Рождение новой математики - Никифоровский В.А., Фрейман Л.С.

Автор: Никифоровский В.А. Фрейман Л.С.

Теги: математика история математики

Год: 1976

Похожие

Творцы высшей математики

История математики с древнейших времен до Нового времени

Изгнание из рая: новый кризис основания математики.

Что такое высшая математика: чем она отличается от школьной, зачем она нужна

Текст

АКАДЕМИЯ НАУК СССР
Серия «Из истории мировой культуры»
В. А. НИКИФОРОВСКИЙ,
Л. С. ФРЕЙМАН
РОЖДЕНИЕ
НОВОЙ
МАТЕМАТИКИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
Москва 197Q

О том, как разрабатывались основы новой
математики в первой половине XVII в., в книге
рассказывается на примере творчества Декарта, Ферма, Торричелли
и Роберваля. Эти ученые участвовали в создании
дифференциального и интегрального исчислений,
окончательно оформленных и завершенных позднее
Ньютоном и Лейбницем. Показано развитие основных
математических идей от древности до XVII в., а также
преемственность этих идей в работах творцов науки нового
времени.
Scan AAW
Н
20201—013
054(02)—76
-47—76НП
© Издательство «Наука», 1976

ПРЕДШЕСТВЕННИКИ
1
Сущность происшедшего в XVII в. скачка в непрерывном
развитии математики, скачка, приведшего к возникновению
новой математики, которая стала рабочим инструментом
научного естествознания, будет выглядеть более рельефно,
если дать краткий исторический обзор становления
основных математических идей. В этом обзоре нас будут
интересовать те идеи, которые получили дальнейшее развитие в
трудах Декарта, Ферма, Торричелли и Роберваля; иначе
говоря, мы рассмотрим вопросы, связанные с алгеброй,
геометрией, анализом, и оставим в стороне такие разделы
математики, как методы вычислений, тригонометрию и
другие, лежащие вне основных интересов исследователей,
которым посвящена эта книга.
Среди прославленных представителей
физико-математических наук в XVII в. особо выделяются благодаря
сочетанию исключительных дарований и значительности
исторической роли Галилей, Декарт, Гюйгенс, Ньютон и Лейбниц.
Но рядом с ними, оттеняя и дополняя их, стоят
мыслители, которые в своих высших достижениях приближались
к самым великим и могли соперничать с ними. Вслед за
«большой пятеркой» следует назвать Ферма, Торричелли,
Паскаля, Роберваля. На базе накопленных в течение
многих веков знаний ведущим мыслителям XVII в. удалось
разработать новые методы исследования, создать новую
математику.
Математика последних столетий, начиная с конца
XVII в., отличается от математики предшествующей
следующими основными особенностями. Прежде всего в ее
основе лежит понятие переменной величины. Энгельс в
«Диалектике природы» писал: «Поворотным пунктом в
математике была Декартова переменная величина.
Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым
3

диалектика и благодаря этому же стало немедленно
необходимым дифференциальное и интегральное исчисление,
которое тотчас и возникает и которое было в общем и
целом завершено, а не изобретено Ньютоном и Лейбницем»1.
Получившая в дальнейшем свое развитие идея
функциональной зависимости позволила разработать общие
методы решения задач, возникающих не только внутри
математики, но и в других науках, изучающих природу. Такие
методы можно приложить к широкому классу задач,
имеющих общие закономерности. В отличие от этого
математики древности и средневековья рассматривали отдельно
каждую частную задачу и вынуждены были
разрабатывать частные методы решения, не обладающие
достаточной общностью.
Развитие новых методов стало возможным благодаря
тому, что новая математика построена на базе алгебры с
ее единым символическим языком. Это создало
предпосылки для построения абстрактных понятий, причем
достигнутая степень абстракции очень высоца. Проникновение
алгебры во все области математики позволило создавать
алгоритмы, т. е. системы исчисления, приложимые к
определенным классам задач, системы с характерными
правилами преобразований и специфической символикой.
2
Считается, что эллины заимствовали первые сведения
по геометрии у египт&н, по арифметике и алгебре — у
вавилонян. Так, комментатор Евклида Прокл (410—485) писал:
«Согласно большинству мнений, геометрия была впервые
открыта в Египте, имела свое происхождение в измерении
площадей»2. В «Истории математики» читаем: «С полной
уверенностью можно говорить о плодотворном воздействии
традиций, восходящих к вавилонской алгебре,— это
ощущается у Герона, затем у великого Диофанта, а еще
позднее у ал-Хорезми и других основателей алгебраической
школы стран ислама»3. Но если вавилоняне за два тысяче-
1 Ф. Энгельс. Диалектика природы. М., Госполитиздат, 1965, стр.
224.
2 Prokli Diadochi im primum Euclidis Elementorum librum com-
mentarii. Ed. G. Fridlein. Lipsiae, 1873, p. 64.
3 «История математики с древнейших времен до начала Нового
времени», т. 1. М., «Наука», 1970, стр. 57.
4

летия до нашей эры умели числовым путем решать задачи,
связанные с уравнениями первой и второй степени, то
развитие алгебры в трудах Евклида (365—ок. 300 до н. э.),
Архимеда (287—212 до н. э.) и Аполлония (ок. 260—170
до н. э.) носило совершенно иной характер: греки
оперировали отрезками, площадями, объемами, а не числами. Их
алгебра строилась на основе геометрии и выросла из
проблем геометрии. В XIX в. совокупность приемов древних
была названа геометрической алгеброй1*.
Как пример построений греков, рассмотрим решение
уравнения5
х2 + ах=а2.
Античные математики решали задачу построением и
строили искомый отрезок так (рис. 1). На данном отрезке
АВ (=а) строили прямоугольник AM [ = (а+х)х],
равновеликий данному квадрату (а2), таким образом, чтобы
избыточная над прямоугольником AL (=ах) площадь ВМ
была квадратом {=х2). Такое построение называли
гиперболическим приложением площади (гипербола —
избыток).
Далее, полагая яадачу решенной, делили АВ пополам
точкой С, на отрезке LM строили прямоугольник MG,
равный прямоугольнику ЕС. Тогда прямоугольник AM будет
разностью квадратов DF и LF. Эта разность и квадрат LF
известны, поэтому по теореме Пифагора можно получить
квадрат DF. После этого находили DC ( = ya + х) и
DB (=х).
Для сравнения покажем, как решается аналогичная
задача в школе. Именно, решим задачу о нахождении
стороны правильного десятиугольника, вписанного в круг
радиуса а. Обозначим сторону десятиугольника через х и
обратимся к чертежу (рис. 2). Здесь АВ = х, О А = ОВ = а.
Центральный угол АОВ=Ж, ^ОАВ=^ОВА=12°.
Проведем биссектрису угла ОАВ. Тогда ^-ABN=^-BNA=72°,
поэтому AN=AB=x. Но треугольник ANO также
равнобедренный, так как ^-NOA=^-OAN=36°. Отсюда AN=
4 Г. Г. Цейтен. История математики в древности и в Средние
века. М. — Л., ГТТИ, 1932, стр. 45.
5 А. П. Юшкевич. Декарт и математика.— В кн.: Р. Декарт.
Геометрия. М.— Л., ОНТИ, 1938, стр. 258.
5

F
4f-
/
Рис. 1
Рис. 2
=NO=x. Итак, ОА = а, АВ=х, NB=a—x, ON=x.
Воспользуемся свойством биссектрисы внутреннего угла
треугольника и запишем
а х
х а — х
Это дает уже рассмотренное квадратное уравнение
х2 + ах—а2=0.
Решив его, получим
-5-±/(т-)'+*-
Возьмем только положительный корень,
соответствующий решению древних,
Легко построить полученный корень. В самом деле, выра-
А С Л я
Я
/
/
/
/
/
/
/
/ . -
/
/
/
?
Рис. 3
Рис. 4

жение 1/ (— \ + а2 представляет собой гипотенузу
треугольника с катетами а/2 и а. Построив такой треугольник,
вычтем из его гипотенузы величину а/2 и найдем искомое.
Построение дано на рис. 3; и это известно каждому
школьнику.
Аналогично решались древними и другие виды
квадратных уравнений, например задача, которую мы
сформулировали бы с помощью уравнения
ах—xz=bz,
решалась бы ими построением, называемым
эллиптическим приложением площади (эллипс — недостаток). Пусть
АВ—а (рис. 4.). Разделим АВ точкой С пополам и
приложим прямоугольник СК к стороне DB. Тогда
прямоугольник AM будет равен разности квадратов, построенных на
ВС и CD, т. е.
& = ах - х* = (-J")2 - ("f - *)2.
Зная Ъ и СВ=а/2, можно по теореме Пифагора найти
CD=a/2—х, а затем и х.
С помощью геометрии древним удавалось также
доказать многие алгебраические тождества. Но каковы эти
доказательства! Они безупречны в отношении логики и
слишком громоздки. Вот как формулирует Евклид
теорему, выражающую тождество (a+b)2=a2+2ab+b2
(теорема 4, II книга «Начал»).
Если отрезок (оф) разделен в точке (ч) на два
отрезка, то квадрат, построенный на (сф), равен квадратам
на отрезках (ау, чР) вместе с удвоенным прямоугольником
на отрезках (осу, *ф)- И вот доказательство этой теоремы.
Построим на сф квадрат абе^ с диагональю рб (рис. 5).
Проведем через *у прямую y?0, параллельную аб или Ре, и
через ? прямую г]т, параллельную 'оф и бе.
Так как у0 параллельна аб, то углы (3?ч и [Зба равны,
потому что две параллельные прямые пересечены третьей
прямой, и указанные углы будут соответственными. Но
углы рба и а^б равны, так как треугольник абр
равнобедренный (аб равняется а(3), а в равнобедренном
треугольнике углы при основании равны. Следовательно, углы
Р^Ч и а^б равны, поэтому равны $у и yt,. Далее, fty равна
?т и у? равна [it, потому что во всяком параллелограмме
7

противоположные стороны равны. Отсюда ?т равна тр и
фигура 7Т равносторонняя. Но эта фигура также и
прямоугольна, ибо ^5 и рт параллельны, поэтому углы t{W и
?чР составляют два прямых угла, так как если две
прямые параллельны, то пересекающая их прямая образует
два внутренних односторонних угла, составляющие два
прямых. Значит, углы т^, ?тР» т?т и ?ТР — прямые.
Следовательно, фигура ут — квадрат со стороной р^. По тем же
причинам фигура г]0 — квадрат со стороной г]?, равной осу.
Т'
/*
/г
/ I
Рис. 5
Затем, aQ равняется ?е, потому что во всяком
параллелограмме дополнения лежащих по диагонали
параллелограммов равны между собой (равновелики, сказали
бы мы), и прямоугольник at, равен прямоугольнику,
построенному на oq и "ур, так как *у? равна *fP, а также и
?е равен прямоугольнику на осу и ур.
Но г]8 вместе с yt' ^? и ?8 составляют квадрат офеб,
построенный на ар, а по доказанному г]9 равен квадрату
на осу, 'ут —квадрату на ^Р? а? вместе с ?б —удвоенному
прямоугольнику на ау и *уР- Следовательно, квадрат на
ар равен квадрату на oq, сложенному с квадратом на чР
и удвоенным прямоугольником на щ и ^Р, что и
требовалось доказать.
Думается, приведенных примеров достаточно, чтобы
понять сущность методов геометрической алгебры.
Естественно, связывая число с геометрическим образом (линией,
поверхностью, телом), древние оперировали только
однородными величинами; так, равенство было возможно для
величин одинакового измерения.
8

Такое построение математики позволило античным
ученым достигнуть существенных результатов в
обосновании теорем и правил алгебры, но в последующем оно
неизбежно сковывало развитие науки.
Из этих примеров можно было бы заключить, что
математика древних примитивна. Но это не так: созданная
ими математика по своему идейному содержанию глубока
и питала идеями математику вплоть до XVII в. — века
научной революции; многие их идеи получили дальнейшее
развитие в новой математику, созданной усилиями
выдающихся умов в XVI — XVII вв.
3
Накопленные в странах Древнего Востока
математические знания состояли из набора разрозненных
математических фактов, рецептур для решения некоторых
конкретных задач и не могли обладать достаточной строгостью и
достоверностью. Создание основ математики в том виде,
к которому мы привыкли при изучении этой науки в
школе, выпало на долю греков и относится к VI — V вв. до
н. э. С этого времени начинает развиваться абстрактная
дедуктивная математика, построенная на строгих
логических доказательствах, представляющих собой основу
исследования.
Важную роль в математике древпих играла созданная
Евдоксом (ок. 406 — ок. 355 до н. э.) теория отношений,
в которой действительным положительным числом было
отношение однородных величин, а также выдвинутый им
«метод исчерпывания», примененный впоследствии при
доказательстве многих теорем. Он базировался на лемме,
позволяющей находить пределы различных
последовательностей. Геометрическая алгебра, теория отношений и метод
исчерпывания служили основой работ Евклида,
Архимеда, Аполлония. В творчестве этих великих математиков
античная наука достигла своей вершины.
Евклид в «Началах» подвел итог деятельности
математиков трех предшествующих столетий и завершил
построение дедуктивной науки. Эйнштейн говорил, что в Древней
Греции «впервые создана геометрия Евклида — это чудо
мысли, логическая система, выводы которой с такой
точностью вытекают один из другого, что ни один из них не
был подвергнут какому-либо сомнению. Это удивительней-
9

шее произведение мысли дало человеческому разуму ту
уверенность в себе, которая была необходима для его
последующей деятельности» 6.
«Начала» Евклида были базой всей античной
математики. По ним человечество изучало математику более двух
тысяч лет; евклидова геометрия во всех школах мира
изучается до сих пор. Достаточно сказать, что «Начала» к
1936 г. издавались более 460 раз на многих языках.
В «Началах» изложены вопросы планиметрии и
стереометрии, учение об отношениях, геометрическая
алгебра и решение квадратных уравнений, метод исчерпывания,
дана классификация квадратичных иррационалъностей.
В них не вошли приближенные вычисления, учение о
конических сечениях, результаты исследований в связи со
знаменитыми задачами древности (например, с задачами
квадратуры круга, трисекции угла, удвоения куба).
Архимед исследовал вопросы, связанные с
определением площадей, объемов, поверхностей, экстремумов,
центров тяжести, проведением касательных. Эти вопросы
интересовали математиков во все последующие времена и
получили полное разрешение только с созданием анализа
бесконечно малых.
Архимед определил площади круга, поверхностей шара
и сферического сегмента, вычислил объемы шара и
эллипсоида, сегментов шара, эллипсоида, параболоида и
двуполостного гиперболоида вращения, нашел площади
витка спирали («спирали Архимеда») р=а9, параболического
сегмента.
Вот пример рассуждений Архимеда при выводе
формулы для вычисления объема шара 7. Архимеду был
известен результат Демокрита (ок. 460— ок. 380 до н. э.) для
вычисления объема конуса. Демокрит установил, что объем
конуса равен одной трети объема цилиндра, имеющего то
же основание и ту же высоту, что и конус. Утверждение
Демокрита впервые доказал Евдокс «методом
исчерпывания».
Архимед рассматривал шар как тело, полученное при
вращении окружности вокруг диаметра, и при выводе
6 Л. Эйнштейн. Физика и реальность. М., «Наука», 1965, стр.
62.
7 См.: Д. Пойа. Математика и правдоподобные рассуждения. М.,
«Наука», 1975, стр. 174—177.
10

формулы для объема шара воспользовался открытым им
условием равновесия рычага.
Пусть радиус окружности равен а. Совместим ее
диаметр с осью Ох, а ось Оу проведем через конец диаметра
(рис. 6). Уравнение окружности в современных
обозначениях будет
х2+у2=2ах.
Величина пу2 дает площадь переменного сечения шара,
полученного при вращении окружности, плоскостью,
перпендикулярной оси Ох. Это важно заметить, поскольку
Рис. 6
Демокрит нашел свою формулу для конуса, исследуя
поперечные сечения его.
Перепишем уравнение окружности в виде
пх2-\-лу2=п2ах.
В той же системе координат построим прямоугольник
со сторонами 2а и 4а и равнобедренный треугольник с
основанием 4а и высотой 2а. Если все три фигуры вращать
вокруг оси Ох, то получим шар, конус и цилиндр.
Уравнение образующей конуса, очевидно, у=х. Слагаемое пх2
в левой части уравнения можно интерпретировать как
переменное поперечное сечение конуса, образованного
вращением прямой у=х вокруг оси Ох.
Умножим обе части равенства на 2а. Получим
2а (пх2+пу2) =кх (2а)2.
В этом равенстве фигурируют площади трех кругов
(дисков): пх2, пу2 и я(2а)2. Круги получаются в резулъ-
И

тате пересечения шара, конуса и цилиндра одной и той же
плоскостью, перпендикулярной оси Ох и отстоящей от
начала координат на расстоянии х.
Далее Архимед поступает так. Он оставляет диск
радиуса 2а (поперечное сечение цилиндра) в
первоначальном положении на расстоянии х от начала координат,
а диски радиусов у и х (поперечные сечения шара и
конуса) переносит в точку Н оси Ох с абсциссой —2а.
Подвесим диски радиусов у и х на невесомой нити
в точке Н и рассмотрим рычаг с осью Ох в качестве
жесткого бруса нулевого веса и точкой опоры 0.
В последнее равенство входят моменты8. Поскольку
моменты двух дисков в левой части равны моменту
одного диска в правой части, рычаг находится в равновесии.
Этот закон Архимеду был известен.
Если х меняется от 0 до 2а, то поперечные сечения
цилиндра целиком заполняют его. При этом
соответствующие поперечные сечения заполняют шар и конус. Точно
так же, как поперечные сечения тел, сами тела (цилиндр
и шар с конусом) находятся в равновесии. Поэтому их
моменты должны быть равны.
Обозначим объем шара у, подставим в равенство
известные объемы конуса и цилиндра и абсциссу центра
тяжести цилиндра. Получим
2а(и+я{2а^2а) = ая(2а)*2а.
Отсюда искомый объем шара будет
4л; а3
y = —•
В связи с этим изящным рассуждением Архимеда
Д. Пойа говорит об открытии Архимедом интегрального
исчисления, которое усилиями многих мыслителей было
поставлено на ноги в конце XVII в., т. е. через два
тысячелетия после Архимеда.
Архимед разработал методы проведения касательных
к кривым и применил их при проведении касательной к
спирали р=а0. Методы проведения касательных и
отыскания экстремумов предопределили возникшее также в
XVII в. дифференциальное исчисление.
Моментом называется произведение силы на плечо рычага.
12

С задачами на экстремум древние встретились в связи
с вопросом разрешимости уравнений. Евклид
рассматривал квадратное уравнение вида
х(а — х) =М
и установил, что оно имеет положительные решения при
условии
М< (а/2)2.
З^о, очевидно, связано с тем, что
max х(а — х) = а2/4, 0 < х < а.
Архимед провел исследование существования
положительных корней кубического уравнения
х1 (а—х) = Мс = mbc,
возникшего при решении задачи о делении шара
плоскостью так, чтобы объемы получившихся сегментов
находились в данном отношении.
Аналогично случаю квадратного уравнения
существование положительных корней этого уравнения связано
с наличием максимума функции х2 (а — х), так как
положительные решения будут, когда
Мс < max х2 (а — х), 0 < х < а.
Корни упомянутого кубического уравнения
отыскивались как абсциссы точек пересечения кривых
у = х2/т, у = Ъс1(а — х),
первая из которых представляет собой параболу, вторая —
гиперболу (рис. 7).
Архимед пришел к выводу, что максимум функции
х2(а—х), О^х^а достигается при?=2<2/3иравен 4а3/27,
поэтому рассматриваемое уравнение будет иметь
положительные корни в случае, когда
An3
Архимед дал доказательство своего утверждения. Он
доказал, что максимум х2{а—х) будет там, где парабола и
13

гипербола имеют общую касательную. Из свойств же
касательной к параболе и гиперболе следовал результат
max xL \a — х) = -тут
при х = 2а/3.
Таким образом, Архимед нашел метод сведения
задачи отыскания экстремумов функции к задаче проведения
касательной к кривой.
Но ведь все это вместе взятое и составило предмет
анализа бесконечно малых на заре его развития. Понятно
поэтому высказывание Лейбница: «Внимательно читая
сочинения Архимеда, перестаешь удивляться всем
новейшим открытиям геометров».
Рис. 7
*1 °°z a
Некоторые задачи приводили древних к понятию
геометрических мест. Пусть требуется построить
прямоугольный треугольник по данной гипотенузе. Ясно, что
такая задача возможна, но неопределенна. Если разделить
отрезок пополам и радиусом, равным половине отрезка,
из его середины описать окружность, то вершины прямых
углов искомого треугольника будут лежать на полученной
окружности. Так можно прийти к понятию
геометрического места.
С конца V в. до н. э. математиков интересовали
задачи о геометрических местах. Известны были окружность
как геометрическое место точек, равноудаленных от
одной точки, и перпендикуляр к отрезку, проведенный через
его середину, как геометрическое место точек,
равноудаленных от его концов. Два этих геометрических места
служили основой построений с помощью циркуля и линейки.
Отыскивались и другие геометрические места.
Но уже внутри геометрии возникали задачи, решение
которых невозможно с помощью циркуля и линейки, т. е.
14

двух указанных геометрических мест. Одной из таких
задач была «делосская задача», или задача об удвоении куба.
Легенда такова. На острове Делосе свирепствовала чума.
Жители острова обратились к оракулу Аполлона с
вопросом, чем можно отвратить бедствие. Оракул потребовал
удвоить кубический жертвенник в храме. Жители поставили
на куб новый куб, но чума не прекращалась: нужно было
увеличить объем жертвенника, не меняя его формы (в
легендах эллинов даже боги — изощренные геометры!). Так
возникла задача об удвоении куба. В современных
обозначениях опа решается просто: составим уравнение х3 =
з_
= 2а3, откуда х = а]/2. Но этим решением не могли
довольствоваться древние геометры: необходимо было выполнить
построение, найти по значению а точное значение х.
Первая дошедшая до нас попытка решения делосской
задачи принадлежит Гиппократу (V в. до н. э.). Еще
ранее решалась задача построения квадрата, равновеликого
прямоугольничку, на основании построения средней
пропорциональной двум данным: а/х = х/b, откуда х2 = ab.
Подобно этому Гиппократ задачу удвоения куба сводит к
построению двух средних пропорциональных: а : х=х : г/=
= у : 2а; хг = ау\ уг = 2ах; х^/а2 = 2ах; х3 = 2а3. После
Гиппократа делосская задача формулируется так:
построить два средних пропорциональных двум данным а и
Ь (в рассматриваемом случае Ъ = 2а).
Решение делосской задачи привело к открытию новых
геометрических мест — конических сечений. Это открытие
приписывается ученику Евдокса Менехму (IV в. до н. э.)
Конус можно получить в результате вращения
прямоугольного треугольника вокруг катета. Острый угол,
прилежащий к неподвижному катету, может быть равен
половине прямого, меньше половины и больше половины его.
В первом случае получим прямоугольный конус, во
втором — остроугольный, в третьем — тупоугольный.
Пересечем каждый конус плоскостью, перпендикулярной
образующей. Получим соответственно параболу, эллипс и
гиперболу (рис. 8, 9, 10).
Три этих сечения первоначально называли триадами
Менехма, название конических сечений возникло во II в.
до нашей эры. Менехм решил делосскую задачу, показав,
что решением будет абсцисса точки пересечения любых
двух из трех конических сечений: хг = ау, г/2 = 2ах,
ху = 2а2.
15

А
вкг-
— JC
Рис. 8
Рис. 9
Рис. 11
Рис. 12

Здесь интересно заметить, что для решения делос-
ской задачи были предложены различные механические
инструменты, позволяющие строить необходимые фигуры.
Декарт также придумал один прибор, который описал в
«Геометрии».
Дальнейшее развитие и завершение теория
конических сечений получила в «Конических сечениях»
Аполлония, в восьми книгах, из которых последняя до нас не
Рис. 13
дошла, первые четыре сохранились на греческом,
последние три — в арабском переводе. Аполлоний обобщил
исследования предшественников, а также изложил свои
открытия. Он рассматривал конус как результат
перемещения прямой (образующей) по окружности
(направляющей) , при этом прямая постоянно проходит через
неподвижную точку, не лежащую в плоскости окружности. Он
установил, что все три конических сечения можно
получить в сечении плоскостями одного и того же конуса.
Именно: получится эллипс, когда секущая плоскость
составляет с образующей угол больше угла при вершине
осевого сечения; получится гипербола, когда этот угол
меньше угла при вершине осевого сечения; получится
парабола, когда углы равны (рис. 11).
Основой дальнейших выводов Аполлония служили
установленные им планиметрические свойства конических
сечений, полученные из соображений, относящихся к
стереометрии. Датский историк математики Г. Цейтен9 изла-
Г. Г. Цейтен. История математики в древности и в Средние века,
стр. 140, 141.
17

гает рассуждения Аполлония так. Построим отрезок АВ
и пусть этот отрезок будет диаметром 2а эллипса или
гиперболы (рис. 12, 13). Пусть, далее, CD — половина
сопряженной хорды. Квадрат этой хорды (CD2) должен
находиться в постоянном отношении р/а к произведению АС «
• СВ. Восставим в А и С перпендикуляры АЕ и CF к
АВ и отложим на первом из них АЕ = 2р. Пусть F — точка
пересечения CF и BE. Тогда квадрат, построенный на CD,
будет равен прямоугольнику AF, так как CF равно р/а СВ.
Отнесем кривые к диаметру и сопряженной с ним
полухорде, как к осям координат, и обозначим АС через хм
CD — через у. Тогда построенные фигуры можно задать
уравнениями
у*=^-х(2а±х).
Но уравнения
у2 = 2рх±-^х2
означают, что квадрат у2 прикладывается к отрезку
АЕ = 2р, так что стороны избыточного или недостающего
прямоугольника находятся в отношении р/а. При
решении уравнений второй степени употреблялись термины
«гиперболическое приложение площади» и «эллиптическое
приложение площади» в зависимости от того, находился
ли в избытке или в недостатке некоторый прямоугольник.
В данном случае избыточным или недостающим
прямоугольником будет EF. В соответствии с более ранней
терминологией Аполлоний назвал эти геометрические места
эллипсом и гиперболой. Когда нет ни избытка, ни
недостатка, производится простое прикладывание квадрата у2
к 2р; кривая у2=2рх получила название параболы.
Найденные планиметрические свойства конических
сечений Аполлоний положил в основу исследования свойств
диаметров, хорд, касательных, радиусов-векторов.
Теория конических сечений позволила древним решать
(построением!) уравнения порядка выше второго. Об
одной из таких задач — делосской задаче — уже сказано
выше.
Аполлоний рассматривал и геометрические места к
трем и четырем прямым. Пусть даны три или четыре
прямые. Проведем из точки М прямые под определенными уг-
18

лами к данным и пусть х, у, z, и — длины отрезков
проведенных прямых между М и данными прямыми.
Необходимо найти такое геометрическое место, что
xz = куй
в случае четырех прямых и
xz = ку2
в случае трех.
Аполлоний говорит, что эту задачу решал еще Евклид,
но решение его было неполным, «так как невозможно
было довести до конца построение без моих открытий» 10.
Цейтен установил, что с помощью теорем Аполлония
можно полностью решить задачу, причем любое
коническое сечение будет геометрическим местом к трем или
четырем прямым. Мы еще вернемся к этой задаче, ибо
исследование указанных геометрических мест выполнено
в «Геометрии» Декарта.
Завершенная Аполлонием теория конических сечении
долгое время не находила конкретных приложений в
естествознании. Древние, а позднее и арабы применяли ее для
решения и исследования кубических уравнений.
Открытия Кеплером (1571—1630) движения небесных тел по
эллиптическим орбитам и Галилеем (1564—1642)
движения брошенного камня (или снаряда) по
параболической орбите показали, что в механике небесных и земных
тел теория конических сечений находит непосредственное
применение. Созданная в XVII в. Ферма и Декартом
аналитическая геометрия возродила идеи Аполлония. Ньютон
(1643—1727) применил методы Аполлония для
исследования кривых третьего порядка и при создании
«Математических начал натуральной философии» опирался на труды
Аполлония.
Творчество Евклида, Архимеда и Аполлония было
кульминацией греческой математики. Приложение старых
методов к более сложным геометрическим и механическим
задачам не могло дать положительных результатов.
Требовалась новая методология, нашедшая воплощение через
18 веков в аналитической геометрии Декарта и
обеспечившая дальнейшее поступательное движение математики.
Apollonius de Perge. Les coniques, trad. P. VeF Eecke. Bruges
1923, p. 2—3 (письмо Аполлония к Евдему),
19

4
Изучение греческих классиков было делогм не простым.
Этим объясняется обилие комментариев, компиляций,
дополнений древних. Прокл свидетельствует: говорят, что
царь Птолемей I спросил однажды Евклида, нельзя ли
дойти до познания геометрии более коротким путем, чем
его «Начала». Евклид ответил, что в геометрии особых
путей для царей нет. Трудности геометрии сделали ее
изучение как бы особой наукой. В связи с этим Никомах
(конец I в. н. э.) во «Введении в арифметику» говорит:
«Учение о пропорциях необходимо для естествознания, теории
музыки, сферической тригонометрии и планиметрии, но
лзсего более для изучения древних».
Наиболее известным комментатором был Папп (конец
III в. н. э.). Он ставил перед собой задачу изложить яснее,
короче все найденное ранее, а также построить единую
систему лучше, чем это было сделано до него. Но Папп и
дополнил древних. Так, он ввел конические сечения как
геометрические места на плоскости, не прибегая к
стереометрическим сечениям конуса. В основе определения
Паппа лежит понятие эксцентриситета.
Новый подъем античной математики относится к
середине III в. до н. э. и связан он с творчеством великого
математика древности Диофанта. Его основной труд
«Арифметика», из тринадцати книг которой до нас дошло
шесть, занимает особое место в развитии математики.
Особенность эта состоит прежде всего в том, что
«Арифметика» появилась в период упадка греческой математики.
Далее, Диофант возродил и развил числовую алгебру
вавилонян, освободив ее от геометрических построений,
которыми в алгебре пользовались греки. Он ввел
обозначение неизвестной (?), квадрата, куба, четвертой и шестой
степеней ее, ввел также шесть первых отрицательных
степеней неизвестной. Диофант применял знак равенства
(символ i) и символ для обозначения вычитания. Он
сформулировал правила алгебраических операций со
степенями неизвестной, соответствующие нашим умножению и
делению степеней с натуральным показателем (для
п + т < 6), а также правила знаков при умножении
положительных и отрицательных чисел.
Диофант сформулировал также правила переноса
вычитаемых членов уравнения в другую часть его в виде
20

прибавляемых и уничтожения равных членов в обеих
частях уравнения.
«Арифметика» посвящена проблеме решения
неопределенных уравнений. И хотя Диофант считает число
собранием единиц (а это означает, что рассматриваются
только натуральные числа), при решении неопределенных
уравнений он не ограничивает себя натуральными
числами, а отыскивает положительные рациональные решения.
Неопределенными уравнениями до Диофанта
занимались математики школы Пифагора в связи с пифагоровой
теоремой. Они искали тройки целых положительных
чисел, удовлетворяющие уравнению
х2 + у2 = z2.
Диофант поставил задачу установления разрешимости
(в рациональных числах) и нахождения рациональных
решений (в случае разрешимости) уравнения
где левая часть — многочлен с целыми или
рациональными коэффициентами.
Диофант исследовал неопределенные уравнения второй,
третьей и четвертой степеней и системы неопределенных
уравнений.
Идея Диофанта о введении буквенной символики была
воспринята и развивалась впоследствии на арабском
Востоке, в Западной Европе и получила завершение в трудах
Виета и Декарта. Методы Диофанта применяли и
развивали арабы, Виет, Ферма, Эйлер (1707—1783), Якоби
(1804-1851), Пуанкаре (1854-1912) ".
Оценивая творчество Диофанта, Цейтен отмечает одну
существенную деталь: «Наконец, мы желаем уже здесь
вкратце указать на важную роль, сыгранную впоследствии
сочинениями Диофанта. Благодаря тому, что
определенные уравнения первой и второй степени были облечены
у него в численную оболочку, они оказались гораздо более
доступными для людей, не посвященных еще в культуру
греческой математики; более доступными, чем те
абстрактные геометрические формы, которые принимают у
Евклида уравнения второй степени и которые мы
встречаем, об этом: «История математики с древнейших времен до
начала Нового времени», т. 1, стр. 58—153.
2J

ем в сохранившихся до нас трудах других геометров для
выражения уравнений первых двух степеней. Поэтому
Диофант и явился главным посредником в процессе усвоения
греческой алгебры арабами, благодаря которым, в свою
очередь, она проникла в Европу в эпоху возрождения
наук»12.
Начиная с V в. центр математической культуры
перемещается на восток — к индусам и арабам. Математика
индусов резко отличалась от математики греков —она была
Рис. 14
числовой. Индусы не были озабочены излишней
строгостью эллинов в доказательствах и обосновании
геометрии. Они довольствовались чертежами, на которых у
греков основывалось доказательство, сопровождая их
указанием: «Смотри!» «Искра науки, достигнув
понятливого ума, разгорается благодаря своей собственной силе»,—
говорит по этому поводу Бхаскара (XII в.) в «Лилавати».
Там же он приводит доказательство теоремы Пифагора
(рис. 14).
Цейтен замечает, что, вероятно, за счет числовых
выкладок и практического эмпиризма индусам удалось по-
12 Г. Г. Цейтен. История математики в древности и в Средние
века, стр. 176.
22

стичь теоремы и методы греков, теоретического
обоснования которых они, возможно, по-настоящему не
понимали 13.
Основные достижения индусов состоят в том, что они
ввели в обращение цифры, называемые нами арабскими,
и позиционную систему, обнаружили двойственность
корней квадратного уравнения, двузначность квадратного
корня из числа и отрицательные числа.
Оценивая позиционную систему, Лаплас (1749—1827)
говорил: «Мысль выражать все числа девятью знаками,
придавая им кроме значения по форме еще значение по
месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты
трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко
было прийти к этому методу, мы видим на примере
величайших гениев греческой учености Архимеда и
Аполлония, от которых эта мысль осталась скрытой».
Индусы рассматривали числа безотносительно к
геометрии. В атом их алгебра имеет сходство с алгеброй
Диофанта. Они распространили также правила действий над
рациональными числами на числа иррациональные,
производя с ними непосредственные выкладки, не прибегая
к построениям, как это делали греки. Например, им было
известно, что
|Лб + /120 + /72 + /60 + /48 + /40 + /24 =
= /2 + /3 + /5 + /6.
Греки, не знавшие отрицательных чисел, решая
уравнения, преобразовывали их так, чтобы обе части
уравнения при значении удовлетворяющей ему неизвестной были
положительными. Если этого не происходило, то менялись
условия задачи. Индусы не были стеснены в своих
действиях в аналогичных ситуациях: они либо отбрасывали
получающиеся отрицательные решения, либо
интерпретировали их как долг. Отсюда сделан был естественный
шаг к установлению правил действий над величинами при
любом выборе знаков этих величин, а также к выявлению
наличия двух корней у квадратных уравнений и
двузначности квадратного корня из числа.
13 Там же, стр. 178.
23

Индусами был сделан так>ке шаг вперед по сравнению
с Диофантом в совершенствовании алгебраической
символики: они ввели обозначения нескольких разных
неизвестных и их степеней, которые были, как у Диофанта,
по сути дела сокращениями слов. Кроме того, они искали
решения неопределенных уравнений не в рациональных,
а в целых числах.
Дальнейшее развитие математики мы наблюдаем у
арабов, завоевавших в VII в. Переднюю Азию,
Северную Африку и Испанию. Создались благоприятные
условия для слияния двух культур — восточной и западной,
усвоения арабами богатого наследия эллинов и индусской
арифметики и алгебры. Этому способствовало и
положение основанной в VIII в. столицы восточного халифата
аббасидов Багдада, находящегося на полпути между
Индией и Европой. Халифы династии аббасидов
организовали большие группы переводчиков древних греческих
рукописей. К концу IX в. на арабский язык были переведены
почти все труды Евклида, Архимеда, Аполлония,
Птолемея и их комментаторов. В конце X в. переведены труды
Диофанта.
Но ранее периода усиленного изучения арабами
древних в 820 г. вышел трактат по алгебре—«Краткая книга
об исчислении ал-д;кабра и ал-мукабалы» Мухаммеда
ибн Муса ал-Хорезми (т. е. из Хорезма, 787 — ок. 850), где
давались числовое и геометрическое решения уравнений
первой и второй степеней. Название трактата
соответствует методу решения уравнений: ал-джабр (восстанов-
лять) означает восстановление отрицательного члена в
одной части уравнения в виде положительного в другой14.
Например, выполнив преобразование 2х2+3х—2=2х,
2хг+Ъх=2х+2, мы произвели операцию ал-джабр. Ал-му-
кабала означает сопоставление подобных членов,
приведение их к одному; в нашем уравнении подобные члены
Ъх и 2х, поэтому получим 2?2+?=2.
Кто-то выразил эти правила стихами, которые в
переводе звучат так:
14 В. П. Шереметевский в «Историческом очерке развития
анализа и его приложений к геометрии», впервые изданном в
книге Г. Лоренца «Элементы высшей математики» в 1903 г.,
указывает, что в народном испанском языке сохранилось слово
алгебрист (врач, лекарь). Санчо Панса искал для побитого
Дон Кихота алгебриста.
24

А л-д жабр
При решеньи уравненья,
Если в части одной,
Безразлично какой,
Встретится член отрицательный,
Мы к обеим частям
Равный член придадим,
Только с знаком другим,
И найдем результат положительный.
А л-м у к а б а л а
Дальше смотри, в уравненьи
Можно ль сделать приведенье.
Если члены есть подобны,
Соединить их удобно.
Модификация слова ал-джабр породила более позднее
алгебра. Аналогично, слово алгорифм (алгоритм)
произошло от ал-Хорезми.
Трактат ал-Хорезми не содержал ничего нового по
сравнению с тем, что было у греческих авторов и индусов,
но он заслуживает внимания потому, что в течение
длительного времени был руководством, по которому велось
обучение в Европе.
Наиболее существенным достижением арабов в
алгебре был «Трактат о доказательствах задач алгебры и ал-
мукабалы» знаменитого ученого и поэта Омара Хайяма
(1048—1131). Он посвящен в основном кубическим
уравнениям, к которым приводили задачи геометрии и
тригонометрии. Хайям построил теорию кубических уравнений,
основанную на геометрических методах древних. Он
классифицировал все кубические уравнения с положительными
корнями на 14 видов: одно двучленное, шесть трехчленных
и семь четырехчленных. Каждый вид уравнений Хайям
решал соответствующим построением, причем исследовал,
при каких условиях уравнение имеет один или два
положительных корня (о возможности существования трех
положительных корней кубического уравнения он не
подозревал; наличие трех корней уравнения было обнаружено
только в XVI в. Д. Кардано). Хайям пытался найти
правило решения кубического уравнения в общем виде,
но безуспешно. На европейскую математику трактат
Хайяма не мог оказать непосредственного влияния, так как
до XIX в, оставался неизвестным.
25

6
А каково было состояние математики в Европе? О
развитии математики того времени наука располагает крайне
скудными сведениями.
Христианство вело активное наступление на
языческую культуру и науку. Учитель христианской церкви
Тертуллиан (II в.) говорил: «Нам после Христа не нужна
никакая любознательность, после Евангелия не нужно
никакого исследования». В 391 г. сожжена значительная
часть Александрийской библиотеки. В 415 г. толпой
фанатиков растерзана знаменитая Гипатия (370—415) —
выдающийся математик. Даже слово «математика»
связывалось с чем-то преступным. Так, один из законов
кодекса Юстиниана (483—565) «О злоумышленниках,
математиках и тому подобных» гласил: «Совершенно
запрещается достойное осуждения искусство математики».
Другой кодекс предписывал: «Да никто не совещается с
гадателем или математиком». В 529 г. императором
Юстинианом закрыты афинские философские школы;
профессора школ были отправлены в новый университет
персидского царя Хосрова.
«Всеобщее обнищание, упадок торговли, ремесла и
искусства, сокращение населения, запустение городов,
возврат земледелия к более низкому уровню — таков был
конечный результат римского мирового владычества»15.
Эта характеристика Энгельсом раннего средневековья дает
возможность представить условия развития науки и
культуры. Упадок экономики привел к застою науки.
Центрами грамотности были монастыри и церкви.
«Отсюда само собой вытекало, что церковная догма
являлась исходным пунктом и основой всякого мышления.
Юриспруденция, естествознание, философия — все
содержание этих наук приводилось в соответствие с учением
церкви» 16. Богослов Иоанн Дамаскин (ок. 675—ок. 753),
автор «Точного изложения православной веры», писал,
что решение проблем мироздания несущественно. Важно
сознавать, что все в мире определяется деятельностью
творца.
Низкий уровень хозяйства не предъявлял к
математике требований, стимулирующих ее развитие. В хозяйстве
15 К. Маркс и Ф. Энгельс. Сочинения, т. 21, стр. 148.
16 Там же, стр. 495.
26

и в быту необходимы были только способы элементарного
счета с целыми числами и дробями и измерения
простейших фигур. В монастырях к математике предъявлялись
те же требования; правда, добавлялись еще задачи,
связанные с календарем и днями церковных праздников.
Изучаемые науки традиционно делились на семь
«свободных искусств»: тривиум (трехпутье) и квадривиум
(четырехпутье). Первый цикл — тривиум — включал в
себя грамматику, риторику (искусство красноречия) и
диалектику (элементарную логику). Второй —
квадривиум — составляли арифметика (изложение простейших
свойств чисел и числовой мистики), геометрия (смесь
сведений из геометрии и рассказов о чудесах), астрономия
(вопросы календаря и гадание по звездам) и музыка
(учение о гармонии). Мистика и магия соседствовали
с наукой.
С конца XI в, в Европе начались сдвиги в науке и
технике. Они обусловлены значительными изменениями в
экономике: возникают ремесла, растут города, развивается
торговля, увеличивается продуктивность сельского хозяйства.
Во время крестовых походов европейцы ознакомились с
культурой востока. Энгельс писал: «...со времени
крестовых походов промышленность колоссально развилась и
вызвала к жизни массу новых механических (ткачество,
часовое дело, мельницы), химических (красильное дело,
металлургия, алкоголь) и физических фактов (очки),
которые доставили не только огромный материал для
наблюдений, но также и совершенно иные, чем раньше,
средства для экспериментирования и позволили
сконструировать новые инструменты. Можно сказать, что собственно
систематическая экспериментальная наука стала
возможной лишь с этого времени» 17.
Развивающаяся промышленность нуждалась в
специалистах. Появились светские школы, возникли
университеты. В Европе началось серьезное изучение наследства
древних и арабов, и этот процесс затянулся надолго.
Первые университеты основаны в Оксфорде (XI в.), Болонье
(1119), Париже (1150), Салерно (1173), Монпелье
(1180). Затем возникли университеты в Праге (1348),
Кракове (1364), Вене (1365), Будапеште (1385), Базеле
(1459), Братиславе (1467).
17 Ф. Энгельс. Диалектика природы, стр. 157—158.
27

Структура университетов была примерно одинакова.
Они состояли из четырех факультетов (искусств,
богословия, права и медицины). Сначала шло обучение на
факультете искусств (около шести лет), затем студент мог перейти
на любой другой факультет. Наиболее влиятельным был
богословский факультет, обучение на котором длилось около
восьми лет. Руководили университетами монахи-богословы.
Математика изучалась в объеме квадривиума на
факультете искусств. Некоторые вопросы рассматривались
в курсе философии. Впоследствии программа математики
расширилась и включала одну или две книги «Начал»
Евклида, теорию пропорций, сведения из оптики, теорию
движения светил, сферическую астрономию. Как курьез
можно привести такой факт: даже в начале XVI в. кандидаты
на степень магистра искусств в Парижском университете
не сдавали экзамен по геометрии, а присягали в том, что
прослушали лекции по шести первым книгам «Начал».
В то же время росло могущество церкви. С целью
укрепления папства Иннокентий III, бывший папой с 1198
по 1216 г., объявил себя наместником бога на земле. Для
борьбы с «ересью» были организованы монашеские ордена
доминиканцев и францисканцев. В XIII в. создана
инквизиция — орган католической церкви для суда и кары
«еретиков». Инквизиторы — монахи-доминиканцы и
францисканцы — подчинялись непосредственно папе и были
бесконтрольны. С 1231 г. казнь «еретиков» производилась
сожжением на костре (под предлогом того, что «церковь
питает отвращение к пролитию крови»). От преследований
инквизиции не спасала даже смерть: судили мертвецов,
сжигали на костре вырытые кости давно умерших. Общее
число жертв инквизиции исчисляется сотнями тысяч.
17 февраля 1600 г. на площади Цветов в Риме был сожжен
Джордано Бруно (1548 — 1600); в 1619 г. в Тулузе
сожжен материалист Лючилио Ванини (1585 — 1619), у
которого предварительно вырвали язык; в 1621 г. в Париже
сожжен атеист Жан Фонтенье. По всему миру разнесся
отзвук процесса Галилея.
7
Теология играла главенствующую роль в идеологической
жизни. Она основывалась на догматизированном и
канонизированном учении Аристотеля (384—322 до н. э.),
учении «отцов церкви», системе мира Птолемея.
28

Примечательна судьба идей Аристотеля. Сначала его
взгляды показались церковникам опасными; против него
выступили видные богословы, а в Парижском и некоторых
других университетах были запрещены лекции о
естественнонаучных работах Аристотеля. Затем церковники
увидели возможность приспособить Аристотеля к
священному писанию. По этому поводу Ленин говорил:
«Поповщина увила в Аристотеле живое и увековечила мертвое» 18.
В 1366 г. церковный декрет обязывал изучать «Логику»,
«Метафизику» и «Физику» Аристотеля для получения
первой ученой степени. Вслед за этим стало считаться
«ересью» всякое возражение против естественнонаучных
взглядов Аристотеля. Так церковь обратила в свое орудие
идеи Аристотеля — этой «самой всеобъемлющей головы»
среди древнегреческих философов, по словам Энгельса.
Передовые мыслители видели несостоятельность
концепций Аристотеля, но бороться против его взглядов —
значило выступать против католической церкви, а на это
отваживались немногие.
Совершенно бескомпромиссно по отношению к
Аристотелю высказывался, например, П. Рамус (1515—1572),
известный математик, профессор Коллеж де Франс,
погибший в Варфоломеевскую ночь. Рамус утверждал: «Все,
чему учил Аристотель,— ложь».
Сильнейший удар по единству католической церкви
нанесло движение реформации (XVI в.). Реформация
сыграла большую положительную роль: она была одной из
пружин, приведших в движение крестьян периода
крестьянских войн (под знаменем реформации шла крестьянская
война в Германии) и породивших буржуазные революции
в Нидерландах и Англии; она расколола до того единую и
монолитную католическую церковь: в Швейцарии, на
части территории Германии, в Скандинавских странах,
Англии, Нидерландах появились протестантские церкви,
не зависящие от Рима.
Не в нравах римской церкви уступать позиции, и она
отчаянно сопротивлялась. Реакционное движение против
реформации — контрреформация — охватило многие
страны. Контрреформация характеризуется жестоким
террором инквизиции, преследованием «свободомыслящих»,
В. И. Ленин. Полное собрание сочннений, т. 29, стр. 325.
29

