атома или молекулы, со-
здаваемый микроскопическими молекулярными токами
(1.25)
где i - ток, A; S — вектор площади поверхности, направленный нормально повер-
хности контура тока, образующий с направлением тока i правовинтовую систему
и численно равный площади поверхности, м2.
Для учета электрического и магнитного поля, создаваемого частицами среды,
вводят дополнительные макроскопические величины [1, 8]. К ним относятся век-
тор электрической индукции D
D=e0E+P (1.26)
и вектор напряженности магнитного поля Н
(1-27)
Из последнего определения следует
В=ц0(Н+М). (1.28)
После подстановки (1.28) в дополнительное уравнение Максвелла (1.4) получаем
div В=divp0 (Я+ М) = 0. (1.29)
Если по аналогии с объемной плотностью электрических зарядов рэ (1.6) величину
PM = -HodivM (1-30)
назвать объемной плотностью магнитных зарядов рм, Вб/м3, то (1.29) можно за-
писать в виде
div«=^. (1.31)
Таким образом, напряженность магнитного поля определяется объемной плотно-
стью магнитных зарядов.
Из уравнений (1.17) и (1.26) выразим электрическую поляризацию Р через на-
пряженность электрического поля
Р=(е-1)е0£=ке0£, (1.32)
где к обозначает диэлектрическую восприимчивость среды
К = Е—1.
(1.33)
1.3. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
13
Аналогичным образом из (1.18) и (1.27) находим намагниченность М
М=(М-1)И=ХН (1.34)
где % представляет магнитную восприимчивость среды
Х=М-1- (135)
В соответствии с численными значениями материальных параметров е, ц и X
вещества можно разделить на несколько наиболее распространненых классов
[9, 10]. В эти классы входят проводники, диэлектрики, полупроводники, диамаг-
нетики, парамагнетки и ферромагнетики.
Проводники — это вещества, основным электрическим свойством которых яв-
ляется электропроводность. Типичные проводники имеют удельную электричес-
кую проводимость X > 106 (Ом-м)1.
Диэлектрики — это вещества, основным электрическим свойством которых
является способность поляризовываться в электрическом поле. Удельная элект-
рическая проводимость диэлектриков составляет (1016... 10 6) (Ом-м)-1. Обычно
к диэлектрикам относят все плохо проводящие электрический ток вещества в от-
личие от проводников и полупроводников.
Полупроводники — это вещества, основным свойством которых является
сильная зависимость их электропроводности от внешних факторов, таких как
температура, электрическое поле, свет и т. д. По численному значению удельной
электрической проводимости полупроводники занимают промежуточное положе-
ние между металлами и хорошими диэлектриками.
Диамагнетики — это вещества, атомы, ионы или молекулы которых не имеют
результирующего магнитного момента при отсутствии внешнего магнитного
поля. Во внешнем постоянном магнитном поле магнитная восприимчивость х та-
кого вещества отрицательна.
Парамагнетики — это вещества, атомы, ионы или молекулы которых имеют
результирующий магнитный момент при отсутствии внешнего магнитного поля.
Во внешнем постоянном магнитном поле магнитная восприимчивость х такого
вещества положительна, но много меньше единицы.
Ферромагнетики — это вещества, атомы или ионы которых находятся в состо-
янии самопроизвольного магнитного упорядочения, причем результирующие
магнитные моменты каждого из доменов отличны от нуля. Магнитная восприим-
чивость х ферромагнетиков может достигать значений 105...106.
1.3. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Умножим скалярно уравнение (1.1) на вектор -Я, а уравнение (1.2) на вектор Е
и после сложения получаем
H-£+E-£+EJ=EroXH-HroXE. (1.36)
ot ot
Воспользовавшись соотношением для произвольных векторов А и С [3]
Crot A- A rot С = div[AC], (1.37)
можно преобразовать (1.36) к виду
H^+£^+H/=div[EH], (1.38)
14
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Уравнение (1.38) выражает закон сохранения энергии [6]. Вектор [ЕН] имеет
размерность энергии на единицу площади в единицу времени, Дж/м2-с, и харак-
теризует поток энергии через поверхность, которая ограничивает данный объем.
Этот поток электромагнитной энергии распространяется со скоростью света.
Два первых члена в уравнении (1.38) являются частными производными
по времени от плотности магнитной энергии И/м, Дж/м3 [6]
(1.39)
и плотности электрической энергии И/э, Дж/м3
И/Э=±ЕО. (1.40)
Величина q, Вт/м3
q = EJ (1.41)
представляет работу в единице объема за единицу времени, совершенную элект-
рическим полем, которое поддерживает электрический ток проводимости, над
протекающими электрическими зарядами. Эта работа в проводнике переходит
в теплоту. После подстановки (1.19) и (1.21) получаем закон Джоуля-Ленца для
количества теплоты в единице объема за единицу времени
q=pJ2.
(1-42)
1.4. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
На границе раздела двух сред для векторов Е, В, Dt Н \л J должны выполняться
граничные условия. Эти условия можно найти из уравнений Максвелла [2, 11].
В частности из уравнений (1.4), (1.6) и (1.7) следуют граничные условия для нор-
мальных составляющих к поверхности раздела Вп, Оп и Jn:
B2n-Bm=0- (1-43)
D2n-Dln=O3- (1-44)
I I - 5стэ
^2п (1-45)
где оэ “ поверхностная плотность электрического заряда (или плотность электри-
ческого заряда на поверхности раздела), Кл/м2, индекс л указывает на нормаль-
ную составляющую электромагнитных параметров (л — единичный вектор нор-
мальный поверхности раздела), а индексы 1 и 2 соответствуют параметрам со-
седних сред.
После подстановки магнитной индукции из (1.28) условие (1.43) можно преоб-
разовать к виду Но(^2П ”^1П )”~Цо(^2П Мт). (1.46)
Обозначение СТМ = “Но (М2п ~ ^1П ) = Но (^Щ “ ^2п ) (1.47)
позволяет записать Н2П-Н1П=^ (1.48)
1.5. ФЕРРОМАГНИТНЫЕ ВЕЩЕСТВА
15
По аналогии с поверхностной плотностью электрических зарядов оэ С1-44) вели-
чину пм называют поверхностной плотностью магнитных зарядов с единицей из-
мерения Вб/м2. Таким образом, разрыв нормальной составляющей магнитного
поля на границе раздела равен плотности магнитных зарядов на границе разде-
ла, деленной на магнитную постоянную.
Из уравнений (1.1) и (1.2) следуют граничные условия для тангенциальных со-
ставляющих к поверхности раздела Ht и Et:
(149)
H2t-Elt=0, (1.50)
где iN — линейная плотность тока (или плотность поверхностного тока на границе
раздела), А/м.
Плотность поверхностного тока равна количеству электричества протекающе-
го в единицу времени через единицу длины отрезка, расположенного на поверх-
ности, по которой течет ток, и перпендикулярного направлению тока. Индекс N
указывает на нормальную составляющую поверхностного электрического тока i,
N — единичный вектор касательный к поверхности раздела и перпендикулярный к
касательному (тангенциальному) вектору t.
Система уравнений Максвелла (1.1), (1.2), (1.4) и (1.6) с материальными урав-
нениями (1.17)-(1.19) однозначно определяет электромагнитное поле с началь-
ными условиями в момент времени t = 0 и граничными условиями (1.43)-(1.45)
и (1.49Н1.50) [2, 6].
1.5. ФЕРРОМАГНИТНЫЕ ВЕЩЕСТВА
Об однозначности решения уравнений Максвелла нельзя говорить, если
в электромагнитном поле находятся ферромагнитные тела. Перечислим особые
свойства ферромагнетиков, которые ограничивают применение уравнений Мак-
свелла.
1. Ферромагнетики обладают самопроизвольной или спонтанной намагничен-
ностью, которая не зависит от внешнего магнитного поля и численно равна на-
магниченности насыщения [12, 13]. Спонтанная намагниченность существенно
зависит от температуры и выше некоторой температуры (точка Кюри) ферро-
магнетик теряет свои характерные магнитные свойства. Из этого фактически сле-
дует, что ферромагнитное тело разбивается на макроскопические объемы, спон-
танно намагниченные до насыщения. Области спонтанной намагниченности на-
зываются доменами. Домены могут достигать размеров (10 3...10 2) м [14, 15].
Намагничивание ферромагнетиков в области слабых полей происходит преиму-
щественно за счет смещения границ между доменами, которое сопровождается
изменением ориентации магнитных моментов атомов, через которые проходит
доменная граница. В то же время внутри домена изменение намагниченности не
происходит. Таким образом, в ферромагнетиках с крупными доменами не приме-
нимо определение макроскопических (усредненных) параметров магнитного поля
Н и В. С некоторым приближением такое усреднение можно произвести в ферро-
магнетике с доменами, размер которых значительно меньше размеров тела.
2. Магнитная проницаемость ферромагнетиков зависит от напряженности
магнитного поля. Такая зависимость обусловлена магнитной анизотропией
ферромагнетика и разным характером процессов на отдельных участках кривой
намагничивания — смещение доменных границ и вращение намагниченности.
16
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
С другой стороны, на практике имеется достаточно много ферромагнитных тел,
в которых с определенным приближением кривую намагничивания можно считать
линейной в некотором интервале изменения напряженности магнитного поля [16].
3. Необратимость изменения намагниченности ферромагнитного тела обус-
ловлена наличием метастабильных состояний в процессе перемагничивания [8].
С необратимостью связан магнитный гистерезис, т. е. неоднозначная зависи-
мость магнитной индукции В от напряженности магнитного поля Н. В некоторых
расчетах имеется возможность пренебрегать этой неоднозначностью, а магнит-
ные потери, связанные с гистерезисом, учитывать в виде нагрева ферромагнит-
ного тела.
4. Изменение напряженности магнитного поля Н происходит со скоростью
близкой к скорости света. В то же время отклик магнитной индукции В на такое
изменение Н в веществе происходит с запаздыванием [17]. Это явление называ-
ют магнитным последействием, и оно связано с тем, что атомы вещества не мо-
гут мгновенно реагировать на новую ситуацию обусловленную изменением маг-
нитного поля. Следствием магнитного последействия является, в частности, за-
висимость магнитной проницаемости от частоты.
Перечисленные ограничения, казалось бы, делают невозможным использова-
ние уравнений Максвелла для расчета электромагнитных полей в присутствии
ферромагнетиков. Однако это ограничение в ряде случаев удается снять за счет
использования различных приближений вполне приемлемых при решении кон-
кретных задач.
Глава 2
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ И МАГНИТНАЯ ЦЕПИ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
2.1. ЗАКОН ОМА ДЛЯ УЧАСТКА
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
Математическое описание электромагнитных полей в веществе и окружа-
ющем их пространстве, хотя и дает полную картину происходящих процессов, од-
нако является очень сложным. В большинстве случаев электрический ток проте-
кает вдоль определенных путей в проводниках с высокой проводимостью окру-
женных хорошей изолирующей средой. При этом различие в проводимости
проводника и изолятора может составлять 1020 раз. Это позволяет описывать
электромагнитные процессы в электротехнических устройствах при использова-
нии только некоторых интегральных характеристик. Совокупность устройств
и объектов, образующих пути для электрического тока, электромагнитные про-
цессы в которых могут быть описаны с помощью понятий об электродвижущей
силе, электрическом напряжении и электрическом токе, называют электрической
цепью [18].
При постоянном электрическом токе распределение электрических зарядов
в пространстве должно быть стационарным, т. е. неизменным во времени. Если бы
имело место какое-либо перераспределение зарядов, это привело бы к измене-
нию напряженности электрического поля, и ток перестал бы быть постоянным.
То обстоятельство, что в данной точке пространства один заряд сменяется дру-
гим, благодаря наличию постоянного тока, не сказывается на напряженности
электрического поля, поскольку плотность зарядов в каждой точке пространства
остается неизменной.
Используем уравнение (1.19) в виде
E=pJ (2.1)
для участка проводника, через который протекает постоянный электрический ток
J = const (рис. 2). Проводник находится в непроводящей средр, поэтому в ней
J = 0 и, следовательно, нормальная к поверхности проводника составляющая
плотности тока Jn тоже равна нулю. Таким образом, вектор плотности электриче-
ского тока J направлен вдоль оси проводника. Из (2.1) следует, что вектор напря-
женности электрического поля Е также направлен вдоль оси проводника. В про-
тивном случае происходило бы перетекание электрических зарядов с одной сто-
роны поверхности проводника на другую.
18
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ И МАГНИТНАЯ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Рис. 2. Участок проводника с площадью поперечного сечения S. Электрический ток I течет
в направлении от большего электрического потенциала <р, к меньшему электриче-
скому потенциалу ф2.
Предположим, что проводник имеет одинаковое поперечное сечение S и удель-
ное электрическое сопротивление р. Длина проводника между точками 1 и 2 со-
ставляет Z12. После интегрирования вдоль длины проводника правой части
уравнения (2.1) получаем
2
Jfk/d/ = (x/Z,2=/R12. (2.2)
1
При этом учтено, что плотность тока
J = g, (2.3)
где I — сила электрического тока в проводнике, А, а удельное электрическое со-
противление
где Я12 — электрическое сопротивление проводника, Ом, на участке интегрирова-
ния между точками 1 и 2.
После интегрирования левой части уравнения (2.1) получаем
ffdZ=EZ12. (2.5)
1
Линейный интеграл напряженности электрического поля вдоль определенного
пути между двумя точками проводника 1 и 2 называют электрическим напряжени-
ем L/12, В
2
Ц2=р?сЯ. (2.6)
1
Из (2.5) и (2.6) следует, что
т. е. напряженность электрического поля равна падению напряжения на единицу
длины линии напряженности электрического поля.
Для постоянного тока dB/dt = 0, поэтому из (1.1) следует
rot£=0, (2.8)
т. е. электрическое поле постоянного тока является потенциальным [3]. Потенци-
альное векторное поле вполне определяется одной скалярной функцией — потен-
циалом этого поля ср, В
£=-дгас!ф.
(2.9)
2.2. ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА
19
Поэтому можно записать
2 2
jEdZ=-Jgrad<pdZ=<p,-<p2, (2.10)
1 1
где ф| и (р2 - потенциал электрического поля в точках проводника 1 и 2 соответ-
ственно. Разность потенциалов между точками 1 и 2 равна напряжению L/12, В
‘Р1-‘Рг=Цг=е12- (2.11)
Направление электрического тока условно считается совпадающим с тем на-
правлением, в котором под действием электрического поля Е должны двигаться
положительные заряды. Следовательно, ток течет от точки с большим потенциа-
лом ф1 к точке с меньшим потенциалом ф2 (рис. 2).
Итак, после интегрирования (2.1) получаем закон Ома для участка проводника
между точками 1 и 2
Ц2=7Я12. (2.12)
При стационарном распределении электрического заряда справедливо урав-
нение (1.8), т. е. линии постоянного электрического тока всегда замкнуты или ухо-
дят в бесконечность. В противном случае в местах начала и окончания токов про-
исходило бы накопление электрических зарядов. По этой же причине через раз-
личные сечения проводника должен протекать ток одинаковой силы, а в каждой
точке разветвления электрической цепи, в которой соприкасаются между собой п
проводников несущих токи 4 должен выполняться первый закон Кирхгофа
(2.13)
i-1
т. е. алгебраическая сумма токов, притекающих к точке разветвления, должна
равняться нулю. При этом для всех проводников положительное направление
должно быть выбрано одинаковым образом.
2.2. ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА
Найдем общее количества теплоты О, которое выделяется в проводнике на
участке между точками 1 и 2 в единицу времени. Для этого используем закон
Джоуля-Ленца (1.42) определения плотности тока (2.3) и удельного электриче-
ского сопротивления (2.4)
O=qSZ12 =72Я12. (2.14)
Таким образом, для поддержания постоянного тока в электрической цепи вся
энергия, выделившаяся в виде теплоты (2.14), должна непрерывно возмещаться
за счет других источников энергии. В участках цепи постоянного тока должны
действовать электродвижущие силы неэлектрического происхождения, поскольку
под действием одного электростатического поля происходило бы выравнивание
электрических потенциалов цепи [2]. Электродвижущую силу неэлектрического
происхождения называют сторонней электродвижущей силой, а напряженность
электрического поля сторонних сил обозначают ЕСГР.
Добавляя в уравнение (2.1) напряженность электрического поля сторонних
сил £стр, можно записать обобщенный закон Ома
£+£CTP=pJ.
(2.15)
20
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ И МАГНИТНАЯ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
После интегрирования (2.15) на участке проводника между точками 1 и 2 получа-
ем закон Ома для участка цепи при наличии электродвижущей силы
^12+^12 = ^12. (2.16)
где <*12 — электродвижущая сила, измеряемая как и напряжение в вольтах, прило-
жена между точками 1 и 2,
2
<f)2=f£CTPdt (217)
1
Умножая (2.16) на ток Z, находим
ZU12 + 7<г12=72Я12. (2.18)
Правая часть равенства (2.18) представляет теплоту, выделяемую на участке
проводника в единицу времени при прохождении в нем тока I. Левая часть пред-
ставляет работу электрического поля IUX2 и работу сторонних сил 13Х2 в единицу
времени. Следовательно, теплота, выделяемая в объеме проводника, равна сум-
ме работ сил электрического поля и сторонних сил в этом объеме.
2.3. ЗАМКНУТАЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ
Интегрирование (2.15) по длине замкнутого контура дает
$Edl+$ECTPdl = IR, (2.19)
где R — полное сопротивление замкнутого проводника, Ом. Поскольку электри-
ческое поле Е обладает потенциалом, то первый интеграл по замкнутому контуру
равен нулю, а второй интеграл равен полной электродвижущей силе в замкнутой
цепи А Таким образом, электродвижущая сила равна линейному интегралу по
замкнутому контуру от суммарной напряженности электрического поля
=fECTPc« = f(ECTP + £)dZ, (2.20)
а закон Ома для замкнутой цепи принимает вид
f=IR. (2.21)
Из (2.21) следует, что при отсутствии электродвижущей силы в замкнутой цепи
сила электрического тока равна нулю.
Применим закон Ома (2.18) к каждому участку i-того замкнутого контура
электрической цепи с произвольным числом разветвлений. После суммирования
по числу участков, составляющих общее число к в i-том контуре, получаем
X^ik = XAk^ik- (2.22)
Следовательно, в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая
сумма произведений тока на сопротивление равна сумме электродвижущих сил
приложенных к этому контуру. Это положение составляет второй закон Кирхгофа.
Умножая (.2.21) на величину тока 7, получаем
I6=I2R, (2.23)
т. е. общее количество теплоты, выделившейся в замкнутой электрической цепи,
равно работе сторонней электродвижущей силы.
2.3. ЗАМКНУТАЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ
21
Представим замкнутую электрическую цепь, в которой все сторонние электро-
движущие силы сосредоточены в одном из участков цепи а (рис. 3). В этом месте
расположен источник электрической энергии. В таком случае работа сторонних
сил будет совершаться только на участке а, тогда как выделение теплоты будет
происходить во всей цепи. Таким образом, с энергетической точки зрения роль
электрического тока сводится к переносу отдаваемой сторонними силами энер-
гии в отдаленные участки цепи [2].
В замкнутой электрической цепи положительные заряды двигаются от точек
с более высоким потенциалом ср1 к точкам с более низким потенциалом <р2. Но
внутри источника электрической энергии заряды должны перемещаться от точки
с низшим потенциалом к точке с высшим потенциалом. Перемещение положи-
тельных зарядов к точкам высшего потенциала совершается за счет преобразо-
вания какой-либо формы энергии в электрическую энергию. Так, например, в ре-
зультате химического процесса перемещаются ионы внутри источника энергии,
поддерживая существующую разность потенциалов между точками 1 и 2 (рис. 3).
Рис. 3. Схематическое изображение замкнутой электрической цепи с действующей на
участке а между точками 1 и 2 сторонней электродвижущей силой <f. Направление
движения положительных зарядов показано стрелками:
а — внутренний участок цепи сторонней электродвижущей силы;
b — внешний участок цепи.
Для участка цепи а между точками 1 и 2 можно записать
/Да =фг -ф,+£, (2.24)
где Ra — электрическое сопротивление участка цепи а в источнике электрической
энергии. С другой стороны для всей замкнутой цепи
IR = l(Ra+Rb)=£, (2.25)
где Rb — электрическое сопротивление внешней цепи. Из (2.24) найдем разность
потенциалов между точками 1 и 2, и после подстановки в него тока из (2.25) по-
лучаем
лр
(pi -ф2 -S-IRa = IRb — р • (2.26)
Таким образом, разность потенциалов на концах участка цепи меньше электро-
движущей силы 6. Равенство будет иметь место, если внутреннее сопротивление
источника энергии Ra намного меньше сопротивления внешней цепи Rb. Равен-
ство между разностью потенциалов ср, - ср2 и электродвижущей силой 6 также бу-
дет соблюдаться в разомкнутой цепи, когда Rb -> оо.
22
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ И МАГНИТНАЯ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
2.4. ЗАКОН ПОЛНОГО ТОКА
Точно также как для электрического тока, для замыкания линий магнитной
индукции создаются определенные пути. Это достигается за счет расположения
на этом пути ферромагнитных тел с высокой магнитной проницаемостью. При
этом различие в магнитной проницаемости ферромагнитного тела и окружающей
среды, например, воздуха, составляет 103...105 раз, что значительно ниже разли-
чия электропроводности проводника и изолятора. В данном случае также с опре-
деленной степенью точности можно пользоваться понятием магнитной цепи, ко-
торая представляет совокупность устройств, содержащих ферромагнитные тела,
электромагнитные процессы в которых могут быть описаны с помощью понятий о
магнитодвижущей силе и магнитном потоке.
Из уравнения (1.2) следует, что электрический ток J создает вихревое маг-
нитное поле Н. Найдем циркуляцию вектора напряженности магнитного поля Н
по произвольной замкнутой линии L (рис. 4). На основании теоремы Стокса [3]
циркуляция вектора Н по замкнутой линии L равна потоку вихревого вектора rotH
через произвольную поверхность S, лежащую в векторном поле и имеющую сво-
ей границей линию L. Используя уравнение (1.2) для токов проводимости, можно
записать
fHdZ = JJrotHds=J/Jds. (2.27)
L S S
где ds — вектор, направленный, нормально к поверхности в каждой точке и чис-
ленно равный элементарной площади ds поверхности S. Поскольку поверхност-
ный интеграл берется по произвольной поверхности S, опирающейся на контур L,
то всегда можно выбрать такую поверхнЬсть, для которой вектор J параллелен
вектору ds. Поэтому последний интеграл в (2.27) равен алгебраической сумме
сил токов, пронизывающих контур L, и
(2.28)
L *
/2>0
Рис. 4. Схематическое изображение циркуляции вектора напряженности магнитного поля Н
по замкнутому контуру L. Стрелками на контуре показано направление обхода
контура L, соответствующего направлению вектора приращения длины dl.
п — единичный вектор нормальный поверхности S и проходящий через контур L,
положительное направление которого соответствует правовинтовой системе при
заданном направлении обхода контура.
I, и 12 — сила тока в проводниках, пронизывающих контур L.
2.5. МАГНИТНЫЙ ПОТОК
23
Таким образом, циркуляция вектора напряженности магнитного поля Н по замк-
нутому контуру равна алгебраической сумме сил токов, охватываемых этим кон-
туром. При этом знак силы тока считается положительным, если направление
вектора плотности тока J совпадает с направлением вектора нормали п к поверх-
ности S, т. е. направление обхода контура и направление положительного тока со-
ставляют правовинтовую систему (рис. 4). Уравнение (2.28) представляет закон
полного тока.
Контур линейного интегрирования обычно выбирают таким образом, чтобы на-
правление дифференциала вектора длины контура dl, соответствующее положи-
тельному направлению движения вдоль линии, совпадало с направлением векто-
ра напряженности магнитного поля Н. В этом случае линейный интеграл (2.28)
представляет сумму произведений скалярных величин напряженности магнитно-
го поля Нк и длин отдельных участков контура Zk:
(2.29)
По аналогии с электрической цепью (2.21) правую часть уравнения (2.29) называ-
ют магнитодвижущей силой F, А
(2.30)
а левая часть представляет сумму падений магнитного напряжения.
Если контур интегрирования охватывает несколько витков обмотки, через ко-
торую протекает ток Z, то закон полного тока можно записать в виде
2У/к/к = ^. (2 31)
к ' '
где iv — число витков обмотки.
Для однородного магнитного поля вдоль всего контура напряженность магнит-
ного поля равна магнитодвижущей силе, приходящейся на единицу длины конту-
ра в направлении линии напряженности магнитного поля
Н = у. (2.32)
2.5. МАГНИТНЫЙ ПОТОК
Введем понятие потока вектора магнитной индукции через поверхность S,
который для краткости называют магнитным потоком Ф, с единицей измерения
вебер,
Ф=ДВсГв. (2.33)
S
Для поверхности S нормальной вектору В можно записать
т. е. магнитная индукция В является плотностью магнитного потока, Вб/м2.
Найдем магнитный поток через замкнутую поверхность. Для этого воспользу-
емся теоремой Гаусса-Остроградского [3], из которой следует, что поток вектора
В через замкнутую поверхность S равен интегралу от divfl, взятому по объему V,
ограниченному этой поверхностью. Используя уравнение (1.4), можно записать
#Bde=fJfdivBdv=O. (2.35)
S V
24
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ И МАГНИТНАЯ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
Следовательно, магнитный поток через любую замкнутую поверхность равен
нулю. Это означает, что линии магнитной индукции непрерывны, т. е. они не име-
ют ни начала, ни конца. Уравнение (2.35) представляет принцип непрерывности
магнитного потока.
Магнитная цепь, в которой можно пренебречь магнитным рассеянием, назы-
вается магнитной цепью с сосредоточенными параметрами [19]. Из принципа не-
прерывности магнитного потока следует, что в неразветвленной магнитной цепи
магнитный поток на всех его участках одинаков. В разветвленной магнитной цепи
алгебраическая сумма магнитных потоков в узле магнитной цепи равна нулю:
£Ф'=0- (2.36)
Это соотношение аналогично первому закону Кирхгофа для электрической цепи (2.13).
Для магнитной цепи, в которой отсутствует магнитное рассеяние, основной
магнитный поток постоянен Ф = const и закон полного тока имеет вид
tHdI=Of^S=F- (2.37)
Из уравнения (2.37) найдем магнитный поток Ф
Ям (2.38)
fHHoS
Уравнение (2.38) аналогично закону Ома для электрической цепи. При этом роль
силы электрического тока выполняет магнитный поток Ф, место электродвижу-
щей силы занимает магнитодвижущая сила F, а вместо электрического сопротив-
ления используют магнитное сопротивление RM, А/Вб = Гн-1,
р I dl
Ям=!^‘ (239)
Если магнитная цепь разбита на участки с относительной магнитной проница-
емостью и площадью поперечного сечения S,, то вместо (2.38) можно записать
Ф=-^—,
I—Ц- (2.40)
THiHqS.
где Iw — магнитодвижущая сила обмотки с числом витков w. Уравнение (2.40)
впервые введено в практику братьями Гопкинсон [20].
Для замкнутого контура магнитной цепи можно вывести уравнение аналогич-
ное второму закону Кирхгофа (2.22)
S^ik^ik = 2L^ik^Mlk> (2.41)
к К
т. е. алгебраическая сумма произведений магнитного сопротивления на магнит-
ный поток на всех участках i-того замкнутого контура магнитной цепи равна маг-
нитодвижущей силе вдоль этого контура.
Таким образом, расчет магнитных цепей, в которых можно пренебречь рассея-
нием, аналогичен расчету электрических цепей с сосредоточенными параметра-
ми. Приведенная аналогия магнитных и электрических цепей является формаль-
ной. По своему физическому содержанию эти цепи заметно различаются. Так,
существование электродвижущей силы возможно без возникновения под ее дей-
ствием электрического тока в электрической цепи, например, если цепь разомк-
нута. Напротив, существование магнитодвижущей силы всегда связано с элект-
рическим током.
Глава 3
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
3.1. ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА ИНДУКЦИИ
В соответствии с уравнением (1.1) изменение магнитной индукции возбуждает
вихревое электрическое поле Е. Найдем циркуляцию вектора напряженности
электрического поля по произвольному замкнутому контуру, используя уравне-
ние (1.1) и теорему Стокса,
jEdl=nrotEde=-AjjBds=-^. (3.!}
Первый интеграл по замкнутому контуру в отсутствии электрического поля сто-
ронних сил представляет электродвижущую силу индукции еинд, поэтому
дФ
еИНД=-7Г (3.2)
Таким образом, возбуждаемая (индуцируемая) в произвольном замкнутом конту-
ре электродвижущая сила индукции равна изменению потока магнитной индук-
ции, пронизывающего этот контур. Знак минус перед дФ/dt в уравнении (3.2) оз-
начает, что направление еинд и, следовательно, направление мгновенного индук-
ционного тока iИНА, составляет с направлением возрастания магнитного потока
левовинтовую систему (рис. 5).
Рис. 5. Схема, изображающая возникновение индукционного тока iинд в контуре L при из-
менении магнитного потока дФ/dt.
Нн — магнитное поле, возбуждаемое индукционным током i
Фи — магнитный поток, создаваемый магнитным полем Ни.
26
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
Магнитный поток является скалярной величиной, так что говорить о его на-
правлении нельзя. Условно считается, что магнитный поток направлен по положи-
тельной нормали к плоскости индукционного тока, если ток имеет положительную
величину [2].
Индукционный ток iинд, в свою очередь, возбуждает в окружающем простран-
стве магнитное поле Ни, направление которого составляет с направлением тока
правовинтовую систему (см. уравнение (1.2) и рис. 5). Отсюда следует, что маг-
нитный поток Фи вектора магнитной индукции Ви = через контур тока на-
правлен в сторону, противоположную возрастанию потока Ф, индуцирующего
ток iинд. Таким образом, при всяком изменении потока магнитной индукции через
замкнутый проводящий контур в нем индуцируются токи в таком направлении,
что магнитное поле этих токов стремится компенсировать изменение потока маг-
нитной индукции через контур проводника, т. е. стремится удержать постоянным
значение потока Ф.
В переменном электромагнитном поле dB/dt * 0 и, следовательно, rotE *0(1.1),
поэтому электрическое поле переменного тока не является потенциальным. При
этом электрическое напряжение между двумя произвольными точками электри-
ческой цепи зависит от выбранного пути интегрирования [2, 181. Действительно,
в переменном магнитном ноле для замкнутого контура, пройденного по пути
1т2л1, где тип обозначают различные пути между точками 1 и 2, имеем
$Edl=$Edl+$Edl=-^, (3.з)
1ш2л1 1т2 2л1
где Ф — магнитный поток через поверхность, ограниченную этим контуром; Е —
результирующая напряженность стационарного, стороннего и индуцированного
электрического поля.
Из (3.3) после изменения направления движения во втором интеграле получаем
$Edl = $Edl~-. (3.4)
1m2 1л2
Первый интеграл в (3.4) представляет электрическое напряжение между точками
1 и 2 по пути интегрирования 1т2:
Ui2= $Edl. (3 _5)
1m2
Таким образом, из (3.4) следует, что электрическое напряжение и12 между точка-
ми 1 и 2 при различном пути интегрирования отличается на величину изменения
магнитного потока.
Если выбрать контур интегрирования и поверхность, ограниченную этим кон-
туром в месте, где переменное магнитное поле слабо изменяется дФ/dt « 0, то
приближенно можно считать, что напряжение между двумя точками цепи пере-
менного тока является однозначной величиной. Неоднозначность может прояв-
ляться при высокой частоте [2].
С учетом индукционного электрического поля закон Ома для переменных то-
ков в дифференциальной форме можно записать в виде
Е+Естр+Еинд=рЛ. (3.6)
После интегрирования на участке цепи между точками 1 и 2 получаем
и12+е+еинд =ir12, (3.7)
где еиеинд- мгновенные значения электродвижущей силы сторонних сил и ин-
дукции; i — мгновенное значение силы тока; г12 — сопротивление переменному
3.1. ЭЛЕКТРОДВИЖУЩАЯ СИЛА ИНДУКЦИИ
27
току на участке цепи между точками 1 и 2, причем напряжение t/12 в общем случае
зависит от выбранного пути между точками 1 и 2.
Для замкнутой электрической цепи
е+еинд=1Г, (3.8)
или, учитывая (3.2),
дФ .
е“аГ=1Г« (3.9)
где е — электродвижущая сила сторонних сил; дФ/dt — электродвижущая сила
индукции; i и г — мгновенное значение силы тока и электрическое сопротивление
замкнутой цепи.
Уравнение (3.9) применимо к переменным токам в случае, если токи являются
квазистационарными, т. е. ведут себя по ряду показателей как токи стационар-
ные [2]. Переменные токи являются квазистационарными, если с достаточной
точностью можно считать, что магнитное поле этих токов и другие электромаг-
нитные параметры имеют в каждый момент времени значения, совпадающие со
значениями этих параметров постоянного тока той же силы. Квазистационарные
токи должны быть замкнутыми и обладать одинаковой силой во всех сечениях не-
разветвленных участков электрической цепи. Кроме того, изменение переменных
токов должно быть достаточно медленным, чтобы электромагнитные характери-
стики практически не изменялись за время распространения электромагнитной
волны в электрической цепи. Для электрических цепей квазистационарных токов
справедливы законы Кирхгофа (2.13) и (2.22).
В уравнение (3.9) входит магнитный поток Ф сквозь поверхность S, ограничен-
ную контуром L. Величина Ф определяется соотношением (2.33). Это определе-
ние справедливо для любой поверхности. На рис. 6 заштрихована поверхность,
натянутая на контур, образованный катушкой из трех витков [18]. Отдельные ли-
нии магнитной индукции пронизывают эту поверхность один или несколько раз.
В таких сложных случаях целесообразно ввести понятие потокосцепления ¥, ве-
личина которого складывается из магнитных потоков, пронизывающих отдельные
витки катушки. Так как витки катушки соединены между собой последовательно,
то электродвижущая сила индукции всей катушки будет равна сумме электродви-
жущих сил, индуцируемых в отдельных витках [21]. Таким образом, электродви-
жущую силу индукции для сложных контуров можно представить в виде
еИНД=~^-> (З.Ю)
где ¥ — потокосцепление, Вб.
Рис. 6. Контур, образованный обмоткой из трех витков провода, через который протекает
ток 7. Заштрихована поверхность S, натянутая на винтовой контур. Стрелками пока-
зано направление линий магнитной индукции. Отдельные линии пронизывают по-
верхность несколько раз [18].
28
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
В общем случае магнитные потоки, сцепляющиеся с отдельными витками ка-
тушки, различны, поэтому различны также и электродвижущие силы, индуциру-
емые в отдельных витках. Иногда приближенно можно считать, что каждый виток
катушки пронизывает одинаковый магнитный поток Ф. В таком случае потокосцеп-
ление катушки с числом витков w
Т=иФ, (3.11)
а электродвижущая сила, индуцируемая в катушке,
еич«=-и/^. (3.12)
Такой упрощенной формулой можно пользоваться, например, в случае, когда об-
мотка нанесена на ферромагнитное тело. При этом приближенно можно считать,
что весь магнитный поток проходит внутри ферромагнетика, и каждый виток об-
мотки пронизывает магнитный поток одинаковой величины Ф.
Надо отметить, что приведенные здесь формулы для потока и потокосцепле-
ния справедливы, вообще говоря, для контуров, то есть проводников бесконечно
тонкого сечения. В реальных проводниках конечного сечения при расчете пото-
косцепления необходимо проводить интегрирование по всему сечению провод-
ника [22].
3.2, САМОИНДУКЦИЯ
Если через контур протекает ток i, то собственный магнитный поток, пронизы-
вающий этот контур или потокосцепление самоиндукции можно представить
в виде
(3.13)
т. е. потокосцепление контура пропорционально силе тока, который через него
протекает. Коэффициент пропорциональности называют собственной индуктив-
ностью или просто индуктивностью контура t, Гн,
(3.14)
Индуктивность контура является чисто геометрической величиной и зависит
лишь от конфигурации контура. При определении индуктивности за положитель-
ное направление обхода контура принимают направление протекающего по нему
тока. Поскольку направление магнитных линий потока самоиндукции TL образует
правовинтовую систему с направлением тока, то индуктивность L является поло-
жительной величиной. В реальных проводниках, через которые протекает ток, при
расчете потокосцепления самоиндукции необходимо учитывать геометрическое
сечение провода. При необходимости учитывается также неоднородное распре-
деление электрического тока в проводниках, например, вследствие скин-эффек-
та или эффекта близости проводов. Поэтому значения индуктивности проводника
на постоянном и переменном токе могут не совпадать [23]. Немаловажно пом-
нить, что понятие индуктивности применимо только для квазистационарных
токов, т. е. при условии, что в любой момент времени ток считается одинаковым
во всех сечениях контура.
Найдем индуктивность катушки, изготовленной из провода, равномерно нане-
сенного на кольцевой магнитопровод (рис. 7). Предполагаем, что магнитопровод
изготовлен из материала, имеющего постоянную относительную магнитную про-
3.2. САМОИНДУКЦИЯ
29
ницаемость ц = const, и весь магнитный поток, созданный током в обмотке, со-
средоточен в магнитопроводе. Из закона полного тока (2.28) для контура внутри
магнитопровода
HZ=iw, (3.15)
где I = 0 — диаметр контура, aw- число витков катушки.
Рис. 7. Катушка, изготовленная из провода, равномерно нанесенного на кольцевой магни-
топровод.
iv — число витков катушки;
i — силе тока в обмотке.
Магнитная индукция в магнитопроводе
В=мц0Н=М^. (3.16)
Магнитный поток, пронизывающий один виток обмотки,
0=_g_fSdg=^-Sln°
D-d' ° n(D-d) d’ (3.17)
где S — площадь поперечного сечения магнитопровода, определяемая из соот-
ношения
S=<^, (3.18)
где D — наружный диаметр магнитопровода; d — внутренний диаметр магнито-
провода; h — высота магнитопровода.
Тогда индуктивность катушки, нанесенной на кольцевой магнитопровод,
. TL _ Фи/ цц0Бет2, D
i ~ i ~ n(D-d) d'
После подстановки средней длины магнитной линии магнитопровода
, Jt(D+d)
*c₽-----2----
(3.19)
(3.20)
и использования обозначения для отношения наружного и внутреннего диаметра
кольцевого магнитопровода
D
a~~d
(3.21)
получаем
HHoSw2 D+d a+1 .
ZCP 2(D-d)"d- ZCP 2(a-1),na
(3.22)
30
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
Для небольших значений (а-1) индуктивность катушки, нанесенной на кольце-
вой магнитопровод, равна
, pu0Sw2
. (3.23)
1ср
Если наружный диаметр не превышает внутренний диаметр более чем в 2 раза,
то погрешность расчета по формуле (3.23) не более 4% [16].
Потокосцепление самоиндукции TL создает в контуре электродвижущую силу
самоиндукции eL
Если индуктивность L не зависит от времени, то
di
<^=-Ldi (3.25)
и закон Ома для участка цепи между точками 1 и 2 можно записать в виде
, di
Ui2=ir12+L^-. (3.26)
Для катушек с магнитопроводом из ферромагнитного материала, имеющего
нелинейную кривую намагничивания, потокосцепление самоиндукции является
нелинейной функцией тока тока TL(i)» а электродвижущая сила самоиндукции
dTL di f di
e^-dTdt=-^dT <327)
Производную потокосцепления по току называют дифференциальной индуктив-
ностью Ld [24]
dTL
/-d=-5T- (3.28)
3.3. ВКЛЮЧЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ Lr
ПОД НАПРЯЖЕНИЕ
В цепи, содержащей индуктивность L и сопротивление г (рис. 8), электриче-
ский ток создается под действием напряжения и и электродвижущей силы само-
индукции eL[21]
. di
U=lr+Ldt- (3.29)
Определим ток i при включении этой цепи под постоянное напряжение и = U.
Преобразуем (3.29) к виду
г .. di
—dt-'y-.—,
L U-i (3.30)
г
где I = U/r — постоянный ток, который должен установиться в' цепи по окончании
переходного процесса.
3.3. ВКЛЮЧЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ LR ПОД НАПРЯЖЕНИЕ
31
Рис. 8. Изменение тока в электрической цепи, состоящей из индуктивности L и сопротив-
ления г, после включения постоянного напряжения U.
1=0/г — сила тока после окончания переходного процесса;
— постоянная времени электрической цепи.
Наклонная прямая линия представляет производную тока по времени в начальный
момент f = 0.
После интегрирования получаем
"T=,nJ^ (3 31)
•или
rt I-i
(3.32)
В начальный момент времени t = 0 сила тока в цепи i = 0, поэтому постоянная ин-
тегрирования А = 1и
i=Zl1-e l I. (3.33)
Следовательно, сила тока в цепи после включения постоянного напряжения U
возрастает не мгновенно, причем ее зависимость от времени выражается экспо-
ненциальной функцией. Коэффициент L/r определяет скорость нарастания силы
тока. Он имеет размерность времени и называется постоянной времени электри-
ческой цепи
т=|. (3.34)
Постоянная т равна времени, за которое сила тока i могла бы возрасти до конеч-
ного значения 7, если бы скорость изменения тока di/dt оставалась постоянной
и равной начальному значению при t = 0. Действительно, в начальный момент
времени i = 0 и из (3.29) получаем
поэтому
(di\ Л
lcdfe0 L'
(ал -LLL-LL
rL г
(3.35)
(3.36)
Рассмотрим энергетические причины, обуславливающие переходный процесс
при включении электрической цепи с индуктивностью под постоянное напряже-
ние. После умножения (3.29) на idt получаем
uidt = i2rdt+Lidi. (3.37)
32
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
Левая часть уравнения (3.37) представляет энергию, передаваемую источником
в цепь за время dt. В правой части первый член i2rdt составляет энергию, преоб-
разованную в теплоту за время dt, а второй член Lidi — энергию, передаваемую
магнитному полю при изменении тока на di. Таким образом, чтобы сила тока i
в цепи могла достигнуть значения 1= U/r, магнитному полю контура с током необ-
ходимо накопить энергию wM, Дж,
I
wM=fLidi. (3.38)
О
Для цепи, имеющей L = const, из (3.38) получаем
LI2 TZ
(3.39)
Накопление такой энергии магнитным полем катушки с током не может произой-
ти мгновенно, поскольку для этого потребовалась бы бесконечно большая мощ-
ность dw^dt. Переходный процесс прекратится, когда энергия магнитного поля
достигнет LI2/2, которое соответствует установившемуся значению силы тока I.
Если в момент времени t = 0 в цепи циркулирует ток I, то после отключения
напряжения сила тока в цепи в течение еще некоторого времени будет поддер-
живаться за счет энергии, запасенной в магнитном поле тока вплоть до момента,
пока вся эта энергия не перейдет в теплоту.
Уравнение (3.39) можно принять за определение индуктивности L через энер-
гию магнитного поля [2]. Из него следует, что индуктивность является мерой
энергии магнитного поля электрического тока.
3.4. МАГНИТНАЯ ЭНЕРГИЯ ИНДУКТИВНОЙ КАТУШКИ
Найдем плотность энергии магнитного поля WM (Дж/м3), созданного катушкой
с током. Катушка представляет провод, равномерно нанесенный на кольцевой
замкнутый магнитопровод, который изготовлен из магнитного материала с отно-
сительной магнитной проницаемостью ц.
Из закона полного тока (2.28) для кольцевого контура внутри магнитопровода
где I — длина контура; w — число витков обмотки.
При условии, что весь магнитный поток катушки сосредоточен в замкнутом
магнитопроводе, можно записать
(3.41)
где S — поперечное сечение магнитопровода.
Используя выражение (3.38) для энергии магнитного поля токов wM, а также
соотношения (3.40) и (3.41), можно найти плотность энергии магнитного поля то-
ков WM при постоянной индуктивности L
VVM=^-=-§jjLid£=^jidT=fHdS. (3.42)
В случае ц = const получаем
|VM=jHdB=WojHdH=B^-=^-=-^. (3.43)
о о
3.5 ВЗАИМНАЯ ИНДУКЦИЯ
33
Последнее выражение совпадает с формулой для плотности магнитной энер-
гии (1.39). Следовательно, вся энергия магнитного поля катушки с током сосре-
доточена в магнитопроводе. Это совпадение очевидно, поскольку в (3.42) уже
было сделано предположение о сосредоточении всего магнитного потока в маг-
нитопроводе.
3.5. ВЗАИМНАЯ ИНДУКЦИЯ
Магнитный поток, пронизывающий собственный контур с током, создает в этом
контуре электродвижущую силу самоиндукции (3.24). Вследствие электромаг-
нитной индукции, магнитные потоки от соседних контуров с током также влияют
на рассматриваемый контур. При этом электродвижущая сила, наведенная в кон-
туре при изменении тока в соседнем контуре, называется электродвижущей си-
лой взаимоиндукции.
Рис. 9. Схематическое изображение потокосцепления, создаваемого двумя контурами L,
и L2i по которым протекают токи i, и
Рассмотрим два контура, удаленных друг от друга на некоторое расстояние
(рис. 9). По первому контуру Ц протекает ток который создает магнитный по-
ток или потокосцепление %, часть которого %2 проходит через второй контур,
а оставшаяся часть минует второй контур, т. е. замыкается только на контуре Ln
(3.44)
Аналогичным образом потокосцепление создаваемое током 12 во втором
контуре /_2, делится на две части. Первая часть потока Т21 проходит через контур
Lu а вторая часть замыкается только на собственный контур /_2,
%=Т22+Т21.
(3.45)
Потокосцепление во втором контуре %2 связано с током в первом контуре ц
соотношением
%2 -^12^1»
(3.46)
а потокосцепление в первом контуре Ч/21 связано с током во втором контуре i2 со-
отношением
-M21i2.
(3.47)
Коэффициенты пропорциональности МУ2 и М21 представляют коэффициенты вза-
имной индукции, или взаимную индуктивность. Также как и коэффициент само-
2 Теории и расчет трансформаторов
34
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
индукции, или индуктивность L, коэффициенты взаимной индуктивности М12 и М2у
в среде с постоянной магнитной проницаемостью ц = const не зависят от тока
и определяются формой и взаимным расположением контуров. При этих усло-
виях [2, 24]
М12=М21=М, (3.48)
т. е. взаимная индуктивность М12, определяющая электромагнитное воздействие
первого контура на второй, равна взаимной индуктивности М21, определяющей
электромагнитное воздействие второго контура на первый. Поэтому при рас-
смотрении системы из двух контуров индексы 1 и 2 можно не ставить. Если соб-
ственная индуктивность контура L всегда имеет положительное численное значе-
ние, то численное значение взаимной индуктивности может быть как положитель-
ной, так и отрицательной, причем М меняет свой знак при изменении направле-
ния одного из токов [25].
Рассчитаем взаимную индуктивность между двумя обмотками, равномерно
нанесенными на кольцевой магнитопровод с прямоугольным сечением [26]
(рис. 10). Предполагаем, что магнитное рассеяние отсутствует. В этом случае
магнитный поток, созданный током i1f протекающим через первую обмотку с чис-
лом витков w1f соответствует формуле (3.17)
uMot>,S D
1 it(D-d) d'
(3.49)
Потокосцепление взаимной индукции со вторичной обмоткой, имеющей число
витков w2, равно
Ш -w(t)-^oWSD
Тг,-И'гФ'----n(D-d) lnd’
а взаимная индуктивность
M=^.=iW^S|nD
ц n(D-d) d
или после преобразований аналогичных (3.22)
°*’,,Ing.
lCP 2(a-1)
Рис. 10. Две обмотки, равномерно нанесенные нв кольцевой магнитопровод,
w, — число витков первичной обмотки;
w2 — число витков вторичной обмотки,
i, — ток, протекающий через первичную обмотку.
(3.50)
(3.51)
(3.52)
3.6. МАГНИТНАЯ ЭНЕРГИЯ ДВУХ ИНДУКТИВНО СВЯЗАННЫХ КОНТУРОВ
35
Если наружный диаметр магнитопровода не превышает внутренний диаметр бо-
лее чем в два раза, то с погрешностью не выше 4% можно использовать формулу
(3.53)
^CP
В соответствии с (3.10) при изменении потока взаимной индукции Т12 во вто-
ром контуре возникает электродвижущая сила взаимной индукции
о _ ат12_ 5(Mii)_ .дм di,
2М dt ~ dt ~ h dt М dt'
(3.54)
При неизменной взаимной индуктивности М = const
е2ы—м-^-
(3.55)
Аналогичным образом электродвижущая сила взаимной индукции в первом
контуре
d'i' . дМ di2
е,м dt dt 12 dt M dt
(3.56)
или при М = const
и ^^2
еАМ=~М^Г-
IM rft
(3.57)
Цепи, в которых возбуждается электродвижущая сила взаимной индукции, на-
зываются индуктивно связанными цепями. Степень связи между двумя контурами
характеризует коэффициент связи [24]
уР-^-2
(3.58)
Коэффициент связи двух индуктивно связанных контуров не превышает единицы.
Действительно, используя определения собственной индуктивности (3.14) и вза-
имной индуктивности (3.46) и (3.47), получаем
w^,2
рг _ Мг ________Ц____i?______________/3 сдч
К (Т,г+Ч'„ХТг,+Ч'а) '• ' • 1
Ч
12
Причем к =1 только в том случае, если весь поток, создаваемый первым конту-
ром, будет сцепляться со вторым контуром, и весь поток, создаваемый вторым
контуром, будет сцепляться с первым контуром, т. е. Wn=W22=0. Отсюда также
следует, что М может быть больше L, или L2, но не может быть больше одновре-
менно и L, и L2.
3.6. МАГНИТНАЯ ЭНЕРГИЯ
ДВУХ ИНДУКТИВНО СВЯЗАННЫХ КОНТУРОВ
В цепи, содержащей индуктивность L, и сопротивление rt, которая соседствует
со второй цепью, электрический ток создается под действием напряжения источ-
ника электроэнергии и, и электродвижущей силы самоиндукции и взаимоиндукции
di, . ,,dt2
1 dt М dt ’
(3.60)
36
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
Аналогичным образом для второй цепи
di2 dL
U2 = l2f21+4'Jf
(3.61)
После умножения уравнения (3.60) на ток ц и уравнения (3.61) на ток i2, сложения
полученных уравнений и некоторых преобразований получаем
/•9 .9 \ d f ^"1^? ^"2^2 и - •
L/jll + t/2l2 = (ц Г, 4-12 Г2 )+ “g- + ~2~ + ^l1l2
(3.62)
Первый член в левой части (3.62) представляет энергию, передаваемую источ-
никами в первую и вторую цепь в единицу времени. В правой части в круглых
скобках стоит энергия, преобразованная в теплоту в единицу времени в первой
и во второй цепи. И, наконец, производная по времени в правой части (3.62) бе-
рется от энергии, передаваемой магнитному полю токами ц и i2. протекающими
через первую и вторую цепь. Таким образом, энергия магнитного поля двух ин-
дуктивно связанных цепей ivM, Дж, равна
Li2 Li2
и/м=^+^-+М£,£г. (3.63)
После преобразований (3.63) получаем
_ +Mi2 X (L2£, +Mi,)h i,T, t2T2 1
2 + 2 2 + 2 2 т’ (3.64)
где величина Тт представляет полное потокосцепление т-контура.
3.7. СОГЛАСНОЕ И ВСТРЕЧНОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ
ИНДУКТИВНЫХ КАТУШЕК
Направление магнитного поля связано с направлением электрического тока в
контуре правовинтовой системой (см. рис. 5). Поэтому при одном направлении
тока, который подходит к катушке, направление магнитного поля в ней будет за-
висеть от направления намотки провода.
а)
Рис. 11. Правовинтовая намотка провода катушки (по ходу часовой стрелки) (а) и левовин-
товая намотка провода катушки (против хода часовой стрелки) (б)
Вверху стрелкой показано направление тока в плоскости одного витка катушки.
3 7 СОГЛАСНОЕ И ВСТРЕЧНОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ ИНДУКТИВНЫХ КАТУШЕК
37
Рис. 12 Согласное расположение двух катушек с токами i, и i2 (а). Потокосцепления % и Т2
совпадают по направлению Схема двух катушек при их согласном расположении (б)
Точками обозначены зажимы, в которые входят условно положительные токи
На рис. 11,а электрический ток протекает по витку обмотки в направлении
по ходу часовой стрелке (правовинтовая намотка), а на рис. 11,6 — против хода
часовой стрелки (левовинтовая намотка).
Левовинтовая намотка получается путем зеркального отражения правовинто-
вой намотки. Поэтому в этих двух случаях направления магнитного поля будут
прямо противоположными.
В соответствии с этим две индуктивно связанные катушки могут быть распо-
ложены согласно или встречно [27]. При согласном расположении двух катушек
(рис. 12,а) потокосцепления и электродвижущие силы самоиндукции и взаимной
индукции совпадают по направлению.
На рис. 13,а те же катушки расположены встречно и магнитные потоки само-
индукции и взаимной индукции теперь направлены навстречу друг другу. При
этом по сравнению с рис. 12,а изменено лишь направление тока i2 во второй ка-
тушке.
Рис. 13. Встречное расположение двух катушек с токами i, и i2 (а). Потокосцепления % и
имеют противоположное направление. Схема двух катушек при их встречном рас-
положении (б).
Точками обозначены зажимы, в которые входят условно положительные токи
38
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
Для того чтобы на схеме не изображать катушки с указанием их намотки, усло-
вились обозначать точками одноименные зажимы. В случае согласного включе-
ния условные положительные направления токов двух катушек должны быть оди-
наковым образом ориентированы относительно одноименных зажимов (рис. 12,6):
либо оба тока должны входить в одноименные зажимы, либо оба тока должны вы-
ходить из этих зажимов. В случае встречного включения условные положитель-
ные направления токов двух катушек должны быть разным образом ориентирова-
ны относительно одноименных зажимов (рис. 13,6).
При согласном включении двух катушек электродвижущая сила самоиндукции
добавляется к электродвижущей силе взаимной индукции
есогл=_/ (3.65)
' от от
При встречном включении двух катушек электродвижущая сила взаимоиндукции
вычитается из электродвижущей силы самоиндукции
еВСТР=_£ +
е L'dt аг
(3.66)
В формулах (3.65) и (3.66) величина М представляет модуль взаимной индуктив-
ности.
Глава 4
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ
ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
4.1. ПЕРЕМЕННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
В широком смысле переменным током называется такой ток, который изменя-
ется во времени. Ток, мгновенные значения которого повторяются через равные
промежутки времени в той же самой последовательности, называется периоди-
ческим. Наименьший промежуток времени, через который происходят эти повто-
рения, соответствует периоду Г, с. Для периодической функции тока i
i = = + (4.1)
Период Т связан с частотой f, Гц и угловой частотой со, Гц соотношениями
(H=2nf=^. (4.2)
О действии периодических токов (напряжений и электродвижущих сил) судят
по их среднеквадратичным значениям за период. Действующие значения тока Z,
напряжения U и электродвижущей силы Е можно найти из следующих соотноше-
ний [28]:
ГТ7
I = Jrli2dt' (4.3)
Г7т
U=- i^=fu2cft, (4.4)
V о
E=J-ffeZdt- (4.5)
Из (3.37) следует, что среднее за период количество теплоты Оср, Вт, выделившей-
ся в электрической цепи сопротивлением г,
Оср=уР2гс# = 4Р2£# = г72. (4.6)
о о
т. е. средняя мощность пропорциональна квадрату действующего переменного
*ока 1.
40
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Таким образом, использование понятия о действующем значении периодиче-
ского тока (4.3) позволяет привести среднюю мощность к виду (4.6), который со-
впадает с выражением для количества теплоты, выделившейся в единицу време-
ни, при постоянном токе (2.14). На этом основании действующие значения пара-
метров переменного тока и параметры постоянного тока обозначают одинаковы-
ми знаками.
Периодическую функцию можно разложить в ряд Фурье
(4.7)
к-0
где 7тк — максимальное значение (амплитуда) k-той гармоники; ук — начальная
фаза к-той гармоники. Первый член ряда при к = 0 не зависит от времени и дает
постоянную составляющую тока. Ряд синусоидальных функций кратных основной
угловой частоте со называют высшими гармониками. Первая гармоника при к ~ 1
соответствует основной частоте переменного тока со.
Если зависимость тока от времени обладает какой-либо симметрией, то вид
разложения в ряд Фурье можно упростить. Так, в разложении функции симмет-
ричной относительно оси абсцисс (угол cot) отсутствуют постоянная составляю-
щая тока и четные гармоники.
Термин «переменный ток» часто используется в узком смысле, и он обознача-
ет периодический ток, у которого равна нулю постоянная составляющая [29]
yPdf = 0- (4.8)
о
Постоянный ток можно представить как частный случай переменного тока, пе-
риод которого равен бесконечности.
Поскольку любую периодическую функцию можно разложить в ряд по гармо-
ническим составляющим, то особое внимание уделяют изучению свойств элект-
рических цепей синусоидального тока. Найдем действующее значение синусои-
дального тока i = Zrncos(cot+i|/):
Z2 =У ji2dtfcos2 (cot+\p)dt J[l+cos(2cot+2iy)]dt =
о о о
12 T J2 T /2 (4 Q\
=^fdt+^Jcos(2cot+2vH=^--
0 0 *
Таким образом, действующее значение синусоидального тока меньше макси-
мального значения в корень квадратный из двух
(4.10)
Аналогичные соотношения между действующим и максимальным значениями
можно получить для синусоидальных напряжения и электродвижущей силы.
Кроме действующих значений, иногда используют средние арифметические
значения или просто средние значения тока Icp за промежуток времени от t, до t2:
1 *2.
(4.11)
2
4 2. СИМВОЛИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
41
Для синусоидального тока среднее значение тока за период равно нулю, посколь-
ку площади положительной и отрицательной полуволн равны по величине и про-
тивоположны по знаку. Обычно для таких величин под средним значением пони-
мают среднее значение положительной полуволны. При таком определении для
синусоидального тока
г
р 2 2 2
/cP=TJ/mCOS(Drdr=^7rn=^7m. (4.12)
Таким образом,
2 2^2
(4.13)
4.2. СИМВОЛИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
При расчете цепей приходится складывать и вычитать синусоидальные функ-
ции времени и производить над ними операции дифференцирования и интегри-
рования. Существенное упрощение подобных операций можно достигнуть за счет
символического изображения синусоидальных функций времени комплексными
числами. Этот метод изображения действительных функций времени комплекс-
ными числами, предложенный Штейнмецем, называется символическим методом.
Комплексное число можно представить в следующем виде [30]:
z=x+/y=r(cosig+/sini|/)=refv, (4.14)
x=rcosy, (4.15)
y = rsiny, (4.16)
г = V*2 + y2, (4.17)
tgv=£. (4.18)
Заметим, что в формуле (4.14) для мнимой единицы / имеет место соотношение
f = -1.
Поскольку комплексное число изображается вектором на комплексной плоско-
сти (вертикальная ось у представляет ось мнимых чисел, а горизонтальная ось х —
ось действительных чисел), то синусоидальные функции времени символически
можно изобразить векторами, проведенными из начала координат. При этом ко-
нец радиуса-вектора соответствует комплексному числу z.
Используя соотношение (4.14), получаем
7rne>(<Df+v) = 7mcos(a>f+v)+ /7msin((ot + у). (4.19)
Таким образом, функция времени 7mcos(cot+y) является действительной частью
комплексного выражения
7те/(«г*ч/) = 7те^е^юг = 7те^. (4.20)
Это комплексное число представляет символическое изображение действительно-
го тока i = 7mcos((ot + v). Символическое изображение, как и сам оригинал тока i,
при заданной частоте определяется одной и той же амплитудой 7т и начальной
фазой у.
42
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Комплексное число 7т называется комплексной амплитудой тока
L = (4.21)
Умножение на величину eyv соответствует повороту вектора на угол \g.
Комплексные величины, изображающие синусоидальные функции времени,
принято обозначать большими буквами с точками наверху. Все остальные комп-
лексные числа, которые встречаются при расчетах электрических цепей перемен-
ного тока, обозначают большими буквами без точек.
На рис. 14 показано сложение двух векторов 7т1 и 7т2, имеющих vg, > 0 и \g2< О
[29]. Положительное вращение вектора со временем осуществляется против хода
часовой стрелки вокруг начала координат со скоростью со
^(cot+y)=(o. (4.22)
При сложении векторов удобно пользоваться алгебраическим суммированием
проекций векторов на две взаимно перпендикулярные оси. При сложении комп-
лексных чисел производится суммирование действительных и мнимых частей
этих комплексных чисел. При этом знак угла \g, положительный отсчет которого
ведется от действительной оси против хода часовой стрелки, устанавливается по
знаку действительной и мнимой части комплексного числа 7т.
Рис. 14. Сложение комплексных токов 7m = 7m1 + 7т2 на комплексной плоскости ху.
Стрелкой около обозначения угловой скорости со показано положительное направ-
ление вращения вектора тока.
Производная от символического изображения силы тока
^/гпе^=/со/гпе>“ (4.23)
представляет вектор, повернутый на угол +л/2, т. е. против хода часовой стрелки
относительно угла характеризующего положение вектора 7т, и длина которого
увеличена в со раз по сравнению с 7т.
Интеграл от символического изображения силы тока
(4.24)
4.3. КОМПЛЕКСНОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
43
представляет вектор, повернутый на угол -л/2, т. е. по ходу часовой стрелки, от-
носительно угла у, характеризующего положение вектора Zm, и длина которого
уменьшена в со раз по сравнению с 1т.
На векторной диаграмме длину векторов берут равной не амплитуде, а дей-
ствующему значению. Поэтому при расчете цепей переменного тока необходимо
знать только действующие значения величин для синусоидальных функций вре-
мени и их сдвиг по фазе друг относительно друга. В этом случае положение коор-
динатных осей можно выбрать произвольно или их совсем не изображать. На-
чальные фазы можно изменить так, чтобы начальная фаза одной из рассматрива-
емых функций стала равной нулю.
Следует обратить внимание на то, что векторы, изображающие комплексные
числа синусоидальных функций времени, отличаются от собственно векторов —
параметров электромагнитного поля. По сути, эти векторы характеризуют лишь
изменение величины во времени, и они никак не связаны с положением в про-
странстве.
Комплексное действующее значение тока
= , (4.25)
где I — действующее значение силы тока.
4.3. КОМПЛЕКСНОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ
СОПРОТИВЛЕНИЕ
Отношение комплексного напряжения й к комплексному току I называется
комплексным сопротивлением цепи Z
z=7=^=7e'(VuV,’=7e/<P1 (4.26)
где i|/u — начальная фаза напряжения; — начальная фаза тока; <р — угол сдвига
фаз между напряжением и током
<P=Vu-Vr (4.27)
Преобразуем комплексное сопротивление, используя при этом (4.14),
Z = —е^ =z(cos<p+ /sin<p)=г+/х, (4.28)
r=zcos<p, (4.29)
x=zsin<p, (4.30)
z-y = Vr2+x2, (4.31)
где z — модуль комплексного сопротивления или полное сопротивление цепи, Ом;
г — активное сопротивление, Ом; х — реактивное сопротивление, Ом.
Как следует из определения (4.26), сопротивление Z является комплексной ве-
личиной. Однако эта комплексная величина существенно отличается от комплекс-
ных величин снабженных точкой. К комплексным величинам с точкой присоединя-
ется синусоидальная функция времени e*°f, тогда как комплексное сопротивле-
ние Z не зависит от времени, и обозначает отношение действительных чисел U и Z,
44
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
а также разность фаз между синусоидально изменяющимися величинами напря-
жения и тока.
Соотношение (4.26) позволяет записать закон Ома в комплексной форме
U = IZ. (4.32)
4.4. МОЩНОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Мгновенная мощность р определяется как скорость поступления электромаг-
нитной энергии в электрическую цепь в данный момент времени [27] (см. также
(3.37))
p = ui. (4.33)
Для синусоидального напряжения и = L/msin((Dt+(p) и тока i = 7msincot (принима-
ем у, = 0)
p=L/mZmsin(ort +<p)sinort = L/Zcos<p-L/Zcos(2art+<p), (4.34)
т. е. мгновенная мощность синусоидального тока имеет постоянную составляю-
щую L/Zcos(p и составляющую L/Zcos(2(ot+<p), изменяющуюся со временем по си-
нусоидальному закону с удвоенной частотой.
Вычислим среднее значение мощности за период Р, Вт
1 т UIт
P=~lpdt=— J[cos(p-cos(2(of+(p)]dt=L/Zcos(p. (4.35)
' о ' о
После преобразования (4.35), учитывая (4.29) и (4.31), получаем
P=L/Zcos<p=rZ2. (4.36)
Следовательно, средняя мощность за период синусоидального тока характеризу-
ет необратимое преобразование электрической энергии в теплоту. Поэтому вели-
чину Р называют активной мощностью электрической цепи.
После дальнейших преобразований (4.34) с учетом (4.30) получаем мгно-
венную мощность р в виде
p=L/Zcos(p(l-cos2cof)+L/Zsin(psin2cof =rZ2(l-cos2cot)+xZ2sin2cot =
= P(l-cos2<ot)+Osin2<ot, (437)
где Q — реактивная мощность
Q=UZsin<p=xZ2. (4.38)
При этом полная мощность электрической цепи синусоидального тока S
S = UI=I2z = I2Jr2+x2 = -JP2+Q2. (4 39)
Отметим, что в электротехнике принято определять активную мощность Р в ват-
тах, Вт, полную мощность S в вольт-амперах, В А, а реактивную мощность Q
в вольт-амперах реактивных, вар.
В выражение (4.37) можно ввести обозначения активной и реактивной мгно-
венной мощности
pr =P(1-cos2cof)=rZ2(1-cos2(Df), (4.40)
рх =Qsin2ort = xZ2sin2coL (4.41)
4.4. МОЩНОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
45
В качестве примера рассмотрим индуктивную катушку, подключенную к сину-
соидальному напряжению и. Электрическую цепь катушки можно представить
в виде индуктивности L и электрического сопротивления г. Ток в электрической
цепи будем искать в виде синусоидальной функции времени 1е^. После подста-
новки в уравнение (3.29) получаем
U = i(r+j<aL) (4.42)
и, соответственно, полное сопротивление цепи Z
Z = r+j(&L. (4.43)
Следовательно, индуктивное сопротивление цепи xL, состоящей из сопротивле-
ния г и индуктивности £, равно
xL=co£ (4.44)
и соответствующая мгновенная индуктивная мощность pL
pL = co£Z2sin2cot (4.45)
На рис. 15 показаны кривые тока, напряжения и мгновенных мощностей для
электрической цепи, состоящей из индуктивности L и электрического сопротив-
ления г, при угле сдвига между напряжением и током (р = 60° [27]. Из рисунка и из
формулы (4.40) следует, что активная мощность рг не принимает отрицательных
значений, и ее мгновенные значения колеблются с амплитудой Р = г12 и двойной
частотой относительно среднего значения р = г!2.
г
Рис 15. Мгновенная мощность электрической цепи rL с источником синусоидального на-
пряжения и.
и — мгновенное напряжение источника; i — мгновенный ток в электрической цепи;
Ф = 60° — угол между напряжением и и током i; uL — мгновенное напряжение на ин-
дуктивности L, р = ui — мгновенная мощность, рг — мгновенная активная мощ-
ность, pL — мгновенная индуктивная мощность; Р = LZZcoscp — активная мощность,
Q = coL/2 — реактивная мощность; S - полная мощность.
1 — область, в которой мощность источника больше потребляемой мощности (р > рг)
2 — область, в которой потребляемая мощность больше мощности источника (рг > р).
3 — область, в которой энергия, запасенная в магнитном поле катушки, возвраща-
ется источнику.
46
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Индуктивная мощность pL, характеризующей изменение энергии запасенной
магнитным полем катушки, колеблется по синусоидальному закону с амплитудой
O=xLI2 и двойной частотой около нулевого значения, т. е. попеременно прини-
мает, то положительные, то отрицательные значения. Из рис. 15 следует, что
мгновенная индуктивная мощность pL является положительной, пока абсолютное
значение тока в цепи нарастает, т. е. пока возрастает магнитное поле катушки
и производная dWM/dt>Q. При снижении тока и ослаблении магнитного поля ка-
тушки dWM/dt<Q и мощность pL становится отрицательной.
Суммарная мощность p=ut=pr+pL колеблется с двойной частотой относи-
тельно среднего значения P = rl2t причем амплитуда колебаний равна полной
мощности S=UI. Полная мощность S характеризует предельные возможности
источника энергии. Из (4.36) следует
P=Scos<p. (4.46)
Следовательно, использовать всю мощность источника энергии можно только
при ф = 0, т. е. в цепях обладающих только активным сопротивлением. В любой
другой цепи используется только часть мощности. Поэтому величину соэф
cos<p=§=(5’ (4-47)
называют коэффициентом мощности.
Заштрихованная область 1 на рис. 15 соответствует времени, когда абсолют-
ное значение тока в цепи нарастает, а индуктивная мощность pL > 0. Эта область
характеризуется избытком мощности источника по сравнению с мощностью по-
требляемой сопротивлением г (р > рг). В течение времени, соответствующего
области 2, в сопротивлении г расходуется мощность, превышающая мощность
источника (рг > р). В это же время в сопротивлении г расходуется часть энергии,
которая на участке 1 была запасена в магнитном поле катушки. В области 3 изли-
шек энергии, ранее запасенной в магнитном поле катушки и неизрасходованный
в сопротивлении г, возвращается источнику (р < 0).
Размер заштрихованной области 3 зависит от угла сдвига фаз между напряже-
нием и током ф. Чем больше угол ф, тем меньше созф, тем большую протяжен-
ность имеет участок, тем ниже опускается кривая полной мощности р и тем мень-
ше среднее значение Р=5созф.
Полную мощность можно также выразить в комплексной форме. Действитель-
но, при умножении комплексного изображения действующего значения напряже-
ния и сопряженного комплексного изображения действующего значения тока по-
лучаем
tfe/(wvu)7e-/(cw*vt) =и1е№. (4.48)
Таким образом, если использовать сопряженный комплексный ток I
I = Ie /Vi, (4.49)
то полную комплексную мощность S можно выразить через комплексное напря-
жение U и сопряженный комплексный ток 7 в виде
S=u7=UIe№u~Vi) =UIe№ =(У/со8ф+ /L/7sirKp=P+/О. (4.50)
Знак тильда над полной мощностью S обозначает, что при определении исполь-
зовался сопряженный комплексный ток 7. Заметим, что S зависит только от угла
Ф между напряжением и током и не является синусоидальной функцией времени.
4.5. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ
47
4.5. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ
По определению проводники являются материалами, в которых электрическое
поле создает движение электрических зарядов, т. е. электрический ток. В стацио-
нарном случае напряженность электрического поля внутри проводника равна
нулю, поскольку отличная от нуля напряженность привела бы к возникновению
электрического тока [8]. Все заряды в проводнике распределены на его поверх-
ности, в противном случае согласно (1.6) заряды внутри проводника создавали
бы электрическое поле.
Заряды на поверхности распределяются таким образом, чтобы внутри провод-
ника напряженность электрического поля была равна нулю Е = 0.
В соответствии с (1.40) энергию электростатического поля заряженных про-
водников можно представить в виде
w3=|fE0cfl/, (4.51)
где интеграл берется по всему объему пространства вне проводников [8]. Элект-
ростатическое поле является потенциальным и E=-grad<p, поэтому
w3 = ~ jDgradcpdV. (4.52)
Используемые соотношения для произвольной скалярной функции и и векторной
функции а
divua=udiva+agradu, (4.53)
позволяет преобразовать (4.52) к виду
и/э =-^jdiv(pDdV+^Jq)divDcfV. (4.54)
Второй интеграл в (4.54) равен нулю, так как в отсутствии объемных электриче-
ских зарядов divD=0 (см. формулу (1.6)). С помощью теоремы Гаусса-Остро-
градского преобразуем первый объемный интеграл в поверхностный. Учитывая
одинаковый потенциал проводника, условие ф = 0 на бесконечности, а также на-
правление вектора ds вдоль нормали внешней по отношению к проводнику (на-
помним, что интегрирование в (4.54) велось по объему вне проводника [8]), полу-
чаем
и/э=1ф§Одв. (4.55)
S
Интеграл в (4.55) представляет поток электрической индукции D через поверх-
ность проводника S, который равен электрическому заряду проводника е
e=§Dde. (4.56)
Последнее соотношение позволяет записать энергию заряженного проводника
в виде
И'э=|(Ре- <4-57)
Между зарядом и потенциалом проводника существует определенная связь,
поскольку эти параметры не могут быть заданы произвольным независимым об-
разом.
48
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Для однородной среды (е = const) эта связь выражается линейным соотноше-
нием
е=С0<р, (4.58)
где величина Со представляет электрическую емкость проводника, единицей из-
мерения которой является фарада. Электрическая емкость проводника — это
скалярная величина, характеризующая способность проводника накапливать
электрический заряд, равная отношению заряда проводника к его потенциалу
в предположении, что все другие проводники бесконечно удалены и что потенци-
ал бесконечно удаленной точки принят равным нулю.
Практически важным является случай двух проводников, имеющих равные
по значению, но противоположные по знаку заряды. Преобразования, аналогич-
ные приведенным выше, позволяют записать для двух проводников
^1
_ф1-ф2 ~й^ (4-59)
и
1 11
w3 =2^ф’ е'+ф2 е2)= 2е’(ф’ (4 60)
ИЛИ
^э=^С(ф,-ф2)2-^СЦ22, (4.61)
где <р, и <р2 — потенциал проводников, Ц2 “«Pi _<Рг ““ напряжение между провод-
никами. Емкость является величиной положительной, и она зависит от формы,
размеров и взаимного расположения проводников [8, 31]. Электрическая емкость
между двумя проводниками является скалярной величиной равной абсолютному
значению отношения электрического заряда одного проводника к разности элек-
трических потенциалов двух проводников при условии, что эти проводники имеют
одинаковые по значению, но противоположные по знаку заряды, и что другие
проводники бесконечно удалены.
Между емкостью и некоторыми физическими величинами существует анало-
гия. Поместим два электрода, подключенных к электродвижущей силе, в прово-
дящую среду с удельной электропроводностью X [24]. Проводимость G, а это ве-
личина обратная сопротивлению Я, можно найти из закона Ома
7 XjEds
° “Г/ ” 2
12 fEdl (4-62)
1
где сила тока между электродами 1 и 2
Z=f/ds=XjEds, (4.63)
а напряжение между ними
Ц2 =jEd/. (4.64)
1
С другой стороны, можно определить емкость этих электродов, обладающих
такой же конфигурацией, но помещенных в диэлектрик с относительной диэлект-
рической проницаемостью в
е ee0JEc,s
c = lT=~2-----’ (4.65)
12 fEdl
4.6. ЗАРЯД КОНДЕНСАТОРА
49
где е — заряд на электроде
е = J Dds=ее0 f Eds. (4.66)
Из (4.62) и (4.65) следует отношение
G=Y’ <467)
т. е. отношение емкости между двумя проводниками, разделенными диэлектри-
ком с относительной диэлектрической проницаемостью е, к проводимости между
этими же телами, помещенными в проводящую среду с удельной электрической
проводимостью X, равно отношению материальных параметров ес0/Х.
4.6. ЗАРЯД КОНДЕНСАТОРА
Конденсатором называется элемент электрической цепи, предназначенный
для использования его емкости. Рассчитаем емкость конденсатора, состоящего
из двух плоских проводящих пластин разделенных средой с относительной ди-
электрической проницаемостью е и находящихся на расстоянии d друг от друга.
Будем считать электрическое поле между пластинами однородным. Тогда заряд
пластины
e = [Dds = DS = ee0ES,
где S — площадь поверхности пластины. Напряжение между пластинами
2
Uc=fEdl = Ed.
(4.68)
(4.69)
Из этих соотношений получаем емкость плоского конденсатора
(4.70)
е _ee0S
С Uс ~ d ’
Конденсатор, подключенный к источнику постоянного напряжения U, будет за-
ряжаться до тех пор, пока напряжение на его обкладках ис не достигнет значе-
ния U. Воспользуемся законом сохранения энергии в электрической цепи
, . . 2 -2 е de
UI = 1гГ +—j^- = 12Г + 7=1-5-.
dt C dt
(4.71)
Учитывая, что электрический ток связан с зарядом соотношением
. de
l~ dt'
(4.72)
из (4.71) получаем
(4.73)
L/=ir+^ = ir + uc.
С и
Уравнение (4.73) является уравнением Кирхгофа для электрической цепи, со-
держащей емкость С, сопротивление г и источник постоянного напряжением U
(рис. 16).
После подстановки зарядного тока
, de ^duc
dt С dt
(4-74)
50
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
в (4.73) получаем дифференциальное уравнение для напряжения на обкладках
конденсатора и=гС~^+ис (4.75)
или duc _dt U-uc гС <476)
После интегрирования -^=ln^£ <477)
или (4.78)
В начальный момент времени t = 0 напряжение на конденсаторе ис = 0, поэто-
му постоянная интегрирования А = U и
ис =U\ 1-е I
(4.79)
Следовательно, напряжение на конденсаторе после его подключения к источнику
постоянного напряжения возрастает не мгновенно, а по экспоненциальному зако-
ну (рис. 16).
Рис. 16. Изменение напряжения на конденсаторе ис и тока i в электрической цепи, состоя-
щей из емкости С и сопротивления г, после включения постоянного напряжения U.
I = U/r — ток в цепи в начале переходного процесса;
т = гС — постоянная времени электрической цепи.
Наклонная прямая линия представляет производную напряжения на конденсаторе
по времени в начальный момент времени t = 0.
Коэффициент гС определяет скорость возрастания напряжения. Он имеет раз-
мерность времени и называется постоянной времени электрической цепи (срав-
ните с (3.34))
т = гС. (4.80)
Постоянная т равна времени, за которое напряжение на конденсаторе достигло
бы значения U, если бы ток в цепи оставался постоянным и равным начальному
значению
(4.81)
4.7. КОНДЕНСАТОР В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
51
Действительно, при линейном напряжении на конденсаторе uc = r(iQ-i) время
заряда конденсатора
е CU г
k=u7F=rC=x- <4-82)
После подстановки ис из (4.79) в (4.74) получаем зарядный ток
. ~ du г U —
l=C~dtr <4-83)
По мере того как напряжение на конденсаторе возрастает, зарядный ток умень-
шается и в момент времени t = Зт его значение составляет i=0,05L//r.
Рассмотрим энергетические причины, обуславливающие переходный процесс
при включении электрической цепи с емкостью под постоянное напряжение. После
умножения (4.75) на idt получаем
Uidt = rCiduc +ucidt. (4.84)
Учитывая, что
Cduc=idtf (4.85)
вместо (4.84) можно записать
Uidt = i2rdt+Cucduc. (4.86)
Левая часть уравнения (4.86) представляет энергию, передаваемую источником
в цепь за время dt В правой части первый член i2rdt составляет энергию, преоб-
разованную в теплоту за время dtt второй член Cucduc — энергию, передава-
емую конденсатору при изменении напряжения на конденсаторе на duc. Таким
образом, чтобы напряжение на конденсаторе могло достигнуть значения Ut кон-
денсатор должен накопить энергию w3, Дж
и
w3=fCucduc. (4.87)
О
При С = const из (4.87) получаем
р/ /2
(4.88)
Накопление такой энергии конденсатором не может произойти мгновенно, по-
скольку для этого потребовалась бы бесконечно большая мощность dw3/dt. Пе-
реходный процесс в цепи прекратится, когда энергия электрического поля кон-
денсатора достигнет CU*!2t которое соответствует установившемуся значению
напряжения.
