Автор: Фрейман Л.С.
Теги: математика высшая математика история математики издательство наука биографии математиков
Год: 1968
Текст
ТВОРЦЫ
ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО-НАУНА-
Л.С.ФРЕЙМАН
ТВОРЦЫ
ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
Москва 19 68
Scan, DjVu:
Dmitry7
Эта книга, состоящая из отдельных глав-очерков,
рассказывает о зарождении современной математики,
об открытии и разработке ее основ от Кеплера до Кле-
ро. В ней отражены наиболее существенные моменты
жизни и деятельности некоторых выдающихся матема-
тиков XVII и XVIII вв.— Кавальери, Торричелли,
Ферма, Паскаля, Ньютона, Лейбница, Эйлера и др.
Обстоятельно показано постепенное развигие основных
понятий анализа — интеграла, производной, преде-
ла — задолго до Ньютона и Лейбница. Прослежено,
как доказывалась плодотворность применения новой
математики в области точных наук — в механике, фи-
зике и т. д.
Леон Семенович Фрейман
Творцы высшей математики
Утверждено к печати
редколлегией научно-популярной литературы
Академии наук СССР
Редактор В, А. Никифоровский. Редактор издательства Е. М. Кляус
Художник В. С. Комаров. Технический редактор Н. Ф. Егорова
Сдано в набор 27/VI 1967 г. Подписано к печати 29/Х 1968 г.
Формат 84хЮ87з2- Бумага JSfe 2. Усл. печ. л. 11,34. Уч.-изд. л. 11,1.
Тираж 30 000 экз. Т-16603. Тип. зак. 846. Цена 65 коп.
Издательство «Наука». Москва, К-62, Подсосенский пер., д. 21
2-я типография Издательства «Наука». Москва, Г-99. Шубинский пер , 10
2-2-1
28-68
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДШЕСТВЕННИКИ 5
ВВЕДЕНИЕ 5
Путь к интегральному исчислению 5
Путь к дифференциальному исчислению 7
Иоганн Кеплер ю
Бонавентура Кавальери 23
Пьер Ферма 32
Роберваль 41
Эванджелиста Торричелли 49
Блез Паскаль 59
Исаак Барроу 67
РОЖДЕНИЕ АНАЛИЗА 78
ВВЕДЕНИЕ 78
Становление новой науки 78
Исаак Ньютон .... 84
Готфрид Вильгельм Лейбниц 98
Братья Бернулли 117
Леонард Эйлер . . . и2
Гийом Франсуа Лопиталь 185
Брук Тейлор 194
Алексис Клод Клеро 20°
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 207
ЛИТЕРАТУРА 211
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН 213
4
ПРЕДШЕСТВЕННИКИ
ВВЕДЕНИЕ
ПУТЬ К ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ
Курс математического анализа обычно строится так:
сначала идет дифференциальное исчисление, а за ним
следует интегральное. Историческое развитие протекало
в обратном порядке. В трудах древних центральное место
занимали задали на вычисление площадей (квадратур),
объемов (кубатур), центров тяжести. Для дальнейшего
развития этого направления требовалось исчисление опре-
деленных интегралов. Оно может развиваться самостоя-
тельно, без помощи или взаимодействия с дифференциаль-
ным исчислением или неопределенным интегрированием.
Главное внимание математиков XVII в. и было направ-
лено на разработку методов вычисления определенных
интегралов.
Первым, кто сказал здесь новое слово после древних,
был Иоганн Кеплер (1571—1630). Он установил, что
планеты движутся вокруг Солнца по эллипсам (первый
закон Кеплера). При проверке второго закона (постоянство
секториальной скорости каждой планеты) ему приходи-
лось вычислять площади эллиптических секторов; для
решения задач этого типа он разработал новый метод,
радикально, как казалось современникам Кеплера,
отличающийся от метода геометрического доказательства
Архимеда. Воспользовавшись подходящим случаем (про-
веркой целесообразности формы австрийской винной боч-
ки), Кеплер опубликовал первый, если можно так выра-
зиться, курс определенных интегралов.
5
Почти одновременно с Кеплером начал работать над
задачами определенного интегрирования Бонавентура Ка-
вальери (1598—1647). Стремясь примирить между собой
идеальную строгость доказательств Евклида с необхо-
димостью заменить фигуру (или тело) некоторой моделью,
он привлек идею неделимых и получил существенные
результаты: ему удалось вычислить определенный интег-
рал от целой положительной степени аргумента. Одновре-
менно с ним и независимо от него вычисляли различные
определенные интегралы Пьер Ферма (1601—-1665), Рене
Декарт (1596—1650) и др. Ферма заметно продвинул
технику составления интегральных сумм. Он же совершал
предельные переходы. Ферма, Декарт и Джон Валлис
(1616—1703) почти одновременно, около 1638 г., обобщили
определенный интеграл от хп на случай п дробного и
отрицательного. В 1647 г. Григорий из Сен-Винцента
опубликовал «Геометрический труд», в котором предложил
довольно сложные кубатуры. Жиль Персонн, известный
под фамилией Роберваля (1602—1675), вычислял опре-
деленные интегралы примерно так же, как это делал
Кавальери, хотя в трактовке понятия бесконечно малой
был ближе к Ферма. Он считал, что, например, бесконечно
узкая полоска плоской фигуры имеет два измерения, а
не одно, как принимал Кавальери. Роберваль получил,
между прочим, объем тела, образованного вращением
циклоиды вокруг ее основания.
Существенный прогресс в вычислении определенных
интегралов связан с именем Блеза Паскаля (1623—1662).
Правда, Паскаль не имел обыкновения выражать полу-
ченные результаты в виде формул и тем самым не способ-
ствовал выработке интегрального исчисления как суммы
технических приемов, но его работы по вычислению раз-
личных интегралов прояснили связанные с определенным
интегралом понятия. Он заменил «совокупности» Ка-
вальери «суммами». Его бесконечно малые очень просты
и наглядны по их образованию. Это обычно полоска (в
плоской фигуре) или объем (в теле), одно измерение кото-
рого взято так, что при дальнейшем разбиении фигуры
(тела) это измерение неограниченно приближается к нулю.
И, наконец, он внес полную ясность в отношение между
данным геометрическим образом (плоской фигурой,
телом и др.) и той фигурой (телом), которой данный образ
заменен при вычислении. А именно, Паскаль установил,
6
что две величины равны, если разность между ними
может быть сделана меньше, чем любая наперед заданная
величина, как бы она ни была мала. При таком положении
вещей вопрос о переходе к пределу возникал сам собой.
У древних переход к пределу производился неоднократ-
но (площадь круга и т. п.), но определения предела
не было. Теперь развитие понятия интегральной суммы
непосредственно привело к этому необходимому элементу
вычисления. Вполне правильно совершал переход к пре-
делу еще Ферма, но у него процесс перехода не рассматри-
вался как самостоятельный этап вычисления. Переход
к пределу в эти годы (середина XVII в.) выполнялся в
разных формах — алгебраической и при вычислении
определенных интегралов. Отыскание предела в алгебраи-
ческой задаче имеется у А. Таке (1612—1680). Он получил
сумму бесконечной убывающей геометрической про-
грессии, имея формулу для суммы конечного числа членов
и неограниченно увеличивая это число. Переход к пределу
при вычислении квадратуры кривой имелся уже у Ферма,
как говорилось выше, а в более совершенной форме он
выполнялся Валлисом. К 70-м годам XVII в. вычисление
квадратур, кубатур, центров тяжести уже давно переста-
ло быть новостью, как считали в начале века, когда
появились первые кубатуры Кеплера. Тем не менее
интегрального исчисления не было. Его и не могло быть,
так как каждый новый тип задач вызывал новую интеграль-
ную сумму с новым пределом. Отыскание этого предела
требовало каждый раз изобретения нового приема. Исчи-
сление могло появиться только после установления
взаимной обратности операций интегрирования и диф-
ференцирования, что было установлено позже.
ПУТЬ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ
ИСЧИСЛЕНИЮ
Понятие производной тесно связано с задачей о прове-
дении касательной к кривой и с тем кругом задач, которые
объединяются под общим названием анализа функций.
Построением касательных занимались еще древние. Что
касается анализа, то было известно, что в «Конических
сечениях» Аполлония рассматривались максимумы и ми-
нимумы, но содержание книги Аполлония стало Доступ-
7
ным европейским математикам лишь в 1661 г. Однако
все возрастающий интерес к творениям древних и быстро
развивающаяся «новая» математика побуждали заняться
и этими задачами, которым уделяла внимание классиче-
ская математика. Естественно, что такой исключительно
разносторонний математик, как Пьер Ферма, не мог
пройти мимо проблемы касательных. В письмах к Робер-
валю он сообщал, что еще в 1629 г. им разработан способ
отыскания экстремумов. Поскольку способ Ферма сводит
задачу непосредственно к отысканию производной, он
обладает очень большой общностью (надо подчеркнуть,
что речь идет о необходимом условии наличия экстремума;
вопрос о достаточном условии затронут лишь поверхно-
стно). Можно с полным правом сказать, что способ Ферма,
с необходимыми улучшениями, целиком вошел в поздней-
ший анализ. Рене Декарт тоже решил несколько задач
на отыскание экстремумов. Задача о проведении каса-
тельной послужила предметом горячей полемики между
Ферма и Декартом. В то время как способ Ферма приво-
дил к отысканию производной (предел тангенса угла
наклона секущей) и, значит, был достаточно общим,
способы Декарта были большей частью специальными и
основывались на том или ином свойстве кривой.
Например, разыскивая касательную к циклоиде, Де-
карт использует открытое им свойство нормали этой
кривой. В некоторых случаях Декарт пользовался кине-
матическими свойствами кривых. Кинематические свойст-
ва применили также Роберваль (1644) и Торричелли
(1644). Большой вклад в построение анализа внес Хри-
стиан Гюйгенс (1629—1695). Он исследовал функции на
максимум или минимум, исходя из соображений Ферма.
Сущность рассуждений Гюйгенса не отличается от рас-
суждений Ферма, но Ферма считал, что приращение
аргумента есть величина постоянная, а Гюйгенс называ-
ет его величиной бесконечно малой. Кроме того, Гюйгенс
выработал некоторые простейшие приемы, позволяющие
иногда обходить вычисления, которые Ферма в каждой
задаче выполнял от начала до конца. Этими приемами
Гюйгенс предвосхитил некоторые правила дифференциро-
вания, предложенные Лейбницем (например, дифференци-
рование произведения двух функций).
Эванджелиста Торричелли (1608—1647) умел находить
касательные к кривым и прежде всего к параболам, исхо-
8
дя из свойств движения тяжелой точки, движущейся по
параболе. Он сначала доказывает, что касательная на-
правлена по диагонали параллелограмма скоростей, а
потом, пользуясь свойствами конического сечения, нахо-
дит направление касательной. Этот кинематический спо-
соб проведения касательных подробно развил Роберваль.
Для нас он, однако, не представляет интереса, поскольку
ничего не привносит в развитие анализа.
Решающее значение для будущего исчисления сыграли
работы Б. Паскаля, в частности его «характеристический
треугольник», кдк его впоследствии назвал Лейбниц, или
«дифференциальный треугольник». Так называется пря-
моугольный треугольник, который дает выражение для
дифференциала дуги:
ds2 = dx2 -\- dy2.
В сущности, он встречается уже у Ферма, но у него особое
обозначение имеет только приращение аргумента dx, в
то время как Исаак Барроу (1630—1677) вводит обозначе-
ние и для приращения функции dy. Барроу много работал
и в области квадратур. Он вычислил несколько трудных
интегралов с помощью дифференциальных соотношений,
например, использовал для упрощения интегралов формулу
dsincp = cos cpdcp. Он занимался разысканием касатель-
ных (посредством определения длины подкасательной),
решал и «обратные задачи о касательных». Так назывались
задачи, в которых надо было найти ту кривую, которая об-
ладает касательной с заданными свойствами. Ясно, что
решение подобных задач приводится к квадратуре (точнее
говоря, к дифференциальному уравнению первого поряд-
ка).
Оглядывая пройденный путь, можно сказать, что
задачи на касательные и на анализ функций достигли из-
вестного развития. Удалось уже вникнуть до некоторой сте-
пени и в процесс предельного перехода. Существенное зна-
чение для дальнейшего движения вперед имело и прочное
усвоение методов аналитической геометрии, что неизме-
римо увеличило наглядность всех инфинитезимальных
операций. При взгляде на чертеж кривой невольно воз-
никала мысль о второй кривой на том же чертеже, кривой,
изображающей площадь, ограниченную первой. Рассмот-
рение же этих двух кривых совместно, вполне естественно,
рождало вопрос об их взаимной обусловленности. Вторая
кривая получается в результате квадратуры первой.
9
Нельзя ли первую также получить из второй при помощи
какой-то операции?
О том, что эти соображения уже, как говорится, носи-
лись в воздухе, свидетельствует хотя бы тот факт, что за-
дачу о взаимном отношении этих кривых поставили перед
собой и решили одновременно и независимо друг от друга
Торричелли, Д. Грегори (1638—1675) и Барроу. Исследо-
вания Торричелли и Д. Грегори обнаружены в рукопи-
сях. Прямое влияние на дальнейшее развитие анализа
имело решение Барроу, потому что Барроу передал свои
результаты Ньютону. После работы Барроу почва для по-
строения нового исчисления была готова, и эпоха пред-
шественников закончилась.
Иоганн Кеплер
Юго-западная оконечность Германии образует клин, ле-
жащий между Францией на западе и Швейцарией на юге.
Эта местность лет триста-четыреста назад называлась Шва-
бией. Ныне это Вюртемберг. Здесь, в небольшом местеч-
ке Магсштадт, недалеко от городка Вейля, 27 декабря
1571 г. родился Иоганн Кеплер — человек, которому суж-
дено было оставить глубокий след в науке. Отец Иоганна,
Генрих Кеплер, происходивший из старинной дворянской
фамилии, обедневшей и захудалой, был малограмотным
человеком. Он служил простым солдатом в войсках гер-
цога Вюртембергского. Мать будущего ученого, Катери-
на, дочь трактирщика, не умела ни писать, ни читать. Ран-
нее детство Иоганна протекало в условиях весьма непри-
глядных. Все же в школу мальчик начал ходить рано, ког-
да ему не было и шести лет. Двенадцати лет он перешел в
школу, где преподавался и латинский язык, пятнадцати—
в «высшую» школу при Маульбрунском монастыре, а по
окончании ее в 1589 г. поступил в Тюбингенскую семина-
рию. Во всех школах молодой Кеплер учился отлично.
Школьное начальство прочило ему профессию богослова.
Этим и объясняется его переход в семинарию. В 1591 г.,
окончив семинарию, он сразу поступает в Тюбингенскую
академию. Как и все высшие учебные заведения того време-
ни, эта академия имела богословское направление. Но про-
тестантский богослов должен был иметь энциклопедиче-
ское образование, и в академии преподавались основы точ-
ных наук, в первую очередь математики pi астрономии.
10
ИОГАНН КЕПЛЕР
(1571 — 1630)
К счастью для Кеплера, эти науки читал в академии
Михаэль Местлин, который внес свежую струю в затхлую
атмосферу схоластической академии. Сам Местлин не
был крупным ученым: он оставил несколько работ по
тригонометрии и описание комет. Он оказал науке неоце-
нимую услугу тем, что пробудил в Кеплере интерес к
астрономии и ввел его в круг важнейших вопросов со-
временности.
Самой острой проблемой того времени была проблема
системы мира. Всемогущая церковь навязывала гео-
центрическую систему Птолемея, разрозненные усилия
горсточки ученых противопоставляли ей гелиоцентриче-
скую систему Коперника. Местлин был талантливым
бойцом-коперниканцем. Прибегая в случае надобности
к «военной хитрости», т. е. уверяя в своей преданности
церкви, он использовал любую возможность, чтобы
привлечь новых сторонников учения Коперника. Озна-
комившись с положением вопроса, Кеплер сразу и на
всю жизнь сделался убежденнейшим гелиоцентристом.
К этому времени выяснилось, что духовные власти
11
разочаровались в Кеплере. Способности, прилежание,
знания его действительно были выше всяких похвал.
Но, к сожалению начальства, юноша проявил неукротимое
стремление к критическому исследованию богословских
истин, а такое свойство более чем неуместно у верного
служителя церкви. Когда Кеплеру дали понять, что
духовная карьера для него закрыта, он решил посвятить
себя астрономии. Еще студентом академии он использовал
все свободное время, чтобы совершенствовать свои
знания. Способ обучения в те времена был прост. Учебни-
ков не было. Кто хотел что-нибудь узнать, обращался к
первоисточникам: Евклиду, Архимеду, Аполлонию, Пап-
пусу и т. д. Местлин познакомил Кеплера и с гениальным
трудом Коперника «De revolutionibus orbium coelestium
libri VI» \
Кеплер окончил Тюбингенскую академию в 1593 г.
К этому времени выяснилось, что он выбирает «мирскую»
деятельность. Он получил назначение в Грац (Штирия,
Южная Австрия) учителем математики и этики. Это был
молодой человек привлекательной внешности, весьма
слабого здоровья и незаурядного трудолюбия. Поселив-
шись в Граце, он немедленно приступил к литературной и
научной деятельности. В 1594 г. он выпускает календарь
на 1595 г. — свое первое печатное произведение. Как и
всякий календарь того времени, календарь Кеплера
содержит предсказания погоды. Письма Кеплера показы-
вают, что он не придавал своим предсказаниям серьезного
значения и, помещая их, следовал только обычаям
своего времени. Совсем иначе смотрел он на свои собст-
венные астрономические работы. Он не мог довольство-
ваться тем, что сам был убежденным коперниканцем.
Он горел желанием внести свой вклад в это учение, чтобы
способствовать его распространению. Этой задаче была
посвящена книга «Введение к космографическим исследо-
ваниям или космографическая тайна» (Грац, 1597), в
которой Кеплер пытался, на этот раз неудачно, проник-
нуть в законы распределения планет около Солнца. Тихо
Браге, которому Кеплер послал книгу, увидел в авторе —
неизвестном провинциальном профессоре — хорошего вы-
числителя и преданного астрономии энтузиаста. Браге
1 Н. Коперник. Шесть книг об обращении небесных тел.
Нюрнберг, 1543.
12
пригласил его на работу к себе в Ураниенбург. Однако
Кеплер не соблазнился столь лестным приглашением:
ему было известно, что Тихо Браге не признает системы
Коперника, и он не захотел ставить себя в зависимое
положение от идейного противника.
1597 год ознаменовался для Кеплера не только выходом
первой большой работы «Введение». В этом году ученый
женился. Избранницей его была 23-летняя вдова Варвара
Мюллер. К несчастью, молодая чета недолго могла наслаж-
даться мирным благополучием. В 1599 г., с приходом
нового правителя Штирии, возобновились гонения на
лютеран, и Кеплеру с семьей пришлось бежать за границу.
Однако страсти скоро утихли, и в конце того же 1599 г.
он снова в Граце. В эти годы в жизни Тихо Браге произош-
ли крупные перемены. Он покинул родную Данию и
переехал в Прагу, куда снова пригласил Кеплера. На
этот раз Кеплер, надеясь избавиться от бедности, принял
приглашение. В 1601 г., после длительных переговоров,
он появляется в Пражской обсерватории Браге в качестве
его помощника.
Тихо Браге в эти годы изучал движение Марса. Он
считал, что все планеты, кроме Земли, обращаются вокруг
Солнца, а Солнце вместе с ними обращается вокруг Земли.
Кеплер же видел свое призвание в том, чтобы укреплять
«новую астрономию», как он ее называл. Вероятно,
Браге не слишком благосклонно посмотрел бы на то, что
в его обсерватории ведутся работы, имеющие целью раз-
рушить его теорию. Неизвестно, как сложились бы отно-
шения двух ученых, если бы в 1601 г. Тихо Браге не
скончался. Должность императорского астронома перешла
к Кеплеру. Ничто теперь не мешало ему работать над
любимой задачей. В 1609 г. в Праге вышла книга Кеплера
«Новая астрономия, или небесная физика с комментария-
ми движения Марса по наблюдениям Тихо Браге».
Главное содержание книги — первый закон Кеплера,
который, как известно, заключается в следующем: все
планеты обращаются вокруг Солнца по эллипсам; в
одном из фокусов эллипса расположено Солнце. Закон
был сначала установлен для Марса, а затем уже распрост-
ранен на остальные планеты. Второй закон сформулиро-
ван в книге «Краткая Коперникова астрономия» (1618—
1621). Напомним его содержание: площади, описываемые
радиусом-вектором планеты, пропорциональны времени.
13
Рис. 1.
К вычислению
площади сектора
При работе над этим законом Кеплер встретился с такой
математической задачей, которая до того времени еще не
решалась. Это задача о площади эллиптического сектора.
Если ввести (рис. 1) полярные координаты р =р (ф),
Где р __ радиус-вектор, ф — полярный угол, то площадь
сектора выразится формулой
Процесс, с помощью которого Кеплер получал площадь
сектора, можно связать с этой формулой следующим
образом. Определенный интеграл приближенно (рис. 2)
равняется сумме
$р2^Ф^2р;^Фг.
Произведение р t Дф£ есть не что иное, как элемент дуги
окружности, заменяющей на элементарном секторе дугу
заданной кривой. Если разбить кривую на равные элемен-
тарные дуги, то соответствующие дугир^Дф* не будут
между собой равны. Но если кривая мало отличается от
Рис. 2.
Приближенное
вычисление площади
14
окружности и полюс выбран недалеко от центра окружно-
сти (а с орбитами планет именно так дело и обстоит), то
различия между дугами р ^ Аф£ будут величинами не ниже
второго порядка малости (рис. 3). Такими величинами
в вычислениях Кеплер с полным правом пренебрегал.
В этом случае последнюю сумму можно написать так:
2 Рг2Афг = 2 рг (ргДфг) = (рДф) 2рг,
и площадь оказывается пропорциональной сумме радиу-
сов. Этим и объясняется формулировка второго закона,
данная автором: «Время, употребляемое планетой для пере-
мещения от конца большой оси до произвольного ее по-
ложения, относится ко времени полного оборота, как
Рис. 3.
Приближенное
вычисление площади
сумма радиусов-векторов, проведенная ко всем точкам
дуги, к сумме радиусов-векторов всего эллипса». Такое
выражение, как «сумма радиусов-векторов», в наше
время звучит странно, ибо, по современным понятиям,
это величина бесконечно большая, но во времена Кеплера
оно было принято и понималось несколько условно, как
пояснено выше.
Вычисление площади, выполненное Кеплером,— пер-
вое после вычислений Архимеда. Кеплер отнюдь не
стремится к безукоризненной строгости, характерной
для древних. Ему важно, что полученный им результат
не вызывает сомнений в своей истинности, а «тернистый
путь чтения книг Архимеда» (выражение Кеплера) он
предоставляет желающим. Как мы увидим в дальнейшем,
Кеплер стремился всегда получить результат путем
15
коротким и удобным, не в ущерб, разумеется, надежности.
Громоздкого аппарата классических методов доказатель-
ства он не применяет, как бы предчувствуя, что новые
задачи требуют и новых методов доказательств.
Время, протекшее между 1609 (издание «Новой астро-
номии») и 1615 г., было для Кеплера тяжелым и беспокой-
ным. В 1610 г. после тяжелой болезни умерла его жена,
оставив его с двумя детьми. Материальные дела Кеплера
никогда не были в блестящем состоянии, теперь же он
столкнулся с настоящей нуждой. Номинально его жало-
ванье императорского астронома было неплохим — 1500
флоринов в год, однако оно не выплачивалось годами.
Чтобы прокормить семью, Кеплеру приходилось занимать-
ся предсказаниями и составлять гороскопы. Последнее,
впрочем, в тот «просвещенный» век входило в обязанности
придворного астронома. В поисках какого-нибудь более
регулярного заработка Кеплер переезжает в Линц (Верх-
няя Австрия), где занимает должность преподавателя
математики. Он решает снова жениться. В новой супруге,
Сусанне Риттингер, Кеплер нашел любящего и на всю
жизнь верного друга. Но судьба продолжала наносить
ему удар за ударом. В 1615 г. его мать была взята под
стражу по обвинению в колдовстве. За колдовство чело-
веку грозил костер, и эта угроза была совершенно реаль-
ной; ведь сожгли же за несколько лет до этого тетку матери
Кеплера как ведьму на том основании, что ее пациенты,
которых она лечила, выздоравливали! Мать Кеплера соч-
тена была ведьмой за то, что не смотрела своим собеседни-
кам в глаза... Процесс длился пять лет и стоил Кеплеру
больших хлопот, средств и времени. Его мать была
оправдана, конечно, только потому, что Кеплер прибегнул
к помощи влиятельных покровителей. Этот процесс не
прошел бесследно и для самого Кеплера. По возвращении
в Линц он встретил там в высшей степени неприязненное
отношение. Его чуть не в лицо называли внуком и сыном
ведьмы. Кеплеру пришлось покинуть Линц. Свою большую
семью (у него от Сусанны было восемь детей) он оставляет
в Линце, а сам уезжает на поиски более спокойного места
работы. В 1626 г. толпа фанатиков осадила его квартиру
и пыталась разграбить библиотеку «еретика и черно-
книжника». Библиотека уцелела только потому, что его
друзья, ученые-иезуиты, опечатали ее якобы для даль-
нейшего расследования.
16
В 1615 г. Кеплер издал замечательную книгу, сыграв-
шую огромную роль в зарождении новой математики.
Это знаменитая «Стереометрия винных бочек»; ее полное
название: «Новая стереометрия винных бочек, в первую
очередь австрийских, имеющих наивыгоднейшую форму».
Книга состояла из двух частей. Первая называлась
«Стереометрия правильных кривых тел». Здесь собраны
теоремы, которые были установлены древними, главным
образом Архимедом. Второй раздел этой же части — «До-
полнения к Архимеду» — целиком принадлежит Кеплеру.
Здесь вычисляются объемы различных тел вращения, до
Кеплера никем не рассмотренных: тел, образованных
вращением сегментов круга, как больших (больше полу-
круга), так и малых (меньше полукруга). Вычислены
также объемы тел, произведенные вращением сегментов
параболы, гиперболы и т. д. Каждому телу дано название,
которое указывает, какой предмет напоминает своим
видом это тело: лимон, гиперболическое веретено, яблоко,
оливка и т. д. Вторая часть — «Специальная стереометрия
австрийских бочек» — представляет бочку как два сим-
метрично соединенных усеченных лимона, веретена и т. д.
Поскольку объемы этих тел вращения предварительно
вычислены, автор непосредственно получает объем бочки.
Однако Кеплер не останавливается на этом самом по
себе замечательном результате (вспомним, что он вычис-
лил объемы десятков тел вращения, никогда и никем до
него не вычислявшихся) и решает еще одну новую для его
времени задачу. Он доказывает, что австрийская бочка
имеет наивыгоднейшую форму, т. е. при данной затрате
материала обладает наибольшей вместимостью. Следова-
тельно, он решил задачу на отыскание максимума функции.
Конечно, для решения задачи на отыскание экстрему-
ма Кеплер применил метод классической геометрии. Он
сравнивал между собой площади последовательности
прямоугольников, у которых основание и высота изменя-
ются в противоположных направлениях. Однако он,
если можно так выразиться, обмолвился фразой, которая
в известном смысле является родоначальницей анализа
бесконечно малых. В Добавлении 2 к теореме V части II
он говорит следующее: «Фигуры, оканчивающиеся вблизи
точки G по ту и по другую стороны, очень мало изменяют
свою вместительность, так как объем фигуры AGC наи-
больший, а по обе стороны от места наи-
17
большего значения убывание вначале
нечувствительно». Подчеркнутые слова пред-
ставляют собой программу действий, приводящих к оты-
сканию максимума или минимума. Как мы вскоре увидим,
Ферма осуществил эту программу и заложил тем самым
основание науки об исследовании функций. Таково глав-
нейшее содержание этой книги.
В чем же ее значение? Первый результат, лежащий,
как говорится, на самой поверхности, состоит в том, что
здесь впервые дано вычисление объемов свыше 80 тел
вращения. Но гораздо важнее то, что здесь находятся
новые (по сравнению с античными) методы вычисления
объемов. Эти методы Кеплер проверил сначала на резуль-
татах, известных еще со времен Архимеда, а потом приме-
нил к решению новых задач. Но есть и третий пласт,
поднятый этой книгой,— самый глубокий и самый значи-
тельный. Суть дела в следующем. Авторитет древних
был незыблем, особенно в области методов геометри-
ческих доказательств. Всякое доказательство, построен-
ное иначе, считалось неудовлетворительным. Заслуга Кеп-
лера состоит в том, что он смело отошел от этих канонов.
Он требовал от метода простоты и быстрого получения
результата. Скрупулезное же следование требованиям
всех тонкостей он предоставляет «аполлониям» своего вре-
мени. Опубликование книги вызвало оживленную поле-
мику. Немедленно взялись за перо ревнители традиций
в геометрии. Кеплеру были предъявлены упреки в том,
что его доказательства ничего не доказывают, что он
оскорбляет священную память Архимеда и т. д. Но на-
шлись голоса, сперва робкие, и в защиту Кеплера. В част-
ности, такой голос подал известный П. Гульден. Так или
иначе, Кеплер вызвал «движение умов», впервые показав,
что можно отойти от одеревенелой логики древних. В
сущности, Кеплер и здесь следовал Архимеду. Последний
многие результаты находил теми же приемами. Разница
заключается в том, что найденный нестрогим приемом
результат Архимед считал необходимым доказать э pos-
teriori по всем правилам геометрической строгости. Кеп-
лер же считал, чта последний этап необязателен, посколь-
ку он ничего нового не вносит. В спорах Кеплера с орто-
доксами-геометрами нетрудно увидеть зачатки тех бата-
лий, которые разыгрывались лет через восемьдесят или
сто между лейбницеанцами й их противниками.
18
[ PBlB2 1
ч*
Bi
. _. &.
Ш I
А()А1~2
2nR
An-]An
Рис. 4.
Разбиение круга на малые секторы
Покажем на простейшем примере сущность приема,
с помощью которого Кеплер справился с задачей вычисле-
ния объема тела вращения. Кеплер решает классическую
задачу о площади круга. Он представляет круг как
совокупность сколь угодно большого числа достаточно
узких секторов с общей вершиной в центре круга Р
(рис. 4). Затем окружность круга разворачивается в отрезок
А0Ап. Секторы образуют на отрезке «частокол», состоящий
из равнобедренных треугольников AqBxAx, AiB2A2,. . .
. . ., Ап_хВпАп. Каждый из этих треугольников заменяется
другим, у которого то же основание, а вершина находится
в точке Р (рис. 5). Каждый новый треугольник равновелик
своему соответствующему, так как имеет общие с ним
основание и высоту А0Р = R. В совокупности же новые
треугольники покрывают треугольник А0РАП1 площадь
которого равна, очевидно, я/?2.
с
-^
IR^^*5*::*-^
^
А0А]Л2
^-—^,
А,
""■—-^
2nR
===—
А„.,
"А"
Рис. 5.
Замена секторов равновеликими треугольниками
19
Это доказательство не могло удовлетворить современ-
ников Кеплера. Действительно, сумма треугольников
AqB^x и т. д. не равновелика площади круга, потому
что треугольник с прямолинейным основанием, например
AqBxA^ не равновелик одноименному сектору. Однако
ясно, что разность между площадью правильного много-
угольника, составленного из этих треугольников, и
площадью круга может быть сделана при достаточно
большом числе треугольников (секторов) меньше любого
наперед заданного числа.
Идейных противников, Кеплера выводило из себя то,
что Кеплер «пренебрегал требованиями хорошего математи-
ческого вкуса», не давал всех подробностей доказательства
да еще ссылался при этом на самого Архимеда, который
якобы рассуждал так же, как сам Кеплер. Реакции оп-
понентов были подчас довольно бурными. «Не подобает,
о Кеплер, поносить память досточтимого старца»,—
говорит один из них и видит поношение Архимеда именно
в том, что Кеплер, ссылаясь на великого старца, разверты-
вает круг в равновеликий треугольник. Существенным
элементом вывода Кеплера является то понятие, которое
впоследствии получило наименование бесконечно малой.
В данной задаче, например, это площадь сектора. Заме-
чательна интуиция Кеплера, направившая его внимание
именно на те приемы, которые впоследствии развились в
интегральное исчисление: разбиение на бесконечно малые
элементы и приведение задачи к сумме, стремящейся к
пределу при неограниченном увеличении числа ее слага-
емых. Этим же приемом Кеплер решает в «Новой стереомет-
рии бочек» значительно более трудные задачи об объеме
тел вращения, задачи, которые нельзя и мечтать разрешить
классическими методами. Своей книгой «Новая стереомет-
рия бочек» Кеплер сообщил математике такой импульс,
после которого вычисление площадей, объемов и т. д.
двинулось быстрыми шагами вперед.
Крупнейшие научные достижения, к несчастью, ника-
ким образом не отразились на житейских обстоятельствах
Кеплера. Он по-прежнему не только не имел сносных
условий для научной работы, но даже постоянного или,
лучщр сказать, устойчивого источника заработка. Работо-
способность этого человека поразительна. Страдая от
вечной нужды, скитаясь по городам в поисках заработка,
вдали от любимой семьи, он не только не покидает астро-
20
номию, но, наоборот, лишь в работе черпает силы противо-
стоять всем невзгодам. В 1619 г. он выпустил плод громад-
ной изыскательской и вычислительной работы — книгу
под названием «Мировая гармония геометрическая, архи-
тектоническая, гармоническая, психологическая, астроно-
мическая с приложением, содержащим космографическую
тайну, в пяти книгах», изданную в Линце. Книга полу-
чила бессмертие, потому что содержит третий закон
Кеплера: квадраты времен обращения планет около Солн-
ца пропорциональны кубам их средних расстояний (от
Солнца). В остальном же книга наполнена фантастически-
ми идеями о музыке небесных движений, о божественном
происхождении геометрии и т. п. Вот образец рассужде-
ний. «В музыке тел небесных, — говорит Кеплер, —-
Сатурн и Юпитер соответствуют басу, Марс — тенору,
Земля и Венера — контральто, а Меркурий — фальцету»
(Кеплер расположил голоса так же, как в хоре, если
считать Солнце дирижером). Далее читатель узнает, что
рыбы производятся соленой водой, кометы—эфиром и т. д.
В том же 1619 г. Кеплер высказал соображения, совершен-
но поразительные по своей проницательности. Достаточно
одного примера: кометы состоят из вещества, которое
солнечные лучи могут уносить на большое расстояние.
В 1628 г. Кеплер оказывается в должности астролога
у известного полководца Валленштейна. Привела сюда
Кеплера надежда получить, наконец, жалованье, которое
ему не выплачивалось уже много лет. Император Ру-
дольф II, передав Валленштейну герцогство Мекленбург-
ское, обязал его заплатить Кеплеру императорский долг.
Увы, действительность обманула надежды Кеплера. Науч-
ные заслуги Кеплера для Валленштейна были, разумеет-
ся, пустым звуком, а составляемые Кеплером гороскопы
предсказывали не совсем то, чего желал бы герцог. Пре-
бывание же в свите Валленштейна далеко не соответство-
вало вкусам и влечениям пожилого ученого, всю жизнь
посвятившего науке. Он покидает двор вельможи и
возвращается в Линц, к семье. Осенью 1630 г. он предпри
нимает попытку (в который раз!) получить свои деньги.
Это требовало поездки в Регенсбург. Чтобы уменьшить
расходы, Кеплер поехал верхом (от Линца до Регенсбурга
около 150 км). В дороге он простудился, в Регенсбурге
прохворал неделю и 5 (15) ноября 1630 г. скончался. Его
похоронили друзья-почитатели, директор гимназии и пао-
21
тор. Наследство, если можно применить здесь такое
выражение, Кеплера состояло из 22 экю (около семи
копеек), носильного платья и нескольких экземпляров его
сочинений, предназначенных для продажи. Эпитафию
себе сочинил сам Кеплер:
Mensus eram coelos, nunc terrae metior umbras;
Mens coelestis erat, corporis umbra jacet.
Это можно перевести так:
Я небеса измерял; ныне тени земли измеряю;
Дух на небе мой жил, здесь же тень тела лежит.
Могила Кеплера долгое время не привлекала ничьего
внимания. Лишь в 1808 г. в нескольких шагах от нее
построили часовенку с мраморным бюстом великого уче-
ного. К нашей гордости, в фондах Академии наук СССР
хранятся 18 тетрадей с рукописями Кеплера. Они приоб-
ретены в 1775 г. В 1858—1871 гг. Хр. Фриш издал полное
собрание сочинений Кеплера, составившее восемь больших
томов (около 45 работ).
Как и у многих великих людей, у Кеплера можно
отметить двойственное отношение к своему веку. С одной
стороны, и в этом проявлялась его гениальность, он
далеко опережал свой век; с другой, — он разделял его
верования и предрассудки. В области астрономии, оптики,
физики Кеплеру принадлежат удивительные по своей
прозорливости высказывания. Известно, например, что
он объяснял морские приливы действием Луны и что даже
такому гиганту, как Галилей, это объяснение казалось
абсурдом; Кеплер, можно сказать, был на подступах к
открытию закона всемирного тяготения; ему принадле-
жит геометрическая теория зрительной трубы; он был
так смел, что утверждал, что человек может воспри-
нимать зрительное изображение как прямое, хотя сетчатка
получает его обратным. Было бы слишком долго перечис-
лять все правильные объяснения и исполнившиеся пред-
сказания, данные Кеплером. В совокупности они свидетель-
ствуют о том, что он был на голову выше не только рядо-
вых современников, но и деятелей науки. И этот же
человек удивительным образом верил самым антинаучным
предрассудкам. Мало того, что он был глубоко религио-
зен и считал, что открытые им законы природы способст-
вуют прославлению божества; он принимал всерьез всю
22
христианскую мифологию, церковный ритуал и т. д.
Он был не чужд и мистики чисел, на что указывает назва-
ние его труда «Harmonices mundi» («Гармония мира»).
В то же время он был непоколебим во всем, что касалось
научных убеждений. В самые тяжелые годы безысход-
ной нужды он получал лестные приглашения из-за грани-
цы и неизменно их отклонял. «Зачем поеду я в Италию?
Разве для того, чтобы познакомиться с ее тюрьмами?» —
пишет он своему другу. Из этих слов видно, что для него
не существовало выбора между убеждениями (в Италии,
как известно, запрещено было публично излагать учение
Коперника) и собственным благополучием.
Кеплер заслужил всемирную известность и признатель-
ность потомков как астроном. Но мы видели, что матема-
тика обязана ему тоже немалыми услугами. Он первый
сдвинул с места вопрос о вычислении объемов тел враще-
ния, бывший без движения больше десяти веков.
Бонавентура Кавальери
Бонавентура Кавальери (Cavalieri, при жизни писалось
также Cavalerio) родился в 1598 г. в Милане, умер в
Болонье в 1647 г. Впрочем, год его рождения некоторыми
биографами оспаривается. Семья Кавальери считалась
в Милане старинной и знатной, но к концу XVI в. уже
потеряла былой блеск. Все-таки молодой человек смог
получить прекрасное образование. В те времена понятие
«хорошее образование» заметно отличалось от нынешнего.
Прежде всего это было гуманитарное образование. Это и
понятно, ведь естественные науки находились тогда в
зачаточном состоянии, а такой техники, которая нужда-
лась бы в научно подготовленных специалистах, еще
почти не существовало. Итак, образование Кавальери
было гуманитарным. Это значит, что он владел латин-
ским и греческим языками, как родным, основательно
знал древних авторов, в том числе и великих математиков.
С ранних лет Бонавентуры семья предназначала его
к духовной карьере. В пятнадцатилетнем возрасте он
вступил в орден иезуатов (не иезуитов!). Патро-
ном ордена считался св. Иероним.
Около 1616 г. Кавальери переехал в Пизу, в монастырь
своего ордена, где продолжал образование. Его руководи-
23
БОНАВЕНТУРА КАВАЛЬЕРИ
(1598 (?) — 1638)
тел ем был Бенедикт (Бенедетто) Кастелли, математик и
астроном, ученик Галилея. Имя Кастелли не осталось
незамеченным в науке и не только потому, что он был
учителем Кавальери (кстати, у него учился и Торричелли).
Как ученый он придерживался передовых взглядов своей
эпохи, вел систематическую переписку со своим учителем
Галилеем и с другими крупнейшими современниками.
Из Пизы он переехал в Рим, где занимался эксперименталь-
ной физикой и преподаванием. Его важнейший труд —
книга «Об измерении текущих вод» (Рим, 1629). Следует
отметить, что он применял маятник для измерения време-
ни — прием, которого не использовал Галилей. Послед-
ний, как известно, пользовался пульсом.
Очень скоро Кастелли отметил выдающиеся способности
юного Кавальери. Кавальери стал первым среди
учеников Кастелли, его любимцем. Учитель познакомил
Кавальери с Галилеем. Молодой математик понравился
маститому ученому, Галилей охотно поддерживал с ним
переписку. Интерес Галилея к Кавальери легко понять,
если ознакомиться с их письмами. Вот, например, выдерж-
ка из письма к Галилею от 15 декабря 1621 г. «Я все время
прилежно занимаюсь математикой и пришел к доказатель-
ству некоторых предложений Архимеда иным способом,
24
чем он. В частности, я нахожу квадратуру параболы
методом, отличным также от Вашего». Если вспомнить, что
с момента выхода «Стереометрии бочек» Кеплера прошло
всего пять лет, что задачи квадратур и кубатур были цент-
ральными вопросами новейшей математики и что новые
методы квадратур, в частности параболы, вызывали
большой интерес, то делается понятным и интерес Гали-
лея к переписке с Кавальери. Между прочим, из этого
же письма следует, что уже в это время (начало 20-х
годов) Кавальери заложил основы метода, обессмертив-
шего его имя.
Но мы оставили молодого человека, когда он был
еще только учеником Кастелли. В 1619 г. Кавальери
подал заявление сенату Болоньи о своем желании занять
кафедру математики. Здесь он назвал себя «профессором
математики и учеником синьора Галилея». На этот раз
конкурс закончился не в пользу Кавальери. Он воротился
в Милан, потом жил во Флоренции, Риме, Парме. В Риме
он познакомился с Джиованни Чиамполи, любителем
точных наук и почитателем Галилея. Они быстро подру-
жились и сохранили навсегда наилучшие отношения.
Эту дружбу нелишне отметить, так как Кавальери посвя-
тил Чиамполи главный труд своей жизни — «Геометрию»
(издана в 1635 г.). В посвящении автор писал в адрес
Чиамполи: «Это открытие... хотя и незначительно, но ново,
тебе (посвящаю. — Л. Ф.) как мужу, превзошедшему
математические науки столько же, сколько и все осталь-
ные». Кавальери был не такой человек, чтобы кривить
душой ради комплимента. В 1629 г. Кавальери снова
участвует в конкурсе в Болонье (кафедра астрономии).
На этот раз его кандидатура поддерживалась Галилеем,
Кастелли, которые подтверждали чрезвычайно высокое
положение Кавальери среди математиков. Однако сенату
города требовались дополнительные данные. Галилею
был направлен запрос: достаточно ли сведущ конкурирую-
щий в астрологии? По-видимому, ответ был успокоитель-
ным, потому что Кавальери занял кафедру. Он оставался
в этой должности до самой смерти. Папа Урбан VIII
назначил его настоятелем монастыря, чтобы обеспечить
материально и предоставить возможность заниматься
наукой.
К этому времени основные идеи нового метода уже
сложились в стройную систему и, как говорится, проси-
25
лись на бумагу. Однако Кавальери отложил на время окон-
чательную обработку своего труда и его опубликование.
Италия еще не имела ни одной книги, по которой у окно было
бы ознакомиться с математической новинкой — с логариф-
мами, хотя «Описание удивительной таблицы логарифмов»
Непера было опубликовано еще в 1614 г. Кавальери решил
издать руководство по применению логарифмов в тригоно-
метрии. Результатом его труда явилась книга «Общее
руководство для измерения неба, в котором показываются
основы и правила логарифмической тригонометрии»
(1632). В том же году вышла еще одна его книга, связываю-
щая геометрическую оптику с теорией конических сечений.
После этого Кавальери, уже не отвлекаясь, занялся своим
основным трудом, который созревал в течение более
десяти лет. Наконец, в 1635 г. он опубликовал его под
названием «Геометрия, изложенная новым способом при
помощи неделимых непрерывного». Эта работа вместе с
«Этюдами» занимает важное место в биографии Кавальери.
Судьба, казалось бы, дала Кавальери все, чтобы
сделать его жизнь счастливой: обеспеченное и почетное
положение, благосклонность «великих мира сего» (не
только папа Урбан VIII, но и следовавший за ним папа
Иннокентий X не жалели похвал своему любимцу), возмож-
ность отдаться любимому делу; любовь и уважение
друзей— людей, известных в науке, наконец, и это глав-
ное,— большие успехи в избранной области математики
и большая популярность. Увы, он не был счастлив, его
жизнь была непрерывной борьбой с болезнью. С юных
лет он страдал тяжелой формой подагры. Подагра и свела
его в могилу пятидесяти лет от роду. С этим физическим
недугом соединялось и тяжкое чувство неудовлетворен-
ности. Несмотря на все усилия, на многолетние попытки
обосновать свой «метод неделимых» лишенной логических
дефектов теорией, ему это не удавалось. Как ни горячо
защищал он свое детище от нападок критики, научная
добросовестность не позволяла настаивать на теоретиче-
ской безупречности метода, о чем ниже будет сказано
подробнее.
Жизнь Кавальери протекала в тиши кабинета, в пре-
подавании и переписке с друзьями. После «Геометрии
неделимых» он издал еще несколько учебных руководств
по логарифмам (1639), по тригонометрии (1643) и др.
В год смерти вышла книга «Шесть этюдов по геометрии».
26
Эта работа по содержанию примыкает к «Геометрии
неделимых», является ее развитием и дополнением. Для
понимания теории неделимых обе работы имеют равное
значение.
С течением времени болезнь усиливалась. Ученому
становилось все хуже, он уже почти не мог ходить.
30 ноября 1647 г. очередной приступ подагры привел к
трагическому концу.
На родине Кавальери, в Милане, ему поставлен
памятник.
Вот неполный список его математических книг (все
книги изданы в Болонье).
1. «Общее руководство для измерения неба, в котором
показываются основы и правила логарифмической триго-
нометрии», 1632.
2. «Зажигательное зеркало, или трактат о конических
сечениях и некоторых удивительных явлениях, касаю-
щихся света, тепла, холода, звука и движения», 1632.
3. «Геометрия, изложенная новым способом при помо-
щи неделимых непрерывного», 1635.
4. «Сто различных задач для демонстрации применения
и простоты логарифмов в гномонике, астрономии, гео-
графии и т. д.», 1639.
5. «Тригонометрия плоская и сферическая, линейная
и логарифмическая», 1643.
6. «Трактат о планетном цикле и о пользовании та-
ковым», 1646,
Последняя книга издана под псевдонимом Silvio
Filomazio (Сильвио — любитель гаданий). Мотив обраще-
ния к псевдониму понятен: трактат представляет собой
руководство по астрологии. Популярность Кавальери в
Болонье и в других городах Италии была очень велика.
Слава, как известно, имеет и оборотную сторону. Всегда
находятся люди, достаточно назойливые, чтобы лишить
покоя знаменитого человека. В согласии с духом века
поклонники Кавальери настойчиво просили его советов
при их попытках составить свои гороскопы. Чтобы из-
бавить себя от их назойливости, он и составил несколько
таких руководств. Но ведь были и другие современники,
мнением которых Кавальери очень дорожил. В письмах
к ним он пытался, не очень, правда, убедительно, оправдать
издание подобных книг необходимостью считаться с
нравами и предрассудками современников. В письме к
27
Торричелли он писал в 1642 г.: «Следует иметь терпение
и приспособляться к общему мнению... сохраняя, однако,
истинное добро для познания и для тех, которые предпо-
читают знать, чем казаться знающими».
Известный историк математики Монтюкла не видит
уважительных причин для издания недоброкачественных
книг: «Есть ли такая причина, которая могла бы заставить
философа и любителя истины поддерживать предрассу-
док?»— вполне справедливо говорит он.
Продолжаем список работ.
7. «Шесть этюдов по геометрии», 1647.
Уже в ранней молодости Кавальери выработал собст-
венный взгляд на процесс интегрирования. Он сводится
к следующему. Рассмотрим конечную плоскую фигуру,
контур которой имеет простейшее строение (любой прямой
пересекается в двух точках). Кавальери представляет
фигуру как ряд параллельных прямых (выбор направле-
ния прямых безразличен). Эти прямые можно рассматри-
вать как предельный результат дробления фигуры на
все более узкие (параллельные) полоски. Так как отрезок
не имеет толщины, то его дальше «расщеплять» невозмож-
но. Кавальери и называет его для плоской фигуры неде-
лимым. Важнейший признак неделимого состоит в
том, что число измерений его на единицу меньше самого
геометрического образа. У плоской фигуры 2 измерения,
у ее неделимого, т. е. у отрезка,— 1 измерение. У отрезка
1 измерение, у его неделимого, т. е. у точки, — 0 измере-
ний. У тела — 3 измерения, у его неделимого — плоской
фигуры — 2 измерения, и т. д. Сам Кавальери поясняет
свою мысль, сравнивая плоскую фигуру с куском ткани,
сотканной из параллельных нитей. Но разница состоит
в том, подчеркивает автор, что число нитей в куске ткани
конечно, число же линий в плоской фигуре бесконечно,
так как линии лишены какой бы то ни было толщины.
Далее следует подробно разработанная система, приме-
нение которой может дать реальные результаты в виде
подсчета площадей плоских фигур и объемов тел. Основ-
ные пункты системы выражены в следующих теоремах.
1. Если у двух плоских фигур любые две соответст-
венные линии подобны (равны), то и совокупности линий
подобны (равны).
2. Площади двух фигур относятся как их совокупности
линий.
28
Рис. 6.
Вычисление объема «чаши»
методом неделимых
3. Эти две теоремы не зависят от выбора направления
неделимых в фигурах. На практике Кавальери всегда
выбирает одно направление для обеих фигур.
С помощью этих теорем вычисляется отношение неиз-
вестной площади к известной и таким образом решается
задача квадратуры.
Те же теоремы с соответствующими изменениями сфор-
мулированы и для тел (трех измерений и выше). Следую-
щий пример показывает, как определяется неизвестный
объем по методу неделимых (рис. 6). Даны два тела:
конус, как результат вращения треугольника CDG, и
«чаша», получившаяся от вращения фигуры ADG.
Проведем произвольную плоскость mnpg параллель-
но основанию чаши DGF. Эта плоскость образует сечение
чаши в виде кольца тп и сечение конуса в виде круга
pg. Легко доказать, что площади этих сечений равны.
Так как это равенство справедливо для плоскости,
проведенной на любой высоте, то по теореме Кавальери
равны и совокупности площадей сечений, а значит, рав-
ны и объемы. Получено отношение двух объемов: неиз-
вестного объема чаши и известного объема конуса, рав-
1 1
ного у я Л3. Значит, и объем чаши равен -^nR3 (i?—ради-
ус сферы CG).
Отличие метода неделимых от метода Кеплера состоит
в том, что Кеплер сперва вычисляет, а потом переходит
к пределу (или, вернее, предоставляет совершать этот
переход любителям тонкостей), в то время как Кавальери
сперва переходит к пределу в процессе «расщепления»
фигуры, а потом приступает к вычислению. Но при
переходе к пределу «расщепления» теряется одно
измерение. В то же время размерность суммы, как извест-
но, равна размерности слагаемого. Откуда же возьмется
29
Рис. 7.
Вычисление площади
методом неделимых
недостающая размерность при суммировании неделимых?
Кавальери не мог дать ясный ответ на этот вопрос. Он
получал, как увидим сейчас, правильные результаты, но
получал их ценою скрытого допущения толщины у недели-
мых. Он считал, что «совокупность неделимых» есть сумма
типа 2/, в то время как в действительности он пользовался
суммами типа Hldx. Покажем это на примере.
Требуется вычислить площадь, ограниченную дугой
квадратичной параболы (рис. 7).
Дано:
DA__EF_ DA2 _ EF
FA~ GF И FA2 " HF #
Требуется доказать, что площадь прямоугольника Sbd
равна утроенной площади сектора AHCD, т. е. что
Sbd = 3 SHD. Для решения задачи надо вычислить отно-
шение квадрата неделимого прямоугольника к квадрату
неделимого сектора. Но, согласно основным теоремам,
если эти квадраты имеют постоянное отношение по всей
высоте фигур, то в этом же отношении находятся и сово-
купности квадратов. Проделывается это следующим об-
разом. Из первой пропорции подставляем во вторую
EF2 _ EF
GF2 ~ HF #
Следовательно, совокупность квадратов неделимых прямо-
угольника BD так относится к совокупности квадратов
неделимых треугольника GD, как EF относится к HF.
Но предварительно Кавальери показал, что отношение
совокупности квадратов неделимых прямоугольника к
30
совокупности квадратов неделимых треугольника, слу-
жащего половиной того же прямоугольника, равно 3 :1.
Следовательно, отношение совокупности неделимых пря-
моугольника BD к совокупности неделимых сектора
HD равно 3:1, что и требовалось найти.
Переведем доказательство Кавальери на современный
язык. Совокупность квадратов неделимых прямоугольни-
ка найдется как
а
a2 dx;
о
совокупность квадратов неделимых сектора, ограничен-
ного параболой #2, равна
а
x2dx.
о
Отношение этих интегралов равно, очевидно,
a .-F- 6.
Сопоставление двух выводов показывает, что Кавальери
вынужден в скрытом виде вводить дифференциал абсциссы.