насильственным обращением в католичество, расцветом
католического мракобесия. В 1559 г. папой учрежден
Index librorum prohibitorum — список запрещенных книг,
за чтение которых назначалась смертная казнь.
Составлением списка руководили иезуиты. Сочинения Коперника
(1473 — 1543), Кеплера и Галилея находились в нем более
двух столетий. В 1671 г. в папский индекс попали все
произведения Декарта.
Учение церкви требовало построения целой системы,
предназначенной для его изучения и обучения ему. Такая
система получила воплощение в схоластической теологии,
господствовавшей в школах и университетах.
Средневековую науку называют схоластической
(дословно — «школьной»), схоластикой. Но перед схоластикой
стояли определенные задачи, и она с ними справлялась.
Куно Фишер отмечал, что нелепо жаловаться на пустоту
и бесплодие схоластики и «бранить лес за то, что он не
фруктовый сад».
Научные исследования того времени проводились почти
исключительно с религиозными целями, и выполнялись
они служителями церкви — священниками, монахами.
Церковь со своей конечной целью спасения души не нуждалась
в науке. Более того, наука связана с чувствами человека,
с чувственным восприятием человеком окружающего мира,
что было совершенно чуждо теологии, ибо умаляло
ценность откровения. Наука соседствовала с магией,
алхимией, астрологией. Кеплер с горечью говорил, что матери-
астрономии — пришлось бы голодать, если бы ей не
зарабатывали на хлеб ее дочь — астрология.
Даже выдающиеся умы иногда увлекались
околонаучными проблемами. Так, Д. Кардано (1501—1576) был
полон суеверий, занимался врачеванием, мотоды которого мы
сейчас назвали бы шарлатанскими, астрологией,
опубликовал гороскоп Христа. Кеплер занимался астрологией,
составлял гороскопы для государей, проповедовал учение
пифагорейцев о музыке небесных сфер. Фр. Бэкон (1561 —
1626), положивший начало материалистической философии
Нового времени, формулировал программу научных
исследований, по поводу которой Энгельс говорил, что Бэкон
«...дает в своей естественной истории форменные рецепты
для изготовления золота и сог^ршечия разных чудес» 19.
Ф. Энгельс. Диалектика природы, стр. 33.
30

Все это объяснимо: каждый из ученых, как и все
люди,— сын своего века. Отличие лишь в том, что ученый
видит дальше, но и он не может полностью отрешиться
от идеологических оков века. Коперник, Галилей, Кеплер,
Декарт — не помышляли о выступлении против церкви.
Однако их книги отвергали многие церковные догматы,
взрывали церковные устои.
В России и в странах Восточной Европы развитие
науки и культуры было задержано иноземными нашествиями.
Нашествие монголов на Россию не только сдерживало ее
развитие в XIII—XV вв., но и отбросило ее назад.
Пушкин сказал, что татары не походили на мавров: они не
подарили России ни алгебры, ни Аристотеля 20.
8
С ростом производства практика ставила перед наукой
все более и более сложные задачи. Например, в связи с
развитием мореплавания встал вопрос о точном измерении
географических координат. Если широту места по высоте
Солнца в полдень мореплаватели определяли достаточно
хорошо уже в XVI в., то нахождение долготы было
связано с наличием точно идущих часов: со времен Гиппарха
(180—125 до н. э.) известно, что разница времен в двух
точках земного шара дает разницу долгот. Земля в
течение часа поворачивается на 15°, поэтому достаточно знать
точное время порта, из которого вышел корабль, чтобы
найти долготу места. Но точных часов не было. За
решение задачи об определении долготы предлагались большие
суммы.
Назовем важнейшие достижения техники и
производства в Средние века. В начале X в. стали подковывать
тягловый скот, что создало возможность использовать в
сельском хозяйстве лошадей и обрабатывать каменистые
почвы. В XI в. шейный хомут лошадей и быков заменен
плечевым, что позволило увеличить силу тяги и создало
условия для одновременного использования нескольких
животных и введения нового — колесного — плуга с более
тяжелым лемехом. В XI в. в Западной Европе получили
широкое распространение водяные мельницы, известные
См.: «История математики с древнейших времен до начала
Нового времени», стр. 248.
31

еще в I в. до н. э. Тогда же распространились и ветряные
мельницы, известные ранее арабам. Эти источники энергии
дали толчок развитию металлургии. Если раньше мехи в
плавильных печах приводились в движение человеком, то
в XIII в. стали пользоваться для этой цели водой. Это
позволило повысить температуру в печи. Широкое
распространение получил чугун (печи, трубы, пушки, ядра, плиты,
чугунная посуда).
Оживилось стекольное производство, начавшееся в X в.
изобретением цветных стекол, в ткачестве появились
сукновальные и ткацкие машины; появился печатный станок
(.издание первой печатной книги относится к 1445 г.);
стало совершенствоваться огнестрельное оружие, что
поставило новые задачи перед динамикой; грандиозные
гидравлические работы в Голландии, связанные с осушением
заливаемых морем территорий, были осуществлены на
основе применения различных насосов; в судоходстве
наблюдается рост водоизмещения кораблей, совершенствуется
компас, изобретается вертикальный штурвал с рукояткой
(XII в.), появляются лоции (XIII в.); монолитные
римские конструкции в архитектуре уступают место более
легким романским и готическим; это поставило новые
задачи перед статикой.
«В то время как схоластическая наука ограничивалась
пассивным созерцанием мира, мореплаватели,
архитекторы, строители, стекольщики, ткачи, литейщики,
ремесленники всех специальностей овладевали богатствами природы
и улучшали жизнь людей. На протяжении всего
средневековья рядом с наукой, замкнутой в своей книжной
культуре, происходило параллельное развитие техники, что
отражалось в ином мировоззрении и было способно создать
новое понимание культуры»21. Человек становится
иным — не тем, чем был; не человеком «sine artificio sciens
aut ignarus artifex» (знающим, но не творящим, или
творящим, но не знающим) 22.
Достижения науки и прогрессивные идеи Средних
веков вместе с техническими и производственными
усовершенствованиями послужили основой и подготовили
научную революцию XVII в.
21 М. Лъоцци. История физики. М., «Мир», 1970, стр. 40—41.
22 Там же, стр. 41.
32

Здесь следует отметить философские взгляды Роджера
Бэкона (ок. 1214—1294), утверждавшего, что наблюдения
и опыт должны быть фундаментом естествознания, а
математика — его инструментом. Он говорил: «Изложение
должно быть наглядным; последнее невозможно без опыта;
у нас в руках три средства познания: авторитет,
мышление и опыт. Авторитет не имеет значения, если
справедливость его не может быть доказана: он не учит, он
требует только согласия. При мышлении мы обычно отличаем
истинный аргумент от ложного, проверяя вывод опытом.
Экспериментальная наука испытывает и проверяет
выводы других наук, она исследует тайны природы
собственными силами». Математику Бэкон называл «дверью и
ключом к науке», которая «одна может очистить разум и
сделать учащегося способным к восприятию знания»; «она
предшествует другим наукам о природе, ибо изучает
количество, которое воспринимает интуитивно».
О системе преподавания математики Бэкон говорил
так: «Редко вообще можно найти учителей математики,
да и те следуют очень плохой методе и преподают много
ненужного».
Взгляды Бэкона противоречили церковным догмам. Это
в совокупности с постоянными его нападками на монахов
по поводу их безнравственности вызвало обвинение
Бэкона в ереси и колдовстве и заключение в тюрьму, в которой
мыслитель находился четырнадцать лет и откуда вышел за
год до смерти.
Революционным переворотом сопровождалось в
естествознании утверждение гелиоцентрической системы мира,
выдвинутой Н. Коперником вместо геоцентрической
системы Птолемея.
Система мира Птолемея с неподвижной Землей, как
центром Вселенной, соответствовала физике Аристотеля,
согласно которой требовались колоссальные силы для
приведения в движение инертной Земли, в то время как
состоящие из тонкой материи небеса вращались вокруг
Земли, и это вращение вытекало из самой природы субстанции.
Видимые движения известных древним блуждающих
светил (Сатурна, Юпитера, Марса, Венеры и Меркурия)
казались им крайне сложными и не находили достаточно
убедительного объяснения. Планеты совершают прямые
и попятные движения, и их путь относительно кажущихся
неподвижными звезд имеет петлеобразный вид. Птолемей
33

по этому поводу писал: «Легче, кажется, двигать самые
планеты, чем постичь их сложное движение». Попятные
движения планет нашли простое объяснение в теории
Коперника.
Новый взгляд на систему мира дал импульс развитию
физических и математических наук. Дальнейшее
развитие этот взгляд на мир нашел у Дж. Бруно, выдвинувшего
идеи о бесконечности Вселенной и множественности (и
населенности) миров.
Однако учение Коперника содержало неразрешенные
проблемы и требовало уточнений. Например, планеты, по
Копернику, имеют круговые орбиты, что связывает
теорию Коперника с теорией сфер древних. Полное решение
проблема истинной формы орбит получила в работах
Кеплера, открывшего и опубликовавшего законы движения
планет в 1609 и 1619 гг.
Торжество коперниковой системы над птолемеевой
было достигнуто в работах Галилея, доказавшего
теоретически и наблюдением ее справедливость. В 1632 г.
Галилей опубликовал «Диалог о двух главнейших системах
мира — птолемеевой и коперниковой» и в 1638 г. «Беседы
и математические доказательства, касающиеся двух новых
наук»23, в которых заложил основы динамики и обосновал
систему Коперника. Галилей, вслед за голландскими
оптиками Захарием Янсеном и Гансом Липперсгеем,
построил в 1609 г. зрительную трубу и произвел первые
астрономические наблюдения, описанные в «Звездном вестнике».
Он дал первый рисунок некоторых областей Луны, открыл
спутники Юпитера, кольцо Сатурна, фазы Венеры и
Меркурия, солнечные пятна, установил движение пятен.
Астрономические открытия Галилея — торжество системы
Коперника.
Существенное влияние на развитие науки и
мировоззрения оказали великие географические открытия конца
XV — начала XVI в. Эти открытия показали прежде всего,
что кроме известного издавна мира существует другой
мир, тоже заселенный людьми, что Земля не замыкается
теми странами и народами, которые творили традиционную
историю, что есть и еще народы со своими нравами,
обычаями и культурой. Открытия значительно расширили
Основные труды Галилея переведены на русский язык. См.:
Г. Галилей. Избранные труды в двух томах. ЭД., «Наука», 1964,
34

географический кругозор человека Средних веков, они
связали в одну систему обитаемые части Земли. Морские
экспедиции поставили новые задачи перед наукой, прежде
всего перед астрономией, механикой, математикой.
Открытие новых земель на континенте Америки создало
возможность разнузданного грабежа заморских территорий, их
колонизации, вынудило организовать снабжение
колонистов товарами. С интервалами 6 два года «золотые
флотилии» совершали плавание в Центральную Америку под
северо-восточными пассатами и возвращались с
награбленным под западными ветрами более северным путем.
9
После необходимого исторического экскурса, уведшего
нас с основной магистрали (древние — индусы и арабы —
Европа), вернемся опять на сравнительно узкую дорогу
развития математики, обратив опять-таки основное
внимание на круг интересующих нас идей, связанных в
основном с алгеброй и геометрией.
Наиболее существенные открытия в алгебре,
сделанные европейскими математиками, относятся к эпохе
Возрождения (XV — XVI вв.), и первым из них нужно
назвать решение кубического уравнения. Профессор
Полонского университета Сципион дель Ферро (1456—1526)
нашел решение в радикалах уравнения
х3+ах=Ь (а, &>0)
и не опубликовал его, а сообщил своему ученику Фиоре.
Утаивание открытий в математике того времени
объяснимо: на практиковавшихся научных поединках стороны
предлагали друг другу серию задач, и обладание методом
решения давало значительные преимущества одной из них
перед другой. Выигравший поединок получал
вознаграждение, признание и связанные с ним выгоды.
На одном из таких турниров Фиоре встретился с
Н. Тартальей (1499—1557), настоящая фамилия которого,
по-видимому, Фонтано. Прозвище Тарталья (tartaglia —
заика) осталось у него после полученного в детстве
тяжелого ранения гортани во время осады его родного города
французскими войсками Франциска I. Бедность не
позволила Тарталье получить достаточное образование, и учился
он только до четырнадцати лет. В книге «Вопросы и раз-
35

личные изобретения» он пишет о трудностях и
перенесенных лишениях: «С тех пор я учился сам, и у меня не было
другого наставника, кроме спутницы бедности —
предприимчивости» 24. Впоследствии Тарталья преподавал
математику в Вероне, Пьяченце, Венеции и Брешии. Тарталья
известен работами по математике и механике.
Турнир намечался на VI февраля 1535 г. Тарталья
предполагал, что легко победит Фиоре, но, узнав, что Фи-
оре владеет секретом дель Ферро, приложил все усилия и
искусство, чтобы найти правило дель Ферро, и нашел его
за восемь дней до назначенного срока. На турнире он
решил все предложенные задачи, а Фиоре, по словам Тар-
тальи, не решил ни одной. Через день после турнира
Тарталья решил также и уравнение
х3=ах+Ь.
Уравнение х3+ах=Ь1 в котором а, 6>0, Тарталья
решал так: он вводил величины и и v с помощью условий
u—v=h, uv=(a/3)3]
эти величины находил как корни квадратного уравнения
уъ—by—(а/3)3=0 и получал решение данного
уравнения в виде х = У и — у v, т. е.
«-k'V (*)'+№ т-
-iJVw+(¦*-)'-4-
Аналогично поступил Тарталья и с уравнением
х3=ах+Ь, только при этом полагал u+v=b, uv=(a/3)31
что приводило к квадратному уравнению у2—Ьу+
+ (а/3)3=0 и результатух = jfu + yrv, т. е.
+ ^У(4-)Чт)*-4-
24 N. Tartaglla. Questiti et inventioni diversi. Venetii, 1546.
36

Надо иметь в виду, что решение давалось не в
современной символике, а риторически. Правда, в «Общем
трактате о числах и мерах» (1556—1560) Тарталья
пользовался обозначениями (например, х=со, х2=се, я3=си,
#4=се се)? которые получались при сокращении слов:
со (cosa — вещь), се (censo — квадрат), cu (cubo — куб),
се се (censo de censo — квадратоквадрат). В этом Тарталья
следовал за Л. Пачоли (ок. 1445 — ок. 1514).
Математик, философ и врач Д. Кардано, узнав об
открытии Тартальи, принял все меры, чтобы овладеть его
результатами. В 1539 г. ему удалось выпросить у Тартальи
формулировку решения с клятвенным обещанием не
публиковать ее. Тарталья был осторожен: он сообщил
правило в виде стихотворения из 25 строк, начинающегося так:
Quando che'l cubo con le cose appresso,
Se agguaglia a qualche numero discreto,
Trovan dui altri, differenti in esso...
(Когда куб с вещами вместе равны какому-нибудь числу,
то найди два других, на него разнящихся...)25
Кардано расшифровал правило Тартальи и доказал его.
Он также посетил в Болонье зятя дель Ферро и узнал его
решение, совпадающее с найденным Тартальей. В 1545 г.
Кардано нарушил данную Тарталье клятву и опубликовал
решение дель Ферро — Тартальи в трактате «Великое
искусство в вопросах алгебры», правда, упомянув об
авторстве Тартальи. С тех пор соответствующая формула носит
название «формулы Кардано» 26. В том же трактате
Кардано опубликовал метод решения уравнения четвертой
степени, полученный его учеником Л. Феррари (1522—
1565).
Кардано был чрезвычайно разносторонним ученым и
настоящим сыном эпохи Возрождения. В довольно
объемистых трактатах по философии он выдвигал требование
построения знаний на опыте, а не на авторитете
Аристотеля. Его работы содержали сведения о науках, суевериях,
25 В этом же стихотворении Тарталья указал, что уравнение
х3 + Ъ = ах можно решить с помощью уравнения х3 = ах + Ъ.
26 Полные кубические уравнения приводятся к уравнениям
указанных видов подстановками. Кардано, например, решал
уравнение х3 + Ьх = ах2+с, приводя его к неполному подстановкой
, а
37

алхимии, магий, астрологии, хиромантии. Кардано был
панским астрологом; после опубликования гороскопа
Христа он был обвинен в ереси и осужден инквизицией.
Полученные итальянскими математиками результаты
очень значительны и оказали огромное влияние на
прогресс алгебры и всей математики; в связи с
рассматриваемыми задачами возникали проблемы разрешимости
уравнений в радикалах, что привело впоследствии к созданию
теории групп.
Одновременно с решением уравнений третьего и
четвертого порядков шло развитие и других разделов
алгебры: совершенствовались и обобщались методы решения
квадратных уравнений, расширялось понятие числа,
совершенствовалась символика. Произошло слияние различных
форм квадратных уравнений, рассматривавшихся ранее
отдельно, в одну. Был сделан вывод общей формулы
решения квадратного уравнения (с числовыми
коэффициентами) . Введены отрицательные и нулевые показатели
(дробные показатели встречались ранее) и правила действий
над ними. Решение кубических уравнений привело к
рассмотрению мнимых чисел. Введены знаки действий
сложения, вычитания, корня, равенства, а также особые
символы для некоторых степеней неизвестных. «Но наряду с
этим в теоретической работе алгебраистов сказывалось
сильное влияние античной математики. Углубление
знакомства с греческими авторами в период Возрождения на
некоторое время даже увеличило это влияние» 27.
Наиболее важный вклад в развитие алгебры внес
виднейший математик Франсуа Виет (1540—1603). Виет был
по образованию юристом и занимался адвокатской
практикой в родном городе Фонтене-ле-Конт (провинция
Пуату). В 1571 г. он переехал в Париж и перешел на
государственную службу. В Париже он познакомился с
математиками, в частности с Рамусом. Вскоре Виет сделал
блестящую карьеру: стал советником короля Генриха III, а
после его смерти — Генриха IV. Он прославился
расшифровкой переписки врагов Генриха III. Виет глубоко изучил
труды древних классиков — Архимеда, Диофанта, а также
более близких предшественников и современников — Кар-
дано, Тартальи, Бомбелли (ок. 1526—1573), Стевина
(1548-1620).
А. П. Юшкевич. Декарт и математика, стр. 264.
38

Виет поставил перед собой цель создать алгебру,
которая служила бы мощным орудием исследования.
Разработанная им алгебра состояла из двух частей: одна
оперировала общими величинами (logistica speciosa, т. е.
видовая логистика — совокупность приемов вычисления с
общими величинами), другая — числами (logistica numero-
sa, т. е. числовая логистика). Видовая логистика у Виета
получила значительную общность благодаря введенной им
символике.
Хотя предшественники и современники Виета
пользовались в различных вариантах буквенной символикой, ее
создателем считается Виет, несмотря на то что и в его
формулы все еще входили слова.
Дело тут вот в чем. Последователи арабского приема
ал-джабр преобразовывали уравнение к такому виду, у
которого обе части содержали положительные члены. В
результате к 31 форме уравнений арабских авторов Кардано
добавил новые формы уравнений четвертой и более
высоких степеней, приводящихся к кубическим и квадратным,
и получил 66 таких форм. Все они требовали для решения
особых приемов. Но они допускают объединение.
Например, три формы х3 + 2х = 5, х3 = 2х + 5, х3 + 5 = 2х
можно записать в виде х3 ± 2х ± 5 = 0. Для такого обобщения
нужно было ввести буквенное обозначение
коэффициентов, что и сделал Виет, хотя и понимал под ними только
положительные числа.
Виет обозначает прописными гласными буквами
неизвестные, а согласными — известные, которым можно
придавать в различных случаях разные числовые значения28.
Операции над составленными таким образом
выражениями представляют буквенное исчисление. «Идеи Виета,
и в первую очередь создание буквенного коэффициента,
явились началом коренного перелома в развитии алгебры.
Лишь теперь становилось возможным строить
алгебраическое исчисление как оперативный механизм» 29.
Но символика Виета была неполной. Он употреблял
слова или сокращения, например знак умножения — in,
знак равенства — aequatur, степени различных величин
Обозначение известных первыми буквами алфавита (а, Ь, с,...),
а неизвестных — последними (х, у, zv..) ввел Декарт.
Д. IJ. Юшкевцч. Декарт и математика, стр. 266.
39

Виет также обозначал словами. Уравнение
A3 + 3BA=D
Виет записывает так:
A cubus + В planum in A3 aequatur D solido.
На базе символики Виет построил свою алгебру как
науку о решении уравнений. Он нашел связь между
корнями и коэффициентами уравнения, новый метод решения
уравнения четвертой степени, показал, что решение
кубических уравнений связано с трисекцией угла или с
нахождением двух средних пропорциональных между
данными величинами, дал способы построения уравнений,
корни которых некоторым образом связаны с корнями
данного. Виет разработал метод приближенного решения
алгебраических уравнений с числовыми коэффициентами,
которым пользовались до конца XVII в. и который был
вытеснен более простым и удобным методом
Ньютона (1643-1727).
Виет получил аналитическое представление числа я в
виде бесконечного произведения
Таково наследство, включающее геометрию и
геометрическую алгебру, сконцентрированные в «Началах»
Евклида, предварение Архимедом интегрирования, теорию
пропорций Евдокса, конические сечения Аполлония,
неопределенные уравнения Диофанта, арифметику и
алгебру индусов и арабов, решение дель Ферро, Тартальи, Кар-
дано, Феррари, уравнений высших степеней, алгебру Ви-
ета; наследство, послужившее платформой для создания
новой математики.
Мы совершенно не касались развития методов счета,
открытия логарифмов, а также такой важной прикладной
части математики, как тригонометрия, основы которой
заложены в древности и которая получила дальнейшее
развитие в работах индусов и арабов? а также
европейских математиков,
40

Из приведенного исторического обзора можно сделать
два существенных вывода.
1. Математика, как и другие естественные науки,
развивалась (и развивается) под воздействием запросов
практики и смежных наук, а также в связи с решением
собственных проблем, диктуемых логикой развития.
2. Исторический ход развития математики от
древних, через индусов и арабов в Европу, подготовил почву
для открытий XVII в.
К рассмотрению этих открытий мы теперь
непосредственно и переходим.
Начнем с Декарта.

ДЕКАРТ
1
Один из величайших мыслителей Франции, основатель
философии и науки Нового времени, Рене Декарт родился
31 марта 1596 г. в местечке Лаэ провинции Турень. Отец
Рене, Иоахим Декарт, был советником парламента
(судейским чиновником) в Ренне, принадлежал к «дворянству
мантии». Семья Декартов — правоверно католическая.
Среди предков Рене по линии отца были врачи,
священнослужители. Мать Рене, Жанна Брошар, происходила
из семьи Созэ — хранителей университетской библиотеки
в Пуатье. Родовые имения Декартов находились в Турени
и Пуату; одно из них — Перрон в Пуату — впоследствии
перешло к Рене.
Мать Рене умерла от «грудной болезни» вскоре после
рождения сына. Он говорил, что унаследовал от матери
«сухой кашель и бледный цвет лица».
Первые семь лет жизни Рене воспитывался вместе со
старшим братом Пьером и сестрой Жанной в Лаэ.
Стремление к наукам проявилось у него рано и настоятельно.
На восьмом году он был отдан в школу Ла Флеш — одно
из лучших учебных заведений того времени. Она была
организована образцово и находилась в ведении иезуитов.
Иезуиты в педагогической практике ставили конкретные
цели: подготовить из обучающихся дворян идейных
защитников ордена, католицизма, папства. Орден не
оставлял без внимания воспитанников школы и после
окончания ее.
Условия воспитания и обучения Декарта были такими,
что он долщен был стать человеком консервативного
склада; хотя впоследствии он и выступал как реформатор
науки и философии, но вместе с тем был врагом всякого рода
насильственных преобразований в обществе, переворотов
в церкви и государстве. В «Рассуждении о методе» он пи-
сал: «Я никоим образом не одобряю беспокойного и вздор-
42

ного нрава тех, которые, не будучи призваны ни по
рождению, ни по состоянию к управлению общественными
делами, неутомимо тщатся измыслить какие-нибудь
новые преобразования» *. В качестве одного из правил
морали Декарт формулирует: «Повиноваться законам и
обычаям моей страны, придерживаясь неотступно религии,
в которой, по милости божьей, я был воспитан с детства,
и руководствуясь во всем остальном мнениями наиболее
умеренными, чуждыми крайностей и общепринятыми
среди наиболее благоразумных людей, в кругу которых мне
приходится жить» 2.
Школа Ла Флеш отличалась от других школ тем, что
наравне с традиционными предметами — грамматикой,
риторикой, богословием, схоластической философией — в ней
изучались физика и математика (цикл математических
наук, состоящий из арифметики, геометрии, акустики и
астрономии).
Изучение философии не удовлетворяло Декарта,
вызывало критику, зародило начало тех сомнений в
истинности схоластической науки и философии, которые
привели его к созданию иной философской системы.
Математика же увлекала, служила стимулом к творчеству. Уже
в школьные годы у Декарта зародилась мысль построения
наук с помощью нового метода по образцу математики.
Преподавание в Ла Флеш велось так же
схоластически, как и в других школах того времени. Лектор читал,
например, Аристотеля или свой конспект, а затем
комментировал его. В конце каждой недели проводился
диспут, в конце месяца — большой диспут. Предметом
диспута была одна из рассматривавшихся на занятиях тем.
На диспут назначались докладчик и оппонент, которые
через неделю менялись ролями. Докладчик с помощью цепи
логических умозаключений старался обосновать
некоторый тезис, а оппонент — его опровергнуть.
Об этих диспутах Декарт позднее напишет: «Я
никогда не замечал, чтобы с помощью диспутов, практикуемых
в школах, была бы открыта истина, дотоле неизвестная,
ибо когда каждый старается победить, тогда более
заботятся набить цену правдоподобию, а не взвешивать дово-
1 Р. Декарт. Рассуждение о методе. M.f Изд-во АН СССР, 1953,
стр. 19—20.
г Там же, стр. 26.
4Я

ды той и другой стороны. И те, которые долго были
хорошими адвокатами, не становятся благодаря этому
лучшими судьями» 3.
Высказывания Аристотеля, Августина, Фомы Аквин-
ского, «отцов церкви» и видных схоластов считались
истинными; ими пользовались как исходными посылками
при построении различных доказательств.
В школе Декарт познакомился с Мареном Мерсен-
ном (1588—1648). Несмотря на разницу в возрасте (Мер-
сенн заканчивал школу, когда Декарт в нее поступил),
Мерсенн стал первым в кругу друзей Декарта, а поздрее
являлся его доверенным лицом в Париже.
Начало «Рассуждения о методе» (опубликовано на
французском языке в 1637 г.) содержит много ценных
высказываний, касающихся школы, изучаемых предметов,
постановки обучения. Декарт пишет: «С детства я был
обучен наукам, и так как меня уверили, что с их помощью
можно приобрести ясное и надежное знание всего
полезного в жизни, то у меня было чрезвычайно большое
желание изучить эти науки. Но как только я окончил курс
учения, завершаемый обычно принятием в ряды ученых, я
совершенно переменил свое мнение, ибо так запутался
в сомнениях и заблуждениях, что, казалось, своими
стараниями в учении достиг лишь одного: все более и более
убеждался в своем незнании. А между тем я учился в
одной из наиболее известных школ в Европе и полагал, что
если есть на земле где-нибудь ученые люди, то именно
там и должны они быть» 4.
В XVII в. Франция переживала процесс, который
Маркс назвал «первоначальным накоплением капитала».
Хотя господствовали феодальные сословные отношения,
особенно в деревне, где проживало около девяти десятых
населения, развитие капиталистических элементов вело к
становлению нового общества и происходило в условиях
абсолютистской монархии, под контролем ее.
Постоянные военные расходы, расходы на содержание
королевского двора требовали больших средств, что вело
к жесткой налоговой политике государства; оно
вынуждено было также обращаться к кредиту ростовщиков,
торговцев, т. е. представителей растущей буржуазии.
3 Р. Декарт. Рассуждение о методе, стр. 59—60.
4 Там же, стр. 12.
44

Положение французского крестьянства, за счет
которого пополнялась государственная казна, было
невероятно тяжелым. Крестьянин должен был вносить феодальные
подати, платить господину за помол муки, выпечку хлеба,
приготовление вина на господском дворе, а также
отдавать десятую часть урожая церкви. Но основной тяжестью
на плечи крестьян ложились налоги.
Когда крестьянин не мог платить налог, у него
отбирали хлеб, домашний gkot, даже одежду. Постоянными
спутниками крестьянина были нужда и голод.
Часто крестьяне поднимались на своих господ,
расправлялись со сборщиками налогов. В 1593—1595 гг.
многие провинции Франции охватило восстание «кроканов»
(бедняков), в 1639 г. в Нормандии бушевало восстание
«босоногих», во главе которого стоял «генерал» Жан
Босоногий.
Ради заработка крестьяне организовывали у себя на
дому различного рода кустарные промыслы: прядильный,
гончарный, ткаческий, красильный и другие. Готовые
изделия сбывались за бесценок перекупщикам. В деревне
появились ростовщики, одалживавшие крестьянам деньги
под проценты. Так создавались условия возникновения
полярных классов нового общества: пролетариата — из
доведенных до отчаяния и ушедших в город на заработки
крестьян и буржуазии — из перекупщиков, ростовщиков.
Правда, пока оба этих полярных класса вместе с
крестьянами и ремесленниками принадлежали к презиравшемуся
дворянами податному третьему сословию. В отличие от
дворян, не плативших податей, третье сословие облагалось
налогами.
В городах становление капиталистических отношений
было более заметным: начало развиваться промышленное
производство (особенно производство предметов роскоши,
шерстяных и полотняных тканей), появились мануфактуры
с наемными рабочими, постепенно подчинявшие себе
ремесленников.
Во время правления Ришелье государство
субсидировало мануфактуры, строительство дорог и каналов,
экспедиции, проводило политику протекционизма с целью
защиты отечественного производства от конкуренции более
дееспособных производств — голландского и английского.
Декарт вышел из школы Ла Флеш в августе 1612 г.,
семнадцати лет. И хотя он относился с уважением к своим
45

преподавателям, он считал, что школьному образованию
обязан в очень малой степени, часто говорил друзьям, что
и без школьного образования написал бы те же книги с
той лишь разницей, что написаны они были бы все по-
французски.
На первых страницах «Рассуждения о методе» Декарт
излагает план дальнейших действий. Он пишет: «... я
полагал, что достаточно уже посвятил времени языкам, а
также чтению древних книг с их историями и вымыслами.
Ибо беседовать с писателями других веков то же самое,
что путешествовать. Полезно в известной мере
познакомиться с нравами разных народов, чтобы более здраво
судить о наших и не считать смешным и неразумным все
то, что не совпадает с нашими модами, как нередко делают
люди, ничего не видевшие» 5. И далее: «Вот почему, как
только возраст позволил мне выйти из подчинения моим
наставникам, я совсем оставил книжные занятия и решился
искать только ту науку, которую мог обрести в самом себе
или же в великой книге мира, и употребил остаток моей
юности на то, чтобы путешествовать, увидеть дворы и
армии, встречаться с людьми разных нравов и положений
и собрать разнообразный опыт, испытать себя во встречах,
которые пошлет судьба, и повсюду поразмыслить над
встречающимися предметами так, чтобы извлечь какую-
нибудь пользу из таких занятий» 6.
В начале 1613 г. Декарт отправляется в сопровождении
слуг в Париж и ведет светскую жизнь. Здесь он знакомится
с математиком К. Мидоржем (1585 — 1647), встречается
с Мерсенном. Декарту надоедают светские развлечения, и
он вскоре исчезает; никто не знает, где он, а он живет
в предместье Парижа затворником, занимается
математикой.
Отец Рене мечтал о военной карьере для сына: она
могла дать продвижение по службе, почести, выгодные
связи. Декарт не возражал против военной службы, ибо
она могла помочь в осуществлении плана, который у него
созревал: изучить открывающийся перед ним мир,
знакомиться с применявшимися в армии механизмами и
фортификационным искусством. Кроме того, переезды вместе
с войсками по дорогам Европы были более безопасны,
5 Р. Декарт. Рассуждение о методе, стр. 13,*
1 Там же> стр. 15,
461

Но Декарта не прельщала служба ё войсках в качестве
оплачиваемого офицера: он лишился бы независимости и
досуга. Иное дело — служить волонтером...
Продав часть принадлежавших ему имений, Декарт
записался в войска знаменитого Морица Оранского —
статхоудера (наместника короля) Нидерландов и
главнокомандующего.
Франция из вражды к испано-австрийской монархии
поддерживала Нидерланды, и служба французских дворян
в нидерландской армии была модой. Армия эта славилась
хорошей организацией, опытными военачальниками.
Военная наука там 'опиралась на новейшие достижения
механики и математики.
Процесс экономического развития в XVI — XVII вв. в
Нидерландах, где Декарт провел большую часть своей
жизни, шел быстрее, чем во Франции. В Нидерландах
раньше, чем в остальных странах Западной Европы,
произошла буржуазная революция (1566—1609). Маркс
говорил, что Голландия являлась образцовой
капиталистической страной XVII столетия.
Освободившаяся в длительной борьбе от испанского ига,
Голландия получила благоприятные условия для развития
экономики, науки, искусства. Голландия XVII в. —
передовая в политическом и экономическом отношениях страна,
переживавшая пору бурного расцвета. Расцвет экономики
немыслим без развивающейся инженерной техники, без
роста таких наук, как математика, физика, механика,
астрономия, география, которые находили применение в
кораблестроении, строительстве плотин, каналов, шлюзов.
В стране работали выдающиеся ученые, получило
широкое распространение книгопечатание, развивалась
сеть университетов, в которых обучались студенты
различных сословий из многих стран Европы. Некоторые
университеты, например Лейденский, славились далеко за
пределами Голландии.
2
В 1618 г. Декарт приехал в Бреду. Здесь состоялось его
знакомство с видным голландским ученым И. Бекманом
(1588 — 1637), который возбудил интерес Декарта к
физико-математическим исследованиям.
47

Рене Декарт
(1596—1650)
Пребывание Декарта в Бреде было
непродолжительным. Уже в 1619 г. он в войсках баварского герцога
Максимилиана оказался в Ульме. Здесь Декарт познакомился
с местными математиками; одним из них был известный в
то время И. Фаульгабер. Состоялось несколько бесед,
имевших для Декарта большое значение: у него уже могла тогда
возникнуть идея всеобщей математики, объединяющей все
ее разделы. Декарт все более и более сомневался в
истинности философии, видел ее недостоверность, царивший в
ней хаос. И только математика, с ее стройностью и
достоверностью, казалась ему способной давать истинные
знания. Отсюда естественный вывод: необходимо создать
философию по геометрическому методу, столь же
достоверную, как геометрия, необходимо искать новый метод для
создания системы истинного знания.
Стоянка на зимних квартирах в 1619—1620 гг.—
знаменательный этап жизни Декарта. В своем дневнике
Декарт сделал запись: «10 ноября 1619 г., охваченный
энтузиазмом, я открыл основания поразительной науки».
В чем состояло открытие Декарта? Это могло быть
открытие идеи универсальной математики, преобразования
алгебры с помощью единой символики, выражения
алгебраических величин с помощью геометрических, а геометри-
48

ческих через алгебраические уравнения, что было
основной идеей построенной Декартом аналитической геометрии.
Б. Г. Кузнецов указывает также на связь осенивших
Декарта идей с его основными гносеологическими посылками и
на этом основании делает вывод о дне рождения новой
гносеологии7.
«Ульмское озарение» при всей своей внезапности было
подготовлено размышлениями Декарта и в некотором
смысле завершало их, служило итогом длительных
интеллектуальных усилий и эмпирического изучения мира.
«Я находился тогда в Германии,— пишет Декарт,— где
оказался в связи с войной, не окончившейся там и доныне.
Когда я возвращался с коронации короля в армию,
начавшаяся зима остановила меня на одной из стоянок, где я, не
имея никаких развлекающих меня собеседников и, кроме
того, не тревожимый, по счастью, никакими заботами и
страстями, оставался целый день один в теплой комнате,
имея полный досуг предаваться размышлениям. Среди них
первым было соображение о том, что часто работа,
составленная из многих частей и сделанная руками многих
мастеров, не имеет такого совершенства, как работа, над которой
трудился один человек... Подобным образом мне пришло в
голову, что и науки, заключенные в книгах, по крайней
мере те, которые лишены доказательств и доводы которых
лишь вероятны, сложившись и разросшись мало-помалу из
мнений множества разных лиц, не так близки к истине, как
простые рассуждения, которые может сделать
здравомыслящий человек относительно встречающихся ему
предметов»8.
Весной 1622 г. Декарт возвратился во Францию и зиму
1623 г. провел в Париже, где встречался с Мерсенном, Ми-
доржем. С Мидоржем он занимался вопросами рефракции,
с инженером Э. Вильбресье ставил оптические опыты.
Из Парижа Декарт отправился в Италию. Он посещает
Рим, Флоренцию, присутствует на различных празднествах,
По неизвестным причинам Декарт не сделал никаких шагов
для знакомства с Галилеем, живущим во Флоренции, хотя
и посетил двор великого герцога Фердинанда П.
Летом 1625 г. Декарт вернулся в Париж. Его
по-прежнему увлекают задачи математики и физики — ведущих наук
7 См.: Б. Г. Кузнецов. Разум и бытие. М., «Наука», 1972, стр. 109.
8 Р. Декарт. Рассуждение о методе, стр. 17—18.
49

века. Среди основных разделов физики того времени мы
находим оптику. После того как Галилей построил в
1609 г. зрительную трубу и произвел первые
астрономические наблюдения, открылась широкая перспектива
применения оптических инструментов, и интерес к оптике
чрезвычайно повысился. Но первые оптические инструменты
были несовершенными, телескопы давали нечеткие
изображения, обрамленные цветовыми ореолами. Требовалось
разработать теорию наилучшей формы линз. Раздел
оптики, посвященный теории рефракции, т. е. теории
прохождения световых лучей через различные среды, назывался
тогда диоптрикой. Математической теорией рефракции как раз
и стал заниматься Декарт. Он нашел, что наилучшей
формой линз для исправления сферической аберрации,
обусловливающей расплывчатость изображений, является
гиперболическая. Мидорж, занимавшийся теорией отражения
света от зеркал (она называлась тогда катоптрикой),
указал как наиболее приемлемую форму зеркала
параболическую. Декарт сообщил о своем открытии опытному
мастеру — оптику Феррье, искусному шлифовальщику линз,
а впоследствии пригласил его в Голландию для
совместных работ.
К тому же времени относится сообщение Декарта Ми-
доржу о том, что он нашел новые решения старинных
математических задач удвоения куба и трисекции угла.
Двадцатые годы XVII в. явились началом длительной
борьбы за укрепление королевской власти и
международного положения Франции. Фактическим правителем
Франции становится всесильный премьер-министр кардинал
Ришелье, который стремился «всех смешать в общем
рабстве перед королевской властью» 9, принимал все меры к
укреплению абсолютизма.
Осенью 1628 г. Декарт уехал в Голландию. На этот
раз — на долгих двадцать лет. Что вынудило его
предпринять такой шаг? Почему он покинул родные места? Почему
не поселился, например, в Италии, славящейся научными
традициями? Эти вопросы не нашли однозначного и
непротиворечивого ответа.
В «Рассуждении о методе» Декарт говорит о
причинах переезда в Голландию. Ему необходимо было уеди-
Я. К ар ее в. История Западной Европы в Новое время, т. IL
СПб., 1904, стр. 403.
50

нение, относительная свобода, мир с его плодами,
удобства большого города, где можно среди «деятельного народа»
(а голландцы того времени были именно таковы) жить, как
в «отдаленной пустыне», предаваясь непрерывному труду.
Декарт не был борцом. Его девизом было «Bene qui Iatuit,
bene vixit» («Хорошо прожил тот, кто хорошо укрылся»).
Годы жизни Декарта в Голландии насыщены
интенсивным трудом. Обычный распорядок его дня таков:
длительные размышления, решение различных задач,
экспериментирование, ответы на письма.
Декарт имел очень небольшую библиотеку. Когда один
знакомый попросил показать ее, Декарт отдернул
занавеску и, указывая на труп теленка, сказал: «Вот мои
книги».
Декарт переписывался с учеными Франции, Италии,
Голландии. Мерсенн информировал его о научных
открытиях, посылал для решения физические и математические
задачи. В ту пору среди ученых решение предложенных
задач считалось делом чести, поэтому Декарт уделял им
много внимания.
Его знакомыми в Голландии были ученые (математики,
физики, медики, философы), техники, духовные лица,
университетские профессора (Лейденского, Лувенского,
Утрехтского университетов). Особенно он сблизился с
семьей Константина Гюйгенса, отца знаменитого
Христиана Гюйгенса. Декарт рано заметил и высоко оценил
исключительное дарование X. Гюйгенса.
3
Развитие науки в XVI и XVII вв. вылилось в научную
революцию. Она характеризуется созданием основы
современного научного естествознания и математики как его
рабочего аппарата.
В развитии науки настоятельно проявлялись новые
тенденции: она все более чутко откликалась на запросы
практики, обслуживала ее; она развивалась в борьбе
с догматизмом; наука базировалась на результатах
эксперимента, ее основу составляли механика и математика,
новые условия развития науки формировали новый тип
ученого и диктовали необходимость объединения усилий
ученых, что привело к возникновению научных кружков,
51

а впоследствии — к организации академий; наконец,
наука испытывала на себе влияние передовых идей века.
Развитие производства ставило перед наукой сложные
задачи. «Такие задачи появлялись в промышленной,
строительной, транспортной технике, в быстро
прогрессировавшем артиллерийском деле, в навигации, в связи с
изобретением и совершенствованием различных приборов и
инструментов и т. д. Назовем несколько таких вопросов,
правильная постановка и решение которых требовали
математического исследования, завершающегося числовым
расчетом. Это цикл проблем гидротехники (давление воды
на плотины и шлюзы, работа насосов, движение воды
в каналах), затем кораблестроения и навигации
(устойчивость плавающих тел, движение твердого тела в
жидкости, черчение географических карт, определение долготы
корабля в открытом море), артиллерии (прежде всего
движение брошенного тела в пустоте и в сопротивляющейся
среде), оптики (свойства линз и их систем), точного
приборостроения (часы и колебания маятника)» 10.
Однако ошибочно было бы думать, что развитие науки
целиком определялось практикой, ее нуждами. В каждой
науке есть свои внутренние стимулы, обусловливаюшие
прогресс. «Конечно, было бы бесплодным
упрощенчеством, — пишет И. Б. Погребысский, — истолковывать
научные исследования той эпохи как выполнение
определенного и осознанного социального заказа: преломление
общественных процессов в индивидуальном творчестве
происходит, как правило, весьма сложным образом. К тому же
наука развивается по законам наследственного процесса: ее
дальнейший ход определяется не только ее состоянием
и общественными условиями в данный момент, но и
предшествующей историей» и.
Необходимо иметь в виду также и наличие обратной
связи: развивающаяся наука ставила перед практикой,
в свою очередь, новые задачи.
Начало активного и научно обоснованного
выступления против средневековых догм связано с выходом в свет
основного труда Коперника. После Коперника движение
возглавили Дж. Бруно и Галилей. Борьба с догмами
пронизывает и творчество Декарта. И понятно то, что на од-
10 «История математики», т. 2. М., «Наука», 1970, стр. 10.
11 «История механики с древнейших времен до конца XVIII в.»
М.т «Наука», 1971, стр. 83.
52

ной из гравюр Декарт изображен попирающим ногой
сочинения Аристотеля.
В Новое время резко изменилось отношение к
эксперименту. Декарт осуждает философов, «которые, пренебрегая
опытом, думают, что истина выйдет из головы, как
Минерва из головы Юпитера» 12. Паскаль заявляет более
категорично: «Эксперимент — это тот учитель, за которым надо
следовать в физике» 13.
И Декарт и Паскаль имеют в виду опыты, явившиеся
поворотными пунктами в развитии наук, такие, как опыты
Галилея с падением тяжелых тел и колебаниями
маятника, опыты Торричелли, опровергнувшие тезис
Аристотеля «природа боится пустоты», и столь же важные для
науки опыты Паскаля, доказавшие существование
атмосферного давления.
К XVII в. сложилось механическое толкование
системы мира: мир рассматривался как механизм, действующий
в соответствии с незыблемыми законами механики. В
связи с таким взглядом ведущее значение приобрела механика,
а вместе с ней — математика. Всю физику старались
свести к механике.
Еще Леонардо да Винчи (1452—1519) называл
механику «раем математических наук». Галилей говорил:
«Философия написана в величайшей книге, которая всегда
открыта перед нашими глазами (я разумею Вселенную),
но ее нельзя понять, не научившись сначала понимать
ее язык и не изучив буквы, которыми она написана.
А написана она на математическом языке, и ее буквы это
треугольники, дуги и другие геометрические фигуры, без
каковых невозможно понять по-человечески ее слова: без
них — тщетное кружение в темном лабиринте»14. Позднее
Декарт, считавший, что «среди всех, искавших истину
в науках, только математикам удалось найти некоторые
доказательства» 15, назовет свою физику лишь геометрией.
В условиях Нового времени формировался новый тип
ученого: ученые в большинстве своем были одновременно
механиками, инженерами, физиками, математиками,
астрономами и часто философами. Многие крупные ученые
занимались инженерной практикой. Галилей, Гюйгенс,
12 Р. Декарт. Избранные произведения, стр. 95.
13 В. Pascal. Oeuvres conplites. Paris, 1963, p. 259.
14 G. Galilei. Le Opere, v. VI. Firenze, p. 232.
15 P. Декарт. Рассуждение о методе, стр. 23,
53

Ньютон строили зрительные трубы; Гюйгенс, кроме того,
прослыл выдающимся часовым мастером; Паскаль и
Лейбниц конструировали вычислительные машины; Симон
Стевин занимался гидротехникой; Дезарг —
фортификацией, Декарт и Торричелли — шлифованием линз.
Возникла настоятельная необходимость в общении
ученых. Это привело к большой научной переписке,
появлению своего рода центров научной информации, научных
кружков, впоследствии — академий. Во Франции таким
центром был М. Мерсенн, создавший первый научный
кружок.
Возникшие ранее в большинстве стран Европы
университеты не стали научными центрами. Это связано с
преобладанием в них схоластики. Парижский университет,
например, с начала XVI в. был оплотом схоластики и вел
непрестанную борьбу против гуманизма. В. Герье в связи
с этим писал: «Гуманизм был ненавистен университету,
потому что он настаивал на классическом образовании,
основывал воспитание на изучении лучших писателей
греческой и латинской литературы; картезианство же —
потому, что оно ставило на первый план математику и
физику, отвергая весь схоластический хлам,
поддерживаемый авторитетом великого Аристотеля» 16.
В XVII в. возникли научные академии в Италии,
Англии, Франции. Наука XVII в. развивалась под
влиянием передовых идей века. Большое влияние на науку
(и общество) оказывала философия Декарта. Рационализм
Декарта вооружал науку уверенностью в торжество
разума, стал идеологией революционной буржуазии,
перестраивающей производство.
4
В университетском городке Франекере, на севере
Голландии, в течение 9—10 месяцев, Декарт написал первый
очерк, содержащий основные философские идеи,
созревшие у него в результате глубоких размышлений. Затем
он принялся за большое сочинение, в котором
намеревался осветить многие вопросы физики. Повод к написанию
трактата дала частная задача. 20 марта 1620 г. в Риме
наблюдалось эффектное и редкое явление — паргелий, сое-
18 В, Герье, Лейбниц и его век, т. 1. СПб., 1868, стр. 162.
54

