СТИВЕН
ХОКИНГ

БОГ СОЗДАЛ

ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОТКРЫТИЯ, ИЗМЕНИВШИЕ ИСТОРИЮ
МИР

СТИВЕНА

ХОКИНГА
СТИВЕН
ХОКИНГ

БОГ СОЗДАЛ

ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОТКРЫТИЯ,
ИЗМЕНИВШИЕ ИСТОРИЮ

ИЗДАТЕЛЬСТВО АСТ
МОСКВА
УДК 51(091)

ББК 22.1г

Х70

Перевод оригинального издания:

81ерЬеп На\ук1п§

СОО СКЕАТЕП ТНЕ ШТЕСЕК8

ТЬе МаШешайса! Вгеак1:Ьгои§Ь8 {На! СЬап§ей Н1з1:огу

Печатается с разрешения издательства Кипшп§ Ргезз АскШ,
ап ппрпп1: оГРегзеиз Воокз, ББС, а зиЬзхсИагу оГНаскейе Воокз, Уогк,
Хеду Уогк, И8А (США) при содействии Агентства
Александра Корженевского (Россия).

Все права защищены.

Хокинг, Стивен.

Х70 Бог создал целые числа. Математические открытия, изменившие
историю / С. Хокинг; пер. с английского О. С. Сажиной, Е. В. Шима-
новской, А. К. Дамбиса., Л А. Зайцева; пер. с греческого Д. Д. Морду-
хай-Болтовского, Ф. Ф. Петрушевского, Г. Н. Попова; пер. с немецкого
В. Ф. Кагана, Н. Н. Парфентьева, С. О. Шатуновского, Ф. А. Медведе-
ва, редакции «Вестника опытной физики и элементарной математики»;
пер. с французского А. П. Юшкевича, А. К. Власова, В. Я. Буняковско-
го, Н. Н. Меймана; пер. с латыни В. Б. Демьянова, А. Н. Крылова. -
Москва : АСТ, 2022. - 816 с. - (Мир Стивена Хокинга).

18ВХ 978-5-17-113541-6

Математика и логика — прочное основание естественных наук, осо-
бенно тех, что оперируют сложными прогностическими моделями. Сти-
вен Хокинг, при помощи уравнений описавший немало гипотетических
вселенных, исследует важнейшие математические труды за последние
25 веков, в том числе работы Исаака Ньютона, Николая Лобачевского и
Эвариста Галуа. Оригинальные, снабженные комментариями тексты по-
зволяют проследить прогресс математической мысли, проложивший путь
для нынешнего века технологий. Каждая глава начинается с биографиче-
ского очерка ученого, написанного Стивеном Хокингом: он раскрывает
ключевую идею автора и значение его труда.

УДК 51(091)

ББК 22.1г

© ХерКеп Налукш§, 2007

© Перевод на русский язык,

18ВХ 978-5-17-113541-6

оформление, предисловие.

ООО «Издательство АСТ», 2022
ПРЕДИСЛОВИЕ1

«Бог создал целые числа» - это сборник оригинальных работ
великих математиков от древности до наших дней, история «мате-
матических прорывов, которые изменили историю». Однако в пред-
лагаемом сборнике внимание больше уделяется развитию евро-
пейской научной мысли. Необходимо отметить, что ученые Китая,
Индии и стран ислама внесли неоценимый вклад в возникновение
и развитие важнейших разделов математики, таких как теория чи-
сел, алгебраические уравнения, геометрия и многое другое. Кроме
того, ученые стран ислама активно способствовали распростране-
нию научных знаний Востока и Древней Греции в Европу. Осветить
важнейшие достижения математиков Востока и отчасти восполнить
этот пробел и призвано это предисловие2.

КИТАЙ

Математика в Китае развивалась до XIV в. по большей части
как совокупность вычислительных алгоритмов, которые предназна-
чались для решения на счетных досках задач арифметики, алгебры
и геометрии. Самые древние китайские математические трактаты
дошли до нас в редакции II в. до н.э. и, по всей видимости, представ-
ляли собой обработку еще более древних сочинений. «Математиче-
ский трактат об измерительном шесте» был посвящен астрономии,
а также содержал формулировку теоремы Пифагора и вычисления
с дробями. Фундаментальный математический труд Древнего Китая
«Математика в девяти книгах» был окончательно отредактирован
чиновником Чжан Цаном (ум. 150 г. до н.э.), и книга предназнача-
лась для землемеров, чиновников, инженеров и торговцев.

1.	Первая книга, «Фан тянь» («Измерение полей»), посвящена
арифметике дробей и вычислению площадей плоских фигур.

2.	Во второй книге, «Су ми» («Соотношения между различными
видами зерновых культур»), решаются задачи на пропорции.

1 Предисловие к русскоязычному изданию книги.

2 См. История математики. С древнейших времен до начала Нового времени. Под
редакцией А.П. Юшкевича. В 3 т.-М.: Наука, 1970.-Т. I.
3.	Третья книга, «Шуай фэнь» («Деление по ступеням»), содер-
жит задачи на деление пропорционально данным числам.

4.	Четвертая книга, «Шао гуан» («Теория делимости»), посвяще-
на отысканию стороны прямоугольника по площади и другой сторо-
не и отысканию стороны квадрата по его площади, ребра куба - по
объему, а также определению диаметров кругов и сфер.

5.	Пятая книга, «Шан гун» («Оценка работ»), посвящена изме-
рительным задачам: объемов стен, каналов, плотин, а также расчету
необходимого количества рабочей силы.

6.	В шестой книге, «Цзюнь шу» («Пропорциональное распреде-
ление»), решается задача распределения налога и поставок между
уездами в зависимости от разных условий и другие более сложные
арифметические задачи.

7.	В седьмой книге, «Ин бу цзу» («Избыток и недостаток»), ре-
шаются системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными
с помощью правила двух ложных положений и другие задачи на это
правило.

8.	Восьмая книга, «Фан-чэн», посвящена решению системы ли-
нейных уравнений с неизвестными с помощью специального метода
фан-чэн. Используется понятие отрицательных чисел.

9.	В девятой книге, «Гоу-гу», решаются задачи, связанные с те-
оремой Пифагора («гоу» обозначает меньший, обычно горизонталь-
ный катет прямоугольного треугольника, а «гу» - больший, верти-
кальный катет. Таким образом, гоу-гу - это зависимость, которая
выражена теоремой Пифагора).

Алгоритмы «фан-чэн» и «тянь-юань» (решение алгебраических
уравнений высших степеней) - это наиболее значительные матема-
тические методы. Несмотря на то что китайская математическая на-
ука имела мало общего с дедукцией греческого образца, математики
Китая широко пользовались алгебраическими и геометрическими
преобразованиями, им были известны доказательства ряда тождеств
и геометрических теорем. Важнейшим достижением китайских ма-
тематиков были отрицательные числа («фу»), которые появлялись
в алгоритме «фан-чэн» сначала как вспомогательные элементы, а за-
тем как самостоятельные числа наряду с обычными положительны-
ми («чжэн»); «фу» приобрели простой смысл как «недостаток».

Китайская математика не была изолирована от достижений уче-
ных других стран: прослеживаются связи с математиками Индии
в первые столетия нашей эры, а позже, в ХП-ХУ вв., со странами ис-
лама. Многие важные открытия китайских математиков были позже
открыты в Европе заново. Например, метод «фан-чэн» аналогичен
методу Гаусса для решения системы линейных уравнений, а метод
«тянь-юань» идейно схож с методом Руффини - Горнера для нахож-
дения корней многочлена.

ИНДИЯ

Если геометрия в значительной степени восходит к греческой ма-
тематике, то арифметика имеет несомненно индийское происхожде-
ние. От индийской десятичной позиционной нумерации происходит
нумерация современная; индийцы первыми разработали и правила
арифметических действий, связанных с этой нумерацией: сложение,
вычитание, умножение, деление, возведение в квадрат и куб, извле-
чение квадратного и кубического корней. Арифметические вычис-
ления носили название дхули-карма («работа с пылью»), потому что
велись прямо на земле или на доске, покрытой песком или пылью.
Современные термины «корень» и «синус» напоминают нам о роли
индийских математиков в разработке алгебры и тригонометрии.
В значительной степени именно индийцам мы обязаны введением
отрицательных и иррациональных чисел.

К сожалению, математические и астрономические труды индий-
цев ХУ-ХУП вв. остались в свое время неизвестными за пределами
Индии и были заново получены европейцами, как, например, откры-
тие бесконечного ряда для арктангенса, синуса и косинуса.

В царстве Гупт (У-У1 вв., территория Северной и Центральной
Индии) исследованиями по астрономии и математике занимались Ари-
абхата и Варахамихира, в УП в. работал Брахмагупта. Одна из самых
известных формул Брахмагупты, изучаемая в школе, это формула для
нахождения площади четырехугольника, вписанного в окружность,

5 = рр - ~а)(р - />)(/> - с)(р - Л),

где а, Ь, с, с1- это стороны четырехугольника, а р - полупериметр.
Геометрические доказательства индийцев были очень лаконичны,
но наглядны. Так, часто доказательства состояли только из чертежей
и слова «смотри».

В УП-УШ вв. «сиддханты» (труды по математике и астроно-
мии) Ариабхаты и Брахмагупты были переведены с санскрита на
арабский язык. В Южной Индии работали математики и астрономы
Магавира (IX в.), Шридхара (1Х-Х вв.), Бхаскара (XII в.), Нарайана
(Х1У в.), Нилаканта (Х1-ХУ1 вв.) и многие другие.
Некоторые сведения о древнеиндийской математике содержатся
в комментариях к священной книге брахманов «Веды» (например,
способы построения алтарей и связанные с этим расчеты). Первые
«сиддханты» (V в.) имеют эллинистические корни, связанные в том
числе с александрийскими учеными. Так, древнейшая из «сиддхант»
«Пулиса-сиддханта» познакомила индийцев с тригонометрией хорд
александрийских астрономов.

Понятие отрицательных чисел появилось, возможно, в результа-
те контакта с китайской наукой, однако никогда не использовалось
индийцами для решения линейных уравнений. Индийцы называли
положительные числа «дхана» или «сва» («имущество»), а отрица-
тельные числа - «рина» или «кшайа» («долг»). Впоследствии этот
термин встречается в том же значении в странах ислама («дайн»
у Абу-л-Вафы) и в Европе (с1еЫ1ит у Леонардо Пизанского).

Математики Южной Индии предвосхитили многие результаты,
которые были заново получены в Европе в ХУП-ХУШ вв. Так, ряд
арктангенса

• 3	-5

_ Г 81Пф	Г 81П ф	Г 81П ф

СО8 ф	3 С083ф	5 С085ф

был заново найден Джеймсом Грегори в 1671 г. и Готфридом Лейб-
ницем в 1673 г. Соотношением

пользовался в 1739 г. Леонард Эйлер для разложения числа я . Ряды
для синуса, косинуса и арксинуса были выведены И. Ньютоном око-
ло 1666 г. Индийцы предвосхитили не только конечные результаты,
но отчасти и методы, приводящие к ним и использующиеся в со-
временной математике. (В частности, разложение подынтегральной
функции в ряд с ее последующим интегрированием.)
СТРАНЫ ИСЛАМА

Как и математикам Китая и Индии, математикам стран ислама
следовало бы посвятить отдельную книгу. Здесь хотелось бы только
кратко отметить значение арабской науки в развитии математики как
на Востоке, так и в европейских странах. Так, в XII в. персидским
математиком, механиком и астрономом Насир ад-Дином ат-Тутси
были принесены в Пекин (тогда Ханбалык) исследования по сфери-
ческой тригонометрии. Он, в частности, был знатоком греческой на-
уки, комментировал труды Евклида, Архимеда, Птолемея и многих
других. Далее, в 1267 г. в Ханбалык были доставлены новые астро-
номические приборы сотрудником Марагинской (около г. Тавриз)
обсерватории Джамал ад-Дином. С помощью этих приборов был со-
ставлен новый календарь. О связях исламских ученых с Индией сви-
детельствует работа персидского ученого-энциклопедиста и матема-
тика ал-Бируни (XI в.) в Индии, где он перевел на санскрит «Начала»
Евклида и «Алмагест» Птолемея. Подобных примеров множество.

Однако особенно сильное - в буквальном смысле слова крити-
ческое - влияние арабская математика оказала на страны Европы.
С начала XI в. ученые со всей Европы приезжали в мавританские
государства Северной Африки и Пиренейского полуострова, чтобы
познакомиться с математикой и естественными науками. В XII в.
в этих землях достигает расцвета деятельность переводчиков араб-
ских сочинений и трудов, переведенных с греческого. Переводится
на латинский язык большое количество сочинений ал-Хорезми, Бану
Муса, Ибн Коры, Ибн ал-Хайсама и многих других математиков.
Другими словами, создается латинский вариант арабской матема-
тической литературы. Так, «Начала» Евклида и многие сочинения
Архимеда переводятся на латинский язык сначала с арабских пере-
водов. Европейские ученые получили возможность познакомиться
и с достижениями арабских математиков. Приведем только один из
многочисленных примеров. Упоминание о «положительном» и «от-
рицательном» имело исходником самаркандскую математическую
школу, соответствующие труды были переведены с арабского на гре-
ческий, с греческого на латынь, с латыни на немецкий. На латынь
были переведены и астрономические таблицы Улугбека, внука Та-
мерлана, выдающегося математика и астронома.

О влиянии науки стран ислама на науку Европы говорят такие
хорошо известные термины, как «арабские цифры», «алгебра»,
«алгоритм» и др. Помимо собственно научных открытий в области
математики, арабские ученые способствовали построению европей-
ской науки на фундаменте достижений математики Древней Греции
и стран Востока, сделав труды предшественников доступными для
ученых Европы.

Сажина Ольга, д. ф.-м. н.,
ведущий научный сотрудник отдела
релятивистской астрофизики ГЛИШ МГУ
ВВЕДЕНИЕ

Нам повезло жить в эпоху, когда новые открытия все еще до-
ступны. Ведь открытие - подобно открытию Америки-можно
совершить только один раз. Наша эпоха - это эпоха открытия
фундаментальных законов природы.

Ричард Фейнман, американский физик.

1964 г.

Эта книга, содержащая выдержки из самых важных работ в исто-
рии математики, призвана прославить ученых, которые помогли про-
двинуться в понимании мира и проложили путь для нынешнего века
науки и технологии.

На протяжении столетий усилия математиков, о которых пойдет
речь в этой книге, помогали человечеству все глубже понимать при-
роду вещей. Так было осознано, что Земля круглая, что сила, кото-
рая заставляет яблоко падать здесь, на Земле, - та же, что отвечает
за движение небесных тел. Нам стало известно, что пространство
конечно и ограничен во времени и что сами время и пространство
переплетены друг с другом и искривлены материей и энергией. Мы
узнали, что будущее может быть определено только вероятностно.

Подобные революции восприятия окружающего мира всегда шли
рука об руку с революциями в математическом мышлении. Исаак
Ньютон никогда не смог бы сформулировать свои законы без аналити-
ческой геометрии Рене Декарта и собственного изобретения методов
исчисления. Трудно представить себе развитие электродинамики или
квантовой теории без работы по исчислению и теории комплексных
функций, пионерами которых были Карл Фридрих Гаусс и Огюстен
Луи Коши. Практически вся современная наука не обладала бы такой
мощью (если бы наука вообще существовала) без концепций вероятно-
сти и статистики, впервые предложенных Пьером Симоном Лапласом.

Для тех, кто на протяжении веков изучал физическую науку, ни
одна интеллектуальная сфера деятельности не была так важна, как
математика. Однако последняя есть нечто большее, чем просто ин-
струмент и язык для науки. Математика также и самоцель, и в такой
ипостаси она на протяжении веков на свой лад формировала наше
мировоззрение. Работа Георга Кантора произвела революцию в пред-
ставлении о бесконечности. Алан Тьюринг осветил мощь и пределы
цифровых вычислений задолго до того, как изощренные вычисления
стали вообще возможны. Курт Гёдель доказал теорему, тревожащую
многих философов, а также всех тех, кто верит в абсолютную ис-
тину: в любой достаточно сложной логической системе (такой, как
арифметика) должны существовать утверждения, которые нельзя ни
доказать, ни опровергнуть. И если кого-то недостаточно впечатлило
такое утверждение, добавим, что Гёдель также показал, что вопрос
о том, является ли система логически непротиворечивой, не может
быть решен внутри самой системы.

В предлагаемой книге рассказывается обо всех перечисленных
и многих других выдающихся открытиях, освещаются центральные
идеи 25 веков развития математики. В сборнике используются ори-
гинальные тексты: они позволяют проследить эволюцию, а иногда
и революцию, в математическом мышлении от его зарождения до
наших дней.

Хотя первая работа, представленная здесь,-это работа Евклида,
датируемая примерно 300 г. до н.э., египтяне и вавилоняне достигли
высокого уровня выполнения математических расчетов еще в 3500 г.
до н.э. Египтяне использовали это умение для строительства вели-
ких пирамид и других целей. Однако их вычислениям не хватало од-
ного качества, которое считалось важным для математики с тех пор:
строгости. Например, древние египтяне приравнивали площадь кру-
га к площади квадрата, стороны которого равнялись | диаметра кру-
га. Этот метод сводился к использованию значения математической
константы л («пи»), равной В каком-то смысле такие вычисления
впечатляют - ведь это всего лишь полпроцента от точного значения
числа л. Но в другом смысле это совершенно неправильно, и дело
вовсе не в том, что величина этого числа была получена с ошибкой,
какой бы малой ни была последняя. Дело в том, что использован-
ное египтянами приближение упускало из виду одно из глубинных
и фундаментальных математических свойств истинного числа л: его
нельзя записать в виде рациональной дроби. Это принципиальный
вопрос, не имеющий отношения к вопросу о простой количествен-
ной точности. Хотя иррациональность числа 71 была доказана лишь
в конце XVIII в., древние греки обнаружили, что существуют числа,
которые нельзя записать в виде дробей, и это было для них одновре-
менно загадкой и источником большого изумления. В этом и состоя-
ла гениальность греков: признать важность принципа многообразия
в математике, а также то, что по своей сути математика-это предмет,
в котором следует начинать с набора понятий и правил, а затем стро-
го разрабатывать их точные следствия.
Евклид подробно изложил греческое понимание геометрии
в своих «Элементах», в городе Александрия около 300 г. до н.э.
В последующие столетия греки добились больших успехов как в ал-
гебре, так и в геометрии. Архимед, величайший математик Антич-
ности, изучал свойства геометрических фигур и создал гениальные
методы нахождения площадей и объемов, а также новые приближе-
ния для числа л. Более чем тысячелетие спустя француз Рене Декарт
объединил геометрию и алгебру, создав аналитическую геометрию.
Труды Декарта проложили Исааку Ньютону путь к изобретению ме-
тодов исчисления, а вместе с ним и новый способ ведения науки. Со
времен Ньютона темпы математических нововведений стремитель-
но возросли, поскольку фундаментальные математические области
алгебры, геометрии и исчисления (или теории функций) разраста-
лись и обогащали друг друга, давая понимание таких разнообразных
приложений, как вероятность, теория чисел и описания физических
процессов, например в термодинамике.

По мере развития математики расширялся решаемый ею круг во-
просов. Так, Курт Гёдель и Алан Тьюринг - последние два мыслите-
ля, представленные в этой книге, - обращаются, возможно, к самой
глубокой проблеме: вопросу о том, что познаваемо. Подобно тому,
как это происходило в прошлом, будущие достижения в математике,
несомненно, повлияют - прямо или косвенно - на наши пути раз-
вития, жизнь и мышление. Чудеса Древнего мира были физически-
ми, подобно египетским пирамидам. Как мы постарались показать
в этой книге, самое величайшее чудо современного мира - это наше
собственное понимание.
Евклид
(325-265 до н.э.)
Жизнь и труды

За исключением, возможно, только Исаака Ньютона, Евклид -
самый известный математик за всю историю человеческой цивили-
зации. В XX в. вплоть до какого-то момента его единственная со-
хранившаяся работа «Элементы» была второй самой продаваемой
книгой всех времен, уступая только Библии. Тем не менее, вероятнее
всего, Евклид был лишь составителем математических трудов всех
известных ему на то время ученых. В качестве аналогии можно при-
вести пример Ноа Вебстера, великого лексикографа XIX в., который
дал свое имя ведущему американскому словарю.

О самом Евклиде известно очень мало. Он преподавал в акаде-
мии в Александрии, эллинском городе, который Александр Великий
основал в устье реки Нил в Египте. Благодаря своей работе соста-
вителя Евклид был знаком со всей греческой математикой, которая
предшествовала ему, и особенно с первым кризисом в математике:
кризисом иррационального.

Пифагор (умер около 475 г. до н.э.) был загадочной фигурой ран-
ней греческой математики. Если мы мало знаем о Евклиде, то еще
меньше знаем о Пифагоре. Однако нам кое-что известно о Пифаго-
рейской школе. Ее последователи считали, что весь космос можно
описать в терминах целых чисел: 1, 2, 3 и т.д. По словам Аристотеля,
«пифагорейцы, будучи воспитанными в математической традиции,
думали, что вещи суть числа... и что весь космос - это масштаб
и число».

Теорема Пифагора [представленная в этой главе] продемонстри-
ровала это положение пифагорейцев. Они нашли, что небольшие це-
лые числа, такие как 3, 4 и 5, есть не только длины сторон прямо-
угольного треугольника, но обладают следующим свойством. Когда
площади квадратов, возведенных на двух меньших сторонах, скла-
дывались вместе, они равнялись площади квадрата, возведенного на
самой длинной стороне, гипотенузе, противоположной прямому углу.
Обратите внимание, как древние греки формулировали теорему Пи-
фагора в терминах геометрических объектов, а не в терминах чисел!

Как-то был задан интересный вопрос. Если бы существовал ква-
драт со стороной единичной длины и второй квадрат с удвоенной
площадью первого квадрата, то как бы сторона второго квадрата
сравнивалась со стороной первого квадрата? Именно так первона-
чально был предложен вопрос о квадратном корне из числа 2.

Древние египтяне нашли хорошее приближение к ответу на этот
вопрос. Сторона второго квадрата относилась бы к стороне перво-
го квадрата почти как 7:5. Это, конечно, не должно нас удивлять,
7

так как мы знаем, что — = 1,4, что очень близко к приближенному
десятичному представлению л/2 . Однако приближенное значение
было недостаточно хорошо для пифагорейцев. В конце концов, те-
орема Пифагора не утверждала, что площади квадратов «близки
к равным». Теорема утверждала, что площади равны точно.

И однажды кого-то (чье имя нам неизвестно) посетило глубокое
озарение. Предположим, что >/2 может быть выражен как отноше-
ние двух целых чисел и что эти два целых числа не имеют общих
делителей, кроме 1, их общей единицы. Назовем эти целые числа р
и с/ со свойством, что квадрат Р, возведенный на сторону длины р,
ровно в два раза больше площади квадрата О, возведенного на сто-
рону длины д. Теперь, если Р содержит в два раза больше единиц,
чем 2, то Р должен содержать четное число единиц! Пифагорейцы
уже знали, что если квадрат содержит четное число единиц, то чис-
ло единиц, содержащихся в квадрате, должно быть кратно четырем
единицам площади, а его стороны должны содержать четное число
целых единиц длины. Было известно решение другой задачи: как
из одного квадрата можно найти другой квадрат с одной четвертой
площади первого. Необходимо возвести квадрат на стороне, равной
половине этой стороны. В рассматриваемом примере получится
квадрат Г, сторона I которого равна половине стороныр. Поскольку р
содержит четное число целых единиц длины, сторона I все равно
должна содержать некоторое число целых единиц длины. Но тогда,
если квадрат Т имеет одну четвертую площади квадрата Р, квадрат <2
должен содержать вдвое больше единиц площади, чем квадрат Т.
Так как квадрат Т содержит четное число единиц площади, то, как
и квадрат Р, квадрат 2 также должен содержать кратное четырем
единицам площади. Таким образом, его сторона д должна содержать
четное число единиц длины. Этот математический аргумент стал по-
добен теннисному матчу: ходил взад и вперед между игроками.

В конце концов спор достиг апогея. Он начинался с предположе-
ния, что стороны р и с/ не имеют общего делителя, кроме 1, и закан-
чивался противоречием: что они обладают общим делителем 2! Как
ни старались пифагорейцы, они не могли найти в этом аргументе ни
единого изъяна. Зная, что на самом деле никто никогда не находил
способа выразить л/2 как отношение двух целых чисел, пифагорей-
цы столкнулись с реальностью: они доказали, чтол/2 не может быть
выражен как отношение двух целых чисел.

Так родились иррациональные числа, математические объекты,
которые не могли быть выражены с помощью целых чисел, по край-
ней мере в течение двух тысячелетий: первое из того, что Кронекер
называл творениями человека.

Пифагорейцы тщательно охраняли это великое открытие, пото-
му что оно создало кризис, который достиг самых основ их миропо-
нимания. Когда пифагорейцы узнали, что один из их членов раскрыл
тайну кому-то вне их круга, они быстро составили план, как выбро-
сить предателя за борт и утопить его в открытом море. Кем бы он ни
был, этот человек стал первым мучеником математики!

Кризис иррационального также научил древних греков, что не-
достаточно одной арифметики, чтобы сформировать основу для
остальной математики, а вместе с ней и объяснение структуры кос-
моса. Стало необходимо искать в другом месте. Они обратились
к геометрии.

«Элементы» Евклида больше всего запомнились своей геометри-
ей, и особенно трактовкой параллельных линий в их определении:

Параллельные прямые линии-это прямые линии, кото-
рые, будучи в одной плоскости и бесконечно производи-
мые в обоих направлениях, не встречаются друг с дру-
гом ни в одном направлении.
Пятый постулат, постулат о параллельности:

Если прямая, падающая на две прямые, образует вну-
тренние углы по одну сторону, меньшие двух прямых
углов, то прямые, если они продолжаются бесконечно,
сходятся на той стороне, на которой углы меньше двух
прямых углов.

Следующее утверждение сформулировано в форме, которая отлича-
ется от обычно используемой:

Взяв произвольную линию и точку вне этой линии, мож-
но провести ровно одну линию через данную точку па-
раллельно линии.

Эта эквивалентная, но другая форма была дана шотландским мате-
матиком Джоном Плейфером в 1795 г.

В разгар ньютоновской эры философы, такие как Иммануил
Кант, никогда не сомневались в истинности постулата Евклида о па-
раллельности. Они просто интересовались природой его истинного
заключения. Был ли постулат о параллельности обязательно верен
для космоса или верен только условно? Конечно, с момента эйн-
штейновской революции известно, что постулат о параллельности
совершенно неверен в отношении космоса. Эйнштейновский космос
пространства-времени, в котором мы живем, искривлен. Евклидова
геометрия и ньютоновская физика-это только приближения.

Итак, мы можем спросить, что думали греки о природе посту-
лата о параллельности. Я полагаю, что краткое рассмотрение древ-
негреческой концепции мира объяснит, что они тоже рассматривали
постулат о параллельности скорее как полезную фикцию, чем как
истинное описание физического мира. В конце концов, греки вери-
ли, что мы населяем то, что историк науки Александр Койре назвал
«замкнутым миром», сферическим космосом, в котором нет прямых
линий, простирающихся в бесконечность. Ниже орбиты Луны тела
двигались или по прямой линии к центру Земли, или от нее. Выше
орбиты Луны тела совершали идеальные круги вокруг центра Земли.
В этом космосе вообще не было прямых линий.

Но перед греками возникла трудность: им нужно было найти ос-
нову для своей математики. Пифагорейцы использовали арифметику
в качестве основы и пришли к кризису. Нуждаясь в поиске альтер-
нативы, другая школа, восходящая к Фалесу (умер около 547 г. до
н.э.), стремилась основать математику на геометрии. Представители
этой школы обнаружили, что без постулата о параллельности они
мало чего могут достичь! Например, они не смогли доказать теоре-
му Пифагора. На самом деле они вообще не могли доказать многие
геометрические положения. Это не должно удивлять нас, современ-
ных людей, которые имеют преимущество 2500 лет ретроспективы
и знают, что теорема Пифагора ложна в неевклидовой геометрии.
Я полагаю, что древние греки знали, что постулат о параллельности
был только полезным, нет, я бы сказал даже больше, очень полезным
приближением.

Доказательство иррациональности квадратного корня из чис-
ла 2 породило первый кризис в математике. Кроме того, это дока-
зательство дало первый пример формы аргументации, известной
с древних времен как гедисйо ад аЪзигдит, сведение к абсурду3.
Второй пример такой формы аргументации можно увидеть в доказа-
тельстве Евклида бесконечности простых чисел, еще одном доказа-
тельстве, которое, несомненно, исходило от кого-то другого.

Простое число - это положительное целое число, например
3 или 23, которое имеет только два целых положительных делите-
ля: оно делится только на 1 и само на себя. Доказать бесконечность
простых чисел удивительно просто. Предположим, что существу-
ет наибольшее простое число Р. Теперь перемножим все простые
числа вплоть до Р. Далее добавим к полученному результату 1. Та-
ким образом, получившееся число не делится ни на Р, ни на одно из
простых чисел меньше Р, потому что Р и все простые числа, мень-
шие этого нового числа, делили свое произведение до добавления 1.
Предположение, что существует наибольшее простое число, приво-
дит к противоречию. Кедисдо ад аЪзигдит!

Греки заметили, что многие простые числа соединяются попар-
но, например 11и13,17и19, 29и31. Такие числа называются двой-
ными простыми. Согласно некоторым утверждениям, греки предпо-
лагали существование не только бесконечного числа простых чисел,
но и бесконечного числа двойных простых чисел. Они не смогли
этого доказать, и с тех пор ни один математик не смог этого доказать.

Также ни один математик не смог опровергнуть гипотезу суще-
ствования так называемого совершенного нечетного числа. Слово-

о

Или доказательство от противного.
сочетание «совершенное число» звучит очень странно! Что такое
совершенное число? Совершенное число - это сумма его целочис-
ленных делителей, больших или равных 1, но меньших, чем оно
само, которые называются его собственными делителями. Древние
греки нашли все четные совершенные числа следующим образом.

Заметим, что сумма степеней 2 от 1, равная 2°, до 2п~ 1 равна
2п ~ 1. В простейшем случае, для п = 3, 1 + 2 + 4= 7 = 8 — 1.
Теперь давайте проделаем простые арифметические вычисления:

7 =1 + 2 + 4 =2° + 21 + 22

7 =8-1	= 23 - 2°

14 =16-2	= 24 - 21

Все эти столбцы складываются в 28. Записывая эту сумму в еще
одну, мы видим, что

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 22 + 23 + 24 =

= 22 х (2° + 21 + 22) = 22 х (23 - 1).

Число 28 есть сумма своих делителей. Заметим, что эти делители
представляют собой степени двойки, от второй до четвертой. Если
бы 7 = 23 — 1 не было простым числом, то 28 не было бы равно
сумме своих собственных делителей.

В общем случае греки доказали, что

Если число 2^—1 есть простое, то число
2^-1^ х (2п — 1) есть совершенное число, и следователь-
но, четные совершенные числа должны иметь такой вид.

Более двух тысячелетий спустя никто так и не обнаружил нечет-
ного совершенного числа. Ни один математик не верит, что нечетное
совершенное число существует. Однако никто не смог доказать, что
оно не существует!

Пифагорейцы пытались и не смогли основать всю математику
на арифметике. Переориентация математики на геометрию означала
переориентацию на геометрию арифметики.

Ответьте быстро на вопрос, что больше: | или у? Это легкий
вопрос. Попробуйте теперь вот такой, без калькулятора: что больше:
у или ^|? Можно сделать это просто с помощью умножения, а не
деления. Теория Евдокса о пропорциях, представленная в Книге V
«Элементов» Евклида, предоставляет инструменты, а именно умно-
жение, для получения ответа.

Вслед за Евдоксом (умер около 355 г. до н.э.) Евклид поставил
задачу следующим образом: рассмотрим четыре величины длины-
а. Ь, с и Как можно определить, является ли отношение а к Ь боль-
ше, меньше или равно отношению с к «/? Евдокс начал с утвержде-
ния, что «считается, что величины могут иметь отношение друг
к другу, когда множитель одной из них может превышать другую».
Он признал, что если отношениеакЬ больше, чем отношение с к <7,
то все множители в отношенииакЬ больше, чем то же самое число
множителей в отношении с к сП. Осознав этот факт, Евдокс понял,
что все, что ему нужно было сделать,- это найти один некоторый
множитель. Он выбрал множитель, равный произведению Ь и (Л. Так,
умножение отношения а к Ь на произведение Ь и с! давало площадь
прямоугольника со сторонами длины а и (Л. Аналогично, умножение
отношения с к с! на произведение Ъ и с! давало площадь прямоуголь-
ника со сторонами с и Ъ.

Таким образом, площадь прямоугольника со сторонами а и с1
больше площади прямоугольника со сторонами с и Ъ тогда и только
тогда, когда отношение акЬ больше отношения с к сП. В то время как
пифагорейцы пытались «арифметизировать геометрию» и потерпе-
ли неудачу, Евдокс попытался «геометризовать арифметику» и пре-
успел! Кстати, так как 19 х 19 больше, чем 30 х 12, то больше,
30	12

чем

Евклид - величайший математик-энциклопедист всех времен.
Сегодня, когда математики разных специальностей испытывают
трудности с пониманием работы на границах областей деятельно-
сти друг друга, ни один математик не может надеяться на редакти-
рование сборника всей известной математики. И все же она остается
идеалом в математическом сообществе. Во второй половине XX в.
Французское математическое сообщество предложило бледное под-
ражание Евклиду в лице Николаса Бурбаки. На самом деле Нико-
лас Бурбаки даже не был одним человеком. Под этим псевдонимом
скрывался коллектив из более чем 20 французских математиков, ра-
ботающих в различных областях математики! Евклид и по сей день
остается примером того, как следует писать и собирать математиче-
ские тексты.
НАЧАЛА ЕВКЛИДА
КНИГА I

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1.	Точка есть то, что не имеет частей.

2.	Линия же - длина без ширины.

3.	Концы же линии - точки.

4.	Прямая линия есть та, которая равно расположена по отно-
шению к точкам на ней.

5.	Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

6.	Концы же поверхно сти - линии.

7.	Плоская поверхность есть та, которая равно расположена
по отношению к прямым на ней.

8.	Плоский же угол есть наклонение друг к другу двух линий,
в плоскости встречающихся друг с другом, но не располо-
женных по <одной> прямой.

9.	Когда же линии, содержащие угол, прямые, то угол называет-
ся прямолинейным.

10.	Когда же прямая, восстановленная на <другой> прямой, об-
разует рядом углы, равные между собой, то каждый из рав-
ных углов есть прямой, а восставленная прямая называется
перпендикуляром к той, на которой она восставлена.

11.	Тупой угол - больший прямого.

12.	Острый же - меньший прямого.

13.	Граница есть то, что является оконечностью чего-либо.

14.	Фигура есть то, что содержится внутри какой-нибудь или ка-
ких-нибудь границ.

15.	Круг есть плоская фигура, содержащаяся внутри одной
линии [которая называется окружностью], на которую все
из одной точки внутри фигуры падающие [на окружность
круга] прямые равны между собой.

16.	Центром же круга называется эта точка.

17.	Диаметр же круга есть какая угодно прямая, проведенная
через центр и ограничиваемая с обеих сторон окружностью
круга, она же и рассекает круг пополам.

18.	Полукруг же есть фигура, содержащаяся между диаметром
и отсекаемой им <частью> окружности. Центр же полукру-
га-то же самое, что и у круга.
19.	Прямолинейные фигуры суть те, которые содержатся меж-
ду прямыми, трехсторонние - между тремя, четырехсто-
ронние же-четырьмя, многосторонние же-которые содер-
жатся между более чем четырьмя прямыми.

20.	Из трехсторонних фигур равносторонний треугольник
есть фигура, имеющая три равные стороны, равнобедрен-
ный же-имеющая только две равные стороны, разносторон-
ний же - имеющая три неравные стороны.

21.	Кроме того, из трехсторонних фигур прямоугольный тре-
угольник есть имеющий прямой угол, тупоугольный
же - имеющий тупой угол, а остроугольный - имеющий три
острых угла.

22.	Из четырехсторонних фигур квадрат есть та, которая и рав-
носторонняя и прямоугольная, разносторонник же - пря-
моугольная, но не равносторонняя, ромб - равносторонняя,
но не прямоугольная, ромбоид (параллелограмм) - имеющая
противоположные стороны и углы, равные между собой,
но не являющаяся ни равносторонней, ни прямоугольной.
Остальные же четырехсторонники будем называть трапе-
циями.

23.	Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной
плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограничен-
но, ни с той ни с другой «стороны» между собой не встреча-
ются.

ПОСТУЛАТЫ

Допустим:

1.	Что от всякой точки до всякой точки <можно> провести пря-
мую линию.

2.	И что ограниченную прямую <можно> непрерывно продол-
жать по прямой.

3.	И что из всякого центра и всяким раствором <может быть>
описан круг.

4.	(Акс. 10.) И что все прямые углы равны между собой.

5.	(Акс. 11.) И если прямая, падающая на две прямые, образует
внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых,
то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся
с той стороны, где углы меньшие двух прямых.
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ

(Аксиомы)

1.	Равные одному и тому же равны и между собой.

2.	И если к равным прибавляются равные, то и целые будут рав-
ны.

3.	И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
[4. И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не
равны.

5.	И удвоенные одного и того же равны между собой.

6.	И половины одного и того же равны между собой].

7.	И совмещающиеся друг с другом равны между собой.

8.	И целое больше части.

[9. И две прямые не содержат пространства.]

Предложение 47

В прямоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягиваю-
щей прямой угол, равен <вместе взятым> квадратам на сторонах,
заключающих прямой угол.

Пусть АВС-прямоугольный треугольник, имеющий прямой угол
ВАС; я утверждаю, что квадрат на7?С равен <вместе взятым> квадра-
там на ВА и АС (чертеж 47).

Чертеж 47
Действительно, надстроим на ВС квадрат ВНЕС, а на ВА, АС
надстроим <квадраты> НВ, СС (предложение 46); и через А прове-
дем АЕ, параллельную как ВН, так и СЕ (предложение 31); соединим
АН, ЕС. И поскольку каждый из углов ВАС, ВАН прямой (опреде-
ление 10), то вот на некоторой прямой В А при ее точке А две пря-
мые АС, АН, расположенные не по одну сторону, образуют смежные
углы, <вместе> равные двум прямым; значит, С А будет по <одной>
прямой с АН (предложение 14). Вследствие того же вот и В А будет
по одной прямой с ЛО. И поскольку угол ИВС равен углу ЕВА (ак-
сиома 1), ибо каждый из них прямой, то прибавим общий угол АВС',
значит, весь угол ИВА равен всему ЕВС (аксиома 2). И поскольку НВ
равна ВС, а ЕВ равна ВА (определение 22), то вот две стороны НВ,
В А равны двум сторонам ВС, ЕВ каждая каждой; и угол ИВА равен
углу ЕВС', значит, и основание (предложение 4) АН равно основанию
ЕС, и треугольник АВН равен треугольнику ЕВС (предложение 4).
И удвоенный треугольник АВН есть параллелограмм ВЕ (предложе-
ние 41), ибо они имеют то же основание ВН и расположены между
теми же параллельными ВН, АЕ (предложение 41). Удвоенный же
треугольник ЕВС (предложение 41) есть квадрат НВ', ибо они имеют
то же основание ЕВ и расположены между теми же параллельными
ЕВ и НС', [но удвоенные равных величин равны между собой (аксио-
ма 5)]; значит, и параллелограмм ВЕ равен квадрату НВ. Подобным
же вот образом, соединяя АЕ, ВК, будет доказано, что и параллело-
грамм СЕ равен квадрату СС; значит, весь квадрат ВНЕС равен двум
квадратам НВ и СС, вместе взятым. И ВНЕС есть квадрат, надстро-
енный на ВС, а НВ, СС - на В А, АС; значит, квадрат на стороне ВС
равен <вместе взятым> квадратам на сторонах ВА, АС.

Значит, в прямоугольных треугольниках квадрат на стороне, стя-
гивающей прямой угол, равен <вместе взятым> квадратам на сторо-
нах, заключающих прямой [угол]; что и требовалось доказать.

Доказательства теоремы Пифагора

Многочисленные доказательства теоремы Пифагора делятся на следующие
виды:

1.	Доказательство, которое дается в «Началах» и, по свидетельству Прокла,
принадлежит самому Евклиду.

Оно основывается на равновеликости треугольников с равными высотами
и равными основаниями и выводится из равновеликости параллелограммов
с равными основаниями и высотами как фигур эквивалентных в смысле Гиль-
берта на основании аксиомы 6 книги I «Начал»: половины равных величин рав-
ны между собой.
Доказательство это не может быть непосредственно представлено на мо-
дели.

2.	Доказательство равносоставленности. Особенного внимания заслужива-
ет доказательство АпагНшз (900 г.н.э.).

Мы прилагаем чертеж, по которому может быть построена модель (чер-
теж 35).

На чертеже ЕЕ 11 АВ, АВ ± АВ и ЕМ ± АВ, ВО продолжение ВЕ, КР ± ОВ
и /V X РК, В(^ = ЕМ. Мы не будем излагать доказательство. Отметим, что очень
ходкое в настоящее время доказательство, изображенное на чертеж 36, пред-
ставляет по существу доказательство Анариция, но только при другом располо-
жении квадратов, построенных на гипотенузе и катетах.

Такого же типа доказательство представлено на чертеже 37.

3.	Доказательство, основанное на равносоставленности фигур, полученных
из данных прибавлением (чертеж 38).

Доказывается, что два равных шестиугольника АЕСОЕВ и СА1ЕКВ со-
стоят - первый из квадратов, построенных на катетах, и двух треугольников
АВС = С ОС, второй - из квадрата, построенного на гипотенузе, и из двух таких
же треугольников АВС = 1ЕК.

4.	Доказательства, построенные на некоторых алгебраических тождествах,
которые можно заменить соответствующими теоремами книги II «Начал»; о них
будем говорить в комментариях к книге II.

5.	Доказательства, основанные на теории подобия; о них будем говорить
в комментариях к книге VI.
Интересно отметить упрощение, предлагаемое Лицманом к доказательству
Евклида и состоящее в том, что квадрат, построенный на одном из катетов, на-
правляется внутрь (чертеж 39).
Теорема Паппа

Обобщением теоремы Пифагора является теорема Паппа Александрийско-
го (III в.н.э.).

Во всяком треугольнике АВС (чертеж 40) параллелограмм АВА 'В', который
построен на одной стороне треугольника внутрь последнего и имеет две верши-
ны А' и В’ вне треугольника, равновелик сумме двух параллелограммов АС ЕВ
и ВССВ, построенных на двух других сторонах треугольника так, что стороны
их, параллельные сторонам треугольника, проходят через вершины первого па-
раллелограмма. Доказываем, что ДАВ'С' = ДАВС.

Чертеж 40

Параллелограммы АА'С'С и ВВ’С’С равновелики данным параллелограм-
мам АВЕС и ВЕСС вследствие равенств высот и оснований.

Если от фигуры АА’СВ’В отнять ДА'СВ' то остается параллелограмм
АА’В’В.

Если же отнять треугольник АВС = А'В'С', то остается сумма паралле-
лограммов АА'С'С + ВВ’С’С или равная ей сумма параллелограммов АВЕС +
ВЕСС.

Теорема, обратная теореме Пифагора

Эта теорема в настоящее время доказывается (это делали и некоторые ком-
ментаторы) на основании предложений 12 и 13 книги II, дающих так называе-
мую обобщенную теорему Пифагора, которая выражается в современной сим-
волике формулами:

СВ2 = С А2 + АВ2 + 2АС • АО (для тупого угла),

СВ2 = С А2 + АВ2 -2АС АО (для острого угла).

Следовательно, для тупоугольного треугольника

СВ2 > СА2 + АВ2,

для остроугольного

СВ2 < СА2 + АВ2,
для прямоугольного

СВ2 < СА2 + АВ2.

Мы имеем три случая, удовлетворяющих условиям теоремы Гаубера, и по-
лучаем три обратные теоремы, среди которых есть и обратная пифагоровской.

Эта трихотомия может служить иллюстрацией другой теоремы, с которой
связано не всегда уясняемое учеником понятие о противоположных и обратных
теоремах.

Из четырех предложений:

1)А есть В; 2) В есть А; 3) «не А» не есть В; 4) «не В» не есть А, где 1) есть
прямое предложение, 2) - ему обратное, 3) - ему противоположное и 4) - обрат-
ное противоположному; каждые два влекут за собой остальные два.

Например, из 1) и 3) необходимо вытекает 2); действительно, если бы В ока-
залось «не А», то мы имели бы одновременно: некоторое «не А» есть В и всякое
«не А» не есть В — согласно предложению 3), что привело бы к противоречию.

Ученик часто неясно представляет сущность обратной теоремы и не всегда
понимает различие между необходимыми и достаточными условиями. В сущно-
сти, он повторяет те же ошибки, через которые проходило и все человечество.
Интересно отметить, что Гиппократ Хиосский при своих квадратурах луночек
пользуется всеми тремя теоремами, обратными Пифагоровой и ее обобщениям
для косоугольных треугольников, тогда как «Начала» Евклида (и, по всей веро-
ятности, также и «Начала» Гиппократа) не содержат теорем, обратных обобще-
ниям теоремы Пифагора.

Мы имеем четверку теорем:

1.	Если угол А треугольника прямой, то ВС2 = АВ2 + АС2.

2.	Если ВС2 = АВ2 + АС2, то угол А прямой.

3.	Если угол А не прямой, то ВС2 не равно АВ2 + АС2.

4.	Если ВС2 не равно АВ2 + АС2, то угол А не прямой.

Не всегда обращают должное внимание на предложение 2), между тем как
именно оно, а не сама теорема Пифагора, имело важное значение при построе-
нии прямого угла при помощи «египетского» треугольника со сторонами 3, 4, 5
и ему аналогичных.
КНИГА V

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1.	Часть есть величина <от> величины, меньшая <от> боль-
шей, если она измеряет большую.

2.	Кратное же - большая <от> меньшей, если она измеряется
меньшей.

3.	Отношение есть некоторая зависимость двух однородных
величин по количеству.

4.	Говорят, что величины имеют отношение между собой, если
они, взятые кратно, могут превзойти друг друга.

5.	Говорят, что величины находятся в том же отношении:
первая ко второй и третья к четвертой, если равнократные
первой и третьей одновременно больше, или одновремен-
но равны, или одновременно меньше равнократных второй
и четвертой каждая каждой при какой бы то ни было кратно-
сти, если взять их в соответственном порядке.

6.	Величины же, имеющие то же отношение, пусть называются
пропорциональными.

7.	Если же из равнократных кратное первой превышает кратное
второй, а кратное третьей не превышает кратного четвертой,
то говорят, что первая ко второй имеет большее отношение,
чем третья к четвертой.

8.	Пропорция же состоит по меньшей мере из трех членов.

9.	Когда же три величины пропорциональны, то говорят, что
первая к третьей имеет двойное отношение первой ко второй.

10.	Когда же четыре величины пропорциональны, то говорят,
что первая к четвертой имеет тройное отношение первой ко
второй и так далее всегда, пока существует пропорция.

11.	Соответственными величинами называются предыдущие
<по отношению к> предыдущим, последующие же <к> по-
следующим.

12.	Переставленное отношение есть взятие <отношения> пре-
дыдущего к предыдущему и последующего к последующему.

13.	Перевернутое отношение есть взятие <отношения> после-
дующего как предыдущего к предыдущему как к последую-
щему.

14.	Присоединение отношения есть взятие <отношения> пре-
дыдущего с последующим как одного <члена> к этому само-
му последующему.
15.	Выделение отношения есть взятие <отношения> избытка
предыдущего над последующим к этому самому последую-
щему.

16.	Переворачивание отношения есть взятие <отношения>
предыдущего к избытку предыдущего над последующим.

17.	По равенству отношение бывает при задании нескольких
величин и равного им количества других, находящихся, взя-
тые попарно, в том же самом отношении, когда как первая
к последней в <ряду> первых величин, так будет и первая
к последней в <ряду> вторых величин; или иначе: взятие
<отношения> крайних с пропуском средних.

18.	Перемешанная же пропорция бывает, когда при задании
трех величин и других равных им по количеству получает-
ся, что как в <ряду> первых величин предыдущая к после-
дующей, так и в <ряду> вторых величин предыдущая к по-
следующей, как же в <ряду> первых величин последующая
к какой-то <третьей>, так в ряду вторых какая-то <третья>
к предыдущей.

Предложение 1

Если будет несколько величин, равнократных каждая каждой
каким-нибудь <другим, взятым> в равном количестве величинам,
то сколько раз одна из <первых> величин будет кратна одной <из
вторых>, столько же раз будут и все <первые величины вместе>
кратны всем <вторым>.

Пусть будет несколько величин А В, СЕ, равнократных каждая
каждой каким-нибудь <другим, взятым> в равном количестве вели-
чинам Е, I; я утверждаю, что сколько раз АВ кратна Е, столько же раз
и АВ, СЕ <вместе> будут кратны Е, I (чертеж 1).

н	о

А I-------1-------1 В С I---------1---------1 /)

Е I-------1	/I--------1

Чертеж 1

Действительно, поскольку равнократны АВ для Е и СЕ для I, то,
значит, сколько в АВ будет величин, равных Е столько и в СЕ рав-
ных I. Разделим АВ на равные Е величины АН, НВ, а СЕ на рав-
ные /величины СС, СЕ; вот количество величин АН, НВ будет равно
количеству величин СС, СО. И поскольку АН равно А, СС же /, то,
значит, ЛЯ равно Е и АН, СС равны Е, I. Вот вследствие того же НВ
равно Е и НВ, СИ равны Е, /; значит, сколько в АВ равных Е, столько
и в АВ, СИ равных Е, /; значит, сколько раз АВ кратна Е, столько же
раз и АВ, СЕ <вместе> будут кратны Е, I.

Значит, если будет несколько величин, равнократных каждая ка-
ждой каким-нибудь <другим, взятым> в равном количестве величи-
нам, то сколько раз одна из <первых> величин будет кратна одной
<из вторых>, столько же раз и все <первые вместе> будут кратны
всем <вторым>, что и требовалось доказать.

Первые шесть предложений книги V «Начал»

Книга V Евклида не принадлежит к числу пользующихся особой популяр-
ностью; о первых шести предложениях было, например, сказано, что они пред-
ставляют простые предложения конкретной арифметики, изложенные языком,
который делает их неудобопонимаемыми для современного интеллекта. Многие
находили, что эта книга представляет определенный параллелизм с арифмети-
ческими книгами УП-1Х, где ряд предложений книги V доказывается заново
специально для чисел. Только в XIX в. книга V Евклида получила признание;
знаменитый математик Феликс Клейн признал ее одним из перлов античной ма-
тематической мысли.

Для того чтобы разобраться в этом, нужно хорошо понять принципиальное
отличие позиций греков и современных математиков в рассматриваемом вопро-
се. Книга V посвящена общей теории отношений. Для современного матема-
тика всякое отношение двух величин может быть представлено числом раци-
ональным или иррациональным; поскольку законы математических операций,
установленные для целых чисел, распространены и на другие классы чисел,
вплоть до иррациональных и комплексных, нет надобности в создании специ-
альной теории операций с отношениями.

Совершенно иное положение было для греческого математика. Для него
число - арфцбд - это прежде всего целое число, собрание нескольких единиц,
к тому же часто определенным образом расположенных (фигурные числа). Пока
отношения выражаются целыми числами, все обстоит благополучно. Но как
быть, когда отношения перестанут выражаться целыми числами?

Все данные говорят за то, что идея целочисленных отношений зародилась
в Древнем Египте; мы встречаем целочисленные отношения в архитектурных
деталях гробницы Менеса (1-я династия) и пирамид. В дальнейшем целочис-
ленные отношения сделались основой модулярной теории, которая почти одно-
временно появляется как в греческой, так и персидской архитектуре. В Персии
она появилась после завоевания Египта Камбизом вместе с пленными египет-
скими архитекторами, введшими целый ряд египетских мотивов в архитектуру
дворцов и царских могил Ахеменидов. В Греции поборником идеи числа, как
выражающего истинную сущность вещи, является Пифагор, родина которого,
Самос, была при Поликрате в теснейших отношениях с Египтом.
Но уже очень скоро греки поняли, что далеко не все элементы правиль-
ных геометрических фигур могут быть выражены не только целыми числами,
но даже и отношениями целых чисел, нашими дробями. Как тогда надо было
ставить определение отношения двух величин?

Пока отношения выражались целыми числами, для определения отноше-
ния двух длин нужно было меньшую повторять кратным столько раз, сколько
нужно для того, чтобы она сравнялась с большей. Если это число равно т, то
меньшая длина, взятая т раз, будет равна большей, взятая т - 1 раз меньше ее,
взятая т + 1 раз больше.

Нетрудно видеть, как нужно изменить определение отношения в случае
дробного числа. Если отношение двух длин а и Ъ выражается дробным числом
т

—, то если мы возьмем а кратным п раз, а Ъ кратным т раз, то полученные

длины па и тЪ будут равны друг другу; вместе с тем мы возьмем Ъ кратным
п - 1 или п + 1 раз, то получим длину, соответственно меньшую или большую
длины па. Таким образом, для определения дробных отношений мы пользуемся
равенствами

(т - 1) Ъ < па,
тЪ = па,
(т + 1) Ь> па.

В том случае, когда длины а и Ъ несоизмеримы, среднее равенство
тЪ = па невозможно, но оба крайних продолжают оставаться справедливыми. Их-то
и принял Евдокс, которому приписывается авторство основной части предложений
книги V, в качестве определения отношения двух величин в самом общем случае.

Предложение 2

Если первая <величина> столько же раз кратна второй, сколь-
ко и третья четвертой, и пятая столько же раз кратна второй,
сколько и шестая четвертой, то составленная первая и пятая
будут столько же раз кратны второй, сколько третья и шестая
<кратны> четвертой.

Пусть первая <величина> АВ столько же раз кратна второй С,
сколько третья ЕЕ четвертой /, пусть же и

в

А I---1-----1-----1----1----\Н

С I---1

Е
О I------1--------1-------1-------1-----1 О

/I------1
пятая ВН столько же раз кратна второй С, сколько и шестая ЕС чет-
вертой /; я утверждаю, что и составленные первая и пятая АН будут
столько же раз кратны второй С, сколько третья и шестая НС <крат-
ны> четвертой I (чертеж 2).

Действительно, поскольку одинаково кратны АВ от С и НЕ от /,
то, значит, сколько в АВ <величин>, равных С, столько же и в НЕ,
равных I. Вот вследствие того же и сколько в ВН будет равных С,
столько же и в ЕС равных I; значит, сколько во всем АН равных С,
столько и во всем НС равных I. Значит, сколько раз АН кратна С,
столько раз и кратна I. Значит, и составленные первая и пятая АН
столько же раз будут кратны второй С, сколько раз и третья и шестая
НС кратны четвертой I.

Значит, если первая столько же раз кратна второй, сколько и тре-
тья четвертой, и пятая столько же раз кратна второй, сколько и ше-
стая четвертой, то составленные первая и пятая будут столько же
раз кратны второй, сколько третья и шестая кратны четвертой, что
и требовалось доказать.

Предложение 3

Если первая <величина> столько же раз кратна второй, сколько
и третья четвертой, и взяты равнократные первой и третьей, то
«по равенству» из взятых каждая будет одинаково кратна каж-
дой: одна - второй, другая же четвертой.

Пусть первая <величина> А будет столько же раз кратна второй
В, сколько и третья С четвертой Н, и пусть взяты Е1 и НС равно-
кратные А и С (чертеж 3); я утверждаю, что Е1 будет столько же раз
кратна В, сколько и НС кратна Н.

А I----1----1-----1

В I----1

К

Е I--------------1-------------1 I

С ।-1--1----1

О I-1

Е

II I--------1---------1 О

Чертеж 3

Действительно, поскольку одинаково кратны Е1 от А и НС от С,
то, значит, сколько в Е1 равных А, столько и в НС равных С. Разделим
Е1т равные А величины ЕК. К1. а НО на равные С величины НЕ. ЕС;
вот количество ЕК. К1 будет равно количеству НЕ. ЕС. И поскольку
одинаково кратны А для В и С для И. ЕК же равно А. а НЕ равно С. то,
значит, одинаково кратны будут ЕК для В и НЕ для И. Вот вследствие
того же одинаково кратны будут К1 для В и ЕС для И. Поскольку
теперь первая ЕК столько же раз кратна второй В. сколько и третья
НЕ кратна четвертой И. и пятая К1 столько же раз кратна второй В.
сколько и шестая ЕС кратна четвертой И. то, значит, и сложенные
первая и пятая Е1 будут столько же раз кратны второй В. сколько
и третья и шестая НС кратны четвертой И (предложение 2).

Значит, если первая столько же раз кратна второй, сколько и тре-
тья четвертой, и взяты равнократные первой и третьей, то «по равен-
ству» из взятых каждая будет одинаково кратна каждой: одна-вто-
рой, а другая - четвертой, что и требовалось доказать.

Предложение 4

Если первая ко второй имеет то же самое отношение, что
и третья к четвертой, то и равнократные первой и третьей к рав-
нократным второй и четвертой при любой кратности будут иметь
то же самое отношение, взятые в соответственном порядке.
Пусть первая А ко второй В будет иметь то же самое отношение,
что и третья С к четвертой Я, и пусть взяты Е, /, равнократные от
Л, С, от В. Е же другие какие-нибудь равнократные Н, С; я утвер-
ждаю, что будет какЕкН, так и I к С.

Действительно, возьмем от Е, / равнократные К, Д а от Я, С дру-
гие, какие угодно, равнократные М а Е (чертеж 4).

И поскольку одинаково кратны Е от Л, I же от С и от Е, I взяты
равнократные К, Е, то, значит, одинаково кратны К от Л и Е от С
(предложение 3). Вот вследствие того же одинаково кратны М от В
и Я от Я. И поскольку будет, что как Л к В, так и С к Я, и взяты от Л,
С равнократные Я, Е от В, Е же другие какие угодно равнократные
7И, Я, то, значит, если К превышает 7И, то и Е превышает Я, и если
равны <первые>, то равны <и вторые>, и если меньше <первые>, то
меньше <и вторые> (определение 5). И К, Е суть равнократные от Д
/, а 7И, Я другие какие угодно равнократные от Я, С; значит, будет,
что какЕ кН, так иIк О (определение 5).

Значит, если первая ко второй имеет то же самое отношение, что
и третья к четвертой, то и равнократные первой и третьей к равно-
кратным второй и четвертой при любой кратности будут иметь то же
самое отношение, взятые в соответственном порядке, что и требова-
лось доказать.

Предложение 5

Если величина столько же раз кратна <другой> величине, сколь-
ко отнимаемое кратно отнимаемому, то и остаток будет столько
же раз кратен остатку, сколько раз и целое кратно целому

Пусть величина АВ будет столько же раз кратна величине СЕ,
сколько отнимаемое АЕ <кратно> отнимаемому СЕ, я утверждаю, что
и остаток ЕВ будет столько же раз кратен остатку ЕЕ, сколько раз
целое АВ кратно целому СЕ (чертеж 5).

Е

А I-----1-----1-----1---1---1---1 В

С I

II \-1-----1---1 О

Чертеж 5

Действительно, каким кратным будет АЕ от СЕ, таким же крат-
ным сделаем и ЕВ от СН.

И поскольку одинаково кратны АЕ от СЕ и ЕВ от НС, то, значит,
одинаково кратными будут АЕ от С1 и АВ от Н1 (предложение 1).
Полагаются же одинаково кратными АЕ от С1 и АВ от СВ. Значит, АВ
одинаково кратно каждой из Н1, СЕ; значит, Н1 равно СЕ. Отнимем
общую С1; значит, остаток НС равен остатку 1Е. И поскольку одина-
ково кратны АЕ от С1 и ЕВ от НС, НС же равна Е1, то, значит, одина-
ково кратны АЕ от С1 и ЕВ от 1Е. Предполагается же, что одинаково
кратны АЕ от С1 и АВ от СЕ; значит, одинаково кратны будут ЕВ от
1Е и АВ от СЕ. Значит, и остаток ЕВ будет столько же раз кратен
остатку 1Е, сколько раз целое АВ кратно целому СЕ.

Значит, если величина столько же раз кратна величине, сколько
отнимаемое кратно отнимаемому, то и остаток будет столько же раз
кратен остатку, сколько раз и целое кратно целому, что и требовалось
доказать.

Так как употребление построений, возможность которых еще не
доказана, совершенно не в духе Евклида, то Симеон дает другое до-
казательство, заимствованное им из перевода Евклида с арабского,
сделанного Кампаном. Доказательство это таково [Хизс (НесМ), т. II,
стр. 146]:

«Возьмем АС таким же кратным ЕЕ, каким АЕ будет от СЕ (чер-
теж 1); тогда ЛЕ' будет таким же кратным от СЕ, как ЕС от СЕ (V, 1).
Но АЕ, согласно предположению, такое же кратное от СЕ, как АВ от
СЕ, значит, ЕС равно АВ.

Отнимем общую величину АЕ, остаток АС будет равен остатку
ЕВ. Значит, поскольку АЕ такое же кратное от СЕ, как АС от ЕЕ,
и поскольку АС равно ЕВ, то АЕ есть такое же кратное от СЕ, как
ЕВ от ЕЕ.

О	А	ЕВ

I--------1------------1---------1

С	ЕЕ

I---------1--------1-------1

Чертеж 1

Но АЕ есть такое же кратное от СЕ, как АВ от СЕ, значит, ЕВ есть
такое же кратное от ЕЕ, как АВ от СЕ, что и требовалось доказать».

Предложение 6

Если две величины равнократны двум <другим> величинам и ка-
кие-нибудь отнимаемые равнократны тем же самым, то и остат-
ки будут или равны им, или одинаково им кратны.
Пусть две величины АВ. СБ будут равнократны двум величинам
Е.1^ отнимаемые АН. СО пусть будут равнократными тем же самым
Е. /; я утверждаю, что и остатки НВ. СИ или будут равны Е. I. или
одинаково им кратны (чертеж 6).

4	н

А |-----1------1------1----\В

Е |-----1

С	О

К I---1----1-----1---1----I О

1 I---1

Чертеж 6

Действительно, пусть сперва НВ будет равна Е; я утверждаю, что
и ОН будет равна I.

Действительно, положим СК. равную I. Поскольку одинаково
кратны АН от Е и СО от I. НВ же равна Е. КС же I. то, значит, оди-
наково кратны АВ от Е и КО от I. Предполагается же, что одинаково
кратны АВ от Е и СН от /; значит, одинаково кратны КО от I и СН
от I. Поскольку теперь каждая из КО. СН одинаково кратна I. то,
значит, КО равно СН. Отнимем общую СО; значит, остаток КС будет
равен остатку СН. Но / равно КС; значит, и СН равно /. Так что если
НВ равна Е. то и СН будет равна /.

Подобным же вот образом докажем, что если НВ было бы
<каким-нибудь> кратным Е. то ОН будет таким же кратным /.

Значит, если две величины равнократны двум величинам и какие-
нибудь отнимаемые равнократны тем же самым, то и остатки будут
или равны им, или одинаково им кратны, что и требовалось доказать.

Предложение 7

Равные к тому же имеют то же отношение, и это то же
<имеет то же отношение> к равным.

Пусть равные величины будут А и В. а какая угодно другая ве-
личина С; я утверждаю, что каждая из А. В имеет к С одно и то же
отношение, <также> и С к каждому из А. В (чертеж 7).

Действительно, возьмем от А. В равнократные Н. Е.аот С другое
какое угодно кратное /.

Поскольку теперь одинаково кратны Н от А и Е от В. А же рав-
на В. то, значит, и Н равна Е. Но / какая угодно другая величина. Зна-
чит, если Л превышает /, то и Е превышает /, и если равна, то равна,
и если меньше, то меньше. И/), Е равнократны Л, В, /же какое угодно

А I------1	О I-------1------1------1-------1

В I------1	Е I-------1------1------1-------1

С I--------1 I I-------1---------1--------1

Чертеж 7

другое кратное С; значит, будет, что как А к С, так и В к С (опреде-
ление 5).

[Вот] я утверждаю, что и С имеет одно и то же отношение к каж-
дому из Л, В.

Действительно, при тех же построениях подобным же образом
докажем, что О равна Е\ I же какая-то другая величина; значит, если
/ больше 1), то она больше и Е, если равна, то равна, и если меньше,
то меньше. И / есть кратное С, &Е.Е какие-то другие равнократные
Л, В, значит, будет, что как С к Л, так и С к В.

Значит, равные к тому же имеют то же отношение, и это то же
<имеет то же отношение> к равным, что и требовалось доказать.

Следствие

Вот из этого ясно, что если какие-нибудь величины пропорциональны, то
они будут пропорциональны и «обращая», что и требовалось доказать.

Г[ри доказательстве же предложения 10, являющегося обратным по отно-
шению к предложению 8 и которое Евклид доказывает от противного, им была
допущена ошибка, раскрытая Симеоном.

Действительно, у Евклида ход рассуждений таков: дано, что

Л В.

С> С"

требуется доказать, что А> В.

Доказательство от противного распадается на два этапа: сначала Евклид до-
казывает, что А не может быть равным В, а затем что А не может быть меньше В:
«ибо тогда Л имела бы к С меньшее отношение, чем В к С (предложение 8). Она
же не имеет. Значит, Л будет больше В».

Вот здесь-то и появляется затруднение. Если мы говорим, что Л имеет к С
меньшее отношение, чем В к С, то это, значит, что существуют такие равнократ-
ные Л и В и такое кратное С, что 1) взятое кратное В больше кратного С и 2) что
такое же кратное от Л не больше кратного С. Для того чтобы исключить эту воз-
можность, нужно доказать, что если какое-нибудь кратное В будет больше дан-
ного кратного С, то такое же кратное Л будет всегда больше данного кратного С.
Если прибегнуть к методу сечений Дедекинда, то это рассуждение будет
равносильно следующему:

«Пусть будут два числа Л и В, производящих сечения

...а ...< А <... а'...

...Ъ	Ъ’...

Если А > В, то все а' будут больше всех Ь, но некоторые из Ъ' могут быть
и больше а'.

Симеон заменяет евклидовское доказательство следующим [см. Хизс,
стр. 157].

«Пусть А имеет к С отношение большее, чем В к С, А больше В.

Действительно, поскольку А имеет к С отношение большее, чем В к С, то
есть некоторые равнократные А, В и некоторое кратное С такие, что кратное А
больше кратного С, но кратное В не больше его (определение 7).

Возьмем их, и пусть Е), Е будут равнократные от Л, В, и Е кратное С, такие,
что Е) больше, чем Е, но Е не больше, чем Е.

Значит, Е) больше, чем Е.

И поскольку Е), Е суть равнократные Л, В и Е) больше, чем Е, то А больше,
чем В.

Далее, пусть С имеет к В отношение большее, чем к Л; В меньше А.

Действительно, тогда есть некоторое кратное Е от С и некоторые равнократные
Е и Е) от В и Л, такие, что Е больше, чем Е, но не больше, чем Е) (определение 7).

Значит, Е меньше Е), и поскольку Е и Е) равнократные от В и А, значит,
В меньше Л».

Доказательство Симсона основывается на аксиоме, что если из двух рав-
нократных величин одно будет больше другого, то такое же отношение будет
и между теми величинами, равнократными которых они являются.

Предложение 8

Из неравных величин большая имеет к тому же большее отно-
шение, чем меньшая, и это то же к меньшей имеет большее отно-
шение, чем к большей.

Пусть неравные величины будут АВ и С и пусть большая будет
АВ, И же другая <какая угодно величина>; я утверждаю, что АВ име-
ет к И большее отношение, чем С к И, и что И к С имеет большее
отношение, чем к АВ (чертеж 8).

Действительно, поскольку АВ больше С, то положим ВЕ рав-
ной С; вот меньшая из АЕ, ЕВ, повторяемая кратной, когда-нибудь
будет больше И (определение 4). Пусть сперва АЕ будет меньше, чем
ЕВ; будем повторять кратной АЕ, и пусть ее кратное ЕН будет боль-
ше И, и сколько раз 1Н будет кратным АЕ, столько же раз сделаем
и НС кратным ЕВ, К же кратным С; и возьмем Е, удвоенное И, М
же утроенное, и так далее увеличивая на единицу, пока получаемая
кратная И не сделается первой превосходящей К. Возьмем <ее>,
и пусть И будет учетверенным И и первым превосходящим К.
Е
А I---1----1-1 В

С I------1

н
I I----------1-------1------1 О

К I------1-------1

/) I--1

Е I--------1

М\----1----1---1

I----1----1---1----1

Чертеж 8

Поскольку теперь К меньше ТУ первого <ее превосходящего>, то,
значит, К не меньше М. И поскольку одинаково кратны 1Н от АЕ и НС
от ЕВ, то, значит, одинаково кратны 1Н от АЕ и 1С от АВ. Одинаково
же кратны 1Н от АЕ и А? от С; значит, одинаково кратны 1С от АВ и К
от С. Значит, 1С, К одинаково кратны АВ, С. Далее, поскольку одина-
ково кратны НС от ЕВ и АГ от С, ЕВ же равна С, то, значит, и НС рав-
на К. Но К не меньше 7И; значит, и НС не меньше М. Но 1Н больше А);
значит, все 1С больше вместе взятых И и М. Но вместе взятые И, М
равны И, поскольку Мутроенное И, вместе же взятые М, И в четыре
раза больше И и И тоже в четыре раза больше значит, вместе взя-
тые М, И равны И. Но 1С больше М, И; значит, 1С превышает И; К же
не превышает И. И1С, К одинаково кратны от АВ, С; И какое угодно
другое кратное И; значит, АВ имеет к И большее отношение, чем С
к И (определение 7).

Вот я утверждаю, что и И имеет к С большее отношение, чем И
к АВ (чертеж 9).

Действительно, при тех же самых построениях подобным же об-
разом докажем, что И превосходит К, но И не превосходит 1С. И И
есть кратное И, а 1С, К другие какие угодно равнократные АВ, С;
значит, И имеет к С большее отношение, чем И к АВ (определение 7).

Но вот пусть АЕ будет больше ЕВ. Вот меньшее ЕВ при повторе-
нии кратным будет когда-нибудь больше И.
Е
А I-------1-----1 В

С I-----1

н
I I-------1------1------1-----1 О

К I-----1-----1

О I---1

Е I----1--1

М I----1---1----1

# I----1---1----1----1

Чертеж 9

Будем его повторять кратным, и пусть НС будет кратное ЕВ
и большее /9; и каким кратным НС будет от ЕВ, таким же крат-
ным сделаем и 1Н от АЕ, а А? от С. Подобным вот образом докажем,
что 1С, К одинаково кратны от АВ, С; и возьмем подобным же обра-
зом И кратное И, и первое превосходящее 1Н, так что /Ненова не бу-
дет меньше М. Но НС больше И; значит, все 1С превышает И, М, то
есть И, Но К не превышает И, поскольку и 1Н, будучи больше НС, то
есть К, не превышает И. И точно так же, следуя вышеизложенному,
мы завершаем доказательство.

Значит, из неравных величин большая имеет к тому же большее
отношение, чем, меньшая; и это то же к меньшей имеет большее от-
ношение, чем к большей, что и требовалось доказать.

Предложение 9

<Величины>, имеющие к одному и тому же то же самое отно-
шение, равны между собой; и те, к которым одно и то же имеет то
же самое отношение, равны.

Пусть каждая из А, В имеет к С то же самое отношение: я утвер-
ждаю, что А равна В (чертеж 10).

А I-----1	В I-----1

С I-----------1

Чертеж 10
Действительно, если не так, то каждая из Л, В не имела бы к С
того же самого отношения; они же имеют; значит, А равна В (пред-
ложение 8).

Пусть вот далее С имеет к каждой из Л, В то же самое отноше-
ние; я утверждаю, что Л равна В.

Действительно, если не так, то С не имела бы к каждой из Л, В
того же самого отношения (предложение 8); она же имеет; значит, Л
равна В.

Значит, имеющие к одному и тому же то же самое отношение
равны между собой; и те, к которым одно и то же имеет то же самое
отношение, равны, что и требовалось доказать.

Предложение 10

Из <величин>, имеющих отношение к одному и тому же, будет
больше та, которая имеет большее отношение; та же, к которой
одно и то же имеет большее отношение, будет меньше.

Пусть Л имеет к С большее отношение, чем В к С; я утверждаю,
что Л больше В (чертеж 11).

Действительно, если не так, то Л или равна В, или меньше. Но
равной В теперь Л не будет; ибо <тогда> каждая из Л, В имела бы к С
то же самое отношение (предложение 7). Они же не имеют; значит, Л
не равна В. Но также Л не будет и меньше В; ибо тогда Л имела бы

А I----------------1 В I--------------1

С I------------------1

Чертеж 11

к С меньшее отношение, чем ВкС (предложение 8). Она же не име-
ет; значит, Л не меньше В. Доказано же, что она и не равна; значит,
Л будет больше В.

Пусть вот далее С имеет к В большее отношение, чем С к Л;
я утверждаю, что В будет меньше Л.

Действительно, если не так, то она или равна, или больше. Но
равной Л теперь В не будет; ибо <тогда> С имела бы к каждой из Л, В
то же самое отношение. Она же не имеет; значит, Л не будет равна В.
Но также В не будет и больше Л, ибо тогда С имела бы к В меньшее
отношение, чем к Л. Она же не имеет; значит, В не больше Л. Доказа-
но же, что она и не равна; значит, В будет меньше Л.
Значит, из имеющих отношение к одному и тому же будет боль-
ше та, которая имеет большее отношение; и та, к которой одно и то
же имеет большее отношение, будет меньше, что и требовалось до-
казать.

Предложение 11

<Отношения>, тождественные одному и тому же отноше-
нию, тождественны и друг другу

Пусть будет, что как А к В. так и С к Д и как С к Д так и Е к /;
я утверждаю, что как А к В. так и Е к I (чертеж 12).

Действительно, возьмем от Л, С, Е равнократные Я, С, Я, а от В.

Е, I какие угодно другие равнократные Д 7И, Я.

И поскольку будет, что как А к В, так и С к Я и от А, С взяты рав-
нократные Я, С, от В, Е же какие угодно другие равнократные Д 7И,
то, значит, если Я превышает Д то и 6 превышает 7И, и если равна,
то равна, и если недостает, то недостает (определение 5).

в I------1

Чертеж 12

Далее, поскольку будет, что как С к Я, так и Е к /, и от С, Е взяты
равнократные С, Я, от Я, I же какие угодно другие равнократные М
и Я, то, значит, если О превышает 7И, то и К превышает Я, и если рав-
на, то, равна, и если меньше, то меньше (определение 5). Но если С
превышала 7И, то и Я превышала Д и если равна, то равна, и если
меньше, то меньше; так что если Я превышает Д то и К превыша-
ет Я, и если равна, то равна, и если меньше, то меньше (определе-
ние 5). И Я, К равнократные от Л, Д а Д Я какие-нибудь другие
равнократные от В, /; значит, будет, что как Л к В, так и Е к I.

Значит, тождественные одному и тому же отношению тожде-
ственны и друг другу, что и требовалось доказать.
Предложение 12

Если несколько величин пропорциональны, то будет, что как
одна из предыдущих к одной из последующих, так и все предыдущие
<вместе> ко всем последующим.

Пусть несколько величин Л, В, С, Е, Е, I пропорциональны: как
А к В, так иСк/)иЕк/;я утверждаю, что будет как А к В, так и Л,
С.ЕкВ.Е.1 (чертеж 13).

Действительно, возьмем от Л, С, Е равнократные Я, С, Я, от В. Е, I
же какие угодно другие равнократные Я, А/, Я.

И поскольку будет, что как Л к В, так иСкЯиЯк/, и взяты
от Л, С, Е равнократные Я, С, Я, от В. Е, I же какие-нибудь другие
равнократные Я, АГ, Я, то, значит, если Н превышает А, то и С превы-
шает М.иК превышает Я, и если равна, то равны, и если меньше, то
меньше. Так что и если Я превышает Я, то и Я, С, Я, превышают Я,
АГ, Я, и если равна, то равны, и если меньше, то меньше. И Я, а также
Я, С, Я будут равнократные от Л и Л, С, Я, поскольку если будет не-
сколько величин, равнократных каждая каждой каким-нибудь дру-
гим, взятым> в равном количестве величинам, то сколько раз одна из
<первых> величин будет кратна одной <из вторых>, столько же раз
будут и все кратны всем (предложение 1). Вот вследствие того же и Я
и Я, АГ, Я будут равнократны В и Я, Я, /; значит, будет, что как Л к Я,
так и Л, С, Я к Я, Я, Я

А I----1-----1	С I-----------1 Е I-----1

В I----1	О I------1	I I---1

III----------1--------1 Д I---------1---1-----1

О I----------1------------1 М\------1-----1-----1

К |----1-------1	К I--1---1---1

Чертеж 13

Итак, если несколько величин пропорциональны, то будет, что
как одна из предыдущих к одной из последующих, так и все преды-
дущие ко всем последующим, что и требовалось доказать.
Предложение 13

Если первая ко второй имеет такое же отношение, как третья
к четвертой, а третья к четвертой имеет отношение большее, чем
пятая к шестой, то первая ко второй будет иметь большее отно-
шение, чем пятая к шестой.

Пусть первая А ко второй В имеет такое же отношение, как тре-
тья С к четвертой /), а третья С к четвертой Е пусть имеет большее

А I-----1 С I-------1 Е I---------1

В I--1 О I------1	11--------1

М I-----1----1 III--------1-------1

О I---------------------1

# I--1--1--1 /П----1----1---1

Ь I--------1-------1--------1

Чертеж 14

отношение, чем пятая Е к шестой I (чертеж 14). Я утверждаю, что
и первая А ко второй В будет иметь большее отношение, чем пятая Е
к шестой I.

Действительно, поскольку существуют некоторые равнократ-
ные от С, Е, а от /), / какие угодно другие равнократные, и кратное
от С превышает кратное от /), кратное же от Е не превышает крат-
ного от /, то возьмем их, и пусть от С, Е равнократные будут Н, С,
от /), / же какие угодно другие равнократные <пусть будут> К и Д
так что Нпревышает К, О же не превышает Д и сколько раз //крат-
но С, столько же раз пусть будет и Мбольше Л, а сколько раз К крат-
но /), столько раз пусть будет и кратно В.

И поскольку будет, что как А к В, так и С к /), и взяты от Л, С рав-
нократные ТИ, //, от В, Е же какие угодно другие равнократные ТУ, К,
то, значит, если М превышает ТУ, то и Н превышает К, и если рав-
на, то равна, и если меньше, то меньше (определение 5). Н же пре-
вышает К; значит, и М превышает ТУ. О же не превышает Д и ТИ, О
суть равнократные от Л, Д а ТУ, Е какие угодно другие равнократные
от В, /; значит, Л к В имеет большее отношение, чем Е к I.

Значит, если первая ко второй имеет такое же отношение, как
третья к четвертой, а третья к четвертой имеет отношение большее,
чем пятая к шестой, то первая ко второй будет иметь большее отно-
шение, чем пятая к шестой, что и требовалось доказать.

Предложение 14

Если первая ко второй имеет такое же отношение, как третья
к четвертой, и первая больше третьей, то и вторая будет больше
четвертой, если же равна, то равна, если же меньше, то меньше.

А I------------1 С I---------1

В I-------1	О I-----1

Чертеж 15

Пусть первая А ко второй В имеет такое же отношение, как тре-
тья С к четвертой /), и пусть А будет больше С; я утверждаю, что и В
больше Е (чертеж 15).

Действительно, поскольку А больше С и В <есть> какая-нибудь
другая [величина], то, значит, А имеет к В отношение большее, чем С
к В (предложение 8). Как же А к В, так и СкД и значит, С имеет к Е
отношение большее, чем С к В. Та же, к которой одно и то же име-
ет большее отношение, будет меньше (предложение 10); значит, Е
меньше В; так что В больше Е.

Подобно же вот докажем, что если А равно С, то и В будет рав-
но Е, и если А меньше С, то и В будет меньше Е.

Значит, если первая ко второй имеет такое же отношение, как
третья к четвертой, и первая больше третьей, то и вторая будет боль-
ше четвертой, если же равна, то равна, если же меньше, то меньше,
что и требовалось доказать.

Предложение 15

Части к своим одинаковым кратным имеют то же самое отно-
шение, если взять их соответственно друг другу.

Пусть будут равнократны АВ от С и ЕЕ от /; я утверждаю, что
будет как С к /, так и АВ к ЕЕ (чертеж 16).

Действительно, поскольку равнократны АВ от С и ЕЕ от /, то,
значит, сколько будет в АВ величин, равных С, столько же и в ЕЕ рав-
ных I. Разделим АВ на равные С <части> АН, НС, СВ, а ЕЕ на равные I
<части> ЕК, КЕ, ЕЕ', вот количество АН, НС, СВ будет равно количе-
ству НК, КЕ, ЕЕ. И поскольку АН,
НС, СВ равны между собой, также
и НК, КЕ, ЕЕ равны между собой,
то, значит, будет, что как АН к НК,
так и НС к КЕ, и СВ к ЕЕ (предло-
жение 7). Значит, и будет, что как

н о

А |-1---1--1 в С I--1

К Ь

О I-1—I—\Е	I I—I

Чертеж 16

один из предыдущих к одному из

последующих, так все предыдущие ко всем последующим (предло-
жение 12); значит, будет, что как АН к НК, так и АВ к НЕ. Но АН
равна С, а ОК равна /; значит, будет, что как С к I, так и АВ к НЕ.

Значит, части к своим одинаковым кратным имеют то же самое
отношение, если взять их соответственно друг другу, что и требова-

лось доказать.

Предложение 16

Если четыре величины пропорциональны, то они будут пропор-
циональны и «переставляя».

Пусть четыре величины А, В, С, Н пропорциональны, как А к В,
так и С к Н; я утверждаю, что они будут пропорциональны и «пере-
ставляя», как А к С, так и В к Н (чертеж 17).

А I---1--1	С I--1--1

Чертеж 17

Действительно, возьмем от А, В равнократные Е, I, от С, Н же
какие-нибудь другие равнократные Н, С.

И поскольку Е от А и I от В равнократны, части же к своим одина-
ковым кратным имеют то же самое отношение (предложение 15), то,
значит, будет, что как А к В, так и Е к Е Как же А к В, так и С к Н; и зна-
чит, как С к Н, так и Е к I (предложение 11). Далее, поскольку Н, С
равнократны от С и Н, то, значит, будет, что как С к Н, так и Н к С
(предложение 15). Как же С к Н, так и Е к I, и значит, как Е к I, так и Н
к С. Если же четыре величины пропорциональны и первая больше
третьей, то и вторая будет больше четвертой, и если равна, то равна,
и если меньше, то меньше (предложение 14). Значит, если Е превы-
шает Н,то1л1 превышает С, и если равна, то равна, и если меньше,
то меньше. ИК,/ равнократные от Л, В'. Н, С же какие-нибудь другие
равнократные от С, К; значит, будет, что как Л к С, так и В к К.

Значит, если четыре величины пропорциональны, то они будут
пропорциональны и «переставляя», что и требовалось доказать.

Производные пропорции

При переводе книги V Евклида известные трудности представило то обсто-
ятельство, что на русском языке нет установившихся терминов для перевода
греческих опуЭбуп, бшХоуп и т.д. В настоящем переводе взята терминология,
которой пользовался С. Я. Лурье при переводе «Геометрии неделимых» Кава-
льери, но во избежание недоразумений соответствующие термины поставлены
в кавычки.

Предложение 17

Если «составляемые» величины пропорциональны, то они будут
пропорциональны и «выделенные».

Пусть «составляемые» величины АВ, ВЕ, СЕ, Е1 пропорцио-
нальны - как АВ к ВЕ, так и СЕ к ЕЕ, я утверждаю, что они будут
пропорциональны и «выделенные» - как АЕ к ЕВ, так и С/ к ЕЕ

Действительно, возьмем от ЛК, ЕВ, СЕ,ЕЕ равнократные НС, СК,
ЕМ, МИ; от ЕВ, ЕЕ же другие какие-нибудь равнократные КХ, ИР
(чертеж 18).

И поскольку равнократны НС
от ЛК и СК от ЕВ, то, значит, рав-
нократны НС от ЛК и НК от АВ
(предложение 1). Равнократны же
НС от ЛК и ЬМ от СЕ, значит, рав-
нократны НК от АВ и ЬМ от СЕ
Далее, поскольку равнократны
ЕМ от СЕ и ЕЙ от СЕ, то, значит,
равнократны ЕМ от СЕ и ЕЙ от СЕ

(предложение 1). Но равнократными были ЕМ от СЕ и НК от АВ',
значит, равнократны НК от АВ и ЕЙ от СЕ. Значит, НК, ЕЙ будут
равнократными от АВ, СЕ. Далее, поскольку равнократны СК от ЕВ
и МИ от ЕЕ и КХ такая же кратная от ЕВ, как ИР от ЕЕ, то и в «со-
ставлении» СХ будет столько же раз кратна от ЕВ, сколько и МР от
ЕЕ (предложение 2). И поскольку будет, что как АВ к ВЕ, так и СЕ

А	ЕВ

I------1--1

С I Б

I----1—I

н	О К X

I------1------1—I—I—I

Г	М Р

Чертеж 18
к НЕ и взяты от АВ. СБ равнократные НК. ЕЙ от ЕВ. ЕН же равнократ-
ные СХ. МР. то, значит, если НК превышает СХ. то и ЕЙ превышает
МР. и если равна, то равна, и если меньше, то меньше (определе-
ние 5). Вот пусть НК превышает СХ, и после отнятия общего СК.
значит, и НС будет превышать КХ. Но если НК превышало СХ. то
и ЕЙ превышало МР'. значит, и ЕЙ превышает МР. и после отнятия
общего МИ и ЕМ превышает ИР; так что если НС превышает КХ. то
и ЕМ превышает ИР. Подобным же вот образом докажем, что если
НС равна КХ. то и ЕМ будет равна ИР. и если меньше, то меньше.
И НС. ЕМ равнократные от АЕ. СЕ. а КХ. ИР какие-нибудь другие
равнократные от ЕВ. ЕН. значит, будет, что как АЕ к ЕВ. так и С1 к ЕН.

Значит, если величины пропорциональны «составляемые», то
они будут пропорциональны и «выделенные», что и требовалось до-
казать.

Предложение 18

Если величины пропорциональны «выделяемые», то они будут
пропорциональны и «составленные».

Пусть величины АЕ. ЕВ. СЕ. ЕН пропорциональны «выделяемые» -
как АЕ к ЕВ. так и С1 к ЕН; я утверждаю, что они будут пропорцио-
нальны и «составленные» - как АВ к ВЕ. так и СН к ЕН (чертеж 19).

Действительно, если не будет

как АВ к ВЕ. так и СН к НЕ, то

будет, что как АВ к ВЕ. так и СН а ।_________+____। в

к чему-нибудь или меньшему НЕ	1 н

или же к большему.	с 1--------1—1-----1в

Пусть будет сперва к меньше-

му НН. И поскольку будет как АВ	Чертеж 19

к ВЕ. так и СН к НН. то «состав-

ляемые» величины пропорциональны; так что они будут пропорцио-
нальны и «выделенные» (предложение 17). Значит, будет как АЕ к ЕВ.
так и СН к НН. Предполагается же, что и как АЕ к ЕВ. так и СН к НН
(предложение 11). И значит, как СН к НН. так и СЕ к ЕН. Первая же
СН больше третьей СЕ. значит, и вторая НН больше четвертой ЕН. Но
она и меньше, что невозможно; значит, не будет, что как АВ к ВЕ. так
и СН к меньшей, чем ЕН. Подобным же вот образом докажем, что и не
к большей; значит, к той же самой.

Значит, если величины пропорциональны «выделяемые», то они
будут пропорциональны и «составленные», что и требовалось до-
казать.
Аксиома Клавия

Евклид при доказательстве предложения 18 пользуется одной аксиомой так
же неявно, как он пользуется аксиомой Архимеда. Аксиому эту вскрывает Клавий.

Постулируется существование четвертой пропорциональной, т.е. суще-
ствование такого х, что при данных а, Ь, с:

х : а = Ь : с.

Доказательство того, что из

а \ Ъ = с \ с1 следует (а + Ъ): Ъ = (с + с/) : б/,
ведется от противного с помощью предыдущей обратной теоремы, что из

(а + Ь): Ъ = (с + бД : с! следует сг.Ъ = с : б/.

Предполагается, что (а + Ь) : Ъ равно не (с + бД : б/, а какому-то (с + б/) : е,
где е больше или меньше б/.

В первом случае на основании предложения 17

а : Ъ = (с + б/- е): е,
откуда можно получить

(с + бД : б/ = (с + б/- е): е,
а так как с + б/>с + б/-е, то должны иметь и б/ > е, что противно условию.

Таким же образом устраняется и второй случай.

Подлинность этого доказательства оспаривается Робертом Симеоном.

Вайлати доказывает это утверждение ссылкой на то, что в латинском из-
дании «Начал» Кампануса, составленном по арабскому переводу, содержится
другое доказательство, не зависящее от аксиомы Клавия.

В истории эволюции идеи числа это доказательство не играло роли.

Между тем, метод доказательства предложения 18 книги V составляет
именно тот метод, который принимался Лежандром для доказательства про-
порциональности углов и дуг в случае несоизмеримости и других аналогичных
положений.

Аксиома Клавия должна была оказать большой толчок в направлении ариф-
метизации геометрии.

Как мы выше заметили, едва ли сам Евклид включал числа и геометриче-
ские величины в один класс. Но такое включение совершенно определенно со-
вершилось при создании буквенного счисления.

Для Евклида пропорция (равенство отношений) сг.Ь = с\ б/ имеет место или
для геометрических величин (книга V), или для чисел (книга VII). Для поздней-
ших математиков (б/, Ъ) (с, с/) суть величины вообще (та%пМис1те5 т Сенеге)',
может быть, что (б/, Ъ)-геометрические величины, а (с, б/)-числа, но при этом,
если (б/, Ъ) одного рода, то и (с, бД одного рода.

Аксиома Клавия тогда постулирует возможность для геометрических вели-
чин (Ь, с) и для числа а найти такое число, что

х : а = Ъ : с.

Возьмем х = 1, и мы будем приведены к необходимости признать всякое
отношение даже несоизмеримых величин как отношение числа к единице.

Если за с принять единицу меры, то результат измерения Ъ : 1 представля-
ется отношением числа к 1. Остается только отождествить отношение с числом,
чтобы получить взаимно однозначное соответствие между геометрическими ве-
личинами и характеризующими их числами.
Предложение 19

Если как целая к целой, так и отнятая к отнятой, то и оста-
ток к остатку будет как целая к целой.

Пусть будет как целая АВ к целой СЕ>, так и отнятая АЕ к отнятой
С/; я утверждаю, что и остаток ЕВ к остатку 1Е будет как целая АВ
к целой СЕ (чертеж 20).

Е

А I----1----------\В

I
С\----------1-------------------I О

Чертеж 20

Действительно, поскольку будет, что как АВ к СЕ, так и АЕ к С1,
то и «переставляя» как В А к АЕ, так и ЕС к С1 (предложение 16).
И поскольку «составляемые» величины пропорциональны (предло-
жение 17), то они будут пропорциональны и «выделенные» - как ВЕ
к ЕА, так таЕ1 к С1 (предложение 18); и «переставляя» как ВЕ к Е1,
так и ЕЛ к 1С. Как же АЕ к С1, так предполагается и целая АВ к целой
СЕ. И значит, остаток ЕВ к остатку 1Е будет как целая АВ к целой
СЕ.

Значит, если как целая к целой, так и отнятая к отнятой, то и оста-
ток к остатку будет как целая к целой [что и требовалось доказать].

[И поскольку доказано, что как АВ к СЕ, так и ЕВ к 1Е, и «пере-
ставляя» как ЛЕ к ЕЕ, так и СЕк1Е, значит, «составляемые» величи-
ны пропорциональны; доказано же, что как ЕЛ к ЛЕ, так и ЕС к С7;
и это будет «переворачивая».]

Следствие

Вот из этого очевидно, что если «составляемые» величины пропорциональ-
ны, то они будут пропорциональны и «переворачивая», что и требовалось до-
казать.

Предложение 19 заканчивается фразой, поставленной у Гейберга4 в скобки
и предваряющей «следствие».

4 Йохан Людвиг Гейберг-датский филолог и историк науки, реконструировавший
оригинальный текст «Начал» Евклида. Перевод на русский с издания Гейберга сделал
Д. Д. Мордухай-Болтовской.
Из соотношения

АВ _ ВЕ
~СР~75

перестановкой получается пропорция

АВ _ СР
~ВЁ ~ 77’

которая в дальнейшем сравнивается с ранее установленной пропорцией

АВ _ СР
~АЁ ~ 777’

или, что то же,

АВ-ВЕ ~ СР-РГ

получаемой из (1) при помощи «переворачивания» (определение 16).

Это рассуждение имеет определенный дефект: доказано лишь, что пропор-
ции (1) и (2) вытекают из

АВ : СВ=АЕ \ С1,
но не то, что пропорция (2) вытекает из (1), как утверждается в следствии.
Гейберг считает, что следствие принадлежит Евклиду, а поставленная в скобки
вводящая фраза является позднейшей интерполяцией. Однако вполне возможно,
как думает Хизс, что и это следствие наряду со следствием после предложе-
ния 6 есть позднейшая вставка, сделанная с целью оправдать существование
операций ауатшу и ауаотрвсраутц для которых нет специальных предложений,
а имеются только голые определения 13 и 16 в начале книги V.

Окончание предложения 19

В некоторых рукописях после окончания следствия идет следующее место,
исключенное Гейбергом из текста Евклида и отнесенное в приложение.

«Эти же отношения имеют место и для равнократных величин, и для про-
порций, поскольку если первая второй будет такой же равнократной, как третья
четвертой, то получится что как первая ко второй, так и третья к четвертой. Од-
нако обращать этого нельзя; если было бы что как первая ко второй, так и третья
к четвертой, то не всегда получится, что первая второй и третья четвертой бу-
дут равнократны, как, например, бывает в случае полуторного отношения, или
равного единице с четвертью и других подобных, что и требовалось доказать».

Предложение 20

Если будут три величины и другие в равном с ними количестве,
<находящиеся> взятые попарно в одном и том же отношении,
и «по равенству» первая больше третьей, то и четвертая будет
больше шестой, если же равна, то равна, и если меньше, то меньше.
Пусть будут три величины А. В. Си другие в равном с ними ко-
личестве Е, Е, /, <находящиеся> взятые попарно в одном и том же
отношении, <именно> как А к В. так и Е к Е, как же В к С, так и Е
к А и пусть «по равенству» А будет больше С; я утверждаю, что и Е
будет больше /, если же равна, то равна, и если меньше, то меньше
(чертеж 21).

А I-----1	О I--1

В\---1	Е I-1

а-------1	11---1

Чертеж 21

Действительно, поскольку Л больше Си В какая-то другая <вели-
чина>, большая же имеет к тому же большее отношение, чем мень-
шая (предложение 8), то, значит, А имеет к В отношение большее,
чем С к В. Но как А к В. [так] и Е к Е, как же С к В, так «обращая»
(предложение 7, следствие) и I к Е\ и значит, Е имеет к Е отноше-
ние большее, чем I к Е. Из имеющих же отношение к одному и тому
же будет больше та, которая имеет большее отношение (предложе-
ние 10). Значит, Е больше I. Подобным же вот образом докажем, что
и если А равна С, то будет и Е равна /, и если меньше, то меньше.

Значит, если будут три величины и другие в равном с ними ко-
личестве, <находящиеся> взятые попарно в одном и том же отноше-
нии, и «по равенству» первая больше третьей, то и четвертая будет
больше шестой, если же равна, то равна, и если меньше, то меньше,
что и требовалось доказать.

Предложение 21

Если будут три величины и другие в равном с ними количестве,
<находящиеся> взятые попарно в одном и том же отношении,
и для них имеет место перемешанная пропорция, «по равенству»
же первая больше третьей, то и четвертая будет больше шестой,
и если равна, то равна, и если меньше, то меньше.

Пусть будут три величины А. В. Си другие в равном с ними ко-
личестве Е, Е, /, <находящиеся> взятые попарно в одном и том же
отношении, и пусть для них имеет место перемешанная пропорция,
<именно> как А к В, так и Е к /, как же В к С, так и Е к Е, «по равен-
ству» же пусть А больше С; я утверждаю, что и Е будет больше /,
и если равна, то равна, и если меньше, то меньше (чертеж 22).
Чертеж 22

Действительно, поскольку
А больше С и В какая-то другая
величина, то, значит, А имеет
к В отношение большее, чем С
к В. Но как А к В, так и Е к /, как
же С к В, так «обращая» и Е к Е.
И значит, Е имеет к I отношение

большее, чем Е к Е. Та же, к которой одно и то же имеет большее
отношение, будет меньше; значит, / меньше Е; значит, Е больше I.
Подобным же вот образом докажем, что если А равна С, то будет и Е

равна /, и если меньше, то меньше.

Значит, если будут три величины и другие в равном с ними

количестве, <находящиеся> взятые попарно в одном и том же от-

ношении, и для них имеет место перемешанная пропорция, «по
равенству» же первая больше третьей, то и четвертая будет боль-
ше шестой, и если равна, то равна, и если меньше, то меньше, что
и требовалось доказать.

Предложение 22

Если будут несколько величин и другие в равном с ними количе-
стве, <находящиеся> взятые попарно в одном и том же отноше-
нии, то и «по равенству» они будут в одном и том же отношении.

В I---------1	К\-

С I-------1 М V

Ь I---1----1---1
Пусть будут несколько величин А. В. С и другие в равном с ними
количестве Я, Е, /, <находящиеся> взятые попарно в одном и том же
отношении - как А к В, так и Е к Е, как же В к С, так и Е к /; я утвер-
ждаю, что и «по равенству» они будут в одном и том же отношении
(чертеж 23).

Действительно, возьмем от Л, Е равнократные Я, С, от В, Е же
какие-нибудь другие равнократные К. Ей затем от С, I какие-то дру-
гие равнократные 7И, Я.

И поскольку будет, что как А к В, так как и Е к Е, и взяты от Л,
Е равнократные Н, О от В, Е же какие-нибудь другие равнократные
Я, Д то, значит, будет, что как Н иК. так и С к Е (предложение 4).
Вследствие того же вот и как К к 7И, так и Е к Я. Поскольку теперь
будут три величины Н, К, Ми другие в равном с ними количестве С,
Е, М, <находящиеся> взятые попарно в одном и том же отношении,
то, значит, «по равенству», если Н превышает М, то и О превыша-
ет Я, и если равна, то равна, и если меньше, то меньше (предложе-
ние 20). И Я, 6 суть равнократные от Л, Е, М, И же какие-нибудь
другие равнократные от С, /; значит, будет, что как Л к С, так и Е
к I (определение 5).

Значит, если будут несколько величин и другие в равном с ними
количестве, <находящиеся> взятые попарно в одном и том же отно-
шении, то и «по равенству» они будут в одном и том же отношении,
что и требовалось доказать.

Предложение 23

Если будут три величины и другие в равном с ними количестве,
<находящиеся> взятые попарно в одном и том же отношении,
и для них имеет место перемешанная пропорция, то и «по равен-
ству» они будут в одном и том же отношении.

Пусть будут три величины А. В. Си другие в равном с ними ко-
личестве Е, Я, /, <находящиеся> взятые попарно в одном и том же
отношении, и пусть для них будет иметь место перемешанная про-
порция - как А к В, так и Е к /, как же Я к С, так и Я к Я Я утверждаю,
что будет как Л к С, так и Е к I (чертеж 24).

Возьмем от Л, Я, Е равнократные Я, С, Я, а от С, Я, I какие-ни-
будь другие равнократные А, 7И, Е1. И поскольку Я, С суть равно-
кратные от Л, Я части же к своим одинаковым кратным имеют то
же самое отношение, то, значит, будет, что как Л к Я, так и Я к С
(предложение 15). Вследствие того же вот и как Е кА так и М к Я;
и будет, что как Л к Я, так и Е к /; и значит, как Я к С, так и М к Я
(предложение 11). И поскольку будет, что как В к С, так и/) кЕ,
и «переставляя» как В к /), так, С к Е (предложение 16).

Чертеж 24

И поскольку С, К суть равнократные от В, О части же к своим
равнократным имеют то же самое отношение, то, значит, будет, что
как В к /), так и СкК (предложение 15). Но как В к /), так и СкЕ;
и значит, как С к К, так и С к Е (предложение 11). Далее, поскольку
А, ТИсуть равнократные от С, Е, то, значит, будет, что как С к Е, так
иЕк М (предложение 15). Но как С к Е, так и С к АГ; и значит, как
О к К, так иЕ к М (предложение 11), и «переставляя» как О к А, так
и К к М. Доказано же, что и как Н к С, так и Мк № Поскольку теперь
будут три величины Н, С, Е и другие в равном с ними количестве К,
М, ТУ, <находящиеся> взятые попарно в одном и том же отношении,
и для них имеет место перемешанная пропорция (определение 18),
то, значит, «по равенству» если //превышает А, то и АГ превышает ТУ,
и если равна, то равна, и если меньше, то меньше (предложение 21).
И //, К суть равнократные от Л, В. а А, ТУ от С, /. Значит, будет, что как
А к С, так и А> к / (определение 5).

Значит, если будут три величины и другие в равном с ними ко-
личестве, <находящиеся> взятые попарно в одном и том же отноше-
нии, и для них имеет место перемешанная пропорция, то и «по ра-
венству» они будут в одном и том же отношении, что и требовалось
доказать.

Предложение 24

Если первая имеет ко второй такое же отношение, как и тре-
тья к четвертой, и пятая ко второй имеет такое же отношение,
как и шестая к четвертой, то составленные первая и пятая ко
второй будут иметь такое же отношение, что и третья и шестая
к четвертой.
Пусть первая АВ имеет ко второй С такое же отношение, как
и третья ЕЕ к четвертой /, пусть также и пятая ВН ко второй С имеет
такое же отношение, как и шестая ЕС к четвертой /; я утверждаю,
что и составленные первая и пятая АНт второй С будут иметь такое
же отношение, что и третья и шестая ЕС к четвертой I (чертеж 25).

в

А I----------1-------1 И

С\---------1

Е

О1---------1-----1 О

Чертеж 25

Действительно, поскольку будет, что как ВН к С, так и ЕС к /,
то, значит, «обращая» (предложение 7, следствие), как С к ВН, так
и I к ЕС. Поскольку теперь будет, что как АВ к С, так и ЕЕ к /, как
С к ВН, так и I к ЕС, то, значит, «по равенству» будет, что как АВ
к ВН, так и ЕЕ к ЕС (предложение 22). И поскольку «выделяемые»
величины пропорциональны, то они будут пропорциональны и «со-
ставленные» (предложение 18); значит, будет, что как АН к НВ, так
и ЕС к СЕ. И будет также, что как ВН к С, так и ЕС к /; значит, «по
равенству» будет, что как АН к С, так и ЕС к I (предложение 22).

Значит, если первая имеет ко второй такое же отношение, как
и третья к четвертой, и пятая ко второй имеет такое же отношение,
как и шестая к четвертой, то составленные первая и пятая ко второй
будут иметь такое же отношение, что и третья и шестая к четвертой,
что и требовалось доказать.

Предложение 25

Если четыре величины пропорциональны, то наибольшая [из них]
и наименьшая больше двух остающихся.

Пусть будут четыре величины АВ, СЕ, Е, I пропорциональ-
ные - как АВ к СЕ, так и Е к I, и пусть наибольшая из них будет
АВ, а наименьшая /; я утверждаю, что АВ, I <вместе> больше СЕ, Е
(чертеж 26).

Действительно, отложим АН, равную Е и СС, равную I.
А |------1-------1 В

Е\-------1

О
С\------1------1 О

I I-----1

Чертеж 26

Поскольку [теперь] будет, что как АВ
к С/), так и Е к I и Е равна АН, I же СО,
то, значит, будет, что как АВ к СН, так
иЛЯкСС.

И поскольку будет, что как целая АВ
к целой СН, так и отнятая АН к отнятой
СО, то, значит, и остаток НВ к остат-
ку ОН будет как целая АВ к целой СН
(предложение 19). АВ же больше СР;

значит, и НВ больше СН. И поскольку АН равна Е, а СС <равна> I,
то, значит, АН, /<вместе> равны СО, Е. И [поскольку] если [к нерав-
ным прибавляются равные, то целые будут неравными, значит, если]
при наличии неравных НВ, ОН и НВ большем к НВ прибавляются
АН, I, к ОН же прибавляются СО, Е, то выходит, что АВ, I <вместе>
больше СН, Е.

Значит, если четыре величины пропорциональны, то наибольшая
из них и наименьшая больше двух остающихся, что и требовалось
доказать.
КНИГА VII

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1.	Единица есть, <то>, через что каждое из существующих
считается единым.

2.	Число же - множество, составленное из единиц.

3.	Часть есть число в числе, меньшее в большем, если оно из-
меряет большее.

4.	«Части» же - если оно его не измеряет.

5.	Кратное же - большее от меньшего, если оно измеряется
меньшим.

6.	Четное число есть делящееся пополам.

7.	Нечетное же - не делящееся пополам или отличающееся на
единицу от четного числа.

8.	Четно-четное число есть четным числом измеряемое четное
число <раз>.

9.	Четно же нечетное есть четным числом измеряемое нечет-
ное число <раз>.

[10. Нечетно-четное есть нечетным числом измеряемое четное
число <раз>.]

11.	Нечетно-нечетное число есть нечетным числом измеряемое
нечетное число <раз>.

12.	Первое число есть измеряемое только единицей.

13.	Первые между собой числа суть измеряемые только едини-
цей как общей мерой.

14.	Составное число есть измеряемое некоторым числом.

15.	Составные же между собой числа суть измеряемые некото-
рым числом как общей мерой.

16.	Говорят, что число умножает число, когда сколько в нем еди-
ниц, столько раз составляется умножаемое и что-то возникает.

17.	Когда же два числа, перемножаемые между собой, производят
нечто, то возникающее <число> называется плоскостным,
стороны же его суть перемножаемые между собой числа.

18.	Когда же три числа, перемножаемые между собой, произво-
дят нечто, то возникающее есть телесное, стороны же его -
перемножаемые между собой числа.

19.	Квадратное число есть равноравное или объемлемое двумя
равными числами.

20.	Кубическое же - равным равноравное или объемлемое тре-
мя равными числами.
21.	Числа будут пропорциональны, когда первое от второго,
а третье от четвертого будут или равнократными, или той же
частью, или теми же «частями».

22.	Подобные плоскостные и телесные числа суть имеющие
пропорциональные стороны.

23.	Совершенное число есть то, которое будет равным своим
частям.

Предложение 1

Если отложены два неравных числа и все время при «последо-
вательном отнятии» меньшего от большего остаток не измеряет
предшествующего ему <отнимаемого>, пока не останется едини-
ца, то первоначальные числа будут первыми между собой.

Пусть для двух [неравных] чисел АВ, СЕ все время при «после-
довательном отнятии» меньшего из большего остаток не измеряет
предшествующего ему, пока не останется единица; я утверждаю, что
АВ, СЕ будут первыми между собой, то есть что АВ <и> СЕ измеря-
ет одна только единица (чертеж 1).

Действительно, если АВ, СЕ не будут первы-
а	ми между собой, то их измерит какое-то число.

Пусть оно измеряет и будет Е; и пусть СЕ, изме-
ряя ВТ, оставит меньшее себя 1А; А1 же, измеряя
ЕН, оставит меньшее себя НС; НС же, изме-
.. / _ с

ряя 1С, оставит единицу С А.

..н	Поскольку теперь Е измеряет СЕ, СЕ же

измеряет В1, то, значит, и Е измеряет В1; оно же
е измеряет и все В А; значит, измерит и остаток АЕ

_[	р 1	Но А1 измеряет ЕН; значит, и Е измеряет ЕН; оно

же измеряет и все ЕС; значит, измерит и оста-
ток СН. Но СН измеряет 1С; значит, и Е измеря-
Чертеж 1 ет 1С; оно же измеряет и все 1А; значит, оно из-
мерит и остаток - единицу АС, будучи числом,
чего быть не может. Итак, никакое число не будет измерять АВ и СЕ;
значит, АВ и СЕ -первые между собой, что и требовалось доказать.

Предложение 2

Для двух данных чисел, не первых между собой, найти наиболь-
шую общую их меру
Пусть данные два числа, не первые между собой, будут АВ. СБ.
Вот требуется для АВ. СБ найти наибольшую общую меру (чер-
теж 2). Если теперь СВ измеряет АВ. измеряет также и себя, то, зна-
чит, СВ есть общая мера СВ. АВ. И ясно, что и наибольшая, ибо

никакое <число>, большее СВ. не измерит СВ.

Если же СВ не измеряет АВ. то для АВ. СВ
при постоянном отнятии меньшего из большего
останется некоторое число, которое измерит пре-
дыдущее. Действительно, единица не останется;
в противном случае будут АВ. СВ первыми меж-
ду собой (предложение 1); это же не предполага-
ется. Значит, останется какое-то число, которое
измерит предыдущее. И пусть СВ. измеряя ВЕ.
оставит меньшее себя ЕА. ЕА же, измеряя ВЕ.
оставит меньшее себя 1С. СЕ же пусть будет из-
мерять АЕ. Поскольку теперь СЕ измеряет АЕ. АЕ
же измеряет ВЕ. то, значит, СЕ измерит и ВЕ. оно
же измеряет и себя самого; значит, измерит и все

Чертеж 2

СВ. Но СВ измеряет ВЕ'. значит, и СЕ измеряет ВЕ'. оно же измеря-
ет и ЕА'. значит, измерит и все В А', оно же измеряет и СВ', значит,
СЕ измеряет АВ. СВ. Значит, СЕ - общая мера АВ. СВ. Вот я утвер-
ждаю, что <она> и наибольшая. Действительно, если СЕ не будет
наибольшей общей мерой АВ. СВ. то числа АВ. СВ измерит какое-то
число, большее, чем СЕ. Пусть оно измеряет и будет ЕЕ. И поскольку

ЕЕ измеряет СВ. СВ же измеряет ВЕ. то, значит, и ЕЕ измеряет ВЕ'.
оно же измеряет и все В А', значит, оно измерит и остаток АЕ. Но АЕ
измеряет ВЕ. значит, и ЕЕ измерит ВЕ. оно же измеряет и все ВС', зна-
чит, измерит и остаток СЕ. большее - меньшее; это же невозможно.
Значит, числа АВ. СВ не измерит никакое число, большее СЕ. значит,
СЕ- наибольшая общая мера АВ и СВ [что и требовалось доказать].

Следствие

Из этого вот ясно, что если число измеряет два числа, то оно измерит и их
наибольшую общую меру, что и требовалось доказать.

Предложение 3

Для трех данных чисел, не первых между собой, найти наиболь-
шую общую их меру.

Пусть данные три числа, не первые между собой, будут А. В. С;
требуется для А. В. С найти наибольшую общую меру (чертеж 3).
Возьмем для двух А. В общую наиболь-
шую меру Е (предложение 2); вот Е или изме-
т	ряет, или не измеряет С. Пусть сперва измеря-

ет; оно же измеряет и Л, В; значит, Л измеряет
Л, В, С; значит, Л есть для Л, В, С общая мера.
Вот я утверждаю, что <она> и наибольшая.
Действительно, если Л для Л, В. С не будет
а в с в е /	наибольшей общей мерой, то числа Л, В. С из-

мерит какое-то число, большее Л. Пусть оно
измеряет и будет Е. Поскольку теперь Е из-
Чертеж 3	меряет Л, В. С. то, значит, оно измерит и Л, В,

значит, оно измерит и наибольшую общую
меру Л, В (предложение 2, следствие). Наибольшая же общая мера
Л, В есть Л; значит, Е измеряет Л, большее - меньшее; это же невоз-
можно; значит, числа Л, В, С не измерит никакое число, большее Л;
значит, Е есть наибольшая общая мера Л, В, С.

Но вот пусть Е не измеряет С; я утверждаю сперва, что С, Е не
будут первыми между собой. Действительно, поскольку Л, В, С не
первые между собой, то их измерит какое-то число. Вот измеряю-
щее Л, В, С измерит и Л, В, измерит и Е - наибольшую общую меру
Л, В (предложение 2, следствие); оно же измеряет и С; значит, числа
Е, С измерит какое-то число; значит, Е. С не будут первыми между
собой. Возьмем теперь их наибольшую общую меру Е (предложе-
ние 2). И поскольку Е измеряет Е, Е же измеряет Л, В, то, значит,
и Е измеряет Л, В, оно же измеряет и С; значит, Е измеряет Л, В. С;
значит, Е есть общая мера Л, В. С. Вот я утверждаю, что и наиболь-
шая. Действительно, если Е не будет для Л, В, С наибольшей об-
щей мерой, то числа Л, В, С измерит какое-то число, большее, чем Е.
Пусть оно измеряет и будет I. И поскольку I измеряет А, В, С, оно
измеряет и Л, В; значит, оно измерит и наибольшую общую меру Л, В
(предложение 2, следствие). Наибольшая же общая мера Л, В есть Е;
значит, / измеряет Е; оно же измеряет и С; значит, / измеряет Е, С;
значит, оно измерит и наибольшую общую меру Е, С. Наибольшая
же общая мера Е, С есть Е; значит, I мерит Е, большее - меньшее;
это же невозможно. Значит, числа Л, В, С не измерит никакое число,
большее, чем Е; значит, Е есть наибольшая общая мера Л, В, С, что
и требовалось доказать.

Следует сделать одну поправку: Евклид не делит а на Ь, но вычитает Ъ по-
следовательно несколько раз из а, пока не получает остаток г1 < Ь, таким же
образом из Ъ вычитает несколько раз гр пока не получает г2 < гр и т.д. Это
вызывается тем, что как число, так и всякая операция над числом у него мыслит-
ся в геометрических образах.

Бертран в своей «Теоретической арифметике» решает вопрос о высшей гра-
нице для числа операций в алгорифме Евклида. Он доказывает, что

1.	Каждый из остатков, получаемых при иахождеиии общего иаиболъшего
делителя, меиъше половины предшествующего.

2.	Предел числа деления, который нужно выполнить для нахождения об-
щего наибольшего делителя двух данных чисел, А и В, равен удвоенному числу,
выражающему место первого из членов ряда

2, 4, 8, 16,...,
образованного степенями 2, превышающими меньшее из данных чисел.

Непрерывная дробь

Система равенств (1) может быть переписана в виде:

Гп—2 _	। гп

~— - 4п-1 + ~—>

что дает:

1

1
-------------

<?2 + •

В том случае, если гп = 0, получаем конечную непрерывную дробь. Таким

образом, алгорифм Евклида дает разложение рациональной дроби в конеч-

ную, иначе говоря, обрывающуюся непрерывную дробь. Но непрерывная дробь
нами употребляется больше для иррациональных чисел, а именно для получе-
ния различной степени приближенных значений, которые определяются подхо-
дящими дробями уже бесконечной непрерывной дроби

1 1 1

4 —---------1-------1-------Н •..

#1	42 4з



1=ад+1

41	41

4 +

1

Г

41 + —

41

4з

4142 + 1

4^4142 + 1) + #2

4142 + 1

= 4 +
В этом смысле непрерывная дробь впервые применяется Бомбелли. Он
представляет л/ГЗ в форме непрерывной дроби. Дальнейшее развитие непре-
рывных дробей находим у Катальди.

Следует еще упомянуть о Данииле Швентере с его «Практической геомет-
рией», в которой подходящая дробь является как приближенное значение раци-
ональной дроби с очень большим числителем и знаменателем, а также Брункере
и Гюйгенсе.

Полную теорию непрерывных дробей впервые находим во «Введении
в анализ» Эйлера.

Свойство, побудившее Швентера и Гюйгенса оперировать непрерывными
дробями, состоит в том, что если данную рациональную дробь с большими чис-
лителем и знаменателем разложить в непрерывную дробь, то каждая подходя-
щая дробь наилучшим образом приближает эту дробь в том смысле, что не су-
ществует другой дроби, которая подходила бы ближе к данной и члены которой
были бы меньше.

Укажем, как Гюйгенс был приведен к использованию этого свойства. Он
хотел построить планетарий, приводимый в движение при помощи зубчатых ко-
лес. Число зубцов различных колес должно было отвечать временам обращения
планет, а отношения этих времен выражались большими числами. Изготовление
колес с миллионами равных зубцов оказывалось практически неосуществимым,
поэтому Гюйгенс был вынужден искать приближенное значение отношений
в виде отношений с меньшими членами.

Предложение 4

Всякое число по отношению ко всякому числу-меньшее по отно-
шению к большему - будет или частью, или «частями».

Пусть два числа будут Л, ВС и пусть меньшее будет ВС; я утвер-
ждаю, что ВС по отношению к А будет или частью, или «частями»
(чертеж 4).

Действительно, Л, ВС или первые между собой, или нет. Пусть
сперва Л, ВС будут первыми между собой. Тогда при разделении ВС
на Заключающие ся> в нем единицы каждая единица из <заключаю-
щихся> в ВС будет какой-то частью Л; так что ВС
будет «частями» Л.

т5	Но вот пусть Л, ВС не будут первыми между

собой; тогда ВС или измеряет Л, или не измеряет.
Если теперь ВС измеряет Л, то ВС есть часть Л.
Если же нет, возьмем для Л, ВС наибольшую об-
в щую меру Л (предложение 2) и разделим ВС на

 -1-с -I- равные Л <части> ВЕ, Е1,1С. И поскольку Е из-
меряет Л, то Е есть часть Л; Е же равно каждому
Чертеж 4 из ВЕ, Е1,1С; значит, и каждое из ВЕ, Е1,1С есть
часть Л; так что ВС есть «части» Л.
Значит, всякое число по отношению ко всякому числу - меньшее
по отношению к большему - будет или частью или «частями», что
и требовалось доказать.

Пифагорейская теория пропорций

Понятие о части или «частях» представляет зародыш, из которого в даль-
нейшем разовьется характерная для греческой математики теория отношений
и пропорций. Всякое меньшее число по отношению к большему является или
частью, или «частями», причем в высшей степени вероятно, что под «частями»
подразумевались не только равные, но и неравные части, как у египтян, где части
соответствует аликвотная дробь. Таким образом, вполне возможно, что первона-

чально употреблялись выражения типа «5 есть ~ от6» в смысле«5 есть - отб».

2 3	6

Следы подобной записи дробей встречаются и на греческой почве; во всяком
случае, наше понятие числителя дроби выработалось уже в греческой матема-
тике, но основой для него послужили египетские аликвотные дроби с числите-
лем, равным единице. Следы этого сохранились и в терминологии Евклида, где
в определении 3 часть понимается как аликвотная дробь, и в том обстоятельстве,
что теоремы 5-10 распадаются на два параллельных отдела: одно и то же поло-
жение доказывается сначала для «части», а потом для «частей». Вот наличие
этой связи с египетской математикой делает очень вероятным предположение,
что первичный материал V, VII, VIII и IX книг был заложен еще в пифагорей-
ской школе, но, конечно, приводимые Евклидом доказательства представляют
уже позднейшую форму изложения. Так, нетрудно видеть, что, хотя евклидово
доказательство опирается на понятие первых чисел и алгорифм отыскания наи-
большей общей меры двух чисел, оба эти понятия легко могут быть исключены
из общего хода рассуждений: действительно, уже употребляющегося в первой
части доказательства разложения меньшего числа ВС на единицы вполне доста-
точно для доказательства того, что ВС является «частями» большего числа Л.

Представляющие вполне законченное целое теоремы 5-10 интересны в том
отношении, что они позволяют составить представление о первоначальном ме-
тоде доказательства этих теорем. Если выразить их в современной форме, то
шесть евклидовских предложений будут равносильны трем следующим:

I.	«Если а = кЪыс = ксСто а + с = к(Ъ + В)» (предложения 5 и 6).

II. «Если а = кЪ и с = кс/,

то а-с = к (Ъ-б/)» (предложения 7 и 8).

... . а с а

III. «Если — = — , то —

Ъ б/ с

= — » (предложения 9 и 10).
б/

Интересно отметить, что при доказательстве предложений 5-8, а также 1-3
и в дальнейшем 28 и 35 Евклид пользуется в невысказанной форме постулатом,
что число, измеряющее сумму и одно слагаемое, будет измерять и другое.
Предложение 5

Если число есть часть числа и другое - такая же часть друго-

го, то и вместе взятые <первые> будут такой же частью вместе

взятых <вторых>, как одно одного.

Пусть число А есть часть [числа] ВС и другое Е- такая же часть
другого Е1, как А от ВС; я утверждаю, что вместе взятые А, Е будут
такой же частью вместе взятых ВС, Е1, как А от ВС (чертеж 5).

Чертеж 5

Действительно, поскольку какая А часть от
ВС, такой же частью будет и Е от Е1, то, значит,
сколько в ВС чисел, равных А, столько же будет
в Е1 чисел, равных Е. Разделим ВС на равные А
<части> ВН, НС; Е1 же - на равные Е части ЕС,
С1; вот количество ВН, НС будет равно количе-
ству ЕС, СЕ И поскольку ВН равно А, а ЕС рав-
но Е, то, значит, и <вместе взятые> ВН, ЕС равны
<вместе взятым> А, Е. На основании того же вот
и НС, С1 <равны> А, Е. Значит, сколько в ВС чи-

сел, равных А, столько и в ВС, Е1 будет <чисел>, равных А, Е. Зна-
чит, каково ВС, кратное <от> А, таким же кратным и вместе взятые
ВС, Е1 будут от вместе взятых А, Е. Значит, какая А часть ЕС, такой
же частью и вместе взятые А, В будут от вместе взятых ВС, Е1, что
и требовалось доказать.

Предложение 6

Если число есть «части» числа и другое - такие же «части»
другого, то и вместе взятые <первые> будут такими же «частя-
ми» вместе взятых <вторых>, как одно одного.

Пусть число АВ есть «части» числа С и другое
ЕЕ такие же части другого I, как АВ от С; я утвер-
ждаю, что и вместе взятые АВ, ЕЕ будут такими
же частями вместе взятых С, I, как АВ от С (чер-
теж 6).

Действительно, поскольку какие АВ «части»
от С, такими же «частями» будет и ЕЕ от I, то,
значит, сколько в АВ частей С, столько же будет
и в ЕЕ частей I. Разделим АВ на части С, <именно>
АН, НВ, а ЕЕ - на части I, <именно> ЕС, СЕ; тог-
да количество АН, НВ будет равно количеству ЕС,
Чертеж 6 СЕ. И поскольку какая ЛЯ часть С, такая же и ЕС
часть /, то, значит, какая часть АН от С. такой же частью и вместе взя-
тые АН, ИС будут от вместе взятых С, I (предложение 5). По той же
вот причине и какая часть НВ от С, такой же частью и вместе взятые
НВ, СЕ будут от вместе взятых С, I. Значит, какие АВ «части» от С,
такими же «частями» и вместе взятые А В, НЕ будут от вместе взятых
С, I, что и требовалось доказать.

Предложение 7

Если число есть часть числа такая же, как отнятое отнятого,
то и остаток будет такой же частью остатка, как целое целого.

Пусть число АВ будет частью числа СИ такой же, как отнятое АЕ
отнятого С7; я утверждаю, что и остаток ЕВ будет такой же частью
остатка Ю, как целое АВ целого СИ (чертеж 7).

Действительно, какая часть АЕ

от С1, пусть такой же частью будет	А	ев

и ЕВ от СН. И поскольку какая АЕ	1-----1--1

часть от С1, такая же и ЕВ часть от ।----1--------1----1

СН, то, значит, какая АЕ часть от

С1, такой же частью будет и АВ от	Чертеж 7

Н1 (предложение 5). Какая же часть

АЕ от С1, такой же частью предполагается и АВ от СИ; значит, какая
часть АВ от Н1, такой же частью оно будет и от СИ; значит, Н1 равно
будет СИ. Отнимем общее С7; значит, остаток НС равен остатку Ю.
И поскольку какая часть АЕ от С1, такой же частью [будет] и ЕВ от
НС, НС же равно Ю, то, значит, какая часть АЕ от С1, такой же ча-
стью будет и ЕВ от Пд. Но какая часть АЕ от С1, такой же частью бу-
дет и АВ от СИ; и значит, остаток ЕВ будет такой же частью остатка
Ю, какой целое АВ целого СИ, что и требовалось доказать.

Предложение 8

Если число есть «части» числа такие же, как отнятое отнято-
го, то и остаток будет такими же «частями» остатка, как целое
целого.

Пусть число АВ будет «частями» числа СИ, такими же, как отня-
тое АЕ отнятого С1; я утверждаю, что и остаток ЕВ будет такими же
«частями» остатка Ю, как целое АВ целого СИ (чертеж 8).

Действительно, положим НС равным АВ. Значит, какие «части»
НС от СИ, такими же «частями» будет и АЕ от СЕ Разделим НС на
СП-части НК, КС, а АЕ на СТ-части АЬ, ЕЕ; тогда количество НК, КС
будет равно количеству ЛА, ЕЕ. И по-
а т е в	скольку какая НК часть от СИ, такая

1	1	1	Б	же и АЕ часть от С/, СН же больше С/,

1-----------1----1	то, значит, и НК больше АЕ. Положим

।--1—।--1—।	НМ равным АЕ. Значит, какая часть

НК от СИ, такой же частью и НМ бу -
Чертеж 8	дет от С/; значит, и остаток МК будет

такой же частью остатка ЕЙ, как целое
НК целого СИ (предложение 7). Опять, поскольку какая КС часть от
СИ, такой же частью будет и ЕЕ от С/, СИ же больше С/, то, значит,
и СК больше ЕЕ. Положим КЕ равным ЕЕ. Значит, какая КС часть
от С/), такой же частью будет и ЕСЕ от С/; значит, и остаток ЕС будет
такой же частью остатка//), как целое КС целого СИ (предложение 7).
Доказано же, что и остаток МК является такой же частью остатка //),
как целое НК целого С/); значит, и вместе взятые МК, ИС будут такой
же частью /)/, как целое СН целого СИ. Вместе же взятые МК, ИС
равны ЕВ, СНже <равно> ВА; значит, и остаток ЕВ будет такой же ча-
стью остатка Ю, как целое АВ целого СИ, что и требовалось доказать.

Предложение 9

Если число есть часть числа и другое-такая же часть другого,
той «перестановкой», какая часть или «части» первое от треть-
его, такой же частью или такими же «частями» будет и второе
от четвертого.

Пусть число А будет частью числа ВС и другое /) - такой же
частью от другого ЕЕ, как А от ВС', я утверждаю, что и «перестанов-
кой», какая часть или «части» А от /), такой же частью или «частями»
будет и ВС от ЕЕ (чертеж 9).

Действительно, поскольку какая часть А
от ВС, такая же часть и Л от ЕЕ, то, значит,
сколько в ВС чисел, равных А, столько и в ЕЕ
будет равных /). Разделим ВС на равные А
<части> ВН, НС, а ЕЕ- на равные Л <части>
ЕС, СЕ, тогда количество ВН, НС равно будет
количеству ЕС, СЕ.

Чертеж 9	И поскольку числа ВН, НС равны между

собой, также и числа ЕС, СЕ равны между со-
бой, и количество ВН, НС равно количеству ЕС, СЕ, то, значит, такая
часть или «части» ВН от ЕС, такой же частью или такими же «час-
тями» будет и НС от СЕ, так что какая часть или «части» ВН от ЕС,
такой же частью или такими же «частями» будет и вместе взятое ВС
от вместе взятого ^/(предложения 5 и 6).

Но ВН равно Л, ЕС же равно /9; значит, какая часть или «части»
А от /9, такой же частью или такими же «частями» будет и ВС от Е1,
что и требовалось доказать.

Предложение 10

Если число есть «части» числа и другое - такие же «части»
другого, то и «перестановкой», какие «части» или часть первое
от третьего, такими же «частями» или такой же частью будет

и второе от четвертого.

Пусть число АВ будет «частями» числа С и другое ЕЕ такими
же «частями» другого /; я утверждаю, что и «перестановкой», какие
«части» или часть АВ от ЕЕ, такими же «частями» или такой же ча-

стью будет и С от / (чертеж 10).

Действительно, поскольку какие «части»
есть АВ от С, такими же «частями» будет и ЕЕ
от I, то, значит, сколько в АВ частей С, столько
и в ЕЕ будет частей /. Разделим АВ на С-час-
ти АН, НВ, а ЕЕ на /-части ЕС, СЕ; тогда ко-
личество АН, НВ будет равно количеству ЕС,
СЕ. И поскольку какая часть АН от С, такой
же частью будет и ЕС от /, и «перестанов-
кой», какая часть или «части» АН от ЕС, такой
же частью или такими же частями будет и С

от / (предложение 9). По той же вот причине Чертеж 10
и какая часть или «части» НВ от СЕ, такой же

частью или такими «частями» будет и С от /; так что и [какая часть
или «части» есть АН от ЕС, такой же частью или такими же «частя-
ми» будет и НВ от СЕ; и значит, какая часть или «части» есть АН от
ЕС, такой же частью или такими же «частями» будет и АВ от ЕЕ; но
какая часть или «части» есть АН от ЕС, такая же часть или «части»
есть, как показано, и С от /, и] какие [значит] «части» или часть есть
АВ от ЕЕ, такими же «частями» или такой же частью будет и С от /,
что и требовалось доказать.

Предложение 11

Если как целое к целому, так и отнятое к отнятому, то и оста-
ток к остатку будет как целое к целому.
Тл

Тс
--Е

-В -ко

Чертеж 11

Пусть как целое АВ к целому СЕ>, так и отнятое АЕ
к отнятому С1 (чертеж 11); я утверждаю, что и оста-
ток ЕВ к остатку 1Е будет как целое АВ к целому СЕ.

Поскольку как АВ к СЕ, так и АЕ к С1, то, зна-
чит, какая часть или «части» есть АВ от СЕ, такой
же частью или «частями» будет АЕ от С1 (определе-
ние 21). И значит, остаток ЕВ будет такой же частью
или «частями» остатка 1Е, как и АВ от СЕ (предло-
жения 7, 8). Значит, будет, что как ЕВ к 1Е, так и АВ
к СЕ, что и требовалось доказать.

Предложение 12

Если несколько чисел пропорциональны, то будет, что как один
из предыдущих к одному из последующих, так и все предыдущие ко
всем последующим.

Пусть будут несколько чисел А, В, С, Е
пропорциональны, <то есть> как А к В, так и С
к Е', я утверждаю, что будет как А к В, так и А,
СкВ,Е (чертеж 12).

В самом деле, поскольку как А к В, так и С
к Е, то, значит, какая часть или «части» есть
а в с в А от В, такой же частью или «частями» будет
и С от Е (определение 21). И значит, вместе
Чертеж 12 взятые А, С от вместе взятых В, Е будут та-
кой же частью или такими же «частями», как
А от В (предложения 5,6). Значит, будет, что как А к В, так и А, С к В,
Е (определение 21), что и требовалось доказать.

Предложение 13

Если четыре числа пропорциональны, то и перестановкой они
будут пропорциональны.

Пусть будут четыре числа Л, В, С, Е пропорци-
ональны, <то есть> как А к В, так и С к Е; я утвер-
ждаю, что и перестановкой они будут пропорцио-
1 | р нальны-как Л к С, так и 7? к/) (чертеж 13).

с	Действительно, поскольку как Л к В, так и С

А	к Е, то, значит, какая часть или «части» есть Л от В,

такой же частью или такими же «частями» будет
Чертеж 13 и С от Е (определение 21). Значит, перестановкой,
какая часть или «части» есть А от С, такой же частью или такими же
«частями» будет и В от Е (предложение 10). Значит, будет, что как А
к С, так и В к Е (определение 21), что и требовалось доказать.

Предложение 14

Если будет сколь угодно чисел и других, равных им по количе-
ству, взятых попарно и в том же самом отношении, то и «по ра-
венству» они будут в том же самом отношении.

Пусть будет сколь угодно чисел Л, В. С и других, равных им по
количеству, взятых попарно в том же самом отношении /), Е, как
А к В, так и Е к Е, как же В к С, так и Е к I (чертеж 14); я утверждаю,
что и «по равенству» будут как А к С, так и Е к I.

Чертеж 14

Действительно, поскольку как А к В. так и Е к Е, то, значит, и пе-
рестановкой будут как А к Е, так и В к Е (предложение 13). Опять,
поскольку как В к С, так и Е к /, то, значит, и перестановкой будет
какВкЕ, так и С к I. Как же В к Е, так и А к Е; и значит, как АкЕ,
так и С к I; перестановкой, значит, будет как Л к С, так и Е к /, что
и требовалось доказать.

Предложение 15

Если единица измеряет некоторое число, а другое число равное
<число раз> измеряет некоторое иное число, то и перестановкой
равное <число раз> единица будет измерять третье число, а вто-
рое - четвертое.
Пусть единица Л измеряет некоторое число ВС. а другое число Е
равное <число раз> измеряет некоторое иное число ЕЕ. я утверждаю,
что и перестановкой равное <число раз> единица А измеряет число
а ВС - <число> Е1 (чертеж 15).

Действительно, поскольку равное <число раз> единица А изме-
ряет число ВС. аЕ- <число> Е1. то, значит, сколько в ВС есть еди-
ниц, столько и в Е1 будет чисел, равных Е. Разделим ВС на <содер-
жащиеся> в ней единицы ВН. НС. СС. а Е1- на равные Е <числа>
ЕК. КЕ. ЕЕ Тогда количество ВН. НС. СС будет равно количеству ЕК.
КЕ. ЕЕ И поскольку равны между собой единицы ВН. НО. СС. рав-
ны также между собой и числа ЕК. КЕ. Е1. и количество единиц ВН.
НС. СС равно количеству чисел ЕК. КЕ. ЕЕ. то, значит, будет, что как
единица ВН к числу ЕК. так и единица НС к числу КЕ. и единица СС
к числу ЕЕ И значит, будет, что как один из предыдущих к одному из
последующих, так и все предыдущие ко всем последующим (пред-
ложение 12); будет, значит, что как единица ВН к числу ЕК. так и ВС
к ЕЕ Единица же ВН равна единице А. число же ЕК-числу Е. Зна-
чит, будет, что как единица Л к числу Е. так и ВС к ЕЕ Значит, равное
<число раз> единица А измеряет число Е и ВС - <число> ЕЕ. что
и требовалось доказать.

Предложение 16

Если два числа, перемножаемые между собой, производят не-
что, то возникающие из них будут равны между собой.

Пусть будут два числа Л, В и пусть Л, умножая В. производит С; В
же, умножая Л, производит Е'. я утверждаю, что С будет равно Е
(чертеж 16).

Действительно, поскольку Л, умно-

А1--1	жая В. произвело С. то, значит, В измеряет С

в'	1____ по <количеству> единиц в Л. Также и еди-

Р|! ница Е измеряет число Л по <количеству
Е ।_।	содержащихся> в нем единиц; значит, рав-

ное <число раз> единица Е измеряет число

Чертеж 16	Л и В - <число> С. Значит, и перестановкой

равное <число раз> единица Е измеряет
число В и Л - <число> С (предложение 15). Опять, поскольку В. ум-
ножая Л, произвело Е. то, значит, Л измеряет Е по количеству содер-
жащихся> в В единиц. Также и единица Е измеряет В по количеству
содержащихся> в нем единиц; значит, равное <число раз) единица Е
измеряет число В и Л - <число> Е. Но равное <число раз) единица Е
измеряла число В и А - <число> С; значит, равное <число раз> А из-
меряет каждое из С, Л. Значит, С равно Л, что и требовалось дока-
зать.

Предложение 17

А\-----1

В\-------1

С\----------1

О|---------------1

Е\-------------------1

I I—I

Чертеж 17

Если число, умножая два числа, производит нечто, то возникаю-
щие из них будут иметь то же самое отношение, что и умножаемые.

Пусть число Л, умножая два числа В, С, производит Л, Е; я утвер-
ждаю, что будет как В к С, так и Е к Е (чертеж 17).

Действительно, поскольку А умно-
жая В. произвело Л, то, значит, В из-
меряет Е по <количеству> единиц в А.
Также и единица I измеряет число А по
<количеству содержащихся> в нем еди-
ниц; значит, равное <число раз> едини-
ца 1 измеряет число А и В - <число> Е.
Значит, будет, что как единица I к чис-
лу Л, так и В к Е (определение 21). По

той же вот причине и как единица I к числу Л, так и С к Е\ и, значит,
как В к Е, так и С к Е. Значит, перестановкой будет, что как В к С, так
и Е к Е, что и требовалось доказать.

Предложение 18

Если два числа, умножая некоторое число, производят нечто,
то возникающие из них будут иметь то же самое отношение, что
и умножающие.

Пусть два числа Л, В. умножая
некоторое число С, производят Е, Е\
я утверждаю, что будет как Л к В. так	। А ।	।—-—।

и Е к Е (чертеж 18).

Действительно, поскольку Л, ум-	в

ножая С, произвело Е, значит, и С,	1	~	1

умножая Л, произвело Е (предложе- 1----------------------1

ние 16). По той же вот причине и С,
умножая В, произвело Е. Вот чис-	Чертеж 18

ло С, умножая два числа Л, В, произ-
вело Е, Е. Значит, будет, что как Л к В. так и Е к Е (предложение 17),
что и требовалось доказать.
Предложение 19

Если четыре числа пропорциональны, то возникающее из пер-
вого и четвертого число будет равно возникающему из второго
и третьего числу; и если возникающее из первого и четвертого чис-
ло равно <возникающему> из второго и третьего, то четыре числа
будут пропорциональны.

Пусть будут четыре пропорциональных
л » Т ТТ	числа Л, В, С, Е, <тоесть>какЛ кВ, так и С

Т Т I Т Т Т	к /9, и пусть А, умножая Е, производит Е', В

1	же, умножая С, производит /; я утверждаю,

что Е будет равно I (чертеж 19).

В самом деле, пусть А, умножая С, про-
изведет Н. Поскольку теперь А, умножая С,
1 1 произвело Н, умножая же Е, произвело Е,
то вот число А, умножая два числа С, Е,
произвело Н, Е. Значит, будет, что как С к Е,
так и Н к Е (предложение 17). Но как С к Е,
Чертеж 19	так и А к В', и, значит, как А к В, так и Н к Е.

Опять, поскольку А, умножая С, произве-
ло Н, но вместе с тем и В, умножая С, произвело /, то вот два числа
А, В, умножая некоторое число С, произвели Н, I. Значит, будет, что
как А к В, так и Н к I (предложение 18). Но вместе с тем и как А к В,
так и Н к Е', и значит, как Н к Е, так и Н к I. Значит, Н к каждому из
Е, I имеет то же самое отношение; значит, Е равно I (предложение 9
книги V).

Опять вот пусть Е будет равно /; я утверждаю, что будет как А
к В, так и С к Е.

Действительно, после тех же самых построений, поскольку Е
равно будет /, то, значит, будет, что как Н к Е, так и Н к I (предложе-
ние 7 книги V). Но как Н к Е, так и С к Е (предложение 17), как Н
к /, так и А к В (предложение 18). И значит, как А к В, так и С к Е, что
и требовалось доказать.

Неравенство отношений

Клавий пополняет предложение 19 следующим, 19а: «Если отношение пер-
вого ко второму больше, чем третьего к четвертому, то произведение из первого
и четвертого больше произведения из второго и третьего. И если произведение
из первого и четвертого больше, чем произведение из второго и третьего, то от-
ношение первого ко второму больше отношения третьего к четвертому.
Пусть отношение первого, Л, ко второму, В, больше, чем третьего, С, к чет-
вертому, 7). Я утверждаю, что число, производимое из А на 7), больше произво-
димого из В на С.

Полагаем, что как ЕкВ, так и С кВ (Е-число целое или дробное или целое
с дробью, которое найдется на основании предложения 19 книги IX, если произ-
ведение из В и С разделить на Л). Поэтому отношение А к В больше отношения
ЕкВ,ъ. отсюда и А больше Е. Поэтому произведение из А на 7) больше, чем из Е
на 7). А так как произведение из Е на 7) равно произведению из В на С, то произ-
ведение из Я на Л больше, чем из В на С, что и требовалось доказать.

Пусть затем произведение из А на 7) больше, чем из В на С. Я утверждаю, что
отношение первого, А, ко второму, В, больше, чем третьего, С, к четвертому, 7).
В самом деле, найдем число Е, которое, умножая Л, дает то же, что произведение
из В на С (Е-или целое, или дробное число, или целое с дробью). Тогда произведе-
ние из А на 7) будет также больше, чем из Е на 7), а отсюда А больше Е, вследствие
чего отношение А к В больше отношения Е к В. Но ЕкВ так же, как С к 7). Поэтому
отношение А к В больше отношения С к 7), что и требовалось доказать».

Такое же положение будет, очевидно, и в том случае, если вместо «больше»
возьмем «меньше».

Среднее геометрическое

В приложениях у Гейберга помещена следующая формулировка предложе-
ния 20, против которой возражал уже первый переводчик Евклида Кампанус
и которое отличается между прочим и терминологией (шгб тогу акрогу, ало топ
Ц8О00).

«Если три числа пропорциональны, то <произведение> крайних равно
<квадрату> на среднем. И если <произведение> крайних равно квадрату на

среднем, то три числа пропорциональны.

Пусть будут три числа А, В, С
пропорциональны: как А к В, так и В	а	в

к С. Я утверждаю, что <произведе- 1	1	“	1

ние> из А, С равно <квадрату> на В ।------------------1	।--------1

(чертеж 4).

Действительно, положим 7) рав-	Чертеж 4

ным В. Значит, будет, что как А к В,

так и 7) к С. Значит, <произведение> из А, С равно <произведению> из В, Е.
<Произведение> же из В, Е равно <квадрату> на В; ибо В равно Е. Значит, <про-

изведение> из А, С равно <квадрату> на В.

Но вот пусть <произведение> из А, С равно <квадрату> на В. Я утверждаю,
что как А к В, так и В к С.

Действительно, поскольку <произведение> из А, С равно <квадрату> на В,
<квадрат> же на В равен <произведению> В, Е, то, значит, будет, что как А к В,
так и Е к С. В же равно Е. Значит, будет, что как А к В, так и В к С, что и требо-

валось доказать».

Это предложение, представляющее непосредственное следствие предложе-
ния 19, применялось, если верить Теону, уже Зенодором (вероятно, около начала
II в. до н.э.).
Предложение 20

Числа, наименьшие из имеющих то же самое отношение с ними,
равное <число раз> измеряют имеющие то самое же отношение
<числа>, причем большее <измеряет> большее, а меньшее-меньшее.

Пусть С/), ЕЕ будут числа наименьшие из имеющих то же самое
отношение с Л, 7?; я утверждаю, что равное <число раз> СЕ измеря-
ет Л, а Е1 <измеряет> В (чертеж 20).

Действительно, СЕ не является «частя-
тс ТЕ ми>> В самом деле, пусть оно, если возмож-
,.я т 0	но, будет <ими>; значит, и Е1 будет такими же

л в 1	«частями» от В, как СЕ от Л. Значит, сколько

л 1/)

в СЕ частей Л, столько же будет и в Е1 частей В.
Разделим СЕ наЛ-части СН, НЕ. а Е/на ^-час-
ти ЕС. СЕ. тогда количество СН. НЕ равно бу-
дет количеству ЕС. СЕ И поскольку числа СН.
Чертеж 20	НЕ равны между собой так же и числа ЕС.

С1 равны между собой, и количество СН. НЕ
равно количеству ЕС. СЕ. то, значит, как СН к ЕС. так и НЕ к СЕ
Значит, будет что и как один из предыдущих к одному из последую-
щих, так и все предыдущие ко всем последующим (предложение 12).
Будет, значит, что как СН к ЕС. так и СЕ к ЕЕ. значит, СН. ЕС с СЕ.
Е1 находятся в том же самом отношении, будучи меньше их; это же
невозможно, ибо СЕ. Е1 предполагаются наименьшими из имеющих
то же самое отношение с ними. Значит, СЕ не является «частями» Л;
значит, <оно> - часть (предложение 4). И Е1 от В является такой же
частью, что СЕ от А; значит, равное <число раз> СЕ измеряет Л, и Е1
<измеряет> В. что и требовалось доказать.

Евклидова теория простых чисел

В одиннадцати предложениях (с 20-го по 30-е) излагается теория простых,
или, как Евклид называет их, первых чисел. Формулировка первого предложе-
ния этой группы (предложения 20) - «Числа, наименьшие из имеющих то же
самое отношение с ними, равное <число раз> измеряют имеющие то же самое
отношение <числа>, причем большее <измеряет> большее и меньшее - мень-
шее» - позволяет сделать очень вероятное предположение о причине возникно-
вения теории простых чисел: старались найти наименьшие числа, при помощи
которых можно было бы представить данное отношение. Одно и то же отно-
шение, например — , может быть представлено в виде такого ряда:
2 4 6 _8_

3’ 6’ 9’ 12’ ’

Первые члены этого отношения будут взаимно простыми, или «первыми»
между собой, как говорит предложение 21.

Если рассматривать отдельно ряды чисел, изображающих предыдущие
и последующие члены последовательных отношений-в нашем случае

2, 4, 6, 8,...

и

3,6, 9, 12,...

то взаимно простые числа всегда будут занимать первое место во всех этих
рядах чисел, откуда, вероятно, и произошло имеющееся у Евклида название
простых чисел первыми. Для нас же, привыкших употреблять простые числа
главным образом в разложении составных чисел на множители, гораздо более
естественным является название простого числа как элемента, из которого мо-
гут быть построены все составные числа.

Предложение 21

Первые между собой числа суть наименьшие из имеющих с ними
то же самое отношение.

Пусть будут первые между собой числа Л, В;

я утверждаю, что Л, В суть наименьшие из имею-

,	.	у! В С Е) Е

щих с ними то же самое отношение (чертеж 21). т т Т Т I
Действительно, если нет, то будут какие-то

меньшие Л, В числа, находящиеся в том же са-
мом отношении с А. В. Пусть они будут С, И.

Поскольку теперь числа, наименьшие из Чертеж 21
имеющих то же самое отношение, равное <чис-

ло раз> измеряют имеющие то же самое отношение, именно боль-
шее - большее и меньшее - меньшее (предложение 20), то, есть пре-
дыдущее - предыдущее и последующее - последующее, то, значит,
равное <число раз> С измеряет Л и И <измеряет> В. Вот сколько раз
С измеряет Л, пусть столько единиц будет в Е. Значит, и И измеряет
В по <количеству> единиц в Е. И поскольку С измеряет Л по <кол и-
честву> единиц в Е, значит, и Е измеряет Л по <количеству> единиц
в С (предложение 15). По той же вот причине Е измеряет и В по
<количеству> единиц в И (предложение 15). Значит, Е измеряет Л, В,
являющиеся между собой первыми; это же невозможно (определе-
ние 13). Значит, не будет никаких меньших Л, В чисел, находящихся
в том же самом отношении с Л, В, что и требовалось доказать.
Предложение 22

Числа, наименьшие из имеющих с ними то же самое отношение,
будут первыми между собой.

Пусть числа, наименьшие из имеющих с ними то же самое от-
ношение, будут Л, В; я утверждаю, что Л, В будут первыми между
собой (чертеж 22).

Действительно, если они не первые
А 1	1 между собой, то какое-то число <их> изме-

вс ।	[ 1	рит. Пусть оно измеряет и будет С. И сколь-

Р1___।	ко раз С измеряет Л, пусть столько единиц

е 1-н	будет в сколько же раз С измеряет В,

пусть столько единиц будет в Е. Посколь-
Чертеж22	ку С измеряет Л по <количеству> единиц

в /), то, значит, С, умножая /), произвело Л
(определение 16). По той же вот причине и С, умножая Е, произве-
ло В. Вот число С, умножая два числа /), Е, произвело Л, В; значит,
будет, что как /) кЕ, так и Л к В (предложение 17); значит, Е, Е с Л, В
находятся в том же самом отношении, будучи меньше их; это же не-
возможно. Значит, никакое число не измерит числа Л, В. Значит, Л, В
суть первые между собой, что и требовалось доказать.

Предложение 23

Если два числа суть первые между собой, то число, измеряющее
одно из них, будет первым с оставшимся.

Пусть будут два числа, первые между собой, Л, В, и пусть ка-
кое-то число С измеряет Л; я утверждаю, что и С, В будут первыми
между собой (чертеж 23).

Действительно, если С, В не будут первыми между собой, то
[какое-то] число измерит С, В. Пусть оно измеря-
т	ет и будет Е. Поскольку Е измеряет С, С же изме-

 т	ряет Л, то, значит, Е измеряет и Л. Измеряет оно

!т также и В; значит, Е измеряет Л, В, являющиеся
между собой первыми; это же невозможно. Зна-

А в с	чит, никакое число не измерит чисел С, В. Значит,

С, В будут первыми между собой, что и требова-

Чертеж 23 лось доказать.
Предложение 24

Если два числа будут первыми по отношению к какому-то чис-
лу, то и возникающее из них <произведение> будет по отношению

к нему первым.

Пусть два числа А. В будут первыми по отношению к какому-то
числу С, и пусть Л, умножая В. производит /9; я утверждаю, что С, Л
будут первыми между собой (чертеж 24).

Действительно, если С, Л не будут первыми
между собой, то [какое-то] число измерит С, О.
Пусть оно измеряет и будет Е. И поскольку С,
А - первые между собой, С же измеряется ка- А 1
ким-то числом Е, то, значит, Л, Е будут первыми	в  

между собой (предложение 23). Вот сколько раз
Е измеряет Л, пусть столько единиц будет в /;	о

и значит, / измеряет Л по <количеству> единиц
в Е (предложение 15). Значит, Л, умножая /, про-	Чертеж 24

извело Л (определение 16). Вместе с тем и Л,

умножая В, произвело Л; значит, <произведение> из Л, I равно произ-
ведению) из Л, Л. Если же произведение крайних будет равно произве-
дению средних, то четыре эти числа будут пропорциональны; значит,
будет, что как Л к Л, так и В к I. Но Л, Л- первые, первые же и наимень-
шие (предложение 21), числа же, наименьшие из имеющих то же самое
отношение, равное <число раз> измеряют большее - большее и мень-
шее-меньшее (предложение 20), т.е. предыдущее-предыдущее и по-
следующее - последующее; значит, Л измеряет В. Оно также измеряет
и С; значит, Л измеряет Л, С, являющиеся между собой первыми; это
же невозможно. Значит, никакое число не измерит числа С, Л. Значит,
С, Л будут первыми между собой, что и требовалось доказать.

Предложение 25

Если два числа суть первые между собой, то возникающая из од-
ного из них <степенъ> будет первой по отношению к оставшемуся.

Пусть два числа, первые между собой, будут

Л, Л, и пусть Л, умножая самого себя, произведет А в

С; я утверждаю, что Л, С будут первыми между со-

бой (чертеж 25).	1	1

Действительно, положим Л равным Л. По-
скольку А. В-первые между собой, Л же равно Л,
то, значит, и Л, Л будут первые между собой. Зна- Чертеж 25
чит, каждое из А будет по отношению к В первым; значит, и воз-
никающее из /), А будет по отношению к В первым. Возникающее же
из /), А число есть С. Значит, С, В будут первыми между собой, что
и требовалось доказать.

Предложение 26

Если два числа по отношению к двум числам будут - оба по от-
ношению к каждому -первыми, то и возникающие из них будут пер-
выми между собой.

Пусть два числа Л, В по отношению к двум числам С, Е будут -
оба по отношению к каждому - первыми и пусть Л, умножая В, про-
изведет Е; С же, умножая /), произведет /; я утверждаю, что Е, I бу-
дут первыми между собой (чертеж 26).

Действительно, поскольку каждое
из Л, В является по отношению к С
первым, то, значит, и возникающее из
Л, В <произведение> будет по отно-
шению к С первым (предложение 24).
Возникающее же из Л, В <произведе-
ние> есть Е\ значит, Е, С суть первые

между собой. По той же вот причине и Е, Е будут первыми между
собой. Значит, каждое из С, Е по отношению к Е является первым.
Значит, и возникающее из С, Е <произведение> по отношению к Е
будет первым. Возникающее же из С, Е <произведение> есть I. Зна-
чит, Е, I будут первыми между собой, что и требовалось доказать.

А I-------1 С\-------1

В I-----1	О1----1

Е\-------------------1

I I-------------1

Чертеж 26

Предложение 27

Если два числа будут первыми между собой и каждое, умножая
само себя, производит что-то, то и возникающие из них <произве-
дения> будут первыми между собой; и если первоначальные <чис-
ла>, умножая эти возникающие, производят что-то, то и эти
последние будут первыми между собой \и то же всегда будет про-
исходить в дальнейшем}.

Пусть два числа, первые между собой, будут Л, В и пусть Л, ум-
ножая само себя, произведет С, умножая же С, произведет Е. а В. ум-
ножая само себя, произведет Е, умножая же Е, произведет /; я утвер-
ждаю, что С.ЕтаЕ.1 будут первыми между собой (чертеж 27).

Действительно, поскольку А. В- первые между собой, и Л, ум-
ножая само себя, произвело С, то, значит, С, В будут первыми меж-
ду собой (предложение 25). Поскольку теперь

С, В первые между собой и В, умножая само	т т

себя, произвело Е. то, значит, С, Е будут пер- II }
выми между собой. Опять, поскольку А. В -
первые между собой и В. умножая само себя,
произвело Е. то, значит, Л, Е будут первыми
между собой. Поскольку теперь два числа Л, С

по отношению к двум числам В. Е будут оба Чертеж 27
по отношению к каждому первыми, то, значит,

и возникающее из Л, С по отношению к <возникающему> из В, Е
будет первым (предложение 26). И <возникающее> из Л, С есть
<возникающее> же из В, Е <есть> I. Значит, Л, /будут первыми меж-
ду собой, что и требовалось доказать.

Предложение 28

Если два числа будут первыми между собой, то и оба вместе
взятые по отношению к каждому из них будут первыми; и если оба
вместе взятые являются первыми по отношению к какому-нибудь
одному из них, то и первоначальные числа будут первыми между
собой.

Сложим два первые между собой числа АВ. ВС; я утверждаю,
что и оба вместе взятые Л С по отношению к каждому из АВ. ВС бу-
дут первыми (чертеж 28).

Действительно, если не будут СА. АВ пер-
выми между собой, то какое-то число измерит
СА. АВ. Пусть оно измеряет и будет Е. По-
скольку теперь Е измеряет СА. АВ. то, значит,
оно будет измерять и остаток ВС. Измеряет
оно также и В А; значит, Е измеряет АВ. ВС.
являющиеся первыми между собой; это же не-

возможно. Значит, никакое число не измерит числа СА. АВ; значит,
СА. АВ будут первыми между собой. По той же вот причине и Л С,
СВ будут первыми между собой. Значит, СА будет первым по отно-
шению к каждому из АВ. ВС.

Затем пусть вот будут СА. АВ первыми между собой; я утвер-
ждаю, что и АВ. ВС будут первыми между собой.

Действительно, если не будут АВ. ВС первыми между собой,
то, какое-то число измерит АВ. ВС. Пусть оно измеряет и будет Е.
И поскольку Е измеряет каждое из АВ. ВС. то, значит, оно измерит
и целое СА. Измеряет оно также и АВ; значит, Е измеряет СА. АВ.

А ВС

I---1--1

, В ,

Чертеж 28
являющиеся первыми между собой; это же невозможно. Значит, ни-
какое число не измерит чисел АВ, ВС. Значит, АВ, ВС будут первыми
между собой, что и требовалось доказать.

Предложение 29

Всякое первое число будет первым по отношению к каждому
числу, которого оно не измеряет.

Пусть будет первое число А и пусть оно не измеряет В', я утвер-
ждаю, что В, А будут первыми между собой (чертеж 29).

Действительно, если не будут В, А первыми между собой, то ка-
кое-то число их измерит. Пусть их измеряет С. Поскольку С изме-
ряет В, А же не измеряет В, то, значит, С не

А (( будет тождественным А. И поскольку С изме-
в ।_______। ряет В, А, то, значит, оно измеряет и А, являю-

с ।--1	щееся первым и с ним не тождественное; это

же невозможно. Значит, никакое число не из-
Чертеж 29 мерит В, А. Значит, А, В будут первыми между
собой, что и требовалось доказать.

Предложение 30

А I--1

В I---1

С I------------1

О I—I
Е I----1

Чертеж 30

Если два числа, умножая друг друга, производят что-то, воз-
никающее же из них измеряется каким-то первым числом, то <по-
следнее> измерит и одно из первоначальных.

Пусть два числа Л, В, умножая друг друга, производят С и пусть С
измеряется каким-то первым числом /9; я утверждаю, что Л измеряет
одно из А, В (чертеж 30).

Действительно, пусть оно не измеряет
А и Л есть первое, значит, А, Е будут первы-
ми между собой (предложение 29). И сколь-
ко раз Е измеряет С, пусть столько единиц
будет в Е. Поскольку теперь Е измеряет С
по <количеству> единиц в Е, то, значит, Е,
умножая Е, произвело С (определение 16).
Вместе с тем и А, умножая В, произвело С;

значит, <произведение> из Е, Е равно <произведению> из А, В; зна-
чит, будет, что как Е к А, так кВ к Е. Но Е, А- первые, первые же
и наименьшие, наименьшие же измеряют имеющие то же самое от-
ношение равное <число раз> большее - большее и меньшее - мень-
шее (предложение 20), то есть предыдущее-предыдущее и последу-
ющее - последующее; значит, Л измеряет В. Подобно вот докажем,
что и если оно не измеряет В, то будет измерять А. Значит, Л измеря-
ет одно из Л, В, что и требовалось доказать.

Предложение 31

Всякое составное число измеряется каким-то первым числом.

Пусть будет составное число Л; я утверждаю, что Л измеряется
каким-то первым числом (чертеж 31).

Действительно, поскольку Л есть со-

ставное, его измерит какое-то число. Пусть А ,,
оно измеряет и будет В. И если В первое, то	в ।---1

заданное уже было бы выполнено. Если же	с 1—1

<оно> составное, то его измерит какое-то

число. Пусть оно измеряет и будет С. И по-	Чертеж 31

скольку С измеряет В, В же измеряет Л, то,

значит, и С измеряет Л. И если С первое, то заданное уже было бы
выполнено. Если же оно составное, то его будет измерять какое-то
число. Вот при производстве такого пересмотра останется какое-то
первое число, которое измерит. Действительно, если бы не осталось,
то число Л будет измеряться бесконечным <рядом> чисел, из кото-
рых каждое каждого будет меньше; это же невозможно для чисел.
Значит, останется какое-то первое число, которое измерит предыду-
щее, которое измерит и Л.

Значит, всякое составное число измеряется каким-то первым
числом, что и требовалось доказать.

Лестница неопределенности

При доказательстве того, что всякое сложное число А измеряется простым
числом, прием Евклида состоит в следующем: из предположения, что некоторое
свойство Л присуще числу Л, он выводит существование числа В < Л, облада-
ющего этим свойством, затем числа С < В < Л, обладающего тем же свойством
Л, и т. д., а затем устанавливается конечность такого ряда, как ряда целых чисел.
Ферма выставляет этот прием как им впервые вводимый в теорию чисел. Он
говорит, что в тех случаях, когда не помогают обычные приемы доказательств,
он находит совершенно особенные, которые называет: «Ьа ВезсегНе Тпрте ои
Мерте».

Другие доказательства предложения 31

В приложениях Гейберг поместил и другое доказательство предложения 31.
«Иначе.
первым числом (чертеж 6).

Чертеж 6

Пусть будет составное число Л; я утверждаю, что оно измеряется каким-то

Действительно, поскольку А составное, оно
будет измеряться некоторым числом, и пусть наи-
меньшее из его измеряющих будет В. Я утвер-
ждаю, что В будет первым. Действительно, если
нет, то оно составное. Значит, оно будет измеряться
каким-то числом. Пусть оно измеряется С. Значит,
С будет меньше В. И поскольку С измеряет В, но
В измеряет А, то, значит, и С измеряет А, будучи
меньше чем В; это же нелепо. Значит, В не будет составным. Значит, <оно> про-
стое, что и требовалось доказать».

Другая форма доказательства, по изд. Энриквеса:

«Если а составное, то имеет делителей. Пусть Ъ наименьший делитель;
я говорю, что Ъ простое.

Действительно, если Ъ составное, то существует какой-то делитель с < Ь,
который делит а, что противно предположению (Ь- наименьший делитель); по-
этому Ъ простое».

Из этого положения вытекает единственность разложения на простые мно-
жители.

Дирихле рассуждает так:

т = рт', гдер простое,
т’=р'т", гдер'простое,
значит,	т = рр'т" и т. д.

Если предположить, что существуют два разложения на простые множи-
тели:

т = рр'р" • •• и/и = од'(?"...,
то произведениерр'р" ... должно делиться на дд'д" ..., что предполагаетр = д,
затем р' = д'и т.д.

Предложение 32

Всякое число - или первое, или измеряется каким-то первым
числом.

Пусть будет число Л; я утверждаю, что оно-или

А	первое, или измеряется каким-то первым числом

1	1 (чертеж 32.)

Если теперь А первое, то заданное уже было бы

Чертеж 32 выполнено. Если же составное, то его будет изме-
рять какое-то первое число.

Значит, всякое число или первое, или измеряется каким-то пер-
вым числом, что и требовалось доказать.
Предложение 33

А	В	С	О

Т	Т	Т	I

Чертеж 33

Для заданных в любом количестве чисел найти наименьшие из
имеющих то же самое отношение с ними.

Пусть будут заданные в любом количестве числа Л, В, С; вот тре-
буется найти наименьшие из имеющих то же самое отношение с Л,
В, С (чертеж 33).

Действительно, Л, В, С будут или
первыми между собой, или же нет. Если
теперь Л, В. С будут первыми между со-
бой, то они будут наименьшими из име-
ющих то же самое отношение с ними
(предложение 21).

Если же нет, то возьмем для Л, В, С
наибольшую общую меру Я (предложе-
ние 3), и сколько раз Я измеряет каждое
из Л, В. С. пусть будет столько единиц
в каждом из Е, /, Н. И значит, каждое из
Е, /, Я измеряет каждое из Л, В. С по <ко-
личеству> единиц в Я (предложение 15).
Значит, Е, /, Н равное <число раз> изме-
ряют Л, В. С; значит, Е, /, Я находятся с Л,

В, С в том же самом отношении (определение 21). Вот я утверждаю,
что <они> и наименьшие. Действительно, если не будут Е, /, Я наи-
меньшими из имеющих то же самое отношение с Л, В, С, то будут
[какие-то] меньшие Е, /, Я числа, находящиеся в том же самом отно-
шении с Л, В. С. Пусть они будут С, Я, Я; значит, равное <число раз>
О измеряет Л, и каждое из К, Е <измеряет> каждое из В, С. Сколько
же раз О измеряет Л, пусть будет столько единиц в М и значит, ка-
ждое из К, Е измеряет каждое из В, С по <количеству> единиц в М.
И поскольку О измеряет Л по количеству) единиц в 7И, то, значит, и М
измеряет Л по <количеству> единиц в О (предложение 15). По той же
вот причине М измеряет и каждое из В, С по <количеству> единиц
в каждом из К, Е; значит, Мизмеряет Л, В, С. И поскольку О измеря-
ет Л по <количеству> единиц в 7И, то, значит, С, умножая 7И, произве-
ло Л (определение 16). По той же вот причине и Я, умножая Я, произ-
вело Л. Значит, <произведение> из Я, Я равно будет <произведению>
из С, М. Значит, будет, что как Я к С, так и ТИк Я (предложение 19).
Но Е больше, чем С; значит, и ТИболыпе, чем Я (предложение 14 кни-
ги V). И оно измеряет А, В, С; это же невозможно, ибо Я предполага-
ется для А. В. С наибольшей общей мерой. Значит, не будет никаких
меньших, чем Е, /, Я, чисел, находящихся в том же самом отношении
с Л, В. С. Значит, Я, /, Н будут наименьшие из имеющих то же самое
отношение с Л, В, С, что и требовалось доказать.

Предложение 34

Для двух заданных чисел найти, какое наименьшее число они из-
меряют.

Пусть два заданных числа будут Л, В; требуется вот найти, какое
наименьшее число они измеряют (чертеж 34).

Действительно, Л, В будут или первыми

А в	между собой, или нет. Пусть сперва Л, В бу-

'	1 с1 ' дут первыми между собой и пусть Л, умно-

| р | жая В. произведет С; и значит, В. умножая Л,
।—е—! !—произвело С (предложение 16). Значит, Л, В
измеряют С. Вот я утверждаю, что <оно>
Чертеж 34 и наименьшее. Действительно, если нет, то Л,
В измерят какое-то число, меньшее С. Пусть
они измеряют Я. И сколько раз Л измеряет Я, пусть столько единиц
будет в Я; сколько же раз В измеряет Я, пусть столько единиц будет
в /; значит, Л, умножая Я, произвело Я, а В. умножая /, произвело Я
(определение 16); значит, <произведение> из Л, Е равно <произве-
дению> из В, I. Значит, будет, что как Л к В, так и I к Е (предложе-
ние 19). Но Л, В первые, первые же и наименьшие (предложение 21),
наименьшие же измеряют имеющие то же самое отношение равное
<число раз>, большее - большее и меньшее - меньшее (предложе-
ние 20); значит, В измеряет Я, как последующее <измеряет> после-
дующее. И поскольку Л, умножая В, Е, произвело С, Я, то, значит,
будет, что как В к Е, так и С к Я (предложение 17). Но В измеряет Е;
значит, и С измеряет Я (определение 21), большее-меньшее; это же
невозможно. Значит, Л, В не измеряют никакого числа, меньшего,
чем С. Значит, С, будучи наименьшим, измеряется Л, В.

Вот пусть Л, В не будут первыми между собой и возьмем наи-
меньшие числа /, Е из имеющих то же самое отношение с А, В (пред-
ложение 33); значит, <произведение> из Л, Е равно будет <произведе-
нию> из В, I (предложение 19). И пусть Л, умножая Я, произведет С;
значит, и В, умножая /, произвело С; значит, Л, В измеряют С. Вот
я утверждаю, что <оно> и наименьшее (чертеж 35).

Действительно, если нет, то Л, В измерят какое-то число, мень-
шее С. Пусть они измеряют Я. И сколько раз Л измеряет /9, пусть
столько единиц будет в /7; сколько же раз В измеряет /9, пусть столь-
ко единиц будет в С. Значит, Л, умно-
жая ЕЕ, произвело Я, а В, умножая С,
произвело Я (определение 16). Значит,
<произведение> из Л, Н равно <произ-
ведению> из В, С; значит, будет, что как
Л к В, так и С к /7 (предложение 19). Как
же Л к В, так и I к Е', и значит, как ЕкЕ,
так и С к ЕЕ. Но /, Е - наименьшие, и наи-

Чертеж 35

меньшие же измеряют имеющие то же

самое отношение равное <число раз>, большее - большее и мень-
шее - меньшее (предложение 20); значит, Е измеряет ЕЕ. И посколь-
ку Л, умножая Е, ЕЕ, произвело С, /9, то, значит, будет, что какЕкН,
так и С к Е (предложение 17). Но Е измеряет Я; значит, и С изме-
ряет Я (определение 21), большее - меньшее; это же невозможно.
Значит, Л, В не измерят никакого числа, меньшего, чем С. Значит, С,
будучи наименьшим, измеряется Л, В, что и требовалось доказать.

Предложение 35

Если два числа измеряют какое-то число, то его измерит и наи-

меньшее; ими измеряемое <число>.

Пусть два числа Л, В измеряют какое-то число СП, наименьшее же
<ими измеряемое> Е', я утверждаю, что и Е измеряет СЕ (чертеж 36).

Действительно, если Е не измеряет СЕ, то пусть Е, измеряя ЕЕ,
оставит СЕ, меньшее себя. И по-

скольку Л, В измеряют Е, Е же
измеряет ЕЕ, то, значит, и Л, В из-
мерят ЕЕ. Но они измеряют и все
СЕ', значит, они измерят и оста-
ток СЕ, который меньше Е', это же
невозможно. Значит, Е не будет
не измерять СЕ', значит, измерит,
что и требовалось доказать.

Чертеж 36

Предложение 36

Для трех заданных чисел найти, какое наименьшее число они из-
меряют.

Пусть три заданных числа будут А, В, С; требуется вот найти,
какое наименьшее число они измеряют (чертежи 37, 38).
А I--1

В I----1

С\-------1

О1--------------1

Е I-----------1

Чертеж 37

Возьмем наименьшее измеряемое дву-
мя Л, В <число> Е (предложение 34). Вот С
или измеряет или нет. Пусть сперва оно
измеряет. Но и Л, В измеряют значит,
и Л, В. С измеряют Е. Вот я утверждаю,
что <оно> и наименьшее. Действительно,
если нет, то Л, В, С измерят [какое-то] чис-
ло, меньшее /9. Пусть они измеряют Е. По-

скольку А. В. С измеряют Е, то, значит, и Л, В измеряют Е. И значит,
наименьшее, измеряемое Л, В, измерит [А] (предложение 35). Наи-

меньшее же, измеряемое Л, В. есть /9; значит, Е измерит Е, большее-
меньшее; это же невозможно. Значит, Л, В, С не измерят никакого

числа, меньшего, чем /9; значит, Л, В. С наименьшее измеряют Е.

Чертеж 38

Затем, пусть вот С не
измеряет Е и возьмем (чер-
теж 38) наименьшее измеря-
емое С, Е число Е (предло-
жение 34). Поскольку Л, В
измеряют Е, а Е измеряет Е,
то, значит, и Л, В измеряют Е.
Также и С измеряет \Е\ г/], зна-
чит, Л, В, С измеряют Е. Вот

я утверждаю, что <оно> и наименьшее. Действительно, если нет, то Л,
В, С измерят какое-то <число>, меньшее Е. Пусть они измеряют I. По-
скольку Л, В, С измеряют /, то, значит, и Л, В измеряют /; и значит, наи-
меньшее, измеряемое Л, В, измерит I (предложение 35). Наименьшее
же, измеряемое Л, В, есть Е; значит, Е измеряет I. Также и С измеря-
ет /; значит, Е, С измеряют /, так что и наименьшее измеряемое Е, С
измерит I. Наименьшее же, измеряемое Е, С, есть Е; значит, Е измеря-
ет /, большее - меньшее; это же невозможно: Значит, Л, В, С не изме-

рят никакого числа, меньшего, чем Е. Значит, Е, будучи наименьшим,
измеряется Л, В, С, что и требовалось доказать.

Предложение 37

Если число измеряется каким-то числом, то измеряемое будет
иметь часть соименную измеряющему

Пусть число Л измеряется каким-то числом В; я утверждаю,
что Л имеет часть, соименную с В (чертеж 39).

Действительно, сколько раз В измеряет Л, пусть столько единиц
будет в С. Поскольку В измеряет Л по <количеству> единиц в С, так-
же и единица Л измеряет число С по <ко-

А I----------1

личеству> единиц в нем, то, значит, равное в((

<число раз> измеряют единица Л число С с ।___________।

и В - <число> Л. Значит, перестановкой,	о\—।

равное <число раз> единица Л измеряет

число В и С - <число> А (предложение 15);	Чертеж 39

значит, какой частью единица Л будет от

числа В, той же самой частью будет и С от Л. Единица же Л есть
часть числа В, соименная ему; значит, и С есть часть Л, соименная В;
так что Л имеет часть С, соименную В, что и требовалось доказать.

Предложение 38

Если число имеет какую-нибудь часть, то оно будет измерять-
ся числом, соименным <этой> части.

Пусть число Л имеет какую-нибудь

часть В и пусть соименным части В будет

[число] С; я утверждаю, что С измеряет Л ।	।	1

(чертеж 40).	с ,,

Действительно, поскольку В есть часть Л,	р ।—।

соименная С, единица же Л есть часть С, со-

именная ему, то, значит, какой частью будет	Чертеж 40

единица Л от числа С, той же самой частью

будет и В от Л \ значит, равное <число раз> единица Е) измеряет число
С и В - <число> Л. Значит, перестановкой, равное <число раз> еди-
ница Е измеряет число В и С-<число> Л (предложение 15). Значит,
С измеряет Л, что и требовалось доказать.

Предложение 39

Найти число, которое, будучи наименьшим, имеет заданные
части.

Пусть заданные части будут Л, В, С; требуется вот найти число,
которое, будучи наименьшим, имеет части Л, В, С (чертеж 41).
Пусть соименные частям А. В. С числа будут /9, Е. /, и возьмем
наименьшее, измеряемое /9, Е, /, число Н.

Значит, //имеет части, соименные /9, Е, / (предложение 37). Со-
именные же /9, /Г, / части суть Л, В, С; значит, //имеет части Л, В, С.
Вот я утверждаю, что <оно их имеет>, будучи и наименьшим. Дей-
ствительно, если нет, то будет какое-то меньшее Н число, которое
имеет части А, В, С. Пусть оно будет С. Поскольку О имеет части Л,
В, С, то, значит, О будет измеряться числами, соименными частями
Л, В, С (предложение 38). Частям же Л, В, С соименные числа будут
/9, Е, /; значит, О измеряется /9, Е, /. И оно меньше //; это же невоз-
можно. Значит, не будет никакого меньшего Н числа, которое имело
бы части Л, В, С, что и требовалось доказать.
КНИГА IX

Предложение 20

I—\А

I-----\В	I-----1 н

।---------1

I О	С	Е

1—1----------------------------1

Чертеж 20

Первых чисел существует больше всякого предложенного коли-
чества первых чисел.

Пусть предложенные первые числа будут Л, В, С; я утверждаю,
что первых чисел существует больше, чем Л, В, С (чертеж 20).

Действительно, возьмем
наименьшее <число>, изме-
ряемое Л, В, С (предложе-
ние 36 книги VII), и пусть
оно будет ЕЕ, и приложим
к ЕЕ единицу ЕЕ Вот Е1
или будет первым, или нет.
Пусть сперва оно будет пер-

вым; значит, найдено первых чисел Л, В, С, Е1 больше, чем Л, В, С.

Но вот пусть Е1 не будет первым; значит, оно измеряется неко-
торым первым числом (предложение 31 книги VII). Пусть оно будет
измеряться первым <числом> //; я утверждаю, что //не будет тожде-
ственным ни с одним из Л, В, С. В самом деле, если возможно, пусть
будет. Но Л, В, С измеряют ЕЕ; значит, и Н измерит ЕЕ. Оно же из-
меряет и ЕЕ, и остающуюся единицу Е1 измерит Н, будучи числом;
это же нелепо. Значит, Н не будет тождественным ни с одним из Л,
В, С. И оно предполагается первым; значит, найдено первых чисел
больше предложенного количества Л, В, С, <а именно>, Л, В, С, Н,
что и требовалось доказать.

Простые числа линейной формы

Приводим некоторые значения формы 7р + 1, где 7р - произведение всех
простых чисел, до р включительно, которой пользуется Евклид:

1 + 2 = 3

1 + 2 - 3 = 7

1 + 2-3-5 = 31

1 + 2-3-5-7 = 211

1 + 2 • 3 • 5 • 7 • И = 2311

1 + 2-3-5-7-И-13 = 30031

простые числа
1 + 2-3-5-7-11-13-17

1 + 2 - 3 • 5 - 7 -11 • 13 -17 • 19

1 + 2 - 3 • 5 - 7 -11 • 13 -17 • 19 • 23

составные числа

Следовательно, при одних значениях р возникают простые числа, при дру-
гих- составные. Задача о том, в каких случаях эти числа будут простыми, пред-
ставляется очень трудной и до сих пор не разрешена.

Следует отметить, что та же форма 7р + Г приводит к заключению о су-
ществовании бесконечного множества простых чисел некоторых определенных
форм, например

2п +1,6??+ 1, Юл? + 1, 15п + 1 и т. д.

Нетрудно убедиться, что число формы Ап - 1 или простое, или же делится
на простое число той же формы.

В самом деле,

(Ак + 1) (4е + 1) = 4и+ 1,
так что произведение множителей формы Ат + 1 будет всегда давать числа той
же формы, а не формы Ап - 1.

Взяв вместо 7р + 1 выражение 1}р— 1, где

Ур = 22 • 3 • 5 • 7 • 11 ... (р-1) • р,
мы, воспроизведя евклидовское рассуждение, убеждаемся в существовании бес-
конечного множества простых чисел формы Ап -1.

Это положение представляет лишь частный случай замечательной теоремы,
высказанной Лежандром в 1788 г., но доказанной только в 1837 г. Леженом-Ди-
рихле: «Всякая бесконечная арифметическая прогрессия кх + т, первый член т
и разность к которой являются взаимно простыми числами, содержит бесконеч-
ное множество положительных простых чисел д».

Вместо 2р + 1 можно взять в доказательстве Евклида

П(р)+ 1 = 1 • 2 • З...р+ 1,
где 1 • 2 • 3... р есть произведение всех целых чисел до р включительно, т. е. р!

Еслир-простое число, то оно будет делителем числа

1 • 2 • 3... (р-1) + 1 = (р- 1)! + 1.

Например, 13 будет делителем числа 479001 601 = 12! + 1.

В этом состоит известная теорема Вильсона, с помощью которой можно
установить, представляет ли р простое или составное число (ибо еслир состав-
ное, то (р- 1)! + 1 нар не делится).

Формы простых чисел

Предложение 20 книги IX о существовании бесконечного множества про-
стых чисел можно представить в форме проблемы о разыскании простых чисел
р > х, где х дано.

Операции, решающие задачу, сводятся к операциям разложения + 1 на
множители.
Математики старались найти формулу, разрешающую этот вопрос, т.е. вы-
разить р через х:

Р = ф(х),
где (р строится с помощью элементарных алгебраических операций и тех транс-
цендентных, которыми пользуется анализ бесконечно малых. По отношению
к последовательности всех простых чисел р2, Рз>-” слеДУет различать задачи:

1)	О разыскании простого числа рт, большего, чем данное простое число
^,т.е.

р„ = ф(р„)’где т>п-

2)	О разыскании простого числарп + 1, непосредственно следующего за дан-
ным простым числом

л>+1=ф(рй)-

3)	0 разыскании простых чисел данного порядка:

Р„ = ф(«)-

К этим проблемам следует еще прибавить следующие:

4)	О разыскании (р (х) такой, что при всяком целом х (р (х) представляла бы
простое число.

5)	О разыскании такой (р(х), что (р(х) дает бесконечное множество простых
чисел.

6)	О разыскании (р(х), дающей точное число простых чисел, меньших х.

Последняя из этих проблем эволюционирует в другую, хотя и тоже труд-
ную, но для которой большие усилия математиков дали решение: о разыскании
асимптотического выражения о (х) для (р (х), т.е. такого, что

Задачи 4, 5, вероятно, являются неразрешимыми. Первая потому, что такой
функции не существует, вторая потому, что хотя, как следует думать, все алге-
браически неразрешимые формы и содержат бесконечное множество простых
чисел, но для доказательства этого (в смысле убеждения в его справедливости)
у нас недостаточно основных очевидных положений.

Эйлер приводит полиномы с целыми коэффициентами
х2+х+17,	2х2 + 29, х2-х + 41,

дающие простые числа при следующих друг за другом значениях х. Но это явля-
ется случайностью. Нетрудно видеть, что полиномы с целыми коэффициентами
не могут давать только простые числа.

Так, если/(х0) = р, то

/(х0 +ру) =/(х0) +ру/'(х) + ...
должно уже делиться на р.

Ферма думал, что все числа формы

22 + 1

простые. Это верно для п = О, 1, 2, 3, 4, но уже оказывается неверным для п = 5,
6, 7, 8, 9, 11, 12, 18,23,36,38, 73.

Естественно думать, что то же следует сказать и о тех формах, под которые
различными математиками подводились простые числа.
Линейная форма ах + Ъ при а \\ Ь взаимно простых содержит бесконечное
множество простых чисел. Это доказал Лежен-Дирихле (см. комментарий 11).
Но других таких доказательств мы не имеем.

Эйзенштейн полагал, что-то же следует сказать и о форме 22 + 1. Люка ду-
мает, что Эйзенштейн имел доказательство этого положения. Но сомнительно,
чтобы такое доказательство возможно было найти для пп + 1.

Доказательство Эйлера и Гакса для теоремы 20 книги IX

Совершенно на других принципах основано доказательство Эйлера суще-
ствования бесконечного множества простых чисел.

При р > 1 мы имеем разложение

где полагаемр равным простым числам: 2, 3, 5, 7, ...

Перемножая такие разложения, мы получаем справа сумму различных

членов вида

1
2“3₽57...

с положительными или равными нулю показателями

а, Р, у, ..., так что

1 1

14'1-1

2	3

1 1

'-з'-г

Сумма гармонического ряда в правой части бесконечна. Но левая часть мо-
жет обладать бесконечным значением только в том случае, если число множите-
лей, а значит, и простых чисел - бесконечное множество.

Существует еще другое доказательство.

, г	1	1	1

Гаке берет неприводимую дробь - = — + - + Н—,
5	2	3	р

где 2, 3, ..., р- простые числа, и указывает, что, с одной стороны числитель,

очевидно, не делится ни на одно из простых чисел 2, 3, ...,/? и поэтому он или
простое число, или делится на простое число, большее р.

Бесконечность множества простых чисел выводится также из формулы

Эйлера:

ПА

' 7

где произведение в левой части распространяется на все простые чис-
ла, а сумма в правой - на все натуральные числа. Но правая часть сводится

7Г 2

К —— , И 71

6

оказывается рациональным числом в том случае, если множество

простых чисел ограничено.
Предложение 36

Если от единицы откладывается сколько угодно последова-
тельно <пропорционалъных> чисел в двойном отношении, до тех
пор, пока вся <их> совокупность, сложенная, не сделается первым
<числом> и вся совокупность, умноженная на последнее <число>,
произведет что-то, то возникающее <число> будет совершенным.

Чертеж 36

Пусть от единицы будут отложены сколько угодно чисел в двой-
ном отношении до тех пор, пока вся их совокупность, сложенная, не
сделалась первым <числом, а именно> Л, Д С, Д и пусть Е равно
будет <этой> совокупности, и Е, умноженное на /9, произведет 1Н.
Я утверждаю, что 1Н будет совершенным <числом> (чертеж 36).

Действительно, каково будет количество А, В, С, Е, столько же
возьмем от Е в двойном отношении <чисел> Е, СК, Е, М. Значит, «по
равенству» (предложение 14 книги VII) будет, что как А к Е, так и Е
к М. Значит, <произведение> из Е, Е равно будет <произведению> из
А, ТИ(предложение 19 книги VII). И <произведение> из Е, Е есть 1Н,
и значит, <произведение> из А, М будет 1Н. Значит, А, умножая М,
произвело 1Н', значит, ТИ измеряет 1Н по <числу> единиц в А. ИА
есть двойка; значит, 1Н будет вдвое больше ТИ. Также и ТИ, Д СК, Е
будут последовательно вдвое больше друг друга; значит, Е, СК, Д ТИ,
1Н последовательно пропорциональны в двойном отношении. Тогда
отнимем от второго СК и от последнего ///<соответственно> каждое
из СИ, IX, равных первому Е', значит, будет, что как остаток второго
числа к первому, так и остаток последнего ко всем ему предшествую-
щим (предложение 35). Значит, будет, что как ИК к Е, так и ХНк М, Д
КС, Е <вместе>. И ИК равно Е', значит, и ХН равно ТИ, Ь, СК, Е <вмес-
те>. Также и IX равно Е, Е же <равно> А, В, С, Ей единице. Значит,
все /Нравно Е, СК, Д ТИи А, В, С, Е и единице; и оно измеряется
ими. Я утверждаю, что и 1Н не измерится никаким иным <числом>,
кроме Л, В, С, Б, Е, СК, А, Ми единицы. В самом деле, если возмож-
но, пусть какое-то О измеряет ЕН и пусть О не будет тождественно
ни с одним из А, В, С, Е, Е, СК, Е, М. И сколько раз О измеряет ЕН,
пусть столько единиц будет в Р; значит, Р, умножая О, произвело ЕН.
Но вместе с тем и Е, умножая Е, произвело ЕН\ значит, будет (пред-
ложение 19 книги VII) что как Е к Р, <так и> О к Е. И поскольку от
единицы будут последовательно пропорциональные <числа> А, В, С,
Е, то, значит, Е не измерится никаким иным числом, кроме А, В, С
(предложение 13). И предполагается, что О не тождественно ни с од-
ним из А, В, С; значит, О не измерит Е. Но как О к Е, <так и> Е к Р;
значит, и Е не измеряет Р (определение 21 книги VII). И Е- первое;
всякое же первое число [будет] первым по отношению ко всякому,
кого оно не измеряет (предложение 29 книги VII). Значит, Е, Р бу-
дут первыми между собой. Первые же и наименьшие (предложение
21 книги VII), наименьшие же равное число раз измеряют имеющие
с ними то же отношение (предложение 20 книги VII), предыдущее -
предыдущее и последующее - последующее; и как Е к Р, <так и>
О к Е', значит, равное число раз Е измеряет О и Р <измеряет> Е. Но
Е не измеряется никаким иным, кроме А, В, С, значит, Р будет тож-
дественно одному из А, В, С. Пусть оно тождественно В. И каково
будет количество В, С, Е, <начиная> от Е, возьмем столько же <чи-
сел> - Е, СК, А. И Е, СК, Е с В, С, Е будут в том же самом отноше-
нии; значит, «по равенству» будет (предложение 14 книги VII), что
как ВкЕ, <так и> Е к А. Значит, <произведение> из В, Е равно <про-
изведению> из Е, Е (предложение 19 книги VII); но <произведение>
из Е, Е равно <произведению> из Р, О; и значит, <произведение>
из Р, О равно <произведению> из В, Е. Значит, будет, что какР кВ,
<так и> Е к О (предложение 19 книги VII). И Р тождественно с В',
значит, и Е будет тождественно с О', это же невозможно; ибо О пред-
полагается нетождественным ни одному из отложенных <чисел>.
Значит, ЕН не измерится никаким числом, кроме А, В, С, Е, Е, СК,
Е, Ми единицы. И доказано, что ЕН равно А, В, С, Е, Е, СК, Е, М
и единице. Совершенным же числом будет то, которое равно своим
частям (определение 23 книги VII); значит, ЕН будет совершенным,
что и требовалось доказать.

Совершенные числа

Евклид для совершенного числа, т.е. числа, равного сумме всех своих де-
лителей (отличных от него самого), дает в предложении 36 книги IX формулу
Ы = 2р~1Ь

где Ъ представляет сумму 1+2 +22 + ... которая выражается через 2^-1,
так что И (совершенное число) = 2р~1 х (2р-1); при этом предполагается, что не
только р, но и 2р— 1 простое число.

Но из его рассуждения вовсе не следует, что всякое совершенное число бу-
дет такой формы. В настоящее время доказано, что всякое четное совершенное
число должно быть евклидовской формы, но до сих пор не найдено ни одного
нечетного совершенного числа.

Древние знали только следующие совершенные числа:

1)	2 (22— 1) = 6,

2)	22 (23- 1) ~ 28,

3)	24 (25- 1) = 496,

4)	26 (27- 1) = 8128,
о которых упоминают Никомах и Боэций. Пятое совершенное число
5) 212 (213 - 1) = 33550 336

указывается Региомонтаном (1436-1476). Штиффель его не знает, но выставляет
28 (29— 1) = 256 • 511 = 130 816

как совершенное число, упуская из виду, что 511 не простое.

В «Началах Евклида» Шейбеля (I. БсйеуЫ) 1555 г. находим шестое и седь-
мое совершенные числа:

6) 216 (217- 1) = 8589 869056,
7)218 (219- 1)= 137438 691328.

Восьмое

8)	230 (231 - 1) = 2305 843008 139952 128
принадлежит Мерсенну (1644).

Только в конце XIX в. было найдено Зеельгофом (БееИюй) (1885) девятое
совершенное число

9)	260 (261- 1)
с 37 цифрами.

В 1912 г. американец Родуегз нашел десятое совершенное число

10)	288 (289- 1).

В 1914 г. Родуегз и ЕаициешЬег§ие нашли одиннадцатое число

11)	2106 (2107- 1).

ЕаициешЬег§ие доказал также, что будет совершенным число

12)	2126 (2127- 1);
последнее с 77 цифрами.

Исследование простых чисел вида 2^-1

Когда форма 2^-1, входящая в евклидову форму, дает простое число, то
2р -1 (2^-1) является совершенным.

Для того чтобы 2^-1 было простым, конечно, необходимо, чтобы р было
простым.

В самом деле, в противном случае, если р = оф}, то 2р~1 = 2а₽- 1 будет де-
литься на 2а-1 и 2₽- 1.
Но условие это вовсе не достаточно. Мы имеем, например,
211 —1 = 23 • 89.

Мы приводим таблицу, содержащую составные числа формы 2^-1 до
р = 251, которым поэтому уже не будут отвечать совершенные числа.

р	А	Р	А	Р	а
11	23	59	17995	179	359
23	47	73	439	191	383
29	233	79	2687	211	15193
37	223	83	167	223	18287
41	13367	97	11447	233	1399
43	431	113	3391	239	479
47	2351	131	263	251	503
53	6361	151	18121		

Для чисел 11,23, 29, 37 это было обнаружено Ферма, для 41 - Плана, для 43,
47, 43, 59-Ляндри, для остальных - Деляссаром.

Дружественные числа

Проблемой, аналогично разрешаемой, является проблема о дружественных
числах, т.е. таких, для которых сумма делителей одного равна другому, и обратно:
с (р) = а (д) =р.

Ямблих приписывает открытие дружественных чисел Пифагору.

Ему были известны дружественные числа:

220= 1 + 2 + 4 + 71 + 142,

284- 1 +2 + 4 + 5 + 10+11 +20 + 22 + 44 + 55 + ПО.

Арабский математик Табит Ибн-Корра (836-901) дает форму для дру-
жественных чисел, аналогичную той, какую дает Евклид для совершенных,
а именно:

А = 2пр • д, В = 2пг,
где

р = 3  2"-I, <7 - 3  2"-1-1,г = 9  22"-1—1.

Ферма в письме к Мерсенну указывает дружественные числа 17 296 и 18 416,
Декарт-9363 584 и 9437 056.
КНИГА X

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1.	Соизмеримыми величинами называются измеряемые од-
ной и той же мерой, несоизмеримыми же - для которых ни-
какая общая мера не может быть образована.

2.	Прямые являются соизмеримыми в степени, если квадраты
на них измеряются одной и той же площадью, несоизмери-
мыми же, если для квадратов на них не может быть образо-
вана никакая площадь как общая мера.

3.	При этих предположениях доказывается, что для заданной
прямой существует бесконечное количество прямых как со-
измеримых, так и несоизмеримых, <причем> некоторые Со-
измеримы или несоизмеримы> только линейно, другие же
и в степени. Назовем теперь заданную прямую рациональ-
ной, а соизмеримые с ней, как и линейно и в степени, так
и только в степени, будем называть рациональными, несо-
измеримые же с ней-иррациональными.

4.	И назовем квадрат на заданной прямой рациональным,
и <все площади>, с ним соизмеримые, рациональными,
несоизмеримые же с ним - иррациональными, и <линии>,
их квадрирующие,- иррациональными, <причем> если <эти
площади> являются квадратами, то-самые стороны, если же
какими-нибудь иными прямолинейными фигурами, то - <ли-
нии, на которых> строятся равные им квадраты.

Предложение 1

Для двух заданных неравных величин, если от большей отнима-
ется больше половины и от остатка больше половины и это дела-
ется постоянно, то останется некоторая величина, которая будет
меньше заданной меньшей величины.

Пусть будут две неравные величины АВ. С. из которых боль-
шая АВ. я утверждаю, что если
от АВ отнимается больше поло-
вины и от остатка больше по-	Л1——+----------\в	।—-—।

ловины и это делается посто-	\н

янно, то останется некоторая
величина, которая будет мень-
ше величины С (чертеж 1).	Чертеж 1
Действительно, С, взятая <достаточное число раз> кратной, ста-
нет когда-нибудь больше АВ (определение 4 книги V). Будем брать ее
кратной, и пусть ЕЕ будет кратной С и большей АВ, и разделим ЕЕ
на равные С <части> Е1,1Н, НЕ, и отнимем от АВ большую полови-
ны <часть> ВС, от АС же - большую половины <часть> СК, и будем
делать это постоянно, пока деления в АВ не сделаются равными по
количеству делениям в ЕЕ.

Пусть теперь деления АК, КС, СВ будут равными по количеству
<делениям> Е1, 1Н, НЕ', и поскольку ЕЕ больше АВ, и от ЕЕ отни-
мается меньшая половины <часть> ЕН, от АВ же большая половины
<часть> ВС, то, значит, остаток НЕ будет больше остатка СА. И посколь-
ку НЕ больше СА и отнимаются от НЕ половина Н1, от СА же большая
половины <часть> СК, то, значит, остаток Е1 будет больше остатка АК.
Но Е1 равно С; и значит, С больше АК. Значит, АК меньше С.

Итак, от величины АВ остается величина АК, являющаяся мень-
шей заданной меньшей величины С, что и требовалось доказать.

Подобным же образом докажется и если бы отнимаемые были
половинами.

Процесс Евклида

Первое предложение книги X имеет особенно большое значение в «Нача-
лах» Евклида.

На нем основывается так называемый метод исчерпывания, на месте ко-
торого стоит сейчас современная теория пределов и который совершенно не-
правильно понимали математики второй половины XVIII в., отождествляя его
с теорией пределов.

А ксиома Архимеда

Не следует считать предложение 1 книги X за эквивалент архимедовой ак-
сиомы, по которой для любых а и Ъ всегда можно найти такое целое число п, что
будет па > Ъ.