Он в своих теоретических выступлениях категорически
отрицал присутствие dx в его трактовке совокупности
неделимых, и это вызвало очень жесткую критику со-
временников. Одно из слабых мест позиции Кавальери
указал Галилей: если неделимые имели бы толщину,
они могли бы делиться дальше; их автор отрицает это,
следовательно, они толщины не имеют, но если этих
неделимых бесконечно много, результат их сложения
должен быть бесконечно большим. Кавальери не уклоня-
ется от дискуссии, но его возражения обнаруживают
слабость теоретической позиции. «Непрерывное (т. е. плос-
кая фигура, например.— Л. Ф.) либо не что иное, как
сами неделимые, либо что-то иное, чем неделимые...
Пусть непрерывное тождественно с неделимыми; ...но если
непрерывное не есть сами неделимые, а что-то иное, то...».
Из последних слов видно, что Кавальери не мог остано-
виться на одном определенном толковании своей системы.
Эта неопределенность проходила через все его творчество.
В другом месте своей «Геометрии» он говорит: «Пусть это
(т. е. то, что непрерывное состоит из неделимых.— Л. Ф.)
31
неверно или пусть хотя и верно, однако мы не нашли еще
доказательства для этого положения». Снова Кавальери
в высшей степени добросовестно относится к собственному
детищу, он не скрывает, что ему самому не ясны наиболее
глубокие основания построенной им системы. Историче-
ская справедливость требует отметить, что и глубокие
основания современного анализа долгое время оставались
темными и во всяком случае не XVII и даже не XVIII в.
внесли ясность в этот вопрос. Отсутствие последователь-
ного и непротиворечивого толкования анализа не мешало
его триумфальным успехам на протяжении столетий.
Колебания автора метода неделимых также не мешали
этому методу завоевывать новые и довольно значительные
позиции. Методом Кавальери были вычислены определен-
ные интегралы не только для параболы при п= 2, но вплоть
до п = 9, а затем была доказана общая формула для
любого целого положительного п. Свои результаты инте-
грирования парабол Кавальери сообщил Ферма. Для
последнего это интегрирование не было новостью. В 1644 г.
он ответил Кавальери письмом, в котором приводит квад-
ратуры парабол и гипербол. В этом письме доказательства
формул не даны. Мы познакомимся с ними в очерке, посвя-
щенном Ферма.
Метод неделимых привлек многих последователей из
числа крупных математиков. Им пользовались Грегори,
Чирнгаузен, Барроу, Валлис и др. В течение пятидесяти
лет «Геометрия неделимых» оказывала науке те услуги,
которые впоследствии взяло на себя интегральное исчис-
ление. Закончим рассказ о методе неделимых оценкой,
данной ему Торричелли: «Новая теория неделимых про-
ходит через руки ученых как чудо науки и показала
Ьшру, что века Архимеда и Евклида были годами младен-
чества для нашей зрелой геометрии».
Пьер Ферма
Долгое время считали, что П. Ферма родился в 1595 г.
в Тулузе. Но в середине XIX в. в архивах городка Бомона,
около Монтобана наТарне (приток Гаронны), был найден
документ, в котором говорится, что в августе 1601 г.
«у второго советника города Доминика Ферма и его
жены Франсуазы, урожденной де Казнав, родился сын
32
ПЬЕР ФЕРМА
(1601 — 1665)
Пьер». Д. Ферма был уважаемым человеком в городе.
Он вел торговлю кожей. Пьер провел детство с родите-
лями, а учиться поехал в Тулузу — ближайший универ-
ситетский город. Изучив право, Пьер Ферма успешно
начал карьеру адвоката, но решил перейти на государст-
венную службу. В 1631 г. актом от 14 мая Ферма зачисля-
ется на должность советника кассационной палаты
Тулузского парламента. Этот парламент не имеет ничего
общего с выборным законодательным органом государства.
Парламентами назывались во Франции окружные судеб-
ные органы, включающие гражданскую, уголовную, кас-
сационную палаты и т. д. В камере приема прошений кас-
сационной палаты и работал Ферма. К этому времени он
уже был женат на дочери советника того же парламента,
поэтому не исключено, что выбор места службы обусловлен
родственными связями. Всю свою жизнь он провел в
Тулузе, в той же должности, и скончался в 1665 г. Жизнь
его бедна внешними событиями, но следы, оставленные
2 л. С. Фрейман
33
им в математике, таковы, что интерес к его личности не
ослабевает и в наше время.
Свободное от службы время Ферма заполнял чтением
математических трудов, занятиями математикой и пере-
пиской. По свойству своего математического дарования
он интересовался наиболее важными и трудными вопроса-
ми математики своего времени. Так как он был не просто
любителем, но обладал выдающимся творческим даром,
то наиболее крупные из его современников-математиков
охотно переписывались с ним. В числе его корреспонден-
тов находим Мерсенна, Роберваля, обоих Паскалей,
Декарта, Френикля де Бесси, Каркави (когда он из Тулу-
зы переехал в Париж), Гассенди, Лалувера, Кавальери,
Торричелли, Гюйгенса и многих других. При жизни
Ферма почему-то не печатался. Можно назвать лишь
книгу «О сравнении кривых линий с прямыми» (Тулуза,
1660) да еще принадлежащее ему анонимное дополнение
в книге Лалувера «Развитие геометрии древних в семи
книгах о циклоиде и в двух прилагаемых дополнениях»,
изданной тоже в Тулузе в том же 1660 г. Работы Ферма
были хорошо известны современникам, так как он излагал
их содержание в многочисленных письмах, заменявших
в то время журналы.
Достижения Ферма относятся к разным отделам
математики: к аналитической геометрии, теории чисел,
анализу, вычислению интегралов и т. д., но в этом очерке
освещаются только принадлежащие ему новые методы
вычисления квадратур и нахождения экстремумов.
Выше говорилось, что Ферма ответил на письмо
Кавальери. Ответ был послан в 1644 г. через Мерсенна
и назывался «Ответ на вопросы Бон. Кавальери». Он
содержал найденные Ферма квадратуры парабол, кубату-
ры тел вращения и так далее, но без доказательств.
Они подробно изложены в статье Ферма «О преобразова-
нии уравнений мест... в применении к параболам и гипер-
болам». Ниже приводится способ, с помощью которого
Ферма находит квадратуру гиперболы.
Площадь, ограниченная гиперболой, разбивается на
узкие параллельные полосы ЕН, 10 и т. д. (рис. 8). Эти
полосы заменяются прямоугольниками, как показано на
чертеже. Далее показывается, что площади прямоуголь-
ников образуют бесконечную убывающую геометрическую
прогрессию, и находится сумма этой прогрессии. Остается
34
Рис. 8.
Вычисление площади
гиперболы (по Ферма)
перейти к пределу, когда площадь элементарного прямо-
угольника стремится к нулю, чтобы получить точное
выражение для площади, ограниченной дугой гиперболы.
Основой вывода является доказательство того, что площа-
ди прямоугольников образуют геометрическую прогрес-
сию. Вот как получает это Ферма.
„ „ GE АН* HI АО*
Пусть FD такое место, что -^ = -^, ^ = -^ и т. д.
Разбиваем ось AR так, что отрезки AG; АН; АО;... обра-
зуют геометрическую прогрессию со знаменателем е > 1.
Положим, что элементарная трапеция GHIE приближенно
равновелика прямоугольнику GH- GE, трапеция HONI —
прямоугольнику НО-HI и т. д. Пусть
AG^__ АЛ^_ АО__ _J_
АН ~~ АО ~ ОМ ~~ ' ' ' ~~ е •
Требуется доказать, что прямоугольники EGH, IHO,
NOM,... образуют геометрическую прогрессию. Площади
EGH и IHO равны соответственно GE-GH и HI-НО,
следовательно, отношение площадей равно
GE * GH.
HI-НО'
AG GH НО
НО, ПО СВОЙСТВУ ПРОПОРЦИИ, jtt = -тгп = пм =
АН НО ОМ
поэтому
GE
HI
GH
НО
GE
HI
AG
АН*
Заданная гипербола такова, что
пропорция переходит в
AG2 ' АН ^ AG ~г>1'
GE_ АН*
HI" AG2
, и предыдущая
2* V
Следующие два прямоугольника дадут то же отношение е
и т. д. Отсюда следует, что площади прямоугольников
образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 1/е,
меньшим 1. Следовательно, возможно суммирование пло-
щадей прямоугольников.
Для того чтобы провести переход к пределу более
выразительно, чем это сделано у Ферма, который совер-
шенно не пользуется алгебраической символикой,
полезно перевести вторую половину его вывода на язык
алгебры.
Пусть
AG = xQ, GE = yQ,
АН=хи HI = уь
АО = z2, ON = ?/2,
Пропорция заданной гиперболы принимает вид
2
Vl **Ч) 2 2
— = — или у0х0 = yvxY = . . . = const.
2/0 X*
Пусть, далее,
Х-± =r Xqci) Х4 z== X-jfi :==z Xq8> , . . . j Xji =z Xq& j
отсюда основания прямоугольников
X\ — Xq = Xq (8 — 1),
X<i — Xi = Xq& (8 — 1 J,
x3 — #2 = x0&2 (e — 1),
^n+i — Xn — Хфп (Б — 1).
Как и следовало ожидать, кпх — хп — хп_х —> 0 при е —> 1.
Первый член прогрессии равон площади прямоугольника
EGH или г/о (^i — ^о), знаменатель прогрессии известен: 1/е.
Сумма прогрессии
После сокращения в числителе и знаменателе на е — 1
и перехода к пределу при е—*1 цолучаем сумму, рае-
36
ную у0х0, которую Ферма выражает, конечно, геометри-
чески, как площадь прямоугольника с данной высотой
GE и основанием AG, Если принять в уравнении гипер-
болы const = 1, то результат Ферма выразится в виде
интеграла
оо
dx 1
х2 ~~ х0
Ферма этим же приемом находит квадратуры гипербол
любой степени, разумеется, кроме первой, интеграл кото-
рой находится из других соображений. Ферма показал
еще, как вычислить площади парабол, объемы и центры
тяжести тел вращения и др.
Сравнение методов Ферма, Кавальери и Кеплера
показывает, насколько продвинулся вперед Ферма в
технике интегрирования. Кеплер, как и Ферма, делит
фигуру на элементы настолько малые, что каждый элемент
можно приближенно приравнять какой-нибудь фигуре
с известной площадью, например треугольнику. Но в то
время как Кеплер геометрическую задачу приводит к
геометрической же, Ферма приводит ее к задаче
алгебраической, к суммированию геометрической
прогрессии. Правда, по форме рассуждения Ферма —-
ортодоксально-геометрические, но за этой формой без
всякого труда различается алгебраическое содержание.
Любопытно, что алгебра в те времена считалась математи-
кой второго сорта, подручным средством, разработанным
для нужд практиков. Ферма предпочитал установившиеся
формы, освященные веками и тысячелетиями, но наполнял
эти формы новым содержанием. Мы видели, что Кавальери
тоже не выходит за рамки античных воззрений на при-
роду геометрического образа. Однако стремление к абсо-
лютной строгости сослужило Кавальери плохую служ-
бу. Он отверг понятие бесконечно малой и тем
лишил себя самого действенного, самого гибкого и
самого универсального средства для вычисления интегра-
лов. Можно в известном смысле сказать, что Ферма про-
должил дело Кеплера. Он использовал понятие бесконечно
малых, как это сделал Кеплер. Он их суммирует, как
Кеплер, и переходит к пределу. Сходство большое, но не
менее того и различие. Ферма пользуется системой
}7
координат — новым приемом, автором которого он и
является. Кроме того, он составляет интегральную сум-
му, в точности так, как впоследствии это стали делать в
интегральном исчислении. Эти два отличия техники
Ферма от техники Кеплера имеют огромное значение:
они переводят геометрическую задачу на аналитический
язык и тем самым подготавливают возможность примене-
ния анализа к задачам интегрального исчисления. Неволь-
но возникает вопрос: не является ли именно Ферма изо-
бретателем интегрального исчисления? Надо ответить
отрицательно. Ферма значительно продвинул вычисление
квадратур, но пользовался одним способом: определением
предела интегральных сумм. Этот способ требует изо-
бретения нового приема для интегрирования каждой новой
функции. Следовательно, он не может выработать едино-
образной схемы или исчисления. Это и невозможно
было сделать, пока не была установлена взаимная обрат-
ность действий дифференцирования и интегрирования.
Правда, отдельным ученым, например, Торричелли, эта
связь была ясна, но широкой известности она не получила.
Лишь после опубликования «Лекций» Барроу связь
между дифференцированием и интегрированием могла
послужить материалом для создания интегрального ис-
числения.
На некоторое время расстанемся с интегральными
проблемами и обратимся к анализу. Ферма и здесь проло-
жил новые пути. Он показал, как находить максимум и
минимум функции. Читатель без труда убедится в том,
что прием, разработанный Ферма, есть прямой и непосред-
ственный предшественник дифференциального исчисления.
Даламбер был первым, кто признал Ферма изобретате-
лем дифференциального исчисления. В «Энциклопедии»
он писал, что у Ферма мы встречаем первое приложение
дифференциалов для нахождения касательных. Того же
мнения держались Лагранж и Лаплас.
Для удобства сравнения напомним, как связана
производная с задачей об экстремуме. Пусть дана функ-
ция у = / (я), описывающая некоторую кривую. Требуется
определить точки экстремумов этой кривой. Необходимое
условие существования экстремума в точке х = х0 состоит
в равенстве нулю производной в этой точке
/'(*о) = 0.
38
В свою очередь, производная функции, по определению,
выражается формулой
at \ v Пх + кх) — f (х)
f (х) = lim м ^ '—*-*-' .
О достаточном условии наличия экстремума будет сказано
немного позже.
Ферма описал свой способ в работе «Способ отыскания
максимума и минимума»; он писал об этом Декарту через
Мерсенна.(1637 или первые дни января 1638 г.), но изо-
брел его еще в 1629 г., как сообщил Робервалю в одном
письме в 1636 г. Вот как описывает автор свой прием.
«Допустим, что А представляет собою какую-либо
исследуемую величину — поверхность, или тело, или
длину в соответствии с условиями задачи — и максимум
или минимум выражается членами, содержащими А в
каких-либо степенях. Затем величину, которая прежде
была А, принимаем за А -{-Еж снова находим максимум
и минимум через члены в тех же степенях. Эти два выра-
жения приближенно приравниваем одно другому. Оди-
наковые члены в обеих частях равенства отбрасываем,
а оставшиеся делим на Е или на его степень так, чтобы
хотя бы один из членов не содержал Е. После этого
члены, содержащие i?, уничтожаются, а оставшиеся чле-
ны приравниваем друг другу. Решение уравнения дает
Л, соответствующее максимуму или минимуму». Вслед
за описанием способа отыскания экстремума Ферма при-
водит пример его применения: разделить отрезок АС в
точке Е так, чтобы прямоугольник АЕ»ЕС имел наиболь-
шую площадь. Ферма решает задачу следующим образом.
Пусть длина всего отрезка равна В, длина искомой час-
ти АЕ равна А. Тогда часть ЕС равна ВА, и площадь
прямоугольника равна А (В — А). Затем Ферма заме-
няет А на А -\-Е так, что площадь оказывается равной
(А + Е)(В -А-Е)илжА(В-А-Е)+Е(В-А-
—Е), после чего оба выражения площади приравниваются
А(В — А) = А(В — А—Е)+Е(В—А — Е)
или, после приведения подобных:
О = — АЕ + BE — АЕ — £2;
теперь Ферма делит уравнение на Е
0 = —2А + В — Е
39
и член, содержащий Е, отбрасывает. Решение оставшегося
уравнения дает искомое значение А.
Если сравнить способ Ферма со способом, использую-
щим дифференциальное исчисление для отыскания экс-
тремума, то легко видеть, что путь, предложенный
Ферма,— именно тот, который приводит к формуле
! . / (х + 8) / (х) п
hm——!—-—L-L- = 0.
Однако Ферма считает приращение Е числом постоянным
(хотя и произвольно малым), следовательно, не предпола-
гает предельного перехода. Поэтому нельзя сказать,
что он открыл дифференциальное исчисление. Но вполне
справедливо, что он пошел по пути, открывшему приме-
нение дифференциального исчисления к анализу. Правда,
Кеплер раньше Ферма подметил основное свойство пере-
менной в окрестностях ее точки экстремума, но только
Ферма сумел развернуть одну фразу Кеплера в стройный
метод.
Ферма располагал и достаточным условием для сущест-
вования экстремума. Коротко говоря, если переложить
условие на современный язык, оно сводится к тому, чтобы
/ (#о) — /(#о + е) и f(x0) — f(x0 — е) были одного знака,
или, другими словами, экстремальное значение функции
f(x) или больше двух достаточно близких значений функции
по обе стороны от точки экстремума (максимум), или мень-
ше этих значений (минимум).
Закончим беседу об открытии Ферма следующим
отрывком из «Лекций по исчислению функций» Лагран-
жа: «Способ проведения касательных основан на том же
принципе. В уравнении между абсциссой и ординатой,
которое он (Ферма. — Л. Ф.) называет специфическим
свойством функции, он увеличивает или уменьшает абс-
циссу на неопределенное количество и новое значение
ординаты рассматривает как принадлежащее одновремен-
но кривой и касательной, что приводит к такому же выраже-
нию, что ив экстремуме.
...Но геометры — современники Ферма — не усмотре-
ли этого нового рода исчисления, они увидели лишь частные
случаи. И это изобретение, которое появилось незадолго
перед «Геометрией» Декарта, не использовалось почти
сорок лет. Наконец Барроу догадался представить вместо
количеств, которые надо положить равными нулю, по
40
Ферма, бесконечно малые, и опубликовал в 1674 г. свой
метод проведения касательных» *.
Из описанных здесь методов Ферма ясно видно, что
он применял систему координат и оперировал уравнениями
кривых. Вместе с тем он разрабатывал свои методы
до 1637 г., до выхода «Геометрии» Декарта. Объясняется
это просто: Ферма сам, независимо от Декарта, открыл
метод координат. Иначе говоря, он наряду с Декартом
является основоположником аналитической геометрии 2.
Бессмертную славу завоевал Ферма своими открыти-
ями в теории чисел. Здесь не место вдаваться в подробности
этих работ Ферма. Отметим только, что и они не были
опубликованы при его жизни. Наследие Ферма не так уж
велико по объему, но неисчерпаемо по глубине содержа-
ния. Неоценимую услугу математике оказал сын Ферма,
Самюэль, опубликованием этого наследия. Самюэль
Ферма был, как и его отец, юристом и так же, как отец,
не ограничивал свои интересы службой: он был поэтом
и литератором. Его французские и латинские стихи
в свое время ценились. В 1679 г. он издал труды отца под
заглавием «Различные математические работы д-ра
Петра де Ферма, выбранные из его писем или к нему
написанных по математическим вопросам и по физике
ученейшими мужами на французском, латинском или
итальянском языках» 3.
Последнее собрание сочинений Ферма издано видным
специалистом по истории математики Полем Таннери
в Париже в 1896 г. в трех томах.
Роберваль
Жиль Персонн (такова настоящая фамилия Роберваля)
родился в окрестностях Бове, в 60—70 километрах север-
нее Парижа, 8 августа 1602 г. Родители его были простые
земледельцы, но сумели дать сыну значительное для того
времени образование, которое он существенно расширил
1 Проведение касательных по способу Ферма рассмотрено в очер-
ке «Исаак Барроу».
2 Эту разновидность геометрии назвал аналитической
И. Ньютон.
3 При ссылках на это собрание трудов Ферма его обычно назы-
вают первыми тремя словами заглавия.
41
самостоятельными занятиями. В молодом возрасте он
покинул родительский дом ради путешествия по Франции.
Маршрут его неизвестен; есть, впрочем, сведения, что
он был в Тулузе, где познакомился с Ферма. Средства на
пропитание он добывал, нанимаясь по временам домашним
учителем. Он не упускал любой возможности пополнить
свое образование, так что, по его собственному выражению,
путешествовал dhcendo docendopue (уча и учась). По
неизвестной причине он оказался под стенами Ла-Рошели
и принял участие в знаменитой осаде этой крепости. Это
было в 1627 г., когда всемогущий Ришелье задумал
сокрушить гугенотов и для начала наметил завладеть
Ла-Рошелью—их исконной опорой и прибежищем. Под
Ла-Рошелью молодой Персонн не задержался, и летом
следующего года мы видим его уже в Париже. Не случайно
он там оказался. Молодой человек избрал Париж потому,
что, как он писал через некоторое время Торричелли,
«этот громадный город — для племени ученых превосхо-
ден».
Персоня избирает профессию ученого. Вскоре после
приезда в Париж он уже коротко знаком с Мерсенном
и усердно посещает заседания его кружка. Кто такой
Мерсенн и что такое кружок Мерсенна? Для того чтобы
правильно оценить их роль в истории науки, следует
вспомнить, что представляли собой естественные науки
в Европе в первой половине XVII в. Никаких научных
организаций не было, если не считать маломощных и
недолговечных итальянских частных академий. Можно
было бы думать, что очагами науки являлись университе-
ты, но в те годы университеты еще были в плену средне-
вековой схоластики. Ученые различных специальностей
насчитывались единицами, так что, в сущности, некого
еще было организовывать. Через 40—50 лет положение
существенно изменилось, академии появились во многих
странах — в Англии, Франции, Пруссии. При организа-
ции этих академий использовались частные кружки,
где ученые, объединенные общими интересами, собирались
для обсуждения работ своих коллег, обмена информацией
и т. д. Одним из таких кружков был кружок Мерсенна.
Францисканский монах (иначе — минорит) по своему офи-
циальному званию, страстный любитель точных наук,
Мерсенн отличался качествами выдающегося организа-
тора: но умел собирать около себя талантливых людей
4*
и обладал редким даром из потока работ и открытий
выделять те, которым суждено сыграть особенно важную
роль в дальнейшем развитии науки. С 1625 г. в франци-
сканском монастыре, где он жил, регулярно собирались
друзья-ученые.Членом этого кружка и стал Жиль Персонн.
Блестящие способности и глубокие знания нового
знакомого привлекли Мерсенна и, несмотря на заметную
разницу в годах (Мерсенн был старше Персонна на 14
лет), их знакомство перешло в дружбу, продолжавшуюся
до самой смерти Мерсенна (1648). В кружке Мерсенна
Персонн познакомился с наиболее известными математи-
ками и физиками. Таким образом он вошел в ученые круги
Парижа и без труда получил кафедру в коллеже Мэтр
Жерве. Этот старинный коллеж имел, выражаясь со-
временным языком, астрономический уклон и, следова-
тельно, математика там была поставлена основательно.
В 1634 г. Персонн занял вторую кафедру в лучшем кол-
леже Парижа — в Коллеж де Франс. К этому времени
фамилия Персонн уже почти забылась. Ее владелец
использовал название селения или местечка, где жили
его родители — Роберваль — и для большей важности
снабдил его частицей де. Так появился ученый де Робер-
валь, имя которого и осталось в истории науки. Как
мы вскоре убедимся, Роберваль был очень крупным
ученым, имя которого пользуется заслуженной извест-
ностью вот уже триста лет. К сожалению, характер
выдающегося ученого оставлял желать лучшего: нелю-
димый, угрюмый, вспыльчивый, завистливый, тщеслав-
ный, мнительный. Описаниями грубостей Роберваля, его
резкостей, невежливых поступков испещрены письма не-
которых современников, но несмотря на это Роберваль —
непременный участник всех математических, физических
и других научных собраний.
В течение десятилетий изменилось положение науки во
всей Европе, в том числе и во Франции. «Государственная
власть уже не уогла оставаться безучастной»,—говорит
П. Таннери. Выдающийся министр Людовика XIV мер-
кантилист Кольбер лучше других понимал, что государ-
ство не может обойтись без помощи науки, и в 1666 г.
учредил Академию наук. Для этой цели он обратился к
кружку, который в свое время сложился вокруг Мерсен-
на, а теперь возглавлялся другом и земляком Ферма,
хранителем королевской библиотеки Пьером Каркави.
43
Первыми в Академию наук вошли: Гюйгенс, специально
приглашенный во Францию на пост президента вновь орга-
низованной Академии, Пьер Каркави (? — 1684) — матема-
тик, Френикль де Бесси (1600—1675) —математик, аббат
Пикар (1620—1682) — астроном, Роберваль, Озу (1630 —
1691)—астроном и некоторые другие. К своим обязаннос-
тям академика Роберваль относился ревностно. В протоко-
лах Академии сохранились записи десятков выступлений
Роберваля с докладами, описаниями его приборов, кри-
тическими замечаниями и т. д. Говорят, что в последние
годы он выходил из дому только для того, чтобы посетить
Академию наук. С годами его нелюдимость все росла.
Смерть его прошла незамеченной; в письмах современников
нашлась только одна запись об этом событии: Гюйгенс
в постскриптуме одного своего письма замечает «М. де
Роберваль умер на днях и оставил свои рукописи нашей
Академии». Не сохранился и его портрет.
Среди работ Роберваля встречаются труды по физике,
астрономии, механике, но прежде всего он — математик.
В первые годы его пребывания в Париже особенно бурно
развивалось то направление в математике, которое можно
назвать введением в анализ. Большое число отдельных
задач по вычислению объемов, площадей уже было ре-
шено; касательные к некоторым кривым были проведены.
Но общие методы только-только нарождались. Чита-
тель уже знаком, например, с методом неделимых К аваль-
ери, со способами Ферма; в эти же годы довольно
общие методы анализа предлагал Декарт и некоторые
другие математики. Однако нерешенных задач еще
оставалось много и творческому уму представлялись
большие возможности для экстенсивных открытий.
Роберваль, деятельный член кружка Мерсенна и очень
даровитый математик, естественно, не остался в стороне.
Из большого числа его превосходных работ мы приведем
лишь несколько, замечательных изяществом применен-
ных рассуждений и в то же время значительностью полу-
ченных результатов.
Еще в первые дни знакомства с Мерсенном Роберваль
услышал от него о так называемом «парадоксе Аристоте-
ля». Парадокс в то время еще не имел объяснения, и Мер-
сенн предложил своему новому знакомому отыскать это
объяснение. Суть парадокса проста. Представим себе
круг, катящийся без скольжения по прямой. Пусть центр
44
Рис. 9.
Вычисление площади циклоиды (по Робсрвалю)
круга О, а точка, которой круг опирается в данный
момент на прямую (или, иначе, касается ее), пусть
будет А, так что радиус круга равен ОА. По прошествии
одного оборота круг снова будет опираться точкой Л.
Заметим на радиусе круга О А точку В, лежащую между
точками О ж А, так что ОБ <^ ОА. Парадокс заключается
в том, что длина окружности 2пА больше длины 2пВ,
а между тем точка В была на вертикали ОА в первый
момент качения и оказывается на этой же вертикали
через полный оборот круга. Требуется объяснить это
явление. Роберваль внимательно познакомился с зада-
чей и признал себя недостаточно подготовленным для ее
решения. Совершенно ясно, что раньше всего надо было
глубоко изучить свойства циклоиды. Роберваль занял-
ся этой кривой и достиг замечательных результатов: он
дал простой и вполне доказательный способ построения
циклоиды, вычислил ограниченную ею площадь и объемы
тел, образуемых циклоидой при ее вращении вокруг
касательной, проведенной к вершине кривой, и вокруг
ее оси симметрии. При вычислении площади циклоиды
Роберваль с большим искусством применил метод недели-
мых. Познакомимся с этой задачей Роберваля, решение
которой привлекает своей простотой и наглядностью
результата.
На рис. 9 представлен чертеж, взятый из работы
Роберваля. На этом чертеже AGB — половина произ-
45
водящего круга, АОС — отрезок, длина которого равна
л/г, где R = АВ/2 есть радиус круга. Длина АС
(или BD) равна, таким образом, длине полуокружности
AG В. Делится на равные части АЕ = EF = FG = ...
полуокружность AGB и на части AM = MN = NO =...
та же спрямленная полуокружность А ОС, причем дуги
полуокружности равны отрезкам прямой, т. е. АЕ = AM,
EF = MN и т. д. Из точек деленияЕ, F, G,... опускаются
перпендикуляры на диаметр круга АВ. Получаем линии
синусов El, F2, G3 и т. д. Из точек М, N, О,... восстав-
ляются перпендикуляры Ml, N2, 03,... к отрезку АС.
Длина Ml равна длине отрезка диаметра А1, длина N2
равна длине А2 и т. д. Из построения следует, что кривая,
проходящая через точки А, 1, 2,.., D, есть синусоида,
вернее, ее половина. Заметим, что в этой работе Роберваль
впервые построил синусоиду в прямоугольных координа-
тах, и ему принадлежит первенство в графическом изобра-
жении тригонометрической функции. Как сейчас будет
показано, циклоида вычерчивается с помощью этой кри-
вой. На этом основании Роберваль назвал ее «спутницей»
или «провожатой» (термин «линия синусов», т. е. «сину-
соида», впервые встречается у Оноре Фабри, 1659).
Переходим к построению циклоиды. Длина дуги АЕ
равна длине отрезка AM. Поэтому, когда круг перекатится
так, что будет опираться точкой М, точка А перейдет в
положение Е на круге. Если при этом на вертикальном
диаметре, опирающемся на М, взять точку 1 и отложить
от этой точки отрезок 1—8, равный отрезку El, то точка
8 и покажет положение точки А на круге в момент, когда
он касается прямой АС ъ точке М. Рассуждая так же
относительно точек 2, 3,... и откладывая отрезки 2—9,
3—10, равные соответственно F2, G3 и т. д., получим
точки 8, 9, 10, лежащие на циклоиде. Таким образом,
кривая А — 10 — D представляет собой половину цик-
лоиды с осью симметрии CD. Предстоит вычислить пло-
щадь фигуры, ограниченной этой кривой, основанием АС
и отрезком CD. Синусоида («спутница», по Робервалю)
А —- 5 — D делит прямоугольник ABDC на две равные
части. Площадь прямоугольника равна 2R*nR = 2кН2.
Следовательно, площадь, ограниченная «спутницей» А —
— 5 — D, равна площади производящего круга. Если к
этой площади прибавить площадь петли А — 5 — D — 11,
заключенной между «спутницей» и самой циклоидой, то
46
задача будет решена. Таким образом, задача свелась к
вычислению площади указанной петли. Для этой цели
Роберваль использует метод неделимых. Вспомним, что
точки циклоиды 5, 9, 10,... мы получаем, откладывая от
точек 7,2, 3,... синусоиды отрезки 1—8,2—9,..., равные
соответственно отрезкам 1—E,2 — F, 3 — G и т. д.
Отсюда следует, что если считать эти отрезки неделимыми
фигур AGB и AD, то неделимые обеих фигур попарно
равны, значит, как то следует из основных теорем метода
неделимых, равны и площади фигур. Площадь фигуры AGB
известна — это половина площади круга. Значит, площадь
петли AD тоже равна половине круга. Прибавляя эту
площадь к уже известной площади А — 5 — D — С,
получаем полторы площади производящего круга. Следо-
вательно, полная площадь циклоиды равна утроенной
площади производящего круга. Задача решена. Само по
себе решение заслуживает высокой оценки. Но оно еще
больше выиграет, если принять во внимание, что Робер-
валь самостоятельно открыл метод неделимых. По край-
ней мере, он настаивает на этом. Возможно, что он не
совсем правильно освещает ход событий и что ему при-
ходилось слышать хотя бы намеки на то, что Кавальери
разрабатывает что-то в этом роде. Так или иначе, Робер-
валь был первым, кто вычислил площадь циклоиды1
с помощью метода неделимых (между 1634 и 1636 гг.),
а также определил объемы производимых ею тел враще-
ния. Эта работа Роберваля вызвала целый ряд последую-
щих вычислений площади циклоиды. Первым откликнул-
ся Декарт. Когда Мерсенн., верный друг обоих, поспешил
поделиться с Декартом такой важной новостью, Декарт,
неприязненно относившийся к Робервалю, ответил Мер-
сенну в таких выражениях (письмо к Мерсенну 27 мая
1638 г.): «Признаюсь, что до сих пор я о ней никогда
не думал и что его (Роберваля.— Л. Ф.) замечание доволь-
но красиво; но я не вижу, как можно поднимать такой шум
по поводу открытия вещи настолько простой, что всякий,
хоть немного знакомый с геометрией, не может не открыть
ее, если только станет ее искать». И Декарт тут же
приводит набросок своего решения, проведенного тоге
1 Название «цпклопда» введено Галилеем. Французы (Ферма,
Декарт, Мерсенн п др.) называли эту кривую «рулеттой». Сам же
Роберваль в 50-х годах перешел к названию «трохоида», что значит
по-гречески «колесная».
47
veterum (по обычаю древних), т. е. классическим методом
исчерпания.
Циклоида была самой популярной кривой в XVII
столетии. Только конические сечения превосходили цик-
лоиду по числу посвященных им работ. Начиная с Галилея
и кончая Гюйгенсом, не было более или менее значитель-
ного математика XVII в., который не обращался бы к
циклоиде. На циклоиде удобно показать самое выдающее-
ся открытие Роберваля — его кинематический метод про-
ведения касательной к кривой в произвольно заданной
точке. Этот метод покоится на следующих, по-видимому,
очевидных утверждениях: 1) вектор скорости движущей-
ся точки в любой момент времени направлен по касательной
к траектории; 2) результирующая мгновенная скорость
направлена вдоль диагонали параллелограмма, построен-
ного на составляющих мгновенных скоростях как на
сторонах. Исходя из этих положений, Роберваль дает
следующее правило построения касательной к кривой:
«По специфическим свойствам кривой (которые вам дают-
ся.— Л. Ф.) исследуйте различные движения точки,
описывающей эту кривую, в том ее положении, где вы
хотите провести касательную, все эти движения сложите
в одно движение, проведите прямую этого движения и
получите касательную кривой».
На том же рис. 9 применен описанный способ для
проведения касательной к циклоиде в точке 13. Для
этой цели движение циклоиды разлагается на два: пере-
носное с центром (вектор скорости направлен параллельно
основанию А С) и относительное вращение вокруг центра
(вектор скорости направлен параллельно касательной к
кругу в точке L). Известно, что при качении круга без
скольжения указанные два вектора имеют равные модули
и образуют ромб. Диагональ этого ромба указывает
направление касательной.
Предложенный Робервалем способ отличается большой
общностью и простотой. Роберваль, пользуясь им, провел
касательные к множеству кривых, начиная от конических
сечений и кончая весьма сложными, как, например, к
различным конхоидам. Его постоянный соперник Декарт
опередил его, проведя касательную к циклоиде раньше,
чем Роберваль разработал свой кинематический способ.
Однако Декарт воспользовался частным свойством, прису-
щим катящимся кривым, в то время как способ Роберваля
48
обладает, как сказано выше, по-видимому, большой общно-
стью. Мы подчеркиваем слово «по-видимому» потому,
что при всей простоте и самоочевидности утверждений,
положенных Робервалем в основу, имеются случаи, когда
его способ дает ошибочные результаты. Впрочем, эти слу-
чаи довольно редко встречаются на практике. Ограниче-
ния способа открыты и сформулированы лишь в XIX в\
(Дюгамель, 1831). Одновременно с Робервалем и незави-
симо от него открыл кинематический способ построения
касательных Торричелли. Роберваль не преминул упрек-
нуть его в заимствовании. Торричелли отвечал с большим
достоинством и сдержанностью. Главная мысль ответа:
для истины не имеет значения, в какой стране ее открыли,
в Италии или во Франции; и что бы ни содержалось во
французских доказательствах, то, что опубликовал
Торричелли, открыто им или самостоятельно или в беседе
с друзьями.
Робервалю принадлежит еще несколько работ, не
оставшихся незаметными в истории науки: можно назвать
некоторые кубатуры и ректификации, известные «весы
Роберваля», астрономические инструменты и др. В то
время большое впечатление производило вычисление
несобственных интегралов. Робервалю удалось вычислить
интеграл с конечными пределами от функции, неопре-
деленно возрастающей под знаком интеграла. Но так как
первенство в вычислении несобственного интеграла при-
надлежит Торричелли, то мы рассмотрим несобственный
интеграл в следующем очерке.
Эванджелиста Торричелли
Эванджелиста Торричелли родился в 1608 г. в городке
Фаэнце на севере Италии. Он рано лишился отца. Его
дядя, настоятель бенедиктинского монастыря, о. Иакопо,
поместил мальчика в иезуитскую школу, незадолго до
того открытую в Фаэнце. В школе юный Эванджелиста
проявил выдающиеся способности, и дядя решил, что
образование племянника должно продолжаться.
Всего в 47 километрах от Фаэнцы расположена
Болонья с ее знаменитым университетом, слава которого
гремела по всей католической Европе; не наберется и
сотни километров до Флоренции, университет которой
49
ЭВАНДЖЕЛИСТА
ТОРРИЧЕЛЛИ
(1608-1647)
пользовался не меньшей славой; однако о. Иакопо послал
племянника в Рим, в университет Sapienza (мудрость).
В биографиях Торричелли не излагаются, конечно, сообра-
жения, которыми руководствовался опекун, но нетрудно
понять, что послужило для него побудительной причиной.
В главе, посвященной Б. Кавальери, уже говорилось
о Бенедетто Кастелли, учителе Кавальери по Пизанскому
университету. К тому времени, когда надо было выбрать
место обучения для молодого Торричелли (1626), папа
Урбан VIII уже перевел Кастелли из Пизы в Рим, где
он начал преподавать в Sapienza. И Кастелли и о. Иакопо
были монахами-бенедиктинцами. Оба были людьми за-
метными: один — настоятель монастыря, другой — про-
фессор университета и личный советник папы. Можно
смело утверждать, что они были знакомы еще до того,
как возник вопрос о выборе университета для Эванд-
желисты. Знакомство о. Иакопо с Кастелли и репутация
Кастелли как математика и инженера, ученика Галилея,
определили выбор учебного заведения. Надо думать,
что дядя, отправляя юношу (ему было 18 лет) в Рим, просил
профессора покровительствовать ему. Правда, молодой
Торричелли со своим открытым характером и исключитель-
50
Ными способностями мог и сам завоевать симпатии
своего наставника. Так или иначе, в скором времени
пожилой учитель (Кастелли было около 50-ти лет) и моло-
дой ученик подружились; Торричелли стал секретарем
Кастелли.
К этому времени Торричелли выдвигается среди
очень способных учеников Кастелли (Маджиотти, Риччи,
Вивиани и др.) на первое место. Кастелли организует
нечто вроде семинара, на котором он со своими лучшими
учениками, Маджиотти и Торричелли, изучает новую
работу Галилея «Диалог о двух главнейших системах
мира». Это сочинение только что вышло в свет — в январе
1632 г. — и интерес учеников Галилея к нему понятен.
Кастелли пишет об этих занятиях Галилею и дает пре-
красный отзыв о своих учениках. К этому же 1632 г.
относится очень важный для биографии Торричелли
обмен письмами. После того как вышел в свет «Диалог»,
противники Галилея напали на него с новой силой.
Галилей видел, что тучи над его головой сгущаются.
Он написал Кастелли. По всей вероятности, он делится
с Кастелли своими заботами и опасениями. Это письмо
не сохранилось, но сохранился очень интересный ответ
Торричелли. Его письмо датировано 11 сентября 1632 г.
Торричелли начинает с того, что объясняет, почему Гали-
лею отвечает он, Торричелли, а не сам Кастелли. Оказы-
вается, таково распоряжение Кастелли: в его отсутствие
секретарь должен вскрывать приходящую почту и отве-
чать на письма. После деловой части следует рассказ
Торричелли о себе. Эта часть письма содержит много
ценных сведений о Торричелли. Он сообщает, что он —
математик, «правда, еще молодой». Но этот молодок ма-
тематик, оказывается, изучил уже древних, в том числе
Аполлония, Архимеда, Феодосия и других геометров.
Не менее усердно занимался он и астрономией, штуди-
ровал Птолемея, все работы Ticone (Тихо Браге), Кеп-
лера. Из этого описания легко заключить, что годы
учения не прошли бесплодно, Торричелли вышел в жизнь
прекрасно подготовленным. К чему же применил молодой
ученый свои знания, каковы его дальнейшие успехи?
К сожалению, с 1632 по 1640 г. нет никаких свиде-
тельств, которые позволили бы достаточно обоснованно
говорить о жизни Торричелли в этот период. Имеются
некоторые догадки о том, где провел Торричелли эти
51
Годы. Наиболее убедительная из них связывает эти годы
жизни ученого с монсиньором Чиамполи. Это имя уже
знакомо читателю из очерка о Кавальери. Джиованни
Чиамполи, представитель придворной папской знати,
имел сан епископа и заведовал одним из управлений пап-
ской канцелярии. Он познакомился с Галилеем во Фло-
ренции, когда ему было всего 18 лет. Несмотря на моло-
дость он правильно оценил выпавшее на его долю счастье
и сделался поклонником Галилея на всю жизнь. Позже,
когда он стал пользоваться известным влиянием при
дворе, он покровительствовал «секте Галилея», как назы-
вал Торричелли группу последователей великого ученого.
Однако любовь к Галилею побудила его сделать неосторож-
ный шаг: он вынудил у папского цензора разрешение
на печатание «Диалога» Галилея, применив отчаянно
смелый обман: сослался на распоряжение папы, в
то время как папа такого распоряжения не давал. Обман
раскрылся, к этому прибавились другие провинности
Чиамполи, и ему пришлось покинуть Рим. Чиамполи,
уезжая из Рима, взял с собой Торричелли в качестве
своего секретаря. Он умер в 1643 г., а в 1641 г. Торричелли
вернулся в Рим.
Годы, о которых не сохранилось достоверных сведений,
не пропали, однако, даром. Торричелли подготовил книгу,
известную в истории механики под сокращенным назва-
нием «Sul moto» (<<0 движении»). В этом сочинении раз-
виваются некоторые положения динамики Галилея и
решаются новые задачи из внешней баллистики. Рукопись
этой книги Кастелли повез Галилею. Галилей проживал
тогда в Арчетри близ любимой Флоренции. Кастелли
считал, что он обязан найти помощника Галилею, который
уже не надеялся на свои силы. Он повез книгу «Sul moto»
как рекомендацию кандидата. Галилею книга очень по-
нравилась, и он пригласил автора к себе. Торричелли с
восторгом принял лестное приглашение и в октябре 1641 г.
уже был в Арчетри и приступил к записям материала,
который вошел впоследствии в «День пятый» и «День
шестой» знаменитых «Бесед». Но силы престарелого
Галилея таяли с каждым днем и 8 января 1642 г. его не
стало. Торричелли намеревался вернуться в Рим, но
Фердинандо Медичи, правитель Тосканы, задержал его
во Флоренции и назначил на должность Галилея: «Фило-
соф и первый математик великого герцога Тосканского».
52
В этой должности Торричелли находился до смерти. Он
умер очень молодым, 25 октября 1647 г., 39 лет. Он выразил
желание быть погребенным в церкви св. Лаврентия
во Флоренции, но выполнена ли эта просьба, достоверно
не установлено. Ни могилы его, ни надгробия, ни следов
погребения не удалось найти, несмотря на длительные-и
усиленные поиски. Родной город Торричелли, Фаэнца,
чтит своего знаменитого уроженца. Лучший памятник,
сооруженный Фаэнцей, это издание полного собрания
всех работ Торричелли, как издававшихся раньше, так и
неизданных. Это собрание носит название: «Труды Эванд-
желисты Торричелли, изданные по случаю III столетия
его рождения заботами Фаэнцской Коммуны Джино
Лорией и Джузеппе Вассурой». Тома I, II, III изданы в
1919 г., том IV — в 1944 г.
Торричелли был очень разносторонним ученым. Он
оставил превосходные работы по математике, с которыми
мы вскоре познакомимся; как физик он обессмертил свое
имя изобретением барометра, разрушив миф о том, что
природа «боится пустоты», и впервые дал верное объясне-
ние работы всасывающего насоса. В оптике он достиг
изумительного искусства в шлифовании линз; в механи-
ке — развил некоторые положения динамики Галилея;
в гидравлике — дал формулу для вычисления скорости
истечения воды из отверстия в сосуде; в метеорологии —
дал правильное объяснение происхождению ветра (между
прочим, и в этом вопросе разбил неверные взгляды после-
дователей Аристотеля). Мы остановимся лишь на некоторых
работах Торричелли, имевших принципиальное зна-
чение для математики.
Читателю уже известна очень высокая оценка метода
неделимых, которую дал Торричелли.
Такую высокую оценку метод неделимых вполне
заслужил, это бесспорно. Но немалая заслуга в том, что
этот метод достиг высокого совершенства, принадлежит
Торричелли. Автор метода рассматривал в качестве неде-
лимых для плоских фигур только отрезки прямых, для
тел — только плоскости. Торричелли расширяет метод
в том отношении, что, например, для плоских фигур в
качестве неделимых можно считать дуги кривых, для тел
неделимыми можно считать кривые поверхности. Ниже
приводятся два результата, полученные самим Торричел-
ли с помощью обобщенного им метода.
53
Задача Кеплера. В очерке о Кеплере приведе-
но решение задачи о площади круга. Торричелли решает
эту же задачу с помощью обобщенного метода неделимых.
Дан круг радиуса /?. Строим (рис. 10) прямоугольный
треугольник, у которого один катет равен i?, другой —
длине окружности круга 2пЯ. Надо доказать, что
площадь круга равна площади этого треугольника.
Торричелли берет в круге промежуточный радиус ОВ <
<СОА и в силу подобия треугольников получает равенство
окружности ОВ и катета BD. Если считать окружности
неделимыми круга, а катеты ЛС,..., BD,... — неделимыми
треугольника, то равенство площадей следует непосредст-
венно из основной теоремы метода, помещенной в главе
о Кавальери.
Второй пример относится к пространственной, или,
как тогда говорили, к «телесной» задаче. Гипербола ху =
=2к2 вращается вокруг оси у— своей асимптоты. Обра-
зующееся тело вращения Торричелли называет «острым
гиперболоидом» и ставит задачу о вычислении объема
такого гиперболоида. Он изображен на рис. 11. В качестве
неделимого Торричелли выбирает круговую цилиндриче-
скую поверхность радиуса х с высотой г/. Площадь этой
поверхности равна 2пху =2я.2/с2 = я (2/с)2. Оказалось,
что поверхность неделимого не зависит от радиуса этой
поверхности и, следовательно, при суммировании «всех
неделимых» выйдет за знак суммы. Пусть на рис. 11 тре-
буется вычислить объем тела, ограниченного поверхностью
АВ. Тогда суммирование дает (при вынесенной за знак
A 2nR
Рис. 10.
Вычисление площади круга обобщенным методом неделимых (по Торричелли)
54
Рис. 11.
Вычисление объема бесконечного
гиперболоида (по Торричелли)
суммы поверхности я (2/с)2) объем л(2к)2-АО. Этот ре-
зультат замечателен не только тем, что решена довольно
трудная по тем временам задача о кубатуре тела вращения.
Сенсацией явилось то, что в этой задаче впервые вычис-
лен несобственный интеграл. Это достижение вызвало
много восторженных откликов. Приведем наиболее ве-
сомый из них — отзыв самого автора метода. 7 января
1642 г. Кавальери писал Торричелли: «Я благодарю
Вас за доказательство об остром гиперболическом те-
ле — доказательство воистину божественное. Я не в силах
постигнуть, как Вы решились с такой легкостью пог-
рузить Ваш мерный шест в бесконечные глубины этого
тела, ибо воистину оно мне кажется бесконечно длинным».
Торричелли не только вычислял несобственные интегралы
в прямоугольных и полярных координатах; он устанавли-
вал условия сходимости таких интегралов.
Выше уже говорилось, что метод неделимых в течение
многих десятилетий был основным оружием при решении
задач интегрального исчисления (до изобретения послед-
него). К этому надо добавить, что работы Торричелли, в
которых этот метод применялся, сыграли большую роль
в популяризации метода. Менее сильные математики,
изучая работы Торричелли, приобретали уверенность
в доступности метода, пробовали свои силы и нередко
получали ценные результаты.
Торричелли проложил дорогу к важнейшей теореме
анализа — к теореме о взаимной обратности операций
интегрирования и дифференцирования. Вычисление опре-
деленного интеграла ведет начало с античных времен.
Проведение касательных, если исключить элементарные
задачи древних, начало разрабатываться только в новое
О А
55
время, точнее — с XVII в. Эти отделы математики разви-
вались совершенно независимо и вряд ли кто-нибудь
подозревал их глубокую внутреннюю связь. Торричелли
был серьезным знатоком «Бесед» Галилея, для «Дня пято-
го» и «Дня шестого» которых он записывал материал со
слов самого Галилея. Размышляя над тем местом «Дня
третьего», где излагаются основы кинематики ускоренного
движения (g = const), он открыл, что связь между скоро-
стью точки и ее путем выражается не только в виде квадра-
туры скорости по времени, как то установил Галилей,
но и в обратном направлении. Представим себе две систе-
мы декартовых координат. На осях абсцисс в обеих сис-
темах отложим время. На оси ординат отложим: в одной
системе — скорость, в другой — пройденный путь («про-
странство», как его называли в XVII в.). При постоянном
ускорении график скорости изобразится наклонной пря-
мой v = gt, график пройденного пути — квадратичной
t2
параболой 5=^-^-. Все это установлено Галилеем в ука-
занном месте «Дня третьего» «Бесед». Торричелли заметил
и доказал, что ордината графика скорости пропорциональ-
на тангенсу угла наклона касательной к графику прой-
денного пути. А так как тангенс угла наклона численно
равен производной, взятой в точке касания, то значит
Торричелли получил равенство
(к — коэффициент пропорциональности). Присоединяя его
к равенству Галилея
и
s= ^ v (t) dt,
U
Торричелли получает теорему о взаимной обратности
операций интегрирования и дифференцирования. Правда,
эта теорема пока сформулирована только в терминах
механики и для случая равномерно ускоренного движения.
Ее надо обобщить так, чтобы она распространялась на
все функции1. Но важно, что сделан первый шаг, что
идея взаимной связи этих операций высказана.
1 Разумеется, эти функции должны удовлетворять определен-
ным условиям,
56
Торричелли принадлежит еще одна замечательная
работа, относящаяся к задаче о касательных. Он разрабо-
тал кинематический метод построения касательной к кри-
вой в данной точке. Для этой цели он рассматривает
кривую, к которой требуется провести касательную, как
след движения точки. Это движение Торричелли рассмат-
ривает как сложное или как результат двух движений, в
которых эта точка участвует совместно. Одновременно с
Торричелли этот способ открыл Роберваль. В очерке,
посвященном Робервалю, он описан подробно.
Торричелли, как говорилось выше, развил некоторые
положения Галилея. Это потребовало решения многих
математических задач. Одна из этих задач привела
к новому математическому понятию. Торричелли ставит
следующий вопрос. Пусть из одного места плос-
кости вылетают тяжелые точки под одним и тем же
углом возвышения, но при всевозможных азимутах.
Спрашивается, какая поверхность будет геометрическим
местом вершин парабол — траекторий этих точек? Ока-
зывается, геометрическим местом вершин является пара-
болоид вращения. Отсюда уже легко получить, как
следствие, что геометрическим местом вершин параболи-
ческих траекторий, лежащих в одной плоскости, будет
парабола. Эта парабола ест> не что иное, как огибающая
указанного семейства парабол. Таким образом, задача
приводит к понятию, до того времени не известному в
геометрии. Правда, у Аполлония * показывается, что ко-
ническое сечение можно рассматривать как огибающую его
касательных, но огибающую семейства кривых Торри-
челли открыл впервые. Только через сто лет, у А. Клеро
огибающая получает ясную аналитическую интерпрета-
цию как особое решение дифференциального уравнения.
Задача об определении координат центра тяжести
относится, строго говоря, к механике, но так как решается
она исключительно методами математики, без привле-
чения постулатов или теорем механики, то не будет боль-
шим нарушением, если внести такую задачу в число
математических работ Торричелли.
Итак, дана плоская фигура с постоянной поверхност-
ной плотностью р. Для простоты рассуждений допустим,
1 См.: Г. Г. Ц е й т е н. История математики в XVI и XVII ве-
ках. М.— Л., 1933, стр. 313.
57
Рис. 12.
Вычисление координат
центра тяжести
(по Торричелли)
что фигура обладает осью симметрии, хотя формулы
Торричелли действительны и в более общих случаях.
Центр тяжести расположен, разумеется, на оси симметрии,
остается найти одну координату. Самое остроумное в
остроумном решении Торричелли заключается в том, что
он пристраивает к фигуре вторую, в точности повторяю-
щую первую (рис. 12), и подвешивает новую двойную
фигуру за среднюю точку. Остальная часть вывода пре-
дельно проста. Допустим, что полная длина оси симметрии
есть а и начало отсчета совпадает с точкой подвеса, X —
искомая абсцисса центра тяжести. Пусть в левой фигуре
центр тяжести находится в точке Е, имеющей абсциссу
X. Тогда центр тяжести правой фигуры, находящийся в
точке О, имеет абсциссу а — X. Так как веса обеих фигур
равны, то их моменты относятся как плечи X и а.— X.
С другой стороны, момент левой фигуры можно вычислить
как сумму элементарных моментов типа DI*IC, т. е.
2р/ (х) Ах-х; для правой фигуры элементарный момент
выражается как HL-LC; можно заменить LC отрезком IA,
т. е. абсциссой а —; х, при этом момент правой фигуры
будет lp f(x) Да:, (а — х)\ в пределе эти суммы переходят
в определенные интегралы. Составляется пропорция
а
\ xj (x) dx
X = о
)(a — x)j (x) dx
о
Это выражение после элементарных преобразований при-
водится к общеизвестной формуле для координаты центра
тяжести.
58
Обидно, что ни в одном учебнике интегрального
исчисления вывод этих формул не связывается с именем
Торричелли. Больше того, имена Пьера Ферма, Блеза
Паскаля, Исаака Барроу обязательно приводятся (и
вполне справедливо), когда речь идет о предыстории
анализа бесконечно малых; имя же Эванджелисты Тор-
ричелли даже не упоминается, а между тем ему принад-
лежат работы, пролагающие новые пути.