тоящее в появлении на небосводе ложных солнц, что
объясняется особенностями преломления солнечных лучей
при прохождении через атмосферу. Информацию об этом
Декарт получил от своего ученика Ренери, который просил
Декарта высказаться по существу этого явления. Декарт
решил основательно заняться вопросами рефракции, дать
построение физики на основе разработанных им
принципов, изложить свою систему мира. Вот план трактата:
физика, космология, затем — природа, животные, человек.
Связующая нить — исследование света.
В «Рассуждении о методе» Декарт пишет: «Я имел
намерение включить в него все, что считал известным мне до
его написания относительно природы материальных
вещей». Далее Декарт говорит о композиции трактата и его
содержании: «Но чтобы... иметь возможность более
свободно высказывать свои соображения, не будучи обязанным
опровергать мнения, принятые учеными, или им
следовать, я решил предоставить весь этот мир их спорам и
говорить только о том, что произошло бы в новом мире, если бы
бог создал где-либо в воображаемых пространствах
достаточно вещества для его образования и привел бы в
беспорядочное движение различные части этого вещества так,
чтобы образовался хаос, столь запутанный, как только
могут вообразить поэты, и затем, лишь оказывая свое
обычное содействие природе, предоставил бы ей действовать по
законам, им установленным» 17.
Первую часть сочинения о мире Декарт назвал
«Трактатом о свете» (опубликован в незаконченном виде после
смерти Декарта), вторую — «Трактатом о человеке».
Декарту удалось к лету 1633 г. вчерне закончить
трактат, о чем он сообщил Мерсенну в письме 22 июня 1633 г.
Но 22 июня 1633 г. инквизицией осужден Галилей, и пятью
месяцами позже об этом узнал Декарт. Узнал и прекратил
работу над трактатом.
Осуждение Галилея было тяжелым ударом для
Декарта. Осенью 1633 г. он писал Мерсенну: «Это меня так
поразило, что я решил сжечь все мои бумаги, по крайней мере
никому их не показывать; ибо я не в состоянии был
вообразить себе, что он, итальянец, пользовавшийся
расположением даже папы, мог быть осужден за то, без сомнения,
что хотел доказать движение земли; насколько я знаю, это
Р. Декарт. Рассуждение о методе, стр. 40-^41,
55

было осуждено некоторыми кардиналами, но, как мне стало
известно, затем публично преподавалось даже в Риме.
Признаюсь, если движение земли есть ложь, то ложь и все
основания моей философии, так как они явно ведут к этому
же заключению. Учение о движении земли так тесно
связано со всеми частями моего «Трактата», что если его
исключить, то все остальное делается негодным. Но так
как я ни за что в мире не пожелаю, чтобы мною было
написано сочинение, в котором оказалось бы хотя одно
слово, не одобренное церковью, то я лучше уничтожу его, чем
выпущу с пропусками» 18.
Из этого следует: Декарт не из боязни разделить участь
Галилея, а по собственному убеждению отказался от своего
учения и вынужден был в последующих трудах искать
компромисс между наукой и церковной догмой, отчего
пострадала в первую очередь наука. Однако это не избавило
мыслителя от конфликта с богословами.
В 1644 г. Декарт посетил родину в связи с
наследственными делами: в 1640 г. умерли его отец и сестра Жанна.
К этому времени относится его знакомство с Пьером Шаню
(1600—1677), переросшее потом в дружбу. В 1645 г. Шаню
был назначен французским послом в Швецию.
Второе путешествие во Францию Декарт совершил в
1647 г. Он встречался с Б. Паскалем, обсуждал с ним и
другими учеными кружка Мерсенна «опыты с пустотой».
В 1647 г. Декарту указом короля была назначена пенсия
в три тысячи ливров за заслуги в науке и для
проведения опытов. Оформление пенсии требовало его
присутствия.
Декарт приехал в Париж летом 1648 г. и был поражен
напряженным политическим положением: политику
Ришелье в укреплении монархии продолжал его преемник
Д. Мазарини (1602—1661); против абсолютизма
поднималась фронда. Пенсия осталась только посулом:
положение Франции было таково, что не выплачивалось даже
жалованье государственным служащим. Декарт решил
вернуться в Голландию и в августе 1648 г. уехал из Франции
уже навсегда.
Декарт поддерживал переписку с Пьером Шаню. Через
него шведская королева Христина ознакомилась с учением
18 См.: Г. Г. Слюсарев. Декарт и оптика XVII в.—В кн.:
Р. Декарт. Рассуждение о методе, стр. 481.
56

Декарта и пригласила философа в Швецию, чтобы
услышать его философию из его собственных уст.
Декарт приехал осенью 1649 г. Королева назначила
часы для занятий философией. Занятия начинались в пять
часов утра. Шаню предоставил Декарту для поездок во
дворец посольскую карету. Стояла суровая северная зима.
Декарт простудился и заболел воспалением легких.
Через девять дней, 11 февраля 1650 г. он скончался.
В 1666 г, гроб с прахом Декарта был перевезен в Париж
и установлен в церкви св. Павла, а 24 июня 1667 г.
перенесен в церковь св. Женевьевы (нынешний Пантеон).
5
Деятельность Декарта-математика, как и большинства
математиков того времени, теснейшим образом связана с
кружком Мерсенна. Об этом кружке Дж. Бернал пишет:
«Подлинным центром французской науки была, вплоть до
его смерти в 1648 г., келья францисканского монаха
Мерсенна, который сам был незаурядным ученым. Он
неустанно вел переписку, будучи своего рода главным
почтамтом для всех ученых Европы, начиная с Галилея и
кончая Гоббсом» 19.
Ядро кружка составили несколько человек,
встречавшихся, как правило, каждую неделю у Мерсенна. Его
собственный вклад в науку не очень велик (работы по акустике
и движению жидкостей, законы качания маятника), но в
истории естествознания Мерсенн оставил своеобразный и
заметный след. Он обладал редкой способностью
объединять вокруг себя людей с общими интересами и
замечательной интуицией, позволявшей ему из потока научных
работ выделять наиболее значительные. Благодаря этому
Мерсенн стал центром и душой парижских
естествоиспытателей. Кроме того, и это, пожалуй, главное, он вел
переписку почти со всеми европейскими учеными.
Переписка заменяла тогда научные журналы, которые
появились позже. Посредством переписки становились
известными многие важные математические и физические
открытия (например, способ Ферма отыскания
экстремумов, опыты Торричелли с пустотой и др.). Через Мерсенна
же велись дискуссии по всем важным и спорным вопросам.
Ц. Б ер пал. Наука в истории общества. Цп ИЛ, 1956, стр. 192.
57

Кружок (или «ассамблея») собирался обычно у Мерсенна,
что с 1625 г. происходило регулярно. Место собраний —
монастырь ордена миноритов на Королевской площади, где
жил Мерсенн. Кружок Мерсенна посещал Роберваль —
математик, физик, астроном. Основные его исследования
относятся к бесконечно малым, к тому разделу
математики, который только начал развиваться и составлял в то
время передний край науки.
Среди членов кружка находился архитектор и инженер
по образованию Жерар Дезарг (1593—1662). В Париже он
жил с 1626 по 1650 г. Дезарг прославился трудами в
проективной геометрии и считается основателем этой науки.
Главное сочинение Дезарга — «Черновой набросок подхода
к явлениям, происходящим при встрече конуса с
плоскостью» — объемом всего 30 страниц, получило признание
великих математиков того времени — Ферма, Декарта,
молодого Паскаля. В XIX в. к идеям Дезарга вернулись вновь;
его «Набросок» был напечатан по сохранившейся рукописи.
Геометр Клод Мидорж (1585—1647), друг Декарта,
числился на государственной службе, но, будучи
состоятельным человеком, почти все время отдавал любимой
математике. Его главное сочинение — о конических сечениях (две
книги изданы в 1631 г., еще две — в 1639 г.). В нем он
показал, что теорию конических сечений можно излагать
проще, чем было принято тогда. Мидорж, кроме того,
увлекался изготовлением линз, зеркал, всевозможных приборов и
инструментов, на что израсходовал целое состояние — не
менее ста тысяч экю.
С 1631 г., после переезда из Клермон-Феррана в Париж,
усердным посетителем кружка стал Этьен Паскаль (1588—
1651), отец знаменитого Блеза Паскаля (1623—1662).
Менее известен в наше время еще один участник
кружка Мерсенна — Клод Арди (1600—1678). Тогда он
пользовался репутацией глубокого знатока математики, даже у
такого строгого ценителя, как Декарт. Арди служил
советником в парижском суде, досуги же отдавал математике. Оч
превосходно издал Евклида с греческим текстом, латинским
переводом и комментарием. Остальные его труды утеряны.
Автор обширной биографии Декарта Байэ рассказывает,
что Арди знал 36 языков и диалектов.
Посещал кружок Мерсенна также Ле Пайер (? —1654),
друг Этьена Паскаля. Он с детства увлекался математикой
и другими науками,
58

В келье Мерсенна обсуждались результаты
проведенных наблюдений, экспериментов, теоретических изысканий,
поступившие из других стран научные новости. Члены
кружка высоко ценили философию Декарта и его научные
достижения.
Кружок Мерсенна стал зародышем созданной в 1666 г.
министром Людовика XIV Кольбером Парижской академии
наук. Активное участие в создании академии принял
заменивший Мерсенна Пьер де Каркави (1603—1684).
6
Бурное развитие математики в XVII в., революционный
скачок, завершившийся построением интегрального и
дифференциального исчислений, закономерны. Об этом пишет
Луи де Бройль: «...по мере того, как ученые XVII века,
непрерывно и сознательно применяя наблюдение и
экспериментальный метод, начали постигать основные законы
механики, астрономии и некоторых частей физики, они почти
неизбежно были вынуждены развивать методы
рассуждения и расчета, которые подводили их к анализу бесконечно
малых» 2и.
Одним из зачинателей новой математики был Декарт.
Какие термины сохранились в математике до наших дней,
связанные с Декартом и увековечившие его? Сравнительно
немного: «декартовы координаты» (характерно, что слово
«координаты» ввел в обращение Лейбниц в 1692 г.),
«декартов лист», «овалы Декарта», «правило знаков
Декарта», «метод неопределенных коэффициентов Декарта».
Вот, пожалуй, и все.
Основные математические идеи и построения Декарт
изложил в «Геометрии», вышедшей в Лейдене на
французском языке осенью 1637 г. как часть «Рассуждения о
методе», и в переписке (и полемике) с крупнейшими
математиками века.
Выход «Геометрии» был воспринят в ученом мире
по-разному. Математики-картезианцы считали метод
Декарта единственно возможным в математическом
исследовании. С другой стороны, была и критика, были и
обвинения Декарта в заимствовании некоторых результатов у
Ф. Виета, Т. Гарриота, А. Жирара.
Л. де Бройль. По тропам науки. М., 1962, стр. 167.
59

Дело обстояло так. Т. Гарриот (1560—1621) в
«Приложении аналитического искусства к решению
алгебраических задач» усовершенствовал символику Виета. В его
записи, например, современное уравнение
хз_3Ьх2+ЗЬ2х=2Ь3
выглядело так:
ааа — З.Ьаа + З.ЪЬа = + 2.ЪЬЬ 21.
Он иногда писал уравнения, приравнивая левую часть
нулю. Эта запись после Декарта стала канонической
(термин, введенный также Гарриотом). При исследовании
уравнений Гарриот с целью получения их перемножал
двучлены вида а—Ъ,а—с, аЛ-& и т. д. и приравнивал
произведения нулю. Хотя множителями вида a+d (оба числа
положительны!) он вводил отрицательные числа, но
рассматривал только положительные (как и Виет). Гарриот и
Виет знали, что полученное в результате перемножения
множителей вида х—х{ fe>0) уравнение п-ж степени
будет иметь п корней. Ими была «нащупана» основная
теорема алгебры: уравнение п-ж степени имеет п корней.
А. Жирар (1595—1632) в «Новом открытии в алгебре»
(1629) рассматривал отрицательные корни уравнений (он
называл их «решениями с минусом»), а также мнимые
(«скрытые»). Это позволило ему сформулировать
основную теорему алгебры в общем виде: «Все уравнения
алгебры получают столько решений, сколько их показывает
наименование высшей величины» 22. Жирар развил
основанную Виетом (с учетом только положительных корней)
теорию симметрических функций корней, связывающую их
с коэффициентами уравнения.
Сочинения Гарриота и Жирара не получили
достаточной известности и вряд ли о них знал Декарт. В письме
К. Гюйгенсу в декабре 1637 г. Декарт писал: «Сударь,
я так редко обращаюсь к своим книгам, что среди них —
хотя у меня их всего лишь с полдюжины — скрывалась,
оказывается, незамеченной более шести месяцев одна из
ваших книг — это Генриотти... Я хотел увидеть эту книгу,
21 Точка здесь — не знак умножения, а разделительный знак.
Точку в качестве знака умножения ввел в конце XVII в.
Лейбниц.
22 A. Girard. Invention nouvelle en Talgebre. Amsterdam, 1629,
II Theoreme, E 4.
60

ибо мне говорили, что в ней содержится некое исчисление
для геометрии, весьма сходное с моим; я нашел, что это
верно, но он углубляется в существо столь мало и на
множестве страниц учит столь малому числу вещей, что у
меня нет оснований иметь претензии к его мыслям за то, что
они предупредили мои» .
Сочинения Виета были известны Декарту, но в письме
Мерсенну в декабре 1637 г. Декарт утверждает, что он
«начал там, где Виет кончил». Книгу Виета он случайно
нашел у одного из друзей. «И, между нами, я не нахожу, что
он знал об этом столько, сколько я полагал, хотя он и был
весьма искусен» 24. Жирара Декарт в своей переписке
упоминает только как издателя сочинений С. Стевина.
В связи с обсуждаемым интересную мысль
высказывает Цейтен: «Декарт проявил ту же недооценку того, чем
он обязан другим, за которую его упрекали и в области
философии. Это нередкая ошибка великих умов, которые
воспринятое от других тотчас же путем новой и
самостоятельной переработки включают в свою собственную систему» 25.
Примечательна сама по себе история кривой,
называемой циклоидой, сыгравшей исключительную роль в
развитии математики на заре становления анализа бесконечно
малых. На циклоиде в числе других кривых испытывался
аппарат нового исчисления. Эта кривая описывается
любой фиксированной точкой окружности, катящейся без
скольжения по прямой. Можно сразу же сказать, что
таких кривых мы в жизни наблюдаем бесчисленное
множество: где есть катящееся колесо (а оно сейчас есть почти
всюду), там и циклоиды. Удивляться приходится, почему
весьма наблюдательные и пытливые древние математики
не открыли циклоиду.
Циклоиду открыл, назвал и начал изучать Галилей: он
пытался определить взвешиванием площадь между аркой
циклоиды и прямой, по которой катится образующая
циклоиду окружность. Эту площадь впервые вычислил Робер-
валъ, потом — Декарт, Ферма, Торричелли. Изучением
эпи- и гипоциклоид (кривых, описываемых фиксированной
точкой окружности, катящейся по наружной или внутрен-
23 Ouevres de Descartes, изданные Ш. Адамом и П. Таннери
(Париж, 1898), т. II, стр. 456. Далее: «Oeuvres» с указанием
тома и страницы.
24 Ouevres, v. I, p. 480.
25 Г. Г. Цейтен: История математики в XVI и XVII веках. ГТТИ,
1933, стр. 43.
61

ней части другой окружности) занимались Роберваль и
Торричелли. Ученик Галилея В. Вивиани (1622—1703)
первый нашел метод построения касательной к циклоиде.
Эту же задачу решили Роберваль, Декарт, Ферма. Объемы
тел, образуемых вращением циклоиды вокруг различных
прямых, находили Роберваль, Паскаль, Торричелли,
Гюйгенс. Циклоиде посвятил Б. Паскаль свой знаменитый
«Трактат о рулетте» (рулетта — французское название
циклоиды). Трактат Паскаля Даламбер (1717—1783)
назвал «чудом проницательности и проникновения». К. Рен
(1632—1723) выполнил спрямление циклоиды (вычислил
ее длину). Хр. Гюйгенс изобрел циклоидальный маятник и
применил его в часах. Идею использования маятника для
регулирования хода часов в 1641 г. выдвинул Галилей, но
реализовать не смог ввиду наступившей потери зрения.
Гюйгенсу удалось доказать, что период колебаний
маятника не зависит от амплитуды (такой маятник называется
изохронным), когда маятник будет описывать циклоиду
Для этого требуется, чтобы регулирующие пластинки были
также циклоидальной формы. Так в связи с решением
практических задач в математике возник раздел об
эволютах и эвольвентах 26.
В 1638 г. о задачах, связанных с циклоидой, Декарт
писал Мерсенну: «Как можно поднимать такой шум по
поводу открытия вещи настолько простой?»
Цейтен в цитируемой книге приводит слова геометра
М. Шаля (1793—1880), охарактеризовавшего идеи
«Геометрии» Декарта как «детей, появившихся на свет без
матери». Он соглашается с высокой оценкой идей Декарта,
данной Шалем, в том смысле, что они «имели огромное
преимущество перед теми, которые до него
господствовали в математике: они оказались способными проникать
во все более и более широкие круги, приобщать эти круги
к сокровищам, составляющим дотоле достояние немногих,
и, более того, привлекать их к умножению этих сокровищ.
Вот почему «Геометрия» Декарта знаменует в истории
математики переход к новой эпохе» 27.
В то же время Цейтен называет оценку Шаля глубоко
ошибочной и считает, что Шаль высказал ее с целью под-
26 Эволюта — геометрическое место центров кривизны данной
кривой. Эвольвента — кривая по отношению к эволюте.
27 Г. Г. Цейтен. История математики в XVI и XVII веках,
стр. 198.
62

черкнуть чрезвычайную значимость труда Декарта и его
новизну для математики того времени. Что же касается
аналитической геометрии Декарта, то она ни в коей мере
не может быть охарактеризована как «дитя без матери»,
хотя бы потому, что тогда же появилась аналитическая
геометрия Ферма, идеи которой Ферма высказывал в
переписке еще до появления «Геометрии» Декарта.
«Геометрия» Декарта была подготовлена всем историческим
развитием математики; поэтому новые мысли Декарта
вскоре принесли обильные плоды.
В чем проявилась новизна идей Декарта, что
придавало его творению революционный характер? Это прежде
всего построение алгебры как самостоятельной части
математики, что изменяло существовавшее ранее соотношение
алгебры и геометрии и соответствовало основной мысли
Декарта о необходимости создания «всеобщей
математики». В «Правилах для руководства ума» Декарт писал:
«...к области математики относятся только те науки, в
которых рассматривается либо порядок, либо мера, и
совершенно несущественно, будут ли это числа, фигуры,
звезды, звуки или что-нибудь другое, в чем отыскивается эта
мера» 28.
На первой странице «Геометрии» читаем: «Подобно
тому как вся арифметика заключается только в четырех или
пяти действиях, именно в сложении, вычитании,
умножении, делении и извлечении корней, которое можно считать
некоторого рода делением, подобно этому в геометрии,
чтобы подготовить искомые линии к определению, нужно
только прибавить к этим линиям или отнять другие; или
же нужно, имея линию, которую я, дабы удобнее
установить более тесную связь с числами, назову единицей и
которая обыкновенно может быть выбрана произвольно,
и имея еще две другие линии — найти четвертую линию,
так относящуюся к одной из этих двух, как другая к
единице, а это то же самое, что умножение; или же найти
четвертую линию, так относящуюся к одной из этих двух,
как единица к другой, а это то же самое, что деление; или,
наконец, найти одну или же две, или же несколько
средних пропорциональных между единицей и какой-либо
другой линией, а это то же самое, что извлечь квадратный или
же кубический и т. д. корень. С целью быть более понят-
?8 Р. Декарт. Избранные произведения, стр. 93—94.
63

ным, я без опасений введу эти арифметические термины
в геометрию» 29.
Этот же мотив освобождения алгебры от
геометрических построений выступает более решительно в
сочинении, написанном кем-то из последователей Декарта,
одобренном и рекомендованном им в качестве введения
в «Геометрию». «Исчисление г. Декарта» содержит
правила буквенного исчисления — сложения, вычитания,
умножения, деления, действий с дробями и корнями —
вне связи с геометрией.
Следующее (по порядку, но не по значимости!)
новшество Декарта — введение им переменных величин как
координатных отрезков переменной длины,
характеризующих положение точек на плоскости и своими концами
описывающих при движении различные кривые.
И далее, основная идея аналитической геометрии
состоит в том, что геометрический объект задается
уравнением между переменными величинами; по свойствам
уравнения судят о свойствах геометрического объекта. Это
и дало повод в последующем геометрию Декарта назвать
аналитической.
О составлении уравнений Декарт в «Геометрии»
пишет: «Но чтобы охватить совокупность всех
встречающихся в природе кривых и распределить их по порядку по
определенным родам, лучше всего указать на то
обстоятельство, что все точки линий, которые можно назвать
геометрическими, т. е. которые подходят под какую-либо точную
и определенную меру, обязательно находятся в некотором
определенном отношении ко всем точкам прямой линии,
которое может быть выражено некоторым уравнением,
одним и тем же для всех точек данной линии» 30.
В этом отрывке можно усмотреть многое: метод
координат, понятие заданной уравнением функции,
выражающей построенную кривую, классификацию линий.
7
Высказанные в «Геометрии» идеи, приведенные методы
решения задач и результаты решения конкретных задач
сложились у Декарта и получены им задолго до опублико-
Р. Декарт. Рассуждение о методе, стр. 301—302.
Там же, стр. 323t
64

вания «Рассуждений о методе», в период обдумывания
методологии и построения наук31. Свидетельство тому — в
его письмах, некоторые места «Рассуждения о методе»,
«Правил для руководства ума» и других работ.
Одновременно с построением новой философии, разработкой
методологии наук Декарт строил новую математику в рамках
общей философской концепции, дополняя и развивая ее.
В 1619—1621 гг. Декарт занимается теорией
кубических уравнений и общей проблемой решения
алгебраических уравнений. Он применил к построению корней
уравнения х3=х+2 придуманный им инструмент,
напоминающий «мезолабий» Эратосфена (276—195? до н. э.) для
построения двух средних пропорциональных. Декарт дал
описание этого инструмента в «Геометрии» в связи с
кинематическим построением кривых и применил его в
третьей части «Геометрии» для построения любого числа
средних пропорциональных.
Декарт получает квадратный корень из пропорции
1: х = х: а, х = "|/^Г
Аналогично он поступает и в случае корня любой степени
х = у а.
В «Правилах для руководства ума» он пишет: «Что
касается таких делений, в которых делитель не дан, а только
обозначен некоторым отношением, как, например, когда
говорят, что нужно извлечь квадратный корень или
кубический корень и т. д., то заметим, что в этих случаях
делитель и все остальные члены нужно представлять как линии
в ряде последовательных пропорций, из которых первой
является единица и последней — делимая величина. Как
нужно отыскивать все средние пропорциональные между
делимым и единицей, будет показано в своем месте»32.
Таким образом, х=у^а получается с помощью средних
пропорциональных хи х2, Хз, ..., хп-с.
л. ! X{^=Xi ! Xz^= . . . ==3?n—l t Л.
В самом деле, имеем
1: Xi=Xi: xZl %i = V х2 5
31 См., например, обзорную статью А. П. Юшкевича «О
«Геометрии» Декарта» в кн.: Р. Декарт. Рассуждение о методе, стр. 424.
32 Р. Декарт. Избранные произведения, стр. 167,
65

далее
Xi \ Х% = Х% • ^3» ^2 r= V %l%3i
х1 = "|/"#2 = у Ухгх3 = У ххх3,
4 3 3/
Х-± — Х-±Х§) Х-± — ^3? ^1 — г *«&•
71/
Очевидно, таким же приемом можно получить х = у а.
Как задача древних об удвоении куба (делосская
задача) сводится к решению кубического уравнения #3=2а\
так и задача деления угла на три равные части
(трисекция угла) сводится к решению кубического уравнения.
Рассмотрим, например, деление угла 120° на три равные
части.
Известно:
sin Зф=3 sin ф—4 sin3 cp;
положим Зф=120°, тогда sin Зф= —;
это дает
~2~=3 sin ф—4 sin8 ф, 1=3-2 sin ср
Обозначим 2 sin ф=#,
1=3х-х\ т. е. я3-3;г+1=0.
Применением формул для косинуса и синуса кратных
дуг к задачам деления угла на равные части занимался
еще Виет.
В письме Бекману (26 марта 1619) Декарт изложил
план «новой науки», с помощью которой можно решать
задачи, связанные с дискретными и непрерывными
величинами. Он утверждал, что задачи о непрерывных
величинах связаны с нахождением точек пересечения линий,
причем возможны различные задачи. Один класс задач
разрешается с помощью пересечения прямых и
окружностей, для решения задач другого класса необходимо искать
точки пересечения иных линий, полученных в результате
«единого движения». Третий класс задач разрешим с
помощью линий, полученных различными, «не
соподчиненными движениями».
Дальнейший путь построения «новой науки» —
классификация задач по типу движений. Это составило один из
разделов второй книги «Геометрии».
8 sin3 ф.
66

В связи с открытием закона преломления Декарт стал
искать наилучшую форму преломляющих поверхностей,
с помощью которых можно все лучи свести в одну точку,
т. е. устранить сферическую аберрацию. Такая задача в
математике относится к обратным задачам и сводится к
интегрированию обыкновенного дифференциального
уравнения первого порядка. Решение этой конкретной задачи
привело Декарта к открытию приема проведения
касательной и нормали к кривой и новых видов кривых —
овалов Декарта, описанных им в «Геометрии». В связи с
овалами Декарт рассматривал координаты — переменные
длины отрезков.
В то же время Декарт занимался построением корней
уравнения четвертой степени без второго члена как точек
пересечения параболы и окружности. Он указал, что
число действительных корней такое же, как и число общих
точек кривых. Если таких точек нет, то нет и «истинных»
(действительных) корней, а есть только «воображаемые»
(мнимые), причем «истинные» корни могут быть «явные»
(положительные) и «неявные» (отрицательные).
В 1631 г. Декарт стал заниматься задачей Паппа о
геометрическом месте к 4 п прямым. Задача Паппа в
«Геометрии» — первая из задач древних, на которой Декарт
продемонстрировал силу своего метода и превосходство его над
методами древних. Уже в 1632 г. Декарт в письме Я. Гоо-
лю (1596—1667) сообщил о решении задачи Паппа и дал
классификацию кривых.
В те же годы Декарт значительно продвинулся в
алгебраической символике.
Все эти факты позволили А. П. Юшкевичу сделать
вывод, что Декарт разработал новую математику задолго до
выхода «Геометрии».
«Основные черты всеобщей математики,— пишет
Юшкевич,—были таковы. Все задачи математических наук могут
быть выражены с помощью уравнений той или иной
степени. Общий метод решения уравнений состоит в построении
их корней как отрезков — ординат точек пересечения
некоторых плоских кривых. Эти плоские кривые выражаются
алгебраическими уравнениями с двумя текущими
координатами и сами выступают как геометрические образы
алгебраических функций. Классификация линий играла
решающую роль при выборе кривых, нужных для
построения задачи. Буквенное исчисление отрезков сливалось в
67

органическое целое с геометрией линий, и только синтез их
давал универсальный метод решения проблем в области
непрерывных величин. Исторически, однако, из всеобщей
математики Декарта выросли две науки: числовая
буквенная алгебра и аналитическая геометрия» 33.
8
«Геометрия» состоит из трех книг. В первой,
озаглавленной «О задачах, которые можно построить, пользуясь
только кругами и прямыми линиями», после замечания о
том, что «Все задачи геометрии легко привести к таким
терминам, что для их построения нужно будет затем знать
лишь длину некоторых прямых линий» 34, даны общие
правила арифметических действий над отрезками (см.
стр. 63). Этим самым геометрические операции
подвергаются алгебраическому исчислению.
Затем сформулированы правила аналитического
решения задачи: предположим, что задача решена; дадим
обозначения известным и неизвестным величинам («линиям»);
выразим с помощью известных и неизвестных одну и ту же
величину двумя различными способами; приравняв
полученные выражения, найдем уравнение; уравнений должно
быть столько, сколько неизвестных; если это не так, то
задача будет неопределенной, и часть неизвестных можно
выбрать произвольно. Далее поясняется ход решения.
Свой метод Декарт применил для отыскания
геометрических мест к 3 и 4 прямым, а также для нахождения
упоминаемых Паппом мест более чем к 4 прямым. Задача
во втором случае формулируется так же, как и задача о
геометрических местах к 3 и 4 прямым: найти
геометрическое место точек, обладающих тем свойством, что
произведение длин отрезков, проведенных под данными
углами к п данным прямым, находится в определенном
отношении к произведениям длин отрезков, проведенных
к п или п—1 другим прямым.
Если в произвольной системе координат даются
уравнения прямых в виде
а{х+Ьм+с{=0,
33 А. П. Юшкевич. О «Геометрии» Декарта.— В кн.: Р. Декарт.
Рассуждение о методе, стр. 546.
34 Р. Декарт. Рассуждение о методе, стр. 301.
68

to длины проведенных к ним отрезков d{ будут
пропорциональны левым частям уравнений. Тогда уравнения
геометрических мест можно записать в виде
did2... dn=±kdn+i dn+2... d2n
в случае 2п прямых и
did2. .. dn=±kdn+i dn+2.. . d2n-i
в случае 2п—1 прямых.
Декарт установил, что искомая линия будет иметь
относительно переменных х и у степень п.
Древние дали решение задачи для п=2. Геометрическим
местом служит коническое сечение. О случаях ?г>2,
говорит Папп в одной из своих книг, которую цитирует Декарт.
Рис. 1
Декарт подробно рассмотрел задачу при п=2 и п=3 и
прежде всего о месте к 3 и 4 прямым. Здесь он вводит
систему (косоугольных!) координат, приняв одну из данных
прямых и одну из проведенных («искомых») за оси х и у:
АВ=х, ВС=у (рис. 1). Затем делаются обозначения длин
данных отрезков АЕ=к, AG=L Углы треугольников
известны, поэтому известны и отношения их сторон, например,
АВ : BR=z : b, CR : CD=z : с и т. д., причем z, 6, с,...—
данные отрезки.
Величины СВ, CD, CF и СН выражаются через отрезки
х, g,z,b,c,...,k,l
СВ = у CD = czy ~^~Ъсх CF = ezy ~^~dek ~*~dex
"' 7.7. ' -7-7 '
СН =
ZZ
gzy + fgl — jgx
69

и из условия CB-CF=CD-CH находится уравнение
искомого геометрического места (уравнение приведено и
исследовано во второй книге) в виде
у = т —я+ у тт + ох —хх,
где введены новые обозначения.
«И это,— говорит Декарт,— должно представлять собой
длину линии ВС при неопределенной АВ или х» 35.
Во второй книге, названной «О природе кривых линий»,
Декарт подробно рассматривает полученное уравнение.
Ссылаясь на «Конические сечения» Аполлония, он
показывает, что уравнение дает коническое сечение, а в случае,
когда корень обращается в нуль или извлекается нацело —
пару прямых (вырожденный случай, о котором Декарт
ничего не говорит).
Декарт устанавливает, при каких значениях параметров
уравнение дает эллипс, гиперболу, параболу, окружность, и
находит вершины их, центры и другие характеристики.
Затем рассматривается геометрическое место к 5
прямым; наиболее простой случай будет, когда четыре прямые
параллельны и расстояние между соседними прямыми
постоянно (прямые эквидистантны), а пятая
перпендикулярна им (рис. 2). На рис. 2 параллельные прямые GF, ED,
АВ, Ш (расстояние между ними а), а перпендикулярна им
GL
Из условия
CF CDCH = CBCM' a.
Декарт получает уравнение кривой третьего порядка
(СВ=у, СМ=х)
у3—2ау2—аау+2а3=аху — уравнение трезубца.
Он указывает кинематическое построение трезубца:
кривая может быть описана точкой пересечения
перемещающейся параболы CKN, диаметр которой KL=a движется
по АВ, и прямой GL, которая вращается вокруг точки G и
проходит через точку L. Искомому месту принадлежит
также кривая Шо, полученная при перемещении точки
пересечения прямой GL с частью параболы HKN. Если
подвижная парабола имеет противоположно направленные ветви,
35 Р. Декарт. Рассуждение о методе, стр. 329.
70

то геометрическим местом будут линии cEGc и пЮзв.
Способ построения трезубца похож на способ построения
известной древним кривой — конхоиды.
В самом начале второй книги Декарт ставит вопрос:
какие кривые могут быть допущены в геометрии? Он
говорит следующее: древние знали, что одни задачи геометрии
решаются с помощью прямых линий и окружностей
f
F
|\
1 \
1 \
i ^
<А
у/
'с
\
\ d
\
\
\
\
1
и_
\~?/
b
\ \/
/I v.
/I
/J
\Д/
\с
о\ъ
V
в /н
—гл
/
'к
~А
•/
//
/
У/1/
//
/
п
т~
\
(«плоские» задачи), другие требуют применения
конических сечений («телесные» задачи), третьи — более
сложных линий. Но они не различали «разных порядков»
сложных линий и называли их «механическими, а не
геометрическими». Декарт замечает, что тут нет логики: если
механические кривые вычерчиваются с помощью каких-
нибудь механизмов («машин»), то ведь циркуль и линейку
также можно назвать «машинами».
Декарт считает, что в геометрии должны
рассматриваться линии, которые «описаны непрерывным движением
или же несколькими такими последовательными
движениями, из которых последующие вполне определяются им
предшествующими,— ибо этим путем всегда можно точно
узнать их меру» 37.
36 На рисунке Декарта линии NIo и пЮ проведены нечетко: у
трезубца они должны быть с точками перегиба.
37 Р. Декарт. Рассуждение о методе, стр. 321.
71

Из геометрии исключаются механические линии, т. е.
линии, описанные «двумя отдельными движениями, между
которыми не существует никакого отношения, которое
можно было бы точно измерить» 38.
Примером механических линий может служить спираль
Архимеда, которая описывается движущейся равномерно
по лучу точкой, когда луч вращается с постоянной
угловой скоростью вокруг своей начальной точки. Уравнение
спирали в полярных координатах р=а0.
Как пример геометрических Декарт приводит линии
АВ, AD, AF, АН, полученные с помощью придуманного им
Рис. 3
прибора (рис. 3), состоящего из линеек YZ, XY, ВС, CD,
DE, EF, FG, GH и т. д. Когда угол XYZ сложен, точки А,
В, С, D, E, F, G, Н совпадают. При вращении линейки XY
вокруг точки Y (с увеличением угла XYZ) точки В, D, F,
Н описывают линии АВ (окружность), AD, AF, АН,
которые «по порядку сложнее первой из них». В третьей книге
Декарт показал метод построения с помощью этого
прибора любого числа средних пропорциональных между
двумя данными отрезками.
Введенное Декартом разделение кривых на
геометрические и механические впоследствии себя не оправдало, так
как в геометрии стали изучаться и механические линии.
Лейбниц в 1684 г. дал другие наименования:
геометрические линии Декарта он назвал алгебраическими, а
механические — трансцендентными. Он указал на ошибку
Декарта, состоящую в исключении из геометрии механических
38 Р. Декарт. Рассуждение о методе, стр. 321.
72

линий. Эта ошибка подобна той, которую допустили
упрекаемые Декартом древние, ограничившись выполняемыми
с помощью циркуля и линейки построениями.
Затем Декарт дал классификацию кривых в
зависимости от степени их уравнений: к роду п он ошибочно относит
кривые степени 2п и 2п—139.
Большое место во второй книге «Геометрии» занимает
исследование овалов и в связи с этим построение
нормалей к кривым. Декарт не отыскивал уравнение нормали,
а строил ее, для чего ему нужно было найти поднормаль,
т. е. отрезок оси х между проекцией точки кривой, в
которой проведена нормаль, на ось х и точкой пересечения
нормали с осью х. Для этого Декарт воспользовался
методом неопределенных коэффициентов. Он полагал задачу
решенной и поступал так.
Пусть необходимо провести нормаль к кривой через ее
точку А (а, Ь). Нормаль будет пересекать ось х в точке N
(с, 0). Уравнение окружности радиуса AN с центром в
точке N имеет вид
(х—су+у*=(а—сУ+Ъг.
Для нахождения общих точек окружности и кривой
нужно решить уравнения этих линий совместно. При
совпадении обеих точек в А уравнение, полученное после
исключения г/, должно иметь по крайней мере двукратный
корень х=а\ это условие дает возможность найти
величину с.
Метод неопределенных коэффициентов основан на том,
что если два многочлена тождественны, то коэффициенты
при одинаковых степенях аргумента равны. Декарт
приравнивает уравнение, полученное после исключения у из
уравнений кривой и окружности, произведению (х—а)2
на многочлен с неопределенными коэффициентами степени
на две единицы ниже, чем многочлен в левой части.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
аргумента, он получает значения введенных коэффициентов
и значение с.
Разработанный метод Декарт применил для построения
нормалей к эллипсу, конхоиде, овалам.
Классификацию линий по порядку уравнений дал
впоследствии Ньютон.
73

Легко понять, что задача решается проще, если вместо
нормали рассматривать касательную и находить общую
точк^ не окружности и кривой, а кривой и прямой,
потому что уравнение прямой — первой степени. На это
обратил внимание комментатор «Геометрии» Ф. Схо-
отен. Но этот метод также был известен Декарту (и
Ферма).
В конце второй книги Декарт говорит о том, что все
сказанное о плоских кривых можно перенести на
пространственные. Необходимо точки пространственных
кривых проектировать на две взаимно перпендикулярные
плоскости. Вторая книга заканчивается заявлением: «Я
полагаю теперь, что ничего не пропустил из начал,
необходимых для познания кривых линий»40.
Третья книга—«О построении телесных, или
превосходящих телесные, задач»—содержит изложение общих
положений теории уравнений, графическое построение
корней уравнений третьей, четвертой, пятой и шестой
степеней.
9
Постулирование алгебраических операций над
отрезками, сделанное Декартом в начале «Геометрии»,
означало не только новый подход к вопросу о соотношении
между алгеброй и геометрией, диаметрально
противоположный подходу древних. Оно также вело к расширению
понятия числа. Декарт отождествлял отношение отрезка,
соизмеримого или несоизмеримого с единичным отрезком,
к единичному с соответствующим этому отношению целым,
дробным или иррациональным числом. Он дал
геометрическое толкование и отрицательным числам как
противоположно направленным отрезкам. И хотя Декарт при
рассмотрении уравнений применяет неудачную терминологию,
называя отрицательные корни «ложными», в
противоположность «истинным» (положительным), он объединяет
те и другие в класс «действительных» в отличие от
«воображаемых» (мнимых).
Кроме того, применение к исчислению отрезков
алгебраических формул в соответствии с данными
определениями операций снимало требование однородности входящих
40 Р. Декарт. Рассуждение о методе, стр. 367.
74

в те или иные соотношения величин, которому
подвержены соотношения в математике древних и Виета.
Символика Декарта была более совершенной. Он
обозначал данные отрезки буквами а, Ъ, с, ..., неизвестные
(«неопределенные») — буквами х, у, z,... Он ввел
обозначение степеней: а2, а3, хг, х3,... Правда, квадрат величин он
выражал и с помощью символов аа, хх. Обозначение
корня у Декарта несколько отличается от современного. Так,
выражение
]/c + ±q + y±-qq-4rP3
означает кубический корень.
Входящие в различные формулы Декарта буквы
считались положительными величинами; для обозначения
отрицательных величин он ставил знак минус; если знак
коэффициента произволен, перед ним ставилось
многоточие. Знак равенства имел необычный вид *>41.
Вот как, например, выглядело уравнение с
произвольными коэффициентами
+#4 . . . рхг . .. qx . . . *>0.
И еще один символ применял Декарт: он ставил
звездочки, чтобы показать отсутствующие члены
уравнения, например:
#...— Ъ ^оО.
Изложение теории уравнений в третьей книге
«Геометрии» Декарт начинает с рассмотрения вопроса о числе
корней уравнения. Левую часть уравнения (справа Декарт
пишет нуль!) он получает умножением двучленов вида
х±а и естественным образом приходит к формулировке
основной теоремы алгебры. Он пишет: «Итак, знайте, что
всякое уравнение может иметь столько же различных
корней или же значений неизвестной величины, сколько
последняя имеет измерений» 42. При этом двучлены вида
х — а дают «истинные», а вида х+а — «ложные» корни.
Несколько дальше Декарт дополняет: «... хотя всегда
можно вообразить себе [imaginer] у каждого уравнения
41 Современный знак равенства ввел ранее Р. Рекорд (1510—
1558).
42 Р. Декарт. Рассуждение о методе, стр. 369.
75

столько корней, сколько я сказал, но иногда не существует
ни одной величины, которая соответствует этим
воображаемым корням» 43. Здесь «воображаемые» корни — мнимые;
они появились в связи с основной теоремой алгебры.
Получение уравнения с помощью биномов х±а
приводит Декарта к приему понижения его порядка в случае
известного корня делением многочлена на двучлен х±а.
Далее Декарт дает «правило знаков» для нахождения
числа положительных и отрицательных корней уравнения
по числу перемен знаков коэффициентов. Он утверждает,
что число положительных корней равно числу перемен
знаков в ряду коэффициентов уравнения, а число
отрицательных корней совпадает с числом повторений знака.
С этим же вопросом связаны замечания о границах
действительных корней уравнения.
Еще одна чрезвычайно важная задача алгебры
поставлена Декартом — задача приводимости уравнений, т. е.
представления целого многочлена с рациональными
(целыми) коэффициентами в виде произведения многочленов
низших степеней. Декарт установил, что корни уравнения
третьей степени с целыми коэффициентами и старшим
коэффициентом, равным единице, строятся с помощью
циркуля и линейки (иначе говоря, уравнение разрешимо
в квадратных радикалах) тогда и только тогда, когда оно
имеет целый корень (левая часть его будет представлена
в виде произведения множителей первой и второй степени).
Для уравнения четвертой степени он также указал
условие разрешимости; оно состоит в разрешимости его
кубической резольвенты44, т. е. соответствующего
уравнения шестой степени, кубического относительно у2.
Декарт не показывает, как получил окончательный
результат. Ф. Схоотен дал вывод с помощью метода
неопределенных коэффициентов. Он представляет многочлен
четвертой степени так:
xi—px2—qx+r=(x2+yx+z) (xz—yx+v),
откуда получает уравнения для нахождения у, z, v
z-y2+v=-p, -Zy+vy=-q, vz=r.
P. Декарт. Рассуждение о методе, стр. 379.
Этот термин ввел впоследствии Эйлер.
76

Разрешающее уравнение (резольвента) будет
у*—2рук+ (р2—4г) г/2—д2=0.
В конце третьей книги «Геометрии» Декарт графически
решает уравнения третьей, четвертой, пятой и шестой
степеней, отыскивая корни их как пересечение некоторых
линий.
В письме Мерсенну 4 апреля 1648 г. Декарт
признавался, что написал «Геометрию» трудно для
посрамления Роберваля и других противников, чтобы они «попали
в своей критике впросак», не разобравшись в существе.
«Уверяю вас, что если бы я не имел в виду этих злобных
умов, то я написал бы ее совершенно иначе и сделал бы
много яснее; быть может, я еще это и сделаю как-нибудь,
если только увижу этих чудовищ побежденными или
смирившимися»45.
Правда, в самой «Геометрии» он пишет иначе:
«Однако в мои цели не входит написать большую книгу. Я
скорее стремлюсь в немногих словах выразить многое... И я
надеюсь, что наши потомки будут благодарны мне не
только за то, что я здесь разъяснил, но и за то, что мною
было добровольно опущено, с целью предоставить им
самим удовольствие найти это» 46,
Вклад Декарта в математику не ограничивается одной
«Геометрией»: в переписке он дал решение многих задач,
в том числе связанных с бесконечно малыми на заре
становления дифференциального и интегрального
исчислений. Перечислим основные его результаты. Он сделал
вычисление площадей сегментов парабол у=ахп
(квадратур парабол), что сводится к вычислению интегралов
х
\ хп dx, объемов сегментов параболоидов вращения, цент-
о
ров тяжести сегментов парабол и параболоидов, нашел
метод построения касательных к параболам. Им также
получена квадратура циклоиды, построены касательные к
циклоидам, исследованы свойства им же открытой
логарифмической спирали (полярное уравнение спирали р=
=еа0), введена еще одна кривая третьего порядка — «лист
Декарта» (ее уравнение х3+у3=3аху).
45 Oeuvres, v. V, p. 142.
46 Р. Декарт. Рассуждедде о методе, стр. 408.
77

В полемике Декарта с группой математиков по поводу
отыскания максимумов и минимумов и построения
касательных получены важные результаты, уточняющие
разработанные Ферма и Декартом методы.
Высказанные Декартом идеи получили дальнейшее
развитие и, в первую очередь, у его последователей Э. Бар-
толина, Ф. Схоотена, Ф. Дебона, Я. де Витта, И. Гудде и др.
Э. Бартолин (1625—1628) подробно комментировал
алгебраические разделы «Геометрии». Ф. Схоотен разъяснил
некоторые теоремы и формулы, данные Декартом без
вывода. Уже упоминалось об обосновании Схоотеном метода
Декарта решения уравнения четвертого порядка. Схоотен
также получил формулы преобразования координат при
переносе начала и повороте осей на некоторый угол. Он
дал кинематическое построение эллипса, гиперболы и
параболы, при построении нормали к конхоиде вывел ее
уравнение, которого нет у Декарта.
Ф. Дебон (1601 —1652) рассмотрел вопрос о границах
действительных корней уравнений до четвертой степени.
Он показал, что линейное уравнение задает прямую и
детально провел анализ уравнения гиперболы ху + Ъх +
+cy—d=0. Я. де Витт (1625—1672) дал первый
аналитический вывод уравнений эллипса и гиперболы как
геометрических мест. В основу изучения конических сечений он
положил кинематическое образование эллипса, гиперболы и
параболы. И. Гудде (1628—1704) нашел правило для
получения кратных корней алгебраического уравнения,
применил его в задачах на касательные и экстремумы и
показал, что его правило эффективнее, чем прием Декарта
проведения нормалей. В современных терминах правило Гудде
может быть сформулировано так: кратные корни
уравнения f(x) =0 находятся как общие корни уравнений f(x) =0
и f(x)=0.
Комментарии и дополнения Бартолина, Дебона,
Схоотена, де Витта, Гудде вошли в четыре латинских издания
«Геометрии», первое из которых вышло в 1649 г.
Габота по построению новой математики, начатая
Декартом, продолжалась и в дальнейшем. Однако глубокое
развитие алгебры и аналитической геометрии дали не
последователи Декарта, верившие в универсальность его
метода, а Ньютон и Лейбниц, заложившие также
фундамент для построения алгоритма дифференциального и
интегрального исчислений.
78