Мы уже видели, что в планиметрических книгах Евклид нигде не выставля-
ет это положение как аксиому, но вносит свойство, выражаемое аксиомой Архи-
меда, в определение величин, между которыми может существовать отноше-
ние (определение 4 книги V).

Архимед же вполне определенно выставляет следующее положение в фор-
ме аксиомы:

Если даны две неравные величины а и Ъ (а > Ъ), то кратное их разности
(а - Ъ) может превзойти всякую данную величину.

Есть основания приписывать первое выявление этой аксиомы Эвдоксу. За
это, между прочим, говорят слова и самого Архимеда, который замечает, что
этой леммой пользовались другие геометры, например при доказательстве пред-
ложений о том, что площади кругов относятся между собой как квадраты ради-
усов или объемы сфер - как кубы радиусов, а также при определении объемов
пирамид и параллелепипедов.

Предложение 2

Если для двух [заданных] неравных величин при постоянном по-
переменном вычитании меньшей из большей остающееся никогда
не будет измерять своего предшествующего, то величины будут
несоизмеримыми.

Пусть для двух являющихся неравными величин АВ, СЕ,
<из которых> меньшая А В, при постоянном попеременном вычита-
нии меньшей из большей остаток никогда не измерит своего пред-
шествующего; я утверждаю, что величины АВ, СЕ будут несоизме-
римыми (чертеж 2).

Действительно, если они соизмеримы, то некоторая величина их
измерит. Пусть, если возможно, она измеряет и будет Е', и пусть АВ,
измеряя ЕЕ, оставит меньшую себя <часть> С1, С1 же, измеряя ВН,
оставит меньшую себя <часть> АН, и пусть это происходит постоян-
но, пока не останется не-
которая величина, которая
будет меньше Е. Пусть это
случится и пусть останется
АН, меньшая Е. Посколь-
ку теперь Е измеряет АВ,
но АВ измеряет ЕЕ, то, зна-

чит, и Е измерит ЕЕ. Она же измеряет и всю СЕ', значит, она измерит
и остаток СЕ Но С1 измеряет ВН, значит, и Е измеряет ВН. Она же
измеряет и всю АВ', значит, измерит и остаток ЛЯ, большая-меньшую;
это же невозможно. Значит, никакая величина не измерит величин АВ,
СЕ', значит, величины АВ, СЕ будут несоизмеримыми (определение 1).

Итак, если для двух неравных величин и т.д.

Необходимое и достаточное условие несоизмеримости

Евклид доказывает, что невозможность ограничиться конечным числом
шагов в применении его алгорифма является достаточным признаком ирраци-
ональности. В сущности для доказательства иррациональности это только
и нужно.

Но, как указывает Клавий, имеет место и обратная теорема:

Если из двух данных несоизмеримых величин всегда вычитается меньшая
из большей попеременным вычитанием, то никогда последующая не будет из-
мерять предыдущую.

I
С I---1-----------1-----------I О

Чертеж 2
Пусть, говорит Клавий, из двух величин АВ и СП вычитается меньшая АВ
из большей СП и остается остаток ЕЕ. Также пусть из АВ вычитается ЕЕ, оста-
ется ЕВ и т. д. Я утверждаю, что при таком попеременном вычитании никогда
последняя не будет измерять предыдущую.

Ибо если это будет, то ЕВ измерит предыдущую ЕЕ. Но вследствие того,
что ЕВ измеряет ЕЕ, а ЕЕ измеряет АЕ, то ЕВ измеряет также и АЕ. Но она из-
меряет себя. Поэтому ЕВ измеряет и целую АВ. Но АВ измеряет СЕ, так что ЕВ
измеряет и СЕ. Если теперь принять, что ЕВ измеряет ЕЕ то ЕВ измеряет и це-
лую СЕ. Но доказано, что ЕВ измеряет АВ и потому ЕВ измеряет обе АВ и СЕ,
что противоречит предположению о несоизмеримости АВ и СЕ.

Геометрический алгорифм Евклида вполне отвечает арифметическому', до-
казательству теоремы 2 и решению задач 3, 4 вполне отвечают предложения 1-3
книги VII. Следует только вместо числа поставить величину и вместо измерения
в арифметическом смысле (по-нашему - деления) поставить геометрическое из-
мерение.

Предложение 3

Для двух данных соизмеримых величин найти их наибольшую
общую меру.

Пусть данные две соизмеримые величины будут АВ, СЕ, из ко-
торых меньшая АВ', вот требуется для АВ, СЕ найти наибольшую
общую меру (чертеж 3).

Н	I

I---1 А I--1---1--1---1 В

Е

С I-1----1------------1-----------1 О

Чертеж 3

Величина АВ или измеряет СЕ, или нет. Если теперь она изме-
ряет, измеряет также и самое себя, то, значит, АВ будет общей ме-
рой АВ, СЕ', и ясно, что и наибольшей. Ибо <величина>, большая
величины АВ, не будет измерять АВ.

Тогда пусть АВ не измеряет СЕ. И при постоянном поперемен-
ном вычитании меньшего из большего остаток когда-нибудь изме-
рит предшествующий ему, вследствие того, что АВ, СЕ не являются
несоизмеримыми (предложение 2); и пусть АВ, измеряя ЕЕ, оста-
вит меньшую себя ЕС', ЕС же, измеряя ЕВ, пусть оставит меньшую
себя АГ, А1 же пусть будет измерять СЕ.

Поскольку теперь А1 измеряет СЕ, но СЕ измеряет ЕВ, то, зна-
чит, и А1 измерит ЕВ. Она же измеряет и самое себя; значит, А1 изме-
рит и всю АВ. Но АВ измеряет ЕЕ', значит, и А1 измерит ЕЕ. Она же
измеряет и С/Г; значит, измеряет и всю СО; значит, А1 будет общей
мерой АВ, СЕ. Вот я утверждаю, что и наибольшей. Действительно,
если нет, то будет некоторая величина, большая А1, которая измерит
АВ, СЕ. Пусть это будет Н. Поскольку теперь Н измеряет АВ, но АВ
измеряет ЕЕ, то, значит, и Н измерит ЕЕ. Она же измеряет и всю
СО; значит, Н измерит и остаток СЕ. Но СЕ измеряет 1В', значит, и Н
измерит ЕВ. Она же измеряет и всю АВ и измерит остаток А1, боль-
шая-меньшую; это же невозможно. Значит, никакая величина, боль-
шая А1, не измерит АВ, СЕ', значит, А1 будет для АВ, СЕ наибольшей
общей мерой.

Итак, для двух данных соизмеримых величин АВ, СЕ найдена
наибольшая общая мера, что и требовалось доказать.

Следствие

Вот из этого ясно, что если величина измеряет две величины, то она изме-
рит и их наибольшую общую меру.

Предложение 4

Для трех данных соизмеримых величин найти их наибольшую
общую меру.

Пусть данные три соизмеримые величины будут А, В, С; вот тре-
буется для А, В, С найти наибольшую общую меру (чертеж 4).

Возьмем для двух <величин> А, В наибольшую общую меру,
и пусть она будет Е (предложение 3); тогда Е или измеряет С, или не
[измеряет]. Пусть сперва измеряет. Поскольку теперь Е измеряет С,
измеряет также и А, В, то, значит, Е измеря-
ет А, В, С; значит, Е для А, В, С будет общей
мерой. И ясно, что и наибольшей; ибо <вели-
чина>, большая величины Е, не измеряет А, В.

Тогда пусть Е не измеряет С. Я утверждаю
сперва, что С, Е будут соизмеримыми. Дей-
ствительно, поскольку А, В, С соизмеримы,
то их измерит некоторая величина, которая,

конечно, измерит и А, В, так что она измерит и общую наибольшую
меру А, В, <то есть> Е (предложение 3, следствие). Она же измеряет
и С, так что упомянутая величина измерит С, Е; значит, С, Е будут
соизмеримыми. Возьмем теперь их наибольшую общую меру (пред-
ложение 3), и пусть она будет Е. Поскольку теперь Е измеряет Е,
но Е измеряет А, В, то, значит, Е измерит и А, В. Она же измеряет

А I-----------1

В\---------1

С\-------1

Чертеж 4
и С. Значит, Е измеряет А. В. С. значит, Е для Л, В. С будет общей
мерой. Вот я утверждаю, что и наибольшей. Действительно, если
возможно, пусть будет некоторая большая Е величина I и пусть она
измеряет Л, В, С. И поскольку/измеряет Л, В, С, то, значит, она изме-
рит и Л, В, измерит и наибольшую общую меру Л, В (предложение 3,
следствие). Наибольшая же общая мера Л, В есть Л; значит, / изме-
ряет Е. Она же измеряет и С; значит, / измеряет С, Е; значит, / из-
мерит и наибольшую общую меру С, Е (там же). Она же есть Е;
значит, / измерит Е, большая-меньшую; это же невозможно. Значит,
никакая [величина], большая величины Е, не измеряет А. В. С; зна-
чит, Е будет наибольшей общей мерой Л, В, С, если Е не измеряет С,
если же измеряет, то сама Е.

Итак, для трех данных соизмеримых величин найдена наиболь-
шая общая мера [что и требовалось доказать].

Следствие

Из этого вот ясно, что если величина измеряет три величины, то она будет
измерять и их наибольшую общую меру.

Подобным же вот образом возьмется наибольшая общая мера и для боль-
шего количества <величин>, и результаты продвинутся далее, что и требовалось
доказать.

Предложение 5

А
I--1---1--1

I----Ш

I---\Е

Чертеж 5

Соизмеримые величины имеют между собой отношение как чис-
ло к числу.

Пусть соизмеримые величины будут Л, 7?; я утверждаю, что Л
имеет к В отношение как число к числу (чертеж 5).

Действительно, поскольку Л, В
соизмеримы, то их измерит неко-
торая величина. Пусть она измеря-
ет и будет С. И сколько раз С изме-
ряет Л, пусть столько единиц будет
в Л, сколько же раз С измеряет В.
пусть столько единиц будет в Е.

Поскольку теперь С измеря-

ет Л по <количеству> единиц в Л, также и единица измеряет Е по
<количеству> единиц в нем, то, значит, равное число раз единица
измеряет число Е, и величина С <измеряет> Л; значит, будет, что
как С к Л, так и единица к Е (определение 21 книги VII); значит,
«обращая» (предложение 7 книги V, следствие), как Л к С, так и Е
к единице. Затем, поскольку С измеряет В по <количеству> единиц
в Е, так же и единица измеряет Е по <количеству> единиц в нем,
то, значит, равное число раз единица измеряет Е и С <измеряет> В;
значит, будет (определение 21 книги VII) что как С к В, так и еди-
ница к Е. Доказано же, что и как А к С, <так и> Е к единице; «по
равенству» (предложение 22 книги V), значит, будет, что как А к В,
так и число Е к Е.

Итак, соизмеримые величины Л, В имеют между собой отноше-
ние как число Е к числу Е, что и требовалось доказать.

Предложение 6

Если две величины имеют между собой отношение как число
к числу, то эти величины будут соизмеримыми.

Пусть две величины Л, В имеют между собой отношение, как
число Е к числу Е\ я утверждаю, что величины Л, В будут соизмери-
мыми (чертеж 6).

Действительно, сколько будет в Е единиц, на столько же равных
<частей> разделим Л, и пусть С бу-
дет равна одной из них; сколько же
будет в Е единиц, из стольких рав-
ных С величин составим I.

Поскольку теперь сколько бу-
дет в Е единиц, столько же и в Л
будет величин, равных С, то, зна-
чит, какой частью Е является еди-

ница, той же самой частью Л является С; значит, будет, что как С к Л,
так и единица к Е (определение 21 книги VII). Единица же измеряет
число /); значит, и С измеряет Л. И поскольку будет, что как С к Л,
так и единица к [числу] Е, то, значит, «обращая» (предложение 7
книги V, следствие), как Л к С, так и число Е к единице. Затем, если
сколько будет в Е единиц, столько будет ив/ равных С <величин>,
то, значит, будет, что как С к /, так и единица к [числу] Е (определе-
ние 21 книги VII). Доказано же, что и как Л к С, так и Е к единице;
«по равенству» (предложение 22 книги V), значит, будет, что как Л
к /, так и Е к Е. Но как Е к Е, так будет и Л к 5; и значит, Л как к В,
так и к I. Значит, Л к каждому из В, I имеет то же самое отношение;
значит, В равно I (предложение 9 книги V). Также С измеряет /; зна-
чит, оно измеряет и В. Но вместе с тем и Л; значит, С измеряет Л, В.
Значит, Л соизмеримо с В.

Итак, если две величины имеют между собой и т.д.

А	ВС

I—I—I—I—I I—I—I—I I—I

I-----1 О	/

I—I—I—I

I---\Е

Чертеж 6
Следствие

Из этого вот ясно, что если будут два числа, как, например, Л, Е, и прямая,
как, например, Л, то возможно сделать так, чтобы как число Л к числу, так и пря-
мая к прямой. Если же для Л, / взять среднюю пропорциональную, как, напри-
мер, В, то будет, что как Л к I, так и <квадрат> на Л к <квадрату> на В, то есть как
первая к третьей, так и подобная и подобно построенная на первой <фигура>
к <такой же> на второй (предложение 20 книги VI, следствие 2). Но как Л к I, так
будет и число Л к числу В; значит, получилось что и как число Л к числу Е, так
и <квадрат> на прямой Л к <квадрату> на прямой В, что и требовалось доказать.

Другое доказательство предложения 6

В приложении к изданию Евклидовых «Начал» Гейберга приводится также
и следующее доказательство этой теоремы.

«6-е предложение иначе.

Пусть две величины Л, В имеют между собой отношение, как число С к чис-
лу Л; я утверждаю, что эти величины будут соизмеримыми (чертеж 2).

Действительно, сколько будет в С единиц, на
столько равных <частей> пусть будет разделена Л,
и пусть Е будет равна одной из них; значит, будет,
что как единица к числу С, так и Л к Л (предложе-
ние 15 книги V). Будет же, что и как С к Л, <так и>
А к В; «по равенству» (предложение 22 кни-
ги V), значит, будет, что как единица к Л, <так и>
Л к В. И единица измеряет Л; значит, и В измеря-

ет В. Так же и Е измеряет Л, поскольку и единица <измеряет> С; значит, Е изме-
ряет каждое из Л, В; значит, Л, В будут соизмеримы и общей их мерой будет В,
что и требовалось доказать».

А I----------1-1

В I-1--1--1 Е\---1

С\------1 О1----1

Чертеж 2

Предложение 7

Несоизмеримые величины не имеют между собой отношения
как число к числу.

Пусть будут несоизмеримые величины Л, В; я утверждаю, что А
к В не имеет отношения как число к числу (чертеж 7).

Действительно, если А имеет к В отношение как
! А ! число к числу, то А будет соизмерима с В (предложе-
, в , ние 6). Она же не <соизмерима>; значит, А не имеет
к В отношения как число к числу.

Чертеж 7	Итак, несоизмеримые величины не имеют между

собой отношения и т.д.
Предложение 8

Если две величины не имеют между собой отношения как число
к числу, то эти величины будут несоизмеримыми.

Пусть две величины Л, В не имеют между собой
отношения как число к числу; я утверждаю, что вели-
чины Л, В будут несоизмеримыми (чертеж 8).	।----1

Действительно, если они будут соизмеримыми,	ь-^—\

то Л будет иметь к В отношение как число к числу
(предложение 5). Она же не имеет. Значит, величи- Чертеж 8
ны Л, В будут несоизмеримыми.

Итак, если две величины не имеют между собой и т.д.

Предложение 9

Квадраты на линейно соизмеримых прямых имеют между собой
отношение как квадратное число к квадратному числу; и квадраты,
имеющие между собой отношение, как квадратное число к квадрат-
ному числу, будут иметь и стороны линейно соизмеримые. Квадраты
же на линейно несоизмеримых прямых не будут иметь между собой
отношения как квадратное числю к квадратному числу; и квадраты,
не имеющие между собой отношения, как квадратное число к ква-
дратному числу, не будут иметь и линейно соизмеримых сторон.

Пусть Л, В будут линейно соизмеримыми; я утверждаю, что ква-
драт на Л к квадрату на В имеет отношение как квадратное число
к квадратному числу (чертеж 9).

Действительно, поскольку Л линейно соизмеримо с В, то, значит,
Л имеет к В отношение как число к числу
(предложение 5). Пусть оно имеет <отноше-	а в

ние> как С к Д Поскольку теперь будет, что	, с |

как Л к В, так и Ск Д но отношение квадрата	|Л|

на Л к квадрату на В будет двойным отноше-
нием Л к В; ибо подобные фигуры находятся	Чертеж 9

в двойном отношении соответственных сто-
рон (предложение 20 книги VI, следствие); двойным же отношением
[числа] С к [числу] Л будет отношение квадрата на С к квадрату на /9;
ибо для двух квадратных чисел существует одно среднее пропорци-
ональное число и квадратное <число> к квадратному [числу] имеет
двойное отношение стороны к стороне (предложение 11 книги VIII);
значит, будет, что как квадрат на Л к квадрату на В, так и квадратное
[число] на С к квадратному [числу] на [числе] О.
Но вот пусть будет, что как квадрат на А к <квадрату> на В. так
и квадрат на С к [квадрату] на я утверждаю, что А будет линейно
соизмеримо с В.

Действительно, поскольку будет, что как квадрат на Л к [квадра-
ту] на В. так и квадрат на С к [квадрату] на Л, но отношение квадрата
на Л к [квадрату] на В будет двойным отношением Л к В, отношение
же квадратного [числа] на [числе] С к квадратному [числу] на [чис-
ле] Л будет двойным отношением [числа] С к [числу] Л, то, значит,
будет, что и как Л к В, так и [число] С к [числу] Л. Значит, Л имеет
к В отношение как число С к числу Л; значит, Л будет линейно соиз-
меримо с В (предложение 6).

Но вот пусть Л будет линейно несоизмеримо с В; я утверждаю,
что квадрат на Л к [квадрату] на В не имеет отношения как квадрат-
ное число к квадратному числу.

Действительно, если квадрат на Л к [квадрату] на В имеет отно-
шение как квадратное число к квадратному числу, то Л будет соизме-
римым с В. Но оно не будет; значит, квадрат на Л к [квадрату] на В не
имеет отношения как квадратное число к квадратному числу.

Затем вот пусть квадрат на Л к [квадрату] на В не имеет отноше-
ния как квадратное число к квадратному числу; я утверждаю, что Л
будет линейно несоизмеримо с В.

Действительно, если Л соизмеримо с В, то квадрат на Л к квадра-
ту на В будет иметь отношение как квадратное число к квадратному
числу. Он же не имеет; значит, Л не будет линейно соизмеримо с В.

Итак, квадраты на линейно соизмеримых и т.д.

Следствие

И из доказанного будет ясно, что линейно соизмеримые всегда <соизме-
римы> и в степени, <соизмеримые> же в степени не всегда <соизмеримы>
и линейно, [поскольку квадраты на линейно соизмеримых прямых имеют отно-
шение как квадратное число к квадратному числу, имеющие же отношение как
число к числу, являются соизмеримыми. Так что линейно соизмеримые прямые
соизмеримы не только линейно, но и в степени.

Далее, поскольку какие квадраты имеют между собой отношение как ква-
дратное число к квадратному числу, <те>, как доказано, соизмеримы линейно
и будут соизмеримыми в степени по той причине, что квадраты имеют отно-
шение как число к числу, то, значит, какие квадраты не имеют отношения, как
квадратное число к квадратному числу, но просто как число к числу, то эти ква-
драты будут соизмеримы в степени, но никак не линейно; так что линейно соиз-
меримые будут всегда <соизмеримы> и в степени, <соизмеримые> же в степени
не всегда <соизмеримы> и линейно, если только они не имеют отношения как
квадратное число к квадратному числу.
Тогда я утверждаю, что [и] несоизмеримые линейно не всегда будут <несо-
измеримыми> и в степени, поскольку соизмеримые в степени могут и не иметь
отношения как квадратное число к квадратному числу, и вследствие этого соиз-
меримые в степени будут несоизмеримыми линейно. Так что несоизмеримые
линейно не всегда <несоизмеримы> и в степени, но являющиеся несоизмери-
мыми линейно могут в степени быть и несоизмеримыми, и соизмеримыми.

Несоизмеримые же в степени всегда несоизмеримы и линейно; действи-
тельно, если они линейно соизмеримы, то будут соизмеримы и в степени. Пред-
полагаются же они несоизмеримыми; это же нелепо. Значит, несоизмеримые
в степени всегда <несоизмеримы> и линейно].

Теорема Теэтета

Предложение 9 книги X равносильно утверждению, что корень из неточно-
го квадрата не может выражаться соизмеримым числом.

В формулировке теоремы («соизмеримы в степени») интересно отметить
одно обстоятельство, указывающее, до какой степени прочно в уме греческого
математика укоренилась идея о целочисленной пропорциональности.

Первоначальное определение отношения (определения 3, 5 книги V) пред-
полагало целое число, указывающее, во сколько одно число или одна величи-
на больше другой: так появилось представление о «части (цврод)» и «кратном

1

(лоХХалХаоюд)», т.е. в нашем смысле об п и — , где «-целое число. Дальше
п

произошло расширение понятия отношения на дробные числа (в нашем смысле),

т

возникло определение 4 книги VII, понятие «частей (ц8рп)», т.е. —. Нужно,
п

однако, отметить, что евклидова «дробь» в действительности представляла пару
целых чисел тип, при помощи которых выражалось данное отношение. После
открытия иррациональности л/2~ пришлось отказаться от возможности выраже-
ния в целых числах всех отношений величин; однако наряду с несоизмеримыми
линейно (рлдХет) возникли соизмеримые в степени (бпуацег), отношение квадра-
тов которых выражалось при помощи целых чисел.

Несоизмеримость \/2~ была установлена пифагорейцами, по всей вероят-
ности не позже середины V в.; несоизмеримость л/з”, л/5,..., у/гГ, знал уже Фе-
одор Киренский, учитель Платона, во второй половине V в.; наконец, несоизме-
римость квадратного корня из неточного квадрата была установлена Теэтетом
(первая половина IV в.), как о том свидетельствует схолия к рассматриваемому
предложению (предложение 62 книги X, Еисйбез (Неюег§), V, стр. 450):

«Теорема эта является теэтетовым изобретением, и о ней упоминает Платон
в «Теэтете», но там она находится в более частном виде, здесь же в более общем;
действительно, там он говорит о том, что квадраты, измеряемые квадратными
числами, имеют и стороны соизмеримые. Но это более частное предложение,
ибо оно не охватывает все соизмеримые площади, у которых и стороны являют-
ся соизмеримыми».
Лемма5

Доказано в арифметических <книгах>, что подобные плоскостные чис-
ла имеют между собой отношение как квадратное число к квадратному числу
(предложение 26 книги VIII) и что если два числа имеют между собой отноше-
ние как квадратное число к квадратному числу, то они будут подобными пло-
скостными числами. И из этого ясно, что неподобные плоскостные числа, то
есть не имеющие пропорциональных сторон, не имеют между собой отноше-
ния как квадратное число к квадратному числу. Действительно, если они будут
иметь, то будут подобными плоскостными; это же не предполагается. Значит,
неподобные плоскостные числа не имеют между собой отношения как квадрат-
ное число к квадратному числу.

5

Греческий термин для обозначения вспомогательного предложения. — Прим. изд.
Архимед
(287-212 до н.э.)
Жизнь и труды

Архимеда лучше всего помнят по легенде о том, как он выско-
чил из ванны и голышом побежал по улицам с криком: «Эврика!
Эврика!» («Я нашел его!»). Это случилось, когда он открыл, как от-
личить настоящую золотую корону от поддельной. Менее известна
история о том, как Архимед изобрел тест, позволяющий отличить
величайшего математика древности - самого себя - от самозванцев.
В греческом математическом мире было принято, чтобы математики
рассылали объявления о своих недавно открытых математических
теоремах без сопроводительных доказательств. Однажды Архимед
заподозрил других в том, что они выдают его результаты за свои.
Тогда он вставил в свои собственные заявления два или три заве-
домо ложных предложения, которые требовали большого математи-
ческого таланта для доказательства их ложности. Когда самозванцы
утверждали, что ложные утверждения являются их собственными
вновь открытыми истинами, Архимед своими контрпримерами вы-
водил их на чистую воду.

О жизни Архимеда известно немного. Римский полководец Мар-
целл писал, что один из его солдат убил Архимеда в 212 г. до н.э. во
время Второй Пунической войны. Согласно легенде, Архимед зани-
мался геометрией до самой смерти, а умер он в 287 г. до н.э. Отцом
Архимеда был астрономом по имени Фидий, который жил и рабо-
тал в греческом городе Сиракузы на острове Сицилия. Его семья,
возможно, была связана с царским домом Сиракуз, а Архимед был
приближенным царя Гиерона II.

Как и о Евклиде, мы очень мало знаем о жизни Архимеда, на
этом сравнение между ними заканчивается. Евклид был переписчи-
ком, который, судя по всему, если и совершил самостоятельно ка-
кие-либо открытия в математике, то очень немногочисленные. Ар-
химед же был пионером, на много веков опередившим свое время
как в математике, так и в инженерии. В древности Архимед был из-
вестен именно своими изобретениями, заказанными царским домом
Сиракуз.

Когда царь Гиерон II предложил ему сдвинуть тяжелый груз,
приложив малую силу, Архимеду пришла в голову идея сложного
блока. Он продемонстрировал, как он может легко вытащить на бе-
рег трехмачтовый корабль, который могут вытянуть 100 человек,
и то лишь с большим трудом. Согласно древнеримскому биогра-
фу Плутарху, именно в связи с этой историей Архимед произнес
свое знаменитое: «Дайте мне место, на котором я мог бы стоять,
и я сдвину Землю».

Плутарх и другие древние комментаторы, такие как Полибий
и Ливий, упоминают невероятные метательные боевые машины,
разработанные Архимедом для защиты Сиракуз от римской армии,
возглавляемой полководцем Марцеллом. Плутарх писал:

«...когда Архимед начал использовать свои машины, он тотчас
же выпустил против сухопутных войск все виды боевых мета-
тельных снарядов и огромные массы камней, которые обруши-
вались с невероятным шумом и силой; против которых не мог
устоять ни один человек; ибо они сбивали тех, на кого падали
грудами, ломая все их шеренги и ряды. Между тем огромные
шесты торчали из стен над кораблями и топили некоторые ко-
рабли большими грузами, которые они опускали на них сверху;
других они поднимали в воздух железной рукой или клювом вро-
де журавлиного и, вытащив их носом вверх и поставив дыбом
на корму, пускали ко дну; или же корабли, вовлекаемые в круго-
вое движение скрытыми оттяжными канатами, разбивались
о крутые скалы у подножия стен, и находившиеся на борту сол-
даты гибли во множестве. Нередко взору открывалось ужасное
зрелище: корабль, поднятый в воздух на большую высоту, раска-
чивался взад и вперед до тех пор, пока все моряки не оказывались
сброшенными за борт, и тогда опустевшее судно разбивалось
о скалы или падало»^.

Архимед мог полностью погрузиться в проблему и оставаться
в неведении о том, что его окружает. По словам Плутарха:

«Часто слуги Архимеда против его воли приводили его в бани,
чтобы омыть иумаститъ благовониями, и все же, находясь там,
он всегда рисовал геометрические фигуры, даже в самых углях
камина. И пока они умащивали его маслами и сладкими благово-
ниями, он рисовал пальцами линии на своем обнаженном теле,
так далеко он ушел от самого себя и был приведен в экстаз или
транс, с наслаждением, которое он испытывал при изучении гео-
метрии».

Привычка Архимеда игнорировать окружающее стоила ему жиз-
ни. Инженерные достижения Архимеда в создании боевых механиз-
мов сделали его главной мишенью римской армии, вторгшейся на
Сицилию в 212 г. до н.э., во время Второй Пунической войны. Одна
из легенд* 7 гласит, что римский солдат нашел Архимеда, рисующего
фигуры на песке. Солдат приказал Архимеду прекратить то, что он
делал, и немедленно уйти. Архимед попросил больше времени, что-
бы решить проблему на песке. Разъяренный солдат разметал черте-
жи Архимеда, а его самого пронзил мечом.

Математические труды Архимеда делятся на три группы:

1.	Теоремы и доказательства теорем о площадях и объемах тел,
ограниченных кривыми и поверхностями. К ним относятся
работы «О шаре и цилиндре», «Измерение круга» и «Посла-
ние к Эратосфену о механическом методе» («Эфод»).

2.	Геометрический анализ задач статики и гидростатики.

3.	Разные работы, особенно те, которые акцентируются на вы-
числениях, такие как «Псаммит» («Исчисление песчинок»).

$ Существует легенда еще об одном оружии, которое изобрел и применил Архимед.
С помощью установленных на самых высоких точках города параболических зеркал, спо-
собных улавливать солнечные лучи, в море поджигались суда римской армии.

7 По версии Плутарха.
В этой книге представлены работы: «Псаммит», «О шаре и ци-
линдре», «Измерение круга» и «Послание к Эратосфену о механиче-
ском методе».

Известная нам версия «Измерение круга», вероятно, очень да-
лека от работы, написанной Архимедом. Этот труд содержит только
три предложения. Второе из них, которое сравнивает площади круга
и квадрата по диаметру круга, зависит от третьего предложения, со-
гласно которому отношение длины окружности к ее диаметру боль-
ше Зу, но меньше Зур что представляет довольно хорошее прибли-
жение числа п.

Наибольший интерес для нас представляет первое предложе-
ние. Архимед утверждает, что площадь круга равна площади пря-
моугольного треугольника, в котором одна из сторон, прилежащая
к прямому углу, равна радиусу, а другая сторона равна длине окруж-
ности. Обратите внимание на интересный способ, которым форму-
лировка теоремы Архимеда приравнивает область, ограниченную
кривой (круг), к области, ограниченной прямыми линиями (прямо-
угольный треугольник). (Сейчас мы выражаем площадь круга как
яг2. В современных обозначениях Архимед выражает его площадь
как у(2тгг) • г.)

При доказательстве теорем о площади или объеме фигуры, огра-
ниченной кривыми или поверхностями, Архимед использует «метод
исчерпывания», иногда называемый «косвенным переходом к пре-
делу», как одноименная лемма Архимеда. Лемма гласит: «Большая
из двух неравных линий, поверхностей или тел превосходит мень-
шую на такую величину, которая, будучи складываема сама с собой,
может превзойти любую заданную величину из тех, которые могут
друг с другом находиться в определенном отношении». Архимед
обычно использовал этот способ рассуждения для доказательства от
противного (гедисИо ад аЪзигдит).

Архимед начинает свое доказательство с утверждения, что если
площадь круга АВСВ не равна площади прямоугольного треуголь-
ника К, прилежащие к прямому углу стороны которого есть радиус
и длина окружности, то площадь круга должна быть или больше,
или меньше, чем площадь треугольника К. Первая половина дока-
зательства предполагает, что площадь круга больше площади пря-
моугольного треугольника К. Архимед начинает это доказательство
с вписывания квадрата АВСВ внутрь круга. Он продолжает делить
пополам дуги АВ, ВС, СО и О А, а затем снова и снова делит пополам
эти половины до тех пор, пока стороны вписанного многоугольни-
ка, вершины которых являются точками непрерывного деления, не
окажутся настолько близки к окружности, что площадь, остающаяся
между окружностью и вписанным многоугольником, будет меньше
предполагаемой разницы между областями окружности и К. Сле-
довательно, рассуждает он, площадь вписанного многоугольника
должна быть больше площади К.

Далее он рассматривает перпендикуляр ОЕ от центра окружнос-
ти О к стороне АЕ. Поскольку АЕ является частью многоугольника,
вписанного внутрь круга, отрезок ОЕ должен быть меньше радиу-
са круга, а периметр многоугольника должен быть меньше длины
окружности, другой стороны прямоугольного треугольника К. Сле-
довательно, площадь вписанного многоугольника должна быть
меньше площади прямоугольного треугольника К, вопреки тому,
что только что было доказано. Другая половина доказательства по-
казывает, что площадь окружности не может быть и меньше пло-
щади К.

Многие теоремы, доказанные Архимедом, были сформулирова-
ны и до него доказаны неверно. Однако он также обнаружил много
замечательных новых результатов.

Труд «Послание к Эратосфену о механическом методе» дает нам
некоторое представление о том, как Архимед открывал новые тео-
ремы для доказательств. Во введении к работе «О шаре и цилинд-
ре» Архимед пишет следующее:
«Позднее, когда нам пришли на ум другие стоящие внимания те-
оремы, мы потрудились над их доказательствами... 8 Во-первых,
поверхность всякого шара в четыре раза больше его большого
круга [4тгг2в современных терминах}... Конечно, эти свойства
были и раньше по самой природе присущи упомянутым фигу-
рам, но они все же оставались неизвестными тем, кто до нас
занимался геометрией, и никому из них не пришло на ум, что все
эти фигуры являются соизмеримыми друг с другом; поэтому
я не поколебался бы сравнить эти теоремы с теми, которые
были открыты другими геометрами, и в частности с наиболее
выдающимися теоремами, которые были установлены для тел
Евдоксом, а именно, что всякая пирамида составляет третью
часть призмы, имеющей с пирамидой одно и то же основание
и одинаковую высоту, и что всякий конус составляет третью
часть цилиндра, имеющего с конусом одно и то же основание
и одинаковую высоту... Действительно, хотя эти свойства по
самой природе всегда были присущи указанным телам, но все же
оказалось, что они остались неизвестными многим жившим до
Евдокса знаменитым геометрам и ни одному из них не пришли на
ум. Теперь же их могут усмотреть все, имеющие к тому силы».

Из всех известных работ Архимеда его труд «Послание к Эра-
тосфену о механическом методе» наиболее исторически интересен.
В течение многих столетий он был известен только по неясной ссыл-
ке энциклопедиста X в. Суйда, который упомянул комментарий, на-
писанный Феодосием Вифинским примерно через столетие после
смерти Архимеда. Долгое время математиков занимала перспектива
обнаружить в этой работе Архимеда универсальный метод для полу-
чения собственных результатов. По некоторым источникам, Декарт
подозревал Архимеда в том, что он намеренно скрыл «Эфод», чтобы
никто другой не смог извлечь из него пользу.

Около 1899 г. рукопись сочинения Архимеда в виде пергамент-
ного палимпсеста была обнаружена в Константинополе приват-до-
центом Петербургского университета, греком по национальности,
Папандопуло Керамевсом. Палимпсест - это древний документ,

8 Здесь и далее текст Архимеда кардинально исправлен автором. Так, здесь,
в частности, читаем: «Любая пирамида является одной третьей частью цилиндра, который
имеет то же основание с конусом и равную высоту». Перевод цитат взят из: Архимед.
Сочинения / Перевод и вступ. статья И. Н. Веселовского, перевод арабских текстов -
Б. А. Розенфельда.-М.: Физматгиз, 1962.
первоначальное содержание которого было смыто или соскоблено,
чтобы на нем можно было снова писать. Прочитав несколько строк
рукописи, опубликованной Керамевсом, известный датский филолог
Йохан Людвиг Гейберг распознал характерный стиль Архимеда. Он
подозревал, что лежащий в основе манускрипт должен быть работой
Архимеда. Должно быть, Гейберг был поражен, когда воочию уви-
дел этот палимпсест. В нем среди других рукописей оказался давно
утраченный трактат «Эфод», который начинается словами: «Архи-
мед Эратосфену желает радоваться». Наличие других работ Архиме-
да в палимпсесте только подтверждает его авторство.

Палимпсест Керамевса - Гейберга был первоначально написан
в X в. В XIII в. один монах палестинской лавры смыл первоначаль-
ные чернила, чтобы написать литургическую книгу. Он, должно
быть, и представить не мог будущей ценности палимпсеста. В XX в.
рукопись была выкрадена из монастыря Иерусалимской православ-
ной церкви и в 1920 г. оказалась во Франции. В 1998 г. аукционный
дом «Кристи» продал палимпсест за два миллиона долларов.

Архимед в «Эфоде» предполагает, что твердые тела состоят из
плоских элементов одинаковой плотности. Объем данного твердого
тела Аможно найти, поместив его на ось с одной или двумя другими
фигурами В и С. Архимед предполагает, что все фигуры разрезаны
параллельными плоскостями, перпендикулярными оси. Он выбрал
цифры В и С таким образом, что

1.	Их центры тяжести и центры тяжести их плоских элементов
все лежат на выбранной оси.

2.	Их объемы известны.

3.	Плоские элементы В можно сравнить с плоскими элемента-
ми X(возможно, вместе с С).

Последнее условие требует, чтобы исследователь нашел фигуры
В и С, подходящие для вычисления объема X. Как только Архимед
устанавливает связь между соответствующими плоскими элемента-
ми, он проводит ось через точку т так, чтобы длина Тф соответство-
вала задаче, еще одно требование к изобретательности исследовате-
ля, и она принимается действовать как рычаг у точки опоры ф.

Для каждого плоского элемента х из X (и, возможно, с из С,
если С необходим для решения задачи) он помещает соответствую-
щий элемент у равной площади так, чтобы его центр тяжести нахо-
дился в точке т, так что у, действующий в точке т, уравновешивает
соответствующий плоский элемент В действующий там, где он на
ходится (Р), то есть у : Ь = <рР : фт. Для своего следующего шага
Архимед берет композицию У из плоских элементов у Тогда его объ-
ем равен объему X (возможно, вместе с С), и когда У принимается
за твердое тело однородной плотности, Архимед заключает, что его
центр тяжести расположен в точке т . Поскольку все части, действу-
ющие в точке т, уравновешивают все части В, действующие в точке
опоры Р, то вся композиция У, действующая в точке т, уравновеши-
вает всю совокупность В, действующую в ее центре тяжести о. Од-
нако В был выбран таким образом, что известны и его объем (и его
вес), и его центр тяжести (на оси). Следовательно, Архимед может
определить объем композиции У из уравнения У : В = фо : фт, из
которого он заключает, что X = У (или X = У-С).

Работа «Послание к Эратосфену о механическом методе» под-
черкивает точку зрения Архимеда о том, что доказательства, со-
держащиеся в работах, не квалифицируются как математические
доказательства. Доказательства в «Послании к Эратосфену о меха-
ническом методе» зависят от физических предположений о рассмат-
риваемых, фигурах и принципе рычага -механическом принципе!

Получив правильный рычаг, Архимед мог бы не только перевер-
нуть Землю, но открывать новые математические истины!
ИЗМЕРЕНИЕ КРУГА

Предложение 1

Всякий круг равен прямоугольному треугольнику, одна из сторон
которого, что около прямого угла, равна радиусу круга, а другая его
окружности.

Пусть будет круг АВСЕ, такой в сравнении с треугольником Е,
каковым предполагается. Говорю, что он равен треугольнику Е.

Ибо пусть, если возможно, круг будет больше. Впиши в нем
квадрат АС; и разделяй дуги пополам; и пусть оставшиеся наконец
отрезки будут меньше избытка круга пред треугольником: то полу-
ченная прямолинейная фигура будет также больше треугольника.
Возьми центр ТУ и проведи перпендикуляр АО. Итак, АО меньше од-
ной из сторон треугольника Е. А и очертание прямолинейной фигу-
ры меньше другой стороны, ибо оно меньше окружности круга; по-
сему прямолинейная фигура есть меньше треугольника, что нелепо.

Но пусть будет круг, если возможно, меньше треугольника Е.
Опиши квадрат, и раздели дуги пополам, и через точки сечения про-
веди касательные. Итак, угол РАК есть прямой; следовательно, РК
больше МК, ибо МК равна КА: и потому треугольник КР<2 больше
половины фигуры РЕАМ. Пусть останутся отрезки, как <2ЕА, такие,
которые меньше избытка треугольника Е пред кругом АВСЕ. Сле-
довательно, описанная прямолинейная фигура будет также меньше
треугольника Е; что нелепо: ибо она больше, потому что КА равна
высоте треугольника, а очертание фигуры больше его основания.

Итак, круг равен треугольнику Е.

Предложение 2

Круг к квадрату из его поперечника имеет отношение почти как
11 к 14.

Пусть будет круг, поперечник которого АВ, и описанный ква-
драт ССЕ, и пусть будет прямой линии СЕ двукратная ЕЕ и седьмая
часть ЕЕ.

Поскольку треугольник АСЕ к треугольнику АСЕ имеет отноше-
ние как 7; а треугольник АСЕ к треугольнику АЕЕ имеет отношение
как 7 к 1; следовательно, как треугольник Л СЕ к треугольнику Л СЕ, так
22 к 7. Но треугольника Л СЕ есть четырекратный квадрат СС; следо-
вательно, как треугольник АСЕ к квадрату СС, так 22 к 28, или так 11
к 14. А треугольник АСЕ равен почти кругу АВ, ибо высота АС равна
радиусу круга, а основание равно почти окружности, которая, как до-
казано будет, равна трикратному поперечнику и еще седьмой почти его
части. Итак, круг к квадрату СО имеет отношение почти как 11 к 14.

Предложение 3

Окружность всякого круга равна трикратному поперечнику,
с избытком, который меньше седьмой части поперечника, а больше
10

71’

Пусть будет круг, поперечник которого АС, центр Е и касатель-
ная СЕЕ; и пусть будет угол ЕЕС треть прямого. Итак, ЕЕ к ЕС име-
ет отношение как 306 к 153; а следовательно, ЕС к СЕ будет иметь
большее отношение, нежели 265 к 153.

Раздели угол ЕЕС пополам прямой ЕС; следовательно, будет как
ЕЕ к ЕС, так ЕС к ОС; и совокуплением и применением как ЕЕ, ЕС
к ЕС, так ЕС к ОО. Следовательно, СЕ к ОО имеет большее отно-
шение, нежели 571 к 153. Таким образом, в степенях ЕС к ОС имеет
большее отношение, нежели 349 450 к 23 409; следовательно, ЕС к ОС

имеет большее отношение, нежели 591 к 153.
о

Раздели еще угол СЕС пополам прямой ЕН; то потому же ЕС к СН
будет иметь большее отношение, нежели 1162^ к 153. А следовательно,
о

НЕ к НС будет иметь большее отношение, нежели 1172 - к 153.
о

Раздели также угол НЕС пополам прямой ЕК; то ЕС к СК будет

иметь большее отношение, нежели 2334 к 153. Следовательно, ЕК
к СК будет иметь большее отношение, нежели 2339 ± к 153.

Раздели напоследок угол КЕС пополам прямой ЕЕ; то ЕС к ЕС
будет иметь большее отношение, нежели 4673 к 153.

Итак, поскольку угол ЕЕС, который есть треть прямого, разделен

четыре раза пополам, то угол ЕЕС есть прямого; и потому сос-
48
тавь при точке Е угол СЕМ. равный углу ВЕС. то угол ЕЕМ будет

1

24

прямого. Следовательно, прямая ЕМ есть сторона многоугольни-

ка описанного, имеющего 96 сторон.

И поскольку ЕС к СЕ имеет, по доказанному, большее отноше-

ние, нежели 4673 к 153; и прямой ЕС есть двукратная Л С, а прямой

СЕ двукратная ЕМ. поэтому и АС к ЕМ имеет большее отношение,
нежели 4673 к 153; чего ради АС к очертанию 96-угольника имеет
большее отношение, нежели 4673 к 14 688; следовательно, прело-

жением, очертание многоугольника к поперечнику имеет меньшее
отношение, нежели 14 668 к 4673 . Но из этих чисел первое другого
есть трикратное с избытком 667 , который меньше, нежели седьмая
часть числа 4673 ; поэтому очертание многоугольника около круга

описанного есть трикратное поперечника с избытком, который мень-
ше седьмой его части; а следовательно, окружность круга тем более
меньше, нежели трикратный поперечник с седьмой его частью.

Пусть будет круг, и поперечник АС. и угол ВАС треть прямого.
Итак, АВ к ВС имеет меньшее отношение, нежели 1351 к 780; а АС
к СВ то же, что 1560 к 780.

Раздели угол ВАС пополам прямой Л С. И поскольку угол ВАС
равен как углу ССВ. так и углу САС. то угол ССВ равен углу САС;
угол же АСС есть общий; посему и третий угол СЕС будет равен
третьему АСС. Чего ради треугольник Л СС есть равноугольный тре-
угольнику ССЕ; и потому как Л С к СС. так СС к СЕ и так ЛС к СЕ.

Но как ЛС к СЕ. так СА. АВ к ВС; следовательно, как ВА. АС
к ВС. так ЛС к СС; чего ради ЛС к СС имеет меньшее отношение,
нежели 2911 к 780, и ЛС к ЕС имеет меньшее отношение, нежели

3013к 780.

Раздели угол САС пополам прямой АН; то потому же АН к НС
будет иметь меньшее отношение, нежели 5924 — — к 780 или нежели

4

1823 к 240, ибо каждое каждого есть —. Следовательно, АС к СН

9

имеет меньшее отношение, нежели 1838—- к 240.

Раздели еще угол НАС пополам прямой КА. Таким образом, КА
9

к КС имеет меньшее отношение, нежели 3661 — к 240 или нежели

1007 к 66, поскольку каждое каждого есть . Следовательно, АС

к СК имеет меньшее отношение, нежели 1009 у к 66.

Раздели, наконец, угол КАС пополам прямой СА. Следовательно,
АС к СС имеет меньшее отношение, нежели 2016 \ к 66, а АС к СС
6

меньшее, нежели 2017 — к 66.

4

Итак, преложением, СС к СА имеет большее отношение, нежели

66 к 2017 4,
4

а очертание многоугольника к поперечнику имеет

большее отношение, нежели 6336 к 2017 —. Но в них первое есть
трикратное числа 2017 — с избытком, который больше, нежели —;

следовательно, очертание 96-угольника, вписанного в круг, есть
трикратное поперечника с избытком, который больше, нежели —.
Следовательно, окружность круга тем более будет трикрат-
, 10
ная поперечника с избытком, который больше, нежели —.

Итак, окружность круга есть поперечника трикратная с избыт-
, 10
ком, который меньше, нежели седьмая часть, но больше, нежели —-
поперечника.
ИСЧИСЛЕНИЕ ПЕСЧИНОК

В ПРОСТРАНСТВЕ, РАВНОМ ШАРУ
НЕПОДВИЖНЫХ ЗВЕЗД (ПСАММИТ)

ГОСУДАРЬ ГЕЛОН!9

Есть люди, думающие, что число песчинок бесконечно. Я не го-
ворю о песке в окрестности Сиракуз и других местах Сицилии, но
о всем его количестве - как в странах населенных, так и необитаемых.

Другие думают, что хотя число это и не бесконечно, но большего
представить себе невозможно.

Если бы эти последние вообразили массу песку в объеме зем-
ного шара, причем им были бы наполнены все моря и пропасти до
вершин высочайших гор, то, конечно, они еще меньше могли бы по-
верить, что легко назвать число, его превосходящее.

Я, напротив, постараюсь доказать с геометрической точностью,
которая убедит тебя, что между числами, упоминаемыми мной в кни-
ге, написанной Зевксиппу, есть числа, превышающие число песчинок,
которые можно вместить не только в пространстве, равном объему
Земли, наполненной указанным выше способом, но и целого мира.

Ты знаешь, что, по представлению некоторых астрономов, мир
имеет вид шара, центр которого совпадает с центром Земли, а радиус
равен длине прямой, соединяющей центры Земли и Солнца.

Но Аристарх Самосский в своих «Предложениях», написанных
им против астрономов, отвергая это представление, приходит к заклю-
чению, что мир гораздо больших размеров, чем только что указано.

Он полагает, что неподвижные звезды и Солнце не меняют сво-
его места в пространстве, что Земля движется по окружности около
Солнца, находящегося в ее центре, и что центр шара неподвижных
звезд совпадает с центром Солнца, а размер этого шара таков, что
окружность, описываемая, по его предположению, Землей, находит-
ся к расстоянию неподвижных звезд в таком же отношении, в каком
центр шара находится к его поверхности.

Но очевидно, что это невозможно: так как центр шара не имеет
никаких размеров, то нельзя допустить, чтобы он имел какое-то от-
ношение к поверхности шара.

9

Гелон - сын царя сиракузского Гиерона.
Вероятно, говоря так, Аристарх подразумевал следующее:

«если принять Землю за центр Вселенной, то в каком отноше-
нии шар земной к упомянутому шару мира, в таком будет и шар,
большой круг которого описывается движущейся Землей, к шару
неподвижных звезд, петому что свои доказательства он выво-
дит из этих предположений. И больше всего потому, что шар,
в котором он представляет Землю движущейся, он, кажется,
считает равным шару, названному «миром».

Теперь я утверждаю, что если бы был шар песку, равный ари-
стархову шару неподвижных звезд, то можно доказать, что между
числами, о которых говорится в книге «Начал», есть такие, что они
превосходят число песчинок, заполняющих этот шар.

Именно, я делаю следующие предположения: во-первых, окруж-
ность Земли имеет около трехсот мириад стадий, но не больше; так
как некоторые пытались доказать, как тебе известно, что она имеет
около тридцати мириад стадий, то я иду гораздо дальше, считая ее
в десять раз больше, т.е. в триста мириад, однако не более.

Во-вторых, диаметр Земли больше диаметра Луны, а диаметр
Солнца больше диаметра Земли; все это допускают, опираясь на
мнения большинства вышеупомянутых астрономов.

Наконец, диаметр Солнца в тридцать раз превышает диаметр
Луны, но не более, так как из упомянутых астрономов Эвдокс
утверждает, что он почти в девять раз больше, а Фидий, сын Аку-
патра, считает его двенадцатикратным; наконец, Аристарх пытается
доказать, что он больше, чем в восемнадцать, но меньше, чем в двад-
цать раз.

Но я, чтобы устранить всякие возражения против доказательства
моего предложения, иду еще дальше, полагая, что диаметр Солнца
почти в тридцать раз больше диаметра Луны, однако не более.

Кроме того, диаметр Солнца больше стороны тысячеугольника,
вписанного в наибольший круг мира. Это я допускаю, опираясь на
мнение Аристарха, утверждающего, что видимый размер Солнца
есть одна семьсот двадцатая часть его орбиты, называемой Зодиа-
ком.

С помощью особого прибора я старался путем наблюдений най-
ти угол Солнца, вершиной которого будет глаз, хоть выполнить это
успешно стоит больших трудов, так как ни глаз, ни руки, ни инстру-
менты, при этом применяемые, недостаточны для совершенно точ-
ных измерений.
Впрочем, считаю лишним распространяться об этом как о пред-
мете, о котором уже не раз говорилось, тем более что для целей до-
казательства моего предложения достаточно ограничиться одним
таким углом, чтобы он, имея вершину в глазу наблюдающего, был
не больше угла, под которым видно Солнце, и другим углом с вер-
шиной в центре глаза, не меньшим того угла, под которым видимо
Солнце.

Положив для этого достаточной длины линейку на плоскости,
расположенной так, чтобы можно было наблюдать восходящее Солн-
це, я незадолго до восхода поместил на линейку круглый стержень
в отвесном положении, и как только показалось солнце на горизонте,
а следовательно, на него еще можно было смотреть, направил линей-
ку одним концом прямо на Солнце, поместив у другого конца ее глаз,
а между глазом и Солнцем-цилиндрический стержень так, чтобы он
совсем закрывал Солнце.

После этого стал отодвигать стержень от глаза до тех пор, пока
с обеих сторон его едва стало показываться Солнце, после чего пре-
кратил движение стержня.

Если бы глаз наблюдающего был точкой, то, проводя от конца
линейки, находящегося у глаза, касательные к стержню, он получил
бы угол между, этими прямыми, меньший угла, под которым види-
мо Солнце, потому что часть солнечного диска была бы видима по
краям по обе стороны стержня. Но так как глаз является не точкой,
а частью, имеющей некоторый размер, я взял другой стержень с диа-
метром не меньшим ширины зрачка, поместил его на конец линейки
у глаза и, проводя касательные к обоим стержням, получил между
ними угол меньший того, под которым видимо Солнце, если верши-
на его в центре глаза.

Стержень, имеющий диаметр не меньше ширины зрачка, можно
получить так: надо взять два тонких, одинакового размера стержня -
один белый, а другой темный-и поместить их перед глазом так, что-
бы первый был дальше от него, а второй как можно ближе, почти
касаясь лица.

Если эти стержни меньшего сечения, чем зрачок, то наблюдаю-
щий, видя ближайший стержень, увидит и более удаленный целиком,
если он только намного тоньше; если же разница невелика, то будут
видны лишь некоторые части его по обе стороны переднего стержня.

Следовательно, если расположить как указано два стержня оди-
наковой толщины, чтобы один закрывал другой, но так, чтобы края
второго были видны, то диаметр каждого такого стержня будет уже
не менее ширины зрачка.
Чтобы получить угол, не меньший того, под которым видимо
солнце, когда вершина в центре глаза, я стал постепенно отодвигать
стержень от глаза, пока он не закрыл Солнца, а затем от конца ли-
нейки у глаза провел касательные к стержню: таким образом между
этими прямыми получил угол не меньший, чем тот, под которым ви-
димо Солнце, когда вершина в центре глаза.

Измерив посредством прямого угла полученные таким путем
углы, я нашел, что больший из них меньше, чем одна сто шесть-
десят четвертая часть прямого угла, а меньший больше, чем одна
двухсотая часть прямого, из чего следует, что угол, под которым вид-
но Солнце, когда вершина в центре глаза, меньше 1:164, но больше
1:200 прямого угла.

Теперь уже легко доказать, что диаметр Солнца больше стороны
тысячеугольника, вписанного в наибольший круг мира.

Вообразим плоскость, проходящую через центр Земли, центр
Солнца и глаз наблюдающего, когда Солнце немного выше горизон-
та (чертеж 12).

Пусть эта плоскость рассекает шар мира по кругу АВГ, земной
шар по кругу АЕХ, а Солнце по кругу ХГ; пусть центр Земли Я,
Солнца - К, а глаза - в точке Л.

Проведем из Л прямые ЛА, ЛЛ/, касательные к кругу ЕТ, с точка-
ми касания Аи О, а от Я прямые ЯЯ, НР, касающиеся того же круга
в точках Ф и Пусть, наконец, прямые ЯЯ, НР пересекают круг
А ВГ в точках А и В.
Отрезок НК > КА, так как предположено, что Солнце на горизон-
те; поэтому угол А АМ больше угла ПНР.

Но угол А АМ больше одной двухсотой прямого, но меньше, чем
одна его сто шестьдесят четвертая, так как этот угол равен тому, под
которым видимо Солнце, имея вершину в глазу; поэтому угол ПНР
меньше одной сто шестьдесят четвертой прямого, следовательно,
прямая АВ меньше прямой, стягивающей дугу круга АВГ, разделен-
ного на 656 частей.

Но периметр указанного выше многоугольника имеет отношение

к радиусу круга АВГ меньшее

44

7 ’

потому что периметр всякого

многоугольника, вписанного в круг, имеет к его радиусу отношение
меньшее, чем 44:7.

Но мной доказано, что известно и тебе, Гелон, что окружность
всякого круга больше утроенного диаметра на избыток, который

1	10

меньше, чем —, но больше, чем — диаметра. Поэтому отношение

А В к НК <10, чем 11:1148, а следовательно, А В меньше одной сотой
прямой НК

Но диаметр круга X Г равен прямой АВ, так как половина ее, пря-
мая ЗА, равна КФ по равенству прямых НК, НА, от концов которых
проведены перпендикуляры, противолежащие тому же углу.

Вследствие этого диаметр круга ХГ меньше одной сотой пря-
мой НК. Н диаметр ЕН1 меньше диаметра круга ЕТ, так как круг
АЕХ меньше круга ЕТ, а отсюда ШКЪ меньше одной сотой прямой
НК.

Поэтому отношение НК к X/ меньше, чем 100:99. Но НК не
меньше НФ, а /Еменыпе АО, поэтому отношение НФ к АО меньше,
чем 100:99.

А так как в прямоугольных треугольниках НКФ, АКО стороны
КФ и КО равны, а стороны НФ, АО неравны и НФ большая, то угол
КАО имеет отношение к углу КНФ большее, чем НК к АК, но мень-
шее, чем НФ к АО.

Ю У Архимеда нет, конечно, знаков > и <. В подлиннике всюду слова «больше»,
«меньше». Мы вводим эти знаки исключительно с целью облегчения чтения формул.
Так как если катеты11 двух прямоугольных треугольников одни
равны, а другие неравны, то из углов, прилежащих неравным сторо-
нам, больший имеет отношение к меньшему большее, чем отноше-
ние большей гипотенузы12 к меньшей, но меньшее, чем отношение
большего из неравных катетов к меньшему

Следовательно, отношение угла АЛЛ/ к углу ПНР меньше, чем

тт^ а^тт	ЮО

отношение НФ к АО. Но это последнее меньше .

Поэтому отношение угла АЛЛ/к углу ПНР меньше, чем 100:99.

И так как угол АЛЛ/больше одной двухсотой части прямого, то
угол ПНР будет больше, чем девяносто девять двумириадных ча-
стей, а следовательно, больше одной двести третьей части прямого.
Поэтому АВ больше прямой, стягивающей дугу круга АВР. разде-
ленного на 812 частей. Но диаметр Солнца равен А В; итак, очевидно:
диаметр Солнца больше стороны тысячеугольника.

Допустив это, докажем еще, что диаметр мира меньше мириады
раз взятого диаметра Земли и что диаметр мира меньше, чем мириа-
да мириад раз взятые сто стадий.

Действительно, раз уже допущено, что диаметр Солнца не пре-
вышает тридцать раз взятого диметра Луны, а диаметр Земли боль-
ше диаметра Луны, то ясно, что диаметр Солнца меньше, чем трид-
цать раз взятый диаметр Земли.

Кроме того, раз доказано, что диаметр Солнца больше стороны
тысячеугольника, вписанного в наибольший круг мира, то ясно, что
периметр этого тысячеугольника меньше, чем тысяча раз взятый диа-
метр Солнца.

Но диаметр Солнца меньше, чем тридцать раз взятый диаметр
Земли, следовательно, периметр тысячеугольника меньше трех ми-
риад раз взятого диаметра Земли.

Таким образом, периметр этого тысячеугольника меньше, чем
три мириады раз взятый диаметр Земли, но больше утроенного ди-
аметра мира, так как доказано, что диаметр всякого круга меньше
третьей части периметра всякого вписанного в этот круг многоуголь-

11 У Архимеда: «если стороны двух прямоугольных треугольников, между которы-
ми прямой угол», так как термин «катет» тогда не употреблялся.

12 У Архимеда: «чем отношение большей к меньшей из сторон, противолежащих
прямому углу».
ника, имеющего равные стороны в числе, большем шести, поэтому
диаметр мира меньше мириады раз взятого диаметра Земли.

А что диаметр мира, меньший мириады раз взятого диаметра
Земли, будет меньше, чем мириада мириад раз сто стадий, видно из
следующего: окружность земли считается не больше трехсот мириад
стадий, окружность же Земли больше ее тройного диаметра, так как
окружность всякого круга больше, чем утроенный диаметр ее. Поэ-
тому ясно, что диаметр Земли меньше ста мириад стадий, а так как
диаметр мира меньше, чем мириада раз взятый диаметр Земли, то
ясно, что диаметр мира меньше ста мириад мириад стадий. Таковы
предположения о размерах и расстояниях.

Относительно песку я предполагаю следующее: во-первых, если
взять количество его не больше макового зернышка, то число содер-
жащихся в этом объеме песчинок будет не больше мириады. Во-вто-
рых, диаметр этого зернышка не меньше одной сороковой части дак-
тиля.

Последнее допускаю, опираясь на следующий опыт: я положил
на маленькой дощечке маковые зерна по прямой так, чтобы они ка-
сались друг друга, и оказалось, что двадцать пять зерен занимали
в длину больше дактиля. Но я допускаю, что маковое зерно еще
меньше, а именно что диаметр его только не меньше сороковой ча-
сти дактиля, чтобы и в этом случае не могло быть никакого возраже-
ния против того, что я хочу доказать. Вот все мои допущения.

Кроме этого, я нахожу полезным изложить здесь классификацию
чисел, так как опасаюсь, если ничего об этом не сказать, чтобы те,
кому не приходилось читать книгу, написанную мной Зевксиппу, не
впали в заблуждение.

Числа, идущие до мириад, имеют определенные названия, равно
как и те, которые идут далее, до мириады мириад, так как в них повто-
рение прежнего. Указанные только что числа, т.е. идущие до мириады
мириад, назовем «первыми», а мириаду мириад «первых» чисел на-
зовем единицей «вторых» чисел и станем считать этими единицами,
их десятками, сотнями, тысячами, мириадами и далее до мириады
мириад. Потом мириаду мириад «вторых» чисел назовем единицей
«третьих» и будем считать единицами «третьих» чисел, их десятками,
сотнями, тысячами и мириадами и далее до мириады мириад.

Совершенно так же мириаду мириад «третьих» чисел назовем
единицей «четвертых», мириаду мириад «четвертых» чисел назовем
единицей «пятых» и будем продолжать этим же способом называть
следующие числа далее до мириады мириад чисел мириадо-мири-
адных. Такого количества чисел будет, конечно, достаточно. Однако
можно идти и далее следующим способом: назовем указанные нами
числа «числами первого периода», а последнее число первого периода
назовем «единицей второго периода», и опять мириаду мириад пер-
вых чисел второго периода назовем единицей вторых чисел того же
периода, и, подобно этому, последнее из них назовем единицей третьих
чисел того же «второго» периода и будем продолжать по этому спосо-
бу называть следующие числа далее, до мириады мириад чисел ми-
риадо-мириадных «второго» периода. Потом назовем последнее число
«второго» периода единицей первых чисел «третьего периода» и т.д.,
продолжая тем же путем называть следующие числа далее, до мириады
мириад чисел мириадо-мириадных «мириадо- мириадного периода».

Допустив такую номенклатуру, условимся, если, начиная с еди-
ницы, числа будут непрерывно пропорциональные, второй член
которых есть десять, называть «первыми» восемь первых членов,
включая и единицу, «вторыми» следующие другие восемь, и таким
же образом из всех прочих каждые восемь чисел, или каждая «окта-
да», будет получать наименование в зависимости от расстояния ее от
«октады первых чисел».

Следовательно, восьмое число первой октады будет тысяча ми-
риад, первое второй октады, которое есть «единица вторых чисел»,
будет мириада мириад, так как оно десятикратно числу, ему пред-
шествующему. Восьмое число второй октады будет тысяча мириад
«вторых» чисел, первое число третьей октады, которое есть «едини-
ца третьих чисел», будет мириада мириад чисел «вторых», так как
оно десятикратно предшествующему.

Таким образом, очевидно, что будут многие октады, как уже ска-
зано выше.

Небесполезно еще заметить следующее: если будет ряд непрерыв-
но пропорциональных чисел, начиная с единицы, и если два члена
этого ряда перемножить, то произведение будет членом того же ряда,
настолько удаленным от большего множителя, насколько меньший
удален от единицы. Он же будет удален от единицы одним членом
меньше в сравнении с тем, насколько удалены от нее оба множителя.

Если А, В, Г, Л, Е, 7, Я 0, /, К, А будут непрерывно пропорци-
ональные числа, начиная с единицы, так что А есть единица, тогда
пусть произведение Л на 0 будет какое-нибудь число Ф. Возьмем член
этого ряда А, настолько же удаленный от 0, насколько Л от единицы.
Требуется доказать, что Ф равно А. Так как в пропорциональных чис-
лах А. В. Г. Л, Я, 7, Я, 0, /, Я, А число Л настолько удалено от А, на-
сколько А от 0, то Л относится к А так, как А к 0. Но Л есть Л-кратное
числа Л, поэтому и А есть Л-кратное числа 0, следовательно, А = Ф.
Итак, ясно, что произведение 0 на Л есть член ряда и удалено
от большего из множителей на столько членов, на сколько меньший
удален от единицы. Кроме того, ясно, что это произведение удалено
от единицы одним членом меньше в сравнении с числом членов, ко-
торыми оба множителя вместе удалены от единицы, так как Л, В, Г,
Л, Е, 2, Н. 0 есть то число членов, на которое 0 удалено от единицы,
а число членов /, К, Л одним меньше в сравнении с числом членов
от Л до единицы, потому что число их вместе с 0 будет равно этому
последнему.

Все это частью допустив, частью доказав, мы можем теперь пе-
рейти к нашему предложению.

Так как было допущено, что диаметр макового зерна не меньше

1

—- дактили, ясно, что шар с диаметром в дактиль будет содержать

в себе не более 64 000 маковых зерен, так как он во столько раз больше

шара, диаметр которого равен — дактиля, потому что доказано, что

шары находятся в отношении кубов их диаметров.

Но раньше было допущено, что в объеме песку, равном маково-
му зерну, число песчинок не больше мириады, откуда ясно, что число
песчинок, содержащихся в шаре, диаметр которого равен дактилю,
будет не больше мириады раз шести мириад четырех тысяч, каковое
число содержит в себе шесть единиц чисел «вторых» и четыре тысячи
мириад чисел «первых», т.е. меньше десяти единиц чисел «вторых».

Шар с диаметром в 100 дактилей равен сто мириад раз взятому
шару, диаметр которого один дактиль, так как шары находятся в от-
ношении кубов их диаметров.

Итак, если бы был шар песку, имеющий диаметр в сто дактилей, то
ясно, что число песчинок было бы меньше произведения десяти еди-
ниц чисел «вторых» на сто мириад. А так как десять единиц чисел «вто-
рых» есть десятый, считая от единицы, пропорциональный член ряда,
возрастающего в десятикратном отношении, а сто мириад-седьмой от
единицы член того же ряда, то произведение их будет шестнадцатый
от единицы член того же ряда, так как доказано, что таковое произве-
дение удалено от единицы одним членом меньше в сравнении с тем,
насколько удалены от нее оба члена, множители этого произведения.

Но между этими шестнадцатью членами первые восемь, вклю-
чая единицу, принадлежат к числам, называемым «первыми», а сле-
дующие восемь к называемым «вторыми», причем последний из них
есть тысяча мириад чисел «вторых». Отсюда видно, что число пес-
чинок в шаре, имеющем в диаметре сто дактилей, будет меньше, чем
тысяча мириад чисел «вторых».

Шар с диаметром в мириаду дактилей равен сто мириад раз взя-
тому шару, диаметр которого сто дактилей.

Итак, если бы был шар песку, имеющий мириаду дактилей в ди-
аметре, то ясно, что число песчинок, в нем содержащихся, было бы
меньше произведения тысячи мириад чисел «вторых» на сто мириад.
А так как тысяча мириад чисел «вторых» есть, считая от единицы,
шестнадцатый пропорциональный член, а сто мириад есть от едини-
цы седьмой член того же ряда, то ясно, что произведение их будет
двадцать второй член того же ряда, считая от единицы. Но между
этими двадцатью двумя членами первые восемь, включая единицу,
принадлежат к числам, называемым «первыми», следующие восемь
к называемым «вторыми», а остальные шесть к называемым «тре-
тьими», причем последний из них есть десять мириад чисел «тре-
тьих», откуда видно, что число песчинок в шаре с диаметром в мири-
аду дактилей будет меньше десяти мириад чисел «третьих».

И так как шар, имеющий стадию в диаметре меньше шара с ди-
аметром в мириаду дактилей, то ясно, что число песчинок, содержа-
щихся в шаре с диаметром в стадию, будет меньше десяти мириад
чисел «третьих».

Шар, имеющий сто стадий в диаметре, равен сто мириад раз взя-
тому шару с диаметром в одну стадию.

Итак, если бы был шар песку с диаметром в сто стадий, то число
песчинок, содержащихся в нем, было бы меньше произведения деся-
ти мириад чисел «третьих» на сто мириад.

Десять мириад чисел «третьих» есть от единицы двадцать второй
пропорциональный член, а сто мириад - седьмой от единицы в том
же ряду, поэтому произведение их будет двадцать восьмой член того
же ряда, считая от единицы. Но из этих двадцати восьми членов пер-
вые восемь, включая единицу, принадлежат к числам, называемым
«первыми», следующие восемь - к называемым «вторыми», следую-
щие за ними восемь - к называемым «третьими», а остальные четы-
ре - к называемым «четвертыми», притом последний из них есть ты-
сяча единиц чисел «четвертых», откуда следует, что число песчинок,
содержащихся в шаре, диаметр которого сто стадий, будет меньше
тысячи единиц чисел «четвертых».

Шар с диаметром в мириаду стадий равен сто мириад раз взято-
му шару, диаметр которого сто стадий. Итак, если бы был шар песку
с диаметром в мириаду стадий, то ясно, что число песчинок его было
бы меньше произведения тысячи единиц чисел «четвертых» на сто
мириад.

Так как тысяча единиц чисел «четвертых» есть двадцать вось-
мой пропорциональный член от единицы, а сто мириад - седьмой от
единицы того же ряда, то ясно, что произведение их будет тридцать
четвертый член того же ряда, считая от единицы. Но из этих тридца-
ти четырех членов первые восемь, включая единицу, принадлежат
к числам, называемым «первыми», следующие восемь - к называе-
мым «вторыми», следующие за ними восемь - к называемым «тре-
тьими», следующие за этими - к называемым «четвертыми», а два
остальные - к называемым «пятыми», причем последний из них есть
десять единиц «пятых»; поэтому число песчинок, содержащихся
в шаре с диаметром в мириаду стадий, будет меньше десяти единиц
чисел «пятых».

Шар, диаметр которого сто мириад стадий, равен сто мириад раз
взятому шару с диаметром в мириаду стадий.

Итак, если бы был шар песку с диаметром в сто мириад стадий,
то ясно, что число его песчинок было бы меньше произведения де-
сяти единиц «пятых» на сто мириад. Так как десять единиц «пятых»
есть тридцать четвертый пропорциональный член от единицы, а сто
мириад - седьмой того же ряда от единицы, то ясно, что произведе-
ние их будет сороковым членом того же ряда от единицы. Но из этих
сорока членов первые восемь, включая единицу, принадлежат к чис-
лам, называемым «первыми», следующие восемь - к называемым
«вторыми», следующие за ними восемь - к называемым «третьими»,
следующие за третьими - к называемым «четвертыми», а следую-
щие за четвертыми - к называемым «пятыми», причем последний
из них есть тысяча мириад чисел «пятых»; поэтому ясно, что число
песчинок, содержащихся в шаре, диаметр которого сто мириад ста-
дий, будет меньше тысячи мириад чисел «пятых».

Шар с диаметром в мириаду мириад стадий равен сто мириад
раз взятому шару, имеющему в диаметре сто мириад стадий. Следо-
вательно, если бы был шар с диаметром в мириаду мириад стадий,
то ясно, что число песчинок было бы меньше произведения тыся-
чи мириад чисел «пятых» на сто мириад. А так как тысяча мириад
чисел «пятых» есть сороковой пропорциональный член, считая от
единицы, а сто мириад - седьмой того же ряда от единицы, то произ-
ведение их будет того же ряда сорок шестой член от единицы.

Но в этих сорока шести членах первые восемь, включая единицу,
относятся к числам, называемым «первыми», следующие восемь -
к называемым «вторыми», еще следующие восемь - к называемым
«третьими», следующие за третьими восемь - к называемым «чет-
вертыми», следующие за четвертыми восемь - к называемым «пя-
тыми», а остальные шесть - к называемым «шестыми», причем по-
следний из них есть десять мириад чисел «шестых». Поэтому число
песчинок, содержащихся в шаре, диаметр которого мириада мириад
стадий, будет меньше десяти мириад чисел «шестых».

Шар с диаметром в сто мириад мириад стадий равен сто мириад
раз взятому шару с диаметром в мириаду мириад стадий. Следова-
тельно, если бы был шар песку с диаметром в сто мириад мириад
стадий, то число песчинок было бы меньше произведения десяти
мириад чисел «шестых» на сто мириад. Так как десять мириад чи-
сел «шестых» есть сорок шестой пропорциональный член, считая от
единицы, а сто мириад - седьмой того же ряда от единицы, то про-
изведение их будет пятьдесят второй член того же ряда от единицы.
Но из этих пятидесяти двух членов первые сорок восемь, включая
единицу, относятся к числам, называемым «первыми», «вторыми»,
«третьими», «четвертыми», «пятыми» и «шестыми», а остальные
четыре - к числам «седьмым», причем последний из них есть тыся-
ча единиц чисел «седьмых», откуда следует, что число песчинок, со-
держащихся в шаре с диаметром в сто мириад мириад стадий, будет
меньше тысячи единиц чисел «седьмых».

Так как доказано, что диаметр мира составляет меньше чем его
мириад мириад стадий, то ясно, что число песчинок, содержащихся
в шаре, равном миру, меньше тысячи единиц чисел «седьмых». Сле-
довательно, доказано, что число песчинок, содержащихся в шаре,
равном тому, каким представляет себе шар мира большая часть
астрономов, будет меньше тысячи единиц чисел «седьмых».

Теперь мы докажем, что число песчинок, заключающихся
в шаре, равном по величине шару неподвижных звезд, или небес-
ному, предполагаемому Аристархом, будет меньше тысячи мириад
чисел «восьмых».

Действительно, если допустить, что земля имеет к шару, называ-
емому миром, то же отношение, как этот последний - к шару непод-
вижных звезд, предполагаемому Аристархом, и если диаметры этих
шаров имеют взаимное отношение, то раз доказано, что диаметр
мира меньше мириады раз взятого диаметра земли, ясно, что диа-
метр шара неподвижных звезд будет меньше мириады раз взятого
диаметра мира.

Но шары находятся в отношении кубов своих диаметров, поэ-
тому шар неподвижных звезд, предполагаемый Аристархом, будет
меньше, чем мириада мириад раз мириад взятый шар мира.
Но доказано, что число песчинок, заключающихся в шаре, рав-
ном шару мира, меньше тысячи единиц чисел «седьмых». Поэтому,
если бы был шар песку такой величины, каким Аристарх предпола-
гает шар неподвижных звезд, то число песчинок было бы меньше
произведения тысячи единиц чисел «седьмых» на мириаду мириад
раз мириад.

Так как тысяча единиц чисел «седьмых» есть пятьдесят второй
пропорциональный член, считая от единицы, а мириада мириад раз
мириад-тринадцатый того же ряда от единицы, то произведение их
будет шестьдесят четвертый член того же ряда.

Но это число есть восьмое чисел «восьмых», т.е. означает тыся-
чу мириад чисел «восьмых».

Следовательно, ясно, что число песчинок, заключающихся
в шаре неподвижных звезд, предполагаемом Аристархом, будет
меньше тысячи мириад чисел «восьмых».

Государь! Сказанное мною покажется, конечно, невероятным
многим из тех, кто не изучал математики, но будет достоверно,
потому что доказано для тех, кто ею занимался, если внимательно
рассмотреть все сказанное мною о расстояниях и величине Земли,
Солнца, Луны и всей Вселенной.

Впрочем, я, со своей стороны, нахожу, что было бы полезно, если
бы и другие расследовали этот предмет еще обстоятельнее.
ПОСЛАНИЕ АРХИМЕДА
К ЭРАТОСФЕНУ О НЕКОТОРЫХ
ТЕОРЕМАХ МЕХАНИКИ

Архимед приветствует Эратосфена.

Я переслал тебе раньше некоторые найденные мною теоремы
и изложил при этом одни положения без доказательств, предложив
тебе найти не сообщенные мною доказательства. Положения пере-
сланных тебе теорем были следующие:

1.	Если в прямую призму, основанием которой служит паралле-
лограмм13, мы впишем цилиндр, основания которого расположены
в этих противолежащих друг другу параллелограммах14, а боко-
вые линии лежат на остальных плоскостях, составляющих призму,
и если через центр круга, который служит основанием цилиндра,
и через сторону квадрата в противолежащей плоскости мы проведем
плоскость, то эта плоскость отсечет от цилиндра часть, которая бу-
дет ограничена двумя плоскостями-секущей и содержащей основа-
ние-и, кроме того, цилиндрической поверхностью, лежащей между

1

этими плоскостями, - эта отрезанная часть цилиндра составляет —
6

всей призмы.

2.	Если мы в куб впишем цилиндр, основания которого находят-
ся в противолежащих параллелограммах15, а цилиндрическая по-
верхность касается остальных плоскостей, и далее в этот самый куб
впишем другой цилиндр, основания которого находятся в двух дру-
гих параллелограммах16, а цилиндрическая поверхность касается
четырех других плоскостей, то тело, ограниченное цилиндрически-
ми поверхностями и содержащееся в обоих цилиндрах, составляет

2

- куба.

13 Должно означать квадрат (примечание проф. Н. О. ХепИгеп'а в Копенгагене.
«В1ЫюЙ1еса МаШетаИса». 1907).

14 Должно означать квадрат (примечание проф. Н. О. ХепИгеп'а в Копенгагене.
«В1ЫюЙ1еса МаШетаИса». 1907).

15 Должно означать квадрат (примечание проф. Н. О. ХепИгеп'а в Копенгагене.

«В1Ыю111еса МаИгетаИса». 1907).
Фигура 1

Эти предложения существенно отличаются от тех, которые я со-
общал ранее; те тела, а именно: коноиды17, сфероиды18 и их сегмен-
ты, мы сравнивали с объемами конусов и цилиндров, но при этом ни
одно из них не оказалось равным телу, ограниченному плоскостя-
ми; напротив, каждое из этих тел, ограниченных двумя плоскостями
и цилиндрическими поверхностями, оказывается равным некоторо-
му телу, ограниченному плоскостями. Доказательство этого я посы-
лаю тебе в этой книге.

Но, как я еще раньше говорил, я вижу, что ты серьезный ученый
и не только выдающийся учитель философии, но и почитатель [мате-
матических исследований]19; поэтому я счел полезным развить и из-
ложить тебе в этой книге особенный метод, которым ты сможешь
воспользоваться как руководством для исследования при помощи
механики некотрых геометрических вопросов. Этот метод, по моему
убеждению, также полезен для доказательства этих самых теорем;
и многое, что я раньше выяснил при помощи механики, я потом до-

17 Коноидом Архимед называет тело, полученное вращением параболы вокруг ее
оси, или параболоид вращения.

18 Сфероидом Архимед называет тело, полученное от вращения эллипса вокруг его
оси, или эллипсоид вращения.

19 В прямых скобках помещены те части текста, которые в оригинале восстановле-
ны главным образом по смыслу.
казал посредством геометрии20, ибо мои рассуждения, основанные
на этом методе, не были еще доказательствами; легче, конечно, най-
ти доказательство, когда мы посредством этого метода составим себе
представление об исследуемом вопросе, чем сделать это без тако-
го предварительного представления. Так, например, относительно

известного положения, что конус и пирамида составляют

1

—, конус -

цилиндра и пирамида-призмы, когда у них общие основания и рав-
ные высоты, впервые доказанного Евдоксом, немалую часть заслуги
нужно также признать за Демокритом, который был первым, выра-
зившим без доказательства эти предложения о вышеупомянутых те-
лах. Мы тоже были в состоянии сообщаемые здесь теоремы [таким
же образом] найти предварительно и теперь чувствуем себя обязан-
ными сделать этот метод известным, отчасти для того, чтобы никто
не думал, что мы, сообщая об этом раньше, распространяли пустые
разговоры, отчасти же из убеждения, что это принесет немало поль-
зы математике; а именно, я думаю, что кто-нибудь из теперешних
или будущих исследователей посредством предложенного здесь ме-
тода найдет и другие теоремы, которые нам не пришли еще в голову.

20 К сожалению, из геометрических доказательств в оригинале восстановлено (и то
отчасти) только одно (см. глава XIV), но его совершенно достаточно для того, чтобы выяс-
нить себе метод исчерпывания данной величины посредством ее разложения на элементы,
предлагаемый Архимедом в качестве действительного доказательства.

2' Этих двух фигур в оригинале нет; они вставлены для ясности в русское издание.
Сначала мы изложим то, что и нам стало впервые ясно при по-
мощи механики, а именно что параболический сегмент составляет

4

3

треугольника, который имеет то же основание и такую же

высоту; потом ряд некоторых теорем, найденных посредством вы-
шеназванного метода; а в конце книги мы предлагаем геометриче-
ские [доказательства названных теорем.]...

[Мы предпосылаем следующие предложения, которыми мы бу-
дем пользоваться]:

1.	Когда от [некоторой величины мы отнимем другую величину,
которая имеет не тот же центр тяжести, то мы найдем центр тяжести
остатка, если мы прямую линию, которая соединяет центр тяжести
целого и отнятой части, продолжим в сторону центра тяжести цело-
го] и на продолжении отложим отрезок, который относится к отрез-
ку между названными центрами тяжести, как вес отнятой величины
к весу остатка. [Рер1ап. аедшЦ I, 8.]

2.	Когда центры тяжести произвольного числа величин лежат на
одной прямой, то и центр тяжести этих величин, соединенных вме-
сте, лежит на той той же прямой [срав. 1Ь. I, 5].

3.	Центром тяжести отрезка прямой служит его средина [срав.
гЪ. I, 4].

4.	Центром тяжести треугольника служит точка, в которой пере-
секаются прямые, проведенные из вершины треугольника к среди-
нам его сторон [гЬ. I, 14].

5.	Центром тяжести параллелограмма служит точка, в которой
встречаются диагонали [гЬ. I, 10].

6.	Центром тяжести [круга] служит центр [круга].

7.	Центром [тяжести цилиндра служит средина его оси.

8.	Центр тяжести конуса делит его ось так, что отрезок от верши-
ны] втрое больше [отрезка от основания].

[Все это уже раньше было] мною сообщено. [Кроме того, я еще
воспользуюсь следующим положением, которое может быть легко
доказано.]

[Если величины двух рядов в порядке их расположения попарно
пропорциональны, далее,] если величины [первого ряда] - все или
некоторые из них - находятся в произвольном, но одинаковом отно-
шении [к соответствующим величинам третьего ряда], а величины
второго находятся в том же отношении к соответствующим величи-
нам [четвертого ряда], то сумма величин из первого ряда относится
к сумме величин, взятых из третьего, как сумма соответствующих
величин второго ряда относится к сумме соответственно взятых ве-
личин четвертого ряда. \йе сопоШ., 1.]

Пусть (фигура 3) аРу будет параболический сегмент, ограничен-
ный прямой ау и параболой аРу; положим, что прямая ау разделена
в точке 8 пополам, а прямая Зре параллельна диаметру и проведены

4

прямые ар, Ру. Сегмент аРу составляет в таком случае — треуголь-

ника аРу.

Из точек а, у мы проводим а^ || Зре и касательную у^, продолжаем
[ур дохи откладываем хй = ух]. Представим себе уаЗ как коромысло
весов, центр которого есть х, и произвольную прямую || еЗ. Так
как ура есть парабола, у^ касательная и уЗ ордината, то ер = рЗ, что
доказано в Элементах22 [т.е. в учении о конических сечениях; срав.
<2иа<1га1, рагаЪ., 2 23]. На этом основании и так как Ср и || еЗ, то

22 Отрезок е5 есть так называемая подкасательная на оси параболы; она делится
вершиной параболы [3 пополам.

23 Сочинение Архимеда «О квадратуре параболы».
цу = ^х = ха. И так как уа: ощ = ц^: ^о24 (тоже доказано во вспомо-
гательной теореме [срав. Оиа<1г рагаЪ., 5]), уа : ощ = ух : XV и ух = Х1Э,
то йх : XV =	: ^о. Так как цу = у^, то V есть центр тяжести прямой

ц^; если мы поэтому отложим отрезок тц = ^о, а за его центр тяже-
сти возьмем точку 13,так что пЭ = 13ц, то прямая Т13ц будет находиться
в равновесии с прямой в том месте, где она находится. Действи-
тельно, отрезок 1Эу разделен в обратном отношении весов тц и ц^, т.е.
1Эх : ху =	: цт, поэтому х будет центром тяжести двух соединенных

вместе весов. Все прямые, которые проведены параллельно еЗ в тре-
угольнике Сду в том месте, где оне находятся, будут точно так же
находиться в равновесии со своими частями, отрезанными парабо-
лой, когда последние будут перенесены в 13, и таким образом х будет
центром тяжести обоих соединенных вместе весомых фигур. И так
как треугольник уСд состоит из прямых в треугольнике уСд, а парабо-
лический сегмент - из рассматриваемых прямых ^о в сегменте аРу,
то треугольник Сду в том месте, где он находится, будет в равновесии
относительно точки х с параболическим сегментом, который будет
перенесен так, чтобы точка 13 была его центром тяжести, и при этом х

24 Основное свойство параболы заключается в том, что отношение

рб

представляет собой постоянную величину (т.н. параметр параболы), т.е. не зависит от
выбора точки а. Архимед доказывает это свойство, исходя из определения параболы как
сечения конической поверхности плоскостью, параллельной оси (О квадратуре параболы,
предл. 4); аналитически это свойство выражается уравнением параболы у1 = рх (осб = у,
Рб = х). Если мы поэтому через точку о проведем прямую ок (на чертеже не нанесенную)

о^2	осб2	рб	осб2

параллельно осу и пересекающую прямую рб в точке к, то -ут = "йГ’ или То = “ГТ-
лр	ро	лр	ол

Отсюда

рб — Ар _ осб2 - о^2 _ (осб + о^)(осб - о^)

Рб

осб2

осб2

Но осб + ок = осб + ^б = ^б + бу = ^у, осб - ок = осб - ^б = ос^, рб — Ар — Аб = о^.

о^ ос^ • Г,у
Поэтому = р.
рз осб2

V?	у?	у?

С другой стороны, -Т = Л2 =
рб	уб	осб

Поэтому
осб

л	, о	о х	л

А так как сщ = 2ху, ау = 2осб, то —у = —, что и требовалось доказать,
цс, осу
будет центром тяжести обоих соединенных вместе весомых фигур.
Теперь мы разделим ух в % таким образом, чтобы ух = Зх%; тогда % бу-
дет центром тяжести треугольника аСу, что доказано в учении о рав-
новесии \срав. Бе р1ап. аедигЦ I, 15, р. 186, 3 с Еи^окюз, р. 320, 5
и сл.25]. Треугольник СДу в том месте, где он находится, будет теперь
в равновесии относительно точки х с сегментом Рау, когда этот сег-
мент будет перенесен так, чтобы точка 0 была его центром тяжести,
а центром тяжести треугольника СДу будет у; поэтому △ аСу относит-
ся к сегменту аРу, перенесенному так, чтобы точка 0 была его цен-
тром тяжести, как 1Эх: х%; но хй = Зх%, поэтому и △ аСу = 3 сегментам
аРу; но △ СДу равен также 4 △ аРу, так как = ха и аЗ = Зу; поэтому

4

сегмент аРу = — △ аРу. Это станет ясно.

Посредством всего здесь теперь сказанного эта теорема не до-
казана, но изложенные рассуждения все-таки убеждают, что вывод
правилен. Так как мы видели, что сделанный вывод не доказан, но
предполагали, что он все-таки верен, то мы придумали для него гео-
метрическое доказательство, которое раньше уже сообщили и кото-
рое ниже еще приведем.

II

Что шар в четыре раза больше конуса, который имеет основани-
ем большой круг этого шара и высота которого равна радиусу этого
шара, и что цилиндр, основанием которого служит тоже большой
круг шара, а высота равна его диаметру, в полтора раза больше, чем
шар, можно уяснить посредством названного метода следующим
образом26. Положим, что нам дан (фигура 4) шар, в котором аРуЗ
есть большой круг, а ау, РЗ суть два взаимно-перпендикулярных
диаметра; возьмем в этом шаре круг диаметра РЗ, перпендикуляр-

26 Первая ссылка относится к сочинению Архимеда «О равновесии плоских фи-
гур», о котором уже упоминалось выше; вторая - к комментатору Архимеда Евтокию
Аскалонсокму, жившему в IV веке. Нужно иметь в виду, что вставки в прямоугольных
скобках принадлежат Гейбергу.

26 Эти предложения доказаны Архимедом в сочинении «О сфере и цилиндре». Ар-
химед в такой мере дорожил установленными им соотношениями между объемами шара,
конуса и цилиндра, что одно из них, а именно: отношения между объемами шара, конуса,
у которого высота и радиус основания равны диаметру этого шара, и цилиндра, у которого
радиус основания равен диаметру, а высота равна радиусу этого шара, выражающиеся
числами 1 : 2 : 3, завещал изобразить на своей могиле.
ный к кругу аРуЗ, на этом перпендикулярном круге построим конус
с вершиной в а и затем продолжим его поверхность; этот конус пе-
ресечем плоскостью, проходящей через у параллельно основанию;
и таким образом получим в сечении круг, перпендикулярный к ау,

Фигура 4

диаметром которого будет на этом круге построим цилиндр, ось
которого есть ау, а боковыми линиями27 служат еХ л Сд; продол-
жим уа, отложим ай = уа и представим себе уй в виде коромысла
весов, центром которого служит а; проведем далее произвольную
прямую цу параллельно рЗ; она пересекает круг аРуЗ в и о, ди-
аметр ау в о, прямую ае в л и а^ в р; через прямую цу проведем
плоскость перпендикулярно к ау; в сечении с цилиндром она обра-
зует круг диаметра цу, в сечении с шаром аРуЗ - круг диаметра ^о
и с конусом ае^ - круг диаметра яр. Так как уа х ао = цо х оя (ибо
ау = оц, ао = ло) и уа х а<з = а^2 = <Дэ2 + ал2, то цо х оя =	+ ол2.

Далее, так как уа: ао = цо : ол и уа = ай, то йа : ао = цо : ол =
цо2: цо х ал. Но было доказано, что <Дэ2 + ол2 = цо х оя; следовательно,
ай : ао = цо2 : Ер2 + ал2. Но цо2: Ер2 + о л2 = цу2: <Дэ2 + лр2 равно отно-
шению круга диаметра цу в цилиндре к сумме круга, диаметром ко-
торого служит лр, в конусе и круга, диаметром которого служит ^о,
в шаре; или йа : ао, как круг в цилиндре относится к сумме круга

27 Образующими.
в шаре и круга в конусе. Итак, круг в цилиндре в том месте, где он
находится, будет в равновесии относительно точки а с обоими кру-
гами, диаметрами которых служат ^о и лр, когда эти круги будут
перенесены в 13 так, чтобы точка 13 была центром тяжести обоих.
Таким же самым образом может быть доказано, что когда мы прове-
дем в параллелограмме Ц другую прямую || и через нее проведем
плоскость, перпендикулярную к ау, то образовавшийся в цилиндре
круг в том месте, где он находится, будет в равновесии относительно
точки а с двумя образовавшимися в шаре и конусе кругами, когда
они будут перенесены и помещены в точке 13 на коромысле весов
таким образом, чтобы точка 13 была центром тяжести обоих. Поэ-
тому если цилиндр, шар и конус наполнены взятыми кругами, то
цилиндр в том месте, где он находится, будет в равновесии относи-
тельно точки а с шаром и конусом, взятыми вместе, если они будут
перенесены в точку 13 на коромысле весов и помещены таким обра-
зом, чтобы точка 13 была центром тяжести обоих. Так как названные
тела находятся в равновесии - цилиндр с центром тяжести в х, шар
и конус, перенесенные, как сказано, так, чтобы их центром тяжести
была точка 13, то 13а : ах = цилиндр : (шар + конус). Но 13а = 2ах;
следовательно, и цилиндр = 2 х (шар + конус). Но цилиндр также
= 3 конусам [Евклид, Е1ет., XII, 10], поэтому 3 конуса = 2 конуса +
2 шара. Если мы от обеих частей равенства отнимем эти 2 конуса, то
конус, которого осевой треугольник есть ае^, равен 2 шарам; но ко-
нус, осевой треугольник которого есть ае^, равен 8 конусам, осевой
треугольник которых есть арЗ, так как = 2р8; итак, названные 8 ко-
нусов равны 2 шарам. Следовательно, шар, большой круг которого
есть аРуЗ, в четыре раза больше конуса, вершина которого есть а,
а основанием служит круг диаметра РЗ, перпендикулярный к ау.

Через р и 8 мы проводим в параллелограмме прямые (рР% и \|/8оо
параллельно ау и представляем себе цилиндр, основаниями которого
служат круги с диаметрами ср\|/ и усо, а осью - ау. Но цилиндр, осевой
параллелограмм которого есть сроэ, вдвое больше цилиндра, осевой
параллелограмм которого есть срЗ, а последний втрое больше конуса,
у которого осевой треугольник арЗ, как это доказано в «Элементах»
[Евклид, Е1ет., XII, 10]; поэтому цилиндр, осевой параллелограмм
которого есть (роо, в шесть раз больше конуса, у которого осевой тре-
угольник есть арЗ. Но доказано, что шар, большой круг которого есть
аРуЗ, в четыре раза больше того же самого конуса; следовательно,

3

этот цилиндр составляет — шара; что и требовалось доказать.
Благодаря изложенной теореме о том, что шар в четыре раза
больше конуса, которого основанием служит большой круг, а высота
равна радиусу круга, мне пришла в голову мысль, что поверхность
шара в четыре раза больше его большого круга, при чем я исходил из
представления, что круг равен треугольнику, основанием которого
служит периферия круга, а высота равна радиусу круга, так же, как
шар равен конусу, которого основанием служит поверхность шара,
а высота равняется радиусу этого шара.

III

Посредством этого метода можно также убедиться в том, что ци-
линдр, основанием которого служит большой круг сфероида, а вы-
сотой - ось сфероида, в полтора раза больше этого сфероида; когда
же это установлено, то ясно, что если мы пересечем сфероид пло-
скостью, проходящей через его центр, перпендикулярно к его оси,
то половина сфероида вдвое больше конуса, основанием которого
служит основание сегмента, а ось та же самая.

Фигура 5

Действительно, пересечем сфероид (фигура 5) плоскостью, кото-
рая проходит через ось; она образует на его поверхности эллипс аРуЗ,
главные диаметры которого - ау, рЗ, а центром служит точка х; затем
проведем в сфероиде перпендикулярно к ау круг диаметра РЗ; далее
представим себе конус, основанием которого служит указанный круг,
а вершина находится в а; продолжим затем его поверхность и плоско-
стью, проходящей через у параллельно основанию, отсечем конус; се-
чение будет, следовательно, кругом диаметра е^, перпендикулярным
к ау; далее представим себе цилиндр, основанием которого служит тот
же круг диаметра е^, а осью ау; отрезок ау продолжен, и ай = ух; йу мы
представляем себе в виде коромысла весов с центром айв параллело-
грамме проводим прямую цу || а через цу проводим плоскость,
перпендикулярную к ау; она в сечении с цилиндром образует при этом
круг, диаметр которого есть цу, со сфероидом-круг, диаметр которого
есть ^о, и с конусом - круг, диаметр которого есть яр. Так как уа : ао =
еа : ал = цо : ал28 и уа = ай, то йа : ао = цо : ол. Но цо : ол = цо2 : цо х
ол и цо х ол = ло2 + о42.

Действительно, ао х оу : о^2 = ах х ху : хр2 =29 ах2 : хр2 (так
как оба отношения равны отношению диаметров к параметру [Апол-
лоний, Соп., I, 21]) = ао2 : ол2; поэтому ао2 : ао х оу = ло2 : о42 =
ол2: ол х лц30; а следовательно, цл х ло = о^2. К обеим частям равен-
ства мы прибавляем ло2; тогда цо х ол = ло2 + о^2.

Следовательно, йа : ао = цо2: ло2 + о^2. Но цо2: о42 + ол2 = кругу,
диаметр которого есть цу, в цилиндре :31 на круг диаметра 4о + круг
диаметра лр; следовательно, круг диаметра цу в том месте, где он
находится, будет в равновесии относительно точки а с двумя кру-

ДО

Из подобия треугольников Еуа и лоа.

Это, как и другие равенства, относящиеся к эллипсу, мы можем легко проверить,
просто приводя их к известном виду уравнения эллипса. Например, это соотношение
в заданной форме при соответствующих обозначениях имеет вид:

(а — х)(а + х) а2 а2 — х2 а2 .

------й	= —г, или -з— = —у
у2-----------------------Ь2	у2 Ъ2

освобождаемся от знаменателя, тогда а2Ъ2 -х2Ъ2 = а2у2, или х2Ъ2 + у2а2 = а2Ъ2, делим обе
части на а2Ъ2 и получаем известное уравнение эллипса

4+4=1-

а2 Ь2

Можно, конечно, от этого уравнения исходить; можно получить то же чисто геомет-
рически.

Первую пропорцию получаем, перестригая члены предыдущей; а вто-
рую - из подобия треугольников аол и ецл, именно: ао : ец = ло : лц, или ао : оу = ло : лц;
ао2 : ао х оу = ло2 : ло х лц.

31 Этот знак означает деление. - Прим. науч. ред.
гами, диаметры которых суть ^о и лр, когда они будут перенесены
и помещены в точку 13 на коромысле весов так, чтобы точка 13 была
центром тяжести обоих кругов; так как 13 будет центром тяжести обо-
их кругов, диаметры которых суть ^о и лр, вместе взятых, когда они
будут перенесены, то 13а : ао = кругу с диаметром цу : на оба кру-
га, диаметры которых суть ^о и лр. Таким же самым образом может
быть доказано, что, когда мы проведем в параллелограмме другую
прямую || е^ина ней построим плоскость, перпендикулярную к ау,
то круг, образованный цилиндром, в том месте, где он находится,
будет в равновесии относительно а с обоими образованными в сфе-
роиде и конусе кругами, взятыми вместе, когда они будут перенесе-
ны в точку 13 коромысла весов таким образом, чтобы точка 13 была
центром тяжести обоих. Если мы, следовательно, цилиндр, сфероид
и конус наполним такого рода кругами, то цилиндр в том месте, где
он находится, будет относительно точки а находиться в равновесии
со сфероидом + конус, когда они будут перенесены и помещены
в точке 13 на коромысле весов так, чтобы точка 13 была центром тя-
жести обоих. Теперь, так как х есть центр тяжести цилиндра, а 13,
как сказано, центр тяжести сфероида и конуса, взятых вместе, то
13а : ах = цилиндру : на сфероид + конус. Но а1Э = 2ах; следователь-
но, и цилиндр = 2 х (сфероид + конус) = 2х сфероид + 2 х конус.
Но цилиндр = 3 х конус; следовательно, 3 х конус = 2 х конус + 2 х
сфероид. От обеих частей равенства мы отнимем 2 х конус; тогда
конус, осевой треугольник которого есть ае^ = 2 х сфероид. Но этот
самый конус = 8 конусам, осевые треугольники которых суть арЗ;
итак, 8 таких конусов = 2 х сфероид, 4 х конус = сфероиду; следова-
тельно, сфероид вчетверо больше конуса, вершина которого есть а,
а основанием служит круг диаметра РЗ, перпендикулярный к уа,
а половина сфероида вдвое больше названного конуса.

Проведем через точки рЗ в параллелограмме прямые и
\|/оэ || ау и представим себе цилиндр, основаниями которого служат
круги диаметров ср\|/ и усо, а осью ау. Тогда цилиндр, осевой парал-
лелограмм которого есть сроэ, будет вдвое больше цилиндра, осевой
параллелограмм которого есть срЗ, так как у них равные основания,
а ось его вдвое больше этой оси; кроме того, цилиндр, осевой парал-
лелограмм которого есть срЗ, будет втрое больше конуса, вершина ко-
торого есть а, а основанием служит круг диаметра РЗ, перпендикуляр-
ный к ау; поэтому цилиндр, осевой параллелограмм которого есть сроэ,
будет в шесть раз больше названного конуса. Но было доказано, что
сфероид в четыре раза больше, чем этот самый конус; следовательно,
цилиндр в полтора раза больше сфероида, что и требовалось доказать.
IV

Что сегмент прямоугольного коноида32, отсеченный плоскостью,
перпендикулярной к оси, в полтора раза больше конуса, имеющего
то же основание и ось, что и сегмент, можно обнаружить посред-
ством названного метода следующим образом.

Положим, что дан (фигура 6) прямоугольный коноид, рассечен-
ный плоскостью, проходящей через ось; при пересечении с его по-
верхностью эта плоскость образует параболу аРу; положим, что он
пересечен также и другой плоскостью, перпендикулярной к оси; ли-
нией пересечения этих двух плоскостей будет Ру, а осью сегмента бу-
дет За, которая продолжена до 1Э, так что 1Эа = аЗ; представим себе 519
как коромысло весов с центром в точке а; круг диаметра Ру, перпен-
дикулярный к аЗ, будет служить основанием сегмента; представим
себе теперь конус, основанием которого служит круг диаметра Ру,
а вершиной а; возьмем еще цилиндр, основанием которого служит
круг диаметра Ру, а осью аЗ; в параллелограмме проведем прямую
цу || Ру и через цу проведем плоскость перпендикулярно к аЗ; она
образует при этом в сечении с цилиндром круг диаметра цу, а с сег-
ментом прямоугольного коноида-круг диаметра ^о. Так как Рау есть
парабола, аЗ ее диаметр, а и рЗ ординаты, то [Оиа<1га1, рагаЪ.. 3]

39

Под коноидом греческие геометры разумели тело вращения. В данном случае
речь идет о параболоиде вращения.
За : ао = РЗ2 : ^о2. Но За = а1Э; следовательно, 13а : ао = до2 : о^2.
Но до2 : о^2 = кругу диаметра цу в цилиндре : на круг диаметра ^о
в сегменте прямоугольного коноида; итак, 13а : ао = кругу диамет-
ра цу : на круг диаметра ^о; следовательно, круг диаметра цу в цилин-
дре в том месте, где он находится, будет в равновесии относительно
точки а с кругом, диаметр которого есть ^о, когда этот круг перенесен
в точку 13 на коромысле весов и помещен так, чтобы точка 13 была его
центром тяжести. Центр тяжести круга, диаметр которого есть цу, бу-
дет о, а другого круга, диаметр которого есть ^о, когда мы его перене-
сем, будет 13, и мы имеем, таким образом, обратное отношение: 13а : ао
= кругу диаметра цу : на круг диаметра ^о. Таким же образом может
быть доказано, что когда мы проведем в параллелограмме еу другую
прямую || Ру, то образовавшийся в цилиндре круг33 в том месте, где
он находится, будет в равновесии относительно точки а с кругом, об-
разовавшимся в сегменте прямоугольного коноида, когда этот круг
будет перенесен в 13 на коромысле весов так, чтобы точка 13 была его
центром тяжести. Поэтому если цилиндр и сегмент прямоугольного
коноида будут наполнены, то цилиндр в том месте, где он находится,
будет в равновесии относительно точки а с сегментом прямоугольно-
го коноида, когда он будет перенесен и помещен в точке 13 на коромыс-
ле весов таким образом, чтобы точка 13 была его центром тяжести. Так
как названные величины находятся в равновесии относительно точки
а, а х есть центр тяжести цилиндра, когда аЗ разделена в х пополам,
13 же есть центр тяжести перенесенного туда сегмента, то имеет ме-
сто следующая обратная пропорциональность: 13а : ах = цилиндру :
на сегмент. При этом 13а = 2ах; следовательно, и цилиндр = 2х сег-
мент. Но этот самый цилиндр в три раза больше конуса, основанием
которого служит круг диаметра Ру, а вершиной точка а; ясно, таким
образом, что сегмент в полтора раза больше этого конуса.

V

Что центр тяжести сегмента прямоугольного коноида, отсечен-
ного плоскостью, перпендикулярной к оси, лежит на прямой, кото-
рая служит осью сегмента и делит ее так, что часть, принадлежащая
к вершине, вдвое больше остальной части, можно обнаружить по-
средством того же метода следующим образом.

33 Очевидно, полученный в сечении с плоскостью, проведенной через эту прямую
перпендикулярно к оси.
Сегмент прямоугольного коноида, отсеченный плоскостью, пер-
пендикулярной к оси, рассечен другой плоскостью, проходящей че-
рез ось; эта плоскость образует (фигура 7) в сечении с его поверхно-
стью параболу аРу, а общей линией плоскости, отсекающей сегмент,
и этой секущей плоскости будет Ру; осью сегмента и диаметром
параболы аРу будет аЗ; продолжим За, отложим ай = аЗ и предста-
вим себе 8й как коромысло весов с центром в точке а; далее впишем
в сегмент конус с боковыми линиями Ра, ау и в параболе проведем
прямую ^о || Ру; она пересечет параболу в точках и о, а стороны
конуса в л и р. Так как в параболе РЗ проведены перпендикулярно
к диаметру, то За : ао = рЗ2 : <Дэ2 [@иас1г. рагаЪ., 3]. Но За : ао = рЗ : ло
= РЗ2 : РЗ х ло; а потому и рЗ2 : ф2 = рЗ2 : рЗ х ло. Следовательно,
^о2 = рб х ло, или рЗ : |о = ^о : ло, и рЗ : ло = ^о2 : ал2. Но рЗ : л
= За : ао = йа : ао; следовательно, и йа : ао = <Дэ2 : ал2. Через ^о
проводим плоскость перпендикулярно к аЗ; она образует в сегменте
прямоугольного коноида круг, диаметр которого есть ^о, а в конусе
круг, диаметр которого есть лр. Так как теперь йа : ао = <Дэ2 : ал2, а
<Дэ2 : ол2 = кругу диаметра ^о : на круг диаметра лр, то йа : ао = кругу,
диаметр которого есть ^о : на круг, диаметр которого есть лр. Следова-
тельно, круг, диаметр которого есть ^о, в том месте, где он находится,
будет в равновесии относительно точки а с кругом, диаметр которого
есть лр, когда он перенесен в точку й на коромысле весов так, чтобы
точка й была его центром тяжести. Так как теперь о есть центр тяжес-
ти круга, диаметр которого есть ^о, когда этот круг остается на том
же месте, ай- круга, диаметр которого есть лр, когда он, как сказа-
но, перенесен, и так как имеет место обратная пропорциональность :
йа: ао = кругу диаметра ^о : на круг диаметра лр, то эти круги находят-
ся в равновесии относительно точки а. Таким же образом может быть
доказано, что когда в параболе будет проведена другая прямая || Ру
и через эту прямую будет проведена плоскость, перпендикулярная
к аЗ, то образовавшийся в сегменте прямоугольного коноида круг
в том месте, где он находится, будет в равновесии относительно точ-
ки а с кругом, образуемым конусом, когда этот круг будет перенесен
в точку 13 на коромысле весов и помещен так, чтобы точка 13 была его
центром тяжести. Таким образом, если сегмент и конус будут напол-
нены такими кругами, то все круги в сегменте в том месте, где они на-
ходятся, будут в равновесии относительно точки а со всеми кругами
конуса, когда они будут перенесены и так помещены на коромысле
весов в точке 13, чтобы точка 13 была их центром тяжести; а следова-
тельно, и сегмент прямоугольного коноида в том месте, где он нахо-
дится, будет в равновесии относительно точки а с конусом, когда он
будет перенесен и так помещен на коромысле весов в 13, чтобы точка
13 была его центром тяжести. Так как центр тяжести обоих тел, взя-
тых вместе, будет а, а одного только конуса, когда мы его перенесем,
будет 13, то центр тяжести остальной величины будет находиться на
продолжении прямой а1Э за точкой а, когда мы отложим на этом про-
должении отрезок ах таким образом, чтобы ай : ах = сегменту : на

3	3

конус. Но сегмент составляет — конуса; следовательно, ай = — ах,

и центр тяжести прямоугольного коноида х делит аЗ таким образом,
что часть от вершины сегмента вдвое больше остальной части.

VI

[Центр тяжести полушария лежит на его оси и делит послед-
нюю таким образом, что часть от поверхности полушария относится
к остальной части как 5:3.

Пусть шар (фигура 8) рассечен плоскостью, проходящей через
его центр; она образует в сечении с его поверхностью круг аРуЗ; ау
и рЗ будут два взаимно-перпендикулярных диаметра этого круга;
через РЗ проведена плоскость перпендикулярно к ау; представим
себе теперь конус, основанием которого служит круг диаметра РЗ,
вершиной а, а боковыми линиями Ра и аЗ; прямая уа продолжена и
ай = уа; мы представляем себе йу как коромысло весов с центром в точ-
ке а и в полукруге РаЗ проводим прямую ^о || РЗ; она пересечет дугу
полукруга в и о, боковые стороны конуса в л и р и ау в е; через ^о мы
проводим плоскость перпендикулярно к ае; она образует в сечении
с полушарием круг диаметра ^о, а с конусом - круг диаметра яр. Так
как теперь ау: ае = ф2: ае234, ф2 = ае2 + е^2 и ае = гл, то ау : ае = ^е2 +
гл2 : гл2. Но &2 + гл2 : гл2 = кругу диаметра ^о + круг диаметра яр : на
круг диаметра яр. Вместе с тем уа = а1Э, так что 13а : ае = кругу с диа-
метром ^о + круг с диаметром яр : на круг с диаметром яр. Итак, оба
круга, диаметры которых суть ^о и яр, в том месте, где они находятся,
будут в равновесии относительно точки а с кругом, диаметр которого
есть яр, когда он перенесен и помещен в 13 так, чтобы точка 13 была его
центром тяжести. Так как теперь центр тяжести обоих кругов, диаме-
тры которых суть ^о и яр, в том месте, где они находятся34 35.

34 Это можно получить из соотношения ау : аЕ = а^2.

35 Главу VI можно продолжать, воспользовавшись рассуждениями Архимеда в гла-
ве VIII, где он рассматривает уже не центр тяжести полушария, а любого сегмента, и при-
менить эти рассуждения к частному, более простому случаю; е ис (фигура 10) совпадают
тогда с Р и 5, и конус ЕаС (фигура 10) с конусом Раб. Вообще, уяснив себе метод Архимеда,
довести это рассуждение до конца уже нетрудно.
VII

[Посредством этого метода] можно еще уяснить, [что произволь-
ный шаровой сегмент] относится к конусу [с тем же основанием
и высотой, как радиус шара + высота противоположного сегмента
относится к высоте противоположного сегмента] и (фигура 9) через
цу проводим плоскость, перпендикулярную к ау; она образует, таким
образом, в сечении с цилиндром круг, диаметр которого есть цу, ша-
ровым сегментом - круг, диаметр которого есть ^о, с конусом, у ко-
торого основанием служит круг диаметра е^, а вершиной а - круг,
диаметр которого есть лр. Таким же образом, как и раньше, можно
теперь доказать, что круг, диаметр которого есть цу, в том месте, где
он находится, будет в равновесии относительно точки а с обоими
кругами, [диаметры которых суть ^о и лр, когда они будут перене-
сены и помещены на коромысле весов в 13. И это самое может быть
доказано относительно всех указанных кругов]. Если мы теперь ци-
линдр, конус и шаровой сегмент наполним соответствующими кру-
гами, то цилиндр в том месте, где он находится, [будет в равновесии
относительно точки а] с конусом + шаровой сегмент, когда они будут
перенесены и помещены на коромысле весов в точке 13. Делим ощ
в (р и х так, что ау = уц и аф = Зфц; следовательно, х будет центром
тяжести цилиндра, так как это середина оси ац, [а ср есть центр тяже-
сти конуса]. Так как теперь названные тела находятся относительно
а в равновесии, то цилиндр : к конусу с основанием диаметра +
шаровой сегмент РаЗ = 13а : а%36...

VIII

.. .Мы продолжаем (фигура 10)37 ау и откладываем ай = ау и у 2, =
радиусу круга; уй мы представляем себе как коромысло весов
с центром айв плоскости, отсекающей сегмент, описываем круг

3$ Глава VII устанавливает в общем случае соотношения, которые для частного слу-
чая установлены в главе II, и имеет вспомогательное значение для главы VIII, которая эту
главу значительно уясняет.

37 Недостающее начало главы VIII можно себе уяснить, дочитав ее до конца.
с центром ц и с радиусом = ац38; на этом круге мы строим конус
с вершиной в а, боковыми линиями которого будут ае, а^; далее мы
проводим прямую хХ || е^; она пересечет дугу сегмента в х и X, бо-
ковые стороны конуса ае^ в р и о и ау в л. Так как теперь ау : ал =
ак2 : ал2, ха2 = ал2 + лх2 и ал2 = ло2 (так как и ар2 = ер2), то уа : ал
= хл2 + л о2 : ол2. Но хл2 + ло2 : ло2 = кругу диаметра хХ + круг диа-
метра ор : на круг диаметра ор, а уа = ай; следовательно, йа : ал =
кругу диаметра хХ + круг диаметра ор : на круг диаметра ор. Так
как теперь круг диаметра хХ + круг диаметра ор : на круг диаметра
ор = ай : ла, то круг диаметра ор должен быть перенесен в й на коро-
мысле весов и помещен так, чтобы точка й была его центром тяжести;
следовательно, йа : ал = кругу диаметра хХ + круг диаметра ор в том
месте, где они находятся : на круг диаметра ор, когда он перенесен
в точку й на коромысле весов и помещен так, чтобы точка й была его
центром тяжести; следовательно, круги в сегменте РаЗ и в конусе ае^
находятся в равновесии относительно точки а с кругом в конусе ае^.
Таким же образом все круги в сегменте РаЗ и в конусе ае^ в том мес-
те, где они находятся, будут в равновесии относительно точки а со
всеми кругами в конусе ае^, когда они перенесены в й на коромыс-
ле весов и помещены так, чтобы точка й была их центром тяжести;
следовательно, и шаровой сегмент арЗ с конусом ае^ в том месте, где
они находятся, будут в равновесии относительно точки а с конусом
еа^, когда он перенесен в й коромысле весов и так помещен, чтобы
точка й была его центром тяжести. Пусть цилиндр цу равняется ко-
нусу, основанием которого служит круг диаметра 8^, а вершиной а,
и пусть ац будет разделена в ср так, что ац = 4срг|; ср будет, следова-
тельно, центром тяжести конуса еа^, что уже доказано раньше. Далее
мы рассекаем цилиндр цу посредством перпендикулярно-секущей
плоскости так, чтобы цилиндр ц находился в равновесии с конусом
еа^. Так как теперь сегмент арЗ + конус еа^ в том месте, где они
находятся, будут в равновесии относительно а с конусом еа^, когда
он перенесен в й на коромысле весов и помещен так, чтобы точка й
была его центром тяжести; цилиндр цу = конусу еа^; оба цилиндра
ц + у помещены в й и цу находится в равновесии с обоими тела-
ми - то цилиндр у находится в равновесии с шаровым сегментом
относительно точки а. И так как шаровой сегмент РаЗ : на конус,
основанием которого служит круг диаметра РЗ, а центром тяжести а,
= ф] : цу (это уже доказано раньше [Ре хрк. е? су1., II, 2]), а конус

38 Очевидно, ет] = ат|.
РаЗ : на конус еа^ = кругу диаметра рб : на круг диаметра = Рр2:
ре2 и рр2 = ур х ца, ре2 = ра2 и ур х ра : ра2 = ур : ра, - то конус РаЗ
: на конус еа^ = ур : ра. Но мы доказали, что конус РаЗ : на сегмент
РаЗ = ур : р^; следовательно, также сегмент РаЗ : на конус еа^ = ^р : ра.
И так как ау : ур = ра + 4ру : ар + 2ру39), то и обратно: ру : уа = 2ур +
ра : 4ур + ра и посредством сложения: ра : ау = бур + 2ра : ра + 4ру.

Но р^ = ± (бру + 2ра) и уср = ± (4ру + ра); все это очевидно; следо-

вательно, ра : ау = ^р : уф, а следовательно, и ^р : ра = уф : уа. Но
было доказано, что ^р : ра = сегменту, вершина которого в а, а осно-
ванием служит круг диаметра РЗ : на конус, вершина которого в а,
а основанием служит круг диаметра таким образом, сегмент РаЗ :
на конус еа^ = уф : уа. И так как цилиндр ц с конусом еа^ находят-
ся относительно а в равновесии и 13 есть центр тяжести цилиндра,
а ф - конуса еа^, то конус еа^ : на цилиндр ц = 13а : аф = уа : аф. Но
цилиндр цу = конусу еа^; следовательно, посредством вычитания,
цилиндр ц : цилиндр V = аф : уф. И цилиндр цу = конусу еа^; следо-
вательно, конус еа^ : цилиндр у = уа : уф = 13а : уф. Но было доказано,
что и сегмент РаЗ : на конус еа^ = уф : уа; следовательно, 811001)40
сегмент РаЗ : цилиндр у = 13а : ау. И так как было доказано, что сег-
мент РаЗ с цилиндром у находятся в равновесии относительно а,
причем 13 есть центр тяжести цилиндра у, то у будет, следовательно,
центром тяжести сегмента РаЗ.

IX

Таким же образом, как и в вышеизложенном, можно обнаружить,
что центр тяжести произвольного шарового сегмента лежит на пря-
мой, которая служить осью сегмента, разделенной в той точке так,
что часть ее от вершины сегмента относится к остальной части как
ось сегмента + учетверенная ось противоположного сегмента к оси
сегмента + удвоенная ось противоположного сегмента41.

39 Этой пропорцией определяется положение точки Доказываемая теорема, фор-
мулировка которой, утраченная в этой главе, сохранилась в главе IX, в том именно и за-
ключается, что центром тяжести сегмента служит точка %, определяемая этой пропорцией.

40 В переводе с древнегреческого - «делить». - Прим. науч. ред.

41 Смысл главы IX заключается в том, что глава VIII устанавливает эти соотноше-
ния только при определенных условиях чертежа. Можно, однако, и при других условиях
воспользоваться рассуждениями, аналогичными приведенным в главе VIII.
X

Далее, посредством этого метода можно сделать очевидным, что
[гиперболический сегмент] относится [к конусу], который имеет то
же основание [и высоту, равную его высоте, как ось сегмента + утро-
енный] остаток диаметра относится к оси + удвоенный его остаток
[Ре сопоиЦ 25], и еще многое другое, что я, считая этот метод уже
выясненным посредством приведенных до сих пор примеров, хочу
оставить в стороне, чтобы еще воспользоваться им только для дока-
зательства вышеуказанных теорем.

XI

Если мы в прямую призму с квадратным основанием впишем
цилиндр, основания которого лежат в противоположных квадратах,
а кривая поверхность касается четырех остальных параллелограм-
мов, и затем через центр круга, который служит основанием цилин-
дра, и сторону противолежащего квадрата проведем плоскость, то
тело, которое будет отсечено этой плоскостью [от цилиндра], состав-

1

ляет — всей призмы. Можно посредством того же метода это обна-
6

ружить, и, когда теорема будет таким образом уяснена, мы перейдем
к ее геометрическому доказательству.

Представим себе прямую призму с квадратными основаниями
и цилиндр, вписанный в эту призму указанным образом. Положим,
что эта призма пересечена плоскостью, которая к плоскости, отсе-
кающей часть цилиндра, перпендикулярна и которая проходит че-
рез ось; сечением призмы и цилиндра (фигура 11) будет параллело-
грамм ар, а общая прямая плоскости, отсекающей часть цилиндра,
и плоскости, проходящей через ось перпендикулярно к плоскости,
отсекающей эту часть цилиндра, будет Ру; осью призмы и цилин-
дра будет у8; посредством прямой она пересечена пополам под
прямым углом, через проведена плоскость перпендикулярно к у8;
эта плоскость образует, следовательно, в сечении с призмой квадрат
и с цилиндром круг.
Фигура 11	Фигура 12

Положим, что (фигура 12)42 квадрат цу будет сечением призмы,
круг ^олр - цилиндра и что этот круг будет касаться сторон квадрата
в точках о, л и р; общая линия пересечения плоскости, отсекающей
часть цилиндра, и плоскости, проходящей через 8^ перпендикулярно
к оси цилиндра, будет хХ, которая разделена пополам прямой лдЭ^.
В полукруге олр мы проводим прямую от перпендикулярно к че-
рез от проводим плоскость перпендикулярно к и продолжаем ее
по обе стороны круга ^олр; в сечении с полуцилиндром, основанием
которого служит полукруг олр, а высотой ось призмы, она образует
параллелограмм, одна сторона которого = от, а другая = образующей
цилиндра; в куске цилиндра она также образует параллелограмм,
одна сторона которого = от, а другая = ув (фигура 11); и вследствие
этого в параллелограмме 8о) прямая ув проходит || Рсо и отрезок
ег = Так как теперь еу есть параллелограмм и уг 11 тЭу, а стЭ и Ру
эти параллельные пересекают, то ей : йт = соу : уу = Рсо : ву. Но
Рсо : ву = параллелограмму в половине цилиндра : на параллело-
грамм в куске цилиндра, так как оба параллелограмма имеют ту же

42 Чертежи 11 и 12 замечательны тем, что дают проекционное изображение рассмат-
риваемой фигуры трех измерений на двух взаимно перпендикулярных плоскостях и вме-
сте дают для этой фигуры действительно чертеж, а не плохой рисунок, каким является
обычный чертеж пространственной фигуры, стремящийся соблюдать перспективу и по-
средством нажимов передать даже тени, а поэтому, как чертеж, всегда затруднительный.
В современной начертательной геометрии метод изображения, которым Архимед здесь
пользуется, возведен, как известно, в принцип.
самую сторону от; стЭ = 13л, пЭ = %1Э; и так как лтЭ = 13^, то 13^ : 13% =
параллелограмму в половине цилиндра : на параллелограмм в ку-
ске цилиндра. Мы представляем себе параллелограмм в куске ци-
линдра перенесенным и помещенным в 2, так, чтобы точка 2, была
его центром тяжести; далее мы представляем себе л2 как коромысло
весов с центром в 13; тогда параллелограмм в полуцилиндре в том
месте, где он находится, будет в равновесии относительно точки 13
с параллелограммом в куске цилиндра, когда он будет перенесен на
коромысло весов и так помещен в чтобы точка 2, была его центром
тяжести. И так как % есть центр тяжести параллелограмма в полуци-
линдре, а ^-параллелограмма в куске цилиндра, когда он перенесен,
и ^13:13% = параллелограмму, у которого центром тяжести служит % :
на параллелограмм, у которого центром тяжести служит то парал-
лелограмм, у которого центром тяжести служит % будет в равновесии
относительно 13 с параллелограммом, у которого центром тяжести
служит Таким же самым образом можно доказать, что когда мы
проведем в полукруге олр другую прямую, перпендикулярную к лдЭ,
и через эту прямую проведем перпендикулярно к лдЭ плоскость, кото-
рую продолжим в обе стороны плоскости, заключающей круг ^олр,
то параллелограмм, образовавшийся в полуцилиндре в том месте,
где он находится, будет в равновесии относительно точки 13 с парал-
лелограммом, который образуется в куске цилиндра, когда этот па-
раллелограмм будет перенесен и помещен на коромысле весов в 2,
так, чтобы точка 2, была его центром тяжести; итак, все параллело-
граммы в полуцилиндре в том месте, где они находятся, будут в рав-
новесии относительно точки 13 со всеми параллелограммами в куске
цилиндра, когда они будут перенесены и помещены на коромысле
весов в точке следовательно, и полуцилиндр в том месте, где он
находится, будет в равновесии относительно точки 13 с куском ци-
линдра, когда он будет перенесен и так помещен на коромысле весов
в чтобы точка 2, была его центром тяжести.

XII

Возьмем (фигура 13) отдельно начерченный перпендикулярный
к оси параллелограмм [цу вместе с кругом 2олр и его диаметрами
и ор43. Проведем] 13ц и 13г| и через эти прямые две плоскости,
перпендикулярные к плоскости, в которой лежит полукруг олр; эти

43 См. фигуру 12.
плоскости продолжим по обе ее стороны; мы получим таким обра-
зом призму, основанием которой служит треугольник 13цг|, а высота

1

равна оси цилиндра; эта призма составляет — всей призмы, заключа-

ющей цилиндр. В полукруге олр и в квадрате цу мы проводим затем
две прямые хХ и тв на одинаковом расстоянии от л^; они пересекут
дугу полукруга олр в точках хит, диаметр ор в о и прямые 13ц и 1Эг|
в (р и %. Через хХ, тв мы проводим две плоскости перпендикулярно о
и продолжаем их по обе стороны плоскости, на которой лежит круг
^олр; в полуцилиндре, основанием которого служит полукруг олр,
а высота - та же, что у цилиндра, они образуют, как сечение, парал-
лелограмм, одна сторона которого - хо, другая равна оси цилиндра;
в призме 1Эгщ - тоже параллелограмм, одна сторона которого =
другая же = оси; таким же самым образом в полуцилиндре - парал-
лелограмм, одна сторона которого = т^, а другая = оси цилиндра,
и в призме - параллелограмм, одна сторона которого = вер, другая
же = оси цилиндра...

XIII

Положим, что дана прямая призма с квадратным основанием
и одним ее основанием (фигура 14) служит квадрат аРуЗ; в призму
вписан цилиндр, и его основанием служит круг еф]1Э, который касает-
ся сторон параллелограмма аРуЗ в е, ц и 13; через его центр и через
соответствующую стороне у8 сторону квадрата, лежащего против
данного квадрата аРуЗ, мы проводим плоскость; она отсечет от

1

данной призмы другую призму, которая составит — всей призмы

и будет ограничена 3 параллелограммами и 2 противолежащими
треугольниками. В полукруг еСр мы вписываем параболу, у которой
основанием будет ре, а ось х^, и в параллелограмме 8р проводим цу ||
х^; она пересечет дугу полукруга в а параболу в X, и, следователь-
но, цу х уХ = у^2 (что уже известно [Аполлоний, Соп., I, 11]). Отсюда
цу : уХ = рх2 : Хо244. Через цу мы проводим плоскость перпендику-
лярно к ер; она образует, как сечение, в призме, отсеченной от всей
призмы, прямоугольный треугольник, у которого одним катетом бу-
дет цу, а другим прямая, которая лежит в плоскости, перпендику-
лярной к у8 в у, и которая равна оси цилиндра, гипотенуза же лежит
в секущей плоскости. Далее в части, которая отсечена от цилиндра
плоскостью, проведенной через ер и сторону квадрата, лежащую
против стороны уЗ, она, как сечение, образует прямоугольный тре-
угольник, у которого одним катетом служит ц^, а другим пря-
мая, которая проведена на цилиндрической поверхности пер-
пендикулярно к плоскости ху, гипотенуза же <...> и все тре-

44 Ясно, что цу : ул цу2 : цу : уХ, а ввиду предыдущего соотношения цу : ул цу2 :
у^2 = г|х2 : Хо2.
угольники в призме : на все треугольники в куске цилиндра =
всем прямым в параллелограмме 8ц : на все прямые между пара-
болой и прямой 8Ц. Но из треугольников в призме состоит призма,
[и из них же в куске цилиндра состоит кусок цилиндра; из] прямых
в параллелограмме 8^45 ||	- параллелограмм 8ц, а из прямых, от-

секаемых параболой и прямой ец, - параболический сегмент; сле-
довательно, призма : на кусок цилиндра = параллелограмму ц8 : на
сегмент е^ц, ограниченный параболой и прямой ец. Но параллело-

3

грамм 8г| [= — ] сегмента, [ограниченного параболой и прямой ец,]

3

что уже доказано в вышеизложенном; поэтому и призма = — куска

цилиндра. Если, следовательно, кусок цилиндра = 2, то призма = 3,
а вся призма, заключающая цилиндр, = 12, так как она в 4 раза боль-

, 1

ше другой призмы; и таким образом кусок цилиндра = — призмы,
что и требовалось доказать.

XIV

Положим, что дана прямоугольная призма с квадратными осно-
ваниями [и в нее вписан цилиндр; она рассечена плоскостью, про-
ходящей через центр основания цилиндра и через сторону противо-
лежащего квадрата]. Эта плоскость отсекает от всей призмы призму
и от цилиндра - кусок цилиндра. Можно доказать, что отсеченный

1

этой плоскостью от цилиндра кусок составляет — всей призмы.
6

Но предварительно мы хотим доказать, что в этот кусок цилиндра
возможно вписать и вокруг него описать по фигуре, которая состоит
из призм, имеющих равные высоты и в основаниях - подобные тре-
угольники, так что описанная фигура будет превосходить вписан-
ную на величину, меньшую всякой произвольной величины <.. .>.

Но было доказано, что призма, отсеченная наклонной плоскос-

3

тью, меньше — тела, вписанного в кусок цилиндра. При этом приз-

4$ Должно означать 5г|.
ма, отсеченная наклонной плоскостью, : на тела, вписанные в кусок
цилиндра = параллелограмму 8ц : на параллелограммы, вписанные
в сегмент, ограниченный параболой и прямой ец; следовательно,

параллелограмм 8ц < — параллелограмма в сегменте, ограниченном

параболой и прямой ец. Но это невозможно, так как мы в другом

месте доказали, что параллелограмм 8ц составляет

сегмента,

ограниченного параболой и прямой ец. Следовательно, <...> не
больше <...>.

И все призмы в отсеченной наклонной плоскостью призме : на
все призмы фигуры, описанной вокруг куска цилиндра = всем па-
раллелограммам в параллелограмме 8ц : на все параллелограммы
в фигуре, которая описана вокруг сегмента, ограниченного парабо-
лой и прямой ец, т.е. призма, отсеченная наклонной плоскостью : на
фигуру, описанную вокруг куска цилиндра = паралелограмму 8ц :
на фигуру, заключенную внутри параболы и прямой ец. Но призма,
отсеченная наклонной плоскостью, >
куска цилиндра <...>.

3 ж

— фигуры, описанной вокруг
Рене Декарт

(1596-1650)

Жизнь и труды

Родители Рене Декарта происходили из выдающихся семей, внес-
ших значительный вклад во французскую культуру. Его отец Иоахим
был из старинного рода врачей и служил советником в провинци-
альном парламенте Бретани. Его мать Жанна, урожденная Брошар,
происходила из богатой семьи, владевшей недвижимостью в Пуату.
Они поженились в 1589 г. и уже имели сына по имени Пьер и дочь
Жанну, когда в 1596 г. родился их третий ребенок Рене. Его назвали
в честь деда по материнской линии, умершего в этом же году.

Декарт не знал своей матери. Она умерла при родах через 13 ме-
сяцев после его рождения. Его отец оставил детей на попечение ма-
дам Жанны Сен, которая стала второй матерью для Декарта и оста-
валась ею даже после того, как отец Декарта снова женился в 1600 г.

Если Жанна Сэн стала матерью Декарта, то отец Этьен Шарле,
ректор иезуитского коллежа в Ла-Флеше, стал его вторым отцом. Де-
карт поступил в коллеж в 1606 г. и оставался там в течение следую-
щих восьми лет. Само учебное заведение открылось за два года до его
поступления. В отличие от муниципальных коллежей во Франции,
которые явно ориентировались на гуманистическую модель, католи-
ческие, такие как Ла-Флеш, продолжали тщательно обучать основам
традиционной католической мысли и идеям классиков Античности.
Как и большинство французских коллежей, Ла-Флеш представ-
лял собой сочетание средней школы и университета. В Ла-Флеше
первый год был посвящен подготовительным занятиям, следующие
три года - грамматике (на латыни и греческом) и пятый год - рито-
рике. Все учебные материалы были на латыни. Хотя отцы-иезуиты
были очень требовательны к академической работе своих учеников,
они относились к ним с добротой в сердце. Так, Декарту часто позво-
лялось оставаться в постели все утро из-за своего слабого здоровья.

Многие студенты покидали иезуитские коллежи, такие как
Ла-Флеше, после этих первых пяти лет, чтобы поступить в универси-
тет и получить степень в одной из трех основных профессий: юрис-
пруденции, медицины и теологии. На самом деле многие светские
университеты отказывались принимать студентов с более чем пяти-
летним стажем обучения в иезуитском коллеже, опасаясь, что они
будут слишком увлечены радикальным учением относительно ново-
го иезуитского ордена. Декарт не был одним из этих учеников. Он
был очень рад узнать, что отец хочет, чтобы он остался в Ла-Флеше
еще на три года.

В эти годы Декарт начал изучать метафизику, этику, натурфило-
софию и диалектику. Учебная программа по натурфилософии вклю-
чала в себя изучение Евклида, Архимеда и Диофанта, а также совре-
менной математики. Находясь в Ла-Флеше, Декарт, судя по всему,
завел знакомство, которое оказалось столь же ценным, как и матема-
тическая база, которую он приобрел. Один из позднейших его кор-
респондентов Марин Мерсенн тоже учился в Ла-Флеше. С 1620-х
по 1640-е гг. Мерсенн действовал как организатор всей французской
научной деятельности: он вел переписку со всеми, кто представлял
собой хоть какой-либо интерес. Только одна она насчитывает более
10 000 страниц.

Декарт оставил коллеж в Ла-Флеше в 1614 г. и поступил в близ-
лежащий университет в Пуатье, чтобы изучать право. Он получил
диплом юриста за два года. Однако закон, казалось, мало интересо-
вал его. Нет никаких записей о том, что Декарт когда-либо занимался
юридической практикой, как, вероятно, хотел его отец. Его истин-
ным интересом в Пуатье была медицина, а также он очень увлекся
анатомией.

Прожив в одной области Франции первые 20 лет своей жизни,
Декарт стремился увидеть другие части Европы. Получив диплом
юриста, он вступил в армию принца Морица Нассауского (Оранско-
го) в звании офицера. Проведя два с половиной года в Нидерландах,
Декарт оставил службу у принца Морица и вступил в армию Мак-
симилиана Баварского, вскоре после чего отправился во Франкфурт,
где стал свидетелем подготовки к коронации Фердинанда II в каче-
стве императора Священной Римской империи.

Декарт продолжал военную карьеру до 30 лет. Первую половину
1620-х гг. он провел в путешествиях по Европе, где бушевала Три-
дцатилетняя война. В его переписке упомянуто, что за эти годы он
посетил Баварию, Богемию, Германию, Италию и Венгрию, а так-
же Голландию и Францию. Хотя это были годы постоянных путе-
шествий, Декарт нашел время, чтобы заложить основу для своей
работы в области метафизики, эпистемологии и натурфилософии.
В 1618 г., находясь на службе у Морица Оранского, Декарт позна-
комился с голландцем Исааком Бекманом, который был на семь лет
старше его. Он разделял интересы Декарта в области философии
и математики.

Бекман стал еще одним «отцом» Декарта, а Декарт - его интел-
лектуальным учеником. Самое главное, что Бекман стал доверенным
лицом Декарта. Незадолго до своего 23-летия в 1619 г. Декарт изло-
жил схему новой математики в письме к Бекману:

«То, что я хотел бы представить публике, это... паука с совер-
шенно новыми основаниями, которая позволит нам ответить
на все вопросы, которые могут быть поставлены о любом
виде количества, будь то непрерывное или разрывное, каждое
в соответствии с его природой. В арифметике некоторые ве-
личины могут быть решены с помощью рациональных чисел,
другие - с помощью иррациональных чисел, и, наконец, третьи
могут быть себе представлены, но не решены. Таким образом,
я надеюсь продемонстрировать, что в случае непрерывной ве-
личины некоторые проблемы могут быть решены только с по-
мощью прямых линий и кругов; что другие могут быть реше-
ны только с помощью кривых, отличных от окружностей, но
которые могут быть порождены одним движением и которые,
следовательно, могут быть изображены с помощью нового ком-
паса, который я не считаю менее точным и таким же геоме-
трическим, как обычный компас, используемый для рисования
кругов; и, наконец, другие проблемы могут быть решены только
с помощью кривых, порожденных, но не подчиненных друг дру-
гу движений, кривых, которые, конечно, только воображаемы,
таких как квадратриса, которая хорошо известна. Я не верю,
что можно представить себе что-либо, что не могло бы быть
решено подобным образом; более того, я надеюсь показать, что
определенные виды вопросов могут быть решены одним спо-
собом, а не другим, так что в геометрии не останется почти
ничего другого, что можно было бы открыть. Эта задача бес-
конечна и не может быть выполнена одним человеком. Это так
же невероятно, как и амбициозно. Но я видел некоторый свет
в темном хаосе этой науки, благодаря которому самые густые
облака могут быть рассеяны».

Это послужило первым наброском того, что должно было стать
частью четвертого «правила Декарта о руководстве ума»:

«Для любого человека с самым минимальным образованием оче-
видно, что относится к математике, а что нет ни в каком
контексте. Когда я более внимательно изучил этот вопрос, то
понял, что математика занимается исключительно вопросами
порядка или меры и что не имеет значения, включает ли рас-
сматриваемая мера числа, формы, звезды, звуки или любой дру-
гой объект вообще. Это заставило меня понять, что должна
существовать общая наука, которая объясняет все, что может
возникать относительно порядка и меры независимо от предме-
та, и что эта наука должна называться «универсальная наука»
(табгезгз итчегзаПз), - почтенный термин с хорошо установлен-
ным значением, - ибо она охватывает все, что дает право этим
другим наукам называться отраслями математики. Насколько
она превосходит эти второстепенные науки как по полезности,
так и по простоте, ясно из того факта, что она охватывает
все, с чем они имеют дело... до сих пор я посвятил всю свою
энергию этому та1йе818 ипКегзаНз, чтобы иметь возможность
в свое время заняться более продвинутыми науками».

Пройдет почти 20 лет, прежде чем Декарт действительно полу-
чит время для развития своей математики. После окончания военной
карьеры Декарт жил в Париже с 1625 по 1628 г. Он оказался в кругу
мыслителей, которые, как и он сам, отвергли большую часть аристо-
телевской ортодоксии, все еще господствовавшей в начале XVII в.
Время от времени он и его окружение спорили о достоинствах ге-
лиоцентрической астрономии Коперника. Однако им нужно было
изложить свои рассуждения в гипотетических терминах. В 1624 г.
теологический факультет Сорбонны в Париже издал эдикт, в кото-
ром всем грозила смерть за пропаганду взглядов, противоречащих
утвержденным учениям древних авторов.
Хотя Декарт всю свою жизнь оставался ревностным католиком,
он находил духовную атмосферу в Париже слишком угрожающей
и в 1628 г. уехал в более либеральную среду протестантской Голлан-
дии. Его решение покинуть Париж, возможно, было также ускорено
дуэлью, на которой он дрался за честь дамы. Мы ничего не знаем
об этой даме, кроме того, что Декарт сравнивал ее красоту с красо-
той истины! Должно быть, он покинул Париж в большой спешке:
в переписке он сообщает, что не взял с собой ничего, кроме Библии
и «Суммы теологии» св. Фомы Аквинского.

Декарт поселился в Амстердаме и вскоре приобрел известность
в его интеллектуальных кругах. Зимой 1634 г. он стал постоянным
гостем в доме Елизаветы Стюарт, курфюрстины Палатинской и коро-
левы Богемии. Она была вдовой Фридриха V Богемского, чьи войска
были разбиты в битве у Белой горы в 1630 г. и который после этого вы-
нужденно отправился в изгнание в Нидерланды. Когда Фридрих умер
в 1632 г., его вдова осталась жить в Нидерландах на пенсию, предостав-
ленную ее братом, английским королем Карлом I. Декарт поддерживал
тесные интеллектуальные отношения с вдовствующей королевой Ели-
заветой, а затем с ее дочерью принцессой Елизаветой Богемской.

Находясь в Амстердаме, Декарт подружился с Константином
Гюйгенсом, секретарем Фредерика Генриха, принца Оранского. Гюй-
генс происходил из семьи дипломатов и стал горячим сторонником
Декарта. Однако семья Гюйгенс наиболее известна благодаря стар-
шему сыну Констанции Христиану (1629-1695), современнику Нью-
тона, которого английский философ Джон Локк назвал бы «Гюйге-
нием». Декарт проявлял активный интерес к образованию молодого
Христиана Гюйгенса, и Гюйгенс разработал теорию вихрей Декарта.

В середине 1630-х гг. у Декарта были единственные значимые
романтические отношения в его жизни с женщиной по имени Элен,
служанкой в доме, где он жил. В июле 1635 г. она родила дочь Де-
карта, которую они назвали Франсиной. Девочка была крещена по
протестантскому обряду и лишь изредка общалась с отцом в тече-
ние своей короткой жизни. Она умерла от лихорадки, охватившей
Голландию в 1640 г., сразу после того, как ей исполнилось пять лет.
Ее смерть сильно потрясла Декарта. Только после ее смерти Декарт
начал понимать, что она на самом деле значила для него. Верный
себе, он не имел никаких контактов с Элен после смерти их ребенка.

Нидерланды стали родиной и величайших трудов Декарта: «Рас-
суждения о методе», «Размышлений о первой философии», «Перво-
начала философии» и «Геометрии» - работы, представленной в этой
книге.
Мы можем легко увидеть силу математических методов Декарта
по его изложениею двух самых основных математических операций:
произведения и извлечения квадратных корней. Вспомним, что для
Евклида и его греческих последователей вплоть до XVI в. арифмети-
ческие предложения формулировались в терминах геометрических
фигур, таких как длины линий, не потому, что длины линий обеспе-
чивают хороший метод представления чисел, а потому, что это и есть
числа! Таким образом, определение произведения двух абстрактных
величин Хи У означало построение прямоугольника, стороны кото-
рого имели длину Хи У, и реализацию их произведения как площадь
прямоугольника! Точно так же древние взяли бы квадратный корень
из абстрактного значения А, представив X как двумерную фигуру
и найдя квадрат равной площади. Сторона этого квадрата реализова-
ла квадратный корень из X

Кризис иррационального заставил греков прибегнуть к этим гео-
метрическим интерпретациям. Декарт же не имел ни одного из этих
геометрических ограничений:

«Мы должны также отметить, что те пропорции, которые
образуют непрерывную последовательность, должны быть по-
няты в терминах ряда отношений; другие пытаются выразить
эти пропорции в обычных алгебраических терминах с помощью
нескольких различных измерений и форм. Первое они называют
корнем, второе-квадратом, третье-кубом, четвертое-биква-
дратом и так далее. Эти выражения, признаюсь, долго вводили
меня в заблуждение... Все эти названия должны быть оставле-
ны, так как они могут вызвать путаницу в нашем мышлении,
ибо хотя величину можно назвать кубом или биквадратом, она
никогда не должна представляться воображению иначе, как ли-
нией или поверхностью... Прежде всего необходимо отметить,
что корень, квадрат, куб и т. д. суть просто величины в непре-
рывной пропорции, что всегда подразумевает свободно выбран-
ную единицу, о которой мы говорили в предыдущем Правиле».

Так, куб величины обозначается как х3 не потому, что представ-
ляет собой трехмерную фигуру, геометрический куб, но потому, что
представляет собой серию пропорций с тремя связями.

2	2	3

1: х = х : х = х : х
Вместо того чтобы требовать геометрических построений для
каждого из рассматриваемых объектов, Декарт предположил, что
все данные объекты существуют, и показал, как построить искомое
значение в виде отрезка прямой.

Вот как он определяет произведение двух величин в самом на-
чале своей «Геометрии». Декарт полагает, что единица (т.е. значе-
ние 1) задается отрезком АВ и переходит к умножению значений,
представленных отрезками ВЕ (коллинеарными АВ) и ВС. Он соеди-
няет точки А и С, а затем строит через Е линию, параллельную АС.
которая пересекает ВС в точке Е.

Сделав это, Декарт получил два подобных треугольника - АВС
и ЕВЕ. По правилу подобия существуют пропорции между длинами
сторон:

ВЕ : ВС = ВЕ: ВА.

Но поскольку В А = 1, то получаем

ВЕ : ВС = ВЕ

или искомое решение

ВЕ — ВС ВЕ.

Вычисление квадратных корней так же просто. Декарт полагает
отрезок СН имеющим такую величину, квадратный корень которой
должен быть найден. Далее он продолжает этот отрезок от С до К
таким образом, чтобы ЕС равнялось единице. Сделав это, Декарт
делит пополам отрезок ЕН в точке К и строит полукруг с центром
в точке К. т.е. имеющий радиус КН (= КЕ). В точке С он возводит
перпендикуляр к ЕН. который пересекает окружность в точке I.
РСК	н

На этот раз Декарт фактически построил три одинаковых пря-
моугольных треугольника /СК, ЯС/, Я/Е. (Углы /ОЕ, ЯС/ и Я/Е -
прямые.) Ввиду того что прямоугольные треугольники /СЕ и ЯС/
подобны, мы имеем

СЯ : С/ = С/ : ЕС,

По предположению,

ЕС = 1.

Следовательно,

ОН = СГ. С1,

что показывает, что С/ есть квадратный корень из СЯ

Декарт продолжал жить в Нидерландах до 1648 г., когда королева
Швеции Кристина предложила ему место при своем дворе в Сток-
гольме: Декарт должен был основать академию наук и давать ей
уроки этики и теологии. Когда он принял ее предложение, Кристина
послала военный корабль, чтобы доставить его в Швецию. С Декар-
том никогда не обращались так по-королевски, и он, вероятно, ожи-
дал, что и при шведском дворе с ним будут обращаться так же. Хотя
его окружение, возможно, было королевским, Декарт не потрудился
спросить о своих присутственных часах.

Из-за своего посредственного на протяжении всей жизни здоро-
вья Декарт часто оставался в постели все утро. К своему большому
огорчению, он узнал, что это не в стиле шведского двора. Королева
Кристина настаивала, чтобы ее уроки начинались в 5 утра, независи-
мо от погоды. Это требовало, чтобы Декарт покинул свою резиден-
цию в 4:30 утра и бросил вызов часто ненастному северному кли-
мату. Зима 1649-1650 гг. была исключительно суровой, и вскоре он
заболел пневмонией. Предпочитая свои собственные методы лече-
ния всему, что могли бы прописать врачи Кристины, Декарт пытался
вылечить себя с помощью смеси табака с вином, предназначенной
для того, чтобы вызвать рвоту. Вскоре ему стало хуже, он впал в бред
и умер через два дня, 11 февраля 1650 г.
О ЗАДАЧАХ, КОТОРЫЕ МОЖНО

ПОСТРОИТЬ, ПОЛЬЗУЯСЬ только

КРУГАМИ И ПРЯМЫМИ линиями

Все задачи геометрии можно легко привести к таким терминам,
что для их построения нужно будет затем знать лишь длину некото-
рых прямых линий.

Как исчисление арифметики относится
к построениям геометрии?

Подобно тому как вся арифметика состоит только в четырех или
пяти действиях, именно в сложении, вычитании, умножении, деле-
нии и извлечении корней, которое можно считать некоторого рода
делением, подобно этому в геометрии, чтобы подготовить искомые
линии к определению, нужно только прибавить к этим линиям или
отнять от них другие; или же нужно, имея линию, которую я, дабы
удобнее установить более тесную связь с числами, назову единицей
и которая обыкновенно может быть выбрана произвольно, и имея
еще две другие линии, - найти четвертую линию, так относящуюся
к одной из этих двух, как другая к единице, а это то же самое, что ум-
ножение; или же найти четвертую линию, так относящуюся к одной
из этих двух, как единица к другой, а это то же самое, что деление;
или, наконец, найти одну, или же две, или несколько средних про-
порциональных между единицей и какой-либо другой линией, а это
то же самое, что извлечь квадратный или же кубический и т.д. ко-
рень. С целью быть более понятным я без опасений введу эти ариф-
метические термины в геометрию.

Умножение

Пусть, например (чертеж 1), А В является единицей и требуется
умножить Вй на ВС'. для этого я должен только соединить точки А
и С, затем провести ЕЕ параллельно СА. и ВЕ будет результатом это-
го умножения.
Деление

Или же если ВЕ нуж-
но разделить на ВЕ, то,
соединив точки Е и Е,
я провожу АС параллель-
но ЕЕ, и ВС будет резуль-
татом этого деления.

Чертеж 1

Извлечение квадратного корня

Или, если нужно извлечь
квадратный корень из СН, то
я прибавляю (чертеж 2) к СН, по
продолжению, прямую ЕС, явля-
ющуюся единицей, и, разделив
ЕН в точке К на две равные части,
описываю из центра К окруж-
ность Е1Н, если затем провести
от точки С к точке I прямую, пер-
пендикулярную к ЕН, то С1 будет
не говорю ни о кубическом, ни о
удобнее рассмотреть их дальше.

Чертеж 2

искомым корнем. Я здесь ничего
других корнях, так как мне будет

Как можно употреблять буквенные
обозначения (1е$ ск1//ге$) в геометрии?

Но часто нет нужды проводить эти линии на бумаге, а достаточ-
но их обозначить какими-нибудь буквами, каждую линию одной бук-
вой, Так, чтобы прибавить линию ВЕ к СН, я называю одну из них а,
другую Ь и пишу а + Ь, и я пишу а - Ь при вычитании Ь из а', и аЬ при

а	к	2

их перемножении; и — при делении а на Ь', и аа или ст при умно-

жении а самое на себя; и а3 при умножении ее еще раз на а и так до

бесконечности; и \а2 + Ъ2 при извлечении квадратного корня из
а2 + Ь2; и у] С • а3 — Ь3 + аЪЪ 46 при извлечении кубического корня
из а3 -Ь3 + аЪЪ и т. д.

При этом следует заметить, что под а2, или Ь3. или тому подоб-
ным я обыкновенно понимаю лишь сами простые линии, хотя, что-
бы пользоваться наименованиями, употребительными в алгебре,
я их называю квадратами или кубами и т.д.

Следует также заметить, что если единица в рассматриваемом
вопросе не определена, то все части одной и той же линии должны
всегда выражаться одним и тем же числом измерений: так, например,
здесь а3 имеет столько же измерений, как и аЪЪ или Ь3. из которых
я составил линию, названную мной у/с - а3 — Ь3 + аЪЪ , но если

единица определена, то дело обстоит иначе, ибо тогда повсюду, где
имеется слишком много или слишком мало измерений, можно под-
разумевать единицу; так, если нужно извлечь кубический корень из
ааЪЪ - Ь, то следует представлять себе, что величина ааЪЪ поделена
один раз на единицу, а другая величина Ъ два раза умножена на нее.

Между прочим, чтобы легче было вспомнить названия этих ли-
ний, всегда следует по мере их установления или же изменения со-
ставлять их отдельный список, записывая, например, так:

АВ сх) 1, то есть АВ равна 1,
СН сю а,
ВИ сю Ь и т.д.

Как следует получать уравнения,
служащие для решения задач?

Итак, желая решить какую-нибудь задачу, следует сперва ее рас-
сматривать как уже решенную и дать названия всем линиям, которые
представляются необходимыми для ее построения, притом неизвест-
ным так же, как и известным. Затем, не проводя никакого различия
между этими известными и неизвестными линиями, нужно обозреть

46 Знак корня довольно быстро вытеснил полное или сокращенное словесное выра-
жение его. Вначале квадратный корень представлялся точкой, ставившейся впереди под-
коренного выражения, корень четвертой степени - двумя точками и т. и. Декарт выделял
подкоренное выражение точками.

Число С означает, какой корень берется; так, если С = 3, то корень кубический. -
Прим. науч. ред.
трудность, следуя тому порядку, который показывает наиболее есте-
ственным образом, как они взаимно зависят друг от друга, до тех
пор, пока не будет найдено средство выразить одну и ту же величину
двояким образом; это то, что называется уравнением, ибо члены, по-
лученные одним из этих двух способов, равны членам, полученным
другим. И следует найти столько подобных уравнений, сколько было
предположено неизвестных линий. Либо же, если не удастся найти их
столько и если, тем не менее, ничто не опущено из требуемого в во-
просе, то это свидетельствует о том, что вопрос не вполне определен;
в этом случае для всех неизвестных линий, которым не соответству-
ют никакие уравнения, можно взять произвольные известные линии.
Если после этого их останется еще несколько, то, чтобы выразить ка-
ждую из этих неизвестных линий, нужно по порядку воспользовать-
ся каждым из оставшихся также уравнений, либо рассматривая его
отдельно, либо же сравнивая его с другими, и поступать так, приводя
их до тех пор, пока не останется только одна из них, которая равна
какой-нибудь другой известной либо же у которой квадрат или куб,
или квадрат квадрата, или сверхтело, или квадрат куба и т.д. не ока-
жется равным тому, что получится при сложении или вычитании двух
или нескольких других величин, из которых одна является известной,
а другие состоят из каких-либо средних пропорциональных между
единицей и этим квадратом или кубом, или квадратом квадрата и т.д.,
умноженных на другие известные величины. Я это записываю так:

г ос Ь,

или

х1 ос —ах + ЪЪ,
или

х3 ос +ах2 + ЬЬх — с3,
или

4	3	3	. /4

х ос ах — с х + а

И т.д.

То есть х. которую я считаю неизвестной величиной, равна Ъ\ или
же квадрат х равен квадрату Ь минус а. умноженная на и; или же куб х
равен а. умноженной на квадрат х плюс квадрат Ь, умноженный на х,
минус куб с; и т.д.

Если задача может быть построена при помощи кругов и прямых
линий, или же конических сечений, или даже с помощью какой-ни-
будь другой линии, не более чем одной или двумя степенями более
сложной, то все неизвестные величины всегда могут быть таким
путем сведены только к одной. Я, однако, не стану задерживаться
и излагать это подробнее, ибо тогда я лишил бы вас удовольствия
разобрать это самостоятельно, а также пользы, которую приобрел бы
при этом упражнении ваш ум и которая, на мой взгляд, составляет
основную выгоду, извлекаемую из этой науки. Кроме того, я не нахо-
жу в этом вопросе таких затруднений, которых бы не мог преодолеть
тот, кто хоть несколько сведущ в обычной геометрии и алгебре и кто
внимательно познакомится со всем тем, что есть в этом сочинении.

Поэтому я ограничусь здесь предупреждением, что если толь-
ко, приводя эти уравнения, вы не упустите случая воспользоваться
всеми делениями, которые окажется возможным выполнить, то не-
избежно получите наиболее простые выражения, к которым может
быть приведен вопрос.

Каковы плоские задачи?

Если вопрос может быть решен средствами обыкновенной гео-
метрии, то есть при употреблении только прямых линий и окруж-
ностей, начерченных на плоской поверхности, то, когда будет впол-
не приведено последнее уравнение, в нем будет содержаться самое
большее один неизвестный квадрат, приравненный к результату
сложения или вычитания его корня, умноженного на какую-нибудь
известную величину, и какой-нибудь другой также известной вели-
чины.

Как они решаются?

И тогда этот корень или неизвестную линию найти легко. Так,
например, если я имею

2

и ос аг + ЬЬ,

то я строю (чертеж 3) прямоугольный треугольник Ж7И, одна сторона
которого ЬМ равна Ъ, квадратному корню из известной величины ЪЪ,

ты 1	~

а другая ГА равна — а, половине другой известной величины, которая

умножалась на г. линию, принятую мной за неизвестную.
Чертеж 3

ь

Если затем продолжить МЫ, основание этого треугольника, до О
так, чтобы ЫО было равно Ж, то вся линия ОМ и будет искомой ли-
нией 2. Выражается эта линия так:

1

2 ос + — а +

— аа + ЪЪ .

4

Если же я имею

уу ос — ау + ЪЪ
и искомой величиной является у, то я строю тот же прямоугольный
треугольник ЖАТ и от его основания МЫ отнимаю Ж>, равную Ж;
остатокРМп будет искомым корнем у. Таким образом, я имею

— аа + ЪЪ .

4

И точно так же, если бы я имел

4	2 т 2

х ос — ах + Ъ ,

то РА/ было бы х* 2 и я получил бы

1

—аа + ЪЪ

4

и т.д.

Наконец, если я имею

2

2 ос а2 — ЪЪ.

то я полагаю, как и раньше, Ж равной ^а, ЪМравной Ъ. а затем,

вместо того чтобы соединять точки ТИи ТУ, я провожу (чертеж 4) М(^
Чертеж 4

параллельно АТУ и из центра ТУ описы-
ваю окружность, проходящую через
А и пересекающую М<2& в точках <2
и К. Искомой линией 2 будет М2 или
же МЕ, так как в этом случае она вы-
ражается двояким образом, а именно

]_

2

Ц

— аа —

4

ЪЪ

и

]_

2

'1

— аа — оо .

4

Если же окружность, имеющая
центр в точке ТУ и проходящая через
точку А, не пересекает и не касается
прямой то уравнение не имеет

ни одного корня, так что можно утвер-
ждать, что построение предложенной задачи невозможно.

Впрочем, те же корни можно найти бесчисленным множеством
других способов, и я хотел привести эти способы лишь ради их
крайней простоты и с целью показать, что все задачи обыкновен-
ной геометрии можно построить, не прибегая ни к чему сверх того
немногого, что содержится в разъясненных мной четырех фигурах.
Я полагаю, что древние не заметили этого, ибо в противном случае
они не написали бы столько толстых книг, в которых уже одна только
последовательность предложений показывает нам, что они не обла-
дали истинным методом, который позволил бы найти их все, а лишь
собрали им встретившиеся.

Пример из Паппа

Только что сказанное отчетливо подтверждается тем, что пишет
в начале своей седьмой книги Папп. Остановившись сперва несколь-
ко на перечислении всего того, что было написано по геометрии его
предшественниками, Папп переходит под конец к одному вопросу,
который, по его словам, не могли полностью решить ни Евклид, ни
Аполлоний, ни кто-либо другой. Вот его собственные слова:

«Однако вопрос о геометрическом месте к трем или четырем
линиям, который, по словам Аполлония в его III книге, не был раз-
решен с достаточной полнотой Евклидом, не смог быть разрешен
до конца ни им самим, ни кем-либо другим. Не было даже ничего
добавлено к тому, что написал об этом Евклид, - по крайней мере,
если говорить лишь об уже исследованных во времена Евклида кони-
ческих сечениях и т. д.»

И несколько дальше он поясняет, в чем состоит этот вопрос:

«Вот каково то место к трем или четырем линиям, по поводу
которого Аполлоний расточает себе великие похвалы, не обнаружи-
вая никакой благодарности к своему предшественнику Если даны
по положению три прямые и из одной и той же точки проведены
под данными углами к этим трем прямым другие три прямые и если
дано отношение прямоугольника, построенного на двух из прове-
денных прямых к квадрату третьей, то точка будет находиться
на данном, по положению телесном месте, т.е. на одном из трех
конических сечений. Далее, если провести к четырем данным по по-
ложению прямым под данными углами четыре других прямых и если
дано отношение прямоугольника на двух проведенных прямых к пря-
моугольнику на двух других, то точка также будет находиться на
данном по положению коническом сечении. С другой стороны, если
прямых будет только две, то установлено, что место будет пло-
ским. В случае же когда прямых больше четырех, то точка будет
находиться на месте, принадлежащем к числу до сих пор неизвест-
ных, которые называют просто линиями и о природе или свойствах
которых ничего не известно. Одну из этих линий, не первую, но
которая представлялась наиболее очевидной, они построили и по-
казали, что она приносит пользу. Вот предложения, относящиеся
к этим местам:

Если к пяти данным по положению прямым из какой-нибудь
точки провести под данными углами другие прямые и если дано от-
ношение прямоугольного параллелепипеда, построенного на трех
проведенных прямых, к прямоугольному параллелепипеду, постро-
енному на двух других и какой-либо данной, то точка будет нахо-
диться на данной по положению линии. Если данных прямых будет
шесть и если будет дано отношение тела, построенного на трех
проведенных прямых, к телу, построенному на трех других, то точ-
ка также будет находиться на данной по положению линии. Если
же прямых больше шести, то уже нельзя говорить о данном отно-
шении какого-нибудь предмета, построенного на четырех прямых,
к предмету, построенному на других, потому что не существует
ничего, что заключало бы больше чем три измерения».

Прошу вас попутно заметить, что боязнь древних употреблять
в геометрии арифметические термины, которая могла быть вызвана
лишь тем, что они не понимали достаточно ясно связи между этими
науками, породила много неясностей и неудобств в их способе изъ-
ясняться. Так, Папп продолжает следующим образом:

«Однако незадолго до нас стали позволять себе выражаться по-
добным образом, не указывая, впрочем, при этом на что-либо сколь-
ко-нибудь вразумительное. Но эти предложения можно и высказать
и доказать общим образом посредством сложных отношений сле-
дующим путем. Если к данным по положению прямым провести из
какой-нибудь точки под данными углами другие прямые и если дано
отношение, составленное из отношения одной проведенной прямой
к другой, отношения другой пары проведенных прямых, отношения
третьей пары и, наконец, отношения последней проведенной пря-
мой к данной прямой - если прямых всего семь - или же отношения
двух последних прямых-если их восемь, - то точка будет находить-
ся на данных по положению линиях. То же самое можно сказать
при любом, четном или нечетном числе прямых. Но, как я говорил,
ни одно из мест, следующих за местом к четырем прямым, еще не
было установлено так, чтобы линия стала известной, и т. д.»

Таким образом вопрос, начало решению которого положил Евк-
лид, продолжение дал Аполлоний, но который не был решен до кон-
ца никем, заключался в следующем. Если имеются три, четыре или
большее количество данных по положению прямых, то, во-первых,
требуется найти такую точку, из которой можно провести к каждой
из этих прямых по одной прямой, образующей с нею заданный угол,
так как если прямых лишь три, то прямоугольник, построенный на
двух проведенных из одной точки прямых, должен находиться в дан-
ном отношении к квадрату третьей, а если их четыре, то он должен
находиться в данном отношении к прямоугольнику на двух других.
Или же если прямых пять, то параллелепипед, составленный из трех
прямых, должен находиться в данном отношении к параллелепипе-
ду, составленному из двух других прямых и некоторой данной линии.
Или же если их шесть, то параллелепипед, составленный из трех
прямых, должен находиться в данном отношении к параллелепипе-
ду из трех других. Или же если их семь, то произведение четырех из
них друг на друга должно находиться в данном отношении к произ-
ведению трех других и еще некоторой данной линии. Или же если
их восемь, то произведение четырех должно находиться в данном
отношении к произведению четырех других. Таким образом, задача
может быть распространена и на любое иное число линий. Затем,
так как поставленным здесь условиям всегда может удовлетворять
бесчисленное количество различных точек, то требуется еще узнать
и провести линию, на которой все они должны находиться. И Папп
говорит, что если даны только три или четыре прямые, то такой ли-
нией является одно из трех конических сечений; но он отнюдь не пы-
тается ни определить, ни описать, ни просто выяснить, где должны
находиться все эти точки, когда вопрос предложен в большем чис-
ле линий. Он только добавляет, что древние придумали одну такую
линию, полезность которой при этом они показали, но ту, которая
казалась наиболее очевидной и все же не была первой. Это побудило
меня испытать, нельзя ли посредством метода, которым я пользу-
юсь, пойти столь же далеко, как и древние.

Ответ на вопрос Паппа

В первую очередь я выяснил, что если вопрос предложен только
в трех, четырех или пяти линиях, то искомые точки всегда можно
найти при помощи простой геометрии, то есть пользуясь только ли-
нейкой и циркулем и не делая ничего, кроме того, о чем уже говори-
лось; исключением является лишь случай с пятью данными линия-
ми, когда все они параллельны. В этом случае, а также если вопрос
предложен в шести, или семи, или восьми, или девяти линиях, иско-
мые точки всегда можно найти при помощи геометрии тел, то есть
посредством какого-нибудь из трех конических сечений; исключени-
ем является лишь случай с девятью данными линиями, когда все они
параллельны. В этом случае опять, как и в случае десяти, одиннадца-
ти, двенадцати или тринадцати линий, искомые точки можно найти
при помощи некоторой кривой, одним порядком более сложной, чем
конические сечения; исключением является лишь случай с тринад-
цатью линиями, когда все они параллельны. В этом случае, а также
в случае четырнадцати, пятнадцати, шестнадцати и семнадцати ли-
ний нужно применить кривую, еще одним порядком более сложную,
чем предыдущая, и т.д. до бесконечности.

Затем я установил также, что если имеются лишь три или четыре
данные линии, то все искомые точки находятся иногда не только на
каком-либо коническом сечении, но и на окружности круга или же
на прямой. Далее, если данных линий пять, или шесть, или семь, или
восемь, то все эти точки находятся на какой-либо из линий, одним
порядком более сложной, чем конические сечения, и невозможно во-
образить себе среди них такую, которая не могла бы принести пользу
в этом вопросе; но опять-таки эти точки могут находиться и на кони-
ческом сечении, или на окружности, или на прямой. Если же прямых
девять, десять, одиннадцать или двенадцать, то эти точки находятся
на линии, которая может быть лишь одним порядком более сложной,
чем предыдущие; и все эти, одним порядком более сложные, линии
могут при этом пригодиться, и т.д. до бесконечности.

Наконец, первая и наиболее простая из всех после конических
сечений линия, это линия, которая может быть описана пересечени-
ем параболы и прямой по способу, который скоро будет разъяснен.
Таким образом я полагаю, что полностью удовлетворил тому, чего,
по словам Паппа, искали здесь древние; и я попытаюсь изложить
доказательство в немногих словах, ибо мне уже наскучило так много
об этом писать.

Допустим (чертеж 5), что АВ, АО, ЕВ, СН и т.д. суть несколько
данных по положению линий; требуется найти некоторую точку, на-
пример С, такую, что если провести от нее к данным прямым другие
прямые, например СВ, СО, СЕ и СН, образующие с ними данные
углы СВ А, СОА, СЕЕ, СНС и т.д., то произведение одной части этих
линий будет равно произведению других или же они будут находить-
ся между собой в каком-нибудь другом данном отношении: это от-
нюдь не затрудняет вопроса.

Чертеж 5
Как нужно в этом примере установить члены,
чтобы прийти к уравнению?

В первую очередь я предполагаю, что дело уже сделано, и, что-
бы избежать смешения всех этих линий, принимаю одну из данных
и одну из искомых линий, например АВ и СВ, за главные, к которым
я постараюсь также отнести все остальные. Обозначим отрезок ли-
нии АВ, находящийся между точками А и В, через х, а ВС через у.
Затем продолжим все данные линии до пересечения с этими двумя,
также продолженными, если это нужно и если они к ним не парал-
лельны. Пусть, как вы здесь видите, они пересекают линию АВ в точ-
ках Л, Е, С и ВС в точках В, В, Т. Далее, так как все углы треугольника
АВВ даны, то дано также отношение между сторонами АВ и ВВ, ко-
торое я полагаю равным отношению 2 к Ъ. Так как АВ есть х, то ВВ

будет — и вся СВ будет у + —, ибо точка В находится между С
2	2

Ъх
и В; если же В находилась бы между С и В, то СВ была бы у----,

2

Ъх

и если бы С находилась между В и В, то СВ была бы —у Ч-. Углы

2

треугольника ЕВС также даны, и, значит, дано также отношение
между сторонами СВ и СЕ, которое я полагаю равным отношению

Ъх	су Ъсх

2 к с, та так как СВ есть у Ч-, то СЕ будет — Ч-. Далее, так как

2	2	22

линии АВ, АЕ и ЕЕ даны по положению, то дано также и расстояние
между точками А и Е. Если назвать это расстояние к, то ЕВ будет
равно к + х, но оно было бы к - х, если бы точка В находилась между
Е и А, и к + х, если бы точка Е лежала между А и В. Затем, так как
даны все углы треугольника ЕВВ, то дано также отношение ВЕ к ВВ,

. пС1 Ак + Ах

которое я полагаю равным отношению 2 к а, так что В8 есть--

2
2у У Ак У Ах	2у — Ак — Ах

и вся линия СВ будет —---------; но она была бы —----------,

2	2

С	П	~2У + У Ах

если бы точка В лежала между В и С, и —------------, если бы

2

точка С лежала между В и В. Далее, даны три угла треугольника ЕВС
и, следовательно, отношение СВ к СЕ, которое положим равным
™ г ету + (Тек + (Тех _
отношению 2 к е; тогда вся линия СЕ будет —---------. Точно

22

так же (чертеж 5) дана АС, которую я называю /; значит, ВС будет
I — х. Затем из треугольника ВСТ известно отношение ВС к ВТ,

/I — Тх
которое положим равным отношению 2 к /; значит, ВТ будет --—

2

2у Я- /7 — /х

и СТ ос —-------— . Затем, опять-таки благодаря треугольнику

2

ТСН, дано отношение ТС к СН; положив его равным отношению

2 к §, мы получим, что СН ос +	.

22

Итак, вы видите, что каково бы ни было число данных по поло-
жению линий, каждая из линий, проведенных выше под данными
углами из точки С, согласно условиям вопроса всегда может быть
выражена при помощи трех членов. Один из них представляет собой
неизвестную величину у, умноженную или деленную на какую-ни-
будь другую известную величину; другой-неизвестную величину х,
также умноженную или деленную на какую-нибудь другую извест-
ную величину, а третий - вполне известную величину. Исключение
встретится только тогда, когда прямые параллельны либо линии АВ,
причем исчезает член, содержащий величину х, либо же линии СВ,
причем исчезает член, содержащий величину у. Это обстоятельство
слишком очевидно для того, чтобы стоило задерживаться на его объ-
яснении. Что касается знаков + и -, присоединяющихся к этим чле-
нам, то они могут варьировать всеми мыслимыми способами.

Далее вы видите также, что если перемножить некоторые из этих
линий друг с другом, то встречающиеся в произведении величины х
и у могут каждая обладать лишь таким числом измерений, сколько
перемножалось линий, для выражения которых они служат. Таким
образом, в произведении только двух линий они никогда не имеют
больше двух измерений, в произведении трех линий - больше трех,
и т.д. до бесконечности.

Как находят, что задача плоская, если она
предложена не более чем в пяти линиях?

Далее, так как для определения точки С требуется выполнение
лишь одного условия, а именно того, что произведение некоторого
числа этих линий должно быть равно или же (что отнюдь не сложнее)
должно находиться в данном отношении к произведению других, то
одну из неизвестных величин х или у можно выбрать произвольно,
а другую найти из этого уравнения. При этом видно, что если вопрос
предложен не более чем в пяти линиях, то величина х, вовсе не слу-
жащая для выражения первой линии, всегда может иметь в уравне-
нии не более чем два измерения. Так что если взять для у какую-ни-
будь известную величину, то останется только

хх ос + или - ах + или - ЬЬ

и, значит, величину х можно будет найти описанным выше образом
при помощи циркуля и линейки. Придавая линии у последователь-
но бесконечное количество различных значений, мы найдем также
бесконечное количество значений х и, таким образом, получим бес-
конечное количество различных точек вроде той, которая обозначе-
на С: они опишут требуемую кривую линию.

Если вопрос предложен в шести или большем числе линий
и если между данными имеются линии, параллельные В А или ВС,
то также может оказаться, что одна из двух величин х или у имеет
в уравнении лишь два измерения и, значит, точку С можно найти при
помощи линейки и циркуля. Но, наоборот, если все прямые парал-
лельны, то даже когда вопрос предложен только в пяти линиях, най-
ти таким образом точку С нельзя; вследствие того, что в этом случае
величина х совсем не содержится в уравнении, уже нельзя вместо
величины, названной у, взять известную величину, а нужно найти
ее самое. И поскольку она в этом случае будет иметь три измерения,
то найти ее можно лишь извлекши корень кубического уравнения,
что, вообще говоря, не прибегая к помощи по меньшей мере одного
конического сечения, выполнить невозможно. Далее, если дано до
девяти линий, которые не все параллельны между собой, то всегда
можно сделать так, чтобы уравнение восходило не выше квадрата
квадрата. В этом случае его также всегда можно решить по способу,
который я объясню в дальнейшем, при помощи конических сечений.
Далее, если дано до тринадцати линий, то можно добиться того,
чтобы уравнение восходило не выше квадрата куба, благодаря чему
уравнение можно будет решить по способу, который я также изложу
в дальнейшем, при помощи некоторой линии, лишь одним порядком
более сложной, чем конические сечения. Вышеизложенное состав-
ляет первую часть того, что мне нужно здесь доказать. Прежде чем
перейти ко второй части, я должен высказать некоторые общие сооб-
ражения о природе кривых линий.
О ПРИРОДЕ КРИВЫХ линии

Какие кривые линии могут быть
допущены в геометрии?

Древние очень хорошо заметили, что среди задач геометрии одни
плоски, другие телесны и третьи линейны: это, значит, что одни из
них можно построить, проводя лишь прямые линии и круги, тогда
как другие требуют применения по меньшей мере какого-нибудь ко-
нического сечения, и, наконец, третьи - какой-нибудь другой, более
сложной линии. Однако меня удивляет, что вместе с тем древние не
различали разных порядков этих более сложных линий, и я не могу
понять, почему они называли их механическими, а не геометриче-
скими. Действительно, если считать, что это было вызвано необхо-
димостью употреблять при их проведении какие-нибудь машины, то
в силу тех же соображений пришлось бы исключить круги и прямые,
так как и их начертить на бумаге можно лишь при помощи циркуля
и линейки, которые тоже можно назвать машинами. Точно так же
это различие не могло быть вызвано и тем, что необходимые для
их проведения инструменты более сложны, чем линейка и циркуль,
и не могут быть столь же точными: на этом основании следовало
бы скорее исключить их уже из механики, стремящейся к точности
выполняемых рукою работ, чем из геометрии, преследующей лишь
точность рассуждений, которая может быть, несомненно, столь же
совершенна в случае этих линий, как и в случае других. Я бы не
сказал также, что это вызывалось желанием древних не увеличи-
вать число своих постулатов и что они удовлетворились признанием
своего права соединить две данные точки прямой линией и описать
из данного центра окружность, проходящую через данную точку:
ведь не постеснялись же они при изучении конических сечений до-
пустить еще, кроме того, что всякий данный конус можно пересечь
данной плоскостью. Чтобы провести все кривые, которые я здесь на-
мерен ввести, нужно только то предположение, что две или несколь-
ко линий можно перемещать вдоль друг друга и что их пересече-
ния образуют другие линии; это предположение мне представляется
ничуть не более трудным. Правда, древние не включали полностью
в свою геометрию и конических сечений, и я не собираюсь изменять
узаконенные обычаем названия; но мне кажется совершенно ясным,
что если-как это и делают - почитать геометрическим то, что опре-
деленно (ргесгз) и точно (ехас1), а механическим то, что не таково,
и если рассматривать геометрию как науку, которая учит вообще по-
знанию мер всех тел, то из нее так же мало следует исключать самые
сложные, как и самые простые линии, если только можно предста-
вить себе, что эти линии описаны непрерывным движением иди же
несколькими такими последовательными движениями, из которых
последующие вполне определяются им предшествующими, - ибо
этим путем всегда можно точно узнать их меру. Возможно, что допус-
тить линии более сложные, чем конические сечения, древним геоме-
трам помешало то обстоятельство, что из этих кривых они в первую
очередь случайно познакомились со спиралью, квадратрисой и им
подобными. Эти кривые действительно принадлежат только меха-
нике и не относятся к тем, которые должны, на мой взгляд, быть
здесь допущены, так как их представляют себе описанными двумя
отдельными движениями, между которыми не существует никако-
го отношения, которое можно было бы точно измерить. И хотя они
потом изучали конхоиду, циссоиду и еще некоторые другие кривые,
относящиеся к геометрии, но они не приняли их во внимание в боль-
шей мере, чем предыдущие, быть может потому, что недостаточно
полно исследовали их свойства. Возможно также, заметив, что они
еще недостаточно знают о конических сечениях и что осталось еще
много неизвестного даже из того, что можно получить при помощи
линейки и циркуля, они решили, что им не следует приступать к бо-
лее трудному делу. Но так как я надеюсь, что впредь те, кто сумеет
пользоваться предлагаемым здесь геометрическим исчислением, не
найдут уже достаточно того, на чем можно было бы остановить-
ся в области плоских и телесных задач, то считаю своевременным
предложить им обратиться к другим изысканиям, которые всегда да-
дут им материал для упражнения.

Взгляните (чертеж 6) на линии АВ, АО, АВ и им подобные, кото-
рые я предполагаю описанными при помощи инструмента У2, кото-
рый составлен из нескольких линеек, соединенных таким образом,
что, закрепив неподвижно на линии АВ линейку, обозначенную УХ,
можно растворять и складывать угол ХУХ; при этом когда угол сло-
жен, точки В, С, О, В, С, Я-все собираются в точке Л, но по мере того,
как угол растворяется, линейка ВС, соединенная под прямым углом
с ХУ в точке В, толкает по направлению к X линейку СО, передвига-
ющуюся вдоль УХ, образуя всегда с нею прямые углы; а СО толкает
ОЕ, передвигающуюся таким же образом вдоль УХ и всегда парал-
лельную ВС; ОЕ толкает ЕЕ', ЕЯ толкает ЕС; последняя толкает СН,
и можно вообразить себе бесчисленное количество других линеек,
последовательно толкающих друг друга аналогичным образом, при-
чем одни образуют всегда одинаковые углы с УХ, а другие с УХ. По
мере того как растворяется таким образом угол АТХ, точка В описы-
вает линию АВ, представляющую собой окружность, а другие точки
Л, В, Н, в которых пересекаются другие линейки, описывают другие
кривые линии, АН, АВ, АН, из которых последние по порядку слож-
нее первой из них, а эта первая сложнее окружности. Но я не вижу
ничего, что мешало бы составить столь же ясное и отчетливое по-
нятие о способе описания первой кривой, как и о способе описания
круга или, по крайней мере, конических сечений, а также ничего, что
могло бы помешать понять вторую, третью и все остальные кривые,
которые можно описать столь же хорошо, как и первую. Поэтому
я не вижу, почему ими всеми нельзя было бы в равной мере пользо-
ваться в геометрических рассуждениях.

Чертеж 6

Способ, при помощи которого можно распределить
все кривые линии по определенным родам и узнать
отношение, существующее между всеми их точками
и точками прямых

Я мог бы привести здесь и другие способы вычерчивания и пред-
ставления кривых линий, все более и более возрастающих по порядку
сложности до бесконечности. Но чтобы охватить совокупность всех
встречающихся в природе кривых и распределить их по порядку по
определенным родам, я считаю наиболее подходящим указать на то
обстоятельство, что все точки линий, которые можно назвать геоме-
трическими, т.е. которые подходят под какую-либо точную и опреде-
ленную меру, обязательно находятся в некотором отношении ко всем
точкам прямой линии, которое может быть выражено некоторым урав-
нением, одним и тем же для всех точек данной линии. И если уравне-
ние будет восходить лишь до прямоугольника двух неопределенных
величин или же до квадрата одной из них, то кривая будет первого
и самого простого рода, к которому принадлежат только круг, пара-
бола, гипербола и эллипс. Но если уравнение будет восходить до трех
или четырех измерений обеих или одной из двух неопределенных
величин - ибо здесь для обнаружения отношения одной точки к дру-
гой необходимы две такие величины, - то кривая будет второго рода.
И если уравнение будет восходить до пяти или шести измерений, то
она будет третьего рода, и т.д. до бесконечности для других кривых.

Например, я хочу узнать (чертеж 7), какого рода линия ЕС. ко-
торую я представляю себе описанной пересечением линейки СЕ
и прямолинейной плоской фигуры СЫЕСЕ. сторона ЕСЫ которой не-
определенно продолжена по направлению к С и которая, передви-
гаясь по лежащей под ней плоскости вдоль прямой, то есть так,
что ее диаметр ЕСЕ всегда оказывается приложенным к какому-либо
участку линии В А, продолженной в обоих направлениях, заставляет
вращаться эту линейку СА вокруг точки С, в силу того, что линейка
соединена с фигурой таким образом, что постоянно проходит через
точку А. Я выбираю некоторую прямую, например АВ, чтобы к раз-
личным ее точкам отнести все точки этой кривой ЕС, и выбираю на
ней некоторую точку, допустим А, чтобы начать с нее вычисление.
Я говорю, что выбираю и ту и другую, потому что их можно брать
произвольным образом. Действительно, хотя для получения более
короткого и удобного уравнения и нужен весьма тщательный выбор,
но все же какую бы прямую и точку ни взяли, всегда можно сделать
так, чтобы линия оказалась того же самого рода; это легко доказать.
Выбрав затем на кривой произвольную точку, например С, к которой
я предполагаю приложенным описывающий кривую инструмент,
я провожу из точки С прямую СВ, параллельную СА; и так как СВ
и В А суть две неопределенные и неизвестные величины, я называю
одну из них у, а другую х. Но чтобы найти отношение одной из них
к другой, я рассматриваю также известные величины, определяю-
щие построение этой кривой, а именно СА, которую называю а, КЕ,
которую называю Ъ, и Ж, параллельную СА, которую называю с.
Затем я говорю, что как Ж относится к ЕК или с к Ъ, так СВ или у

ътъъсятсякВК, которая, следовательно, есть — у ; аВЕ будет — у — Ь;
с	с

и АЕ будет х Н—у — Ь. Кроме того, как СВ относится к ЕВ или у
с

к — у — Ь, так а или СА относится к АЛ или к х Н—у — Ь. Таким
с	с

образом, если перемножить вторую линию с третьей, то получится

аЪ 7	Ь }

— у — ао, что равно ху Н—уу — оу, получающемуся от перемноже-
с	с

ния первой линии с последней. Следовательно, искомое уравнение
будет	с

уу ос су — — ху + ау — ас,
Ъ

и из него видно, что линия ЕС - первого рода и, действительно, она
не что иное, как гипербола.

Если в описывающем кривую инструменте (чертеж 7) заменить
прямую линию СЕК этой гиперболой или какой-нибудь другой кри-
вой первого рода, ограничивающей фигуру СЕКЕ, то пересечение
этой линии и линейки СЕ опишет вместо гиперболы ЕС другую
кривую, которая будет второго рода. Так, если СКК будет кругом
с центром Д то будет описана первая конхоида древних, а если это
будет парабола с диаметром КВ, то будет описана кривая, которая,
как я говорил, является первой и простейшей в вопросе Паппа, когда
имеется всего лишь пять данных по положению прямых. Но если
вместо одной из этих кривых первого рода ограничивающая фигуру
СККЬ кривая будет второго рода, то при ее помощи будет описана
кривая третьего рода, а если это будет кривая третьего рода, то будет
описана кривая четвертого рода и т.д. до бесконечности, как это лег-
ко показать при помощи вычисления. И если только кривая принад-
лежит к числу линий, называемых мною геометрическими, то каким
бы другим способом ни вообразить себе ее описание, всегда можно
будет найти уравнение, определяющее таким образом все ее точки.

Кроме того, кривые линии, для которых это уравнение восходит
до квадрата квадрата, я отношу к тому же роду, что и линии, для ко-
торых оно восходит только до куба, а линии, уравнение которых вос-
ходит до квадрата куба, - к тому же роду, что и линии, для которых
оно восходит только до сверхтела и т.д. Причиной этого является то
обстоятельство, что существует общее правило, позволяющее все за-
труднения, связанные с квадратом квадрата, приводить к кубу, а все
затруднения, связанные с квадратом куба, к сверхтелу, так что эти
первые не следует считать более сложными, чем последние.

Нужно, однако, заметить, что хотя линии каждого рода в боль-
шинстве своем одинаково сложны, так что они могут служить для
определения одних и тех же точек и построения одних и тех же за-
дач, но среди них все же имеются некоторые более простые линии,
действие которых более ограничено. Так, например, к первому роду,
помимо одинаково сложных эллипса, гиперболы и параболы, при-
надлежит и явно более простой круг. Среди кривых второго рода
имеется обыкновенная конхоида, происходящая из круга, и еще не-
которые другие кривые, которые хотя и не обладают такой силой,
как большинство кривых их рода, но все же не могут быть отнесены
к первому роду.

Продолжение выяснения приведенного
в предыдущей книге вопроса Паппа

Сведя таким образом все кривые линии к определенным родам,
я теперь легко могу продолжить доказательство данного выше отве-
та на вопрос Паппа. Действительно, во-первых, я раньше показал,
что в случае лишь трех или четырех данных прямых служащее для
определения искомых точек уравнение восходит лишь до квадрата,
а отсюда ясно, что кривая, на которой лежат эти точки, необходи-
мо будет одной из кривых первого рода, ибо это самое уравнение
выражает отношение всех точек линий первого рода к точкам пря-
мой. И если дано не более восьми прямых, то уравнение восходит не
выше квадрата квадрата и, следовательно, искомая линия будет толь-
ко второго или более низкого рода. И если дано не более двенадца-
ти линий, то уравнение восходит лишь до квадрата куба и, следова-
тельно, искомая линия будет только третьего или более низкого рода
и т.д. Затем, так как положение данных прямых может варьировать
произвольным образом, вследствие чего в уравнении будут меняться
всеми мыслимыми способами как известные величины, так и зна-
ки + и -, то ясно, что нет такой кривой первого рода, которая не была
бы полезна для этого вопроса, когда он предложен в четырех пря-
мых; нет такой кривой второго рода, которая не была бы полезна,
когда он предложен в восьми; нет третьего рода, когда он предложен
в двенадцати, и т.д. Поэтому нет такой кривой, которая подпала бы
под исчисление и могла быть допущена в геометрию и которая не
оказалась бы полезной для случая некоторого числа линий.

Решение этого вопроса, когда он предложен
лишь в трех или четырех линиях

Однако здесь мне необходимо заняться более частным образом
определением и изложением способа отыскания искомой линии,
служащей для любого из случаев, когда дано лишь три или четыре
прямых. При этом заодно выяснится, что первый род кривых содер-
жит только три конических сечения и круг.

Обратимся снова (чертеж 8) к приведенным выше четырем лини-
ям АВ, АО, ЕВ и СН, и пусть требуется найти другую линию, на ко-
торой находится бесчисленное количество точек, подобных точке С,
такой, что если провести из нее к данным прямым под данными угла-
ми четыре линии, СВ, СО, СЕ и СН, то СВ, умноженная на СЕ, даст
выражение, равное СО, умноженной на СН, то есть если положить

сгу + Ьсх

СВ ос у, СО ос---------,

22

гр е2У + ^ек + ^ех ,Л СРГ &У + & ~

ОС ------------- И С г7 ОС ------------,

22	22

то уравнение будет
УУ

— с1ег22

+ с/§1г

— Ле22х

У - с/§2Х

+ Ъс§2х

+ Ъс/§1х

У

~ Ъс/§хх

С222 — С§22

по крайней мере если предположить, что е2 больше с§, ибо если бы
оно было меньше, то нужно было бы переменить все знаки + и

Чертеж 8

Если бы величина у в этом уравнении оказалась ничем или меньшей,
чем ничто, при допущении, что точка С находится в углу БАО. то
нужно было бы допустить еще, что точка С находится в углу БАЕ.
или ЕАВ. или ВАО. и изменить в уравнении знаки + и -, как необ-
ходимо для этой цели. Если бы значение у оказалось нулем во всех
этих четырех положениях, то в предложенном случае вопрос был бы
невозможен. Мы здесь, однако, допустим, что он возможен. Вместо

сЕЕ — ЕЕЕ22

величины ------------- будем для краткости писать 2т, а вместо

е25 — С§22
Я- с/22 — 1с22	2/7

---------------— будем писать —. Тогда мы получим уравнение
ег — с§22------2

уу х 1ту - —ху +	~	.

2	ео"' — С§22

корень которого есть

пх	2тпхппхх ЬсЫх — Ьс[§хх

у ос т------Ь \тт---------1------1----.

2 у	2	22 е7у _ е^2

Будем, опять ради краткости,

2тп ЬсШ

вместо--------1----------- писать о

2	е2$ — С§22

/7/7 Ьс/§	г 1 р

и вместо---------7	---писать — —.

22	е25 - С§22

Ибо, так как все эти величины даны, мы вправе называть их как
угодно. Таким образом, мы получим

/7 I	~р

у ос т---х + отт + ох-----хх ,

2	\	т

и это должно представлять собой длину линии ВС при неопределен-
ной АВ или х. Очевидно, что если вопрос предложен только в трех
или четырех линиях, то всегда можно получить такие члены, за ис-
ключением того, что некоторые из них могут отсутствовать и что
знаки + и - могут варьировать по-разному.

Затем (чертеж 8) я провожу К1, равную и параллельную ВА, так
чтобы она отсекала от ВС часть ВК, равную т, потому что у нас здесь
имеется +//?; я бы ее прибавил, проведя ВК с другой стороны, если бы
мы имели -т; и я совсем не проводил бы ее, если бы величина т
была нулем. Затем я провожу еще 1В так, чтобы линия 1К относилась

/7

к КВ как 2 к /7; и так как 1К есть х, то КВ будет — х . Тем самым я знаю

2

также отношение КВ к 1В, которое полагаю равным отношению

/7 Кб/; и так как КВ есть — х9 то 1В будет — х . И я помещаю точку К
2	2

между В и С, так как здесь у нас имеется-х, ноя поместил бы В
между К и С, если бы имел +—х, и совсем не провел бы эту

2

линию 1Ь, если бы — х было нулем.

2

Теперь в выражении для линии ТС у меня остаются лишь следу-
ющие члены:

ЬС ос Лтт + ох + — хх ;
V	т

отсюда я вижу, что если бы они отсутствовали, то точка С лежала
бы на прямой 1Ц далее, если бы эти члены были таковы, что корень

Р

извлекался, т.е. если бы тт и — хх отмечены были одним и тем же
т

знаком + [или -] и оо было равно 4рт или же если бы члены тт и ох

Р

или ох и —хх были нулями, то точка С находилась бы на другой пря-
т

мой, найти которую не труднее, чем /Т. Но если это не так, то точка
С будет всегда лежать на одном из трех конических сечений или же
на окружности; при этом один из диаметров лежит на линии /С, а ли-
ния СС является одной из ординат, сопряженных с этим диаметром,
или же, наоборот, линия ЬС параллельна диаметру, относительно

которого 1Ь будет сопряженной ординатой. Притом если член — хх
т

отсутствует, то это коническое сечение представляет собой парабо-
лу; если он отмечен знаком +, то гиперболу, и, наконец, если он отме-
чен знаком -, то эллипс. Исключением будет лишь тот случай, когда
величина аат равна р22 и угол 1ЬС прямой: тогда вместо эллипса
получится круг. Если сечение окажется параболой, то ее прямая

сторона будет равна —, а диаметр всегда будет лежать на линии 1Ь.

Чтобы найти точку ТУ, являющуюся ее вершиной, нужно положить Ш

атт

равным ----- и поместить точку I между Ь и ТУ, если члены будут

02

+ тт + ох, или же поместить точку Ь между I и М, если члены будут
+ тт - ох, или же ТУ между I и Ь, если бы члены были - тт + ох,
но - тт никак не может получиться при нашем способе подбора
членов. И, наконец, точка совпала бы с точкой /, если бы величина
тт была нулем. Теперь легко отыскать эту параболу на основании
первой задачи первой книги Аполлония.

Если искомая линия есть окружность, или эллипс, или же гипер-
бола, то в первую очередь нужно найти точку М, которая является
ее центром и которая всегда лежит на прямой /А. Ее можно найти

на этой прямой (чертеж 9), положив 1М равным ——; так что если

величина о отсутствует, то центр находится как раз в точке I.

Далее, если искомая линия есть окружность или эллипс и если
мы будем иметь + ох, то точку М нужно брать с той стороны от точ-
ки /, с которой лежит точка А; если же мы будем иметь - ох, то ее
нужно брать с другой стороны. Наоборот, в случае гиперболы, если
мы будем иметь - ох, то центр М должен быть расположен со сторо-
ны точки А, а если + ох, то он должен быть расположен с другой сто-

~	10022	4тр22

роны. Далее, прямая сторона фигуры должна быть Д--------1-------,

V аа аа

если мы имеем + тт и искомая линия есть круг или эллипс, или же
если мы имеем - тт и искомая линия есть гипербола. И она долж-

\оо224тр22

на быть Д----------—, если, в случае когда искомая линия есть

V аа аа

круг или эллипс, мы имеем - тт, или же, в случае когда она есть
гипербола и величина оо больше 4тр, мы имеем + тт. Затем, если

02

величина тт есть нуль, то прямая сторона есть —, а если ох есть

\4тр22

нуль, то она есть Д—-—. Для определения поперечной стороны
V аа

нужно найти линию, относящуюся к прямой стороне как аат к р22,
так что если прямая сторона есть

\оо22	4тр22

аа аа

то поперечная сторона есть

/ ааоотт	4аат3
/ +	—
1 рр22	р22
Во всех этих случаях диаметр сечения будет находиться на ли-
нии Ш, а АС есть одна из сопряженных с ним ординат. И если поло-
жить МЫ равной половине поперечной стороны и взять ее с той же
стороны от точки М, что и точка А, то точка Ы будет вершиной этого
диаметра. В результате будет легко отыскать это сечение на основа-
нии второй и третьей задач первой книги Аполлония.

Но если сечение есть гипербола и вместе с тем мы имеем + тт,
а величина оо есть нуль или меньше 4/7/77, то из центра ЛА нужно прове-
сти линию МОР, параллельную АС, и линию СР, параллельную АЛА,

- I оот

и положить МО равной 2тт — —— или же, если величина ох есть

нуль, - равной т. Точку О нужно рассматривать как вершину этой
гиперболы, в которой ОР будет диаметром, а СР сопряженной с ним
С 4 4	4 Г

/4б/ т о оот

ординатой; ее прямая сторона есть ---т-----	, а поперечная

----------- у ррх рг

оот
сторона р\тт--------, за исключением случая, когда ох есть нуль,

V Р

1с1СП1ИП

ибо в этом случае прямая сторона есть -----, а поперечная 2т.

рхх

Теперь ее легко отыскать на основании третьей задачи первой книги
Аполлония.
Доказательство всего только что изложенного

Доказательства всего этого очевидны. Действительно, соста-
вив площадь по величинам, найденным для прямой и поперечной
сторон и для отрезка диаметра Ж или ОР, согласно теоремам 11,
12 и 13 первой книги Аполлония, мы найдем все те самые чле-
ны, которые составляют квадрат линии СР или СР - сопряженной
с этим диаметром ординатой. Так, например, в данном случае,

т, ,	а()т . „,	~	ат /--------

отняв 1М,	равную -—,	от А7И,	равной	-—Лоо	+ ^тр, я полу-

2р2	2р2

чу Ж; прибавив к последней 1Р, равную — х , я получу Ж, равную

2

а аот ат /------------- 2 /-----------------------------

—х — ----Ь -—Лоо + ^тр; если умножить это на — Лоо + 4тр,

2 2рг 2рх	а

т.е. на прямую сторону фигуры, то в прямоугольнике получится

I-------- от I--------- тоо ~

хЛоо + 4тр — -—Лоо + 4тр + —----Ь 2тт;

2р	2р

от этого нужно отнять площадь, относящуюся к квадрату Ж, как
прямая сторона к поперечной; квадрат же Ж равен

аа	ааот	аат	/------ ааоотт	аат$	ааотт	/-----

—хх------х Ч----х Л оо+4 тр Ч— ----1-------------Л оо+4тр.