Читатель познакомился с обобщением принципа Ка-
вальери и с блестящими применениями этого обобщения;
в области интегрального исчисления имеется еще одно
достижение первостепенной важности: показано, что не-
собственный интеграл может сходиться. Описан вкратце
кинематический способ проведения касательных, этот важ-
ный шаг, связывающий математику и кинематику.
Торричелли принадлежат многочисленные квадрату-
ры, кубатуры и ректификации, т. е. вычисления площадей
фигур, объемов тел и длин дуг, среди которых есть такая
замечательная работа, как ректификация логарифмиче-
ской спирали; между прочим, последняя работа приводит-
ся тоже к сходящемуся несобственному интегралу,
но уже в полярнйх координатах. Наконец, не останавли-
ваясь на множестве других работ (например, на отыскании
экстремумов функций), укажем на одну, но такую, которую
никак нельзя исключать из ряда работ, подготовивших
почву для анализа: на теорему взаимной обратности
дифференцирования и интегрирования. Кажется, такой
запас уникальных по своему значению достижений до-
статочен для того, чтобы их автор избежал забвения.
К сожалению, имя Торричелли-математика можно
встретить только в специальной литературе по истории
науки. А между тем в учебниках по высшей математике
Торричелли должен занимать такое же достойное место,
как и в учебниках физики,
Блез Паскаль
Клермон-Ферран, главный город департамента Пюи-де-
Дом, расположен почти в центре Франции, в Оверни. В
20-х годах XVII столетия председателем податной палаты
в Клермон-Ферране был Этьен Паскаль. Он не имел спе-
циального математического образования, однако свой до-
суг отдавал, подобно Ферма, занятиям математикой и пе-
59
репиеке с математиками и философами — Декартом, Гас-
сенди, Мерсенном, Робервалем ч др. Им открыта кривая,
названная в его честь «улиткой Паскаля». Он принял
живое и деятельное участие в споре, который разгорелся
между Ферма и Декартом по поводу «Диоптрики» Декар-
та и способа проведения касательных. У Этьена Паскаля
было трое детей: сын Блез и две дочери. Старшая, Жиль-
берта, вышедшая замуж за Перье, написала прекрасную
биографию брата, младшая, Жаклина, сыграла немалую
роль в обращении своего брата к религии в ущерб науке.
Блез Паскаль родился в 1623 г. Он охотно учился и
выказывал необыкновенные способности. Отец решил
обучать сына по собственной системе. Для этой цели он в
1631 г. вышел в отставку и переехал в Париж, где еще
больше сблизился с кружком математиков. Надо признать,
что система Этьена Паскаля была своеобразной. Самое за-
мечательное в ней то, что воспитатель всячески оттягивал
начало знакомства с математикой, несмотря на явный
интерес мальчика к этой таинственной науке. Юный Пас-
каль однажды напрямик спросил отца, что же такое гео-
метрия. Отец постарался ответить так, чтобы из ответа
нельзя было вынести ничего определенного. «Это,— ска-
зал он, — способ чертить правильные фигуры и находить
отношения между их частями». Последствия этой корот-
кой беседы были самые необычные. Зайдя однажды в ком-
нату Блеза, отец застал сына склонившимся над черте-
жом треугольника и занятым поисками доказательства
теоремы о равенстве суммы углов треугольника двум пря-
мым. Выяснилось, что юный математик, которому было
тогда двенадцать лет, самостоятельно занимается геомет-
рией и открыл несколько теорем. После этого случая отец
дал Б лезу читать Евклида. Тот прочел книгу не как учеб-
ник, а как увлекательную повесть.
Когда Блезу исполнилось 14 лет, он наравне с отцом
стал постоянным участником еженедельных математиче-
ских собраний — тех самых собраний, из которых в 1666 г.
по распоряжению Кольбера была учреждена Парижская
академия наук. Около 1639 г., когда Паскалю было 16 лет,
он сделал сообщение о найденной им теореме из проектив-
ной геометрии. Это сообщение произвело на слушателей,
среди которых были ученые такого масштаба, как Робер-
валь и Мерсенн, настолько сильное впечатление, что было
решено впредь называть новую теорему теоремой
Паскаля,
60
Б ЛЕЗ ПАСКАЛЬ
(1623—1662)
Теорема Паскаля необыкновенно изящна и оказалась
одной из немногих теорем, лежащих в основе проективной
геометрии. Напомним ее содержание. Представим себе
коническое сечение, например эллипс, и вписанный в сече*
ние совершенно произвольный шестиугольник. Перену-
меруем стороны этого шестиугольника: 1, 2,...,6, Проти-
воположные стороны in 4,2 и 5, 3 и 6, при достаточном их
продолжении, попарно пересекаются. Теорема Паскаля
утверждает, что полученные три точки пересечения всегда
лежат на одной прямой. Насколько эта теорема богата со-
держанием, видно из того, что сам Паскаль получил из
нее не менее 400 следствий, среди которых есть такие, как
теоремы Аполлония и т. д. Вскоре Паскаль написал работу
о конических сечениях *. Когда Декарт ознакомился с ней,
он отказался верить, что автору 16 лет.
1 Эта работа не была опубликована. Лейбниц ознакомился с ру-
кописью и сообщил потом ее содержание. Трактат «О конических
сечениях» (1640) — только небольшой предварительный набросок
этой работы.
*1
В это время Этьен Паскаль, решив продолжить службу,
переехал в Руан. Ему приходилось проделывать много-
численные громоздкие вычисления. Это навело Блеза на
мысль построить счетную машину. Свою идею он осущест-
вил и таким образом оказался автором и конструктором
арифмометра.
В 1650 г. семья Паскалей снова вернулась в Париж
Блез уже страдал головными болями, здоровье его было
подорвано, однако он продолжал интенсивно работать.
Он заинтересовался опытами Торричелли с прибором —
прообразом ртутного барометра. Паскаль поставил себе
цель — доказать, что высота столба жидкости в пустоте
определяется не тем, что природа боится пустоты и притом
лишь до определенного предела, а просто давлением воз-
духа. Он считал, что для этой цели достаточно измерить
высоту столба ртути на разных высотах над уровнем моря.
Он написал в Клермон-Ферран Перье, мужу Жильберты,
прося сделать нужные измерения у подножия горы Пюи-
де-Дом и на ее вершине (1465 м). Опыт, как известно, блес-
тяще удался.
В 1651 г. Блез лишился горячо любимого отца. Мысли
о бренности человеческого существования, о ничтожности
разума не оставляли его. Сестра Жаклина постриглась в
монахини и не уставала доказывать, что и ему тоже необ-
ходимо обратиться к религии. К этому времени, отчасти
под влиянием сестры, Паскаль стал последователем бого-
слова Янсения. Учение последнего не выходило за рамки
римско-католической церкви, но отрицало догмат непо-
грешимости папы и некоторые другие. Жаклина настаи-
вала, чтобы брат удалился в монастырь Пор-Рояль, тверды-
ню янсенизма. Паскаль еще колебался. Он, как ему ка-
залось, всей душой стремился к тому, чтобы отдаться
«спасению души», но не был в силах побороть свою грехов-
ную страсть к науке (по учению Янсения, наука есть не
более, как духовное сладострастие и так же противна богу,
как и плотская чувственность).
В 1653 г. Паскаль написал «Трактат о равновесии
жидкостей и о тяжести массы воздуха» (опубликован в
1663 г.). В этом трактате содержится известный гидроста-
тический закон Паскаля.
23 ноября 1654 г. Паскаль пережил сильнейшее потря-
сение, имевшее большое влияние на его судьбу. В экипаже,
запряженном четверкой лошадей, он ехал в Нейи. Лоща-
62
ди понесли и бросились ё ёоду с моста, перила которого
частично были сняты по случаю ремонта. Постромки пор-
вались; в реку свалились две передние лошади. Экипаж
остался невредим. Паскаль потерял сознание. Его мисти-
чески настроенный ум воспринял спасение от гибели как
указание свыше. Паскаль прекратил научную деятель-
ность и поселился в монастыре. В Пор-Рояле он нашел
новое приложение своим талантам. Во главе янсенистов
тогда стоял АнтуанАрно, который подвергался ожесточен-
ным преследованиям со стороны иезуитов. Паскаль вы-
ступил в его защиту. В 1656—1657 гг. он опубликовал
«Письма, написанные Луи Монтальтом своему другу в
провинцию» г. Считается, что 18 этих писем — самый жес-
токий удар из всех, который когда-либо был нанесен орде-
ну иезуитов. После того как Франция, а за ней и вся Ев-
ропа прочли «Письма», слово «иезуит» стало синонимом
лицемерия, ханжества, темных интриг — всего того, что
теперь вкладывается в смысл этого слова.
Паскаль задумал большое сочинение, в котором хотел
изложить достоинства янсенистской разновидности хрис-
тианства. Своего намерения он не выполнил, но сделал
много записей. После его смерти они были изданы под
общим названием «Мысли». «Письма к провинциалу» и
«Мысли» и сейчас считаются классическими образцами
французской прозы.
Однако здоровье Паскаля все ухудшалось. Однажды,
это было в октябре 1658 г., он жестоко страдал от бессонни-
цы и зубной боли. Чтобы как-нибудь отвлечься от своих
страданий, он заставил себя задуматься над свойствами
циклоиды — кривой, которой тогда многие интересовались.
Занявшись математикой, Паскаль забыл про зубную боль.
Его религиозно настроенный (или, правильнее, рас-
строенный) ум увидел в этом знамение: если боль
утихла, значит он не совершает греха, занимаясь
наукой. Воодушевленный добрым знаком, Паскаль
набрасывается на математику, как голодный на хлеб.
В течение восьми дней он завершает труд, которого одно-
го достаточно для того, чтобы принести автору бессмерт-
ную славу. Изданная под названием «История рулетты»,
работа содержит все, что к тому времени было открыто и
1 Для краткости их обычно называют «Письма к провинциалу».
Псевдоним Монтальт («высокая гора») намекает на опыт, проделан-
ный Перье на Пюи-де-Дом.
63
Рис. 13.
Лемма Б. Паскаля
разработано в области интегрального исчисления (в том
числе и достижения самого Паскаля).
Мы остановим внимание на другом сочинении Паска-
ля. В 1659 г. он опубликовал «Письма Амосд Деттонвилля
к г-ну Каркави»1. Пьер Каркави (ум. 1684)—близкий друг
Ферма по Тулчузе, юрист по профессии, переехав в Париж,
вошел в круг математиков, среди которых Роберваль и
Паскаль были его друзьями. Каркави — постоянный по-
сетитель еженедельных заседаний, проводимых Робер-
валем и Мерсенном. Паскаль очень уважал его. Это видно
хотя бы из того, что Паскаль выбрал его и Роберваля в
качестве жюри для присуждения премии (деньги для этой
цели дал один из друзей Паскаля) за решения некоторых
задач, относящихся к циклоиде.
«Письма Деттонвилля» состоят из пяти трактатов.
Наиболее важный из них «Трактат о синусе четверти кру-
га». Именно здесь изложено изобретение Паскаля, сыграв-
шее основополагающую роль в создании дифференциаль-
ного исчисления.
На дуге ВВС одной четверти круга берется произволь-
ная точка В и опускается перпендикуляр DI (рис. 13).
Через точку В проводится касательная, отрезок которой
ЕЕ имеет проекцию RR на радиус круга АС. Паскаль до-
казывает чрезвычайно простое равенство
DI • EE = RR . АВ,
оказавшееся, однако, неисчерпаемым по количеству и
важности следствий, вытекающих из него. Доказательст-
1 Амос Деттонвилль— псевдоним, составленный из тех же букв,
что и Луи Монтальт.
64
во равенства столь же просто, как и само равенство. Угол
ADI равен углу DEK как углы с взаимно перпендику-
лярными сторонами; следовательно, треугольники ЕЕК
и ADI подобны. Из подобия треугольников следует
А£___ ЕЕ_ _ ЕЕ
DI ~~ EK "~ RR '
откуда получаем искомое равенство, так как AD = АВ
как радиусы одного круга.
Треугольник ЕЕК — исторический. Лейбниц, назвав-
ший его «характеристическим треугольником», говорил, что
именно он дал первый толчок изобретению дифференци-
ального исчисления. Вот что он писал в одном из писем к
Бернулли: «Я случайно напал на одно доказательство
Деттонвилля, очень легкое в своем роде. Но каково было
мое изумление, когда я увидел, что у Паскаля точно
нарочно были закрыты глаза: я тотчас же заметил, что
теорема может вообще прилагаться ко всем кривым» *.
Непосредственно за доказанной выше леммой следует
теорема 1: «Сумма синусов (каждый из них умножен на
соответствующую малую дугу DD какой-нибудь дуги чет-
верти круга. — Л.Ф.) равна отрезку основания между край-
ними синусами, умноженному на радиус». Действительно,
на основании леммы для каждой линии синуса можно
написать: DIEE = RRAB. Просуммировав по всему
отрезку АО (рис. 14), получим
2Z)/. ЕЕ= AB2RR.
Но сумма всех отрезков RR равна отрезку АО. Теорема
доказана. На языке интегрального исчисления эта тео-
рема дает первый тригонометрический интеграл. В самом
деле, введя угол <р, можно произведение DI ЕЕ выразить
как rsincp-dcp, и интеграл равен
г2 \ sin ф с?ф = г [г — г cos фх] = г • ОС.
о
Меняя оси, Паскаль получает интеграл от совф, затем
интеграл от 8тпф и находит еще более сложные квадра-
А не только к окружности.
65
Рис. 14.
Теорема синусов Б. Паскаля
туры, центры тяжести объемов и т. д. Характеристи-
ческий треугольник ЕЕК Паскаль применяет только для
интегрирования. Лейбниц же, положив стороны треуголь-
ника бесконечно малыми, получает основную формулу
дифференциала дуги ds2 = dx2 + dy2 и строит дифферен-
циальное исчисление.
Конечно, результаты, полученные Паскалем, например
различные квадратуры, ценны и сами по себе. Гораздо
важнее, однако, прогресс, введенный Паскалем в исчис-
ление квадратур, кубатур и т. д. Кавальери, исходящий из
понятия неделимых, не мог говорить о суммах, так как,
например, толщину линии он принимал в точности рав-
ной нулю, а сумма нулей не могла, разумеется, дать ко-
нечную площадь. Поэтому Кавальери ввел понятие сово-
купности. Паскаль же (впрочем, не первый) говорит о
«сумме бесконечно малых» и таким образом подходит
вплотную к решению проблемы квадратуры в совершенно
общем виде. Кроме того, Паскаль внес ясность еще в
следующий вопрос. Допустим, произведено разбиение не-
которой плоской фигуры на элементы и составлена сумма
всех бесконечно малых площадок. Можно ли сказать, что
эта сумма выражает площадь фигуры? Паскаль ответил
на этот вопрос в доказательстве приведенной только что
теоремы. Вот его замечание к доказательству теоремы:
«Этого равенства (площади фигуры и суммы бесконечно
малых) не существует, если множество синусов конечно,
но тем не менее это равенство существует, если это мно-
жество не ограниченно. Ибо тогда сумма всех касательных
66
ЕЕ отличается от всей дуги ВР только на величину,
меньшую любой заданной величины». Здесь Паскаль дает
новое, более общее определение равенства двух величин.
Такова роль Паскаля в становлении новой математики.
Трудно сказать, что он дал бы науке еще, если бы его
судьба сложилась иначе. Можно с полной уверенностью
считать, что в Паскале церковь нашла еще одну жертву.
Правда, здесь не было ни костра, как у Джордано Бруно,
ни публичного отречения, как у Галилея, ни угрозы от-
лучения, как у Декарта. Впечатлительная душа уче-
ного, обессиленного болезнями, не могла противостоять
гнету безраздельно царствующей религии. Последние че-
тыре года (1658—1662) Паскаль не позволял себе занимать-
ся ничем, кроме «спасения души». В одежду зашит аму-
лет — листок пергамента со «святыми» строчками. На
голом теле—пояс с гвоздями; ударом локтя по поясу ученый
вонзает их в себя каждый раз, когда в голову приходит
мысль, которая ему кажется недостаточно набожной. Так
закончилась жизнь одного из самых талантливых людей
первой половины XVII в., столь богатого талантами.
Исаак Барроу
Мы ступаем на английскую землю в беспокойное время
В недрах феодальной Англии накопилось много свежих
сил, рвущихся наружу. И чем сильнее ^5ыла у этих сил
потребность действовать, тем тяжелее становился гнет
монархии Стюартов. Яков I, царствовавший с 1603 по
1625 г., прилагал, кажется, все усилия, чтобы восстано-
вить против себя все, что могло в Англии мыслить и бо-
роться. Его преемник, Карл I, продолжил туже деятель-
ность. Вот слова, принадлежащие англичанину: «Фанати-
ческие болваны, шотландские Стюарты, взялись править
Англией на основании божественного права, которым, по
их заявлению, были облечены. Как и следовало ожидать,
результат был тот, что простой народ отверг такие пре-
тензии и восстал против этого верховного чванства, глу-
пости и бездарности своих правителей». Вскоре борьба
приняла религиозную окраску. Пуритане поднялись про-
тив Стюартов. В 1642 г. (год рождения Ньютона) вспыхну-
ла гражданская война. Войска парламента возглавлял
Кромвель. Только в 1645 г. ему удалось нанести серьез-
3* 67
ИСААК БАРРОУ
(1630—1677)
ное поражение роялистам (битва при Нейзби). Однако
они не сложили оружия. Гражданская война разгорелась
снова и закончилась лишь в 1648 г. после того, как Кром-
вель разгромил королевские войска при Престоне.
30 января 1649 г. Карл I по приговору парламента был каз-
нен, а в мае была объявлена республика. Но роялисты не
думали успокаиваться. Постепенно они склонили на свою
сторону верхушку буржуазии и в 1660 г. добились рестав-
рации. Сын Карла I, Карл II, вернувшись из эмиграции,
стал королем Англии. Но и это не принесло стране спокой-
ствия. Несмотря на то, что возвращение Карла II было
обусловлено многочисленными конституционными гаранти-
ями, буржуазия и новое дворянство не особенно ему
доверяли. Дело снова обострилось, когда на смену умер-
шему в 1685 г. Карлу II пришел его брат, Яков II. Это был
откровенный самодержец, отвергающий права парламента,
и к тому же католик. Парламент справился и с этим монар-
хом. Тайно от него были проведены переговоры с Вильгель-
мом III Оранским. Он высадился в Англии в 1688 г. Войска
68
перешли на его сторону, и Яков II бежал. Тогда только в
стране начало устанавливаться спокойствие. Почти полве-
ка бурлила страна. Пуритане сражались с роялистами,
но враждовали и в своем стане. С одной стороны, инде-
пенденты боролись с опасностью справа — с пресвите-
рианами, с другой стороны, беспощадно расправлялись
с партиями городских «низов» и сельской бедноты — левел-
лерами и диггерами. Политика тогда выступала главным
образом под религиозным покрывалом, а религия еще
играла огромную роль в науке. Поэтому многое в жизни и
деятельности Барроу и Ньютона трудно понять без рас-
смотрения некоторых вопросов религии и политики.
Исаак Барроу родился в середине октября 1630 г. в
Лондоне. Дед его в течение сорока лет служил мировым
судьей в графстве Кембридж. Дядя, тоже Исаак, был
епископом. Отец его, Томас Барроу, торговал полотном
и был верным сторонником Карла I. Мать Исаака умерла,
когда ему было четыре года. В первой школе, в Чартер-
гаусе, его успехи были весьма скромными, он пользовался
известностью только как... драчун и приставала. Вообще
он был, что называется, трудным ребенком. Однажды, в
минуту раздражения, отец заявил, что если богу угодно
было бы забрать кого-либо из его детей, он мог бы обойтись
без Исаака. В Чартергаусе ученье не ладилось, и маль-
чика перевели в Фельстид, в Эссексе. Здесь все переме-
нилось, может быть, под влиянием учителя Мартина Голь-
бича. Барроу стал прилежным учеником. Мало того, он
полюбил древние языки, начал читать философов. В три-
надцать лет он поступает в Петергаус (колледж св.
Петра), в Кембридже, где его дядя Исаак был феллоу г.
Родные, конечно, рассчитывали на то, что мальчик будет
учиться под присмотром дяди, однако надежды не сбы-
лись. К тому времени (1644), когда младший Исаак
приехал в Кембридж, епископ был уже изгнан из универ-
ситета. Дело в том, что Барроу были роялисты (карлисты)
и англиканцы, а большинство преподавателей колледжа
были сторонниками парламента. Гражданская война
была в разгаре.
Мальчик не уехал из Кембриджа, но поступил не в Пе-
тергаус, а в Тринити-Колледж. С Кембриджским универ-
ситетом связаны важнейшие события в жизни Барроу и
1 Некоторые термины, касающиеся Кембриджского универ-
ситета, объяснены на стр. 70.
69
Ньютона, поэтому не лишне будет сказать несколько слов
об этом учебном заведении.
Кембриджский университет — второй по древности уни-
верситет в Англии. Он основан в XIII в. и состоит из от-
дельных колледжей — учебных заведений, учреждавшихся
нередко на частные средства. К XVII в. их насчитыва-
лось 16, в том числе Тринити-Колледж (т. е. колледж
св. Троицы). Во главе колледжа стоял мастер. Кафедры
возникали по желанию жертвователей. К чему это приво-
дило, можно судить по тому, что до XVII в. в Тринити-Кол-
ледже не было кафедры математики. К приходу Барроу в
составе Тринити-Колледж а были: 1 мастер, 60 феллоу,
67 школяров, 4 священника, 3 профессора для публичных
лекций, 30 сайзеров и субсайзеров, 40 коммонеров, 144
пенсионера.
Феллоу —лицо, получившее первую ученую степень,
т. е. бакалавр. Школяр — имеющий звание «действитель-
ного студента». Студенты делились на сайзеров и субсай-
зеров, пенсионеров и коммонеров-феллоу. Самую высокую
плату вносили коммонеры. Они оплачивали не только
право учения, но и некоторые привилегии, в число которых
входила и такая странная, как право не посещать лекции.
Пенсионеры оплачивали (их взнос назывался pensio) толь-
ко жилье; сайзеры и субсайзеры получали жилье и
стол, но плата их была не из легких: они работали слугами
здесь же, в колледже. Студент последнего курса назывался
ондерградюэйт; окончивший — градюэйт; получивший пер-
вую ученую степень — бакалавр, например бакалавр
искусств (ВА); получивший вторую — магистр (МА);
третью — доктор, например доктор богословия (DD).
Барроу поступил пенсионером. В это время Карл со
своим двором перебрался в Оксфорд. Томас Барроу по-
следовал за Карлом и, как и следовало ожидать, лишился
там всех своих достатков. Однако сын уже твердо стоял на
ногах и обошелся без помощи отца. Несмотря на роялист-
ские убеждения, он пользовался симпатиями в Кембрид-
же. В 1648г. получил ученую степень бакалавра искусств,
в 1649 г. избран феллоу колледжа, В 1652 г. получил
степень магистра в Кембридже, в 1653 г. — такую же в
Оксфорде. В 1654 г. освободилась кафедра греческого
языка. Барроу участвовал в конкурсе, но был забалло-
тирован. Надо помнить, что ему было тогда всего 24 го-
да и, кроме того, слава первоклассного математика от-
70
части затемняла его репутацию эрудита. Но почему он
так упорно занимался математикой? Еще юношей, после
небольших колебаний, он остановился на профессии бо-
гослова. Для того чтобы быть хорошим богословом, рас-
суждал он, надо хорошо знать хронологию; это невозмож-
но без астрономии, а астрономия немыслима без матема-
тики. Вот чем объясняются усердные занятия Барроу
математикой, успехи же в занятиях объясняются природ-
ными данными.
В одном из своих выступлений в 1654 г. он много хва-
лил прошлое (монархическое) и порицал настоящее (рес-
публиканское). Речь произвела настолько сильное впе-
чатление, что собрание (это были феллоу колледжа) ре-
шило исключить оратора из состава колледжа. Только
энергичная защита мастера предотвратила эту «высшую
меру». Положение было ясным. Барроу решил уехать. На
помощь отца рассчитывать не приходилось, и Барроу
продал библиотеку. Свой путь он направил через Париж
(здесь он встретился с отцом, который все же помог
ему из своих скудных средств) в Италию и далее на Во-
сток. В Константинополе (нынешнем Стамбуле) он прожил
год. который посвятил главным образом изучению древ-
них в оригиналах и в арабских переводах. На родину он
возвратился в 1659 г., побывав снова в Италии, затем
в Германии и Голландии. Сразу по приезде в Англию он
принял сан священника. В это время произошла рестав-
рация Стюартов. Положение Барроу, известного своими
роялистскими взглядами и сына верного карлиста, укре-
пилось. Виддрингтон, занимавший кафедру греческого
языка, отказался от должности, и Барроу был избран. Свой
курс лекций он начал с «Риторики» Аристотеля.
В 1663 г. некий Лукас передал Кембриджскому уни-
верситету известную денежную сумму для учреждения
кафедры математики. Он выразил настойчивое желание,
чтобы кафедру занял Барроу. Барроу и стал первым
профессором лукасовской кафедры. Его желание посвя-
тить себя богословию все укреплялось. И хотя, как будет
видно из дальнейшего, его пребывание на кафедре мате-
матики не было бесплодным, он осуществил свое наме-
рение. Произошло это следующим образом. В 1661 г. в
Тринити-Колледж поступил 19-летний Ньютон. В 1663 г.
он встречается с Барроу, слушает его лекции по оптике
и сближается с ним. Скоро Ньютон делается не столько
71
слушателем, сколько сотрудником своего профессора. Во
всяком случае, в своих «Лекциях по оптике» Барроу от-
мечает, какие места книги написаны по совету его моло-
дого друга. В 1669 г. Барроу решает целиком отдать свои
силы богословию и уходит с кафедры математики, пере-
дав ее Ньютону. История математики справедливо возда-
ет должное молодом} профессору, проявившему выдаю-
щуюся проницательность и вместе с тем благородную са-
моотверженность. Не следует забывать, что Барроу не бы-
ло надобности прибегать к самоуничижению. Он считался
первым математиком Англии (до тех пор, пока Ньютон
не поднялся во весь свой гигантский рост) и вполне мог
бы удержать за собой кафедру, даже и признавая выдаю-
щееся дарование своего ученика. В дальнейшем Барроу
ограничивается публикациями своих научных работ.
В 1670 г. Карл II присваивает ему степень доктора бого-
словия и делает своим капелланом, а в 1672 г. назначает
мастером Тринити-Колледжа; Барроу остается им до кон-
ца жизни (4 марта 1677 г.).
В своих привычках Барроу был неприхотлив, а в
одежде даже небрежен. Внешность его не была внушитель-
ной: невысокого роста, худой, бледный. Он был настолько
скромен, что не соглашался позировать для портрета.
Художник написал его украдкой в те минуты, когда
друзьям удавалось отвлечь разговором внимание Барроу.
Однако в глубине характера Барроу не совсем заглохли
его качества бойца, которыми оп славился в детстве.
Когда он плыл в Смирну, на корабль напали пираты.
Барроу был единственным пассажиром, который остался
на палубе с командой и храбро отбивал атаки нападаю-
щих. Когда он был королевским капелланом, ему при-
ходилось проводить время с придворными. Скромному
священнику надлежало смиренно сносить спесь знати, но
этот священник был «не ив таких», как то показывает
следующий диалог, вернее, словесная дуэль между Бар-
роу и графом Рочестером.
— Доктор, я ваш до самых ботинок.
— Граф, я ваш до самой земли.
— Доктор, я ваш до центра земного шара.
— Граф, я ваш до антиподов.
Граф, раздражаясь от того, что какой-то «заплесне-
велый кусок попа», как он за глаза называл Барроу, ос-
меливается с ним состязаться:
72
Рис. 15.
Проведение касательной
(по Барроу)
— Доктор, я ваш до самой глубины ада.
Барроу, поворачиваясь на каблуках:
— Граф, здесь я вас оставляю.
Лучшее собрание математических сочинений И. Барроу
издано Вьювеллом в 1860 г. Приведем главнейшие из них:
«Евклида элементы», 1655;
«Данные Евклида», 1657;
«Пятнадцать книг Элементов Евклида с сокращенными
доказательствами», 1659;
«Лекции по математике», 1664—1666;
«Лекции об оптических явлениях», 1669;
«Лекции по оптике и геометрии», 1669, 1670—1674;
«Труды Архимеда»; «Аполлония Пергского четыре кни-
ги о конических сечениях», «Феодосия „Сферика", новым
методом изложенная и доказанная», 1675;
«Лекция, в которой исследуются методом неделимых
теоремы Архимеда о сфере и цилиндре», 1678;
«Открытые лекции, читанные в Кембриджском уни-
верситете Исааком Барроу, лукасовским профессором ма-
тематики», 1684.
Перечень трудов Барроу показывает, что он уделял
много внимания обработке классических произведений Евк-
лида, Архимеда и др. Его собственные результаты поме-
щены главным образом в лекциях по оптике и геометрии.
Мы остановимся на тех областях новой математики, где
его вклад особенно значителен. Это — задача о проведе-
нии касательной к произвольной кривой и установление
взаимной обратности двух основных инфинитезимальных
действий.
В задаче о проведении касательной Барроу непосред-
ственно примыкает к Ферма. Усовершенствование, при-
А^Х
Т
N
е
Q
М
а
Р
73
надлежащее ему, заключается в том, что наряду с Ах,
как это было у Ферма, Барроу вводит Дг/ (рис. 15).
Пусть дана кривая ANM, конечно, непрерывная и
дифференцируемая в каждой точке. Требуется провести
касательную в произвольной точке N. Касательная бу-
дет построена, если, кроме точки N, в нашем распоряже-
нии будет точка Г, определяющая длину подкасательной
QT. Для нахождения точки Г дается приращение е (Дя)
аргументу и вычисляется приращение а (т. е. Д#) кривой
(функции). Если длину подкасательной ТР обозначить St
а длину MP через т, то, пренебрегая бесконечно малыми
высших порядков, можно написать
МР а WTTW I CI ITDI MP
TF=T или \Я\ = \ТР\ = щ.
После перехода к пределу при е->0 получаем положе-
ние точки Т. Переход же к пределу Барроу вьгаолняет
по методу Ферма: «Следует отбросить все члены, содер-
жащие степени а и е выше первой или их произведения.
После установления уравнения «откидывают», руководст-
вуясь уравнением кривой \ члены, не содержащие айв.
Если заменить теперь а через MP и е через ТР — S, то
получается уравнение, определяющее подкасательную S».
В очерке, посвященном Ферма, был рассмотрен его ме-
тод, с помощью которого разыскивается экстремум функ-
ции. Теперь видно, что проведение касательной сводит-
ся к той же задаче, что и отыскание экстремума, а имен-
но, к пределу отношения приращений. Треугольник Бар-
роу — Ферма MNR был впоследствии назван диффе-
ренциальным треугольником. Можно считать,
что основные операции анализа после Барроу были в дос-
таточной мере ясными. Оставалось найти алгоритм
(выражение Лейбница), который избавил бы от необхо-
димости в каждой задаче заново искать предел отноше-
ния бесконечно малых и привел бы весь анализ в одну
стройную систему.
Барроу выполнил еще одну историческую миссию.
Мы видели, что после трудов Кеплера, Кавальери и
последующих математиков искусство квадратур, куба-
1 Если, папример, уравнение кривой есть у = Ах2 + Вх + С,
то после введения приращений а и е сумма таких членов появится
и справа и слева от знака равенства. Их надо отбросить.
74
Рис. 16.
Теорема обратности у Барроу
тур и других операций определенного интегрирования бы-
ло поднято высоко. Однако избранное этими математиками
направление не обладало широкими перспективами. Тех-
ника интегрирования включала подсчет пределов интег-
ральных сумм. Известно, что возможности здесь ограниче-
ны и, конечно, алгоритм, основанный на единообразных
действиях, исключается. Для того чтобы интегральное
исчисление достигло возможного развития, необходимо
было найти обходный путь — надо было заменить разы-
скание предела интегральной суммы разысканием перво-
образной. Для этого нужен был еще один предваритель-
ный шаг. Надо было показать взаимную обратность ин-
тегрирования и дифференцирования. Это установил Бар-
роу. Посмотрим, как он это сделал.
На чертеже (рис. 16), помещенном в X лекции в «Гео-
метрических лекциях» (нами проставлен только угол а,
буквы у и г;), Барроу задается кривой ZGEG, которая опи-
сывается функцией v(x); кривая VIFI такова, что каждая
75
йе ордината, будучи умноженной на произвольный отрезок/?
(он вводится лишь для того, чтобы удовлетворить требо-
ванию размерности), дает площадь соответствующей кри-
волинейной трапеции. Так, ордината PI соответствует
площади VZPGy ордината DF — площади VZED и т. д.
Допустим, что справедливо равенство DF/DE = DT/B.
Тогда, как это будет доказано немного ниже, прямая
TFK есть касательная в точке F. По построению кривой
VIF можно написать
х
(*) By = пл. VZGED = jj v {x)dx.
Теперь из приведенной выше пропорции следует (длину
подкасательной DT обозначим через ST)
У ^Т У т~>
в свою очередь St есть, по методу Барроу, —^7~\»
так что
(* ♦) v = Rlim — = Д-^.
Сопоставляя равенства (*) и (**), видим, что взаимная
обратность основных операций анализа установлена.
Барроу доказывает теперь, что прямая TFK есть
действительно касательная к кривой VIF, проведенная в
точке F. Он исходит из определения касательной, несколь-
ко отличного от того, что принято в настоящее время в
анализе. По Барроу, касательной называется прямая,
имеющая с кривой одну общую точку и обладающая тем
свойством, что все ее точки, достаточно близкие к точке
касания, лежат по одну сторону кривой *.
Рассмотрим сперва точку/на кривой, лежащую перед
точкой касания F (т. е. лежащую ближе к точке У). Мож-
но написать
R . LF = R (DF — DL) = R.DF — R-PI =
= пл. VZED — пл. VZGP = пл. PGED.
1 Это определение уступает по своей общности общепринятому
в настоящее время. Например, оно не охватывает касательных, про-
веденных в точки перегиба.
76
Точка Т поставлена так, что =-7; = j^; из чертежа же
ОТ LK LK R T1/ nz?
видно, что ftp — — , и, значит, ^ = jj]g» т- e-DK*Db =
= Я.£^ = пл. PGED; но пл. PGED < пл. DP-DE,
значит LK'DE < DP*DE или ZJf < АР, или, ааконец,
отрезок LK меньше отрезка Ыу откуда вытекает,
что точка /, лежащая на кривой, расположена влево от
точки К у принадлежащей касательной TFK*
Такое же рассуждение относительно точки /, распо-
ложенной после точки касания (в правой части чертежа),
приводит к тому, что пл. DEGP^> DP*DF и, следователь-
но, ЬК^>Ы, откуда вытекает, что точка / опять-таки
лежит влево от точки К. Таким образом, обе точки К ле-
жат справа от кривой (отрезки DP предполагаются сколь
угодно малыми), что, по определению, доказывает, что
TFK есть действительно касательная. Рассуждение Бар-
роу заметно отклоняется от требований, которые должны
предъявляться всякому аналитическому доказательству.
Выше уже отмечалось, что само определение касательной
не безупречно. Кроме того, в доказательстве существен-
ную, а не иллюстративную роль играет геометрический
чертеж; не оговорено, что функция монотонно возрастает
(или убывает), что она дифференцируема и т. д. Однако
все эти нестрогости не затрагивают существа дела. Так
или иначе, взаимная обратность интегрирования и диф-
ференцирования открыта. Сделан последний, завершаю-
щий шаг в предыстории анализа.
Конечно, можно считать совпадением, но все же очень
символично то, что именно Барроу, которому принадле-
жит последнее открытие в преддверии анализа, был учи-
телем Ньютона. Жезл эстафеты передан из рук в руки.
РОЖДЕНИЕ АНАЛИЗА
•
ВВЕДЕНИЕ
СТАНОВЛЕНИЕ НОВОЙ НАУКИ
Итак, к 80-м годам XVII в. задачи вычисления площадей,
объемов, координат центров тяжести и т. д. достигли уже
определенного уровня развития. Хотя новых исчислений
еще не было, имелись такие результаты, которые в силу
своей общности и автоматичности своего получения были
составной частью некоего неизвестного еще исчисления.
Таков, например, результат
\ хп dx = х , , ,
о
значение которого тем больше, что он получен независимо
несколькими математиками.
Не меньшим вниманием пользовались и задачи на ка-
сательные, на отыскание максимума и минимума. И здесь
еще не было исчисления, но были уже методы, вполне
устойчивые и общие. В частности, вырисовывалось ос-
/ (х -U е) / (х)
новополагающее значение выражения J v ~ '—LU. для
этой категории задач.
Наконец, к указанному времени установлена взаимная
зависимость двух важнейших операций: вычисления квад-
ратуры кривой и отыскания касательной, проведенной
через данную точку кривой. Оставалось объединить все
эти результаты и создать цельный алгоритм, обнимающий
совокупность входящих в эту область математики вопро-
78
сов. Решение этой задачи пришлось на последние пят-
надцать лет XVII в. и на XVIII в.
Среди лиц, которым выпало на долю решить эту исто-
рическую задачу, на первом месте стоит англичанин Исаак
Ньютон. Как все великие люди того времени, он не
был специалистом лишь в одной отрасли науки. Мате-
матик, механик, оптик и астроном, он оказал глубокое
влияние на развитие всех точных наук, которые в его
время еще не сформировались и не выделились из одной
«пра-науки» — натуральной философии.
Обладая чрезвычайно мощным умом, Ньютон в сту-
денческие годы (1661—1665) овладел всем существенным,
что было достигнуто к тому времени в математике, т. е.,
помимо трудов древних и средневековых авторов, также
«Геометрией» Декарта, результатами Ферма, достиже-
ниями итальянцев (Кавальери, Торричелли) и англичан
(Валлис, Барроу) и многих других. В течение вынужден-
ного двухлетнго пребывания в деревне (1665—1667) Нью-
тон заложил основы высшей математики, физической оп-
тики и небесной механики. Для Ньютона математика не
была абстрактным детищем человеческого ума. После не-
которых колебаний он пришел к воззрению на геометри-
ческий образ (линия, поверхность, объем) как на резуль-
тат движения точки, линии или поверхности; движение
происходит во времени и за сколь угодно малое время
точкой (линией или поверхностью) проходится сколько
угодно малый путь. Вот этот-то малый путь и приводит к
малому приращению линии или чего-нибудь другого, а
отношение этого малого приращения линии (пути) к ма-
лому времени, за которое этот малый путь пройден, дает
скорость. Чтобы получить мгновенную скорость, надо
перейти к пределу, т. е. взять «последнее отношение».
Толкование физического содержания описанного процесса
у Ньютона с течением времени менялось, но это не мешало
выработке формального аппарата. Так получилось, что
Ньютон пришел к необходимости находить «последние от-
ношения», т. е., по современной терминологии, искать
пределы отношений приращений функций к прираще-
нию времени. При желании, разумеется, можно вычислить
предел отношения приращения одной функции времени к
приращению другой функции, т. е. вычислить произ-
водную функцию по ее аргументу. Широко и свободно
пользуясь теоремой Торричелли — Барроу о взаимности
79
операций дифференцирования и интегрирования и распо-
лагая производными многих функций, Ньюгон легко
нашел квадратуры многих кривых. В тех же случаях,
когда интеграл данной функции найти было нельзя.
Ньютон разлагал подынтегральную функцию в степенной
ряд и почленно его интегрировал. Искусство разложения
функции в ряд само есть детище Ньютона. Для выполне-
ния разложения Ньютон пользовался разными приемами,
из которых на первое место следует поставить использова-
ние формулы бинома, но применялось и деление типа 1/1 + z,
извлечение корня и т. д. Когда Ньютон писал «Начала»,
он уже был во всеоружии: в его распоряжении были и
дифференцирование (нахождение флюксий), и интегриро-
вание (по флюксиям определение флюент), и интегриро-
вание дифференциальных уравнений, и интерполяционные
формулы, и вообще все, что он оставил в качестве своего
наследия. К сожалению, большая часть всего этого оста-
валась или вовсе никому не известной или известной
небольшому числу ближайших знакомых Ньютона. В это
время, именно в 1684 г., вышла из печати статья Лейбни-
ца с изложением нового дифференциального исчисления.
Правда, статья была слишком сжато написана, так что
ознакомиться с новым учением, в частности научиться
применять его, было необычайно трудно. Несмотря на
краткость, статья содержала конспект почти полного кур-
са дифференциального исчисления (включая и этот тер-
мин) и его приложения к анализу. Символика была раз-
работана так удачно, что сохранилась почти в неизменном
виде до наших дней.
Известно, что несколько математиков, например, шот-
ландец Дж. Крэг (ум. 1791), француз Лопиталь (1661 —
1704) приступили к изучению статьи Лейбница, но особых
успехов не достигли; во всяком случае, ни решить задач,
предложенных Лейбницем, ни выдвинуть собственные с
обещанием опубликовать решение они не пытались. В
1687 г. со статьей Лейбница познакомились братья Яков и
Иоганн Бернулли (1654—1705 и 1667—1748). Это были
математики совсем другого масштаба. Яков, побежденный
трудностями изложения, послал Лейбницу письмо (1687).
Но Лейбниц в эти годы путешествовал и письмо попало
к нему в руки лишь в 1690 г. Братья Бернулли не сидели
сложа руки. Не получая ответа от автора статьи, они не
только полностью уяснили себе содержание ее, но восста-
80
новили то, что было пропущено Лейбницем, и получили
новые результаты. В 1690 г. Яков уже опубликовал ста-
тью, где решил поставленную Лейбницем задачу об изо-
хроне методами дифференциального исчисления, так что
Лейбниц счел нужным написать братьям Бернулли, что
всякая помощь для них была бы излишней. В дальнейшем
Лейбниц писал братьям, что он считает их авторами диф-
ференциального исчисления не в меньшей степени, чем
самого себя. При сравнении метода флюксий Ньютона и
дифференциального исчисления оказалось, что они, в сущ-
ности, суть одно и то же, хотя их авторы идут разными
путями. Лейбниц излагал свое учение чисто геометри-
чески. Для него производная функция — это тангенс угла
наклона касательной к кривой, изображающей эту функ-
цию. Для того чтобы получить производную функции,
следует, по Лейбницу, дать малое приращение аргумен-
ту, вычислить соответствующее приращение функции, раз-
делить второе на первое и отбросить члены, в которых
осталось приращение функции в любой степени, начиная
с первой. О природе приращений в лагере Лейбница еди-
ное мнение не выработалось; не было также точного
определения (признак того, что не было и отчетливого
понятия) бесконечно малой. Лейбниц был слишком занят,
чтобы целиком отдать свое время математике, хотя не
переставал публиковать очень важные статьи. Главную
тяжесть разработки формального аппарата взяли на себя
Бернулли, в особенности Иоганн. К тому времени (1691 —
1692), когда Иоганн познакомился в Париже с Лопита-
лем, он владел не только развитой техникой выполнения
дифференциальных операций, но и обширным списком
решенных задач. Ему было нетрудно выполнить предло-
жение Лопиталя и прочитать ему довольно подробный
курс дифференциального и интегрального исчислений.
Курс дифференциального исчисления лег в основу написан-
ного Лопиталем курса «Анализа бесконечно малых». Кни-
га Лопиталя была первым учебником «новой», или высшей,
математики. Вместе со статьями Лейбница и братьев Бер-
нулли этот учебник привлекал все более широкие круги
математиков на сторону этой новой математики. Начался
ее бурный расцвет, что легко объяснить: задачи, которые
были по силам только выдающимся математикам, таким,
как Декарт, Ферма, Роберваль, теперь, после трудов
Ньютона в Англии, Лейбница и братьев Бернулли на
81
континенте, стали доступными всем, кто обладал доста-
точным усердием и некоторым уровнем природных дан-
ных. Уже в первые десятилетия XVIII в. появились ав-
торы, следовавшие по тропе, проложенной Ньютоном и
Лейбницем. В Англии это были Тейлор (1685—1731), в
1712—1715 гг. разработавший новый способ разложения
функции в степенной ряд; Маклорен (1698—1746), вы-
ступивший с превосходной книгой «Трактат о флюксиях»
(1742); на континенте появилась целая плеяда молодых
блестящих математиков, учеников Иоганна Бернулли
(Эйлер, некоторые из Бернулли) или учеников его учени-
ков.
Одновременно с развитием нового .анализа и увели-
чением его популярности все яснее вырисовывалась и
оппозиция. Наиболее уязвимой частью нового анализа
были, конечно, логические основа^я, расплывчатые и
разноречивые не только у разных представителей,
но даже нередко у одного и того же его защитника.
Еще при жизни Лейбница выступил с критикой диф-
ференциального исчисления М. Ролль (1652—1719). Удар
был направлен на непонятное, с точки зрения формальной
логики, отношение у. Лейбниц дал вполне удовлетво-
рительное объяснение, но, видимо, его статьи были вско-
ре забыты (память особенно плоха у тех, кто не хочет
помнить!), и в 1734 г. появилась снова критическая рабо-
та, принадлежащая известному философу Дж. Беркли
(1684—1753). Но теперь новое исчисление стояло уже
крепко на своем основании и в сильных защитниках не-
достатка не было. Робине (1707—1751) в 1735 г., а затем
Маклорен в 1742 г. выступили с работами, настолько
убедительными, что критика метода флюксий и дифферен-
циального исчисления после них не представляла уже
интереса. Это были как раз годы, когда, как сказал
Энгельс, дифференциальное исчисление завоевало умы ма-
тематиков и безраздельно воцарилось в математике. В
это время уже поражал современников Леонард Эйлер. На
первый взгляд может казаться непонятным включение
Эйлера в список изобретателей нового исчисления, но
если сопоставить состояние анализа в начале деятельно-
сти Эйлера с состоянием в момент его ухода, то, конечно,
нельзя не считать его одним из основоположников. Да и
простое перечисление того нового, что он ввел в высшую
82
математику, показало бы, что его вклад дает ему полное
право стоять во всяком случае в одном ряду с братьями
Бернулли. Не кто другой, как Иоганн Бернулли, при-
знал это еще в 40-х годах XVIII в., когда Эйлер был еще срав-
нительно молодым математиком. А ведь после того он ра-
ботал еще сорок лет! Если в то время, когда Иоганн
Бернулли давал оценку вкладу Эйлера, его слова о том,
что Эйлер сделал математику «взрослой» наукой, были
справедливыми, то к концу его деятельности эту оценку
следует принимать в усиленной степени: к 80-м годам
XVIII в. тот анализ, который сейчас называется клас-
сическим, уже стал зрелой наукой. Эйлер подвел итоги
по всем разделам анализа: по введению, по дифференциаль-
ному исчислению, по интегральному исчислению и по
интегрированию обыкновенных дифференциальных урав-
нений. После этой колоссальной работы Эйлера предстали
в законченном виде и формальный аппарат анализа, и
техника его приложения к задачам астрономии, механики,
гидродинамики, физики и многих других отраслей точных
наук.
Известно, что к началу 90-х годов XIX в. распростра-
нилось мнение, будто все существенное в физике уже сде-
лано и остается только «копаться в мелочах»: определять
численные значения разных коэффициентов и т. д. Легко
себе представить, что поклонники стройной и хорошо раз-
работанной планетной системы Птолемея, современники
Коперника, тоже считали, что в астрономии все сущест-
венное уже сделано и остается вносить мелкие поправки;
такие же настроения появились и среди математиков конца
XVIII в. Не кто-нибудь, а Лагранж в одном письме к
Даламберу выразился так: «Не кажется ли Вам, что выс-
шая геометрия близится отчасти к упадку, ее поддержива-
ете только Вы и Эйлер». Это написано за 18 лет до выхода
его «Аналитической механики», давшей мощный импульс
математике, и за 25 лет до работ Гаусса, открывших новую
эру в математике. И тем не менее Лагранж был в изве-
стном смысле глубоко прав. Действительно, с Эйлером
кончалась математика, но не математика вообще, а мате-
матика XVIII в. — математика экстенсивная, которой за-
нимались так, как работают первооткрыватели, стоящие
перед громадными пространствами нетронутой земли. Ув-
леченные необыкновенной силой новых приемов, легко-
стью, экономичностью и простотой, с которой достигалось
83
решение все йобых и новых задач, математики XVIII в.
не заботились о том, насколько логически обоснованы те
приемы, которые они применяли. XVIII век имел свои
задачи — расширить область применения анализа. Заме-
чательно, что математика XVIII в. укладывается ровно в
сто лет: начало совпадает с выходом статьи Лейбница в
1684 г., конец — со смертью Эйлера в 1783 г. XVIII
век — век экстенсивных методов. Перевод математики на
действительно научную почву, снабжение ее специальным
критическим аппаратом, освобождение от влияния интуи-
ции и переход к аксиоматизации — было делом следую-
щего века.
Исаак Ньютон
Академик Алексей Николаевич Крылов начинает предис-
ловие к своему переводу Ньютоновых «Начал» следую-
щими словами:«„Началанатуральной философии" Ньютона
составляют незыблемое основание механики, теоретиче-
ской астрономии и физики. Лагранж назвал это сочи-
нение „величайшим из произведений человеческого ума44».
Исаак Ньютон родился 25 декабря ст. ст. 1642 г., в
год смерти Галилея, в деревне Вульсторп, вблизи неболь-
шого города Грэнтэма. Вульсторп и Грэнтэм расположены
к северу от Лондона, приблизительно в 200 километрах
от него *. Отец Исаака, тоже Исаак, умер до рождения
своего единственного сына, и вдова Анна, урожденная
Эйскоу, осталась владелицей небольшой фермы. Вскоре она
снова вышла замуж за священника Варнаву Смита и
уехала с ним из Вульсторпа, оставив ребенка на попече-
нии бабушки. Сначала мальчик посещал деревенскую шко-
лу, а с двенадцати лет переехал в Грэнтэм. Учителем
грэнтэмской школы был некто Генри Стоке. Он, к сча-
стью, не походил на старых английских учителей, опи-
санных Диккенсом, и сумел оценить выдающиеся способ-
ности своего ученика. Впрочем, первое время маленький
Ньютон учился неважно. Помог «счастливый» случай.
Один из сверстников подрался с Ньютоном и одолел его,
попросту говоря, поколотил. Прямая месть исключалась,
1 Дом, где родился великий ученый, сохранился по настоящее
время.
84
так как противник был явно сильнее побежденного. И вот
Ньютон решает превзойти соперника в ученье. С этой
целью он начинает заниматься более усердно, входит,.что
называется, во вкус и делается первым учеником школы.
Можно согласиться с Фиглье, который сказал о пареньке,
ударившем Ньютона: «Удачнее кулаком никто не действо-
вал!»
В 1656 г. мать Ньютона опять овдовела и поселилась
на своей ферме. От второго мужа у нее было трое детей.
Когда Исааку исполнилось 16 лет, ему пришлось оставить
школу, чтобы принять участие в хозяйственных делах.
Два года он помогал матери, а в 1660 г. возвратился в
Грантам. Год ушел на подготовку к поступлению в выс-
шую школу. 5 июня 1661 г. в возрасте девятнадцати лет
Ньютон поступил субсайзером1 в Кембриджский уни-
верситет, в Тринити-Колледж. Первые два года он изучал
древние языки, арифметику, геометрию по Евклиду (не
очень, по его позднейшим отзывам, усердно), тригоно-
метрию. В 1663 г. произошло событие, имевшее большое
1 Пояснение см. на стр. 70.
85
влияние на дальнейшую судьбу Ньютона и, может быть, на
судьбу европейской науки вообще: Ньютон сделался уче-
ником Барроу. Первым следствием явилось немедленное
повышение уровня математических занятий Ньютона. Для
того чтобы как следует понять лекции Барроу по оптике и
математике, необходимо было основательно проштуди-
ровать все, что стало известным к тому времени из работ
Ферма, «Геометрию» Декарта, сочинения Валлиса и дру-
гие труды современных геометров. Барроу обратил вни-
мание своего нового ученика на громадное значение Евк-
лида. Это побудило Ньютона заняться «Элементами» более
основательно. Барроу был не просто хорошим педагогом,
а выдающимся ученым своего времени, Ньютон же —
незаурядным студентом. Естественно, что в атмосфере
схоластики и средневековой мертвечины, от которой Кемб-
риджский университет еще далеко не освободился, эти
два человека тянулись друг к другу. Ньютон сближа-
ется со своим учителем и в то же время быстро продвига-
ется по ступеням академической лестницы. В 1664 г. он
уже школяр, в январе 1665 г.— бакалавр искусств.
Эти степени — лишь внешние признаки той колоссальной
внутренней работы, которой был увлечен молодой ученый.
Вспыхнувшая в это время эпидемия чумы заставила
Ньютона, как и многих других горожан Англии, бежать в
деревню. Ньютон оставался в Вульсторпе, пока свиреп-
ствовало страшное «поветрие». Считается, что в 1665 г.
в одном только Лондоне от чумы умерло около 100 тысяч
человек 1. «Чумный отпуск» Ньютона продолжался до мар-
та 1667 г.
Два года, которые Ньютон провел в Вульсторпе, были
наполнены интенсивнейшей научной деятельностью. За
это короткое время Ньютон разработал метод флюксий,
произвел важнейшие опыты по оптике и установил ис-
ходные положения теории всемирного тяготения. Сравни-
тельно недавно в бумагах Ньютона нашли следующую
запись: «В том же году я начал думать о тяготении, про-
стирающемся до орбиты Луны... Все это происходило в
два чумных года 1665 и 1666, ибо в это время я был в
расцвете своих изобретательских сил и думал о матема-
тике и о философии больше, чем когда-либо после».
1 «Пир во время чумы» А. С. Пушкина относится именно
к этой эпидемии 1665 г.