В электрическом поле конденсатора содержится энергия, за счет которой ем-
кость в течение некоторого времени сама может служить источником электричес-
кой энергии. Если заряженный до напряжения L/c конденсатор подключить к со-
противлению г, то по мере уменьшения заряда емкости, напряжение на обкладках
конденсатора снижается по экспоненциальному закону вплоть до момента пока
вся эта энергия не перейдет в теплоту.
4.7. КОНДЕНСАТОР В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Конденсатор разрывает цепь постоянного тока и в такой цепи ток прекращает-
ся после разряда или заряда конденсатора. Другое дело переменный ток. В силу
условия непрерывности (1.12) линии тока в проводнике примыкают к линиям тока
52
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
смещения между обкладками конденсатора. Поэтому общий ток смещения, про-
текающий через конденсатор, равен току в проводнике. При этом весь ток сме-
щения концентрируется в малой области пространства между обкладками кон-
денсатора. Это позволяет, с некоторым приближением, цепь переменного тока
считать замкнутой цепью, а все расчеты вести так, как если бы между обкладками
конденсатора проходил ток проводимости.
В проводнике, также как и диэлектрике, протекает ток смещения, однако им
можно пренебречь по сравнению с током проводимости [8]. Действительно, для
синусоидальной величины Dmsincot
/см = ^ = CODmCOSCOt = CO€€0^mcosco^ (4.89)
Поскольку ток проводимости /=ХЕ, то током смещения можно пренебрегать при
условии
X £> сос€о. (4.90)
Учитывая, что для проводников X ~ 106 (Ом-м)-1, а е0 ~ 10-12 Ф/м, то токами сме-
щения в проводнике можно пренебрегать практически для всей используемой об-
ласти частоты со.
Рассмотрим контур, концы которого соединены с обкладками конденсатора.
При установившемся переменном токе обкладки конденсатора будут периоди-
чески заряжаться и разряжаться, играя роль источников и стоков электрических
зарядов в разомкнутой цепи. Ввиду малости расстояния между обкладками кон-
денсатора, магнитную энергию контура wM можно по-прежнему считать равной
Li2
(4 91)
Данному случаю можно сопоставить электрическую схему, представленную на
рис. 17, с последовательным соединением элементов г, L, и С.
Записывая закон сохранения энергии по аналогии с (4.71) и проводя соответ-
ствующие преобразования, получаем уравнение Кирхгофа для контура подклю-
ченного к источнику переменного напряжения и
, di е
u = ir + L-+- = tr+uL+uc.
dt с
Это уравнение можно преобразовать к виду
(4.92)
(4.93)
или для установившегося режима в электрической цепи г, L, С
(4.94)
Рис 17. Электрическая схема с последовательным соединением емкости С, индуктивности
L и сопротивления г.
4.8. МОЩНОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ ПС
53
Для синусоидального напряжения источника питания и = (7е/шГ, решение урав-
нения (4.94) будем искать в виде синусоидальной функции времени
После подстановки получаем
+ (4.95)
Поскольку iz=Ut то комплексное сопротивление электрической цепи
Z = r + ;^wL-^^ = zew, (4.96)
где z — модуль комплексного сопротивления
I 7 TV
z = JrI 2+ cot-- , (4.97)
V \ сое) ' '
а ср — угол между напряжением и и током i (см. формулу (4.27))
<498>
Величина х является реактивным сопротивлением электрической цепи
x = coL—^ = xL-xc, (4.99)
(ОС/
где xL — индуктивное сопротивление (см. (4.44)), ахс - емкостное сопротивление
’«'S (4.100)
Из (4.95) можно выделить комплексное индуктивное напряжение UL
UL=juLI (4.101)
и комплексное емкостное напряжение Uc
(4Ю2)
В соответствии с (4.23) и (4.24) величина UL представляет вектор, повернутый на
угол +л/2, т. е. против хода часовой стрелки, относительно направления Z, а ве-
личина ис представляет вектор, повернутый на угол -л/2, т. е. по ходу часовой
стрелки, относительно направления z.
4.8. МОЩНОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ гС
На рис. 18 показаны кривые тока, напряжения и мгновенных мощностей элект-
рической цепи, состоящей из емкости С и сопротивления г для угла сдвига между
синусоидальным напряжением и током <р = 60°. В отличие от электрической цепи
с индуктивностью (рис. 15) ток i опережает напряжение и. Мгновенную емкост-
ную мощность рс, в соответствии с (4.41), можно записать в виде
I2
Pc =-xcZ2sin2cor = — sin2cot (4.103)
54
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Мгновенная емкостная мощность является положительной, пока абсолютное зна-
чение напряжения на конденсаторе нарастает, т. е. возрастает электрическое
поле между обкладками конденсатора и производная dw3/dt > 0.
При снижении абсолютного значения напряжения происходит ослабление
электрического поля между обкладками конденсатора, и мощность рс становится
отрицательной (dw3/dt< 0).
Рис. 18. Мгновенная мощность электрической цепи гС с источником синусоидального на-
пряжения и.
и — мгновенное напряжение источника; i — мгновенный ток в электрической цепи;
Ф = 60° — угол между напряжением и и током i, ис — мгновенное напряжение
на емкости С; р = ui — мгновенная мощность; рг — мгновенная активная мощность;
Рс ~ мгновенная емкостная мощность; P=UIcosq — активная мощность;
Q = 12/тС — реактивная мощность; S — полная мощность.
1 — область, в которой мощность источника больше потребляемой мощности (р> рг).
2 — область, в которой потребляемая мощность больше мощности источника (рг > р).
3 — область, в которой энергия, запасенная в емкости, возвращается источнику.
На рис. 18 заштрихованная область 1 соответствует тому времени, когда абсо-
лютное значение тока в электрической цепи нарастает, а напряжение на конден-
саторе ис снижается. Эта область характеризуется избытком потребляемой мощ-
ности по сравнению с мощностью источника (рг > р). В этой области конденсатор
разряжается, и его энергия передается сопротивлению г. Избыток запасенной
конденсатором энергии в области 3 возвращается источнику (р < 0). В течение
времени, соответствующего области 2, мощность источника превышает потреб-
ляемую мощность (р > рг) и часть энергии источника расходуется на заряд кон-
денсатора.
4.9. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ РАЗРЯД ЕМКОСТИ
55
4.9. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ РАЗРЯД ЕМКОСТИ
В электрической цепи rLC при отсутствии источника напряжения происходят
свободные электрические колебания. Действительно, для и - 0 после введения
параметров
шо=-т=. (4.104)
(4105)
уравнение (4.93) можно преобразовать к виду*
ge+2Xr^+(oge=O. (4.106)
Параметры соо и Хг представляют соответственно частоту свободных колебаний
системы в отсутствии трения, т. е. при г = 0, и коэффициент затухания [32].
В случае решением уравнения (4.106) являются затухающие колебания
с экспоненциально убывающей амплитудой. Скорость убывания амплитуды опре-
деляется коэффициентом затухания 7^. Частота собственных колебаний электри-
ческого заряда со меньше частоты свободных колебаний соо и ее можно найти из
условия Z - 0, т. е.
r+'(<OL'i)=o- (4-107)
После преобразования (4.107), решая полученное квадратичное уравнение отно-
сительно со, получаем частоту собственных колебаний
R ( \2
t0=y2E±Vlc"l2Ej <4107>
Случай г = 0 соответствует незатухающим колебаниям с собственной частотой
со=со0.
При Хг > соо решение (4.106) представляет апериодический затухающий раз-
ряд, при котором ток не изменяет своего направления, а конденсатор все время
отдает электрический заряд, асимптотически приближаясь к разряженному со-
стоянию (подробнее см. [18]).
4.10. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ rLC
На рис. 19 представлена электрическая схема, элементы г, L и С в которой со-
единены параллельно [29]. К каждому элементу приложено напряжение и. Для то-
ков в соответствии с первым законом Кирхгофа можно записать
(4.109)
Рис. 19. Электрическая схема с параллельным соединением элементов г, L и С.
56
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Для синусоидальных величин
U=Ue^, (4.110)
I = (4.111)
i=ir+iL + ic, (4.112)
где — начальная фаза напряжения; i|/j — начальная фаза тока. Каждая ветвь электрической цепи имеет соответствующее комплексное со- противление Zr=r, (4.113)
Zl=/coL, (4.114)
2с=^с- (4.115)
Из закона Ома получаем выражения для токов, в которых учтено / = е г,
Г г (4.116)
JtoL &L (4.117)
ic = jaCU = coCL/ey(Vu^). (4.118)
Из выражений (4.116)—(4.118) следует, что ток в сопротивлении г совпадает по
фазе с напряжением, ток в индуктивности L отстает по фазе от напряжения на
угол л/2, а ток в емкости С опережает напряжение по фазе на угол л/2. Векторная
диаграмма параллельной электрической схемы представлена на рис. 20. На ней
условно принято, что уи<0 и IL> 1С.
Рис. 20. Векторная диаграмма параллельной электрической схемы, представленной на рис. 19.
Соотношения (4.116)—(4.118) позволяют записать (4.112) в виде
•Г 1 / 1
(4.119)
4.11. КОМПЛЕКСНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ
57
или после преобразования
Ieiv> e~l4'Ue^u’
(4.120)
где
Д—соС
|9Ф = -^
(4.121)
Сравнивая левую и правую части выражения (4.120) можно найти
(4.122)
Vi=Vu-<P- (4.123)
4.11. КОМПЛЕКСНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ
Комплексной проводимостью Y называют отношение комплексного тока к комп-
лексному напряжению [29]
У=Д. (4.124)
Сравнивая с определением комплексного сопротивления (4.26), можно записать
Y = у=у )=y.e«> = уе~*, (4.125)
где (p=Vu“Vi “ Угол между напряжением и током; у — полная проводимость.
При этом полная проводимость у обратно пропорциональна полному сопротивле-
нию Z
y=j-=^- (4.126)
Преобразуем выражение для комплексной проводимости
Y =уе~№ =ycoscp-/ysin(p = g-/b, (4.127)
где д — активная проводимость
g = ycos<p, (4.128)
а b — реактивная проводимость
b=ystncp, (4.129)
причем
y=Jg2+b2, (4.130)
t9<p=|- (4.131)
58
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Сравнивая с уравнением (4.119) для тока в параллельной схеме соединения
элементов можно записать
7 = = (4.132)
где активная проводимость д
9=7- (4.133)
a bLn Ьс индуктивная и емкостная проводимости
= (4.134)
Ьс=(оС=Х (4.135)
Лс
Найдем связь между активным и реактивным сопротивлением и проводимостью
7=Z=7Ta=F_/P-=9’A (4-136)
таким образом,
9=-^, (4.137)
Ь=р-. (4.138)
Из полученных соотношений следует, что величины реактивной проводимости b
и реактивного сопротивления х всегда имеют одинаковый знак.
Заметим, что при параллельном соединении элементов между током и напря-
жением получается простое соотношение, если ввести параметр проводимости.
С другой стороны, при последовательном соединении элементов это соотноше-
ние является простым при введении параметра сопротивления (см. уравнение
(4.95)). Переход от сопротивления Z к проводимости Y соответствует замене
схемы электрической цепи с последовательным соединением элементов г и х на
эквивалентную схему электрической цепи с параллельным соединением элемен-
тов д и Ь.
4.12. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ
С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Иногда нет необходимости учитывать все процессы, происходящие в электри-
ческих цепях. Во многих случаях электромагнитное поле распределено вдоль
цепи неравномерно. На одних участках преобладает электрическое поле (конден-
сатор), на других — магнитное поле (индуктивная катушка) или преобразование
электромагнитной энергии в теплоту (резистор). В этом случае достаточно допу-
щения о сосредоточении отдельных элементов на определенном участке электри-
ческой цепи. Подобные электрические цепи, имеющие в общем случае более
сложную конфигурацию, называются электрическими цепями с сосредоточенны-
ми параметрами. Электрическую цепь можно рассматривать как цепь с сосредо-
точенными параметрами, если скорости изменения напряжений и токов столь
малы, что за время распространения электромагнитных волн вдоль всей цепи
в любом направлении, изменения напряжений и токов остаются малыми по срав-
нению с полным их изменением в исследуемом режиме [2].
4.12. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
59
Электрическую цепь с сосредоточенными параметрами можно представить
в виде схемы (рис. 21), в которой на участке ab сосредоточено все сопротивле-
ние цепи г, на участке Ьс сосредоточена вся емкость С, а на участке cd — вся ин-
дуктивность L. Реальные элементы цепи также можно разложить на соответству-
ющие составляющие. Например, индуктивная катушка представляет элемент
электрической цепи, предназначенный для использования его индуктивности.
Однако кроме индуктивности катушка обладает активным сопротивлением провода
и электрической емкостью между витками обмотки. При определенных условиях
этими не основными составляющими индуктивной катушки можно пренебрегать.
d с
Рис. 21. Схема электрической цепи с сосредоточенными параметрами.
Участок электрической цепи ab соответствует резистору г; участок Ьс — конденса-
тору С; участок cd — индуктивной катушки L.
Поскольку в электрической цепи с сосредоточенными параметрами электро-
движущая сила самоиндукции и взаимоиндукции возникает только на участке
цепи cd, то на других участках, где дФ/dt = 0, электрическое поле можно считать
потенциальным (см. (3.4)). В этом случае при определении напряжения
ь
u,=jEdl, (4.139)
а
uc=$Edl (4.140)
ь
пути интегрирования могут быть произвольными за исключением области магнит-
ного поля индуктивной катушки. При определении напряжения на зажимах индук-
тивной катушки интеграл также берется вдоль пути, который не проходит через
магнитное поле катушки, например, вдоль провода катушки [18]
a
uL=$Edl. (4.141)
С
Для удобства в электрической схеме задают условные положительные направ-
ления тока, электродвижущей силы и напряжения на зажимах элементов цепи
(рис. 22) [18]. При этом, если действительные направления тока, напряжения
и электродвижущей силы в данный момент времени совпадают с условными по-
ложительными направлениями, то действительные мгновенные значения этих ве-
личин являются положительными.
эис. 22. Условные положительные направления тока, электродвижущей силы и напряжения
на зажимах элементов электрической цепи г, С и L.
60
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
Напомним, что направление тока условно считается совпадающим с тем на-
правлением, в котором под действием электрического поля Е двигаются положи-
тельные заряды. Таким образом, ток протекает от точки с более высоким потен-
циалом фа к точке с более низким потенциалом ф0
иоь=Фо-фь>0. (4.142)
при этом первый нижний индекс (а) в обозначении напряжения иаЬ соответствует
большему потенциалу.
Для активного сопротивления г, которое является всегда положительной вели-
чиной,
иаЬ=ПаЬ. (4.143)
Следовательно, ток и напряжение на активном сопротивлении одновременно яв-
ляются положительными или отрицательными, что соответствует положительной
активной мощности
pr=Uri=uatJiab>0. (4.143)
Для конденсатора
4*=^ (4.144)
иаЬ и Qa имеют одинаковый знак, поскольку С > 0. Положительный ток iab > 0 соот-
ветствует притоку положительных зарядов к пластине а. Пусть при этом конден-
сатор заряжается, тогда qa > 0 и соответственно ис = > 0. Это позволяет вы-
брать для тока и напряжения на конденсаторе одинаковое условное положитель-
ное направление. При этом мощность при заряде конденсатора является положи-
тельной величиной
pc=uci>0. (4.145)
Для индуктивной катушки
(4.146)
и поток самоиндукции TL и ток i имеют одинаковый знак, поскольку L > 0. Элект-
родвижущая сила самоиндукции eL, напряжение самоиндукции uL и ток связаны
соотношением
uL— eL=t^. (4.147)
Поэтому для положительного тока iab > 0, который к тому же возрастает di/dt > 0,
имеем uL = uab > 0. Возрастание положительного тока соответствует увеличению
магнитной энергии магнитного поля и положительной мощности на зажимах ка-
тушки
pL=t/Li>0. (4.148)
Заметим, что в соответствии с (4.148) действительные направления электро-
движущей силы самоиндукции eL и напряжения самоиндукции uL всегда противо-
положны по направлению. Поэтому условно положительные направления у них
одинаковые от «+» к «-». При этом необходимо помнить, что катушка в данном
случае выступает в качестве источника электродвижущей силы.
Для двух индуктивно связанных контуров при выбранном положительном на-
правлении токов ц и i2 взаимную индуктивность М следует считать положитель-
ной, когда потоки взаимной индукции совпадают по знаку с потоками самоиндук-
ции. Следовательно, М > 0 при согласном расположении катушек и М < 0 при
встречном расположении катушек.
4.12 ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
61
Рис. 23. Условные положительные направления двух индуктивно связанных контуров.
Точками обозначены зажимы катушки, в которые входят условные положительные
токи.
Поскольку электродвижущая сила взаимной индукции е1М и е2М, напряжение
взаимной индукции t/1M и t/2M и ток связаны соотношениями
=Л4-^р (4.142)
=“ё2м (4.143)
то условно положительные направления электродвижущей силы и напряжения
взаимной индукции совпадают с условно положительными направлениями элект-
родвижущей силы и напряжения самоиндукции. Это показано на рис. 23 для двух
согласно расположенных катушек.
Глава 5
ИСТОЧНИКИ ЭНЕРГИИ
5.1. ИСТОЧНИК ЭЛЕКТРОДВИЖУЩЕЙ СИЛЫ
В отличие от пассивной электрической цепи, в активную электрическую цепь
входят источники энергии. Реальный источник энергии обладает внутренним со-
противлением. Сопротивление г и электродвижущая сила е источника зависят от
тока в электрической цепи [21]. В большинстве случаев изменения е и г незначи-
тельны, поэтому можно считать, что электродвижущая сила источника и его внут-
реннее сопротивление являются постоянными величинами. Тогда источник элект-
родвижущей силы можно изобразить в виде эквивалентной схемы, на которой
внутреннее сопротивление источника сосредоточено в резисторе г (рис. 24). Та-
ким образом, напряжение на зажимах источника и меньше электродвижущей
силы е на падение напряжения на резисторе г
и = е - ri.
(5.1)
Рис. 24. Эквивалентная электрическая схема источника электродвижущей силы.
Для замкнутой электрической цепи можно записать
e=i(r+rn)
или
е
——
г+гп
(5.2)
(5.3)
где гп — сопротивление приемника, присоединенного к зажимам источника энер-
гии. Из (5.3) следует, что ток в электрической цепи ограничен внутренним сопро-
тивлением источника электродвижущей силы, поскольку наибольший ток соответ-
ствует току короткого замыкания при гп = О
е
(5.4)
5.2. ИСТОЧНИК ТОКА
63
Если можно пренебречь падением напряжения внутри источника, т. е. ir<et то
напряжение на зажимах источника равно электродвижущей силе и = е, и источник
можно считать идеальным. У идеального источника электродвижущей силы внут-
реннее сопротивление равно нулю г = 0. Такой источник должен обладать беско-
нечно большой мощностью, поскольку в режиме короткого замыкания гп = 0 и ток
возрастает до бесконечности.
5.2. ИСТОЧНИК ТОКА
В другом крайнем случае, когда внутреннее сопротивление источника значи-
тельно больше сопротивления приемника ток в электрической цепи равен
току короткого замыкания (сравните (5.3) и (5.4))
р
* = 7 = *к. (5.5)
В этом случае источник энергии можно считать идеальным источником тока, в ко-
тором ток не зависит от сопротивления приемника гп. В идеальном источнике
тока изменение сопротивления внешней цепи гп приводит лишь к изменению на-
пряжения и на зажимах источника энергии
u=rni. (5.6)
В идеальном источнике тока при увеличении гп до бесконечности (при размыка-
нии внешней цепи) напряжение на зажимах должно увеличиваться до бесконеч-
ности, т. е. идеальный источник тока также должен обладать бесконечно большой
мощностью.
Преобразуем уравнение напряжений (5.2) в уравнение токов, разделив его на
сопротивление источника г,
Если учесть ток короткого замыкания (5.4) и ввести величину тока внутри источ-
ника
»и=7. (5.8)
то уравнение (5.7) принимает вид
1к=*+*и- (5.9)
Последнее уравнение можно трактовать следующим образом. Ток iK, генериру-
емый источником тока, состоит из тока, отдаваемого источником во внешнюю
цепь i, и тока замыкающегося внутри источника на внутреннее сопротивление г.
Уравнению (5.9) соответствует электрическая схема, эквивалентная источнику
тока, которая изображена на рис. 25.
В эквивалентной схеме идеального источника тока сопротивление г отсутству-
ет, поскольку 1И = 0 для Г —> 00.
=>ис 25. Эквивалентная электрическая схема источника тока.
64
ИСТОЧНИКИ ЭНЕРГИИ
5.3. ЭКВИВАЛЕНТНЫЙ ГЕНЕРАТОР
В электрической схеме отдельную ветвь всегда можно выделить точками а и Ь,
а оставшуюся часть схемы изобразить прямоугольником (рис. 26). По отношению
к ветви ab прямоугольник представляет двухполюсник, т. е. часть электрической
схемы с двумя выходными зажимами, присоединенными к выделенной ветви ab
[24]. Двухполюсник может быть активным, в состав которого входит источник
энергии, и пассивным, не имеющим источников.
Рис 26 Активный двухполюсник А с подключенной к нему ветвью ab
Определим ток i в ветви аЬ, подключенной к активному двухполюснику А
(рис. 26). Этот ток не изменится, если в ветвь ab добавить два источника энергии
с равными, но противоположно направленными, электродвижущими силами и е2
(рис. 27,а).
Рис 27. К определению эквивалентного генервтора
а — электрическая схема эквивалентная схеме на рис. 26;
б — выбор численного значения электродвижущей силы е, для схемы с активным
двухполюсником А,
в — определение токв i2 для схемы с пассивным двухполюсником П.
На основе принципа наложения ток можно представить в виде суммы [24]
i = i1+i2, (5.10)
где — ток, вызванный электродвижущей силой е, и источником энергии актив-
ного двухполюсника А (рис. 27,6), i2 — ток, вызванный электродвижущей силой е2
(рис. 27,в). В двухполюснике П, по сравнению с двухполюсником А, отсутствуют
электродвижущие силы, однако оставлены все внутренние сопротивления источ-
ников.
Для участка цепи аЬ, содержащего электродвижущую силу е, (рис. 27,6),
найдем
и-е.
1,=-^. (5.11)
5.4. СОГЛАСОВАНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЙ
65
учитывая, что электродвижущая сила е, направлена навстречу и. Численное зна-
чение е, выберем таким, чтобы ц = 0, т. е. электрическая схема будет находиться
в режиме холостого хода. Таким образом,
(5.12)
где t/x — напряжение на зажимах ab в режиме холостого хода. После выбора чис-
ленного значения е, уравнение (5.10) упрощается до
i = i2. (5.13)
Теперь из схемы на рис. 27,в определим ток i2
где Гвх — входное сопротивление двухполюсника относительно зажимов ab. Урав-
нению (5.14) соответствует эквивалентная схема Гельмгольца-Тевена, в которой
совокупность величин гвх и t/x можно рассматривать в качестве эквивалентного
генератора с внутренним сопротивлением и электродвижущей силой е2 = t/x
(рис. 28). Таким образом, любую часть электрической схемы с источниками энер-
гии можно заменить эквивалентным генератором.
Рис. 28. Электрическая схема эквивалентного генератора с электродвижущей силой е2 = их
и внутренним сопротивлением гм.
Если в двухполюснике имеется источник тока, то соответствующая схема
эквивалентного генератора тока принимает вид, представленный на рис. 25
[24, 33], в котором г- rKwiK =
5.4. СОГЛАСОВАНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЙ
К источнику энергии с внутренним сопротивлением Z = r+jx подсоединим
приемник с комплексным сопротивлением Zn=rn+jxn. Определим, при каком со-
противлении Zn приемнику передается наибольшая активная мощность рп. По
аналогии с (5.3) найдем комплексный ток I в электрической цепи, изображенной
на рис. 29,
т - Е E(z+zn)
Z+Zn (г+гП)2+(х+хП)2'
(5.15)
Это позволяет вычислить активную мощность рп
рп=/гГп=Ягп =
(''+rn)2+(* + *n)2'
(5.16)
3 Теория и расчет трансформаторов
66
ИСТОЧНИКИ ЭНЕРГИИ
Z
—I__I 0 » I
,(f и
Zn
Е
Рис. 29. Эквивалентная электрическая схема источника электродвижущей силы с комплекс-
ными параметрами.
Очевидно, что наибольшая мощность для произвольного гп получается при ус-
ловии [29]
(5.17)
что соответствует условию резонанса в электрической цепи. Приравнивая к нулю
производную мощности рп,по гп> получаем условие для активного сопротивления
(5.18)
Таким образом, наибольшая мощность в нагрузке выделяется, если сопротивле-
ние источника и нагрузки согласованы так, что внутреннее сопротивление источ-
ника равно комплексно сопряженному сопротивлению нагрузки
(5.19)
Этому условию соответствует максимальная мощность
Рпгпах — дуг*
При согласовании только активных сопротивлений
E2r
Pnmax “ . _ z *
4г2+(х + хп)г
(5.20)
(5.21)
Если сопротивление приемника изменяется так, что угол <рп между напряжени-
ем ип и током j сохраняется постоянным, то мощность рп удобно записать в виде
E2zncos<pn
₽п (г+zncos<pn У +(* +*nsin<pn У'
(5.22)
Приравнивая к нулю производную рп по zn, получаем условие
(5.23)
т. е. модуль комплексного сопротивления приемника равен модулю комплексного
внутреннего сопротивления источника энергии
zn=z.
(5-24)
При согласованном сопротивлении максимальная мощность в нагрузке
E2cos<pn
₽Птах =2z(1+cos(<p-<pn))’
(5.25)
5 5. ПАРАМЕТРЫ ИСТОЧНИКА ЭНЕРГИИ
67
где ср — фазовый угол источника энергии, который определяется из соотношений
r=zcoscp, (5.26)
х=гв1пф. (5.27)
5.5. ПАРАМЕТРЫ ИСТОЧНИКА ЭНЕРГИИ
Активная мощность р, отдаваемая источником энергии,
р=Re(E/)= 72Re(Z+Zn )= I2 (г +r„). (5.28)
При этом учтено соотношение
Z+Zn=f£. (5.29)
которое следует из (5.15). Тогда коэффициент полезного действия источника
энергии
^^=А=1-т^п- <5-з°)
При согласовании сопротивлений (гп = г) коэффициент полезного действия источ-
ника энергии равен 0,5.
Построим графики основных параметров источника электродвижущей силы
в зависимости от тока I. Для простоты будем считать, что выполняется условие
согласования реактивных сопротивлений хн = -х, а активное сопротивление нагруз-
ки является переменной величиной. Это позволяет упростить выражение (5.29)
Е г+г"~т (5.31)
а вместо (5.16), (5.22) и (5.30) получить
pn=EI-rI2, (5.32)
Р = Е1. (5.33)
”-14- (5.34)
Кроме того, для напряжения на приемнике имеем соотношение
Un=E-rI. (5.35)
Соответствующие графики представлены на рис. 30 [21]. При гп = °° (электриче-
ская цепь разомкнута) ток I равен нулю. При гп = г, когда ток равен половине тока
короткого замыкания, приемнику передается максимальная мощность рп, равная
половине мощности источника энергии р. При гп = 0 (короткое замыкание) ток I
равен току короткого замыкания Z=ZK=y. С увеличением тока напряжение Un
линейно снижается, как и коэффициент полезного действия источника электро-
движущей силы.
68
ИСТОЧНИКИ ЭНЕРГИИ
Рис. 30. Схематическое изображение зависимости параметров источника электродвижущей
силы от тока в электрической цепи.
Из (5.30) и (5.34) следует, что коэффициент полезного Действия источника
энергии близок к единице, когда внутреннее сопротивление источника близко
к нулю (г « 0). В этом случае вся активная мощность источника передается на-
грузке (Дп ~ Р)- Если сопротивлением источника пренебрегать нельзя, то мак-
симальная мощность нагрузки получается при согласовании сопротивлений ис-
точника и нагрузки. Однако при этом коэффициент полезного действия не превы-
шает 0,5.
Глава 6
МАГНИТНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
МАГНИТОПРОВОДА
6.1. ИЗМЕРЕНИЕ МАГНИТНЫХ ПАРАМЕТРОВ
Измерения магнитных параметров проводят на образце магнитного материа-
ла, который, по сути, является магнитопроводом. Магнитопровод представляет
магнитную систему, выполненную в виде отдельной конструктивной единицы. Он
имеет вполне определенные форму и размеры, а его внутренняя структура зави-
сит от типа магнитного материала. Часто в качестве ферромагнитного материала
используют ленту толщиной (0,01...0,5) мм, большая площадь поверхности кото-
рой контактирует с немагнитной средой.
Для определения магнитных параметров магнитопровода используют механи-
ческое или электромагнитное действие магнитного поля [34-36]. Материальное
уравнение (1.18)
В=цц0Я (6.1)
связывает две макроскопические величины, характеризующие магнитное поле —
магнитную индукцию В и напряженность магнитного поля Н. Магнитное поле со-
здается внешним по отношению к ферромагнитному телу источником, поэтому
его определяют как напряженность «внешнего магнитного поля» Нв.
Напряженость магнитного поля внутри ферромагнитного тела будем называть
напряженностью «внутреннего магнитного поля» Нг Определение «внутреннее»
относится к ферромагнитному телу по отношению к окружающей немагнитной
среде. В соответствии с (1.27) имеем
(6.2)
Для неизменяемых во времени параметров и при отсутствии токов проводи-
мости можно восп.ользоваться аналогией с электростатикой [37]. Это позволяет
представить напряженность внутреннего магнитного поля Ц в виде суммы напря-
женности внешнего магнитного поля Нв и напряженности магнитного поля, со-
зданного магнитными зарядами, Но
Н,=Нв+Но. (6.3)
Следовательно, если = Нв, то полученная в результате измерений зависимость
3 = f(HB) характеризует свойства ферромагнитного материала. Если же * Нв, то
70
МАГНИТНЫЕ ПАРАМЕТРЫ МАГНИТОПРОВОДА
зависимость В = f(He) характеризует свойства магнитопровода, количество и рас-
пределение магнитных зарядов в котором, а фактически форма и размеры магни-
топровода, будут влиять на вид этой зависимости [38].
Таким образом, для определения параметров магнитного материала магни-
топровод должен иметь форму, которая бы обеспечивала равенство внутреннего
и внешнего магнитных полей. Для этого намагниченность внутри ферромагнитно-
го тела должна быть однородной, поскольку в этом случае divAf = 0 и объемные
магнитные заряды отсутствуют (см. (1.30)). Далее, на поверхности ферромагнит-
ного тела нормальная составляющая намагниченности должна быть равна нулю,
что обеспечивает отсутствие поверхностных магнитных зарядов (см. (1.47)). Этим
требованиям в наибольшей степени удовлетворяет замкнутый магнитопровод,
находящийся во внешнем магнитном поле, которое возбуждается обмоткой, рав-
номерно нанесенной на магнитопровод (рис. 7). В этом случае внешнее магнит-
ное поле Не направлено по касательной к окружностям, сконцентрированным вок-
руг оси тела вращения параллельно торцевой поверхности магнитопровода, а на-
магниченность в ферромагнетике М параллельна Не.
Отметим, что даже в замкнутом магнитопроводе не удается полностью исклю-
чить магнитные поля рассеяния. В частности, это магнитные поля рассеяния,
обусловленные кривизной ленты [39]. Оценка показывает, что для аморфной лен-
ты толщиной 0,025 мм кривизной ленты можно пренебрегать при среднем диа-
метре магнитопровода более 20 мм [16].
Напряженность внешнего магнитного поля Не можно найти, исходя из конст-
рукции источника этого поля. Рассчитаем напряженность внешнего магнитного
поля, созданного обмоткой с током равномерно охватывающей пространство
кольцевой формы. Из закона полного тока (3.15) для контура длиной Z, который
находится внутри кольца, можно найти
М iw /ел»
Не=—» (6-4)
где l = nQ — длина контура; г/ — диаметр контура; w — число витков обмотки. Из
этой формулы следует, что напряженность магнитного поля на внутренней части
кольца больше, чем на наружной части.
После интегрирования (6.4) по координате от внутреннего радиуса d/2 до на-
ружного радиуса D/2 получаем среднее значение напряженности внешнего маг-
нитного поля внутри кольца
D
Нвсо \H.dD = dng. ..
ec₽ D-d’a ® n(D-d) d (0.5)
2
После подстановки средней длины магнитной линии (3.20) и отношения на-
ружного и внутреннего диаметра кольца u. = D/d (3.21) получаем
о iw а+1 .
Hecp-Zcp 2(а-1) (6 6>
Для небольших значений (а - 1) средняя напряженность внешнего магнитного
поля, созданного обмоткой с током равномерно охватывающей пространство
кольцевой формы, имеет вид
iw
Нес^Т-- (6.7)
*ср
6.2. КРИВАЯ НАМАГНИЧИВАНИЯ
71
Если наружный диаметр магнитопровода D не превышает внутренний диаметр
d более чем в 2 раза, то погрешность расчета по формуле (6.7) не более 4% [16].
Магнитную индукцию определяют из закона электромагнитной индукции (3.2)
еинд =_дФ_
е dt'
(6.8)
где Ф — магнитный поток через поверхность, ограниченную контуром, в котором
возбуждается электродвижущая сила индукции еИНА. Измерительные средства
позволяют определить магнитный поток или электродвижущую силу индукции
с помощью измерительной обмотки, нанесенной на магнитопровод [34-36]. При
этом измерительная обмотка наносится максимально близко к магнитопроводу,
а витки располагаются перпендикулярно линиям магнитной индукции. В этом
случае
O=wjBds=BSiv, (6.9)
где S — площадь поперечного сечения магнитопровода. Заметим, что из (6.9)
следует
т. е. магнитная индукция, полученная в результате измерений, представляет плот-
ность магнитного потока, Вб/м2.
Из (6.8) и (6.9) находим
е=-ё^?еИнд^+б(г,). (6.11)
Для установившегося режима синусоидальной магнитной индукции В = Вте*°* и
еинд =-Sw^=-ju)SwB. (6.12)
Из (6.12) находим магнитную индукцию
т. е. вектор магнитной индукции, представляющий синусоидальную функцию вре-
мени, повернут на угол +л/2 против хода часовой стрелки относительно вектора
электродвижущей силы индукции.
Следовательно, магнитные измерения позволяют найти зависимость магнит-
ной индукции от напряженности магнитного поля, которая с некоторым прибли-
жением соответствует материальному уравнению (6.1). При этом магнитная ин-
дукция является плотностью магнитного потока, а напряженность магнитного
поля представляет напряженность внешнего магнитного поля Нв, направление ко-
торого перпендикулярно плоскости витка измерительной обмотки.
6.2. КРИВАЯ НАМАГНИЧИВАНИЯ
Типичный вид зависимости В = В(Н), измеренной при возрастании напряжен-
ности постоянного магнитного поля Н из начального состояния Н = 0 и В = 0, ко-
торое соответствует размагниченному состоянию магнитопровода, представлен
на рис. 31. В дальнейшем индекс е будем опускать, а под величиной Н понимать
72
МАГНИТНЫЕ ПАРАМЕТРЫ МАГНИТОПРОВОДА
напряженность внешнего магнитного поля. Полученную таким образом зависи-
мость называют начальной кривой намагничивания. Размагниченное состояние
получают путем нагрева ферромагнетика выше температуры Кюри и последую- I
щего охлаждения, или в переменном магнитном поле с постепенно убывающей
до нуля амплитудой напряженности магнитного поля. На практике чаще всего ис-
пользуют второй способ.
Введем основные магнитные параметры по начальной кривой намагничивания
[40]. Степень возрастания магнитной индукции с увеличением напряженности
магнитного поля характеризует относительная магнитная проницаемость
В
“цХ 16,41
Начальную относительную магнитную проницаемость цн находят экстраполя-
цией зависимости магнитной проницаемости ц = ц(Н) к нулю, т. е.
1 , В
^=^Н- (6.15)
На практике, вместо начальной относительной магнитной проницаемости, ука-
зывают близкое к ней значение относительной магнитной проницаемости, из-
меренное в достаточно слабом магнитном поле. Например, Цом обозначает от-
носительную магнитную проницаемость, измеренную при напряженности магнит-
ного поля 0,08 А/м.
Наибольшее значение относительной магнитной проницаемости называют
максимальной относительной магнитной проницаемостью
Дифференциальная относительная магнитная проницаемость pd определяется
соотношением
1 dB
т. е. она является производной функции В = В(Н) в некоторой точке Н, нормиро-
ванной на магнитную постоянную. Производная dB/dH численно равна тангенсу
угла наклона касательной в точке на зависимости В = В(Н).
Н,А/м
Рис. 31. Начальная кривая намагничивания нанокристаллического сплава ГМ 414
1 — область начальной магнитной проницаемости;
2 — область максимальной магнитной проницаемости;
3 — область магнитного насыщения
6.2. КРИВАЯ НАМАГНИЧИВАНИЯ
73
Рис. 32. Зависимость нормальной ц и дифференциальной p.d относительной магнитной про-
ницаемости от напряженности магнитного поля Н по начальной кривой намагничи-
вания, представленной на рис. 31.
цн — начальная относительная магнитная проницаемость;
Ртах — максимальная относительная магнитная проницаемость;
Цо.ое ~ относительная магнитная проницаемость при напряженности магнитного
поля Н = 0,08 А/м.
После преобразования (6.16) с учетом уравнения (6.5) получаем
dfriH) dp
dH Ц HdH' (б-17)
Это уравнение связывает дифференциальную относительную магнитную про-
ницаемость jid и относительную магнитную проницаемость ц. Последнюю величи-
ну иногда называют нормальной относительной магнитной проницаемостью, что-
бы подчеркнуть ее отличие от дифференциальной проницаемости.
Из (6.17) следует, что дифференциальная и нормальная проницаемости равны
только при условии Н = 0 или д\л/дН = 0. Дифференциальная магнитная проница-
емость достигает наибольшего значения в более слабом магнитном поле, и это
значение всегда больше ц^х (рис. 32). Кривые ц = ц(Н) и p,d = p,d(H) пересекаются
только в точке ц = = ц^х, поскольку в этой точке дц/дН = 0.
Из рис. 31 видно, что на начальной кривой намагничивания можно выделить
три участка, которые отличаются характером зависимости В = В(Н). Эти участки
соответствуют области слабого магнитного поля (1), области максимальной маг-
нитной проницаемости (2) и области приближения к магнитному насыщению (3).
Намагничивание в областях 1 и 2 осуществляется преимущественно за счет сме-
щения доменных границ, поэтому такие процессы называют процессами смеще-
ния. В области 3 преобладают процессы, связанные с поворотом вектора на-
магниченности к направлению внешнего магнитного поля. Эти процессы принято
называть процессами вращения. Такое разделение преобладающих процессов
намагничивания в области слабого и сильного магнитных полей является доста-
точно условным. В ферромагнетике можно создать такую магнитную структуру,
которая обеспечивает намагничивание за счет процессов вращения уже в слабом
магнитном поле.
74
МАГНИТНЫЕ ПАРАМЕТРЫ МАГНИТОПРОВОДА
Я,А/м
Рис. 33. Начальная кривая намагничивания аморфного сплава ГМ 503 после термической
обработки в продольном (А) и поперечном (В) магнитных полях.
На рис. 33 представлены начальные кривые намагничивания магнитопрово-
дов, изготовленных из одного и того же аморфного сплава. Магнитопровод ГМ
503А отжигали в магнитном поле, направление которого совпадает с направлени-
ем внешнего магнитного поля при измерении. В нем намагничивание происходит
за счет смещения доменных границ, а на кривой намагничивания можно выде-
лить критическую напряженность магнитного поля, выше которой магнитный ма-
териал практически скачком достигает магнитного насыщения. Магнитная прони-
цаемость такого магнитопровода существенно зависит от напряженности магнит-
ного поля (рис. 34).
В магнитопроводе ГМ 503В направления магнитного поля при отжиге и при из-
мерении были взаимно перпендикулярными. При этом уже в слабом магнитном
поле намагничивание происходит за счет вращения [16], а кривая намагничива-
ния является линейной (рис. 33).
Рис. 34 Зависимость относительной магнитной проницаемости ц от напряженности маг-
нитного поля Н по начальной кривой намагничивания, представленной на рис. 33.
6.3. ПЕТЛЯ МАГНИТНОГО ГИСТЕРЕЗИСА
75
Магнитная проницаемость магнитопровода ГМ 503В практически не зависит
от напряженности магнитного поля, исключая, естественно, область магнитного
насыщения (рис. 34). Кривые намагничивания на рис. 33 иллюстрируют два ти-
пичных процесса намагничивания: смещение доменных границ — ГМ 503А и вра-
щение намагниченности — ГМ 503В.
6.3. ПЕТЛЯ МАГНИТНОГО ГИСТЕРЕЗИСА
Зависимость В = В(Н), представленная на рис. 34, является начальной кривой
намагничивания, которая получена при непрерывном увеличении напряженности
магнитного поля Н из размагниченного состояния (В = 0, Н = 0). Если теперь
уменьшить напряженность магнитного поля, то ферромагнетик уже не вернется
в прежнее состояние, и при одинаковом значении Н мы получим разные значения
магнитной индукции. Такая неоднозначная зависимость магнитной индукции от
напряженности магнитного поля связана с магнитным гистерезисом. Магнитный
гистерезис в ферромагнетике обусловлен существованием метастабильных со-
стояний. Последнее обстоятельство предоставляет возможность выбора различ-
ных состояний ферромагнетика при изменении магнитного поля.
Если изменять напряженность магнитного поля от -Нтах до + Нтах и снова
к -Нтах, то зависимость В = В(Н) будет иметь вид петли магнитного гистерезиса.
При каждом новом цикле перемагничивания магнитная индукция для одного
и того же значения напряженности магнитного поля будет несколько различаться,
однако с увеличением числа циклов это различие нивелируется. Считается, что
стабильность петли магнитного гистерезиса достигается примерно через десять
циклов [40]. На рис. 35 представлено семейство симметричных петель магнитно-
го гистерезиса, стабилизированных при различной максимальной напряженности
магнитного поля Н^. Обычно петли гистерезиса симметричны относительно на-
чального размагниченного состояния Н = 0, В = 0.
В, Тл 1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Н,А/м
Рис. 35. Семейство симметричных петель магнитного гистерезиса нанокристаллического
сплава ГМ 414.
Вт — остаточная магнитная индукция;
Нс — коэрцитивная сила;
^тах ~ максимальная магнитная индукция;
Итак ~ максимальная напряженность магнитного поля.
76
МАГНИТНЫЕ ПАРАМЕТРЫ МАГНИТОПРОВОДА
Петля магнитного гистерезиса состоит из двух ветвей: восходящей ветви, ха-
рактеризующей нарастание напряженности магнитного поля от -Нтах до + Нтлх
с положительным дифференциалом dH > 0 и нисходящей ветви, характеризу-
ющей убывание напряженности магнитного поля от +4^ до -Нтах с отрицатель-
ным дифференциалом dH < 0.
Характерными точками на петле гистерезиса являются точки ее пересечения
с координатными осями (рис. 35). Величина магнитной индукции при напряжен-
ности магнитного поля Н = 0 называется остаточной магнитной индукцией Вг Ве-
личина напряженности магнитного поля при магнитной индукции В = 0 называет-
ся коэрцитивной силой Нс. Когда речь идет о параметрах магнитного материала,
то имеют в виду остаточную магнитную индукцию Вт и коэрцитивную силу Нс на
предельной петле магнитного гистерезиса. Для частного цикла условимся обо-
значать соответствующие параметры с указанием значения максимальной напря-
женности магнитного поля Н^. Например, НС800 и В^ соответствуют параметрам
частной петли при напряженности магнитного поля Нтах = 800 А/м.
Если максимальное магнитное поле соответствует состоянию магнитного на-
сыщения, то такую петлю называют предельной петлей магнитного гистерезиса.
Остальные петли семейства называют частными петлями магнитного гистерези-
са. Вершины симметричных петель магнитного гистерезиса образуют основную
кривую намагничивания.
Экспериментально основную кривую намагничивания получить значительно
проще, чем начальную кривую намагничивания (кривую первого намагничивания),
поэтому основная кривая намагничивания используется наиболее широко. Опре-
деления магнитных параметров по начальной кривой намагничивания полностью
переносятся на основную кривую намагничивания.
В соответствии с (1.28) магнитная индукция в ферромагнитном материале ра-
стет даже после достижения состояния магнитного насыщения М = Ms. Поэтому
за величину магнитной индукции насыщения 8S принимается величина (В - [LqH)
в магнитном поле соответствующем намагниченности насыщения Ms [13]
Bs=MoMs (6.18)
Иногда вместо магнитной индукции насыщения указывают величину магнит-
ной индукции в достаточно сильном магнитном поле. Например, для аморфных
и нанокристаллических магнитомягких сплавов магнитная индукция В^ при на-
пряженности магнитного поля 800 А/м близка к магнитной индукции насыщения.
Форму петли магнитного гистерезиса характеризует отношение остаточной
магнитной индукции к максимальной магнитной индукции по петле гистерезиса
iz 8г
кп = р—• (6.19)
Dmax
Это отношение называется коэффициентом прямоугольности петли магнитно-
го гистерезиса. Если коэффициент приближается к единице, то магнитная петля
по форме близка к прямоугольнику, а если Кп приближается к нулю, то форма
петли становится линейной. На частных циклах принято приводить значение ко-
эффициента прямоугольности с указанием максимальной напряженности магнит-
ного поля, например, КП10 — коэффициент прямоугольности петли магнитного ги-
стерезиса при напряженности магнитного поля 10 А/м.
Ранее мы ввели понятие дифференциальной магнитной проницаемости по на-
чальной кривой намагничивания (6.16). Аналогичным образом вводится диффе-
ренциальная магнитная проницаемость по петле магнитного гистерезиса. Однако
6.3. ПЕТЛЯ МАГНИТНОГО ГИСТЕРЕЗИСА
77
в данном случае необходимо учитывать направление изменения магнитного поля,
т. е. знак дифференциала dH. Обозначение принимается для дифференциаль-
ной магнитной проницаемости, определяемой по формуле (6.16), при dH > 0 для
восходящей ветви магнитного гистерезиса и при dH < 0 для нисходящей ветви.
Встречная дифференциальная магнитная проницаемость также определяется
соотношением (6.16), но при противоположном знаке изменения магнитного
поля, т. е. при dH < 0 для восходящей ветви петли магнитного гистерезиса и при
dH > 0 для нисходящей ветви.
При одном и том же значении напряженности магнитного поля все четыре
вида дифференциальной магнитной проницаемости (^ и для восходящей вет-
ви и p.d и pd_ нисходящей ветви) могут различаться.
Магнитная проницаемость на частном несимметричном цикле в некоторой
точке петли магнитного гистерезиса (рис. 36) определяется соотношением
<6-2°)
При измерении, на постоянное магнитное поле Но накладывается магнитное
поле, циклически изменяющееся от Но - АН до Но по восходящей ветви петли маг-
нитного гистерезиса. Частный цикл всегда направлен внутрь петли магнитного ги-
стерезиса, т. е. на восходящей ветви он направлен влево, а на нисходящей —
вправо от ветви.
Если уменьшать значение АН на установившихся частных циклах, то в пределе
получаем величину цг
1 .. АВ
которую называют обратимой магнитной проницаемостью. На стабилизирован-
ных частных циклах после многократного циклического изменения магнитного
поля обратимая магнитная проницаемость цг совпадает с дифференциальной
магнитной проницаемостью, причем дифференциальная магнитная проницае-
мость возрастания* совпадает с дифференциальной магнитной проницаемостью
убывания.
Рис. 36. К определению магнитной проницаемости на частном несимметричном цикле пет-
ли магнитного гистерезиса.
Но — напряженность постоянного магнитного поля;
АН — размах напряженности магнитного поля;
АВ — размах магнитной индукции.
78
МАГНИТНЫЕ ПАРАМЕТРЫ МАГНИТОПРОВОДА
В качестве параметра импульсного однополярного намагничивания исполь-
зуют среднюю относительную магнитную проницаемость по основной кривой на-
магничивания [41]. Фактически она представляет магнитную проницаемость на
частном несимметричном цикле по основной кривой намагничивания цЛ с той
лишь разницей, что магнитное поле циклически изменяется от 0 до Нтах, т. е.
Д" = "тах.
где Нтах представляет точку на основной кривой намагничивания. Величина АВ
представляет соответствующее приращение магнитной индукции
АВ=Вгпах-Вг, (6.22)
где В^ — максимальная магнитная индукция, соответствующая напряженности
магнитного поля Вг — остаточная магнитная индукция на частном цикле.
Таким образом, средняя магнитная проницаемость при однополярном намаг-
ничивании
11 — — ^тах ~
Ц0ДН • (623)
Если в расчетах пренебрегают гистерезисом, то можно использовать среднюю
кривую намагничивания. Она определяется выражением
(в.24)
где знаком плюс обозначена восходящая ветвь петли гистерезиса, а знаком ми-
нус — нисходящая ветвь.
Безгистерезисная (идеальная) кривая намагничивания получается, когда на
постоянное магнитное поле Н в каждой точке кривой накладывается сильное пе-
ременное магнитное поле с постепенно убывающей до нуля амплитудой. Убыва-
ющее переменное магнитное поле устанавливает равновесное состояние в фер-
ромагнетике в присутствии фиксированного постоянного магнитного поля.
Следовательно, на идеальной кривой намагничивания каждому значению маг-
нитного поля Н соответствует лишь одно равновесное значение магнитной ин-
дукции В. На идеальной кривой намагничивания начальная магнитная проница-
емость достигает очень высоких значений.
Заметим, что все введенные выше параметры являются статическими, по-
скольку они соответствуют параметрам постоянного магнитного поля. Однако
при измерении этих параметров напряженность магнитного поля приходится из-
менять, например, проводить циклическое перемагничивание от -Н^ до +
Характер этих изменений магнитного поля влияет на то, какие метастабильные
состояния занимает ферромагнетик в каждый момент времени. Поэтому измеря-
емые в постоянном магнитном поле параметры только условно можно назвать
статическими. Для того, чтобы подчеркнуть это обстоятельство, иногда использу-
ют термин «квазистатические магнитные параметры».
6.4. МАГНИТНАЯ ЭНЕРГИЯ
И МАГНИТНЫЕ ПОТЕРИ НА ГИСТЕРЕЗИС
В главе 3 было показано, что плотность энергии магнитного поля катушки с то-
ком, изготовленной из провода равномерно нанесенного на кольцевой магнито-
провод, И/м (Дж/м3) можно представить в виде (3.42)
6.4. МАГНИТНАЯ ЭНЕРГИЯ И МАГНИТНЫЕ ПОТЕРИ НА ГИСТЕРЕЗИС
79
Втш
(6.25)
о
где интегрирование ведется по магнитной индукции в интервале от 0 до Втах. При
этом предполагали, что весь магнитный поток, созданный катушкой с током, со-
средоточен в магнитопроводе, а магнитный гистерезис отсутствует. Интеграл
(6.25) представляет площадь, ограниченную кривой намагничивания и прямой ли-
нией В = Втвх.
Для постоянной магнитной проницаемости ц = const получаем
ч Втах 02
Мог о ггог
или
= Ромбах (6.27)
Из (6.26) следует, что при фиксированном значении плотность магнитной
энергии будет больше в магнитопроводе, который обладает более низким значе-
нием относительной магнитной проницаемости. Это видно на рис. 37, на котором
заштрихованная область соответствует плотности магнитной энергии в магнит-
ном материале магнитопроводов ГМ 503В и ГМ 503А при = 0,4 Тл. Узкая об-
ласть с наклонной штриховкой вдоль оси В относится к магнитному материалу
магнитопровода ГМ 503А, имеющего высокую магнитную проницаемость.
Если зафиксировать напряженность магнитного поля Нтах, то в соответствии
с формулой (6.27) плотность магнитной энергии будет больше в материале с вы-
сокой магнитной проницаемостью.
Общая магнитная энергия магнитопровода пропорциональна объему магнит-
ного материала V
В2
W-=W-V^V- (6.28)
Рис. 37 .‘Кривые намагничивания магнитопроводов ГМ 503А и ГМ 503В и плотность магнит-
ной энергии WM.
Площадь заштрихованной области между осью В и кривой намагничивания ГМ 503В
соответствует плотности магнитной энергии магнитопровода ГМ 503В при мак-
симальной магнитной индукции Вт = 0,4 Тл.
Площадь области с наклонной штриховкой вдоль оси В соответствует плотности
магнитной энергии магнитопровода ГМ 503А.
80
МАГНИТНЫЕ ПАРАМЕТРЫ МАГНИТОПРОВОДА
Если ферромагнетик обладает гистерезисом, то между Н и В не существует
однозначной функциональной зависимости. Предположим, что состояние ферро-
магнетика стабилизировалось после многократного циклического перемагничи-
вания от ~Нтах до Н^. В этом случае можно считать, что каждому значению на-
пряженности магнитного поля Н соответствуют только два значения магнитной
индукции В: на восходящей и нисходящей ветвях петли магнитного гистерезиса,
т. е. после полного цикла перемагничивания ферромагнетик вернется в то же со-
стояние, из которого начинался процесс. При этом предполагается, что процесс
происходит при постоянной температуре. Тогда интеграл вдоль замкнутого конту-
ра петли магнитного гистерезиса
Wr=$HdB (6.29)
равен площади петли магнитного гистерезиса И/г (Дж/м3) (см. более подробно
[16]). Поскольку ферромагнетик после полного цикла перемагничивания вернулся
в исходное состояние, то величина 1/Ц- соответствует теплоте, отданной ферро-
магнитным телом за один полный цикл перемагничивания [2], и эту величину на-
зывают магнитными потерями на гистерезис.
Плотность магнитной энергии ферромагнетика при наличии гистерезиса мож-
но найти из формулы (6.25), при этом интегрирование необходимо вести от Вг
до В^ при положительном значении напряженности магнитного поля
®тах
%= И®- (6.30)
е,
Интеграл (6.30) представляет площадь, ограниченную нисходящей ветвью петли
магнитного гистерезиса и прямой линией В = Втах. Это позволяет утверждать, что
магнитная энергия будет выше в материале с низкой остаточной магнитной ин-
дукцией.
На рис. 38 площадь ИЛ, (И/2), заштрихованная вертикальными линиями, пред-
ставляет плотность магнитной энергии ферромагнитного материала при макси-
мальной магнитной индукции В^ (-Втах).
Рис 38. Схематическое представление магнитных потерь на гистерезис И/г, Дж/м3 и плот-
ности магнитной энергии ферромагнетика 1/V, (W2)•
6.5. ДИНАМИЧЕСКАЯ ПЕТЛЯ МАГНИТНОГО ГИСТЕРЕЗИСА
81
6.5. ДИНАМИЧЕСКАЯ ПЕТЛЯ
МАГНИТНОГО ГИСТЕРЕЗИСА
При периодическом изменении магнитного поля от положительного макси-
мального значения Нт до отрицательного максимального значения -Нт зависи-
мость В = В(Н) описывает динамическую петлю магнитного гистерезиса.
На рис. 39 представлена динамическая петля магнитного гистерезиса нано-
кристаллического сплава ГМ 414, полученная в режиме синусоидальной магнит-
ной индукции при Вт = 1 Тл и частоте f = 10 кГц. Здесь же приведена соответству-
ющая статическая петля.
Сравнение показывает, что площадь динамической петли больше. Вспомним,
что площадь петли магнитного гистерезиса соответствует энергии в единице
объема магнитного материала рассеиваемой в виде теплоты за полный цикл пе-
ремагничивания. Таким образом, при динамическом перемагничивании магнит-
ные потери увеличиваются. Здесь мы не будем рассматривать причины этого ро-
ста, однако заметим, что в металлическом ферромагнитном материале суще-
ственный вклад дают магнитные потери на вихревые токи [15, 16].
Если значение максимальной магнитной индукции Вт не превышает точки из-
гиба кривой намагничивания при переходе к магнитному насыщению, то синусои-
дальной магнитной индукции соответствует синусоидальная напряженность внеш-
него магнитного поля.
На рис. 40 представлена динамическая петля магнитного гистерезиса и раз-
вертка по времени магнитной индукции и напряженности магнитного поля, полу-
ченные в режиме синусоидальной магнитной индукции при Вт = 0,6 Тл и частоте
f= 10 кГц.
Рис. 39. Динамическая петля магнитного гистерезиса (1), полученная в режиме синусои-
дальной магнитной индукции при Вт = 1 Тл и f = 10 кГц, и статическая петля (2) на-
нокристалл и чес кого сплава ГМ 414
ВгД — динамическая остаточная магнитная индукция,
Нед — динамическая коэрцитивная сила;
— максимальная напряженность переменного магнитного поля.
82
МАГНИТНЫЕ ПАРАМЕТРЫ МАГНИТОПРОВОДА
а)
Рис. 40 Динамическая петля магнитного гистерезиса нанокристалл и ческого сплева ГМ 414
в области максимальной магнитной проницаемости при Вт = 0.6 Тл и f = 10 кГц (а)
и соответствующее изменение во времени магнитной индукции В и напряженности
мегнитного поля Н (б).
Видно, что магнитная индукция и напряженность магнитного поля являются
синусоидальными функциями времени, причем В запаздывает по отношению к Н
на угол у. Это позволяет записать
B = Bmcos(Df, (6.31)
Н = Hmcos(o>f + у). (6.32)
Преобразуем (6.32) к виду
Н ^/-/mcos^coscof-/-/msin\|/sincof = ^pCOSCDf-H^sincof, (6.33)
где введены обозначения
(6.34)
Цпр =HmCOSy.
(6.35)
Следовательно, напряженность магнитного поля имеет две составляющие, одна
из которых (Нтр) совпадает по фазе с магнитной индукцией, а другая (Н^) опере-
жает по фазе на 90° (рисг41).
Рис. 41. Векторная диаграмма положений максимальной магнитной индукции Вт, активной
^та и реективной составляющих напряженности магнитного поля Нт
6.5. ДИНАМИЧЕСКАЯ ПЕТЛЯ МАГНИТНОГО ГИСТЕРЕЗИСА
83
Физический смысл этих составляющих становится понятным, если вычислить
плотность магнитной энергии за полный цикл перемагничивания
2к 2к
W -jHdB = -BmHmp Jcoscofsincofdwt + B^H^ fsin2cirtdcot (6.36)
о о
Первый интеграл в (6.36) равен нулю, а второй дает величину
Wr =пВтНта =7tBmHmsini|/, (6.37)
которая равна площади динамической петли магнитного гистерезиса. Следова-
тельно, составляющая магнитного поля Нта связана с необратимыми процессами
перемагничивания, которые сопровождаются магнитными потерями. Составляю-
щая магнитного поля Нтр связана с обратимыми процессами перемагничивания,
происходящими без выделения тепла. В соответствии с этим параметры динами-
ческой петли магнитного гистерезиса Нта и Нтр называют активной и реактивной
составляющими максимальной напряженности магнитного поля.
Из (6.34) и (6.35) определяем тангенс угла у
W=77®-- (6.38)
''тр
Угол у, представляющий сдвиг во времени между синусоидальной магнитной ин-
дукцией и синусоидальной напряженностью магнитного поля, называют углом по-
терь, поскольку появление этого угола связано с магнитным гистерезисом.
Из (6.37) можно найти удельные магнитные потери Ра, Вт/м3 при частоте пере-
магничивания f
Ра ^Wr = 7cBmHmrsinig. (6.39)
Величина S, Вт/м3 определяет удельную полную намагничивающую мощность
S = №TPf=nBmHmf, (6.40)
где Рр — обратимая часть удельной полной намагничивающей мощности
Pp = 7tSmHmfcosy. (6.41)
Если магнитная индукция и напряженность магнитного поля связаны уравне-
ниями (6.31) и (6.32), то петля магнитного гистерезиса имеет эллиптическую
форму [16] (рис. 42). На эллиптической петле можно найти динамическую коэр-
цитивную силу Нсд
Нсд=Нт81пу. (6.42)
Из сравнения с (6.34) следует, что динамическая коэрцитивная сила равна актив-
ной составляющей максимальной напряженности магнитного поля
НСД=Н™. (6.43)
Учитывая (6.43), удельные магнитные потери (6.39) можно представить в виде
(6.44)
т. е. удельные магнитные потери пропорциональны динамической коэрцитивной
силе, максимальной магнитной индукции и частоте перемагничивания.
84
МАГНИТНЫЕ ПАРАМЕТРЫ МАГНИТОПРОВОДА
Рис 42 Эллиптическая петля магнитного гистерезиса, соответствующая синусоидальному
изменению магнитной индукции В и напряженности магнитного поля Н.
Вт — максимальная магнитная индукция,
Нт — максимальная напряженность магнитного поля;
Нсд = Hmsiny — динамическая коэрцитивная сила;
Вгд = Bmcosi|/ — динамическая остаточная магнитная индукция;
ц/ — угол потерь
Динамическая остаточная магнитная индукция Вгд определяется соотношением
вгд = Bmsiny. (6.45)
Если значение максимальной магнитной индукции находится в области маг-
нитного насыщения, то синусоидальной магнитной индукции соответствует неси-
нусоидальная напряженность магнитного поля (рис. 43). В этом случае при пере-
магничивании возникают нечетные гармоники напряженности магнитного поля
или тока, если магнитное поле создается катушкой с током.
Рис. 43. Динамическая петля магнитного гистерезиса нанокристаллического сплава ГМ 414
в области магнитного насыщения при Вт - 1,1 Тл и Г = 10 кГц (а) и соответствующее
изменение во времени магнитной индукции В и напряженности магнитного поля Н(б)
соГ
б)
6.6. КОМПЛЕКСНАЯ МАГНИТНАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ
85
6.6 КОМПЛЕКСНАЯ МАГНИТНАЯ
ПРОНИЦАЕМОСТЬ
Синусоидальные функции времени магнитной индукции и напряженности маг-
нитного поля можно представить в комплексной форме
8=8me^VB)=8me^f,
(6.46)
Н = ^Нте^. (6.47)
Введем понятие комплексной магнитной проницаемости
ц0Нт H0HmeWH ц0Нт ц0Нт
(6.48)
где v — угол между напряженностью магнитного поля и магнитной индукцией
Выражение (6.48) преобразуем к виду
8 8
ц=—-2-C0SV-/-—S-sinv=H,-/H2.
Но “т Но “т
где введены обозначения
Вт
^-C0SV,
Но “т
Вт
Н2=—SrSiny.
Но “т
(6.49)
(6.50)
(6.51)
(6.52)
Черта над Ц обозначает комплексно сопряженное число, в котором стоит знак
минус перед мнимой единицей. Отметим, что комплексная магнитная проницае-
мость не является синусоидальной функцией времени.
После подстановки в формулу для удельных магнитных потерь (6.39) находим
Ра = лроНг НУ- (6.53)
Аналогичное преобразование с учетом (6.51) проведем с обратимой частью
удельной полной намагничивающей мощности (6.41)
Рр=ЛЦоц,Н«Л (6.54)
Таким образом, действительная часть комплексной магнитной проницаемости щ
отвечает за обратимые процессы перемагничивания. Поэтому ее называют реак-
тивной (индуктивной) магнитной проницаемостью. Удельные магнитные потери
пропорциональны мнимой части комплексной магнитной проницаемости Цг, и ее
называют активной магнитной проницаемостью [40].
Из (6.51) и (6.52) следует, что полная амплитудная магнитная проницаемость
или модуль комплексной магнитной проницаемости ц
H = (6.55)
Но “т
а тангенс угла потерь
* Нг Ра
‘9V = —=р~- (6.56)
Pl ' р
Глава 7
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА АМОРФНЫХ
И НАНОКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СПЛАВОВ
7.1. АМОРФНЫЕ
И НАНОКРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ СПЛАВЫ
Когда речь заходит о металлах и сплавах, обычно подразумевают их кристал-
лическую структуру с упорядоченным расположением атомов. Для кристаллов ха-
рактерен дальний порядок в расположении атомов. Идеальный кристалл можно
представить в виде бесконечной совокупности атомов периодически располо-
женных в пространстве.
В аморфных сплавах дальний порядок отсутствует. Несмотря на это в них со-
храняется ближний порядок, т. е. порядок в отношении ближайших соседних ато-
мов. Твердое тело считается аморфным, если атомный порядок нарушается за
пределами 2-3 межатомных расстояний [42-43].
Несомненно, что существует аналогия между получением аморфного состоя-
ния из металлического расплава и получением силикатных стекол, в которых за-
мораживается структура, существующая в жидком состоянии. Поэтому аморфные
металлические сплавы часто называют металлическими стеклами. Фактически
аморфный металлический сплав представляет твердое тело, полученное при не-
прерывном охлаждении жидкости. Для подавления кристаллизации необходима
высокая скорость охлаждения.
Первые аморфные сплавы были получены в 1960 г. методом быстрого охлаж-
дения капли расплава на холодной металлической подложке. Однако только полу-
чение непрерывной ленты из расплава методом спиннингования в 1970 г. стало
отправным моментом для широких исследований физических свойств аморфных
металлических материалов. В настоящее время для крупномасштабного про-
изводства аморфной ленты используется метод плоской струи разработанный
в 1980 г. [16].
Металлическая лента толщиной 20...30 мкм получается непосредственно из
расплава. Затем из ленты навивают магнитопроводы кольцевой или прямоуголь-
ной формы и проводят их термическую обработку для достижения требуемых
магнитных свойств. После термической обработки структура сплава в своей ос-
нове остается аморфной. Кристаллизация аморфной ленты с образованием крис-
таллитов размером Q, 1... 1 мкм вызывает катастрофическое ухудшение магнитных
свойств [44] (рис. 44). С другой стороны, получение аморфных магнитных спла-
вов, которые после кристаллизации имеют размер зерна порядка 10 нм позволи-
7.2. МАГНИТОПРОВОДЫ ГАММАМЕТТ
87
ло существенно повысить магнитную проницаемость [45]. Такие аморфные спла-
вы принято называть нанокристаллическими, поскольку размер зерен в них изме-
ряется нанометрами. Магнитные свойства нанокристаллического сплава на осно-
ве железа Приближаются к магнитным свойствам аморфного сплава на основе
кобальта.
Рис. 44. Зависимость коэрцитивной силы Нс от размера зерна в магнитных сплавах. Размер
зерна для сплава в аморфном состоянии принят равным расстоянию между атома-
ми [44].
х — аморфный сплав на основе кобальта;
+ — аморфный сплав на основе железа;
• — нанокристаллический сплав Fe-Cu-Nb-Si-B;
о — Fe-Si 6,5 мас%;
□ — Fe-Ni 50 мас%;
Д — пермаллой.
В аморфном состоянии можно достигнуть высокой степени однородности хи-
мических элементов, которые в кристаллическом состоянии порой создают фазо-
вую неоднородность. В аморфных сплавах отсутствует магнитная кристаллогра-
фическая анизотропия, а атомы обладают меньшей энергией активации и более
подвижны. Поэтому аморфные сплавы очень чувствительны к режиму термичес-
кой обработки и в сплаве одного химического состава можно получить самые
разнообразные заранее заданные магнитные свойства. Для примера иа рис. 33
представлены кривые намагничивания аморфного сплава ГМ 503 после терми-
ческой обработки в продольном (ГМ 503А) и поперечном (ГМ 503В) магнитном
поле.
7.2. МАГНИТОПРОВОДЫ ГАМ МАМ ЕТ^
Основные физические свойства магнитопроводов из аморфных и нанокристал-
лических сплавов, выпускаемых под маркой ГАММАМЕТТ®, приведены в табл. 1 и 2.
Все магнитные свойства измерены на кольцевых магнитопровода* в нормальных
климатических условиях. Удельные магнитные потери измерялись в режиме сину-
соидальной магнитной индукции.
После термической обработки магнитопровод помещают в защитный контей-
нер, чтобы сохранить его высокие магнитные свойства. Демпфирующий заполни-
тель внутри контейнера предохраняет магнитопровод от смещения и ударов.
Условное обозначение магнитопровода в защитном контейнере приведено
ча рис. 45.
88
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА АМОРФНЫХ И НАНОКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СПЛАВОВ
Таблица 1
ТИПИЧНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАГНИТОПРОВОДОВ ГАММАМЕТ®
В ЗАЩИТНОМ КОНТЕЙНЕРЕ
Магнито- провод Магнитная индукция насыще- ния, Тл Начальная относитель- ная магнит- ная проница- емость Максималь- ная относи- тельная магнитная проница- емость Коэффициент прямоуголь- ное™ петли магнитного гистерезиса Коэрци- тивная сила, А/м Удельные магнитные потери (0.2 Тл. 20 кГц). Вт/кг Темпе- ратура Кюри, °C Плот- ность кг/м3
ГМ 501 0,43 150000 600000 0,6 0,15 3.6 160 7700
ГМ 414 1,15 60000 300000 0,6 1 4,5 600 7400
ГМ 503А 0,58 5000 1500000 0,92 0,2 8.5 260 7700
ГМ 412А 1,12 10000 600000 0,9 1.2 10 610 7400
ГМ440А 1,5 1000 200000 0.9 4 30 420 7300
ГМ 515А 0,95 150 250000 0,95 1,5 60 500 7900
ГМ 503В 0,58 40000 50000 0,03 0,25 2.6 260 7700
ГМ 412В 1,12 30000 45000 0,07 1,2 3 610 7400
ГМ 440В 1,5 8000 20000 0,06 4 8 420 7300
ГМ 515В 0,95 1500 1550 <0,01 1,5 12 500 7900
Таблица 2
ТИПИЧНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАГНИТОПРОВОДОВ ГАММАМЕТ®
ТИПАДС
Магнито- провод Магнит- ная ин- дукция насыще- ния, Тл Начальная относитель- ная магнит- ная проница- емость Максималь- ная относи- тельная магнитная проница- емость Коэффици- ент прямо- угольное™ петли маг- нитного гистере- зиса Коэрци- ™вная сила, А/м Удельные магнит- ные потери (0,2 Тл. 20 кГц). мВт/см3 Темпе- ратура Кюри, °C Плот- ность, кг/м3
ГМ 11ДС 0,32 50000 150000 0,5 0,4 35 160 5400
ГМ 14ДС 0,8 20000 50000 0.5 2 70 600 5200
гмзздс 0,4 3000 600000 0,9 0,5 100 260 5400
гм заде 0,75 7000 200000 0,9 2 130 610 5200
ГМ 35ДС 0,7 2000 150000 0,92 2 560 500 5500
ГМ43ДС 0,4 35000 40000 0,05 0,5 75 260 5400
гм4адс 0,75 20000 25000 0,1 2 80 610 5200
ГМ40ВДС 1 3000 7000 0,15 8 150 420 5100
ГМ 45ДС 0,7 1200 1350 <0,01 2 220 500 5500
ГМ 54ДС-1000 0,8 1000 1100 <0,01 3 100 600 5200
ГМ 54ДС-500 0,8 500 540 <0,01 3 130 600 5200
ГМ 54ДС-250 0,8 250 260 <0,01 3 180 600 5200
ГМ54ДС-140 0,8 140 150 <0,01 3 210 600 5200
ГМ 54ДС-90 0,8 90 96 <0,01 4 270 600 5200
ГМ 40ДС-2000 1 2000 9000 0,3 10 240 420 5100
ГМ40ДС-1500 1 1500 2200 0,08 14 260 420 5100
ГМ40ДС-1000 1 1000 1300 0,06 16 280 420 5100
ГМ 40ДС-700 1 700 850 0,05 20 300 420 5100
72. МАГНИТОПРОВОДЫ ГАММАМЕТТ®
89
Обозначение магнитопровода совпадает с маркировкой сплава, если терми-
ческая обработка проводилась без магнитного поля. Если термическая обработка
проводилась в продольном магнитном поле, то к маркировке сплава добавляется
буква А, а после отжига в поперечном магнитном поле — буква В.
В маркировке сплава ГМ является сокращенным обозначением зарегистриро-
ванного товарного знака ГАММАМЕТ®, а первая цифра соответствует базовому
химическому элементу: 4 — железо, 5 — кобальт.
В табл. 1 численные значения соответствуют физическим свойствам магнит-
ного материала.
В табл. 2 численные значения отнесены к единице площади геометрического
сечения или к единице объема магнитопровода.
ГМ 503 А
Тип термической обработки:
А - в продольном магнитном поле
В-в поперечном магнитном поле
Буква отсутствует - без магнитного поля
Сплав, из которого изготовлен
магнитопровод
Рис. 45. Условное обозначение магнитопровода в защитном контейнере.
Отметим, что магнитные свойства магнитопроводов, приведенные в табл. 1,
соответствуют магнитным свойствам магнитного материала, из которого они изго-
товлены. Поэтому в расчетах необходимо учитывать коэффициент заполнения маг-
нитопровода магнитным материалом. Для аморфной ленты толщиной 0,025 мм
номинальное значение коэффициента заполнения к3 = 0,7.
Условное обозначение типоразмера магнитопровода в защитном контейнере
соответствуют ГОСТ 24011-80 «Магнитопроводы ленточные кольцевые. Конструк-
ция и размеры». Это обозначение можно представить в виде формулы OHd/D-h,
где d — внутренний диаметр магнитопровода; D — наружный диаметр магнитопро-
вода; h — высота магнитопровода, причем все размеры указаны в миллиметрах.
Защитный контейнер обеспечивает сохранение магнитных свойств материала,
но его использование создает и определенные ограничения. В первую очередь,
это ограничивает выбор типоразмера магнитопровода наличием соответст-
вующих защитных контейнеров. Во-вторых, защитный контейнер увеличивает
площадь поперечного сечения магнитопровода, не занятого магнитным мате-
риалом.
Защитные контейнеры не требуются в магнитопроводах типа ДС (табл. 2). Же-
сткая конструкция магнитопроводов достигается за счет пропитки. Дополнитель-
но поверх магнитопровода наносится пленка, как правило, из полимерного мате-
риала толщиной 0,4...1,2 мм, которая одновременно выполняет роль электро-
изоляционного покрытия.
Покрытие незначительно изменяет геометрические размеры магнитопровода
типа ДС. При этом выбор типоразмера практически не ограничен, поскольку
не связан с защитным контейнером. Незначительное ухудшение магнитных
свойств в результате пропитки клеем компенсируется большим коэффициентом
заполнения геометрического сечения магнитопровода.
Условное обозначение магнитопровода типа ДС приведено на рис. 46. Магни-
топроводы распределены по группам в соответствии с основным требованием
90
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА АМОРФНЫХ И НАНОКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СПЛАВОВ
к магнитным свойствам магнитопровода и основной области применения, и но-
мер этой группы соответствует первой цифре в обозначении:
1 — высокая начальная магнитная проницаемость;
2 — низкие удельные магнитные потери, высокая магнитная индукция;
3 — высокий коэффициент прямоугольное™ петли магнитного гистерезиса;
4 — низкий коэффициент прямоугольное™ петли магнитного гистерезиса;
5 — высокая запасенная магнитная энергия.
Вторая цифра является кодом магнитного сплава, из которого изготовлен маг-
нитопровод: 0 — ГМ 440; 1 — ГМ 501; 2 — ГМ 412; 3 — ГМ 503; 4 — ГМ 414; 5 —
ГМ 515.
Особо следует отметить, что система расчета магнитных свойств в магнито-
проводах типа ДС отличается от системы, принятой для магнитопроводов в за-
щитных контейнерах. Магнитные параметры, представленные в табл. 2, характе-
ризуют не магнитный материал, а магнитопровод. Численные значения этих па-
раметров отнесены к единице геометрического сечения магнитопровода или
к единице его геометрического объема. Условно считается, что весь объем маг-
нитопровода занят неким «эффективным магнитным материалом», магнитные
свойства которого соответствуют справочным данным. Поэтому численное значе-
ние коэффициента заполнения магнитопровода этим «эффективным магнитным
материалом» равно единице. Аналогичная система принята для магнитопроводов
из ферритов и прессованных порошкообразных пермаллоя и альсифера.
ГМ 1 4 Д С
----Межвитковая пропитка клеем
--------Покрытие поверх магнитопровода
Код магнитного сплава, из которого
изготовлен магнитопровод
Группа по магнитным свойствам
и основной области применения
Сокращенное обозначение
товарного знака ГАММАМЕТ1
Рис. 46 Условное обозначение магнитопровода типа ДС.
Условное обозначение типоразмера кольцевого магнитопровода ДС также
аналогично системе принятой для ферритов. Это обозначение можно предста-
вить в виде формулы KDxdx/?.
Подробную информацию о магнитопроводах ГАММАМЕТ® можно получить в [16,
46-48].
7.3. МАГНИТОПРОВОДЫ С ВЫСОКОЙ НАЧАЛЬНОЙ
МАГНИТНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТЬЮ
Высокую начальную магнитную проницаемость имеют магнитопроводы из
аморфного сплава на основе кобальта ГМ 501 и ГМ 11ДС, а также магнитопрово-
ды из нанокристаллического сплава на основе железа ГМ 414 и ГМ 14ДС.
7.3. МАГНИТОПРОВОДЫ С ВЫСОКОЙ НАЧАЛЬНОЙ МАГНИТНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТЬЮ
91
Рис. 47. Типичные динамические кривые намагничивания магнитопровода ГМ 414.
Цифрами у кривых указана частота f в килогерцах. Кривая f = 0 соответствует ос-
новной кривой намагничивания.
Магнитопроводы используются главным образом в измерительных трансфор-
маторах тока, погрешность измерения которых будет тем меньше, чем выше маг-
нитная проницаемость [49]. Трансформаторы тока обычно работают в широком
диапазоне изменения первичного тока, поэтому важно, чтобы магнитный матери-
ал магнитопровода имел также высокую начальную магнитную проницаемость.
Кроме этого, магнитопроводы с высокой магнитной проницаемостью используют
в дифференциальных трансформаторах, согласующих трансформаторах, устрой-
ствах защитного отключения и высокочувствительных датчиках.
На рис. 47-50 приведены динамические кривые намагничивания в координа-
тах амплитудных значений и Вт для различных типов магнитопроводов с высо-
кой начальной магнитной проницаемостью. Напряженность внешнего магнитного
поля и магнитная индукция представляют синусоидальные функции времени. Для
сравнения здесь же нанесены кривые намагничивания на постоянном токе. Вид-
но, что наибольшую начальную магнитную проницаемость имеет магнитопровод
ГМ 501. Он же имеет наименьшую магнитную индукцию насыщения.
Рис. 48. Типичные динамические кривые намагничивания магнитопровода ГМ 501.
Цифрами у кривых указана частота f в килогерцах. Кривая f = 0 соответствует ос-
новной кривой намагничивания.