10
Декарт, систематически прилагая
механико-математические методы к решению конкретных задач, получил
значительные результаты в естественных науках.
К письму Константину Гюйгенсу от 5 октября 1637 г.
он приложил небольшой трактат по механике, написанный
по просьбе Гюйгенса, где дал описание простых машин
(блока, полиспаста, наклонной плоскости, ворота и
рычага). Гюйгенс назвал трактат «превосходным сочинением
по механике». В нем Декарт изложил принцип сохранения
работы: «Изобретение всех простых машин основано на
одном единственном принципе, который гласит: та же сила,
которая способна поднять груз, скажем, в 100 фунтов на
высоту 2 футов, способна также поднять 200 фунтов на
высоту 1 фута или 400 фунтов на высоту i/2 фута и т. д., если
она будет приложена к этому грузу».
Декарт занимался еще одной важной механической
задачей — задачей о маятнике. Галилей ввел понятие
математического маятника — модели физического маятника,—
имеющего с физическим одинаковый период колебаний.
Экспериментаторы видели, что реальные (физические)
маятники подчинены закономерностям, найденным для
математического. Однако никто не знал, как свести одну
задачу к другой. Декарт поставил эту проблему как
проблему нахождения центра качания.
Он писал: «... то, что я называю центром качания
подвешенного тела, — это точка, относительно которой
различные качания всех частей этого тела столь одинаковы, что
сила, с которой; какая-либо часть тела могла бы двигать это
тело быстрее или медленнее, чем оно движется на самом
деле, встречает противодействие со стороны некоторой
другой части тела; откуда также следует, по определению,
что центр колебаний должен двигаться вокруг оси с такой
же скоростью, с какой он двигался бы, если бы все
остальное в теле, частью которого он является, было бы
устранено и, следовательно, с такой же скоростью, как и грузило,
подвешенное на нитке на том же расстоянии от оси» 47.
Под силой Декарт в этом случае понимал произведение
массы на скорость: положение центра качаний он
определял как «центр тяжести» таких сил.
47 Письмо Кавендишу 30 марта 1646 г,
79

Метод Декарта давал верные результаты в случае
плоских фигур, вращающихся вокруг оси, расположенной в
плоскости фигуры. На ошибки Декарта в общем случае
указал Роберваль; полное решение задачи дал позднее
Хр. Гюйгенс.
Разделом физики, к которому не ослабевал интерес
Декарта, была оптика.
Основные результаты исследований но оптике
изложены Декартом в «Трактате о свете», «Диоптрике»,
«Метеорах», в переписке. «Трактат о свете» содержит
общетеоретические положения, а также вопросы, связанные с
вымышленным миром. «Диоптрика» посвящена теории и
практике оптических приборов, в «Метеорах» дано
объяснение атмосферных явлений.
Декарт в «Диоптрике» сформулировал и обосновал
закон преломления, описал устройство глаза, изложил
теорию зрения, дал объяснение цвета, описал устройство
оптических инструментов, изложил методику шлифовки
стекол.
В «Метеорах», наряду с описанием многих
атмосферных явлений, дано объяснение радуги, которое, после
уточнений Ньютона и других ученых XIX в. (по поводу не
известных во времена Декарта интерференции и
дифракции), вошло в современные учебники. Радугу Декарт
исследовал экспериментально, проведя серию тщательно
продуманных опытов, и подтвердил результаты числовыми
расчетами.
В «Началах философии» Декарт, вслед за Галилеем,
высказал принцип относительности движения (с
некоторыми оговорками, чтобы > не вступать в противоречие с
учением теологов о неподвижности Земли). С этим
тезисом, а также с отрицанием пустоты связано устранение
Декартом понятия абсолютного покоя: «в мире нет
неподвижных точек». Покой носит относительный характер,
он может рассматриваться только по отношению к
движению, предполагает движение. Это противоречило учению
схоластов о том, что нормальное состояние тела — покой,
а движение — нарушение покоя, поэтому тела стремятся
к покою.
Декарт утверждает, что очевидная причина движения —
бог, сотворивший материю «вместе с движением и покоем».
Основу физической картины мира Декарта составляют
принцип постоянства количества движения и три закона
80

природы. Принцип постоянства количества движения
обосновывается совершенством бога, неизменного самого по
себе, «действующего с величайшим постоянством и
неизменностью».
В современном понимании количество движения —
вектор т\ (т — масса, v — скорость). Формулировки
Декарта, касающиеся «количества движения», туманны:
количество движения выступает как произведение
«величины материи» в теле на его скорость. А что такое
«величина материи»? Материя Декарта характеризуется
протяженностью, т. е. занимаемым объемом, тождественна
протяженности.
Второй множитель в количестве движения — скорость—
Декарт считает скалярной, а не векторной величиной, что
было одной из причин ошибочных формулировок законов
(правил) соударения тел.
Вслед за принципом сохранения количества движения
Декарт сформулировал три основных закона природы.
Первые два сводятся к закону инерции.
Третий закон: «...если движущееся тело при встрече
с другим телом обладает для продолжения движения по
прямой меньшей силой [что такое «сила», не поясняется],
чем второе тело для сопротивления первому, то оно теряет
направление, не утрачивая ничего в своем движении; если
же оно имеет большую силу, то движет за собой
встречное тело и теряет в своем движении столько, сколько
сообщает второму телу» 48. Под «движением» здесь Декарт
понимает количество движения.
Проблема удара занимает в механике Декарта
центральное место: в его картине мира все движения
определяются взаимодействием тел, передача движения
происходит только при их соприкосновении; физика,
космология и космогония Декарта представляют собой картину
вихрей, обусловленных взаимодействием.
Третий закон имеет непосредственное отношение к
вытекающим из него семи правилам (законам)
соударения тел. В силу ошибочного понимания Декартом
количества движения, все эти правила (за исключением
первого, в случае идеально упругих тел) неверны.
Р. Декарт. Избранные произведения, стр. 489.
81

11
Далее в «Мире» и «Началах философии» Декарт
Начинает, как говорит Марио Льоцци, свой «космологический
роман»—дает объяснение возникновения Солнца, планет,
комет, в случае, если бы бог после сотворения мира
оставил на долю Декарта хаос, затем возвращается на Землю
и устанавливает, что тонкая материя обладает тремя
свойствами: тяготением, светом и теплом.
По Декарту, все тела образованы из трех элементов:
огня, воздуха и воды. Огонь — самая тонкая и самая
пронизывающая жидкость на свете, «все его частицы
движутся с такой необычайной скоростью и так малы, что
нет других тел, способных их задержать; кроме того, эти
частицы не имеют определенной величины, фигуры или
расположения» 49. Частицы второго элемента, воздуха,
обладают определенной величиной и фигурой; Декарт
сравнивает их с песчинками или пылинками. Частицы земли
(третьего элемента) более крупные и обладают «малым
движением» или «совершенно не имеют никакого
движения». Элементы возникли в результате движения материи
и трения материальных масс.
Декарт считает, что движение во Вселенной возможно
только в виде вихрей, внутри которых частицы
перемещаются в результате ударов друг о друга. Каждый вихрь
порождает солнечную систему. Солнце возникло в
результате концентрации частиц огненного элемента в центре
вихря, планеты — из звезд, в которых элементы огня
заменились элементами земли. Планеты увлекаются
вращением вихря и сохраняют вращение вокруг его оси, а также
вокруг центра вихря — Солнца. Кометы представляют
собой твердые тела и произошли из третьего элемента. Они
обладают быстрым движением и могут выйти за пределы
одного вихря.
Несмотря на фантастичность космогонии Декарта и ее
несостоятельность в объяснении известных уже в то время
фактов (например, закономерностей в движении планет,
установленных Каплером), она была прогрессивной и
сыграла в истории науки выдающуюся роль. Прогрессивна
идея объяснить происхождение и развитие мира из
свойств материи, не менее прогрессивна универсальная
идея развития, хотя эта идея и была метафизичной (раз-
49 Р. Декарт. Избранные произведения, стр, 190.
82

витие мыслилось мехапистически, без перехода
постепенных количественных изменений в изменения
качественные, без скачков на этой основе).
Декарт приложил естественнонаучный метод к
объяснению многих наблюдаемых явлений (например,
приливов и отливов, сущности тяготения). Ознакомившись с
«Беседами» Галилея, Декарт нашел в них недостаток,
состоящий в том, что Галилей не раскрыл механизм
тяготения, что Галилей интересовался вопросом как, а не
почему. Декарт решил восполнить этот пробел. Но и
тяготение он также объясняет с помощью вихрей и тонкой
материи. «Согласно моему мнению, — писал Декарт Мер-
сенну, — тяжесть заключается не в чем ином, как в том,
что земные тела толкаются к центру Земли тонкой
материей». Тяжесть — результат вихревого движения частиц
первого элемента (тонкой материи). В силу этого
движения тонкая материя стремится к периферии, а ее место
стремятся заполнить крупные частицы третьего элемента,
обладающие более медленным движением; таким образом,
частицы третьего элемента стремятся к центру Земли,
испытывают тяготение.
Декарт распространил механический принцип на
живую природу и сделал попытку показать ее развитие.
Понятно, что механистический подход к объяснению
процессов жизнедеятельности животных и человека вел к
ошибочным, иногда фантастическим выводам. В то же
время взгляд на животное как на простую машину привел
Декарта к догадке о рефлекторной деятельности.
И. П. Павлов, высоко ценивший Декарта, писал:
«Считая деятельность животных, в противоположность
человеческой, машинообразной, Декарт (Descartes) триста лет
тому назад установил понятие рефлекса, как основного
акта нервной системы» 50. По просьбе Павлова, в Колту-
шах, у его лаборатории, был поставлен бюст Декарта.
12
Декарт-философ — классический представитель
философского течения, называемого дуализмом: он признавал
наличие двух противоположных, не сводимых друг к дру-
50 И. П. Павлов. Избранные произведения. М., Госполитиздат,
1951, стр. 153.
83

гу субстанций — материальной и духовной; считал, что
и та и другая субстанции созданы богом. Правда, как
заметил Паскаль, бог понадобился Декарту только для
сотворения мира и придания ему движения; в дальнейшем
вселенная Декарта развивалась по своим законам.
Учение Декарта о материальной и духовной
субстанциях, о существовании бога, о бессмертии человеческой
души составило его метафизику и изложено в основном
в философских трактатах «Метафизические размышления»
и «Начала философии» 51, написанных на латинском
языке. Декарт посвятил «Метафизические размышления»
богословам Сорбонны в надежде получить их одобрение. Но
богословы среди густого тумана доказательств
существования бога и бессмертной души увидели посягательство
разума на религиозные догмы, увидели
антитеологическую направленность философии Декарта, давшего тут же
высокую оценку возможности разума, изложившего
учение о сомнении и вытекающей из него реальности
мыслящего ума, учение о ясности и отчетливости как о
признаках истинного знания. Желаемого одобрения
«Метафизических размышлений» Декарт не получил.
Через три года после «Метафизических размышлений»
Декарт опубликовал «Начала философии» — сочинение,
которое, как считают, представляет собой неполное
изложение идей, содержащихся в не увидевшем свет «Мире».
«Начала философии» открываются конспективным
резюме теории познания и метафизики Декарта в соответствии
с «Метафизическими размышлениями»: большая часть
трактата посвящена физике, космологии и космогонии.
Декарт считал метафизику52 исходным пунктом своей
философии; к ней теснейшим образом примыкают физика
и другие конкретные науки. В «Началах философии» он
писал: «Вся философия подобна как бы дереву, корни
которого — метафизика, ствол — физика, а ветви, исходящие
от этого ствола,— все прочие науки, сводящиеся к трем
главным: медицине, механике и этике... Подобно тому
как плоды собирают не с корней и не со ствола дерева, а
51 Оба трактата имеются в русском переводе. См.: Р. Декарт.
Избранные произведения. М., 1950.
52 В то время под метафизикой понималась философия в
собственном смысле слова, «наука наук», учение о высших
началах бытия и познания. Сейчас под метафизикой понимается
метод, противоположный диалектическому.
84

только с концов его ветвей, так и особая полезность
философии зависит от тех ее частей, которые могут быть
изучены только под конец»53.
Как видим, Декарт включил в философию все
важнейшие области знания. Поэтому-то он и считал систему
Коперника тесно связанной со своей философией и писал,
что отказ от учения Коперника изуродует все основания
его философии.
В физике, в учении Декарта о природе особенно ясно
видна антитеологическая, антисхоластическая
направленность. Но необходимо иметь в виду следующее. Ничто не
может быть абсолютным. Предположив, что найденные им
принципы окончательны, Декарт пришел в противоречие
с некоторыми положениями своей системы, в силу чего
впоследствии учение Декарта стало тормозом развития и
подвергалось критике. Важнейшее понятие физики
Декарта — материя, лишенная всех атрибутов, кроме
протяженности: «природа его [тела] состоит лишь в том, что
оно — обладающая протяженностью субстанция» 54.
Пространство Декарта заполнено материей,
субстанциализировано; материя не отличается от пространства.
Отождествление материи и протяженности позволило Декарту
заявить, что вся его физика — лишь геометрия.
Материя Декарта (в отличие от схоластов,
противопоставлявших -земное небесному) едина: «материя неба
не разнится от материи Земли»; «во всем мире существует
только одна материя: мы познаем ее единственно в силу
ее протяженности» 55. Постановка вопроса о материальном
единстве мира является заслугой Декарта.
Понятие материи как протяжения исключало пустоту
и вело к отрицанию наличия атомов как мельчайших
неделимых частиц: материя, по Декарту, бесконечно делима.
Это же понятие отвергало поддерживаемое многими
учеными действие на расстоянии, через пустоту. Декарт считал,
что тела воздействуют друг на друга посредством
соприкосновения, т. е. через материальную среду.
Отождествление материи и протяженности ведет еще
к одному важному заключению: протяжение никогда не
может быть пустым, не может прерваться, поэтому
Вселенная безгранична.
53 Р. Декарт. Избранные произведения, стр. 421.
54 Там же, стр. 466.
55 Там же, стр. 476.
85

Материальное единство мира в учении Декарта
проявляется также и в том, что, хотя он и заменил
различающиеся качественно элементы схоластов (ртуть, сера, соль
и др.) также элементами (огонь, вода, земля), но его
элементы отличаются друг от друга прежде всего величиной
и формой частиц, вследствие чего материя качественно
однородна.
Модусом58 материи является движение, понимаемое
как механическое перемещение: «движение, в обычном
понимании этого слова, есть не что иное, как действие,
посредством которого данное тело переходит с одного
места на другое»57. Естественно, механическое перемещение
не могло характеризовать всего качественного
многообразия движений материи, но механическая трактовка
движения в условиях XVII в. была прогрессивной.
Физический мир состоит из двух сущностей: материи,
лишенной всех качеств, кроме геометрических, и
движения. Эти сущности представляются Декарту интуитивно
понятными. Ввиду невозможности пустоты, Декарт
заполняет протяженность тонкой материей, которой бог
сообщил непрерывное движение. Таким образом, выступает
всеобщность движения: тела всегда находятся в движении,
которое имеет вихревой характер. Здесь мы встречаемся с
наличием тонкой материи и вихрями — наиболее
уязвимыми местами механики Декарта. Этими смутными
понятиями Декарт пользовался для объяснения различных
явлений.
Поскольку физический мир составляют две сущности —
материя и движение — достаточно найти законы
механического движения, чтобы вывести затем из них законы
чувственного мира.
Важнейшим достижением философии и методологии
Декарта было его учение о методе. Здесь философ шел по
пути, проложенному Фр. Бэконом. Бэкон первый
поставил вопросы методологии во главу угла. Декарт на основе
достижений естествознания разработал новую
методологию, по природе своей механико-математическую,
пригодную, по мысли Декарта, для исследования всех
явлений окружающего мира. Отличие метода Декарта от
метода Бэкона состоит главным образом в том, что Декарт
Модус — преходящее состояние, возникающее и исчезающее.
Р. Декарт. Избранные произведения, стр. 477.
86

выдвигал математику как образец всех наук, стремиЛсй
строить другие науки по этому образцу, а Бэкон считал
основой опытную физику, постулировал эмпирический
путь исследования природы.
Декарт верил в безграничные возможности разума,
сознавал насущную необходимость создания достоверной
науки. Недостоверная, нестрогая, пустая схоластическая
наука не могла обеспечить хоть в какой-то мере запросы
практики. Декарт видел бесплодность, недостоверность
современной науки, и эта истина становится отправным
пунктом его творчества. В философии он не находит ни
одного положения, «которое не служило бы предметом
споров и, следовательно, не было бы сомнительным»58.
В логике, наиболее разработанной части схоластической
философии, «ее силлогизмы служат для объяснения
другим того, что нам известно, или, как искусство Люллия, к
тому, чтобы говорить без собственного суждения о том,
чего не знаешь, вместо того, чтобы познавать это. Хотя
логика содержит немало очень верных и хороших правил,
однако к ним примешано столько вредных и излишних,
что выделить их так же трудно, как вызвать Диану или
Минерву из куска необделанного мрамора» 59.
Поскольку, по мнению Декарта, другие науки берут
начало от философии, он полагал, «что на столь слабых
основаниях нельзя построить ничего прочного» 60. Даже
математика, почитаемая Декартом за верность и очевидность
своих рассуждений, не представляла в некотором смысле
исключения: Декарт удивлялся, «как на таком прочном и
крепком фундаменте не воздвигнуто чего-либо более
возвышенного» 61. Кроме того, анализ древних и алгебра
современников «относятся к вопросам весьма отвлеченным и,
по-видимому, бесполезным» 62.
Анализ древних «всегда так ограничен рассмотрением
фигур, что не может упражнять ум, не утомляя сильно
воображение» 63; алгебра «настолько подчинилась разным
правилам и знакам, что превратилась в темное и
запутанное искусство, затрудняющее наш ум, а не в науку, раз-
58 Р. Декарт. Рассуждение о методе, стр. 15.
59 Там же, стр. 21, 22.
80 Там же, стр. 15.
61 Там же, стр. 14.
82 Там же, стр. 22,
63 Там же.
87

вйва*ощую его» в4. Схоластическая наука, по мнению
Декарта, не может конкурировать в своей ценности даже с
простой житейской практикой.
Итак, вот осмысленная коллизия: состояние наук
бедственное, возможности разума безграничны. Но разум без
метода бессилен. Не отрицая того, что по счастливой
случайности ученым иногда удается наткнуться на те или
иные истины, Декарт не мыслит науки без метода: «Уж
лучше совсем не помышлять об отыскании каких бы то ни
было истин, чем делать это без всякого метода, ибо
совершенно несомненно то, что беспорядочные занятия и
темные мудрствования помрачают естественный свет и
ослепляют ум» 65.
В чем же должен состоять научный метод? Декарт дает
исчерпывающий ответ: «Под методом же я разумею
точные и простые правила, строгое соблюдение которых
всегда препятствует принятию ложного за истинное и без
излишней траты умственных сил, но постепенно и
непрерывно увеличивая знания, способствует тому, что ум
достигает истинного познания всего, что ему доступно» 66.
Декарт поставил цель создать такой метод, который
совмещал бы достоинства логики, анализа древних и
алгебры современников и «был бы свободен от их
недостатков». Он выдвинул вместо обильного количества правил
логики четыре, которые необходимо «соблюдать без
единого отступления».
Научный метод, по утверждению Декарта, должен
быть всеобщим. В правилах Декарта мы видим требование
наличия ясных и отчетливых основных положений,
требование производить тщательный анализ проблемы, затем —
синтез полученных при анализе результатов с
соблюдением наиболее широкого охвата вопросов, связанных с
предметом исследования.
Сформулированное во втором правиле Декарта
требование тщательного анализа явлений, разложения
сложного на составные части оформилось в метод
механистического естествознания.
Декарт в совершенстве владел своим методом: он свел
все виды движения в природе к механическому перемеще-
64 Р. Декарт. Рассуждение о методе, стр. 22.
65 Там же, стр. 89
88 Там же.
88

нию, все свойства внешнего мира — к протяженности. Он
добился наиболее значительных результатов в
аналитической геометрии, где ему удалось свести качественные
особенности геометрических образов к количественным
соотношениям.
В противоположность Бэкону, выдвигавшему на
первый план в экспериментальном исследовании природы
индукцию, Декарт, опиравшийся на математику, отдавал
предпочтение дедукции. Опыт, индукция, другие
источники знаний и методь1 исследования не отвергались
Декартом, по им отводилась вспомогательная роль. Индукция
предназначена для вспомогательного материала,
полученного с помощью интуиции и дедукции. О ней говорится
в четвертом правиле Декарта.
Математика привлекала Декарта верностью и
очевидностью ее рассуждений; он видел, что «среди всех
искавших истину в науках только математикам удалось
найти некоторые доказательства» 67. При изучении
математики и осмысливании методологии и идейного
содержания ее Декарт пришел к выводу, что «должна сущесг
вовать некая общая наука, объясняющая все относящо
еся к порядку и мере, не входя в исследование никаких
частных предметов, и эта наука должна называться не
иностранным, но старым, уже вошедшим в употребление
именем всеобщей математики, ибо она содержит в себе
то, благодаря чему другие науки называются частями
математики» 68.
Так у Декарта возникла мысль о необходимости
разработки «всеобщей математики», о распространении ее
методов на все достоверное знание. В «Рассуждении о
методе» он писал: «Те длинные цепи выводов, сплошь
простых и легких, которыми пользуются геометры, чтобы
дойти до своих наиболее трудных доказательств, дали мне
повод представить себе, что и вещи, которые могут стать
предметом знания людей, находятся между собой в такой
же последовательности. Таким образом, если остерегаться
принимать за истинное что-либо, что таковым не является,
и всегда соблюдать порядок, в каком следует выводить
одно из другого, то не может существовать истин ни столь
67 Р. Декарт. Рассуждение о методе, стр. 23.
68 Р. Декарт. Избранные произведения, стр. 94,
S9

отдаленных, чтобы они были недостижимы, ни столь
сокровенных, чтобы нельзя было их раскрыть» 69.
Связующим звеном между учением о методе и
метафизикой Декарта служит его учение о сомнении.
Философские сочинения Декарта открываются именно
учением о сомнении.
С чего все начинается? Начало всему — всеобщее и
полное сомнение. В этом — гарантия достоверного и
надежного знания. Сенсуальные впечатления человека могут
быть ошибочными. Утверждения схоластической науки
и философии ошибочны. Бог, сотворивший человека и его
разумную душу? Но меня может обманывать,
рассуждает Декарт, могущественный «злой гений». В словах
Декарта это выглядит так: «Так как чувства нас иногда
обманывают, я допустил, что нет ни одной вещи, которая была
бы такова, какой она нам представляется» 70. И еще: «...я
решился представить себе, что все, когда-либо
приходившее мне на ум, не более истинно, чем видения моех
снов»71. И далее: «...я предположу, что не всеблагой бог,
являющийся верховным источником истины, но
какой-нибудь злой гений, настолько же обманчивый и хитрый,
насколько могущественный, употребил все свое искусство
для того, чтобы меня обмануть. Я стану думать, что небо,
воздух, земля, цвета, формы, звуки и все остальные
внешние вещи — лишь иллюзии и грезы, которыми он
воспользовался, чтобы расставить сети моему легковерию. Я буду
считать себя не имеющим ни рук, ни глаз, ни тела, ни
крови, не имеющим никаких чувств, но ошибочно
уверенным в обладании всем этим» 72.
К чему ведет такое глобальное сомнение? Возможно ли
достоверное знание? Торжествует ли скептицизм, более
того, агностицизм, солипсизм? Ни то, ни другое, ни третье.
По Декарту, всеобщее сомнение ведет к утверждению
достоверного и надежного знания. Сомнение
распространяется на все, кроме факта самого сомнения. Цепь
рассуждений такова: я сомневаюсь, сомнение — результат
деятельности мысли, сомневаюсь, следовательно, мыслю,
следовательно, существую. Вот здесь и появляется емкое: со-
gito, ergo sum (мыслю — значит существую).
89 Р. Декарт. Рассуждение о методе, стр. 23.
70 Там же, стр. 32.
71 Там же, стр. 33.
72 Р. Декарт. Избранные произведения, стр. 340,
90

И опять знакомый прием стягивания круга в точку:
нет никаких признаков существования человека, кроме
единственного и исчерпывающего — способности мыслить.
Декарт пишет: «...я тотчас обратил внимание на то, что в
то самое время, когда я склонялся к мысли об
иллюзорности всего на свете, было необходимо, чтобы я сам,
таким образом рассуждающий, действительно существовал.
И заметив, что истина: я мыслю, следовательно, я
существую, так тверда и верна, что самые сумасбродные
предположения скептиков не могут ее поколебать, я заключил,
что могу без опасений принять ее за первый принцип
искомой мною философии» 73. И это, несмотря ни на какой
обман злого и могущественного гения: «и пусть он меня
обманывает, сколько ему угодно, он все-таки никогда не
сможет сделать, чтобы я был ничем, пока я буду думать,
что я нечто» 74.
Высказанные идеи вели прямой дорогой в идеализм.
«А если бы я перестал мыслить, то хотя бы все остальное,
что я когда-либо себе представлял, и было истинным, все
же не было основания для заключения о том, что я
существую. Из этого я узнал, что я — субстанция, вся сущность
или природа которой состоит в мышлении и которая для
своего бытия не нуждается в месте и не зависит ни от
какой материальной вещи. Таким образом мое Я, или душа,
которая делает меня тем, что я есть, совершенно отлична
от тела и ее легче познать, чем тело; и если бы его и вовсе
не было, она не перестала бы быть тем, чем она есть» 75.
И здесь — начало всех ошибок: по Декарту, человек
прежде всего мыслящее существо; мышление
представляет собой его первичное свойство; существование мира
выводится из сознания отдельного индивидуума. Как в
физике, физиологии, психологии, в теории познания Декарт
призвал на помощь бога. Бог правдив, его правдивость —
гарантия возможности познания мира. Декарт предпринял
очередную попытку доказать существование бога.
Не будем входить в подробный анализ этой области
творчества Декарта. Декарт вызывал, вызывает и будет
вызывать ожесточенные споры. Общую оценку дал Маркс,
назвавший в «Святом семействе» одним из источников
французского материализма физику Декарта.
73 Р. Декарт. Рассуждение о методе, стр. 33.
74 Р. Декарт. Избранные произведения, стр. 342.
75 Р. Декарт. Рассуждение о методе, стр. 33.
91

Каков бог Декарта? Следует отделить у Декарта того
бога, в котором он воспитан, в которого верил, от другого,
работяги-бога, необходимого ему там, где мысль
философа оказывалась бессильной при решении важнейших
задач бытия. Ведь скажет же через 200 лет в аналогичной
ситуации Л. Кронекер (1823—1891) знаменитое: «Целые
числа создал господь бог, остальное — дело рук
человеческих»76.
Основное достояние рационализма Декарта — его
антисхоластическая, антитеологическая направленность. Не
случайно теологи Сорбонны, к которым Декарт
обратился для одобрения «Метафизических рассуждений»,
такового не выразили. Не случайно также католическая
церковь внесла сочинения Декарта, в том числе и
«Метафизические рассуждения», в индекс запрещенных книг.
Вот некоторые оценки творчества Декарта.
К. Маркс: «В своей физике Декарт приписывает
материи самостоятельную творческую силу и механическое
движение рассматривает как проявление жизни материи.
Он совершенно отделяет свою физику от своей
метафизики. В границах его физики материя представляет собой
единственную субстанцию, единственное основание бытия
и познания»77.
В. И. Ленин: «Декарт в своей физике объявляет
материю единственной субстанцией. Механический
французский материализм берет физику Декарта и откидывает его
метафизику»78.
М. В. Ломоносов: «Славный и первый из новых
философов Картезий осмелился Аристотелеву философию
опровергнуть и учить по своему мнению и вымыслу. Мы,
кроме других его заслуг, особливо за то благодарны, что
тем ученых людей ободрил против Аристотеля, против
себя самого и против прочих философов в правде спорить,
и тем самым открыл дорогу к вольному философствованию
и к вящему наук приращению»79.
Н. И. Лобачевский: «Математики открыли прямые
средства к приобретению познаний. Еще не с давнего вре-
76 «Остальное» — имеется в виду содержание математики.
77 К. Маркс и Ф. Энгельс. Сочинения, т. III, стр. 154.
78 В. И. Ленин. Философские тетради. М., Госполитиздат, 1947,
стр. 29.
79 М. В. Ломоносов. Полное собрание сочинений, т. 1. М.— Л., Изд-во
АН СССР, 1950, стр. 423.
92

Мени пользуемся мы этими средствами. Их указал нам
великий Бэкон. «Оставьте,— говорил он,— трудиться
напрасно, стараясь извлечь из разума всю мудрость:
спрашивайте природу, она хранит все истины и на вопросы ваши
будет отвечать вам непременно и удовлетворительно».
Наконец, гений Декарта произвел эту счастливую перемену,
и благодаря его дарованиям мы живем уже в такие
времена, когда едва тень древней схоластики ходит по
университетам» 80.
Декарт в противовес учению теологов и схоластов о
бессилии человеческого разума выдвинул тезис о
безграничном могуществе разума: «...не нужно полагать
человеческому уму какие бы то ни было границы» 81. Он уверен
в возможности безграничного познания природы
человеком, сбросившим узы церковных догм и освобожденным от
влияния канонизированных авторитетов. Церковным
догматам Декарт противопоставил «естественный свет»
(lumen naturale) разума, «который, во всей чистоте, без
помощи религии и философии, определяет воззрения».
Рационализм Декарта стал идеологией буржуазии,
преобразующей производство, а его естественнонаучные
взгляды послужили основой механико-материалистического
мировоззрения XVII в.
Декарт строил науку, полезную для общества, и
старался популяризировать ее. Движение истины он сравнивал с
движением монеты, ценность которой не меняется в
зависимости от того, из мужицкого кошелька она «вылезла»
или из казны. Так и истина, по Декарту, должна быть
полезной всем. При этом Декарт подчеркивал, что
«способность правильно рассуждать и отличать истину от
заблуждения... от природы одинакова у всех людей» 82, ценил
здравый смысл простых людей. «Если я пишу
по-французски,— читаем в «Рассуждении о методе»,— на языке
моей страны, а не по-латыни, на языке моих наставников,
то это объясняется надеждой, что те, кто пользуется
только естественным своим разумом в его полной чистоте,
будут судить о моих мышлениях лучше, чем те, кто верит
только древним книгам...» 83
80 Речь 5 июля 1828 г. «О важнейших предметах воспитания».
Цит. по ст.: Г. Г. Слюсарев. Цит. соч., стр. 461—462.
81 Р. Декарт. Рассуждение о методе, стр. 54.
82 Р. Декарт. Рассуждение о методе, стр. 10.
83 Там же, стр. 66.
93

ФЕРМА
1
Долгое время о жизни Ферма не было известно почти
ничего. Знали только, что он жил в Тулузе.
Биографическая традиция считала, без всяких к тому
оснований, что он родился и умер в Тулузе. В 40-х годах
XIX в. интерес к биографии Ферма оживился. Адвокат
Топиак предпринял энергичные розыски в архивах Тулузы
и небольшого городка Бомона. В Бомоне он нашел
следующую запись: «Пьер, сын Доминика Ферма, буржуа и
второго консула города Бомона, крещен 20 августа 1601 г.
Крестный отец — Пьер Ферма, купец и брат названного
Доминика, крестная мать — Жанна Казнюв, и я». Запись
не подписана, но предыдущая имеет подпись: «Дюма,
викарий» *.
Бомон расположен на левом берегу Гаронны,
неподалеку от Монтобана-на-Тарне (во Франции около тридцати
Бомонов2, поэтому необходимо точно указать, какой
именно имеет честь быть родиной великого математика). Этот
маленький городок (в нем сейчас около пяти тысяч
жителей) производит самое отрадное впечатление своими
широкими улицами, красивыми постройками,
очаровательными окрестностями.
Глава семьи Ферма пользовался в городе уважением.
Он был купцом, торговал кожевенными товарами.
Маленький Пьер учился в Бомоне у францисканцев, а
заканчивать образование уехал в Тулузу, ближайший
университетский город. К сожалению, об университетских
годах Пьера Ферма ничего не известно, как неизвестны и
его учителя. Можно лишь предполагать, что обучение
было основательным: его знания главных европейских язы-
1 G. Libri. Sur la vie et les manuscrits de Fermat. «Journ. de
Savants», XI, 1845, p. 682—694.
2 Beau mont — по-французски «красивая гора».
94

ков и литератур были обширными и глубокими; греческая
и латинская филология обязаны ему некоторыми важными
исправлениями; его познания поражали современников
своей широтой и разносторонностью. Он с одинаковой
легкостью писал стихи на родном, латинском, испанском
языках.
Ферма окончил юридический факультет, и, надо
думать, выбор факультета не был случайным. Его мать была
из семьи юристов, так что Ферма с детства вращался в
судейской среде. По окончании университета он занялся,
и с большим успехом, адвокатурой. Однако с первых же
лет самостоятельной деятельности он не мог ограничить
круг интересов своей профессией. Работы над древними
авторами и все усиливающийся интерес к математике
занимали все его свободное время. Результаты этого не
замедлили сказаться.
Уже в 1629 г. Ферма справился с задачей своеобразной
и трудной. В его распоряжении был латинский перевод
(выполненный Коммандином) математических работ Пап-
па. В этих работах содержался краткий пересказ
предложений Аполлония. Ферма задался целью восстановить ход
рассуждений знаменитого автора и исполнил свое
намерение.
Одновременно с занятиями математикой Ферма
продолжает глубокое изучение классической филологии. Эти
занятия не были мимолетным увлечением, о чем
свидетельствуют многочисленные работы Ферма, относящиеся к
текстам древних авторов. Один из комментариев Ферма к
письму Синезиуса (к его учительнице Гипатии) помещен
в «Oeuvres» (т. I, стр. 362—365 s). Там же (стр. 366—372)
помещены замечания Ферма на книгу Полнена и образец
поэтического творчества Ферма (стр. 390—393).
К 1629 г. (об этом сообщает Ферма в письме Робер-
валю) относится и одно из капитальных его открытий —
метод отыскания максимумов и минимумов.
Адвокатская практика Ферма проходила успешно,
однако он решил перейти на государственную службу.
Актом от 14 мая 1631 г. Ферма зачисляется на должность
чиновника (советник по приему жалоб) кассационной пала-
3 Oeuvres de Fermat. Paris, 1891—1922. Изд. П. Таннери и Ш. Алри.
В дальнейших ссылках: «Oeuvres» с указанием тома и
страницы.
95

Пьер Ферма
(1601—1665)
ты Тулузского парламента. (Парламентами во Франции в
ту пору назывались окружные судебные органы.)
Здесь Ферма и прослужил до конца жизни, т. е. 34 года,
поднявшись до звания советника следственной палаты и
имея репутацию глубокого знатока права и неподкупно
честного юриста.
В том же 1631 г., после поступления в парламент,
Ферма женился на кузине своей матери Луизе де Лон, дочери
советника того же парламента. (Этим, может быть, и
объясняется его выбор места службы.)
Он имел пятерых детей: трех сыновей и двух дочерей.
Старший — Самюэль-Клемент (1632—1690) и младший —
Клэр были, как и отец, судейскими работниками,
средний — Жан — выбрал духовную карьеру. Дочери приняли
монашество.
Из Тулузы Ферма выезжал редко и главным образом по
делам службы. Во время одной из таких поездок он и
скончался (12 января 1665 г.).
2
При жизни Ферма почти не печатался, однако его
достижения были широко известны современным ему
математикам. Объясняется 'это обширной перепцской, которую вед
%

Ферма. В числе его корреспондентов мы находим Робер-
валя, Мерсенна, отца и сына Паскалей, Декарта, Каркавж,
Лалубера, итальянцев Кавалъери и Торричелли, Гюйгенса
и др.
Первое сохранившееся письмо Ферма относится к
1636 г. К тому же году относится и его замечательное
сочинение — «Введение к плоским и телесным местам» 4, где
даны основания аналитической геометрии на плоскости.
Отметим, что «Геометрия» Декарта впервые опубликована
годом позже (в Лейденском издании «Рассуждения о
методе»). Таким образом, вопроса о взаимном влиянии этих
двух работ не существует. Интересно отметить, что
«Введение» ближе к современному изложению, чем сочинение
Декарта.
В небольшом вступлении к этой работе говорится, что
если уравнение содержит два неизвестных, то оно
описывает некоторое место — прямую или кривую. Ферма
придерживается классификации мест по древнему образцу:
прямая и окружность включаются в «плоские места»,
прочие конические сечения —в «телесные места»,
остальные — в «линейные места». «Введение» рассматривает
только первые две группы мест.
Далее Ферма подчеркивает, что графическое
изображение двух неизвестных, связанных данным уравнением,
дает весьма наглядное представление этого уравнения. Для
этой цели надо одно из неизвестных отложить на
выбранной неподвижной прямой, а к концу отрезка,
изображающего это неизвестное, пристроить под данным углом
(Ферма замечает, что этот угол он в большинстве случаев
выбирает прямым) второе неизвестное. В изложении нет
упоминания ни о второй оси, ни об отрицательных
величинах.
После такого общего введения автор переходит к
выводу уравнения прямой. При этом необходимо помнить,
что Ферма следует обозначениям Виета; у него гласные
буквы соответствуют неизвестным, согласные — данным.
Пусть NZM — данная по положению прямая (рис. 1),
N — фиксированная точка и NZ — отложенное на этой
прямой одно из неизвестных, ZI — проведенное под данным
углом второе неизвестное.
4 Oeuvres, I, 91—109. Опубликовано лишь в 1679 г. Самюэлем
Ферма, но стало известно в Париже незадолго перед
«Геометрией» Декарта.
97

Если DA=BE (в обозначениях Декарта это равенство
имело бы вид Dx=By\ Ферма, верный Виету, записывает
выражение более устарелым способом
D in A aequatur В in E),
то точка / описывает прямую.
Ферма рассматривает затем наиболее общее уравнение
прямой Р —Dx=By, которое у него имеет вид
Zpl—D in A aequatur В in E.
Z, согласно обозначениям Виета, величина данная. Она
должна иметь размерность площади, если у D ж А {В и Е)
Z М
Рис. 2
размерности линейные — таково требование однородности,
которому неуклонно следовали древние и их последователи,
в том числе и Ферма.
Обозначение Zpl должно указывать на размерность Р.
По поводу последнего уравнения Ферма говорит:
«Это —простое и первое уравнение, с помощью которого
можно найти все прямолинейные места».
Мы покажем, как выводится уравнение гиперболы (в
асимптотах). Относительно уравнения
A in E aequatur Zpl
говорится, что в этом случае точка / описывает гиперболу.
На рис. 2 проводим вторую асимптоту NR и берем на
первом неизвестном (А или х) произвольную точку М. Под
заданным углом, на данном чертеже — прямом, от точки М
откладываем точку О, такую, что NM'MO равно заданной
постоянной Zpl. Следовательно, точка О принадлежит
заданной гиперболе. Если понимать выражение
«прямоугольник NMO» как площадь прямоугольника NM-MO, то
следующее выражение не требует пояснения: «и прямоугольник

NMO будет равен Zpl. Точкой О описывается гипербола
относительно асимптот NR и NM».
Примеры из «Введения в плоские и телесные места»
показывают, насколько близко изложение Ферма к
современному пониманию элементов аналитической геометрии.
Основное содержание «Введения» состоит в
доказательстве следующего положения: «Если ни одна из неизвестных
(в данном уравнении) не имеет степени выше второй, то
будет плоское либо телесное место», т. е. уравнение
описывает либо прямую, либо коническое сечение. По поводу
вопроса о том, что у Ферма является вполне
самостоятельным, а чем он обязан своему глубокому знанию древних и
в первую очередь Архимеда, Аполлония и Панна,
отсылаем к Цейтену5.
Ферма ближе кого-нибудь другого подошел к
современным методам отыскания экстремума и проведения
касательной. Читатель без труда убедится в том, что прием,
разработанный Ферма, есть прямой и непосредственный
предшественник дифференциального исчисления. Даламбер в
«Энциклопедии» писал, что у Ферма встречаем «первое
приложение дифференциалов для нахождения
касательных». В лекциях по исчислению функций Лагранж назвал
Ферма «первым изобретателем новых исчислений».
Примерно то же встречаем в «Аналитической теории
вероятностей» Лапласа.
Важнейшим источником для ознакомления с методом
Ферма служит его записка «Метод отыскания максимумов
и минимумов». Эту записку он отправил Декарту; о ней речь
пойдет ниже.
Вот как описывает автор свой прием.
«Допустим, что А представляет собой какую-нибудь
исследуемую величину — поверхность или тело, или длину,
в соответствии с условиями задачи, и максимум или
минимум выражается членами, содержащими А в каких-либо
степенях. Затем величину, которая прежде была Л,
принимаем за А+Е и снова находим максимум и минимум через
члены в тех же степенях. Эти два выражения
приближенно приравниваем (по Диофанту)6 одно другому. Одинако-
5 Г. Г. Цейтеи. История математики в XVI и XVII веках,
стр. 190.
6 Это выражение «adaequantur, ut loquitur Diophantus» страдает
некоторой неясностью. См.: Р. Декарт, Геометрия. М.— Л., 1938
(Примеч. 150 и др.).
99

вые члены в обеих частях равенства отбрасываем,
оставшиеся делим на Е или на его степень так, чтобы хотя бы один
из членов не содержал Е. После этого члены, содержащие
Е, уничтожаются, и оставшиеся члены приравниваем друг
другу. Решение уравнения дает А, соответствующее
максимуму или минимуму».
Вслед за описанием изобретенного им способа автор
дает пример его применения: разделить отрезок АС в
точке Е так, чтобы прямоугольник АЕ-ЕС имел наибольшую
площадь. Ферма решает задачу следующим образом. Пусть
длина всего отрезка равна В, длина искомой части АЕ
равна А. Тогда часть ЕС равна В—А и площадь
прямоугольника равна А (В—А). Затем Ферма заменяет А на А+Е,
так что площадь оказывается равной (А+Е) (В—А—Е).
Оба выражения площади приравниваются
А(В-А) = (А+Е) (В-А-Е)
или
0=—АЕ+ВЕ-ЕА-Е\
Теперь, согласно рассматриваемому способу, уравнение
делится на Е
0=-А+В-А-Е
и член, содержащий Е \ отбрасывается. Решение
оставшегося уравнения 0=—2А+В дает искомое значение А.
После этого простого примера, имеющего чисто
иллюстративное значение, приведем пример более сложный,
а главное, взятый из работы Ферма по физике, т. е. такой
пример, который показывает, как Ферма применял
открытые им математические приемы в других, не
математических областях, и демонстрирует таким образом силу и
важность новой математики для всего естествознания. На
странице 127 указано, что Ферма решил задачу о
преломлении света на границе двух сред с помощью задачи на
отыскание минимума. Покажем, как это сделано (на
русском языке эта работа Ферма не появлялась).
На рис. 4 (см. стр. 128) диаметр АВ отделяет более
плотную среду (нижний полукруг) от более легкой
(верхний полукруг). Луч выходит из точки М, преломляется
в точке N и попадает в точку Я. Точки М ж N даны. Дано
также отношение сопротивлений, которые луч света ис-
7 Переход к пределу у Ферма совершенно отсутствует. Только
в одной позднейшей работе у него есть переход к пределу.
100

пытывает при распространении в средах. Именно, в
плотной среде сопротивление пропорционально отрезку DN, в
более легкой, т. е. в области АМВ пропорциональна
некоторому отрезку, скажем т, причем, согласно
предположению Ферма, m<DN. Ферма желает доказать
справедливость закона Декарта, т. е. пропорциональность синусов
углов (падения и преломления) скоростям луча в средах.
Пусть MN (или NH) равна тг, ND=b. Ферма ищет
минимум выражения
nm+nb.
Пусть луч отклонится на достаточно малый отрезок NR
ы пойдет по пути MR+Rh. Согласно взгляду Ферма,
указанное выражение не будет минимальным.
Введем в соответствии с методом Ферма достаточно
малое отклонение. В данном случае таким отклонением,
очевидно, служит отклонение луча RN. Назовем его е.
Новый путь луча MR+RH. Ищется способ определения
точки Н. Очевидно, это все равно, что найти основание S
перпендикуляра SH. В свою очередь точка S определяется
расстоянием до центра круга N. Итак, искомый отрезок
NS. Назовем его а.
Из треугольников MNR и NRH находим
MR2=MNZ+NRZ+2DN NR
и
RH2=NH2+NR2—2SN-NR
Переходя к введенным выше обозначениям и
подставляя в выражение nm+nb, получим
MR-m = Ym?riz + т2е2 + 2m*be
и
RH-b = Yb2n* + b'e2 — 2b2ae.
Теперь надо приравнять старое и новое выражения
пт + nb = У^д2 + т*е2 + 2т'Ье + У~Ь*?г*-{-Ь'2е2—2Ь2ае.
Здесь Ферма прекращает вычисления, ограничиваясь
тем, что снова перечисляет те действия, которые надо
произвести над полученным уравнением. Это и не
удивительно. Письмо к де ла Шамбру, в котором помещена эта
задача, писано в конце 1661 г., а метод отыскания мини-
ИИ

мума опубликован на целых 20 лет раньше — Ферма
ссылается на книгу Эригона.
Если продолжить вычисления, т. е. упростить
уравнение, разделить все члены на е, отбросить члены, в которых
е осталось, то в конце концов приходим к уравнению,
выражающему искомую величину а через т
т2—тЪ=та—mb,
откуда получаем
а=т,
что и доказывает справедливость закона или, как
выражается Ферма, «теоремы Декарта»: отношение синусов углов
(они выражаются отрезками DN=b и NS=a) равно
отношению скоростей.
Путь, предлагаемый Ферма, как легко видеть, именно
тот, который приводит к формуле
lim/(* + e)-/(*)=o.
?-*0 8
Однако Ферма считает приращение е числом
постоянным (хотя и произвольно малым), следовательно, не
предполагает предельного перехода. Поэтому нельзя сказать,
что он изобрел дифференциальное исчисление. Но вполне
справедливо, что он проложил путь, открывший
применение дифференциального исчисления к анализу.
Правда, Кеплер раньше Ферма отметил то свойство
точки экстремума, которое легло в основу метода
исследования на максимум и минимум. Именно в «Новой
стереометрии винных бочек» (1615), часть II, теорема V,
добавление II он поместил следующее замечание:
«Фигуры, оканчивающиеся вблизи точки (максимума) по ту
и ДРУГУЮ стороны, очень мало изменяют свою
вместительность, так как объем фигуры наибольший, а по обе
стороны от места наибольшего значения убывание вначале
нечувствительно» 8. Подчеркнутые слова давали
основательный повод считать, что Ферма исходил из слов
Кеплера, когда разрабатывал свой метод (первым высказал
это предположение, кажется, Монтюкла). По
свидетельству самого Ферма, он опирался на другое соображение:
И. Кеплер. Новая стереометрия винных бочек. М.— Л., 1935,
стр. 245.
102

по обе стороны от точки экстремума функция проходит
через одинаковые значения. Выше было приведено
описание способа, данное самим Ферма. Из этого описания
следует, что способ использует лишь необходимое условие
экстремума. В дальнейшем Ферма рассматривал и
достаточное условие: для него имеет значение, что f(x + h) и
f(x — h) одновременно либо меньше, либо больше, чем
f(x) —тоже своего рода достаточное условие9.
Ферма применил свой метод для проведения
касательных. Для начала он приложил его к параболе, чтобы
сравнить результаты с результатами Аполлония и
продемонстрировать быстроту своего приема и простоту его
применения. Впоследствии Ферма провел касательные к большому
числу кривых.
Ферма умел находить точки перегиба. Для этой цели
он отыскивал максимум угла наклона касательных к оси
абсцисс10. Впервые работы Ферма по квадратурам и
кубатурам стали известны из статьи «Ответы на вопросы Б. Ка-
вальери», посланной Кавальери через Мерсенна.
Основания анализа, предложенные Ферма, послужили
причиной знаменитого спора между ним и Декартом,
спора, который не увеличил славу Декарта. Объяснение надо
искать в том, что гнев — плохой советчик, а что именно
гнев побудил Декарта начать полемику, видно хотя бы из
следующего отрывка (письмо Декарта Мерсенну, январь
1638 г.):
« ... так как я узнал, что это тот самый человек,
который перед тем пытался опровергнуть мою «Диоптрику», и
так как вы сообщили мне, что он послал это после того, как
прочел мою «Геометрию» и в удивлении, что я не нашел
ту же вещь, т. е. (как я имею основание его истолковать)
послал это с целью вступить в соперничество и показать,
что он в этом знает больше, чем я, и так как еще из ваших
писем я узнал, что за ним числится репутация весьма
сведущего геометра, то я считаю себя обязанным ему
ответить».
Итак, Декарт считает себя обязанным ответить потому,
что человек «пытался опровергнуть мою ,,Диоптрику"», и
еще потому, что этот человек хотел «показать, что он . ..
знает больше, чем я». Ясно, что отзыв, вызванный такими
9 Oeuvres, том дополнительный. Париж, стр. 123.
10 Oeuvres, I, 166.
103