86
А думать Ньютон умел. Он обладал даром сосредото-
чивать свое внимание до крайних пределов. Общеизвест-
но, что во время размышления над каким-нибудь предме-
том он не только не замечал, что происходит вокруг него,
но забывал и о самом себе. Бывало, например, что его за-
хватывала какая-нибудь идея в то время, когда он вста-
вал с постели. В подобных случаях он мог часами сидеть
полуодетым на кровати. Сохранились рассказы несколь-
ких лиц о том, что, увлеченный вычислениями, Ньютон
забывал о еде, о сне и о всех других делах.
Знаменитый анекдот о падающем яблоке относится к
этому же периоду.
За время пребывания в Вульсторпе Ньютон написал
пять мемуаров, но они не были напечатаны. Здесь впервые
проявилась удивительная черта характера Ньютона: он
питал подлинное отвращение к выступлениям в печати.!
В Кембридж вернулся совсем не тот Ньютон, который
уезжал в Вульсторп. Все, чему он мог научиться у ма-
тематиков своего времени (Ферма, Кавальери и др.)
и у своего учителя Барроу, все это теперь были лишь
87
частные задачи его собственного общего метода —
метода флюксий. Для того чтобы дать читателю пред-
ставление о том, что собой представлял Ньютон по воз-
вращении из Вульсторпа, приведем краткое извлечение из
одного мемуара 1665—1666 гг. Мемуар этот был слегка
дополнен около 1670 г., а опубликован только в 1704 г.,
почти без всяких дополнений и изменений. Он назывался
«Рассуждение о квадратуре кривых».
«Проблема I.
По данному уравнению, заключающе-
му сколько-либо флюент, найти флюк-
с и и».
«Проблема II.
Найти кривые, допускающие квадра-
тур у».
Если мы примем во внимание, что по современной тер-
минологии «флюента» и «флюксия» — это первообразная
и ее производная (дальше о них говорится более подроб-
но) и что по теореме Ньютона — Лейбница проблема II
решается дифференцированием определенного интеграла
по переменному верхнему пределу, то легко придем к
заключению, что в этих двух проблемах заключены осно-
вания всего дифференциального и интегрального исчис-
ления.
К тому же. Ньютон далеко не ограничивался разработ-
кой основ теории. Он уже владел алгоритмом своего
метода и свободно обращался с техническим аппаратом
нового исчисления. Конечно, скоро из ученика Барроу
он делается его сотоварищем, и едва ли не главенствующим.
В предисловии к своим «Лекциям по оптике и ма-
тематике» Барроу с большой похвалой пишет о Ньютоне;
приложение к лекции X Барроу помещает по совету,
как он пишет, Ньютона; подобные вставки и пояснения
со ссылками на Ньютона встречаются в «Лекциях» Бар-
роу неоднократно.
Ньютон с головой уходит в науку. Он не печатает
ничего, но работает настолько успешно, что имя его
делается известным в ученых кругах. Академические сте-
пени следуют одна за другой: в 1667 г. он получает зва-
ние младшего феллоу, в марте 1668 г. он уже старший
феллоу, а в июле того же 1668 г.— магистр. В эти годы
он много и успешно работал по оптике (не надо забывать,
что Барроу уделял немало внимания этому разделу на
88
туральной философии, т. е. физики). Из курса физики
известно, что простая комбинация линз может дать хрома-
тическую аберрацию. Современные Ньютону телескопы
имели этот недостаток. Ньютон считал (ошибочно), что
этот недостаток невозможно устранить, и решил построить
телескоп без линз. Эта мысль не была новой. Об этом,
например, говорили Ч. Караваджи, Б. Кавальери, Дж.
Грегори (1663) и др., но Ньютон, по-видимому, при-
шел самостоятельно к мысли построить отражательный
телескоп (рефлектор). В 1668 г. первый телескоп был
готов. Это был телескоп-малютка длиной в 15 см и с диа-
метром зеркала в 2,5 см. Несмотря на малые размеры, те-
лескоп давал хорошие результаты. Ньютон наблюдал
Юпитер и его четыре спутника; у Венеры можно было
наблюдать смену фаз.
Научный рост Ньютона был так стремителен, что
исключительно порядочный Барроу уже не считал воз-
можным занимать люкасовскую кафедру. В октябре 1669 г.
он передает кафедру Ньютону. 27-летний профессор
объявляет курс лекций по оптике. В это же время он
помогает Барроу выпустить «Лекции», о которых говори-
лось выше. Наконец, в том же 1669 г. Ньютон пишет
мемуар, где подытоживает свои открытия и разработки в
области рядов («Анализ при помощи уравнений с беско-
нечным числом членов»). Этот мемуар пролежал до 1711г.,
когда был издан. Правда, его содержание в значитель-
ной степени было известно и до опубликования, в част-
ности из переписки с Лейбницем, Эти письма шли через
Г. Ольденбурга, секретаря Лондонского королевского об-
щества. Они были известны английским математикам. Кро-
ме того, мемуар в готовом для печати виде хранился у
Коллинса, который не делал секрета из его содержания.
Вскоре, в 1670—1671 гг., Ньютон пишет обширный труд
о методе флюксий («Метод флюксий и бесконечных рядов»)
и... кладет его в шкаф, где он лежит до 1736 г., когда его,
уже после смерти автора, издают в Лощ^оне. В этом
сочинения опять ставятся две основные задачи ана-
лиза:
1. «Длина проходимого пути постоянно (т. е. в каждый
момент времени.— Л. Ф.) дана; требуется найти скорость
движения в предложенное время».
2. «Скорость движения постоянно дана; требуется най-
ти длину пройденного в предложенное время пути».
89
Взаимная обратность действия дифференцирования и
интегрирования считается уже установленным фактом.
Открытие Барроу вошло в работу Ньютона как ее
составная часть. Рассуждение, помещенное непосредст-
венно после двух приведенных только что задач, пока-
зывает, что Ньютон считает связь между двумя действия-
ми само собой разумеющейся. Вот что он говорит: «Если,
например, х2 = #, где у представляет собой длину пути,
пройденного к определенному моменту времени, а время
измеряется и представляется описываемым с помощью
другого пространства #, возрастающего с равномерною
скоростью х, то 2хх представляет собой скорость, с ко-
торой будет проходиться путь у в этот момент времени, и
наоборот». Единственное слово «наоборот» дает решение
второй из поставленных задач: если дана скорость, с
которой проходится путь, т. е. у = 2хх, то длина пути
будет у = х2, что получается с помощью интегрирования,
т. е. нахождения первообразной. Впервые взаимная зави-
симость между двумя действиями осуществляется через
промежуточную операцию, через отыскание первообраз-
ной. Еще более ярко выражена роль первообразной в
формулировке проблемы, уже приведенной раньше: най-
ти кривые, допускающие квадратуру.
Необходимо подчеркнуть еще раз, что статьи, относя-
щиеся к 1670—1671 гг., представляли собой лишь даль-
нейшую систематизацию работ, основания которых зало-
жены еще в 1665—1666 гг.
В 1671 г. Ньютон заканчивает изготовление второго
телескопа-рефлектора, уже более крупного. Длина его
была около 120 см, диаметр зеркала около 2 м. Ньютон
отправил телескоп королю, который пригласил на ос-
мотр к себе наиболее видных представителей точных на-
ук, членов Лондонского королевского общества. Среди
приглашенных были Гук, Врен и другие влиятельные
члены Королевского общества. Телескоп произвел силь-
ное впечатление. 11 января 1672 г. Ньютона избирают в
члены общества.
Уже в феврале того же 1672 г. Ньютон представил
обществу доклад «Новая теория света и цветов». В этом
докладе сообщалось о разложении белого света и о неко-
торых других открытиях Ньютона в области оптики.
Ньютон много сил и внимания отдавал оптике, результа-
90
том чего явилась написанная в конце 70-х или начале
80-х годов «Оптика». Эта книга тоже пролежала без
движения до 1704 г., второе издание ее вышло в 1717 г.
После 1672 г. наступил длительный период, в течение
которого Ньютон замкнулся у себя в Кембридже. Все
свое время он отдавал науке. Педагогические обязанности
отнимали не много времени. По уставу люкасовской ка-
федры ее профессор должен был читать одну лекцию в
неделю и проводить четыре часа консультаций. Остальное
время Ньютон уделял переписке, работе в лабораториях и
дома. На эти годы, видимо, приходятся усиленные занятия
механикой и астрономией, точнее — небесной механикой.
После установления законов Кеплера и замечательных
астрономических открытий Галилея математики и фило-
софы (т. е. физики) очень заинтересовались вопросами
астрономии. Роберт Гук, астроном Э. Галл ей и другие
придерживались взгляда, что планеты удерживаются на
своих орбитах силой, притягивающей их к Солнцу. Более
того, они считали, что эта сила должна, по-видимому,
ослабевать по мере удаления от Солнца пропорционально
квадрату расстояния (Кеплер тоже предполагал наличие
такой силы, но он считал, что эта сила действует лишь
в плоскости, проходящей через Солнце и данную плане-
ту, и потому уменьшается пропорционально первой сте-
пени расстояния). Им было ясно, что из той или иной за-
висимости величины силы тяготения вытекает и та или иная
форма законов Кеплера. Однако среди этого кружка лиц
не было математика достаточно сильного, чтобы вывести за-
коны Кеплера из заданной формы зависимости силы от рас-
стояния. В 1684 г. Галлей был у Ньютона и рассказал ему
об этих затруднениях. Ньютон ответил Галл ею, что задача
им решена. Вскоре он передал рукопись Галл ею. Однако
Ньютон не соглашался на издание труда, который ка-
зался ему незаконченным. Лишь весной 1686 г. Ньютон
представил рукопись в виде, пригодном, по его мнению, к
печати. В 1687 г. бессмертный труд вышел из печати \
Здесь не место рассматривать содержание этого «необъят*-
1 «Philosophiae naturalis principia mathematica», ondini,
1687 г. Академик А. Н. Крылов это название переводит так: «Мате-
матические начала натуральной философии» и поясняет, что при сов-
ременной терминологии наиболее точным переводом был бы «Мате-
матические основания физики». Для краткости эту книгу именуют
обыкновенно «Началами».
91
ного», по выражению академика С. И.Вавилова, сочинения.
Отметим только несколько обстоятельств, связанных с
созданием «Начал».
Мнительный и неудачливый Роберт Гук объявил, что
Ньютон присвоил себе его, Гука, открытие закона всемир-
ного тяготения. Поскольку Гук настаивал на своем
приоритете и относительно многих пунктов Ньютонов-
ской «Оптики», то последний вышел из себя и осыпал
Гука упреками. Завязалась длительная и малоприятная
для обеих сторон полемика...
Рукопись «Начал» была приготовлена всего за 18 ме-
сяцев. Секретарь Ньютона рассказывает, что ученому было
жаль тратить время на сон и на еду. Нередко он засижи-
вался за столом до утра, а что касается еды, то секретарь
не помнил случая, чтобы Ньютон сел за обед без напоми-
нания. Такое колоссальное напряжение сил не прошло
бесследно. Сравнительно мелкий повод —- пожар, уничто-
живший некоторые рукописи и лабораторные записи,—выз-
вал психическое заболевание ученого. Оно длилось около
полутора лет, потом Ньютон поправился, однако в после-
дующие сорок лет не сделал уже ни одного открытия.
В 1688 г., после того как королем Англии стал Виль-
гельм III Оранский, был созван «учредительный» парла-
мент. Кембриджский университет избрал своим депутатом
Ньютона. Два года Ньютон провел в Лондоне в качестве
члена парламента. В этом звании Ньютон не совершил
ничего примечательного.
В 1690 г., вернувшись в Кембридж, Ньютон продол-
жает заниматься небесной механикой, в частности совер-
шенствует свою теорию движения Луны. Он спокойно
живет в Кембридже, ничем не отвлекаемый от научных
занятий. Так продолжается до 1696 г., когда он был на-
значен смотрителем Монетного двора в Лондоне. На первый
взгляд такой крутой поворот в судьбе знаменитого уче-
ного кажется совершенно непонятным, но обстоятельства,
при которых этот поворот совершился, вполне его объяс-
няют. Техника английского Монетного двора была самая
примитивная; монета не имела ни строго установленного
веса (заготовки нарезались от руки, на глаз), ни правиль-
ной формы. Это способствовало росту мошенничества: по-
явились обрезыватели и подпилыцики монет. Бедствие
приняло такие размеры, что государству грозила финан-
совая катастрофа. Необходимы были срочные и радикаль-
92
ные меры; для осуществления этих мер, конечно, нужен
был выдающийся человек. Такой выдающийся государ-
ственный человек был налицо: канцлер казначейства
Монтэгю. Он-то и вспомнил о Ньютоне, с которым был
дружен в студенческие годы и вместе заседал в парла-
менте. После опубликования «Начал» Ньютон пользо-
вался мировой славой. Монтэгю рассудил, что гениаль-
ность человека проявится в любом значительном деле,
и пригласил Ньютона. Последний принял приглашение и в
1696 г. переехал в Лондон в качестве, как теперь ска-
зали бы, главного инженера предприятия. Со сложной
технической задачей Ньютон справился блестяще. Он
перечеканил всю английскую монету и совершенно из-
менил всю технику монетного дела. После завершения
этой работы его назначили директором Монетного двора
(1699). Конечно, исполнять обязанности люкасовского про-
фессора уже не было возможности, и в 1701 г. Ньютон
отказался от должности.
В 1699 г. Парижская академия наук впервые избира-
ла иностранных членов академии. В числе избранных был
и Ньютон. 30 ноября 1703 г. он делается президентом
Лондонского королевского общества и затем переизбира-
ется ежегодно до самой смерти.
В 1704 г. Ньютон наконец решает издать «Рассуждение
о квадратуре кривых», которое он написал еще в годы
«чумного отпуска». За протекшие сорок лет вышло много
сочинений, посвященных исчислению бесконечно малых,
а также содержащих критику нового исчисления. Чита-
тель помнит, что еще во времена Кавальери и Галилея
понятие бесконечно малой было предметом весьма серь-
езной дискуссии. Когда появились работы Лейбница и его
сподвижников братьев Бернулли (1684 г. и позже), во-
прос о природе бесконечно малой опять приобрел чрезвы-
чайную остроту. Ньютон, колебавшийся в понимании ос-
нов своего исчисления, снабдил «Квадратуру кривых»
введением, в котором отказывается от трактовки площади
как суммы бесконечно малых и предпочитает кинемати-
ческий путь, примыкая в таком понимании к Б. Каваль-
ери. В этом введении он говорит: «Линии производятся не
через приложение частей, но непрерывным движением то-
чек, поверхности—движением линий, тела—поверхностей».
Непрерывное движение точек, линий и т. д. позволяет
Ньютону взять какую угодно малую часть, а так как
93
геометрический образ производится движением, то для
того чтобы получить малую часть, достаточно взять дви-
жение за достаточно малый отрезок времени. Таким об-
разом избегается понятие бесконечно малого геометри-
ческого элемента. Далее дается определение флюенты и
ее флюксии. «В дальнейшем я буду называть флюен-
тами, или текущими величинами, величины, которые я
рассматриваю как постепенно и неопределенно (можно
вместо этого слова поставить и «неограниченно», так как
в латинском тексте стоит слово indefinite, допускающее
оба толкования. — Л. Ф.) возрастающие». И далее: «Ско-
рости, с которыми возрастают вследствие порождающего
их движения отдельные флюенты и которые я называю
флюксиями, или просто скоростями, или быст-
ро т а м и, я буду обозначать теми же буквами (которыми
обозначаются флюенты. — Л. Ф.), но пунктированными,
например и, у, £, х». Ньютон предлагает и обозначения
высших производных £, £ и т. д., а также обозначения для
флюент заданных величин, т. е., по современной термино-
логии, первообразных: если задана флюксия х, то ее флю-
ента — х , флюента последней — х" и т. д. Термином
«функция» Ньютон не пользовался. Приращение флюенты
он образовывал следующим образом. Как указано выше,
флюксия х величины х трактовалась как скорость возраста-
ния х, т. е. как dx/dt, по Лейбницу. Далее: «Пусть о есть
очень малая величина (не смешивать с нулем 01 — Л. Ф.)
и пусть oz, оу, ох суть моменты, т. е. мгновенные одновре-
менные приращения величин z, у, х. Если теперь флюенты
суть z, у, х, то через момент времени по возрастании на
свои приращения о£, оу, ох они обращаются в z + oz,y +
+ оу, х+ох». Из этого описания ясно, что механический
смысл величины о есть dt — элемент времени. Посмотрим
теперь, как находятся флюксии, т. е. производные. Для
этого служит известная нам проблема I: по данному
уравнению, заключающему сколько-либо флюент, найти
флюксии.
Решение Ньютон поясняет на следующем примере.
Пусть флюенты связаны уравнением
Xs — ху* + аЧ — Ь3 = 0.
Флюентам х, у, я, даются приращения и новые значения
флюент х + ох и т. д. подставляются в уравнение. Затем
из нового уравнения вычитается старое. Остаток делится
94
на «очень малое количество о». Далее предполагается, что
это «очень малое количество бесконечно уменьшается».
Тогда можно пренебречь членами, в которых после де-
ления на о еще сохранились множители о, о2 и т. д.
Оставшееся уравнение дает связь между флюксиями
Зхх2 — ху2 — 2хуу + я22 = 0#
Из проведенного рассуждения видно, что Ньютон сра-
зу дает правило для дифференцирования сложных функ-
ций. Если надо продифференцировать простую функцию,
то Ньютон полагает одну из флюент возрастающей рав-
номерно и^ значит, ее флюксию равной 1. Если, например,
в последнем примере положить х = 1, то х заместит
собой универсальную ньютоновскую независимую пе-
ременную — время — и само будет играть роль незави-
симой переменной.
Ньютон не публиковал, в отличие от Лейбница, ката-
лога флюксий, но из его работ видно, что он свободно
владел техникой дифференцирования не только алгебра-
ических функций. В затруднительных случаях он разла-
гал функцию (например, тригонометрическую) в степенной
ряд и дифференцировал его почленно. Правда, вопроса о
правомерности такой операции Ньютон не поднимал, но
так как он применял исключительно степенные ряды, то
постоянно оставался в пределах законности.
Что касается процедуры отыскания флюксий, то чи-
татель уже заметил, конечно, ее близкое сходство с процес-
сом, который ввел Ферма. Сходство это не случайно.
В одном из своих писем Ньютон замечает: «Намек на метод
(флюксий.— Л. Ф.) я получил из способа Ферма прове-
дения касательных; применяя его к абстрактным урав-
нениям, я сделал его общим». Мы видим, что кинематичес-
кое обоснование своего исчисления Ньютон взял у Ка-
вальери; намек на отыскание производной — у Ферма;
теорему о взаимной обратности дифференцирования и ин-
тегрирования — у своего учителя Барроу. Каждый из
предшественников был большим математиком. Их имена
навсегда остались в истории математики. Но только
Ньютон обладал даром объединить их достижения, спла-
вить их и выработать цельное универсальное учение.
Самый важный, самый злободневный вопрос XVII в.—
вопрос о задачах, требующих вычисления опреде-
ленных интегралов. Все, о чем говорилось до сих пор,
95
Рис. 17.
Приращение площади
(по Ньютону)
очень важно, но не затрагивает, по-видимому, квадратур,
кубатур и т. д. Ньютон установил связь между флюк-
сиями и квадратурами и превратил вычисление определен-
ных интегралов из искусства в исчисление. Этого он достиг
следующим путем. Он рассматривает две площади
(рис.17), А ВС и ABDG, причем GD \\ АВ. Когда ординаты
BD и ВС равномерно перемещаются вправо, то площади уве-
личиваются. Ньютон показывает, что «флюксии ра-
стут почти как приращения флюент, про-
изведенные в равные и крайне малые промежутки вре-
мени». Однако, говорит он, их можно представить любыми
пропорциональными им линиями. В предлагаемом приме-
ре приращения площадей относятся почти как ординаты.
Поэтому отношение флюксий можно заменить отношени-
ем ординат.
Все это показано во введении к «Рассуждению о квад-
ратуре кривых». В «Рассуждение» же включена проблема
II: Н айти кривые, допускающие квадра-
туру. Пусть будет в8ято какое-нибудь уравнение, опре-
деляющее зависимости между площадями. Тогда доста-
точно найти уравнение, определяющее зависимость между
флюксиями этих площадей, и задача решена. Последнее
же уравнение находится согласно проблеме I, приведен-
ной выше.
Связь между определенным интегралом и подынтег-
ральной функцией установлена. Задача о вычислении
определенного интеграла решена. Разработка исчисления
закончена. Все это в основных чертах созрело уже в
1665—1666 гг. Почему же оно пролежало без движения
96
целых сорок лет? Теперь, видимо, невозможно узнать, что
именно двигало Ньютоном. Документально установлено
только то, что он питал непреодолимое отвращение к по-
лемике. Он писал Лейбницу: «Меня так преследовали воз-
ражениями и бесконечными запросами, когда я обнародо-
вал свои идеи о свете, что я решил более этому не подвер-
гаться; из-за этого пустого призрака (публикации и свя-
занной с этим известности. — Л. Ф.) потерял спокойст-
вие — столь прочное и существенное благо». А что публи-
кация нового исчисления вызвала бы бурную полемику,
сомневаться не приходилось. Весь XVII век был наполнен
дискуссиями: Гульдин полемизировал с Кеплером и Ка-
вальери, аристотелики — с Галилеем, Декарт — с Паска-
лем (старшим) и Ферма, Гук — с Ньютоном и т. д. Почему
же в таком случае «Рассуждение» и другие математические
работы Ньютон все-таки опубликовал? Причиной опять-
таки была... полемика, но уже полемика совсем другой
природы.
После смерти Вильгельма III на трон взошла Анна
Стюарт. В 1705 г. она посетила Кембриджский универси-
тет. По этому случаю Ньютон приехал в Кембридж. Ан-
на возвела его в рыцарское достоинство. Ньютон стал
«сэром Исааком». Он был первым ученым, получившим
титул сэра за научные заслуги. В эти годы Ньютон почти
не получал новых результатов. Он уделял известное вре-
мя Королевскому обществу, посещал Монетный двор, где
числился директором, исполнял различные поручения,
требующие высокой научной квалификации. Так, он
возглавлял комиссию, инспектировавшую Гринвичскую
обсерваторию. В 1711 г. вышел его мемуар «Анализ при
помощи уравнений с бесконечным числом членов». Весьма
богатое содержание этого сочинения мы обойдем за недо-
статком места, ограничившись указанием, что Ньютон в
нем приводит способы, которыми он пользуется при раз-
ложении функции в ряд. Поскольку способ Тейлора еще
не существовал, Ньютон достигал разложения различными
средствами, иногда делением многочлена на многочлен,
иногда применением обобщенной им же формулы бинома
и т. д. Одновременно ему приходилось уделять внимание и
«Началам», второе издание которых подготавливалось. Оно
вышло в 1713 г. с знаменитым предисловием Котеса, ко-
торое, хотя и было одобрено Ньютоном, противоречит
многим объективно материалистическим утверждениям
4 л. С. Фрейман
97
«Начал». Правда, с возрастом Ньютон стал более охотно
сближать науку с богословием. Он значительное время
уделял богословским изысканиям, результатом которых
явились такие сочинения, как «Толкования на пророка
Даниила», «Хронология по св. писанию» и др.
Ньютон жил довольно замкнуто, хотя охотно принимал
у себя гостей, главным образом своих знакомых — уче-
ных. С ним жила племянница. Она была замужем за Кон-
дуиттом, который тоже служил на Монетном дворе. По
словам миссис Кондуитт, Ньютон был человеком среднего
роста, несколько склонным к полноте. Несмотря на не-
благоприятные обстоятельства его рождения (Ньютон ро-
дился до срока и был настолько слаб, что мало кто
верил, что младенец останется в живых), он отличал-
ся завидным здоровьем. Он сохранил густые волосы до
самой смерти. От рождения был белокурым, но к тридцати
годам почти полностью поседел. За всю жизнь не потерял
ни одного зуба и не пользовался очками. Ньютон, видимо,
не был особенно уживчивым человеком. Наряду с пре-
красными отзывами о нем, есть и такие, которые рисуют
его как человека завистливого, скрытного, скупого и т. д.
Истина, надо полагать, где-нибудь посередине.
Приблизительно за три недели до кончины Ньютон стал
чувствовать приступы каменной болезни. Свои страдания
он переносил терпеливо, не жалуясь, хотя ему было тя-
жело. Умер он 20 марта 1727 г. и похоронен в националь-
ном пантеоне Англии — в Вестминстерском аббатстве.
На его могиле поставили великолепный мраморный
памятник с высеченной на нем длинной латинской над-
писью, последние слова которой; «... украшение челове-
ческого рода» 2.
В Кембридже перед Тринити-Колледжем стоит мрамор-
ное изображение Ньютона. На нем стих Лукреция (об
Эпикуре):
Разумом превосходил род человеческий.
Готфрид Вильгельм Лейбниц
В середине XVII столетия Германия представляла собой
в научном отношении глубокую провинцию. В то время
как в Италии, Франции, Англии закладывались основы
1 Humani generis decus.
98
Г0ТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ
ЛЕЙБНИЦ
(1646—1716)
естественных наук (Галилей, Торричелли, Ферма, Декарт,
Валлис, Бойль и др.), Германия дала миру только одного ге-
ния —Иоганна Кеплера. С его смертью Германия замолчала
на много десятилетий, пока не засияло ярким светом имя
Лейбница, которому суждено было дать мощный толчок
европейской науке.
Готфрид Вильгельм Лейбниц родился в Лейпциге
1 июля 1646 г. Отец его, Фридрих Лейбниц, — профессор
этики и юрисконсульт Лейпцигского университета,
мать, урожденная Катерина Шмукке, — дочь профессора
того же университета.
Мальчик лишился отца на седьмом году жизни. Пре-
доставленный самому себе, он пристрастился к чтению
настолько, что это вызвало беспокойство матери. Один из
близких знакомых семьи поговорил с юным Лейбницем,
чтобы узнать, как действует на неокрепший ум усиленное
чтение. Последствием этого разговора было то, что по го-
рячей рекомендации этого знакомого восьмилетнему маль-
чику предоставили в распоряжение библиотеку его отца,
бывшую до того под замком, Библиотека состояла большей
4* 99
частью из сочинений латинских и греческих писателей,
что представляло бы для мальчика с обыкновенными спо-
собностями значительное препятствие. Но не таков был
Готфрид Лейбниц. Латинский язык он усвоил как бы
играючи. По его словам, у него было иллюстрированное
издание Тита Ливия. Сначала он почти ничего не понимал.
Но, читая подписи под картинками, сопоставляя их с со-
держанием картинок и перечитывая по много раз
текст книги, он в конце концов овладел языком и через
некоторое время стал не только свободно говорить и пи-
сать на латинском языке, но и писал латинские стихи.
Он даже имел слабость считать себя хорошим поэтом.
После латинского языка он без заметных усилий освоил
и треческий. Когда Лейбницу было четырнадцать лет, в
гимназии, где он учился, должен был состояться празднич-
ный вечер, но гимназист, приготовивший стихотворение,
захворал. Лейбниц вызвался заменить его и в течение дня
написал триста латинских гекзаметров.
Способности к языкам были у Лейбница исключитель-
ные. Некоторые биографы объясняют это свойство его та-
ланта тем, что далекие предки Лейбница были славяна-
ми, вых:одцами из Польши или Богемии. Сама фамилия
Лейбниц есть онемеченная славянская Лубенец.
В 1661 г. Лейбниц окончил гимназию и поступил в
университет родного города. В то время юношу занимали
почти исключительно философские вопросы. Еще в детстве
он в библиотеке отца познакомился с-сочинениями Ари-
стотеля и его последователей, в том числе и средневековых
схоластов (о них Лейбниц впоследствии говорил, что ему
приходилось находить и золото среди этого навоза). В
университете профессор философии Яков Томазий позна-
комил его с новой философией, в первую очередь с Декар-
том. Пятнадцатилетний студент целыми днями бродил по
живописным окрестностям Лейпцига, сравнивая досто-
инства «субстанциальных форм» и прочей схоластической
премудрости и механической системы мира, предложенной
Декартом. В конце концов Декартова философия взяла верх,
и Лейбниц встал перед необходимостью основательно изу-
чить математику. Лейпцигский университет в этом отно-
шении не мог предложить что-либо ценное, и Лейбниц пе-
реехал в Иену, где в университете преподавал способный
и знающий математик Вейгель (не лишенный, впрочем,
некоторых странностей: так, ему принадлежал «про-
100
ект» — переименовать созвездия по именам немецких
герцогских родов).
Лекции Вейгеля не прошли бесследно. Усвоив начала
комбинаторики, Лейбниц приходит к мысли создать мате-
матическую дисциплину, при помощи которой можно было
(бы логическую обработку понятий заменить их матема-
тической обработкой. Эту мысль он изложил в со-
чинении «О комбинаторном искусстве». Замечательно, что
уже в первых самостоятельных философских трудах Лейб-
ниц разрабатывает идеи, которые впоследствии лягут в
основание его главных трудов по философии и математи-
ке. Одной из наиболее значительных задач, над выполне-
нием которой он трудился на протяжении всей жизни, бы-
ла задача выработки совершенной символики, математи-
зирующей философию. Впервые об этой задаче Лейбниц и
говорит в сочинении о комбинаторике.
После года пребывания в Иене Лейбниц возвратился
в Лейпциг и занимался исключительно правом, готовя
себя, как ему казалось, к профессии юриста. В 1664 г. он
получил степень магистра философии, а в 1665 г. — бак-
калавра прав. В следующем году Лейбниц счел себя
достаточно подготовленным для того, чтобы получить уче-
ную степень доктора прав. В родном университете, однако,
ему не удалось выполнить своего намерения. Причины
этого не вполне ясны. Достоверно только то, что Лейбниц
обиделся на Лейпциг и покинул его навсегда. Недалеко от
Нюрнберга,в маленьком университетском городке Альтдор-
фе, Лейбниц в 1666 г. защитил диссертацию «О запутанных
случаях в праве». Защита прошла так блистательно, что
одновременно с присвоением степени доктора ему предло-
жили профессуру, но Лейбниц отклонил лестное пред-
ложение и уехал в Нюрнберг.
Пребывание в Нюрнберге — лишь короткий эпизод в
богатой содержанием жизни Лейбница. Однако этот эпи-
зод имел большое влияние на дальнейшую судьбу философа.
Неизвестно почему, Лейбницу захотелось проникнуть
в братство розенкрейцеров, довольно значительное в Нюрн-
берге. Это полумистическое, полурелигиозное сообщество
соблюдало, как и их духовные наследники XVIII в.
масоны, некий род конспирации и неохотно принимало
новых членов, особенно таких, которые не могли пред-
ставить рекомендации. Лейбниц придумал вот что: из
разных сочинений по алхимии (розенкрейцеры иска-
101
ли способ взаимопревращения металлов) он набрал не-
которое количество темных и звучных терминов и сост-
ряпал необыкновенно заумный трактат, написанный столь,
туманным языком, что сам его не понимал. Однако,,
к его удивлению, розенкрейцеры «поняли» и так высоко*
оценили эрудицию автора, что предложили должность,
секретаря с приличным содержанием. Лейбниц стал ве-
сти протоколы химических опытов. Однажды Лейбниц во>
время обеда разговорился в гостинице с незнакомцем. Тот*
оказался дипломатом, человеком умным небольшим жиз-
ненным опытом. Фамилия его была Бойнебург. Молодой:
Лейбниц произвел на него очень благоприятное впечат-
ление. Они познакомились. Вскоре Бойнебург настоял,,
чтобы Лейбниц отправился в Майнц ко двору герцога, и:
снабдил его рекомендательным письмом. В Майнце;
Лейбниц выполнял работу гориста, в частности приводил в
порядок «Свод законов», продолжая одновременно зани-
маться философией, и написал несколько юридических и
философских работ, из которых одну — «Теорию абстракт-
ного движения» — представил в Парижскую академию-
наук, а вторую — «Теорию конкретного движения» — в;
Лондонское королевское общество.
В Майнце Лейбниц прожил пять лет. В 1672 г. он от-
правился в Париж в качестве воспитателя сына Бойнебур-
га и одновременно с дипломатическим поручением к Людо-
вику XIV. В Париже Лейбниц познакомился с Гюйген-
сом и, подпав под его благотворное влияние, усердно)
занялся математикой. По собственному признанию, Лейб-
ниц знал тогда математику слабо. Собственно, весь его»
математический багаж состоял из лекций, прослушанных
в Лейпцигском университете, и занятий в Иене с про-
фессором Вейгелем. Для такого ума, как Лейбниц, лейп-
цигские занятия не могли дать ничего ценного, поскольку
Куниус, которого слушал Лейбниц, имел обыкновение
отвечать на вопросы студентов стереотипной фразой:«Та-
ково правило». Занятия же в Иене продолжались всего
один год. Гюйгенс подарил Лейбницу свою книгу «Маят-
никовые часы». Для того чтобы понять ее содержание,
Лейбниц погрузился («зарылся», как о нем говорили)
в труды, разрабатывающие новую математику. Ферма,
Валлис, Декарт («Геометрия») были тщательно изучены.
Математический гений Лейбница вспыхнул внезапно и с
невиданной силой.
102
Особенно большое влинис на его творчество имело
знакомство с работами Паскаля. Известный читателю «ха-
рактеристический треугольник» Паскаля сыграл роль про-
жектора, который мгновенно осветил общий метод про-
ведения касательных, так что Лейбниц писал потом, что
ему было непонятно, как мог Паскаль проглядеть, какое
богатство заключено в его изобретении! Уже в 1673 г.
собственные результаты Лейбница были настолько зна-
чительны, что он решил съездить в Лондон и познакомиться
там «из первых рук» с английскими математическими до-
стижениями. В Лондоне Лейбниц пробыл два месяца;
он познакомился с физиком Бойлем, математиком Оль-
денбургом и др. Возможно, хотя прямых доказательств
нет, что Ольденбург познакомил Лейбница с письмом
Ньютона к нему (1672), в котором излагались основы
метода флюксий. Вероятно, Лейбниц оставил в Лондоне
хорошее впечатление: его вскоре же избрали членом Лон-
донского королевского общества. Возвратившись в Па-
риж, Лейбниц продолжал усиленно заниматься матема-
тикой. Он разрабатывал открывшуюся перед ним совер-
шенно новую (новую — для него, Ньютону все это было
известно) область математики. Позднейшее изучение ру-
кописей Лейбница позволило установить подлинную дату
изобретения новой науки: октябрь — ноябрь 1675 г.
С необычайным жаром отдается он работе в новой области.
Радость открывания неизвестного прорывается у него
непроизвольно. «Чудно видеть, что входишь в новый род
исчисления, который далек от Виетова, как небо от зем-
ли», — читаем в его рукописи. Это записано в те дни,
когда он внес в свое сочинение сумму бесконечно малых.
Все это не значит, однако, что Лейбниц все силы отда-
вал математике и только математике. Он выполнял дипло-
матические поручения своего патрона; его философские и
богословские интересы находили удовлетворение в бе-
седах с вождем янсенистов Арно; он проводил время в
разговорах на государственные темы с министром Коль-
бером; он вел переписку, которая, хотя и не достигла тех
громадных размеров, до которых она дошла во время его
жизни в Ганновере, но все-таки уже занимала заметное
место в его деятельности.
В 1676 г. Лейбниц решает, что ему пора уезжать из
Парижа. Ему рекомендуют Ганновер. Он списывается
с герцогом Иоанном-Фридрихом и принимает на себя обя-
103
занности библиотекаря и советника. Покинув Париж, он
посещает Лондон и Амстердам. В Англии он укрепляет и
расширяет знакомства с математиками, в Голландии (Га-
ага) знакомится со Спинозой и проводит много времени в
разговорах с ним. Однако собственная философская система
Лейбница достигла к этому времени такого развития, что фи-
лософия Спинозы уже не могла заметно повлиять на него.
1675—1676 гг. — время интенсивной разработки основ
дифференциального и интегрального исчислений. Для
самого Лейбница уже совершенно ясна кардинальная роль
бесконечно малой в новом исчислении. Ясно
также, что интеграл (этот термин еще не был изобретен)
надо рассматривать как сумму бесконечно малых. Ясно,
наконец, что дифференцирование и интегрирование —
операции взаимно обратные. Основные задачи анализа,
т. е. отыскание экстремумов, точек перегиба, квадратур
и т. д., были решены в совершенно общем виде и во многих
интересных частных задачах. Наконец, были получены
ответы на некоторые более тонкие вопросы, например уста-
новлено достаточное условие интегрируемости функции.
Здесь, пожалуй, уместно заметить, что как ни велики
открытия Лейбница в математике, они для него представ-
ляли только частичное решение его общефилософской за-
дачи — задачи, решение которой он считал целью всей
жизни и которая проходила красной нитью через все его
работы. Для того чтобы уяснить себе эту задачу, надо
вспомнить, что в философии Лейбница роль фундамента
играет идея всеобщей гармонии. Мир, в котором царит
всеобщая гармония, не может не быть единым, а в таком
случае должен существовать единый метод познания ми-
ра. Прообраз такого метода Лейбниц видел в методе ма-
тематическом. Сам по себе математический метод не яв-
ляется и не может являться универсальным, потому что
он обнимает только область величин. Но он служит образ-
цом, следуя которому можно построить такой алгоритм
(слово Лейбница), который позволит оперировать с п о-
н я т и я м и так, как математика оперирует с вели-
чинами. Уже первая, юношеская работа Лейбница
«О комбинаторном искусстве» содержала размышления об
алгоритме логических понятий, и эти же размышления
можно встретить в позднейших произведениях. При раз-
работке такого алгоритма громадную роль должна играть
символика. Вот почему Лейбниц так много внимания уде-
104
лил этой стороне дела при работе над новым исчислением.
Ободренный тем, что его внимание к этой стороне дела
принесло богатые плоды, он говорит в одном из писем
1693 г.: «Часть секрета анализа состоит в характеристике,
то есть в искусстве хорошо употреблять применяемые
знаки. ... Виет и Декарт еще не познали всей его тайны».
Бросается в глаза аналогия между двумя великими
умами XVII столетия. Декарт считал своим главным вкла-
дом в сокровищницу человеческого знания свой метод,
изложенный в «Рассуждении о методе»; «Геометрия» же
была для него лишь опытом (Essai), при помощи которого
демонстрируется сила предложенного метода. И Лейбниц
видел главную цель (не достигнутую ) в разработке уни-
версального метода или, что, по его замыслу, должно было
дать тот же результат, в разработке универсального ал-
горитма; с его точки зрения, разработанный им алгоритм
бесконечно малых — это лишь первая ступень, проба пе-
ра, что ли, после чего следовало заняться уже разработ-
кой «настоящего», т. е. предназначенного для нужд фи-
лософии, алгоритма. И счетная машина, над которой Лейб-
ниц работал в 1674 г., была, в сущности, шагом в том
же направлении; и результаты были такие же, как с ана-
лизом бесконечно малых: для философии мало, для ма-
тематики — много. Заметим в скобках, что машина Па-
скаля производила сложение и вычитание, машина Лейб-
ница, бывшая на 27 лет «моложе» паскалевой, выполняла
четыре основных действия, возведение в степень и извле-
чение квадратного корня.
В Ганновере деятельность Лейбница становится не-
обычайно интенсивной и разносторонней. Он продолжает
разрабатывать новую математику, пишет философские тру-
ды, выполняет различные поручения герцога, среди кото-
рых встречаются такие важные, как улучшение горного
дела. Лейбниц увлекается грандиозной задачей объеди-
нения всех христианских церквей или по крайней мере
всех протестантских церквей. Эта безнадежная задача не
увенчалась и не могла увенчаться успехом, но она от-
няла у Лейбница немало времени и побудила его глубоко
вникнуть в вопросы богословия.
Он находил время для занятий лингвистикой, историей,
для переписки со всеми европейскими знаменитостя-
ми. При всем том он считал себя прежде всего философом, а
как философ — математиком, так как философия, по его
105
мнению, требовала открытия соответствующего ей алго-
ритма, а школой алгоритмов являлась математика. Не
исключено, впрочем, что истинные побуждения распола-
гались и в другом порядке: математическое дарование с
неодолимой силой пробивалось на первое место, а разум
уже находил философское объяснение (или оправдание)
преимущественному положению математики в этом мощ-
ном потоке творчества.
В 1676 г., в год переезда в Ганновер, Лейбниц писал
Ольденбургу в Лондон о разложениях в ряд sin х и
arc sin x. Ньютон ответил ему в том же году (через Ольден-
бурга) подробным письмом. В нем сообщалось о том, что
Ньютону известны разложения sin x и arc sin x; давалось
разложение бинома (без вывода) и многих других выраже-
ний, в частности квадратур циклоиды и некоторых других
кривых. Эти и ответные письма имели большое значение
для дальнейшего развития Лейбницева метода. Однако
многосторонняя деятельность Лейбница не позволяла ему
обработать полученные результаты и придать им пригод-
ную для публикации форму. Только в 1682 г. он помещает
в печати статью об отыскании максимумов и минимумов.
Статья находится в первом номере лейпцигского журнала
«Acta eruditorum» («Труды ученых»), основанного Отто
Менке и руководимого Лейбницем. Этот журнал приобрел
большое значение, потому что он печатал работы Лейб-
ница и его школы, в частности братьев Бернулли.
Если в истории математики на одной высоте по своему
значению стоят годы — 1в65 («чумный» отпуск Ньютона)
и 1675 (изобретение дифференциального исчисления Лейб-
ница), то и 1684-й год не уступает им в славе. В этом
году в «Acta eruditorum» появилась первая статья Лейбни-
ца с изложением основ нового исчисления. Полное на-
звание статьи: «Новый метод максимумов и минимумов,
а также касательных, для которого не служат препятстви-
ем ни дробные, ни иррациональные величины, и особый
для этого род исчисления». Лейбниц счел необходимым
вынести в заголовок статьи то свойство нового исчисления,
что дробные и иррациональные величины не служат для
него препятствием. В этом свойстве действительно ценное
преимущество способа, предлагаемого Лейбницем. Отыска-
ние экстремумов уже было давно и подробно изученной
задачей в предыстории дифференциального исчисления. Ме-
тоды отыскания дали Декарт и Ферма, К сожалению? эти
106
•методы требовали, чтобы иррациональ-
ные и дробные выражения были устра-
нены или, иначе, непосредственно
могли применяться лишь к алгебраиче-
ским кривым. Лейбниц, конечно, отчет-
ливо сознавал преимущество своего ис-
числения. Изложив основы дифферен-
циального исчисления, он говорит:
«... можно будет находить максимумы
и минимумы, а также касательные, не
испытывая притом необходимости в
устранении дробей или иррациональ-
ностей или других сложных выраже-
ний, как это приходится, однако, де-
лать, если пользоваться доныне опубли-
кованными методами». Немного дальше
он снова возвращается к этому же : «Во
всех таких и много более сложных слу-
чаях наш метод обладает одной и той же
поразительной и прямо беспримерной
легкостью».
Статья, о которой идет речь, отличается крайне сжа-
тым изложением. На каких-нибудь шести страницах из-
ложены основные понятия, правила дифференцирования,
отыскание экстремумов, точек перегиба и т. д. Можно
вполне согласиться с Иоганном Бернулли, который на-
звал эту статью «скорее загадкой, чем разъяснением».
Лейбниц предлагает чертеж, часть которого приводится
на рис. 18. Ось абсцисс X направлена вертикально, функ-
ция изображается кривой v. Дифференциал независимо-
го переменного представлен отрезком произвольной длины
dx. Из чертежа непосредственно получается пропорция
(не забыть, что dx есть приращение ординаты касательной,
а не кривой)
dv v
Рис. 18.
Часть чертежа
Лейбница
из статьи 1684 г.
Далее Лейбниц говорит: «Если установить это, то правила
исчисления будут следующими». И перечисляет несколь-
ко правил дифференцирования:
dC = 0; d (ax) = adx\ d(z — у + w + x) = dz -
+ dw -\- dx; d (их) — v dx -\- xdv и т.д.
dy +
107
Все эти правила даны без доказательств. Впервые они
доказаны в известном учебнике Лопиталя «Анализ беско-
нечно малых». Лейбниц обращает внимание читателя на
точку М. Здесь, говорит он, функция не возрастает и
не убывает. В этой точке dv = О, а касательная параллель-
на оси (абсцисс). Если в какой-нибудь точке j- = оо, то
в этой точке касательная перпендикулярна к оси абсцисс.
Далее мы встречаем необходимый признак точки перегиба,
правила дифференцирования степени, корня и т. д. Коро-
че говоря, статья представляет собой, как уже отмечалось,
конспект по дифференциальному исчислению и его прило-
жению к анализу. Замечательно, что конспект этот на-
писан языком, почти не отличающимся от языка совремеь-
ного учебника анализа. Здесь же впервые употреблены
слова, известные в наше время каждому образован-
ному человеку: «дифференциальное исчисление». Лейб-
ниц показывает на примере, что после дифференцирова-
ния уравнение остается линейным относительно dz и dy,
откуда и вытекает та «прямо беспримерная легкость», о
которой он говорит.
Далее Лейбниц пожелал показать силу своего нового
исчисления. Для этой цели он взял ныне очень известную
задачу Дебона. В 30-х годах задачу квадратуры задан-
ной кривой можно было считать в значительной сте-
пени разрешенной, как и задачу о проведении касательной
к алгебраической кривой. Дебону принадлежит инициа-
тива введения нового типа задач. В общем виде задача
Дебона ставится в следующей форме: найти кривую,
подкасательная которой есть заданная функция. На совре-
менном языке эта задача означает не что иное, как необ-
ходимость проинтегрировать дифференциальное уравне-
ние первого порядка: f(x, у, у') = 0. В XVII в. этот тип
задач называли обратными задачами на касательные. Де-
бон предложил задачу этого типа Декарту. Тот не мог
дать общего метода для решения таких задач. Потому-то
Лейбниц и взял эту задачу в качестве примера примене-
ния нового метода.
Задача: «Требуется найти линию ww, обладающую
такой природой, что если wc есть проведенная к оси
касательная, то Хс всегда равно постоянному отрезку а».
РешениеЛейбница:из чертежа (рис. 19) вид-
но, что wla — dw/dx\ полагая dx= b = const (дифференциал
108
Рис. 19.
К решению обратной задачи
на касательные
независимого переменного Лейбниц и его ученики счита-
ли постоянной величиной), имеем w= -г- dw; в настоящее
время уравнение Лейбница привели бы к виду — = Cdx,
откуда мгновенно следует w = Zte*, но Лейбниц не имел
возможности так рассуждать, поэтому он говорит следую-
щее: если w пропорционально dw, то w образует геометриче-
скую прогрессию, когда х — арифметическую, а в таком
случае х есть логарифм w. Следовательно, ww есть лога-
рифмическая кривая. Задача решена.
Тот, кто даст себе труд прочитать и усвоить содержа-
ние письма Декарта к Дебону (20 февраля 1639 г.), где
после чрезвычайно хитроумных и сложных рассуждений
на нескольких страницах Декарт заключает, что его и
Ферма методы непригодны для решения этого типа задач,
кто, повторяем, сравнит решения Декарта и Лейбница,
тот сможет оценить, какой гигантский шаг сделала ма-
тематика, получив новое орудие *.
Разработка «суммирующего» или «сумматорного» ис-
числения шла одновременно с продвижением в области
дифференциального исчисления и его приложений. Уже
в 1686 г. Лейбниц публикует в «Acta eruditorum» статью об
этом исчислении. Это была первая печатная работа об
интегральном исчислении Лейбница. Задача, которую он
решает в этой работе, очень проста, но тем не менее для
старых методов или, как их называл Лейбниц, для доныне
1 Читатель не должен забывать, что все, чем владел Лейбниц,
уже десятилетиями было известно Ньютону, но знания Ньютона
служили только ему и небольшому числу английских математиков,
Лейбниц же предложил свое изобретение всему миру.
109
опубликованных методов, была непосильной. Можно
ее сформулировать так: дана поднормаль кривой как за •
дацная функция независимого переменного; найти эту
кривую. Лейбниц решает задачу следующим образом.
Он рассматривает два треугольника: один — составленный
из поднормали р, ординаты у и нормали, второй — сос-
тавленный из дифференциалов dy, dx и ds. Из подобия
треугольников получает равенство pdx — ydy. Далее он
говорит: «...и если обратить дифференциальное уравне-
ние в суммирующее, то будет
}pdx = \ydy» .
Здесь впервые в ясной форме и вполне определенно
устанавливается связь между дифференциальным и сум-
мирующим исчислениями Лейбница. То, что выглядит со-
вершенно естественным и как бы само собой разумеющим-
ся для нашего современника, в действительности требовало
громадного изобретательского таланта. Способ, использу-
емый Лейбницем для получения окончательного результа-
та, заслуживает не меньшего внимания. О выражении
ydy автор говорит: так как d{^-\ = ydy, то vydy = у-,
потому что «у нас суммы и разности или] nd так же взаим-
но обратны, как степени и корни в обыкновенном ис-
числении». Таким образом устанавливается взаимная
обратность обоих исчислений. Читатель помнит, что тео-
рема о взаимной обратности в достаточно общей форме
была установлена еще Барроу; эта теорема уже давно
использовалась Ньютоном; но первая статья Лейбница,
где говорится об этой взаимной обратности, имеет особое
значение для истории математики, ибо изложение здесь
получило такую форму, которая сохранилась в течение
столетий.
Не следует думать, что Лейбниц рассматривал взаим-
ную обратность только в пределах, «так как d ()=... ,
то I = ... ». Ему принадлежит и вполне общее (в рам-
ках классической теории) положение, высказанное, прав-
да, значительно позже, в 1693 г. Лейбниц так разъясняет
процесс интегрирования: «Общая задача квадратуры сво-
дится к отысканию кривой, обладающей определенным
(т. е. известным, заданным.— Л. Ф.) законом наклона».
Другими словами, чтобы найти интеграл от заданной функ-
но
ции f(x), надо найти такую функцию F(x), что ее наклон
F' (х) есть f(x).
Лейбницу же принадлежит и введение аддитивной
постоянной и тем самым окончательное отделение неопре-
деленного интеграла от квадратуры, которая от Архимеда
до Барроу мыслилась только как определенный интеграл.
В одной статье 1694 г. Лейбниц, интегрируя некоторое
выражение, приписывает к результату «+S» и поясняет, что
«Ь» есть произвольная постоянная. Разъ-
ясняя, почему она тут появляется, он пишет: «Я хочу
здесь об этом напомнить, ибо это важно для общности
решений». Таким образом, смысл и назначение этой по-
стоянной Лейбницу были совершенно ясны. Пришел ли
Лейбниц к необходимости произвольной постоянной из
понимания того, что интегральные кривые должны обра-
зовывать семейство, или из того, что d[(f(x) + С] —
= df(x)? К сожалению, это неизвестно.
Как видно из сказанного выше, 80-е и 90-е годы были эпо-
хой усиленной и плодотворной работы над основами анализа.
В это время Лейбниц уже не был одинок. Братья Бернулли
усиленно разрабатывали аппарат нового исчисления, вно-
ся так много нового и ценного, что Лейбниц оценивал их
работу как равную своей. «Новое исчисление ваше не
менее, чем мое», — пишет он братьям как раз в эти годы.
Лопиталь, уступавший Бернулли в силе дарования, много
способствовал распространению лейбницевского исчисле-
ния. Он переписывался с Лейбницем, поддерживал дру-
жеские отношения с Иоганном Бернулли и был поэтому
в курсе последних достижений анализа. Это позволяло
ему пропагандировать новое учение, горячим привер-
женцем которого он стал еще с начала 90-х годов. Лейбниц
мог быть спокоен. Он видел, что его усилия не остались бес-
плодными.
По мере того как распространялось учение Лейбница,
число противников этого учения увеличивалось.
Это — обычная история. Стоило Кеплеру обогатить
математику существенно новыми приемами, как
против него ополчились ревнители ортодоксальной ма-
тематики; такие же ревнители «древлего благочестия» вос-
стали против того нового, что внес Б. Кавальери; теперь
настала очередь Лейбница; он тоже имел неосторожность
внести цринципиально новые понятия в математику и,
следовательно, должен был подвергнуться критике «кро-
111
Рис. 20.
Чертеж Лейбница
0
для пояснения -гг
хоборов» * , как их называл Ф. Энгельс. Противникам
анализа бесконечно малых казались абсурдными как раз
те пункты, которые не укладывались в правила формаль-
ной логики. Одним из таких пунктов был предел отноше-
ния двух бесконечно малых. В пределе обе они — нули и,
следовательно, ни в каком отношении не находятся. Лейб-
ниц же утверждал, что предел этого отношения есть впол-
не определенное выражение. Надо признать, что и сам
Лейбниц проявлял колебания в понимании природы беско-
нечно малой, однако был намного ближе их к истине
просто в силу своей могучей математической интуиции.
Вот одно из его высказываний в защиту своей позиции
(1702 г.).
На рис. 20 приводится чертеж Лейбница. Он предпо-
лагает, что отрезок Е, на котором лежат гипотенузы по-
добных треугольников, перемещается параллельно са-
мому себе по направлению к точке А. Хотя при этом у
растет, отношение — все время равняется отношению
-. Что произойдет в момент, когда отрезок Е пройдет
через точку А? Конечно, катеты еже обращаются в нули,
это бесспорно, но как эти нули понимать? Лейбниц го-
ворит: «Если бы с и е были нулями в абсолютном смысле,
то, так как все нули равны между собой, получилось бы
1 «Flohknacker»— буквально «щелкуны блох». Энгельс открыто
иэдевался над критиками нового учения.
112
— = jr = 1, т. е. х = у, что нелепо». Лейбниц указывает
выход из этого положения: с и е должны считаться нулями
лишь по отношению к конечным величинам (в этой задаче)
х и г/, т. е. нулями относительными, а не абсолютными, и,
следовательно, сохраняющими то отношение между
собой, которое они имели, когда еще были величинами,
отличными от нуля. Лейбниц замечает при этом, что в
математике широко применяется этот прием — перенос
свойств переменной величины на ее предел. Так, свойства
правильного многоугольника переносятся на его предел,
т. е. на круг. Таких примеров много и в физике. Сохра-
нение свойств величины при ее изменении происходит,
говорит он, по так называемому закону непрерыв-
ности. Лейбниц придавал этому закону общефилософ-
ское значение как принципу всеобщего поряд-
к а, однако сформулировал его отдельно и для математики,
для которой, по его мнению, он «абсолютно необходим».