92
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА АМОРФНЫХ И НАНОКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СПЛАВОВ
Рис.49. Типичные динамические кривые намагничивания магнитопровода ГМ 14ДС.
Цифрами у кривых указана частота f в килогерцах. Кривая f = 0 соответствует ос-
новной кривой намагничивания.
Кривые на рис. 47-50 являются типичными для указанного типа магнитопро-
вода и соответствуют основной массе выпускаемой продукции. Реальные свой-
ства магнитопровода могут отклоняться от типичных значений в лучшую или худ-
шую сторону. Типичные свойства магнитопроводов не гарантируются, они лишь
представляют уровень, характерный для данного типа и класса магнитопровода.
Для упрощения расчетов типичные магнитные свойства можно представить
в аналитическом виде [50]. В табл. 3 приведены динамические кривые намагни-
чивания нанокристаллического сплава ГМ 414 в координатах максимальная маг-
нитная индукция Вт и максимальная напряженность магнитного поля Нт. На кривой
намагничивания можно выделить две области Вт < 0,03 Тл и 0,6 > Вт > 0,03 Тл,
в которых аппроксимация имеет вид
(7.1)
где и и v — постоянные величины для каждой выделенной области.
Рис. 50. Типичные динамические кривые намагничивания магнитопровода ГМ НДС
Цифрами у кривых указана частота f в килогерцах. Кривая f - 0 соответствует ос-
новной кривой намагничивания
7.3. МАГНИТОПРОВОДЫ С ВЫСОКОЙ НАЧАЛЬНОЙ МАГНИТНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТЬЮ
93
В формуле (7.1) значение максимальной магнитной индукции Вт необходимо
подставлять в теслах, а максимальную напряженность магнитного поля Нт —
в амперах на метр. В логарифмическом масштабе зависимость Нт от Вт в каждой
выделенной области представляет прямую линию.
Таблица 3
АППРОКСИМАЦИЯ КРИВЫХ НАМАГНИЧИВАНИЯ МАГНИТОПРОВОДОВ ГМ 414
В ВИДЕ ФОРМУЛЫ Нт =С/В^, (А/м)
Частота f, кГц Магнитная индукция вт < 0,03, Тл m Магнитная индукция 0,6 >Вт >0,03, Тл * гп
1 класс 2 класс 3 класс 1 класс 2 класс 3 класс
0 17В°М 9,4В9-94 6,1В9-94 16,7В9-25 1,06В9-3 0,74В9-32
0,05 17В9-94 9,4В9-94 6,1В9-94 2,35В9-36 1,59В9-42 1,15В9-44
0,4 17B°W 9,4В9-94 6,1В9-94 3,8В9-5 2,6В9-57 2,04В9-6
1 17В*94 9,4В9-94 6,1В9-94 5.2В9" 3,5В9-65 зв9-69
2 17.8В9-94 юв9-94 6,5В9-94 6,2В9-63 4 4В0,7 3,9В9-79
5 19В9-94 10,8В9-94 7В9-94 9В9-72 6,5В9-79 5.1В9-85
10 22.1В9-95 12,3В9-95 8,8В9-95 13,7В9-81 8,7В9-85 7.4В9-9
20 30,5В9-97 14,8В9-97 12,5В9-97 20,3В9-85 10,9В9-88 10,5В9-92
30 36,зв9-98 19,7В9-98 14,8В9" 25,8В9-88 15,5В9-9’ 12,9В9'94
50 52,5В9" 27,2В9" 21,3В9" 40BS-9' 22,2В9-93 19,2В9"
100 74Вт 40Вт зз,звт 58,8В993 33,7В9-95 31,1В9"
Аппроксимацию удельных магнитных потерь в нанокристаллическом сплаве
ГМ 414 можно провести в виде формулы
Ра=/7₽ВД,
(7.2)
которые для разных интервалов магнитной индукции и частоты представлены
в табл. 4. В формуле (7.2) частоту f необходимо подставлять в герцах, максималь-
ную магнитную индукции Вт — в теслах, а результат — удельные магнитные поте-
ри Ра получается в ваттах на килограмм.
Таблица 4
АППРОКСИМАЦИЯ УДЕЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ ПОТЕРЬ
В МАГНИТОПРОВОДЕ ГМ 414 В ВИДЕ ФОРМУЛЫ Ра =rfpB^, (Вт/кг)
Класс Частота f< 3 кГц Частота 200* Г* ЗкГц
8„<0,05Тл 0.2 > Вт * 0.05 Тл 1 > Вт Ъ 0.2 Тл Вт С 1 Тл
1 0,003271-14В2'5 0,000967’-’4В2-’ 0,000397’-2В^8 7,5 10-67’-7В2
2 0,00247’’4В2'5 0,000727’ 14В2-’ 0,0003171^В^8 5,5Ю-67'-7В2
3 0,0019Г114В2'5 0,0000557’14В*’ 0,0002417’-2В^8 4,3-1О-67’-7В2
94
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА АМОРФНЫХ И НАНОКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СПЛАВОВ
На рис. 51 показана частотная зависимость относительной магнитной про-
ницаемости цв при фиксированной магнитной индукции Вт = 0,01 Тл, т. е. эта
магнитная проницаемость близка к начальной магнитной проницаемости мате-
риала.
Из рисунка следует, что до частоты 3 кГц снижение относительной магнитной
проницаемости еще незначительно, и составляет не более 10%. С увеличением
частоты падение магнитной проницаемости постепенно нарастает и при часто-
те более 20 кГц можно говорить о закономерном снижении магнитной проница-
емости.
На рис. 51 также нанесены индуктивная ц, и активная ц2 части комплексной
магнитной проницаемости. Соответствующие значения щ и вычисляли, ис-
пользуя формулы (6.51) и (6.52), а угол потерь у находили из (6.39)
siny =
ра
(7.3)
Рис. 51 Зависимость относительной магнитной проницаемости Це, измеренной при мак-
симальной магнитной индукции Вт = 0,01 Тл, от частоты f в нанокристаллическом
сплаве ГМ 414.
ц — модуль комплексной относительной магнитной проницаемости,
Pi — индуктивная (действительная) часть комплексной магнитной проницаемости;
ц2 — активная (мнимая) часть комплексной магнитной проницаемости.
При низкой частоте модуль комплексной магнитной проницаемости ц равен
реактивной магнитной проницаемости Поэтому можно считать, что частота
3 кГц ограничивает сверху область низкой частоты, поскольку различие между ц
и щ составляет не более 3%. В то же время, например при частоте 10 кГц, разни-
ца достигает уже 12%.
Типичные кривые намагничивания аморфного сплава ГМ 501 приведены
в табл. 5, а удельные магнитные потери — в табл. 6. В области низкой частоты
удельные магнитные потери представлены в виде зависимости от максимальной
магнитной индукции Вт при заданной частоте
-Гв®гп-
(7.4)
7.3. МАГНИТОПРОВОДЫ С ВЫСОКОЙ НАЧАЛЬНОЙ МАГНИТНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТЬЮ
95
Таблица 5
АППРОКСИМАЦИЯ КРИВЫХ НАМАГНИЧИВАНИЯ МАГНИТОПРОВОДОВ ГМ 501
В ВИДЕ ФОРМУЛЫ Нт =иВт, (А/м)
Частота f, кГц Магнитная индукция Вт < 0,03, Тл ГП Магнитная индукция 0,3 > В_ » 0,03, Тл ГП
1 класс 2 класс 1 класс 2 класс
0 7Вт 5Вт 0.45В®99 0,32В®99
0,05 7Вт 5Вт 0.85В®'4 0,61В®4
0,4 7Вт 5Вт 1,54В®'59 1,19В°'59
1 7Вт 5Вт 1,9В®'68 1,638°'“
2 7,ЗВт 5.5Вт 3.2В®'78 2.5В®'78
5 9.5Вт 72Вт 5,38°'“ 4.48°'“
10 12Вт 9.5Вт 7,38°'“ 6,28°'“
20 18.9Вт 15.5Вт 12,4В®'9 Ю.9В°в
30 23 Вт 19.5Вт 15.3В®'9 13,7В°'9
50 32Вт 28,2Вт 21,9В®'9 20В®'9
100 49Вт 44.7Вт 33,5В®9 31В®9
Таблица 6
АППРОКСИМАЦИЯ УДЕЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ ПОТЕРЬ В МАГНИТОПРОВОДЕ ГМ 501 - 2 КЛ
В ВИДЕ ФОРМУЛ Ра=ГвВ& ИЛИ Pa=rfoB*,(Br/Kr)
Частота f, кГц Магнитная индукция Вт < 0,15 Тп Магнитная индукция 0,3 > Вт * 0,15 Тп
0,05 0,053В9'8 0,017В9
0,04 0,51В9'4 0,2482
1 1.3В9'3 0.7482
2 2,7 В9’ 2.2582
5 11.4В2 4,4 10вГ1'7В9
10..200
Для магнитопроводов ГМ 14ДС удельные магнитные потери Ра можно рассчи-
тать по формуле
Ра =0,085Г'7В’
в частотной области 3...200 кГц и
Ра = 0,75f’-4S77
(7.5)
(7.6)
при частоте менее 3 кГц.
96
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА АМОРФНЫХ И НАНОКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СПЛАВОВ
Для магнитопроводов ГМ 11ДС удельные магнитные потери Ра можно рассчи-
тать по формуле
Ра=0,085Г8В22 (7.7)
в частотной области 3...200 кГц и
Ра=2,2Г2В2 (7.8,
при частоте менее 3 кГц.
В формулах (7.5)-(7.8) частота f имеет единицу измерения Гц, максимальная
магнитная индукция Вт — Тл, а удельные магнитные потери Ра — Вт/м3.
7.4. МАГНИТОПРОВОДЫ
С НИЗКИМИ МАГНИТНЫМИ ПОТЕРЯМИ
Магнитопроводы, имеющие низкие магнитные потери и высокую магнитную
индукцию, используются, главным образом, для изготовления силовых трансфор-
маторов. Под силовыми трансформаторами будем понимать все трансформато-
ры независимо от их мощности, основное назначение которых состоит в переда-
че электрической энергии переменного тока из одной цепи в другую.
Габариты трансформатора будут тем меньше, чем выше рабочая магнитная
индукция при фиксированной частоте. Однако с увеличением магнитной индук-
ции растут магнитные потери и температура нагрева трансформатора. Отсюда
следует требование низких удельных магнитных потерь. Требование высокой маг-
нитной индукции относится, как правило, к области относительно низкой частоты
когда заданная температура перегрева трансформатора ДТ позволяет эксплуати-
ровать его вблизи индукции насыщения. Более точно требование к материалу
магнитопровода силового трансформатора можно сформулировать следующим
образом: магнитный материал должен позволить получить высокую рабочую ин-
дукцию в трансформаторе при заданной температуре перегрева ДТ.
Для изготовления силовых трансформаторов могут использоваться разные
типы магнитопроводов ГАММАМЕТ®. В частности, очень низкие магнитные потери
сопутствуют магнитопроводам с высокой магнитной проницаемостью. Свойства
этих магнитопроводов (ГМ 501, ГМ 11ДС, ГМ 414 и ГМ 14ДС) уже были рассмот-
рены выше. Низкие удельные магнитные потери имеют также магнитопроводы
после термической обработки в поперечном магнитном поле. Они имеют услов-
ное обозначение ГМ 503В, ГМ 515В, ГМ 412В и их аналоги типа ДС — ГМ 43ДС.
ГМ 45ДС и ГМ 42ДС. Эти магнитопроводы имеют линейную кривую намагничива-
ния, и информация о них будет приведена ниже.
7.5. МАГНИТОПРОВОДЫ
С ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЕТЛЕЙ ГИСТЕРЕЗИСА
Магнитопроводы, имеющие высокий коэффициент прямоугольности петли
магнитного гистерезиса, используются в импульсных трансформаторах, насыща-
ющихся реакторах и магнитных усилителях.
Магнитопроводы с прямоугольной петлей гистерезиса часто работают в режи-
ме насыщения, поэтому широкое применение получили магнитопроводы ГМ 503А
и ГМ ЗЗДС, имеющие низкую магнитную индукцию насыщения и соответственно
низкие магнитные потери в режиме магнитного насыщения. На рис. 52 представ-
лены динамические кривые намагничивания магнитопроводов ГМ 503А.
7.5. МАГНИТОПРОВОДЫ С ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЕТЛЕЙ ГИСТЕРЕЗИСА
97
Рис. 52. Типичные динамические кривые намагничивания магнитопровода ГМ 503А.
Цифрами у кривых указана частота f в килогерцах. Кривая f = 0 соответствует ос-
новной кривой намагничивания.
Сравнение основных кривых намагничивания магнитопроводов с прямоуголь-
ной петлей в защитных контейнерах приведено на рис. 53. Видно, что наиболь-
шую магнитную индукцию насыщения имеет магнитопровод ГМ 440А, а магнито-
провод ГМ 515А обладает наиболее крутой характеристикой в области макси-
мальной магнитной проницаемости.
Для частотной области 3...200 кГц удельные магнитные потери Ра можно рас-
считать по формулам представленным в табл. 7.
Я,А/м
Рис. 53. Основные кривые намагничивания магнитопроводов с прямоугольной петлей гисте-
резиса в защитных контейнерах.
Теория и расчет трансформаторов
98
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА АМОРФНЫХ И НАНОКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СПЛАВОВ
Таблица 7
АППРОКСИМАЦИЯ УДЕЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ ПОТЕРЬ
В МАГНИТОПРОВОДАХ ГМ 503А. ГМ 412А, ГМ 515А И ГМ 440А В ВИДЕ ФОРМУЛЫ Ра - (Вт/кг)
1 Тип магнитолровода Удельные магнитные потери. Вт/кг
ГМ 503А 9-Ю-’Г^вД-5
ГМ 412А 5 lO sH’5Sii6s
ГМ 515А 4,6 ю^Н 4е^3
ГМ 440А 2,8 1СИЛ5в’65 (Вт* 0,1 Тл) (Вт>0.1Тл)
При частоте менее 3 кГц для расчета удельных магнитных потерь в магнито-
проводе ГМ 440А можно использовать формулу
Ра =2,2-10-*/14ВД65.
(7-9)
В табл. 7 и в формуле (7.9) частота / имеет единицу измерения Гц, максималь-
ная магнитная индукция Вт — Тл, а удельные магнитные потери Ра — Вт/кг.
Магнитопроводы ГМ ЗЗДС, ГМ 32ДС и ГМ 35ДС являются аналогами магнито-
проводов в защитном контейнере ГМ 503А, ГМ 412А и ГМ 515А соответственно.
На рис. 54 приведено сравнение основных кривых намагничивания этих магнито-
проводов.
Рис. 54. Основные кривые намагничивания магнитопроводов с прямоугольной петлей гисте-
резиса типа ДС.
Для частотной области 3...200 кГц удельные магнитные потери в магнитопро-
водах ГМ ЗЗДС, ГМ 32ДС и ГМ 35ДС можно рассчитать по формулам представ-
ленным в табл. 8, где частота f имеет единицу измерения Гц, максимальная маг-
нитная индукция Вт — Тл, а удельные магнитные потери Ра — Вт/м3. Удельные
магнитные потери отнесены к единице объема магнитопровода. Более подроб-
ную информацию о магнитопроводах с прямоугольной петлей магнитного гисте-
резиса можно найти в [16].
7.6. МАГНИТОПРОВОДЫ С ЛИНЕЙНОЙ ПЕТЛЕЙ ГИСТЕРЕЗИСА
99
Таблица 8
АППРОКСИМАЦИЯ УДЕЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ ПОТЕРЬ
В МАГНИТОПРОВОДАХ ГМ ЗЗДС, ГМ ЗВДС И ГМ 35ДС
В ВИДЕ ФОРМУЛ Ра =rfPB^ , (Вт/м3)
Тип магнитопровода Удельные магнитные потери, Вт/м3
гм заде 0,72/'-*5В^
гм заде 0,2бН'6В^7
гм ЗЗДС
7.6. МАГНИТОПРОВОДЫ
С ЛИНЕЙНОЙ ПЕТЛЕЙ ГИСТЕРЕЗИСА
Магнитопроводы, имеющие низкий коэффициент прямоугольное™ петли маг-
нитного гистерезиса, используются в импульсных трансформаторах, согласу-
ющих трансформаторах, широкополосных трансформаторах, а также в измери-
тельных трансформаторах тока и напряжения при наличии постоянной составля-
ющей тока.
Импульсный трансформатор должен передать электрический импульс и со-
хранить при этом форму импульса. Мощность импульсного трансформатора оп-
ределяет основной энергетический показатель, равный произведению напряже-
ния на длительность импульса, который пропорционален приращению магнитной
индукции ДВ, т. е. разности максимальной магнитной индукции Вт и остаточной
магнитной индукции Вг. Отсюда следует требование к магнитному материалу маг-
нитопровода — высокая магнитная индукция насыщения и низкая остаточная
магнитная индукция. Немаловажно, чтобы магнитный материал имел высокую
магнитную проницаемость, что позволяет снизить намагничивающий ток. Указан-
ным требованиям удовлетворяют магнитопроводы после термической обработки
в поперечном магнитном поле, например ГМ 412В.
Рис. 55. Типичные динамические кривые намагничивания магнитопровода ГМ 412В.
Цифрами у кривых указана частота f в килогерцах. Кривая f = 0 соответствует ос
новной кривой намагничивания.
100
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА АМОРФНЫХ И НАНОКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СПЛАВОВ
Н, А/М
Рис. 56. Основные кривые намагничивания магнитопроводов с линейной петлей гистерезиса.
На рис. 55 представлены динамические кривые намагничивания магнитопро-
водов ГМ 412В. Видно, что магнитная проницаемость достаточно слабо снижает-
ся с увеличением частоты, что характерно для всех магнитопроводов с линейной
петлей гистерезиса.
Для сравнения на рис. 56 представлены основные кривые намагничивания
различных типов магнитопроводов.
Для частотной области 3...200 кГц удельные магнитные потери Ра в магнито-
проводах ГМ 503В, ГМ 412В, ГМ 515В и ГМ 440В можно рассчитать по формулам
представленным в табл. 9.
Таблица 9
АППРОКСИМАЦИЯ УДЕЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ ПОТЕРЬ
В МАГНИТОПРОВОДАХ ГМ 503В, ГМ 412В. ГМ 515В И ГМ 440В
В ВИДЕ ФОРМУЛЫ Ра = rfpB*. (Вт/кг)
Тип магнитопровода Удельные магнитные потери, Вт/кг
ГМ 503В 7,5-10-7/,8Ss£°3
ГМ 412В 3,3 IO'6
ГМ 515В 5,4 10eH-8S*
ГМ 440В 3 10-5H-5B*J
При частоте менее 3 кГц для расчета удельных магнитных потерь в магнито-
проводе ГМ 440В можно использовать формулу
(7.10)
В табл. 9 и в формуле (7.10) частота f имеет единицу измерения Гц, макси-
мальная магнитная индукция Вт — Тл, а удельные магнитные потери Ра — Вт/кг.
Магнитопроводы ГМ 43ДС, ГМ 42ДС, ГМ 45ДС и 40ВДС являются аналогами
магнитопроводов в защитном контейнере ГМ 503В, ГМ 412В и ГМ 515В и ГМ 440В
соответственно.
7.6. МАГНИТОПРОВОДЫ С ЛИНЕЙНОЙ ПЕТЛЕЙ ГИСТЕРЕЗИСА
101
Рис. 57. Основные кривые намагничивания магнитопроводов с линейной петлей гистерези-
са типа ДС.
На рис. 57 приведено сравнение основных кривых намагничивания этих маг-
нитопроводов.
Для частотной области 3...200 кГц удельные магнитные потери в магнитопро-
водах ГМ 43ДС, ГМ 42ДС, ГМ 45ДС и 40ВДС можно рассчитать по формулам
представленным в табл. 10.
Таблица 10
АППРОКСИМАЦИЯ УДЕЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ ПОТЕРЬ
В МАГНИТОПРОВОДАХ ГМ 43ДС, ГМ 42ДС, ГМ 45ДС И ГМ 40ВДС
В ВИДЕ ФОРМУЛЫ Ра =TfpB^, (Вт/м3)
Тип магнитолровода Удельные магнитные потери, Вт/м3
ГМ 43ДС 0,09W,7e2
ГМ42ДС 0,095Г’-7в2
ГМ4ЗДС O.W,8e2
ГМ40ВДС 0,54Г’-6в2
При частоте менее 3 кГц для расчета удельных магнитных потерь в магнито-
проводе ГМ 40ВДС можно использовать формулу
Ра=24Г1В^в. (7.11)
В табл. 10 и в формуле (7.11) частота f имеет единицу измерения Гц, макси-
мальная магнитная индукция Вт — Тл, а удельные магнитные потери Ра — Вт/м3.
Удельные магнитные потери отнесены к единице объема магнитопровода.
Магнитопроводы ГМ 515В и ГМ 45ДС обладают особенно высокой линейностью
кривой намагничивания так, что при напряженности магнитного поля до 300 А/м
магнитная проницаемость изменяется не более чем на 12%. Более подробную
нФормацию о магнито проводах с линейной петлей магнитного гистерезиса мож-
но найти в [16].
102
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА АМОРФНЫХ И НАНОКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СПЛАВОВ
7.7. МАГНИТОПРОВОДЫ С ВЫСОКОЙ ЗАПАСЕННОЙ
МАГНИТНОЙ ЭНЕРГИЕЙ
Магнитопроводы, которые способны запасать значительную магнитную энер-
гию, используются для изготовления реакторов различного назначения и накопи-
тельных трансформаторов. Ясно, что магнитопроводы должны иметь линейную
кривую намагничивания. Если максимальная магнитная индукция зафиксирована,
то магнитная энергия будет тем выше, чем ниже магнитная проницаемость. По-
этому для данных целей используют магнитопроводы с низкой магнитной прони-
цаемостью, например ГМ 54ДС. Эти магнитопроводы применяют для накопитель-
ных реакторов в схемах импульсных источников вторичного питания. В однотакт-
ном преобразователе с обратным включением диода магнитопровод ГМ 54ДС ис-
пользуется для изготовления накопительного трансформатора.
Магнитопроводы ГМ 54ДС по магнитным характеристиками не уступают своим
аналогам из прессованного порошкообразного пермаллоя и альсифера. Кривая
намагничивания магнитопроводов ГМ 54ДС получается линейной за счет созда-
ния немагнитного зазора. После разреза магнитопровода немагнитный зазор
фиксируется так, чтобы получить в магнитопроводе заданную величину магнит-
ной проницаемости.
Магнитопроводы ГМ 54ДС подразделяются на классы по относительной маг-
нитной проницаемости (табл. 11). На рис. 58 приведены типичные основные кри-
вые намагничивания магнитопроводов ГМ 54ДС.
Для частотной области 3...200 кГц удельные магнитные потери в магнито-
проводах ГМ 54ДС можно рассчитать по формулам представленным в табл. 12,
где частота f имеет единицу измерения Гц, максимальная магнитная индукция
Вт — Тл, а удельные магнитные потери Ра — Вт/м3.
Магнитопроводы ГМ 24ДС, также как и магнитопроводы ГМ 54ДС, являются
разрезными. Однако в отличие от магнитопроводов ГМ 54ДС магнитопроводы
ГМ 24ДС поставляются в разрезанном виде, а именно в виде двух половинок. За-
казчик сам выбирает относительную магнитную проницаемость и производит со-
ответствующую фиксацию воздушного зазорв. При этом для расчета удельных
магнитных потерь можно использовать формулы (7.12) и (7.13). Магнитопроводы
ГМ 24 ДС имеют преимущественно прямоугольную форму.
Таблица 11
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА МАГНИТОПРОВОДОВ ГМ 54ДС
Класс магнитопровода Начальная относительная магнитная проницаемость
Номинальная Предельные отклонения
30 30 25... 35
40 40 35..50
60 60 50...75
90 90 75...110
140 140 110... 170
200 200 170. .220
250 250 220..290
350 350 290. .400
500 500 400...600
700 700 600.850
1000 1000 850... 1200
7.7. МАГНИТОПРОВОДЫ С ВЫСОКОЙ ЗАПАСЕННОЙ МАГНИТНОЙ ЭНЕРГИЕЙ
103
Рис. 58. Основные кривые намагничивания магнитопроводов ГМ 54ДС.
Цифрами у кривых указана номинальная относительная магнитная проницаемость.
Типичные значения коэффициента индуктивности 4L в зависимости от площа-
ди поперечного сечения S магнитопровода ГМ 24ДС при минимальном воздуш-
ном зазоре 1В (при плотно сжатых половинках магнитопровода) можно вычислить
по формуле
Д. =2,5-104S0B1.
(7.12)
В формуле (7.12) площадь S имеет единицу измерения мг, а коэффициент индук-
тивности — Гн.
Таблица 12
АППРОКСИМАЦИЯ УДЕЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ ПОТЕРЬ
В МАГНИТОПРОВОДАХ ГМ 54ДС В ВИДЕ ФОРМУЛЫ Ра = гГрВ*. (Вт/мэ)
Гип магнитопровода Удельные магнитные потери, Вт/м3
Вт < 0.1 Тл sm >0,1 Тл
ГМ 54ДС-30 7г1-48в805 д.дг’-^в^85
ГМ 54ДС-40 б.гг1’4^*05 3,9Г’>48В^85
ГМ 54ДС-60 4,8f1'4Bs2°5 3f1.48g«.85
ГМ 54ДС-90 З.бН^В*05 г.зг’-^в^85
ГМ 54ДС-140 2,9г1адв805 I.er’-^B^85
ГМ 54ДС-200 кебг’^в^85
ГМ 54ДС-250 гдг’-^в805
ГМ 54ДС-350 2,и'-‘ав^а КЗГ’-^В^85
ГМ 54ДС-500 KISf’-^Bji88
ГМ 54ДС-700 КбН-^в*05 Vi.«ev85
ГМ 54ДС-1000 о.эг’-^в^85
104
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА АМОРФНЫХ И НАНОКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СПЛАВОВ
Коэффициент индуктивности в магнитопроводе ГМ 24ДС можно рассчитать
в зависимости от воздушного зазора 1В по формуле
/в •
(7.13)
где Цо — магнитная постоянная, равная 4л • 10 7Гн/м. Единица измерения площади
S — м2, длины воздушного зазора 1В — м, а коэффициента индуктивности — Гн.
Неразрезные магнитопроводы ГМ 40ДС с коэффициентом прямоугольности
петли магнитного гистерезиса не более 0,1 подразделяются на классы по началь-
ной относительной магнитной проницаемости: 1500, 1000, 700, 500. Класс 2000
имеет более значительный коэффициент прямоугольности петли магнитного гис-
терезиса с типичным значением Кп воо = 0,3. Основные кривые намагничивания
магнитопроводов ГМ 40ДС приведены на рис. 59.
Рис. 59. Основные кривые намагничивания магнитопроводов ГМ 40ДС.
Цифрами у кривых указана номинальная относительная магнитная проницаемость.
В табл. 13 частота f имеет единицу измерения Гц, максимальная магнитная
индукция Вт — Тл, а удельные магнитные потери Ра — Вт/м3.
Таблица 13
АППРОКСИМАЦИЯ УДЕЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ ПОТЕРЬ
В МАГНИТОПРОВОДАХ ГМ 40ДС В ВИДЕ ФОРМУЛЫ Ра =rfPB^t (Вт/м3)
Тип магнитопровода Удельные магнитные потери, Вт/м3
Частота < 3 кГц Частота 3...30 кГц Частота 30.300 кГц
ГМ 40ДС-2000 ззг’-’в^® О.вА’В* О,8Г’6В2
ГМ40ДС-1500 ggf’.oSgV 7Н4В2’ 0,189Г’-тев£’
ГМ 40ДС-1000 106Г105вД’7 0,215Г175В*л
ГМ 40ДС-700 118Г105В^7 в.вн^в*1 0,24И-75д2.1
ГМ 40ДС-500 126Г105В,1;7 9,4Г,4В*’ 0,254Г,75В*1
7.8. МАГНИТНЫЕ ПОТЕРИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНОМ НАПРЯЖЕНИИ
105
7.8. МАГНИТНЫЕ ПОТЕРИ
ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНОМ НАПРЯЖЕНИИ
Все формулы для вычисления удельных магнитных потерь, приведенные
выше, относятся к синусоидальным величинам магнитной индукции и напряжен-
ности магнитного поля. На практике режим намагничивания часто бывает несину-
соидальным. Рассмотрим некоторые типичные случаи.
При наличии постоянной составляющей тока петля магнитного гистерезиса
становится несимметричной. Однако, если максимальное отклонение магнитной
индукции (Во + Bm), где Во — постоянная составляющая магнитной индукции, не
переходит за изгиб кривой намагничивания, то такая асимметрия слабо влияет
на удельные магнитные потери. В качестве примера на рис. 60 представлена за-
висимость удельных магнитных потерь Р001/100 (максимальная магнитная индукция
0,01 Тл, частота 100 кГц) от постоянной составляющей магнитной индукции Во
в магнитопроводе ГМ 414. Видно, что заметный рост удельных магнитных потерь
начинается только выше изгиба кривой намагничивания Во > 0,9 Тл. Аналогичные
результаты ранее получены на электротехнической стали [51-53]. Этот вывод
вполне очевиден, поскольку до изгиба кривой процесс намагничивания контроли-
руют одни и те же факторы [53, 54]. Поскольку в дальнейшем мы предполагаем
использовать режимы, в которых (Во + Вт) находится ниже точки изгиба, то для
оценки магнитных потерь в магнитопроводах с постоянным подмагничиванием
можно будет использовать обычные формулы для синусоидальных величин.
Переменное напряжение прямоугольной формы (рис. 61,а) часто использует-
ся в источниках вторичного питания. Соответствующее изменение магнитной ин-
дукции в магнитопроводе показано на рис. 61,6. По сути, напряжение представ-
ляет знакопеременную последовательность импульсов длительностью ти с перио-
дом Т. Для этого режима полезно ввести параметры скважности импульса q
(7-14)
и частоту f
f-/. (7.15)
Рис. 60. Влияние постоянной составляющей мвгнитной индукции Во на удельные магнитные
потери Po.oi/ioo. измеренные при максимальной магнитной индукции Вт = 0,01 Тл
и частоте f= 100 кГц в магнитопроводе ГМ 414.
106
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА АМОРФНЫХ И НАНОКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СПЛАВОВ
>б)
Рис. 61. Переменное напряжение прямоугольной формы (а) и соответствующее изменение
магнитной индукции в магнитопроводе (6).
ти — длительность импульса; Т — период переменного напряжения.
Удельные магнитные потери на вихревые токи в ферромагнитной пластине
толщиной h можно вычислить по формуле [16]
’ —
’ 12pT-J
2
(7.16)
где р — удельное электрическое сопротивление, а магнитная индукция В зависит
только от времени.
Для синусоидальной магнитной индукции получаем классические потери на
вихревые токи
с 6р
(7.17)
Для знакопеременного напряжения прямоугольной формы
dB_2Bm
dt ти
поэтому
, _2В^ ABtfW
п ЗрТти Зр 4
(7.18)
(7.19)
Таким образом, увеличение вихретоковых потерь вследствие несинусоидально-
сти напряжения составит
Рп 8 4 Т
Ун = р=^0=^Г- (7-20>
н н т и
Эта зависимость представлена в виде кривой 1 на рис. 62.
Структура магнитных потерь в ферромагнетиках не исчерпывается одними
классическими токовихревыми потерями. С этой точки зрения более оправдан
метод, использующий эмпирическую формулу (7.2) и разложение магнитной ин-
дукции в гармонический ряд [55]. Это позволяет представить удельные магнит-
ные потери в виде
N Nff\q(B V
=УнР„
л-1 \Dmi7
(7.21)
где fn = nf} — частота n-ой гармоники; Bmn — максимальная магнитная индукция
n-ой гармоники; Р, — удельные магнитные потери для первой гармоники магнит-
ной индукции Вт1.
7.8. МАГНИТНЫЕ ПОТЕРИ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНОМ НАПРЯЖЕНИИ
107
Рис 62. Зависимость коэффициента увеличения магнитных потерь ун для напряжения пря-
моугольной формы от отношения ти/Т.
1 — расчет для классических вихретоковых потерь; 2 — расчет с использованием
эмпирической формулы (7.2) и представления магнитной индукции в виде гармони-
ческого ряда; 3 — результат магнитных измерений;
ти — длительность импульса; Т — период переменного напряжения.
В данном случае коэффициент ун представляет отношение удельных магнит-
ных потерь при несинусоидальной форме напряжения к удельным магнитным по-
терям для первой гармоники магнитной индукции при заданном максимальной
напряжении t/m.
Гармонические компоненты магнитной индукции можно найти после разложе-
ния напряжения прямоугольной формы u(t) в ряд Фурье
к 1
4U 00 т t
u(t) =——sinnk-^sin2nk^ (7.23)
П к(нечвт) * ' '
и вычисления магнитной индукции
ВЮ-^J у(<и Д . (7.24)
Отсюда находим л-ую гармонику магнитной индукции Bmn
в _в (-iHsinnnr
™ "г ,7'251
где величина
<7-26)
является первой гармоникой магнитной индукции. Тогда коэффициент ун (7.22)
принимает вид
N
Ун=2>
П-1
(-1fT Sinnn^L
и2 sinner-
(7.27)
108
МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА АМОРФНЫХ И НАНОКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СПЛАВОВ
Рис. 63. Частотные зависимости удельных магнитных потерь Ра, измернных при максималь-
ной магнитной индукции Вт = 0,2 Тл для разной формы кривой напряжения в нано-
кристаллическом сплаве ГМ414.
1 — прямоугольное напряжение со скважностью q = 1;
2 — синусоидальное напряжение;
3 — прямоугольное напряжение со скважностью q = 2;
4 — прямоугольное напряжение со скважностью q = 4.
Результаты расчета ун Для Q = 1,7 и s = 2 (нанокристаллический сплав ГМ 414
при частоте 3...200 кГц) представлены сплошной кривой 2 на рис. 62.
Результаты измерений удельных магнитных потерь в нанокристаллическом
сплаве ГМ 414 для разных режимов намагничивания нанесены на рис. 63. Они же
представлены в виде точек и штриховой линии 3 на рис. 62. Сравнение рассчи-
танных и измеренных магнитных потерь показывает, что заметное отличие (более
20%) от результатов для синусоидальных параметров наблюдается при коэффи-
циенте скважности более 2.
Для периодической последовательности прямоугольных импульсов напряже-
ния (рис. 64,а) магнитная индукция линейно увеличивается в течение времени ти,
а затем падает по экспоненте до начального значения в течение относительно
длительного времени, которое зависит от параметров электрической цепи (под-
робнее глава 16). При этом начальное значение магнитной индукции, как прави-
ло, соответствует остаточной магнитной индукции Вг. Точный расчет магнитных
потерь при однополярном напряжении провести достаточно сложно. Укажем
лишь на некоторые методы расчета потерь на вихревые токи [55, 56].
а) б)
Рис. 64. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов напряжения (а)
и соответствующее изменение магнитной индукции в магнитопроводе (б).
ти — длительность импульса; Т — период переменного напряжения
7.9. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТИПИЧНЫХ МАГНИТНЫХ СВОЙСТВ В РАСЧЕТАХ
109
В первом приближении для однополярного напряжения можно использовать
формулу удельных магнитных потерь при синусоидальном намагничивании. При
этом за частоту принимается величина f=1/2ти. Скважность импульсов учитыва-
ется следующим образом. Величина PJf представляет удельные магнитные по-
тери за цикл перемагничивания, а 1/7 — количество циклов в единицу времени.
Таким образом, удельные магнитные потери при импульсном намагничивании
Р]л fT т
(7.28)
7.9. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТИПИЧНЫХ
МАГНИТНЫХ СВОЙСТВ В РАСЧЕТАХ
В этой главе введены типичные и гарантированные магнитные свойства маг-
нитопроводов. Типичные магнитные свойства для указанного типа магнитопрово-
да соответствуют основной массе выпускаемой продукции. Реальные свойства
магнитопровода могут отклоняться от типичных значений в лучшую или худшую
сторону. Типичные свойства магнитопроводов не гарантируются, они лишь пред-
ставляют уровень, характерный для данного типа и класса магнитопровода.
При поставке магнитопроводов гарантируются лишь некоторые параметры,
указанные в технических условиях. Эти параметры, как правило, представляют
отдельные точки на кривой намагничивания. Магнитные свойства магнитопровода
не могут быть хуже гарантированных значений.
Для гарантии магнитных свойств, которые не охвачены требованиями техни-
ческих условий, необходимо согласовать дополнительные технические требова-
ния на поставку магнитопроводов.
Небольшое число гарантируемых параметров с определенной степенью на-
дежности характеризуют и другие магнитные свойства магнитопровода. Степень
этой надежности определяется статистической корреляционной связью между
магнитными параметрами магнитопровода.
Таким образом, если для электротехнических расчетов используют типичные
свойства магнитопроводов, то обязательно следует делать запас, ориентируясь
на гарантируемые значения параметров.
Глава 8
ИНДУКТИВНАЯ КАТУШКА
8.1. СОБСТВЕННАЯ ЕМКОСТЬ ИНДУКТИВНОЙ КАТУШКИ
Индуктивная катушка представляет элемент электрической цепи, предназна-
ченный для использования его индуктивности. Обычно индуктивная катушка со-
стоит из обмотки, нанесенной на магнитопровод. Предположим, что магнитопро-
вод выполнен из материала с постоянной магнитной проницаемостью ц = const,
в котором отсутствует магнитный гистерезис. Предположим также, что весь маг-
нитный поток индуктивной катушки сосредоточен в магнитопроводе, а сопротив-
ление обмотки — в резисторе г. Электрическая схема индуктивной катушки с со-
средоточенными параметрами представлена на рис. 65. Ток i в катушке создает-
ся под действием напряжения источника электрической энергии и и электродви-
жущей силы самоиндукции eL (см. формулу (3.26))
= (8-1)
Рис. 65. Электрическая схема индуктивной катушки с сосредоточенными параметрами.
Для установившегося синусоидального режима из (8.1) получаем
U = I(r + jaL)=iZ, (8.2)
где
Z = r+jaL (8.3)
комплексное сопротивление индуктивной катушки.
Параметр, равный отношению индуктивного сопротивления катушки к актив-
ному сопротивлению, называют добротностью индуктивной катушки
Ок =7 = ^- (8.4)
Добротность, по сути, представляет тангенс угла между напряжением и и током i
(см. формулу (4.98)).
б. /. СОБСТВЕННАЯ ЕМКОСТЬ ИНДУКТИВНОЙ КАТУШКИ
111
Рис. 66 Электрическая схема индуктивной катушки с собственной емкостью обмоток Со (а)
и ее эквивалентная схема (б).
Кроме магнитного поля, в индуктивной катушке имеется электрическое поле
(57]. Собственная емкость обмоток катушки состоит из емкости между внутрен-
ним слоем обмотки и магнитопроводом и емкости между слоями обмотки [55].
В ряде случаев необходимо также учитывать емкость между внешним слоем об-
мотки и электромагнитным экраном, подводящими проводами и арматурой. Рас-
пределенную емкость обмотки можно представить в виде некоторой эквивалент-
ной емкости, подключенной к началу и концу обмотки (рис. 66,а). При приложе-
нии к катушке переменного напряжения конденсатор будет заряжаться и разря-
жаться, изменяя индуктивность и активное сопротивление катушки.
Для схемы индуктивной катушки, представленной на рис. 66,а, можно записать
i = ic+£L- (8.5)
di,
u=riL+L-£. (8.6)
u=7?-ficdt. (8.7)
где Co — собственная эквивалентная емкость индуктивной катушки. Для устано-
вившегося режима и синусоидальных параметров эти уравнения имеют вид
/=4+4.
1) = 4(г + /<о£),
(оСо
Из (8.8)—(8.10) находим
I =й(—4-г + /<оСо1.
{r + jtoL )
(8.8)
(8.9)
(8.10)
(8.11)
Это позволяет записать комплексное сопротивление индуктивной катушки в виде
Z = - =---> =------------------------j—------=R'+ (812)
I 1 - + /wCo (1 _ <о2£С0 )2 + (wrCo)
где R' и L' - эквивалентные активное сопротивление и индуктивность катушки
с учетом собственной емкости
р* __________С__________
(l-ciy'LCo)2 +(<огСо)2’
Г г2
L _£(1-(о2(.С0)2+(югС0)2‘
(8.13)
(8.14)
112
ИНДУКТИВНАЯ КАТУШКА
Эквивалентная схема индуктивной катушки, в которой учтена собственная ем-
кость обмоток, представлена на рис. 66,6.
Для большинства практически важных случаев имеют место соотношения
согСо«(1-со2£Со), (8.15)
^«(1-сог£Со). (8.16)
Это позволяет упростить выражения для R' и L'
рг f (8.17)
(1-co2LCo)2'
(8.18)
1-со2£Со
Таким образом, при учете собственной емкости активное сопротивление катушки
индуктивности увеличивается на величину Яс
Яс^-Г.Г2^С0~^. (1-с?£С0)2 (8-19)
а индуктивность возрастает на величину Lc
L -е L.L с L l} ^lc0 (8.20)
Для случая
co2LCo<1 (8.21)
приращения сопротивления и индуктивности приобретают простой вид
Яс=2со2г£.С0, (8.22)
L^co2/?^. (823)
Из (8.18) следует, что наличие собственной емкости катушки приводит к несо-
ответствию рассчитанного и измеренного значений индуктивности катушки. При
этом несоответствие возрастает с увеличением частоты, индуктивности и соб-
ственной емкости. По этой причине стремятся снизить собственную емкость ин-
дуктивной катушки. К уменьшению Со приводит секционирование обмотки, увели-
чение расстояния между слоями обмотки и между обмоткой и магнитопроводом.
Формулы для расчета собственной емкости обмоток различного типа можно най-
ти в [55, 58].
Наличие собственной емкости снижает добротность катушки индуктивности
°к=^-=Т:(1-“2£Со> (824)
Частота соо
1
“о='7пГ (8.25)
представляет собственную частоту колебания заряда в индуктивной катушке (па-
раграф 4.9). При этой частоте добротность катушки приближается к нулю, т. е. ее
8.2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНАЯ СХЕМА
113
полное сопротивление становится чисто активным. Собственная частота колеба-
ния too зависит от собственной емкости катушки: чем меньше емкость, тем выше
собственная частота колебаний.
8.2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНАЯ СХЕМА
Предположим, что магнитопровод индуктивной катушки изготовлен из ферро-
магнитного материала, т. е. магнитная индукция В является нелинейной функцией
напряженности магнитного поля Н. Если магнитный поток сосредоточен в магни-
топроводе, то без учета собственной емкости катушки можно записать
u = ir+w-tf^-, (8.26)
где Фо — магнитный поток магнитопровода; w — число витков обмотки.
Для установившегося режима и синусоидальных параметров это уравнение
можно представить в комплексной форме
й=/г4^(ои/Фо = ir+jtowSB, (8.27)
где S — площадь поперечного сечения магнитопровода.
Воспользуемся соотношениями между магнитной индукцией и напряженностью
магнитного поля
В = Щ10Н (8.28)
и законом полного тока для контура длиной I внутри магнитопровода
Hl = lw. (8.29)
В магнитопроводе необходимо проводить интегрирование по аналогии с (3.17)
или приближенно считать I» 1^. Для этих условий уравнение (8.27) преобразуется
*СР
По аналогии с (3.14) Введем комплексную индуктивность L
L w5S J4i0HSw~ ftHpSw2
1 i 1 я 1Cp
Из определения комплексной магнитной проницаемости (6.50)
следует
- m,m0Sw2 u2p0Siv2
L- j J j -Lp JL.*,
XP XP
где LP — реактивная индуктивность
_H,H0Siv2
ч> - I
‘CP
(8.31)
(8.32)
(8.33)
(8.34)
114
ИНДУКТИВНАЯ КАТУШКА
a tA — активная индуктивность
H2H0Sw2
£а =—I-----• (8.35)
*СР
После введения комплексной индуктивности вместо (8.30) можно записать
U = ir+j(i)Li (8.36)
или
й=ir+/соП=ir+(cola + /cotp )z=ir+iz0, (8.37)
где Zo — комплексное электрическое сопротивление индуктивной катушки, обус-
ловленное магнитным потоком Фо,
7о=/(оГ=(о£А+/(оЦ=Яо+/Хо. (8.38)
Здесь введена величина активного электрического сопротивления индуктивной
катушки Ro, обусловленная магнитным потоком Фо,
Ro=coLa (8.39)
и величина реактивного сопротивления Хо
Хо=соЦ. (8.40)
Уравнению (8.37) соответствует последовательная эквивалентная электриче-
ская схема индуктивной катушки, представленная на рис. 67.
Рис. 67. Последоввтельнвя эквивалентнвя электрическая схема индуктивной квтушки с комп-
лексным электрическим сопротивлением 20 (а) и с активным электрическим сопро-
тивлением Ro(6).
После умножения уравнения (8.37) на комплексно сопряженный ток 7 получа-
ем уравнение, характеризующее преобразование энергии в индуктивной катушке,
L/? = rZ2+coLA72+/(oLp72. (8.41)
Мощность UI (см. формулу (4.50)), подаваемая к зажимам индуктивной катуш-
ки, расходуется на выделение теплоты на активном сопротивлении обмотки г/2,
в виде магнитных потерь в магнитопроводе
Pm=C0LaZ2=R0P. (8.42)
а также запасается в индуктивной катушке
q=(oLpZ2.
(8.43)
8.3. ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНАЯ СХЕМА
115
Добротность индуктивной катушки
со/-»
(8.44)
Если можно пренебречь активным сопротивлением обмотки г, например, при вы-
сокой частоте, то
(8-45)
т.е. добротность индуктивной катушки определяется отношением реактивной
и активной составляющих комплексной магнитной проницаемости магнитопро-
вода.
8.3. ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНАЯ СХЕМА
Воспользуемся снова уравнением (8.27) для индуктивной катушки с сосредо-
точенным магнитным потоком в магнитопроводе. Запишем его в виде
L/=7ir+/G)wd>0=Zr+L/0l (8.46)
где величина
Uo = /союФо (8.47)
представляет напряжение на индуктивной катушке, обусловленное магнитным по-
током Фо. При этом
L/0=ZZ0, (8.48)
где Zo — комплексное электрическое сопротивление индуктивной катушки.
Преобразуем уравнение (8.46) к виду
u=ir+iz0=ir+~ (849)
го
где Уо — проводимость индуктивной катушки, обусловленная магнитным пото-
ком Фо,
v 1
уо = z~ (8.50)
о
из (8.49) следует соотношение
7=(U-/r)F0 =й0У0 =йодо -jUobo, (8.51)
в которое введены величины активной д0 и реактивной Ьо проводимости (см. фор-
мулы (4.136-4.138))
<oLa Ro 1
»о—^=7Г“7Г’ (8.52)
zo z0 n
. aLp 1
<S.S3>
zg =Rg +(<oLP)z.
(8.54)
116
ИНДУКТИВНАЯ КАТУШКА
Кроме того, здесь использованы величины: Rn — активное сопротивление индук-
тивной катушки в параллельной эквивалентной схеме; — индуктивность ка-
тушки в параллельной эквивалентной схеме.
Если ввести новые обозначения
1А=йодо=(й-1г)до = ^, (8.55)
/р = -jUobo = -j(U - Ir)b0 = -j—5-, (8.56)
GM-оп
то уравнение (8.51) можно записать в виде
р
(8.57)
Последнему уравнению соответствует эквивалентная электрическая схема, пред-
ставленная на рис. 68. В ней ток I проходит через две параллельно соединенные
ветви участка электрической цепи с проводимостью Уо. При этом одна ветвь
представляет действительную часть электрической проводимости индуктивной
катушки д0, обусловленную магнитным потоком Фо, а вторая ветвь — мнимую
часть проводимости Ьо.
Рис. 68. Параллельная эквивалентная электрическая схема индуктивной катушки.
Использование соотношения (8.47) позволяет записать выражения для токов,
протекающих в параллельных ветвях электрической схемы, (8.55) и (8.56), в виде
A =UogQ = /сомФодо» (8.58)
/Р =“/170Ь0 =(О^ФоЬо. (8.59)
Следовательно, составляющая электрического тока Zp совпадает по фазе с маг-
нитным потоком Фо, а составляющая ZA опережает магнитный поток^а угол л/2.
После умножения (8.51) на комплексно сопряженное напряжение UQ получаем
уравнение, характеризующее преобразование энергии в параллельной электри-
ческой ветви индуктивной катушки
tUQ=U2gQ-jU*bQ. (8.60)
Для создания магнитного потока Фо в индуктивной катушке с магнитопрово-
дом из ферромагнитного материала потребуется мощность
tUo=Ie^Uoe =IU0e-foua-<>=IU0e-K>o =
. (8.61)
=Zt/0cos<p0 - //t/osin<po,
где <Po = Vu0- V. — угол между напряжением UD и током I.
В.4. МАГНИТНЫЙ ПОТОК РАССЕЯНИЯ
117
Эта мощность накапливается в индуктивной катушке
(Un \2 U*
Q = W = bu0 = /t>osin<po =^J cotp (8.62)
и расходуется на магнитные потери в магнитопроводе
( LL \2 U*
Рм =90Ul = 7ДЦ, = ЛУ0соз<р0 = / Ro = FH0 = (8.63)
Таким образом, компонент 7А соответствует той части электрического тока, кото-
рая покрывает магнитные потери в магнитопроводе индуктивной катушки, и по-
этому его называют активной составляющей тока. Компонент электрического
тока 7р расходуется на накопление энергии в индуктивной катушке, и его назы-
вают реактивной составляющей тока.
Сравнение (8.60)—(8.63) позволяет получить следующие полезные соотношения
Рм Ц / cosip0
= (864)
U0 0
q /Р I . Sin(p
bo=uFXXs,n<₽o=V1 (865)
flo=9ozo=zocos<Po- (8.66)
m/-₽=bo2o=2osin<Po- (8-67)
8.4. МАГНИТНЫЙ ПОТОК РАССЕЯНИЯ
Магнитная проницаемость материала магнитопровода намного больше маг-
нитной проницаемости воздуха. Тем не менее, это различие не такое большое,
чтобы обеспечить полное замыкание магнитного потока исключительно в магни-
топроводе. Как правило, небольшая часть магнитного потока индуктивной катуш-
ки полностью или частично замыкается через воздух. Эта часть магнитного пото-
ка называется магнитным потоком рассеяния.
Условно можно считать, что магнитный поток, который сцепляется с индук-
тивной катушкой, состоит из двух частей. Это, во-первых, основной магнитный
поток Фо, определяемый линиями магнитной индукции, которые целиком прохо-
дят через магнитопровод. Для него потокосцепление как и прежде можно пред-
ставить в виде
Т0=*Ф0. (8.68)
Во-вторых, это магнитный поток рассеяния ФБ, определяемый линиями магнит-
ной индукции, которые частично или полностью проходят через воздух. Поскольку
основная часть магнитного потока рассеяния проходит через среду с постоянной
магнитной проницаемостью, то этот поток линейно зависит от тока в индуктивной
катушке i. Коэффициент пропорциональности между током i и потокосцеплением
рассеяния Ts является величиной постоянной и называется индуктивностью рас-
сеяния
Т
(8.69)
* i
или
*8вМ- (8.70)
118
ИНДУКТИВНАЯ КАТУШКА
Таким образом, для реальной катушки индуктивности вместо (8.26) можно за-
писать
(8.71)
at at at
Для синусоидальных величин в комплексной Форме уравнение принимает сле-
дующий вид
U = ri+j($Lsl + /союФо =rl + j(&Lsl+U0. (8.72)
Введем величину
xs=w^s’ (8.73)
которую называют индуктивным сопротивлением рассеяния. Тогда
Z = r + jxs (8.74)
представляет полное внутреннее сопротивление обмотки катушки индуктивности.
Это позволяет записать (8.72) в виде
U = iz+Uo =i(Z+Z0)=i(r+jxs +ш£д +/(0tp) (8.75)
После умножения (8.75) на комплексно сопряженный ток I получаем уравне-
ние, характеризующее преобразование энергии в индуктивной катушке
UI = 12[г+ыЬл+j(xs+<x>Lp)\ (8.76)
Очевидно, что кроме уже рассмотренных в (8.41) преобразований, в реальной ка-
тушке индуктивности происходит дополнительная концентрация энергии в индук-
тивности рассеяния.
8.5. ВЕКТОРНАЯ ДИАГРАММА
Изобразим положение векторов в уравнении (8.72), соответствующих некото-
рому моменту времени, в виде векторной диаграммы. Вектор основного магнит-
ного потока, который полностью проходит через магнитопровод, условно напра-
вим вертикально вверх (рис. 69). Вектор напряжения на индуктивной катушке L/o,
обусловленный этим потоком, будет опережать ф0 на 90°, поскольку
UQ = /сои/Фо (8.77)
а электродвижущая сила в обмотке, созданная потоком ф0, соответственно от-
ставать на 90°
Ё0=-й0=-^^Ф0. (8.78)
Рис. 69 Векторная диаграмма индуктивной катушки с магнитным потоком рассеяния.
В.6. КОМПЛЕКСНОЕ МАГНИТНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
119
Для дальнейшего построения необходимо определить направление вектора
тока Z. Для этого воспользуемся разделением тока на активную и реактивную со-
ставляющие. В соответствии с (8.58) и (8.59) реактивный компонент тока /р со-
впадает с направлением основного магнитного потока Фо, а активный компонент
тока 7А опережает магнитный поток на 90°. Тангенс угла у (угол потерь) между
этими компонентами тока представляет величину (сравните с (6.38))
tgv=4^. (8.79) лр
угол ф0 между напряжением UQ и током 7 определяется из соотношений (см. фор-
мулы (8.62) и (8.63)) 7p = 7sin<p0, (8.80) 7A=7cos<p0. (8.81)
таким образом, <po + V = n/2. (8.82)
Теперь, когда определено направление тока Л к напряжению й0 можно доба-
вить вектор активного сопротивления обмотки индуктивной катушки г1, который
параллелен направлению тока, и вектор напряжения /to/_s7, связанного с пото-
косцеплением рассеяния Т8, который опережает вектор тока на 90°. В соответ-
ствии с (8.72) сумма этих трех векторов равна напряжению на концах индуктив-
ной катушки U.
Эквивалентная схема реальной индуктивной катушки, соответствующая урав-
нению (8.72), представлена на рис. 70.
Рис. 70. Параллельная эквивалентная электрическая схема индуктивной катушки с магнит-
ным потоком рассеяния.
8.6. КОМПЛЕКСНОЕ МАГНИТНОЕ
СОПРОТИВЛЕНИЕ
По аналогии с магнитным сопротивлением постоянного тока Ям (параграф 2.5)
вводится магнитное сопротивление магнитной цепи переменного тока ZM, Гн-1
’ = -Д1_=L—еДУнУв)=——et'v =
фот SmS nn0S HMoS
j^g(cos»|/+/sinv)=RM +jXM,
(8.83)
где ф — угол между напряженностью магнитного поля Н и магнитной индукцией В,
т.е.угол потерь (см. (6.49)); I — длина магнитной силовой линии.
120
ИНДУКТИВНАЯ КАТУШКА
Величина Ям представляет действительную часть комплексного магнитного
сопротивления
Ям =—cosu/,
(8.84)
а величина Хм — мнимую часть комплексного магнитного сопротивления
v 1
Хм =----eSiny.
(8.85)
Учитывая соотношения для действительной и мнимой частей комплексной
магнитной проницаемости
Pi =pcosi|/.
(8.86)
ц2 =psini|/.
(8.87)
величины Ям и Хм можно привести к виду
n -
г»м — “"z-t;»
M2HoS
(8.88)
X - ^г/
—“5--Xi
HHoS
(8.89)
а комплексное магнитное сопротивление
м g’noski+ZHa) (H,_yjl2)HoS pHoS’
(8.90)
Мнимая часть комплексного магнитного сопротивления Хм пропорциональна
мнимой части комплексной магнитной проницаемости ц2, а следовательно она
характеризует магнитные потери в магнитопроводе. Действительно, после пре-
образований с использованием формулы (6.53) можно получить
У - _ 2рм
м p’p0S MB'S Ф§т(о’
(8.91)
где РА — удельные магнитные потери в магнитопроводе, Вт/м3; рм — магнитные
потери в магнитопроводе рм =P*Sl-
Из определения комплексного электрического сопротивления индуктивной ка-
тушки (8.38) следует
_ . • . UDSw2z \ • PHoSw2
Zo =C)Lb +jtoLP --(Hl -/Нг)=/О>^--.
(8.92)
Сравнивая (8.90) и (8.92), можно найти связь между комплексным магнитным со-
противлением магнитопровода ZM и эквивалентным электрическим сопротивле-
нием индуктивной катушки Zo
ZMZ0=j<i>w2.
(8.93)
8.7. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАГНИТНЫХ ПОТЕРЬ
121
8.7. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАГНИТНЫХ ПОТЕРЬ
Формула (8.39) вводит величину активного электрического сопротивления ин-
дуктивной катушки Яо, обусловленного основным магнитным потоком ф0 в по-
следовательной эквивалентной схеме катушки. Величину Яо можно назвать со-
противлением магнитных потерь [41, 57, 59], поскольку имеется прямая связь
этой величины с магнитными потерями. Преобразуем формулу для удельных маг-
нитных потерь Ра, Вт/м3 (формула (6.53)), справедливую для синусоидальных ве-
личин Ви Н,
I Н2 I Н2
(8.94)
или
О о Sw2 2
Я0=Р.—„г- (8.95)
т. е. активное электрическое сопротивление индуктивной катушки Ro, в последова-
тельной эквивалентной схеме пропорционально удельным магнитным потерям РА.
Соотношение (8.95) можно привести к виду
UlipSwt 2 Ра
° • I (ВтНт\ ’ (8.96)
< 2 )
где L — модуль комплексной индуктивности; B^Rm/2 — плотность магнитной
энергии магнитного материала.
В параллельной эквивалентной схеме индуктивной катушки роль активного со-
противления выполняет величина Яп (формула (8.52)), которая связана с Яо соот-
ношением
о _ 1 _го2 _я , (гс^р)2 /Й{ГП
п“Зо’Яо 0 Яо ‘ (89 7)
Таким образом, сопротивление магнитных потерь Яо в последовательной эквива-
лентной схеме индуктивной катушки приближается к нулю, если магнитный мате-
риал имеет низкие удельные магнитные потери. Наоборот, в параллельной экви-
валентной схеме сопротивление магнитных потерь Яп стремится к бесконечности
в материале с низкими удельными магнитными потерями.
Из (8.95) следует, что сопротивление магнитных потерь Яо зависит от разме-
ров индуктивной катушки и числа витков. В качестве характеристики магнитного
материала можно использовать приведенное сопротивление г0, которое измеря-
ется в Ом/м,
I 2
r°=RoSw^=PaH^' (898)
Из физических соображений следует, что активное сопротивление г0 ограничи-
вает скорость перемагничивания магнитопровода. Действительно, с определен-
ным приближением уравнение динамического перемагничивания можно предста-
вить в виде [16, 40, 59]
^ = гН, (8.99)
т. е. скорость перемагничивания dB/dt снижается с увеличением коэффициента г.
122
ИНДУКТИВНАЯ КАТУШКА
Для синусоидальной магнитной индукции 8=8телйГ из (8.99) находим
н-^в,
-В .г
ц =—- = -1------------------------------,
р0Н '“Но
таким образом, мнимая магнитная проницаемость ц2
г
Р2 =------------------------------------.
(ОЦо
а удельные магнитные потери
Н2
Сравнение (8.98) и (8.103) показывает, что коэффициент г в уравнении динами-
ческого перемагничивания совпадает с приведенным сопротивлением магнитных
потерь г0.
(8.100)
(8.101)
(8.102)
(8.103)
Глава 9
ТРАНСФОРМАТОР
9.1. ЭКВИВАЛЕНТНАЯ СХЕМА
Трансформатор представляет статическое электромагнитное устройство, име-
ющее две или более обмотки индуктивно связанных между собой и предназна-
ченное для преобразования переменного тока посредством электромагнитной
индукции. Обычно для усиления индуктивной связи между обмотками используют
магнитопровод из ферромагнитного материала. В этой главе будет рассмотрен
простейший трансформатор, состоящий из двух электрически не связанных и не-
подвижных обмоток, помещенных в однородную среду с постоянной магнитной
проницаемостью ц.
К первичной обмотке приложена электродвижущая сила е, равная напряжению
на зажимах первичной обмотки щ (рис. 71). Эта электродвижущая сила создает
в первичной цепи электрический ток’ ц. Предположим, что активное сопротив-
ление первичной обмотки сосредоточено в резисторе а индуктивность обмот-
ки сосредоточена в катушке индуктивности Lv Тогда для сосредоточенных па-
раметров напряжение на зажимах первичной обмотки падает на резисторе
и на индуктивной катушке (uL1 + иМ1), что позволяет записать
е,=9,+ии+им, (9.1)
или
<9-2)
Вследствие взаимной индукции ток ц создает во вторичной обмотке электро-
движущую силу
eM2=-W^- <9-3)
М2
Рис. 71. Электрическая схема трансформатора.
124
ТРАНСФОРМАТОР
К вторичной обмотке, через которую протекает ток i2, присоединен приемник
с сопротивлением гп. Из закона электромагнитной индукции следует, что ток i2
создает магнитный поток, который направлен в сторону противоположную возра-
станию магнитного потока, создаваемого током первичной обмотки iv Это позво-
ляет считать, что обмотки трансформатора расположены встречно, а соответ-
ствующие условно положительные направления тока и напряжения представлены
на рис. 71.
Для сосредоточенных параметров вторичной цепи электродвижущая сила вза-
имной индукции еМ2 уравновешивает напряжение на резисторе r2i2t катушке ин-
дуктивности t/|_2 и приемнике и2
+Ц-2 *U2 (9.4)
или
= r2l2 + (9.5)
причем напряжение и2 связано с сопротивлением приемника гп соотношением
u2=rni2- (9.6)
После преобразования (9.2) и (9.5) получаем [55]
u,=rML^+nMW7f (97)
0 = n2r27i + n2L2^7i + nM^ + nU2- <9.8)
Физический смысл параметра л будет выяснен позднее. После введения новых
приведенных параметров
(9.9)
и,=ли2, (9.10)
г2-л2г2, (9.11)
L'2=n^L2 (9.12)
уравнения (9.7) и (9.8) приобретают вид
и =ri +L (9.13)
111 1 dt eft
G = r2i2+L'^+nM^+u'2. (9.14)
2 2 2 eft dt 2
di. dL
Добавляя к правой части уравнения (9.13) член а к правой части
diL di'
уравнения (9.14) член преобразуем соответствующие уравнения
<9.15)
О.,й+(Ц-„М)§..пМ^-,+и;. (9.16)
9.2. СОВЕРШЕННЫЙ И ИДЕАЛЬНЫЙ ТРАНСФОРМАТОРЫ
125
Рис. 72. Эквивалентная электрическая схеме трансформатора.
Уравнениям (9.15) и (9.16) соответствует электрически связанная схема,
представленная на рис. 72. В ней активное сопротивление первичной и вторич-
ной обмоток сосредоточено в резисторах г, и соответственно. Индуктивность
обмоток сосредоточена в катушках индуктивности Ц2 и /_0, которым соответ-
ствуют величины
/_s1=(t,-nM), (9.17)
Ц2=(Ц-пМ), (9.18)
L0=nM. (9.19)
Эти величины представляют индуктивность рассеяния первичной обмотки, приве-
денную индуктивность рассеяния вторичной обмотки и индуктивность намагничи-
вания, соответственно. Через катушку индуктивности Lq протекает ток намагничи-
вания i0
(9.20)
После введения новых величин уравнения (9.15) и (9.16) принимают вид
ui = rA +^si_gjr’ + ^o_tfp (921)
. di' di„
(9.22)
Поскольку в электрической цепи, представленной на рис. 72, токи и i2 и на-
пряжения и и2 равны токам и напряжению в трансформаторе (переход от при-
веденных параметров вторичной обмотки можно провести по формулам (9.9)-
(9.12)), то эту схему называют эквивалентной схемой трансформатора. Эквива-
лентная схема при включении ее на место трансформатора в электрическую цепь
будет потреблять и отдавать ту же мощность, что и реальный трансформатор
р2 ^2^2 ~ ^2^2 *
(9.23)
9.2. СОВЕРШЕННЫЙ И ИДЕАЛЬНЫЙ
ТРАНСФОРМАТОРЫ
Трансформатор называется совершенным, если равны нулю активное сопро-
тивление первичной и вторичной обмоток г, = г2 = 0 и индуктивности рассеяния
Ц, = LS2 = 0 [18].
126
ТРАНСФОРМАТОР
Из условия LS1 = Ly - пМ = 0 следует, что в совершенном трансформаторе па-
раметр л равен отношению индуктивности первичной обмотки Ц к взаимной ин-
дуктивности М
(9.24)
Из условия Z-S2 = ^"2 ~пМ = 0 и соотношения (9.24) следует
L.L2=M2t (9.25)
т. е. в совершенном трансформаторе коэффициент связи двух обмоток равен
единице (см. формулу (3.58))
. М
(9.26)
Это означает, что весь магнитный поток, создаваемый первичной обмоткой,
будет сцепляться со вторичной обмоткой и весь магнитный поток, создаваемый
вторичной обмоткой, будет сцепляться с первичной обмоткой.
Для совершенного трансформатора из (9.15) и (9.16) получаем
din
U^-L4=U^ (927)
O = uo+u;. (9.28)
где и0 — напряжение на катушке индуктивности Lq. Кроме того, индуктивность на-
магничивания равна индуктивности первичной обмотки трансформатора Ц = пМ = Lv
Эквивалентная схема совершенного трансформатора представлена на рис. 73.
Связь между напряжением на первичной и вторичной обмотках совершенного
трансформатора устанавливается из уравнений (9.27) и (9.28)
иу=-и'2=-пи2, (9.29)
т. е. напряжение на первичной обмотке пропорционально напряжению на вторич-
ной обмотке, причем коэффициент пропорциональности является постоянной ве-
личиной, поскольку обмотки трансформатора считаются неподвижными.
Для установившегося режима работы совершенного трансформатора из урав-
нения (9.27) находим ток намагничивания
(9.30)
Рис. 73. Эквивалентная электрическая схема совершенного трансформатора.
9.3. МАГНИТНАЯ ЭНЕРГИЯ
127
Поскольку основной поток (потокосцепление намагничивания), охватывающий
полностью как первичную, так и вторичную обмотку, равен
Ч0=101-0, (9.31)
то, учитывая (9.30), получаем
(9.32)
Отсюда следует, что в совершенном трансформаторе напряжение на первичной
обмотке щ равно электродвижущей силе е0, создаваемой изменением потоко-
сцепления намагничивания, взятой с обратным знаком,
сГК
u,=-^=-e0- (9.33)
В случае, если индуктивность первичной обмотки велика так, что
h, (9.34)
то током намагничивания в (9.20) можно пренебречь, и ток в первичной обмотке
будет пропорционален току во вторичной обмотке
i,=-i;=4- <9-35)
Трансформатор, в котором выполняются условия пропорциональности тока
и напряжения (9.29) и (9.35), называют идеальным трансформатором [18]. Такой
трансформатор преобразует токи и напряжения в определенное число раз неза-
висимо от сопротивления нагрузки во вторичной цепи. Эквивалентная схема иде-
ального трансформатора представлена на рис. 74.
Рис. 74. Эквивалентная электрическая схема идеального трансформатора.
Для параметров, представляющих синусоидальные функции времени, уравне-
ние (9.20) имеет вид
Следовательно, условие идеальности трансформатора выполняется, если индук-
тивность первичной обмотки L, или индуктивное сопротивление первичной обмот-
ки (£>Ly достаточно велики, чтобы можно было пренебрегать величиной Uy/j(nLv
9.3. МАГНИТНАЯ ЭНЕРГИЯ
Умножим уравнение (9.2) на iv а уравнение (9.5) на i2 и полученные результа-
ты сложим. После некоторых преобразований это дает
d (L i2 L i2 A
=7? +rsl22 +u2»2 + dt[-2~+~22-+Mi>i2 } (9.37)
128
ТРАНСФОРМАТОР
Выражение в круглых скобках представляет магнитную энергию двух индук-
тивно связанных обмоток или магнитную энергию трансформатора wM (см. фор-
мулу (3.63))
L i2 LJ2
wM=^+^+Mij2. (9.38)
Это позволяет представить (9.37) в виде
°1*1 =ГА2 + f2*2 +U2^2 (9.39)
Уравнение (9.39) показывает, что мощность uyiyi передаваемая в первичную об-
мотку трансформатора, расходуется на преодоление активного сопротивления
первичной и вторичной обмоток и необратимо выделяется в виде теплоты
Рг = ryi2+r2i2. (9.40)
Вторая часть мощности передается в нагрузку u2i2, причем активное сопротивле-
ние приемника потребляет мощность необратимо, а реактивная мощность воз-
вращается источнику. Третья часть мощности идет на изменение энергии магнит-
ного поля dwM/dt. •
Преобразуем магнитную энергию трансформатора (9.38), вводя параметр л,
(Ь-пМУ? (пЧ^-пМ)^ пМ(. i2}2
wm=~~ 2 * 2л~ + ' (9 41)
Используя приведенные параметры (9.9) и (9.11), определения индуктивности
рассеяния и индуктивности намагничивания (9.17)-(9.19) и тока намагничивания
(9.20), магнитную энергию трансформатора можно записать в виде
(9.42)
Следовательно, вся магнитная энергия трансформатора сосредоточена в индук-
тивности рассеяния первичной обмотки LS1, индуктивности рассеяния вторичной
обмотки Z-S2 и индуктивности намагничивания Lq.
В совершенном трансформаторе LS1 = Ц2 = 0 и магнитная энергия
(9.43)
В идеальном трансформаторе i0 = 0 и магнитная энергия трансформатора
равна нулю, т. е. вся мощность, подводимая к первичной обмотке, передается
приемнику
Ui/‘i = и^. (9.44)
9.4. ВХОДНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
Если напряжение иу является синусоидальной функцией времени, то в устано-
вившемся режиме, т. е. по истечении некоторого времени после подключения
трансформатора к источнику энергии, параметры электрической цепи трансфор-
матора ^2, и2 также будут синусоидальными функциями времени.
9.4. ВХОДНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
129
Используя комплексные величины, уравнения (9.2), (9.5) и (9.6) можно преоб-
разовать к виду
й,=г171 + /соС1/,+/соЛ4/2, (9.45)
-jo)Mi^r2i2+/сос2/2 +йг, (9.46)
u2=i2zn. (9.47)
Выводы, полученные из решения уравнений (9.45)-(9.47), носят общий характер,
поскольку любую периодическую функцию можно разложить на гармонические
составляющие.
Связь между токами в первичной и вторичной обмотках трансформатора мож-
но найти из уравнений (9.46) и (9.47)
т -_т &М
2 ’(Гг+г^+ДсоЦ+Хп)’
учитывая, что
Zn Qi +
(9.48)
(9.49)
После подстановки (9.48) в (9.45) и некоторых преобразований получаем соотно-
шение между током и напряжением в первичной обмотке
________________________ 1________________________
(соМ)г(г2+гп) у / (соМ)г(<оС2+хп) Y (9 50)
f'"(ra+rn)>t(<«la+xnr) V '*(ra«nr+(M1,txnrJ
После введения обозначения для комплексного сопротивления вторичной цепи
z2n = (гг +гп )+ +хп ) (9.51)
и соответствующего модуля
*2П = <9-52)
а также реактивного сопротивления первичной обмотки
(9.53)
соотношение (9.50) можно записать в виде
j i =___________(Л______________=А.
f (co/w)2 Y / (СОЛ4)2 Zbx (9.54)
6 +—Z2---'2П +/ ---Х2П k •
Z2n J V Z2n )
Величина ZBX представляет комплексное входное сопротивление электрической
цепи состоящей из трансформатора и приемника
.2
вх
(9.55)
5 Теория и расчет трансформаторов
130
ТРАНСФОРМАТОР
Из (9.55) следует, что эквивалентное активное сопротивление гвх больше со-
противления первичной обмотки трансформатора гг Увеличение эквивалентного
активного сопротивления связано с мощностью, которая необратимо потребляет-
ся вторичной цепью и которая пропорциональна активному сопротивлению.
Эквивалентное реактивное сопротивление хвх может быть больше или меньше
реактивного сопротивления первичной обмотки xv В соответствии с (9.12) при
индуктивном характере вторичной цепи (х2п >0 и х2П $> г^) между первичным
и вторичным током имеет место соотношение
Г г (йМ
(9.56)
Л2П
Следовательно, при М > 0 магнитный поток, обусловленный током /2, направлен
против магнитного потока, создаваемого первичным током ir Это приводит
к уменьшению магнитного потока, создаваемого одним и тем же первичным то-
ком, при /2*0 по сравнению с /2=0. Уменьшение магнитного потока эквива-
лентно уменьшению реактивного сопротивления первичной обмотки.
Если реактивное сопротивление вторичной цепи отрицательное (х^ < 0), то
ток во вторичной обмотке /2 имеет емкостный характер и в предельном случае
совпадает по фазе с первичным током Zr При этом магнитные потоки этих токов
направлены в одну сторону, что эквивалентно увеличению реактивного сопротив-
ления первичной обмотки.
Если ввести величины
(соМ)2 ,
72 Г2П»
2П
(9.57)
Дх = <^
2П
которые называют вносимым активным и реактивным сопротивлением, то вход-
ное сопротивление можно записать в виде
ZBx=(ri+Ar)+>(xi+Ax)=Zi+AZ- (9.59)
т. е. входное комплексное сопротивление ZBX больше комплексного сопротив-
ления первичной обмотки Zy на величину вносимого комплексного сопротивле-
ния AZ.
Вносимое сопротивление представляет такое сопротивление, которое следо-
вало бы внести в первичную цепь, т. е. включить последовательно crt и x1t чтобы
учесть влияние сопротивления приемника во вторичной цепи трансформатора
на ток в его первичной цепи.
После подстановки из (9.48) и /2 из (9.47) в (9.45) найдем соотношение
между первичным и вторичным напряжением
W2+Z2nZ
/co/VfZn °2
(9.60)
Соотношение (9.48) между первичным и вторичным током можно переписать в виде
2П
(9.61)
9.5. КОЭФФИЦИЕНТ ТРАНСФОРМАЦИИ
131
Входное сопротивление идеального трансформатора
=4=z^=nA=n2z
вх А _1/ i2 (9.62)
п* 2
Это соотношение показывает, что идеальный трансформатор преобразует сопро-
тивление приемника Zn в определенное число раз независимо от типа электри-
ческого сопротивления.
9.5. КОЭФФИЦИЕНТ ТРАНСФОРМАЦИИ
Выясним физический смысл коэффициента л. Для этого предположим, что
весь магнитный поток, создаваемый обмотками, через которые протекает ток,
сосредоточен в магнитопроводе. Тогда для расчета индуктивности первичной
обмотки L, и взаимной индуктивности М можно использовать формулы (3.22)
и (3.52). Это позволяет вычислить параметр л, который для совершенного транс-
форматора равен (9.24)
где w, — число витков первичной обмотки; w2 — число витков вторичной обмотки.
Таким образом, при сосредоточении магнитного потока трансформатора
в магнитопроводе, параметр л равен отношению числа витков первичной обмотки
iv1 к числу витков вторичной обмотки w2.
В идеальном трансформаторе параметр л можно найти также из соотношений
(9.29) и (9.35)
n = -g-, (9.64)
(9.65)
И
Поскольку в этих формулах параметр л равен отношению напряжений или отно-
шению токов на первичной и вторичной обмотках, то его называют коэффициен-
том трансформации.
Как видно из соотношений (9.64) и (9.65), для синусоидальных параметров ко-
эффициент трансформации будет комплексной величиной, поэтому предпочти-
тельно определять коэффициент трансформации через отношение числа витков
[60]. При определении параметра л через отношение числа витков можно счи-
тать, что формулы (9.9)-(9.12) приводят параметры реального трансформатора
к параметрам эквивалентного трансформатора. Причем в эквивалентном транс-
форматоре приведенное число витков вторичной обмотки w'2 равно числу витков
первичной обмотки
w2 =VV1 =nvv2- (9.66)
Поэтому параметр л называют также коэффициентом приведения.
Коэффициент трансформации является важным параметром трансформатора.
При этом необходимо отметить неоднозначность его определения. Так, в сило-
вом трансформаторе [61] под коэффициентом трансформации понимают отно-
132
ТРАНСФОРМАТОР
шение напряжения на зажимах двух обмоток в режиме холостого хода, т. е. при
i2 = 0. В двухобмоточном силовом трансформаторе он равен отношению высшего
напряжения на одной из обмоток к низшему напряжению на другой обмотке. Для
двух обмоток, нанесенных на один стержень силового трансформатора, коэффи-
циент трансформации равен отношению числа их витков.
В трансформаторе тока [62] под коэффициентом трансформации понимают
отношение первичного тока к вторичному току, т. е. коэффициент трансформации
равен обратной величине л, определяемой формулой (9.65). Аналогичная ситуа-
ция в трансформаторах малой мощности [63]. Коэффициент трансформации
трансформатора малой мощности равен отношению числа витков вторичной об-
мотки к числу витков первичной обмотки.
Все определения коэффициента трансформации сложились исторически
и учитывают те приближения, которые используются при расчете соответству-
ющих типов трансформаторов. В дальнейшем, под величиной п будем понимать
отношение числа витков первичной обмотки к числу витков вторичной обмотки.
Глава 10
ТРАНСФОРМАТОР
С МАГНИТОПРОВОДОМ
ИЗ ФЕРРОМАГНИТНОГО МАТЕРИАЛА
10.1. ЭКВИВАЛЕНТНАЯ СХЕМА
Для того чтобы сблизить параметры реального и идеального трансформато-
ров необходимо обеспечить близкий к единице коэффициент магнитной связи
обмоток трансформатора. С этой целью обмотки наносят на магнитопровод, ко-
торый изготовлен из ферромагнитного материала с высокой магнитной проница-
емостью. В таком трансформаторе обмотки полностью охватывают магнитопро-
вод, и в нем концентрируется основной магнитный поток, поскольку магнитная
проницаемость магнитного материала намного больше магнитной проницаемо-
сти окружающей среды. Увеличению коэффициента магнитной связи способст-
вует наложение обмоток близко друг к другу; в идеальном случае обмотки долж-
ны быть совмещены.
Весь магнитный поток, создаваемый обмотками с током, разделим на три час-
ти [19]. Это основной магнитный поток Фо, линии магнитной индукции которого
целиком проходят через магнитопровод и, следовательно, охватывают все витки
обеих обмоток трансформатора. Линии магнитной индукции, которые охватывают
все витки только первой обмотки, создают магнитный поток рассеяния Ф81. Ли-
нии магнитной индукции, которые охватывают все витки только второй обмотки,
создают магнитный поток рассеяния Ф82. Магнитный поток рассеяния преимуще-
ственно проходит через немагнитную среду. Реальная картина магнитного поля
в трансформаторе является более сложной, и это дает повод для различных трак-
товок явления магнитного рассеяния [64-66].