побудительными причинами, имел слишком мало шансов,
чтобы быть беспристрастным и глубоким.
Декарт направил это письмо Мерсенну после того, как
получил от него (10 января 1638 г.) статью Ферма «Способ
отыскания максимумов и минимумов».
Все это имело характер вызова и действительно это
было начало того, что Ферма называл «своей малой войной
с Декартом», а Декарт называл «малым процессом
математики против г. Ферма». Эта война разгоралась и, может
быть, продолжалась бы до смерти соперников при
посредничестве Мерсенна, Роберваля и старшего Паскаля,
друзей Декарта, если бы Ферма не объяснился с Декартом,
отложив в сторону самолюбие.
Спор шел преимущественно через Мерсенна и поэтому
его главные этапы сохранились в переписке ученых. В
литературе полемика Декарта и Ферма неоднократно и
подробно описана и. Она имела большое научное значение,
так как способствовала уточнению и углублению основных
понятий анализа.
Полемика с Декартом занимала Ферма в 1637—1638 гг.
Казалось бы, участия в этой полемике было достаточно
для того, чтобы полностью занять время человека,
обязанного к тому же отдавать часть рабочего дня
государственной службе. Оказывается — нет. Как раз на 1636—
1640 гг. приходятся наиболее замечательные работы
Ферма в совершенно другой области математики, не имевшей
тогда ничего общего ни с анализом, ни с квадратурами
(которыми тоже занимался Ферма). Речь идет о работах
по теории чисел. Достижения Ферма в анализе бесконечно
малых колоссальны. Но главное место среди его трудов,
дающих ему право на бессмертие, занимают результаты,
относящиеся прежде всего к теории чисел.
3
В речи «Пуанкаре и топология», произнесенной на
посвященном столетию со дня рождения Анри Пуанкаре
торжественном заседании Международного математического
конгресса (Амстердам, 1954), академик П. С. Александров
11 См.. например: Г. Г. Цейтен. История математики в XVI и
XVII веках, стр. 41 и след.; Р. Декарт. Геометрия, стр. 157 и
след.; П. Таннери. Исторический очерк развития
естествознания в Европе, стр. 71 и др.
1Q4

на вопрос, каково отношение Пуанкаре к топологии,
ответил кратко: он ее создал12. То же самое можно сказать и
об отношении Ферма к теории чисел: он ее открыл. Ферма
из многих вопросов теории чисел, занимавших
предшественников, выделил те, которые стали основными в
исследованиях математиков XV111 и XIX вв.
В трудах древних мы находим сравнительно мало
исследований по теории чисел. У Евклида даны основные по -
ложения теории делимости и отмечен важный результат —
бесконечность множества простых чисел13. Греческие
математики знали метод выделения простых чисел из
натурального ряда, носящий название решета Эратосфена
(cribrum Eratosthenis). Метод состоит в том, что в ряде
чисел от 2 до п вычеркиваются числа, кратные 2, затем 3,
5, 7 и т.д. Оставшиеся числа, «пропущенные» через
решето, будут простыми.
Существенный шаг в теории чисел сделан Диофантом,
рассмотревшим задачи о представимости чисел в
определенной форме, а также решение неопределенных
уравнений в целых и рациональных (положительных) числах.
Задачи Диофанта послужили началом дальнейшего
развития теории форм и теории диофантовых приближений.
В XVI и начале XVII в. сочинения Диофанта изданы
на латинском и французском языках. Виет и Баше де Ме-
зириак (1587 —1638) комментировали эти сочинения и
несколько дополнили их своими результатами. Баше издал
греческий текст «Арифметики» Диофанта с латинским
переводом и комментариями в 1621 г. Один экземпляр этого
перевода оказался у Ферма и стал впоследствии известным
математикам всего мира, и вот каким образом.
Как уже говорилось ранее, Ферма при жизни не
печатался. Свои результаты он сообщал в письмах
многочисленным корреспондентам, поэтому цельного
представления о его творчестве современники не имели.
При чтении «Арифметики» Диофанта Ферма помещал
на полях книги замечания к тексту и мысли, возникавшие
у него по мере изучения задач Диофанта. Кроме полей
книги Диофанта, положения из теории чисел (большей
частью без доказательств) рассеяны в письмах коррес-
12 См.: А. Пуанкаре. Избранные труды, т. П. М., «Наука», 1972,
стр. 808.
13 Натуральное число р называется простым, если р>1 и не
имеет иных делителей, кроме самого себя и единицы.
105

пондентам Ферма. Лишь после смерти Ферма, когда были
изданы его бумаги (сперва неполно и некритически),
перед изумленными специалистами открылся целый новый
мир. Принадлежащий Ферма экземпляр «Арифметики»
Диофанта издан в 1670 г. его сыном Самюэлем под
названием: «Шесть книг арифметики александрийца Диофанта
с комментариями К. Г. Баше и замечаниями П. де Ферма,
тулузского сенатора».
Ферма, как и многих математиков до и после него,
занимала проблема простых чисел14. Он искал выражения,
дающие простые числа, своего рода «генераторы» простых
чисел. На полях «Арифметики» Ферма высказал
утверждение, что таким «генератором» будет
i<»=22T4l (n = 0,1,2,3,4,5,...).
Действительно, при 72=0, 1, 2, 3, 4 получаем простые
числа 3, 5, 17, 257, 65 537. Ферма проверил это и сделал
заключение, что найденный им «генератор» дает простые
числа. Однако Эйлер через 100 лет (в 1739 г.) показал, что
F(5) =4 294 967 297 делится на 641.
Интерес Эйлера к формуле Ферма возбудил Гольдбах
(1690—1764), писавший находившемуся в Петербурге
Эйлеру (декабрь 1729 г.): «Известно ли тебе замечание
Ферма о том, что все числа вида 22п+1 именно 3, 5, 17 и т. д.
суть простые, причем сам он, по его признанию, не смог
этого доказать и, насколько я знаю, после него никто не
доказывал». В мае 1733 г. Гольдбах еще раз напомнил
Эйлеру о числах Ферма, после чего Эйлер и получил свой
результат.
Казалось бы, это должно было вызвать недоверие к
утверждениям Ферма. Но дело в том, что он никогда не
утверждал, что располагает доказательством высказанного
факта. Таким образом, хотя Ферма иногда упрекали в
хвастливости (Декарт однажды сказал: «Г-н Ферма —
гасконец, я — нет»), но что касается существа дела, то в этом
14 Простые числа вида 2п — 1 рассматривал Мерсенн.
Итальянский математик Катальди (1548—1626) до Мерсенна установил,
что числа 217 — 1 и 219 — 1 простые. Простые числа, носящие
имя Мерсенна, известны были еще древним математикам.
Предполагается, что основная масса чисел вида 2р — 1
составные. Установлено, что при простых значениях р для
2300<р<3300 все числа 2Р—1 составные. В 1965 г. найдено
наибольшее известное простое число 211213—1. Оно содержит
3376 цифр.
106

отношении он всегда считался человеком безупречной
честности.
Рассказывают следующий любопытный эпизод.
Мальчика, дававшего сеанс моментального счета, некоего Зера-
ха Кольборна (США), спросили, простое ли число F(5) =
=2гЬ +1=4 294 967 297. После небольшой паузы он ответил
отрицательно, прибавив, что оно делится на 641.
Объяснить, каким образом он пришел к этому выводу, оч
не смог.
Указанное Эйлером составное число из чисел Ферма
при п=Ъ — не единственное. Числа Ферма будут
составными при тг=6, 7, 8, 9, 10, И, 12, 15, 16, 18, 23, 36, 38, 73.
В 1957 г. польский математик Д. Л. Селфридж с помощью
электронной счетной машины установил, что составные
числа Ферма будут также при 72=39, 55, 63, 117, 125, 144,
150, 207, 226, 228, 268, 284, 316, 452. Наибольшее из
известных сейчас составных чисел Ферма 22 +1 состоит из
10135 цифр. Один его делитель 27-2455+1 содержит
139 цифр.
Простые числа вида 22П+1 нашли свое приложение в
задаче деления окружности на равные части с помощью
циркуля и линейки (в духе древних геометров). Древние
умели делить окружность (и это известно каждому
школьнику старших классов) на 3, 4 и 5 равных частей, тем
самым умели строить правильные трех-, четырех- и
пятиугольники. Им известен был метод удвоения числа сторон
правильного многоугольника.
Если из одной шестой части окружности отнять одну
десятую, получим одну пятнадцатую, т. е. сторону
правильного пятнадцатиугольника. Таким образом, было
известно, что окружность можно разделить на 2П, 3-2П,
5-2п, 15 -2п равных частей. А можно ли сделать такое
построение для чисел 7, 9, 11, 13, 17 и т. д., т. е. с помощью
циркуля и линейки построить правильные 6-, 9-, 11-, 13-,
17- и другие многоугольники? Вопрос оставался открытым
2000 лет и только Гаусс (1777—1855) нашел связь между
древней задачей и простыми числами Ферма.
В 1796 г. 19-летний студент Геттингенского
университета К. Ф. Гаусс доказал теорему: правильный
многоугольник может быть построен с помощью циркуля и
линейки тогда и только тогда, когда число его сторон п
равно 2a/?i/?2... psi где все простые числа pi являются числами
Ферма, т. е. имеют вид 22 +1. Из этой теоремы следует,
107

что можно построить правильные 3-, 5-, 17-, 257-, 65537-
и другие многоугольники и нельзя построить, например,
правильные 7-, 11-, 13-угольники. Сам Гаусс построил
правильный 17-уголъник.
Идея «генерирования» простых чисел нашла развитие
в последующем. Так, Эйлер предложил многочлен
х2—#+41, который при всех целых значениях от 0 до 40
дает только простые числа. Эйлером были предложены pi
другие многочлены (многочлен #2+;г+72491 дает 4923
простых числа). Однако нетрудно доказать, что многочлен с
целыми коэффициентами не может при всех натуральных
значениях аргумента принимать только простые значения15.
Ферма занимался вопросами представимости чисел, в
частности простых чисел, квадратичными формами. Он
установил, что простые числа вида 4тг+1 представимы
формой x2Jry2 (значения х и у взаимно простые 16), при этом
каждое такое число представимо в виде суммы двух
квадратов единственным образом, например 5=4-1+1=22+12.
13=4-3+1=32+22, 17=4-4+1=42 И2, 29=4-7+1=52+22
17
и т. д.17
Ферма показал, что форма х2+2у2 представляет
только простые числа вида 8тг+1 и 8тг+3, формы х2+3у2 и
х 2+ху+у2 — простые числа 6тг+1. В случае фотэмы х2+у2
Фетзма рассмотрел вопрос представимости в общем виде:
как для простых чисел, так и для составных.
Ферма оставил крайне мало пояснений, дающих
возможность установить, как удалось ему доказать в высшей
степени общие результаты. Он намеревался дать полное
и связное изложение своих достижений, но по каким-то
причинам этого не выполнил. Однако важный факт
представимости единственным образом простых чисел 4тг+1 в
виде суммы двух квадратов он обосновал с помошью
введенного для доказательств метода бесконечного спуска.
Теорема впервые доказана Эйлером в 1749 г. Эйлер
доказал также, что если число 4тг+1 составное, то оно или не
представимо в виде суммы двух квадратов или имеет не
единственное такое представление. Значит, единственность
представимости числа 472+1 в виде суммы двух квадратов
15 См. по этому поводу, например: А. А. Бухштаб. Теория чисел.
М., Учпедгиз, I960, стр. 34.
10 Два целых числа называются взаимно простыми, если они не
содержат общих делителей, отличных от единицы.
17 Этот факт известен был еще Диофанту.
108

является необходимым и достаточным условием того,
чтобы это число было простым. Эйлер поставил также вопрое
о виде простых чисел, являющихся делителями формы
х2±пу2.
Вместе с тем он в 1772 г. сформулировал очень важную
теорему теории делимости — так называемый
квадратичный закон взаимности 18. Эта теорема впервые доказана
Гауссом; доказательство помещено в вышедших в 1801 г.
«Арифметических исследованиях» 19.
Фундаментальный результат теории делимости на
заданное простое число представляет собой малая теорема
Ферма: для любого простого числа р и любого а^1,
которое не делится на р, разность ар_1—1 (или а9—а) делится
на р.
Проиллюстрируем малую теорему примером. Пусть а=5,
р=2, 3, 7, 11. Тогда 52-1—1=2-2, 53-1—1=3-8, 57-f-l =
=7-2232, 511"1—1 = 11 -88778.
Ферма высказал теорему в одном из писем 1640 г.
Френиклю де Бесси (1605—1675). Он писал, что получил
доказательство теоремы, но в письме его не привел.
Первое доказательство малой теооемы Феюма дал Лейбниц.
Эйлер, начиная с 1736 г., опубликовал несколько
различных доказательств ее. Кроме того, он в 1760 г. обобщил
теорему Ферма (теорема Эйлера). Эйлер ввел носящую
его имя функцию ср(т?г), представляющую собой число
натуральных чисел, не превосходящих т и взаимно простых
с т. Например, ср(8)=4; именно такими числами будут
1, 3, 5, 7.
Теорема Эйлера состоит в следующем: для любого т и
любого а^1, взаимно простого с 7?г, разность аф(тп) — 1
делится на т.
Видную роль в развитии теории чисел и всей
математики сыграла великая теорема Ферма (ее же называют
большой и последней теоремой Ферма): уравнение
xn+yn=zn при п>2 и хуъФЪ неразрешимо в целых (и
рациональных) числах 20.
18 См.: А. А. Бухштаб. Теория чисел, стр. 179.
19 В этой же работе Гаусс изложил решение задачи о делении
окружности на равные части. Гаусс опубликовал еще шесть
доказательств закона взаимности; вообще в XIX в. было
опубликовано свыше 50 работ с различными доказательствами
этого закона.
20 Около тысячи лет назад узбекский ученый Хамид ал-Хаджен-
ди (из Ходжента, ныне Ленинабада) утверждал это для п = 3.
109

Эта, такая простая на вид теорема сразу привлекла
внимание математиков. Однако простота ее оказалась
обманчивой. Около ста лет никому из математиков не
удавалось продвинуться вперед в доказательстве или
опровержении утверждения Ферма. Лишь Эйлеру удалось сделать
первую, правда, небольшую брешь: он доказал
справедливость теоремы для п=3 и ?г=4. Следующее удачное
наступление предприняли Дирихле (1805—1859) и Ле-
жандр (1752—1833), доказавшие теорему для п=Б.
Затем Ламе (1795—1870) — для /г=7 и, наконец, Куммер
(1810—1893), посвятивший теореме несколько десятков
лет, доказал ее для большого числа значений п.
Конечно, у самого Ферма нет никакого уравнения (он
вообще не знал знака равенства, которое заменял словом
aequatur). В своем втором по порядку замечании,
расположенном против задачи Диофанта о разложении данного
квадрата на два квадрата, он пишет: «Куб, однако, на два
куба или квадратоквадрат на два квадратоквадрата и
вообще никакую до бесконечности сверх квадрата степень в
две того же названия невозможно разделить».
Запись имеет форму прямого возражения Диофанту,
как если бы два человека вели непринужденную беседу.
Выслушав Диофанта, сказавшего: «Раздели на два
квадрата предложенный квадрат», Ферма тут же возражает
ему: «Куб, однако, на два куба, либо четвертую степень
на две четвертых, вообще любую...» и т. д. Где же
доказательство невозможности? Доказательства Ферма не дает.
Вслед за словом «разделить» он пишет: «Я открыл
поистине чудесное доказательство этого предложения...»
Прекрасно! Что же мешает автору посвятить нас в
доказательство? «Недостаточная ширина этих полей не способствует».
И все.
Один биограф Ферма пишет: «Как будто не хватало
бумаги, чтобы изложить доказательство в письме Робер-
валю или Френиклю», давая тем самым понять, что
Ферма не желал опубликовывать доказательство. Может
быть, так оно и было.
В XVII в. было принято публиковать результаты без
доказательств. Декарт писал, что он не сообщает
доказательств, для того чтобы математики получали удовольствие,
находя их самостоятельно. «И чем труднее доказательство,
тем больше будет удовольствие того, кто это
доказательство найдет»,— говорил он. Многие математики в отчаянии
110

утверждали, что Ферма не имел доказательств высказап-
ных теорем.
Для случая /г=4 Ферма в замечаниях к Диофанту дал
доказательство великой теоремы. Оно содержится в
доказательстве другого предложения: не существует
прямоугольного треугольника, стороны которого выражались бы
целыми числами, а площадь была бы квадратом. Из этого
предложения следует, что не существует двух биквадратов,
сумма которых равнялась бы квадрату, а значит, и
биквадрату. Таким образом, три утверждения доказываются как
бы параллельно: невозможность существования
упомянутого треугольника, великая теорема для п=А и
невозможность решения в целых числах уравнения xlk+ylk=z2.
Ход рассуждений Ферма таков. Представим стороны
прямоугольного треугольника, как это делали древние, в
виде выражений: гипотенуза а=х2+у2, катеты Ъ=х2—у2 и
с=2ху. Площадь этого треугольника, очевидно, будет
(х2-у2)ху.
Не уменьшая общности доказательства, можно
предположить х и у взаимно простыми. В этом случае будут
взаимно простыми х2+у2 и х2—у2. Допустим теперь, что
площадь этого треугольника — квадрат какого-то числа. Так
как х ж у — взаимно простые числа, то площадь
треугольника будет квадратом только тогда, когда х2—у2 и ху —
квадраты. Но ху может быть квадратом, когда х и
у — квадраты: x=u2, y=v2. Тоща площадь будет
(u*t—v*t)u2v21 причем uk—vk — тоже квадрат. Но Ферма
доказал, что треугольника с указанными свойствами не
может быть, следовательно, невозможно и равенство
w2=ulk—у4, а в таком случае невозможно и и;4=и4—i;4.
Следовательно, не может быть и
Доказательство в общем виде великой теоремы Ферма
стало проблемой, не разрешенной до сих пор. Над
разрешением ее безуспешно бились крупнейшие математики.
В начале XX в. к этой работе подключилась
многочисленная армия дилетантов. Теорема Ферма стала модой. И
эта мода обусловлена не только научными интересами:
13 сентября 1907 г. немецкий математик П. Вольфскель
завещал (до 13 сентября 2007 г.) выдать в качестве
вознаграждения доказавшему великую теорему Ферма 100 000
ill

марок. Право присуждения премии предоставлялось Гет-
тингенской академии Германии. И «доказательства»
посыпались, как из рога изобилия. Но деньги Вольфскеля
лежали в банке неприкосновенными: «доказательства»
теоремы содержали ошибки, причем математикам иногда
с трудом удавалось их обнаружить.
Был даже такой анекдотический случай. В академию
пришла телеграмма: «Доказал теорему Ферма икс энной
плюс игрек энной равно зет энной. Основная идея —
перенесем игрек энной в правую часть. Подробности письмом».
До войны 1914 г.21 доходами с завещанной премиальной
суммы пользовался Геттингенский университет: на эти
деньги в Геттинген приглашались математики для чтения
лекций и ведения научной работы. Д. Гильберт (1862 —
1943), бывший председателем комиссии по присуждению
премии, заметил: «К счастью, кажется, кроме меня, у нас
нет математика, которому была бы под силу эта задача, я
же никогда не решусь зарезать курицу, которая несет нам
золотые яйца». Великая теорема Ферма до сих пор не
доказана.
4
Ферма исследовал также неопределенные уравнения. Ему
принадлежит заслуга постановки задачи решения
неопределенных уравнений в целых числах (до него и Баше де
Мезириака, начиная от Диофанта, математики искали
рациональные решения). В письме 1657 г., которое
именуют «Вторым вызовом математикам», Ферма предложил
найти общее правило для решения уравнения
ах2+1=у2,
где а — целое число, не являющееся квадратом. Это
уравнение рассматривали еще греки и индусы.
Задача состояла в отыскании наименьшего решения
к построения по нему всех остальных. Ферма предложил
решить уравнение при а=149; 109; 433. Очевидно, такие
значения выбраны с тем, чтобы затруднить угадывание
наименьшего решения простым подбором. Предполагается,
что Ферма знал общие формулы, позволяющие по наи-
TToctfo войны, в период инфляции, премия Вольфскеля
обесценилась.
112

меньшему решению находить все остальные. В письме
Френиклю он привел их для случая а=2.
Английские математики Броункер (1620—1684) и Вал-
лис (1616—1703) сначала сочли, что нужно решать
уравнение в рациональных числах, что, по словам Ферма
значительно проще. После разъяснения Ферма Броункер
решил уравнение при а=109.
Впоследствии решение уравнения с исследованием его
дали Эйлер и Лагранж (1738—1813). Эйлер ошибочно
связал уравнение с англичанином Д. Пеллем (1611—1685);
с тех пор говорят «уравнение Пелля», «пеллева задача»,
тогда как возрождение этого уравнения — дело Ферма.
Ферма изучал также уравнение
axlJrb=y1.
По поводу частного вида
2z2+7967=i/2
он писал: «Я нашел общее правило, чтобы решать такое
уравнение, если оно возможно, или чтобы определять его
невозможность. И это — во всех случаях и для всех
чисел» 22.
По единодушному мнению видных историков
математики, Ферма намного опередил свое время в области теории
чисел. Он поддерживал регулярные связи с теми, кто
работал в этом разделе математики, конечно, в первую
очередь с такими, как Декарт и Паскаль, но продолжал
переписываться и с менее значительными, как Сент-Круа
(дилетант, настоятель монастыря того же имени),
Сен-Мартен, Френикль. Переписка (через Мерсенна) с Френиклем
началась с обмена достижениями в области композиции
магических квадратов (и кубов). Однако широта
интересов Ферма скоро привела к тому, что содержание
переписки существенно расширилось в сторону теории чисел.
Одно время Френикль заподозрил Ферма в том, что он
предложил задачи, заведомо не имеющие решения. Одна из
задач такова: найти прямоугольный треугольник, у
которого гипотенуза и сумма катетов — точные квадраты в
целых числах. Как известно, элементарная геометрия не
рассматривает подобные задачи, и результат решения
такой задачи — исключительно дело способностей
решающего. Френикль считал возможным, что задача вообще не
22 Oeuvres, II, 431.
113

имеет решения. Однако Ферма ^оказал, что это не так. Он
представил в качестве решения треугольник со сторонами
а=4 687 298 610 289, 6=4 565 486 027 761,
с=1061652 293 520.
Действительно, этот треугольник прямоугольный, что
видно хотя бы из вычислений: tg 5=4,29; tgC=0,2331 =
=ctgS. Как известно, если tg a=ctg p, то а+$=-х .
Следовательно, третий угол треугольника — прямой.
Кроме того, гипотенуза есть полный квадрат
а=4 687 298 610 289=2 165 0172
и сумма катетов есть также полный квадрат
Ъ+с=Ъ 627 138 321281=2 372 1532.
Ферма показал, что его намерения на этот раз вполне
добросовестны. Но Френикль тоже прав: было время,
когда Ферма действительно предлагал Френиклю (и другим)
задачи, которые невозможно решить (например, уже
известную читателю задачу о прямоугольном треугольнике
с целыми сторонами, площадь которого квадрат). Надо
заметить, что это предложение Ферма — не результат
легкомысленного желания «подкузьмить» коллегу. Оно
направлено на то, чтобы выяснить некоторые особенности
методов, которыми пользовался Френикль при решении
задач.
5
В XVII в. было распространено обыкновение
рассылать знакомым (нередко и незнакомым) математикам
задачи с предложением их решить. Не чуждался этого
обычая и Ферма. Предлагаем читателю образец вызова,
который послал Ферма Валлису и другим английским
математикам. Формальный вызов был послан на латинском
языке, за ним последовала переписка, содержание которой
уясняется по приведенному ниже отрывку из письма
Ферма к Кенельму Дигби (от 20 июня 1657 г.).
«...я спрашивал число кубическое (в целых числах),
которое, будучи сложено со всеми своими делителями,
дало бы число квадратное. Я дал в качестве првмера 343—
114

целое число, куб числа 7; соединенное со всеми делителями
1, 7, 49, дает 400, т. е. число квадратное. И поскольку
этот вопрос имеет много других решений, я спрашивал
другое целое число — куб, которое, будучи сложено со
всеми своими делителями, дало бы число квадратное; и
если милорд Броункер отвечает, что среди целых чисел
нет других примеров, кроме 343, которые отвечали бы-
запросу, я обещаю вам и ему разубедить его, предъявив
другое. Я спрашивал еще квадратное целое число, которое
даст куб, если квадрат сложить с его делителями. Что
касается решения в дробях (его можно представить сразу),
оно меня не удовлетворяет».
Когда оценивают вклад Ферма в теорию чисел, обычно
говорят о проблемах Ферма. Цейтен отмечает влияние
Ферма на крупнейших математиков: Эйлера, Лагранжа,
Лежандра, Гаусса. «Несмотря на достигнутые
указанными учеными крупные успехи,— пишет Цейтен,—
математики, работающие в области теории чисел, все еще
находят во многих предложениях Ферма, иные из которых до
сих пор не доказаны, импульс к новым исследованиям.
Таким образом, хотя Ферма и не удалось дать
систематическое изложение теории чисел, все же современным
развитием этой науки и присущей ей теперь внутренней
связностью мы в значительной мере обязаны его открытиям
и вызванным ими стремлениям доказать их
справедливость» 23.
6
Ферма проявил математический талант в самых различных
разделах математики. И к какой бы области он ни
обращался — к «старой» геометрии, к алгебре, к анализу, к
теории чисел и т. д.— он всюду оставлял следы своей
деятельности, следы значительные, оказывавшие влияние на
развитие математики в течение многих десятилетий и даже
столетий.
Есть две области математики, своим возрождением
обязанные Ферма: теория чисел и теория вероятностей.
Конечно, ни та, ни другая не выросли «на пустом месте»,
но если по теории чисел можно назвать какие-то сущест-
Г. Г. Цейтен. История математики в XVI и XVII веках,
стр. 165.
115

венные работы, то по теории вероятностей мы не имеем до
Ферма ничего.
Можно считать, что теория вероятностей не как наука,
а как собрание эмпирических наблюдений, сведений,
существует издавна, столько, сколько существует игра в кости.
Действительно, опытный игрок знал и, вероятно, учитывал
в игре, что разные выпадения числа очков имеют разную
частоту появления. При метании трех костей, например,
три очка могут выпасть только одним способом (по очку на
каждой кости), а четыре очка — тремя способами (2+1 + 1,
1+2+1, 1+1+2).
В XVI—XVII вв. всеобщее оживление наук вызвало к
жизни внимание и к вопросам случайных явлений. Задачи
практики приводили к тому, что эмпирические данные
становились недостаточными и требовался точный расчет.
Элементарные понятия теории вероятностей возникли в
первую очередь в связи с задачами азартных игр 24 и
страхования. Азартные игры были распространены среди
феодальной верхушки общества, страхование получило
широкое распространение вместе с развитием мореплавания и
морской торговли.
Видные математики XVI в. Н. Тарталья и Д. Кардано
обратились к задачам теошш вероятностей в связи с игрой
в кости (из автобиографии Кардано известно, что одно
время он был страстным игроком) и подсчитали различные
варианты выпадения очков. Тарталья составил таблицу.
Ее впоследствии повторил (в другой форме) Паскаль; он
придал таблице форму треугольника и обнародовал ее
(«Трактат об арифметическом треугольнике», ок. 1654 г.).
Кардано в работе «Об азартной игре» (опубликована
только в 1663 г.) привел расчеты, близкие к полученным
математиками позднее, когда теория вероятностей утвердилась
как наука.
Кардано подсчитал, сколькими способами даст метание
двух или трех костей то или иное число очков. Он
определял полное число возможных выпадений, поэтому вычислял
по сути дела, вероятности тех или иных выпадений
(«событий», по позднейшей терминологии). Но все таблицы и
вычисления Тартальи и Кардано являлись не собственно
наукой, а лишь материалом для будущей науки. «Исчисле-
Слово азартный происходит от французского hasard — случай,
удача, риск.
116

пие вероятностей, всецело построенное на точных
заключениях, мы находим впервые только у Паскаля и
Ферма» 25,— утверждает Цейтен.
По традиции некоторую роль в развитии этой науки
приписывают кавалеру де Мере, поклоннику Паскаля,
страстному игроку. Будучи знаком с Паскалем, он
обратился к нему с предложением решить несколько задач. Одна
из задач де Мере состояла в следующем: два игрока не
закончили игру. Требуется указать, как следует разделить
между ними ставку, если выигравшим считается тот, кто
первый выиграл определенное число партий, а к моменту
прекращения игры оба выиграли различное число партий,
меньше условленного. Другая задача де Мере: что
происходит чаще при четырехкратном бросании игральной
кости — выпадение шестерки хотя бы один раз или
непоявление ее ни разу?
О первой задаче де Мере Паскаль написал Ферма,
между ними завязалась переписка; задача была решена обоими
совершенно самостоятельно, и получен один и тот же
ответ. К большому сожалению, начало переписки не
сохранилось, но несколько писем Паскаля к Ферма содержат
интересные сведения о процессе решения этой задачи.
Ниже приводятся выдержки из письма Паскаля к
Ферма. В ней излагается задача де Мере и способ решения,
принадлежащий Ферма. Таблица в письме, по всей
вероятности, прислана Паскалю Ферма в одном из не дошедших
до нас писем.
Из письма Паскаля к Ферма, датированного 24 августа
1654 г.:
«...Я хочу поделиться с Вами своими рассуждениями,
и Вы мне окажете милость: скажете мне, если я ошибаюсь,
или согласитесь со мною, если я прав. Я Вас об этом прошу
откровенно и искренне, так как я чувствую себя уверенно,
только когда Вы на моей стороне...
...Вот Ваше рассуждение для случая двух игроков.
Если два игрока играют много партий и находятся в
таком положении, что первому из них не хватает двух
(выигранных) партий, а второму — трех для полного
выигрыша всей ставки, надо (говорите Вы) посмотреть, в
скольких партиях игра полностью определится.
25 Г. Г. Цейтен. История математики в XVI и XVII века.,
стр. 169.
117

Легко установить, что достаточно четырех партий,
откуда Вы заключаете, что следует разобрать, как
комбинируются 4 партии, и посмотреть, в скольких комбинациях
выигрывает первый и в скольких — второй, и разделить
деньги в этой пропорции ... Это просто выполнить, должно
быть 16 партий, т. е. 42; представьте себе, что один из
игроков — А, второй — 5, игры будут иметь следующие 16
положений:
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
а
Ь
b
b
b
а
а
b
b
а
а
Ъ
b
а
b
а
b
а
Ъ
а
b
1
1
1
1
1
1
1
2
b
Ъ
b
ъ
b
b
ъ
ъ
а
а
а
а
Ъ
Ъ
b
ь
а
а
Ь
Ъ
а
а
b
Ъ
а
b
а
b
а
b
а
Ъ
1
1
1
2
1
2
2
2
Таблица показывает, что А выигрывает 11 раз, а В — 5.
Ставку, следовательно, надо разделить в отношении 11:5.
Вот Ваш метод, когда игроков двое».
Полученные числа "Де и Vie, по современной
терминологии — вероятности, представляют собой отношения
числа случаев, благоприятствующих выигрышу А или В, к
общему числу случаев. Таким образом, Ферма и Паскаль
пользовались понятием вероятности, хотя оно тогда и не
было определено.
В этом же письме Паскаль сообщает, что Роберваль
возражал против того, что при методе Ферма предполагается
доигрывание четырех партий. Поскольку для полного
выигрыша игроку А требуется только две выигранные партии,
то Роберваль считал, что в восьми случаях из написанных
в таблице для выигрыша достаточно двух или трех партий.
Паскаль же говорит, что партии, которые игрались бы
после выигрыша А, по желанию можно присчитывать или
нет, так как они не отражаются на результате игры. Для
точного подсчета всех возможных вариантов, т. е. для
осуществления замысла Ферма, подсчет полных серий
необходим.
Решение Паскаля основывается на его
«арифметическом треугольнике» и потому полностью отличается от ре-
118

шения Ферма. Об этом говорит сам Паскаль в следующем
письме от 27 октября 1654 г. Оно, кстати, говорит о высокой
оценке Паскалем работ Ферма, о скромности, присущей
Паскалю, о том как высоко стояло имя Ферма в кругу
парижских математиков.
«Ваше последнее письмо меня совершенно
удовлетворило, я восхищен Вашим методом для партий, тем более
что я очень хорошо понимаю, что он полностью Ваш и не
имеет ничего общего с моим и легко приводит к тому же
результату. Итак, мы снова понимаем друг друга, но если
я Ваш соперник в этом деле, то ищите других, которые
следовали бы за Вами в Ваших численных исследованиях.
...Что до меня, я Вам сознаюсь, что я далек от них, я
способен только им удивляться... Все наши господа в последнюю
субботу слушали все это и высоко Вас оценили:
невозможно хладнокровно переживать вещи столь прекрасные и
сильные...»
Конечно, Ферма и Паскаль понимали, что сами по себе
азартные игры не представляют существенного интереса
для научных исследований, но это — прекрасный объект,
на котором легко строятся модели различных вариантов
событий, имеющих ту или иную вероятность. Надо
отметить, что «оба ученые дали ясные и простые примеры и
других более существенных приложений теории
вероятностей» 26.
Немного позже Паскаля и Ферма к теории вероятностей
обратился Гюйгенс, до которого дошли лишь скудные
сведения о том, что эти ученые добились существенных
успехов в новом отделе математики. Его результаты тоже
значительны, поэтому справедливо мнение, что у истоков
теории вероятностей стоят три великих имени: Паскаль,
Ферма, Гюйгенс.
7
В начале 40-х годов Ферма уже располагал вполне
развитым методом для вычисления квадратур парабол вида
xv=Ayq и гипербол вида xpyq=C, что следует из его
переписки с Робервалем. Поэтому, когда Кавальери запросил
(через Мерсенна) в 1644 г. мнение Ферма о квадратурах,
выполненных Кавальери, Ферма было нетрудно вскоре же
Г. Г. Цейтен. История математики в XVI и XVII веках, стр. 169,
119

ответить ему (тоже через Мерсенна) письмом, содержащим
основные достижения Ферма в области квадратур. В этом
письме доказательства отсутствуют. Они помещены в
записке с длинным названием «О преобразовании
уравнений мест... в применении к параболам и гиперболам» 27.
Техника интегрирования Ферма хорошо иллюстрируется на
примере вычисления площади гиперболы.
План вывода следующий. Во-первых, площадь,
ограниченная гиперболой, разбивается на узкие параллельные
полоски (рис. 3). Во-вторых, эти полоски заменяются пря-
Рис. 3
ff ff (J М
моугольниками. Далее доказывается, что площади этих
прямоугольников образуют бесконечную убывающую
геометрическую прогрессию, и находится сумма этой
прогрессии. Остается перейти к пределу, когда площадь
элементарного прямоугольника стремится к нулю, и получаем
точное выражение для площади фигуры, ограниченной
дугой гиперболы. Ясно, что основой вывода является
доказательство того, что площади прямоугольников образуют
геометрическую прогрессию. Приводим вывод Ферма.
тт ™ GE Am HI АО*
Пусть FD — такое место, что -gj = -^-, что -^ = -^
и т. д. (т. е. рассматривается гипербола вида х2у=С;
гипербола ху=С интегрируется другим способом, так как
интеграл приводит к логарифму). Разбиваем ось AR так,
что отрезки AG; АН; АО; ... образуют геометрическую
прогрессию с знаменателем е>1. Положим, что
элементарная трапеция GHIE приближенно равновелика
прямоугольнику GH-GE, трапеция HONI — прямоугольнику НО HI
и т. д. Пусть
AG АН АО 1
АН
АО
AM
27 Oeuvres, III, 216.
120

Требуется доказать, что прямоугольники EGH, IHO,
NOM,... образуют геометрическую прогрессию.
Площади EGH и ШО равны соответственно GE*GH и
HI-НО, следовательно, отношение площадей будет
GE ¦ GH
HI • НО '
тт „AG GH НО
Но по свойству пропорции -д^- = ~ffQ = ~пм~= •••»поэтому
GE GH GE AG
HI НО HI АН '
, GE АЮ
Заданная гипербола такова, что -gy = AG2 , и
предыдущая пропорция переходит в
ЛЯ2 AG АН
AG* АН AG
= е>1.
Следующие прямоугольники дадут попарно то же
отношение е. Это означает, что последовательность площадей
прямоугольников образует геометрическую прогрессию с
знаменателем — <1 и возможно суммирование площадей
прямоугольников.
Для того чтобы осуществить переход к пределу более
выразительно, чем это сделано у Ферма, который почти не
пользуется алгебраической символикой, переведем вторую
половину его вывода на язык алгебры.
Пусть
AG=x0, GE=y0l
AH=xh HI=yh
AO=x2, ON=y2.
Пропорции заданной гиперболы принимают вид
— = — или ух1 = С.
Уо х*
Пусть, далее,
Х\—Хо&у Х2— X\S—Xqc> , . . . , Хп—Хо&
Отсюда основания прямоугольников
Х[ ?о==#о \? I/?
Х2 Х\^Х$& ^8— 1J,
т

Xz—Хг—XqE \E 1),
Xn + i %n — Xq& yS 1 j .
Как и следовало ожидать, Апх=хп—хп-{-+0 при е->1.
Первый член прогрессии равен площади прямоугольника
EGH или г/0(#1—х0); знаменатель прогрессии известен: 4/е.
Сумма прогрессии
»- —
После сокращения на е—1 и перехода к пределу при е-*1
получаем сумму х0у0, которую Ферма выражает, конечно,
геометрически, как площадь прямоугольника с данной
высотой GE и основанием AG. Если принять в уравнении
гиперболы С=1, то результат Ферма выразится в виде
интеграла (несобственного, сходящегося)
оо
dx 1
X2 Хо
По поводу этого равенства следует сделать два
замечания.
Известно, что Архимед находил квадратуры тоже
разбиением площади на параллельные полоски, но его полоски
были равной ширины и образовывали арифметическую
прогрессию; в этом отличие метода Ферма от метода
Архимеда. Второе замечание относится к верхнему пределу
интегрирования.
Когда Торричелли, применяя метод неделимых, впервые
вычислил несобственный интеграл (объем «острого
гиперболоида»), это произвело настоящую сенсацию. Мы видим,
что несобственные интегралы вычислялись Ферма
совершенно естественно, причем таким путем, который
непосредственно приводит к определенному интегралу
Ньютона — Лейбница.
Помимо многочисленных, порой весьма сложных
квадратур, Ферма осуществлял кубатуры и ректификации 28 и
определение координат центров тяжести, например
определение центра тяжести параболоида вращения. Оно стало
«О сравнении кривых линий с прямыми». В кн.: Oeuvres, I,
211—254. Первая публикация — Тулуза, 1660,
122

известно из его статьи: «Центр тяжести параболоида».
Статья переслана Робервалю через Мерсенна. Короче
говоря, Ферма занимался самыми актуальными задачами
математики своего времени.
Иногда в статьях по истории науки встречается
выражение: «Он пролагал новые пути». О Ферма можно
сказать то же самое. Попытаемся раскрыть конкретное
содержание этого выражения. Сравним для этого методы квад-
рирования у Ферма и, например, у Кеплера и Кавальери.
Это сравнение показывает, насколько Ферма продвинулся
вперед, скажем, в технике интегрирования. Кеплер, как
и Ферма, делит фигуру на элементы настолько мелкие, что
каждый элемент можно (приближенно) приравнять
какой-нибудь фигуре с известной площадью, например
треугольнику. Но в то время как Кеплер геометрическую
задачу приводит к геометрической, Ферма приводит ее к
задаче алгебраической, к суммированию геометрической
прогрессии. Правда, по форме рассуждения Ферма —
ортодоксально-геометрические, но за этой формой без
всякого труда различается алгебраическое содержание.
Алгебра в те времена считалась математикой второго сорта,
подручным средством, разработанным для нужд
практиков. Ферма предпочитал установившиеся формы,
освященные веками и тысячелетиями, но наполнял эти формы
новым содержанием. Известно, что Кавальери тоже не
выходит за рамки античных воззрений на природу
геометрического образа. Однако стремление к абсолютной строгости
сослужило Кавальери плохую службу. Он отверг понятие
бесконечно малого и лишил себя самого действенного,
гибкого и универсального средства для вычисления интегралов.
Вот здесь-то и проявляется с особенной ясностью, что
Ферма пролагал новые пути. Можно в известном смысле
говорить, что он продолжил дело Кеплера. Он использовал
понятие бесконечно малых, как это делал Кеплер. Он их
суммирует, как Кеплер, и переходит к пределу. Сходство
большое, но не менее того и различие. Во-первых, Ферма
пользуется системой координат, новым средством, автором
которого он сам и является. Во-вторых, он составляет
интегральную сумму в точности так, как впоследствии это стали
делать в интегральном исчислении. Эти два отличия
техники Ферма от техники Кеплера имеют огромное
значение; они переводят геометрическую задачу (вычисление
площади фигуры, объема тела и т. д.) на аналитический
123

язык и таким образом подготавливают возможность
применения анализа к задачам интегрального исчисления.
Невольно возникает вопрос, не является ли именно
Ферма изобретателем интегрального исчисления? На это
приходится ответить отрицательно. Ферма, надо отдать ему
должное, значительно продвинул вычисление квадратур,
но пользовался приемом, который не мог привести к
исчислению: он вычислял пределы интегральных сумм. Этот
способ требует изобретения нового приема при
интегрировании каждой новой функции. Следовательно, об
определенном, единообразном алгоритме не может быть и речи.
Такой алгоритм и невозможно было получить, пока не
была установлена взаимная обратность действий
дифференцирования и интегрирования. Правда, отдельным ученым,
например Торричелли, эта связь была ясна, но широкой
известности она не получила. Лишь после опубликования
«Лекций» Ис. Барроу (1669—1670) связь между
дифференцированием и интегрированием могла послужить
материалом для создания интегрального исчисления.
Еще яснее новаторская роль Ферма в области анализа
(отыскание максимума и минимума, точек перегиба,
проведение касательной и нормали). Известно, что некоторые
задачи на отыскание экстремума решены еще древними,
например Евклидом, Аполлонием, Паппом. В своей
«Стереометрии винных бочек» Кеплер решил задачу о
максимальном объеме тела вращения определенной формы;
можно привести еще немало примеров из работ
предшественников и современников Ферма. Но его способ, сводящийся
к вычислению выражения
f(x+h)-f(x)
h
с последующим приравниванием полученного результата
нулю, принадлежит только ему. Правда, это еще не
формула дифференциального исчисления, потому что h —
величина не бесконечно малая. Это — величина постоянная,
хотя и очень малая; нет и предельного перехода, потому
что нет процесса h^O. Тем не менее прямая связь между
способом Ферма и современным способом анализа
очевидна. Вот отзыв Лагранжа о способе Ферма и о связи с
современным анализом: «...легко видеть с первого взгляда,
что метод дифференциального исчисления дает тот же
результат, так как основа та же, и что члены, которыми
124

пренебрегают в дифференциальном исчислении,— это те.
которые Ферма полагает равными нулю».
Способ проведения касательной основан на том же
принципе. В уравнении между абсциссой и ординатой,
которое он называет специфическим свойством функции, он
увеличивает или уменьшает абсциссу на неопределенное
реоличество и новое значение ординаты рассматривает как
принадлежащее одновременно кривой и касательной. Это
приводит к такому же уравнению, что и при разыскании
экстремума. Дальше Лагранж говорит: «Но геометры —
современники Ферма — не поняли этого нового рода
исчисления. Они усмотрели лишь частные случаи. И это
изобретение, которое появилось незадолго перед
«Геометрией» Декарта, оставалось бесплодным в течение около
сорока лет. Наконец И. Барроу подставил количество
бесконечно малое вместо того, которое, по Ферма, надо
положить равным нулю, и в 1674 г. опубликовал свой метод
касательных, представляющий собой не что иное, как
построение Ферма, только с помощью бесконечно малого
треугольника». Эти высказывания Лагранжа устанавливают
приоритет Ферма и одновременно указывают тот путь,
который ведет от него к Лейбницу.
Примерно ту же мысль выразил в «Аналитической
теории вероятностей» и Лаплас. Между прочим, долгое
время не имелось никаких свидетельств ни в пользу того,
что Ньютон испытал влияние Ферма, ни в защиту
противоположного мнения. В 1934 г. было опубликовано
письмо Ньютона, в котором он недвусмысленно говорит, что
намек на метод дифференциального исчисления он извлек,
изучая метод касательных Ферма.
8
Усиленные и плодотворные занятия математикой не
мешали Ферма исправно нести государственную службу.
Ферма пользовался исключительным уважением как
юрист-эрудит и как чиновник, свободный от малейших
упреков в недобросовестности, например в использовании
служебного положения. Неоднократно всплывал вопрос:
как он успевал вести большую работу на службе и
получать такие поразительные результаты в своих «частных»
занятиях математикой? Дело в том, что высшим
чиновникам провинциальных судов (парламентов) рекомендова-
125

лось вести замкнутую жизнь, избегая местного
«общества», чтобы не давать пищи для сплетен. Известно, что и
Ферма вел довольно уединенный образ жизни, деля время
между службой и письменным столом.
Время шло, приближалась старость. Ферма начал
задумываться о судьбе своих работ. Печататься при жизни
он не хотел. И в то же время он не мог не понимать, что
полученные им результаты имеют громадное значение для
прогресса математики и что, рассеянные в письмах к
знакомым, они могут затеряться и погибнуть для науки. После
некоторых размышлений он выбрал тех, к которым, он
считал, можно обратиться с определенного рода
предложением. В августе 1654 г. он пишет своему другу Пьеру Кар-
кави, переехавшему в Париж, чтобы он совместно с Бле-
зом Паскалем позаботился об издании его, Ферма,
сочинений после его смерти. Это предприятие не было
осуществлено. Паскаль умер раньше Ферма (в 1662 г.), а Кар-
кави, хотя и намного пережил своего друга, все же не
выполнил его желания. И правда, как увидим, это
предприятие было непосильным для одного частного лица.
В 1660 г. у себя в Тулузе Ферма все-таки издал
работу «О сравнении кривых линий с прямыми», в которой
излагается его способ спрямления кривых с большим числом
применений. Некоторые результаты Ферма помещали в
свои книги с его согласия и его друзья. Например, способ
отыскания экстремума поместил Эригон в свой «Курс
математики» (1642), Лалубер издал в Тулузе в том же
1660 г. труд «Развитие геометрии древних», где в одном
из приложений находились некоторые результаты Ферма.
Мерсенн в своих известных «Физико-математических
размышлениях» (Париж, 1644) поместил некоторые
достижения современников, в том числе Роберваля и Ферма.
Если принять во внимание, что несколько писем Ферма его
корреспонденты опубликовали еще при его жизни (Гас-
сенди, Валлис), то можно считать, что некоторые из его
методов сразу же приобрели широкую известность,
например отыскание экстремумов и квадратуры.
9
Мы вынуждены обойти молчанием работы Ферма,
вернее — те области науки, где Ферма трудился столь же
плодотворно, например его работы по механике (статике),
126