Формулировка, предложенная Лейбницем, следующая:
«Если среди данных или принятых явлений различие
двух явлений может стать меньше всякой данной величи-
ны, то оно вместе с тем необходимо станет меньше всякой
величины и у искомых или последующих, вытекающих
из данных». Лейбниц дает и более широкую редакцию,
выводящую принцип далеко за пределы математики:
«Если упорядочены данные, то упорядочены и искомые».
Так критика новых идей математики побуждала Лейб-
ница уточнять и углублять ее основы, черпая доказатель-
ства из средств самой математики и из философии, обо-
гащая и ту, и другую.
Между тем Лейбниц по-прежнему занимался поли-
тикой, философией, народным просвещением, церковными
делами и многим другим. Герцог Эрнст-Август (Иоганн-
Фридрих умер в 1679 г.) поручает Лейбницу написать
историю его рода. Нет сомнения, что рядовой придвор-
ный летописец представил бы в качестве таковой зау-
рядную компиляцию из материалов, оказавшихся под ру-
кой. К несчастью Лейбница (и к счастью для науки) Лей-
бниц не умел плохо работать. Он поднимает горы докумен-
тов, роется в архивах, книгохранилищах и в конце концов
решается на специальное путешествие. Ему необходимо
объездить замки Южной Германии и Италию. Путешествие
заняло три года (1687—1690). В Италии он познакомился
113
с последним учеником Галилея, Вивиани. Знаменитую
«задачу Вивиани» Лейбниц решил в один день.
Это путешествие не осталось без влияния на историю
математики, о чем будет сказано в очерке, посвященном
братьям Бернулли.
Теперь мы должны обратиться к прискорбному истори-
ческому факту — к спору между сторонниками Ньютона
и сторонниками Лейбница о приоритете в изобретении
нового исчисления. Строго говоря, о приоритете в точном
смысле слова говорить нельзя, потому что отдельные
элементы дифференциального и интегрального исчислений
и их приложений рассыпаны в трудах многочисленных
предшественников Ньютона и Лейбница. Ньютон многое
использовал из «Геометрии» Кавальери и непосредственно
заимствовал результаты своего учителя Барроу, а Лейбниц
сам писал, что его работа есть прямое продолжение ра-
бот Паскаля; можно привести еще множество связей по-
добного рода. Как бы то ни было, когда Лейбниц в 1673 и
1676 гг. общался с английскими математиками по вопросам
новой математики, англичане уже знали, что для Ньютона
все это не представляет ничего нового. В декабре 1697 г.
раздался первый выстрел: живший в Лондоне женевский
математик Ф. де Дуилье высказался в письме к Гюйгенсу
в том духе, что Лейбниц воспользовался готовым аппара-
том Ньютона. Этот намек, как и последовавшее за ним
выступление де Дуилье в печати, не имел последствий,
поскольку Лейбниц считал ниже своего достоинства при-
давать какое-нибудь значение подобным инсинуациям.
В 1704 г. в «Acta eruditorum» была помещена статья, в ко-
торой дан не вполне одобрительный отзыв о недавно вы-
шедших работах Ньютона. Тогда один из учеников Ньюто-
на, Кейль,(1674—1721), выступил в журнале Лондонского
королевского общества с прямым обвинением Лейбница в
заимствовании метода у Ньютона, в котором он якобы
лишь изменил обозначения. Кейль отказался взять об-
винение обратно, и Лейбниц обратился в Лондонское ко-
ролевское общество с требованием реабилитации. Об-
щество составило комиссию, которая представила доклад и
в 1712 г. опубликовала свод относящихся к делу документов
(писем участников спора). Решение Общества было не в
пользу Лейбница. Все это дело оставило у Лейбница
горький осадок.Позднейшие исследования рукописей Лейб-
ница неопровержимо доказали, что обвинения в заим-
114
ствовании были соЁерШенйо необоснобанными, что процесс
изобретения полностью отражен на бумаге и может быть
прослежен во всех подробностях и что этот процесс про-
ходил путями, не имеющими ничего общего с ходом мысли
Ньютона. Спор Ферма с Декартом об отыскании максиму-
мов и минимумов или спор братьев Бернулли обогатили
математику. В противоположность этому распри сторон-
ников Ньютона и Лейбница не внесли ничего ценного в
науку, разве только побудили более тщательно изучить
математические рукописи Лейбница. Этот спор показал
только, как человеческие страсти, обиженное самолю-
бие, ложно понимаемый патриотизм, нездоровая сенса-
ция могут замутить чистый родник науки.
К началу 700-х годов слава Лейбница, можно сказать
без преувеличения, гремела по всей Европе. Не было
ученого, не было монарха, который бы не считал для себя
честью переписку или даже беседу с Лейбницем. Разно-
сторонность его интересов! поистине поразительна. Пере-
числять все отрасли науки, все извилины политической
деятельности, все отрасли промышленности, все хитро-
сплетения церковных переговоров, словом, охватить пол-
ностью все, что успел сделать Лейбниц, просто немыслимо.
Считается, что Лейбниц — один из самых универсальных
гениев за всю историю цивилизации. При этом, разумеет-
ся, проявлялась сверхчеловеческая работоспособность.
Вот несколько примеров. Эпистолярное наследство Лей-
бница составляет, круглым числом, 15 000 писем. И каких
писем! Почти в каждом из них находим новую, большую и
плодотворную мысль. Мелочных писем Лейбниц вообще
не писал. Ф. Энгельс рассказывает такой замечательный
эпизод. У Лейбница спросили, каким способом, по его
мнению, следует преобразовывать возвратно-поступатель-
ное движение поршня паровой машины в круговое дви-
жение рабочего органа машины орудия. И вот, как выра-
жается Ф. Энгельс, «с щедростью, свойственной гению»,
Лейбниц предлагает кривошипно-шатунный механизм.
Еще один пример. Курфюрст, впоследствии король Прус-
сии, попросил Лейбница разработать проект академии, и
Лейбниц выполняет эту работу. Мало того, Лейбниц ин-
тересуется грандиозной фигурой Петра I и разрабатывает
для России целую систему мероприятий для насаждения
там образования и науки.
Россия давно интересовала Лейбница. Еще в 1695 г.
до него доходили, правда смутные, слухи о выдающемся
115
Молодом царе в далекой Московии. Лейбниц и Петр вйер^
вые встретились в июле 1679 г. в Ганновере. Реальных
последствии эта встреча не имела, если не считать, что
Петр I, отличавшийся, как известно, большой проница-
тельностью, высоко оценил Лейбница. Лейбниц отзывал-
ся о Петре как о выдающемся государственном реформато-
ре. В XVIII в. еще господствовал миф о «просвещенном
монархе». Лейбниц верил этому мифу и «примеривался»
к Петру I — не тот ли это самодержец, который своей
волей осуществит мечты Лейбница о «просвещенной мо-
нархии»? С этой целью философ внимательно следил за
тем, что делает Петр в России, встречался с его послами.
Лейбниц не пропускал возможности увидеться с Петром.
В 1711 и 1712 гг. они провели вместе много времени в
Карлсбаде (Карловых Варах), Теплице и Дрездене. На
этот раз беседы вызвали к жизни несколько документов —
проектов и объяснительных записок, составленных Лей-
бницем по поручению Петра. Надо сказать, что «русский
вопрос» не слишком скудно разработан Лейбницем. Одни
только документы, написанные им собственноручно, со-
ставляют 244 единицы и занимают том в 369 страниц убори-
стого шрифта. Здесь приходится ограничиться самым важ-
ным творением. В декабре 1708 г. Лейбниц составил за-
писку о введении образования в России. «Истинную цель
науки,— говорит он,— составляет блаженство людей»;
он считает, что главным средством для достижения этой
цели служит «хорошее воспитание юношества» или, го-
воря современным языком, всеобщая грамотность. Для
того чтобы проделать такую громадную работу в большом
государстве, Лейбниц -предлагает целую иерархию на-
учных и учебных заведений. Надо, пишет он, перенести
или пересадить науки в Россию и затем дать им расцве-
сти на новой родине. В записке перечисляются и вкратце
описываются учреждения первой необходимости: библио-
тека, музей, зоологический сад, обсерватория и т. д.
Если сравнить записку Лейбница с первоначальным со-
ставом нашей Академии наук, то видно, что проект Лейбни-
ца был положен в основу организации нового научного
учреждения. Петр, как известно, не дожил до дня откры-
тия Академии. Предложенная Лейбницем обширная про-
грамма повсеместного введения школ тоже не могла быть вы-
полнена. Мечта Лейбница о просвещенной России, бла-
годенствующей под властью просвещенного монарха, не
116
Осуществилась и не могла осуществиться по причинам
более глубоким, чем могло казаться Лейбницу и Петру.
Но Академия наук осталась величественным памятником
усилий великого человека, направленных на просвещение
нашей родины.
Последние годы жизни Лейбница прошли в одиноче-
стве. Подагра приковала его к креслу. Ганновер перестал
играть роль крупного политического и научного центра,
каким он был в годы, когда Лейбниц был в расцвете сил и
творчества. Покровители философа умерли, переписка по-
степенно угасала. Обстоятельства его смерти не свободны
от некоторых неясностей. 14 ноября 1716 г. с утра Лейб-
ниц чувствовал себя хуже обыкновенного. У него был
друг иезуит, который предложил «домашнее средство»,
приготовленное им самим. Лейбниц выпил предложенный
состав и сейчас же почувствовал жестокие боли в животе.
Пока разыскивали врача, Лейбниц скончался, примерно
через час после принятия «лекарства». За гробом чело-
века, бывшего гордостью нации, шел один-единственный
провожатый — его секретарь.
Из трех академий, которых он был членом,— Берлин-
ской, Парижской и Лондонского королевского общества,
только Парижская почтила его похвальным словом. Его
произнес Фонтенель 13 ноября 1717 г.
Братья Бернулли
В истории культуры встречаются семейства, которые да-
вали ученых или артистов на протяжении нескольких
поколений. Всем известны композиторы Бахи, астрономы
Кассини и Струве, артисты Садовские. Из таких одарен-
ных семей самой замечательной, без сомнения, является
базельская семья Бернулли. Она дала девять математи-
ков, из которых три — Яков, Иоганн и Даниил — вели-
кие. Из этих девяти математиков пятеро были членами
нашей Академии, причем трое из них работали непосред-
ственно в Петербурге. Родоначальники этой математи-
ческой династии — братья Яков и Иоганн. Они сыграли
выдающуюся роль в истории новой математики как спо-
движники Лейбница и пропагандисты нового исчисления.
О них и будет речь в этом очерке.
Род Бернулли ведет свое начало из Фландрии. В кон-
це XVI в. Бернулли покинули родной Антверпен из-за
117
^
ЯКОВ БЕРНУЛЛИ
(1654-1705)
религиозных гонении и после неудачной попытки осесть
воФранкфурте-на-Майне, оказались в Базеле.Отец Бернул-
ли занимал в городе заметное положение, был членом
городского суда и членом Большого городского совета.
У старшего брата, Якова, был сын художник.
У Иоганна было пять сыновей, но научной деятельностью
занимались только три старших — Николай, именуемый
обычно Николаем II, Даниил I и Иоганн П. Все три сына
Иоганна I были профессорами математики. У Иоганна II
было два сына математика — Иоганн III, академик
Берлинской академии наук, и Яков II — математик Пе-
тербургской академии наук, утонувший в Неве в тридца-
тилетнем возрасте. После Иоганна III и Якова II в семье
Бернулли математиков не было, но крупные деятели в
других областях культуры, например историки, музы-
канты, художники, искусствоведы и т. д., появляются
непрестанно. Любопытно, что в течение свыше 250 лет
в Базельском университете всегда были профессора Бер-
не
нулли, а кафедрой математики Бернулли заведовали более
ста лет — с 1687 г. (Яков I) по 1790 г. (Иоганн II).
Яков I. Родился 27 декабря 1654 г., умер 16 авгу-
ста 1705 г. Отец прочил Якова в священнослужители, и
ему пришлось изучать в университете философию, бого-
словие и языки. Как большинство Бернулли, Яков знал;
много языков: немецкий, французский, английский, италь-
янский, латинский, греческий. Изучение богословия шло>
успешно. Яков стал пользоваться известной популяр-
ностью как проповедник. Но его влекло к математике.
Отец не допускал отступлений от намеченного плана,,
поэтому Яков вынужден был заниматься математикой
тайком, без учителя и почти без учебников. Обучение в.
университете шло своим чередом, и в 1671 г., т. е. на сем-
надцатом году, он получил степень магистра философии.
В эти годы он попробовал свои силы в математике: решил
довольно сложную хронологическую задачу. В первые го-
ды своей математической деятельности он увлекался аст-
рономией. Может быть, поэтому он выбрал в качестве
эмблемы изображение Фаэтона на солнечной колеснице с
подписью под эмблемой: «Я нахожусь среди звезд, воп-
реки отцу»1.
В 1676 г. Яков отправился в длительное путешествие,,
из которого возвратился только в 1680 г. Он посетил не-
которые города Швейцарии, Италию, Францию. (В Ге-
нуе он прожил 20 месяцев, где обучал слепую девушку
логике, истории, физике и т. д.). По возвращении в Базель
Яков опубликовал в 1681 и 1682 гг. две работы: одна со-
держала рассуждение о природе комет, другая — о тя-
жести эфира. Обе работы теперь забыты, так как не оказа-
ли никакого влияния на развитие астрономии и физики;
но первая из них при своем появлении вызвала ожесто-
ченную критику. Автор осмеливался утверждать, что ко-
меты — это небесные тела, которые движутся, подобно
светилам, по свойственным им траекториям. Официальная
религия утверждала, что кометы — это посланцы бога,
вестники его гнева, и потому низводить их до ранга
обычного светила есть богохульство. Будущему священ-
нику не приходилось оставлять без внимания критику
1 Миф рассказывает, что Фаэтон взобрался на колесницу
своего отца, бога Солнца, Гелиоса и, вопреки его запрещению, пу-
стил колесницу в обычный ежедневный бег по небу, что едва не при-
вело к катастрофе.
119
такого рода. Бернулли смиренно подтвердил, что кометы,
конечно же, возвещают божий гнев, но объяснял, как
это делается. Именно, каждая комета движется по опре-
деленной траектории, но траектория расположена та-
ким образом, что комета является жителям Земли как раз
тогда, когда господу угодно проявить свое неудовольствие.
К тому же, как дополнительно разъяснил автор, размер
хвоста указывает на силу божьего гнева.
В 1682 г. Яков Бернулли снова отправился в путеше-
ствие, на этот раз в Нидерланды, где он познакомился с
Христианом Гюйгенсом (Гюйгенс покинул Париж в 1681 г.
из-за гонений на протестантов) и направился в Англию,
где встречался с хранителем Гринвичской обсерватория
Фламстидом. В том же 1682 г., по возвращении домой,
Яков ставит крест на церковной карьере, решив посвятить
себя точным наукам. Для начала он объявляет первый в
Базеле курс экспериментальной физики. Его успехи в
математике делаются постепенно известными, так что в
1684 г. его приглашают на кафедру математики в знаме-
нитый Гейдельбергский университет, но Яков в то время
был женихом и не захотел покинуть родной Базель.
В 1686 г. оказывается вакантным место математика в
Базельском университете, и Яков занимает его. Офици-
альное вступление в должность состоялось 15 февраля
1687 г. Этот год имел величайшее значение для самого
Якова и для всей истории новой математики. Просмат-
ривая литературу по математике, вышедшую за последние
годы, Яков прочитал знаменитую впоследствии статью
Лейбница в «Лейпцигских актах» за 1684 г., ту статью,
в которой Лейбниц дал очерк нового исчисления в самой
сжатой форме.
Здесь необходимо обратиться к младшему брату —
Иоганну, талант которого расцвел к 1687 г. так, что над
статьей Лейбница братья уже работали вместе.
Яков был первенцем в семье. Вторым сыном был
художник Николай (он написал портрет Якова, предположи-
тельно в 1687 г.), третьим сыном и десятым ребенком был
Иоганн, впоследствии называвшийся Иоганном I (родил-
ся 27 июля 1667 г.). В 1682 г., после окончания школы,
он был отправлен отцом в Невшатель для торговой прак-
тики и совершенствования во французском языке (Нев-
шатель расположен в той части Швейцарии, где говорят
на французском языке). Через год Иоганн возвратился
120
домой, но никакой склонности к торговой практике не об-
наружил. Он поступил в университет и вскоре защитил
диссертацию (написанную латинскими стихами) на степень
баккалавра. В 1685 г. он защитил еще одну диссерта-
цию, написанную на этот раз греческими стихами, и
получил степень магистра искусств, или, как он отмечает
в автобиографии, доктора философии.
Все это было лишь предисловием. Иоганн проявил
свои отличные способности, не более того. Но вот, в том же
1685 г. по совету брата он начинает заниматься математи-
кой и сразу в нем обнаруживается необыкновенный та-
лант. Легкость, с которой усваивался новый, далеко
не простой материал, поразительна. За два года
изучены труды древних и новых математиков, включая
«Геометрию» Декарта; Иоганн сравнивается с братом, и
статью Лейбница они изучают сообща.
Яков же посоветовал Иоганну заняться медициной.
(Заранее ведь не было известно, что Иоганн создан для
того, чтобы творить великие дела в математике!) Иоганн
принял этот совет и, по своему обыкновению, изучал ме-
дицинские науки прилежно и успешно, так что уже в
121
f F e E A M К L
Рис. 21.
Чертеж И. Бернулли к задаче об изохроне
1690 г. защитил диссертацию на степень лиценциата ме-
дицины .
Братьям не сразу удалось проникнуть в смысл статьи
Лейбница. Яков писал Лейбницу в Ганновер и просил
дать некоторые разъяснения. Лейбниц в это время совер-
шал путешествие по югу Германии и по Италии, предпри-
нятое в связи с изысканиями по истории Брауншвейг-
ского дома. Письмо Бернулли Лейбниц прочел только в
1690 г. по возвращении в Ганновер. Но Бернулли уже не
нуждались в помощи. Они не только поняли все, что содер-
жалось в статье Лейбница 1684 г., но продвинули исчисле-
ние значительно дальше, как это показывает пример,
взятый из диссертации Иоганна. В том же 1690 г. Яков
публикует статью, где дает решение задачи Лейбница.
В 1686 г. Лейбниц предложил найти кривую, обладаю-
щую тем свойством, что тяжелая точка, спускающаяся
по этой кривой, опускается в равные промежутки време-
ни на равные высоты. Такая кривая получила название
«кривой равных спусков». В лекциях Иоганна, читанных
Лопиталю, эта кривая разыскивается следующим обра-
зом. На рис. 21, взятом из лекции Иоганна, искомая
кривая — ADC. За малое время Д£ тяжелая точка из
положения D переходит в d, из положения же С — в
положение с. Дуги Dd и Сс обладают тем свойством, что
их проекции на вертикаль Gd и Не равны по условию
задачи. Иоганн сперва переводит механическую задачу в
чисто геометрическую, а потом находит кривую, обладаю-
щую найденными геометрическими свойствами.
122
Первая часть задачи. Перевод механической
задачи в геометрическую. Пусть касательная, проведен-
ная из точки D до пересечения с осью AF, будет DK; про-
веденная через точку С — будет CL. Иоганн пишет вспо-
Dd Dd Не ^
могательное тождество -^- = 7у~"7Г~; из подобия тре-
Dd DK Cc CLt
угольников имеем: jn = Kg ж тг = ус' отсюДа находим,
что
Dd _ Gd DK JV_
~Cc~~ " ~Ш ' ~Ш ' "сГ •
Но, по условию задачи, — = 1 и потому
Ш^_Я/[ FC
Cc ~~ DE * CL *
Через точку С проводим CM \\ DK. Тогда пё = тгъ
Dd, CM
и, следовательно, ~r~ — cyf-
Так как At равны, то ~- равно отношению скоростей,
а квадраты скоростей, в согласии с незадолго до того откры-
тым законом Галилея, относятся как пройденные высоты,
поэтому
Dd* _ СМ2 _ ЕР
Cc* ~ CL2 ~~ FC *
Полученная зависимость выражает чисто геометри-
ческое свойство кривой: искомая кривая обладает таким
свойством, что если в произвольных точках С и D провести
касательные CL и DK, затем провести отрезок СМ, па-
раллельный касательной DK, то должно соблюдаться ра-
венство
CL2 _ £F_
CM2 ~ DE *
Вторая часть задачи (решение геометриче-
ской задачи). План действий Иоганна теперь ясен. Он
свел задачу к хорошо изученному типу обратных
задач на касательные. Читатель помнит, что
в задачах этого типа требуется разыскать кривую, ка-
сательная которой удовлетворяет определенным требова-
ниям. Впервые такую задачу поставил Дебон. Он предло-
жил ее Декарту, и тот не смог ее решить. Лейбниц же имен-
но на задаче Дебона показал силу своего нового исчис-
123
ления. Теперь Бернулли решает задачу этого же типа.
Пусть АЕ = х (начало координат, следовательно, распо-
лагается в точке Л), ED = г/, тогда GD = dx и Dd =- dy.
Точку С можно считать фиксированной (хотя и произ-
вольной) и ее данные — постоянными.
Будем считать CF = a, CL = Ъ. Из чертежа видно,
что Dd = У dx2 + dy2; из подобия треугольников SDd
т?п л/г GD FC
и FCM следует: щ = ^, т. е.
dy __^ а
Vdx* + <fy2 ^ CM f
откуда
ГМ2 _ аЧх* + а^У8
Основное требование к кривой:
&2 _ а
аЧх2 + я2^2 ~~ У
~dy*
или
b2ydy2 — аЧу2 = a2dx2.
Таким образом задача сведена к дифференциальному урав-
нению.
Из многочисленных задач этого рода мы выбрали имен-
но эту потому, что при ее решении особенно выпукло про-
является сила и методика нового исчисления: какого бы
рода ни была задача, ее надо свести к геометрической в
том смысле, что определенная совокупность требований
(условий) должна предъявляться к некоторой кривой.
Эти требования, или условия, легко выражаются на
языке дифференциальных соотношений между элемента-
ми кривой, ее касательной, нормали и т. д. Задача пере-
водится на язык дифференциального исчисления; всякая
индивидуальность задачи (например, ее механическая или
физическая сущность) исчезает и остается единственная
проблема: интегрирование дифференциального уравнения.
Это уже задача чисто технического характера и именно
поэтому она неизмеримо ниже по своему уровню, чем
исходная. Лейбниц, несомненно, говорил об этой стороне
дела, когда подчеркивал, что его новое исчисление об-
124
ладает «одной и той же поразительной и прямо беспример-
ной легкостью».
Возвращаемся к полученному дифференциальному урав-
нению искомой кривой. Так как в этом уравнении перемен-
ные отделены, то его интегрирование не вызывает за-
труднений:
Легко показать, что полученная кривая — полукуби-
ческая парабола в целесообразно измененной системе
координат.
В том же 1690 г., когда появилась статья Якова с
решением задачи Лейбница, Иоганн отправляется в пу-
тешествие. После Женевы он едет в Париж. В отношении
математики в Париже тогда царило, что называется,
межвременье. Великие математики прошлого Декарт, Ро-
берваль и другие уже покинули мир, Гюйгенс, как про-
тестант, вынужден был уехать на родину, а до того вре-
мени, когда Париж засияет именами Клеро, Мопертюи,
Даламбера, еще должны были пройти десятилетия. По-
жалуй, одного Вариньона можно назвать в качестве уче-
ного первого ранга, да еще Лопиталь, так сказать «на
безрыбье», пользовался репутацией сильного математи-
ка. В это время в Париже появляется 23-летний Иоганн
Бернулли.
В литературном салоне известного тогда философа
Мальбранша Иоганн знакомится с Лопиталем. Завязыва-
ется оживленная беседа на математические темы и выяс-
няется поразительная для Лопиталя вещь: те задачи, ко-
торые он считал трудными и даже неразрешимыми, этот
юнец Бернулли решал легко и «как бы играя» (выраже-
ние самого Иоганна). Лопиталь тут же просит Бернулли
прочитать ему несколько лекций по новому исчислению и
получает согласие. Сначала занятия проходят в виде
устных бесед, но вскоре Лопиталь просит, чтобы Бернулли
передавал материал в письменном виде. Тот соглашается
и па это обременительное предложение. Больше того, он
не только пишет лекции, но и оставляет себе их копии, не
считаясь с такой большой дополнительной работой. По-
чему он на это согласился? Во-первых, за эти лекции
Лопиталем был назначен очень приличный гонорар; а
во-вторых, Иоганн намеревался использовать (впрочем,
125
этого утверждать нельзя) эти лекции для издания первого
обобщающего труда, посвященного новому исчислению.
Как известно, Лопиталь опередил учителя и в 1696 г.
издал первый учебник — «Анализ бесконечно малых» (рус-
ский перевод — М., 1935). Вторая часть курса, изложен-
ного Иоганном, — «Интегральное исчисление» — ждала
своего опубликования до 1742 г., когда вышли четыре
тома собрания сочинений Иоганна Бернулли. Мы приведем
примеры из этого «Интегрального исчисления», чтобы по-
казать, что новая наука выходила из рук своих творцов
в таком виде, который позволяет излагать ее в современ-
ных элементарных учебниках анализа почти без всяких
изменений. Курс именовался так: «Математические лек-
ции о методе интегралов и другие; написаны для знамени-
того маркиза Госпиталия (латинское написание фамилии
Лопиталя,— Л. Ф.); годы 1691—1692». Курс начинается
словами, которые нередко можно встретить на первой
странице и современных учебников:
«Первая лекция. О природе и вычислении ин-
тегралов.
Мы видели раньше, как находятся дифференциалы ко-
личеств; теперь, наоборот, покажем, каким образом на-
ходят интегралы дифференциалов, т. е. те количества,
которых дифференциалы даны».
Много десятилетий под квадратурой, как мы знаем,
понималась площадь фигуры. В дальнейшем выяснилось,
что квадратуры имеют более широкий смысл, чем им при-
давался первоначально: и кубатуры и ректификации
можно, оказывается, свести к квадратурам. Но то, что
квадрированиеи отыскание касательных — это операции,
тесно связанные между собой, установлено трудами Тор-
ричелли и особенно Барроу. Только теперь, в рамках
исчисления Лейбница (оставляем в стороне метод флюксий
Ньютона, потому что в 90-х годах он не был известен на
континенте), знакомство с понятием интеграла начинается
с того, что устанавливается связь между дифференциалом
и интегралом, как между результатами прямого и обрат-
ного действий.
Непосредственно после приведенного вступления да-
ется первый, как сейчас сказали бы, табличный интеграл,
причем рассуждение проводится в точности так, как это
делается в современных руководствах: «Из предыдущего
известно, что dx есть дифференциал самого х, что xdx
126
1 1
есть дифференциал у хх или -г-хх -\- vel (vel — произвола
ная постоянная), что axzdx есть дифференциал -г ах*
и т .д.», после чего автор дает общую формулу г: «ахр есть
дифференциал количества -ц-,^*1)». Затем идут частные
вопросы техники применения формулы. Уже вторая лекция
имеет своим предметом вычисление площадей. Крайне
интересно познакомиться хотя бы с началом изложения
Иоганна. Конечно, все изложение сильно уступает в методи-
ческой разработанности не только современным учебникам,
но даже трудам Л. Эйлера по интегральному исчислению
(мы с ними вскоре познакомимся).Но все-таки это подлин-
ная учебная лекция. Не надо забывать, что речь идет о пер-
вом в истории математики курсе интегрального исчисле-
ния. Для первого курса лекцию нельзя не признать
превосходной, особенно если вспомнить, что лектор, он
же автор курса, один из творцов самой науки, имел в это
время 24 года от роду. О качестве лекции говорит уже то
обстоятельство, что некоторые ее элементы перешли без
изменений в современные лекции по этому предмету.
Подробно рассмотрев возможные способы разбиения фигу-
ры, автор говорит следующее: «Если деления параллель-
ны, дифференциал площади равен ydx. Если кривая дана,
то у выражается через х вполне определенным образом и
ydx полностью выражается через х» (рис. 22). Разве
этот отрывок чем-нибудь отличается от современного, ес-
ли, конечно, отвлечься от некоторой шероховатости сти-
ля? Мало того, Иоганн, словно опытный лектор, тут же
приводит пример. Пусть, говорит он, дана парабола
ах = у2; тогда дифференциал площади ydx будет dx\fax,
его интеграл равен -^ х]^ах или -~- ху. Любопытно, что
Иоганн даже не отмечает, что он без всяких трудностей,
мимоходом, доказал известную теорему о том, что площадь
параболы равна двум третям площади соответствующего
прямоугольника ху,— теорему, являющуюся триумфом
геометрии древних!
Sdx
— , применяя общую фор-
мулу интеграла от степенной функции и получая бесконечный ре-
зультат. Вспоследствии он исправил ошибку.
127
Рис. 22.
Из лекции И. Бернулли
по интегральному исчислению
Собственно интегральным исчислением в этом курсе
Иоганн занимается мало. Зато решено громадное коли-
чество задач из области механики, физики, гидравлики.
Одна из этих задач, отыскание «линии равных спусков»,
приведена выше *.
В 1692 г. Иоганн возвратился в Базель. Яков в это
время успешно разрабатывал новые отделы дифференци-
ального исчисления и еще успешнее применял его к реше-
нию различных задач. Иоганн не мог отдаться математике
целиком. Он должен был продолжать изучать медицину.
Но, конечно, он с увлечением занимался своей любимой
наукой. Мы уже говорили, что письмо Бернулли к Лейб-
ницу лежало в Ганновере, дожидаясь возвращения адре-
сата, до 1690 г. К этому времени, когда Лейбниц ответил,
братья уже настолько овладели новым исчислением, что
Лейбниц им нужен был не как наставник, а как единомыш-
ленник. Между Иоганном и Лейбницем началась пере-
писка (1693), которая продолжалась до смерти Лейбница.
В 1745 г. эта переписка ивдана в двух томах. Из всего
грандиозного эпистолярного наследства Лейбница (око-
ло 15 тысяч писем) его переписка с Бернулли выделяется
и объемом и своим значением для истории культуры.
В 1694 г. Иоганн успешно защитил диссертацию на
степень доктора медицины. Она называлась: «Соискатель-
1 «Линия равнмх спусков» называется еще изохроной.
Не следует смешивать ее с циклоидой, которая также именуется
изохроной или таутохроной, но по другому при-
знаку: период циклоидального маятника остается постоянны^ при
изменении амплитуды колебаний.
128
няя физико-анатомическая Диссертация о движении мус^
кулов». По сути дела, ее следовало бы считать математи-
ческой. После краткого вступления, содержащего попытку
набросать механизм сокращения мышцы, идет большой,
чисто математический трактат, в котором разбираются, на-
пример, такие вопросы, как форма, которую принимает
гибкая нить (модель волокна мышцы) под действием той
или иной распределенной нагрузки. Замечательно, что
эти задачи решаются уже с помощью нового, Лейбнице-
ва, исчисления: составляется дифференциальное урав-
нение, интеграл которого дает искомую кривую.
1691—1696 годы отличаются большим числом и важ-
ностью полученных братьями результатов. Их можно
только бегло перечислить. Яков, как уже говорилось,
решил поставленную Лейбницем задачу об отыскании изо-
хроны (кривой равных спусков). Между прочим, это была
первая печатная работа, если не считать статей Лейбница
1684 и 1686 гг., в которой исследование от начала до
конца проводилось средствами нового исчисления. Можно
представить себе изумление Лейбница, когда он увидел
эту статью! В конце статьи Яков предложил задачу: оп-
ределить, какую кривую образует цепь или гибкая нить,
укрепленная в своих двух крайних точках. Эта статья
замечательна, между прочим, тем, что в ней впервые
введен новый термин «интеграл», именно в предложении:
«Поскольку равны дифференциалы (речь идет об уравне-
нии цепной линии.— Л. Ф.), следовательно, равняются и
их и н т е г р а л ы». Считается, что самое слово «интеграл»
изобрел Иоганн. В 1692 г. определена «парусная кривая»,
по которой изгибается наполненный ветром парус. Якову
же принадлежит изобретение полярных координат; Яков
был первым, кто нашел упругую линию гибкой пластины
(балки, согласно современной терминологии), защемлен-
ной с одного конца и нагруженной сосредоточенным весом
на другом. Заслуживает упоминания и формула радиуса
кривизны произвольной кривой, найденная Яковом срав-
нительно рано. Когда Иоганн поразил Лопиталя лег-
костью и быстротой, с которой он решал предлагавшиеся
Лопиталем задачи, то здесь сыграла не последнюю роль и
«золотая теорема» Якова Бернулли, как он назвал свою
любимую теорему о радиусе кривизны.
Не бездействовал в эти годы и Иоганн. Его письма к
Лейбницу изобилуют полученными им результатами; вот,
1Д 5 л. С. Фрейман
129
например, его разложение для интеграла произвольной
функции:
х
ф (х) dz = хц (х) — ~ ф' (х) + -|р ф" (я) —. ♦.;
о
оно, как легко видеть, тесно связано с рядом Тейлора.
В связи с рядами Иоганн нашел, между прочим,
предел дробно-линейной функции. Он ставит такую за-
дачу: «Найти бесконечный член ряда дробей, у которых
числители и знаменатели суть арифметические прогрес-
сии:
а а-\-Ъ^ а + 2&. а + тЪ т
Т ' с + е ' с + 2е ' " # ' с + те ' " " "}>
Для того чтобы найти предел такой дроби при ттг-^оо,
теперь рекомендуется, как известно, вынести т за скобки
в числителе и знаменателе, после чего перейти к пределу.
Иоганн идет другим путем. Искомое значение тг-го члена
пусть будет х
а 4- пЪ
х = — ;
с + пе
отсюда
сх — а
п = г ;
о — ех
допустим для простоты, что а, Ь, с и е — положительны;
тогда х ^> 0; допустим, что х может быть неограниченно
велико. Тогда числитель последней дроби положителен,
знаменатель — отрицателен иге<0, что нелено. Значит
х — конечная величина. Так как п стремится к бесконеч-
ности, то необходимо Ь—ех стремится к нулю
Ъ — ех—>0,
откуда получаем предельное значение п-то члена х
Ь
х ->-—.
с
В это время отношения между братьями начали пор-
титься. Причина лежала в некоторых чертах характера
младшего брата. Его громадное самомнение и зависть
нашептали ему нелепую мысль: старший брат настолько
уступает ему, что его не приходится считать сколько-
130
нибудь значительным математиком. При сильном жела-
нии Иоганн, действительно, мог себя в этом убедить:
ведь его решения блистали простотой и элегантностью,
а Яков получал свои результаты более громоздким путем.
Иоганн, как первоклассный математик, не мог не пони-
мать, что за этой громоздкостью кроется основательность
и глубина мысли, но зависть и, прибавим еще, тщесла-
вие побуждали его брать только видимую внешность ра-
бот Якова, которая, действительно, проигрывала в гла-
зах поверхностного читателя.. Яков был глубоко задет
новедением брата, тем более что он уже был серьезно
болен. К этому прибавились огорчения, доставляемые
ему неожиданными выпадами брата. Все это только уси-
ливало желчность и раздражительность Якова.
Через несколько дней после защиты докторской дис-
сертации Иоганн женился. В маленьком Базеле, где
единственная кафедра математики была уже занята стар-
шим братом, Иоганн не мог найти места, которое соот-
ветствовало бы его выдающимся данным. Лейбниц пред-
лагал ему кафедру в одном из университетов Германии,
но семья жены настояла на том, чтобы Иоганн отказался.
Пришло предложение из университета Гронингена (се-
веро-запад Голландии). Иоганну пришлось объявить, что
он уедет без семьи (первенцу было семь месяцев), если
тесть будет продолжать упорствовать. Старики смири-
лись, и Иоганн с семьей в 1695 г. уехал в Гронинген.
В Гронингене Иоганн прожил десять лет. Он читал там
математику и экспериментальную физику и был в городе
первой фигурой. Присутствие математика такого масшта-
ба выдвинуло университет маленького провинциального
городка на одно из первых мест в Европе.
В 1697 г. Иоганн поставил задачу нового типа. Об
предложил найти кривую, соединяющую две не лежащие
на одной вертикали точки, обладающую тем свойством,
что тяжелое тело, движущееся из верхней точки в ниж-
нюю по этой кривой, затратит на перемещение кратчай-
шее время. Новизна задачи заключалась в том, что требо-
валось найти не экстремум заданной функции, а экстре-
мальную — неизвестную — функцию. Новая кривая
(впрочем, оказалась, что это — старая знакомая: циклои-
да) была названа брахистохроной.
Журнал, опубликовавший задачу Иоганна Бернулли,
получил, це считая авторского, четыре решения. Их
5* 131
Рис. 23.
Изопериметрическая задача
Я. Бернулли
прислали: 1) Ньютон; его решение было прислано без
подписи, но Иоганн назвал автора, сказав, что узнал
его ex ungue leonem (как по когтям узнают льва).
2) Лейбниц. 3) Лопиталь. 4) Яков Бернулли; его решение
было самым интересным. (Оно подробно изложено в по-
пулярной форме в книге Г. Н. Бермана «Циклоида»,
М.—Л., 1948.) Решив задачу, поставленную братом, и
желая показать, что не уступает ему в умении изобре-
тать сложные задачи, Яков предложил целую группу за-
дач или задачу, распадающуюся на бесконечное множе-
ство частных случаев. Эта задача вошла в историю мате-
матики под именем «изопериметрической» и является,
по мнению некоторых математиков, наиболее глубокой
из многочисленных задач, которыми математики XVII в.
«обстреливали» соперников.
Через точки В ж А требуется провести замкнутую
кривую так, чтобы прл заданном периметре кривая за-
ключала наибольшую площадь. При этом требуется, чтобы
координаты Р и р подчинялись условию Р = рп (рис. 23).
При п = 1 имеем очевидное решение — окружность.
Иоганн объявил, что ему достаточно трех минут, чтобы
преодолеть все трудности этой задачи. Но Яков знал
своего бывшего ученика. Он обязался 1) разгадать метод
решения Иоганна, 2) указать ошибку в этом решении,
3) опубликовать правильное решение. За неисполнение
этих обязательств он готов уплатить соответственно 50,
100 и 150 империалов. С этого момента ссора братьев
приняла острый и некрасивый характер. Она продолжа-
лась четыре года, пока, наконец, редакция журнала объ-
явила о том, что его страницы больше не предоставля-
ются для продолжения дискуссии.
Непрерывный поток все новых и новых результатов
обоих братьев, независимо от взаимных колкостей, кото-
рыми они, как правило, сопровождались, создали брать-
о
ш
ям репутацию сильнейших, после Лейбница, математиков
Европы (Гюйгенс скончался в 1695 г.). Поэтому, когда
Парижская академия наук в 1699 г. впервые избирала
иностранных членов, то наряду с Ньютоном, Лейбницем,
Рёмером и др., были избраны и братья Бернулли. Кресло
иностранного члена Парижской академии Бернулли за-
нимали в течение 91 года: после смерти Иоганна (1748)
его кресло занял его сын Даниил I, скончавшийся в 1782 г.,
а после Даниила — Иоганн П. В 1701 г. была открыта
Берлинская академия наук (первое время она называлась
Обществом наук), в которой президентом был Лейбниц.
Ясно, что братья Бернулли сразу же вошли в состав
членов Академии.
Здоровье Якова становилось все хуже. Его терзала
«изнурительная лихорадка, высасывающая силы каплю
за каплей», как выразительно описывает один из био-
графов состояние туберкулезного больного. 16 августа
1705 г. Якова Бернулли не стало. Как раз в эти дни
Иоганн, под сильным давлением тестя, вынужден был пре-
кратить свою деятельность в Гронингене и возвратиться
в Базель. Базельский университет устроил Иоганну тор-
жественный прием. Весь университетский сенат в полном
составе явился к новоприбывшему и пригласил его за-
нять кафедру, освободившуюся после кончины брата. Но-
вый кандидат занимал в науке выдающееся положение,
поэтому сенат отменил обязательные диспут и баллоти-
ровку, а городской магистрат установил специальную
надбавку к жалованию заведующего кафедрой матема-
тики на то время, пока ее занимает Иоганн Бернулли.
Официальное вступление в должность состоялось 17 но-
ября 1705 г. В этот день Иоганн читал лекцию «О новых
фактах анализа и высшей геометрии» при громадной ау-
дитории.
О Якове Бернулли осталось сказать несколько слов.
В течение последних десяти лет жизни он уделял большое
внимание теории рядов. Пять мемуаров, написанных в
1689—1704 гг., представляют лучшее по тому времени
руководство для изучения рядов. Между прочим, в пер-
вом из этих мемуаров приведено доказательство расхо-
димости гармонического ряда, принадлежащее Иоганну.
Нет возможности, да и необходимости, перечислять все,
что успел сделать Яков за сравнительно короткую жизнь.
Но нельзя не упомянуть о его работе, посвященной тео-
6 Л. С. Фрейман
133
рии вероятностей. В соответствии с состоянием этой ветви
математики в то время Яков главное внимание уделил
комбинаторике в широком смысле. В этом отношении его
сочинение содержит замечательные результаты, например
числа, впоследствии названные бернуллиевыми, суммиро-
вание выражений типа lm-f 2m-j-... -(- пШ-> и т- Д- Но что
особенно выделяется своим значением для всей теории
вероятности и математической статистики, а через них —
и для бесчисленных приложений, это знаменитая теорема
Бернулли — наиболее простой и наиболее важный част-
ный случай закона больших чисел. Его сочинение «Ис-
кусство умозаключений» издал племянник Николай II
(сын художника Николая) в 1713 г. Полное собрание
сочинений Якова вышло в Женеве в 1744 г. Несколько
работ Якова, содержащих возражения или критику на
решения Иоганном изопериметрической задачи, помеща-
ются и в собрании сочинений Иоганна. Эти собрания
подготовлены знаменитым Крамером (автором формул
для вычисления корней уравнений с помощью определи-
телей) и отличаются тщательным и целесообразным под-
бором материала.
Еще в первые годы своих занятий высшей математи-
кой Яков изучал логарифмическую спираль и открыл мно-
гие ее интересные свойства. Он так высоко ценил эту
свою работу, что завещал изобразить логарифмическую
спираль на надгробном камне, что и было выполнено.
Надпись на латинском языке гласит: «Так же измененная
воскресаю». В этом изречении Яков подчеркивает то
свойство логарифмической спирали (открытое им и по-
этому ему особенно дорогое), что ее эволюта—тоже ло-
гарифмическая спираль.
Между тем положение Иоганна стало как нельзя бо-
лее благоприятным. Семейные трудности закончились —
он снова в Базеле, и родственники полностью удовлетво-
рены. Самый мучительный вопрос его жизни — кто же
более талантлив — он или Яков — со смертью брата раз-
решился сам собой. В его распоряжении была кафедра
старинного и знаменитого университета. Со всех сторон
он слышал похвалы себе и своему таланту. Обстоятель-
ства складывались так, что он мог целиком отдаться лю-
бимому делу. Его интересы, правда, несколько измени-
лись. Формальный аппарат анализа уже не привлекал
его внимания в такой степени, как в молодые годы. Глав-
134
Плита на могиле Я. Бернулли. В нижней части плиты — логарифмиче-
ская спираль. Поместить ее на памятнике завещал сам Я. Бернулли
6*
ный предмет его занятий — это приложение анализа к
различным вопросам механики, физики и т. д. В эти годы
разгорелся спор с англичанами о приоритете. Иоганн,
конечно, не мог стоять в стороне от такого важного для
него вопроса. Не только он, сам Лейбниц признавал, что
братья Бернулли — его соавторы и разделяют славу соз-
дателей нового исчисления. 21 сентября 1694 г. Лейбниц
писал братьям: «Эта метода не менее ваша, чем моя».
И англичане осмеливаются подвергать сомнению автор-
ство! Иоганн направляет свое недоброжелательное вни-
мание на главную крепость англичан — на основное
сочинение самого Ньдотона, на его «Начала». Для этой
цели он проделал громадную работу: перевел исследо-
вания Ньютона на язык анализа и прослеживает боль-
шое число выводов, помещенных в «Началах». И что же?
В выводах он обнаруживает... нельзя сказать ошибки,
но погрешности. Правда, они в общем не влияли на прин-
ципиальное содержание результатов, однако и этого было
достаточно, чтобы бросить тень на труд, который почи-
тался в Англии как научная библия. Третье издание
«Начал» содержит поправки, вызванные критикой Иоган-
на Бернулли. Конечно, после смерти Лейбница (1716)
Иоганн остается признанным вождем лейбницеанцев и
принимает на себя главную тяжесть борьбы с англича-
нами. В своей автобиографии он писал: «После смерти
Лейбница мне пришлось выдержать натиск всей англий-
ской армии: Кейля, Робинса, Пембертона, Тейлора и
других». Справедливость требует прибавить, что Иоганн
своим огромным математическим талантом и полемиче-
ским искусством заставил всю эту «армию» молчать.
С Бруком Тейлором у Иоганна был отдельный спор.
Предметом его стал приоритет в решении знаменитой
задачи о центре колебаний.
Чтобы подчеркнуть разносторонность гения Иоганна,
скажем об этой задаче несколько слов. Около января
1646 г. Марен Мерсенн предложил нескольким математи-
кам (Декарту, Фабри, Хр. Гюйгенсу и др.) следующую
задачу: для данного физического маятника найти такой
математический, период колебаний которого равнялся бы
периоду данного физического (напоминаем, что физиче-
ским маятником называется всякое твердое тело, могущее
колебаться вокруг горизонтальной оси; математическим
маятником — одна тяжелая точка, подвешенная на гиб-
136
кой нерастяжимой нити). Стоило Декарту предложить
решение этой задачи (1646), как Роберваль, его постоян-
ный противник, немедленно выступил с убедительной
критикой. Завязалась дискуссия, через много лет за-
интересовавшая Якова Бернулли. Он решил задачу ори-
гинальным способом. Решение не только было безупреч-
ным, оно содержало совершенно новый взгляд на связи
несвободной системы, взгляд, в котором можно видеть
зародыш знаменитого «принципа Даламбера». Последняя
статья Якова Бернулли, относящаяся к этой задаче, опуб-
ликована в 1703 г. Такой проницательный и ревнивый
читатель, как Иоганн, конечно, не мог не оценить всю
глубину и остроумие решения, данного братом. Мог ли
он оставить задачу без своего решения, которое долж-
но было доказать, что автор его — более сильный мате-
матик, чем автор предыдущего, иными словами, что
Иоганн — более сильный математик, чем Яков? Однако,
по тем или иным причинам, Иоганн выступил со своим
решением лишь в 1714 г. Суть его решения сводится к
тому, что все материальные точки физического маятника
переносятся в одну точку так, что соблюдаются основные
динамические характеристики маятника: сумма моментов
весов точек относительно оси и угловое ускорение коле-
баний. Затем с помощью формулы периода математиче-
ского маятника находится расстояние этой фиктивной точ-
ки от оси подвеса, т. е. его длина. Теперь уже не представ-
ляет интереса вопрос, чье решение проще, элегантнее
и т. д. Вряд ли и сам Иоганн мог себе ответить совершенно
искренне. Каково же были изумление и гнев Иоганна,
когда в том же 1714 г. вышла в свет книга Б. Тейлора,
в которой дается решение задачи о центре колебаний,
полностью совпадающее с решением его, Иоганна! Иоганн
бросается в новое сражение, уже не по поводу чужого
приоритета, а по поводу своего. Он обвиняет Тейлора
не больше не меньше, как в плагиате. Тейлор ссылается
на легко проверяемый факт: книга обсуждалась в Лон-
донском королевском обществе, в рукописи, в 1713 г.,
когда, о статье Иоганна Бернулли еще не было и речи.
Но Иоганн не из тех противников, что отступают перед
фактами. В ответ на письмо Тейлора публикуется новое
письмо и т. д. Эта дискуссия характерна для Иоганна,
человека завистливого и мнительного. С другой стороны,
вопрос о приоритете в XVII — XVIII вв. был далеко не
137
так прост, как в позднейшее время. Научных журналов
было очень немного, большая часть научных новостей
сообщалась в письмах и распространялась посредством
писем. В первой половине XVII в. роль корреспондент-
ского центра играл Марен Мерсенн, после его смерти —
Пьер Каркави. Важные новости они рассылали одновре-
менно в несколько адресов. Ясно, что при таком несовер-
шенном способе «публикации» всегда возможны были
вполне добросовестные совпадения и самые недобросо-
вестные заимствования.
Выше говорилось, что в Париже Иоганн Бернулли
познакомился с известным механиком Вариньоном. Зна-
комство перешло в дружбу, которая прекратилась только
со смертью Вариньона (1722). Переписка двух ученых
охватывала обширный круг математических и механиче-
ских вопросов. В письме от 26 января 1717 г. Иоганн
дал первую строгую и полную формулировку принципа
возможных перемещений: «При всяком равновесии каких
угодно сил, как угодно приложенных, непосредственно
или посредственно, сумма энергий положительных будет
равна сумме энергий отрицательных, взятых положитель-
но» (под энергией понимается работа). Этот отрывок объ-
ясняет, почему 1717 год считают годом появления общей
формулировки принципа возможных перемещений. В ру-
ководстве по механике Вариньон поместил этот отрывок
и положил его в основу целого раздела статики. Сам
Иоганн неоднократно использовал принцип в своих
позднейших работах, например в «Рассуждении о зако-
нах передачи движений», которое он подавал на кон-
курс, объявленный Парижской академией наук (1724).
Второй значительный вклад Иоганна в механику за-
ключается в самоотверженной защите введенного Лейбни-
цем понятия «живой силы». Известно, что картезианцы
полагали мерой движения произведение массы движу-
щегося тела на его скорость, Лейбниц же настаивал на
том, что мерой движения, присущего телу в данный мо-
мент, является произведение массы на половину квад-
рата скорости тела. Спор продолжался и после смерти
Лейбница и главным защитником его точки зрения
был Иоганн. Вопрос был снят с рассмотрения лишь Да-
ламбером в его бессмертной «Динамике».
Иоганн вел очень деятельную жизнь. Читал лекции, ру-
ководил кафедрой, председательствовал и выступал на дис-
138
путах, руководил университетом или факультетом (он был
два раза ректором и восемь раз деканом философского
факультета), вел обширную переписку с математиками,
физиками, академиями, где он состоял членом, и т. д.;
кроме того, он не мыслил жизни без научной работы.
И при всем том проводил еще, как тогда выражались,
«приватные коллегии» у себя на дому. У Иоганна собира-
лись близкие ему люди: его сыновья — Николай II,
Даниил I, Иоганн II, Мопертюи, впоследствии просла-
вившийся тем, что сформулировал первый в исто-
рии механики вариационный принцип, и др. Особенное
внимание Иоганн уделял своему любимому ученику, бу-
дущему великому математику Леонарду Эйлеру. Эйлер
слушал его лекции в университете, а кроме того, прихо-
дил к учителю на дом для ученых бесед каждую субботу.
Иоганн занимался механикой жидкости и издал «Гид-
равлику». К сожалению, при этом проявилась одна из не-
завидных сторон его незавидного характера. В 1738 г.
вышла замечательная «Гидродинамика» сына Иоганна I,
Даниила. И вот оказалось, как писал академик Н. Фусс,
что «непомерная ревность Иоганна Бернулли...проявилась
в потрясающем, можно сказать, противоестественном ви-
де, против собственного сына. Не в силах состязаться
с противником столь юным и могучим, он кончил плагиа-
том». Что же произошло? Ответ на этот вопрос имеется
в одном из писем Даниила к Эйлеру. «Я потерял плоды
десятилетнего труда (Даниил работал над «Гидродинами-
кой» с 1729 т.— Л.Ф.). Меня полностью обокрали. Из моей
«Гидродинамики» взяты все «Предложения»: отец вклю-
чил их в свою «Гидравлику» и датирует будто бы 1732 го-
дом (моя же «Гидродинамика» вышла в 1738 г.). Все это
вызвало у меня такое отвращение к труду, что я, кажется,
охотнее стал бы сапожником».
В 1742 г. вышли четыре тома собрания сочинений
Иоганна. Собрание называется «полным», однако в нем
имеются существенные пробелы. Например, хорошо из-
вестно, что Иоганн передал Лопиталю ряд лекций по
дифференциальному исчислению в письменном виде
(1691—1692), этих лекций в собрании сочинений нет.
Рукопись отыскалась только в 1921 г. Она, между про-
чим, полностью подтверждает слова Иоганна о том, что
Лопиталь писал свой знаменитый «Анализ бесконечно ма-
лых» (1696), почти не отступая от его лекций. К слову
139
сказать, общеизвестное «правило Лопиталя» раскрытия
неопределенностей тоже сообщено ему Иоганном.
Последним крупным предприятием Иоганна было из-
дание его переписки с, Лейбницем — этой истинной сок-
ровищницы идей нового исчисления в течение его самого
раннего, почти полностью экстенсивного периода.
Осенью 1747 г., когда Иоганну исполнилось восемь-
десят лет, его здоровье стало сдавать. Но такова была
привычка к труду, что он продолжал работать еже-
дневно до полуночи. 1 января 1748 г. он скончался,
оставив четырех сыновей, двух дочерей, восьмерых вну-
ков и двух правнуков.
Портрет его писан И. Губером в 1740 г. К портрету
Вольтер написал четверостишие:
Его ум видел истину,
Его сердце познало справедливость.
Он — гордость Швейцарии
И всего человечества.
При оценке роли братьев Бернулли в становлении ново-
го исчисления необходимо раньше всего прислушаться к
мнению самого компетентного судьи — Лейбница. Когда
Лейбниц возвратился в Ганновер из своего трехлетнего
путешествия и нашел там письмо Якова от 1687 г., Лейб-
ниц уже знал статью Якова 1690 г. В этой статье была ре-
шена задача самого Лейбница об изохроне и содержалась
чуть ли не целая энциклопедия лейбницевского анализа.