22	р22	р22	2рр22	р22	2рр22

Это выражение нужно еще разделить на аат и умножить на р22,
ибо эти члены выражают отношение между поперечной стороной
и прямой стороной, и тогда получится

р	I--------- оот от I-----------

—хх — ох + хЛоо + 4тр + —------—Лоо + 4тр + тт,

т	2р 2р

что и нужно отнять от предшествующего прямоугольника. В результа-

те для квадрата СЬ мы найдем тт + ох ——хх, и, значит, СР будет
т

ординатой, сопряженной в эллипсе или в круге с отрезком диаметраЖ.

Если желательно выразить все данные величины числовым об-

разом (чертеж 8), то мы положим, например, что

ЕА сх 3, АС сх 5, АВ сх ВК, СН сх }-ВЕ,

2
3	2

СВ ос ВТ. СП ос-СК. СВ ос2С5, СН ос— СТ

2	3

и что угол АВК имеет 60 градусов и, наконец, что прямоугольник из
двух линий СВ и СВ равен прямоугольнику из двух других, СИ и СЯ;
ибо все эти вещи необходимы для полной определенности вопроса.
Положив вместе с тем АВ ос х и СВ ос у . мы вышеописанным спо-
собом найдем:

уу ос 2 у — ху + 5х — хх

и

у = 1 — —х + а/1 + 4х —-хх

2	\	4

Поэтому ВК должна быть 1, а КВ половиной К1. и так как угол
1КВ или АВК имеет 60 градусов, а К1В. являющийся половиной К1В
или 1КВ. 30 градусов, то угол 1ВК будет прямой. И так как 1К или А В

названа х, то КВ будет ^х; 1Ь есть х.

раньше и, будет 1; величина, названная а.

будет 1, о будет 4 и величина р

величина, названная

; величина т

. Следовательно, мы

получим

для

3

для ИМ; и так как аат. равная —, равна

здесь рхх. а угол 1ВС прямой, то мы найдем, что кривая линия ИС
есть круг. Таким же образом легко исследовать все прочие случаи.

Каковы плоские и телесные места
и способ их нахождения?

Так как все уравнения, восходящие не выше квадрата, содержат-
ся в только что изложенном, то тем самым здесь полностью решена
не только поставленная древними задача о месте к трем и четырем
линиям, но и все, что относится к так называвшемуся древними
построению (сотрозШоп) телесных мест и, следовательно, также
плоских мест, ибо они заключаются в телесных. Эти места получа-
ются, когда требуется найти точку, для полного определения кото-
рой недостает одного условия и когда, как в разобранном примере,
в качестве искомой точки могут быть взяты все точки некоторой
определенной линии. Если эта линия - прямая или окружность, то
ее называют плоским местом; если же это парабола, гипербола или
эллипс, то ее называют телесным местом. При этом всегда и при лю-
бых обстоятельствах можно прийти к уравнению, содержащему две
неизвестных величины и аналогичному какому-нибудь из только что
мною решенных. Если линия, определяющая таким образом иско-
мую точку, одним порядком сложнее, чем конические сечения, то ее
можно по аналогии назвать сверхтелесным местом, и т.д. Если же
для определения точки недостает двух условий, то место, на котором
она находится, будет поверхностью; эта поверхность может быть
плоской, или шаровой, или же более сложной. Но высшей целью
древних в этом вопросе было получить построение телесных мест,
и очевидно, что все, что написал Аполлоний о конических сечениях,
было написано с намерением найти эти построения.

Кроме того, теперь видно, что к принятому мною за первый род
кривых линий не могут принадлежать никакие линии, кроме круга,
параболы, гиперболы и эллипса, - только это я и собирался доказать.

Какова первая и простейшая из всех кривых,
служащих для решения вопроса древних,
когда он предложен в пяти линиях?

Если вопрос древних предложен в пяти параллельных линиях,
то, очевидно, искомая точка будет всегда находиться на прямой. Но
если он предложен в пяти линиях, из которых четыре параллельны,
а пятая пересекает их под прямыми углами, равно как и все линии,
проведенные из искомой точки, также пересекают их под прямыми
углами, и, наконец, если параллелепипед, составленный из трех ли-
ний, проведенных к трем параллельным линиям, равен параллеле-
пипеду, составленному из двух линий, проведенных одна к четвер-
той параллельной, а другая к прямой, пересекающей параллельные
линии под прямыми углами, и из третьей данной линии - случай,
на мой взгляд, простейший, какой только можно вообразить, после
предыдущего,-то искомая точка находится на кривой, описываемой
при движении параболы по вышеизложенному способу.

Положим, например, что данными линиями будут АВ. 1Н. ЕЕ. ОЕ
и СА и что требуется найти точку С, обладающую тем свойством,
что если провести из нее под прямыми углами к данным линиям пря-
мые СВ. СЕ, СЕ. СН и СМ. то параллелепипед из трех прямых СЕ.
СЕ и СН будет равен параллелепипеду из двух других, СВ и СМ.
и еще третьей, допустим АЕ Я полагаю
СВ ос у. СМ ос х, АЦ или АЕ. или СЕ ос а.

так что если точка С лежит между линиями А В и ЕЕ. то я получаю:

СЕ ос 2а — у. СЕ ос а — у и СН ос у + а.

Перемножив эти три выражения, я получаю у3 - 2ауу - аау + 2<я3,
что равно произведению трех других линий, т.е. аху. Рассмотрим
теперь (чертеж 10) кривую СЕС. которую я представляю себе опи-
санной пересечением параболы СКИ. перемещаемой так, что ее
диаметр КЕ постоянно находится на прямой АВ. и линейки СЕ.
вращающейся тем временем вокруг точки С так, что она постоян-
но проходит - в плоскости этой параболы - через точку Е. Положим
КЕ ос а. а главную прямую сторону, т.е. ту, которая отнесена к оси
этой параболы, также равной а. СА ос 2а. СВ или МА ос у. СМ или
АВ ос х. Затем, в силу подобия треугольников СМС и СВЕ. СМ. т.е.
2а -у. относится к МС. т.е. х. как СВ. т.е. у. к ВЕ. которая, следова-

тельно, будет — . И так как ЕК есть а. то ВК будет а — _ ХХ—
2а — у	2а — у

2аа - ау - ху тт	г

или же-----—------— . Наконец, так как тот же ВК. будучи отрезком

2а — у

диаметра параболы, относится к сопряженной с ним ординате ВС
как ВС к прямой стороне, т.е. а. то вычисление показывает, что

у3 - 2ауу - аау + 2я3 равно аху

и что, следовательно, точка С и есть искомая. Эта точка может быть
взята (чертеж 10) в произвольном месте линии СЕС или же на со-
пряженной с ней сЕСс. описываемой таким же путем, причем только
вершина параболы обращена в другую сторону, или же она может
лежать на противоположных им линиях Мо и пЮ. описанных пере-
сечением линии СЕ по другую сторону параболы КН.

Но и в случае, если данные параллельные прямые АВ. 1Н. ЕЕ
и СЕ не находятся на одинаковых расстояниях друг от друга и пря-
мая СА. а также проведенные к ним из точки С линии пересекают их
уже не под прямыми углами, эта точка С будет все же находиться на
кривой той же природы. Даже когда среди данных линий нет парал-
лельных, точка С может все-таки иногда находиться на такой кривой.
Но если даны четыре параллельных и пятая пересекающая их прямая
и если параллелепипед из трех линий, проведенных из искомой точ-
ки, - одна к этой пятой линии, а две других к двум параллельным,-
равен параллелепипеду из двух линий, проведенных к двум другим
параллельным, и из третьей данной линии, то искомая точка будет
находиться на кривой иной природы. Именно, эта кривая такова, что
все прямые линии - ординаты, сопряженные с ее диаметром - равны
ординатам какого-нибудь конического сечения, а отрезки этого диа-
метра между вершиной и ординатами находятся в том же отношении
к некоторой данной линии, в каком эта данная линия находится к от-
резкам диаметра конического сечения, в котором такие линии служат
сопряженными ординатами. По правде говоря, я не могу сказать, что
эта линия менее проста, чем предшествующая, но я все же нахожу,
что предшествующую линию следует считать первой, так как ее опи-
сание и вычисление в некотором смысле легче.
Я не стану задерживаться на распределении линий, применимых
в других случаях, по родам, ибо я не собирался изложить здесь все;
и показав способ нахождения бесконечного количества точек, через
которые проходят линии, я полагаю, что вместе с тем дал средства,
достаточные для их описания.

Какие из кривых, которые строят,
находя ряд их точек, могут быть допущены
в геометрии?

Следует, кстати, заметить, что существует большое различие
между этим способом нахождения ряда точек для проведения кри-
вой и тем способом, которым пользуются в случае спирали и подоб-
ных ей кривых. При помощи последнего способа находят не все без
различия точки искомой кривой, а только те, которые могут быть
определены какой-либо более простой мерой, чем та, которая требу-
ется для получения всей линии; при этом, собственно говоря, не на-
ходят ни одной из точек линии, т. е. ни одной из точек, настолько для
нее специфических, что их нельзя найти иначе как через нее. Между
тем линии, применяемые в предложенном вопросе, не имеют ни од-
ной такой точки, которая не могла бы быть определена по только что
изложенному способу. И хотя этот способ нахождения искомой кри-
вой линии посредством отыскания нескольких, безразлично каких
ее точек, распространяется только на те линии, которые могут быть
описаны также правильным и непрерывным движением, его все же
не следует целиком исключить из геометрии.

Какие из кривых, которые описывают с помощью
веревки, могут быть допущены в геометрии?

Из геометрии не следует исключать и тот способ, при котором
пользуются нитью или изогнутой веревкой для определения равен-
ства или разности двух или нескольких прямых, которые можно
провести под какими-нибудь углами из любой точки искомой кри-
вой к каким-нибудь другим точкам или линиям, как мы это сделали
в «Диоптрике» для объяснения эллипса и гиперболы. Правда, в гео-
метрии нельзя принять никаких линий, подобных веревкам, т.е. ста-
новящихся то прямыми, то кривыми, ибо отношение между прямы-
ми и кривыми неизвестно и даже, думаю, не может быть познано
людьми, и поэтому отсюда нельзя было бы вывести ничего точного
и надежного. Но так как в этих построениях веревкой пользуются
только для определения прямых, длины которых вполне известны,
это не должно вести к их исключению.

Для разыскания всех свойств кривых достаточно
знать отношение всех их точек к точкам прямых
и способ проведения других линий, пересекающих
кривые во всех этих точках под прямыми углами

Из одного того, что на основании изложенного выше способа
известно отношение всех точек кривой линии ко всем точкам неко-
торой прямой, легко также найти их отношение ко всем другим дан-
ным точкам и линиям и, следовательно, определить диаметры, оси,
центры и другие линии и точки, к которым каждая кривая находится
в более своеобразном или более простом отношении, чем к другим
линиям и точкам; и таким образом придумать различные способы их
описания и выбрать среди них наиболее легкие.

Основываясь только на этом, можно даже найти почти все из того,
что может быть определено относительно величины заключенного
ими пространства; мне нет надобности пояснять это более подробно.
Наконец, все прочие свойства, какие только могут быть приписаны
кривым линиям, зависят лишь от величины углов, образуемых ими
с некоторыми другими линиями. Но если можно провести прямые,
пересекающие их под прямыми углами, или - что для меня здесь
одно и то же-прямые, пересекающие касательные сопНп%еп1е$)
к ним в точках их встречи с другими кривыми, с которыми они обра-
зуют подлежащие измерению углы, то величину этих углов не труд-
нее отыскать, чем в случае, если бы эти углы заключались между
двумя прямыми. Поэтому я думаю, что приведу здесь все, что требу-
ется из начал учения о кривых, когда дам общий способ проведения
прямых, пересекающих под прямыми углами кривые линии в любых
точках. И я смею сказать, что эта задача является наиболее полезной
и общей не только среди известных мне, но также среди всех тех
задач, которые я когда-либо желал знать в геометрии.

Общий способ нахождения прямых линий,
пересекающих данные кривые или же их
касательные под прямыми углами

Допустим (чертеж 11), что С/Г-кривая линия и что требуется
через точку С провести прямую, образующую с ней прямые углы.
Я предполагаю, что это уже сделано и что искомая линия есть СР.
Я продолжаю ее до точки Р, где она встречает прямую СА, которую
я считаю той прямой, к точкам которой относят все точки линии СЕ;
так что, положив МА или СВ ос у и СМ или В А ос х (чертеж 12),
я имею некоторое уравнение, выражающее отношение между х и у.
Далее я полагаю РС ос 8 и РА ос 1) и, значит, РМ ос 1) — у; затем из
прямоугольного треугольника РМС я имею, что 88, квадрат основа-
ния, равен хх + 1)1) — 21)у + уу, квадратам двух сторон, т.е. я имею,
что

X ОС ^88 — 1)1) + 21)у — уу ИЛИ же у ОС 1) + у]88 — XX .

Пользуясь этим уравнением, я удаляю из уравнения, выражаю-
щего для меня отношение всех точек кривой СЕ к точкам прямой СА,
одну из двух неопределенных величин, х илиу. Это легко сделать, если
я желаю удалить х, поставив повсюду ^88 — 1)1) + 21)у — уу вместо х,
квадрат этого выражения вместо хх, его куб вместо х3 и т.д., а если
я желаю удалить у, то поставив вместо него 1) +	— хх и квадрат

или куб этого выражения вместо уу или у3 и т.д. Таким образом всег-
да получается уравнение, в котором имеется только одна неопреде-
ленная величина, х или у.

Чертеж 11

Например (чертеж 12), если СЕ есть эллипс, МА - отрезок его
диаметра, для которого СМ является сопряженной ординатой, г-его
прямая сторона и с/ поперечная, то, согласно теореме 13 первой кни-
ги Аполлония, имеем:

г

хх ос гу —уу.

Я
Чертеж 12

Если отсюда удалить х. то останется:

г

55 —1)1) + 21)у — уу ос гу-уу.

я

или же

агу — 2а\)у + аъи — азз
уу + —------—-------------— равно ничему:

с/ — г

ибо здесь лучше рассматривать все выражение вместе, чем прирав-
нивать одну его часть другой.

Точно так же (чертеж 13), если СЕ есть кривая, описываемая при
движении параболы по вышеизложенному способу, и если положить
Ъ вместо СА. с вместо КЕ и А вместо прямой стороны, соответствую-
щей диаметру параболы КЕ. то уравнение, выражающее отношение
между хи у. будет:

1)3 — Ъуу — сАу + ЪсА + Аху сх. 0.

Удаляя отсюда х, мы получим:

1)3 — Ьху — сАу + ЪсА + Ауфз — 1)1) + 21)у — 1)у,

и располагая по порядку эти члены посредством умножения:

—2сА
ув-2Ьу5 +ЪЪ
Т с/с/

4 +4йсс/
Т2с/с/п

—2ЪЪсА

? -УссА А

—ААзз

+с/с/1)1)

уу — 2ЪссААу + ЪЪссАА ос 0

И т.д.
Чертеж 13

Даже тогда, когда точки кривой линии относятся к точкам не-
которой прямой не по способу, указанному мною, но по любому
другому способу, какой только можно вообразить, можно, тем не
менее, всегда получить подобное уравнение. Допустим, например
(чертеж 11), что СЕ представляет собой линию, отношение (гаррог!)
которой к трем точкам Е, С и А таково, что прямые, проведенные
из каждой ее точки, вроде С, к точке Е, превосходят линию ЕА на
величину, находящуюся в некотором данном отношении (ргорогИоп)
к другой величине, на которую С А превосходит линии, проведенные
из тех же точек до С. Возьмем СА ос Ь иАЕ ос с, выбрав на кри-
вой произвольную точку С, допустим, что величина, на которую СЕ
превосходит ЕА, относится к величине, на которую СА превосходит
СС, как с/ к е. Тогда, если эта неопределенная величина названа г, ЕС

будет с + г, а СС будет Ъ — —г.

Далее, если положить МА ос у, то СМ будет Ъ-у, а КЛ/будет
с + у. Так как треугольник СМС прямоугольный, то, отнимая ква-
драт СМ от квадрата СС, мы получим квадрат СМ, который будет

ее	2Ье

-—^-—-2 + 2Ъу-уу.
аа	а
Затем, отнимая квадрат ЕМ от квадрата ЕС. мы получим еще
другие члены квадрата СМ. именно

22 + 2с2 — 2су — уу.

и так как эти члены равны предыдущим, то они позволят узнать

у или МА. которая будет

М22 + 2 с с!М — ее22 + 2Ъс!в2

2ЪМ + 2сМ

Подставляя это выражение вместо у в квадрат СМ. мы найдем,
что он выражается через следующие члены:

ЪМ22 + сее22 + 2ЪсМ2 — 2ЪМс2

ЪМ + сМ

Далее, если допустить, что прямая РС пересекает кривую в точ-
ке С под прямым углом, и взять, как и ранее, РС ос 5, РА ос 1), то
РМ будет 1) — у; и так как треугольник РСМ прямоугольный, то мы
будем иметь

88 — 1)1) + 2\)у — уу для квадрата СМ.

Отсюда, вновь подставляя вместо у равное ему выражение, мы
получим в качестве искомого уравнения:

2 ЪсМс—2 ЪсАсс—2 сМ ш—2 ЪАсос—Ъ<р8+ЪМ \)\)сМ88+сМ 1)1)

22+

ЪМ+сееЕ ее\)—М1)

оо 0.

Найдя такое уравнение, мы вместо того, чтобы воспользовать-
ся им для нахождения величин х. или у. или 2. уже известных нам,
поскольку известна точка С. применим его к отысканию 1) или 8.
определяющих искомую точку Р. Для этого нужно принять во вни-
мание,что если точка Р такова, как этого желают, то окружность, для
которой она является центром и которая проходит через точку С. ка-
сается в ней кривой СЕ. не пересекая ее; но если эта точка Р будет
хоть немного ближе или же дальше от точки А. чем следует, то эта
окружность пересечет кривую не только в точке С. но обязательно
еще в какой-нибудь другой. Далее нужно также иметь в виду, что
когда эта окружность (чертеж 14) пересекает кривую СЕ. уравнение,
с помощью которого ищут величину х. или у. или другую, им подоб-
ную, допуская, что РА и РС известны, обязательно имеет два нерав-
ных корня. Так, например, если эта окружность пересекает кривую
в точках С и Е и если провести Е<2 параллельно СМ, то названия
неопределенных величин х иу будут столь же пригодны для линий
Е<2 и <2А, как и для СМ и МА. Далее, в силу свойств круга, РЕ равно
РС, так что если мы будем искать линии Е<2 и <2А через РЕ и РА,
которые предположим данными, то получим то же уравнение, какое
получили бы, если бы искали СМ и МА через РС и РА. Из этого,
очевидно, вытекает, что значение х, или;/ или другой подобной вели-
чины, принятой нами, будет в этом уравнении двояким, то есть что
будут иметься два неравных между собой корня, из которых один
будет СМ, а другой Е<2, если мы ищем х, или же один будет МА,
а другой <2А, если мы ищем у, и т.д. Правда, если точка Е располо-
жена не на той же стороне кривой, что и С, то из двух корней лишь
один будет истинным, другой же будет обратным или меньшим, чем
ничто; но чем ближе эти две точки С и Е друг к другу, тем меньше
разность между этими двумя корнями и они, наконец, совершенно
равны, если обе точки совпадают в одну, т.е. если круг, проходящий
через точку С, касается в ней кривой СЕ, не пересекая ее.

Чертеж 14

Кроме того, следует принять во внимание, что когда в уравнении
есть два равных корня, оно обязательно имеет такой же вид, как если
бы была умножена сама на себя величина, предполагаемая неизвест-
ной, минус равная ей известная величина. Если при этом последнее
выражение не будет иметь того же числа измерений, как предыду-
щее, то его умножают на другое выражение, имеющее недостающее
ему число измерений; так что между каждым из членов одного вы-
ражения и каждым из членов другого можно будет получить свое
особое уравнение.
Например, я утверждаю, что первое найденное выше уравнение,
агу — 2д\)у + д\)У) — дзз
а именно	уу + —------—------------—,

д-г

должно иметь тот же вид, какой получается, если принять е равным
у и умножить у - е на самое себя, что дает

уу — 2еу + ее.

Вследствие этого теперь можно сравнить между собой каждый
из их членов в отдельности и сказать, что так как первый из них, уу.
одинаков и в том и в другом уравнении, то второй, который в одном
дгу - 2дУ)у	~

из них есть —----равен второму в другом, который есть — 2еу.

д-г

Если ищут величину 1), представляющую собой величину ли-
нии РА (чертеж 12), то отсюда имеют

г	1

в ос е---е — — г.

ц	ъ

или же, поскольку мы приняли, что е равно у.

г	1

в ос у---у + — г.

?	2

И таким же образом можно было бы найти з при помощи треть-
его члена

а\)Х) — дзз
ее ос--------,

д — г

но так как величина в достаточно определяет точку Р. которую мы
только и ищем, то нет нужды идти дальше.

Точно так же второе найденное выше уравнение, а именно

—2с(1
у6— 2Ьу5 +ЬЬ
Т с/с/

4 +4йсс/
Т2с/с/в

—2ЪЪс(1

? -УссМ
>

—Мзз

+с/с/вв

уу — 2ЪссМу + ЪЪссМ.
должно иметь тот же вид, что и выражение, получающееся при ум-
ножении

уу — 2еу + ее

на

т.е.

, 3	7 4

+ ШУ + У + к ,

1

6 +/	5 о г

У - [У -2е/

—2е

1 +ее

+/г3

/ ~^ё§

+ее/

+к4

у3 —2е/г3

+е姧

—2ек4

+ееИ3

1 4
у + еек .

Из этих двух уравнений я получаю, таким образом, шесть дру-
гих, служащих для нахождения шести величин, / /д к. 1) и 8. Из
этого легко усмотреть, что какого бы рода ни была предложенная
кривая, по указанному способу всегда получается столько уравне-
ний, сколько должны мы принять неизвестных величин. Но для того
чтобы распутать по порядку эти уравнения и наконец найти вели-
чину 1), которая только и нужна и в связи с которой ищутся другие
величины, необходимо в первую очередь, при помощи второго чле-
на, найти/ первую из неизвестных величин последнего выражения.
Мы найдем, что

/ ос 2е — 2Ь.

Затем, при помощи последнего члена, следует найти к. послед-
нюю из неизвестных величин того же выражения. Мы найдем, что

4 ЪЪссМ

ее

Затем, при помощи третьего члена, следует найти вторую вели-
чину причем получится, что

ос Зее — 4Ъе — 2сс1 + ЪЪ + М.

Затем, при помощи предпоследнего члена, следует найти пред-
последнюю величину й, которая такова, что

7 з 2ЪЪссМ 2ЪссМ
к ос----=-----------

е5	ее
Если бы в этом выражении имелись еще такие величины, то нуж-
но было бы, следуя тому же порядку, также продолжать вплоть до
последней; ибо это всегда можно сделать тем же самым образом.

Далее, при помощи следующего в том же порядке члена, в дан-
ном случае являющегося четвертым, нужно найти величину 1), при-
чем получится

2е3	ЗЪее	ЬЬе	2се

М М	М (1

2Ъс Ъсс ЪЪсс

~~г Н---------—

а ее

Заменяя здесь е через равную ей величину у, мы получим для
линии АР, что

2?
м

ЗЪуу ЪЪу 2су

М М с!

2Ъс + Ъсс	ЪЪсс

с!	уу у3

Подобным же образом, третье уравнение

2 ЪсМх—2 Ъсс!ех—2 сМ ш—2Мем—ЪМ$$+ЪМ ую—сМзз+сМ гд)
ЪМ+сее+ ее у—Мху

если принять/равной г, имеет такой же вид, как и уравнение

22 - 2^ +

Поэтому опять-таки получится уравнение между

—2/ или —2г и

+2ЪсМ — 2Ъсс!е — 2сМх) — 2Ъс!еХ)
ЪМ + сее + еех) — Мх)

откуда мы найдем, что величина

ЪсМ — ЪМе + ЪМ? + сеег

1) есть --------------------------

сМ + ЪМ — ее? + Мг

Поэтому если составить (чертеж 11) линию АР по этому выра-
жению, которое равно 1) и все величины которого известны, и про-
вести из найденной таким образом точки Р прямую к точке С, то
эта прямая пересечет в ней кривую СЕ под прямыми углами, а это
и требовалось сделать. И я не вижу ничего, что могло бы помешать
распространить таким же образом эту задачу на все кривые линии,
которые подпадают под какое-нибудь геометрическое исчисление.

Следует даже заметить относительно последнего выражения,
произвольно выбираемого для дополнения числа измерений другого
выражения, когда число его измерений недостаточно, например от-
носительно взятого выше:

/ + Е + ёёУУ + /гД + к\

что знаки + и - в нем можно брать произвольно, причем линия 1),
или АР, от этого не изменится: в этом вы можете легко убедиться на
опыте сами; я же был бы принужден написать значительно больший
том, чем желаю, если бы стал останавливаться на доказательстве всех
упомянутых мною теорем. Мне все же хочется попутно сообщить
вам, что идея введения двух одинакового вида уравнений с целью
сравнить все члены одного с соответствующими членами другого,
и таким образом породить несколько уравнений из одного, пример
чего вы здесь видели, может пригодиться в бесчисленном множестве
других задач и не из последних в применяемом мною методе.

Я не стану проводить построений, позволяющих на основе изло-
женных вычислений провести искомые касательные или перпендику-
ляры. Ибо их всегда нетрудно найти, хотя нередко требуется извест-
ное искусство, чтобы сделать эти построения короткими и простыми.

Пример построения этой задачи для конхоиды

Так, например (чертеж 15), если ЕС- первая конхоида древних,
А - ее полюс, а ВН- линейка, так что все прямые, направленные к А
и заключающиеся между кривой СЕ и прямой ВН, вроде ЕВ и СЕ,
равны, и если требуется найти линию СС, пересекающую кривую
в точке С под прямыми углами, то для нахождения, по изложенному
здесь методу, той точки линии ВН, через которую должна пройти
линия СС, пришлось бы заняться вычислениями столь же или даже
более длинными, чем все предшествующие. А между тем построе-
ние, которое затем следовало бы извлечь из этих вычислений, очень
просто. Нужно лишь на прямой СА взять СЕ равной СН-перпен-
дикуляру к НВ, затем через точку Е провести ЕС, параллельную ВА
и равную ЕА', таким образом получится точка С, через которую
должна проходить искомая линия СС.
Чертеж 15

Исследование четырех новых родов овалов,
употребляющихся в оптике

В заключение, для того чтобы вы знали, что предложенное здесь
рассмотрение кривых линий небесполезно и что эти линии обладают
рядом свойств, ничуть не уступающих свойствам конических сече-
ний, я прибавлю еще здесь исследование определенных овалов, ко-
торые, как вы увидите, очень полезны в теории катоптрики и диопт-
рики. Вот способы, которыми я их описываю.

В первую очередь (чертеж 16), проведя прямые ЕА и АК. пере-
секающиеся в точке А безразлично под какими углами, я на одной
из них беру произвольную точку К, при этом я возьму ее дальше
от точки А или ближе к ней, в зависимости от того, хочу ли я полу-
чить эти овалы большими или меньшими. Из точки К, как из цент-
ра, я описываю окружность, проходящую несколько дальше точки А.
например через точку 5. Затем из точки 5 я провожу прямую 5 6, пере-
секающую другую прямую в точке 6 так, чтобы Аб была меньше А5
в некотором любом данном отношении, - и если желательно поль-
зоваться этими кривыми в диоптрике, то именно в том отношении,
которое измеряет преломления. Затем на линии Е4, с той стороны,
где находится точка 5, я беру произвольным образом еще точку С,
т.е. так, чтобы линии АЕи СА находились в любом данном отноше-
нии. Затем на линии Аб я беру КА. равную СА. и из центра С описы-
ваю окружность радиусом, равным Л6; эта окружность пересекает
другую окружность с обеих сторон в точке 1, являющейся одной из
тех точек, через которые должен проходить первый из искомых ова-
лов. Далее я снова описываю из центра Е окружность, проходящую
вблизи точки 5 по ту или другую ее сторону, например через точку 7,
и, проведя прямую 7 8 параллельно 5 6, из центра С описываю дру-
гую окружность радиусом, равным Л8. Эта окружность пересекает
окружность, проходящую через точку 7, в точке 1, опять-таки при-
надлежащей к числу точек того же овала. И так можно найти сколько
угодно других точек, снова проводя другие параллельные 7 8 линии
и другие окружности с центрами Ей С.
Второй овал отличается лишь тем (чертеж 17), что вместо А К
нужно, по другую сторону от точки Л, взять Л 5, равную Л С, и что
радиус окружности, описываемой из центра С, для пересечения
окружности, описываемой из центра Е и проходящей через точку 5,
берется равным линии 56 или же - в случае пересечения окружно-
сти, проходящей через точку 7, - равным 58 и так далее. В результате
эти окружности будут пересекаться в точках, помеченных 2, 2 и при-
надлежащих второму овалу А2Х.

Для третьего и четвертого овалов вместо линии Л С следует взять
(чертеж 18) линию АН. находящуюся по другую сторону от точки Л,
именно по ту сторону, на которой находится точка Е. Кроме того,
следует заметить, что при описании всех этих овалов эта линия АН
должна быть больше, чем линия АЕ. Линия же АЕ может быть даже
равна нулю, так что точка Е окажется там, где находится точка Л.
Чтобы описать третий овал ЛЗ У, я, положив линии АК и Л5 равными
АН. описываю из центра Н окружность радиусом, равным 56.

Чертеж 18

Эта окружность пересекает окружность, имеющую центр К и прохо-
дящую через точку 5, в точке 3. Затем я описываю из центра Н дру-
гую окружность радиусом, равным 58. Эта окружность пересекает
окружность, проходящую через точку 7, в точке, помеченной так-
же 3; и т.д. Наконец, для последнего овала (чертеж 19) я описываю
из центра Н окружности радиусами, равными линиям Кб. /?8 и им
подобным; эти окружности пересекают другие окружности в точках,
помеченных 4.
Чертеж 19

Можно было бы найти еще бесчисленное множество других
способов описания этих овалов. Так, например, первый овал АУ.
в случае когда линии ЕА и АС равны, можно вычертить следующим
образом: разделим линию (чертеж 20) ЕС в точке А так, чтобы ЕЕ
относилась к ЕС как А5 к Аб. т.е. так, чтобы они находились в отно-
шении, измеряющем преломления. Затем, разделив АУ в точке К на
две равные части, заставим некоторую линейку, например ЕЕ. вра-
щаться вокруг точки Е. придерживая пальцем в С веревку ЕС. Верев-
ка, будучи привязана в одном из концов Е этой линейки, сгибается
в точке С по направлению к точке К. затем в К она снова сгибается по
направлению к Си в С-по направлению к С. где привязан ее другой
конец; длина веревки, таким образом, складывается из длин линий
СА + АЕ + НЕ-АН. При движении точка С опишет этот овал наподо-
бие того, что говорилось в «Диоптрике» об эллипсе и гиперболе. Но
я не хочу дольше задерживаться на этом.

Хотя кажется, что все эти овалы имеют почти одинаковую приро-
ду, тем не менее они принадлежат к четырем различным родам. Каж-
дый из этих родов содержит в себе бесчисленное множество других,
каждый из которых в свою очередь содержит в себе столько же раз-
личных видов кривых, сколько и род эллипсов или же род гипер-
бол. Действительно, в зависимости от различия отношений между
линиями Л5 и Аб или им подобными различным окажется подчинен-
ный род (Сепге зиЪаЕегпе) этих овалов. Далее, при изменении отно-
шения между линиями АЕ и АС или АН будет меняться вид овалов
в каждом подчиненном роде. А в зависимости от того, больше или
меньше АС или АН, овалы различаются по величине. Если линии
А5 и Аб равны, то вместо овалов первого или третьего рода описы-
ваются прямые линии, вместо овалов второго рода - все возможные
гиперболы и вместо овалов последнего рода-все эллипсы.

Свойства этих овалов, связанные
с отражениями и преломлениями

Кроме того, в каждом из этих овалов следует различать две час-
ти, обладающие различными свойствами. Именно, часть первого
овала (чертеж 16), расположенная близ А, направляет все находящи-
еся в воздухе и исходящие из Е лучи в точку С, если они на своем
пути встречают выпуклое стекло, поверхность которого есть 1А1
и в котором все преломления, согласно сказанному в «Диоптрике»,
могут быть измерены отношением линий А5 и Аб или им подобных,
с помощью которых описан этот овал.

Та же часть, которая находится близ V, отражает все исходящие
из точки С лучи в точку Е, если они там встречают вогнутую поверх-
ность зеркала, форма которого есть 1Л и которое сделано из такого
вещества, что ослабляет силу этих лучей в отношении, равном отно-
шению линий А5 и Аб. Действительно, из доказанного в «Диоптри-
ке» ясно, что в этом случае углы отражения будут неравными, так
же как и углы преломления, и отношение их можно будет измерить
таким же образом.

Во втором овале часть 2Л2 также годится для отражений, углы
которых принимаются неравными. Действительно, если бы она
была поверхностью зеркала, составленного из того же вещества, что
и предыдущее, она бы отражала все лучи, исходящие из точки С,
так что они после отражения казались бы исходящими из точки Е.
Следует заметить, что если взять линию АС значительно большей,
чем АЕ, то зеркало будет выпуклым в середине близ А и вогнутым
у краев: действительно, именно такова форма линии, которая в этом
случае представляет скорее сердце, чем овал.

Но другая часть овала 1X1 годится для преломлений и такова,
что когда лучи, которые, будучи в воздухе, направляются к точке Е,
проходят сквозь поверхность стекла, имеющего такую форму, то они
направляются к точке С.

Третий овал полностью годится для преломлений. Лучи, кото-
рые, будучи в воздухе, направляются к точке Е, пройдя сквозь по-
верхность формы ЛЗ УЗ, направятся в стекле к точке Н. Эта поверх-
ность повсюду выпуклая, и лишь около точки А она слегка вогнутая,
так что она, подобно предшествующей, имеет форму сердца. Раз-
ница между обеими частями этого овала состоит в том, что точка Е
ближе, чем точка Н, к одной из них и дальше, чем та же точка Н, от
другой.

Таким же образом последний овал полностью годится для отраже-
ний. Если лучи, исходящие из точки Н, встречают вогнутую поверх-
ность зеркала, состоящего из того же вещества, что и предшествую-
щие, и имеющего форму Л424, то все они отражаются в точку Е.

Таким образом, точки К и С или //можно назвать фокусами этих
овалов, по примеру фокусов эллипсов и гипербол, получивших та-
кое название в «Диоптрике».

Доказательство тех свойств этих овалов, которые
связаны с отражениями и преломлениями

Я не буду останавливаться на ряде других преломлений и отра-
жений, даваемых этими овалами, так как, будучи лишь обратными
или противоположными приведенным, они легко могут быть вы-
ведены из них. Но я должен дать доказательство всего сказанного
мной. С этой целью выберем, например, в первой части первого
из этих овалов (чертеж 21) произвольную точку С; затем проведем
прямую СР, пересекающую кривую в точке С под прямыми углами,
что легко сделать согласно предшествующей задаче. Действительно,
принимая Ъ за А С, с за АЕ, с + г за ЕС, допустим, что отношение </
к е, которое я здесь всегда буду считать измеряющим преломления
предложенного стекла, является также отношением линий А5 и Аб
или же им подобных, применявшихся при описании овала. Для СС
это даст Ь-----г, и мы найдем, что линия АР есть, как и было пока-

а

зано выше,

Ьсс1с1 — Ьсс1е + Ьс!сЬ + сеег
Ьс/е + сМ + с!сЬ — ее?

Чертеж 21

Затем, опустив из точки Р перпендикуляр Р() на прямую РС
и перпендикуляр РТУ на СС, мы увидим, что если Р() относится к РТУ
как А, к е, то есть как линии, измеряющие преломления выпуклого
стекла Л С, то луч, идущий из точки Р в точку С, преломится, попавши
в это стекло, так что затем направится в С. Это вполне очевидно из
того, что говорилось в «Диоптрике». Проверим теперь посредством
вычислений, что Р() относится к РТУ как А к е. Прямоугольные тре-
угольники (чертеж 21) Р<2Р и СМР подобны, из чего следует, что СР
относится к СМ как РР к Р(9; следовательно, РР, умноженная на СМ
и деленная на СР, равна Р(). Точно так же подобны прямоугольные
треугольники РРС и СМС, из чего следует, что СР, умноженная на
СМ и деленная на СС, равна РТУ. Далее, отношение двух величин
не изменяется от умножения или деления их обеих на одну и ту же
величину. Значит, если РР, умноженная на СМ и деленная на СР, от-
носится к СР, также умноженной на СМ и деленной на СС, как А к е,
то, разделив каждое из обоих выражений на СМ, затем умножив оба
их на СР и еще на СС, мы получим, что РР, умноженная на СС,
относится к СР, умноженной на СР, как А к е. Но, по построению,

ЪсМ — Ьсс1е + ЪМх + сеег

РР есть с Н----—-------—----—----------,

пае + саа + аа? — ее?
или же

ЪсМ + с с с!с! + ЪМ? + ММ

ЕР ос-------------------------------

ЪМ + сМ + Мх — ее?

и СО есть Ъ —-2.
а

Значит, умножая ЕР на СС, мы получим:

ЪЪсМ + ЪссМ + ЪЪМх + ЪММ — ЪсМ? — ссМх — ЪМгг — Мегг
ЪМ + сМ + с!М — ее?

Далее

, —ЪсМ + ЪсМ — ЪМ? — сеех

СР есть Ъ--—------—----—--------

ЪМ + сМ + Мх — ее?

или же

ЪЪМ + ЪМе — Ъеег — сеег

СР ос-------------------------

ЪМ + сМ + Мх — ее?

и СЕ есть с + 7.

Значит, умножая СР на СЕ. мы получим

ЪЪМе + ЪссМ — Ъсеех — ссеех + ЪЪМ? + ЪсМ? — Ъеегг — сеегг
ЪМ + сМ + Мг — ее?

Так как первое из этих выражений, деленное на таково же, что
и второе, деленное на е, то очевидно, что ЕР. умноженная на СС.
относится к СР. умноженной на СЕ. то есть что Р() относится к РЕ.
как б/ к е. А это только и требовалось доказать.

Знайте, что это же доказательство распространяется на все ска-
занное о других преломлениях или отражениях в предложенных ова-
лах; для этого нужно лишь изменить в процессе вычислений знаки
+ и Поэтому мне нет необходимости задерживаться на этом; каж-
дый сумеет разобрать другие случаи самостоятельно.

Однако теперь я должен восполнить то, что мной было выпуще-
но в «Диоптрике». Указав там, что стекла, которые в равной мере
собирают все проходящие через них и исходящие из одной точки
предмета лучи в некоторой другой точке, могут быть разной формы,
и отметив, что те из этих стекол, которые весьма выпуклы с одной
стороны и вогнуты с другой, обладают большей зажигательной си-
лой, чем стекла, равновыпуклые с обеих сторон, которые, наоборот,
лучше для очков, я, учитывая трудности, представляемые для ма-
стеров их шлифовкой, ограничился в «Диоптрике» рассмотрением
лишь тех стекол, которые считал наилучшими с практической точки
зрения. Поэтому, чтобы в теоретической части этой науки больше
не оставалось ничего пожелать, я должен еще выяснить форму тех
стекол, которые имеют одну их поверхностей сколь угодно выпу-
клой или вогнутой и тем не менее собирают все исходящие из одной
точки или параллельные лучи в другой точке. Я должен буду также
выяснить форму стекол, дающих то же самое, но либо одинаково вы-
пуклых с обеих сторон, либо же таких, что выпуклость одной из их
поверхностей находится в данном отношении к выпуклости другой.

Как можно изготовить стекло, одна из поверхностей
которого имеет любую выпуклость или вогнутость
и которое собирает в данной точке все лучи,
исходящие из другой данной точки?

В первом случае мы примем, что точки С, У, С и Е даны (чер-
теж 22) и что лучи, исходящие из точки С, или же лучи, параллель-
ные СА, должны, пройдя стекло, собираться в точке Е. Стекло это
вогнутое настолько, что если У есть середина его внутренней по-
верхности, то край стекла помещается в С; таким образом, хорда

Чертеж 22

СМС и УТИ-стрела дуги СУС-даны. Вопрос сводится к тому, что,
во-первых, нужно установить, какой из ранее рассмотренных овалов
должен служить формой поверхности стекла УС для того, чтобы все
лучи, которые, находясь в нем, направлялись к одной и той же неиз-
вестной еще точке, скажем Н, выйдя из него, направлялись к другой
точке, именно к Е. Ибо нет пи одного явления, связанного с измене-
нием отношений этих лучей при отражении или преломлении от од-
ной точки к другой, которого нельзя было бы произвести с помощью
какого-нибудь из этих овалов. Легко видеть, что требуемое в данном
случае может быть достигнуто или частью третьего овала, немного
ранее обозначенной ЗАЗ, или частью его, обозначенной ЗУЗ, или же,
наконец, частью второго, обозначенной 2X2. И так как здесь все эти
три поверхности попадают под одинаковый расчет, то для каждой из
них У должна быть вершиной, С - одной из точек контура и Е- одним
из фокусов; после этого остается найти лишь точку Н, которая долж-
на быть другим фокусом. И мы находим ее, заметив, что разность ли-
ний ЕУ и ЕС должна относиться к разности линий НУ и НС как А, к е,
то есть как наибольшая из линий, измеряющих преломления предло-
женного стекла, к наименьшей, что очевидно из описания этих ова-
лов. И так как линии ЕУ и ЕС даны, то дана также их разность, и, зна-
чит, дана и разность НУ и НС, поскольку дано отношение между этими
двумя разностями. Далее, так как УМ дана, то дана и разность между
МН и НС', наконец, так как дана СМ, то остается лишь найти МН-
сторону прямоугольного треугольника СМН, у которого дана другая
сторона СМ, а также разность основания СН и искомой стороны МН.
Из этого легко определить МН. Действительно, если принять К за

пи 1

избыток СН над МН и п за длину линии СМ, то МН будет —— — к .
ЛК л

Если найденная таким образом точка Н отстоит от точки У дальше,
чем точка Е, то линия СУ должна быть первой частью овала треть-
его рода, обозначенной немного ранее ЗАЗ. Если же НУ меньше ЕУ
или же НУ превосходит НЕ настолько, что отношение их разности ко
всей ЕУ больше, чем отношение меньшей из измеряющих прелом-
ления линий е к большей (Л, то есть, положив НЕ ос с, НУ ос с + к,
если с!к больше, чем 2се + ек, то СУ должна быть второй частью того
же овала третьего рода, обозначенной немного ранее ЗУЗ. Если же с!к
равно или меньше, нежели 2се + ек, то СУ должна быть второй час-
тью овала второго рода, обозначенной выше 2X2. И, наконец, если
точка Н совпадает с точкой Е, что происходит лишь когда ЕУ и ЕС
равны, то линия УС будет окружностью.

После этого требуется найти другую поверхность этого стек-
ла САС. Если принять, что падающие на нее лучи параллельны, эта
поверхность должна быть эллипсом с фокусом Н, и тогда ее легко
найти. Если же допустить, что лучи исходят из точки С, то поверх-
ность должна быть первой частью овала первого рода, два фокуса
которого будут С и Н и который проходит через точку С. Отсюда
мы найдем вершину овала С, заметив, что СС превосходит СА на
величину, относящуюся к величине, на которую НА превосходит НС,
как А, к е. Действительно, если принять к за разность СН и НМ ж АМ
обозначить х, то для разности АН и СН получится х - к; далее, если
принять за разность данных величин СС и СМ, то для разности СС
и СА получится С + х; и так как последняя, С + х, относится к другой
разности, х - к, как б/ к е, то
§е + ех ос Ах — Ак;

значит, линия х или АМ, определяющая искомую точку А, есть

§е + Ак
А — е

Как изготовить стекло, которое давало бы тот же
эффект, что предшествующее, и выпуклость одной
поверхности которого находилась бы в данном
отношении к выпуклости другой?

Во втором случае мы примем, что даны лишь точки С, С и К, от-
ношение линий АМ т УМ и что требуется найти форму стекла АСУ,
собирающего в точке Е все лучи, исходящие из точки С.

Мы снова здесь можем воспользоваться двумя овалами (чер-
теж 23), один из которых, АС, имеет фокусы С и Н, а другой, СУ, -
фокусы Е и Н. Чтобы найти их, я в первую очередь допущу, что об-
щая их точка Н известна и я буду искать АМ по трем точкам С, С, Н
с помощью только что изложенного способа: именно, я приму к за
разность СН и НМ, § за разность СС и СМ, и поскольку Л С - первая

п/	%е + Ак

часть овала первого рода, я найду для АМ величину —-. Затем

А — е

по трем точкам Е, С, Н, я также ищу МУ так, чтобы СУ была первой
частью овала третьего рода. Приняв у за МУ, /за разность СЕ и ЕМ,
для разности СЕ и ЕУ я получу / + у. Затем, имея уже к, разность
СН и НМ, я получу, что разность СН и НУ есть к + у. И я знаю, что
эта разность должна относиться к/+ у как е к А, ибо мы имеем дело

Чертеж 23
с овалом третьего рода. Отсюда я нахожу, что у или МТ есть —-.

а — е

Затем, сложив обе найденные для АМ и МТ величины, я для всей АТ

§е + /е т;г	~ г

найду Е——Из этого следует, что с какой бы стороны ни взять
а — е

точку Я, эта линия АТ всегда образуется из величины, относящейся
к той величине, на которую ОС и СЕ обе вместе превосходят всю СЕ,
как е, меньшая из двух линий, служащих для измерения преломлений
предложенного стекла, к разности этих двух линий А-е. Это доволь-
но красивая теорема. Найдя таким образом всю линию АТ, ее сле-
дует разделить в отношении, в котором должны находиться ее час-
ти АМ и МТ. На основании этого, так как точка М уже известна, мы
тогда найдем также точки А и У и затем, согласно предшествующей
задаче, точку Н. Но прежде нужно посмотреть, будет ли найденная

таким образом линия АМ больше, меньше или равна —-------. Если

а — е

она больше, то мы из этого видим, что кривая Л С должна быть первой
частью овала первого рода, а СУ-первой частью овала третьего рода,
какими мы их здесь и предположили. Но если она меньше, то это
показывает, что СТ должна быть первой частью овала первого рода,
а АС - первой частью овала третьего рода. Наконец, если АМ равна

ее

—, то две кривые АС и СТ должны быть двумя гиперболами.
а — е

Обе эти задачи можно было бы распространить на бесчисленное
множество других случаев, на выводе которых я не останавливаюсь,
так как они совершенно не применяются в «Диоптрике».

Можно было бы также пойти еще дальше и указать, какой следу-
ет сделать поверхность стекла, чтобы оно собирало все исходящие
из данной точки лучи в другой данной точке, если дана другая по-
верхность, либо плоская, либо составленная из конических сечений
или кругов. Это отнюдь не труднее изложенного мною выше, или,
вернее, это значительно легче, так как путь к решению уже открыт.
Но я предпочитаю предоставить эти поиски другим, для того чтобы
некоторые трудности, которые, быть может, им при этом встретятся,
заставили их лучше оценить открытие доказанных здесь вещей.
Как можно применить то, что здесь говорилось
о кривых, описанных на плоской поверхности
($ирег/1с1е ркйё), к кривым, описываемым
в пространстве трех измерений?

Наконец, я здесь повсюду говорил лишь о тех кривых, которые
можно описать на плоской поверхности. Однако сказанное о них
можно легко перенести на все кривые, какие только можно предста-
вить образованными правильным движением точек какого-нибудь
тела в пространстве трех измерений. Именно, этого можно достиг-
нуть, проведя из каждой точки рассматриваемой кривой по два пер-
пендикуляра к двум пересекающимся под прямым углом плоско-
стям - один к одной и другой - к другой. В самом деле, концы этих
перпендикуляров описывают две другие кривые-по одной в каждой
из этих плоскостей. Все точки последних кривых можно определить
и отнести к точкам прямой, общей этим двум плоскостям, по вы-
шеизложенному способу, а благодаря этому будут вполне определе-
ны и точки кривой, имеющей три измерения (1м соигЪе с[ил а
(Итеп8юп8). Точно так же, если желательно провести прямую, пе-
ресекающую эту кривую в данной точке под прямыми углами, нуж-
но лишь провести в обеих плоскостях две другие прямые, по одной
в каждой из них, пересекающие под прямыми углами расположен-
ные в них кривые в тех двух точках, на которые падают перпендику-
ляры, проведенные из данной точки. Действительно, восставив две
другие плоскости, каждая из которых проходит через одну из этих
прямых и перпендикулярна к плоскости, в которой расположена со-
ответствующая прямая, мы в пересечении этих двух плоскостей по-
лучим искомую прямую. Я полагаю теперь, что ничего не пропустил
из начал, необходимых для познания кривых линий.
Исаак Ньютон

(1642-1727)

Жизнь и труды

Галилео Галилей умер 8 января 1642 г., ровно за 300 лет до мо-
его [Хокинга] рождения. Исаак Ньютон родился на Рождество того
же года в английском промышленном городке Вулсторп, графство
Линкольншир. Позже он стал профессором математики в Кем-
бриджском университете, кафедру которого я [Хокинг] сейчас за-
нимаю47.

Мать Ньютона не ожидала, что тот проживет долго, так как ро-
дился сильно преждевременно; позже он говорил, что был таким ма-
леньким при рождении, что мог поместиться в кружке чуть больше
литра. Отец Ньютона, мелкий землевладелец также по имени Иса-
ак, умер тремя месяцами раньше, и когда Ньютону исполнилось два
года, его мать Ханна Эйскоу вторично вышла замуж за Барнабаса
Смита, богатого священника из Северного Уитема. Очевидно, в но-
вой семье Смитов не нашлось места для молодого Ньютона, и он
был отдан на попечение своей бабушки Марджери Эйскоу. Призрак
этого одиночества вкупе с трагедией того, что он никогда не знал
отца, преследовал Ньютона всю оставшуюся жизнь. Отчима он пре-

47 С. Хокинг скончался 14 марта 2018 т.-Прим. изд.
зирал; в дневниковых записях за 1662 г. Ньютон вспоминал: «Смит
угрожал моему отцу и матери сжечь их и дом над ними».

Как и его зрелость, детство Ньютона было наполнено эпизода-
ми жестоких, мстительных нападок, не только на предполагаемых
врагов, но и на друзей и семью. Ньютон рано проявил любозна-
тельность, которая определила его будущие достижения. Его инте-
ресовали механические модели и архитектурный рисунок. Ньютон
проводил дни напролет, конструируя часы (в том числе солнечные),
огненных змеев и миниатюрные мельницы (приводимые в действие
мышами), а также рисуя сложные эскизы животных и кораблей.
В возрасте пяти лет он посещал школы в Скиллингтоне и Стоке, но
считался одним из самых бедных учеников, а его учителя утвержда-
ли, что он был «невнимательным» и «праздным». Несмотря на свое
любопытство и очевидную страсть к науке, он не мог полностью по-
святить себя учебе в школе.

К тому времени, когда Ньютону исполнилось 10 лет, Барнабас
Смит скончался и Ханна получила значительную сумму из его на-
следства. Исаак и его бабушка стали жить с Ханной, сводным братом
и двумя сводными сестрами. Поскольку учеба в школе его не вдох-
новляла, в том числе изучение математики, Ханна решила, что Иса-
аку будет лучше управлять фермой и недвижимостью, и она забрала
его из бесплатной средней школы в Грэнтеме. К несчастью для нее,
у Ньютона было еще меньше навыков и интереса в управлении се-
мейным поместьем, чем в школьных делах. Брат Ханны Уильям, свя-
щенник, решил, что для семьи будет лучше, если рассеянный Исаак
вернется в школу, чтобы закончить образование.

На этот раз Ньютон жил с директором Свободной гимназии Джо-
ном Стоксом, и в его образовании наступил резкий поворот. В одной
из историй говорится, что удар по голове, нанесенный школьным
хулиганом, каким-то образом просветил его, позволив молодому
Ньютону пойти по пути науки. Теперь, демонстрируя интеллекту-
альные способности и любознательность, Ньютон начал готовить-
ся к дальнейшему обучению в университете. Он решил поступить
в Тринити-колледж, альма-матер своего дяди Уильяма, в Кембридж-
ском университете.

В Тринити Ньютон стал субсидированным студентом: начал по-
лучать небольшое пособие на оплату своего образования в обмен на
выполнение различных домашних обязанностей, таких как обслужи-
вание столов и уборка комнат для преподавателей. Но к 1664 г. он
был избран стипендиатом, что гарантировало ему материальную
поддержку и освобождало от черновой работы. Когда в 1665 г. уни-
верситет закрылся из-за бубонной чумы, Ньютон перебрался в Лин-
кольншир. За те полтора года, что он провел дома во время эпидемии,
он посвятил себя механике и математике и начал сосредотачиваться
на оптике и гравитации. Этот аппиз тггаЫИз («чудесный год»), как
назвал его Ньютон, был одним из самых продуктивных и плодотвор-
ных периодов его жизни. Примерно в это же время, согласно леген-
де, яблоко упало на голову Ньютона, пробудив его от дремоты под
деревом и побудив определить законы гравитации. Как бы ни была
неправдоподобна эта история, сам он писал, что падающее яблоко
заставило его серьезно задуматься о феномене гравитации. Счита-
ется, что именно тогда он провел свои эксперименты с маятником.
«Я был в расцвете своих изобретательских способностей,- вспоми-
нал позднее Ньютон,- и больше, чем когда-либо, увлекался матема-
тикой и философией».

Вернувшись в Кембридж, Ньютон изучал философию Аристо-
теля и Декарта, а также науку Томаса Гоббса и Роберта Бойля. Он
был увлечен механикой Коперника и астрономией Галилея, а также
оптикой Кеплера. У нас мало прямых сведений о математическом
образовании Ньютона до его поступления в Кембридж. Первым пре-
подавателем Ньютона в Кембридже был Бенджамин Пуллейн, кото-
рый позже стал королевским профессором греческого языка. Вскоре
Ньютон перешел под опеку Исаака Барроу, выдающегося математи-
ка и одного из основателей Королевского общества, который обучал
Ньютона, когда тот быстро изучал «Элементы» Евклида. Вслед за
этим Ньютон вскоре освоил работы по алгебре Уильяма Оутреда
(1574-1660) и Франсуа Виета (1540-1603) и, самое главное, «Геомет-
рию» Декарта.

Примерно в это же время Ньютон начал свои эксперименты
с призмами по преломлению и рассеянию света, возможно в своей
комнате в Тринити или дома в Вулсторпе. Одним из событий в уни-
верситете, которое, несомненно, оказало глубокое влияние на буду-
щее Ньютона, был приезд Исаака Барроу, который был назван Лука-
совским профессором48 математики. Барроу признавал выдающиеся
математические таланты Ньютона, и когда в 1669 г. он оставил свою
профессорскую должность, чтобы заняться теологией, он рекомен-
довал 27-летнего Ньютона в качестве его замены.

48 Именная профессура в Кембриджском университете. Одна из самых престижных
академических должностей в мире. Учреждена в 1663 г. Генри Лукасом (1610-1663), ан-
глийским священником и политиком. - Прим. изд.
Первые исследования Ньютона на престижнейшей должности
Лукасовского профессора были сосредоточены в области оптики. Он
задался целью доказать, что белый свет состоит из смеси различных
типов света, каждый из которых производит различный цвет спектра
при преломлении призмой. Серия сложных и точных экспериментов
Ньютона, которые доказывали, что свет состоит из мельчайших ча-
стиц, вызвала гнев таких ученых, как Гук, утверждавших, что свет
распространяется волнами. Гук призвал Ньютона представить даль-
нейшие доказательства его эксцентричных оптических теорий. Реак-
ция Ньютона ярко отразила черту его характера, которую он так и не
изжил по мере взросления. Ньютон просто отступил, но намеревался
при каждом удобном случае унижать Гука. Так, Ньютон отказывался
издавать книгу Гука «Оптика» до самой смерти Гука в 1703 г.

В начале своего пребывания на посту Лукасовского профессора
Ньютон активно изучал абстрактную математику, но делился своей
работой с немногими из коллег. Уже к 1666 г. Ньютон открыл об-
щие методы решения задач кривизны - то, что он назвал «теориями
флюксий49 и обратных флюксий». Это открытие вызвало неприми-
римую вражду со сторонниками немецкого математика и философа
Готфрида Вильгельма Лейбница, который более 10 лет спустя опу-
бликовал свои открытия по дифференциальному и интегральному
исчислению. И Ньютон, и Лейбниц пришли к примерно одинаковым
математическим принципам, но Лейбниц опубликовал свою работу
раньше Ньютона. Сторонники Ньютона утверждали, что Лейбниц
видел работы Лукасовского профессора много лет назад, и жаркий
спор между двумя лагерями, известный как спор о приоритете ис-
числения, не прекращался до смерти Лейбница в 1716г. Злобные на-
падки Ньютона, которые часто касались взглядов на Бога и Вселен-
ную в целом, а также его обвинения в плагиате оставили Лейбница
обнищавшим и опозоренным.

Большинство историков науки считают, что эти два человека на
самом деле пришли к своим идеям независимо друг от друга и что
спор был бессмысленным. Язвительная агрессия Ньютона по отно-
шению к Лейбницу отразилась и на физическом, и на эмоциональ-
ном состоянии Ньютона. Вскоре он оказался втянутым в другую
битву, на этот раз с английскими иезуитами за свою теорию цвета,
и в 1678 г. он перенес тяжелый психический срыв. На следующий
год умерла его мать, и Ньютон начал отдаляться от других. Втайне

49 Устаревшее название производной функции.
он углубился в алхимию - область, которая уже во времена Ньютона
считалась бесплодной. Этот эпизод в жизни ученого был источни-
ком смущения для многих студентов Ньютона. Лишь спустя много
лет после смерти Ньютона стало ясно, что его интерес к химическим
экспериментам был связан с более поздними исследованиями в об-
ласти небесной механики и гравитации.

К 1666 г. Ньютон уже начал работу над теориями о движении,
но он был еще не в состоянии адекватно объяснить механику круго-
вого движения. Около 50 лет назад немецкий математик и астроном
Иоганн Кеплер предложил три закона движения планет, которые точ-
но описывали, как планеты движутся по отношению к Солнцу, но он
не мог объяснить, почему планеты движутся именно таким образом.
Ближе всего к пониманию этих сил Кеплер подошел, когда сказал,
что Солнце и планеты «магнитно» связаны.

Ньютон задался целью выяснить причину эллиптичности планет-
ных орбит. Применив свой собственный закон центростремительной
силы к третьему закону движения планет Кеплера (гармонический
закон), он вывел закон обратных квадратов. Этот закон утверждает,
что сила тяжести между любыми двумя объектами обратно пропор-
циональна квадрату расстояния между центрами этих объектов. Та-
ким образом, Ньютон пришел к пониманию того, что гравитация уни-
версальна. Другими словами, одна и та же сила заставляет и яблоко
падать на землю, и Луну мчаться вокруг Земли. Затем он решил про-
верить соотношение обратных квадратов на известных данных. Он
согласился с оценкой Галилея, что расстояние Луны от Земли состав-
ляет 60 земных радиусов, но неточность его собственной оценки диа-
метра Земли не позволяла завершить решение этой задачи к его удов-
летворению. По иронии судьбы, именно обмен письмами в 1679 г. со
своим старым противником Гуком вновь пробудил интерес Ньютона
к этой проблеме. На этот раз Ньютон обратил внимание на второй за-
кон Кеплера, закон равных площадей, правильность которого он смог
доказать, использовав центростремительную силу. Гук тоже пытался
объяснить орбиты планет, и некоторые из его писем по этому поводу
представляли особый интерес для Ньютона.

На печально известном собрании в 1684 г. три члена Королевско-
го общества-Роберт Гук, Эдмонд Галлей и Кристофер Рен, знамени-
тый архитектор собора Святого Павла, - вступили в жаркую дискус-
сию о соотношении обратных квадратов, определяющем движение
планет. В начале 1670-х гг. в кофейнях Лондона и других интеллек-
туальных центрах ходили разговоры о том, что гравитация исходит
от Солнца во всех направлениях и падает со скоростью, обратной
квадрату расстояния, таким образом становясь все более и более
«разбавленной» на поверхности сферы по мере ее расширения.
Встреча 1684 г. была, по сути, рождением Ргтсгрга («Математиче-
ские начала натуральной философии»). Гук заявил, что он вывел из
закона эллипсов Кеплера доказательство того, что гравитация - это
исходящая сила, но будет скрывать это от Галлея и Рена до тех пор,
пока не будет готов обнародовать его. Разъяренный Галлей отпра-
вился в Кембридж, рассказал Ньютону о притязаниях Гука и пред-
ложил следующую задачу: «Какова была бы форма орбиты планеты
вокруг Солнца, если бы она была притянута к Солнцу силой, которая
изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния?» Ответ
Ньютона был ошеломляющим. «Это будет эллипс»,-немедленно от-
ветил он, а затем сказал Галлею, что он решил эту проблему четыре
года назад, но потерял доказательство в своем кабинете.

По просьбе Галлея Ньютон потратил три месяца на восстановле-
ние и усовершенствование доказательства. Затем, в порыве энергии,
продолжавшемся в течение полутора лет, в течение которых он был
так поглощен своей работой, что часто забывал поесть, Ньютон раз-
вивал эти идеи до тех пор, пока их изложение не заполнило три тома.
Он выбрал название РкИозорЫае па1игаНзргтсгрга та^Иетайса («Ма-
тематические начала натуральной философии»), намеренно противо-
поставляя его декартовским РгтсгргаркИозорЫае. Три книги «Начал»
Ньютона обеспечивали связь между законами Кеплера и физическим
миром. Галлей отнесся к открытиям Ньютона с «радостью и изумле-
нием». Галлею казалось, что Лукасовский профессор преуспел там,
где все остальные потерпели неудачу, и он лично финансировал пу-
бликацию этого огромного труда как шедевра и подарка человечеству.

Галилей показал, что объекты «притягиваются» к центру Земли,
Ньютон же пошел дальше и смог доказать, что та же самая сила -
гравитация - влияет на орбиты планет. Ньютон также был знаком
с работами Галилея о движении снарядов и утверждал, что орбита
Луны вокруг Земли подчиняется тем же принципам. Ньютон до-
казал, что гравитация объясняет и предсказывает движение Луны,
а также подъем и спад приливов и отливов на Земле. Первая книга
«Начал» охватывает три закона движения Ньютона:

1.	Всякое тело пребывает в состоянии покоя или равномерно
движется по прямой линии, если только оно не вынуждено изменить
это состояние силами, приложенными к нему.

2.	Изменение движения пропорционально приложенной движу-
щей силе и совершается в направлении прямой линии, в которой эта
сила приложена.
3.	Всякому действию всегда противостоит равное противодей-
ствие; или взаимные действия двух тел друг на друга всегда равны
и направлены в противоположные стороны.

Вторая книга начиналась для Ньютона как нечто запоздалое по
отношению к первой книге; она не была включена в первоначаль-
ный план работы. Это, по существу, трактат по механике жидкости,
и он позволил Ньютону проявить свою математическую изобрета-
тельность. Ближе к концу книги Ньютон приходит к выводу, что
вихри, описанные в свое время Декартом для объяснения движения
планет, не выдерживают тщательной критики, поскольку движение
может быть выполнено в свободном пространстве без вихрей. Как
это происходит, писал Ньютон, «может быть понято из первой кни-
ги; и теперь я более полно рассмотрю это в следующей книге».

В третьей своей книге, озаглавленной «Система мира», Ньютон
применил законы движения из первой книги к физическому миру
и пришел к заключению, что «существует сила тяготения, действую-
щая на все тела, пропорциональная нескольким количествам веще-
ства, которые они содержат». Таким образом, Ньютон доказал, что
его закон всемирного тяготения может объяснить движение шести
известных планет, а также лун, комет, равноденствий и приливов.
Этот закон гласит, что все вещества взаимно притягиваются с силой,
прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропор-
циональной квадрату расстояния между ними. Ньютон с помощью
единого свода законов объединил Землю со всем, что можно увидеть
в небе. В первых двух «Правилах здравого смысла» из третьей книги
Ньютон писал:

«Мы должны признавать не больше причин естественных ве-
щей, чем те, которые одновременно истинны и достаточны
для объяснения их явлений. Поэтому мы должны, насколько это
возможно, приписывать одни и те же естественные следствия
одним и тем же причинам».

Это второе правило, которое действительно объединяет небо
и землю. Аристотель утверждал бы, что небесные и земные движе-
ния - это явно не одно и то же естественное явление, и что второе
правило Ньютона, следовательно, не может быть применено. Нью-
тон видел вещи иначе. «Начала» получили умеренную похвалу при
ее издании в 1687 г., но было напечатано всего примерно 500 эк-
земпляров первого издания. Однако заклятый враг Ньютона Роберт
Гук угрожал испортить любое чествование Ньютона. После выхо-
да второй книги Гук публично заявил, что письма, написанные им
в 1679 г., содержали научные идеи, жизненно важные для открытий
Ньютона. Претензии Гука, хотя и не лишенные оснований, были от-
вратительны Ньютону, который поклялся отложить или даже отка-
заться от публикации третьей книги. Ньютон в конце концов смяг-
чился и опубликовал последнюю книгу «Начал», но не раньше, чем
тщательно удалил из нее все упоминания имени Гука.

Работы Ньютона по интегральному и дифференциальному ис-
числению можно найти в его записных книжках с середины 1660-х гг.
Однако сам Ньютон никогда не публиковал чисто математического
текста. Только во второй половине XX в. была опубликована значи-
тельная часть его математических работ. Ньютон дал современни-
кам представление о своих открытиях в области исчисления в пер-
вом разделе первой книги «Начал». Он назвал этот раздел «Метод
первого и последнего отношения величин, с помощью которого мы
демонстрируем нижеследующие положения». В этом разделе (вклю-
ченном в эту книгу), Ньютон представляет 11 лемм о первом и по-
следнем соотношениях, которые позволят ему взаимозаменяемо
использовать фигуры, построенные с кривыми, и соответствующие
фигуры, построенные из прямых линий.

В первой лемме Ньютон доказывает, что

«Величины и соотношения величин, которые в любое конечное
время непрерывно сходятся к равенству и к концу этого времени
приближаются друг к другу ближе, чем на какую-либо данную
разницу, становятся в конечном счете равными».

Он доказывает это в очень простой манере, которая на два сто-
летия предвосхищает метод Вейерштрасса «эпсилон-дельта». Если
величины и соотношения в конечном счете не станут равными, то
окончательно они будут иметь некоторую конечную разность Л
и они не могут в конечном счете приблизиться друг к другу ближе,
чем эта разность /9! Заметьте, что Ньютон формулирует это утверж-
дение в терминах изменения во времени. Учитывая стиль изложения
«Начал», работы по физической науке, это вряд ли должно удивить.

За два тысячелетия до Ньютона Архимед доказал теоремы о пло-
щади конкретных геометрических объектов, таких как окружность,
вписывая и описывая многоугольники вокруг объекта. Во второй лем-
ме Ньютон берет пример с Архимеда и распространяет этот метод на
произвольную кривую, вписывая и описывая прямоугольники вокруг
участков кривой и демонстрируя, что вписанные и описанные фигу-
ры, составленные из этих вписанных и описанных прямоугольников,
имеют области, которые имеют конечное отношение равенства.

Ньютон предлагает читателю рассмотреть произвольную кривую
относительно прямой линии, представленной здесь как АЕ, которую
он делит на равные части Л7?, ВС, СЕ и т.д., которые будут уменьшены
до бесконечности. Затем он строит прямоугольники, такие как АКЬВ,
вписанные в сегмент кривой, и Аа1В, описанный примерно вокруг
сегмента кривой. Он отмечает, что разность площадей этих прямо-
угольников равна площади прямоугольника аКЫ и что сумма площа-
дей этих «разностных» прямоугольников есть просто площадь перво-
го описанного прямоугольника АаЬВ\ И тогда Ньютон завершает до-
казательство, отмечая, что длина основания АВ прямоугольника Аа1В
уменьшается до бесконечно малой (инфинитизимальной) величины,
так что площадь прямоугольника Аа1В «становится меньше, чем лю-
бая заданная область пространства». Следовательно, площади впи-
санных и описанных фигур «становятся в конечном счете равными
друг другу», а также области, описываемой криволинейной фигурой!

Ньютон немедленно использовал свои леммы в первом предло-
жении, которое он демонстрирует в «Началах»: кеплеровский закон
площадей!

В комментариях к первому разделу Ньютон приводит некоторые
опасения, которые вскоре будут высказаны и критиками. Он пишет,
что величины, которые сами исчезают до нуля, не могут иметь ко-
нечной пропорции, поскольку они же исчезают до нуля. Ньютон дает
ответ, сравнивая конечные соотношения со скоростью тела в опре-
деленной точке пространства. В своих рассуждениях, восходящих
к древним грекам, Ньютон указывает, что тело, безусловно, не на-
ходится в покое в тот момент, когда оно находится в определенном
месте. Напротив, оно имеет определенную конечную скорость в тот
момент, когда оно находится в определенном месте, точно так же,
как величины, которые исчезают до нуля, могут иметь конечное от-
ношение друг к другу, сами исчезая при этом до нуля:

«Ибо те предельные соотношения, с которыми исчезают вели-
чины, на самом деле не являются отношениями предельных вели-
чин, а ограничениями, к которым они приближаются ближе, чем
к какой-либо данной разнице, но никогда не выходят за преде-
лы и фактически не достигают, пока величины не уменьшатся
в бесконечной малости».

Ньютон встретил XVIII в. на правительственной должности смот-
рителя Королевского монетного двора, где он использовал свои ра-
боты в области алхимии для определения методов восстановления
веса английской национальной валюты. Как президент Королевско-
го общества, он продолжал сражаться с предполагаемыми врагами
с неумолимой решимостью, в частности продолжая свою давнюю
вражду с Лейбницем, - из-за их конкурирующих претензий на изо-
бретение исчисления. Ньютон был посвящен в рыцари королевой
Анной в 1705 г. и дожил до публикации второго и третьего изданий
«Начал».

Ньютон иногда утверждал, что он вывел многие из основных по-
ложений «Начал», используя свои открытия в области исчисления.
Он сделал одно такое заявление в неопубликованном предисловии
к «Началам», которое составил около 1715 г. В конце концов этот
вариант вышел в печать в анонимно опубликованной в 1722 г. рецен-
зии на книгу, оценивающую его и Лейбница претензии на изобрете-
ние исчисления. Он написал:

«С помощью нового анализа господин Ньютон объяснил большую
часть положений своих «Начал»; но поскольку древние с целью
представить вещи определенными ничего не допускали в геомет-
рию до того, как она была бы искусственно продемонстриро-
вана, то и он продемонстрировал положения искусственно, по-
казав, что система небес может быть основана на правильной
геометрии. И теперь для неискушенных людей это затрудняет
понимание анализа, посредством которого были обнаружены
эти предложения».

Недавний научный анализ записных книжек Ньютона показал,
что нет ни малейшего подтверждения его экстравагантным заявле-
ниям о приоритете открытия исчисления для себя, а не для своего
главного соперника Лейбница.

Исаак Ньютон умер в марте 1727 г., после приступов воспале-
ния легких и подагры. Как он и хотел, у Ньютона не было соперни-
ков в области науки. Человека, который, по-видимому, имел очень
мало романтических связей с женщинами, нельзя, однако, обвинить
в отсутствии страсти к своей работе. Поэт Александр Поуп, совре-
менник Ньютона, наиболее изящно описал дар великого мыслителя
человечеству:

Ша1иге апс1 ^1иге'8 1см8 1ау И1с1 т

“(Зос18аШ,	Иелмкт Ье!” апс1 а11 т/х И%к1»5®.

Несмотря на мелочные споры и неоспоримое высокомерие, ко-
торые сопровождали его жизнь до самой смерти, Исаак Ньютон
оказался удивительно проницательным в оценке своих достижений:
«Я не знаю, каким я могу показаться миру, но самому себе я кажусь
всего лишь мальчиком, играющим на морском берегу и развлекаю-
щимся тем, что время от времени нахожу более гладкий камешек или
особенно красивую раковину, в то время как лежащий передо мной
великий океан истины таит в глубинах неизведанное».

50 Был этот мир извечной тьмой окутан / «Да будет свет!» - И вот явился Ньютон
(перевод-парафраз С. Я. Маршака).
О ДВИЖЕНИИ ТЕЛ
КНИГА I

ОТДЕЛ I

О МЕТОДЕ ПЕРВЫХ И ПОСЛЕДНИХ ОТНОШЕНИЙ,
ПРИ ПОМОЩИ КОТОРОГО ПОСЛЕДУЮЩЕЕ ДОКАЗЫВАЕТСЯ

Лемма I

Количества, а также отношения количеств, которые в продол-
жение любого конечного времени постоянно стремятся к равен-
ству и ранее конца этого времени приблизятся друг к другу ближе,
нежели на любую заданную разность, будут в пределе равны.

Если это отрицаешь, то пусть они в пределе будут неравны и их
предельная разность пусть будет /), следовательно, они не могут
ближе подойти к равенству, как до этой заданной разности /), в про-
тивность предположению.

Лемма II

Если в какую-либо фигуру АасЕ, ограниченную прямыми Ла и ЛЕ
и кривою асЕ, вписывать любое число параллелограммов ЛЬ, Вс, СА

и т.д., имеющих равные основания ЛВ, ВС, СВ и т.д. и стороны
ВЬ, Сс, ЕЛ и т.д., параллельные стороне Ла фигуры, и дополнить
параллелограммы аКЫ, В1ст, сМЛт и т. д., затем, уменьшая ширину
этих параллелограммов, увеличивать их число до бесконечности,

Фигура 6

то я утверждаю, что в пределе
отношения вписанной фигуры
АКЪЬсМсЮ, описаннойАа1ЪтспсЬоЕ
и криволинейной ЛЛЬсЛЕ, друг
к другу равны единице.

Разность вписанной и описан-
ной фигуры есть сумма параллело-
граммов К1, Ет, Мп, ... (фигура 6),
которая (вследствие равенства
всех оснований) равна прямоу-

гольнику, построенному на одном
из оснований КЬ, и сумме высот
А а, т.е. прямоугольнику АВ1а. Но
этот прямоугольник, так как его ширина АВ уменьшается бесконеч-
но, может быть сделан менее любой заданной величины. Следова-
тельно (по лемме I), в пределе фигура вписанная, фигура описанная
и тем более заключающаяся между ними криволинейная будут меж-
ду собою равны.

Лемма III

Предельные отношения тех же сумм параллелограммов равны
единице и в том случае, когда ширины их АВ, ВС, СИ,... не равны
между собою, но все уменьшаются бесконечно.

Пусть АВ равно наибольшей из ширин / и на ней построен па-
раллелограмм АВа/. Этот параллелограмм будет больше разности
фигуры вписанной и фигуры описанной; при бесконечном же умень-
шении ширины его площадь может быть сделана менее площади лю-
бого заданного прямоугольника.

Следствие 1. Таким образом в пределе сумма этих исчезающих
параллелограммов вполне совпадает с площадью криволинейной
фигуры.

Следствие 2. В еще большей мере прямолинейная фигура, огра-
ниченная хордами дуг аЪ. Ьс, сб и т.д., совпадает с криволинейною
фигурою.

Следствие 3. То же самое относится и к описанной прямолиней-
ной фигуре, ограниченной касательными к сказанным дугам.

Следствие 4. Поэтому эти две последние фигуры (по отноше-
нию к периметру асЕ) в пределе не суть прямолинейные, но состав-
ляют криволинейный предел прямолинейных фигур.

Лемма IV

Если в каждую из двух фигур АасЕ и РргТ вписать (как указано
выше) ряд параллелограммов так, что число их то же самое, и если
при бесконечном уменьшении ширин пределы отношений площадей
параллелограммов фигуры одной к параллелограммам другой, каж-
дого к ему соответствующему, между собою равны, то я утвер-
ждаю, что и самые фигуры АасЕ и РргТ находятся в том же от-
ношении.

В самом деле, в каком отношении находится каждый из паралле-
лограммов одной фигуры (фигура 7) к ему соответствующему дру-
гой, в том же отношении друг к другу находятся и суммы всех их, т.е.
площадь одной фигуры к площади другой, ибо по лемме III пределы
Фигура 7

отношений площади первой фигуры
к первой сумме и площади второй ко
второй сумме равны единице.

Следствие. Совершенно так же
докажется, что если вообще две какого
угодно рода величины будут разделе-
ны на одинаковое число частей и, при
бесконечном возрастании числа их
и уменьшении каждой из них, отно-
шение их соответственно друг к другу,
т.е. первой к первой, второй ко второй
и т.д., остается постоянным, то и са-
мые величины будут находиться в этом
же отношении. Ибо если в относящих-
ся к этой лемме фигурах взять парал-
лелограммы так, чтобы они были про-
порциональны сказанным частям, то
суммы частей будут относиться между
собою как суммы параллелограммов,
и следовательно, когда число частей
и число параллелограммов будет бес-

конечно возрастать, а самые части уменьшаться, то предельное отно-
шение сумм частей будет оставаться равным предельному отноше-
нию сумм параллелограммов, это же отношение равно отношению
каждого параллелограмма к ему соответствующему, т.е. (по предпо-
ложению) пределу отношения части к части.

Лемма V

У подобных фигур длины соответствующих сторон, как пря-
молинейные, так и криволинейные, между собою пропорциональны,
площади же фигур пропорциональны квадратам сторон.

Лемма VI

Если какая угодно заданная по положению дугаАСВ стягивает-
ся хордою АВ и в какой-либо ее точке А, лежащей в области непре-
рывной кривизны, проведена касательная АЕ, продолженная в обе
стороны и если точки А и В приближаются друг к другу и совпада-
ют, то я утверждаю, что угол ВАЕ, заключенный между хордою
и касательной, уменьшается бесконечно и в пределе исчезает.
Ибо если бы этот угол не
исчезал, то между дугою АСВ
и касательной Ай заключался
бы угол, равный некоторому
данному прямолинейному углу
(т.е. конечной величины), и сле-
довательно, кривизна в точке
А не была бы непрерывною,
в противность предположению
(фигура 8).

Фигура 8

Лемма VII

При тех же предположениях я утверждаю, что предельное от-
ношение дуги, хорды и касательной друг к другу равно единице.

Когда точка В приближается к А (фигура 8), то АВ и АВ следу-
ет рассматривать продолженными до постоянной прямой ЪсЦ парал-
лельно которой и проводится секущая ВВ.

Пусть дуга АсЪ подобна дуге А СВ при всяком положении точки В.
При совмещении точек А и В угол ВАЪ, по предыдущей лемме, исче-
зает, следовательно, остающиеся постоянно конечными прямые АЪ
ж АВ ж промежуточная дуга АсЪ совпадают и поэтому равны между
собою, значит, и постоянно им пропорциональные прямые А В, АВ
и промежуточная дуга АСВ, исчезающие в пределе, будут иметь сво-

им предельным отношением единицу.

Следствие 1. Если через точку В провести прямую ВВ (фигу-
ра 9) параллельно касательной, пересекающую какую-либо прямую
АВ, проведенную через А в точке В, то предельное отношение дли-

ны ВВ к исчезающей дуге
АСВ равно единице, ибо
дополнив параллелограммы
АВВВ, видим, что ВВ посто-
янно равно АВ.

Следствие 2. Если че-
рез точки А и В проводить
различные прямые ВЕ, ВВ,
АВ, АС, пересекающие каса-
тельную АВ и параллельную ей ВЕ, то предельное отношение всех
отрезков АЕ, АЕ, ВЕ, ВО, хорды АВ и дуги АВ друг к другу равно
единице.

Следствие 3. Ввиду этого все эти длины, при всяком рассужде-
нии о пределах отношений, могут быть взяты одна вместо другой.

Лемма VIII

Если задана прямая АК и направление прямой ВК, то хорда АВ,
дуга АС В и касательная АВ образуют с прямыми АВ и ВК три треу-
гольника, КАВ, КАСВ, КАЕ, если затем точка В будет приближать-
ся к А и совпадет с нею, то я утверждаю, что в пределе эти три
исчезающие треугольника между собою равны и предельное отно-
шение их площадей равно единице.

Ибо когда точка В приближается к А (фигура 8), то надо рассма-
тривать, что прямые АВ, АЕ и АК продолжены до встречи с постоян-
ной прямой гЬб, параллельно которой и проводится КЕ, дуге же А СВ
строится подобная дута АсЪ. Когда точки А и В совпадают, то угол
ЬАЛ исчезает, и следовательно, три остающихся постоянно конечны-
ми треугольника гАЪ, гАсЪ, г Аб совпадают, ввиду чего они подоб-
ны и равны. Поэтому и постоянно им подобные треугольники КАВ,
КАСВ, КАЕ будут в пределе между собою равны и подобны.

Следствие. Следовательно, во всех рассуждениях о пределе от-
ношений эти треугольники могут быть взяты один на место другого.

Лемма IX

Если заданные по положению прямая АЕ и кривая АВС пересе-
каются под данным углом А, и от прямой АЕ проводятся внутри
этого угла ординаты В В, СЕ, пересекающие кривую в точках Е и С,
и точки В и С совместно приближаются к А, то я утверждаю, что
площади треугольников АВЕ и АСЕ будут в пределе относиться
друг к другу как квадраты сторон.

Как и в предыдущем, надо подразумевать, что когда точки В и С
(фигура 10) приближаются к А, то АВ продолжается до заданных
прямых бЪ и ес, параллельных ординатам ЕВ и ЕС и проведенных
так, чтобы постоянно было

АЕ : АЕ = Аб: Ае.

До встречи с этими же прямыми в точках Ъ и с продолжаются
и хорды АВ ж АС. Проводим кривую АЪс, подобную АВС и касатель-
ную А у к обеим кривым в точке А. Пусть эта касательная пересекает
ординаты в точках К, С, / §. Сохраняя затем длину Ае неизменной,
приближаем точки В и С к точке А до совмещения с нею. Так как
в пределе угол сАр исчезает, то криволинейные площади АЬА. Асе

совпадут с прямолиней-
ными А/А. А§е. следо-
вательно (по лемме V),
они будут относиться
как квадраты сторон АА
и Ае. Но этим площадям
постоянно пропорцио-
нальны площади АВЕ.
АСЕ. и стороны их АВ
и АЕ пропорциональны
сторонам АА и Ае. сле-
довательно, и площади
АВЕ и АСЕ будут в пре-
деле относиться между
собой как квадраты сто-
рон АЕ и АЕ.

Фигура 10

Лемма X

Е[ространства, описываемые телом, находящимся под действием
какой-либо конечной силы, будет ли эта сила постоянная или же
она будет непрерывно увеличиваться или уменьшаться, при самом
начале движения пропорциональны квадратам времен их описания.

Пусть времена представляются длинами АЕ. АЕ (фигура 10),
скорости, производимые силой, - ординатами ВЕ. ЕС. тогда про-
странства будут пропорциональны площадям АВЕ. АСЕ. описанным
этими ординатами, т.е. при самом начале движения, по лемме IX,
они пропорциональны квадратам АЕ и АЕ.

Следствие 1. Отсюда легко заключить, что когда тела описыва-
ют подобные части подобных фигур, то отклонения, производимые
действием каких бы то ни было равных сил, вновь подобным обра-
зом приложенных к телам, приблизительно пропорциональны ква-
дратам времени; при этом эти отклонения надо измерять от тех мест,
в которые сказанные тела пришли бы в течение рассматриваемых
промежутков времени без действия этих новых сил.

Следствие 2. Отклонения, производимые при вышесказанных
условиях различными силами, пропорциональны этим силам и ква-
дратам времени.
Следствие 3. То же самое относится и к пространствам, описы-
ваемым телами под действием различных сил: в самом начале дви-
жения эти пространства также пропорциональны силам и квадратам
времени.

Следствие 4. Следовательно, силы прямо пропорциональны
пространствам при самом начале движения и обратно пропорцио-
нальны квадратам времени их описания.

Следствие 5. Квадраты времени прямо пропорциональны прой-
денным пространствам и обратно пропорциональны силам.

ПОУЧЕНИЕ

Если разного рода переменные величины сравниваются между
собою и про какую-нибудь из них говорят, что она прямо или об-
ратно пропорциональна другой, то смысл этого выражения тот, что
первая величина увеличивается или уменьшается в том же самом от-
ношении, как вторая или как величина, ей обратная.

Если же про какую-нибудь из этих величин сказано, что она
прямо или обратно пропорциональна двум или нескольким другим,
то смысл этого выражения тот, что первая или увеличивается, или
уменьшается в отношении, равном произведению отношений, в ко-
торых прочие или им обратные увеличиваются или уменьшаются.

Так, если сказано, что А прямо пропорционально В и С и обратно
пропорционально то смысл этого тот, что А увеличивается или

уменьшается в том же отношении, как В • С	т.е. что величины Л

ВС

и находятся друг к другу в постоянном отношении.

Лемма XI

Расстояние от конца дуги до касательной, проведенной в ее на-
чале, при бесконечном уменьшение дуги для всех кривых, коих кривиз-
на в точке касания конечная, пропорционально в пределе квадрату
ее хорды.

Случай 1. Пусть АВ (фигура 11) - рассматриваемая дуга, АБ -
ее касательная вначале, ВБ - расстояние от точки В до касательной.
Проведем к касательной АБ и к хорде АВ перпендикуляры АС и ВС,
пересекающиеся в С, пусть затем точки В, Б, С перешли в Ь, <4,
и пусть, наконец, Уесть предельное положение точки С-пересече-
ния прямых АС и ВС, когда точки В и й сольются с А.
Очевидно, что расстояние СА мо-
жет быть сделано меньше всякой напе-
ред назначенной величины.

По свойству кругов, проходящих
через точки Л, В. С и Л, Ъ, & будет

АВ2 = АО- ВО и АЬ2 = А§  Ъа,
АВ2 АО ВО
следовательно, —т = —------

АЬ2 ъа

Но так как СА может быть
сделано меньше всякой наперед
заданной величины, то можно сде-

ЛО г
лать так, что отношение —— будет
отличаться от единицы менее чем
на любую заданную величину, еле-

АВ2 .
довательно, и отношение —будет

АЪ2

Фигура 11

ВВ
отличаться от —— менее
Ъа

чем на любую заданную величину, и значит, по лемме I, пределы

АВ2 ВО
отношении —т- и ——равны.
аЪ2 ъа

Случай 2. Положим теперь, что ВВ наклонено к АВ под ка-
ким-либо постоянным углом, отношение ВВ к Ъс1 будет в пределе то
же самое, т.е. равно пределу отношения АВ2 кАЪ2.

Случай 3. Наконец, в том случае, когда угол В - переменный,
но прямая ВВ или проходит через постоянную точку, или строит-
ся по какому-либо определенному закону, то углы В и строимые
также по одному и тому же закону, при приближении точек В и В
к точке А стремятся к равенству, и так как разность их может быть
сделана меньше любой наперед назначенной величины, то эти углы
в пределе равны; и следовательно, длины ВВ и ЪА будут находиться
по-прежнему в том же отношении, как квадраты хорд.

Следствие 1. Так как тангенсы АВ и Ас! дуги АВ и АЪ и их сину-
сы ВС тгЪс в пределе равны хордам АВ и АЪ, то предельное отноше-
ние их квадратов равно отношению затяжек ВВ и ЪА.

Следствие 2. Предельное отношение квадратов хорд и прочих
упомянутых выше длин равно отношению стрелок, разделяющих
хорды дуг пополам и проходящих по продолжению через постоян-
ную точку, ибо эти стрелки пропорциональны затяжкам ВБ и Ъс1.

Следствие 3. Поэтому стрелки пропорциональны квадратам вре-
мен описания их дуг телами, движущимися с постоянною скоростью.

Следствие 4. Площади прямолинейных треугольников ААЬ, АйВ
в пределе находятся в отношении кубов сторон АБ и АА или в ОТКО-

РМ .

шении —— , ибо отношение этих площадей равно произведению
( АЪ )

отношений	Лг,

Ао п1У
АЬ ЪА ’

Точно так же и треугольники АВС и АЪс в пределе относятся как
кубы сторон ВС и Ьс.

Следствие 5. Так как в пределе ОВ и с1Ъ параллельны и длины их
пропорциональны квадратам абсцисс АА и АБ, то в пределе криво-
линейные площади АйВ и ААВ (по свойству параболы) составляют
по две трети площадей треугольников АйВ и ААЪ, сегмент же АВ
пАЪ-по одной трети тех же площадей; следовательно, эти сегменты
пропорциональны кубам касательных, хорд и дуг АВ и АЬ.

ПОУЧЕНИЕ

Во всех предыдущих выводах предполагалось, что «угол каса-
ния или соприкосновения» не бесконечно велик и не бесконечно мал
по сравнению с углом касания круга со своими касательными, т.е.
что кривизна кривой в точке А не бесконечно малая и не бесконеч-
но большая, иначе - что длина АА конечная. Действительно, можно
взять кривую, у которой йВ пропорционально Л/)3; в таком случае
через точку А нельзя провести круга между кривою и касательной,
ибо угол касания для этой кривой в этой точке бесконечно мал по
сравнению с углом касания для круга. По подобной же причине,
если йВ будет пропорционально Л/)4, Л/)5, Л/)6, АБ1 и т.д., то полу-
чится беспредельный ряд таких углов касания, из которых каждый
последующий бесконечно мал по отношению к предыдущим. Точно
3	4	5

так же, если В В будет пропорционально Л/)2, Л/)2, Л/)3, Л/)4
и т.д., то получится другой беспредельный ряд углов касания, из ко-
торых первый такого же рода, как у круга, второй бесконечно боль-
ше и вообще всякий последующий бесконечно больше предыдущих.
Но и между любыми двумя из этих углов соприкосновения можно
включить беспредельный ряд других, из коих каждый последующий
будет или бесконечно больше, или бесконечно меньше предыдуще-
го. Так, между АО2 и АО3 можно включить ряд

АП6, АИ5 , АП\ АП3, АП2, АП3, АП5, АП5 , АП6

и т.д. Далее между любыми двумя членами этого ряда можно вклю-
чить новый ряд промежуточных углов, бесконечно различных меж-
ду собою. Природа не терпит ограничений.

Доказанное относительно кривых линий и ограниченных ими
площадей легко прилагается к кривым поверхностям и объемам.

Предыдущие леммы приведены, чтобы избежать утомитель-
ности длинных доказательств, основываясь по образцу древних на
приведении к нелепости.

Доказательства делаются более краткими и при помощи спосо-
ба неделимых, но так как самое представление неделимых грубовато
(с!игюг), то этот способ представляется менее геометричным, почему
я и предпочел сводить доказательства всего последующего к преде-
лам сумм исчезающих количеств и к пределам их отношений; по-
этому я и предпослал сколь можно краткие доказательства свойств
этих пределов. Способом пределов достигается то же, что и спосо-
бом неделимых, и после того как его основания доказаны, мы можем
им пользоваться с еще большей уверенностью. Поэтому если во всем
последующем изложении я и рассматриваю какие-либо величины
как бы состоящими из постоянных частиц, или если я принимаю за
прямые линии весьма малые части кривых, то следует понимать, что
это не неделимые, а исчезающие делимые величины, что это не сум-
мы и не отношения определенных конечных частей, а пределы сумм
и пределы отношений исчезающих величин, и сущность этих доказа-
тельств в том и состоит, чтобы все приводить к предыдущим леммам.

Делают возражение, что для исчезающих количеств не суще-
ствует «предельного отношения», ибо то отношение, которое они
имеют ранее исчезания, не есть предельное, после же исчезания нет
никакого отношения. Но при таком и столь же натянутом рассуж-
дении окажется, что у тела, достигающего какого-либо места, где
движение прекращается, не может быть «предельной» скорости, ибо
та скорость, которую тело имеет ранее, нежели оно достигло это-
го места, не есть «предельная», когда же достигло, то нет скорости.
Ответ простой: под «предельною» скоростью надо разуметь ту, с ко-
торой тело движется не перед тем, как достигнуть крайнего места,
где движение прекращается, и не после того, а когда достигает, т.е.
именно ту скорость, обладая которой тело достигает крайнего места
и при которой движение прекращается. Подобно этому под предель-
ным отношением исчезающих количеств должно подразумеваться
отношение количеств не перед тем, как они исчезают, и не после
того, но при котором исчезают. Точно так же и предельное отноше-
ние зарождающихся количеств есть именно то, с которым они за-
рождаются. Предельная сумма зарождающихся или исчезающих ко-
личеств есть та составленная из них сумма, когда они, увеличиваясь
или уменьшаясь, только начинают или прекращают быть. Существу-
ет такой предел, которого скорость в конце движения может достиг-
нуть, но не может превзойти, это и есть предельная скорость. Такова
же причта существования предела отношения зарождающихся или
исчезающих количеств и пропорций. Когда такой предел существует
и величина его вполне определенная, то его нахождение есть задача
истинно геометрическая.

Все же геометрическое может быть законным образом применя-
емо при геометрических изысканиях и доказательствах.

Можно возразить, что если существуют предельные отношения
исчезающих количеств, то существуют и предельные величины их
самих, и следовательно, всякое количество должно состоять из неде-
лимых, что опровергнуто Евклидом в книге X «Элементов», в уче-
нии о несоизмеримых величинах. На самом же деле это возражение
основано на неверном допущении.

Предельные отношения исчезающих количеств не суть отно-
шения пределов этих количеств, а суть те пределы, к которым при
бесконечном убывании количеств приближаются отношения их
и к которым эти отношения могут подойти ближе, нежели на любую
наперед заданную разность, но которых превзойти или достигнуть
на самом деле не могут, ранее чем эти количества уменьшатся бес-
конечно. Дело объясняется проще на бесконечно больших величи-
нах. Если две величины, разность которых задана, будут обе увели-
чиваться до бесконечности, то между ними существует предельное
отношение, которое равно единице, однако нет предельных значений
для самих величин, т.е. таких наибольших их значений, отношение
которых как раз было бы равно единице. Поэтому если в последую-
щем для простоты речи я буду говорить о величинах весьма малых,
или исчезающих, или зарождающихся, то не следует под этими сло-
вами разуметь количества определенной величины, но надо их рас-
сматривать как уменьшающиеся бесконечно.
Леонард Эйлер
(1707-1783)
Жизнь и труды

Сколько времени нужно, чтобы сочинить произведение всей жиз-
ни? На этот вопрос легко ответить: вся жизнь, конечно! И сколько вре-
мени нужно, чтобы опубликовать работу всей жизни? Для Леонарда
Эйлера ответ - столетие или даже больше. Швейцарская академия
наук начала издавать его собрание сочинений в 1911 г. На сегодняш-
ний день опубликовано более шести десятков томов. И это далеко не
все. В этом нет ничего удивительного: выдающийся историк науки
подсчитал, что Эйлер создал почти четверть всех работ по математике,
физике, механике, астрономии и навигации, написанных в XVIII в. Он
был самым плодовитым математиком всех времен.

Гений Эйлера не может быть легко прослежен через его генеа-
логическое древо - то же касается и многих математиков, чьи труды
приводятся в этой книге. Его мать, в девичестве Маргарита Брукер,
происходила из старинного рода хорошо образованных священнослу-
жителей. Его отец Паулюс Эйлер, тоже священник, был первым чле-
ном семьи Эйлеров, получившим хорошее образование. Дед Паулюса
Ганс-Георг Эйлер был гребенщиком, когда он поселился в Базеле
в 1594 г. Паулюс имел честь посещать лекции по математике, прочи-
танные в Базеле великим Якобом Бернулли (1654-1705), первым из
восьми великих математиков из семьи наследственного гения.
Маргарита и Паулюс поженились в 1701 г., а через шесть лет,
15 апреля, в швейцарском городе Базеле родился Леонард Эйлер.
В то время Базель был одной из 13 швейцарских республик. Его
население в 17000 человек состояло в основном из кальвинистов,
многие из которых иммигрировали из более ортодоксальной католи-
ческой среды по всей Европе. Среди этих иммигрантов были предки
Якоба Бернулли, бежавшие из Бельгии в конце XVI в.

Вскоре после рождения сына Паулюс занял кафедру в городке
Риен, расположенном в пяти милях от Базеля. Там в семье родилось
еще трое детей. Паулюс был учителем своего сына, возможно пере-
давая некоторые математические идеи, которые были получены на
лекциях Якоба Бернулли. В возрасте восьми лет Леонард переехал
в Базель к своей овдовевшей бабушке по материнской линии Марии
Магдалене Брукер-Фарбер, чтобы поступить в Базельскую гимназию.
Хотя гимназия славилась уровнем латыни и греческого, лекции по ма-
тематике там не читали: местные считали математику слишком слож-
ной для таких молодых студентов. Чтобы заполнить эту дыру в учеб-
ном плане, Паулюс нанял молодого теолога Иоганна Буркхардта
в качестве специального преподавателя математики для своего сына.

Пять лет спустя 13-летний Эйлер поступил в Базельский универ-
ситет. Будучи студентом, он получил степень по теологии. Универ-
ситетские записи этого периода свидетельствуют о том, что он проя-
вил необыкновенное мастерство в классической литературе, будучи
в состоянии прочитать наизусть 12000 строк «Энеиды» Вергилия.
Не сохранилось никаких записей о каких-либо математических до-
стижениях с этого времени, хотя они должны были быть.

Когда Леонард получил степень магистра в 1723 г., он послушно
последовал желанию своего отца и продолжил обучение в универ-
ситете, чтобы получить докторскую степень по теологии. Этому не
суждено было случиться. Вскоре Эйлер подружился с Иоганном II
Бернулли (1710-1790), и они вместе стали посещать лекции Иоган-
на I Бернулли (1667-1748), отца Иоганна II и брата Якоба, чьи лек-
ции посещал Паулюс. Под влиянием обоих Бернулли молодой Эйлер
погрузился в математику. Иоганн I Бернулли вскоре признал огром-
ные таланты Эйлера и предложил ему частные лекции. Вскоре после
начала занятий Иоганн I писал, что Эйлер

«... был молодым человеком с самыми многообещающими талан-
тами, чей ум и проницательность мы пророчим величайшими, уви-
дев легкость и ловкость, с которыми он проник в самые тайные
области высшей математики под нашим покровительством».
У Эйлера было много возможностей продемонстрировать лов-
кость, о которой говорил Бернулли. В 1726 г. Парижская академия
спонсировала конкурс призов, чтобы определить лучший способ уста-
новки мачт на парусном судне. Хотя у Эйлера не было опыта плавания
на парусных судах в Швейцарии, не имеющей выхода к морю, его ма-
тематический подход был настолько хорош, что он занял второе место.

В том же году Эйлер завершил свою диссертацию по теории зву-
ка под руководством Бернулли. Это позволило ему претендовать на
вакантную должность профессора физики в университете. Несмотря
на его горячую поддержку Бернулли, университет использовал свой
стандартный метод жеребьевки, чтобы сократить число претенден-
тов до трех. Эйлера не было среди трех выпавших жребиев51. Потеря
Швейцарии стала выгодой для России.

В 1724 г., за год до своей смерти, царь Петр Великий подписал
указ об учреждении Академии наук в новой российской столице
Санкт-Петербурге. Петр пригласил в свою новую академию самых
выдающихся ученых Европы, среди которых были Николай II Бер-
нулли (1695-1726) и Даниил Бернулли (1700-1782). Как только они
прибыли в Санкт-Петербург, они рекомендовали академии пригла-
сить в Академию Эйлера, самого блестящего ученика их отца.

Петербургская академия предложила ему кафедру физиологии.
Эйлер быстро согласился и подготовился к своей новой должности,
поступив на медицинский факультет Базеля за три дня до отъезда
в Россию! На самом деле Эйлер предпочел проигнорировать детали
своего первоначального назначения. Вместо этого он читал лекции
по математике, физике и логике.

Эйлер недолго будет работать на кафедре физиологии. Даниил
Бернулли отказался от кафедры физики, чтобы занять кафедру мате-
матики, когда Якоб Герман, ее первый заведующий, вернулся в Ба-
зель в 1730 г. Это позволило Эйлеру занять вакантную должность
профессора физики. Два года спустя Бернулли сам вернулся в Ба-
зель, тем самым позволив Эйлеру занять кафедру математики.

Петр Великий также имел в виду практическую цель, когда ос-
новал Санкт-Петербургскую академию: он намеревался модернизи-
ровать Россию. С этой целью Эйлер внес свой вклад в такие прак-
тические области, как геодезия, картография, навигация и, опять же,
морское строительство.

51 По другим данным, Эйлер вообще не был допущен к жеребьевке, вероятно по
молодости.
Доходы Эйлера от этих обязанностей и его профессорская долж-
ность позволили ему задуматься о перспективе женитьбы. Вскоре
он сосредоточил свое внимание на Катарине Гзель, дочери акаде-
мического живописца (петербургского швейцарца), которая тоже
работала в Академии. Леонард и Катарина поженились сразу после
Рождества 1733 г. Их первый сын Иоганн Альбрехт родился менее
чем через год. В течение следующих 17 лет у Эйлеров родится еще
12 детей. Только пятеро из них пережили раннее детство.

Эйлер часто отмечал, что он сделал многие из своих величайших
математических открытий, держа ребенка в одной руке и с другими
детьми, играющими у его ног. Возможно, именно при таких обсто-
ятельствах он и наткнулся на первое из открытий, представленных
в этой главе. Оно датируется серединой 1730-х гг., вскоре после того,
как он впервые стал отцом.

Анализ бесконечных рядов восходит к рассмотрению древними
греками парадоксов Зенона, особенно в книге V «Физики» Аристоте-
ля. Математика XVII в. предоставила арсенал инструментов, позво-
ливших вступить в новую эру анализа бесконечных рядов.

В конце XVII в. Якоб Бернулли доказал, что гармонический ряд

расходится. Далее он поставил вопрос о том, сходится или расходит-
ся бесконечная сумма обратных квадратов

Для ответа на этот вопрос Бернулли обратился к другим беско-
нечным рядам.

Треугольные числа - это числа, сформированные из сумм по-
ложительных целых чисел от 1 до п. Например, 1 = 1, 3=1+ 2,
6 = 1 + 2 + 3 . Общая формула треугольного числа52 есть

/2	\

\п + п\
------= 1 + 2 + 3 + ... + (я — 1) + и.

Бернулли доказал, что бесконечный ряд обратных треугольных
чисел

52 Она же сумма арифметической прогрессии от 1 до п.
„=1 /7+Н

2

сходится к числу 2. Поскольку I / /? 2 < 2 / (л2 + п), Бернулли легко
доказал, что сумма обратных квадратов сходится к числу, не превы-
шающему 2. Однако он не смог определить это значение. Бернулли
заметил, что «если кому-нибудь удастся найти то, что до сих пор со-
противлялось нашим усилиям, и сообщить нам об этом, мы будем
ему очень обязаны». Эта задача стала известна как «базельская про-
блема» в честь Бернулли.

Нет никаких записей о том, что Эйлер изучал теорию чисел
в Базеле со своим учителем Иоганном I Бернулли, младшим братом
Якоба. Его интерес к этой теме, по-видимому, был вызван в 1729 г.
Кристианом Гольдбахом, первым постоянным секретарем Санкт-Пе-
тербургской академии (в честь его была названа гипотеза Гольдбаха
о том, что каждое четное число больше 2 может быть выражено как
сумма двух простых чисел).

Эйлер начал интенсивную работу над «базельской проблемой»
в 1731 г. и к 1735 г. он решил ее:

«Однако теперь, вопреки всем ожиданиям, я нашел изящное вы-
ражение для суммы ряда “1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ...”, которая
связана с квадратурой круга... Я обнаружил, что шестикратная
сумма этого ряда равна квадрату периметра круга, диаметр ко-
торого равен 1».

Сумма ряда оказалась равной я2 /6. Далее приводится план Эй-
лера этого доказательства.

В 1715 г. английский математик Брук Тэйлор показал, синус мо-
жет быть представлен в виде бесконечного ряда

х3 X5 х7

81ПХ =	+

Эйлер разделил обе части последнего равенства на х и получил

(Заметьте, что величина «-1/3!» - это коэффициент при х2.) По-
скольку синус принимает значения ноль при значении аргумента
±/7Л, то последнее уравнение обладает ненулевыми корнями в точ-
ках ±пп для всех натуральных п.

Далее Эйлер делает смелый шаг. Полином Р(х) степени п. кото-
рый имеет ненулевые корни а3, .... ал и Р(0) = 1, может быть
разложен на множители следующим образом:

Р(х) = (1-х/а1)-(1-х/а2)-(1-х/а3)..(1-х/а„).

Он использует это свойства многочленов конечной степени для
полинома бесконечной степени. Последний был задан синусоидаль-
ной функцией. Сделав это, он приходит к следующему выражению:

Раскрывая скобки в правой части последнего выражения и груп-
пируя коэффициенты при х2, получаем

1	1	1--ХХХ

чл2 4л2	9 л2	,	я2А7=1?72

Теперь вспомним, что при разложении зт (х)/х при члене х2 стоял
коэффициент «- 1/3!». Таким образом,

1 1 1

“6=

ИЛИ	00	<	2

Е1 ТС

//—1 п
что и требовалось доказать!

Используя те же методы, Эйлер также доказал, что бесконечная
сумма обратных четвертых степеней есть л4/90 , бесконечная сумма
обратных шестых степеней есть л6/945 и т.д. вплоть до суммы обрат-
ных 26-х степеней, которая равна 76977927 • (224/27!) • л26. Интерес-
но, что ни одна из бесконечных сумм обратных нечетных степеней
еще не известна.

Эйлер заболел тем, что он описал как «огненную лихорадку»
в 1735 г., вскоре после окончания вышеописанной работы. После
долгого выздоровления он полностью поправился. Ни лихорадка,
ни долгое выздоровление не замедлили математических результатов
Эйлера.
В 1736 г. Эйлер представил один из первых результатов в том,
что он назвал «геометрией размещения» (§еотеРча зИиз). изучение
отношений, зависящих от своего положения, а не от величины. Се-
годня это раздел математики, известный как топология.

Два ответвления реки Прегель встретились в прусском городе
Кенигсберге53 в 600 милях к юго-западу от Санкт-Петербурга, на
острове Кнейхопф. Через реку перекинулись семь мостов.

Жители Кенигсберга задавались вопросом, может ли кто-то
пройти пешком по всем мостам один и только один раз. Вопрос
стал известен как задача о семи мостах Кенигсберга. Большинство
людей сомневалось, что такая прогулка возможна, но никто не мог
этого доказать. Эйлер смог! Ниже приводим эту вторую отобранную
нами задачу Эйлера, где представлен проведенный им анализ.

Эйлер понял, что он может решить проблему мостов, просто пе-
речислив все возможные прогулки, которые пересекали бы мосты не
более одного раза. Однако такой подход его не интересовал. Вместо
этого

он обобщил задачу, чтобы рассмотреть любую конфигурацию
реки и ее частей, на которые она делится мостами, а также
любое количество мостов, чтобы определить, можно ли рассма-
тривать каждый мост ровно один раз.

Эйлер отметил, что сначала рассмотрит последовательность
пройденных участков суши, не рассматривая, какие мосты исполь-
зуются. Если А. В. С и В-это участки суши в задаче о семи мостах,
то АВИС представляет собой последовательность пересечения от А

53 С 1946 г. Калининград, современная территория Российской Федерации.
до В до Б до С. Эйлер начинает свой анализ с рассмотрения чрезвы-
чайно простого случая: два участка суши, А и В, соединенные произ-
вольным числом мостов.

Если один мост соединяется с участком суши А, то А может поя-
виться в последовательности пересечения только один раз, если этот
мост должен быть пересечен только один раз. Если два моста соеди-
няются с Л, то Л может появиться в последовательности пересечения
только дважды, если каждый из этих мостов должен быть пересечен
только один раз. В общем случае если нечетное число ТУ мостов со-
единяется с Л, то Л может появляться в последовательности пере-
сечения только (ТУ + 1)/2 раз, если каждый из мостов должен быть
пересечен только один раз.

Возвращаясь к конкретным деталям проблемы Кенигсбергера, Эй-
лер отметил, что нечетное число мостов соединено с каждой из обла-
стей суши: пять с Л, по три с В, С и Б каждый. Учитывая только что
описанный результат, пересечение должно содержать Л три раза и В. С
и по два раза каждый, в общей сложности девять букв в последова-
тельности пересечения. Однако если каждый из семи мостов должен
быть пересечен только один раз, такая последовательность пересечения
может содержать только Л, В, С и Б в общей сложности восемь раз.
Хотя Эйлер решил проблему Кенигсбергера, он не остановился на этом.

Он продолжил исследование в этой области, заметив, что если
четное число мостов соединяется с Л, то Л может появиться в по-
следовательности пересечения только 7У/2 + 1 раз, если Л является
отправной точкой для путешествия. И только 7У/2 раз, если Л не явля-
ется отправной точкой для путешествия (т.е. если каждый из мостов
должен быть пересечен только один раз). Сформулировав вышеска-
занное, Эйлер далее утверждает следующее:

«Каждый маршрут должен начинаться в некоторой области.
Следовательно, из числа мостов, ведущих в каждую область,
я определяю число раз, когда соответствующая буква будет
встречаться в выражении для всего маршрута следующим об-
разом: когда число мостов нечетно, я увеличиваю его на единицу
и делю на два; когда число четно, я просто делю его на два. Тогда
если сумма полученных чисел равна фактическому числу мостов
плюс один, то путешествие может быть завершено, хотя оно
должно начинаться в области, приближенной к нечетному числу
мостов. Но если сумма на единицу меньше, чем число мостов
плюс один, то путешествие осуществимо, если начать с обла-
сти, к которой приближается четное число мостов, ибо в этом
случае сумма снова увеличивается на единицу»

Современная топология теперь рассматривает участки суши
и мосты как вершины и ребра, соединяющие вершины.

Лихорадка вернулась к Эйлеру вскоре после того, как он закон-
чил свою работу над проблемой семи мостов. К 1738 г. он потерял
зрение в правом глазу.

Тем временем вдова Петра Великого императрица Екатерина I,
взойдя на трон, продолжала политику либерализации. Однако она
умерла в 1727 г., в тот год, когда Эйлер прибыл в Россию, и за ней
последовала быстрая смена слабых правителей, при которых доми-
нировало старое русское дворянство. С годами дворяне, желавшие
вернуть страну на старые пути развития, стали относиться к ино-
странцам с еще большим подозрением. Святейший синод Русской
православной церкви выступил против Академии из-за преподава-
ния новых наук вообще и коперниканской астрономии в частности.

В то время как Россия шла по пути делиберализации, на Запа-
де на трон взошел новый король, который избрал противоположный
путь для своей страны: Фридрих II, также известный как Великий,
взошел на прусский престол в 1740 г. и сразу же задумал возродить
Академию наук в своей столице Берлине, чтобы быть равным акаде-
миям в Париже, Лондоне и Санкт-Петербурге. Эйлер получил одно
из первых приглашений вступить в новую академию и быстро при-
нял приглашение.

Новый директор Петербургской академии Иоганн Шумахер был
бюрократом, главной целью которого, по словам Эйлера, было «по-
давление таланта везде, где он мог бы поднять свою неудобную го-
лову». По его словам, Россия стала «страной, где любой человек,
который говорит, повешен». Жена Эйлера тоже стремилась уехать из
Петербурга, опасаясь частых пожаров, которые могли поглотить их
деревянный дом.

Эйлер покинул Санкт-Петербург в июне 1741 г., опубликовав бо-
лее 50 книг и статей за 14 лет своего пребывания в новой российской
столице. Через месяц он прибыл в Берлин и в итоге пробыл там еще
четверть века.
Находясь в Берлине, Эйлер продолжал неустанно работать. Он
был настолько плодовит, что около 380 новых статей заполнили стра-
ницы журналов академий как в Берлине (на французском языке),
так и в Санкт-Петербурге (на латыни). В этот период Эйлер также
написал ряд популярных учебников. Его «Механика» была первой
работой, в которой законы движения Ньютона были представлены
в рамках нового исчисления бесконечно малых величин.

Работа Эйлера «Введение в анализ бесконечного», впервые опу-
бликованная в 1748 г., является его самым известным учебником этого
периода. В этой двухтомной работе Эйлер представил сумму обратных
квадратов, а также практически все другие результаты математическо-
го анализа, известные тогда без использования методов нового и все
еще спорного исчисления бесконечно малых. Этот текст познакомил
поколения читателей с символами со$ и $т для тригонометрических
функций, с числом п, чтобы представить отношение длины окруж-
ности к ее диаметру, с мнимой единицей / для обозначения и,
наконец, символ е для обозначения основания натуральных логариф-
мов. Неудивительно, что многие историки математики считают «Вве-
дение» равным «Элементам» Евклида с точки зрения вклада в науку.

Самая продаваемая книга Эйлера этого периода родилась из
его уроков элементарных наук, которые он давал юной принцессе
Анхальт-Дессау. Эйлер опубликовал их в виде «Писем Эйлера по
различным предметам натурфилософии, адресованных одной не-
мецкой принцессе». Книга содержит более 200 писем по таким раз-
личным областям, как логика, язык, астрономия, гравитация, свет,
звук и магнетизм. Кроме того, есть письма по конкретным вопросам,
таким как почему небо голубое, почему Луна выглядит больше, ког-
да она поднимается, и почему холодно на вершине горы в тропиках.
Наконец, поскольку Эйлер был также ответственен за моральное
воспитание принцессы, в «Письмах» содержатся его мысли о проис-
хождении зла и обращении грешников.

Помимо своей писательской деятельности Эйлер находил время
и для выполнения многих других, более практических работ. Король
поручал Эйлеру множество задач на благо королевства. Они вклю-
чали в себя корректировку уровня Финова канала, главного канала
торговли в Восточной Пруссии, а также организацию государствен-
ных лотерей и консультирование правительства по вопросам стра-
хования, финансовой ренты и пенсий вдов. Эйлер также руководил
обсерваторией Академии и ее ботаническим садом. Фридрих даже
попросил Эйлера проследить за работой водопроводной системы
в Сан-Суси, королевской летней резиденции.
Эйлер надеялся стать президентом Академии после того, как ее
первый президент Пьер де Мопертюи умер в 1759 г. В конце концов,
он был величайшим ученым в Европе середины века. Однако Эй-
леру не хватало нескольких ключевых качеств, требуемых королем:
он был скорее швейцарец, чем француз; более того, к тому времени
Эйлер и его семья жили на ферме за пределами Берлина, что вряд
ли было признаком светского лоска, который Фридрих очень ценил;
в конце концов король Фридрих назначил новым президентом Ака-
демии другого француза, Жана ле Ронда д’Аламбера. Разочарован-
ный Эйлер немедленно решил покинуть Берлин.

Эйлер оставался в чрезвычайно теплых отношениях со своими
бывшими коллегами в Санкт-Петербурге на протяжении четверти
века, проведенного в Берлине. В знак признания заслуг, оказанных
им ранее, Академия в Санкт-Петербурге регулярно присылала ему
стипендию, даже когда Россия и Пруссия были вовлечены в Семи-
летнюю войну.

К середине 1760-х гг. восхождение императрицы Екатерины Ве-
ликой восстановило в России достаточный уровень политического
порядка, чтобы Эйлер с радостью принял предложение вернуться
в Санкт-Петербург. Когда он впервые написал королю с просьбой
об освобождении, тот просто отказался отвечать. После еще двух
прошений об отставке король написал в ответ, что Эйлер должен
отозвать свою отставку и прекратить беспокоить его. Только вмеша-
тельство Екатерины Великой убедило Фридриха освободить Эйлера.
Король сделал это, послав краткую записку, которая гласила: «Со
ссылкой на ваше письмо от 30 апреля Я даю вам разрешение подать
в отставку, чтобы отправиться в Россию».

Эйлеры вернулись в Санкт-Петербург летом 1766 г. и поселились
в доме на набережной Невы, недалеко от Академии. В Санкт-Петер-
бурге жизнь Эйлеров будет нелегкой. В последние годы жизни в Бер-
лине у Леонарда развилась катаракта на здоровом левом глазу. Она
стала намного тяжелее после того, как он вернулся в Россию, и он
решил удалить пораженный хрусталик хирургическим путем. Пона-
чалу казалось, что операция прошла успешно. Однако возникли ос-
ложнения, и вскоре Эйлер потерял способность пользоваться левым
глазом, оставшись со скудным зрением на всю оставшуюся жизнь.

Вскоре худшие опасения Кэтрин оправдались: в мае 1771 г.
страшный пожар охватил Санкт-Петербург, уничтожив более 500 до-
мов вдоль Невы, включая дом Эйлеров. Только старания Петера
Гримма, храброго ремесленника из Базеля, спасли почти слепого
Эйлера и его рукописи от гибели, когда его дом загорелся.
Два с половиной года спустя Эйлер овдовел: в ноябре 1773 г. его
жена внезапно умерла в возрасте 66 лет. Эйлер продолжал работать,
несмотря на потерю зрения и жены. В 1775 г. он писал в среднем
по одной математической работе в неделю, диктуя их писцу. Несо-
мненно, поразительная память Эйлера, позволившая ему в юности
запомнить «Энеиду», позволила ему продолжить свои исследования.
Второй пример работы Эйлера, представленный здесь, его доказа-
тельство того, что каждое целое число может быть выражено как сум-
ма не более четырех квадратов, датируется этим периодом.

В 1621 г. французский математик Клод Баше предположил, что
каждое положительное целое число может быть выражено как сумма
не более четырех квадратов. Великий математик-самоучка Пьер де
Ферма несколько продвинулся в решении этой проблемы, но не смог
предоставить удовлетворительное доказательство. Эйлер смог.

В своем доказательстве Эйлер использует модулярную арифме-
тику. Его доказательство критически зависит от того, что если чис-
ло к не делится на У, то (аИ + к)2 и (аУ — к)2 имеют один и тот же
остаток, который делится на ТУ. Таким образом, если ТУ - нечетное
простое число, то половина чисел вида + Ь для Ь = 1,2, ..., ТУ- 1
являются квадратами по модулю ТУ, а половина-нет.

Примерно в то же время, когда Эйлер опубликовал это доказа-
тельство, английский математик Эдвард Уоринг расширил первона-
чальную гипотезу Баше и без доказательств утверждал следующее.
Каждое положительное целое число также может быть выражено
как сумма не более 9 кубов, не более 19 четвертых степеней, и во-
обще для любой степени К существует такое значение 5, что каждое
положительное целое число может быть выражено как сумма не бо-
лее 8 К-ых степеней. В 1909 г. немецкий математик Давид Гильберт
доказал гипотезу Уоринга!

Эйлер прожил еще 10 лет после смерти жены, женившись на ее
сводной сестре в июле 1776 г. В начале сентября 1783 г. он начал
страдать от приступов головокружения. В сентябре 7-е число нача-
лось как обычный день для Эйлера. Он провел утро, обучая одного
из своих внуков, а затем работал над расчетами орбиты недавно от-
крытой планеты Уран. Позже в тот же день, когда он пил чай и курил
трубку, трубка выпала у него из рук. Когда он попытался поднять
трубку, то потерпел неудачу и вскоре рухнул с криком: «Я умираю».
У Эйлера случился инсульт. Он умер позже той же ночью, не прихо-
дя в сознание. Журналу Академии потребовалось более 20 лет, что-
бы опубликовать все его оставшиеся рукописи.
О СУММАХ РЯДОВ ОБРАТНЫХ
ВЕЛИЧИН

§ 1. В связи с рядами величин, обратных степеням натуральных
чисел, уже было проделано столько работы, что кажется невозмож-
ным открыть здесь что-нибудь новое. Ведь почти все, кто размышлял
над суммами рядов, исследовали и суммы этого вида-будучи, одна-
ко, не в состоянии выразить их в доступной форме. Я тоже, несмотря
на неоднократные усилия, испытывая для суммирования этих рядов
различные методы, сумел лишь приблизить значения их сумм или
свести эти суммы к квадратурам трансцендентных кривых; первое
описывается в следующей статье, а второе я изложил в предыдущих.
Имею в виду ряды дробей с числителем 1, чьи знаменатели будут
квадратами, кубами или другими степенями натуральных чисел;
к этому типу принадлежат ряды 1 + |	|	+ и т.д., затем

1 + "8 + 27 + 64 + и т.д. и точно так же для высших степеней - их
общий член содержится в выражении ±

х2

§ 2.	Недавно я нашел-совершенно неожиданно - изящное выра-
жение для суммы ряда 1 + |	|	+ и т.д., зависящее от квадра-

туры круга, так что если получена истинная сумма этого ряда, из нее
сразу следует квадратура круга. А именно, я нашел шестикратную
сумму этого ряда равной квадрату периметра круга, диаметр которо-
го 1; или если положить сумму ряда = 5, тогда -/бя будет к числу 1
в отношении периметра к диаметру. В самом деле, недавно я показал,
что сумма этого ряда есть приблизительно 1,644934066842264364;
умножив это число на 6 и затем взяв квадратный корень, находим
то самое число 3,141592653589793238, выражающее периметр кру-
га с диаметром 1. Вновь следуя тем же путем, каким пришел к этой
сумме, я обнаружил, что сумма ряда 1 +	+ и т.д.

тоже зависит от квадратуры круга. А именно, его сумма, умножен-
ная на 90, дает биквадрат периметра круга, имеющего диаметр 1.
Рассуждая так же, я смог определить и суммы последующих рядов,
показатели которых четны.

§ 3.	Поэтому хочу во всех подробностях объяснить, как я выпол-
нил это, представить все в той последовательности, в какой я этим
распорядился. В круге АВМЫА с центром С, имеющем радиус Л С или
ВС = 1, я рассмотрел дугу АМ. синус которой есть МР. а косинус СР.
Если положить дугу АМ = 8. синус РМ = у. косинус СР = х. тогда
согласно хорошо известному методу синус у. как и косинус х. опре-
деляется (бесконечным) рядом исходя из данной дуги 8. поскольку

3	5	7

МОЖНО видеть, ЧТО >' =	+ I -2 .'з Л-5 “ 1 -2-3-4.5-6 .7 +

2	4	6

и т.д., а также х = 1 -	+ х.	3.4 ~ х .2 . / 4 • 5 • 6 + и т-д- Рас"

смотрение именно этих уравнений привело меня к вышеназванным
суммам рядов обратных величин; причем оба уравнения могут быть
использованы с одинаковым успехом, приводя к одним и тем же ре-
зультатам, поэтому достаточно рассмотреть лишь одно из них - что
я и изложу.

3	5

§ 4.	Итак, первое уравнение у = 8 — х. 2.3 + Г-2 .3.4.5 —

7

———з . 4.5 . 6 . 7 +и т.д. выражает отношение между дугой и си-
нусом. Из него по данной дуге можно найти ее синус и подобным
же образом по данному синусу его дугу. Сейчас мне нужно рассма-
тривать синус как данный, и я буду исследовать возникновение дуги.
Здесь следует отметить, что поскольку одному и тому же синусу у со-
ответствует бесчисленное множество дуг, то все они удовлетворяют
данному уравнению. Понятно, что если в этом уравнении 8 является
неизвестным, то оно будет иметь бесконечно много степеней и нико-
го не удивит, что уравнение это будет содержать бесконечное число
простых сомножителей, которые, если брать их равными нулю, дадут
нам соответствующие значения 5.

§ 5.	Более того, если бы все сомножители этого уравнения
были известны, то и все корни его, или значения 5, тоже были бы
известны; с другой стороны, располагая всеми значениями 5, мы
получаем и все сомножители этого уравнения. Поскольку для меня
легче определить сомножители, чем корни, я преобразую данное

уравнение к такому виду: 0=1-^+ х у - 12 3^4 5 у +

и т.д. Если теперь все корни уравнения, то есть все дуги с одним
и тем же синусом у, будут Л, В, С, В, В и т.д., то его сомножите-

лями будут такие количества: 1 — 4, 1 — 4, 1 — 4, 1 — 4 и т.д.

Откуда получается 1 -	, /3.-----, - /5. ,-----ь и т.д.

'	'	у I •2•3•у 1-2-3-4-5-у

= ит'д'

§ 6.	Но из самой природы решения уравнений ясно, что коэффици-
ент члена, в котором появляется 5, то есть у, равен сумме всех коэф-
фициентов при 5 в сомножителях, а значит,

и т.д. Далее, коэффициент при 52, который = 0, поскольку этот член
не появляется в уравнении, равен сумме произведений из двух чле-
нов ряда	и т.д. В свою очередь, .2*з - у будет

равно сумме произведений из трех членов ряда	и т.д.

И тем же образом окажется, что 0 = сумме произведений из четырех
членов этого ряда, а + ——3 *4.5	= сумме произведений из пяти

членов того же ряда и т.д.

§ 7.	Но если положить, что АМ = А есть наименьшая дуга, чей
синус РМ=у, а полупериметр круга =р. тогда А, р-А, 2р+ А, Зр-А,
4р + А, 5р -А, 6р + А и т. д. и подобно им -р -А. -2р + Л, - Зр -А. -4/7 +Л,
-5р -А и т.д. будут всеми дугами с одинаковым синусом у. Посколь-
ку

темсамыммыпредположили,чторяд	-^ит.д.переходит

Л’ р—Л’ — р—Л’ 2/?+Л’ — 2р+А’> Зр—А’ —Зр—А’ Ар+А’ —^р+А
и т.д., постольку сумма этих членов = у; далее, сумма произве-
дений, составленных из двух членов этого ряда, равна 0; сумма

произведений, составленных из трех членов, = —2 3— ; сумма

произведений из четырех членов = 0; сумма произведений из пяти

= 12 3+14. 5	; сумма произведений из шести = 0 и т.д..

§ 8.	С другой стороны, если рассматривается произвольный ряд
а + 6 + с + б7+е+/+ит.д., сумма которого есть а, сумма произве-
дений из двух членов = р, сумма произведений из трех членов = у,
сумма произведений из четырех членов = 8 и т.д., то сумма квадратов
всех членов будет а2 + Ь2 + с2 + сР + и т. д. = а2 - 2Р; сумма кубов а3
+ Ь3 + с3 + Л3 + и т.д. = а3 Зар + Зу; сумма биквадратов = а4 - 4а2р
+ 4ау + 2р2 - 48. Чтобы сделать понятным возникновение этих фор-
мул, мы положим сумму членов а. Ь, с, с1 и т.д. = Р, сумму квадратов
членов = (Р сумму кубов = Л, сумму биквадратов = 5, сумму пятых
степеней = Р, сумму шестых степеней = Пи т.д. При этом у нас бу-
дет: Р = а; 2 = Ра - 2р; А = 2а - Рр + Зу; А = Аа - 2р + Ру - 48;
Т= Аа-Лр + 2у-Р8 + 5е и т.д.

§ 9.	Поскольку у нас в случае ряда	2^+а’

А—:, , 1 ,, ——т и т.д. сумма всех членов, то есть а, будет
= у, сумма произведений из двух, то есть р = 0, и затем, для
большего числа членов, у = .	—; 8 = 0,8= . п с—,

— 0 и т.д., тогда сумма всех членов этого ряда будет Р = у;
сумма квадратов этих членов 2 = у = сумма кубов
этих членов К = у — ±.2 • у > сУммавсех биквадратов 8 = у — —2Р3	.

И затем чередою: Т =	х. 2б3.7 х. 2 .4 .

+_______р_____• мл=е______5___।_______е______________1___________

' I • 2 • 3 • 4 • 5 • у ’ у	1-2-3-4-5-6-_у’

С помощью этого правила легко определятся суммы остальных
высших степеней.

§ 10.	Мы теперь положим синус РМ = у равным радиусу, так что
у = 1. Наименьшая дугаЛ, синус которой есть 1, будет четвертой час-
тью периметра, = | р, или же, если обозначить как с/ четвертую часть
периметра, будет Л = с/ ир = 2д. Вышенаписанный ряд поэтому обра-

тится в такой:	—-у-, +т~, +т~, —^7-, — +7Г-, и

т.д., где члены возникают равными парами. Итак, сумма этих чле-
нов, которая есть | (1 — | + | — 7 + 9“ ц + и т.д.), составляет
Р = 1. Отсюда следует, что выражение 1 — | +1 — | + 9 — ц +
и т.д. = -| = -д- При учетверении этот ряд равен полупериметру
круга с диаметром 1. Действительно, это тот самый ряд, открытый
некоторое время назад Лейбницем, через который он определил ква-
дратуру круга. Благодаря этому - если наш метод покажется кому-то
не вполне надежным - здесь приходит сильное подтверждение; по-
тому не должно уже быть сомнений во всем остальном, что будет
получено этим методом.

§ 11.	Теперь мы соберем квадраты членов, возникающих в случае

У = 1, и появится ряд +4- + X + □_ +	+	+	+ и т.д.,

д д Эд Эд 25д	25д

сумма которого (1 + |—25 + 49 + и т.д.) и который будет тогда
равен <2 = Р = 1. Из этого следует, что сумма ряда 1+9 + 25 + 49
и т.д. = -у = где р означает полный периметр круга с диамет-
ром = 1. Но сумма ряда 1+9 + 25 + ит-д- определяет и сумму ряда
1+4 + 9 + 1^+25 + 49 + и т.д., потому что последний ряд минус
четверть самого себя дает предыдущий ряд, так что сумма предыду-
щего ряда плюс треть ее равна сумме последнего ряда. Откуда будет
1 + 4 + 9 + Щ + 25 + 49 + ИТ-Д- =	' Действительно, сумма это-

го ряда, умноженная на 6, равна квадрату периметра круга с диамет-
ром 1; это как раз то утверждение, о котором я упомянул в самом
начале.

§ 12. И поскольку в случае у = 1 оказывается Р = 1 и 0 = 1, значе
ния других букв будут следующими: К = ; 5 = |; Т =	; V =

IV = 7Л) ’ % = згГ и т-д- $атем’ так как сумма кубов равна Л = |,
будет	(1 —т + -у —у + -у — и т.д.) =1. Отсюда получается

1 —	и т.д. = тр = зу • То есть сумма этого

ряда, умноженная на 32, дает куб периметра круга с диаметром 1.
Подобным же образом сумма биквадратов, которая есть
я

(1 + +- + +- + +- + +- + И т.д.), должна равняться |, и оттого будет
4	4

1	+ ^ + ^ + ^ + ^- + и т.д. =	• Но этот ряд, умноженный

на Ц, равен памятному ряду 1 + ^- + ^ + ^- + ^ + -^- + и т.д.,
исходя из чего это равняется ; можно сказать, что сумма ряда
1 + +- + +- + +- + и т.д., умноженная на 90, дает биквадрат пери-
метра круга с диаметром 1.

§ 13.	Суммы более высоких степеней можно найти таким же пу
тем; если последовать далее, то окажется, что 1 —	— ут + ^г-
и т.д. =	, а также 1 + ^ + ^ + ^ + ^+ и т.д. = ^ = ^.

И действительно, найдя сумму этого ряда, мы можем
немедленно определить сумму ряда 1 + + + + +
и т.д., что будет = Затем для седьмых степеней будет
1-7 + 7-77 + ^- и Т.Д. =^0 = 1^20, а для восьмых
1 _1_ 1 _1_ 1 _1_ 1 _1_ 1 _1_	17о8	17о8

1 + ? + ?’+78' + ?’+ ит,д' = от = 161280 ’ 0ТКУДа выводим,
что 1 + 7 + 7 +	+ 7 +	+ и т.Д. = 9^50 • Следует обратить

внимание на то, что в этих рядах степеней знаки членов с нечетными
показателями чередуются, в то время как для четных степеней они
одинаковы; по этой причине сумма общего ряда 1 + ^- + ^- + ^- +
и т.д. может быть представлена только в случаях, когда п есть четное
число. Кроме того, нужно заметить, что если бы общий член ряда
1, 1,	|,	и т.д. мог быть определен (его частные

значения мы искали как буквы Р, (А К, 8 и т.д.), то одновременно
была бы дана и квадратура круга.

§ 14.	При этом мы все время принимали синус РМ равным ра-
диусу. Мы можем также посмотреть, какого вида ряды получа-
ются, если за у принимать другие величины. Так, если у = Д=,
то наименьшая дуга, отвечающая этому синусу, есть ^р. По-
этому если положить А =	, то ряд простых членов, или пер-
вых степеней, будет +	+	+ и т.д. Сум-

ма Р этого ряда равна 1 = ^2 . Следовательно, получается, что
т4у=1 + |- |- | + | + п- ^- ^+ И т.д.; правило зна-
ков этого ряда отличается от правила Лейбница и уже было пре-
жде сообщено Ньютоном. Сумма квадратов этих членов, имен-
но Ц- (1+9 + 25 + 49+ и т.д.), равна 0 = 2. Поэтому будет
1+9 + 25 + 49 + и т.д. = ^-, как это и было найдено раньше.

§ 15.	Если берется Л = тогда наименьшая дуга, отвечаю-
щая этому синусу, будет 60° и тогда А = В этом случае по-
явится следующий ряд членов: + + Л— _2— Л__ь_2__ь_з—

'	р ' 2р Ьр 5р ' /р ' ър

и т.д., а сама сумма этих членов равна + = Поэтому у нас
будет = 1 + | - 1 - 1 1	+ и т.д. Сум-

ма же квадратов этих членов = -у = 4 > откуда следует, что
у 3

^- = 1 + | + ^ + ^ + ^ + ^ + И т.д., так что внутри этого
ряда третий член всегда пропускается. По существу, этот ряд за-
висим от ряда 1+4 + 9 + ]^+ и т.д. (сумма которого ранее была
найдена как =	. ибо последний, уменьшенный на свою девя-

тую часть, равен вышеуказанному ряду, чья сумма и будет поэто-
му = ^-(1 —	. Подобным же образом когда берутся другие

синусы, то возникают новые ряды для простых членов, для их ква-
дратов и для более высоких степеней, по-прежнему заключающие
в себе квадратуру круга.

§ 16.	Однако если положить у = 0, то рядом этого типа пользо-
ваться уже нельзя, потому что у стоит в знаменателе - ведь перво-
начальное уравнение было разделено на у. Хотя, с другой стороны,
в этих условиях можно построить иной ряд, который даст нам ряды
вида 1 + +- + +- + +- + и т. д., где п - четное число; а что касается
сумм, которые будут найдены, я уже умею их выводить отдельно от
случая у = 0. Теперь, если мы возьмем у = 0, основным уравнени-
ем становится 0 = ^~ х. 2?з  у + 1 • 2  з" 4 • 5 ~ 1  2  3  4?-5  6  7 +
и т.д., и корни этого уравнения представляют собою все дуги, си-
нус которых = 0. Имеется один минимальный корень 8 = 0, так
что если поделить уравнение на 5, оно даст нам все остальные
дуги, синус которых = 0, причем эти дуги суть все корни уравне-

2	4	6

ния 0 = 1-	+ 1.2/3.4.5 - Т-27371-576-7 + И Т’Д’ СаМО

собою, дуги с синусом = 0 будут р. - р. 2р. - 2р. Зр. - Зр и т.д.,
из которых вторая в каждой паре отрицательна, о чем говорит
нам и само уравнение, поскольку измерения 8 четны. Значит, де-

лителями этого уравнения будут 1 — , 1 + , 1 —	, 1 +

и т.д. и при соединении каждой пары делителей вместе по-
лучится: 1 -	+ ! . 2 /34. 4.5 - Ь2.3.4.5.6.7 + И Т’Д’

§ 17.	Из природы уравнений ясно, что коэффициент при 88. то есть

1 9 о , равен -у Н—Ч Н—Ч Н—Ч" + и т.д. Сумма же произведений
р 4р 9р 16р

из двух членов этого ряда будет = ——3.4.5 ; сумма произведений
из трех = х.2-3-4-5-6-7 и т-д- ® связи с этим все будет как в § 8:
“ = г4“з ’ Р = 1-2-3-4-5 ’ V = 1  2  3  4  5  6  7 и Т'Д’ Полагая так-
же сумму членов	Н—Ц- Н—Ц- Н—Ц- + и т.д. = Р. а сумму квад-

72	4/2 9р 16/2

ратов этих членов = <2. сумму кубов = Р. сумму биквадратов = 8

ит.д., согласно § 8 найдем: Р = ос = х 3 =	2 =	~ 2Р =
л = 2а-рр + 37=^5; 5 = 7га-ер + Р7-4о = ^о ;

Т = 5а - 7?р + 0^-Ра-5е.=	;

И = Та-5₽ + 7?7-ео + ^-6^ = ^з555 ИТ-Д-

§ 18. Из этих наблюдений происходят следующие суммы:

1 1111	Р2 * „

1 Ч—у Ч—у Ч—у Ч—у Ч- и т.д. —	— Р

22 З2 42 52	6

1	1111	Р4 * „

+Т+7+Т+7+ ИТ’Д’ " 90 "е

1	1111	/

1 Ч-7" Ч-7" Ч-7- Ч-7- Ч- И Т.Д. — — — К

26 * З6 46	56	945

,	1111	/

1 Н—о- Н—о- Н—о- Н—о- + и т.д. —	— 5!

28 * З8 48	58	9450

.1^111	_ Р _т

1 Н-77Г Н-77Г Н-77Г Н-77Г + И Т.Д. —	— Т

210	З10	410	510	93555

212 + 312 + 412 + 512

691/?12

6825  93555

эти ряды суммируются по данному правилу, при изрядном количе-
стве труда для высших степеней. Также, деля каждый из этих рядов
на предыдущий, мы получаем следующие равенства:

2 г о 150	21/?	10Я	99Т	6825И

р = ЬР =	= -^ =	= облэр и т д , где каждое ВЫра

жение равно квадрату периметра круга с диаметром 1.

§ 19. Хотя приближенные суммы данных рядов могут быть уста-

новлены легко, они мало помогают нам для выражения приблизи-

тельного периметра круга - из-за наличия квадратных корней, ко-

торые приходится вычислять. Из более ранних рядов, которые мы

здесь нашли, можно извлечь некоторые выражения, равные самому

периметру р. Они таковы:
Р (	3+ 5 7 + 9 ц+ит'д')

+	+	+	+ 772 + И Т. Д.

__ г\	Э	Э	/	У	11

Р 1 — — -I- — — ' -I- —-----' -I- и т д

I з Т 5	7'9 и -I- И 1. д.

1 —V +	Л	—т +	А- —Ц-	+	ит. д.

= 4 З3	53	73	93	II3

р 1 + 4- + 4‘ + 4_ + 4_ + А+ит-д-

З2	52	72	92	Н2

1 + ^ +	^	+ ^ +	^ + А	+	и т. д.

__	Э	Э /	У 11

Р 1 — '-----к —---' -к —--' ~к И Т Д

1 З3 + 53	73 + 93 1Р+ИТ-Д-

= 16	+ ^~^+^~тр +ит-д-

Р 5 1 + ±- + ±- + ±- + ±- + -Ь + ит.д.

_ 251 + ^ + ^ + / + ^> +гк + и т-д-

Р 8	1—т + Л—т +Л—Ц- + ит. д.

З5 55	75	95 II5

_ 192	'	'	' к "11

Р~ 61 1 + у + у + к+? +тк + ™
СЕМЬ МОСТОВ КЕНИГСБЕРГА

1.	Геометрия величин была в прошлом предметом тщательных
исследований, но в геометрии есть и другое направление, которое до
сих пор оставалось почти что неизвестным. Первым о нем заговорил
Лейбниц, назвав его «геометрией положений» (Сеот&па зИиз). Это
направление геометрии занимается отношениями, которые зависят
исключительно от положения, и предметом исследования являются
свойства положений без учета величин и без каких бы то ни было
вычислений с участием величин. Но до сих пор нет удовлетвори-
тельного определения ни для задач, относящихся к геометрии по-
ложений, ни для методов, используемых для их решения. Недавно
была сформулирована задача, которая хотя и напоминала геометри-
ческие, но при этом оказалась устроена так, что не требовала опре-
деления величин и не могла быть решена путем численных расчетов,
и поэтому я не колеблясь отнес ее к геометрии положений, особен-
но учитывая, что для ее решения требовалось рассмотрение одних
лишь положений, а расчеты оказываются бесполезны. В этой статье
я изложу найденный мною метод решения такого рода задач, кото-
рый может служить примером геометрии положений.

Рисунок 1

2.	Задача, которая, как я понимаю, хорошо известна, формули-
руется следующим образом: в прусском городе Кенигсберге есть
остров А под названием Кнайпхоф, который омывается двумя рука-
вами реки Прегель, как это изображено на рисунке 1. Через эти два
рукава перекинуты семь мостов - а. Ь, с. е./тл §. Вопрос состоит
в том, можно ли спланировать маршрут таким образом, что перейти
через каждый из этих мостов один и только один раз. Мне говорили,
что хотя некоторые отрицали такую возможность, а другие сомне-
вались, никто не считал это реально возможным. Исходя из выше-
изложенного, я сформулировал для себя следующую общую задачу:
для любой заданной конфигурации реки и рукавов, на которые она
разделяется, а также произвольно заданного числа мостов устано-
вить, можно ли [обойти все мосты], пройдя по каждому из них ровно
один раз.

3.	Конкретную задачу о семи мостах Кенигсберга можно решить
путем перебора всех возможных путей, чтобы таким образом найти,
какой же из них (если таковой вообще имеется) удовлетворяет по-
ставленному условию. Но этот метод слишком утомительный и труд-
ный по причине большого числа возможных комбинаций, а в случае
других задач со значительно большим количеством мостов он ока-
зывается вообще неприменимым. При рассмотрении задачи выше-
описанным образом приходится иметь дело с огромным количеством
деталей, не имеющих отношения к задаче, и, несомненно, именно
с этим связана столь большая трудоемкость метода. Поэтому я отка-
зался от него и занялся поиском другого, более специализированного
метода-а именно метода, который бы позволил ответить всего лишь
на вопрос, можно ли вообще найти удовлетворяющий данному усло-
вию маршрут. На мой взгляд, такой подход должен оказаться гораздо
проще.

4.	Весь мой метод опирается на обоснованный и удобный спо-
соб 1 обозначения переходов через мосты. Я использую прописные
буквы Л, В, С. О для обозначения областей суши, отделенных друг
от друга рекой. Так, я обозначаю переход из области А в область В
через мост а или Ъ последовательностью букв АВ, первая из которых
обозначает область, из которой путешественник вышел, а вторая -
область, в которую он пришел, перейдя через мост. Если путеше-
ственник потом переходит через мост/из области В в область О, то
это переход обозначается буквами ВО; последовательность из двух
переходов АВ и ВО я обозначаю просто в виде последовательности
трех букв АВО, поскольку средняя буква В обозначает как область,
в которую [путешественник] попадает после первого перехода, так
и область, из которой [он] начинает свой второй переход.

5.	Аналогично, если путешественник далее переходит из области
О в область С по мосту С, то я обозначаю такие три последователь-
ных перехода набором четырех букв АВОС. Эти четыре буквы озна-
чают, что путешественник, который вначале находился в области А,
перешел [по мосту] в область В, потом в область О и, наконец, в об-
ласть С; а поскольку эти области отделены друг от друга [водами]
реки, то путешественник вынужден был перейти через три моста.
Переход через четыре моста представляется в виде набора из пяти
букв, а если путешественник переходит через произвольное число
мостов, то его путь обозначается последовательностью из букв чис-
лом на одну больше количества мостов. Например, для обозначения
семи переходов через мосты нужно восемь букв.

6.	В этом методе мне не важны [конкретные] мосты, через кото-
рые осуществляется переход; это, значит, что если из одной области
можно попасть в другую по одному из нескольких мостов, то не важ-
но, какой из них используется, главное - попасть в нужную область.
То есть если можно проложить маршрут по семи мостам Кенигсбер-
га так, чтобы перейти через каждый из мостов один и только один
раз, то такой маршрут можно обозначить строкой из восьми букв,
и в этой строке комбинация АВ (или ВА) должна встречаться дваж-
ды, потому что области А и В соединены двумя мостами а и Ь; ана-
логично, комбинация АС должна встречаться дважды, а комбинации
АО, ВО и СО должны встречаться по одному разу.

7.	Вопрос теперь сводится к тому, можно ли образовать из че-
тырех букв А, В, С и О восьмибуквенную последовательность,
в которой упомянутые выше комбинации встречались бы заданное
число раз. Но перед тем, как приступить к поиску требуемой по-
следовательности, стоит убедиться, что ее существование возмож-
но в принципе. Ведь если окажется, что такая последовательность
в действительности невозможна, то усилия по ее поиску окажутся
потраченными впустую. Поэтому я занялся поиском правила, кото-
рое позволило бы без труда установить осуществимость требуемой
по следовательно сти.

Рисунок 2

8.	Чтобы найти такое правило, рассмотрим одну область А, к ко-
торой ведет произвольное число мостов а, Ь, с, с1 и т.д. (рисунок 2).
Сначала рассмотрим только один из этих мостов - мост а. Если пу-
тешественник переходит этот мост, то он либо был в области А до
перехода, либо же попал в область А после перехода, то есть в соот-
ветствии с вышеописанным способом обозначения буква А должна
встретиться ровно один раз. Если в область А можно попасть по трем
мостам а. Ь, с и путешественник проходит по всем трем, то в обозна-
чении такого маршрута буква Л должна встретиться два раза, незави-
симо от того, начинается ли маршрут с области Л. А если в область Л
можно попасть по пяти мостам, то в обозначении маршрута, при
котором путешественник проходит по всем этим мостам, буква Л
должна встретиться три раза. При нечетном числе мостов к этому
числу следует прибавить единицу и полученное число разделить по-
полам - результат равен числу вхождений буквы Л.

9.	Вернемся к кенигсбергской задаче (рисунок 1). Поскольку
у нас пять мостов, а. Ь, с, с1, е, по которым можно попасть на остров
Л (и покинуть его), то в описании маршрута буква Л должна встре-
титься три раза. Буква В должна встретиться два раза, потому что
к острову В ведут три моста; аналогичным образом буквы Э и С
должны встретиться по два раза каждая. Это, значит, что последо-
вательность букв, представляющая [маршрут] с прохождением семи
мостов, должна содержать три буквы Л и по два [раза каждую из]
букв В,С т й. Но в последовательности восьми букв это совершенно
невозможно. Таким образом, очевидно, что прохождение по семи мо-
стам Кенигсберга требуемым образом не может быть осуществлено.

10.	С помощью этого метода мы всегда в состоянии установить-
в случае, если к конкретной области ведет нечетное количество мос-
тов, - возможен ли маршрут, при котором каждый мост проходится
ровно один раз. Такой маршрут существует, если число мостов плюс
один равно сумме необходимого количества вхождений каждой от-
дельной буквы. С другой стороны, если эта сумма больше числа мос-
тов плюс один - как это имеет место в случае нашего примера, - то
требуемый маршрут построить невозможно. Изложенное мною пра-
вило определения числа вхождений буквы Л в обозначение марш-
рута по числу мостов (раздел 8) не зависит от того, соединяют ли
все эти мосты область Л с одной лишь областью В, как это изобра-
жено на рисунке 2, или с несколькими областями. Это потому, что
я рассматриваю только область Л и пытаюсь подсчитать, сколько раз
должна встречаться буква Л.

11.	Если количество мостов, ведущих в область Л, четно, то важ-
но, начинается ли маршрут с области Л или нет. Например, если в об-
ласть Л ведут два моста и маршрут начинается с области Л, то буква Л
должна встретиться два раза - один раз обозначая выход с области Л
и второй раз обозначая возвращение в область Л по другому мосту.
Но если путешественник начинает свой маршрут из другой области,
то буква А должна встретиться только один раз, потому что в моем
методе описания маршрута одно вхождение буквы А обозначает
и приход в область Л, и выход из нее.

12.	Предположим, что как в нашем случае, к области А ведут че-
тыре моста и маршрут начинается из области А. Тогда в выражении
для всего маршрута буква А должна встретиться три раза, а если же
маршрут начинается из другой области, то буква А должна встре-
титься только два раза. Если к области А ведут шесть мостов и марш-
рут начинается из области Л, то буква Л должна встретиться четыре
раза, а если маршрут начинается не из области Л, то буква Л должна
встретиться три раза. В общем случае если число мостов четно, то
число вхождений буквы Л для маршрута, который начинается не из
области Л, равно половине числа мостов, а если маршрут начинается
из области Л, то числу мостов плюс один, деленному пополам.

13.	Разумеется, любой маршрут должен начинаться из какой-ни-
будь области, и поэтому число вхождений соответствующей буквы
в выражение для всего маршрута определяется по числу мостов, ве-
дущих к этой области следующим образом. Если число мостов не-
четно, то [число вхождений] равно числу мостов плюс единица, де-
ленному пополам. Если сумма полученных чисел равна количеству
мостов плюс единица, то соответствующий маршрут может быть
осуществлен, правда он должен начинаться из области, соединенной
с другими нечетным количеством мостов. Но если эта сумма меньше
числа мостов плюс один, то маршрут может быть построен, если он
начинается из области, к которой ведет четное число мостов, так как
в этом случае к сумме опять прибавляется единица.

14.	Моя процедура определения возможности [построения
маршрута] по любой заданной системе рек и мостов так, чтобы
по каждому мосту пройти ровно один раз, состоит в следующем:
1. Сначала я обозначаю области, отделенные друг от друга водой,
[буквами] Л, В. С и т.д. 2. Беру число мостов, добавляю единицу
и записываю полученное число в верхней строке. 3. Под этим чис-
лом [в столбик] пишу буквы А, В, С и т.д. и напротив каждой бук-
вы пишу число мостов, которые ведут к соответствующей области.
4. Напротив букв областей, к которым ведет четное число мостов,
ставлю звездочку. 5. Напротив каждого четного числа пишу полови-
ну этого числа, а напротив каждого нечетного числа - половину сум-
мы этого числа и единицы. 6. Суммирую числа в последнем столбце.
Если эта сумма меньше или равна записанному сверху числу минус
единица, то требуемый маршрут возможен. Но следует иметь в виду,
что если сумма на единицу меньше записанного сверху числа, то
маршрут должен начинаться из области, отмеченной звездочкой.
А если же эти два числа равны, то маршрут должен начинаться из
области, не отмеченной звездочкой.

Для кенигсбергской задачи я составляю следующую таблицу:

Число мостов 7, что дает 8 (= 7 + 1) мостов:

А

В

С

Е

3

2

2

2

Сумма чисел в последнем столбце больше 8, и, следовательно,
требуемый маршрут не может быть построен.

15.	Например, возьмем случай с двумя островами, которые омы-
ваются четырьмя реками, как показано на рисунке 3. Через омыва-
ющие острова воды и реки переброшено 15 мостов, а. Ь, с, с1 и т.д.
Вопрос состоит в том, можно ли построить маршрут так, чтобы он
проходил по всем мостам, но по каждому мосту не больше одного
раза. 1. Для начала я обозначаю все отделенные друг от друга об-
ласти буквами А. В. С, Б, Е и В - всего шесть букв. 2. Я беру число
мостов - 15, - добавляю единицу и записываю полученное число -
16 - сверху. 3. Я записываю буквы Л, В, С и т.д. в столбик и напротив
каждой буквы записываю число мостов, которые соединяют соот-
ветствующие области с другими - например, 8 мостов для Л, 4 мос-
та для В и т. д. 4. Отмечаю буквы с четным числом мостов звездочкой.

Рисунок 3
Л*	8

В*	4

С*	4

Е	3

16

4

2

2

2

3

3

16

Е	5

К*	6

5.	Записываю в третьем столбце половину соответствующего чис-
ла, если оно четное, или половину от суммы соответствующего чис-
ла и единицы, если оно нечетное. 6. Наконец, я складываю числа
в третьем столбце и получаю 16, что равно числу, записанному свер-
ху, и, следовательно, [требуемый] маршрут может быть осущест-
влен, если он начитается из одной из не отмеченных звездочками
областей, Е или Е. Такой маршрут можно записать в виде следую-
щего выражения:

ЕаЕЪВсЕААеЕ/С^АкС1ЕкАтЕпАрВоЕ1Е.

В этом выражении строчные буквы между прописными обозна-
чают мосты, по которым проходит маршрут.

16.	Этот метод позволяет даже в весьма сложных случаях легко
определить, можно ли [построить маршрут так, чтобы] по каждо-
му мосту пройти ровно один раз. Но теперь я хотел бы представить
другой, гораздо более простой метод, который после нескольких
предварительных замечаний совсем нетрудно вывести из предыду-
щего. Во-первых, заметим, что сумма всех записанных во втором
столбце напротив букв Л, В, С и т.д. чисел мостов, ведущих к каждой
области, равна удвоенному общему числу мостов. Дело в том, что
в используемой записи мостов, ведущих к разным областям, каждый
мост встречается дважды - по одному разу для каждой из соединяе-
мых им областей.

17.	Из этого наблюдения следует, что сумма чисел во втором
столбце должна быть четной, потому что половина этой суммы рав-
на общему числу мостов. Поэтому невозможно, чтобы ровно одно
(а также ровно три, пять и т.д.) из этих чисел (а это количество мо-
стов, соединяющих каждую из областей с другими) оказалось не-
четным. Другими словами, если любое из чисел, записанных напро-
тив букв А, В, С и т.д., оказывается нечетным, то всего четное число
таких чисел должно быть нечетным. Например, в кенигсбергской
задаче все четыре числа, записанных напротив букв А. В. СиВ,
оказались нечетными - см. разъяснение в пункте 14, в то время как
в только что приведенном примере (пункт 15) нечетными являются
только два числа-те, что записаны напротив букв Л и Е.

18.	Поскольку сумма чисел, записанных напротив букв Л, В, С
и т.д., равна удвоенному числу мостов, то понятно, что если уве-
личить эту сумму на 2 и результат разделить пополам, то получим
число, записанное сверху. Если все числа во втором столбце четные,
то половина каждого такого числа оказывается записанной в треть-
ем столбце и сумма чисел в этом столбце оказывается на единицу
меньше числа, записанного сверху. В этом случае [маршрут] с про-
хождением всех мостов возможен. Дело в том, что из какой бы об-
ласти ни начинался маршрут, к ней по условию ведет четное число
мостов. Например, в случае кенигсбергской задачи маршрут можно
организовать так, чтобы по каждому мосту пройти дважды, что эк-
вивалентно разделению каждого моста на два, откуда следует, что
число мостов, ведущих к каждой области, должно быть четным.

19.	Далее, если только одно из чисел напротив букв нечетно,
а остальные четны, то требуемый маршрут возможен при условии,
что он начинается из области, к которой ведет нечетное число мостов.
Как того требует наша процедура, берем половину каждого четного
числа и половину суммы каждого нечетного числа и единицы; сумма
этих половин оказывается на единицу больше числа мостов и, сле-
довательно, равна числу, записанному сверху. Аналогично, если че-
тыре, шесть, восемь и т.д. чисел во втором столбце нечетны, то оче-
видно, что сумма чисел в третьем столбце окажется в зависимости от
ситуации на один, два, три и т.д. больше записанного вверху числа
и, следовательно, требуемый маршрут невозможен.

20.	Итак, простейший способ определения для произвольной
конфигурации возможности [составить маршрут], так чтобы по ка-
ждому мосту пройти ровно один раз, состоит в применении следу-
ющих правил:

При наличии более двух областей, к которым ведет нечетное чис-
ло мостов, маршрут с соблюдением требуемых условий невозможен.

Если же областей, соединенных с другими нечетным числом мо-
стов, всего две, то требуемый маршрут может быть построен при
условии, что он начинается из одной из этих областей.

Если же, наконец, ни к одной из областей не ведет нечетное чис-
ло мостов, то требуемый маршрут может быть построен независимо
от того, из какой области он начинается.
Эти правила дают полное решение поставленной задачи.

21.	После того как мы установили, что [требуемый] маршрут ре-
ально существует, остается найти его. Для этого служит следующее
правило: везде, где возможно, мысленно исключаем любые два мо-
ста, соединяющие одну и ту же пару областей; таким образом, су-
щественно уменьшается число мостов. Потом-и это совсем нетруд-
но - приступаем к прокладке требуемого маршрута по оставшимся
мостам. Если немного подумать, то становится понятно, что, будучи
найденным, маршрут этот существенно не изменится от добавления
изначально удаленных мостов. Поэтому, на мой взгляд, уже нечего
добавить по поводу собственно нахождения маршрутов.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОГО, ЧТО

ЛЮБОЕ ЦЕЛОЕ ЧИСЛО ЯВЛЯЕТСЯ
СУММОЙ ЧЕТЫРЕХ КВАДРАТОВ

Ученик Иоганна Бернулли Леонард Эйлер (1707-1783) был не
только одним из величайших математиков и астрономов своего вре-
мени, но также хорошо разбирался в теологии, медицине, ботани-
ке, физике, механике, химии, а также знал [несколько] восточных
и современных языков. Он написал множество трудов, и едва ли
найдется область математики, в которую бы он не внес свой вклад.
Приведенный здесь перевод фрагмента одного из трудов Эйлера
дает представление о его методе решения одной из задач теории
чисел. Фрагмент взят из книги Эйлера СоттепйЛюпез АгИктебсае
Со11ес1се, РеЛгороГц 1849, изданной под редакцией П.Х. Фусса
и Н. Фусса (Том. I, с. 543-546), но первоначально опубликованной
в Ас1а ЕгиМогит (с. 193, Лейпциг, 1773) и Ас1а РеЛгор. (с. 48, I. II.,
1775. ЕхкгЪ. Вер1. 21, 1772). При подготовке этой статьи я ставил себе
целью сделать перевод в свободной манере, который бы ясно передал
ход мысли Эйлера, а не придерживаться слишком дословно весьма
посредственного латинского оригинала того времени. Приводится
только самое простое из доказательств Эйлера для исключительного
случая. С современной точки зрения доказательство теоремы нельзя
назвать совсем удовлетворительным, но оно служит хорошей иллю-
страцией состояния теории чисел в восемнадцатом веке.

Лемма, ЕСроизведение двух чисел, каждое из которых является
суммой четырех квадратов, всегда может быть выражено в виде
суммы четырех квадратов.

Пусть это произведение равно

(а2 + Ъ2 + с2 + ^)(а2 + р2 + у2 + 82).

Введем следующие обозначения

А = аа + />Р + су + <78,
В = а$ - Ьа - с8 + <7у,
С = ау + ЬЬ - са - с/р,
Р = ад - Ьу + ср - с1а.
И тогда

Л1 + В2 + С2 + О1 = (а2 + Ъ2 + с2 + яР)(а2 + р2 + у2 + 82),

поскольку, очевидно, перекрестные произведения в Л2, В2, С2, Л2
сокращаются.

Теорема /. Если является делителем суммы четырех квадра-
тов, то есть р2 + д2 + г2 + 52, и ни один из них не делится на IV, то
ТУ является суммой четырех квадратов.

Сначала докажем, что можно подобрать корни р, д, г, 8 так, чтобы
все они были меньше 1/27У54.

I.	Пусть п - частное от деления суммы четырех квадратов на ТУ,
так что ТУ/7 = р2 + д2 + г2 + $2. Тогда можно записать

р = а + па, д = Ъ + п$, г = с + пу, 8 = с1+ пЪ,

где остатки а, Ъ, с, б/ по абсолютной величине не больше 1/2/755.

Следовательно,

а2 + Ъ2 + с2 + сР < п2.

II.	Подставив полученные выше значения р, д,г, зв

Ып = р2 + д2 + г2 + 82,
получаем

ТУ/7 = а2 + Ъ2 + с2 + сР + 2п(аа + /ф + су + б/8) + п2(а2 + р2 + у2 + 82),

откуда следует, что п должно быть делителем а2 + Ь2 + с2 + сР.

Пусть

а2 + Ъ2 + с2 + (Р = пп'.

$4 Отметим, что в последующем доказательстве п считается не равным 2; этот слу-
чай пока что не рассматривается до так называемого следствия, представленного после
доказательства, которое позволяет разобраться с исключительным случаем.

55 См. предыдущую сноску. Условие, накладываемое на абсолютные величины,
обеспечивает справедливость вышеприведенного утверждения, но не учитывает все воз-
можные случаи в последующем доказательстве, если только вслед за Эйлером не принять
во внимание следствие, как отмечено в предыдущей сноске.
Тогда п > п' или п'<п. Разделив, получаем

V = я' + 2Л + я(а2 + р2 + у2 + 82).

III.	Теперь умножим это на п'. И, следовательно, поскольку

пп' = а2+ Ъ2 + с2 +
мы получаем в соответствии с приведенной выше леммой

пп' (а2 + р2 + у2 + 82) = А2 + В2 + С2 + Л2.

Учитывая предыдущее уравнение, получаем

Ип' = п'2 + 2пА + А2 + В2 + С2 + Л2.

И, следовательно,

(и' + Л)2 + В2 + С2 + Л2 =Ш.

IV.	В результате повторения вышеприведенной процедуры по-
лучаем уменьшающуюся последовательность целых чисел Ып\ Ып"
и т.д., наконец доходим до V56, которая, следовательно, выражается
в виде суммы четырех квадратов..

Следствие. Чтобы разобраться с исключительным случаем, по-
лагаем, что р, д.г.8- нечетны, а п - четно. Тогда, поскольку

Ип = р2 + д2 + г2 + 52,

мы имеем

и четыре квадрата справа - целые числа. Такого рода сокращение
возможно, пока корни всех квадратов нечетны, и таким образом мы
избавляемся от исключительного случая п = 2.

Это просто хорошо известные свойства остатков квадратов, для которых со вре-
мен Гаусса используется более краткая терминология. То же самое относится к представ-
ленному здесь доказательству.
Теорема 2. Если простое число, то возможно не только бес-
конечное множество комбинаций 4 квадратов, которые не делятся
наКи при этом их сумма делится на М] но и таких же комбинаций
из 3 квадратов.

Дело в том, что в отношении к И все числа относятся к одному
из следующих И видов

ХА, ХА + 1,ХА+2,ХА+3, ...,ХА+А-1.

Отбросим первый вид ХА, к которому относятся все числа,
кратные А. Остается А - 1 вид, и заметим, что квадрат числа вида
ХА + 1, так же как и квадрат числа вида ХА + ТУ- 1, является числом
вида ХА + 1. Аналогично квадрат числа вида ХА + 2 или ХА + ТУ - 2
является числом вида ХА + 4 и т.д. Следовательно, квадраты всех
чисел не вида ХА относятся к 14 (А- 1) видам

ХА+ 1, ХА+4, ХА+9 и т.д.,

которые мы назовем видами первого типа и обозначим

ХА+ а. ЕЫ + Ъ, ХА + с, ХА + и т.д.,

таких, что о, />, с, ... обозначают квадраты 1, 4, 9, 16, ... или если
эти квадраты больше А, то остатки от их деления на А. Обозначим
оставшиеся 14 (А- 1) видов как

ХА+ а, ХА+ Р, ХА+ у и т.д.,

которые мы назовем видами второго типа. Нетрудно доказать, что
эти типы обладают следующими свойствами:

I.	Произведение двух чисел первого типа также является числом
первого типа, поскольку, очевидно, ХА + аЪ относится к первому
типу. Если аЪ > А, то [под произведением мы имеем в виду] остаток
от деления аЪ на А.

II.	Произведение числа а. Ь, с. б/ и т.д., относящегося к первому
типу, на любое число второго типа а, р, у, 8 и т.д. является числом
второго типа.

III.	Произведение двух чисел второго типа, например ар, отно-
сится к первому типу.

Теперь докажем теорему 2 методом от противного.
Предположим, что нет трех не делящихся на ТУ квадратов, сумма
которых делилась бы на ТУ. Тогда тем более не существует двух та-
ких квадратов. Отсюда немедленно следует, что числа вида ХТУ - а.
или, что то же самое, вида ХИ + (ТУ- а), не могут относиться к пер-
вому типу. Потому что если бы существовал квадрат вида ХТУ - а,
то сумма такого [квадрата] и ХТУ + а делилась бы на ТУ, что проти-
воречит принятой гипотезе. Следовательно, число вида ХИ - а обя-
зано относиться ко второму типу; числа -1, -4, - 9 и т.д. принадле-
жат множеству а, р, у, 8 и т.д. Пусть /-любое число первого типа,
и, значит, существуют квадраты вида ХТУ + / Если к одному из них
прибавить квадрат вида ХИ + 1, то сумма этих двух квадратов будет
иметь вид ХТУ +/+ 1. Теперь, если бы существовали квадраты вида
ХТУ-/- 1, то существовала бы сумма трех квадратов, которая дели-
лась бы на ТУ. Поскольку по условию это невозможно, то числа вида
ХТУ-/-1 не относятся к первому типу и, следовательно, они относят-
ся ко второму типу. Но к числам второго типа относятся числа -1 и
-/- 1, и, следовательно, согласно сформулированному выше пункту
III, их произведение относится к первому типу. Аналогичным обра-
зом можно показать, что числа

/+ 2,/+ 3,/+ 4 и т.д.

должны относиться к первому типу. Следовательно, если взять/ = 1,
то видно, что все числа

ХУ + 1, ХТУ + 2, ХТУ + 3 и т.д.

относятся к первому типу, и, следовательно, не остается чисел, ко-
торые бы относились ко второму типу. Но исходя из таких же со-
ображений, можно сделать вывод, что числа - 1, -/- 1, -/-2 и т.д.
относятся ко второму типу. Это очевидное противоречие. Отсюда
следует, что утверждение о том, что не существует трех квадратов,
сумма которых делится на ТУ, ложно. Следовательно, на самом деле
существуют три квадрата и, следовательно, также четыре квадрата
требуемого типа таких, что их сумма делится на ТУ.

Следствие. Учитывая вышесказанное, из этой теоремы вытека-
ет, что каждое число является суммой четырех или менее квадратов.
Пьер Симон де Лаплас

(1749-1827)

Жизнь и труды

Критики современной дарвиновской биологии часто обращают
внимание на существование очень сложных биологических систем
и процессов. Например, свертывание крови, которое они называют
«несводимо сложным», настолько сложным, что эволюция подобных
систем не может быть объяснена эволюционной теорией Дарвина. Кри-
тики ссылаются на это как на свидетельство разумного замысла и, сле-
довательно, разумного создателя. Им не мешало бы оглянуться на два
столетия назад на достижения Пьера Симона де Лапласа, возможно ве-
личайшего специалиста в области математической физики всех времен.

«Начала» Исаака Ньютона объединили и упростили всю физиче-
скую науку, какой она была тогда известна человеку, но многие воп-
росы все еще оставались без ответов и их возможно, не могла дать
даже физическая наука. Вскоре после публикации «Начал» в 1687 г.
преподобный Ричард Бентли, один из первых сторонников и популя-
ризаторов Ньютона, задал учителю следующий вопрос, который не
был рассмотрен в «Началах»: могла ли Солнечная система с плане-
тами, вращающимися вокруг Солнца в одном и том же направлении
и почти в одной плоскости, образоваться из первоначального равно-
мерного распределения вещества под действием только естествен-
ных причин или же это было проявлением замысла?
Ньютон считал, что построенная им система никаким образом не
может объяснить эти очевидные закономерности в небесах. Он от-
ветил, что совершенно определенно они не могут быть результатом
действия только естественных причин. Причина «должна была быть
не слепой и случайной, но очень искусной в механике и геометрии».

Так продолжалось почти все XVIII столетие, пока Пьер Симон де
Лаплас не проложил себе путь на Олимп французской науки.

Пьер Симон де Лаплас родился в 1749 г. в маленьком городке
в Нормандии. Вполне возможно, что некоторые из его дальних пред-
ков были среди норманнов, которые вторглись в Англию в 1066 г.
вместе с Вильгельмом Завоевателем, но мы не можем знать это на-
верняка. Известно, что отец Лапласа был преуспевающим торговцем
сидром, а его мать происходила из зажиточной фермерской семьи -
вполне подходящий фундамент для того, чтобы обеспечить сыну ка-
рьеру в духовенстве или армии.

По этому-то пути и пошел Лаплас: свое образование он начал в
местных бенедиктинских школах, а в 16 лет поступил в близлежа-
щий университет Кана, намереваясь получить степень теолога. Од-
нако Лаплас вскоре открыл для себя радости математики. Через два
года он уехал из Кана в Париж, центр французской науки. В Париже
Лаплас быстро произвел впечатление на математика Жана Лерона
Д’Аламбера, который выбил место преподавателя для своего моло-
дого протеже в Военном училище. В этой должности Лаплас препо-
давал геометрию и тригонометрию кадетам из благородных семей,
но мало интересовался этим предметом. Тем не менее такое положе-
ние позволило Лапласу остаться в Париже, центре французской, да
и вообще мировой математики.

В 1770 г. Лаплас начал одну за одной штамповать статьи по ши-
рокому спектру тем в области чистой и прикладной математики, тем
самым привлекая к себе внимание. Наиболее важные из них были
посвящены нерешенным проблемам теории планет: орбиты двух
крупнейших планет Юпитера и Сатурна иногда отставали, а иногда
и опережали свое предсказанное положение. Лаплас пытался объ-
яснить, какое влияние оказывают друг на друга планеты на своих
орбитах. Это более сложная задача, чем задача трех тел, которая
даже сегодня может быть решена только путем последовательных
приближений. Лаплас показал, что возмущения были не накаплива-
ющимися, как опасался Ньютон, а периодическими. Богу не нужно
было вмешиваться, чтобы удержать Солнечную систему от коллапса.

Окрыленный головокружительным успехом, Лаплас попытал-
ся добиться избрания в престижную Академию наук, хотя ему
было 22 года. Ничуть не смущенный своей первой неудачей в 1771 г.,
он предпринял еще одну попытку на следующий год с тем же резуль-
татом: проиграл выборы тому, кого считал посредственным канди-
датом, превзошедшим Лапласа только в одном-в возрасте! Лаплас
никогда не скрывал, что он высокого мнения о самом себе: даже
в свои 20 с небольшим лет он считал себя лучшим математиком во
Франции. Его наставники, возможно, не были столь высокого мне-
ния о молодом Лапласе, но они определенно признавали его талант.
В 1773 г. Д’Аламбер и Лагранж решили избрать Лапласа сначала
членом Берлинской академии наук, а затем специальным адъюнктом
Парижской.

Обеспечив себе место во французских научных кругах, Лаплас
продолжал активно публиковаться и преподавать по мере необходи-
мости. В 1784 г. армия назначила его экзаменатором в Королевский
артиллерийский корпус. Это назначение обеспечило Лапласу допол-
нительный доход, а также возможность вращаться в кругу высокопо-
ставленных правительственных чиновников. Но возможно, самым
важным знакомством было другое: одним из первых учеников Ла-
пласа стал 16-летний корсиканец по имени Наполеон Бонапарт!

В 1788 г., в возрасте 39 лет, Лаплас женился на Марии-Шарлотте
де Курти де Романж, дочери зажиточного сквайра из Безансона во
Французских Альпах, которая была почти вдвое моложе его. В те-
чение года их брак был благословлен рождением сына Шарля-Эми-
ля, который продолжил выдающуюся военную карьеру, но в 1874 г.
умер бездетным. В 1792 г. родилась дочь Софи-Сюзанна. Позже
Софи вышла замуж за маркиза де Парте, мелкого наполеоновского
дворянина. Она умерла во время родов единственной внучки, девоч-
ки по имени Софи. Впоследствии юная Софи вышла замуж за графа
де Кольбера-Шабане, отпрыска знатного аристократического рода.
У них было много детей, и потомки Лапласа мужского пола теперь
носят фамилию Кольбер-Л апл ас.

Поглощенный наукой, Лаплас в конце 1780-х-начале 1790-х го-
дов почти не уделял внимания бурной политической жизни и не при-
нимал никакого участия в делах Французской революции во время
ее самой радикальной фазы в начале 1790-х годов. Единственным
исключением стала его работа в комиссии, разрабатывающей метри-
ческую систему - одну из мер, которая должна была покончить с
наследием старого режима. Одна группа утверждала, что фундамен-
тальная единица длины должна быть определена в терминах эквато-
риальной окружности Земли. Лаплас же полагал, что, учитывая роль
прямого угла в геометрии, фундаментальная единица длины должна
основываться на длине квадранта от Северного полюса до эквато-
ра. Благодаря удачному аргументу Лапласа метр был определен как
расстояния от полюса до экватора.

К концу 1793 г. политическая атмосфера в Париже стала нестер-
пимой для Лапласа. Наряду со многими другими ведущими учены-
ми, включая Лавуазье и Кулона, Лаплас был исключен из комитета,
разрабатывающего метрическую систему. Радикальные республи-
канцы громко заявили, что такие обязанности могут быть доверены
только людям, известным «своими республиканскими добродетеля-
ми и ненавистью к королям».

В буквальном смысле слов опасаясь за свою шею, Лаплас и его
семья бежали из столицы в провинциальный город Мелён, располо-
женный в 50 километрах от Парижа. Сегодня мы можем с уверен-
ность сказать, что Лаплас правильно оценил вероятности возмож-
ных исходов: его друг и коллега, химик Антуан Лавуазье, предпочел
остаться в Париже, где и потерял голову на гильотине весной 1794 г.

Видимость порядка вернулась в Париж в июле 1794 г. после свер-
жения якобинской диктатуры и ее главного архитектора Робеспьера.
Вскоре после этого новое правительство позвало Лапласа в Париж,
чтобы помочь французской науке оправиться от радикальных пере-
гибов революции. Лаплас с энтузиазмом взялся за свою новую роль,
естественно тяготея к руководящей роли в перестройке великих на-
учных школ: Высшей нормальной (Есо1е$ ^гта1е\ Политехниче-
ской (Ро1у1есктциё) и Высшей государственной (Сеп1га1е дез Тгахаих
РиЪПсз), Новое правительство восстановило и Академию наук как
Институт Франции, который избрал Лапласа своим вице-президен-
том в декабре 1795 г., а затем, в апреле 1796 г., своим президентом.

Годы, последовавшие за 50-летием Лапласа, ознаменовались
публикацией величайших его трудов. В 1799 г. он опубликовал пер-
вый из пяти томов своего эпохального труда «Небесная механика»
(Мёсатцие сё1е$1е). Последний том был опубликован в 1825 г.

В течение XVIII в. астрономы открыли планету Уран, а так-
же несколько дополнительных спутников Сатурна. Все известные
планеты и спутники вращались в одном направлении и почти в эк-
ваториальной плоскости Солнца. Солнце, планеты и луны враща-
лись в том же направлении, что и Земля. Если бы общность во всех
29 движениях была просто результатом случайности, то вероятность

29

этой случайности была бы чрезвычайно мала: Ш , т.е. около 1 из
100 миллиардов!
Лаплас признал, что регулярность в небесах должна иметь фи-
зическую причину, и он нашел ее. Лаплас достиг того, что Ньютон
считал невозможным. В книге «Небесная механика» Лаплас показал,
как Солнечная система могла возникнуть из вращающейся солнеч-
ной атмосферы с планетами, чьи спутники образовывали вращаю-
щиеся газовые шары, которые охлаждались и конденсировались,
причем вращения были обязательно в одном направлении и почти
в одной плоскости вокруг Солнца.

Работа Лапласа по теории вероятностей началась еще в 1780 г.
В 1812 г. он опубликовал первое издание своего шедевра в этой об-
ласти, «Аналитической теории вероятностей» (Ткеопе апсйуНдие Лех
ргоЪаЫШёх). До Лапласа все математики, работающие в области ве-
роятностей, предполагали, что можно иметь знание об абсолютных
вероятностях случайных событий. Лаплас был не согласен с таким
подходом. Он утверждал, что, поскольку мир определен, в вещах не
может быть никаких вероятностей. Вероятность проистекает из на-
шего недостатка знаний. Лаплас писал, что вероятность

«...состоит в сведении всех событий одного и того же типа
к некоторому числу одинаково возможных случаев, то есть та-
ких, о которых мы одинаково не уверены в их существовании».

При этом Лаплас расширил область применения теории веро-
ятностей, включив в нее вероятность прошлых причин уже извест-
ных событий, а также будущих исходов. В «Аналитической теории
вероятностей» Лаплас разработал формулы для неслучайных оценок
того, насколько верны прошлые события.

Заключительная проблема, рассмотренная в первой главе, яв-
ляется хорошим примером задач, которые привлекали Лапласа, -
это загадка про урны. Одна урна содержит только черные шары.
Другая урна - только белые шары. Все остальные урны содержат
самые разнообразные смеси черных и белых шаров. Лаплас рас-
сматривает следующий процесс: нужно извлечь шар из одной
урны, поместить его в следующую урну, хорошенько встряхнуть
эту урну, наугад извлечь шар из этой урны и поместить его в сле-
дующую урну. Лаплас продемонстрировал, что в конечном итоге
во всех урнах будет одинаковое соотношение черных и белых ша-
ров. Таким образом, Лаплас фактически привел пример тенденции
природных сил навязывать порядок даже самым хаотичным сис-
темам, сродни его демонстрации порядка Солнечной системы.
Критический успех «Аналитической теории вероятностей» вдох-
новил Лапласа на создание популярной версии - «Философского
эссе о вероятностях» (Еззаг ркИозорЫдие $иг 1е$ ргоЪаЫШёз). впер-
вые опубликованного в 1814 г. и воспроизведенного здесь. Многие
комментаторы считают это эссе наиболее полным и совершенным
аргументом, когда-либо выдвигавшимся в пользу детерминистиче-
ской интерпретации Вселенной.

Эссе начинается с изложения семи следующих принципов:

1.	Вероятность - это отношение числа благоприятных случаев
к числу всех возможных случаев.

2.	Если не все случаи одинаково возможны, мы должны сначала
определить их соответствующие возможности.

3.	Если события независимы друг от друга, то вероятность их со-
вместного осуществления есть произведение их соответствую-
щих вероятностей.

4.	Когда два события зависят друг от друга, вероятность слож-
ного события является произведением [вероятности] первого
события и вероятности того, что после этого события прои-
зойдет второе событие.

5.	Если мы априори вычислим вероятность произошедшего собы-
тия и вероятность события, состоящего из этого одного и вто-
рого ожидаемого, то вторая вероятность, деленная на первую,
будет вероятностью ожидаемого события, полученной из на-
блюдаемого события.

6.	Каждая из причин, к которой может быть отнесено наблюда-
емое событие, указывается с такой же вероятностью, с какой
существует вероятность того, что событие произойдет, если
предположить, что событие является постоянным.

7.	Вероятность будущего события - это сумма произведений ве-
роятности каждой причины, полученной из наблюдаемого со-
бытия, на вероятность того, что при наличии этой причины
произойдет будущее событие.

Неудивительно, что «Эссе» включает в себя множество задач,
связанных с подбрасыванием монет. Лаплас писал:

«Мырассматриваем два события как одинаково вероятные, ког-
да не видим причины, которая сделала бы одно более вероятным,
чем другое, потому что хотя между ними и существует нерав-
ная возможность, мы не знаем, в какую сторону, и эта неопре-
деленностъ заставляет нас смотреть на каждое из них так, как
если бы оно было столь же вероятным, как и другое».

Таким образом, даже если нам говорят, что стороны монеты не-
равнозначны, то у нас нет способа выявить эту неравнозначность.
Другими словами, если мы не знаем о неравнозначности, то мы на-
чинаем с предположения, что эта равнозначность справедлива. Рас-
сматривая серию из 20 последовательных орлов во время продолжи-
тельной серии подбрасываний монет, Лаплас задает вопрос, следует
ли рассматривать эти 20 последовательных орлов как случайное со-
бытие или как результат некоторой причины. Во время анализа Ла-
плас пишет:

«Мы смотрим на вещь как на следствие случая, когда не видим
в ней ничего закономерного, ничего, что являло бы замысел,
и когда, кроме того, мы не знаем причин, вызвавших ее. Таким
образом, случай не имеет реальности сам по себе. Это не что
иное, как термин для выражения нашего неведения о том, как
различные аспекты явления взаимосвязаны и связаны с осталь-
ной природой».

Является ли ряд 20 орлов делом случая или проявлением замыс-
ла? Обычному человеку это кажется закономерностью, но так ли
это? Подумайте, как эта проблема возникает снова, когда вы играете
в лотерею, в которой шесть чисел выбираются из 50. Многие люди
избегали бы играть в набор {01, 02, 03, 04, 05, 06}, полагая, что этот
набор из шести чисел показывает гораздо большую регулярность,
чем, например, выигрышный набор чисел {06, 13, 15, 15, 32, 36}. Но,
утверждал Лаплас, тщательный анализ лотерейного процесса выявит
независимость выбора каждого номера. Таким образом, множество
{01, 02, 03, 04, 05, 06} показывает не больше и не меньше регуляр-
ности, чем множество {06, 13, 15, 15, 32, 36}. Учитывая тот факт, что
выигрыш в лотерею зависит от количества победителей, сам факт,
что многие люди избегают играть в {01, 02, 03, 04, 05, 06}, на самом
деле является очень хорошей причиной, чтобы играть в нее. Мень-
ше вероятности, что у кого-то еще окажется такой же выигрышный
набор чисел!

В более поздние годы Лаплас сосредоточил внимание на самых
разнообразных темах математической физики: капиллярном дей-
ствии, двойном преломлении, скорости звука, форме и тепле Земли,
упругих жидкостях.
У Лапласа не было никаких твердых политических взглядов,
кроме того, что он предпочитал, чтобы его голова плотно сидела на
плечах и чтобы он имел возможность продолжать научную работу.

Наполеон сделал его членом Сената, но в 1814 г. Лаплас прого-
лосовал за восстановление монархии и отправку своего бывшего
ученика и покровителя в ссылку на Эльбу. Когда Наполеон ненадол-
го вернулся к власти в 1815 г., Лаплас снова покинул Париж. По-
сле поражения Наполеона при Ватерлоо и ссылки на остров Святой
Елены Лаплас стал убежденным сторонником монархии Бурбонов.
В ответ Людовик XVIII возвел Лапласа в ранг пэра, сделав его мар-
кизом в 1817г.

Незадолго до своего 78-го дня рождения в 1827 г. Лаплас умер.
Последние два года он был уже слаб. В своей похоронной элегии
Фурье отмечал, что Лаплас сохранил необычайные способности
к памяти и критическому мышлению почти до конца своей жизни.
Фурье также заметил:

«Лаплас был рожден для того, чтобы все усовершенствовать,
все углубить, раздвинуть все границы, разрешить то, что счи-
талось неразрешимым».

В своей надгробной речи математик Симеон Дени Пуассон от-
мечал:

«Для Лапласа математический анализ был инструментом, ко-
торый он использовал для самых разнообразных целей, но всегда
подчинял сам метод содержанию каждого вопроса».

Несомненно, «Небесная механика» была высшим достижением
Лапласа в применении математического анализа. Лаплас посвятил
Наполеону третий том своей «Небесной механики». После просмо-
тра огромного тома Наполеон заметил, что он не видел никакого упо-
минания о Боге. Услышав это, Лаплас ответил: «Сир, я не нуждался
в этой гипотезе!» Современным критикам Дарвина не мешало бы
помнить об этом.
ОПЫТ ФИЛОСОФИИ ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Глава I

Введение

Это есть развитие курса лекций по теории вероятностей, чи-
танного мной в 1795 г. в ёсо1е$ погта1е8, куда я был приглашен как
профессор математики, вместе с Лагранжем, декретом Националь-
ного Конвента. Я хочу изложить здесь без помощи анализа прин-
ципы и общие результаты теории вероятностей, изложенной в этой
книге57, применяя их к важнейшим вопросам жизни, большинство
которых-не что иное, как задачи теории вероятностей. Можно даже
сказать, если уж говорить точно, что почти все наши знания только
вероятны; и в небольшом кругу предметов, где мы можем познавать
с достоверностью, и в самой математике главные средства достиг-
нуть истины-индукция и аналогия-основываются на вероятностях;
таким образом, вся система человеческих знаний связана с теорией,
изложенной в этом труде. В ней увидят, без сомнения с интересом,
что, если даже рассматривать вечные принципы разума, справедли-
вости и гуманности лишь как счастливые статочности, постоянно их
сопровождающие, следовать этим принципам является большой вы-
годой, а устраняться от них-тяжелым ущербом; так как статочности
их, подобно благоприятствующим статочностям в лотереях, преиму-
ществуют среди колебаний случая. Я желал бы, чтобы мысли, рассе-
янные в этом введении, заслужили внимание философов и направи-
ли бы его на столь достойный их изучения предмет.

Глава II

О вероятности

Все явления, даже те, которые по своей незначительности как
будто не зависят от великих законов природы, суть следствия столь
же неизбежные этих законов, как обращение Солнца. Не зная уз, со-

57 Ткёопе апа1. с!е^ ргоЬаЫШёз.
единяющих их с системой мира в ее целом, их приписывают конеч-
ным причинам или случаю, в зависимости от того, происходили ли
и следовали ли они одно за другим с известной правильностью или
же без видимого порядка; но эти мнимые причины отбрасывались по
мере того, как расширялись границы нашего знания и совершенно
исчезли перед здравой философией, которая видит в них лишь про-
явление неведения, истинная причина которого - мы сами.

Всякое имеющее место явление связано с предшествующим на
основании того очевидного принципа, что какое-либо явление не
может возникнуть без производящей его причины. Эта аксиома, из-
вестная под именем «принципа достаточного основания», распро-
страняется даже на действия, считаемые безразличными. Воля, самая
свободная, не может породить эти действия без побуждающей причи-
ны; потому что если бы она действовала в одном случае и воздержи-
валась от действия в другом, при полном подобии всех обстоятельств
обоих положений, то выбор ее был бы действием без причины: она
была бы, как сказал Лейбниц, слепым случаем эпикурейцев. Проти-
воположное мнение есть иллюзия ума, который, теряя из виду мелкие
причины того или другого выбора воли в безразличных поступках,
убеждается, что она определяется самой собой и беспричинна.

Таким образом, мы должны рассматривать настоящее состояние
Вселенной как следствие ее предыдущего состояния и как причину
последующего.Ум, которому были бы известны для какого-либо дан-
ного момента все силы, одушевляющие природу, и относительное
положение всех ее составных частей, если бы вдобавок он оказался
достаточно обширным, чтобы подчинить эти данные анализу, обнял
бы в одной формуле движения величайших тел Вселенной наравне
с движениями легчайших атомов: не осталось бы ничего, что было
бы для него недостоверно, и будущее, так же как и прошедшее, пред-
стало бы перед его взором. Ум человеческий в совершенстве, кото-
рое он сумел придать астрономии, дает нам представление о слабом
наброске того разума. Его открытия в механике и геометрии в сое-
динении с открытием всемирного тяготения сделали его способным
понимать под одними и теми же аналитическими выражениями про-
шедшие и будущие состояния мировой системы. Применяя тот же
метод к некоторым другим объектам знания, нашему разуму удалось
подвести наблюдаемые явления под общие законы и предвидеть яв-
ления, которые будут вызваны данными условиями. Все усилия духа
в поисках истины постоянно стремятся приблизить его к разуму,
о котором мы только что упоминали, но от которого он останется
всегда бесконечно далеким. Это стремление, свойственное роду че-
ловеческому, возвышает его над животными; и успехи его в этом на-
правлении различают нации и века и составляют их истинную славу.

Припомним, что в былое время, в эпоху не очень от нас отда-
ленную, на дождь или на чрезвычайную засуху, на комету с силь-
но растянутым хвостом, на солнечное затмение, на северное сияние
и вообще на необычайные явления смотрели как на знак небесного
гнева. Взывали к небу, чтобы отвратить их пагубное влияние. Небо
не молили остановить движение планет или солнца: наблюдение ско-
ро дало бы почувствовать всю бесполезность таких молений. Но так
как те явления, наступающие и исчезающие через длинные проме-
жутки времени, казалось, противоречили порядку, установившемуся
в природе, то люди предположили, что небо порождало и изменяло
их по своему усмотрению в наказание земных грехов. Так, длинный
хвост кометы 1456 г. произвел панику в Европе, уже приведенной
в ужас быстрыми победами турок, от которых только что пала Визан-
тийская империя. После того как это небесное светило совершило
четыре своих обращения, оно возбудило среди нас очень различный
интерес. Знакомство с законами системы мира, приобретенное за
этот промежуток времени, рассеяло страх, порожденный незнани-
ем истинных отношений человека ко Вселенной; и Галлей (НаПеу),
признав тождество этой кометы с кометой 1531, 1607 и 1682 годов,
предсказал следующее ее возвращение в конце 1758 или в начале
1759 г. Ученый мир ждал с нетерпением этого возвращения, дол-
женствовавшего подтвердить одно из самых великих открытий,
сделанных в науке, и исполнить предсказание Сенеки, сказавшего
об обращении небесных светил, которые спускаются из громадных
расстояний: «Наступит день, когда благодаря длившемуся несколько
столетий изучению вещи, ныне скрытые, явятся со всей своей оче-
видностью; и потомки наши изумятся, что столь очевидные истины
ускользнули от нас». Тогда Клеро (С1аггаи1) взялся подвергнуть ана-
лизу те возмущения, которые комета испытала под влиянием двух
самых больших планет - Юпитера и Сатурна: после громадных вы-
числений он назначил ее ближайшее прохождение через перигелий
на начало апреля 1759 г., и наблюдение не замедлило подтвердить
это. Правильность, которую обнаруживает нам астрономия, без вся-
кого сомнения, имеет место во всех явлениях. Кривая, описанная
простой молекулой воздуха или пара, определена так же точно, как
и орбиты планет: разницу меж ними делает только наше незнание.

Вероятность обусловливается отчасти этим незнанием, а отчас-
ти нашим знанием. Пусть нам известно, что из трех или более со-
бытий должно произойти одно; но ничто не дает нам повода думать,
что одно из них имеет преимущество перед другими. При такой не-
уверенности мы не можем предсказать достоверно, какое событие
произойдет. Однако вероятно, что одно из этих событий, взятое про-
извольно, не случится, потому что мы видим несколько одинаково
возможных случаев, исключающих его существование, в то время
как благоприятствует ему только один случай.

Теория случайностей состоит в том, чтобы свести все однород-
ные явления к известному числу равновозможных случаев, т.е. таких,
существование которых для нас было бы одинаково неопределенно,
и определить число случаев, благоприятствующих явлению, вероят-
ность которого отыскивается. Отношение этого числа к числу всех
возможных случаев и есть мера этой вероятности, которая, таким об-
разом, не что иное, как дробь, числитель которой есть число всех бла-
гоприятных случаев, а знаменатель-число всех возможных случаев.

Предыдущее понятие вероятности предполагает, что при увели-
чении в одинаковом отношении числа благоприятствующих и числа
всех возможных случаев вероятность остается та же. Чтобы убедить-
ся в этом, рассмотрим две урны А и В, из которых первая содержит
четыре белых и два черных шара, а вторая только два белых и один
черный. Представим себе оба черных шара первой урны связанными
ниткой, которая рвется в тот момент, как мы берем один из шаров,
чтобы его вынуть, представим себе также четыре белых шара образу-
ющими две такие же системы. Все те статочности, которые благопри-
ятствуют изъятию одного из шаров черной системы, дадут черный
шар. Если же предположить, что нитки, соединяющие шары, не рвут-
ся, то ясно, что число возможных статочностей не изменится, так же
как и число статочностей, благоприятствующих изъятию черных ша-
ров; только выниматься из урны будут два шара за раз. Вероятность
изъятия из урны черного шара будет та же, что и раньше. Но тогда
мы очевидно имеем случай урны В, с той только разницей, что три
шара этой последней урны заменены тремя парами неизменно свя-
занных шаров. Когда все статочности благоприятствуют какому-либо
явлению, то вероятность заменяется достоверностью, а выражение ее
делается равным единице. В этом отношении достоверность и веро-
ятность сравнимы, хотя и есть существенное различие между двумя
состояниями ума: когда истина ему строго доказана или же когда он
усматривает еще маленький источник заблуждения.

В явлениях, которые лишь правдоподобны, разница данных, име-
ющихся у каждого отдельного человека, составляет одну из главных
причин различия мнений, существующих об одних и тех же предме-
тах. Положим, например, что мы имеем три урны Л, В, С, из которых
одна содержит только черные шары, а две остальные-только белые.
Шар должен быть вынут из урны С; спрашивается, какова вероят-
ность того, что это будет черный шар. Если нам неизвестно, которая
из трех урн содержит одни черные шары, так что нет никакого пово-
да предполагать, что черные шары заключаются скорее в урне С, чем
в В или Л, то все эти три предположения покажутся равновозмож-
ными, и, так как черный шар может быть вынут только при первом
предположении, то вероятность его изъятия равна одной трети. Если
известно, что урна А содержит одни белые шары, то колебание наше
относится только к урнам В и С и вероятность того, что вынутый из
урны С шар окажется черным, равна половине. Эта вероятность об-
ращается наконец в достоверность, если мы убеждены, что в урнах
А и В заключаются одни белые шары.

Таким-то образом факт, рассказанный перед многочисленным
собранием, получает различную степень вероятия, смотря по об-
ширности знаний слушателей. Если лицо, докладывающее о нем,
совершенно в нем убеждено и по своему положению и характеру
внушает большое доверие, то рассказ его, как бы он ни был необы-
чаен, будет иметь для непросвещенных слушателей ту же степень
правдоподобия, как и обычный факт, рассказанный тем же лицом;
ему поверят безусловно. Однако если кто-либо из слушателей зна-
ет, что тот же факт отрицается людьми не менее почтенными, то он
будет сомневаться; а просвещенными слушателями этот факт будет
сочтен за ложный, так как они найдут, что он противоречит либо
хорошо проверенным фактам, либо неизменным законам природы.

Влиянию мнения тех, кого толпа считает самыми сведущими
и кому она привыкла доверять в важнейших вопросах жизни, обяза-
ны мы распространением заблуждений, которые в невежественные
времена рассеялись по лицу земли. Двумя крупными примерами
этого являются магия и астрология. Подобные заблуждения, вну-
шенные с детства, принятые без испытания и в основании которых
лежит только всеобщее верование, поддерживались в продолжение
очень долгого времени, пока наконец прогресс науки не разрушил их
в умах людей просвещенных, мнение которых заставило исчезнуть
эти заблуждения и среди народа силой подражания и привычки, рас-
пространивших их раньше так широко. Эта сила - самая могуще-
ственная побудительная причина мира нравственного - утверждает
и сохраняет в целой нации идеи, совершенно противоположные тем,
которые та же сила поддерживает в другом месте с той же властью.
Насколько же должны мы быть снисходительны к чужим взглядам,
различие которых от наших зависит часто только от разных точек
зрения, созданных обстоятельствами. Будем просвещать тех, кого
мы не считаем достаточно образованными; но подвергнем раньше
строгому пересмотру наши собственные взгляды и беспристрастно
взвесим их относительное вероятие.