геометрии и т. д. Но есть одна оЬласть физики, где роль
Ферма, можно сказать без преувеличения, колоссальна.
Дело началось как будто с частного случая. Декарт
послал Ферма свою «Диоптрику». Ферма раскритиковал
это сочинение. В частности, он подверг сомнению
основной постулат, положенный Декартом в основу вывода
закона преломления («теорему Декарта», как его
именовал Ферма). Именно, Декарт принял за исходное
положение, что свет в плотной среде распространяется
«легче» или «испытывает меньшее сопротивление», т. е.
скорость света в более плотной среде больше, чем в менее
плотной. Ферма этот постулат показался противоречащим
здравому смыслу. Он предположил прямо
противоположное, т. е. что скорость света в более плотной среде
меньше, чем в менее плотной. Сперва он решил задачу о
преломлении света, исходя просто из этой гипотезы.
В январе 1662 г. свою работу он послал де ла Шамбру.
Он полагал, что «Сопротивление разреженной среды
имеется меньше, чем у среды более плотной» 29. Считая
такую гипотезу «более чем естественной», Ферма
показывает, что путь луча, найденный Декартом, удовлетворяет
важному экстремальному условию: время, потраченное
лучом на прохождение пути, минимально, т. е. меньше, чем
лучу пришлось бы затратить на любой другой, бесконечно
близкий к этому путь, ведущий от той же начальной
точки к той же конечной. Здесь еще никакого нового
принципа нет, а есть изящная задача на отыскание минимума,
которую Ферма решает с применением собственного
метода. Эта задача использована выше в качестве примера
на максимум и минимум (см. стр. 100).
Однако в феврале того же года Ферма посылает де ла
Шамбру новую статью — «Синтез для рефракции» 30. Она
базируется на совершенно других основаниях. Если
предыдущая опиралась на частную гипотезу, относящуюся
к скорости света в различных средах, то теперь та же
задача, т. е. вывод закона преломления, дается на основе
совершенно нового принципа. Во-первых, это принцип
общий, он не говорит о свете или о каком-нибудь другом
виде энергии или теле, а говорит о природе и ее общем
свойстве; во-вторых, этому принципу суждено было сыг-
29 Oeuvres, III, 150.
30 Там же, 153.
Щ

рать выдающуюся роль именно благодаря его общности.
Он вошел в естествознание под именем принципа Ферма,
или принципа наименьшего времени, и явился первым из
обширного семейства вариационных принципов
физики1
«Синтез для рефракции» начинается прямо с выпада
против Декарта: «Ученейший Декарт предложил закон
преломления, который, как считают, согласуется с
опытом, но, чтобы доказать его, он выдвинул постулат, ...
Рис. 4
что движение света в плотной среде происходит более
легко и беспрепятственно, чем в редкой, что, как кажется,
противоречит естественным фактам».
Далее следует тот постулат Ферма, который
впоследствии получил наименование принципа его имени, или
принципа наименьшего времени, что можно перевести
так: «Природа действует наиболее легкими и доступными
путями» 32. Ферма специально оговаривает, что он
подразумевает именно наиболее легкий, а не кратчайший путь:
«... не так, как это принято обычно говорить, что
природа всегда действует по кратчайшим линиям». Ферма
замечает далее, что как Галилей измерял движение
тяжелых тел не расстоянием, а временем, так и он будет
характеризовать проходимый лучом путь не его длиной, а
затраченным на этот путь временем. Далее автор
обращается к чертежу (рис. 4). Прямая АВ отделяет более
легкую среду (верхний полукруг) от более плотной (нижний
31 См.: «Вариационные принципы механики». М., 1959. В сборник
включены важнейшие статьи по этому предмету, в том числе
и «Синтез» Ферма.
32 «Вариационные принципы механики», стр. 7.
128

полукруг). Согласно предположению Ферма,
противоположному «постулату ученейшего Декарта», скорость света
в верхней среде больше, чем скорость в нижней, более
плотной. Пусть свет выходит из точки М и попадает в
точку N, проходя по радиусу круга MN. Требуется найти
точку Я, куда приходит луч после преломления в точке N,
т. е. в точке, принятой за центр описанной окружности.
Ясно, что MN=NH. Пусть
vmn __JMN_
vNH - N1 '
тогда времена пробега луча
если взять другой путь MR+RH, то
hm PR
Отсюда легко получить, что времена прохождения по
путям MN+NH и MR+RH относятся, как IN+NH к PR+RH.
Если путь MN+NH есть тот, который указывается
законом преломления Декарта, то время,
пропорциональное сумме IN+HN, есть наименьшее. Следовательно,
требуется доказать, что
RP+RH>IN+NH.
Построение лучей, по Декарту, следующее.
Опустить перпендикуляр MD и отложить точку S, та-
*MN DN с
кую, что = -дТгг *, из точки Ь восставить перпендику-
VNH iVO
ляр, получить на окружности точку Я; тогда радиус NH
есть путь луча света, вышедшего из точки М и
испытавшего преломление в точке N.
Ферма желает показать, что построение по Декарту не
противоречит выводам из его, Ферма, теории. «Эта
теорема (Декарта) не противоречит нашей геометрии,—
говорит он,— как это видно из следующего чисто
геометрического рассмотрения».
Для доказательства Ферма требуются еще две точки
129

па чертеже. Пусть точки О п V таковы, что
MN _ RN DN _ N0
DN ~~ ~WO И ~WS~ ~ NV *
Заметим, что из построения следует: RN>NO, NO>NV.
Из треугольника MNR имеем:
MR2=MN2+NR2+2DN NR,
или (см. предыдущие пропорции)
MR2=MN2+NR2+2MN-NO.
Так как NR>NO, то
MR2>MN2+N02+2MN-NO,
но
MN2+N02+2MN • N0= (MN+NO)2
и поэтому
MR>MN+NO.
Легко доказать, что справедливо равенство
MR _ MN + NO
RP ~ IN + NV #
Как только что доказано, MR>MN+NO,
следовательно, RP>IN+NV; остается убедиться в том, что RH>HV,
и тогда будет доказано, что PR+RH>IN+NH.
Из треугольника NRH
RH2=HN2+NR2-2SN • NR.
Но SN-NR=HN-NV из построения, поэтому
RH2=MN2+NR2-2HN-NV,
а так как NR>NV, что было показано выше, то
RH2>HN2+NV2-2HN-NV,
или
RH2>(HN-NV)2,
т. е.
RH>HV.
130

Ранее получено, что
RP>IN+NV.
Из двух последних неравенств получаем искомое
PR+RH>IN+NV+VH.
Таким образом убеждаемся, что всякий путь луча,
кроме того, который получается построением Декарта, требует
больше времени.
Рассуждение Ферма должно показать, что Декарт,
исходя из ложного, как казалось Ферма, постулата, пришел
\?
0
А >. ^Ч.
Рис. 5 \>^\
*х \
тем не менее к правильному выводу. Здесь уместно
привести высказывание, которым Ферма закончил
предыдущую статью («Анализ для преломления»): «Все это
абсолютно согласуется с теоремой Декарта. Однако анализ,
проведенный выше и исходящий из нашего принципа, дает
теореме доказательство строгое и точное».
Нельзя отрицать, что доказательство Ферма страдает
громоздкостью. Приведем доказательство Гюйгенса, тоже
чисто геометрическое и основанное на той же идее.
Гюйгенс доказывает, что луч, подчиняющийся закону Снел-
лиуса — Декарта, затрачивает минимальное время. Он
доказывает это следующим образом (рис. 5)33. Пусть
ABC — действительный путь луча, AFC — воображаемый.
Пусть OF\\AB9 BH-LOF и GF-LBC. Углы АВР и CBQ та-
X. Гюйгенс, Трактат о свете. М.—JL, 1935, стр. 60; см. также:
Л. С. Полак. Вариационные принципы механики. М., I960,
стр. 10.
131

ковы, что отношение их синусов равно отношению
скоростей. Гюйгенс рассуждает так. Время, требуемое для
прохождения отрезка HF, равно времени для прохождения
BG. Отрезки ОН и АВ равны, и отрезок FC больше
отрезка GC, следовательно, путь OH+HF+FC требует больше
времени, чем путь AB+BG+GC. Это неравенство только
усилится, если вместо OH+HF подставить AF. Теорема
доказана.
Выше уже говорилось, что принцип Ферма сыграл
громадную роль в развитии вариационных методов в
физике (и механике). В сущности принцип Ферма означает,
что вариация интеграла Ферма равна нулю
8^ = 0.
Этот принцип является наиболее общей математической
формой выражения законов геометрической оптики.
Влияние этого принципа прослеживается вплоть до
наших дней. Им руководствовались де Бройль и Шредингер
при выработке новых взглядов на материю34.
10
Старший сын Пьера Ферма, Самюэль-Клемент, как и
отец, делил время между службой и литературными
занятиями (он был поэтом и литератором). Его латинские
стихи в свое время ценились. В истории французской
литературы его имя не прошло бесследно.
В архивах Тулузы сохранился любопытный
юридический документ. Актом от 29 октября 1661 г.
засвидетельствовано, что Пьер Ферма предоставляет юридическую
самостоятельность своему сыну Самюэлю-Клементу Ферма,
доктору прав и адвокату (в то время ему было без малого
30 лет), «имеющему открыть собственную контору».
Самюэль Ферма не был математиком, но понимал,
видимо, какое большое значение имеют работы его отца.
В 1670 г. он переиздал арифметические книги Диофанта в
том виде, как они вышли из рук Баше де Мезириака, но
с замечаниями отца, рассеянными по полям. В 1679 г. он
34 См., например, сборник: «Современная квантовая механика».
М., 1934, стр. 48.
132

издал уже собрание работ отца под названием:
«Различные математические работы г-на Пьера де Ферма,
выбранные из его писем и из французских, латинских и
итальянских писем к нему многих ученейших мужей, трактующих
о предметах, относящихся к математическим наукам или
к физике. Издано в Тулузе, 1679 г.»
Это издание было воспроизведено в Берлине (1861 г.).
Книга содержит важнейшие труды Ферма. Из обширной
переписки отца Самюэль включил более сорока полных
писем и выдержки из других. Представляют большой
интерес письма к Робервалю (9 писем) по вопросам
математики, а также механики (геостатики, как выражался
Ферма), к Мерсенну (6). В книге есть и письма к Ферма:
от Роберваля (4), от Роберваля и Паскаля-старшего — 2,
от Паскаля-младшего — 4, от Френикля и др.
Эти издания сослужили неоценимую службу
математике, так как долгое время были почти единственным
источником непосредственного изучения наследия Ферма.
Казалось бы, надо было давно издать полное собрание
сочинений Ферма. Однако это предприятие осуществить
не так просто. Большая часть работ Ферма содержалась в
письмах, а они были разбросаны по всей Европе, и
собирание их являлось делом трудным и длительным. Вот один
из примеров. Известный математик Т. Депейру (1815—
1883), профессор университета в Тулузе и директор
астрономической обсерватории, обнаружил в Венской
императорской библиотеке фонд рукописей, пожертвованный
библиотеке дипломатом XVII в. графом Гоэндорфом.
В этом фонде Депейру нашел письма Ферма к Мерсенну,
де ла Шамбру, Клерселье и т. д. Из Вены он привез 130
страниц копий писем Ферма. Какую же работу надо было
провести в библиотеках и архивах, чтобы собрать все
остальные трактаты и письма Ферма и других ученых!
Насколько сложна задача издания полного собрания
сочинений Ферма, видно хотя бы из того, что
французский парламент принял специальный закон о создании
денежного фонда для такого издания. И все-таки в то
время (40-е годы XIX в.) осуществить издание не удалось.
Лишь в конце прошлого столетия крупнейший специалист
по истории науки Поль Таннери (совместно с Ш. Анри)
начал издание собрания сочинений Ферма. Первый том
вышел в 1891 г., четвертый —в 1912 г. Дополнительный
том издан де Ваардом в 1922 г.

ТОРРИЧЕЛЛИ
i
Эванджелиста Торричелли родился 15 октября 1608 г. в
Фаэнце — небольшом древнем городке, расположенном
в полуста километрах на юго-восток от Болоньи.
Город был наводнен монастырями и церквами. На
неполных 1700 жителей приходилось два аббатства,
тринадцать монастырских братств, приорат, семнадцать
добровольных объединений при церквах (благотворительных
и др.) и т. д. Частная жизнь была регламентирована
церковью. Сутки разделялись на части сообразно молитвам
(например, считалось, что наступил вечер, если
прозвучали колокола к аве Мария). Школы были только при
церквах и монастырях.
Семья Гаспарэ Торричелли была не особенно
зажиточной. К тому же глава семьи умер, когда дети были совсем
маленькими. Заботу о них взял на себя брат отца,
настоятель местного монастыря св. Джованни,
монах-бенедиктинец фра Джакопо (в миру Алессандро). В 1624 г. он
поместил Эванджелисту в незадолго до того открытую
иезуитами школу, где преподавание было, конечно, чисто
схоластическим. Изучались философия, математика и
музыка.
Выдающиеся успехи Эванджелисты побудили фра
Джакопо принять особые меры: он отправил племянника в Рим,
в университет, поручив его заботам Бенедетто Кастелли,
который сыграл немалую роль в судьбе Торричелли.
Кастелли был учеником Галилея и его непоколебимым
приверженцем. Познакомился он с Галилеем в Падуе
около 1604 г., и, начиная с 1611 г., проводил с Галилеем и под
его руководством астрономические наблюдения.
Сенсационный «Nuncius sidereus» («Звездный вестник») вышел
в 1610 г., но исследование светил продолжалось и после
его выхода; так, в 1613 г. были изданы «Письма о солнеч-
134

ных пятнах». В 1613 г. Кастелли переехал в Пизу, где
стал профессором математики. Здесь он обучал будущего
великого математика и своего преданного ученика Бона-
вентуру Кавальери. Кастелли, как большинство крупных
математиков того времени, не избегал инженерных работ.
Он имел репутацию большого специалиста по вопросам
гидравлики. Папа Урбан VIII привлекал его в качестве
консультанта по гидравлике. По-видимому, он произвел на
папу благоприятное впечатление, так как последний
перевел его в Римский университет.
В Римском университете Кастелли оставался до своей
кончины (1643). Его главный труд «О мере текущих вод»
(1628) имел в свое время большое распространение и
неоднократно переводился на другие языки. Исторической
•заслугой Кастелли является то, что он воспитал целую
школу последователей Галилея, был пропагандистом ко-
перниканства и экспериментального метода в физике.
2
Итак, в 1626 г. Торричелли — студент Римского
университета. Кастелли уделяет ему много внимания не только
потому, что Торричелли отдан под его покровительство.
Торричелли выделяется даже среди очень способных его
учеников (таких, как Маджиотти, Риччи, Вивиани).
Вскоре он становится другом учителя, несмотря на
большую разницу в возрасте (Кастелли было за пятьдесят),
а затем и его секретарем. Он много и усердно учится.
Дело это было тогда не из легких, поскольку единственными
пособиями были первоисточники, и Торричелли под
руководством Кастелли изучает классиков, начиная с Евклида.
Когда подготовка учеников достигла нужной глубины,
Кастелли приобщил их к актуальным проблемам науки.
Крупнейшим ученым в то время был Галилей.
Кастелли выбрал лучших учеников — Торричелли и
Маджиотти — и приступил с ними к изучению трудов Галилея. Ле -
том 1632 г. он сообщает Галилею в одном из писем: «Часто
наслаждаюсь беседой с синьором Рафаэлем Маджиотти из
Монтеварки и синьором Эванджелистой Торричелли...
Оба мужи ученейшие (eruditissimi) в геометрии* и астро-
В XVII в. (и много позже) геометрией именовали всю
«чистую» математику.
135

Эванджелиста
Торричелли
(1608—1647)
номии, поставлены уже мною на хорошую дорогу». Что
же было предметом их бесед? Они с большим
удовольствием читали и обсуждали, например, «Диалог о двух
системах мира» Галилея.
Цитированное письмо Кастелли относится к 1632 г.
Уже шесть лет находился Торричелли в университете. Ему
24 года — возраст, когда способности ученого
развертываются в полную силу. С чем же покидал Торричелли
университет? Какими знаниями он обладал? Ответ находим
в письме Торричелли к Галилею от 11 сентября 1632 г.
Оно написано при следующих обстоятельствах.
Торричелли, будучи секретарем Кастелли, в его отсутствие
вскрывал письма, адресованные учителю, и писал ответы.
1632 г. был тяжелым для Галилея. В январе вышел из
печати «Диалог о двух системах мира»; это послужило
причиной новой вспышки ненависти аристотеликов и
церковников. Галилей, как можно предположить, писал Кастелли
по поводу «Диалога» и связанных с ним забот. Письмо
до нас не дошло, зато ответ Торричелли сохранился. После
приветствий, выраженных в самом почтительном тоне>
после объяснений, почему пишет он, а не Кастелли,
Торричелли сообщает, что Кастелли является горячим
защитником «Диалога» от всех противников его — начиная от
136

самого папы. Особенно он отмечает аббата Шейнера. Надо
отдать должное проницательности Кастелли, выделившего
этого наиболее злобного врага из толпы остальных. Вскоре
Шейнер приобрел печальную известность в процессе
Галилея 1633 г.
В этом письме Торричелли кое-что рассказал Галилею
и о себе. «Моя специальность — математика», — писал он.
А далее сообщал, что изучил всю геометрию, Аполлония,
Архимеда, Феодосия и что подробнейшим образом и
постоянно изучает «Диалог» Галилея. Но изучение
«Диалога» предполагает знание основ астрономии. Имеются ли
они у него? Да, здесь все благополучно. «Математик,
правда еще молодой», как он себя называет, но уже изучил
«и Птоломея, и все работы Ticone (Тихо Браге), и
Кеплера, и Лангомонтана (вероятно, Региомонтана)». Наконец,
и это — самое важное, Торричелли пишет, что большое
число совпадений2 привело его к Копернику. «По роду
занятий и по убеждениям я — галилеист».
Письмо освещает вопрос о научном оснащении
Торричелли и его склонностях, убеждениях, о принадлежности
к научному лагерю. Мы увидим, что звание галилеиста он
носил с достоинством всю свою недолгую жизнь. Что же
представлял он собой как человек? Какими данными
располагал он для того, чтобы защищать свои научные
убеждения и привлекать в свой лагерь новых сторонников?
Факты из биографии Торричелли и его письма
свидетельствуют, что он был обаятельным человеком, остроумным, а
иногда и насмешливым (по отношению к тем, кто этого
заслуживал). Он был верен дружбе (примером могут служить
его отношения к Кавальери и Вивиани), постоянен в
привязанностях и умел ценить расположение людей,
заслуживших его уважение. К таким людям относятся прежде всего
Галилей и епископ Чиамполи.
3
Годы учения закончились, началась самостоятельная
жизнь. К сожалению, здесь — от 1632 по 1640 г. — в
биографии Торричелли провал. Не сохранилось ни писем, ни
других свидетельств о его жизни. Возможно, какое-то
время Торричелли был секретарем Чиамполи.
2 То есть соответствий выводов из учения Коперника и
астрономических наблюдений.
137

Джиованни Чиамполи (1590—1643) — литератор и
поэт, в 1614 г. принял духовный сан. С 1621 г. он один
из секретарей папы Урбана VIII. В 1608 г. Чиамполи
познакомился во Флюренции с Галилеем, слушал его
поучительные беседы и с тех пор становится преданным другом
и поклонником великого ученого. Чиамполи занимал
видное место при папском дворе, ему уже прочили
кардинальскую мантию. Но в 1632 г. он лишился расположения
папы за то, что помог получить разрешение цензора на
печатание «Диалога» Галилея. Разрешение последовало
после записки Чиамполи, где он ссылался на распоряжение
папы, которого папа, однако, не давал. После выхода
книги из печати обман раскрылся, заварилось дело,
Чиамполи, ставшему опальным епископом, пришлось покинуть
Рим. Ему нигде не давали надолго осесть — переводили
с одного места в другое. Он вел огромную переписку —
деловую, научную, литературную — и ему необходим был
секретарь. Есть свидетельства, что Торричелли служил у
Чиамполи, если не все эти годы, то во всяком случае
последние.
В 1635 г. вышла «Геометрия неделимых»—великая
книга Кавальери, дело всей его жизни. Автор посвятил ее
Чиамполи.
В марте 1641 г. Торричелли возвращается в Рим, и в
том же 1641 г. Кастелли приводит Галилею в Арчетри
рукопись трактата «О движении естественно падающих я
брошенных тел», где были изложены результаты
исследований Торричелли в области галилеевой механики. Эта
работа сыграла решающую роль в судьбе Торричелли. Сам
он имел единственную цель — показать таким
подношением всю глубину своего уважения и любви к маститому
ученому. В сопроводительном письме молодой ученый
объяснял, почему он осмелился обратиться к задачам, уже
решенным учителем: «Чтобы прославить себя титулом его
слуги»; он преклоняется перед «славным именем
Галилея — именем, заслуженным перед Вселенной и
священным навсегда».
Но Кастелли, представляя Галилею работу
Торричелли, преследовал особую цель: Галилей был стар и болен,
нельзя было надеяться, что он проживет долго. А
Кастелли внал, что Галилей мучительно озабочен тем, что не
успел закончить «Беседы» и что его слабые силы не
позволят ему это сделать. Нужен помощник. Однако помощник,
138

достойный его. Вот Кастелли и повез рукопись Торричел-
ли как лучшую рекомендацию.
Книга понравилась Галилею. Он охотно последовал
совету Кастелли и пригласил Торричелли к себе. Торричел-
ли принял приглашение с восторгом, но не мог выехать
немедленно, поскольку замещал Кастелли в качестве
лектора. Лишь в начале октября 1641 г. он появляется в
Арчетри. Б. Кавальери приветствовал переезд своего
друга к Галилею. «О, какой счастливый союз! Какие великие
последствия, какая польза для литературы от такой
чудесной прививки!»
Галилей немедленно начал знакомить Торричелли с
материалом для написания «Пятого» и «Шестого» дней
«Бесед». Торричелли принялся за работу — и
увлекательную и такую для него почетную. Но увы, здоровье
Галилея быстро ухудшалось. 5 января Кастелли писал
Кавальери в Болонью: «Боюсь, что получу из Флоренции
мало хороших новостей о нашем почтенном старике, меня
пугает его преклонный возраст».
8 января Галилей скончался. Торричелли, сраженный
горем, собирался вернуться в Рим, но пришло
распоряжение великого герцога Тосканского Фердинанда II Медичи
задержаться. Вскоре последовало назначение на
должность, которую занимал Галилей: «Философ и первый
математик великого герцога». Торричелли остался во
Флоренции. Его главным занятием стала теперь обработка
материалов Галилея. Однако самому Торричелли не
пришлось увидеть плоды своей работы. «Пятый день»
опубликовал В. Вивиани в 1674 г., «Шестой день» был включен
в «Беседы» в издании 1718 г.
Кроме обработки научного наследия Галилея, у
Торричелли оказалось много других дел. Ему было разрешено
(или предписано) возобновить чтение лекций, которые
читал Галилей до 1633 г., т, е. до того, как он был осужден
судом инквизиции. Торричелли читал лекции по
фортификации. Академия делла Круска (Академия Отрубей —
литературная академия, ставящая своей целью отсеивать
погрешности языка и литературы, «подобно тому, как отруби
отсеивают от муки») обращается к Торричелли (он был ее
членом) с предложением прочитать ряд общедоступных
лекций; он это предложение принял и осуществил. При
всех многочисленных занятиях Торричелли приводил в
порядок свои незавершенные работы прежних лет, вел боль-
159

шие экспериментальные исследования. Так, уже осенью
1642 г. он приступает к обширному и очень трудоемкому
отделу физики — к инструментальной оптике. В 1644 г.
публикует сборник своих научных работ по геометрии,
механике, интегральному исчислению.
Всего шесть лет прожил Торричелли во Флоренция
(включая и жизнь в Арчетри). В октябре 1647 г. он в
расцвете своего таланта скончался. По-видимому, смерть
наступила не совсем неожиданно, поскольку Торричелли
успел сделать кое-какие распоряжения. Флорентийского
юриста Лодовико Серенаи он назначил своим
душеприказчиком. Он настоятельно просил его написать дяде Джа-
копо, «88-летнему старцу», проживавшему по-прежнему
в Фаэнце, когда он, Эванджелиста, умрет8. Риччи и Ка-
вальери должны были опубликовать его неизданные
работы. Торричелли просил похоронить его в церкви св.
Лаврентия. Однако желания умирающего не были выполнены.
Через месяц после его смерти скончался, тоже молодым,
Кавальери, уже много лет страдавший какой-то
необыкновенно жестокой разновидностью подагры. Риччи же не
сумел опубликовать работы Торричелли. Только в 1862 г. его
уцелевшие рукописи поступили в Флорентийскую бибцио-
теку. Издание полного собрания сочинений Торричелли
осуществлено в 1919—1944 гг.
Могила его потеряна.
4
За свою недолгую жизнь Торричелли успел сделать
необычайно много. Типичный представитель XVII в., он был
равно плодотворен во всех областях естествознания,
которым отдавал свои силы. Он обессмертил свое имя в
математике как предшественник Ньютона и Лейбница в
открытии дифференциального и интегрального исчислений.
Общеизвестны заслуги Торричелли в физике; он нанес
решающее поражение средневековому суеверию,
утверждавшему, что природа боится пустоты, изобрел барометр и
высказал некоторые положения, легшие в основу теории
общей циркуляции атмосферы. Ученик и продолжатель
Галилея, он оставил заметный след в развитии доныото-
3 Свою мать, переселившуюся в Рим, Торричелли похоронил
летом 1641 г. Дядя Дшакопо после его смерти прожил еще два
года.
140

новской динамики. Некоторые историки науки склонны
рассматривать Торричелли как основателя гидродинамики
(формула Торричелли для скорости истечения жидкости
из отверстия). Он не мог не отдать дань всеобщему
увлечению и много труда вложил в шлифование линз,
достигнув в этом деле изумительного искусства. Нет
возможности дать обзор трудов Торричелли. Наша задача более
скромна: показать на примере отдельных достижений
богатство и фундаментальность полученных им результатов
в математике при крайней экономии средств и изящество
методов исследования.
Торричелли, последователь Галилея, конечно, не
мыслил иной основы для своей ученой деятельности, кроме
математической. Как известно, первая половина XVII в.
замечательна большими успехами в области вычисления
определенных интегралов. Кеплер, Ферма, Кавальери,
Паскаль, Роберваль и многие другие далеко продвинули
технику определенного интегрирования в применении к
главнейшим типам геометрических задач. Однако единой
теории, из которой можно было бы почерпнуть указания для
решения задач нового типа, до появления «Геометрии
неделимых» Кавальери, не было. Поэтому выход «Геометрии
неделимых» (1635 г., Болонья) считается переломной
вехой в предыстории интегрального исчисления.
Торричелли сумел внести существенное обобщение в
самые основы учения Кавальери. Для того чтобы
правильно оценить вклад Торричелли, надо вспомнить метод
неделимых, разработанный Кавальери. Плоскую фигуру,
площадь которой надо вычислить, делят параллельными
прямыми на полоски. Выбор направления параллельных,
вообще говоря, произволен. Число полосок неограниченно
увеличивается, при этом ширина каждой полоски
неограниченно уменьшается. В пределе полоска обращается в
отрезок прямой. Этот отрезок Кавальери и называет
неделимым плоской фигуры. Подобным образом получается
точка, как неделимое линии, и плоская фигура, как
неделимое тела (например, сечение в виде круга есть неделимое
конуса вращения). Признаком неделимого является то,
что число измерений неделимого на единицу меньше
числа измерений самого геометрического образа: плоская
фигура (два измерения) у тела (три измерения),
отрезок (одно измерение) у плоской фигуры (лва измерения)
и т, д. Вычисление неизвестной площади (объема) сводится
141

к отысканию отношения двух мер; площади неизвестной и
площади известной или объема неизвестного и объема
известного и т. д. Отыскание же этого отношения основано
на следующих принципах, установленных Кавальери.
1. Выбор направления, параллельно которому
разбивается плоская фигура на полоски (или на слои), не влияет
на результат вычисления.
На современном языке это означает инвариантность
площади (объема) относительно поворота осей
координат.
2. Площади двух фигур (объемы двух тел) относятся
как совокупности их неделимых.
В свои принципы Кавальери не внес еще одно
необходимое условие, но разъяснил его дополнительно. Это
условие заключается в том, что фигура должна делиться на
полоски так, чтобы все они были равной ширины.
Следующий пример поясняет применение принципов
Кавальери (рис. 1). Пусть прямой угол ADG вместе с
четвертью окружности AnG и отрезком CD вращается вокруг
оси CG. Образуются тела вращения: цилиндр ADFB,
полусфера AnGB и конус CDGF. Требуется, например,
определить объем «чаши» AnDGFB, получающейся, если из
цилиндра AF удалить полусферу AnGB.
Решение. Выбираем направляющую плоскость,
например DGF; все сечения тел будут производиться
параллельно этой плоскости («регуле»). Рассмотрим
произвольное сечение mnpg. Легко доказать несложными
рассуждениями, что площадь кольца тп равна площади круга pg.
Так как это равенство справедливо для любого сечения
(«неделимого») на протяжении между одной граничной
плоскостью DGF и другой АСВ, то, согласно принципу,
равны и тела, к которым относятся эти неделимые.
Следовательно, объем чаши равен объему конуса, в данном слу-
1
чае -о-яЯ3. Задача решена. Этот пример показывает, что
техника применения принципа неделимых сравнительно
несложна, и в этом отношении принцип напоминает
определенное интегрирование, техника которого тоже проста.
Аналогию можно продолжить. Если техника обоих
исчислений не представляет принципиальных трудностей, то их
основы, наоборот, содержат множество уязвимых
положений, и в этом отношении исчисления сходны между
собой. Интегральное исчисление, или точнее, инфинитези-
142

мальные проблемы, пользовавшиеся неослабным
вниманием в течение столетий, преодолели трудности и подводные
камни, встречающиеся на первых, основополагающих
ступенях учения. Теперь, после этих завоеваний анализа,
не представило бы затруднений дать непротиворечивые
основания принципу неделимых Кавальери. Но самому
Кавальери не удалось это сделать. Не говоря уже о
представителях противоположного лагеря (как, например,
А С В
Рис. 1 т
V р/
ьс
g J
_^\
иезуит Гульдин), даже друг и покровитель Кавальери
Галилей радикально расходился с Кавальери во взглядах на
природу неделимых. Но отмахнуться от метода неделимых
тоже было невозможно. Это был наиболее общий и
наиболее сильный из всех методов определенного
интегрирования, предложенных перед открытиями Ньютона и
Лейбница. Как же относился к этому Торричелли? Несомненно,
ему было известно, что предпосылки, использованные
Кавальери, противоречат официальным установкам
католического богословия, но это его не смутило4.
Торричелли ввел в метод неделимых такое обобщение
и владел им с таким совершенством, что приводил в
недоумение самого Кавальери. Он убедительно разъясняет
парадоксы, в которых, надо правду сказать, не было
недостатка. Один из таких парадоксов предложил сам
Кавальери. В письме от 5 апреля 1644 г. он сообщил его
Торричелли (рис. 2). Каждому неделимому треугольника AHD
соответствует неделимое треугольника HDG. Эти неделимые
равны между собой. Согласно принципу Кавальери, из
равенств KB=MF, IG=LE и т. д. следует, что площадь
треугольника AHD равна площади треугольника HDG, что при
AD?=DG нелепо. Торричелли опровергает парадокс тем,
4 За недостатком места отсылаем читателя к обстоятельной
статье дроф. С. Я. Лурье «Математический эпос Кавальери»
(в кн.: Б Кавальери. Геометрия неделимых. М.—Л., 1940).
143

что подчеркивает интегральный характер принципа. Он
говорит, что неделимые «insieme prese» (вместе взятые)
должны быть равны, а попарное равенство, вообще говоря,
не однозначно определяет равенство площадей фигур (или
соответственно объемов тел). Это «insieme prese» или
«omnes lineae», «omnes ordinatae» — то самое выражение,
которое заимствовал Лейбниц и которое у него прошло
Рис. 2
BCD E F
такую эволюцию: сперва он так и писал, потом сократил
до «о. 1.», затем, может быть, под влиянием Паскаля,
который ввел выражение «la somme des lignes», перешел к
первой букве слова Summa: SZ и, наконец, установил
нынешнюю форму обозначения интеграла.
Перейдем к собственному вкладу Торричелли в геометрию
неделимых. Это прежде всего обобщение самого принципа,
данного Кавальери. Последний полагал, что обе фигуры,
отношение площадей которых ищется, покрываются
системами прямолинейных отрезков. Торричелли расширяет
метод. Он говорит, что можно наложить на одну фигуру
систему отрезков, а на другую — систему кривых линий
(дуг). В качестве простейшего примера применения
расширенного принципа он решает задачу, предлагаемую
Кеплером в «Стереометрии винных бочек». Нельзя
отрицать, что решение Торричелли привлекает своей простотой
и краткостью.
Напомним, как решается вадача у Кеплера. Требуется
определить площадь круга заданного радиуса R (рис. 3).
Круг разбивается на тонкие секторы AOAi и т. д. Секторы
выносятся в виде «частокола», опирающегося на
отрезок АВ, длина которого есть 2nR. Затем каждый сектор
«частокола» заменяется (рис. 3, б) равновеликим
наклонным треугольником с общей вершиной в точке О. Все тре-
144

Л А,
а
Б
Рис 3
угольники покроют прямоугольный треугольник ОАВ с
высотой R. Следовательно, площадь его, а значит и пло-
1
щадь круга, равна-уЛ-2яД=я/?2.
Решение Торричелли следующее (рис. 4). Дан круг
радиуса R. Строим отрезок АС, длина которого равна 2яД,
или длине окружности. Для любой промежуточной
окружности радиуса ОВ найдется в треугольнике отрезок BD,
длина которого равна длине окружности 2п-ОВ.
Следовательно, системе неделимых круга OR — окружностей —
соответствует система неделимых прямолинейных
отрезков — в треугольнике ОАС. Согласно принципу неделимых
Рис. 4
145

в редакции, данной Торричелли, площади круга и
прямоугольника равны.
Для того чтобы вычислить площадь спирали,
Торричелли строит сегмент параболы и устанавливает равенство
неделимых — ординаты параболы и дуги окружности,
заключенной внутри спирали. На основании своей редакции
принципа неделимых Торричелли находит, что площадь,
Рис. 5
0х А
ограниченная спиралью, равна площади сегмента. Уже эти
и подобные им результаты, полученные Торричелли, были
достаточны, чтобы сделать его заметной фигурой среди
математиков. Но он дал гораздо больше.
С необыкновенной смелостью Торричелли взялся за
вычисление объема бесконечно длинного тела и показал,
что при некоторых условиях этот объем может быть
конечным. В первом томе его «Ореге» помещены мемуары
«Об остром гиперболическом теле» (ч. 1, стр. 173—321) и
«О бесконечных гиперболах» (ч. 2, стр. 231—274).
В общих чертах рассущдения Торричелли сводятся к
следующему (рис 5). Пусть дана гипербола ху=2к2 и пусть
она вращается вокруг оси Оу (своей асимптоты).
Образующееся при этом тело вращения пусть ограничивается
цилиндрической поверхностью радиуса ОА и высоты АВ.
Требуется вычислить объем тела вращения —«острого
гиперболоида», как его называет Торричелли (hyperbolicus
acutus). Неделимым в этом теле будет цилиндрическая
поверхность радиуса х и высотой у. Поверхность эта имеет
площадь 2пху=2к-2к2=п(2к)2. Обнаруживается
замечательное свойство этого неделимого: его площадь
оказывается независимой от радиуса. Согласно принципу Кавалье-
ри, объем всего тела равен «всем неделимым», т. е. к{2к)2-
О А. По существу здесь вычислен (впервые)
несобственный интеграл с бесконечным пределом.
146

Когда этот результат сделался известным в Европе, это
было настоящей сенсацией; Торричелли получил большое
количество поздравлений. Пожалуй, наиболее
выразительным будет следующий отрывок из письма Кавальери (7
января 1642 г.): «Я благодарю Вас за доказательство об
остром гиперболическом теле — доказательство воистину
божественное. Я не в силах постигнуть, как Вы решились
с такой легкостью погрузить Ваш мерный шест в
бесконечные глубины этого тела, ибо воистину оно мне кажется
бесконечно длинным» (т. е. объем его кажется бесконечно
большим) \
Торричелли рассмотрел также различные случаи ги.-
перболы произвольного порядка
хтуп=сп
и установил, при каких условиях тело вращения имеет
конечный объем. Другими словами, Торричелли нашел
условия существования несобственного интеграла данного
типа.
Не менее ценным новым вкладом Торричелли было
спрямление кривых у=Сех (он назвал эту кривую гемипер-
болой) и p=ae~eQ (логарифмической спирали).
До недавнего времени считалось, что первым выполнил
ректификацию (спрямление кривой) П. Ферма («О
сравнении кривых линий с прямыми») в 1660 г. или даже
В. Нейль в 1657 г. Но в 1928 г. Е.Бортоллоти указал, что
в Фаэнцском издании «Ореге» есть пропуск. Неизданные
страницы обнаружены в рукописях и опубликованы А. Аго-
стини. На этих страницах и было изложено спрямление
кривой. Найдена длина дуги логарифмической спирали.
Точнее, найдено, что длина дуги равна длине
определенного отрезка касательной, проведенной через начальную
точку дуги. В спрямляемую дугу вписывается ломаная так,
что ее звенья видны из полюса кривой под равными
углами. Согласно определению логарифмической спирали, эти
звенья (длины) образуют геометрическую прогрессию,
следовательно, длину ломаной можно вычислить. На этом
свойстве ломаной и основано доказательство равенства ее
длины и длины отрезка секущей. При переходе к пределу,
когда число звеньев ломаной неограниченно увеличива-
5 Цит. по кн.: Б. Кавалъери. Геометрия неделимых. М.—Л., 1940,
стр 410.
147

ется, ломаная переходит в дугу спирали, а секущая — в
касательную.
Замечательно, что и это спрямление, подобно кубатуре
гиперболоида, приводит к несобственному интегралу.
А именно, можно распространить его на случай
неограниченного увеличения числа витков спирали, т. е. на случай,
когда дуга спирали берется от некоторого начального угла
до полюса. В письме Каркави в феврале 1645 г. Торри-
челли особо подчеркнул это свойство его вывода: «Всякая
моя спираль достигает своего центра только после
бесконечно большого числа оборотов, бесконечно сжимающдхся
вокруг центра; тем не менее можно найти равный ей
отрезок прямой не только для любой части дуги (поп solo
qualunque partre a arco) этой спирали, но также и для всей
целиком (tutta intera)». Таким образом, в этой работе
Торричелли не только впервые выполнил спрямление
кривой, но и вычислил несобственный интеграл в полярных
координатах.
Отметим попутно, что Торричелли самостоятельно
нашел сумму бесконечно убывающей геометрической
прогрессии и его вывод был затем использован А. Таке6, 'что
приближенная формула, получившая впоследствии
название формулы Симпсона, по своему геометрическому
содержанию была известна Торричелли; что он не только
находил производные, но решал также задачи на отыскание
экстремума, и т. д.
6
Остановимся теперь на вопросе, имеющем
принципиальное значение для всей математики. Это — вопрос о
взаимной обратности дифференцирования и неопределенного
интегрирования. Как известно, именно решение этого
вопроса положено Ньютоном и Лейбницем в основу
вычисления определенного интеграла. Только начиная с этого
момента можно считать, что приложение интегрального
исчисления к геометрии, физике и т. д. перестало быть
делом гениальных одиночек (Кеплера, Торричелли, Ферма
и др.) и стало доступным рядовому математику. Известно
также, что Ньютон и Лейбниц строили анализ не на пустом
См. примечание в кн.: Г. Вилейтнер. История математики от
Декарта до середины XIX в, М., I960, стр. 19,
J48

месте и что взаимная обратность дифференцирования и
интегрирования уже была установлена до того, как они
занялись построением анализа. Считается, что эта взаимная
обратность установлена Исааком Барроу. Однако сам
Барроу называет своими предшественниками Галилея и Торри-
челли. В самом деле, Галилей получает путь, пройденный
телом, как площадь треугольника, построенного на
скорости и на времени. Другими словами, Галилей находит путь,
как интеграл от скорости по времени. Взаимная связь
между путем, временем и скоростью еще яснее выступает
у Торричелли. Представим себе две прямоугольные
системы координат. В обеих системах по оси абсцисс отложено
время. По оси ординат в одной отложена скорость движения
некоторого тела (точки), в другой — проходимый этим
телом путь. Исходя из рассуждений Галилея, Торричелли боз
труда устанавливает, что ордината точки графика пути пг о-
порциональна площади графика скорости — это результат,
полученный еще раньше Галилеем для равноускоренного
движения; но Торричелли получает и обратную
зависимость; он показывает, что ордината графика скорости
пропорциональна тангенсу угла наклона касательной к
графику пути. Но так как угловой коэффициент касательной к
кривой y = f(t) и есть численное значение производной,
взятой в этот момент, то получается зависимость,
именуемая обыкновенно теоремой Барроу
s = \v(t)dt; v(t) = ^.
to
Барроу оставалось только устранить из доказательства
кинематический элемент, чтобы придать теореме
надлежащую общность. Этим и объясняется, почему Барроу
называет Галилея и Торричелли своими предшественниками.
Впрочем, в Италии теорема носит имя Торричелли —
Барроу.
Следовало бы теперь изложить еще одно открытие
Торричелли, а именно, кинематический способ проведения
касательной к данной кривой в данной точке (письмо к
Галилею от 29 июня 1641). Но, с одной стороны, этот способ со
временем уступил свое место способу П. Ферма (т. е.
общепринятому в настоящее время в анализе); с другой
стороны, он полностью совпадает с кинематическим способом,
предложенным Робервалем и описанным в очерке, ему
149

посвященном. Достаточно и разобранного выше, чтобы
получить представление о том, как велики заслуги
Торричелли в чистой и прикладной математике.
7
Математические достижения Торричелли были поистине
замечательны, однако его нельзя назвать математиком. Всю
силу своего математического гения он направил на то,
чтобы развивать физику. Торричелли — физик прежде всего.
Даже в его чисто математических работах чувствуется
физическая струя. Важнейшая теорема анализа — теорема о
взаимной обратности дифференцирования и
интегрирования — доказана им на основании рассмотрения свойств
движения материальной точки; способ проведения
касательной к кривой, о котором говорилось выше, покоится
на принципе сложения движений (скоростей). Можно было
бы привести еще примеры того, как Торричелли обогащал
математику, решая физические задачи. Таланту
Торричелли было легко развиваться еще и потому, то Торричелли
сразу попал в школу Галилея — лучшую физическую
школу своего времени.
Неудивительно, что «галилеист», как называл себя
Торричелли еще в 1632 г., уделил много внимания механике
Галилея. Его трактат «О движении естественно падающих
и брошенных тел» в сущности представляет собой
дополнения и развитие некоторых положений Галилея из
«Третьего дня» его «Бесед». Относительно перемещения центра
тяжести тела Галилей говорит7: «...если невозможно,чтобы
тяжелое тело или соединения таковых поднялось само по
себе вверх, удаляясь от общего центра, к которому
стремятся все тяжелые тела, то одинаково невозможно, чтобы
оно само по себе стало двигаться, если его собственный
центр тяжести не приближается при этом к общему
центру». Галилей формулирует положение для одного твердого
тела, упоминая о соединении тел лишь в вступительном
предложении. Торричелли дает обобщенную
формулировку: «Два тяжелых тела, соединенные вместе, сами по себе не
могут двигаться, если их общий центр тяжести не
опускается». На основании этого обобщенного принципа
Торричелли получает результаты Галилея более строго. Так,
7 Г. Галилей. Избранные труды, т. II. М., 1964, стр. 255—256.
150

например, Галилей принимает в качестве постулата8:
«Степени скорости, приобретаемые одним и тем же телом
при движении по наклонным плоскостям, равны между
собой, если высоты этих наклонных плоскостей одинаковы».
Торричелли дает доказательство этого положения. В его
книге «О движении естественно падающих и брошенных
А
М
Рис. 6
L
тел» имеются интересные дополнения к теории полета
снарядов Галилея. В качестве примера приведем решение
задачи о траектории, привлекающее своим изяществом и
простотой построения.
«XI. Даны импетус и амплитуда снаряда; найти
направление и высоту».
Импетус у Торричелли означает величину,
пропорциональную кинетической энергии снаряда; амплитуда —
дальность полета; направление — угол возвышения или
направление вектора начальной скорости; высота —
высшая точка траектории.
Решение получено геометрическим путем (рис. 6).
Импетус откладывается от произвольной точки О в виде
отрезка ОА. Отрезок ОС, перпендикулярный ОА, равен
четверти заданной амплитуды (дальности полета). На отрезке
О А, как на диаметре, строится полуокружность. Из точки
С восставляется перпендикуляр к ОС, который
пересекает окружность в двух точках D и Е (если ОС больше,
чем -к- О А, перпендикуляр не пересекает окружность
и задача невозможна; наибольшая возможная дальность
полета при заданном импетусе определяется точкой каса-
8 Там же, стр. 246. Впрочем, на стр. 257 и дальше положение
доказывается. См. там же, стр. 462, примеч. 17.
151

яия перпендикуляра, т. е. равна удвоенной длине
отрезка ОС). Сразу видно, что задача имеет два решения:
заданная дальность достигается при двух начальных
возвышениях: OD и ОЕ — касательных к траекториям ON и ОР,
проведенных в начальной точке О. N и Р — вершины парабол,
N и Р (или D и Е) — искомые высоты.
Построение опирается на теорему, доказанную немного
раньше. Следующая теорема замечательна тем, что автор
нашел необычайно простой прием, применение которого
позволяет доказать теорему почти моментально. Следует
отметить, что это доказательство также обнаруживает в
авторе физика больше, чем математика.
«XXVIII. Если из одной и той же точки О с одним и
тем же импетусом О А в один и тот же момент вылетают
тяжелые тела под различными начальными углами вверх
или вниз, все [эти] тела будут все время на окружности
некоторого круга с центром на перпендикуляре ОА».
Доказательство сводится к следующему. При отсутствии
силы тяжести все тела летели бы по прямым — лучами,
расходящимися из точки О. Так как у всех тел одна и та же
(по величине) начальная скорость, то за некоторый
промежуток времени все тела прошли бы одинаковые по длине
отрезки своих путей и, значит, расположились бы по
окружности, имеющей центр в точке О. Под действием силы
тяжести все тела переместятся по вертикали вниз на одну
и ту же величину, откуда следует, что окружность (и ее
центр) опустится вниз, как твердое тело, на ту же
величину. Теорема доказана.
В этом же сочинении, во второй книге, Торричелли
получает «параболу безопасности» как огибающую всех
парабол, описываемых снарядом, когда он вылетает под
разными углами. Это был первый случай, когда появилось
понятие огибающей семейства кривых. Таким образом,
Торричелли показал, что как математика обогащает
физику, так и физика может порождать чисто математические
понятия. Теория огибающих появляется у братьев Бернул-
ли в конце XVII или в начале XVIII столетия. Только у
А. Клеро (1713—1765) огибающая получает настоящее
аналитическое истолкование как особое решение
дифференциального уравнения.
Нельзя обойти молчанием крупный вклад Торричелли в
учение о центре тяжести. Ему принадлежит общеизвестная
формула для координаты центра тяжести твердого тела или
152