Отвечая Якову на письмо, Лейбниц писал, что Яков ни
в какой помощи не нуждается. 1690—1694 годы, как мы
знаем, были для братьев Бернулли необычайно плодо-
творными. Они решили целую серию задач первостепенной
важности. Теперь Лейбниц оценивает работу уже обоих
братьев. Он считает, что новое исчисление — столь же
плод их творчества, сколько и его.
Можно ли верить Лейбницу? Надо вспомнить, что свои
работы в области анализа он рассматривал как этап в
построении новой философской системы, следовательно,
они относились к самой важной области его разносторонней
деятельности. Конечно, свои философские работы он це-
нил больше прочих своих работ — исторических, поли-
тических, лингвистических и т. д. Он прекрасно понимал,
что его новый алгоритм произведет глубокий переворот
и в самой математике. При таких условиях невозможно
140
предположить, чтобы Лейбниц делил честь и славу твор-
ца новой науки из одной любезности или своей придвор-
ной галантности. Нет, братья Бернулли с полным пра-
вом называются сподвижниками Лейбница в разработке
анализа бесконечно малых. В самом деле, что они застали,
когда выступили сторонниками нового учения, и что пос-
ле себя оставили? Единственно, что было в их рукахг
это статья Лейбница от 1684 г., статья, которая, по выра-
жению Иоганна, «представляла скорее загадку, чем объ-
яснение». Кроме братьев Бернулли, по этой статье никто-
не овладел- методом Лейбница настолько, чтобы приме-
нить его на практике. А между тем в Европе была
в это время немало математиков. Не говоря уже о ве-
ликом Гюйгенсе, который в 80-е годы находился в расцве-
те творческих сил, можно назвать в Англии — Валлиса,
Галлея, де Дюилье, во Франции — Вариньона, Ролляг
Лопиталя, в Голландии — Гудде, Ньювентиита, в Ита-
лии — ди Монфорте, Вивиани и десятки других; (О Нью-
тоне мы не говорим: ему учиться у Лейбница было не-
чему.) Из всех этих математиков никто не занялся новым
методом всерьез. Некоторые считали, что лучшего, чем
открыли древние и математики первой половины текуще-
го века, не откроешь, и потому не хотели «на старости
лет» учиться чему-то новому. Таков был Гюйгенс, вир-
туозно владевший классическими методами и решавший
все новые задачи испытанными способами, без помощи
«модных» нововведений, вроде флюксий и дифференциалов;
другие не хотели, чтобы новые методы вошли в математи-
ку, обжитую ими и такую удобную, с безукоризненными
методами геометрии. Эти, как Ролль или Ныовентиит,
ознакомились с учением Лейбница ровно настолько, сколь-
ко надо, чтобы строить опровержения со знанием дела.
Наконец, самая многочисленная группа состояла из техг
которые хотели овладеть новым и сильным оружием, на
должны были ожидать, пока какой-нибудь более мощный
ум проторит дорогу. Самая характерная фигура среди
них — Лопиталь.
Только братья Бернулли оказались в состоянии при-
менять новый метод для развития математики, если, ко-
нечно, не считать самого Лейбница. Когда же братья
закончили свою деятельность, «анализ бесконечных» пред-
ставлял собой поле, вспаханное еще не целиком (это было
достигнуто гораздо позже), но уже во многих местах. Пере-
141
числить все, что сделали Бернулли, невозможно. Самое
главное — они убедили современников в том, что новое ис-
числение, «таило в себе силы, отсутствовавшие в распо-
ряжении старших математиков» (Г. Вилейтнер).
Этого нельзя было не понять, например, тогда, когда
братья решили задачу о форме цепной линии, ожидавшей
решения со времени] Галилея. Задача была решена
новым способом (Лейбниц, Бернулли) и старым (Гюй-
генс). Совпадение решений явилось первым триумфом но-
вого исчисления. Это было началом длинного ряда три-
умфов: глубокое проникновение в природу логарифмиче-
ской спирали; открытие лемнискаты; брахистохрона; уп-
ругая линия балки, закрепленной одним концом; много-
численные площади на плоскости, на сфере и на конои-
дальных поверхностях; спрямления разных кривых; ин-
тегрирование уравнений первого порядка; интегрирую-
щий множитель; понижение порядка уравнений; ряды;
исследование геодезических линий; наконец, первые под-
ступы к эллиптическим интегралам и к вариационному
исчислению,— вот далеко не исчерпывающий список об-
ластей классического анализа, в которых братья Бернулли
оставили след глубокий, отчетливый. А как много значи-
тельных приложений в механике, гидродинамике, физике,
«астрономии! Для популярности нового учения эти прило-
жения имели, пожалуй, больше значения, чем его успехи
в самой математике. Они, эти приложения, показывали*,
какой универсальной приложимостью обладают новые
методы и с какой непреодолимой силой они завоевывают
все новые области. Если велика заслуга братьев Бернулли в
разработке анализа, то она еще больше, еще ценнее в его
распространении. Умирая, Иоганн мог не беспокоиться о
плодах своего труда, которому отдал шестьдесят лет жиз-
ни. Он оставлял молодую поросль. Его сыновья (Николай,
Даниил и Иоганн), Клеро, Крамер, Кениг и многие
другие подхватили знамя новой математики и, возглавля-
емые самым способным учеником Иоганна Бернулли ве-
ликим Эйлером, понесли его вперед и вперед.
Леонард Эйлер
Леонард Эйлер родился 4/15 апреля 1707 г. в семье пас-
тора Пауля Эйлера в Базеле (Швейцария). Род Эйлера
прослеживается до 1594 г., когда в Базеле поселился
142
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (1707—1783)
некий Ганс Георг Эйлер. Его фамилия, между прочим,
писалась с большими вариациями: Euler, Eulner, Aulner,
Ulner и даже Owler. Все эти разновидности слова Enler
не имеют ничего общего с Eule (сова). Ulner или Aulner
значит «горшечник». Осев в Базеле (он приехал из Лин-
дау на Боденском озере, отделяющем Швейцарию от Гер-
мании), Ганс Георг открыл гребеночную мастерскую. Не
лишне отметить, что он имел прозвище «Scholpin» («кри-
вой», «косоглазый»). В последующих поколениях некото-
рые Эйлеры соблазнились звучным прозвищем и присое-
динили его к фамилии, превратившись таким образом в
Эйлер-Шельпёнов. Эта фамилия сохранилась и до настоя-
щего времени. Есть, например, известный шведский хи-
143
мик, лауреат Нобелевской премии 1929 г. Эйлер-Хель-
пин.
Но вернемся к линии Леонарда Эйлера. У Ганса Геор-
га было четыре сына — и все они стали гребенщиками.
В следующем — третьем — поколении, насчитывавшем.
семь мужчин, было четыре гребенщика и три пастора;
в четвертом поколении — только два гребенщика и уже-
пять пасторов. В числе этих пасторов находим и Пауля
(1670—1745), отца Леонарда.
Пауль Эйлер в-1706 г. женился на Катерине Брукер.
Через год после рождения первенца он был назначен
пастором в селение Риэн, в 5 км от Базеля. Семья жила
более чем в скромных условиях. Эйлеры поселились в
двухкомнатном домике, но... одну комнату занимал боль-
ной предшественник Эйлера со своими девятью детьми;
семья Эйлера насчитывала шесть человек.
В этой обстановке и рос маленький Леонард. Сохра-
нился следующий рассказ из его жизни в эту эпоху.
Однажды родители заметили, что четырехлетний Лео-
нард исчез. После долгих поисков его обнаружили в углу
курятника, где он стоял, не шевелясь. На вопросы удив-
ленных родителей он ответил, что забрался в курятник
затем, чтобы снести несколько яиц и высидеть цыплят.
Первым учителем Леонарда был отец, который, естест-
венно, считал, что сын должен стать пастором. Тем не-
менее наряду с начатками общего образования он занимал-
ся с сыном и математикой. Сам Пауль был любителем ма-
тематики; ему посчастливилось учиться у самого Якова
Бернулли. В 1688 г. он даже защищал тезисы на диспуте,.
где председательствовал Яков Бернулли. Темой диспута
были «Математические отношения и пропорции». Понятног
что ему хотелось передать свою любовь к математике сы-
ну. Не сохранилось, однако, никаких свидетельств о вы-
дающихся способностях Леонарда в детстве. Когда маль-
чик подрос, его отдали в гимназию. Базельская гимна-
зия того времени мало чем отличалась от нашей бурсы,
память которой увековечена Помяловским. Не редкими бы-
ли случаи, когда учитель зверски избивал ученика; правда,
бывало и так, что возмущенный отец на глазах у всего
класса таскал за волосы учителя. В такой гимназии вряд
ли можно было изучить математику, относительно кото-
рой базельские обыватели сомневались: а нужно ли во-
обще учить математике - будущих лавочников, нотариус
144
сов и банковских служащих? Если находился такой уча-
щийся, который желал чему-нибудь научиться, он брал
частные уроки, обычно у студентов местного универси-
тета. Так поступил и Эйлер.
20 октября 1720 г. Эйлер записывается на философ-
ский факультет университета. Печальную картину пред-
ставлял тогда Базельский университет! К 1720 г. отно-
сятся такие цифры: 19 профессоров и немногим более
ста студентов! Много лет спустя, в 1752 г., один наблю-
датель записал: «Я еще не видел такого бездеятельного
университета, как Базельский. Профессора не находят
странным то, что в течение пяти лет не имеют ни одного
ученика. Господа медики имеют их шесть». Друг семьи
Бернулли, известный Пьер Мопертюи, в 1759 г. выразил-
ся так: «Удивительна летаргия, в которой находятся уни-
верситет и библиотека Базеля». В этой спящей пустыне
было одно только место, где жизнь била ключом и кото-
рое привлекало живые умы со всех концов Европы,— ка-
федра математики. Ее с 1687 г. занимал Яков Бернулли, а с
1705 г.— его брат Иоганн. Это-то и привлекло молодого
Эйлера. Поступая в университет, Эйлер собирался пос-
лушно исполнить волю отца — готовиться к профессии
пастора. Для этого надо было окончить философский фа-
культет, который давал общую подготовку, а затем бо-
гословский. Обладая великолепными способностями и фе-
номенальной памятью, Эйлер имел много свободного вре-
мени. Он стал посещать лекции Иоганна Бернулли. На
лекциях он познакомился и подружился с сыном профес-
сора, Иоганном П. Иоганн Бернулли вскоре обратил вни-
мание на юношу, оценил его редкие способности, посове-
товал ему изучать первоисточники и установил, что по
•субботам Эйлер будет приходить к нему домой для допол-
нительной беседы по прочитанному за неделю. Эйлер
впоследствии вспоминал об этих беседах с теплым чув-
ством и отмечал, что ему приходилось затрачивать немало
труда, чтобы свести к возможному минимуму число неяс-
ных для него мест в прочитанном за неделю. Бывая у Бер-
нулли дома, Эйлер познакомился и со старшими сыновь-
ями профессора — с Николаем II и Даниилом I. Между
Эйлером и братьями Бернулли установилась светлая и
прочная дружба на всю жизнь. Эта дружба сыграла боль-
шую роль в судьбе Эйлера.
Занятия в университете шли хорошо. Через два года,
145
на акте 9 июня 1722 г. Эйлеру присваивается звание ба-
калавра наук. Философский факультет он окончил пят-
надцати лет. Интересно, что факультет назначал его оп-
понентом на защитах диссертаций; в течение 1722 г. Эй-
лер выступал оппонентом на трех защитах: две имели
своим предметом логику, одна — историю римского су-
допроизводства.
23 октября 1723 г. Эйлер записался на богословский
факультет. Благонравный сын послушен воле отца и изу-
чает предметы, необходимые для своей будущей профессии.
Кроме богословских наук, Эйлер изучал древние язы-
ки (греческий, латинский, еврейский). До глубокой ста-
рости сохранил он любовь к классической литературе
(своих современников, например французских энцикло-
педистов, он не признавал). Память его была такова, что
он не только знал наизусть всю «Энеиду», но мог прочи-
тать (тоже наизусть) первый и последний стихи на каж-
дой странице той книги, по которой в свое время учил
«Энеиду».
8 июля 1724 г. на университетском акте Эйлер произ-
нес на латинском языке речь о философии Декарта и Нью-
тона и получил степень магистра. Одновременно с ним
ту же степень получил его друг Иоганн II, хотя был на
три года моложе.
В 1725 г. братья Николай и Даниил Бернулли отпра-
вились в Петербург, куда прибыли в ноябре. Между
друзьями установилась переписка. Бернулли перед отъ-
ездом из Швейцарии обещали Эйлеру выписать и его,
если в Российской академии наук будет подходящая для
него должность. Окончив в 1726 г. университет, Эйлер
не пожелал ожидать в бездействии вестей из Петербурга
и предпринял шаги к занятию освободившейся в это вре-
мя кафедры физики. По правилам Базельского универси-
тета приходу на кафедру нового профессора предшествовала
довольно сложная процедура. Сперва комиссия рассматри-
вала все поступившие заявления и отбирала трех канди-
датов, которые ей казались достойнейшими. Отобранные
кандидаты бросали жребий, и должность занимал тот,
кому выпадал счастливый номер. Тот, кому судьба не-
благоприятствовала, мог добиваться ее благосклонности
в следующий раз. Например, друг Эйлера Иоганн II Бер-
нулли участвовал в жеребьевке (по кафедре права) в 1731,
1734 и 1746 гг.— и все неудачно.
146
Чтобы быть допущенным к соисканию, Эйлер пред-
ставил исследование «О природе и распространении зву-
ка». Однако 19-летнего претендента на звание профессора
постигла неудача. Его даже не включили в число трех,
участвующих в жеребьевке. Действительно, в числе до-
пущенных были люди с большими заслугами в области
физики, как, например, Якоб Германн (1678—1733), из-
вестный тогда ученыйг автор знаменитой «Форономии»,
и Штехелин; третьим участником был некий Бирр. Жребий
выбрал доктора Штехелина, семья которого, между про-
чим, как и семья Бернулли, в течение столетий была свя-
зана с Базельским университетом.
В том же году Эйлер подал в Парижскую академию,
на объявленный ею конкурс, работу, в которой рассмот-
рены условия наилучшего размещения мачт на судне.
Когда Эйлер писал эту работу, он, разумеется, и моря
еще не видел, не говоря о большом корабле. Тем не менее
работа обладала столь несомненными достоинствами, что
Парижская академия премировала ее. К слову сказать,
эта Академия четырнадцать раз удостаивала премий
конкурсные работы Эйлера (и выплатила ему в общей
сложности 30 тыс. ливров). Большего числа премий не по-
лучил ни один ученый. За Эйлером следует Даниил I Бер-
нулли—десять премий.
Работа, о которой идет речь,— первая из ряда работ,
посвященных судостроению, навигации и другим морским
предметам,— ряда, увенчанного двухтомной «Морской
наукой», вышедшей в 1749 г.
Попытка занять кафедру физики Эйлеру не удалась.
Понятно, что возможности Базельского университета,
да и всей Швейцарии, в смысле приложения сил молодого
ученого, были очень скромными. Эйлеру предстояло ис-
кать работу за границей. Больше всего его привлекала
Петербургская академия наук — ведь там работали его
друзья Бернулли. Переписка с Даниилом по этому воп-
росу велась все время. Даниил Бернулли стремился вы-
полнить обещание, данное Эйлеру перед отъездом в Рос-
сию. Уже в сентябре 1726 г. он писал:
Господину магистру Эйлеру, в Базель.
Милостивый государь,
Прошло несколько месяцев, как я написал Вам по распоря-
жению нашего Президента, г-на Блументроста, и пригла-
147
сил Вас от его имени занять место адъюнкта в нашей
Академии... .
Вас ожидают с большим нетерпением. Приезжайте по-
этому как можно скорее и, если это возможно, отправляй-
тесь еще этой зимой. Но если Вас пугает время года, со-
ветую Вам использовать то немногое время, которое у Вас
осталось, для упражнения в анатомии и для чтения книг...
в которых физиология рассматривается на основании
принципов геометрии.
Пока же не упустите послать в ближайшее время какое-
либо исследование в Вашем стиле в Академию и покажите
им там, что как бы хорошо я ни отзывался о Вас, я говорил
«о Вас еще недостаточно...
Ваш смиренный и покорнейший слуга
Бернулли.
Даниил приложил к своему письму письмо президен-
та Блументроста от 21 сентября.
«Вы мне так прекрасно описали г-на Эйлера, что я
льщу себя надеждой, что он принесет большую пользу
Академии. Он поступит на пять лет в качестве ученика...
Он будет пользоваться годичной пенсией в 300 рублей...
Вы укажите ему, милостивый государь, что после
ляти лет он получит прибавку в жалованьи в случае,
если он достигнет дальнейших успехов в науках».
Эйлер отвечал непосредственно Блументросту. Он уве-
рял в своем стремлении приложить все силы ддя служения
Академии и сообщил, что зимнее ненастье принуждает его
отложить путешествие на весну 1727 г. Тут же прилага-
ется письмо к Даниилу Бернулли, почти единственным со-
держанием которого является обсуждение научных воп-
росов.
Эйлер последовал совету Даниила и поступил на меди-
цинский факультет, чтобы подготовиться к занятиям фи-
зиологией в Петербурге. Однако вскоре прервал занятия
и 5 апреля 1727 г. отправился в Петербург. Такое путе-
шествие в XVI11 в. было предприятием не простым. Эйлер
выбрал такой маршрут., От Базеля он спустился до Майн-
ца по Рейну. Затем свернул на Франкфурт и взял направ-
ление на северо-восток, чтобы кратчайшим путем проехать
к морю. Через Ганновер поехал на Гамбург, но не сел там
на корабль. Предпочел сушей проехать в Любек, чтобы
избежать необходимости огибать мррем Ютландский по-
148
луостров. Из Любека перебрался в Травемюнде, где нашел
корабль, уходивший в Ревель (Таллин). 18 мая он выехал
из Ревеля. 21 мая без особых приключений прибыл в
Кронштадт, а 24-го — в Петербург. Его тепло встретили
академики-соотечественники — Даниил Вернул л и и Якоб
Германн. Он сразу же был зачислен адъюнктом математики.
Читателю следует составить представление о том, в
какую обстановку перенесся юноша, воспитанный в сте-
пенной благочестивой семье пастора, начинавший само-
стоятельную жизнь в чинной атмосфере небольшого швей-
царского города. При слове «Петербург» в воображении
непроизвольно возникают картины города-красавца, ис-
полненного гордого величия, изобилующего шедеврами
архитектуры. В то время, когда в Петербург приехал
Эйлер, еще не было ни города-красавца, ни шедевров архи-
тектуры. «Во всем городе не было ничего великолепного,
кроме Невы, не украшенной еще гранитною рамою»,— пи-
шет Пушкин в «Арапе Петра Великого». "Кстати, Эйлер
прибыл в Петербург в те самые годы, когда Ганнибал вер-
нулся из Парижа, и увидел ту же картину: «Обнаженные
плотины, каналы без набережной, деревянные мосты по-
всюду являли недавнюю победу человеческой воли над
супротивлением стихий». В день приезда Эйлера в Петер-
бург умерла Екатерина I. Царем был провозглашен маль-
чик Петр II. Положение Академии наук стало весьма
неопределенным. Интриги, взаимное подсиживание, доно-
сы считались обычными средствами ведения дел при дворе,
а значит, и в близких ко двору учреждениях, в том числе
и в Академии. Не успела она приступить к работе, как сре-
ди ученых начались трения.
Неопределенность положения отозвалась и на Эйлере.
Не видя возможности укрепить свое положение в Акаде-
мии, Эйлер со вниманием отнесся к предложению адми-
рала Сиверса. Адмирал помнил, что этот молодой человек
написал выдающуюся работу по теориилшрабля и предло-
жил ее автору должность лейтенанта флота. В то время
число академиков стало уменьшаться. Иностранцы-ака-
демики постепенно покидали Петербург и разъезжались
по домам. Между тем умер Петр II (начало 1730 г.), и на
престоле оказалась Анна Иоанновна. В управлении стра-
ной она, как известно, не играла никакой роли, все решала
немецкая камарилья во главе с Бироном. Тем не менее в
положедии Академии цаметился поворот к лучшему, мо-
14?
жет быть потому, что Академия была сплошь немецкой.
Однако два видных академика-швейцарца уже уехали. Ва-
кантное место на кафедре физики предложили Эйлеру, и он
вернулся в Академию. Документом, датированным 31 июля
1731 г., Эйлеру устанавливается оклад с 1 января 1731 г.
по 31 декабря 1733 г.— 400 руб. и с 1 января 1734 г.—
600 руб. в год.
С первых дней появления в Петербурге Эйлер проявил
главную черту своей натуры: работать при любых обстоя-
тельствах и в любой обстановке. С августа 1727 г. начина-
ются выступления Эйлера с сообщениями о результатах
его работ *. Уже в первые годы диапазон его интересов
становится чрезвычайно широким. Он докладывает о тауто-
хронах в пустоте и в сопротивляющейся среде, о дифферен-
циальных уравнениях, об упругих телах, о прогрессиях
и т. д.
В 1733 г. Даниил Бернулли уехал из Петербурга в
Швейцарию. Эйлер перешел на кафедру математики, где
оставался до отъезда в Германию (1741).
В декабре 1733 г. Эйлер женился на Катерине Гзелль де
Сан-Галль, своей соотечественнице. Мы скажем здесь не-
сколько слов о его семье, чтобы потом к этому не возвра-
щаться. Жена Эйлера Катерина (1707—1773) была дочерью
художника, переехавшего в Россию по приглашению Пет-
ра. Бог, как говорится, благословил этот брак: у Эйлера
было тринадцать детей, но выросло только пять. Старший
сын Иоганн Альбрехт (1734—1800) был мааематиком и аст-
рономом. С 1754 г. он член Берлинской академии наук,
с 1758 г.— директор астрономической обсерватории там же
(после Иоганна Альбрехта Эйлера пост директора обсерва-
тории занял Иоганн III Бернулли, сын большого друга
Леонарда Эйлера — Иоганна II; Иоганн III был пригла-
шен по рекомендации Эйлера в Берлинскую академию наук,
когда ему исполнилось 19 лет). С 1766 г. Иоганн Альбрехт —
член Петербургской академии и ее непременный секре-
тарь вплоть до своей смерти, последовавшей в 1800 г. В
1784 г. Парижская академия наук избрала его иностран-
ным членом на место, освободившееся в связи со смертью
его отца. Он был членом Шведской академии наук и других
ученых обществ. Главная заслуга его в области науки
1 Может быть, Эйлер выступал и ранее 5 августа 1727 г-, во све-
дений нет.
150
состоит в том, что он написал, откорректировал и сделал
вычисления в нескольких работах своего отца, когда тот
лишился зрения.
Карл (1740—1790) — второй сын Эйлера, врач по обра-
зованию. Когда семья Эйлера жила в Берлине, Карл был
врачом французской колонии; когда Эйлеры снова верну-
лись в Петербург, он стал придворным врачом. Тоже был
академиком.
Третий сын, Христофор, по профессии — военный спе-
циалист. Участвовал в экспедиции 1769 г. в г. Орск, орга-
низованной Академией наук для наблюдения за прохожде-
нием Венеры по диску Солнца (не смешивать с прохожде-
нием Венеры 26 мая 1761 г., когда М. В. Ломоносов от-
крыл атмосферу Венеры). Был начальником Сестрорецкого
оружейного завода. Умер в чине генерала.
В 1773 г., после сорока лет счастливого брака, Эйлер
овдовел. Все его потомство, более тридцати человек, жило
с родоначальником. Громадная семья нуждалась в хозяй-
ке. В 1776 г. Эйлер женился на сводной сестре своей пер-
вой жены Саломее Гзелль.
Вернемся опять к молодости Эйлера. В 1733 г. у него
уже было не менее 36 работ (напечатано, правда, из них
было только 11).
В эти годы Эйлер работал над своей «Механикой». Это
был первый труд, в котором механика излагалась последо-
вательно и систематически на языке высшего анализа.
Книга так и называется — «Механика, или Наука о дви-
жении, изложенная аналитически». Первую часть автор
закончил в 1734 г., из печати книга вышла в 1736 г. Кни-
га имела тысячу страниц большого формата.
В 1735 г. Эйлера постигло несчастье: он лишился пра-
вого глаза. Долгое время считалось, что потеря глаза яви-
лась следствием перенаиряжения. Николай Фусс расска-
зывает, что надо было составить таблицу прохождения
звезд, на вычисление которой, по оценке других академи-
ков, требовалось около трех месяцев. Эйлер вызвался сде-
лать работы в три дня и выполнил ее в этот срок. Эта вер-
сия приводилась во всех биографиях Эйлера. Но вот круп-
ный специалист по трудам и биографии Эйлера Г. Энешт-
ром (Швеция) исследовал этот эпизод и пришел к убежде-
нию, что Эйлеру не было необходимости переутомляться,
чтобы выполнить всю работу в три дня. Дело в том, что
Эйлер, ириступая к вычислениям, вывел предварительно
151
новые формулы, настолько упростившие вычисления, что
работать надо было по восемь часов в день для составления
таблиц в три дня.
До 1741 г. Эйлер продолжал работать по-прежнему,
т. е. с той энергией и продуктивностью, которые кажутся
всем загадочным явлением природы. В 1734—1741 гг. он
прибавил к 36 работам еще 75, из которых тогда были на-
печатаны 46, в том числе 37 в «Комментариях Петербург-
ской академии наук». К слову сказать, если «Комментарии»
стали авторитетным научным органом с первых же номеров,
то это главным образом потому, что в каждом номере пе-
чатались работы Эйлера.
1741 г. не случайно взят для подсчета работ Эйлера: в
этом году Эйлер на двадцать пять лет покидает Петербург
и переезжает в Берлин. Причина переезда не в том, что ис-
портились отношения между Эйлером и Академией. На-
оборот, во время пребывания в Берлине Эйлер не только на-
зывал себя членом Петербургской академии, но и ревност-
но трудился на пользу Академии: он направлял свои статьи
в «Комментарии», издавал в Академии свои книги и, на-
конец, выполнял множество поручений Академии. Причи-
ну переезда следует искать в общей ситуации, сложившей-
ся к 1741 г. Императрица Анна Иоанновна умерла в 1740 г.
Трон перешел к младенцу Ивану VI (род. 1740). Придвор-
ные интриги, борьба клик вспыхнули с новой силой. 16 де-
кабря 1741 г. на престол была возведена Елизавета Петров-
на. Во всем была неуверенность и неопределенность. По-
ложение Академии пошатнулось. Эйлер, уже переживший
подобную ситуацию в начале 30-х годов, решил уехать.
Как раз в это время Фридрих II задумал оживить «Научное
общество», основанное в 1701 г. по замыслу Лейбница, но к
30-м годам почти совсем уснувшее. Эйлера приняли с боль-
шим почетом. Кондорсе приводит следующий эпизод, от-
носящийся к первым дням пребывания Эйлера в Берлине.
На одном из приемов ь королевском дворце мать короля
обратила внимание на то, что Эйлер отвечает ей однослож-
ными «да», «нет». «Почему нее вы не хотите со мной гово-
рить?»—спросила она Эйлера. «Сударыня,—отвечал он,—
я приехал из страны, где тех, кто говорит, вешают».
Ответ показывает, как себя чувствовал Эйлер в атмос-
фере бироновского террора, и объясняет, быть может,
одну из причин его отъезда из Петербурга.
Фридрих II, желавший, по образцу французских коро-
152
лей, получить лестную репутацию покровителя наук и
искусств, правильно рассчитал,что успех такого предприя-
тия, как организация Академии, зависит от того, кто по-
ставлен, чтобы ее возглавить. Известно, что Фридрих II
не признавал ни немецкой науки, ни искусства. Он был нем-
цем только по рождению. По воспитанию, по влечениям
и по вкусам он был французом и признавал только ученых-
французов, на худой конец — швейцарцев. При таких
вкусах, естественно, он искал будущего президента «своей»,
как он выражался, Академии среди парижских ученых.
Ему повезло: такого ученого он нашел.
Пьер Луи Моро Мопертюи (1698—1759), талантливый
физик, начал свою деятельность с того, что объявил
себя убежденным сторонником ньютонианской физики, в
том числе ньютоновой гипотезы тяготения (в первой поло-
вине XVIII в. не только выражения «теория тяготения»
не существовало, но и сама мысль о всеобщем тяготении
многим ученым казалась неприемлемой) и был, пожалуй,
самым горячим и талантливым пропагандистом физики
Ньютона на континенте. Следует помнить, что ньютониан-
цу приходилось действовать в обстановке необыкновенно
сложной. Физике, которую он защищал, противостояла
не безделица, а физика Декарта, почти безраздельно вла-
девшая умами в первой половине XVIII столетия. Из
столкновения двух воззрений выкристаллизовался один
вопрос, на котором скрестились все интересы. Сплющена
ли Земля у полюсов, как то предсказывает ньютонова ме-
ханика, или нет? Этот вопрос в центр дискуссий поставил
не кто иной, как Мопертюи. В конце концов было решено
осуществить поистине грандиозный научный эксперимент:
измерить один градус меридиана у экватора и у полюса и
из их сравнения получить истину. Опуская подробности,
которые увели бы нас в сторону, ограничимся констатацией
того, что Мопертюи возглавил экспедицию в северные об-
ласти Швеции, провел там шестнадцать месяцев (1736—
1737) и привез, к своему торжеству, результаты, решитель-
но и безоговорочно подтверждающие предсказание Ньюто-
на *. Мопертюи приобрел широкую известность не только
1 И.Ньютон. Математические начала натуральной фило-
софии. В собр. соч. академика А. Н. Крылова, т. VII. М.— Л.,
1936, стр. 531. Здесь, в Предложении XIX книги III, Ньютон опре-
деляет сжатие Земли; получает Vaei-
7 л. С. Фрейнан
153
в научных, но и в литературных и общественных кругах
Парижа. Однако отношения его с Парижской академией
наук быстро портились. В это время Фридрих II пригла-
сил его занять пост президента Берлинской академии
наук. Мопертюи согласился. 23 января 1744 г. считается
днем основания новой Академии — «наук и изящной ли-
тературы».
Президент Академии Мопертюи учредил следующий
порядок. Состав академиков делился на четыре класса:
физики или экспериментальной философии, математики,
спекулятивной (т. е. теоретической) философии, изящной
словесности и филологии. Эйлер стал директором матема-
тического класса. В каждом классе имелось три академика-
пенсионера, три младших ученых, называвшихся «ас-
социе», и участники заседаний — ветераны. Все они назы-
вались ординарными академиками. Кроме них, в состав
академии входили шестнадцать почетных и неопределенное
заранее число иностранных членов. Заседания классов были
еженедельными, а каждый год объявлялся конкурс.
Помимо руководства математическим классом, Эйлер
состоял еще членом правления Академии—«директории»,
членом библиотечного и редакторского комитетов. Вообще
скоро Эйлер стал весьма влиятельным человеком в Ака-
демии и вторым лицом после президента, с которым его
связывала тесная дружба. Эта дружба стала причиной
единственного в жизни Эйлера несправедливого поступ-
ка. Мопертюи, как известно, выступил как автор «всеоб-
щего закона», который впоследствии был назван принци-
пом наименьшего действия. И вот иностранный член Бер-
линской академии наук, личный друг Мопертюи Самуил
Кениг выступил с заявлением, в котором оспаривал прио-
ритет Мопертюи. В одном письме к Германну Лейбниц
высказал предположение, что величина, которую Мопер-
тюи называет «действием», всегда имеет или максимальное
или минимальное значение, а это как раз и составляет со-
держание принципа Мопертюи. Он, естественно, потребо-
вал предъявления письма. Сам Кениг не мог этого сделать,
так как не располагал ни копией, ни оригиналом. Мопер-
тюи рассвирепел. Пользуясь тем, что он располагал дик-
таторской властью в Академии, он добился, чтобы Акаде-
мия постановила (!), что отрывок письма Лейбница был
сфабрикован Кенигом якобы для того, чтобы нанести ущерб
Мопертюи или возвеличить Лейбница, который, впрочем, в
154
этом не нуждался. На этом недостойном заседании доклад-
чиком был Эйлер.
Однако подобные эпизоды, как и большая научно-ад-
министративная работа, не могли отвлечь Эйлера от его
основной деятельности. В Берлине он продолжал работать
с той же поразительной интенсивностью, что и в Петербур-
ге. Дать полный очерк деятельности Эйлера или хотя бы
ее математической части — вещь непосильная, да и не мо-
жет входить в нашу задачу. Мы коснемся лишь нескольких
книг Эйлера, имеющих непосредственное отношение к ана-
лизу.
В конце 40-х годов Эйлер приступил к выполнению сво-
его грандиозного плана. Он задумал создать полный курс
современного анализа. Забегая вперед, скажем, что он не
только выполнил задуманное, но сделал значительно боль-
ше. В письме к своему другу Христиану Гольдбаху (авто-
ру известной «проблемы Гольдбаха») 4 июля 1744 г. он пи-
сал: «Я заметил, что необходимо ему (анализу.— Л. Ф.)
предпослать весьма много такого, что собственно к этому
исчислению не относится, но изложения чего нигде нельзя
найти; отсюда возникло это сочинение как введение в ис-
числение бесконечно малых». Эти строки объясняют, поче-
му Эйлеру пришлось расширить первоначальный план и
перед собственно анализом дать еще «Введение в анализ».
Рассмотрим кратко следующие сочинения Эйлера:
1. «Введение в анализ бесконечно малых». Первое изда-
ние в Лозанне, 1748, 2 тома.
2. «Дифференциальное исчисление». Первое издание в
Петербурге, 1755,. 1 том.
3. «Интегральное исчисление». Первое издание в Петер-
бурге, I том — 1768, II том — 1769, III том — 1770 г.
Все эти книги (кроме второго тома «Введения в анализ»)
изданы на русском языке1, что позволяет свести К миниму-
му общее описание материала, а сосредоточить внимание
на принципиальных вопросах.
Введение в анализ. В письме Хр/ Гольдбаху
Эйлер объяснил цель и назначение этой книги. В ней он
занимался общими вопросами, касающимися функций, их
классификации (алгебраические и трансцендентные, чет-
ные и нечетные и т. д.); особенно много внимания уделяет он
1 Л. Э й л е р. Введение в анализ бесконечно малых, т. I. M.»
1936.—Он же. Дифференциальное исчисление. М. — Л., 1949.—Он
же. Интегральное исчисление. М», 1956—1958.
7* 155
вопросам приведения функции к виду, удобному для ин-
тегрирования. Для этой цели он рассматривает разложе-
ние дроби на простейшие, рационализацию выражений и
особенно разложение функций в ряды.
Книгу, посвященную учению о функции, Эйлер начи-
нает с определения функции. Он использует
определение, данное его учителем Иоганном Бернулли, ко-
торый в 1718 г. в «Мемуарах Парижской академии наук»
опубликовал следующее определение: «Функцией перемен-
ной величины называется количество, образованное каким
угодно способом из этой переменной величины и постоян-
ных». Хотя узость этого определения очевидна, оно все же
было крупным шагом вперед по сравнению с определением
Лейбница, связавшего понятие функции с ее геометриче-
ским представлением.
Посмотрим теперь определение Эйлера. В § 4 «Введе-
ния» читаем: «Функция переменного количества есть ана-
литическое выражение, составленное каким-либо образом
из этого переменного количества и чисел или постоянных
количеств». Как видим, существенной разницы между обои-
ми определениями нет» Эйлер только посчитал необходимым
подчеркнуть в определении аналитическую природу.
Познакомимся теперь с некоторыми, принадлежащими
самому Эйлеру результатами, имеющимися в книге.
Разложение дробей. Сам по себе этот вопрос
не был новым. Разложение дробей применяли при интегри-
ровании и Лейбниц и И. Бернулли. Эйлеру принадлежит
доказательство и систематическое изложение вопроса в
полном объеме. Здесь приводится только один вывод. Эй-
лер ставит задачу: «Требуется показать, каким образом,
зная простой множитель знаменателя TV, найти соответст-
вующую простую дробь».
Дана дробь M/N и известно, что N = (р — qz) S. Надо
найти числитель простейшей дроби A/p—qz. Предпола-
гается, конечно, что S есть целая функция от z. Пусть
М A t P P M — AS
-W = ^=7z + Х; отсюда находится т = lp-qt)s ; так
как Р есть целая функция, то М — AS обязательно де-
лится на р — qz. Равенство справедливо при любом
z, значит и при z = p/q, т. е. когда р — qz =t 0. Но
р — qz есть делитель М — AS, значит и М — AS = 0.
Отсюда получаем А = M/S, что и требовалось найти.
Таким простейшим способом и доказывается возможность
156
разложения и дается значение искомого числителя простей-
шей дроби.
Эйлер заботится и о том, чтобы изучение «Введения»
облегчило в дальнейшем интегрирование. Для этого он
дает знаменитые «подстановки Эйлера», играющие такую
большую роль в технике неопределенного интегрирования.
Как известно, Эйлер предлагает три подстановки; их мож-
но найти в любом курсе интегрального исчисления. Мы по-
кажем лишь одну из них. В § 51 читаем: «Пусть у =
= yp-{-qz-\-rz2; требуется найти удобную подстановку
так, чтобы выражение для у стало рациональным».
Ответ такой. Полагаем
у = у a2 + bz + cz2
и
]/а2 -\-bz-\- cz2 = а-\- xz,
т. е.
b -\- cz — 2ах— x2z,
откуда
Ь —2ах
z — Х2__с у
а так как у = а + xz, то
Ьх — ах2 — ас
У - xrzrc •
«Введение в анализ бесконечно малых» замечательно-,
между прочим, и тем, что в нем Эйлер ввел много терминов
и обозначений, которые вскоре получили широкое распро-
странение и стали общепринятыми. Так, он назвал дроб-
ную часть логарифма мантиссой. В§ 112 он пишет:
«Всякий логарифм состоит из целого числа и десятичной
дроби; это целое число обычно называют характерис-
тикой, десятичную дробь же — мантиссой».
Слово «мантисса» уже применялось и раньше, но для обоз-
начения дробной части всякого числа. Эйлер же ис-
пользовал это слово для логарифма.
Столь же устойчивыми оказались обозначения я- и 6.
Букву я (первую букву греческого слова «периферия») для
обозначения отношения длины окружности к ее диаметру
применяли и раньше Эйлера (еще в 1706 г.), но Эйлер на-
157
чал применять ее систематически, сначала в «Механике», о
которой говорилось выше, т. е. в 1736 г., а затем во «Вве-
дении». В «Механике» появление я имеет как бы случайный
характер. В§ 283 говорится: «Если 1 : я обозначает отно-
шение диаметра к окружности, то
2АМЕ : d = я : 1
и
АМЕ л
Значительно более внушительно появляется я в «Введе-
нии». В § 126 встречаем: «... приближенно же полуокруж-
ность этого (т. е. радиуса = 1,— Л. Ф.) круга найдена рав-
ной 3, 14.... 46».
Эйлер выписывает сто двадцать семь зна-
ков после запятой г и продолжает: «вместо этого числа,
ради краткости, буду писать я, так что.., я будет (при
R = 1.— Л. Ф) длиной дуги в 180 градусов». Чувствует-
ся, что в отличие от того, как он применил обозначение я в
1736 г., на этот раз он желает установить и ввести в употре-
бление я как специальный знак для данного отношения.
Примерно так же поступил он и со знаком е для основа-
ния натуральных логарифмов. Впервые он применил его
для этой цели в 1728 г., затем в той же «Механике» 1736 г.,
но только начиная с «Введения» Эйлер применяет его уже
систематически. В § 122 он пишет: «Будем, ради краткости,
вместо числа 2, 718... (следуют двадцать три знака после
запятой.— Л. Ф.) писать постоянно букву е, которая и
будет обозначением натуральных или гиперболических
логарифмов».
Талант математика, как известно, проявляется и в том,
насколько простыми средствами он получает тот или иной
результат. В этом отношении Эйлер не имеет равных. «Вве-
дение» полно примеров того, какими простыми и элегантны-
ми методами умел достигать Эйлер поразительных резуль-
татов. Ниже приводится образец рассуждения такого рода.
Если в выражении аш показатель стремится к нулю, то
aw—> 1; поэтому при достаточно малом со можно приближен-
но считать, что аш = 1 + /ссо; можно доказать, что коэф-
фициент пропорциональности к = In а; поэтому ех = 1 +
+х при малом х; отсюда сразу получается замечательная
1 Такое значение для я вычислив в 1717 г. де Ланьи.
158
приближенная формула
In (1 + я) = In ex = х.
Из такого, казалось бы, скудного по содержанию соотно-
шения, как
а" = 1 + А©,
Эйлер получает без всяких вычислений поистине замеча-
тельный результат. Вот его элементарно простой ход рас-
суждений.
ат = (1 -f- к(о)\
положим (oi = z, тогда
..-(1 + 4=.)';
так как со сколь угодно мало, то i — сколь угодно велико.
Пользуясь тем, что, как специально доказано раньше,
к = In а, Эйлер сразу пишет
что уже само по себе замечательно, а положив z = 1, при-
ходит к одной из основных формул анализа
.-(.+4-)'.
где, конечно, нет явного перехода к пределу, потому
что во времена Эйлера понятия о строгости изложения
почти не существовало.
Разложение е в ряд или, если угодно, представление
суммы ряда
~ 1-2 ~ 1-2-3 ~ ' ' "
в виде числа е — 1 получил Даниил Бернулли по крайней
мере за двадцать лет до выхода в свет «Введения» Эйлера,
но только Эйлеру удалось получить это разложение, как
показано только что, таким простым и убедительным пу-
тем.
К сожалению, нет возможности останавливаться на
всем богатстве нового материала, заключенного во «Введе-
нии». Можно лишь упомянуть о таких принципиальных
159
вещах, как разрушение тысячелетней традиции — Пони-
мать под тригонометрическими величинами отрезки,
которые сейчас именуются линиями синуса, косинуса
и т.д. Эйлер был первым, кто разделил эти отрезки на ра-
диус круга и таким образом перешел к функциям.
Он же ввел нынешние обозначения sin х, cos x и т. д. Он
установил также связь между этими функциями и мнимы-
ми степенями е:
. . eix + e~ix
ехг __ cos х~\- I SIR X И COS X = ^
и т. д. В параграфах, отведенных рядам, бесконечным про-
изведениям и т.п., имеется не меньшее количество новых
результатов.
К обилию нового материала прибавляется новизна са-
мого замысла книги. Не только никогда не выходила книга
подобного содержания, но ее план, построение и самый
язык — все было совершенной новостью. Книга сразу же
стала общепринятым учебным руководством и образцом
для построения курсов.
«Введение», выражаясь словами одного крупного спе-
циалиста по изучению творчества Эйлера, «знаменует на-
чало новой эпохи: стало образцом не только по содержанию,
но и по языку и предопределило дальнейшее развитие ма-
тематической науки».
Дифференциальное исчисление.
Следующим за «Введением в исчисление бесконечно малых»
руководством по изучению высшего анализа является
«Дифференциальное исчисление», изданное, как уже го-
ворилось, в 1755 г., но написанное значительно раньше.
Эйлер стремился дать энциклопедию современного состоя-
ния этой части математики. Он сам говорит об этом в
«Интегральном исчислении», в конце тома II, на стр. 366:
«... мне кажется, что эта работа изложена таким образом,
что вряд ли опущено что-либо из открытого и опублико-
ванного до сих пор касательно этого предмета другими».
«Дифференциальное исчисление» Эйлера почти полностью
включает то, что входит в курс дифференциального исчис-
ления в наше время; правила дифференцирования, анализ
(т. е. определение экстремумов, раскрытие неопределенно-
стей), ряды и т. д.
Нет ничего удивительного в том, что Эйлер понимает
основы дифференциального исчисления не так, как это де-
160
лали до него Ньютон, Лейбниц, И. Бернулли. Время де-
лало свое. С одной стороны, сторонники нового исчисления
{впрочем, к середине XVIII в. этот эпитет уже сам уста-
рел) находили в нем новые и убедительные черты, с другой
стороны, его противники, нанося более или менее сильные
удары по логическому обоснованию дифференциального
исчисления (например, Дж. Беркли, 1734), принуждали
его сторонников глубже вникать в природу дифференциала
и бесконечно малой. Однако к тому времени, когда Эйлер
писал свое «Дифференциальное исчисление», ясность и
единство понимания отнюдь не были достигнуты. Что ка-
сается Эйлера, то ему пришлось пережить сложную эволю-
цию. Ученик Иоганна Бернулли, он, естественно, рос и
питался идеями Лейбница. Однако, занявшись основания-
ми дифференциального исчисления и сравнивая труды Нью-
тона с трудами Лейбница и И. Бернулли, он постепенно
отошел от взглядов своих учителей и склонился к точке
зрения Ньютона. Он считает, что бесконечно малая равна
в точности нулю. § 83 «Дифференциального исчисления»
гласит: «Но количество бесконечно малое есть не что иное,
как количество исчезающее и потому оно точно рав-
но н у л ю... Итак, если кто спросит, что такое бесконеч-
но малое количество в математике, то мы ответим, что оно
точно равно нулю». Надо обратить внимание на выражение
«точно равно нулю», так как во «Введении», § 114, Эйлер
допустил такое объяснение бесконечно малой: «бесконечно
малое столь малая дробь, что она только-только
не равна нул ю». Таким образом, налицо опреде-
ленная эволюция взглядов Эйлера.
Замечательно также уточнение Эйлера, который под-
черкивает, что он говорит не вообще о бесконечно малых
количествах, а только о бесконечно малой в матема-
тике. Я думаю, что этим уточнением Эйлер желает от-
делить свое толкование от рассуждений Лейбница, кото-
рый иллюстрировал свое понимание бесконечно малой ве-
личины сравнением песчинки с Землей и т. д.
Остается еще один вопрос, который нельзя оставить без
ответа. Если все бесконечно малые равны нулю, то все ли
они равны между собой? Какие же действия возможны в
таком случае? На этот вопрос Эйлер отвечает в § 84, где
говорит о двух сравнениях нулей: арифметическом 0—0 и
геометрическом 0/0. Первое он отбрасывает, как бесплод-
ное, второе же объясняет в духе Лейбница.
161
Бросим взгляд на некоторые частные вопросы «Диф-
ференциального исчисления». Начнем с определения функ-
ции. Здесь видна значительная эволюция. В Предисловии
Эйлер дает такое определение: «Когда некоторые количест-
ва зависят от других таким образом, что при изменении по-
следних и сами они подвергаются изменению, то первые
называются функциями вторых». Понятие функциональ-
ной зависимости значительно расширено. Нет речи о том,
что функция выражается формулой через аргумент. Доста-
точно изменения одной переменной в зависимости от из-
менения другой, чтобы засвидетельствовать функциональ-
ную связь между этими переменными. Если не по редакции,
то по духу эта новая формулировка значительно при-
ближается к определению функции, данному потом
Н. И. Лобачевским и Л. Дирихле.
Обычное в высших учебных заведениях понимание диф-
ференциального исчислеция как техники отыскания про-
изводных ведет свое пачало от Эйлера. Вот как он
понимает содержание дифференциального исчисления:
«Дифференциальное исчисление есть метод определе-
ния отношения исчезающих приращений, получаемых
какими-либо функциями, когда переменному количест-
ву, функциями которого они являются, дается исчезаю-
щее приращение».
Этот метод устанавливается автором в следующем пра-
виле: «Предложенная функция сперва будет дифференци-
роваться поочередно относительно каждой ее части так,
как если бы лишь одна эта часть была переменной, другие
же части — постоянными.
После этого отдельные дифференциалы, полученные
из отдельных частей описанным способом, нужно собрать
в единую сумму и таким образом получится дифференциал
предложенной функции».
Затем идет дифференцирование элементарных функций:
степени, произведения, дроби и т. д. Выводы конечных
формул те же, что и в современных учебниках, только не-
которые отличаются применением разложения в ряд.
Ряды же получены заранее, во «Введении», элементарным
путем и поэтому применение их при выводе формул диф-
ференциалов вполне оправдано. Например, с помощью
ряда находится d (In х). Сначала, как обычно, получается
162
После этого используется ряд, полученный во «Введений»
(гл. VII, § 123),
72 7Ъ 7<к
ln(l + Z) = Z-4- + ^ + T + ---
Применение ряда дает
, dx 1 fdx\* , 1 /dx\*
*у = — -т(—J +т(т)--
Отбрасывая члены, содержащие высшие степени dx, Эйлер
приходит к обычному выражению для дифференциала на-
турального логарифма.
Любопытно, что при выводе формул дифференциалов
Эйлер использует приближенные равенства sin a = а и
cos а = 1 при малых а, что теперь считается недопустимым.
Эти равенства позволяют Эйлеру получать некоторые ре-
зультаты чрезвычайно просто. Например, если
у = sin х, dy = sin (x + dx) — sin x, dy = sin x cos dx -f-
+ cos x sin dx — sin x
или
dy = 1 • sin x -f- cos x • dx •— sin x = cos x dx,
что и требовалось получить.
Сравнительно недавно вошло в употребление называть
условие
ЭР _ dQ
ду дх
условием Эйлера — Даламбера, в то время как раньше его
называли условием Коши — Римана. Это условие дейст-
вительно имеется в «Дифференциальном исчислении»
(§ 232). Оно установлено следующим обраэом.
Сначала Эйлер показывает, что вторая производная
функции двух независимых переменных не зависит от
порядка дифференцирования. Обозначая дифференциал
функции v через dv
dv = Pdx+Q dy,
он полагает, что
dP\ = Zdyn dQ\ r=Zdx,
\X=X0 У ^ \y=y0 '
163
так как только при этом условии дифференциалы второго
порядка
d(Pdx) = Zdxdy и d(Qdy) = Zdydx
x=const 2/=const
будут равны, как требует теорема о независимости. Отсю-
да уже непосредственно приходит к равенству
\dy )~~ \dx )'
(Эйлер обозначает частную производную тем, что берет
символ обыкновенной производной в скобки. Впервые ввел
круглое д для частной производной Лежандр.) Таким об-
разом, по крайней мере необходимость этого условия была
установлена еще Эйлером.
Знаменитая теорема об однородных функциях поме-
щена в § 222.
Пусть v есть однородная функция измерения п от х
и у. Эйлер полагает у = tx, так что v = Т (t) хп, где Т (t) —
функция только t. Пусть dT = Qdt, тогда
dv = xnQdt + nxn^T dx\
с другой стороны, dv = Pdx + Qdy или, так как dy =
= tdx + xdt,
то
dv = Pd&+ Qtdx+ Qxdt.
Далее Эйлер приравнивает два выражения dv
xnddt + пхп^Т dx = Qxdt + (P + Qt)dx,
откуда
но Txn = v и, значит, P + Qt = n—, и так как t = — ,
то
что и приводит к окончательной формуле
nv -= Px+ Qy.
164
В настоящее время теорема доказывается строже и в
то же время короче и проще, но доказательство лишено
той непосредственности, которая ощущается в рассужде-
ниях Эйлера, воспроизводящего в доказательстве хсд соб-
ственной мысли.
Читатель помнит, что еще Лейбниц отметил непрерыв-
ность как важнейшее свойство функции. Лейбниц связы-
вал свойство непрерывности с общефилософскими сообра-
жениями. Эйлер тоже не забывает подчеркнуть, что функ-
ция обладает непрерывностью, но остается, конечно, в
рамках анализа. В § 118 читаем следующие строки: «Если
в функции у вместо х всюду подставить х + dx, а резуль-
тирующее количество положить равным у', то дифферен-
циал будет dy =у' — z/"». Но выше Эйлер подробно говорит
о том, что дифференциал переменного количества есть ве-
личина бесконечно малая *, следовательно
если
dx-+0.
Таким образом, непрерывность не только введена, но ей
дано математическое выражение.
Скажем еще несколько слов об отыскании экстремума.
В этом вопросе изложение Эйлера значительно отличается
от современного. Эйлер снова испольэует ряды, что, к
слову сказать, переводит весь анализ на более высокий
уровень. По современной методической установке, анализ
в вузе изучается перед рядами, поэтому следовать изложе-
нию Эйлера теперь нет возможности. Вот схема его вывода
необходимого условия максимума. Если для какой-нибудь
функции у = у (х) положить х ЧЬ а, то функцию можно
представить в виде
у:Г dx -1" 2! dx* ^ 3! dx9 '
в точке максимума
. , dy , a2 d*y ,
1 «Итак, назовем вместе с Лейбницем бесконечно ма-
лые разности дифференциалами...» (гл. IV, § 114).
165
и также
. cly , a2 d2y
Отбрасывая члены высшего порядка малости, имеем
У>У + «^
y>y-ai-
Отсюда получаем
ах
или
ах
Ясно, что применение ряда открывает свободный путь
для рассмотрения всех возможных случаев анализа,
когда равна нулю первая производная или вторая произ-
водная, или первая со второй и т. д. Современное изложе-
ние лишает учащегося этого мощного инструмента иссле-
дования.
Раскрытие неопределенностей, как известно, было впер-
вые доведено до уровня метода Иоганном Бернулли и из-
ложено с его слов Лопиталем. Естественно, что «Диф-
ференциальное исчисление» Эйлера также содержит ре-
шение этой задачи (гл. XV). Случай — решается совершен-
но так же, как и сейчас, с тем отличием, что наличие точки
х = £, где находится частное 0ЛУу не гарантировано.
Этот вопрос даже не ставится Эйлером. Ответ на него, как
известно, дается теоремой Коши.
Том «Дифференциального исчисления» содержит гро-
мадное количество интересного и поучительного материала.