Разница взглядов зависит еще от способа определения влияния
известных нам данных. Теория вероятностей имеет дело с такими
деликатными соображениями, что неудивительно, особенно в очень
сложных вопросах, если два лица, имея одни и те же данные, прихо-
дят к разным результатам. Изложим теперь главные принципы этой
теории.

Глава III

Общие принципы исчисления вероятностей

I принцип. Первый из этих принципов есть само определение ве-
роятности, которое, как мы видели, есть отношение числа случаев
благоприятствующих к числу всех возможных случаев.

II принцип. Но при этом различные случаи предполагаются рав-
новозможными. Если же это не так, то сперва определяют их соот-
ветственные возможности, точная оценка которых является одним
из самых деликатных пунктов теории случайностей. Тогда вероят-
ность будет суммой возможностей каждого благоприятного случая.
Поясним этот принцип примером.

Положим, что бросают в воздух большую и очень тонкую мо-
нету, две большие противоположные стороны которой, назовем их
крест и решетка, совершенно подобны. Найдем вероятность по край-
ней мере однократного появления креста при двух бросаниях. Ясно,
что могут иметь место четыре одинаково возможных случая, а имен-
но: крест при первом и при втором бросаниях; крест при первом бро-
сании и решетка при втором; решетка при первом бросании и крест
при втором; наконец, решетка при двух бросаниях. Первые три слу-
чая благоприятствуют событию, вероятность которого отыскивает-
з

ся; она, следовательно, равна ; так что три шанса против одного за
то, что крест выпадет по крайней мере один раз при двух бросаниях.

Можно считать в этой игре только три разных случая, а именно:
крест при первом бросании, что избавляет от второго бросания; ре-
шетка при первом бросании и крест при втором; наконец, решетка
при первом и втором бросаниях. Это свело бы вероятность к у, если
бы мы считали, как Д’Аламбер, эти три случая одинаково возмож-
ными. Но очевидно что вероятность появления креста при первом
бросании равна , тогда как вероятность других случаев равна |;
ибо первый случай есть событие простое, которое соответствует
двум сложным событиям, кресту при первом и втором бросаниях
и кресту при первом бросании, решетке при втором. Если теперь,
согласно II принципу, прибавить возможность креста при первом
бросании к возможности | решетки, выпавшей при первом броса-
нии, и креста при втором, то получится для искомой вероятности,
что согласуется с тем, что находим, предполагая выполнить оба бро-
сания. Это предположение совсем не меняет участи того, кто держит
пари за это событие: оно служит только для сведения различных слу-
чаев к случаям равновозможным.

IIIпринцип. Один из самых важных пунктов теории вероятностей
и наиболее дающий место иллюзиям - это способ, каким вероятно-
сти увеличиваются и уменьшаются взаимными сочетаниями. Если
события независимы одно от другого, вероятность существования
их совместности есть произведение их частных вероятностей. Так,
в то время как вероятность выпадения одного очка на одной кости
составляет |, вероятность выпадения двух очков при бросании двух
костей сразу равняется . Действительно, так как каждая сторона
одной кости может комбинироваться с шестью сторонами другой,
то существует 36 случаев, одинаково возможных, из которых один
только дает два очка. Вообще, вероятность, что какое-нибудь простое
событие при одинаковых обстоятельствах повторится подряд данное
число раз, равна вероятности этого простого события, возведенной
в степень, указанную этим числом. Таким образом, так как после-
довательные степени дроби, меньшей единицы, постоянно умень-
шаются, событие, которое зависит от ряда очень больших вероятно-
стей, может сделаться чрезвычайно маловероятным. Предположим,
что какой-нибудь факт передан нам 20 свидетелями таким образом,
что первый передал его второму, второй третьему и т.д.; предполо-
жим далее, что вероятность каждого свидетельства равна ве-
роятность факта, вытекающая из свидетельств, была бы менее |.
Нельзя лучше сравнить это уменьшение вероятности как с умень-
шением ясности предметов, когда на пути зрения ставят несколько
стеклянных пластинок, причем даже незначительного количества
пластинок достаточно, чтобы скрыть вид предмета, который сквозь
одно стекло виден совершенно ясно. Историки, кажется, не обраща-
ли достаточно внимания на это постепенное уменьшение вероятно-
сти фактов, если смотреть на них через большое число последова-
тельных поколений: многие исторические события, считающиеся
достоверными, оказались бы по меньшей мере сомнительными, если
бы их подвергли этому испытанию.

В науках чисто математических самые отдаленные следствия
участвуют в достоверности принципа, от которого они происходят.
В применениях анализа к физике следствия обладают всей достовер-
ностью фактов или опытов. Но в нравственных науках, где каждое
следствие выводится из предыдущего лишь на основании правдопо-
добия, как бы вероятны ни были эти выводы, шансы ошибок возрас-
тают вместе с их числом и, наконец, в очень отдаленных следствиях
какого-либо принципа превышают шансы истинности.

IV принцип. Если два события находятся в зависимости друг от
друга, вероятность сложного события есть произведение вероятно-
сти первого события на вероятность того, что, когда оно соверши-
лось, совершится и второе. Так, в предыдущем случае с тремя урнами
Л, В и С, из которых две содержат только белые шары и одна только
черные, вероятность изъятия белого шара из урны С есть у, так как
из трех урн две содержат шары только этого цвета. Но ввиду того,
что по изъятии белого шара из урны С неизвестность, относящая-
ся к той из урн, которая содержит одни черные шары, касается уже
только урн А и В. вероятность изъятия белого шара из урны В есть у;
произведение у на |, или |, есть, следовательно, вероятность изъ-
ятия из урн В и С сразу двух белых шаров. В самом деле, для этого
необходимо, чтобы урна А была той из трех урн, которая содержит
черные шары, а вероятность этого случая очевидно есть |.

Из этого примера обнаруживается влияние прошедших событий
на вероятность событий будущих; ибо вероятность изъятия белого
шара из урны В, которая первоначально равна |, сводится к | после
того, как вынули белый шар из урны С: она обратится в достовер-
ность, если бы из той же урны был вынут черный шар. Это влияние
будет определено с помощью следующего принципа, который явля-
ется следствием предыдущего.

V принцип. Если вычислить априори вероятность совершивше-
гося события и вероятность события, состоящего из этого первого
и из другого, которое ожидается, то вторая вероятность, деленная
на первую, будет вероятностью ожидаемого события, выведенной из
наблюденного события.

Здесь является вопрос, возбужденный несколькими философами,
относительно влияния прошлого на вероятность будущего. Предпо-
ложим, что в игре в крест и решетку крест появлялся чаще решетки:
из-за одного этого мы будем склонны думать, что в строении монеты
существует постоянная причина, которая этому благоприятствует.
Так, в жизни постоянное счастье является доказательством ловкос-
ти, которая и побуждает предпочитать счастливых людей. Но если
из-за непостоянства обстоятельств мы беспрестанно возвращаемся
к состоянию абсолютной неопределенности; если, например, монета
меняется при каждом бросании в игре в крест и решетку, то прошед-
шее не может пролить ни малейшего света на будущее и было бы
нелепостью принимать его в расчет.

VI принцип. Каждая из причин, которой может быть приписано
наблюденное событие, тем более правдоподобна, чем более вероят-
но, что при существовании этой причины событие будет иметь мес-
то; вероятность существования какой-либо из этих причин равна,
следовательно, дроби, числитель которой есть вероятность события,
вытекающая из этой причины, а знаменатель есть сумма подобных
вероятностей, относящихся ко всем причинам: если эти различные
причины, рассматриваемые априори, не одинаково вероятны, то вмес-
то вероятности события, вытекающей из каждой причины, следует
взять произведение этой вероятности на вероятность самой причи-
ны. Это основной принцип той отрасли анализа случайностей, кото-
рая занимается переходом от событий к причинам.

Этот принцип уясняет, почему правильные события приписыва-
ют особенной причине. Некоторые философы полагали, что эти со-
бытия менее возможны, чем остальные, и что в игре в крест и решет-
ку, например, сочетание, при котором крест выпадает 20 раз подряд,
менее естественно, чем такие сочетания, в которых крест и решетка
перемешаны неправильно. Но этот взгляд предполагает, что прошед-
шие события оказывают влияние на возможность событий будущих,
что совершенно недопустимо. Правильные сочетания только потому
реже встречаются, что они менее многочисленны. Если мы будем до-
биваться причины там, где заметили симметрию, то это не значит,
что мы рассматриваем симметричное событие как менее возможное,
чем другие; но так как это событие должно быть следствием регу-
лярной причины или случайности, то первое из этих предположе-
ний более вероятно, нежели второе. Мы видим на столе печатные
буквы, расположенные в таком порядке: Константинополь, и мы
считаем, что это расположение не есть следствие случая, не потому,
что оно менее возможно, нежели другие, так как если бы это слово
не употреблялось ни на одном языке, то мы не подозревали бы ника-
кой особенной причины этого расположения; но ввиду того, что это
слово у нас употребляется, несравненно вероятнее, что кто-нибудь
расположил так предыдущие буквы, нежели то, что этим расположе-
нием мы обязаны случаю.
Здесь уместно будет определить слово необычайно. Мы разби-
ваем мысленно все возможные события на различные классы, и мы
считаем необычайными те классы, которые вмещают очень малое
количество этих событий. Так, в игре в крест и решетку появление
креста 100 раз подряд кажется нам необычайным, потому что при
подразделении почти бесконечного числа сочетаний, могущих про-
изойти при 100 бросаниях, на ряды правильные, или те, в которых,
на наш взгляд, царствует легко уловимый порядок, и на ряды непра-
вильные, эти последние несравненно многочисленнее. Изъятие бе-
лого шара из урны, которая на миллион шаров содержит только один
шар этого цвета, а остальные черного, также кажется нам необычай-
ным, потому что мы образуем только два класса событий соответ-
ственно двум цветам. Однако выход, например, № 475813 из урны,
содержащей миллион номеров, кажется нам событием обычным, по-
тому что, индивидуально сравнивая между собой номера без подраз-
деления их на классы, мы не имеем никакого основания думать, что
один из них выйдет скорее, нежели остальные.

Из предыдущего мы вообще должны заключить, что чем более
какой-либо факт необычаен, тем более он нуждается в том, чтобы
опорой ему служили сильные доказательства; ибо те, кто о нем сви-
детельствуют, могут ошибаться или быть обманутыми, и эти две
причины тем более вероятны, чем менее вероятна сама по себе ре-
альность факта. В этом мы убедимся особенно, когда будем говорить
о вероятности свидетельских показаний.

VIIпринцип. Вероятность будущего события есть сумма произве-
дений вероятности каждой причины, выведенной из наблюденного
события, на вероятность того, что при существовании этой причины
будущее событие будет иметь место. Следующий пример пояснит
этот принцип.

Представим себе урну, содержащую только два шара, каждый из
которых пусть будет белым или черным. Вынимают один из этих ша-
ров, который кладут затем обратно в урну, чтобы приступить к ново-
му тиражу. Предположим, что при первых двух тиражах появились
белые шары; спрашивается, какова вероятность нового появления
белого шара при третьем тираже.

Здесь можно допустить только две следующих гипотезы: или
один из шаров белый, а другой черный, или оба белые. При первой
гипотезе вероятность наблюденного события равна ±; она равна
единице, или достоверности при второй. Так что, рассматривая эти
гипотезы как столько же причин, будем иметь, согласно VI принципу,
| и у для соответствующих им вероятностей. Но если имеет место
первая гипотеза, то вероятность изъятия белого шара при третьем
тираже равна она равна единице при второй гипотезе. После ум-
ножения этих последних вероятностей на вероятности соответству-
ющих гипотез сумма произведений, или , будет вероятностью изъ-
ятия белого шара при третьем тираже.

Когда вероятность простого события неизвестна, то можно пред-
полагать ее равной всем числовым значениям от нуля до единицы.
Вероятность каждой из этих гипотез, выведенная из наблюденного
события, равна, согласно VI принципу, дроби, числитель которой
есть вероятность события при этой гипотезе, а знаменатель - сум-
ма подобных вероятностей относительно всех гипотез. Так, вероят-
ность того, что возможность события заключена в данных пределах,
равна сумме дробей, заключенных в этих пределах. Если теперь
умножим каждую дробь на вероятность будущего события, опреде-
ленную при соответствующей гипотезе, то сумма произведений, от-
носящихся ко всем гипотезам, будет, согласно VII принципу, вероят-
ностью будущего события, выведенной из наблюденного события.
Таким образом находим, что после того, как событие произошло
подряд некоторое число раз, вероятность того, что оно произойдет
еще следующий раз, равна этому числу, увеличенному на единицу,
деленному на то же число, увеличенное на две единицы. Например,
если отнести древнейшую историческую эпоху за 5000 лет, или за
1 826 213 дней, назад и принять во внимание, что Солнце постоянно
восходило за этот промежуток времени при каждой смене суток, то
будет 1 826 214 шансов против одного за то, что оно взойдет и зав-
тра. Но число это несравненно значительнее для того, кто, зная из
совокупности явлений принцип, регулирующий дни и времена года,
видит, что ничто в настоящий момент не может остановить их те-
чение.

Бюффон в своей «Политической арифметике» исчисляет по-дру-
гому предыдущую вероятность. Он полагает, что она разнится от
единицы только на дробь, числитель которой есть единица, а зна-
менатель - число два, возведенное в степень, равную числу дней,
протекших с той эпохи. Но верный способ перехода от прошедших
событий к вероятности причин и будущих событий был неизвестен
этому знаменитому писателю.
Глава IV

Об ожидании

Вероятность событий служит для определения надежды или бо-
язни лиц, заинтересованных в существовании этих событий. Слово
надежда имеет разные значения: оно обыкновенно выражает выго-
ду того, кто ожидает какого-либо блага, делая предположения, кото-
рые не более как вероятны. Эта выгода в теории случайностей равна
произведению ожидаемой суммы на вероятность ее получения, что
составляет часть суммы, подлежащую уплате заинтересованному
лицу, если оно не желает подвергаться риску, сопряженному с собы-
тием, в предположении, что сумма распределяется пропорционально
вероятностям. Это распределение является единственным справед-
ливым, когда мы отбрасываем все побочные обстоятельства, так как
равная степень вероятности дает равные права на ожидаемую сумму.
Мы назовем эту выгоду математическим ожиданием.

VIII принцип. Если выгода зависит от многих событий, то, беря
сумму произведений вероятности каждого события на благо, связан-
ное с его наступлением, мы получаем эту выгоду.

Применим этот принцип к примерам. Предположим, что в игре
в крест и решетку Павел получает два франка, если у него выпадет
крест при первом бросании, и пять франков, если он выпадет лишь
при втором бросании. Умножив два франка на вероятность перво-
го случая, а пять франков на вероятность | второго случая, получим
сумму произведений, или 2| франка, которая будет выгодой Павла.
Это та сумма, которую он должен дать вперед тому, кто ему доставил
эту выгоду; ибо для равноправности игры ставка должна быть равна
выгоде, которую она приносит.

Если Павел получает два франка при выпаде креста в первом
бросании и пять франков при выпаде его во втором бросании даже
в том случае, если крест выпал и в первом бросании, при вероятно-
сти выпадения креста во втором бросании, равной , после умно-
жения двух франков и пяти франков на сумма этих произведений
даст 3| франка для выгоды Павла и, следовательно, для его ставки
в игре.

IX принцип. Имея ряд вероятных событий, из которых одни при-
носят прибыль, а другие убыток, мы узнаем выгоду, которая из них
последует, составляя сумму произведений вероятности каждого бла-
гоприятного события на приносимую им прибыль и отнимая от этой
суммы сумму произведений вероятности каждого неблагоприятного
события на связанный с ним убыток. Если вторая сумма превосходит
первую, то прибыль обращается в убыток, а надежда-в страх.

В жизни всегда следует действовать по крайней мере в смысле
уравнивания произведения ожидаемой прибыли на ее вероятность
с подобным же произведением относительно убытка. Но, чтобы до-
стигнуть этого, необходимо точно оценить прибыль, убыток и их со-
ответственные вероятности. Для этого надо обладать очень верным
умом, тонким тактом и большой опытностью в следующих отноше-
ниях: надо уметь оградить себя от предрассудков, иллюзий, страха
и надежды и от тех ложных представлений о богатстве и счастье,
которыми большинство людей убаюкивают свое самолюбие.

Применение предшествующих принципов к нижеследующему
вопросу очень занимало геометров. Павел играет в крест и решет-
ку с условием, что он получает два франка, если у него выпадет
крест при первом бросании, четыре франка, если он выпадет лишь
при втором бросании, восемь франков, если он выпадет лишь при
третьем, и т.д. Его ставка в игре должна быть, согласно VIII прин-
ципу, равна числу бросаний; так что если партия продолжается до
бесконечности, то его ставка должна быть бесконечной. Между тем
ни один разумный человек не пожелал бы поставить в этой игре
даже умеренную сумму, 50 франков, например. Откуда происходит
эта разница между результатом исчисления и указаниями здравого
смысла? Скоро узнали, что она зависит от того, что нравственная
выгода, доставляемая нам каким-либо благом, не пропорциональ-
на этому благу, и что она зависит от тысячи обстоятельств, часто
с трудом поддающихся определению, самым общим и важным из
которых является, однако, состояние. В самом деле, очевидно, что
один франк имеет гораздо большую ценность для того, кто их имеет
только 100, чем для миллионера. Следует поэтому отличать в ожи-
даемом благе его абсолютную ценность от ценности относительной:
эта последняя зависит от мотивов, заставляющих желать его, в то
время как первая от этого независима. Нельзя дать общего принци-
па для оценки этой относительной ценности. Вот, однако, принцип,
предложенный Даниилом Бернулли и могущий быть полезным во
многих случаях.

X принцип. Относительная ценность бесконечно малой суммы
равна ее ценности абсолютной, деленной на все имущество заинте-
ресованного лица. Здесь предполагается, что всякий человек имеет
какое-либо имущество, ценность которого ни в каком случае не мо-
жет предполагаться равной нулю. В самом деле, даже тот, кто ничем
не обладает, все же придает произведению своих трудов и своих на-
дежд ценность, по крайней мере равную тому, что как раз необходи-
мо, чтобы жить.

Если проанализировать только что нами изложенный принцип,
то получим следующее правило.

Если, обозначая единицей часть состояния какого-либо лица, не
зависящую от его ожиданий, определить различные значения, ко-
торые может принимать это состояние ввиду этих ожиданий и их
вероятностей, то произведение этих значений, возведенных, соот-
ветственно, в степени, указанные этими вероятностями, будет фи-
зическим богатством, которое доставит данному лицу ту же самую
нравственную выгоду, какую оно получает от части своего состоя-
ния, взятой за единицу, и от своих ожиданий; если отнять от этого
произведения единицу, то разница будет приращением физического
богатства, которым мы обязаны ожиданиям: мы назовем это прира-
щение нравственным ожиданием. Легко убедиться, что оно совпа-
дает с математическим ожиданием в том случае, если состояние,
принятое за единицу, делается бесконечным в сравнении с измене-
ниями, которые оно претерпевает от ожиданий. Но когда эти изме-
нения составляют значительную часть этой единицы, оба ожидания
могут очень значительно отличаться друг от друга.

Это правило приводит к результатам, согласным с указаниями
здравого смысла, которые благодаря этому могут быть оценены с не-
которой точностью. Так, в предыдущем вопросе находим, что если
состояние Павла равно 200 франкам, неразумно будет ставить в игре
более девяти франков. То же самое правило рекомендует скорее рас-
пределить опасность на несколько частей ожидаемого состояния,
чем подвергнуть той же опасности это состояние целиком. Из него
вытекает подобным же образом, что в игре, даже самой справедли-
вой, проигрыш всегда относительно больше выигрыша. Например,
при предположении, что игрок, обладая состоянием в 100 франков,
ставит из них 50 в игре в крест и решетку, состояние его после став-
ки сводится к 87 франкам, т.е. эта последняя сумма доставила бы
игроку ту же самую нравственную выгоду, как положение его иму-
щества после ставки. Игра, следовательно, невыгодна даже в том
случае, когда ставка равна произведению ожидаемой суммы на ее
вероятность. По этому можно судить о безнравственности игр, в ко-
торых ожидаемая сумма ниже этого произведения. Они существуют
лишь благодаря ложным рассуждениям и благодаря алчности, кото-
рую они возбуждают, и которые, склоняя народ жертвовать даже не-
обходимым ради химерических надежд, неправдоподобие которых
он оценить не в состоянии, являются источником бесконечных зол.
Невыгода игр, выгода не подвергать одной и той же опасности
все ожидаемое благо и все подобные результаты, указываемые здра-
вым смыслом, существуют, какова бы ни была функция физического
богатства, которая, для каждого индивидуума, выражает его богат-
ство нравственное. Достаточно, чтобы отношение приращения этой
функции к приращению физического богатства уменьшалось по
мере увеличения этого последнего.

Глава V

Об аналитических методах вероятностей

Применение только что нами изложенных принципов к различ-
ным вопросам вероятности требует методов, изыскание которых
дало начало многим отраслям анализа, в частности теории сочета-
ний и исчислению конечных разностей.

Если составить произведение биномов, единица плюс первая
буква, единица плюс вторая буква, единица плюс третья буква и т.д.
до п букв, то, отняв единицу от этого раскрытого произведения, по-
лучим сумму сочетаний всех этих букв, взятых по одной, по две,
по три и т.д., причем всякое сочетание будет иметь коэффициентом
единицу. Чтобы получить число сочетаний этих п букв, взятых по 5,
следует заметить, что при равенстве этих букв между собой пред-
шествующее произведение обратится в п-ю степень бинома единица
плюс первая буква; таким образом, число сочетаний п букв, взятых
по 5, будет коэффициентом степени 8 первой буквы в разложении
этого бинома; это число получится, следовательно, из известной
формулы бинома.

Будем обращать внимание на порядок букв в каждом соедине-
нии, замечая, что если присоединить вторую букву к первой, можно
поместить ее на первом или втором месте, что дает два соединения.
Если присоединить к этим соединениям третью букву, то можно по-
местить ее в каждом соединении на первом, втором или третьем мес-
те, что дает три соединения на каждое из двух предыдущих; всего
шесть соединений. Отсюда легко заключить, что число размещений,
которое возможно для 8 букв, есть произведение чисел от единицы
до 8. Поэтому, принимая во внимание и порядок букв, следует умно-
жить на это произведение число сочетаний п букв, взятых по 5; а это
сводится к тому, чтобы отбросить знаменатель коэффициента члена
бинома, выражающего это число.
Представим себе лотерею, состоящую из п номеров, из которых г
выходят при каждом тираже: нужно узнать вероятность выхода 8 дан-
ных номеров при одном тираже. Чтобы достигнуть этого, определя-
ют число сочетаний п номеров, взятых по 8. Затем определяют число
сочетаний г номеров, взятых подобным же образом по 8. Отношение
этого последнего числа к предшествующему очевидно и есть веро-
ятность того, что 8 данных номеров будут заключаться в г номерах,
долженствующих выйти; следовательно, это отношение будет иско-
мой вероятностью. Так, во французской лотерее, состоящей, как из-
вестно, из 90 номеров, из которых при каждом тираже выходят пять,
вероятность выхода данного выигрышного билета равна , или ;
значит, лотерея в этом случае должна была бы для равноправности
игры вернуть увеличенную в 18 раз ставку. Число всех сочетаний по
два, которые возможны из 90 номеров, равно 4005, и 10 из них вы-
ходят при каждом тираже. Вероятность выхода данного амба равна
поэтому , и лотерея в этом случае должна была бы вернуть став-
ку, увеличенную в 400^ раз; она должна была бы увеличить ставку
в 11 748 раз для терны, в 511 038 раз для кватерны и в 43 949 268 раз
для квины: лотерея далека от того, чтобы предоставить игрокам эти
преимущества.

Предположим, что урна содержит а белых шаров и Ъ черных
и что, по изъятии из нее шара, его кладут обратно в урну: спраши-
вается, какова вероятность того, что при п тиражах будут вынуты т
белых шаров и п - т черных. Ясно, что число возможных случаев
при каждом тираже равно а + Ь. Так как каждый случай второго ти-
ража может комбинироваться со всеми случаями первого, то число
возможных случаев при двух тиражах равно квадрату бинома а + Ь.
В разложении этого квадрата квадрат а выражает число случаев,
в которых два раза вынут белый шар, удвоенное произведение а на Ъ
выражает число случаев, в которых вынуты белый и черный шары;
наконец, квадрат Ъ выражает число случаев, в которых вынуты два
черных шара. Продолжая таким образом дальше, находят вообще,
что п степень бинома а + Ъ выражает число всех возможных случаев
при п тиражах, и что в разложении этой степени член, умноженный
на т степень а, выражает число случаев, в которых можно вынуть
т белых шаров и п - т черных. Поэтому, деля этот член на всю сте-
пень бинома, получим вероятность изъятия т белых шаров и п - т
черных. Так как отношение чисел а и а + Ь есть вероятность изъятия
белого шара при одном тираже, а отношение чисел Ь и а + Ь есть ве-
роятность изъятия черного шара, если при этом назовем эти вероят-
ности р и д, то вероятностью изъятия т белых шаров при п тиражах
будет член, умноженный на т степень р. в разложении п степени
бинома р плюс д: легко заметить, что сумма р + с/ есть единица. Это
замечательное свойство бинома оказывается очень полезным в тео-
рии вероятностей.

Но самый общий и прямой метод решения вопросов о вероятно-
сти состоит в том, чтобы привести их в зависимость от разностных
уравнений. При сравнении последовательных значений функции,
которая выражает вероятность, когда переменные увеличиваются
на соответствующие им разности, предложенный вопрос часто до-
ставляет очень простое соотношение между этими значениями. Это
соотношение есть то, что называется уравнением с обыкновенными
или частными разностями', обыкновенными, когда имеется только
одна переменная, частными, когда их несколько. Приведем несколь-
ко примеров.

Три игрока, силы которых предполагаются равными, играют на
следующих условиях. Тот из двух первых игроков, который обыгры-
вает своего противника, играет с третьим, и, если он его обыграет,
партия кончена. Если же он побит, то победитель играет с другим
игроком и т.д., до тех пор, пока один из игроков не обыграет сряду
обоих остальных, чем и заканчивается партия: требуется определить
вероятность того, что партия кончится через некоторое число п хо-
дов. Найдем сперва вероятность того, что она будет окончена именно
на /7-м ходу. Для этого тот игрок, который выигрывает, должен всту-
пить в игру через п - 1 ходов и выиграть как этот, так и следующий
ход. Если же вместо того, чтобы выиграть ход п - 1, он оказался бы
побежденным своим противником, причем этот последний только
что обыграл и другого игрока, то партия окончилась бы на этом ходу.
Так что вероятность того, что один из игроков вступит в партию на
ходу п - 1 и выиграет его, равна вероятности того, что партия окон-
чится именно на этом ходу; а так как этот игрок должен выиграть
и следующий ход, для того чтобы партия окончилась на /7-м ходу,
вероятность этого последнего случая будет равна только половине
предшествующей. Эта вероятность очевидно есть функция числа п'.
эта функция равна, следовательно, половине той же функции, если
уменьшить в ней п на единицу. Это равенство составляет одно из тех
уравнений, которые называются уравнениями в обыкновенных конеч-
ных разностях.

При помощи этого уравнения можно легко определить вероят-
ность того, что партия окончится именно на некотором данном ходу.
Очевидно, что партия никоим образом не может кончиться раньше,
чем на втором ходу, и для этого необходимо, чтобы тот из первых
двух игроков, который обыграл своего противника, обыграл на вто-
ром ходу третьего игрока; вероятность того, что партия окончится
на этом ходу, равна поэтому |. Отсюда на основании предыдущего
уравнения мы заключаем, что последовательные вероятности оконча-
ния партии равны: | для третьего хода, | для четвертого и т.д. и во-
обще , возведенной в степень /7-1, для /7-го хода. Сумма всех этих
степеней равна единице минус последняя из этих степеней; это
и есть вероятность того, что партия будет окончена самое большее
в п ходов.

Рассмотрим также первую более или менее трудную задачу на
вероятности, которую удалось решить и которую Паскаль предло-
жил решить Ферма. Два игрока А и В, ловкость которых одинакова,
играют друг с другом с тем условием, что тот, кто первый победит
другого данное число раз, выигрывает партию и получает сумму ста-
вок; после нескольких ходов игроки соглашаются прекратить игру,
не окончив партии; спрашивается, каким образом должна быть рас-
пределена между ними эта сумма. Ясно, что доли их должны быть
пропорциональны соответственным вероятностям выиграть партию;
поэтому вопрос сводится к тому, чтобы определить эти вероятности.
Они зависят, очевидно, от числа очков, которых каждому игроку не-
достает до данного числа. Так, вероятность игрока А есть функция
тех двух чисел, которые мы назовем указателями. Если бы оба игро-
ка согласились сделать еще один ход (соглашение, которое совсем
не меняет их участи, лишь бы только после этого нового хода дележ
произошел по-прежнему пропорционально новым вероятностям вы-
играть партию), то либо А выиграет этот ход и в таком случае число
недостающих ему очков уменьшится на единицу; либо игрок В выи-
грает его и в таком случае число очков, недостающих этому послед-
нему игроку, сделается на единицу меньше. Но вероятность каждого
из этих случаев равна ; искомая функция равна поэтому половине
этой функции, в которой первый указатель уменьшен на единицу,
плюс половина той же функции, в которой второй указатель умень-
шен на единицу. Это равенство есть одно из уравнений, которые на-
зываются уравнениями в частных разностях.

При помощи этого уравнения можно определить вероятности
игрока А исходя из наименьших чисел и заметив, что вероятность
или выражающая ее функция равна единице, когда игрок А достиг
данного числа очков, иначе когда первый указатель равен нулю и эта
функция обращается в ноль вместе со вторым указателем. Таким об-
разом, предполагая, что игроку А недостает только одного очка, мы
найдем, что его вероятность равна	и т.д., смотря по тому,
недостает ли В одного очка, или двух, или трех и т.д. Вообще она рав-
на тогда единице без степени |, равной числу очков, недостающих В.
Предположим затем, что игроку А недостает двух очков, и найдем
его вероятность равной , || и т.д., смотря по тому, недостает
ли В одного очка, или двух, или трех и т.д. Предположим дальше, что
игроку А недостает трех очков и т.д.

Этот способ получения последовательных значений какой-либо
величины при помощи ее уравнения в разностях долог и затрудни-
телен. Геометры искали методы получения общей функции указате-
лей, удовлетворяющей этому уравнению, для того чтобы в каждом
частном случае нужно было бы только подставить в эту функцию
соответствующие значения указателей. Рассмотрим этот вопрос
в общем случае. Для этого возьмем ряд членов, расположенных по
горизонтальной линии, таких, что каждый из них происходит из
предшествующих на основании известного закона. Предположим,
что закон этот выражен уравнением, связывающим несколько после-
довательных членов с их указателем или числом, которое указывает
место, занимаемое ими в ряду. Это уравнение есть то, что я называю
уравнением в конечных разностях с одним указателем. Порядок или
степень этого уравнения есть разность порядков двух крайних его
членов. С помощью этого уравнения можно последовательно опре-
делить члены ряда и неопределенно продолжить его; но для этого
необходимо знать число членов ряда, равное степени уравнения. Эти
члены суть произвольные постоянные выражения общего члена ряда
или интеграла уравнения в разностях.

Возьмем теперь поверх членов предшествующего ряда второй
ряд членов, расположенных горизонтально; возьмем поверх членов
второго ряда еще третий горизонтальный ряд и т.д. до бесконечно-
сти и предположим, что члены всех этих рядов связаны общим урав-
нением между несколькими последовательными членами, взятыми
как в горизонтальном, так и в вертикальном направлении, и числа-
ми, указывающими их место в обоих направлениях. Это уравнение
есть то, что я называю уравнением в конечных частных разностях
с двумя указателями.

Подобным же образом возьмем поверх плоскости предыдущих
рядов вторую плоскость подобных же рядов, члены которых нахо-
дились бы соответственно над членами первой плоскости; возьмем
затем поверх этой второй плоскости третью плоскость подобных
же рядов и так до бесконечности; предположим, что все члены этих
рядов связаны уравнением между несколькими последовательными
членами, взятыми в направлении длины, ширины и высоты, и тремя
числами, указывающими их место в этих трех направлениях. Это
уравнение будет тем, что я называю уравнением в конечных частных
разностях с тремя указателями.

Рассматривая, наконец, вопрос в отвлеченной форме и незави-
симо от измерений пространства, возьмем вообще систему величин,
являющихся функциями известного числа указателей, и предполо-
жим между этими величинами, разностями их относительно этих
указателей и самыми указателями столько уравнений, сколько этих
величин; это будут уравнения в конечных частных разностях с из-
вестным числом указателей.

При помощи этих уравнений можно последовательно определить
эти величины. Но подобно тому, как при уравнении с одним указа-
телем для этого необходимо знать известное число членов ряда, при
уравнении с двумя указателями необходимо знать одну или несколь-
ко строк рядов, общие члены которых могли бы быть выражены каж-
дый произвольной функцией одного из этих указателей. Подобным
образом при уравнении с тремя указателями необходимо знать одну
или несколько плоскостей рядов, общие члены которых могли бы
быть выражены каждый произвольной функцией двух указателей,
и т.д. Во всех этих случаях будет возможно посредством последова-
тельных исключений определить какой-либо член рядов. Но так как
все уравнения, из которых делается исключение, заключаются в од-
ной и той же системе уравнений, все выражения последовательных
членов, полученные с помощью этих исключений, должны заклю-
чаться в одном общем выражении, являющемся функцией указате-
лей, которые определяют место члена. Это выражение есть интеграл
предложенного уравнения в разностях, и нахождение его составляет
предмет интегрального исчисления.

Тэйлор первым исследовал в сочинении под заглавием Ме1Иос1их
тсгетеп1огит линейные уравнения в конечных разностях. Он дает
в нем способ интегрирования уравнений первого порядка с одним
коэффициентом и последним членом, являющимися функциями
указателя. Правда, отношения членов арифметических и геометри-
ческих прогрессий, которые всегда рассматривались, являются про-
стейшими случаями линейных уравнений в разностях; но они еще не
рассматривались с такой точки зрения, одной из тех, которые, при-
мыкая к общим теориям, ведут к этим теориям и благодаря этому
являются настоящими открытиями.

Около того же времени Муавр рассматривал уравнения в конеч-
ных разностях любого порядка с постоянными коэффициентами под
названием возвратных рядов (уиИез гёсиггеЫез). Ему удалось их ин-
тегрировать очень остроумным способом. Так как всегда интересно
проследить путь изобретателей, я изложу путь, которым следовал
Муавр, применяя его к возвратному ряду, соотношение между тре-
мя последовательными членами которого дано. Он рассматривает
сперва соотношение между последовательными членами геометри-
ческой прогрессии или двучленное уравнение, выражающее его. От-
нося его к членам предшествующим, он умножает его в этом виде
на постоянный множитель и произведение вычитает из первоначаль-
ного уравнения. Этим способом он получает уравнение, связываю-
щее три последовательных члена геометрической прогрессии. Затем
Муавр рассматривает вторую прогрессию, отношением членов ко-
торой является тот самый множитель, который он только что брал.
Он уменьшает подобным же образом на единицу указателя членов
уравнения этой новой прогрессии; в таком виде он умножает ее на
отношение членов первой прогрессии и произведение вычитает из
уравнения второй прогрессии, откуда он получает совершенно по-
добное же соотношение между тремя последовательными членами
этой прогрессии, как уже найденное им для первой прогрессии. Да-
лее он замечает, что если сложить почленно обе прогрессии, то же
самое соотношение сохранится между любыми тремя такими по-
следовательными суммами. Он сравнивает коэффициенты этого со-
отношения с коэффициентами соотношения членов предложенного
возвратного ряда и находит с целью определения отношений обе-
их геометрических прогрессий уравнение второй степени, корнями
которого являются эти отношения. Таким образом, Муавр разлага-
ет возвратный ряд на две геометрические прогрессии, умноженные
каждая на произвольное постоянное, определяемое им при помощи
двух первых членов возвратного ряда. Этот остроумный способ,
в сущности, тот же самый, который применялся потом Д’Аламбером
для интегрирования линейных уравнений в бесконечно малых раз-
ностях с постоянными коэффициентами и который был перенесен
Лагранжем на подобные же уравнения в конечных разностях.

Я рассмотрел затем линейные уравнения в конечных частных
разностях сперва под названием возвратновозвратных рядов (зиИез
гёсигго-гёсиггеп^ез), а потом под их собственным названием. Самым
общим и простейшим способом интегрирования всех этих уравне-
ний является, мне кажется, способ, основанный мной на рассмотре-
нии образующих функций, идея которых такова.

Если возьмем функцию А переменного Д разложенную в ряд по
восходящим степеням этого переменного, то коэффициент какой-ли-
бо из этих степеней будет функцией показателя или указателя этой
степени. А будет то, что я называю образующей функцией этого ко-
эффициента, или функцией указателя.

Если, теперь умножить ряд А на линейную функцию того же са-
мого переменного Д каковой является, например, единица плюс это
переменное, взятое два раза, то произведение будет новой образую-
щей функцией, в которой коэффициент какой-либо степени перемен-
ного будет равен коэффициенту той же степени в А плюс двойной
коэффициент степени на единицу меньшей. Таким образом, функция
указателя в произведении равна будет функции указателя в А плюс
та же самая удвоенная функция, указатель в которой уменьшен на
единицу. Эта функция указателя в разложении произведения являет-
ся, таким образом, производной функции указателя в Л, производной,
которую можно выразить характеристикой 8, поставленной перед
этой последней функцией. Операция, указанная характеристикой,
зависит от множителя Л, который мы обозначим через В и относи-
тельно которого мы предположим, что он, подобно Л, разложен по
степеням переменного Л

Если снова умножить на В произведение Л на В, что сводит-
ся к умножению Л на квадрат В, то составится третья образующая
функция, в которой коэффициент некоторой степени / будет подоб-
ной же производной соответствующего коэффициента предыдущего
произведения; поэтому его можно будет обозначить той же харак-
теристикой 8, поставленной перед предшествующей производной;
а тогда эта характеристика будет написана два раза перед соответ-
ствующим коэффициентом ряда Л. Но вместо того, чтобы писать ее
два раза; пишут ее с показателем два.

Продолжая таким образом, увидим в общем случае, что после
умножения Л на п степень В в произведении получается коэффици-
ент некоторой степени переменного /, если поставить перед соответ-
ствующим коэффициентом Л характеристику 8 с показателем п.

Предположим, что В есть единица, деленная на Ц тогда в произ-
ведении Л на В коэффициент какой-либо степени этого переменного
будет коэффициентом степени, на единицу большей, в Л; откуда сле-
дует, что в произведении Л на п-ю степень В коэффициент этот будет
коэффициентом степени, на п единиц большей, в Л.

Обозначим через С единицу, деленную на переменное Ц минус
единица; тогда в произведении Л на С коэффициент какой-либо сте-
пени переменного будет коэффициентом его степени, на единицу
большей, в ряду Л, минус коэффициент этой степени в том же ряду;
он будет, следовательно, конечной разностью этого последнего коэф-
фициента, в котором указатели меняют на единицу. Таким образом,
в произведении А на п степень С коэффициентом будет 77-я разность
соответствующего коэффициента Л.

Так как В равно здесь 1 + С, то /7-я степень В тождественно равна
такой же степени бинома 1 + С. Поэтому после умножения на А обе-
их этих степеней окажется, что оба произведения тождественны. Но
в произведении А на /7-ю степень В коэффициент какой-либо степе-
ни переменного I является, как мы видели, коэффициентом степени,
на п единиц большей, в Л; значит, он есть функция указателя, увели-
ченного на число п. В произведении Л на разложение бинома 1 + С
получим, на основании предыдущего, соответственные коэффици-
енты, написав вместо произведений Л на последовательные степе-
ни С последовательные разности функции указателя в Л и умножив
на эту функцию член, не зависящий от С. Мы получим, следователь-
но, некоторую функцию указателя, увеличенного на неопределенное
/7, выраженной через коэффициенты /7-й степени бинома единица
плюс единица, соответственно умноженные на саму функцию и на
ее последовательные разности, что дает интерполяцию рядов при
помощи разностей их последовательных членов, если рассматривать
неопределенное п дробным.

Тождественное уравнение В равно С + 1 дает тождественное
уравнение С равно В - 1. Если возвести в п степень обе части этого
последнего равенства и умножить на Л обе эти степени, то в про-
изведении Л на п степень С коэффициент данной степени перемен-
ного I будет /7-й конечной разностью коэффициента той же самой
степени в Л. В произведении Л на разложение /7-й степени бинома
В - 1 коэффициент данной степени переменного будет суммой чле-
нов этого разложения, соответственно умноженных на значения ко-
эффициента той же самой степени в Л, если последовательно уве-
личивать указатели этого коэффициента на количества /7, п - 1, п - 2
и т.д., что дает п конечную разность функции указателя через после-
довательные значения функции.

Обозначив 8 производную коэффициента данной степени пере-
менного I в Л относительно множителя В; обозначим характеристи-
кой Л производную относительно множителя С. Если в уравнении В
равно С + 1 подставить 8 вместо В и Л вместо С, то, на основании
предыдущего, от возведения обеих частей этого уравнения в п сте-
пень равенство не нарушится, лишь бы только в каждом члене разло-
жения коэффициент данной степени переменного в Л, или функция
указателя, поставлены были после каждой степени характеристик,
а член, не зависящий от характеристик, умножен был на эту функ-
цию. То же самое имеет место в уравнении С равно В - 1, а также
и в уравнении В - С равно единице. От подстановки ЗиЛ вместо В
и С и от возведения обеих частей этого последнего уравнения в п сте-
пень, если разложить потом первую часть, равенство не нарушится,
лишь бы только в каждом члене функция указателя была поставлена
после степеней характеристик 3 и Л и произведений этих степеней;
и лишь бы эта функция была написана вместо единицы во второй
части; что дает выражение этой функции при помощи ее последова-
тельных значений и ее разностей.

Применяя те же рассуждения и к другим значениям множителей
В и С, мы приходим к следующему общему результату: каковы бы ни
были функции переменного Д представленные В и С, в разложении
всех тождественных уравнений, могущих их связывать, можно заме-
нить эти функции соответствующими характеристиками ЗиЛ, лишь
бы функция указателя была поставлена после степеней или произве-
дений степеней характеристик, а члены, не зависящие от характери-
стик, были умножены на эту функцию. В самом деле, очевидно, что
если в некотором члене разложения уравнения, связывающего В и С,
о котором идет речь, г есть степень В, а г'-степень С, для того чтобы
перейти от образующих функций к их коэффициентам, нужно напи-
сать 3 вместо В и Л вместо С и поставить произведение степеней г
и г' этих характеристик перед функцией указателя.

Здесь надо заметить, что уравнения, связывающие характеристи-
ки, тождественны, подобно соответствующим уравнениям, связыва-
ющим В и С. Так функция указателя, увеличенного на неопределен-
ное п, тождественна с рядом разностей: этот ряд, в сущности, не что
иное, как та же самая преобразованная функция. Но в этих преоб-
разованиях и заключается могущество анализа и его преимущества.
Если, например, по роду какого-либо вопроса оказывается, что надо
считать нулем третью разность некоторой функции, то предыдущий
ряд кончается и обращается в функцию п, удовлетворяющую этому
условию и являющуюся поэтому интегралом, который получается,
если приравнять к нулю третью разность функции. В этом интеграле
содержатся, как произвольные постоянные, функция указателя и ее
первая и вторая разности при п, равном нулю.

Пусть теперь А будет функцией двух переменных I и разложен-
ной в ряд, расположенный по степеням и произведениям степеней
этих переменных; коэффициент произведения каких-либо двух сте-
пеней будет функцией указателей этих степеней, образующей функ-
цией которых будет А.

Умножим А на функцию В двух переменных I и разложен-
ную по степеням и произведениям этих переменных, например так:
первая переменная плюс вторая минус два; произведение будет но-
вой образующей функцией, в которой коэффициент произведения
каких-либо двух степеней пип' одних и тех же переменных будет
равен тому же самому коэффициенту в Л, если уменьшить в нем на
единицу указатель п первого переменного, плюс тот же самый коэф-
фициент, в котором уменьшен на единицу указатель п' второго пе-
ременного, минус тот же удвоенный коэффициент. Можно выразить
этот новый коэффициент характеристикой 8, поставленной перед
коэффициентом А. Мы увидим, как и раньше, что соответственный
коэффициент в произведении А на некоторую степень В будет выра-
жен этой характеристикой, которая всегда ставится перед коэффи-
циентом А и которой приписывается показатель, равный показателю
степени В. Отсюда вытекают теоремы, аналогичные тем, которые
относятся к функциям одного переменного.

Подобным же образом возможно разложить некоторую функцию
двух указателей, соответственно увеличенных на п и п', в ряд, распо-
ложенный относительно степеней характеристики; покажем это на
примере. Для этого оставим за В то значение, которое мы только что
придали ему. В этом случае первое переменное будет тождественно
равно трехчлену два минус второе переменное плюс В; первое пере-
менное, возведенное в п степень, взятую с минусом, будет равно это-
му трехчлену, возведенному в ту же степень. Умножим обе части это-
го равенства на ряд А, деленный на степень п' второго переменного,
и разложим вторую часть. После перехода от образующих функций
к их коэффициентам коэффициент произведения двух данных степе-
ней переменных в первой части будет равен тому, во что обратится
коэффициент того же произведения в Л, когда его указатели увели-
чиваются соответственно на неопределенные п и п'. В каком-либо
члене разложения второй части коэффициент того же произведения
будет равен тому, во что обратится этот член, если поставить вмес-
то В 8 с таким же показателем перед коэффициентом Л, в котором
второй указатель уменьшен на показателя, второго переменного, ко-
торое отбрасывают. Всякий член, не зависящий от В, должен быть
умножен на коэффициент Л, в котором второй указатель подобным
же образом уменьшен на показатель второго переменного, которое
также отбрасывают. Таким образом получим функцию указателей,
соответственно увеличенных на п и п \ разложенную в ряд по после-
довательным степеням 8, помещенным перед функцией, в которой
второй указатель будет единственным переменным.

Если функция указателей такова, что, снабженная характерис-
тикой 8, она обращается в ноль, то вторая часть сводится к ряду членов,
умноженных на функцию указателей, из которых только второй ме-
няется. Эта функция есть разложение бинома два минус единица,
возведенного в п степень, взятую со знаком минус; так как после-
довательные члены этого разложения должны быть соответствен-
но умножены на функцию указателей, в которой второй указатель
увеличивается последовательно на величины п', п' минус единица,
п'минус два и т.д. Поэтому, если рассматривать предыдущую функ-
цию, в которой указатели увеличены на п и на пкак функцию двух
неопределенных п и п\ то эта функция будет дана разложением би-
нома два минус единица, возведенного в п степень, взятую со зна-
ком минус, причем члены этого разложения будут соответственно
умножаться на ту же функцию, в которой п должно сделать равным
нулю, а п' последовательно равным, п\ п' минус единица, п' минус
два и т.д.; функция указателей п. равного нулю, и п' есть произволь-
ная функция п\ которая должна быть определена условиями зада-
чи. Таков, следовательно, интеграл уравнения в частных разностях,
представленного равенством нулю выражения с характеристикой 8,
помещенной перед функцией с указателями п и /?'; ясно также, что
для этого равенства функция указателей в А должна быть такова, что
если уменьшить в ней указатель п на единицу, прибавить ее к той
функции, в которой п'уменьшено на единицу, вычесть из этой сум-
мы саму удвоенную функцию, то остаток будет равен нулю; отку-
да получается, что функция указателей п и я' равна половине той
функции, в которой п уменьшено на единицу, плюс половина той же
функции, в которой п' уменьшено на единицу. Это и будет уравнение
в частных разностях, выраженное условием 8 равно нулю.

Это и есть то уравнение, к которому приводит рассмотрение за-
дачи, предложенной Паскалем Ферма, о которой мы выше говорили:
п и я' здесь числа очков, недостающих первому и второму игрокам
до выигрыша партии; функция же этих указателей есть вероятность
того, что ее выиграет первый игрок. Эта вероятность обращается
в единицу, когда п равно нулю, а при п. равном нулю, п' никогда не
может быть нулем или отрицательным; так что в предыдущем инте-
грале надо отбросить все члены, в которых это имеет место. Отсюда
следует: вероятность, что первый игрок выиграет партию, равна п'
первым членам бинома два минус единица, возведенного в п сте-
пень, взятую со знаком минус. Таково общее решение этой задачи.

Было бы трудно понять без помощи анализа более полное раз-
витие только что изложенного метода. Заметим только, что если А
выражает функцию переменного Д разложенную в ряд, если В равно
единице, деленной на переменное минус единица, а С равно едини-
це, деленной на / степень переменного минус единица, то произве-
дение А на некоторую п степень В будет образующей функцией п
разностей коэффициентов ряда Л, если притом указатель меняется
на единицу: произведение А на п степень С будет образующей функ-
цией п разностей тех же самых коэффициентов в том случае, если
указатель меняется на /. Таким образом, если предположить, что 8
и Л суть соответственно характеристики В и С, то все тождественные
уравнения, могущие связывать В и С, дадут, если заменить эти ве-
личины их характеристиками, такое же количество тождественных
уравнений, связывающих эти характеристики; нужно только в раз-
ложении этих уравнений степени и произведения степеней этих ха-
рактеристик помещать перед функцией указателя.

Если в этом разложении встречаются характеристики с отрица-
тельными показателями, то они указывают на конечные интегралы.
В самом деле, так как произведение А на п степень В представляет
из себя образующую функцию п разностей коэффициентов Л, то эти
коэффициенты будут п интегралами коэффициентов образующей
функции, которую составит это произведение; откуда следует, что
образующая функция, умноженная на В. возведенная в п степень,
взятую со знаком минус, будет образующей функцией п интегралов
коэффициентов этой функции. Отрицательные степени 8, поставлен-
ные перед этими коэффициентами, указывают поэтому на интегра-
лы; это и есть причина аналогии, существующей между положитель-
ными степенями и разностями и между отрицательными степенями
и интегралами.

Легко видеть, что С равно / степени бинома 1+7?, если от этой
степени отнять единицу. Равенство не нарушится, если возвести в п
степень обе его части, каковы бы ни были п и его знак; заменяя В
и С характеристиками их 8 и Л и заметив, что отрицательные харак-
теристики выражают интегралы, получим с помощью разложения
второй части разности и интегралы, указатель которых меняется на
некоторую величину /, выраженные через ряд разностей и интегра-
лов, указатели которых меняются на единицу. Если предположим /
бесконечно малым, то результаты останутся те же самые и упро-
стятся, когда отбросим бесконечно малые порядка высшего, чем тот,
который мы желаем сохранить. Эти переходы от конечного к беско-
нечно малому важны тем, что бросают свет на деликатные пункты
анализа бесконечно малых, пункты, которые были предметом боль-
ших споров между геометрами. Пользуясь этим способом, я доказал
возможность вводить прерывные функции в интегралы уравнений
в частных разностях, лишь бы прерывность имела место только для
дифференциалов функций порядка этих уравнений. Трансцендент-
ные результаты исчисления являются, подобно всем абстракциям
разума, общими знаками, истинный объем которых можно познать,
лишь переходя с помощью метафизического анализа к элементар-
ным идеям, приведшим к этим результатам, что представляет часто
большие затруднения; ибо ум человеческий испытывает меньше за-
труднений при движении вперед, чем при попытке проникнуть в са-
мого себя.

Переход от конечного к бесконечно малому проливает свет на ме-
тафизику дифференциального исчисления. Благодаря этому перехо-
ду становится ясным, что это исчисление не что иное, как сравнение
коэффициентов одинаковых степеней дифференциалов при разложе-
нии в ряд тождественно равных функций указателей, увеличенных
соответственно на неопределенные дифференциалы. Те величины,
которыми пренебрегают как бесконечно малыми высшего порядка
сравнительно с теми, которые сохранены и которые вследствие этого
опущения как бы лишают это исчисление алгебраической точности,
представляют не что иное, как степени этих дифференциалов, пре-
вышающие степени, коэффициенты которых сравниваются, степени,
которые поэтому должны быть отброшены при этом сравнении, так
что дифференциальное исчисление обладает всей точностью других
алгебраических операций. Но в приложениях его к геометрии и ме-
ханике необходимо ввести принцип пределов. Например, так как
подкасательная кривой есть геометрический предел подсекущей,
или линия, к которой эта последняя непрерывно приближается по
мере того, как приближаются друг к другу точки пересечения секу-
щей и кривой, то аналитическое выражение подкасательной должно
подобным же образом быть пределом аналитического выражения
подсекущей; оно, следовательно, равно первому члену этого послед-
него выражения, разложенного по степеням интервала, разделяюще-
го ординаты двух точек пересечения.

Можно также рассматривать касательную как прямую, уравне-
ние которой наиболее приближается к уравнению кривой близ точки
прикосновения. Так как ордината этой кривой есть функции абсцис-
сы, то очевидно, что если, начиная с этой точки, увеличивать абс-
циссу на некоторую неопределенную величину, по степеням которой
была бы разложена функция, сумма двух первых членов этого раз-
ложения будет ординатой прямой, наиболее приближающейся к кри-
вой; она будет, следовательно, ординатой касательной, а коэффици-
ент неопределенной величины во втором члене выразит отношение
ординаты к подкасательной. Легко доказать с помощью принципа
пределов, что всякая другая прямая, проведенная через точку при-
косновения, пересечет кривую близ этой точки.

Этим необыкновенно удачным способом нахождения выраже-
ния подкасательных мы обязаны Ферма, который распространил его
на трансцендентные кривые. Этот великий геометр обозначает ха-
рактеристикой Е приращение абсциссы, и, принимая во внимание
только первую степень этого приращения, он определяет точно, как
это делается при помощи дифференциального исчисления, подкаса-
тельные кривых, точки их перегиба, тахта и ттта их ординат,
и все это вообще для рациональных функций. Из данного им кра-
сивого решения задачи преломления света, помещенной в «Сборни-
ке писем» Декарта, видно, что он умел распространять свой метод
и на иррациональные функции, избавляясь от иррациональностей
возведением радикалов в степень. Поэтому Ферма следует считать
истинным изобретателем дифференциального исчисления. Ньютон
в своем «Методе флюксий» сделал потом это исчисление более ана-
литическим, он, кроме того, упростил и обобщил его приемы своей
красивой теоремой о биноме. Наконец, почти в то же самое время
Лейбниц обогатил дифференциальное исчисление обозначением, ко-
торое, указывая на переход от конечного к бесконечно малому, при-
соединяет к преимуществу, что выражает общие результаты этого
исчисления, еще то преимущество, что дает первые приближенные
значения разностей и сумм количеств, обозначением, которое при-
меняется также к исчислению частных дифференциалов.

Мы часто приходим к выражениям, содержащим такое количе-
ство членов и множителей, что числовые подстановки становятся
невыполнимыми. Это имеет место в вопросах о вероятностях, когда
рассматривается большое число событий. Однако тогда бывает важ-
но получить числовое значение формул, чтобы узнать, какова веро-
ятность результатов, которые события раскрывают по мере увеличе-
ния их числа. Особенно же важно получить закон, по которому эта
вероятность непрерывно приближается к достоверности, которой
она и достигла бы наконец, если бы число событий стало бесконеч-
ным. С этой целью я обратил внимание на то, что определенные ин-
тегралы дифференциалов, умноженных на множители, возведенные
в высокие степени, дают по интегрировании формулы, состоящие
из большого числа членов и множителей. Это навело меня на мысль
преобразовать в подобные интегралы сложные выражения анализа
и интегралы разностных уравнений. Я выполнил это посредством
метода, который дает сразу и подынтегральную функцию, и пределы
интеграции. Он замечателен тем, что эта функция и есть образую-
щая функция данных выражений и уравнений; что связывает этот
метод с теорией образующих функций, которую он таким образом
и дополняет. Затем оставалось только свести определенный инте-
грал к сходящемуся ряду. Я достиг этого приемом, который делает
ряд тем быстрее сходящимся, чем сложнее формула, которая его вы-
ражает, так что этот прием тем более точен, чем более он необходим.
Очень часто ряд имеет множителем корень квадратный из отноше-
ния окружности к диаметру; иногда он зависит от других трансцен-
дентных, число которых бесконечно.

Следует сделать одно важное замечание, которое связано с боль-
шой общностью анализа и которое позволяет распространить этот
метод на формулы и разностные уравнения, очень часто встре-
чающиеся в теории вероятностей: ряды, к которым мы приходим,
предполагая пределы определенных интегралов действительными
и положительными, имеют место также и в том случае, когда урав-
нение, определяющее эти пределы, не имеет других корней, кроме
отрицательных или мнимых. Эти переходы от положительного к от-
рицательному и от действительного к мнимому, сделанные впервые
мной, дали мне сверх того значения многих особенных определен-
ных интегралов, которые потом я вывел непосредственно. Эти пе-
реходы можно считать поэтому таким же средством открытий, как
индукция и аналогия, которые уже давно применялись геометрами,
сперва с крайней осторожностью, а потом с полным доверием, после
того как большое число примеров оправдало их применение. Одна-
ко следует всегда подтверждать непосредственным доказательством
результаты, полученные этими различными способами.

Я назвал исчислением образующих функций всю совокупность
предыдущих методов: это исчисление положено в основание мое-
го труда, озаглавленного «Аналитическая теория вероятностей».
Оно связано с простой мыслью - выразить повторение умножения
какой-либо величины на саму себя или ее целые и положительные
степени, ставя над буквой, которая ее выражает, числа, отмечающие
порядок этих степеней. Это обозначение, употребляемое Декартом
в его геометрии и ставшее общепринятым со времени опубликования
этого важного труда, кажется безделицей, особенно в сравнении с те-
орией кривых и переменных функций, которыми этот великий гео-
метр положил основание современным исчислениям. Но так как язык
анализа, самый совершенный из языков, уже сам по себе представля-
ет могущественное средство открытий, то каждое его обозначение,
в том случае, когда оно необходимо и удачно придумано, становится
зародышем нового исчисления, что мы и видим на этом примере.
Валлис, который поставил себе целью в своем труде, озаглав-
ленном АгШгтеИса т^пИогит. принадлежащем к числу наиболее
способствовавших прогрессу анализа, следовать по пути индукции
и аналогии, заметил, что если разделить показатель буквы на два, на
три и т. д., когда деление возможно, то частное будет, следуя Декарто-
ву обозначению, показателем корня квадратного, кубического и т.д.
количества, которое представляет буква, возведенная в степень, ука-
занную делимым. Распространяя по аналогии этот результат на тот
случай, когда деление невозможно, он рассматривал количество, воз-
веденное в дробную степень, как корень степени, указанной знаме-
нателем этой дроби, из количества, возведенного в степень, указан-
ную числителем. Затем он заметил, что, по Декартову обозначению,
умножение двух степеней одной и той же буквы сводится к сложе-
нию их показателей, а деление - к вычитанию показателя степени
делителя из показателя степени делимого, когда второй из этих по-
казателей больше первого. Валлис распространил этот результат на
тот случай, когда первый показатель равен второму или больше его,
что обращает разность в нуль или делает ее отрицательной. Тогда он
предположил, что отрицательный показатель означает единицу, де-
ленную на величину, возведенную в ту же степень, но положитель-
ную. Эти замечания привели его к интегрированию в общем случае
дифференциальных одночленов; откуда он вывел определенные ин-
тегралы особого рода дифференциальных биномов, показатель кото-
рых есть число целое и положительное. Заметив потом закон чисел,
выражающих эти интегралы, он рядом интерполяций и удачных ин-
дукций, в чем заключается зародыш исчисления определенных ин-
тегралов, столь занимавших геометров, и одно из оснований моей
новой теории вероятностей, выразил отношение площади круга
к квадрату его диаметра бесконечным произведением, которое, если
прерывать его, дает это отношение в пределах все более и более тес-
ных: результат, один из самых замечательных в анализе. Однако за-
мечательно, что Валлис, который так хорошо рассматривал дробные
показатели радикальных степеней, продолжал обозначать их так же,
как это делалось до него. Ньютон первый, если не ошибаюсь, ввел
в своих «Письмах к Ольденбургу» обозначение этих степеней с по-
мощью дробных показателей. Сравнивая путем индукции, которой
Валлис дал такое прекрасное применение, показатели степеней би-
нома с коэффициентами членов его разложения в том случае, когда
этот показатель целый и положительный, он определил закон этих
коэффициентов и распространил его по аналогии на степени дроб-
ные и отрицательные. Эти различные результаты, основанные на
обозначении Декарта, свидетельствуют о его влиянии на прогресс
анализа. Оно имеет еще то преимущество, что дает самое простое
и самое верное понятие о логарифмах, которые на самом деле не что
иное, как показатели степеней одной и той же величины, которые,
последовательно возрастая на бесконечно малые величины, могут
выразить все числа.

Но самое важное обобщение этого обозначения, это распростра-
нение его на переменные показатели, что составляет показательное
исчисление, одну из самых плодотворных ветвей новейшего анализа.
Лейбниц первым указал на трансцендентные величины с перемен-
ными показателями и этим дополнил систему элементов, из которых
может быть составлена конечная функция; ибо всякая явная конеч-
ная функция переменной сводится в последнем анализе к простым
величинам, комбинированным при помощи сложения, вычитания,
умножения и деления и возведенным в постоянные или переменные
степени. Корни уравнений, состоящих из этих элементов, суть не-
явные функции переменного. Таким образом, так как переменное
имеет логарифмом показатель равной ему степени в ряде степеней
числа, гиперболический логарифм которого единица, то логарифм
переменного есть неявная функция.

Лейбницу пришла мысль давать своей дифференциальной ха-
рактеристике, так же как и величинам, показатели; но тогда эти пока-
затели вместо того, чтобы указывать на повторные умножения одной
и той же величины, будут указывать на повторные дифференциации
одной и той же функции. Это новое обобщение Декартова обозначе-
ния привело Лейбница к аналогии положительных степеней с диф-
ференциалами, а отрицательных - с интегралами. Лагранж просле-
дил эту замечательную аналогию во всех ее подробностях; и рядом
индукций, которые можно рассматривать как одно из прекрасней-
ших, когда-либо сделанных применений этого метода, он дошел до
общих формул, столь же интересных, как и полезных для преобра-
зования разностей и интегралов одних в другие в тех случаях, когда
переменные получают конечные и различные приращения, а также
когда эти приращения бесконечно малы. Но он не дал доказательств,
которые он считал трудными. Теория образующих функций распро-
страняет Декартово обозначение на любые характеристики: она до-
казывает с очевидностью аналогию между степенями и действиями,
на которые указывают эти характеристики, так что она может быть
также рассматриваема как показательное исчисление характеристик.
Все, что касается рядов и интегрирования разностных уравнений,
вытекает из нее с необычайной легкостью.
Часть II

Применение исчисления вероятностей
Глава VI

Об играх

Комбинации, представляемые играми, были предметом первых
исследований о вероятностях. Среди бесконечного разнообразия
этих комбинаций многие легко поддаются исчислению, другие тре-
буют исчисления более трудного, и вместе с возрастанием этих труд-
ностей, по мере того как комбинации становятся более сложными,
стремление преодолеть их и любознательность побуждали геомет-
ров совершенствовать все более и более этот род анализа. Мы видели
раньше, что с помощью теории сочетаний легко можно определить
выгоды в какой-либо лотерее; но узнать, на сколько тиражей можно
держать пари один против одного, например что выйдут все номера,
труднее. Если п есть число номеров, г-число номеров, выходящих
при каждом тираже, а / - неизвестное число тиражей, то выражение
вероятности выхода всех номеров зависит от конечной разности п
степени / произведения г последовательных чисел. Когда число п
значительно, нахождение значения /, которое делает эту вероятность
равной |, становится невозможным, по крайней мере если не раз-
ложить эту разность в очень сходящийся ряд. Этого можно удачно
достигнуть с помощью ранее указанного метода для приближений
функций очень больших чисел. Таким образом находим, что если
лотерея состоит из 10 000 номеров, из которых при каждом тираже
выходит только один, то невыгодно держать пари один против одно-
го, что все номера выйдут через 95 767 тиражей, и выгодно держать
то же самое пари при 95 768 тиражах. Во Французской лотерее такое
пари невыгодно при 85 тиражах и выгодно при 86 тиражах.

Рассмотрим еще такой случай: два игрока А и В играют вместе
в крест и решетку так, что при каждом бросании выпадение креста
А дает один жетон В. который, в свою очередь, дает ему один жетон
в случае выпадения решетки; число жетонов у В ограничено, число
жетонов у Л не ограничено, и партия должна кончиться только тог-
да, когда у В не будет больше жетонов. Спрашивается, на сколько
бросаний можно держать пари один против одного, что партия будет
окончена. Выражение вероятности того, что партия будет окончена
через число / бросаний, дано рядом, состоящим из большого числа
членов и множителей, если число жетонов у В значительно; нахож-
дение значения неизвестного г, которое делает этот ряд равным
было бы тогда невозможным, если бы не удалось свести этот ряд
к ряду очень сходящемуся. Применяя к нему метод, о котором мы
только что говорили, находим очень простое выражение для неиз-
вестного, из которого вытекает, что если, например, у В 100 жето-
нов, то немного менее одного шанса против одного за то, что партия
окончится через 23 780 бросаний, и немного более одного шанса
против одного за то, что она окончится через 23 781 бросание.

Этих двух примеров вместе с теми, которые уже были нами
даны, достаточно, чтобы показать, каким образом задачи на игры
могли содействовать совершенствованию анализа.

Глава VII

О неизвестных неравенствах, которые
могут существовать между шансами,
предполагаемыми равными

Неравенства этого рода оказывают значительное влияние, заслу-
живающее особого внимания, на результаты исчисления вероятно-
стей. Рассмотрим игру в крест и решетку и предположим, что обе сто-
роны монеты выпадают с одинаковой легкостью; тогда вероятность
выпадения креста при первом бросании равна а вероятность его
выпадения два раза подряд равна |. Но если в монете существует не-
равенство, заставляющее одну из сторон выпадать преимущественно
перед другой, и неизвестно, которой стороне благоприятствует это
неравенство, то вероятность выпадения креста при первом бросании
будет все еще потому что при нашем незнании стороны, которой
благоприятствует это неравенство, вероятность простого события на-
столько же увеличивается, если это неравенство ей благоприятствует,
насколько она уменьшается, если неравенство ей не благоприятству-
ет. Но при том же незнании вероятность выпадения креста два раза
подряд увеличивается. В самом деле, эта вероятность является веро-
ятностью выпадения креста при первом бросании, умноженной на
вероятность того, что после выпадения при первом бросании он вы-
падет при втором; но выпадение его при первом бросании дает повод
думать, что неравенство монеты ему благоприятствует; значит, неиз-
вестное неравенство увеличивает в таком случае вероятность выпа-
дения креста при втором бросании; оно увеличивает, следовательно,
произведение обеих вероятностей. Для того чтобы подвергнуть этот
вопрос исчислению, предположим, что это неравенство увеличивает
на вероятность простого события, которому оно благоприятству-
ет. Если это событие есть выпадение креста, вероятность его будет
равна плюс или а вероятность его двукратного выпадения
сряду будет равна квадрату или Если благоприятствуемое
событие есть выпадение решетки, то вероятность креста будет рав-
на | минус или вероятность его двукратного выпадения сря-
ду будет равна . Так как нет никакого основания думать наперед,
что неравенство благоприятствует одному из этих событий преиму-
щественно перед другим, то ясно, что для нахождения вероятности
сложного события, крест крест, надо сложить обе предшествующие
вероятности и взять половину их суммы, что дает для этой веро-
ятности, превышающей | на , или на квадрат приращения на
которое неравенство увеличивает возможность благоприятствуемого
им события. Подобным же образом вероятность выпадения решетка
решетка равна но каждая из вероятностей выпадения крест ре-
шетка или решетка крест равна только ибо сумма этих четырех
вероятностей должна равняться достоверности, или единице. Таким
образом, обыкновенно оказывается, что постоянные и неизвестные
причины, которые благоприятствуют простым событиям, считаю-
щимся равновозможными, всегда увеличивают вероятность повторе-
ния одного и того же простого события.

При четном числе бросаний крест и решетка оба должны вы-
пасть либо четное число раз, либо нечетное. Вероятность каждого из
этих случаев равна если возможности для обеих сторон монеты
одинаковы; но если между ними существует неизвестное неравен-
ство, то это неравенство всегда благоприятствует первому случаю.

Два игрока, ловкость которых предполагается одинаковой,
играют с тем условием, что при каждом ходе тот, кто проигрывает,
дает своему противнику жетон и что партия продолжается до тех
пор, пока у одного из игроков не выйдут все жетоны. Исчисление
вероятностей показывает нам, что для равноправности игры став-
ки игроков должны быть пропорциональны числам их жетонов. Но
если между их ловкостью существует маленькое неизвестное нера-
венство, то оно благоприятствует тому из игроков, у которого число
жетонов меньше. Вероятность, что он выигрывает партию, увели-
чивается, если игроки условятся удваивать, утраивать свои жетоны,
и она будет равна | или будет такой же, как и вероятность второго
игрока, в тех случаях, когда числа их жетонов сделаются бесконеч-
ными, сохраняя всегда одно и то же отношение.
Можно исправлять влияние этих неизвестных неравенств, под-
вергая их самих шансам случая. Так, если в игре в крест и решетку
имеем вторую монету, которую бросаем всякий раз вместе с первой,
и если условимся постоянно называть крестом ту сторону, которая
выпадает на второй монете, то вероятность двукратного выпадения
сряду креста58 на первой монете будет гораздо больше приближаться
к одной четверти, чем тогда, когда была только одна монета. В этом
последнем случае разница равна квадрату малого приращения воз-
можности, которое дает благоприятствуемой стороне первой монеты
неизвестное неравенство; в другом случае эта разница равна учетве-
ренному произведению этого квадрата на соответственный квадрат
относительно второй монеты.

Пусть в урну брошены 100 номеров, от первого до сотого, в поряд-
ке нумерации, и пусть, после того как ее встряхнут, чтобы перемешать
эти номера, вынут один из них; ясно, что вероятности выхода номеров
будут между собой равны, если смешение произведено хорошо. Но
если опасаются, как бы между ними не было небольших отличий, за-
висящих от порядка бросания номеров в урну, то можно значительно
уменьшить эти отличия, бросая эти номера во вторую урну в порядке
их выхода из первой и встряхивая затем эту вторую урну для смеше-
ния номеров. Третья урна, четвертая и т.д. все более и более будут
уменьшать эти отличия, незначительные уже во второй урне.

Глава VIII

О законах вероятности, вытекающих из
неопределенного увеличения числа событий

В кругу непостоянных и неизвестных причин, которые мы разу-
меем под именем случая и которые делают ход событий непостоян-
ным и неправильным, по мере увеличения их числа возникает за-
метная, поразительная правильность, которая кажется зависящей от
преднамеренности и которую считали доказательством Провидения.
Но, размышляя об этом, мы скоро убеждаемся, что эта правильность
есть не что иное, как раскрытие соответственных возможностей
простых событий, которые должны случаться чаще, когда они бо-
лее вероятны. Рассмотрим, например, урну, которая содержит белые

58 В условном смысле.
и черные шары, и предположим, что каждый раз, как из нее вынима-
ют шар, его кладут обратно в урну, чтобы приступить к новому тира-
жу. Отношение числа изъятых белых шаров к числу изъятых черных
шаров будет чаще всего очень неправильно в первых тиражах; но
непостоянные причины этой неправильности производят действия,
поочередно благоприятствующие и не благоприятствующие пра-
вильному ходу событий, действия, которые, взаимно уничтожаясь
при большом числе тиражей, делают все более и более заметным
отношение содержащихся в урне белых шаров к черным или соот-
ветствующие возможности изъятия из нее белого или черного шара
при каждом тираже. Отсюда вытекает следующая теорема:

Вероятность того, что отношение числа изъятых белых шаров
к числу всех вышедших шаров не уклонится сверх данного интерва-
ла, от отношения числа содержащихся в урне белых шаров к числу
всех шаров, неопределенно приближается к достоверности при не-
определенном увеличении числа событий, как бы мал ни был пред-
полагаемый интервал.

Эту теорему, подсказываемую здравым смыслом, было трудно
доказать с помощью анализа. И знаменитый геометр Яков Бернулли,
первый занимавшийся этим, приписывал большое значение доказа-
тельству, данному им. Исчисление образующих функций в примене-
нии к этому предмету не только с легкостью доказывает эту теорему,
но дает еще и вероятность того, что отношение наблюденных собы-
тий уклоняется лишь в известных пределах от истинного отношения
их соответственных возможностей.

Из предшествующей теоремы можно вывести одно следствие,
которое должно быть рассматриваемо как общий закон, а именно,
что отношения произведений природы остаются приблизительно
постоянными, когда эти произведения рассматриваются в большом
количестве. Так, несмотря на различие годов, сумма продуктов за
значительное число лет заметно остается одной и той же; так что
человек в своей предусмотрительности может защитить себя от не-
постоянства времени года, распределяя поровну на все периоды те
блага, которыми природа наделяет его неравномерно. Я не исклю-
чаю из предыдущего закона действий, вытекающих из нравственных
причин. Отношение ежегодных рождений к населению и отношение
браков к рождениям испытывают очень небольшие изменения: в Па-
риже число ежегодных рождений остается почти одно и то же; и как
я слышал, на почте в обыкновенное время число писем, не достав-
ленных за отсутствием адреса, из году в год мало изменяется; что
подобным же образом наблюдалось и в Лондоне.
Из этой теоремы следует, кроме того, что в ряду событий, не-
определенно продолженном, действие регулярных и постоянных
причин должно со временем перевешивать действие причин нере-
гулярных. Это обстоятельство делает прибыль от лотерей такой же
верной, как продукты земледелия, ввиду того, что шансы, которые
они представляют себе, обеспечивают им выгоду при большом числе
ставок. Таким образом, принимая во внимание, что благоприятные
многочисленные шансы постоянно связаны с соблюдением вечных
принципов разума, справедливости и гуманности, которые являются
основой и поддержкой обществ, следовать этим принципам пред-
ставляет большое преимущество, а уклоняться от них - значитель-
ное неудобство. Пусть всякий обратится к истории и своему личному
опыту, он увидит, что все факты подтверждают этот результат исчис-
ления. Посмотрите на удачные результаты установлений, основан-
ных на разуме и естественных правах человека, у народов, сумевших
их ввести и сохранить. Посмотрите также, какое преимущество дала
добросовестность тем правительствам, которые положили ее в ос-
нову своего поведения, и как вознаграждены они были за жертвы,
принесенные ими строгой точности в исполнении своих обещаний.
Какое громадное доверие внутри страны! Какой авторитет вне! По-
смотрите, наоборот, в какую бездну несчастий часто повергались на-
роды благодаря властолюбию и вероломству своих вождей. Всякий
раз, как великая держава, опьяненная любовью к победам, стремит-
ся ко всемирному владычеству, чувство независимости объединяет
угрожаемые народы в коалицию. Подобным же образом среди непо-
стоянных причин, которые заставляют расширяться или сжиматься
различные государства, естественные границы, действуя как посто-
янные причины, должны наконец одержать верх. Поэтому важно,
как для прочности, так и для счастья государств, не переходить этих
границ, к которым они беспрестанно должны возвращаться от дей-
ствия этих причин, подобно тому, как воды морские, вздымающиеся
от свирепствующей бури, падают обратно в свой бассейн от тяжести.
Это один из результатов исчисления вероятностей, подтвержденный
многочисленными пагубными опытами. История, рассматривае-
мая с точки зрения влияния постоянных причин, представляла бы
сверх интереса для любознательности тот интерес, что она давала
бы людям полезнейшие уроки. Иногда приписывают неизбежные
следствия этих причин случайным обстоятельствам, которые только
раскрыли их действие: например, противно природе вещей, чтобы
какой-либо народ навсегда остался подвластным другому народу, от-
деленному от него громадными морями или большим расстоянием.
Можно утверждать, что со временем эта постоянная причина, соеди-
няясь все время с причинами непостоянными, действующими в том
же смысле и обнаруживающимися с течением времени, натолкнется
наконец среди них на достаточно сильные, чтобы вернуть подчинен-
ному народу его естественную независимость или чтобы присоеди-
нить его к какому-либо могущественному государству, смежному
с ним.

В большом числе случаев, и это важнейшие случаи анализа слу-
чайностей, возможности простых событий неизвестны, и мы при-
нуждены искать в прошедших событиях указания, которыми мы
могли бы руководствоваться в наших догадках относительно при-
чин, от которых они зависят. Применяя анализ образующих функций
к вышеизложенному принципу вероятности причин, выведенной из
наблюденных событий, мы приходим к следующей теореме:

Когда событие простое или состоящее из нескольких простых,
какова, например, партия игры, повторялось большое число раз, то
возможности простых событий, которые делают наблюденное наи-
более вероятным, суть те, на которые указывает наблюдение с наи-
большим правдоподобием; по мере того как наблюденное событие
повторяется, это правдоподобие увеличивается, и оно слилось бы
наконец с достоверностью, если бы число повторений сделалось
бесконечным.

Здесь возможны два ряда приближений: одно из них относится
к взятым с той и другой стороны пределам возможностей, которые
придают прошедшему наибольшее правдоподобие; другое прибли-
жение касается вероятности того, что эти возможности падут в эти
пределы. Повторение сложного события все более и более увеличи-
вает эту вероятность, если пределы остаются те же самые; оно все
более и более суживает промежуток между этими пределами, если
вероятность остается та же самая: в бесконечности этот промежуток
обращается в ноль, а вероятность переходит в достоверность.

Если применить эту теорему к отношению рождений мальчи-
ков к рождениям девочек, наблюдавшемуся в различных странах
Европы, то окажется, что это отношение, повсюду приблизительно
равное отношению 22 к 21, указывает с крайней вероятностью на
большую легкость рождений мальчиков. Принимая затем во внима-
ние, что оно остается тем же самым в Неаполе и Петербурге, мы
увидим, что влияние климата в этом отношении нечувствительно.
Можно было бы поэтому подозревать, в противоположность общему
мнению, что это преобладание мужских рождений существует даже
на Востоке. Вследствие этого я предложил французским ученым,
командированным в Египет, заняться этим интересным вопросом,
однако затруднительность получения точных сведений о рождени-
ях не позволила им решить его. К счастью, Гумбольдт не оставил
без внимания этого вопроса среди массы новых данных, которые он
наблюдал и собирал в Америке с такой проницательностью, таким
упорством и мужеством. Он нашел между тропиками то же самое
отношение рождений мальчиков к рождениям девочек, какое наблю-
далось в Париже, что должно заставить рассматривать преобладание
мужских рождений как общий закон для рода человеческого. Зако-
ны, которым следуют в этом отношении различные виды животных,
кажутся мне заслуживающими внимания естествоиспытателей.

Отношение рождений мальчиков к рождениям девочек отли-
чается очень мало от единицы, однако даже достаточно большие
числа рождений, наблюдавшихся в каком-либо месте, могли бы
в этом отношении дать результат, противоположный общему закону,
и все-таки мы не имели бы права отсюда заключать, что этот закон
не существует. Чтобы вывести такое заключение, следует применить
очень большие числа и убедиться в том, что оно указано с большой
вероятностью. Бюффон приводит, например, в своей «Политиче-
ской арифметике» несколько бургундских общин, в которых рожда-
емость девочек превышает рождаемость мальчиков. Из этих общин
община Сагсе11е-1е-Сп§пор дает на 2009 рождений в течение пяти
лет 1026 девочек и 983 мальчика. Хотя эти числа значительны, они
указывают все же на большую возможность рождений девочек толь-
ко с вероятностью ; а эта вероятность, которая меньше, чем ве-
роятность, что крест не выпадет четыре раза подряд в игре в крест
и решетку, недостаточна для нахождения причины этой аномалии,
которая, по всей вероятности, исчезла бы, если бы за рождаемостью
в этой общине следили в течение столетия.

При помощи метрических книг о рождениях, которые ведутся
тщательно для обеспечения состояния граждан, можно определить
население большого государства, не прибегая к переписи его жите-
лей, затруднительной операции, которую трудно выполнить точно.
Но для этого надо знать отношение населения к годичным рожде-
ниям. Самый точный способ достигнуть этого состоит в том, чтобы
1) выбрать в государстве департаменты, распределенные приблизи-
тельно одинаково на всей его поверхности, для того чтобы сделать
общий результат независимым от местных условий; 2) произвести
тщательную перепись населения нескольких общин в каждом де-
партаменте для какой-либо данной эпохи; 3) определить с помощью
списков рождений за несколько лет, предшествующих этой эпохе
и последующих за ней, среднее число, соответствующее годичным
рождениям. Это число, деленное на число жителей, дает отношение
ежегодных рождений к населению с тем большей верностью, чем
значительнее будет перепись. Правительство, убежденное в пользе
подобной переписи, выразило согласие предписать ее выполнение
по моей просьбе. В 30 департаментах, одинаково расположенных
по всей Франции, были намечены общины, которые могли доста-
вить самые точные сведения. Перепись в них дала в общем итоге
2 037 615 человек жителей на 23 сентября 1802 г. Списки рождений
в этих общинах за 1800, 1801 и 1802 гг. дали:

Рождения	Браки	Смертные случаи
ПО 312 мальчиков	46 037	103 659 мужчин
105 287 девочек		99 443 женщины

Отношение населения к годичным рождениям равно, следова-
тельно, 28 Х300О800О • оно больше, чем его оценивали до сих пор. Ум-
ножая на это отношение число годичных рождений во Франции,
получим население этого государства. Но какова вероятность, что
определенное таким образом население не уклоняется от истинного
больше данного предела? Решая эту задачу и применяя к ее решению
предыдущие данные, я нашел, предполагая число ежегодных рожде-
ний во Франции равным одному миллиону, что дает для населения
28 352 845 жителей, что будет 300 000 шансов против одного за то,
что ошибка этого результата не равна и полумиллиону.

Отношение рождений мальчиков к рождениям девочек, данное
предшествующими списками, равно отношению 22 к 21; а браки от-
носятся к рождениям как 3 к 4.

Крещение детей обоего пола в Париже слегка уклоняется от от-
ношения 22 к 21. С 1745 г., времени, с которого начали различать пол
в метрических книгах о рождениях, до конца 1784 г. в этой столи-
це окрестили 393386 мальчиков и 377555 девочек. Отношение этих
двух чисел почти равно отношению 25 к 24; оказывается, по-ви-
димому, что в Париже какая-нибудь особенная причина стремится
уравнять крещения обоих полов.

Если применим к этому вопросу исчисление вероятностей, то
найдем, что 238 шансов против одного за существование этой причи-
ны, что в достаточной мере дает право на ее изыскание. Когда я стал
размышлять об этом, то мне показалось, что замеченная разница за-
висит от того, что родители из деревни и провинции, находя некото-
рое преимущество в оставлении при себе мальчиков, отсылали их
в Приют для подкидышей в Париже сравнительно с девочками мень-
ше, чем как следовало бы из отношения рождений обоих полов; что
и доказали мне списки этого приюта. С начала 1745 г. до конца 1809-го
в него поступило 163 499 мальчиков и 159 405 девочек. Первое из
этих чисел превышает второе только на тогда как оно долж-
но было бы его превышать по крайней мере на Подтверждает
существование указанной причины и то, что, если не принимать
во внимание подкинутых детей, отношение рождений мальчиков
к рождениям девочек равно в Париже, как и в остальной Франции,
отношению 22 к 21.

Постоянство преобладания рождений мальчиков над рождения-
ми девочек, как в Париже, так и в Лондоне, за все время наблюдения
показалось некоторым ученым вмешательством Провидения, без ко-
торого, как они думали, нерегулярные причины, нарушающие бес-
престанно ход событий, должны были бы много раз давать перевес
годичным рождениям девочек над рождениями мальчиков.

Но этот довод является новым примером того, как часто злоупо-
требляли конечными причинами, которые всегда исчезают при бо-
лее глубоком исследовании вопросов, когда имеются необходимые
данные для их решения. Постоянство, о котором идет речь, является
результатом регулярных причин, которые дают перевес рождениям
мальчиков и которые перевешивают аномалии, зависящие от случая,
когда число ежегодных рождений значительно. Нахождение веро-
ятности того, что это постоянство сохранится в течение длинного
периода времени, принадлежит той отрасли анализа случайностей,
которая переходит от прошедших событий к вероятности событий
будущих, а из нее вытекает, что, исходя из рождений, наблюдавших-
ся с 1745 по 1784 г., мы имеем почти четыре шанса против одного за
то, что в Париже ежегодные рождения мальчиков будут постоянно
превышать рождения девочек в продолжение столетия; нет, следо-
вательно, никакого повода удивляться, что то же самое имело место
в продолжение полу столетия.

Приведем еще пример того, как события раскрывают постоян-
ные отношения по мере своего увеличения в числе. Рассмотрим ряд
урн, расположенных в круговом порядке и содержащих, каждая,
очень большое число белых и черных шаров; таким образом, отно-
шения в этих урнах белых шаров к черным могут быть вначале весь-
ма различны, например таковы, что какая-либо из этих урн содержит
одни белые шары, в то время как какая-либо другая содержит одни
черные. Если мы вынем шар из первой урны, чтобы переложить его
во вторую, из которой, встряхнувши ее для того, чтобы положен-
ный шар хорошенько смешался с остальными, вынем шар и пере-
ложим в третью урну, и т.д. до последней урны, из которой вынем
шар, чтобы переложить его в первую, и если мы будем неопреде-
ленно продолжать этот ряд тиражей, анализ вероятностей покажет
нам, что отношения в этих урнах белых шаров к черным станут на-
конец одинаковыми и равными отношению суммы всех белых шаров
к сумме всех черных, содержащихся в урнах. Так от регулярности
этого способа изменения первоначальная неправильность отноше-
ний исчезает со временем, чтобы уступить место самому простому
порядку. Если мы теперь вставим между этими урнами новые урны,
в которых отношение суммы белых шаров к сумме черных, содержа-
щихся в них, отличается от предшествующего, и будем неопределен-
но продолжать только что указанные иъзятия из всей совокупности
этих урн, то тот простой порядок, который установился в прежних
урнах, сперва будет нарушен и отношения белых шаров к черным
сделаются неправильными; но мало-помалу эта неправильность ис-
чезнет, чтобы уступить место новому порядку, который станет на-
конец порядком равенства отношений содержащихся в урнах белых
шаров к черным. Можно распространить этот результат на все соче-
тания в природе, в которых постоянные силы, присущие их элемен-
там, устанавливают правильный образ действий, способный вызвать
даже из недр хаоса системы, управляемые удивительными законами.

Явления, даже наиболее зависящие, по-видимому, от случая,
имеют, следовательно, тенденцию по мере увеличения их числа не-
прерывно приближаться ко вполне определенным отношениям; так
что если мы наметим по обе стороны каждого из этих отношений
промежуток любой величины, то вероятность, что средний резуль-
тат наблюдений падает на этот промежуток, в конце концов будет
отличаться от достоверности только на величину, меньшую любой
данной величины. Таким образом, можно посредством исчисления
вероятностей, примененного к большому числу наблюдений, позна-
вать существование этих отношений. Но прежде чем искать их при-
чины и чтобы не запутаться в бесполезных умозрениях, необходимо
убедиться в том, что они указаны с вероятностью, не позволяющей
их рассматривать как аномалии, зависящие от случая. Теория обра-
зующих функций дает очень простое выражение для этой вероятно-
сти, которое получается от интегрирования произведения дифферен-
циала той величины, результат которой, выведенный из большого
числа наблюдений, уклоняется от истины на постоянную меньшую
единицы, зависящую от рода задачи и возведенную в степень, по-
казатель которой есть отношение квадрата этого уклонения к числу
наблюдений. Интеграл, взятый в данных пределах и деленный на тот
же самый интеграл, распространенный до бесконечности положи-
тельной и отрицательной, выразит вероятность того, что уклонение
от истины заключено в этих пределах. Таков общий закон вероятно-
сти результатов, указанных большим числом наблюдений.

Глава IX

Приложение теории вероятностей
к натуральной философии

Явления природы сопровождаются по большей части столькими
посторонними обстоятельствами, влияние многочисленных возмуща-
ющих причин настолько к ним примешивается, что становится очень
трудным познавать их. Достигнуть этого можно только повторным
наблюдением и опытом, чтобы посторонние влияния взаимно унич-
тожались и средние результаты сделали бы очевидными эти явления
и их различные элементы. Чем многочисленнее наблюдения и чем ме-
нее они расходятся, тем ближе их результаты к истине. Это последнее
условие достигается подбором методов наблюдения, точностью ин-
струментов и тщательностью, с которой производится наблюдение.
С помощью теории вероятностей определяют затем самые подходя-
щие (выгодные) средние результаты, или такие, которые оставляют
всего менее места ошибке. Но этого недостаточно; необходимо еще
взвесить вероятность того, что ошибки этих результатов заключают-
ся в данных пределах; без этого мы бы имели лишь несовершенное
понятие о степени достигнутой точности. Поэтому формулы, служа-
щие этой цели, составляют истинное усовершенствование научного
метода и его важное добавление. Анализ, которого требуют эти фор-
мулы, принадлежит к самым тонким и трудным в теории вероятно-
стей; он составляет один из главных предметов в напечатанном мной
труде по этой теории, я нашел в нем несколько формул такого рода,
имеющих то замечательное преимущество, что они независимы от
закона вероятности ошибок и содержат только величины, данные не-
посредственными наблюдениями и выражениями их.

Аналитическое выражение каждого наблюдения есть функция
элементов, которые требуется определить; и, если эти элементы при-
близительно известны, функция эта обращается в линейную функ-
цию их поправок. Приравнивая ее самому наблюдению, получаем
так называемое условное уравнение. Если имеется большое число по-
добных уравнений, то комбинируют их так, чтобы получить столько
конечных уравнений, сколько было элементов, поправки к которым
можно затем определить, решая эти уравнения. Но какой способ
комбинирования уравнений самый выгодный для получения конеч-
ных уравнений? Каков вероятный закон ошибок, элементы которого,
получаемые из них, еще очень изменчивы? Это мы узнаем из теории
вероятностей? Составление конечного уравнения с помощью урав-
нений условных сводится к умножению каждого из этих последних
на неопределенного множителя и к соединению этих произведений.
Следовательно, надо выбирать такую систему множителей, при ко-
торой можно ожидать наименьшую ошибку. Но если умножать воз-
можные ошибки какого-нибудь элемента на их соответственные ве-
роятности, то, очевидно, что самой выгодной системой окажется та,
в которой сумма этих произведений, всех взятых положительно, бу-
дет ттгтит, потому что ошибка, положительная или отрицательная,
всегда должна рассматриваться как потеря. Значит, при образовании
этой суммы произведений условие ттгтит определит приемлемую
систему множителей, или самую выгодную систему. Таким образом,
находим, что эта система есть система коэффициентов элементов
в каждом условном уравнении, так что первое конечное уравнение
образуется умножением соответственно каждого условного уравне-
ния на его коэффициент первого элемента и соединением всех этих,
таким образом умноженных уравнений. Второе конечное уравнение
составится, если поступим подобным же образом с коэффициентами
второго элемента, и т.д. Таким образом, элементы и законы явлений,
заключенные в совокупности большого числа наблюдений, раскры-
ваются с наибольшей очевидностью.

Вероятность ошибок, которых еще можно опасаться в каждом
элементе, пропорциональна числу, гиперболический логарифм кото-
рого есть единица, возведенному в степень, равную квадрату ошиб-
ки, взятому с минусом и умноженному на постоянный коэффициент,
который можно рассматривать как модуль вероятности ошибок, по-
тому что если ошибка остается без изменения, вероятность ее быст-
ро уменьшается при его увеличении; так что полученный элемент
тяготеет, если я могу так выразиться, к истине тем более, чем больше
этот модуль. Поэтому я назову этот модуль весом элемента или ре-
зультата. Вес этот имеет наибольшую возможную величину в самой
выгодной системе множителей; это обстоятельство и дает этой си-
стеме преимущество перед другими. Благодаря замечательной ана-
логии этого веса и веса тел, сравниваемых по отношению к их об-
щему центру тяжести, оказывается, что если один и тот же элемент
дан разными системами, составленными каждая из большого числа
наблюдений, то средний результат, самый выгодный изо всех, равен
сумме произведений каждого отдельного результата на его вес, де-
ленной на сумму всех весов.

Кроме того, общий вес результата различных систем есть сумма
их отдельных весов, так что вероятность ошибок среднего результа-
та, всех их взятых вместе, пропорциональна числу, гиперболический
логарифм которого есть единица, возведенному в степень, равную
квадрату ошибки, взятому с минусом и умноженному на сумму всех
весов. Каждый вес зависит на самом деле от закона вероятности
ошибок каждой системы, а этот закон почти всегда неизвестен; но
мне удалось исключить множитель, заключающий этот закон, с по-
мощью суммы квадратов уклонений наблюдений системы от их
средних результатов. Итак, для расширения наших знаний о резуль-
татах, добытых совокупностью большого числа наблюдений, было
бы желательно, чтобы рядом с каждым результатом записывался
соответствующий ему вес; анализ представляет нам для этой цели
общие и простые методы. Когда таким образом получена показа-
тельная функция, которая представляет закон вероятности ошибок,
то мы имеем вероятность, что ошибка результата заключается в дан-
ных пределах, беря в этих пределах интеграл произведения этой по-
казательной функции на дифференциал ошибки и умножая его на
квадратный корень веса результата, деленного на окружность, диа-
метр которой единица. Отсюда следует, что при одной и той же веро-
ятности ошибки результатов обратно пропорциональны квадратным
корням их весов, что может служить для сравнения их относитель-
ных точностей. Для успешного применения этого метода следу-
ет разнообразить условия наблюдений или опытов таким образом,
чтобы избежать постоянных причин ошибки. Наблюдения должны
быть многочисленны, и тем более, чем больше элементов требует-
ся определить, так как вес среднего результата растет вместе с чис-
лом наблюдений, деленным на число элементов. Необходимо, кро-
ме того, чтобы элементы имели в этих наблюдениях различный ход
изменения, потому что если бы ход изменения двух элементов был
совершенно одинаков, что сделало бы коэффициенты их пропорци-
ональными в условных уравнениях, то элементы эти составляли бы
вместе одно неизвестное и было бы невозможно различить их по
этим наблюдениям. Необходимо наконец, чтобы наблюдения были
точны; это условие, самое первое из всех, сильно увеличивает вес
результата, выражение которого имеет делителем сумму квадратов
уклонений наблюдений от этого результата. При таких предосторож-
ностях возможны будут пользование предыдущим методом и оценка
степени доверия, которого заслуживают результаты, выведенные из
большого числа наблюдений.

Правило, которое мы только что дали для выведения конечных
уравнений из условных, сводится к тому, чтобы сделать минимумом
сумму квадратов ошибок наблюдений, потому что всякое условное
уравнение становится точным от подстановки наблюдения плюс его
ошибка; если же определить из него выражение этой ошибки, то лег-
ко можно убедиться, что условие минимума суммы квадратов этих
выражений дает правило, о котором идет речь. Правило это тем точ-
нее, чем многочисленнее наблюдения; но даже в том случае, когда
число их невелико, кажется естественным применять то же прави-
ло, которое во всяком случае дает нам простой способ получать без
гадания искомые поправки. Оно может также служить для сравне-
ния точности различных астрономических таблиц одного и того же
светила. Можно всегда предположить, что эти таблицы приведены
к одинаковому виду, а тогда они разнятся лишь эпохами, средними
движениями и коэффициентами аргументов; так как если одна из них
содержит аргумент, которого нет в других, то ясно, что это сводится
к тому предположению, что коэффициент этого аргумента в них ра-
вен нулю. Если теперь исправить эти таблицы всей совокупностью
хороших наблюдений, то они удовлетворили бы условию миниму-
ма суммы квадратов ошибок; те таблицы, которые при сравнении со
значительным количеством наблюдений всего более приближаются
к этому условию, заслуживают, следовательно, предпочтения.

В астрономии, главным образом, может быть успешно приме-
няем вышеизложенный метод. Астрономические таблицы обязаны
достигнутой ими действительно изумительной верностью точности
наблюдений и теорий, а также употреблении условных уравнений,
благодаря которым большое число превосходных наблюдений содей-
ствует исправлению одного и того же элемента. Но оставалось еще
определить вероятность ошибок, которых еще можно опасаться при
этом исправлении; метод, только что мной изложенный, и служит для
этой цели. Чтобы привести несколько интересных применений его,
я воспользовался огромным, только что законченным трудом Бу вара
о движениях Юпитера и Сатурна, весьма точные таблицы которых
он составил с величайшей тщательностью, разобрал противостояния
и квадратуры этих двух планет, наблюдавшиеся Брадлеем и астроно-
мами, следовавшими ему до последних лет. Из этих таблиц он вывел
поправки элементов их движений и масс, сравниваемых с массой
Солнца, взятой за единицу. Вычисления эти дают ему массу Сатурна,
равную -^2 части массы Солнца. Применяя к ним мои формулы ве-
роятности, я нахожу 11 000 шансов против одного за то, что ошибка
этого результата менее сотой части его числового значения; или, что
сводится почти что к тому же самому, если через столетие новых на-
блюдений присоединить их к предыдущим и рассмотреть по тому же
самому способу, то новый результат не будет отличаться и на сотую
долю от результата Бувара. Этот ученый астроном находит, кроме
того, что масса Юпитера равна части Солнца; а мой метод веро-
ятности дает миллион шансов против одного, что этот результат не
ошибочен и на сотую долю.

Этот метод может быть также с успехом применен к геодезиче-
ским операциям. Длина большой дуги на поверхности Земли опре-
деляется цепью треугольников, опирающихся на точно измеренную
базу; но с какой бы точностью ни были измерены углы, неизбежные
ошибки могут, накопляясь, значительно отклонить от истины чис-
ловое значение дуги, выведенное из большого числа треугольников.
Числовое значение известно нам, следовательно, не совершенно,
если мы не можем определить вероятность того, что его ошибка
заключается в данных пределах. Ошибка геодезического результа-
та есть функция ошибок углов каждого треугольника. В названном
труде я дал общие формулы для получения вероятности числовых
значений одной или нескольких линейных функций большого числа
частных ошибок, закон вероятности которых нам известен; с помо-
щью этих формул можно, значит, определить вероятность того, что
ошибка какого-либо геодезического результата заключается в назна-
ченных пределах, каков бы ни был закон вероятности частных оши-
бок. Стать вне зависимости от этого закона тем более необходимо,
что законы, даже самые простые, всегда бесконечно мало вероятны,
принимая во внимание бесконечное число этих законов, могущих су-
ществовать в природе. Неизвестный закон частных ошибок вводит,
однако, в формулы неопределенную величину, которая не позволила
бы сократить их число, если бы не удалось ее исключить. Мы виде-
ли, что в астрономических вопросах, где всякое наблюдение достав-
ляет условное уравнение, для получения элементов исключают эту
неопределенную величину при помощи суммы квадратов остатков
после того, как в каждое уравнение подставлены самые вероятные
числовые значения элементов. Так как геодезические вопросы не
представляют подобных уравнений, то надо отыскать другой спо-
соб исключения. Величина, на которую сумма углов всякого наблю-
даемого треугольника превосходит два прямых, плюс сферический
избыток, доставляет нам этот способ. Так, заменяют суммой квадра-
тов этих величин сумму квадратов остатков условных уравнений;
и можно вычислить вероятность того, что конечный результат ряда
геодезических операций не превзойдет данной величины. Но кото-
рый способ самый выгодный при распределении между тремя угла-
ми каждого треугольника наблюденной суммы их ошибок? Анализ
вероятностей показывает, что каждый угол должен быть уменьшен
на треть этой суммы, для того чтобы вес геодезического результата
был по возможности наибольшим; а это делает ту же ошибку менее
вероятной. Следовательно, есть большое преимущество наблюдать
три угла всякого треугольника и поправлять их указанным способом.
Простой здравый смысл заставляет предчувствовать эту выгоду; но
одно исчисление вероятностей может оценить ее и показать, что бла-
годаря этой поправке она становится возможно наибольшей.

Чтобы убедиться в точности числового значения дуги большого
круга, опирающейся на измеренную базу при одном из ее концов,
измеряют вторую базу при другом ее конце и вычисляют по одной из
этих баз длину другой. Если длина эта очень мало уклоняется от на-
блюдения, то вполне уместно будет думать, что цепь треугольников,
соединяющих эти базы, почти совсем точна, так же как и определяе-
мая из нее величина большой дуги. Затем исправляют эту величину,
изменяя углы треугольников так, чтобы базы вычисленные согла-
совались с измеренными; но это может быть сделано бесконечным
числом способов, между которыми следует предпочесть те, геодези-
ческий результат которых имеет наибольший вес, потому что та же
самая ошибка делается тогда менее вероятной. Анализ вероятностей
дает формулы для непосредственного получения самой выгодной
поправки, которая вытекает из измерений нескольких баз, а также
законы вероятности, возникшие благодаря многочисленности баз,
законы, которые становятся быстрее убывающими благодаря имен-
но этой многочисленности.

Ошибки результатов, выведенные из большого числа наблюде-
ний, суть, вообще говоря, линейные функции частных ошибок каж-
дого наблюдения. Коэффициенты этих функций зависят от рода за-
дачи и от способа, которому следовали для получения результатов.
Самый выгодный способ, очевидно, тот, при котором одна и та же
ошибка в результатах менее вероятна, чем при всяком другом. При-
менение исчисления вероятностей к натуральной философии заклю-
чается, следовательно, в аналитическом определении вероятности
числовых значений этих функций и в выборе их неопределенных
коэффициентов, так чтобы закон этой вероятности стал наиболее
быстро убывающим. Исключая затем из формул, с помощью данных
задачи, множитель, который вводит почти всегда неизвестный закон
вероятности частных ошибок, возможно будет численно оценить ве-
роятность того, что ошибки результатов не превысят данной величи-
ны. Таким образом, получим все, чего мы можем желать относитель-
но результатов, выведенных из большого числа наблюдений.

Можно, кроме того, получить очень близкие результаты с помо-
щью других соображений. Положим, например, что мы имеем 1001
наблюдение одной и той же величины; среднее арифметическое всех
этих наблюдений есть результат, данный самым выгодным методом;
но можно было бы выбрать результат согласно условию, чтобы сум-
ма уклонений от каждой частной величины, всех взятых положи-
тельно, была бы ттгтит: в самом деле, нам кажется естественным
рассматривать результат, удовлетворяющий этому условию как наи-
более приближенный. Если расположить числовые значения, данные
наблюдениями, в порядке величины, то легко видеть, что числовое
значение, которое займет среднее место, выполнит предыдущее ус-
ловие; а вычисление показывает нам, что в случае бесконечного чис-
ла наблюдений эта величина совпадет с истинной; однако результат,
данный самым выгодным методом, все же предпочтительнее.

Рассмотрение вероятностей может служить для того, чтобы
различать маленькие неравенства небесных движений, скрытые
в ошибках наблюдений, и для того, чтобы добраться до причины
аномалий, замеченных в этих движениях. Сравнивая между собой
все свои наблюдения, Тихо Браге признал необходимость примене-
ния к Луне уравнения времени, отличного от уравнения, применя-
емого к Солнцу и планетам. Подобным же образом совокупность
большого числа наблюдений дала знать Майеру, что коэффициент
неравенства прецессии должен быть уменьшен для Луны. Но так как
это уменьшение, хотя и подтвержденное и даже увеличенное Ма-
зоном, казалось, не вытекает из всемирного тяготения, то большая
часть астрономов пренебрегли им в своих вычислениях. После того
как я подверг исчислению вероятностей значительное количество
лунных наблюдений, для этой цели избранных и разобранных по
моей просьбе Буваром, уменьшение это показалось мне указанным
с такой большой вероятностью, что я счел себя обязанным найти
его причину. Я отлично видел, что ей мог быть лишь эллиптический
вид земного сфероида, до тех пор не принимавшийся во внимание
в теории движения Луны, как могущий ввести в нее лишь незначи-
тельные члены; отсюда я заключил, что члены эти становятся значи-
тельными при последовательных интегрированиях дифференциаль-
ных уравнений. Я определил затем эти члены отдельным анализом
и открыл сперва неравенство движения Луны по широте, которое
пропорционально синусу долготы Луны и которого еще не подозре-
вал ни один астроном. Я узнал потом при помощи этого неравенства
о существовании другого неравенства в движении Луны по долготе,
которое и производит уменьшение, замеченное Майером в уравне-
нии прецессии, применяемом к Луне. Величина этого уменьшения
и коэффициент предыдущего неравенства по широте очень удобны
для установления сжатия Земли. Сообщив о моих исследованиях
Бургу, который в то время занимался усовершенствованием лун-
ных таблиц путем сравнения всех хороших наблюдений, я просил
его определить с особою тщательностью эти две величины. Весьма
замечательно согласуясь, найденные им величины дают для Земли
одно и то же сжатие , сжатие, которое мало отличается от сред-
него значения, выведенного из измерений градусов меридиана и из
наблюдений маятника, но которое ввиду влияния на эти измерения
ошибок наблюдений и возмущающих причин мне кажется более
точно определенным лунными неравенствами.

При рассмотрении вероятностей узнал я также причину векового
уравнения Луны. Новейшие наблюдения этого светила, будучи срав-
нены с прежними затмениями, указали астрономам на ускорение
в движении Луны; но геометры, и особенно Лагранж, после безу-
спешного искания членов, от которых зависит это ускорение, в воз-
мущениях, испытываемых этим движением, отбросили это ускоре-
ние. Внимательное рассмотрение старых и новейших наблюдений,
а также промежуточных затмений, наблюдавшихся арабами, пока-
зало мне, что указания на него имеют большую вероятность. С этой
точки зрения я снова рассмотрел лунную теорию, и я нашел, что ве-
ковое уравнение Луны происходит от действия Солнца на этот спут-
ник в связи с вековым изменением эксцентриситета земной орбиты,
а это меня привело к открытию вековых уравнений движений узлов
и перигелия лунной орбиты, уравнений, о которых и не подозрева-
ли астрономы. Весьма замечательное соответствие этой теории со
всеми древними и новейшими наблюдениями сделали ее в высшей
степени очевидной.

Подобным же образом исчисление вероятностей привело меня
к причине больших неправильностей Юпитера и Сатурна. Срав-
нивая новейшие наблюдения с древними, Галлей нашел ускорение
в движении Юпитера и замедление в движении Сатурна. Чтобы
согласовать наблюдения, он подчинил эти движения двум вековым
уравнениям с разными знаками и возрастающим как квадраты вре-
мен, протекших с 1700 г. Эйлер и Лагранж подвергли анализу изме-
нения, которые должно было произвести в этих движениях взаимное
притяжение двух планет. Тогда они нашли вековые уравнения, но их
результаты были до того различны, что по крайней мере один из них
должен был быть ложным. Я решил поэтому заняться этим важным
вопросом небесной механики, и я признал неизменность средних
планетных движений, что заставило исчезнуть вековые уравнения,
введенные Галлеем в таблицы Юпитера и Сатурна. Таким образом,
служить объяснением больших неправильностей этих планет могли
еще только притяжения комет, к которым действительно и прибегли
некоторые астрономы, или же существование неравенства большого
периода, произведенного в движениях этих двух планет их взаимо-
действием и определяемого для каждой из них противоположными
знаками. Найденная мной теорема о неравенствах такого рода сде-
лала для меня весьма правдоподобным это неравенство. По этой
теореме оказывается, что если движение Юпитера ускоряется, то
движение Сатурна замедляется, что уже сходно с тем, что заметил
Галлей; более того, ускорение Юпитера, следующее из той же тео-
ремы, относится к замедлению Сатурна почти совершенно так, как
относятся друг к другу вековые уравнения, предложенные Галлеем.
Исследуя средние движения Юпитера и Сатурна, мне легко было уз-
нать, что движение Юпитера, взятое два раза, превосходит лишь на
очень малую величину движение Сатурна, взятое пять раз. Период
неравенства, которое имело бы этот аргумент, равнялся бы прибли-
зительно девяти векам. На самом деле его коэффициент был бы того
же порядка, как кубы эксцентриситетов орбит. Но мне было извест-
но, что в силу последовательных интегрирований он приобретает
делителем квадрат очень малого множителя времени в аргументе
этого неравенства, что может ему дать большое числовое значение;
существование этого неравенства показалось мне поэтому очень
вероятным. Следующее замечание еще увеличило его вероятность.
Полагая этот аргумент равным нулю во времена наблюдений Тихо
Браге, я увидел, что при помощи сравнения новейших наблюдений
со старыми Галлей должен был найти изменения, им указанные, тог-
да как сравнение новейших наблюдений между собой должно было
дать изменения противоположные и подобные тем, которые вывел
Ламберт из этого сравнения. Не колеблясь предпринял я поэтому
длинное и утомительное вычисление, необходимое для того, что-
бы убедиться в существовании этого неравенства: оно вполне было
подтверждено результатом этого исчисления, открывшим мне, кроме
того, большое число еще других неравенств, совокупность которых
довела таблицы Юпитера и Сатурна до точности самих наблюдений.

При помощи исчисления вероятностей опять-таки мне удалось
открыть замечательный закон средних движений первых трех спут-
ников Юпитера, согласно которому средняя долгота первого минус
три раза взятая долгота второго плюс два раза взятая долгота треть-
его в точности равняется полуокружности. Приближение, с которым
средние движения этих светил со времени их открытия удовлетворя-
ют этому закону, указывало на его существование с большим правдо-
подобием; я стал искать причину его в их взаимодействии. Тщатель-
ное исследование этого действия показало мне, что достаточно было
такого первоначального отношения их средних движений, которое
только приближалось к этому закону в известных пределах, для того
чтобы их взаимодействие установило этот закон и в точности его
поддерживало. Таким образом, эти три тела будут вечно совершать
свои движения в пространстве по предшествующему закону, если
только какие-нибудь посторонние причины, например кометы, не на-
рушат внезапно их движения вокруг Юпитера.

Отсюда видно, с каким вниманием следует относиться к ука-
заниям природы, когда они являются результатом большого числа
наблюдений, хотя бы при этом их и нельзя было объяснить извест-
ными способами. Чрезвычайная трудность задач, относящихся к си-
стеме мира, принудила геометров прибегнуть к приближениям, при
которых всегда можно опасаться, как бы отбрасываемые величины
не оказали заметного влияния. Когда наблюдения указывали им на
такое влияние, они снова обращались к их анализу; при поверке они
всегда находили причину замеченных аномалий; они определяли их
закон и часто предупреждали наблюдения, открывая неравенства,
которые наблюдениями еще не были указаны. Таким образом, можно
сказать, что сама природа содействовала аналитическому совершен-
ствованию теорий, основанных на принципе всемирного тяготения,
и это, по моему мнению, является одним из сильнейших доказа-
тельств истинности этого принципа, достойного удивления.

Одно из самых замечательных явлений системы мира представ-
ляют все движения вращения вокруг оси и обращения планет и спут-
ников в одном направлении с вращением Солнца вокруг своей оси
и почти в плоскости его экватора. Столь замечательное явление да-
леко не случайно: оно указывает на общую причину, которая опреде-
лила эти движения. Чтобы узнать, с какой вероятностью указана эта
причина, принимают во внимание, что планетная система, насколько
она нам известна в данное время, состоит из 11 планет и 18 спутни-
ков, по крайней мере если вместе с Гершелем приписывать планете
Урану шесть спутников. Известны движения вращения вокруг оси
Солнца, шести планет, Луны, спутников Юпитера, кольца Сатурна
и одного из его спутников. Эти движения вместе с движениями об-
ращения составляют всего 43 движения в одном и том же направ-
лении; а из анализа вероятностей мы узнаем, что 4000 миллиардов
шансов против одного за то, что этот порядок не есть дело случая;
а это представляет вероятность гораздо большую, чем вероятность
таких исторических событий, относительно которых мы не позво-
ляем себе сомневаться. Поэтому мы должны по меньшей мере с той
же уверенностью принять, что какая-либо первоначальная причина
дала направление планетным движениям, особенно если принять во
внимание, что наклонение большей части этих движений к солнеч-
ному экватору очень невелико.

Другое столь же замечательное явление Солнечной системы -
это малый эксцентриситет орбит планет и спутников, между тем как
орбиты комет очень растянуты, так что в этой системе орбиты не
представляют промежуточных переходов от больших эксцентриси-
тетов к малым. Здесь мы точно так же вынуждены признать действие
регулярной причины: случай не придал бы почти кругообразной
формы орбитам всех планет и их спутников; поэтому необходимо,
чтобы причина, определившая движения этих тел, сделала их почти
круговыми. Необходимо, кроме того, чтобы большие эксцентрисите-
ты орбит комет вытекали из существования этой причины, которая
в то же время не оказывала бы влияния на направление их движений;
ибо оказывается, что существует почти столько же комет с обратным
движением, как с прямым, и что среднее наклонение всех их орбит
к эклиптике очень близко половине прямого угла, как это должно
было бы быть, если бы эти тела были рассеяны случайно.

Какова бы ни была природа той причины, о которой идет речь,
раз она вызвала или направила движения планет, необходимо, чтобы
она охватывала все эти тела, а ввиду расстояний, которые разделя-
ют их, ею могла бы быть только жидкость громадного протяжения:
чтобы дать в одном и том же направлении почти круговое движение
вокруг Солнца, необходимо, чтобы эта жидкость окружала это све-
тило подобно атмосфере. Изучение планетных движений приводит
нас, следовательно, к мысли, что вследствие необычайного жара ат-
мосфера Солнца простиралась первоначально за пределы орбит всех
планет и мало-помалу сжалась до настоящих пределов.

В том первичном состоянии, в котором мы предполагаем Солнце,
оно походило на туманные пятна, которые кажутся в телескоп состо-
ящими из более или менее блестящего ядра, окруженного туманно-
стью, которая, все уплотняясь на поверхности ядра, в один прекрас-
ный день должна превратить его в звезду. Если мы будем считать по
аналогии, что все звезды произошли таким образом, то можно вооб-
разить, что их предыдущему состоянию туманности в свою очередь
предшествовали другие состояния, при которых туманная материя
была все более и более рассеяна, а ядро все менее и менее блестяще
и плотно. Таким образом, восходя все дальше, насколько это возмож-
но, мы приходим к туманности до такой степени рассеянной, что мы
лишь с трудом могли бы подозревать ее существование.

Таково на самом деле первичное состояние туманных пятен,
исследованных Гершелем с особой тщательностью при помощи
его сильных телескопов, пятен, на которых он проследил прогресс
уплотнения, не на одной, так как прогресс этот может стать замет-
ным для нас только через столетия, но на их совокупности; подобно
тому, как в большом лесу можно проследить рост деревьев на отдель-
ных деревьях разного возраста, из которых он состоит. Сначала он
наблюдал туманную материю, рассеянную в виде отдельных скопле-
ний в разных частях неба, на большом протяжении его. Он заметил,
что в некоторых скоплениях эта материя слегка уплотнена вокруг
одного или нескольких мало блестящих ядер. В других туманных
пятнах эти ядра блестят сильнее сравнительно с окружающей их ту-
манностью. Если атмосферы отдельных ядер обособляются вслед-
ствие дальнейшего уплотнения, то возникают сложные туманные
пятна, состоящие из очень близко расположенных блестящих ядер,
окруженных, каждое, атмосферой: иногда, равномерно уплотняясь,
туманная материя образовывала туманные пятна, носящие название
планетных. Наконец, еще большая степень уплотнения превращает
эти туманные пятна в звезды. Классификация туманных пятен со-
гласно этой философской точке зрения указывает на крайнюю ве-
роятность их будущего превращения в звезды и предшествующего
состояния туманности существующих звезд. Следующие сообра-
жения служат подтверждением доказательств, выведенных из этих
аналогий.

Уже давно особенное расположение некоторых звезд, доступных
невооруженному глазу, поражало наблюдателей - философов. Уже
Митчелл заметил, как маловероятно, чтобы звезды созвездия Плеяд,
например, так тесно заполнили бы небольшое пространство, которое
их вмещает, только благодаря шансам случая; отсюда он заключил,
что эта группировка звезд, так же как и другие подобные ей, явля-
ется следствием одной первоначальной причины, одного общего за-
кона природы. Эта группировка является необходимым результатом
уплотнения туманных пятен с несколькими ядрами, ибо очевидно,
что так как туманная материя постоянно притягивается различны-
ми ядрами, они должны со временем образовать группу звезд, по-
добную группе Плеяд. Точно так же уплотнение туманных пятен
с двумя ядрами образует звезды, расположенные очень близко друг
к другу и вращающиеся одна вокруг другой, подобно звездам, соот-
ветствующие движения которых уже наблюдались Гершелем. Тако-
вы также 61 и следующие за ней звезды Лебедя, у которых Бессель
заметил собственные движения, такие значительные и так мало раз-
личающиеся, что близость этих светил друг к другу и их движение
вокруг общего центра тяжести не должны составлять ни малейшего
сомнения. Таким образом, из прогресса уплотнения туманной мате-
рии мы заключаем, что Солнце было некогда окружено громадной
атмосферой, взгляд к которому, как мы видели, приводит изучение
явлений Солнечной системы. Это замечательное совпадение прида-
ет существованию такого предшествующего состояния Солнца веро-
ятность, очень близкую к достоверности.

Но каким образом солнечная атмосфера определила движения
вращения вокруг оси и обращения планет и спутников? Если бы
тела эти глубоко проникали в эту атмосферу, то ее сопротивление
заставило бы их упасть на Солнце. Это приводит к мысли о большой
вероятности того, что планеты образовались на последовательных
границах солнечной атмосферы, которая, сжимаясь по мере охлаж-
дения, должна была выделить в плоскости своего экватора пояса
пары, превратившиеся благодаря взаимному притяжению их моле-
кул в различные сфероиды.

В моем «Изложении системы мира» я пространно развил эту
гипотезу, которая, как мне кажется, согласна со всеми явлениями,
встречающимися в этой системе.

По этой гипотезе кометы представляют нечто чуждое планетной
системе. Связывая их образование с образованием туманных пятен,
можно их рассматривать как небольшие туманные пятна с ядрами,
блуждающие от одних солнечных систем к другим и образовавши-
еся вследствие уплотнения туманной материи, в таком изобилии
рассеянной во Вселенной. Кометы явились бы, таким образом, по
отношению к нашей системе тем же, чем аэролиты по отношению
к Земле, для которой они, по-видимому, чужды. Когда эти светила
делаются для нас видимыми, они представляют такое полное сход-
ство с туманными пятнами, что их часто путают; и только по их дви-
жению да по тому, что все туманные пятна, заключающиеся в той
части неба, где они появляются, известны, удается их различить.
Это предположение удачно объясняет большое протяжение, которое
занимают головы и хвосты комет по мере приближения к Солнцу,
а также чрезвычайную разреженность этих хвостов, которые, несмо-
тря на свою громадную толщу, не могут заметно ослабить сияния
звезд, видимых сквозь них.

Когда небольшие туманные пятна достигают той части простран-
ства, в которой притяжение Солнца является преобладающим и ко-
торую мы назовем сферой действия этого светила, оно заставляет
их описывать эллиптические или гиперболические орбиты. Но так
как скорость их равно возможна по всем направлениям, они должны
двигаться безразлично по всем направлениям и под всевозможными
наклонениями к эклиптике; что и согласуется с наблюдениями.

Большой эксцентриситет кометных орбит также вытекает из
предыдущей гипотезы. В самом деле, если эти орбиты имеют эл-
липтическую форму, то они очень удлинены, потому что их большие
оси по меньшей мере равны радиусу сферы действия Солнца. Но эти
орбиты могут иметь гиперболическую форму, и если оси этих гипер-
бол не очень велики сравнительно со средним расстоянием Солнца
от Земли, то движение комет, которые их описывают, будет казаться
заметно гиперболическим. Между тем из 100 комет, элементы кото-
рых уже известны, ни одна, как известно, не кажется движущейся
по гиперболе; очевидно, что шансы, дающие заметную гиперболу,
должны быть крайне редки сравнительно с шансами противополож-
ными.

Кометы так малы, что становятся видимыми только тогда, когда
их расстояние в перигелии незначительно. До сих пор это рассто-
яние не превышало диаметра земной орбиты более чем в два раза,
а всего чаще оно бывало меньше радиуса этой орбиты. Для того что-
бы приблизиться к Солнцу на такое близкое расстояние, скорость
их в момент вступления в сферу действия, очевидно, должна иметь
величину и направление, заключенные в тесных пределах. Опреде-
ляя посредством анализа вероятностей отношение шансов, которые
в этих пределах дают заметную гиперболу, к шансам, дающим орби-
ту, которую можно смешать с параболой, я нашел, что по меньшей
мере 6000 шансов против одного за то, что туманное пятно, проник-
нувшее в сферу действия Солнца и доступное наблюдению, опишет
или очень удлиненный эллипс, или гиперболу, которая по величине
своей оси заметно приближается к параболе в наблюдаемой части.
Поэтому не удивительно, что до сих пор гиперболическое движение
не узнавалось.
Притяжение планет, а также, может быть, и сопротивление
эфирной среды должны были превратить многие кометные орбиты
в эллипсы, у которых большая ось меньше радиуса сферы действия
Солнца, что увеличивает шансы эллиптических орбит. Можно до-
пустить, что подобное изменение имело место для кометы 1759 г.
и некоторых других, обращение которых установлено.

Я обращусь теперь к рассмотрению Земли и жидкостей, покры-
вающих ее. Явлением, могущим пролить больше всего света на пра-
вильность ее пластов, оказывается изменение тяжести на ее поверх-
ности. Это изменение определяется либо посредством перенесения
в разные места одного и того же маятника, причем считают число
его колебаний в известный промежуток времени; либо непосред-
ственным измерением длины секундного маятника. Опыты эти лег-
ки и могут быть теперь чрезвычайно точны. Ввиду их важности для
теории Земли их особенно надо рекомендовать мореплавателям. Уже
произведенные опыты, хотя и оставляют желать многого, обнаружи-
вают тем не менее большую правильность и стремление прибли-
зиться к простейшему закону изменения, т.е. закону квадрата сину-
са широты: Северное и Южное полушария не представляют в этом
отношении заметной разницы или, по крайней мере, такой, которую
нельзя было бы приписать ошибкам наблюдений. Если взять за еди-
ницу длину секундного маятника на экваторе, то все эти наблюдения
в совокупности дадут |()50ОО для коэффициента члена, пропорцио-
нального квадрату синуса широты. Мои формулы вероятности дают
в применении к этому результату больше двух тысяч шансов против
одного за то, что истинный коэффициент заключается в пределах от
пяти тысячных до шести тысячных. Если Земля представляет эллип-
соид вращения, то мы узнаем ее сжатие, вычтя коэффициент закона
тяготения из 10^00; коэффициент пяти тысячных соответствует, та-
ким образом, сжатию • Следовательно, будет больше четырех ты-
сяч шансов против одного за то, что сжатие Земли меньше этой дро-
би. Миллионы миллиардов шансов против одного будут за то, что
оно меньше того, которое соответствует однородности Земли, и за
то, что плотность земных пластов увеличивается по мере их прибли-
жения к центру этой планеты. Равномерность тяжести на ее поверх-
ности доказывает, что они расположены симметрично вокруг этой
точки. Оба эти условия, неизбежные следствия жидкого состояния,
делают весьма правдоподобным, что вся Земля была первоначально
в этом состоянии, в которое мог ее привести только необычайный
жар; а это подтверждает гипотезу, предложенную нами относитель-
но образования небесных тел.
По предложению Академии наук в начале прошлого столетия
были произведены в Бресте наблюдения над приливом и отливом,
продолжавшиеся в течение шести лет подряд. Положение этого пор-
та очень благоприятно для такого рода наблюдений. Он соединен
с морем каналом, оканчивающимся очень большим рейдом, в глу-
бине которого и был построен порт. Таким образом, неправильности
в движении моря очень ослабляются, пока достигают порта, подоб-
но тому как колебания в барометре, происходящие от неправильного
движения корабля, ослабляются сужением трубки этого инструмен-
та. Кроме того, так как прилив и отлив в Бресте значительны, слу-
чайные колебания, зависящие от ветра, оказывают слабое влияние
на это явление; в наблюдениях над приливом и отливом там дей-
ствительно замечается большая правильность, которую совсем не
должна нарушать маленькая речка, теряющаяся в громадном рейде
этого порта. Пораженный этой правильностью, я обратился к прави-
тельству с просьбой повелеть произвести в Бресте новый ряд наблю-
дений в продолжение всего периода движения узлов лунной орбиты,
что и было исполнено. Эти наблюдения начались с 1 июня 1806 г.
и с того времени продолжаются без перерыва до сих пор, так что
превышают уже половину периода, о котором я упомянул. Они пред-
ставили мне слишком благоприятный случай применить мои форму-
лы вероятности к одному из величайших явлений природы, чтобы
я не воспользовался им. Я нашел, что они с большой вероятностью
устанавливали законы высот и промежутков между приливами и от-
ливами в зависимости от фаз Луны, времен года и расстояний Луны
и Солнца до Земли. В этом отношении эти наблюдения самым совер-
шенным образом согласуются с теми, которые были сделаны 100 лет
тому назад. Они в такой же мере согласуются с общим законом тяго-
тения, который мог быть открыт при помощи их одних.

Согласная с этим законом теория прилива и отлива, данная мной
в четвертой книге «Небесной механики», покоится на одном прин-
ципе динамики, который делает ее очень простой и независимой от
местных условий порта, условий, слишком сложных для того, чтобы
их можно было подвергнуть исчислению. При помощи этого прин-
ципа они входят как произвольные постоянные в результаты анализа,
долженствующие таким образом представлять эти наблюдения, если
всемирное тяготение действительно является истинной причиной
морских приливов и отливов. Вот этот принцип, применимый и ко
многим другим явлениям: состояние системы тел, в которой перво-
начальные условия движения исчезли вследствие испытываемых ею
сопротивлений, возобновляется периодически, как силы, действую-
щие в ней. Присоединив этот принцип к принципу совместного су-
ществования очень малых колебаний, я нашел выражение высоты
прилива и отлива, в котором произвольные постоянные содержат
действие местных условий порта. Многочисленные различия прили-
вов и отливов и их видоизменения, происходящие от этих условий,
все представлены этим выражением с чрезвычайной точностью. Од-
ним из самых замечательных видоизменений такого рода является
запаздывание на полтора дня самых больших и самых малых при-
ливов и отливов в моменты сизигий и квадратур. Выражение, о ко-
тором идет речь, указывает, что это замедление зависит от скорости
движения светила, влияющего на океан, в связи с местными услови-
ями; и что та же самая причина вызывает в Бресте приращение в от-
ношении действий Солнца и Луны. Анализ дает различные способы
определения этого приращения с помощью наблюдений, по которым
оно равняется приблизительно | истинного отношения.

Действие Солнца и Луны вызывает, без сомнения, в нашей ат-
мосфере, которая отделяет их от океана, колебания, подобные яв-
лениям прилива и отлива; но они очень слабы, и для того, чтобы
выделить их из совокупности атмосферных движений, необходимо
будет произвести при помощи превосходных барометров длинный
ряд наблюдений, главным образом на экваторе, где нерегулярные ат-
мосферные изменения незначительны.

Принцип, который положен в основание моей теории приливов
и отливов, при обобщении его может быть распространен на все яв-
ления случая, к которому присоединяются непостоянные причины
и который все-таки следует правильным законам. Действие этих
причин вызывает в результатах большого числа явлений различия,
которые следуют одним и тем же законам, что и можно обнаружить
с помощью анализа вероятностей. По мере увеличения числа явле-
ний эти различия обнаруживаются со все возрастающей вероятно-
стью, которая слилась бы с достоверностью, если бы число явлений
стало бесконечным. Эта теорема аналогична той, которую я развил
раньше относительно действия постоянных причин. Следовательно,
всякий раз, как мы видим, что причина, ход которой правилен, мо-
жет влиять на известный род событий, мы можем пытаться узнать ее
влияние, умножая наблюдения; и когда нам кажется, что это влияние
обнаруживается, анализ вероятностей определяет вероятность ее
существования и ее напряженности. Так, ввиду того, что колебание
температуры при переходе от дня к ночи может менять давление ат-
мосферы, а следовательно, и высоту барометра, естественно думать,
что с увеличением числа наблюдений над этой высотой должно об-
наружиться влияние солнечной теплоты. В самом деле, на экваторе,
где это влияние, по-видимому, всего больше, уже давно установлено
небольшое суточное колебание барометра, тахгтит которого имеет
место около девяти часов утра, а ттгтит около четырех часов ве-
чера. Второй тах'нпит имеет место около 11 часов вечера, а второй
ттгтит около четырех часов утра. Ночью колебания меньше, чем
днем, когда они совершаются в пределах двух миллиметров. Непо-
стоянство нашего климата не скрыло этого колебания от наших на-
блюдателей, хотя оно здесь и меньше, чем между тропиками. Приме-
няя формулы вероятности к многочисленным точным наблюдениям,
которые производил в течение нескольких последовательных лет
Рамонд, мы видим, что они делают крайне вероятным существова-
ние этого явления. Эти наблюдения позволили ему открыть еще одно
колебание барометра, находящееся в зависимости от времен года.
Он находит первый тахппит средней месячной высоты барометра
вскоре после зимнего солнцестояния, а первый ттгтит в апреле;
второй тахипит имеет место около летнего солнцестояния, а второй
ттгтит в сентябре. Анализ показывает нам, что эти результаты от-
мечены уже как правдоподобные. Кроме того, они подтверждаются
и другими наблюдениями. Время покажет, на одни и те же ли месяцы
приходится наибольшая и наименьшая высота в разных климатах.
Эти годичные и суточные колебания барометра зависят, без сомне-
ния, подобно пассатам и муссонам, от солнечной теплоты в связи
с вращательным движением Земли. Однако почти невозможно под-
вергнуть исчислению столь сложные явления.

Анализ вероятностей может служить также для того, чтобы про-
верять существование или влияние известных причин, действие
которых, как нам казалось, заметно на организованных существах.
Из всех орудий, которые мы можем применять для познавания не-
заметных сил природы, самыми чувствительными являются нервы,
в особенности если какие-либо особые причины возбуждают их чув-
ствительность. С их помощью было открыто слабое электричество,
которое развивается от соприкосновения двух разнородных метал-
лов, что открыло перед физиками и химиками обширное поле ис-
следований. Своеобразные явления, происходящие от необычайной
чувствительности нервов у некоторых людей, породили различные
мнения насчет существования некоторого нового агента, назван-
ного животным магнетизмом, насчет действия обыкновенного
магнетизма и насчет влияния Солнца и Луны при некоторых нерв-
ных страданиях; наконец, насчет впечатлений, испытывать которые
может заставить близость металлов или текущей воды. Естественно
думать, что действие этих причин очень слабо и что оно легко мо-
жет быть нарушено случайными обстоятельствами; так что нельзя
отвергать его существования из-за того, что в некоторых случаях оно
не обнаружилось. Мы так далеки от знания всех сил природы и их
различных проявлений, что было бы малонаучно отрицать явления
только потому, что они необъяснимы при современном состоянии
наших знаний. Мы должны только исследовать их с тем большими
вниманием и тщательностью, чем нам кажется труднее допустить
их; здесь становится необходимым исчисление вероятностей для
того, чтобы определить, до каких пор следует умножать наблюдения
или опыты, чтобы получить в пользу обнаруживающихся в них сил
вероятность, которая одержала бы верх над теми основаниями, на
которых их все-таки можно бы не признавать.

Исчисление вероятностей позволяет оценить достоинство и не-
достатки методов, применяемых в науках, основанных на догадках.
Так, чтобы узнать, который из вошедших в употребление методов
лечения какой-либо болезни является наилучшим, достаточно испы-
тать каждый из них на одном и том же числе больных при совершен-
но сходных условиях; преимущество самого выгодного метода будет
обнаруживаться все более и более по мере того, как это число будет
возрастать; а исчисление дает нам соответственную вероятность его
преимущества и отношение, выражающее предпочтительность его
в сравнении с остальными.

Глава X

Применение исчисления вероятностей
к нравственным наукам

Мы только что убедились в выгоде, предоставляемой анализом
вероятностей при изыскании законов естественных явлений, при-
чины которых неизвестны или же слишком сложны для того, чтобы
действия их могли быть подчинены вычислению. То же самое отно-
сится почти ко всем объектам нравственных наук. Столько причин
непредвиденных, или скрытых, или не поддающихся оценке влияет
на человеческие учреждения, что судить об их следствиях априори
невозможно. Ряд событий, которые время приносит с собой, раскры-
вает эти следствия и указывает средства для предотвращения тех из
них, которые пагубны. В этом смысле часто составлялись мудрые
законы; но так как при этом пренебрегалось сохранение мотивов,
то многие из них были отменены как бесполезные, и понадобилось
для их восстановления, чтобы тяжелый опыт снова заставил почув-
ствовать их необходимость. Весьма важным является, следовательно,
составление в каждой отрасли общественного управления точного
реестра эффектов, которые произведены различными применявши-
мися средствами, представляющими из себя соответствующее число
опытов, произведенных в большом масштабе правительствами. При-
меним к политическим и нравственным наукам метод, основанный
на наблюдении и исчислении, метод, который служил нам так хорошо
в науках естественных. Не будем противополагать бесполезного и ча-
сто опасного сопротивления неизбежным следствиям прогресса про-
свещения, но будем изменять лишь крайне осторожно наши учреж-
дения и обычаи, к которым мы давно уже применились. Мы хорошо
знаем по опыту прошлого неудобства, которые они представляют, но
мы не знаем, как велико будет зло, которое может причинить их изме-
нение. При такой неизвестности теория вероятностей предписывает
избегать всякого изменения: особенно следует избегать внезапных
изменений, которые в нравственном порядке, как и в физическом, ни-
когда не происходят без большой потери живой силы.

Исчисление вероятностей уже применялось с успехом по мно-
гим предметам нравственных наук. Я здесь представлю его главные
результаты.

Глава XI

О вероятности свидетельских показаний

Ввиду того, что большая часть наших суждений основана на
вероятности свидетельских показаний, очень важным является под-
чинить ее исчислению. Это, правда, бывает часто невозможно из-за
трудности оценить правдивость свидетелей, а также из-за большого
числа обстоятельств, сопровождающих факты, о которых они свиде-
тельствуют. Но во многих случаях возможно бывает разрешать зада-
чи, имеющие большое сходство с вопросами, которыми мы задаемся
и решение которых может быть рассматриваемо как приближение,
годное к руководству и предостерегающее от ошибок и опасностей,
которым нас подвергают неверные заключения. Приближение такого
рода, если оно хорошо проведено, всегда следует предпочесть са-
мым правдоподобным, по-видимому, заключениям. Попробуем дать
несколько общих правил для достижения этой цели.
Вынут только один номер из урны, содержащей их 1000. Один из
свидетелей этого изъятия объявляет, что вышел № 79; спрашивает-
ся вероятность этого выхода. Положим, что нам известно по опыту,
что свидетель этот обманывает один раз из 10, так что вероятность
его свидетельства . Отмечено событие: свидетель утверждает, что
вышел № 79. Это событие может явиться результатом двух следую-
щих гипотез: а именно, что свидетель говорит правду или же, что он
обманывает. Согласно принципу, изложенному нами относительно
вероятности причин, выведенной из наблюденных событий, следует
сперва определить априори вероятность этого события при каждой
гипотезе. При первой вероятности того, что свидетель объявит № 79,
есть в то же время вероятность изъятия этого номера, т. е. . Надо
помножить ее на вероятность правдивости свидетеля; следова-
тельно, будем иметь 10 ^00 для вероятности события, наблюденного
при этой гипотезе. Если свидетель обманывает, то № 79 не выходил
и вероятность этого случая равна Но чтобы объявить выход
этого номера, свидетель должен его выбрать из 999 невышедших
номеров; а так как предполагается, что у него нет никакой причины
отдать предпочтение одним номерам перед другими, то вероятность
того, что он выберет № 79, равна ; умножая эту вероятность на
предыдущую, получим для вероятности того, что свидетель
объявит № 79 при второй гипотезе. Надо еще умножить эту веро-
ятность на вероятность самой гипотезы, что дает 10 для ве-
роятности этого события при этой гипотезе. Если теперь составить
такую дробь, числителем которой была бы вероятность при первой
гипотезе, а знаменателем - сумма вероятностей при обеих гипоте-
зах, то получим, согласно VI принципу, вероятность первой гипоте-
зы, и вероятность эта была бы , т.е. та же правдивость свидетеля.
Это и есть также вероятность изъятия № 79. Вероятность того, что
свидетель лжет и что № 79 не вышел, равна .

Если бы свидетель, желая обмануть, был как-нибудь заинтере-
сован в выборе № 79 среди невышедших номеров; если бы он рас-
считывал, например, что, поставивши на этот номер значительную
ставку, объявлением о выходе этого номера он увеличит свой кредит,
то вероятность, что он выберет этот номер, не будет, как прежде, ;
она может тогда быть | и т.д., смотря по тому, насколько он будет
заинтересован в объявлении его выхода. Полагая ее равной |, надо
умножить на эту дробь вероятность чтобы получить при гипо-
тезе обмана вероятность наблюденного события, которую надо ум-
ножить еще на , что дает для вероятности этого события при
второй гипотезе. Вероятность первой гипотезы, или выхода № 79,
сводится тогда, по предыдущему правилу, к . Следовательно, она
будет очень ослаблена, если принять во внимание интерес, который
может иметь свидетель, объявляя о выходе № 79. Правда, тот же ин-
терес увеличивает вероятность того, что свидетель скажет правду,
если выйдет № 79. Но вероятность эта не может превысить единицы,
или таким образом, вероятность выхода № 79 не превысит -^у.
Здравый смысл подсказывает нам, что этот интерес должен внушать

недоверие, а исчисление оценивает его влияние.

Априори вероятность номера, объявленного свидетелем, рав-
на единице, деленной на число номеров в урне; она превращается,

в силу свидетельства, в саму правдивость свидетеля; следовательно,
она может быть ослаблена этим свидетельством. Если, например,
в урне заключаются только два номера, что дает для вероятности
априори выхода № 1; и если правдивость того свидетеля, который
о нем объявляет, равна то выход этот становится вследствие это-
го менее вероятным. В самом деле, очевидно, что свидетель, будучи

в этом случае более склонным ко лжи, чем к истине, своим свиде-
тельством должен уменьшать вероятность свидетельствуемого фак-
та каждый раз, как эта вероятность равняется или превосходит . Но
если в урне три номера, вероятность априори выхода № 1 увеличи-
вается показанием свидетеля, правдивость которого превышает |.

Предположим теперь, что урна содержит 999 черных шаров
и один белый и что по изъятии из нее одного шара свидетель этого
изъятия объявляет, что вынут белый шар; вероятность наблюденно-

го события, определенная априори при первой гипотезе, равняется
здесь, как и в предшествующем вопросе, 10 д0(). Но при предположе-

нии, что свидетель обманывает, белый шар не вышел, и вероятность
этого случая равна Надо умножить ее на вероятность обмана,
дао	~	~	Ю

что дает 1(^ до0 для вероятности наблюденного события при второй
гипотезе. Эта вероятность равнялась лишь 10 в предшествующей
задаче: такая большая разница зависит от того, что в случае выхода

черного шара свидетелю, желающему обмануть, не остается выбора
из 999 невышедших шаров, если он хочет объявить о выходе белого
шара. Если теперь составить две дроби, числителями которых были
бы вероятности при каждой гипотезе и общий знаменатель которых
был бы равен сумме этих вероятностей, то вероятность первой гипо-
тезы и выхода белого шара равнялась бы у^, а вероятность второй
гипотезы и выхода черного шара -	. Эта последняя вероятность

очень приближается к достоверности; она приблизилась бы еще бо-
лее и равнялась бы , если бы урна содержала миллион ша-
ров, из которых только один был бы белый, так как выход белого
шара стал бы тогда гораздо более необычайным. Из этого мы видим,
как возрастает вероятность обмана по мере того, как самый факт ста-
новится более необычайным.

До сих пор мы предполагали, что свидетель совсем не ошибает-
ся; но если допустить еще возможность его ошибки, то необычайный
факт делается еще невероятнее. Тогда вместо двух гипотез будем
иметь четыре следующие, а именно гипотезу, что свидетель не обма-
нывает и сам не ошибается; что свидетель не обманывает и ошибает-
ся; гипотезу, что свидетель обманывает и не ошибается; и, наконец,
что свидетель обманывает и. ошибается. Определяя априори при
каждой из этих гипотез вероятность наблюденного события, нахо-
дим, согласно шестому принципу, вероятность, что указанный факт
ложен, равной дроби, числитель которой есть число черных шаров
в урне, умноженное на сумму вероятностей того, что свидетель не
обманывает и ошибается или же обманывает и не ошибается, а зна-
менатель которой равен этому числителю, увеличенному на сумму
вероятностей того, что свидетель не обманывает и не ошибается или
же обманывает и вместе с тем ошибается. Отсюда видно, что если
число черных шаров в урне очень велико, что делает необычайным
выход белого шара, вероятность того, что указанного факта не суще-
ствует, чрезвычайно приближается к достоверности.

Из распространения этого следствия на все необычайные факты
вытекает, что вероятность ошибки, или же лжи свидетеля, делается
тем больше, чем более необычен рассматриваемый факт. Некото-
рые авторы утверждали противное, основываясь на том, что так как
форма необычайного факта совершенно подобна форме обычного,
то одни и те же мотивы должны нас побуждать верить свидетелю
одинаково, утверждает ли он, что тот или что другой из этих фак-
тов имел место. Простой здравый смысл опровергает столь странное
утверждение; но исчисление вероятностей, подтверждая указания
здравого смысла, еще более оценивает правдоподобность свиде-
тельств о необычайных фактах.

Можно настаивать и сделать предположение, что из двух свиде-
телей, равно заслуживающих доверия, один показывает, что видел
мертвым две недели тому назад человека, относительно которого
второй свидетель показывает, что видел его вчера полного жизни. Ни
тот, ни другой из этих фактов не представляет ничего неправдопо-
добного. Следствием их обоих, взятых вместе, является воскресение
этого человека; но так как показания прямо не касаются его, то его
необычайность вовсе не должна ослаблять доверия, которого факты
эти заслуживают. (Епсус1орёсИе, сиЧ. СетЧЧЧиЛе.)
Однако если бы следствие, вытекающее из совокупности сви-
детельских показаний, было невозможно, то одно из них обязатель-
но должно было бы быть ложным; невозможное же следствие есть
предел следствий необычайных, как ошибка есть предел неправдо-
подобности; значение свидетельского показания, которое делается
равным нулю в случае невозможного следствия, должно быть, сле-
довательно, очень ослаблено в случае необычайного следствия, что
на самом деле и подтверждается исчислением вероятностей.

Чтобы показать это, рассмотрим две урны А и В, первая из которых
содержит миллион белых шаров, а вторая-миллион черных. Из одной
из этих урн вынимают шар и перекладывают его во вторую, из которой
затем снова берут шар. Два свидетеля, один-первого тиража, другой-
второго, показывают, что они видели, как был вынут белый шар. Ка-
ждое показание, взятое отдельно, не представляет ничего неправдопо-
добного, и легко видеть, что вероятность того факта, о котором дается
показание, является правдивостью самого свидетеля. Но из совокупно-
сти показаний следует, что белый шар был вынут из урны Л при первом
тираже и что затем, после того как он был положен в урну В, он появил-
ся снова при втором тираже, что весьма необыкновенно, ибо эта вторая
урна содержит тогда один белый шар на миллион черных, а поэтому
вероятность вынуть из нее белый шар равна х 00д 001. Чтобы опреде-
лить проистекающее отсюда ослабление вероятности показаний обоих
свидетелей, мы заметим, что наблюденным событием является здесь
утверждение каждого из них, что он видел, как был вынут белый шар.
Пусть дробь выражает вероятность того, что он показывает правду;
это может иметь место в настоящем случае, когда свидетель не обма-
нывает и не ошибается и когда он обманывает и вместе с тем ошибает-
ся. Можно сделать четыре следующих предположения:

1.	Первый и второй свидетели говорят правду. В этом случае бе-
лый шар сперва был вынут из урны Л, и вероятность этого события
равна |, так как шар, вынутый при первом тираже, одинаково мог
появиться из той или другой урны. Затем вынутый и положенный
в урну В шар снова появился при втором тираже; вероятность это-
го события — х ооо оо1, вероятность показанного факта равна поэтому
2 ооо 002 • Умножив ее на произведение вероятностей и что
свидетели говорят правду, получим 200 080Х0 2оо Для вероятности на-
блюденного события при этой первой гипотезе.

2.	Первый свидетель говорит правду, а второй - нет, потому ли,
что он обманывает и не ошибается, или потому, что он не обманыва-
ет и ошибается. Значит, белый шар вышел из урны А при первом ти-
раже и вероятность этого события |. Затем, после того как этот шар
был положен в урну В. из этой последней был вынут черный шар;
вероятность этого изъятия равна |	; мы имеем, следовательно,

2 ооо 002 для веР0ЯТН0СТИ сложного события. Умножив ее на произ-
ведение двух вероятностей и , что первый свидетель говорит

правду, а второй - нет, получим 2оо°ооо°2оо для веР0ЯТН0СТИ наблю-
денного события при второй гипотезе.

3.	Первый свидетель говорит неправду, а второй говорит правду.
Значит, черный шар вышел, из урны В при первом тираже и, после
того как он был положен в урну Л, из этой последней был вынут
белый шар. Вероятность первого из этих событий равна , а второ-
го - * ддд до! : следовательно, вероятность сложного события равна

2 ооо 002 • Умножив ее на произведение вероятностей и , что пер-
вый свидетель показывает ложно, а второй говорит правду, получим

2оо°ооо°2оо для веР0ЯТН0СТИ наблюденного события, соответствую-
щей этой гипотезе.

4.	Наконец, оба свидетеля показывают ложно. Значит, черный
шар был вынут из урны В при первом тираже, затем, после того как
он был положен в урну Л, он снова появился при втором тираже.
Вероятность этого сложного события равна 2 ооо 002 • Умножив ее
на произведение вероятностей щ и что каждый свидетель по

казывает ложно, получим 200 ОоО 2оо Для вероятности наблюденного
события при этой гипотезе.

Теперь, чтобы узнать вероятность того, что было показано обо-
ими свидетелями, а именно, что при каждом тираже был вынут бе-
лый шар, надо разделить вероятность, соответствующую первой
гипотезе, на сумму вероятностей, соответствующих всем четырем
гипотезам, и тогда получим для этой вероятности 18	082 , дробь

чрезвычайно малую.

Если бы оба свидетеля утверждали, первый - что белый шар был
вынут из одной из двух урн Л и В; второй - что белый шар был подоб-
ным же образом вынут из одной из двух урн Л и В, во всем сходных
с первыми; вероятность показаний обоих свидетелей была бы про-
изведением вероятностей их свидетельства, или следовательно,
она была бы по крайней мере в 180 тысяч раз больше предыдущей.
Отсюда видно, насколько ослабляет значение двух свидетельств их
необычайное следствие, как в первом случае вторичное появление
при втором тираже белого шара, который был вынут при первом.
Мы не поверили бы свидетельству человека, который стал бы
удостоверять, что при метании 100 костей все они выпали одной
и той же стороной; если бы мы сами были очевидцами этого со-
бытия, мы поверили бы собственным глазам лишь после того, как
подвергли бы тщательному рассмотрению все обстоятельства, и по-
сле того, как призвали бы в свидетели еще кого-либо, чтобы быть
вполне уверенными, что тут не было ни галлюцинации, ни фокуса;
но после этого рассмотрения мы не колеблясь признали бы его, не-
взирая на его чрезвычайное неправдоподобие, и никто не пытался
бы прибегнуть для его объяснения к опровержению законов зрения.
Отсюда мы должны заключить, что вероятность постоянства зако-
нов природы для нас выше вероятности, что упомянутое событие
не должно иметь места, вероятности, которая, в свою очередь, выше
вероятности большинства исторических фактов, считающихся несо-
мненными. По этому можно судить, каким огромным весом должны
обладать свидетельские показания, чтобы можно было признать, что
естественные законы нарушены, и каким злоупотреблением явилось
бы применение к этому случаю обычных правил критики. Все, кто,
не представляя такой вескости свидетельств, поддерживают выстав-
ляемые ими и противоречащие этим законам события, скорее ослаб-
ляют доверие, которое они желают внушить, чем усиливают его, по-
тому что тогда эти рассказы делают очень вероятными заблуждение
или ложь их авторов. Но то, что уменьшает доверие просвещенных
людей, часто увеличивает доверие черни, всегда жаждущей чуда.

Есть вещи столь необычайные, что ничто не может поколебать
их неправдоподобия; но действием господствующих взглядов это не-
правдоподобие может быть ослаблено настолько, что будет казаться
меньшим, чем вероятность свидетельских показаний; когда же эти
взгляды изменятся, нелепость, единодушно допущенная в том веке,
который породил ее, явится для последующих веков лишь новым
доказательством огромного влияния всеобщего мнения на лучшие
умы. Два великих человека века Людовика XIV, Расин и Паскаль, яв-
ляются поразительным примером этого. Прискорбно видеть, с какой
угодливостью Расин, этот замечательный художник человеческого
сердца и совершеннейший из всех поэтов, рассказывает о якобы чу-
десном исцелении молодой Перье, племянницы Паскаля, бывшей
пансионеркой в аббатстве Порт-Рояль; тяжело читать рассуждения
Паскаля, которыми он старается доказать, что это чудо было необхо-
димо для религии, чтобы оправдать доктрину монахинь этого аббат-
ства, в то время преследовавшихся иезуитами. Молодая Перье уже
три с половиной года страдала слезной фистулой; она прикоснулась
своим больным глазом к реликвии, которая будто бы была терни-
ем из венца Спасителя, и тотчас же почувствовала себя исцеленной.
Несколько дней спустя врачи и хирурги констатировали выздоров-
ление, в котором, по их мнению, природа и лекарство не принима-
ли никакого участия. Это событие, случившееся в 1656 г., наделало
много шума; «весь Париж», говорит Расин, «направился в Порт-Ро-
яль. Толпа увеличивалась с каждым днем, и казалось, что самому
Господу было угодно питать благочестие народа большим числом
чудес, совершившихся в этой церкви». В то время чудеса и волшеб-
ство не казались еще неправдоподобными; и к ним, не сомневаясь,
причисляли все странное в природе, чего не могли объяснить иначе.

Этот взгляд на необычайные явления встречается в самых за-
мечательных сочинениях века Людовика XIV, даже в «Опыте о че-
ловеческом разуме» мудрого Локка, который говорит, имея в виду
различные степени согласия: «хотя бы общий опыт и обычный ход
вещей и имели полное основание влиять на ум людей, чтобы скло-
нить их согласиться с тем, во что предлагается верить, или отказать
в этом согласии, бывают, однако, случаи, где то, что есть странного
в факте, нисколько не ослабляет того доверия, которое мы должны
оказать искреннему свидетельству, служащему основанием этого
факта. Если сверхъестественные события соответствуют целям, ко-
торые поставил себе тот, в чьей власти менять течение вещей в при-
роде в данное время и при данных обстоятельствах, то ум наш может
отнестись к ним с тем большим доверием, чем они выше обыкно-
венных наблюдений или даже чем в большем противоречии с ними
они находятся». Ввиду того, что истинные принципы вероятности
свидетельских показаний, таким образом, не признавались филосо-
фами, которым разум главным образом обязан своим прогрессом,
я счел своим долгом пространно изложить результаты исчисления
для этого важного вопроса.

Здесь является уместным исследовать знаменитый аргумент Па-
скаля, который английским математиком Крэгом был облечен в гео-
метрическую форму. Несколько свидетелей показывают, что само
Божество им поведало, что, согласившись с известной вещью, мож-
но наслаждаться не одной или двумя, но бесконечным множеством
счастливых жизней. Как бы мала ни была вероятность свидетель-
ских показаний, если только она не бесконечно мала, очевидно, что
выгода тех, кто соглашается с этим предписанием, бесконечно ве-
лика, потому что она является произведением этой вероятности на
бесконечное благо; поэтому нельзя и колебаться, доставить ли себе
эту выгоду.
Этот аргумент основан на бесконечном числе счастливых жиз-
ней, обещанных свидетелями именем Божества. Значит, надо было
бы делать то, что они предписывают, именно потому, что они в своих
обещаниях переходят всякие границы, заключение, которое против-
но здравому смыслу. Исчисление и показывает нам, что именно это
преувеличение обещаний ослабляет вероятность свидетельских по-
казаний до такой степени, что обращает ее в бесконечно малую или
в ноль. В самом деле, этот случай сводится к тому, когда свидетель
объявляет выход наибольшего номера из урны, наполненной боль-
шим числом номеров, из которых был вынут только один, причем
свидетель очень заинтересован в объявлении выхода этого номера.
Мы раньше видели, насколько его заинтересованность ослабляет его
свидетельство. Оценивая только \ вероятность того, что свидетель,
если он обманывает, выберет наибольший номер, получим после вы-
числения, что вероятность объявленного им меньше дроби, числи-
тель которой единица, а знаменатель единица плюс половина произ-
ведения числа номеров на вероятность лжи, рассмотренную априори,
или независимо от объявленного. Чтобы провести сравнение между
этим случаем и случаем, к которому относится аргумент Паскаля,
достаточно представить номерами урны все возможные числа счаст-
ливых жизней, отчего число этих номеров становится бесконечным,
и заметить, что если свидетели обманывают, то самым выгодным
для них является обещать вечное блаженство, чтобы аккредитовать
свою ложь. Выражение вероятности их показания становится тогда
бесконечно малым. После умножения ее на бесконечное число обе-
щанных счастливых жизней бесконечность пропадает в произведе-
нии, выражающем выгоду, которая вытекает из этого обещания, что
и разбивает аргумент Паскаля.

Рассмотрим теперь вероятность совокупности нескольких сви-
детельских показаний, касающихся определенного факта. Чтобы го-
ворить о чем-нибудь определенном, предположим, что этим фактом
будет выход номера из урны, содержащей сто номеров, из которой
вынут только один. Два свидетеля этого тиража объявляют, что вы-
шел № 1, и спрашивается вероятность, вытекающая из совокупности
этих свидетельств. Можно допустить следующие две гипотезы: сви-
детели говорят правду и свидетели обманывают. При первой гипо-
тезе № 1 вышел, и вероятность этого события удд. Надо умножить
ее на правдивость каждого свидетеля, которую предположим равной
для одного и для другого уд; получим, следовательно, |()60()О для
вероятности наблюденного события при этой гипотезе. При второй
гипотезе № 1 не вышел, и вероятность этого события равна . Но
тогда согласное показание свидетелей требует, чтобы, желая обма-
нуть, они выбрали оба № 1 из 99 невышедших номеров; вероятность
этого выбора есть произведение дроби на саму себя; затем надо
умножить эти две вероятности друг на друга и на произведение веро-
ятностей и , что свидетели обманывают; таким образом, полу-
чим 3301000 для вероятности наблюденного события при второй ги-
потезе. Теперь получим вероятность свидетельствуемого факта или
выхода № 1, разделив вероятность, соответствующую первой гипо-
тезе, на сумму вероятностей, соответствующих обеим гипотезам.
Эта вероятность будет, следовательно, , а вероятность того, что
этот номер не вышел, и вероятность обмана свидетелей будет •

Если бы урна содержала только № 1 и № 1, то тем же самым спо-
собом мы нашли бы для вероятности выхода № 2 и, следователь-
но, для вероятности обмана со стороны свидетелей, вероятности,
которая по крайней мере в девяносто четыре раза больше предше-
ствующей. Отсюда видно, как уменьшается вероятность обмана со
стороны свидетелей, когда факт, относительно которого они дают
показания, сам по себе менее вероятен. В самом деле, понятно, что
тогда согласие свидетельских показаний между собой, если свиде-
тели обманывают, менее возможно, если только они не сговорились,
чего мы здесь не предполагаем.

В предыдущем случае, в котором урна содержит только два но-
мера и вероятность априори показуемого факта равна поэтому |,
вероятность, вытекающая из свидетельских показаний, есть произ-
ведение правдивостей свидетелей, деленное на это произведение,
сложенное с произведением соответственных вероятностей обмана
с их стороны.

Нам остается рассмотреть влияние времени на вероятность фак-
тов, переданных рядом свидетельств по преданию. Ясно, что эта ве-
роятность должна уменьшаться по мере того, как ряд удлиняется.
Если факт сам по себе совершенно невероятен, то вероятность, ко-
торую он приобретает от свидетельских показаний, убывает вместе
с произведением вероятностей правдивости свидетелей. Если факт
сам по себе обладает вероятностью, если, например, этим фактом
является выход № 2 из урны, которая содержит конечное число но-
меров и из которой, как достоверно известно, вынут один номер; то,
что ряд преданий прибавляет к этой вероятности, убывает вместе
с произведением, первый множитель которого есть отношение числа
номеров урны без одного к тому же числу; а каждый из остальных
множителей которого есть правдивость каждого свидетеля, умень-
шенная на отношение вероятности обмана с его стороны к числу
номеров урны без одного; так что предел вероятности факта есть
предел вероятности этого факта, рассмотренного априори или неза-
висимо от свидетельских показаний, вероятность, равная единице,
деленной на число номеров в урне.

Действие времени поэтому непрерывно ослабляет вероятность
исторических фактов, подобно тому, как оно кладет свой отпечаток
на самые прочные памятники. Можно, правда, замедлить его, умно-
жая и сохраняя свидетельские показания и те памятники, на которые
они опираются. Книгопечатание является для этой цели могуще-
ственным средством, к несчастью неизвестным древним. Несмотря
на бесконечные преимущества, предоставляемые им, физические
и нравственные революции, которым навсегда останется подверже-
на поверхность земного шара в соединении с неизбежным действи-
ем времени, кончат тем, что по прошествии тысячелетий сделают
сомнительными исторические факты, ныне достоверные.

Крэг пытался подвергнуть исчислению постепенное ослабление
доводов христианской религии; предполагая, что конец света на-
ступит тогда, когда она потеряет свою вероятность, он находит, что
это должно случиться через 1454 г. после момента его вычисления.
Но анализ его настолько же ошибочен, насколько странна гипотеза
о продолжительности существования мира.

Глава XII

О выборах и о решениях собраний

Вероятность решений какого-либо собрания зависит от боль-
шинства голосов, от его просвещенности и от беспристрастия чле-
нов, составляющих это собрание; столько страстей и частных инте-
ресов так часто сюда примешивают свое влияние, что невозможно
подчинить исчислению эту вероятность. Но все-таки существует
несколько общих результатов, продиктованных простым здравым
смыслом и подтверждаемых исчислением. Если, например, собра-
ние очень мало сведуще в вопросе, представленном на его решение,
если этот вопрос требует тонких рассуждений или же истина в этом
пункте противоречит имеющимся предрассудкам, так что более од-
ного шанса против одного, что каждый голосующий уклонится от
нее, тогда решение большинства будет, вероятно, дурным и опасения
на этот счет будут тем более справедливы, чем многочисленнее бу-
дет собрание. Ради общественных интересов следует поэтому пре-
доставлять собранию решать только вопросы, доступные большей
его части; важно, чтобы просвещение было распространено повсюду
и чтобы хорошие книги, основанные на разуме и опыте, наставляли
тех, кто призван решать судьбу себе подобных или управлять ими,
и предостерегали от ложных взглядов и невежественных преду-
беждений. Ученые часто имеют случай наблюдать, что первое впе-
чатление нередко обманчиво и что истина не всегда правдоподобна.

Трудно узнать и определить волю собрания среди разнообразия
мнений его членов. Попытаемся дать относительно этого несколько
правил, рассматривая два самых обыкновенных случая: выбор меж-
ду несколькими кандидатами и выбор между несколькими предло-
жениями, относящимися к одному и тому же предмету.

Когда собранию надлежит сделать выбор из нескольких канди-
датов, явившихся на одно или несколько однородных мест, то самым
простым кажется предоставить всякому голосующему написать на
записке имена кандидатов в порядке достоинств, которые он им при-
писывает. Если предположить, что он их располагает добросовест-
но, то рассмотрение этих записок обнаружит результаты выборов,
каким бы способом ни были сравнены между собой кандидаты, так
что новые выборы ничего на этот счет не могут прибавить. Теперь
надлежит отсюда вывести порядок преимущества, который уста-
навливают для кандидатов записки. Представим себе, что каждому
избирателю дана урна, содержащая бесконечное число шаров, с по-
мощью которых он может оттенить все степени достоинства канди-
датов; допустим еще, что он вынимает из своей урны число шаров,
пропорциональное достоинству каждого кандидата, и предположим,
что это число написано на записке рядом с именем кандидата. Ясно,
что после того, как составлена будет сумма всех чисел, относящихся
к каждому кандидату на каждой записке, тот из кандидатов, кото-
рый получит наибольшую сумму, есть кандидат, предпочитаемый
собранием, и что вообще порядок преимущества кандидатов будет
порядком сумм, относящихся к каждому из них. Но записки совер-
шенно не отмечают числа шаров, которые каждый избиратель дает
кандидатам: они лишь указывают, что первый кандидат их имеет бо-
лее, нежели второй, второй более, нежели третий, и т.д. Значит, если
приписать первому на данной записке какое-либо число шаров, то
все сочетания низших чисел, выполняющие предшествующие усло-
вия, одинаково допустимы; и мы получим число шаров относитель-
но каждого кандидата, составивши сумму всех чисел, которые дает
каждая комбинация, и разделивши ее на число всех комбинаций.
Очень простой анализ показывает, что числа, которые следует на-
писать на каждой записке рядом с последним именем, с предпослед-
ним и т.д., пропорциональны членам арифметической прогрессии 1,
2, 3 и т.д. Когда таким образом напишем на каждой записке члены
этой прогрессии и прибавим члены, соответствующие каждому кан-
дидату на этих записках, то различные суммы укажут своей величи-
ной тот порядок преимущества, который должен быть установлен
между кандидатами. Таков способ избрания, указываемый теорией
вероятностей. Он, без сомнения, был бы наилучшим, если бы каж-
дый избиратель записывал на своей записке имена кандидатов в по-
рядке достоинств, которые он им приписывает; но частные интересы
и много соображений, чуждых достоинствам, должны нарушать этот
порядок и заставлять иногда ставить на последнее место кандида-
та, самого опасного тому, которому отдано предпочтение, что дает
слишком большое преимущество кандидатам среднего достоинства.
Поэтому-то опыт и заставил отказаться от такого порядка избрания
в тех учреждениях, в которых он был принят.

Выборы по абсолютному большинству голосов присоединяют
к уверенности, что ни один из кандидатов, отвергнутых этим боль-
шинством, не будет допущен, то преимущество, что они выражают
чаще всего волю собрания. Они совпадают с предыдущим способом
всегда, когда имеются только два кандидата. Правда, они представ-
ляют то неудобство, что делают выборы бесконечными, но опыт
показал, что это неудобство сводится к нулю и что общее желание
положить выборам конец скоро объединяет большинство голосов на
одном из кандидатов.

Выбор между несколькими предложениями, относящимися к од-
ному предмету, казалось бы, должен быть подчинен тем же прави-
лам, как выбор между несколькими кандидатами. Но между этими
двумя случаями существует разница, а именно та, что достоинство
одного кандидата не исключает достоинств его конкурентов; тогда
как если предложения, между которыми надо выбирать, противопо-
ложны, то истинность одного исключает истинность остальных. Тог-
да следует рассматривать вопрос следующим образом.

Дадим каждому голосующему урну, содержащую бесконечное
число шаров, и предположим, что он распределяет их между различ-
ными предложениями пропорционально соответственным вероятно-
стям, которые он им приписывает. Ясно, что если все число шаров
выражает достоверность и голосующий, по гипотезе, убежден, что
одно из предложений должно быть истинно, он распределит это чис-
ло целиком между предложениями. Задача сводится, значит, к кому,
чтобы определить сочетания, в которых будут распределены шары
таким образом, чтобы было более шаров для первого предложения
записки, чем для второго, для второго более, чем для третьего, и т.д.;
к тому, чтобы составить суммы всех чисел шаров, относящихся к ка-
ждому предложению в этих различных сочетаниях, и к тому, чтобы
разделить эту сумму на число сочетаний; частные будут числами ша-
ров, которые следует приписать предложениям на какой-либо запи-
ске. С помощью анализа находим, что, исходя из последнего предло-
жения, чтобы дойти до первого, эти частные относятся между собой
как следующие величины: 1) единица, деленная на число предложе-
ний; 2) предыдущая величина, увеличенная на единицу, деленную
на число предложений без одного; 3) эта вторая величина, увели-
ченная на единицу, деленную на число предложений без двух, и т.д.
Написав эти величины на каждой записке рядом с предложениями,
к которым они относятся, и сложив соответственно все относящиеся
к одному и тому же предложению на различных записках, получим
суммы, своей величиной указывающие порядок и преимущество, ко-
торые собрание придает этим предложениям.

Скажем несколько слов о способе обновлять собрания, которые
целиком должны быть сменяемы через определенное число лет:
должно ли обновление совершиться сразу или же удобнее распреде-
лить его на эти годы? Следуя этому последнему способу, собрание со-
ставлялось бы под влиянием различных мнений, господствовавших
в то время, пока длилось его обновление; тогда мнение, которое будет
господствовать в нем, было бы, очень вероятно, средним из всех этих
мнений. Таким образом, собрание получило бы со временем такое же
преимущество, какое дает ему распространение выборов его членов
на все части территории, которую оно представляет. Если теперь при-
нять во внимание то, что опыт и показал слишком хорошо, а именно,
что выборы всегда направляются в самом преувеличенном смысле
господствующими взглядами, то мы увидим, как полезно умерять эти
взгляды одни другими, с помощью частичного обновления.

Глава XIII

О вероятности судебных приговоров

Анализ подтверждает то, что нам подсказывает простой здра-
вый смысл, а именно, что мягкость судебных приговоров тем более
вероятна, чем многочисленнее состав суда и просвещенные судьи.
Поэтому следовало бы, чтобы апелляционные суды удовлетворяли
этим двум условиям. Суды первой инстанции, более близкие к под-
судимым, представляют им выгоду первого приговора уже вероят-
ной, и они часто удовлетворяются им либо приходя к полюбовному
соглашению, либо отказываясь от своих претензий. Но если неуве-
ренность в предмете тяжбы и его значительность побуждают истца
прибегнуть к апелляционному суду, он должен находить в большей
вероятности получить справедливый приговор большую безопас-
ность для своего состояния и вознаграждение за хлопоты и расхо-
ды, которые влечет за собой новый процесс. Именно это и не имело
места в институте взаимной апелляции окружных судов (^пЪипаих
с!е с1ёраг1етеп1\ - институте, очень вредившем поэтому интересам
граждан. Быть может, следовало бы и согласовалось бы с исчисле-
нием вероятностей требовать большинства двух голосов, по крайней
мере в апелляционных судах для отмены приговора низшего суда.
Этот результат был бы достигнут, если бы при составе апелляцион-
ного суда из четного числа судей приговор имел силу в случае равен-
ства голосов.

Я буду рассматривать, в частности, приговоры по уголовным делам.

Без сомнения, судьям нужны, чтобы осудить обвиняемого, са-
мые сильные доказательства его преступления; но нравственное
доказательство есть всегда только вероятность, и опыт слишком
хорошо показал, какие ошибки возможны в уголовных приговорах,
даже тех, которые кажутся самыми справедливыми. Возможность
исправлять эти ошибки есть самый основательный аргумент фило-
софов, желавших отмены смертной казни. Мы должны были бы, та-
ким образом, воздерживаться от суда, если бы нам надо было ждать
математической очевидности. Но судить повелевает нам опасность,
которая проистекала бы от безнаказанности преступления. Этот суд
сводится, если не ошибаюсь, к решению следующего вопроса: имеет
ли доказательство проступка обвиняемого наивысшую степень веро-
ятности, необходимую для того, чтобы гражданам пришлось менее
опасаться ошибок суда, если обвиняемый невиновен и осужден, чем
его новых преступлений и преступлений тех несчастных, которых
поощрит пример его безнаказанности, если он виновен и оправдан?
Решение этого вопроса зависит от многих элементов, с большим
трудом поддающихся познанию: такова близость опасности, которая
угрожала бы обществу, если бы уголовный обвиняемый оставался
безнаказанным. Иногда эта опасность так велика, что магистрат ви-
дит себя принужденным отказаться от форм, разумно установлен-
ных для ограждения невиновности. Но что почти всегда делает во-
прос, о котором идет речь, неразрешимым, это невозможность точно
оценить вероятность проступка и установить вероятность, необхо-
димую для осуждения обвиняемого. Всякий судья в этом отношении
принужден обращаться к собственному такту: он составляет свое
мнение, сравнивая различные показания и обстоятельства, которы-
ми сопровождалось преступление, с результатами своих соображе-
ний и своего опыта, и в этом отношении долгий навык допрашивать
и судить обвиняемых дает большие преимущества, для того чтобы
уловить истину среди указаний, часто противоречивых.

Предыдущий вопрос зависит, кроме того, от размера наказания,
налагаемого за преступление, так как само собой разумеется, что
для смертного приговора требуются доказательства гораздо более
веские, чем для присуждения к аресту на несколько месяцев. Это яв-
ляется доводом в пользу соразмерности наказания с преступлением,
так как тяжкое наказание, будучи налагаемо за легкий проступок,
неизбежно должно заставлять оправдывать много виновных. Так как
произведение вероятности преступления на тяжесть его есть мера
опасности, которую может заставить испытать общество оправда-
ние подсудимого, то можно было бы думать, что наказание должно
зависеть от этой вероятности. Это косвенным образом и делается
в судах, где задерживают на некоторое время обвиняемого, против
которого имеются сильные улики, но недостаточные для его осужде-
ния. В надежде получить новые сведения его отнюдь не возвращают
немедленно в общество его сограждан, которые не могли бы видеть
его снова в своей среде без живейшего беспокойства. Однако произ-
вол этой меры и возможность злоупотребления ею заставили отбро-
сить ее в странах, где придают величайшую цену индивидуальной
свободе.

Теперь, какова вероятность того, что решение суда, который мо-
жет осудить только при данном большинстве, будет справедливо,
т.е. будет соответствовать истинному решению вышепоставленного
вопроса? Эта важная задача, будучи хорошо разрешена, дает сред-
ство сравнивать между собой различные суды. Большинство одно-
го только голоса при многочисленном составе суда указывает, что
рассматриваемое дело по меньшей мере сомнительно. Осуждение
обвиняемого противоречило бы в этом случае принципам гуманно-
сти, ограждающим невиновность. Единодушие судей дало бы очень
большую вероятность для справедливости решения; но при его обя-
зательности слишком много виновных было бы оправдано. Следует
поэтому или ограничить число судей, если желательно, чтобы они
были единодушны, или увеличить большинство, необходимое для
осуждения когда состав суда становится более многочисленным.
Я попытаюсь применить исчисление к этому предмету, будучи убе-
жден, что оно всегда является лучшим руководителем, когда опира-
ется на данные, подсказываемые нам здравым смыслом.

Вероятность того, что мнение каждого судьи справедливо, вхо-
дит, как главный элемент, в это исчисление. Эта вероятность, оче-
видно, относительна в каждом деле. Если в суде, состоящем из 1001
судьи, 501 одного мнения и 500 - противоположного, то очевидно,
что вероятность справедливости мнения каждого судьи превышает
| на очень небольшую величину, ибо при предположении, что она
значительно больше, разница на один только голос была бы собы-
тием невероятным. Но если судьи все согласны, то это указывает,
что сила улик достигает степени, которая влечет за собой убежден-
ность: вероятность мнения каждого судьи очень близка тогда к еди-
нице, или достоверности, если только какие-нибудь общие страсти
или предубеждения не введут в заблуждение сразу всех судей. Поми-
мо этих случаев, отношение голосов за и против обвиняемого одно
должно определять эту вероятность. Я предполагаю, таким образом,
что она может меняться от | до единицы, но что она не может быть
ниже \. Если бы это было не так, то решение суда имело бы так
же мало значения, как жребий; оно имеет цену постольку, поскольку
мнение судьи более склонно к истине, чем к заблуждению. С помо-
щью отношения числа голосов, благоприятствующих обвиняемому,
к неблагоприятствующим я определяю затем вероятность справед-
ливости мнения судьи.

Этих данных достаточно, чтобы иметь общее выражение ве-
роятности того, что решение суда, судящего известным большин-
ством, справедливо. В суде, в котором при восьми судьях необходи-
мы были бы пять голосов для осуждения обвиняемого, вероятность
возможной ошибки в справедливости решения превысила бы ±.
Если бы состав суда сводился к шести членам, которые могли бы
осудить лишь при большинстве четырех голосов, вероятность воз-
можной ошибки была бы ниже |; следовательно, для обвиняемо-
го было бы выгодно это уменьшение числа судей. В том и другом
случае требуемое большинство остается одно и то же и равно двум.
Таким образом, при этом остающемся постоянным большинстве ве-
роятность ошибки увеличивается с числом судей; это имеет место
вообще, каково бы ни было требуемое большинство, если только
оно остается одним и тем же. Если примем за правило арифметиче-
ское отношение, то обвиняемый будет находиться все в менее и ме-
нее выгодном положении, по мере того как состав суда становится
многочисленнее. Можно было бы подумать, что так как в суде, где
требовалось бы большинство 12 голосов, каково бы ни было число
судей, голоса меньшинства нейтрализовали бы такое же число голо-
сов большинства, остающиеся 12 голосов указывали бы на едино-
душие суда присяжных из 12 членов, которое в Англии необходимо
для осуждения обвиняемого; однако это было бы большой ошибкой:
здравый смысл указывает нам, что есть разница между решением
суда из 212 судей, из которых 112 осуждают обвиняемого, в то время
как сто его оправдывают, и решением суда из 12 судей, единогласно
стоящих за осуждение. В первом случае 100 голосов, благоприятных
для обвиняемого, дают право думать, что улики далеко не достигли
той степени, которая влечет за собой убеждение; во втором случае
единогласие судей побуждает верить, что они достигли этой степе-
ни. Но одного здравого смысла вовсе не достаточно, чтобы оценить
крайнюю разницу вероятности ошибки в этих двух случаях; тогда
следует прибегнуть к исчислению, и получится приблизительно |
для вероятности ошибки в первом случае и лишь Для эт°й ве"
роятности во втором случае, - вероятности, которая не равна и
первой. Это является подтверждением того принципа, что арифме-
тическое отношение невыгодно для обвиняемого, когда число судей
увеличивается. Наоборот, если возьмем за правило геометрическое
отношение, вероятность ошибки решения уменьшается, когда чис-
ло судей увеличивается. Например, в судах, которые могут осуждать
только большинством | голосов, вероятность возможной ошибки
почти равна |, если число судей равно шести; она ниже |, если это
число доходит до 12. Таким образом, не следует придерживаться ни
арифметического, ни геометрического отношения, если мы желаем,
чтобы вероятность ошибки не была никогда ни выше, ни ниже опре-
деленной дроби.

Но какая дробь должна быть установлена? Здесь-то и начинается
произвол, и судебные учреждения представляют в этом отношении
большое разнообразие. В специальных судах (рпЪипаих зрёсгаих),
где пяти голосов из восьми достаточно для осуждения обвиняемо-
го, вероятность ошибки, которой можно опасаться относительно
мягкости приговора, равна , или выше |. Величина этой дроби
ужасна; однако отчасти примиряющим должно являться то сообра-
жение, что чаще всего судья, который оправдывает обвиняемого, не
смотрит на него как на невинного: он только объявляет, что против
обвиняемого нет улик, достаточных для его осуждения. Особенно же
успокоительным является то, что здесь действует жалость, которую
природа вложила в сердце человека и которая располагает ум лишь
с трудом видеть в обвиняемом, подлежащем его суду, виновного. Это
чувство, более живое в тех, для кого уголовные приговоры - дело
непривычное, возмещает неудобства, связанные с неопытностью
присяжных. В суде присяжных из 12 членов, при большинстве, тре-
буемом для осуждения, в восемь голосов из 12, вероятность ошиб-
ки, которой можно опасаться, равна , или немного более |; она
будет равна приблизительно если это будет большинство девяти
голосов. В случае единогласного решения вероятность возможной
ошибки равна > т-е- более чем в тысячу раз меньше, чем в наших
судах присяжных. Здесь предполагается, что единогласное решение
вытекает исключительно из улик, благоприятствующих или неблаго-
приятствующих обвиняемому; но совершенно посторонние мотивы
должны часто способствовать его появлению, когда его ставят суду
присяжных как необходимое условие приговора. Тогда эти решения,
как зависящие от темперамента, характера и привычек присяжных,
иногда противоречат решениям, которые приняло бы большинство
присяжных, если бы оно руководилось одними уликами; в этом за-
ключается, по-моему, большой недостаток такого способа судить.

Вероятность решений слишком слаба в наших судах присяжных,
и, по моему мнению, для достаточного ограждения невиновности сле-
дует требовать по крайней мере девяти голосов из 12.

Глава XIV

Таблицы смертности и средней продолжительности
жизни, браков и каких-либо ассоциаций

Способ составления таблиц смертности очень прост. Берут из
гражданских актов большое число людей, рождение и смерть ко-
торых указаны. Определяют, сколько из них умерло на первом году
жизни, сколько на втором и т.д. На основании предыдущего опреде-
ляют число лиц, остающихся в живых в начале каждого года, и за-
писывают это число в таблицу рядом с числом, указывающим год.
Так, рядом с нулем пишут число рождений, рядом с первым годом -
число детей, которым исполнился год; рядом со вторым годом-чис-
ло детей, которым исполнилось два года, и т.д. Но ввиду того, что
в течение двух первых лет жизни смертность очень велика, следует
для большей точности указывать в этом первом возрасте число оста-
ющихся в живых к концу каждого полугодия.

Если разделить сумму лет жизни всех лиц, внесенных в таблицу
смертности, на число этих лиц, то получится средняя продолжитель-
ность жизни, соответствующая этой таблице. Для этого надо умно-
жить на полгода число умерших в течение первого года, число, рав-
ное разности чисел лиц, записанных рядом с годами 0 и 1: так как их
смертность должна быть распределена на весь год, то средняя про-
должительность их жизни равна только полу году. Надо умножить
на полтора года число умерших в течение второго года, на два с по-
ловиной года-число умерших в течение третьего года, и т.д. Сум-
ма этих произведений, деленная на число рождений, будет средней
продолжительностью жизни. Отсюда легко заключить, что эта про-
должительность получится, если составить сумму чисел, записан-
ных в таблице рядом с каждым годом, разделить ее на число рожде-
ний и вычесть половину частного; при этом год берется за единицу.
Средняя продолжительность того, что остается прожить, начиная
с некоторого возраста, определяется тем же самым способом, с по-
мощью тех же операций над числом лиц, достигших этого возраста,
которые только что были произведены над числами рождений. Сред-
няя продолжительность жизни больше всего не в момент рождения,
а тогда, когда человек избежал опасностей первого детства, и в этом
случае она равна приблизительно 43 годам. Вероятность достиже-
ния какого-либо возраста, исходя из данного, равна отношению двух
чисел, указывающих, сколько лиц этого возраста в таблице.

Точность этих результатов требует, чтобы при составлении таб-
лиц было принято в расчет очень большое число рождений. Ана-
лиз дает тогда очень простые формулы для оценки вероятности, что
уклонения от истины чисел, указанных в этих таблицах, заключены
в тесных пределах. Из этих формул становится очевидным, что про-
межуток между пределами уменьшается, а вероятность увеличива-
ется, по мере того как рассматривается все большее число рождений;
так что таблицы точно выразили бы истинный закон смертности,
если бы число рождений, принятых в расчет, стало бесконечным.

Таблица смертности представляет из себя, следовательно, табли-
цу вероятностей человеческой жизни. Отношение лиц, записанных
рядом с каждым годом, к числу рождений есть вероятность, что но-
ворожденное дитя доживет до этого года. Подобно тому как числовое
значение ожидания определяется посредством составления суммы
произведений каждого ожидаемого блага на вероятность его получе-
ния, и среднюю продолжительность жизни можно вычислить посред-
ством сложения произведений каждого года на полусумму вероятно-
стей дожить до начала и конца его, что приводит к тому результату,
который мы нашли раньше. Но этот взгляд на среднюю продолжи-
тельность жизни имеет то преимущество, что он позволяет заметить,
что в постоянном населении, т.е. таком, в котором число рождений
равно числу смертных случаев, средняя продолжительность жизни
является именно отношением населения к годичным рождениям; ибо
при предположении, что население остается постоянным, число лиц
того возраста, который заключается между двумя последовательны-
ми годами таблицы, равно числу годичных рождений, умноженному
на полусумму вероятностей дожить до этих лет. Сумма всех этих про-
изведений и будет все население. Но легко убедиться, что эта сумма,
деленная на число годичных рождений, совпадает со средней продол-
жительностью жизни, какой она является по нашему определению.

При помощи таблицы смертности легко составить соответству-
ющую таблицу населения, которое предполагается постоянным. Для
этого берут средние арифметические чисел таблиц смертности, соот-
ветствующих возрастам нуль и один год, один и два года, два и три
и т.д. Сумма всех средних арифметических и есть все население; его
записывают рядом с возрастом ноль. Из этой суммы вычитают пер-
вое среднее арифметическое, а остаток есть число лиц одного года
и больше; его пишут рядом с первым годом. Из этого первого остатка
вычитают второе среднее арифметическое; этот второй остаток есть
число лиц двух лет и больше; его пишут рядом со вторым годом и т.д.

Столько непостоянных причин влияет на смертность, что табли-
цы, ее представляющие, должны меняться, смотря по месту и вре-
мени. Разные состояния жизни представляют в этом отношении зна-
чительные различия относительно изнурительности и опасностей,
неразлучных с каждым состоянием, которые необходимо принимать
в расчет при вычислениях, основанных на продолжительности жиз-
ни; но различия эти еще недостаточно исследованы; когда-нибудь
это будет достигнуто, тогда станет известным, какой жертвы требу-
ет каждая профессия от жизни, и этим знанием воспользуются для
уменьшения опасностей.

В большей или меньшей степени здоровая почва, высота ее, ее
температура, нравы жителей и мероприятия правительств имеют
сильное влияние на смертность; но отысканию причины замеченных
различий следует всегда предпосылать определение вероятности,
с какой эта причина может иметь место. Так, отношение населения
к годичным рождениям, по наблюдениям возраставшее во Франции
до 28не достигает и 25 в прежнем Миланском герцогстве. Эти от-
ношения, оба установленные на основании большого числа рожде-
ний, не позволяют сомневаться в существовании особой причины
смертности в Милане, которую правительству этой страны надлежит
отыскать и уничтожить.
Отношение населения к рождениям возросло бы еще более,
если бы удалось ослабить или уничтожить некоторые опасные
и очень распространенные болезни. Этого удалось достигнуть от-
носительно оспы, сперва при помощи прививки этой болезни, а по-
том гораздо более удачным способом - прививкой вакцины,-неоце-
нимого открытия Дженнера, сделавшего его одним из благодетелей
человечества.

К особенностям оспы принадлежит то, что один и тот же человек
не заболевает ею два раза, или по крайней мере случаи эти так редки,
что с ними можно не считаться. Эта болезнь, которой очень немногие
избегали до открытия вакцины, часто оканчивается смертью и губит
приблизительно каждого седьмого человека из тех, кого она пора-
жает. Иногда она встречается в легкой форме, и опыт показал, что
ей можно придать этот последний характер, прививая ее здоровым
людям, подготовленным хорошим режимом, в благоприятное время
года. Тогда отношение лиц, погибших от нее, к тем, которым была
сделана прививка, не достигает и . Это большое преимущество
прививки в соединении с тем, что она не портит красоты и предо-
храняет от неприятных последствий, которые часто имеет натураль-
ная оспа, заставило многих признать ее. Применение ее горячо ре-
комендовалось; но, как почти всегда бывает с тем, что представляет
неудобства, она вызвала горячее противодействие. В этом споре Да-
ниил Бернулли намеревался подвергнуть исчислению вероятностей
влияние прививки на среднюю продолжительность жизни. Так как
у него не было точных данных о смертности от оспы в различных
возрастах, то он предположил, что опасность заболеть этой болез-
нью и погибнуть от нее одинакова для всех возрастов. С помощью
этих предположений ему удалось путем тонкого анализа преобра-
зовать обыкновенную таблицу смертности в такие, которые имели
бы место, если бы оспа не существовала или была смертельна лишь
для очень небольшого числа больных; он вывел заключение, что
прививка оспы увеличила бы по крайней мере на три года среднюю
продолжительность жизни, что, как ему казалось, ставит вне всякого
сомнения пользу этой меры. Д’Аламбер оспаривал анализ Бернул-
ли, во-первых, на основании недостоверности этих двух гипотез,
во-вторых, на основании недостаточности его, ибо в него совсем
не входило сравнение будущей опасности, хотя и очень небольшой,
погибнуть от прививки, с гораздо большей, но и более отдаленной,
опасностью умереть от натуральной оспы. Это соображение, исче-
зающее, когда рассматривается большое число людей, безразлично
поэтому для правительств, и для них остается в силе польза привив-
ки; но оно имеет большой вес для отца семейства, который, делая
своим детям прививку, должен бояться, что скоро будет свидетелем
гибели самого дорогого для него на свете и что он сам будет причи-
ной этого. Многих родителей удерживала эта боязнь, которую, к сча-
стью, рассеяло открытие вакцины. Это одна из тайн, часто представ-
ляемых для нас природой, что вакцина является таким же верным
предохранительным средством, как и оспенный яд; кроме того, она
не представляет никакой опасности, не подвергает никакой болезни
и требует очень небольшого ухода; поэтому она и получила быстро
широкое распространение, и для того, чтобы оно стало всеобщим,
остается только преодолеть естественную косность народа, с кото-
рой приходится бороться постоянно, даже в тех случаях, когда дело
касается его самых дорогих интересов.

Простейший способ вычисления выгоды, которую принесло бы
уничтожение какой-либо болезни, состоит в том, чтобы определить
путем наблюдений число лиц известного возраста, которые каждый
год гибнут от нее, и вычесть его из числа всех умирающих в этом
возрасте. Отношение этой разности к общему числу лиц данного
возраста было бы вероятностью умереть в продолжение года в этом
возрасте, если бы этой болезни не существовало. Следовательно,
если составить сумму таких вероятностей от рождения до некоторо-
го возраста и вычесть эту сумму из единицы, то остаток будет веро-
ятностью прожить до этого возраста при уничтожении этой болезни.
Ряд таких вероятностей будет таблицей смертности при этой гипо-
тезе, и из нее можно вывести на основании предыдущего среднюю
продолжительность жизни. Этим способом Дювилар нашел, что уве-
личение средней продолжительности жизни, которым мы обязаны
прививке вакцины, равно по крайней мере трем годам. Столь значи-
тельное увеличение вызвало бы очень большое приращение населе-
ния, если бы, с другой стороны, это приращение не ограничивалось
соответственной убылью средств существования.

Недостаток в средствах существования главным образом задер-
живает поступательное движение населения. Во всех видах живот-
ных и растений природа непрерывно стремится увеличивать число
особей до тех пор, пока оно не будет в уровне со средствами суще-
ствования; в роде человеческом нравственные причины имеют боль-
шое влияние на население. Если почва, благодаря легкости разра-
ботки, может доставлять обильное пропитание новым поколениям,
то уверенность в возможности прокормить многочисленную семью
поощряет браки и делает их более ранними и плодовитыми. На по-
добной почве население и рождения должны оба возрастать в геоме-
трической прогрессии. Но когда распашка становится более трудной
и редкой, рост населения уменьшается: оно непрерывно приближа-
ется к меняющемуся состоянию средств существования, совершая
около него колебания; подобно тому как маятник, точку привеса ко-
торого передвигают замедленным движением, качается около этой
точки от своей тяжести. Трудно определить тахгтит приращения
населения. По некоторым наблюдениям, род человеческий мог бы,
по-видимому, при благоприятных обстоятельствах удваиваться каж-
дые 15 лет. Полагают, что в Северной Америке период этого удвоения
равен 22 годам. При таком положении вещей население, рождения,
браки, смертность - все возрастает в той геометрической прогрес-
сии, постоянное отношение последовательных членов которой по-
лучается из наблюдений над годичными рождениями в две эпохи.

Так как таблица смертности представляет вероятности человече-
ской жизни, то с ее помощью можно определить продолжительность
браков. Предположим для простоты, что смертность одинакова для
обоих полов; мы получим вероятность, что брак продолжится год,
два года, три года и т.д., если составим ряд дробей, общий знаме-
натель которых был бы произведением двух чисел таблицы, соот-
ветствующей возрастам лиц, сочетавшихся браком, а числители
которых были бы последовательными произведениями чисел, соот-
ветствующих этим возрастам, увеличенных на один, на два, на три
и т.д. года. Сумма этих дробей, увеличенная на половину, будет сред-
ней продолжительностью брака, если год взят за единицу. Легко рас-
пространить то же самое правило на среднюю продолжительность
товарищества, состоящего из трех или большего числа лиц.

Глава XV

О выгодах, предоставляемых учреждениями,
основанными на вероятности событий

Припомним здесь то, что мы сказали, говоря об ожидании. Мы
видели, что для получения выгоды, вытекающей из нескольких про-
стых событий, из которых одни приносят прибыль, а другие - убы-
ток, надо сложить произведения вероятности каждого благоприят-
ного события на прибыль, приносимую им, и вычесть из их суммы
сумму произведений вероятности каждого неблагоприятного собы-
тия на убыток, связанный с ним. Но какова бы ни была прибыль, вы-
раженная разностью этих сумм, одно сложное событие, состоящее
из этих простых, еще не ограждает от боязни потерпеть действи-
тельный убыток. Очевидно, что эта боязнь должна уменьшаться,
когда сложное событие повторяется. Анализ вероятностей приводит
к следующей общей теореме.

От повторения выгодного события, простого или сложного, дей-
ствительная выгодность становится все более и более вероятной
и растет беспрерывно: она делается достоверной при предположе-
нии бесконечного числа повторений; и, деля ее на это число, полу-
чим частное, или среднюю выгодность каждого события, которая
и будет математическим ожиданием, или выгодой, соответствующей
этому событию. То же самое касается и убытка, который делается со
временем достоверным, если только событие невыгодно.

Эта теорема о выгодах и потерях аналогична теоремам, данным
нами раньше об отношениях, которые обнаруживаются при неопре-
деленном повторении простых или сложных событий; и, подобно
им, она подтверждает, что правильность устанавливается в конце
концов даже в вещах, наиболее подчиненных тому, что мы называем
случаем.

Когда число событий очень велико, анализ дает еще одно очень
простое выражение вероятности того, что действительная выгод-
ность будет заключаться в определенных пределах,- выражение,
входящее в общий закон о вероятности, который был нами дан выше,
когда мы говорили о вероятностях, вытекающих из неопределенного
увеличения числа событий.

От истинности предшествующей теоремы зависит прочность уч-
реждений, основанных на вероятностях. Но для того, чтобы можно
было применять ее к ним, нужно, чтобы эти учреждения многочис-
ленностью предприятий умножали выгодные события.

На вероятностях человеческой жизни основаны были различ-
ные учреждения, таковы, например, пожизненные ренты и тонтины.
Самый общий и самый простой метод исчисления выгод и расходов
этих учреждений состоит в том, чтобы свести их к современной
стоимости капиталов. Ежегодный прирост единицы есть так назы-
ваемая процентная такса. К концу каждого года каждый капитал
приобретает множителем единицу плюс процентная такса; он воз-
растает, следовательно, в геометрической прогрессии, знаменателем
отношения которой и будет этот множитель. Таким образом, с тече-
нием времени он делается громадным. Если, например, процентная
такса равна или пяти на 100, то капитал удваивается приблизи-
тельно через 14 лет, учетверяется через 29 лет, и меньше чем через
три столетия он увеличивается в два миллиона раз.
Благодаря такому поразительному росту возникла мысль ис-
пользовать его для погашения государственного долга. Если создать
первый фонд погашения, который будет непрерывно, вместе с про-
центами, помещаем в общественные предприятия, особенно при
использовании моментов понижения, и если в тех случаях, когда
нужды государства требуют займа, пожертвовать частью его ради
увеличения фонда погашения, то очевидно, что эти операции будут
иметь двойную выгоду увеличения этого фонда и поддержки кре-
дита и общественных предприятий и что касса погашения поглотит
со временем большую часть государственного долга. Удачные опы-
ты вполне подтвердили эту выгоду. Но честность в обязательствах
и стойкость, столь необходимые для успеха подобных учреждений,
могут быть вполне гарантированы только таким правительством,
в котором законная власть подразделена на несколько властей не-
зависимых. Доверие, внушаемое неизбежным соревнованием этих
властей, удваивает могущество государства, и даже глава его выи-
грывает в закономерной власти гораздо больше, чем теряет в само-
властии.

Из предыдущего следует, что современная стоимость капитала,
равносильная сумме, которая должна быть уплачена только по про-
шествии известного числа лет, равна этой сумме, умноженной на
вероятность, что она будет уплачена в этот срок, и деленной на еди-
ницу, увеличенную на процентную таксу и возведенную в степень,
выраженную числом этих лет.

Легко применить этот принцип к пожизненным рентам для од-
ного или нескольких лиц и к сберегательным кассам и страхованиям
всякого рода. Предположим, что мы желаем составить таблицу по-
жизненных рент по данной таблице смертности. Пожизненная рента,
подлежащая уплате по прошествии пяти лет, например, и сведенная
к современной стоимости, равна, согласно этому принципу, произ-
ведению двух следующих величин, а именно: ренты, деленной на
пятую степень единицы, увеличенной на процентную таксу, и веро-
ятности того, что она будет уплачена. Эта вероятность равна обрат-
ному отношению числа лиц, внесенных в таблицу против возраста
того лица, для которого устанавливается рента, к числу, внесенному
против этого возраста, увеличенного на пять лет. Составляя ряд дро-
бей, знаменатели которых были бы произведениями числа лиц, ука-
занных в таблице смертности еще живущими в возрасте того лица,
для которого устанавливается рента, на последовательные степени
единицы, увеличенной на процентную таксу, а числители были бы
произведениями ренты на число лиц, еще живущих, того же возрас-
та, увеличенное последовательно на год, на два и т.д., получим выра-
женный суммой этих дробей капитал, требуемый для пожизненной
ренты в этом возрасте.