плоской фигуры, как частного двух определенных
интегралов. По обыкновению своего времени Торричелли дает
теореме словесное выражение9: «Центр тяжести рассекает
ось или диаметр в плоской фигуре или в твердом теле
так, чтобы часть, прилегающая к вершине, относилась к
остальной, как все произведения аппликат (на все части
диаметра) на все абсциссы, считая их от вершины, ко
всем произведениям тех же аппликат на остальные
абсциссы».
Поместим начало координат в начало диаметра фигуры,
и пусть абсцисса центра тяжести равна X; тогда часть,
прилегающая к вершине, будет X, а «остальная»—будет
а—X, где а — длина всего диаметра. Далее, «все
произведения» есть то, что впоследствии было названо Бернул-
ли интегралом. На языке современных формул
утверждение Торричелли можно записать в виде пропорции
а
Г xf (х) dx
х _ j
а - X — а
J (а — х) / (х) dx
о
что легко преобразуется в общеизвестную формулу дляХ
Историческая несправедливость состоит в том, что ни в
одном учебнике формулы для координат центра тяжести
не связываются с именем Торричелли.
8
Ни в чем, может быть, так не проявляется глубина
физического мышления Торричелли, как в его способности
постигать общие принципы. Мы видели, что он сумел
обобщить самый глубокий принцип из всей предыстории
анализа — принцип Кавальери; в механике он обратился к
тому вопросу, который непосредственно подводил к
принципу виртуальных перемещений — речь идет о движении
общего центра тяжести системы двух тел10. Увидим далее,
что и в других отделах физики он проявлял не меньшую
способность «ухватиться» за решающий принцип; сейчас
9 Письмо М. Ржччи от 12.VIII 1645 г. и Б. Кавальери от
7.IV 1646 г.
10 См.: Ж. Лагранж. Аналитическая механика, кн. 1. М., 1950,
стр. 23.
153

надо отметить то же в связи с известной формулой
Торричелли, позволяющей определить скорость истечения
жидкости из отверстия в сосуде. «ВырьГвающаяся вода
имеет в самой точке истечения тот же импульс (impetus),
который имело бы тяжелое тело или одна капля той же
воды, если бы естественным движением спустилось от
верхней поверхности той воды до отверстия истечения». Торри-
челли предусматривает меры к тому, чтобы свободная
поверхность воды оставалась на одной высоте относительно
отверстия. В частности, он говорит о «носике» (oscurum),
т. е. о маленьком отверстии, при котором уровень
практически остается постоянным.
В своем доказательстве Торричелли исходит, по сути
дела, из принципа сохранения энергии. Этот принцип в
общей форме в применении к задачам гидродинамики
сформулировал Даниил Бернулли лишь через сто лет.
Торричелли — первый физик, приложивший этот принцип
к жидкости. Поэтому Э. Мах и назвал его основателем
гидродинамики и.
Аэростатические и аэродинамические работы
Торричелли тоже вдохновлялись гением Галилея. Внимательное
изучение «Бесед» столкнуло Торричелли с одной из
актуальных проблем современной ему науки — с так
называемой боязнью пустоты. История дела такова.
Водопроводчики, работавшие на вилле великого герцога
Тосканского, установили всасывающий насос, который должен
был поднимать воду на высоту в несколько десятков
метров. Оказалось, против ожидания, что насос не действовал.
За объяснениями обратились к Галилею, имевшему, как
известно, официальное звание «философа и первого
математика великого герцога». В те времена работа
всасывающего насоса объяснялась тем, что природа «боится
пустоты» и поэтому вода следует за поршнем насоса, чтобы под
поршнем не образовалась пустота. Галилей тоже принимал
такое объяснение. Боязнью пустоты он объяснял сцепление
двух пластин и даже сцепление частиц твердого тела12.
Случай с насосом на герцогской вилле он объяснил, исходя из
этого же принципа, но только введя ограничение.
Рассматривая столб воды под поршнем как стержень, подвешенный
за верхний конец, он нашел, что столб должен разорваться
11 д. Мах. Механика. СПб., 1909, стр. 344.
12 Г. Галилей. Избранные труды, т. II, стр. 124 и 126.
154

так же, как разрывается железный или всякий другой
стержень13.
Из сказанного вытекает, что Галилей считал, что сила,
поднимающая воду, находится внутри прибора, а не
снаружи. Но Галилею известно было и другое объяснение.
Житель Генуи Балиани писал ему в 1630 г., что, по его
мнению, воздух имеет вес (мы не чувствуем веса воздуха,
пишет он, потому что целиком погружены в воздушный
океан), и давление тяжелого воздуха на свободную
поверхность воды удерживает столб воды под поршнем. Сам
Галилей не только считал, что воздух имеет вес, но предложил
способы определения удельного веса воздуха14. Однако
объяснение предельной высоты подъема воды, данное
Балиани, казалось Галилею неубедительным, так как, по его
мнению, воздух в воздухе не весит ничего (по закону
Архимеда) и поэтому не может оказать давления на
поверхность воды.
Таким образом, в этом вопросе оставалась неясность.
Торричелли решил заняться им. Некоторые эксперименты
были уже проведены до Торричелли. Так, например,
корреспондент Галилея Г. Берти у себя в доме в Риме провел
опыт со свинцовой трубкой. Было установлено, что вода
поднимается лишь до определенной высоты 15. Г. Берти не
был чужд Галилеевой «секте». В частности, Р. Маджиотти
был в курсе его опытов, а через него о них был осведомлен
и Торричелли. Впоследствии, уже после смерти
Торричелли, Р. Маджиотти писал М. Мерсенну, что он в свое время
сообщил Торричелли об опыте Г. Берти. Заслуживает
внимания следующая подробность: Маджиотти писал
Торричелли, что, если бы вода была морская, а поэтому более
тяжелая 16, она остановилась бы на более низком уровне.
Такое соображение при своем логическом развитии
естественно приводит к мысли использовать еще более
тяжелую жидкость или самую тяжелую — ртуть.
Это и было сделано Торричелли.
13 Г. Галилей. Избранные труды, т. II, стр. 128, 129.
14 Там же, стр. 177.
15 См. статью В. П. Зубова «Флорентийские опыты Торричелли—
Вивиани».— «Вестник истории мировой культуры», 1958, N° 5,
стр. 54-66. Статья снабжена подробной библиографией.
16 «Se Taque fosse stata di mare, e pero piu grave»; см. у В. П.
Зубова, стр. 61.
155

Описание известных опытов со ртутью содержится в
двух письмах Торричелли к Риччи17. Эти письма получили
большое распространение (в копиях). Через Мерсенна они
стали известны во Франции и послужили побудительной
причиной для знаменитых опытов Б. Паскаля на Пюи-де-
Дом. В письмах дается подробное описание опытов. Они
создали Торричелли большую славу. Но замечательно, что
сам Торричелли ценил в этих опытах то, что для широкой
публики прошло незамеченным или, самое большее,
считалось третьестепенной деталью.
Первое из знаменитых писем начинается (если не
считать вводной фразы) с того, что Торричелли подчеркивает,
ради каких целей он ставит опыт со ртутью. «Не для того,
чтобы просто получить вакуум, но чтобы сделать прибор,
который бы показывал изменение воздуха то более
тяжелого и густого, то более легкого и тонкого». Между тем
именно образование пустого пространства в заполненной сверху
трубке, т. е. как раз тот вакуум, который очень мало
интересовал самого изобретателя, считалось самым
поразительным открытием. Ведь известно, что еще Аристотель
полагал, что пустота представляет собой логическое
противоречие. Позднее это положение поддерживалось
последователями Аристотеля — перипатетиками — и
перешло в официальную философию. Поэтому демонстрация
пустоты, демонстрация наглядная, неопровержимая,
произвела на философов-схоластов впечатление разорвавшейся
бомбы. Доказательство существования пустоты было тем
более досадным, что официальной философии
противостояло «богопротивное» учение эпикурийцев, т. е. атомистов,
защищавших существование пустого пространства
наравне с атомами материи.
Наличие пустоты Торричелли доказывал очень просто.
В чашку со ртутью, куда погружалась трубка со ртутью,
наливалась поверх ртути вода. Затем трубка со ртутью
постепенно поднималась. Когда нижний конец этой трубки
выходил из ртути и переходил в слои воды, ртуть из
трубки выливалась и «трубка наполнялась водой со страшным
напором». В этих же письмах Торричелли приводит свои
рассуждения, на основании которых были разработаны
проекты и планы многих опытов, поставленных впоследст-
17 Перевод писем см. в статье В. П. Зубова «Из переписки между
Эванджелиста Торричелли и Микеланджело Риччи».— «Вопросы
истории естествознания и техники», 1959, вып. 8, стр. 95—101.
156

вии. В частности, имеется и такое рассуждение: «Вес, о
котором писал Галилей, относится к самому нижнему
воздуху, где живут люди и животные, но над вершинами
высоких гор воздух становится чистейшим и гораздо меньшего
веса, чем V40o часть веса воды» 18. Трудно возразить что-
нибудь против того, что в этих словах содержится
программа опытов Паскаля (вернее, его зятя Перье,
действовавшего по указаниям Паскаля) на горе Пюи-де-Дом. Из
приведенного отрывка следует, между прочим, что
притязания Декарта на приоритет в идее опыта Паскаля не
имеют основания. Вернее всего, что после того, как стали
известны письма Торричелли, мысль об измерении
давления воздуха на разных высотах появилась одновременно
и независимо у нескольких ученых.
Хотя Торричелли и писал Риччи, что делал опыты лишь
для того, чтобы построить прибор, но его интересовал и
спор философов о том, действительно ли природа «боится
пустоты» и действительно ли «боязнь пустоты» заставляет
ртуть устремляться вверх. Вернее, не самый спор
интересовал его, для него самого он был давно решен; его
привлекла возможность привести лишнее доказательство в
пользу защищаемой им точки зрения.
Опыт он ставил так: верхние концы трубок имели
разную форму, были с расширениями и без расширений. Когда
несколько таких трубок разной формы концами рядом
опускались в чашку со ртутью, ртуть в них останавливалась на
одном и том же уровне, пустое же пространство над
поверхностью ртути было разной величины. Это, отмечает
Торричелли, «почти верный знак того, что сила не находилась
внутри». Ведь в трубке, где пустого пространства больше,
и силы должно бы быть больше, и ртуть должна бы понять-
ся выше, чего, однако, не наблюдалось.
Первое письмо Торричелли заканчивает замечанием,
имеющим большое программное значение. Оно, однако
слишком опередило свое время и получило практическое
применение лишь через сто лет. Торричелли пишет:
«Главное мое намерение — узнать с помощью прибора, когда
воздух делается более плотен и тяжел, а когда более тонок
и легок, мне не удалось выполнить, потому что уровень
(т. е. уровень свободной поверхности ртути в трубках при-
18 1/400 часть веса воды — это п есть указанный Галилеем
удельный вес воздуха. См.: Г. Галилей. Избранные труды, т. II, стр. 2.
157

бора) изменяется от другой причины, чего я никак не
предполагал, т. е. от тепла и холода, и очень чувствительно19,
в точности так же, как если бы сосуд (пустая часть трубки
над столбом ртути) был полон воздуха». Только в 1704 г.
Амонтон (1663—1705) указал на необходимость приводить
показания барометра к стандартной температуре.
Торричелли сожалел, что изобретение барометра
принадлежит ему, а не любимому учителю Галилею. Таково
было благородство его души. Справедливо сказано о нем:
«Благородство Торричелли, может быть, еще более редко,
чем его гений: наверное, найдется больше таких, которые
могли бы открыть поднятие ртути в барометре, чем таких,
которые хотели бы передать честь открытия учителю или
Другу».
9
Простота оборудования и эффектность опыта с
«трубкой Торричелли» сделали то, что этот опыт «вошел в моду».
Он ставился несчетное число раз в школах, физических
кабинетах, любителями в гостиных и т. д. Великий герцог
Тосканский пожелал присутствовать при опыте,
произведенном самим Торричелли. Безупречно проведенная
демонстрация и блестящие исчерпывающие возражения на
нападки противников побудили герцога издать следующий
декрет (на латинском языке): «За то, что доблестью и
удачей Евангелисты Торрицеллия произведены нужные опыты,
за то, что открыта истина, за то, что опровергнута боязнь
пустоты, за то, что расширено царство наук, утвердили мы
и бессмертному богу хвалу и Евангелисте Торрицеллию
триумф».
Названная Торричелли цель разработки прибора —
«трубки Торричелли» (название «барометр» Э. Мариотт
предложил в 1676 г.) указывает, что Торричелли
собирался глубоко изучать физику воздуха. Доказательством
отчасти может служить и то, что он дал схему происхождения
ветра и наметил в общих чертах циркуляцию атмосферы.
Сделано это в «Академических лекциях», о которых уже
говорилось выше; они читаны были во Флоренции по
предложению Академии делла Круска. В седьмой лекции
«О ветре» Торричелли подробно излагает доводы против
учения перипатетиков о ветре, потом дает свою теорию.
19 «Е molto sensibilemente».
158

Согласно философам-аристотеликам, ветер есть следствие
испарений сырой почвы. Под действием солнечных лучей
и подпочвенной теплоты сырая земля выделяет два рода
испарений: одно сырое и второе — сухое. Последнее и
производит ветер.
Торричелли начинает с того, что подвергает сомнению
наблюдения, на основании которых перипатетики строят
свою теорию. Среди его многочисленных возражений есть,
например, такое: по учению этих философов, сирокко, как
и другие ветры, должен был бы появляться после дождя,
в то время, как он бывает почти всегда до него, а после
начала дождя успокаивается.
Приведя ряд возражений против высказываний
перипатетиков, Торричелли переходит к изложению своей точки
зрения. В немногих словах она сводится к тому, что воздух
может быть неодинаково нагрет в двух соседних областях.
Тогда слои воздуха перемешиваются так, чтобы
установилось равновесие. Рассуждение ведется на примере
северного полушария. Предположим, что в нем царят полное
спокойствие и неподвижность воздуха. Допустим теперь, что
над обширной территорией, например над Германией,
воздух по какой-то причине (дождь, снег и т. п.) охладится.
Он сейчас же уплотнится (si condensera). Это уплотнение
приведет к тому, что в верхних слоях воздуха над Германией
появится пустота. Воздух из окружающих стран поспешит
заполнить образовавшуюся пустоту, и в верхних слоях
атмосферы появится ветер по направлению к Германии.
В нижних слоях ветер будет направлен в противоположную
сторону. Развивая эти соображения, Торричелли
набрасывает схему циркуляции, основные принципы которой
сохранились до наших дней.
10
Долгое время считалось, что работы Торричелли по
оптике не содержат чего-нибудь замечательного, хотя
известно было, что он изготовлял линзы превосходного
качества. Но за последние десятилетия в этом вопросе найдено
кое-что новое, не лишенное интереса20.
Наследие Торричелли в области оптики изучалось
директором оптического института во Флоренции Васко Рон-
ки. Его работы и положены в основу дальнейшего очерка.
20 В. Ронки. Эванджелиста Торричелли — оптик.—«Вопросы
истории естествознания и техники», 1960, № 9, стр. 38—50.
159

После Торричелли осталось очень немного оптических
приборов. Большая часть их хранится в музее истории
науки во Флоренции. Это — две подзорные трубы и
несколько линз. Одна из этих линз имеет на картонной оправе
надпись: «Ванджелиста Торричелли, Флоренция, 1646».
Немного ниже: «Локтей 1074». Около этой линзы находится
этикетка с надписью: «Объектив, который служил в 1660 г.
для наблюдения Сатурна, чтобы выяснить, какая из двух
систем, Евгения (Hugenii, т. е. Гюйгенса) или Фабри 21
лучше соответствует естественной видимости данной планеты.
Работа Е. Торричелли, Флоренция, 1646». Именно эта
линза была изучена проф. В. Ронки. Подробное исследование
линз, изготовленных итальянскими оптиками первой
половины XVII в., было предпринято для того, чтобы
установить, насколько справедливо мнение о чрезвычайно
высоком качестве этих линз. Торричелли, например, не
останавливался перед тем, чтобы письменно заявить, что его
линзы (некоторые) не только высшего качества, но не
могут быть превзойдены кем-либо и когда-либо.
Шлифовкой линз Торричелли начал заниматься осенью
1642 г. И в этом деле, как следует из его письма к Каваль-
ери, его вдохновителем был Галилей. «Работаю согласно
некоторым соображениям Галилея и моим»,— пишет он
Кавальери. Сам Кавальери тоже занимался, как известно,
шлифовкой стекол. Вообще с легкой руки Галилея «мода»
на шлифовку линз и изготовление телескопов
установилась едва ли не на все XVII столетие. Галилей, Кеплер,
Торричелли, Кавальери, Декарт, Спиноза, Гюйгенс,
Ньютон и ряд других ученых отдали много труда этому
важнейшему по тому времени делу.
Теперь — о наиболее интересном вопросе, связанном с
оптическими работами Торричелли. Выше отмечалось, что
он не только считал свои линзы лучшими, но смело
утверждал, что никто и никогда не сможет сделать линзу,
которая будет лучше его линз. В письме Мерсенну от 7 июля
1646 г. читаем: «Мы не имеем глаз Еноха или Ильи, или
подобных фантазеров, но имеем вернейшее
доказательство, что никто не может сделать линзы лучше моих».
Автор этого заявления чувствовал полную ответственность за
свои слова. Это видно из того, что он тут же прибавил: воз-
21 Оноре Фабри (1606—1668) — математик, пытавшийся примирить
богословие с учением Коперника. В полемике с Гюйгенсом
относительно Сатурна защищал совершенно ложные положения.
160

можно, кто-нибудь и сделает линзу столь же высокого
качества, но только тот, «кто хорошо знает теорию
конических сечений и рефракции». Сопоставляя эти два
заявления Торричелли, естественно прийти к мысли, что ученый
каким-то образом убедился в том, что в придании формы
линзе он достиг оптического совершенства или, говоря
техническим языком, вписал поверхность линзы в
оптический допуск. Известно, что этот допуск равняется 0,1
микрона, или одной десятитысячной миллиметра, т. е.
величине, к которой даже в теоретических рассуждениях никто и
не мыслил приблизиться в те времена. Гипотеза открытия
предельного допуска находит косвенное подтверждение и
в других сообщениях Торричелли. Он доложил о своем
открытии Фердинанду II. Тот признал его важность и
щедро наградил изобретателя («Вчера собственноручно
передал мне цель в 300 скуди и медаль с изречением «Virtutis
proemia» (награда за доблесть) »).
Одновременно герцог предписал Торричелли хранить
его изобретение в строгой тайне. Ученый выполнил
повеление герцога. Когда его душеприказчик Л. Серенаи
спросил лежащего уже на смертном одре Торричелли, каковы
будут его распоряжения касательно «секрета обработки
линз», то была проделана целая процедура. Был послан
человек к герцогу за шкатулкой, имеющей замок. Затем,
выслав всех из комнаты, Торричелли указал Серенаи, в
каком месте хранятся относящиеся к делу документы. Тот
положил документы в шкатулку и запер ее на ключ.
Торричелли отослал шкатулку к герцогу и взял слово с
Серенаи никогда и никому об этом не говорить.
Следы содержимого шкатулки потеряны; В. Ронки
пытался дать ответ на вопрос, в чем же состоит «секрет»
Торричелли. После ряда умозаключений он пришел к
выводу, что Торричелли открыл интерференционный способ
проверки качества оптической поверхности. Этот способ
покоится на теории колец Ньютона. Теория была развита
лишь на основе волновой теории света уже в XIX в.
Техническое же применение теории колец Ньютона
разработано только в 20-е годы XX в. Интерференционный способ
проверки качества заключается в следующем. На образцовую
линзу накладывается проверяемая. Вокруг точки контакта
появляются концентрические кольца. По форме этих колец
судят о форме контактной поверхности проверяемой линзы,
поскольку форма образцовой считается идеальной. Прове-
16J

рив этим способом линзу Торрпчелли, В. Ронкп получил
картину интерференционных колец, близкую к идеальной,
что и указывает на полное право Торричелли давать своим
линзам столь высокую оценку. В. Ронки считает, что в
оптических мастерских кольца были известны еще до Гука
и Ньютона и что более чем вероятно, что Торричелли об
этом знал или что никто не увидел в этих кольцах чего-
нибудь достойного внимания, тогда как Торричелли сумел
извлечь из них настолько сильное техническое средство,
что мировая оптика доросла до него лишь через триста лет.
11
Как подлинный сын итальянского Возрождения,
наследник Галилея не по должности придворного математика,
а по духу, Торричелли не отгораживался от народа. Он
охотно принял предложение Академии делла Круска и
прочитал цикл популярных лекций.
Научные статьи он писал не только на латинском
языке, но и на итальянском. При всем этом он был
замечательным знатоком литературы и стилистом. Как человек
своего века и как воспитанник иезуитов, он, конечно,
великолепно знал древних авторов. Его письма и в
особенности академические лекции насыщены цитатами и
ссылками на Виргилия, Овидия, Лукреция, Тита Ливия,
Сенеку, Плиния, Платона, Аристотеля и многих других.
Его библиотека была невелика, но подобрана со вкусом.
Помимо упомянутых авторов, она содержала сочинения
Горация, Катулла, Тибулла, Проперция, Петрония,
Цицерона, Витрувия, Тацита... Неудивительно, что
Торричелли имел строгий литературный вкус и выработал
блестящий стиль изложения, «сохранивший иммунитет
против искусственности и напыщенности, загрязнивших
большую часть литературы того века», как выразился один
исследователь слога Торричелли. Но строгость стиля не
мешала эмоциональности автора, когда это вызывалось
существом предмета. Так, Торричелли передавал весьма
драматически эпизоды из военной истории, которые он
использовал в лекциях по фортификации. Его частные
письма привлекают своей непосредственностью, искренним
расположением, когда он пишет друзьям — Кавальери,
Маджиотти и другим, благородством тона и
сдержанностью, когда он защищается от несправедливых упреков
162

(например, письмо Робервалю от 7 июля 1646 г.). Но он
был беспощаден с теми, кто проявлял неоправданные
претензии на место в науке или обнаруживал слабость в
полемике с ним или со всей галилеевой «сектой». Когда
несколько римских иезуитов, не вооруженных ничем, кроме
спеси, пожелали начать полемику с ним и с его другом
Буйо22, он писал Винченцо Репиери: «Как это возможно,
что эти ослы, глупцы посмели говорить со мной и Буйо?..
Что до меня, я считаю, что они только и могут стирать мне
с доски». Патер Гульдин, известный теоретик о центре
тяжести (теоремы Гульдина—Паппа), издал книгу, в
которой изложил свои возражения против теории неделимых;
Кавальери послал эту книгу Торричелли. Ответом было:
«В общем я Вам объясняю, что отец Гульдин, насколько
можно судить по этой книге, просто болван»23.
Но, повторяем, только в защите науки Торричелли был
резок до грубости и неуступчив даже в мелочах. Вообще
же о нем сохранились самые трогательные воспоминания.
Нежный сын, любящий и заботливый брат, преданный друг,
блестящий собеседник, он привлекал к себе всех, с кем
встречался во Флоренции. Общество ценило в нем не
только первого — после смерти Галилея — ученого, но и
литератора. Известно, что он писал комедии и эпиграммы. Вот
одна из эпиграмм. В 1643 г. инженер Александр Барто-
лотти строил в Пизе мост через Арно и так неудачно, что
мост обвалился прежде, чем его успели закончить.
Торричелли написал (перевод с латинского):
Сделал Александр мост, из тысячи один,
Который, низвергнувшись, лежит в развалинах.
Можно воскликнуть: «Если будут делать столь плохие мосты,
Значит пришли времена плохих мостостроителей!»
Четверостишие, на первый взгляд, довольно беззубое.
Но если обратить внимание, что на латинском языке
мостостроители звучит как pontifices, т. е. множественное
число от pontifex, и что pontifex (первосвященник) есть
официальный титул папы, то смысл и адрес эпиграммы сразу
меняются.
22 Буйо (Ismael Boulliau, 1605—1694) — французский астроном
и математик, страстный защитник гелиоцентрической системы
и единомышленник Торричелли. Оставил сочинение о спирали.
23 р. Кавальери. Геометрия. М.— Л.; 1940, стр. 53.
163

РОБЕРВАЛЬ
1
Летом 1628 г. в Париже появился молодой человек —
Жиль Персонн (в некоторых документах — Персонье).
26-летний провинциал приехал в столицу, чтобы найти
свое будущее. Ведь Париж с давних пор притягивал
молодежь со всех концов Франции. Захудалая дворянская семья
посылала туда сына в расчете на то, что он, быть может,
пристроится поближе ко двору. Купец снабжал сына
рекомендательными письмами, которые должны были помочь
ему войти в коммерческие круги. Простой крестьянский
парень ехал просто на «заработки».
Персонн тоже был деревенским парнем, но назвать его
«простым» было бы неверно. У себя на родине он учился
в каком-то коллеже, но, не удовлетворившись
приобретенными там знаниями, продолжал заниматься
самостоятельно и пополнил свое образование. Он приехал ( а может
быть, пришел) в Париж, изрядно побродив по Франции,
нанимался — по дороге — домашним учителем. Учил
других, не переставая учиться и сам. «Dixendo docendo que»
(«Учась и уча»),— говорит он о своих путешествиях.
Пришлось ему и пороха понюхать: в 1627 г. он участвовал в
знаменитой осаде Ла-Рошели. Потом он решил
обосноваться в Париже.
Кем же он хочет стать? Офицером, купцом, врачом?
Нет, он избирает довольно редкую тогда и мало
благодарную профессию: желает стать ученым. Чтобы добиться
поставленной цели, надобны по крайней мере две вещи:
научный багаж и общение с ученым миром. Что касается
первого условия, молодой человек считал, что оно выполнено,
и дальнейший ход событий показал, что не заблуждался:
второе условие могло бы представить серьезное
препятствие, если бы, к счастью, уже не существовало некоего
подобия организации ученых. Это был кружок Мерсенна,
состоявший из математиков, физиков, астрономов. Вскоре
164

Персонну удалось завязать знакомство с Мерсенном,
которого сразу привлекли выдающиеся способности
молодого человека и его основательная научная подготовка.
Знакомство перешло в долголетнюю дружбу.
Мерсенн познакомил Персонна с одной из популярных
в кругу геометров задач — с так называемым парадоксом
Аристотеля.
Сущность этой задачи состоит в следующем. По
прямой катится без скольжения окружность. Пусть в
некоторый момент окружность касается прямой своей точкой А.
На вертикальном радиусе, идущем от центра окружности
к точке А, отметим точку 5, лежащую ближе, чем 47 к
центру окружности. Через один оборот окружность будет
снова касаться прямой в точке А и снова на
вертикальном радиусе будет расположена точка В. Требуется
объяснить, как это может произойти, если длина
окружности, описываемой точкой 5, меньше длины окружности,
описываемой точкой А. Обдумав основательно задачу,
Персонн открыто признал, что для ее решения не
чувствует себя подготовленным. Он отложил задачу на шесть
лет «difficultate illius perterritus»1. Как мы увидим далее,
эти годы им не были потрачены зря.
Между тем надо было позаботиться и об упрочении
своего положения. К этому времени открылась вакансия
в коллеже Мэтр Жерве Кретьен. В этом старом коллеже,
основанном в XIV в., Персонн получил место профессора
философии. Здесь же он и поселился и прожил до дня
своей смерти (25 сентября 1675 г.).
Персонн предпринял кое-что и для того, чтобы
возвысить себя в глазах парижских знакомых. Сын простых
земледельцев, он, по-видимому, опасался, что одних
личных дарований, даже блестящих, еще недостаточно и что
надо изобрести более высокое происхождение. С этой
целью он присвоил себе вторую фамилию, искусно
используя особенности частицы де: он назвал себя de Roberval
и не погрешил против истины, так как действительно
был из Роберваля (деревня, где жили его родители); в то
же время присоединение частицы де позволяло думать,
что ее носитель — дворянин. Эта «стратегия» в свое время
вызвала упреки в тщеславии. Но если принять во
внимание ту роль, которую играло высшее сословие во Фран-
1 Трудностью ее устрашенный (лат.).
165

ции в XVII в. и положение крестьянина в феодальном
обществе, то упрек невольно заменяется сочувствием или
по крайней мере пониманием. Да и тщеславие —
недостаток извинимый, если проявляется в такой форме. (Ведь
простили же частицу де Бальзаку, присоединившему ее
к своей фамилии уже через двести лет после Персонна!)
Так или иначе, среди математиков Парижа профессор
Персонн постепенно был забыт, а профессор де Робер-
валь приобретал все большую известность. Под этим
именем он и вошел в историю.
Работая профессором в коллеже Жерве, посещая
собрания у Мерсенна, ведя активную и плодотворную
творческую работу, Роберваль, однако, этим не исчерпал
своей энергии. Он задумал получить кафедру Рамуса в
Коллеж де Франс. Знаменитый ученый XVI в. Пьер Рамус
(1515—1572) сделал эту кафедру украшением коллежа
и получить ее считалось большой честью.
Роберваль к задуманному предприятию подошел очень
серьезно. Прежде всего он мог ожидать значительного
числа конкурентов, так как Коллеж де Франс — одно из
крупнейших высших учебных заведений Парижа.
Условия конкурса были довольно жесткими: кроме чтения
лекций в присутствии конкурсной комиссии, надо было
показать и собственные открытия в математике.
Роберваль тщательно подготовился к лекциям; кроме того, он
избрал тактику, которая доставила ему впоследствии
немало хлопот: об открытых им новых методах в области
новой математики он не говорил ничего, но использовал
их для получения новых результатов и предъявил эти
результаты на конкурс. Они были настолько
значительны, что кафедра осталась за ним. Этот прием Роберваль
неоднократно и с неизменным успехом применял и в
последующих конкурсах, которые проводились каждые
три года. Вследствие этого он занимал кафедру Рамуса до
самой смерти.
Таким образом, своего рода «скрытность» приносила ему
успех. Но сколько она породила упреков в неискренности,
в двуличии, в покушениях на приоритет, в плагиате!
Биографические сведения о Робервале необыкновенно
скудны. В сущности о нем неизвестно ничего. Не
сохранился и его портрет. Если справедливы слова, что
история ученого — это история его открытий, то к Робервалю
©то приложимо как нельзя более. Он был разносторонним
т

ученым и оставил работы не только в математике
(математиком он был прежде всего), но и в физике, и в
астрономии, и в других областях естествознания. Разумеется,
не все работы его равноценны. Некоторые из них
устарели, некоторые грешат ошибками и не содержат ничего
поучительного. Зато многие имеют принципиальное
значение и заслуживают большого внимания.
2
Выдающиеся математические способности Роберваля
проявились в том, что он обратился к важнейшим
математическим вопросам своего времени. У него имеются
работы и по высшей алгебре и по геометрии, но больше всего
он занимался инфинитезимальными задачами. Это была
самая важная область современной Робервалю
математики. С тех пор как Кеплер («Новая Астрономия», 1609;
«Стереометрия винных бочек», 1616) показал, что замена
безупречных методов Архимеда и Аполлония методами
менее строгими позволяет значительно расширить круг
поддающихся решению задач, большое число
математиков направило свои усилия на разработку новых
приемов.
К тому времени, когда Роберваль сблизился с
кружком математиков (первая половина 30-х годов), уже
велась интенсивная разработка способов отыскания
квадратур (Ферма, Торричелли, Кавальери и др.)? проведения
касательных (Ферма, Торричелли) определения центров
тяжести и т. п. Постоянное общение с Мерсенном помогло
Робервалю войти в курс всего значительного, что
происходило в математике. Не исключено, хотя полной
уверенности в этом нет, что Роберваль кое-что прослышал о
методе неделимых Б. Кавальери еще до того, как он был
опубликован в печати. Это предположение основывается
на том, что в главных чертах метод неделимых сложился
у Кавальери к 1629 г., тогда как сам Роберваль датирует
свое изобретение того же способа не ранее 1630 г.
Кавальери не скрывал своего метода и часто говорил о нем
в письмах2. При этом Кавальери сознавал, что метод
неделимых в той форме, как он его разработал, страдает
логическими противоречиями. Одним из таких противоре-
2 О методе неделимых см. стр. 141 в этой книге.
467

чий является то, что число измерений неделимого (линии)
на единицу меньше числа измерений площади, между тем
как совокупность неделимых имеет столько же измерений,
сколько и площадь.
Роберваль пользовался неделимыми так же, как и
Кавальери, но приписывал неделимому размерность
совокупности. Вилейтнер3 высказывает предположение, что
Роберваль ввел это различие, «чтобы замаскировать
свою зависимость от Кавальери». Конечно, эта
возможность не исключается, но, с другой стороны, нелогичность
(размерность суммы отличается от размерности
слагаемых) настолько бросается в глаза, что если к методу
неделимых Роберваль, как он настаивает, пришел
самостоятельно, то эта деталь метода могла возникнуть у него с
самого начала именно в той форме, в какой Роберваль
ее предлагает.
Заметим, кстати, что Паскаль преодолел логическую
неувязку в построении Кавальери. Он, как известно,
заменил «совокупности» Кавальери просто суммами. Вот как
он обосновывал свою точку зрения: «... я не вижу никаких
отличий, когда употребляю это выражение — сумма
ординат. Оно кажется не геометрическим тем людям, которые
не понимают учения о неделимых и которые думают, что
представлять плоскость как бесконечное число линий —
значит грешить против геометрии».
Как разрешил Роберваль для себя противоречия,
встречающиеся в теории неделимых, осталось неизвестным. Но
если судить по его главной работе, посвященной
неделимым4, он или не подозревал об их существовании или не
придал им значения. Во всяком случае у него обоснования
неубедительны даже с позиций XVII в. Вот начало статьи:
«Чтобы выводить заключения с помощью неделимых, надо
предположить, что всякую линию, идет ли дело о прямой
или кривой, безразлично, можно разделить на бесконечное
число частей или отрезочков, или совершенно равных
между собой, или таких, которые следуют друг за другом в той
или иной выбранной прогрессии».
Г. Вилейтнер. История математики от Декарта до середины
XIX столетия. М., 1960, стр. 105.
Мы пользовались изданным в Гааге собранием математических
работ Роберваля: «Ouvrages de matematique de M. de Roberval»,
1731. В последующих ссылках: «Ouvrages» с указанием
страницы (отсюда взяты и рис. 1—6).
168

Слова, набранные курсивом, находятся в
непримиримом противоречии между собой. Желая, видимо, сгладить
его, автор далее предлагает эти «отрезочки» заменить
точками и вместо того чтобы говорить, что совокупность
отрезочков (прямых или криволинейных — безразлично)
находится к данной вещи в определенном отношении,
говорить, что совокупность точек находится к данной вещи
в определенном отношении. На стр. 209 он выражает эту
мысль еще более определенно: «...бесконечное множество
t ^—I—^ . 1 1 .—— ; 1 i—¦ i
AMNQPdRSTC
Рис. 1
точек принимают за бесконечное число отрезочков, которые
образуют данную кривую»
Все эти выдержки показывают, что там, где Кавальери
видел (и справедливо) непреодолимые препятствия для
совершенного логического построения, Роберваль, не
мудрствуя лукаво, шел напрямик.
Посмотрим теперь, как применяет Роберваль метод
неделимых для отыскания квадратуры кривой. Приведем
принадлежащее ему вычисление площади циклоиды.
Роберваль не случайно обратился к ней: циклоида на
протяжении XVII столетия была, как известно, чрезвычайно
«модной» кривой. Интерес Роберваля к ней усилен был
еще тем обстоятельством, что занимавший его парадокс
Аристотеля требовал глубокого знания ее свойств.
Для определения площади циклоиды Роберваль
производит следующее построение5 (рис. 1). AGB — подовина
5 Ouvrages, табл. XV, фиг. 3.
169

производящего круга; АС — отрезок прямой, по которой
катится производящий круг, причем длина АС равна длине
полуокружности AGB, т. е. AC=nR, где R — радиус круга.
Линия AGB делится на равные части AE=EF=FG=...Ha
такие же части делится и спрямленная дуга А С, так что
AM=MN=NO=... и АМ=АЕ и т. д. Далее, из точек
деления Е, F, G,... опускаются перпендикуляры на диаметр АВ,
расположенный под прямым углом к А С. Эти
перпендикуляры El, F2, G3,... суть, по старинной терминологии,
синусы соответствующих углов. Из точек деления отрезка АС,
т. е. из М, N,..., восставляются перпендикуляры Ml, N2,
03,... до пересечения с продолжениями соответствующих
отрезков El, F2,... ,так что М1=А1, N2=A2, 03=A3 и т. д.
Линия, проходящая через точки 1, 2, 3,..., лежащие над
А. М, Л,..., представляет собой синусоиду с осью,
проходящей через центр круга, т. е. через середину диаметра
АВ, параллельно АС. Дуга кривой А—3—D— это
половина синусоиды. Отметим, что это было первое
вычерчивание синусоиды в истории математики и, значит, Роберва-
лю принадлежит та заслуга, что он — автор первого
чертежа тригонометрической функции.
Переходим к построению циклоиды. В данном случае
это будет траектория точки А. Когда круг пройдет отрезок
AM, точка А займет на круге положение Е, а вертикальный
диаметр будет опираться на точки М, и расстояние точки А
от этого диаметра будет такое же, как расстояние точки Е
от диаметра АВ на чертеже. Следовательно, если от точки
1 отложить влево отрезок 1—8, равный отрезку Е1, то
получим точку 8, которая отмечает мгновенное положение
точки А окружности в тот момент, когда круг касается
прямой А С в точке М.
Через некоторое время точкой касания будет точка N
и, так как AN=AF, то точка А в этот момент будет
помещаться в F. Если от точки 2 отложить влево по горизонтали
отрезок 2—9, равный отрезку F2, то точка 9 укажет
расположение точки А круга в этот момент. Отмечая
последовательно положение точки А точками 10, 11 и т. д., получаем
траекторию, описываемую этой точкой при качении круга,
т. е. циклоиду. Роберваль почему-то не расположен был
пользоваться названием, установленным Галилеем, а
назвал эту кривую трохоидой. Ньютон еще пользовался этим
термином, правда для укороченной циклоиды. В настоящее
время трохоидой называют только укороченную и удлинен-
170

ную циклоиды, да и то не всегда. Паскаль и некоторые
другие французские математики называли циклоиду рулеттой,
это название тоже не удержалось.
Возвращаемся к задаче. Итак, на чертеже имеются две
построенные по точкам кривые — синусоида А —3—D и
трохоида A—11—D. Так как трохоида построена с
помощью синусоиды, то последняя именуется ее спутницей 6.
Кроме этих кривых, на чертеж наносится еще полукруг
CDV. Прямоугольник ABDC разделен на четыре части:
клин А—В—D—10—А; петлю А—10—D—3—А; клин 4 —
3—D—V—C—A и полукруг DVC. Понятно, что синусоида
А—3-D делит площадь прямоугольника ABDC на две
равные части ABD и ACD. Задача квадрирования циклоиды
заключается в определении площади фигуры А—10—D—
С—А. Эта фигура состоит из трех перечисленных выше. Вся
трудность заключена в вычислении площади петли А —10—
D—3—A. В самом деле, сторона АВ прямоугольника равна
2Ry основание АС равно яй; площадь ABCD равна 2R-nR
или равна двум площадям крута. Следовательно, площадь
криволинейной трапеции А—3—D—С—А равна площади
круга. Остается к этой площади прибавить площадь петли.
На этом, самом трудном, этапе задачи и применяется метод
неделимых. Роберваль выбирает в качестве «регулы» —
направляющей прямой — прямую, перпендикулярную
отрезку АВ, и мысленно проводит неделимые в полукруге AGB
и в петле AD. Некоторые из этих неделимых показаны на
чертеже: это Е—1 и 8—1, F—2 и 9—2, и т. д. Каждое из
неделимых петли равно по построению соответствующему
неделимому полукруга. На основании главных теорем
метода неделимых заключаем, что и площади обеих фигур
равны и, значит, площадь петли равна площади половины
круга. Прибавляем эту площадь к площади трапеции ADC
и получаем площадь полутора кругов. Следовательно,
площадь полной трохоиды равна утроенной площади
производящего крута. Задача решена.
Мерсенн известил Декарта о том, чего удалось добиться
Робервалю. 28 апреля 1638 г. он писал: «Что касается
сьёра Роберваля, он нашел множество новых результатов
Как геометрических, так и механических... Он нашел, что
площадь рулетты равна трем площадям ее производящей
окружности». Декарт ответил, что он не думал об этой за-
e Ouvrages, стр. 302.
171

даче и отозвался о решении Роберваля с похвалой7. Но ой
не был бы Декартом, если бы не прибавил, что вообще
задача представляет мало интересного ввиду ее простоты.
Ведь задачу решил Роберваль, с которым они постоянно
конфликтовали!
Сам Роберваль писал о том же решении Ферма 1 июня
1638 г. Ферма уже имел сведения от Мерсенна и даже
успел высказать ему свои сомнения, но вскоре изменил
мнение. Письмо от 27 июля он начинает словами: «Я берусь за
перо, чтобы оправдать г. Роберваля, не дожидаясь, пока
моя предвзятая критика дойдет до него».
Пользуясь тем же методом неделимых, Роберваль
нашел объемы различных тел вращения, порожденных
трохоидой при вращении вокруг прямой, проходящей через
ее вершину перпендикулярно основанию, и вокруг
основания.
Необыкновенная популярность циклоиды вызвала
большое число работ, посвященных ее квадратурам, кубатурам
тел вращения и т. д. Это очень беспокоило мнительного
Роберваля. Он изливает горькие жалобы по поводу того, что
есть иностранцы, набрасывающиеся на его открытия, как
трутни на мед, и вместо того чтобы трудолюбием и заботой
приготовить собственный мед, похищают результаты его
труда. Здесь, видимо, скрывается намек на Торричелли,
совершенно несправедливый, если не сказать вздорный.
Немного ниже читатель узнает, как принял Торричелли
упреки Роберваля.
Самый ценный вклад Роберваля в математику — это
его кинематический метод проведения касательных к
кривой. Он пришел к этому методу самостоятельно,
одновременно с Торричелли и не преминул обвинить его в
заимствовании.
Метод, о котором идет речь, основан на двух
положениях кинематики: 1), скорость сложного движения
выражается диагональю параллелограмма, построенного на
составляющих скоростях как на сторонах; 2) скорость
точки в каждый момент совпадает по направлению с
касательной к ее траектории. Роберваль поступает следующим
образом. Он разлагает движение точки, описывающей дан-
7 См.: Р. Декарт. Геометрия. М.—Л., 1938, стр. 183. Письмо
Декарта Мерсенну от 27 мая 1638 г. «Признаю, что до сих пор я
о ней не думал и что его [Роберваля] замечание довольно
красиво».
172

ную кривую, на два движения; строит параллелограмм
движений и направляет касательную вдоль диагонали
параллелограмма. Разложение движения производится, как
правило, таким оЬразом, чтобы свойства составляющих
движений вытекали непосредственно из определения
кривой. Сам автор дает следующее практическое правило для
применения его метода: «По специфическим свойствам
кривой, которые вам даются, исследуйте различные
движения точки, описывающей эту кривую, в том ее положении,
с
в-
/ А
/ I
?Д
i |
где вы хотите провести касательную; все эти дзижения
сложите в одно движение, проведите линию направления
этого движения и получите касательную кривой» 8.
Следующие примеры показывают, как это делается. Пусть
требуется провести касательную к параболе (рис. 2) в точке
Е 9. Вершина параболы расположена в точке F, фокус —
в точке А, директриса проходит через точку В, По
определению параболы расстояние ЕА до фокуса равно
расстоянию до директрисы. Следовательно, если движение точки,
описывающей параболу, разложить на два движения —
ио направлению отрезка ЕА и прямой ЕН, то модули
скорости обоих движений равны между собой. Исходя из этих
соображений откладываем две скорости Vi и v2. Так как
скорости по модулю равны, то получаем ромб. Диагональ
8 Ouvrages, стр. 22. «Observations», помещенные в Ouvrages,
написаны учеником, бравшим у Роберваля частные уроки.
Доклад, который Роберваль сделал в Академии наук в 1668 г.,
готовился по этому мемуару; следовательно, его можно считать
авторизованным. На полях рукописи встречаются
редакционные заметки Роберваля.
8 Ouvrages, табл. II, фиг. 5.
173

его ЕС дает направление касательной к параболе в точке Е.
Столь же просто находится касательная к эллипсу. По
определению эллипса сумма расстояний rt и г2 точки эллипса
до его фокусов есть величина постоянная, обычно
обозначаемая 2а. Отсюда следует, что сумма приращений равна
нулю Дг1+Дг2=0; последнее равенство показывает, что
сложение составляющих движений тоже дает ромб, но
такой, что одна сторона его направлена от фокуса, другая —
по направлению к фокусу. Диагональ этого ромба (или
иначе биссектриса угла между одним радиусом-вектором и
продолжением второго) направлена по касательной к
эллипсу 10.
С помощью этого способа Роберваль построил
касательные к большому числу кривых. Мы укажем еще две из
них — трохоиду и спираль Архимеда. Движение трохоиды
в точке 13 (см. рис. 1) автор разлагает на два движения,
совершенно так же, как это делается в современной
кинематике: на переносное движение вместе с центром колеса
(вектор, параллельный прямой А С) и относительное
вращение вокруг центра окружности (вектор, касательный к
окружности). Диагональ полученного таким образом
параллелограмма (в данном случае — ромба) и дает
касательную к трохоиде. В спирали Архимеда движение точки
разлагается на движение вдоль радиуса и вращение вокруг
полюса спирали.
В этом методе, таком, казалось бы, естественном и
простом, Роберваль допустил ошибку, настолько глубоко
скрытую, что она обнаружена была лишь в XIX в. и (Дю-
амель, 1831).
В двух тонких вопросах интегрирования (в
спрямлении спирали и в вычислении несобственного интеграла)
Роберваль уступил приоритет Торричелли, но решения
нашел самостоятельно. Как и Торричелли, Роберваль
определял длину спирали не непосредственно, а с помощью па-
10 Рассуждения Роберваля, на основании которых он получает
скорость точки, вычерчивающей параболу или эллипс, вытекают
непосредственно из способа построения этих кривых. Но
изложение строго по Робервалю потребовало бы привести
предварительно эти способы (они даны Мидоржем в его книге о
конических сечениях), а суть вывода сохранена; мы сочли
возможным, ради краткости, применить более современный прием.
11 Об этой ошибке см.: Г. Г. Цейтен. История математики в XVI—
XVII веках, стр. 313.
174