Сделаем лишь два замечания по поводу этого выдающегося
сочинения. Как известно, и у Ньютона, и у Лейбница (а
значит, и у Бернулли) дифференциальное исчисление не
выступало в самостоятельной форме. У первого оно тесно
связано со временем, а через него — с механикой, у второ-
166
го — с геометрией. Эйлер был первым, кто изложил диф-
ференциальное исчисление в чистом виде, как универсаль-
ный, ни к чему специально не привязанный и ни к чему
специально не приспособленный алгоритм. Второе заме-
чание столь же просто, как очевидно. До выхода в свет
книги Эйлера руководства для изучения дифференциаль-
ного исчисления и его приложений не было. С этой книгой
такое руководство появилось. Этим фактом вполне оцени-
вается значение труда Эйлера, Можно было бы возразить
на такое категорическое утверждение следующим образом:
во-первых, еще в 1696 г. вышел «Курс анализа бесконечно
малых» Лопиталя, а во-вторых, всего за тринадцать лет до
опубликования «Дифференциального исчисления» Эйлера
вышло собрание сочинений его учителя — Иоганна Бер-
нулли; казалось бы, приписывание такого исключитель-
ного значения книге Эйлера содержит изрядное преувели-
чение. Лучшим ответом на такое возражение будут слова
самого Иоганна Бернулли. Он послал Эйлеру четыре тома
своего собрания сочинений и в сопроводительном письме
отмечал, что в его работах нет ничего, что могло бы срав-
ниться с идеями Эйлера. «Потому что я выхаживал выс-
шую математику, когда она была в младенчестве, ты же
представляешь нам ее в зрелом возрасте». В этом все дело.
У предшественников Эйлера были исследования отдельных
вопросов (учебник Лопиталя сюда, конечно, не относится),
а у Эйлера — изложение всего предмета. Конечно, если бы
книга Эйлера включала только чужие результаты, ее
ценность была намного ниже.
Нов том-то и дело, что Эйлер, и только он, ухитрялся
так изложить предмет, например дифференциальное ис-
числение, что он одновременно суммировал достижения
всех, работавших в этой области, и в то же время давал
совершенно оригинальное сочинение, насквозь пронизан-
ное его творческими результатами.
Подготовка и выпуск в свет такого значительного тру-
да, как «Дифференциальное исчисление», вовсе не озна-
чала, что Эйлер был занят исключительно одним этим тру-
дом. Он как будто не был способен сосредоточить свои силы
на одной только работе. К тому же и жизнь со своими за-
ботами не обходила его стороной. Некоторые ее проделки
веселили ученого. В письме к Мопертгои в 1756 г. Эйлер,
например, сообщает, что выиграл в суде процесс против
соседа. Процесс был «чрезвычайцой сложности»: надо
167
было васыпать яму на улице. Спорная сумма — пять тале-
ров, судебные издержки — по сто талеров на каждую лз
сторон. Но были «шалости» судьбы и позначительней.
В 1756 г. началась Семилетняя война (1756—1763), в ходе
которой русские войска в 1760 г. заняли Берлин. У Эйле-
ра под Шарлоттенбургом (пригород Берлина) было именьи-
це, разоренное в ходе военных действий. Это нанесло не-
богатому Эйлеру значительный ущерб, однако русское ко-
мандование возместило убытки Эйлеру, а Екатерина II
по воцарении еще прислала ему тысячу флоринов. Веро-
ятно, Екатерина уже тогда имела намерение убедить Эйле-
ра вернуться в Россию, потому что вскоре по ее поручению
начались прямые переговоры с Эйлером на эту
тему.
За годы между выходом «Дифференциального исчисле-
ния» и описанными событиями Эйлер сумел заложить ос-
новы еще одной дисциплины, в которой математика играет
роль и фундамента и рабочего инструмента. Речь идет о
теории устойчивости упругих систем. В 1759 г. в «Мемуа-
рах» Берлинской академии наук вышла работа, которой
суждено было породить целую отрасль технической ме-
ханики и математики. Название этой работы — «О силе
(несущей.— Л.Ф.) колонн». В ней Эйлер рассматривает
случай, когда вертикальный стержень под действием при-
ложенного груза теряет продольную устойчивость и изги-
бается.
В 1761 г. умерла мать Эйлера. До смерти отца (1745)
старики жили на родине, когда же мать осталась одна,
Эйлер настоял на том, чтобы она переехала к нему в Берлин.
Он даже поехал к ней навстречу во Франкфурт. Почему-то
он не пожелал воспользоваться удобным случаем и навес-
тить родину, которую покинул более четверти века тому
назад.
Среди многочисленных тем, которыми занимался Эй-
лер, одно из первых мест занимала тема перевода механики
на язык анализа. Еще в 1736 г. в предисловии к своей пер-
вой книге по механике («Механика, или Наука о движе-
нии») он писал, что эа этой книгой последуют другие:
«Однако отсюда еще не следует закона о движении отдель-
ных частей (тела.— Л. Ф.), и этот последний вопрос будет
специально разобран в следующих книгах, в которых
определяется движение конечных тел». Однако лишь в
1765 г. Эйлер опубликовал книгу о механике тел конечны^
168
размеров — «Теорию движения твердых или жестких
тел». Эта книга сослужила роль фундамента, на котором
тотчас же начало сооружаться здание классической ме-
ханики.
На протяжении многих лет (с 1748 г.) Эйлер был одним
из главных участников дискуссии о решении волнового
уравнения. Начавшись с обсуждения физического смысла
того факта, что Даниил Бернулли и Даламбер представили
решение волнового уравнения в двух совершенно различ-
ных формах, дискуссия очень скоро переместилась в об-
ласть чистой математики и сосредоточилась на вопросе:
может ли тригонометрический ряд представить произволь-
ную функцию? Эйлер, пожалуй, занимал в этом споре
самую радикальную позицию. Он считал, что ряд может
быть представлен двумя функциями Даламбера, если да-
же обе эти функции определяются как угодно нарисован-
ными кривыми, а значит, не обязательно имеют анали-
тическое описание. От этой полемики прямой путь ведет к
Лагранжу, затем к Фурье, Дирихле и всей теории триго-
нометрических рядов.
В течение четверти века Эйлер был украшением и сла-
вой Берлинской академии и нес на себе все бремя руковод-
ства ею, исполняя, помимо того, самым добросовестней-
шим образом все поручения короля Фридриха, как бы
они ни были ничтожны (например, проверка водоснабже-
ния королевского дворца и т. п.),— однако несмотря на
все это Фридрих II дозволял себе одну бестактность за
другой. Отношения между ними портились. В то же время
русский посол в Берлине В. С. Долгоруков не уставал
убеждать Эйлера вернуться в Петербург. Долгоруков имел
предписание Екатерины II соглашаться на все условия Эй-
лера. Эйлер поставил такие условия: он занимает пост
директора Академии с окладом 3 тыс. руб. в год; в случае
его смерти жене назначают пенсию 1 тыс. руб.; три его сына
занимают в Петербурге приличное положение, а старший,
Иоганн Альбрехт, назначается секретарем Академии. Дол-
горуков принял эти условия.
Возникло неожиданное препятствие: король не пожелал
отпустить Эйлера. В упорстве монарха не было ни призна-
ния заслуг Эйлера перед Берлинской академией, ни жела-
ния удержать в Германии мирового ученого. В лучшем слу-
чае в этом можно было бы усмотреть заботу о своем престиже
«покровителя наук и искусств», а скорее всего, это было
169
простое самодурство. После того как Эйлер несколько раз
обращался к Фридриху, он получил такую записку:
«Сделайте мне удовольствие, не настаивайте на этой прось-
бе и больше не пишите мне по этому предмету». Эйлер не
считал нужным «делать королю удовольствие» и предста-
вил 30 апреля письменное прошение, в котором напомнил
государю, что тот имеет дело со швейцарским подданным.
Трудно сказать, чем была вызвана перемена в отношении
Фридриха, но уже 2 мая он прислал Эйлеру письменное
разрешение: «Я Вам разрешаю, по Вашему письму от 30
апреля сего года, уехать в Россию». Уже в июне Эйлер тро-
нулся в путь. Напоследок Фридрих не удержался от
мелкой, мещанской пакости: не отпустил с военной служ-
бы младшего сына Эйлера, Христофора (он много позже
разрешил ему уехать по личной просьбе Екатерины II),
и послал Даламберу письмо, о котором трудно сказать,
чего в нем меньше: порядочности или остроумия. Вот вы-
держка из этого «славнейшего» документа: «Г-н Эйлер,
влюбленный в Большую и Малую медведицы, приблизился
к Северу, чтобы было удобнее их наблюдать. Корабль,
который вез его, потерпел крушение, и все утонуло: это
очень жаль, так как было достаточно материала, чтобы
наполнить шесть томов in-folio от корки до корки цифрами,
а Европа лишилась теперь удовольствия получить это
интересное чтение».
Даламбер отказался от весьма настойчивых предло-
жений Фридриха и порекомендовал вместо себя Лагранжа.
«Для меня большая честь, что я заменен самым выдающим-
ся геометром этого века»,— сказал Эйлер по поводу
назначения Лагранжа. Надо сказать, что «самый выдаю-
щийся геометр» имел тогда тридцать лет от роду, т. е.
был ровно вдвое моложе Эйлера.
За годы, проведенные в Берлине, Эйлер написал свыше
380 мемуаров, круглым счетом по 15 в год, из них напечата-
но тогда же 275, т. е. по 11 в год. Эйлер печатался главным
образом в «Мемуарах» Берлинской академии и в «Коммен-
тариях» Петербургской. Берлинские «Мемуары» наполо-
вину заполнялись работами Эйлера не только с 1743 г. и
до конца его пребывания в Берлине (1766), но в течение
многих лет потом.
По приезде в Петербург Эйлер ежедневно и по многу
часов проводил за письменным столом, несмотря на то, что
на ученом лежали заботы об устройстве его огромной
170
Семьи (18 человек). Дли покупки дома Екатерина II пб-
дарила ему 8 тыс. руб. и важнейший вопрос быта был таким
образом улажен.
В 1668—1770 гг. Петербургская академия выпустила
одно из крупнейших (и по содержанию, и по объему) сочи-
нений Эйлера — трехтомное «Интегральное исчисление».
Оно обнимает собой собственно интегральное исчисление,
как его понимают теперь, и свод знаний по интегрированию
дифференциальных уравнений. Материал расположен в
трех томах следующим образом. В первом томе (около
400 страниц) помещены интегрирование функций (200
страниц) и интегрирование обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений первого порядка; второй том (около 360
страниц) отведен обыкновенным дифференциальным урав-
нениям второго и высших порядков, а третий — дифферен-
циальным уравнениям в частных производных. Для ха-
рактеристики этого сочинения достаточно отметить, что
почти весь материал всех трех томов принадлежит самому
Эйлеру; более того, почти весь второй и третий тома — со-
держат исключительно методы и результаты, автором ко-
торых является только Эйлер.
«Интегральное исчисление» начинается с определения
понятия исчисления; оно, это определение, мало чем от-
личается от определения, данного Иоганном Бернулли
(стр. 126). Эйлер говорит: «Интегральное исчисление есть
метод, посредством которого по данному соотношению меж-
ду дифференциалами количеств находят соотношение меж-
ду самими количествами, а действие, с помощью которого
это достигается, называется интегрированием». Если в
этой формулировке еще можно найти некоторое отличие
от слов, которыми И. Бернулли начинает свой курс лек-
ций по интегральному исчислению, то в «Определении 2»
Эйлер просто повторяет Бернулли: «J Xdx обозначает
то переменное количество, дифференциал которого
= Х dx».
До какой степени совершенства довел Эйлер изложе-
ние в своем труде, видно из того, что некоторые вопросы
излагаются в современных курсах совершенно так же,
как у него. Вот как, например, выглядит §46: «Так как
дифференциал степени хт равен тх171'1 dx, то и обратно
тхт-хdx= т\я™-1 dx = хт. Пусть т — п + 1;
171
тогда
1 Г* а
хп dx = ——г xn+l и а \ хп dx = —7-7 яп+Ч
л+1 J л+1
Следовательно, полный интеграл (Эйлер называл
полным неопределенный интеграл.— Л. Ф.),предложенно-
го дифференциального выражения ахп dx будет 1 а:п+1+
+ С». Эйлер предлагает убедиться в правильности
результата дифференцированием его, говорит об исключи-
тельном случае п = —1. Короче, читатель получает пол-
ное впечатление, будто у него в руках учебник интеграль-
ного исчисления. Правда, при более внимательном чтении
обнаруживается, что некоторые факты Эйлер совсем не
считает нужным доказывать, а для некоторых под видом
доказательства приводит лишь более или менее убедитель-
ные рассуждения. Так, например, он считает само собой
разумеющимся, что постоянный множитель можно выно-
сить за знак интеграла, что интеграл от суммы конечного
числа слагаемых равен сумме их интегралов. Если же и
дает теорему о том, что всякий дифференциал имеет не-
определенное число интегралов, то снабжает эту теорему
доказательством, которое сводится лишь к констатации,
что всякая сумма Р (х) -\ С имеет один и тот же диф-
ференциал d'P.
Первая глава содержит все относящееся к рациональ-
ным выражениям. Подводя в ней итоги, Эйлер говорит:
«Нам удалось разработать эту главу так, что в этом круге
вопросов не остается желать ничего большего». Далее он
отмечает, что рациональный дифференциал интегрируется
всегда, и указывает, в каких функциях выражается ин-
теграл. За прошедшие двести лет к тому, что написал Эй-
лер об интегрировании рациональных функций, не прибав-
лено ничего существенного.
Во второй главе интегрируются иррациональные вы-
ражения, начиная с
dx
V"a + р* + т*2 #
Здесь Эйлер сразу предлагает свои знаменитые подста-
новки. Современные авторы в них почти ничего не меняют,
если не считать некоторых методических усовершенство-
ваний.
172
После простейших иррациональяостей указанного вида
Эйлер переходит к дифференциальным биномам и устанав-
ливает те известные случаи, когда бином рационализи-
руется. Так как Эйлер задает выражение в виде
Л:
xm~ldx(a + bxn)\
то условия рационализируемости получает в виде: либо
— , либо ——|—— должно быть целым числом. Эйлер
тут же замечает: «Легко понять, что невозможно приду-
мать другие подстановки, пригодные для этой цели». Это
утверждение, не только не подкрепленное доказательством,
но самой структурой намекающее на свое интуитивное
происхождение, оставалось недоказанным до 1853 г., когда
его доказал П. Л. Чебышев.
Последующий материал этой сравнительно небольшой
главы относится к различным случаям, так или иначе
приводящимся к основным видам иррациональностей.
В главе IV (логарифмические и показательные выраже-
ния) особый интерес представляет высказывание Эйлера
по поводу интегралов, которые не находятся в конечном
виде. В § 219 он говорит: «Если бы можно было найти этот
ПШ* "~~ ^' ®'^ интегРал» т0 он принес бы огромную
пользу в анализе, но никакими средствами его до сих пор
не удалось выразить ни через логарифм, ни через углы...»-
Как видим, Эйлер осторожен. Он говорит «до сих
пор не удалось...», не отрицая категорически такую воз-
можность в дальнейшем. Затем следует замечательное
указание: «По-видимому (поскольку не известно, просто*
ли «не удалось» или действительно это невозможно.—
Л. Ф.), это выражение \;— представляет особый вид
трансцендентных функций». Здесь мы встречаемся &
мыслью, что «не берущийся интеграл» есть не просто досад-
ная техническая подробность, но новая, не выражающая-
ся замкнутым способом, функция. Эйлер немедленно при-
ступает к изучению новой функции, для чего разлагает ее
в ряд. Таким образом, установлен новый взгляд на неопре-
деленный интеграл и указан путь к изучению нового се-
мейства функций — функций, выражаемых не берущими-
ся неопределенными интегралами.
173
Глава V рассматривает выражения, содержащие угли
(т.е. arc sin # и т. д.) и синусы углов. По материалу и изло-
жению она, как и предыдущие главы, почти не отлича-
ется от современных курсов интегрального исчисления.
Остановимся еще на приближенном нахождении ин-
тегралов, чему посвящена глава VII.
Эйлер ставит такую задачу: у = \ Xdx принимает зна-
чение 6, когда х = а. Требуется вычислить интеграл
при некотором значении х. Чтобы решить задачу, Эйлер
дает известному значению а небольшое приращение а. Он
считает, что функция X такова, что при небольшом изме-
нении х невелико и изменение X. Итак, на протяжении от
х = а до х =• а + а функция X изменяется настолько
мало, что ее можно считать постоянной. В этом случае
у = \Xdx будет равен Хх + const; при х = а у =■ Ь,
значит Ха -f- const = Ъ и const = Ъ — Ха; поэтому
у = Хх + Ъ — Ха.
Теперь исходному значению х = а дается небольшое при-
ращение, так что х = а + а; тогда
у = Ъ + X (а + а — а) = Ъ + Ха.
Повторяя то же рассуждение, Эйлер приходит к последо-
вательности
b + А {а' — а),
Ь+ А(а' — а)+ А,(а,г — а,)1
Ь+Л{а' — а)+ А' {а" — а') + А" [ат — а"),
Здесь а', ап и т. д.— последовательные значения х, отли-
чающиеся на малые величины а', а" ,...; А\ А", А'п и
т. д.— значения заданной функции X (х) при х = а';х =
= а" и т. д. Последний член последовательности b дает
искомое приближенное значение интеграла.
Ни о сходимости процесса приближения, ни о границе
получаемой погрешности Эйлер ничего не говорит, ограни-
чиваясь напоминаниями, что а должно быть малым и что
метод пригоден лишь для таких функций X (#), которые
изменяются мало при малых изменениях а\
Ь' =
Ь" =
V" =
174
Задача 37 содержит другое решение приближенного
интегрирования
у=Ъ + Х(х-а)-±^(х-а)* + ±?£(х-а)*-
Болыпое количество примеров служит иллюстрацией обо-
их приближенных методов, а также преимущества второ-
го метода перед первым.
Вторая половина первого тома занята дифференциаль-
ными уравнениями первого порядка. Если справедливо,
что интегрирование функций изложено Эйлером так, что
почти не отличается от изложения в современном учебни-
ке интегрального исчисления, то еще в большей мере это
относится к дифференциальным уравнениям первого по-
рядка. В главе I второго раздела (интегрирование диффе-
ренциальных уравнений) Эйлер помещает: уравнения с
разделенными переменными; однородные; приводящиеся к
однородным; линейные; уравнение Бернулли; уравнение
Риккати. Обращает на себя внимание лишь отсутствие урав-
нений в полных дифференциалах, но это, конечно, объ-
ясняется только тем, что Эйлер счел необходимым иное
расположение материала.
Глава II содержит решение вопроса об интегриро-
вании дифференциальных уравнений при помощи множи-
телей. Первая решенная здесь задача как раз и есть интег-
рирование выражения
Pdx + Q dy = О
в случае, когда известно, что оно есть полный дифферен-
циал некоторой функции от х и у. Вторая глава посвяща-
ется случаю, когда Pdx -f- Qdy интегрируется или непо-
средственно, или посредством интегрирующего множителя
(напоминаем, что содержание главы I — уравнения, до-
пускающие разделение переменных, так что случай интег-
рирования полных дифференциалов не мог бы входить в
нее и по формальным причинам).
Процесс разыскания функции Z(x,y) = С ничем не от-
личается от общепринятого теперь; Эйлер ему уделяет не
особенно много внимания. Основное содержание главы опи-
рается на следующую теорему:
17*
«Для всякого уравнения, которое не является непос-
редственно интегрируемым \ всегда существует такое ко-
личество, что после умножения на него уравнение стано-
вится интегрируемым».
Эйлер, которому принадлежит эта теорема, дает и ее
доказательство. К нему сводится и современное доказа-
тельство, но доказательство Эйлера лишено, естественно,
надлежащей строгости и общности.
Замечательно, что Эйлер не только доказал суще-
ствование интегрирующего множителя2, но и его
неединственность (задача 60, § 463). Ему известно также,
что можно получить интегрирующий множитель задан-
ного вида. Вообще в теории интегрирующего множителя
после Эйлера внесено мало существенного.
Второй раздел первого тома содержит много материала.
Мы имеем возможность отметить лишь известный способ
приближенного интегрирования уравнений первого по-
рядка. Этот способ не многим отличается от приближен-
ного вычисления определенных интегралов, описанного
выше. Исходной точкой служит начальная» т. е.
точка, для которой у = Ъ при х = а. Рассуждая так же,
как при вычислении определенного интеграла, т. е. счи-
тая, что независимому переменному х = а дано малое про-
извольное приращение а и что это приращение вызвало
небольшое изменение функции V(x,y) в заданном уравне-
нии
■2J- = V(z, у); у = Ъ при х = ал
приходим опять к уравнению
у= Ь + А (х— а),
или получаем уравнение касательной к интегральной кри-
вой, причем касательная проведена через начальную точ-
ку (а; 6). Другими словами, перед нами известный метод
ломаных Эйлера. Как и в случае приближенного вычисле-
ния определенного интеграла, Эйлер не рассматривает
ни вопроса сходимости решения, ни оценки допускаемой
погрешности, ни условий, которым должна удовлетворять
1 Т. е. для которого — ф —±.
ду дх
2 Интегрирующий множитель применял уже Иоганн I Бернулли.
т
функция V(x, у) для того, чтобы можно было применить
рекомендуемый метод. Эйлер снова ограничивается ука-
занием на то, что приращения независимого переменного
должны быть малыми и что функция V(x, у) не должна
изменяться слишком быстро на участке от х = а до х —
= ап-
И в применении к интегрированию уравнений Эйлер
предусматривает второй, «усовершенствованный», как ов
выражается, способ. Он сводится к ряду.
Мы не можем рассматривать множество вопросов, ко-
торыми занимается Эйлер в первом томе, и переходим ко
второму. Он посвящен обыкновенным дифференциальным
уравнениям порядка выше первого. Больше всего внима-
ния (и места) уделяется уравнениям второго порядка,
которые Эйлер исследовал подробнее, чем уравнения бо-
лее высоких порядков. Здесь встречаем, например, такую
теорему:
«Если дифференциальному уравнению второго порядка
d2y + Pdxdy+ Qydx2 = 0,
где элемент dx принимается постоянным, удовлетворяют
частные интегралы у = М и у = N такие, что отношение
М : N не является постоянным, то полным интегралом
этого уравнения является у = аМ + P7V».
Доказательство Эйлера то же, которое предлагается
в руководствах и сейчас.
В «Пояснении» к этой теореме Эйлер указывает, что для
составления полного интеграла можно использовать два
выражения вида А ± В.
Самый процесс нахождения полного интеграла одно-
родного дифференциального уравнения
Й + *& + <?у = о
dx2 ' dx
не отличается от того, которым пользуются сейчас. Эйлер
не может отказать себе в удовольствии подчеркнуть, что
«рассмотренное квадратное (по нынешней терминологии—
характеристическое.— Л. Ф.) уравнение v2 -f- Av + В =
= 0 имеет замечательную аналогию с предложенным урав-
нением
d*y + A dy dx + Bydx* = 0Ш
17*
из которого оно получается, если вместо у, -j- ж -^ пи-
сать 1, v, v2». Эйлер с присущей ему обстоятельностью
рассматривает три возможных случая корней характери-
стического уравнения и сопровождает изложение таким
количеством примеров и с такими подробными их объясне-
ниями, что никакой современный учебник по интегрирова-
нию дифференциальных уравнений не мог бы соперни-
чать с его книгой по ясности изложения.
Теория дифференциальных уравнений второго порядка
представлена настолько полно, что впоследствии вряд ли
кто-либо из авторов превосходил Эйлера в этом отноше-
нии. Конечно, им не затронуты те вопросы, кото-
рые были решены позднее: многочисленные теоремы су-
ществования и единственности, метод вариации произволь-
ных постоянных, сходимость решений, представленных бес-
конечными рядами, и т. п. В некоторых вопросах Эйлер
не ограничивается вычислительной частью и рассматрива-
ет задачу более глубоко. В качестве примера можно на-
звать устанавливаемую в начале главы IV связь между
линейным дифференциальным уравнением второго поряд-
ка и уравнением Риккати. Вообще в главе IV и дальнейших
главное внимание уделено теории уравнений. Некоторые
положения из этой теории приведены выше.
Приближенное интегрирование дифференциальных
уравнений второго порядка Эйлер строит по той же схеме,
которую он положил в основу приближенного интегрирова-
ния дифференциальных уравнений первого порядка. Поэто-
му описание самой схемы автор свел к минимуму, а глав-
ное внимание уделил различным возможным осложнени-
ям, например случаю, когда начальное значение первой
производной очень велико или равно бесконечности.
Во втором разделе второго тома Эйлер рассматривает
интегрирование дифференциальных уравнений порядка
выше второго. Здесь имеется в одном пункте существенное
различие с современными приемами. Речь идет о линей-
ных дифференциальных уравнениях с правой частью, или
неоднородных. Не располагая ни методом вариации про-
извольных постоянных, ни построением решения «по виду
правой части», Эйлер применяет особый прием. Подбирая
интегрирующий множитель вида еХх, он понижает поря-
док дифференциального уравнения на единицу. Он приме-
няет этот прием последовательно, пока не приходит к
178
дифференциальному уравнению первого порядка. Этот
прием он раньше всего применяет к уравнению второго
порядка
XW-^+fl^ + cg.
Этим объясняется тот, на первый взгляд, непонятный факт,
что в первом разделе тома, посвященном уравнениям вто-
рого порядка, не рассматриваются неоднородные уравне-
ния. Упомянем еще, что в главе V раздела второго Эйлер
занимается уравнением, которое теперь называется диф-
ференциальным уравнением Эйлера
v A , Bxdy , Cx2d*y , Dx*d*y , Ex* d*y ,
и которому теперь придают несколько иной вид;
{ах + Ь)пу^ + а1(ах+ЬГ1у(П'1) +
+ а2 (ах + ЪГ*у№ + ... + апу=г (х).
Почти весь второй том и целиком третий (интегрирование
дифференциальных уравнений в частных производных и
приложение о вариационном исчислении) содержат резуль-
таты, найденные самим Эйлером на протяжении многих
лет и полученные им не только в чисто математических
работах, но и в исследованиях по гидродинамике, акусти-
ке и т. д.
Выше уще говорилось, что последний том «Интеграль-
ного исчисления» вышел из печати в 1770. г. Не успел Эй-
лер покончить е этим громадным предприятием, как на не-
го одно за другим сваливаются два несчастья: ученому
грозит полная слепота и сгорает его дом.
Мы помним, что на правый глаз Эйлер ослеп еще в мо-
лодости. Теперь выходил из строя и левый глаз. Лучший
окулист Петербурга взялся сделать операцию (снятие
катаракта). Операция прошла удачно. Радость в доме была
всеобщая. Но, увы, Эйлер пренебрег предостережениями хи-
рурга и немедленно погрузился в работу. Глаз не выдер-
жал, и через несколько дней Эйлер ослеп окончательно и
навсегда. В том же 1771 г. в Петербурге случился боль-
шой пожар. Погибло 550 зданий, в их числе домик Эйле-
ра. К счастью, рукописи удалось спасти. Пришлось вос-
станавливать только работу, которую Эйлер готовил для
179
конкурса, объявленного Парижской академией наук. По-
добные несчастья и преклонные годы — все это, казалось
бы, могло лишить человека работоспособности. Но не та-
ким был Эйлер. Его деятельность не ослабевает. Он не
может писать, но у него есть сыновья и ученики. Он дик-
тует им свои работы. Правнук великого ученого, Павел
Фусс, рассказывает, как Эйлер работал. Посреди его каби-
нета стоял большой стол, покрытый каменными плитами.
На этих плитах Эйлер писал мелом большими буквами
(такие буквы он видел, хотя прочесть написанное не мог)
основные выражения новой работы. После этого он дик-
товал план статьи, главные пункты изложения, наиболее
значительные места. Остальное делал помощник, т. е.
кто-нибудь из сыновей или учеников. Диктуя, Эйлер хо-
дил вокруг стола, скользя вдоль его края пальцем. От
этого кран стола стали отполированными и блестели. Од-
нако вскоре помощники перестали удовлетворять Эйлера,
У каждого из них были свои дела, а Эйлер был автором не
такой производительности, чтобы его можно было обслу-
жить как бы между прочим, забежав к нему на короткое
время.
В 1772 г. Эйлер написал старому другу, Даниилу Бер-
нулли, в Базель письмо с просьбой, чтобы тот прислал в
Петербург подходящего молодого человека.
Даниил отнесся к просьбе Эйлера со вниманием. Уже
в 1773 г. из Базеля приехал Николай Фусс, ставший
если не добрым гением Эйлера, то, несомненно, его правой
рукой. Сообщение его сына относится главным образом к
манере работы Эйлера с отцом Павла Фусса — Никола-
ем. С 1773 по 1783 г. Николай написал и выпустил 355
работ Эйлера — в среднем по 35 в год. Совершенно оче-
видно, что у исключительного автора был и исключитель-
ный секретарь, которому все поклонники гения Эйлера
искренне благодарны за его огромный труд. В 1800 г., после
смерти Иоганна-Альберхта Эйлера, Николай Фусс стал не-
пременным секретарем Академии наук и пребывал на этом
посту до своей смерти в 1825 г. С 1825 по 1855 г. непремен-
ным секретарем Академии был его сын Павел Николае-
вич (Николай был женат на внучке Эйлера). П. Н. Фусс
(1797—1855) много сделал для публикации наследия Эй-
лера.
В последние годы жизни престарелый ученый не пере-
живал ни больших несчастий, ни крупных неприятностей
110
ДАНИИЛ
БЕРНУЛЛИ
(1700-1782)
в Академии, ни горестных потерь. Годы никак не отража-
лись на остроте его ума, на работоспособности. Он продол-
жал работать с прежней производительностью. Об этом мож-
но судить по тому, что с 1766 по 1783-й (год смерти) им на-
писано 416 работ, по 25 в год. Жизнь текла спокойно и
внешне однообразно вплоть до последнего дня. 7/18 сен-
тября 1783 г. вечером, после вполне благополучного дня,
во время игры с внуком, Эйлер вдруг почувствовал себя
плохо и с возгласом: «Я умираю» потерял сознание. Вско-
ре он скончался, или, по выражению Кондорсе, «перестал
жить и вычислять». 24 сентября Эйлер был похоронен на
Смоленском евангелическом кладбище, однако так не-
удачно, что могила вскоре затерялась. Его друг и почи-
татель Николай Фусс часто ходил с сыном гулять на это
кладбище, но могилы Эйлера найти не мог. Через много
лет, когда хоронили невестку Эйлера, случайно была
отрыта плита с его именем. Тогда нашли и могилу. Ака-
демия наук сделала надгробие из красного гранита. Над-
181
пись немногословна: «Leonardo Eulero Academia Petro-
politana» 1.
Вскоре после кончины Эйлера Фусс произнес на за-
седании Академии «Похвальное слово», содержащее много
важных сведений о жизни Эйлера.
В лице Эйлера мир имел гениального ученого. Гово-
рить о жизни Эйлера — значит говорить о том, как он
трудился, потому что невозможно представить его не рабо-
тающим. «Эйлер вычислял, как другие дышат»,— ото-
звался о нем Араго. «Ребенок на коленях, кошка на спине—
так писал он свои бессмертные произведения», — расска-
зывает Тибо. Одним словом, Эйлер бодрствует — значит,
он работает, или что то же —вычисляет. Ну, а если Эй-
лер лежит в постели? Если Эйлера томит бессонница, он
... вычисляет. Надо сказать, что он обладал двумя качест-
вами, не всегда присущими великим математикам: был вы-
дающимся вычислителем и обладал феноменальной па-
мятью. Рассказывают, что однажды во время бессонницы
он вычислил шестую степень первых ста чисел, а таблицу
полученных результатов п* (п = 1, 2, 3,..., 100) он повто-
рил на память через много дней. В другой раз он вычислил
в течение часа первые 20 цифр числа я, чтобы испытать,
насколько удобен для вычислений один полученный им
ряд.
Естественно, что такое сосредоточение интеллектуаль-
ных интересов в одной области должно было вызвать пре-
небрежение к некоторым другим. И действительно, Эйлер
совершенно не интересовался современной ему изящной
литературой, причем лучшую ее разновидность—литерату-
ру французских просветителей, в частности энциклопеди-
стов,—попросту игнорировал. Театром не интересовался
совершенно. Впрочем, нет. Секретарь Берлинской акаде-
мии наук Формей сообщает, что Эйлер не смотрит пьес
«за исключением глупейших сценок с марионетками, ко-
торым от отдавал свое внимание в течение часов и захлебы
вался от смеха». Очевидно, организм сам искал путей к пол-
ной разгрузке мозга от серьезной работы. В разговоре Эйлер
был всегда ровен и благожелателен. Если ему указывали
ошибку, он без ложной гордости ее исправлял; мог вспых-
нуть, особенно от возражения, но очень быстро успокаи-
'»Леонарду Эйлеру Петербургская академия».
182
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
(в старости)
вался. К молодым математикам, к своим ученикам отно-
сился внимательно и доброжелательно. Один его современ-
ник писал: «Окружающие видели в нем не только велико-
го математика, но и большого человека».
Бесценные богатства идей, методов, результатов, зак-
люченные в сочинениях Эйлера и его переписке, неодно-
кратно возбуждали мысль об издании собрания его сочи-
нений. Однако отпугивала громадность такого предприя-
тия. Так, например, после того как в 1844 г. Павел Фусс
открыл целые залежи рукописей своего прадеда, он начал
переговоры об издании сочинений силами обеих акаде-
мий, в которых работал Эйлер. Преждевременная смерть
К. Г. Якоби (1851) не позволила осуществить замысел.
В XIX в. это издание даже не было начато. Дело сдвину-
лось с места лишь в начале XX столетия. В 1907 г. родина
Эйлера, как и все цивилизованное человечество, отмечала
двухсотлетие со дня его рождения. На одном из заседаний
«Швейцарского общества естественных наук» видный исто-
рик науки и исследователь творчества Эйлера Ф. Рудио
183
выступил с проектом издания полного собрания его сочи-
нений. По расчетам того времени предполагалось, что из-
дание потребует 69 томов средним объемом по 600 страниц
каждый, на что требовался 1 миллион франков в довоенном
исчислении.
Остановимся кратко на сочинениях Эйлера как на объ-
екте издательской работы. В этом отношении наследие
Эйлера полно неожиданностей. После его смерти «Коммен-
тарии Петербургской академии наук» издавали работы;
Эйлера еще в течение 43 лет! Казалось бы, была полнаж
возможность исчерпать все, имевшее какую-нибудь цен-
ность. И вдруг правнук Эйлера Павел Фусс открывает,
как он выразился, «залежи собственноручно написанных
Эйлером бумаг». Внезапное открытие все новых сочине-
ний, записей и других документов повторялось неоднократ-
но и после П. Фусса. Наконец, в 1910—1913 гг. Густав
Энештром издал в Лейпциге «Опись произведений Леонар-
да Эйлера», чем в значительной мере облегчил труд всех
исследователей, так или иначе соприкасающихся с твор-
чеством Эйлера. Именно «Опись» Энештрома позволила сос-
тавить план полного собрания сочинений Эйлера. Основ-
ные черты этого плана переданы в следующих цифрах.
Общее число статей и мемуаров — 866 (не считая, конеч-
но, писем и разного рода документов).
Статьи распределяются по темам так (в%):
Высшая алгебра, анализ, теория чисел 40
Геометрия 18
Механика и физика 28
Артиллерия, архитектура, морские науки .... 2
Астрономия 11
Прочее 1
При жизни автора было напечатано только 530 статей и
мемуаров. К 1826 г. (окончание посмертной публикации в
«Комментариях Петербургской академии наук») была опу-
бликована еще 241 работа. Издание сочинений выполняет-
ся по следующему плану.
1-я серия: Математика:
Арифметика и алгебра 7 томов
Анализ 18
Геометрия 3
Всего 28
184
2-я серия: Механика и астрономия:
Механика 17
Астрономия 10
Всего 27
3-я серия: Физика. Прочие сочипения:
Физика 7 томов
Разное 3
Письма 4
Всего 14
Из этих 69 томов к 1927 г. вышло в свет 23 тома, а к
1956 г. - 40.
Гийом Франсуа Лопиталь
Между величественными фигурами тех, кто создавал клас-
сический анализ, помещен маленький Лопиталь. Чем это
объясняется?
Не всегда значение математика определяется только
его творческими данными. Появление анализа бесконечно
малых само по себе еще не определяло распространения
и признания этого анализа. Вспомним, что из многих
десятков или сотен выдающихся математиков, современ-
ников Лейбница, только два человека — братья Бернул-
ли — смогли овладеть его исчислением. В то же время
непрерывный и мощный поток решений все новых задач,
о которых до Лейбница и мечтать было нельзя, показывал,
что предлагаемое Лейбницем исчисление заслуживает
глубокого изучения. Но изучать-то было нечего. Работы
Лейбница и братьев Бернулли были для этого не приспо-
соблены, авторы пользовались своим формальным аппа-
ратом, не заботясь о подготовке читателя. Вот здесь-то
и появился учебник Лопиталя, как нельзя лучше отвечав-
ший потребности момента. Никто, кроме Лопиталя, не
позаботился собрать воедино формальный арсенал нового
исчисления, обработать его педагогически, подобрать и
сочинить необходимые примеры и задачи. Короче, никто
(т. е. ни Лейбниц, ни Яков, ни Иоганн Бернулли; ибо боль-
ше говорить не о ком ) не позаботился создать учебник.
А без учебника невозможно рассчитывать на массовое рас-
пространение новой математики, полной новых идей, не-
° Л. С. Фрейман
185
ГИЙ0М ФРАНСУА
ЛОПИТАЛЬ
(1661 — 170/*)
редко парадоксальных, и целого аппарата, очень далекого
от аппарата привычной алгебры. Заслуга Лопиталя и
заключается в том, что с появлением его учебника началось
широкое знакомство с анализом бесконечно малых и по-
степенное проникновение его в математическую практику.
История анализа невозможна без знакомства с учеб-
ником Лопиталя, а значит, и с личностью автора.
Гийом Франсуа Антуан Лопиталь родился в 1661 г.
в Париже в богатой и знатной семье. О последнем свиде-
тельствует то, что он носил звание маркиза (де Сен-Мэм)
и графа (Антрмон).
В его детских занятиях математика не играла никакой
роли. Известно, что он делал слабые успехи в латинском
языка, предмете, который в то время относился к числу
важнейших. Истинное его призвание обнаружилось поч-
ти случайно, когда ему в руки попал учебник геометрии.
Он сначала заинтересовался чертежами и, что называется,
«заглянул» в книгу, чтобы понять, для чего эти чертежи
служат. Это первое знакомство с геометрией быстро пере-
186
росло в настоящую страсть. Хорошего учителя юному ма-
тематику почему-то не удалось найти, и он изучил лю-
бимый предмет самостоятельной, вероятно, довольно глу-
боко. Об этом говорит такой случай. Когда ему было пят-
надцать лет, он как-то оказался в обществе, где зашла речь о
Паскале и его необыкновенном таланте. Среди общего хо-
ра похвал и удивлений, которым сопровождался рассказ
о решении Паскалем одной задачи (речь шла о циклоиде),
молчал только Лопиталь. Он сказал лишь, что не видит
причин для удивления; ему кажется, что он решил бы
такую задачу. Действительно, через два дня он принес
собственное решение.
По обычаю родовитой знати все мужчины в семье Ло-
питалей были военными. Служил капитаном кавалерии и
Гийом Франсуа. Сильная близорукость вынудила его ос-
тавить военную службу. Он получил возможность посвя-
тить себя любимой математике. Есть сведения, что с 1688 г.
он начал изучать работы Лейбница (напомним, что первая
работа, в которой Лейбниц изложил основы дифференциаль-
ного исчисления, помещена в «Acta eruditorum» в 1684 г.,
статья, содержащая сведения о «сумматорном», будущем
интегральном, исчислении, опубликована в 1686 г.). Ус-
пехи, по-видимому, оставляли желать лучшего. Во всяком
случае к моменту знакомства с молодым Иоганном Бернул-
ли Лопиталь сознавал себя не более чем начинающим
учеником. Он просил нового знакомого прочитать ему курс
лекций. Летом 1692 г. в своем имении близ Вандома Ло-
питаль в течение четырех месяцев усиленно занимался с
Иоганном Бернулли. Занятия были успешными. В 1693 г.
Лопиталь уже свободно владеет новой отраслью. Он пере-
писывается с Лейбницем и решает задачу, предложенную
Бернулли: найти кривую, обладающую тем свойством,
что длина касательной должна находиться в постоянном от-
ношении к длине отрезка оси я, заключенного между точ-
кой пересечения оси с касательной и точкой пересечения
оси с кривой. Эта задача есть разновидность задачи Де-
бона. Именно на подобной задаче Лейбниц показал пре-
восходство своего исчисления над приемами Ферма и Де-
карта. К 1693 г. задачи этого рода еще не потеряли интере-
са, о чем можно судить хотя бы по тому, что одновременно
с Лопиталем опубликовали решения Яков Бернулли,
Лейбниц, Гюйгенс. Это показывает, что Лопиталь не бо-
ялся браться за серьезные задачи.
8* 187
В 1693 г. Лопиталя избрали членом Парижской акаде-
мии наук.
Лопиталь и сам поставил интересную задачу и в 1695 г.
дал ее решение. Задача такова: подъемный мост снабжен
противовесом, который соединен с мостом гибким кана-
том. Требуется найти кривую, по которой должен дви-
гаться противовес, чтобы нри перемещении моста он был
бы в каждый момент уравновешен.
В 1696 г. Лопиталь решил, наряду с Ньютоном, Лейб-
ницем и Яковом Бернулли, знаменитую задачу Иоганна
Бернулли о брахистохроне, или о кривой наибыстрейше-
го спуска.
В том же году вышло из печати и главное творение его
жизни — «Анализ».
Полное название книги такое: «Анализ бесконечно ма-
лых для познания кривых линий»1. Книга имеет десять
глав, в том числе: «Принципы исчисления дифференциалов»,
«О касательных», «О максимумах и минимумах», «О точ-
ках перегиба и возврата», «О раскрытии неопределенных
выражений» и др. Как известно, в основу своей книги
Лопиталь положил лекции И. Бернулли и то, что он из-
влек из работ и писем Бернулли и Лейбница. Об этом он
говорит прямо и открыто в предисловии: «В заключение
я должен признать, что я многим обязан знаниям гг.
Бернулли, особенно младшему из них, состоящему в настоя-
щее время профессором в Гронингене. Я без всякого стес-
нения пользовался их открытиями и открытиями г. Лейб-
ница. Поэтому я не имею ничего против того, чтобы
они предъявили свои авторские права на все, что им угод-
но, сам довольствуясь тем, что они соблаговолят мне
оставить». Из названных трех авторов анализа два вполне
удовлетворились этим заявлением Лопиталя и лишь
Иоганн счел себя обиженным.
В основу изложения положены определения и
требования (допущения). Определения переменной
и дифференциала такие же, как у Лейбница; требования
или постулаты, на которых Лопиталь строит изложение,
следующие:
«1. Требуется, чтобы величина, которая увеличивает-
ся или уменьшается лишь на другую величину, бесконеч-
1 Г. Ф. де Лопиталь. Анализ бесконечно малых. М.—
Л., 1935.
188
но меньшую, чем она сама, могла быть рассматриваема как
остающаяся той же самой величиной.
2. Требуется, чтобы можно было рассматривать кри-
вую линию как совокупность бесконечного множества бес-
конечно малых прямых линий».
Лопиталь позаботился о том, чтобы в употреблении
букв для обозначения величин соблюдался определенный
порядок: следуя Декарту, он через z, у, х,... обозначает
переменные величины, через а, 6, с,... — постоянные.
Правила дифференцирования он начинает с того, что
устанавливает: дифференциал постоянного равен нулю.
Затем переходит к дифференциалам суммы (разности), про-
изведения, частного, степени. В главе о Лейбнице упомина-
лось о том, что Лейбниц дал правила дифференцирования
без доказательства и что впервые доказательства появля-
ются у Лопиталя. Вывод дифференциала произведения,
например, ничем не отличается от современного: d(xy) =
= ydx -\- xdy + dxdy; на основании требования 1-го най-
денная величина дифференциала приравнивается вели-
чине ydx + xdy и далее формулируется правило: «Диф-
ференциал произведения двух величин равняется произ-
ведению дифференциала первой из этих величин на вторую
плюс произведение дифференциала второй величины на
первую».
Любопытно, что дифференциал частного Лопиталь на-
ходит не так, как его учитель. Иоганн Бернулли находит
дифференциал так же, как и теперь,
,/а?\ х -\- dx х
\TJ ~~ У+dy ~ У '
Лопиталь же приводит частное z = х/у к произведению
х = zy, использует правило дифференцирования произ-
ведения dx = ydz -f zdy, определяет отсюда dz = у
и, заменяя z через х/у, приходит к окончательному резуль-
тату.
Отметим еще, что дифференциал степени получается
применением дифференциала произведения, например
d (х2) = х dx + х dx = 2x dx.
Предлагая правило для проведения касательной к кри-
вой, он исходит из требования 2-го: рассматривает кривую
как многоугольник, составленный из бесконечно малых от-
189
резков. Такое толкование позволяет дать следующее оп-
ределение касательной: касательной называется прямая,
полученная при продолжении одной из бесконечно малых
сторон многоугольника, образующего кривую. Уравне-
ние касательной находится путем несложных рассужде-
ний. Допустим, требуется провести касательную через
точку М. Конечный треугольник, составленный из орди-
наты MP, подкасательной РТ и касательной МТ, подо-
бен характеристическому треугольни-
ку со сторонами dx, dy, ds. Из подобия треугольников сле-
дует
dy MP
dx =" РТ '
откуда находится подкасательная РТ
и задача сведена к отысканию производной. К слову ска-
зать, на протяжении всей книги Лопиталя понятие произ-
водной так и не появляется. Выражение типа dy/dx тракту-
ется только как частное двух дифференциалов. Лопиталь,
конечно, шел по стопам своих учителей Лейбница и Бернул-
ли. Но у Лейбница производная встречается. Так, в
письме к самому Лопиталю Лейбниц говорит о частных
производных то х и по у.
Приятное впечатление производит рассуждение Лопи-
таля, приводящее к необходимому условию максимума и
минимума. Рассуждение таково. Перед точкой максимума
функция возрастает, и дифференциал функции положи-
телен. После точки максимума функция убывает, и ее диф-
ференциал отрицателен. Но дифференциал функции не-
прерывен, как и сама функция. Будучи непрерывным,
дифференциал не может перейти из области положител1.-
ных значений в область отрицательных, не пройдя через
нуль. Отсюда и условие максимума или минимума: dy = 0.
К сожалению, в этом вопросе Лопиталь допускает не-
брежность, считая, что дифференциал в критической точ-
ке может принимать и значение, равное бесконечности.
Это тем более досадно, что в начале книги дано опреде-
ление дифференциала по Лейбницу, т. е. как величины
бесконечно малой.
190
Рис. 24.
Чертеж Лопиталя к способу
О
нахождения —-
Л
с
м
N 1
Р >Г
о
Перейдем к знаменитому способу раскрытия неопреде-
ленностей — к «правилу Лопиталя». На рис. 24 представ-
PN
лена дробь -=- так, что кривая ANB изображает числи-
тель, кривая СОВ — знаменатель, AMD — самую дробь.
Функции PN и РО таковы, что в точке В обе они прини-
мают значение 0. Требуется определить значение дроби в
этой точке £, т. е. ординату BD кривой AMD. Рассуж-
дение Лопиталя сводится к следующему. Для того чтобы
получить дифференциал дроби, т. е. дифференциал орди-
наты BD, надо увеличить числитель и знаменатель на их
дифференциалы, т. е. вместо -^ считать pQ <d,p0) ; но
сами PN и РО обращаются в точке Б в 0, поэтому остается
d(PN) bf , л „ч
выражение drp0] = г; (при х = АВ)\ это частное дает значе-
ние ординаты bd\ на основании требования 1-го ее можно
отождествить с искомой ординатой BD. (Лопиталь умножа-
ет дробь рг- на отрезок АВ, но делается это из требований
размерности, считавшихся до Эйлера обязательными.)
«Правило Лопиталя»—первой пункт «Анализа», по кото-
рому начал обстрел Иоганн Бернулли. Правда, надо отдать
ему справедливость, он имел терпение подождать, пока
скончался Лопиталь. Но уже в год его смерти, в 1704 г.,
И. Бернулли опубликовал заметку «По поводу моего спо-
соба для определения значения дроби, числитель и зна-
менатель которой исчезают, опубликованного в § 163 „ Ана-
191
лиза бесконечно малых"». Записки лекций И. Бернулли и
письма его к Лопиталю показывают с полной определен-
ностью, что большая часть «Анализа» составлена по дан-
ным, полученным от И. Бернулли. За примером ходить
недалеко. Лопиталь пишет в 1692 г. Иоганну Бернулли,
что не может определить значение дроби
У 2а?х — хЬ — а/сРх
при х = а. Решение примера помещено в «Анализе»
(§ 164), непосредственно за «правилом Лопиталя» (§ 163).
Решение найдено И. Бернулли.
Когда Лопиталь преподнес И. Бернулли книгу, тот
отвечал ему письмом, полным комплиментов: «Вы очень
ясно все объясняете; расположение и порядок предложе-
ний очень удачны; вообще все сделано прекрасно и в ты-
сячу раз лучше, чем сделал бы я».
Книга пользовалась громадным успехом, который объ-
ясняется, во-первых, достоинствами, отмеченными Иоган-
ном Бернулли, и, кроме того, легкостью чтения и большим
числом задач, часть из которых раньше имела только ста-
рые решения more veterum (по способу древних). «Анализ»
неоднократно переиздавался — в 1716, 1720, 1768 гг.,
в 1730 г. издан на английском языке; было и латинское
издание. Несмотря на простоту языка и ясность изложения,
нашлись желающие снабдить книгу комментариями. Од-
ним из комментаторов был Вариньон. Это свидетельству-
ет о том, что книга пользовалась уважением не только
среди учащихся и заурядных педагогов.
Один из комментаторов, «разъяснявший» издание
1768 г., был изрядным путаником. Вот как он упрощал
вывод дифференциала частного. Он получает, как и Ло-
питаль, выражение для дифференциала дроби
7 dx dy
dz--= z — \
У У
далее для простоты он сокращает в последнем чле-
не в числителе и знаменателе у (!):
dz = ——zd(ll).
192
Теперь заменяется z
-\ С1Х X -.
dz = d
У У
и правая часть равенства умножается и делится на у
, __ ydx — xyd _ ydx — xdy (j.
2/2 У2 ^"''
Ободренный успехом книги, Лопиталь задумал напи-
сать учебник интегрального исчисления. Когда он поделил-
ся своим замыслом с Лейбницем, тот сообщил Лопиталю,
что приступает к написанию труда примерно того же со-
держания. Тогда Лопиталь решил, что надо предоставить
поле деятельности Лейбницу, а тот не выполнил своего на-
мерения, и курс интегрального исчисления надолго за-
держался выпуском. Лишь в 1754 — 1756 гг. Л. А. де Бу-
генвиль (1729—1811) издал «Учебник интегрального ис-
числения», который в известном смысле можно рассматри-
вать как продолжение «Анализа» Лопиталя.
Из работ Лопиталя следует отметить еще статью 1699 г.,
в которой он дает решение одной задачи Ньютона, опуб-
ликовавшего только результат, без вывода.
Последняя значительная работа Лопиталя — «Анали-
тический трактат конических сечений» — исследование кри-
вых второго порядка. Хотя исследование и названо анали-
тическим, в действительности оно внесло мало нового в
аналитическую геометрию своего времени. Правда, выве-
дены уравнения конических сечений, например у2 = рх
С2Х2
или у2 = е2 -у (с и t — полуоси), дана вторая ось,
правильно трактуется проблема знаков координат, но в
целом работа не намного возвышается над средним уровнем
эпохи.
В 1704 г., 43 лет от роду Лопиталь скопчался от апо-
плексического удара.
В конце XVII в. Лопиталь был заметной фигурой
среди европейских математиков. Конечно, никто не срав-
нивал его, например, с братьями Бернулли, не говоря уже
о здравствующих Ньютоне и Лейбнице, но из ряда ученых
второго класса его выделяло хотя бы удачное решение зна-
менитых задач Ньютона, Лейбница, Якова и Иоганна Бер-
нулли. Но истинную славу Лопиталя составляет его «Ана-
лиз».
193
Брук Тейлор
Имя Тейлора навсегда останется в математике, потому
что ряд Тейлора не устареет никогда.
Брук Тейлор родился 18 августа 1685 г. в деревне Эд-
монтон в графстве Миддлсекс, в восьми милях от Лондона.
Его дед пользовался вниманием со стороны Кромвеля,
отец был шталмейстером. Мальчик получил прекрасное
воспитание, общее (включая математику), а также худо-
жественное и музыкальное. Отец Тейлора, суровый пури-
танин, часто бывал недоволен поведением сына, недоста-
точно, по его мнению, соблюдавшего требования религии.
Однако стоило юному музыканту начать играть, как доса-
да отца таяла и мир восстанавливался. Сохранилась кар-
тина, на которой запечатлено семейное торжество: 13-лет-
ний Брук получает из рук старших корону, украшенную
эмблемой гармонии.
В 1701 г., когда Тейлору исполнилось пятнадцать лет,
он поступил в Кембриджский университет, в колледж
Сент-Джон. Как раз в это время Ньютон окончательно
расстался с Кембриджем, но, конечно, оставался кумиром
молодых математиков. К ним присоединился с самого свое-
го появления в Кембридже и молодой Тейлор. Кейль,
Тейлор, Пембертон и другие образовали группу, о которой
Иоганн Бернулли говорил, что после смерти Лейбница
ему пришлось выдержать натиск всей английской армии.
В 1708 г. Тейлор опубликовал работу о центре коле-
баний. Это доставило ему немало хлопот из-за того, что
Иоганн Бернулли обвинил его в плагиате.