Магнитные потоки Фо, Ф81 и Ф82 создают потокосцепления 'Р, и Т2с первичной
и вторичной обмотками
^=^+^0, (10.1)
^2 = ^-S2*2 +^2Фо, (10.2)
где LS1 и Ц2 — индуктивности рассеяния первичной и вторичной обмоток транс-
форматора; w, и w2 - число витков первичной и вторичной обмоток.
Индуктивность рассеяния является постоянной величиной, поскольку магнит-
ный поток рассеяния в основном проходит через немагнитную среду.
134
ТРАНСФОРМАТОР С МАГНИТОПРОВОДОМ ИЗ ФЕРРОМАГНИТНОГО МАТЕРИАЛА
Если к первичной обмотке приложено напряжение то можно записать урав-
нения напряжений (сравните с (9.2) и (9.5))
, di. ctt>0 ^=r^+LS}-gi-+wx-^-, (10.3)
. di2 С/Фл w2~^f- = r2l2+u2- (Ю.4)
Умножим уравнение (10.4) на коэффициент п = wjw2 и преобразуем его к виду
~ 2 ^2 i 2 £^2 1 dGn 0=n2r2*+LS2n2 £ n+w, d°+nu2. (10.5)
После ведения приведенных параметров
n> (10.6)
u'2=nu2i (Ю.7)
r2 = n2r2l (10.8)
^-S2 =n2^-S2> (Ю.9)
уравнения (10.3) и (10.5) принимают вид
. di. и1 -Г1Г1 + (10.10)
n ,, d% 0-Г212 +Ls2-^- + U0 +u2- (10.11)
Здесь и0 — напряжение на первичной обмотке, обусловленное основным магнит-
ным потоком Фо,
с^Фл . din uo=~eo=w}—^-=Lo-^-, (10.12)
a и2 — приведенное напряжение на вторичной обмотке
U2 — HU2 — ПГц12. (10.13)
Из закона полного тока следует
,,, Bl Фп/ Фо1*? ‘J'o1*! • Lo Ц l°W" ИЛИ И + l2 =l0» где MMoSw,2 L-°~ I (10.14) (10.15) (10.16)
индуктивность намагничивания. Заметим, что все величины с нижним индексом О
относятся к первичной обмотке трансформатора.
10.1. ЭКВИВАЛЕНТНАЯ СХЕМА
135
В конечном счете, уравнения (10.10), (10.11) и (10.15) для трансформатора
с магнитопроводом приняли вид, который совпадает с уравнениями (9.20)—(9.22),
которым соответствует эквивалентная схема, представленная на рис. 72.
Для синусоидальных величин уравнения (10.10), (10.11), (10.13) и (10.15) мож-
но представить в комплексной форме
^1 =gA+ (10.17)
0 — Г2^2 + + ZqIq + ^2» (10.18)
А + /2 = >о. (10.19)
L/J=Z^2- (10.20)
В эти уравнения введены новые комплексные величины: комплексное электриче-
ское сопротивление первичной обмотки Zo, обусловленное магнитным потоком Фо,
— Uq IV« (УФп Фо . — — .
zo=7e-=-p-^r-=/“M'i-75-=/‘o^o=/’o + /®'-op. (10.21)
10 ^0 *0
где Lq — комплексная индуктивность первичной обмотки, обусловленная основ-
ным магнитным потоком ф0, (см. соотношение (8.31))
г ~ MMoSw? g2g0Sw,2
0 ------kP-------------L°p~jL^' (10.22)
и приведенное комплексное сопротивление приемника Z'n
Z'n=n2Zn. (10.23)
Рис. 75. Эквивалентная электрическая схема трансформатора с магнитопроводом из фер-
ромагнитного материала.
На рис. 75 представлена электрическая схема цепи, состоящей из двух элект-
рически связанных ветвей, которая соответствует уравнениям (10.17)-( 10.20).
В ней параметры вторичной обмотки приведены к числу витков первичной обмот-
ки и поэтому равны электродвижущие силы
Ё,=Ёг2=-й0=^010. (10.24)
Если использовать величину проводимости Уо, обусловленную основным маг-
нитным потоком ф0, то соответствующий участок эквивалентной электрической
схемы трансформатора можно представить в виде параллельной ветви (рис. 76).
136
ТРАНСФОРМАТОР С МАГНИТОПРОВОДОМ ИЗ ФЕРРОМАГНИТНОГО МАТЕРИАЛА
Это позволяет записать ток намагничивания 70 по аналогии с (8.57) в виде
>о = Ц)^о -QqUo ~ = ^оа +^ор» (1 0.25)
где Z0A и Z0P — активная и реактивная составляющие тока намагничивания
(10.26)
i0P=-jb0U0. (10.27)
Рис. 76. Эквивалентная электрическая схема трансформатора с параллельной ветвью для
проводимости намагничивания Yo = д0 - jb0.
Из представлений (10.26) и (10.27), а также из соотношения для комплексно-
го напряжения на первичной обмотке, обусловленного магнитным потоком ф0,
(см. (10.12))
Uo Фо (10.28)
следует, что вектор реактивной составляющей тока намагничивания 70Р паралле-
лен вектору магнитного потока ф0, а вектор активной составляющей тока намаг-
ничивания 70А опережает вектор магнитного потока на 90°.
10.2. ВЕКТОРНАЯ ДИАГРАММА
Представим уравнения (10.17)—(10.20) в виде векторной диаграммы. Вектор
основного магнитного потока ф0 направим вертикально вверх (рис. 77). В соот-
ветствии с (10.28) вектор напряжения на первичной обмотке й0, обусловленный
магнитным потоком Фо, опережает магнитный поток на 90°. Направление векто-
ров и2 и Г2 на вторичной обмотке можно найти из углов а2 и ф2, которые опреде-
ляются реактивными и активными сопротивлениями вторичной обмотки и прием-
ника,
Хп + (D/-CO
а2 = arctg-^———, (10.29)
'П + '2
х ХП
<p2=arctg-^-. (10.30)
Это позволяет изобразить векторы напряжения на приемнике й2 на активном со-
противлении вторичной обмотки г2^2 и на индуктивности рассеяния вторичной
обмотки /co/_S2i2, сумма которых в соответствии с (10.18) равна -й0.
10.3. РЕЖИМ ХОЛОСТОГО ХОДА
137
Рис. 77. Векторная диаграмма трансформатора с магнитопроводом из ферромагнитного
материала.
В соответствии с (10.17) напряжение на первичной обмотке равно сумме
напряжений на первичной обмотке UQt и j($Lsjv и это показано на левой
ветви диаграммы (рис. 77). При этом направление первичного тока определяется
соотношением Ц = 10 - Г2.
Заметим, что на рис. 77 напряжение 1>2 опережает ток Г2, т. е. <р2 =Ч,и~М/( >0,
а это в соответствии с (4.98) и (4.99) означает, что сопротивление приемника
имеет индуктивный характер.
10.3. РЕЖИМ ХОЛОСТОГО ХОДА
Режим холостого хода имеет место, когда на зажимы первичной обмотки по-
дается переменное напряжение (J,, а вторичная цепь разомкнута, т. е. 1г = 0 (21].
Это позволяет представить уравнения (10.17)-(10.19) в виде
u,=zj^u0,
й'г=-и0=Ё'г,
(10.31)
(10.32)
(10.33)
Здесь Z, — комплексное сопротивление первичной обмотки трансформатора
с магнитопроводом
(10.34)
т. е. в режиме холостого хода электродвижущая сила на вторичной обмотке Ё2
равна напряжению U2t а ток в первичной обмотке Ц представляет ток намагничи-
вания Zo.
Режиму холостого хода соответствует упрощенная эквивалентная схема
(рис. 78) и векторная диаграмма (рис. 79). При этом векторная диаграмма прак-
тически совпадает с векторной диаграммой катушки индуктивности (рис. 69);
различие состоит только в электродвижущей силе вторичной обмотки и в некото-
рых буквенных обозначениях.
138
ТРАНСФОРМАТОР С МАГНИТОПРОВОДОМ ИЗ ФЕРРОМАГНИТНОГО МАТЕРИАЛА
Рис. 78. Эквивалентная схема трансформатора в режиме холостого хода.
Если сопротивлением первичной обмотки Z, можно пренебречь, а это возможно
при малом числе витков первичной обмотки v^, например в повышающем транс-
форматоре, то напряжение на первичной обмотке будет равно электродвижущей
силе
й^й0=-Ёу. (10.35)
Это позволяет по напряжению на первичной обмотке и вторичной обмотке U2
определить коэффициент п в режиме холостого хода
w2 Е2~и2-
(10.36)
В этом же приближении (Z, « 0) после умножения уравнения (10.35) на комп-
лексно сопряженный ток 7, получаем
(10.37)
При небольшом числе витков первичной обмотки и низкой частоте вторым чле-
ном joLqpIq можно пренебречь. Таким образом, при принятых условиях в режиме
холостого хода вся энергия, которая подается на первичную обмотку трансфор-
матора, расходуется на магнитные потери в магнитопроводе
(10.38)
Это позволяет с определенным приближением измерять магнитные потери в маг-
нитопроводе трансформатора.
Рис. 79. Векторная диаграмма трансформатора в режиме холостого хода.
10.4. РЕЖИМ НАГРУЗКИ
139
10.4. РЕЖИМ НАГРУЗКИ
В режиме нагрузки на первичную обмотку подается переменное напряжение
Uyt а вторичная обмотка замкнута на приемник (нагрузку). Работу трансформато-
ра в режиме нагрузки определяют уравнения (10.17)-( 10.20), которые удобно
представить в виде
и. =Zyiy+zoio,
(10.39)
o=z;A+zozo+i)',
(10.40)
Z, + Z2 - Zo
(10.41)
t>2=ZnZ;,
(10.42)
где Z2 — приведенное комплексное сопротивление вторичной обмотки
Z2 — г2 + yco/-s2 •
(10.43)
Если сопротивление первичной обмотки Zy мало, то из (10.39) следует
Ц =j(oW'G0.
(10.44)
Таким образом, магнитный поток зависит только от напряжения на первичной об-
мотке
и он не изменяется, если действующее значение первичного напряжения остает-
ся постоянным Uy = const.
При подключении вторичной обмотки к приемнику в ней возникает ток Z2. Ток
во вторичной обмотке создает магнитный поток направленный навстречу основ-
ному магнитному потоку. Однако в соответствии с (10.45) основной магнитный
поток должен остаться постоянным, что обеспечивается увеличением первичного
тока по сравнению с током холостого хода Zo. Это увеличение первичного тока
компенсирует ожидаемое снижение магнитного потока. Добавку к первичному
току можно назвать нагрузочным током 7НГ. Таким образом, в нагруженном транс-
форматоре магнитный поток и, соответственно, магнитная индукция не изменя-
ются, а ток в первичной обмотке возрастет на нагрузочную составляющую пер-
вичного тока 7НГ
А—А+Аг •
(10.46)
Из сравнения (10.46) с (10.41) следует
(10.47)
т. е. нагрузочная составляющая первичного тока совпадает с приведенным вто-
ричным током.
10.5. РЕЖИМ КОРОТКОГО ЗАМЫКАНИЯ
В режиме короткого замыкания на первичную обмотку подается переменное
напряжение Uy, а вторичная обмотка замкнута на себя, т. е. U2 = 0.
140
ТРАНСФОРМАТОР С МАГНИТОПРОВОДОМ ИЗ ФЕРРОМАГНИТНОГО МАТЕРИАЛА
Таким образом, уравнения (10.17)—(10.19) приобретают вид
Uy=Zjy+Z0i0i (10.48)
O=Z'7'+Zo7o, (10.49)
д+М (ю-50)
Из этих уравнений следует
Uy=(Zy+Z'2)iy-Z2i0. (10.51)
При коротком замыкании вследствие уменьшения сопротивления вторичной
цепи значительно возрастает ток Z2, а следовательно, нагрузочная составляющая
первичного тока [20]. На этом основании можно считать, что
(10.52)
При выполнении этого условия уравнения (10.50) и (10.51) упрощаются до
Д=-72, (10.53)
Uy=(Zy+Z’2)ty. (10.54)
Этим уравнениям соответствует эквивалентная схема трансформатора в режиме
короткого замыкания, представленная на рис. 80.
Г1
I_______________________________
ii
Рис. 80. Эквивалентная схема трансформатора в режиме короткого замыкания.
Векторная диаграмма трансформатора в режиме короткого замыкания пока-
зана на рис. 81. Как обычно вектор магнитного потока направлен вертикально
вверх. Напряжение на вторичной обмотке определяет уравнение (10.49)
Z'2r2=-U0. (10.55)
Рис. 81. Векторная диаграмма трансформатора в режиме короткого замыкания.
10.6. КОЭФФИЦИЕНТ ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ 141
Первичный ток 7, повернут на 180’относительно вторичного тока Г2 (уравне-
ние (10.53)). Вдоль направления 7, откладывается напряжение на первичной об-
мотке zj,, которое добавляется к напряжению L/o = Z070 = -Ev Эта сумма в соот-
ветствии с (10.49) равна напряжению на первичной обмотке L/v
Следует различать аварийный и испытательный режим короткого замыкания.
В аварийном режиме напряжение на первичной обмотке равно номинальному на-
пряжению и токи могут превышать номинальные значения на порядок. Если за-
щита не срабатывает, то короткое замыкание приводит к чрезмерному перегреву
обмоток и выходу из строя трансформатора.
В испытательном режиме на первичную обмотку подают напряжение t/1K, ко-
торое создает в обмотках токи равные номинальным значениям. Напряжение
короткого замыкания t/1K намного меньше номинального напряжения Uv Поэтому
вследствие малого значения магнитной индукции в магнитопроводе можно пре-
небречь магнитными потерями. Таким образом, мощность короткого замыкания
рк расходуется только на покрытие потерь в проводах
Рк — + ^2r2 = ^?(ri +,г)= Л2гк- (10.56)
Отсюда находим активное сопротивление проводов первичной и вторичной об-
моток
I Рк
гк=Г|+г2=—. (10.57)
Индуктивное сопротивление можно найти из соотношения
(10.58)
где zK — модуль комплексного сопротивления короткого замыкания ZK
(10.59)
Л
В соответствии со схемой на рис. 80 индуктивное сопротивление равно
xK=coZ^, (10.60)
где Ls — индуктивность рассеяния трансформатора
Ц=Ц1+Ц>2- (10.61)
10.6. КОЭФФИЦИЕНТ ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ
Умножим уравнение (10.17) на комплексно сопряженный ток 7V а уравнение
(10.18) на комплексно сопряженный ток 72, и сложим полученные результаты. Это
позволяет найти уравнение, характеризующее преобразование энергии в транс-
форматоре,
ЦА =^7? +r272 + jco^J2 + jcoLS272 + Я072 +7coLOP72 +L/272. (10.62)
Из уравнения следует, что энергия uju подаваемая на первичную обмотку
трансформатора, выделяется в виде теплоты на активном сопротивлении первич-
ной и вторичной обмоток rJ*+r2Jl, нагрузке t/272cos(p2, расходуется на магнит-
ные потери в магнитопроводе трансформатора RqIq, и запасается в индуктивно-
142
ТРАНСФОРМАТОР С МАГНИТОПРОВОДОМ ИЗ ФЕРРОМАГНИТНОГО МАТЕРИАЛА
сти первичной обмотки cdZ_opZq, индуктивности рассеяния ©Lg^+QLggZf и на ре-
активном сопротивлении нагрузки U2I2sin<p2.
Активная мощность р, (см. формулу (4.50)), подводимая к первичной обмотке
трансформатора,
Pi =и^Цсо^ (10.63)
совершает полезную работу в виде активной мощности нагрузки
р2 =U2I2cos(p2. (10.64)
Часть мощности теряется в магнитопроводе
Рм=«о*о (10.65)
и в обмотках трансформатора. Потери в обмотках равны потерям короткого за-
мыкания (10.56)
=A2r,+7fr2 =7?(г, +гг')=7|г2^1+^. (10.66)
Таким образом,
р,=Рг+Рм+Рк=Рг+Ьр, (10.67)
где Ар = рм+рк — мощность, теряемая в трансформаторе.
Отношение активной мощности, передаваемой приемнику, р2 к активной мощ-
ности, подводимой к первичной обмотке трансформатора, р^ представляет коэф-
фициент полезного действия трансформатора
Рг
(10.68)
Он показывает, какая4 доля активной мощности, подаваемой на первичную обмот-
ку, передается приемнику.
Преобразуем коэффициент полезного действия
Рг _ Рг _____________L/2cos(p2____
р, Рг+Рм+Рк и2СО8фг+/гГ(10.69)
I Г2 J 72
Коэффициент полезного действия будет иметь наибольшее значение при наи-
меньшем значении знаменателя. Приравнивая к нулю производную знаменателя
по вторичному току Z2, получаем
Рм=72г2[1+4)=Рк- (10.70)
Следовательно, коэффициент полезного действия трансформатора имеет макси-
мальное значение, когда потери в обмотках (потери короткого замыкания) равны
потерям в магнитопроводе (магнитные потери).
Если нагрузка трансформатора отличается от номинального значения, то по-
лезно использовать коэффициент нагрузки трансформатора
который равен отношению текущего значения тока 12 к номинальному значению
-(гном-
10.7. СОБСТВЕННАЯ ЕМКОСТЬ
143
Рис. 82. Зависимость коэффициента полезного действия трансформатора т] от коэффици-
ента нагрузки кнг = ^2 Дгном Д™ соотношения мощностей С^ном^гномСОЭсрг = Юрм =
= 20ркном-
Точками представлены результаты, полученные из формулы (10.75).
Используя этот параметр, некоторые величины можно представить в следую-
щем виде
Рг = ^нг t/гном ^гномСОЭфг» (10.72)
Рк =^нгРкном> (10.73)
где Ркном — потери короткого замыкания в ваттах при номинальной нагрузке,
_p,-Ap .j АР--| Рм+^нгРкном
Pi Pi ^нг^/гном^2номСО5Ф2 +Рм "^^нгРкном (10.74)
На рис. 82 показана зависимость коэффициента полезного действия т] от ко-
эффициента нагрузки кит, рассчитанная по формуле (10.74) для трансформатора,
в котором имеет место следующие соотношения для мощностей (ЛномЛномСО8<р2 =
= 10рм =20ркном-
При р2 > Др коэффициент полезного действия трансформатора близок к еди-
нице. При малой нагрузке кнг < 1 можно пренебречь квадратичными членами.
Тогда с уменьшением кнг коэффициент полезного действия трансформатора т] бу-
дет снижаться в соответствии с
1+к ^гн^2нСО8<р2 (10.75)
Рм
Результаты расчета по формулы (10.75) показаны на рис. 82 точками.
10.7. СОБСТВЕННАЯ ЕМКОСТЬ
Кроме магнитного поля, в трансформаторе имеется электрическое поле, кото-
рое определяет емкостные связи. Такие связи существуют между магнитопрово-
дом и первичной обмоткой, между первичной и вторичной обмотками, между
144
ТРАНСФОРМАТОР С МАГНИТОПРОВОДОМ ИЗ ФЕРРОМАГНИТНОГО МАТЕРИАЛА
магнитопроводом и вторичной обмоткой, а также между витками первичной об-
мотки и витками вторичной обмотки. Электрическая емкость этих связей являет-
ся распределенной. Для упрощения анализа распределенную емкость заменяют
сосредоточенными емкостями.
На рис. 83 представлена упрощенная электрическая схема трансформатора,
в которой пренебрегли емкостью между витками. Здесь введены обозначения
емкости между магнитопроводом и первичной обмоткой емкости между маг-
нитопроводом и вторичной обмоткой С2, емкости между первичной и вторичной
обмотками С12.
Рис. 83. Электрическая схема трансформатора с емкостными связями.
Дальнейшее упрощение электрической схемы трансформатора с емкостными
связями можно получить, заменив емкости Ср С2 и С12 одной эквивалентной ем-
костью Ст, включенной параллельно приемнику [55]. Для этой схемы (рис. 84)
можно записать следующие уравнения напряжений и токов
u^r^+Ls^+w,^-, (10.76)
-ts2^-w2^=r2i2+i/2. (Ю.77)
и? du?
t2=»n+ic=-^-+CT-^-, (10.78)
iiWi + i2w2 = iowv (10.79)
Рис. 84. Электрическая схема трансформатора с собственной емкостью.
После умножения уравнений (10.76) и (10.77) и деления уравнений (10.78)
и (10.79) на коэффициент л = w}/w2, а также некоторых преобразований, получаем
u^r^+Ls^+Uo, (10.80)
л fi it di2 t
о = г212 + Цг +ио + и2»
(10.81)
10.7. СОБСТВЕННАЯ ЕМКОСТЬ
145
., ^2 OF ^2 .f *, = (10.82) h+£=io» (10.83)
где наряду с приведенными параметрами (10.6)-(10.9) введены новые приведен-
ные параметры Гп=п2гп, (10.84) Ст=^Г- (Ю.85)
Для синусоидальных величин уравнения (10.80)-(10.83) имеют вид
U}=r,i,+jaLsjx+Z0I0, (10.86) 0 = r2'/2+7<o/42^2+zo4+0/2. (10.87) ^=(уг+Л»Ст (10.88) Д + /г=70. (Ю.89)
Уравнениям (10.86)-(10.89) соответствует эквивалентная схема трансформатора
с собственной емкостью Ст, представленная на рис. 85.
Рис. 85. Эквивалентнвя электрическая схема трвнсформатора с собственной вмкостью.
Глава 11
СИЛОВОЙ ТРАНСФОРМАТОР
11.1. ОСНОВНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
Силовой трансформатор предназначен для передачи электрической энергии
переменного тока из одной электрической цепи в другую. Часто термин «силовой
трансформатор» используют в узком смысле. В соответствии с [61] силовой
трансформатор преобразует электрическую энергию в электрических сетях и
в установках, которые предназначены для приема и использования электричес-
кой энергии. При этом считается, что однофазные силовые трансформаторы
имеют мощность более 5 кВ • А.
Мы условимся трактовать термин силовой трансформатор без ограничений
по мощности. Ограничение можно связать с применимостью тех приближений,
которые будут использованы для расчета силового трансформатора. Речь здесь
идет о трансформаторе малой мощности с магнитопроводом тороидальной фор-
мы, схематическое изображение которого показано на рис. 86.
Рис. 86. Схематическое изображение двухобмоточного трансформатора с тороидальным
магнитопроводом.
Первичная обмотка трансформатора подключена к идеальному источнику
электродвижущей силы, поэтому напряжение на первичной обмотке иу равно
электродвижущей силе источника. Для мгновенных значений параметров транс-
форматора с магнитопроводом из ферромагнитного материала можно записать
следующие соотношения
di
U'=r^+LS^+U0’ <11J)
0 = r2»2+Z-S2^- + U0+U2- <11-2)
11.1. ОСНОВНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
147
U2 ~ ГП12- (11.3)
h+i2=i0' (11.4)
6ФО Uo-% dt (11-5)
ф0 =BS, (11-6)
_ HiCP ° и/, * (11.7)
Напомним, что u, i, г обозначают мгновенные значения напряжения, тока и со-
противления соответственно, a Ls — индуктивность рассеяния. Штрихом обозна-
чены параметры, приведенные к первичной обмотке. Индекс 1 относится к пара-
метрам первичной обмотки, индекс 2 — к параметрам вторичной обмотки, а ин-
декс 0 — к магнитопроводу. Кроме того, к магнитопроводу относятся следующие
параметры: В — мгновенная магнитная индукция, Н — мгновенная напряженность
магнитного поля, S — поперечное сечение магнитного материала магнитопрово-
да, 1СР — средняя длина магнитной линии.
Для трансформаторов с магнитопроводом замкнутой формы достаточно уве-
ренно можно пренебрегать индуктивностью рассеяния. Это позволяет упростить
уравнения (11.1) и (11.2)
+ (11-8)
0 = f2I2+U0+U2- (119)
Следующим шагом является предположение о том, что падение напряжения
на сопротивлении первичной обмотки ryi, и на сопротивлении вторичной обмотки
r2i2 незначительны, т. е. выполняются условия
> rAiy, (11.10)
U2 Г2^2- ( 1 1 • 1 1 )
Это приближение достаточно очевидно, поскольку по определению силовой
трансформатор используют для максимально эффективной передачи электричес-
кой энергии. Последнее приближение значительно упрощает (11.8) и (11.9)
u'=uo=w^’ (11-12)
и'г=-и0=пиг (11.13)
или
“2=4ио=-"2^- (11-14)
Кроме того, сохраняются соотношения для напряжения на вторичной обмотке
l/2 — rni2 (11.15)
и для токов
W+Z2VV2=l0VVr (11.16)
148
СИЛОВОЙ ТРАНСФОРМАТОР
Таким образом, после всех приближений мы получили систему уравнений (11.12),
(11.14), (11.15), (11.16), которые описывают совершенный трансформатор.
Определим коэффициент полезного действия совершенного трансформатора
Коэффициент полезного действия трансформатора приближается к единице при
условии
i0<iv (11.18)
Ток намагничивания iQ представляет ту часть первичного тока ц, которая тре-
буется для перемагничивания магнитопровода. При этом часть тока намагничива-
ния расходуется на магнитные потери рм
Рм^о2Яо=^ср. (11-19)
где Ра —* удельные магнитные потери, а остальная часть i0 направлена на обрати-
мое преобразование магнитной энергии в магнитопроводе (см. формулу (6.41)).
Для выполнения условия (11.18) необходимо, чтобы полная намагничивающая
мощность магнитопровода была минимальной. Это приближение соответствует
идеальному трансформатору.
В электромагнитном расчете силового трансформатора мы предполагаем,
что сопротивления проводов первичной и вторичной обмоток равны нулю. Факти-
ческое напряжение на вторичной обмотке и2Ф будет меньше рассчитанной вели-
чины и2
^2Ф =^2~Г2^2‘ (11.20)
Кроме того, мы обязательно будем учитывать теплоту, которая выделятся
в проводах и магнитопроводе при расчете теплового режима трансформатора.
11.2. МОЩНОСТЬ ТРАНСФОРМАТОРА
Найдем форму закона электромагнитной индукции (11.12) для синусоидаль-
ной величины В = Вте^. После подстановки магнитной индукции в уравнение
(11.12) получаем амплитуду напряжения на первичной обмотке
Uml=j2nfw,SBm. (11.21)
Опускаем мнимую единицу /, запоминая, что напряжение на первичной обмотке
опережает магнитную индукцию на 90°, и переходим к действующему напряжению
(11.22)
После этих преобразований действующее значение напряжения на первичной об-
мотке
U.=V2nfw^SBm. (11.23)
Аналогично для действующего значения напряжения на вторичной обмотке
U2=J2nfw2SBm. (11.24)
11.3. ТЕПЛОВОЙ РЕЖИМ
149
При этом опущена величина -у, т. е. напряжение на вторичной обмотке отстает
от магнитной индукции на 90°.
Мощность трансформатора
РТ=/,Ц. (11.25)
Действующее значение тока в первичной обмотке 7, выразим в виде
A=J,Snp„ (11.26)
где — плотность тока в первичной обмотке, А/м2; Snpi — площадь поперечного
сечения провода первичной обмотки, м2.
Введем также коэффициент заполнения окна магнитопровода проводом пер-
вичной обмотки кМ1
(11.27)
°ок
где S0K — площадь окна магнитопровода. Для кольцевого магнитопровода пло-
щадь окна
S0K=^, (11.28)
где d - внутренний диаметр магнитопровода.
Использование уравнения (11.23) и определений (11.26) и (11.27) позволяет
преобразовать мощность трансформатора
PT=J2nkM^(SS0K)fBm. (1129)
Заметим, что V2n«4,44.
11.3. ТЕПЛОВОЙ РЕЖИМ
От температуры нагрева трансформатора зависит его эксплуатационная на-
дежность, в частности, срок службы. Основными источниками тепла в трансфор-
маторе являются магнитопровод и обмотки, через которые протекает электри-
ческий ток. Одновременно с повышением температуры в трансформаторе начи-
нается процесс рассеяния тепла в окружающее пространство. Температура
трансформатора будет повышаться до тех пор, пока не наступит тепловое равно-
весие.
При тепловом равновесии мощность источников тепла будет равна мощности,
отводимой поверхностью трансформатора в окружающую среду.
Распределение температуры внутри трансформатора будет неоднородным. За
температуру нагрева трансформатора примем величину, усредненную по объему
трансформатора.
Мощность тепла, которую рассеивает поверхность, будет тем больше, чем
больше площадь поверхности трансформатора St и выше температура пере-
грева ДТ. Температура перегрева ДТ равна разности между средней температу-
рой трансформатора и температурой окружающей среды. Это позволяет пред-
ставить рассеиваемую мощность в виде
ррдс=аД75т, (11.30)
где а — коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2 • град).
150
СИЛОВОЙ ТРАНСФОРМАТОР
Из (11.30) следует, что коэффициент теплоотдачи
представляет мощность, рассеиваемую единицей поверхности при изменении
температуры трансформатора на 1°.
Коэффициент теплоотдачи зависит от многих факторов, в частности, он растет
с увеличением температуры перегрева. В дальнейшем в расчетах будем прини-
мать численное значение а= 12 Вт/(м2-град), которое представляет среднее зна-
чение коэффициента теплоотдачи при естественной конвекции в интервале тем-
пературы перегрева 20...50° [67]. Более подробную информацию о механизмах
рассеяния тепла можно найти в [67-69].
Ранее было показано, что наибольший коэффициент полезного действия
трансформатор имеет при условии равенства мощности потерь в магнитопрово-
де рм и в обмотках р0Б (см. соотношение (10.70)). Таким образом, из условия теп-
лового равновесия
aATSy = рм + Роб — 2рм • (11.32)
Потери в магнитопроводе
Рм=Рат = РвЦлУ, Л 1.33)
где Ра — удельные магнитные потери в ваттах на килограмм; т — масса магнит-
ного материала; Vm —* объем магнитного материала магнитопровода, равный
произведению геометрического объема магнитопровода V на коэффициент за-
полнения магнитопровода магнитным материалом k2i номинальное значение ко-
торого для аморфной ленты равно 0,7; у — плотность магнитного материала.
Если удельные магнитные потери Ра измеряются в ваттах на метр кубический,
то формула упрощается до рм =РаУ, где V — объем магнитопровода.
Геометрические параметры кольцевого магнитопровода можно вычислить из
следующих соотношений
S=^-hk3, (11.34)
v=szcpl (11.35)
/ -„D+d xp “71 2 ’ (11.36)
Площадь поверхности трансформатора выражается соотношением
ST=kZCp(D-d+2h), (11.37)
где к — коэффициент увеличения площади поверхности трансформатора по
сравнению с площадью поверхности магнитопровода. Для магнитопровода в за-
щитном контейнере можно принять к = 2, а для магнитопровода типа ДС - к - 1,5.
Удельные магнитные потери будем представлять в аналитическом виде (фор-
мула (7.2))
P&=rf»B*. (11.38)
В этом случае уравнение (11.32) принимает вид
aATSr=2pM=2rfpB^Vmy.
(11.39)
11.4. ПОТЕРИ В ОБМОТКАХ
151
Из (11.39) можно найти максимальную магнитную индукцию в материале магни-
топровода при заданной частоте и температуре перегрева трансформатора
_( aATSr V
(11.40)
Если при расчете по формуле (11.40) численное значение магнитной индукции
Вт больше допустимой магнитной индукции материала магнитопровода, то в рас-
чете используется именно это допустимое значение. Допустимое значение маг-
нитной индукции материала магнитопровода выбирается на изгибе кривой намаг-
ничивания, что соответствует примерно 0,7...0,9 от магнитной индукции насыще-
ния Bs. При этом температура перегрева трансформатора будет ниже численного
значения заданного в расчет. Таким образом, температура перегрева трансфор-
матора ограничивает магнитную индукцию Вт и мощность трансформатора.
11.4. ПОТЕРИ В ОБМОТКАХ
Потери в проводе первичной обмотки в ваттах
P06,=Z,2fr (11-41)
Сопротивление первичной обмотки г, (см. формулу (2.4))
r _P(bmtvvi <. к
Г1 - кдкт • (11.42)
В этой формуле р представляет удельное электрическое сопротивление провода,
для меди р = 1,7 • 10 8 Ом • м при температуре +20 °C. Безразмерная величина кт —
коэффициент увеличения удельного электрического сопротивления провода
вследствие нагрева. Для меди при температуре окружающей среды +20 °C
кт=1 + 0,004ДТ.
(11.43)
В формулу (11.43) подставляется численное значение температуры перегрева ДТ
в градусах.
Величина кл является коэффициентом увеличения сопротивления провода
вследствие скин-эффекта. Этот коэффициент равен отношению сопротивления
провода на переменном токе RBC к сопротивлению провода на постоянном токе
Rdc при одинаковых действующих значениях переменного и постоянного токов
На рис. 87 для синусоидального тока в медном проводе круглого сечения представ-
лена зависимость коэффициента кд от параметра dy4f, где dy — диаметр провода
первичной обмотки в метрах, f — частота в герцах. Более подробную информацию
о механизме увеличения потерь в обмотках можно найти, например в [55].
Среднюю длину одного витка провода определим как длину окружности
диаметром равным диагонали защитного контейнера магнитопровода
(вит = (11 -45)
где D' — наружный диаметр контейнера; d' — внутренний диаметр контейнера;
/?' — высота контейнера.
152
СИЛОВОЙ ТРАНСФОРМАТОР
О
1,0 1,5 шкала 2
4 77,м-гц05
Рис. 87. Зависимость коэффициента увеличения электрического сопротивления кЛ, связан-
ного со скин-эффектом, от параметра м Гц05.
Более точную методику расчета средней длины витка провода с учетом диа-
метра провода и числа слоев в обмотке можно найти в [55].
Площадь поперечного сечения провода первичной обмотки SnP1 определяют
из формулы
Sn₽,=^-. (11.46)
где — диаметр провода первичной обмотки.
Если известна площадь поперечного сечения провода, то из (11.46) можно
найти диаметр провода. В расчетах можно использовать табл. 14, в которой
представлены параметры медного провода круглого сечения ПЭТВ-2 [70].
В электромагнитных расчетах численные значения площади поперечного се-
чения и диаметр проводов соответствуют меди. При вычислении коэффициента
заполнения окна проводом необходимо учитывать толщину изоляции, нанесен-
ной на медный провод. Для упрощения расчетов силового трансформатора мож-
но с запасом ограничиться численным значением коэффициента заполнения окна
проводом; в дальнейшем, как правило, будем принимать кМ1 = 0,1.
Преобразуем формулу для потерь в проводе первичной обмотки (11.41)
Роы =_е ’Р^ВИТ^Д^Т ~ • (11.47)
°ПР1
Будем считать, что плотность тока в первичной и вторичной обмотках одинакова
Ji=J2t (11.48)
хотя при проектировании можно использовать оптимальное соотношение
1 С JJJ, С 1,3 [68].
11.4. ПОТЕРИ В ОБМОТКАХ
153
Таблица 14
ПАРАМЕТРЫ МЕДНОГО ПРОВОДА КРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ ПЭТВ-2 [70]
Диаметр провода, мм Сечение провода, мм2 Диаметр провода с изоляцией, мм
0,063 0,00312 0,084
0,071 0,004 0,094
0,08 0,00503 0,104
0,09 0,00636 0,116
0,10 0.00785 0,128
0,112 0,00985 0,14
0,125 0,01227 0,154
0,14 0,01539 0,17
0,16 0,02011 0,198
0,18 0,0255 0,22
0,20 0,0314 0,24
0,224 0,0394 0,264
0,25 0,0491 0,3
0,28 0,0616 0,33
0,315 0,0779 0,364
0,355 0,099 0,414
0,40 0,1257 0,46
0,45 0,159 0,51
0,50 0,1963 0,56
0,56 0,246 0,63
0,63 0,312 0,7
0,71 0,396 0,79
0,75 0,442 0,83
0,80 0,503 0,88
0,85 0,567 0,93
0,90 0,636 0.99
0.95 0,709 1,04
1,00 0,785 1,09
1,06 0,882 1.15
1.12 0,985 1,21
1,18 1,094 1.27
1,25 1.23 1,35
1,32 1,368 1.42
1,40 1,539 1,5
1,50 1,767 1,6
1,60 2,011 1.71
1,70 2,27 1,81
1,80 2,545 1.91
1,90 2,835 2,01
2,00 3,14 2,12
2,12 3,53 2,24
2,24 3,94 2,36
2,36 4,374 2,48
2,50 4,91 2,63
154
СИЛОВОЙ ТРАНСФОРМАТОР
Если выполняется условие i0 < для тока намагничивания (приближение иде-
ального трансформатора), то
I}w} = I2w2i (11.49)
а это означает, что потери в первичной обмотке равны потерям во вторичной
обмотке Po52. Из этого равенства следует полезное соотношение
$ПР1^1 — $ПР2^2. (11.50)
11.5. ГАБАРИТНЫЙ ПАРАМЕТР
В формулу (11.29) для мощности трансформатора Рт входит параметр (S-S0K),
зависящий только от геометрических размеров магнитопровода. После преобра-
зования получаем уравнение, которое связывает геометрические и электромаг-
нитные параметры трансформатора
<11.51)
Таким образом, если все электромагнитные параметры, стоящие в правой части
уравнения, определены в техническом задании, то по ним можно оценить геомет-
рические размеры магнитопровода.
Однако магнитную индукцию нельзя выбрать произвольно, поскольку она
связана с температурой перегрева (см. формулу (11.40)). Найдем выражение,
связывающее геометрические и электромагнитные параметры трансформатора,
с учетом теплового режима. Для этого воспользуемся уравнением теплового рав-
новесия
CL&TSt — —
4Zi(T1L/1)pZbmt
$ПР1 j2nfSBm
=4PTJ,
р/вит kgki
j2nfSBm'
(11.52)
Подставим в это уравнение максимальную магнитную индукцию из формулы
(11.40), и перенесем все геометрические параметры в левую часть равенства
SSTfSTA? 2V2 РУт (
/вит 1ЧпУ л т ' J
(11.53)
Таким образом, если задана мощность трансформатора Рт, частота f, температу-
ра перегрева ДТ и выбран материал магнитопровода, т. е. известно аналитиче-
ское выражение для удельных магнитных потерь (формула (11.38)), то можно вы-
числить параметр, характеризующий габаритные размеры трансформатора. Этот
параметр можно назвать габаритным параметром трансформатора
G=^L
*вит
(11.54)
Заметим, что параметр G зависит от материала магнитопровода, поскольку
в формуле (11.54) имеется показатель степени s, входящий в формулу для удель-
ных магнитных потерь (11.38).
Габаритным параметром удобно пользоваться для первоначального выбора
размера магнитопровода в случае, если необходимо проводить большое количе-
ство однотипных расчетов силовых трансформаторов из одного магнитного мате-
риала.
11.6. РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
155
11.6. РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Для расчета силового трансформатора необходимо задать следующие пара-
метры:
• мгновенное напряжение на первичной обмотке и1 = т. е. частоту и фор-
му кривой напряжения;
• действующее значение тока в первичной обмотке
• действующее значение напряжения на вторичной обмотке Ц;
• температуру перегрева трансформатора ДТ.
В результате расчета выбирают материал магнитопровода и его размеры, на-
ходят число витков и диаметр провода первичной и вторичной обмоток.
Обычно материал магнитопровода выбирают, исходя из личного опыта.
В качестве примера используем магнитопроводы ГМ 414 в защитных контейне-
рах. В табл. 4 представлены формулы для расчета удельных магнитных потерь.
В табл. 15 приведены геометрические параметры магнитопроводов.
Таблица 15
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ МАГНИ ТО ПРО В ОДО В
В ЗАЩИТНОМ КОНТЕЙНЕРЕ
Типоразмер /ср -ю , м S'-Ю4. м2 У*-10® мэ ^ВИТ ’Ю . м ST-104, м2 Sw-104 м2 S’Sqk’IO6 м4 G**- 104
f< 3. кГц 3^200, кГц
ОЛ14/20-10 5,3 0,21 1.12 4,4 27,6 1,54 0,32 1,01 0,66
ОЛ15/25-10 6,3 0,35 2,2 5 37,8 1.77 0,62 1,65 1,09
ОЛ20/32-Ю 8,2 0,42 3,43 5 52,5 3,14 1,32 2,59 1.72
ОЛ28/45-10 11,5 0,6 6,82 6,4 85,1 6,16 3,7 4,16 2,8
О Л40/64-20 16,3 1,68 27,4 9,7 209 12,57 21,1 14,5 10
ОЛ40/64-30 16,3 2.52 41,2 12,6 274 12,57 31,7 20,2 14.1
ОЛ130/175-20 47,9 3,15 151 11.7 814 132,7 418 72,2 50,9
ОЛ 140/200-35 53,4 7,35 393 16,9 1388 153,9 1131 157 113,6
* Учтен коэффициент заполнения магнитопровода магнитным материалом.
* габаритный параметр силового трансформатора с магнитопроводом ГМ 414.
Для первой оценки типоразмера магнитопровода можно принять плотность
тока в первичной обмотке
= 2,5 • 106А/м2 (11.55)
и коэффициент заполнения окна магнитопровода проводом первичной обмотки
= 0,1. Максимальную магнитную индукцию Вт выбирают из личного опыта,
учитывая частоту. Параметр S-SOK вычисляют из формулы (11.51), а затем выби-
рают магнитопровод с соответствующим значением S-S0K из табл. 15.
После выбора типоразмера проверяют температуру перегрева трансформато-
ра, используя формулу для удельных магнитных потерь и условие теплового рав-
новесия
аг=Н57 (11.56,
Если получают удовлетворительные результаты, то с этим магнитопроводом на-
чинают расчет других параметров трансформатора.
156
СИЛОВОЙ ТРАНСФОРМАТОР
После выбора магнитопровода расчеты можно проводить в следующем поряд-
ке. Сначала определяют максимальную индукцию в магнитопроводе по формуле
(11.40). Затем определяют число витков первичной и вторичной обмотки, исполь-
зуя формулы (11.23) и (11.24) для синусоидальной магнитной индукции,
и/ - и'
w2=w,^-. (11.58)
Диаметр проводов можно определить, исходя из потерь в обмотках р0Б = р0Б1 +
+ Роб2» которые равны магнитным потерям рм для оптимального трансформатора.
Из табл. 4 выбирают соответствующую формулу для удельных магнитных потерь
Ра, и вычисляют общие магнитные потери в магнитопроводе рм. Затем, используя
соотношение (11.47), находят площадь поперечного сечения провода первичной
обмотки
о 2I?wy . . .
^ПР1 “ п Р^вит^д^т- (11.59)
Рм
Для первоначального выбора провода можно принять кЛ = 1. Затем вводится по-
правка к найденному сечению провода с учетом параметра dyJf и рис. 87.
Из (11.50) находим поперечное сечение провода вторичной обмотки
^ПР2 (11.60)
Напряжение на вторичной обмотке совпадает с рассчитанным значением U2
только в режиме холостого хода. Поправку к напряжению в режиме нагрузки де-
лают добавлением некоторого числа витков во вторичную обмотку Aw, которое
определяют из опыта или расчетом по формуле
а ^2^2
niei)
При этом действующее значение тока во вторичной обмотке 12 находим из (11.49)
(11.62)
В заключение можно провести оптимизацию параметров трансформатора
вблизи найденных значений. В первую очередь она касается выбора поперечного
сечения провода обмоток и плотности тока в них.
Типоразмер магнитопровода можно найти также из габаритного параметра
(11.53). В этой формуле известны все параметры. Как обычно принимаем кМ1 = 0,1
и для первой оценки = 2,5-106 А/м. Из плотности тока найдем площадь попе-
речного сечения SnPi, а также диаметр провода первичной обмотки d,. Тогда пара-
метр d'Jf становится известным, и из рис. 87 определяем соответствующее
значение кд.
Затем для заданных значений Рт, AT, из формулы (11.53) вычисляем габа-
ритный параметр G. По нему из табл. 15 можно выбрать типоразмер магнитопро-
вода ГМ 414. После выбора магнитопровода следует ранее описанная процедура.
Порядок расчета может изменяться в зависимости от конкретных задач. При
этом необходимо правильно использовать имеющиеся соотношения, отдавая от-
чет в том, при каких допущениях они были получены.
11.7. ФОРМУЛЫ ДЛЯ НАПРЯЖЕНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ФОРМЫ
157
11.7. ФОРМУЛЫ ДЛЯ НАПРЯЖЕНИЯ
ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ФОРМЫ
Для переменного напряжения прямоугольной формы (рис. 61,а)
dB _ 2Bm dt ТИ (11.63)
Поэтому закон электромагнитной индукции для первичной обмотки имеет вид
(11.64)
и для вторичной обмотки
^2т^и = 2BmSvU2. (11.65)
Эти уравнения можно также представить в виде
= 4qBmSfWyt (11.66)
L/2m — 4qBmSfw2, (11.67)
где q — скважность импульса, f — частота
Т
(11.68)
<-+ (11.69)
а для действующих напряжений Uy и U2
U^4qBmSfwv (11.70)
L/2 — 4<jqBmSfw2. (11.71)
Мощность трансформатора в режиме переменного напряжения прямоуголь-
ной формы
(11.72)
Приведем также формулу для габаритного параметра
г - р I ркдкт51П т' ( V
° п2 PtJ' алт (аДТГ-р)
(11.73)
которая была получена по аналогии с соответствующей формулой для синусои-
дального напряжения (11.53). При этом учтено, что магнитные потери для несину-
соидальной индукции (см. параграф 7.8)
P8=YhPi.
(11.74)
где Ру — удельные магнитные потери для первой гармоники магнитной индук-
ции BmI
— Я
®П> ^2 ® ’
(11.75)
158
СИЛОВОЙ ТРАНСФОРМАТОР
а максимальная магнитная индукция определяется из (11.66)
о - и"
m 4qSfw,'
(11.76)
Допустимая первая гармоника максимальной магнитной индукции с ограниче-
нием по температуре перегрева трансформатора найдена из соотношения типа
(11.40)
я ( aATS^ V
(11.77)
Заметим, что из результатов параграфа 6.8 следует, что при коэффициенте
скважности q < 2 удельные магнитные потери для прямоугольного напряжения
лишь незначительно (в пределах 20%) отличаются от удельных магнитных потерь
для синусоидального напряжения. Поэтому при q < 2 все расчеты можно вести,
используя формулы для синусоидальных величин. Однако при этом необходимо
помнить, что расчетная магнитная индукция при синусоидальном напряжении не
равна соответствующим значениям для прямоугольного напряжения. При этом
совпадает результат их действия на материал магнитопровода, а именно магнит-
ные потери.
11.8. ВЗАИМОСВЯЗЬ ПАРАМЕТРОВ
Площадь поверхности трансформатора ST и объем магнитного материала
в магнитопроводе
ST=nk(D+d)[h+!^Ly (11.78)
Vm=^(D2-d2)hk3. (11.79)
Подставим эти величины в уравнение теплового равновесия силового трансфор-
матора (11.32). После некоторых преобразований получаем соотношение [71]
Величина (D - d)/2 представляет толщину стенки кольцевого магнитопровода.
В левой части уравнения (11.80) имеются две переменные величины Ра и ДТ.
Если зафиксировать температуру перегрева, то уравнение (11.80) представляет
линии равных удельных магнитных потерь Ра в координатах обратных величин
2 ' 1
D и -fi. На рис. 88 представлены линии равных удельных магнитных потерь
в магнитопроводе с защитным контейнером при температуре перегрева транс-
форматора ДТ = 20 °C. Штриховой линией отмечена область кольцевых магнито-
проводов, имеющих высоту h > 5 мм и толщину стенки (D - d)/2 2 2,5 мм.
Из рис. 88 можно найти численное значение удельных магнитных потерь, кото-
рое для выбранных численных значений (D - d)/2 и h обеспечивает температуру
перегрева трансформатора не более 20 °C.
Как следует из рис. 88, увеличение размера магнитопровода предъявляет бо-
лее жесткие требования к магнитным потерям, которые обязаны обеспечить за-
данный уровень перегрева трансформатора.
11.8. ВЗАИМОСВЯЗЬ ПАРАМЕТРОВ
159
1/Л, м 1
Рис. 88. Линии равных удельных магнитных потерь Ра в ваттах на килограмм (указано циф-
рами около кривых) в координатах обратных величин толщины стенки 2/(D - d) и вы-
соты 1 /h для кольцевого магнитопровода.
Цифрами около точек обозначен типоразмер магнитопровода.
Температура перегрева трансформатора ДТ = 20 °C.
Удельные магнитные потери растут с увеличением частоты f и магнитной ин-
дукции Вт. Поэтому в высокочастотной области более эффективно применение
магнитопроводов меньшего размера. При одинаковых условиях расчета малень-
кие магнитопроводы работают при более высокой магнитной индукции. Это под-
тверждают результаты представленные на рис. 89.
Рис. 89. Частотная зависимость максимальной магнитной индукции трансформаторов,
изготовленных из магнитопроводов ГМ 414 различного типоразмера.
1 - ОЛ14/20-Ю; 2 — ОЛ20/32-Ю; 3 — ОЛ40/64-Ю; 4 — ОЛ40/64-30; 5 — ОЛ140/
200-35.
Температура перегрева трансформатора ДТ = 20 °C, плотность тока в обмотках
J = 3-106 А/м2. коэффициент заполнения окна проводом первичной и вторичной об-
моток км = 0,2.
160
СИЛОВОЙ ТРАНСФОРМАТОР
Здесь нанесена частотная зависимость магнитной индукции Вт в магнитопро-
воде трансформатора, которую получили из соотношения (11.40) при температу-
ре перегрева 20 °C для разных типоразмеров. Для расчета использовали удель-
ные магнитные потери магнитопровода в защитном контейнере ГМ 414-2 кл.
Из него видно, что в маленьких магнитопроводах возможно поддержание более
высокой магнитной индукции.
Естественно, что магнитную индукцию, а следовательно, и мощность транс-
форматора можно повысить за счет ослабления требований к температуре пере-
грева.
Полезно получить зависимость мощности силового трансформатора Рт от
массы магнитопровода. Для этого в формулу мощности трансформатора (11.29)
подставим магнитную индукцию (11.40) в виде
где т — масса магнитопровода.
Расчет мощности проводили при температуре перегрева ДТ С 20 °C, плотности
тока в обмотках J = 3 • 106 А/м2, коэффициенте заполнения окна проводом первич-
ной и вторичной обмоток км = 0,2 для магнитопроводов ГМ 414 в защитном кон-
тейнере разных типоразмеров. На рис. 90 представлены усредненные результаты
расчетов при разной частоте, которая указана цифрами у кривых. По этому гра-
фику можно приближенно оценить массу магнитопровода, который потребуется
для исполнения конкретного силового трансформатора.
т, кг
Рис. 90. Зависимость мощности трансформатора Рт от массы магнитопровода т, изготов-
ленного из ГМ 414.
Цифрами у кривых обозначена частота а кГц.
Температура перегрева трансформатора ДТ = 20 °C, плотность тока в обмотках
J = 3- 10е А/м2, коэффициент заполнения окна проводом первичной и вторичной об-
моток км = 0,2.
11.8. ВЗАИМОСВЯЗЬ ПАРАМЕТРОВ
161
ПАРАМЕТРЫ МАГНИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
Таблица 16
Магнитный материал Удельные магнитные потери Р , Вт/кг Магнитная индукция ^800’ Плотность у, кг/м3 Коэффициент заполнения окна магнито- провода кэ Коэффициент увеличения площади поверхности транс- форматора к
ГМ 414 - 2 класс о,оооз1Г2вд2- 5,5-10вГ7В«" 1.15 7400 0,7 2
Феррит 2000НМА 8,9 103ГгВ’4— 0,38 4600 1 1.5
Пермаллой 79НМ (0,02 мм) 2,2 10«ГгВ3 — 0,8 8600 0,75 2
Электротехниче- ская сталь 3425 (0,08 мм) 6,8-10“ Т1-^8— 1.75 7650 0,9 1.5
* Для частоты 5 — 100 кГц,
- Для частоты 0,05 — 5 кГц;
“• Для частоты 1 — 30 кГц [55]
В заключение проведем сравнение мощности трансформаторов, изготовлен-
ных из разных магнитных материалов. Параметры сравниваемых магнитных мате-
риалов и магнитопроводов представлены в табл. 16. Все данные были взяты из
следующих источников [55, 71-73].
На рис. 91 приведены частотные зависимости мощности трансформатора, из-
готовленного на магнитопроводе ОЛ20/32-Ю при температуре перегрева не бо-
лее 20 °C, плотности тока в обмотках J = 3 • 106 А/м2, коэффициенте заполнения
окна проводом первичной и вторичной обмоток км = 0,2.
Рис. 91. Частотная зависимость мощности трансформатора Рт для трансформаторов, изго-
товленных из разных магнитных материалов.
Размер магнитопровода ОЛ20/32-10.
Температура перегрева трансформатора АТ = 20 °C, плотность тока в обмотках
J = 3- Ю6 А/м2, коэффициент заполнения окна проводом первичной и вторичной об-
моток = 0,2.
6 Теория и расчет трансформаторов
162
СИЛОВОЙ ТРАНСФОРМАТОР
Из рис. 91 следует, что практически до 100 кГц мощность трансформатора
с магнитопроводом ГМ 414 выше, чем при использовании других магнитных ма-
териалов. Исключение составляет электротехническая сталь 3425 при частоте
менее 800 Гц. В этом случае большая мощность достигается за счет высокой маг-
нитной индукции насыщения. Особенно значительное преимущество имеют маг-
нитопроводы ГМ 414 при частоте 5...50 кГц.
11.9. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА
Пример 1.
На первичную обмотку трансформатора мощностью Рт = 100 By подается на-
пряжение прямоугольной формы: Ц = 150 В, ти = 25 • 10-6 с, Т = 50 • 10-6 с. Напря-
жение на вторичной обмотке U2 = 9 В. Температура перегрева трансформатора
АТ = 20 °C. Поскольку скважность прямоугольного напряжения q = 1, то расчет бу-
дем вести по формулам для синусоидальных величин при f = 20000 Гц.
1. Выбор материала магнитопровода. В качестве материала магнитопровода
используем ГАММАМЕТ 414 в защитном контейнере с уровнем магнитных свойств
2 класса.
2. Выбор типоразмера магнитопровода. При расчете габаритного параметра
по формуле (11.53) воспользуемся следующими численными значениями. Мощ-
ность трансформатора Рт = 100 Вт, плотность тока = 2,5 • 106 А/м, удельное
электрическое сопротивление р = 1,7 • 10-6 Ом • м, коэффициент теплоотдачи
а = 12 Вт/(м2- град), плотность магнитного материала у = 7400 кг/м3.
Из рис. 87 для 4f =0,08 получаем кд ~ 1, учитывая результаты следующих вы-
числений: Д = РЛ/иу = 100/150 = 0,67 A, SnP1 = 1JJ. = 0,67/2,5 106 = 0,268 • 10 6 м2,
СУ, = (4 - 0,268 • 10-6/л)05 = 0,58 • 10 3 м, и d, Jf = 0,58 • 10 3 • 20000°5 = 0,08 м - Гц05.
Затем находим коэффициент увеличения сопротивления медного провода
кт = 1 + 0,004 -20 ~ 1,1 при температуре перегрева АТ = 20 К.
Коэффициенты в формуле удельных магнитных потерь г = 5,5 • 10 е, s - р =
= 2 - 1,7 = 0,3 (см. табл. 4 при f > 3 кГц для 2 класса).
Вычисляем габаритный параметр G по формуле (11.53):
_ 2V2-100-2.5-106 -1,7-10-6 -1,1-1Г2-5,5-10-6 -7400^ 7„ 1П 4
л-12-20 12-20-200000-3 ) ’
Из табл. 15 для частотного интервала 3...200 кГц выбираем магнитопровод
с ближайшим большим габаритным параметром G. Это магнитопровод ОЛ 15/25-10,
у которого G = 1,09-10 А
3. Определение максимальной магнитной индукции Вт из формулы (11.40).
Для ОЛ 15/25-10 из табл. 15 возьмем ST = 37,8 -10 4 м2 и = 2,21 • 10 6 м3:
О (__________12-20-37,8 10-_______>5 = n4qR Тп
m l2-5,5-10-6-20000’-7-2,21-10 6 -7400 J '
4. Определение числа витков первичной обмотки и/1 из формулы (11.57). Ве-
личину S = 0,35- Ю 4 м2 берем из табл. 15:
150
w, = —=---------------------«103.
V2 • л • 0,35 • 10 4 • 20000 • 0,469
11.9. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА
163
5. Определение числа витков вторичной обмотки w2 из формулы (11.58):
^.103^.6.2.
В расчете примем 6 витков провода вторичной обмотки.
6. Возможность оптимизации. Поскольку рассчитанный габаритный параметр
G = 0,73-10-4 меньше, чем у магнитопровода ОЛ 15/25-10, то можно оптимизиро-
вать параметры трансформатора.
Оценим потери в рассчитанном трансформаторе. Из формулы (11.32) находим
мощность потерь, рассеиваемую поверхностью трансформатора при АТ = 20 °C,
Рм+р^ =12-20-37,8 Ю-4 =0,91 Вт.
Магнитные потери получаем из формул (11.33) и (11.38):
Рм =^аИп7=^,5*10“6-200001|7-0,4962-2,21-10-6-7400=0,45 Вт.
Это составляет половину потерь в.трансформаторе. Из формулы (11.47) опре-
деляем потери в обмотках при /вит = 5,0-10-2 м (табл. 15):
„ ~ 2-0,672 -103-1,7-10-8 -5• 10’2 -1-1,1 n „ Rt
Ров =2POS1 =---------o:268:io^---------= 0,32 Вт-
Следовательно, можно уменьшить сечение провода, увеличивая при этом рОБ до
0,46 Вт для того, чтобы достигнуть заданной температуры перегрева трансфор-
матора АТ = 20 °C.
7. Уточнение диаметра провода первичной обмотки dv Из формулы (11.47)
получаем площадь поперечного сечения провода, соответствующего потерям
в обмотках р0Б = 0,46 Вт:
2/2p/BMTw,kflkT 20,67» •1,7Ю-»»-5Ю-гЮЗ-1-1,1 П1ЯЯ1П^м2
§ПР1 ~---------------------------р-Тд------------= и, I оо • 1 и м
или диаметр провода
4-0,188-Ю-6 >2
71
= 0,49-10’3 м.
8. Определение диаметра провода вторичной обмотки d2. Из формулы (11.60)
находим
с _ Snpiwi _0,18-10-6-103 _q ро чл-6 м2
Ьпр2--^~ 6 м
или
/4-3,23-10-6 V
d? = ------------ =2,03-10-6 м.
к я J
Для вторичной обмотки можно использовать жгут из трех проводов сечением
SnP =3,23-10-6/3=1,08-10-6 м2
или диаметр провода
d2 = 1,17-103м.
164
СИЛОВОЙ ТРАНСФОРМАТОР
Пример 2.
Трансформатор для источника вторичного питания мощностью Рт = 180 на
два выхода постоянного напряжения по 25 В. На первичную обмотку трансфор-
матора подается напряжение прямоугольной формы: Ц = 150 В, ти = 10- 10 6 с,
Т = 20- 10’6 с. Температура перегрева трансформатора АТ = 50 °C. Поскольку
скважность прямоугольного напряжения q = 1, то расчет будем вести по форму-
лам для синусоидальных величин при f = 50000 Гц. Кроме того, для упрощения
считаем, что в трансформаторе одна вторичная обмотка на напряжение 50 В.
Из предыдущего примера следует, что мы можем рассчитывать на магнито-
провод ОЛ 15/25-10 ГМ 414 - 2 класс. Найдем максимальную индукцию
( 12-500-37,8-Ю-4 V-nqfiT
m 12-5,5-Ю-6-5000017 -2,21-10*-7400j ’
Из формулы (11.57) вычислим число витков первичной обмотки
W =___________150_____________м
W1 V2-л-0,35-104-50000-0,36 ~ ’
а из формулы (11.58) — число витков вторичной обмотки
кл 50 iO
"2 = 54 150 = 18’
Общие потери в трансформаторе
Рм +Роб = aA7ST = 12-50-37,8-10-4 =2,27 Вт.
На долю потерь в обмотках приходится половина р0Б =1,14 Вт. Это позволяет
найти площадь поперечного сечения провода первичной обмотки
S„„ ,21,У 1,7-KH-S-IO-- 54-1-1,2,|3д 1[|д
Роб 1»14
При этом использовали численные значения - PT/U, = 180/150 = 1,2 А,
кт = 1 + 0,004 • 50 » 1,2 и для первой оценки кй = 1. Полученному значению сечения
соответствует провод диаметром
Оценим параметр dy4f =0,09, которому соответствует кц « 1.
Площадь поперечного сечения провода вторичной обмотки
=gnpi^i = oj39_io^-54 _ о 417 #10 -в М2
ПР2 w2 18
или
. /4-0,417-Ю* У
d2=\---!--------- = 0,73-10* м.
2 I л )
Обмотку наносили имеющимся в наличии проводом d, = 0,45 мм и d2 = 0,75 мм.
При этом плотность тока в первичной обмотке составила = Z1/SnP1 =
= 1,2/0,159-10-6 = 7,5- 106А/м2, а коэффициент заполнения окна магнитопровода
проводом первичной обмотки kM1 =SnP1 -w}/S0K =0,159-Ю-6-54/1,77-Ю-4 =0,049.
11.9. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА
165
Проверим расчет мощности трансформатора по формуле (11.40):
Рт =-У2л-0,049-7,5-106-0,35-10~*-1,77-Ю*4-50000-0,36 = 182 Вт.
Измерение напряжения на выходе источника вторичного питания, в который
был установлен рассчитанный силовой трансформатор, показало напряжение
45 В. Чтобы компенсировать потери напряжения на вторичной обмотке и выход-
ном каскаде источника вторичного напряжения, во вторичную обмотку добавили
два витка.
На рис. 92 представлена температура перегрева трансформатора ДТ, которую
измеряли с помощью термопары установленной внутри защитного контейнера
магнитопровода.
Л, Вт
Рис 92. Зависимость температуры перегрева А Г от мощности трансформатора Рт.
На первичной обмотке трансформатора напряжение прямоугольной формы:
- 150 В, ти = 10 10 е с, Г = 20- 10 е с. На выходе источника вторичного питания
постоянное напряжение 50 В.
Магнитопровод в защитном контейнере ГМ 414 - класс, ОЛ 15/25-10.
Из рис. 92 следует, что с увеличением тока в первичной обмотке, а следова-
тельно, мощности трансформатора Рт, температура перегрева возрастает. Для
мощности 180 Вт реальная температура перегрева составила 30 °C, что меньше
принятой в расчет температуры 50 °C. Это неудивительно, поскольку расчет про-
водился с запасом по всем параметрам.
Глава 12
ТРАНСФОРМАТОР ТОКА
12.1. ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ
В трансформаторе тока при нормальных условиях применения вторичный ток
практически пропорционален первичному току и при правильном включении
сдвинут относительно него по фазе на угол близкий к нулю [62]. Трансформаторы
тока предназначены для передачи сигнала измерительной информации приборам
измерения, защиты, автоматики, сигнализации и управления в электрических це-
пях переменного тока [74].
Используем общие уравнения для синусоидальных параметров трансформа-
тора с магнитопроводом из ферромагнитного материала (10.40) и (10.41)
А + ^2 ~ 4 »
o=z2i2 +^оЛ) +^п^2
После преобразования этих уравнений имеем
к=к 1
г2 ’
т, _ ^оЛ)
J2 ,7, ‘
^-2
Подстановка (12.4) в (12.3) дает
(12.1)
(12.2)
(12.3)
(12-4)
(12.5)
Из полученного соотношения следует, что необходимым условием пропорцио-
нальности первичного и вторичного токов является равенство нулю комплексного
сопротивления нагрузки Z'nt т. е. трансформатор тока должен работать в режиме
короткого замыкания. В этом режиме ток в первичной обмотке равен току корот-
кого замыкания, а источником электрической энергии служит источник тока.
Вторым необходимым условием трансформатора тока является низкое комп-
лексное сопротивление вторичной обмотки Z2.
Третье требование связано с высоким комплексным сопротивлением первичной
обмотки трансформатора Zo, обусловленным основным магнитным потоком ф0.
12.2. ЭКВИВАЛЕНТНАЯ СХЕМА
167
По определению
й0 = /ю1у,ф0
4
2 &S 2— S
= 7СОИ/2 = ycow2 ЦЦо
Н/ср *ср
(12.6)
Следовательно, магнитопровод трансформатора тока должен иметь высокую
магнитную проницаемость Ц, большую площадь поперечного сечения магнито-
провода S и низкую среднюю длину магнитной линии /СР. Кроме того, комплексное
сопротивление ZQ будет увеличиваться с повышением частоты переменного тока
со и числа витков Поскольку iv, и w2 связаны между собой коэффициентом
трансформации, то автоматически требование большого числа витков распрост-
раняется и на вторичную обмотку.
Знак минус в (12.5) означает, что в первичной и вторичной обмотках транс-
форматора принято встречное направление токов с разностью фазового угла
около 180°. В трансформаторе тока эти направления должны быть близкими,
а в идеальном случае совпадать. Для этого необходимо соблюдать порядок под-
ключения измерительных приборов к вторичной обмотке. Обозначения концов
первичной (Л1 и Л2) и вторичной (И1 и И2) обмоток наносят таким образом, что-
бы в один и тот же момент времени выводы Л1 и И1 имели одинаковую поляр-
ность, т. е. при направлении тока в первичной обмотке от Л1 к Л2 вторичный ток
должен проходить по внешней цепи (приборам) от И1 к И2 [74].
12.2. ЭКВИВАЛЕНТНАЯ СХЕМА
Требования к трансформатору тока, представленные в предыдущем парагра-
фе, указывают на то, что в эквивалентной схеме удобнее привести параметры
первичной цепи к вторичной обмотке.
На рис. 93 представлена электрическая схема трансформатора тока, для кото-
рой можно записать следующие уравнения напряжений
u^hh+Ls^+w.^-, (12.7)
^=rah+rnh+w2~g^~+^2~^~+^~^~- (12.8)
Рис. 93. Электрическая схема трансформатора тока.
Введем приведенные параметры
(12.9)
(12.10)
168
ТРАНСФОРМАТОР ТОКА
= (12.11)
Lsi=n2Lsi. (12.12)
где п = \л/I\л/у — отношение числа витков вторичной и первичной обмоток, при
этом лл = 1. После введения приведенных параметров уравнение (12.7) приобре-
тает вид
u\=r^ + L's^ + w2^-. (12.13)
Закон полного тока для первичной и вторичной обмоток трансформатора
W+l2w2=H/cp=-^=s^-. (12.14)
Далее используем соотношение (3.13), связывающее потокосцепление и ток
во вторичной обмотке,
^02 =Ф 0^2 ~ ^-02^02’ (12.15)
Здесь 1*02 ” ток вторичной обмотки и L02 — индуктивность вторичной обмотки,
обусловленные основным магнитным потоком ф0, причем
. LlLlnSn/j
£о2=НМ----2_, (1216)
4СР
где
to2=n2to. (12-17)
Отметим, что величины i0 и Lo являются параметрами первичной обмотки,
обусловленными основным магнитным потоком Фо. В этих обозначениях опущен
индекс первичной обмотки 1. Этот индекс опущен также во всех электрических
параметрах первичной обмотки, обусловленных основным магнитным потоком Фо.
Используя соотношение (12.15), преобразуем уравнения (12.8), (12.13) и (12.14)
0=r2i2+rni2+LO2^+LS2^-+Ln^-, (12.18)
(12.19)
ijVi/i +I2W2 =io2w2 (12.20)
или
h +^2 =*02- (2.21)
Уравнениям (12.18), (12.19) и (12.21) соответствует эквивалентная электри-
ческая схема трансформатора тока, представленная на рис. 94.
Рис. 94. Эквиввлентная электрическая схема трансформаторе тока.
12.3. ВЕКТОРНАЯ ДИАГРАММА
169
В режиме холостого хода = О, поэтому ток в первичной цепи
i;=i02. (1222)
а напряжение на концах вторичной обмотки
СФп
и2 = -iv2 —= е02 ~-Uq2- (12.23)
Таким образом, при размыкании вторичной цепи весь первичный ток становится
током намагничивания. Это приводит к многократному увеличению основного
магнитного потока Фо, а следовательно, к значительному увеличению напряжения
на разомкнутых концах вторичной обмотки и2, которое может стать опасным для
жизни.
12.3. ВЕКТОРНАЯ ДИАГРАММА
Для синусоидальных величин уравнения (12.18), (12.19) и (12.21) имеют вид
0 = (r2 +/(oLs2)72 +(rn +/oLn)72 + j<i>L'ai02,
(12.24)
U\ =(r;+ja,L's, (12.25)
/, + 72 - 7Ю.
(12.26)
Векторную диаграмму трансформатора тока представим в прямоугольной си-
стеме координат с осью абсцисс направленной вдоль вектора вторичного тока Z2
[75]. Это позволяет нанести векторы напряжения из уравнения (12.24) в правой
части диаграммы (рис. 95). При этом учтены следующие соотношения
-Ног -Ц)2 “Z02^02> (12.27)
- _ HH0Sw22 с02 “ 1 » *СР (12.28)
-у Г 2— $ Z02 = J^LU2 = РФО Т“> 1СР (12.29)
ж <DLn+<DLS2 a2=arctg ^+rS2. 41 +f2 (12.30)
CD Ln <p2 =arctg—F-. 41 (12.31)
Рис. 95. Векторная диаграмма трансформатора тока.
170
ТРАНСФОРМАТОР ТОКА
Вектор магнитного потока ф0 опережает вектор электродвижущей силы Е02
на 90°. Вдоль вектора ф0 направлена реактивная составляющая тока намагничи-
вания Z02P. Вектор намагничивающего тока Zo2 построим, учитывая тангенс угла
потерь ц/,
t9V = 4^A-- (12.32)
202Р
Вектор приведенного первичного тока Z{ найдем из уравнения (12.24). Угол
между векторами - Z2 и ZJ обозначим 8.
Отметим, что в трансформаторе тока длина вектора приведенного первичного
тока ZJ больше длины вектора вторичного тока Z2, а угол между векторами Z; и Z2
меньше 180°.
12.4. ТОКОВАЯ И УГЛОВАЯ ПОГРЕШНОСТИ
Запишем уравнение токов (12.26) в виде
(12.33)
Преобразуем комплексные величины в этом уравнении, используя формулу
(4.14),
= -A(Cos6 + ysinS). (12.34)
При определении углов полезно использовать векторную диаграмму на рис. 95.
Угол 8 будет положительным, если вектор вторичного тока -Z2 опережает вектор
первичного тока Д', как показано на рис. 95.
После преобразования правой части
e/(vio2 vii) =Zp?-e/((x2+v^-n/2) _
1\ ZJ
j (12.35)
= -yr[sin(a2 +v|/ + 6)-/cos(a2 + v+8)].
Zi
Из уравнения (12.33) следует равенство действительных и мнимых частей
комплексных чисел
—p-cos6+1=^-sin(a2+i|/ + 6), (12.36)
—^-sin8= —^-cos(a2+i|/ + S). (12.37)
В приближении малых углов sin5 » 8 и cos8 « 1, а также небольших изменений
Z2/Z{«1, уравнения (12.36) и (12.37) принимают вид
^^ = ~-^sin(a2+v)=--^-sin(a2+v), (12.38)
6=^r-cos(a2 +i|/)=-^-cos(a2 +у). (12.39)
124. ТОКОВАЯ И УГЛОВАЯ ПОГРЕШНОСТИ
171
При этом было учтены следующие соотношения
У У Q2
102
iv2 iv2 ’
(12.40)
(12.41)
где = — действующее значение магнитодвижущей силы первичной обмот-
ки; F02=Z02w2 — действующее значение магнитодвижущей силы вторичной об-
мотки, которая обусловлена основным магнитным потоком ф0.
Выражения (12.38) и (12.39) представляют относительное изменение тока
(Z2 -Z{)/Z{ и угол 8 между вектором вторичного тока -Z2 и вектором приведенно-
го первичного тока ZJ. Фактически эти величины представляют токовую и угло-
вую погрешности трансформатора тока [62], выраженные в относительных еди-
ницах.
Если приравнять модули комплексных чисел в уравнении (12.33), то в прибли-
жении малых углов 8 и небольших изменений 12/1\ получаем полную погреш-
ность трансформатора тока Д
л- Н ^2^Л У С2 _ fp2 __ ^02
VI z; J /; ъ
(12.42)
Найдем еще одно выражение для погрешности трансформатора тока. Из рис. 94
следует, что приведенный первичный ток
Д'=^-, (12.43)
где Z* — комплексное сопротивление вторичной цепи трансформатора
1 1 t 1
Z ^02 ^2^~^П
Поскольку намагничивающий ток
то уравнение (12.33) принимает вид
Для трансформатора тока z2 + zn, поэтому
(12.44)
(12.45)
(12.46)
(12.47)
Рассчитаем погрешность трансформатора тока в приближении, когда можно
пренебрегать магнитными потерями. Этот случай соответствует условию а2 у
или у » 0. В аморфных сплавах — это область низкой частоты и малой магнитной
индукции Вт [16]. В принятом приближении комплексное сопротивление Zo2 мож-
но упростить
5
^ог=’Ао2=/®/<1Р=>и'гМ1Ро7—• (12.48)
fcCP
172
ТРАНСФОРМАТОР ТОКА
Здесь Хю — индуктивное сопротивление вторичной обмотки, обусловленное ос-
новным магнитным потоком, щ — действительная часть комплексной магнитной
проницаемости Ц=щ - /р2 •
Таким образом,
(12.49)
(12.50)
(12.51)
где
Z2=r2+/xS2,
Zn=r„+jxn.
a xS2 - индуктивное сопротивление вторичной обмотки, обусловленное магнит-
ным потоком рассеяния фБ2. Тогда по аналогии с (12.38) и (12.39) получаем
^2 ~ Л _ XS2 + *П
Ц *02
Соответственно полная погрешность трансформатора тока
(12.52)
(12.53)
(12.54)
где величина z2n представляет модуль комплексного сопротивления вторичной
цепи трансформатора
z2n = J(r2+rn?+(xs2+xn)2. (12.55)
Из (12.52) и (12.53) следует, что токовую погрешность определяет индуктив-
ное сопротивление вторичной цепи трансформатора (xS2 + хп), а угловую погреш-
ность. 5 определяет активное сопротивление вторичной цепи (г2 + гп). Учет магнит-
ных потерь заметно усложняет эту простую взаимосвязь.
12.5. НОМИНАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
В соответствии с [76] изготовители трансформаторов тока указывают номи-
нальные значения параметров, при которых должен работать трансформатор. Эти
номинальные значения являются исходными для отсчета отклонений.
К числу номинальных параметров относится номинальная вторичная нагрузка
г2пном> при которой гарантируется класс точности трансформатора [62], с указа-
нием коэффициента мощности coscp2. За вторичную нагрузку принимается полное
сопротивление вторичной цепи трансформатора тока
Z2n=Z2+Zn. (12.56)
Номинальный первичный ток /, ном используется для определения кратности
первичного тока Л/Z,ном» гДе Л — действительное значение первичного тока.
Номинальный коэффициент трансформации лном равен отношению номиналь-
ных значений первичного и вторичного токов
Лном (12.57)
•*2НОМ
12.5. НОМИНАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
173
Номинальный вторичный ток находят из соотношения для идеального трансфор-
матора, к которому приближается трансформатор тока,
Лном^т - ^гном^гном-
(12.58)
При этом предполагаем, что число первичных витков задано и не изменяется
при конструировании трансформатора. Тогда номинальный коэффициент транс-
формации
ПНОМ “
^гном
(12.59)
Из (12.58) следует, что номинальный вторичный ток соответствует току во вто-
ричной цепи трансформатора при Iy = Z1HOM и 102 = 0. В этом случае величину
А/Лном можно назвать должной величиной вторичного тока, который наблюдался
бы в идеальном трансформаторе при 102 = 0 [77].
Токовой погрешностью трансформатора тока называют величину [62]
А/Лном.100
А/Пном
(12.60)
которая выражена в процентах. Следовательно, токовая погрешность показывает
насколько фактическое численное значение вторичного тока 12 меньше должного
вторичного тока который должен быть во вторичной цепи идеального
трансформатора. При активно индуктивной нагрузке 12 < поэтому /j < 0.
После преобразования (12.60) получаем
^=А?н^.л.100=^.л-юо. (1261)
А П
Таким образом, токовая погрешность возникает вследствие того, что действи-
тельный коэффициент трансформации п = 1}/12 не равен номинальному коэффи-
циенту трансформации = Z1hom/4cm.
Номинальной токовой погрешностью называют токовую погрешность при но-
минальном первичном токе
(12.62)
21НОМ
После подстановки из (12.58) получаем номинальную токовую погреш-
ность, выраженную через вторичный ток
f _Л~^2нОМ 1ПП
'|%НОМ ---Т-------' UU.
*2НОМ
(12.63)
Таким образом, номинальная токовая погрешность представляет разность вто-
ричных токов — действительного и номинального, отнесенных к номинальному
вторичному току и выраженную в процентах.
Угловой погрешностью является угол 5 между векторами вторичного и первич-
ного токов. При этом направления векторов выбрано так, чтобы угол равнялся
нулю для идеального трансформатора. Угловая погрешность выражается в минутах
g' = 3440-^-cos(a2 + у). (12.64)
Угловая погрешность считается положительной, когда вектор вторичного тока
-72 опережает вектор первичного тока Z{, как это показано на рис. 95.
174
ТРАНСФОРМАТОР ТОКА
Полной токовой погрешностью трансформатора тока является действующее
значение разности между произведением номинального коэффициента транс-
формации на мгновенное действительное значение вторичного тока и мгновен-
ным значением первичного тока в установившемся режиме [62], выраженная
в процентах от действующего значения первичного тока,
А% (12.65)
/1 I / J
Для синусоидальных токов это соотношение приводится к виду
Д% = 100. If Г AcosSV + Ж 00 (12.66)
V\ Л / '1
12.6. ВИТКОВ АЯ КОРРЕКЦИЯ
Отрицательную токовую погрешность можно скорректировать за счет умень-
шения числа вторичных витков, таким образом, число вторичных витков w2 стано-
вится меньше номинального числа [77].
Изменение числа витков приводит к изменению вторичного тока. Вторичный
ток /2 для нового числа витков и/2 найдем из (12.38), правую часть которого для
упрощения записи обозначим у, причем по определению у < 1. Простые вычисле-
ния позволяют найти фактический вторичный ток
(1+у).
^2 “
(12.67)
После подстановки полученного вторичного тока в (12.61) и некоторых преобра-
зований находим токовую погрешность трансформатора для числа вторичных
витков w2
(1 j ученом
f,% (^2 )=—------т--~
•100=——2---5---------100.