Предположим теперь, что кто-либо желает посредством пожиз-
ненной ренты обеспечить своих наследников капиталом, подлежа-
щим уплате к концу года его смерти. Чтобы определить величину
этой ренты, можно представить себе, что это лицо занимает пожиз-
ненно в какой-либо кассе этот капитал, деленный на единицу, увели-
ченную на процентную таксу, и помещает его на вечные проценты
в ту же самую кассу. Ясно, что этот капитал будет долгом кассы на-
следникам этого лица к концу года его смерти; но оно уплачивало
ежегодно только излишек пожизненных процентов над вечными. Та-
блица пожизненных рент укажет поэтому, сколько это лицо должно
платить ежегодно в кассу, чтобы после его смерти этот капитал был
обеспечен.

Страхования морские, от пожаров и от бури и вообще все уста-
новления этого рода исчисляются на основании тех же принципов.
Купец имеет на море суда и желает застраховать их стоимость и сто-
имость их груза от опасностей, которым они могут подвергнуться;
с этой целью он вручает известную сумму какому-либо обществу,
которое отвечает согласно оценке за стоимость его груза и судов.
Отношение этой стоимости к сумме, которую следует заплатить
в качестве премии страхования, зависит от опасностей, которым
подвергаются суда, и может быть оценено не иначе как посредством
многочисленных наблюдений над судьбой судов, отправившихся из
порта по тому же назначению.

Если бы застрахованные лица платили страховому обществу толь-
ко сумму, указанную исчислением вероятностей, то это общество не
могло бы нести расходов, связанных с его учреждением; необходимо
поэтому, чтобы они платили более высокую премию страхования.
Но какова в таком случае их выгода? Здесь становится необходимым
рассмотрение нравственной невыгоды, связанной с неизвестностью.
Понятно, что если самая справедливая игра становится невыгодной,
как мы раньше видели, потому что игрок меняет верную ставку на
неверный выигрыш, страхование, в котором неверное меняется на
верное, должно быть выгодно. И это действительно вытекает из пра-
вила, данного нами выше для определения нравственного ожидания,
из которого, кроме того, явствует, как далеко может простираться та
жертва, которую должно принести страховому обществу, продолжая
сохранять нравственную выгоду. Общество это может, следователь-
но, доставляя эту выгоду, и само получить большую прибыль, если
число застрахованных лиц очень значительно,- условие, необходи-
мое для прочности его существования. В этом случае выгода его де-
лается достоверной, а математическое ожидание совпадает с нрав-
ственным; ибо анализ приводит к следующей общей теореме: если
число ожидаемых благ очень велико, то оба ожидания непрерывно
приближаются друг к другу и, наконец, совпадают, когда число этих
благ бесконечно велико.

Говоря об ожиданиях математическом и нравственном, мы по-
лагали, что есть нравственная выгода в распределении риска ожи-
даемого блага на отдельные его части. Так, чтобы перевезти из от-
даленного порта некоторую сумму, лучше распределить ее между
несколькими судами, чем поместить на одно. Это и достигается
при помощи взаимного страхования. Если два лица, имеющие по
одинаковой сумме на двух различных судах, вышедших из одного
и того же порта к месту назначения, согласятся разделить поровну
все деньги, которые они получат, то ясно, что по этому соглашению
каждое из этих лиц распределяет поровну на оба судна ожидаемую
им сумму. Правда, такого рода страхование все еще оставляет место
неизвестности относительно потери, которой можно опасаться. Но
эта неизвестность уменьшается по мере того, как число участников
увеличивается: нравственная выгода растет все более и более и, на-
конец, совпадает с математической своим естественным пределом.
Благодаря этому товарищества взаимного страхования, когда они со-
стоят из очень большого числа лиц, выгоднее для страхователей, чем
страховые общества, которые из-за получаемой ими прибыли нрав-
ственную выгоду предоставляют всегда меньшую математической.
Все эти результаты независимы, как мы раньше видели, от закона,
выражающего нравственную выгоду.

Можно рассматривать свободный народ как большую ассоциа-
цию, члены которой взаимно поручились за свое имущество, неся
пропорциональные расходы по этому поручительству. Конфедера-
ция нескольких народов доставила бы каждому из них преимуще-
ства, подобные тем, которые каждый человек извлекает, живя в об-
ществе. Конгресс из их представителей мог бы обсуждать вопросы,
одинаково важные для всех, и тогда, без сомнения, система веса, мер
и монет, предложенная французскими учеными, была бы принята
этим конгрессом как одно из полезнейших мероприятий в коммер-
ческих отношениях.

Из учреждений, основанных на вероятностях человеческой жиз-
ни, лучшие - это те, в которых, жертвуя небольшой частью своего
дохода, можно обеспечить существование свое и своей семьи на то
время, когда можно опасаться, что не будет хватать средств на удов-
летворение своих нужд. Насколько игра безнравственна, настолько
же эти учреждения улучшают нравы, благоприятствуя самым неж-
ным естественным привязанностям. Правительство должно поэтому
поощрять их и щадить в превратностях общественного достояния,
ибо вследствие того, что предоставляемые ими ожидания относятся
к отдаленному будущему, они могут процветать, только будучи за-
щищены от каких бы то ни было опасений за их прочность. Одно из
преимуществ представительного правления и состоит в том, что оно
дает эту гарантию.

Скажем несколько слов о займах. Ясно, что для того, чтобы сде-
лать вечный заем, надо платить ежегодно сумму, равную произведе-
нию капитала на процентную таксу. Но можно пожелать погасить
этот капитал равными платежами в течение определенного числа
лет, - платежами, которые называются аннуитетами и величина
которых получается таким образом: каждый аннуитет, чтобы быть
сведенным к настоящему моменту, должен быть разделен на степень
единицы, увеличенной на процентную таксу, причем показатель сте-
пени равен числу лет, по прошествии которых этот аннуитет дол-
жен быть уплачен. Составляя геометрическую прогрессию, первый
член которой равен аннуитету, деленному на единицу, увеличенную
на процентную таксу, а последний - этому аннуитету, деленному на
ту же величину, возведенную в степень, равную числу лет, в тече-
ние которых должна производиться уплата, получим, что сумма этой
прогрессии будет равносильна занятому капиталу, что и определяет
величину аннуитета. Если желают заключить пожизненный заем, то
не трудно видеть, что простая пропорция укажет, какую ренту сле-
дует уплачивать тому лицу, у которого занимают капитал, если обра-
тить внимание, что таблицы пожизненных рент указывают капитал,
необходимый для установления пожизненной ренты для какого бы
то ни было возраста. С помощью этих принципов можно вычислить
все возможные виды займа.

Глава XVI

Об иллюзиях в оценке вероятностей

Ум имеет свои иллюзии, как чувство зрения; и подобно тому,
как осязание исправляет эти последние, рассуждение и исчисление
исправляют первые. Вероятность, основанная на ежедневном опыте
или преувеличенная страхом и надеждой, поражает нас более, чем
вероятность высшая, но являющаяся простым результатом исчисле-
ния. Так, мы совсем не боимся из-за незначительной выгоды подвер-
гать свою жизнь опасностям, гораздо менее невероятным, чем выход
квины во Французской лотерее; и в то же время никто не пожелал бы
добиваться той же выгоды при уверенности лишиться жизни в слу-
чае выхода этой квины.

Наши страсти, наши предрассудки и господствующие взгляды,
преувеличивая благоприятствующие им вероятности и уменьшая
противоположные, являются обильными источниками опасных ил-
люзий.

Настоящее зло и причина, порождающая его, действуют на нас
гораздо сильнее, чем воспоминания о зле, причиненном противопо-
ложной причиной; оно мешает нам справедливо оценить недостатки
того и другого и вероятность тех средств, которые могли бы предо-
хранить нас от них. Это и толкает поочередно к деспотизму и к анар-
хии народы, вышедшие из состояния покоя, к которому они и возвра-
щаются всегда лишь после долгих и жестоких волнений.

То живое впечатление, которое мы испытываем, присутствуя при
событиях, и которое едва позволяет нам замечать события противо-
положные, наблюденные другими, является одной из главных при-
чин заблуждений, от которых нельзя достаточно уберечься.

В игре преимущественно случается, что масса иллюзий питает
надежду и поддерживает ее против неблагоприятных шансов. Боль-
шинство людей, играющих в лотерею, не знают, сколько шансов в их
пользу и сколько противоположных. Они принимают во внимание
только возможность выиграть на маленькую ставку значительную
сумму и предположения, которыми их ребяческое воображение увели-
чивает в их глазах вероятность получения этой суммы: бедняк в осо-
бенности, воодушевленный стремлением к лучшей участи, подвер-
гает опасности этой игры свое необходимое, цепляясь даже за самые
неблагоприятные сочетания, обещающие ему большую выгоду. Без
сомнения, все испугались бы огромного числа проигранных ставок,
если бы могли его знать; но прилагаются старания, наоборот, к тому,
чтобы предать наибольшей гласности выигрыши, гласности, которая
становится новой причиной возбуждения в этой пагубной игре.

Когда во Французской лотерее какой-либо номер уже долгое вре-
мя не выходил, толпа спешит покрыть его ставками. Она считает,
что номер, долгое время не выходивший, должен при ближайшем
тираже выйти преимущественно перед другими. Подобная общая
ошибка, мне кажется, проистекает от иллюзии, которая невольно
переносит нас к началу событий. Например, очень мало правдопо-
добно, чтобы в игре в крест и решетку крест появился 10 раз подряд.
Это неправдоподобие, которое еще поражает нас в то время, как он
вышел девять раз, побуждает нас думать, что в 10-й раз появится
решетка. Между тем прошедшее, указывая на большую склонность
в монете к кресту, чем к решетке, делает первое из этих событий
более вероятным, чем второе: оно увеличивает, как мы видели, веро-
ятность появления креста при следующем бросании. Подобная ил-
люзия убеждает многих, что возможно выиграть наверное в лотерее,
помещая каждый раз на один и тот же номер до его выхода ставку,
выигрыш которой превышает сумму всех ставок. Но если бы даже
подобные спекуляции не прекращались часто вследствие невозмож-
ности поддерживать их, они все же не уменьшали бы математиче-
ского ожидания потери спекулянтов и увеличивали бы нравственное
ожидание их потери; потому что с каждым тиражом спекулянты ста-
вили бы все большую часть своего состояния.

Я видел, как люди, страстно желавшие иметь сына, с прискорби-
ем узнавали о рождениях мальчиков в том месяце, когда они долж-
ны были стать отцами. Воображая, что отношение этих рождений
к рождениям девочек должно быть одно и то же в конце всякого ме-
сяца, они считали, что уже рожденные мальчики делают более веро-
ятными ближайшие рождения девочек. Так, изъятие белого шара из
урны, содержащей ограниченное число шаров белых и черных, в дан-
ном отношении увеличивает вероятность изъятия черного шара при
следующем тираже. Но это перестает иметь место, когда число ша-
ров в урне безгранично, как должно предположить, чтобы уподобить
этот случай случаю этих рождений. Если в продолжение какого-либо
месяца родилось гораздо больше мальчиков, чем девочек, то можно
было бы подозревать, что около времени их зачатия какая-нибудь
общая причина благоприятствовала мужским зачатиям, что сделало
бы ближайшее рождение мальчика более вероятным. Неправильные
явления природы не могут быть в точности сравниваемы с выходом
номеров лотереи, в которой все номера перемешиваются в каждом
тираже так, чтобы сделать шансы их выхода совершенно равными.
Частота одного из этих явлений как будто указывает на причину, не-
которое время действовавшую, которая ему благоприятствовала, что
увеличивает вероятность его будущего повторения; и повторение
его, долго продолжавшееся, как, например, длинный ряд дождли-
вых дней, может раскрыть неизвестные причины его изменения, так
что при каждом ожидаемом явлении мы не возвращаемся, как при
каждом тираже лотереи, к одному и тому же состоянию неопреде лен-
ности относительно того, что должно случиться. Но по мере того, как
умножаются наблюдения над этими явлениями, сравнение их резуль-
татов с результатами лотерей становится более точным.

Благодаря иллюзии, противоположной предыдущим, отыски-
вают в прошедших тиражах Французской лотереи наиболее часто
выходившие номера, чтобы составить из них сочетания, на которые
рассчитывают выгодно поместить ставку. Однако ввиду того спосо-
ба, каким производится смешение номеров в этой лотерее, прошед-
шее не должно иметь никакого влияния на будущее. Более частый
выход одного какого-либо номера является только аномалией случая;
относительно многих из них я произвел вычисления, и я постоянно
находил, что они заключались в пределах, которые при предположе-
нии одинаковой возможности выхода всех номеров нельзя считать
неправдоподобными.

В длинном ряду однородных событий одни шансы случая иногда
должны быть причиной этих странных полос счастья или несчастья,
которые большинство игроков не преминет приписать некоторого
рода предопределению. Часто случается в играх, зависящих одно-
временно от случая и от ловкости игроков, что тот, кто проигрывает,
смущенный своим проигрышем, пытается наверстать его случайны-
ми ходами, ходами, которых он избегал бы в другом положении: этим
способом он усугубляет свое собственное несчастье и увеличивает
его продолжительность. Между тем именно тогда благоразумие ста-
новится необходимым и надлежит убедиться в том, что нравствен-
ное ожидание потери, связанное с неблагоприятными шансами, воз-
растает благодаря самому несчастью.

То чувство, из-за которого человек долгое время помещал себя
в центре Вселенной, считая себя предметом особых забот природы,
склоняет каждую отдельную личность представлять себя центром
более или менее широкого круга и верить, что случай ему окажет
предпочтение. Поддерживаемые этим взглядом, игроки часто ставят
значительные суммы в играх, шансы которых, как им известно, им не
благоприятствуют. В жизни подобный взгляд иногда может иметь свои
преимущества, но чаще всего он ведет к пагубным предприятиям.
Здесь, как и во всем, иллюзии опасны, и истина одна всегда полезна.

Одна из больших заслуг исчисления вероятностей - та, что оно
учит не доверять первым впечатлениям. Так как в тех случаях, ког-
да можно их подвергнуть исчислению, оказывается, что они часто
обманывают, то отсюда должно заключить, что и в других случаях
следует на них полагаться лишь с крайней осмотрительностью. До-
кажем это примерами.
Урна содержит четыре шара черных или белых, которые, однако,
не все одного цвета. Вынули один из шаров, белого цвета, и положи-
ли его обратно в урну, чтобы приступить снова к подобному же ти-
ражу. Спрашивается вероятность того, что при четырех следующих
тиражах будут появляться только черные шары.

Если бы число белых и черных шаров было одинаково, эта веро-
ятность была бы четвертой степенью вероятности изъятия черного
шара при каждом тираже; следовательно, она равнялась бы Но
изъятие белого шара при первом тираже указывает на преобладание
числа белых шаров в урне; ибо если предположить, что в урне три бе-
лых шара и один черный, то вероятность изъятия из нее белого шара
равна ; она равна , если предположить, что в ней два белых шара
и два черных; наконец, она сводится к |, если предположить, что
в урне три черных шара и один белый. Согласно принципу вероятно-
сти причин, извлеченной из опыта, вероятности этих трех предполо-
жений относятся между собой как количества |; следователь-
но, они равны |||. Таким образом, пять шансов против одного
за то, что число черных шаров уступает или, самое большее, равно
числу белых. Кажется, судя по изъятию белого шара при первом ти-
раже, что вероятность изъятия подряд четырех черных шаров должна
была бы быть меньше, чем в случае равенства обоих цветов, или ме-
нее . Между тем этого нет, и с помощью очень простого вычисле-
ния находим, что эта вероятность больше . В самом деле, она была
бы равна четвертой степени |при первом, втором и третьем
предыдущих предположениях относительно цвета шаров в урне. При
умножении соответственно каждой степени на вероятность соответ-
ствующего предположения, или на || и |, сумма произведений бу-
дет вероятностью изъятия подряд четырех черных шаров. Таким об-
разом, имеем для этой вероятности дробь, большую, чем . Это
противоречие объясняется, если примем во внимание, что указание
первого тиража на преобладание белых шаров над черными вовсе
не исключает преобладания черных шаров над белыми,- преоблада-
ния, исключаемого предположением равенства того и другого цвета.
А это преобладание, хотя мало правдоподобное, должно сделать ве-
роятность появления подряд данного числа черных шаров большей,
чем при последнем предположении, если данное число значительно;
и мы видим, что так и будет начиная с четырех.

Рассмотрим еще одну урну, содержащую несколько белых и чер-
ных шаров. Положим сперва, что в ней только один белый шар и один
черный. Тогда можно держать пари с равными шансами, что при од-
ном тираже вынут будет белый шар. Но кажется, что для равенства
пари следовало бы предоставить тому, кто ставит на изъятие белого
шара, два тиража, если урна содержит два черных шара и один бе-
лый; три тиража, если она содержит три черных шара и один белый,
и т.д.; предполагается, что после каждого тиража вынутый шар сно-
ва кладется в урну.

Однако легко убедиться, что это первое впечатление ошибочно.
В самом деле, в том случае, когда два черных шара приходятся на
один белый, вероятность изъятия из урны двух черных шаров при
двух тиражах равна второй степени у, или ; но эта вероятность,
сложенная с вероятностью появления белого шара при двух тира-
жах, есть достоверность, или единица, потому что достоверно из-
вестно, что должны появиться два черных шара или по крайней мере
один раз белый; вероятность этого последнего случая равна поэтому
- дроби, которая больше . Еще выгоднее было бы держать пари
за появление белого шара при пяти тиражах, когда урна содержит
пять черных шаров и один белый; это последнее пари выгодно даже
при четырех тиражах: оно сводится тогда к пари за вскрытие шестер-
ки при четырех бросаниях одной кости.

Кавалер де Мере, друг Паскаля и тот, кто дал начало исчисле-
нию вероятностей, побуждая этого великого геометра им заняться,
говорил ему, что он нашел неправильность в числах по следующей
причине: стараясь вскрыть шестерку при метании одной кости,
можно иметь выгодные шансы в отношении 671 к 625 при четырех
бросаниях. Если же задаться целью при метании двух костей по-
лучить 12, то право на 24 бросания дает невыгодные шансы. Тем
не менее 24 относится к 36, числу всех пар граней двух костей, как
4 к 6, числу граней одной кости. «Вот,-писал Паскаль Ферма,-в чем
была его большая досада, которая побудила его смело сказать, что
теоремы не постоянны и что арифметика сама себе противоречит...
Он обладает сильным умом, но он не геометр, а это, как вы знаете,
большой недостаток». Кавалер де Мере, введенный в заблуждение
ложной аналогией, полагал, что в случае равенства пари число бро-
саний должно возрастать пропорционально числу всех возможных
шансов, что хотя не точно, но приближается к точности тем более,
чем больше это число.

Пробовали объяснить преобладание рождений мальчиков над
рождениями девочек общим желанием отцов иметь сыновей, кото-
рые продолжают их имя. Так, представив себе урну, наполненную
бесконечным числом белых и черных шаров в одинаковом количе-
стве и предположив, что из большого числа лиц каждое вынимает
шар из этой урны и продолжает тираж с намерением остановиться,
когда им будет вынут белый шар, полагали, что это намерение долж-
но дать числу вынутых белых шаров преобладание над числом чер-
ных. В самом деле, после всех тиражей оно даст непременно число
белых шаров, по крайней мере равное числу лиц; и возможно, что
эти тиражи не дадут ни одного черного шара. Но легко убедиться,
что это воззрение-не что, иное как иллюзия, ибо если мы допустим,
что при первом тираже все лица сразу вынимают по шару из урны,
то очевидно, что их намерения не могут иметь никакого влияния на
цвет шаров, которые должны появиться при этом тираже. Его един-
ственным последствием будет исключение из второго тиража тех
лиц, которые вынули белые шары при первом тираже. Подобным же
образом очевидно, что намерения лиц, которые примут участие в но-
вом тираже, не повлияют на цвет шаров, которые появятся, и что то
же самое будет иметь место при следующих тиражах. Следователь-
но, это намерение совсем не повлияет на цвет шаров, вынутых при
всей совокупности тиражей; оно только приведет к участию больше-
го или меньшего числа лиц в каждом из них. Отношение вынутых
белых шаров к черным будет, таким образом, очень мало отличаться
от единицы. Откуда следует, предполагая число лиц очень большим,
если притом наблюдение дает между цветами вынутых шаров от-
ношение, значительно отличающееся от единицы, что очень вероят-
ным является существование почти того же самого различия между
единицей и отношением в урне белых шаров к черным.

К иллюзиям причисляю я также применение, которое Лейбниц
и Даниил Бернулли сделали из исчисления вероятностей к суммиро-
ванию рядов. Если мы разложим дробь, числитель которой единица,
а знаменатель единица плюс переменная, в ряд, расположенный по
степеням этой переменной, то легко убедиться, полагая переменную
равной единице, что дробь обращается в , а ряд становится рав-
ным плюс единица, минус единица, плюс единица, минус единица
и т.д. Складывая два первых члена, два следующих и т.д., мы пре-
образовываем этот ряд в другой, каждый член которого равен нулю.
Гранди, итальянский иезуит, вывел отсюда заключение относитель-
но возможности творения; ввиду того, что ряд всегда равен \, он
полагал, что эта дробь возникает из бесконечного числа нулей, или
из ничего. То же произошло и с Лейбницем. Он думал, что можно
видеть подобие творения в его двоичной арифметике, где он употре-
блял только два знака: ноль и единицу. Он думал, что единица могла
бы изображать Бога, а ноль - ничто и что Высшее Существо выве-
ло из ничего все существующее, подобно тому как единица с нулем
выражает все числа в арифметической системе. Эта идея настолько
понравилась Лейбницу, что он поделился ею с иезуитом Грималь-
ди, представителем кафедры математики в Китае, в надежде, что эта
эмблема творения обратит в христианство тогдашнего императора,
который особенно любил науки. Я упоминаю об этой черте для того
только, чтобы показать, до какой степени предрассудки детства мо-
гут вводить в заблуждение самых великих людей.

Лейбниц, все еще руководимый странной и очень развязной
метафизикой, считал, что ряд плюс единица, минус единица, плюс
единица и т.д. делается единицей или нулем в зависимости от того,
остановиться ли на нечетном или четном числе членов; и ввиду
того, что нет никакого повода предпочитать четное число нечетно-
му в бесконечности, должно, согласно правилам вероятностей, взять
половину результатов, которые относятся к этим двум родам чисел
и которые равны нулю и единице, что дает для числового значе-
ния ряда. Даниил Бернулли распространил затем это рассуждение
на суммирование рядов, составленных из периодических членов. Но
все эти ряды, собственно говоря, не имеют числового значения: они
его получают только в том случае, когда их члены умножаются на
последовательные степени какой-либо переменной, меньшей едини-
цы. В этом случае эти ряды всегда являются сходящимися, как бы ни
была мала предполагаемая разница между переменной и единицей;
и легко доказать, что числовые значения, определенные Бернулли
на основании теории вероятностей, являются именно числовыми
значениями дробей, образующих ряды, когда переменная в этих
дробях предполагается равной единице. Эти числовые значения яв-
ляются также пределами, к которым все более и более приближа-
ются ряды, по мере того как переменная приближается к единице.
Но когда переменная как раз равна единице, ряды перестают быть
сходящимися; они имеют числовое значение постольку, поскольку
их прерывают. Замечательное отношение этого применения исчис-
ления вероятностей к пределам числовых значений периодических
рядов предполагает, что члены этих рядов умножены на все после-
довательные степени переменной. Но эти ряды могут вытекать из
разложения бесконечного числа различных дробей, в которых это не
имеет места. Так, ряд плюс единица, минус единица, плюс едини-
ца и т.д. может возникнуть из разложения дроби, числитель которой
равен единице плюс переменная, а знаменатель равен этому числи-
телю, увеличенному на квадрат переменной. Предполагая перемен-
ную равной единице, это разложение превращается в заданный ряд
и образующая дробь делается равной |; правила вероятностей дали
бы тогда ложные результаты, что доказывает, как опасно было бы
применять подобные рассуждения, особенно в математических нау-
ках, которые должны в высшей степени отличаться точностью своих
методов.

Мы, естественно, склонны думать, что порядок, по которому, как
мы видим, все на Земле возобновляется, всегда существовал и будет
существовать. В самом деле, если бы настоящее состояние Вселен-
ной совершенно походило на предшествующее, из которого оно воз-
никло, то оно породило бы, в свою очередь, подобное же состояние.
Смена этих состояний тогда была бы вечной. Посредством приме-
нения анализа к закону всемирного тяготения я узнал, что движения
вращения и возмущения планет и спутников и положения их орбит
и экваторов подчинены только периодическим неравенствам. Срав-
нивая теорию векового уравнения Луны с древними затмениями,
я нашел, что со времени Гиппарха продолжительность дня не изме-
нилась и на сотую долю секунды и что средняя температура Земли
не уменьшилась и на сотую долю градуса. Таким образом, постоян-
ство настоящего состояния как будто устанавливается одновременно
теорией и наблюдениями. Но это состояние нарушается различными
причинами, которые внимательное рассмотрение позволяет заме-
тить и которые невозможно подвергнуть исчислению.

Действия океана, атмосферы и метеоров, землетрясения и извер-
жения вулканов колеблют беспрестанно земную поверхность и со
временем должны в ней производить значительные изменения.
Температура климатов, объем атмосферы и отношение газов, ее
составляющих, могут изменяться незаметно. При новизне инстру-
ментов и средств, годных для определения этих изменений, наблю-
дение не могло до сих пор ничему нас научить в этом отношении.
Однако весьма мало правдоподобно, чтобы причины поглощения
и восстановления газов, составляющих наш воздух, поддерживали
в точности их соответственные количества. Длинный ряд веков дает
возможность познать изменения, испытываемые всеми этими эле-
ментами, столь существенными для сохранения организованных су-
ществ. Хотя исторические памятники не восходят к самой глубокой
древности, они все-таки указывают довольно большие изменения,
последовавшие от медленного и продолжительного действия есте-
ственных агентов.

Проникая в недра Земли, открывают многочисленные остатки
природы, некогда существовавшей и совершенно отличной от на-
стоящей природы. Кроме того, если вся Земля первоначально была
жидкой, как все, по-видимому, указывает, то понятно, что при пе-
реходе из этого состояния к тому, в котором она находится теперь,
поверхность ее должна была испытать громадные изменения. Даже
небо, несмотря на порядок в своих движениях, не неизменно. Со-
противление света и других эфирных жидкостей и притяжение звезд
должны, после очень большого числа веков, значительно изменять
движения планет. Изменения, уже замеченные в звездах и в форме
туманностей, заставляют предчувствовать те изменения, которые бу-
дут произведены временем в системе этих великих тел. Можно изо-
бразить последовательные состояния Вселенной кривой, абсциссой
которой служило бы время, а ординаты выражали бы эти различные
состояния. Едва зная какой-либо элемент этой кривой, мы далеки от
возможности добраться до ее начала; и если для того, чтобы дать от-
дых воображению, все еще тревожимому незнанием причины инте-
ресующих его явлений, рискуют делать какие-либо предположения,
то благоразумно предлагать их не иначе как с крайней осмотритель-
ностью.

Существует при оценке вероятностей один род иллюзий, кото-
рый, завися специально от законов устройства ума, требует для того,
чтобы оградить себя от них, глубокого испытания этих законов. Же-
лание проникнуть в будущее и отношение некоторых замечательных
событий к предсказаниям астрологов, гадателей и жрецов, к пред-
чувствиям и снам, к числам и дням, слывущим счастливыми или не-
счастными, породили массу предрассудков, еще и теперь очень рас-
пространенных. Совсем не думают о большом числе несовпадений,
которые не произвели никакого впечатления или остались неизвест-
ными; между тем как необходимо знать их, чтобы оценить вероят-
ность причин, которым приписывают совпадения. Это знание, без
сомнения, подтвердило бы то, что диктует нам разум относительно
этих предрассудков. Так, философ древности, которому показыва-
ли храм для превознесения могущества того бога, которому в нем
поклонялись, ех уе!о всех тех, кто, призывая его, спасся от кораб-
лекрушения, сделал замечание, согласующееся с исчислением ве-
роятностей, сказав, что он совсем не видит записанными имена тех
лиц, которые, несмотря на свои мольбы, погибли. Цицерон опровер-
гнул все эти предрассудки с большим умом и красноречием в своем
«Трактате о гадании», заканчивая его словами, которые я и приве-
ду; ибо любят находить у древних черты мирового разума, который,
рассеяв своим светом все предрассудки, обратится в единственное
основание человеческих установлений.

«Следует, - говорит римский оратор, - отбросить гадание по снам
и все подобные предрассудки. Повсюду распространившееся суеве-
рие поработило большую часть умов и овладело человеческой ела-
бостью. Именно это мы развивали в наших книгах о природе богов,
и в особенности в этом труде, будучи уверены, что принесем пользу
другим и себе, если нам удастся разрушить суеверность. Однако (и я
особенно желаю, чтобы в этом отношении моя мысль была хорошо
понята), разрушая суеверность, я далек от того, чтобы желать затро-
нуть религию. Благоразумие предписывает нам поддерживать уч-
реждения и обряды наших предков, касающиеся культа богов. Кроме
того, красота Вселенной и порядок небесных явлений заставляют нас
признать какую-то высшую природу, которая должна быть отмечена
родом человеческим и которой он должен восхищаться. Но насколько
приличествует распространять религию, которая связана с познани-
ем природы, настолько же следует работать над искоренением суеве-
рий, потому что они вас мучают, вас угнетают и беспрестанно всюду
вас преследуют. Если вы просите совета у гадателя или прорицателя,
если вы приносите жертву, если вы смотрите на полет птицы, если вы
встречаете халдейца или гадателя по внутренностям животных, если
сверкает молния, если гром гремит, если разражается гроза, наконец,
если рождается или появляется некоторого рода чудовище - все со-
бытия, из которых нередко какое-нибудь и должно произойти, тогда
суеверия, которые властвуют над вами, не дают вам покоя. Даже сон,
это прибежище смертных в их горестях и в их трудах, превращается
благодаря им в предмет нового беспокойства и страха».

Все эти предрассудки и страх, внушаемый ими, зависят от физио-
логических причин, которые иногда продолжают сильно действовать
после того, как разум нас вывел из заблуждения. Однако повторение
действий, противоречащих нашим предрассудкам, может всегда раз-
рушить их. Докажем это с помощью следующих соображений.

На границе видимой физиологии начинается другая физиология,
явления которой, гораздо более разнообразные, чем явления первой,
подчинены, подобно им, законам, знать которые весьма важно. Эта
физиология, которую мы обозначим именем психологии, является,
без сомнения, продолжением физиологии видимой. Нервы, волок-
на которых теряются в мозговом веществе, распространяют по нему
впечатления, полученные ими от внешних предметов, и оставляют
в нем постоянные впечатления, которые изменяют неизвестным нам
образом сенсориум, или местопребывание мысли.

Внешние чувства ничему не могут нас научить относительно
природы этих изменений, изумительных по своему бесконечному
разнообразию, по своей отличительности и порядку, который они
сохраняют в маленьком пространстве, их вмещающем,- изменений,
о которых нам дают некоторое понятие столь разнообразные явления
света и электричества. Но, применяя к наблюдению над внутренним
чувством, которое одно может их замечать, метод, использованный
в наблюдениях над внешними чувствами, можно было бы внести
в теорию человеческого познания ту же точность, как и в другие от-
расли натуральной философии.

Некоторые принципы59 психологии уже признаны и успешно
развиты. Таково стремление всех существ со сходной организацией
к установлению между собой гармонии. Это стремление, которое
составляет симпатию, существует даже у животных различных ви-
дов: оно уменьшается по мере того, как их организация становится
менее сходной. Среди существ, наделенных одинаковой организа-
цией, некоторые сходятся друг с другом скорее, чем с остальными.
Неорганическая природа знает подобные явления: двое часов, на
стенных или карманных, ход которых очень мало различается, буду-
чи положены на одну подставку, в конце концов начинают идти со-
вершенно одинаково; и в системе звучащих струн колебания одной
из них заставляют отзываться все гармонические. Эти действия, хо-
рошо известные причины которых были подвергнуты исчислению,
дают верное понятие о той симпатии, которая зависит от гораздо
более сложных причин.

Чувство приятного почти всегда сопровождает движения симпа-
тии. У большей части видов животных отдельные особи привязыва-
ются таким образом друг к другу и соединяются в общества. В роде
человеческом сильные личности испытывают истинное счастье от
господства над слабыми, которые испытывают не меньшее счастье,
повинуясь им. Чувство симпатии, возбужденное сразу в большом
числе лиц, растет благодаря взаимной реакции, как это можно на-
блюдать в театре. Удовольствие, вытекающее из него, сближает лиц
со сходными взглядами, объединение же воспламеняет их иногда до
фанатизма. Таким образом возникают секты, возбуждаемое ими рве-
ние и быстрота их распространения. В истории они представляют
самые поразительные и самые пагубные примеры власти чувства
симпатии. Часто представляется случай наблюдать, с какой легко-
стью симпатические движения, как, например, смех, сообщаются от
одного только вида, без содействия какой бы то ни было другой при-
чины, тем, кто этим чувством заражается. Влияние симпатии на сен-
сориум, несомненно, могущественнее: вибрации, которые она ему
сообщает, когда они очень сильны, реагируя на животную экономию,

59

Я обозначаю названием принципов общие отношения явлений.
производят необычайные действия, приписывавшиеся в века суеве-
рия сверхъестественным силам и заслуживающие по своей исклю-
чительности внимания наблюдателей.

Сострадание, благосклонность и много других чувств прои-
зошли от симпатии. Благодаря ей можно чувствовать чужое стра-
дание и разделять радость того несчастного, которому оказывается
помощь. Но я хочу здесь только изложить принципы психологии, не
входя в развитие их следствий.

Один из этих принципов, самый плодовитый из всех, есть прин-
цип связи всех вещей, которые существовали в сенсориуме одновре-
менно или в правильной последовательности, связи, которая, при
возвращении одной из этих вещей, вызывает и остальные. К этому
принципу имеет отношение употребление знаков и языков, для того
чтобы вызывать ощущения и идеи, для образования и анализа идей
сложных, отвлеченных и общих и для рассуждения. Многие фило-
софы хорошо развили этот предмет, который до сих пор составляет
реальную часть метафизики.

Можно еще установить как принцип психологии, что часто по-
вторявшиеся впечатления от одного и того же предмета на различные
чувства изменяют сенсориум так, что внутреннее впечатление, со-
ответствующее внешнему впечатлению от предмета на одно только
чувство, делается весьма отличным от того, чем оно было вначале.
Разовьем этот принцип и с этой целью рассмотрим слепорожденно-
го, которому только что вернули зрение. Образ предмета, который за-
печатлевается на его сетчатке, производит на его сенсориум впечат-
ление, которое я назову вторым образом, не желая ни уподоблять его
первому, ни утверждать что-либо относительно его природы. Этот
второй образ не есть сначала верный образ предмета; но привычное
сравнение впечатлений от этого предмета, полученных посредством
осязания, с впечатлениями, данными зрением, изменяя сенсориум,
приводит наконец к тому, что второй образ становится согласным
с действительностью, верно переданной осязанием. Образ, запечат-
левшийся на сетчатке, не меняется; но внутренний образ, вызванный
им, не остается тем же самым, как показали опыты, произведенные
на многих слепорожденных, которым вернули зрение.

Сенсориум претерпевает эти изменения главным образом в дет-
стве. Ребенок, беспрестанно сравнивая впечатления, получаемые от
одного и того же предмета при посредстве органов зрения и осяза-
ния, исправляет зрительные впечатления. Он приучает свой сенсори-
ум придавать видимым предметам форму, указываемую осязанием,
впечатления которого тесно связаны со зрительными, всегда их вы-
зывающими. Тогда видимые предметы оказываются изображенны-
ми с такой же верностью, как осязаемые. Световой луч делается для
зрения тем же, чем палка для осязания. Этим способом первое из
этих чувств расширяет гораздо дальше, чем второе, область объек-
тов своих впечатлений. Но даже небесный свод, к которому мы при-
крепляем все светила, еще очень ограничен, и только путем длинно-
го ряда наблюдений и исчислений мы дошли до познания громадных
расстояний этих тел и научились неопределенно отдалять их в не-
объятном пространстве.

Многим видам животных свойственна, по-видимому, та способ-
ность сенсориума, которая позволяет оценивать расстояния. Но че-
ловек, в котором природа почти во всем заменила инстинкт умом,
нуждается в замене его в наблюдениях и сравнениях, которые удиви-
тельно способствуют развитию его умственных способностей и бла-
годаря этому развитию обеспечивают за ним земное царство.

Внутренние образы не являются поэтому действиями одной
только причины; они вытекают либо из впечатлений, полученных
одновременно одним и тем же или различными органами чувств,
либо из внутренних впечатлений, вызванных памятью. Взаимное
влияние этих впечатлений является психологическим принципом,
богатым последствиями. Разовьем некоторые из главных.

Пусть наблюдатель, находящийся в совершенной темноте, видит
два светящихся шара одного и того же диаметра на разных рассто-
яниях: они покажутся ему неодинаковой величины. Их внутренние
образы будут пропорциональны соответствующим изображениям,
запечатлевшимся на сетчатке. Но если, по прекращении темноты, он
увидит одновременно с шарами все промежуточное пространство, то
это зрелище увеличивает внутренний образ более удаленного шара
и делает его почти равным образу другого шара. Отсюда происходит,
что человек, видимый на расстоянии двух и четырех метров, кажется
нам одной и той же величины; его внутренний образ не меняется,
хотя одно из запечатлевшихся на сетчатке изображений вдвое боль-
ше другого. Точно так же благодаря впечатлению от промежуточных
предметов и Луна на горизонте кажется нам большей, чем в зените.
Мы замечаем над веткой, близкой к глазу, предмет, который относим
на далекое расстояние и который кажется очень большим. Затем мы
узнаем о связи, соединяющей его с веткой; то, что мы заметили эту
связь, тотчас же меняет внутреннее изображение и сводит его к го-
раздо меньшим размерам. Все это не просто суждения, как думали
некоторые метафизики; это физиологические эффекты, зависящие
от способностей, приобретенных сенсориумом путем привычного
сравнения впечатлений от одного и того же предмета на органы не-
скольких чувств и в особенности на органы осязания и зрения.

Влияние следов, вызванных памятью, на впечатления, произ-
водимые внешними предметами, дает себя знать в большом числе
случаев. Видны издали буквы, однако невозможно разобрать, какое
слово они изображают. Если кто-либо произнесет это слово или
если какое-либо обстоятельство напомнит его памяти, тотчас же
внутреннее изображение этих букв, таким образом возобновленных,
накладывается, если я могу так выразиться, на неясное изображе-
ние, вызванное впечатлением от внешних знаков, и делает его от-
четливым. Вид букв вызывает следы соответствующих им звуков;
и эти следы, смешиваясь с неясными звуками голоса, позволяют
различить их. Страх часто преображает таким способом предметы,
которых слишком слабый свет не позволяет распознать, в предметы
страшные, имеющие с ними сходство. Изображение этих последних
предметов, сильно запечатлевшееся в сенсориуме от страха, припи-
сывается впечатлению от внешних предметов. Важно оградить себя
от этой причины иллюзий в следствиях, выводимых из наблюдений
явлений, которые производят лишь очень слабое впечатление; тако-
во наблюдение относительно уменьшения света на поверхности пла-
нет и спутников, откуда заключили о существовании и о плотности
их атмосфер и об их вращательных движениях. Часто приходится
опасаться, чтобы внутренние образы не уподобили себе этих впе-
чатлений; мы склонны верить в существование тех вещей, которые
представлены впечатлениями, полученными от чувств.

Эта замечательная склонность зависит от особого характера, ко-
торым впечатления, идущие извне, отличаются от следов, созданных
воображением или вызванных памятью. Но иногда бывает вслед-
ствие расстройства в сенсориуме или в органах, действующих на
него, что эти следы приобретают характер и живость внешних впе-
чатлений; тогда человек признает соответствующие предметы при-
сутствующими, он видит призрак. Тишина и сумрак ночи благопри-
ятствуют этим иллюзиям, которые во время сна становятся полными
и образуют сновидения; о них будем иметь верное представление,
если примем во внимание, что следы предметов, которые представ-
ляются нашему воображению в темноте, приобретают большую на-
пряженность во время сна.

Все побуждает думать, что у лунатиков некоторые чувства не
вполне усыплены. Если чувство осязания, например, остается еще
немного чувствительным к прикосновению внешних предметов, то
слабые впечатления, получаемые им от них, переданные сенсориу-
му, могут, сочетаясь с образами сновидения лунатика, изменять их
и управлять его движениями. Когда, принимая во внимание эти со-
ображения, я исследовал хорошо проверенные рассказы о необычай-
ных вещах, совершаемых лунатиками, то мне показалось, что можно
дать им очень простое объяснение.

Иногда ясновидящим кажется, что они слышат речь воображае-
мых ими лиц и они ведут с ними связный разговор; сочинения вра-
чей полны фактов этого рода.

Боннэ приводит как человека, которого он часто наблюдал, своего
деда по матери, «старика,-говорит он,-полного здоровья, который не-
зависимо от какого бы то ни было впечатления извне видит от време-
ни до времени перед собой образы мужчин, женщин, птиц, экипажей,
строений и т.д. Он видит, как эти образы обмениваются различными
движениями, приближаются друг к другу, удаляются друг от друга, бе-
гут, уменьшаются и увеличиваются в размерах, появляются, исчезают
и снова появляются. Он видит строения, которые возвышаются перед
его глазами, и т.д. Но он совсем не принимает этих видений за действи-
тельные: его ум забавляется ими. Он не знает, какое видение явится ему
в каждый следующий момент. Его мозг является театром, исполняю-
щим сцены, тем более удивительные для зрителя, что он совершенно не
предвидел их». Читая историю Жанны Д’Арк, мы вынуждены признать
чистосердечную ясновидящую в этой чудной девушке, чья мужествен-
ная экзальтация так сильно способствовала освобождению Франции от
ее врагов. Весьма возможно, что многие из тех, кто провозглашал, что
их учения получены ими от сверхъестественного существа, были ясно-
видцами: они тем скорее убеждали других, что сами были убеждены.
Благочестивые обманы и сильные средства, к которым они потом при-
бегали, казались им оправдываемыми целью распространения того,
что они считали истинами, необходимыми для людей.

Особый характер отличает от плодов воображения следы, вы-
званные памятью, которыми мы обязаны впечатлениям от внешних
предметов. Мы склонны как бы инстинктивно признавать прошед-
шее существование этих предметов в том порядке, который подска-
зывает нам память. Постоянные опыты подтверждают истинность
следствий, извлекаемых нами отсюда для нашего поведения, и укре-
пляют эту склонность. Каков механизм, который при этой операции
сенсориума определяет наши суждения? Мы его не знаем и можем
только замечать его действия. С помощью этого механизма даже
и слабые следы памяти позволяют нам оценивать их первоначаль-
ную силу, которую мы таким образом можем сравнить с подобными
же впечатлениями от присутствующих предметов. Таким образом,
мы считаем, что цвет, виденный нами накануне, был ярче того, кото-
рый поражает наше зрение в данную минуту.

Впечатления, сопровождающие следы памяти, помогают нам
вспоминать их причины. Так, когда к воспоминанию о чем-либо рас-
сказанном нам присоединяется воспоминание о доверии, которое мы
оказали рассказчику, если имя его ускользает от нас, мы вспомним
его, припоминая последовательно имена лиц, с которыми мы разго-
варивали, до тех пор, пока мы не дойдем до имени, внушившего нам
это доверие.

Присутствующие предметы, уже виденные нами, пробуждают
следы вещей, которые были с ними связаны, когда мы их видели пер-
вый раз. Эти следы пробуждают подобным же образом следы дру-
гих предметов и т.д., так что по поводу какой-либо присутствующей
вещи мы можем вспомнить их целую бесконечность и остановить
наше внимание на тех, которые хотим рассмотреть.

Впечатления, воспринятые в детстве, сохраняются до самой
глубокой старости и пробуждаются даже тогда, когда сильные впе-
чатления зрелого возраста совершенно изгладились. Кажется, будто
первые впечатления, глубоко запечатлевшиеся в сенсориуме, ждут
только ослабления последующих впечатлений возрастом или бо-
лезнью, чтобы снова появиться, подобно тому как светила, которые
затмевал дневной свет, показываются ночью или во время солнеч-
ных затмений.

Следы памяти приобретают в напряженности от действия време-
ни и без нашего ведома. То, что мы узнаем вечером, запечатлевается
в сенсориуме во время сна и легко запоминается таким способом.
Я много раз замечал, что, когда я переставал на несколько дней ду-
мать об очень сложных вопросах, они становились для меня легки-
ми, когда я вновь начинал их рассматривать.

Если мы снова видим предмет, который поразил нас своей вели-
чиной, долгое время спустя после того, как от частого наблюдения
однородных с ним предметов, гораздо больших, уменьшилось впечат-
ление величины, которое они производят, то мы удивляемся, найдя,
что он сильно уступает впечатлению, сохраненному о нем памятью.

Некоторые люди одарены поразительной памятью. Точность,
с которой они повторяют длинные разговоры, слышанные ими,
удивляет нас. Но когда подумаешь обо всем, что содержит в себе па-
мять большинства людей, то удивишься еще гораздо более тому, что
столько вмещается в ней, не путаясь. Посмотрите на певца на сцене:
его память подсказывает ему каждое слово его роли, размер и дви-
жения, которыми она должна сопровождаться. Если же новая роль
следует за первой, то первая кажется как бы вычеркнутой из памяти,
которая восстанавливает в надлежащем порядке все части второй
роли и которая восстановила бы подобным же образом все различ-
ные роли, разученные певцом. Эти следы, число которых громадно,
или по крайней мере состояние, способное породить их, существуют
в его сенсориуме одновременно, не смешиваясь, и актер может вы-
звать их по своему желанию. Я должен здесь повторить, что словами
«след», «образ», «колебание» и т.д. я хочу выразить только явления
сенсориума, ничего не утверждая относительно их природы и их
причин, подобно тому как в механике выражают лишь эффекты сло-
вами «сила», «притяжение», «сродство» и т.д.

Действия сенсориума и те движения, которые он заставляет вы-
полнять, делаются более легкими и как бы естественными от частых
повторений. Из этого психологического принципа вытекают наши
привычки.

Комбинируясь с симпатией, он образует обычаи и нравы с их
своеобразными особенностями. Благодаря ему один народ смотрит
с ужасом на то, что у другого общепринято. Битвы гладиаторов, зре-
лище которых римляне страстно любили, и человеческие жертво-
приношения, которые оскверняют летописи народов, показались бы
нам ужасными. Когда смотришь на плачевное состояние рабов, на
унижение париев в Индии, на нелепость стольких верований, про-
тивных разуму и свидетельствам всех наших чувств, то с прискор-
бием видишь, до какой степени привычка к рабству и предрассудкам
унижала род человеческий.

Это состояние, в которое сенсориум приходит путем частых по-
вторений, очень затрудняет различение приобретенных привычек от
наклонностей, зависящих от организации человека; ибо естественно
думать, что инстинкт, столь распространенный и могущественный
у животных, не исчезает совершенно в роде человеческом и что при-
вязанность матери к ребенку происходит из него. Двойное влияние
привычки и симпатии изменяет эти наклонности, часто укрепляет их;
иногда оно извращает их до такой степени, что они заменяются про-
тивоположными. Некоторые наблюдения, сделанные над человеком
и животными, продолжить которые представляет большой интерес, на-
водят нас на предположение, что изменения сенсориума, которым при-
вычка придала большую устойчивость, передаются от отцов к детям из
поколения в поколение, подобно многим органическим способностям.

Податливость, которую придает органам постоянное упражне-
ние, такова, что часто они продолжают сами собой движения, со-
общенные им волей. Когда, идя, мы сильно заняты какой-нибудь
мыслью, то причина, которая возобновляет каждое мгновение наше
движение, действует без участия нашей воли, и мы не даем себе
в этом отчета. Были случаи, что люди, застигнутые сном во время
ходьбы, продолжали свой путь и просыпались, только встретив какое-
либо препятствие. Кажется, будто ход продолжается благодаря тому
состоянию, которое придало двигательной системе желание идти,
подобно тому как ход часов поддерживается раскручиванием спи-
ральной пружины. Расстройство в животной экономии может вы-
звать такое состояние. Тогда движение ходьбы делается невольным,
и от одного просвещенного врача я узнал, что при такого рода болез-
ни, которую он лечил, больной мог остановиться, только держась за
неподвижную точку опоры. Таким образом, наблюдения над болез-
нями могут пролить много света на психологию, когда врачи сое-
диняют со знанием своего искусства и соприкасающихся наук спо-
собность точного и критического отношения, которую дает изучение
математики, и в особенности науки о вероятностях.

Из сказанного нами о взаимном влиянии следов сенсориума
становится понятным, что музыка путем частых повторений может
сообщить нашим движениям правильность своего размера. Это мы
и наблюдаем в танцах и в разных упражнениях, точность движений
которых, регулированных таким образом, нам кажется необычай-
ной. Этой регулярностью музыка обыкновенно облегчает движения,
выполняемые многими лицами сразу.

Весьма замечательное психологическое явление представляет
сильное влияние внимания на следы сенсориума. Оно увеличивает
их живость и в то же время ослабляет сопровождающие побочные
впечатления. Если мы пристально смотрим на предмет, чтобы раз-
личить какие-нибудь особенности его, то внимание может сделать
нас нечувствительными к впечатлениям, производимым в то же
самое время на сетчатку другими предметами. С его помощью об-
разы предметов, которые мы желаем сравнить, приобретают силу,
необходимую для того, чтобы их отношения одни занимали нашу
мысль; оно пробуждает следы памяти, могущие служить для этого
сравнения, и благодаря этому оно становится могущественнейшей
пружиной человеческого ума.

Когда внимание часто обращается на какое-либо особенное ка-
чество предметов, то оно наделяет наконец органы утонченной чув-
ствительностью, которая позволяет узнавать это качество и тогда,
когда оно делается незаметным обыкновенному человеку.

Эти принципы объясняют странные эффекты, производимые па-
норамами. Когда правила перспективы в них хорошо соблюдены, то
предметы запечатлеваются на сетчатке, как если бы они были ре-
альны; тогда зритель находится в том же состоянии, какое породи-
ла бы реальность предметов. Но перспектива никогда не достигает
точности достаточной, чтобы тождество достигло совершенства.
Кроме того, посторонние впечатления, хотя бы и слабые, примеши-
ваясь к главным, производимым перспективой, нарушают сначала
иллюзию. Внимание, сосредоточенное на панораме, уничтожает их;
но для этого нужно более или менее продолжительное время, в зави-
симости от состояния сенсориума и от совершенства панорамы. Во
всех панорамах, виденных мной, промежуток времени в несколько
минут мне был необходим для получения полной иллюзии.

Следующий принцип психологии объясняет большое число яв-
лений, которые имеют прямое отношение к предмету этого труда:
«Если часто выполнять действия, вытекающие из особого измене-
ния сенсориума, то реакция их на этот орган может не только увели-
чить это изменение, но иногда и быть его причиной». Так, движение
руки, которая держит длинную висящую цепь, распространяется
вдоль цепи до ее нижнего конца; и если после того, как цепь пришла
в состояние покоя, привести в движение этот конец, то колебание
поднимется до руки, которую оно в свою очередь заставит двигаться.
Эти взаимные движения делаются легче от частого повторения.

Действие этого принципа на веру замечательно. Вера, или наше
согласие с известным предложением, обыкновенно основана на оче-
видности, на свидетельствах чувств или на вероятностях; в этом по-
следнем случае степень ее силы зависит от степени вероятности, ко-
торая, в свою очередь, зависит от данных, которые каждый человек
может иметь относительно предмета своего суждения.

Мы часто поступаем сообразно с нашей верой, не имея нужды
вспоминать ее доводов. Вера является, следовательно, изменением
сенсориума, которое существует независимо от этих доводов, подчас
совершенно забытых, и которое побуждает нас совершать действия,
являющиеся его последствиями. Согласно только что нами изложен-
ному принципу, частое повторение этих действий может произве-
сти это изменение, особенно если они повторяются сразу большим
числом лиц, ибо тогда к силе их реакции присоединяется власть
подражания, необходимое следствие симпатии. Когда эти действия
являются долгом, который налагают на нас обстоятельства, то стрем-
ление животной экономии принимать положение, самое благоприят-
ное нашему самочувствию, также располагает нас к вере, благодаря
которой мы выполняем их с удовольствием. Мало людей, которые не
поддаются действию всех этих причин.
Паскаль хорошо раскрыл эти эффекты в одной главе своих мыс-
лей, которая носит своеобразное заглавие, что трудно доказать су-
ществование Бога посредством естественных познаний и что самое
верное - это верить в Него. Обращаясь к неверующему, он выража-
ется так: «Вы хотите идти к вере, и вы не знаете к ней дороги; вы
хотите исцелиться от неверия, и вы спрашиваете лекарство от него.
Узнайте его от тех, кто был такими же, как и вы, и кто в настоящее
время не имеет никаких сомнений. Они знают ту дорогу, которой
вы хотели бы следовать, и они исцелены от болезни, от которой вы
хотите исцелиться. Следуйте тому, с чего они начали. Подражайте
их внешним действиям, если вы еще не можете войти в их внутрен-
нее состояние; бросьте эти суетные забавы, которые исключительно
занимают вас. Я тотчас же бросил бы эти развлечения, говорите вы,
если бы я уверовал. А я вам говорю, что вы тотчас же уверовали бы,
если бы вы бросили эти развлечения. Начало же должно быть поло-
жено вами. Если бы я мог, я дал бы вам веру; я не могу этого сделать
и не могу, следовательно, убедиться в справедливости того, что вы
говорите; вы же можете вполне бросить ваши развлечения и испы-
тать, верно ли то, что я вам говорю.

Не следует заблуждаться: мы столько же плоть, сколько и дух;
отсюда происходит, что орудием, которым достигается убеждение,
являются не одни только доказательства. Как мало вещей доказано!
Доказательства убеждают только ум; привычка придает нашим дока-
зательствам наибольшую силу. Она склоняет чувства, которые увле-
кают дух без нашего ведома. Кто доказал, что завтра наступит день,
что мы умрем? А существует ли что-либо другое, во что вера была бы
более распространена? Значит, убеждает нас привычка; это она дела-
ет стольких турками и язычниками; это она делает ремесленниками,
солдатами и т.д. Правда, не следует начинать с нее, чтобы найти ис-
тину, но следует прибегать к ней, раз рассудок убедился, где истина,
чтобы проникнуться и окраситься этой верой, постоянно ускользаю-
щей от нас; ибо иметь всегда наготове доказательства слишком труд-
но. Надо обрести веру более легкую, какой является привычная вера,
которая без насилия, без искусства, без доказательств заставляет нас
верить во что-либо и преклоняет наши силы перед этой верой, так
что душа наша естественно отдается ей. Недостаточно верить только
в силу убеждения, если наши чувства склоняют нас верить проти-
воположному. Следует поэтому пускать в ход обе стороны нашего
существа вместе: рассудок посредством доводов, которые достаточ-
но рассмотреть раз в жизни, и чувства посредством привычки, не
позволяя им склоняться к противоположному».
Средство, которое Паскаль предлагает, чтобы обратить неверу-
ющего, может быть применено с успехом, чтобы уничтожить пред-
рассудки, воспринятые в детстве и вкоренившиеся в силу привычки.
Этот род предрассудков возникает часто из самой пустой причины
в деятельных воображениях. Допустим, что лицо, связывающее со
словом «левый» мысль о несчастье, каждый день делает правой ру-
кой что-либо, что может быть выполнено безразлично той или дру-
гой рукой; эта привычка может увеличить отвращение к примене-
нию в этом деле левой руки до такой степени, что рассудок окажется
бессильным против этого предрассудка. Легко можно допустить, что
Август, наделенный умом, во многих отношениях необыкновенным,
иногда упрекает себя за свою слабость, заключающуюся в том, что
он не отваживается пускаться в путь в день, следующий за ярмаркой,
и что он захотел превозмочь эту слабость. Но в ту минуту, когда он
предпринимал путешествие в один из этих дней, считающихся не-
счастными, он мог говорить себе, что самым безопасным было бы
отложить путешествие, увеличивая таким образом свое отвращение
привычкой поддаваться ему. Частое повторение действий, проти-
воречащих этим предрассудкам, должно их со временем ослаблять
и заставлять совершенно исчезнуть.

Привязанность, питаемая к лицам, которых мы часто обязываем,
вытекает из принципа, который мы только что развивали. Частое по-
вторение поступков в их пользу увеличивает, а иногда даже порож-
дает то чувство, естественным следствием которого они являются.
Действия, которые нас заставляют выполнять многократно склон-
ность к чему-либо, усиливают эту склонность и часто превращают
ее в страсть.

Из предыдущего можно видеть, насколько наша вера зависит от
наших привычек. Привыкнув судить и поступать согласно извест-
ного рода вероятностям, мы выражаем этим вероятностям свое одо-
брение как бы инстинктивно, и они убеждают нас с большей силой,
чем вероятности гораздо высшие, являющиеся результатом раз-
мышления или исчисления. Вещь неправдоподобная часто застав-
ляет нас сомневаться: мы не колеблясь отбрасываем ее, если она
противоречит нашим привычным вероятностям. Чтобы по мере воз-
можности ослабить эту причину иллюзий, надо призвать на помощь
рассудку воображение и чувства. Представив себе в виде линий со-
ответствующие вероятности, мы почувствуем их различие гораздо
лучше. Линия, изображающая вероятность свидетельского пока-
зания, которое подкрепляет необычайный факт, будучи помещена
рядом с линией, изображающей неправдоподобие этого факта, еде-
лала бы очень заметной вероятность ошибки этого свидетельского
показания, подобно тому как рисунок, на котором сопоставлены
высоты гор, дает поразительное представление об отношениях этих
высот. Это средство может быть применено с успехом во многих
случаях. Чтобы сделать ощутимой необъятность Вселенной, изо-
бразим почти незаметной величиной, миллиметра, наибольшее
протяжение Франции в длину; расстояние от Земли до Солнца рав-
но будет 14 метрам; расстояние до ближайшей звезды превзойдет
1 500 000 метров, т.е. семь или восемь раз взятый радиус самого об-
ширного горизонта, доступного глазу с самой высокой точки. И все
еще, таким образом, мы будем иметь лишь очень слабую картину
величины Вселенной, которая простирается бесконечно за самыми
блестящими звездами, как это доказывает громадное число звезд,
расположенных одни за другими и скрывающихся из виду в глуби-
не небес. Но при всей ее слабости картины этой достаточно, чтобы
заставить почувствовать нелепость представлений о превосходстве
человека над всей природой, - представлений, из которых выведены
были столь странные заключения.

Наконец, мы установим в качестве психологического принципа
преувеличение вероятностей страстями. Вещь, которой мы сильно
боимся или желаем, кажется нам именно благодаря этому более ве-
роятной. Образ ее, сильно запечатлевшийся в сенсориуме, ослабляет
впечатление противоположных вероятностей и иногда изглаживает
их настолько, что заставляет верить, что вещь эта уже случилась.
Размышление и время, уменьшая живость этих чувств, возвращают
рассудку спокойствие, необходимое для правильной оценки вероят-
ности событий.

Колебания в сенсориуме должны быть, как все движения, подчи-
нены законам динамики, что и подтверждено опытом. Движения, ко-
торые они передают мускульной системе и которые эта система со-
общает посторонним телам, как при развертывании пружин, таковы,
что общий центр тяжести нашего тела и тех, которые оно приводит
в движение, остается неподвижным. Эти колебания накладываются
друг на друга, подобно тому как волны в жидкости соединяются, не
смешиваясь. Они сообщаются людям, как колебания звучащего тела
сообщаются окружающим телам. Сложные идеи образуются из прос-
тых, как морской прилив образуется из частичных приливов, вызы-
ваемых Солнцем и Луной. Колебание между противоположными
побуждениями есть равновесие равных сил. Внезапные изменения,
производимые в сенсориуме, испытывают сопротивление, которое
и материальная система противополагает подобным изменениям;
и если мы хотим избежать потрясений и не терять живой силы, то
надо действовать, как и в этой системе, посредством незаметных
переходов. Напряженное и продолжительное внимание истощает
сенсориум, подобно тому как длинный ряд электрических ударов
истощает вольтов столб или электрический орган у рыб. Почти все
сравнения, почерпываемые нами из материальных предметов, для
того чтобы сделать ощутимыми вещи интеллектуальные, представ-
ляют, в сущности, тождества.

Я желал бы, чтобы предыдущие размышления, при всем своем
несовершенстве, могли привлечь внимание исследователей-филосо-
фов к законам сенсориума, или миру интеллектуальному,-законам,
вникать в которые для нас так же важно, как в законы мира физиче-
ского. Для объяснения явлений этих двух миров придумали до неко-
торой степени сходные гипотезы; но ввиду того, что основание этих
гипотез ускользает от всех наших способов исследования и исчисле-
ния, можно на их счет сказать вместе с Монтенем, что невежество
и отсутствие любознательности - две очень мягкие подушки, чтобы
покоить рассудительную голову.

Глава XVII

Различные способы приближения к достоверности

Индукция, аналогия гипотез, основанных на фактах и беспре-
станно поверяемых новыми наблюдениями, счастливый природный
такт, подкрепленный частым сравниванием их указаний с опытом,-
таковы главные средства достижения истины.

Если внимательно рассматривать ряд однородных предметов, то
можно заметить между ними и в их изменениях отношения, кото-
рые все более и более обнаруживаются, по мере того как ряд про-
должается, и которые, непрерывно распространяясь и обобщаясь,
приводят наконец к тому принципу, из которого они вытекают. Но
часто эти отношения скрыты столькими посторонними обстоятель-
ствами, что требуется много проницательности, чтобы выделить их
и дойти до этого принципа; в этом и заключается истинный научный
гений. Анализ и натуральная философия обязаны своими важней-
шими открытиями тому плодотворному методу, который называется
индукцией', Ньютон обязан ему своей теоремой о биноме и принци-
пом всемирного тяготения. Трудно оценить вероятность результатов
индукции, которая основывается на том, что простейшие отношения
суть самые обыкновенные; что оправдывается в формулах анализа
и в том, что мы находим в естественных явлениях, в кристаллиза-
ции, в химических соединениях. Эта простота отношений вовсе не
будет казаться удивительной, если принять во внимание, что все дей-
ствия природы не что иное, как математические результаты неболь-
шого числа неизменных законов.

Однако одной индукции, позволяющей открывать общие прин-
ципы наук, недостаточно для того, чтобы установить их в точности.
Их нужно еще подтверждать доказательствами или окончательным
испытанием, ибо история наук указывает нам, что индукция при-
водила иногда к неточным результатам. Приведу в качестве при-
мера одну теорему Ферма о первоначальных числах; этот великий
геометр, который глубоко вдумывался в их теорию, искал такую
формулу, которая, содержа только первоначальные числа, дала бы
непосредственно первоначальное число, большее любого, наперед
данного. Индукция привела его к мысли, что два, возведенное в сте-
пень, которая, в свою очередь, есть степень двух, образует с едини-
цей первоначальное число. Так, два, возведенное в квадрат, плюс
единица образует первоначальное число пять; два, возведенное во
вторую степень двух, или 16, образует с единицей первоначальное
число 17. Он нашел, что это верно также для 8-й и 16-й степеней
двух, увеличенных на единицу; и эта индукция, опирающаяся на
многие арифметические соображения, побудила его рассматривать
этот результат как общий. Однако он признает, что не доказал его.
В самом деле, Эйлер нашел, что это предложение не имеет более
места для 32-й степени двух, которая, будучи увеличена на единицу,
дает 4 294 967 297-число, делящееся на 641.

Мы думаем по индукции, что если различные события, движе-
ния, например, являются постоянно, в продолжение долгого вре-
мени, связанными простым отношением, то они все время будут
оставаться подчиненными ему; а отсюда мы заключаем, по теории
вероятностей, что это отношение зависит не от случая, но от регу-
лярной причины. Таким образом, равенство движений вращения
и обращения Луны, равенство движений узлов орбиты и экватора
Луны и совпадение этих узлов; особенное отношение движений
трех первых спутников Юпитера, согласно которому средняя долго-
та первого спутника минус три раза взятая средняя долгота второго
плюс два раза взятая третьего равна двум прямым углам; равенство
промежутков между приливом и отливом и между прохождениями
Луны через меридиан; возвращение самых сильных приливов и от-
ливов вместе с сизигиями, а самых малых с квадратурами, - все эти
явления, сохраняющиеся с тех пор, как их исследуют, указывают
с крайним правдоподобием на существование постоянных причин,
и геометрам удалось связать эти причины с законом всемирного тя-
готения, знание которого обращает отмеченное постоянство отноше-
ний в достоверное.

Канцлер Бэкон, этот столь красноречивый и деятельный сторон-
ник истинного философского метода, весьма странным образом зло-
употребил индукцией, чтобы доказать, что Земля неподвижна. Вот
как он рассуждает в Моуит Ог^апит, прекраснейшем из своих тру-
дов. Движение светил с востока на запад совершается тем быстрее,
чем более они удалены от Земли. Это движение наиболее быстро для
звезд; оно немного замедляется для Сатурна, немного более для Юпи-
тера и т.д. до Луны и наименее высоких комет. Оно еще заметно в ат-
мосфере, особенно между тропиками, вследствие больших кругов,
описываемых там молекулами воздуха; наконец, оно почти незамет-
но для океана; оно равно поэтому нулю для Земли. Но эта индукция
только доказывает, что Сатурн и те светила, которые ниже его, име-
ют собственные движения, противоположные действительному или
кажущемуся, увлекающему весь небосвод с востока на запад, и что
эти движения кажутся более медленными для светил более удален-
ных, что и согласуется с оптическими законами. Бэкон должен был
бы поразиться той непостижимой скорости, которую надо приписать
светилам, чтобы они могли совершать свое суточное обращение, если
Земля неподвижна, а также чрезвычайной простоте, с которой враще-
ние объясняет, каким образом тела, настолько удаленные друг от дру-
га, как звезды, Солнце, планеты и Луна, все кажутся подчиненными
этому обращению. Что касается океана и атмосферы, то он не должен
был уподоблять их движения движению светил, которые отделены
от Земли, в то время как воздух и море составляют часть земного
шара и должны разделять его движение или его покой. Удивительно,
что Бэкон, влекомый своим гением к возвышенным точкам зрения, не
увлекся величественным представлением, которое дает о Вселенной
система Коперника. Между тем он мог найти в пользу этой системы
сильные аналогии в открытиях Галилея, которые были ему известны.
Для исследования истины он давал наставления, но не подавал при-
мера. Однако, настаивая со всей силой доводов и красноречия на не-
обходимости отказаться от пустых тонкостей школы, для того чтобы
отдаться наблюдениям и опыту, и указывая истинный метод перехода
к общим причинам явлений, этот великий философ способствовал
громадным успехам, сделанным человеческим умом в том прекрас-
ном веке, в котором он окончил свою жизнь.
Аналогия основывается на вероятности того, что сходные вещи
происходят от однородных причин и имеют одинаковые следствия.
Чем совершеннее подобие, тем более увеличивается эта вероятность.
Так, мы, не сомневаясь, решаем, что существа, наделенные одними
и теми же органами, выполняя одно и то же, испытывают одинако-
вые ощущения и движимы одинаковыми желаниями. Вероятность
того, что животные, приближающиеся к нам по своим органам, име-
ют ощущения, аналогичные нашим, хотя и меньше вероятности,
которая относится к особям нашего рода, но все еще чрезвычайно
велика, и потребовалось все влияние религиозных предрассудков,
чтобы заставить некоторых философов думать, что животные - про-
стые автоматы. Вероятность существования ощущений убывает по
мере того, как сходство органов с нашими органами уменьшается; но
она все еще очень велика даже для насекомых. Видя, что насекомые
одного и того же вида выполняют весьма сложные действия совер-
шенно одинаковым образом, из поколения в поколение, не учась им,
мы склонны думать, что они действуют по известного рода сродству,
аналогичному тому, которое сближает молекулы кристаллов, кото-
рое, однако, смешиваясь с ощущением, свойственным всякой живот-
ной организации, образует с правильностью химических соединений
соединения гораздо более необычайные: можно было бы, пожалуй,
назвать животным сродством это смешение избирающего сродства
и чувствования. Хотя и существует много аналогий между строени-
ем растений и животных, мне все же кажется, что ее недостаточно,
чтобы распространить на растения способность чувствовать; однако
ничто не дает нам права отказать им в ней.

Ввиду того, что Солнце благотворным действием своего света
и тепла вызывает к жизни животных и растения, которые покрывают
Землю, мы думаем по аналогии, что оно производит подобное же
действие и на другие планеты; ибо было бы неестественно думать,
что материя, деятельность которой, как мы видим, развертывается
так многообразно, бесплодна на такой большой планете, как Юпи-
тер, который, как и земной шар, имеет свои дни, свои ночи и свои
года и на котором, по наблюдениям, происходят изменения, пред-
полагающие весьма деятельные силы. Однако было бы чрезмерным
расширением аналогии выводить отсюда заключение о сходстве жи-
телей планет и Земли. Человек, приспособленный к той температу-
ре, в которой он живет, и к той атмосфере, которой он дышит, не мог
бы, по-видимому, жить на других планетах. Не должно ли существо-
вать бесконечное множество организаций, соответствующих различ-
ным условиям миров нашей Вселенной? Если одно только различие
в среде и климате придает такое разнообразие творениям Земли, то
насколько сильнее должны различаться творения различных планет
и их спутников. Самое деятельное воображение не может себе со-
ставить никакого представления о них; но существование их очень
правдоподобно.

Сильная аналогия побуждает нас рассматривать звезды как
столько же солнц, обладающих, подобно нашему, силой притяже-
ния пропорциональной массе и обратно пропорциональной квадра-
ту расстояний. Ибо ввиду того, что эта сила доказана для всех тел
солнечной системы и для малейших их молекул, она кажется при-
сущей всей материи. Движения малых звезд, названных двойными
из-за близости друг к другу, уже указывают, по-видимому, на это: по-
требовалось бы самое большее одно столетие точных наблюдений,
подтверждающих движения обращения одних из них вокруг других,
чтобы поставить вне всякого сомнения их взаимное притяжение.

Аналогия, которая побуждает нас сделать из каждой звезды центр
планетной системы, гораздо менее сильна, чем предшествующая, но
она приобретает правдоподобие благодаря гипотезе, предложенной
нами относительно образования звезд и Солнца; ибо ввиду того, что,
по этой гипотезе, каждая звезда, подобно Солнцу, была первоначаль-
но окружена обширной атмосферой, естественно приписывать этой
атмосфере те же действия, как и солнечной, и предполагать, что из
нее возникли вследствие ее сгущения планеты и спутники.

Многими научными открытиями обязаны мы аналогии. Приведу
как одно из самых замечательных открытие атмосферного электри-
чества, к которому привела аналогия электрических явлений с эф-
фектами грома.

Самый верный метод, который мог бы руководить нами при по-
иске истины, состоит в переходе с помощью индукции от явлений
к законам, от законов к силам. Законы суть отношения, которые свя-
зывают между собой отдельные явления: когда они раскрыли общий
принцип тех сил, от которых они происходят, его проверяют либо
непосредственными опытами, если это возможно, либо исследуя,
согласен ли он с известными явлениями; и если посредством стро-
гого анализа убеждаются, что все они вытекают из этого принципа
до мельчайших подробностей, если, помимо этого, они очень раз-
нообразны и многочисленны, тогда наука приобретает наивысшую
степень достоверности и совершенства, доступную ей. Такой стала
астрономия благодаря открытию всемирного тяготения.

История наук указывает, что этот медленный и трудный путь ин-
дукции не всегда был путем тех, которые делают открытия. Вообра-
жение, нетерпеливо стремящееся дойти до причин, любит создавать
гипотезы; часто оно искажает факты, чтобы подчинить их тому, что
оно создало; тогда гипотезы становятся опасными. Но когда на них
смотрят только как на средство связывать между собой явления, что-
бы открыть их законы, когда, избегая приписывать им реальность,
исправляют их постоянно новыми наблюдениями, они могут приве-
сти к истинным причинам или, по крайней мере, дать нам возмож-
ность из наблюденных явлений вывести явления, которые должны
породить данные обстоятельства.

Если испытаем все гипотезы, которые можно предложить от-
носительно причины явлений, то путем исключения мы дойдем
до истинной. Этот способ применялся с успехом: иногда приходи-
ли к нескольким гипотезам, которые одинаково хорошо объясняли
все известные факты и относительно которых ученые разделялись
до тех пор, пока решающие исследования не указывали истинную
гипотезу. Интересным является для истории человеческого разума
вернуться тогда к этим гипотезам, увидеть, каким образом с их по-
мощью удавалось объяснять большое число фактов, и найти те изме-
нения, которым они должны подвергнуться, чтобы быть согласны-
ми с природой. Таким образом, система Птолемея, которая является
только выражением кажущегося вида неба, преобразуется в гипоте-
зу движения планет вокруг Солнца, если сделать равными и парал-
лельными солнечной орбите круги и эпициклы, которые Птолемей
заставляет ежегодно описывать и величину которых он оставляет
неопределенной. Чтобы преобразовать эту гипотезу в истинную си-
стему мира, достаточно затем отнести в обратном смысле к Земле
видимое движение Солнца.

Почти всегда оказывается невозможным подвергнуть исчисле-
нию вероятность результатов, добытых этими различными спосо-
бами; подобным же образом это имеет место и для исторических
фактов. Но совокупность объясненных явлений или свидетельств
бывает иногда такова, что, не имея возможности оценить их вероят-
ность, все же было бы неосновательно допустить относительно их
какое-либо сомнение. В остальных случаях благоразумно призна-
вать их лишь с большой осторожностью.
Глава XVIII

Исторический очерк исчисления вероятностей

Уже давно были определены в самых простых играх отношения
статочностей, благоприятствующих и не благоприятствующих игро-
кам; ставки и пари устанавливались сообразно этим отношениям.
Но до Паскаля и Ферма никто еще не дал принципов и методов для
подчинения этого предмета исчислению и не решал хоть сколько-ни-
будь сложных вопросов этого рода. Этим двум великим геометрам
следует поэтому приписать первые элементы науки о вероятностях,
открытие которой может быть поставлено в ряду замечательных со-
бытий, ознаменовавших собой XVII век, век, который делает всего
более чести человеческому разуму. Главная задача, которую они ре-
шили разными путями, заключается, как мы раньше видели, в том,
чтобы разделить справедливо ставку между игроками, ловкость ко-
торых одинакова и которые условились прекратить партию раньше,
чем она кончится; условие игры состоит в том, что для выигрыша
партии надо получить первому данное число очков. Ясно, что раз-
дел должен совершиться пропорционально относительным вероят-
ностям игроков выиграть эту партию,- вероятностям, зависящим
от числа очков, им еще недостающих. Метод Паскаля очень остро-
умен и, в сущности, есть уравнение в частных разностях этой за-
дачи, примененное к определению последовательных вероятностей
игроков, причем переходят от меньших чисел к следующим. Этот
метод ограничен случаем двух игроков: метод Ферма, основанный
на сочетаниях, распространяется на любое число игроков. Паскаль
сначала думал, что этот метод должен быть, как и его собственный,
ограничен двумя игроками; благодаря этому завязался между ними
спор, в конце которого Паскаль признал общность метода Фермата.

Гюйгенс собрал различные уже решенные задачи и прибавил
к ним еще новые в маленьком трактате, первом, который появился
об этом предмете и который озаглавлен Бе КаИостНз т 1шк) сйеае.
После этого им занялись многие геометры: Худде (НисМё) и вели-
кий пенсионарий Витт в Голландии и Галлей в Англии применили
исчисление к вероятностям человеческой жизни, и Галлей опубли-
ковал для этой цели первую таблицу смертности. Около того же
времени Яков Бернулли предложил геометрам различные задачи
о вероятностях, решения которых он затем дал. Он написал нако-
нец свою прекрасную работу, озаглавленную Соп]ес1ап(И, которая
появилась лишь спустя семь лет после его смерти, произошедшей
в 1706 г. Наука о вероятностях захвачена гораздо глубже в этом тру-
де, чем в труде Гюйгенса: автор дает здесь общую теорию сочетаний
и рядов и применяет ее ко многим трудным вопросам, касающимся
случайностей. Этот труд замечателен еще верностью и тонкостью
взглядов, употреблением формулы бинома в вопросах такого рода
и доказательством следующей теоремы: при неопределенном повто-
рении наблюдений и опытов отношение событий различного рода
приближается к отношению их соответственных возможностей
в пределах, промежуток меж которыми все более и более сужива-
ется по мере их увеличения и становится меньше любой заданной
величины. Теорема эта весьма пригодна для познавания, с помощью
наблюдений, законов и причин явлений. Бернулли справедливо при-
давал большое значение ее доказательству, которое, по его словам,
он обдумывал в продолжение 20 лет.

В промежуток времени между смертью Якова Бернулли и опу-
бликованием его труда Монмор и Муавр выпустили два трактата
об исчислении вероятностей. Труд Монмора озаглавлен Еззш зиг
Ье8 )еих с!е ИсмапЕ он содержит многочисленные применения это-
го исчисления к различным играм. Автор прибавил к нему во вто-
ром издании несколько писем, в которых Николай Бернулли дает
остроумные решения многих трудных задач. Трактат Муавра, вы-
шедший после трактата Монмора, появился сперва в Тгап8асИоп8
ркИо8орЫдие8 1711 г. Затем автор напечатал его отдельно и совер-
шенствовал его в трех последовательных изданиях, в которых он его
выпустил. Эта работа главным образом основана на формуле бино-
ма, и задачи, заключающиеся в ней, так же как и их решения, имеют
большую общность. Но что составляет ее отличительную черту, это
теория возвратных рядов и применение их в этой области. Эта тео-
рия есть интегрирование линейных уравнений в конечных разностях
с постоянными коэффициентами,-интегрирование, которого Муавр
достигает очень удачным способом.

Муавр в своем труде обратился снова к теореме Якова Бернулли
о вероятности результатов, определенных большим числом наблю-
дений. Он не довольствуется, подобно Бернулли, доказательством
того, что отношение событий, которые должны произойти, непре-
рывно приближается к отношению их соответственных возможно-
стей; он дает еще изящное и простое выражение вероятности, что
разница между этими двумя отношениями заключается в данных
пределах. Для этого он определяет отношение самого большо-
го члена разложения очень высокой степени бинома к сумме всех
его членов и гиперболический логарифм излишка этого члена над
ближайшими членами. Так как тогда самый большой член является
произведением значительного числа множителей, то его числовое
определение становится невыполнимым. Чтобы получить его сходя-
щееся приближение, Муавр применяет теорему Стирлинга о среднем
члене бинома, возведенном в высокую степень,-теорему особенно
замечательную тем, что она вводит квадратный корень отношения
окружности к радиусу в выражение, которое, по-видимому, чуждо
этой трансцендентности. Муавр был крайне поражен этим результа-
том, выведенным Стирлингом из выражения окружности с помощью
бесконечных произведений,- выражения, которого Валлис достиг
посредством особенного анализа, содержащего зародыш столь инте-
ресной и столь полезной теории определенных интегралов.

Многие ученые, среди которых надо отметить Депарсье,
КегззеЪоот, Варгентина (1Уаг§епИп\ Дюпре де Сен-Мора (Вирге
<Ле 8атРМаиг\ Згтрзоп, Зюсмильха (8й88тИск\ Меззёпе. Мокеаи,
Рпсе, ВаИу и ВтпПап^ собрали большое число драгоценных данных
о населении, рождениях, браках и смертности. Они дали формулы
и таблицы относительно пожизненных пенсий, тонтин, страхова-
ний и т.д. Но в этой краткой заметке я могу только указать эти рабо-
ты, полезные мне для перехода к оригинальным идеям. К их числу
принадлежит различение математического и нравственного ожи-
даний, а также остроумный принцип, данный Даниилом Бернулли
для подчинения этого последнего ожидания анализу. Таково также
сделанное им удачное применение исчисления вероятностей к оспо-
прививанию. Особенно же следует причислить к этим оригиналь-
ным идеям непосредственное рассмотрение возможностей собы-
тий, выведенных из наблюденных событий. Яков Бернулли и Муавр
предполагали эти возможности известными и искали вероятность
того, что результат будущих опытов будет приближаться все более
и более к тому, чтобы представить их. Байес (Вауез) в ТгапзасИопз
рЫШзорЫдиез 1763 г. искал непосредственно вероятность того, что
возможности, указанные уже произведенными опытами, заключают-
ся в данных пределах, и он достиг своего способом тонким и очень
остроумным, хотя и немного запутанным. Этот предмет примыкает
к теории вероятностей причин и будущих событий, выведенной из
наблюденных событий,- теории, принципы которой я изложил не-
сколько лет спустя с примечанием о влиянии неравенств, могущих
существовать между статочностями, которые предполагаются рав-
ными. Хотя мы не знаем, каковы простые события, которым благо-
приятствуют эти неравенства, однако это самое незнание часто уве-
личивает вероятность сложных событий.
Обобщение анализа и задач, касающихся вероятностей, привело
меня к исчислению конечных частных разностей, которые Лагранж
после этого рассмотрел с помощью очень простого метода и из кото-
рых он сделал изящные применения к задачам этого рода.

Теория образующих функций (/опсИопз §епега1псе$), которую
я дал около того же времени, заключает в себе эти предметы сре-
ди тех, которые она обнимает, и сама собой применяется с самой
большой общностью к труднейшим вопросам о вероятности. Кро-
ме того, она определяет с помощью очень сходящихся приближений
числовые значения функций, состоящих из большого числа членов
и множителей, и, обнаруживая, что квадратный корень отношения
окружности к радиусу наиболее часто входит в эти значения, она
указывает, что в нее может входить бесконечное число других тран-
сцендентностей.

Были подчинены исчислению также вероятности свидетельских
показаний, подачи голосов и решений собраний, избирательных
и совещательных, и приговоров судов. Столько страстей, различ-
ных интересов и обстоятельств усложняет вопросы, относящиеся
к этим предметам, что они почти всегда неразрешимы. Но решение
задач, более простых и имеющих с ними большую аналогию, часто
может пролить свет на эти трудные и важные вопросы - свет, ко-
торый верность исчисления все же заставляет предпочесть самым
правдоподобным рассуждениям. Одно из самых интересных приме-
нений исчисления вероятностей касается средних значений, которые
следует выбирать из результатов наблюдений. Многие геометры
этим занимались, а Лагранж опубликовал в Мётоггез с!е Тигт пре-
красный метод для определения этих средних, когда закон ошибок
наблюдений известен. Я дал для этой же цели основанный на осо-
бенном искусстве метод, который может быть с пользой применяем
и в других вопросах анализа и который, позволяя распространять его
неопределенно на весь ход какого-либо длинного исчисления функ-
ций, ограниченных по роду задачи, указывает те изменения, которые
должен претерпеть каждый член конечного результата в силу этих
ограничений. Раньше мы видели, что каждое наблюдение дает ус-
ловное уравнение первой степени, которое всегда может быть рас-
положено таким образом, чтобы все его члены были в первой части,
при второй части равной нулю. Употребление этих уравнений явля-
ется одной из главных причин большой точности наших астроно-
мических таблиц, потому что этим способом можно было привлечь
большое число прекрасных наблюдений к содействию в определе-
нии их элементов. В том случае, когда требуется определить только
один элемент, Сд1е$ рекомендовал составить условные уравнения,
так чтобы коэффициент неизвестного элемента был в каждом из них
положительным, и затем сложить все эти уравнения, чтобы соста-
вить конечное уравнение, откуда извлекается числовое значение это-
го элемента. Правилу Сд^ез'ъ следовали все вычислители; но когда
нужно было определять несколько элементов, то не было никакого
определенного правила для сочетания условных уравнений с целью
получения необходимых конечных уравнений; выбирали только для
каждого элемента наблюдения, самые подходящие для его опреде-
ления. Чтобы избежать гадательности в этих способах, Лежандр
и Гаусс и придумали сложить квадраты первых частей условных
уравнений и сделать их сумму минимумом при изменениях каждого
неизвестного элемента; этим способом получается непосредственно
столько же конечных уравнений, сколько имеется элементов. Но за-
служивают ли числовые значения, определенные этими уравнения-
ми, предпочтения перед всеми теми значениями, которые можно по-
лучить другими способами? Это могло показать только исчисление
вероятностей. Я применил его к этому важному предмету и нашел,
с помощью тонкого анализа, правило, которое заключает в себе пре-
дыдущее и присоединяет к преимуществу, что оно дает посредством
определенного процесса искомые элементы, то преимущество, что
заставляет их выступать с наибольшей очевидностью из совокупно-
сти наблюдений и определяет числовые значения, при которых мож-
но опасаться только самых малых ошибок.

Но все же наше знакомство с полученными результатами еще
несовершенно, пока закон ошибок, которые в них возможны, неиз-
вестен; необходимо быть в состоянии указать вероятность, что эти
ошибки заключаются в данных пределах, что сводится к определе-
нию того, что я назвал весом результата. Анализ приводит к общим
и простым формулам, сюда относящимся; я применил этот анализ
к результатам геодезических наблюдений. Общая задача заключает-
ся в том, чтобы определить вероятности того, что числовые значения
одной или нескольких линейных функций ошибок очень большого
числа наблюдений заключаются в каких-либо пределах.

Закон возможности ошибок наблюдений вводит в выражение
этих вероятностей постоянную величину, числовое значение кото-
рой как будто требует знания этого закона, почти всегда неизвест-
ного. Эта постоянная величина может быть, к счастью, определена
с помощью самых наблюдений. При изысканиях астрономических
элементов она дана суммой квадратов разностей между каждым на-
блюдением и исчислением. Ввиду того, что равновероятные ошибки
пропорциональны квадратному корню этой суммы, можно посред-
ством сравнения этих квадратов оценить относительную точность
различных таблиц одного и того же светила. В геодезических опе-
рациях эти квадраты заменяются квадратами ошибок наблюден-
ных сумм трех углов каждого треугольника. Сравнение квадратов
этих ошибок дает возможность судить об относительной точности
инструментов, которыми были измерены углы. Из этого сравнения
видно, какое преимущество имеет повторительный круг перед ин-
струментами, которые он заменил в геодезии.

В наблюдениях часто существует много источников ошибок: так,
при определении положений светил с помощью меридианной трубы
и круга, обоих подверженных ошибкам, закон вероятности которых
не должен предполагаться одним и тем же, элементы, выведенные из
этих положений, затронуты этими ошибками. Условные уравнения,
которые мы составляем, чтобы получить эти элементы, содержат
ошибки каждого инструмента и имеют при них различные коэффи-
циенты. Самой выгодной системой множителей, на которые следу-
ет соответственно умножить эти уравнения, чтобы получить, по-
средством соединения произведений, столько конечных уравнений,
сколько элементов требуется определить, не является тогда больше
система коэффициентов элементов в каждом условном уравнении.
Примененный мной анализ легко приводит, каково бы ни было число
источников ошибок, к системе множителей, дающей самые выгод-
ные результаты, или же такие, в которых одна и та же ошибка менее
вероятна, чем при какой бы то ни было другой системе. Тот же анализ
определяет закон вероятности ошибок этих результатов. Эти форму-
лы содержат столько же неизвестных постоянных, сколько имеется
источников ошибок, и зависят от законов вероятности этих ошибок.
Мы видели, что в случае единственного источника можно опреде-
лить эту постоянную, составив сумму квадратов и остатков каждого
условного уравнения, после того как подставили в них найденные
для элементов числовые значения. Подобный процесс дает вообще
числовые значения этих постоянных, каково бы ни было их число,
что дополняет применение исчисления вероятностей к результатам
наблюдений.

Здесь я должен сделать одно важное замечание. Маленькое со-
мнение, которому оставляют место наблюдения, когда они не очень
многочисленны, относительно числовых значений постоянных,
только что мной упоминавшихся, делает немного сомнительны-
ми вероятности, определенные с помощью анализа. Однако почти
всегда достаточно знать, очень ли близка к единице вероятность,
что ошибки полученных результатов заключены в тесных пределах,
и если этого нет, достаточно знать, до каких пор следует увеличи-
вать число наблюдений, чтобы получить такую вероятность, которая
не оставляла бы места никакому разумному сомнению относитель-
но достоинства результата. Аналитические формулы вероятностей
прекрасно достигают этой цели, и в этом отношении они могут быть
рассматриваемы как необходимое дополнение наук, основанных
на совокупности наблюдений, доступных ошибкам. Они являются
даже неизбежными для решения большого числа вопросов в науках
естественных и нравственных. Точные причины явлений большей
частью или неизвестны, или слишком сложны, чтобы можно было
подвергнуть их исчислению; кроме того, их действие часто наруша-
ется случайными и непостоянными причинами; но следы его всег-
да остаются на событиях, произведенных всеми этими причинами,
и оно вносит в них изменения, которые могут быть определены
длинным рядом наблюдений. Анализ вероятностей раскрывает эти
изменения и определяет степень их правдоподобия. Так, среди не-
постоянных причин, которые возмущают атмосферу, периодические
изменения солнечной теплоты при переходе от дня к ночи и от зимы
к лету производят в давлении этой большой жидкой массы и в со-
ответствующей высоте барометра суточные и годовые колебания,
которые обнаруживаются из многочисленных барометрических на-
блюдений с вероятностью, по меньшей мере равной вероятности
фактов, рассматриваемых нами за достоверные. Точно так же и ряд
исторических событий обнаруживает постоянное действие великих
принципов нравственности среди различных страстей и интересов,
которые двигают во всех смыслах обществами. Замечательно, что
наука, начавшая с изучения игр, возвысилась до важнейших предме-
тов человеческого знания.

Я собрал все эти методы в моей «Аналитической теории вероят-
ностей», где я поставил себе целью изложить в самом общем виде
принципы и анализ исчисления вероятностей, так же как и решения
самых интересных и самых трудных задач, которые представляет это
исчисление.

Из этого труда видно, что теория вероятностей есть, в сущно-
сти, не что иное, как здравый смысл, сведенный к исчислению; она
заставляет оценивать с точностью то, что справедливые умы чув-
ствуют как бы инстинктом, часто не умея отдать себе в этом отчета.
Если принять во внимание аналитические методы, которые возник-
ли из этой теории, истинность принципов, служащих ей основани-
ем, утонченную и изящную логику, которой требует применение их
к решению задач, учреждения общественной пользы, опирающиеся
на нее, и распространение, которое она получила и может еще полу-
чить при применении ее к важнейшим вопросам натуральной фило-
софии и нравственных наук; если затем заметить, что даже в таких
областях, которые не могут быть подчинены исчислению, она дает
самые верные взгляды, которые могут нами руководить в наших су-
ждениях, и что она нас учит предохранять себя от иллюзий, которые
нас часто сбивают с пути, - мы увидим, что нет науки, более достой-
ной наших размышлений, и что было бы очень полезно ввести ее
в систему народного просвещения.
Карл Фридрих Гаусс

(1777-1855)

Жизнь и труды

В 1940 г. выдающийся британский математик Г. X. Харди
писал:

«Число 317 -простое не потому, что мы так думаем, и не пото-
му, что наши умы устроены так, а не иначе, а потому, что так
устроена математическая реальность».

Может ли такое отношение к математике объяснить, почему Карл
Фридрих Гаусс, бесспорно величайший математик всех времен, не
опубликовал свою работу по неевклидовой геометрии потому, что он
искал и не нашел ее эмпирического подтверждения? Возможно, но
мы никогда не узнаем наверняка. С уверенностью мы знаем только
широту математических дарований и достижений Гаусса.

Таланты Гаусса стали очевидны, как только он ступил в школь-
ную классную комнату в возрасте семи лет. Когда в классе учени-
ки начали баловаться, учитель Дж. Бюттнер поставил перед ними
задачу сложить все целые числа от 1 до 100. Пока одноклассники
Гаусса корпели над расчетами на своих грифельных досках, Гаусс
немедленно записал ответ: 5050. Как только задача была поставлена,
Гаусс понял, что набор целых чисел от 1 до 100 идентичен 50 па-
рам целых чисел, каждая из которых складывается до 101 : ({1, 100},
{2, 99}, ..., {50,51}).

Герр Бюттнер попытался убедить родителей Гаусса оставить
сына после школы для специального обучения математике, но они
поначалу отнеслись к этому скептически. Они признали вычисли-
тельные способности своего сына, когда в возрасте трех лет он ис-
правил ошибку, допущенную его отцом при выплате заработной пла-
ты людям, которые работали на него. Однако у старших Гауссов был
очень ограниченный кругозор. Отец Гаусса Гебхард, родившийся
в 1744 г., был садовником и бригадиром, происходившим из бедных,
неграмотных рабочих, которые не преуспели, оторвавшись от кре-
стьянских корней, и превратились в низший средний класс. Его мать,
в девичестве Доротея Бенце, 1743 г. рождения, работала горничной,
до того как стала второй женой Гебхарда в 1776 г. Их единственный
сын Карл Фридрих родился годом позже в городе Брунсвик, столице
одноименного герцогства.

В одном отношении Гауссу очень повезло: обладавшие огра-
ниченным кругозором родители не злоупотребляли его талантами.
В противном случае они могли бы возить его повсюду и показывать
всем, как он производит гениальные вычисления, почти так же, как
отец Моцарта возил молодого Вольфганга на гастроли, чтобы пока-
зать музыкальный талант вундеркинда. К подростковому возрасту
Гаусс разработал два метода вычисления квадратных корней с точ-
ностью до 50 знаков после запятой. Считается, что он читал табли-
цы логарифмов и обнаружил небольшие ошибки во многих местах
справа от десятичной запятой. Эта способность к вычислениям со-
служит Гауссу хорошую службу в дальнейшем.

К счастью, ему предстояло получить образование, надлежащее
для человека с его дарованиями: в возрасте 11 лет Гаусс поступил
в местную гимназию, где получил основательное классическое об-
разование. Реальное же математическое образование заключалось
в индивидуальных занятиях после школы, когда в свободное время
он с головой погружался в «Начала» Ньютона и «Искусство предпо-
ложения» (Л/х соп^есШпсК) Бернулли. Гаусс добился таких успехов
в гимназии, что в возрасте 15 лет Карл Вильгельм Фердинанд, гер-
цог Брауншвейгский, выделил Гауссу стипендию для продолжения
образования в Коллегиум Каролинум, брауншвейгском техническом
университете.

Классическое образование и научная подготовка Гаусса были
достойны выпускника Коллегиума: три года спустя, в 1795 г., он по-
кинул это учебное заведение. К тому времени количества работ по
математике, выполненных Гауссом, было достаточно, чтобы сделать
карьеру. В эти годы Гаусс впервые предложил аппроксимации для
, функции для подсчета количества простых чисел, меньших п.

Гаусс предложил следующее выражение:

/ \ п
Ап) - -—
1п п

(1п п - это натуральный логарифм от числа п) и далее переобозначил
я (и) = 1л(и), где

ы(л)= гп^_
у л 2 1пи ’

Всегда стремящийся все рассчитать, Гаусс вычислил число про-
стых чисел и проверил формулу до п = 3 000 000.

Гаусс быстро прошел курс обучения в Коллегиуме и поступил
в Геттингенский университет, который был расположен в 100 кило-
метрах от Брунсвика, а не в официальный университет герцогства
в соседнем городе Хельмштедте, вероятнее всего потому, что в Гет-
тингене была библиотека по высшей математике. Удивительно, но,
согласно записям Геттингена, Гаусс брал гораздо больше книг по гу-
манитарным наукам, чем по математике. А из его записных книжек
можно узнать, что он гораздо больше уважал своего профессора по
классическим дисциплинам, чем профессора математики. Однако
математическое призвание быстро одержало верх.

Грекам было известно, что правильные многоугольники с тремя,
пятью или пятнадцатью сторонами могут быть построены с помо-
щью линейки и компаса. Таким же образом мог быть построен любой
правильный многоугольник с числом сторон, равным степени двой-
ки, умноженной на три, пять или пятнадцать. Это был предел научно-
го знания на протяжении двух тысячелетий. В 1796 г. Гаусс обнару-
жил, что 17-гранный правильный многоугольник также может быть
построен с помощью классических геометрических инструментов:
линейки и компаса. Он быстро понял, что подобное правило действи-
тельно и для любого правильного многоугольника с числом сторон,
которое является произведением степени двойки и любого количества
простых чисел Ферма. Простое число Ферма-это простое число вида
2^+1, где Асамо по себе является степенью двойки. Ферма (1601-1665)
считал, что все числа вида 2^ + 1, где А - степень двойки, являются
простыми числами. Легко видеть, что, например, числа 3, 5, 17 и 257
обладают этим свойством. С помощью несложных расчетов вы сами
можете на бумаге увидеть, как это делал Ферма, что 65 537 = (216 + I) -
это простое число. Следующий кандидат в простое число Ферма-это
4 294 967 297 = (232 + 1). Мы не можем винить Ферма за то, что он не
нашел, что 641 - наименьший простой делитель этого числа. Велико-
му математику Леонарду Эйлеру понадобилось почти целое столетие,
чтобы понять это. В своих записных книжках Гаусс предположил, что
других простых чисел Ферма не существует. На сегодняшний день ни
одного из них не обнаружено.

Гаусс был так обрадован этим результатом, что это убедило его
продолжить карьеру в области математики. После двух лет в Геттин-
гене он понял, что никто из преподавателей не может ему помочь,
поэтому он вернулся домой в Брунсвик, чтобы написать доктор-
скую диссертацию. В качестве темы он выбрал фундаментальную
теорему алгебры, гласящую, что каждое полиномиальное уравнение
степени п с комплексными коэффициентами имеет ровно п корней
в комплексных числах. Его диссертация была первым из четырех до-
казательств, к которым он пришел за всю карьеру.

Освободившись от необходимости писать работу на заданную
тему, Гаусс переключил внимание на теорию чисел. Теория чисел
восходит к грекам: доказанные Евклидом бесконечность количе-
ства простых чисел и форм четных совершенных чисел — древ-
нейшие знания, полученные в этой области. Время от времени
добавлялись новые результаты или выдвигались новые гипотезы.
В XVII веке французский математик Пьер де Ферма, современ-
ник Декарта, выдвинул знаменитую гипотезу о том, что уравнение
хп + уп = не имеет нетривиальных решений в целых числах
для п > 2. Арабы добились некоторого прогресса для случаев п = 3
и п = 4. Однако полное доказательство последней теоремы Ферма
появилось только в 1995 г. За 50 лет до Гаусса Лагранж представил
первое доказательство того, что каждое целое число может быть вы-
ражено как сумма не более четырех квадратов, а Гольдбах предполо-
жил, что каждое четное число, отличное от 2, может быть выражено
как сумма двух простых чисел. В 1770 г. английский математик опу-
бликовал утверждение теоремы, впервые предложенной его бывшим
учеником Джоном Уилсоном.

Целое число р - простое тогда и только тогда, когда р делит
(р-1)! + 1.

Напомним, что и! = 1- 2- 3- 4- ...-(и — 1)-и и называется фак-
ториалом числа п. Учитывая скорость, с которой растет п\. Уоринг
отчаялся когда-либо получить представление, позволяющее дока-
зать гипотезу, истинность которой едва ли могла быть установлена
в частных случаях.
Когда Гаусс начал работу над своим эпохальным трудом «Ариф-
метические исследования» (ГНздшзШопез агИктеНсаё). приведен-
ным в этой книге, теория чисел была просто набором изолированных
результатов. Узнав об отчаянии Уоринга, Гаусс, как полагают, заме-
тил, что математика имеет дело с понятиями, а не представлениями.
В «Арифметических исследованиях» Гаусс ввел понятие конгруэнт-
ности и тем самым построил единую теорию чисел. Два целых числа
х и у конгруэнтны по модулю целого числа г тогда и только тогда,
когда разность этих чисел (х-у) делится на 2. Следуя Гауссу, мы вы-
ражаем это отношение конгруэнтности следующим образом:

х = у(шос! ^).

Этот мощный аналитический метод был положен в основу «Ариф-
метических исследований», сборника результатов Гаусса в теории
чисел, который он опубликовал в возрасте 24 лет. Сборник был раз-
делен на семь разделов:

1.	Конгруэнция чисел в целом

2.	Конгруэнции первой степени

3.	Степенные вычеты

4.	Конгруэнции второй степени

5.	Квадратичные формы

6.	Приложения

7.	Деление круга

С понятием конгруэнтности и компактного представления кон-
груэнтности Гаусс легко сформулировал теорему Уилсона следую-
щим образом:

Целое число р является простым тогда и только тогда, когда
(р-1)! =-1 (тос!р),
а также сформулировал и доказал дополнение к теореме Вильсона:

Если п- составное число, отличное от 4, то (п -1)! = 0 (той п).

Эти результаты лишь намекали на силу конгруэнтности как ма-
тематического инструмента. В 1795 г., еще находясь в Коллегиуме,
Гаусс открыл закон квадратичной взаимности, который был сфор-
мулирован и неполно доказан лишь десятилетием ранее 33-летним
французским математиком Адрианом Мари Лежандром. На языке
конгруэнций закон квадратичной взаимности гласит:

Если р и с/ - простые числа, оба не конгруэнтные 3 по модулю 4,
то либо оба уравнения х2 = р(шос! д) и х2 = д(шос1 р) разреши-
мы, либо ни то, ни другое не разрешимо.

Если р и с/ - простые числа, оба конгруэнтные 3 по модулю 4, то
разрешимо ровно одно из уравнений
х2 = р (той ц) или х1 = д(тос1 р).

Заметьте, что эта теорема нигде не приближается к разрешению
вопроса о том, является ли р фактически изолированным квадратич-
ным вычетом по модулю д. Другими словами, теорема просто позво-
ляет заменить одно сложное числовое вычисление (например, явля-
ется ли 257 простым по модулю 65 537) более простым числовым
вычислением (является ли 65 537 простым по модулю 257). (Первый
шаг состоит в том, чтобы уменьшить 65 537 до его остатка по мо-
дулю 257, который равен 2, а затем определить, является ли 2 квадра-
тичным остатком по модулю 257.)

Гаусс сформулировал закон квадратичной взаимности, назвав его
золотой теоремой (1кеогет аигеит), драгоценным камнем арифме-
тики (&етта агИктеИсаё). Саму арифметику (так он называл тео-
рию чисел) Гаусс считал королевой математики. Математику же он
называл королевой наук.

В начале 1801 г. герцог Брауншвейгский повысил стипендию
Гаусса. Однако Гаусс чувствовал, что он мало что сделал, чтобы
заслужить повышение. С появлением в печати «Арифметических
исследований» Гаусс искал новые поля для исследований и обра-
тил свое внимание на теорию планет. В январе 1801 г. итальянский
астроном Джозеф Пьяцци кратковременно наблюдал нечто, что он
считал новой планетой, и потерял ее из виду. Гаусс провел большую
часть 1801 г., совершенствуя теорию планетных возмущений, что-
бы использовать истинные эллипсы, а не круговые приближения.
Гаусс предположил, что загадочное тело было астероидом, а не но-
вой планетой. В конце года астрономы обнаружили астероид Цере-
ра именно там, где должен был находиться согласно примененным
усовершенствованным методам Гаусса. Открытие Цереры принесло
Гауссу подлинную мировую славу. В январе 1802 г. Академия наук
в столице России Санкт-Петербурге избрала его членом-корреспон-
дентом. Гаусс чувствовал себя так, словно действительно заслужил
герцогского повышение жалованья.

Герцог снова повысил стипендию Гаусса в 1803 г. Возросший
доход, возможно, побудил Гаусса задуматься о своем личном поло-
жении. В 1805 г. Гаусс удивил всех вокруг, объявив о своей помолвке
с Йоханной Остхофф после годичного ухаживания. Он писал свое-
му другу Бойяи: «Вот уже три дня этот ангел, слишком возвышен-
ный для нашей земли, - моя невеста... Жизнь лежит передо мной,
как вечная весна с сияющими красками». Они поженились 9 ок-
тября 1805 г. Какое-то время Гаусс ощущал себя в самом расцвете
сил. Его покровитель вознаградил его значительным повышением
после женитьбы, возможно мотивированным предложением места
в Санкт-Петербурге. Первый ребенок Гаусса Джозеф, названный
в честь первооткрывателя Цереры, родился 21 августа 1806 г. Через
полтора года, 29 февраля 1808 г., родилась дочь, которой при креще-
нии дали имя Вильгельмина.

К несчастью для Гаусса, его блаженная весна продлилась не-
долго. В ноябре 1806 г. герцог Фердинанд умер от ранения, которое
получил, проиграв битву при Ауэрштедте Наполеону в предыдущем
месяце. После победы Наполеона в Германии Геттинген оказался
в составе Вестфальского королевства, французского вассального го-
сударства. Как профессор, Гаусс должен был заплатить 2000 фран-
ков налога, небольшое состояние в те дни. Астроном Ольберс послал
Гауссу необходимые средства для уплаты налога, однако Гаусс отка-
зался от его милости. Затем Гаусс получил письмо от французского
математика Лапласа, который сказал, что считает честью уплатить
налог и снять с Гаусса обязательство. Гаусс снова отклонил пред-
ложение, но не из-за неприязни к французу. Гаусс очень уважал Ла-
пласа, а Лаплас-Гаусса. Когда Лапласа однажды спросили, кто был
величайшим математиком в Германии, он сразу же назвал Пфаффа,
который номинально руководил докторской диссертацией Гаусса.
Когда его спросили, почему он не назвал Гаусса, Лаплас немедленно
ответил: «Гаусс - величайший математик в мире!» В конце концов,
анонимный меценат отправил Гауссу деньги, чтобы заплатить налог.
Не имея возможности расплатиться со своим неизвестным благоже-
лателем, Гаусс регулярно делал пожертвования на благотворитель-
ность с процентами, как бы выплачивая ссуду за пожертвованную
сумму.

Гаусс недолго прожил в браке с Джоанной. Она умерла через ме-
сяц после рождения их третьего ребенка, Людвига, в 1809 г. К сожа-
лению, Людвиг умер пять месяцев спустя. Через год после смерти
Джоанны Гаусс женился на Минне Вальдек, лучшей подруге Джо-
анны. Мы можем только предполагать, что Гаусс, возможно, был
мотивирован необходимостью найти мачеху для своих троих детей.
У Гаусса было еще трое детей от Минны, прежде чем она заболела,
сначала туберкулезом, а затем тем, что было диагностировано как
истерический невроз. Гаусс и Минна были вечно несчастны до са-
мой ее смерти в 1831 г.

В начале XIX в. Париж оставался центром математическо-
го мира. Геттинген был в лучшем случае отдаленным форпостом.
Гаусс время от времени переписывался с математическими гиган-
тами Франции, но никогда не утруждал себя посещением Парижа.
В Германии не было ни одного математика, который был бы бли-
зок ему по положению в период расцвета его карьеры, и мало кто
был достоин переписки. Учитывая посредственное положение дел
в немецком математическом сообществе, неудивительно, что Гаусс
выбрал должность профессора астрономии и директора обсервато-
рии в Геттингене. Стань он профессором математики, ему пришлось
бы тратить время на преподавание математики равнодушным сту-
дентам.

Возможно, именно отсутствие уроков математики дало Гауссу
свободное время, чтобы исследовать последствия отрицания посту-
лата Евклида о параллельности - исследования, которые он начал
в студенческие годы, а затем отложил. По-видимому, он проделал
эту работу почти против воли, с трудом вынося мысль о том, что по-
стулат о параллельности может оказаться неверным. Он никогда не
мог позволить себе опубликовать эту работу. Мы знаем о ней только
из его записных книжек.

Современники Гаусса считали его ученым-математиком, пи-
тавшим большой интерес к прикладной и даже эмпирической ма-
тематике. Его интерес к геодезии - математике межевания и пред-
ставления о поверхности Земли - является хорошим примером его
сильных эмпирических наклонностей. В 20 с небольшим Гаусс тру-
дился над проблемами геодезии, но затем отложил работу почти на
два десятилетия. В 1817 г., в возрасте 40 лет, он вернулся к этой теме,
взяв на себя ответственность за геодезическую съемку Ганновера.
В течение нескольких лет Гаусс проводил летние месяцы, исследуя
землю, и проводя большую часть остального года, анализируя дан-
ные. Неудовлетворенный стандартными геодезическими методами
измерения, основанными на прицельных лампах или факелах, Гаусс
изобрел новый метод с использованием устройства, называемого ге-
лиотропом. Он использовал зеркала для отражения световых лучей
в телескопы с малой апертурой.

Геодезические работы Гаусса помогли ему найти эмпирическое
подтверждение неевклидовой геометрии. В рамках одной из сво-
их съемок он измерил углы треугольника, образованного горными
вершинами северных немецких вершин Гогенхаген, Брокен и Ин-
сельсберг. Измерение этого треугольника со сторонами длиной от
45 до 70 миль оказалось неубедительным. Гаусс рассчитал сумму
углов треугольника, равную 180 0х(1 на 43,200), достаточно
близкую к 180, чтобы быть обусловленной погрешностью изме-
рения. Благодаря общей теории относительности Эйнштейна мы
теперь знаем, что сумма углов такого треугольника превышает 180°
на «КГ17» (1 на 1021)!

Без каких-либо эмпирических данных Гаусс решил не публи-
ковать ни одной своей работы по неевклидовой геометрии. Однако
когда в 1831 г. он получил известие о том, что венгерский математик
Янош Бойяи опубликовал работу, демонстрирующую непротиворе-
чивость неевклидовой геометрии, он ответил отцу Яноша Фаркашу,
старому другу:

«Хвалить его работу - это все равно что хвалить самого себя.
Все содержание работы... почти точно совпадает с моими соб-
ственными размышлениями, которые занимали мой ум в тече-
ние последних тридцати или тридцати пяти лет».

Гаусс подумал, что он просто констатирует факт. Оба Бойяи
восприняли письмо Гаусса как большое оскорбление и как попытку
украсть приоритет.

В 1824 г. Гаусс получил значительное повышение жалованья,
первое повышение с 1807 г. Через год он получил большую премию
за геодезические работы. Эта новообретенная финансовая щедрость
пришла в очень удачный момент его жизни, как раз когда Гаусс начал
страдать от астмы и сердечного недуга. К 1825 г. физическое бремя
летних съемок стало для него непосильным, и он удовлетворился
наблюдением за съемками и выполнением всех расчетов. Было под-
считано, что он сам обработал более миллиона единиц числовых
данных. Неудивительно, что даже в конце жизни Гаусс нашел но-
вые области применения своего таланта вычислителя. В 1840-х гг.
он взял на себя задачу поставить Пенсионный фонд университета на
прочную страховую основу. Должно быть, Гаусс хорошо разбирался
в инвестициях. Когда он умер, его состояние оказалось в 200 раз пре-
вышающим его годовой доход.

С годами Гаусс начал привлекать нескольких студентов на свои
случайные математические лекции. Любой, кто посещал его лек-
ции по теории чисел в 1809 г., теории криволинейных поверхностей
в 1827 г. или методу наименьших квадратов в 1851 г., должен был
считать себя исключительно удачливым. Бернхард Риман и Рихард
Дедекинд, труды которых были включены в эту книгу, оказались сре-
ди счастливчиков. Их поколение сделало Геттинген центром матема-
тической вселенной.
Гаусс сопротивлялся физическим недугам, пока ему не пере-
валило за 70 лет: умер 23 февраля 1855 г., за два месяца до своего
78-го дня рождения.

В завещании Гаусс оговорил, что на его могильном камне дол-
жен быть вырезан правильный 17-гранный многоугольник. Однако
этому не суждено было сбыться. Каменщик, которому поручили
это задание, подумал, что зрители перепутают 17-гранный правиль-
ный многоугольник с кругом, и вырезал 17-конечную звезду. Хотя
каменщик, возможно, и не следовал инструкциям Гаусса, он все же
отметил Гаусса как звезду, величайшую звезду на математическом
небосводе.
ТРУДЫ ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

Раздел III

О СТЕПЕННЫХ ВЫЧЕТАХ

Вычеты членов геометрической прогрессии,
начинающейся с единицы, образуют периодический ряд

45.	Теорема. В каждой геометрической прогрессии 1, а. а2, а3,
.... кроме первого члена 1, имеется еще и другой член а*,
сравнимый с единицей по взаимно простому с а модулю р.
с показателем I < р .

Доказательство. Так как модуль р взаимно прост с а. а потому
и с любой степенью а. то среди членов прогрессии нет = 0 (шос!р).
и потому каждый из них сравним с одним из чисел 1, 2, 3,
(р - 1). Так как количество этих чисел равно р - 1, то очевидно, что
если взять более чем р - 1 членов прогрессии, их наименьшие выче-
ты не могут быть все различны. Поэтому среди членов 1, а. а2, а3. ....
ар ~ 1 найдутся по крайней мере два сравнимых между собой. Пусть
ат = ап и т > п; деля на ап. мы получим ат~п = 1 (и. 22), где
т — п< р и > 0.

Пример. В прогрессии 2, 4, 8, ... первым членом, сравнимым
с единицей по модулю 13, оказывается 212 = 4096. В той же прогрес-
сии по модулю 23 имеем: 2П = 2048 = 1. Точно так же шестая сте-
пень числа 5, т.е. 15 625, сравнима с единицей по модулю 7, а пятая,
3125, - по модулю 11. Таким образом, в некоторых случаях уже срав-
нима с единицей степень с показателем, меньшим, чем р- 1, в дру-
гих же случаях бывает нужно доходить до (р- 1)-й степени.

46.	Если прогрессию продолжить за тот член, который
сравним с единицей, то дальше будут повторяться те же са-
мые вычеты, которые были вначале. Именно, если а* = 1,
а*+Г = а. а*+2 = а . и т.д., до члена а2*. наименьший вычет кото-
рого опять есть 1, а затем период вычетов начинается снова. Мы по-
лучаем, таким образом, период, содержащий / вычетов, который по-
сле того как он оканчивается, снова повторяется сначала. При этом
во всей прогрессии не может встречаться других вычетов, кроме тех,
которые содержатся в этом периоде. Вообще, аП11 = 1 и аП11+п = ап.
что в наших обозначениях мы представим так:

Если г = р (шосИ), то аг = а$ (шос! р).
47.	Из этой теоремы получается простой способ отыскания вы-
четов степеней со сколь угодно большими показателями, если из-
вестно, какая степень сравнима с единицей. Если, например, нужно
найти остаток от деления степени З1000 на 13, то имеем /= 3, так как
З3 = 1 (шос! 13). Так как 1000 = 1 (той 3), то З1000 = 3 (шос! 13).

48.	Если я7 есть наименьшая степень, сравнимая с единицей
(не считая случая я0 = 1, который мы здесь не принимаем во внима-
ние), то все I членов, которые образуют период вычетов, различны,
что без труда можно усмотреть из доказательства в и. 45. Поэтому
теорему из и. 46 можно обратить, именно: если ат = ^(шос!/?),
то т = п (шос! /). Действительно, если бы т. п по модулю I были
не сравнимы, то их наименьшие вычеты были бы различны. Но если
а^ = ат. ау = а11. то а^ = а\ т.е. не все степени, меньшие а*. не
сравнимы между собой, что приводит к противоречию.

Если, в частности, ак = 1 (шос!р). то к = 0 (шос! /), т.е. к де-
лится на /.

До сих пор речь шла о любых модулях, лишь бы они были вза-
имно просты с а. Теперь мы специально рассмотрим модули, являю-
щиеся простыми числами, а потом на основе этого построим более
общее исследование.

Сначала рассматриваются модули,
которые являются простыми числами

49.	Теорема. Если р-простое число, которое не входит в а, и а*
есть наименьшая степень а. которая сравнима с единицей
по модулю р. то показатель I или равен р - 1, или является
делителем этого числа.

(Ср. примеры из и. 45.)

Доказательство. Так как мы уже показали, что I или = р - 1,
или <р—\. нам остается только убедиться, что в последнем случае I
всегда будет делителем р - 1.

I. Возьмем наименьшие положительные вычеты всех чле-
нов 1, а. а2, а3. .... а* ~ 1 и обозначим через ос, ос7, ос77,..., так что
ос = 1, ос7 = а. а" = а2 . ... Очевидно, что все они различны, так как
если бы два члена ат. ап имели один и тот же вычет, то (считая, что
т > п) должно было бы быть ат~п = 1 \а т-п < Ц что невозмож-
но, потому что по условию никакая степень, меньшая, чем а*. не
сравнима с единицей. Далее, все числа ос, ос7, ос77,... содержатся
в ряду чисел 1, 2, 3, ....р- 1, но не исчерпывают его целиком, так как
7 < р - 1. Совокупность всех чисел ос, ос7, ос77,... мы обозначим че-
рез (Л). Таким образом, (Л) содержит / членов.
И. Выберем теперь из ряда 1, 2, 3, ..., р- 1 какое-нибудь чис-
ло Р, не входящее в комплекс (Л), перемножим р со всеми числа-
ми ос, ос7, ос77,... и обозначим через Р, р7, р77,... наименьшие выче-
ты этих произведений, число которых тоже равно /. Эти вычеты
должны быть все отличны как один от другого, так и от всех чисел
ос, ос7, ос77,... Именно, если бы первое утверждение было неверно, то
мы имели бы, например, $ат = Ра", и потому, после деления на Р
ат = ап, что противоречит доказанному выше; если же второе
утверждение было бы ложным, то мы имели бы, скажем, $ат = а1,
откуда (считая, что т < п) Р = ап~т, т.е. Р было бы сравнимо с од-
ним из чисел ос, ос7, ос77, ..., что противоречит предположению. Если
же т > 77, то после умножения на а~т мы получим Рос7 = а+п~т,
или, учитывая, что а7 = 1, Р = а^п~т. что невозможно по той же
самой причине. Если совокупность всех чисел Р, р7, р77, ..., количе-
ство которых равно Д обозначим через (5), то в обеих совокупно-
стях (Л) и (В) будет уже 2/ чисел из ряда 1,2, 3,	р-1. Поэтому

если (Л) и (В) охватывают все эти числа, то I = {р — 1)/2 и теорема
доказана.

III.	Если же некоторые числа еще не содержатся в (Л) и (5),
то пусть одно из них есть у. Перемножим его со всеми числами
ос, ос7, ос77,..., обозначим наименьшие вычеты произведений через
у, у7, у77, ..., а совокупность всех этих вычетов - через (С). Тогда (С)
тоже будет содержать / чисел из ряда 1,2, 3,	1 и все они будут

отличны как один от другого, так и от чисел, содержащихся в (Л)
и (В). Первые два утверждения доказываются так же, как и и. II,
а третье, следующим образом. Если бы было уат = $ап, то имело
бы место или у = $ап~т, или у =	, в зависимости от того,

т < п или т > и; в обоих случаях у было бы таким образом, вопреки
предположению, сравнимо с одним из чисел, содержащихся в ком-
плексе (В). Поэтому мы имеем теперь 3/ чисел из ряда 1, 2, 3, ...,
р -1, и если других больше нет, то I = {р — 1)/3 и теорема доказана.

IV.	Если другие числа все еще имеются, то нужно таким же спо-
собом построить четвертую совокупность чисел (/)). Так как количе-
ство чисел 1, 2, 3, .. .,р-1 конечно, оно рано или поздно будет исчер-
пано и окажется кратностью /. Таким образом, / есть делитель р- 1.

Теорема Ферма

50.	Таким образом, (р - 1)// есть целое число, и возводя обе
части сравнения = 1 в ——--ю степень, мы получим ар~1 = 1
т.е. разность ар — 1 всегда делится нар. еслир-простое число,
не входящее в а.

Эта теорема, которая заслуживает величайшего внимания как
вследствие ее изящества, так и ввиду ее выдающейся пользы, обыч-
но называется по имени нашедшего ее математика теоремой Ферма
(см. ЕегтаШ Орега МаФетаИса1. ТЫозае. 1679, р. 163). Ферма не
дал доказательства, но утверждал, что обладает им. Эйлер впервые
опубликовал доказательство в сочинении ТеогетаСит диогипс!ат
ад питегоз рптоз зрес1апНит <Зетопз1гаИо. Сотт. АсасР Ре1гор..
Т. VIII60. Оно базируется на разложении степени (а + Р)Р. из вида
коэффициентов которого очень легко вывести, что (а + I )/9 - ар - 1
всегда делится на р, а потому (а + Р)Р ~(а + 1) будет делиться на р.
если делится аР-а. Но так как 1р-1 всегда делится на р, то это име-
ет место и для 2р-2, а потому и для Зр-3 и т.д., вообще, для аР-а.
Поэтому, если р не входит в а. то и аР ~ М будет делиться на р. Ска-
занного достаточно, чтобы сделать ясным сущность метода. Подоб-
ное же доказательство дал Ламберт в Ас1а ЕгшШ.. 1789, р. 109. Так
как, однако, разложение степени бинома в значительной степени ка-
залось чуждым теории чисел, Эйлер нашел другое доказательство,
которое содержится в СоттепР поу. Ре/гор.. Т. VII, р. 70 и полно-
стью совпадает с данным нами в предыдущем пункте. В дальнейшем
нам встретятся еще и другие доказательства. В этом же месте мы
приведем пока еще одно, которое базируется на принципах, подоб-
ных первому доказательству Эйлера. Следующая теорема, для кото-
рой теорема Ферма является просто частным случаем, найдет ниже
применение и при других исследованиях.

51.	Если р-простое число, то р-я степень многочлена а + Ъ +
с + ... сравнима по модулюр с выражением аР + & + ср + ...

Доказательство. Как известно, р-я степень многочлена а + Ь +
+ с ... образуется из чисел вида ка°7Л7..., где а + Р + у +... = р
и число к указывает, сколькими способами можно переставлять р
предметов, из которых а, Р, у, ... соответственно равны а. Ь. с. ...

60 В более раннем сочинении он еще не достиг цели (Сотт. АссиЗ. Ре1гор., Т. VI,
р. 106). В известном споре между Мопертюи и Кенигом, который возник по поводу прин-
ципа наименьшего действия, но скоро перекинулся на другие предметы, Кениг утверждал
о существовании письма Лейбница, в котором содержится доказательство, полностью со-
впадающее с доказательством Эйлера (Арре1аи риЪПс, р. 106). Однако даже если бы мы
и не сомневались в этом свидетельстве, все же нужно отметить, что Лейбниц заведомо
нигде не опубликовал своего открытия (ср. 33181, (Зе ГАс. (Зе ВегПп, Аппёе, 1750, р. 530).
Но выше, в п. 4161, мы показали, что это число всегда делится на
р. если только не все предметы равны, т.е. если среди чисел а, р, у,
...не все, кроме одного, равного р. равны 0. Отсюда следует, что у
(а + Ь + с + ...у7 все члены, за исключением ЪР. ср .... делятся на
р. Поскольку речь идет о сравнении по модулю р. их можно совсем
отбросить, и тогда получится

(а + Ь + с + ...у = аР + ЬР + ср + ...

Если теперь все величины а.Ъ.с. ... равны 1, а число их равно к.
то будет кР = к. как и в предыдущем пункте.

О количестве чисел, которым соответствуют периоды,
у которых количество членов равно заданному
делителю числа р -1

52.	Так как никакие числа, кроме делителей р- 1, не могут быть
наименьшими показателями степеней, в которые надо возводить
какие-нибудь числа, чтобы сделать их сравнимыми с единицей, то
возникает вопрос, все ли делители р - 1 здесь пригодны, и, далее,
если все не делящиеся на р числа разбить на классы по показателям
их наименьших сравнимых с единицей степеней, то сколько чисел
будет приходиться на отдельные показатели. При этом можно сразу
заметить, что достаточно рассматривать лишь все положительные
числа от 1 до р - 1. Действительно, очевидно, что сравнимые между
собой числа нужно возводить в одну и ту же степень, чтобы сделать
их сравнимыми с единицей, и потому каждое число соответствует
тому же самому показателю, что и его наименьший положительный
вычет. Мы должны, таким образом, направить наше внимание на то,
чтобы установить, как числа 1,2, 3, ....р- \ разбиваются с этой точ-
ки зрения по отдельным сомножителям числар-1. Если ^-делитель
р - 1 (к которым надо причислять также 1 и р - 1), то ради краткости
через \|/(б/) мы будем обозначать количество положительных, мень-
ших чем р. чисел, для которых б/-я степень есть наинизшая из всех
сравнимых с единицей.

53.	Для того чтобы это исследование было легче понять, мы рас-
смотрим сначала один пример. Дляр = 19 числа 1, 2, 3, ..., 18 распре-
деляются по делителям числа 18 следующим образом:

61 Здесь и далее по пунктам, не представленным в книге, см. К.Ф. Гаусс. Труды по
теории чисел. Под ред. ак. И.М. Виноградова. М.: Изд-во Академии Наук СССР, 1959.
2	18

3

6

9

18

7, 11

8, 12

4, 5, 6, 9, 16, 17

2, 3, 10, 13, 14, 15

Таким образом, в этом случае \|/(1) = Ь ж(2) = 1, \|/(3) = 2,
\|/(6) = 2, \|/(9) = 6, \|/(18) = 6. Нетрудно подметить, что каждому по-
казателю принадлежит столько же чисел, сколько имеется чисел, ко-
торые не больше его и с ним взаимно просты или что, по крайней
мере в этом случае, в обозначениях и. 39 имеет место \|/(<7) = ф(<7).
То, что это замечание верно всегда, мы можем доказать следующим
образом.

I. Если имеется какое-нибудь число а. которое принадлежит по-
казателю с! (т.е. у которого (7-я степень сравнима, а все более низ-
кие степени не сравнимы с единицей), то все его степени а2. а3.
а4. ..., а^ или их наименьшие вычеты тоже обладают первым свой-
ством (именно тем, что их (7-е степени сравнимы с единицей), а так
как это можно выразить еще и так, что наименьшие вычеты чисел
а. а2. а3. .... (которые все различны между собой) являются кор-
нями сравнения хс/ = 1, а это сравнение не может иметь более чем
с1 различных корней, то ясно, что, кроме наименьших вычетов чи-
сел а. а2, а3. ... а^. между 1 ир - 1 включительно нет других чисел,
(7-я степень которых сравнима с единицей. Отсюда следует, что все
принадлежащие показателю с1 числа содержатся среди наименьших
вычетов чисел а. а2, а3. .... а^. Каковы их значения и как велико их
количество, можно определить так: если к-число, взаимно простое
с (7, то все степени числа ак. показатели которых меньше, чем (7, не
сравнимы с единицей. Действительно, пусть \/к = т(шос1(7), тогда
акт = а', поэтому если бы е-я степень числа ак с е < с! была сравнима
с единицей, то было бы также акте = 1, откуда, вопреки предполо-
жению, ае = 1. Отсюда вытекает, что наименьший вычет числа ак
принадлежит показателю (7. Если же к имеет с (7 какой-нибудь общий
делитель 8, то наименьший вычет числа ак не принадлежит показате-
лю (7, так как у него уже (7/8-я степень сравнима с единицей (именно,
/<<7/8 будет делиться на (7, т.е. = 0 (шоб (7), и потому ака/3 = 1). Отсю-
да следует, что показателю (7 принадлежит столько чисел, сколько
среди чисел 1, 2, 3, ....с!имеется взаимно простых с сП. Однако надо
иметь в виду, что этот вывод основывается на предположении, что
одно число а. принадлежащее показателю <7, уже имеется. Поэтому
не исключена возможность, что какому-нибудь показателю вообще
не принадлежит никакого числа, т.е. мы пока получили только то,
что \|/(<7) или = 0, или = ф(<7).

54.	II. Если теперь <7, <7', сГ... суть все делители числа/? -1, то так
как все числа 1,2, 3, ....р-1 распределены между этими делителя-
ми, имеет место равенство

\|/(<7) +	+ ж(<7") + ... = р-1.

Но в п. 40 мы доказали, что

ф(<7) + ф(аГ) + ф(<7") + ... = р- 1,
а из предыдущего пункта следует, что \|/(<7) может быть или равно
ф(<7), или меньше, но не больше, чем у(<Д и так же обстоит дело
для \|/(<7') и и т«д. Если какой-нибудь член (или несколько чле-
нов) ряда у(<7),	у(<7"), • • • был бы меньше, чем соответствующий

член ряда ф(е7), ф(бУ'), ф(е7"), • • •? то сумма одного ряда не могла бы рав-
няться сумме другого ряда. Отсюда мы наконец получаем, что \|/(<7)
всегда равно ф(<7) и тем самым не зависит от величины р - 1.

55.	Наибольшее значение имеет, однако, один специальный слу-
чай предыдущей теоремы, а именно то, что всегда существуют
числа, наименьшая степень которых, сравнимая с единицей, есть
(р- 1)-я, причем между 1 ир - 1 их столько, сколько существует чи-
сел, не превосходящих р - 1 и взаимно простых с р - 1.

56.	Эта теорема представляет яркий пример того, какая большая
осторожность часто бывает необходима в теории чисел, для того
чтобы не предположить доказанным то, что в действительности еще
но доказано. Ламберт в уже указанной выше работе упоминает об
этой теореме, но и не думает ничего говорить о необходимости ее
доказательства. Никто не пытался дать доказательства, кроме Эйле-
ра: Ретопз1гаИопез сггса гезШиа ех (Ихгзюпе ро1езШит рег питегоз.
рптоз гези^апИа. Соттеп1. пог. Асас1. Ре/гор.. Т. XVIII, 1773, р. 85
и сл. (см. в особенности параграф 37, где он подробнее распростра-
няется о необходимости доказательства). Однако доказательство, ко-
торое дает остроумный автор, страдает двумя недостатками. Один
состоит в том, что в параграфе 31 и далее автор молчаливо предпо-
лагает, что сравнение хп = 1 (переводя употребляемые там способы
выражения на наши обозначения) действительно имеет п различных
корней, хотя до этого было доказано только, что оно может иметь не
больше, чем п корней; второй недостаток тот, что формула из пара-
графа 34 выведена только по индукции.
Первообразные корни, основные числа, индексы

57.	Числа, принадлежащие показателю р- 1, мы будем называть,
следуя Эйлеру, первообразными корнями. Таким образом, если
я-первообразный корень, то наименьшие вычеты всех степеней а, а2,
а3, ..., аР~ 1 будут различны между собой, откуда легко получается,
что среди них должны находиться все числа 1,2, 3, ...,р-\, которых
столько же, сколько и указанных наименьших вычетов, т.е. что каждое
не делящееся на р число сравнимо с некоторой степенью числа а. Это
замечательное свойство очень важно и может значительно облегчить
арифметические операции, касающиеся сравнений, приблизительно
таким же образом, как введение логарифмов облегчает операции обыч-
ной арифметики. Мы можем при желании взять какой-нибудь первооб-
разный корень в качестве основания или основного числа и выражать
через него все не делящиеся нар числа, причем если ае = Ъ (шобр\ то
мы будем называть е индексом числа Ъ. Если, например, для моду-
ля 19 в качестве основания взят первообразный корень 2, то числам

1,	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18
будут соответствовать индексы

0, 1, 13, 2, 16, 14, 6, 3, 8, 17, 12, 15, 5, 7, 11, 4, 10, 9.

Впрочем, ясно, что если основание остается одним и тем же, то
каждое число обладает многими индексами, но все они сравнимы
между собой по модулю р - 1. Поэтому когда речь будет идти об ин-
дексах, то те из них, которые сравнимы по модулю р - 1, будут рас-
сматриваться как эквивалентные, подобно тому, как и сами числа,
если они сравнимы по модулю р, считаются эквивалентными.

Алгоритм индексов

58.	Теоремы, относящиеся к индексам, совершенно эквивалент-
ны тем, которые относятся к логарифмам.

Индекс произведения любого числа сомножителей сравним по
модулю р-1 с суммой индексов отдельных сомножителей.

Индекс степени какого-нибудь числа сравним по модулю р - 1
с произведением индекса этого числа и показателя степени.

Доказательства, вследствие их легкости, мы опускаем.

Отсюда видно, что если желательно построить таблицу, из ко-
торой можно было бы находить индексы всех чисел для различных
модулей, то в ней можно опустить как все числа, которые больше
модуля, так и все составные числа. Пример такой таблицы дан в кон-
це этого труда (таблица 1). В ней в первом вертикальном ряду стоят
простые числа и их степени от 3 до 97, рядом с каждым из них стоят
взятые за основания числа; затем идут индексы последовательных
простых чисел. Точно так же в первой строке таблицы расположены
простые числа, так что можно легко и надежно найти, какой индекс
соответствует заданному простому числу по заданному модулю.

Если, например,/? = 67 и за основание взято число 12, то индекс
числа 60

= 2гпс12 + гпс13 + тб 5 (тоб 66) = 58 + 9 + 39 = 40.

59.	Индекс каждого значения выражения а/Ъ (тоб р) (и. 31)
сравним по модулю р - 1 с разностью индексов числителя а и знаме-
нателя Ь, если только числа аиЪ не делятся на р.

Именно, если с - какое-нибудь значение этого выражения, то
Ьс = а (шоб р), и потому

тс! Ь + тс! с = тс! а (тоб р - 1),
откуда

тс! с = тс! а -тс! Ь.

Таким образом, если имеется таблица, из которой можно нахо-
дить индекс, соответствующий любому числу по любому простому
модулю, и другая таблица, из которой можно получить число, принад-
лежащее заданному индексу, то можно очень легко решать все срав-
нения первой степени, так как все они сводятся к таким, у которых
модуль есть простое число (и. 30). Если, например, дано сравнение

—7

29х + 7 = 0 (шоб 47), то х = — (шоб 47), и потому

тс! х = шс! (-7) - шс! (29) = тс! 40 - тс! 29 = 15-43 = 18 (тоб 46).

Но индекс 18 принадлежит числу 3. Поэтому х = 3 (шоб 47).
Впрочем, вторую таблицу мы не приложили. Вместо нее нам может
служить другая таблица, как мы покажем в разделе VI.

О корнях сравнения хп = А

60.	Аналогично тому, как в п. 31 мы обозначали корни сравнений
первой степени, мы в дальнейшем будем употреблять специальное
обозначение и для корней чистых сравнений более высокой степени.

Именно, подобно тому, как у/~А обозначает не что иное, как корень
уравнения хп = А, так и любой корень сравнения хп = А (шос! р) бу-
дет обозначаться так же, но с добавлением модуля: у/~А (шос!р). Мы
будем говорить, что это выражение у/~А (шос! р) обладает столькими
значениями, сколько оно имеет значений, не сравнимых по модулю р,
так как все сравнимые по р значения следует рассматривать как эк-
вивалентные (п. 26). Кроме того, ясно, что если А и В сравнимы по
модулю р. то выражения у[А (шос! р) и у/в (шос! р) будут между со-
бой эквивалентны.
Если положить у/А = х(шос1 р). то п тс! х = тс! А (тос! р - 1).
Из этого сравнения, по правилам предыдущего раздела, получают-
ся значения тс! х, а из них - соответствующие значения х. Легко
видеть, что х обладает столькими же значениями, сколько корней
имеет сравнение п тс!х = тсЫ (тос! р — 1). Таким образом, у/~А
имеет только одно значение, если п взаимно просто с р - 1;
если же числа п и р - 1 имеют наибольший общий делитель 8, то
шс! х имеет 8 значений, не сравнимых по модулю р - 1, а пото-
му и у/~А имеет столько же значений, не сравнимых по модулю р,
если только тс! А делится на 8. Если же это условие не выполнено,
то у/~А не будет иметь вещественных значений.

Пример. Пусть нужно найти значения выражения *^ТТ (шоб 19).
Для этого нужно решить сравнение 15 тс! х = тс! 11=6 (тоб 18),
откуда находятся три значения тбх = 4, 10, 16 (тоб 18). Им соответ-
ствуют значения х = 6, 9, 4 (шоб 19).

61.	Как ни прост этот метод, когда под рукой есть нужные табли-
цы, все же не следует забывать, что он является косвенным. Поэтому
имеет смысл потратить усилия на то, чтобы исследовать, насколько
сильны прямые методы, причем мы приведем здесь то, что может
быть выведено из предыдущего, остальное же, что требует более
глубоких рассмотрений, оставим до раздела VIII.

Начнем с простейшего случая, когда Л = 1, т.е. когда ищутся кор-
ни сравнения хп = 1 (шобр). Таким образом, если за основание взять
произвольный первообразный корень, то здесь должно быть п тс! х
= 0 (тобр - 1). Если п взаимно просто ср - 1, то это сравнение бу-
дет иметь один-единственный корень, именно тс! х = 0 (тоб р - 1),
и потому в этом случае у уЦ (шос! р) имеет единственное значение,
именно = 1. Если же числа п и р - 1 имеют (наибольший) общий де-
литель 8, то полным решением сравнения п тбх = 0 (тобр - 1) будет

тс! х = 0 (тос! ) (и. 29), т. е. тс! х должен будет быть сравнимым
о

по модулю р - 1 с каким-нибудь из чисел
р-1 2(р-1) 3(р-1)	(8-1)(р-1)

’ 8 ’	8	’	8	’	8

или, другими словами, обладать 8 значениями, не сравнимыми по
модулю р - 1; поэтому в этом случае х также имеет 8 различных (не-
сравнимых по модулю р) значений. Отсюда явствует, что выражение
VI тоже имеет 8 различных значений, индексы которых в точности
совпадают с указанными перед этим числами.
Поэтому выражение у/1 (той р) совершенно эквивалентно вы-
ражению у! (тойр), т. е. сравнение х6 = I (тойр) имеет те же корни,
что и хп = 1 (той р\ Однако первое имеет более низкую степень, чем
второе, если только 8 и п не равны между собой.

Пример. ^/1 (шоб 19) имеет три значения, потому что 3 есть наи-
больший общий делитель чисел 15 и 18, и эти значения одновремен-
но являются значениями л/Т (шоб 19). Последние же суть 1,7, 11.

62.	Итак, благодаря этой редукции мы получаем то преимуще-
ство, что нам не надо решать никаких других сравнений вида хп = 1,
кроме тех, у которых п является делителем р - 1. Ниже мы покажем,
что сравнения этого вида всегда могут быть еще упрощены, однако
пока изложенного материала для этого недостаточно. Сейчас мы мо-
жем закончить только один случай, именно тот, когда п = 2. В самом
деле, очевидно, что +1 и -1 дают все значения выражения >/1, так
как больше двух значений оно иметь не может, а +1 и -1 всегда не-
сравнимы между собой, кроме случая, когда модуль равен 2; в этом
случае непосредственно ясно, что лУТ может иметь только одно зна-
чение. Из этого следует, что +1 и -1 будут также значениями выра-
жения 2>УТ , в случае, когда т взаимно просто с (р - 1 )/2. Это всегда
имеет место, если модуль таков, что (р - 1 )/2 является простым чис-
лом (если при этом в точности р - 1 = 2т, то все числа 1, 2, 3, ...,
р- \ являются корнями), например еслир = 3, 5, 7, 11, 23, 47, 59, 83,
107, ... В качестве следствия здесь можно было бы добавить, что
индекс числа -1 всегда ={р —1)/2 (шоб р - 1), какой бы первооб-
разный корень мы ни взяли. Действительно, 2 тс! (-1) = 0 (тобр-1);
поэтому тс! (-1) или = 0, или = {р — 1)/2 (тобр- 1). Но 0 всегда яв-
ляется индексом числа + 1, а + 1 и -1 всегда должны иметь различные
индексы (кроме случая р = 2, который мы здесь исключаем).

63.	В и. 60 мы показали, что выражение ^^4(тос1 р) имеет или
8 различных значений, где 8 есть наибольший общий делитель чисел
п ир - 1, или ни одного значения. Подобно тому, как выше мы дока-
зали, что у/~А и у/~А эквиваленты, если Л = 1, так сейчас мы докажем
более общий факт, что выражение у/~А всегда может быть сведено
к выражению вида у/~В , с которым оно эквивалентно. Именно, обо-
значим какое-нибудь значение нашего выражения через х, так что
хп = А. Если теперь / - какое-нибудь значение выражения
8/п (шос! р — 1), которое, как явствует из и. 31, обладает веществен-
ными значениями, то хп1: = А*. Но хп1: = х§ вследствие того, что
1п = 8 (шоб р - 1). Отсюда х6 = А1 \\ потому любое значение у[А
будет также значением §[а*. Таким образом, если выражение у[А
имеет вещественные значения, то оно совершенно эквивалентно
выражению \1~А* . ибо последнее не имеет других значений и имеет
все значения первого, хотя может случиться, что если у/~А не имеет
вещественных значений, \1~А* все же ими обладает.

Пример. Если отыскиваются значения выражения 2л/2 (шос131),
то наибольший общий делитель чисел 21 и 30 равен 3 и одно из зна-
чений выражения 3/21 (шобЗО) тоже равно 3. Поэтому если выраже-
ние 2\/2 обладает вещественными значениями, то оно будет эквива-

3/г\ 3	3/Б

лентно выражению \2 или л/о , и действительно, оказывается, что
значения второго выражения, именно 2, 10, 19, удовлетворяют также
и первому.

64.	Для того чтобы избежать опасности, что мы будем применять
эту операцию понапрасну, мы должны получить правило, при помо-
щи которого можно сразу узнавать, допускает у/А вещественные
значения или нет. Если имеется таблица индексов, то вопрос ясен;
действительно, из и. 60 вытекает, что вещественные значения суще-
ствуют или нет в зависимости от того, делится или нет на 8 индекс
числа А относительно какого-нибудь взятого за основание первооб-
разного корня. Однако это можно узнать и без помощи такой табли-
цы. Именно, если индекс числа А равен к. то если он делится на 8,

_ 1)/$ будет делиться на р - 1, и обратно. Далее, индекс числа
А^р~1^ равен к(р-1)/8. Поэтому если у[А (шос! р) имеет веществен-
ные значения, то будет сравнимо с единицей, в противном же слу-
чае-нет. Так, в примере предыдущего пункта 210 = 1024= 1 (шос!31),
откуда следует, что 2л/2(шос131) имеет вещественные значения.
Таким же образом мы убеждаемся отсюда, что V—Т (шос! р) всег-
да имеет два вещественных значения, если р имеет вид 4т + 1, и ни
одного значения, если р имеет вид 4т + 3, потому что (1)2/;/ = 1
и (1)2/;/ + 1 = -1. Эта изящная теорема, которая обычно высказыва-
ется в следующей форме: если р - простое число вида 4т + 1, то
всегда можно найти квадрат целого числа а2 с тем свойством, что
а2 + 1 будет делиться нар; если жер-простое число вида 4т -1, то
такого квадрата не существует, была таким же способом доказана
Эйлером в Сотт. поу. Асас1. Ре/гор.. Т. XVIII, 1773, р. 112. Другое
доказательство он дал еще намного раньше, в Сотт. пог.. Т. V, р. 5,
вышедшем в 1760 г. В более раннем сочинении, в Сотт. поу. Т. IV,
р. 25, он еще не пришел к доказательству. Позднее также и Лагранж
дал в Миуеаих Мет. Ле Г Ас. Ле ВегНп. А. 1775, р. 342. новое доказа-
тельство теоремы. Еще одно доказательство мы дадим в следующем
разделе, который будет специально посвящен этому предмету

65.	После того как мы научились все выражения уЛ (шос!р) сво-
дить к таким, у которых п есть делитель числа р - 1, и одновременно
получили критерий для того, чтобы узнавать, обладают они веществен-
ными значениями или нет, мы рассмотрим теперь такие выражения
\/~А (шос! р). у которых п есть делительр-1, несколько подробнее. Сна-
чала мы покажем, в какой связи находятся между собой отдельные зна-
чения выражения, а затем укажем некоторые специальные приемы, при
помощи которых очень часто можно найти одно значение выражения.

Во-первых, если Л = 1 и г-какое-нибудь одно из значений выра-
жения у/1 (шос! р). т. е. гп = 1 (шобр). то и все степени г будут значе-
ниями этого выражения; а среди них различных между собой будет
столько, сколько единиц содержит показатель, которому принадле-
жит г (и. 48). Поэтому если г есть значение, принадлежащее показа-
телю п. то степени г, г2, г3, ..., гп (где вместо последней можно также
взять единицу) будут охватывать все значения выражения (шос! р).
Вопрос же о том, какие существуют вспомогательные средства для
отыскания таких значений, которые принадлежат показателю п. мы
более подробно рассмотрим в разделе VIII.

Во-вторых, если Л не сравнимо с единицей, и одно значение вы-
ражения ЩА (тоб /?), которое мы обозначим через г. известно, то
остальные значения можно искать следующим образом. Если (как
мы показали выше)

1,	г, г2, ..., гп~х
суть все значения выражения уГа . то

2.	2Г. ТУ1. .... ггп~х

будут всеми значениями выражения у[А. Действительно, то, что
все эти значения удовлетворяют сравнению хп = А, вытекает из того,
что если взять какое-нибудь из них, скажем = хгк. то его /7-я степень,
именно 2пгпк. вследствие того, что гп = 1 и тР = А. будет сравнима
с Л, а то, что все эти значения различны, легко следует из и. 23. Дру-
гих же значений, кроме этих, число которых равно п. выражение ЩА
иметь не может. Так, например, если одно из значений выражения
у[А равно г. то другое будет равно -и. Наконец, мы должны сделать
вывод, что все значения выражения ^А найти нельзя, если одновре-
менно неизвестны все значения выражения у/Т.

66.	Вторая задача, которую мы себе поставили, заключалась в том,
чтобы показать, в каком случае может быть непосредственно най-
дено одно значение выражения у/~А (шос! р) (где п предполагается
делителем р- 1). Это тот случай, когда какое-нибудь значение сравни-
мо с какой-нибудь степенью А. и так как этот случай встречается неред-
ко, будет нелишним немного на нем задержаться. Пусть одно из таких
значений, если они вообще существуют, есть и, так что 7 = Ак и 2 = А1
(шоб р). Отсюда следует А = А^. Поэтому если имеется число к с тем
свойством, что А = А1™, то Ак будет искомым значением. А это условие
эквивалентно тому, что 1 = кп (шоб /), где I обозначает показатель, ко-
торому принадлежит Л (пи. 46,48). Для того чтобы это сравнение было
возможно, необходимо, чтобы п было взаимно просто с А В этом случае
к = \/п (шоб /); если же I и п имеют общий делитель, то ни одно значе-
ние 2 не может быть сравнимо со степенью числа Л.

67.	Так как, однако, для такого решения нужно знать само /, мы
посмотрим, как можно поступать, когда это число неизвестно. Пре-
жде всего, очевидно, что I должно входить в (р - 1)/Л, если только
у/~А (шос! р) имеет вещественные значения, что мы здесь все время
предполагаем. Действительно, если какое-нибудь значение этого вы-
ражения равно у, то каку77 -1 = 1, так иуп = А (шобр). Если возвести
обе части последнего сравнения в (р- 1)//7-ю степень, то получится
Л^ _	= 1, и потому (р - 1)/п должно делиться на I (п. 48). Если

теперь (р - 1)/п взаимно просто с п, то сравнение из предыдущего
пункта, а именно кп = 1, разрешимо также и по модулю (р - 1)/п,
и удовлетворяющее сравнению по этому модулю значение к будет,
очевидно, удовлетворять тому же сравнению и по модулю /, кото-
рый входит в (р- \)/п (и. 5). В этом случае цель достигнута. Если же
(р-\}/п не взаимно просто с п. то выбросим из (р - 1)/п все простые
сомножители, которые одновременно входят в п. Тогда мы получим
взаимно простое с п число (р - 1)/пд, где д обозначает произведение
всех тех простых сомножителей, которые мы выбросили. Если те-
перь условие, к которому мы пришли в предыдущем пункте, а имен-
но, что I взаимно просто с п, выполняется, то I будет также взаим-
но просто с д и потому будет входить и в (р - \)/пд. Поэтому, если
решить сравнение кп = 1 (шос! (р — ^/пд] (что возможно, так как п
взаимно просто с (р-\упд\ то значение к будет удовлетворять также
и сравнению по модулю /, что и требовалось. В целом этот прием
состоит в том, чтобы найти число, которым можно заменить неиз-
вестное нам число /. Однако нужно иметь в виду, что в случае, когда
(р - 1)//7 не взаимно просто с п. мы предполагали, что выполнено
условие из предыдущего пункта. Если же это условие не выполнено,
то все выводы теряют силу; и если при невнимательном следовании
указанным правилам мы найдем значение и, /7-я степень которого не-
сравнима с числом Л, то это будет указывать на то, что условие не
выполнено и потому этот метод вообще нельзя применять.
68.	Однако и в этом случае потраченные усилия часто бывают
полезны и имеет смысл исследовать, как это неверное значение от-
носится к правильному. Предположим, что к. 7 определены согласно
правилам, но что 7п не сравнимо с А по модулю р. Если только мы
можем определить значения выражения у] А / г1 (шос! р], то, умно-
жая каждое из них на и, мы получим значения ^А . Действительно,
если в - какое-нибудь значение ^А / и" , то (рт)” = А. Но выраже-
ние у]А/проще, чем у/~А , постольку поскольку А/г11 (шос! р) по
большей части принадлежит меньшему показателю, чем А. Имен-
но, если Л есть наибольший общий делитель I и д, от А/7п (шос! р)
будет принадлежать показателю Л, что доказывается следующим
образом. Если вместо 7 подставить его значение, мы получим
а]тп = 1/л^7’ 1 (шос! р). Но кп - 1 делится на (р - })/пд (согласно
предыдущему пункту), а (р - 1)/п - на I (там же), откуда (р - 1)/пс1
делится на Ш. Далее, Ш взаимно просто с д/с1 (по условию) и пото-
му также (р - 1)/пс1 делится на Щ/сР. или (р - \}/пд - на Ш. и, таким
образом, кп - 1 делится на Ш и (кп - 1) (Л- на /. Из этого следует, что
А^кп~ 1)^= 1 (шобр\ откуда легко вывести, что Л/и", возведенное в Л-ю
степень, сравнимо с единицей. А то, что А/7п не может принадлежать
показателю, меньшему, чем Л, хотя и может быть легко доказано, но
мы на этом останавливаться не будем, так как для нашей цели это не
требуется. Таким образом, мы заведомо установили, что А/7п (шоб р)
всегда принадлежит меньшему показателю, чем Л, за исключением
того единственного случая, когда I входит в с/ и потому Л = Л

Однако какая польза в том, что А/тп принадлежит меньшему по-
казателю, чем Л? Чисел, которые могут выступать в роли Л, больше,
чем чисел, которые могут выступать в роли А/А\ и если мы должны
получить выражения вида ^Л по одному и тому же модулю, то те-
перь мы имеем то преимущество, что многие из них можно вывести
из одного и того же источника.

Так, например, мы всегда будем в состоянии определить хотя бы
одно значение выражения л/Л (шоб 29), если только известны зна-
чения (шоб 29) (которые суть ±12). Действительно, из преды-
дущего пункта явствует, что значение подобного выражения всегда
можно найти непосредственно, если I нечетно, и что А, = 2, если /
четно; но показателю 2 не принадлежат никакие числа, кроме -1.
Примеры. Найдем значения х/зТ (шос! 37). Здесьр-1 = 36, п = 3,
(р — 1)/3 = 12 и потому б/ = 3. Поэтому должно быть Зк = 1 (шоб 4),
и это имеет место, если положить к = 3. Отсюда 2 = 313 = 6 (шоб 37),
и действительно, мы находим, что 63 = 31(шос1 37). Если значения
выражения Щ (той 37) известны, то и остальные значения х/б мо-
гут быть определены. Но значения х/Т суть 1,10, 26, и, умножая их
на 6, мы и получим остальные значения = 23 и 8.

Если же отыскивается значение выражения х/3 (шоб 37), то здесь
п = 2, (/> — 1)/и = 18, и потому б/ = 2. Поэтому должно быть 2/< = I
(шоб 9), откуда к = 5 (шоб 9). Следовательно, = З5 = 21 (шоб 37).
Но 212 не сравнимо с 3, а сравнимо с 34. Однако 3/34 (шоб 37) = -1
и х/—Т = ±6 (шоб 37). Отсюда получаются верные значения
±6-21 =±15.

Вот примерно то, что мы можем здесь сообщить относительно
отыскания таких выражений. Известно, что прямые методы часто
оказываются довольно длинными, однако этот недостаток присущ
не всем прямым методам теории чисел, и потому мы не могли удер-
жаться от того, чтобы не показать, как много они могут здесь дать.
Следует также заметить и то, что в нашу задачу не входит подробнее
развивать специальные приемы, которые нередко может найти опыт-
ный вычислитель.

Связь между индексами в различных системах

69.	Мы возвращаемся теперь к корням, которые назвали перво-
образными. Мы покажем, что если за основание взят любой перво-
образный корень, то все числа, индексы которых взаимно просты
с р- 1, также являются первообразными корнями и что, кроме них,
других первообразных корней нет, так что тем самым одновре-
менно становится известным количество всех первообразных кор-
ней (см. п. 53). Какой первообразный корень мы берем за основа-
ние, вообще говоря, зависит от нашего желания, откуда видно, что
здесь, как и в логарифмическом исчислении, возможны различные
системы62; мы рассмотрим, каким образом они между собой связа-
ны. Пусть а и Ь - два первообразных корня и т - какое-нибудь дру-
гое число, и пусть, если за основание взято а. у числа Ь индекс = Р,
а у числа т индекс = ц (шоб р - 1); если же за основание взято Ь.

62 Разница состоит только в том, что в случае логарифмов количество возможных
систем бесконечно велико, в нашем же случае оно лишь равно числу первообразных кор-
ней. В самом деле, сравнимые между собой основания, очевидно, порождают одинаковые

системы.
то пусть у а индекс = а, а у т индекс = V (той р - 1). Тогда ар = 1
(той р - 1). Действительно, по предположению, = Ь и потому
= а (тос[откуда ар = 1 (тод/?- 1). Аналогичным рассуж-
дением находим V = ар и р = Ру (той р - 1). Поэтому если имеется
таблица индексов, составленная для основания а. она легко может
быть превращена в другую, основание которой есть Ь. Действитель-
но, если для основания а индекс числа Ь сравним с Р, то для основа-
ния Ъ индекс числа а сравним с 1/Р (шоб р - 1), и если на это число
умножить все индексы таблицы, то мы получим все индексы для ос-
нования Ь.

70.	Хотя заданное число может получать различные индексы,
если за основание брать все новые и новые первообразные корни,
у этих индексов все же будет то общее, что все они имеют с р - 1
один и тот же наибольший общий делитель. Действительно, если
индекс заданного числа для основания а есть т, а для основания
Ь есть п и мы предположим, что наибольшие общие делители ц, V
этих индексов с р - 1 не равны между собой, то один из них будет
больше другого, например ц > V, и потому ц не будет входить в V. Но
если обозначить через а индекс числа а. когда за основание взято Ь,
то, согласно предыдущему пункту, п = ат (шоб р - 1) и потому ц
также будет входить в п. что противоречит нашему предположению.

То, что этот наибольший общий делитель индекса заданного чис-
ла и числар - 1 не зависит от основания, вытекает также из того, что
он равен (р-1)//, где I обозначает показатель, которому принадлежит
число, об индексе которого идет речь. Действительно, если индекс
для некоторого произвольного основания равен Л, то I есть наимень-
шее число (не считая нуля) такого рода, что произведение к и I будет
кратностьюр- \ (ср. пп. 48 и 58), т.е. наименьшее, за исключением
нуля, значение выражения ОД (шоб р - 1); а то, что оно равно наи-
большему общему делителю чисел к и р - 1, без труда вытекает из
и. 28.

71.	Далее, легко доказать, что основание всегда можно выбрать
так, что принадлежащее показателю I число получит любое заданное
значение индекса, лишь бы его наибольший общий делитель с р - 1
был равен (р- 1)/Л Если этот наибольший общий делитель мы для
краткости обозначим через <7, если, далее, заданный индекс = с/т,
а индекс заданного числа, когда за основание взят какой-то перво-
образный корень а, = с/п, то т и п будут взаимно просты с (р — 1)/а
ис/. Если тогда е есть значение выражения с1т/с1п (шоб р - 1), ко-
торое взаимно просто с р - 1, то сР будет первообразным корнем,
и если его взять за основание, то заданное число получит требуемый
индекс с!т (действительно, ае(*т = асЬ1 = с заданным числом). А то, что
выражение с!т1с1п (шос! р- 1) обладает значением, взаимно простым
ср-1, может быть доказано следующим образом. Согласно пп. 31,32
это выражение эквивалентно следующему: п/т (шос1(р — 1)/<7) или
п/т (шос!/), - а все значения этого последнего взаимно просты с Ц
действительно, если бы какое-нибудь значение е имело с I общий
делитель, то этот делитель должен был бы входить и в те. а потому
также и в число п. которое сравнимо с те по модулю /. Но это проти-
воречит предположению, что т взаимно просто с /. Таким образом,
если все простые делители числа р - 1 входят также и в /, то все зна-
чения выражения п/т (шос! /) будут взаимно просты ср - 1 и число
их будет равно сП. Если же р - 1 содержит еще и другие простые де-
лители/ §. к. ... которые в I не входят, то пусть п/т (шос! /) = е-
какое-нибудь значение выражения п/т (шос! /). Тогда, так как чис-
ла Д/‘ §. к. ... попарно взаимно просты, можно найти такое чис-
ло е, которое по модулю I сравнимо с числом е, а по модулям / §.
к. ... - с любыми взаимно простыми с этими модулями числами
(и. 32). Такое число не будет тогда делиться ни на один простой со-
множитель числар- 1, т.е. будет взаимно просто ср - 1, что и требо-
валось. Наконец, из комбинаторных соображений без труда получа-
ется, что число таких значений равно

Р-1 /~1 ^~1 //-1
*	/ ё к

Однако, чтобы этот экскурс не слишком затянулся, мы доказа-
тельство опустим, ибо для нашей цели оно не является столь уж не-
обходимым.

Основные числа, служащие специальным целям

72.	Хотя, вообще говоря, совершенно безразлично, какой перво-
образный корень берется за основание, все же иногда одни основные
числа могут иметь преимущества перед другими. В таблице 1 мы
всегда брали за основание число 10, если только оно было первооб-
разным корнем; в остальных случаях мы всегда определяли основа-
ние так, чтобы индекс числа 10 был наименьшим из возможных, т.е.
чтобы он был равен (р - 1 )/Д где I обозначает показатель, которому
принадлежит 10. Какое преимущество мы благодаря этому имеем,
мы покажем в разделе VI, где эта таблица будет снова использована
для другой цели. Так как, однако, и здесь еще может остаться некото-
рый произвол, то мы, для определенности, из всех удовлетворяющих
указанному выше условию первообразных корней всегда выбирали
за основание наименьший. Так, например, для р = 73, когда / = 8
и б/= 9, имеет 72/8 -2/3 =6значений, а именно значения 5, 14, 20,
28, 39, 40. Мы взяли за основание наименьшее из них-число 5.

Метод отыскания первообразных корней

73.	Методы отыскания первообразных корней большей частью
сводятся к пробам. Если то, что мы изложили в и. 55, сопоставить
с тем, что будет сказано ниже относительно решения сравнения
хп = 1, то это и будет почти все, что можно получить прямыми ме-
тодами. Эйлер в Оризс. Апа1у1., Т. I, р. 152, признает, что ему пред-
ставляется исключительно трудным находить такие числа и что их
истинная сущность должна быть причислена к наиболее глубоким
секретам чисел. Однако посредством проб они довольно легко опре-
деляются следующим образом. (Имеющий навык будет знать, что
продолжительность выкладок может быть сокращена многочис-
ленными специальными приемами; однако научиться этому можно
гораздо быстрее на практике, чем следуя теоретическим предписа-
ниям.)

1.	Берем любое взаимно простое с р (так все время будет обо-
значаться модуль) число а (в большинстве случаев ради сокращения
вычислений хорошо брать его по возможности маленьким, напри-
мер, брать число 2) и определяем его период (и. 46), для чего нахо-
дим наименьшие вычеты его степеней, до тех пор, пока не дойдем
до некоторой степени а\ наименьший вычет которой равен I63. Если
1= р- 1, то а есть первообразный корень.

2.	Если же I < р - 1, то берем другое число Ь. которое не содер-
жится в периоде числа а. и ищем подобным же образом его период.
Если показатель, которому принадлежит Ь. обозначить через г/, то
легко убедиться, что и не может быть ни равным Д ни делителем Ц
действительно, в обоих случаях было бы У = 1, что невозможно, так
как период числа а охватывает все числа, /-я степень которых срав-
нима с единицей (и. 53). Если и = р - 1, то Ь будет первообразным
корнем; если же и хотя и не равно р - 1, но является кратностью Д
то мы имеем уже, следовательно, число, принадлежащее большему
показателю, и потому оказываемся ближе к нашей цели, состоящей
в отыскании числа, принадлежащего наибольшему показателю.

63 Разумеется, нам не обязательно знать сами эти степени, так как наименьший вычет
каждой из них легко может быть получен из наименьшего вычета предыдущей степени.
А если и и не равно р - 1, и не кратно Д то мы все же можем найти
число, которое принадлежит показателю большему, чем I и и. а имен-
но показателю, равному наименьшему общему кратному чисел /иг/.
Если этот показатель равену, то разложим л на два взаимно простых
сомножителя тип, причем так, что один из них входит в /, а другой
входит в г/64. Если тогда а'111 = А, Ьи/л = В (шобр), то произведение АВ
будет числом, принадлежащим показателю у. Действительно, легко
убедиться, что А принадлежит показателю т, а В - показателю п,
поэтому произведение АВ принадлежит показателю тп, ибо т и п
взаимно просты, что можно доказать совершенно тем же способом,
которым в и. 55 доказывается предложение II.

3.	Если теперь у = р -1, то АВ будет первообразным корнем. Если
же это не так, то нужно, аналогично тому, как раньше, взять другое
число, не содержащееся в периоде числа АВ. Оно или будет первооб-
разным корнем, или будет принадлежать показателю который боль-
ше, чем у, или по крайней мере при помощи него можно будет найти
(как и перед этим) число, принадлежащее показателю большему, чем
у. Так как числа, которые получаются при повторном произведении
этой операции, принадлежат ко все большим и большим показате-
лям, ясно, что в конце концов будет найдено число, принадлежащее
наибольшему показателю, т.е. первообразный корень.

74. При разборе примера эти предписания станут более ясными.
Пусть число, для которого нужно найти первообразный корень, есть
р = 73. Испробуем сначала число 2, период которого оказывается
следующим:

1,2, 4, 8, 16, 32, 64, 55,37, 1, ...

0, 1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8,9,...

Так как уже степень с показателем 9 сравнима с единицей, чис-
ло 2 не является первообразным корнем. Рассмотрим поэтому какое-
нибудь другое число, не содержащееся в периоде числа 2, например
3, период которого есть

1, 3, 9, 27, 8, 24, 72, 70, 64, 46, 65, 49, 1, ...

0,1,2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12,...

64 То, как именно это можно сделать, легко получается из и. 18. Разложим у на та-
кие сомножители, которые являются либо различными простыми числами, либо степе-
нями различных простых чисел. Каждый из этих сомножителей входит в одно из чисел
I и и (а может быть, и в оба). Напишем каждый из сомножителей либо рядом с числом г,
либо рядом с числом и в зависимости от того, в какое из них он входит. Если же он входит
в оба эти числа, то безразлично, рядом с которым из них его писать. Если произведение
сомножителей, которые написаны рядом с Л равно т, а второе произведение равно п, то
легко видеть, что т входит в /, а п - в и, и что тп = у.
Поэтому 3 также не является первообразным корнем. Наимень-
шее общее кратное чисел 9 и 12, являющихся показателями, которым
принадлежат 2 и 3, есть 36, и, будучи разложенным в соответствии
о предписанием предыдущего пункта, оно дает сомножители 9 и 4.
Умножим теперь 2 на третью степень числа 3. Произведение, рав-
ное 54, будет принадлежать показателю 36. Если, наконец, вычис-
лить период числа 54 и снова испытать какое-нибудь не содержащее-
ся в нем число, например 5, то оно окажется первообразным корнем.

Различные теоремы о периодах и первообразных корнях

75.	Прежде чем оставить этот предмет, мы хотим добавить еще
некоторые теоремы, которые представляются достойными внима-
ния вследствие своей простоты.

Произведение всех членов периода любого числа = +1, если ко-
личество их. т. е. показатель, которому это число принадлежит,
нечетно, и = -1, если этот показатель четен.

Пример. Для модуля 13 период числа 5 состоит из членов 1, 5,
12, 8, для произведения которых имеет место 480 = -1 (шоб 13).

Период числа 3 по этому же самому модулю состоит из членов 1,
3, 9, и их произведение 27 = 1 (шоб 13).

Доказательство. Если показатель, которому принадлежит чис-
ло, равен I. а индекс самого числа есть (р- \уц чего, согласно п. 71,
всегда можно добиться посредством выбора соответствующего ос-
нования, то индекс произведения всех членов периода

= (1 + 2 + 3 + ... + /-1)^1=

к	7 I	2

т.е. = 0 (шоб р - 1), если / нечетно, и = (р - 1)/2, если / четно. По-
этому в первом случае это произведение = 1 (шоб р). а во втором
= 1 (шобр) (и. 62).

76.	Если в предыдущей теореме число является первообразным
корнем, то его период охватывает все числа 1,2, 3, ....р-1. произ-
ведение которых тем самым всегда = -1 (действительно,/? - 1 всегда
четно, за исключением одного случая р = 2, когда -1 и +1 эквива-
лентны).

Эта изящная теорема, которая обычно высказывается так: произ-
ведение всех чисел, меньших заданного простого числа, увеличенное
на единицу, делится на это простое число, была впервые опублико-
вана Барингом и приписана им Вильсону (МесШайопез а^еЪгагсае.
е<1 3, р. 380). Однако ни тот, ни другой не могли ее доказать, и Варинг
считал, что доказательство является тем более трудным, что нельзя
себе представить, чтобы было такое обозначение, которое задавало
бы простое число. По нашему мнению, однако, подобные истины
следует черпать не из обозначений, а из понятий.

Позже доказательство дал Лагранж (Лоих. Мёт. Ле ГАсаЛёгте Ле
ВегИп. 1771). Оно основывается на рассмотрении коэффициентов,
которые получаются при раскрытии скобок в произведении

(х + 1) (х + 2) (х + 3) ... (х + р- 1).

Именно, если записать это произведение в виде
= хР~х +АхР-2 + ВхР~3 +... + Мх + Л.

то коэффициенты Л, В. .... ТИ будут делиться на р, в то время как
Л = 1 • 2 • 3 ... • {р — 1). Но при х = 1 произведение делится на р.
с другой стороны, оно = 1 + ТУ (шоб р). и потому 1 + ТУ обязательно
должно делиться на р.

Наконец, Эйлер в Оризс. Апа1уС. Т. 1, р. 329 дал доказательство,
которое совпадает с приведенным нами. Так как такие люди не счи-
тали эту теорему недостойной своих размышлений, мы надеемся не
вызвать порицания за то, что приведем еще одно ее доказательство.

77.	Если произведение двух чисел а и Ъ сравнимо по модулю р
с единицей, то, следуя Эйлеру, мы будем называть эти числа а и Ъ
ассоциированными. Тогда, согласно предыдущему разделу, ка-
ждое положительное число, меньшее р. имеет среди положительных
и меньших р чисел одно и только одно ассоциированное. Но легко
доказать, что среди чисел 1, 2, 3, ... только 1 ир - 1 ассоциированы
сами с собой. Действительно, ассоциированные сами с собой числа
являются корнями сравнения х2 = 1, которое имеет вторую степень
и потому не может иметь более двух корней, т.е. не имеет других
корней, кроме 1 и р - 1. Поэтому если эти два числа отбросить, то
остальные числа 2, 3, .... р-2 будут попарно ассоциированы и по-
тому их произведение = 1. Таким образом, произведение всех чисел,
именно 1 • 2 • 3 ... {р — 1) = р — 1 или = -1.

Например, по модулю 13 среди чисел 2,3,4,..., 11 ассоциирован-
ными одно с другим будут следующие: 2и7, Зи 9,4и10, 5и8, 6 и 11;
действительно, 2-7 = 1, 3-9 = 1 и т.д. Поэтому 2 • 3 • 4... 11 = 1,
откуда 1 • 2 • 3 ... 12 = —1.

78.	В более общем виде теорему Вильсона можно высказать так.
Произведение всех чисел, которые меньше некоторого заданного
числа А и одновременно взаимно просты с ним. сравнимо по модулю
А с единицей, взятой с положительным или с отрицательным зна-
ком. С отрицательным знаком единица получается, когда А имеет
вид рт или 2рт. где р обозначает отличное от 2 простое число, и, кро-
ме того, при А = 4, во всех же остальных случаях получается поло-
жительная единица. Теорема, высказанная Вильсоном, содержится
в первом случае. Например, для Л = 15 произведение чисел 1, 2, 4,
7, 8, 11, 13, 14 сравнимо с 1 по модулю 15. Доказательство мы ради
краткости не приводим; заметим только, что оно может быть прове-
дено подобным же образом, как в предыдущем пункте, с той только
разницей, что сравнение х2 =1 может иметь и более двух корней,
которые требуют некоторых специальных рассмотрений. Можно
было бы также вывести доказательство из рассмотрения индексов,
подобно п. 75, если принять во внимание то, что сейчас будет сказа-
но о составных модулях.

О модулях, которые являются степенями простых чисел

82.	Все, что мы изложили до сих пор, основывается на предпо-
ложении, что модуль является простым числом. Остается еще рас-
смотреть случай, когда за модуль берется составное число. Так как,
однако, появляющиеся здесь теоремы не столь изящны, как в первом
случае, и для их обнаружения не требуется особенно тонких прие-
мов, а можно их вывести простым применением ранее изложенных
принципов, то было бы и утомительным и излишним разбирать здесь
все подробности. Поэтому мы лишь кратко изложим, что этот случай
имеет общего с предыдущим и в чем от него отличается.

83.	Теоремы пи. 45-48 были уже доказаны для общего случая;
теорему же из п. 49 нужно изменить следующим образом:

Если через / обозначить количество чисел, которые меньше т
и одновременно взаимно просты с т, т.е. если/= ф(т) (и. 38), то
для заданного взаимно простого с т числа а - показатель 1 наиниз-
шей его степени, которая сравнима с единицей по модулю т. или
равен/. или является делителем этого числа.

Доказательство теоремы из и. 49 проходит и в этом случае, если
только взять т вместо р. /вместо р - 1, а вместо чисел 1, 2, 3, ...
р - 1 - те числа, которые взаимно просты с т и одновременно мень-
ше т. Поэтому мы предоставляем это читателю. Впрочем, и другие
доказательства, о которых мы там (пи. 50, 51) говорили, без больших
изменений переносятся на этот случай. Однако в отношении следу-
ющих теорем (и. 52 и далее) имеется большое различие между моду-
лями, которые являются степенями простых чисел, и теми, которые
делятся на несколько простых чисел. Мы рассмотрим поэтому моду-
ли первого типа отдельно.
Раздел IV

О СРАВНЕНИЯХ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ

Квадратичные вычеты и невычеты

94.	Теорема. Если какое-нибудь число т взять в качестве модуля,
то из чисел 0, 1, 2, 3, ..., т- 1 могут быть сравнимы с неко-
торыми квадратами не более чем (1/2) т + 1 чисел, если т
четно, и не более чем (1/2) т + 1/2 чисел, если т нечетно.

Доказательство. Так как квадраты сравнимых чисел тоже,
очевидно, сравнимы, то каждое число, сравнимое с некоторым ква-
дратом, сравнимо и с квадратом числа, меньшего, чем т. Поэтому
нам нужно рассмотреть только наименьшие вычеты квадратов О,
1, 4, 9, ..., (т- I)2. Но легко видеть, что (т - I)2 = 1, (т - 2)2 = 22,
(/у?-З)2 = З2 и т.д. Поэтому если т четно, то будут совпадать наимень-
шие вычеты квадратов ((1/2) т — 1) и ((1/2) т + 1) , ((1/2) т — 2)
и ((1/2)т + 2) и т.д. Поэтому если т нечетно, то будут сравни-
мы квадраты 2((1/2)т-1/2)2 и ((1/2)т + 1/2)2, ((1/2)т - 3/2)2 и
((1/2)т + 3/2) и т.д. Отсюда вытекает, что при четном т не может
быть сравнимо с квадратом ни одно из чисел, кроме тех, которые
сравимы с одним из квадратов 0, 1, 4, 9, ..., ((1/2)т) . а при нечет-
ном т каждое число, сравнимое с некоторым квадратом, обязательно
сравнимо с одним из чисел 0, 1, 4, 9, ..., ((1/2)т —1/2)2. Поэтому
в первом случае имеется не больше, чем (1/2) т + 1, а во втором не
больше, чем (1/2) т + 1/2 различных наименьших вычетов.

Пример. По модулю 13 квадраты чисел 0, 1, 2, 3, ..., 6 имеют
следующие наименьшие вычеты: 0, 1, 4, 9, 3, 12, 10; затем они снова
повторяются в обратном порядке. Поэтому не может быть сравнимо
с квадратом ни одно число, которое не сравнимо с одним из этих вы-
четов, т.е. которое сравнимо с одним из чисел 2, 5, 6, 7, 8, 11.

По модулю 15 получаются следующие вычеты: 0, 1, 4, 9, 1, 10, 6, 4;
затем они же повторяются в обратном порядке. Таким образом, здесь
число вычетов, которые могут быть сравнимы с некоторыми квадра-
тами, даже меньше, чем (1/2) т + 1/2, ибо такими вычетами являются
только 0,1,4,6,9,10. Числа же 2,3,5,7,8,11,12,13,14 и все сравнимые
с ними не могут быть сравнимы по модулю 15 ни с каким квадратом.

95.	Из сказанного следует, что для каждого модуля все числа
могут быть разбиты на два класса, один из которых содержит все
числа, которые сравнимы с некоторыми квадратами, а другой - те
числа, для которых это не имеет места. Мы будем называть первые
квадратичными вычетами взятого в качестве модуля числа65,
а вторые - его квадратичными невычетами, а когда это не сможет
привести к недоразумению, будем также использовать просто выра-
жения «вычеты и невычеты». Очевидно, что если все числа 0, 1,2,
... т - 1 распределены по обоим классам, то сравнимые числа содер-
жатся в том же классе.

В этих исследованиях мы также начнем с простых модулей; это
все время будет молчаливо предполагаться, даже когда об этом и не
будет специально упоминаться. При этом простое число 2 исключа-
ется, т.е. будут рассматриваться только нечетные простые числа.

Если модуль есть простое число, то среди чисел, меньших его,
количество вычетов равно количеству невычетов

96.	Если за модуль взято простое число р, то среди чисел 1,2,3,...,
р-1 половина будет квадратичными вычетами, а остальные - невы-
четами, т.е. имеется 1/2 (/? — 1) вычетов и столько же невычетов.

Именно, легко доказать, что все квадраты 1, 4, 9, ..., 1/4(/? — I)2
несравнимы между собой. Действительно, если бы имело место
г2 = (г)2 (шоб р) и числа гиг' были бы не больше, чем (р - 1 )/2, и не
равны между собой, то, предполагая г > г', что законно, мы имели
бы, что число (г-г') (г + г') положительно и делится нар. Но каждый
из сомножителей г-г'ъг + г' меньше р, и потому наше предполо-
жение не может иметь места (и. 13). Поэтому среди чисел 1, 2, 3, ...,
р-1 имеется (р- 1)/2 квадратичных вычетов; но больше среди этих
чисел вычетов быть не может, так как, присоединяя еще вычет 0, мы
уже получим (р + 1)/2 вычетов, а количество всех вычетов не может
превосходить этого числа. Таким образом, остальные числа являют-
ся невычетами и тем самым их количество равно (р- 1)/2.

Так как нуль всегда является вычетом, то в этих исследованиях
мы исключим его из рассмотрения вместе с числами, делящимися на
модуль; этот случай сам по себе ясен и лишь удлиняет теоремы. На
этом же основании мы исключили также и модуль 2.

97.	Так как многое из того, что мы будем разбирать в этом разде-
ле, может быть выведено также и на основании принципов преды-

65 Собственно говоря, мы используем здесь это выражение в другом смысле, нежели
мы это делали до сих пор. Именно, мы должны были бы говорить, что г есть вычет ква-
драта а1 по модулю г, если г-сг (той т). Однако ради краткости мы в этом разделе всегда
будем называть г квадратичным вычетом самого числа т, не опасаясь, что это может
привести к недоразумениям, так как выражение «вычет» в смысле «сравнимое число» мы,
начиная отсюда, будем употреблять лишь тогда, когда речь идет о наименьшем вычете,
а в этом случае никакой двусмысленности возникнуть не может.
дущего раздела, и так как не является бесполезным получать одну
и ту же истину различными путями, мы сейчас поясним эту связь.
Легко видеть, что все числа, сравнимые с некоторыми квадратами,
имеют четные индексы, а несравнимые с квадратами - нечетные.
Но так какр - 1 есть четное число, то количество четных и нечетных
индексов одинаково, именно и тех, и других по (р-1 )/2, и столько же
будет вычетов и невычетов.

Примеры.

Для модулей	Вычетами являются
3	1
5	1,4
7	1,2,4
11	1,3, 4, 5, 9
13	1,3,4, 9, 10, 12
17	1,2, 4, 8, 9, 13, 15, 16

остальные же числа, меньшие этих модулей, суть невычеты.

Ответ на вопрос, является ли составное число вычетом
или невычетом заданного простого числа,
зависит от свойств сомножителей

98.	Теорема. Произведение двух квадратичных вычетов про-
стого числа р является вычетом; произведение вычета на
невычет является невычетом; наконец, произведение двух
невычетов является вычетом.

Доказательство. I. Пусть А. В - вычеты, получающиеся из ква-
дратов а2. Ь2. т.е.А = а2. В = Ъ2; тогда произведение АВ будет сравни-
мо с квадратом числа аЬ. т.е. будет вычетом.

II.	Если А есть вычет, например = а2, а В - невычет, то АВ бу-
дет невычетом. Действительно, если мы предположим, что АВ = к2 и
к/а = Ь (шос! р). то будет иметь место а2В = а2Ь2. и потому В = Ь2.
т.е., вопреки нашему предположению, В будет вычетом.

Другое доказательство. Если все вычеты, содержащиеся сре-
ди чисел 1,2, 3, .... р-1 (количество этих вычетов равно (р- 1)/2),
умножить на А. то все произведения будут квадратичными вычета-
ми и все будут несравнимы между собой. Если теперь умножить на
А невычет В. то произведение не будет сравнимо ни с одним из ранее
полученных произведений. Поэтому если бы оно было вычетом, то
мы имели бы (р + 1)/2 несравнимых между собой вычетов, среди
которых нет нуля. Но это противоречит и. 96.

III.	Если А и В - невычеты, то, умножая на А все вычеты, со-
держащиеся среди чисел 1, 2, 3, ....р- 1, мы, согласно II, получим
(р - 1 )/2 несравнимых между собой невычетов. Но ни одно из этих
произведений не может быть сравнимо с произведением АВ. Поэто-
му, если бы оно было невычетом, мы имели бы (р + 1)/2 несравни-
мых между собой невычетов, что противоречит и. 96.

Еще легче можно вывести эти теоремы из принципов предыду-
щего раздела. Действительно, так как индексы вычетов всегда четны,
а индексы невычетов нечетны, то индекс произведения двух вычетов
или двух невычетов будет четным, и потому само произведение есть
вычет. Наоборот, индекс произведения вычета на невычет будет не-
четным, и потому само произведение есть невычет.

Оба метода могут быть применены также для доказательства
следующих теорем.

Значение выражения а/Ъ (шос! р) является вычетом, если числа
а и Ъ являются одновременно или вычетами, или невычетами', на-
оборот. оно будет невычетом, если одно из чисел аиЪ есть вычет,
а другое - невычет.

Эти теоремы могут быть получены также обращением предыду-
щих теорем.

Общий критерий того, является ли заданное число вычетом
или невычетом по заданному простому модулю

106.	Из предыдущего следует, что если только мы можем уз-
нать, будет ли заданное простое число вычетом или невычетом по
заданному простому модулю, то все остальные случаи могут быть
сведены к этому. Поэтому мы должны направить наши усилия на
то, чтобы получить точные критерии для решения первого вопроса.
Однако, прежде чем приступить к этому исследованию, мы хотим
указать на один критерий, получающийся на основании предыдуще-
го раздела, который хотя и не находит себе почти никогда примене-
ния на практике, но все же достоин упоминания вследствие своей
простоты и общности.

Каждое число А. которое не делится на простое число 2т + 1
является вычетом или невычетом по этому простому числу в зави-
симости от того, имеет ли место Ат = +1 или = -1 (шоб 2т + 1).

Именно, если для модуля 2т +1 индекс числа Л в некоторой сис-
теме равен а. то а будет четным, если А есть вычет числа 2т + 1,
и нечетным, если Л - невычет. Индекс же числа Ат равен та. т.е. он
= 0 или = т (шос! 2т), смотря по тому, четно а или нечетно. Отсюда
вытекает, что в первом случае Ат = +1, а во втором случае Ат = -1
(шос! 2т + 1). (ср. пп. 57 и 62).

Пример. 3 есть вычет числа 13, потому что З6 = 1 (шос! 13); на-
оборот, 2-невычет по модулю 13, ибо 26 = -1 (шоб 13).

Однако если исследуемые числа более или менее большие, этот
критерий становится полностью непригодным вследствие громозд-
кости вычислений.

Исследования относительно простых чисел, по которым
заданные числа являются вычетами или невычетами

107.	Итак, для заданного модуля совсем легко указать все те чис-
ла, которые являются для него вычетами или невычетами. Действи-
тельно, если заданный модуль = т, то нужно только найти квадра-
ты чисел, не превосходящих половины т, или даже только числа,
сравнимые по модулю т с этими квадратами (практически суще-
ствуют еще более удобные методы), и тогда все числа, сравнимые
с каким-нибудь из полученных чисел по модулю т, будут вычетами,
а все числа, не сравнимые ни с одним из них, - невычетами. Однако
обратная задача: если задано некоторое число, определить все те
числа, по которым оно является вычетом или невычетом. - значи-
тельно сложнее. Этой задачей, от решения которой зависит и реше-
ние проблемы, поставленной в предыдущем разделе, мы будем те-
перь заниматься и начнем при этом с простейших случаев.

Вычет -1

108.	Теорема. Число -1 является квадратичным вычетом по
всем простым числам вида 4/7 + 1 и невычетом по всем про-
стым числам вида 4/7 + 3.

Пример. -1 является вычетом чисел 5, 13,17, 29, 37, 41, 53, 61,
73, 89, 97, ... и сравнимо соответственно с квадратами чисел 2, 5,
4, 12, 6, 9, 23, 11, 27, 34, 22, ...; и напротив, -1 является невычетом
чисел 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, ...

Мы уже упоминали об этой теореме в и. 64. Доказательство же
легко получается из и. 106. Действительно, для простого числа вида
4/7+1 имеет место (-1)2?7 = 1, а для простого числа вида 4/7 + 3 бу-
дет (-1)2?7 + 1 = -1. Это доказательство совпадает с доказательством,
приведенным в вышеупомянутом месте. Однако вследствие красоты
и полезности теоремы не будет лишним доказать ее еще другим спо-
собом.
109.	Совокупность всех вычетов простого числа р, меньших р,
за исключением вычета 0, мы обозначим буквой С. Так как число
этих вычетов всегда равно (р - 1)/2, оно, очевидно, будет четным,
еслир имеет вид 4/7 + 1, и нечетным, еслир имеет вид 4/7 + 3. Ана-
логично п. 77, где речь шла о любых числах, мы будем называть
ассоциированными те вычеты, произведение которых = 1 (шоб р);
действительно, если г есть вычет, то и 1/г, очевидно, будет вычетом
по модулю р. Так как один и тот же вычет не может иметь в С других
ассоциированных вычетов, ясно, что все вычеты из С могут быть
разбиты на классы, каждый из которых содержит два ассоциирован-
ных вычета. Далее, ясно, что если нет вычетов, ассоциированных
с самими собой, т.е. если каждый класс содержит два неравных вы-
чета, то число всех вычетов должно быть равно удвоенному чис-
лу всех классов. Если же имеются вычеты, ассоциированные сами
с собой, т.е. если имеются классы, содержащие только один вычет,
или, если такое выражение больше нравится, содержащие этот один
вычет дважды, то, полагая число таких классов равным а, а число
остальных классов равным Ь, мы получим, что число всех вычетов
в С равно а + 2Ь. Поэтому если р имеет вид 4/7 + 1, то а четно; если
же р имеет вид 4/7 + 3, то а нечетно. Но среди чисел, меньших р,
никакие, кроме 1 ир - 1, не могут быть ассоциированы сами с собой
(ср. и. 77), а 1, очевидно, всегда есть вычет. Поэтому р- 1 (или, что
то же самое, -1) в первом случае должно быть вычетом, а во втором
невычетом, ибо иначе в первом случае имело бы место а = 1, а во
втором а = 2, что невозможно.

ПО. Этим доказательством мы также обязаны Эйлеру, кото-
рый дал и первое доказательство этой теоремы вообще (ср. Оризс.
Апа1у1., Т. I, р. 135). Легко заметить, что оно базируется на принци-
пах, подобных тем, на которых основано наше второе доказатель-
ство теоремы Вильсона в п. 77. Если же опираться на эту теорему, то
доказательство можно провести еще проще. Среди чисел 1, 2, 3, ...,
р- \ имеется (р - 1 )/2 квадратичных вычетов по модулю р и столько
же невычетов. Поэтому количество невычетов четно, если р имеет
вид 4/7 + 1, и нечетно, еслир имеет вид 4/7 + 3. Таким образом, про-
изведение всех чисел 1,2, 3, 1в первом случае является вы-
четом, а во втором - невычетом (п. 99). Но это произведение всегда
= -1 (шобр); следовательно, -1 в первом случае есть вычет, а во вто-
ром - невычет.

111.	Из сказанного следует, что если г есть вычет простого числа
вида 4/7 + 1, то и -г будет вычетом этого простого числа, и наоборот,
все невычеты такого числа, взятые с отрицательным знаком, оста-
ются невычетами66. Обратное имеет место в случае простых чисел
вида 4/7 + 3, вычеты которых при перемене знака превращаются в не-
вычеты, и наоборот (ср. п. 98).

Наконец, из всего сказанного легко получается следующее об-
щее правило: -1 является вычетом всех чисел, которые не делятся
ни на 4, ни на какое-либо простое число вида 4/7 + 3, и невычетом
всех остальных чисел (ср. пи. 103 и 105).

Индуктивным путем находится общая (фундаментальная)
теорема и делаются выводы из нее

130.	После того как мы строго доказали, что каждое простое
число вида 4/7 + 1, взятое как положительным, так и отрицательным,
является невычетом некоторого простого числа, которое меньше его
самого, мы тотчас же переходим к более подробному и общему срав-
нению простых чисел с точки зрения того, является ли одно из них
вычетом или невычетом другого.

Выше мы со всей строгостью доказали, что -3 и +5 являются
вычетами или невычетами всех простых чисел, которые суть соот-
ветственно вычеты или невычеты чисел 3 или 5.

Из рассмотрения нижеследующих чисел мы находим, что -7, -11,
+ 13, +17, -19, -23, +29, -31, +37, +41, -43, -47, +53, -59 и т.д.
являются вычетами или невычетами всех простых чисел, которые,
взятые положительными, являются для указанных чисел соответ-
ственно вычетами или невычетами. Это рассмотрение легко можно
продолжить при помощи таблицы 2.

При некотором внимании каждый заметит, что из этих простых
чисел те, которые имеют вид 4/7 + 1, взяты с положительным знаком,
а имеющие вид 4/7 + 3 - с отрицательным.

131.	Мы скоро докажем, что найденное нами здесь индуктивным
путем верно вообще. Однако прежде чем браться за это дело, нуж-
но указать все, что следует из этой теоремы, если предположить ее
справедливой. Саму теорему мы выскажем следующим образом:

Если р - простое число вида 4/7+1, то +р. а если р - простое
число вида 4/7 — 3, то -р будет вычетом или невычетом каждого
простого числа, которое, взятое положительным, является выче-
том или невычетом числар.

66 Таким образом, если мы говорим о некотором числе как о вычете или
невычете числа вида 4/7 + 1, то мы можем просто отбрасывать знак рассматрива-
емого числа или же снабжать его двойным знаком ±.
Так как почти все, что можно высказать о квадратичных вычетах,
основывается на этой теореме, то название «фундаментальная тео-
рема». которое мы в дальнейшем будем употреблять, не будет для
нее неподходящим.

Чтобы наши выводы представить в возможно более краткой фор-
ме, мы будем обозначать через а. а'. а". ... простые числа вида Ап + 1,
через Ъ. Ъ\ Ь”, ... - простые числа вида Ап + 3, далее, через А. А'.
А". ... - любые числа вида Ап + 1 и через В. В'. В". ... - любые числа
вида 4/7 + 3. Наконец, поставленная между двумя величинами бук-
ва В будет указывать, что первая является вычетом второй, а буква ТУ
будет иметь противоположное значение. Например, +5 В 11, ±2 ТУ 5
означает соответственно, что +5 есть вычет числа 11, а +2 и -2 суть
невычеты числа 5. Если соединить теперь фундаментальную теоре-
му с теоремами из и. 111, то легко получаются следующие теоремы:

Если

1)	±аКа'

2)	^аКа'

3)	+ а В Ъ |

-а1ЧЪ ]

4)	+аТУ6

-аВЪ

5)	±ЪВа

6) ±Ь ТУ а

Т) +ЪВЪ'

8) + 6ТУ6Я

-ЪВЪ' 1

То

± а’В а

± а’И а

± Ь В а

Ша

+ аВЬ

-аВ Ь

+ аИЪ

- аВЪ

+ ЬГИЬ
-Ъ'ВЪ'
+ Ь'ВЬ
-Ь^Ь

132. Выше содержатся все случаи, которые могут встретиться
при сравнении двух простых чисел; следующее касается любых чи-
сел, однако доказательства здесь не так очевидны.
Если

9)	±аВА

10)	±ЬВА

11)	+ аКВ

12)	-аВВ

13)	+ЪВВ

14)	-ЪКВ

То

± А К а
+ АКЪ
-АШ
±В К а
±ВШ
-ВВЪ
+ ВИЪ
+ ВКЪ
-ВШ

Так как доказательства всех этих теорем основываются на одних
и тех же принципах, нет нужды все их подробно приводить; доказа-
тельство теоремы 9, которое мы приведем, может служить приме-
ром. Вообще же можно заметить, что каждое число вида 4п + 1 или
совсем не имеет сомножителей вида 4п + 3, или содержит два таких
сомножителя или четыре и т.д., т.е. что количество таких сомножи-
телей (среди которых могут быть и равные) всегда четно, а каждое
число вида 4/7 + 3, напротив, всегда содержит нечетное число (т.е.
или один, или три, или пять и т.д.) сомножителей вида 4/7 + 3. Число
сомножителей вида 4/7+1 остается неопределенным.

Теорема 9 доказывается следующим образом. Пусть А есть про-
изведение простых сомножителей а\ а". а”\ Ъ\ Ь”, ..., где чис-
ло сомножителей Ь, Ь', Ь", ... четно (их может и не быть совсем, что
сводится к тому же самому). Если теперь а является вычетом чис-
ла Л, то оно будет также вычетом всех сомножителей а\ а”, а'" Ь,
Ъ\Ъ”,..., а потому, согласно теоремам 1 и 3 предыдущего пункта, эти
отдельные сомножители, а следовательно, и их произведение Л, яв-
ляются вычетами числа а. Также и -А будет вычетом. Если же - а
есть вычет числа Л, а потому и отдельных сомножителей а\ а”, ...,
б,//..., то отдельные сомножители а\ а", ... будут вычетами числа
а. а сомножители Ь, Ъ\ ... - невычетами. Так как, однако, количество
последних четно, произведение всех сомножителей, т.е. Л, будет вы-
четом числа а. а потому вычетом будет и -А.

133.	Мы еще обобщим наше исследование. Рассмотрим два лю-
бых взаимно простых между собой нечетных числа Р и 2, взятых
с какими-нибудь знаками. Не обращая внимания на знак числа Р,
мы разложим его на простые сомножители и обозначим через р ко-
личество тех из этих сомножителей, по которым <2 является невы-
четом. Если некоторое простое число, по которому 2 есть невычет,
встречается среди этих р сомножителей несколько раз, то и учиты-
вать его следует столько же раз. Аналогично, пусть с/ есть количество
простых сомножителей числа О, по которым Р является невычетом.
Тогда числа р и с/ находятся в некоторой связи одно с другим, кото-
рая зависит от природы чисел Р, 2. Именно, если одно из чисел р.
с/ четно или нечетно, то по виду чисел Р, 2 можно судить, будет ли
второе четным или нечетным. Эта связь представлена в следующей
таблице.

Числа р, с/ одновременно будут четными или нечетными, если
числа Р, 2 имеют вид:

1)	+ Л,	+ А'
2)	+ Л,	-А':
3)	+ Л,	+ В.
4)	+л,	-в-,
5)	-Л,	-А’:
6)	+В,	-В'.

Наоборот, одно из чисел р, с/ четно, а другое нечетно, когда числа
Р, 2 имеет вид:

Ъ	-л,	+ В-
8)	-Л,	-В-,
9)	+ В,	+ в

10)	-Р,	-Р'.

Пример. Пусть числа Р и 0 суть - 55 и +1197, что относится
к четвертому случаю. Здесь 1197 является невычетом одного-един-
ственного простого сомножителя числа 55, именно числа 5, а-55 есть
невычет трех простых сомножителей числа 1197, именно чисел 3,
3, 19.