К 1712 г. в активе Тейлора числились два мемуара —
«О центре колебаний» и «О подъеме воды между двумя
плоскостями». Задача о центре колебаний к тому времени
была уже далеко не новой. Ее впервые предложил Мерсенн
Декарту, Гюйгенсу и другим физикам еще в 1645 г. или в
начале 1646 г. Но выход замечательного труда Гюйгенса
«Маятниковые часы» и беспрерывные нападки аббата Ка-
телана на Гюйгенса привлекли к этой задаче внимание Яко-
ва Бернулли, что вызвало интерес и других математиков.
Тейлор работал над задачей, пользовавшейся большим
вниманием среди специалистов. Задача о капиллярных си-
лах, рассмотренная во второй работе, поставлена самим
Тейлором. Лаплас, давший полную теорию капиллярного
эффекта, счиаал работу Тейлора довольно значительной.
194
Статьи Тейлора были признаны настолько ценными,
что в 1712 г. его избрали членом Королевского общества.
Если вспомнить, что в эти годы председателем Общества
был Ньютон, то следует заключить, что 27-летний Тейлор
пользовался уже репутацией серьезного ученого.
В 1713 г. появляется работа Тейлора о колеблющейся
струне. Проблема струны была самой популярной среди
всех акустических проблем того времени.
В 1636 г. Марен Мерсенн издал «Всеобщую гармонию»,
в которой дал чисто экспериментальное исследование за-
конов колебания струны. Тейлор поставил задачу как
математик. В основание анализа движения струны он по-
ложил две гипотезы: 1) все точки струны проходят одно-
временно через положение равновесия (эта гипотеза не
всегда справедлива) и 2) сила, действующая на частицу
струны, пропорциональна удалению частицы от положе-
ния равновесия. Результатом исследования Тейлора по-
служила формула периода колебаний, которая охватыва-
ла все результаты Мерсенна.
Хотя известная дискуссия о колебаниях струны
(Эйлер, Д. Бернулли, Даламбер, Лагранж) далеко продви-
нула математическую сторону задачи, основы, заложен-
ные Тейлором, а именно: дифференциальное уравнение ко-
лебаний струны (в частных производных), начальные и
граничные условия — все сохранилось и послужило пер-
вым кирпичом в здании математической физики. Правда,
надо отметить, что Тейлор представлял колебания струны
в форме
(t t \ X
М sin 2я— + N cos 2n-^-js:n 2я-^ ,
т. е. в виде одного колебания, а не суммы колебаний
(последнее принадлежит Д. Бернулли).
В 1714 г. Тейлор представил Обществу рукопись своей
книги «Метода приращений прямая и обратная». Эта кни-
ка — главный труд жизни Тейлора. Не без влияния этого
события Тейлора в том же году избирают секретарем Об-
щества. Это были годы острых схваток между сторонника-
ми Ньютона и Лейбница в прискорбной борьбе за прио-
ритет в изобретении анализа бесконечно малых. Тейлор,
став секретарем Общества, выдвинулся в число первых
фигур этого спора. Английский биограф ставит Тейлора
195
непосредственно после Ньютона и Котеса в ряду англий-
ских участников спора.
1715 год — вершина творческой биографии Тейлора: из
печати вышла «Метода приращений». Книга разделена на
две части. В первой излагается теория конечных разностей
и, в частности, содержится вывод знаменитого ряда (Пред-
ложение 7, стр. 21—23). По соседству, в Предложении 11
(стр. 38—39), выведена формула разложения интеграла
И. Вернул ли
С 7 г2 ds , г8 d2s
Вывод Тейлора лучше, чем вывод И. Бернулли, но
Тейлора можно упрекнуть в том, что он не называет имени
первооткрывателя. И. Бернулли был не из тех людей,
которые равнодушно проходят мимо мелких уколов такого
рода, и в мае 1721 г. в «Acta eruditorum» он высказал свое
неудовольствие.
Вторая часть «Методы приращений» содержит прило-
жения теории к решению различных задач. Здесь Тейлор
поместил, наряду с новыми результатами, некоторые ста-
рые: рассмотрены, например, вопросы интерполяции (на
основе интерполяционных формул Ньютона), изоперимет-
рические задачи, уравнение цепной линии, задача о коле-
баниях струны, решение знаменитой задачи о центре ко-
лебаний, которая вызвала длительную дискуссию о при-
оритете, и некоторые другие.
Займемся теперь выводом формулы разложения. Ряд
Тейлора привлекал к себе внимание математиков на про-
тяжении столетий и вполне естественно, что было предло-
жено много различных способов для вывода формулы раз-
ложения. Авторский вывод Тейлора, основанный на тео-
рии конечных разностей, в настоящее время нигде не изла-
гается, поэтому интересно с ним познакомиться. Чтобы
избавить читателя от ненужных затруднений, в выводе
использованы привычные обозначения, введенные Эйле-
ром.
Тейлор применяет такие термины: инкремент
(приращение) и декремент (убавление = отрица-
тельное приращение). Обозначения автора следующие:
если, например, переменная — х, то ее приращение —•#,
приращение приращения или второе приращение перемен-
ной — х, третье приращение — х, дальше число точек
196
обозначается соответствующим числом, например х. Тей-
4
лор распространяет свою систему и в сторону отрицатель-
ных индексов, так, х = Х\ х ~~ та переменная, которой ин-
0 ' -I
кремент есть х и т. д. Уместно заметить, что Лейбниц,
автор идеи системы индексов, уже думал о применении от-
рицательных индексов, например о представлении интег-
рирования как отрицательного дифференцирования и т. д.
Но его размышления, относящиеся к 1695 г., остались без
приложения погребенными в безбрежной переписке Лей-
бница и, разумеется, неизвестными Тейлору. Таким обра-
зом, Тейлор — первый автор, выступивший в печати с от-
рицательными индексами. Эйлер вместо его неудобных
пунктированных букв ввел значок конечного приращения
Д, который остался в математике и по сей день.
В обозначениях Эйлера вывод Тейлора принимает сле-
дующий вид («Дифференциальное исчисление», § 44 и
ел.). Пусть независимая переменная будет х и ее функ-
ция — у; если х дать приращение Ах, то у функции по-
явится приращение А г/; при новом приращении Ах у
независимой переменной будет значение х -f- 2 Ах, у функ-
ции у + Ау + А (У + Ау) = у + 2Ау + А2у; при треть-
ем приращении будет х -|-ЗДя и у -\-2Ay -{- А2у -\-
-\-А(у -j- 2Аг/ -f A2y) и т. д. Приходим к следующей
таблице:
х у
х + Ах у + Ау
х + 2Дл: у + 2Ау + А2у
х+ЗАх у + ЗА г/ + ЗД2г/ + А3у
х + 4Дя у + 4Дг/ -+- 6А2г/ + 4Д3г/ + Д4г/
х + 5Дя у + ЪАу + 10Д2г/ + 10Д3г/ + 5Д4г/ + Дб
>У
Изменение функции следует правилу разложения бинома.
Поэтому если положить х -f nAx, то у примет вид
, А . п(п — 1) А9 , п (п — 1)(л — 2) А о .
у + пАу + \2 А2у + —*—у-^ L дз^ _| тшт
Пусть теперь п неограниченно возрастает. Тогда вместо
п — 1, тг — 2,... п — к можно поставить п\ кроме того,
197
положим п • Ах = со, т. е. Ах = -. Тогда
Ду <о» Л*у срз ДЗу
* ' W Да; "" 1-2 Дя2 ' 1.2.3Дя3~т~ ' * *
Наконец, перейдя к пределу, получаем формулу разложе-
ния в том виде, который ей придал Эйлер и который сохра-
нился до наших дней.
В 1716 г. Тейлор предпринял поездку в Париж. При-
няли его в Париже как нельзя лучше, и Тейлор остался
очень доволен. Внимание со стороны ученых, знаки ува-
жения, интересные знакомства — все это произвело на
Тейлора самое отрадное впечатление. Но губительный внут-
ренний процесс изменения интересов не приостановился.
Роковая «болезнь века» — переход от естественных наук к
теологии и мистике, болезнь, отнявшая у науки Паска-
ля, Барроу,Ньютона и др., завладела и Тейлором. В 1717 г.
вышли четыре последних работы Тейлора: «О численном
решении уравнений», «Об одной задаче Лейбница», «О па-
раболическом движении снаряда» и «О тепловом рас-
ширении жидкости в термометре». Можно упомянуть еще
две очень удачные книги «О перспективе», изданные в
1715 и 1719 гг. Книги имели большой успех, несмотря на
желчную критику Иоганна Бернулли. Между тем в
1718 г. Тейлор уходит с поста секретаря Королевского
общества, чтобы освободить время для философской работы.
Он возвращается к увлечениям молодости — занимается му-
зыкой и живописью. В 1721 г. Тейлор женился, что выз-
вало разрыв с отцом. Счастье, купленное такой дорогой
ценой, оказалось непрочным. В 1723 г. Тейлор теряет
жену и ребенка. В 1725 г. он снова женится — уже при
полном одобрении отца. Но счастье и на этот раз не
пришло к Тейлору: в 1730 г. жена умерла от родов.
Правда, осталась девочка (ее сын, сэр Вильям Юнг, много
сделал для освещения биографии деда и издал его философ-
ские сочинения), но Тейлор был неутешен в своем горе. Его
здоровье резко ухудшилось и больше не восстанавливалось.
29 декабря 1731 г. он скончался и был погребен в Лондоне.
Бессмертный памятник Тейлору — его ряд. Однако
фундаментальное значение этого вклада в математику бы-
ло осознано не сразу. Правда, уже в 1717 г. Николь по-
местил в «Мемуарах Парижской академии наук» разъяс-
нения, имеющие целью облегчить чтение «Методы прира-
щений» Тейлора. В 1742 г. вышел знаменитый «Трактат
198
о флюксиях» Маклорена. В нем Маклорен вывел новым
способом (с помощью неопределенных коэффициентов) ряд,
носящий его имя, и указал, что этот ряд имеется в «Ме-
тоде приращений» Тейлора. Поскольку Маклорен показал
на большом числе функций, что применение его ряда не-
измеримо упрощает задачу разложения функции, этот ряд,
а значит, и ряд Тейлора, стал пользоваться большей из-
вестностью. В 1748 и 1755 гг. вышли «Введение» и «Диффе-
ренциальное исчисление» Эйлера. В этих двух сочинениях
рядам отведено важное место. Книги, ставшие классиче-
скими с самого своего появления, еще больше укрепили соз-
нание важности ряда Тейлора. В известной дискуссии
50-х годов, имевшей своим предметом колебания струны,
Даламбер не соглашался с Эйлером, между прочим, и в
понимании природы произвольной функции. В то время
как Эйлер понимал термин «произвольный» буквально,
Даламбер считал, что речь может идти только о таких
функциях, которые разлагаются в ряд Тейлора. Это за-
явление крупнейшего авторитета помогло лучше понять,
что, кроме практической пользы, ряд Тейлора имеет и
большое теоретическое значение. Еще больше выросло зна-
чение ряда Тейлора, когда в 1772 г. Лагранж положил
его в основу всего дифференциального исчисления. Вопро-
сы обоснования дифференциального исчисления, судя по
всему, долго занимали Лагранжа. Ему хотелось по-
строить дифференциальное исчисление без помощи новых и
расплывчатых, по его мнению, понятий бесконечно малой
и предела. В то время, когда он был президентом Берлин-
ской академии наук, Академия объявила конкурсную тему
на точное и ясное изложение понятия бесконечно малой.
Желая построить дифференциальное исчисление на чисто
алгебраической основе, Лагранж в «Теории аналитических
функций» (1797) кладет в основание дифференциального ис-
числения ряд Тейлора. Он считает, что теория разложе-
ния функций в ряды «содержит истинные принципы диф-
ференциального исчисления, освобожденные от бесконеч-
но малых и от пределов. И я доказываю теорему Тейлора \
которую можно рассматривать как фундаментальный
принцип этого исчисления»,— таковы подлинные слова
Лагранжа. После выхода Лагранжевой «Теории анали-
1 Термин «Teopevia Тейлора»ввел Копдорсс в 1784 г., а в 1786 г.
С. Люилье впервые употребил выражение «ряд Тейлора».
190
тических функций» значение ряда Тейлора было уже по-
нято достаточно глубоко. Однако самый ряд понимался
еще чисто формально. Только в 1797 г. Лагранж дал вы-
ражение для остаточного члена ряда. Разложение же в ряд
считалось возможным для всякой функции a priori. На-
конец, полную ясность в вопрос внес Коши. В 1823 г.
Коши рассмотрел сходимость ряда к данной функции (в
этой же работе дан и остаточный член в форме Коши), а
в 1829 г. («Лекции по дифференциальному исчислению»)
установил различие между сходимостью ряда вообще и
сходимостью его к данной функции. Таким образом, пол-
ная разработка теории ряда Тейлора заняла больше ста
лет.
Алексис Клод Клеро
Время от времени природа одаривает человечество
особым счастьем, имя которому «вундеркинд». Вундеркин-
дами были Моцарт, который в шесть лет покорил Европу,
своими концертами; Иоганн II Бернулли, которому на
тринадцатом году разрешили слушать лекции в Базель-
ском университете; Эммануил Ласкер, в двенадцать лет
бывший грозой и кумиром шахматного Берлина; вундер-
киндом был и Клеро.
Алексис Клод Клеро родился 15 мая 1713 г. в семье
преподавателя математики Жана Батиста Клеро, члена-
ассоциё Берлинской академии наук. Алексис Клод был вто-
рым в громадной семье, насчитывавшей впоследствии
21 ребенка. То, что глава семьи был математиком, наложило
оригинальный отпечаток на развитие ребенка. Отец зна-
комил его с алфавитом по буквам на чертежах Евклидовых
«Начал». Друзья Клеро сомневались в успехе его метода
обучения. Но мальчик хорошо усвоил уроки и к четырем
годам уже свободно читал и писал. Каким путем он овла-
дел основами арифметики, осталось незамеченным. Во
всяком случае, уроки ему не давались, однако он очень
рано пристрастился к чтению книг по математике. В девять
лет ему в руки попала книга Гинэ «Приложение алгебры к
геометрии». Мальчику при чтении помогал отец. Алексис
не удовлетворился первым чтением и прочел книгу второй
раз, а затем и третий, так, что усвоил ее содержание пол-
ностью. Это он доказал тем, что для многих задач, поме-
щенных в книге, дал решения, более простые и изящные,
200
АЛЕКСИС КЛОД КЛЕРО (1713—1765)
чем решения Гинэ. Книга Гинэ содержала не только ана-
литическую геометрию, но и основы анализа. Таким обра-
зом, маленькому Клеро не было еще и десяти лет, когда он
овладел элементами высшей математики.
После книги Гинэ Клеро изучил книги Лопиталя —
сначала «Аналитический трактат конических сечений», за-
тем «Анализ бесконечно малых». Эти книги он тоже читал
по нескольку раз, пока не убеждался, что полностью их
усвоил.
В это время семья Клеро сменила квартиру. Алексису
и его младшему брату отвели отдельную комнату. Мальчи-
ки поступили так же, как на их месте сделали бы все маль-
чики: пользуясь свободой, они распорядились временем
по своему усмотрению, и в то время, как родители были уве-
рены, что их сыновья спят, они бодрствовали. Они не
читали увлекательных повестей и не писали стихов, а зани-
мались математикой, более того — собственными исследо-
ваниями. Алексису хотелось закончить работу в глубокой
тайне, чтобы показать отцу в готовом виде. Но, как это
201
всегда бывает, отец однажды «накрыл» ребят и сурово от-
читал их за самовольство. Когда же он ознакомился с ра-
ботой старшего, то предоставил ему возможность завер-
шить ее. У него были знакомства среди академиков. Не-
которые из них поближе узнали молодого Клеро. В итоге
12-летний Алексис выступил с докладом в Академии на-
ук. Темой сообщения были четыре изобретенные им кривые
четвертого порядка, например, такая:
и исследование их свойств.
По окончании сообщения юный ученый был подверг-
нут довольно обстоятельному допросу по предмету доклада
с целью установить, действительно ли он автор этого заме-
чательного труда. Ответы Клеро не оставили на этот счет
никаких сомнений. Аудитория была поражена, а присут-
ствовавший на заседании член Академии аббат Рейно не
мог сдержать слез радости и умиления при виде мальчика,
достойного занять место среди лучших ученых Франции.
Работа была напечатана в «Известиях Берлинской ака-
демии». Она следует непосредственно за статьей отца Клеро
и снабжена сертификатом Парижской академии, удостове-
ряющим, что Алексис Клод Клеро — действительный ав-
тор, несмотря на свои двенадцать лет.
Вслед за этой работой Клеро приступает к следующей —
к исследованию кривых двоякой кривизны. В этой работе
он вводит третью координату, что, правда, уже не было
новостью. Он разъясняет, что уравнение с тремя перемен-
ными описывает некоторую поверхность.
Юношеская горячность и радость творчества заставля-
ли Клеро работать с таким неистовством, что у него нача-
лись головные боли и другие признаки переутомления.
Пришлось несколько замедлить темп работы. Исследова-
ние под названием «Изыскания о кривых двоякой кривиз-
ны» было закончено и доложено в Академии наук в 1729 г.,
а два года спустя вышло из печати. Перед тем как дать раз-
решение на печатание книги, министр поручил одному
ученому написать отзыв. Ученый без колебаний рекомендо-
вал книгу к печати, а кроме того, подчеркивал, что она
заслуживает «не только печатания, но удивления, как чу-
до воображения, понимания и способностей».
Кажется, не будет лишним упомянуть здесь, что млад-
ший брат Алексиса шел по его следам. В шестнадцать лет
202
От тоже опубликовал работу «О квадратурах круговых и
гиперболических», но вскоре умер от оспы.
В 1731 г. Клеро напечатал еще две работы: «Новый
способ находить центр тяжести» и «Кривые, которые по-
лучаются при рассечении криволинейной поверхности
плоскостью данного положения».
Академия наук, естественно, не могла оставить вне
своих стен такого математика. Затруднение заключалось
в молодости Клеро. По уставу Академии не мог баллоти-
роваться кандидат моложе двадцати лет, Клеро же было
восемнадцать. Пришлось обратиться к королю. Послед-
ний разрешил выборы, и 14 июля 1731 г. Алексис Клод
Клеро стал академиком. За все время существования Па-
рижской (затем Французской) академии наук это был един-
ственный случай нарушения параграфа устава Академии
о возрасте кандидата.
Клеро вошел в Академию наук в то время, когда еще не
установились самые основы физики. Декартова или
Ньютонова физика призвана объяснить мир? Вот карди-
нальный вопрос эпохи и, конечно, Академия не могла
обойти его стороной. Физика Декарта имела сильных за-
щитников, но имя Ньютона делалось все более известным
на континенте. Новому академику надо было примкнуть к
тому или другому лагерю. Главой молодой школы был
Мопертюи, будущий президент Берлинской академии на-
ук. Самому Мопертюи было в то время немногим более
тридцати лет, а другим членам его кружка и того меньше.
Естественно, что юный Клеро примкнул к этому кружку —
молодому, задорному, язвительному. «Enfants perdus» —
называли их степенные академики-картезианцы. Моло-
дые академики — Мопертюи, Клеро, Кондамин встреча-
лись за обедами, где царили веселье, шутки, где они без-
жалостно издевались над картезианцами. Современник так
описывает эти обеды. «Один обстреливает картезианцев
эпиграммами, другой — доказательствами. Этот копи-
рует с натуры мины, жесты, ответы на доводы против-
ников, тот осыпает насмешками попытки защитников Де-
картовой физики наложить на нее заплаты, ибо, по мнет
нию всего кружка, картезианская система порочна в са-
мом основании. Эта маленькая компания одушевлялась
веселым и едким нравом своего шефа. Вот так, забавляясь,
насаждал Мопертюи ньютонианство в Академии».
703
Клеро связывала с Мопертюи прочная и многолетняя
дружба. В 1729 г. Мопертюи ездил в Базель слушать лек-
ции Иоганна Бернулли. Там, между прочим, он подружил-
ся с сыном Бернулли, Иоганном II, в доме которого в
1759 г., в Базеле же, скончался. В 1732 г. Мопертюи решил
снова поучиться у Бернулли и предложил Клеро разде-
лить с ним компанию. Тот согласился. В сентябре 1734 г.
они выехали в Базель. Прослушав курс, они не верну-
лись в Париж, а, удалившись в уединенное селение, уси-
ленно занялись научной работой.
В этом же 1734 г. вышла одна из тех работ Клеро, ко-
торые у немцев называются словом epochemachende —эпо-
хальный. В «Мемуарах Парижской академии наук» Кле-
ро поместил статью «Решение многих задач, где требуется
найти кривые, свойство которых состоит в некотором отно-
шении между ее элементами, определяемом данным урав-
нением». В этой статье идет речь об особых решениях диф-
ференциальных уравнений первого порядка. Нельзя ска-
зать, что Клеро был первым, кто имел дело с особыми ре-
шениями. На особое решение, можно сказать, наткнулся
Брук Тейлор, продифференцировав одно уравнение перво-
го порядка. Самый термин идет от Тейлора, который на-
звал найденное им решение «некоторым особым решением».
Тейлор подметил в особом решении лишь одну странность—
именно, невозможность получить его из общего решения,
что и оттенил в данном им названии: singularis — особен-
ное, странное, своеобразное, чудное.
Клеро приводит несколько примеров дифференциаль-
ных уравнений, имеющих особое решение.
Вот один из примеров Клеро:
dy2 — (х + 1) dy dx + ydx2 -- О,
в котором легко узнать «уравнение Клеро», если пере-
писать его в более привычной форме,
у'*-(х+1)у' + у=0.
Клеро дифференцирует предложенное уравнение и полу-
чает из него два
2г/' — х — 1 = О и у" = 0,
которые Клеро совершенно правильно трактует как оги-
бающую и огибаемое семейство прямых.
204
Следует подчеркнуть, что статья, в которой рассматри-
ваются особые решения, вышла в свет, когда ее автору
был 21 год.
Вскоре был утвержден проект об организации экспеди-
ции Мопертюи для измерения длины дуги меридиана за
Полярным кругом. 23-летний Клеро как способнейший ма-
тематик и личный друг руководителя, конечно, тоже во-
шел в ее состав. Измерения проводились вдоль реки Торнео
(нынешняя Турн-эльв; вдоль нее идет государственная
граница между Швецией и Финляндией), один участок ко-
торой, в районе пересечения с Полярным кругом, точно
совпадает с меридианом.
Вернувшись в Париж, Клеро продолжал, как всегда,
много и плодотворно заниматься математикой. В 1739—
1740 гг. вышли его статьи, содержащие новые и принципи-
ального значения материалы. Клеро вводит понятие пол-
ного дифференциала
Pdy+Qdx
и определяет условия (он не различал обозначения обык-
новенных и частных производных)
clP _ dQ
dx cly
Напоминаем, что Эйлер записал бы эти частные производ-
ные в виде
fdP_\ = fdQ\
\dx J \dy J
и только у Лежандра встречается впервые
дР _ dQ
дх ду
В этот же период Клеро открывает интегрирую-
щий множитель. Интегрирующий множитель при-
менял еще Иоганн Бернулли, но Клеро «переоткрыл» его
заново. Впрочем, действительно подробное изучение интег-
рирующего множителя находим впервые в «Интегральном
исчислении» Эйлера. В 1743 г. вышла книга Клеро о фи-
гуре Земли. Мотивы, которыми руководствовался Клеро,
выпуская этот труд, понятны. Вопрос о том, вытянута ли
Земля вдоль оси вращения или сплющена, имел огромное
научное и общественно-философское значение. Он не толь-
205
ко разрешал узконаучный вопрос, по и радикально ре-
шал спор между физикой Декарта и физикой Ньютона.
Ясно, что окончание этого спора имело неизмеримо боль-
шое значение для общественного сознания. По вопросу «фи-
гуры Земли», как говорили тогда, выходило множество
книг, самой популярной из которых была, конечно, при-
надлежащая перу Мопертюи. Клеро, как непосредствен-
ный участник экспедиции, имел все основания выступить
с книгой на такую жгучую тему. Экспедиция была завер-
шена в 1737 г., но лишь в 1743 г. Клеро выпускает книгу.
Он имел время глубоко продумать предмет и создать та-
кую книгу, значение которой не иссякло до наших дней.
«Теория фигуры Земли, основанная на началах гидро-
статики», имеет множество подробностей, интересных и с
чисто математической стороны.
Вот, например, в части I гл. IV § 16 рассматривается
криволинейный интеграл. Криволинейный интеграл впер-
вые появился именно в «Теории фигуры Земли». Вот что
говорится в указанном параграфе: «Но так как равнове-
сие жидкости требует, чтобы вес ON (ON — часть произ-
вольно выбранного канала криволинейной формы в тол-
ще жидкой вращающейся массы.— Л, Ф.) не зависел от
вида кривой...» Здесь, таким образом, не только говорится
о подсчете величины (веса) вдоль криволинейного участ-
ка канала, но еще высказано требование, чтобы величина
эта не зависела от пути интегрирования. Клеро продол-
жает: «...необходимо, чтобы Pdy -\- Qdx можно было про-
интегрировать независимо от г/, иными словами: необходи-
мо, чтобы Pdy -\- Qdx было полным дифференциалом».
Клеро формулирует условие того, чтобы величина криво-
линейного интеграла не зависела от пути: подынтегральное
выражение должно быть полным дифференциалом. Но что
такое полный дифференциал? Само понятие и его наимено-
вание Клеро предложил в 1739—1740 гг. Он не уверен,
что читатель «Теории фигуры Земли» знаком с его работа-
ми прошлых лет, и дает пояснение: «Под полным диффе-
ренциалом я понимаю величину, интеграл которой есть
функция от х ж у. Так, ydx -f xdy. у х у суть пол-
^ У а2-\-ху
ные дифференциалы, потому что их интегралы ху
я у а2 -\-ху... . Но y3dx -f- x3dy или y2dx -j- x2dy не явля-
ются полными дифференциалами, потому что никакие
функции от х и у не могли бы быть их интегралами».
206
В приведенном отрывке, все содержание которого пол-
ностью принадлежит Клеро, имеется все существенное из
теории криволинейного интеграла: идея этой величины,
вычисление вдоль произвольного криволинейного участка,
требование независимое™ от пути интегрирования и ус-
ловие, при котором это требование выполняется. Далее,
это требование использует понятие полного дифферен-
циала; само понятие предложено Клеро и он же формули-
рует условие, при соблюдении которого определенное вы-
ражение оказывается полным дифференциалом.
Мы не можем здесь рассматривать книгу о теории фи-
гуры Земли со стороны ее основного содержания. Ограни-
чимся мнениями двух ученых, суждениям которых можно,
кажется, довериться.
Эйлер в письме к Хр. Гольдбаху выразился так: «„Те-
ория фигуры Земли" г-на Клеро есть действительно про-
изведение несравненное... ему удается совершенно ясно
и отчетливо изложить предметы самые возвышенные».
Лаплас же оценил книгу в следующих словах: «Важность
результатов и изящество, с которыми они представлены,
ставят это произведение в ряд прекраснейших работ в об-
ласти математики».
Умер Клеро в 1765 г.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Несколько очерков, написанных нами, дают лишь общее
представление о том мощном творческом потоке, который
вызвал к жизни бурное развитие математики и обусловил
поистине сказочный переход от косных понятий XVI в.
к совершенно новому математическому мышлению XIX в.
Этот знаменательный переход почти точно укладывается в
два столетия — XVII и XVIII. Семнадцатый век несет на
себе немало родимых пятен средневековья. Математика в
то время не только не распалась на отдельные отрасли, но
сама еще не вполне отделилась от философии. Философы
XVII в. были математиками — Гассенди, Гоббс, Декарт,
Лейбниц... Почти все математики были философами —
Кавальери, Торричелли, Паскаль, Роберваль и др. Нью-
тон не считал себя философом, однако его влияпие на фи-
лософию XVII и XVIII вв. огромно (достаточно сказать,
что он положил конец господству философии Декарта).
207
Философы искали универсальный метод. Широкие обобще-
ния математики и автоматичность, с которой она получа-
ет ответы, пользуясь своими алгоритмами, подсказывали
философам, в каком направлении искать «универсальный
метод». Декарт иллюстрирует свой метод «Геометрией»,
Лейбниц надеется построить алгоритм философии по ана-
логии с алгоритмом дифференциального исчисления.
XVII столетию свойствен большой интерес к работам
древних греков и прежде всего к Архимедову стилю из-
ложения. Строгость его доказательств была принята за
образец. Поэтому первые оригинальные работы Кеплера
трактовались как совершенно неприемлемые, и лишь в
дальнейшем необыкновенно богатое результаты, получен-
ные с помощью новых инфинитезимальных методов, ос-
лабили (но не уничтожили) оппозицию.
В начале XVII в. еще не было академий или каких-
либо иных обществ, объединяющих ученых, в частности
математиков. Ученые творили в одиночестве. Самое боль-
шее, на что ученый мог рассчитывать, это дружеская кри-
тика другого ученого, с которым он переписывался. Но
и в этом смысле не всегда все было определенной просто,
о чем свидетельствует установившийся тогда обычай объ-
являть и в то же время засекречивать открытие путем
опубликования шифрованной анаграммы.
Естественная склонность ученых к обмену открытиями
и прочей профессиональной информацией находила вы-
ражение в переписке и в создании дружеских «надомных»
кружков — ведь научные' журналы, как и академии, по-
явились только во второй половине XVII в.
Лишь после того как эти «предтечи» успепщо выполни-
ли выпавшую на их долю историческую задачу, и возник
настоящий математический анализ. Последние пятнадцать
лет XVII в. характеризуются бурным развитием исчис-
лений Лейбница. Начался период стремительного за-
воевания все новых областей; каждая статья Лейбница,
Якова или Иоганна Бернулли содержала решение новой
задачи из дифференциального исчисления, интегрального
исчисления, вариационного исчисления и т. д. Лейбница
и братьев Бернулли иногда сравнивают с колонистами,
работающими на ни кем до них не тронутых землях. Дей-
ствительно, в упоении необыкновенными успехами и от-
крывшимися возможностями изобретатели нового исчис-
ления не очень озабочивались его обоснованием.
208
Вызванный новым исчислением скепсис был не совсем
беспричинным. И теория флюксий, и дифференциальное
исчисление в XVII в. не блистали порядком в своих осно-
вах. Не было, например, твердо установлено, что такое
«момент» (Ньютон) или «бесконечно малая» (Лейбниц).
Воспитанные на Аристотелевой формальной логике, их
современники добивались однозначных ответов на вопрос:
эти «вещи» — нули или не нули? И, конечно, не могли
добиться точных ответов от авторов. Таким образом, ана-
лиз (если для краткости так назвать все новое исчисление)
перешел в XVIII столетие в блеске и громе побед, но при
более чем скромных обоснованиях. Новый век продол-
жил эпоху завоеваний, причем триумф «новой» математики
отражался и в других науках — в небесной механике,
в теоретической механике и т. д. Еще не пришло время
для безупречного обоснования анализа. Кое-что для этого,
правда, делалось: в то время как общие и малоубедитель-
ные рассуждения Лейбница и Эйлера не придали ясности
вопросу о производной, Даламбер обратил внимание на
Ньютоновы «первые и последние отношения». Он заменил
их понятием предела и подготовил таким образом почву
для теории пределов Коши. Другой пример большой под-
готовительной работы — дискуссия о природе функции
(Д. Бернулли, Эйлер, Даламбер). Она внесла много яс-
ности и обогатила плодотворными идеями этот вопрос,
но не разрешила задачу полностью. XIX столетию, как
известно, пришлось еще немало над ней потрудиться
(Фурье, Лобачевский, Дирихле, Риман). Сходимость ря-
дов — пример весьма беззаботного отношения XVIII в.
к серьезному вопросу. Сам Тейлор даже не ставил задачи
о сходимости своего ряда. Маклорен пытался включить
в исследование каждого ряда также и рассмотрение его
сходимости. Вопрос о сходимости как первом качестве
ряда оставался настолько чуждым духу XVIII в., что
даже Эйлер не считал нужным ни рассматривать его, ни
прислушиваться к прямым упрекам и напоминаниям
(Н. Бернулли, Маклорен). Только Лагранж возвысился
над духом XVIII в. Он ввел остаточный член ряда, по-
ложил ряд Тейлора в основание анализа, пытаясь обой-
ти стороной и вопрос о бесконечно малых и вопрос о про-
изводных, для чего определил производную как коэффи-
циент при члене ряда Тейлора («Лекции по теории и ис-
числению функций», 1797—1801).
209
В то время кад завоевания математики расширялись иа
протяжении всего XVIII в., проблема обоснования почти
не продвигалась вперед. Это не мешало тому, что величест-
венные результаты, полученные с помощью математики
в механике и особенно в небесной механике, способст-
вовали укреплению механистического мировоззрения.
Пафос науки XVIII в. выразил Лаплас в словах, став-
ших знаменитыми: «Ум, который знал бы все действую-
щие в данный момент силы природы, а также относи-
тельное положение всех составляющих ее частиц и ко-,
торый был бы достаточно обширен, чтобы все эти данные
подвергнуть математическому анализу, смог бы охватить
единой формулой движение как величайших тел вселен-
ной, так и ее легчайших атомов. ... Он одинаково ясно
видел бы и будущее и прошлое».
Выше говорилось, что в XIX в.. господствовало сов-
сем другое, чем в XVI в., математическое мышление.
Прежде всего, изменились границы деятельности мате-
матиков. Как правило, математик уже не работает во всех
областях своей науки. В XVIII в. крупный математик
был математиком вообще, он работал и в области класси-
ческой математики, и в анализе, и в геометрии. Про Да-
ламбера, Лагранжа или Лапласа нельзя сказать, что
кто-нибудь из них аналитик, или геометр, или алгебраист.
Не то в XIX в. Математика настолько расширилась, что
лишь исключительно выдающиеся таланты могли уделять
внимание многим областям математики (Гаусс, Риман,
Чебышев), обычно же математик сосредоточивал внимание
на сравнительно ограниченном круге вопросов. На грани
XVIII и XIX вв. стоит Гаусс. Сохраняя многое от XVIII в.,
например латинский язык, универсальность интере-
сов, стремление приложить свои открытия к астрономии
и т. д., Гаусс был математиком уже новой формации. Поч-
ти одновременно с ним начал свою деятельность Коши,
начисто изгнавший из математической практики обраще-
ние к интуиции. Все это поставило в порядок дня вопрос
о строгости математического доказательства и более об-
щий — об истинных основаниях математики. Под знаком
этих «проклятых вопросов» и развивалась математика
XIX в. после того, как она благополучно пережила время
своего отрочества (XVII в.) и юности (XVIII в.), которым
и посвящена эта книга.
ЛИТЕРАТУРА
I. Книги по истории математика
Б у р б а к и Н. Очерки по истории математики. М., 1964.
Васильев А. В. Целое число. Пг., 1922.
ВилейтнерГ. История математики от Декарта до середины
XIX столетия. М., 1960.
Вилейтнер Г. Хрестоматия по истории математики, состав-
ленная по первоисточникам. М.— Л., 1935.
Гнеденк оБ. В. Очерки по истории математики в России.
М.- Л., 1946.
«Историко-математические исследования» (ежегодные сборники, вы-
ходят с 1948 г.).
К л е й н Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии, ч. 1.
М.—Л., 1937.
Рыбников К. История математики, ч. 1. М., 1960.
Рыбник овК. Об алгебраических корлях дифференциального
исчисления.— «Историко-математические исследования», 1958,
т. XI, стр. 583-592.
С т р о й к Д. Я. Краткий очерк истории математики. М., 1964.
Ц е й т е н Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. М.— Л.,
1938.
П. Сочинения классиков математического анализа
БольцаноБ. Парадоксы бесконечного. Одесса, 1911.
Галилей Г. Избранные труды в двух томах. Изд-во «Наука»,
1963.
Гюйгенс X. Три мемуара по механике. Л., 1951.
Декарт Р. Геометрия. М.— Л., 1938.
Кавальери Б. Геометрия, изложенная новым способом при
помощи неделимых непрерывного. М.— Л., 1940.
К е п л е р И. Новая стереометрия винных бочек. М.— Л., 1934.
К а р н о Л. Размышления о метафизике исчисления бесконечно
малых. М.— Л., 1936.
Лейбниц Г. В. Избранные отрывкп из математических сочи-
нений.— «Успехи математических паук», 1958, вып. 3, стр.
150-204.
Л о п и т а л ь Г. Ф. Анализ бесконечно малых. М.— Л., 1935.
Ньютон И. Всеобщая арифметика. М.— Л., 1948.
211
Ньютон И Математические начала натуральной фил ософии
М-Л., 1936.
Ньютон И Математические работы. М.—- Л., 1937.
Э й л е р Л. Введение в анализ бесконечно малых, т. I. M.— Л.,
1936.
Эйлер Л. Интегральное исчисление, т. I. М., 1956; т. П. М.,
1957; т. III. M., 1958.
Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свой-
ствами максимума либо минимума. М.— Л., 1934.
III. Книги и статьи по отдельным вопросам
Вавилов СИ. Исаак Ньютон. Изд. 2. М., Изд-во АН СССР,
1957.
Колмогоров А. Н. Ньютон и современное математическое
мышление.— В сб. «Московский университет — памяти Исаака
Ньютона». М., 1946.
Л у з и н Н. Н. Ньютонова теория пределов.— В сб. «Исаак Нью-
тон». М.— Л., стр. 53—74.
Лурье С. Я. Предшественники Ньютона в философии бесконечно
малых.— В со. «Исаак Ньютон». М.— Л., 1943, стр. 75—95.
Маркушевич А. И. Основные понятия математического ана-
лиза и теории функций в трудах Эйлера^— В сб. «Леонард Эй-
лер». М., Изд-во АН СССР, 1958, стр. 98—132.
Мордухай-Б олтовской Д • Д • Генезис и история теории
пределов (XVIII в.).— «Известия Сев.-Кавк. гос. ун-та»,
III (XV), 1928.
«Исаак Ньютон». Сборник статей к 300-летию со дня рождения.
М.— Л., 1943.
«Сборник статей и материалов к 150-летию со дня смерти Леонар-
да Эйлера». М.— Л., 1935.
ТимченкоИ. 10. Исторические сведения о развитии понятий
и методов, лежащих в основании теории аналшических функ-
ций. Одесса, 1899.
«Леонард Эйлер». Сборник статей в честь 250-летия со дня рожде-
ния. М., 1958.
Юшкевич А. П. Эйлер и русская математика в XVIII веке.—
В сб. «Труды Института истории естествознания и техники».
М., 1949, вып. 3, стр. 45—116.
Юшкевич А. П. О возникновении понятия об определенном ин-
теграле Копти.— В сб. «Труды Института истории естествозна-
ния и техники». М., 1947, вып. 1. стр. 373—411.,
Яновская С. А. Геометрия Декарта.— В сб. «Фронт науки
и техники». М., 1937, т. 6, стр. 25—35.
Яновская С. А. Мишель Ролль как критик анализа бесконеч-
но малых.— В сб. «Труды Института истории естествознания
и техники». М-, 1947, вып. 1, стр. 327—346.
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
Анна Иоанновна (1693—1740)
149, 152
Анна Стюарт (1665—1714) 97
Аполлоний (около 265—170 до
н. э.) 7, 12, 51, 57, 61, 73
Араго Д. Фр. (Arago, 1786—1853)
182
Аристотель (384—322 до н. э.)
44, 53, 72, 100
Арно Антуан 63, 103
Архимед (287—212 до н. э.)
5, 12, 15, 17, 18, 20, 24, 32,
51, 73, 208
Барроу Исаак (Barrow Is.,
1630—1677) 9, 10, 32, 38, 40,
41, 59, 67, 79, 86, 87, 88, 89,
90, 95, НО, 111, 114, 126, 19&
Барроу Томас (отец Ис. Барроу)
69, 70
Беркли Дж. (Berkeley G., 1684—
1758) 82, 161
Берман Г. Н. 132
Бернулли Даниил (Bernoulli
Dan., 1700-1782) 82, 117,
118, 133, 139, 142, 145—148,
150,159,169,180,195
Бернулли Иоганн I (1667—1748)
65, 80—83, 93, 106, 107, 111,
ИЗ; 115, 117, 118, 120-128,
130, 132, 134, 136—142, 145,
156, 161, 166, 167, 171, 175,
176, 185—189, 191—194, 196,
198, 204, 206, 209
Бернулли Иогашт II (1710—
1790) 118, 142, 145, 146, 150,
200, 204
Бернулли Иоганн III (1744—
1807) 118, 130, 131, 150
Бернулли Николай I (1687—
1759) 120
Бернулли Николай II (1695*—
1726) 118, 134, 139, 142, 146,
210
Бернулли Яков I (1654—1705),
65, 80—83, 93, 106, 111, 114,
118, 120, 128, 129, 131—137,
140, 141, 144, 145, 185, 186,
188, 190, 193, 194, 209
Бернулли Яков II (1759—1789)
118
Блументрост 147, 148
Бойль Роберт (Boyle R., 1627—
1691), 99, 103
Бойнебург (Boineburg) 102
Браге Тихо (Brahe Tycho, 1546—
1601), 12, 13, 51
Бруно Джордано (Bruno J.,
1548—1606) 66
Бугенвилль де Л. A. (Bougain-
vill de L. A., 1729—1811) 193
Вавилов С. И. (1891—1951) 91
Валленштейн A. (Wallenstein A.,
1583—1634) 21
Валлис Дж. (Wallis J., 1616—
1703) 6, 7, 32, 79, 86, 99, 141
BapHHbOHn.(VarignonP., 1654—
1722) 125, 138, 141, 192
Вассура Джузеппе (Vassura J.)
53
Вивиани В. (Viviani V., 1622—
1703), 51, ИЗ, 141
213
Виет Ф. (Vieta F., 1540—1603)
105
Вилейтнер Г. (Wieleitner H.,
1874—1931) 142
Вильгельм Оранский (1650—
1702) 68, 92, 97
Вольтер 140
Врен Кр. (Wrien Chr., 1632—
1723) 90
Галилей Галилео (Galilei Ga-
lileo, 1564-1642) 22, 24, 25,
31, 47, 50—53, 56, 57, 67, 84,
91, 93, 97, 99, ИЗ, 123
Галлей Э. (Halley E., 1656—
1742) 91, 141
Гассенди Пьер (Gassendi Pier-
re, 1592-1655) 34, 60, 208
Гаусс К. (Gauss К., 1777—1855)
83, 211
Гёрманн Яков (Hermann J.,
1678—1733) 147, 149, 154
Гзелль Саломея (вторая жена
Л. Эйлера) 151
Гинэ (Guinee, ?—1718) 200, 202
Гоббс Т. (Hobbes Т., 1588—
1679) 208
Гольбич Мартин, 69
Гольдбах Хр. (Goldbach Chr.,
1690—1764) 155, 207
Грегори Дж. (Gregory James,
1638—1675) 89
Григорий из Сен-Винцента (Gre-
gorius a St.-Vincentio, 1584—
1667) 6
Губер И., 140
Гудде (Hudde J., 1628—1704)
141
Гук Роберт (Hook Rob.,
1635—1703) 90—92, 97
Гульден Пауль (Guldin P. 1577—
1643) 18, 97
Гюйгенс Хр. (Huygens Chr.,
1629—1695) 8, 34, 43, 48, 102,
114, 120, 125, 133, 136, 141,
142, 188, 194
Даламбер Жан Лерон (D'Alem-
bert, 1717—17S3) 38, 83, 137,
138, 163, 169, 170, 195, 199,
211, 125
Де Бесси Френикль (De Bessy
Fr., 1600—1675) 34, 44
214
Дебон Ф. (Debeaune F., 1601 —
1652) 108, 123, 188
Декарт Рене (Descartes Renais,
1596-1650) 6, 8, 39, 40, 41,
44, 47, 48, 60, 61, 67, 79, 81,
86, 97, 99, 102, 105, 106, 108,
109, 115, 121, 123, 125, 136,
146, 153, 188, 189, 194, 203,
208
Дирихле Л ежен (Dirichlet L.,
1805—1859) 162, 169, 210
Дюамель (Duhamel) 49
Дюилье Фатио де (de Duil-
lier Fatio, 1664—1753) 114,
141
Евклид (ок. 325 до н. э.) 6, И,
32, 60, 73, 85, 86
Екатерина I (1684—1727) 149
Екатерина II (1729—1796) 168,
170
Елизавета Петровна (1709—
1761) 152
Иван (Иоанн) VI (1740—1764)
152
Иннокентий X, 26
Кавальери Бонавентура [Са-
valieri Bon., 1598 (?)—1647]
6, 23—32, 34, 37, 44, 47, 50,
52, 54, 55, 59; 74, 79, 87, 89,
93, 95, 97, 111, 114, 208
Караваджи Ч. 89
Каркави Пьер (de Carcavy P.,
?—1684) 34, 43, 44, 64, 138
Карл I (1600—1649) 68, 69
Карл II (1630—1685) 68, 70,
72
Кастелли Бенедетто (Castelli
Ben.) 24, 25, 50—52
Кейль Дж. (Keill J., 1674—1721)
114, 136, 194
Кёниг Самуил (Konig Sam.)
142, 152, 154
Кеплер Иоганн (Kepler I.,
1571—1630) 5—7, 10-23,
25, 29, 37, 38, 51, 54, 74, 91,
97, 99, 111, 208
Клеро Алексис (Klairaut AL,
1713—1765) 57, 125, 200-207
Клеро Жан-Батист (отец Алек-
сиса Клеро) 200
Кольбер Ж. Б. (Colbert J. В.,
1619—1683) 43, 61, 103
Кондамин Ш. М. (Condamine
Ch. M., 1701—1774) 204
Кондорсе М. (Condorcet M.,
1743—1794) 152, 181, 199
Коперник Николай (Coperni-
cus N., 1473—1543) И, 12,
23, 83
Котес Роберт (Cotes Rob.) 97,
196
Копти А. Л. (Cauchy A., 1789—
1857) 163, 166, 2С0, 210, 211
Крамер Г. (Cramer G., 1704—
1752) 134, 142
Кромвель Оливер (1599—1658)
68, 194
Крылов А. Н. 84, 91, 153
Крэг Дж. (Craig J., ум. 1791)
80
Лагранж Жозеф Луи (Lagran-
ge J. L., 1736-1813) 38, 40,
83, 84, 170, 195, 199, 200, 210,
211
Лалувер A. (de Laloubere A.,
1600—1664) 34
Ланьи Т. Ф. (de Lagny Т.,
1660-1734) 158
Лаплас Пьер Спмон (Laplace
P. S., 1749—1827) 38, 194,
207, 211
Лежандр A. (LegendreA., 1752—
1833) 164, 206
Лейбниц Готфрид Вильгельм
(Leibniz G W., 1646—1716)
8, 9, 61, 65, 66, 74,. 80, 81„
82, 84, 88, 89, 93, 95, 97-126,
128, 129, 132, 136, 138, 140,
141, 152, 154, 156, 161, 165,
166, 186—191, 193—195, 197,
198, 208-210
Лобачевский Н И. 162, 210
Ломоносов М. В. (1711—176f>)
151
Лопиталь Г. (L'Hopilal, 1661 —
1704) 80, 81, 108, 125, 126,
129, 132, 139, 140, 141, 166,
167, 185—193, 202
Лориа Джипо (Loria J.) 53
Лукас (Lucas) 71
Людовик XIV (1643-1715) 43
Маклорен К. (Maclorin С,
1698—1746) 82, 199, 210
Мальбранш И. (Malebrauche N.,
1638-1715) 125
Медичи Фердинандо (Medici F.)
52
Морсени Марен (Mersenne M.,
1588—1648) 34, 39, 42, 43,
44, 47, 60, 61, 64, 136, 138,
194, 195
Местлин Михаэль (учитель
И. Кеплера) И, 12
Монтегю 93
Монтюкла Ж. (Montucla J.,
1725-1799) 28
Мопертюи Пьер Моро (Man
pertuis P. M., 1698—1759)
125, 139, 145, 153, 154, 167,
204, 206
Непер Дж. (Neper, Napier, 1550—
1617) 26
Николь Ф. (Nicol F., 1683—
1758) 198
Ныовентиит Б. (Nieuwentijt В.,
1654—1718) 141
Ньютон Исаак (Newton I.,
1642—1727) 10, 41, 67, 69,
71, 72, 79, 80, 81, 82, 84—
98, 103, 106, 109, 110, ИЗ—
115, 126, 132, 136, 141, 146,
153, 161, 166, 188, 193—196,
198, 203, 206
Озу (Ausout, 1630—1691) 44
Ольденбург Г. [Oldenburg H.,
1615 (?)—1677] 89, 103, 106
Папп, Папнус (III в.) 12
Паскаль Блез (Pascal Blai-
se, 1623—1662) 6, 9, 34, 59—
67, 103, 114, 187, 198, 208
Паскаль Жаклипа (сестра Бл.
Паскаля) 60, 62
Паскаль Этьен (отец Б. Паскаля,
1858—1651) 34, 59, 60, 62, 97
Пембертоп 136, 194
Перье (зять Б. Паскаля) 60, 62
Перье (Паскаль) Жильберта
(сестра Б. Паскаля) 60, 62
Персони Жиль (Personne Oil-
ier) см. Роберваль 6, 41—43
Петр I (1672-1725) 116, 117
Петр II (1715-1730) 149
Пикар (Picard J., 1620—1682)
44
Помяловский Н. Г. 144
215
Птолемей Клавдий (ок. 150 г.
н. э.) И, 51, 82
Пушкин А. С. 86, 149
Рейно (Reyneau Ch., 1656—1728)
202
Риккати Дж. (Riccati J., 1676—
1754) 175, 178
Риман Б. (Riemann В., 1826—
1866) 163, 210, 211
Риччи М. fRicciM., 1619—1692)
51
Ришелье (Ricbelieij de A.,
1585—1642) 42
Роберваль (de Roberval; Жиль
Персонн, 1602—1675) 6, 8,
9, 34, 39, 41, 43-49, 57, 60,
61, 64. 81, 125, 137, 208
Робине Б. (Robins В., 1707—
1751) 82, 136
Ролль М. (Roll M., 1652—1719)
82, 141
Рудио Ф. 184
Рудольф II 21
Сивере 149
Спиноза Б. (Spinoza В., 1632—
1677) 104
Стоке Генри 84
Таке A. (Tacquet A., 1612—
1680) 7
ТаннериПоль (Tannery Р., 1843—
1904) 41, 43
Тейлор Брук (Taylor Brook,.
1685-1731) 82, 97, 130, 136,
137, 194—200, 205, 210
Томазий Яков (учитель Г. Лейб-
ница) 100
Торричелли Эванджелиста
(TorricelliEvang., 1608—1647)
8, 10, 24, 27, 32, 34, 38, 42,
49—59, 79, 99, 126, 208
Урбан VIII 25, 26
Фабри Оноре [Fabri Hon.,
1606 (?)-1688] 46, 136
Феодосии (I в. до н. э.) 51
Ферма Пьер (Fermat P., 1601 —
1665) 6-9, 18, 33-44, 47,
59.„-60, 64, 73, 74, 79, 81
86, 87, 97, 99, 106, 115, 188
Ферма Сашоэль (сып Пьера
Ферма, 1630—1690) 41
Фламстид (Flamslead F., 1646—
1718) 120
Фоптенель Б. (Fontenelle В.,
1657—1757) 117
Формей 183
Фридрих II (1712—1786) 152,
153, 169, 170
Фриш Хр. (Frisch Chr.) 22
Фурье Ж. (Fourier J. В., 1768—
1830) 169, 210
Фусс Николай (Fuss N., 1755—
1826) 139, 151, 180, 182
Фусс П. Н. (1797—1855^ 180,
183, 184
Цейтен Г. Г. 57
Чебышев П. Л. (1821—1894)
173, 211
Чиамполи Джжованни (Ciam-
poli J., 1577—1643) 25, 52
Чирнгауз Э. В. (Tschirnhaus E.,
1651-1708) 32
Шмукке Катерина (мать Лейб-
ница) 99
Штехелин (Stehelin) 147
Эйлер Иоганн Альбрехт (сын
Л. Эйлера, 1734—1800) 150
169, 180
Эйлер Карл (сын Л. Эйлера,
1740—1790) 151
Эйлер Леонард (Euler Leonbard,
1707—1783) 82—84, 127, 139,
143-184, 195, 197, 199, 206,
207, 210
Эйлер Пауль (отец Л. Эйлера,
?—1745) 144
Эйлер Христофор (сын Л. Эй-
лера) 151, 170
Энгельс Ф. 82, 112, 115
Энештром Г. (Enestrom G.,
1852—1923) 151, 184
Юпг Вильям 198
Якоби К. Г. (Jacobi К. G.,
1804—1851) 183
Яков I (1566-1625) 61
Яков II 69
Янсений (Jansenius) 62
65 коп.
В 1969 ГОДУ
В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ «НАУКА»
ГОТОВЯТСЯ
К ПЕЧАТИ КНИГИ;
Кузнецов Б. Г.
НАУКА В 2000-м ГОДУ
15 л. 1 р. 20 к.
В книге рассматриваются
современные тенденции
науки и их значение
для будущего.
Прогнозы, условно
отнесенные к 2000 г.,
охватывают проблемы
физики элементарных частиц,
космологии, астрофизики,
квантовой электроники,
молекулярной биологии,
кибернетики, а также
проблемы экономического
эффекта научного
прогресса, связанные
с перспективами
развития науки.
НАСЕЛЕННЫЙ
КОСМОС.
Сборник статей.
50 л. 3 р. 20 к.
В статьях сборника
всесторонне
рассматриваются
проблемы, волнующие
в настоящее время все
человечество, связанные
с жизнью вне Земли,
обитаемостью планет,
развитием внеземных
цивилизаций
и установлением контак-
тов с ними.
Сборник
«Населенный Космос» —
уникальное произведение
мировой научной
литературы.
Заказы на книги
просим направлять
по адресу: Москва, В-463,
Мичуринский проспект, 12,
магазин «Книга — почтой»
«Академкнига»
или в ближайший магазин
«Академкнига»