1-Y
(12.68)
Поскольку у « 1, то токовая погрешность принимает вид
%)=fY-i1-1 00*-^-Sin(a2 + V)-100- Угиом . 1 оо (12.69)
k w2 ) ri ^гном
При этом учтено, что w2 незначительно отличается от w2HOM, поэтому
^2 ^2НОМ ~ W2 W2HOM
W2 W2HOM
(12.70)
Из (12.69) следует, что при уменьшении числа вторичных витков токовая по-
грешность перемещается в сторону положительных значений параллельно отри-
цательной расчетной токовой погрешности
Ъ. =-^-sin(a2+v)-l00. (12.71)
Из (12.69) также видно, что при номинальном числе витков и/2 = и/2НОМ токовая по-
грешность Л%(и/2) равна токовой погрешности ^/в, рассчитанной по формуле
(12.71), которая, по сути, является номинальной токовой погрешностью транс-
форматора тока.
12.7. РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
175
Добавление к расчетной токовой погрешности положительного корректиру-
ющего члена — 100(и/2 - iv2HOM)/iv2HOM может перевести токовую погрешность из от-
рицательной в положительную область. Этот переход возможен в первую очередь
вблизи номинальных параметров переменного тока.
Другие способы корректировки погрешности трансформатора тока можно
найти в [49, 75, 77].
В дальнейшем мы будем вести речь только о расчетных погрешностях транс-
форматора тока, поэтому и w2 будут обозначать номинальные числа витков
первичной и вторичной обмоток трансформатора тока.
12.7. РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Для расчета измерительного трансформатора тока необходимо задать:
• частоту f (Гц);
• номинальный первичный ток 71Н0М (А);
• номинальный вторичный ток IW0M (А);
. кратность первичного тока от (A/AhomU до (А/АноЛт»:
• номинальную вторичную нагрузку zw ном и коэффициент мощности cos(p2;
• токовую fi% и угловую 5' погрешности в заданных пределах изменения первич-
ного тока.
В результате расчета выбирают материал магнитопровода и его размеры, на-
ходят число витков и диаметр провода первичной и вторичной обмоток.
Для трансформаторов тока предпочтительно использовать магнитопроводы
с высокой начальной магнитной проницаемостью, например, ГМ 501 и ГМ 414.
Такой выбор связан с тем, что первичный ток, как правило, изменяется в доста-
точно широких пределах, и при минимальной кратности он захватывает область
слабых магнитных полей.
В дальнейшем будем предполагать, что магнитная индукция, соответствующая
максимальной кратности первичного тока, не выходит за перегиб кривой на-
магничивания, а магнитная проницаемость в этой точке не ниже начальной маг-
нитной проницаемости магнитного материала. При этом условии наибольшая
погрешность трансформатора тока приходится на минимальный первичный ток.
Поэтому все первоначальные расчеты погрешности будем проводить для мини-
мальной кратности первичного тока (Л/Лном)тиг
Выбор типоразмера магнитопровода можно провести, исходя из собственного
опыта или используя некоторые приближения. Так, при у « 0 за основу можно
взять формулы (12.52) и (12.53). В этом приближении получаем завышенную чис-
ленную оценку угловой погрешности, поскольку в соответствии с (12.64) наиболь-
ший угол 5 получается при а2 + у » 0.
Если активное сопротивление вторичной обмотки значительно больше актив-
ного сопротивления нагрузки г2 > гп, то угловая погрешность
8'=3440-2Д~,
Л 02
(12.72)
где г2 (см. формулы (11.27) и (11.42))
а — коэффициент заполнения окна магнитопровода проводом вторичной об-
мотки.
176
ТРАНСФОРМАТОР ТОКА
Таблица 17
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ МАГНИТОПРОВОДОВ В ЗАЩИТНОМ КОНТЕЙНЕРЕ
Типоразмер Размеры контейнера /с₽ -ю2, м S’-104, м2 /вит-’О2. м Sok-Ю4. м2 Gtt-104, м2
h\ мм d\ мм D’. мм
ОЛ 14/20-10 12,5 10,7 23 5,3 0,21 4,4 1,54 0,014
ОЛ15/25-Ю 13,5 12,5 29 6,3 0,35 5 1,77 0,02
ОЛ20/32-Ю 13,5 17,5 34 8,2 0,42 5 3,14 0,032
ОЛ28/45-Ю 15,3 23,3 50 11,5 0,6 6,4 6,16 0,05
ОЛ40/64-20 26 36 69 16,3 1,68 9,7 12,57 0,134
ОЛ40/64-30 36,5 36 70 16,3 2,52 12,6 12,57 0,154
ОЛ130/175-20 26,5 127 179 47,9 3,15 11,7 132,7 0,746
ОЛ 140/200-35 39,5 135 208 53,4 7,35 16,9 153,9 1,253
* Учтен коэффициент заполнения магнитопровода магнитным материалом
Таким образом,
5'= 1720- •РЧТ1СР,
(12.74)
а после переноса всех геометрических параметров в левую часть уравнения
=! 720----2----j
чзит fcp яГцЦо^мгб
(12.75)
Левую часть можно назвать габаритным параметром трансформатора тока GTT
П ^ВИТ^СР
(12.76)
Для первоначальной оценки примем к^ = 0,1. Таким образом, после выбора
магнитного материала в правой части уравнения (12.75) известны все параметры,
что позволяет вычислить GTT. Для найденного габаритного параметра из табл. 17
выбираем типоразмер магнитопровода.
Если активное сопротивление вторичной обмотки значительно меньше актив-
ного сопротивления нагрузки г2 < гп, то угловая погрешность
=3440 -^=1720- - ^СР-.Е.
(12.77)
Число вторичных витков и/2 находим из (12.58)
w2
•*2НОМ
(12.78)
Число первичных витков w, выбираем с учетом номинального первичного тока.
Часто ограничиваются одним первичным витком, особенно при большом первич-
ном токе 71Н0М > 100 А. После этого из (12.77) находим отношение S/l^ поскольку
остальные параметры известны.
Если типоразмер магнитопровода выбран, то из (12.24)
~^2п4 _ ^02'~^02~ /27tfw2BS, (12.79)
12.7. РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
177
можно найти комплексную магнитную индукцию
п . ^2П^2
Тогда максимальная магнитная индукция Вт для действующего вторичного тока 12
D Z2H 12
Bm=jTnf~Sw~2' (12-81)
где Zjh — модуль комплексного сопротивления вторичной цепи или номинальная
вторичная нагрузка трансформатора тока.
Вторичную нагрузку z^ вычисляем из (12.55), где
rn=zncos<p2, (12.82)
xn=znsin(p2, (12.83)
причем численные значения zn и соэфг заданы в условии расчета.
Активное сопротивление вторичной обмотки г2 рассчитывается по формуле
(12.73). Здесь же можно найти площадь поперечного сечения провода вторичной
обмотки
q _ ^М2^ОК
(12.84)
и его диаметр d2. Заметим, что провод первичной обмотки можно выбрать из ус-
ловия (11.57).
Индуктивное сопротивление вторичной обмотки xS2, обусловленное магнитным
потоком рассеяния, обычно невелико для магнитопроводов замкнутой формы.
Это сопротивление можно оценить, используя формулу для индуктивности катуш-
ки прямоугольного сечения [22],
xS2 =соЦ2 =Kpofwf/)ln£, (12.85)
d
где D,d,h — наружный диаметр, внутренний диаметр и высота магнитопровода
с вторичной обмоткой. При этом считаем, что первичная обмотка отсутствует.
Более точные данные об индуктивном сопротивлении можно получить только пу-
тем непосредственного измерения xS2 на готовом трансформаторе [20].
Теперь вторичная нагрузка z^ известна, и это позволяет вычислить магнитную
индукцию при максимальной кратности первичного тока
учитывая, что
^гп^гном I
________\21НОМ Утах
y/2nfSw2
^2 - ^2НОМ 7^
к мном
(12.86)
(12.87)
Численное значение Вттах не должно выходить за изгиб кривой намагничивания.
Для дальнейших расчетов необходимо также найти угол а2 между векторами
вторичного тока Z2 и электродвижущей силой Ё& (формула (12.30))
. Хр + Xg2
а2 =arctg-^—
гп + г2
(12.88)
178
ТРАНСФОРМАТОР ТОКА
Для вычисления угла потерь у используем формулу (6.39)
S'r"V = nBaH Г (12.89)
в которую введена плотность магнитного материала у в килограммах на метр
кубический, учитывающая единицу измерения удельных магнитных потерь Ра —
ватты на килограмм.
Далее воспользуемся аналитическим представлением кривой намагничива-
ния (7.1)
Нт=иВ£ (12-90)
и удельных магнитных потерь (7.2)
Pa=rfqfi*. (12.91)
После подстановки (12.90) и (12.91) в формулу (12.89) получаем выражение
rfq-’os v-1 у
sinv=-----557---. (12.92)
из которого можно вычислить угол потерь. При этом необходимо учитывать, что
численные значения коэффициентов г, q, s, и, v зависят от магнитного материала,
частоты f и магнитной индукции Вт (см. главу 7).
Теперь можно найти токовую и угловую погрешности для любой кратности
первичного тока. Для этого в соответствии с (12.64) и (12.71) необходимо вычис-
лить магнитодвижущие силы F02 иГ,. Магнитодвижущая сила намагничивания
F02=HlCP=^-lCP, (12.93)
где Вт выражается через кратность первичного тока и максимальную магнитную
индукцию Вттах
в ( 1
°mmaxl г ]
о ________\*1ном 7
т~ К ] (12.94)
\ Дном Углах
Магнитодвижущая сила первичной обмотки
^=Дном -Н~ Г1- (12.95)
к71ном 7
После подстановки Р02 и F, в (12.64) и (12.71) получаем выражение для токо-
вой и угловой погрешности
fl% ------u(Sm)^ax------f-Д-Т 'sin(a2 +V)-100,
W J' T J|HOmWi ^ihom^ (12.96)
V Дном/max ^CP
5'=3440------°<в<п)тах----|_А_у cos(a2 + V),
Ahom^i Uihom? (12.97)
\ 11HOM /max Icp
в которых одна переменная величина — кратность первичного тока Ц/11ИОМ.
12.8. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА
179
(12.98)
Заметим, что для магнитопровода ГМ 501 параметр v = 1 (табл. 5), что значи-
тельно упрощает выражения (12.96) и (12.97).
Если Вт гр — граница между двумя областями с разными коэффициентами v и и
(Вт гр = 0,03 Тл для магнитопроводов ГМ 501 и ГМ 414, см. табл. 3 и 5), то крат-
ность первичного тока, соответствующая этой величине, вычисляется по формуле
Г/, 'j Вгпгр рр
\ Дном /гр ®m max \ Дном/max
В заключение заметим, что трансформатор тока, как правило, работает на
промышленной частоте 50 Гц в области слабых магнитных полей. Поэтому маг-
нитные потери малы и не оказывают никакого влияние на температуру нагрева
трансформатора. Температуру нагрева можно ограничить правильным выбором
сечения провода. При высокой частоте следует провести, по крайней мере, оцен-
ку магнитных потерь, и эта процедура ничем не отличается от методики расчета
перегрева силовых трансформаторов.
12.8. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА
Пример 1.
Номинальные параметры трансформатора тока 71НОМ - 5 А, /2НОМ = 0,025 А,
Л/Лном = 0,01...1,25, f = 50 Гц, гп = 50 Ом и coscp2 = 1. Угловая погрешность 8' не
более V в пределах изменения кратности первичного тока Д/Лном от 0,01 до 1,25.
1. Первичный выбор типоразмера магнитопровода. Вычислим габаритный
параметр из формулы (12.75) при f = 50 Гц, кМ2 - 0,1, г = 1,7- 10-в Ом-м, магни-
топровод ГМ 501 - 2 класс, поэтому начальная относительная проницаемость ц
не менее 150000, угловая погрешность 8'= 0,8 мин (с 20% запасом).
г 1720-1,7 10 s лл2
Gtt Л-50-150000-4Л-10-7 0,10,8 °- 3 °
Ближайшее численное значение габаритного параметра G^ = 0,134-10 4 в табл. 17
соответствует типоразмеру ОЛ 20/64-20.
2. Выбор числа витков первичной обмотки Предварительные оценки с уче-
том 71НОМ = 5 А позволяют выбрать = 20.
3. Определение числа витков вторичной обмотки w2. Из формулы (12.78) находим
_ Ahomwi _ 5-20 _4qqq
2~ Люм 0.025 4000
4. Определение сечения провода вторичной обмотки SnP2. Из формулы (12.84),
учитывая Sqk = 12,57 • 10 4 м2 для типоразмера ОЛ 40/64-20 из табл. 17, получаем
с _ ^мг^сж _ 0,1-12,57-10-4 q -1Q-6 м2
ЬПР2“ w_ - 4000 м.
w2
Из табл. 14 находим соответствующий провод диаметром d2 = 0,20 мм.
5. Определение сопротивления провода вторичной обмотки г2. При /вит =
= 9,7 -10’2 м (табл. 17) вычисляем
г р/вит"2 J,7-10^ 9,7.10-2-4000_2 q
----0Д134^--------"21° °М-
Таким образом, сопротивление вторичной обмотки практически в четыре раза
больше активного сопротивления нагрузки, что подтверждает обоснованность ис-
пользования формулы (12.72).
180
ТРАНСФОРМАТОР ТОКА
6. Определение индуктивного сопротивления xS2. С учетом размеров контей-
нера (табл. 17), сечения провода вторичной обмотки SnP2 = 0,0314-10 6 м2 и числа
витков w2 = 4000 можно вычислить соответствующие размеры магнитопровода
с вторичной обмоткой h = 0,031 м, Ь = 0,030 м, d = 0,075 м. Далее используем
формулу (12.85)
*S2 =4л-10~7 -50-40002 0,031 In5^ = 28,6 Ом.
7. Определение сопротивления вторичной цепи z2n. Учитывая, что cos<p2 = 1
и хп = 0 из формулы (12.55), находим
Zjn = V(210+50)2 +28,62 «261,6 Ом.
8. Определение магнитной индукции при максимальной кратности первичного
тока Bmmax. Из табл. 17 выбираем сечение магнитопровода S = 1,68-10 4 м2, а из
формулы (12.86) получаем
о 261,6-0,025-1,25
6mmax = “F=--------------------= 0,0547 ТЛ.
V2 л-50-1,68-10'4-4000
9. Определение угла с^. Из формулы (12.88) вычисляем
а2 = arctg = arctg 0,11=6,3°.
Z I vtОО
10. Определение fi%n S' в зависимости от кратности первичного тока. Найдем
граничное значение (Д/71Ном)гр при emmax = 0,0547 Тл из формулы (12.98)
—1
Лном 7 ГР
^0,03-1,25
0,0547 °’69’
Таким образом, в формулах (12.96)-( 12.97) и = 5 и v= 1 при Л/Дном < 0,69, и и = 0,61
и v = 0,4 при Данном > 0,69 (см. табл. 5).
Угол потерь у вычисляем из (12.92) для соответствующей области максималь-
ной магнитной индукции Вт (см. табл. 5 и 6). Результаты расчета угловой и токо-
вой погрешности представлены на рис. 96.
^/Лном
Рис. 96. Расчетные токовая fi% и угловая погрешности трансформатора тока с номиналь-
ными параметрами 71НОМ = 5 А, /2НОМ = 0.025 А, ДДном = 0,01... 1,25. f - 50 Гц, гп = 50 Ом
и cos(p2 = 1 на магнитопроводе ОЛ40/64-20 ГМ 501 — 2 класс.
12.8. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА
181
Пример 2.
Трансформатор тока для электронного счетчика электрической энергии [78,
79]. Номинальные параметры: Z1HOM = 5 A, zn = 50 Ом, coscp2 = 1, w, = 1, w2 = 3000,
Д/Аном = 0,01...10, магнитопровод ОЛ20/32-Ю ГМ 414 — 2 класс или
ГМ 501 - 1 класс. Диаметр провода вторичной обмотки d2 = 0,14 мм, а его элект-
рическое сопротивление г2 = 162 Ом. Результаты расчета показаны сплошными
линиями на рис. 97.
Рис. 97. Расчетные (сплошные линии) и измеренные (точки) токовая и угловая 8 погреш-
ности трансформатора тока для электронного счетчика электрической энергии.
Номинальные параметры: 71Н0М = 5 A, zn = 50 Ом, сов<р2 = 1, w, = 1, w2 = 3000,
Д/Аном = 0,01...10, магнитопроводы ОЛ20/32-Ю ГМ 414 — 2 класс и ГМ 501 —
1 класс.
▲ — измеренная токовая погрешность трансформатора тока на магнитопроводе
ГМ 414 после витковой коррекции.
Из рис. 97 следует, что погрешности трансформатора тока с магнитопроводом
ГМ 501 примерно в два раза ниже, чем с магнитопроводом ГМ 414. Это сопоста-
вимо с магнитной проницаемостью указанных типов магнитопроводов.
Результаты измерения токовой и угловой погрешностей для трансформатора
тока с магнитопроводом ГМ 414 показаны точками. Из рис. 97 видно, что изме-
ренные погрешности ниже рассчитанных значений. Такое соотношение ожидае-
мо, поскольку расчет проводился с запасом.
Отмотка трех вторичных витков (токовая погрешность после витковой коррек-
ции показана треугольными точками) поднимает токовую погрешность на 0,1%,
что соответствует расчетному значению
W2 ~И/2НОЫ
W2HOM
Q
10°'3OT,0°e°',%'
182
ТРАНСФОРМАТОР ТОКА
Пример 3.
При наличии постоянной составляющей тока магнитная индукция магнитопро-
вода смещается в область магнитного насыщения, в которой магнитный матери-
ал имеет низкую магнитную проницаемость. Это приводит к резкому увеличению
погрешности трансформатора тока.
Магнитопровод ГМ 45ДС имеет линейную кривую намагничивания, причем при
напряженности постоянного магнитного поля Но до 300 А/м изменение магнитной
проницаемости Лц не превышает 12% [16]. Естественно, что этому широкому ин-
тервалу напряженности магнитного поля соответствует низкая относительная
магнитная проницаемость ц « 1000. Поэтому погрешность трансформатор тока
на магнитопроводе ГМ 45ДС возрастает в десятки раз. Эту абсолютную погреш-
ность можно компенсировать электронными методами. Однако после компенсации
остается неисключенная погрешность, которая появляется при включении посто-
янной составляющей тока и связана с нелинейностью кривой намагничивания.
Трансформатор тока для электронного счетчика электрической энергии, рабо-
тающего в сети 50 Гц с постоянной составляющей тока [80]. Номинальные пара-
метры: 71НОМ = 5 A, zn = 100 Ом, coscp2 = 1, w, = 1, w2 = 2500, A/Дном ~ 0,005... 10, маг-
нитопровод К25х20х10 ГМ 45ДС. Диаметр провода вторичной обмотки d2 = 0,16 мм
и его электрическое сопротивление г2 = 68 Ом. Таким образом, нагрузка вторич-
ной цепи гп = 168 Ом. Наибольшую магнитную индукцию при максимальной крат-
ности переменного первичного тока найдем из (12.86) — Bmmax = 0,243 Тл, учиты-
вая, что номинальный вторичный ток Дном = 0,002 А. Предельная напряженность
постоянного магнитного поля Но = 300 А/м, что соответствует постоянной магнит-
ной индукции
Бо =ММоно =Ю00-4л Ю-7 -300 = 0,377 Тл.
Таким образом, максимальный размах магнитной индукции
Бт тах + Во = 0,243 + 0,377 = 0,62 Тл,
что не превышает магнитной индукции насыщения ГМ 45ДС — 0,7 Тл.
Из закона полного тока вычислим допустимый постоянный первичный ток
I = = 300 • 0,0707 = 21,1 А,
Wl
что соответствует амплитуде выпрямленного тока Дт =2Т2Д «60 А.
Для активной нагрузки, учитывая ц/«2°для ГМ 45ДС [16], имеем cos(a2 +\|/)«1
и угловая погрешность трансформатора тока в соответствии с (12.64)
5' = 3440 • = 3440—^2- = 3440- .
F, V2mm07,iv,
После подстановки Вт из (12.81) и учитывая 7,w, *I2w2, получаем
X' = 3440 • - • Zzr|/cp
О ^440 ц 2nnofSwl
Подставим численные значения для ц = 1000, ZCP = 0, 0707 м, S = 25 • 10-6 м2:
- 3400 168 0,0707
° 1000’2л-4лЮ-7-50-25 Ю-б-2500г ’
Отклонению 12% (ц = 1120) соответствует угловая погрешность 8'=59Т. Таким об-
разом, изменению относительной магнитной проницаемости Др = 1120 - 1000 = 120
соответствует размах угловой погрешности д8' = 662 - 591 = 71' и неисключенная
угловая погрешность ±35’.
Глава 13
ТРАНСФОРМАТОР НАПРЯЖЕНИЯ
13.1. ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ
В трансформаторе напряжения при нормальных условиях применения вторич-
ное напряжение практически пропорционально первичному напряжению и при
правильном включении сдвинуто относительно него по фазе на угол близкий
к нулю [62]. Трансформаторы напряжения предназначены для передачи сигнала
измерительной информации приборам измерения, защиты, автоматики, сигнали-
зации и управления в электрических цепях переменного тока [81].
Снова воспользуемся общими уравнениями для трансформатора с магнито-
проводом из ферромагнитного материала (10.39)—(10.42)
Д+/2 — 4 • (13.1)
u^zj,+zoio, (13.2)
0 = Z272 + Z0Iq +U2» (13.3)
0^2 =^Г1^2- (13.4)
Из (13.1) найдем первичный ток 7t и подставим его в (13.2)
O^-Zj'+^tZo+ZJ. (13.5)
Далее из (13.3) и (13.4) определим ток намагничивания 70
и подставим его в (13.5)
7i(Zi+Z')(Z0+Zt)
и, = -Z,I2 —^-2 (13.7)
z0
Тогда отношение напряжения на первичной обмотке (формула (13.7)) к приве-
денному напряжению на вторичной обмотке и2 (формула (13.4))
0, _1| z, tz,+z'21 z;z,
й2 zD zn zozn
(13.8)
184
ТРАНСФОРМАТОР НАПРЯЖЕНИЯ
Из полученного соотношения следует, что необходимым условием пропорцио-
нальности первичного и вторичного напряжений является большое сопротивле-
ние приемника Zp, т. е. трансформатор напряжения должен работать в режиме
холостого хода.
Вторым требованием к трансформатору напряжения является низкое комп-
лексное сопротивление первичной и вторичной обмоток Zy и Z'2.
Третье требование связано с высоким комплексным сопротивлением первич-
ной обмотки Zo, обусловленным основным магнитным потоком Ф0.Для этого,
в соответствии с (12.6), магнитопровод должен иметь высокую магнитную прони-
цаемость ц, большую площадь поперечного сечения магнитопровода S и низкую
среднюю длину магнитной линии Трансформатор напряжения должен иметь
большое число витков первичной и вторичной обмоток.
Знак минус в (13.8) означает, что в первичной и вторичной обмотках транс-
форматора принято встречное направление напряжений с разностью фазового
угла около 180°. В трансформаторе напряжения эти направления должны быть
близкими, а в идеальном случае совпадать. Для этого необходимо соблюдать по-
рядок подключения измерительных приборов к вторичной обмотке [81].
73.2. ПОГРЕШНОСТЬ НАПРЯЖЕНИЯ
Определим относительное изменение напряжения, используя уравнения
(13.2), (13.3) и (13.1)
z,z, z'2i'2 zj0 i',(z'2+zy)
ut ut u, u, uy (1J9)
Отсюда следует, что относительное изменение напряжения состоит из двух сла-
гаемых, первое из которых связано с режимом холостого хода (Г2 =0)
A Zjo
4°x=—-А (13.10)
а второе добавляется в режиме нагрузки
На рис. 98 представлена векторная диаграмма трансформатора напряжения.
По сравнению с рис. 77 она отличается левой частью, для построения которой
использовано соотношение (13.9)
O;+O1=z1zo-7;(z;+z1). из. 12)
Такой вид векторной диаграммы позволяет разделить погрешности, связанные с
режимом холостого хода и режимом нагрузки. В частности, угол 5 между векто-
ром вторичного напряжения -й2 и вектором первичного напряжения Ц пред-
ставляет сумму
5 = 5х+бн, (13.13)
где 5Х ~ угол, связанный с током холостого хода 70, 5Н — угол, связанный с током
нагрузки Г2.
13.2. ПОГРЕШНОСТЬ НАПРЯЖЕНИЯ
185
Рис. 98. Векторная диаграмма трансформатора напряжения.
Проведем преобразования комплексных чисел, аналогичные тем, которые
были сделаны в параграфе 12.4,
= ^-е^б"л) = -^-(cos5+/sin8). (13.14)
При этом учтем, что угол 8 будет положительным, когда вектор вторичного напря-
жения -й'2 опережает вектор первичного напряжения L/v На рис. 98 показано по-
ложение векторов для отрицательного численного значения 8.
В дальнейших будем учитывать, что в измерительном трансформаторе напря-
жения угол 8 мал. В этом приближении
Ь-=-*и > = = -^-(sin V - /cosy), (13.15)
Д=^j-e№i2 vui > = h-e-Ka2tK} = ~-(cosa2 -/sina2). (13.16)
После умножения (13.15) и (13.16) на соответствующие комплексные сопротивления
^i=G+/*st (13.17)
и
Z'2+Zt= (г, + r2)+/(xsi + Xg2)=r,2 + /X s. (13.18)
приравняем действительные и мнимые части уравнения (13.9)
^^t = ~(r1siny+xs,cosy)-^-(r12cosa2 + xssina2), (13.19)
5=|j-(r,cosy - xSIsiny)+jj-(r)2sina2 - xscosa2). (13.20)
Фактически полученные величины представляют погрешность напряжения (13.19)
и угловую погрешность (13.20) трансформатора напряжения, выраженные в отно-
186
ТРАНСФОРМАТОР НАПРЯЖЕНИЯ
сительных единицах. Причем первое слагаемое в этих выражениях является по-
грешностью в режиме холостого хода, а второе слагаемое — дополнительной по-
грешностью, связанной с режимом нагрузки. Из этих выражений также следует,
что погрешность напряжения является отрицательной величиной, в то время как
угол 8 может принимать как отрицательное, так и положительное значения.
13.3. НОМИНАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
Как и в трансформаторе тока, изготовители трансформаторов напряжения
указывают численные значения номинальных параметров, при которых он должен
работать. От этих номинальных значений отсчитываются отклонения. К номиналь-
ным параметрам относится номинальное первичное напряжение L/1H0M и номи-
нальное вторичное напряжение С2ном- Отношение номинальных напряжений в ре-
жиме холостого хода определяет номинальный коэффициент трансформации
(13.21)
U2H0M
Номинальное вторичное напряжение находится из соотношения для совер-
шенного трансформатора
^1НОМ ^2НОМ /19 221
Wihom W2hom’
где w1H0M и w2H0M — номинальное число витков первичной и вторичной обмоток. Из
сравнения (13.22) и (13.21) следует, что номинальный коэффициент трансформа-
ции лном равен отношению числа номинальных витков
"ном-уу • (13.23)
'"гном
, Погрешностью напряжения называют величину
Ди = пном^2 7^1 ,100> (13.24)
выраженную в процентах [62], где U} и U2 — действительные действующие значе-
ния первичного и вторичного напряжения. После преобразования получаем
Ди = Пно^-~П-ЮО. (13.25)
Таким образом, погрешность, которую вносит трансформатор напряжения, возни-
кает вследствие того, что действительный коэффициент трансформации п = U}/U2
не равен номинальному коэффициенту трансформации = L/1Hom/^2hom-
Погрешность напряжения при номинальном первичном напряжении яв-
ляется номинальной погрешностью напряжения
Длном^Лном.^~а<ном-100. (13.26)
uihom
После подстановки в (13.26) номинального первичного напряжения из (13.21) по-
лучаем
Дином =Цт^2Н2!!" ЮО. (13.27)
U2HOM
13.3. НОМИНАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
187
Следовательно, номинальная погрешность напряжения представляет отношение
разности вторичных напряжений — действительного и номинального, к номи-
нальному вторичному напряжению, выраженное в процентах.
Из сравнения номинальной погрешности напряжения (13.26) и относительного
изменения напряжения (13.19) можно получить выражения для номинальной по-
грешности напряжения холостого хода Аихном и номинальной погрешности, обус-
ловленной нагрузкой Al/h ном
Л^хном =-100}-A-(rlsirn|/ + xslcosv), (13.28)
U1HOM
Данном =-1ОО77——(fi2cosa2 +xssina2). (13.29)
Отрицательную погрешность напряжения можно скорректировать изменением
коэффициента трансформации в сторону повышения вторичного напряжения
[82]. Коррекцию производят за счет увеличения числа витков вторичной обмотки
или уменьшения числа витков первичной обмотки. Предпочтительно эту опера-
цию проводить на обмотке с большим числом витков, поскольку это повышает
точность коррекции. При корректировке по первичной обмотке добавление к рас-
четной отрицательной погрешности Al/x положительного корректирую-
щего члена 100-Awном (сравните с витковой коррекцией трансформатора тока)
переводит погрешность напряжения из отрицательной в положительную область.
Угловая погрешность трансформатора напряжения представляет угол между
векторами первичного и вторичного напряжения при таком выборе их направле-
ний, чтобы в совершенном трансформаторе этот угол равнялся нулю. Угловая по-
грешность выражается в минутах и является положительной, когда вектор вторич-
ного напряжения -й'2 опережает вектор первичного напряжения й}. Сравнение
с (13.20) позволяет записать номинальную угловую погрешность холостого хода
8Х ном > выраженную в минутах, и угловую погрешность, обусловленную нагрузкой,
5н ном в виде
8'х ном = 3440,-А— (г,cosy - xS)siny), (13.30)
U1HOM
«ином =344077-A- (r,2sina2-xscosa2). (13.31)
Преобразуем уравнения (13.28) и (13.30) для режима холостого хода
Д^хном =-’100(тг^~^+ТГ^' “7E’]=-(t/iAf0A +tMop). (13.32)
Wihom и1ном 7
8'хном =3440{^^-/Т^^У34’4(и'Аг0Р-и^0А)- (13.33)
ки1ном uihom 7
Здесь введены активное падение напряжения на первичной обмотке и1к и реак-
тивное падение напряжения на первичной обмотке и1Р, выраженные в процентах
от номинального первичного напряжения [82],
и,А=100г^-, (13.34)
^1НОМ
u1P=100-A^-, (13.35)
U1HOM
188
ТРАНСФОРМАТОР НАПРЯЖЕНИЯ
а также относительный активный ток холостого хода i0A и относительный реактив-
ный ток холостого хода iQP
(13.36)
(13.37)
которые можно измерить на готовом трансформаторе в режиме холостого хода.
Параметры Z2r12/n и I^xjn в формулах (13.29) и (13.31) представляют падения
напряжения на активном и реактивном сопротивлениях трансформатора в режи-
ме короткого замыкания (см. параграф 10.5)). Это позволяет записать дополни-
тельную погрешность трансформатора напряжения в режиме нагрузки в виде
Дин ном = _(ukacos<P2 +uKpSin<p2),
(13.38)
бином = 34l4(uKAsin(p2 -uKPcos<p2).
(13.39)
Здесь введено падение напряжения на активном сопротивлении r12 = + п2г2
трансформатора в режиме короткого замыкания, выраженное в процентах от но-
минального первичного напряжения
(13.40)
и падение напряжения на реактивном сопротивлении xs = xsl +n2xS2 трансформа-
тора в режиме короткого замыкания, выраженное в процентах от номинального
первичного напряжения,
Кроме того, в (13.38) и (13.39) учтено, что сопротивление нагрузки, как правило,
значительно больше сопротивления вторичной обмотки zn >> z2. В этом случае
а2» <р2 и в формулы войдет cos<p2 — коэффициент мощности нагрузки. Напряже-
ния Укд и им можно измерить на готовом трансформаторе в режиме короткого за-
мыкания.
Номинальная мощность трансформатора напряжения представляет мощность
переменного тока во вторичной цепи при номинальном вторичном напряжении
^2НОМ “ ^2^2НОМ*
(13.42)
Важно, что при заявленной номинальной мощности трансформатор напряже-
ния должен находиться в пределах заявленного класса точности, поскольку из
формул (13.29) и (13.31) следует, что погрешность трансформатора линейно воз-
растет с увеличением вторичного тока 12. Таким образом, класс точности транс-
форматора напряжения выше, т. е. меньше его погрешности, при меньшей номи-
нальной мощности.
Подставим в (13.42) ток во вторичной цепи
(13.43)
13.4. РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
189
Это позволяет преобразовать выражение для номинальной мощности трансфор-
матора к виду
С _^2Н0М о
^гном—7 • (13.44)
Предельной мощностью трансформатора напряжения [62] называют мощ-
ность, которую трансформатор может длительно отдавать при номинальном пер-
вичном напряжении, но вне класса точности. При этом перегрев трансформатора
не выходит за пределы, допустимые классом нагревостойкости трансформатора.
13.4. РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Для расчета трансформатора напряжения необходимо задать:
• частоту f (Гц);
• номинальное первичное напряжение L/1HOM (В);
• номинальное вторичное напряжение U2HOM (В);
• пределы изменения первичного напряжения (Ц/Цном)^ до (Ц/Цном)^
• номинальную вторичную нагрузку S2HOW и коэффициент мощности cos<p2;
• погрешность напряжения Ди и угловую погрешность 5' в заданных пределах
изменения первичного напряжения.
В результате расчета выбирают материал магнитопровода и его размеры, на-
ходят число витков и диаметр провода первичной и вторичной обмоток.
Выбор материала магнитопровода зависит от частоты. Для промышленной ча-
стоты 50 Гц предпочтительно использовать материал с высокой магнитной индук-
цией насыщения. Если пределы изменения первичного напряжения незначитель-
но отклоняются от номинального напряжения то максимальную магнитную
индукцию следует выбирать в области изгиба кривой намагничивания. Указанным
требованиям удовлетворяет магнитопровод ГМ 440А с высокой магнитной индук-
цией насыщения и большой максимальной магнитной проницаемостью.
Если первичное напряжение изменяется в широких пределах, захватывая об-
ласть слабых полей, то магнитопровод должен иметь высокую начальную магнит-
ную проницаемость. В этом случае можно использовать магнитопровод ГМ 414.
При высокой частоте необходимо учитывать магнитные потери.
Выбор типоразмера магнитопровода проведем на основании закона электро-
магнитной индукции для совершенного трансформатора
^1НОМ = ^2nfw,MMSBm. (13.45)
В этом уравнении частота и первичное напряжение L/1H0M определены условия-
ми расчета. Максимальную магнитную индукцию Вт задает наибольшее первич-
ное напряжение, которое в соответствии с [81] равно 1,2t/1H0M. Площадь попереч-
ного сечения магнитопровода S и номинальное число витков первичной обмотки
w1HOM выбирают из (13.45) с учетом габаритов трансформатора.
Если типоразмер магнитопровода выбран, то из (13.45) определим число пер-
вичных витков
- ^1НОМ _ _
,ном •j2nfSBm (13.46)
Число вторичных витков вычисляем из (13.22)
^гном =vvihom *н<?м . (13.47)
U1HOM
190
ТРАНСФОРМАТОР НАПРЯЖЕНИЯ
Площадь поперечного сечения провода первичной обмотки найдем из соотно-
шения
о _Лм1$ОК о.
onpi - (13.48)
при допустимом значении коэффициента заполнения окна магнитопровода про-
водом первичной обмотки кМ1 = 0,1. Для вторичной обмотки
Q _е W1HOM
°ПР2“°ПР17^• (13.49)
Погрешности трансформатора напряжения в режиме холостого хода вычисля-
ются по формулам (13.28) и (13.30). Для этого необходимо найти ток намагничи-
вания 10, активное сопротивление первичной обмотки гп индуктивное сопротив-
ление рассеяния первичной обмотки xsi и угол потерь у.
Ток намагничивания вычисляем из закона полного тока
т ^ср‘
(13.50)
Действующее значение напряженности магнитного поля Н в формуле (13.50) со-
ответствует точке на динамической кривой намагничивания при частоте f и номи-
нальном напряжении Численное значение Н можно получить из формулы
(6.1), учитывая H = Hm/V2, или из графического представления динамической
кривой намагничивания для выбранного магнитного материала.
Активное сопротивление первичной обмотки
^р/вит^ном (13.51)
°ПР1
Индуктивное сопротивление рассеяния первичной обмотки [20]
xsi = 2nf Lst = 2nf |i0w2 ) (13.52)
где Д1 — толщина первичной обмотки; A12 — расстояние между первичной и вто-
ричной обмотками.
Угол потерь можно вычислить из формулы (12.92), если известны соответ-
ствующие аналитические представления, или из формулы (6.39)
sinV=^§5v’ (13-53)
где РА — удельные магнитные потери, а Вт и Нт — точки на динамической кривой
намагничивания.
Исключив угол потерь из формул (13.28) и (13.30), можно получить упрощен-
ную, но завышенную оценку погрешности трансформатора напряжения на холос-
том ходу. Для этого сначала докажем неравенство
г2+х2 2 (rcosyixsiny)2. (13.54)
После преобразований получаем
r2(1-cos2y) + x2(1-sin2\j/)+2rxcosysin\|j 0, (13.55)
далее
r2sin2y + x2cos2y+2rxcosysin\|j 0, (13.56)
13.4. РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
191
и приходим к очевидному неравенству
(rsiny + xcosy)2 £ 0.
Таким образом, вместо (13.28) и (13.30) можно записать
Au х ном =-Ю0ту^ z1f
и 1 ном
&х ном = 3440z1,
U1HOM
где величина z1
(13.57)
(13.58)
(13.59)
(13.60)
представляет модуль комплексного сопротивления первичной обмотки. Числен-
ная оценка по формулам (13.58) и (13.59) дает погрешность трансформатора на-
пряжения, которая будет с запасом удовлетворять заданным требованиям.
Дополнительную погрешность трансформатора напряжения, связанную с то-
ком нагрузки, вычислим из формул (13.29) и (13.31). Для этого необходимо найти
ток во вторичной обмотке 12, активное сопротивление трансформатора г12, индук-
тивное сопротивление трансформатора xs и угол между вторичным током Г2
и электродвижущей силой вторичной обмотки Е2. Ток во вторичной обмотке най-
дем из заданных номинальных параметров
г _ ^2 НОМ / 1 *□ £1 \
12~и • (13.61)
и2НОМ ч
Активное сопротивление трансформатора г12
r12=ri+r2=rl+^_l-J r2i (13.62)
где г2 — активное сопротивление вторичной обмотки
Индуктивное сопротивление трансформатора находим из формулы [20]
xs =2nfLs =(Ls, +Ц2)=2яГц01У12^^Д12 + A<*Az J (13.64)
где A, — толщина первичной обмотки; А2 — толщина вторичной обмотки; А12 —
расстояние между первичной и вторичной обмоткой.
Угол а2 между вторичным током 12 и электродвижущей силой вторичной об-
мотки Ёд2 можно вычислить из формулы (10.29)
Хг| + Хер
а2 =arctg^—(13.65)
'п “г'2
где гп и хп — активное и индуктивное сопротивления приемника, которые заданы
в условии расчета, г2 — активное сопротивление вторичной обмотки и xS2 — ин-
дуктивное сопротивление рассеяния вторичной обмотки. Численное значение xS2
можно вычислить по формуле [20]
xS2 = 2rtfZ_S2 =2rtfg0vv22^(^1+^. (13.66)
192
ТРАНСФОРМАТОР НАПРЯЖЕНИЯ
Если использовать неравенство (13.54), то можно получить упрощенную завы-
шенную оценку погрешности трансформатора напряжения, связанную с режимом
нагрузки,
ДАННОМ ” n Zl2’ и1НОМ''НОМ (13.67)
ном ”3440. z12, ном "ном где величина z12 Z12 +Г2) +(XS1 + XS2 ) (13.68) (13.69)
представляет модуль комплексного сопротивления трансформатора.
В заключение находим общую номинальную погрешность напряжения
A^HOM ” HOM + HOM (13.70)
и номинальную угловую погрешность
$ном “ ном + $н ном • (13.71)
Для вычисления погрешности трансформатора напряжения во всем интервале
первичного напряжения следует пользоваться формулами
Aux =-100~-(r1sini|/ +• xsicos\g), (13.72)
AuH =-100j-“^(ri2cosa2+xssina2), (13.73)
5* =3440^~(riCos\|/-xs1sin\|/), (13.74)
5H = 3440. 22 (r)2sina2 xscosa2), которые вытекают из (13.19) и (13.20). Ток намагничивания 10 можно найти из формулы (13.50) (13.75)
J - ^СР - В^1СР ° -/2ццои<, ’ (13.76)
или после подстановки максимальной магнитной индукции Вт из (13.45) получаем
U,lCP _ U, _U, ° 2nfnn0Siv,2 2nfL, X,’ (13.77)
где X, и L1 — индуктивное сопротивление и индуктивность первичной обмотки
трансформатора; ц — относительная магнитная проницаемость по динамической
кривой намагничивания (формула (6.54)).
После подстановки тока намагничивания в (13.72) и (13.74) получаем
Aux =-i^(r1Sin\|/4-XS1COS\|/), (13.78)
3440 6X = -^— (r1cosv~*sis’nV)- (13.79)
13.5. ПРИМЕР РАСЧЕТА
193
Таким образом, погрешность трансформатора напряжения на холостом ходу свя-
зана с первичным напряжением только через зависимость относительной магнит-
ной проницаемости ц и угла потерь у от максимальной магнитной индукции Вт.
Вторичный ток 12
J _U2_ -
<13-80)
поэтому погрешности трансформатора напряжения в режиме нагрузки
fУУ Во
Дин =-lOO^J ^^-(rl2cosa2+xssina2), (13.81)
6H=344of^) ^^(r12sina2-xscosa2). (13.82)
u2HOM
Следовательно, погрешность трансформатора напряжения в режиме нагрузки
прямо пропорциональна номинальной мощности трансформатора S2HOM.
Если учесть, что обратная величина приведенного к первичной обмотке сопро-
тивления нагрузки Zp равна
1 V $гном
ZF1 \ / ^2 НОМ
то соотношения (13.81) и (13.82) принимают вид
AL/H =--—(ri2CQSU2 + *SSina2 )>
zn
, 3440
5H =—— (r12sina2 -xscosa2),
zn
(13.83)
(13.84)
(13.85)
t. e. погрешность трансформатора напряжения в режиме нагрузки обратно про-
порциональна приведенному сопротивлению нагрузки и не зависит от первичного
напряжения.
Корректировку рассчитанной отрицательной погрешности напряжения Аи про-
ведем путем уменьшения числа первичных витков на Awv Если погрешность на-
пряжения увеличить на положительную величину Al/k, то от первичной обмотки
следует отмотать число витков
(13-86)
13.5. ПРИМЕР РАСЧЕТА
Номинальные параметры трансформатора напряжения L/1HOM = 220 В, U2HOM = 25 В,
S2HOM = 0,15 Вт, cos<p2 = 1, f = 50 Гц. Погрешность напряжения Al/ не более 0,5%,
угловая погрешность 5' не более 20', т. е. класс точности трансформатора напря-
жения 0,5 согласно [81].
1. Первичный выбор магнитопровода и числа первичных витков. Частота 50 Гц,
поэтому выберем магнитопровод ГМ 440А. Для него можно принять максимальную
магнитную индукцию Вт = 1,1 Тл при номинальном первичном напряжении, и со-
ответственно наибольшее значение магнитной индукции (Вт)тах = 1,1-1,2 = 1,32 Тл.
7 Теории 11 расче! 1рансформаюров
194
ТРАНСФОРМАТОР НАПРЯЖЕНИЯ
Из табл. 17 выберем типоразмер магнитопровода ОЛ40/64-30. Тогда число
первичных витков найдем из формулы (13.46), учитывая площадь поперечного
сечения магнитопровода S = 2,52 • 10-4 м2,
Wihom =-f=--------------= 3573.
,ном 50-2,52-Ю"4 -1.1
2. Определение числа витков вторичной обмотки w2. Из формулы (13.47) на-
ходим
3. Определение сечения провода первичной обмотки SnP1. Из формулы (13.48),
учитывая S0K = 12,57 • 10-4 м2 для типоразмера ОЛ 40/64-20, получаем
с _ 0,1-12,57-10-4 _n nQC- 2
SnPi — 3573 ~ 0,035 -10 м .
Это поперечное сечение соответствует диаметру 0,21 мм. Поэтому используем
провод ПЭТВ-2 диаметров d, = 0,16 мм, который имеет диаметр с изоляцией
0,198 мм.
4. Определение сечения провода вторичной обмотки S^. Из формулы (13.49)
определяем
Snp2 =0,035-10-6.^^ = 0,308-10-6 м2.
’406
Это поперечное сечение соответствует диаметру 0,62 мм. Поэтому используем
провод ПЭТВ-2 диаметров d, = 0,5 мм, который имеет диаметр с изоляцией
0,56 мм. Как и в первичной обмотке, диаметр провода выбран с запасом, учиты-
вающим неплотное заполнение окна магнитопровода.
5. Расчет активного сопротивления обмоток. Из формулы (13.51) сопротивле-
ние первичной обмотки, учитывая /вит = 12,6-10 2 м2 и площадь поперечного се-
чения меди Snpl = 0,02011 • 10-6 м2, для провода диаметром 0,16 мм
1,710-8-12,6-Ю"2-3573
0,02011-Ю-6
= 380,6 Ом.
Аналогично для вторичной обмотки г2
1,7 10-8-12,6-10 2-406
0,196-10-8
= 4,44 Ом
и для активного сопротивления обмоток трансформатора г12
г,2 =г, +(^-)2г2 = 380,6+^^)%,44 = 724,5 Ом.
6. Расчет индуктивного сопротивления обмоток. Сначала рассчитаем геомет-
рические размеры обмоток. Длина окружности на внутреннем диаметре защитно-
го контейнера сГ = 36-10“3м (табл. 17)
nd' = 7с-36-10-3 = 113,1-Ю3 м.
Число витков первичной обмотки в одном слое на этой окружности
113,1-1 о-3
0,21-103
«538.
13.5. ПРИМЕР РАСЧЕТА
195
Тогда число слоев первичной обмотки
3573
-538-’7
и толщина первичной обмотки
Д, =0,198-Ю-3 -7=1,386-Ю-3 м.
Внутренний диаметр окна магнитопровода после намотки первичной обмотки
(36-0,198-7-2)-Ю-3 =33,11-Ю3 м
и соответствующая длина окружности для нанесения провода вторичной обмотки
л-33,11-Ю-3 =104,02-Ю-3 м.
На эту окружность можно нанести 167 витков провода вторичной обмотки
104,02-10-3
0,62-Ю-3
= 167.
Таким образом, вторичная обмотка будет иметь три слоя
406
167
толщиной
Д2 = 0,56-Ю-3 - 3=1,68-Ю-3 м.
Между обмотками нанесем три слоя лавсановой пленки толщиной 20 мкм, по-
этому д,2 =20-10-®-3=0,06-Ю-3 м.
Из формул (13.52), (13.66) и (13.64) найдем индуктивности рассеяния и индук-
тивные сопротивления рассеяния обмоток и трансформатора
4л-10-7-35732-12,6-10 гЛ
16,ЗЮ-2 I
1,386)
3 J
•Ю-3=5,7Ю-3
Гн,
=0,09 10— Гн,
10,0 *lv \ Оу
и индуктивные сопротивления
xS1 =2^^, = 2тг50-5,7-10’3 =1,8 Ом,
xS2 =2nfЦ2 =2я-50 0,09К)-3 =0,03 Ом,
xs =2nfLs =2Л’50-13,410-3 =4,2 Ом.
7. Расчет погрешности трансформатора напряжения на холостом ходу. Ток на*
магничивания найдем из (13.50) при /вит = 16,3- 102 м2. Для магнитопровода
ГМ 440А при Вт = 1,1 Тл максимальная напряженность магнитного поля Нт не пре-
вышает 10 А/м (из графиков в [16]). Тогда ток намагничивания
IЮ-16,3-Ю г=оз5.10-з а.
0 V2-3573
196
ТРАНСФОРМАТОР НАПРЯЖЕНИЯ
Погрешности трансформатора напряжения на холостом ходу будут не более зна-
чений, найденных из формул (13.58) и (13.59),
Дих ном = -100-0,3gg100-- V380,62+1,82 = -0,06%,
8'хноы-3440-°'3^100-V380,62+1,82 =2,Т.
8. Расчет погрешности трансформатора напряжения в режиме нагрузки. Вто-
ричный ток при номинальном вторичном напряжении найдем из (13.80)
/2=^ном =^ = 000б А.
^2НОМ &
Активное сопротивление приемника гп при cos<p2 = 1
-тг-ода-4’67 °“-
Угол а2 » 0 поскольку хп + xsl = 1,8 Ом < гп + г2. Таким образом, из (13.29) и (13.31)
вычисляем
А^Н НОМ - 100
ЛГ12
^Аномпном
100 0,006-724,5
= -0,22%,
220 ~
5 - 3440 ^2*s - 3440 0,006 4,2 _q ,
c'ihom'/hom 220 ——
9. Расчет погрешности трансформатора напряжения и витковая коррекция.
Суммируем полученные погрешности
Дином =-0,22-0,06 = -0,28%,
б^ом =-0,0454-2,1 «2,05'.
Полученные погрешности находятся в пределах задания.
В соответствии с формулой (13.86)
. 0,14-3573 А
AtV’ = Гор - =5'
для того чтобы поднять в положительную сторону погрешность напряжения на
0,14% необходимо отмотать от первичной обмотки 5 витков. После уменьшения
числа первичных витков до 3568 погрешность напряжения будет находится в пре-
делах от +0,08% на холостом ходу до -0,14% при номинальной нагрузке.
Глава 14
СОГЛАСУЮЩИЙ СИГНАЛЬНЫЙ
ТРАНСФОРМАТОР
14.1. СИГНАЛЬНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР
Сигнальным трансформатором называется трансформатор малой мощности,
предназначенный для передачи, преобразования и запоминания электрических
сигналов [63]. В узком смысле сигналами являются колебания электрического
тока или напряжения, электромагнитные волны или механические колебания уп-
ругой среды, распространяющиеся на расстояние и несущие сообщения [83].
Чувствительность человеческого уха определяет частотный диапазон звуковых
сигналов от 20 Гц до 20000 Гц [84]. Эта чувствительность неодинакова для разных
частот. Лучше всего ухо воспринимает частоты от 800 до 4000 Гц, причем звуки
низкой частоты обладают большей мощностью. Поэтому в качестве среднего рас-
четного значения используют частоту 800 Гц [85].
Если звук передавать продолжительное время, то колебания, соответствую-
щие этому звуку, будут периодическими. Речь состоит из отдельных звуков,
изменяющихся несколько раз в секунду. Это позволяет считать процесс передачи
звуков установившимся периодическим процессом. Периодический звуковой сиг-
нал можно разложить на гармонические составляющие. Поэтому передача одно-
го сигнала занимает некоторый интервал частот, а для описания процесса рас-
пространения сигнала можно использовать символический метод синусоидаль-
ных величин.
Поскольку элементы электрической цепи Я, L, С, и в разной степени зависят
от частоты, то при передаче сигнал может искажаться. Сигнальный трансформа-
тор должен преобразовывать электрические сигналы с минимально возможными
искажениями в заданной области частот.
Источником энергии для сигнального трансформатора, как правило, является
часть электрической схемы с источником электродвижущей силы, которую можно
представить в виде эквивалентного генератора с определенным внутренним со-
противлением. Электрические сигналы обладают небольшой мощностью — ват-
ты или милливатты. Поэтому важно, чтЬбы потеря мощности сигналов в электри-
ческой цепи была минимальной, а генератор передал приемнику максимально
возможную энергию. Для этого необходимо согласовать сопротивления на всех
участках сигнальной электрической цепи.
В силовой электрической цепи, где передается большая мощность — киловат-
ты и тысячи киловатт, создают условия близкие к идеальному источнику электро-
198
СОГЛАСУЮЩИЙ СИГНАЛЬНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР
движущей силы, внутреннее сопротивление которого намного меньше сопротив-
ления приемника. Это позволяет приблизить к единице коэффициент полезного
действия источника электродвижущей силы в силовой электрической цепи.
В сигнальной электрической цепи, как правило, передаются сигналы неболь-
шой мощности, а сопротивление эквивалентного генератора имеет заданное
значение, сопоставимое с сопротивлением приемника. После согласования со-
противлений приемник получает от генератора наибольшую мощность, однако
она составляет не более половины мощности, вырабатываемой генератором
(глава 5). Для согласования полных сопротивлений электрических цепей при пре-
образовании и передаче электрических сигналов используют согласующий сиг-
нальный трансформатор.
14.2. УРАВНЕНИЯ ПЕРЕДАЧИ
Согласующий трансформатор включается в электрическую цепь между экви-
валентным генератором и приемником. Фактически трансформатор представляет
пассивный четырехполюсник, т. е. часть электрической схемы с двумя парами за-
жимов, внутри которой отсутствует электродвижущая сила. Пара зажимов, к кото-
рым подключен генератор, называются входными, а пара зажимов, к которым
подключен приемник,— выходными.
Прежде чем рассмотреть согласующий трансформатор, введем некоторые по-
нятия из теории четырехполюсников.
Если четырехполюсник подключен к схеме в соответствии с рис. 99,а, то ток
ZH и напряжение 17н на зажимах 1-1 связаны стоком ZK и напряжением 17к на
зажимах 2-2 уравнениями передачи [29, 86]
U„=AUK+BIK, (14.1)
ZH=CL/K+DZK, (14.2)
где А, В, С и D - коэффициенты уравнений передачи. К этим уравнениям необхо-
димо добавить уравнения, вытекающие из схемы на рис. 99,а,
L/H=E-ZZH, (14.3)
0k=Z„1k. (14.4)
Рис. 99. Схема подключения четырехполюсника к эквивалентному генератору и приемни-
ку. Четырехполюсник представлен прямоугольником с зажимами 1-1 и 2-2.
а — четырехполюснике входными зажимами 1-1 и выходными зажимами 2-2;
б — четырехполюсник с входными зажимами 2-2 и выходными зажимами 1-1.
Если перенести генератор с левой стороны четырехполюсника в правую сто-
рону, оставив сопротивления Z и Zn на прежних местах (рис. 99,6), то уравнения
14.2. УРАВНЕНИЯ ПЕРЕДАЧИ
199
передачи для этого случая можно получить из (14.1) и (14.2), поменяв местами
индексы Н и К и изменив направления токов,
й;=Ай’м-в1'„,
(14.5)
-7К -DIH.
(14.6)
Двумя штрихами отмечены токи и напряжения в схеме на рис. 99,6, в которой ге-
нератор находится с правой стороны четырехполюсника. К этим уравнениям до-
бавим следующие два уравнения
(М-ЗД,
(14.7)
(14.8)
Решая уравнения (14.1)-(14.4) относительно /к получаем
к AZn+B + CZZn+DZ'
(14.9)
Аналогично из (14.5)-(14.8) находим
В соответствии с принципом взаимности [29] ток 7К должен быть равен току 7",
поэтому
(AD-BC) = 1.
Это позволяет преобразовать уравнения передачи (14.5)—(14.6)
(14.11)
U”=DU'K+Bi'K,
(14.12)
7Н — C(jK + А7К.
(14.13)
Из сравнения полученных уравнений с (14.1) и (14.2) следует, что при изменении
направления передачи сигнала параметры А и D меняются местами.
Используя гиперболический косинус и синус, выражение (14.11) можно запи-
сать в виде
ch2g-sh2g = 1,
(14.14)
при этом
ch2g = AD,
(14.15)
sh2g = ВС,
(14.16)
где д — комплексное число, физический смысл которого будет определен ниже.
После этого уравнения передачи (14.1)-(14.2) принимают вид
(14.17)
(14.18)
200
СОГЛАСУЮЩИЙ СИГНАЛЬНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР
14.3. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКА
Входное сопротивление четырехполюсника равно отношению напряжения
между зажимами, к которым присоединяется, или предполагается быть присо-
единенным, источник электродвижущей силы к току, протекающему через эти за-
жимы. Таким образом, учитывая соотношения (14.1), (14.2) и (14.4), входное со-
противление четырехполюсника на рис. 99,а
„ AUK+BL, AZ„+B
(14J9)
Из этого выражения следует, что при изменении сопротивления приемника Zn бу-
дет изменяться и входное сопротивление четырехполюсника.
Однако можно подобрать такое сопротивление приемника Zn, при котором
входное сопротивление четырехполюсника будет зависеть только от его парамет-
ров Д, В, С и D. Действительно, возьмем сопротивление приемника
Zn0=^ (14.20)
и подставим его в (14.19). Тогда входное сопротивление четырехполюсника
А [ВО о
7 АУАС+В _ [АВ А
вх „ [ЕЮ п У CD D п0 (14.21)
Cte+D
будет равно специально подобранному сопротивлению Z^ умноженному на отно-
шение А/D. Такое входное сопротивление называют характеристическим сопро-
тивлением четырехполюсника со стороны генератора Zc
(14.22)
Аналогичным образом вводится характеристическое сопротивление четырех-
полюсника со стороны приемника Z£. Для схемы на рис. 99,6, в которой входны-
ми являются зажимы 2-2,
DZ+B_DJS + B [BD D.,
c~CZ+A ~ [АВ ~УАС А^0' (14.23)
Чсо+А
для специально подобранного сопротивления приемника
(14.24)
Если сопротивление приемника Zn равно характеристическому сопротивлению
четырехполюсника со стороны приемника Z£, то характеристическое сопротив-
ление четырехполюсника со стороны генератора Zc совпадает с сопротивлением
источника электродвижущей силы Z
, А _А я A D7
с -0Zno - 0ZC - o ’д ZO "zo
(14.25)
14.4. ЗАТУХАНИЕ И ПОСТОЯННАЯ ПЕРЕДАЧИ
201
Для симметричного четырехполюсника А = D и входное сопротивление четы-
рехполюсника равно сопротивлению приемника
ZBX=Zc=Z£=Zn, (14.26)
т. е. включение симметричного четырехполюсника между генератором и прием-
ником не изменяет условия работы генератора. При этом необходимо помнить,
что сопротивления приемника и генератора имеют специально подобранные зна-
чения (14.20) и (14.22). В действительности значительно чаще бывает ситуация,
когда сопротивления генератора и приемника уже заданы и их нельзя изменить.
Используя характеристические сопротивления Zc (14.22) и Z”c (14.23), уравне-
ния передачи приводятся к виду
L'h +^ZcZcShg, (14.27)
<,4-28>
14.4. ЗАТУХАНИЕ И ПОСТОЯННАЯ
ПЕРЕДАЧИ
Распространение электрического сигнала по проводам характеризуется соб-
ственным затуханием (ослаблением [87]) тока или напряжения [85]
U
н
Ь=1п
= |П
(14.29)
4
<4 '
где /н и — ток и напряжение в начале линии; /к и йк — ток и напряжение
в конце линии.
Прямыми скобками обозначены модули комплексных чисел, в частности,
/н _ I _
1к 4| 7к
(14.30)
Из (14.29) следует
/н
Л
. и»
+1П -Д
Ц<
(14.31)
т. е. собственное затухание b равно половине модуля отношения комплексных чи-
сел 1U в начале и конце линии.
Комплексная постоянная передачи (коэффициент распространения) опреде-
ляется соотношением
1. ЛА
л=1п^А,
2 Ш
в котором модуль 1и является полной мощностью
\iu\ = IU=JP1 2+Q2.
(14.32)
(14.33)
202
СОГЛАСУЮЩИЙ СИГНАЛЬНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР
Отметим отличие IU от комплексной мощности S (формула (4.50)), которая
равна произведению комплексного напряжения й на сопряженный комплексный
ток 7
S=-UI=UIe^'^.
(14.34)
Эти две величины отличаются фазовым углом: для произведения IU угол равен
сумме Vu + Vi» а Аля комплексной мощности S — разности yu - ig,.
Преобразуем выражение (14.32)
= oln
* (пЛяЫн = * in Длгл. е><vi, -vi2 +vU1 -vU2) =
2 ZkC'k
+^/(Vii -Vi2 -Vu2)=b+/a.
2"'Ш
'к
(14.35)
— Trill ~----
2 7K(7>
1
Таким образом, действительная часть комплексной постоянной передачи д пред-
ставляет затухание Ь, которое характеризует уменьшение полной мощности
\1и\ = IU, а мнимая часть
a=4(Vn -Vi2 +Vu, -Vu2) (14.36)
является постоянной фазового сдвига и характеризует изменение фазы комплек-
сного числа 71/.
Единицей измерения затухания является непер и, как следует из (14.29), 1 Нп
соответствует уменьшению напряжения или тока в е = 2,718 раз.
При использовании десятичных логарифмов затухание измеряют в децибе-
лах [88]
А
л
Ь=101д
72й2
=201д
=20lg
А.
А
(14.37)
Затуханию 1 дБ соответствует уменьшение полной мощности в 1,25 раз или
уменьшение тока или напряжения в 1,12 раз. Переход между единицами измере-
ния затухания можно провести на основании следующих соотношений:
1 Нп = 8,686 дБ,
1 дБ = 0,115 Нп.
14.5. ЗАТУХАНИЕ
ВНОСИМОЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОМ
Затухание, которое вносит в электрическую цепь четырехполюсник, определя-
ется соотношением [86, 89]
ьв =^1п
iu
Z2(j2
(14.38)
где 7, и ток и напряжение в приемнике, напрямую подключенном к генератору
(рис. 100,а), 72, 172~ ток и напряжение в приемнике, подключенном к генератору
через четырехполюсник (рис. 100,6). Заметим, что при определении вносимого
затухания Ьв сопротивление приемника Zn одинаково в обеих схемах сравнения.
Таким образом, вносимое затухание дает количественную оценку изменения пе-
редачи в электрической цепи при включении четырехполюсника.
14.5. ЗАТУХАНИЕ ВНОСИМОЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОМ
203
1 ---------------- 2
а) б)
Рис. 100. К определению вносимого затухания Ьв.
а — схема для определения IU в формуле (14.38);
б — схема для определения 12й2 в формуле (14.38).
Если при прямом подключении приемника к генератору выполняется условие
равенства сопротивления генератора и приемника Zn = Z (рис. 101,а), а при под-
ключении четырехполюсника электрическая схема не меняется (рис. 101,6), то
соотношение
'*-5'"^' (14.39)
определяет рабочее затухание ЬР, где ZC,L/C— ток и напряжение в приемнике,
напрямую подключенном к генератору, при согласованном сопротивлении Zn = Z.
Рабочее затухание сравнивает существующие условия передачи с нормальными
условиями, которые соответствуют согласованию активного сопротивления гене-
ратора и приемника.
Из электрической схемы рис. 100,а и рис. 101,а следует
(1440>
1сйс=^. (14.41)
После преобразований получаем
1, E2Z
~1П-------- г-
2 (Z+Z„)2I2U2
— bp
-In
2y[ZZ^
(14.42)
Таким образом, вносимое затухание меньше рабочего затухания на величину,
связанную с несогласованностью сопротивления генератора и приемника. При
согласовании сопротивлений Z = Zn вносимое и рабочее затухания совпадают.
Рис. 101. К определению рабочего затухания ЬР.
а — схема для определения /с0с в формуле (14.39);
б — схема для определения i2U2 в формуле (14.39).
204
СОГЛАСУЮЩИЙ СИГНАЛЬНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР
Вычислим теперь рабочее затухание четырехполюсника. Для схемы на рис. 101 ,б
имеем t)2=/2zn, (14.43) I2U2=^-, (14.44) ^•П E=i}Z + U,. (14.45)
Подставим в (14.45) ток и напряжение из уравнений передачи (14.27) и (14.28),
в которых индекс н заменен на 1, а индекс к на 2,
(14.46)
Из этого выражения найдем вторичное напряжение й2 и подставим его в (14.44).
Полученное произведение 12й2,а также 1сйс из (14.41), подставим в формулу
(14.39). Это позволяет найти рабочее затухание
4ln|T^4zba[ee(Z+Zc)(Zn +z'c)~e 0(Z-zc)(Zn ~zc)lz
учитывая представление гиперболических функций
е°-е 0
shp — »
е0+е 0
chp = —£—.
Дальнейшие преобразования приводят к выражению
(14.47)
(14.48)
(14.49)
bp =|g|+ln Z+Zc [+ln Z^Z +ln 1-*f ^е~2° . (14.50)
1У' 2VZZ^| (Z + Zc)(Zn+Z£)
Из него следует, что при согласовании сопротивления генератора с характерис-
тическим сопротивлением четырехполюсника со стороны генератора
Z = ZC (14.51)
и при согласовании сопротивления приемника с характеристическим сопротивле-
нием четырехполюсника со стороны приемника
Zn=za (14.52)
рабочее затухание равно модулю комплексного числа д
ЬР=|д|. (14.53)
Таким образом, модуль |р| представляет рабочее затухание при согласованных
характеристических сопротивлениях, и его называют собственным затуханием
четырехполюсника Ь.
Из анализа формул (14.42) и (14.50) следует, что вносимое затухание может
быть отрицательным. Это означает, что при определенном соотношении между
характеристическими сопротивлениями и сопротивлениями генератора и прием-
ника создаются условия передачи приемнику большей мощности по сравнению
с той, которую может принять приемник при непосредственном соединении с ге-
нератором [89].
14.6. СОГЛАСУЮЩИЙ ТРАНСФОРМАТОР
205
14.6. СОГЛАСУЮЩИЙ ТРАНСФОРМАТОР
На рис. 102 представлена эквивалентная схема трансформатора с магнито-
проводом из ферромагнитного материала. К первичной обмотке подключен экви-
валентный генератор с внутренним сопротивлением Z. Параметры вторичной об-
мотки, приведенные к первичной обмотке, отмечены штрихами.
z 1 А £ 2
Рис. 102. Эквивалентная схема согласующего сигнального трансформатора.
Снова воспользуемся уравнениями (10.39)-( 10.42) для трансформатора с маг-
нитопроводом из ферромагнитного материала
(14.54)
(14.55)
o=z;z;+zozo+l/',
(14.56)
u;=z^zi.
(14.57)
К ним добавим уравнение, связывающее электродвижущую силу эквивалентного
генератора Ё и напряжение на первичной обмотке йи
U^E-ZIV
(14.58)
Найдем уравнения передачи для эквивалентной схемы трансформатора. Из
(14.56) определим ток намагничивания
z2z;+t/;
(14.59)
Из (14.55) получаем
-^fi+^W+fz.+z^+^y^/;.
\ zo/ k zo J
(14.60)
привлекая для этого уравнения (14.54), (14.56) и (14.59).
Из (14.54) находим
-Zj +fl+-^-l^2’
(14.61)
Zq t/2
Zi + Z2 — ’
используя ток намагничивания (14.59).
Соотношения (14.60) и (14.61) являются уравнениями передачи трансформа-
тора. Из них определяем коэффициенты
(14.62)
206
СОГЛАСУЮЩИЙ СИГНАЛЬНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР
(14.63)
(14.64)
(14.65)
(14.66)
(14.67)
и характеристические сопротивления трансформатора
_ IAB __ l(Z0 + )(^1^0 + ^2^0 + ZtZ2 )
с ~VCD~)]
_ IBD _ /(Zo +Z2 XZtZ0 +Z2Z0 +Z1Z2)
c"\AC"\ Zo+Z}
Для согласования генератора с приемником через трансформатор необходи-
мо, чтобы сопротивление генератора совпадало с приведенным сопротивлением
приемника
Z = Z'n. (14.68)
Кроме того, необходимо согласовать характеристические сопротивления
трансформатора
ZC=Z, (14-69)
Za = Z'. (14-70)
Следовательно, характеристические сопротивления согласующего трансформа-
тора должны быть равны между собой
Z£ = ZC> (14.71)
а это возможно при условии симметрии А = D. Тогда из равенства (14.62) и (14.65)
следует
z,=z;. (14.72)
Таким образом, в согласующем трансформаторе комплексное сопротивление
первичной обмотки должно совпадать с приведенным комплексным сопротивле-
нием вторичной обмотки.
Из (14.69) и (14.70) также следует, что входное сопротивление согласующего
трансформатора должно быть равно характеристическому сопротивлению и со-
впадать с приведенным сопротивлением приемника
Z —Z - Z' (14.73)
^•вх ~гс ~гп-
По определению
(14.74)
Для вычисления входного сопротивления необходимо найти первичный ток Zv Из
схемы на рис. 102 следует
ё=i1(z+z1+zx),
(14.75)
14.6. СОГЛАСУЮЩИЙ ТРАНСФОРМАТОР
207
где Zx — сопротивление параллельного соединения вторичной цепи с сопротив-
лением Zo
Таким образом, первичный ток
1 = 1 t 1
Zx Zo Z2 + Zp
(14.76)
(14.77)
и после подстановки его в (14.74)
, t z0(z^z^)
1 Zo+Zg+Zn
(14.78)
Из выражения (14.78) следует, что входное сопротивление трансформатора
будет приближаться к приведенному сопротивлению приемника при очень малом
сопротивлении первичной и вторичной обмоток Zt и Z'2.
Необходимо также иметь большое сопротивление первичной обмотки, обус-
ловленное основным магнитным потоком, z0>Zn- Следовательно, магнитопровод
должен иметь высокую магнитную проницаемость ц, большую площадь попереч-
ного сечения магнитопровода S и небольшую среднюю длину магнитной линии Zcp.
При этом желательно иметь большое число витков как первичной обмотки так
и вторичной обмотки \n2.
Фактически согласующий трансформатор должен приближаться к идеальному
трансформатору.
При согласовании сопротивления генератора Z и приемника Zn через транс-
форматор
г + jx =гп[ 4- ;xnf , (14.79)
где Z = г + jx — полное внутреннее сопротивление генератора. Это условие соот-
ветствует равенству активных сопротивлений генератора и приемника
(14.80)
из которого можно найти отношение числа витков согласующего трансформатора
^1= /Z
w2 Vn*
(14.81)
14.7. РАБОЧЕЕ ЗАТУХАНИЕ ТРАНСФОРМАТОРА
Для расчета затухания, вносимого трансформатором, используем схемы, пред-
ставленные на рис. 103.
Рис. 103. К определению вносимого затухания Ьв трансформатора.
а — схема прямого включения приемника;
б — схема включения приемника через трансформатор.
208
СОГЛАСУЮЩИЙ СИГНАЛЬНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР
Приемник имеет сопротивление Z'n, приведенное к первичным виткам. Транс-
форматор представляет пассивный четырехполюсник с двумя парами зажимов
1-1 и 2-2.
По определению вносимого затухания
Ьв=^1п
iu
72^2
(14.82)
При прямом подключении приемника к генератору (см. формулу (14.40))
Чтобы найти
i'2U2=r22Z'n (14.84)
достаточно определить приведенный вторичный ток Г2, Из уравнений (14.55),
(14.56) и (14.58) найдем приведенное вторичное напряжение
u2=-E-i2z'2+i,(z+z,). (1485)
Подставляя его в (14.57), выразим приведенный вторичный ток через первич-
ный ток
/' = (14.86)
2 Z'2+Z'n
После подстановки первичного тока из (14.77) получаем
г =_________________________________________________ (14 87)
2 (Z + Z.XZo+Z^+Z'J+ZofZ'+Z')
и вносимое затухание трансформатора
Ьв=^1п ui u2i'2 = ln (Z + Zt)(Z0+Z2+Zn)+Z0(Zi+Zn) Z0(Z2+Z'n) = ln 1 (14.88)
Рассмотрим случай, когда генератор имеет активное сопротивление Z = г, со-
гласованное с активным сопротивлением приемника [85]
Z'n=n2rn=r. (14.89)
В этом случае вносимое затухание совпадает с рабочим затуханием
(r + Z1)(Z0+Z2+r)+Z0(Z2+г)
Ьр=Щ-----------5~=-----------
(14.90)
или после некоторых преобразований
Г + ^2 + ^2 ^1^2 I _
2Z0 + 2г ) 2Z0 2rZ0\
ln|f 1 I _______f2______1 1 ~t"^2 I
|( 2r Л Z0(2r+Z1+Z2)J 2Z0 2rZ0|-
(14.91)
14.6. СОГЛАСУЮЩИЙ ТРАНСФОРМАТОР
209
Учтем, что согласующий трансформатор должен иметь большое сопротивле-
ние Zo и малое сопротивление обмоток Z, и Z2. Поэтому пренебрегаем малыми
членами вне круглых скобок и сопротивлением обмоток по сравнению с 2г в зна-
менателе во второй круглой скобке
(14.92)
Вспомним, что комплексное сопротивление обмоток
Zx+Z'2=ry+r'2 +jasLs,
(14.93)
где Ls — индуктивность трансформатора
~^-S1 +^-S2»
(14.94)
а сопротивление первичной обмотки Zo, обусловленное основным магнитным по-
током фо,
zo = —• (14.95)
Это позволяет представить (14.92) в виде
бр =ln
2г
г
2шЕ0
(14.96)
или после некоторых преобразований
бР = ln
(14.97)
В приближении 2г ^>г}+г2 получаем рабочее затухание трансформатора
+'"|’+ф|-
бР =ln
+!п
A-i—-=-
2со£о
(14.98)
Заметим, что в выражении (14.98) индуктивность первичной обмотки, обус-
ловленная основным магнитным потоком, является комплексной величиной
—l = (Mi-/P2)Ct—L (14.99)
*СР *CP
Для аморфных сплавов в области низкой частоты и слабых полей
(см. рис. 51), поэтому Pt«р и
(14.100)
*СР
где ц — модуль относительной магнитной проницаемости, Lx — индуктивность
первичной обмотки. Это позволяет записать
(14.101)
210
СОГЛАСУЮЩИЙ СИГНАЛЬНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР
Из него следует, что рабочее затухание трансформатора состоит из трех слага-
емых. Первое слагаемое не зависит от частоты, а его постоянный уровень опре-
деляет активное сопротивление обмоток трансформатора +г2.
Второе слагаемое имеет наибольшее значение при низкой частоте, и роль его
уменьшается с ростом индуктивности первичной обмотки Lv Фактически второе
слагаемое отвечает за искажения, вносимые трансформатором в области низкой
частоты.
Третье слагаемое растет с увеличением частоты и зависит от индуктивности
рассеяния трансформатора. Таким образом, третье слагаемое учитывает искаже-
ния, вносимые трансформатором на высокой частоте.
14.8. ВХОДНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
После преобразования входного сопротивления ZBX (формула (14.78)) получаем
Z^Z.+Z^+Z^+Z^ + Z;,)
Zo + Z2 +Zn
(14.102)
Используя ранее принятые приближения для согласующего трансформатора,
пренебрегаем вторым слагаемым Z^Z^+Zn) в числителе и сопротивлением вто-
ричной обмотки Z2 в знаменателе. Также согласуем активное сопротивление ге-
нератора г с сопротивлением приемника Z'n=r. После этого входное сопротив-
ление согласующего трансформатора принимает вид
Z0(Zi+z;+r)
(14.103)
Далее, используя представления (14.93)-(14.95), получаем
COLg
ВХ “
1-М-
wLo
(14.104)
Из него находим модуль входного сопротивления, учитывая L^L, для аморфных
сплавов,
(14.105)
Таким образом, в области низкой частоты падение модуля входного сопротив-
ления |ZBX| с уменьшением частоты связано с уменьшением индуктивного сопро-
тивления первичной обмотки coL1. Рост |ZBX| при высокой частоте связан с индук-
тивным сопротивлением рассеяния трансформатора соЦ.
Из (14.66) определяем характеристическое сопротивление трансформатора
при Z}=Z'2
(14.106)
или, учитывая требования к согласующему трансформатору z0>zb
zc=V2z^;.
(14.107)
14.9. РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
211
Подставляя сопротивление Zo из (14.95) и (14.100) и используя соотношение
(14.108)
находим модуль характеристического сопротивления трансформатора
Ис I=+r2 )2 +(w/-s )2 ] '*
(14.109)
Для области средней и низкой частоты модуль характеристического сопротив-
ления
\Zc\=ylo>L^+ri),
(14.110)
а модуль входного сопротивления из (14.105)
(14.111)
Совпадение этих сопротивлений возможно только при одной частоте. Таким об-
разом, почти во всей области частот полное согласование по характеристическо-
му сопротивлению отсутствует.
14.9. РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Для расчетов будем использовать десятичную логарифмическую шкалу и со-
ответственно единицу измерения затухания — децибел. При этом выражение
(14.101) для рабочего затухания трансформатора принимает вид
Ьр =20lg(l+^^)+10lg
/ f \2 "I
]+1О|0
lif^sf'
I 2r )
Для удобства расчетов заменим угловую частоту
co=2nf
и введем параметры
2г
Z \2
^2=10191+ 4^1
b3=10lg 1+ —М
(14.112)
(14.113)
(14.114)
(14.115)
(14.116)
которые являются отдельными слагаемыми рабочего затухания трансформатора.
Для расчета согласующего сигнального трансформатора необходимо задать:
• сопротивление эквивалентного генератора г (Ом);
• сопротивление приемника гп (Ом);
• нижнюю граничную частоту и верхнюю граничную частоту fB полосы пропус-
кания (Гц);
• допустимое затухание Ьр на средней частоте;
• допустимое затухание Ьр на нижней граничной частоте fH;
• допустимое затухание Ьр на верхней граничной частоте fB.
212
СОГЛАСУЮЩИЙ СИГНАЛЬНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР
Рис. 104. Схематическое представление частотной зависимости затухания согласующего
сигнального трансформатора.
На рис. 104 представлена схема, поясняющая связь между параметрами со-
гласующего сигнального трансформатора. В результате расчета выбирают мате-
риал магнитопровода и его размеры, находят число витков и диаметр провода
первичной и вторичной обмоток.
При средней частоте bP « bv Это позволяет найти активное сопротивление об-
моток из формулы (14.114)
г, +г2' =2r(10005bl -1). (14.117)
Если сопротивление обмоток выбрать из условия симметрии эквивалентной схе-
мы трансформатора
r,_r2-(w7jГг' (14.118)
то активное сопротивление первичной обмотки
г^фО0 051^ -1). (14.119)
На нижней граничной частоте fH рабочее затухание
Ьр (Гн) ® +Ь2- (14.120)
Отсюда найдем допустимое значение t>2 и далее из (14.115) вычислим
допустимую индуктивность первичной обмотки Ly
/-1= 4nfHVlOait’2 -1 (14.121)
На верхней граничной частоте fB рабочее затухание
(^в)5,5 Ь] + Ь3. (14.122)
Отсюда найдем значение Ь3 ^bP(fB)-by и далее из (14.116) допустимую индуктив-
ность рассеяния трансформатора Ls
ts =—T-V1O°',£>3 -1. 7ug (14.123)
Теперь необходимо выбрать материал магнитопровода и его типоразмер. Для
согласующего сигнального трансформатора следует использовать магнитопро-
воды с высокой начальной магнитной проницаемостью. Это позволяет получить
14.9. РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
213
необходимую индуктивность первичной обмотки при небольшом числе витков
и снизить индуктивность рассеяния. Кроме того, если имеются особые требова-
ния в области низкой частоты, то следует использовать материал с высокой маг-
нитной индукцией насыщения. В наибольшей степени этим требованиям удовлет-
воряют магнитопроводы ГМ 414 и ГМ 14 ДС.