Если Р и 0 обозначают простые числа, то эти теоремы переходят
в те, которые мы привели в и. 131. Именно, в этом случае р и с/ могут
быть не больше 1; если поэтому предположить, что р четно, оно обя-
зательно будет = 0, т.е. 2 будет вычетом числа Р, если жер нечетно,
то 2 есть невычет числа Р, и обратно. Таким образом, если здесь
вместо Л, В написать а, Ь, то из 8) следует, что если - а есть вычет
или невычет числа Ъ.-Ъ будет невычетом или вычетом числа а. что
совпадает с 3) и 4) из и. 131.

Вообще ясно, что <2 может быть вычетом числа Р только тогда,
когда р = 0; поэтому если р нечетно, то 2 заведомо есть невычет по
модулю Р.

Отсюда также могут быть без труда выведены теоремы преды-
дущего пункта.

Кстати, скоро станет ясно, что это общее рассмотрение является
не просто бесплодным умозрением, так как полное доказательство
фундаментальной теоремы едва ли может быть без него проведено.

134.	Мы приступаем теперь к выводу этих теорем.

I. Мы будем, как и перед этим, считать, что Р, на знак которо-
го мы не обращаем внимания, разложено на простые сомножители,
и разложим далее каким-нибудь образом также и О, но уже учитывая
его знак. Затем будем комбинировать каждый отдельный сомножи-
тель первого разложения с каждым отдельным сомножителем второ-
го разложения. Тогда если 8 обозначает количество всех комбинаций,
в которых сомножитель числа 2 является невычетом сомножителя
числа Р, то р и 8 будут или одновременно четными, или одновремен-
но нечетными. Действительно, если//',/", ... суть простые сомно-
жители числа Р и если среди сомножителей, на которые разложено
2, имеется т невычетов по модулю/', т ’ невычетов по модулю/', т "
невычетов по модулю/"и т.д., то легко видеть, что

8 = т + т’ + т" + ...,
ар выражает, сколько среди чисел т.т\т”. ... имеется нечетных.
Отсюда сразу вытекает, что 8 будет четным, когда р четно, и нечет-
ным, когдар нечетно.

II.	Сказанное справедливо всегда, каким бы образом 2 ни было
разложено на сомножители. Теперь мы переходим к специальных
случаям и сначала рассмотрим случаи, когда одно из чисел, Р, по-
ложительно, а другое, О, имеет или вид +Л, или вид -В. Разложим
Р и 0 на простые сомножители, снабдив отдельные сомножители
числа Р положительными знаками, а отдельные сомножители числа
О -положительными или отрицательными знаками в зависимости от
того, имеют ли они вид а или тогда О, очевидно, будет, как и тре-
бовалось, иметь или вид +Л, или вид -В. Скомбинируем отдельные
сомножители числа Р с отдельными сомножителями числа 2 и обо-
значим, как и раньше, через 8 число комбинаций, в которых сомно-
житель 2 является невычетом сомножителя Р, и аналогично через
/ - число комбинаций, в которых сомножитель Р является невычетом
сомножителя (Л Тогда из фундаментальной теоремы следует, что
первые комбинации совпадают со вторыми и потому 8 = 1. Наконец,
из только что доказанного следует, что р = 8 (шоб 2), б/ = / (шоб 2),
и потому р = б/ (шоб 2).

Тем самым мы получаем теоремы 1), 3), 4) и 6) из и. 133.

Остальные теоремы могут быть прямо выведены подобным же
методом, но требуют одного нового соображения. Однако их легче
получить из предыдущего следующим образом.

III.	Обозначим снова через Р и 0 какие-нибудь взаимно простые
нечетные числа, через р и д - количества простых сомножителей чи-
сел Р, (), по которым соответственно 2 или Р являются невычетами.
Наконец, пусть р' - количество простых сомножителей числа Р, по
которым является невычетом - <2 (если само 2 отрицательно, то - О,
очевидно, будет обозначать положительное число). Разобьем теперь
все простые сомножители числа Р на четыре класса, именно

1)	на сомножители вида а. по которым 2 является вычетом;

2)	на сомножители вида Ъ, по которым 2 является вычетом; чис-
ло их пусть равно %;

3)	на сомножители вида а, по которым 2 является невычетом; их
число пусть равно у;

4)	на сомножители вида Ъ, по которым 2 является невычетом; их
число обозначим через о).

Тогда легко видеть, чтор = \|/ + о), // = X + V

Если теперь Р имеет вид ± Л, то х + о), а потому также их-® бу-
дет четным числом; тем самымр’ = р + р (шоб 2). Если же Р
имеет вид ±Р, то подобным же образом мы находим, что числар ир'
по модулю 2 несравнимы.

IV. Применим сказанное к отдельным случаям. Если сначала
как Р, так и 2 имеют вид +Л, то по теореме 1) р = д (шоб 2). Но,
с другой стороны,р' = р (шоб 2), и потомур' = д (шоб 2), что совпа-
дает с теоремой 2). Аналогично, если Р имеет вид -Л, а 0-вид + Л,
то, согласно только что доказанной теореме 2), р = б? (шоб 2). Так
какр' = р. отсюда следует также р' = с[. Тем самым доказана также
и теорема 5).

Тем же способом теорема 7) выводится из 3), теорема 8)-или из
4), или из 7), теорема 9)-из 6), и из нее же и теорема 10).
Огюстен Луи Коши

(1789-1857)

Жизнь и труды

Евклид зарабатывал на жизнь преподаванием. Среди его учени-
ков был Птолемей I, царь Египта. Однажды царь Птолемей попросил
своего учителя найти кратчайший путь к геометрическим знаниям,
на что Евклид ответил: «Нет царского пути в геометрии». Возможно,
царского пути нет в математике вообще и в геометрии в частности.
Однако если у кого из математиков и пересекался путь с королевски-
ми особами, то у Огюстена Луи Коши.

Огюстен Луи Коши родился в период зарождения Французской
революции, 21 августа 1789 г. Его родители, Луи Франсуа Коши
и Мари Мадлен Коши, урожденная Дезестр, назвали его в честь
месяца рождения и в честь его отца. Луи Франсуа родился в 1760 г.
в семье кузнеца из Руана. Мари Мадлен родилась в семье парижских
чиновников в 1767 г. Они поженились в 1787 г.

Луи Франсуа Коши получил образование юриста и служил ко-
миссаром парижской полиции при королевском режиме. Он поте-
рял эту должность в результате штурма Бастилии и был вынужден
занять должность в Бюро благотворительности, чтобы хоть как-то
зарабатывать на жизнь. Когда в 1792 г. на Париж обрушился террор,
Луи Франсуа испугался, что его роялистские связи могут стоить ему
жизни, и бежал в загородный дом в Аркейле вместе со своей семь-
ей, в которой недавно произошло прибавление: родился второй сын.
Таким было первое бегство Огюстена Луи Коши от политических
потрясений.

Вынужденное изгнание Коши в Аркейль, возможно, было труд-
ным временем, но оно имело свои преимущества. Главным среди
них, возможно, был тот факт, что их соседями по Аркейлю оказа-
лись великие математики Пьер Симон Лаплас и Жозеф Луи Лагранж,
последний из которых, как говорят, предсказал гениальность маль-
чика и предупредил его отца о том, что он должен увидеть матема-
тический текст до 17 лет. То ли благодаря собственному классиче-
скому образованию, то ли благодаря предостережению Лагранжа
Луи Франсуа использовал свободное время в Аркейле, чтобы начать
обучение старшего сына, дав ему прочную основу для изучения гре-
ческого и латыни. Луи Франсуа продолжил обучение своего сына,
когда семья смогла вернуться в Париж в июле 1794 г. после падения
Робеспьера и окончания царства террора.

Успех Луи Франсуа рос вместе с успехом Наполеона, и когда На-
полеон стал первым консулом 1 января 1800 г., Луи Франсуа был из-
бран Генеральным секретарем вновь созданного Сената, в состав ко-
торого входили Лаплас и Лагранж. По предложению Лагранжа Луи
Франсуа записал сына в Высшую школу Пантеона, как только тому
исполнилось 13 лет. В школе молодой Коши провел два года, изучая
древние языки, рисование и естественную историю. Он преуспел
в изучении древних языков, заняв первые места в конкурсах латин-
ской композиции и греческой поэзии. Несмотря на то что Огюстен
Луи Коши добился выдающихся успехов в изучении классических
языков, он твердо решил изучать инженерное дело в Политехниче-
ской школе. В 1805 г. Коши занял второе место среди всех претен-
дентов на поступление в эту школу. Поступив туда осенью, Коши
оказался перед выбором сферы государственной службы для работы
после окончания школы. Он выбрал гражданское строительство с
уклоном в строительство дорог и мостов. Вскоре после начала учебы
Коши стал лучшим учеником в классе. Он окончил школу с отличи-
ем в 1807 г., а затем поступил на углубленное обучение в Высшую
школу дорог и мостов. В этой школе ученики находились с декабря
по март и проводили остаток года на полевых работах.

В 1810 г., после того как Коши в очередной раз получил высшее
образование и оказался среди лучших учеников, он стал полевым
инженером Департамента дорог и мостов в Шербуре, чтобы рабо-
тать на военно-морской базе, с которой Наполеон планировал начать
вторжение в Англию. В письме к отцу Коши писал, что у него было
всего четыре книги, когда он уезжал в Шербур: сборник стихов Вер-
гилия, «Подражание Христу» Фомы Кемпийского, «Небесная меха-
ника» Лапласа и «Трактат об аналитических функциях» Лагранжа.
О пребывании Коши в Шербуре известно немного, кроме того, что
он был представлен Наполеону, когда император посетил Шербур
в мае 1811 г.

В 1812 г. Коши вернулся в Париж, чтобы получить научное мес-
то, которое позволило бы ему иметь доход и время для занятий ма-
тематикой. Он потерпел неудачу в этой попытке в значительной
степени из-за продолжительной болезни и был вынужден удовлет-
вориться тем, что его назначили в группу технического персонала,
строящего канал Урк. Когда его бывший наставник Лагранж умер
в 1813 г., Коши пытался избраться на должность Лагранжа на мате-
матическом факультете Института Франции. Коши не только не смог
победить на выборах на этот пост, но выбыл при первом же голосо-
вании. В течение следующих двух лет Коши искал любую доступ-
ную должность в институте, но так и не добился успеха. Наконец,
в самом конце 1814 г., он получил некоторое утешение, избравшись
в Филоматическое общество в Париже. Три месяца спустя, как раз
когда Коши готовился начать преподавание, во Франции снова ки-
пели страсти после возвращения Наполеона в Париж из ссылки на
Эльбе.

После реставрации монархии Бурбонов в 1814 г. многие веду-
щие институты Франции были очищены от радикальных сторонни-
ков Наполеона. Коши безуспешно пытался занять кафедру механи-
ки, которой руководил Симеон-Дени Пуассон. В конце концов он
получил назначение на преподавательский пост в Политехническую
школу, сначала в качестве «заместителя» профессора анализа мате-
матика Луи Пуансо (которому плохое здоровье не позволяло препо-
давать целых три года), а затем в качестве полного профессора ана-
лиза и механики со всеми правами.

После того как Коши наконец получил постоянную должность,
родители уговорили его жениться. На самом деле они не просто
уговаривали сына жениться - отец сам выбрал невесту, Алоизу де
Бюр, дочь владельца издательства, носящего фамилию этой семьи.
Она приехала со значительным приданым, и была устроена свадеб-
ная церемония, соответствующая их положению в обществе: Людо-
вик XVIII и вся королевская семья подписали брачный контракт.

Все факты говорят о том, что Коши относился к своей жене и до-
черям не более чем как к украшениям, которые можно оставить, ког-
да необходимо. Вероятно, он женился только для того, чтобы удов-
летворить буржуазные требования своих родителей. У них с Алоиз
было две дочери: Мария Франсуаза Алисия, родившаяся в 1819г.,
и Мария Матильда, родившаяся в 1823 г. Обе впоследствии вышли
замуж за аристократов.

После своего назначения Коши приступил к реорганизации
учебного плана по математике в Политехнической школе, уделяя го-
раздо больше внимания чистой математике. Сначала он сосредото-
чился на вычислительной математике - предмете, выдержки трудов
о котором приводятся в этой главе. Ньютон и Лейбниц изобрели вы-
числительную математику для решения частных математических за-
дач. Ньютону, например, нужно было уметь решать задачи небесной
динамики, связанные с эллипсами и параболами. В XVIII в. развитие
математики происходило довольно неопределенным образом. Про-
изводная функции рассматривалась как средство выражения форму-
лы для касательной к кривой в определенной точке Р.

Интеграл функции рассматривался как бесконечная сумма значе-
ний бесконечного числа инфинитизимально тонких прямоугольни-
ков, высота которых была значением функции, а ширина-бесконеч-
но малой величиной, обозначаемой с!х. Лейбниц ввел обозначение
интеграла следующим образом

Г

а

именно из-за его сходства с буквой 5, первой буквой слова «сум-
мирование». До тех пор, пока рассматривались частные примеры
хорошо себя ведущих функций, например /(х) = х2, задача опре-
деления интеграла функции сводилась к нахождению предела опре-
деленного ряда. Для функции / (х) = х2 интеграл считается суммой
прямоугольников высоты х2 и ширины с!х.
Следовательно, задача нахождения интеграла функции
/ (х) = х2 от 0 до 1 есть не что иное, как задача нахождения следу-
ющего предела:

(Ж)2 + (2/2У)2 + (3/2У)2 + ...	- 1)/У)2

при ТУ сю . Упрощая последнее выражение, получаем

2дС--ЗЛ^+/У
бдС

, что при V сю стремится к 1/3.

Математики начала XVIII в. вскоре обнаружили, что интеграл
и производная обратны друг другу. К середине XVIII в. Леонард
Эйлер и Иоганн Бернулли считали интеграл не более чем обратной
производной. Фактически Эйлер использовал концепцию Лейбница
интеграла как суммирования только при приближенной оценке ин-
теграла. Нахождение формулы для интеграла функции / (х) повлек-
ло за собой поиск другой функции ^(х), производная которой везде
была бы равна / (х). Таким образом, формула для интеграла функ-
ции /(х) = х2 была ^(х) = х3/3 просто потому, что /(х) = х2 -
производная от ^(х) = х3/3 .

Таковыми были основы, на которых базировалась вычислитель-
ная математика, когда Коши начал преподавать в Политехнической
школе в 1818 г. Существовали методы интегрирования функций
с хорошим поведением, но самой теории интегрирования не было.
Возможно, вдохновленный демонстрацией Фурье, что произвольная
функция может быть представлена бесконечным тригонометриче-
ским рядом, Коши разработал первую теорию интеграла, независи-
мую от конкретной функции и независимую от дифференциального
исчисления, для которого он также заложил новые основы, незави-
симые от геометрических интуиций. Во введении к своему «Курсу
анализа» 1821 г. Коши объяснил, что он стремился привнести в об-
ласть математического анализа ту же степень строгости, которая при-
сутствовала в «Элементах» Евклида. Он особенно заботился о том,
чтобы изгнать бесконечно малые числа, для чего потребовалось но-
вое определение непрерывности. Коши дал следующее определение
непрерывности действительной функции одной переменной:

Пусть /{х) есть функция переменной и предположим, что
для каждого значения между двумя заданными границами эта
функция постоянно принимает одно конечное значение. Если от
значения между этими границами приписать переменной беско-
нечно малое приращение, то сама функция получит в качестве
приращения разность

/(х + а)-/(х),

которая будет зависеть одновременно от новой переменной
и от значения. При этом функция ф\х) будет непрерывной
функцией переменной между двумя назначенными границами,
если для каждого значения между этими границами числовое
значение разности /(ус + а) — /(х) будет бесконечно умень-
шаться с уменьшением. Другими словами, функция /(х) оста-
ется непрерывной относительно между заданными границами,
если между этими границами бесконечно малое приращение
переменной всегда приводит к бесконечно малому приращению
самой функции.

Коши посвятил первую часть своего «Резюме лекций по исчис-
лению бесконечно малых» 1823 г. дифференциальному исчислению,
сосредоточившись на производной функции у = /(х). Он взял тер-
мин «производная» и ее обозначение /Х(х) у своего наставника Ла-
гранжа. Однако Лагранж продолжал говорить о производной вооб-
ще в терминах касательной к кривой, находя формулы для частных
производных по мере необходимости. Коши вышел далеко за рамки
рассуждений Лагранжа и определил производную /по х как предел
разностного отношения

Ау/Дх = (/(% + /) - /(%)//),

где / «стремится» к 0 - это и есть наше современное негеометриче-
ское определение производной.
Вторая часть его труда «Исчисление бесконечно малых» сосре-
доточена на понятии интеграла

Г /(Д^х
а

функции / (х), непрерывной между а и Ь. Коши разделил интервал
[а,Ь\ на п точек х1?х2,..., хп таким образом, что а < хх < х2 < ...
... < хп < Ь. Он назвал наибольшее значение разности х;- — х/_1
нормой разбиения и рассмотрел следующую сумму:

5=(х1-а)/(а)+(х2-х1)/(х1)+...+(хй-х„_1)/(х„_1)+(&-х„)/(х„),
которая теперь носит название суммы Коши разбиения. Используя
данное им определение непрерывности, Коши показал, что для не-
прерывной функции / (х) на фиксированном интервале [а, 6] суммы
5 и 8' должны быть сколь угодно близки друг к другу при условии,
что нормы разбиений РиР' достаточно малы67. Это утверждение
позволило Коши определить интеграл

Г /(Дб7х
а

как предел 5, поскольку норма разбиения Р стремится к 0.

67 Здесь Р и Р'— два различных разбиения отрезка [а, Ъ\, а 8 и 8'-соответствующие
суммы Коши для этих разбиений.
Используя свое определение непрерывности, Коши показал, что для
любых двух разбиений РиР' соответствующие суммы 5 и 5' могут
быть сделаны сколь угодно близкими друг к другу при условии, что
нормы разбиений РиР' достаточно малы.

Определив теорию интеграла, Коши смог продемонстрировать
тесную связь между интегралом и производной в виде теоремы, ко-
торая стала известна как фундаментальная теорема исчисления. Она
утверждает, что если /- интегрируемая функция в интервале [а, Ь]
и если функция С(х) такая, что

= Г /(№, с* < &),

а

то производная функции С(х) совпадает с функцией /(х), т.е.

$'(*) = /(*)•

Хотя Коши был способен вдохновлять самых одаренных студен-
тов, он так и не научился приспосабливать курсы к уровню средних
студентов, пришедших в Высшую школу, стремясь расширить свои
небольшие знания математики, для того чтобы построить, скажем,
инженерную карьеру. Лекции Коши отличались амбициозностью,
темы не укладывались в отведенное время, часто забегали вперед.
В апреле 1821 г., незадолго до окончания лекции, которая закончи-
лась сверхурочно, несколько студентов освистали Коши, а затем
ушли от него.

Отнюдь не угодив факультетским советам в Высшей школе, ра-
бота Коши «Исчисления бесконечно малого» навлекла их гнев за
излишнюю теоретичность и недостаточность практики. Фактически
в конце 1823 г. министр внутренних дел назначил комиссию, вклю-
чавшую Лапласа и Пуассона, чтобы обеспечить соответствие пре-
подавания математики потребностям студентов-инженеров. В тече-
ние оставшейся части десятилетия администрация Высшей школы
постоянно контролировала лекции Коши, чтобы гарантировать их
пригодность для студентов-инженеров.

Франция пережила период относительного мира и стабильности
во время правления восстановленного монарха Людовика XVIII. Ког-
да король скончался в 1824 г., ему наследовал младший брат, Карл X,
который попытался восстановить монархию в том виде, в каком она
была до революции. По мере того как во Франции возникали очаги
республиканских симпатий, правительство стремилось сдерживать
их и прибегало к помощи организаций, поддерживающих монар-
хию. Ярый роялист и католик, Коши был одним из основателей та-
кой организации-Ассоциации защиты католической религии.
После того как июльская революция 1830 г. свергла КарлаХ
в пользу его двоюродного брата Луи Филиппа, герцога Орлеанско-
го, академики, как и все правительственные чиновники, были обя-
заны принести присягу на верность. Коши не только отказался это
сделать, но и отправился в изгнание по собственной воле, возможно
опасаясь, что новый режим будет преследовать таких же набожных
католиков, как и он сам. Неудивительно, что Коши лишился своих
назначений.

Оставив жену и детей во Франции, Коши сначала поселил-
ся с группой иезуитов в городе Фрибур, расположенном сразу за
швейцарской границей. Иезуиты вскоре рекомендовали его королю
Сардинии, одному из своих благодетелей, и тот предоставил Коши
кафедру в Туринском университете. Однако Коши оставался там не-
многим более трех лет, когда получил предложение присоединиться
к Карлу X в Праге и обучать внука изгнанного короля, наследного
принца. Только тогда Коши послал за своей семьей, чтобы она при-
соединилась к нему после четырехлетней разлуки.

Карл X вознаградил Коши, сделав его бароном. В 1838 г. Карл X
умер, и образование наследного принца завершилось в его 18-й день
рождения. Закончив работу при дворе, Коши вернулся в Париж, не-
сомненно под влиянием ухудшающегося здоровья матери. Потеряв
свои академические должности после изгнания, Коши мог возобно-
вить только членство в Академии наук. По стечению обстоятельств,
его старый учитель Прони умер через год после его возвращения,
и Коши был избран преемником своего наставника в качестве про-
фессора геометрии в Бюро долгот.

Политические условия были смягчены, и академикам больше не
нужно было присягать на верность. Хотя холодное отношение Коши
к новому режиму, возможно, и не ставило под угрозу его жизнь, оно
мешало его карьере. Это стоило Коши комфортных назначений в не-
скольких правительственных учреждениях. В 1843 г. он был одним
из трех кандидатов на вакантную кафедру математики в Коллеж де
Франс. Несмотря на то что Коши явно был самым выдающимся кан-
дидатом, его ультрамонархические и иезуитские симпатии охладили
многих избирателей. В итоге он получил только три голоса от ко-
митета из 24 членов. Чувствуя себя униженным результатом, Коши
объявил, что он больше не позволит выдвигать себя на какую-либо
должность, если будет хотя бы малейший шанс на его поражение.

С 1838 по 1848 год Коши не занимал никакую преподаватель-
скую должность. Он получил назначение в Академию наук только
для того, чтобы получить трибуну для представления своей научной
работы, и он сделал это всерьез, представив 240 заметок и исследо-
ваний в Академию в течение этого десятилетнего интервала. Когда
Февральская революция 1848 г. свергла Луи Филиппа, Коши надеял-
ся, что трон займет его бывший ученик, герцог Бордоский, а ныне
граф Шамбор. Этого не произошло. На смену Луи Филиппу пришла
Вторая республика. Хотя Коши и не был республиканцем, он извлек
выгоду из отмены республикой клятв верности. Вскоре Коши выи-
грал выборы на кафедру в Парижском университете. Когда Наполе-
он III стал императором в 1852 г., он освободил Коши от принятия
присяги.

Коши работал в бешеном темпе всю свою жизнь, опублико-
вав 789 математических и научных статей. Публикация его полного
собрания трудов началась в 1882 г. и закончилась только в 1970 г.
с выходом 27-го, и последнего, тома. Титаническая работа Коши
остановилась с его смертью 23 мая 1857 г., после непродолжитель-
ного приступа ревматизма.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ

ИСЧИСЛЕНИЕ

Урок III

О производных функциях одной переменной

Положим, что функция;/ = /(х) есть непрерывная между двумя
данными пределами переменной х и что сей переменной дана вели-
чина, содержащаяся между этими самыми пределами, то бесконечно
малое приращение, получаемое изменяемым количеством, произве-
дет бесконечно же малое приращение самой функции. Следственно,
полагая Ах = /, числитель и знаменатель отношения разностей
(1)	Ду = /к + 0 - /(*)

Ах	/

будут количества бесконечно малые. Но между тем как числитель
и знаменатель будут беспрестанно и в одно время приближаться
к нулю, сама дробь будет стремиться к другому, или положитель-
ному, или отрицательному пределу. Этот предел для каждой данной
величины х имеет определенную же величину, которая, впрочем, из-
меняется вместе с х. Так, например, полагая/(х) = хт. где т означает
целое число, отношение бесконечно малых разностей будет

(х + О ~ х _	т-\ -к т^т — 1) хт~27 I I У777”1

I	1-2

а предел оного количество тхт ~ \ которое есть новая функция пере-
менной х. Точно так же и вообще; только вид новой функции, которая
будет служить пределом отношению Л*+*)~/(*), будет зависеть от
предложенной функции у = /‘(х). Для обозначения этой зависимости,
дают обыкновенно пределу этого отношения название производной
функции, которая и обозначается через знакоположение

у' или /'(х).

При изыскании производных функций выражения /(х) следует
различать функции, называемые простыми и которые изображают
одно какое-нибудь действие, произведенное над этой переменной, от
тех функций, которые выводим посредством многих действий и ко-
торые поэтому именуются сложными. Простые функции, происхо-
дящие от алгебрических и тригонометрических действий (см. I часть
с!и Соигз с1'Лпа1узе, Гл. I), могут быть приведены к следующим:
а + х, а-х, ах, — , ха, Ах, С(х),
х

зшх, соз х, агсзтх, агссозх,

где А есть постоянное число, а = ±Л постоянное же количество,
а буква Ь означает логарифм, взятый в той системе, основание кото-
рой есть А. Полагая величину л равной одной из этих простых функ-
ций, вообще легко будешь получить производную у'. Таким образом
найдется,

Ду (а + х + /) — (а + х) л , л
полагая у = а + х, —— = 2-----------—-------- = 1, у — 1;

Ах	/

Ау (а — х — /) — (а — х) л , л
полагая у = а — х, -^ = 2------------—-------- = — 1, у = — 1;

Ах	/

полагая у = ах,

Ау а(х + г\ — ах .

------------= а, у = а;

Лх	I

а а

а Ду х + / х
полагая у = —, -^ = —!--------

х Ах /

полагая

Ду

У = 81ПХ,
Дх

. 1 .

8Ш-7	/

—р^-С08 X +

У

полагая

Сверх того, полагая / = ах, А1 = 1 + р и (1 + о)а = 1 + у,
найдется х = Х(х),

Ду _ Ь{х + г) — Ьх _ />(1 + ос) _ />(1 + ос)а , _	.

Ах	/	осх	х ’ х
полагая

Ау _ Лх+/ - Ах

Ах /

Ах , = Ах .

Ц1 + ₽)Г У

полагая

(1 + 00° - 1
а

_1_

_ Щ + а) а а-1	/ =	а-1

---	। (ЛЛг	у	(ЛЛг •

1(1 + у)у

В этих последних формулах буква е означает число 2,7182818,

которое служит пределом выражению (1 + а)« . Приняв это число за
основание системы логарифмов, получим Неперовы, или гиперболи-
ческие, логарифмы, которые впредь будем обозначать всегда буквой
I. И так, очевидно, что /(е) = 1,

г Ье 1е 1

Ье = — = — = —;

1Л 1А 1А

и сверх того найдется,

полагая х = 7(х), у7 = —,

х

полагая у = е\ у' = е*.

Предыдущие формулы выведены только для величин х, которым
соответствуют вещественные величины у; а поэтому должно, чтобы
в выражениях А(х), /(х) величина х была положительная, равным об-
разом и в функции ха, когда а обозначает дробь с четным знаменате-
лем, или иррациональное число.

Теперь пусть будет 2 другая функция х, сопряженная с первой
у =Цх) формулой

(2)	? = Г(у),

где г или Е [/*(х)] называется функцией от функции переменной х;
обозначив через Ах, Ау, Аз бесконечно малые и одновременные при-
ращения трех переменных х, у, х, найдем

Аг = Р\у_ + Ау) - ^(у) = Р\у + Ау) - ^(у) _ Ау

Ах	Ах	Ау	Ах ’
потом, переходя к пределам,

(3)

Например, полагая 2 = ау, а у= 1(х), получим

/	/ а

г = ау = —

С помощью формулы (3) легко определятся производная функ-
ции выражений Ах, ха, агсзт х, агссоз х, предполагая известными
производные функции количеств Цх), соз х, зт х. И действительно,
найдется,

полагая у = Ах, Ь(у) = х, у —— = 1, У ~ГГ\ =

У

полагая у = ха, 1(у \ = а1(х\ у'— = —, у' = а— = аха~1;
ух	х

полагая у = агсзт х,

1/1	1	.

зт у =х, у соз у = 1, у =---= .

СО8>- г

полагая у = агссоз х,
, ( • \ , -1 -1

СО8Г = Х, У X -81П.У =1, у = ------ = ,

Сверх того, производные функции сложных количеств

Ау, еу,

У
будучи, соответственно, вследствие формулы (3),
у'Ау1(А), у'еу, -4,

У
то производные следующих функций

лВх ех	1	1

А , е , зес х =-----, созез х = —--

соз х	зш х

будут

АвХВх1{А)1{В\ ееХех,^^,

соз2 X зш2 X
Заметим, что производные функции сложных количеств опреде-
ляются иногда с такой же удобностью, как и производные функции
простых количеств. Так, например, находим,

81ПХ

полагая у = 1ап§ х =-----,

СО8 X

Ду =	1	81п(х + /) 8Ш X
Дх	г	СО8(х+/) СО8Х

СО8 X
полагая у = со1:х = ——,
81ПХ

Ау	1 СО8(х + /)	СО8Х

Ах	I 8П1(х + /)	8ШХ

ИЗ этого выводим,
полагая у = агс!ап§ х,

у* 1
1ап§у =х, ---у- =

С08 у
полагая у = агссо! х,

—у1
со1§у = х, —— =
8Ш у

8Ш/	, _	1

/ С08 X С08^Х Т	С08^ X

8Ш/	, _	1

/8тх8ш(х + /)’	8т2 х’

1, у' = СО82 у = -------у;

1 Т х

1, у' = -зт27 = ---у.

1 Т х

Урок IV

Дифференцирование функций одной переменной

Пусть будут у =/(х) функция изменяемой х, / бесконечно малое
количество и к конечная величина. Полагая / = ай, где а будет также
беконечно малое количество, получим

/(х + /) - /(х) = /(х + а/г) - У(х)

/	осй

откуда произойдет

(1)

/(х + а/г)-/(х) = /(х + г)-/(х)А
ОС	/
Предел, к которому приближается первая часть уравнения (1),
между тем как а, приближается к нулю, а количество к остается по-
стоянным, называется дифференциалом функции л =/(х). Этот диф-
ференциал обозначают буквой Д следующим образом:

Ау или АДх).

Зная величину производной функции л' или/'(х), легко найти эти
дифференциалы. И действительно, взяв пределы обеих частей урав-
нения (1), найдется

(2)	да = й/'(х).

В частном случае, когда/(х) = х, уравнение (2) дает

(3)	б/х = к.

И так дифференциал переменной независимой х равняется по-
стоянному количеству к. Уравнение (2) можно заменить следующим:
(4)	#(х) =/’(х)<к,

или, что все равно, уравнением

(5)	Ау=у'Ах.

Из этих последних уравнений следует, что производная функция
у'=/'(х) какой-либо функции л =/(х) равняется отношению диф-
ференциала функции к дифференциалу переменной величины, или,
что все равно, коэффициенту, на которого должно умножить диф-
ференциал изменяемой величины, чтобы получить дифференциал
функции. По этой-то причине производная функция иногда называ-
ется дифференциальным коэффициентом.

Дифференцировать функцию значит найти ее дифференциал.
Действие, для этого употребляемое, называется дифференцированием.

По уравнению (4) весьма легко найти дифференциалы тех функ-
ций, чьи производные функции известны. Приложив это уравнение
к простым функциям, получим

(Да + х) = б/х, А(а — х) = —Ах, А (ах) = б/б/х,

б/— = — а^-; Аха = аха~1Ах;

х х2

ААХ = Ах1(А)Ах, Аех = ехАх;

бЙ(х) =	, б7/(х) = —;

7 •	7	•	( 7Т ,

азтх = С08 хах = 8Ш х + —1ах;
б/со8х = — 8Ш хс1х = со8^х + — с1х;

7	.	Ах 7	Ах

б/агс81пх = —.	, б/агссоз х = —.

71-х2	ТЕЛ2

Таким же образом найдем

.	Ах .	Ах

а 1ап§ х =-----?—, б/со1х =-----?—;

СО82 X	81П2 X

7	б/х	Ах

А агсЗапцх =------А агссо!: х =----------т;

1 + X2	1 + X2

7	81ПХб/х 7	С08Х6&

б/зесх =-----?—, А созес х =----------~.

СО8 X	81П X

В этих дифференциалах количеству х можно приписывать толь-
ко те величины, для которых в предыдущем уроке мы определили
производные функции, соответствующие этим дифференциалам.

А посему простые функции, чьи дифференциалы мы нашли для
всех вещественных величин х, суть следующие:

а ,х х

а + х, а — х, ах, —, А , е , 81пх, С08х;

х

к ним можно прибавить и функцию ха, когда количество а будет или
целое число, или дробь с нечетным знаменателем. Что же касает-
ся дифференциалов простых функций агсзт х, агссоз х, А(х), /(х), то
в двух первых величина х должна заключаться между пределами +1,
и -1, а в двух последних между - пределами 0 и оо; между этими по-
следними пределами должна заключаться та же величина х в диффе-
ренциале функции ха, если численная величина количества а будет
дробь с четным знаменателем или иррациональное число.

Сообразно со сказанным нами в I части Аи Соиг$ А'Апа1у$е, мы
будем употреблять знакоположения

агсзт х, агссоз х, агс!ап§ х, агссо! х, агсзес х, агссозес х
для обозначения наименьшей из дуг, соответствующих тригономе-
трической линии х; если случится, что одной и той же тригонометри-
ческой величине будут соответствовать две равных дуги, одна поло-
жительная, а другая отрицательная, то предыдущие знакоположения
будут означать положительную дугу; из этого следует, что агсзт х,
агс!ап§ х, агссо! х, агссозес х суть дуги, заключающиеся между пре-
делами —у,	, а агссоз х, агсзес х заключаются между пределами

О и 71.

Положив у = /‘(х) и Ах = / = а/д уравнение (1), чья вторая часть
имеет пределом может быть представлено в виде

— = с!у + Р,
а

где р означает бесконечно малое количество; отсюда выходит

(6)	Ау = а (ф + Р).

Пусть будет 2 другая функция переменной х. Таким же образом
получим

Аг = а (<7г + у),
где у означает количество бесконечно малое. Разделив последнее
уравнение на предпоследнее, получим

Аг _ <7г + у

Ау с!у + Р ’

потом, переходя к пределам,

Аг	б/г	г7б/х	г7

(7)	ПР- Л- = -7- = -ГТ- = —•

Ау	ау	у ах	у

Откуда следует, что отношение бесконечно малых разностей
двух функций переменной величины х имеет пределом отношение их
дифференциалов или их производных функций.

Теперь положим что г есть функция у, выраженная уравнением

(8)	г=Г(у).

Отсюда выведем

Аг = р + Ау) - ^( у’)

Ау	Ау

потом, переходя к пределам и соображаясь с формулой (7), получим

<7г
ф

(9)

= Р'(у) с!у, г' = у'Р'(у).
Второе из уравнений (9) не отличается от формулы (3) предыду-
щего урока. Сверх того, ежели в первом из уравнений (9) вместо и
поставимъ К(у), то получим следующее уравнение:

(10)	с!Е(у) = Р'(у)фу,

вид которого сходен с видом формулы (4) и которое служит для диф-
ференцирования функции у даже тогда, когда у будет зависеть от
другой изменяемой величины.

Примеры.

с1(а + у) = б/г, б7(—у) = — б/г, б7(бту) = ас/у, с1еу = еус/у,

<И(у) = у, с11(у2\	л! 2\  .	“[У ) 2с1у	71 7/ 2\	<$У  = —7^ = —, Н—1 / ] = —, и проч...  у2	У	2 \ >	у
б/ . ахт = ас}[хт^	| =	с1ее = ее с1(ех^ = ее ехс/х,
7 7 .	б/8тх  а . / 8Ш х = —	=  81ПХ	С08Х6&	б/х	, , ,	б/х  —;	=	, а . / 1ап§ х =  	,  8Ш х	1:ап§ х	8т х С08 х  и проч...

Первая из этих формул показывает, что присовокупление посто-
янной величины к функции не изменяет ее дифференциала, а следо-
вательно, и ее производной функции.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Урок XXI

Об определенных (междупредельных или частных)
интегралах

Положим, что функция у = /(х) есть непрерывная относитель-
но переменной х между двумя конечными пределами х = х0, х = X,
и обозначим через хр х2, ... х х другие величины переменной х,
вставленные между этими двумя пределами и которые постепенно
или возрастают, или уменьшаются от первого предела до второго.
Посредством этих промежуточных величин можно будет разложить
разность Х-Хц на элементы

(1)	Хх-Хо, Х2-ХрХ3-Х2, ... Х-Хп_ р

которые будут иметь все один знак. Далее положим, что каждый из
этих элементов помножили на величину/(х), соответствующую нача-
лу этого самого элемента, именно элементхх- х0 на/(х0), элементх2- хх
на/(хх) и проч..., наконец, элементX-хл_ х на/(х Д и пусть будет
(2)	5 = (х1-х0)/(х0) + (х2-х1)/(х1)+ ... + (^-хй_1)/(хи_1)

сумма всех этих произведений. Количество 8 очевидно будет зави-
сеть, во-первых, от числа п элементов, на которые разложена будет
разность Х-х^ во-вторых, от самих величин элементов и, следова-
тельно, от образа производимого разложения. Необходимо заметить,
что если численные величины элементов принимаются весьма ма-
лыми, а число п весьма большим, то образ производимого разло-
жения будет иметь весьма малое влияние на величину 5, что может
быть доказано следующим образом.

Если бы вместо всех элементов рассматривалась только одна
разность Х-х^ то имели бы

(3)	.5' = (Х-х0)Ях0).

Но если возьмем выражения (1) за элементы разности Х-х^ то
величина 5, определенная в этом случае уравнением (2), равна сумме
всех элементов, умноженной на среднюю величину функций

Лх^Лх^Лх^, ...Лхп_х)

(см. предварительные предложения в Сои8 сГапа1у8е, следствие
3-й теоремы, или III примеч. перев.). Сверх того, поскольку эти
коэффициенты равны частным значениям выражения

/[х0 + О(Х-хо)],
соответствующим величинам 0, заключающимся между пределами
нуль и единица, то докажется, подобно как в 7-м уроке, что средняя
величина, о которой перед этим упомянули, изобразится также через
/[х0 + О(Х-хо)] означает, как и выше, число больше нуля, но меньше
единицы. Итак, вместо уравнения (2) можно будет принять следую-
щее:

(4)	8 = (Х-х0)/[х0 + 0(ЛГ-хо)].

Чтобы перейти от образа разложения, который мы перед этим
употребляли к другому, в котором численные величины элементов
разности Х-Хц были бы еще меньше, достаточно каждую из разно-
стей (1) разложить на новые элементы. Тогда должно будет, во вто-
рой части уравнения (2), вместо произведения (х1 -х0) /(х0) подста-
вить сумму подобных произведений и потом эту последнюю сумму
заменит выражением вида

Л -хо)/[хо + 0(Х! -Хо)],
где 0 будет означать число меньше единицы, ибо между этой суммой
и произведением (лц -х0)/(х0) существует зависимость точно такая,
как и между величинами 5 данными уравнениями (4) и (3). По той же
причине должно будет поставить вместо произведения (х^-х^ /(х{)
такую сумму членов, которая может быть изображена в виде

(х2-%!)/[%! +61(х2-х1)],

где 0Х означает число меньше единицы. Продолжая таким образом
далее, заключим наконец, что при новом образе разложения, вели-
чина 5 будет вида

(5)	8 = (Х1 -х0)/[х0 + е0(х!-х0)] + (х2-х1)/[х1 + О^-Х^] +...

+ (^-х„_1)Лхй_1 + 0„_1(Х-х„_1)].

Полагая в этом последнем уравнении

Дх0 + 0О(Х; -Хо)] =/(х0) ± Бо,
/[х{ + 01(х2-х1)] =/{х^ ± 8р

] + 0„- 1(Х~хп- 1)] “ЛЛ- 1)± &п- 1’
выведем

(6)	8 = (X! -Хо)[/(х0) ± 80] + (х2 -Х^ЛСх^ ± 8^ + ...

+ (Х-Хп_ ’ЛЛ- 1) ± Л-Т

потом, перемножив настоящим образом, будет

(7)	8 = (х1-х0)/(х0) + (х2-х1)/(х1)+ ... +(^-хи_1)/(хи_1)±

± 8д(Х — Хд) ± 8](х2 — Х^) ± . . . ± 8^ _ |	Хп _ ]).

Прибавим, что если численные величины элементов -х0, х2 -лц, ...
Х-х { будут весьма малы, то каждое из количеств ±е0, ±ер ..., е х
будет весьма мало разнствовать от нуля, а поэтому и самая сумма
± 8д(Х^ Хд) ± 8^(%2 Х^) ± . . . 8^ _ ](Х Х^_^),
равная произведению X - х0 на среднюю величину между количе-
ствами ± е0, ± 8р 8 г Следовательно, через сравнение урав-
нений (2) и (7) заключаем, что величина 5, определенная по образу
разложения, в этом элементы разности X-х0 имеют весьма малые
численные величины, весьма мало изменится, если перейдем к дру-
гому образу разложения, где каждый из этих элементов подразделя-
ется еще на несколько других.

Положим теперь, что рассматриваются в одно время два образа
разложения разности X-х0 и что в каждом из них элементы этой
разности имеют весьма малые численные величины. Эти два образа
разложения можно будет сравнить с третьим, таким, чтобы каждый
элемент или первого, или второго образа разложения был составлен
из суммы нескольких элементов третьего. Чтобы выполнить это ус-
ловие, достаточно будет, чтобы все величины переменной х, встав-
ленные в двух первых разложениях между пределами х0, X были
введены в третий образ разложения, и тогда докажется, что величи-
на 8 весьма мало изменяется при переходе от первого или второго
образа к третьему, следовательно также, переходя и от первого ко
второму. И так, когда элементы разности Х-х^ принимаются беско-
нечно малыми, то образ разложения имеет только бесконечно малое
влияние на величину 5; и если мы будем беспрестанно уменьшать
численные величины этих элементов, увеличивая их число, то вели-
чина 8 сделается наконец почти постоянной, то есть она достигнет
некоторого предела, который будет зависеть единственно от вида
функции /(х) и предельных величин переменной х, именно: х0, X.
Этот предел и называется определенным, или междупределъным,
или еще частным интегралом.

Заметим теперь, что, изображая через Ах = /? = <7х конечное при-
ращение переменной х, все члены, составляющие величину 8, како-
вы суть произведения

(%1 -х0)/(х0), (х2-х1)/(х1) и проч...
будут заключаться в общей формуле:

(8)	й/(х) =/(х)Л,

из которой они выведутся один за другим, полагая сперва

х = х() и к = х^Хд, потомх = хр и к = х2~х1 и проч...

Поэтому можно принять количество 8 за сумму произведений, по-
добных выражению (8); что обозначают иногда характеристикой Е
таким образом:

(9)	Ж(х) = Е/(х)Ах.
Что касается определенного интеграла, к которому приближает-
ся количество 5, между тем как элементы разности Х-х^ делаются
бесконечно малыми, то его условились изображать знакоположе-
нием /У (г) ИЛИ \/(х)с/х, где буква I, поставленная вместо буквы Е,
означает уже не сумму произведений, подобных выражению (8), но
предел такой суммы. Сверх того, поскольку величина рассматривае-
мого нами определенного интеграла зависит от предельных величин
переменной х, именно от х() и/. то условились также ставить эти две
величины - первую внизу, а вторую вверху буквы I, или писать их
сбоку интеграла, в таком виде:

х0

у1 /(х)<&

(Ю)

X = Х()
х = X

Первое из этих знакоположений, в первый раз употребленное
Г. Фурье, есть самое удобное. В частном случае, когда вместо функ-
ции ?(х) имеем постоянное количество а, то каков бы ни был образ,
разложения разности Х-х^ на элементы, найдется

5 = а(Х-Хц),
следовательно,

Гх	(	\

(11)	I ас!х = а(Х — х0).

Полагая в этой последней формуле а = 1, получим:

(12)	Г с!х = X — х0.

Урок XXII

Формулы, определяющие точные или приближенные
величины междупредельных интегралов

Из сказанного нами в последнем уроке следует, что если раз-
ность Х-Хц будет разложена на бесконечно малые элементы -х0,
х2-хх ... Х-х _ р то сумма

(1)	^=(хх-х(У)/{х0) + (х2-хх)/{хх)+ ...+(Х-хп_х)/(хп_х)

будет стремиться к пределу, который изображается определенным
интегралом:
(2)	Г /(х)б7х.

-'Хо

Из правил, на которых мы основали это предложение, следует также,
что тот же самый предел получили бы, определяя величину для 5 из
уравнений (5) и (6) (21-го урока), вместо того чтобы выводить ее по
формуле (1), то есть предположив

(3)	5 = (Х1 -х0)/[х0+ Оо(х1 -Хо)] + (х2	+ 0/Х2 -х^] + ...

+ (Х-Хп_ !)Лх„_ 1 + е„_ ! (Х-Хп_ !>],

где 0О, 0р ..., 0/?_ ] означают какие-нибудь числа меньше единицы,
или,

(4)	5 = (х1 -х0) Д(х0) ± 80] + (х2 -х^] ЛОД ±	+ ...

+ (^-х„_1)-Л(х„_1)±е„_1],

где е0, ех ... • означают числа, уничтожающиеся вместе с эле-
ментами разности Х-х^. Первая из двух предыдущих формул обра-
тится в уравнение (1), когда возьмем

0О= 01 = ... = 0^-1 = 0.

Напротив того, полагая

0О = 0! = ... = 0 ! = 1, найдется:

(5)	8=^ -х0)Ж) + (Х2-хх)7(х2) + ... + (Х-х„_ !)/(Л

В этой последней формуле переменим между собой два количе-
ства х0, X равно как и все члены, находящиеся на равных расстоя-
ниях от двух крайних в ряду х0, X; и получим новую величину для
5, равную той, которую дает уравнение (1), но только с противным
знаком. Предел, к которому будет стремиться эта новая величина 5,
должен быть равен интегралу (2) с противным знаком; следователь-
но, этот новый интеграл выводится из (2) через изменение порядка
пределов. Поэтому

(6)	Г 0 / (х) б7х = - Г / (х) б7х.

X	х0

Формулы (1) и (5) часто употребляются при изыскании приближен-
ных величин определенных интегралов. Для большей удобности
в выкладках обыкновенно предполагают, что количества х0, хр ...
х 1? заключающиеся в этих формулах, составляют арифметиче-
скую прогрессию. Тогда каждый элемент разностиХ-х^ равен дроби

Х , и, обозначив эту дробь через /, уравнения (1) и

(5)	обратятся в два следующие:

(7)	5 = /[Г(х0) +/(х0 + /) +/(х0 + 2/) + .. .+Ж- 2/)+Ж- 0],

(8)	5=/[г(хо+о+ж+2о +... +ж-2о+ж-о+/т].
Можно также положить, что количествах0, хр	составля-

ют геометрическую прогрессию, чей знаменатель весьма мало разн-
ствует от единицы.	, л

В этом предположении, сделав 1^4” = 1 + ос, из формул (1) и (5)

получим две новые величины для 5; первая из них будет

(9)	5 — он х0/(х0) + х0 (1 + ос) /[х0 (1 + ос)] +... +

Заметим, что во многих случаях из уравнений (7) и (9) можно выве-
сти, не только приближенные величины интеграла (2), но даже и точ-
ную его величину, равную пр. 5. Например, найдется,

(10)	=

х0	2	2

(11)

(12)

последнее уравнение должно быть допускаемо только в том случае,
когда количества х0, X имеют одинаковые знаки. Прибавим еще, что
часто легко бывает найти зависимость между одним определенным
интегралом и другим того же рода. Так, например, из формулы (1)
выводим:

(13)

/ яф(х)б/х = Нт я (х| - Хо)ф(хо) + ... +(х -	=

Гх / \
= а I ф(х)б7х;

68 В русском переводе Коши вместо обозначения «1ш1 используется сокращение
«пр.» - от «предел».
(14)

/ (х+а\1х = Пт [(^ - х0) / (х0 + а)+...+(X - х„_х) / (х^ + я)] =
хо

(15)

Г'/1х-^<1х =	ГЛ^= ГЛ-"± = 1	;

х0	Ху—а	х0 X — С1 Ху—а X Хд—С1

последнее уравнение должно быть допускаемо только в том случае,
когда х0 - а и X- а изображают количества, имеющие одинаковые
знаки. Сверх того, полагая х() = 0 в формуле (8) и подставляя потом
/(Х-х) вместо/(х), получим:
(16)

^/(Х-х)А=Нт/[/(Х-/)+/(^-2/)+...+/(2/)+/(/)+/(0)]=
=/0

отсюда, соображаясь с уравнением (14), выводим

рХ—Ху	рХ—Ху	р X

(17)	/. /X -	= \а / х + х0 =	/(х)^х.

0	О	Ху

Также, подставляя в формуле (9)	, ч вместо/(х) и р вместо /(1 + а),

XI (X)

получим:	7

(18)

г* с!х [ 1	1	1	У-1

К х/(х) “ 1'т Р[I(х0) + /(х0) + Р + - + IX) - ₽| ₽

-/(-У) А _ ; 1_Х)
1(х0) X ^/(х0)

где количествах^ ^должны быть положительные, и оба больше или
меньше единицы.

Здесь необходимо заметить, что вид, в котором представляется
величина для 5 в уравнениях (4) и (5) предыдущего урока, приличе-
ствует равно и интегралу (2). И действительно, эти уравнения, оба
имея место, тогда как или разность Х-х®, или количества хх -х0,
х2 -хр ..., Х-хп _ х разложены на бесконечно малые элементы, будут
справедливы и при переходе к пределу; поэтому будем иметь

(19)	Г /(х)с& = (Х-х0)/[х0 + 0(Х-хо)], и

(20)

Г / (х)(к = (хх - хо )/ [х0 + Оо (хх - Хо )] + (х2 - ) / [хг + 0! (х2 - Хх)] +
и х0

+ ... + (X -	+ 0^-1 (х - хп_г)],

где 0,00,0р ... 0 х изображают величины неизвестные, но все мень-
шие единицы. Предположив для большей простоты, что количества
хх -х0, х2- Хр ..., Х-хл_х равны между собой, и сделав / = —•>
найдется:

(21)

Г /(х)л = /[/(х0 + е0/)+/(х0 + г + ец-)+...+/(х - г +
х0

Когда функция /(х) будет постоянно или возрастать, или умень-
шаться от х = х0 до х = X, то вторая часть формулы (21), очевидно, бу-
дет заключаться между двумя величинами 5, данными уравнениями
(7) и (8); и поскольку разность этих величин есть ± /[/(Х)-/(х0)], то
приняв в этом предположении, полусумму этих двух величин, полу-
чим выражение
(22)

I 2 ^(хо)+/(хо + 0+Дхо + 2()+--- + /(Х—2/)+/(Х—/)+ —/(X)

за приближенную величину интеграла (2/), возможная погрешность
будет меньше полуразности ±/[2-/(X) — /(х0)].

Пример.

Возьмем /(х) = у—р х0 = 0, X = 1, / = ^выражение(22)

г	11	4	16	1

обратится в— — +1—+ — +	— =0,78...

I" Лы	/	Т"
А поэтому 0,78 есть приближенная величина интеграла

0 1+х2 ’

В этом случае возможная погрешность не может превышать
4(2 — 4) = пт действительно, она будет менее одной сотой, как
мы то впоследствии увидим. Когда же функция/(х) то возрастает, то
уменьшается между пределами х = х0, х = X, то возможная погреш-
ность, когда примем одну из величин 5, доставляемых уравнениями
(7) и (8), за приближенную величину интеграла (2), очевидно будет
менее произведения количества т = Х-х^ на наибольшую числен-
ную величину, какую может получить разность

(23)	/(х + Ах) -/(х) = Хх/\х + ОАх),

когда х предполагается заключающимся между пределами х0, А, а Ах
между пределами 0 и /. И так, изображая буквой к самую большую
из численных величин, какую получает /(х), тогда как х изменяется
от х = х0, до х = X возможная погрешность в величине интеграла (2)
будет заключаться между пределами

-кг (Х-х0), +кг (Х-х0).

Урок XXIII

Разложение определенного интеграла на несколько других.
Мнимые определенные интегралы. Геометрическое значение
вещественных определенных интегралов. Разложение функции,
находящейся под знаком |, на два множителя, из которых
второй удерживает постоянно один и тот же знак

Для разложения определенного интеграла

со	Г /(*)<&

на несколько других такого же рода надлежит разложить или функ-
цию, стоящую под знаком I, или разность Х-х0, на несколько частей.
Положим сперва, что

/(х) = Ф(х) + х(х) + ф(х) + ...;
получим:

(Х1 -х0)/(х0) + ... + (Х-Хп _ 1)/(хп _ Р =

= (Х| -Хо) ф(х0) + ... + (Х-хи_ р ф(хи_ р + (Х| -Хо) х(х0) + ...

+ (Х-хп _ р х(х„ _ р + (х1 -Хо) ф(х0) + ...

+ (Х~хп -1) Ч(хп _ р + и проч.
потом, переходя к пределам,

и проч...

Поэтому, обозначая через и. V, тт ... различные функции переменной х
и через а.Ь.с ... постоянные количества, основываясь на уравнении
(13) (22-го урока), получим:

рА	пХ	рХ	рХ

(2)	I \и + V + тт + ...) с!х = I ис/х+1 ус/х + уусЬс+...',
X)	х0	х0	х0

(3)

рА	рА	рА	рА	рА	рА

I (и + у)с/х =	I ис!х-\-	I гб7х,	I \и — у)с/х =	I ис!х—	I гб/х,

X	Л х0	х0 Л х0

(4)

Г (аи + Ъу + с\у + ...) с/х = а Г ис/х + ьГ у с/х + с Г уус/х+...

X	Хх(}	Хх(}	Хх(}

Распространим определение, данное интегралу (1), и на тот случай,
когда функция/(х) будет мнимая; поэтому уравнение (4) будет иметь
место и для мнимых величин постоянных количеств а. Ь, с ...; сле-
довательно,

рА/	----- рА	/-- рА

(5)	|	(и + Уу/— 11 с!х = | ис!х+у/—1\ у с/х.

Разложим теперь разность X-х() на конечное число элементов

-х0, х2-хр .... X - хл _ х и каждый из этих элементов подразде-
лим на другие, численные величины которых бесконечно малы;
вследствие этого изменится и сама величина для 5, данная урав-
нением (1) (22-го урока). Произведение (лц -х0) /(х0) следует заме-
нить суммой подобных произведений, имеющую пределом инте-

рх1

грал I /(х) с/х. Равным образом и произведения (х2 - хх) /(хх)...

(X- хп _ х) /(х _ х) следует заменить суммами, соответственными

пределами которых будут определенные интегралы Г 2/(х)б&

А

и проч... /	/{х)(Лх. Далее, сложив все эти различные суммы,
получим полную сумму, пределом которой будет интеграл (1). Но
поскольку предел суммы нескольких величин равен сумме их преде-
лов, то будем иметь

(6)	Г /(х)<7х = ['1/(х)с/к+ Г 2/(х)<7х + ... + Г /(х)<7х.

Впрочем, не нужно забывать, что целое число п изображает ве-
личину конечную. Когда между пределами х0, Xвключим одну толь-
ко величину переменной х, именно 2, уравнение (6) обратится в

(7)	Г /(х)Л = С/(х)Л+ Г /(х)Л.

%0	° х0

Легко доказать, что уравнения (6) и (7) имеют место даже и в том
случае, когда некоторые из количеств хр х2, х р не заключа-
ются между пределами х0, Xили еще когда разности хх -х0, х2 -хр ...,
Х-хл _ р X- не все имеют одинаковые знаки. Положим, например,
что разности ^-х^Х-^ с противными знаками. В таком случае, смот-
ря по тому, будет ли х0 взят между пределами 2, и X или X между х0
и найдется:

Г /(х)б7х = Г°/(х)б7х + Г /(х)б7х, или

<4	<4

Г^/(х)<7х = С /(х)Ах + Г^/(х)<7х.

Ч)	^х0	X

Из формулы (6) (22-го урока) видим, почему эти два уравнения
согласуются с уравнением (7). И как последнее доказано во всех
предположениях, то из этого можно будет прямо вывести уравне-
ние (6), каковы бы ни былих^х- ...х !.

В предыдущем уроке видели, как легко определяются, не только
приближенные величины интеграла (1), но даже и пределы возмож-
ных погрешностей, когда функция / (х) постоянно возрастает или
уменьшается от хх = х0 до х = X. Когда это условие не выполнено, то
очевидно, что с помощью формулы (6) можно будет разложить инте-
грал (1) на несколько других, в рассуждении которых этому условию
будет удовлетворено.

Положим теперь, что предел X больше предела х0 и что функция
/(х) есть положительная от х = х0 до х = X; пусть будут х и у пря-
моугольные координаты, а А - площадь, заключающаяся, с одной
стороны, между осью х и кривой линией у = /(х\ а с другой сторо-
ны - между ординатами /(х0) и /(X). Эта площадь, имеющая осно-
ванием линию Х-х& взятую на оси абсцисс, будет средняя между
площадями двух прямоугольников, построенных на основании Х-х^
и имеющих высоты равные, первый - меньшей, а второй - большей
из двух ординат, соответствующих крайним точкам сего основания.
Итак эта площадь равна прямоугольнику, высота которого есть сред-
няя ордината, выраженная через Дх0 + О(Х-хо)]; следовательно,

(8)	Л=(Х-х0)/[х0 + е(Х-х0)],

где 0 означает число меньше единицы. Если основание Х-х^ будет
разложено на бесконечно малые элементы -х0, х2 -хр ..., Х-хл _ р
то и площадь А также разложится на соответствующие им элементы,
величины которых будут выражены уравнениями, подобными фор-
муле (8). Следовательно, имеем также

(9)	А = (X; -х0)/[х0 + е0(х1 -Хо)] + (х2 -Х1)/[Х1 + ег(х2 -х^] + ...+

где 0О, 0Х ... 0/? _ ] изображают, как выше, числа меньше единицы.
Полагая, что в этом последнем уравнении численные величины эле-
ментов разности Х-Хц бесконечно малы, и переходя к пределам, по-
лучим:

(10)	А= С^/(х)Ах.

Примеры. Приложить формулу (10) к кривым данным по урав-
нениям: у = ах2, ху = 1,у = е*, ...

Оканчивая этот урок, покажем замечательное свойство веще-
ственных определенных интегралов. Предположим, что /(х) = ф(х)
Х(х), где ф(х) и %(х) изображают две новые функции переменной х,
непрерывные между пределами х = х0, х = Хы из которых, сверх того,
вторая удерживает постоянно один и тот же знак между этими пре-
делами; величина 5, данная уравнением (1) (22-го урока), обратится
в следующую:

(Н)	5=(х1-х0)ф(х0)х(х0) + (х2-х1)ф(х1)х(х1) +...

+ (Х~хп-1) фГ„_ 1) Х(*„_ 1)
и будет равна сумме

(*1 -*о) х(*о) + (х2 ~х1) ХОД +  •  + (Х-хп _ 1) Х(*„ _ 1),
умноженной на среднюю величину между коэффициентами ф(х0),
ф(хх), ..., ф(х Д или, что все равно, на функцию вида ф©, где 2,
означает величину переменной х, заключающуюся между двумя пре-
делами х0 и X Итак будет
(12)	У = [(х1 -х0) х(х0) + (х2~х^) х(*1) + ••• + (^-^-1)	1)] Ф(О,

откуда, переходя к пределу величины 5,

(13)	Г /(х)Л= Г ф(х)%(х)г7х = ф(^) Г %(х)Л,

где 2, имеет прежнее же значение.

Примеры. Принимая постепенно

Дх) = 1, %(х) = р %(х) = —!—
.Х	Ли

получим формулы:

(14)

Г /(х)г7х = /(^)Г к = (Х-х0)/(^),
*о	и хп

(15)	^/(х) к =	/Ч

х0	х0 X	I Хд

(16)

Г /(х)Л = (^-а)/(^-а) Г =	,

А'о	х0 X — (2	I Хд — (2

из которых первая равнозначна с уравнением (19) 22-го урока. При-
бавим, что отношение — во второй формуле и отношение
в третьей предполагаются положительными.

Урок XXIV

О частных интегралах, величиной коих суть или
бесконечные, или неопределенные. Главные величины
неопределенных интегралов

В предыдущих уроках мы доказали несколько замечательных
свойств определенного интеграла

(1)	Г

2 Х0

но предполагая во-первых, что пределы х0, X были конечные количе-
ства, во-вторых, что функция /(х) оставалась конечной и непрерыв-
ной между этими самыми пределами. Когда эти два условия выполне-
ны, то, обозначив черезхр х2,..., хл_ х новые величины переменнойх,
вставленные между предельными величинами х0, X, получим

(2)	Г /(х)б7х= ['1/(х)с/к+ Г 2/(х)б& + ... + Г /(х)б7х.

Положим теперь, что имеем только две промежуточные величи-
ны и из которых первая весьма мало разнствует от х0, а вторая
о т А; уравнение (2) обратится в следующее:

Г /(х)г7х = Г^/(х)<& = ГХ(х)Ж+ Г /(х)г7х,
которое можно написать таким образом:

Г /(х)а = (^0-х0)/[х0+ е0(^0-х0)] +
х0

+ Н Дх) А = (X — ^)/[^ +
ЬО

где Оо и 0 - два числа меньшие единицы. Если в этой последней фор-
муле, будет стремиться к пределу х0, а к пределу А, то, переходя
к пределам, получим:

(3)	Г Дх)Л = 11ш ГА(*)Л-

Когда предельные величины х0, X полагаются бесконечными,
или когда функция /(х) не будет, как выше, конечной и непрерывной
от х = Хц до х = X, то в таком случае нельзя судить, имеет ли коли-
чество, обозначенное в предыдущих уроках через 5, определенный
предел, и, следовательно, не знаем также, какой смысл заключает
в себе знакоположение (1), вообще означающее предел величины
5. Для избежания недоразумения мы распространим, по аналогии,
формулы (2) и (3) и на те случаи, когда они не могут быть строго до-
казаны; поэтому знакоположение (1) во всех случаях будет иметь яс-
ное и определенное значение. Нижеследующие примеры объяснять
это на самом деле.

Рассмотрим, во-первых, интеграл

р+оо
(4)	е с!х.

Обозначив через и два переменных количества, из которых пер-
вое стремится к пределу - оо, а второе - к пределу + оо, то из формулы
(3) получится
= сю.

Итак, интеграл (4) равен бесконечной положительной величине.
Во-вторых, рассмотрим интеграл

(5)

с!х

Ло х ’

взятый между двумя пределами, из которых один есть бесконечный,
между тем как другой обращает функцию под знаком I, именно ± ,
в бесконечную величину. Обозначим через <^() и 2, два постоянных
количества, из которых первое стремится к пределу нуль, а второе -
к пределу оо; из формулы (3) выведем

с!х /Ч Лх ..	чГсю)

X До* До) Ш

Итак, интеграл (5) имеет также бесконечную положительную вели-
чину.

Заметим, что если переменная х и функция/(х) остаются обе ко-
нечными для одного из пределов интеграла (1), то формулу (3) мож-
но будет заменить одной из двух следующих:

(6)

Г /(х) б7х = Нт Г^/(х) б7х, Г /(х)б7х = 1ш1Г /(х)с!х.

Ч	Л х0	Л %0	Д

Вследствие этих последних формул найдем, например:

Рассмотрим теперь интеграл

(8)

в котором функция под знаком I именно ± обращается в бесконеч-
ность для частной величины х = 0, заключающейся между пределами
х = -1, х = +1. По формуле (2) получим:
Итак, величина интеграла (8) кажется неопределенной, а чтобы уве-
риться, что она действительно такова, надлежит только заметить,
что если обозначим через е бесконечно малое число, а через ц, V -
два количества, постоянные и положительные, но произвольные; то
в силу формул (6) будем иметь

Г° <Лх ..	г~^с1х	р'б/х .. г1 с1х

(10)	/ — = 11Ш /	—,	/ — = 11Ш / —.

Л-1 х Л-1 х Лох Леу х

Следовательно, формула (9) обратится в

(П)

г+^х .. ( г~^с1х г1 с/х} .. 7/ ч 7( 1 ) ,(ц)
/ — = 11ш / Ь / — = 11ш /(ец) + /-=/-
Л-1 X (Л-1 х Леу х )	[	(еу) (у)

и доставит для интеграла (8) величину совершенно неопределенную,
поскольку эта величина равняется Неперову логарифму постоянного
произвольного количества .

Положим теперь, что функция /(х) делается бесконечной между
пределами х = х0, х = А, от частных величин переменной х, именно
от х= хр х = х2 ... х = х . Обозначим через е бесконечно малое коли-
чество, а через цр ур ц2, у2, ..., ц , Ут - постоянные положительные
количества, но произвольные; тогда из формул (2) и (3) выведем
(12)

Г /(х)б/х = Г 1 /(х)с/х + Г 2/(х)б/х + ... + Г /(х)б/х =

Л Ч)	Л х0	^X1	Л хт

Заменяя же пределы х, А, пределами - оо и + оо, получим
(13)

л+оо х ч

Л-СХ)

где ц, у означают опять количества постоянные и положительные, но
произвольные. Прибавим, что во второй, части формулы (13) следу-
ет поставить X вместо — или хп вместо —- , если один только из
пределов х0, X будет бесконечный. Во всех случаях величины инте-
гралов

(14)

доставляемые уравнениями (12) и (13) могут быть, по свойству
функции /(х), или бесконечные, или конечные и совершенно опре-
деленные количества, или еще величины неопределенные, которые
будут зависеть от частных значений постоянных произвольных ко-
личеств Ц, V, ЦрУр ..., цт, \т.

Положив в формулах (12) и (13), что постоянные произвольные
величины ц, V, Цр Ур ..., ц , V все равны единице, получим:
(15)

Г /(х)Л =
^0

Когда интегралы (14) делаются неопределенными, то уравнения (15)
и (16) доставляют для каждого из них одну только частную величи-
ну, которую и назовем главной величиной. Если возьмем, например,
интеграл (8), общая величина которого неопределенная, то увидим,
что главная величина этого интеграла обращается в ноль.
Николай Иванович
Лобачевский

(1792-1856)

Жизнь и труды

В повести «Знак четырех», одной из историй про Шерлока Холмса,
Артур Конан Дойл вложил в уста великого сыщика следующую фразу:

«Отбросьте все невозможное, то, что останется, и будет
ответом, каким бы невероятным он ни казался».

Так было и с геометрией на заре XIX в. После двух тысячелетий
попыток доказать постулат Евклида о параллельности пришло время
для геометров продемонстрировать, что он не может быть доказан,
и что возможны другие геометрии, какими бы невероятными они ни
были. Речь о почти одновременных достижениях русского математи-
ка Николая Ивановича Лобачевского и венгерского математика Яно-
ша Бойяи. Труд Лобачевского будет представлен в этой книге.

Николай Иванович Лобачевский родился 1 декабря69 1792 г. в ма-
леньком городке Макарьеве, примерно в 65 километрах к северу от

69 20 ноября по старому стилю.
Нижнего Новгорода70 на Волге в самом сердце России. Он был вто-
рым из трех сыновей Ивана Максимовича и Прасковьи Александров-
ны Лобачевских, которые несколькими годами ранее эмигрировали
из Польши71. Об отце Лобачевского мало что известно, кроме того,
что он едва мог содержать семью на свои доходы чиновника гео-
дезического департамента. Иван Максимович умер, когда Николаю
было семь лет. Надеясь заработать на жизнь обучением маленьких
детей, овдовевшая Прасковья перевезла семью за 320 километров72
на восток, в город Казань, почти на край Сибири. Николай проведет
остаток своей жизни в этом новом для него городе, ставшем родным.

Первыми учениками Прасковьи были трое ее сыновей, и все они
стали прекрасными студентами: каждый из них получил государ-
ственную стипендию, чтобы оплатить учебу в Казанской гимназии.
Николай поступил в эту гимназию в 1802 г. и окончил ее с отличием
пять лет спустя, получив правительственную стипендию для обу-
чения в Императорском Казанском университете, который впервые
открыл двери в 1805 г.73, что явилось результатом одной из много-
численных образовательных реформ, ознаменовавших первые годы
правления царя Александра I.

В университете начали работу преподаватели со всей Восточной
и Центральной Европы. Во времена учебы Лобачевского Казанский
университет мог похвастать блестящим профессорско-преподава-
тельским составом, сравнимым с лучшими немецкими университе-
тами. Ученые принесли в Казань новейшие идеи в области матема-
тики, физики, астрономии, философии и педагогики.

Для Лобачевского наиболее влиятельным оказался Мартин [Фе-
дорович] Бартельс (1769-1836). Бартельсу посчастливилось иметь
в числе своих учеников и великого Гаусса, они продолжали перепи-
сываться на протяжении многих лет74.

70 Расстояние от Нижнего Новгорода до Макарьева около 100 км на восток; по дру-
гим сведениям, Н.И. Лобачевский родился в Нижнем Новгороде.

71 По другим сведениям, отец Ивана Максимовича, М. В. Лобачевский, был поляком
из Малороссии, женился на крепостной князя Долгорукого Агафье. Иван Максимович
принял православие.

72 Расстояние от Нижнего Новгорода до Казани около 400 км.

73 Датой создания Казанского университета считается 5 (17) ноября 1804 г., когда
императором Александром I были подписаны утвердительная грамота и устав Казанского
университета; первых студентов университет принял в феврале 1805 г.

74 До Бартельса любовь к физико-математическим наукам Лобачевскому привил та-
лантливый преподаватель и блестящий специалист Григорий Иванович Карташевский.
Лекции Бартельса вскоре убедили Лобачевского отказаться от
своих планов изучать медицину: это были лекции по эйлеровской
трактовке дифференциального и интегрального исчисления, анали-
тической механике Лагранжа, работе «Арифметические исследова-
ния» (ЛгзцшзШопез агИИтейсае) Гаусса, а также по работе Монжа
о применении математического анализа к геометрии и четырехтомной
истории математики Жана Этьена Монтюкла. Подробное освещение
Монтюкла истории попыток доказать постулат Евклида о параллель-
ности вполне могло стать источником интереса Лобачевского к этой
проблеме.

В студенческие годы Лобачевский не демонстрировал образцово-
го поведения. Время от времени руководство университета обвиняло
его в «упрямстве», «мечтательном о себе самомнении» и даже «при-
знаках безбожия». В августе 1811 г. попечитель Казанского учебного
округа рекомендовал Совету университета высказать Лобачевскому,
как «руководителю в дурном поведении, наши сожаления о его небла-
говидных поступках, затмевающих его высокие способности». К сча-
стью для Николая, Бартельс и другие профессора знали его лучше,
чем чиновники. Они ходатайствовали о получении Лобачевским сте-
пени магистра в знак признания его «выдающихся способностей в ма-
тематических и физических науках»75, которая и была ему присвоена.

В те годы преподавательскую должность в Казани было найти не-
просто. Так что Николай, должно быть, воспринял уход своего брата
Алексея в отпуск по болезни как удачу, ниспосланную свыше: Алек-
сей работал со студентами, читал лекции по арифметике и геометрии
чиновникам, не имевшим университетского образования, но желав-
шим получить более высокие должности. Николай успешно заменил
брата: университетские власти, должно быть, были впечатлены пре-
подавательскими способностями бывшего смутьяна. В 1814 г. его на-
значили лектором76, а через два года повысили до доцента77. В 1822 г.
Лобачевский стал ординарным профессором. На протяжении всей
своей преподавательской карьеры в Казанском университете Лоба-
чевский читал лекции по физике и астрономии, а также математике.
Однако он всегда тяготел к плоской и сферической геометрии, а пото-
му с наибольшим удовольствием читал по ним лекции.

75 В конце 1811 г. Лобачевский получил степень магистра по физике и математике
с отличием и был оставлен при университете, дав слово, что будет вести себя примерно.

76 Адъюнктом - помощником профессора, который заменял его в случае необходи-
мости, а также имел право читать собственный учебный курс.

77 Экстраординарного профессора, т. е. профессора, который не заведовал кафедрой.
Лобачевский читал лекции по собственным записям и надеялся
переработать их в учебник, который в будущем должен был прине-
сти ему доход. Рукописи этих заметок показывают, что вплоть до на-
чала 1820-х гг. Лобачевский, как и многие до него, пытался доказать
постулат Евклида о параллельности (т.н. пятый постулат Евклида).
В рукописях были описаны три попытки доказательства этого посту-
лата, но в других местах своих заметок Лобачевский признавал, что
ни одна из них не была убедительной.

Мы не можем быть уверены, что побудило Лобачевского отка-
заться от попыток доказать постулат о параллельности. Возможно,
на него повлияли его беседы с Бартельсом, который хорошо знал
Гаусса. Последний, как позже выяснилось, также размышлял над
идеями неевклидовой геометрии78. Лобачевский мог быть вдохнов-
лен философом А. С. Любкиным, который занял должность в Казани
в 1812 г. и проповедывал строгую форму эмпиризма. Такая трактов-
ка отвергала понятие пространства по Канту как категории синте-
тической и априорной, организующей наш опыт, а не являющейся
опытом, производным от них. Позднее Лобачевский напишет:

«Бесплодность попыток, предпринятых со времен Евклида на
протяжении 2000 лет, вызвала у меня подозрение, что истина,
которую хотели доказать, не содержится в самих данных; что
для ее установления потребуется помощь эксперимента, напри-
мер, астрономических наблюдений, как в случае законов природы».

Приведем краткое изложение сочинения Лобачевского «Геомет-
рические исследования по теории параллельных» 1840 г., содержа-
щее наиболее четкое и систематическое изложение его идей, воспро-
изведенное в данной книге79.

Пусть дана точка Р и прямая линия I в той же плоскости, что
и Р, но не содержащая Р. Пусть РВ - линия, проходящая через точ-
ку Р перпендикулярно /. Далее рассматривается линия, проходящая
через точку Р перпендикулярно РВ. В евклидовой геометрии это
единственная линия через точку Р, которая не пересекает линию /.

78 Однако Гаусс воздерживался от публикаций на эту тему, и о его взглядах можно
судить только по дневниковым записям и нескольким письмам.

79 Книга «Геометрические исследования по теории параллельных» была опублико-
вана на немецком языке, ей предшествовала работа на французском языке «Воображаемая
геометрия» (1837), которой предшествовала наиболее полная работа Лобачевского на рус-
ском языке «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных».
Именно это предположение Лобачевский оставляет в своем постро-
ении неевклидовой геометрии, когда постулирует, что существуют
и другие линии, проходящие через точку Р, которые не пересекают
линию /. Эти непересекающиеся линии отделены от линий, проходя-
щих через точку Р, которые пересекают линию I по двум линиям х
и у, показанным на рисунке80.

Линии х и у также не пересекают линию /. Лобачевский опре-
деляет эти линии как параллели к прямой /. Говорят, что каждая из
них имеет определенное направление параллельности: х- параллель
справа, у - параллель слева.

Угол 0 - это угол, который составляет перпендикуляр РВ с каж-
дой из двух параллелей и называется углом параллелизма для РВ.
В обычной евклидовой геометрии 0 = 90°. В геометрии Лобачев-
ского угол 0 есть функция расстояния от точки Р до точки В. Угол
приближается к нулю при стремлении расстояния РВ к бесконечно-
сти и стремится к нулю при стремлении расстояния РВ к нулю.

Сформулировав этот альтернативный постулат, Лобачевский до-
казывает, что в этой альтернативной геометрии верны следующие
утверждения:

•	Если линия параллельна линии /2 в заданной точке на /р
то параллельна /2 в каждой точке /р (Свойство называется
«постоянство».)

•	Если линия параллельна линии /2, то линия /2 параллельна
линии /р («Взаимность».)

80 Т. н. пучок параллельных прямых.
•	Если линия параллельна линии /0 и если линия /2 параллель-
на линии /0 в том же направлении, то линия параллельна
линии /2. («Транзитивность».)

Ни один из этих выводов не содержит в себе ничего нового: каж-
дый имеет прямой аналог в евклидовой геометрии. Однако следую-
щий вывод вызывает удивление, поскольку не имеет аналогов в ев-
клидовой геометрии.

•	Если прямая параллельна прямой /2, то асимптотична /2,
то есть и /2 находятся произвольно близко друг к другу.

Напротив, в евклидовой геометрии две параллельные прямые
всегда остаются равноудаленными друг от друга.

Свою первую трактовку неевклидовой геометрии Лобачевский
завершил в 1823 г. в рукописи под названием «Геометрия». (Она
была опубликована только в 1909 г.) В этой рукописи Лобачевский
часто использовал выражение «воображаемая геометрия» для обо-
значения открытой им новой геометрии. Из рукописи явствует, что
он считал евклидову геометрию частным случаем этой более общей
«воображаемой геометрии», подобно тому, как действительные чис-
ла являются частным случаем комплексных чисел.

В феврале 1826 г. Лобачевский представил своим коллегам в Ка-
зани статью81 под названием «Краткий очерк основ геометрии»82.

Первая четверть XIX в. ознаменовалась первым значительным вкла-
дом русских математиков. Под французским влиянием русского двора
большинство математиков, работавших в Санкт-Петербурге и Москве,
издавались на французском языке. Некоторые публиковали работы на
немецком языке. В Казани Лобачевский этого мнения не разделял. Он
представил свой труд «О началах геометрии» в Санкт-Петербургскую
академию наук для переиздания в одном из ее научных журналов. Ре-
цензент Михаил Васильевич Остроградский, ярый сторонник мнения,
что эти сложные математические аргументы просто не могут быть
представлены на русском языке, счел работу недостойной публикации
академией. Автором пасквиля, скорее всего, был Остроградский.

81 Рукопись не сохранилась, но сама работа была включена в труд Лобачевского
«О началах геометрии» (1829-1830), напечатанный в журнале «Казанский вестник».

82 Правильное название «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказа-
тельством теоремы о параллельных»; здесь и далее С. Хокинг допускает некорректный
перевод с русского названий работ Н.И. Лобачевского.
Однако фигура Лобачевского не осталась в Санкт-Петербурге
без внимания: вскоре после отказа журнал «Сын Отечества» опу-
бликовал язвительный анонимный пасквиль о труде Лобачевского
«О началах геометрии»83. В этой рецензии Лобачевского резко кри-
тиковали за то, что он не приложил достаточных усилий для ясного
изложения своих идей.

К сожалению, Лобачевский оказался лишен поддержки: в 1826 г.
правительство нового царя Николая I вынудило Казанский универ-
ситет уволить многих иностранных преподавателей, в том числе
и Бартельса84.

Лобачевский опубликовал «О началах геометрии» в научном
журнале Казанского университета85 между 1835 и 1838 г.

Лобачевский также представил короткую статью, написанную
на французском языке, под названием «Воображаемая геометрия»
с обзором своей работы «Журнал чистой и прикладной математи-
ки». Этот журнал, издаваемый Августом Крелле в Берлине, быстро
зарекомендовал себя как ведущий математический журнал Европы.
Статья Лобачевского, несомненно, достигла широкой аудитории, но
только Гаусс, казалось, заметил ее. Астроном Отто Вильгельм Стру-
ве писал, что, посетив Гаусса в 1843 г., он застал великого ученого
за чтением одной из работ Лобачевского на оригинальном русском
языке-языке, который Гаусс не мог освоить, пока ему не перевалило

83 Язык написания работы не имел ни малейшего отношения к критике Лобачевско-
го Остроградским, такая интерпретация С. Хокинга удивительнее пятого постулата Лоба-
чевского. М.В. Остроградский в своей рецензии, в частности, писал: «О том, что я про-
чел, я считаю долгом сообщить Академии: 1) из двух определенных интегралов, которые
г-н Лобачевский считает своим открытием, один уже известен. Его можно получить на
основании самых элементарных принципов интегрального исчисления. Значение другого
интеграла, данное на стр. 120, является поистине новым. Оно - достояние г-на Казанского
ректора. К несчастью, оно неверно; 2) все, что я понял в геометрии г-на Лобачевского,
ниже посредственного; 3) все, что я не понял, было, по-видимому, плохо изложено по
той же самой причине, что в нем трудно разобраться. Из этого я вывел заключение, что
книга г-на ректора Лобачевского опорочена ошибкой, что она небрежно изложена и что,
следовательно, она не заслуживает внимания Академии». Позже проверка показала, что
в вычислении интеграла ошибся сам Остроградский.

84 Согласно другим данным, в 1820 г. Бартельс перешел в Дерптский университет,
заняв с 15 сентября кафедру чистой и прикладной математики, освободившуюся со смер-
тью И. Гута (прибыл 6 января 1821 г., на проезд было выделено 1200 руб.). С 1826 г. был
избран членом-корреспондентом Петербургской академии наук. За многолетнюю пре-
подавательскую деятельность указом императора Николая I награжден бриллиантовым
перстнем. Лобачевского поддерживали многие. В частности, Мусин-Пушкин, в то время
попечитель Казанского учебного округа.

85 «Ученые записки».
за 60 лет. Возможно, по предложению Гаусса Лобачевский опублико-
вал немецкую версию своей работы в 1840 г. в очерке «Геометриче-
ские исследования по теории параллельных».

Помимо своей большой работы по геометрии, Лобачевский много
работал на благо Казанского университета. В 1825 г. он возглавил уни-
верситетскую библиотеку, а в 1827 г. стал ректором и занимал этот пост
в течение 19 лет. Будучи ректором, он стремился расширить преподава-
тельские возможности университета: строил новые здания, совершен-
ствовал учебную программу. В 1828 г. он произнес знаменитую речь
о роли науки в образовании. Под влиянием духа Просвещения XVIII в.
он утверждал, что образование должно быть главным путем к «чести
и славе» в русском обществе86 в отличие от дворянства крови, которое
господствовало на большей части территории России87.

Забота Лобачевского о своем университете часто проявлялась
удивительным образом. Когда в 1830 г. в Казани разразилась эпиде-
мия холеры, Лобачевский пригласил профессорско-преподаватель-
ский состав, студентов и их семьи переехать в университетский горо-
док. Он закрывал ворота для всех, кроме врачей, и соблюдал строгие
санитарные правила. Это помогло спасти многих людей в универ-
ситетском сообществе. В 1842 г. по городу прокатился страшный
пожар, уничтоживший половину города. Университет потерял мно-
гие из своих зданий, в том числе недавно построенную библиотеку.
К счастью, Лобачевский отдал распоряжение спасти инструменты
и книги, хранившиеся в библиотеке. Через два года благодаря его
усилиям они обрели новый дом.

В 1837 г. царь Николай I сделал Лобачевского боярином88 в знак
признания его большого вклада в высшее образование. Но спустя де-
сятилетие в 1846 г. былые заслуги были забыты: Лобачевский стра-
дал от атеросклероза, а новая местная администрация внезапно ли-
шила его профессуры и ректорства, считая больным, хотя ему было
всего 53 года. Лобачевский вышел на пенсию и удалился с семьей в
собственное имение.

86 Ученый-гражданин, который «высокими познаниями своими составляет честь
и славу своего отечества».

87 Здесь С. Хокинг сильно искажает смысл; Лобачевский писал следующее: «если
мы видим, что в лучшем сословии [дворянство] пренебрегают своим языком и тщеславят-
ся познанием иностранного, то надобно сожалеть об этом и называть это жалким событи-
ем нашего времени».

88 С. Хокинг использует слово Воуаг, на самом деле: в 1836 г. царь Николай I награ-
дил Лобачевского орденом Анны II степени, дававшим право на потомственное дворян-

ство.
Лобачевский оставался холостым почти до 40 лет: лишь в
1832 г. он женился на Варваре Алексеевне Моисеевой, которая про-
исходила из богатой казанской семьи и была гораздо моложе его. У
них родилось семь детей: старший сын Алексей был гордостью и
радостью Николая Ивановича, но его смерть от туберкулеза вскоре
после вынужденной отставки отца стала трагедией для семьи - Ло-
бачевский погрузился в глубокую депрессию, у него обострилась
болезнь, и он потерял зрение. Николай Иванович скончался 24 фев-
раля 1856 г.

При жизни труды Лобачевского произвели значительное впечат-
ление лишь на немногих современников. Гаусс был одним из тех,
кто высоко ценил его. В 1842 г. Гаусс убедил Королевское общество
наук в Геттингене сделать Лобачевского членом-корреспондентом.
Примерно в то же время он был назначен почетным профессором
Московского университета. Дальнейшее признание за пределами
Казани пришлось уже на годы после смерти Лобачевского. Впервые
это произошло, когда французский математик Жюль Хойель опу-
бликовал французский перевод «Теории параллельных» в 1865 г.89

В 1868 г. итальянский математик Эудженио Бельтрами продемон-
стрировал, что геометрия Лобачевского может быть реализована как
поверхность псевдосферы в евклидовом пространстве. Бельтрами
показал, что в геометрии Лобачевского сумма углов треугольника
меньше двух прямых углов. Самое главное, методы Бельтрами по-
казали, что противоречие в геометрии Лобачевского проявляется как
противоречие в геометрии Евклида.

89 1867 г., название труда: «Геометрические исследования по теории параллельных».
К 1870 г. выдающийся немецкий математик Карл Вейерштрасс
предложил провести семинар по геометрии Лобачевского в престиж-
ном Берлинском университете90. Несколько лет спустя английский
геометр Уильям Кингдом Клиффорд назвал Лобачевского «Коперни-
ком геометрии». Что может быть более явственным признанием?

90 Окончательно непротиворечивость геометрии Лобачевского была доказана
в 1871 г., после появления модели Клейна.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ

ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ТЕОРИИ
ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЙ

I.	ВВЕДЕНИЕ

В геометрии я нашел некоторые несовершенства, которые я счи-
таю причиной того, что эта наука, поскольку она не переходит в ана-
лиз, до настоящего времени не вышла ни на один шаг за пределы
того состояния, в каком она к нам перешла от Евклида.

К этим несовершенствам я отношу неясность в первых понятиях
о геометрических величинах, способы, которыми мы себе представ-
ляем измерение этих величин, и, наконец, важный пробел в теории
параллельных линий, к восполнению которого все усилия математи-
ков до настоящего времени были тщетными.

Старания Лежандра не прибавили к этой теории ничего, так
как он был вынужден оставить единственно строгий ход [исследо-
вания], стать на побочный путь и прибегнуть к вспомогательным
предложениям, которые он без обоснования старается изобразить
как необходимые аксиомы. Свой первый опыт по началам геометрии
я опубликовал в «Казанском вестнике» за 1829 г. В надежде, что
я удовлетворил всем требованиям, я занялся после этого обработ-
кой всей этой науки и эту свою работу опубликовал отдельными ча-
стями в «Ученых записках Казанского университета» за 1836, 1837
и 1838 гг. под заглавием «Новые начала геометрии с полной теори-
ей параллельных». Размер этой работы, быть может, мешает моим
соотечественникам следить за предметом, который после Лежандра
утратил интерес. Я держусь, однако, мнения, что теория параллель-
ных линий не должна была бы отказаться от своих притязаний на
внимание математиков; поэтому я намерен изложить здесь сущность
моих исследований; при этом вперед отмечу, что, вопреки мнению
Лежандра, все остальные несовершенства, как, например, определе-
ние прямой линии, оказываются здесь посторонними и лишены вся-
кого влияния на теорию параллельных линий.

Чтобы не утомлять читателей множеством таких предложений,
доказательства которых не представляют затруднений, я привожу
здесь наперед только те из них, знание которых необходимо для по-
следующего.
1)	Прямая линия покрывает себя самое во всех положениях. Под
этим я разумею, что при вращении поверхности прямая линия не ме-
няет своего места, если она проходит через две неподвижные точки
поверхности.

2)	Две прямые не могут пересекаться в двух точках.

3)	Прямая линия, будучи достаточно продолжена в обе стороны,
должна уходить за всякие пределы и таким образом делит ограни-
ченную плоскость на две части.

4)	Две прямые, перпендикулярные к одной и той же третьей пря-
мой, никогда не пересекаются, сколько бы мы их ни продолжали.

5)	Прямая линия всегда пересекает другую прямую, если перехо-
дит с одной ее стороны на другую.

6)	Вертикальные углы, у которых стороны одного составляют
продолжения сторон другого, равны. Это справедливо как в приме-
нении к плоским прямолинейным углам, так и в применении к пло-
скостным двугранным углам.

7)	Две прямые не могут пересечься, если какая-либо третья пря-
мая пересекает их под равными углами.

8)	В прямолинейном треугольнике равным углам противолежат
равные стороны, и обратно.

9)	В прямолинейном треугольнике большей стороне противоле-
жит также больший угол. В прямоугольном треугольнике гипотенуза
больше каждого из катетов и прилежащие к ней углы острые.

10)	Прямолинейные треугольники конгруэнтны, если у них рав-
ны сторона и два угла, или две стороны и заключенный между ними
угол, или две стороны и угол, противолежащий большей стороне,
или три стороны.

11)	Прямая линия, перпендикулярная к двум другим прямым, не
лежащим с нею в одной плоскости, перпендикулярна ко всем пря-
мым, проведенным через точку их общего пересечения в плоскости
двух последних прямых.

12)	Пересечение шара плоскостью есть круг.

13)	Прямая, которая перпендикулярна к линии пересечения двух
[перпендикулярных] плоскостей и расположена в одной из этих пло-
скостей, перпендикулярна к другой плоскости.

14)	В сферическом треугольнике равным сторонам противоле-
жат равные углы, и обратно.

15)	Сферические треугольники конгруэнтны, если у них рав-
ны две стороны и угол, заключенный между ними, или же сторона
и прилежащие к ней углы.
II.	ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ

Начиная отсюда дальнейшие предложения уже сопровождаются

пояснениями и доказательствами.

16)	Все прямые линии, выходящие в некоторой плоскости из од-
ной точки, могут быть по отношению к некоторой заданной прямой

той же плоскости разделены на два класса, именно на пересекающие

ее и не пересекающие. Граничная линия одного и другого классов
этих [прямых] линий называется параллельной заданной линии.

Из точки Л (чертеж 1) опустим на [заданную] линию ВС перпен-
дикуляр АГ. к которому, в свою очередь, восставим перпендикуляр
АЕ. В прямом угле ЕАГ прямые, выходящие из точки А. либо все
встречают линию ГС. как, например, АЕ. либо же некоторые, по-
добно перпендикуляру АЕ. не встречают линии ГС. Не зная, есть ли
перпендикуляр АЕ единственная линия, которая не встречается с ГС,
будем считать возможным, что существуют и другие линии, напри-
мер АС. которые не встречают ГС. сколько бы мы их ни продолжа-
ли. При переходе от пересекающих линий ЛК к непересекающим Л С
мы должны встретить линию АН. параллельную ГС. - граничную
линию, - по одну сторону которой ни одна линия Л С не встречает
ГС. между тем как по другую сторону каждая линия АЕ пересекает
линию ГС. Угол НАГ между параллелью НА и перпендикуляром АГ
называется углом параллели (углом параллельности); мы будем здесь
обозначать его через П(/?) при АГ = р.

Чертеж 1

Если П(/?) есть прямой
угол, то продолжение АЕ' пер-
пендикуляра АЕ также будет
параллельно продолжению ГВ
линии ГС; к этому еще заме-
тим, что в отношении четырех
прямых углов, которые при точ-
ке Л образуют перпендикуляры
АЕ и АГ и их продолжения АЕ'
и АГ', каждая прямая линия,
выходящая из точки Л, либо
сама, либо по крайней мере
своим продолжением располо-
жена в одном из тех двух пря-
мых углов, которые обращены
к линии ВС. так что, кроме па-
раллели ЕЕ', все другие [пря-
мые] по достаточном продолжении в обе стороны должны пересе-
кать линию ВС.

Если П(/>) < то по другую сторону [перпендикуляра] АЕ,
под тем же углом ЕАК = Пф) будет проходить еще одна линия АК,
параллельная продолжению ЕВ линии ЕС; таким образом, при этом
допущении мы должны отличать еще сторону параллельности. Все
остальные линии или их продолжения внутри, двух прямых углов, об-
ращенных к ВС, принадлежат к пересекающим, если они лежат внутри
угла НАК = 2Т\.(р} между параллелями; напротив того, они принадле-
жат к непересекающим АС, если они расположены по другую сторо-
ну параллелей АН и АК в отверстии двух углов ЕАН = ±л — П(/>),
Е'АК = ±л — П(/?) между параллелями и перпендикуляром ЕЕ'
к АЕ. Подобным же образом по другую сторону перпендикуляра ЕЕ’
продолжения АН’ и АК’ параллелей АН и АК также будут параллель-
ны ВС; остальные линии принадлежат в угле К’АН’ к пересекающим,
а в углах К’АЕ и Н’АЕ’-к непересекающим.

Сообразно этому при предположении П(/>) = ±л линии могут
быть только пересекающими или параллельными; если же принять,
что П(/>) < ±л, то нужно допустить две параллели, одну по одну
сторону [перпендикуляра], другую по другую [его] сторону; кроме
того, между остальными линиями нужно различать пересекающие
и непересекающие. Как при одном, так и при другом предположении
признаком параллелизма служит то, что линия становится пересека-
ющей при малейшем отклонении в ту сторону, где лежит параллель;
таким образом, если АН параллельна ЕС, то каждая линия ЛК, сколь
бы мал ни был угол НАЕ, пересекает ЕС.

17)	Прямая линия сохраняет признак параллельности во всех
своих точках.

Пусть [прямая] АВ (чертеж 2) будет параллельна СЕ и пусть АС
будет перпендикуляр к последней. Мы рассмотрим две точки, кото-
рые расположены произвольно; одна на линии ЛК и другая на ее про-
должении по другую сторону перпендикуляра. Положим, что точка Е
лежит по ту сторону перпендикуляра, с которой АВ рассматривает-
ся как параллельная СЕ. Из точки Е опустим перпендикуляр ЕК на
СЕ, затем проведем ЕЕ, так, чтобы она проходила внутри угла ВЕК.
Точки Л и К соединим прямой линией, продолжение которой должно
встретить СЕ где-либо в С (предложение 16). Вместе с тем мы полу-
чим треугольник АСС, внутрь которого входит линия ЕЕ', так как эта
последняя не может пересечь АС в силу самого построения, а также
не может вторично встретить ни АС, ни ЕК (предложение 2), то она
должна встретить СЕ в какой-либо точке Н (предложение 3).
Пусть теперь Е' будет точка на продолжении [линии] АВ и пусть
Е'К' будет перпендикуляр на продолжении линии С/Э; проведем
линию ЕЕ' под столь малым углом АЕЕ', чтобы она пересекла АС
где-либо в К'; затем из А проведем под тем же углом с АВ линию АЕ,
продолжение которой встретит СЕ в С (предложение 16). Таким об-
разом мы получаем трегольник АСС, в который входит продолжение
линии ЕЕ\ так как эта линия не может вторично пересечь АС, а так-
же не может пересечь АС, ибо угол ВАС = ВЕС' (предложение 7),
то она должна встретить СЕ где-либо в С'.

Таким образом, из каких бы точек Е и Е' [прямой А В] ни выходи-
ли линии ЕЕ и ЕЕ' и как бы мало они ни отклонялись от линии АВ,
они всегда пересекут [линию] СЕ, которой АВ параллельна.

18)	Дее линии всегда взаимно параллельны.

Чертеж 3

Пусть АС будет перпендикуляр к [линии] СЕ (чертеж 3), кото-
рой АВ параллельна; из С проведем линию СЕ под каким угодно
острым углом ЕСЕ к СЕ и из Л опустим перпендикуляр АЕ на СЕ',
получим прямоугольный треугольник ЛСЕ, в котором гипотенуза Л С
больше катета АЕ (предложение 9). Отложим АС = АЕ и наложим
АЕ на Л С; тогда Л В и ЕЕ займут положение АК и СН, причем угол
ВАК = ЕАС; следовательно, АК должна пересечь линию НС где-либо
в [точке] К (предложение 16); таким образом получится треугольник
АКС, внутрь которого [входит] перпендикуляр СН; он встречает ли-
нию АК в Е (предложение 3) и тем определяет на линии Л В расстоя-
ние ЛА, точки пересечения линий АВ и СЕ от точки Л.

Отсюда следует, что СЕ всегда встретит АВ, сколь бы мал ни был
угол ЕСИ; поэтому СН параллельна Л В (предложение 16).

III.	СУММА ВНУТРЕННИХ УГЛОВ
ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

19)	В прямолинейном треугольнике сумма трех углов не может
превышать двух прямых.

Чертеж 4

Допустим, что в треугольнике АВС (чертеж 4) сумма трех углов
равна л + а; если его стороны не равны, возьмем наименьшую из
них ВС, разделим ее пополам в Н, проведем из Л через Н линию
АН и на ее продолжении сделаем НЕ равным АН; затем соединим
точку Е с точкой С прямой ЕС. В равных треугольниках АНВ и СНЕ
угол АВН = НСЕ и ВАН = НЕС (предложения би 10); отсюда сле-
дует, что в треугольнике АСЕ сумма углов также должна быть равна
л + а; кроме того, наименьший угол ВАС треугольника АВС (предло-
жение 9) перешел в новый треугольник Л СА, причем он разбился на
две части, ЕАС и АЕС. Продолжая таким же образом, разделяя при
этом пополам каждый раз ту сторону, которая противолежит наи-
меньшему углу, мы необходимо придем к треугольнику, сумма трех
углов которого равна 71 + а, но в котором окажутся два угла, каждый
из которых по абсолютной величине меньше ос; так как, однако,
третий угол не может быть больше л, а должно быть либо нулем,
либо отрицательным.

20)	Если в каком-либо прямолинейном треугольнике сумма трех
углов равна двум прямым, то это имеет место и во всяком другом
треугольнике.

в

Чертеж 5

Положим, что в прямолинейном треугольнике АВС (чертеж 5)
сумма трех углов = л; в таком случае по крайней мере два его угла
должны быть острые. Из вершины В третьего угла опустим на про-
тивоположную сторону перпендикуляр тогда треугольник АВС ра-
зобьется на два прямоугольных треугольника, в каждом из которых
сумма трех углов также должна быть равна л, ибо ни в одном из них
она не может превышать л, а в составленном из них треугольнике
она не должна быть меньше л. Таким образом, мы получаем прямо-
угольный треугольник с катетами р и д, а из него получаем четырех-
угольник, в котором противоположные стороны равны, а при-
лежащие друг к другу стороны р и с/ взаимно перпендикулярны
(чертеж 6). Повторно прикладывая тот же четырехугольник, мож-
но получить подобный же [четырехугольник] со сторонами пр и с/
и, наконец, четырехугольник АВСЕ со взаимно перпендикулярными
сторонами, в котором АВ = пр. АЕ = тер ЕС = пр. ВС = тер где т
и п суть произвольные целые числа. Такой четырехугольник делит-
ся диагональю ВЕ на два равных прямоугольных треугольника В АБ
и ВСЕ. в каждом из которых сумма трех углов равна л. Числа тип
могут быть выбраны так, чтобы прямоугольный треугольник АВС
(чертеж 7), катеты которого АВ = пр. ВС = тд. охватил другой за-
данный [прямоугольный] треугольник ЕВЕ. коль скоро [их] прямые
углы будут приведены в совмещение. Если проведем линию ЕС. то
получим еще прямоугольные треугольники, из которых каждые два
последовательно имеют общую сторону. Треугольник АВС получа-
ется путем соединения двух треугольников АСЕ и ЕСВ. ни в одном
из которых сумма трех углов не может быть больше л; она должна
быть поэтому равна л, поскольку в составленном треугольнике эта
сумма должна быть равна л. Таким же образом треугольник ВЕС со-
стоит из двух треугольников ЕЕС и ЕВЕ', поэтому и в треугольнике
ЕВЕ сумма трех углов должна быть равна л. И вообще это должно
иметь место во всяком треугольнике, так как всякий треугольник
разбивается на два прямоугольных треугольника.

Чертеж 7

Отсюда следует, что возможны только два допущения: либо сум-
ма трех углов во всех прямолинейных треугольниках равна л, либо
же она во всех треугольниках меньше л.
21)	Из данной точки всегда можно провести прямую линию та-
ким образом, чтобы она образовала с данной прямой сколь угодно
малый угол.

Чертеж 8

Из данной точки А [чертеж 8] опустим на данную прямую ВС
перпендикуляр АВ; на ВС возьмем произвольную точку И и прове-
дем линию АО; далее сделаем ОЕ = АО и проведем АЕ. Пусть в пря-
моугольном треугольнике АВИ угол АОВ = а. В таком случае в рав-
нобедренном треугольнике АОЕ угол АЕО должен быть либо равен
|ос, либо меньше (предложения 8 и 20). Продолжая таким образом,
мы наконец придем к такому углу АЕВ, который меньше любого за-
данного угла.

22)	Если два перпендикуляра к одной и той же прямой линии па-
раллельны между собой, то в прямолинейных треугольниках сумма
трех углов равна л.

Чертеж 9

Положим, что линии АВ и СО (чертеж 9) параллельны между
собой и перпендикулярны к АС. Из А проведем линии АЕ и АЕ к точ-
кам Е и К, взятым на линии СО на любых расстояниях ЕС > ЕС от
точки С. Допустим, что в прямоугольном треугольнике АСЕ сумма
трех углов равна л- а, а в треугольнике ЛЕЕ она равна л - Р; в таком
случае в треугольнике АСЕ [сумма углов] будет равна л - а - Р, при-
чем ни а, ни р не могут быть отрицательными. Пусть, далее, угол
ВАЕ = а. АЕС = Ь; в таком случае а + Р = а - Ъ. теперь, удаляя линию
АЕ от перпендикуляра АС. можно сделать угол а между АЕ и парал-
лелью А В сколь угодно малым; так же можно уменьшать и угол Ь;
следовательно, два угла а и р не могут иметь никакой другой величи-
ны, кроме а = 0 и р = 0.

Отсюда следует, что во всех прямолинейных треугольниках сум-
ма трех углов либо равна л, и тогда угол параллельности П (/?) = | л
для любой линии р. либо во всех треугольниках эта сумма < л, и тог-
да также П(р) <

Первое предположение служит основой обыкновенной геоме-
трии и плоской тригонометрии. Второе предположение также мо-
жет быть допущено, не приводя ни к какому противоречию в резуль-
татах; оно обосновывает новое геометрическое учение, которому
я дал название «воображаемая геометрия» и которое я здесь наме-
рен изложить вплоть до вывода уравнений между сторонами и угла-
ми прямолинейных и сферических треугольников.

IV. ИССЛЕДОВАНИЕ УГЛА ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ

23)	Для любого заданного угла а можно найти такую линию р,
что П(/?) = а.

Пусть АВ и АС (чертеж 10)-две прямые линии, образующие при
пересечении острый угол а; на АВ возьмем произвольно точку В'. из
этой точки опустим на АС перпендикуляр В А', сделаем Л'Л" = АА',
восставим в А" перпендикуляр А "В" и так будем продолжать до тех
пор, пока не придем к перпендикуляру СЕ. который уже не встречает
АВ. Это необходимо должно иметь место, ибо если в треугольнике
АА 'В' сумма всех трех углов равна л - а, то в треугольнике А В 'А " она
равна л - 2а, в треугольнике АА "В" она меньше л - 2а (предложе-
ние 20) и т.д., пока она, наконец, не станет отрицательной и этим об-
наружит невозможность образования треугольника. Перпендикуляр
СЕ может оказаться именно тем, до которого все перпендикуляры
из точек, лежащих ближе кА. пересекают А В', во всяком случае, при
переходе от пересекающих к непересекающим такой перпендикуляр
ЕС должен существовать. Теперь из точки Е проведем линию ЕН.
образующую с ЕС острый угол НЕС. и именно с той стороны, с кото-
Чертеж 10

рой лежит точка Л. Из какой-либо точки Я линии НН опустим на Л С
перпендикуляр НК, продолжение которого, следовательно, должно
пересечь АВ где-либо в В; он образует, таким образом, треугольник
АКВ, внутрь которого входит продолжение линии ВН, и потому оно
должно встретить гипотенузу АВ где-либо в М. Так как СВН есть
произвольный угол и может быть взят сколь угодно малым, то [ли-
ния] ВС параллельна АВ и АВ = р (предложения 16 и 18).

Легко усмотреть, что с уменьшением р угол а возрастает, при-
ближаясь при р = 0 к рТ с возрастанием р угол а уменьшается, все
более приближаясь к нулю при р = оо. Так как совершенно произ-
вольно, какой угол разуметь под символом П(/?), когда линия р выра-
жается отрицательным числом, то мы примем

П(р) + П(-р) = 71,

каковое равенство должно иметь место для всех значений р, как по-
ложительных, так и отрицательных, а также для р = 0.

V. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ
ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЙ

24)	Чем далее параллельные линии продолжаются в сторону па-
раллельности, тем более они друг к другу приближаются.

К прямой А В (чертеж 11) восставим два перпендикуляра Л С = ВИ
и конечные их точки соединим прямой линией СИ. Тогда четырех-
угольник САВИ будет иметь два прямых угла при А и В, а при С и И -
два острых угла (предложение 22), которые равны между собой, как
в этом легко убедиться, налагая этот четырехугольник на самого себя
так, чтобы линия ВО упала на АС, а АС - на ВО. Разделим АВ попо-
лам и в точке деления Е восставим перпендикуляр ЕЕ к АВ. Он дол-
жен быть также перпендикулярен к СО, потому что четырехугольни-
ки САЕЕ и ЕЕВО покрывают друг друга, если наложим их друг на
друга так, чтобы линия ЕЕ осталась в том же положении. Вследствие
этого линия СО не может быть параллельна АВ, параллель же к по-
следней в точке С, именно СС, должна быть наклонена в сторону АВ
(предложение 16) и отсечет от перпендикуляра ВО часть ВС < СА.
Так как точка С на линии С С произвольна, то отсюда следует, что С С
тем более приближается к АВ, чем далее мы ее продолжаем.

Чертеж 11

25)	Дее прямые линии, параллельные третьей, параллельны
между собой.

Примем сначала, что три линии А В, СО и ЕЕ (чертеж 12) лежат
в одной плоскости. Если две из них по порядку АВ и СО параллель-
ны крайней линии ЕЕ, то АВ и СО также параллельны между собой.
Чтобы это обнаружить, опустим из произвольной точки А крайней ли-
нии АВ на другую крайнюю ЕЕ перпендикуляр АЕ, который пересечет
среднюю линию СО в некоторой точке С (предложение 3) под углом
ОСЕ < со стороны параллели СО к ЕЕ (предложение 22). Пер-
пендикуляр АС, опущенный из той же точки А на СО, должен упасть
внутри отверстия острого угла АСС (предложение 9); всякая другая ли-
ния АН, проведенная из А внутри угла ВАС, должна пересечь [линию]
ЕЕ, параллельную АВ, где-либо в Н, сколь бы мал ни был угол ВАН',
следовательно, СО пересечет в треугольнике АЕН линию АН где-либо
в К, так как она не может встретиться с ЕЕ. Если бы АН проходила из
точки А внутри угла САС, то она должна была бы в треугольнике САС
пересечь продолжение СО где-либо между точками С и С. Отсюда сле-
дует, что АВ и СО параллельны (предложения 16 и 18).
Если примем, что обе внешние линии АВ и ЕР параллельны
средней С/), то каждая линия АК, проведенная из точки А внутри
угла ВАЕ, пересечет линию СЕ) где-либо в точке К, сколь бы мал
ни был угол ВАК. На продолжении АК возьмем произвольно точ-
ку Е и соединим ее с С линией СЕ, которая пересечет ЕЕ где-либо
в М, вследствие чего образуется треугольник МСЕ. Продолжение
линии АЕ внутрь треугольника МСЕ не может вторично пересечь
ни АС, ни СМ', следовательно, оно должно встретить ЕЕ где-либо
в Н; поэтому АВ и ЕЕ взаимно параллельны.

Пусть теперь параллели А В и СЕ) (чертеж 13) лежат в двух плоско-
стях, пересечение которых есть линия ЕЕ. Из произвольной точки Е
последней опустим перпендикуляр ЕА на одну из двух параллелей, на-
пример на А В', затем из основания Л перпендикуляра ЕА опустим вновь
перпендикуляр АС на вторую па-
раллель СЕ) и соединим концы Е и
С обоих перпендикуляров линией
ЕС. Угол ВАС должен быть острым
(предложение 22); следовательно,
перпендикуляр СС, опущенный
из С на АВ, падает в точку С по
ту сторону от СА, в которой счи-
таем линии АВ и СЕ) параллель-
ными. Каждая линия ЕН, сколь
бы мало она ни отклонялась от ЕЕ,
лежит с ЕС в плоскости, которая должна пересечь плоскость двух па-
раллелей АВ и СЕ вдоль некоторой линии СН. Эта последняя линия
пересекает где-либо АВ и именно в той же точке Я, которая принад-
лежит всем трем плоскостям и через которую необходимо проходит
также линия ЕН, следовательно, ЕЕ параллельна АВ. Подобным же
образом можно обнаружить параллельность линий ЕЕ и СЕ.

Сообразно этому предположение, что линия ЕЕ параллельна од-
ной из двух других параллельных между собой [линий] АВ и СЕ, оз-
начает не что иное, как то, что СЕ рассматривается как пересечение
двух плоскостей, в которых лежат параллели А В и СЕ. Поэтому две
линии параллельны между собой, если они параллельны одной и той
же третьей линии, хотя бы они лежали и в различных плоскостях.
Последнее предложение можно выразить также следующим обра-
зом: три плоскости пересекаются по линиям, которые все между
собой параллельны, поскольку предполагается параллельность двух
из них.

VI. ИЗМЕРЕНИЕ ТРЕХГРАННЫХ УГЛОВ

26)	На поверхности шара противолежащие друг другу тре-
угольники имеют одинаковую площадь.

Под противолежащими друг другу треугольниками мы разумеем
здесь такие, которые образуются пересечением поверхности шара
[теми же] плоскостями по обе стороны центра; в таких треугольни-
ках стороны и углы имеют поэтому противоположные направления.

В противолежащих друг другу треугольниках АВС и АВ'С (чер-
теж 14), на котором один из треугольников нужно себе представить
изображенным в повернутом виде) стороны А В = АВ', ВС = В'С,
СА = С А' и их углы при точках А, В, С также равны соответствую-
щим углам в другом треугольнике при точках Л', В', С. Представим
себе плоскость, проходящую через три точки Л, В, С, и перпенди-
куляр, опущенный на эту плоскость из центра шара; продолжения
этого перпендикуляра в обе стороны пересекут противолежащие
друг другу треугольники в точках Л и Б' шаровой поверхности. Рас-
стояния точки Л от точек Л, В, С на сфере в дугах больших кругов
должны быть равны (предложение 12) как между собой, так и рас-
стояниям Л'Л', Л В', Б’С в другом треугольнике (предложение 6);
следовательно, равнобедренные треугольники вокруг точек Л и Л'
в обоих сферических треугольниках АВС и Л В’С конгруэнтны друг
другу.

Чтобы вообще судить о равенстве двух поверхностей, принима-
ют за основу следующее предложение: две поверхности равны, если
они образуются составлением или отделением равных частей.

27)	Трехгранный телесный угол равен полусумме его двугранных
углов без прямого.

Чертеж 15

В сферическом треугольнике АВС (чертеж 15), в котором каждая
сторона < л, обозначим углы через Л, В, С, продолжим сторону Л В
так, что образуется полный круг АВА В А. который разделит сферу на
две равные части. В той половине, в которой находится треугольник
АВС. продолжим еще две другие стороны за точку их взаимного пе-
ресечения С до их пересечений с кругом в А’ и В’. Этим полусфера
разобьется на четыре треугольника АВС. АСВ'. В'СА'. А'СВ. величи-
ны которых пусть будут Р. X. У. 7.

Ясно, что здесь

Р+Х=В.

Р + А = А.
Величина сферического треугольника У равна величине проти-
волежащего ему треугольника АВС, в котором сторона АВ общая
с треугольником Р, а третий угол С' лежит при конечной точке диа-
метра сферы, идущего от С через центр сферы Е (предложение 26).
Отсюда следует, что Р + У = С; а так как Р+Х+У+2 = я, то мы
получаем также

Р = |(Л + В + С-л).

К тому же результату можно прийти также и другим путем, опираясь
только на предложение, приведенное выше относительно равенства
площадей (предложение 26).

Чертеж 16

В сферическом треугольнике АВС (чертеж 16) разделим стороны
АВ и ВС пополам и через точки деления Е и Е проведем большой
круг ЕЕ; из точек А, В, С опустим на этот круг перпендикуляры АЕ,
ВН и СС. Если перпендикуляр из В падает в Н между Е и Е, то обра-
зующийся таким образом треугольник ВЕН равен АЕЕ, а ВНЕ равен
ЕСС (предложения 6 и 15); отсюда следует, что площадь треугольни-
ка АВС равна площади четырехугольника АЕСС (предложение 26).
Если точка Н совпадает с серединой Е стороны ВС (чертеж 17), то
образуются только два равных прямоугольных треугольника АЕЕ

и ВЕЕ, замещая которые друг другом,
докажем равенство площадей тре-
угольника АВС и четырехугольника
АЕЕС. Если, наконец, точка Н пада-
ет вне треугольника АВС (чертеж 18),
то мы перейдем от треугольника
АВС к четырехугольнику АЕСС, при-
соединяя треугольник ЕАЕ = ЕВН
и отнимая затем треугольник ССЕ =
ЕВН
Чертеж 18

Если в сферическом четырехуголь-
нике АРСС представим себе большие
круги, проходящие через точки А и С
и через К и С, то дуги последних между
АО и ЕС равны (предложение 15); по-
этому конгруэнты также треугольники
РАС и АСО (предложение 15) и угол
РАС равен углу АСО.

Отсюда следует, что во всех преды-
дущих случаях сумма всех трех углов
сферического треугольника равна сумме
обоих равных углов в четырехугольни-
ке по исключении обоих прямых углов.
Таким образом, для каждого сфериче-

ского треугольника, в котором сумма
трех углов есть 5, можно найти четырехугольник с той же площадью,

в котором имеются два прямых угла, две равные перпендикулярные
[к основанию] стороны, а каждый из двух остальных углов равен 8.

Чертеж 19

Пусть теперь АВСР (чертеж 19) будет сферический четырех-
угольник, в котором стороны АВ =РС перпендикулярны к ВС и каж-
дый из углов при А и Р равен ±8. Продолжим стороны АР и ВС
до их пересечения в Е и далее за точку Е. сделаем РЕ = ЕР и на
продолжение ВС опустим перпендикуляр РС. Всю дугу ВС разде-
лим пополам и точку деления Н соединим дугами больших кругов
с А и Р. Треугольники ЕРС и РСЕ конгруэнтны (предложение 15);
следовательно, РС= РС = АВ. Треугольники АВН и НСР также кон-
груэнтны, так как они прямоугольные и имеют равные катеты; сле-
довательно, [дуги] АН и НР принадлежат одному кругу, дуга АНР
равна л, АРЕР также = л, угол
НАЕ = НЕЕ =	- ВАН =	- НЕС = ±8 - НЕЕ - ЕЕС =

= р -НАИ - л + р;

следовательно, угол НЕЕ = ^(5 — л), или, что то же, равен величи-
не вырезка АНЕЕА, который, в свою очередь, равен четырехуголь-
нику АВСЕ', это легко усмотреть, если перейти от одного к другому,
прибавляя сначала [к вырезку] треугольник ЕЕС. а затем [тре-
угольник] ВАН ж отнимая после этого равные им треугольники ЕСЕ
и НЕС. Сообразно этому — л) есть величина четырехугольника
АВСЕ, а вместе с тем и величина сферического треугольника, в ко-
тором сумма трех углов равна 8.

28)	Если три плоскости пересекаются по параллельным лини-
ям, то сумма трех двугранных углов [ими образуемых] равна двум
прямым.

Пусть АА', ВВ', СС' (чертеж 20) будут параллельные линии, об-
разованные пересечением плоскостей (предложение 25). Возьмем на
них произвольно три точки А, В, С и представим себе проходящую
через них плоскость, которая, следовательно, пересекает плоскости
параллелей по прямым линиям АВ, АС и ВС. Затем через прямую АС
и какую-либо точку Е на линии ВВ' проведем еще одну плоскость,
которая пересечет две плоскости параллелей АА' и ВВ', СС и ВВ’ по
линиям АЕ и ЕС', наклонение этой плоскости к третьей плоскости
параллелей АА ’ и СС обозначим через тт. Углы между плоскостями,
в которых лежат параллели, обозначим через X, У, Е соответственно
линиям АА', ВВ', СС', пусть, далее, прямолинейные углы ВЕС = а,
АЕС = Ъ, АЕВ = с. Представим себе описанную вокруг точки А как
центра шаровую поверхность; ее пересечения с прямыми АС, АЕ,
АА ’ определят сферический треугольник со сторонами р,джг, вели-
чина которого пусть будет а; в нем противолежат стороне д угол IV,
стороне г угол А, а следовательно, стороне р [противолежит угол]
л + 2а -IV-X(предложение 27). Таким же образом [прямые] СА, СБ,
СС', пересекая шаровую поверхность вокруг центра С, определяют
[на ней] треугольник величины р со сторонами р', д', г' и углами: о)
против д', 2против г'и, следовательно, л + 2р-IV-7противр'. Нако-
нец, пересечениями шаровой поверхности вокруг Е с линиями ЕА,
ЕВ, ЕС определяется сферический треугольник со сторонами I, т, п,
которым противолежат углы IV + 7- 2|3, IV + X -2а и У; следователь-
но, величина этого треугольника 8 = |(А + У + 7 — л) — ос — Р + и\
С уменьшением IV уменьшается также величина треугольников аир,
так что а + Р - IV может быть сделано меньше любого данного числа.
В треугольнике 8 стороны I и т также могут быть уменьшаемы до
уничтожения (предложение 21). Следовательно, треугольник 8 может
быть отложен одной из своих сторон I и т по большому кругу сфе-
ры сколько угодно раз и все-таки не заполнит полусферы; поэтому 8
исчезает вместе с IV: отсюда следует, что необходимо должно быть

Х+ Г+7 = Л.

VII. ПРЕДЕЛЬНАЯ ЛИНИЯ

29)	В прямолинейном треугольнике перпендикуляры, восстав-
ленные из середин сторон, либо [вовсе] не встречаются, либо все
три пересекаются в одной точке.

Предположим, что в треугольнике АВС (чертеж 21) перпендику-
ляры ЕЕ и ЕЕ, восставленные к сторонам АВ и ВС из середин Е и Е,
пересекаются в точке /9; внутри углов треугольника проведем линии
ЕА, ЕВ, ЕС

В равных треугольниках АЕЕ
и ВЕЕ (предложение 10) АЕ = ВЕ;
также заключаем, что ВЕ = СЕ; сле-
довательно, АЕС есть равнобедрен-
ный треугольник, а потому перпен-
дикуляр, опущенный из вершины Е
на основание АС, падает в середину
последнего С.

Доказательство не меняется

Чертеж 21	и в том случае, если точка пересе-

чения Е двух перпендикуляров ЕЕ
и ЕЕ падает на саму линию АС или вне треугольника.
Если поэтому примем, что два из этих перпендикуляров не пере-
секаются, то и третий не может с ними встретиться.

30)	Перпендикуляры, восставленные к сторонам прямолиней-
ного треугольника из их середин, должны быть все три друг другу
параллельны, если предположим параллельность двух из них.

Пусть в треугольнике

АВС (чертеж 22) линии ЕЕ.
ЕС. НК будут перпендикуля-
ры, восставленные к его сто-
ронам в их серединах Л, Е. Н.
Примем первоначально, что
параллельны перпендикуля-
ры ЕЕ и ЕС. которые пересе-
кают линию АВ в Ь и М. Из

Чертеж 22

точки Ь внутри угла ВЬЕ про-
ведем произвольно прямую

линию ЕС. которая должна встретить ЕС где-либо в С. как бы мал
ни был угол отклонения СЕЕ (предложение 16). Так как в треуголь-
нике ЕСМ перпендикуляр НК не может встретиться с МС (предло-
жение 29), то он должен встретить ЕС где-либо в Р; отсюда следует,
что НК должна быть параллельна ЕЕ (предложение 16) и МС (пред-
ложения 18 и 25).

Если положим стороны ВС = 2а. АС= 2Ъ. АВ = 2с, а противоле-
жащие этим сторонам углы обозначим через А. В. С. то в рассмо-
тренном сейчас случае

А = П(6)-П(с),

Я = П(а)-П(с),

С = П(а) + П(6),
как в этом легко убедиться с помощью линий А А'. ВВ'. СС'. которые
проведены из точек Л, В. С параллельно перпендикуляру НК. а сле-
довательно, и двум другим перпендикулярам ЕЕ и ЕС (предложе-
ния 23 и 25).

Положим теперь, что па-

раллельны перпендикуляры НК
и ЕС; в таком случае третий пер-
пендикуляр ЕЕ не может их пере-
сечь (предложение 29); следова-
тельно, он либо параллелен им,
либо пересекает АА'. Последнее
допущение означает не что иное,
как то, что угол С > П(я) + П(6).
Если мы этот угол уменьшим так, чтобы он стал равен П(я) + П(6),
сообщая для этого линии АС новое положение СО (чертеж 23), и ве-
личину третьей стороны ВО обозначим через 2с', то угол СВ О при
точке В, который возрос, должен, согласно доказанному выше, быть
равен П(я) - П(с') > П(я) + П(с), откуда следует с' > с (предложе-
ние 23). Однако в треугольнике А СО углы при А и 0 равны; поэтому
в треугольнике АВО угол при 0 должен быть больше, чем при точ-
ке Л, следовательно, АВ > ВО (предложение 9); это значит с > с'.

31)	Предельной линией (орициклом) мы называем такую распо-

ложенную в плоскости кривую линию, у которой все перпендикуля-
ры, восставленные из середин ее хорд, параллельны между собой.

В согласии с этим определением можно представить себе об-
разование предельной линии, если будем проводить к данной пря-
мой АВ (чертеж 24) из данной на ней точки А под различными углами
САВ = П(б/) отрезки АС = 2а\ конец С такого отрезка будет лежать на
предельной линии, точки которой можно, таким образом, постепенно
определять. Перпендикуляр НЕ к хорде АС, восставленный из ее се-
редины И, будет параллелен линии АВ, которую мы будем называть

осью предельной линии. Таким же
образом каждый перпендикуляр
ЕС, восставленный из середи-
ны какой-либо хорды АН, бу-
дет параллелен АВ', поэтому это
свойство должно принадлежать
также каждому перпендикуляру
КЬ, восставленному из середи-
ны К хорды СН, между какими
бы двумя точками С и //предель-
ной линии она ни была проведе-
на (предложение 30). Этого рода
перпендикуляры должны поэто-
му без отличия от АВ называться
осями предельной линии.

32)	Круг, радиус которого возрастает, переходит в предельную

линию.

Пусть АВ (чертеж 25) будет хорда предельной линии; из ее кон-
цов А и В проведем две оси АС и ВИ, которые, следовательно, обра-
зуют с хордой два равных угла ВАС = АВИ = а (предложение 31).

На одной из этих осей АС возьмем где-либо точку Е, примем ее
за центр круга АЕ от начальной точки А оси АС до ее пересечения
с другой осью ВИ в точке Е Соответствующий точке Е радиус круга
Чертеж 25

РЕ образует по одну сторону угол АЕЕ = Р с хордой АЕ, а по другую
сторону - угол ЕЕЕ = у с осью ВЕ. Отсюда вытекает, что содержа-
щийся между двумя хордами угол ВАЕ =а-р<р+у-а (предло-
жение 22); следовательно, ос — Р < |у. Однако угол у уменьшается
до нуля как вследствие движения центра Е при неизменном положе-
нии точки Е (предложение 21), так и вследствие приближения точки
Е к В по оси ВЕ при неизменном положении центра Е (предложе-
ние 22); отсюда следует, что при таком уменьшении угла у исчеза-
ет также и угол а - Р, т.е. взаимное наклонение двух хорд АВ и АЕ,
а вместе с тем [исчезает] и расстояние точки В на предельной линии
от точки Е на круге.

Поэтому предельная линия может называться также кругом
с бесконечно большим радиусом.

33)	Пусть АА' = ВВ’ = х (чертеж 26) будут две линии, параллель-
ные в сторону от А к А', а их параллели служат осями двух предель-
ных дуг (дуг на двух предельных линиях) АВ = 8, АВ’ = тогда

8’ = 8е~х,

где е не зависит ни от дуг 8 и 8’, ни от прямой х, т.е. от расстояния
дуги 8’ ОТ 8.

Чертеж 26

Чтобы это доказать, примем, что отношение дуги 8 к 8’ равно
отношению двух целых чисел п и т. Между двумя осями АА’, ВВ’
проведем еще третью ось СС которая, таким образом, отсекает от
дуги А В часть А С = Д а от дуги А'В'с той же стороны - часть А 'С' = I
Пусть теперь отношение I к 8 равно отношению двух целых чисел р
и д, так что

Разделим теперь 5 осями на тщ равных частей; тогда таких частей
окажется тр на 8' и пр на Л Между тем эти равные части на 8 и I соот-
ветствуют также равным частям на 8Г и С; следовательно,

? _ ?

I 8 ’

Таким образом, где бы мы ни взяли две дуги I и С между двумя
осями АА' и ВВ\ отношение I к С остается то же, пока между ними
остается то же расстояние х. Если поэтому для х = 1 положим 8 = ез',
то для любого х должно быть

8Г = 8е~х.

Так как е есть неизвестное число, подчиненное только условию
е > 1, а, с другой стороны, единица для измерения длины х может
быть выбрана произвольно, то последнюю можно для упрощения
вычислений выбрать так, что под е можно будет разуметь основание
неперовых логарифмов.

Здесь можно еще отметить, что 8Г = 0 для х = оо; поэтому расстоя-
ние между двумя параллелями (предложение 24) не только уменьша-
ется, но при продолжении их в сторону параллелизма в конце концов
совершенно исчезает. Параллельные линии имеют, таким образом,
характер асимптот.

VIII. ПРЕДЕЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ

34)	Предельной поверхностью (орисферой) называется поверх-
ность, которая получается вращением предельной линии вокруг од-
ной из своих осей, каковая вместе со всеми другими осями предель-
ной линии будет также осью поверхности.

Хорда [предельной поверхности] наклонена под равными углами
к осям, проведенным через ее конечные точки, где бы на поверхно-
сти эти две точки ни были взяты.
Чертеж 27

Пусть Л, В. С (чертеж 27) будут три точки на предельной поверх-
ности, АА 'пусть будет ось вращения, ВВ'и СС'-две другие оси; следо-
вательно, АВ и АС суть хорды, к которым оси наклонены под равными
углами Л АВ = В'ВА,А'АС = ССА (предложение 31); две оси ВВ'и СС,
проведенные через концы третьей хорды ВС, также параллельны
и лежат в одной плоскости (предложение 25). Перпендикуляр
восставленный из середины Л хорды АВ в плоскости двух паралле-
лей, должен быть параллелен трем осям АА', ВВ', СС (предложения 23
и 25), такой же перпендикуляр ЕЕ' к хорде АС в плоскости паралле-
лей А А', СС будет параллелен трем осям А А', ВВ', СС и перпендику-
ляру ЕЕ'. Угол между плоскостью, в которой расположены паралле-
ли А А' и ВВ', и плоскостью треугольника АВС обозначим через П(<т),
где а может быть [числом] положительным, отрицательным или ну-
лем. Если а положительно, то проведем ЕЕ = а внутрь треугольни-
ка АВС в его плоскости перпендикулярно к хорде АВ в ее середине Е.
Если а будет числом отрицательным, то нужно провести ЕЕ = а вне
треугольника по другую сторону хорды АВ', если а = 0, то точка Е
совпадает с Е. Во всех случаях получаем два равных прямоугольных
треугольника АЕЕ и ЕВЕ', следовательно, ЕА = ЕВ. Теперь из точки Е
восставим перпендикуляр ЕЕ' к плоскости треугольника АВС.

Так как угол ЕЕЕ = Е[(а), ЕЕ = а, то [линия] ЕЕ' параллель-
на ЕЕ' и линии ЕЕ', с которой она [поэтому] также лежит в одной
плоскости, перпендикулярной к плоскости треугольника АВС. Если
теперь представим себе перпендикуляр ЕК, восставленный к ЕЕ
в плоскости параллелей ЕЕ’ и ЕЕ’, то он будет также перпендикуля-
рен к плоскости треугольника АВС (предложение 13) и к лежащей
в этой плоскости прямой ЛЕ' (предложение 11); поэтому [линия] АЕ,
перпендикулярная к ЕК и ЕЕ’, будет также перпендикулярна к ЕЕ
(предложение 11). Треугольники АЕЕ и ЕЕС равны, как прямоуголь-
ные с равными катетами; поэтому АЕ = ЕС = ЕВ. Перпендикуляр
из вершины Е равнобедренного треугольника ВЕС на основание ВС
проходит через середину последнего С; плоскость, проходящая че-
рез этот перпендикуляр ЕС и линию ЕЕ’, должна быть перпендику-
лярна к плоскости треугольника АВС и пересекать плоскость парал-
лелей ВВ’, СС’ по линии СС’, которая также параллельна А А’ и ВВ’
(предложение 25); так как теперь СС перпендикулярна к ЕС, а пото-
му и к СС’, то угол С’СС = ВВС (предложение 23).

Отсюда следует, что для предельной поверхности каждая из ее
осей может быть рассматриваема как ось поверхности.

Главной плоскостью мы будем называть каждую плоскость,
проведенную через ось предельной поверхности. Сообразно это-
му каждая главная плоскость сечет предельную поверхность по
предельной линии, между тем как при другом положении секущей
плоскости это пересечение есть круг. Три главные плоскости, пере-
секающие друг друга, образуют друг с другом углы, сумма которых
равна л (предложение 28). Эти углы мы будем рассматривать как
углы в предельном треугольнике, сторонами которых служат дуги
предельных линий, образуемых пересечением предельной поверх-
ности этими тремя главными плоскостями.

В предельных треугольниках стороны и углы связаны поэтому
теми же зависимостями, которые устанавливаются в обыкновенной
геометрии для прямолинейных треугольников.

IX. УРАВНЕНИЯ, СВЯЗЫВАЮЩИЕ СТОРОНЫ
И УГЛЫ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

35)	В дальнейшем мы будем обозначать величину линий бук-
вой со штрихом, например х’, чтобы указать, что таковая находится
к другой линии, обозначаемой той же буквой без штриха, в соотно-
шении, выраженном уравнением

П(х) +
Пусть теперь АВС (чертеж 28) будет прямолинейный прямоугольный
треугольник, в котором гипотенуза АВ = с, катеты АС = Ъ, ВС = а.
а противолежащие им углы суть ВАС = П(а), АВС = П(Р). В точ-
ке А восставим перпендикуляр АА' к плоскости треугольника АВС
и из точек В к С проведем ВВ' и СС' параллельно АА'. Плоскости,
в которых эти три параллели лежат, образуют между собой углы П(а)
при АА', прямой при СС' (предложения 11 и 13) и, следовательно,
П(а’) при ВВ' (предложение 28).

Пересечения линий ВА, ВС, ВВ' с шаровой поверхностью, опи-
санной вокруг точки В как центра, определяют сферический тре-
угольник тпк, в котором стороны тп = П(с), кп = П(Р), тк = П(а);
противолежащие им углы суть П(6), П(а’),	.
Поэтому вместе с существованием прямолинейного треугольни-
ка со сторонами а. Ь, с и противолежащими им углами П(а), П(Р),
нужно допустить также существование сферического треуголь-
ника (чертеж 29) со сторонами П(с), П(Р), П(я) и противолежащими
углами

П(&), П(а'),

Но и, обратно, для этих двух треугольников существование сфе-
рического треугольника влечет за собой существование прямоли-
нейного, который поэтому также может иметь стороны о, а', Р и про-
тиволежащие им углы П(б'), П(с), ±л.

Поэтому от а. Ь, с, а, Р можно перейти к В а, с, Р, а, а также
к а, а’, Р, Ъ’. с.

Представим себе предельную поверхность, проходящую через
точку А и имеющую осью [линию] АА’ (чертеж 28); [эта поверх-
ность] пересечет две другие оси ВВ’ и СС в В” и С", а пересечения ее
с плоскостями параллелей образуют предельный треугольник, сто-
роны которого ”є = р, С”А = д. В”А = г, противолежащие же им
углы суть П(а), П(а'), следовательно,

р = г 8Ш П(а), с/ = г соз П(а).

Теперь нарушим соединение трех главных плоскостей по ли-
нии ВВ’ и развернем их таким образом, чтобы они вместе со всеми
находящимися в них линиями расположились в одной плоскости;
в этой плоскости дуги р, д, г соединятся в одну дугу предельной
линии, проходящей через точку А и имеющей АА ’ своей осью (чер-
теж 30); при этом по одну сторону [оси АА *] расположатся дуги с/ и/д
сторона Ъ треугольника, которая в точке А перпендикулярна к АА ’;
ось СС', идущая от конца стороны Ъ параллельно А А ’ и проходящая
через точку соединения С” [дуг] р и д; сторона - перпендикуляр-
ная к СС’ в точке С, а также выходящая из конца этой стороны ось
ВВ’, параллельная А А ’ и проходящая через конец В” дуги р. По дру-
гую сторону АА’ будут лежать: сторона с, перпендикулярная к АА’
в точке Л, и ось ВВ’, параллельная А А ’ и идущая от конца [стороны]
с через конечную точку В” дуги г. величина линии СС” зависит от Ь,
каковую зависимость мы выразим через СС” Таким же обра-
зом будет ВВ” =/(с).
Если, принимая СС' за ось, проведем из точки С новую предель-
ную линию до пересечения О с осью ВВ'и обозначим дугу С/9 через Д
то

ВО =Да),

ВВ" = ВО + ОВ" = ВО + СС'
и, следовательно,

Кроме того, мы замечаем (предложение 33), что

/ = ре^ = г8тП(а)е^\

Если бы перпендикуляр к плоскости треугольника АВС (чер-
теж 28) был восставлен не в точке Л, а в В. то линии сиг остались
бы те же, дуги ди/ перешли бы в I и д, прямые апЬкЬиа, а угол
П(а) заменился бы углом П(Р); следовательно, мы имели бы

д = г8тП(Р)е^а);

подставляя вместо д его значение, находим
со8П(ос) = 8тП(Р)е-^,

заменяя же а и р через Ъ'и с, получим

8тП(/>) = 8шП(с)/^.

И умножая на е^ъ\

8И1П(Й)/^) = 8Н1П(фМ

Отсюда следует также

8Н1П(я)/^ = 8Н1П(6)еМ

Так как, однако, прямые а и Ь друг от друга не зависят, а с другой сто-
роны, при Ь = 0,/(Ь) = 0, П(6) = л, то для любой прямой линии а

Сообразно этому

еЛ«) = 81пп(а).

8Ш п (с) = 8Ш П(а)8тП(/>),
8тП(Р) = со8П(а)8тП(а).

Отсюда изменением букв получаем

8ШП(а) = со8П(Р)8тП(/>),
С08П(/>) = С08П(с)с08П(ос),
С08 п (а) = С08П(с)со8П(Р).

Если в сферическом прямоугольном треугольнике (чертеж 29)
обозначим стороны П(с), П(Р), П(я) с противолежащими им углами
П(/>), П(б/') буквами а. Ь, с. Л, В. то найденные уравнения принимают
форму, которая, как известно, устанавливается для прямоугольного
треугольника в сферической тригонометрии, именно:

8Ш а = 8Ш С 8Ш Л,

8Ш Ъ = 8Ш С 8Ш В.
соз А = соз а зт В.
соз В = соз Ь зт Л,
соз с = соз а соз

от этих уравнений можно перейти к уравнениям любых сфериче-
ских треугольников. Таким образом, сферическая тригонометрия не
зависит от того, равна ли в прямолинейном треугольнике сумма трех
углов двум прямым или нет.

X. РАЗЫСКАНИЕ ФУНКЦИИ П(х)

36)	Теперь рассмотрим снова прямолинейный прямоугольный
треугольник АВС (чертеж 31), стороны которого суть а. Ь, с, а про-
тиволежащие углы суть П(а), П(Р), ±л . Продолжим гипотенузу с за
точку В и сделаем ВВ = Р; из точки В восставим к ВВ перпендикуляр
/ЛТ, который, следовательно, будет параллелен ВВ'. т.е. продолже-
нию стороны а за точку В. Из точки А проведем еще к ПЛ' параллель
АА' которая в то же время будет параллельна СВ' (предложение 25).
Поэтому угол А АВ = П(с + Р), А АС = П(6); следовательно,

П(6) = П(а) + П(с + Р).

Чертеж 31

Чертеж 32

Если отложим р на гипотенузе с от точки В. затем из конеч-
ной точки В (чертеж 32) восставим к АВ внутрь треугольника пер-
пендикуляр ВВ' и из точки А проведем АА' параллельно ВВ'. то
ВС с ее продолжением СС' будет третьей параллелью; тогда угол
САА' = П(6), ВАЛ' = П(с - Р); следовательно,

П(с-Р) = П(а) + П(6).
Чертеж 33

Чертеж 34

Последнее уравнение остается в силе и в том случае, когда
с = Р или с < р. Если с = Р (чертеж 33), то перпендикуляр АА', вос-
ставленный к АВ из точки Л, параллелен стороне ВС=а с ее про-
должением СС'; следовательно, П(а) + П(6) = ±л и в то же время
П(с — Р) = (предложение 23). Если с < Р (чертеж 34), то конец
отрезка Р падает по другую сторону точки Л, в О, на продолжении
гипотенузы АВ. Восставленный отсюда перпендикуляр ОО' к АВ
и параллельная ему линия АА ’ из [точки] Л будут также параллельны
стороне ВС=а с ее продолжением СС'. Здесь угол ВАА' = П(Р - с),
следовательно, П(а) + Пф) = л-Пф-с) = П(с-Р) (предложение 23).

Приведя в связь оба найденных уравнения, получаем
2Пф) = П(с-Р) + П(с + Р),
2П(а) = П(с-Р)-П(с + Р),
откуда

СО8П(6)	С08[|П(с-р) + |П(с + р)

С08П(а) - СО8[|П(С - р) - |П(с + р) ’

Если сюда поставим значение (предложение 35)

С08П(/>)
со§П(ос)

С08П(с),

то получим

^ё^П(с)]2 = 1ё|п(с - Р)1ё|П(с + Р).
Здесь р есть произвольное число, так как угол П(Р) с одной сто-
роны [гипотенузы] с может быть выбран произвольно в пределах от
О до следовательно, Р [может быть выбрано] произвольно меж-
ду 0 и оо; полагая здесь по порядку Р = с, 2с, Зс и т.д., для любого
положительного числа п получим

= 1ё|П(ис).

Если будем здесь рассматривать п как отношение двух линий х
и с и примем, что

с1§|П(с) = ес,
составляем производную пропорцию, то получим вообще для любой
линии х, как положительной, так и отрицательной,

Ш|п(х) = е~х,

где е может быть любое число, большее единицы, ибо П(х) = 0 при
х = оо.

Так как единица, которой измеряются линии, произвольна, то
за е можно также принять основание неперовых логарифмов.

XI. УРАВНЕНИЯ, СВЯЗЫВАЮЩИЕ СТОРОНЫ
И УГЛЫ ВСЯКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

37)	Из найденных выше уравнений достаточно знать два следу-
ющих:

8Ш П(с) = 8Ш П(я) 8Ш П(Ъ),

8Ш П (а) = 8Ш П(Ъ) соз П(Р),
относя последнее к обоим катетам а и Ь, чтобы из их соединения вы-
вести два остальных (предложение 35), и притом без двузначности
относительно алгебраических знаков, ибо углы здесь острые.

Аналогичным образом приходим к двум уравнениям

1.	П(с) = 8Ш П(а) П(а),

2.	соз П(а) = соз П(с) С08 П(Р).

Рассмотрим теперь прямолинейный треугольник со сторонами а,
Ь, си противолежащими углами А, В, С (чертеж 35). Если А и В суть
острые углы, то перпендикуляр р из вершины угла С падает внутрь
треугольника и делит сторону с на две части, именно: на часть х со
стороны угла Л и с-х со стороны угла В. Таким образом, получают-
ся два прямоугольных треугольника, применяя: к которым уравне-
ние (1), получаем
П(а) = 8Ш В П(/Д,

П(6) = 8Ш А П(Д),
каковые уравнения остаются без изменения, даже если бы один из
углов, например В, был прямым (чертеж 36) или тупым (чертеж 37).

Чертеж 35

Чертеж 36

Чертеж 37

Таким образом, получаем общее для всех треугольников соотно-
шение

3.	8Ш А П(а) = 8Ш В П(6).

Для треугольника с острыми углами Л, В (чертеж 35) получаем
еще [уравнение (2)].

СО8 П(х) = СО8 А СО8 П(6),	(!)

СО8 П(с -х) = СО8 В СО8 П(Л),
каковые уравнения относятся также к треугольникам, в которых угол
А или В прямой или тупой. Например, при В = л; (чертеж 36) нуж-
но взять х = с; первое уравнение переходит тогда в то, которое мы
получили выше [уравнение (2)], а второе удовлетворяется само по
себе. При В > ±л (чертеж 37) первое уравнение остается без изме-
нения, вместо же второго нужно написать соотношение

соз П(х-с) = соз (л-В} соз П(я);

но

СО8 П(х - с) = - СО8 П(с -х)
(предложение 23), а также соз (л-В) = - соз В.
Если А есть прямой или тупой угол, то вместо х и с -х нужно взять
с -х и х, и этот случай приведется к предыдущим.

Чтобы из этих двух уравнений исключить х, заметим, что (пред-
ложение 36)

С08П(с — х)

1 +	- х)]2

1 — е2х 2с

1 + е2х~2с

1 -[1ё|П(с)]2[сГ§1П(х)]2

1 + [1ё|П(с)]2[с1§|П(х)]2

С08П(с) — С08П(х)
1 - С08П(с)с08П(х)

Если подставим сюда выражения для со8 П(х), со8 П(с - х), то
получим

п_г/ х С08ПЫс08Т? + С08П(Ъ)с08 А

С0811 (С ) = --— ------------— ----

К 7	1 + СО8П(а)сО8П(/>)сО8АсозВ’

(!!!)

откуда следует

СО8П(й)сО8 5

СО8П(с) - СО8 ЛсО8П(/>) _
1 — СО8 ЛСО8П(&)СО8П(С)’

и, наконец,

[8тП(с)]2=[1 —СО8 5сО8П(с)сО8П(а)] • [1—СО8ЯСО8П(/>)сО8П(е)].

Таким же образом должно быть:

4.

[8тП(й)]2=[1 —со8Ссо8П(а)со8П(/>)] • [1—со8Всо8П(с)со8П(а)],

[81ПП(/>)]2 =[1 — СО8 ЛСО8П(Й)СО8П(С)] • [1—со8Ссо8П(а)со8П(6)],

Из этих трех уравнений получаем еще

[япП(ЛтП(с)12 Г1	х12

----- I----2 7 - = [ 1 — СО8 А СО8 П (Ь) СО8 П (с)] .
[8тП(а)]

Отсюда без двузначности по отношению к знакам имеем:

г	.	тт/ \	8шП(&)8тП(с)	,

5.	СО8 ЛСО8П & СО8П с н---/ 7 , , — = 1.

к 7 к 7 8тП(а)
Если сюда в согласии с уравнением (3) подставим значение 81п П(с)

8шП(с) = 8?ПП(й)со8П(с),

81ПС

то получим:

п_г/ х	С08ПЫ8Н1С

С0811 (С ) = ---------------— ---------------

у 7 8т Л8тП(/>) + С08 А 8тСсо8П(а)со8П(й)’

или же, подставляя это выражение для соз 77(с) в уравнение (4),

6.

. 	СОЗП(М

сЩ А 81пС81пП(/>) + созС =-(.

созЩа)

Исключая отсюда зт П(/>) с помощью уравнения (3), получаем:

созП(а)	созЛ 	 т-г/ х

---„),г созС = 1 —_-зтСзтП я).

СОзП(/>)	81ПВ	к ’

Между тем уравнение (6) изменением букв дает

С08П(а)	„ • -гт/ \

---Т777Т = В 8Н1П а + С08С.

С08Щ6)

Из двух последних уравнений следует

7.

,	„	_	81П581ПС

СОЗА + СОЗ ВСОЗ С =	.	.

81пП(й)

Все четыре уравнения, выражающие зависимости между сторонами
а. Ь, с и противолежащими углами А. В. С, согласно этому [уравне-
ния (3), (5), (6), (7)]91 будут:

8.

П(а) = 8тТИ§П(Ъ),

С08 ЛС08П(/>)с03П(с) +

8тП(6)8тП(с)

сГ§ ЛзтСзтЩЪ) + созС =

8тП(а)

СОзП(Л)
созП(а)’

= 1,

,	„	„	81П2?81ПС

СОЗА + СОЗ 5СОЗ С =	.	.

81пП(й)

91 Квадратные скобки здесь принадлежат Лобачевскому.
Если стороны треугольника а. /х с очень малы, то можно удо-
вольствоваться приближенными значениями (предложение 36):

с!§ П(а) = а,
8шП(а) = 1 -
С08П(а) = а,

и аналогично для других сторон Ь и с. Уравнения (8) переходят для
таких треугольников в следующие:

Ъ 8Ш А = а 8Ш В,
а2 = Ъ2 + с2 — 2Ьс С08 Л,
а 8ш(Л + С) = Ъ 8Ш Л,
С08 Л + С08(Т? + С) = 0.

Из этих уравнений первые два приняты в обыкновенной геометрии;
последние же с помощью двух первых приводят к заключению, что

Л + В + С — 71.

Таким образом, воображаемая геометрия переходит в обыкновен-
ную, если предположим, что стороны прямолинейного треугольника
очень малы.

Об измерении кривых линий, площадей плоских фигур, поверх-
ностей и объемов тел, равно как и о применении воображаемой гео-
метрии к анализу, я опубликовал некоторые исследования в «Ученых
записках Казанского университета».

Уравнения (8) уже сами по себе представляют достаточную ос-
нову для того, чтобы рассматривать предположения воображаемой
геометрии как возможные. Сообразно этому мы не располагаем
никаким другим средством, кроме астрономических наблюдений,
чтобы судить о точности, которую дают вычисления обыкновенной
геометрии. Как я показал в одной из моих работ, эта точность про-
стирается далеко, так что, например, в треугольниках, стороны ко-
торых доступны нашим измерениям, сумма углов не отличается от
двух прямых даже на сотую долю секунды.

Замечательно также, что уравнения (8) в плоской геометрии
переходит в уравнения сферических треугольников, если вместо

сторон а. В с подставим

Яд/—1,	1, Су]—1,

при таком изменении,
однако, нужно будет также положить

8тП(а) =-----,

С08 а

С08П(а) =	Я,

П(а) =-----1 -—

япа V— 1

подобные же изменения нужно сделать и для сторон Ъ, с; этим путем
мы придем от уравнений (8) к следующим:

А 8Ш Ъ = 8Ш В 8Ш а,

СО8 а — СО8 Ъ СО8 С + 8Ш Ъ 8Ш С СО8 А,
с1§ А 8тС + соз С соз Ъ = 8шй а,
СО8 А — СО8 а 8Ш В 8Ш С — СО8 В СО8 С.
Эварист Галуа

(1811-1832)

Жизнь и труды

Когда вы молоды, мир не знает границ. Возможно все. Вам по
плечу поиск решений ко всем мировым проблемам, какими бы слож-
ными они ни были, и насколько радикальными ни были бы эти ре-
шения. По иронии судьбы, именно Эварист Галуа, чья жизнь была
самой краткой из всех, представленных в этой книге, оставил свой
след в математике, доказав, что для полиномиальных уравнений сте-
пени не ниже пятой не существует общего решения в виде радикалов.

25 октября 1811 г. Николя-Габриэль Галуа и его жена Аделаи-
да-Мари, урожденная Демант, стали родителями сына Эвариста, воз-
можно, самого не по годам развитого математика всех времен. У нас
нет никаких сведений о математических талантах родственников
Эвариста. Тем не менее он происходил из хорошей интеллектуаль-
ной семьи. По материнской линии его дядя и дед были правоведами
на юридическом факультете в Париже. Его отец и дед по отцовской
линии были директорами школы.

Галуа вырос в городе Бур-ла-Рен, примерно в восьми киломе-
трах от Парижа, где его отец служил мэром, когда Наполеон вер-
нулся к власти в течение 100 дней в 1815 г. Аделаида-Мари была
единственной учительницей сына, пока ему не исполнилось 12 лет.
Мать дала ему хорошую базу греческого языка и латыни и приви-
ла свойственный им с мужем религиозный скептицизм. В 1823 г.,
12-летнего Галуа родители записали в четвертый класс престижного
Королевского коллежа Луи-Ле-Гран в Париже. Эта знаменитая под-
готовительная школа, которая существует до сих пор, уже включала
в число своих выпускников Робеспьера и Виктора Гюго. Вполне ве-
роятно, родители Галуа полагали, что Луи-Ле-Гран окажется той ли-
беральной средой, в которой будет воспитываться их сын, в стране,
которая становилась все более роялистской и более консервативной.
Их предположения не оправдались.

В течение первых нескольких месяцев пребывания Галуа в Луи-
Ле-Гран большое число студентов восстало против плана руковод-
ства вернуть в коллеж консервативный иезуитский факультет. Не-
которые студенты отказывались отвечать в классе, другие - петь на
обязательной церковной службе. Многие отказались поднять тост за
умирающего короля Людовика XVIII. Хотя такое поведение и было
характерно для позднего подросткового возраста Галуа, доподлинно
неизвестно, был ли он среди мятежников. Как бы то ни было, Галуа
не был одним из 40 студентов92, которых директор отчислил за не-
повиновение.

Возможно, Галуа вообще не участвовал в протестах. За первые
два года работы в Университете Луи-Ле-Гран у него был безупреч-
ный послужной список, он получил первую премию и несколько
почетных упоминаний за свою научную работу. Но потом Галуа на-
скучила учеба, он плохо учился на третьем курсе и был вынужден
остаться на второй год. К счастью, в этот период он стал слушателем
курса математики, и это его преобразило. Этот курс познакомил его
с учебником Лежандра по геометрии («Начало геометрии»), который
Галуа проглотил так, как будто читал захватывающий роман.

Галуа не просто наслаждался новым курсом, он погрузился в ма-
тематику, даже в ущерб всей другой работе. Вскоре он стал получать
плохие оценки по всем предметам, кроме математики. Его препода-
ватель риторики характеризовал Галуа как «рассеянного». Только
его преподаватель математики Вернье признавал пылающий гений
Галуа. Он писал о юноше следующее:

«Математика - это страсть, которая им управляет. Я думаю,
что для иего было бы лучше, если бы родители позволили ему ии-
чему другому ие учиться. Ои иапрасио тратит здесь свое время

92 По другой версии, более ста.
и ничего не делает, кроме того, что изводит своих учителей
и мучает себя наказаниями».

Вернье также писал, что его ученику следует добиться большей
методичности в работе, но этого не хотел сам Галуа. Не послушав-
шись совета Вернье, он сдал вступительные экзамены в престижную
Политехническую школу на год раньше срока, даже не пройдя обыч-
ного подготовительного курса. Неудивительно, что Галуа не посту-
пил: ему не хватало мастерства в нескольких основных областях
математики. Ему это казалось огромной несправедливостью, даже
когда Вернье попытался объяснить, что в этом не было ничего уди-
вительного.

Тем не менее Вернье призвал Галуа записаться на специальный
математический курс, который читал знаменитый преподаватель
Луи Поль Эмиль Ришар. Вскоре Ришар признал гениальность Га-
луа и попытался добиться, чтобы его звезду приняли в Политехни-
ческую школу без вступительных экзаменов. Неудивительно, что
школа отказалась рассматривать такое предложение. В ответ Галуа
все больше и больше отходил от работы по курсу Ришара и начал
работать над короткой статьей о непрерывных дробях, которую опу-
бликовал в «Математических анналах» (Аппсйез с!е тШкётаИдиез)
в марте 1829 г. в возрасте 17 лет!

Галуа провел весну 1829 г., работая над своей первой работой по
разрешению алгебраических уравнений в Академии наук и готовясь
к пересдаче вступительных экзаменов в Политехническую школу
в июле. И снова все пошло не так гладко. Примерно в июне того же
года священник подделал имя отца Галуа на нескольких непристой-
ных записках, которые сильно оскорбили многих членов большой
семьи Галуа. Опозоренный последовавшим скандалом, отец покон-
чил с собой 2 июля 1829 г. Неудивительно, что Галуа с треском про-
валил вступительные экзамены в Политехническую школу. Теперь
он должен был довольствоваться Высшей нормальной школой, заве-
дением для подготовки учителей средней школы!

Со статьей дела обстояли немногим лучше. Академия наук на-
значила знаменитом математику Коши написать на нее отзыв. Од-
нако он, как всегда поглощенный собственными исследованиями,
не торопился с рецензированием. В январе 1830 г. Коши написал
своему коллеге, что слишком болен, чтобы представить в Академии
наук свой доклад о работе Галуа, а также свою собственную рабо-
ту. Месяц спустя Коши представил свою собственную статью, но не
доклад о работе Галуа. Вместо этого, судя по всему, Коши призвал
Галуа пересмотреть свою работу и повторно представить ее на со-
искание высшей премии Академии наук по математике Фурье, бес-
сменному секретарю Академии наук по математике и физике. Увы,
Фурье умер в апреле 1830 г., и нет никаких записей о том, что он
распространял статью Галуа среди других членов Комитета по при-
суждению премий.

Галуа и Франция пережили знаменательный 1830 г. Король
Карл X, взошедший на престол в 1824 г., был во многих отношениях
еще более самодержавным, чем французские короли XVIII в., предше-
ствовавшие революции 1789 г. 26 июля 1830 г. Карл и его министры
издали указы, приостанавливающие свободу печати и значительно
ограничивающие полномочия законодательной власти. К концу этого
дня парижане подняли восстание. Три дня спустя они свергли Карла
и заменили его кузеном Луи-Филиппом, герцогом Орлеанским.

Когда в июне и июле в Париже разгорелись революционные ан-
тимонархические настроения, директор Высшей нормальной школы
запер своих учеников, чтобы они не выходили на улицы. Галуа так
рассердился, что попытался бежать из школы, перелезши через сте-
ны. Когда же он потерпел неудачу, ему ничего не оставалось, кроме
как сдавать экзамены по математике и физике. 22 июля Галуа занял
четвертое место из девяти студентов, сдавших экзамен по математи-
ке. Через две с половиной недели, 9 августа, он занял третье место из
восьми студентов, сдавших экзамен по физике. Можно только пред-
положить, что Галуа был несколько отвлечен событиями, происхо-
дившими за стенами школы.

С окончанием экзаменов и завершением Июльской революции
директор больше не имел права держать учеников взаперти. Галуа
быстро воспользовался новыми порядками и вступил в «Общество
друзей народа», экстремистскую республиканскую тайную органи-
зацию, которая стремилась к полному упразднению монархии. По-
литическая деятельность этого общества вскоре привела Галуа к се-
рьезным неприятностям в Высшей нормальной школе, настолько
серьезным, что он ушел из нее в начале декабря, прежде чем приказ
директора о его исключении вступил в силу.

Покинув школу, Галуа немедленно вступил в артиллерию Наци-
ональной гвардии, подразделения милиции, состоящего в основном
из ярых республиканцев-антимонархистов. Парижский суд 21 де-
кабря должен был вынести приговор четырем бывшим министрам
Карла X, осужденным за государственную измену. Радикальные ре-
спубликанцы считали, что министры заслуживают исключительно
смертный приговор. Артиллерия Национальной гвардии, а вместе
с ней и Галуа, расположилась перед Лувром, планируя начать вос-
стание в случае, если суд не вынесет смертный приговор. Опасаясь
беспорядков, которые могли последовать, министры нового короля
двинули дополнительные регулярные войска к Лувру. Обе стороны
замерли в боевой готовности, когда отдаленный пушечный выстрел
возвестил о вынесении приговора о пожизненном заключении. Бое-
вые действия не вспыхнули, хотя напряженность была очень высока.
Когда маркиз де Лафайет, герой американской и французской рево-
люций, призвал к миру, толпа, казалось, успокоилась. Тем не менее
опасаясь угрозы престолу, королевским указом артиллерия Нацио-
нальной гвардии была упразднена 31 декабря.

Бросив школу, Галуа решил вести собственный еженедельный
курс математики. В объявлении, опубликованном в «Школьном вест-
нике», говорилось, что курс будет охватывать новые математические
темы, некоторые из которых настолько новы, что никогда ранее не
были представлены на публичных лекциях. На первый урок, прове-
денный 13 января 1831 г. в книжном магазине близ Сорбонны, при-
шли примерно 40 студентов. Возможно некоторые из них желали,
чтобы пламенный радикал не стоял за кафедрой, а повел их за собой.
В любом случае, класс встречался всего несколько раз. Галуа вновь
захватила политика.

Во время беспорядков в декабре 1830 г. 19 офицеров артиллерии
Национальной гвардии были арестованы по обвинению в том, что
они сговорились отдать свои пушки толпе. Их заключение и суд по-
глотили все внимание Галуа. После их оправдания в апреле 1831 г. он
был одним из организаторов праздничного банкета, который должен
был состояться 9 мая в ресторане «Урожай бургундского» (Уепс1ап^е8
с1е$ Воиг§о§пе). Александр Дюма, автор книг «Граф Монте-Кристо»
и «Три мушкетера», писал в своем дневнике: «Трудно было бы найти
во всем Париже 200 человек, более враждебных правительству, чем
те, которые собрались в пять часов пополудни в длинном зале на
первом этаже над садом».

Во время банкета Галуа достал перочинный нож, поднял бокал
с вином и произнес тост, в котором упоминалось имя нового короля,
Луи-Филиппа. Некоторым присутствующим на пиру показалось, что
они слышали, как Галуа произнес какие-то слова, в которых была
угроза королю. Другие думали, что кто-то другой сделал это заме-
чание, когда Галуа произносил свой тост. Власти решили поверить
в худшее и арестовали Галуа на следующий день, когда он навещал
свою мать. В ожидании суда Галуа был заключен в тюрьму Сен-Пе-
лажи в Париже.
Судебный процесс начался 15 июня. Адвокат юноши Дюпон со-
общил присяжным, что Галуа сказал: «Луи-Филиппу, если он пре-
даст», когда размахивал ножиком, и что многие в толпе не слышали,
как он сказал «если он предаст» из-за шума. Галуа сам стал себе худ-
шим свидетелем, когда его допрашивал прокурор. Когда прокурор
спросил его, действительно ли он собирается убить короля, Галуа
ответил: «Да, если он предаст». И дальше предсказал, что король
действительно предаст народ, если уже этого не сделал. К счастью
для юноши, судья поручил решить присяжным, что именно Галуа
сказал и имел в виду на том суматошном банкете, а не то, что он ска-
зал под присягой в более спокойном зале суда. Присяжных, возмож-
но, тронул юный возраст Галуа. После нескольких минут совещаний
его оправдали.

Галуа не мог удержаться от неприятностей. Много лет спустя
празднование Дня взятия Бастилии считалось бы обычным актом
французского патриотизма. Но в 1831 г. праздновать его, надев фор-
му запрещенной артиллерии Национальной гвардии, как это сделали
Галуа и его друг-республиканец Дюшатель, было актом крайне кра-
мольным. Товарищи были заключены в тюрьму Сен-Пелажи за свое
поведение.

Был конец июля, а значит приближалась годовщина Июльской
революции 1830 г. Начальник Сен-Пелажи поручил провести мессу,
чтобы почтить память павших героев. Неудивительно, что атмосфе-
ра на ней царила очень напряженная. Когда заключенных запирали
в камерах, раздавались крики: «Помогите, убивают!» На чердаке
тюремного сторожа, жившего через дорогу, раздался выстрел. Один
из пленных упал раненый. Разъяренный Галуа обвинил начальника
тюрьмы в том, что тот организовал стрельбу. Начальник в ответ бро-
сил Галуа в темницу.

Галуа томился там более трех месяцев, пока его официально не
арестовали и не предъявили обвинение, а затем приговорили к до-
полнительным шести месяцам тюремного заключения. Находясь
в тюрьме, он узнал, что Академия наук отвергла его последнюю ру-
копись. Секретарь Академии наук Франсуа Араго писал, что матема-
тик Пуассон сообщил следующее:

«Во всяком случае, мы сделали все от час зависящее, чтобы по-
нять доказательство Галуа. Его аргументация не обладает ни
достаточно ясностью, ни необходимой полнотой, чтобы мы
могли судить о ее строгости. Следовательно, мы не в состоянии
дать представление об этой рукописи.
Автор утверждает, что рукопись содержит положения,
которые являются частью общей теории, имеющей богатые
приложения. Довольно часто различные части теории прояс-
няют друг друга и могут быть поняты легче, будучи взятые
вместе, нежели взятые по отдельности. Мы предпочли бы до-
ждаться, пока автор опубликует более полный отчет о своей
работе, прежде чем формировать более определенное мнение».

Это сообщение сломало Галуа. Он решил издавать свои труды
сам, с помощью своего друга Огюста Шевалье. Два из них представ-
лены в этой книге. Вот краткое описание математики, которую они
охватывают.

Алгебраическое (полиномиальное, многочленное) уравнение имеет
следующий вид.

а^х -|- арс -|- Я- ... -Ь ап_рс -|- ап = О

Величина п называется степенью многочлена. Простейшее алге-
браическое уравнение:

ах + Ъ = 0,

которое называется алгебраическим уравнением первой степени.
Это уравнение имеет единственное решение

Ъ
х =----.

а

Во времена Средних веков в Европе, индийские и арабские мате-
матики начали изучение квадратного уравнения'.

ах2 + Ъх + с = 0 ,

которое называется алгебраическим уравнением второй степени.
Примерно в 900 г. индийский математик Шридхара (870-930) обоб-
щил решения Диофанта, описанные в «Арифметике», найдя, что ве-
личина

—Ъ + у1ь2 — 4ас

2а
есть решение квадратного уравнения93. Его алгебраические методы
почти идентичны методам доказательства в современных учебниках
алгебры. Для Шридхары величина (б2 — должна была быть не-
отрицательной, чтобы квадратное уравнение имело решение. Мни-
мые и комплексные числа были введены в математику через тысяче-
летие со времен Шридхары94, и теперь мы признаем, что квадратное
уравнение всегда имеет два решения

—Ъ + у/ь2 — 4ас —Ъ — у/ь2 — 4ас

2а ’	2а

вне зависимости от величины (ъ2 — Аас^ Когда (ъ2 — Аас^ = 0 два
решения вырождаются в одно95.

В расцвет эпохи Возрождения в XVI в. европейские математи-
ки начали атаковать проблему нахождения решений алгебраических
уравнений более высоких степеней.

В 1545 г. итальянский математик Джироламо Кардано (1501-1576)
опубликовал общее решение кубического уравнения

х3 + ах2 + Ъх + с = 0

(т.е. алгебраическое уравнение третьей степени) в своем трактате
«Великое искусство» {Агз Мауна). Общее решение такого уравнения
есть

93 До Шридхары в Индии задачи на квадратные уравнения приводились в «Ведах»
и «Шулва-сутре», а также рассматривались математиками Ариабхатой, Брахмагуптой,
Магавирой, Нарайаной. В Китае метод решения квадратных уравнений описан в IX книге
«Математики в девяти книгах». В арабском трактате ал-Хорезми «Краткая книга об исчис-
лении ал-джабра и ал-мукабалы», опиравшемся на вавилонские и греческие труды, также
рассматриваются квадратные уравнения, преимущественно с геометрической точки зре-
ния; в последующей работе египетского математика X века Абу Камила ал-Мисри «Книга
об ал-джабр и ал-мукабале» содержится решения квадратных уравнений уже без геоме-
трических приложений, а также решения алгебраических уравнений третьего и четверто-
го порядков. Хотя Шридхара не представляет свой результат в этом формате (Шридхара
формулировал результат в словесном формате).

94 Тот факт, что квадратное уравнение имеет два решения, было известно еще ин-
дийским математикам (Магавира, IX в.) и не требовало понятия комплексности.

95 Один корень кратности 2.
где

, а2	2а3 + 9аЬ

Р = 1’-Т. Ч = <+	27

Трактат «Великое искусство» содержит и общее решение для ал-
гебраического уравнения четвертой степени

Ах + Вх + Сх + Е)х Е — 0,

которое было открыто студентом Кардано, Людовиком Феррари
(1522-1565). Общее решение Феррари имеет вид

Эта формула достаточно сложна. Я избавлю вас от нескольких
страниц, которые понадобятся, чтобы выразить И7, а, Р, и у.

Учитывая тот факт, что Кардано и Феррари были учителем и уче-
ником, неудивительно, что их доказательства начинаются одинаково,
с замены выражением

где

па

п-степень многочлена (т.е. 3 или 4)

96 и - это два параметра, которые не зависят друг от друга и каждый из
которых равен либо «-», либо «+». Таким образом, всего получается четыре разных ком-

бинации, т. е четыре решения уравнения. Далее,

где

ЗВ2 С

8.12 + А’

В3 ВС

Р _ 8Л3	2.12 + А ’

352 С _

----у Н—7 +	, ОС —

8Л2 А

ЗВ4 СВ2

256Л4	16Л3

с? ау_Р1 Р = _^_
108	3	8 ’	12	’

ВО В

4Л2 + А

-Прим, перев.
а-коэффициент члена при степени п

Ь - коэффициент члена при степени п-\

(Этот метод также может быть применен для получения общего
решения квадратного уравнения.)

В течение следующих 250 лет математики пытались исполь-
зовать этот и другие методы для нахождения решения для многоч-
ленов пятой и более высокой степеней с помощью радикалов, т.е.
с помощью выражения, включающего только конечное число членов
и операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения
в степень и корней (т.е. собственно радикалов).

В 1821 г. молодой норвежский математик Нильс Хенрик
Абель (1802-1829) полагал, что он нашел давно искомое решение
алгебраического уравнения пятой степени с помощью радикалов.
Хотя Абель вскоре обнаружил фатальный изъян в своем доказатель-
стве, его труд не был напрасным. К 1824 г. ему удалось доказать, что
не существует решения алгебраического уравнения пятой степени,
выраженного в радикалах.

И тогда Эварист Галуа взялся за проблему алгебраического урав-
нения пятой степени, будучи еще подростком. Поначалу Галуа, как
и Абель, полагал, что нашел решение. Как и Абель, он вскоре по-
нял, что совершил ошибку, возможно, прочитав его статью 1824 г.
Вместо того чтобы перейти к проблеме нахождения решения для
алгебраических уравнений шестой степени, Галуа отошел от непо-
средственной проблемы нахождения решения для уравнений пятой
степени или любого конкретного класса алгебраических уравнений
и задал гораздо более глубокий вопрос:

«Предположим, что класс алгебраических уравиеиий имеет об-
щее решение в радикалах, тогда какими свойствами должно об-
ладать это общее решение?»

Мы видим математическое предположение того, что решение
существует, и это сделано для того, чтобы найти это решение или
доказать, что такое решение не может существовать.

Галуа заметил, что корни многочлена сами по себе удовлетворя-
ют множеству уравнений. Рассмотрим ^23 + >/з) и ^23 — л/з) - два
корня квадратного уравнения

х2 — 46х + 526 = 0.
Эти корни удовлетворяют, например, следующим уравнениям:

А + В = 46, А • В = 526, Т + В2 = 1064.

Далее Галуа заметил, что любые алгебраические уравнения,
удовлетворяемые корнями рассматриваемого многочлена, будут
удовлетворять алгебраическим уравнениям независимо от порядка,
в котором эти корни подставляются. Так, в уравнениях, показанных
выше, не имеет значения, является ли

А = (23 + л/з) или В = (23 - А)
ИЛИ

А = (23 — л/З) или В = (23 + д/З).

Ключевой элемент идеи Галуа-рассмотрение перегруппировок.
более правильно называемых перестановками, корней, обладающих
следующим свойством. Любое алгебраическое уравнение, которому
удовлетворяют эти корни, также выполняется и при перестановке
корней.

Конечно, такое рассуждение поднимало вопрос о том, когда пе-
рестановка корней будет иметь только что описанное свойство. Что-
бы ответить на этот вопрос, Галуа разработал раздел математики,
известный как теория групп. Сначала он сосредоточился на группах
перестановок. Рассмотрим упорядоченное множество из четырех
элементов <а. Ъ. с. <А>. Теперь перегруппируем его элементы, напри-
мер, <Ъ. с. а>. Действие, отображающее <а. Ъ. с. с!> на <Ъ. с. а>.
представляет собой одну из перестановок, которая принадлежит груп-
пе перестановок на упорядоченных множествах из четырех элемен-
тов. На современном языке эта конкретная перестановка записывает-
ся как (1, 4, 2) (3), так как она переносит 1-й элемент на 4-й элемент,
4-й элемент на 2-й, 2-й на 1-й и оставляет 3-й на месте. Перестановка,
которая возвращает эти четыре элемента в их первоначальный по-
рядок, является (2, 4, 1) (3). Она называется обратной к (1, 4, 2) (3).
Обратите внимание, что не имеет значения, какая из перестановок (1,
4, 2) (3) и (2, 4, 1) (3) выполняется первой, а какая второй.

Теперь рассмотрим перестановку (1, 2, 3, 4). Применим сначала
(1,4,2) (3), и затем (1,2,3,4) к упорядоченному множеству <а. Ъ. с. <А>.
Получится <а. Ъ. с>. Напротив, применение сначала (1, 2, 3, 4)
и потом (1, 4, 2) (3) к упорядоченному множеству <а. Ъ. с. <1> приво-
дит к <а. с. Ъ. <А>. т.е. к другому результату! В этом случае порядок
применения перестановок имеет значение.
Галуа включил свое исследование групп перестановок в более
широкий контекст теории групп. Группа С задается набором элемен-
тов {^} и групповой операцией, обычно обозначаемой символом °,
которая удовлетворяет следующим свойствам.

•	если § и к есть элементы группы С, то %°к также есть элемент О

•	если/ § и к есть элементы группы С, то (/'°^)% = ^(р°к)
(это свойство называется ассоциативность)

•	существует элемент е, принадлежащий группе С, такой, что
для всех элементов из группы О выполняется е°§ = § (е назы-
вается единичным элементом)

•	для каждого элемента принадлежащего группе С, существу-
ет такой элемент к, что §°к = е (к называется обратным к §
и обозначается ^-1).

Группа перестановок п элементов теперь обозначается как 8 .

Подгруппа ТУ из С - это подмножество элементов из С, элемен-
ты которого также удовлетворяют только что перечисленным свой-
ствам. Подгруппа ТУ группы С называется нормальной, если для каж-
дого элемента п из ТУ и § из С элемент

принадлежит ТУ.

Галуа показал, что общее алгебраическое уравнение степени мо-
жет быть решено в радикалах, тогда и только тогда, когда каждая
подгруппа ТУ группы перестановок 8 есть нормальная подгруппа.
Далее он показал, что каждая подгруппа 8 нормальна для всех п < 4,
но не для всех п > 5, что и послужило доказательством невозмож-
ности найти решения в радикалах для всех общих алгебраических
уравнений степени выше четвертой.

Галуа не дожил до публикации своих статей. Он тихо пребывал в
Сен-Пелажи до середины марта 1832 г., когда эпидемия холеры вы-
нудила власти закрыть тюрьму. Галуа был среди тех, кого перевели
в пансион Сьер Фолтриер, где он оставался до своего освобождения
29 апреля. Галуа был убит утром 30 мая на дуэли с человеком по име-
ни Пеше д’Эрбинвиль. О последнем месяце его жизни информация
очень скудна, если не считать писем, которые он написал накануне
дуэли. Одному своему другу-республиканцу он писал:

«Я умираю жертвой гнусной кокетки и двух преданных ей про-
стаков. В жалкой клевете я заканчиваю свою жизнь».
Другому он написал: «Меня спровоцировали два патриота... От-
каз для меня невозможен».

В течение многих лет историки строили догадки о причине ро-
ковой дуэли Галуа. В качестве вероятной причины выдвигались и
роялистский или правительственный заговор и женщина: агент-про-
вокатор или проститутка. В 1960-х гг. один историк исследовал
оригиналы писем, написанных Галуа, и заметил, что тот стер имя
Стефани Дюмотель с одного из них. Дальнейшее расследование по-
казало, что Стефани-Фелиция Потер Дюмотель была дочерью врача,
который лечил Галуа в Сьер-Фолтри. Так появились доказательства
того, что Галуа умер из-за любви. Пеше д’Эрбинвиль был одним из
19 республиканцев, которых оправдали по обвинению в заговоре
с целью раздачи пушек толпе.

В ночь перед смертью Галуа также написал последнее письмо
своему другу Шевалье, приведенное в этой книге, в котором он дал
обзор своих работ. Галуа попросил друга опубликовать его в «Энци-
клопедическом журнале» (Кегие епсус1орё(Идие\ что Шевалье и сде-
лал. В письме Галуа писал: «попросите Якоби или Гаусса высказать
свое мнение не об истине, а о важности теорем». Ни один из двух
математиков, похоже, не обратил на статью внимания.

Обратил же внимание только 10 лет спустя французский мате-
матик Жозеф Лиувилль. В 1843 г. Лиувилль объявил Академии наук,
что он нашел в работе Галуа решение «прекрасной задачи, столь же
правильное, сколь и глубокое. Представлено неприводимое уравне-
ние простой степени для определения его разрешимости в радика-
лах». В 1846 г. Лиувилль опубликовал полное собрание сочинений
Галуа в издаваемом им журнале «Журнал чистой и прикладной ма-
тематики».

Галуа умер в безвестности, и почти никто не читал и не понимал
его трудов. Теперь же он удостоен величайшей награды, которую
только может дать математика. В честь него назван раздел матема-
тики: теория Галуа!
МЕМУАР ОБ УСЛОВИЯХ

РАЗРЕШИМОСТИ УРАВНЕНИЙ

В РАДИКАЛАХ97

Мему ар, здесь приложенный98, есть извлечение из одной рабо-
ты, которую я имел честь представить в Академию год тому назад.
Эта работа не была понята, а предложения, которые она заключает,
были подвергнуты сомнению. Я должен был удовольствоваться да-
чей в синтетической форме общих принципов и одного единствен-
ного приложения моей теории. Я умоляю моих судей по крайней
мере прочитать со вниманием эти немногие страницы.

Здесь найдут общее условие, которому удовлетворяют все урав-
нения. разрешимые в радикалах, и которое, обратно, дает уверен-
ность в их разрешимости. Сделано приложение только к уравнени-
ям, степень которых есть простое число. Вот теорема, данная нашим
анализом:

Для того чтобы уравнение простой степени, не имеющее соиз-
меримых делителей, разрешалось в радикалах, необходимо и до-
статочно, чтобы все его корни были рациональными функциями
от каких-нибудь двух из них.

Этот и следующий мемуары были найдены в бумагах Галуа и опубликованы впер-
вые в 1846 г. Лиувиллем, который предпослал им следующее примечание:

«Включив в свой сборник письмо Галуа к Огюсту Шевалье, издатели Кечие епсус-
йэрёсйцие объявили, что они в скором времени опубликуют рукописи, оставленные Галуа.
Но это обещание не было сдержано. Огюст Шевалье, однако, приготовил работу. Он ее
передал нам, так что на нижеследующих листах найдут:

1. Целиком один мемуар об условиях разрешимости уравнений в радикалах с при-
ложением к уравнениям простой степени.

2. Один отрывок из второго мемуара, в котором Галуа изучает уравнения, которые
он называет примитивными.

Мы сохранили большую часть примечаний, которые Огюст Шевалье прибавил
к мемуарам, о которых мы только что говорили. Все эти примечания помечены инициала-
ми О.Ш. Необозначенные примечания принадлежат самому Галуа.

Мы дополняем эту публикацию несколькими другими отрывками, извлеченными
из бумаг Галуа, которые, не имея большого значения, могут быть, однако, с интересом
прочтены геометрами».

Извлечения, о которых говорит Лиувилль в последней фразе этого примечания, ни-
когда не были опубликованы.

98 Я нашел удобным поместить перед началом мемуара предисловие, которое стоит
прочитать, хотя оно и было зачеркнуто в рукописи (О. Ш.)
Другие приложения теории суть сами по себе скорее частные
теории. Они, с другой стороны, требуют применения теории чисел
и одного своеобразного алгоритма: мы их отложим до другого под-
ходящего случая. Относительно модулярных уравнений теории эл-
липтических функций мы докажем, что они не могут решаться в ра-
дикалах.

16 января 1831 г.	Э. Галуа

ПРИНЦИПЫ

Я начну с изложения нескольких определений и последователь-
ности лемм, которые все известны.

Определения. Уравнение называется приводимым, когда оно допу-
скает рациональные делители; неприводимым-к противном случае.

Здесь нужно объяснить, что должно понимать под словом рацио-
нальный, так как оно будет часто попадаться.

Когда у уравнения все коэфициенты численные и рациональные,
то это [т.е. наличие рационального делителя] означает просто, что
уравнение можно разложить на множители, которые имеют числен-
ные и рациональные коэфициенты.

Но, когда не все коэфициенты уравнения будут численными и ра-
циональными, тогда надо понимать под рациональным делителем
делитель, коэфициенты которого выражаются в рациональных функ-
циях от коэфициентов рассматриваемого уравнения.

Более того, можно условиться рассматривать как рационально-
сти все рациональные функции от некоторого числа определенных
количеств, предположенных а ргюп известными. Например, можно
выбрать некоторый корень из целого числа и рассматривать как ра-
циональности все рациональные функции от этого радикала.

Тогда, когда мы уславливаемся рассматривать как известные не-
которые количества, мы говорим, что мы их присоединяем к уравне-
нию, о решении которого идет речь. Мы говорим, что эти количества
присоединены к уравнению.

Положив это, мы будем называть рациональным всякое количе-
ство, которое будет выражаться рациональной функцией от коэфи-
циентов уравнения и некоторого числа произвольно выбранных при-
соединенных количеств.

Когда мы будем пользоваться вспомогательными уравнениями,
они будут рациональными, если их коэфициенты рациональны в на-
шем смысле.
Мы увидим, сверх того, что свойства и трудности уравнения
могут быть сделаны совершенно разными сообразно количествам,
которые к нему присоединены. Например присоединение некоторо-
го количества может сделать приводимым неприводимое уравнение.
Так, когда присоединяют к уравнению

х — 1

где п - простое число, корень одного из вспомогательных уравнений
Гаусса, то это уравнение разлагается на множители и становится,
следовательно, приводимым.

Подстановками называются переходы от одной перестановки
к другой.

Перестановка, от которой отправляются для обозначения подста-
новки, совершенно произвольна, когда дело касается функций, так
как нет никакого повода для того, чтобы в функции от многих букв
одна буква занимала преимущественное положение перед другой.

Так как, однако, едва ли может быть развита идея подстановки
без сформирования идеи перестановки, то мы часто будем употре-
блять в речи слово перестановка, и мы будем рассматривать подста-
новки только как переход от одной перестановки к другой.

Когда мы захотим группировать подстановки, мы их будем все
производить над одной и той же перестановкой.

Так как всегда рассматриваются вопросы, в которых первона-
чально расположение букв совершенно не влияет на группы, кото-
рые мы будем рассматривать, то мы должны будем иметь одни и те
же подстановки, какова бы ни была перестановка, от которой мы
будем отправляться. Итак, если в подобной группе имеются подста-
новки 8 и Г, то есть уверенность в наличии подстановки 8Т.

Таковы определения, которые мы сочли нужным напомнить.

Лемма I. Неприводимое уравнение не может иметь ни одного
общего корня с рациональным уравнением, не деля его.

Действительно, общий наибольший делитель неприводимого
уравнения и другого уравнения будет тоже рациональным; следова-
тельно, и т.д.

Лемма II. Пусть дано какое-нибудь уравнение, не имеющее
равных корней, и пусть корни его суть а, Ъ, с, ...; всегда можно
образовать такую функцию V от корней, что ни одно из значений
этой функции, которые получатся, если переставлять всеми
способами ее корни, не будет равно другому.

Например, можно взять
У= Аа + ВЬ + Сс + ..

где А, В, С- соответственно выбранные целые числа.

Лемма III. Функция V. выбранная, как указано в предыдущем
пункте, обладает тем свойством, что все корни рассматриваемого
уравнения рационально выражаются в функции от V.

Действительно, пусть

У= (р(а, Ъ, с, А, ...)
или

У-(р(а, Ь, с, А, ...) = 0.

Перемножим между собой все подобные уравнения, которые
получаются, если переставлять все буквы, оставляя только первую
фиксированной; получится следующее выражение:

[У-(р(а, Ь, с, А, ...)] [У- (р(а, с, Ь, А, ...)] [У- ср (а, Ь,А,с, ...)] ...,
симметричное относительно Ь, с, А,..., которое, следовательно, мож-
но написать в виде функции от а. Мы получим, таким образом, урав-
нение вида

Е(У,а) = Ъ.

И я утверждаю, что отсюда можно получить значение а. Для это-
го достаточно найти общее решение этого уравнения с заданным.
Это решение будет единственным общим, так как не может быть,
например,

т ь) = о,

Ибо тогда это уравнение имело бы общий множитель с подоб-
ным ему уравнением без того, чтобы одна из функций (р(а, ...) была
равна одной из функций (р (Л>, ...), но это противоречит предположе-
нию. Отсюда следует, что а выражается в виде рациональной функ-
ции от V, и то же самое для других корней".

Это предложение упоминается без доказательства Абелем в его
посмертной работе по эллиптическим функциям.

Лемма IV. Предположим, кто образовано уравнение относи-
тельно V и что взят один из его неприводимых множителей, так
что Vявляется корнем неприводимого уравнения. Пусть V, V', У", ...
суть корни этого неприводимого уравнения. Если а = /(V) есть один
из корней заданного уравнения, то /(У') тоже будет корнем этого
уравнения.

99 Замечательно, что из этого предложения можно заключить, что всякое уравнение
зависит от такого вспомогательного уравнения, что все корни этого нового уравнения яв-
ляются рациональными функциями друг друга; ибо таково вспомогательное уравнение
для И Впрочем, это замечание имеет лишь интерес курьеза. Действительно, уравнение,
обладающее этим последним свойством, вообще легче решить, чем какое-нибудь другое.
Действительно, перемножая между собой все множители вида
Г-ср (о, Ь, с, ..., б7), где над буквами будут произведены все возмож-
ные перестановки, будем иметь рациональное уравнение относи-
тельно У, которое окажется непременно делящимся на рассматрива-
емое уравнение; следовательно, У' должно получиться при перемене
букв в функции И Пусть К(К, а) = 0 - уравнение, которое получает-
ся, если переставлять все буквы, кроме первой. Будем иметь тогда
К(К', Ь) = 0, где Ь может быть и равно а. но во всяком случае является
корнем заданного уравнения; следовательно, так же, как из заданно-
го уравнения и из Р(У, а) = 0 вытекает а =/(У), из заданного уравне-
ния и из Т(У', Ь) = О вытекает Ъ =/(Уг).

Предложение I

Теорема. Пусть дано уравнение иа,Ь,с, ... суть т его корней.
Существует всегда группа перестановой букв а. Ъ, с, ..., обладаю-
щая следующими свойствами:

1.	Всякая функция от корней, инвариантная™ относительно
подстановок этой группы, рационально известна.

2.	Обратно, всякая рационально определяемая функция от кор-
ней инвариантна относительно этих подстановок.

(В случае алгебраического уравнения, эта группа есть не что
иное, как совокупность 1 • 2 • 3 ..., т возможных перестановок над
т буквами, так как в этом случае симметрические функции суть
единственные рационально определенные.)

хп -1

(В случае уравнения, -----р = 0, если предположить а = г,

Ь=г§,с—г , Где ^-некоторый первообразный корень, группа
перестановок будет просто такой:

аЪсс1 ...к

Ъсс!... ка
с с!... как

100	Мы называем здесь инвариантной не только такую функцию, форма которой
остается неизменной при подстановках корней между собой, но еще и такую, численное
значение которой не меняется при этих подстановках- Например, если Ех = 0 -уравнение,
то Ех - функция от корней, которая не меняется при какой бы то ни было перестановке.
Когда мы говорим, что функция рационально известна, мы хотим сказать, что ее числен-
ное значение выражается рациональной функцией от коэфициентов уравнения и присое-
диненных количеств.
каЪс... г,
в этом частном случае число перестановок равно степени уравнения,
и это же свойство будет иметь место для уравнений, все корни кото-
рых суть рациональные функции друг от друга).

Доказательство. Каково бы ни было данное уравнение, можно
найти такую рациональную функцию V от корней, что все корни бу-
дут рациональными функциями от V. Положив это, рассмотрим не-
приводимое уравнение, корнем которого является V (леммы III и IV).
Пусть V. V", ..., Сбудут корни этого уравнения.

Пусть (р К, (рх К, (р2К,..., (р	х Vбудут корни заданного уравнения.

Напишем п следующих перестановок корней:

(О	ФК	Ф1К	Ф2К	
(И	фК'	Ф1Г	Ф2г	фт-1г
(П	ФК"	Ф1Г'	Ф2К"	фт-1^'
(у(”~ !))	фК*"-1)			’ ч>т-Еп~"

я утверждаю, что эта группа перестановок обладает изложенными
свойствами.

Действительно:

1.	Всякая функция корней К, инвариантная относительно подста-
новок этой группы, может быть написана так: Е = \|/Е, и мы будем
иметь:

\рП=\рГ = \рГ' = ...

Значение К можно, следовательно, определить рационально.

2.	Обратно, если функция Е рационально определена, то, поло-
жив Е = \р Гмы должны будем иметь:

\рП=\рГ = \рГ' = ... =\рИ(/7“1),
так как уравнение относительно V не имеет соизмеримых делите-
лей, а Vудовлетворяет уравнению Е = хрЕ, где К-рациональное ко-
личество.

Стало быть, функция Е будет непременно инвариантной относи-
тельно подстановок написанной выше группы.

Таким образом эта группа обладает двойным свойством, о ко-
тором шла речь в предложенной теореме. Теорема, следовательно,
доказана.

Мы будем называть рассмотренную группу группой уравнения.
Схолия I. Очевидно, что в группе перестановок, о которой здесь
шла речь, предметом рассмотрения является не расположение букв,
а только подстановки, при помощи которых переходят от одной пе-
рестановки к другой.

Таким образом можно произвольно задать первую перестанов-
ку, лишь бы другие перестановки всегда выводились одними и теми
же подстановками букв. Новая группа, образованная таким образом,
очевидно, обладает теми же свойствами, что и первая, так как в пре-
дыдущей теореме речь идет только о подстановках, которые можно
производить в функциях.

Схолия II. Подстановки не зависят даже от числа корней.

Предложение II

Теорема1®1. Если к данному уравнению присоединить корень г
неприводимого вспомогательного уравнения, то 1) произойдет одно
из двух\ или группа уравнения не изменится, или она распадется на р
групп, соответственно принадлежащих заданному уравнению, ког-
да к нему присоединяют каждый из корней вспомогательного урав-
нения'. 2) эти группы обладают тем замечательным свойством,
что от одной группы переходят к другой, производя во всех пере-
становках первой одну и ту же подстановку букв.

1.	Если, после присоединения г. уравнение относительно V. ко-
торое рассматривалось выше, остается неприводимым, то ясно, что
группа уравнения не изменяется. Напротив, если уравнение стано-
вится приводимым, то оно разлагается на р множителей, все одной
и той же степени и вида

ж г) х/(Е,И хЖг^х

где г. г'. г". ... будут другие значения г. Таким образом группа задан-
ного уравнения разлагается на группы, каждая с одним и тем же чис-
лом перестановок, так как каждому значению V соответствует одна
перестановка. Эти группы будут соответственно группами заданно-

101 В формулировке этой теоремы после слов: корень г неприводимого вспомо-
гательного уравнения, Галуа сначала поместил слова: простой степени р, которые он
тоже вычеркнул. Также в доказательстве, вместо: где г, г', г ",... будут другие значения г,
первоначальная редакция гласила: где г, г', г",... -различные значения г.

Наконец, на полях рукописи находим следующее примечание автора:

«Нужно несколько дополнить доказательство. Я не имею времени». Эта строка на-
бросана с большой поспешностью на бумаге; это обстоятельство, подкрепляемое словами
«Я не имею времени», заставляет меня думать, что Галуа перечитывал для исправления
мемуар перед тем, как пойти на дуэль. (О. Ш.).
го уравнения, когда к нему по очереди присоединят г, г', г",...

2.	Мы видели выше, что все значения V являются рациональны-
ми функциями друг от друга. В силу этого предположим, что V яв-
ляется одним корнем/(7, г) = О, Е(У) пусть будет другим; ясно, что
если V' есть корень /(7, г') = 0, то точно так же К(7) будет другим
корнем; действительно, мы имеем:

/[К(К)> г] = функции, делящейся на/(V. г).

Следовательно (лемма I),

/|7?(7'), г] = функции, делящейся наф\У'. г').

Положив это, я утверждаю, что мы получим группу относитель-
но г', произведя, везде в группе относительно г одну и ту же подста-
новку букв.

Действительно, если, например, мы имеем

ф/(Ю = фу(Ю,

то будем иметь также (лемма I):

ф/(П = Ф»(П

Следовательно, для того чтобы перейти от перестановки [7ДР)]
к перестановке [ЛУ')], нужно сделать ту же подстановку, что и для
перехода от перестановки (К) к перестановке (К').

Теорема, следовательно, доказана.

Предложение III

Теорема. Если к уравнению присоединить все корни вспомога-
тельного уравнения. то группы, рассмотренные в теореме II, обла-
дают сверх того еще тем свойством, что подстановки будут одни
и те же в каждой группе.

Доказательство имеется102.

102 В рукописи эта теорема находится на полях взамен другой, которую Галуа так-
же озаглавил: Предложение III.

Вот первоначальный текст: Теорема. Если уравнение относительно г имеет вид
гР = А и если р-е корни из единицы находятся в числе ранее присоединенных количеств,
то р рассмотренных в теореме II групп обладают, сверх того, тем свойством, что под-
становки букв, при которых переходят от одной перестановки к другой в каждой группе,
одни и те же для всех групп. Действительно, в этом случае присоединение к уравнению
того или другого значения г приводит к тому же. Следовательно, его свойства должны
быть теми же самыми после присоединения того или другого значения. Таким образом
его группа должна быть одной и той же в подстановках (предложение I, схолия). Следо-
вательно, и т. д.

Все это тщательно зачеркнуто; новая формулировка имеет дату 1832 г. и показы-
вает, судя по манере, которой она написана, что автор крайне спешил, что подтверждает
утверждение, которое я сделал в предыдущей сноске. (О. Ш.)
Предложение IV

Теорема. Если к уравнению присоединить числовое значение не-
которой функции от его корней, то группа уравнения понижается
таким образом, что она не содержит других перестановок кроме
тех. для которых функция является инвариантной.

Действительно, в силу предложения I всякая известная функция
должна быть инвариантна относительно перестановок группы урав-
нения.

Предложение V

Проблема. В каких случаях уравнение разрешимо в простых ра-
дикалах?

Я замечу прежде всего, что для решения уравнения нужно по-
следовательно понижать его группу, пока она не приведется к одной
единственной перестановке. Действительно, когда какое-нибудь урав-
нение решено, то любая функция от его корней известна, даже когда
она не является инвариантной относительно ни одной перестановки.

Положив это, исследуем, каким условиям должна удовлетворять
группа уравнения для того, чтобы она могла быть таким образом по-
нижена присоединением радикальных количеств.

Проследим ход возможных операций при таком решении, рас-
сматривая как различные операции извлечения каждого корня про-
стой степени.

Присоединим к уравнению первый радикал, извлеченный при
решении. Могут представиться два случая: или присоединением
этого радикала группа перестановок уравнения будет уменьшена,
или это извлечение корня является простой подготовкой, группа же
остается той же самой.

Всегда после некоторого конечного числа извлечений корней
группа должна будет уменьшиться, без чего уравнение не будет раз-
решимо.

Если, дойдя до этого места, мы будем иметь несколько спосо-
бов уменьшения группы заданного уравнения простым извлечением
корня, то надо, как мы говорили, рассматривать только один радикал
возможно меньшей степени из всех таких простых радикалов, зна-
ние каждого из которых уменьшает группу уравнения.

Итак, пусть р - простое число, которое представляет эту мини-
мальную степень такого рода, что при извлечении некоторого корня
степени р мы уменьшаем группу уравнения.
Мы всегда можем предположить, по крайней мере поскольку
дело идет о группе уравнения, что между количествами, уже при-
соединенными к уравнению, находится /?-й корень из единицы, а;
в самом деле, так как это выражение получается извлечением корней
степени, меньшей р, то знание его ни в чем не меняет группы урав-
нения.

Следовательно, в силу теорем II и III, группа уравнения должна
будет разложиться нар групп, обладающих относительно друг друга
таким двойным свойством: 1) от одной группы переходят к другой
одной и той же единственной подстановкой, 2) все группы содержат
одни и те же подстановки.

Я утверждаю, что, и обратно, если группа уравнения может раз-
делиться на р групп, которые обладают этим двойным свойством,
то можно одним простым извлечением/>-го корня и присоединением
этого /7-го корня свести группу уравнения к одной из ее частичных
групп.

Действительно, возьмем некоторую функцию от корней, которая
будет инвариантной относительно всех подстановок одной из ча-
стичных групп и меняется при всех других подстановках. (Для этого
достаточно выбрать симметричную функцию от различных значе-
ний, которые принимает при всех перестановках одной из частич-
ных групп какая-нибудь функция, не являющаяся инвариантной ни
для одной подстановки.)

Пусть 0 - эта функция от корней.