раболы: сперва находилась дуга параболы, равная по
длине данной дуге спирали, потом вычислялась длина дуги
параболы. Но так как длина дуги параболы была известна,
то задача о спрямлении спирали считалась решенной, если
приводилась эквивалентная парабола. Роберваль дал
спрямление спирали Архимеда, исходя из следующих
простых соображений. Если считать, что скорость движения
точки по спирали будет пропорциональна первой степени
времени, то путь будет пропорционален квадрату времени.
Если по одной из осей прямоугольной системы координат
откладывать величину, пропорциональную времени, а по
другой оси — пропорциональную пройденному пути, т. е.
длине дуги, то получится обыкновенная квадратичная
парабола. Чтобы определить параметр параболы, надо
выполнить следующее. Параболу х2=2ру выразить через
параметрические функции времени x=x(t); y=y(t) и то же
сделать с полярными координатами точки спирали. Затем
элемент дуги ds выразить через координаты параболы,
с одной стороны, и через координаты спирали, с другой
стороны. Приравняв эти два выражения, найдем., как
выражается параметр параболы р через коэффициенты
спирали, когда длины дуг обеих кривых совпадают.
Работа Роберваля над спрямлением спирали Архимеда
относится к 1643 г. Точнее, он получил результаты в
конце 1642 г., но в переписке Роберваль—Ферма—Мерсенн они
отмечаются в начале 1643 г. Например, письмо Ферма с
оценкой (неодобрительной) работы Роберваля датировано
16 февраля 1643 г. Отметим, что первое спрямление
спирали (логарифмической) произведено Торричелли,
по-видимому, в 1640 г.
Между работами Торричелли и Роберваля мы находим
еще то общее, что оба они вычислили по несобственному
интегралу, причем геометрический смысл вычислений был
неодинаков. Торричелли вычислил длину дуги на
бесконечном числе витков. Таким образом, выражаясь современным
языком, он вычислил несобственный интеграл с
бесконечным верхним пределом и непрерывной подынтегральной
функцией.
Не то было у Роберваля. В его интеграле пределы
конечны, а подынтегральная функция стремится к
бесконечности, когда аргумент приближается к верхнему
пределу интегрирования.
Хотя вычисление произведено, по обычаю того времени,
175

чисто геометрически, оно выполнено столь простыми
средствами и приводит к такому изящному результату, что
вполне уместно с ним познакомиться. На рис. 3 12 кривая
AFB — заданная. Пусть касательная к этой кривой в
точке В направлена по BZ перпендикулярно ВС. Строится
кривая CQZ следующим образом. Дуга АВ делится на
некоторое число частей AD, DE, EF и т. д. (число частей
неограниченно увеличиваем). В каждой из точекДE,F,...
строим касательные. Отрезки этих
касательных DG, EH, FI и т. д.
оканчиваются на прямой WC,
проведенной параллельно ZB. Так как
касательная в точке В
параллельна прямой WC, то ее отрезок
бесконечен. Далее, строятся
параллелограммы ADOC, DEPO, EFQP
и т. д.
Для этой цели из точки D
проводим отрезок, равный и
параллельный отрезку CG, из точки Е —
отрезок, равный и параллельный
отрезку СИ, и т. д. и соединяем
I ЛИ--~4 Т^Чл\ I между собой концы этих отрезков
Чхк\к W\m:^A„ О, Р, Q, ... Получаем фигуру
BFACQ... Крайняя точка фигуры
уходит в бесконечность. Требуется
определить площадь этой фигуры.
Для этой цели из точки С
проводятся лучи к точкам Д Е, F, ...
Треугольники CAB, CDE и т. д.
покрывают фигуру CAB.
Рассмотрим параллелограмм, например
EFQP, и соответствующий ему
треугольник EFC. У обоих
общее основание EF и равные
высоты.
Последнее вытекает из того, что
продолжение стороны QP
параллелограмма, если считать
параллелограмм бесконечно узким,
пройдет через точку С. При равенст-
Рис. 3
12 Ouvrages, табл. XXIV, фиг. 1.
176

ве основания и высот параллелограмма и треугольника
площадь первого из них равна двум площадям второго.
Но все треугольники покрывают фигуру ABC.
Следовательно, сумма площадей всех параллелограммов, т. е.
площадь фигуры BFACQ..., равна двум площадям фигуры
ABC. Отсюда следует, что площадь фигуры BCQ... равна
площади ABC и, таким образом, имеет конечное и
определенное значение. Тем самым взят несобственный интеграл
Рис. 4
от кривой CQ..., уходящей в бесконечность на области
интегрирования СВ.
Для математика, владеющего такой техникой, какая
была в распоряжении Роберваля, задача Аристотеля,
предложенная в 1628 г. Мерсенном, не могла представить
трудности. Уже в 1634 г. он легко решил ее.
В дополнение к тому, что уже рассказано о работе
Роберваля над трохоидой, покажем еще один способ
построения кривой (рис. 4). Окружность с центром а
катится без скольжения по прямой ВС, длина ВС равна длине
окружности. Рядом помещен вспомогательный чертеж той
же окружности с центром F. В этой окружности
проведено несколько радиусов, концы которых К, L, М,..., / делят
окружность на равные части. Прямая ad, равная и
параллельная ВС, делится на те же равные части. Считается,
что движение окружности начинается в тот момент, когда
ее радиус аВ занимает вертикальное положение. У
вспомогательной окружности этому положению радиуса
соответствует радиус EF. Далее, из точки О откладывается
отрезок Ох, повторяющий радиус FG вспомогательной
окружности. Из точки Р откладывается Ру, равный и
параллельный FH, и так далее, до радиуса dC, заканчивающего
полный оборот окружности. Никаких доказательств Робер-
валь не приводит (вероятно, ввиду простоты предмета) и
заканчивает описание построения словами: «Я говорю, что
177

линия, описанная точкой 5, пройдет через точки xyzQ^vy
и закончится в С И это независимо от того, будет ли линия
равна или не равна окружности круга». Последняя фраза
относится к укороченной и удлиненной трохоидам.
Впрочем, название «трохоида» Роберваль применял лишь
начиная с 1658 г., а до того называл ее рулеттой, как и другие
математики-французы. Итальянцы же применяли
название, данное Галилеем, т. е. то, которое сохранилось и в
наше время,— циклоида.
Нами изложены важнейшие работы Роберваля в
области математики. Они поставили его в ряд первых
математиков Франции, таких как Ферма, Декарт. Эти работы:
самостоятельное, или почти самостоятельное, открытие
метода неделимых, кинематический способ проведения
касательных, существенные открытия, связанные с трохоидой,
и некоторые особенно интересные интегралы. Роберваль
произвел также исследования в алгебре (например,
рассмотрел частные случаи теоремы Виета) и в геометрии.
Здесь он вывел уравнения конических сечений и, что
несколько выходит за рамки средних работ того времени,
установил уравнение конхоиды Никомеда, правда, не в
окончательной форме. Между прочим, Робервалю
приписывается одна теорема элементарной геометрии, ныне
общеизвестная. Лагир (1640—1718) на заседании Академии
наук 23 августа 1715 г. сделал следующее сообщение:
«Если в любом четырехугольнике ABCD разделить все
стороны пополам точками Е, F, G, Н и провести через эти точки
деления линии EF, EH, GF, GH, то полученная фигура
будет параллелограммом EFGH, и это — предложение
г. Роберваля».
3
Роберваль дал определение силы. Это — существенный
момент в истории основных понятий механики, так как
никаких сил, кроме веса, или сил, вызванных весом
(например, на блоке), до Роберваля не рассматривали. «Это —
качество, посредством которого тело стремится
переместиться в другое место, будет ли это место внизу, сбоку
или сверху и независимо от того, присуще ли это качество
самому телу или сообщено ему со стороны». Если сила
заставляет тело переместиться вверх, как в первой половине
определения, то это еще не говорит о том, что сила должна
178

отличаться по своей природе от веса, поскольку система
блоков может использовать вес для придания перемещению
любого направления. Вторая же половина этого
определения предусматривает возможность силы и другой природы.
Это, в частности, подтверждается следующим мнением
самого Роберваля. Он считает, что сила веса, возможно и
даже весьма вероятно, есть естественное присущее телам
стремление соединяться; таким образом, вес есть свойство,
внутренне присущее телу. Отсюда следует, что «качество,
сообщенное телу со стороны», не есть, по Робервалю, вес
данного тела. Вес тела есть его универсальное свойство, и
поэтому, как считает Роберваль, можно говорить о земном
весе тела, лунном, солнечном и т. д. Любопытно, что
Роберваль путем качественных рассуждений пришел к
правильной оценке изменения веса в зависимости от
расстояния до центра Земли. С погружением тела в землю,
говорит он, вес тела уменьшается, и также тело весит меньше
на вершине высокой горы. Последнее заслуживает
особенного внимания, так как работа написана до опытов
Паскаля на Пюи-де-Дом.
Роберваль не был свободен от схоластической рутины.
Правда, она легко выветривалась под влиянием
естественнонаучных фактов, но до того, как такие факты делались
известными Робервалю, рутина господствовала в некоторых
уголках его сознания.
Отметим взгляд Роберваля на пустоту в природе.
В одной из работ по механике он называет два
естественных (т. е. предлагаемых самой природой)
принципа подъема воды: давление извне на воду и всасывание.
Чем объясняется явление всасывания? Тем, что природа не
выносит пустоты — «la nature ne peut (le) souffrir». Этот
ответ показывает, что Роберваль придерживался
средневекового объяснения всасывания с помощью horror vacui
(боязнь пустоты). В то время, когда Торричелли и Вивиани
проделывали свои знаменитые опыты со ртутью, в Риме
жил Франсуа Вердю — ученик Роберваля, знавший его еще
с тех времен, когда Роберваль молодым учителем бродил по
Франции. Вердю прислал в Париж известие с описанием
опытов Торричелли. Мерсенн так сильно заинтересовался
этими опытами, что поехал в Рим с намерением убедиться
лично в справедливости известия. Он неоднократно
присутствовал при опытах Торричелли, но не ограничился этим,
а обследовал или, проще2 прощупал своими руками все ча-
179

сти прибора: трубки, сосуды и проч. Когда Мерсенн, по
возвращении в Париж, подробно описал виденное и сам
повторил знаменитый опыт, что, кстати сказать, потребовало
немалых трудов, потому что Париж не располагал ни
искусными стеклодувами, ни даже нужным количеством
ртути, Роберваль сразу превратился из «перипатетика» в
этом вопросе в горячего приверженца нового направления.
Он проявил, надо отдать ему справедливость, и
изобретательность экспериментатора, и темперамент защитника
своего мнения. Он, например, помещал в «якобы пустоту»
мелких животных, каплю воды, каплю воздуха и т. д. для
того, чтобы убедить своих многочисленных зрителей и
противников, т. е. сторонников horror vacui.
По свойствам своего характера Роберваль не мог быть
бесстрастным свидетелем научного спора. И в вопросе о
возможности пустоты он, ставши на сторону Паскаля,
принимал близко к сердцу развитие спора и торжествовал при
успехах своего лагеря. Сам Роберваль говорит, что Паскаль
проделывал множество опытов перед аудиторией,
состоявшей из последователей Аристотеля. «И бедные недоучки
сидели с заткнутыми ртами. Они надеялись, что
результаты опытов будут противоположными»,— говорит он.
Однако, когда дело доходило до того, чтобы
резюмировать выводы из опытов Торричелли, Паскаля и своих
собственных, Роберваль предпочитал более осторожные
редакции. В ответ на вопрос, какова его собственная
оценка этих опытов, он раньше всего подчеркивал, что
не ставил своей целью решить столь большой и давний
спор, как спор о существовании в природе пустоты. Он-
де ставил перед собой значительно более узкую задачу:
исследовать пространство над ртутью в трубке
Торричелли. И считает, что он эту задачу решил, установив, что в
этом пространстве имеется, самое большее, сильно
разреженный воздух. Что касается его мнения по главному
вопросу, то он считает, что этот вопрос так и остался
неразрешенным, но он склоняется к гипотезе пустоты,
потому что, как ему кажется, представить себе пустоту не
труднее, чем сверхтонкую материю, заполняющую весь
мир (камень в огород Декарта!).
О творчестве Роберваля в области механики остается
сказать еще несколько слов. Роберваль, как уже
отмечалось, был глубоким экспериментатором. Он тщательно
продумывал опыт, перед тем как его поставить, и умел
180

извлекать из его результатов далеко идущие выводы. Он
изобрел несколько приборов: ареометр, мощный
пульверизатор технического назначения, весы.
Особенность весов Роберваля, обеспечившая их
повсеместное признание, и их устройство общеизвестны,
поэтому можно ограничиться несколькими словами.
Интерес представляет лишь объяснение, которое дает автор
принципу действия.
На рис. 5 приведен чертеж Роберваля, приложенный
к тексту доклада; этот доклад предложен Академии наук
А С В
G
Л
I Н
6
F
L
N
ьм
Е
21 августа 1669 г. Два коромысла АВ и ED вместе с
тягами AD и BE образуют шарнирный параллелограмм.
Опоры, или оси вращения коромысел, находятся в точках Си
F. При колебаниях коромысла АВ на опоре С
(соответственно, DE на опоре F) тяги AD и BE остаются
вертикальными. И это решает задачу. Две платформы GIH и
LNM жестко скреплены с тягами так, что их плоскости
перпендикулярны тягам. И так как тяги при движении
весов остаются вертикальными, то платформы постоянно
горизонтальны, что и требуется для правильной работы
весов.
Посмотрим теперь, как изобретатель объясняет их
действие. Груз Q, говорит он, имеет два веса, один
натуральный и один — перемещающий весы. Второй вес
не изменяется ни в ту, ни в другую сторону, когда груз
Q перемещается из положения N в положение М, «так
как вся рука LNM всеми своими точками одинаково
восходит либо нисходит с движением весов». Последнее
рассуждение показывает, что Роберваль правильно понимал
сущность принципа, положенного в основание
изобретения. В самом деле, напишем условие равновесия весов
Роберваля, выведенное из принципа возможных
перемещений. На рис. 6 дается схема возможного перемещения
весов. Пусть угол поворота ср коромысла будет
обобщенной координатой механизма; Аф — возможное перемеще-
181

ние. Вертикальные перемещения грузов 6i=ZAq> и 62=?Aq>
(рассматриваются равноплечие весы). Сумма работ
весов грузов должна равняться нулю: Р82—Q6i=0 или
PlAcp—(?ZAcp=0, откуда сразу видно, что положение
грузов на платформах не входит в условие равновесия и
именно по той причине, которую подчеркнул в своем
объяснении Роберваль, т. е. потому, что «вся рука LNM
всеми своими точками одинаково восходит или нисходит
с движением весов». Насколько тонко постиг автор
работу изобретенного им механизма, видно из следующего его
В
L Л
^"^
S 6
н
с
0
1 ^^^
6
F
М
N
Е
В
предложения: платформу LNM можно продолжить влево
настолько, что груз Q окажется, как и груз Р, по левую
сторону от опор С и F или, другими словами, грузы
окажутся по одну сторону от точки опоры рычага, и тем не
менее он будет оставаться рычагом первого рода и весы
будут исправно действовать.
4
Роберваль всю жизнь был идейным противником
Декарта. Он не только расходился с ним во всех отраслях
науки, которые охватил великий философ своей
системой. Он не упускал случая сразиться с философом, будь
то диспут в обществе ученых, или переписка, или
печатное выступление. При несдержанном характере Роберва-
ля эта идейная вражда переходила в неприязненные
личные отношения.
Как известно, Декарт тоже не был «ягненком», и
поэтому взаимное нерасположение принимало по временам
недопустимо резкий характер. Естественно, что
современники, лишенные исторической перспективы, не могли
оценить по достоинству ни колоссальную фигуру Декарта,
ни значительный вклад Роберваля в математику. Они
имели возможность судить только по фактам, лежащим на
182

поверхности. Отсюда и ничего не объясняющие
«объяснения» плохих отношений между двумя учеными.
В 1637 г. Ферма послал Декарту свою работу «De maxi-
mis et minimis». Так как перед этим Ферма
раскритиковал «Диоптрику» Декарта и так как в «Геометрии»
Декарт дал метод проведения касательных только к
алгебраическим кривым, то Декарт, как он писал Мерсенну в
январе 1638 г., решил, что Ферма направил ему свою
работу «с целью вступить в соперничество и показать, что
он в этом знает больше, чем я». И Декарт переходит в
наступление. Начинается спор. Поскольку спорящие живут
в разных местах (Декарт — в Голландии, Роберваль, Мер-
сенн и другие — в Париже, Ферма — в Тулузе), то спор
отражен в письмах, которые, к счастью для истории
математики, сохранились.
Содержание спора и аргументы сторон можно изучить
по выдержкам из писем Декарта, Ферма, Роберваля,
помещенным в приложениях к книге Декарта «Геометрия» iS.
Это позволяет ограничиться несколькими словами.
Декарт считал — несправедливо, — что метод проведения
касательных к кривым изложен Ферма неудачно и что он
приводит к ложным результатам. Роберваль и Этьен
Паскаль выступили на стороне Ферма. Спор имел большое
значение для развития дифференциального исчисления
хотя бы потому, что заставил двух крупнейших
математиков — Ферма и Декарта — подробно изложить свои
точки зрения, развить дополнительные доказательства и т. д.
Немалую остроту придало спору участие в нем
Роберваля. К сожалению, спор, хотя имел предметом чисто
научные вопросы, велся недостаточно корректно с обеих
сторон. Роберваль, например, посвящает половину большого
письма14 придиркам к неудачному выражению,
допущенному Декартом; с другой стороны, Декарт не стесняется
в выражениях, когда говорит о своих противниках.
Приходится согласиться с Лейбницем, который отмечает, что
презрительное отношение Декарта к оппонентам
чувствуется в его трудах и письмах. Так, он говорит
(«Геометрия», стр. 162): «Меня удивляет, что трактат «De maximis
et minimis» нашел защитников», или (там же, стр. 165):
«Вы [Мерсенн] сообщили мне возражения тех, кто под-
13 Р. Декарт. Геометрия. М,— Л., 1938. (Переписка о касательных
на стр. 157—181.)
14 Там же, стр. 165.
183

держивает сочинение г. Ферма «De maximis etc». Но они
столь бесцветны, что я не думал, чтобы стоило мне на них
отвечать». Можно было бы думать, что такая свобода в
выборе выражений объясняется тем, что переписка
ведется через третье лицо. Но, как будет видно дальше, письма
не становятся более выдержанными, когда они
направляются непосредственно оппоненту.
Через несколько лет развернулась полемика в области
механики твердого тела. Она имела очень большое
значение для развития механики системы, так как
впоследствии привлекла внимание крупнейших ученых — Якова
Бернулли, Христиана Гюйгенса, Як. Германа, Л. Эйлера
и др.— и во многом способствовала развитию теории
маятника. Удивительное умение Мерсенна сосредоточивать
внимание на наиболее важных вопросах естествознания
выразилось, между прочим, и в том, что он ставил перед
учеными различные задачи, которые, как правило,
обнаруживали богатейшее содержание15. Одной из таких задач
была следующая: для данного маятника, составленного
из конечного или бесконечного числа материальных точек,
найти такой математический маятник (т. е. маятник с
одной материальной точкой), период колебаний которого
равнялся бы периоду данного. Период математического
маятника определяется одной величиной — его длиной,
т. е. расстоянием от материальной точки до точки
подвеса. Поэтому задачу иногда формулируют иначе: найти
длину математического маятника, имеющего период
данного физического. Эту задачу предложил Мерсенн в
конце 1645 г. одновременно нескольким ученым: Декарту,
Фабри, Гюйгенсу и др. Гюйгенс, тогда еще почти
ребенок (он родился в 1629 г.), взялся вплотную за эту задачу
позднее и привел в «Маятниковых часах» (изд. 1673) ее
полное решение. Декарт был первым, ответившим на
предложение Мерсенна (письмо от 22 марта 1646 г.). Он
дает правила вычисления длины приведенного маятника
для различных случаев.
Никакого вывода Декарт не предлагает. Он
ограничивается качественными рассуждениями, очень остроумными
15 Паскаль говорил по этому поводу: «Он имел особый талант
ставить вопросы... Он наталкивал на многие важные открытия,
которые, может быть, никогда бы не были сделаны, если бы он
не побуждал к этому ученых».
184

и своеобразными 16. Роберваль ответил почти немедленно.
Раньше всего он дал математический вывод правила,
предложенного Декартом для простейшего его случая
(тонкий однородный стержень, подвешенный за один из его
концов), а затем дает критику правил, предложенных для
случаев более сложных. Для случая однородного стержня
правило Декарта таково: находится центр тяжести
треугольника, ометаемого стержнем при его колебаниях
(ввиду малости колебаний, круговой сектор заменяется
треугольником); этот центр тяжести находится на
расстоянии 2/з длины стержня от вершины треугольника;
Декарт называет его «центром возбуждения» (centre
d'agitation).
Роберваль дает правилу следующее обоснование 17.
Однородный стержень, центр возбуждения которого ищется,
мысленно разбивается на произвольное число равных
между собой малых масс. Векторы количества движения этих
масс относятся как их скорости, следовательно,
пропорциональны (по модулям) дугам, описываемым массами,
или, ввиду малости дуг, отрезкам касательных. Отсюда,
следует, что векторная диаграмма импульсов сил,
приложенных к этим массам, заполняет треугольник. Декарт
считает, что центр возбуждения играет при качаниях
маятника такую же роль, как центр тяжести при свободном
падении тела. Отсюда непосредственно получаем правило
Декарта. Роберваль, таким образом, поставил на твердое
основание декартово правило в том случае, когда оно, по
мнению Роберваля, верно. С тем большей силой
опровергает он правило для тех случаев, когда колеблется тело, у
которого все три размера таковы, что нельзя тело считать
плоской фигурой. В этом споре, как и в некоторых других,
Роберваль оказался прав: правило Декарта действительно
приводит к ошибкам в более сложных случаях. Декарту
было известно, что эксперимент не подтверждает его
правила. Он пытался объяснить расхождение опыта с его
правилом влиянием сопротивления воздуха. Роберваль,
детально рассмотрев поведение отдельных точек тела при кача-
16 Эти рассуждения почти полностью помещены Лагранжем в
«Аналитической механике», т. I. M.— Л., 1950, стр. 302.
17 Статья Роберваля «Le centre de percussions d'une ligne droite...»
помещена в собрании сочинений Декарта (R. Descartes. Oeuvres,
v. 9, p. 528—529). Тому же вопросу посвящена неизданная
работа Роберваля «De percussionis».
185

ниях, настаивал на том, что правило в общем случае просто
неверно.
Математические споры показали, что возражения Ро-
берваля Декарту имели большей частью солидные
основания. Они не могли не придать Робервалю достаточной
уверенности, чтобы искать случая нанести поражение Декарту
и в других областях науки.
5
При жизни Роберваля вышли только два его сочинения:
«Механика» и книга по астрономии—«О системе мира, о
его частях и свойствах. Аристарха из Самоса». Из
заглавия книги как будто следует, что ее автор — Аристарх. В
действительности это — маскировочный маневр Роберваля.
Аристарх из Самоса (конец IV в.— начало III в. до н. э.) —
выдающийся астроном древности. Архимед начинает свой
«Псаммит» 18 ссылкой на не дошедшее до нас сочинение
Аристарха «Предложения», из которой можно легко
представить систему, построенную Аристархом: «Он (т. е.
Аристарх) полагает, что неподвижные звезды и Солнце
не меняют своего места в пространстве, что Земля
движется по окружности около Солнца, находящегося в ее
(окружности) центре, и что центр шара неподвижных
звезд совпадает с центром Солнца». Из этих строк видно,
что система Аристарха есть не что иное, как схема,
которую положил Коперник в основание своего труда. Робер-
валь пожелал выступить с сочинением, поддерживающим
коперниковскую систему мира. Однако свежее
воспоминание о процессе Галилея и его мытарствах заставило
Роберваля проявить осторожность: он выдал свое сочинение за
перевод с арабской рукописи. Это дало ему возможность
не упоминать имени Коперника и перекладывало
ответственность с подлинного автора на Аристарха. Неизвестно,
дала ли ожидаемый результат эта мистификация по
отношению к церковным властям, но среди ученых было
широко известно, кому принадлежало авторство. Ко времени
выхода «Аристарха» (1644) Декартом были уже написаны
«Трактат о свете» (1622—1632), «Рассуждение о методе»
с приложением «Диоптрики», «Метеоров» и «Геометрии»
(1637) и другие сочинения, подробно излагающие его об-
11 Архимед. Исчисление песчинок (Псаммит), М.«—Л., 1932, стр, 68.
186

щефизические или натурфилософские взгляды, его
космогоническую систему и т. д. Поэтому «Аристарха» можно
рассматривать как своего рода натурфилософское кредо,
противопоставленное широкой картине мира, развернутой
Декартом в его трудах и письмах.
В системе Роберваля центральным телом является, как
и у Декарта, Солнце; как и у Декарта, имеется жидкость;
на этом кончается сходство. У Роберваля говорится о
жидкости очень разреженной и прозрачной, заполняющей все
межпланетное пространство. Солнце, по Робервалю,—
раскаленный шар. Будучи погружено в жидкость, оно
нагревает ее. Но чем дальше от Солнца, тем менее нагрета
жидкость и тем она плотнее. Тело, погруженное в нее,
перемещается в такую область, где плотность жидкости равна
плотности тела. Отсюда следует, что все тела,
принадлежащие солнечной системе, располагаются по
концентрическим сферам, центр которых совпадает с центром Солнца.
Три стихии — воздух, вода и земля — имеются и у
Роберваля, но опять-таки, кроме названий, не имеют ничего
общего с элементами Декарта. Здесь речь идет не об
элементах, из которых составлены все вещества в мире, а об
обычных окружающих нас средах. При этом Роберваль
считает, что вещества распределяются сообразно своей
плотности, так как чем больше плотность, тем больше вес
(удельный) тела и тем сильнее оно стремится к центру. Поэтому
Земля сосредоточена в центре, ее частично покрывает вода,
а то и другое обнимает воздух. Диаметр образовавшейся
таким образом сферы примерно в сто раз больше
диаметра Земли. Заметим, что те немногие цифры, которые
называет Роберваль, существенно отличаются от широко
распространенных в его время значений. Например, такой
большой авторитет как Торричелли, принимает высоту
атмосферы в 50 миль, т. е. такую, какая тогда была
общепринятой 19. Плотность воды, считает Роберваль, в тысячу
раз больше плотности воздуха. В 1638 г., всего за шесть
лет до выхода «Аристарха», изданы «Беседы» Галилея,
в которых указана плотность воды по отношению к
воздуху, равная отношению 400:1 («Беседы», День первый) 20.
19 См.: В. П. Зубов. Из переписки между Э. Торричелли и М. Рич-
чи.— «Вопросы истории естествознания и техники», 1959, вып. 8,
стр. 100, примеч. 5.
20 Г. Галилей. Избранные труды, т. II. М., 1964, стр. 178.
187

Однако Роберваль не посчитался с данными Галилея.
Соответствующее место в «Аристархе» позволяет
предположить, что Роберваль сам ставил опыты по определению
относительных весов воздуха и воды. Так или иначе,
сравнение двух систем — декартовой и робервалевой —
показывает их коренное различие.
Роберваль не озабочен построением физической
картины мира. Он решает узкую и строго ограниченную
физическую задачу: есть пустота над мениском ртути в трубке
Торричелли или нет? Получив определенный ответ, он, не
смущаясь философскими трудностями и прямо адресуясь
к Декарту, говорит: «Да, пустота есть». Отсюда уже без
труда получает, что пространство и находящиеся в нем
тела — вещи совершенно различные и что тела могут
перемещаться в пространстве независимо от него, используя
это пространство только как вместилище для себя.
Пространство — понятие чисто геометрическое; конечно, оно
вполне реально, но никакими физическими свойствами не
обладает. До опытов Торричелли, как говорилось выше,
Роберваль придерживался аристотелевского взгляда на
пустоту и, как полагается перипатетику, считал, что столб
жидкости поддерживается внутренней силой — силой
«боязни пустоты». Опыт, однако, был для Роберваля
высшим судьей, и с 1644 г. он становится убежденным
сторонником толкования Торричелли. Роберваль говорит, что
Декарт смешивает две вещи (пространство и материальное
тело) совершенно разные. Декарт возражает: «Мои
размышления существенно возвысили меня над обычной
наукой, и я вижу ясно и отчетливо, что тело и
пространство — одна и та же вещь, тогда как вы делаете из них две
разные вещи в силу непонятной мне интеллектуальной
слепоты».
В ответ на это довольно нескромное заявление
Роберваль отвечал в свойственной ему манере: «Многие мои
друзья и я сам читали ваши возвышенные размышления,
но не нашли в них абсолютно ничего замечательного.
Ничего мы там не увидели, одни лишь умственные
спекуляции и пустые софизмы» 21.
Спор о пустоте имел тем большее значение, что с ним
тесно связан вопрос о тяготении.
21 Цит. по кн.: L. Auger. Gilles Personne de Roberval. Paris, 1962,
p. 162. Материал отчасти взят из этой книги.
188

Декарт и Роберваль стояли на столь разных позициях,
их взгляды были настолько непримиримы, что каждый из
них вполне добросовестно просто не понимал, что хочет
сказать другой. Если Декарт называл Роберваля
«умственным слепцом», то Роберваль находил у Декарта «пустые
бредни». Конечно, это не был спор между двумя авторами,
пусть даже и крупными; это было столкновение двух
натурфилософских систем. Однако после работ Кеплера и
Галилея качественные рассуждения Декарта могли
удовлетворить далеко не всякого физика. Вот почему
Роберваль говорил о построениях Декарта как о чистых
спекуляциях и софизмах.
Философские позиции Роберваля в значительной
степени характеризуются и в то же время объясняются его
дружбой с такими крупными представителями
материализма, как Т. Гоббс и П. Гассенди. Но Роберваль не был
свободен и от влияния аристотелизма. Он не мог обойтись
без подробных и в сущности бесплодных рассуждений о
субстанции, о качествах субстанции, о «материи
субстанции», о качествах субстанции абсолютных и
относительных и т. д. Таковы же чисто внешние описания
наших чувств с целой системой терминов, классификацией
и другими атрибутами средневекового трактата.
Разумеется, он приводит род инструкции о правильном
мышлении в стиле «Regula philosophandi» Ньютона.
Однако все эти упражнения в метафизике следует
скорее считать наносным остатком воспитания того
времени; схоластика не проникла в сердцевину работ
Роберваля, если не считать ни к чему не обязывающих попыток
построить систему мира в «Аристархе». Там же, где дело
шло о реальном участии Роберваля в науке его времени,
т. е. в математике и физике, он не только был
материалистом de facto, но и отстаивал материалистические взгляда,
как об этом свидетельствуют его рукописи.
6
При вспыльчивости Роберваля и его колючем,
придирчивом характере надо считать невероятным, чтобы у него
установилась постоянная и короткая дружба с
философами, мнения которых он не разделял.
Неприязнь Роберваля к Декарту коренилась прежде
всего в различии их научных и философских взглядов. Они
189

стояли на противоположных научных и философских
платформах и не могли не враждовать. При этом личные
свойства обоих могли придать столкновениям лишь ту или
иную эмоциональную окраску. Роберваль вносил, может
быть не желая того, элементы излишней остроты в
научные диспуты. Декарт все-таки был более сдержан, по
крайней мере при встречах. Роберваль же искал встреч с
Декартом для того, чтобы нападать на него, подвергать
насмешкам и т. д. Биограф Декарта говорит, что из всех
ученых Декарту был страшен один Роберваль из-за его
отвратительного характера. Некоторые биографы
считают, что придирки Роберваля были одной из причин,
вызвавших решение Декарта покинуть Париж. Если
судить по письмам, то предположение недалеко от
действительности.
Можно было бы подумать, что все определяется
философскими и научными расхождениями Роберваля с
Декартом и что дурной характер проявлялся только в его
отношениях с Декартом. Такое заключение было бы
неправильным. Недаром в характере Роберваля отмечается еще
и зависть. Это они — зависть вкупе со скрытностью —
побуждали Роберваля обвинять современников в плагиате!
Приведем два примера. Известно, что метод неделимых
был делом всей жизни Б. Кавальери. Из его переписки,
в частности с Галилеем, видно, что он в самых молодых
годах открыл идею этого метода и потом, можно сказать,
отдал ему все творческие силы. Роберваль публично
высказал предположение (правда, в осторожной форме),
что Кавальери заимствовал идею метода у него. Второй
пример — история с Торричелли. Отношения между
Робервалем и Торричелли были довольно хорошими и
такими оставались, пока дело не дошло до циклоиды.
Роберваль очень гордился своими работами, связанными
с циклоидой. И вот он узнает, что Торричелли сообщил
о сделанном им вычислении объемов двух тел вращения
циклоиды: одного тела, образованного вращением
циклоиды вокруг ее основания, и второго — вокруг оси
симметрии. Роберваль возразил, что он нашел эти объемы
значительно раньше и оспаривал верность некоторых
результатов Торричелли. Торричелли отвечал с большим
достоинством: «Меня очень мало трогает, является ли
проблема трохоиды французской или итальянской.
Неважно, предшествуют чужие работы моим или следуют
190

после них. Если некоторые мои результаты и находятся
в французских доказательствах, я утверждаю, что они
полностью установлены мною». То же произошло и с
определением центров тяжести циклоиды: нападки Робер-
валя, спокойная и обоснованная защита Торричелли. Так
же ему пришлось защищать и кинематический метод
проведения касательных.
В натуре Роберваля соединялись огромный ум,
колоссальная эрудиция и удивительная работоспособность
с теми качествами, которые закрепили за ним нелестные
отзывы.
Роберваль славился как первоклассный лектор,
обладавший помимо прочих достоинств способностью
понятно и просто излагать трудные вопросы. Сохранилось
свидетельство известного голландского математика
Франца ван Схоотена (1615—1660). В одном письме 1646 г.
Схоотен сообщает, что решил продолжить посещение
лекций Роберваля, которые ему нравятся. Роберваль излагает
предмет на латинском языке, но тут же комментирует
изложение по-французски. В то время еще не было обычая
устраивать общедоступные лекции, но практиковались
собрания, на которых выступали с докладами ученые.
Описано одно такое собрание, на котором читал
Роберваль. Присутствовали крупные сановники, высшее
духовенство, доктора Сорбонны, знаменитые врачи, математики
и представители других групп интеллигенции. Привлечь
такого рода слушателей на лекцию по математике мог
лишь действительно прекрасный лектор. Кроме того,
далеко не каждому профессору по плечу было не только
читать курс математики, но и обогатить его собственными
открытиями — это тоже привлекало слушателей, в том
числе серьезных математиков. Нередко на лекциях
Роберваля присутствовало свыше ста человек — аудитория
громадная, если вспомнить, что богословие, философия,
правоведение ценились в те времена несравненно выше,
чем точные науки.
Роберваль постоянно занимал два профессорских
места: в коллеже Мэтра Жерве и в Коллеж де Франс на
кафедре, прославленной Рамусом. А одно время, после
смерти Пьера Гассенди, он занимал и его кафедру в том
же коллеже.
Преподавал он в эпоху, когда науки только начинали
специализироваться, когда была одна химия, одна астро-
191

номия, одна математика. Так, например, эта «одна»
математика в Коллеж де Франс включала арифметику,
геометрию, астрономию и теорию музыки, т. е. те науки,
которые представляли собой средневековый квадривиум.
Сверх того Роберваль читал оптику, механику и
географию — семь различных предметов в одном только коллеже!
Любопытно, что вместо астрономии в списке наук
числилась астрология. Впрочем, почти в те же годы Кеплер
был астрологом герцога Валленштейна, а Кавальери даже
издал руководство по астрологии, так что курс Роберваля
не был таким уж кричащим анахронизмом.
Творческая работа, издание своих сочинений,
множество приготовленных рукописей (они хранятся главным
образом в Национальной библиотеке), усердное
посещение научных собраний, диспуты, лекции, наконец большая
переписка — все это целиком поглощало время ученого.
Роберваль входил в число семи ученых, которые
положили начало Парижской академии наук. Открыта она
была в 1666 г., но история ее начинается задолго до этой
даты — с середины 20-х годов, с кружка Мерсенна.
Годы шли, научные связи укреплялись и
расширялись, и члены кружка стали называть свой кружок
«академией».
Ко дню торжественного открытия (22 декабря 1666 г.)
список членов академии насчитывал двадцать одного
человека (в том числе — Озу, Бюо, Пикар, Каркави,
Роберваль, Мариотт). В качестве президента был приглашен
Гюйгенс. Роберваль принимал деятельное участие в
работах академии. В 1667 г. он выступил не менее трех
раз с докладами, в 1668 г. — не менее десяти раз. В
1669 г. он доложил свой метод проведения касательных,
участвовал в многочисленных обсуждениях других работ,
в дискуссиях и т. д, К разного рода поручениям
Роберваль относился всегда внимательно и тщательно
выполнял их.
25 сентября 1675 г. Роберваль скончался. В 1676 г.
академия поручила Ж. Пикару и другим академикам
разобрать архив покойного. Работа сильно затянулась.
Еще в 1686 г. де Лагир писал Гюйгенсу, что занимается
бумагами Роберваля. Они увидели свет лишь в
«Мемуарах Академии наук» за 1693 г., в томе VI.
Научное наследие Роберваля заслуживает высокой
оценки. Едва войдя в 1628 г. в круг современных интере-
192

сов, он обращается к самым важным темам того
времени — к инфинитезимальным задачам. И очень скоро
выдвигается в первый ряд математиков. В XVII в. это было
нелегко. После грандиозных трудов Кеплера и Галилея
математика уже не могла стоять на месте. Переменная
величина, введенная в математику Декартом, как будто
разбудила таланты. Одна за другой появились работы,
закладывающие основы науки Нового времени. Декарт,
Ферма, Кавальери, Торричелли публикуют работы
огромного значения. Следующее поколение выдвигает еще два
великих имени — Гюйгенс и Паскаль. Десятки других
талантливых математиков 22, физиков, астрономов получают
значительные результаты. Знания в области
определенного интегрирования, проведения касательных и других
отделов новой математики умножаются с каждым днем.
В такой обстановке завоевать репутацию видного
математика было не просто. Работы Роберваля показывают, что
он занял выдающееся место по праву.
Мы уже знаем, что Роберваль поддерживал
оживленное научное общение с большим числом современников.
На первом месте, конечно, надо поставить участников
кружка Мерсенна. Роберваль всегда ревностно относился
к своему положению, к своему моральному долгу члена
кружка. Кроме парижских знакомых он имел еще
многочисленных корреспондентов во всех крупнейших центрах
Европы. Как объяснить, что при резкости,
«неотесанности» и прочих непривлекательных свойствах характера
Роберваля он имел многочисленных знакомых, в том
числе выдающихся ученых? Были даже люди, которые
находили удовольствие в его обществе.
Нам кажется, объяснение надо искать в творческом
даре. Творческий дар имеет всегда непреодолимую
притягательную силу, проявляется ли он в искусстве, в
литературе или в науке.
С первых лет пребывания в Париже Роберваль делал
сообщения о найденных им квадратурах, кубатурах, рек-
тификациях. Выступал он также с сообщениями о чужих
работах. Почему в 1637 г. Ферма обратился с просьбой
доложить его работу на заседании кружка не к кому-либо
другому, а к Робервалю? Потому что в это время они уже
22 Г. Г. Цейтен в книге «История математики в XVI и XVII
веках» приводит имена 60 математиков XVII столетия.
193

хорошо знали друг друга и Ферма было ясно, что вряд ли
кто изложит его работу с большим пониманием дела.
Научная интенсивность Роберваля не ослабевала на
протяжении всей его жизни. Сохранились сведения о
докладах, которые сделал Роберваль в Академии наук в
1668 г. Назовем некоторые из них, чтобы дать понятие о
разнообразии его интересов. 1 и 8 февраля —
рассмотрение 1 книги труда Архимеда «О равновесии тел», 25
апреля—о наклонной плоскости и равновесии сил; 14 мая — о
рычаге и машине для извлечения свай; июль — о
движении кареты, в частности, теория тряски ее; октябрь — о
мощном пульверизаторе для технических целей; декабрь —
кинематический метод проведения касательных.
Темы докладов были остро современными, доклады
почти всегда содержали решение какой-нибудь значительной
задачи. Затем были еще ученые собрания, рецензии и т. д.
Нелепо было не интересоваться всем этим только потому,
что Роберваль — несимпатичный человек!
Декарт питал к Робервалю самую настоящую
антипатию — и все-таки в архиве Роберваля нашли 74 его
письма. Следовательно, была у Декарта необходимость
поделиться с Робервалем своими мыслями о той или иной
математической проблеме, дать разъяснение и ответ на его
критику, написать о многих других вопросах. 39 писем
Ферма говорят о том же.
Богатый творческий дар — это сила, с которой нельзя
не считаться.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В «Истории математики» отмечаются две важнейшие даты
развития этой науки в Новое время: выход в свет
«Геометрии» Декарта (1637) и появление статьи Лейбница
«Новый метод максимумов и минимумов, а также
касательных, для которого не служат препятствием ни
дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого
род исчисления» (1684).
Первая дата относится к рассматриваемому в этой книге
периоду, и содержание «Геометрии» Декарта и других его
исследований, а также работ некоторых современников
Декарта по основам новой математики в книге нашло свое
отражение. Вторая выходит по времени за рамки книги;
статья Лейбница открывает новый этап развития
математики.
При оценке «Геометрии» Декарта и «Нового метода»
Лейбница следует иметь в виду одну существенную деталь.
Та и другая работы посвящены изложению общих методов
математики. Декарт в «Геометрии» обосновал
алгебраическое исчисление, которое охватывает все операции над
конечными величинами. Лейбниц дал общий метод
анализа бесконечно малых величин. Таким образом, в связи с
выходом этих основополагающих работ можно говорить
в некотором роде о «демократизации» математики.
Переход от отдельных исследований к исследованиям
по общим методам Г. Цейтен удачно сравнивает с
переходом от ремесленного к фабричному производству.
Предшественники основателей дифференциального и
интегрального исчислений Ньютона и Лейбница
(безусловно, не только Декарт, Ферма, Торричелли и Роберваль, а и
многие другие) внесли существенный вклад в разработку
новых методов, и это позволило Ньютону при объяснении
своих успехов заявить, что он «стоял на плечах гигантов».
И все же решение ими различного рода задач на
отыскание экстремумов, вычисление площадей, поверхностей,
195

объемов, координат центров тяжестей, проведение
касательных, нахождение радиусов кривизны, спрямление
кривых, вычисление скорости и пути, решение обратных
задач на касательные, т. е. задач, сравнительно легко
решаемых методами дифференциального и интегрального
исчислений, не обладало достаточной общностью. Общий
метод только еще вырисовывался, алгоритм еще не был
разработан, и при изучении истории математики того
времени можно интересоваться разве лишь вопросом, кто
первым решил ту или иную задачу. Создание же алгоритма
дифференциального и интегрального исчислений было
делом недалекого будущего и связано оно с именами
великих математиков Ньютона и Лейбница.

ЛИТЕРАТУРА
«История математики», т. 1—2. М., «Наука», 1970.
«История механики с древнейших времен до конца XVIII века». М.,
«Наука», 1971.
Вилейтнер Г. Хрестоматия по истории математики, составленная
по первоисточникам. 2-е изд. М.— Л., ОНТИ, 1935.
Декарт Р. Избранные произведения. М., Госполитиздат, 1950.
Декарт Р. Рассуждение о методе. М., Изд-во АН СССР, 1953.
Декарт Р. Геометрия. М.— Л., ОНТИ, 1938.
Льоцци М. История физики. М., «Мир», 1970.
Цейтен Г. Г. История математики в древности и в Средние века.
2-е изд., М.— Л., ОНТИ, 1938.
Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. 2-е изд. М.—
Л., ОНТИ, 1938.
Шереметевский В. П. Очерки по истории математики. М., 1940.
Асмус В. Ф. Декарт. М., Госполитиздат, 1956.
Кляус Е. М., Погребысский И. Б., Франкфурт У. И. Паскаль. М.,
«Наука», 1971.
Кузнецов Б. Г. Разум и бытие. М., «Наука», 1972.
Кузнецов Б. Г., Погребысский И. Б. Французская наука и
современная физика. М., Изд-во АН СССР, 1967.
«У истоков классической науки. (Сборник статей)». М., «Наука», 1968.
Франкфурт У. И., Френк А. М. Христиан Гюйгенс. М., Изд-во АН
СССР, 1962.

СОДЕРЖАНИЕ
Предшественники 3
Декарт 42
Ферма 94
Торричелли 134
Роберваль 164
Заключение 195
Литература 197

Виктор Арсеньевич Никифоровский,
Леон Семенович Фрейман
РОЖДЕНИЕ НОВОЙ МАТЕМАТИКИ
Утверждено к печати
редколлегией серии
научно-популярных
изданий Академии наук СССР
Редактор Г. Ф. Морошкин
Художник В. Гаврилов
Художественный редактор В. Н. Тикунов
Технические редакторы Э. Л. Кунина, Н. Н. Плохова
Корректоры Н. Г. Васильева, Н. М. Вселюбская
Сдано в набор 21/VIII 1975 г. Подписано к печати 4/Ш 1976 г.
Формат 84Х1087з2. Усл. печ. л. 10,5. Уч.-изд л. 10,1.
Бумага типографская № 1 Тираж 40 000. Тип. зак. 3018.
Т-03544. Цена 64 к.
Издательство «Наука»
103717 ГСП, Москва, К-62, Подсосенский пер., 21
2-я типография издательства «Наука»
121099, Москва, Г-99, Шубинский пер.. 1Q

64 №
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«НАУКА»
ВЫШЛА ИЗ ПЕЧАТИ
КНИГА:
Тумаков И. М.
Анри Леон Лебег (1875—1941).
6,2 л. 39 к.
Значение интеграла Лебега для
современной математики и ее
приложений очень велико, но
об авторе этого интеграла,
французском математике Анри
Леоне Лебеге, почетном члене
многих академий наук мира и
математических обществ
известно очень мало.
Книга И. М. Туманова,
подготовленная к 100-летию со дня
рождения ученого, восполняет этот
пробел. В ней приведены
биографические сведения о
Лебеге, дан обзор его научных
трудов, показаны истоки и
значение открытия Лебега.
Книга будет интересна
математикам, физикам,
студентам физико-математических
факультетов университетов и
педагогических институтов и всем,
кто интересуется развитием
мировой науки.
Для получения книг почтой заказы
просим направлять по адресу:
МОСКВА, В-464, Мичуринский
проспект, 12, магазин «Книга — почтой»
Центральной конторы «Академкнига»;
ЛЕНИНГРАД, П-110, Петрозаводская
ул., 7, магазин «Книга — почтой»
Северо-Западной конторы «Академкниге»
или в ближайшие магазины
«Академкнига».
Адреса магазинов
«Академкнига»:
Алма-Ата, ул. Фурманова, 91/97; Баку,
ул. Джапаридзе, 13; Днепропетровск,
проспект Гагарина, 24; Душанбе,
проспект Ленина, 95; Иркутск, 33, ул.
Лермонтова, 303; Киев, ул. Ленина,
42; Кишинев, ул. Пушкина, 31;
Куйбышев, проспект Ленина, 2;
Ленинград, Д-120, Литейный проспект, 57;
Ленинград, Менделеевская линия 1;
Ленинград, 9 линия, 16; Москва, ул.
Горького, 8; Москва, ул. Вавилова,
55/7; Новосибирск, Академгородок,
Морской проспект, 22; Новосибирск,
91, Красный проспект, 51; Свердловск,
ул. Мамина-Сибиряка, 137; Ташкент,
Л-29, ул. Ленина, 73; Ташкент, ул.
Шота Руставели, 43; Томск, наб. реки
Ушайки, 18; Уфа, Коммунистическая
ул., 49; Уфа, проспект Октября, 129;
Фрунзе, бульвар Дзержинского, 42;
Харьков, Уфимский пер., 4/6,
ИЗДАТЕЛЬСТВОНАУНА-