Типоразмер магнитопровода можно выбрать, исходя из собственного опыта
или путем численной оценки. В последнем случае используем известные форму-
лы для индуктивности
Ll Z '
(14.124)
сопротивления провода первичной обмотки
„ _ Р^ВИТ1^!
' Snp,
(14.125)
и коэффициента заполнения окна магнитопровода проводом первичной обмотки
к
_ SnpiWi
Ml “ Q
°ок
(14.126)
Из этих соотношений получаем
W2 = ^СР _ Л1$0К^М1
Р^вит
а после переноса геометрических параметров в левую часть равенства
SS0K L< р
’ (14.128)
*СР*ВИТ г1 НН0КМ1
где L}/i\ — постоянная времени первичной обмотки.
Заметим, что левая часть равенства (14.128) совпадает с габаритным пара-
метром трансформатора тока (формула (12.76)).
В правую часть входят два связанных между собой параметра и кМ1. Допус-
тимое значение г, уже было выбрано из формулы (14.119), и это значение являет-
ся верхней границей для сопротивления первичной обмотки. Для тороидального
магнитопровода коэффициент заполнения окна магнитопровода проводом пер-
вичной обмотки кМ1 не более 0,1. Поэтому при заданном числе витков сечение
провода не может быть больше определенной величины, и это условие ограничи-
вает снизу сопротивление провода первичной обмотки rv
После подстановки численных значений в правую часть уравнения (14.128) на-
ходим габаритный параметр, а из табл. 17 выбираем соответствующий типораз-
мер магнитопровода. Выбранный типоразмер магнитопровода подходит для пер-
воначальной оценки согласующего сигнального трансформатора.
Далее из (14.127) находим число первичных витков
<14л29)
а из формулы (14.81) — число вторичных витков
(14.130)
214
СОГЛАСУЮЩИЙ СИГНАЛЬНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР
Площадь поперечного сечения провода первичной обмотки можно найти из
(14.125) для сопротивления г}
С _P4wTW1 л
^hpi - — (14.131)
или из выражения (14.126) для коэффициента заполнения окна магнитопровода
S_ ^OK^MI .. л „
ПР1- • (14.132)
Площадь поперечного сечения провода вторичной обмотки выберем из усло-
вия (14.118), которое принимает вид
Snp2=Snpi^-. (14.133)
если длина витка первичной обмотки равна длине витка вторичной обмотки.
В конечном счете, выбор провода обмоток определит индуктивность рассея-
ния трансформатора, которую будем вычислять по формуле [20]
1-1 . / ' _ Мо^^ВИТ Г д /4Л 1ОЛ\
Ц -4i + lS2 - - Д12 + - . (14.134)
*ср к ° /
Обмотки на магнитопровод наносят таким образом, чтобы обеспечить минимум
индуктивности рассеяния. В частности, из формулы (14.134) следует, что пред-
почтение следует отдавать более тонкому проводу, который обеспечит меныиие
значения Дп Дг, Д12.
В заключение оценим электродвижущую силу эквивалентного генератора, при
которой магнитная индукция согласующего сигнального трансформатора не по-
падает в область магнитного насыщения. При условии z>zy напряжение первич-
ной обмотки L/o,обусловленное основным магнитным потоком, можно записать
в виде
Uo = j 2 л f w.BS * Е - Z7,. (14.135)
Учитывая условие согласования сопротивлений z * zBX, получаем
(14.136)
Тогда действующее значение электродвижущей силы генератора
^ = j2nfw,BmS. (14.137)
После подстановки в (14.137) нижней частоты полосы пропускания и максималь-
ной магнитной индукции в точке изгиба кривой намагничивания выбранного маг-
нитного материала, получаем численное значение сигнала Е, который обеспечи-
вает работу трансформатора в оптимальной области магнитной индукции. Для
увеличения допустимой электродвижущей силы эквивалентного генератора необ-
ходимо выбирать магнитопровод с большим поперечным сечением S или увели-
чивать число витков
14.10. ПРИМЕР РАСЧЕТА
Переходный трансформатор, согласующий сопротивление линии связи
гп = 1400 Ом и входное сопротивление станции связи г = 600 Ом [85]. Нижняя
граничная частота = 200 Гц и верхняя граничная частота fB = 5000 Гц. Допусти-
14.10. ПРИМЕР РАСЧЕТА
215
мое затухание на средней частоте ЬР = 0,5 дБ, а на нижней и верхней частотах
ЬрИн) = bP(fB) = 0,55 дБ.
1. Вычисление допустимого активного сопротивления первичной обмотки г}
из формулы (14.119)
6 =600 (100 05 0>5-1)=35,6 Ом.
2. Вычисление необходимой индуктивности первичной обмотки Ц из формулы
(14.121). Сначала найдем слагаемую затухания на нижней частоте Ь2 = 0,55 - 0,5 =
= 0,05 дБ, а затем индуктивность первичной обмотки
4k-200V100i10’5-1 ’
3. Вычисление допустимой индуктивности рассеяния трансформатора Ls из
формулы (14.123). Поскольку Ь3 = 0,55 - 0,5 = 0,05 дБ, то допустимая индуктив-
ность рассеяния
Ls =-^л^10°’005-1 = 4,1-10-3 Гн.
л-oUUu
4. Выбор материала и типоразмера магнитопровода. Для расчетов использу-
ем магнитопровод в защитном контейнере ГМ 414 - 2 класс с относительной на-
чальной магнитной проницаемостью щ £ 45000. По формуле (14.128) рассчитаем
габаритный параметр трансформатора, а для первой оценки примем максималь-
но допустимый коэффициент заполнения окна магнитопровода кМ1 = 0,1,
_SSo^=__2г22Л7Л0^__ ,
/сЛит 45000-4л-10’7-35,6-0,1 °’ 9
Сравнение с табл. 17 показывает, что для трансформатора приемлем достаточно
малый типоразмер магнитопровода. Для первой оценки примем ближайший име-
ющийся типоразмер ОЛ 14/20-10.
5. Вычисление числа первичных витков wy из формулы (14.129) при /ср = 5,3 -10“2м
и S = 0,21 • Ю^м2
= I 2,22-5,ЗЮ2 _Э15
' \45000-4л-10’7 0,21-Ю-4
6. Вычисление числа вторичных витков w2 из формулы (14.130)
/1400
^2-315^ 6(Х) -481.
7. Выбор провода первичной обмотки. Из формулы (14.131) при = 4,4 -10 2 м
находим
Sn„ , 0.0066.10- м>.
Это численное значение соответствует проводу диаметром d, = 0,1 мм с площадью
поперечного сечения SnP1 = 0,00785 -106 м2.
Найдем коэффициент заполнения окна магнитопровода проводом первичной
обмотки из (14.132)
. _SnP1w1_0,00785-10-e-315_oo fi
м’ 1,54-1 (И °’0 Ь’
т. е. мы имеем большой запас по заполнению окна медью.
216
СОГЛАСУЮЩИЙ СИГНАЛЬНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР
Выберем более толстый провод так, чтобы коэффициент кМ1 приближался к 0,1,
учитывая Sqk = 1,54-10 4 м2,
Snp,1’~ з?54 0,1 =0,049 10^ м2.
Для первичной обмотки используем провод диаметром dy = 0,21 мм.
Пересчитаем сопротивление провода первичной обмотки, соответствующее
выбранному проводу с площадью поперечного сечения Snpi = 0,0346 -106 м2.
i,7-io<4,4-iq-2-315
0,0346-10-6
= 7,37 Ом.
8. Выбор провода вторичной обмотки из формулы (14.133)
SnP2=SnP1^- = 0,0346 10-® 1^=0,0227.10^ м2.
Это значение соответствует проводу диаметром d2 = 0,17 мм. Тогда сопротивле-
ние вторичной обмотки
1,7-10"8-4,4-10"2-481
0,0227-1О-8
= 15,8 Ом,
приведенное сопротивление вторичной обмотки
/ i/u \2 / *31 а\2
=15-8ш) =6’78Ом
и общее сопротивление обмоток трансформатора
ri+f2 =7,37+6,78 = 14,15 Ом.
9. Расчет индуктивности рассеяния Ls из формулы (14.134). Для первичной об-
мотки используем провод диаметром dy = 0,21 мм марки ПЭТВ-2, диаметр кото-
рого с изоляцией 0,25 мм. Учитывая внутренний диаметр защитного контейнера
сГ = 10,7 мм (табл. 17), вычислим длину окружности л-10,7 = 33,6 мм, на которой
поместится 124 витка первичной обмотки в один слой
33,6=124
0,27
Диаметр провода первичной обмотки взят с запасом 0,27 мм вместо 0,25 мм. Та-
ким образом, первичная обмотка будет иметь три слоя.
Провод для вторичной обмотки с изоляцией ПЭТВ-2 имеет диаметр 0,21 мм,
и вторичная обмотка уместится в четыре слоя. Таким образом, толщина первичной
обмотки Д, = 0,25-3 = 0,75 мм и толщина вторичной обмотки = 0,21 - 4 = 0,84 мм.
Толщина изоляции между обмотками Д12 = 0,06 мм (три слоя лавсановой пленки
толщиной 20 мкм). Индуктивность рассеяния трансформатора
ls .LS1 .Ц,.315М.4-10- ^075^84).^, =006,1()-.
Мы получили все параметры согласующего сигнального трансформатора. Те-
перь рассчитаем затухание по формуле (14.112) для следующих значений пара-
метров: г = 600 Ом, г, +г2' =14,15 Ом, Ly = 2,22 Гн, Ls = 0,06-10 3 Гн. Результаты рас-
14.10. ПРИМЕР РАСЧЕТА
217
четов всех составляющих затухания представлены на рис. 105. Ввиду малой ин-
дуктивности рассеяния затухание на высокой частоте очень слабое. Заметим, что
в расчетах не учитывается собственная емкость трансформатора, которая значи-
ма при очень близком расположении обмоток, т. е. малом расстоянии Д12. После
изготовления трансформатора необходимо провести измерения индуктивности
рассеяния и затухания и сравнить результаты расчетов и измерений.
Рис. 105. Частотная зависимость рабочего затухания ЬР и его составляющих б1( Ь2 и Ь3 (фор-
мулы (14.114)—(14.116)) согласующего сигнального трансформатора с параметра-
ми: г = 600 Ом, Гу + г2 =14,15 Ом, L1 = 2,22 Гн, Ls = 0,06мГн.
На рис. 106 и 107 показано, как изменилось бы затухание и входное сопротив-
ление трансформатора при увеличении индуктивности рассеяния.
Следует отметить, что в расчете принята относительная начальная магнитная
проницаемость магнитного материала не более 45000. С увеличением магнитной
индукции Вт, которое происходит при снижении частоты, магнитная проницае-
мость сначала возрастает вплоть до 300000 и только при приближении к области
магнитного насыщения начинает катастрофически падать [16]. Поэтому при пра-
вильном учете области магнитного насыщения затухание в низкочастотной обла-
сти заметно ниже.
Рис. 106. Частотная зависимость рабочего затухания согласующего сигнального транс-
форматора с параметрами: г = 600 Ом, rj+r^ =14,15 Ом, Ly = 2,22 Гн при разной
индуктивности рассеяния Ls:
1 — 0,06 мГн; 2 — 0,4 мГн; 3—1 мГн; 4 — 4 мГн.
218
СОГЛАСУЮЩИЙ СИГНАЛЬНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР
Рис. 107. Частотная зависимость модуля входного сопротивления |ZBX| для согласующего
сигнального трансформатора с параметрами: г = 600 Ом, ч-г? =14,15 Ом,
L, - 2,22 Гн при разной индуктивности рассеяния Ц:
1 — 0,06 мГн; 2 — 0,4 мГн; 3—1 мГн; 4 — 4 мГн.
Чтобы гарантированно улучшить низкочастотную составляющую затухания, не-
обходимо увеличить индуктивность первичной обмотки. Это можно сделать за
счет увеличения числа витков, поскольку имеется запас по сопротивлению обмо-
ток, или за счет увеличения площади поперечного сечения магнитопровода.
В заключение рассчитаем электродвижущую силу эквивалентного генератора,
при которой магнитная индукция магнитопровода не выходит в область магнитно-
го насыщения. Для нанокристаллического сплава ГМ 414 допустима магнитная
индукция Вт = 1 Тл, тогда из (14.137) при частоте fH = 200 Гц получаем
Е = 272л-200-315-10,21Ю-‘ =11,8 В.
При частоте 20 Гц допустимая электродвижущая сила эквивалентного генератора
Е= 1,18 В.
Глава 15
ТРАНСФОРМАТОР ЗВУКОВОЙ ЧАСТОТЫ
15.1. ЭКВИВАЛЕНТНАЯ СХЕМА В ОБЛАСТИ НИЖНЕЙ,
СРЕДНЕЙ И ВЕРХНЕЙ ЧАСТОТЫ
Трансформаторы звуковой частоты применяют в усилителях звуковой частоты,
которые входят в состав радиоэлектронной аппаратуры [90-92]. Такой трансфор-
матор рассчитан на пропускание всего спектра рабочих частот усилителя. По ме-
сту расположения в схеме усилителя трансформаторы подразделяются на вход-
ные, межкаскадные и выходные. Как правило, входные и межкаскадные транс-
форматоры звуковой частоты являются согласующими, обеспечивая наименьшие
потери мощности сигнала.
Исследование затухания, вносимого трансформатором в электрическую цепь,
показало (параграф 14.7), что в области средних частот активное сопротивление
является основной причиной затухания электрических сигналов. В области ниж-
них и верхних частот затухание вызывает индуктивное сопротивление первичной
обмотки /со/., и индуктивное сопротивление рассеяния yco/_s соответственно. Дан-
ные выводы являются основанием для упрощения электрической схемы транс-
форматора в каждом из трех частотных диапазонов [93, 94].
Необходимо отметить, что границы между областями нижней, средней и верх-
ней частоты не привязаны к конкретным численным значениям, а смещаются в ту
или иную сторону в зависимости от индуктивности первичной обмотки L, и индук-
тивности рассеяния Ls.
На рис. 108 представлена общая электрическая схема трансформатора, в ко-
торой, по сравнению с рис. 102, дополнительно введена собственная емкость
трансформатора Су и емкость приемника CJ,, включающая в себя емкость внеш-
ней электрической цепи и емкость монтажа. Поскольку емкости подключены па-
раллельно сопротивлению приемника Гп+/со£п» то удобно их соединить и ввести
одну эквивалентную емкость
Сэ=С;+С'. (15.1)
Рис. 108. Эквивалентная схема трансформатора звуковой частоты.
220
ТРАНСФОРМАТОР ЗВУКОВОЙ ЧАСТОТЫ
Рис. 109. Эквивалентная схема трансформатора звуковой частоты, который питается от эк-
вивалентного генератора с активным сопротивлением, в области нижних (а),
средних (б) и верхних (в) частот.
В области нижних частот эквивалентная электрическая схема трансформа-
тора принимает вид, показанный на рис. 109,а. В этой области сопротивление
обмоток и сопротивление приемника носят активный характер. Сопротивление
первичной обмотки Zo, обусловленное основным магнитным потоком, упрощается
до Zo = j($Ly с учетом соображений, приведенных в параграфе 14.7. Малым индук-
тивным сопротивлением генератора при низкой частоте пренебрегаем. При этом
значительную роль может играть емкостное сопротивление, включенное в элект-
рическую цепь генератора последовательно. Однако ради краткости изложения
в дальнейшем рассмотрим только генераторы звуковых сигналов с активным со-
противлением.
Трансформаторы звуковой частоты, питающиеся от генератора с индуктивным
и емкостным сопротивлением, исследованы в [93, 94].
В области средних частот преобладает активное сопротивление (рис. 109,6).
Индуктивное сопротивление первичной обмотки /cot, становится настолько боль-
шим, что через него не протекает электрический ток.
В области верхних частот необходимо учитывать индуктивность рассеяния
трансформатора Ls и индуктивность приемника L'n, а также собственную емкость
трансформатора С'т и емкость приемника Cq (рис. 109,в). В этой области следо-
вало бы учесть также индуктивное сопротивление генератора, однако мы дого-
ворились рассмотреть только источники с активным внутренним сопротивлением.
15.2. КОЭФФИЦИЕНТ ПЕРЕДАЧИ
221
15.2. КОЭФФИЦИЕНТ ПЕРЕДАЧИ
В качестве передаточной функции в эквивалентной схеме трансформатора вы-
берем коэффициент передачи К, характеризующий распространение напряже-
ния от генератора звуковых сигналов к приемнику в относительных единицах,
й'2
К = (15.2)
где й'2 — приведенное напряжение на приемнике; Ё — электродвижущая сила
эквивалентного генератора.
Электрическая схема трансформатора в области нижних частот, по сути, со-
впадает с общей электрической схемой трансформатора. Поэтому воспользуем-
ся общими уравнениями (10.39)—(10.42), а также (14.58)
WMo. (15.3)
(15.4)
O = z;/; + ZoZo+l4 (15.5)
u;=z'/;, (15.6)
Uy=E-ZIy. (15.7)
Из уравнений (15.7) и (15.4) получаем
e = L/1+Z71=71(Z + Z1) + Z070. (15.8)
Ток намагничивания 70 находим из (15.5) и (15.6)
/ _ Z2i2+U2 _ ft (1RQ\
У0 “ у------~~*2 у----’ (15.9)
Z0 Z0
а первичный ток 1У — из (15.3) и (15.9)
7,=j0-7;=-i;z°-^+zk (15.Ю)
zo
Тогда электродвижущая сила генератора после подстановки 70 и Д в (15.8) при-
нимает вид
A ^(Zo+Z'+Z^XZ + ZJ+ZoCZi + Z^)
С - 12 у (15.11)
zo
и коэффициент передачи
_________________________________________________
~ Z+Zt+Z'2+Z'n + (Z+Z'^Z'2+Z^ (15.12)
zo
Знак минус в формуле для коэффициента передачи обозначает, что в прибли-
жении больших сопротивлений z0 и z\ направления электродвижущей силы и на-
пряжения на вторичной обмотке повернуты относительно друг друга на угол близ-
кий к 180°. Для передачи напряжения с разностью фаз близкой к нулю необходи-
мо соответствующим образом подключить приемник.
222
ТРАНСФОРМАТОР ЗВУКОВОЙ ЧАСТОТЫ
Подставим в (15.12) сопротивления Z = г, Zy = rv Z2=r±, Z'n=rn,Z0 = /со/-1 для
области нижних частот и получим соответствующий коэффициент передачи
_______гп____________
. , (/+г1)(гг'+Гп)’
г+Гп +
(15.13)
Для эквивалентной схемы трансформатора в области средних частот (рис. 109,6)
можно записать следующие уравнения
^2 =~ДГП> (15.14) (15.15)
(15.16)
Ё = 7,(г + г1+^ + Гп) и соответствующий коэффициент передачи (15.17)
Кс = —г- г + гд+г2+гп (15.18)
Следует обратить внимание на то, что коэффициент передачи на средних часто-
тах является действительным числом и, таким образом, напряжение передается
приемнику с изменением фазового угла кратного 180°.
По сути, электрическая схема трансформатора в области верхних частот со-
впадает с электрической схемой для средних частот, кроме того, что в (15.17) до-
бавляется индуктивное сопротивление рассеяния/соЦ, а место занимает Z'n, т. е.
Е = i^r + ry+r2+j(oLs+Z'n).
(15.19)
В общем случае Ц, представляет активно-индуктивное сопротивление приемника
ZrL =Гр + jtoQy с параллельно присоединенной обобщенной емкостью Сд =С[ +С„.
Таким образом,
1 1 1
K = K+Z^’ (15.20)
*-п ^-rl
где
1
Zc=7^=-7Xci (15.21)
Zrl - гп + jcoZ-n - гп +• (15.22)
После преобразований получаем
п" . i~V Уг'+Дх'-х')’ (15.23)
ушСд г'+Уш^+—г п Л L с>
\ )
где xj. и х[ — приведенное емкостное и индуктивное сопротивление
Хс~. (15.24)
х[=(0ГА-
(15.25)
15.3. ХАРАКТЕРИСТИКА ЛИНЕЙНЫХ ИСКАЖЕНИЙ
223
Таким образом, коэффициент передачи в области верхних частот
• XcW+Al) К rn+j(xj-x'c) 6 r+rl+^ + Z^+jxs r.r.r, t.Г XcC'n+X) " L rn+/(<-Xc)J (15.26)
При активном сопротивлении приемника x'L =0 и х'с ->оо, поэтому
~rn (15.27)
и коэффициент передачи в области верхних частот
KB= /n , . r+ry+r2+rn+jxs (15.28)
При индуктивном сопротивлении приемника поэтому
Z'n = rn+jx'L (15.29)
и коэффициент передачи в области верхних частот
К -(Гп+К) 8 г+^+Гг+Гп+Д^+О’ (15.30)
При емкостном сопротивлении приемника поэтому
z' =-i-^S— " Гп-jx'c и коэффициент передачи в области верхних частот (15.31)
: хсгп К = r^-jx'c Г+Г,+Г2+ j( Xs ,Х’СГ!1, 1 2 1 >b-jx'c) (15.32)
15.3. ХАРАКТЕРИСТИКА ЛИНЕЙНЫХ ИСКАЖЕНИЙ
В качестве характеристики искажений гармонического сигнала проходящего
через трансформатор используем коэффициент частотных искажений Mf, рав-
ный отношению коэффициента передачи на средних частотах к коэффициенту пе-
редачи на заданной частоте
ал
4=-^-- (15.33)
В области нижних частот коэффициент частотных искажений равен отношению
коэффициента передачи на средних частотах к коэффициенту передачи на ниж-
них частотах
Мн=^-- (15.34)
224
ТРАНСФОРМАТОР ЗВУКОВОЙ ЧАСТОТЫ
В области средних частот Л4С=1 и частотные искажения отсутствуют. Соответ-
ственно в области верхних частот коэффициент частотных искажений
кс
(15.35)
Трансформатор неодинаково ослабляет гармонические составляющие слож-
ного входного сигнала при разной частоте. Частотная зависимость модуля коэф-
фициента частотных искажений |A4f| представляет амплитудно-частотную харак-
теристику трансформатора.
Если действующее значение электродвижущей силы источника не изменяется,
то модуль частотных искажений в области нижних частот равен отношению на-
пряжения на вторичной обмотке в области средних частот и2С к напряжению на
вторичной обмотке в области нижних частот
Аналогично для области верхних частот при неизменной электродвижущей силы
источника
К| = ^- (15.37)
Гармонические составляющие сигнала при прохождении через трансформатор
сдвигаются на разные временные отрезки, и фазовый сдвиг, вносимый трансфор-
матором, изменяет взаимное расположение компонентов входного сигнала. Час-
тотная зависимость аргумента комплексного коэффициента передачи представ-
ляет фазочастотную характеристику трансформатора. Поскольку
К - ),
Е £
(15.38)
то аргумент комплексного коэффициента передачи равен разности фаз напряже-
ния на вторичной обмотке и электродвижущей силы источника.
Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики трансформатора яв-
ляются характеристиками линейных искажений, поскольку они связаны с линей-
ными элементами электрической цепи Я, L и С. Напомним, что в линейной элект-
рической цепи сопротивления, индуктивности и емкости не зависят от значений
и направлений токов и напряжений. Реальные электрические цепи являются неко-
торым приближением для области, где нелинейность перечисленных элементов
электрической цепи выражена не очень сильно.
Из (15.13) и (15.18) найдем коэффициент частотных искажений для области
нижних частот
(15.39)
где
(Г + Г^+Гп)
Г + Г^+Г^+Гц
(15.40)
представляет внутреннее сопротивление эквивалентного генератора с электро-
движущей силой равной напряжению на зажимах а-а (подробнее в [93]).
15.3. ХАРАКТЕРИСТИКА ЛИНЕЙНЫХ ИСКАЖЕНИЙ
225
Из (15.18) и (15.28) вычислим коэффициент частотных искажений для области
верхних частот при активном сопротивлении приемника
Из (15.18) и (15.30) определим коэффициент частотных искажений для облас-
ти верхних частот при индуктивном сопротивлении приемника
1 + ; ^O-s+^-n)
Мв = =_____Г+Г)+Г2+ГП
«в } + (15.42)
Гп
Из (15.18) и (15.32) получим коэффициент частотных искажений для области
верхних частот при емкостном сопротивлении приемника
. *п(г+г,+г2')1
~rn'Ur+J Xs+------- ,
Лс _[ ! хс L______________хс J
Кв Г+Г,+Гг'+Гп
rnC02/_s(CT +СП )+/[co/-s + гп + ^1 + Гг + Сп)]
г + П+Гг+^п '
(15.43)
Тангенс угла фазового сдвига между напряжением на вторичной обмотке
и электродвижущей силой источника определяется из выражения для коэффици-
ента передачи в соответствующей области частот.
Преобразуем коэффициент передачи для области нижних частот (15.13) с ис-
пользованием сопротивления гэ
, , 1+/-^-
~гп________1 _ ~Gi______________
r + Г + г1 + Г2 + ( Г3 \2
(15.44)
Тангенс угла фазового сдвига между и2 и Ё равен отношению мнимой части
комплексного числа Кн к его действительной части
tg<pH =
(15.45)
Из (15.45) следует, что в области нижних частот фазовый сдвиг является поло-
жительной величиной, т. е. выходное напряжение трансформатора й2 по фазе
опережает электродвижущую силу источника Ё.
При очень низких частотах угол ср приближается к 90°, а в области средних ча-
стот он стремиться к нулю, поскольку коэффициент передачи Кс является дей-
ствительным числом (формула (15.18)).
Заметим, что фазовый сдвиг ср, вызванный прохождением гармонического
сигнала через трансформатор, можно вычислить также из коэффициента частот-
ных искажений Mt.
Действительно, из (15.38) следует, что аргумент комплексного числа Kf равен
(p = (pu_<pE- С другой стороны по определению Mt=Kc/k1f но кс — действитель-
ное число, поэтому аргумент комплексного числа Mt равен <рЕ -(ри или -ср.
8 Теория и pucsei ц.ансформаюров
226
ТРАНСФОРМАТОР ЗВУКОВОЙ ЧАСТОТЫ
Из (15.41) найдем тангенс угла фазового сдвига для области верхних частот
при активном сопротивлении приемника
^Фв = — , I?
(15.46)
т. е. в области верхних частот выходное напряжение й2 отстает по фазе от элект-
родвижущей силы источника Ё.
Из (15.42) вычислим тангенс угла фазового сдвига для области верхних частот
при индуктивном сопротивлении приемника
tgcpe =
col; co(Ls+*-n)
Гп r+r,+r;+r„
, ^l-s+L'n) to^'
г+г,+гг'+г^ r\
(15.47)
Из (15.47) следует, что фазовые искажения отсутствуют, если индуктивность рас-
сеяния и индуктивность приемника связаны соотношением
toLn ^G-s+^-n) 0
Гп Г+Г,+Гг+Гп
(15.48)
или
^-п rn
(15.49)
Из (15.43) определим тангенс угла фазового сдвига для области верхних час-
тот при емкостном сопротивлении приемника
Ю^+Гп(Г4-Г,+Гг)со(С;+Сп)
9фв г+г.+г^+^-г^^Сг+С'пУ
(15.50)
При переходе в область верхних частот фазовый угол <р между выходным на-
пряжением й2 и электродвижущей силы источника Ё становится отрицательным,
а при резонансной частоте
f Г 4-/^2 4-<
Gi^-s (Ст +СП)
(15.51)
он приближается к -л/2.
15.4. ХАРАКТЕРИСТИКА
НЕЛИНЕЙНЫХ ИСКАЖЕНИЙ
Если синусоидальное напряжение приложено к нелинейному элементу, то ток,
протекающий через этот элемент, будет несинусоидальным и, наряду с основной
частотой, будет содержать высокочастотные гармоники. Таким нелинейным эле-
ментом является индуктивная катушка в эквивалентной схеме трансформатора,
индуктивность которой Ly пропорциональна нелинейной магнитной проница-
емости материала магнитопровода. Высшие гармоники тока намагничивания 70
возбуждают электродвижущую силу этих гармоник. Вследствие этого на первич-
ной и вторичной обмотке трансформатора появляется напряжение высших гар-
моник, которое создает нелинейные искажения сигнала.
15.4. ХАРАКТЕРИСТИКА НЕЛИНЕЙНЫХ ИСКАЖЕНИЙ
227
Рис. 110. Вольт-амперная характеристика нелинейного элемента с магнитопроводом из фер-
ромагнитного материала.
Ранее мы считали индуктивность первичной обмотки трансформатора вели-
чиной постоянной, которая соответствует магнитной проницаемости магнитопро-
вода при заданной частоте и рабочей индукции.
Использование линейного приближения обусловлено несущественной ролью
нелинейности кривой намагничивания в электрической схеме трансформатора.
Эту роль можно считать несущественной, поскольку нелинейность не создает ка-
ких-либо принципиально новых явлений, которые невозможны в линейной элект-
рической цепи [95]. Однако нелинейность кривой намагничивания все же ухудша-
ет передачу сигнала через трансформатор, и в рамках линейной теории ее необ-
ходимо учитывать.
В линейной электрической цепи зависимость мгновенного напряжения от
мгновенного тока и = f(i) является линейной функцией. Также линейной будет за-
висимость действующих значений синусоидальных величин U = f(I).
На кривой намагничивания ферромагнитного материала имеются два типа не-
линейности: в области слабых магнитных полей кривая вогнута вниз, а в области
сильных магнитных полей кривая вогнута вверх.
Вольт-амперная характеристика, соответствующая нелинейному элементу
с магнитопроводом из ферромагнитного материала, представлена на рис. 110
[95]. Для синусоидального напряжения с действующим значением L/ = L/m/V2 в об-
ласти 0—1, которая соответствует начальной магнитной проницаемости, зависи-
мость U = f(I) проходит ниже зависимости и = f(i), а действующее значение тока
7>7m/V2. В области 1-2, которая соответствует области максимальной магнит-
ной проницаемости, вольт-амперные характеристики для действующих и мгно-
венных значений практически совпадают. В области 2-3, которая соответствует
приближению к магнитному насыщению, зависимость U = f(I) проходит выше за-
висимости и = f(i), а действующее значение тока 7< 7m/V2. На рис. 111 ,а,б пока-
заны преобразования синусоидального напряжения в ток при помощи вольт-ам-
перной характеристики нелинейного элемента.
Как правило, разница между вольт-амперными характеристиками для действу-
ющих и мгновенных величин не очень большая, поскольку действующее значение
определяется сумой квадратов всех гармоник тока
7 - /72 + 72 + 72 + (15.52)
70 “ V 701 + J02 * 2оз *•••» I
а при отсутствии постоянной составляющей — только нечетными гармониками.
При этом амплитуда тока высших гармоник намного меньше основной гармоники 701.
228
ТРАНСФОРМАТОР ЗВУКОВОЙ ЧАСТОТЫ
б)
Рис. 111. Преобразование синусоидального напряжения в ток с использованием вольт-вм-
лерной характеристики нелинейного элемента с вогнутостью вниз (а) и вогну-
тостью вверх (б).
Стрелками показана последовательность преобразования напряжения в ток для
одной точки на кривой зависимости синусоидального напряжения от времени.
Область нелинейности 0-1 четко выражена только у магнитопроводов с прямо-
угольной петлей магнитного гистерезиса, например, ГМ 440А, ГМ 412А и ГМ 503А.
В магнитопроводах с высокой начальной магнитной проницаемостью (ГМ 414) не-
линейность слабо выражена и практически отсутствует у магнитопроводов с ли-
нейной кривой намагничивания (ГМ 440В, ГМ 412В, ГМ 503В и их аналоги типа
ДС). Поэтому для трансформаторов звуковой частоты предпочтительно исполь-
зовать магнитопроводы двух последних типов — с высокой начальной магнитной
проницаемостью и с линейной кривой намагничивания. Отметим, что анизотроп-
ная электротехническая сталь имеет начальную относительную магнитную прони-
цаемость около 1000 и максимальную относительную магнитную проницаемость
примерно 50000, и ее можно отнести к магнитопроводам первой группы.
Анизотропная электротехническая сталь существенно отличается от аморфных
сплавов в области приближения к магнитному насыщению (область 2-3). Здесь
в широком интервале напряженности магнитного поля Н магнитная индукция
электротехнической стали медленно возрастает, стремясь к насыщению. В аморф-
ных сплавах магнитное насыщения достигается быстро и переходная область 2-3
является очень короткой. Поэтому при использовании аморфных сплавов пред-
почтительно ограничиться точкой в области изгиба кривой намагничивания, в ко-
торой магнитная проницаемость не ниже начальной магнитной проницаемости.
Это позволит практически исключить нелинейные искажения при передаче элект-
рических сигналов через трансформатор.
Из сказанного выше следует, что основные нелинейные искажения возникают
в области приближения к магнитному насыщению при высокой магнитной индук-
15.5. ВХОДНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
229
ции Вт. Численное значение Вт растает с понижением частоты, поэтому оценку
нелинейных искажений следует проводить на нижней граничной частоте f„ при
наибольшем напряжении на первичной обмотке трансформатора.
В качестве характеристики нелинейных искажений используют коэффициент
гармоник, характеризующий отличие формы данного периодического сигнала от
гармонической формы и равный отношению среднеквадратичного напряжения
всех гармоник сигнала, кроме первой, к среднеквадратичному напряжению пер-
вой гармоники. В частности, для индуктивной катушки в эквивалентной схеме
трансформатора
Kr =ylUG2+Uo3+UQ4.+-i ( 1 5.53)
Ц)1
где UQ[ - среднеквадратичное (действующее) значение напряжения t-гармоники,
обусловленное основным магнитным потоком.
15.5. ВХОДНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
Для определения входного сопротивления трансформатора в области нижних
частот воспользуемся формулой (14.102)
у _ ^1 _ Zo (^i + Z2 + Zn) 4- Zy (Z2 + Zp ) .
Zbx “ zo+Z'2+Z'n • (1554)
Подставляя в него соответствующие сопротивления для области нижних частот
Zy = rv Z2 = r2, Z'n=rn,Z0= получаем
_/<О^(г1+Г2'+Гп)+Г1(г2'+Гп)_г ./соГДгг+Гп) MSS51
r2 +rn + /о*Д г2 + rn + усоД
После введения параметра р
(15.56)
соД
входное сопротивление трансформатора в области нижних частот принимает вид
ZBX^r’+T^+ytoZ-'i7^ (15-57)
и модуль входного сопротивления
7 - V(ri4’/24’rn4’riP2) +Р2(г2+ггП^ (15 58)
^вхн- 1 + р2
Из соотношений (15.57) и (15.58) следует, что с уменьшением частоты растет
параметр р, а входное сопротивление ZBXH приближается к гу + усоД. Таким обра-
зом, учитывая соД^Гр входное сопротивление становится чисто индуктивным.
При переходе в область средних частот входное сопротивление приближается
к G+^+r^.
Входное сопротивление трансформатора для области средних частот найдем
из уравнений (15.16) и (15.17)
гвх +г2'+Гр. (15.59)
Л
230
ТРАНСФОРМАТОР ЗВУКОВОЙ ЧАСТОТЫ
Входное сопротивление трансформатора для области верхних частот найдем
из эквивалентной электрической схемы, представленной на рис. 106,в. По сути, со-
противление совпадает с выражением (15.59), к которому добавляется индуктив-
ное сопротивление рассеяния /соЦ, а место занимает Zf, (см. формулу (15.23))
вхв
(15.60)
При активном сопротивлении приемника Zq =Гп (15.27) и входное сопротивле-
ние трансформатора в области верхних частот
^ВХВ - G +/2 +/п + •
(15.61)
С ростом частоты сопротивление увеличивается до бесконечности, а фазовый
угол постепенно стремится к 90°.
При индуктивном сопротивлении приемника Z'n = (15.29) и входное
сопротивление принимает вид
^вхв - + г2 + гп + + /_п).
При емкостном сопротивлении приемника (15.31)
гп
U/ГпСоСэ
и входное сопротивление трансформатора
0X0 =fl +Г2 + 1+(г'шС')2+4 s ”1+(^Сэ)2
(15.62)
(15.63)
(15.64)
Анализ формулы (15.64) показывает, что с повышением частоты входное сопро-
тивление сначала падает, проходя через минимум около частоты резонанса, а за-
тем растет, стремясь к бесконечности. Реактивная составляющая входного со-
противления вначале имеет емкостный характер, затем, переходя через нуль,
принимает индуктивный характер.
15.6. ВЫХОДНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
Выходное сопротивление трансформатора Z^ представляет отношение на-
пряжения U2 на зажимах 2-2 к току Z2, протекающему через эти зажимы, в экви-
валентной электрической схеме, представленной на рис. 112. В ней эквивалент-
ный генератор находится, или предполагается быть размещенным, со стороны
выхода, т. е. со стороны зажимов 2-2. В этом случае параметры первичной цепи
удобнее привести к виткам вторичной обмотки (см. главу 12)
<15-65)
п
K=k- = i№, (15.66)
(15.67)
(15.68)
й'^пй^,
г,' = пггъ
15.6. ВЫХОДНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
231
*СР
^-S1 =n2^-S1>
Ls = ^-si + Ls2 = n2Ls,
(15.69)
(15.70)
(15.71)
где n = w2/wy — отношение числа витков вторичной обмотки к числу витков пер-
вичной обмоток, и поэтому лл=1.
Рис. 112. Эквивалентная схеме трансформатора звуковой частоты с приведенными пара-
метрами первичной цепи для определения выходного сопротивления ZBblx.
Эквивалентные схемы трансформатора для определения выходного сопротив-
ления в области нижней, средней и верхней частот представлены на рис. 113.
При этом в большинстве случаев, при определении сопротивления со стороны
выхода в области верхних частот можно пренебрегать собственной емкостью
трансформатора Ст [93].
Из электрической схемы на рис. 113,а находим выходное сопротивление транс-
форматора в области нижних частот
/вых н
0г =r | ytoLKr'+r,')
12 2 ycoLi+r' + r;’
(15.72)
Рис. 113. Эквивалентная схема трансформатора звуковой частоты с приведенными пара-
метрами первичной цепи для определения выходного сопротивления ZBb0< в облас-
ти нижних (а), средних (б) и верхних (в) частот.
232
ТРАНСФОРМАТОР ЗВУКОВОЙ ЧАСТОТЫ
После введения параметра р1
р,=^=Ц^ (15.73)
1 cot; со/-!
выходное сопротивление трансформатора в области нижних частот принимает
вид
9 9 2
2выхн=Гг+^4+/^1'-^5-. (15.74)
1+01 1+01
Из соотношения (15.74) следует, что с уменьшением частоты растет параметр рп
а выходное сопротивление2ВЫХН приближается к r2+j&L\. Таким образом, выход-
ное сопротивление становится чисто индуктивным, учитывая coL{^>r2. С увеличе-
нием частоты ZBb)X приближается к активному сопротивлению гЧг/+г2.
Выходное сопротивление трансформатора для области средних частот най-
дем из схемы на рис. 113,6
(Л , .
*вых ~~г~ — г +G +*2- (15.75)
*2
Выходное сопротивление трансформатора для области верхних частот найдем
из эквивалентной электрической схемы, представленной на рис. 113,в. В этой
области имеется только один реактивный элемент — индуктивность рассеяния
трансформатора Ц. Таким образом, выходное сопротивление трансформатора
в области верхних частот
^вых в ~ “jT" ~ ^ + G + Г? + - (15.76)
*2
С ростом частоты выходное сопротивление увеличивается до бесконечности, а фа-
зовый угол постепенно стремится к 90°.
15.7, КОЭФФИЦИЕНТ ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ
Как правило, область средних частот трансформатора соответствует полосе
пропускания электронного усилителя. Поэтому все основные электрические па-
раметры трансформатора звуковой частоты задаются именно для этой области
частот с использованием соответствующей эквивалентной схемы (рис. 109,6).
Коэффициент полезного действия трансформатора представляет отношения
мощности отдаваемой приемнику р2 к мощности подаваемой на первичную об-
мотку
т] = —. (15.77)
01
Используя уравнения (15.16) и (15.17) в области средних частот, найдем мощ-
ность, подаваемую на первичную обмотку,
р, =uJ,=(e~ ri, )l, = 7,2 (г, + г2' + ), (15.78)
а из (15.14) и (15.15) — мощность, отдаваемую приемнику,
р2-и212=и212=Цг^. (15.79)
Таким образом, коэффициент полезного действия трансформатора
15.7. КОЭФФИЦИЕНТ ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ
233
Из (15.80) следует, что уменьшение коэффициента полезного действия транс-
форматора звуковой частоты связано с потерями энергии в обмотках
Сопротивление обмоток будет снижаться с увеличением диаметра провода, сле-
довательно, трансформатор с повышенным коэффициентом полезного действия
т] будет иметь большую массу и размер, что не всегда выгодно. Меньшее значе-
ние коэффициента полезного действия следует брать, если необходимо снизить
размер и стоимость трансформатора. Для первоначальной оценки рекомендуется
использовать ориентировочные численные значения т] в зависимости от мощности
трансформатора р2, приведенные в табл. 18 для электротехнической стали [94].
Если использовать магнитопроводы из аморфных и нанокристаллических спла-
вов, то следует ориентироваться на более высокие численные значения т].
Таблица 18
КОЭФФИЦИЕНТ ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ Т] В ЗАВИСИМОСТИ ОТ МОЩНОСТИ р2
ТРАНСФОРМАТОРА С МАГНИТОПРОВОДОМ ИЗ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКОЙ СТАЛИ [94]
Мощность трансформатора р2, Вт Коэффициент полезного действия т]
<5 0,7...0,8
5...100 0,8...0,9
100...1000 0,9...0,95
>1000 0,95...0,98
Предположим, что мы выбрали численное значение коэффициента полезного
действия трансформатора. Тогда из (15.80) можно найти активное сопротивление
обмоток
, 1~Л ,
(15.81)
В главе 14 было показано, что минимальное затухание электрического сигнала
в трансформаторе, а следовательно, и наибольший коэффициент полезного дей-
ствия, соответствуют условию
г,=г2. (15.82)
При этом предполагалось, что ток во вторичной цепи существует в течение всего
периода. Последнее условие соответствует режиму А работы усилительного эле-
мента [91, 92], при котором угол отсечки [84] равен л. Таким образом, в режиме А
сопротивление первичной обмотки
г,=-2т| (15.83)
Из соотношений (15.59) и (15.81) следует простая связь между приведенным
сопротивлением приемника и входным сопротивлением трансформатора
Гп=Пгвх. (15.84)
поэтому сопротивление первичной обмотки
(15.85)
Соответственно сопротивление вторичной обмотки
(15.86)
234
ТРАНСФОРМАТОР ЗВУКОВОЙ ЧАСТОТЫ
В трансформаторе, работающем в усилительном элементе в режиме В с углом
отсечки я/2, в любой момент времени работает только половина первичной об-
мотки, а вторая половина отключена от схемы. Поэтому в режиме В расчетной
первичной обмоткой является половина физической первичной обмотки. Таким
образом, во всех расчетах в режиме В параметры L1 и L& относятся к поло-
вине физической первичной обмотки [92].
15.8. КОЭФФИЦИЕНТ ТРАНСФОРМАЦИИ
Следующей важной характеристикой трансформатора в области средних час-
тот является коэффициент трансформации. К сожалению, для разных типов
трансформаторов эту величину определяют не одинаково. Поэтому для одно-
значности используем величину л, равную отношению числа первичных витков
к числу вторичных витков w2
ИЛ
п=^- (15.87)
В действительности, коэффициентом трансформации трансформатора малой
мощности, в том числе трансформатора звуковой частоты, принято называть от-
ношение числа вторичных витков к числу первичных витков [63].
Отношение числа витков л можно найти из заданного входного сопротивления
гвх, выходного сопротивления гвых или коэффициента передачи К.
Из (15.84) находим
ГП 2 ГП
Гвх=^- = л2^- (15.88)
и отношение числа витков в трансформаторе
Преобразуем выходное сопротивление трансформатора (15.75) к виду
п2гвък=г+г1+гг- (15.90)
После подстановки в это выражение сопротивления обмоток G+r2 из (15.81) по-
лучаем
2 2 1 Т1
л2гвых=г+л2гп-^1 (15.91)
откуда вычисляем отношение числа витков
х\г
W2 WW'nH ’
(15.92)
Коэффициент передачи трансформатора К равен отношению действующего
напряжения на вторичной обмотке U2 и действующей электродвижущей силы эк-
вивалентного генератора Е
(15.93)
Отметим различие коэффициента передачи трансформатора (u2/e) и коэффи-
циента передачи в эквивалентной схеме трансформатора [й2/Ё).
15.9. ПОСТОЯННАЯ ВРЕМЕНИ И МАКСИМАЛЬНАЯ МАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
235
Подставляя в (15.93) выражение U'2 и Е из (15.15) и (15.17) находим
1 Лп 1 ГП Г1+Г2+ГП
К -------------г=-----?—----!— ~7~п ,. И 5 941
П Г+Г'+Г^+Г" П Г^+Гг+Гп г+г1+г2+гп
Далее, учитывая соотношение для коэффициента полезного действия трансфор-
матора (15.80), приходим к выражению
К=Л 1 = 4 1
л 1+___fl— п 1+_ПС' (15.95)
Г,+Г2+Гп пггп
из которого получаем квадратичное уравнение для вычисления отношения числа
витков л
n2-nK+^’=0, (15.96)
При согласовании сопротивления эквивалентного генератора г с входным со-
противлением трансформатора гвх
г = гвх =ri+г2+/п (15.97)
получаем максимальное значение коэффициента передачи (формула (15.95))
К=^ (15.98)
и соответственно отношение числа витков
Wi Г|
п = ^ = 2к- (15.99)
При условии согласования сопротивлений г = гв* из (15.89) можно найти
и необходимое сопротивление приемника
гп=>- (15.101)
15.9. ПОСТОЯННАЯ ВРЕМЕНИ
И МАКСИМАЛЬНАЯ МАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
В области нижних частот важнейшими параметрами трансформатора звуковой
частоты являются постоянная времени первичной обмотки
Т,=^- (15.102)
и максимальная магнитная индукция Вт в магнитопроводе трансформатора на
нижней граничной частоте полосы пропускания.
Постоянную времени т, найдем из индуктивности L1 и активного сопротивле-
ния провода первичной обмотки (формулы (14.124)-(14.128))
т _ SSOK ИИсЛм!
G ^СР^ВИТ Р
(15.103)
236
ТРАНСФОРМАТОР ЗВУКОВОЙ ЧАСТОТЫ
Здесь кМ1 — коэффициент заполнения окна магнитопровода проводом первичной
обмотки, S0K — площадь окна магнитопровода, /вит — средняя длина одного витка
провода обмотки. Из полученного выражения следует, что постоянная времени
первичной обмотки пропорциональна габаритному параметру G
В свою очередь габаритный параметр пропорционален квадрату линейных разме-
ров трансформатора или степени 2/3 от его объема. Поэтому можно записать
ММсЛм!
(15.105)
Таким образом, если не изменяется постоянная времени тп то при увеличении
магнитной проницаемости магнитопровода можно уменьшить объем трансфор-
матора. С другой стороны, увеличение постоянной времени т, достигается только
за счет увеличения объема магнитопровода, если магнитная проницаемость ос-
тается неизменной.
Вычислим максимальную магнитную индукцию Вт, соответствующую нижней
граничной частоте fH. Из (15.4) имеем
U0=U.-rju
(15.106)
где й0— напряжение на первичной обмотке, обусловленное основным магнит-
ным потоком,
U0=j2nfHw.BS.
(15.107)
Сравним напряжение на первичной обмотке и напряжение на первичной об-
мотке, обусловленное активным сопротивлением первичной обмотки rtIlt
Ц Pl ГВХ Г1+Г2+ГП
(15.108)
Поэтому
й0^й.
(15.109)
и действующее напряжение на первичной обмотке
(15.110)
Мощность, подаваемая на первичную обмотку трансформатора,
Pi - - A2fex •
(15.111)
Отсюда можно найти ток в первичной обмотке
(15.112)
и напряжение на первичной обмотке
(15.113)
15.10. ИНДУКТИВНОСТЬ РАССЕЯНИЯ И СОБСТВЕННАЯ ЕМКОСТЬ
237
Из сравнения (15.110) и (15.113) находим максимальную магнитную индукцию
> _ 1 1рггвх
т KfHSwA\ 2г|
(15.114)
Если выбран материал магнитопровода и его типоразмер, т. е. известны числен-
ные значения допустимой максимальной магнитной индукции Вт и площадь попе-
речного сечения магнитопровода S, то из (15.110) и (15.113) можно вычислить
минимально допустимое число витков первичной обмотки
w - 1 Рггвх
1 7ufHSBmV 2г| •
(15.115)
Выбор числа первичных витков меньше численного значения, найденного из фор-
мулы (15.115), приведет к переходу магнитной индукции в область магнитного
насыщения и чрезмерному росту нелинейных искажений на нижней границе по-
лосы пропускания.
15.10. ИНДУКТИВНОСТЬ РАССЕЯНИЯ
И СОБСТВЕННАЯ ЕМКОСТЬ
Индуктивность рассеяния трансформатора
Z-s = Lsi+LS2 =^-si "*"^2^-s2 (15.116)
определяют из энергии магнитного поля рассеяния обмоток. При равномерном
нанесении первичной и вторичной обмоток по всему периметру тороидального
магнитопровода, учитывая магнитный поток рассеяния в проводах и в простран-
стве между обмотками, получаем [20]
(15.117)
1СР \ ° /
где ДА — толщина первичной обмотки; Д2 — толщина вторичной обмотки; Д12 —
расстояние между первичной и вторичной обмоткой. При этом величина Д
Д=Д12+-^Ц^- (15.118)
представляет приведенную ширину зазора между первичной и вторичной обмот-
кой. При расчете индуктивности рассеяния между двумя обмотками, которые не
полностью охватывают друг друга, вместо величины !,&> необходимо брать часть
периметра, на которой обмотки непосредственно примыкают друг к другу.
Индуктивность рассеяния трансформатора Ls, рассчитанную по формуле
(15.121), можно разделить на индуктивность рассеяния первичной обмотки
I -11 м/2 ^ВИТ f ^12 . Д1
Lsi - J (15.119)
и индуктивность рассеяния вторичной обмотки
^2=^2^^+^} (15.120)
238
ТРАНСФОРМАТОР ЗВУКОВОЙ ЧАСТОТЫ
Из формулы (15.117) следует, что индуктивность рассеяния снижается при
сближении обмоток, уменьшении числа витков и длины провода первичной об-
мотки wJbmj. Для уменьшения индуктивности рассеяния предпочтительно исполь-
зовать провод наименьшего диаметра.
Учитывая, что объем зазора между обмотками равен
=^ср^витА» (15.121)
индуктивность рассеяния преобразуем к виду
. 2 Уз
1-s^oW^. (15.122)
‘СР
Сравним индуктивность рассеяния Ls с индуктивностью первичной обмотки L,
(формула (14.124))
Ls *4 *4
(15.123)
Таким образом, индуктивность рассеяния трансформатора меньше индуктивнос-
ти первичной обмотки на отношение объема зазора между обмотками к объему
магнитопровода. При этом индуктивность рассеяния будет тем меньше, по срав-
нению с индуктивностью первичной обмотки, чем выше магнитная проницае-
мость магнитного материала.
Следует отметить, что формулы (15.117)—(15.120) были получены для пол-
ностью заполненных однослойных обмоток. Поскольку расчет индуктивности но-
сит оценочный характер, то во многих случаях этих формул вполне достаточно
для первой оценки. Уточненные формулы для расчета многослойных, секциони-
рованных и других типов обмоток можно найти, например, в [55, 96-97].
Собственная емкость трансформатора состоит из межвитковой емкости, ем-
кости между слоями первичной обмотки и между слоями вторичной обмотки, ем-
кости между обмотками, емкости между внутренним слоем обмотки (как правило,
это первичная обмотка) и магнитопроводом и емкости между наружным слоем
обмоток и магнитным экраном, если он имеется в трансформаторе.
Поверхности обмоток или магнитопровода можно рассматривать в качестве
обкладок конденсатора с параллельными пластинами, емкость которого опреде-
ляется формулой (4.70)
С=^, (15.124)
где S — площадь противолежащих обкладок; d — расстояние между обклад-
ками, £ — относительная диэлектрическая проницаемость изоляционного мате-
риала, находящегося между обкладками; е0 — электрическая постоянная, равная
8,854- 10-12 Ф/м.
Как правило, основной вклад в собственную емкость трансформатора вносит
емкость между обмотками. Учитывая энергию электрического поля в проводах
и в пространстве между обмотками, можно получить емкость между первичной
и вторичной обмотками в виде [98-99]
Г _ £12£р/ср*вит с- о
G,_ ’ (15.125)
где /ср^вит — площадь поверхности между обмотками; d12 — расстояние между на-
ружным слоем первичной обмотки и внутренним слоем вторичной обмотки, если
15.11. ТРАНСФОРМАТОР С АКТИВНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ ПРИЕМНИКА
239
первичная обмотка находится ближе к магнитопроводу; е12 — относительная ди-
электрическая проницаемость изоляции между обмотками. При расчете емкости
между двумя обмотками, которые не полностью охватывают друг друга, вместо
величины /СР необходимо брать часть периметра, на которой обмотки непосред-
ственно примыкают друг к другу.
Если первичная обмотка близко прилегает к магнитопроводу, то необходимо
учитывать также емкость между первым слоем обмотки и поверхностью магнито-
провода
г _€iMcp^bkt
°'-----. (15.126)
где сЦ — расстояние между первым слоем обмотки и поверхностью магнитопро-
вода; €1 — относительная диэлектрическая проницаемость изоляции между маг-
нитопроводом и первичной обмоткой.
Межвитковой емкостью по сравнению с емкостью между обмотками обычно
пренебрегают [98]. Формулы для расчета емкости между слоями многослойных
обмоток для разных схем соединения обмоток трансформатора можно найти
в [58, 97, 99-100].
Приведенную к первичной обмотке емкость Су определим, исходя из равен-
ства энергии электрического поля, запасенной в межвитковом пространстве
трансформатора и энергии, содержащейся в емкости, подключенной к вторич-
ным виткам в эквивалентной схеме трансформатора [58]. После приведения
к первичным виткам получаем
Г' -Г +С (W'-VV2 f
CT-Ci+Ci2l—~ I . (15.127)
После подстановки С, и С12 получаем приведенную собственную емкость транс-
форматора
_€1€0/ср/вит ~\2
Ст----3d,—+—зЗ^—(1-л) •
где n = w2/vvi- Собственная емкость трансформатора
Г* _ _>2/-*/ _ е1е0^СР^ВИТ 2 . е12е0^СР^ВИТ ч\2
Ст-П Ст" 3d, п + з^ •
(15.128)
(15.129)
15.11. ТРАНСФОРМАТОР
С АКТИВНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ ПРИЕМНИКА
К этим трансформаторам относятся все выходные трансформаторы, а также
входные и межкаскадные согласующие трансформаторы, к вторичной обмотке
которых подключен приемник с активным сопротивлением. На сопротивление
приемника влияет собственная емкость трансформатора Ст, которая присоеди-
нена параллельно активному сопротивлению Гр (рис. 108). Для входного и меж-
каскадного трансформатора необходимо учитывать емкость приемника, в кото-
рую входит емкость монтажа и собственная емкость приемника. Условием актив-
ности приемника входного и межкаскадного трансформатора можно принять со-
отношение [94]
г"* Зсов(Ст+Сп)’ (15.130)
где сов — верхняя граничная угловая частота полосы пропускания.
240
ТРАНСФОРМАТОР ЗВУКОВОЙ ЧАСТОТЫ
Для расчета трансформатора звуковой частоты с активным сопротивлением
приемника необходимо задать следующие параметры:
• сопротивление эквивалентного генератора г (Ом);
• нижнюю граничную частоту и верхнюю граничную частоту fB полосы пропус-
кания (Гц);
• коэффициент частотных искажений Л4Н на нижней граничной частоте fH;
• коэффициент частотных искажений Мв на верхней граничной частоте fB.
Для выходного трансформатора дополнительно задается:
• мощность трансформатора р2 (Вт);
• сопротивление приемника гп (Ом);
• входное сопротивление трансформатора гвх (Ом).
Для входного и межкаскадного трансформатора могут быть дополнительно
заданы:
• коэффициент передачи К;
• емкость приемника Сп.
Приведем примерный порядок расчета выходного трансформатора. Из табл. 18
выберем коэффициент полезного действия г], который в дальнейшем можно
скорректировать с учетом использования магнитопровода из аморфных сплавов.
После этого из формулы (15.89) можно вычислить отношение числа витков пер-
вичной обмотки к числу витков вторичной обмотки
п = ^_ = МКвх
W2 V гп
(15.131)
Далее из формулы (15.83) вычисляем допустимое активное сопротивление
провода первичной обмотки
1~П ,п2
2п ГрП ’
Сопротивление провода вторичной обмотки
г2 _ Ч
п2 п2
(15.132)
(15.133)
Для определения сопротивления эквивалентного генератора гэ используем фор-
мулу (15.40)
э _
(15.134)
Коэффициент частотных искажений для нижней граничной частоты связан с ин-
дуктивностью первичной обмотки соотношением (15.39). Из него находим модуль
коэффициента частотных искажений Л4Н
I 7
(15.135)
Если модуль коэффициента частотных искажений задан в децибелах Л4ндБ> то пе-
ревод в относительные единицы можно провести по формулам
МтнДБ
MfH=lO"^r-,
ЧндБ=201дМГн.
(15.136)
(15.137)
15.11. ТРАНСФОРМАТОР С АКТИВНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ ПРИЕМНИКА
241
Необходимую индуктивность первичной обмотки находим из (15.135)
L Гэ
(15.138)
Для верхней граничной частоты модуль коэффициента частотных искажений
находим из (15.41)
Из этого выражения вычисляем допустимую индуктивность рассеяния трансфор-
матора
Из условия активности сопротивления приемника (15.130) находим допусти-
мую собственную емкость трансформатора
С^6^--Сп- (15.141)
Для выходного трансформатора с активным сопротивлением приемника мож-
но считать Сп ~0.
При выборе типоразмера магнитопровода необходимо обеспечить выполне-
ние, по крайней мере, двух условий: достигнуть индуктивности первичной обмот-
ки не менее значения, полученного из расчета по формуле (15.138), и не допус-
тить превышения магнитной индукции в магнитопроводе выше численного значе-
ния, характерного для каждого типа магнитного материала. Для этого следует со-
вместно решить уравнение для индуктивности первичной обмотки
(15.М2)
ДСР
и уравнение (15.114) для магнитной индукции вт
(15.143)
Численные значения параметров L1t Вт, ц, р2, fH, гвх и т) в этих уравнениях заданы.
После подстановки числа витков первичной обмотки iv, из (15.142) в (15.143)
и некоторых преобразований получаем требуемый объем магнитопровода
в/ о/ _ ______1 Рггвх
m 211 (15.144)
Формула (15.144) дает объем ферромагнитного материала магнитопровода.
Для магнито провода в защитном контейнере необходимо объем магнитопровода,
рассчитанный по его геометрическим размерам, умножить на номинальный коэф-
фициент заполнения к3 = 0,7. Для магнитопроводов типа ДС эти объемы совпа-
дают. Параметры Вт и Нт представляют точку на динамической кривой намагни-
чивания для выбранного магнитного материала на нижней граничной частоте fH.
Значение Вт выбирают в районе изгиба кривой намагничивания, обеспечивая до-
пустимые нелинейные искажения.
242
ТРАНСФОРМАТОР ЗВУКОВОЙ ЧАСТОТЫ
Из формулы (15.144) следует, что для заданной индуктивности первичной об-
мотки L1 объем магнитопровода будет тем меньше, чем больше — удель-
ная намагничивающая мощность на нижней граничной частоте. Следовательно,
для снижения габаритов трансформатора необходимо выбирать магнитный мате-
риал с высокой магнитной индукцией насыщения, а точнее с высокой допустимой
рабочей точкой Вт на нижней граничной частоте, в которой нелинейные искаже-
ния незначительны.
Высокая удельная намагничивающая мощность достигается при относительно
невысокой магнитной проницаемости, поскольку Нт = С другой стороны,
чрезмерное снижение магнитной проницаемости неизбежно приведет к увеличе-
нии числа витков первичной обмотки.
Из формулы (15.144) также следует, что объем магнитопровода возрастает
с повышением мощности трансформатора р2 и входного сопротивления транс-
форматора гвх, а также при снижении нижней граничной частоты fH. Заметим, что
уравнение (15.144) можно привести к виду
A =§-=(^HBmHm)SZCP
Л 'вх гвх
(15.145)
в котором 2лЦ-1 представляет индуктивное сопротивление первичной обмотки на
нижней граничной частоте, a Uo = — напряжение на первичной обмот-
ке, обусловленное основным магнитным потоком.
После вычисления объема магнитопровода выбирают типоразмер, т. е. опре-
деляют площадь поперечного сечения магнитопровода S (для магнитопровода
в защитном контейнере с учетом коэффициента заполнения) и среднюю длину
магнитного пути магнитопровода ZCP.
Далее из (14.127) находим число первичных витков
w _ I Мср _ МсР^т
(15.146)
учитывая соотношение Вт =цц0Нт.Численное значение относительной маг-
нитной проницаемости ц соответствует точке Вт на динамической кривой на-
магничивания для выбранного магнитного материала при нижней граничной час-
тоте f".
Число вторичных витков найдем из соотношения
1Д/
^2=-^. (15.147)
Площадь поперечного сечения провода первичной обмотки можно найти из
(14.125) для известного сопротивления
с _ Р^ВИТ^!
°ПР1 - 7
(15.148)
Площадь поперечного сечения провода вторичной обмотки выберем из усло-
вия (14.118), которое принимает вид
Впр2 “В
ПР1\^
(15.149)
если длина витка первичной обмотки равна длине витка вторичной обмотки.
15.12. ПРИМЕР РАСЧЕТА
243 ,
Теперь, когда известны геометрические параметры реального трансформато-
ра, можно вычислить индуктивность рассеяния трансформатора Ls (формула
(15.117)), собственную емкость трансформатора (формула (15.129)) и получить
амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики трансформатора.
Для области нижней частоты 7 с /н модуль коэффициента частотных искажений
и тангенс угла фазового сдвига
(15.150)
(15.151)
С уменьшением частоты происходит рост магнитной индукции Вт, которая пере-
ходит в область магнитного насыщения. Это приводит к резкому снижению маг-
нитной проницаемости и индуктивности первичной обмотки, а следовательно,
к заметному росту частотных и нелинейных искажений сигнала.
Для области верхних частот fB
-2nfLs
г + Гу+г^+г^
(15.152)
(15.153)
Сравнение приведенных формул показывает, что модуль коэффициента час-
тотных искажений и тангенс угла фазового сдвига связаны соотношениями
MH=Vi+tg2<pH. (15.154)
MB=Vi+tg2<pB- (15.155)
15.12. ПРИМЕР РАСЧЕТА
Выходной трансформатор мощностью р2 = 100 Вт, работающий в двухтактной
схеме в режиме В, с входным сопротивлением гвх = 2800 Ом. Сопротивление эк-
вивалентного генератора г = 10000 Ом и сопротивление приемника гп = 15 Ом.
Нижняя граничная частота /н = 50 Гц и верхняя граничная частота fB = 20000 Гц.
Модуль коэффициента частотных искажений Мн = Мв = 1 дБ.
1. Выбор коэффициента полезного действия т| из табл. 18. С учетом примене-
ния магнитопровода из аморфных сплавов используем т| = 0,92.
2. Вычисление отношения числа первичных витков к числу вторичных витков
п = wjw2 из формулы (15.131)
10,92-2800 _,3 3
w2 V 15
3. Вычисление допустимого активного сопротивления провода первичной об-
мотки из формулы (15.132)
г’=^0г15'132 =110’2 Ом-
244
ТРАНСФОРМАТОР ЗВУКОВОЙ ЧАСТОТЫ
4. Вычисление допустимого активного сопротивления провода вторичной об-
мотки г2 из формулы (15.133)
110,2
г2 =—-^-=0,65 Ом.
2 132
5. Вычисление эквивалентного сопротивления г3 из формулы (15.134)
(10000+110,2)(0,65+15)-132 _
Гэ ~ 10000+110,2+(0,65+15)-132 " М’
6. Вычисление необходимой индуктивности первичной обмотки L, из формулы
(15.138). Сначала переведем модуль коэффициента частных искажений в относи-
тельные единицы по формуле (15.136)
= 10^ = 10005 = 1,122,
а затем найдем индуктивность первичной обмотки
2097
2n-50Vl,1222-1
=13,1 Гн.
7. Вычисление допустимой индуктивности рассеяния трансформатора Ls
из формулы (15.140) при М1в =1,122
8. Вычисление допустимой собственной емкости трансформатора Ст из фор-
мулы (15.141)
9. Выбор материала и типоразмера магнитопровода. Для выходного транс-
форматора выберем магнитопровод ГМ 40ДС-2000 [16] с рабочей точкой fim = 1 Тл,
Нт = 500 А/м при частоте 50 Гц, которая соответствует относительной магнитной
проницаемости
Н - ?____= I 5QO
Ц МоЧп 47г10-7-500 У
Теперь рассчитаем объем магнитопровода по формуле (15.144)
у =ci - 1________1___ 100'2800_g.g -[л-б ..г
V Slcp (л-50)2 1-500 13,1 2-0,92 94210
Ему соответствует подходящий типоразмер К145x95x100 с площадью попереч-
ного сечения S = 25 • 10-4 м2 и средней длиной магнитного пути магнитопровода
1ср = 0,377 м.
10. Вычисление числа первичных витков w, из формулы (15.146)
/13,1-0,377-500 QQ.
W'4 125 10* -994'
11. Вычисление числа вторичных витков w2 из формулы (14.147)
994
w2=^Tl.
15.12. ПРИМЕР РАСЧЕТА
245
12. Выбор провода первичной обмотки. Из формулы (15.148) при /вит » 0,25 м
находим
с 1,7-10 8 -0,28-994 2
SnPi=------ГЙГ2------=0,043-Ю-6 м2.
Это численное значение соответствует проводу диаметром = 0,236 мм с пло-
щадью поперечного сечения SnP1 = 0,0438- Ю 6 м2. Пересчитаем сопротивление
провода первичной обмотки, соответствующее выбранному проводу
1,7-10"6-0,28-994
0,0438-1 О’6
= 108 Ом.
13. Выбор провода вторичной обмотки из формулы (15.149)
SnP2=SnP,^L=0,0438-Ю-6 -^=0,565-10-в м2.
Это значение соответствует проводу диаметром d2 = 0,85 мм с площадью попе-
речного сечения SnP2 = 0,567 • 10 6 м2. Тогда сопротивление вторичной обмотки
1,7-10-8-0,28-77
г = Л-s—=0,65 Ом.
0,567-10"6
14. Расчет индуктивности рассеяния Ls из формулы (15.117). Для первичной
обмотки используем провод марки ПЭТВ-2, диаметр которого с изоляцией —
0,286 мм. Внутренний диаметр магнитопровода покрытого пленкой полипро-
пилена толщиной 1 мм составляет 93 мм и на длине внутренней окружности
л • 93 = 292 мм поместится
Л|И®
витков. Следовательно, первичная обмотка займет один полный слой.
Провод для вторичной обмотки с изоляцией ПЭТВ-2 имеет диаметр 0,91 мм.
С учетом запаса по диаметру при намотке в один слой поместится 306
л(93-2-0,3)
0,95
витков.
Вторичная обмотка состоит из двух половин по 77 витков, при этом в каждый
момент времени работает лишь одна половина. Поэтому в расчет индуктивности
рассеяния и собственной емкости трансформатора будем принимать только эту
половину. Половина вторичной обмотки займет лишь часть одного слоя
306 ~0,25,
т. е. четверть длины Z2 =0,377-0,25=0,094 мм.
Индуктивность рассеяния рассчитаем, учитывая неодинаковую длину первич-
ной и вторичной обмоток,
/ -и м/г^ВИтГл +-^2\ м м/2 *вит А1
Толщина обмоток Д, = 0,3 мм и Да = 0,95 мм. Изоляция между обмотками — два
слоя лакоткани по 0,2 мм, т. е. Д|2 = 0,4 мм.
246
ТРАНСФОРМАТОР ЗВУКОВОЙ ЧАСТОТЫ
Таким образом, индуктивность рассеяния трансформатора
. 47Г-10-7-9942-0,28fn л 0,95^. 4лЮ’7-9942 0,28 0,3
Ls =-----0^94------(°'4+— J’10’3 +-------0^77-------Т'10 =
= 0,002655+0,000092 = 2,75-10-3 Гн.
Из формулы видно, что основной вклад в индуктивность рассеяния трансформа-
тора вносит область перекрытия двух обмоток. Рассчитанная индуктивность рас-
сеяния меньше допустимого значения 0,052 Гн.
15. Расчет собственной емкости трансформатора Ст из формулы (15.129).
Между магнитопроводом и первичной обмоткой находится пленка полипропилена
толщиной сЦ = 1 мм, имеющая относительную диэлектрическую проницаемость
8! = 2,4. Первичная обмотка и магнитопровод противостоят друг другу по всей
длине магнитопровода /СР = 0,377 мм. Расстояние между обмотками cf12 = 0,4 мм
заполнено лакотканью с относительной диэлектрической проницаемостью е12 = 4.
Длина соприкасающихся обмоток составляет 0,094 мм. Таким образом, соб-
ственная емкость трансформатора
= 2,4-8,854-10’г •0,377-0,28-132 4-8,854-10 ,г -0,094-0,28 (13-1)2 =
Ст 3-1-10-3 + 3-0,4-10^
= 126,4-10-9+111,9-10-9«238-Ю-9 ф.
Рассчитанное значение собственной емкости больше допустимого значения
177 • 10-9 Ф. Для снижения емкости можно увеличить расстояние между магнито-
проводом и первичной обмоткой или расстояние между обмотками, а также ис-
пользовать для изоляции материал с более низкой относительной электрической
прони цаемостью.
Учитывая оценочный характер расчета индуктивности рассеяния и собствен-
ной емкости трансформатора, окончательный вывод о конструкции трансформа-
тора можно будет сделать только после измерения индуктивности рассеяния
и собственной емкости на готовом изделии.
Глава 16
ИМПУЛЬСНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР
16.1. ИМПУЛЬСНЫЙ РЕЖИМ
В предыдущих главах были рассмотрены трансформаторы, работающие в не-
прерывном режиме, при котором напряжение или ток изменяются непрерывно
в течение длительного времени.
В импульсном режиме электромагнитная энергия передается отдельными
порциями — импульсами. Импульсный сигнал обладает конечной энергией в те-
чение ограниченного интервала времени, соизмеримого со временем установле-
ния переходного процесса в системе, на которую этот сигнал воздействует [101].
Мгновенные значения периодического импульсного сигнала повторяются через
равные промежутки времени. Отличительной особенностью импульсного режима
работы является сравнительно небольшая длительность импульса ти по сравне-
нию с длительностью интервала между импульсами Ти. Поэтому период повторе-
ния импульсов Т = Ти + ти значительно больше длительности импульса ти. Им-
пульсный режим работы имеет высокую скважность импульсов
а=£ (16.1)
и низкий коэффициент заполнения импульсов
Соотношение между длительностью импульсов и периодом их следования та-
кое, что к началу действия импульса переходные процессы в цепи, связанные
с действием предыдущего импульса, можно считать завершенными. На практике
это время соответствует нескольким постоянным времени электрической цепи.
Поскольку к началу действия очередного импульса электрическая цепь практи-
чески возвращается в исходное состояние, т. е. в ней не накапливается электро-
магнитная энергия, то импульсный режим работы можно исследовать на примере
одиночного импульса заданной формы.
При включении и выключении переменного напряжения прямоугольной формы
в силовом трансформаторе (глава 11) также возникает переходный процесс, ко-
торый нарушает стационарный режим работы трансформатора. В силовом транс-
форматоре, как правило, коэффициент заполнения импульсов очень высок,
и каждый импульс накладывается на незавершенный переходный процесс преды-
дущего импульса. Поэтому такой режим, скорее всего, следует отнести к непре-
248
ИМПУЛЬСНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР
рывному режиму работы электрической цепи, тем более, что силовой трансформа-
тор предназначен для непрерывной передачи электрической энергии приемнику.
В импульсном режиме кратковременные импульсы разделены более длитель-
ными паузами. Это позволяет передать приемнику в течение короткого времени
значительную мощность, которая в течение длительного интервала времени меж-
ду импульсами накапливается от относительного маломощного источника энер-
гии [102].
Основной характеристикой импульсного сигнала является форма импульса,
определяемая зависимостью мгновенного напряжения (или тока) от времени.
В качестве номинальной формы часто используется прямоугольный импульс.
На рис. 114,а отрезок ab представляет фронт импульса, Ьс — вершина импульса,
cd — срез импульса. Величина Ux является амплитудой прямоугольного импуль-
са, а ти — длительностью импульса.
При прохождении импульса через электрическую цепь (трансформатор) пря-
моугольный импульс искажается. Эти искажения возникают вследствие накопле-
ния и рассеяния электромагнитной энергии в индуктивности и емкости трансфор-
матора. Примерный вид искаженного прямоугольного импульса и основные его
параметры представлены на рис. 114,6.
Рис. 114. Номинальная форма прямоугольного импульса (а) и схематическое изображение
осциллограммы прямоугольного импульса напряжения (б) [101].
Ux — амплитуда импульса. ти — длительность импульса, тф — длительность фрон-
та импульса, тс — длительность среза импульса, 8Ф — выброс на вершине импуль-
са, 8С — выброс в паузе импульса, 8В — неравномерность вершины импульса.
16.2. МАГНИТОПРОВОД В ИМПУЛЬСНОМ РЕЖИМЕ
Используем эквивалентную схему трансформатора для мгновенных токов и на-
пряжений (рис. 115), для которой справедливы следующие уравнения
. diy . di0 (16.3)
0 = ^+Ls2^-+^^ + l>2. (16.4)
Z1 + Z-2 = Z-q , (16.5)
dO>0 i dio u° w' dt dt’ (16.6)
16.2. МАГНИТОПРОВОД В ИМПУЛЬСНОМ РЕЖИМЕ
249
. То и^Фо W'SB BSwf
(16.8)
Штрихами обозначены параметры трансформатора, приведенные к первичной
обмотке,
и'2=пи2, (16.9)
i'2=%, (16.10)
г2'=л2г2, (16.11)
£42=n2LS2. (1612)
где п = wjw2 — отношение числа витков первичной обмотки к числу витков вто-
ричной обмотки.
В данном параграфе нас интересует режим работы магнитопровода, поэтому
рассмотрим идеализированный трансформатор, в котором будем пренебрегать
активным сопротивлением обмоток и индуктивностью рассеяния. В этом прибли-
жении напряжение на первичной обмотке = и0 = Uv где — постоянное напря-
жение во время действия импульса, и уравнение (16.6) принимает вид
U,=Sw,^-. (16.13)
Из него можно найти приращение магнитной индукции в магнитопроводе
ДВ=В(О-В(0)=-^-. (16.14)
Здесь 8(0) — магнитная индукция в момент времени t = 0, а произведение UJ
за время действия импульса ти определяет основной энергетический показатель
импульсного трансформатора, который характеризует энергию, передаваемую
трансформатором. Таким образом, в импульсном трансформаторе основным па-
раметром является приращение магнитной индукции А8, численное значение ко-
торого должно быть по возможности большим, чтобы обеспечить передачу мак-
симальной мощности.
Ток намагничивания /0 определим из уравнения (16.3), которое для принятого
приближения принимает вид
(16.15)
Рис. 115. Эквивалентная электрическая схема трансформатора для мгновенных токов и на-
пряжений.
250
ИМПУЛЬСНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР
Решая это уравнение при начальном условии io(O) = 0, получаем
• Щ
(16.16)
Здесь Lq — индуктивность первичной обмотки, обусловленная основным магнит-
ным потоком, которую без учета магнитных потерь в магнитопроводе можно
представить в виде (см. (16.7))
ЛВ Swf Swy
~ дj “РдМо ’ (16.17)
где — средняя магнитная проницаемость (формула (6.23)). Следовательно,
для снижения тока намагничивания необходимо использовать магнитный матери-
ал с высокой средней магнитной проницаемостью цд.
Если задана длительность импульса ти, то приращение индукции в каждом им-
пульсе равно
U т
^h)=^. (16.18)
Пусть в начальный момент времени В(0) = 0, т. е. магнитопровод находится в раз-
магниченном состоянии. В конце импульса магнитная индукция вырастает по ос-
новной кривой намагничивания до значения Ву = ДВ(ти), которому соответствует
напряженность магнитного поля Ну (рис. 116). После окончания импульса ток на-
магничивания и напряженность магнитного поля падают до нуля, а магнитная ин-
дукция переходит в точку Вг1, двигаясь по нисходящей ветви частной петли гисте-
резиса.
Рис. 116. Схематичное изображение импульсного режима намагничивания магнитопро-
вода, находящегося в начальный момент времени в размагниченном состоянии
В = 0 и Н = 0.
Перед вторым импульсом начальная магнитная индукция уже не равна нулю,
а принимает значение В(0) = Вг1. Поэтому точка (В, Н) сначала будет перемещать-
ся по восходящей ветви частного цикла, а затем по основной кривой намагничи-
вания до значения В2, обеспечивая приращение Д8(ти) = В2 - Вг1. После прекра-
щения действия второго импульса магнитная индукция по нисходящей ветви час-
тного цикла переместится в точку В^.
16.2 МАГНИТОПРОВОД В ИМПУЛЬСНОМ РЕЖИМЕ
251
Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока не будет достигнута оста-
точная магнитная индукция предельной петли гистерезиса Вг. При воздействии
всех последующих импульсов напряжения магнитная индукция будет изменяться
по ветвям частного предельного несимметричного цикла гистерезиса, который
показан на рис. 116 между точками (Вг, 0) и (Вт, Нт).
Из рис. 116 следует, что приращение магнитной индукции в магнитопроводе
определяет разность (формула (6.22))
(16.19)
где Вт — максимальная магнитная индукция. По этой причине для импульсных
трансформаторов необходимо использовать магнитопроводы с низкой остаточ-
ной магнитной индукцией Вг, например, ГМ 440В, ГМ 412В, ГМ 515В, ГМ 503В
и их аналоги типа ДС. В этом случае после каждого импульса магнитная индукция
будет возвращаться в одну и ту же точку Вг » 0, а приращение магнитной индук-
ции может достигать наибольшего значения.
Чтобы учесть удельные магнитные потери в магнитопроводе, заменим катушку
индуктивности Lq параллельной эквивалентной схемой (рис. 117). В этой схеме
Ц — индуктивность первичной обмотки трансформатора с магнитопроводом, ко-
торый имеет среднюю магнитную проницаемость цА, Яп — активное сопротивле-
ние магнитных потерь в параллельной эквивалентной схеме.
Рис. 117. Идеализированная эквивалентная схема импульсного трансформатора, учитыва-
ющая магнитные потери в магнитопроводе.