Произведем над функцией 0 одну из подстановок полной груп-
пы, которая не является общей с частичной группой. Пусть - резуль-
тат. Произведем над функцией О х ту же подстановку, и пусть 02- ре-
зультат, и т.д.

Так как р - простое число, то эта последовательность может
остановиться только на члене 0^_ р следовательно, будем иметь:

ер=еЛ+1 = 01ит-д-

Но тогда ясно, что функция

(0 + а01 + а202 + ... +о^-10/?_1У?

будет инвариантной относительно всех перестановок полной груп-
пы и, следовательно, действительно будет известной.

Если извлечь р-й корень из этой функции и присоединить его
к уравнению, то тогда по предложению IV группа уравнения будет
содержать только подстановки частичной группы.

Таким образом для того чтобы группа некоторого уравнения мог-
ла быть понижена простым извлечением корня, указанное условие
является необходимым и достаточным.
Присоединим к уравнению рассмотренный радикал; мы можем
теперь для новой группы провести все те же рассуждения, что и для
предыдущей, и она разложится по указанному образцу, и т.д., до не-
которой группы, которая будет содержать не более одной единствен-
ной перестановки.

Схолия. Легко проследить этот ход в известном решении общего
уравнения четвертой степени. Действительно, это уравнение реша-
ется посредством уравнения третьей степени, которое само требует
извлечения квадратного корня. В естественной последовательности
идей именно с этого квадратного корня и надо начинать. При присо-
единении к уравнению четвертой степени этого квадратного корня
группа уравнения, которая содержит всего 24 подстановки, разлага-
ется на две, которые содержат по 12. Если обозначить через а. Ь, с. (1
корни, то вот одна из этих групп:

аЬсс!, асс!Ь, ас!Ьс,

Ъаск\ саЬс!, с!асЬ,
сс!аЬ, с!Ьас, Ьсас!,
с!сЬа, Мссц Ма.

Эта группа теперь сама разлагается на три группы, как указа-
но в теоремах II и III. Итак, после извлечения одного единственного
корня третьей степени остается просто группа

аЬсс!,
Ъаск\
сс!аЬ,
(1сЪа.

Эта группа вновь разлагается на две группы:

аЬсс!, сс!аЬ,
Ъаск\ (1сЪа.

Таким образом после простого извлечения квадратного корня
остается

аЬсс!,

Ъаск\
что решается, наконец, простым извлечением квадратного корня.

Мы получили таким образом и решение Декарта и решение Эй-
лера; хотя при решении вспомогательного уравнения третьей степе-
ни последнее дает три квадратных корня, известно, что достаточно
двух, так как третий выводится из них рационально.

Мы приложим теперь это условие к неприводимым уравнениям
простой степени.
ПРИЛОЖЕНИЕ К НЕПРИВОДИМЫМ
УРАВНЕНИЯМ ПРОСТОЙ СТЕПЕНИ

Предложение VI

Лемма, Неприводимое уравнение простой степени не может
стать приводимым при присоединении радикала, показатель кото-
рого будет другим, чем степень уравнения.

Действительно, если г, г', г". ... будут различные значения ра-
дикала и Рх = 0 - заданное уравнение, то надо было бы, чтобы Рх
разлагалось на множители

/(х,г) х/(х, г1) х

все одной и той же степени, чего не может быть, если только/(х9 т) не
будет первой степени относительно х.

Таким образом не приводимое уравнение простой степени не мо-
жет стать приводимым, если только его группа не сводится к одной
единственной перестановке.

Предложение VII

Проблема. Какова группа неприводимого уравнения простой
степени п, разрешимого в радикалах?

Согласно предыдущему предложению наименьшая возможная
группа, находящаяся перед той, которая имеет только одну един-
ственную перестановку, содержит п перестановок. Но группа пере-
становок простого числа п букв не может сводиться к п перестанов-
кам, если только одна из этих перестановок не выводится из другой
циклической подстановкой порядка п. [См. мему ар Коши в .?оита1
с!е ГЁсо1е Ро1у1ес11п1дие, XVII тетрадь.] Таким образом предпослед-
няя группа будет

*0’
Хр

Х2,

Хр	Х2,	Х3,	...,	хп_ъ.	х„_2,	Х„_р

Х2,	Х3,	Х4,	...,	хл_2.	х„_р	Х0,

Х3,	Х4,	Х5,	...,	Х„_р	Х0,	Хр

(С)

Х^р Х0, Хр Х2,	...,	Хп_^.	хл_3. хл_2

где х0, Хр х2, ..., хп _ х - корни.
Но группа, непосредственно предшествующая этой группе в по-
рядке разложений, должна состоять из некоторого числа групп, име-
ющих все те же подстановки, что и эта группа. Замечу, что эти под-
становки могут выражаться так (положим вообще хл = х0, хл + 1 = хр
...; ясно, что каждая подстановка группы (С) получается, если всюду
вместо хк поставить хк + , где с - некоторая постоянная).

Рассмотрим какую-нибудь из групп, подобных группе (С). По те-
ореме II она должна получиться, если произвести везде в этой груп-
пе одну и ту же подстановку: например, если всюду в группе (С)
вместо хк поставить где /-некоторая функция.

Так как подстановки этих групп должны быть те же самые, что
и подстановки группы (С), то мы должны иметь

/{к + с) =/(к) + С,
где С не зависит от к.

Следовательно,

/(к + 2с) =/(к) + 2С,

/(к + тс) =/(к) + тС.

Если с = 1Д = 0, то найдем, что

/(т) = ат + Ъ
или

/(к) = ак+ Ь.

где а и Ъ - постоянные.

Следовательно, группа, непосредственно предшествующая груп-
пе (С), должна содержать только подстановки

Хк’ Хак + Ь’
и не содержит, следовательно, других циклических подстановок,
кроме подстановок группы (С).

Проведя для этой группы те же рассуждения, что и для преды-
дущей, мы выведем, что первая в порядке разложения группа, т.е.
действительная группа уравнения, может содержать только подста-
новки вида

Хк’ Хак + Ъ.

Итак, если неприводимое уравнение простой степени решается
в радикалах, то группа этого уравнения будет содержать подста-
новки только вида

Хк’ Хак+Ъ’
где аиЪ-постоянные.

Обратно, если это условие имеет место, то я утверждаю, что
уравнение будет разрешимо в радикалах. Действительно, рассмо-
трим функции
/	п	и__1

(Хд + ОСХ] + ОС %2 “Ь • • • “Ь ОС	] = ^1’

(х0 +	+ а2л'2л + ... + а"	= Ха,

2	п-1

Хп “Ь ОСХ 2 “Ь ОС Хп 2	а Х( 1\2	= X 2 •

и а	2а	\п—\)а ]	а

где а есть я-й корень из единицы, я-первообразный корень числа п.

Ясно, что все функции, инвариантные относительно цикличе-
ских подстановок количеств Ха. Х^2. .... будут в этом случае не-
посредственно известны. Следовательно, можно найти Хр Ха. Х^2...
методом Гаусса для двучленных уравнений. Следовательно, и т.д.

Таким образом для того чтобы неприводимое уравнение простой
степени разрешалось в радикалах, необходимо и достаточно, чтобы
все функции, инвариантные относительно подстановок

Хк’ Хак + д'
были рационально известны.

Таким образом функция

(х{-х)(ха-х)(ха2 - ху.

должна, каково бы ни было X. быть известной.

Следовательно, необходимо и достаточно, чтобы уравнение, ко-
торое дает эта функция от корней, допускало, каково бы ни было X.
рациональное значение.

Если все коэфициенты заданного уравнения рациональны, то
вспомогательное уравнение, которое дает эта функция, тоже имеет
рациональные коэфициенты, и достаточно узнать, имеет ли это вспо-
могательное уравнение степени 1 • 2 • 3 •••(/?- 2) рациональный
корень или нет.

Это способ, который следует употреблять на практике. Но мы
представим теорему в другой форме.

Предложение VIII

Теорема. Для того чтобы неприводимое уравнение простой
степени разрешалось в радикалах, необходимо и достаточно, что-
бы при знании двух каких-нибудь его корней остальные все выводи-
лись из них рационально.
Во-первых, это необходимо, так как из того, что подстановка
Хк’ Хак+Ъ'

не оставляет никогда двух букв на своих местах, ясно, что при при-
соединении двух корней к уравнению его группа должна свестись
к одной единственной перестановке.

Во-вторых, это достаточно; в самом деле, в этом случае никакая
подстановка группы не оставит двух букв на своих местах. Следова-
тельно, группа содержит самое большее п(п -1) перестановок. Сле-
довательно, она содержит одну единственную циклическую подста-
новку (иначе она имела бы по крайней мере п2 перестановок). Итак,
все подстановки группы, хк, должны удовлетворять условию
>+с)=» + С.

Следовательно, и т.д.

Теорема таким образом доказана.

Пример к теореме VII

Пусть п = 5; группа будет следующей:

аЪсЛ	аеЛЪ
ЪсЛа	еЛЪа
сЛаЪ	ЛЪае
ЛаЪс	сЪаед
еаЪсд	ЪаеЛ
асеЬс!	аЛес
сеМа	Леса
еМас	Ъесад
ЪЛсе	есаЛ
ЛсеЪ	саЛе.
ПРИМИТИВНЫЕ УРАВНЕНИЯ,
КОТОРЫЕ РАЗРЕШАЮТСЯ
В РАДИКАЛАХ (фрагмент)

Исследуем вообще, в каком случае примитивное уравнение раз-
решимо в радикалах. Мы сможем установить одно общее основное
свойство степени такого уравнения. Это свойство таково: для того
чтобы примитивное уравнение было разрешимо в радикалах, необхо-
димо, чтобы его степень была видару, гдер-простое число. И отсю-
да непосредственно следует, что когда имеется разрешимое в радика-
лах неприводимое уравнение, степень которого допускает неравные
простые множители, то нельзя действовать иначе, как по методу раз-
ложения Гаусса; в противном случае уравнение будет неразрешимо.

Чтобы обосновать общее свойство, высказанное нами относи-
тельно примитивных уравнений, которые можно решить в радика-
лах, мы можем предположить что уравнение, которое мы хотим ре-
шить, примитивно, но перестает им быть при присоединении одного
простого радикала. Другими словами, мы можем предположить, что
группа уравнения разложится на п (п - простое число) неприводи-
мых сопряженных, но не примитивных групп. Ибо, хотя бы степень
уравнения была простой, подобная группа всегда встречается в по-
следовательности разложений.

Пусть И - степень уравнения; предположим, что после извлече-
ния корня простой степени п оно становится не примитивным и раз-
деляется на <2 примитивных уравнений степени Р посредством одно-
го единственного уравнения степени 0^.

Обозначим через С группу уравнения; эта группа должна разде-
литься на п сопряженных не примитивных групп, в которых буквы
расположатся в системы, составленные из Р соединенных букв ка-
ждая. Посмотрим, сколькими способами это может произойти.

Пусть Н- одна из сопряженных не примитивных групп. Легко
видеть, что в этой группе две каких-нибудь произвольно взятых бук-
вы составляют часть некоторой системы Р соединенных букв и явля-
ются частью одной действительной системы.

В самом деле, во-первых, если имеются две буквы, которые не
могут составлять части одной и той же системы Р соединенных букв,
то группа С, которая такова, что любая из ее подстановок преобразу-
ет одну в другую все подстановки группы Н, будет не примитивной,
что противоречит предположению.

Во-вторых, если две буквы являются частью нескольких разных
систем, то отсюда будет следовать, что группы, соответствующие
разным системам Р соединенных букв, будут не примитивными, что
тоже противно предположению.

Имея это в виду, пусть

(Л।	6?2,	• • •?	@р

/>0,	Ъх	Ь2,	...,

с0,	с1	с2,	...,	СР-1

букв: предположим, что каждая горизонтальная строка представ-
ляет систему соединенных букв. Пусть

а0’	6/() ?1	^о,2’	а0,Р-Р

Р соединенных букв, расположенные все в первой вертикальной ко-
лонне. (Ясно, что мы можем сделать, чтобы это было так, перестав-
ляя горизонтальные строки.)

Пусть также

^1,0’	^1, Р ^1,2’	^1,3’	^1,Р-7

Р соединенных букв, расположенные все во второ й вертикальной
колонне таким образом, что

^1,0’	^1,Р	^1,2’	^1,3’ •••’	а1,Р-1

принадлежат соответственно тем же самым горизонтальным стро-
кам, что и

ао,о?	ао, р	ао,2?	^о, 3’•••’	а0,Р-Р

пусть так же точно системами соединенных букв являются

а2,0’	а2, Р	^2,2’	а2,3’ •••’	а2, Р-Р

^3,0’	^3,Р	^3,2’	^3,3’-”’	^3,Р-Р

Мы получим таким образом всего Р2 букв. Если полное число
букв не исчерпано, возьмем третий индекс такого рода, что

®т, п, 0’	® т, п, 1 т, п, 2’ т, п, 3’’”’ т, п, Р-Р

будет вообще системой соединенных букв; и мы придем, таким обра-
зом, к тому выводу, что Ы= Р^9 где ц-некоторое число, равное числу
разных индексов, в которых будет нужда. Общий вид букв будет

ак{, к2, к3,

где кр к2, к3 ..., ^-индексы, которые могут принять каждое из Р
значений 0, 1, 2, 3,... Р- 1.

Мы убеждаемся также способом, который мы развили, что
в группе Я все подстановки будут вида
акъ к2, к3,	а<$(ку\у(^2),хОз), •••> а(*ц) ’

так как каждый индекс соответствует одной системе соединенных
букв.

Если Р не есть простое число, то к группе перестановок одной
какой-нибудь из систем соединенных букв применяем те же рассуж-
дения, что и к группе С, замещая каждый индекс некоторым числом
новых индексов, и мы находим Р = и т.д.; откуда, наконец, ТУ =р\
где р - простое число.

Примитивные уравнения степени р2

Остановимся на момент на изучении примитивных уравнений
степенир2, гдер- простое нечетное число (случайр = 2 рассмотрен).
Если уравнение степени р2 разрешимо в радикалах, то предположим,
прежде всего, его таким, что оно становится не примитивным при
одном извлечении радикала.

Итак, пусть С-примитивная группа р2 букв, которая разделяется
на п не примитивных сопряженных с Н групп.

Буквы в группе //необходимо должны расположиться так:

й0, 0’	а0, 1	й0, 2’	й0, 3’	а0,р- 1’
а1,0’	а1, 1	а\,2’	а\,3’	а1,р-1’
а2, 0’	а2, 1	а2, 2’	а2, 3’	а2,р-1’
ар-\,0’	ар-\, 1’	Яр-1,2’	Яр-1,3’	•’	ар~ 1,р-1

где каждый горизонтальный ряд и каждый вертикальный ряд явля-
ются системой соединенных букв.

Если переставить между собой горизонтальные ряды, то груп-
па, которую мы получим, будучи примитивной и простой степени,
должна содержать только подстановки вида

®ку, к2 ’ атку+п, к2

где индексы взяты по модулю р.

То же самое будет для рядов, которые смогут дать только подста-
новки вида	,	х

( ®ку, к2 ’ ®ку, дк2 + г ] •

Следовательно, окончательно все подстановки группы Н будут
вида	,	.

\ ак2, к3 ’ атуку + Пу, т2к2 + п2 у
Если некоторая группа С разделится на п групп сопряженных
с группой, которую мы только что написали, то все подстановки
группы О должны преобразовать одна в другую циклические под-
становки группы Я, которые все запишутся следующим образом:

, ^1+ОС1Я2+а2> ••• )’

Итак, предположим, что одна из подстановок группы О образу-
ется путем соответственного замещения

кх через ф^, к^
к2 через ф2(^р

Если в функции фр ф2 подставить вместо к2 значения кх + ар
к2 + а2, то мы должны будем прийти к результату вида

<Р1 + Рр ф2 + р2,
и отсюда легко непосредственно заключить, что все подстановки
группы О должны быть заключены в формуле

(^,^2’	/772^| + /72^2+а2 )’

Но мы знаем из и.103, что подстановки группы О могут состо-
ять только из р2 - 1 или р2 - р букв. Но р2 - р не подходит, так как
в этом случае группа О будет не примитивной. Если, следовательно,
в группе О рассматривать только подстановки, в которых буква 0,
например, сохраняет всегда свое место, то будем иметь только под-
становки порядка р2 - 1 между р2-р другими буквами.

Но вспомним здесь, что мы просто лишь для доказательства
предположили, что примитивная группа О разделяется на сопряжен-
ные не примитивные группы. Так как это условие не является вовсе
необходимым, то группы часто более сложно составлены.

Дело, следовательно, в том, чтобы распознавать, в каких случаях

2
эти группы могут допускать подстановки, в которых только р - р
букв варьируются, и это исследование задержит нас на некоторое
время.

Итак, пусть О - группа, содержащая некоторую подстановку по-
рядка рл - р; я, прежде всего, утверждаю, что все подстановки этой
группы будут линейными, т.е. вида (А).

Справедливость этого свойства известна для подстановок поряд-
ка р2 - 1; достаточно, следовательно, его доказать для подстановок
порядка р2 - р. Рассмотрим поэтому только такую группу, в которой

103 Этот мемуар составляет продолжение одной работы Галуа, которой я не обла-
даю, так что я не могу указать мемуар, цитируемый здесь и ниже. ( О. Ш.)
все т подстановок будут или порядка /?2, или порядка р2 - р (см. ци-
тированное место).

Тогда р букв, которые в некоторой подстановке порядка р2-р не
варьируются, должны быть соединенными буквами.

Предположим, что эти соединенные буквы суть

^0,0’ ао, 1’	^0,2’	•••’	^0,/2-Р

Мы можем вывести все подстановки, в которых эти р букв не
меняют места; мы можем из них вывести подстановки вида

( ®ку, к2 ’ ®к\, (рк2 ) ’

и подстановки порядка р2 - р, периодом которых будет р членов
(см. опять цитированное место).

Первые необходимо должны, для того чтобы группа обладала
желаемым свойством, сводиться к виду

( ®ку, к2 ’ ®к\, тк2 )

в силу того, что мы видели для уравнения степени р.

Что касается подстановок, периодом которых будет р членов, то
так как они сопряжены с предыдущими, то мы можем предположить
некоторую группу, содержащую их и не содержащую предыдущих
подстановок; следовательно, они должны преобразовывать цикличе-
ские подстановки (а) одну в другую; следовательно, они тоже будут
линейными. Мы пришли, таким образом, к заключению, что прими-
тивная группа перестановок р2 букв должна содержать подстановки
только вида (Л).

Возьмем теперь полную группу, которую получим, производя
над выражением

к2

все возможные линейные подстановки, и исследуем, каковы дели-
тели этой группы, могущие обладать требуемым для разрешимости
уравнений свойством.

Прежде всего каково полное число линейных подстановок?
Во-первых, ясно, что всякое преобразование вида

к2, т1к1 + пхк2 + ар т2кх + п2к2 + а2

не будет еще подстановкой, так как при подстановке необходимо,
чтобы каждой букве первой подстановки соответствовала одна един-
ственная буква второй, и обратно.

Если, следовательно, мы возьмем одну какую-нибудь букву из
второй перестановки и вернемся к соответствующей букве первой,
то мы должны будем найти некоторую букву с совершенно
определенными индексами. Нужно, следовательно, чтобы, каковы
бы ни были и /2, мы имели из двух уравнений

т1к1 + п^к2 +	= /р т2к1 + п2к2 + а2 = 12

конечные и определенные значения к} и к2. Таким образом условие
того, чтобы подобное преобразование действительно было подста-
новкой, состоит в том, что т1п2-т2п1 и не равно нулю, и не делится
на модуль р, что одно и то же.

Я утверждаю теперь, что, хотя эта группа линейных подстановок
и не принадлежит всегда, как мы увидим, уравнению, разрешимо-
му в радикалах, она обладает, однако, тем свойством, что если в ка-
кой-нибудь из ее подстановок имеется п фиксированных букв, то п
есть делитель числа букв. И, действительно, каково бы ни было чис-
ло букв, остающихся фиксированными, это обстоятельство можно
выразить линейными уравнениями, которые дадут все индексы од-
ной из фиксированных букв, посредством некоторого числа из них.
Придавая каждому из этих, остающихся произвольными, индексов р
значений, будем иметь рт систем значений, где т - некоторое число.
В случае, который нас занимает, т необходимо < 2 и будет, значит, 0
или 1. Следовательно, число подстановок будет не больше, чем

/22О2 — 7)О2 —/?).

Рассмотрим теперь только те подстановки, в которых буква 0
не варьируется; если в этом случае мы найдем полное число подста-
новок группы, содержащей все возможные линейные подстановки,
то будет достаточно умножить это число на р2.

Но, во-первых, если подставить р вместо индекса к2, то все под-
становки вида

к2 )

дадут всего р - 1 подстановок. Из них мы получим р2 - р. прибавляя
к члену к2 член т2к1 так, чтобы было

к2, т2к1 + к2\	[тг^

С другой стороны, легко найти такую линейную группу р2 - 1
перестановок, что в каждой из ее подстановок все буквы, за исклю-
чением а0 0, перемещаются. В самом деле, если мы заместим двой-
ной индекс к2 простым индексом кх+ гк2, где / -первообразный
корень сравнения	2

хр 1 —1 = 0 (шос!/>),

то ясно, что всякая подстановка вида
а(т^ +т2г)(кх +к2Щ

будет линейной подстановкой; но в этих подстановках ни одна из
букв не остается на своем месте, и число их равно р2- 1.

Мы имеем, таким образом, такую систему р2 - 1 перестановок,
что при каждой ее подстановке перемещаются все буквы, за исклю-
чением 0. Комбинируя эти подстановки с р2- р подстановками,
о которых говорилось выше, мы будем иметь

(р2 - 1)(р2 - р) подстановок.

Но мы видели а ргюгц то число подстановок, в которых 0
остается фиксированным, не может превосходить (р2 - 1)(р2 - р).
Следовательно, оно в точности равно (р2 - 1)(р2 - р), и вся линейная
группа содержит всего

р2(р2- ^)(р2~р) перестановок.

Остается исследовать делители этой группы, которые могут об-
ладать свойством быть разрешимыми в радикалах. Для этого мы
сделаем преобразование, которое имеет целью понизить, насколько
возможно, общие уравнения степени р2, группа которых линейна.
Прежде всего, так как циклические подстановки подобной группы
таковы, что все остальные подстановки группы преобразуют их одна
в другую, то можно понизить уравнение на одну степень, рассма-
тривая уравнение степени р2- 1, группа которого будет иметь лишь
подстановки вида

к2 ’ ^тукх + щк2, т2к\ + п2к2

гдер2- 1 буквами являются:

^0,1’	^0,2’	^0,3’	’•••’

\о	\1	^1,2’	\з’

^2,0’	^2,1’	^2,2’	^2,3’	’•••’

Я замечу теперь, что эта группа не примитивная, а именно, что
все буквы, у которых отношение индексов одно и то же, суть соеди-
ненные буквы. Если заменить одной единственной буквой каждую
систему соединенных букв, то будем иметь группу, все подстановки
которой будут вида

^к\ Ъ т^к]+п\к2 1

к2’ т2к{ + п2к2 ;

где ~ новый индекс. Замещая это отношение одним единствен-
^2
ным индексом к. мы увидим, что р + 1 буквами будут

/>0, Ъх, ь2, ь3, ър_г Ък.

о

и подстановки будут вида

тк + п}

к, ------ •

г к + 8 )

Исследуем, сколько букв в каждой из этих подстановок остаются
на своем месте; для этого нужно решить уравнение

(гк + 5) к-т (тк + п) = О,
которое будет иметь два или один, или ни одного корня, смотря по
тому, будет ли (т - 5)2+ 4пг квадратичным вычетом, нулем или ква-
дратичным невычетом. Сообразно этим трем случаям, подстановка
будет порядка р - 1, или р, или р + 1.

Можно взять за тип для двух первых случаев подстановки вида
(к. тк + п\

в которых только буква Ы не варьируется, и отсюда видно, что
о

полное число подстановок приведенной группы есть
(р+

После такого приведения группы мы изучим ее в общем виде.
Мы исследуем сначала, в каком случае некоторый делитель этой
группы, содержащий подстановки порядка р, может принадлежать
уравнению, разрешимому в радикалах.

В этом случае уравнение будет примитивным, и оно не может
быть разрешимо в радикалах, если только не будет иметь места
р + 1 = 2", где п - некоторое число.

Мы можем предположить, что группа содержит подстановки
лишь порядкар ир + 1. Все подстановки порядкар + 1 будут, следо-
вательно, подобными, и период будет из двух членов.

Итак, возьмем выражение

С тк + п}
к, ------

г к + 8 )

и посмотрим, в каком случае эта подстановка может иметь период из
двух членов. Для этого нужно, чтобы обратная подстановка совпада-
ла с ней. Обратная подстановка есть

(	— +/И

I	гк — т Г
Следовательно, мы должны иметь т = -5, и все исследуемые под-

становки будут или вида

тк + п
к — т

или вида

С К 1

\к. т + ----- ,

к — т)

где ТУ-некоторое число, одно и то же для всех подстановок, так как
эти подстановки должны преобразовываться одна в другую всеми
подстановками (к, к + т) порядка />; эти подстановки, сверх того,
должны быть сопряженными одна другой. Если, следовательно,

С х И, х 1

\к. т + ----- , к, п + ----

к — т) \ к — п)

две подобные подстановки, то необходимо, чтобы было

И	И

---------~т+—---------------

------+ т — п ----------+ п — т

к — т	к — п

или

(т - п)2 =

Следовательно, разность двух значений т может принимать
только два различных значения; следовательно, т не может иметь
более трех значений; следовательно, наконец,/? = 3. Таким образом
лишь в этом случае приведенная группа может содержать подста-
новки порядка р.

И действительно, приведенная группа будет тогда четвертой сте-
пени и, следовательно, разрешима в радикалах.

Мы знаем отсюда, что в общем случае среди подстановок нашей
приведенной группы не должны находиться подстановки порядка р.
Может ли она иметь подстановки порядка р - 1 ? Это то, что я хочу
исследовать104.

104

Я напрасно искал в бумагах Галуа продолжения настоящего отрывка. (О. Ш.)
ПИСЬМО ОГЮСТУ ШЕВАЛЬЕ 105

Мой дорогой друг,

Я сделал в анализе несколько новых открытий. Одни из них каса-
ются теории уравнений; другие - интегральных функций.

В теории уравнений я исследовал, в каких случаях уравнения ре-
шаются в радикалах, что мне дало повод углубить эту теорию и опи-
сать все преобразования над уравнением, допустимые даже когда
оно не решается в радикалах.

Из всего этого можно сделать три мемуара.

Первый написан и, вопреки тому, что о нем говорит Пуассон,
я его поддерживаю с поправками, которые я в нем сделал.

Второй содержит довольно любопытные приложения теории
уравнений. Вот резюме наиболее важных положений:

1.	Из предложений II и III первого мемуара видно большое раз-
личие между присоединением к уравнению одного из корней неко-
торого вспомогательного уравнения и присоединением всех корней.

В обоих случаях группа уравнения при присоединении разделя-
ется на такие группы, что от одной группы переходят к другой по-
средством одной и той же подстановки; но условие, что эти группы
содержат одни и те же подстановки, имеет наверное место только во
втором случае. Это называется собственным разложением.

Другими словами, когда группа С содержит другую группу Я, то
группа С может разлагаться на группы, каждая из которых получа-
ется применением к перестановкам Н одной и той же подстановки,
таким образом, что

6 =Я + Ж + Ж' + ...

Она может быть разложена также на группы, которые содержат
все одни и те же подстановки, таким образом, что

С =Н+ ТН + ГН + ...

Эти два рода разложения обычно не совпадают. Когда они совпа-
дают, то говорят, что разложение собственное.

Легко видеть, что когда группа уравнения не допускает никакого
собственного разложения, то, как бы ни преобразовывать это урав-
нение, группы преобразованных уравнений имеют всегда одно и то
же число перестановок.

105 Написанное накануне смерти автора. (Напечатано в 1832 г. в Кечие епсус1оръ-
(Идие. сентябрьский номер, стр. 568.) (Лиувилль.)
Наоборот, когда группа уравнения допускает какое-нибудь соб-
ственное разложение такого рода, что она разлагается на М групп
по перестановок, то можно решить данное уравнение с помощью
двух уравнений: одно будет иметь группу из М перестановок, дру-
гое - из ТУ перестановок.

Стало быть, когда в группе некоторого уравнения исчерпают-
ся все возможные собственные разложения, мы придем к группам,
которые можно преобразовать, но перестановки которых остаются
всегда в одном и том же числе.

Если каждая из этих групп содержит простое число перестано-
вок, то уравнение решается в радикалах; в противном случае - нет.

Наименьшее число перестановок, которое может иметь неразло-
жимая группа, когда это число составное, это 5-4-3.

2.	Наиболее простые разложения это те, которые имеют место
в методе Гаусса.

Так как эти разложения очевидны даже в случае конкретной
группы уравнения, то бесполезно долго останавливаться на этом
предмете.

Какие разложения применимы к уравнению, которое не упроща-
ется методом Гаусса?

Я назвал примитивными уравнения, которые не могут быть
упрощены методом Гаусса; это отнюдь не означает, что эти уравне-
ния действительно неразложимы, так как они могут даже решаться
в радикалах.

Как лемму к теории примитивных уравнений, разрешаемых в ра-
дикалах, я поместил в июне 1830 г. в ВиПеНп бе Еёгиззас анализ мни-
мостей теории чисел.

Здесь найдут приложенным106 доказательство следующих тео-
рем:

1.	Для того чтобы примитивное уравнение разрешалось в ради-
калах, оно должно быть степени р\ где р- простое число.

2.	Все перестановки подобного уравнения имеют форму

%к, I, т,... \%ак + Ы+ ст+ ...+ к, а'к+ ЪЧ + с'т + ... + к', а"к + .., ...,

где V индексов к. Цт.... указывают все корни, когда каждый из этих
индексов пробегает р значений. Индексы берутся по модулю р, т. е.
корень остается тем же самым, когда к одному из индексов прибав-
ляют кратность р.

106 Галуа говорит о рукописях, до сих пор неизданных, которые мы опубликуем.
(Лиувилль.)
Группа, которая получается, если производить все подстановки
этой линейной формы, содержит всего

р^ру- 1)(ру-р)... (ру-ру~х) перестановок.

Уравнения, которые удовлетворяют этому общему признаку,
должны решаться в радикалах.

Условие, которое я указал в ВиИеНп с!е Рёгимас для разрешимо-
сти уравнения в радикалах, слишком узко; исключений немного, но
они имеются.

Последнее приложение теории уравнений относится к модуляр-
ным уравнениям эллиптических функций.

Известно, что группа уравнения, имеющего корнями синусы ам-
плитуды (р2- 1)-го деления периода, такова:

Хак+Ы,ск+с1Г

Следовательно, соответствующее модулярное уравнение имеет
группой

хк 5 Хак+Ы>
I ск+сН

в которой -у может принимать р + 1 значений

оо, О, 1, 2,....р- 1.

Итак, условившись, что к может быть бесконечным, можно про-
сто написать

хк? Хак+Ъ •

ск+с!

Давая а. Ъ. с. с! все значения, получим

(р+ 1)р(р- 1) перестановок.

Но эта группа разлагается, собственным образом на две группы,
подстановки которых суть

хк? Хак+Ъ •>

ск+с!

где ас!-Ъс- квадратичный вычет р.

Упрощенная таким образом группа состоит из

{р + ^рРт2

перестановок.

Но легко видеть, что она не разложима больше собственным об-
разом, если только р Ф2 или р ± 3. Итак, каким бы образом мы ня
преобразовывали уравнение, его группа всегда имеет одно и то же
число перестановок.

Но любопытно знать, может ли быть понижена степень.

Прежде всего она не может быть понижена ниже р, так как урав-
нение степени, меньшей р, не может иметь р множителем числа пе-
рестановок своей группы.

Итак, посмотрим, может ли быть понижено до степени р уравне-
ние степени р + 1, корни которого хк указываются, если давать к все
значения, включая и бесконечность, и группа которого имеет под-
становками

Хак+Ь •>
ск+с!
где асИ-Ъс- некоторый квадрат.

Для этого нужно, чтобы группа разлагалась (разумеется, несоб-
ственно) на р групп по (р + 1)^- перестановок каждая.

Пусть 0 и оо - две буквы, соединенные в одной из этих групп.
Подстановки, которые не смещают 0 и оо, будут формы

Хк, X 2/ .

т к

Следовательно, если М соединено с 1, то буквой, соединенной
с /772' будет т2М. Следовательно, когда М- квадрат, то будем иметь
М2 = 1. Но это упрощение может иметь место только для р = 5.

Для р = 7 находим группу из {р + 1)^- перестановок, в которой

оо, 1,2,4
имеют соответственно соединенными буквами

О, 3, 6, 5.

Подстановки этой группы имеют форму

хк? Х к-Ъ ?
--------
к—с

где Ъ - буква, соединенная с с, и а - буква, являющаяся вычетом или
невычетом одновременно с с.

Для р = 11 в тех же обозначениях имеют место те же самые под-
становки, причем

<4 1,3,4, 5,9
имеют соответственно соединенными

О, 2, 6, 8, 10, 7.

Таким образом в случаер = 5,7, 11 модулярное уравнение пони-
жается до степени р.
Можно показать со всей строгостью, что это уравнение невоз-
можно в более высоких случаях.

Третий мемуар касается интегралов.

Известно, что сумма членов одной и той же эллиптической функ-
ции всегда сводится к только одному члену плюс алгебраические
и логарифмические количества.

Нет других функций, для которых имело бы место это свойство.

Но у всех интегралов от алгебраических функций это свойство
заменяется абсолютно подобным.

Рассмотрим сразу все интегралы, диференциал которых есть
функция от переменной и одной и той же иррациональной функции от
этой переменной, будет ли или не будет эта иррациональность неко-
торым радикалом, и выражается или не выражается она в радикалах.

Находим, что число различных периодов наиболее общего ин-
теграла относительно данной иррациональности есть всегда число
четное.

Пусть 2/7-это число; имеем следующую теорему:

Любая сумма членов сводится к п членам плюс алгебраические
и логарифмические количества.

Функции первого рода суть те, у которых алгебраическая и лога-
рифмическая части равны нулю.

Их имеется п различных.

Функции второго рода суть те, у которых дополнительная часть
чисто алгебраическая.

Их имеется п различных.

Можно предположить, что дифференциалы других функций об-
ращаются в бесконечность только один раз для х = а и, более того,
что их дополнительная часть сводится к одному единственному ло-
гарифму 1о§ Р, где Р - некоторое алгебраическое количество. Обо-
значая через П(х, а) эти функции, будем иметь теорему:

П(х, а) — л(а, х) = У^фос • фх,

где фа и фх - функции первого и второго рода.

Обозначая через П(а) и ф периоды П(х, а) и фх относительно од-
ного и того же обхода х, выводим

п(а) = Ел-фа-

Таким образом периоды функций третьего рода всегда выража-
ются в функциях первого и второго рода.
Можно также вывести теоремы, аналогичные теореме Лежандра:

РЕ' +ЕР' —ЕЕ' = у .

Приведение функций третьего рода к определенным интегралам,
что является самым прекрасным открытием Якоби, неосуществимо
кроме случая эллиптических функций.

Умножение интегральных функций на целое число, как и сложе-
ние, всегда возможно посредством одного уравнения степени п, кор-
ни которого суть значения, подставляемые в интеграл для получения
приведенных членов.

Уравнение, дающее деление периода на р равных частей, имеет
степень р2п -1. Его группа имеет всего (р2п -1) (р2п -р}... (р2г1 - р2п ~х)
перестановок.

Уравнение, дающее деление суммы и членов на р равных частей,
имеет степень р2п. Оно разрешимо в радикалах.

О преобразовании. -Прежде всего можно, следуя аргументации,
аналогичной приводимой Абелем в его последнем мемуаре, дока-
зать, что если в одном соотношении между двумя интегралами име-
ются две функции

Ф(х, §\|/(у, У)б7у,

причем последний интеграл имеет 2п периодов, то можно будет пред-
положить, что у и У выражаются посредством одного единственного
уравнения степени и в функции от х и X.

В силу этого можно предположить, что преобразование постоян-
но имеет место только между двумя интегралами, так как, очевидно,
имеем, беря какую-нибудь рациональную функцию от у и У, некото-
рые алгебраические и логарифмические количества.

В случае, когда интегралы в первом и втором членах не имеют
оба одного и того же числа периодов, имеются очевидные приведе-
ния этого уравнения.

Таким образом мы можем сравнивать только интегралы, имею-
щие оба одно и то же число периодов.

Можно доказать, что наименьшая степень иррациональности
у двух подобных интегралов не может быть для одного больше, чем
для другого.

Затем очевидно, что всегда можно преобразовать данный инте-
грал в другой, у которого один период первого интеграла разделен на
простое число р. а 2п - 1 других остаются теми же самыми.
Следовательно, остается сравнивать только такие интегралы,
у которых одни и те же периоды, и, следовательно, такие, что п чле-
нов одного выражаются посредством одного единственного урав-
нения степени п от членов другого интеграла, и обратно. Здесь мы
ничего не знаем.

Ты знаешь, мой дорогой Огюст, что это не были единственные
вопросы, которые я исследовал. Мои главные размышления уже не-
сколько времени были направлены к приложению к трансцендентно-
му анализу теории неопределенности {ГатЫ^иИё), Речь идет о том,
чтобы видеть а ргюгц какие замены можно произвести, какие коли-
чества можно подставить вместо данных количеств в соотношение
между трансцендентными количествами или функциями так, что-
бы соотношение не перестало иметь место. Но я не имею времени,
и мои идеи еще недостаточно хорошо развиты в этой необъятной
области.

Ты дашь напечатать это письмо в Кехие епсус1орё(Идие.

Я в своей жизни часто позволял себе высказывать предложения,
в которых не был уверен, но все, что я написал здесь, уже около года
в моей голове, и слишком в моих интересах не ошибиться, чтобы
меня могли заподозрить в том, что я объявляю теоремы, для которых
не имел бы полного доказательства.

Ты публично попросишь Якоби или Гаусса дать их заключение,
не о справедливости, но о важности этих теорем.

После этого будут, я надеюсь, люди, которые найдут свою выго-
ду в расшифровке всей этой путаницы.

Горячо обнимаю тебя.

Э. Галуа.

29 мая 1832 г.
Юлиус Вильгельм
Рихард Дедекинд

(1831-1916)

Жизнь и труды

Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд родился 6 октября 1831 г.
в немецком городе Брауншвейг, где также появился на свет Карл
Фридрих Гаусс. Дедекинд был младшим из четырех детей Юлиуса
Левина Ульриха Дедекинда и Каролины Марии Генриетты Дедекинд
(урожденной Империус). Он вырос в среде, где приветствовалось
интеллектуальное развитие, что, впрочем, и следовало ожидать от
академически образованной семьи. Его отец был профессором права
в коллегиуме Каролинум в Брауншвейге, а дед - выдающимся хими-
ком и врачом. Его дед по материнской линии тоже был профессором
в коллегиуме. Другой сын Дедекинда стал судьей, а его сестра Джу-
лия опубликовала несколько романов.

Дедекинд пошел по стопам брата и начал формальное образова-
ние в гимназии Мартино-Катаринеум в Брауншвейге. Поначалу хи-
мия и физика были его любимыми предметами, а математика - лишь
полезным инструментом в служении им. Однако к тому времени,
когда он поступил в местный коллегиум Каролинум в 1848 г., Де-
декинд отдавал предпочтение математике, отвернувшись от химии
и физики в силу, как ему казалось, их хаотичной логической структу-
ры. В течение двух лет, проведенных в коллегиуме, Дедекинд изучал
только математику и самые абстрактные физические науки. В крат-
кие сроки он освоил аналитическую геометрию, дифференциальное
и интегральное исчисление, основы анализа.

Когда Дедекинд поступил в соседний Геттингенский универси-
тет в 1850 г., он был, безусловно, самым подготовленным студентом
своего вступительного класса. Дедекинд быстро просмотрел мате-
матические предложения Геттингена. Он посещал лекции Гаусса
по теории наименьших квадратов. Пятьдесят лет спустя он будет
вспоминать эти лекции как самое прекрасное и логичное изложение
математики, с которым он когда-либо сталкивался. В Геттингене Де-
декинд посещал семинар по теории чисел, наиболее продвинутому
предложению математического факультета. На этом семинаре он
познакомился и подружился с Бернхардом Риманом, чуть старшим
его по возрасту. Весной 1852 г. Дедекинд под руководством Гаусса
написал докторскую диссертацию по теории эйлеровых интегралов.
Дедекинд стал последним из шести докторантов великого Гаусса.

Несмотря на получение докторской степени, Дедекинд считал
свое математическое образование неполным. Он провел два года, по-
сещая занятия, чтобы заполнить то, что он считал пробелами в своих
знаниях, прежде чем сдать экзамен, который позволил бы ему стать
университетским преподавателем. Конечно, Дедекинд выдержал эк-
замен с честью, что позволило ему занять скромную преподаватель-
скую должность приват-доцента в в Геттингене, где он читал студен-
там лекции по геометрии и теории вероятности.

Дедекинд очень тяжело перенес смерть Гаусса в 1855 г. Однако
за потерей вскоре последовало огромное удовлетворение от работы
с преемником Гаусса Питером Густавом Леженом Дирихле. Хотя
Дедекинд сам был членом факультета, он безо всяких угрызений
совести посещал курсы Дирихле по широкому кругу тем, включая
теорию чисел, теорию потенциала, определенные интегралы и урав-
нения в частных производных. Эти двое были так близки, что многие
члены Геттингенского математического сообщества шутили, что они
были неразлучными близнецами. Но если кто и был близнецом Де-
декинда, так это Риман. Они были действительно неразлучны, про-
водя долгие часы вместе, гуляя в лесу близ Геттингена и обсуждая
математические темы. Когда Дедекинду предложили более высокую
должность в Политехническом институте Цюриха, он мучился из-за
того, что придется покинуть Геттинген и Римана. В конце концов он
принял предложение в далеком Цюрихе.
Хотя физически Дедекинд находился в Швейцарии, духовно он
оставался в Германии. Когда в 1859 г. Риман был избран в Берлин-
скую академию, Дедекинд ухватился за возможность сопровождать
своего друга в поездке в Берлин. Это оказалось мудрым решением.
Находясь в Берлине, он познакомился с ведущими деятелями немец-
кого математического сообщества: Куммером, Брохардтом, Кроне-
кером и особенно Вейерштрассом. Эти контакты вскоре дали свои
плоды. В 1862 г. они устроили Дедекинду прием в Политехнический
институт Брауншвейга, преемника Каролинского коллегиума. Деде-
кинд вернулся в свою а1та та1ег, где преподавал его отец. Хотя в по-
следующие годы Дедекинду предстояло получить более престижные
должности, он чувствовал себя здесь как дома и никогда не занимал
другой должности.

Курс дифференциального исчисления, который Дедекинд пре-
подавал на первом курсе в Цюрихе, пробудил его интерес к основам
математики. По мере развития курса он понял, что не в состоянии
дать прочное теоретическое представление своим студентам о кон-
тинууме вещественных чисел, составляющих вещественную ли-
нию. Он принялся за работу, чтобы исправить эту ситуацию. 14 лет
спустя Дедекинд опубликовал классическую работу «Непрерыв-
ность и иррациональные числа» (1872), которая дала первое стро-
гое обоснование понятия континуума действительных чисел. Она
включена в эту книгу вместе с эссе Дедекинда «Природа и значение
чисел» (1887).

Природа вещественной линии терзала математику с тех пор, как
пифагорейцы обнаружили иррациональность числа л/2 в IV в. до
н.э. Исследуя развитие математики, Дедекинд признал последова-
тельное расширение одного класса чисел в класс более крупный.
Во-первых, класс натуральных чисел 1, 2, 3,... был распространен на
весь класс целых чисел: положительные, ноль и отрицательные. Ма-
тематические операции над отрицательными целыми числами могут
быть выражены в терминах натуральных чисел. Затем целые числа
были расширены до рациональных чисел, частью которых они яв-
лялись. До исследований Дедекинда его наставник Гаусс расширил
действительные числа до комплексных чисел, имеющих действи-
тельную и мнимую части.

Дедекинд использовал понятие сечения, чтобы обосновать це-
лые числа на вещественной лини, рациональные и иррациональные
числа, в рациональных числах. Он начал с того, что заметил, что ка-
ждое рациональное число а делит множество рациональных чисел
на два класса:
•	Лр множество рациональных чисел меньше а

•	Л2, множество рациональных чисел больше а

Более того, каждое рациональное число, принадлежащее Лр
меньше любого рационального числа, принадлежащего Л2. Таким
образом, рациональное число рассекает рациональные числа на два
класса чисел, разделенных отношением порядка меныпе/болыпе.

Дедекинд понял, что среди рациональных чисел можно создать
множество других сечений. Например, иррациональное число л/2
рассекает рациональные числа на два класса:

•	Лр множество положительных рациональных чисел, квадрат
которых меньше л/2 (а также число 0 и все отрицательные рацио-
нальные числа)

•	Л2, множество положительных рациональных чисел, квадрат
которых болыпел/2

Другими словами, каждое рациональное число, принадлежащее
А р меньше каждого рационального числа, принадлежащего Л2. Ана-
логично, число л можно определить как сечение рациональных чи-
сел и разделение их на два класса:

•	Лр множество положительных рациональных чисел вида а/Ь.
отношение которых меньше отношения длины окружности к ее ди-
аметру (а также число 0 и все отрицательные рациональные числа)

•	Л2, множество положительных рациональных чисел вида а/Ь.
отношение которых больше отношения длины окружности к ее ди-
аметру.

Здесь также каждое рациональное число, принадлежащее Лр
меньше каждого рационального числа, принадлежащего Л2.

Приведя примеры сечений. Дедекинд обобщил понятие так, что
любое исчерпывающее деление рациональных чисел на два мно-
жества Ах и А2 таково, что каждый член Ах меньший каждого член
Л2, определяет сечение, которое идентифицируется с веществен-
ным числом. Если действительное число не является рациональным
числом, как в случае разреза, который определяет число л/2, то оно
должно быть иррациональным числом.

После определения действительных чисел в терминах сечений
Дедекинд продолжал показывать, что арифметика на действитель-
ных числах такова, какой мы ее ожидаем, именно потому, что основ-
ные арифметические операции сложения и вычитания сохраняют
отношение меньше/больше между положительными рациональны-
ми числами. Рассмотрим, например, сечения, созданные л/2 и л/З,
т.е. множества Ах и А2 и Вх и В2 соответственно. Возьмем любое
рациональное число в Ах и любое рациональное число в Ву Их про-
изведение будет меньше произведения любого рационального числа
в А2 и любого рационального числа в В2. и сечение соответствует л/б,
как и следовало ожидать.

Дедекинд часто проводил лето в Швейцарии или в Тирольских
Альпах. Во время своего отпуска в 1874 г. он впервые встретился
с Георгом Кантором в городе Интерлакен. Новаторский анализ кон-
тинуума Дедекиндом послужил одним из главных источников вдох-
новения Кантора для его собственной революционной работы по
трансфинитным числам, представленной позже в этой книге. Имен-
но благодаря переписке Кантора с Дедекиндом в 1870-1880-х гг.
историки пришли к пониманию развития идей Кантора.

По мере того как Геттинген поднимался до уровня Берлина в ма-
тематике, Брауншвейг оставался захолустьем. У Дедекинда никогда
не было здесь докторантов. Свет, проникший и в Брауншвейг, пре-
доставил Дедекинду возможность наблюдать за публикацией двух
математических шедевров. В 1863 г. Дедекинд опубликовал работу
Дирихле «Лекции по теории чисел», в основном из его собственных
записок. К 1894 г. вышло еще три издания. Когда в 1866 г. преждев-
ременно скончался Риман, Дедекинд взял на себя труд опубликовать
собрание сочинений своего друга. Этот классический том появился
через 10 лет. Дедекинд также руководил изданием собрания сочине-
ний своего наставника Карла Фридриха Гаусса.

Требования к приобщению Брауншвейга к научной мысли также
позволили Дедекинду стать директором Политехнического институ-
та с 1872 по 1875 г. Хотя он не любил административных обязан-
ностей, Дедекинд действительно наслаждался тем фактом, что он
занял должность, которая ранее принадлежала его отцу и деду по
материнской линии. Дедекинд ушел в отставку со своего универси-
тетского поста в 1894 г. Несмотря на то, что он вышел на пенсию,
он продолжал читать лекции до тех пор, пока ему не исполнилось
70 лет. В отличие от многих математиков, он любил читать лекции.

За свою карьеру Дедекинд получил множество наград. Первая
пришла из Геттингена, который избрал его членом-корреспонден-
том своей академии в 1862 г. В 1880 г. он удостоился аналогичной
чести от Академии наук в Берлине, в 1900 г. - академий в Париже
и Риме. В 1902 г. Дедекинд получил много почетных докторских
степеней в связи с пятидесятилетием его докторской степени в Гет-
тингене.

Довольный своей жизнью в Брауншвейге, Дедекинд так и не же-
нился и жил со своей сестрой Джулией до ее смерти в 1914 г. Он умер
после непродолжительной болезни 12 февраля 1916 г. Несмотря на
то, что Европа была в огне Первой мировой войны, математики во
Франции и Англии оплакивали его кончину, как потерю последней
прямой связи с великим Гауссом.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ

И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

§ 1. Свойства рациональных чисел

Хотя арифметика рациональных чисел предполагается здесь уже
известной, но мне думается, что полезно будет выдвинуть некото-
рые главные моменты, не подвергая их обсуждению, с тою только
целью, чтобы заранее наметить точку зрения, на которую я станов-
люсь в последующем изложении. Я смотрю на всю арифметику, как
на необходимое или, по крайней мере, натуральное следствие про-
стейшего арифметического акта-счета, самый же счет представля-
ет не что иное, как последовательное созидание бесконечного ряда
положительных целых чисел, где каждый индивидуум определяется
непосредственно ему предшествующим. Простейший акт заклю-
чается в переходе от созданного уже индивидуума к следующему,
вновь созидаемому. Уже сама по себе цепь этих чисел образует не-
обычайно полезное вспомогательное средство для человеческого
ума и представляет неиссякаемое богатство замечательных законов,
к которым мы приходим посредством введения четырех основных
арифметических действий. Сложение есть соединение в один акт
упомянутых простейших актов, повторенных сколько угодно раз.
Таким же образом из сложения проистекает умножение. Между тем,
как обе эти операции всегда выполнимы, выполнимость обратных
операций - вычитания и деления - оказывается ограниченной. Каков
бы ни был здесь ближайший повод, какие бы сравнения и аналогии
опытом и наблюдением ни приводили к этому, - вопрос об этом мы
оставим в стороне; достаточно того, что именно эта ограниченность
в выполнении обратных операций всякий раз становилась настоя-
щей причиной нового творческого акта. Так созданы человеческим
умом отрицательный и дробные числа, благодаря чему приобретено
было орудие бесконечно более высокого совершенства в виде си-
стемы всех рациональных чисел. Эта система, которую я обозначу
через Л, обладает прежде всего тою полнотою и законченностью, ко-
торую я в другом месте1и/ отметил, как признак числового корпуса
(ХаЫкдгрег), и которая состоит в том, что четыре основные операции

107 Уог1е$ип%еп йЪег ХаЫеп1еог1е чопР. О. Се]еипе-О1г1с1е1. ТдуеИе АиАа^е. § 159.
со всякими двумя индивидуумами из К выполнимы, то есть, что ре-
зультатом этих операций всегда опять является определенный инди-
видуум из Л, если только исключить единственный случай деления
на нуль.

Для нашей ближайшей цели гораздо более важным является дру-
гое свойство системы Л, которое может быть выражено так: система Л
представляет правильно распределенную, бесконечно простираю-
щуюся в две стороны область одного измерения. Что именно этим
хотят сказать - достаточно указывается выбором выражений, заим-
ствованных из области геометрических представлений; тем более
необходимо поэтому выделить соответствующие им чисто арифме-
тические особенности - чтобы не могло даже только казаться, будто
арифметика нуждается в таких чуждых ей представлениях.

Если нужно выразить, что знаки а и Ь означают одно и то же
рациональное число, то полагают одинаково а = Ь и Ь = а. Различие
двух рациональных чисел сказывается в том, что разность а- Ъ име-
ет или положительное, или отрицательное значение. В первом слу-
чае а больше Ь, Ь меньше а. что и указывается знаками а>Ь,Ъ < я108.
Так как во втором случае Ь - а имеет положительное значение, то
Ъ> а,а<Ъ. Сообразно с этой двойственностью в характере различия
двух чисел а и Ь, имеют место следующие законы:

I.	Если а > Ь,Ь> с. то а > с. Всякий раз, когда а. с будут два раз-
личных (или неравных) числа и когда Ь, будет больше одного и мень-
ше другого, мы, не опасаясь отголоска геометрических представле-
ний, будем то выражать так: Ъ лежит между обоими числам и а, с.

II.	Если а. с суть два различных числа, то всегда существует
бесконечное множество чисел, лежащих между а, с.

III.	Если а есть определенное число, то все числа системы К рас-
падаются на два класса А х и Л2, из коих каждый содержит бесконечно
много индивидуумов. Первый классу обнимает собой все те числа яр
которые меньше а; второй класс А2 обнимает собою все числа а2,
которые больше а. Само число а может быть отнесено по произволу
к первому или ко второму классу и тогда оно соответственно быва-
ет наибольшим числом в первом классе или наименьшим числом во
втором. В обоих случаях разложение системы К на два класса Лр
А2 таково, что каждое число первого класса А{ меньше каждого чис-
ла второго класса А2.

108 В последующем подразумевается так называемое «алгебраическое» больше
и меньше, если только не прибавлено слово «абсолютно».
§ 2.	Сравнение рациональных
чисел с точками прямой линии

Поставленные нами на вид свойства рациональных чисел напо-
минают о взаимном относительном положении точек прямой линии А.
Если различать два принадлежащие ей противоположные направле-
ния словами «вправо» и «влево», и если р. д-две различные точки,
то либо точка р расположена вправо от и в то же время с/ влево от р.
или, наоборот, с/ - вправо от р. и в то же время р влево от д. Тре-
тий случай невозможен, если р и ц действительно различные точки.
Сообразно с этим различием в положении имеют место следующие
законы:

I.	Если р лежит вправо от с/ и с/ опять вправо от г, то и р лежит
вправо от г; говорят тогда, что с/ лежит между точками и г.

II.	Если р, г две различные точки, то существует бесконечное
множество точек, лежащих между риг

III.	Если р есть определенная точка на А, то все точки на А распа-
даются на два класса Р2, из коих каждый содержит бесконечное
множество индивидуумов. Первый класс Р1 обнимает собою все те
точки рх которые лежат вправо от р. а второй класс Р2 обнимает все
точки, которые лежат влево отр. Сама точкар может быть отнесена
по произволу к первому или ко второму классу. В обоих случаях
разложение прямой А на два класса или два куска таково, что ка-
ждая точка первого класса Р1 лежит влево от каждой точки второго
класса Р2.

Эта аналогия между рациональными числами и точками прямой
становится, как известно, действительною зависимостью, когда на
прямой выбирают определенную начальную или нулевую точку о и
определенную единицу длины для измерения отрезков. При помо-
щи последней можно для каждого рационального числа а построить
соответствующую длину, и если нанести ее на прямую от точки о
вправо или влево, смотря по тому, есть ли а положительное или от-
рицательное число, то получим определенную конечную точку р,
которая может быть принята за точку, соответствующую числу а. Ра-
циональному числу нуль соответствует точка о. Таким образом, ка-
ждому рациональному числу а, т.е. каждому индивидууму в Л, соот-
ветствует одна и только одна точкар, то есть, один индивидуум на Р
Если двум числам а. Ъ отвечают две точки р, с/ и если а > Ъ. то р
лежит вправо от д. Законам I, II, III предыдущего параграфа вполне
отвечают законы I, II, III настоящего.
§ 3.	Непрерывность прямой линии

Но теперь фактом величайшей важности является то обстоятель-
ство, что на прямой А есть бесконечно много точек, которые не со-
ответствуют никакому рациональному числу. Действительно, если
точка р соответствует рациональному числу а. то, как известно, дли-
на ор соизмерима с употребленной при построении единицей длины,
то есть существует третья длина, так называемая общая мера, отно-
сительно которой обе длины представляются целыми кратными. Но
уже древние греки знали и доказали, что существуют длины несоиз-
меримые с данной единицей длины, - например диагональ квадрата,
сторона которого есть единица длины. Если нанести такую длину
от точки о на прямую то получим конечную точку, которой не со-
ответствует никакое рациональное число. Так как легко далее пока-
зать, что существует бесконечное множество длин, несоизмеримых
с единицей длины, то можем утверждать: прямая Ь бесконечно более
богата индивидуумами-точками, чем область К рациональных чисел
индивидуумами-числами.

Если же хотят, а это в самом деле желательно, исследовать также
все явления на прямой и арифметическим путем, то, в виду недоста-
точности для этой цели рациональных чисел, становится необходи-
мым существенно улучшить построенный путем созидания рацио-
нальных чисел инструмент К, создав новые числа таким образом,
чтобы область чисел приобрела ту же полноту, или, скажем прямо,
ту же непрерывность, как и прямая линия.

Приведенные до сих пор соображения всем так хорошо извест-
ны, что многие сочтут их повторение совершенно излишним.

Однако же, я нахожу их краткое обозрение необходимым для
того, чтобы надлежащим образом подготовить главный вопрос. При-
нятое до сих пор введение иррациональных чисел связывается имен-
но с понятием о протяженных величинах-которое само нигде до сих
пор не определено - и определяет число, как результат измерения та-
кой величины другою того же рода109. Вместо этого я требую, чтобы
арифметика развивалась сама из себя. Можно в общем согласиться

109 Кажущееся преимущество общности такого определения числа исчезает тотчас
же, как только подумаешь о комплексных числах. Наоборот, по моему воззрению, понятие
отношения двух однородных величин тогда только может быть ясно развито, когда ирра-
циональные числа уже введены.
с тем, что такие связи с неарифметическими представлениями дали
ближайший повод к расширению понятия о числе (хотя это реши-
тельно не имело места при введении комплексных чисел), но это без-
условно не может служить достаточным основанием для того, чтобы
ввести в арифметику, науку о числах, эти чуждые ей соображения.
Как отрицательные и дробные рациональные числа созданы путем
свободного творчества, и как вычисления с этими числами должны
были и могли быть сведены к законам вычислений с положительны-
ми целыми числами, точно так же должно стремиться к тому, чтобы
иррациональные числа были вполне определены через посредство
рациональных чисел. Но как это сделать-вот в чем вопрос.

Предыдущее сравнение области К рациональных чисел с пря-
мою привело к открытию в первой изъянов (Ьйскепка/И^кеИ'). не-
полноты, или разрывности, между тем как прямой мы приписываем
полноту, отсутствие пробелов, или непрерывность. В чем же, соб-
ственно, состоит эта непрерывность? Все и заключается в ответе
на этот вопрос, и только в этом ответе мы приобретаем научное ос-
нование для исследования всех непрерывных областей. Смутными
разговорами о непрерывной связи малейших частиц, конечно, ни-
чего не достигнешь. Дело идет о том, чтобы дать точный признак
непрерывности, который мог бы служить базисом действительных
дедукций. Долгое время я напрасно об этом думал, но, наконец, на-
шел искомое. Разные лица, вероятно, оценят эту находку различно,
но все же я думаю, что большинство найдет ее содержание весьма
тривиальным. Оно состоит в следующем: в предыдущих параграфах
обращено было внимание на то, что каждая точка р прямой произ-
водит разложение прямой на две части таким образом, что каждая
точка одной части расположена влево от каждой точки другой. Я ус-
матриваю теперь сущность непрерывности в обратном принципе, то
есть, в следующем:

«Если все точки прямой распадаются на два класса такого рода,
что каждая точка первого класса лежит влево от каждой точки вто-
рого класса, то существует одна и только одна точка, которая произ-
водит это разделение прямой на два класса, это рассечение прямой
на два куска»110.

Как уже и было сказано, я, кажется, не ошибаюсь, приняв, что
каждый тотчас же согласится с истинностью этого утверждения;
большинство моих читателей будут даже очень разочарованы, уз-
нав, что посредством этой тривиальности должен быть снят покров
с тайны непрерывности. По этому поводу я замечу следующее: мне
очень приятно, если каждый находит упомянутый принцип столь
ясным и в такой мере согласным со своим представлением о пря-
мой линии, ибо я решительно не в состоянии привести какое бы то
ни было доказательство справедливости этого принципа, и никто
не в состоянии этого сделать. Принятие этого свойства прямой ли-
нии есть не что иное, как аксиома, посредством которой мы толь-
ко и признаем за прямой ее непрерывность, мысленно вкладываем
(ктет(Лепкеп) непрерывность в прямую. Если вообще пространство
имеет реальное бытие, то ему нет необходимости быть непрерыв-
ным. Бесчисленные его свойства оставались бы теми же, если бы
оно было разрывным. И если бы мы знали наверное, что простран-
ство не обладает непрерывностью, то, при желании, нам все-таки
ничто не могло бы помешать сделать его непрерывным через мыс-
ленное заполнение его пробелов. Это заполнение должно было бы
состоять в созидании новых точек и осуществлялось бы сообразно
упомянутому принципу.

110 То есть, если, следуя какому бы то ни было закону (правилу), например, подчи-
няясь условиям некоторой задачи, мы произведем разделение точек прямой на два класса
таким образом, что 1) каждая точка прямой принадлежит либо к тому, либо к другому клас-
су, и 2) каждая точка одного класса расположена влево от каждой точки другого класса, то
существует одна и только одна точка такого свойства, что каждая точка, влево от нее лежа-
щая, принадлежит к одному классу, а все остальные точки прямой принадлежат к другому
классу. Если бы мы разорвали прямую, т.е. удалили бы из нее отрезок АВ то оставшийся
геометрический образ («разорванная» прямая) был бы разбит на два куска Р и 0, лежащие
с различных сторон изъяна таким образом, что 1) каждая точка рассматриваемого образа
принадлежала бы либо к классу Р, либо к классу 0^, и 2) если бы кусок Р, содержащий
точку А, лежал влево от изъяна, то каждая точка класса Р лежала бы влево от каждой точки
класса 0. Таким образом, каждая точка, лежащая влево от точки Л, и точка Л принадлежали
бы к классу Р, а все остальные точки - к классу (?• Точка В обладает подобным же свой-
ством: все точки нашего образа, лежащие влево от Р, принадлежат к классу Р; остальные
точки - к классу (?• Существованием одной, а двух точек такого свойства, как Л и В, харак-
теризуется разрывность нашего образа. Невозможностью существования двух таких точек
и существованием одной точки такого рода определяется непрерывность прямой.
§ 4.	Созидание иррациональных чисел

Последними словами уже достаточно ясно указывается, каким
образом разрывная область К рациональных чисел должна быть до-
полнена до превращения ее в непрерывную. Как это поставлено было
на вид в § I (III), каждое рациональное число а производит разложе-
ние системы К на два класса А х и А2 такого рода, что каждое число
первого класса меньше каждого числа а2 второго класса. Число а
представляет либо наибольшее число класса Л р либо наименьшее чис-
ло класса А2. Если теперь дано какое-либо подразделение системы К
на два класса А р Л2, обладающее только тем характерным свойством,
что каждое число из А х меньше каждого числа а2 из Л2, то для кра-
ткости мы будем называть такое подразделение сечением и будем его
обозначать через (А р Л2). Мы можем тогда сказать, что каждое число а
производит одно или, собственно, два сечения, на которые мы, одна-
ко, не будем смотреть, как на существенно различные111; это сечение
имеет кроме того то свойство, что либо между числами первого клас-
са есть наибольшее, либо между числами второго класса существует
наименьшее. И наоборот, если сечение обладает и этим свойством, то
оно производится этим наибольшим или наименьшим числом.

Легко, однако, убедиться в том, что существует бесчисленное
множество сечений, которые не могут быть произведены рациональ-
ным числом. Ближайший пример есть следующий.

Пусть Р будет положительное целое число, но не квадрат целого
числа. Существует положительное целое число X такого рода, что

Х2<Г)<(Х+ I)2

Если возьмем для второго класса А2 каждое положительное ра-
циональное число, которого квадрат > Р, а для первого класса А х все
остальные рациональные числа, то это подразделение составит сече-
ние (А р Л2), то есть, каждое число будет меньше каждого числа а2.
Именно, когда ах = 0 или есть отрицательное число, то уже в силу
этого а. меньше каждого числа а2. ибо это последнее, по определе-
нию, представляет собой положительное число. Если же ах есть чис-
ло положительное, то его квадрат < Р, и, следовательно, меньше
каждого числа а2 которого квадрат > Р.

111 Число а может быть отнесено к первому или второму классу. Оба эти подразде-
ления К на два класса рассматриваются, как два случая одного и того же сечения. В первом
случае, когда число отнесено к первому классу, оно есть наибольшее число в первом клас-
се, и нельзя указать наименьшего числа во втором классе; во втором случае нет наиболь-
шего числа в первом классе, но а есть наименьше число во втором классе.
Это сечение не производится, однако, никаким рациональным
числом. Чтобы доказать это, должно прежде всего обнаружить, что
нет никакого рационального числа, которого квадрат равен Р. Хотя
это и известно из первых элементов теории чисел, но мы все же на-
ходим возможным уделить место следующему косвенному доказа-
тельству. Если есть рациональное число, которого квадрат = Р, то
существуют и два положительных целых числа /иг/, которые удов-
летворяют уравнению

/2 — Рг/2 = 0,

и можно принять, что и есть наименьшее положительное целое чис-
ло, обладающее тем свойством, что его квадрат через умножение наР
обращается в квадрат некоторого целого числа /. Так как, очевид-
но112,

Хи < I < (X + 1) г/,
то число

и! = / -Хи
есть положительное целое число и притом меньшее, чем и. Если,
далее, положить

= Ви - Хх

то и будет положительное113 целое число, причем получаем

/21 — Рг/21 = (X2 —Р)(/2 —Рг/2) = 0,

что противоречит допущению, сделанному относительно и.

Таким образом, квадрат всякого рационального числа а или < Р,
или > Р. Отсюда легко выводится, что в классе Л1 нет наибольшего,
а в классе А2 нет наименьшего числа. Действительно, если положить

х^х2 + Зр)

то

2х^Р — х2)

и

112 Число I не может быть кратным числа и, ибо в противном случае мы, обозначая
через X положительное целое, имели, бы I = Хи; Х2и2 Он2 = 0 или Л = X2, что недопустимо,
так как Л не точный квадрат. Отсюда следует, что I содержится между некоторыми двумя
последовательными членами Хи и (X + 1) и ряда и, 2г/, 3и, ...

113 Ибо 1}и = ^2-Х1и = 12-Х1и = 1(1-Хи) = 1иу
Если взять здесь для х положительное число из класса Лр то
х2 < И, следовательно, у > х и у2 < Р; поэтому у также принадлежит
к классу Лр Если же положить, что х есть число из класса Л2, то
у < х; х > 0 и у2 > Р, так что и у принадлежит к классу Л2. Это сечение
не производится, следовательно, никаким рациональным числом.

В том свойстве, что не все сечения производятся рациональными
числами, и состоит неполнота, или разрывность, области К рацио-
нальных чисел.

Теперь всякий раз, когда нам дано сечение (Лр Л2), которое не
может быть произведено никаким рациональным числом, мы созда-
ем новое иррациональное число а, которое рассматривается нами, как
вполне определенное этим сечением (А р Л2). Мы скажем, что число а
соответствует этому сечению, или что оно производит это сечение. Та-
ким образом, отныне каждому определенному сечению соответствует
одно и только одно рациональное или иррациональное число, и мы бу-
дем смотреть на два числа, как различные или неравные, тогда и толь-
ко тогда, когда они соответствуют существенно различным сечениям.

Чтобы найти основание для распределения всех вещественных,
т.е. всех рациональных и иррациональных чисел, нам необходимо
прежде всего исследовать соотношения между двумя какими-либо
сечениями (Лр Л2) и (7?р В2). производимыми какими угодно двумя
числами аир. Всякое сечение (Лр Л2), очевидно, дано вполне уже
в том случае, когда мы знаем один из двух классов, например, первый
класс А р потому что второй А2 состоит из всех рациональных чисел,
не заключающихся в классе Лр характерной же особенностью этого
первого класса является то, что, заключая в себе какое-либо число ар
он содержит и все числа, меньшие а{. Если теперь сравнить два пер-
вых класса этого рода А х и Вр то может случиться, 1) что они впол-
не тождественны, т.е. каждое число, содержащееся в Лр содержится
также и в Вр и каждое число, содержащееся в Вр содержится и в Лр
В этом случае А2 необходимо тождественно с Ву оба сечения вполне
тождественны, что мы знаками выражаем через а = Р, или р = а.

Но если два класса Ах и не тождественны, то в одном, на-
пример, в Лр есть число а\ = Ь'2. не содержащееся в классе Вх и за-
ключающееся, следовательно, в В2. поэтому, все числа заключа-
ющиеся в Вр несомненно, будут меньше, чем это число а\ = Ъ'2.
следовательно, все числа заключаются и в А р
Если же 2) это число а\ будет единственным числом в Лр не
входящим в то всякое другое число а{, содержащееся в А р будет
содержаться и в а потому меньше а\, т.е. а\ есть наибольшее
между числами ; поэтому сечение (А х, А2) производится рациональ-
ным числом а = а\ = Ь'2. Относительно второго сечения (7?р В2) мы
уже знаем, что все числа класса Вх содержатся и в А р а потому они
меньше, чем число а\ = Ь 2 которое содержится в В2; всякое же другое
число Ь2 содержащееся в В2, должно быть, больше, чем Ь 2, потому
что иначе Ь2 было бы также меньше, чем а\, и заключалось бы в Ар
а следовательно, и в Ву Таким образом, Ь 2 есть наименьшее меж-
ду числами, содержащимися в В2; следовательно, и сечение (7?р В2)
производится тем же рациональным числом р = Ъ'2 = а\ = а. Оба
сечения поэтому несущественно различны.

Но если 3) в А х есть, по крайней мере, два различных рациональ-
ных числа а\ = /?2 и а'\ = Ъ"2 не содержащихся в 7?р то их существу-
ет и бесконечное множество, потому что все бесконечное множество
чисел, лежащих между а\ и а'\ (§ 1, II), содержится, очевидно, в Лр
но не в В г Два числа аир, соответствующие в этом случае суще-
ственно различным сечениям (Лр А2) и (7?р В2), мы также назовем
различными, а именно скажем, что а больше, чем р, что Р меньше,
чем а, и выразим это в знаках как через а > р, так и через р < а. Здесь
следует иметь в виду, что это определение вполне совпадает с преж-
ним, когда оба числа а и В были рациональными.

Остаются еще следующие возможные случаи: если 4) в Вх со-
держится одно и только одно число Ъ\ = а'2, не содержащееся в Лр
то оба сечения (Лр А2) и (7?р В2) только несущественно различны
и производятся одним и тем же числом а = а'2 = Ъ\ = р. Если же 5)
в Вх есть, по крайней мере, два различных числа, не содержащихся
в Лр то р > а, а < р.

Так как этим исчерпываются все случаи, то заключаем, что из
двух различных чисел одно необходимо окажется большим, другое
меньшим: здесь два возможных случая. Третий случай невозможен.
Это заключалось уже в употреблении сравнительной степени (боль-
ше, меньше) для выражения отношения между а и Р; но только теперь
выбор такого выражения вполне оправдан. Именно при изысканиях
такого рода необходимо самым заботливым образом остерегать-
ся, чтобы, даже при всем желании быть честным, не увлечься и не
сделать непозволительных перенесений из одной области в другую
из-за поспешного выбора выражений, относящихся к другим, уже
развитым представлениям.
Если снова точно обсудим случай а > р, то найдем, что меньшее
число Р в том случае, когда оно рациональное наверно принадлежит
к классу Ар Действительно, так как в Ах есть число а\ = принад-
лежащее к классу В2. то независимо от того, будет ли р наибольшим
числом в Вх или наименьшим в В2. наверное имеем р < а\ и, следо-
вательно, Р содержится в А р Точно так же из а > Р выводится, что
большее число а, когда оно рациональное, непременно содержится
в В2. ибо а > а\ Соединяя оба соображения, найдем следующий ре-
зультат: если сечение (Ар А2) производится числом а, то всякое ра-
циональное число принадлежит к классу А х или к классу Л2, смотря
по тому, будет ли оно меньше или больше а. Если само число а ра-
циональное, то оно может принадлежать к тому или другому классу.

Отсюда, наконец, вытекает еще и следующее: если а > Р, если,
значит, существует бесчисленное множество чисел в А р не содержа-
щихся в Вр то существует среди них также бесконечное множество
таких чисел, которые одновременно отличны и от а, и от р. Каждое
такое рациональное число с < а, ибо оно содержится в А р и в то же
время оно > Р, потому что содержится в В2.

§ 5.	Непрерывность области вещественных чисел

Сообразно с твердо установленными нами родами различия чи-
сел, система 91 всех вещественных чисел образует правильно рас-
пределенную область одного измерения. Этим сказано только то, что
имеют место нижеследующие законы:

I.	Если а>рир>у, тоиа>у. Мы будем говорить, что Р лежит
между числами а и у.

II.	Если а, у суть два различных числа, то всегда существует
бесконечное множество различных чисел, лежащих между числа-
ми а и у.

III.	Если а есть определенное число, то все числа системы
распадаются на два класса 21 х и 212, из коих каждый содержит бес-
конечно много индивидуумов. Первый класс 21 х обнимает собою все
те числа ар которые < а; второй класс 212 обнимает все те числа а2,
которые > а. Само число а может быть отнесено по произволу к пер-
вому или ко второму классу и тогда оно соответственно бывает наи-
большим числом в первом или наименьшим во втором классе. В обо-
их случаях разложение системы 91 на два класса 21х и 212 таково,
что каждое число первого класса 21 х меньше каждого числа второго
класса 212, и мы говорим, что это разложение произведено числом а.
Чтобы быть кратким и не утомлять читателя, я опускаю доказа-
тельства этих положений, вытекающие непосредственно из опреде-
лений предыдущих параграфов.

Кроме этих свойств, область 91 обладает еще непрерывностью,
то есть имеет место следующее предложение:

IV.	Если система 91 всех вещественных чисел распадается на два
класса 21 х и 212 такого рода, что каждое число ар класса 21 р меньше
каждого числа а2 класса 212, то существует одно и только одно число
а, производящее это разложение.

Доказательство. Вместе с разложением или сечением 91 на два
класса 21 х и 212 дается и некоторое сечение (Лр Л2) системы К всех
рациональных чисел, определяемое тем правилом, что Ах содержит
все рациональные числа класса 21 р а А2 все остальные рациональ-
ные числа, то есть все рациональные числа класса 212 Пусть а будет
то вполне определенное число, которым производится это сечение
(Лр Л2). Если теперь р есть какое-либо число, отличное от а, то су-
ществует бесконечно много рациональных чисел с, которые лежат
между аир. Если р < а, то с < а; поэтому с принадлежит к классу А р
а следовательно, и к классу 21 р но так как вместе с этим р < с, то и р
принадлежит к тому же классу 21 р ибо каждое число в 212 больше
каждого числа с из 212. Если же Р > а, то с < а; поэтому с принадле-
жит к классу Л2, а следовательно, и к классу 212; но так как вместе
с этим р > с, то и р принадлежит к классу 212, потому что каждое
число в 21 х меньше каждого числа с из 212. Таким образом, каждое
число Р, отличное от а, принадлежит или к классу 21 р или к классу
212, смотря по тому, будет ли р < а, или Р > а; следовательно, само а
представляет либо наибольшее число в 21 р либо наименьшее в 212,
то есть, а есть некоторое и, очевидно, единственное число, произво-
дящее разложение системы 91 на классы 21 х и 212. Что и требовалось
доказать.

§ 6.	Вычисления с вещественными числами

Для того, чтобы вычисление с двумя вещественными числами
аир свести к вычислению с рациональными числами, нужно только
по двум сечениям (Лр Л2) и (7?р В2), производимым числами аир
в системе К определить сечение (Ср С2), соответствующее результа-
ту у вычисления114. Мы ограничимся здесь приведением простейше-
го примера - сложения.

Если с есть какое-либо рациональное число, то мы отнесем его
к классу когда существует число в Ах и число в такого
рода, что ах + Ьх> с. Все другие числа с отнесем к классу С2. Это
подразделение всех рациональных чисел на два класса С1 и С2, оче-
видно, образует сечение, ибо всякое число с1 в С1 меньше каждого
числа с2 в С2. Если теперь оба числа а, Р рациональные, то каждое
содержащееся в С1 число с1 < а + р, ибо < а и < р, а потому и
+ Ъх < а + р. Если бы, далее, в С2 содержалось какое-либо число
с2 < а + Р, так что было бы а + р = с + р. где р означает положитель-
ное число, то мы нашли бы, что

С2 = (а“ 2^) + (Р-2^)’

а это находится в противоречии с определением числа с2, так как
ос — р есть число из А р а Р — ^р есть число из Ву Таким образом,
каждое содержащееся в С2 число с2 > а + Р; следовательно, сече-

114 Автор, очевидно, хотел сказать следующее: действия сложения, вычитания, ум-
ножения и деления определены были до сих пор только для рациональных чисел; для
иррациональных же чисел эти действия не будут иметь смысла до тех пор, пока мы не
условимся относительно того, какой именно смысл мы желаем им придавать в примене-
нии к иррациональным числам. Так, например, сумму двух иррациональных чисел нельзя
определить ни как совокупность, в которой содержится столько единиц и аликвотных ча-
стей единицы, сколько их в двух слагаемых, вместе взятых, ни индуктивно, как это делал
Грассман для целых чисел, ибо ни то, ни другое определение не имеет здесь смысла. Мы
могли бы и совсем не употреблять термина «сумма» в применении к иррациональным чис-
лам, говоря, что иррациональные числа не имеют суммы, но делать такое или подобное
ограничение было бы в высшей степени неудобно; с другой стороны, сообразуясь с выго-
дами соблюдения в одной и той же области знания так называемого правила перманент-
ности в определении термина (по этому правилу всякое изменение в соозначении термина
должно совершаться так, чтобы новое соозначение по возможности не только не противо-
речило прежнему, но заключало бы последнее, как частный случай), будет наиболее целе-
сообразным определить термины основных действий над вещественными числами так,
чтобы в своем новом соозначении эти термины могли быть относимы как к рациональным,
так и к иррациональным числам, и чтобы, совершая над рациональными числами действия
на основании нового их определения, мы всегда получали прежние результаты. Пусть у
будет результат совершения некоторого действия О над двумя произвольными рациональ-
ными числами аир. Если найдем правило К, по которому зная сечения, производимые
числами аир, мы всегда в состоянии найти сечение, производимое числом у, то действие
О можно будет определить, как процесс составления некоторого сечения по правилу К из
сечений, производимых числами аир. Такое определение действия О, имея смысл и в том
случае, когда из чисел аир или оба они иррациональны, обладает свойством перманент-
ности. Процесс отыскания новых перманентных определений действии при переходе от
рациональных чисел ко всей системе вещественных чисел автор называет приведением
вычислений с вещественными числами к вычислениям с рациональными числами.
ние (Ср С2) образуется в этом случае суммой а + р. Мы поэтому не
погрешим против определения, которое имеет место в арифметике
рациональных чисел, если во всех случаях будем разуметь под сум-
мой а + Р двух произвольных вещественных чисел а, Р то число у,
посредством которого образуется сечение (Ср С2)115. Далее, если
только одно из двух чисел а, Р - например, а - рациональное, то лег-
ко убедиться, что на сумму у = а + Р не влияет то обстоятельство,
отнесем ли мы а к первому классу А х или ко второму А2.

Так же, как сложение, можно определить и остальные операции
так называемой элементарной арифметики, а именно составление
разности, произведения, степени, корня, логарифма. Таким обра-
зом можно придти к действительному доказательству теорем (как,
например, л/2 • л/З = >/б), которые, сколько я знаю, до сих пор ни-
где не доказаны. Слишком большие подробности, которых следует
опасаться при определении более сложных операций, лежат частью
в природе самого предмета, большею же частью они могут быть
устранены. В этом отношении является весьма полезным понятие
об интервале, т.е. системе Л рациональных чисел, обладающих сле-
дующим характерным свойством: если а и а' суть числа системы Ах
то все рациональные числа, лежащие между а и а'. содержатся в А.
Система К рациональных чисел, а также и оба класса каждого ее
сечения суть интервалы. Если существует рациональное число а2
которое меньше каждого числа интервала Л, и если есть рациональ-
ное число а2. которое больше каждого числа интервала Л, то А назы-
вается конечным интервалом; в этом случае существует, очевидно,
бесконечное множество чисел такого же рода, как а2. Вся область В
распадается на три куска: Лр А. А2. причем появляются два вполне
определенных рациональных или иррациональных числа ар а2, ко-
торые соответственно могут быть названы нижней и верхней (или
меньшей и большей) границей интервала^. Нижняя граница опре-
деляется сечением, в котором первый класс образован системой Лр
верхняя же граница а2 определяется сечением, в котором А2 образует
второй класс. О всяком рациональном или иррациональном числе а,
лежащем между и а2, будем говорить, что оно лежит внутри ин-
тервала Л. Когда все числа интервала Л являются также числами ин-
тервала В. то А будет называться куском В.

Придется, повидимому, сделать еще большие отступления, когда
желательно будет перенести бесчисленные предложения арифмети-

115 Из сечений (Л1? /Ц) и (5р В у по указанному только что способу
ки рациональных чисел [например, предложение, в силу которого
(а+Ь) с = ас + Ъс\ на произвольные вещественные числа. Это, од-
нако, не так; скоро убеждаешься, что все здесь приводится к дока-
зательству положения, по которому арифметические операции сами
обладают некоторой непрерывностью. То, что я под этим понимаю,
я облеку в форму общей теоремы.

«Если число X есть результат вычислений, совершенных над чис-
лами а, Р, у, .. .и если X лежит внутри интервала А, то можно указать
интервалы Л, В. С (внутри которых лежат числа а, Р, у,...) такого рода,
что результат такого же вычисления, в котором, однако, числа а, Р, у,...
заменены любыми числами соответственных интервалов Л, В, С, ...
будет всегда представлять число, лежащее внутри интервала А». Од-
нако же, ужасная трудность, связанная со словесным изложением та-
кой теоремы, убеждает нас в том, что здесь необходимо что-нибудь
предпринять для того, чтобы придти в помощь языку: этого мы дей-
ствительно достигаем самым совершенным образом, когда вводим
понятие о переменных величинах, о функциях, о пределах. Всего це-
лесообразнее было бы основать на этих понятиях определения даже
простейших арифметических операций, что здесь, однако, не может
быть дальше проведено.

§ 7.	Анализ бесконечных

В заключение мы уясним себе зависимость между приведенны-
ми до сих пор соображениями и основными положениями анализа
бесконечных.

Говорят, что переменная величина х, пробегающая последова-
тельные определенные численные значения, приближается к посто-
янному пределу а, если она в ходе процесса изменения окончатель-
но^6 заключается между каждыми двумя числами, между которыми
а само лежит, или, что то же, если разность х - а, взятая абсолютно,
окончательно опускается ниже всякого данного значения, отличного
от нуля.

Одно из важнейших предложений гласит так: «Если величина х
возрастает постоянно, но не сверх всяких границ, то она приближа-
ется к некоторому пределу». 116

116 Автор употребляет слово с1ертНу — «определенно, решительно, окончательно»
в том смысле, что, приобретя какое-либо свойство в определенный момент своего измене-
ния, переменная величина удерживает это свойство в продолжение всего остального хода
процесса.
Я доказываю это предложение следующим образом: по предпо-
ложению, существует одно, а следовательно, и бесчисленное мно-
жество чисел а2 такого рода, что х постоянно остается < а2. Я обо-
значаю через 212 систему всех этих чисел а2 и через 21 х систему всех
остальных чисел ац каждое из последних имеет то свойство, что
в продолжение процесса изменения имеем окончательно х > ац по-
этому каждое число меньше каждого числа а2 и, следовательно,
существует число а, которое представляет собою или наибольшее
в 21 р или наименьшее в 212 (§ 5, IV). Первого быть не может, ибо х
никогда не перестает возрастать, поэтому а есть, наименьшее число
в 212. Какое бы число а, мы ни взяли рано или поздно будет оконча-
тельно <х < а, т.е. х приближается к пределу а.

Это предложение эквивалентно принципу непрерывности, то
есть оно теряет свою силу, как только мы станем смотреть хотя бы на
одно вещественное число, как на число, отсутствующее в области 91;
или, выражаясь иначе, если это предложение верно, то верна и тео-
рема IV в § 5.

Другое предложение, также ему эквивалентное, но еще более
часто встречающееся в анализе бесконечных, гласит так: «Если
в процессе изменения величины х можно указать для каждой поло-
жительной величины 8 соответствующий момент, начиная с которо-
го х изменяется меньше, чем на 8, то х приближается к некоторому
пределу».

Это обращение легко доказуемой теоремы, по которой перемен-
ная величина, приближающаяся к определенному пределу, изменя-
ется, в конце концов, меньше, чем на любую данную положительную
величину, может быть выведено как из предыдущего предложения,
так и непосредственно из принципа непрерывности. Мы выберем по-
следний путь. Пусть 8 будет произвольная положительная величина
(то есть 8 > 0); по предположению, наступает момент, начиная с ко-
торого х изменяется меньше, чем на 8, то есть, если в этот момент х
обладает значением а, то впоследствии всегда х > а- Б и х < а + Б.
Я оставляю на время первоначальную гипотезу и держусь только сей-
час доказанного факта, что все позднейшие значения переменной х
лежат между конечными значениями, которые могут быть даны. На
этом я основываю двойное подразделение всех вещественных чисел.
К системе 212 я отношу всякое число а2 (например, а + 8), обладающее
тем свойством, что в ходе процесса х окончательно становится < а2;
к системе 21 х я отношу всякое число, не содержащееся в 212. Если ар
есть такое число, то как бы далеко процесс ни продолжался, случай
х > будет еще наступать бесчисленное множество раз117. Так как
каждое число меньше каждого числа а2118, то существует вполне
определенное число а, которым производится это сечение (21 р 212)
системы 91 и которое я буду называть верхним пределом переменной
величины х, остающейся всегда конечною. Но характером изменений
переменной х порождается также другое сечение (23 р 232) системы
91: число, Р] (например, а-8) заключается в 23 р если в продолжение
процесса окончательно х > Рр всякое другое число Р2, подлежащее
включению в 232, имеет то свойство, что х никогда окончательно не
становится > Р2, так что случай х < Р2 будет наступать еще бесчис-
ленное множество раз. Число Р, производящее это сечение, пусть
называется нижним пределом переменной х. Оба числа а, Р очевид-
но характеризуются следующим свойством: если 8 есть произволь-
но малая положительная величина, то всегда будет окончательно
х<а + еих>р-ено никогда не будет окончательно х < а - 8 и
х > Р + е. Теперь возможны два случая. Если аир отличны друг от
друга, то необходимо а > р, ибо всегда а2> Рр переменная величина
х колеблется и, как бы далеко процесс ни пошел, она все еще претер-
певает изменения, значения которых превосходят (а - Р) - 2е, где 8
означает произвольно малую положительную величину. Первона-
чальная гипотеза, к которой я теперь только возвращаюсь, находится
в противоречии с этим выводом; остается, поэтому, только второй
случай а = Р, и так как уже доказано, что как бы мала ни была поло-
жительная величина 8, окончательно будет всегда х<а + 8их>р-8,
то х приближается к пределу а, что и требовалось доказать.

Удовольствуемся этими примерами в изложении связи между
принципом непрерывности и анализом бесконечных.

117 Ибо противное означало бы, что неравенство х < а1 справедливо окончательно,
т.е. принадлежало бы к классу 212.

118 Потому что после того, как величина х окончательно стала < а2, она еще больше,
или сделается еще больше, чем ар
ЧТО ТАКОЕ ЧИСЛА И ДЛЯ ЧЕГО
ОНИ СЛУЖАТ?

§ 1.	Система элементов

1.	Условимся на будущее время понимать под вещью всякий
объект нашего сознания. Для того, чтобы было удобней вести речь
о «вещах», мы будем означать их какими-либо знаками, например
буквами, и будем просто говорить о вещи а или об а. разумея под а
в действительности, конечно, означаемый буквой а объект, но не
самую букву. Вещь бывает вполне определена всем тем, что о ней
может быть сказано или может быть мыслимо. Вещь а есть та же
самая, что Ъ - тождественна с Ь. и Ь тождественно с а. если все то,
что мыслимо об а. мыслимо равным образом об Ъ. То обстоятель-
ство, что а и Ь суть только знаки или символы для означения одной
и той же вещи, будем символически означать так: а = Ъ или Ь = а.
Если кроме того Ъ = с, т.е. если с так же, как и я, есть символ для
вещи, означаемой знаком Ь, то а = с. Если же только что указанного
сходства объектов, означаемых символами а и Ь, не существует, то
а и Ъ называются различными: а есть объект отличный от Ь, а и Ъ -
отличен от а; в этом случае существует какое-либо свойство в одном
объекте, такое, какое в другом отсутствует.

2.	Очень часто случается, что какие-либо различные вещи а. Ь,
с. ..., из каких-либо соображений рассматриваемые с некоторой об-
щей точки зрения, сразу бывают мыслимы в нашем сознании; мы
скажем в этом случае, что вещи а. Ь, с.... образуют систему 5, и каж-
дую из них будем называть элементом-е>\\\\ все содержатся в 5, и об-
ратно 3 состоит из них.

Такая система 3 (или их совокупность, многообразие, собрание),
как объект нашего сознания, точно также является вещью (1); она
будет вполне определенной, если о каждой вещи будет известно,
является ли она элементом 3 или нет119. Системы ЗиТ будут тож-

119 Вопрос - каким образом и какими методами достигается эта определенность -
для последующего является соверешенно безразличным: подлежащие здесь развитию за-
коны от этого вовсе не зависят и будут иметь место при всяких обстоятельствах. Упоми-
наю об этом потому, что недавно проф. Кронекер (в 99-м томе Эоигпа! /иг МсХкетайк,
с. 334-336) пытался положить на свободное созидание понятий в математике некоторые
ограничения, которые я не считаю законными; но входить в подробности по этому вопро-
су будет уместно тогда, когда выдающийся математик представит мотивы для необходи-
мости или для целесообразности подобных ограничений.
дественны одна с другой - символически это означим 5 = Г, - если
каждый элемент системы 5 принадлежит и системе 7, и наобо-
рот каждый элемент системы Т есть в то же время элемент 5. Ради
большего единообразия является выгодным для последующего до-
пустить и тот исключительный случай, когда система 8 состоит из
одного только элемента а, т.е. а принадлежит 8, а каждый отличный
от а элемент ей не принадлежит. Системы же, лишенные элементов,
мы по некоторым причинам выключаем из рассмотрения, хотя для
других исследований может быть очень удобным считаться с ними.

3.	Определение. Система А называется частью системы 8, если
каждый элемент системы А есть в то же время элемент системы 8.
Так как подобное соотношение между системами А и 8 нам будет
очень часто встречаться, то мы символически будем означать его
так: А е 8. Обратный символ 5 э А, коим может быть означено то же
соотношение, мы ради ясности и простоты будем совершенно избе-
гать, но по недостатку подходящего слова будем говорить, что 8 -
целое относительной, что означает: среди элементов 8находятся все
элементы системы А. Так как каждый элемент 8 системы 8 согласно
(2) может быть понимаем как система, то мы можем также пользо-
ваться таким означением: 8 е 8.

4.	Теорема. В силу (3) очевидно А е А.

5.	Теорема. Если Ле В, а В е А. то А = В.

Доказательство вытекает непосредственно из (3) и (2).

6.	Определение. Система А называется правильной частью сис-
темы 8, если А есть часть 8, но отлична от 8.

Согласно (5) 8 не есть тогда часть Л, т.е. согласно (3) в 8 есть
такие элементы, которых нет в А.

7.	Теорема. Если А е В, а В е С, что короче можно записать -
А е В е С, то А е С, и притом Л наверное будет правильной частью С,
если А есть правильная часть 7, или если В есть правильная часть С.

Доказательство следует из 3 и 6.

8.	Определение. Под системой составной из каких-либо систем
Л, 7, С,..., которую мы будем означать символом ЗИ (А, В. С. ...),
будем понимать систему, элементы которой определены следующим
условием: вещь только тогда принадлежит системе ЗИ (Л, 7, С, ...)
как элемент, когда она является элементом какой-либо из систем -
или Л, или 7, или С, ... Допускаешь также и тот случай, когда мы
имеем дело с единственной системой Л, тогда очевидно ЗИ (А) = А.
Заметишь, что система ЗИ (Л, 7, С, ...), составленная из Л, 7, С, ...,
не должна быть смешиваема с системой, элементы коей суть сами
системы Л, 7, С, ...
9.	Теорема. Каждая из систем Л, Р, С, ... суть части системы
9Л(Л,В,С, ...).

Доказательство следует непосредственно из 8 и 3.

10.	Теорема. Если Л, В, С суть каждая части системы 5, то
Ж(А,В, С, ...)е 5.

Доказательство вытекает из 8 и 3.

11.	Теорема. Если Р есть часть какой-либо из систем Л, Р, С, ...,
то Ре ЗП(Л,Р, С, ...)•

Доказательство следует из 9 и 7.

12.	Теорема. Если каждая из систем Р, 2,... суть части какой-ли-
бо из систем Л, Р, С, ... то

ЗИ(Р, 0, ...) е Ж(А,В, С,...).

Доказательство вытекает из 11 и 10.

13.	Теорема. Если А составлена из каких-либо систем Р, 2, ...,
тоЛ е Ж(Р, ...).

Доказательство. Каждый элемент Л согласно 8 есть в то же вре-
мя элемент какой-либо из систем Р, 0,..., следовательно, согласно 8,
этот элемент будет также принадлежать и системе ЗИ (Р, 2, ...), отку-
да при помощи 3 следует доказываемая теорема.

14.	Теорема. Если каждая из систем А. В. С, ... составлена из
каких-либо систем Р, (Д то

ЗЛ(Л,Р, С, ...)еЗП(Р, 2, ...).

Доказательство следует из 13 и 10.

15.	Теорема. Если каждая из систем Р, (Д ... есть часть какой-ли-
бо из систем Л, Р, С, ..., и если в свою очередь каждая из последних
составлена из каких-либо первых, то

ЗП(Р, 2, ...) = ЗИ(Л,Р, С,...).

Доказательство следует из 12, 14 и 5.

16.	Теорема. Если Л =9П (Р, О'), а В = ЗИ (2, Р), то

ЗИ(Л,Р) = ЗИ(Р, Р).

Доказательство. В силу предыдущей теоремы 15, как ЗИ (Л, Р),
так и ЗИ (Р, Р), каждая равны ЗИ (Р, (Д, Р).

17.	Определение. Вещь § называется общим элементом для
систем А. В. С, ..., если она принадлежит каждой из систем, т.е.
и Л, и Р, и С,...

Аналогично система Т называется общим делителем систем Л,
Р, С, ..., если Тявляется частью для каждой из систем А. В. С. ...;
под общим наибольшим делителем Т систем А, В, С, ... мы понима-
ем вполне определенную систему ® (Л, В. С. ...), которая состоит из
всех элементов С, являющихся общими для каждой из систем Л, Р,
С,..., и которая, следовательно, служит общей частью тех же систем.
Здесь мы снова допускаем тот случай, когда у нас имеется одна толь-
ко система Л; в этом случае очевидно ® (А) = А. Может случиться,
что системы А. В. С, ... не имеют ни одного общего элемента, тогда
они не обладают никакой общей частью, а следовательно, не обла-
дают и общим делителем; они называются в этом случае взаимно
простыми, и символ ® (А, В, С,...) не имеет здесь смысла (сравни
конец 2). Мы почти всегда будем предоставлять читателю при встре-
чах с теоремами об общих наибольших делителях придумывать ус-
ловия их существования, а равным образом находить надлежащее
толкование этих теорем в случае отсутствия общего делителя.

18.	Теорема. Всякая общая часть А, В, С, ... есть общая часть и
®(Л,Я,С, ...).

Доказательство следует из 17.

19.	Теорема. Всякая часть ® (А, В, С, ...) есть общая часть ка-
ждой из систем А, В, С, ...

Доказательство следует из 17 и 7.

20.	Теорема. Если каждая из систем А, В, С, ... является целым
(3) относительно какой-либо из систем Р, (Д ..., то ®(Р, 2, ...) е
®(Л,Я,С,...).

Доказательство. Дело в том, что каждый элемент системы
®(Л (Д ...) является общим элементом Р, <2,..., т.е. также общим
элементом А, В, С, ..., что и нужно было доказать.

§ 2.	Отображение системы

21.	Определение120. Под отображением ср какой-либо системы
В будем понимать тот закон, согласно которому каждому определен-
ному элементу з системы В принадлежит некоторая вполне опре-
деленная вещь, которая называется изображением з и означается
символом (р (5); можно то же обстоятельство выражать словами: ср (5)
соответствует элементу з, или ср (5) получается из з путем отобра-
жения (р, или з переходит в ср (5) путем отображения ср.

Если теперь Т есть какая-либо часть В, то конечно в отображении ср
системы В должно содержаться и отображение Т, которое ради про-
стоты означим тем же символом ср, и смысл этого символа заключа-
ется в том, что каждому элементу / системы Т (и в тоже время систе-
мы 5) соответствует некоторое изображение ясно тогда, что система,
состоящая из всех изображений ср (/), будет изображением системы Т

120 Сравни П1г1ск1е1'$, Уог1е$ип§еп иЪег ХаЫеп^кеопе, 3-1е АиАа^е, 1879, § 163.
и может быть означена символом ср (Г); смысл символа ср (5) - очеви-
ден. Как на пример отображения системы можно указать, например,
на приписывание элементам системы определенных знаков или имен.
Простейшим случаем отображения системы является тот, при котором
каждый из ее элементов переходит в отображении в самого себя; такое
отображение называется тождественным. Ради удобства мы в после-
дующих теоремах 22, 23 и 24, относящихся к производимому отобра-
жению (р какой-либо системы 5, будем означать изображения элемен-
тов 5 и ее частей Т соответственно через 8' и Т’. Кроме того установим
раз и навсегда, что малые и большие буквы латинского алфавита без
значков означают соответственно элементы и части нашей системы 8.

22.	Теорема121. Если А е Д тоЛ'е В'.

Доказательство. Дело в том, что каждый элемент в А' является
изображением некоторого элемента в А, следовательно некоторого
элемента в В. а отсюда, конечно, и в В'.

23.	Теорема. Изображение системы ЗИ (А, В, С, ...) есть ЗИ (А',
В'. С'. ...).

Доказательство. Если мы означим систему

т(А.в. с....)

(которая в силу 10 является частью системы 5), через ТИ, то каждый
элемент т' ее изображения М' соответствует некоторому элементу т
системы ТИ, так как т. в силу 8, является элементом какой-либо из
систем А. В. С, .... то т' будет элементом какой-либо из систем А'.
В\С\ .... т.е., в силу 8, и т’ будет элементом ЗИ (Д', В'. С'. ...); таким
образом, в силу 3,

ТИ'е ЗИ(Л',7Г, С. ...).

С другой стороны, так как А. В. С. ... в силу 9 суть части систе-
мы ТИ, то А'. В'. С. .... согласно 22, суть части ТИ', т.е. согласно 10
система ЗИ (А'. В'. С'....) е М'. Из сопоставления этой записи с выше
сделанной, в силу 5, вытекает доказываемая теорема, т.е.

ТИ'=ЗИ(Л',Я', С. ...).

24.	Теорема122. Изображение любого общего делителя систем
А. В. С. .... а следовательно, и изображение их наибольшего общего
делителя ® (А. В. С. ...) суть делители системы ® (А'. В'. С. ...).

Доказательство. Подобного рода отображения в силу 22 суть
общие делители А'. В'. С'. ..., а потому теорема следует при помощи
18 непосредственно.

121 Сравни теорему 27.

122 Сравни теорему 29.
25.	Определение и теорема. Если ср есть отображение какой-либо
системы У а \|/ - отображение изображения 5" = (р (5), то из ср и \р полу-
чается некоторое составное123 отображение 0 системы 5, которое со-
стоит в том, что каждому элементу 8 системы 8 отвечает изображение
6(Х> = у(ф(Ж

где (р (5) = 8Г. Это отображение 0 короче можно означать или сим-
волом \|/ • ср, или \рср, также изображение 0 (у) можно означать через
хрсрС?), причем нужно обращать внимание на места букв ср и \р, так
как символ ср\р, вообще говоря, лишен смысла, и только тогда имеет
место, когда у (5") е 5.

Пусть теперь %- отображение системы \р (5") = \рср (5) и пусть г| -
отображение системы, составленное из \|/ и у, т.е. р = %ср, тогда

хб (5) = ХФ Су') = п (у) = г](р (5),
т.е. составные отображения $ и рср для каждого элемента 5 систе-
мы 5тождественны между собой, т.е. $ = рср. Эта теорема согласно
значениям символов 0 и г| может быть очень удобно выражена ра-
венством

X • ФФ = XV * Ф,
а отображение, составное из у, ср и %, можно означить кратко через
ХФФ-

§ 3.	Подобие отображения. Подобные системы

26.	Определение. Отображение ср системы 8 называется подоб-
ным или однозначным, если различным элементам а и Ь системы 8
отвечают всегда различные изображения а' = у (а) и Ь' = ф (Ь). Так
как в этом случае из равенства 8Г = всегда следует равенство 8 = 1.
то каждый элемент 8' системы 8' = ср (5) является изображением неко-
торого единственного вполне определенного элемента 8' системы 8';
на этом основании мы можем отображению ср системы 8 противопо-
ставить обратное отображение, которое мы означим через ф, систе-
мы 8'. состоящее в том, что каждому элементу 8' системы 8' отвечает
изображение ф^') = 8; это отображение очевидно также подобно.
Из предыдущего следует, что ф (5= 8. т.е. ср и ф суть сопряженно
обратны по отношению друг к другу, и, следовательно, согласно 25,
составленное сложное из ср и ф отображение фср есть тождествен-
ное отображение (21). Кроме того к § 2 можно сделать следующие
добавления с удержанием прежних обозначений.

123 Смешения составления отображений с составлением систем элементов (8) опа-

саться нечего.
27.	Теорема124. ЕслиЛ'е В\ то А е В.

Доказательство. Ведь если а есть какой-либо элемент в Л, то а’
будет элементом в Л' и, следовательно, в В\ и вместе с тем а' = Ь',
причем Ь есть элемент В: но так как из а' = Ъ' вытекает а = Ь. то каж-
дый элемент а в Л является элементом и для В, ч.т. д.

28.	Теорема. Если Л' = В\ то Л = В.

Доказательство вытекает из 27, 4, 5.

29.	Теорема125. Если С = ® (Л, Д С, ...), то

СЛ= ®(Л',В', С', ...).

Доказательство. Каждый элемент системы

®(Л',я',с',...)

во всяком случае содержится в 8', т.е. будет изображением неко-
торого содержащегося в 8 элемента & но, так как служит общим
элементом для Л', В\ С\ ..., то согласно 27, будет общим элемен-
том систем Л, В, С, а также системы вместе с тем каждый элемент
системы ®(Л', В\ С\ ...) = С'является изображением некоторого
элемента § в системе С, поэтому ® (Л', В\ С\ ...) е С', а отсюда при
помощи теорем 24 и 5 непосредственно вытекает наша теорема.

30.	Теорема. Тождественное отображение какой-либо системы -
всегда подобное отображение.

31.	Теорема. Если ср есть подобное отображение системы 8, а
V - подобное отображение системы ср (5), то из ср и ф составленное
отображение ф<р системы 5-также подобно, а соответствующее ему
обратное отображение фф = фф.

Доказательство. Различным элементам а и Ь соответствуют раз-
личные изображения а" = ср (а) и Ъ' = ср (Ъ), а этим последним в свою
очередь будут отвечать снова различные изображения = фф (а)
и	= фф(/>); ясно отсюда, что ф(р-подобное отображение. Далее

каждый элемент фф (5) = ф (д') системы фф (5) применением ф пе-
реходит в з' = (р ®), а этот последний переходит в з применением ф,
откуда следует, что фф (5) переходит в з при помощи фф, ч.т.д.

32.	Определение. Системы В и 8 называются подобными, если
существует такое подобное отображение ср системы 8, что ср (8) = В
и, следовательно, ф(7?) = 8. Очевидно, что в силу 30 всякая система
подобна самой себе.

33.	Теорема. Если Л и 8-подобные системы, то всякая система (Д
подобная с В, подобна также с 8.

124 Сравни теорему 22.

125 Сравни теорему 24.
Доказательство. Пусть ср и у - соответственные подобные ото-
бражения систем 5и 7, такие, что ср(5)=Д \р(7?) = 0. тогда (согласно 31)
\|/ф будет таким подобным отображением, что будет выполнено ра-
венство \|/(р (5) = 2, ч.т. д.

34.	Определение. Все системы мы можем разделить на классы,
именно мы будем группировать в один определенный класс все те -
и только те - системы 2, Л, 5, ..., которые все подобны некоторой
одной определенной системе К - показателю класса. В силу преды-
дущей теоремы 33, класс, очевидно, не изменится, если за показа-
тель класса будет выбрана некоторая другая, принадлежащая ему
система.

35.	Теорема. Если К и 5 - подобные системы, то всякая часть 5
будет подобна некоторой части Л; то же будет справедливо для пра-
вильных частей систем К и 5.

Доказательство. Если ср подобное отображение 5, и ср (8) = Д
и если Т е 5, то, в силу 22, система, подобная с 7, именно ср (7) е Д
если же 7 есть правильная часть системы 8. и з - некоторый не со-
держащийся в 7 элемент системы 5, то ср (5) - элемент системы Д -
в силу 27, не может содержаться в ср (7), т.е. ср (7) будет также пра-
вильной частью для Д ч.т.д.

§ 4.	Отображение системы в себе самой

36.	Определение. Если ср представляет собой подобное или
не-подобное отображение системы 5, и если ср (5) является частью
какой-либо системы 7, то мы будет называть ср отображением сис-
темы 8 в системе 7 и скажем, что 8 помощью ср отображена в 2. Мы
скажем далее, что ср - отображение системы 8 в самой себе, если
ср(5) е 8. и в этом параграфе мы исследуем общие законы такого рода
отображений, причем обозначения § 2 мы удержим и здесь, именно
мы положим (р (5) = з'. (р (7) = 7'. Изображения з'. Т\ на основании 22
и 7, снова являются соответственно элементами и частями 8. как все
означенные латинскими буквами объекты.

37.	Определение. К называется цепью, если К' е К. Обращаем
здесь внимание на то обстоятельство, что это название не приписы-
вается какой-либо определенной части К системы 8 самой по себе:
мы даем его, имея в виду только лишь определенное отображение ср;
в отношении же другого отображения системы 8 помощью себя са-
мой К очень часто может и не быть цепью.
38.	Теорема. 5 есть цепь.

39.	Теорема. Изображение К' какой-либо цепи К представляет
собой также цепь.

Доказательство. Дело в том, что из К’ е К. в силу 22, следует
также (Ку е К\ ч.т.д.

40.	Теорема. Если А есть часть цепи К, то также А' е К.

Доказательство. Из А е Л", в силу 22, следует А' е так как,
в силу 37, мы имеем К' е К, то, согласно 7, очевидно, А' е К, ч.т.д.

41.	Теорема. Если изображение А' является частью какой-либо
цепи А, то существует такая цепь К, которая удовлетворяет услови-
ям: А е К, К' е А, и система ЗЛ (А, Д может служить такой цепью К.

Доказательство. Положим, в самом деле, что К = ЗЛ (А, В), тог-
да, в силу 9, условие А е К - выполнено. Так как далее, в силу 23,
мы имеем К’ = ЗЛ (А', Ь% и так как, в виду сделанного допущения,
А' е 7и7'е Ц то, в силу 10, выполнено и другое условие К' е А,
а отсюда следует, что К' е К, так как (согласно 9) Ь е К. т.е. Л"-дей-
ствительно цепь, ч.т.д.

42.	Теорема. Система М. составленная из каких-либо цепей И, В.
С..... сама представляет собой цепь.

Доказательство. Так как (в силу 23)

м'=зл(Л',#', с;...)

и по положению А' е И, В’ е /?, С'е С, ..., то (в силу 12) имеем
М' е М. ч.т.д.

43.	Теорема. Общий наибольший делитель О каких-либо опре-
деленных цепей И, В. С, ... есть также цепь.

Доказательство. Так как (А, в силу 17,-общий делитель систем
Л, Д С, ..., то С' будет, в силу 22, делителем систем А \ В\ СД ...,
а так как по положению

А' е А, В' е В. С' е С, ...,

то (в силу 7) С'есть также делитель систем^, В. С. ...,т.е. (в силу 18)
она есть часть С, ч.т.д.

44.	Определение. Если А представляет собой какую-либо часть
системы 5, то мы означим через А0 общий наибольший делитель всех
тех цепей (например 5), для которых А является частью; очевидно,
такой общий делитель А0 существует (сравни 17), так как уже само А
является общей частью этих цепей. Так как Ао, на основании 43, есть
цепь, то мы будем называть Ао цепью системы А. Это определение
также относится к лежащему в основании строго определенному ото-
бражению (р системы 8 помощью себя самой, и на будущее время мы
ради ясности будем иногда употреблять вместо Ао символ ср0(Л); точ-
но также цепь системы Л, относящуюся к другому отображению о),
означили бы через 0)0(Л). Относительно этого очень важного поня-
тия имеют место следующие теоремы.

45.	Теорема. Система А е Ао.

Доказательство. Ведь А - общий делитель всех тех цепей, для
которых Ао является общим наибольшим делителем, а отсюда, при
помощи теоремы 18, непосредственно получаем нашу теорему

46.	Теорема. (А0)'е Ао.

Доказательство. Согласно теореме 44, система Ао - цепь (37).

47.	Теорема. Если А есть часть цепи К, то также Ло е К.

Доказательство. Дело в том, что Ао - общий наибольший дели-
тель всех тех цепей, для которых А является частью; ясно, что она
будет делителем и цепей К, для которых А есть часть.

48.	Примечание. Легко убедиться, что данное в 44 параграфе
понятие о цепи Ао~ вполне охарактеризовано теоремами 45, 46 и 47.

49.	Теорема. А' е (Ло)'.

Доказательство вытекает из 45 и 22.

50.	Теорема. А' е Ао.

Доказательство основывается на 49, 46 и 7.

51.	Теорема. Если А - цепь, то Ао = А.

Доказательство. Так как Ао - часть Л, то, в силу 47, также и
Ао е А, откуда, на основании 45 и 5, теорема очевидна.

52.	Теорема. Если В е Л, то В е Ло.

Доказательство основывается на 45 и 7.

53.	Теорема. Если В е Ло то В() е Ао и обратно.

Доказательство. Ведь если Ло - цепь, то из В е Ло, в силу 47,
также и50 е Ло обратно, еслие Ло, то также и В е Ло в силу 7, так
как (согласно 45) В е В^.

54.	Теорема. Если В е Л, то В() е Ао.

Доказательство основывается на 52 и 53.

55.	Теорема. Если В е Ао, то также и В’ е Ло.

Доказательство. Согласно 53, мы имеем е Ло, а так как (со-
гласно 50) В' е В& то, на основании 7, теорема - очевидна. Тот же
самый результат мы получим, пользуясь 22, 46 и 7 или 40, как это
легко видеть.

56.	Теорема. Если В е Ао, то также и (7?0)' е (Ло)'.

Доказательство основывается на 53 и 22.

57.	Теорема и определение. Всегда имеет место равенство
(Ло) '= (А т. е. изображение цепи системы Л есть вместе с тем и цепь
изображения системы Л. Мы будем означать эту систему просто че-
рез Л '0, а называть будем ее по произволу или изображением цепи.
или цепью изображения. При более отчетливом означении, данном
в параграфе 44, та же самая теорема могла бы быть записанной так:
ф(ф0(Л)) = ф0(ф(^))-

Доказательство. Пусть (Л')о = Ди мы знаем, на основании 44,
что А есть цепь; кроме того (в силу 45) А' е Ц вместе с тем, в силу 41,
существует такая цепь К, которая удовлетворяем условиям-Л е К
иК'е Ц поэтому, в силу 47, также и Ао е К, т. е. (Ло)' е К\ и (в силу 7)
(Л0)'е Дт.е.

(Л)'6 СП0-

С другой стороны, (в силу 49) А" е (Ао)' и кроме того (Ао)' есть
цепь, в силу 44 и 39; поэтому, пользуясь еще (47), мы имеем также

(Аоу.

Сопоставляя две только что сделанные окончательные записи,
мы в силу (5) получаем доказываемую теорему.

58.	Теорема. Ао = ЗИ (А, А '0), т. е. цепь системы А составлена из А
и из изображения цепи А.

Доказательство. Положим ради краткости

1=Л'0 = (Л0)' = (Л%,

и пусть К = ЗИ (А, А). Мы знаем на основании 45, что А' е А, а так как
А - цепь, то тоже самое будет иметь место и для Д далее (в силу 9)
А е К и, следовательно, в силу 47, также и

АоеК.

С другой стороны, (согласно 45) А е Ао, а также, согласно 46,
А е Ао, поэтому, в силу 10,

КеА0.

Теперь теорема - очевидна, так как К = Ао (5).

59.	Теорема о полной индукции. Для того, чтобы доказать, что
цепь А0 является частью какой-либо системы Е-последняя может быть
или не быть частью какой-либо системы 5, - достаточно показать, что

2) А е Е, и

о) изображение каждого элемента, общего системам Ао и Д слу-
жит элементом также и для самой Е.

Доказательство. Если условие (2) имеет место, то, в силу 45,
непременно существует общий наибольший делитель С = ® (Ао, Е),
и притом (в силу 18) А е С; так как, кроме того, в силу 17,

СеА0,

то С будет частью нашей системы 5, которая посредством ср отобра-
жена в себе самой; в силу 55, также будем иметь еще С' е Ло. Если
же и условие (о) выполнено, т.е. если С' е Е, то О', как делитель
систем Ао и Е, в силу 18, будет делителем их общего наибольшего де-
лителя С, т.е. С есть цепь (37), а так как, как мы уже выше заметили,
А е С, то, в силу 47, также и
откуда, комбинируя записи, относящиеся к Ао и С, получаем, что
С = Ло, т.е., в силу 17, действительно Ао е Е, ч.т.д.

60. Предыдущая теорема представляет собой, как это обнару-
жится позже, научное основание для доказательства, известного под
именем полной индукции (заключения от п к п + 1); она может быть
формулирована следующим образом: для того, чтобы доказать, что
все элементы цепи А0 обладают некоторым определенным свойством
& (или что теорема @, в которой идет речь о некоторой неопреде-
ленной вещи п, законна для всех элементов п цепи Ло), достаточно
показать, что

(2) все элементы а системы А обладают свойством & (или что
теорема @ - законна для всех а) и

(о) свойство 9% которым обладает каждый элемент п системы А0,
принадлежит также и изображению п'этого элемента п (или что тео-
рема @, как только она законна для элемента п системы А0, наверное
законна и для изображения этого последнего

В самом деле, если мы через Е означим систему всех вещей, об-
ладающих свойством 2? (или тех, для коих имеет место теорема @),
то полное согласие только что данной формулировки теоремы с фор-
мулировкой, данной выше, обнаруживается непосредственно.

61.	Теорема. Цепь системы ЗИ (А, В. С, ...) есть система ЗИ (Ло,
в0,с0,...).

Доказательство. Если мы означим первую систему через М,
а последнюю через К, то К, в силу 42, будет несомненно цепью. Так
как каждая из систем Л, В, С,..., в силу 45, является частью какой-ли-
бо из систем Ло, В& Со, ..., и так как кроме того Ме К, в силу 12, то,
в силу 47,

А7()е К.

С другой стороны, в силу 9, каждая из систем Л, Д С, ..., служит
частью М, т. е., в силу 45 и 7, каждая будет частью цепи А7(); в силу 47,
очевидно каждая из систем Ло, В& Со, ..., будет частью 7И0, а вместе
с тем, в силу 10,

Ке КД.

При помощи 5, комбинируя интересующие нас записи, видим,
что

м0=к.

62.	Теорема. Цепь системы ® (Л, В. С. ...) будет частью системы
@(Л0,50,С0,...).

Доказательство. Означим первую систему через С, а вторую -
через К; К, в силу 43, представляет собой цепь. Так как каждая из
систем Ао, Во, Со, ... является целым, в силу 45, относительно соот-
ветствующих систем Л, В. С. ..., и так как кроме того (20) С е К, то,
в силу 47, необходимо Со е К. ч.т.д.

63.	Теорема. Если К' е А е К, т. е. если К есть цепь, то и А - также
цепь. Если же А - правильная часть К. и если 17- система всех тех
элементов К. которые отсутствуют в А, если далее цепь [^-правиль-
ная часть К. а V- система всех тех элементов К, которых нет в [70, то
К = 9Л ([/0, V) и А = 9Л ([/'0, V). Наконец, если А = К’. то V е V.

Доказательство этой теоремы, которой мы равно как и двумя
предыдущими, пользоваться вовсе не будем, предоставляем произ-
вести читателю.

§ 5. Конечное и бесконечное

64.	Определение126. Система В называется бесконечной, если
она подобна какой-либо правильной своей части (32); в противном
случае В называется конечной системой.

65.	Теорема. Всякая система, состоящая из одного элемента,-
конечна.

Доказательство127. Такая система не обладает никакой правиль-
ной частью (2, 6).

66.	Теорема. Существуют бесконечные системы.

Доказательство. Наш мир представлений, т.е. совокупность В
всех тех вещей, которые могут быть объектами нашей мысли, - бес-
конечен. Дело в том, что, если 8 есть элемент системы В. то мысль
8' об 5, как о предмете нашего сознания, сама является элементом
системы В. Если теперь мы будем рассматривать 8' как изображение
(р (Р) элемента 5, то тогда мы получим в ср некоторое определенное
отображение системы В. обладающее тем свойством, что изображе-
ние В' является частью В. и притом В' очевидно - правильная часть В.
так как в В существуют такие элементы (например наше собственное
«я»), которые отличны от всякой такой мысли 8'и, следовательно, не

126 Если бы мы хотели пользоваться здесь понятием о подобных системах, то мы
могли бы сказать еще так: 8 называется бесконечной, если в ней существует такая часть
(правильная) (6), в которой может быть однозначно отображена сама система 8 (26, 36).
Я сообщил об этом определении «бесконечного», являющимся ядром всех моих иссле-
дований, в 1882 году г. Г. Кантору, а несколькими годами ранее гг. Шварцу и Веберу. Все
другие известные мне попытки положить различие между «конечным» и «бесконечным»
кажутся мне настолько мало удачными, что я отказываюсь подвергать их критике.

127 Подобные соображения находятся в § 13 Рагас1ох1еп Зек 11пепс111скеп хоп ВоЬапо
(Ье1рх1& 1851).
содержатся в 5'. Наконец очевидно, что, если а и Ь - различные эле-
менты в 5, то их изображения а’ и Ъ'-также различны, т.е. отобра-
жение (р - однозначно (подобно) (27). Таким образом 5-бесконечна.

67.	Теорема. Если К и 5 - подобные системы, то К - конечна или
бесконечна, смотря по тому, конечна 5 или бесконечна.

Доказательство. Если 5 - бесконечна, т.е. подобна некоторой
своей части 5', то, так как К и 5- подобны, 5', согласно 33, должна
быть подобна Л, и, в силу 35, она подобна некоторой части Л, кото-
рая в свою очередь, в силу 33, подобна с Л, т.е. К - действительно
бесконечна.

68.	Теорема. Всякая система 5, обладающая бесконечной час-
тью 7, - бесконечна; другими словами, всякая часть конечной систе-
мы - конечна.

Доказательство. Если Т-бесконечна, т.е., если существует такое
однозначное отображение \|/ системы 7, что \|/(7)-правильная часть 7,
то мы можем, если 7-часть 8, это отображение \|/ превратить в более
полное (р, полагая, если 8 -элемент системы 5,9(5) = 9(5) или ср (я) = 5,
смотря по тому, принадлежит 8 системе 7 или нет. Новое отображе-
ние будет очевидно однозначным; в самом деле, если а и Ь- различ-
ные элементы 8, то, если они в то же время принадлежат системе 7,
изображение ср (а) = \|/ (а) отлично от ср (/?) = \|/ (/>), так как \|/ - одно-
значное отображение; далее, если а принадлежит 7 а Ь не принадле-
жит, то (р (а) = у(а) отлично от (р(6) = Ъ, так как \|/ (а) содержится в 7;
наконец, если ни а. ни Ь не принадлежат 7, то также ср (а) = а отлично
от (р (й) = Ь, что нужно было показать. Теперь \р(7) е 7, т. е., в силу 7,
также и часть 5, а потому очевидно, что ср (5) е 8. Затем у (7) - пра-
вильная часть 7, поэтому в 7 существуют такие элементы Л а следо-
вательно и в 8, которые не заключаются в системе у (7) = ср (7); а так
как изображение 9(5) всякого не содержащегося в 7 элемента 8 есть
само 8, т.е. отлично от Л то Л вообще говоря, не может заключаться
в (р (5). Таким образом ср (5) - правильная часть, и, следовательно,
5- бесконечна.

69.	Теорема. Всякая система, которая однозначна с некоторой час-
тью какой-либо конечной системы, сама конечна.

Доказательство основывается на положениях 67 и 68.

70.	Теорема. Если я-элемент системы 8, и если 7-совокупность
всех отличных от а элементов в 5-конечна, то 5-также конечна.

Доказательство. Мы должны показать (согласно 64), что, если
(р - какое-либо однозначное отображение 8 в себе самой, то изобра-
жение (р (5) или 8' никогда не может быть правильной частью 8, но
всегда = 8. Очевидно 5 = ЗИ (а, Т) и, следовательно, при означении
изображений буквами со значками, в силу 23, система 8' = ЭЛ (а’. Т').
и в силу однозначности отображения ср элемент а’ не заключается
в Г (26). При допущении, что 8' е 8, элемент а’. а также и всякий эле-
мент Т'. должны равняться или а или одному из элементов Т. Если,
поэтому, а не содержится в Т'. - мы сначала разберем этот случай-то
Т' е 7, и, следовательно, необходимо Т' = 7, так как ср - однозначное
отображение и так как 7- конечная система; далее мы заметили уже
выше, что а' не заключается в 7'; следовательно, оно не заключается
и в 7, откуда а’ = а. т.е. в данном случае действительно 8' = 8. В про-
тивоположном случае, когда а содержится в 7' и, следовательно,
является изображением Ь' некоторого содержащегося в 7 элемента
Ь. мы означим через V совокупность всех элементов и системы 7
отличных от Ь; тогда Т=ЭЛ(Ь, Ц)н (согласно 15) 5 = ЭЛ (а. Ь. Ц). сле-
довательно 8' = ЭЛ а. СТ7). Определим теперь новое отображение
\|/ системы 7, полагая \|Д7) = а’ и вообще \|/(а) = и’. тогда (в силу 23)
\|/ (7) = ЭЛ СТ7). Очевидно, что у - однозначное отображение, так
как таковым было ср, и так как а не заключается в Е а следовательно
а'-в 1/г.

Так как далее а и каждый элемент и - отличны от Ь. то (в силу
однозначности ср) а’ и каждый элемент и’ - отличны от а. т.е. они
заключены в 7; поэтому \р(7) е 7, а так как 7-конечно, то \р(7) = 7,
т.е. ЭЛ (а*. иг)=Т. Отсюда имеем (15), что ЭЛ (а*. а. СТ7) = ЭЛ (а. Т). т.е.
в силу равенства 8' = ЭЛ а. Ц) видим, что 8' = 8. Таким образом
и в этом случае теорема доказана.

§ 6.	Просто бесконечные системы.
Ряд натуральных чисел

71.	Определение. Система ТУ называется просто бесконечной.
если существует однозначное отображение ср системы в себе са-
мой такое, что оказывается цепью (44) некоторого элемента, от-
сутствующего в (р (ТУ). Мы назовем этот элемент - в последующем
мы будем означать его символом 1 - основным элементом, а система
просто бесконечная ТУ благодаря такому отображению ср будет приве-
дена в порядок. Если мы удержим прежние удобные обозначения для
изображений и цепей (§ 4), то сущность просто бесконечной систе-
мы ТУ заключается в существовании некоторого отображения ср си-
стемы ТУ и некоторого элемента 1, причем должны быть выполнены
следующие условия а, р, у, 8:

а. ТУ' е ТУ.

В.ТУ = 10.
у. Элемент 1 отсутствует в ТУ7.

8.	Отображение ср - однозначно (подобно).

Из условий а, р, у, 8 непосредственно видно, что всякая просто
бесконечная система ТУ - действительно бесконечная система (64),
так как она подобна своей правильной части №.

72.	Теорема. В каждой бесконечной системе 5 просто бесконеч-
ная система ТУ заключается как часть.

Доказательство. Согласно 64 существует такое однозначное
отображение ср системы 8, что ср (5) = 8' будет правильной частью
в 8; существует, поэтому, такой элемент 1 в 8, которого нет в 8'. Оче-
видно, что цепь ТУ = 10, соответствующая такому отображению ср
системы 8 в себе самой (44), есть просто бесконечная помощью ср
приведенная в порядок система, так как характеристические условия
и. 71 - а, Р, у, 8-здесь все выполнены.

73.	Определение. Если мы при рассмотрении какой-либо си-
стемы №, просто бесконечной и приведенной в порядок помощью
отображения ср, совершенно отвлечемся от особенных свойств ее
элементов, а исключительно обратим внимание только лишь на их
различимость друг от друга и примем в расчет лишь те соотноше-
ния, в которые они вступают друг с другом благодаря приводящему
в порядок систему отображению ср, то тогда элементы системы назы-
ваются натуральными или (ординальными) порядковыми числами,
или же просто числами, а основной элемент 1 называется основным
числом числового ряда № Считая числа свободными от всякого ино-
го содержания (абстрагируя), мы можем очевидно с полным правом
считать числа за свободное создание нашего духа (чистый продукт
нашей мысли).

Соотношения или законы, которые будут выводимы исключи-
тельно из условий а, р, у, 8 в и. 71 и которые в силу этого будут
одними и теми же для всех приведенных в порядок просто бесконеч-
ных систем независимо от того, какие названия приписать случайно
выбранным из системы отдельным элементам (сравни 134), состав-
ляют ближайшую задачу науки о числах - арифметики.

Пользуясь понятиями и теоремами § 4, относящимися к отобра-
жению системы в себе самой, мы сейчас же получаем непосред-
ственно ряд следующих теорем, в которых под а, Ь. ....т.п. ... мы
будем понимать всегда элементы №. т.е. числа, под А. В. С.... - части
системы №, а под а'. Ь'..... т'. п'. .... А', В', С', ...-соответствующие
им изображения, получаемые помощью приводящего в порядок сис-
тему отображения ср; под изображением п' некоторого числа п мы
будем понимать следующее за п число.
74.	Теорема. Всякое число п, согласно 45, содержится в его цепи
и0 и в силу 53 условие п е т0 равнозначно с условием п^ е т().

75.	Теорема. В силу 57, имеем п^ = (и0)' =

76.	Теорема. я'о е п^ на основании 46.

77.	Теорема. /7() = ОТ (Д, п'^) на основании 58.

78.	Теорема. Ы = ОТ(1, А7), т.е. всякое число, отличное от ос-
новного числа 1, является элементом №, т.е. служит изображением
некоторого числа.

Доказательство основывается на 77 и 71.

79.	Теорема. А представляет собой единственную числовую
цепь, в которой содержится основной элемент 1.

Доказательство. Действительно, если 1 - элемент какой-либо
числовой цепи А, то в силу 47 соответствующая ему цепь А е А, но
тогда А = К, так как само собой понятно, что А е А.

80.	Теорема о полной индукции (заключение от п к п ^). Для
того, чтобы доказать, что какая-либо теорема - законна для всех чи-
сел п какой-либо цепи /77(), достаточно показать, что

2) она законна для п = т и

б) из справедливости ее для какого-либо числа п цепи /?7() всегда
следует справедливость ее для следующего числа п'.

Эта теорема получается непосредственно из более общих тео-
рем 59 и 60. Нам чаще всего будет представляться тот случай, когда
т = 1, т.е. /77()- полный числовой ряд А.

§ 7.	Большие и меньшие числа

81.	Теорема. Всякое число п - отлично от следующего за ним
числам'.

Доказательство помощью полной индукции. Действительно,

2)	теорема-истинна для числа п = 1, так как оно не заключается
в № (70), в то время как следующее число Г, как изображение содер-
жащегося в А числа 1, является элементом А';

б)	если теорема истинна для какого-либо числа п, и если мы по-
ложим следующее число п' =р. то п отлично отр. а отсюда, в силу 26,
на основании подобия (71), приводящего в порядок систему отобра-
жения (р, следует, что п\ т.е. р. также отлично отр'. Таким образом,
теорема-законна и для следующего за п числа.

82.	Теорема. В цепном изображении п'^ некоторого числа п на-
ходится изображение последнего (в силу 74, 75), но не само число п.

Доказательство помощью полной индукции. Действительно,
2)	теорема - истинна для случая п=\. так как Го = АГ' и, в силу 71,
основное число 1 в ТУ' отсутствует;

б)	если теорема-истинна для некоторого числа п. и если мы по-
ложим п' = р. то п в /?() не содержится, т.е. оно отлично от всякого
содержащегося в р{} числа причем в силу подобия (однозначности)
отображения ср следует, что п\ т.е. р. отлично от всякого содержа-
щегося в р'о числа т.е. оно в р'о не заключается. Таким образом
теорема-справедлива и для следующего за п числом р. ч.т.д.

83.	Теорема. Цепное изображение п'о есть правильная часть
цепи п^.

Доказательство вытекает из 76, 74 и 82.

84.	Теорема. Из т0 = п^ следует т = п.

Доказательство. Так как т заключается в т0 (74) и

/77о = /7о = ® п о)

на основании 77, то, если бы теорема была ложной, т.е. т было бы
отлично от п. т должно бы было заключаться в цепи и'о, и тогда на
основании 74 имели бы т0 е п'0, т.е. и и0 е п'0, но этот результат про-
тиворечит теореме 83; таким образом наша теорема доказана.

85.	Теорема. Если число п не заключается в числовой цепи К, то
К е п’ц.

Доказательство помощью полной индукции. Действительно,

2) теорема в силу 78 - истинна для п= 1;

б)	если теорема справедлива для какого-либо числа п, то она
справедлива и для следующего числар = п\ так как, если р не заклю-
чается в числовой цепи К, то на основании 40 также и п не заклю-
чается в АГ, а потому, в силу нашего предположения, К е /?'о, а так
как (на основании 77) п’{}= р{} = ОТ (р.р'0), т.е. К е ОТ (р.р'0), ир не
содержится в К. то К е />'о, ч.т.д.

86.	Теорема. Если число п не заключается в числовой цепи К, но
его изображение п' заключается, то К = п^.

Доказательство. Так как п не содержится в К, то (в силу 85) Ке п '0,
а так как п' е К, то и п'0 е Кв силу 47, откуда вытекает К = п'®.

87.	Теорема. Во всякой числовой цепи К существует одно и толь-
ко одно (по 84) число к. такое, что его цепь к{} = К.

Доказательство. Если основное число 1 содержится в цепи К, то
(на основании 79) К=К= 10. В противном случае пусть 7будет систе-
ма всех чисел отсутствующих в К; так как основное число 1 заклю-
чается в 2 и 2 является лишь правильной частью числового ряда К,
то 2 не может быть цепью (по 79), т. е. 7' не может быть частью для 2;
поэтому в 2 должно существовать такое число п, изображение
которого отсутствует в2и, следовательно, наверное есть в К. Так как п
находится в 2и, следовательно, отсутствует в К, то (на основании 86)
К=пг^ т.е.к = п'.

88.	Теорема. Если т и п - различные числа, то (по 83 и 84) одна
и только одна из цепей т0, является правильной частью другой,
притом или е т'о, или т0 е п'ц.

Доказательство. Если п содержится в т0, т.е., на основании 74,
также е т0, то т не может заключаться в цепи (так как ина-
че, в силу 74, было бы было бы т0 е т.е. тогда было бы т0 =
и, следовательно, (в силу 84) т равнялось бы и), а отсюда следует, на
основании 85, что е т'о. В противоположном случае, когда п не
содержится в цепи т0, мы непосредственно видим, что (на основа-
нии 85) т0 е

89.	Определение. Число т называется меньшим числа п, а число
п большим числа т, если выполнено условие

/70е т'о,
которое может быть также, на основании 74, выражено еще так
п е т '0.

Символически означим это так:

т < п и п > т.

90.	Теорема. Если т и п - какие-либо числа, то существует один
и только один из следующих случаев X, ц, V:

X. т = п, п = т, т.е. т0 =

[I. т < п, п > т, т.е. п® е т'0,

V. т > п. п < т, т.е. т0 е п'0.

Доказательство. Ведь если имеет место случай X (84), то ни слу-
чай ц, ни случай V не имеют места, так как никогда не может быть,
чтобы /?0 е п '0 (83). Если же случай X места не имеет, то, в силу 88,
может иметь место один и только один из случаев - или ц или V.

91.	Теорема, п<п’.

Доказательство. Здесь условие для случая V в 90 будет удовлет-
ворено равенством т = п’.

92.	Определение. Для того, чтобы выразить, что т или равно п,
или меньше п, но не больше п, пользуются означением

т < п или же п > т
и говорят, что т не больше п.ъпне меньше т.

93.	Теорема. Каждое из условий

т < п. т < п\ л® е т()
равнозначно с каждым из остальных.

Доказательство. Если т < п. то из условий X и ц в 90 всегда сле-
дует е т0, так как (по 76) т '0 е т{}.
Обратно, если п® е т.е., в силу 74, также п е /77(), то из ра-
венства /77() = ОТ (/77, т'о) следует, что или п = т, или же п е т'о, т.е.
п > т. Таким образом условие т < п равнозначно с е т(). Далее из 22,
27 и 75 вытекает, что это же условие е /77() равносильно с я'о е т’о,
т.е. (в силу ц в 90) оно равнозначно с т < п\ ч.т.д.

94.	Теорема. Каждое из условий
т'<п, тг<п\ т< п
равнозначно с каждым из других.

Доказательство вытекает непосредственно из 93, если мы там за-
меним /77 через /77 \ и из р в 90.

95.	Теорема. Если I < т и т < /?, или если I < т и т < /?, то I < п.
Если же I < т и т < /?, то I < п.

Доказательство. Дело в том, что из условий, эквивалентных
данным теоремами (89 и 93) /77() е /'0 и /?0 е /77() следует (в силу 7)
/?0 е /'0; то же самое мы получим из условий /77() е /'0 и /?0 е /77(), так
как в силу первого из них т '0 е /'0. Наконец из /77() е /0 и /?0 е /77 () так-
же получаем /77() е /0, ч.т.д.

96.	Теорема. В каждой части Т системы существует одно
и только одно наименьшее число к. т.е. такое число, которое меньше
всякого другого числа, находящегося в Т. Если Т состоит из некото-
рого единственного числа, то это число и есть наименьшее.

Доказательство. Так как Г() представляет собой цепь (44), то по
теореме 87 существует такое число к. цепь которого к{} = Т^. Так как
отсюда (в силу 45, 77) следует, что Те ОТ (^ ^'0), то к должно оче-
видно заключаться в Т(так как иначе было бы Те к'^ т.е., в силу 47,
также Г() е к'^ и выходило бы, что к() е к'^ что, в силу 83, невозмож-
но), а всякое отличное от к число системы Т должно находиться в к’^
т.е. быть больше к на основании 89; имея в виду еще 90, мы видим,
что действительно существует одно только наименьшее число в Т.

97.	Теорема. Наименьшим числом цепи /?0 служить /?, а наимень-
шим из всех чисел является основное число 1.

Доказательство. В силу 74 и 93, условие т е равнозначно
ст>п, или же наша теорема вытекает непосредственно из доказатель-
ства предыдущей, так как, если положим Т= то очевидно к = п (51).

98.	Определение. Если п - какое-либо число, то мы будем озна-
чать символом систему всех тех чисел, которые не больше /?, т.е.
не содержатся в

Условие

тЕ 2„’
в силу 92 и 93, очевидно равнозначно с каждым из следующих условий:
т <п, т < п, л® е т^.
99.	Теорема. 1 е и п е 2п.

Доказательство следует из 98 или же из 71 и 82.

100.	Теорема. Каждое из равнозначных (согласно 98) условий
т е 2^, т < п. т < п \ п® е т0
равнозначно также с условием

2 е 2 .
т п

Доказательство. Дело в том, что, если т е 2^, т.е. т < п. и если
I е 277, т. е. I < т, то (в силу 95) I < п. т. е. I е 2 если поэтому т е 2^, то
каждый элемент I системы 2;/ является также элементом системы 2 ,
т.е. действительно 2;/ е 2 . Обратно, если 2;/ е 2 , то в, силу 7, также
т е 2 , так как (в силу 99) т е 2 , ч.т.д.

101.	Теорема. Условия X, ц, V, данные в 90, могут быть выражены
также следующим образом:

X. т = и, и = т, 2т = 2^,

ц. т < п, п > т, 2 , е 2 ,

V. т > п. п < т. 2п, е 2т.

Доказательство вытекает непосредственно из 90, если мы при-
помним, что, в силу 100, условия /7() е /77() и 2т е 2л равнозначны.

102.	Теорема. 2^1.

Доказательство. По 99 основное число 1 заключается в 2р каждое
же отличное от 1 число, в силу 78, заключается в 1’0, т.е., в силу 98,
в 2Х не содержится.

103.	Теорема. В силу 98 имеем У = ОТ (2^, и'о).

104.	Теорема, п = ОТ (2 , и0), т.е. п- единственный элемент, об-
щий системам 2л и п^.

Доказательство. Из 99 и 74 следует, что п содержится и в 2
и в и0; каждый же отличный от п элемент цепи в силу 77, заклю-
чен в и'о, поэтому, в силу 98, он отсутствует в 2 .

105.	Теорема. На основании 91 и 98 число п'не заключено в 2 .

106.	Теорема. Если т < п. то 2т правильная часть 2 , и обратно.

Доказательство. Если т < п. то (в силу 100) 2т е 2^, а так как (99)
число п. содержащееся в 2 , находиться в системе 2т не может (98),
так как п > т, то 2 -правильная часть 2 . Обратно, если 2 -правиль-
ная часть 2 , то т < п. в силу 100, и, так как т не может равняться п.
иначе было бы также 2т = 2 , то т должно быть меньше п.

107.	Теорема. 2л - правильная часть 2

Доказательство вытекает из 106, так как п < п' (91).

108.	Теорема. 2л, = ОТ (2^, п").

Доказательство. Ведь всякое в 2 , содержащееся число, в силу
(98), <п\ и, следовательно, в силу 98, оно является элементом 2?;
поэтому наверное 2 ОТ (2 , п*). А так как обратно (107) 2л е 2 ,,
и п' е 7 ,, (в силу 99), то согласно (10) 9Л (7 , п) е 7 ,, откуда при
помощи 5 имеем теорему доказанной.

109.	Теорема. Изображение 7' системы 7л есть правильная
часть системы 7 ,.

Доказательство. Каждое в 7’ содержащееся число служит изо-
бражением т' некоторого числа т, содержащегося в 7 , и так как т<п,
т.е. (в силу 94) и т' < п\ то отсюда видно, что 7' е 7 ,, в силу 98.
А так как число 1 находится в 7л в силу 99, но по 71 не может нахо-
диться в изображении 7', то 7' - правильная часть 7 ,.

110.	Теорема. 7л, = 9Н (1, 7'„).

Доказательство. Каждое отличное от 1 число системы 7 ,, в си-
лу 78, является изображением т' некоторого числа т, а это послед-
нее должно быть не больше п. т. е. по 98 оно должно содержаться в 7л
(так как иначе будет т < и, т.е. по 94 также будет и т' > п\ следова-
тельно, т' (по 98) не содержалось бы в 7 ,); далее из т е 7л следует
также т' е 7', поэтому наверное

Но с другой стороны, 1 е 7', по 99 и 7' е 7 , по 109, поэтому
(в силу 10) 9Л (1, 7') е 7 ,; теперь ясно, в силу 5, что теорема наша
истинна.

111.	Определение. Если в некоторой системе чисел Е существу-
ет элемент который больше всякого другого содержащегося в Е
числа, то § называется наибольшим числом системы Е\ в силу 90
очевидно, что такое наибольшее число в Е может быть только одно.
Если система состоит из единственного элемента, то этот элемент
и будет наибольшим числом системы.

112.	Теорема. В силу 98, число п - наибольшее в системе 7 .

113.	Теорема. Если в Е существует наибольшее число то
Ее \

Доказательство. Ведь каждое содержащееся в Е число < поэ-
тому, в силу 98, оно должно находиться в 7 .

114.	Теорема. Если Е- часть системы или если существует,
что одно и тоже, такое число п. что все содержащиеся в Е числа не
больше п. то Е обладает некоторым наибольшим числом

Доказательство. Система всех тех чисел р. которые удовлет-
воряют условию Ее 7 - а согласно предположению таковые су-
ществуют - есть цепь (37), так как, в силу 107 и 7, следует, что и
Е е 7р,. поэтому она равна (в силу 87), в которой § будет наимень-
шим из этих чисел (96 и 97). Так как Е е 7^, то каждое содержащееся
в Е число не больше § (98), и мы должны только показать, что чис-
ло § само заключается в Е. Это непосредственно видно, если § = 1,
так как тогда 2^, в силу 102, а следовательно также и Е состоят из
единственного числа 1. Но если § - отлично от 1 и следовательно,
в силу 78, является изображением/' некоторого числа/ то (по 108)
Е е ОТ (2^, ^); если бы теперь § не содержалось в Е. то было бы Е е 2^
и тогда, следовательно, среди чисел р существовало бы такое чис-
ло/ которое было бы меньше (91), но это противоречит вышеска-
занному; поэтому § содержится в Е.

115.	Определение. Если I < т, а т < п, то мы скажем что т ле-
жит между 1ип (также между п и /).

116.	Теорема. Не существует ни одного числа, которое бы лежа-
ло между п и п ’.

Доказательство. Как только т < п \ т.е. т < п по 93, то в силу 90
невозможно, чтобы было п < т.

117.	Теорема. Если / -некоторое число в 7, но не наименьшее
(96), то существует в Т одно и только одно ближайшее к / и меньшее
его число 5, т.е. такое число, что 8 < /; и в Тнет ни одного числа, ле-
жащего между 8 и /. Точно также, если / есть некоторое не наиболь-
шее (111) число в системе 7, то в той же 7 существует всегда одно
и только одно наивозможно близкое и большее / число и, такое, что
/ < г/, и в тоже время нет ни одного числа в 7 лежащего между / и и.
Таким образом в системе 7число / будет ближайшим большим, чем 5,
и ближайшим меньшим, чем и.

Доказательство. Если /-не наименьшее число в 7, то пусть бу-
дет Е система всех тех чисел системы 7, которые меньше 7; тогда
(на основании 98) Е е 2^, поэтому (114), в Е существует некоторое
наибольшее число 5, которое очевидно обладает свойствами, данны-
ми теоремой, и причем такое число - единственно. Если же / - не
наибольшее в 7, то по 96 среди чисел 7 существуют такие, которые
больше /, и среди них есть одно наверное наименьшее г/, которое,
будучи одно только, удовлетворяет условиям, выраженным в теоре-
ме. Справедливость заключительного в теореме замечания очевидна.

118.	Теорема. В ТУ число п' ближайшее большее, чем п, и п бли-
жайшее меньшее, чем п

Доказательство вытекает из 116и 117.

§ 8.	Конечные и бесконечные части числового ряда

119.	Теорема. Всякая система 2? в 98 - конечна.

Доказательство помощью полной индукции (80). Действительно,
2. теорема-истинна для п = 1 на основании 65 и 102;

б. если 2^-конечна, то из 108 и 70 следует, что 2^-также конечна.
120.	Теорема. Если тип- различные числа, то 2т и X ? суть не-
подобный системы.

Доказательство. Ради симметрии допустим, что т < п, тогда по
106 система 2Д - правильная часть 7 , а так как - конечна по 119,
то, в силу 64, системы %т и суть неподобные системы.

121.	Теорема. Всякая часть Е числового ряда которая облада-
ет наибольшим числом (111), - конечна.

Доказательство вытекает из 113, 119 и 68.

122.	Теорема. Всякая часть 17 числового ряда ТУ, которая не обла-
дает наибольшим числом, - просто бесконечна (71).

Доказательство. Если г/- какое-нибудь число в 17, то по 117 в 17
существует одно и только одно ближайшее большее, чем г/, число,
которое мы означим через \|/ (г/) и будем рассматривать его как изо-
бражение и. Только что нами вполне определенное отображение \|/
системы 17 очевидно обладает свойством

а. у(г/) <=

т.е. 17будет отображено помощью \|/ в себе самой. Если далее и и у-
различные числа в 17, то мы положим ради симметрии (по 90), что
и < г; тогда по 117 из определения \|/ следует, что \|/ (и) < у и у < \|/ (у),
т.е., в силу 95, у (и) < у (у). Таким образом, в силу 90, изображения
у (г/) и (р(у) различны, т.е.

8.	отображение у - однозначно (подобно).

Если теперь их - наименьшее число (96) системы 17, то всякое в 17
содержащееся число и > и{, а так как вообще и < у(г/), то (в силу 95)
< у(г/), т.е. (в силу 90) отлично от у(г/), т.е.

у. элемент системы 17 не содержится в у(ЕД

Таким образом \|/( V) - правильная часть системы 17, и поэтому,
в силу 64, система 17- бесконечная система. Если мы теперь соглас-
но с 44 означим через \|/0(Ю соответствующую отображению \|/ цепь
системы V, где V- какая-либо часть 17, то нам остается еще только
показать, что

р. и=\и0(«1)-

В самом деле, так как всякая такая цепь \|/0(Ю на основании ее
определения (44) является частью системы 17, отображенной в себе
самой помощью \|/, т° ясно, что ^0(^1) € в свою очередь из 45
очевидно, что находящийся в 17 элемент наверное принадлежит
также и но допустим противное, что существуют в 17 такие
элементы, которых нет в Т0ГДа среди них, в силу 96, должно
быть наименьшее число гг, и так как оно в силу только что сказан-
ного отлично от - наименьшего числа системы 17, то по 117 в 17
должно быть ближайшее число у, меньшее чем гг, т.е. и’ = \|/(у), но
так как у < гг, то у, на основании определения уу, должно находиться
в а отсюда, в силу 55, следует, что у(у), т.е. уу также должно
находиться в у0(гц), но этот результат противоречит определению уу,
поэтому выше сделанное предположение ложно; таким образом
V е у0(гц) и следовательно V = у0(гц), как утверждает теорема. Из
условий а, р, у и 8 согласно 71 вытекает, что Vявляется приведенной
в порядок помощью просто бесконечной системой.

123.	Теорема. В силу 121 и 122, какая-либо часть Т числового
ряда ТУ-конечна или бесконечна смотря по тому, существует или нет
в системе наибольшее число.

§ 9.	Определение отображения числового
ряда помощью индукции

124.	Во всем последующем мы будем означать по-прежнему ма-
лыми латинскими буквами числа и вообще удержим все обозначения
предыдущих § § 6-8, в то же время под мы будем понимать произ-
вольную систему, элементы коей могут и не содержаться в №

125.	Теорема. Если 0 - произвольное подобное или неподобное
отображение некоторой системы в себе самой, и если нам задан
некоторый вполне определенный элемент о) в системе ^, то каждому
числу п соответствует одно и только одно отображение у соответ-
ствующей числовой системы 7, , определенной в 98, удовлетворяю-
щее следующим условиям128:

! е О,

П. у„(1) = со,

III. у = Оф (1), если I < п, причем знак 0у имеет значение,
обрисованное в 25.

Доказательство помощью полной индукции (80). Действительно,
2. теорема - истинна для п = 1: в этом случае, в силу 102, систе-
ма 7л состоит из единственного числа 1, и отображение V! поэтому
вполне определено условием II и притом так, что условие I - выпол-
нено, а условие III вовсе отпадает;

б. если теорема - справедлива для какого-либо числа п, то пока-
жем, что она законна также и для следующего числар = п', причем
начнем с доказательства того, что может существовать одно только
соответствующее отображение ур системы 2^. В самом деле, если
отображение ур удовлетворяет условиям:

128 Ради ясности мы здесь и в последующей теореме 126 ввели отдельно условие I,
хотя в сущности оно - следствие условий II и III.
!'• (2 ) е а,

II'. ур(1) = ®,

ПГ. \ур (т') = вур(гп) при т <р,
то в нем содержится также (в силу 21 и потому, что 7^ е 7р (107))
отображение системы 7 , которое очевидно удовлетворяет тем же са-
мым условиям I, II, III, как и у , а потому оно совершенно совпадает
с у , поэтому для всех чисел, в 7^ содержащихся, т.е. тех чисел т,
кои меньше ри<п, должно быть

(»0
и, как частный случай,

^(«)= ж„(«)-	(«)

Так как далее р, на основании 105 и 108, есть единственное в си-
стеме 7р число, отсутствующее в 7п, и так как в силу III' и (п) должно
быть также еще

Чр(р) =	(д)

то справедливость нашего утверждения о существовании единствен-
ного только отображения ур системы 7^, удовлетворяющего условиям
Г, 1Г и ПГ, обнаруживается сейчас же, так как ур только что выведен-
ными условиями (т) и (р) вполне сводится на у . Теперь мы должны
показать, что обратно этими условиями (т) и (р) вполне определенное
отображение ур системы 7р действительно удовлетворяет условиям
Г, 1Г и ПГ. Очевидно условие Г получается из (т) и (р) с обращением
внимания на I и на то, что 0(0) е О. Точно так же условие 1Г вытекает
из (т) и II, так как число 1 по 99 находится в 7. Справедливость же
условия ПГ для чисел т меньших п вытекает из (т) и III, а для остаю-
щегося еще числа т = п вытекает из (/?) и (и). Таким образом всем вы-
шеизложенным мы добились того, что из справедливости нашей тео-
ремы для числа п следует ее справедливость для следующего числар.

126. Теорема об определении помощью индукции. Если 0-про-
извольное (подобное или неподобное) отображение некоторой сис-
темы в себе самой, и если св - некоторый определенный элемент
в ^, то существует одно и только одно отображение у числового
ряда ТУ, удовлетворяющее условиям:

I.	(ТУ) е

II.	\|/(1) =

III.	у (п^) = Оу (и), где п -означаем любое число.

Доказательство. Если действительно существует такое отобра-
жение у, то в нем (по 21) должно заключаться также отображение у/?
системы 7 , удовлетворяющее данным в 125 условиям I, II и III, тог-
да, так как существует всегда одно и только одно такое отображение
у , необходимо мы должны иметь
00

Так как этим \|/ - определено совершенно, то отсюда следует,
что такое отображение \|/ может быть только одно (сравни заключе-
ние 130). Что, обратно, определенное условием (п) отображение у
удовлетворяет также нашим условиям I, II и III, - вытекает с легко-
стью из (п) при обращении внимания на доказанные свойства I и II,
равенство (р) в 125.

127.	Теорема. При сделанных в предыдущей теореме предполо-
жениях имеет место равенство

у(Г) = 0<О,
где Т- какая-либо часть числового ряда

Доказательство. Если / означает всякое число системы 7, то
у(Т') состоит из всех элементов \|/(О, а 0у( Л из всех элементов 0\|/(7);
отсюда следует наша теорема, так как \|Д7') = 0у(О (согласно III в 126).

128.	Теорема. Если мы удержим те же предположения и если мы
будем означать через 0О цепи (44), которые соответствуют отображе-
ниям 0 системы И в себе самой, то

ж(У) = б0(®).

Доказательство. Помощью полной индукции (80) мы прежде
всего покажем, что

Ж(М е 0О(®),
т.е. что всякое изображение \Дп) является элементом 0о(о)). Действи-
тельно,

2.	эта теорема-истинна для случая п= 1, так как (в силу 126.11)
\|/(1) — со и так как (согласно 45) со е 0о(со);

б. если теорема справедлива для какого-либо числа п, т.е. если
\|ДД) е 0о(со), то согласно 55 также 0(у(я)) е 0о(со), т.е. (на основании
126.Ш) у(я') е 0о(со), и мы видим, что теорема верна также для сле-
дующего числа п'.

Для того, чтобы доказать далее, что каждый элемент у цепи 0о(со)
содержится в \|/(7У), т.е. что

О0(со) е
мы опять воспользуемся полной индукцией, именно применим к си-
стеме И и к отображению 0 теорему 59. Действительно,

2. элемент св = \|/(1) заключается в \|/(А);

б. если у-элемент общий цепи 0о(св) и системы \|/(А), то V = у(я),
где п означает какое-либо число, а отсюда, в силу 126.Ш, следует,
что 0(у) = 0\|/(л?) = у(пг), т.е. 0(у) также принадлежит системе \|/(7У). Из
доказанных теорем

\|/(А0 е е0(со) и е0((й) е

в силу 5, вытекает желаемое: у (Д) = 0О (ю).
129.	Теорема. При тех же самых предположениях вообще имеет
место равенство

у(л0) = ОоС'иШ

Доказательство помощью полной индукции (80). Действительно,
2. теорема справедлива на основании 128 для /7=1, так как
10 = ТУи \|/(1) = св;

2. если теорема справедлива для какого либо числа п, то

0 (у(п0)) = 0(0^))),
а так как, в силу 127 и 75,

0(жОо)) =	о)’

на основании же 57 и 126.Ш

0(0о(ж(^))) = 0о(0(ж(^))) = 0о(жОг Э),
то наше первое равенство преобразуется в

ЖО'0) = 0О(Ж(^ Э)?

т.е. теорема справедлива также для числа п\ следующего за п.

130.	Замечание. Прежде чем приступить к важнейшим прило-
жениям теоремы об определении помощью индукции, доказанной
в 126, (§ § 10-14), следует обратить внимание на одно обстоятель-
ство, благодаря которому только что упомянутая теорема существен-
ным образом отличается от теоремы об индукции, доказанной в 80,
или же в 59 и 60, как бы ни казалось родство между ними очень
близким.

В самом деле, теорема 59 является вполне общей для всякой цепи
Ло, если только А служит какой-либо частью некоторой - помощью
произвольного отображения ср отображенной в себе самой - систе-
мы 8 (§ 4); совершенно иначе обстоит дело с теоремой 126, которая
предполагает только существование лишенного противоречий (од-
нозначного) отображения \|/ просто бесконечной системы 10. Если бы
мы захотели (при удержании прежних предположений относительно
И и0)в этой теореме вместо числового ряда 10 взять произвольную
цепь Ао из некоторой цепи упомянутой выше 5 и определить \|/, -
отображение, системы Ао в ^, например, совершенно так же, как это
сделано в 126, II и III, т.е. чтобы

2.	каждому элементу а в А соответствовал определенный вы-
бранный из элемент \|/ (а), и

б. для каждого находящегося в Ао элемента п и его изображения
п' = ср(/7) имело место условие \|/(^') = 0(жОО), то очень часто нам слу-
чалось бы вовсе не иметь такого отображения \|/, так как условия 2 и
б могут противоречить друг другу даже тогда, когда бы мы ограни-
чили свободу выбора соответствия в пункте 2 надлежащим образом,
имея в виду б. Вот пример, достаточный для того, чтобы убедиться
в сказанном. Если система 5, состоящая из двух различных элемен-
тов а и Ь. с помощью ср отображена в себе самой так, что а’ = Ь.
Ь'= а, то очевидно а^ = Ь^ = 5; пусть далее состоящая из трех элемен-
тов а, Р и у система (1 помощью 0 также отображена в себе самой так,
что 0(а) = р, 0(Р) = у, 0(у) = а; если теперь мы будем искать такое ото-
бражение системы в ^, чтобы \|/(а) = а и. кроме того, чтобы для
всякого содержащегося в элемента т всегда было у (я = 0\|/(л?)9 то
мы сейчас же натолкнемся на противоречие: дело в том, что для п
= а имеем \|/ (й) = 0(а) = Р, а отсюда для п = Ь имеем \|/(а) = 0(Р) = у,
между тем как \р(а) = а.

Но если отображение \|/ системы Ао в ^, удовлетворяющее усло-
виям 2 и б без противоречия, существует, то из 60 без затруднений
видно, что оно - вполне определено, потому что, если отображе-
ние х удовлетворяет тем же самым условиям, то мы имеем вообще
Х(п) = у(я), так как эта теорема на основании 2 законна для всех со-
держащихся в А элементов п = а и так как она в силу своей законно-
сти для элемента п системы Ао на основании б законна также и для
его изображения п’.

131. Для того, чтобы обрисовать ясней поле применимости на-
шей теоремы 126, мы здесь прибавим к сказанному одно рассужде-
ние, которое является полезным также и для других исследований,
например, для так называемой теории групп.

Мы рассматриваем систему ^, элементы коей находятся между
собой в известного рода связи, обнаруживающейся в том, что из не-
которого элемента у под влиянием некоторого элемента о) получается
всегда снова вполне определенный элемент той же самой системы
который мы означим через о) • у или агу и который, вообще говоря,
нужно отличать от у®. Мы можем понимать это еще в том смысле,
что каждому определенному элементу о) соответствует некоторый
вполне определенный, например, помощью отображения системы 6
в себе самой, которое означим через 6, элемент у, если только каж-
дый элемент у дает вполне определенное изображение 6 (у) = юу.

Если мы применим теперь к системе и ее элементу о) теорему
126, заменяя в последней означенное через 0 отображение нашим 6,
то каждому числу п будет отвечать некоторый вполне определенный,
содержащийся в ^, элемент \|/ (я), который мы теперь означим через
и временно назовем я-й степенью со; это понятие вполне опреде-
лено наложенными на него условиями

II.	со' = о,

III.	о)"'=о)оД

а его существование обосновано доказательством теоремы 126.
Если же вышеупомянутая связь элементов обладает еще и таким
свойством, что для произвольных элементов ц, V и © всегда выполне-
но ©(уд) = (оуу)ц, то имеют место также такие теоремы

со77 = со77®, со777 ®77 = со77® 777;
доказательство их легко производится помощью полной индукции
(80), и мы предоставляем произвести его читателю.

Предыдущее общее рассуждение можно непосредственно при-
менить к следующему примеру. Если 8- система произвольных эле-
ментов, а -соответствующая система, элементы которой представ-
ляют собой все отображения у системы 8 в себе самой (36), то эти
элементы составляются по способу 25, так как у (8) е 8, и так как из
таких отображений V и (о составное отображение соу снова является
элементом ^. Тогда все элементы ©"являются также отображениями
8 в себе самой, и мы скажем, что они происходят путем повторения
отображения Мы хотим теперь обнаружить ту простую связь, ко-
торая существует между этим понятием и понятием о цепи ®0 (Л),
обрисованном в п. 44, причем А снова будет означать у нас какую-
либо часть 8. Если мы означим ради краткости произведенное путем
отображения со" изображение ©"(Л) через Л ,, то из III и 25 видно,
что со (Ап) = Ап,.

Отсюда помощью полной индукции (80) мы легко увидим, что
все эти системы Ал суть части цепи ®0(Л). Действительно,

2. это утверждение, в силу 50, имеет место для п = 1, и

б. если оно имеет место для числа п, то из 55 и из условия
А , = о)(Ал) вытекает, что оно справедливо также и для следующего
числа т?'.

Далее, в силу 45, Л е ®0(Л), поэтому из 10 вытекает, что системах,
составленная из всех изображений Л , является частью системы
®0(Л). Обратно, так как (в силу 23) © (X) составляется из ®(Л) = А{
и всех систем ©(Л^) = А т. е., в силу 78, из всех систем А . которые по 9
суть части X, то (в силу 10) © (X) е X, таким образом X есть цепь (37),
а так как Ле X по 9, то, в силу 47, следует также, что ®0(Л) е X
Иными словами © (Л) = X, т.е. имеет место следующая теорема:
«Если © - какое-либо отображение системы 8 в себе самой, а Л - ка-
кая-либо часть системы 8, то соответствующая отображению © цепь
системы Л состоит из Л и всех получающихся помощью повторения
отображения © изображений ©"(Л)».

Предоставляем читателю с этим новым пониманием цепи прий-
ти к прежним теоремам 57 и 58.
§ 10.	Классы просто бесконечных систем

132.	Теорема. Все просто бесконечные системы подобны число-
вому ряду ТУ, а следовательно друг другу (33).

Доказательство. Пусть просто бесконечная система И помощью
отображения 0 приведена в порядок (71), и пусть о) будет ее основ-
ным элементом; если мы через Оо означим снова отображение соот-
ветствующих цепей (44), то, в силу 71, имеет место следующее:

а.	0^) е

₽• = боС®)’

у. со отсутствует в О(^);

8.	отображение 0 однозначно.

Если \|/ означает определенное в 126 отображение числового
ряда ТУ, то из р и 128 имеем сейчас же

Ж(О =

и мы должны только еще показать, согласно 32, что \|/ есть одно-
значное отображение, т.е. (26) что различным числам т и п соот-
ветствуют различные изображения \|/(/7?) и у(я). Ради симметрии мы,
согласно 90, допустим, что т > п, т.е. т е /?'о и доказательство теоре-
мы сводится лишь к обнаружению того, что у (и) не входит в у(и'о),
т.е. не входит в Оу(яо) в силу 127. Докажем это для всякого числа п
помощью полной индукции (80). В самом деле,

2.	эта теорема - справедлива согласно у для п=\. так как \|/( 10) = св
И у(10) =

б.	если теорема - истинна для какого-либо числа п, то она име-
ет место также для следующего числа п'\ если бы у(пг), т.е. 0у(я),
содержалось в 0\|/(и'о), то, в силу 8 и 27, в у(я’о) должно бы было
входить у(я), между тем наше допущение говорит нам как раз про-
тивоположное.

133.	Теорема. Всякая система, которая подобна некоторой просто
бесконечной системе, а следовательно, в силу 132, 33, также и число-
вому ряду Д представляет собой систему просто бесконечную.

Доказательство. Если И - некоторая подобная числовому ряду
Д система, то, согласно 32, существует такое подобное отображение
\|/ системы Д что

I.	у(ТУ) = О,
положим еще

II.	\|/(1) =

Если мы означим символом \|/, согласно 26, обратное, также по-
добное (однозначное) отображение системы ^, то каждому элементу
V системы И соответствует некоторое определенное число \|/ (у) = п,
такое, которого изображение у(п) = V. Далее числу п отвечает неко-
торое вполне определенное число п' = (р(и), следующее за п. а это-
му п' в системе в свою очередь отвечает определенный элемент у
(пУ таким образом каждому элементу V системы соответствует
некоторый определенный элемент у (я) той же самой системы, кото-
рый мы, как изображение V, означим через 0 (у). Этим самым отобра-
жение 0 системы в себе самой совершенно определено129, и для
доказательства нашей теоремы мы должны только показать, что
помощью 0 становится просто бесконечной приведенной в порядок
системой (71), т.е. что все приведенные в доказательстве 132 усло-
вия а, р, у и 8 - выполнены.

Условие а непосредственно усматривается из определения 0.
Так как, далее, каждому числу п соответствует элемент V = у(и), Для
которого имеет место 0(у) = у(/7% то вообще должно иметь место
равенство

III.	у(я') = 0у(я),
откуда видно, имея в виду еще I, II и а, что отображения 0 и у удов-
летворяют всем условиям теоремы 126; поэтому условие Р вытекает
из 128 и I.

Согласно 127 и I имеем

= Оу (А) = 0(0),

а присоединяя сюда условие II и подобие отображения у, мы полу-
чаем условие у, так как иначе у(1) заключалось бы в у(А% но тог-
да и число 1 должно было бы находиться в А' (27), что невозможно
(по 71, у). Наконец, если ц и V-элементы системы О, а т и я-соот-
ветствующие числа-их изображения, т.е. у(т) = ц, у (я) = V, то из
допущения 0(ц) = 0 (у) следовало бы у(т') = у(я') (см. выше), откуда
в силу подобия у и (р имели бы: т' = п' и т = п, но тогда ц = у. Таким
образом условие 8 также имеет место.

134.	Замечание. На основании двух предшествующих теорем
132 и 133 все просто бесконечные системы представляют очевидно
класс в смысле 34. Далее, обращая внимание на 71 и 73, мы видим,
что каждая теорема о числах, т.е. об элементах п некоторой, при по-
мощи отображения у приведенной в порядок, просто бесконечной
системы А, и притом такая теорема, в которой мы отвлекаемся совер-
шенно от специальных свойств элементов п и ведем речь только лишь
о понятиях, основанных на идее порядка, обладает вполне общей за-
конностью также и для всякой другой помощью отображения 0 пра-

129 Очевидно 0 согласно 25 составлено из ц, (риу, т.е. есть \|др \|/.
вильно распределенной просто бесконечной системы элементы
коей V; причем переход от системы ТУ к системе И происходит помо-
щью изученного в132и133 отображения \|/, которое каждый элемент
п системы превращает в некоторый элемент V системы И (пример:
перевод какой-либо арифметической теоремы с одного языка на дру-
гой). Этот элемент V мы можем назвать /7-м элементом в системе
а само число п есть п-е в числовом ряде. То же самое значение, каким
обладает в отношении законов системы отображение \|/, такое, что
за каждым элементом п следует строго определенный ср (я) = п \ будет
иметь в отношении тех же самых законов системы И отображение О,
полученное при помощи отображения \|/, если только за элементом п,
преобразованным в V = у(я), следует новый элемент 0(у) = \р(^% пре-
образованный из поэтому мы имеем полное право сказать, что_ср
помощью \|/ превращено в 0, что символически выражается 0 = \|др\|/
или (р = \|/Оср.

После всего сказанного мы думаем, что данное в 73 определение
понятия о числах вполне обосновано. Перейдем теперь к дальней-
шим применениям теоремы 126.

§ 11. Сложение чисел

135.	Определение. Ближайшей задачей является применение об-
рисованного в 126 отображения \р числового ряда ТУ, которое можно
представить как некоторую вполне определенную функцию у (/?),
к тому случаю, когда означенная там система ^, в которой содер-
жится изображение у(ТУ), представляется самим числовым рядом IV,
так как для такой системы И отображение 0 системы в себе самой
мы уже имеем, именно отображение 0 в этом случае будет как раз
тем отображением ср, благодаря которому ТУ становится приведенной
в порядок просто бесконечной системой (71 и 73). В этом случае
Л = ТУ, 0(/з) = ф(/?) = /?' и таким образом

I.	у(ТУ) е ТУ;

остается только еще для полного определения \р выбрать по произ-
волу элемент о) из ^, т. е. из М\ Если мы положим со = 1, тогда \р будет
тождественным отображением (21) системы IV, так как оно вообще
удовлетворяет условиям:

ж(1)= 1 и у(л') = (у(и))'

благодаря равенству \р (п) = п. Если же мы хотим произвести какое-
либо другое отображение \р системы IV, то за о) нужно выбрать ка-
кое-либо отличное от 1 содержащееся в ТУ' согласно 78 число т',
причем само т означает какое-либо число (не изображение). Так как
отображение \|/, очевидно, зависит от выбора этого числа т, то мы
означим изображение \Дп) произвольного числа п символом т + п
и назовем это число суммой, получаемой из числа т прибавлением
числа п, или просто суммой чисел тит?. Она, согласно 126, вполне
определена условиями130:

II.	т + 1 = т'г

III.	т + п' = (т + п)'.

136.	Теорема т' + п = т + п'.

Доказательство помощью полной индукции (80). Действительно,
2. теорема верна для п = 1, так как (в силу 135. II)

т' + 1 = (тУ = (т + 1)',

а, в силу 135.III,

(т + 1)' = т + 1'

б.	если теорема верна для какого-либо числа п, и если мы поло-
жим следующее число п' =р, то

т' + п = т + р,

т.е. также должно быть и

(т' + п) = (т +р)';

в силу 135. III,

т' + р = т+р’,

т.е. теорема верна и для следующего числар.

137.	Теорема,т'+ п = (т + пу.

Доказательство основывается на 136 и 135.III.

138.	Теорема. 1 + п = п’.

Доказательство помощью полной индукции (80). Действительно,
2. теорема верна, согласно 135. II, для п = 1;

б. если она верна для числа п, и если мы положим р = п', то
1 + п = р, следовательно, (1 + пУ = р\ и, в силу 135. II, 1 + р = р', т.е.
теорема верна для следующего числа.

139.	Теорема. 1 + п = п+ 1.

Доказательство следует из 138 и 135.11.

140.	Теорема, т + п = п + т.

Доказательство с помощью полной индукции (80).

2. Теорема верна, согласно 139, для п = 1.

130 Настоящее, непосредственно на теореме 126 основанное определение сложения
кажется нам простейшим. При пользовании развитым в 131 понятием можно сумму т+п
определить также через (рДт) или через ф/л/(/7), причем <р имеет вышеуказанное значение.
Для доказательства полного согласия этих определений с вышеданным, нужно только (со-
гласно 126) показать, что, если (рДт) или ф'Д/?) мы означим через т0 будут выполне-
ны условия \|/(1) /л?', \|/ (/?') ср\|т(/7), что помощью полной индукции (80), имея в виду 131,
легко можно получить.
б. Если она верна для какого-либо числа п. то сейчас же следует
(т + пУ= (п + т)\ т.е. (в силу 135. III)

т + п' = п + т\

а (в силу 136) т + п' = п' + т, т.е. теорема верна для следующего
чис-ла п'.

141. Теорема. (/ + т) + п = I + (т + п).

Доказательство помощью полной индукции (80).

2. Теорема истинна для /7=1, так как (согласно 135. II, III)
(/ + т) + 1 = (/ + т)'= 1 + (т + 1).

б. Если она законна для какого-либо числа п, то сейчас же полу-
чаем

((/ + т) + п)' = (/ + (т + п)У,

или, в силу 135. III,

(1 + т) + п' = 1 + (т + п)'= 1 + (т + п^
т.е. теорема-верна для следующего числа.

142. Теорема, т + п > т.

Доказательство помощью полной индукции (80).

2. Теорема-верна для п = 1 в силу 135.11 и 91.

б. Если она верна для какого-либо числа /7, то она верна, в силу 95,
также и для следующего п\ ибо (135. III и 91)

т + п' = (т + п)' > т + п.

143. Теорема. Условия т>аыт + п>а + п равнозначны.

Доказательство помощью полной индукции (80).

2. Теорема на основании 135.11 и 94 справедлива для п = 1.

б. Если она верна для какого-либо числа /7, то она законна также
и для следующего п\ так как условие т + п > а + /7, согласно 94, рав-
нозначно с (/77 + пУ > (а + п)\ т.е., в силу 135. III,

т + п’ > а + п’.

144.	Теорема. Если т > а и п > Ъ, то также

т + п> а + Ъ.

Доказательство. Из наших предположений, согласно 143, следует
т + п> а + птлп + а. > Ь + а,

или (в силу 140) а + п > а + Ъ. откуда, согласно 95, вытекает наша
теорема.

145.	Теорема. Если т + п = а + /7, то т = а.

Доказательство. Если бы т не равнялось а. то по 90 или т > а.
или т < а; соответственно этому по 143 было бы или

т + п > а + п или т + п < а + /7,
что противоречит положению.

146.	Теорема. Если I > щ то существует одно и только одно
(по 145) число т такое, что т + п = I.
Доказательство помощью полной индукции (80).

2.	Теорема-верна для /7 = 1, ибо, если I > 1, т.е. (89) если I нахо-
дится в №, т.е. является изображением т' некоторого числа т. то из
135. II вытекает, что 1 = т+ 1.

б. Если теорема верна для какого-либо числа п, то покажем, что
она верна для следующего п’. Ведь, если I > п'. то, по 91 и 95, также
I > /7, и, следовательно, должно быть такое к. что условие I + к= п
выполнено. Так как к отлично от I (138) (иначе было бы I = п'), то
оно, по 78, является изображением т' некоторого числа т. и, следо-
вательно, / = т' + п или / = т + п'по 136.

§ 12.	Умножение чисел

147.	Определение. После того, как в предыдущем § 11 мы на-
шли бесконечную систему новых отображений числового ряда
в себе самом, мы можем каждым из них, согласно 126, снова вос-
пользоваться с целью произвести еще новые отображения \|/ системы

Для этого мы полагаем □ = ТУ и 0(/7) = т + п = п + т, где т - неко-
торое определенное число, причем во всяком случае очевидно снова
I. у(ТУ) е ТУ.

Остается для полного определения \|/ еще только выбрать по про-
изволу элемент о) из № Простейшим случаем будет тот, когда мы
этот выбор поставим в известное согласие с выбором 0, именно мы
положим со = /77. Так как здесь вполне определенное отображение \|/
зависит от этого числа т, то мы означим соответствующее произ-
вольному числу п изображение \|/(т7) символом т х п, или т х п. или
т • 77, и назовем это число произведением, которое происходит из
числа 7/7 умножением на число п. или короче произведением чисел
тип. Последнее, в силу 126, очевидно совершенно определено ус-
ловиями

II. 777 • 1 = 777,
III. тп’ = тп + т.

148.	Теорема, т’п = тп + п.

Доказательство помощью полной индукции (80).

2.	Теорема-справедлива для п = 1 согласно 147. II и 135. II.

б.	Если она справедлива для какого-либо числа п, то мы имеем
т’п + т’ = (пт + 77) + т’.

а отсюда (в силу 147. III, 141, 140, 136, 141, 147. III) получаем

777'77' = 77777 + (77 + 777 = 77777+ (т’ + п) = 1ПП + (777 + п’) =

= (тп + 777) + 77' = 77777' + 77',
т.е. теорема-законна и для следующего числа п’.
149. Теорема. 1 • п = п.

Доказательство помощью полной индукции (80).

2. Теорема-истинна, в силу 147. II, для п=

б. Если теорема справедлива для какого-либо числа п, то сейчас
же имеем 1 -п + 1 =п + 1, т.е. (на основании 147. Ши 135.11) 1 -п^п’.
Таким образом, теорема истинна и для следующего числа п'.

150. Теорема, тп = пт.

Доказательство помощью полной индукции (80).

2. Теорема по 147.11 и 149 справедлива для п=

б. Если она законна для какого-либо числа п, то несомненно, что
тп + т = пт + т,

т.е. (по 147. III и 148) тпг = т'п. Теорема справедлива, следователь-
но, и для следующего числа п'.

151. Теорема. 1(т + п) = 1т + 1п.

Доказательство помощью полной индукции (80).

2. Теорема (по 135. II, 147. III и 147. II) справедлива для п=

б. Если она справедлива для какого-либо числа щ то мы имеем
1(т + п) + 1 = (1т + 1п) + /,

но по 147. Ши 135. III

1(т + п) + 1 = 1(т + п)' = 1(т + п^,
апо 141 и 147. III

(1т + 1п) + I = 1т + (1п + /) = 1т + 1п',
таким образом 1(т + пг) = 1т + 1пД.е. теорема справедлива также для
следующего числа п'.

152.	Теорема, (т + п)п = т1 + п1.

Доказательство вытекает из 151 и 150.

153.	Теорема. (1т)п = 1(тп).

Доказательство помощью полной индукции (80).

2.	Теорема-верна (по 147. II) для п=

б. Если она верна для какого-либо числа п, то получаем
(1т)п + 1т = 1(пт) + 1т

или (по 147. III, 151 и 147. III) имеем

(1т)п' = 1(тп + т) = 1(п1п’\
т.е. теорема верна и для следующего числа п'.

154.	Замечание. Если бы мы в 147 не допускали вовсе соотно-
шения между со и 0, а положили бы со = /< и 0(я) = т + щ то, в силу 126,
мы получили бы менее простое отображение у числового ряда
для числа 1 имели бы у (I) = /с, а для всякого другого, представленно-
го в виде п\ было бы ^(п^ = тп + к. и, обращая внимание на преды-
дущие теоремы, мы легко убедились бы, что условие \\/(пг) =	(я),

т.е. (п^ = т + у (я), удовлетворяется для всех чисел п.
§ 13.	Возвышение в степень чисел

155.	Определение. Если мы снова в теореме 126 положим
И = М со = б/ и 0(я) = ап = па. то мы получим отображение \|/ систе-
мы которое, во всяком случае, удовлетворяет условию

I.	у(АЭ е Ы

Соответствующее изображение у(п) числа п мы означим симво-
лом ал и назовем это число степенью числа а. называемого основа-
нием. число п называется показателем а. Это понятие совершенно
определяется условиями

II.	ах = а.

III.	ал> = а • ал = ал • а.

156. Теорема. ат + л = ат • ал.

Доказательство помощью полной индукции (80).

2. Теорема по 135. II, 155. III и 155. II справедлива для п = 1;

б. Если она справедлива для какого-либо числа п. то имеем

ат + л-а = (ат - ал} а.

По 155. Ши 135. III

ат + п -а = а(т + пУ = ат + л'.

а по 153 и 155. III

(ат • ал) • а = ат (а • а) = ат • ал>.

т. е. ат + л> = ат> • ал>- следовательно теорема справедлива также и для
следующего числа п'.

157. Теорема. (ат)л = атл.

Доказательство помощью полной индукции (80).

2. Теорема-истинна по 155. II и 147. II для п =

б. Если она - справедлива для какого-либо числа п. то мы имеем
сейчас же

(ат)лат = атл • ат.

но (по 155. III)

(ат)лат = (ат)пг.

а (по 156 и 147. III)

^тп . ат — ^тп + т — ^тп'

т. е. (а"1)'1' = атл>'. следовательно теорема справедлива также и для сле-
дующего числа п'.

158. Теорема. (аЪ}л = алЬл.

Доказательство помощью полной индукции (80).

2. Теорема истинна (по 155. II) для п=

б. Если она справедлива для какого-либо числа п. то (по 150, 153
и 155. III) имеем также

а(алЬ1Г) = (а • ал)Ьл = ал'Ьл.
и отсюда

((аЬ)”а)Ь = Дп'ЬпД>.

Далее (по 153 и 155. III)

((аЪУ1 • а)Ь = (аЪ}п(аЪ) = (аЪу1'
также

(ап'ЬпД> = ап' • (Ъп • Ь) = апЪп\
т.е. (аЪУ1' = ап> • Ьп\ т.е. теорема верна и для следующего числа п.

§ 14. Число элементов конечной системы

159. Теорема. Если Е - некоторая бесконечная система, то ка-
ждая из определенных в 98 числовых систем Хл однозначно отобра-
жаема в Е (т.е. подобна некоторой части Е), и обратно.

Доказательство. Если Е-бесконечна, то, в силу 72, наверное су-
ществует такая часть Т в Е, которая-просто бесконечна, т.е. (по 132)
подобна числовому ряду ТУ, а потому (по 35) каждая система 7 , как
часть 7, подобна некоторой части в Т и следовательно подобна неко-
торой части в Е.

Доказательство обратной теоремы, хотя оно и кажется простым,
гораздо сложней. Если всякая система 2л однозначно отображаема
в Е, то каждому числу п соответствует такое однозначное отображе-
ние а системы 7 , что а (7 ) е Е. При существовании некоторого
такого данного нам для исследований ряда таких отображений ал,
относительно которых мы ничего в дальнейшем не предполагаем,
мы выводим при помощи теоремы 126 существование нового ряда
таких отображений у , которые обладают следующим специальным
свойством: всякий раз, как только т < п. т.е. (по 100) 7т е 7 , отобра-
жение у части 7^ заключается (21) в отображении \|/ системы 7 ,
иными словами отображения и \|/ для всех, содержащихся в 7 ,
чисел совершенно друг с другом совпадают, и всегда будет

Чт(т) = У„(т).

Для того, чтобы упомянутую теорему применить для этой цели,
мы будем понимать под И такую систему, элементами коей являются
все вообще возможные однозначные отображения в системе Е всех
систем 7 , а с помощью данных нам, также заключающихся в ^, эле-
ментов а мы определим отображение 0 системы И в себе самой сле-
дующим образом. Если р есть какой-либо элемент из ^, например,
представляет собой какое-либо однозначное отображение в Е опре-
деленной системы 7 , то система я ,(7 ,) никак не может быть частью
системы Р(7Д так как тогда (по 35) система 7 , была бы частью для
7 , т.е. она (по 107) была бы подобна своей правильной части, еле-
довательно была бы бесконечной, но это противоречит теореме 119.
Поэтому в 7 , наверное существует одно число или несколько раз-
личных чисел р. таких, что ил,(р) не заключается в Р(7??); из этих чи-
сел р мы выбираем - исключительно ради определенности - всегда
наименьшее к (96) и, так как 7Дпо 108) состоит из Хл и п\ опреде-
ляем отображение у системы 7 , под тем условием, чтобы для всех
содержащихся в 7^ чисел т изображение у(т) = В(т) и кроме того
у(пг) = а (к); такое, очевидно, однозначное отображение у в системе Е
системы 7 , мы рассматриваем как изображение Оф) отображения Р;
этим самым отображение 0 системы И в себе самой вполне опреде-
лено.

После того, как фигурирующие в 126 вещи И и 0 нами опреде-
лены, мы выбираем, наконец, для означенного там через о) элемент
из системы И; тогда отображение \|/ числового ряда ТУ в системе
И (по 126) становится вполне определенным: оно, если мы соответ-
ствующее изображение у(п) произвольного числа п означим теперь
через у , удовлетворяет условиям

II. \|/1 = ар
Ш.у„,= е(уД

Помощью полной индукции (80) мы увидим сейчас, что у - од-
нозначное отображение системы 7^ в X. Действительно,

2. это - справедливо в силу II для п= 1,

б. если же наше утверждение имеет место для какого-либо чис-
ла п, то из III и в силу характера описанного выше перехода 0 от р
к у вытекает, что утверждение справедливо также и для следующего
числа т?'.

Точно также мы покажем помощью полной индукции (80), что,
если т - какое-либо число, то вышеупомянутое свойство

действительно имеет место для всех чисел п >т, т.е., в силу 93 и 74,
для всех чисел цепи т(). Действительно,

2. это непосредственно очевидно для п = т, и

б. если это является свойством некоторого числа, то из III и в силу
свойства 0 снова видно, что оно принадлежит также и числу п'.
Теперь, установив специальное свойство наших новых рядов ото-
бражений у , мы в состоянии очень просто доказать нашу теорему.

Мы определяем отображение х числового ряда, заставляя каж-
дому числу п соответствовать изображение х (п) = \|/ очевидно
(по 21) все отображения \|/ заключаются в этом отображений х» Так
как у было отображением 7^ в X, то мы непосредственно видим,
что числовой ряд ТУ помощью х равным образом отображен в X, т.е.
Х(7У) е Е. Пусть далее т и п-различные числа, и допустим ради сим-
метрии по 90, что т < и; тогда в силу предыдущего х(/7?) = ут(т) =
= ^л(т\ х 00= Ж„00; но так как было однозначным отображением
7^ в Е, а т и п - различные элементы системы 7 , то у (т) отлично
от у (и), т.е. Дт) отлично от х(^), иными словами х - однозначное
отображение системы ТУ. Но так как ТУ-бесконечная система по 71,
то по 67 то же самое законно и для подобной ей системы х(ТУ), а сле-
довательно по 68, так как х(ТУ)-часть Е, законно также и для Е.

160.	Теорема. Система Е - конечна или бесконечна смотря по
тому, существует ей подобная система 7^ или нет.

Доказательство. Если Е-конечна, то по 159 существует такая
система 7 , которая не может быть однозначно отображена в Е; так
как по 102 система 7] состоит из единственного числа 1 и, следо-
вательно, является однозначно отображаемой в каждой системе, то
наименьшее число к (96), для которого система 7^ не отображается
однозначно в Е, должно быть отлично от 1, т.е. по 78 должно рав-
няться некоторому п\ и так как п < п' по 91, то очевидно существует
некоторое подобное (однозначное) отображение \|/ системы 7^ в Е;
если бы теперь у(7 ) было правильной частью Е, т.е. в Е был бы
такой элемент а. которого нет в \|/(7 ), то> так как %п> = 9Л (7^, /7% по
108, мы могли бы отображение \|/ превратить в отображение \|/ систе-
мы 7, , в Е, полагая уСи?) = а; но согласно нашему допущению 7 , не
отображается однозначно в Е; поэтому у(7п) = Е, т.е. 7^ и Е-подоб-
ные системы. Но ведь, если система Е - подобна некоторой конечной
системе 7^, то Е по 119 и 67 - конечна.

161.	Определение. Если Е - некоторая конечная система, то по
160, 120 и 33 существует одно и только одно число и, которому от-
вечает некоторая, однозначно подобная системе Е, система 7^; та-
кое число п называется численностью131 содержащихся в системе Е
элементов (или же степенью (Ога<Д системы Е), и мы скажем в этом
случае, что Е состоит из п элементов, или образует систему в п эле-
ментов, а число п говорит нам, как много заключается в Е элемен-
тов132. Если числа употребляются для того лишь, чтобы точно вы-
разить только что определенное свойство конечных систем, то они
называются кардинальными или количественными числами.

131 Так мы переводим слово АпхаЫ (нем. «число», «количество»).

132 Ради ясности и простоты на будущее время мы ограничим понятие о численно-
сти исключительно лишь конечными системами; если поэтому мы говорим о численности
известных вещей, то этими словами выражается лишь, что система, элементы коей суть
эти вещи, - конечна.
Как только выбрано определенное однозначное отображение у
системы 7 , помощью которого становится у(7 ) = то каждому
содержащемуся в 7^ числу т (т. е. всякому числу т < п) соответству-
ет некоторый определенный элемент \|/(т) системы X, и обратно по
26 каждому элементу системы X помощью обратного отображения
\|/ соответствует определенное число т в 2 Очень часто обознача-
ют все элементы системы X одной буквой, например а, приписывая
ей различные числа, как значки, так что \|/(/7?) можно означить че-
рез %.

Также говорят еще, что эти элементы сосчитываются и при-
водятся помощью определенным образом в порядок, причем а/7
называют т-м элементом системы X; если т < п, то а , называется
следующим за а/7 элементом, а последним элементом.

При таком сосчитывании счета элементов числа т снова являют-
ся порядковыми или ординальными числами (73).

162.	Теорема. Все подобные некоторой конечной системе си-
стемы обладают одним и тем же числом элементов (одной и той же
численностью).

Доказательство следует непосредственно из 33 и 161.

163.	Теорема. Число (численность) содержащихся в 7/7 элемен-
тов, т.е. тех чисел, которые не больше п. есть п.

Доказательство. По 32 система 2л подобна себе самой.

164.	Теорема. Если система состоит из единственного элемента,
то число ее элементов равно 1, и обратно.

Доказательство непосредственно следует из 2, 26, 32, 102 и 161.

165.	Теорема. Если Т - правильная часть некоторой конечной
системы X, то число элементов системы Т меньше такового же для
системы X.

Доказательство. По 68 система Т-конечная система, т.е. подоб-
на некоторой системе 7 , где т - означает численность элементов
в 7; пусть далее п будет численностью элементов в X, т.е. Е подобна
7 , то по 35 система Т будет подобна некоторой правильной части Е
системы 7 , и по 33 системы 7т и Е подобны друг другу; если бы
теперь было п < т, т. е. 7^ е 7 , то Е по 7 также было бы правильной
частью системы 7 , и следовательно 2т была бы бесконечной, но это
противоречит 119; поэтому т < п по 90, ч.т.д.

166.	Теорема. Если Г = 9Л (В, у), где В - система п элементов,
а у - некоторый отсутствующий в В элемент из системы Г, то Г со-
стоит из п' элементов.

Доказательство. Если В = у(7 ), гДе V означает некоторое по-
добное (однозначное) отображение системы 7 , то по 105 и 108 мы
всегда можем ср расширить до подобного же отображения системы
7 ,, полагая \|ЛЛ') = у, тогда будет очевидно Г = у(7> ,).

167.	Теорема. Если у-некоторый элемент из системы Г, состо-
ящей из п 'элементов, то я - численность всех других элементов в Г.

Доказательство. Если В означает совокупность всех отличных
от у элементов в Г, то Г = ОТ (В, у); если теперь Ь - численность
элементов конечной системы В, то по предыдущей теореме - чис-
ленность элементов в Г будет Ь', т.е. равна п', откуда по 26 следует,
что п = Ь.

168.	Теорема. Если А состоит из т элементов, а В из п. и А и В
не имеют ни одного общего элемента, то система ОТ (А, В) состоит
из т + п элементов.

Доказательство помощью полной индукции (80).

2. Теорема — справедлива для п = 1 по 166, 164, 135. 11.

б.	Если теорема имеет место для какого-либо числа щ то она за-
конна также и для следующая числа п'. В самом деле, если Г - си-
стема из п' элементов, то (по 167) можно положить Г = ОТ (Д у), где
у - какой-либо элемент, а 5 - система п других элементов в Г. Если
теперь А - система т элементов, каждый из которых отсутствует в Г
и следовательно в В. и если мы положим ОТ (А, В) = Е, то согласно
допущению численность элементов в Е есть т + щ а так как у не вхо-
дит в Е, то по 166 численность содержащихся в ОТ (Е, у) элементов
равна (т + п)\ т.е. (по 135. III) т + п\ но ведь, в силу 15, очевидно
ОТ (Е, у) = ОТ (Л, Д у) = ОТ (Л, Г), то /77 + п' будет численностью эле-
ментов в ОТ (Л, Г).

169.	Теорема. Если А и В -конечные системы с числом элемен-
тов соответственно т и п, то ОТ (А, В)-конечная система, и числен-
ность ее элементов не больше т + п.

Доказательство. Если В е Л, то ОТ (Л, В} = Л и численность
т элементов этой системы по 142 меньше т + щ как утверждает
теорема. Но если В - не часть Л, и Т-система всех тех элементов
в В. которые отсутствуют в Л, то по 165 их численность р <п,и так
как ОТ (Л, В) = ОТ (Л, Т), то по 143 численность этой системы есть
т+ р. ат+р<т + п.

170.	Теорема. Всякая система, состоящая из некоторого конеч-
ного числа п конечных систем, конечна.

Доказательство помощью полной индукции (80).

2.	Теорема сама собой понятна для п = 1 в силу 8.

б. Если теорема имеет место для какого-либо числа щ и если Е
составлена из /?' конечных систем, то пусть Л будет одна из этих сис-
тем, а В- совокупность всех остальных систем; тогда численность
последних по 167 есть п, и в силу нашего допущения В -конечная
система. Но ведь очевидно Е = ОТ (А, В), поэтому из 169 следует, что
Е- также конечная система.

171.	Теорема. Если \|/ - какое-либо неподобное отображение не-
которой конечной системы Е из п элементов, то численность элемен-
тов изображения \|/(Е) меньше п.

Доказательство. Если мы из всех тех элементов системы X,
которые обладают одним и тем же изображением, будем выбирать
всякий раз произвольно только по одному, то система Т всех этих вы-
бранных элементов, очевидно, является правильной частью системы
Е, так как у-неподобное отображение системы X (26). Вместе с тем
очевидно, что содержащееся в \|/ отображение этой части Т(21) есть
однозначное (подобное) и у(Т) = у(Е); поэтому система \|/(Е) подоб-
на некоторой правильной части Т системы X, и мы при помощи 162
и 165 получаем теорему.

172.	Заключительное замечание. Хотя только что было доказа-
но, что численность т элементов системы \|/(Е) меньше численности
п системы X, все же в некоторых случаях мы часто будем говорить,
что численность элементов системы \|/(Е) равна п. Но только тогда,
вполне естественно, слово «численность» нужно понимать в не-
сколько другом, отличном от настоящего (161), смысле; именно, если
а - какой-либо элемент системы Е, и а - численность тех элементов
системы X, которые обладают одним и тем же изображением у(а),
то у(а) - элемент системы \|/(Е) - будет понимаем как заместитель
а элементов, которые, по крайней мере по своему происхождению,
могут быть понимаемы как отличные друг от друга, и у (а) в этом
случае войдет в счет как ^-кратный элемент системы у(Е). Благодаря
этому, мы приходим во многих случаях к очень полезным понятиям
о системах, в которых каждый элемент наделен известным числом
(частотой), показывающим, сколь часто один и тот же элемент со-
считывается, фигурирует как элемент системы. Выше, например, мы
могли бы сказать, что п есть численность сосчитанных в этом смыс-
ле элементов у(Е), тогда как т - численность действительно различ-
ных элементов этой системы совпадает с численностью элементов Т.
Подобного рода уклонения от первоначального смысла какого-либо
искусственно созданного выражения (положения), являющиеся не
чем иным, как обобщениями первоначальных понятий, в математи-
ке происходят очень часто; но входить глубже по этому вопросу не
является целью настоящей работы.
Георг Кантор

(1845-1918)

Жизнь и труды

Георг Кантор взбирался на вершины бесконечности, а затем по-
гружался в глубочайшие бездны разума: ментальную депрессию.

Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор был первенцем и тез-
кой отца-протестанта и матери-католички. Его отец Георг Вальдемар
Кантор был протестантом немецкого происхождения133, который
переехал в Санкт-Петербург, столицу царской России, чтобы стать
биржевым маклером134. В конечном счете Кантор стал знаменитым
благодаря математическому таланту, передавшемуся из отцовского
рода. Однако сначала он прославился своей прекрасной игрой на
скрипке: этот талант был, без сомнения, унаследован от его матери
Марии Бем, уроженки России, происходившей из музыкальной се-
мьи, давшей миру не одного скрипача-виртуоза.

Все записи о раннем обучении Кантора в Санкт-Петербурге,
должно быть, были утеряны, когда семья вернулась в Германию
и поселилась во Франкфурте, чтобы его отцу больше не приходилось

133 Отец был датским подданным лютеранского вероисповедания, происходивший

из португальских евреев.