Ток намагничивания равен сумме токов протекающих через индуктивность Ц
и сопротивление Яп
1о=1ц+1я. (16.20)
Составляющие тока намагничивания определим из соотношений
(16.21)
U,=iRHn- (16.22)
Таким образом,
(16-23)
Преобразуем уравнение (16.20), используя соотношения (16.13) и (16.22)
U, Sw, । L'Rn” Rn
252
ИМПУЛЬСНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР
Введем приведенное сопротивление магнитных потерь гс, Ом/м
яп/
(16.25)
а также параметры HA(t) — напряженность магнитного поля по динамической пет-
ле магнитного гистерезиса и HL(t) — напряженность магнитного поля по статиче-
ской петле магнитного гистерезиса, которые получены из закона полного тока,
(16.26)
HL(f)=^p-. (16.27)
Это позволяет представить соотношение (16.24) в виде уравнения динамического
перемагничивания [41, 59]
(16.28)
Численные значения гс для различных магнитных материалов можно найти из
магнитных измерений [59] или оценить по магнитным потерям (см. параграф 16.7).
На первичную обмотку трансформатора подается энергия
и/= = U, J
J 1 \ Ч ПП ) rip )
(16.29)
Преобразуем это уравнение, используя выражения для Ly (16.17), (16.18) и Яп
(16.25),
W = 1+~^° У
2 V гс*и 7
(16.30)
Если ввести постоянную времени магнитной релаксации тР [41]
т =!•_=.№.
₽ «п гс '
к
то энергия принимает вид
(16.31)
(16.32)
Таким образом, энергия, передаваемая первичной обмотке импульсного
трансформатора, состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое представляет
энергию, которую запасаемую индуктивностью Ц за время действия импульса,
которая в дальнейшем передается приемнику. Второе слагаемое является энер-
гией, рассеиваемой в магнитопроводе.
16.3. ЭКВИВАЛЕНТНАЯ СХЕМА
В общем случае к первичной обмотке трансформатора подключен генератор
электрических импульсов, и в расчетах со стороны генератора следует учитывать
активное сопротивление генератора г и его емкость С, а также емкость СМ1 и ин-
дуктивность монтажа LM1 (рис. 118). Если к первичной обмотке подключен идеаль-
ный генератор импульсов напряжения или тока, то перечисленные выше пара-
метры можно считать равными нулю.
16.3. ЭКВИВАЛЕНТНАЯ СХЕМА
253
1 ----------- 2
Рис. 118. Эквивалентная электрическая схема трансформаторной цепи.
Прямоугольник ИТ заменяет эквивалентную схему трансформатора для мгновен-
ных токов и напряжений, представленную на рис. 115.
К вторичной обмотке трансформатора подключен приемник, имеющий соб-
ственные параметры и Сп, приведенные к первичной обмотке. Со стороны при-
емника необходимо также учитывать емкость С'М2 и индуктивность монтажа L'M2
(рис. 118).
Для снижения степени характеристического уравнения следует упростить эк-
вивалентную схему трансформаторной цепи путем объединения сопротивлений,
емкостей и индуктивностей их эквивалентными величинами.
Упрощение будем проводить в следующем порядке [97]. Сначала из эквива-
лентной схемы уберем все емкости и индуктивности, искажающие форму сигна-
ла. В этом приближении все емкости и индуктивности генератора, приемника,
монтажа схемы, индуктивности рассеяния и собственные емкости обмоток равны
нулю, а индуктивность первичной обмотки Ц равна бесконечности. Активное со-
противление магнитных потерь Яп стремится к бесконечности при уменьшении
магнитных потерь в магнитопроводе до нуля. В этом приближении трансформа-
торная цепь имеет вид представленный на рис. 119.
1 2
Рис. 119. Эквивалентная электрическая схема трансформаторной цепи, в которой исключе-
ны емкости и индуктивности
Для эквивалентной схемы с активными сопротивлениями справедливо уравне-
ние (16.5), а также
= hri +*о^п>
О=(*2 + гп)Ч*п»
ц =E-iyr.
В активной трансформаторной цепи рассеивается мощность
p=i,2(r +г,)+£^Яп +1г2(г2 +''п>
После подстановки в это выражение тока намагничивания
(16.33)
(16.34)
(16.35)
(16.36)
(16.37)
254
ИМПУЛЬСНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР
и приведенного вторичного тока
Яп
Пп ' '2
(16.38)
которые получены из (16.5) и (16.34), мощность р принимает вид
(16.39)
В реальных трансформаторах, как правило, и это позволяет упрос-
тить выражение для мощности, рассеиваемой в электрической цепи трансформа-
тора,
.2f ' гп
p^i\[\r+ry+r2+-fi-+rn 1. (16.40)
Выражению (16.40) соответствует упрощенная эквивалентная схема трансформа-
торной цепи, представленная на рис. 120, в которой сохранены энергетические
соотношения первоначальной схемы. В ней введено эквивалентное активное со-
противление RA
г*2
(16.41)
пп
которое зависит от сопротивления потерь Rn. Сопротивление Rt уменьшается
с ростом сопротивления потерь Яп, т. е. с уменьшением магнитных потерь в маг-
нитопроводе.
Коэффициент полезного действия трансформатора т] равен отношению мощ-
ности, получаемой приемником, к мощности, подаваемой на первичную обмотку
трансформатора. Таким образом,
(16.42)
п___
Гп2
Коэффициент передачи в эквивалентной схеме импульсного трансформатора
Е‘
(16.43)
С помощью соотношений (16.33), (16.35) и (16.37) находим электродвижущую
силу генератора
(16.44)
1 2
Рис. 120. Упрощенная эквивалентная электрическая схема трансформаторной цепи при на-
личии только активных сопротивлений.
16.3. ЭКВИВАЛЕНТНАЯ СХЕМА
255
Приведенное вторичное напряжение определим, используя выражение для вто-
ричного тока (16.38),
t ч t ЯрГр
и'г = 1гГп = д Л"..,- (16.45)
П п + / 2 + 'л
Тогда коэффициент передачи импульсного трансформатора
К _______________________
+ (16.46)
При согласовании сопротивления генератора с сопротивлением приемника
г=Гп коэффициент передачи в эквивалентной схеме импульсного трансформато-
ра равен
I16-47'
После объединения активных сопротивлений проведем объединение всех ин-
дуктивностей и всех емкостей трансформаторной цепи. Для этого воспользуемся
следующими приближениями [99]. Намагничивающий ток обычно составляет не-
большую часть первичного тока. Это позволяет пренебречь его влиянием на по-
ток рассеяния и объединить индуктивность рассеяния первичной и вторичной об-
моток в одну индуктивность рассеяния трансформатора Ц =Ц1+Ц2. На том же
основании к индуктивности рассеяния добавим индуктивность монтажа +1_'М2
и это в сумме дает эквивалентную индуктивность трансформаторной цепи L3.
Объединенная эквивалентная емкость трансформаторной цепи Сэ представ-
ляет сумму собственной емкости трансформатора Ст, емкости генератора С, ем-
кости монтажа со стороны генератора СМ1 и приведенных емкостей приемника
Сп и монтажа со стороны приемника С^. Электрическая энергия пропорцио-
нальна квадрату напряжения и основная ее часть запасается в обмотке высшего
напряжения. Поэтому эквивалентную емкость подключают к обмотке высшего на-
пряжения. Таким образом, можно представить два варианта эквивалентной схе-
мы — это повышающий трансформатор, в котором обмоткой высшего напряже-
ния является вторичная обмотка, и понижающий трансформатор, в котором об-
моткой высшего напряжения является первичная обмотка [103]. Упрощенная эк-
вивалентная схема импульсного повышающего трансформатора представлена на
рис. 121,а, а понижающего трансформатора — на рис. 121,6. В этих схемах со-
противления г и Я, объединены в общее сопротивление Я = г + Яг
Рис. 121. Эквивалентная электрическая схема повышающего (а) и понижающего импульс-
ного трансформаторов (б).
256
ИМПУЛЬСНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР
16.4. ФОРМИРОВАНИЕ
ФРОНТА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ИМПУЛЬСА
Рассмотрим повышающий трансформатор, на первичную обмотку которого
подается импульс прямоугольной формы, а приемник имеет активное сопротив-
ление. Несмотря на проведенные упрощения, электрическая схема трансформа-
тора остается достаточно сложной. Дополнительное упрощение можно получить
при раздельном анализе процессов, протекающих на отдельных участках импуль-
сного сигнала.
В течение короткого времени, соответствующему длительности фронта им-
пульса тф, ток намагничивания в катушке индуктивности практически не возрастает
(см. параграф 16.2). Поэтому в процессе формирования фронта импульса можно
принять iQ ~ 0 и исключить индуктивность Ц из эквивалентной схемы (рис. 122).
2
Рис. 122. Эквивалентная электрическая схема трансформатора в процессе формирования
фронта импульса.
Для электрической схемы на стадии формирования фронта импульса можно
записать следующие уравнения
(16.48)
i, +ic +% =0, (16.49)
i -C c -°э dt ’ (16.50)
U2 = 12ГП • (16.51)
Из (16.49)-(16.51) найдем первичный ток
. r du2 u2 “1,=Сэ dt +7T (16.52)
и подставим его в (16.48). Таким образом, для приведенного вторичного напря-
жения и2 получаем дифференциальное уравнение
, ~ d2u2 (bAdu^ Л Я А , с
L3C3-^-+\ ^Сэ+^- -^+ 1+p- U=-E. (16.53)
ОГ < 'п ) Ul к 'п)
После введения новых переменных
u = -^~ u kE’ (16.54)
~ t kL3C3 (16.55)
16.4. ФОРМИРОВАНИЕ ФРОНТА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ИМПУЛЬСА
257
и новых параметров
к=-К™=7^' (16.56)
k(R р
— 4--Ц-
2 IP Гп
(16.58)
дифференциальное уравнение принимает вид
d2u du ~
с/т2 +L/ = 1 (16.59)
Знак минус в формуле (16.54) обозначает, что импульс напряжения на вторичной
обмотке и импульс, который формирует генератор, имеют противоположные на-
правления. Для передачи импульса одинакового знака необходимо соответству-
ющим образом подключить приемник.
Новые переменные и параметры имеют вполне определенный физический
смысл. Безразмерный коэффициент к представляет модуль коэффициента пере-
дачи напряжения в эквивалентной схеме трансформатора (рис. 120) при согласо-
ванных сопротивлениях генератора и приемника. Величина -кЕ равна приве-
денному напряжению на вторичной обмотке в установившемся режиме и, таким
образом, переменная и — это нормированное приведенное вторичное напряже-
ние. Величина у/кЬэСэ является постоянной времени фронта импульса, а пере-
менная т — нормированное время.
Величину X можно идентифицировать с безразмерным коэффициентом зату-
хания, численное значение которого определяет характер процесса установления
вторичного напряжения. Величина р является волновым сопротивлением транс-
форматорной цепи, которую обычно вводят для электрической цепи с распреде-
ленными параметрами [104].
Дифференциальное уравнение (16.59) является уравнением вынужденных коле-
баний с коэффициентом затухания X и начальными условиями т(0) = 0 и ди/дт(0) = 0
[105-106]. Его решение носят колебательных характер при Х< 1
и = 1 - f .3.—sinVl-X2 т + cos V1-X2 т
При X = 1 процесс является критическим
й = 1-е:'(1+т)>
а при X > 1 наблюдается апериодический процесс
и = 1 - ехт f -7=^=sh «А2 -1 т + chVX2-1 т
kVX2^ J
Из полученных решений следует, что в установившемся режиме при т-юо
нормированное напряжение й приближается к единице, и поэтому приведенное
напряжение на вторичной обмотке и'2(со) = -кЕ.
На рис. 123 представлены зависимости нормированных параметров и от т для
различных коэффициентов затухания X, рассчитанные по формулам (16.60)—(16.62).
9 Теория и расче! трансформаюровэ
(16.60)
(16.61)
(16.62)
258
ИМПУЛЬСНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР
Видно, что при X < 1 имеет место колебательный процесс с выбросом на верши-
не импульса. Амплитуда первого максимального выброса напряжения определя-
ется из условия экстремума й (уравнение (16.60)). Приравнивая к нулю произ-
водную и по т, находим нормированное время, соответствующее этому макси-
муму
л
т=ст (16-63>
После подстановки этой величины в уравнение (16.60), получаем выброс напря-
жения над уровнем и = 1
и -
8й=-г^—=е -Яй (16.64)
и2(со)
ИЛИ
__тЛ
8l/2 = -кЕе Тйх? (16.65)
Таким образом, с увеличением коэффициента затухания выброс напряжения по-
степенно уменьшается, приближаясь к нулю при X = 1.
При апериодическом режиме X > 1 выброса напряжения не наблюдается и на-
пряжение постепенно возрастает до й =1.
Из рис. 123 следует, что с увеличением коэффициента затухания возрастает
длительность фронта импульса тф. Для определения длительности фронта не-
обходимо найти нормированные значения т соответствующие напряжению й на
уровне 0,1 и 0,9. После этого из (16.55) получаем длительность фронта импульса
Тф = (tq 9 — Tq j )V к1-эСэ — Тф д/ к1_эСэ, (16.66)
где тф — нормированная длительность фронта.
Рис. 123. Зависимость нормированного напряжения й от нормированного времени т в про-
цессе формирования фронта прямоугольного импульса.
16.4. ФОРМИРОВАНИЕ ФРОНТА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ИМПУЛЬСА
259
На рис. 124 представлена нормированная длительность фронта тфв зависи-
мости от коэффициента затухания X. Кривую можно аппроксимировать [102] ана-
литическими выражениями при X < 1
тф«1,2+2Х2
и при X > 1
Тф»4,4Х~1.
(16.67)
(16.68)
При заданных сопротивлениях R и г^ коэффициент затухания не может быть
меньше определенной величины. Из (16.58) найдем производную и приравняем
ее к нулю
Из этого уравнения можно определить волновое сопротивление трансформа-
торной цепи р, при котором коэффициент затухания принимает минимальное зна-
чение
(16.70)
После подстановки полученного значения р в (16.58) получаем минимальный ко-
эффициент затухания
= ПС
min V ]lR+r^
(16.71)
Заметим, что при минимальном коэффициенте затухания передача электриче-
ского сигнала через трансформатор осуществляется с минимальными потерями
энергии.
При согласовании сопротивления генератора и приемника г = г„ и при малом
сопротивлении обмоток г^г^г^ минимальный коэффициент затухания прини-
мает значение Xmin «0,707. Слишком большое значение коэффициента затухания
выбирать нельзя, поскольку это приведет к чрезмерному росту длительности
фронта импульса. Поэтому реально в импульсных трансформаторах коэффициент
затухания изменяется в достаточно узких пределах.
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2
X
Рис. 124. Зависимость нормированной длительности фронта Тф от коэффициента затуха-
ния X в процессе формирования фронта прямоугольного импульса.
260
ИМПУЛЬСНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР
Если коэффициент затухания выбран, то он накладывает ограничение на вол-
новое сопротивление трансформаторной цепи р. Из (16.58) получаем уравнение
для вычисления волнового сопротивления
решение которого дает
P2-2^-P+Rfn=0'
V К
p=-^=(X±VX2+k-l).
V к
(16.72)
(16.73)
Следовательно, заданный коэффициент затухания обеспечивают два значения
волнового сопротивления. Первое значение со знаком плюс соответствует боль-
шей эквивалентной индуктивности и меньшей эквивалентной емкости трансфор-
маторной цепи, а второе со знаком минус — наоборот, меньшей индуктивности
и большей емкости.
Из подкоренного выражения в (16.73) следует еще одно ограничение на коэф-
фициент затухания
X^VVJ?. (16.74)
Из уравнений (16.57)) и (16.73) найдем величину и перенесем ее в фор-
мулу для длительности фронта импульса (16.66)
тф = тфСэГп ± VX2 +k-l).
(16.75)
Аналогичным образом из (16.57) и (16.73) определим и после подстановки
в (16.66) получим еще одно выражение для длительности фронта
тфЬэк
Гп(Х±7Х?+k-l)
(16.76)
Из полученных выражений для тф следует, что длительность фронта зависит от
отношения числа витков п = wjw2, поскольку =п2гп.
Если в формуле (16.75) заданы численные значения л, гп, к = | Кс | и L3, то дли-
тельность фронта импульса будет зависеть только от коэффициента затухания X.
При этом некоторую корректировку коэффициента затухания можно провести за
счет изменения эквивалентной индуктивности /_э. Аналогичная ситуация для фор-
мулы (16.76), но в этом случае корректировка X проводится за счет эквивалент-
ной емкости Сэ.
Уравнения (16.75) и (16.76) можно использовать для вычисления допустимой
эквивалентной емкости и индуктивности.
В заключении рассмотрим случай согласованного волнового сопротивления
(16.70). Из равенства волновых сопротивлений (16.57) и (16.70) получаем усло-
вие согласования
^э=СэЯГп. (16.77)
Используя его, получаем длительность фронта импульса
Тф = ТфСэ>/кЯ^. (16.78)
Из этой формулы можно вычислить допустимую эквивалентную емкость транс-
форматорной цепи, которая обеспечивает заданную длительность фронта тф
_ Тф _ Тф //? + Гр _ Тф _ Тф
Тф kRrп Тф/п * R 'СфХтщ/п (1»2 + 2X2mjn )Xmjn/n •
(16.79)
16.5. ФОРМИРОВАНИЕ ВЕРШИНЫ ИМПУЛЬСА
261
Аналогично выразим длительность фронта через индуктивность
Тф=*ф£эУ^’ (16.80)
Тогда допустимая эквивалентная индуктивность трансформаторной цепи
/ _ ТФ /^п _ТФ 1р(р . гЧ - _____ /.Л Л-.4
3 к гФ^Я( +п) тфХт|П (1,2 + 2^)^- <16-81)
16.5. ФОРМИРОВАНИЕ ВЕРШИНЫ ИМПУЛЬСА
В процессе формирования фронта импульса происходит заряд распределен-
ной емкости и увеличение тока через эквивалентную индуктивность. После окон-
чания формирования фронта напряжение на Сэ и ток через L3 достигают устано-
вившихся значений. В дальнейшем напряжение и ток в этих элементах изменяют-
ся незначительно только вследствие медленного увеличения тока намагничива-
ния i0> протекающего через индуктивность L„ которая значительно больше L3.
Таким образом, на стадии формирования вершины импульса элементы L3 и Сэ
можно исключить из эквивалентной схемы трансформатора. С другой стороны
индуктивность первичной обмотки /_, будет оказывать решающее влияние на токи
и напряжения в трансформаторе. Эквивалентная схема трансформаторной цепи
на вершине импульса представлена на рис. 125.
h
2
12
2
Рис. 125. Эквивалентная электрическая схема трансформатора в процессе формирования
вершины импульса.
Из-за малой длительности фронта импульса можно считать, что процесс фор-
мирования вершины начинается сразу после генерирования импульса. Таким об-
разом, в начальный момент ток намагничивания i0 равен нулю. В дальнейшем
этот ток возрастает, и индуктивность /_, запасает электромагнитную энергию.
Это приводит к увеличению первичного тока ц, и росту напряжения на сопротив-
лении Я. При этом уменьшается вторичное напряжение и2 и происходит спад на-
пряжения на вершине импульса.
Для электрической схемы на рис. 125 можно записать следующие уравнения
i, + i2 — Iq t
U2 ~hrU-
(16.82)
(16.83)
(16.84)
(16.85)
262
ИМПУЛЬСНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР
Из уравнений (16.84) и (16.85) найдем ток намагничивания
1 Г г ..
(16.86)
Затем из (16.82) и (16.85) определяем первичный ток
1 г , t*2
h=-T-]u2dt—-r (16.87)
Ч 41
и после подстановки его в (16.83) получаем уравнение для определения приве-
денного вторичного напряжения и2
-£=1 гМ<Л+^'Г+1У2- (16.88)
\Ч 41 )
Последнее уравнение преобразуем в дифференциальное уравнение
du2 kR , Л
-^-+т-и2=0. (16.89)
решение которого представляет экспоненциальную функцию
^=Се^. (16.90)
Постоянную интегрирования С найдем из начального условия для и’2 в момент
времени t = 0
“г(0) = -^77 = -*£- (16.91)
Поэтому приведенное напряжение на вторичной обмотке
и'2=-кЕе^* =-кЕе"Ъ, <16.92)
где тв — постоянная времени трансформаторной цепи на вершине импульса
Ц L}(R+Tn)
Тв = /Й=-^-’ (16.93)
Следовательно, со временем напряжение и2 на вершине импульса падает по
экспоненциальному закону. Падение напряжения будет тем меньше, чем меньше
длительность импульса ти, меньше сопротивление R и больше индуктивность
первичной обмотки Lv
Ток намагничивания определим из (16.86) после подстановки в него выраже-
ния для и2 (16.92)
i0=-§e"^+C,. (16.94)
п
Постоянную интегрирования С1 вычислим, исходя из условия ЦО) = 0 в момент
времени t = 0. После этого ток намагничивания принимает вид
io=^1-e~£). (16.95)
Относительное изменение напряжения и2/кЕ и тока намагничивания i0R/E для
длительности импульса напряжения ти =0,5тв представлено на рис. 126.
16.6. СРЕЗ ИМПУЛЬСА И ОБРАТНОЕ НАПРЯЖЕНИЕ
263
Рис. 126. Относительное изменение напряжения и^/кЕ (кривая и) и тока намагничивания
i0R/E (кривая i) для длительности импульса напряжения ти = 0,5тв.
Часто длительность импульса ти значительно меньше постоянной времени тв.
В этом случае выражения (16.92) и (16.95) можно разложить в ряд. Тогда, ограни-
чиваясь первыми членами разложения, получаем приведенное напряжение на
приемнике и ток намагничивания в виде
= (16.96)
Е t кЕ.
<16-97)
Используя соотношение (16.96), найдем относительное падение напряжения
на вершине импульса
8u2 _t4(0)-u;(TM)_TM тикЯ ти ЯГп
u2(0) ui(O) тв L, L'R+r’n (1698)
Таким образом, при Заданной длительности импульса ти и заданном относи-
тельном падении напряжения на вершине импульса &и2/и2 можно вычислить необ-
ходимую индуктивность первичной обмотки
£_ - НГп
' 8иг R+Гц (16.99)
и2
16.6. СРЕЗ ИМПУЛЬСА И ОБРАТНОЕ НАПРЯЖЕНИЕ
К началу формирования среза импульса информационная часть передава-
емого сигнала уже прошла через трансформатор и последующий за этим про-
цесс не играет важной роли. Конструкцию импульсного трансформатора выбира-
ют из допустимых искажений фронта и вершины импульса, поэтому параметры
среза и обратного напряжения можно считать определенными этим выбором,
и задача состоит лишь в оценке значений этих параметров.
264
ИМПУЛЬСНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР
2
Рис. 127. Эквивалентная электрическая схеме трансформатора нв стадии формирования
среза импульса и обратного напряжения.
После отключения генератора единственными источниками энергии в транс-
форматорной цепи остаются емкости и индуктивности, в которых за время им-
пульса накопилась электромагнитная энергия. Таким образом, на заключитель-
ном этапе задействованы элементы, представленные на рис. 127.
В течение короткого времени среза импульса ток намагничивания практически
не изменяется. Поэтому по аналогии с процессом формирования фронта импуль-
са из эквивалентной схемы можно исключить индуктивность Lv После объедине-
ния активных сопротивлений
_ Г
Я2= , . р (16.100)
эквивалентная схема для среза импульса принимает вид, представленный на
рис. 128.
2
2
Рис. 128. Эквивалентная электрическая схема трансформатора на стадии формирования
среза импульса.
Данная схема характеризуется уравнением свободных колебаний [105-106]
с начальными условиями
t4(0)=-kEe£, (16.101)
^-(0)=0. (16.102)
Более важным на конечном этапе является формирование обратного напряже-
ния. По окончании среза напряжение на Сэ и ток через 1_э достигают устано-
вившихся значений близких к нулю и в дальнейшем практически не изменяются.
Поэтому на стадии формирования обратного нвпряжения эти элементы можно
исключить из эквивалентной схемы (рис. 129).
После окончания действия импульса электромагнитная энергия, запасенная
в индуктивной катушке L1f рассеивается на сопротивлении Я2, т. е. на сопротивле-
нии приемника и сопротивлении потерь Яп. При этом снижается ток намагни-
чивания i0 и магнитная индукция В в магнитопроводе.
16.6. СРЕЗ ИМПУЛЬСА И ОБРАТНОЕ НАПРЯЖЕНИЕ
265
2
2
Рис. 129. Эквивалентная электрическая схеме трансформатора нв стадии формирования
обратного напряжения.
Снижение магнитной индукции приводит к изменению знака производной
dB/dt и напряжения на вторичной обмотке трансформатора u2l поскольку
u2=w2S^-. (16.103)
Для схемы на рис. 129 можно записать уравнение
Z-1^-+io«2=°. (16.104)
решение которого при начальном условии
• /м кЕ
1о(0) = -ц-ти (16.105)
имеет вид
кЕ R2t
Ч)=-ц-тие^. (16.106)
Приведенное напряжение на вторичной обмотке в процессе формирования
обратного напряжения
R R2t
u2^i^R2=kE-^x^e ь . (16.107)
Напомним, что величина -кЕ является напряжением на вершине импульса. Мак-
симальный выброс обратного напряжения
, , _ R2
(16.108)
снижается при уменьшении длительности импульса ти и увеличении индуктивно-
сти первичной обмотки трансформатора. Но эти величины уже заданы допусти-
мыми требованиями к искажению импульса. Таким образом, для снижения обрат-
ного напряжения необходимо уменьшать сопротивление R2 [99].
Из (16.103) и (16.107) следует, что магнитная индукция на стадии формирова-
ния обратного напряжения будет возвращаться к исходному значению по экспо-
ненциальному закону
кЕ R2t
В = ~ы^Т"е Ц ' (16.109)
Поскольку за период действия импульсного напряжения магнитная индукция
возрастает до максимального значения, а затем возвращается к исходному зна-
чению, то можно записать [99]
т В(Т)
ju2dt = w2S fde = O, (16.110)
О В(0)
266
ИМПУЛЬСНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР
т. е. площадь, ограниченная кривой вторичного напряжения за период действия
импульса S1t должна быть равна площади над кривой обратного напряжения S2
(рис. 130).
Рис. 130. Схематическое изображение импульса напряжения.
S, — площадь прямоугольного импульса; Sj — площадь обратного импульса.
16.7. РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Порядок расчета импульсного трансформатора зависит от представленных
расчетных данных. Если требования к импульсному трансформатору выведены
из параметров импульсного генератора и приемника, то исходными данными
для расчета могут быть численные значения следующих параметров [99]:
• мощность в импульсе р2 (Вт);
• амплитуда импульсного напряжения Ux (В);
• амплитуда выходного импульса U2 (В);
• длительность импульса ти (с);
• частота следования импульсов F - У/Т (Гц);
• длительность фронта выходного импульса тф (с);
• относительное снижение напряжения на вершине импульса
• сопротивление эквивалентного генератора г (Ом).
Из формулы (16.99) найдем индуктивность первичной обмотки, которая обес-
печивает допустимое снижение напряжения на вершине импульса
I ;
* 8иг R+r„ ’
Приведенное сопротивление приемника
1/2
Гп=п2гп=п2^-,
Н2
где п — отношение числа витков
w, Ut
п ——
w2 U2
В выражении для сопротивления R
2 Яп
(16.111)
(16.112)
(16.113)
(16.114)
пока не известно сопротивление обмоток г, +г2 и сопротивление потерь Rn. В пер-
вом приближении для импульсного трансформатора можно принять
г>г,+г; +
Fin'
16.7 РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
267
Тогда при согласовании сопротивления генератора и приемника г = Гп индуктив-
ность первичной обмотки
/ - ти г
'~8и2 2
и2
(16.115)
В дальнейшем для более точной оценки сопротивления R необходимо опреде-
лить сопротивление потерь Яп, которое связано с приведенным сопротивлением
потерь соотношением (16.25). Из (16.30) следует, что в магнитопроводе за один
цикл теряется энергия
м/ &В&Н 2цдц0 дВ2 lz
WA=~(16.116)
'сти ги'с
Энергия, теряемая в магнитопроводе в единице объема и в единицу времени,
равна удельным магнитным потерям Ра, Вт/м3, поэтому
ра=
v тигс
(16.117)
где F — частота следования импульсов. Отсюда можно вычислить приведенное
сопротивление магнитных потерь
rc=TP~F' (16.118)
1ига
В формуле (16.118) численное значение Ра рассчитывают из аналитического
представления удельных магнитных потерь для соответствующего типа магнит-
ного материала (глава 7), в котором частота перемагничивания равна f = 1 /2ти,
а максимальная магнитная индукция Вт = ДВ/2.
Допустимую эквивалентную емкость и индуктивность определим из (16.79)
и (16.81)
т Р
t’-(l,2.2XU)X.' |16-,20>
где Хтщ = 0,707 представляет численное значение коэффициента затухания, при
котором достигается наименьшая потеря сигнала в трансформаторе. При этом,
согласно (16.65), выброс напряжения на фронте импульса не превышает 4,32%.
Если заданы более жесткие требования по выбросу напряжения, то следует ис-
пользовать формулы (16.75) и (-16.76)
Сэ'^'^ЖГГ)'
тф Гп(1+-Л.2+к-1)
L3 = ~--1---т-----1, (16.122)
Тф К
где тф находят из графика на рис. 124 для выбранного значения X, а к » 0,5 для
согласованного сопротивления генератора и приемника.
268
ИМПУЛЬСНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР
Приращение магнитной индукции в импульсном трансформаторе за время
действия импульса найдем из формулы (16.14)
дв=^;- (16.123)
Если выбран магнитный материал, то приращение ДВ можно считать известным.
В дальнейшем численное значение ДВ возможно придется снизить, если пере-
грев трансформатора будет чрезмерно большим. Из (16.123) можно вычислить
число витков первичной обмотки
U т
= <16124>
После подстановки в формулу для индуктивность первичной обмотки числа
первичных витков из (16.125) получаем
HaUpSlV? цАц0 f (7,ти У
lCP SlCP I ДВ ) •
(16.125)
Далее из (16.124) вычислим объем магнитопровода
|/_е/ _ НдНо ( <Ми
СР~~~Ц~[~КВ~ J
. ш2
ЕДДВДН)’
(16.126)
где ДВДН/2 — плотность магнитной энергии, которую можно найти из типичных
кривых намагничивания для выбранного магнитного материала. Для полученного
численного значения объема магнитопровода можно подобрать соответствующий
типоразмер.
Сечение провода обмоток можно выбрать из допустимой плотности тока по
формуле (11.55) = 2,5 • 10е А/м2, при этом в расчет берется численное значение
действующего первичного тока Iv Максимальное значение первичного тока най-
дем из (16.87) и (16.92) при начальном условии ц(0) = 0
_/сЕЛ
hmax — ® Тв
или при Ти<Тв
- Ти -
lmax Я тв L. ELt '
(16.127)
(16.128)
Среднее значение первичного тока за время действия импульса равно половине
максимального тока, а действующее значение тока в первичной обмотке
Т - с
1 2ЕЦ ' Т 2L.'
(16.129)
учитывая, что при согласованной нагрузке Е = 2UV
Теперь остается выбрать схему нанесения обмоток и изоляцию, которые обеспе-
чивали бы допустимые значения эквивалентной емкости и индуктивности [97, 99].
ТЕРМИНОЛОГИЯ
А
Абсолютная диэлектрическая проницаемость — величина, характеризующая
диэлектрические свойства диэлектрика, скалярная для изотропного вещества
и равная отношению модуля электрического смещения к модулю напряженности
электрического поля, и тензорная для анизотропного вещества.
Абсолютная магнитная проницаемость — величина, характеризующая магнитные
свойства вещества, скалярная для изотропного вещества и равная отношению
модуля магнитной индукции к модулю напряженности магнитного поля, и тензор-
ная для анизотропного вещества.
Активная мощность двухполюсника — среднее арифметическое мгновенной мощ-
ности за период.
Активная цепь — электрическая цепь, содержащая источники электрической
энергии.
Активная электрическая проводимость — параметр электрической цепи или ее
схемы, равный отношению активной мощности, поглощаемой в пассивной элект-
рической цепи, к квадрату действующего напряжения на ее зажимах.
Активное электрическое сопротивление — параметр электрической цепи или ее
схемы, равный отношению активной мощности пассивной электрической цепи
к квадрату действующего тока на входе этой цепи.
Аморфный сплав — сплав, в котором на расстоянии более 2-3 атомных размера
не сохраняется ближний порядок.
Амплитудно-частотная характеристика цепи — зависимость от частоты модуля
входной, выходной или передаточной функций цепи, выраженных в комплексной
форме.
Амплитудно-частотная характеристика электронного усилителя — зависимость
коэффициента усиления напряжения (тока) электронного усилителя от частоты
гармонического входного сигнала.
Анизотропное тело — тело, в котором физические свойства различны вдоль раз-
ных направлений внутри тела.
Апериодическая составляющая свободного тока — составляющая свободного
тока, изменяющаяся во времени без перемены знака.
Б
Безвихревое электрическое поле — электрическое поле, в котором ротор
напряженности электрического поля везде равен нулю.
Безгистерезисная кривая намагничивания — кривая, выражающая зависимость
магнитной индукции от напряженности постоянного магнитного поля при намаг-
ничивании термически размагниченного магнитного материала постоянным маг-
нитным полем с последовательно возрастающей напряженностью. При каждом
значении напряженности постоянного магнитного поля на магнитный материал
270
воздействуют знакопеременным магнитным полем, амплитуда которого посте-
пенно уменьшается от значения, обеспечивающего намагниченность насыщения
материала, до нуля.
в
Векторная величина — физическая величина, которая характеризуется числен-
ным значением (модулем) и определенным направлением в пространстве.
Верхняя граничная частота — максимальная частота полосы пропускания.
Ветвь электрической цепи — участок электрической цепи, вдоль которого проте-
кает один и тот же ток.
Взаимная индуктивность — скалярная величина, равная отношению потокосцеп-
ления взаимной индукции одного элемента электрической цепи к току в другом
элементе, обуславливающему это потокосцепление.
Взаимная индукция — электромагнитная индукция, вызванная изменением
сцепляющегося с контуром магнитного потока, обусловленного электрическими
токами в других контурах.
Витковая коррекция трансформатора напряжения — уменьшение погрешности
напряжения трансформатора напряжения изменением числа витков первичной
обмотки.
Витковая коррекция трансформатора тока — уменьшение токовой погрешности
трансформатора тока изменением числа витков вторичной обмотки.
Виток обмотки — проводник, однократно охватывающий часть магнитной систе-
мы трансформатора, электрический ток которого совместно с токами других та-
ких же проводников и других частей трансформатора создает магнитное поле
трансформатора и в котором под действием этого магнитного поля наводится
электродвижущая сила. Виток обмотки может быть образован несколькими па-
раллельно соединенными проводниками.
Вихревое электрическое поле — электрическое поле, в котором ротор напряжен-
ности электрического поля не равен нулю.
Внешнее магнитное поле — магнитное поле, созданное магнитодвижущей силой
вне магнитопровода.
Внутреннее магнитное поле — магнитное поле внутри ферромагнетика.
Внутреннее сопротивление генератора импульсного трансформатора — сопро-
тивление, равное выходному сопротивлению генератора по эквивалентной схеме
импульсного трансформатора, включенного последовательно с первичной обмот-
кой трансформатора.
Воздушный зазор — промежуток в магнитопроводе, заполненный воздухом.
Волновое сопротивление — отношение комплексной амплитуды напряжения
к комплексной амплитуде тока, бегущей вдоль линии синусоидальной электро-
магнитной волны.
Вольт-амперная характеристика — зависимость напряжения на зажимах элемента
электрической цепи от тока в нем.
271
Восходящая ветвь петли магнитного гистерезиса — ветвь петли магнитного гис-
терезиса, получаемая при увеличении напряженности магнитного поля от мини-
мального значения до максимального.
Вращение вектора намагниченности — процесс намагничивания или перемагни-
чивания, связанный с поворотом вектора намагниченности к направлению маг-
нитного поля.
Временной спад магнитной проницаемости — относительное изменение магнит-
ной проницаемости во времени после приведения магнитного материала в дина-
мически размагниченное состояние в условиях отсутствия магнитного, механи-
ческого и теплового воздействий при заданной температуре.
Время релаксации — время, в течение которого величина, характеризующая про-
цесс релаксации, снижается в е ® 2,718 раз.
Встречная дифференциальная магнитная проницаемость по петле магнитного ги-
стерезиса — производная от магнитной индукции по напряженности магнитного
поля в данной точке петли магнитного гистерезиса при dH < 0 для восходящей
ветви и при dH > 0 для нисходящей ветви, деленная на магнитную постоянную.
Встречное расположение двух индуктивных катушек — катушки расположены
встречно, если их потокосцепления и электродвижущие силы самоиндукции и
взаимной индукции противоположны по направлению.
Вторичная нагрузка трансформатора тока — полное сопротивление внешней вто-
ричной цепи трансформатора тока, выраженное в омах с указанием коэффициен-
та мощности.
Вторичная обмотка трансформатора — обмотка трансформатора, от которой от-
водится энергия преобразованного переменного тока.
Вторичное напряжение трансформатора напряжения — напряжение, возника-
ющее на зажимах вторичной обмотки трансформатора при приложении напряже-
ния к его первичной обмотке.
Вторичный ток трансформатора тока — ток, протекающий по вторичной обмотке
трансформатора тока.
Входная величина — ток или напряжение, подводимые к зажимам, рассматрива-
емым как вход цепи.
Входная функция цепи — операторные или комплексные сопротивления или про-
водимость со стороны входа цепи.
Входной согласующий сигнальный трансформатор — согласующий сигнальный
трансформатор для согласования внутреннего полного электрического сопротив-
ления источника сигнала с полным входным сопротивлением функционального
узла электронной аппаратуры.
Выходная величина — ток или напряжение на зажимах, рассматриваемых как вы-
ход цепи.
Выходная функция цепи — операторные или комплексные сопротивления или
проводимость со стороны выхода цепи.
Выходной согласующий сигнальный трансформатор — согласующий сигнальный
трансформатор для согласования выходного полного электрического сопротив-
ления каскада электронной аппаратуры с полным сопротивлением приемника.
272
д
Двухобмоточный трансформатор — трансформатор, имеющий две основные
гальванически не связанные обмотки.
Двухполюсник — часть электрической схемы с двумя выделенными зажимами,
именуемыми полюсами.
Действующий периодический электрический ток — среднее квадратичное перио-
дическое значение электрического тока за период.
Аналогично определяются действующие периодические электродвижущая сила,
напряжение, магнитодвижущая сила, магнитный поток и т. д.
Диапазон частот — полоса частот, которой присвоено условное наименование.
Динамическая коэрцитивная сила — коэрцитивная сила по динамической петле
магнитного гистерезиса.
Динамическая остаточная магнитная индукция — остаточная магнитная индукция
по динамической петле магнитного гистерезиса.
Динамическая петля магнитного гистерезиса ~ замкнутая кривая, выражающая
зависимость магнитной индукции материала от напряженности магнитного поля,
которое периодически изменяется с определенной частотой. При этом, как пра-
вило, под магнитной индукцией понимается плотность магнитного потока, а под
напряженностью магнитного поля — напряженность внешнего магнитного поля.
Динамически размагниченное состояние — размагниченное состояние, получен-
ное при помощи внешнего знакопеременного периодического магнитного поля,
амплитуда напряженности которого уменьшается от значения, соответствующего
намагниченности насыщения, до нуля.
Дифференциальная магнитная восприимчивость — производная от намагничен-
ности по напряженности магнитного поля в данной точке начальной кривой на-
магничивания.
Дифференциальная магнитная проницаемость — производная от магнитной ин-
дукции по напряженности магнитного поля в данной точке начальной кривой на-
магничивания, деленная на магнитную постоянную.
Дифференциальная магнитная проницаемость по петле магнитного гистерези-
са — производная от магнитной индукции по напряженности магнитного поля
в данной точке петли магнитного гистерезиса при dH > 0 для восходящей ветви
и при dH < 0 для нисходящей ветви, деленная на магнитную постоянную.
Диэлектрик — вещество, основным электрическим свойством которого является
способность поляризоваться в электрическом поле.
Добротность катушки индуктивности — отношение индуктивного сопротивления ка-
тушки к ее активному сопротивлению.
Домен — область в магнитном материале, имеющая пространственно однород-
ное упорядочение магнитных моментов атомов.
Доменная граница — переходная область между соседними доменами, в которой
магнитные моменты атомов постепенно меняют свое пространственное упорядо-
чение от упорядочения, соответствующего одному домену, до упорядочения со-
седнего домена.
273
Доменная структура — магнитное строение материала с точки зрения размера,
формы и взаимного расположения доменов, ориентации векторов намагничен-
ности в доменах и доменных границах.
Е
Емкостная связь — связь электрических цепей посредством электрического поля
в диэлектрике.
Емкостное сопротивление — абсолютное значение реактивного сопротивления,
обусловленного емкостью цепи, равное величине, обратной произведению этой
емкости и угловой частоты.
Емкость конденсатора — электрическая емкость между электродами конденсатора.
Естественное воздушное охлаждение — охлаждение частей сухого трансформато-
ра путем естественной конвекции воздуха и частично лучеиспускания в воздухе.
3
Замкнутый магнитопровод — магнитопровод, не имеющий немагнитных зазоров
нормальных направлению основного магнитного потока.
и
Идеальный источник тока — источник тока, внутренняя проводимость которого
равна нулю.
Идеальный источник электродвижущей силы — источник электродвижущей силы,
внутреннее электрическое сопротивление которого равно нулю.
Изоляция трансформатора — совокупность изоляционных деталей и заполня-
ющей трансформатор изоляционной среды, исключающая замыкание металли-
ческих частей трансформатора, находящихся во время его работы под напряже-
нием, с заземленными частями, а также частей, находящихся под разными потен-
циалами, между собой.
Изотропное тело — тело, в котором физические свойства не зависят от направ-
ления внутри тела.
Импульс электрического тока — электрический ток, длящийся малый интервал
времени относительно рассматриваемого промежутка времени.
Аналогично определяются импульсы электродвижущей силы, напряжения, магни-
тодвижущей силы, магнитного потока и т. д.
Импульсный трансформатор — сигнальный трансформатор, предназначенный
для передачи, формирования, преобразования и запоминания импульсных сиг-
налов.
Индуктивная катушка — элемент электрической цепи, предназначенный для ис-
пользования его индуктивности.
Индуктивная связь — связь электрических цепей посредством магнитного поля.
Индуктивное сопротивление — реактивное сопротивление, обусловленное индук-
тивностью цепи и равное произведению индуктивности и угловой частоты.
Индуктивность — собственная индуктивность.
274
Источник тока — источник электромагнитной энергии, характеризующийся током
в нем и внутренней проводимостью.
Источник электрической энергии — электротехническое устройство, преобразу-
ющее различные виды энергии в электрическую энергию.
Источник электродвижущей силы — источник электромагнитной энергии, харак-
теризующийся электродвижущей силой и внутренним электрическим сопротивле-
нием.
к
Каркас катушки — элемент катушки трансформатора малой мощности, на кото-
ром расположены обмотки трансформатора.
Каскад усиления — минимальная часть электронного усилителя, сохраняющая
его функции.
Катушка индуктивности — индуктивная катушка, являющаяся элементом колеба-
тельного контура и предназначенная для использования ее добротности.
Катушка обмотки — группа последовательно соединенных витков, конструктивно
объединенная и отделенная от других таких групп или обмоток.
Катушка трансформатора малой мощности — часть трансформатора, содержа-
щая обмотки.
Квазистатическое перемагничивание — процесс перемагничивания при медлен-
ном (бесконечно медленном) изменении напряженности магнитного поля.
Класс точности трансформатора тока (напряжения) — обобщенная характеристи-
ка трансформатора, определяемая установленными пределами допускаемых по-
грешностей при заданных условиях работы. Класс точности обозначается числом,
которое равно пределу допускаемой токовой погрешности (погрешности напря-
жения) в процентах при номинальном первичном токе (напряжении).
Колебательная составляющая свободного тока — составляющая свободного тока,
совершающая колебания с переменой знака.
Колебательный контур — электрическая цепь, в которой может возникать колеба-
тельная составляющая свободного тока.
Кольцевой магнитопровод — магнитопровод в виде тела, образованного враще-
нием прямоугольника вокруг оси, лежащей в плоскости этого прямоугольника.
Коммутационная кривая намагничивания — основная кривая намагничивания.
Коммутация электрической цепи — процесс замыкания или размыкания электри-
ческой цепи.
Комплексная амплитуда синусоидального тока — комплексная величина, модуль
и аргумент которой равны соответственно амплитуде и начальной фазе данного
синусоидального тока.
Комплексная магнитная проницаемость — отношение комплексной магнитной
индукции к комплексной напряженности магнитного поля, деленное на магнит-
ную постоянную. При этом напряженность магнитного поля изменяется во вре-
мени синусоидально, а для магнитной индукции берется составляющая, изме-
275
няющаяся со временем синусоидально с той же частотой, что и напряженность
магнитного поля.
Комплексная электрическая проводимость — комплексная величина, равная от-
ношению комплексного тока в данной пассивной цепи или ее элемента к комп-
лексному напряжению на ее зажимах или на этом элементе.
Комплексное электрическое сопротивление — комплексная величина, равная от-
ношению комплексного напряжения на зажимах данной пассивной электрической
цепи или ее элемента к комплексному току в этой цепи или в этом элементе.
Комплексный действующий синусоидальный ток — комплексная величина, мо-
дуль которой равен действующему синусоидальному току и аргумент которой ра-
вен начальной фазе этого тока.
Комплексный мгновенный синусоидальный ток — комплексная величина, завися-
щая от времени, модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде
и аргументу данного синусоидального тока.
Конденсатор — элемент электрической цепи, предназначенный для использова-
ния его емкости.
Контейнер магнитопровода — элемент трансформатора, служащий для защиты
магнитопровода от внешних механических повреждений.
Контур — замкнутое тело бесконечно тонкого сечения.
Контур электрической цепи —- замкнутый путь, проходящий по нескольким
ветвям.
Коэрцитивная сила — напряженность магнитного поля, необходимая для измене-
ния магнитной индукции от остаточной магнитной индукции до нуля.
Коэффициент гармоник — коэффициент, характеризующий отличие формы дан-
ного периодического сигнала от гармонической, равный отношению среднеквад-
ратического напряжения суммы всех гармоник сигнала, кроме первой, к средне-
квадратическому напряжению первой гармоники.
Коэффициент дезаккомодации начальной магнитной проницаемости — отноше-
ние разности между начальной магнитной проницаемостью, измеренной сразу
после динамического размагничивания и через заданный интервал времени,
к начальной магнитной проницаемости, измеренной сразу после динамического
размагничивания.
Коэффициент заполнения магнитным материалом сечения магнитопровода — от-
ношение площади поперечного сечения магнитного материала к площади гео-
метрического сечения магнитопровода.
Коэффициент заполнения окна магнитопровода — отношение суммарной площа-
ди поперечного сечения металла всех витков всех обмоток, проходящих через
окно магнитопровода, к площади этого окна.
Коэффициент затухания сигнального трансформатора — величина, характеризу-
ющая ослабление сигнала за счет индуктивности рассеяния и собственной емко-
сти трансформатора.
Коэффициент мощности — отношение активной мощности к полной.
27Ь
Коэффициент ослабления — величина, характеризующая уменьшение амплитуды
бегущей вдоль линии волны тока или напряжения при перемещении волны
на единицу длины линии, равная вещественной части коэффициента распрост-
ранения.
Коэффициент передачи трансформатора малой мощности по напряжению — от-
ношение напряжения на вторичной обмотке трансформатора к напряжению пер-
вичной обмотки под номинальной нагрузкой при приведенном коэффициенте
трансформации, равном единице.
Коэффициент прямоугольности петли магнитного гистерезиса — отношение ос-
таточной магнитной индукции при нулевой напряженности магнитного поля к мак-
симальной магнитной индукции на данной симметричной петле гистерезиса.
Коэффициент распространения — комплексная величина, характеризующая из-
менение модуля и аргумента комплексной амплитуды, бегущей вдоль линии си-
нусоидальной волны тока или напряжения при перемещении волны на единицу
длины линии, равная натуральному логарифму отношения комплексных амплитуд
тока или напряжения этой волны для двух точек линии, отстоящих друг от друга
на единицу длины.
Коэффициент трансформации трансформатора малой мощности — отношение
числа витков вторичной обмотки к числу витков первичной обмотки.
Коэффициент трансформации трансформатора напряжения — отношение напря-
жений на зажимах первичной и вторичной обмоток при холостом ходе.
Коэффициент трансформации трансформатора тока — отношение первичного
тока к вторичному току.
Коэффициент усиления мощности электронного усилителя — отношение мощ-
ности, развиваемой на сопротивлении нагрузки электронного усилителя, к мощ-
ности, получаемой усилителем от источника входного сигнала.
Коэффициент усиления напряжения (тока) электронного усилителя — модуль пе-
редаточной функции электронного усилителя, определяемый отношением напря-
жения (тока) на сопротивлении нагрузки электронного усилителя к напряжению
(току) на входе усилителя.
Кратность первичного тока трансформатора тока — отношение первичного тока
к его номинальному значению.
Кристаллографическая магнитная анизотропия — неодинаковость магнитных
свойств в магнитном кристаллическом материале вдоль различных кристаллогра-
фических направлений.
л
Ленточный магнитопровод — магнитопровод из ленточного магнитного материала.
Линейная электрическая цепь — электрическая цепь, электрические сопротивле-
ния, индуктивности и электрические емкости участков которой не зависят от зна-
чений и направлений токов и напряжений в цепи.
м
Магнетик — вещество, основным свойством которого является способность намаг-
ничиваться.
277
Магнит — тело, создающее или могущее создать внешнее магнитное поле.
Магнитная анизотропия — неодинаковость магнитных свойств в магнитном мате-
риале в различных направлениях.
Магнитная восприимчивость — величина, характеризующая свойство вещества
намагничиваться в магнитном поле, скалярная для изотропного вещества и рав-
ная отношению модуля намагниченности магнитного материала к модулю напря-
женности магнитного поля, и тензорная для анизотропного вещества.
Магнитная восприимчивость вращения — магнитная восприимчивость магнитно-
го материала, связанная с процессами вращения вектора намагниченности к на-
правлению магнитного поля.
Магнитная восприимчивость смещения — магнитная восприимчивость магнитно-
го материала, связанная с процессами смещения доменных границ.
Магнитная вязкость — магнитное последействие, не связанное с вихревыми то-
ками.
Магнитная индукция — векторная величина, характеризующая магнитное поле
и равная отношению силы, действующей в магнитном поле на единицу длины
проводника, перпендикулярного направлению магнитного поля, к величине элект-
рического тока в проводнике.
Магнитная индукция насыщения — величина, определяемая соотношением
Bs = Po^s, гДе — намагниченность насыщения.
Магнитное последействие — свойство магнитного материала, которое проявля-
ется в зависимости реакции магнитного материала на приложенное магнитное
поле от длительности воздействия этого поля.
Магнитная постоянная — постоянная Цо, равная 4л • 10-7 Гн/м.
Магнитная релаксация — процесс перехода магнитной структуры материала в ус-
тойчивое состояние, который можно описать с помощью экспоненциальной функ-
ции времени с характерным временем релаксации.
Магнитная проницаемость наложения —- величина, равная отношению прираще-
ния магнитной индукции ДВ к соответствующему приращению напряженности
магнитного поля АН, деленная на магнитную постоянную в некоторой точке петли
магнитного гистерезиса. Изменение магнитного поля происходит от величины
Но - АН до Но на восходящей ветви петли гистерезиса и от Но до Но + АН на нисхо-
дящей ветви.
Магнитная система электротехнического изделия — часть электротехнического
изделия, представляющая совокупность ферромагнитных деталей, предназна-
ченную для проведения в ней основной части магнитного потока.
Магнитная цепь — совокупность устройств, содержащих ферромагнитные тела,
процессы в которых могут быть описаны при помощи понятий магнитодвижущей
силы, магнитного потока и разности магнитных потенциалов.
Магнитная цепь с сосредоточенными параметрами — магнитная цепь, в которой
можно пренебречь магнитным рассеянием.
Магнитное поле — одна из двух сторон электромагнитного поля, характеризу-
ющаяся воздействием на движущуюся электрически заряженную частицу с силой,
пропорциональной заряду частицы и ее скорости.
278
Магнитное поле рассеяния обмоток — часть магнитного поля трансформатора,
созданная той частью магнитодвижущих сил всех его основных обмоток, геомет-
рическая сумма векторов которых в каждой фазе обмоток равна нулю.
Магнитное поле трансформатора — магнитное поле, созданное в трансформато-
ре совокупностью магнитодвижущих сил всех его обмоток и других частей, в ко-
торых протекает электрический ток.
Магнитное рассеяние — явление, при котором часть магнитного потока отклоня-
ется от основной магнитной цепи.
Магнитное сопротивление — скалярная величина, равная отношению разности
магнитных потенциалов на рассматриваемом участке магнитной цепи к магнитно-
му потоку в этом участке. Разность магнитных потенциалов определяется как ли-
нейный интеграл от напряженности магнитного поля вдоль этого участка.
Магнитные потери — потери энергии в магнитном материале, связанные с его
перемагничиванием.
Магнитные потери на вихревые токи — магнитные потери в магнитном материа-
ле, связанные с протеканием в нем вихревых токов.
Магнитные заряды — модельное представление разности нормальных составля-
ющих на границе раздела (поверхностные магнитные заряды) и дивергенции на-
магниченности (объемные магнитные заряды) в теории магнетизма.
Магнитный гистерезис — неоднозначная зависимость магнитной индукции
(намагниченности) магнитного материала от напряженности внешнего магнитно-
го поля при его квазистатическом перемагничивании.
Магнитный материал — материал, обладающий свойствами ферромагнетика или
ферримагнетика.
Магнитный момент тела — векторная величина, равная геометрической сумме
магнитных моментов всех элементарных магнитных моментов в данном теле.
Магнитный поток — поток магнитной индукции.
Магнитный элемент — элемент электрической цепи, состоящий из магнитопрово-
да и одной или нескольких обмоток.
Магнитодвижущая сила вдоль замкнутого контура — скалярная величина, равная
линейному интегралу напряженности магнитного поля вдоль рассматриваемого
замкнутого контура и равная полному току, охватываемому этим контуром.
Магнитомеханический гистерезис — неоднозначная зависимость намагничен-
ности образца из магнитного материала, находящегося в постоянном внешнем
магнитном поле, от внешнего упругого напряжения при его квазистатическом пе-
ремагничивании.
Магнитомягкий материал — магнитный материал с коэрцитивной силой по индук-
ции не более 4000 А/м.
Магнитопровод — магнитная система электротехнического изделия или совокуп-
ность нескольких ее частей в виде отдельной конструктивной единицы.
Магнитостатическое поле — магнитное поле неподвижных намагниченных тел.
Магнитострикция — изменение размеров магнитного материала, связанное с из-
менением его магнитного состояния.
279
Магнитострикция насыщения — значение продольной магнитострикции при до-
стижении в магнитном материале состояния магнитного насыщения из изотроп-
ного магнитного состояния.
Магнитотвердый материал — магнитный материал с коэрцитивной силой по ин-
дукции не менее 4000 А/м.
Макроскопическая величина — среднее значение физической величины в физи-
чески бесконечно малом объеме.
Максимальная относительная магнитная проницаемость — максимальное зна-
чение относительной магнитной проницаемости на основной кривой намагни-
чивания.
Мгновенная мощность двухполюсника — скорость поступления в двухполюсник
электромагнитной энергии в данный момент времени, равная произведению
мгновенных тока и напряжения на входе двухполюсника.
Мгновенный электрический ток — значение электрического тока в рассматрива-
емый момент времени.
Аналогично определяются мгновенные электродвижущая сила, напряжение, маг-
нитодвижущая сила, магнитный поток, электрический заряд и т. д.
Меандр — периодическая последовательность прямоугольных импульсов, дли-
тельность которых в два раза меньше периода.
Межкаскадный согласующий сигнальный трансформатор — согласующий сиг-
нальный трансформатор для согласования выходного и входного полных электри-
ческих сопротивлений каскадов усиления электронной аппаратуры.
н
Наведенная магнитная анизотропия — магнитная анизотропия, полученная в маг-
нитном материале после внешнего воздействия.
Нагрузка энергоустановки потребителя — значение мощности или количества
тепла, потребляемых энергоустановкой в установленный момент времени.
Наибольшее (наименьшее) значение параметра — допустимый верхний (нижний)
предел изменения рабочего параметра.
Наибольший первичный ток трансформатора тока — наибольшее значение пер-
вичного тока, длительное протекание которого допустимо по условиям пере-
грева.
Накопительный реактор — реактор, предназначенный для накопления энергии
с целью последующей ее выдачи.
Намагниченность — векторная величина, характеризующая магнитное состояние
вещества, численно равная отношению магнитного момента физически малого
объема тела к этому объему.
Намагниченность насыщения — намагниченность магнитного материала, подвер-
гнутого воздействию такого внешнего магнитного поля, при увеличении напря-
женности которого намагниченность не может быть существенно повышена.
Намагничивание — процесс, в результате которого под воздействием внешнего
магнитного поля возрастает намагниченность магнитного материала.
280
Намотка — процесс укладки и закрепления одного или одновременно двух или
более проводов на каркасах и сердечниках.
Нанокристаллический сплав — сплав, в котором после термической обработки
размер кристаллитов не превышает 100 нм.
Направленное упорядочение — упорядочение, возникающее диффузионным пу-
тем в результате появления избыточного, по сравнению с изотропным, числа пар
атомов, ориентированных в заданном направлении.
Напряженность магнитного поля — векторная величина, характеризующая маг-
нитное поле токов и не зависящая от свойств среды, связанная с магнитной
индукцией соотношением Н=7777-
РФо
Напряженность электрического поля — векторная величина, характеризующая
электрическое поле и определяющая силу, действующую на заряженную частицу
со стороны электрического поля.
Насыщающийся реактор — реактор с нелинейной характеристикой, нелинейность
которой обусловлена насыщением магнитной системы или ее части за счет изме-
нения потокосцепления основной обмотки.
Начальная кривая намагничивания по индукции — кривая, выражающая зависи-
мость магнитной индукции от напряженности магнитного поля в процессе намаг-
ничивания предварительно термически размагниченного магнитного материала
при последовательном возрастании напряженности магнитного поля.
Начальная кривая намагничивания по намагниченности — кривая, выражающая
зависимость намагниченности от напряженности магнитного поля в процессе на-
магничивания предварительно термически размагниченного магнитного матери-
ала при последовательном возрастании напряженности магнитного поля.
Начальная магнитная восприимчивость — магнитная восприимчивость при
стремлении напряженности магнитного поля к нулю.
Начальная относительная магнитная проницаемость — относительная магнитная
проницаемость при стремлении напряженности магнитного поля к нулю.
Начальная фаза синусоидального электрического тока — значение фазы синусо-
идального тока в начальный момент времени.
Аналогично определяются начальные фазы синусоидальных электродвижущей
силы, напряжения, магнитодвижущей силы, магнитного потока, электрического
заряда и т. д.
Нелинейная электрическая цепь — электрическая цепь, электрическое сопротив-
ление, индуктивность или электрическая емкость хотя бы одного из участков ко-
торой зависят от значений или от направлений токов и напряжений в этом участ-
ке цепи.
Немагнитный зазор — промежуток в магнитопроводе, заполненный немагнитным
материалом.
Необратимые процессы — физические процессы, которые могут самопроизволь-
но протекать только в одном направлении — в сторону равномерного распреде-
ления температуры, плотности, концентрации компонентов или других макроско-
пических параметров. В замкнутых системах необратимые процессы приводят
к возрастанию энтропии.
281
Неравновесное состояние — состояние термодинамической системы, характери-
зующееся неоднородным распределением температуры, плотности, концентра-
ции компонентов или других макроскопических параметров в отсутствии внешних
воздействий. Неоднородность системы приводит к необратимым процессам, в ре-
зультате которых изолированная система достигает равновесия.
Несимметричная петля магнитного гистерезиса — петля магнитного гистерезиса,
полученная при циклическом изменении напряженности магнитного поля между
неравными по абсолютному значению максимальной и минимальной напряжен-
ностями.
Нижняя граничная частота — минимальная частота полосы пропускания.
Нисходящая ветвь петли магнитного гистерезиса — ветвь петли магнитного гис-
терезиса, получаемая при снижении напряженности магнитного поля от макси-
мального значения до минимального.
Номинальная добротность катушки индуктивности — значение добротности при
номинальном значении индуктивности, являющееся исходным для отсчета откло-
нений.
Номинальная мощность трансформатора малой мощности — сумма мощностей
вторичных обмоток трансформатора малой мощности, в котором мощность каж-
дой обмотки определяется произведением номинального тока на номинальное
напряжение.
Номинальная мощность трансформатора напряжения — значение полной мощно-
сти, указанное на паспортной табличке трансформатора напряжения, которую он
отдает во вторичную цепь при номинальном вторичном напряжении с обеспече-
нием соответствующих классов точности. Трансформатор напряжения имеет не-
сколько значений номинальной мощности, соответствующих классам точности.
Номинальное значение параметра — значение параметра электротехнического
изделия, указанное изготовителем, при котором оно должно работать, являюще-
еся исходным для отсчета отклонений.
Нормальная относительная магнитная проницаемость — относительная магнит-
ная проницаемость.
о
Область Рэлея — область напряженности магнитного поля, в которой процессы
намагничивания и перемагничивания приближенно могут быть описаны уравне-
ниями Рэлея.
Обмотка высшего напряжения трансформатора — основная обмотка трансфор-
матора, имеющая наибольшее номинальное напряжение по сравнению с другими
его основными обмотками.
Обмотка многослойная внавал — многослойная обмотка без упорядоченной рас-
кладки витков.
Обмотка низшего напряжения трансформатора — основная обмотка трансформа-
тора, имеющая наименьшее номинальное напряжение по сравнению с другими
его основными обмотками.
282
Обмотка электротехнического изделия — совокупность определенным образом
расположенных и соединенных витков, предназначенная для создания или ис-
пользования магнитного поля или для получения заданного значения сопротив-
ления.
Обратимая магнитная проницаемость — предел магнитной проницаемости нало-
жения при стремлении АН к нулю.
Объемная магнитострикция — относительное изменение объема образца из маг-
нитного материала при его намагничивании.
Одноосная магнитная анизотропия — магнитная анизотропия с одной осью лег-
кого намагничивания.
Однородное тело — изотропное тело, в котором физические свойства не зависят
от координаты внутри тела.
Однослойная (многослойная) обмотка — обмотка, все витки которой расположе-
ны в один (более одного) слой.
Однофазный трансформатор — трансформатор, в магнитной системе которого
создается однофазное магнитное поле.
Окно магнитопровода — пространство, ограниченное внутренними частями маг-
нитопровода.
Основной энергетический показатель импульсного трансформатора — величина,
характеризующая способность импульсного трансформатора передавать элект-
рическую энергию импульсного сигнала с допустимыми искажениями его формы,
определяемая произведением длительности импульса на входное импульсное
напряжение.
Остаточная магнитная индукция — магнитная индукция, сохраняющаяся в магнит-
ном материале после намагничивания его до намагниченности насыщения
и уменьшения напряженности магнитного поля до нуля.
Остаточная магнитная индукция на частном цикле — магнитная индукция, сохра-
няющаяся в магнитном материале после намагничивания его до максимальной
магнитной индукции Bmax < Bs и уменьшения напряженности магнитного поля
до нуля.
Относительная диэлектрическая проницаемость — величина, равная отношению
абсолютной диэлектрической проницаемости к электрической постоянной.
Относительная магнитная проницаемость — величина, равная отношению абсо-
лютной магнитной проницаемости к магнитной постоянной.
Основная кривая намагничивания — кривая, представляющая геометрическое
место вершин симметричных петель магнитного гистерезиса, которые получают-
ся при последовательно возрастающих максимальных значениях напряженности
магнитного поля.
Ось легкого намагничивания — ось, при намагничивании вдоль которой величина
напряженности магнитного поля, необходимая для достижения намагниченности
насыщения, имеет минимальное значение.
Ось трудного намагничивания — ось, при намагничивании вдоль которой величи-
на напряженности магнитного поля, необходимая для достижения намагниченно-
сти насыщения, имеет максимальное значение.
283
п
Падение напряжения — напряжение на участке электрической цепи или ее эле-
менте.
Паразитная емкость — собственная емкость сигнального трансформатора.
Параллельное соединение участков электрической цепи — соединение, при кото-
ром все участки цепи присоединяются к одной паре узлов, т. е. находятся под
действием одного и того же напряжения.
Парамагнетик — вещество, атомы (ионы или молекулы) которого имеют резуль-
тирующий магнитный момент при отсутствии магнитного поля. Во внешнем маг-
нитном поле магнитная восприимчивость такого вещества положительна и на-
много меньше единицы.
Пассивная цепь — электрическая цепь, не содержащая источников электрической
энергии.
Первичная обмотка трансформатора — обмотка трансформатора, к которой под-
водится энергия преобразуемого переменного тока.
Первичное напряжение трансформатора напряжения — напряжение, приложен-
ное к первичной обмотке трансформатора и подлежащее трансформации.
Первичный ток трансформатора тока — ток, протекающий по первичной обмотке
трансформатора тока и подлежащий трансформации.
Передаточная функция цепи — отношение выходной величины к входной, выра-
женных в комплексной или операторной форме.
Перемагничивание — процесс, в результате которого под воздействием внешне-
го магнитного поля направление вектора намагниченности магнитного материала
меняется на противоположное.
Переменный электрический ток — электрический ток, изменяющийся с течением
времени.
Аналогично определяются переменные электродвижущая сила, напряжение, маг-
нитодвижущая сила, магнитный поток, электрический заряд и т. д.
Перепад магнитной индукции в магнитопроводе импульсного трансформатора —
разность между магнитной индукцией по предельной петле магнитного гистере-
зиса и остаточной магнитной индукцией при одностороннем перемагничивании
импульсного трансформатора.
Переходный процесс в электрической цепи — электромагнитный процесс, возни-
кающий в электрической цепи при переходе от одного установившегося режима
к другому.
Переходный электрический ток — электрический ток в цепи во время переходного
процесса.
Аналогично определяются переходные электродвижущая сила, напряжение, маг-
нитодвижущая сила, магнитный поток и т. д.
Период электрического тока — наименьший интервал времени, по истечении ко-
торого мгновенные значения периодического электрического тока повторяются.
Аналогично определяются периоды электродвижущей силы, напряжения, магни-
тодвижущей силы, магнитного потока, электрического заряда и т. д.
284
Периодический электрический ток — электрический ток, мгновенные значения
которого повторяются через равные промежутки времени.
Аналогично определяются периодические электродвижущая сила, напряжение,
магнитодвижущая сила, магнитный поток, электрический заряд и т. д.
Петля магнитного гистерезиса по индукции — замкнутая кривая, выражающая за-
висимость магнитной индукции материала от амплитуды напряженности магнит-
ного поля при периодическом достаточно медленном изменении последнего.
Петля магнитного гистерезиса по намагниченности — замкнутая кривая, выражав
ющая зависимость намагниченности материала от амплитуды напряженности
магнитного поля при периодическом достаточно медленном изменении послед-
него.
Плотность объемных магнитных зарядов — величина, определяемая соотно-
шением рм ~ -podivM.
Плотность поверхностных магнитных зарядов — величина, определяемая соотно-
шением ам = - Мгп) и пропорциональная разности нормальных составля-
ющих намагниченности на границе раздела.
Плотность электрического тока проводимости — векторная величина, равная
пределу отношения тока проводимости сквозь некоторый элемент поверхности,
нормальный к направлению движения носителей заряда, к этому элементу поверх-
ности, когда этот элемент поверхности стремится к нулю.
Поверхностная кристаллизация — начальная стадия кристаллизации аморфной
ленты, которая характеризуется ростом кристаллов на поверхности.
Повышающий трансформатор — трансформатор, у которого первичная обмотка
является обмоткой низшего напряжения.
Погрешность напряжения трансформатора напряжения —- погрешность, которую
вносит трансформатор напряжения в измерение напряжения, возникающая
вследствие того, что действительный коэффициент трансформации не равен но-
минальному. Погрешность напряжения определяется как арифметическая раз-
ность между приведенным к первичной цепи действительным вторичным на-
пряжением и действительным первичным напряжением, выраженная в процентах
от действительного первичного напряжения.
Полная мощность двухполюсника — величина, равная произведению действу-
ющих тока и напряжения на входе двухполюсника.
Полная погрешность трансформатора тока — действующее значение разности
между произведением номинального коэффициента трансформации на мгновен-
ное действительное значение вторичного тока и мгновенным значением первич-
ного тока в установившемся режиме.
Полное электрическое сопротивление — параметр электрической цепи или ее
схемы, равный отношению действующего тока на входе пассивной электрической
цепи к действующему напряжению на ее зажимах при синусоидальных напряже-
нии и токе.
Полное электрическое сопротивление — параметр электрической цепи или ее
схемы, равный отношению действующего напряжения на зажимах пассивной
электрической цепи к действующему току на входе этой цепи при синусоидаль-
ных напряжении и токе.
285
Полоса пропускания электронного усилителя — полоса частот, на границах кото-
рой коэффициент усиления напряжения (тока) электронного усилителя уменьша-
ется по отношению к наибольшей величине в установленное число раз.
Полупроводник — вещество, основным свойством которого является сильная его
электропроводности от воздействия внешних факторов, например, температура,
электрическое поле, свет.
Понижающий трансформатор — трансформатор, у которого первичной обмоткой
является обмотка высшего напряжения.
Последовательное соединение участков электрической цепи — соединение, при
котором через все участки цепи проходит один и тот же ток.
Постоянная времени первичной обмотки трансформатора малой мощности — по-
стоянная времени электрической цепи первичной обмотки трансформатора, оп-
ределяемая отношением индуктивности первичной обмотки к ее активному со-
противлению.
Постоянная времени электрической цепи — величина, характеризующая элект-
рическую цепь, в которой свободный ток является экспоненциальной функцией
времени, равная интервалу времени, в течение которого ток в этой цепи убывает
в е раз, где е — основание натурального логарифма.
Постоянный электрический ток — электрический ток не изменяющийся во времени.
Аналогично определяются постоянные электродвижущая сила, напряжение, маг-
нитодвижущая сила, магнитный поток, электрический заряд и т. д.
Потери трансформатора — активная мощность, расходуемая в магнитной систе-
ме, обмотках и других частях трансформатора при различных режимах работы.
Потери холостого хода трансформатора — потери, возникающие в трансфор-
маторе в режиме холостого хода при номинальном напряжении и номинальной
частоте.
Потокосцепление — сумма магнитных потоков, сцепленных с проводниками эле-
мента электрической цепи.
Потокосцепление взаимной индукции — потокосцепление одного элемента элект-
рической цепи, обусловленное электрическим током в другом элементе цепи.
Потокосцепление самоиндукции — потокосцепление элемента электрической
цепи, обусловленное электрическим током в этом элементе.
Предельная мощность трансформатора напряжения — полная мощность, кото-
рую трансформатор напряжения длительно отдает при номинальном первичном
напряжении, вне класса точности, и при которой нагрев всех его частей не выходит
за пределы, допустимые для класса нагревостойкости данного трансформатора.
Предельная петля магнитного гистерезиса — симметричная петля магнитного ги-
стерезиса, максимальное значение магнитной индукции на которой соответству-
ет магнитной индукции насыщения.
Преобразователь электрической энергии — электротехническое устройство,
преобразующее электрическую энергию с одними значениями параметров
и (или) показателей качества в электрическую энергию с другими значениями па-
раметров и (или) показателей качества.
286
Преобразовательный реактор — реактор, предназначенный для работы в преоб-
разователях электрической энергии, а также в тиристорных и транзисторных
ключах.
Приемник электрической энергии — устройство, в котором происходит преобра-
зование электрической энергии в другой вид энергии для ее использования.
Приращение магнитной индукции — разность максимальной магнитной индукции
и остаточной магнитной индукции на петле магнитного гистерезиса АВ = Бт - Вг.
Проводник — вещество, основным свойством которого является электропровод-
ность.
Продольная магнитострикция — относительное изменение линейного размера
образца из магнитного материала в направлении его намагничивания.
Прямоугольная петля магнитного гистерезиса — петля магнитного гистерезиса,
у которой отношение магнитной индукции при нулевой напряженности магнитно-
го поля к максимальной магнитной индукции не менее 0,85.
Пульсирующий электрический ток — периодический электрический ток, не изме-
няющий своего направления.
Аналогично определяются пульсирующие электродвижущая сила, напряжение,
магнитодвижущая сила, магнитный поток, электрический заряд и т. д.
р
Рабочее значение параметра — значение параметра электротехнического изде-
лия, ограниченное допускаемыми пределами.
Развязывающий сигнальный трансформатор — сигнальный трансформатор, пред-
назначенный для гальванической развязки электрических цепей.
Размагниченное состояние — состояние магнитного материала, при котором
значение его намагниченности равно нулю.
Размагничивание — процесс, в результате которого под воздействием внешнего
магнитного поля уменьшается намагниченность магнитного материала.
Размагничивающее магнитное поле — магнитное поле, созданное поверхностны-
ми магнитными зарядами в ферромагнитном теле.
Реактивная мощность двухполюсника — величина, равная при синусоидальных
токе и напряжении произведению действующих напряжения, тока и синуса угла
фазового сдвига между напряжением и током.
Реактивная проводимость — параметр электрической цепи или ее схемы, равный
корню квадратному из разности квадратов полного и активного сопротивлений
цепи, взятому со знаком плюс, если ток отстает по фазе от напряжения, и со зна-
ком минус, если ток опережает по фазе напряжение.
Реактивное сопротивление — параметр электрической цепи или ее схемы, рав-
ный корню квадратному из разности квадратов полной и активной проводимо-
стей, взятому со знаком плюс, если ток отстает по фазе от напряжения, и со зна-
ком минус, если ток опережает по фазе напряжение.
Режим А усилительного элемента — режим работы усилительного элемента, при
котором угол отсечки равен л.
287
Режим В усилительного элемента — режим работы усилительного элемента, при
котором угол отсечки равен я/2.
Режим короткого замыкания трансформатора — режим работы, при котором хотя
бы одна из обмоток трансформатора питается от источника с переменным напря-
жением, и хотя бы одна из других обмоток замкнута накоротко.
Режим нагрузки трансформатора — режим работы возбужденного трансформато-
ра при наличии токов не менее чем в двух его основных обмотках, каждая из ко-
торых замкнута на внешнюю цепь. При этом не учитываются токи, протекающие
в двух или более обмотках в режиме холостого хода.
Режим холостого хода трансформатора — режим работы, при котором одна из
обмоток трансформатора питается от источника с переменным напряжением,
а другие обмотки не замкнуты на внешние цепи.
Резистор — элемент электрической цепи, предназначенный для использования
его электрического сопротивления.
Резонанс в электрической цепи — явление в электрической цепи, содержащей
участки, имеющие индуктивный и емкостный характер, при котором разность фаз
напряжения и тока на входе цепи равна нулю.
Резонансная частота — частота'тока и напряжения при резонансе в цепи.
Релаксация — процесс перехода материала в устойчивое состояние.
Рядовая обмотка — обмотка, витки которой располагаются в ряд вдоль ее оси
с шагом, равным наружному диаметру провода. Обмотка может иметь любое чис-
ло рядов.
с
Самоиндукция — электромагнитная индукция, вызванная изменением сцепляюще-
гося с контуром магнитного потока, обусловленного электрическим током в этом
контуре.
Самопроизвольная (спонтанная) магнитострикция — деформация области само-
произвольной намагниченности (домена) в магнитном материале при охлаждении
его ниже температуры Кюри.
Самопроизвольная (спонтанная) намагниченность — намагниченность домена,
численно равная намагниченности насыщения Ms в интервале температуры от О К
до температуры Кюри и не зависящая от напряженности внешнего магнитного
поля.
Свободный электрический ток — электрический ток, равный разности переходно-
го и установившегося токов.
Связанные электрические цепи — электрические цепи, процессы в которых влия-
ют друг на друга посредством общего магнитного поля или общего электрическо-
го поля.
Сглаживающий реактор — реактор, предназначенный для включения последова-
тельно в цепь постоянного тока с целью снижения пульсаций тока.
Секционированная обмотка — обмотка трансформатора, состоящая из отдельных
секций, допускающих различные соединения.
288
Семейство петель магнитного гистерезиса — набор петель магнитного гистере-
зиса, измеренных при фиксированной частоте и разной максимальной магнитной
индукции или при фиксированной максимальной магнитной индукции и разной
частоте.
Сердечник электротехнического изделия — ферромагнитная деталь, на которой
или вокруг которой расположена обмотка электротехнического изделия.
Сетевой трансформатор питания — трансформатор питания электронной аппара-
туры, предназначенный для работы от сети переменного тока.
Сигнальный трансформатор — трансформатор малой мощности, предназначен-
ный для передачи, преобразования, запоминания электрических сигналов.
Сигнальный трансформатор непрерывных сигналов — сигнальный трансформа-
тор, предназначенный для передачи и преобразования непрерывных сигналов
в заданной полосе частот.
Силовая электрическая цепь — электрическая цепь, содержащая элементы, фун-
кциональное назначение которых состоит в производстве или передаче основной
электрической энергии, ее распределении, преобразовании в другой вид энергии
или в электрическую энергию с другими значениями параметров.
Силовой трансформатор — трансформатор, преобразующий электрическую энер-
гию в электрических сетях и в установках, предназначенных для приема и исполь-
зования электрической энергии.
Симметричная петля магнитного гистерезиса — петля магнитного гистерезиса,
полученная при циклическом изменении напряженности магнитного поля между
равными по абсолютному значению максимальной и минимальной напряженно-
стями и симметричная относительно начала координат.
Синусоидальный электрический ток — периодический электрический ток, явля-
ющийся синусоидальной функцией времени.
Аналогично определяются синусоидальные электродвижущая сила, напряжение,
магнитодвижущая сила, магнитный поток, электрический заряд и т. д.
Скалярная величина — физическая величина, полностью определяемая одним
численным положительным или отрицательным значением или, в общем случае,
функцией точки пространства, принимающей действительные численные значения.
Скин-эффект — явление,' которое проявляется в снижении напряженности маг-
нитного (или электрического) поля по мере удалении от поверхности проводяще-
го магнитного материала, находящегося во внешнем магнитном (или электриче-
ском) поле.
Слой обмотки — ряд витков от одного и более, расположенных на одной цилинд-
рической поверхности.
Смешанное соединение участков электрической цепи — сочетание последователь-
ного и параллельное соединений участков электрической цепи.
Смещение доменных границ — процесс намагничивания или перемагничивания,
связанный со смещением доменных границ.
Собственная (паразитная) емкость сигнального трансформатора — электриче-
ская емкость трансформатора, определяемая элементами его конструкции.
289
Собственная индуктивность — скалярная величина, равная отношению потоко-
сцепления самоиндукции элемента электрической цепи к току в нем.
Собственная частота колебательного контура — частота колебательной составля-
ющей свободного тока.
Согласное расположение двух индуктивных катушек — катушки расположены со-
гласно, если их потокосцепления и электродвижущие силы самоиндукции и вза-
имной индукции совпадают по направлению.
Согласующий трансформатор — сигнальный трансформатор, предназначенный
для согласования различных полных сопротивлений электрических цепей при
преобразовании и передачи электрических, сигналов.
Сопло — устройство с отверстием для выпуска расплава.
Сопротивление короткого замыкания четырехполюсника — комплексное или опе-
раторное сопротивление пассивного четырехполюсника со стороны одной пары
зажимов, когда другая пара замкнута накоротко.
Сопротивление холостого хода четырехполюсника — комплексное или оператор-
ное сопротивление пассивного четырехполюсника со стороны одной пары зажи-
мов, когда другая пара разомкнута.
Спиннингование расплава — метод получения аморфной ленты, существенными
чертами которого является формирование струи жидкого металла путем выпуска
расплава через отверстие и подача струи на двигающуюся поверхность, выполня-
ющую роль холодильника.
Сплав — композиция, состоящая по крайней мере из двух химических элементов
и полученная плавлением этих элементов.
Среднеквадратическое значение сигнала — корень квадратный из среднего зна-
чения квадрата сигнала.
Средняя длина магнитной линии магнитопровода — путь, описанный центром тя-
жести площади поперечного сечения магнитопровода вокруг своей оси.
Средняя кривая намагничивания — кривая намагничивания, на которой магнит-
ная индукция определяется средним значением магнитной индукции восходящей
и нисходящей ветвей петли магнитного гистерезиса для каждого значения напря-
женности магнитного поля.
Старение — процесс изменения свойств магнитного материала со временем
вследствие изменения внутренней структуры материала, протекающий замедлен-
но при комнатной температуре (естественное старение) и ускоренно при повы-
шенной температуре (искусственное старение).
Стационарное магнитное поле — магнитное поле не изменяющихся во времени
электрических токов при условии неподвижности проводников с токами.
Стационарное электрическое поле — электрическое поле не изменяющихся во
времени электрических токов при условии неподвижности проводников с токами.
Стержень — часть магнитной системы, на которой располагаются основные об-
мотки трансформатора.
Сторонняя сила — сила, действующая на заряженную частицу, обусловленная не-
электромагнитными при макроскопическом рассмотрении процессами, напри-
мер, тепловые процессы, химические реакции и т. д.
10 Теория и расчет трансформаторов
290
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Стороннее поле — поле сторонних сил с напряженностью, равной отношению
сторонней силы, действующей на заряженную частицу к заряду этой частицы.
Структурная релаксация — процесс перехода структуры материала при постоян-
ной температуре в устойчивое состояние.
Сухой трансформатор — трансформатор, в котором основной изолирующей сре-
дой служит атмосферный воздух или другой газ или твердый диэлектрик, а ох-
лаждающей средой атмосферный воздух.
Схема замещения электрической цепи — схема электрической цепи, отобража-
ющая свойства цепи при определенных условиях.
Схема электрической цепи — графическое изображение электрической цепи, со-
держащее условные обозначения ее элементов, показывающее соединения этих
элементов.
т
Температура Кюри — критическая температура, выше которой ферромагнетик
становится парамагнетиком.
Тензор магнитной проницаемости — тензор, определяющий связь между про-
странственными векторами магнитной индукции и напряженности магнитного
поля.
Тензорная величина — физическая величина, определяемая системой чисел или
функций, которые при изменении системы координат преобразуются согласно
известным формулам.
Термически размагниченное состояние — размагниченное состояние, получен-
ное повышением температуры материала выше температуры Кюри и последу-
ющим охлаждением его при отсутствии внешнего магнитного поля.
Термомагнитная обработка —- термическая обработка магнитного материала
в магнитном поле, в результате которой наводится магнитная анизотропия.
Термомагнитная обработка в поперечном магнитном поле — термомагнитная об-
работка, при которой наводится магнитная анизотропия с осью легкого намагни-
чивания направленной поперек оси перемагничивания магнитопровода.
Термомагнитная обработка в продольном магнитном поле — термомагнитная об-
работка, при которой наводится магнитная анизотропия с осью легкого намагни-
чивания направленной вдоль оси перемагничивания магнитопровода.
Ток короткого замыкания трансформатора — ток в обмотке трансформатора при
испытании на стойкость в режиме короткого замыкания.
Ток проводимости — скалярная величина, равная производной по времени от
электрического заряда, переносимого носителями заряда сквозь рассматрива-
емую поверхность.
Ток холостого хода трансформатора — ток первичной обмотки трансформатора
в режиме холостого хода и номинальном синусоидальном напряжении номиналь-
ной частоты на ее зажимах.
Токовая погрешность трансформатора тока — погрешность, которую вносит
трансформатор тока в измерение тока, возникающая вследствие того, что дейст-
291
вительный коэффициент трансформации не равен номинальному. Токовая по-
грешность определяется как арифметическая разность между действительным
вторичным током и приведенным ко вторичной цепи действительным первичным
током, выраженная в процентах от приведенного ко вторичной цепи действитель-
ного первичного тока.
Тор — тело, образование вращением круга вокруг оси, лежащей в плоскости круга,
но не пересекающей эту плоскость.
Тороидальный магнитопровод — магнитопровод в виде тела, образованного вра-
щением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости этой фигуры. В узком
смысле — плоской фигурой является круг.
Трансформатор — статическое электромагнитное устройство, имеющее две или
более индуктивно связанных обмоток и предназначенное для преобразования по-
средством электромагнитной индукции одной или нескольких систем переменно-
го тока в одну или несколько других систем переменного тока.
Трансформатор звуковой частоты — согласующий сигнальный трансформатор
в полосе пропускания звуковой частоты.
Трансформатор малой мощности — однофазный трансформатор с выходной
мощностью 4 кВ-А и ниже и трехфазный трансформатор с выходной мощностью
5 кВ-А и ниже.
Трансформатор напряжения — трансформатор, в котором при нормальных усло-
виях применения вторичное напряжение практически пропорционально первич-
ному напряжению и при правильном включении сдвинуто относительно него по
фазе на угол, близкий к нулю.
Трансформатор питания электронной аппаратуры ~ трансформатор малой мощ-
ности, предназначенный для преобразования напряжения электрических сетей
в напряжения, необходимые для питания электронной аппаратуры.
Трансформатор тока ~ трансформатор, в котором при нормальных условиях при-
менения вторичный ток практически пропорционален первичному току и при пра-
вильном включении сдвинут относительно него по фазе на угол, близкий к нулю.
Трансформатор тока для измерений — трансформатор тока, предназначенный
для передачи сигнала измерительной информации измерительным приборам.
У
Угловая погрешность трансформатора напряжения — угол между векторами пер-
вичного и вторичного напряжения при таком выборе их направлений, чтобы для
идеального трансформатора напряжения этот угол равнялся нулю. Угловая по-
грешность выражается в минутах и считается положительной, когда вектор вто-
ричного напряжения опережает вектор первичного напряжения.
Угловая погрешность трансформатора тока — угол между векторами первичного
и вторичного токов при таком выборе их направлений, чтобы для идеального
трансформатора тока этот угол равнялся нулю. Угловая погрешность выражается
в минутах и считается положительной, когда вектор вторичного тока опережает
вектор первичного тока.
Угловая частота синусоидального электрического тока — скорость изменения фа-
зы тока, равная частоте синусоидального электрического тока, умноженной на 2п.
292
Аналогично определяются угловые частоты синусоидальных электродвижущей
силы, напряжения, магнитодвижущей силы, магнитного потока, электрического
заряда и т. д.
Угол отсечки — половина периода, выраженная в угловых единицах, в течение ко-
торого сигнал проходит через усилительный элемент.
Удельная добротность катушки индуктивности — отношение добротности катушки
индуктивности на заданной частоте к объему ее конструкции.
Удельная электрическая проводимость — величина, характеризующая электро-
проводность вещества, скалярная для изотропного вещества, равная отношению
модуля плотности тока проводимости к модулю напряженности электрического
поля, тензорная для анизотропного вещества.
Удельное электрическое сопротивление — величина, равная отношению модуля
напряженности электрического поля к модулю плотности тока, скалярная для
изотропного вещества и тензорная для анизотропного вещества.
Узел электрической цепи — место соединения ветвей электрической цепи.
Узкополосный трансформатор — согласующий сигнальный трансформатор, у ко-
торого отношение наибольшей частоты к наименьшей частоте в полосе пропуска-
ния не превышает двухсот.
Усилитель звуковой частоты — электронный усилитель сигналов звуковой час-
тоты.
Ускоренное старение — процесс старения, протекающий при повышенной темпе-
ратуре по сравнению с температурой эксплуатации.
Установившийся режим в электрической цепи — режим, при котором электродви-
жущие силы, напряжения и токи в цепи являются постоянными или периодиче-
скими.
Установившийся электрический ток — периодический или постоянный электри-
ческий ток, устанавливающийся в электрической цепи после окончания переход-
ного процесса при воздействии на цепь периодических или постоянных электро-
движущей силы или напряжения.
Участок электрической цепи — часть электрической цепи, содержащая выделен-
ную совокупность ее элементов.
ф
Фазовый сдвиг между напряжением и током — алгебраическая величина, опре-
деляемая путем вычитания начальной фазы тока из начальной фазы напряжения.
Аналогично определяются фазы синусоидальных электродвижущей силы, напря-
жения, магнитодвижущей силы, магнитного потока, электрического заряда и т. д.
Фаза синусоидального электрического тока — аргумент синусоидального тока,
отсчитываемый от точки перехода тока через нуль к положительному значению.
Аналогично определяются фазы синусоидальных электродвижущей силы, напря-
жения, магнитодвижущей силы, магнитного потока, электрического заряда и т. д.
Фазовый сдвиг — модуль разности начальных фаз двух гармонических сигналов
одинаковой частоты.
293
Фазочастотная характеристика цепи — зависимость от частоты аргумента вход-
ной, выходной или передаточной функции цепи, выраженных в комплексной
форме.
Фазочастотная характеристика электронного усилителя — зависимость аргумен-
та передаточной функции электронного усилителя от частоты гармонического
входного сигнала.
Ферромагнетик — вещество, в котором магнитные моменты атомов находятся
в состоянии самопроизвольного магнитного упорядочения, причем результиру-
ющие магнитные моменты каждого из доменов отличны от нуля.
Физически бесконечно малый элемент — элемент объема, поверхности или ли-
нии, который с одной стороны, чрезвычайно велик по сравнению с микроскопи-
ческими неоднородностями среды и поля, а с другой стороны, он чрезвычайно
мал по сравнению с макроскрпическими неоднородностями среды и поля, так что
средние значения физических величин в любом из этих элементов должны бес-
конечно мало отличаться от средних значений этих величин в смежных с ними
элементах.
X
Хрупкость — свойства материала разрушаться без заметной пластической де-
формации.
ч
Частная петля магнитного гистерезиса — петля магнитного гистерезиса при мак-
симальной магнитной индукции меньше магнитной индукции насыщения.
Частота электрического тока — величина, обратная периоду электрического тока.
Аналогично определяются частоты электродвижущей силы, напряжения, магнито-
движущей силы, магнитного потока, электрического заряда и т. д.
Четырехполюсник — часть электрической цепи, имеющая две пары зажимов, ко-
торые могут быть входными или выходными.
ш
Шаг намотки — расстояние между осевыми или образующими линиями провода
двух соседних витков.
Ширина полосы частот — разность между верхним и нижним пределами полосы
частот.
Широкополосный трансформатор — согласующий сигнальный трансформатор,
у которого отношение наибольшей частоты к наименьшей частоте в полосе про-
пускания более двухсот.
э
Эквивалентная электрическая схема — схема замещения, в которой величины,
подлежащие рассмотрению, имеют те же значения, что и в исходной схеме заме-
щения.
Эквивалентный генератор напряжения — эквивалентная схема замещения актив-
ного двухполюсника на источник электродвижущей силы с напряжением на зажи-
294
мах, равным напряжению холостого хода двухполюсника и внутренним сопротив-
лением, равным входному сопротивлению двухполюсника.
Электрическая емкость — скалярная величина, характеризующая способность
проводника накапливать электрический заряд, равная отношению заряда провод-
ника к его потенциалу в предположении, что все другие проводники бесконечно
удалены и что потенциал бесконечно удаленной точки принят равным нулю.
Электрическая емкость между двумя проводниками — скалярная величина, рав-
ная абсолютному значению отношения электрического заряда одного проводника
к разности электрических потенциалов двух проводников при условии, что эти
проводники имеют одинаковые по значению, но противоположные по знаку заря-
ды, и что все другие проводники бесконечно удалены.
Электрическая поляризация — состояние вещества, характеризуемое тем, что
электрический момент данного объема вещества имеет значение, отличное от
нуля.
Электрическая постоянная — постоянная, равная £□= 8,854 • 10 12 Ф/м.
Электрическая цепь — совокупность устройств и объектов, образующих путь для
электрического тока, электромагнитные процессы в которых могут быть описаны
с помощью понятий об электродвижущей силы, токе и напряжении.
Электрическая цепь измерения — электрическая цепь, функциональное назначе-
ние которой состоит в измерении и (или) регистрации значений параметров
и (или) получении информации измерений электротехнического устройства или
электрооборудования.
Электрическая цепь с распределенными параметрами — электрическая цепь,
в которой электрические сопротивления, проводимости, индуктивности и элект-
рические емкости распределены вдоль цепи.
Электрическая цепь с сосредоточенными параметрами — электрическая цепь,
в которой электрические сопротивления, индуктивности и электрические емкости
считаются сосредоточенными на отдельных участках этой цепи.
Электрический реактор — индуктивная катушка, предназначенная для использо-
вания ее в силовой электрической цепи.
Электрический ток проводимости — явление направленного движения свободных
носителей электрического заряда в веществе или вакууме.
Электрическое изделие (устройство) — изделие (устройство), предназначенное
для производства, преобразования, распределения, передачи и использования
электрической энергии или для ограничения возможности его передачи.
Электрическое напряжение — скалярная величина, равная линейному интегралу
напряженности электрического поля.
Электрическое соединение — соединение участков электрической цепи, при по-
мощи которого образуется электрическая цепь.
Электрическое сопротивление постоянному току — скалярная величина, равная
отношению постоянного напряжения на участке пассивной электрической цепи
к постоянному току в нем при отсутствии на участке электродвижущей силы.
Электродвижущая сила — скалярная величина, характеризующая способность
стороннего поля и индуктированного электрического поля вызывать электриче-
295
ский ток. Электродвижущая сила равна линейному интегралу напряженности сто-
роннего поля и индуктированного электрического поля вдоль рассматриваемого
пути между двумя точками или вдоль рассматриваемого замкнутого контура.
Электромагнитная индукция — явление возбуждения электродвижущей силы
в контуре при изменении магнитного потока, сцепляющегося с ним.
Электронная цепь — электрическая цепь, в элементах которой используется яв-
ление электрической проводимости в газах, в вакууме и в проводниках.
Электронный усилитель — усилитель электрических сигналов, в усилительных
элементах которого используются явления электрической проводимости в газах,
вакууме и полупроводниках, электрическая цепь, в элементах которой использу-
ется явление электрической проводимости в газах, в вакууме и в проводниках.
Электропроводность — свойство вещества проводить под действием неизменя-
ющегося во времени электрического поля неизменяющийся во времени электри-
ческий ток.
Электростатическое поле — электрическое поле неподвижных заряженных тел
при отсутствии в них электрических токов.
Энергия магнитной анизотропии — сумма энергий магнитного взаимодействия
между электронами, энергии упругих напряжений и энергии магнитострикцион-
ных напряжений.
я
Ярмо ~ часть магнитной системы трансформатора, не несущая основных обмо-
ток и служащая для замыкания магнитной цепи.
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
А — произвольный вектор
А — коэффициент в уравнении передачи (глава 14)
AL — коэффициент индуктивности, Гн
а — произвольная векторная функция
а — постоянная фазового сдвига, рад (глава 14)
В — вектор магнитной индукции, Тл
В — магнитная индукция, Тл
В — коэффициент в уравнении передачи (глава 14)
— максимальная магнитная индукция по динамической петле гистерезиса, Тл
firn max — максимальная магнитная индукция при максимальной кратности первич-
ного тока, Тл
ВтГР — граничная максимальная магнитная индукция, Тл
Вгпах — максимальная магнитная индукция по статической петле гистерезиса, Тл
Brnn — n-гармоника максимальной магнитной индукции, Тл
Вт1 — первая гармоника максимальной магнитной индукции, Тл
Вп — составляющая магнитной индукции нормальная поверхности раздела, Тл
Вг — остаточная магнитная индукция по предельной петле гистерезиса, Тл
ВГ1 — остаточная магнитная индукция для максимальной магнитной индукции Вр Тл
Вгд — остаточная магнитная индукция по динамической петле гистерезиса, Тл
Вг800 — остаточная магнитная индукция при Нтах = 800 А/м, Тл
Во — постоянная магнитная индукция, Тл
Ввоо — магнитная индукция при Нтах = 800 А/м, Тл
Bs — магнитная индукция насыщения, Тл
В(Н) — магнитная индукция по кривой намагничивания, Тл
В*(Н) — восходящая ветвь петли гистерезиса, Тл
В (Н) — нисходящая ветвь петли гистерезиса, Тл
В — комплексная действующая магнитная индукция, Тл
b — реактивная проводимость, Ом-1
b — собственное затухание линии (глава 14)
Ьс — емкостная проводимость, Ом1
bL — индуктивная проводимость, Ом1
Ьв — вносимое затухание
ЬР — рабочее затухание
Ьо — реактивная проводимость, обусловленная основным магнитным потоком,
Ом1
Ьу — слагаемое рабочего затухания, связанного с активным сопротивлением
Ь2 — слагаемое рабочего затухания, связанного с индуктивностью первичной об-
мотки
Ь3 — слагаемое рабочего затухания, связанного с индуктивностью рассеяния
297
С — произвольный вектор
С — постоянная интегрирования
С — электрическая емкость конденсатора, Ф
С — коэффициент в уравнении передачи (глава 14)
СМ1 — емкость монтажа со стороны первичной обмотки, Ф
Сп — собственная емкость приемника, Ф
Ст — собственная емкость трансформатора, Ф
Сэ — эквивалентная собственная емкость импульсного трансформатора, Ф
Со — собственная электрическая емкость индуктивной катушки, Ф
Ci — электрическая емкость между магнитопроводом и первичной обмоткой, Ф
С12 — электрическая емкость между первичной и вторичной обмотками, Ф
С2 — электрическая емкость между магнитопроводом и вторичной обмоткой, Ф
См2 — приведенная емкость монтажа со стороны приемника, Ф
Сп — приведенная емкость приемника, Ф
Сд — приведенная эквивалентная емкость, равная сумме емкостей трансформа-
тора и приемника, Ф
С| — приведенная собственная емкость трансформатора, Ф
с — скорость распространения электромагнитной волны в вакууме, равная 3 • 10е м/с
D — вектор электрической индукции, Кл/м2
D — электрическая индукция, Кл/м2 (глава 1)
D — наружный диаметр кольцевого магнитопровода, м
D — коэффициент в уравнении передачи (глава 14)
Dn — составляющая электрической индукции нормальная поверхности раздела,
Кл/м2
Dcp — средний диаметр кольцевого магнитопровода, м
D'— наружный диаметр защитного контейнера, м
D — наружный диаметр кольцевого магнитопровода с обмотками, м
<7 — диаметр контура, м
d — внутренний диаметр кольцевого магнитопровода, м
d — расстояние между платинами конденсатора, м
d' — диаметр провода первичной обмотки, м
dy — расстояние между первым слоем обмотки и поверхностью магнитопровода, м
(глава 15)
d2 — диаметр провода вторичной обмотки, м
d12 — расстояние между наружным слоем первичной обмотки и внутренним слоем
вторичной обмотки, м
сГ— внутренний диаметр защитного контейнера, м
d— внутренний диаметр кольцевого магнитопровода с обмотками, м
Е — вектор напряженности электрического поля, В/м
£мид _ вектор напряженности электрического поля индукции, В/м
Е™ — вектор напряженности электрического поля сторонних сил, В/м
Е — напряженность электрического поля, В/м
298
F — действующее значение электродвижущей силы, В
Et — тангенциальная составляющая напряженности электрического поля, В/м
Ё— комплексная действующая электродвижущая сила, В
Ёо — комплексная электродвижущая сила, обусловленная основным магнитным
потоком, В
Е02 — комплексная электродвижущая сила вторичной обмотки, обусловленная
основным магнитным потоком, В
Ё} — комплексная электродвижущая сила первичной обмотки, В
Ё2 ~ приведенная комплексная электродвижущая сила вторичной обмотки, В
— электродвижущая сила постоянного тока, В
<^12 — постоянная электродвижущая сила, приложенная между точками 1 и 2, В
е — количество электричества, Кл
е — основание натурального логарифма
е001^ — мгновенная электродвижущая сила двух встречно включенных катушек, В
еинд _ мгновенная электродвижущая сила индукции, В
есогл _ мгновенная электродвижущая сила двух согласно включенных катушек, В
eL — мгновенная электродвижущая сила самоиндукции, В
ем — мгновенная электродвижущая сила взаимной индукции, В
ем2 “ мгновенная электродвижущая сила взаимной индукции на вторичной об-
мотке, В
е0 — мгновенная электродвижущая сила, обусловленная потокосцеплением на-
магничивания, В
е02 — мгновенная электродвижущая сила вторичной обмотки, обусловленная по-
токосцеплением намагничивания, В
F — вектор силы, Н
F— сила, Н (глава 1)
F — магнитодвижущая сила, А
F— частота следования импульсов, Гц (глава 16)
Fo2 — магнитодвижущая сила намагничивания вторичной обмотки, А
Fy — магнитодвижущая сила первичной обмотки, А
Ёт — комплексная амплитуда магнитодвижущей силы, А
f — частота, Гц
— токовая погрешность трансформатора тока
fi% токовая погрешность трансформатора тока, выраженная в процентах, %
f1%HoM — номинальная токовая погрешность трансформатора тока, %
fn — частота n-ой гармоники, Гц
fB — верхняя граничная частота полосы пропускания, Гц
fH — нижняя граничная частота полосы пропускания, Гц
fy — частота первой гармоники, Гц
G — проводимость проводника, Ом 1
G — габаритный параметр трансформатора
Gpr — габаритный параметр трансформатора тока
299
д — активная проводимость, Ом 1
д — комплексная постоянная передачи (коэффициент распространения) (глава 14)
д0 — активная проводимость, обусловленная основным магнитным потоком, Ом1
Н — вектор напряженности магнитного поля, А/м
Нв — вектор напряженности внешнего магнитного поля, А/м
Н, — вектор напряженности внутреннего магнитного поля, А/м
На — вектор напряженности магнитного поля, созданного поверхностными маг-
нитными зарядами, А/м
Н — напряженность магнитного поля, А/м
Нс — коэрцитивная сила, А/м
НСд — динамическая коэрцитивная сила, А/м
НС800 — коэрцитивная сила при Нтах = 800 А/м, А/м
НеСР— средняя напряженность внешнего магнитного поля, А/м
HL(t) — напряженность магнитного поля по статической петле магнитного гисте-
резиса, А/м
Нт — максимальная напряженность магнитного поля по динамической петле гисте-
резиса, А/м
Нтах — максимальная напряженность магнитного поля по статической петле гисте-
резиса, А/м
^тА — активная составляющая максимальной напряженности магнитного поля, А/м
НтР — реактивная составляющая максимальной напряженности магнитного поля,
А/м
Нп — составляющая напряженности магнитного поля нормальная поверхности
раздела. А/м
Ht — тангенциальная составляющая напряженности магнитного поля, А/м
НД(П — напряженность магнитного поля по динамической петле магнитного гисте-
резиса, А/м
Но — напряженность постоянного магнитного поля, А/м
Н~ комплексная действующая напряженность магнитного поля, А/м
h — высота кольцевого магнитопровода, м
/?'— высота защитного контейнера, м
h — высота кольцевого магнитопровода с обмотками, м
I — постоянный электрический ток, А
I — действующее значение переменного тока, А
1т — максимальное значение синусоидального тока, А
1К — действующее значение тока короткого замыкания, А
/ср — среднее значение синусоидального тока, А
/0А — активный ток намагничивания, А
/ор— реактивный ток намагничивания, А
701 — первая (основная) гармоника тока намагничивания, А
Л/Л ном “ кратность первичного тока
Лном ““ номинальный первичный ток, А
Лном — номинальный вторичный ток, А
300
/— комплексный действующий ток, А
Zc — комплексный ток, протекающий через емкость, А
/L — комплексный ток, протекающий через индуктивность, А
Zm — комплексная амплитуда тока, А
Zr — комплексный ток, протекающий через резистор, А
ZA — активный комплексный ток, А
/к — комплексный ток, протекающий через выходные зажимы четырехполюсника, А
ZH — комплексный ток, протекающий через входные зажимы четырехполюсника, А
7НГ — комплексный нагрузочный ток в первичной обмотке, А
/Р — реактивный комплексный ток, А
Zc — ток, протекающий через приемник при согласованном сопротивлении, А
Zo — комплексный ток намагничивания, А
Zqa — активный комплексный ток намагничивания, А
42 — комплексный ток намагничивания во вторичной обмотке, обусловленный ос-
новным магнитным потоком, А
Z02A — активная составляющая ток намагничивания ^2, А
Z02P — реактивная составляющая ток намагничивания ^2, А
Z, — комплексный первичный ток, А
Z2 — комплексный вторичный ток, А
4 — приведенный ток, протекающий через емкость, А
In — приведенный ток, протекающий через приемник, А
Го — приведенный комплексный ток намагничивания, А
ZJ — приведенный комплексный первичный ток, А
/2 — приведенный комплексный вторичный ток, А
Г* — комплексный ток, протекающий через входные зажимы в схеме с генератором
с правой стороны четырехполюсника, А
Z" — комплексный ток, протекающий через выходные зажимы в схеме с генерато-
ром с правой стороны четырехполюсника, А
Z — комплексно сопряженный ток, А
ц —- комплексно сопряженный первичный ток, А
Z2 — комплексно сопряженный вторичный ток, А
i — мгновенный электрический ток, А
1ИНД — мгновенный индукционный ток, А
ic — мгновенный ток, протекающий через емкость, А
iL — мгновенный ток, протекающий через индуктивность, А
iR — мгновенный ток, протекающий через активное сопротивление, А
iN — линейная плотность электрического тока, А/м
£и — ток замыкающийся на внутреннее сопротивление источника, А
— ток короткого замыкания, А
in — ток, протекающий через приемник, А
i0 — начальное значение электрического тока, А (глава 4)
i0 — мгновенный ток намагничивания, А
301
1од — относительный активный ток холостого хода (глава 13)
Lop — относительный реактивный ток холостого хода (глава 13)
1*02 — ток намагничивания во вторичной обмотке, обусловленный основным маг-
нитным потоком, А
— мгновенный электрический ток в первичной обмотке, А
iirnax — максимальный мгновенный электрический ток в первичной обмотке, А
— мгновенный электрический ток во вторичной обмотке, А
£ — приведенный ток протекающий через емкость, А
Й — приведенный ток протекающий через приемник, А
Ц — приведенный мгновенный электрический ток в первичной обмотке, А
4 — приведенный мгновенный электрический ток во вторичной обмотке, А
J — вектор плотности электрического тока проводимости, А/м2
JCM — вектор плотности электрического тока смещения, А/м2
J — плотность электрического тока, А/м2
Jn — составляющая плотности электрического тока нормальная поверхности раз-
дела, А/м2
Jy — плотность электрического тока первичной обмотки, А/м2
J2 — плотность электрического тока вторичной обмотки, А/м2
7 — мнимая единица, j2 = -1
— коэффициент передачи в эквивалентной схеме импульсного трансформатора
Кис — коэффициент передачи в эквивалентной схеме импульсного трансформато-
ра при согласовании сопротивлений генератора и приемника
Кг — коэффициент гармоник
Кп — коэффициент прямоугольности предельной петли магнитного гистерезиса
К^оо—коэффициент прямоугольности петли магнитного гистерезиса для Нтах= 800 А/м
К — коэффициент передачи трансформатора
К — комплексный коэффициент передачи
— коэффициент передачи в при частоте f
Кв — коэффициент передачи в области верхних частот
/<„ — коэффициент передачи в области нижних частот
кс — коэффициент передачи в области средних частот
к — коэффициент связи (глава 3)
к — коэффициент увеличения поверхности трансформатора по сравнению с по-
верхностью магнитопровода (глава 11)
к — модуль коэффициента передачи в эквивалентной схеме импульсного транс-
форматора (глава 16)
кт — коэффициент увеличения сопротивления провода вследствие нагрева
кд — коэффициент увеличения сопротивления провода вследствие скин-эффекта
к3 — коэффициент заполнения магнитопровода магнитным материалом
— коэффициент заполнения окна магнитопровода проводом первичной и вто-
ричной обмотками
км} — коэффициент заполнения окна магнитопровода проводом первичной об-
мотки
302
кМ2 ~ коэффициент заполнения окна магнитопровода проводом вторичной об-
мотки
L — замкнутый контур
L — коэффициент самоиндукции (индуктивность), Гн
Z-c — увеличение индуктивности катушки за счет собственной емкости, Гн
Ld — дифференциальная индуктивность, Гн
tA — активная индуктивность, Гн
Ls — индуктивность рассеяния трансформатора, Гн
Z_S1 — индуктивность рассеяния первичной обмотки, Гн
— индуктивность монтажа со стороны первичной обмотки, Гн
Ln — индуктивность приемника, Гн
Lp — реактивная индуктивность, Гн
Ls — эквивалентная индуктивность импульсного трансформатора, Гн
Lq — индуктивность намагничивания, Гн
— активная составляющая индуктивности намагничивания, Гн
Lqp — реактивная составляющая индуктивность намагничивания, Гн
Z_on — индуктивность катушки в параллельной эквивалентной схеме, обусловлен-
ная основным магнитным потоком, Гн
Z-02 — индуктивность намагничивания вторичной обмотки, Гн
Ly — индуктивность первичной обмотки, Гн
L2 — индуктивность вторичной обмотки, Гн
L' — эквивалентная индуктивность катушки с учетом собственной емкости, Гн
Ц— приведенная индуктивность рассеяния трансформатора, Гн
Цт — приведенная индуктивность рассеяния первичной обмотки, Гн
Ц2 — приведенная индуктивность рассеяния вторичной обмотки, Гн
Ц|2 — приведенная индуктивность монтажа со стороны приемника, Гн
L4 — приведенная индуктивность приемника, Гн
Ц — приведенная индуктивность первичной обмотки, Гн
/-2 ~ приведенная индуктивность вторичной обмотки, Гн
[ — комплексная индуктивность, Гн
ц— комплексная индуктивность намагничивания, Гн
комплексная индуктивность намагничивания вторичной обмотки, Гн
I — вектор длины плеча диполя, м
1В — длина воздушного зазора магнитопровода, м
/вит — длина одного витка провода, м
1ср — средняя длина магнитной линии магнитопровода, м
Z12 — длина проводника между точками 1 и 2, м
М — вектор намагниченности, А/м
М —• намагниченность, А/м (глава 1)
М — коэффициент взаимной индукции (взаимная индуктивность), Гн
— коэффициент частотных искажений при верхней граничной частоте
— коэффициент частотных искажений при нижней граничной частоте
303
Mn — составляющая намагниченности нормальная поверхности раздела, А/м
— коэффициент частотных искажений при заданной частоте f
Мв — коэффициент частотных искажений для области верхних частот
ЛЛН — коэффициент частотных искажений для области нижних частот
Мс — коэффициент частотных искажений для области средних частот
т — масса, кг
л — единичный вектор нормальный поверхности
п — отношение числа витков первичной обмотки к числу витков вторичной обмотки
п —отношение числа витков вторичной обмотки к числу витков первичной обмотки
^ном — номинальный коэффициент трансформации трансформатора тока
Р — вектор электрической поляризации, Кл/м2
Р — средняя мощность за период, Вт
Р — активная мощность электрической цепи, Вт
Рс — классические удельные магнитные потери на вихревые токи, Вт/м3
Ра — удельные магнитные потери на единицу объема, Вт/м3
Ра — удельные магнитные потери на единицу массы, Вт/кг
Рв — удельные магнитные потери на вихревые токи, Вт/м3
Рг — удельные магнитные потери на гистерезис, Вт/м3
Ри — удельные магнитные потери для импульсного напряжения, Вт/м3
Рп — удельные магнитные потери для напряжения прямоугольной формы, Вт/м3
Рптах ~~ максимальная мощность передаваемая приемнику, Вт
Рр — реактивная намагничивающая мощность, Вт/кг
Рт — мощность трансформатора, Вт
Р, — удельные магнитные потери первой гармоники магнитной индукции, Вт/м3
Р02/20 — удельные магнитные потери при максимальной магнитной индукции
Вт = 0,2 Тл и частоте f = 20 кГц, Вт/м3 или Вт/кг
рм — вектор магнитного момента контура тока, А - м2
Рз — вектор электрического момента диполя, Кл • м
р — мгновенная мощность, Вт
р — показатель степени при частоте в формуле для удельных магнитных потерь
р — параметр, равный отношению приведенного активного сопротивления прием-
ника и вторичной обмотки к индуктивному сопротивлению первичной обмотки
(глава 15)
Рс — мгновенная емкостная мощность, В • А
pL — мгновенная индуктивная мощность, В • А
рТ — мгновенная активная мощность, Вт
рг — мгновенная мощность, потребляемая активным сопротивлением первичной
и вторичной обмоток, Вт
рх — мгновенная реактивная мощность, В -А
рк — потери короткого замыкания, Вт
Ркном — потери короткого замыкания при номинальной нагрузке, Вт
рм — магнитные потери в магнитопроводе, Вт
304
Роб — потери в обмотках трансформатора, Вт
Роб1 — потери в первичной обмотке трансформатора, Вт
Роб2 — потери во вторичной обмотке трансформатора, Вт
рп — активная мощность, передаваемая приемнику, Вт
Ррас — мощность рассеиваемая поверхностью трансформатора, Вт
Ру — мгновенная мощность, подаваемая на первичную обмотку, Вт
ру — параметр, равный отношению активного сопротивления генератора и первич-
ной обмотки к индуктивному сопротивлению первичной обмотки (глава 15)
р2 — мгновенная мощность, потребляемая во вторичной цепи приемником, Вт
Q — теплота в единицу времени, Вт (глава 2)
Q — реактивная мощность электрической цепи, вар
QK — добротность индуктивной катушки
Оср — средняя за период теплота в единицу времени, Вт
Q* — добротность индуктивной катушки с учетом собственной емкости
q — удельная теплота в единицу времени, Вт/м3 (глава 1)
q — скважность импульсаЬ (глава 16)
q — энергия, запасаемая индуктивной катушкой, в единицу времени, Вт
R — сопротивление проводника постоянному электрическому току, Ом
R— сумма сопротивлений импульсного трансформатора и приемника, Ом (глава 16)
Ra — внутреннее сопротивление источника энергии, Ом (глава 2)
Яас — сопротивление провода на переменном токе, Ом
Rdc — сопротивление провода на постоянном токе, Ом
Rc — увеличение активного сопротивления индуктивной катушки за счет собствен-
ной емкости, Ом
Rb — сопротивление внешней цепи, Ом (глава 2)
RM — магнитное сопротивление, А/Вб = Гн 1 (глава 2)
Ro — активное сопротивление индуктивной катушки в последовательной эквива-
лентной схеме, обусловленное основным магнитным потоком, Ом
Ry — активное сопротивление импульсного трансформатора, Ом (глава 16)
R2 — активное сопротивление импульсного трансформатора на срезе импульса, Ом
(глава 16)
Rn — активное сопротивление индуктивной катушки в параллельной эквивалент-
ной схеме, обусловленное основным магнитным потоком (сопротивление
магнитных потерь), Ом
Ry2 — сопротивление проводника постоянному электрическому току между точками
1 и 2, Ом
Я'— эквивалентное активное сопротивление индуктивной катушки с учетом соб-
ственной емкости, Ом
г — сопротивление проводника переменному току, Ом
г — активное сопротивление, Ом
г — активное сопротивление эквивалентного генератора, Ом
г — параметр в формуле для удельных магнитных потерь (глава 7)
гв — параметр в формуле для удельных магнитных потерь
305
rK — активное сопротивление короткого замыкания, Ом
гвх — активное входное сопротивление, Ом
гвых — активное выходное сопротивление, Ом
гп — активное сопротивление приемника, Ом
гс — приведенное сопротивление магнитных потерь в параллельной эквивалент-
ной схеме индуктивной катушки, Ом/м
гэ — активное сопротивление эквивалентного генератора, Ом
G — активное сопротивление первичной обмотки, Ом
г2 — активное сопротивление вторичной обмотки, Ом
г2П — активное сопротивление вторичной цепи трансформатора, Ом
Гп — приведенное активное сопротивление приемника, Ом
г/ — приведенное активное сопротивление первичной обмотки, Ом
г2 — приведенное активное сопротивление вторичной обмотки, Ом
г12 — сопротивление проводника переменному току между точками 1 и 2, Ом
(глава 2)
г12 — активное сопротивление трансформатора, Ом
S — вектор площади, направленный нормально поверхности контура тока, м2
S — площадь,поперечного сечения магнитопровода, м2
S — полная намагничивающая мощность, Вт
S — полная мощность электрической цепи синусоидального тока, В-А
S0K — площадь окна магнитопровода, м2
SnP1 — площадь поперечного сечения провода первичной обмотки, м2
Snp2 — площадь поперечного сечения провода вторичной обмотки, м2
St — площадь поверхности трансформатора, м2
S2HOM — номинальное мощность трансформатора напряжения, Вт
S — комплексная полная мощность, Вт
s — показатель степени при максимальной магнитной индукции в формуле для
удельных магнитных потерь
Т — период, с
Ти — период повторения импульсов, с
Тс — температура Кюри, К (или °C)
t — время, с
U — действующее напряжение, В
Uc — напряжение между пластинами заряженного конденсатора, В
L/m — максимальное значение синусоидального напряжения, В
L/ml — максимальное напряжение на первичной обмотке, В
L/m2 — максимальное напряжение на вторичной обмотке, В
Ua — среднеквадратичное (действующее) напряжение i-гармоники, обусловлен-
ное основным магнитным потоком, В
Ux — действующее напряжение на первичной обмотке, В
— амплитуда импульса на первичной обмотке, В (глава 16)
U2 — амплитуда импульса на вторичной обмотке, В (глава 16)
306
U2 — действующее напряжение на вторичной обмотке, В
(Угв — действующее напряжение на вторичной обмотке в области верхних частот, В
L/2H — действующее напряжение на вторичной обмотке в области нижних частот, В
L/2C — действующее напряжение на вторичной обмотке в области средних частот, В
Un — действующее напряжение на приемнике, В
L/1K — испытательное напряжение первичной обмотки в опыте короткого замыка-
ния, В
L/12 — напряжение между точками 1 и 2, В
L/ihom — номинальное напряжение на первичной обмотке, В
Ргном “ номинальное напряжение на вторичной обмотке, В
L/2H — приведенное вторичное напряжение в области нижних частот, В
U2C ““ приведенное вторичное напряжение в области средних частот, В
U— комплексное напряжение, В
UL— комплексное индуктивное напряжение, В
йс — комплексное емкостное напряжение, В
йк — комплексное напряжение на выходных зажимах четырехполюсника, В
L/H — комплексное напряжение на входных зажимах четырехполюсника, В
Uc — напряжение на приемнике при согласованном сопротивлении, В
й0 — комплексное напряжение на индуктивной катушке, обусловленное основным
магнитным потоком, В
U02 — комплексное напряжение на вторичной обмотке, обусловленное основным
магнитным потоком, В
U, — комплексное первичное напряжение, В
й2 — комплексное вторичное напряжение, В
й\ — приведенное комплексное первичное напряжение, В
(f2 — приведенное комплексное вторичное напряжение, В
U* — комплексное напряжение на входных зажимах в схеме, в которой генератор
расположен с правой стороны четырехполюсника, В
6п — комплексное напряжение на выходных зажимах в схеме, в которой генера-
тор расположен с правой стороны четырехполюсника, В
и — параметр в формуле кривой намагничивания
ис — мгновенное напряжение на обкладках конденсатора, В
uL1 — мгновенное напряжение самоиндукции на первичной обмотке, В
l/L2 — мгновенное напряжение самоиндукции на вторичной обмотке, В
иМ1 — мгновенное напряжение взаимной индукции на первичной обмотке, В
иМ2 — мгновенное напряжение взаимной индукции на вторичной обмотке, В
“ падение напряжения на активном сопротивлении трансформатора напряже-
ния в режиме короткого замыкания (глава 13)
иКР — падение напряжения на реактивном сопротивлении трансформатора напря-
жения в режиме короткого замыкания (глава 13)
их — напряжение холостого хода, В
и0 — мгновенное напряжение на первичной обмотке, обусловленное основным
магнитным потоком, В
307
иу — мгновенное напряжение на первичной обмотке, В
с/1А — относительное активное падение напряжения на первичной обмотке (глава 13)
и1Р — относительное реактивное падение напряжения на первичной обмотке
(глава 13)
и2 — мгновенное напряжение на вторичной обмотке, В
и2Ф — фактическое*мапряжение на вторичной обмотке, В
— приведенное мгновенное напряжение на первичной обмотке, В
с?2 — приведенное мгновенное напряжение на вторичной обмотке, В
^гтах “ максимальный выброс обратного напряжения, В
и — нормированное приведенное вторичное напряжение
1/м — объем магнитного материала, м3
V3 — объем зазора между обмотками трансформатора, м3
V) — объем, м3
v — вектор скорости движения заряда, м/с
v — показатель степени при магнитной индукции в формуле для кривой намагни-
чивания
И/А — плотность магнитной энергии, выделяемой в виде теплоты в магнитопрово-
де, Дж/м3
И/г — гистерезисные потери (площадь петли магнитного гистерезиса), Дж/м3
И/м — плотность магнитной энергии, Дж/м3
И/э — плотность электрической энергии, Дж/м3
w — число витков обмотки
и/м — магнитная энергия, Дж
wQ — электрическая энергия, Дж
и/, — число витков первичной обмотки
мбном ““ номинальное число витков первичной обмотки
w2 ~ число витков вторичной обмотки
^гном ~ номинальное число витков вторичной обмотки
Хм — мнимая часть комплексного магнитного сопротивления, Гн-1
Хо — реактивное сопротивление индуктивной катушки в последовательной экви-
валентной схеме, обусловленное основным магнитным потоком, Ом
Х02 “ реактивное сопротивление вторичной обмотки, обусловленное основным
магнитным потоком, Ом
х — реактивное сопротивление, Ом
х — реактивное сопротивление эквивалентного генератора, Ом
хс — емкостное сопротивление, Ом
xL — индуктивное сопротивление, Ом
xs — индуктивное сопротивление рассеяния, Ом
xsi — индуктивное сопротивление рассеяния первичной обмотки, Ом
xS2 — индуктивное сопротивление рассеяния вторичной обмотки, Ом
хк — реактивное сопротивление короткого замыкания, Ом
хвх — реактивное входное сопротивление, Ом
308
хп — реактивное сопротивление приемника, Ом
Хгп — реактивное сопротивление вторичной цепи трансформатора, Ом
хс — приведенное емкостное сопротивление, Ом
х' — приведенное индуктивное сопротивление, Ом
xs2 — приведенное индуктивное сопротивление рассеяния вторичной обмотки, Ом
Хп — приведенное реактивное сопротивление приемника, Ом
у — модуль комплексной проводимости, Ом-1
У — комплексная проводимость, Ом 1
Yq — комплексное проводимость индуктивной катушки, обусловленная основным
магнитным потоком, Ом-1
Z — комплексное сопротивление, Ом
Z — комплексное сопротивление эквивалентного генератора, Ом
2с — комплексное сопротивление конденсатора, Ом
2с — характеристическое сопротивление четырехполюсника со стороны генера-
тора, Ом
ZL — комплексное сопротивление индуктивной катушки, Ом
2Г — комплексное сопротивление резистора, Ом
2Х — комплексное сопротивление параллельного соединения вторичной цепи
с 2^, Ом
ZBX — комплексное входное сопротивление, Ом
2ВЫХ — комплексное выходное сопротивление, Ом
2ВХВ — комплексное входное сопротивление трансформатора в области верхних
частот, Ом
ZBX н — комплексное входное сопротивление трансформатора в области нижних
частот, Ом
2ВЫХв комплексное выходное сопротивление трансформатора в области верхних
частот, Ом
2Выхн — комплексное выходное сопротивление трансформатора в области нижних
частот, Ом
2К — комплексное сопротивление короткого замыкания, Ом
2М — комплексное магнитное сопротивление магнитной цепи, Ом
2П — комплексное сопротивление приемника, Ом
20 — комплексное сопротивление приемника, равное характеристическому со-
противлению четырехполюсника со стороны приемника, Ом
^по — комплексное сопротивление приемника, равное характеристическому со-
противлению четырехполюсника со стороны генератора, Ом
Zo — комплексное сопротивление, обусловленное основным магнитным потоком, Ом
Z02 — комплексное сопротивление вторичной обмотки, обусловленное основным
магнитным потоком, Ом
Z1 — комплексное сопротивление первичной обмотки, Ом
Z2 — комплексное сопротивление вторичной обмотки, Ом
Z^ — комплексное сопротивление вторичной цепи трансформатора, Ом
Z — комплексно сопряженное сопротивление, Ом
309
Zn — комплексно сопряженное сопротивление приемника, Ом
Z'c — приведенное комплексное емкостное сопротивление, Ом
^rl ~ приведенное комплексное активно-индуктивное сопротивление приемника, Ом
Zn — приведенное комплексное сопротивление приемника, Ом
ZJ — приведенное комплексное сопротивление вторичной обмотки, Ом
Z* — комплексное сопротивление вторичной цепи трансформатора тока, Ом
Ze — характеристическое сопротивление четырехполюсника со стороны прием-
ника, Ом
z — модуль комплексного сопротивления, Ом
z — модуль комплексного сопротивления эквивалентного генератора, Ом
2вх — модуль комплексного входного сопротивления, Ом
гвхн ~ модуль комплексного входного сопротивления трансформатора в области
нижних частот, Ом
zK — модуль комплексного сопротивления короткого замыкания, Ом
zn — модуль комплексного сопротивления приемника, Ом
z0 — модуль комплексного сопротивления, обусловленного основным магнитным по-
током, Ом
z02 — модуль комплексного сопротивления вторичной обмотки, обусловленного
основным магнитным потоком, Ом
z12 — модуль комплексного сопротивления трансформатора, Ом
zy — модуль комплексного сопротивления первичной обмотки, Ом
z2 — модуль комплексного сопротивления вторичной обмотки, Ом
22п — модуль комплексного сопротивления вторичной цепи трансформатора, Ом
г2пном_ модуль номинального комплексного сопротивления вторичной цепи
трансформатора, Ом
Zn — модуль приведенного комплексного сопротивления приемника, Ом
а — отношение наружного диаметра к внутреннему диаметру магнитопровода
(глава 3)
а — коэффициент теплоотдачи, ВтДм2- град)
Ог — угол между вторичным током j2 и электродвижущей силой рад
у — плотность, кг/м3
ун — коэффициент несинусоидапьности кривой напряжения
Д — полная погрешность трансформатора тока
д* — полная погрешность трансформатора тока, выраженная в процентах, %
ДВ ~ приращение магнитной индукции, Тл
ДН — приращение напряженности магнитного поля, А/м
ДТ — температура перегрева, К
ДУ — бесконечно малый элемент объема, мэ
AZ — вносимое комплексное сопротивление, Ом
Д/ — бесконечно малый элемент длины линейного проводника, м
Др — мощность, теряемая в трансформаторе, Вт
дг — вносимое активное сопротивление, Ом
310
Au — погрешность напряжения трансформатора напряжения, %
Аин — погрешность напряжения в режиме нагрузки, %
Дик — изменение погрешности напряжения за счет витковой коррекции, %
ЛЦюм “ номинальная погрешность напряжения трансформатора напряжения, %
Данном — номинальная погрешность напряжения, обусловленная нагрузкой, %
Аих — погрешность напряжения в режиме холостого хода, %
Дохнем “ номинальная погрешность напряжения в режиме холостого хода, %
Aw — увеличение числа витков
Aw, — увеличение числа первичных витков
Ах — вносимое реактивное сопротивление, Ом
А 8'— размах угловой погрешности трансформатора тока, мин
Ац — размах относительной магнитной проницаемости
А, — толщина первичной обмотки трансформатора, м
А2 — толщина вторичной обмотки трансформатора, м
А12 — расстояние между первичной и вторичной обмотками трансформатора, м
Ai/H — относительное изменение напряжения, связанное с режимом нагрузки
Аих — относительное изменение напряжения, связанное с режимом холостого хода
8 — угол между обратным вторичным током -72 и первичным током Ц, рад-
(глава 12)
8 — угол между обратным вторичным напряжением -L/' и первичным напряжением
йх, рад (глава 13)
6 — угловая погрешность трансформатора тока, рад
8В — неравномерность вершины импульса, В
8Н — угол между обратным вторичным напряжением -t/2 и первичным напряже-
нием йу, связанный с током нагрузки, рад
8С — выброс в паузе импульса, В
6ф — выброс на вершине импульса, В
8х — угол между обратным вторичным напряжением -1У2 и первичным напряже-
нием йу, обусловленный током холостого хода, рад
8% — угловая погрешность трансформатора тока, выраженная в процентах, %
5'— угловая погрешность трансформатора тока, выраженная в минутах, мин
8н — угловая погрешность трансформатора напряжения в режиме холостого
хода, мин
Знном — номинальная угловая погрешность трансформатора напряжения в режиме
холостого хода, мин
бном “ номинальная угловая погрешность трансформатора напряжения, мин
8Х — угловая погрешность трансформатора напряжения, обусловленная нагруз-
кой, мин
Бхном — номинальная угловая погрешность трансформатора напряжения, обус-
ловленная нагрузкой, мин
£ — относительная диэлектрическая проницаемость
£0 — электрическая постоянная, равная е0=(ц0с2)-1 =8,854-10 ,2 Ф/м, где с — ско-
рость света
311
е1 — относительная диэлектрическая проницаемость изоляции между магнито-
проводом и первичной обмоткой
ei2 — относительная диэлектрическая проницаемость изоляции между обмотками
т| — коэффициент полезного действия источника (трансформатора)
к — диэлектрическая восприимчивость среды
А — удельная электрическая проводимость, А/В • м
А — коэффициент затухания (глава 16)
А^ — минимальный коэффициент затухания (глава 16)
А* — коэффициент затухания, Гц (глава 4)
А^ — магнитострикция насыщения
ц — относительная магнитная проницаемость
ц — модуль комплексной относительной магнитной проницаемости
Цв-о.о1 — начальная относительная магнитная проницаемость для магнитной ин-
дукции В = 0,01 Тл
Pd — дифференциальная относительная магнитная проницаемость по кривой на-
магничивания по восходящей ветви петли гистерезиса при dH > 0 и по нис-
ходящей ветви при dH < 0
Ра. — встречная дифференциальная относительная магнитная проницаемость
по восходящей ветви петли гистерезиса при dH < 0 и по нисходящей ветви
при dH > 0
Шпах — максимальная относительная магнитная проницаемость
щ. — обратимая относительная магнитная проницаемость
|лд — относительная магнитная проницаемость наложения
Рн — начальная относительная магнитная проницаемость
Ро — магнитная постоянная, равная 4л•10”? Гн/м
Pt — действительная (индуктивная) часть комплексной относительной магнитной
проницаемости
pis — мнимая (активная) часть комплексной относительной магнитной проница-
емости
Но.ов — относительная магнитная проницаемость при напряженности магнитного
поля 0,08 А/м
Ц — комплексная относительная магнитная проницаемость
р — удельное электрическое сопротивление, Ом * м
р — волновое сопротивление трансформаторной цели, Ом (глава 16)
рэ — объемная плотность электрического заряда, Кл/м3
рм — объемная плотность магнитных зарядов, Вб/м3
стм — поверхностная плотность магнитных зарядов, Вб/м2
т — постоянная времени электрической цепи, с
тв — постоянная времени трансформаторной цепи на вершине импульса, с
ти — длительность импульса, с
тР — постоянная времени магнитной релаксации, с
тс — длительность среза импульса, с
тф — длительность фронта импульса, с
Tf — постоянная времени первичной обмотки, с
312
х — нормированное время
тф — нормированная длительность фронта
То, — нормированная длительность фронта на уроне нормированного напряже-
ния и =0,1
т09 — нормированная длительность фронта на уроне нормированного напряже-
ния у =0,9
Ф — магнитный поток, Вб
ФБ — магнитный поток рассеяния, Вб
Фо — действующее значение основного магнитного потока, Вб
ф52 — комплексный поток рассеяния вторичной обмотки, Вб
ф0 — комплексный основной магнитный поток, Вб
— комплексная амплитуда основного магнитного потока, Вб
ср — электрический потенциал, В
Фв — Угол между напряжением 02 электродвижущей силой источника Ё в области
верхних частот, рад
фн — угол между напряжением й2 электродвижущей силой источника Ё в области
нижних частот, рад
фп — угол между напряжением приемника и током, рад
ф2 — угол между напряжением вторичной обмотки трансформатора и током, рад
X — магнитная восприимчивость среды
Т — потокосцепление, Вб
TL — потокосцепление самоиндукции, Вб
Ts — потокосцепление рассеяние, Вб
% — потокосцепление намагничивания, Вб
%2 — потокосцепление намагничивания вторичной обмотки, Вб
Т, — потокосцепление первичной обмотки, Вб
Т2 — потокосцепление вторичной обмотки, Вб
Ф — угол потерь, рад
фв — начальная фаза магнитной индукции, рад
фн — начальная фаза напряженности магнитного поля, рад
vgj — начальная фаза тока, рад
ф1о — начальная фаза тока намагничивания, рад
ц/;02 — начальная фаза тока намагничивания вторичной обмотки, рад
Фи — начальная фаза первичного тока, рад
Ф<2 — начальная фаза вторичного тока, рад
Фи — начальная фаза напряжения, рад
ф01 — начальная фаза первичного напряжения, рад
фи2 — начальная фаза вторичного напряжения, рад
фк — начальная фаза к-гармоники, рад
со — угловая частота, Гц
сов — верхняя граничная угловая частота, Гц
соо — угловая частота свободных колебаний, Гц
ЛИТЕРАТУРА
1. Беккер Р. Теория электричества. Т. 2. Электронная теория. Л.; М.: ГИТТЛ,
1941. 391 с.
2. Тамм И. Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1966. 624 с.
3. Гольдфайн И. А. Векторный анализ и теория поля. М.: Наука, 1968. 128 с.
4. Парселл Э. Электричество и магнетизм. М.: Наука, 1975. 440 с.
5. Калашников С. Г. Электричество. М.: Наука, 1977. 592 с.
6. Зоммерфельд А. Электродинамика. М.: ИИЛ, 1958. 502 с.
7. Халилеев П. А. Основные понятия электродинамики сплошных сред. Сверд-
ловск: Изд-во УрО АН СССР, 1989. 226 с.
8. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука,
1982. 624 с.
9. Справочник по электротехническим материалам/ Под ред. Ю. В. Корицкого,
В. В. Пасынкова, Б. М. Тареева. Т. 3. Л.: Энергоиздат, 1988. 728 с.
10. Электроника. Энциклопедический словарь/ Гл. редактор В. Г. Колесников. М.:
Сов. энциклопедия, 1991. 688 с.
11. Шимони К. Теоретическая электротехника. М.: Мир, 1964. 775 с.
12. Вонсовский С. В., Шур Я. С. Ферромагнетизм. М.; Л.: ГИИТП, 1948. 816 с.
13. БозортР. Ферромагнетизм. М.: ИИЛ, 1956. 784 с.
14. Вонсовский С. В. Магнетизм. М.: Наука, 1971. 1031 с.
15. Зайкова В. А., Старцева И. Е., Филиппов Б. Н. Доменная структура и магнит-
ные свойства электротехнических сталей. М.: Наука, 1992. 272 с.
16. Стародубцев Ю. Н., Белозеров В. Я. Магнитные свойства аморфных и нано-
кристаллических сплавов. Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2002. 384 с.
17. Аркадьев В. К. Электромагнитные процессы в металлах. Ч. 2. Электромагнит-
ные поля. М.; Л.: ОНТИ, 1936. 304 с.
18. Нейман Л. P.t Демирчян К. С. Теоретические основы электротехники. Т. 1.
Л.: Энергоиздат, 1981. 534 с.
19. Нейман Л. Р., Демирчян К. С. Теоретические основы электротехники. Т. 2.
Л.: Энергоиздат, 1981. 416 с.
20. Костенко М. П., Пиотровский Л. М. Электрические машины. Ч. 1. Машины по-
стоянного тока. Трансформаторы. Л.: Энергия, 1972. 644 с.
21. Касаткин А. С. Электротехника. М.: Энергия, 1973. 560 с.
22. Калантаров П. Л., Цейтлин Л. А. Расчет индуктивностей: Справочная книга.
Л.: Энергоатомиздат, 1986. 488 с.
23. Немцов М. В. Справочник по расчету параметров катушек индуктивности.
М.: Энергоатомиздат. 1989. 192 с.
24. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. М.: Высш, шк., 1973.
752 с.
25. Нейман Л. P.t Калантаров П. Л. Теоретические основы электротехники. Ч. 1.
Физические основы электротехники и теория цепей постоянного тока. М.;
Л.: Госэнергоиздат, 1959. 296 с.
26. Нестеренко А. Д. Введение в теоретическую электротехнику. Киев: Наук, дум-
ка, 1969. 352 с.
27. Веселовский О. Н., Браславский Л. М. Основы электротехники и электротехни-
ческие устройства радиотехнической аппаратуры. М.: Высш, шк., 1977. 312 с.
314
28. Нейман Л. Р, Калантаров П. Л'. Теоретические основы электротехники. Ч. 2.
Теория цепей переменного тока. М.; Л.: Госэнергоиздат, 1959. 444 с.
29. Зевеке Г. В., Ионкин П. А., Нетушил А. В., Страхов С. В. Основы теории цепей.
М.: Энергия, 1975. 752 с.
30. Лаврентьев М.А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного пере-
менного. М.: Наука, 1973. 736 с.
31. Иоссель Ю. Я., Кочанов Э. С., Струнский М. Г. Расчет электрической емкости.
Л.: Энергия, 1969. 240 с.
32. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. М.: Наука, 1965. 204 с.
33. Зелях Э. В. Основы общей теории линейных электрических схем. М.: Изд-во
АН СССР, 1951.336 с.
34. Кифер И. И. Испытания ферромагнитных материалов. М.; Л.: Госэнергоиздат,
1962. 544 с.
35. Чечерников В. И. Магнитные измерения. М.: Изд-во МГУ, 1968. 388 с.
36. Чернышев Е. Т., Чечурина Е. И., Чернышева Н. Г., Студенцов Н. В. Магнитные
измерения. М.: Изд-во стандартов, 1969. 248 с.
37. Захаров В. А. Магнитостатика систем с ферромагнетиками. Свердловск: Изд-во
УНЦАН СССР, 1986. 95 с.
38. Аркадьев В. К. Электромагнитные процессы в металлах. Ч. 1. Постоянное
электрическое и магнитное поле. М.; Л.: ОНТИ, 1934. 230 с.
39. Розенблат М. А. Магнитные элементы автоматики и вычислительной техники.
М.: Наука, 1966. 720 с.
40. Поливанов К. М. Ферромагнетики. М.; Л.: ГЭИ, 1957. 256 с.
41. Балбашова Н. Б. Миниатюрные импульсные трансформаторы на ферритовых
сердечниках. М.: Энергия, 1976. 120 с.
42. Золотухин И. В. Физические свойства аморфных металлических материалов.
М.: Металлургия, 1986. 176 с.
43. Судзуки К., Фудзимори X, Хасимото К. Аморфные металлы. М.: Металлургия,
1987. 328 с.
44. Herzer G. Magnetization process in nanocrystalline ferromagnets// Mater. Sci.
Eng. 1991. V. 133A. P. 1-5.
45. Yoshizawa Y., Oguma S., Yamauchi K. New Fe-based magnetic alloys composed
of ultrafine grain structure//J. Appl. Phys. 1988. V. 64, № 10. P. 6044-6046.
46. Стародубцев Ю. H., Кейлин В. И., Белозеров В. Я. Ленточные магнитопрово-
ды из быстрозакаленных сплавов ГАММАМЕТ с высокой магнитной проница-
емостью// Электротехника. 1995. № 2. С. 22-26.
47. Стародубцев Ю., Кейлин В., Белозеров В. Магнитопроводы ГАММАМЕТ// Ра-
дио. 1999. № 6. С. 48-50.
48. Стародубцев Ю. Н., Белозеров В. Я. Магнитопроводы из аморфных и нано-
кристаллических сплавов// Электро. 2001. № 3. С. 11-16.
49. Афанасьев В. В., Адоньев Н. М., Кибель В. М., Сирота И. М., Стогний Б. С.
Трансформаторы тока. Л.: Энергоатомиздат, 1989. 416 с.
50. Стародубцев Ю. Н., Зеленин В. А., Белозеров В. Я., Кейлин В. И. Аппрокси-
мация кривой намагничивания и удельных магнитных потерь в магнитомягких
магнитных материалах// Электротехника. 1997. № 7. С. 48-51.
51. Feller U., Boesch H.R. Magnetic losses of electrical steel with a large biasing DC
flux density//J. Mag. Mag. Mater. 1981. V. 26. P. 65-68.
52. Yanase S., Okazaki Y., Asano T. AC magnetic properties of electrical steel core under
DC - biased magnetization//J. Mag. Mag. Mater. 2000. V. 215-216. P. 156-158.
315
53. Катаев В. А., Стародубцев Ю. Н. Магнитные потери на частном цикле при
подмагничивании постоянным полем в монокристалле кремнистого железа//
Физ. мет. и металловед. 1988. Т. 65, № 6. С. 1090-1095.
54. Стародубцев Ю. Н. Магнитные потери на вихревые токи при постоянном под-
магничивании// Электричество. 1979. № 9. С. 75-76.
55. Русин Ю. С., Гликман И. Я., Горский А. Н. Электромагнитные элементы радио-
электронной аппаратуры. М.: Радио и связь, 1991. 225 с.
56. Gratzer D. Ummagnetizirungsverluste weichmagnetischer Werkstoffe bei nicht-
sinusformiger Aussteuerung// Z. angew. Phys. 1971. Bd. 32, № 3. S. 241-246.
57. Рабкин Л. И., Новикова 3. И. Катушки индуктивности на ферритовых сердеч-
никах. Л.: Энергия, 1972. 152 с.
58. Русин Ю. С. Расчет электромагнитных систем. Л.: Энергия, 1968. 132 с.
59. Пирогов А. И., Шамаев Ю. М. Магнитные сердечники в автоматике и вычис-
лительной технике. М.: Энергия, 1967. 272 с.
60. ЛейтесЛ. В., Пинцов А. М. Схемы замещения многообмоточных трансформа-
торов. М.: Энергия, 1974. 192 с.
61. ГОСТ 16110-82. Трансформаторы силовые. Термины и определения. М.: Изд-во
стандартов, 1982. 44 с.
62. ГОСТ 18685-73. Трансформаторы тока и напряжения. Термины и определе-
ния. М.: Изд-во стандартов, 1973. 12 с.
63. ГОСТ 20938-75. Трансформаторы малой мощности. Термины и определения.
М.: Изд-во стандартов, 1975. 26 с.
64. Марквардт Е. Г Электрические расчеты трансформаторов. М.; Л.: ОНТЙ,
1938. 136 с.
65. Петров Г.Н. Электрические машины. Ч. 1. Введение. Трансформаторы. М., Л.:
ГЭИ, 1956. 224 с.
66. ВольдекА. И. Электрические машины. Л.: Энергия, 1978. 832 с.
67. Васютинский С. Б. Вопросы теории и расчета трансформаторов. Л.: Энергия,
1970. 432 с.
68. Бальян Р.Х. Трансформаторы для радиоэлектроники. М.: Советское радио,
1971. 720 с.
69. Дульнев Г. Н. Тепло- и массообмен в радиоэлектронной аппаратуре. М.: Выс-
шая школа, 1984. 247 с.
70. Белорусов Н. И., Саакян A. E.t Яковлева А. И. Электрические кабели, проводы
и шнуры: Справочник. М.: Энергоатомиздат, 1988. 536 с.
71. Стародубцев Ю. Н. Трансформаторы напряжения на кольцевых магнитопро-
водах ГАМ МАМЕТ 411// Электричество. 1995. № 10. С. 63-67.
72. ГОСТ 10160-75. Сплавы прецизионные магнитно-мягкие. Технические усло-
. вия. М,: Изд-во стандартов, 1975. 72 с.
73. ГОСТ 21427.4-78. Лента стальная электротехническая холоднокатаная ани-
зотропная. Технические условия. М.: Изд-во стандартов, 1992. 28 с.
74. ГОСТ 77460-2001. Трансформаторы тока. Общие технические условия. М.:
Изд-во стандартов, 2002. 30 с.
75. Барзилович В. М. Высоковольтные трансформаторы тока. М., Л.: ГЭИ, 1962.
248 с.
76. ГОСТ 18311-80. Изделия электротехнические. Термины и определения основ-
ных понятий. М.: Изд-во стандартов, 1983. 24 с.
77. Бачурин Н. И. Трансформаторы тока. М., Л.: Энергия, 1964. 376 с.
78. Трансформатор/ Белозеров В. Я., Стародубцев Ю. H.t Дорощенко Б. Б., Кей-
лин В. И., Хлопунов С. И., Цыбуленко Н. И., Сильчев А. Ю.: Пат. 2041513 Рос-
сии, МКИ H01F3/04, С22С19/07//Бюл. № 22. 1995.
316
79. Трансформатор/ Стародубцев Ю.Н., Кейлин В.И., Белозеров В.Я.,: Пат.
2041514 России, МКИ H01F19/04, 3/04, С22С38/16, 38/34//Бюл. № 22. 1995.
80. Трансформатор/ Белозеров В. Я., Стародубцев Ю. Н., Зеленин В. А., Атнагу-
лов М. Н.: Свидетельство на полезную модель 17748 России, МКИ H01F3/04/
/Бюл. № 11. 2001.
81. ГОСТ 1983-2001. Трансформаторы напряжения. Общие технические условия.
М: Изд-во стандартов, 2002. 32 с.
82. Дымков А.М. Трансформаторы напряжения. М.-Л.: ГЭИ, 1963. 192 с.
83. Справочник по теоретическим основам радиоэлектроники/ Под ред. Б. X. Кри-
вицкого. Т. 2. М.: Энергия, 1977. 472 с.
84. ГОСТ 24375-80. Радиосвязь. Термины и определения. М.: Изд-во стандар-
тов, 1983. 24 с.
85. Акульшин П. К., Кощеев И. А., Кульбацкий К. Е. Теория связи по проводам.
М.: Связьиздат. 1940, 568 с.
86. Кощеев И. А. Основы теории электрической связи. М.: Связьиздат, 1954.
370 с.
87. ГОСТ 19880-74. Электротехника. Основные понятия. Термины и определе-
ния. М.: Изд-во стандартов, 1991. 32 с.
88. ГОСТ 2404-80. Единица децибел для измерений уровней затуханий и усиле-
ний в технике проводной связи. М.: Изд-во стандартов, 1980. 4 с.
89. Босый Н. Д. Электрические фильтры. Киев: ГИТЛ УССР, 1955. 516 с.
90. Кризе С. Н. Усилители низкой частоты. М.: Связьиздат, 1948. 315 с.
91. Войшвилло Г. В. Усилители низкой частоты на электронных лампах. М.: Связь-
издат, 1963. 760 с.
92. Цыкин Г. С. Электронные усилители. М.: Связь, 1965. 512 с.
93. Цыкин Г. С. Трансформаторы низкой частоты. М.: Связьиздат, 1950. 418 с.
94. Кузнецов В. К., Оркин Б. Г., Русин Ю. С. Трансформаторы усилительной и из-
мерительной аппаратуры. Л.: Энергия, 1969, 152 с.
95. Филиппов Е. Нелинейная электротехника. М.: Энергия, 1976. 496 с.
96. Русин Ю. С. Трансформаторы звуковой и ультразвуковой частоты. Л.: Энер-
гия, 1973. 152 с.
97. Вдовин С. С. Проектирование импульсных трансформаторов. Л.: Энергоато-
миздат, 1991. 208 с.
98. Миллман Я., Тауб Г. Импульсные и цифровые устройства. М., Л.: ГЭИ, 1960.
416 с.
99. Матханов П. Н., Гоголицын Л. 3. Расчет импульсных трансформаторов. Л.:
Энергия, 1980. 110 с.
100. Русин Ю. С. Определение собственной емкости обмоток// Радиотехника.
1964. Т. 19, № 2. С. 64-66.
101. ГОСТ 16465-70. Сигналы радиотехнические измерительные. Термины и оп-
ределения. М.: Изд-во стандартов, 1987. 28 с.
102. Ицхоки Я. С. Импульсные устройства. М.: Сов. радио, 1959. 728 с.
103. Ицхоки Я. С. Импульсные трансформаторы. М.: Сов. радио, 1950. 745 с.
104. Импульсные трансформаторы// Детали и элементы радиолокационных стан-
ций. Т. 2. М.: Сов. радио, 1952. С. 78-203.
105. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 2. М.: Наука, 1974. 656 с.
106. Стокер Дж. Нелинейные колебания в механических и электрических систе-
мах. М.: ИИЛ, 1953. 256 с.
Дополнительная литература
107. Аренков А. Б., Климов А. К., Липатов Ю. Н. Изготовление трансформаторов
с ленточными магнитопроводами. Л.: Судостроение, 1976, 232 с.
108. Бальян Р. X. Трансформаторы малой мощности. Л.: Судпромгиз, 1961. 368 с.
109. Бальян Р. X., Обрусник В. /7. Оптимальное проектирование силовых высоко-
частотных ферромагнитных устройств. Томск: Изд-во Томского ун-та, 1987.
168 с.
110. Бамдас А. М., Савиновский Ю. А. Дроссели переменного тока радиоэлект-
ронной аппаратуры (катушки со сталью). М.: Сов. радио, 1969. 248 с.
111. Бамдас А. М., Шапиро С. В. Трансформаторы, регулируемые подмагничива-
нием. М., Л.: Энергия, 1965. 160 с.
112. Белицкая М. С., Лиманов Е. А. Трансформаторы постоянного тока и напря-
жения. М., Л.: Энергия, 1964. 236 с.
113. Белопольский И. И., Каретникова Е. И., Пикалова Л. Г. Расчет трансформато-
ров и дросселей малой мощности. М.: Энергия, 1973. 400 с.
114. Бертинов А. И. Кофман Д. Б. Тороидальные трансформаторы статических
преобразователей. М.: Энергия, 1970. 96 с.
115. Бессонов Л. А. Электрические цепи со сталью. М., Л.: Госэнергоиздат,. 1948.344 с.
116. Буль Б. К. Основы теории и расчета магнитных цепей. М., Л.: Энергия, 1964.464 с.
117. Вавин В. Н. Трансформаторы напряжения и их вторичные цепи. М.: Энергия,
1967. 102 с.
118. Васильева Л. С. Завалина И. Н., КаЬинер Р С. Катушки индуктивности аппа-
ратуры связи. М.: Связь, 1973. 200 с.
119. Вдовин С. С. Проектирование импульсных трансформаторов. Л.: Энергия,
1971. 148 с.
120. Векслер Г. С. Расчет электропитающих устройств. Киев: Техника, 1978. 208 с.
121. Видмар М. Трансформаторы. М., Л.: ГНТИ, 1931. 592 с.
122. Вологдин Вс. В. Трансформаторы для высокочастотного нагрева. М.: Маши-
ностроение, 1965. 100 с.
123. Гинзбург Л. Д. Высоковольтные трансформаторы и дроссели с эпоксидной
изоляцией. Л.: Энергия, 1978. 192 с.
124. ГольденбергЛ. М. Импульсные и цифровые устройства. М. Связь, 1973. 496 с.
125. Гольдштейн И. Измерительные трансформаторы. М.: Гостехиздат, 1930.
126. ГОСТ 18624-73. Реакторы электрические. Термины и определения. М.: Изд-во
стандартов, 1986. 24 с.
127. ГОСТ 19431-84. Энергетика и электрификация. Термины и определения. М.:
Изд-во стандартов, 1985. 12 с.
128. ГОСТ 20718-75. Катушки индуктивности аппаратуры связи. Термины и опре-
деления. М.: Изд-во во стандартов, 1975. 21 с.
129. Грязнов Н. М. Трансформаторы и дроссели в импульсных устройствах. М.:
Радио и связь, 1986.113 с.
130. Дроздов А.Д. Электрические цепи с ферромагнитными сердечниками в ре-
лейной защите. М., Л.: Энергия, 1965. 240 с.
131. Дроздов А. Д., Засыпкин А. С., Кужеков С. Л., Платонов В. В., Подгорный Э.В.
Электрические цепи с ферромагнитными элементами в релейной защите.
М.: ЭнергоаТомиздат, 1986. 256 с.
132. Дымков А. М., Кибель В. М., Тишенин Ю. В. Трансформаторы напряжения.
М.: Энергия, 1975. 200 с.
318
133. Ермолин Н. ГК, Ваганов А. П. Расчет маломощных трансформаторов. М., Л.:
ГЭИ, 1957. 144 с.
134. Ермолин Н. П., Швец Г. Г. Расчет силовых трансформаторов. Л.: Ленингр.
электротехн. ин-т им. В.И. Ульянова (Ленина), 1964. 250 с.
135. Задерей Г. П., Заика П. Н. Многофункциональные трансформаторы в сред-
ствах вторичного питания. М.: Радио и связь, 1989. 176 с.
136. Ионов И. П. Магнитные элементы дискретного действия. М.: Высш, шк., 1968,
280 с.
137. Казанский В. Е. Трансформаторы тока в устройствах релейной защиты и ав-
томатики. М.: Энергия, 1978. 264 с.
138. Каретникова Е. И., Рычина Т. А., Ермаков А. И. Трансформаторы питания и дрос-
сели фильтров для радиоэлектронной аппаратуры. М.: Сов. радио, 1973. 171 с.
139. Кризе С. Н. Выходные трансформаторы. М., Л.: ГЭИ, 1953. 32 с.
140. Лейтес Л. В. Электромагнитные расчеты трансформаторов и реакторов. М:
Энергия, 1981. 392 с.
141. Мазель К. Б. Трансформаторы электропитания. М.: Энергоиздат, 1982. 80 с.
142. Матвеев Г. А., Хомич В. И. Катушки с ферромагнитными сердечниками. М.:
Энергия, 1967. 64 с.
143. Меерович Л. А., Ватин И. М., Зайцев Э. Ф., Кандыкин В. М. Магнитные гене-
раторы импульсов. М.: Сов. радио, 1968, 476 с.
144. Меерович Л. А., ЗеличенкоЛ. Г. Импульсная техника. М.: Сов. радио, 1954. 760 с.
145. Никитский В. 3. Маломощные трансформаторы. М.: Энергия, 1968. 88 с.
146. Норденберг Г. М. Трансформаторы для радиоэлектронной аппаратуры. Л.:
Энергия, 1970. 240 с.
147. Рогинский В. Ю. Электропитание радиоустройств. Л.: Энергия, 1970, 320 с.
148. Рогинский В. Ю. Расчет устройств электропитания аппаратуры электросвя-
зи. М.: Связь, 1972, 360 с.
149. Русин Ю. С., Чепарухин А. М. Проектирование индуктивных элементов при-
боров. Л.: Машиностроение, 1981. 172 с.
150. Сидоров И. Н., Биннатов М. Ф., Шведова Л. Г. Индуктивные элементы радио-
электронной аппаратуры: Справочник. М.: Радио и связь, 1992. 289 с.
151. Сидоров И. Н., Мукосеев В. В., Христинин А. А. Малогабаритные трансфор-
маторы и дроссели: Справочник. М.: Радио и связь, 1985. 416 с.
152. Сидоров И. Н., Скорняков С. В. Трансформаторы бытовой радиоэлектронной
аппаратуры: Справочник. М.: Радио и связь, 1999. 332 с.
153. Тейлор-Джонс Е. Теория индукционной катушки. М., Л.: ОНТИ, 1935. 168 с.
154. Тихомиров П. М. Расчет трансформаторов. М.: Энергия, 1976. 544 с.
155. Толстов Ю. Г. Измерительные трансформаторы постоянного тока. М., Л.:
ГЭИ, 1951. 120 с.
156. Федосеев Д. Н. Технология изготовления силовых трансформаторов и дрос-
селей, применяемых в радиотехнике. М., Л.: ГЭИ, 1959. 156 с.
157. Фрумкин Г.Д. Расчет и конструирование радиоэлектронной аппаратуры. М.:
Высш, шк., 1977. 270 с.
158. Хныков А. В. Теория и расчет многообмоточных трансформаторов. М.: СО-
ЛОН-Пресс, 2003. 100 с.
159. Черников Г. Б., Евликов А. А. Трансформаторы тока в схемах вентильных
преобразователей. М.: Энергия, 1977. 136 с.
160. Чунихин А. А. Электрические аппараты. М.: Энергоатомиздат, 1988. 720 с.
161. Чунихин А. А., Жаворонков М. А. Аппараты высокого напряжения. М.: Энерго-
атомиздат, 1985. 432 с.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «РАДИОСОФТ»
http://www.radiosoft.ru e-mail: info@radiosoft.ru
Отдел реализации
тел./факс: (095) 177-4720 e-mail: real@radiosoft.ru
Адрес и телефон
для заявок на книги по почте:
111578 Москва, Саянская, 6а, «Пост-Пресс»,
тел: (095) 307-0661, 307-0621 e-mail: postpres@dol.ru
Юрий Николаевич Стародубцев
ТЕОРИЯ И РАСЧЕТ ТРАНСФОРМАТОРОВ
МАЛОЙ МОЩНОСТИ
Ответственный за выпускА А. Халоян
Редактор М. В. Толмачева
Дизайнер Л. К. Абдрашитова
Компьютерная верстка
О. В. Розанова
Сдано в набор 17.02.2005. Подписано в печать 4.05.2005.
Формат 70x100/16. Гарнитура «Прагматика». Бумага газетная.
Печать высокая. Печ. л. 20. Тираж 1500 экз. Заказ 4412.
Издательское предприятие РадиоСофт.
109125 Москва. Саратовская ул . д. 6/2
Отпечатано в ОАО ордена Трудового Красного Знамени
«Чеховский полиграфический комбинат»
142300 г. Чехов Московской области
Т/ф (501) 443-92-17. т/ф (272) 6-25-36
E-mail: chpk_marketing@chehov.ru
ISBN 5-93037-138-:
9 785930 371383