134 Маклером Петербургской фондовой биржи.
терпеть суровые русские зимы135. У Кантора был выдающийся по-
служной список в гимназиях Франкфурта и близлежащего Висбаде-
на. Отец Кантора считал, что любовь молодого Георга к математике
позволит ему стать «сияющей звездой на инженерном небосклоне».
Кантор подчинился твердой убежденности отца в том, что Поли-
техническая школа в Цюрихе - подходящее место для изучения ин-
женерного дела. Но после семестра учебы молодой Георг, наконец,
набрался смелости и попросил у отца разрешения перевестись в Бер-
линский университет, где он мог бы изучать чистую математику.

К большому удивлению Кантора, отец согласился с перемена-
ми. В июне 1863 г., заканчивая учебный год в Цюрихе, Кантор узнал
о внезапной смерти отца. Кантор-старший никогда не узнает даже
о первых достижениях своего сына как яркой звезды на математиче-
ском небосклоне! Георг быстро прошел курс математики в Берлине,
где он был учеником великого Вейерштрасса, недавно начавшего
преподавать на кафедре математики. В течение четырех лет Кантор
получил степень бакалавра и доктора наук.

После двух лет преподавания в Берлинской школе для девочек
Кантор получил свое первое место преподавателя в Галльском уни-
верситете Мартина Лютера, где родился композитор Георг Фридрих
Гендель, примерно в 160 километрах к югу от Берлина. Десять лет
спустя он получил полное профессорское звание. Кантор останется
там до конца своей карьеры.

Когда Кантор прибыл в Галльский университет, его новый колле-
га, математик Генрих Гейне, бросил ему вызов, чтобы доказать един-
ственность представления функций тригонометрическим рядом,
обобщением ряда Фурье. Это было исследование, которое привело
Кантора к его изучению бесконечного в 1870-х гг.

Кантор был не первым математиком, формализовавшим понятие
бесконечности. До Кантора Рихард Дедекинд (1831-1916) сделал
первый гигантский шаг, решив, как распознать бесконечное, а не
построить его, тем самым избежав возражений, подобных следую-
щим, сделанным великим Гауссом:

«Я протестую против использования бесконечной величины как
чего-то завершенного, что в математике никогда не допусти-
мо. Бесконечность-это всего лишь фигура речи (/асоп с1е раг1ег),

135 Кантор в 1853 г. поступил в «Петришуле» - одно из старейших учебных заведе-
ний России и первую школу Санкт-Петербурга, - а спустя три года семья из-за болезни
отца переехала в Висбаден, а затем во Франкфурт.
истинный смысл которой есть предел, к которому одни отно-
шения приближаются бесконечно близко, в то время как другим
позволено расти без ограничений».

Дедекинд взял натуральные числа, 0,1,2,3,4,..в качестве иллюстри-
рующего его метод примера бесконечного множества. Далее он опре-
делил множество как бесконечное, если натуральные числа приводятся
в одно-единственное соответствие с этим множеством или его подмно-
жеством. Таким образом, натуральные числа бесконечны по определе-
нию, так же как и целые числа, рациональные числа и действительные
числа, потому что каждое натуральное число также является целым
числом, рациональным числом и действительным числом.

Когда Дедекинд сделал это, Кантор задал два интересных вопро-
са. Во-первых, можно ли сформулировать понятие бесконечности,
не обращаясь к натуральным числам? Во-вторых, существуют ли
различные степени бесконечности?

Кантор ответил на свой первый вопрос, определив множество
как бесконечное, если оно может быть приведено в соответствие
один к одному со множеством натуральных чисел ({0, 1, 2, ...}).
Множество натуральных чисел тривиально удовлетворяет этому ус-
ловию. Множество натуральных чисел может быть поставлено в од-
нозначное соответствие с подмножеством самого себя (рассмотрим,
например, следующее отображение: 0 —> 1, 1 —> 2, 2 —> 3, 3 —> 4, ...).
Следовательно, любое множество, удовлетворяющее определению
бесконечности по Кантору, автоматически удовлетворяет определе-
нию по Дедекинду. Чтобы показать обратное, требуется раздел мате-
матики уже XX в., называемый «аксиомой выбора».

Основная часть новаторской работы Кантора касалась его второ-
го вопроса, и она строилась на его ответе на первый вопрос. Сделав
бесконечное более общим, чем натуральные числа, Кантор открыл
возможность существования различных степеней бесконечного.
Кантор определил два множества как равномощные, если они мо-
гут быть поставлены друг другу в однозначное соответствие. Таким
образом, множество положительных целых чисел равномощно мно-
жеству отрицательных целых чисел согласно правилу взаимного со-
ответствия -п (для положительного целого числа п).

Точно так же множество положительных вещественных чисел
равномощно множеству отрицательных вещественных чисел, что
можно показать, используя аналогичное отображение. (Попробуйте
доказать, что множество положительных целых чисел равномощно
множеству всех целых чисел.)
Сформулировав эти доказательства, Кантор ввел различие меж-
ду мощностью множества, т.е. количеством его членов, и его поряд-
ковый тип. Он отметил, что, хотя положительные и отрицательные
целые числа имеют одинаковую мощность, они имеют разный по-
рядковый тип. Существует первое положительное целое число, но
нет последнего, использующего стандартное упорядочение больше/
меньше. Напротив, существует последнее отрицательное целое чис-
ло, но нет первого, использующего стандартное упорядочение боль-
ше/меныпе. Кантор использовал еврейские буквы для обозначения
кардинальных чисел: Ко (еврейская буква алеф с индексом 0 обозна-
чает первый бесконечный кардинал.) Греческие буквы обозначают
порядковые типы. Греческая буква св обозначает порядковый тип ка-
кого-то множества, например, это положительные целые числа с пер-
вым элементом и без последнего элемента, и о* (со с надстрочной
звездочкой) обозначает множество, подобное отрицательным целым
числам с последним элементом, но без первого элемента. (Поряд-
ковый тип со + 1 описывает множество, подобное положительным
целым числам плюс один элемент, больший, чем все положительные
целые числа. Целые числа в целом имеют порядковый тип со* + со.
Можете ли вы догадаться, какое множество имеет порядковый тип
со + со*? Это совсем не трудно, просто несколько непривычно.)

Далее Кантор продемонстрировал силу своего определения, ос-
нованного на равномощности. Во-первых, он продемонстрировал,
что положительные рациональные числа равномощны положитель-
ным целым числам. Кантор понял, что положительные рациональ-
ные числа не могут быть представлены в категориях болыпее/мень-
шее, поэтому он расположил их следующим образом.

1/1	2/1	3/1	4/1	5/1	6/1	7/1	8/1	9/1	10/1
1/2	2/2	3/2	4/2	5/2	6/2	7/2	8/2	9/2	10/2
1/3	2/3	3/3	4/3	5/3	6/3	ИЗ	8/3	9/3	10/3
1/4	2/4	3/4	4/4	5/4	6/4	7/4	8/4	9/4	10/4
1/5	2/5	3/5	4/5	5/5	6/5	7/5	8/5	9/5	10/5
1/6	2/6	3/6	4/6	5/6	6/6	7/6	8/6	9/6	10/6
1/7	2/7	3/7	4/7	5/7	6/7	7/7	8/7	9/7	10/7
1/8	2/8	3/8	4/8	5/8	6/8	7/8	8/8	9/8	10/8
1/9	2/9	3/9	4/9	5/9	6/9	7/9	8/9	9/9	10/9
1/10	2/10	3/10	4/10	5/10	6/10	7/10	8/10	9/10	10/10
Кантор переставил их по сумме их числителя и знаменателя и за-
тем начал перечислять их так: 1/1, 2/1, 1/2, 1/3, 2/2, 3/1, 4/1, 3/2, ...
(см. таблицу). Тем самым Кантор продемонстрировал, что положи-
тельные рациональные числа равномощны положительным целым
числам136.

Далее Кантор занялся вещественными числами и доказал, что
они не равномощны целым числам. Вещественных чисел существу-
ет больше, чем целых чисел. Рассмотрим суть доказательства Канто-
ра (для вещественных чисел больше нуля и меньше единицы). Если
положительные вещественные числа больше нуля и меньше едини-
цы равномощны положительным целым числам, то все они могут
быть пересчитаны в некоторой последовательности. Например, ни-
жеследующей.

1 -е число: 0,2092119644443...

2-е число: 0,3108131969619...

3-е число: 0,2425129315441...

4-е число: 0,3480075650872...

5-е число: 0,0415810010525...

6-е число: 0,4702742494171...

7-е число: 0,6598371022485...

8-е число: 0,4153943669555...

9-е число: 0,8832597362598...

10-е число: 0,2475646576200...

11-е число: 0,7400378254561...

12-е число: 0,6523095434371...

13-е число: 0,3513962470851...

Выделим цифры после запятой, положение которых соответ-
ствует порядковому номеру числа в последовательности, как пока-
зано в примере. Замечательная идея Кантора состоит в построении
числа, которое не было перечислено. Кантор рассматривает выде-
ленные цифры на диагонали и меняет все их значения, добавляя 1,
если значение от 0 до 8, и меняя 9 на 0. Таким образом, получается
действительное число 0,3231952777682..., которое не может быть
в вышеприведенном списке, потому что оно по построению отлича-
ется от каждого действительного числа, указанного в таблице! Кан-
тор использовал метод доказательства «от противного» (гедисдоп
ад аЪзигдит). В данном случае он применил его частный вариант,
называемый «аргументом диагонализации Кантора», чтобы проде-

136 Пересчитывая подобным образом, каждому положительному рациональному
числу можно поставить в соответствие положительное целое число.
монстрировать, что существует строго больше действительных чи-
сел, чем целых чисел. Мы увидим, что аргументы диагонализации
позже плодотворно использовались в работах Курта Гёделя и Алана
Тьюринга.

Поскольку слово бесконечность имело долгую историю с боль-
шой смысловой нагрузкой, то Кантор ввел термин транс финитные
числа для обозначения всех своих бесконечных чисел, как карди-
нальных чисел, так и порядковых чисел (порядковых типов или ор-
диналов).

Затем Кантор сформулировал ряд вопросов, которые остаются
открытыми и до сегодняшнего дня. Так, учитывая, что действитель-
ных чисел существует строго больше, чем целых чисел, сколько
существует различных типов бесконечных подмножеств действи-
тельных чисел? Существуют ли только два типа бесконечных подм-
ножеств действительных чисел: равномощных действительным чис-
лам и равномощных целым числам? Или между этими двумя типами
существует больше типов подмножеств? Кантор полагал, что суще-
ствует только два типа бесконечных подмножеств действительных
чисел, но он не мог этого доказать. Разрешение этой гипотезы, ныне
известной как гипотеза континуума, удивило бы Кантора. В 1940 г.
Курт Гёдель показал, что гипотеза континуума не может быть опро-
вергнута с помощью стандартных аксиом теории множеств; затем
в 1963 г. Пол Коэн доказал, что она также не может быть доказана
с помощью этих аксиом!

Первые годы жизни Кантора в Галле, должно быть, были полны
радости. В 1874 г. он женился на Валли Гутман, подруге своей се-
стры. Они провели медовый месяц в Швейцарии и вернулись в дом,
который Кантор построил на наследство, полученное от отца. В те-
чение следующих 12-ти лет здесь родятся пятеро их детей137. Содер-
жать растущую семью, должно быть, было затратно для провинци-
ального профессора, зарплата которого была довольно мизерной138.
Надеясь облегчить эти проблемы, Кантор искал место профессора в
своей альма матер, в Берлинском университете. Работа Кантора по
трансфинитным числам вызвала широкую похвалу среди математи-
ческого сообщества, что, как он надеялся, принесет ему назначение
в престижный университет, такой как Берлинский. Вейерштрасс, его

137 У Кантора и его супруги было шестеро детей-четыре дочери и двое сыновей,-
последний из которых родился в 1886 году

138 Кантор был в состоянии обеспечить семье безбедное проживание благодаря по-
лученному от отца наследству.
старый наставник, особенно хвалил работу Кантора. Но находились
и такие, кто выступал против любых разговоров о реальных беско-
нечностях. Среди них был Леопольд Кронекер, высокопоставлен-
ный профессор в Берлине.

Математика, согласно Кронекеру, имела дело с конструкциями.
Конструкции - именно то, что Кантор и Дедекинд избегали в своей
трактовке бесконечного. Несмотря на усилия Вейерштрасса, Кроне-
керу удалось блокировать все попытки Кантора получить должность
профессора математики в Берлине.

Незадолго до того, как Кантору исполнилось 40 лет, сочетание
личных и профессиональных стрессов стало для него невыносимым.
У Кантора случился первый приступ глубокой душевной депрессии,
и он провел несколько недель в санатории. После лечения Кантор
написал своему коллеге-математику следующее письмо:

«Я не знаю, когда вернусь к продолжению своей научной работы.
В настоящий момент я совершенно ничего не могу с этим поде-
лать и ограничиваюсь самой необходимой обязанностью чтения
лекций; насколько счастливее я был бы, продолжая научную ак-
тивность, обладай я необходимой свежестью ума».

Действительно, лучшие годы Кантора как математика закон-
чились. Возможно, признавая это, Кантор посвятил значительную
энергию созданию Германского математического общества по всей
недавно объединенной Германии. Он был ее первым президентом
с момента основания в 1890 г. до 1893 г., когда у него случился оче-
редной виток депрессии. Последние 25 лет своей жизни Кантор то
и дело попадал в психиатрические лечебницы, борясь с депрессией.
В 1894 г. он опубликовал исключительно странную работу для мате-
матика его славы. Находясь в психиатрической больнице, он увлек-
ся знаменитой гипотезой Гольдбаха о том, что каждое четное число
может быть выражено как сумма двух простых чисел. В 1894 г. он
опубликовал статью, демонстрирующую все способы записи четных
чисел до 1000 как суммы двух простых чисел, через 40 лет после
того, как неизвестный математик сделал то же самое для всех четных
чисел до 10000.

С годами психическое состояние Кантора становилось все хуже
и хуже. Последние годы жизни он посвятил изучению Шекспира. Он
даже пытался доказать, что поэт [Шекспир] и философ Фрэнсис Бэ-
кон - одно и то же лицо!
Германское математическое сообщество планировало устроить
в 1915 г. большой праздник в честь 70-летия Кантора. Однако этому
помешали лишения Первой мировой войны. Кантор в последний раз
попал в психиатрическую больницу в июне 1917 г. Он умер 6 января
1918г., не подозревая, что к концу того же года погибнет и импер-
ская Германия.
К ОБОСНОВАНИЮ УЧЕНИЯ

О ТРАНСФИНИТНЫХ
МНОЖЕСТВАХ 139 140

«Нуро1ке8в8 поп /тур» [Ньютон].

«Иедие епт 1еуе8 т1еИес1ш ан1 геЪи8 с1ати8 ас1 агЪИгшт по81гнт, 8 ед1апдиат 8спЪае
]и1е1е8 аЪ гр8Ш8 паШгае уоее 1а1а8 е1 ргосИах ехс1р1ты8 е1 с1е8сг1Ыти8».

«Уете1 1етрн8, дио 181а диае пипс 1а1еп1, т 1исет сИе8 ех1гака1 е1 1оп§юп8 аехг
МН§епИа» 14°.

§ 1.	Понятие мощности или кардинального числа

Под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое М
определенных хорошо различимых предметов т нашего созерцания
или нашего мышления (которые будут называться «элементами»
множества М).

В знаках мы выражаем это так:

М={т}.	(1)

Объединение нескольких множеств	не имеющих об-

щих элементов, в единое множество мы обозначаем через

(М,7У,Р,...).	(2)

Следовательно, элементами этого множества являются элементы
множеств и т.д., взятые вместе.

«Частью» или «подмножеством» множества Ммы называем вся-
кое другое множество 7Ир элементы которого одновременно являют-
ся элементами множества М.

Если М2 является частью 7Ир а Мх - частью М. то и М2 является
частью М.

139 ВеИгауе т.иг Вертйпскту дег 1гап8[тИеп Мепуеп1екге. -Ма1к. Апп., 1895, ВТ. 46,
8. 481-512; 1897, ВТ. 49, 8. 207-246. Перевод Ф.А. Медведева.

140 Три эпиграфа, предпосланные Кантором этой работы и означающие соответ-
ственно в русском переводе:

«Гипотез не измышляю» (лат.).

«Мы приписываем законы разуму или вещам не по нашему произволу, а, как добро-
совестные писцы, слушаем и записываем то, что дает и диктует нам голос природы» (лат.).

«Наступит время, когда то, что сейчас скрыто, будет вынесено на дневной свет ста-
раниями будущих поколений» (лат.), - заимствованы им у Ньютона [В34, с. 662], Бэкона
[С50, с. 238-239] и Библии.
Всякому множеству соответствует определенная «мощность»,
которую мы называем также «кардинальным числом».

«Мощностью» или «кардинальным числом» множества М мы
называем, то общее понятие, которое получается при помощи на-
шей активной мыслительной способности из М, когда мы абстра-
гируемся от качества его различных элементов т и от порядка их
задания.

Результат этого двойного акта абстракции - кардинальное число
или мощность множества Л/-мы обозначаем через

м	(3)

Так как из каждого отдельного элемента т, когда мы отвлекаем-
ся от качества, получается некая «единица», то само кардинальное
число М оказывается множеством, образованным исключительно
из единиц, которое существует как интеллектуальный образ или как
проекция заданного множества М в наш разум.

Два множества М иМ мы называем «эквивалентными» и обо-
значаем это через

М^или^М.	(4)

если их можно поставить по некоторому закону в такое отноше-
ние друг к другу, что каждому элементу одного из них соответству-
ет один и - только один элемент другого.

Тогда каждой части Мх множества М соответствует определен-
ная эквивалентная часть	множества А и наоборот.

Если имеется один такой закон соответствия для двух эквива-
лентных множеств, то его можно модифицировать многократно (от-
влекаясь от случая, когда каждое из них состоит из одного элемента).
А именно всегда можно позаботиться о том, чтобы определенному
элементу /7?() из М соответствовал любой определенный элемент п^
из № Действительно, если при первоначальном законе элементы /7?()
и Пц не соответствуют друг другу, более того, если элементу /77() из М
соответствует элемент п х из А, а элементу п^ из А-элемент /77р и з М
то берем тот модифицированный закон, по которому соответствую-
щими элементами являются /77() и п^ а также пу и пх этих множеств,
сохраняя первоначальный закон для остальных элементов. Тем са-
мым поставленная цель достигается.

Всякое множество эквивалентно самому себе:

М~М.	(5)

Если два множества эквивалентны третьему, то они эквивалент-
ны друг другу:

из М-РиИ-Р следует М ~ А

(6)
Фундаментальное значение имеет то, что два множества М иМ
имеют одно и то же кардинальное число тогда и только тогда,
когда они эквивалентны:	=	=

из следует М = И	(7)

и	__

из М = И следует М~И.	(8)

Поэтому эквивалентность множеств является необходимым,
и безошибочным критерием равенства их кардинальных чисел.

Действительно, по предшествующему определению мощности
кардинальное число М не изменится, если вместо одного или не-
скольких, даже всех элементов т множества М подставляется по не-
которой другой вещи.

Если теперь М~ ТУ, то в основе этого находится некий закон со-
ответствия, при помощи которого М и И взаимно однозначно ото-
бражаются друг на друга; при этом, элементу т из М соответствует
элемент п из И. Тогда вместо каждого элемента т из М мы можем
вообразить поставленным соответствующий элемент п из ТУ и при
этом М превращается в ТУ без изменения кардинального числа. Сле-
довательно,

М= ТУ

Обращение теоремы получается из того замечания, что между
элементам и множества М и различными единицами его кардиналь-
ного числа М имеет место взаимно однозначное соответствие. Дей-
ствительно, как мы видели, М получается из ТИв некотором смысле
таким образом, что при этом из каждого элемента т возникает осо-
бая единица. Поэтому мы можем сказать, что

М~ М	(9)

Аналогично ТУ~ ТУ. Следовательно, если М = ТУ, то по (6) полу-
чаем ТУ

Выделим еще теорему, непосредственно следующую из понятия
эквивалентности:

ЕслиМ, И, Р, ... -множества, не имеющие общих элементов, М',
ТУ' Р', ... - такие же соответствующие им множества и

М-М\П-П.Р-Р\....

то всегда

(м,и,р, ...)~(ти',ту',р'...).
§ 2.	«Больше» и «меньше» для мощностей

Е^д и два множества М и ТУ с кардинальными числами а = М и
Ь = ТУ удовлетворяют двум условиям:

1)	не существует части множества М, которая эквивалентна И,

2)	существует такая часть множества И, что - ТИ, то
прежде всего ясно, что то же самое будет выполняться, если в этих
условияхМиК заменить двумя эквивалентными им множествами
М' и ТУ'; они, следовательно, выражают определенное отношение
чисел а и Ь друг к другу

Далее, исключается эквивалентность тИи ТУ, а значит, равенство
О и Ь. Действительно, если бы было ТИ- ТУ, то, поскольку ТУХ - ТИ, мы
получили бы и ТУХ - ТУ, а потому ввиду М~И существовала бы такая
часть Мх множества ТИ, что Мх - ТИ, следовательно, было бы Мх - ТУ,
что противоречит условию 1).

В-третьих, отношение акЪ таково, что оно делает невозмож-
ным то же самое отношение Ь к а. Действительно, если бы в 1) и 2)
роли множеств поменялись местами, то из этого получились
бы два условия, контрадикторно противоположные заданным.

Отношение акЪ. охарактеризованное условиями 1) и 2), мы вы-
ражаем тем, что говорим, а меньше Ь или Ь больше а, символически

а < Ь или Ь > а.	(1)

Легко доказывается, что

если а < Ь, Ь < с, то всегда а < с.	(2)

Из этого определения столь же просто следует, что если Р1 являет-
ся частью множества^, то из а < Р1 всегда получается а < Р а из
Р <Ь всегда следует Р < Ь.

Мы видели, что из трех отношении

а = Ь, а < Ь, Ь < а

каждое исключает два остальных.

Напротив, ни в коей мере не очевидно и в этом месте нашего
хода мыслей вряд ли можно доказать, что для любых двух, карди-
нальных чисел аиЪ необходимо должно реализоваться одно из этих
трех отношений.

Лишь позднее, когда мы рассмотрим возрастающую последова-
тельность кардинальных чисел и проникнем в их взаимосвязь, мы
убедимся в истинности теоремы:

А.	«Если а и Ь - два произвольных кардинальных числа, то или
а = Ь, или а < Ь или а > Ь».

Из этой теоремы очень просто можно получить следующие тео-
ремы, которыми мы пока пользоваться не можем:
В.	«Если два множества М иМ таковы, что М эквивалентно
некоторой части Му множества М а Уэквивалентно некоторой ча-
сти Му множестваМ, тоМиЕэквивалентны».

С.	«Если Му является частью множества М, М2 - частью мно-
жества Му и множества М и М2 эквивалентны, то и Му эквива-
лентно множествам М и М2».

Е. «Если для двух множествМиЕ выполняется условие, что М
не эквивалентно ни самому М, ни какой-либо части М, то имеется
часть Му множества М, которая эквивалентна М».

Е. «Если два множества М и М не эквивалентны и существу-
ет часть Му множества М, которая эквивалентна М, то никакая
часть множества М не эквивалентна М».

§ 3. Сложение и умножение мощностей

Объединение двух множеств ТИи ТУ, не имеющих общих элемен-
тов, в § 1 (см. (2)) было обозначено через (ТИ, ТУ). Мы называем его
«суммой множеств М и М».

Если М\ ТУ' - два других множества без общих элементов и М~М\
ТУ ~ ТУ', то мы видели, что и

(ТИ, М) ~ (М', ТУ').

Отсюда следует, что кардинальное число щщжества (ТИ, ТУ) зави-
сит только от кардинальных чисел ТИ = а и ТУ = Ь.

Это приводит к определению суммы чисел а и Ь, если положить

а + Ь = (ТИ,ТУ)	(1)

Так как в понятии мощности мы абстрагируемся от порядка эле-
ментов, то легко получаем

а + Ь = Ь + а	(2)

а для трех кардинальных чисел

а + (Ь + с) = (а + Ь) + с	(3)

Переходим к умножению.

Каждый элемент т множества М можно объединить с каждым
элементом п некоторого другого множества ТУ в новый элемент
(/77, я); для множества всех этих объединений (/77, п) мы примем обо-
значение (ТИ • ТУ). Назовем его «произведением множеств М и М».
Итак,

(ТИ-ТУ) = {(т.п)}.	(4)

Убедимся, что и мощность множества (ТИ • ТУ) зависит лишь от
мощностей М = а к М = Ъ . Действительно, если множества М и ТУ

мы заменим эквивалентными им множествами
М' = {т'} и^'= {и'}
и будем рассматривать т, т' и п. п' как соответствующие элементы,
то тем самым множество

(Мг • Д7) = {(тл?')}

будет поставлено с (М • А) во взаимно однозначное соответствие
такого вида, что (т, п) и (тг, п') окажутся соответствующими друг
другу. Следовательно,

(АГ-А^-(АГ-А).	(5)

Определим теперь произведение а • Ь равенством

а • Ь = (АГ-А)	(6)

Множество с кардинальным числом а • Ь можно образовать, из
двух множеств М и М также и при помощи следующего правила: ис-
ходим из множества А и заменяем в нем каждый элемент п множе-
ством Мл ~ М. Если объединить элементы всех этих [не пересекаю-
щихся друг с другом] множеств Мл в нечто целое 5, то легко видеть,
что

Я-(АГ-А),	(7)

а значит,

5 = а • Ь.

Действительно, если при любом взятом за основу законе соот-
ветствия двух эквивалентных множеств АГ и Мл элемент из М. со-
ответствующий элементу т множества АГ, обозначить через тл, то
получим

5={тп}	(8)

и потому множества 8 и (АГ- А) ставятся во взаимно однозначное
соответствие друг с другом условием, что в качестве отвечающих
друг другу элементов рассматриваются тл и (т, п).

Из наших определений легко получаются теоремы:

а • Ь = Ь • а,	(9)

а • Ь • с =(а • Ь)• с,	(10)

а(Ь + с) = а • Ь + Ь • с,	(11)

ибо

(аг-а;~(а-ао,

(АГ- (А- Р))~ ((АГ-А) -Р),
(АГ-(А, Р)) ~ ((АГ-А), (А-Р)).

Следовательно, сложение и умножение мощностей вообще под-
чиняются коммутативному, ассоциативному и дистрибутивному за-
конам.
§ 4.	Возведение мощностей в степень

Под «покрытием множества элементами множества М» или
просто под «покрытием посредством М» мы понимаем закон, при
помощи которого с каждым элементом п из ТУ связывается один опре-
деленный элемент из М. причем один и тот же элемент из М может
применяться неоднократно. Элемент множества М, связываемый с п,
есть в некотором смысле однозначная функция от п, и его можно
обозначать, например, через/(п). Эта функция называется «функци-
ей покрытия элемента п»; соответствующее покрытие множества ТУ
обозначается через /(А).

Два покрытия //А) и/2(А) называются равными тогда и только
тогда, когда для всех элементов п из выполняется равенство

//«) =/2(п),	(1)

так что если хотя бы лишь для одного отдельного элемента п = п() это
равенство не выполняется, то/Х(А) и^(А) будут рассматриваться как
различные покрытия множества №

Может случиться, например, что для отдельного элемента /77() из
тИпри всех п будет

/(«) = т0;

этот закон образует особое покрытие ТУ множеством М.

Другой тип покрытия получится тогда, когда при различных вы-
деленных элементах т0 и пу множества А/ и выделенном элементе
п^ множества полагаем

/(«о)= /я0'.А/7) = т\
для всех п. отличных от п^.

Совокупность всех различных покрытий множества посред-
ством М образует определенное множество с элементами /(А). Мы
называем его «множеством покрытий посредством М» и обозна-
чаем через (ТУ | ТИ); следовательно,

ф\М) ={№)}.	(2)

Если М ~ М' и ТУ ~ ТУ', то легко находим, что и

(ТУ | ТИ) ~ (ТУ'| ТИ').	(3)

Значит, кардинальное число множества (ТУ | ТИ) зависит только от
кардинальных чисел ТИ = аиТУ = Ьи служит для определения
степени

аь=^\М).	(4)

Для любых трех множеств	легко доказываются теоремы:

((#1 М)  (Р| л/))~(Нл| М	(5)
((рИ-сИммИс^-м),	(6)

(Р|(2У| Л/))-(О’-ЛО |М),	(7)

из которых, полагая Р = с и принимая во внимание § 3, на осно-
вании (4) получаем теоремы., справедливые для любых трех карди-
нальных чисел а, Ь и с,

аъ • ас = аь+с,
ас -6е =(а-6)с,

(8)

(9)

(Ю)

§ 5.	Конечные кардинальные числа

Прежде всего нужно будет показать, как изложенные выше прин-
ципы, на которых далее будет построено учение об актуально беско-
нечных или трансфинитных кардинальных числах, приводят к само-
му естественному, кратчайшему и наиболее строгому обоснованию
учения о конечных числах.

Отдельной вещи е0, когда мы подведем ее под понятие множе-
ства Ец = (е0), соответствует в качестве кардинального числа то, что
мы называем «единицей» и обозначаем через 1; имеем

1 = Ж-	(п

Присоединяем теперь к Ец некоторую другую вещь ех и обозна-
чаем через Ех сумму множеств, так что

Е\ = (Е0’ е1)= (е0’ е1)'	(2)

Кардинальное число множества Е{ называется «два» и будет обо-
значаться через 2:

2 = Е, .	(3)

Добавлением новых элементов получаем последовательность
множеств

Е2 = (^1, е2), Е3 = (Е2, е3), ...,
которая при неограниченном продолжении приводит нас к осталь-
ным так называемым конечным кардинальным числам, обозна-
чаемым через 3, 4, 5, ... Происходящее при этом вспомогательное
использование тех же чисел как индексов оправдывается тем, что
число в этом значении применяется только после того, как оно уже
было определено как кардинальное число. Если в данной последо-
вательности под V - 1 мы будем понимать число, непосредственно
предшествующее числу V, то получим

У =	(4)

Еу = (Еу_ р еу) = (е0, еу)	(5)

Из определения суммы в § 3 следует

ТГу = Еу—1 + 1,	(6)

т.е. всякое конечное кардинальное число (кроме 1) является суммой
непосредственно предшествующего и 1.

В нашем ходе мыслей теперь на передний план выступают три
следующих предложения.

А.	«Все члены, неограниченной последовательности конечных
кардинальных чисел

1, 2, 3, V, ...

отличны друг от друга, (т.е. не выполняется установленное в § 1 ус-
ловие эквивалентности соответствующих им множеств)».

В.	«Каждое из этих чисел V больше, чем предшествующее ему,
и меньше, чем следующее за ним (§ 2)».

С.	«Не существует кардинального числа, которое по своей ве-
личине было бы расположено между двумя соседними числами V и
V + 1».

Доказательства этих теорем мы основываем на двух следующих
теоремах Л и Д которые поэтому нужно доказать предварительно.

И. «Если М-множество, обладающее свойством не иметь оди-
наковой мощности ни с каким своим подмножеством, то и множе-
ство (М, е), получаемое из М присоединением одного нового элемен-
та е, обладает тем же свойством не иметь одинаковой мощности
ни с каким из его подмножеств».

Е. «Если А - множество с конечным, кардинальным числом г,
а какое-либо подмножество множества К, то кардинальное
число множества. Ку равно одному из предшествующих чисел 1, 2,
3, ..., V- 1».

§ 6. Наименьшее трансфинитное кардинальное
число алеф-нуль

Множества с конечными кардинальными числами называются
«конечными множествами», а все остальные множества мы будем
называть «трансфинитными множествами», а соответствующие им
кардинальные числа - «трансфинитными кардинальными числами».

Совокупность всех конечных кардинальных чисел V дает нам пер-
воочередной пример трансфинитного множества; назовем соответ-
ствующее ему кардинальное число (§1) «алеф-нуль», символически
Ко, и значит, по определению

«о = р}.	(1)

Что является трансфинитным числом, т. е. не равен никакому
конечному числу ц, вытекает из того простого факта, что если к мно-
жеству {у} будет добавлен новый элемент е0, то множество-сумма
({у}, е0) эквивалентно первоначальному множеству {у}. Действи-
тельно, между этими двумя множествами можно вообразить вза-
имно однозначное соответствие, по которому элементу е() первого
множества соответствует элемент 1 второго, элементу у первого -
элемент у + 1 второго. Поэтому по § 3 имеем

К0 + 1 = К0.	(2)

Но в § 5 было показано, что (для конечного ц) ц + 1 всегда отлич-
но от ц, а потому Ко не равен никакому конечному числу ц.

Число больше всякого конечного числа ц:

Ко > ц.	(3)

Это вытекает с учетом § 2 из того, что ц = 1,2, 3, ... р ), что ни-
какая часть множества (1, 2, 3, ... ц) не эквивалентна множеству {у}
и что само (1, 2, 3, ..., ц) является некоторой частью множества {у}.

С другой стороны, является наименьшим трансфинитным
числом.

Если а - какое-либо отличное от Ко трансфинитное кардиналь-
ное число, то всегда

(4)

Это вытекает из следующих теорем.

А.	«Всякое трансфинитное множество Т имеет подмножества
с кардинальным числом Ко».

В.	«Если 5-трансфинитное множество с кардинальным числом
Ко, и 5! - какое-либо трансфинитное подмножество множества 8,
то и	».

С.	«Всякое конечное множество обладает тем свойством, что
оно не' эквивалентно никакому своему подмножеству».
Этой теореме явно противостоит следующая теорема о транс-
финитных множествах:

Э. «Всякое трансфинитное множество Т обладает тем свой-
ством, что оно содержит подмножества которые эквивалент-
ны ему».

Для строгого обоснования этого положения вещей, обнаружен-
ного в 1882 г. и описанного в работе «Основы общего учения о мно-
гообразиях», а также в 21-м томе Ма1к. Апп. [1. 5. 5, § 11-113], мы
пользуемся так называемыми порядковыми типами, теория которых
излагается в нижеследующих параграфах.

§ 7. Порядковые типы просто упорядоченных множеств

Множество Л/мы называем «просто упорядоченным», если меж-
ду его элементами существует определенное «порядковое отноше-
ние», в соответствии с которым из любых двух элементов пу и т2
один занимает «более низкое», а другой «более высокое» положение,
и притом так, что если из трех элементов пу, т2, т3, например, т}
по положению ниже, чем т2, а т2 ниже, чем т3, то всегда тр имеет
более низкое положение, чем т3.

Соотношение между элементами ту и т2, в соответствии с кото-
рым пу имеет более низкое положение, а т2-более высокое в задан-
ном порядковом отношении, будет выражаться формулами

т\ -< т2 т2 т^.	(1)

Так, например, всякое точечное множество Р, заданное на не-
ограниченной прямой, будет просто упорядоченным множеством,
если из двух принадлежащих ему точек рх и р2 более низкий ранг
приписан той, координата которой (при выбранных начале коорди-
нат и направлении) меньше.

Очевидно, что одно и то же множество можно «просто упорядо-
чить» по различным законам. Возьмем, например, множество К всех
положительных рациональных чисел р/д (где р и с/ взаимно просты),
которые больше 0 и меньше 1. Тогда, во-первых, имеем их «есте-
ственное» упорядочение по величине. Но их можно упорядочить, на-
пример, и так (и при этом упорядочении будем обозначать это мно-
жество через 7?0), что из двух чисел и р2/ду у которых суммы
рх + ср ир2 + с/2 имеют различное значение, более низкий ранг полу-
чает то число, для которого меньше соответствующая сумма, а если
Р\ +	= Р2 + ^2’ то более низкий ранг будет иметь меньшее из этих

чисел.
Очевидно, что в этом упорядочении наше множество имеет вид

₽ _/	а-/1 112 112 3 .

2?о	(гьг2,...,гу,...)	^2’3’4’3’5’6’5’4’’

где

ГУ Гг + Г
так как одному и тому же значению р + с/ всегда отвечает лишь ко-
нечное число различных рациональных чисел.

Итак, всегда, когда мы говорим о просто упорядоченном множе-
стве М. мы имеем в виду заданным некоторое определенное упорядо-
чение его элементов в объясненном выше смысле.

Существуют дважды, трижды, у-кратно, а-кратно упорядочен-
ные множества, однако в нашем исследовании мы пока отказываемся
рассматривать их. Поэтому в последующем нам можно пользоваться
более кратким выражением «упорядоченное множество», когда речь
идет о «просто упорядоченном множестве».

Всякому упорядоченному множеству М соответствует опреде-
ленный «порядковый тип» или, короче, определенный «тип», кото-
рый мы будем обозначать через

М.	(2)

Под этим мы понимаем то общее понятие, которое получается
из М, когда мы отвлекаемся от качества элементов т, но сохраняем
их порядковое расположение.

В соответствии с этим порядковый тип М сам является упорядо-
ченным множеством, элементами которого являются исключитель-
но единицы, расположенные по отношению друг к другу так же, как
и соответствующие им элементы множества М. из которых они по-
лучены абстрагированием.

Два упорядоченных множества М и М мы называем «подобны-
ми». если их можно так поставить во взаимно однозначное соответ-
ствие, что когда /77] и /7?2 - любые два элемента из М. а пх и п2 - со-
ответствующие им элементы из то всегда порядковое отношение
/77] к /772 в Мтакое же, как и порядковое отношение ки2 вА Такое
соответствие подобных множеств мы называем их «отображением»
друг на друга. При этом каждому подмножеству Мх множества М
(которое, очевидно, тоже является упорядоченным множеством) со-
ответствует подобное ему подмножество множества №

Подобие двух упорядоченных множеств М и Ы мы выражаем
формулой

М _ ТУ.

(3)
Всякое упорядоченное множество подобно самому себе.

Если два упорядоченных множества подобны третьему, то они.
подобны и друг другу.

Простое соображение показывает, что два упорядоченных мно-
жества имеют одинаковый порядковый тип тогда и только тогда,
когда они подобны, так что из двух формул

~М = М - Ы	(4)

одна всегда является следствием другой.

Если в порядковом типе М мы абстрагируемся и от расположе-
ния элементов, то получим (§1) кардинальное число М упорядочен-
ного множества ТИ, которое одновременно является кардинальным
числом порядкового типа М. _

Из М = Ы всегда следует М = ТУ, т.е. упорядоченные множе-
ства равных типов всегда имеют одну и ту же мощность или карди-
нальное число; подобие упорядоченных множеств всегда обеспечи-
вает их эквивалентность. Напротив, два упорядоченных множества
могут быть эквивалентными, не будучи подобными.

Для обозначения порядковых типов мы будем пользоваться ма-
лыми буквами греческого алфавита.

Если а - порядковый тип, то под

а	(5)

будем понимать соответствующее ему кардинальное число.

Порядковые типы конечных просто упорядоченных множеств
не представляют особого интереса. Действительно, легко убедиться,
что для одного и того же конечного кардинального числа V все про-
сто упорядоченные множества подобны друг другу, а значит, имеют
один и тот же порядковый тип. Поэтому конечные просто упорядо-
ченные типы подчиняются тем же законам, что и конечные карди-
нальные числа, и для них допустимо применять те же знаки 1, 2, 3,
..., V хотя понятийно они и отличаются от кардинальных чисел.

Совсем иначе обстоит дело для трансфинитных порядковых ти-
пов. Действительно, для одного и того же трансфинитного карди-
нального числа существует несчетно много различных типов просто
упорядоченных множеств, которые в их совокупности образуют осо-
бый «класс типов».

Следовательно, каждый из этих классов типов определяется
транс финитным кардинальным числом а, являющимся общим для
всех отдельных типов, принадлежащих этому классу; поэтому мы
называем его кратко классом типов [а].
Тот из них, который естественно представляется нам и полное
изучение которого поэтому должно явиться нашей ближайшей це-
лью в теории трансфинитных множеств, это класс типов [№0], охва-
тывающий все типы с наименьшим кардинальным числом Ко.

Кардинальное число а, определяющее класс типов [а], мы долж-
ны отличать от того кардинального числа а7, которое само определя-
ется классом типов [а]; последнее является кардинальным числом,
соответствующим классу типов [а], как только он является строго
определенным множеством, элементами которого являются все
типы а с кардинальным числом а. Мы увидим, что а7 отлично от а
и притом всегда больше, чем а.

Если в упорядоченном множестве Л/мы обратим все порядковые
отношения между элементами, так что всюду «более низкий» станет
«более высоким», а «более высокий» - «более низким», то опять по-
лучим упорядоченное множество, которое обозначим через

*М	(6)

и назовем «обратным» для М.

Если а = 7И, то порядковый тип множества обозначим через

*а.	(7)

Может случиться, что *а = а, как, например, у конечных типов
или у типа множества К всех рациональных чисел, которые больше
О и меньше 1, в их естественном упорядочении. Этот тип мы будем
изучать, обозначив его через ц.

Заметим, далее, что два подобных упорядоченных множества
могут быть отображены друг от друга или единственным образом,
или несколькими способами; в первом случае соответствующий тип
подобен самому себе лишь единственным образом, а во втором - не-
сколькими.

Не только все конечные типы, но и те типы трансфинитных
«вполне упорядоченных множеств», которыми мы займемся далее
и которые назовем «трансфинитными порядковыми числами», та-
ковы, что они допускают лишь единственное отображение на себя.
Напротив, указанный выше тип ц отображается на себя несчетно
многими способами.

Это различие мы хотим пояснить двумя примерами.

Под со мы понимаем тип вполне упорядоченного множества
(ере2, ...,еу, ...),

в котором

еу -< еу+1
где V является представителем всех конечных кардинальных чисел.

Другое вполне упорядоченное множество

с условием

Л -< Л+1
и того же типа о) может быть «отображено» на первое только так,
что еу и / являются соответствующими элементами. Действитель-
но, самому низкому по рангу элементу ех первого множества должен
соответствовать самый низкий элемент/^ второго, непосредственно
следующему по рангу за ех элементу е2 должен соответствовать не-
посредственно следующий заэлемент^ и т.д.

Всякое другое взаимно однозначное соответствие этих двух эк-
вивалентных множеств {еу} и {/'} не является «отображением» в том
смысле, который мы зафиксировали выше для теории типов.

Напротив, возьмем теперь упорядоченное множество вида
ьь

где V- представитель всех положительных и отрицательных конеч-
ных целых чисел, включая 0, и где тоже

еу' еу,+1.

Это множество не имеет самого высокого и самого низкого по
рангу элемента. Его тип по определению суммы, которое будет дано
в § 8, таков:

*0) + со.

Он подобен самому себе бесчисленно многими способами.

Действительно, если мы рассмотрим множество

{/>}

того же типа, в котором

Л- -< Л'+ь
то эти два упорядоченных множества можно так отобразить друг
на друга, что, понимая под у0' определенное число у', элементу еу
первого будет соответствовать элемент Л0,-н" второго. Вследствие
произвольности у0'мы имеем здесь бесконечно много отображений.

Развитое здесь понятие «порядкового типа» охватывает, если его
таким же образом перенести на «кратно упорядоченные множества»,
вместе с введенным в § 1 понятием «кардинального числа» или
«мощности» все «числоподобное», которое мыслимо вообще, и не
допускает в этом смысле никакого дальнейшего обобщения]. Оно
не содержит ничего произвольного, а является, естественным обоб-
щением понятия числа. Следует особо подчеркнуть, что критерий
равенства (4) вытекает с абсолютной необходимостью из понятия
порядкового типа, а потому не допускает никакого изменения. В не-
понимании этого состоит главная причина грубой ошибки, содержа-
щейся в труде господина Д. Веронезе СгипЛхйру (Лег СеотеРче (не-
мецкий перевод А. Шеппа. Ьегрм^ 1894).

«Число или численность упорядоченной группы» определе-
но там на с. 30 как полностью совпадающее с тем, что мы назвали
«порядковым типом просто упорядоченного множества» (2иг Ьекге
у от Тгап8^пИеп. На11е, 1890, 8. 68-75,-оттиск из 118 скг. РкИоз, ипЛ
ркИоз. КпГ за 1887 г. [здесь II. 3]).

Однако критерий равенства г-н Веронезе считает нужным допол-
нить. На с. 31 он говорит: «Числа, единицы которых соответствуют
однозначно и в том же порядке и из которых одно не является частью
другого или не равно части другого, равны»141.

Это определение равенства содержит круг, а потому не имеет
смысла.

Действительно, что в его дополнении означает «не равно части
другого!»

Чтобы ответить на этот вопрос, прежде всего нужно знать, ког-
да два числа равны или не равны. Следовательно, его определение
равенства (отвлекаясь от его произвольности) предполагают не-
кое определение равенства, относительно которого вновь нужно
знать, что означает равно или не равно, и т. д. до бесконечности.

После того как г-н Веронезе получил таким образом зыбкий фун-
дамент для сравнения чисел, оставляющий место произволу, не при-
ходится удивляться той беспорядочности, с которой он далее опери-
рует со своими псевдотранс финитными числами и приписывает им
свойства, которыми они не могут обладать на основании простых
соображений, поскольку они в придуманной им форме не имеют ре-
ального существования, а существуют лишь на бумаге. А тем самым
становится понятным то бросающееся в глаза их сходство с в выс-
шей степени абсурдными «бесконечными числами» Фонтенеля в его
СёотёРче Ле Г1п]1п1. Рапз, 1727.

Г-н В. Киллинг в 1пЛех ЬесИопит Мюнстерской академии
(за 1895-1896 год) тоже вкратце высказал свои соображения против
основ жниги Веронезе.

141 В оригинальном итальянском издании это место (с. 27) дословно выглядит так:
ТУитеп1е ипНа с1ег диаП $1 сот$ропс1опо итуосатеп1е е пе1 тес1е$1то огсНпе, е <31 сш Гипо
поп ё раНе о щ?иа1е ас1 ипа раНе с1е1Га11го, $опо щ?иаИ.
§ 8.	Сложение и умножение порядковых типов

Сумму (АГ, А) двух множеств АГ и А, когда последние упорядоче-
ны, можно рассматривать как упорядоченное множество, в котором
порядковые соотношения элементов из, АГ, а также порядковые со-
отношения элементов из А относительно друг друга сохраняются,
а все элементы из М имеют более низкий ранг, чем все элементы из
А. Если М' и А'-два других упорядоченных множества [без общих
элементов], М - Мг и А ~ А', то и (АГ, А) - (АГ', А/ Следовательно,
порядковый тип_множества (АГ, 7\Г) зависит только от порядковых ти-
пов АГ = ос и А = Р . Поэтому мы определяем

ос + Р = (аГ,а).	(1)

В сумме а + Р а называется «то, к чему прибавляют», а Р - «при-
бавляемым».

Для любых трех типов легко доказывается ассоциативный закон
а + (Р + у) = (а + Р) + у.	(2)

Напротив, коммутативный закон для сложения типов вообще не-
справедлив. Это мы видим уже из такого примера.

Если со - упоминавшийся в § 7 тип вполне упорядоченного мно-
жества

Б’ = (е1,е2,	...), еу -< еу+х,

то 1 + со не равна со + 1.

Действительно, если /-некий новый элемент, то согласно (1)
имеем	____ _______________

1	+ (о=(/,.Е') со + 1 = (Я,/).

Но множество

подобно множеству Е. а значит,

1	+ со — со.

Напротив, множества Е и (ДУ) не подобны, поскольку первое не
имеет наивысшего по рангу члена, а последнее имеет наивысший
член/ Поэтому со + 1 отлично от со = 1 + со.

Из двух упорядоченных множеств АГ и А с типами аир можно
образовать упорядоченное множество 8 тем, что в А вместо каждого
элемента п ставится упорядоченное множество АГ, имеющее тот же
тип а, что и АГ, т. е.

Мп = ос,	(3)

а об упорядочении в

5={Мп}	(4)

принимаются такие соглашения:
1)	два любых элемента из 5, принадлежащие одному и тому же
множеству М, сохраняют в 5 то же самое порядковое отношение,
как и в

2)	два любых элемента из 5, которые принадлежат различным
множествам Мп и Мп^, сохраняют в 5 порядковое отношение, име-
ющееся между пх и п2 в №

Как легко видеть, порядковый тип множества 5 зависит лишь от
типов аир. Мы вводим определение

ос • Р = 5 .	(5)

В этом произведении а называется «множимым», а Р - «множи-
телем».

Взяв за основу какое-либо отображение множества М на М,
обозначим через тл элемент, соответствующий элементу т из М.

Тогда можем также написать

5 = {тп}.	(6)

Если мы возьмем еще третье упорядоченное множество Р = {р}
с порядковым типом Р = у, то по (5)

Но упорядоченные множества {(тиДД и ум \ > подобны и бу-

дут отображаться друг на друга, если в качестве соответствующих
рассматривать их элементы (тфр и т^ ).

Следовательно, для трех типов а, Р и у справедлив ассоциатив-
ный закон

(а • р) • у = а  (р • у).	(7)

Из (1) и (5) легко получается и дистрибутивный закон

а • (Р + у) = а • р + а • у,	(8)

однако в этой форме только тогда, когда двучленный фактор играет
роль множителя.

Напротив, коммутативный закон для типов теряет общезначи-
мость при умножении, как и при сложении.

Например, 2 • ® и ® • 2 являются различными типами. Действи-
тельно, по (5)

2  ® = (ер/р е2,/2;	еу,/у-, ...) = со;

напротив
а)-2 = (ерв2,	...)

очевидно отличен от св.

Если сравнить определения элементарных операций над карди-
нальными числами, данные в § 3, с установленными здесь операци-
ями над порядковыми типами, то легко видеть, что кардинальное
число суммы двух типов равно сумме кардинальных чисел отдель-
ных типов и что кардинальное число произведения двух типов равно
произведению кардинальных чисел отдельных типов.

Следовательно, всякое получающееся из двух элементарных
операций равенство между порядковыми типами остается справед-
ливым, если в нем все типы заменить их кардинальными числами.

§ 9. Порядковый тип ц множества всех
рациональных чисел, которые больше 0 и меньше 1,
в их естественном упорядочении

Как и в § 7, под, К мы понимаем систему всех рациональных чи-
сел р/д (рид взаимно просты), которые > 0 и < 1, в их естественном
упорядочении, когда величина числа определяет его ранг. Порядко-
вый тип множества К мы обозначаемчерез ц:

П = К.	(1)

Но то же самое множество мы представили там и в другом упо-
рядочении, в котором оно было обозначено через 7?0, причем ранг
сначала определялся величиной р + д, а затем - для тех рациональ-
ных чисел, у которыхр + д имеет одно и то же значение, - величиной
самой р/д. Множество /?() имеет форму вполне упорядоченного мно-
жества типа со:

7?о = (гъг2,...,гу,..\ где гу^гу+1,	(2)

/?о = со.	(3)

Поскольку К и /?() отличаются лишь расположением элементов,
то они имеют одно и то же кардинальное число, а так как очевидно,
что Р =	, то и

к = П = *0-	(4)

Следовательно, тип ц принадлежит классу типов [^0].

Заметим, во-вторых, что в К не содержится ни наинизшего, ни
наивысшего по рангу элементов.
В-третьих, К обладает тем свойством, что между двумя любыми
его элементами располагаются по рангу его другие элементы; это
свойство мы выражаем словами: К «всюду плотно».

Покажем теперь, что три признака типа г| у К являются характе-
ристическими, т.е. что имеет место следующая теорема:

«Если просто упорядоченное множество М удовлетворяет трем
условиям:

1)	М= Ко,

2)	Л/не имеет наинизшего и наивысшего по рангу элементов,

3)	Мвсюду плотно, то порядковый тип у Мравен т|, т.е.

М = Г|.

Из этой теоремы вытекают следующие утверждения:

«г| является порядковым типом всех отрицательных и положи-
тельных рациональных чисел, включая нуль, в их естественном упо-
рядочении».

«г| является порядковым типом всех рациональных чисел, кото-
рые больше а и меньше Ъ, в их естественном упорядочении; здесь
а и Ъ - два любых действительных числа и а < Ь».

«г| является порядковым типом всех действительных алгебраи-
ческих чисел в их естественном упорядочении».

«г| является порядковым типом всех действительных алгебраи-
ческих чисел, больших а и меньших Ъ, в их естественном упорядоче-
нии; здесь а и Ъ - два любых действительных числа и а < Ь».

Действительно, все эти упорядоченные множества удовлет-
воряют трем требованиям, содержащимся в нашей теореме о М
(см. Журнал Крелле, т. 77, с. 258) [I. 2].

Если, далее, мы рассмотрим заданные в соответствии с опреде-
лениями из § 8 множества с типами ц + ц, гщ, (1 + ц) Ц, (ц + 1) Ц,
(1+т| + 1)т|, то найдем, что и для них выполняется любое из трех
указанных условий. Тем самым имеем теоремы:

Т] + Г) = П,	(7)

г)Т] = г|,	(8)

(1+т])г) = П,	(9)

(г) + 1)г) = т],	(Ю)

(1+т] +1)г) = П-	(Н)

Повторное применение (7) и (8) дает для всякого конечного V
и

=	(13)

Напротив, как легко видеть, для у > 1 типы 1 + т|, т| + 1, у • т|,
1 + г| + 1 отличаются и друг от друга и от т|. С другой стороны,
г| + 1+ г| = т|,	(14)

но Г| + V + г| отличен от Г| при у > 1.

Наконец, следует подчеркнуть, что

*т| = т|.	(15)

§ 10. Фундаментальные последовательности, содержа-
щиеся в трансфинитном упорядоченном множестве

Берем за основу какое-либо упорядоченное трансфинитное мно-
жество М. Каждое подмножество множества ТИ само является упо-
рядоченным множеством. Для изучения типа М кажутся особенно
заслуживающими внимания те подмножества из ТИкоторым соответ-
ствуют типы со и *со; мы называем их «содержащимися в М фунда-
ментальными последовательностями первого порядка», причем пер-
вые (типа со) «возрастающими», а вторые (типа *со) «убывающими».

Поскольку мы ограничиваемся рассмотрением фундаменталь-
ных последовательностей первого порядка (в дальнейших исследо-
ваниях будут рассмотрены и фундаментальные последовательности
более высоких порядков), то мы назовем их здесь просто «фундамен-
тальными последовательностями».

Следовательно, «возрастающая фундаментальная последова-
тельность» имеет вид

{ау}, где ау -< аг+1,	(1)

а «убывающая фундаментальная последовательность» - вид

{«}, где Ьу >- Ьу+1,	(2)

В наших соображениях у (а также х, X, ц) всюду имеют смысл ко-
нечного кардинального числа или же конечного типа, соответственно
конечного порядкового числа.

Две содержащиеся в М возрастающие фундаментальные после-
довательности {ау} и {а '} мы назовем «перемежающимися», сим-
волически

К) I {а/},	(3)

если для каждого элемента а существуют такие элементы а^. что

и одновременно для каждого элемента а ' существуют такие элемен-
ты а^. что
Две содержащиеся в М убывающие фундаментальные последо-
вательности {Ь } и {Ь '} называются «перемежающимися», симво-
лически

{ЬуЩЬу'}	(4)

если для каждого элемента Ь существуют такие элементы Ь^', что

а для каждого элемента Ьу' существуют такие элементы что

^У ^1 •

Возрастающую последовательность {а^} и убывающую {Ь } мы
называем «перемежающимися», символически

{%} ।	(5)

если: 1) для всех у и ц

и 2) в М существует самое большее один такой элемент /7?() (а значит,
или только один, или не существует совсем), что для всех V

ау т0 -< Ь„.

Тогда имеют место теоремы:

А.	«Если две фундаментальные последовательности являются
перемежающимися с третьей, то они являются перемежающими-
ся и одна с другой».

В.	«Две одинаково направленные фундаментальные последова-
тельности. из которых одна является подмножеством другой, всег-
да перемежаются».

Если в М существует элемент т0, который по отношению к воз-
растающей фундаментальной последовательности {ау} занимает та-
кое положение, что

1)	для всякого V

т0,

2)	для всякого элемента т из М. который -< т0, существует такое
определенное число у0, что

ау >- т для V > у0,

то мы будем называть т0 «предельным элементом последовательно-
сти {аг} вМ» и одновременно «главным элементом множества М».

Аналогично назовем т0 «главным элементом множества М»
и одновременно «предельным элементом последовательности {Ъу}
в М». если выполняются следующие условия:

1)	для всякого V

« >- то,

2)	для всякого элемента т из М. который > т$ , существует такое
определенное число у0, что
/у У- т для V > Уд-

Фу ндаментальная последовательность не сможет иметь более
одного предельного элемента в М но М вообще может иметь много
главных элементов.

Убеждаемся в справедливости следующих теорем:

С. «Если фундаментальная последовательность имеет предель-
ный элемент в М, то все перемежающиеся с нею фундаментальные
последовательности имеют тот же предельный элемент в М».

В. «Если две фундаментальные последовательности (направ-
ленные одинаково или по-разному) имеют один и тот же предель-
ный элемент в М, то они являются перемежающимися».

Если А/ и М'- два подобных упорядоченных множества, так что

7Й = >,	(6)

и за основное взято какое-либо отображение этих множеств друг на
друга, то, как легко видеть, справедливы следующие теоремы:

Е. «Всякой фундаментальной последовательности в М соот-
ветствует в качестве образа фундаментальная последователь-
ность вМ'и наоборот всякой возрастающей последовательности
соответствует возрастающая же, всякой убывающей - убываю-
щая; перемежающимся фундаментальным последовательностям
в М соответствуют в качестве образов перемежающиеся последо-
вательности в М' и наоборот».

Е «Если фундаментальной последовательности в М соответ-
ствует предельный элемент в М, то соответствующей ей фунда-
ментальной последовательности в М' сопоставляется предельный
элемент вМ'и наоборот; оба этих предельных элемента являются
образами друг друга при заданном отображении».

О. «Главным элементам множества М соответствуют в каче-
стве образов главные элементы множества М' и наоборот».

Если множество М состоит только из главных элементов, так что
каждый его элемент является главным, то мы называем его «плот-
ным в себе множеством».

Если для всякой фундаментальной последовательности в М су-
ществует предельный элемент в М, то мы называем М «замкнутым
множеством».

Множество, одновременно «плотное в себе» и «замкнутое», на-
зывается «совершенным множеством».

Если некоторое множество обладает одним из этих трех преди-
катов, то тот же самый предикат присущ и всякому подобному ему
множеству; поэтому те же самые предикаты можно приписать и со-
ответствующим порядковым типам, а тем самым существуют «плот-
ные в себе типы», «замкнутые типы», «совершенные типы», а так-
же «всюду плотные типы» (§ 9).

Так, например, г| является «плотным в себе типом»; как показано
в § 9, он является и «всюду плотным», но не «замкнутым».

Типы со и * со не имеют главных элементов (главных единиц); на-
против, со + уиу+*со имеют каждый один главный элемент и явля-
ются «замкнутыми типами».

Тип со • 3 имеет три главных элемента, но не является «замкну-
тым»; тип со • 3 + V имеет три главных элемента и является «замкну-
тым».

§ 11.	Порядковый тип 0 линейного континуума X

Мы обращаемся к изучению порядкового типа множества^ = {%}
всех действительных чисел, которые > 0 и < 1, в их естественном
упорядочении, так что для любых двух его элементов х их'

х -< х, еслих <х'.

Пусть обозначением этого типа_будет

х = е.	(1)

Из элементов учения о рациональных и иррациональных числах
известно, что всякая фундаментальная последовательность {ху} в X
имеет предельный элемент в X и что, обратно, каждый элемент х
множества АГ является предельным элементом фундаментальной по-
следовательности, принадлежащей X. Тем самым Xявляется «совер-
шенным, множеством», а «совершенным типом».

Но этим 0 еще охарактеризован недостаточно; нам, кроме того,
нужно принять во внимание следующее свойство множества А":

X содержит изученное в § 9 множество К порядкового типа ц
в качестве своего подмножества и притом так, что между двумя
любыми элементами х() и хх множества Xрасположены по порядку
элементы множества К.

Теперь будет показано, что эти признаки, взятые вместе, исчер-
пывающе характеризуют порядковый тип 0 линейного континуума X,
так что справедлива теорема:

«Если упорядоченное множество М таково, что оно 1) «совер-
шенно», 2) в нем содержится множество 5 с кардинальным числом
8 =	, которое так относится к М, что между любыми двумя

элементами т()ит1 множества Мрасположены по порядку элемен-
ты множества 8, то М = 0 ».
§ 12.	Вполне упорядоченные множества

Особое место среди просто упорядоченных множеств занимают
вполне упорядоченные множества. Их порядковые типы, которые
мы называем «порядковыми числами», образуют естественный мате-
риал для точного определения высших трансфинитных кардиналь-
ных чисел или мощностей, определения, вполне соответствующего
тому, какое мы дали для наименьшего трансфинитного числа алеф-
нуль при помощи системы всех конечных чисел V (§ 6).

«Вполне упорядоченным» мы называем просто упорядоченное
множество В (§ 7), если его элементы/ начиная с наинизшего/, по-
являются в определенной последовательности так, что выполняют-
ся два таких условия:

I.	«В В существует наинизший по рангу элемент/».

II.	«Если В' - какое-либо подмножество множества В и В обла-
дает одним или несколькими элементами более высокого ранга, чем
все элементы из В', то существует элемент /'множества В, который
непосредственно следует за совокупностью В', так что в В не суще-
ствует элемента, который по рангу расположен между В' и/'»142.

В частности, за каждым отдельным элементом / множества М,
если он не наивысший, следует определенный другой элемент/' как
непосредственно более высокий по рангу Это вытекает из усло-
вия 11, если вместо В' подставить отдельный элемент/ Далее, если
в В содержится, например, бесконечная последовательность идущих
друг за другом элементов

/ . // . /// .	. (г)	. (у+1)

е -А е е	еу } еу 7...,

однако так, что в К еще существуют элементы, имеющие более высо-
кий ранг, чем все е^\ то по условию 11с заменой в нем В' совокупно-
стью {е^} существует такой элемент/', что не только

/' >

для всех значении V, но и не существует в В такого элемента ко-
торый удовлетворяет двум условиям:

ё -<	ё>-

для всех значений у.

Так, к примеру, три множества

(ах,а2, ...,ау, ...),

(ара2, ...,ау, ...,Ьг,Ь2, ...Ъц, ...),

142 Это определение «вполне упорядоченного» множества, если отвлечься от сло-
весной формы, полностью совпадает с определением, введенным в Ма1к. Апп., В<1. 21, 8.
548 (ОгипсЛа^еп е'тег аП^ете'теп Мапт^аШ§кеИ$1екге, 8. 4) [здесь с. 67].
(ар а2. .... ау. .... 1у, Ь2.	ср с2. с3)

где

ау -< аг+1	^1+1 -< С1 с2 -< с3’

являются вполне упорядоченными. Два первых из них не имеют
наивысшего элемента, у третьего наивысший элемент с3; у второ-
го и третьего непосредственно за всеми элементами а следует Ьх.
в третьем за всеми элементами ау и непосредственно следует су

В последующем мы намереваемся распространить на группы эле-
ментов введенные в § 7 знаки -< и у-. служившие там для выражения
порядкового отношения двух любых элементов, так что формулы

М-<Е.

будут выражать то, что в предложенном упорядочении все элементы
множества М имеют более низкий, соответственно более высокий
ранг, чем все элементы множества №

А.	«Всякое подмножество Е1 вполне упорядоченного множе-
ства В имеет самый низкий элемент».

В.	«Если просто упорядоченное множество Е обладает тем свой-
ством, что как Е, так и всякое его подмножество имеют наинизший
элемент, то Еявляется вполне упорядоченным множеством».

С.	«Всякое подмножество Е' вполне упорядоченного множества
Еявляется вполне упорядоченным множеством».

Е. «Всякое множество подобное вполне упорядоченному мно-
жеству Е, тоже является вполне упорядоченным».

Е. «Если во вполне упорядоченное множество О вместо его эле-
ментов § будут подставлены вполне упорядоченные множества
с условием, что для вполне упорядоченных множеств Е§ и Е^, под
ставляемых вместо двух элементов отношение § вле-
чет Е§ -< Е / то множество Н. полученное объединением, элемен-
тов всех множеств Е^. будет вполне упорядоченным».

§ 13. Отрезки вполне упорядоченных множеств

Если / является каким-либо элементом вполне упорядоченного
множества К, отличным от начального элемента/х. то множество Л
всех элементов из К, которые -< /, будем называть «отрезком множес-
тва Е» и притом отрезком множества Е. определяемым элементом/.
Напротив, множество К всех остальных элементов из Е. включая /.
будет называться «остатком множества Е» и притом остатком мно-
жества Е. определяемым элементом /. По теореме С (§ 12) множе-
ства Л и В являются вполне упорядоченными, и согласно § 8 и 12 мы
можем написать
К = (Л,Я),	(1)

К =	(2)

А К.	(3)

Л'представляет собой часть множества Л, следующую за началь-
ным элементом / и сводится к 0, если Л, помимо / не имеет других
элементов.

Если в виде примера мы возьмем вполне упорядоченное мно-
жество

Е = (ар а2. .... ау. .... Ъх. Ь2. .... Ъ^. ....	с2. с3),

то в нем определяются: элементом а, отрезок

(«Р а2)
и соответствующий остаток

(а3, а4, ау, Ъх, Ь2,	Ъ^, ср с2, с3);

элементом	- отрезок

(ара2, ...,ау, ...)
и соответствующий остаток

(Ьх,ъ2,	...,СРС2, С3);

элементом с2 - отрезок

(ара2, ...,ау, ...,ЪХ,Ь2,	...,ср)

в соответствующий остаток

(с2, С3).

Если А и А' -два отрезка множества К, /и/'- определяющие их
элементы, и

Л

то и А' является отрезком множества А. В этом случае мы называем
А' меньшим, а Л большим отрезками множества К;

А'<А.

В соответствии с этим о каждом отрезке А множества Е мы тоже
можем сказать, что он меньше самого Е:

А<Е.

А. «Если два подобных вполне упорядоченных множества Е иб
отображаются друг на друга, то каждому отрезку А множества
Е соответствует подобный ему отрезок В множества (В, а каждо-
му отрезку В множества (В - подобный ему отрезок множества Е,
и элементы/и § из Е и (В, которыми определяются соответствую-
щие друг другу отрезки А и В, тоже соответствуют друг другу при
этом отображении».

В.	«Вполне упорядоченное множество Е не подобно никакому
своему отрезку».

С.	«Вполне упорядоченное множество Е не подобно никакому
подмножеству любого из его отрезков».
В. «Два различных отрезка А и А' вполне упорядоченного множе-
ства Р не подобны друг другу».

Е. «Два подобных вполне упорядоченных множества Р и (А мож-
но отобразить друг на друга лишь единственным способом».

Е «Если Р и (А два вполне упорядоченных множества, то отре-
зок А множества Р может иметь самое большее один подобный
ему отрезок В в С».

О. «Если А и В - подобные отрезки двух вполне упорядоченных
множеств Е и (А, то для каждого меньшего отрезка А' < А множе-
ства Е существует подобный ему отрезок В' < В множества (А,
а для каждого меньшего отрезка В' < В множества (А - подобный
ему отрезок А' < А множества Р».

Н.	«Если А и А '-два отрезка вполне упорядоченного множества
Е, В и В'-подобные им отрезки вполне упорядоченного множества
(А и А' <А, то и В' < В».

I.	«Если отрезок В вполне упорядоченного множества (А не подо-
бен никакому отрезку вполне упорядоченного множества Е, то как
всякий отрезок В'> В множества (А, так и само (А не подобны ника-
кому отрезку множества Е, ни самому Р».

К. «Если для всякого отрезка А вполне упорядоченного множе-
ства Е существует подобный ему отрезок В другого вполне упорядо-
ченного множества (А и, обратно, для всякого отрезка В множества
(А существует подобный ему отрезок А множества Р.то Р - (А».

Г. «Если для всякого отрезка А вполне упорядоченного множе-
ства Е существует подобный ему отрезок В вполне упорядоченного
множества (А, но, напротив, имеется по крайней мере один отрезок
множества (А, для которого не имеется подобного ему отрезка мно-
жества Е, то существует определенный отрезок В1 множества (А
такой, что В1 - Р».

М. «Если вполне упорядоченное множество (А содержит по
крайней, мере один отрезок, для которого во вполне упорядоченном
множестве Е не имеется подобного ему отрезка, то всякий отрезок
А множества Е должен иметь подобный ему отрезок В в С».

К. «Если Е и (А- два любых вполне упорядоченных множества,
то: 1) или Р и (А подобны друг другу, 2) или существует опреде-
ленный отрезок В^ множества (А, который подобен множеству Р,
3) или существует определенный отрезок Ах множества Р, кото-
рый подобен множеству (А; каждый из этих трех случаев исключа-
ет возможность двух других».

О. «Если подмножество Р' вполне упорядоченного множества Е не
подобно никакому отрезку множества Е, то оно подобно самому Р».
§ 14.	Порядковые числа вполне
упорядоченных множеств

В соответствии с § 7 всякое просто упорядоченное множество
имеет определенный порядковый тип М; он является тем общим
понятием, которое получается из М, если при сохранении распо-
ложения его элементов отвлечься от свойств последних, так что из
них получаются чистые единицы, находящиеся по отношению друг
к другу в некотором определенном порядковом расположении. Всем
подобным друг другу множествам и только им соответствует
один и тот же порядковый тип.

Порядковый тип вполне упорядоченного множества В мы назы-
ваем соответствующим ему «порядковым числом».

Если аир- два любых порядковых числа, то они ведут себя по
отношению друг к другу трояко. А именно если В и С - два таких
вполне упорядоченных множества, _что

В = ос, О = Р

то по теореме А из § 13 возможны три взаимно исключающих друг
друга случая:

1)	К - С;

2)	существует такой определенный отрезок множества С, что

3)	существует такой определенный отрезок А х множества К, что
с

Легко видеть, что каждый из этих трех случаев остается преж-
ним, если В и О будут заменены подобными им множествами Гиб'
Тем самым мы имеем и три отношения типов аир друг к другу.

В первом случае а = Р; во втором случае мы скажем, что а < Р,
а в третьем, что а > р.

Следовательно, имеем теорему:

«Если а г/ Р - два произвольных порядковых числа, то или а = Р,
или а < Р, или а > Р».

Из определения отношений «меньше» или «больше» легко следует:

В.	«Если имеются три порядковых числа а, Р, у г/ а < Р, Р < у, то
а < у».

Значит, порядковые числа в их расположении по величине обра-
зуют просто упорядоченное множество; позднее мы покажем, что
оно является вполне упорядоченным множеством.

Определенные в § 8 операции сложения и умножения порядко-
вых типов произвольных просто упорядоченных множеств приме-
нимы, естественно, и к порядковым числам.
Если ос = К, Р = С , где Ей С-вполне упорядоченные множе-
ства, то [по (1) из § 8]

ос + р = ро).	(1).

Очевидно, что сумма множеств (К, С) также является вполне
упорядоченным множеством; следовательно, имеем теорему:

С.	«Сумма двух порядковых чисел также является порядковым
числом».

В сумме а + Р число а называется «то, к чему прибавляют», а
Р - «прибавляемым».

Так как К является отрезком множества (К, С), то всегда

а < а + р.	(2)

Напротив, С является не отрезком, а остатком множества (К, С),
а потому, как мы видели в § 13, может быть подобным множеству
(К, С); если этого нет, то С по теореме О § 13 подобно некоторому
отрезку множества (К, С). Следовательно,

Р<а + р.	(3)

Тем самым имеем

В. «Сумма двух порядковых чисел всегда больше того числа,
к которому прибавляют и, напротив, больше прибавляемого или
равна ему. Если а + Р = а + у, то отсюда всегда следует, что Р = у».

Вообще а + Рг/Р + ат/е равны. Напротив, если у-третье поряд-
ковое число, то

(а + Р) + у = а + (Р + у).	(4)

Следовательно [см. § 8].

Е. «Для сложения порядковых чисел справедлив ассоциативный
закон».

Если в множество С типа, Р подставить вместо каждого элемента
С любое множество Е§ типа а, то по теореме Е § 12 получится вполне
упорядоченное множество Н. тип которого полностью определяется
типами а и Р; этот тип будет называться произведением а • Р:

^=ос,	(5)

а • р = Н.	(6)

Е. «Произведение двух порядковых чисел тоже является поряд-
ковым числом».

В произведении а • р число а называется «множимым», а Р -
«множит ел ем ».

Вообще а • Р и р • а не равны. Однако имеем (§ 8)

(а  Р)  у = а • (Р  у),	(7)

т.е.
О. «Для умножения порядковых чисел справедлив ассоциатив-
ный закон».

Дистрибутивный закон вообще справедлив лишь в следующем
виде [см. (8) из § 8]:

а • (р + у) = а • р + а • у.	(8)

Относительно величины произведения справедлива, как легко
видеть, теорема

Н. «Если множитель больше 1, то произведение двух порядко-
вых чисел всегда больше множимого и, напротив, больше или равно,
чем множитель. Если ар = ау, то всегда Р = у».

С другой стороны, очевидно, что

а • 1 = 1 • а = а.	(9)

Здесь добавляется еще операция вычитания. Если а и Р-два по-
рядковых числа и а < р, то всегда существует определенное порядко-
вое число, которое мы обозначим через Р~а и которое удовлетворяет
равенству

_а + (р-а) = р.	(10)

Действительно, если С = Р, то С имеет такой отрезок В. что
В = ос; соответствующий остаток мы обозначим через В и получим
О = (В, А)

и

Р = ос + В,
а значит,

Р-а = В.	(11)

Определенность разности р - а проистекает из того, что отрезок В
множества С является полностью определенным, а потому и В за-
дается однозначно. Подчеркнем такие вытекающие из (4), (8) и (10)
формулы:

(у + р)-(у + а) = р-а,	(12)

у(Р-а) = уР-уа.	(13)

Существенно то, что всегда можно суммировать и бесконечное
число порядковых чисел так, что их сумма является определенным
порядковым числом, зависящим от порядка следования ее слагаемых.
Если, например,

Рр Р2> •••> Рр •••
произвольная просто бесконечная последовательность порядковых
чисел и мы имеем

Ру = Сг,	(14)

то [теорема Е из § 12] и

С = (СРС2,...,СУ,...)	(15)

является вполне упорядоченным множеством, порядковое число ко-
торого Р представляет собой сумму чисел Ру. Имеем, следовательно,

Р1 +Р2 +••• +Ру + ••• — О — Р	(16)

и, как легко вытекает из определения произведения, всегда имеет
место

у  (Р1 + Р2+ ... + РУ+ ...) = у • ₽1 + у  р2+ ... + у₽„+ ...	(17)
Если мы положим	
₽1 + Рг+ +Рр’	(18)
то	= (б), С2,...,  Здесь	(19)
ау+1>ау	(20)
и по (10) мы можем выразить числа Ру. через числа так:	
Р1 = ар Ру+1=ау + 1-ау.	(21)

Поэтому последовательность

ара2,...,ау, ...

представляет собой произвольную последовательность порядковых
чисел, удовлетворяющих условию (20); мы называем ее «фундамен-
тальной последовательностью» порядковых чисел (§ 10). Между
нею и р имеет место соотношение, которое можно выразить следу-
ющим образом:

1)	Р > для каждого V, так как множество (Ср С2, ..., О ), по-
рядковым числом которого является ау, представляет собой некий
отрезок множества С, имеющего порядковое число Р;

2)	если р'-любое порядковое число < Р, то начиная с некоторого
V всегда

ар>р'

Действительно, так как Р' < р, то существует отрезок В' множе-
ства О типа Р'. Элемент множества С, определяемый этим отрезком,
должен принадлежать одному из подмножеств О , которое мы обо-
значим через (В . Но тогда В'-тоже отрезок множества (6^ С2, ...,

), а значит, р7 < ау , и поэтому

аг>р'

ДЛЯ V > Уо.

Тем самым Р является порядковым числом, непосредственно
следующим по величине за всеми а . Поэтому мы будем называть его
«пределом» чисел для возрастающего индекса у и обозначать че-
рез Ыш осг, так что по (16) и (21)
1лш осг = ОС! + (ос2 - ОС!) +.... + (осг + х - 0Ср) +...	(22)

V

Предыдущее мы можем высказать в виде следующей теоремы:

I. «Всякой фундаментальной последовательности {ау} порядко-
вых чисел соответствует порядковое число Пт осу которое непо-

V

средственно следует по величине за всеми а оно представляется
формулой (22)».

Если понимать под у какое-либо постоянное порядковое число,
то с помощью формул (12), (13) и (17) легко доказать теоремы, со-
держащиеся в таких формулах:

Пт (у + аг) = у + Пт ,	(23)

V	V

Ыт у • ос„ = у • Ыт ос„	(24)

V	V

В § 7 мы уже упомянули, что все просто упорядоченные множе-
ства заданного конечного кардинального числа V имеют один и тот
же порядковый тип. Здесь это можно доказать следующим образом.
Всякое просто упорядоченное множество конечного кардинально-
го числа является вполне упорядоченным множеством, ибо оно, как
и всякое его подмножество, должно иметь наименьший элемент, что
по теореме В из § 12 и есть признак вполне упорядоченности мно-
жества.

Поэтому типы конечных просто упорядоченных множеств суть
не что иное, как конечные порядковые числа. Однако двум различ-
ным порядковым числам а и р не может соответствовать одно и то
же конечное кардинальное число V. Например, если а < р и С = Р,
то, как мы знаем, существует отрезок В множества С такой, что
В = ос. Следовательно, в противном случае множество О и его под-
множество В имели бы одно и то же кардинальное число, что невоз-
можно по теореме С из § 6.

Совсем иначе обстоит дело с трансфинитными порядковыми
числами; для одного и того же транс финитного кардинального чис-
ла а существует бесконечно много порядковых чисел, образующих
единую связную систему, которую мы назовем «числовым клас-
сом 2(а)». Она является частью класса типов [а] (§ 7).

Очередным предметом нашего рассмотрения является числовой
класс 7(К0), который мы назовем вторым числовым классом.

В этой связи под первым числовым классом мы понимаем сово-
купность {у} всех конечных порядковых чисел.
§ 15. Числа второго числового класса ^(^0)

Второй числовой класс есть совокупность {а} всех по-
рядковых типов а вполне упорядоченных множеств с кардинальным
числом (§ 6).

А.	«Второй числовой класс имеет наименьшее число со = Ыш V».

V

В.	«Если а - какое-либо число второго числового класса, то не-
посредственно следующим за ним по величине числом того же чис-
лового класса является а + 1».

С.	«Если ар а2, ау, ... - любая фундаментальная последова-
тельность чисел первого или второго числового класса, то и не-
посредственно следующее за нею по величине число Ыш осу (§ 14)
тоже принадлежит второму числовому классу». у

В. «Е1ределъные числа Ыш осу и Ыш ос/, соответствующие
V	V

двум фундаментальным последовательностям {ау}, {ау'}, равны
тогда и только тогда, когда {а }1{а '}».

Е. «Если а-любое число второго числового класса, у0-произволь-
ное конечное порядковое число, то у0+ а = а, а потому иа-\у = а».

Е «Если V0-любое конечное порядковое число, то у() • со = со».

О. «Всегда имеем

(а + у0) со = асо,
где под а понимается число второго, а под у() - число первого число-
вых классов».

Н.	«Если а-любое число второго числового класса, то совокуп-
ность {а} всех чисел первого и второго числовых классов, меньших
а, в их расположении по величине является вполне упорядоченным
множеством типа а».

I.	«Множество {а} всех чисел а' первого и второго числовых
классов, меньших некоторого числа а второго числового класса,
имеет кардинальное число ».

К. «Всякое число а второго числового класса, таково, что или
оно получается из ближайшего меньшего числа, ос1 путем прибав-
ления 1, т. е.

ос = а, + 1,
или можно задать фундаментальную последовательность {ау} чи-
сел первого или второго числового класса так, что

ос = Еш ос.,».
§ 16. Мощность второго числового класса
равна второму наименьшему трансфинитному
кардинальному числу алеф-один

Перед тем как в последующих параграфах более глубоко рассма-
тривать числа второго числового класса и применять закономерно-
сти, которым они подчиняются, мы намереваемся ответить на вопрос
о кардинальном числе, соответствующем множеству 7(^0) = {ос}
всех этих чисел.

А.	«Совокупность {а} всех чисел а второго числового класса, упо-
рядоченных по величине, образуют вполне упорядоченное множество».

В.	«Всякая совокупность различных чисел первого и второго чис-
ловых классов имеет наименьшее число, некий минимум».

С.	«Всякая совокупность различных чисел первого и второго
числовых классов, расположенных по величине, образует вполне упо-
рядоченное множество».

Теперь нам нужно прежде всего показать, что мощность второго
числового класса отлична от мощности первого класса, равной .

В. «Мощность совокупности {а} всех чисел а второго числового
класса не равна ».

Е. «Произвольная совокупность {Р} различных чисел Р второго
числового класса, когда она бесконечна, имеет или кардинальное
число , или кардинальное число {ос} второго числового класса».

Е «Мощность второго числового класса {а} является вторым
наименьшим трансфинитным числом алеф-один».

Доказательство. Не существует кардинального числа а, которое
было бы > Ко и < |ос|. Действительно, в противном случае, соглас-
но § 2 существовало оы такое подмножество {Р} множества {а}, что
{?}=«.

Но по <...>, теореме Е подмножество {Р} имеет или кардиналь
ное число Ко , или кардинальное число |ос|. Значит, кардинальное
число |ос| необходимо является непосредственно следующим по
величине за кардинальным числом Ко; мы обозначаем его через

Поэтому во втором числовом классе 7(^0) мы имеем естествен-
ного представителя второго наименьшего трансфинитного карди-
нального числа алеф-один.
Курт Гёдель
(1906-1978)
Жизнь и труды

Математики хорошо известны особыми взглядами на жизнь.
Фильм и книга «Игры разума» повествуют о странностях матема-
тика Джона Форбса Нэша во время пребывания в Массачусетском
технологическом институте и Принстоне. Хотя Нэш, возможно,
в свое время и оказался самым своеобразным математиком этого ин-
ститута, он определенно не был самым эксцентричным математиком
в Принстоне. Эта честь, несомненно, принадлежит Курту Гёделю,
величайшему математическому логику всех времен и, безусловно,
самому безумному. Тот же самый ум, способный постичь глубочай-
шие результаты современной математики, был также вечным ипо-
хондриком, видевшим заговоры за каждой дверью.

Курт Гёдель родился 28 апреля 1906 г. в чешском Брно (тогда
еще австро-венгерском городе Брюнн). Он был младшим из двух
сыновей Рудольфа и Марианны Гёдель, этнических немцев-проте-
стантов. Никто из членов семьи Гёделя никогда не проявлял особых
способностей к математике или естественным наукам. Проявил сам
Курт Гёдель.

Первые годы образования Курта быстро пролетели: ему потре-
бовалось всего четыре года, чтобы закончить программу восьми лет
обучения. Он поступил в реальную гимназию с естественно-мате-
магическим уклоном (Кеа1§утпа8шт. эквивалент средней школы)
в 1918 г., как раз когда Чехословакия стала независимым государ-
ством после окончания Первой мировой войны. Гёдель почти всег-
да получал высшие оценки на протяжении всей учебы. По иронии
судьбы, единственный случай, когда он не получил высшей оценки,
произошел на уроке математики!

В ранние годы Гёделя ничто не говорило о том, что в будущем
его ждет величие. Гёдели были этническими немцами, поэтому не-
удивительно, что осенью 1924 г. Курт последовал за своим старшим
братом Рудольфом в Венский университет, расположенный пример-
но в 120 километрах от Брно, где Рудольф изучал медицину. Пер-
воначально Гёдель намеревался сделать карьеру в физике. Из кол-
лекции библиотечных листков, которые он сохранил (Гёдель был
закоренелым барахольщиком), мы знаем, что Курт читал много тек-
стов по физике в первые годы своей жизни в Вене.

В Вене в 1920-е годы происходило большое интеллектуальное
брожение: группа ученых и философов, называвших себя Венским
кружком, собиралась еженедельно, пытаясь поставить математику
и физические науки на прочную философскую основу. В 1926 г. на-
ставник Гёделя, математик Ханс Хан, пригласил его принять участие
в заседаниях кружка. Гёдель присоединился к нему, и это, несомнен-
но, переключило его внимание с физики на логику.

В 1900 г. величайший математик Дэвид Гильберт выступил на
втором Международном математическом конгрессе в Париже с ре-
чью, в которой представил 23 проблемы, «от обсуждения которых
можно ожидать прогресса науки». Первой задачей Гильберта было
определить кардинальное число континуума действительных чисел,
другими словами, решить проблему континуума Кантора (представ-
ленную в предыдущей главе). Вторая задача Гильберта состояла
в том, чтобы продемонстрировать непротиворечивость аксиом ариф-
метики, лежащих в основе математики. Гёдель полностью решил
вторую проблему Гильберта, получив совершенно неожиданный от-
вет. Он также впервые достиг существенного результата в ответ на
первую проблему Гильберта.

Библиотечные листки Гёделя показывают, что его интересы
определенно перешли от физики к логике между летом и осенью
1928 г., когда он искал тему для своей докторской диссертации. Сво-
ей темой Гёдель избрал задачу о полноте исчисления предикатов.
Исчисление предикатов вводит в логику кванторы универсальности
(«ДЛЯ ЛЮБОГО х» или, что то же самое «ДЛЯ ВСЕХ х», современ-
ное обозначение V, в работе Гёделя обозначено П) и кванторы су-
ществования («СУЩЕСТВУЕТ х», обозначается 5). Это позволяет
формализовать логику Аристотеля, для которой утверждение «Все
люди смертны» является типичным примером. В исчислении преди-
катов это выражается так:

ДЛЯ ЛЮБОГО х (ЕСЛИ х - человек, ТО х смертен)

Далее приведем типичную теорему исчисления предикатов:

СУЩЕСТВУЕТ х такой, что (свойство А справедливо для х
И свойство В справедливо для х)

ПОДРАЗУМЕВАЕТ, что

СУЩЕСТВУЕТ х такой, что (свойство А справедливо для х)
И

СУЩЕСТВУЕТ х такой, что (свойство В справедливо для х)
Докторская диссертация Гёделя показала двоякий результат.

Полнота исчисления предикатов, а именно то, что все (т.е. лю-
бые) истинные предложения могут быть доказаны.

Непротиворечивость исчисления предикатов, а именно, что
только истинные предложения могут быть доказаны. (В противном
случае непротиворечивость нарушается.)

Гёдель работал над своей докторской диссертацией в первой по-
ловине 1929 г., когда мать и тетя Анна переехали к нему и его брату
Рудольфу после внезапной смерти отца Гёделя в феврале. Консуль-
танты Гёделя одобрили его диссертацию 6 июля 1929 г., и он полу-
чил степень семь месяцев спустя, в феврале 1930 г.

Теорема Гёделя о полноте принесла ему некоторое признание
со стороны математического сообщества. Он решил задачу, постав-
ленную выдающимся математиком, в традиционном ключе. В ав-
стро-германской университетской среде той эпохи диссертации
и кандидатской степени было недостаточно, чтобы занять универ-
ситетскую должность. Потребовалось дополнительное исследова-
ние и защита докторской диссертации (НаЫШаИоп88скп/{), Для этих
целей Гёдель решил приступить к более сложной задаче: продемон-
стрировать непротиворечивость аксиом арифметики, основ матема-
тики. Гёдель отправился в интеллектуальное «путешествие», веду-
щее к докторской диссертации в начале 1930 г., которое завершилось
к началу осени того же года. Подобно путешествию Колумба, его
собственное увело очень далеко от ожидаемой цели!

Вслед за Гильбертом Гёдель взял за основу формальной арифме-
тики натуральных чисел следующие аксиомы итальянского матема-
тика Джузеппе Пеано.
Аксиома 1 Число 0-это натуральное число143.

Аксиома 2 Каждое натуральное число п имеет свое последую-
щее (букв, преемника) число (т.е. п + 1), который также является на-
туральным числом.

Аксиома 3 Ни одно натуральное число не имеет число 0 в каче-

144
стве своего преемника144.

Аксиома 4 Разные натуральные числа имеют разных преемни-
ков145.

Аксиома 5146 Пусть некоторое свойство Р верно для числа 1147.
Пусть это свойство Р верно для натурального числа п. Тогда если
свойство Р верно для п + 1148, то Р верно для всех натуральных чисел.

В своей докторской диссертации Гёдель продемонстрировал
следующее.

Неполноту формальной арифметики. Он показал, что в любой
схожей формальной системе всегда существует утверждение, кото-
рое не может быть доказано внутри самой системы, даже если его
истинность очевидна.

Если формальная арифметика непротиворечива, то эта непро-
тиворечивость не может быть доказана внутри самой формальной
арифметики, как того добивался Гильберт.

При этом Гёдель четко отличал доказуемость от истины.

Обсуждаемая здесь работа Гёделя представлена в настоящем
томе. Замечательный результат Гёделя покоится на двух краеуголь-
ных камнях. Первый-это нумерация Гёделя, т.е. присвоение значе-
ний натуральных чисел каждой последовательности членов в фор-
мальной системе. Рассмотрим простое утверждение:

0 = 0х (0 равен преемнику 0, т.е. 0 + 1.)

Предположим, что трем членам, фигурирующим в данном про-
стом утверждении, были нижеследующие нечетные числа.

143 Первая аксиома Пеано: «Число 1 - это натуральное число. Число «0» было вклю-
чено в натуральные уже Гёделем».

144 Третья аксиома Пеано: «Ни одно натуральное число не имеет число 1 в качестве
своего преемника».

145 Четвертая аксиома Пеано: «Если натуральное число п непосредственно следует
как за натуральным числом т, так и за натуральным числом к, то т и к тождественны».

146 Аксиома индукции.

147 База индукции.

148 Предположение индукции.
член, фигурирующий в утверждении	нечетное число
0	23
=	15
г	21

Тогда число

223 * ^15 * $23 * у21

однозначно выражает последовательность членов 0 = 0х. (Букваль-
но, это означает, что первый и третий члены « 0 », второй член « = »
и четвертый член « '».) Затем Гёдель показывает, как распознать чис-
ла Гёделя верных доказательств внутри формальной системы.

Вторым краеугольным камнем теоремы Гёделя о неполноте яв-
ляется формализованная версия следующего утверждения:

«Это утверждение недоказуемо»,

которое утверждает свою собственную недоказуемость. Это бо-
лее утонченный вариант т.н. парадокса лжеца («Это предложение
ложно»), который восходит к античной Греции. «Предложение»
в парадоксе лжеца, очевидно, не может быть ни истинным, ни лож-
ным - оба варианта приводят к абсурду.

Однако если сосредоточиться на доказуемости, а не на исти-
не. то предложение Гёделя избегает парадокса. Если формальная
арифметика непротиворечива, что означает, что только истинные
утверждения могут быть доказаны, то утверждение Гёделя обязано
быть истинным. Если бы оно было ложным, то его можно было бы
доказать, вопреки логике! Более того, оно не может быть доказано,
потому что это продемонстрировало бы прямо противоположное
тому, что оно утверждает, т.е. его недоказуемость!

Гёдель показал, что если непротиворечивость формальной си-
стемы могла бы быть продемонстрирована внутри самой системы,
то только что приведенный неформальный аргумент мог бы быть
формализован. Формализованная версия утверждения «это утверж-
дение недоказуемо» оказалась бы доказана сама собой, тем самым
противореча собственному содержанию и таким образом демонстри-
руя противоречивость (т.е. отрицание противоречивости) системы!

Две теоремы Гёделя о неполноте были опубликованы в марте
1931 г. Они оказали непосредственное влияние на все математическое
сообщество. Гильберт сначала рассердился, узнав, что провалился его
грандиозный план обеспечения основ математики. Однако помощник
Гильберта Пауль Бернейс убедил его, что Гёдель добился действитель-
но важного прогресса. Они также оказали влияние на карьеру Гёделя.

Гёдель представил эту работу в качестве докторской диссертации
годом позже, что позволило ему занять оплачиваемую должность
в Университете. Эта работа привлекла внимание Американского
математического сообщества, что привело к приглашению Гёделя
в качестве приглашенного ученого в недавно основанный Институт
перспективных исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси.

Гёдель стал одним из 24 приглашенных ученых в институте
с 1933 по 1934 гг., первый год его работы. Альберт Эйнштейн был
одним из восьми первых постоянных сотрудников этого института.
Гёдель и Эйнштейн познакомились на первом курсе, но не стали
близкими друзьями еще почти 10 лет.

Гёдель вернулся в Вену в смятении после целого года, проведен-
ного в тишине и покое Принстона. Всего через месяц после его воз-
вращения группа нацистов ворвалась в канцелярию и убила австрий-
ского президента149. После возвращения физическое здоровье Гёделя
ухудшилось, как и политическое благополучие Австрии. Все лето он
страдал от зубной боли. К октябрю он пожаловался на умственное
истощение и был вынужден провести неделю в санатории за преде-
лами Вены.

Гёдель несколько окреп, и в сентябре 1935 г. вернулся в Прин-
стонский институт еще на один год. Однако через два месяца снова
впал в депрессию и в ноябре решил вернуться в Вену, чтобы попра-
виться. На этот раз Гёделю понадобилось несколько месяцев в сана-
тории, чтобы прийти в себя.

После выздоровления Гёдель начал работать над третьим вели-
ким достижением, упомянутым ранее: частичным решением первой
задачи Гильберта об определении кардинального числа континуума
действительных чисел. Кантор предположил, что мощность кон-
тинуума равна второму трансфинитному кардиналу. К 1938 г.
Гёдель доказал, что если теория множеств непротиворечива, то до-
бавление аксиомы, что - это множество континуума, не делает ее
противоречивой.

Гёдель еще раз посетит Америку перед началом Второй мировой
войны. У него была веская причина, по которой он не смог уехать

149 Речь о федеральном канцлере Австрии Энгельберте Дольфусе.
в Америку в сентябре 1938 г., как раз к началу учебного года. В этом
месяце Гёдель, наконец, женился-на единственной женщине, с ко-
торой у него когда-либо была романтическая связь, Адель Нимсбур-
гер, урожденной Поркерт.

Курт впервые встретил Адель в конце 1928 или начале 1929 г.,
когда работал над диссертацией. Оба родителя сразу же воспротиви-
лись его отношениям с Адель. Курту было всего двадцать два года.
Его избраннице - 29 лет. Она была католичкой из низших слоев об-
щества, и на тот момент находилась в состоянии развода. И что было
хуже всего в глазах родителей Курта, Адель работала танцовщицей
в ночном клубе! Об их ухаживаниях мало что известно. В отличие
от огромного запаса самых незначительных мелочей, которые Курт
сохранил за свою жизнь, не было найдено ни одного письма или
открытки за период почти десятилетнего ухаживания Гёделя. Этот
брак стал полной неожиданностью для ближайших друзей Гёделя;
они совершенно не знали об отношениях Курта и Адель.

Адель была покровительницей Курта, мирилась с его поведени-
ем и заботилась о его личной жизни так, как только могла. Неизвест-
ная семье Гёделя, Адель часто навещала его во время пребывания
в санатории в 1936 г., часто пробовала его еду. К несчастью для Кур-
та, Адель могла заниматься только домашними делами.

Последний визит Гёделя в Америку перед Второй мировой во-
йной показывает, как часто он игнорировал собственные дела. Он
должен был сообщить декану факультета в Вене, что берет отпуск
перед отъездом. Что характерно для эксцентричного Гёделя, он
откладывал это до самого конца октября. Гёдель также рассеянно
допустил, что его разрешение преподавать в Венском университете
истекло, пока он был в Америке.

В июне 1939 г. Гёдель вернулся в основательно пропитанную ду-
хом нацизма Австрию. После аннексии Австрии Германией (аншлюс
в марте 1938 г.) Гёдель и его жена автоматически стали немецкими
гражданами. Вскоре после возвращения из Америки Рейх вручил
ему уведомление с просьбой явиться в военкомат. Немецкая армия
классифицировала Гёделя как непригодного к боевой военной служ-
бе, но пригодного для гарнизонной службы в тылу. К счастью для Гё-
деля, нацисты так и не узнали о его госпитализации из-за депрессии.
Будь они проинформированы, скорее отправили бы его в концлагерь,
чем признали годным к службе.

Гёдель больше не желал оставаться ни в Австрии, ни в Герма-
нии и стремился уехать навсегда в Соединенные Штаты. Осенью
1939 г., когда немецкая армия продвигалась через Польшу, Институт
перспективных исследований и Гёдель пытались договориться об
американских въездных визах и немецких выездных визах для него
и жены. Директор Института смиренно написал письмо в герман-
ское посольство в Вашингтоне, в котором утверждал, что Гёдель
был арийцем и одним из величайших математиков в мире и что не-
мецкое правительство наверняка сочтет более важным для Гёделя
продолжать свою математическую работу, чем служить в армии.

В январе 1940 г. Гёдели наконец получили все необходимые про-
ездные документы. Они боялись добираться прямым путем в Аме-
рику через Северную Атлантику. Англичане могли напасть и пото-
пить их корабль. Если бы они их поймали, то задержания было бы не
избежать, потому что Гёдели были немецкими гражданами. Оценив
такую возможную перспективу, Гёдели отправились в Америку дол-
гим путем: по Транссибирской магистрали во Владивосток, потом
на корабле в японскую Иокогаму и, наконец, на американском флаг-
мане-в Сан-Франциско. В общем, путешествие заняло семь недель.
Когда американский иммиграционный чиновник спросил Гёделя,
был ли он когда-нибудь пациентом психиатрической лечебницы, Гё-
дель мудро и ложно ответил: «Нет». По иронии судьбы, все великие
математические достижения Гёделя были совершены к тому време-
ни, когда он занял постоянное место в Институте перспективных ис-
следований в 1940 г. Оставалось одно великое научное достижение.
В конце 1940-х годов Гёдель обратил свое внимание на космологию.
В ожидании статьи, посвященной Эйнштейну, Гёдель построил вра-
щающуюся модель Вселенной, которая удовлетворяла уравнениям
Эйнштейна. Гёдель показал, что в такой вращающейся Вселенной
не может быть привилегированного понятия универсального време-
ни, которое можно было бы рассматривать как абсолютное во всем
космосе. Действительно, в такой вращающейся Вселенной теорети-
чески возможны замкнутые временные линии, то есть путешествия
в (далекое) прошлое. Как и его теоремы о неполноте, этот результат
расстроил ранее существовавшие ожидания.

Гёдель и Эйнштейн стали близкими друзьями по возвращению
Курта в Принстон. Во многих отношениях они были полярными
противоположностями: Гёдель был холоден и отчужден, очень се-
рьезен и подозрителен к самому здравому смыслу. Эйнштейн же был
приветлив и добродушен. Возможно, он понимал, что Гёделю нужен
кто-то, кто бы о нем заботился. Возможно, он также ценил готов-
ность Гёделя вступать с ним в интеллектуальные разногласия. На-
пример, Гёдель сомневался, что когда-либо удастся создать единую
теорию квантовой механики и гравитации. Именно на этом сосре-
доточились интеллектуальные усилия Эйнштейна в последние годы
его жизни.

Эйнштейн сыграл свою роль в одном из самых странных и за-
бавных случаев в жизни Гёделя. Курт стал американским гражда-
нином в декабре 1947 г. Он старательно готовился к тому, чтобы
это услышать, гораздо усерднее, чем было необходимо. Экономист
Оскар Моргенштерн, один из его ближайших друзей, заметил, что
Гёдель все больше и больше расстраивается по мере приближения
слушаний. Моргенштерн просто подумал, что Гёдель нервничает
в ожидании слушания. За несколько дней до слушания дела Гёдель
признался Моргенштерну, что обнаружил серьезный изъян в амери-
канской Конституции. Президент мог заполнять вакансии без одо-
брения сената, пока тот находился в отпуске. Это, рассуждал Гёдель,
может привести к диктатуре!150

Моргенштерн понимал, что ему и Эйнштейну нужно убедить
Гёделя, что обсуждение этого вопроса во время слушания по делу
о гражданстве может поставить под угрозу его шансы на получение
гражданства. Эйнштейн присоединился к Моргенштерну, который
отвез Гёделя в Трентон на слушание дела. Во время поездки двое
друзей Гёделя пытались убедить его держаться подальше от этой
темы, но им это не удалось. Когда судья Филипп Форман спросил его:
«Может ли в США возникнуть диктатура, подобная той, что суще-
ствует в Германии?» Гёдель, следуя своей склонности сосредотачи-
ваться на логическом, а не на практическом, ответил утвердительно
и принялся рассуждать о предполагаемом недостатке Конституции.
К счастью для Гёделя, судья Форман, который также председатель-
ствовал на слушаниях по гражданству Эйнштейна, счел присутствие
Эйнштейна достаточной поддержкой для Гёделя и быстро перевел
его рассуждения на другие темы.

В последние 30 лет жизни психическое и физическое состоя-
ние Гёделя значительно ухудшилось. Он стал еще более замкнутым
и склонным к ипохондрии. Гёдель стал есть еще меньше. Иногда он
отказывался покидать свой дом, когда выдающиеся европейские ма-
тематики посещали Принстон, опасаясь, что они могут намереваться
убить его.

В последние годы жизни Гёдель иногда принимал у себя в доме
гостей во второй половине дня. Он всегда просил жену прервать его
через полчаса, чтобы напомнить, что ему пора вздремнуть. Однаж-

150 По другой версии Гёдель был уверен в формально-логической неполноте Кон-
ституции США, из-за чего она и не была гарантирована от установления диктатуры.
ды я слышал, как один британский философ повторил эту историю
с неожиданным поворотом. Когда Адель вошла, чтобы сказать Курту,
что ему пора вздремнуть, Гёдель ответил: «Но мне нравится этот
человек!»

Свою последнюю публичную лекцию Гёдель прочитал в 1951 г.
После 1952 г. он не опубликовал ничего, кроме исправлений более
ранних работ. В его записях можно найти, что он пытался продол-
жить работу в течение 1950-х и 1960-х годов, но не смог достичь
каких-либо окончательных результатов. Гёдель следил за развитием
логики и теории множеств вплоть до 1960-х гг. Наиболее заметным
среди них было следующее доказательство Пола Дж. Коэна в 1963 г.
Он показал, что аксиомы теории множеств могут быть последова-
тельно расширены в предположении того, что мощность континуума
отлична от . Другими словами, Коэн показал независимость гипо-
тезы континуума Кантора от аксиом теории множеств.

В последнее десятилетие жизни Гёдель все больше и больше
уходил из деятельности института. Большинство сотрудников, кото-
рые были там при его прибытии, давно умерли. Записные книжки
Гёделя показывают, что он потратил почти всю свою интеллектуаль-
ную энергию на две проблемы. Первая - это попытка развить свои
же более раннее достижения по гипотезе континуума. Гёдель пола-
гал, что истинная мощность континуума - это К2, следующее кар-
динальное число после . Он тщетно пытался найти аксиомы для
теории множеств, из которых можно было бы вывести эту мощность
континуума. Вторая проблема, поглотившая Гёделя, совершенно
отличалась от всего, над чем он когда-либо работал. Он попытался
формализовать онтологическое доказательство существования Бога,
данное Святым Ансельмом!151

Многие математики, старея, ощущают спад математических ре-
зультатов. Но мало кто испытывал такое ухудшение психического
и физического здоровья, как Курт Гёдель. Он всегда был одержим
диетой и здоровьем, особенно процессов пищеварения. Начиная
с 1946 г., он вел записи о ежедневном потреблении слабительных.
В 1951 г. Гёделя пришлось госпитализировать для лечения кровото-
чащих язв. После выписки он сел на очень строгую диету, которая
включала в себя 100 грамм сливочного масла, три целых яйца и два

151 Ансельм Кентрберийский (1033-1109) считал, что разум может прояснить ис-
тину, содержащуюся в вере. Согласно Ансельму, понятие Бога (того, больше чего ничего
нельзя себе помыслить), должно заключать в себе бытие Бога, в противном случае оно
оказалось бы самопротиворечивым.
яичных белка в день. Он почти никогда не ел мяса. В конце 1954 г.
Гёдель пережил еще один серьезный приступ депрессии. Несомнен-
но, его выздоровление после этих эпизодов следует приписать неж-
ной заботе Адель.

В течение 1960-х годов физическое и психическое здоровье Гё-
деля оставалось неустойчивым, но не угрожало жизни. Все это снова
изменилось в начале 1970 г., когда он вновь стал параноиком в вопро-
се здоровья и ел еще меньше, чем раньше. По словам Моргенштер-
на, Гёдель «выглядел как живой труп». К несчастью для Гёделя, его
жена Адель, которая была на шесть лет старше его, начала страдать
от своих собственных серьезных проблем со здоровьем, включая се-
рию небольших инсультов. Она больше не могла заботиться о нем.

В последний раз Гёдель попал в больницу сразу после Рождества
1977 г.. Он умер 11 января 1978 г., а его вес составлял всего около
30 кг. В свидетельстве о смерти было сказано, что он умер от голода.

Гёдель брался только за самые великие математические пробле-
мы, делал решительные прорывы, а дальнейшее развитие предостав-
лял другим. Он никогда не руководил аспирантами во время своей
карьеры, и у него никогда не было назначения преподавателя, как
только он поселился в Америке. Тем не менее Курт Гёдель оставил
несомненный след в основах математики.
О ФОРМАЛЬНО НЕРАЗРЕШИМЫХ
ПРЕДЛОЖЕНИЯХ «ОСНОВАНИЙ

МАТЕМАТИКИ» И СВЯЗАННЫХ

С НИМИ СИСТЕМАХ

1

Хорошо известно, что развитие математики в направлении уве-
личения точности привело к тому, что большие ее области оказались
формализованными настолько, что доказательства могут быть вы-
полнены в соответствии с несколькими техническими правилами.
Из систем, находящихся в стадии разработки, наиболее полные фор-
мальные системы - это, во-первых, система «Оснований математи-
ки» 152 (далее ОМ) и, во-вторых, система аксиом для теории множеств
Цермело-Френкеля (позже расширенная Дж. фон Нейманом153). Эти
две системы настолько обширны, что все методы доказательства, ис-
пользуемые в математике сегодня, были формализованы в них, т.е.
сведены к нескольким аксиомам и правилам вывода. Таким образом,
можно предположить, что эти аксиомы и правила вывода также до-
статочны для решения всех математических вопросов, которые вооб-
ще могут быть формально выражены в рассматриваемых системах.

Ниже показано, что это не так.

Другими словами, в обеих упомянутых системах существуют от-
носительно простые задачи, принадлежащие теории обыкновенных
целых чисел154, которые не могут быть решены из аксиом. Эта ситу-
ация обусловлена не каким-то особым характером указанных разра-

152 Альфред Н. Уайтхед, Бертран Рассел «Основания математики» в 3-х т. В част-
ности, мы также считаем среди аксиом «Оснований математики» аксиому бесконечности,
в следующей форме: «существует неопределенно много индивидов», а также аксиому сво-
димости и выбора (для всех типов).

153 Отметим, что для завершения формализации, аксиомы и правила вывода ло-
гического исчисления с необходимостью должны быть добавлены к аксиомам теории
множеств. Это относится и к формальным системам, представленным в последние годы
Д. Гильбертом и его коллегами.

154 Другими словами, существуют неразрешимые высказывания, в которых, кроме
логических констант « ~ » (нет), « V » (или), «(%)» (для всех), « = » (тождественно с чем-
то), нет никаких других понятий, кроме « + » (сложение) и « • » (умножение). Оба послед-
них понятия относятся к натуральным числам, префиксы «(х)» также могут относиться
только к натуральным числам.
батываемых систем. Она справедлива для очень обширного класса
формальных систем, включая, в частности, все те, которые возника-
ют в результате добавления конечного числа аксиом к двум упомяну-
тым системам155, при условии, что таким образом никакие ложные
высказывания (описанные в сноске 149) не становятся доказуемыми.

Прежде чем вдаваться в подробности, обозначим основные ли-
нии доказательства, естественно, не претендуя на точность. Фор-
мулы формальной системы - мы ограничиваемся здесь системой
ОМ - представляют собой, если смотреть со стороны, конечную
серию базовых знаков (переменных, логических констант и скобок
или точек разделения). Таким образом, легко точно определить, ка-
кие серии базовых знаков являются значимыми формулами, а какие
не являются156. Доказательства, с формальной точки зрения, также
представляют собой не что иное, как конечные серии формул (с опре-
деленными специфическими характеристиками). Для метаматемати-
ческих целей, естественно, несущественно, какие объекты берутся
за основные знаки, и мы предлагаем использовать для них натураль-
ные числа157. Соответственно, формула является конечной серией
натуральных чисел158, а конкретная схема доказательства - конеч-
ной серией конечных серий натуральных чисел. Таким образом, ме-
таматематические понятия и высказывания становятся понятиями
и высказываниями, относящимися к натуральным числам или их
сериям159. Следовательно, становятся - по крайней мере, частично-
и выражаемыми в символах самой системы ОМ. В частности, можно
показать, что понятия «формула», «схема доказательства», «доказу-
емая формула» определимы в системе ОМ. Другими словами, мож-
но записать160 некоторую формулу К (у) в системе ОМ. Например,

155 В связи с этим только такие аксиомы в системе ОМ считаются отличными друг от
друга, которые не возникают друг из друга только из-за смены типа.

156 Здесь и далее мы всегда будем понимать термин «формула в системе ОМ» как
формулу, написанную без сокращений (т.е. без использования определений). Определения
служат лишь ддя сокращения объема письменного текста и поэтому в принципе излишни.

157Т.е мы однозначно сопоставляем основные используемые знаки натуральным
числам.

158 Т.е покрытие участка числового ряда натуральными числами. (Числа на самом
деле не могут быть помещены в пространственный порядок.)

159 Другими словами, описанная выше процедура обеспечивает изоморфное отобра-
жение системы ОМ в область арифметики, и все метаматематические аргументы могут
одинаково хорошо выполняться и в этом изоморфном отображении. Следовательно, по-
нятия «формула», «высказывание», «переменная» и т.д. всегда следует понимать как
соответствующие объекты изоморфного отображения.

160 На самом деле написать эту формулу очень просто (хотя и довольно трудоемко).
с одной свободной переменной V (типа серии чисел), такой, что ^(г),
интерпретируемая по своему содержанию, утверждает: «т есть до-
казуемая формула». Далее получаем неразрешимое высказывание
системы ОМ, т.е. высказывание Л, для которого ни Л, ни не-Л не
являются доказуемыми. Получаем мы это следующим образом:

Формулу системы ОМ с одной свободной переменной и имею-
щей тип натуральных чисел (класс классов) обозначим класс-знак.
Мы думаем о класс-знаках как о чем-то упорядоченном в серию161
и обозначаем п-й класс-знак через Я (и); кроме того, мы замечаем,
что понятие «класс-знак», а также упорядочивающее отношение К
определяются в системе ОМ. Пусть а - это любой класс-знак. Вы-
ражением [ос; п] мы обозначим ту формулу, которая получается заме-
ной свободной переменной в класс-знаке а на знак для натурального
числа п. Трехчленное отношение х = [у; г] также оказывается опре-
делимым в системе ОМ. Теперь мы определим класс К натуральных
чисел следующим образом:

п г К = Веху\К(п)\ п\	(1)

(где Вем? х 162 означает: «х есть доказуемая формула», а черта свер-
ху - отрицание). Так как понятия, которые появляются в определяе-
мых (у1е/1П1еп8\ все определимы в системе ОМ, то определено в этой
системе и составленное из них понятие К. Другими словами, есть
класс-знак 5163, такой, что формула [5; п\, интерпретируемая по сво-
ему содержанию, утверждает, что натуральное число п принадле-
жит К. 5, будучи класс-знаком, тождественен некоторому определен-
ному В(д), т.е. выражение

5 = ВД
справедливо для некоторого определенного натурального числа с/.
Теперь покажем, что высказывание [Л(д); д] 164 неразрешимо в си-
стеме ОМ. Предположим, что высказывание [Л(д); д] доказуемо.
Следовательно, оно правильно. Однако последнее означает, как уже

161 Возможно, в соответствии с возрастающими суммами их членов и, при равных
суммах, в алфавитном порядке.

162 Аббревиатура «Везг» - от нем. ЪеууегзЪаг - доказуемый.

163 Опять же нет ни малейшей трудности в том, чтобы выписать формулу 8.

164 Обратите внимание, что «[7?(д); д]» (или, что то же самое, «[5; д] ») есть просто
метаматематическое описание неразрешимого высказывания. Но как только мы устано-
вили формулу 5, то мы можем также определить число и тем самым эффективно запи-
сать само неразрешимое высказывание.
было сказано, что д будет принадлежать К. т.е. согласно (1), будет
выполняться Веуу [Л(д); д], а это противоречит нашему первона-
чальному предположению. Теперь пусть наоборот, доказуемо отри-
цание высказывания [Л(д); д]. Тогда п г К, т.е. будет выполняться
Вем? [Л(д); д]. Таким образом, [Л(д); д] оказывается доказуемым
одновременно с его отрицанием, что опять же невозможно.

Аналогия между этим результатом и антиномией Ричарда165
бросается в глаза; существует также тесная связь с антиномией
«лжеца»166, поскольку неразрешимое высказывание [Л(д); д\ точно
утверждает, что принадлежит К, т.е. согласно (1), что [Л(д); д] не
доказуемо. Таким образом, мы сталкиваемся с высказыванием, ко-
торое утверждает свою собственную недоказуемость167. Только что
представленный метод доказательства может быть ясным образом
применен к любой формальной системе, имеющей следующие осо-
бенности: во-первых, интерпретируемая как содержание, она распо-
лагает достаточными средствами выражения определения понятий,
встречающихся в приведенном выше аргументе (в частности, поня-
тие «доказуемая формула»); во-вторых, каждая доказуемая форму-
ла в ней также верна в отношении содержания. Точное изложение
вышеприведенного доказательства, которое последует далее, будет
иметь среди прочего задачу замены второго из этих предположений
чисто формальным и гораздо более слабым.

Из замечания, что [Л(д); д] утверждает свою собственную не-
доказуемость, сразу следует, что [Л(д); д] верно, т.к. [Л(д); д] не-
доказуемо (потому что неразрешимо). Так что высказывание, кото-
рое является неразрешимым в системе ОМ, оказывается, решено
из математических соображений. Внимательный анализ этого заме-
чательного обстоятельства приводит к удивительным результатам
относительно доказательств непротиворечивости формальных сис-
тем, которые более подробно рассматриваются в Разделе 4 (Выска-
зывание XI).

165 Т.н. «парадокс Ричарда» - семантический парадокс в теории множеств, демон-
стрирующий возможное некорректного совместного использования языка математики
и метаматематики.

166 Каждая эпистемологическая антиномия может быть также использована для ана-
логичного доказательства неразрешимости.

167 Несмотря на видимость, в таком высказывании нет ничего кругового, так как оно
начинается с утверждения недоказуемости вполне определенной формулы (а именно д-й
в алфавитном порядке с определенной заменой), и только впоследствии (и некоторым об-
разом случайно) выясняется, что эта формула является именно той, посредством которой
было выражено само предложение.
2

Теперь мы переходим к строгой разработке доказательства, набро-
санного выше. Начнем с точного описания формальной системы Р,
для которой мы стремимся продемонстрировать существование не-
разрешимых высказываний. По существу, Р - это система, получен-
ная наложением на аксиомы Пеано логики системы ОМ168 (числа
как индивиды, отношение преемника как неопределенное базовое
понятие).

Базовые знаки системы Р следующие.

Постоянные величины: « ~ » (не), « V » (или), «П» (для всех), «О»
(ноль), «/» (преемник), «(» и «)» (скобки).

Переменные первого типа (для индивидов, т.е. натуральных чи-
сел и числа 0): «хх»,	...

Переменные второго типа (для классов индивидов): «х2», «у2»,
«72», ...

Переменные третьего типа (для классов классов индивидов):
«хч», «уч», «2Ч», ... и так далее для каждого натурального числа как
типа169.

Примечание: Переменные для двузначных и многозначных
функций (отношений) в качестве основных знаков излишни, т.к.
отношения могут быть определены как классы упорядоченных пар,
а упорядоченные пары снова как классы классов. Например, упоря-
доченная пара а, Ъ определяется через ((а), (а, />)), где в общем виде
(х, у) означает класс, единственными элементами которого являются
х и у, и (х) - класс, единственным элементом которого является х 17°.

Под знаком первого типа мы понимаем комбинацию знаков вида:

а, /а, //а,	... ит. д.

Здесь а- либо 0, либо переменная первого типа171. В первом слу-
чае мы называем такой знак номер-знаком. Для п > 1 понятие знак

168 Добавление аксиом Пеано, как и все другие изменения, внесенные в систему
ОМ, служит только для упрощения доказательства и в принципе может быть обойдено.

169 Предполагается, что для каждого типа переменной доступно неопределенно
большое количество знаков.

170 Неоднородные отношения также могут быть определены таким образом, напри-
мер, отношение между индивидами и классами как класс элементов формы: ((*2)> (Х1)> (х2)) •
Как показывает простое рассмотрение, все доказуемые высказывания об отношениях в си-
стеме ОМ также доказуемы таким образом.

171 Число «О» уже включено в переменные первого типа.
и-го типа совпадает с понятием переменная и-го типа. Комбинации
знаков вида а(Ь\ где 6-это знак я-го типа и а-это знак (п + 1)-го типа,
мы называем элементарными формулами. Класс формул мы опре-
деляем как наименьший класс, который содержит все элементарные
формулы, а также, наряду с любыми а и Ь: ~ (а), (а) V (&), х П (а)
(где х-любая заданная переменная)172. Назовем член (а) V (Ъ) дизъ-
юнкцией а и Ь, назовем член - (а) отрицанием и х П («) обобще-
нием а. Формула, в которой нет свободной переменной, называется
пропозициональной формулой173 (свободная переменная опре-
деляется обычным способом). Формулу, которая содержит только п
свободных переменных-индивидов (и в противном случае без сво-
бодных переменных), мы называем знаком отношения и-местым
связь-знаком, а для п \ также и класс-знаком.

Величиной 8иЪ$1	(где а обозначает формулу, у обозначает

переменную и Ь обозначает знак того же типа, что и у) мы называем
формулу, которая получается из а при замене величины у (повсюду,
где она есть свободная переменная) на величину й174. Будем гово-
рить, что формула а есть повышение типа (нем.: ТурепегИдИипу)
другой формулы Ь, если а выводится из Ь путем увеличения типов
всех переменных в Ь на одну и ту же величину.

Следующие формулы (I - V) называются аксиомами (они из-
лагаются с помощью обычно следующих определяемых сокраще-
ний175:	Ех), =, и с учетом обычных соглашений о том, что

скобки могут быть опущены, т.е., не записаны)176:

172 Таким образом, х П (а) также является формулой, если х не происходит или
не происходит отдельно от а. В этом случае х П (я), естественно, означает то же самое,
что и а.

173 Пропозициональная формула-это формула в исчислении высказываний, форми-
рование и соотношения сложных высказываний в рамках заданной логической системы.

174 Там, где величина г не встречается в формуле а как свободная переменная, мы
должны положить 8иЪ81 т I = а. Заметим, что «Зг/Лш - это знак, принадлежащий ме-
таматематике.

175 Сравнивая с системой ОМ, выражение «/, *13,	= ур> определяется как

«х2 П(х2 (ч) Э х2 (у^))» (и аналогично для более высоких типов).

176 Чтобы получить аксиомы из представленных схем (а в случаях II, III и IV, после
выполнения разрешенных подстановок), нужно, следовательно, еще, во-первых, исклю-
чить аббревиатуры, во-вторых, добавить опущенные скобки. Обратите внимание, что ре-
зультирующие выражения должны быть «формулами» в указанном выше смысле.
I-	- (А = 0)

А = А э ч = У1

х2 (0) • X! П (х2 (х!) 3 х2(Л1)) э Х1 п(х2 (х!))

II.	Каждая формула, выведенная по нижеследующей схеме путем
подстановки вместо р, диг любой формулы.

р Ур Э р

р Э рУд

р Уд Э д Vр

(р Э д) Э (г Vр Э г Уд)

III.	Каждая формула, которая выведена по двум схемам

V П(а) Э 8иЪ$1 а[^

V П(/> У а) Э Ъ 7гП(а)

путем следующих подстановок для а. у, Ь, с (и выполнение в и. III. 1
операции, обозначаемой «8иЬУ»). Подстановка для а: любая данная
формула. Подстановка для у: любая переменная. Подстановка для Ь:
любая формула, в которой у не является свободной. Подстановка
для с: знак того же типа, что и у, при условии, что с не содержит
переменной, которая является связанной в а на тех позициях, где у -
свободная переменная177.

IV.	Каждая формула, полученная из схемы178

(^)(уП(^(г) = а))

путем подстановки вместо у или и или любой переменной типов п

ХТ1 Таким образом, с есть либо переменная, либо 0, либо знак вида/... /и, где и-
либо 0, либо переменная первого типа. Понятие «свободный (связанный) в а на некоторой
позиции» введено в работе Дж. фон Неймана (1927). Там же, как считаем и мы, указано,
что правило подстановки становится излишним, т. к. мы уже рассмотрели все возможные
подстановки в самих аксиомах.

178 Аббревиатура «Е» - от нем. е1пк1аттегп — включать в скобки.
или п + Соответственно, и для а формулы, такой, что она не содер-
жит и в свободном виде. Эта аксиома представляет аксиому своди-
мости (или аксиому свертывания в теории множеств).

V.	Каждая формула, которая выведена с помощью формулы по-
вышения типа (и сама эта формула)

Х1П(х2(*1) = Уг(х1)) 3 х2 = У2

Эта аксиома утверждает, что класс полностью определяется его
элементами.

Формула с называется непосредственным следствием а и Ь.
если а является формулой у(с). Формула с называется непо-
средственным следствием а. если с является формулой у П(я), где
V обозначает любую данную переменную. Класс доказуемых фор-
мул определяется как наименьший класс формул, который содержит
аксиомы и который замкнут по отношению к операции «непосред-
ственное следствие».

Основные знаки системы Р теперь упорядочены в однозначном
соответствии с натуральными числами следующим образом:

«О» ... 1	« V » ... 7	«(»... 11

«/»••• 3	«П»...9	«)»••• 13

« ^ » ... 5

Кроме того, переменные типа п задаются числами вида рп (где р -
простое число, которое больше числа 13). Следовательно, каждой
конечной серии основных знаков (а также каждой формуле) вза-
имно однозначно соответствует конечный ряд натуральных чисел.
Далее, эти конечные ряды натуральных чисел сопоставим (опять
же взаимно-однозначно) с натуральными числами следующим об-
разом. Число 2771 -У2 ... рпкк поставим во взаимно однозначное со-
ответствие ряду натуральных чисел .... пк. где рк обозначает
/<-е простое число, следующее по порядку. Таким образом, натураль-
ное число присваивается во взаимно однозначном соответствии не
только каждому основному знаку, но и каждой конечной серии та-
ких знаков. Далее, обозначим Ф(а) число, которое соответствует
основному знаку или серии основных знаков а. Теперь предполо-
жим, что даны класс или отношение Р(ар а2. ...,а ) основных знаков
или серий основных знаков. Припишем ему тот класс (или отноше-
ние) Р\х1, х2,	х„) натуральных чисел, который сохраняется для
хр х2, хп тогда и только тогда, когда существуют такие а2. ....
а . что х7- = Ф(^) (/ = 1, 2, 3, и) и Р (ар а2. .... аф сохраняется.
Отметим, как и ранее, полужирным шрифтом слова, обозначающие
классы и отношения натуральных чисел, которые таким образом
были отнесены к следующим ранее определенным метаматемати-
ческим понятиям: «переменная», «формула», «пропозициональная
формула», «аксиома», «доказуемая формула» и т.д. Высказывание
о том, что в системе Р существуют неразрешимые проблемы, чита-
лось бы, например, следующим образом: «существуют пропозици-
ональная формула а. такая, что ни а. ни отрицание а не являются
доказуемыми формулами.

Теперь сформулируем несколько вводных замечаний, которые
не имеют непосредственной связи с формальной системой Р. Нач-
нем со следующего определения: «числовая теоретическая функ-
ция» 179 ф (хх, х2, .... хп) называется рекурсивно определенной
с помощью теоретико-числовых функций \|/(х1? х2, .... х„_х) и
ц(х1? х2, .... х„+1), и если для всехх2 ... хп. /<180 выполняется следу-
ющее соотношение:

ф(0, х2,.... х„) = \|/(х2,.... х„),

фД + 1, х2,.... х„) = цД, фД, х2,.... х„), х2,.... х„).	(2)

Теоретико-числовая функция ф называется рекурсивной, если су-
ществует конечная серия теоретико-числовых функций ф1? ф2,..., ф„,
которая заканчивается на ф и имеет нижеследующее свойство. Ка-
ждая функция ф^ серии либо рекурсивно определяется двумя функ-
циями из предыдущих, либо выводится из любой предыдущей путем
подстановки181, или, наконец, есть постоянная функция или функ-
ция-преемник х + 1. Длина кратчайшей серии функций ф^, которой
принадлежит рекурсивная функция ф , называется ее степенью. От-

179 Поле определения функции ф(ч? х2> •••• хп) - это класс неотрицательных целых
чисел (или серий из п таких чисел), соответственно, и его значения являются неотрица-
тельными целыми числами.

180 Далее следует, что строчные курсивные буквы (с индексами или без них) всегда
являются переменными для неотрицательных целых чисел (если нет прямого утвержде-
ния об обратном).

181 Точнее, путем подстановки некоторых из вышеперечисленных функций на пу-
стые позиции предыдущих, например, фДч,^) = Ф^[ф^(Х1 ?х2)?Фг (х2)] (а Ц, г < к).Не
все переменные на левой стороне должны также встречаться справа (и аналогично в схеме
рекурсии (2)).
ношение Я(х1?х„) между натуральными числами называется ре-
курсивным182, если существует рекурсивная функция, такая, что для
всех Х|, ..., хп выполняется

Л(х1,...,х„)~[ф(х1,...,х„) = 0]

Следующие положения справедливы:

I.	Каждая функция (или отношение), выведенная из рекурсивных
функций (или отношений) путем подстановки рекурсивных функций
на позиции переменных, является рекурсивной; так же как и ка-
ждая функция, выведенная из рекурсивных функций с помощью ре-
курсивного определения в соответствии со схемой (2).

II.	Если К и 5 имеют рекурсивные отношения, то К, К V 8
(а следовательно, и К & 8) также имеют рекурсивные отношения.

III.	Если функции ф(^) и \|/(^) рекурсивны, то также рекурсив-
но и отношение: ф(^) = у(^)183.

IV.	Если функция ф(^) и отношение Л(х, являются рекурсив-
ными, то для отношений 5 иТ

(Ех)[х ф(Ж) &

I})	(х)[х ф(Ж) К(х, I))]

г/184 аналогично для функции \|/

\|/(Ж,	= Е х[х ф(Ж) &	^)],

где Е х Е(х) означает: наименьшее число х, для которого сохраня-
ется К(х), и 0, если такого числа нет.

Предложение I непосредственно вытекает из определения поня-
тия «рекурсивного». Предложения II и III основаны на легко уста-
навливаемом факте, что теоретико-числовые функции, которые со-
ответствуют логическим понятиям —, =, V

а(х), Р(х, Ц, у(х, у)

182 Мы включаем классы среди отношений (одноместных отношений). Рекурсивные
отношения К обладают тем свойством, что для каждой конкретной серии из п чисел можно
решить, сохраняется х2, или нет.

183 Мы используем готические буквы Г и б в качестве сокращений для заданных
наборов переменных, состоящих из серий п чисел, например х1? х2, ... х . .

184 «Ех», «ЛЕ» - включение в скобки переменной х и г, соответственно.
а именно

ос(0) = 1; ос(х) = 0 для х О

3(0, х) = Р(х, 0) = 0; Р(х, л) = 1, если х 0, у 0

у(х, л) = 0, если х = л; у(х, у) = 1, если х у

являются рекурсивными. Доказательство предложения IV кратко вы-
глядит следующим образом. Согласно предположению, существует
рекурсивное р(х, такое, что

Я(х, 1?) ~ [р(х, 1?) = 0].

Теперь, в соответствии со схемой рекурсии (2), мы определяем
функцию %(х, ()) следующим образом185:

х(о, I?) = о

+ 1,1?) = (и + 1) • а + %(л, 1}) • а(а),

где

а = а[а( р(0, ^))] • а[ р(и + 1, ^)] • а[%(«, I?)] •

Функция %(и + !,()), следовательно, есть или п + 1 (если а = 1)
или %(и, ()) (если а = О)186.

Первый случай ясно возникает тогда и только тогда, когда все со-
ставляющие а равны 1, т.е.

Л(0, ()) & Л(я + !,())& [%(п, ()) = 0].

Из этого следует, что функция %(и, ()) (рассматриваемая как
функция п) остается нулем вплоть до наименьшего значения п. для
которого ()) сохраняется, и с этого момента равна этому зна-
чению (если Л (0, ()) уже имеет место, то соответствующее %(/?, ^)
есть величина постоянная и равная нулю). Таким образом:

185 Мы считаем, что функции х + у (сложение) и х • у (умножение) рекурсивны.

186 Величина а не может принимать значения, отличные от 0 и 1, что следует из
определения а.
5(#, I)) ~	•

Отношение Т может быть упрощено путем отрицания случая, анало-
гичного 5, так что предложение IV доказано.

Легко показать, что функции х + у, х • у, ху, а также отноше-
ния х < у, х = у рекурсивны. Отталкиваясь от этих понятий, те-
перь можно определить серии функций (и отношений) 145. Каждая
определяется из предыдущих посредством операций, указанных
выше в предложениях I-IV. Эта процедура объединяет многие шаги
определения, разрешенные предложениями I - IV. Каждая из функ-
ций (отношений) от 1 до 45, которая содержит, например, понятия
«формула», «аксиома» и «непосредственное следствие», является,
следовательно, рекурсивной.

1.	— = (Ег)^ х & X = у • г] 187

х делится на;/188.

2. Рпш (х) =

5 X	1	X & —

2

& X > 1

х есть простое число189.

3.	ОРг х = О

(п + 1)Рг х = г у у х & Рпш (л) & — & у>пРгх

п Рг х - это /7-е (по порядку величины) простое число, содержаще-
еся в х190.

187 Знак = используется для обозначения «эквивалентность по определению»,
и поэтому берет на себя обязанность в определениях либо для =, либо для - (в против-
ном случае символьные обозначения гильбертовы).

188 Везде, где в следующих определениях встречается один из знаков (х), (Ех), е х,
за ним следует ограничение на значение х. Это ограничение служит только для обеспече-
ния рекурсивного характера определяемого понятия. (Ср. с предложением IV.) С другой
стороны, диапазон определяемого понятия почти всегда остается незатронутым из-за
того, что он опускается при рассмотрении.

189 Аббревиатуры «Р/Р;?», «Рг» - от нем. РггтпхаЫ-простое число.

190 Для 0 < и где 7 — число разных простых чисел, которые делятся на х. За-
метьте, что для и = 7 + 1, и Рг х = 0.
4.	О! = 1

(п + 1)! = (77 + 1) • п\

5.	Рг(0) = О

Рг(п + 1) = е г [г = {Р^(^)}!+ 1 & Рпш(л) > Рг(п) ]
Рг(п) -это /7-е (по порядку величины) простое число.

6.	п С1 х = г у у < х &---------------------------&

(?7 РГ х)У

(п Рг х)-у+1

77 О1 х - это 77-й член в серии чисел191, присвоенных числу
х( 77 > 0 и не превышает длину ряда).

7.	/(х) = 8 у[у х &у Рг х > 0 & (г + 1)Рг х = 0]

I(х) -это длина серии чисел, присвоенныхх.

8.	х * у = г х 7^ [Рг{/(х) + /(г)}]Х+’У

&(т?) [77	/(х) п Ст1 х = п Сг1 х]

& (т7)[0 < п /(л) {п + ^(х)} С1 = п С1 г]]

х * у соответствует операции «совместного объединения» двух
конечных серий чисел.

9.	Л(х) = 2х

Л(х) соответствует номер-серии192, которая состоит только из
числа х (для х > 0).

10.	^(х) = Л(П)*х*Л(13)

191 Аббревиатура «67» - от нем. 67/е<7-член.

192 Термин питЪег-$ег1е$ — см. работы Дедекинда в этой книге.
Е(х) соответствует операции «включать в скобки» [числа 11
и 13 присвоены базовым знакам «(» и «)»].

11.	п Уаг х = (2&)[13 < г х & Рпш(7) & х =	& п О

х-это переменная п-го типа193.

12.	Уаг(х) = (Еп)[п х & п Уаг х]

х-это переменная.

13.	№§(х) = 7?(5) * Е(х)

-это отрицание х194

14.	х В18 у = У(х) * 7?(7) * Е(у)

х 018 у -это дизъюнкция х и л195.

15.	х Оеп у = Л(х) * Л(9) * Е(у)

х Оеп у - это обобщение у с помощью переменной х (в предпо-
ложении, что х - переменная)196.

16.	О У х = х

(п + 1)У х = 7?(3) * п У х

п У х - соответствует операции «^-кратное добавление знака
<ф> перед «х».

17.	7(и) = п У [Я(1)]

7(п) - это номер-знак для номера п197.

193 Аббревиатура «Уаг» - от нем. УапаЫе - переменная.

194 Аббревиатура «№§» - от нем.«Ые§аНоп - отрицание.

195 Аббревиатура «ГЭГ» -от нем. [ЛуипкПоп - дизъюнкция. Дизъюнкция - это опера-
ция логического сложения, имеющая смысл «или то, или это, или оба сразу».

196 Аббревиатура «Оеп» - от нем. (ЗепегаИзаНоп - обобщение.

197 Аббревиатура «7» - от нем. ХаЫхегскеп — номер-знак.
18.	Тур\ (х)198

= (Ет, п)[т, п х &[т =1 V1 Уаг т] & х = п Ы [Л(т)]}199
х - это знак первого типа.

19.	Тур„(х) = п = 1 & Тур\ (х) V

\п > 1 &(Еу){у Ух & п Уаг V & х = Я(у)}]

х - это знак п-го типа.

20. А7/(х)200

= (Еу, 7, п)[у, х,п^х& Тур„(л) & Тур„+1 (?) & х = 2*Е(у)\

х - элементарная формула.

21.	Ор(х, у, 2) 201

= х = №§(у) V х = у В18 2 У(Еу)[уУ х &Уяг(у)&х = у Оепу]

22.	Кг(х)202 = (и){0 < п У 7(х)	Е1/(п О1 х) V (Ер, ц)

[0 < р, ц < п & Ор(п С1 х, р С1 х, ц С1 х)]} & /(х) > 0

х - это серия формул, из которых каждая является либо элемен-
тарной формулой, либо вытекает из предшествующих посредством
операций отрицания, дизъюнкции и обобщения.

198 Аббревиатура «Тур» - от нем. Тур - тип.

199 т, п х означает, что т х & п х (и аналогично для любого числа пере-
менных).

200 Аббревиатура «Е1р> - от нем. Е1етеп1агрогте1 - элементарная формула.

201 Аббревиатура «Ор» - от нем. ОрегаНоп — операция.

202 Аббревиатура «Ег» — от нем. КеИге уоп Еогте1п — серия формул.
23.

Рогш (х)203

= (Еп)

П (рг[/(х)2р

[/(х)]2

& Ег(п) & X = [/(и)] 67 п -203 204

х-это формула (т.е. последний член в серии формул п).

24.	V СеЬ п, х 205 = Уаг (у) & Рогш(х) & (Е а, Ь, с)

[а, й, с х & х = а * (у Оеп />) * с & Рогт(й)

& 1(а) + 1 п 1(а) + 1(у Оеп />)]
Переменная у есть связанная на /7-ой позиции в х.

25.	у Ег п,х 206

= Уаг(у) & Рогт (х) & у = п О1 х & п /(х) & у ОеЬ п, х

Переменная у есть свободная на /7-ой позиции в х.

26.	у Ег х = (Еп)[п /(х) & у Ег п, х]
у появляется в х как свободная переменная.

27.	8и х ( пу ) 207 = е 2 {г = [Рг(1№ + 1Ь>

&[(Еи, у)и, V ^х&х = и* В\п О1 х) * у

1*+т

&г = и*у*у&п = 1{и) + 1

203 Аббревиатура «Топп» - от нем. Рогтпе1- формула.

/	2\Х'[/И2

204 Ограничение п < Рг[7(х)]	означает следующее: длина кратчайшей се-

рии формул, которые принадлежат х, может быть меньше или равна числу составляющих
формул х. Однако существуют не более чем /(.г) составляющих формулы длины 1, не более
чем 1(х) - 1 составляющих формулы длины 2 и т. д. Таким образом, во всех случаях самое
большее, что может быть, это -^[/(х){/(х) + 1}] < [/(*)] . Простые числа в п могут, следо
вательно, все быть приняты меньшими, чем величина Рг ш(х)] к , их число < [/(%)] и
их экспоненты (которые есть составные формулы от х) < х.

205 Аббревиатура «ОеЬ» - от нем. §еЪипс1еп — связанный.

206 Аббревиатура «Кп> - от нем. /ге1- свободный.

207 Аббревиатура «5г/» - от нем. ЗиЬяШиНоп - подстановка.
8и х выводится из х путем подстановки у на позицию п-го
члена х (предполагается, что 0 < п I (х)).

28.	О 81 у, х 208

= 8 п {и 7(х) & V Рг П, X & (Ер)\п < р 1(х) & V Рг р, х]|

(к + 1)5/ г, х = 8 п^п < к 81 г, х

& V Рг п, X & (ЕрУ\П < р < к 81 V, X & V Рг р, х]|

к 81 г, х -это (к + 1)-ая позиция в х (нумерация ведется от конца
формулы х), на которой V свободна в х (и 0, если нет такой позиции).

29.	Л (г, х) = 8 п\п 7(х) & п 81 г, х = 0}

А(у, х) есть количество позиций, на которых у есть свободная
переменная в х.

30.	8Ъ0(х^ = х
к8*^х

31.	^(х;) = ^(У;Х)(х;)209

8Ъ{хуу^ -это понятие 8иЬм а ( (или 8и х (см. и. 27))210.

32.	х 1шр у 211 = [№§(х)]О18 у

х Соп у 212 = №§{[№§(х)]В18[№§(у)]}

208 Аббревиатура «57» - от нем. 81е11е- место, позиция.

209 Если V не является переменной или х не является формулой, то 8Ь^х^ = х.

210 Вместо 8Ъ	мы пишем: 8Ь^х^ (и аналогично для более чем двух пе-
ременных).	и?

211 Аббревиатура «1тр» - от нем. 1трПкаНоп—импликация. Импликация - это бинар-
ная логическая связка, близкая к конструкции «если-то».

212 Аббревиатура «Соп»-от нем. СощипкНоп, - конъюнкция. Конъюнкция - это опе-
рация логического умножения, имеющая смысл «и то, и это».
х Аец у 213 = (х 1шр у)Соп(у 1шр х)

у Ех у 214 = Оеп [№§(у)]}

33.	пТкх215

= Е у	67х^13&к 61 у = кС1 х)

У^к 61 х > 13 & к 61 у = к 61 х. [1РгД 61 х)]") }

п Тк х - это повышение п-го типа для х (в случае, если х и
п Тк х являются формулами).

Аксиомам I, 1-3 соответствуют три определенных числа, кото-
рые мы обозначаем и2,"3 и определяем нижеследующим образом.

34.	/ — Ах(х) 216 = (х = V х = V х = ^3)

35.	А± — Ах(х) = (Еу)[у х & Еогт (у) & х = (у 018 у) 1тр у]

х-это формула, которая выведена путем подстановки в схему ак-
сиомы II, 1. Аналогично А2 — Ах, А3 — Ах, Л4 — Ах определяются
в согласии с аксиомами II, 2-4.

36.	А — Ах(х) = А1 — Ах(х)УА2 — Ах(х)УА3 — Ах(х)\/Л4 — Ах(х)

х - это формула, выведенная путем подстановки исчислений для
высказываний в аксиому.

37.	у, г) = {Еп, т, у^)\п	/(у) & т 1(Е) & х

&уу=т С1 х&уу ОеЬ п,у & у Ег п, у]

7 не содержит связанных переменных в у на тех позициях, где у
свободная.

213 Аббревиатура «Аеср> - от нем. Аедшхсйепх - эквивалентность.

214 Аббревиатура «Ех»-от нем. ЕхМекг «существование». Современное обозначе-
ние: квантор э.

215 Аббревиатура «ТИ» - от нем. Турепегкокип§- повышение (увеличение) типа.

216 Аббревиатура «А» — от нем. АпхаЫ—количество, число.
Д — Ах(х) = (Ех, у, х, п)

у, у, г, п х & п Уаг V & Тур/7 (7) & Рогш(л)

& ^(x, у, у) & х = (у Оеп л) Ьпр

V

г

х - это формула, которая выведена из схемы аксиомы III, 1 путем
подстановки.

39.	1^2 — Ах(х) = (Еу, су р)

{^, д, р х &Уаг(у) & Рогш(/>) & у Ег р & Рогт(д)

& х = [у Оеп (р В18 д)] 1тр [р В18 (у Оеп <?)]}

х - это формула, выведенная из схемы аксиомы III, 2 путем под-
становки.

40.	Е — Ах(х) = (Ей, у, у, п)\и, у, у, п х & п Уаг у

& (п + 1) Уаг и & и Ег у & Рогт (у)

& х = и Ех|у Оеп [[Я(и) * Е(7?(у))] Аед у

х - это формула, выведенная из схемы аксиомы 1У, 1 путем под-
становки.

Аксиоме У, 1 соответствует определенное число х4, и мы опре-
деляем:

40.	М — Ах(х) = (Еп)\п х &х = п Тк ^4]

41.	Ах(х) = 2 — Ах(х) V А — Ах(х) V Д — Ах(х) V

Е2 — Ах(х) V К — Ах(х) V М — Ах(х)

х - это аксиома.
43.	Я(хуг)217

= у = г 1шр х V (Е г) [г х &Уаг(у) & х = у Оеп у]

х - это непосредственное следствие уиг.

44.	Вуу(х) 218 = (и)

{о < п /(х) А х(п О1 х) V (Ер, <?)[() < р, ? < п

& Р1(п Сг1 х, р О1 х, д 61 х)]} & /(х) > О

х - это схема доказательства (конечная последовательность
формул, каждая из которых есть либо аксиома, либо непосредствен-
ное следствие из двух предыдущих).

45.	х В у 219 220 = Вуу(х) & [/(х)] С1 х = у

х - это доказательство формулы у.

46.	ВеАу(х) = (Еу)у Вх

х - это доказуемая формула. [Ведх(х) есть единственное положе-
ние из всех от 1 до 46, про которое нельзя утверждать, что оно ре-
курсивно.]

Сформулируем словесное утверждение: любое рекурсивное от-
ношение определяемо в системе Р (интерпретируется как содержа-
ние), независимо от того, какая интерпретация дается формулам Р.
Теперь сформулируем это утверждение математически строго.

Предложение V. Любому рекурсивному отношению В (хх х2 ...
х ) соответствует ^-местный связь-знак г (со свободными переменны-
ми22® щ. и2, ил) такой, что для каждой серии из п чисел (хх... хп)
выполняется следующее:

217 Аббревиатура «Г7» -от нем. иптШе!Ъаге Во1§е - непосредственное следствие.

218 Аббревиатура «/Гг» - от нем. Веме1$Ъаг - схема доказательства.

219 Аббревиатура «5» - от нем. Вемегз — доказательство.

220 Переменные их ... и могут быть распределены произвольно. Так, всегда суще-
ствует какое-либо г со свободными переменными 17, 19, 23... и т.д., для которых справед-
ливы соотношения (3) и (4) (см. текст).
:„) Ве\у 8Ь г

и± ... р

(3),

П(хг...х„)

Веху №§ 8Ъ г

их ...и„

(4).

Будем довольствоваться указанием доказательства этого положе-
ния в общих чертах, поскольку оно не представляет принципиальных
трудностей и несколько запутано221. Мы доказываем данное предло-
жение для всех отношений Р (хх х2... хф вида Х| = ф(х2 ...х^)222
(где ф есть рекурсивная функция) и применяем метод математиче-
ской индукции для степени ф. Для функций первой степени (т.е.
констант и функции х + 1), предложение тривиально. Пусть теперь ф
имеет степень т. Она выводится из функций более низкой степени
Ф1 ...ф^ с помощью операций подстановки или рекурсивного опре-
деления. Так как индуктивным допущением все уже доказано для
ф| ...ф/у, то существуют соответствующие связъ-знаки р...гк. такие,
что выполняются соотношения (3) и (4). Определение для ф выво-
дится из фр..ф^ (подстановка и рекурсивное определение). Этот
процесс может быть формально отображен в системе Р. После того,
как это сделано, мы получим из ц.. .гк новый связь-знак г223, для ко-
торого мы легко можем доказать справедливость (3) и (4) с помощью
индуктивного предположения. Связь-знак г, присвоенный таким об-
разом рекурсивному отношению224, будет называться рекурсивным.

Теперь мы подходим к объекту наших упражнений.

Пусть с - это любой класс формул. Обозначим через (с)
(от нем. Ро1уегипузтепуе. множество следствий из с) наименьшее
множество формул, которое содержит все формулы из с и все аксио-
мы и которое замкнуто относительно отношения «непосредственное
следствие из». Величина с называется ©-непротиворечивой, если не

221 Предложение V основано на том факте, что для любого рекурсивного отношения К
оно разрешимо для каждой серии п чисел из аксиом системы Р, независимо от того, вы-
полняется отношение К или нет.

222 Из этого немедленно вытекает его справедливость для каждого рекурсивного от-
ношения, так как любое такое отношение эквивалентно отношению 0 = ф(х1.. .х„), где ф
рекурсивно.

223 В точном развитии этого доказательства г естественно определяется не путем
отдельного указания его содержания, а его чисто формальным строением.

224 Который по содержанию выражает существование этого отношения.
существует такого класс-знака а. что

(«)

8ЬЬ (и) е (с) & [№§(у Оеп а)]е (с),

где у - это свободная переменная класс-знака а.

Каждая ©-непротиворечивая система также и просто непротиво-
речива. Однако, как будет показано ниже, обратное неверно.

Общий результат относительно существования неразрешимых
предложений гласит следующее.

Предложение VI. Любому ©-непротиворечивому рекурсивному
классу с формул соответствуют рекурсивные класс-знаки г, такие,
что ни V Оеп г, ни (г Оеп г) не принадлежат (с) (где у -
свободная переменная г).

Доказательство. Пусть с - это любой ©-непротиворечивый ре-
курсивный класс формул. Определим

Вуус{х) = {п)\п	7(х) А х{п С1 х) V {п С1 х) 8 с V

{Ер, д){0 < р, с/ < п & Е1{п О1 х, р О1 х, с/ О1 х)} & /(х) > О

(5)

(ср. с аналогичной формулой 44)

хВсу = Вку (х) & [/(х)] С1 х = у	(6)

ВеАУс (х) = {Еу) у Всх	(6.1)

(ср. с аналогичными формулами 45, 46)

Сохраняются следующие соотношения:

(х)[ВеАУс(х) - хе (с)]

(х)[Ве\у(х) ВеАУс(х)]

(7)

(8)

Далее определим отношение:

б(х, у) = X Вс

(8.1)

Поскольку х Всу [согласно (6), (5)] и

19

2©

(согласно
определениям 17, 31) рекурсивны, то величина ()(х,у) также рекур-
сивна. Согласно Предложению V и (VIII) существует, таким образом,
связь-знак с/ (который обладает свободными переменными 17, 19),
такой что

19

г» М 17	19 1

(9)

Вехус 8Ь\д 2^

(Ю)

Положим

р = 17 Оеп с/	(11)

(р-это класс-знак со свободной переменной 19)

и 19 )	(12)

Г = ХТ ад)

(г-это рекурсивный класс-знак со свободной переменной 17)225.
Далее

} )(„)]=4|7Сеп"12'и|

8Ъ р

= 17 Оеп 8Ъ д

= 17 Оеп г 226

(13)

[учитывая соотношения (11) и (12)]. Кроме того,

Л	17	19 1 _	17 1

8Ь[д 7(х) 2(р) ] “ 8Ь[	2(х) |

(14)

[согласно (12)]. Если теперь подставить р для у в (9) и (10), то в силу
(13) и (14) будем иметь

х Вс(17 Оеп г)

Вемс ВЬ\

(15)

775

г выводится, по сути, из рекурсивного связъ-знака д путем замены переменной на
определенное число (р).

226 Операции Оеп и 8Ь всегда коммутативны, даже если они относятся к разным
переменным.
х Вс(17 Оеп г) ВеАУс №§ 8Ь\

(16)

Таким образом, 17 Оеп г не является с-доказуемым2Т1. Действи-
тельно, в противном случае (согласно 6.1) существовало бы такое п,
что п Вс (17 Оеп г). Тогда, из соотношения (16)

ВеАУс

^'4' 7(и)

Однако с другой стороны, из предположения о том, что 17 Оеп г

является с-доказуемым, следует, что

4' 41

также является

с-доказуемым. Таким образом, с не было бы непротиворечивым
(и тем более не было бы ©-непротиворечивым).

№§(17 Оеп г) не является с-доказуемым. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Как было показано выше, 17 Оеп г не является с-доказуемым, т.е.
(согласно 6.1) верно следующее: (и) п Вс(\7 Оеп г). Из последне-

го следует, с учетом (15), (и) ВеАУс

17 1

Л 2(4)

что вместе с Ведус

[№§ (17 Оеп г)] конфликтует с ©-непротиворечивостью с.

Таким образом, 17 Оеп г является неразрешимым в с, что дока-
зывает Предложение VI.

Можно легко убедиться в том, что приведенное выше доказатель-
ство конструктивно227 228. Другими словами, все демонстрируется ин-
туитивно не вызывающим возражений способом. Так, рассматривая
любой рекурсивно определенный класс формул, если формальное
решение (в с) будет дано для (эффективно доказуемой) пропозицио-
нальной формулы 17 Оеп г, то мы можем эффективно утверждать:

\. Доказательство для №§(17 Оеп г).

227 Высказывание «х является с-доказуемым» означает: х е что в свою оче-
редь, согласно (7), означает то же самое, что ВеАУс (х).

228 Поскольку все существенные утверждения, встречающиеся в доказательстве, ос-
нованы на Предложении V, которое, как легко видеть, интуитивно не вызывает возражений.
2. Для любого данного п доказательство

Л’4‘ 4*) ]

, т.е. фор-

мальное решение 17 Оеп г, привело бы к эффективной демонстра-
ции ©-непротиворечивости.

Будем называть отношение (класс) натуральных чисел К (хх.. .хп)
вычислимым [нем. Еп18ске1с1ипр8с1еф1П11, «определение решения»],
если существует ^-местный связь-знак г, такой, что верны (3) и (4)
(ср. с Предложением V). В частности, в Предложении V каждое
рекурсивное отношение вычислимо. Аналогично, связь-знак будет
называться вычислимым, если он будет таким образом присвоен
вычисляемому отношению. Следовательно, для существования не-
разрешимых высказываний достаточно предположить, что класс с
является ©-непротиворечивым и вычислимым. Свойство вычисли-
мости переносится из с в х Всу (ср. с (5), (6)) и в (9(х,у) (ср. с 8.1).
Только эти два последних применяются в приведенном выше дока-
зательстве. Неразрешимое высказывание имеет в этом случае вид
у Оеп г, где г-вычислимый класс-знак (на самом деле достаточно,
чтобы с было вычислимо в системе, расширенной добавлением с).

Если вместо ©-непротиворечивости для с предполагается про-
стая непротиворечивость, то из этого следует не существование не-
разрешимого предложения, а скорее существование свойства (г), для
которого невозможно ни привести опровергающий пример, ни дока-
зать, что оно справедливо для всех чисел. Для доказательства того,
что 17 Оеп г не является с-докозуел/ьш, нужна только непротиворе-
чивость с. Из ВеАУс (17 Оеп г) следует, согласно (15), что для любо-

го числа х,

8Ь

с-доказуемо, а значит, что №§ 8Ь г

17 1

не является с-доказуемым для любого числа.

Добавляя №§(17 Оеп г) к с, получаем непротиворечивый,
но не ©-непротиворечивый класс формул сг. Класс формул сг яв-
ляется непротиворечивым, т.к. в противном случае 17 Оеп г был
бы с-доказуемым. Вместе с этим класс формул сг не является
©-непротиворечивым, так как в силу ВеАУс (17 Оеп г) и (15) имеем

8Ь[Г Х(х) ]

. Следовательно, тем более (х) Веду у 8Ъ\г %(х
С другой стороны, Веуус< [№§(17 Оеп г)] 229.

Частный случай Предложения VI такой, что в нем класс с состо-
ит из конечного числа формул (с применением или без применения
формул, выведенных из него с помощью повышения типа). Каждый
конечный класс а рекурсивен. Пусть ^-наибольшее число, содержа-
щееся в а. Тогда в этом случае для с справедливо следующее:

х е с ~ (Ет, п)[т х & п а &пг ос & х = т ТЪ п\.

Следовательно, с обладает рекурсивностью. Это позволяет, на-
пример, заключить, что даже с помощью аксиомы выбора (для всех
типов) или обобщенной гипотезы континуума не все высказывания
разрешимы, поскольку предполагается, что эти гипотезы есть ю-не-
противоречивы.

В доказательстве Предложения VI использовались только следу-
ющие свойства системы Р:

Класс аксиом и правила вывода (то есть отношение «непосред-
ственное следствие») рекурсивно определимы (как только основные
знаки каким-либо образом заменяются натуральными числами).

Каждое рекурсивное отношение определяемо в системе Р
(в смысле Предложения V).

Следовательно, в каждой формальной системе, которая удовлет-
воряет предположениям 1 и 2 и которая является ю-непротиворечи-
вой, неразрешимые высказывания существуют в виде (х)К(х), где
К-рекурсивно определенное свойство натуральных чисел, и так же
в каждом расширении такой системы, сделанном путем добавления
рекурсивно определяемого ©-непротиворечивого класса аксиом. Как
можно легко показать, системы, удовлетворяющие предположени-
ям 1 и 2, включают аксиоматическую систему Цермело - Френке-
ля и аксиоматическую систему теории множеств фон Неймана230,
а также систему аксиом теории чисел, состоящую из аксиом Пеано,
операции рекурсивного определения [согласно схеме (2)] и логи-
ческих правил. Предположение 1 в общем удовлетворяется любой
системой, правила вывода которой являются обычными и аксиомы

229 Таким образом, существование непротиворечивых и не являющихся ш-непроти-
воречивыми с может быть доказано только в предположении, что в общем случае непро-
тиворечивые с действительно существуют (т.е. Р обладает непротиворечивостью).

230 Доказательство предположения 1 здесь еще проще, чем для системы Р, поскольку
существует только один вид базовой переменной (или два вида для системы фон Неймана).
которой (как и аксиомы Р) выводятся путем подстановки из конеч-
ного числа схем231.

3

Получим дальнейшие следствия из Предложения VI. Для этой
цели дадим следующее определение.

Отношение (класс) называется арифметическим, если оно
может быть определено исключительно посредством понятий +, •
[сложение и умножение, применяемые к натуральным числам]232
и логических констант и V, , (х), =, где (х) и = должны
относиться только к натуральным числам233. Понятие «арифме-
тическое предложение» определяется соответствующим образом.
В частности, отношения «больше» и «равенство по модулю» - ариф-
метические, поскольку для них выполняется следующее.

х

> У (Яг)[у = х + г]

х = ;г(шос1 п) ~ (Ех)\х =	2-П\/ у =	2-п\

Теперь можно сформулировать следующее утверждение.

Предложение VII. Любое рекурсивное отношение является
арифметиче ским.

Докажем это высказывание в такой форме: «Любое отношение,
записанное в форме х0 = ф(хх ...х^), где ф рекурсивна, является
арифметическим» и применим метод математической индукции
к степеням ф . Пусть ф имеет степень 8 (5 > 1). Тогда верно одно из
двух нижеследующих утверждений.

231 Истинный источник неполноты, присущей всем формальным системам матема-
тики, следует искать - как будет показано в Части II настоящего очерка - в том факте, что
образование все более высоких типов может быть продолжено до бесконечности, тогда
как в каждой формальной системе встречается не более чем определенное число типов.
Можно показать, что представленные здесь неразрешимые высказывания всегда становят-
ся разрешимыми путем присоединения подходящих высших типов (например, типа о для
системы Р). Аналогичный результат справедлив и для системы аксиом теории множеств.

232 Здесь и далее ноль всегда входит в число натуральных чисел.

233 Определяемые в рассматриваемой концепции должны быть построены исключи-
тельно с помощью указанных знаков, переменных для натуральных чисел х, у, ... и знаков
0 и 1 (функция и набор переменных не должны встречаться). (Любая другая числовая
переменная может естественным образом встречаться в начале вместо х.)
Ф(*1 •••*«) = р[%1Г1 •••ЧгЬХгСч хп) ...%ОТ(Х1...Х„)] 234

(где р и все % обладают степенями, меньшими, чем 5)

ф(0, х2 ...х„) = у(х2 ...х„)

фЦ + 1, х2 ...х„) = фД, х2 ...х„), х2 ...х„]

(где \|/ и ц обладают степенями, меньшими, чем 5).

В первом случае мы имеем

х0 = ф(х! ...х„) -	...ут)[т?(хо>’1 ...Ут)

&8^уъхх ...х„)&...&5т(ут,х1 ...х„)]

Где К и есть, соответственно, арифметические отношения, кото-
рые существуют на основе предположения индукции, эквивалент-
ные х0 = р(ух ...ут) и у =	В этом случае, следова-

тельно, х0 = ф(хх ...хп) -арифметическое.

Во втором случае мы применим следующую процедуру. Отно-
шение х0 = ф(хх может быть выражено с помощью понятия
«ряд чисел» (/)235 следующим образом:

х0 = Ф(Х1-..Х„) -	= у(х2 ...х„)

&Ц)[^ < X, — /к+1 =	/к, х2 ...х„)] & х0 = Д }

Если 8 (у, х2 ...х„) и Т (и, XI ...хп+^ есть, соответственно,
арифметические отношения, которые существуют на основе предпо-
ложения индукции, эквивалентные

у = \|Г(х2...Х„) И 7 = ц(х1...Х„+1),

то имеют место следующие соотношения:

234 Разумеется, не обязательно, чтобы все х1 ... х действительно присутствовали
в [ср. пример в сноске 220].

235 Здесь/обозначает переменную, область значений которой состоит из рядов нату-
ральных чисел; Ук обозначает к + 1-й член ряда/(/0- первый член ряда).
-Ч) = Ф(х1...х„) ~ (Е/) {5(/о,*2 хп)

&(А-)[А-<х1 ^Т(/к+1,к,/к,х2 ...х„)]&х0 = /Х1}	(17)

Теперь заменим понятие «ряд
чисел» путем назначения номеру

•(/7, б/) / г/,/)
А

= [«]1+(*+1)/ где 1”\р

чисел» на понятие «пары
пары п, с! номера серии

обозначает наименьший не-

отрицательный остаток по модулю р.

Далее имеем следующее.

Лемма 1. Если/есть любой ряд натуральных чисел и к есть лю-
бой натуральный номер, то существует пара натуральных чисел п. <7,
таких, что /("’ и/совпадают в первых к членах.

Доказательство. Пусть I есть наибольший из номеров
/о? /1 • • -/к-1' Определим п следующим образом.

п = Д (тос1(1 + (/ + 1)/!)) для / = 0, 1, ...к — 1.

Это возможно сделать, поскольку любые два числа из
1 + (/ + 1)/! (/ = 0, 1, ...к — 1) есть взаимно простые. Простое чис-
ло, которое содержится в этих двух простых числах, будет также
содержать и в их разности (д — /2)/!. Далее, поскольку |/х — /2| < /,
то простое число будет содержать ив/!, что невозможно. Таким об-
разом, для пары чисел п. /! выполняется требуемое.

Поскольку отношение х = [п\ определяется отношением
х = я(шос1 р) & х < р и, следовательно, арифметическое, то отно-
шение Р(х0, XI ... х„) определяется следующим образом.

Р(х0, Хр.. х„) = (Еп,(Г) 4 ([4+1’х2 •••*«)

& (к) к < XI

ЦЫ1+/&+2) ’ Н1+б/(т)’ Х2 '"Хп

& х0 - Ы1+ф1+1)

Последнее выражение, согласно (17) и Лемме 1, эквивалент-
но х0 = ф(хх ...х/) (мы рассматриваем ряд/в (17) только до члена
+ 1). Таким образом Предложение VII доказано.
Согласно Предложению VII каждой задаче вида (х) Е (х) (К ре-
курсивна) соответствует эквивалентная арифметическая задача.
Поскольку все доказательство Предложения VII может быть фор-
мализовано (для каждого конкретного Е) в системе Р, то эта экви-
валентность доказуема в Р. Следовательно, можно сформулировать
ниже следующее.

Предложение VIII. В каждой из формальных систем236, упомя-
нутых в Предложении VI, существуют неразрешимые арифметиче-
ские предложения.

То же самое справедливо (в силу замечаний в конце раздела 3)
для системы аксиом теории множеств и ее расширений ю-непроти-
воречивыми рекурсивными классами аксиом.

Наконец, мы также продемонстрируем следующий результат.

Предложение IX. Во всех формальных системах, упомянутых
в Предложении VI237, существуют неразрешимые задачи ограничен-
ного исчисления предикатов238 (т.е. формулы ограниченного исчис-
ления предикатов, для которых ни универсальная достоверность, ни
существование контрпримера не доказуемы)239.

Предложение IX основано на следующем утверждении.

Предложение X. Каждая задача вида (х) Е(х) (К рекурсивна) мо-
жет быть сведена к вопросу о выполнимости формулы ограниченно-
го исчисления предикатов (т.е. для каждого рекурсивного Е можно
дать формулу ограниченного исчисления предикатов, выполнимость
которой эквивалентна достоверности (х) Е (х)).

Мы рассматриваем ограниченное исчисление предикатов (далее
о. и. и.) как состоящее из тех формул, которые построены из следую-
щих основных знаков: V, , (х), =; х, у, ... (индивидуальные
переменные) и К(х), С(х,у), Я(х,у,^), ... (переменные, обознача-

236 Это ©-непротиворечивые системы, полученные из Р путем добавления рекурсив-
но определяемого класса аксиом.

237 См. сноску 236.

238 В системе Р формулы ограниченного исчисления предикатов следует понимать
как те, которые получены из формул ограниченного исчисления предикатов системы ОМ
заменой отношений классами более высокого типа.

239 Как я показал в своей работе «Полнота аксиом логического функционального
исчисления» (Л/е Уо11$1апсИ%кеИ: с1ег Ахюте Ае$ 1о&$скеп Еипк1юпепка1кй1$\ для каждой
формулы ограниченного исчисления предикатов можно доказать либо ее универсальную
достоверность, либо существование контрпримера; но в силу Предложения IX существо-
вание этого контрпримера не всегда можно продемонстрировать (в рассматриваемых фор-
мальных системах).
ющие свойства и отношения)240, где (х) и = могут относиться толь-
ко к индивидам (индивидуальным переменным). К перечисленным
знакам добавим еще третий вид переменных ф(х), \|/(х у), %(х у г)
и т.д., которые представляют собой объектные функции. Другими
словами, ф(х), \|/(х у), %(х у г) обозначают однозначные функции,
аргументами и значениями которых являются индивиды241. Фор-
мула, которая, помимо первых упомянутых знаков о.и.п., содержит
также переменные третьего рода, будет называться формулой в более
широком смысле (далее в.ш.с.)242. Понятия «выполняемого» и «уни-
версально достоверного» немедленно переносятся на формулы в. ш.с,
и мы имеем высказывание, что для каждой формулы в.ш.с. А можно
дать обычную формулу о.и.п. В такую, что выполняемость А эквива-
лентна выполняемое™ В. Таким образом, получаем В из Л, заменяя
переменные третьего рода ф(х), \|/(х у), %(х у и),..., которые появ-
ляются в Л, выражениями вида (К(и х), (О(и, х у)... путем
исключения «описательных» функций на линиях системы РМ I * 14
и производя операцию логического умножения243 полученной фор-
мулы на выражение, которое утверждает, что все К, О которые за-
менены на ф,являются строго однозначными по отношению
к первому пустому месту.

Теперь покажем, что для любой задачи, записанной в виде
(х) Р (х) (К рекурсивна), существует эквивалент о выполнимости
формулы в.ш.с., из которой в согласии со всем вышесказанным сле-
дует Предложение X.

Поскольку Р рекурсивна, то существует рекурсивная функция
Ф(х), такая что Р(х) ~ [Ф (х) = 0] и для Ф существует серия функ-
ций Ф1? Ф2 ... Ф„, такие что Ф^ = Ф, Фх (х) = х + 1 и для каждой
Ф^ (1 < к п) верно или первое, или второе, или третье из ниже-
следующих условий

(х2 ...хот)[фД0,х2 ...хт) = Фр(х2 ...хт)\

240 Гильберт и Аккерман не включают знак = в ограниченное исчисление предикатов.
Но ддя каждой формулы, в которой имеется знак =, существует формула без этого знака,
которая удовлетворяется одновременно с исходной (ср. статья, цитируемая в сноске 239).

241 И, разумеется, областью определения всегда должна быть вся область индивидов.

242 Переменные третьего рода могут, таким образом, встречаться на всех пустых
местах вместо индивидуальных переменных, например, у = ф(х),	ф(у)),

С [у(х, ф(у)), х] и т.д.

243 Т.е. операция конъюнкции.
(х, х2...хот){фА[Ф1(х), х2...хт] = Ф9[х, фДх, Х2...хт), (х2...хт)]}

(18)

р, с/ < к

(X! ...хт)[фДх1 ...хт) = Фг(ф/1(Ж1)...Ф;. Ш)]244	(19)

г < к, 1у < к (для V = 1, 2 ... 8 )

(X! ...хЛфДх! ...хт) = Ф^Ф! ...0»!(0))]	(20)

В дополнение, сформируем следующие высказывания.

(х)Ф1 (х) = 0 & (х ^)[ФГ (х) = Ф! Щ -► X = .у]

(х)[Ф„(х) = 0]

(21)

(22)

Заменим теперь во всех формулах (18), (19), (20) (для к = 2, 3,... п)
и (21), (22) функции Ф7 на функции ф/? а число 0 на отсутствующую
индивидуальную переменную х0. Сформируем конъюнкцию С всех
полученных таким образом формул.

Формула (Е х0) С будет, следовательно, обладать требуемыми
свойствами. Действительно,

Если(х)[Ф(х) = 0], то (Е х0) С выполняема, поскольку как толь-
ко функции Ф1? Ф2,... Ф^ заменяются на Ф1 э Ф2? - - • в хо) С
они дают верное предложение.

Если (Е х0) С выполняемо, то (х)[Ф(х) = 0].

Доказательство. Пусть существуют предполагаемые функции
\|/1, Ж2 • • •	> которые дают правильное высказывание при замене

на фр ф2, ... ф„ в (Е х0) С.

Пусть область определения индивидуальных переменных есть I.
Ввиду правильности (Е х0) С для всех функций \|/;. существует ин-
дивидуальная переменная а (в 7) такая, что все формулы (18) - (22)
преобразуются в правильные высказывания (187) — (227) при замене
Ф • на и 0 на а. Далее, сформируем наименьший подкласс /, кото-
рый содержит а и замкнут по отношению к операции \|/х (х). Этот
подкласс (1Г) обладает тем свойством, что каждая из функций при

244 ГД/ = 1 ...5) -любой набор переменных ч? х2 ••• например, 4 4 4 .
применении к элементам 1Г снова дает элементы из 1Г. Величина \|/;-
сохраняется в силу определения /х; и в силу (18х), (19х), (20х) это
свойство переносится от \|/;., имеющей более низкий индекс к вели-
чине с более высоким индексом. Функции, выведенные от \|/;. путем
ограничения области определения индивидов /х, будем называть \|/х.
Для этих функций также верны формулы (18)-(22) (при замене 0 на
а и Ф7 на \|/х).

Благодаря правильности (21) для \|/{ и а. мы можем взаимно-од-
нозначно отобразить индивидуальные переменные на натуральные
числа, таким образом, что а отображается в 0, а функция \|/х ото-
бражается в функцию-преемника Фр Однако при таком отобра-
жении все функции \|/х преобразуются в функции Ф7 и благодаря
правильности (22) для и а. мы получаем (х)[Ф„(х) = 0] или
(х)[ф(х) = 0], которые должны были быть доказаны245.

Поскольку соображения, приводящие к Предложению X (для
каждого конкретного К), также могут быть переформулированы
в системе Р, то, следовательно, эквивалентность между высказыва-
нием вида (х)К(х) (К рекурсивна) и выполнимостью соответствую-
щей формулы о. и. и., доказуема в Р. Следовательно, неразрешимость
одного следует из неразрешимости другого, в результате чего Пред-
ложение IX доказано246.

4

Из выводов раздела 2 следует важнейший результат в отношении
доказательства непротиворечивости системы Р (и ее расширений),
который выражается в нижеследующем утверждении.

Предложение XI. Если с есть заданный рекурсивный непроти-
воречивый класс формул2^\ то пропозициональная формула, которая
утверждает, что с непротиворечив, не является с-доказуемой, в част-
ности, непротиворечивость Р недоказуема в Р248, предполагается,

245 Из Предложения X следует, например, что задачи Ферма и Гольдбаха были бы
разрешимы, если была бы решена задача для о.и.п.

246 Предложение IX естественным образом справедливо и для системы аксиом тео-
рии множеств и ее расширений путем рекурсивно определяемыми ©-непротиворечивыми
классами аксиом, поскольку в этих системах также, безусловно, существуют неразреши-
мые теоремы вида (х)Г(х) (Г рекурсивна).

247 с обладает непротиворечивостью (или ХУМ (с). Аббревиатура «ХУМ» - от нем.
^'кЗег^ргиск^гегкеН: - непротиворечивый) - определяется следующим образом:
ХУМ (с) = (Е х)[Еогш(х) & ВемгЦх)].

248 Это следует, если с заменяется нулевым классом формул.
что Р обладает непротиворечивостью (если не обладает, то, конечно,
каждое утверждение доказуемо).

Доказательство (набросанное в общих чертах) выглядит сле-
дующим образом. Пусть с - любой заданный рекурсивный класс
формул, однажды выбранный для целей следующей аргументации
(в простейшем случае это может быть нулевой класс). Для доказа-
тельства того факта, что 17 Оеп г не является с-доказуемым249. была
использована только непротиворечивость с (как видно из формул
(15) - (16) и и. 1 после этих формул). Другими словами,

АУк1(с) Всаус(17 Оеп г)
Используя (6.1):

АУМ(с) (х) х7?с(17 Оеп г)

(23)

Далее, используя (13):

17 Оеп г = 8Ъ р Д) ) •

Следовательно,	__________________

\У1(1(с) -> (х) х Вс 8Ъ р Д)

Из (8.1):

лма(с) (х)р(х,^)

(24)

Далее установим следующий факт. Все понятия, которые были
определены (или утверждения, которые были доказаны) в разде-
лах 2 250 и 4, также выразимы (или доказуемы) в Р. Так, мы повсюду
использовали только обычные методы определения и доказатель-
ства, принятые в классической математике, формализовав их в си-
стеме Р. В частности, с (как и любой рекурсивный класс) определим
в Р. Пусть гг- это пропозициональная формула, выражающая АУМ(с)
в Р. Отношение @(х,у) выражается, в соответствии с (8.1), (9) и (10),
связъ-знаком а ()(х.р). следовательно, связъ-знаком г [поскольку

из (12) следует, что г = 8Ъ р/

19

] и высказывание (х^(х.р)

выражается 17 Оеп г.

249 г зависит от с (точно так же, как зависит ир).

250 От определения понятия «рекурсия» до доказательства Предложения VI включи-

тельно.
В силу (24), IV 1шр (17 Оеп г), следовательно, доказуемо в Р251
(и тем более с-доказуемо). Теперь, если бы уу было с-доказуемо, то
17 Оеп г также был бы с-доказуемо, и следовательно, из (23) следо-
вало бы, что уу не является непротиворечивым.

Отметим, что приведенное доказательство также конструктив-
но, т.е. допускает (если доказательство от с производится для ту)
эффективное выведение из с противоречия. Полное доказательство
Предложения XI также может быть слово в слово перенесено в си-
стему аксиом теории множеств Мив систему классической матема-
тики А (работы фон Неймана). Кроме того, получается, что не суще-
ствует непротиворечивого доказательства для М или для Л, которое
могло бы быть формализовано в Мили А соответственно, поскольку
предполагается, что ТИ и Л непротиворечивы. Следует прямо отме-
тить, что Предложение XI (и соответствующие результаты для М
и Л) не представляют собой противоречия формалистической пози-
ции Гильберта. Дело в том, что его точка зрения предполагает только
существование доказательства непротиворечивости, осуществля-
емого конечными средствами, и, возможно, существуют конечные
доказательства, которые не могут быть сформулированы в Р (или
в М, или в Л).

Поскольку для каждого непротиворечивого класса, уу не явля-
ется с-доказуемым, всегда будут существовать высказывания, ко-
торые неразрешимы (из с), а именно уу, пока (ту) не является
с-доказуемым. Другими словами, можно заменить предположение
о ©-непротиворечивости в Предложении VI следующим образом:
утверждение «с непротиворечиво» не является с-доказуемым. (Об-
ратите внимание, что существуют непротиворечивые с, для которых
это утверждение является с-доказуемым.)

На протяжении всей этой работы мы фактически ограничива-
лись системой Р и просто указывали приложения к другим системам.
Результаты будут изложены и доказаны в более общем виде в пред-
стоящем продолжении. Также будет подробно представлено простое
общее доказательство, данное нами для Предложения XI.

(Получено: 17. XI. 1930.)

251 Правильность тт 1тр (17 Оеп г) может быть заключена из (23), просто из того
факта, что (как было отмечено в самом начале) неразрешимое высказывание 17 Оеп г
утверждает свою собственную недоказуемость.
Алан Мэтисон Тьюринг

(1912-1954)

Жизнь и труды

Когда американский физик Дж. Роберт Оппенгеймер готовился
предстать перед комитетом Конгресса для дачи показаний по делу
о лишении его допуска к работам с грифом «совершенно секретно»,
его друг и коллега Исидор Раби сказал: «Опии, если бы это была
Великобритания, за работу над созданием атомной бомбы тебе при-
своили бы рыцарский титул».

Если Оппенгеймер заслуживает признания за то, что благодаря
его работе над Манхэттенским проектом был положен конец войне
в Тихом океане, Алан Мэтисон Тьюринг в неменьшей степени за-
служивает признания за то, что его работа над расшифровкой кода
нацистской шифровальной машины «Энигма» ускорила завершение
войны в Европе.

После окончания Второй мировой Тьюринг был удостоен награ-
ды, но не получил рыцарский титул. Это потребовало бы публичного
признания того, что Тьюринг взломал код «Энигмы», а Британское
правительство скрывало этот факт от общественности более 25 лет
и раскрыло его только спустя много лет после смерти Тьюринга. По
иронии судьбы, эта награда не помогла Тьюрингу, когда он был аре-
стован за «развратные» действия. Наоборот, она только усугубила
его вину в нарушении общественной морали. Ведь он не только со-
вершал развратные действия, но совершал их с представителем ра-
бочего класса.

Алан Тьюринг происходил из скромной семьи. Родословная
Тьюрингов восходит к семейству, проживавшему в XIV веке в граф-
стве Абердиншир в северной Шотландии. Возможно, они были сто-
ронниками династии Стюартов, пришедшими на юг, в Англию, когда
Яков I взошел на трон в 1603 г.

Мать Тьюринга Этель Стони происходила из ирландской про-
тестантской семьи, получившей земли от Вильгельма Оранского
в 1688 г. Ее дальний родственник Джордж Джонстон Стони на заре
атомной эры придумал термин «электрон». Отец Этель Эдвард Сто-
ни сделал выдающуюся карьеру в сфере строительства железных
дорог и мостов в период британского господства в Индии. С отцом
Алана, Джулиусом Мэтисоном Тьюрингом, Этель познакомилась во
время морского путешествия из Индии весной 1907 г. После учебы
в Оксфорде он работал чиновником Индийской гражданской служ-
бы. Они поженились в октябре и в следующем году вернулись в Ин-
дию, где в сентябре родился их первенец Джон. Алан, их второй сын,
родился в Лондоне 23 июня 1920 г., когда вся семья была в отпуске
в Англии.

Жизнь британцев, работавших в Индийской гражданской служ-
бе, имела свои плюсы и минусы. В Индии они жили почти в роско-
ши, гораздо лучше, чем могли себе позволить дома. Но Индия - не
Великобритания, особенно когда речь заходит о детях, которые часто
оставались дома на длительный срок без одного или обоих родите-
лей. Такой была жизнь маленького Алана, отец которого вернулся
в Индию, когда ему было девять месяцев. Мать Тьюринга вернулась
в Индию через полгода, оставив своих двоих сыновей с Уордами -
супружеской парой отставных военных-в небольшом городке непо-
далеку от Гастингса. Уорды уделяли братьям Тьюрингам не слишком
много внимания. У них было четыре собственных дочери. Полков-
ник Уорд был чопорным и угрюмым. К тому же Алан разочаровал
миссис Уорд, не выказав интереса к военным игрушкам. Большую
часть периода становления личности Тьюринг провел в условиях,
когда его родители находились в далекой Индии. Так получилось,
что Джулиус Тьюринг ушел в отставку из Индийской гражданской
службы в 1926 г., когда Алан поступил в Шерборн-одну из старей-
ших школ-пансионов в Англии.

Алан так и не смог полностью адаптироваться к жизни в Шер-
борне. В конце первого года обучения директор школы писал роди-
телям Алана: «Он многого достигнет, когда найдет свое призвание,
но пока ему следует приложить максимум усилий, чтобы влить-
ся в коллектив учеников этой школы - ему не хватает командного
духа». Свои слабые результаты в игровых видах спорта Алан допол-
нял такими же слабыми результатами в учебе, занимая последние
места в классе по гуманитарным предметам в первые полтора года
обучения. Но в математике и естественных науках дело обстояло
иначе. Скоро Алан начал выделяться своими успехами по этим пред-
метам, и «удачно» заболев паротитом252 во второй половине второго
года обучения, он получил возможность усиленно заниматься эти-
ми предметами, уделяя гораздо меньше внимания другим. Находясь
в школьном изоляторе, он читал написанное Эйнштейном популяр-
ное изложение специальной и общей теорий относительности.

Обучаясь в Шерборне, Тьюринг подружился с Кристофером
Моркомом, который учился на год старше его. Морком отличался от
Тьюринга во всем. Он блестяще успевал по всем предметам и полу-
чил много школьных наград. Оба увлекались математикой и мечтали
изучать ее в самом центре английской математической науки - кол-
ледже Святой Троицы Кембриджского университета, где учились
Исаак Ньютон и Бертран Рассел. В декабре 1929 г. они сдавали эк-
замены на стипендию колледжа Святой Троицы. Кристофер сдал эк-
замены блестяще. А Алан - нет. Он был очень расстроен тем, что
ему придется учиться в другом колледже, и он не сможет заниматься
вместе с Кристофером. Но судьба не дала им шанса провести время
вместе в Кембридже. В феврале 1930 г. Кристофер внезапно забо-
лел и умер от осложнений, связанных с туберкулезом, которым он
заразился в детстве. После смерти Кристофера Моркома Алан Тью-
ринг остался совсем один. Родители уезжали от него на год или два,
а Кристофер покинул его навсегда. Тьюринг решил, что он должен
поехать в Кембридж и достичь успеха за них обоих. И он сделал это!
Тьюрингу удалось получить стипендию для обучения в Королев-
ском колледже Кембриджского университета, куда он был зачислен
осенью 1931 г. По многим причинам этот колледж подходил Тью-
рингу гораздо лучше, чем колледж Святой Троицы. Колледж Джона
Мейнарда Кейнса и Э.М. Форстера не был таким консервативным,
как колледж Святой Троицы. Его преподаватели всячески старались
наладить общение с учениками! Занятия математикой в Кембридже
были для Тьюринга радостью. Наконец-то он попал в среду, где ка-
чества, на которые обращали внимание в Шерборне (обаяние или

252 Паротит (свинка) - воспаление железистых органов. Название «свинка» болезнь
получила из-за основного симптома - воспаления и отека околоушных слюнных желез.
спортивные достижения), не играли никакой роли. Значение имели
только математические способности, а их у Алана Тьюринга было
предостаточно!

В качестве дипломной работы Тьюринг представил новое дока-
зательство центральной предельной теоремы теории вероятности
и с отличием сдал экзамены на степень бакалавра. Эти достижения
позволили ему получить стипендию для последующей работы в Ко-
ролевском колледже, где была написана его величайшая математиче-
ская работа - опубликованная в 1936 г. статья «О вычислимых чис-
лах и их применении к проблеме разрешимости», которая приведена
здесь. В 1928 г. немецкий математик Давид Гильберт, величайший из
математиков того времени, повторил три проблемы для математиче-
ского сообщества, которые он впервые сформулировал на большом
математическом конгрессе в Париже в 1900 г.:

1.	Доказать полноту математики, т. е. что все истинные математи-
ческие утверждения можно доказать.

2.	Доказать непротиворечивость математики, т.е. что только ис-
тинные математические утверждения можно доказать.

3.	Доказать разрешимость математики, т.е. существование алго-
ритма решения для определения истинности или ложности любого
математического тезиса.

В конце 1934 г. Тьюринг узнал, что Курт Гёдель доказал обратное
для первых двух из этих проблем. Третья проблема осталась нере-
шенной. Тьюринг задался целью ответить на этот вопрос и работал
над этой проблемой с весны 1935 по весну 1936 г. Для достижения
поставленной цели ему необходимо было дать четкое определение
алгоритма решения. Требовалось формализовать этот алгоритм.
Вдохновившись, возможно, детским интересом к пишущим машин-
кам, Тьюринг сделал это, представив понятие алгоритма решения
в терминах машин, называемых теперь машинами Тьюринга.

Тьюринг осознавал, что пишущие машинки могут только печа-
тать на листе бумаги. Они не способны понимать то, что напечатано
на этом листе бумаги. Это прерогатива того, кто печатает. Тьюринг
понимал, что для того, чтобы исключить человеческий фактор, ма-
шина должна уметь не только печатать результат, но и читать вход-
ные данные. Чтобы максимально все упростить и сделать как можно
более абстрактным, Тьюринг предположил, что его машины должны
работать на ленте, состоящей из клеток, которые могут либо содер-
жать метку, либо быть пустыми. Эта лента бесконечно тянется вле-
во и вправо. Тьюринг наделил эту машину способностью считывать
данные с ленты, записывать символ в клетку и стирать символ из
клетки. Чтобы избежать участия оператора и сделать процесс полно-
стью механическим, требовалось, чтобы для каждого сочетания кон-
фигурации машины и сканируемого символа конструкция машины
определяла следующее:

•	записать символ в пустую клетку, стереть символ, найденный
в клетке, или ничего не писать и не стирать в этой клетке;

•	остаться в той же конфигурации (т.е. с тем же набором правил)
или перейти к другой конфигурации;

•	переместиться влево, переместиться вправо или остаться на
месте.

Если записать всю эту информацию, представляющую собой
определение автоматической машины, получится «таблица поведе-
ния» конечного размера, полностью определяющая поведение этой
машины. В абстрактном представлении эта таблица и есть машина.

Таких таблиц, каждая из которых определяет машину с некото-
рым поведением, может быть много. Относительно простая машина
могла бы механически имитировать процесс сложения двух чисел.
Предположим, что каждое число представлено последовательно от-
меченными клетками на ленте, и каждые два числа отделены пустой
клеткой. Машина начинает с самой левой отмеченной клетки этих
двух чисел. Она перемещается вправо, оставляя найденные симво-
лы без изменений, а затем записывает символ, когда встречает пер-
вую пустую клетку, обозначающую конец первого числа и начало
второго. Теперь меняем конфигурацию и переходим к следующему
набору правил. Продолжаем двигаться вправо, оставляя найденные
в отмеченных клетках символы без изменений, пока не дойдем до
пустой клетки. Это означает конец второго числа. Перемещаемся
влево и стираем найденный символ. Можно задать машину Тьюрин-
га с несколько более сложной таблицей поведения для умножения
двух чисел. Но это были простые процессы.

Тьюринг понимал, что в отличие от простых машин машина
для принятия решений, которая требуется для задачи разрешимости
Гильберта, не может быть сконструирована напрямую. В лучшем
случае можно лишь логически вывести ее существование. И если
такой машины не существует, это можно логически вывести, веро-
ятно, лишь путем перебора всех таких машин. Именно это и сделал
Тьюринг. Он предположил, что все такие машины выстроены в не-
котором определенном порядке. Затем он понял, что клетка с запи-
санным в ней символом может интерпретироваться как «1», а пу-
стая клетка-как «О». Выполнив такую расшифровку, машины могут
рассматриваться как машины, генерирующие ленты из нулей и еди-
ниц. Предположив, что перед этими последовательностями нулей
и единиц ставится десятичная точка, Тьюринг мог интерпретиро-
вать каждую из этих машин как действительное число (в двоичном
представлении) от 0 до 1. Тьюринг назвал эти числа вычислимыми
числами и обратился к процедуре диагонализации Кантора, чтобы
представить действительное число, не являющееся вычислимым,-
действительное число, отличное от любого числа в таблице. Такое
число не могло быть результатом работы любой из перечисленных
машин. Это было невычислимое число.

Но Тьюринг на этом не остановился. Возможно, сам процесс
диагонализации Кантора был механической процедурой, представ-
лявшей собой не что иное, как вычисление первой клетки с исполь-
зованием таблицы для первой машины (с последующим изменением
ее значения), затем переход к таблице для второй машины для вы-
числения второй клетки (с последующим изменением ее значения)
и т.д. до бесконечности с использованием таблицы для 2241 985-й
машины для вычисления 2241 985-й клетки (и изменения ее значе-
ния) и так до бесконечности. Но Тьюринг понял, что при этом /7-ая
машина фактически получает /7-ую клетку, и нет никакой гарантии,
что /7-ая машина не зациклится и не случится так, что она никогда
не перейдет к /7-ой клетке. В отсутствие алгоритма, само существо-
вание которого было под вопросом, не было способа проверить таб-
лицу для машины и узнать, зациклится она или нет. Единственным
способом узнать, избежала ли данная машина такого зацикливания,
было выполнение процедуры, пока не будет достигнута /7-ая клетка.
Однако это потребовалось бы сделать для всех машин, включенных
в исходный список, чтобы показать, что процедура диагонализации
Кантора сама по себе является механической. Выполнение этого для
всех машин потребовало бы бесконечного числа шагов, а не конеч-
ного, как требуется для того, чтобы процесс был математическим
в том смысле, который вкладывал в это Тьюринг. Поэтому проце-
дура диагонализации Кантора не была механической в соответствии
с определением Тьюринга.

Тьюринг показал, что алгоритма не существует. За шесть лет Гё-
дель и Тьюринг разрушили мечту Гильберта.

Как обычно, работа Тьюринга над вычислимыми числами была
полностью оригинальной, а не представляла собой доработку но-
ваторского результата другого ученого. Действительно, эта работа
была настолько оригинальной, что Тьюринг даже не знал, что амери-
канский специалист в области логики Алонсо Чёрч пришел к такому
же результату для задачи разрешимости Гильберта совершенно дру-
гим путем. Доказательство Тьюринга было настолько революцион-
ным, что Лондонское математическое общество решило, что только
Чёрч может быть рецензентом этой статьи. Чёрч не только написал
рецензию на статью, но и пригласил Тьюринга в Принстонский уни-
верситет для совместной работы. Макс Ньюман, научный руководи-
тель Тьюринга в Кембридже, одобрил эту поездку.

Псевдоготическая архитектура Принстона напомнила Тьюрингу
времена учебы в Кембридже. Однако если Кембридж был воплоще-
нием интеллигентности, то Принстон олицетворял богатство, что
было совершенно непривычно для Тьюринга. Часовая башня Выс-
шего колледжа была копией часовой башни Колледжа Магдалины
в Оксфорде. Студенты в шутку называли ее «башней из слоновой
кости», не из-за одухотворенной интеллектуальной деятельности,
свидетелем которой она часто оказывалась, а поскольку она воз-
вышалась над «залом Проктера» - главным общим залом Высшего
колледжа, который был построен на пожертвования Уильяма Купера
Проктера, основателя американской компании Ргос1ег 8с ОатЫе, вы-
пускающей мыло 1хогу Зоар (мыло цвета слоновой кости)!

На кафедре математики Тьюринг мог заниматься любыми ис-
следованиями. Не нужно было соответствовать каким-то стандар-
там. На кафедре он чувствовал себя как дома. И всё же, несмотря
на предложение Джона фон Неймана остаться работать в Институте
перспективных исследований в качестве научного сотрудника, по-
сле получения в 1938 г. степени доктора философии Тьюринг решил
вернуться в Англию. Он понял, что Америка в целом и пресвитери-
анский Принстон в частности не будут терпимы к такому нестан-
дартному человеку, как он.

Летом 1938 г. он вернулся в Европу, находившуюся на грани
войны. Перед приездом в Кембридж Тьюринг остановился в Госу-
дарственной школе кодирования и шифрования (Соуегптеп! Соде
апд Суркег ЗскооЦ - СССЗ), работающей под эгидой Министерства
иностранных дел, чтобы сообщить им о том, что он начал размыш-
лять над вопросами, связанными с методами шифрования и расшиф-
ровки. Когда в сентябре 1939 г. началась война, Тьюринг оставил
работу в Кембридже и сразу отправился в центр, созданный ССС8
в небольшом городке Блетчли-парк, где железнодорожная ветка Ок-
сфорд-Кембридж пересекалась с железнодорожной магистралью,
ведуей из Лондона на север.

В Блетчли-парк у Тьюринга завязались единственные за всю
жизнь серьезные отношения с женщиной. Джоан Кларк готовилась
сдавать выпускные экзамены для получения диплома математика
в Кембридже, когда приехала в Блетчли-парк в июне 1940 г. Ее стар-
ший брат учился в Королевском колледже Кембриджа, и они с Тью-
рингом виделись однажды еще до войны. Тьюринг начал встречать-
ся с Джоан весной 1941 г. Работая в одну смену, они могли играть
в шахматы или вместе ходить в кино и даже ездить на велосипедные
прогулки на целый день, если у них совпадали выходные.

После нескольких месяцев свиданий Тьюринг сделал Джоан
предложение, и она сразу согласилась. Через несколько дней Тью-
ринг, уже пересмотрев свое решение, сообщил Джоан о своих гомо-
сексуальных наклонностях, надеясь, что она расторгнет помолвку.
К удивлению Тьюринга она этого не сделала и пригласила его в Лон-
дон, чтобы познакомить со своими родителями.

Тьюринг и Джоан договорились хранить свою помолвку втай-
не от всех, кроме ближайших друзей. Она никогда не надевала свое
кольцо невесты на работу, где они продолжали обращаться друг
к другу «мистер Тьюринг» и «мисс Кларк». Через несколько меся-
цев Тьюринг осознал, что не сможет жениться. Он любил Джоан, но
это чувство было очень похоже на братскую любовь или на любовь,
которую он испытывал к матери Кристофера Моркома. Это было
глубокое чувство, но оно не было похоже на страсть, которую он
испытывал по отношению к Кристоферу. После разрыва помолвки
с Джоан Тьюринг позаботился о том, чтобы они больше никогда не
работали в одну смену.

После войны Тьюринг мог вернуться работать в Кембридж и до-
биться успеха в изучении математики. Однако работа над расшиф-
ровкой кода «Энигмы» пробудила в нем страсть к «созданию искус-
ственного интеллекта». Кембридж не был подходящим местом для
этого. Таким местом была Национальная физическая лаборатория,
расположенная в Лондоне! После войны фон Нейман (в Принстоне)
и Тьюринг работали над проектами создания первой настоящей вы-
числительной машины. Каждый из них представлял себе вычисли-
тельную машину, содержащую сохраненные программы. Но на этом
сходство заканчивалось. Фон Нейман предполагал, что программы,
хранящиеся в вычислительной машине, не могут изменяться. Мож-
но только вызывать их в определенной последовательности. А Тью-
ринг пошел дальше. Он предложил идею о том, что вычислительные
машины могут хранить набор таблиц инструкций, которые можно
вызывать произвольно с нужными входными данными. Тьюринг
придумал искусство программирования автоматической электрон-
ной цифровой вычислительной машины (компьютера) с внутренним
хранилищем программ\
Когда Тьюринг работал в Национальной физической лаборато-
рии, британское правительство наградило его орденом Британской
империи за работу во время войны. Эта награда не особо повлияла на
жизнь Тьюринга. Он испытал сильное облегчение, когда церемонию
награждения отменили из-за болезни короля. Соответствующая бук-
ва, нарисованная на двери его кабинета, означала лишь то, что Тью-
ринг всякий раз должен был отвечать на вопрос, за какие заслуги он
получил этот орден. В конце концов, он просто спрятал орден в ящик.

На протяжении двух лет с начала проекта по созданию вычис-
лительной машины Тьюринг наблюдал, как его засасывает бюро-
кратическое болото. Понимая, что такая ситуация ему не подходит,
он покинул Лондон, взяв академический отпуск, и нашел убежище
в Кембридже, где возобновил научную и педагогическую работу
и преподавал математику в течение года. Вернувшись в Кембридж,
Тьюринг завязал близкие отношения со студентом-математиком
третьего года обучения по имени Невилль Джонсон.

В конце года Невилль закончил обучение в Кембридже и уехал.
Тьюринг тоже уехал. Он не вернулся в Лондон в Национальную физи-
ческую лабораторию, а устроился на работу в Университет Манчесте-
ра в центральных графствах Великобритании, где его старый препо-
даватель Макс Ньюман руководил группой, достигшей значительных
успехов в создании вычислительной машины. Явная невзрачность
Манчестера импонировала Тьюрингу. Здесь не было высокомерия,
присущего Кембриджу или Принстону. Но здесь отсутствовала также
терпимость ко всему отличному от традиционного уклада.

В 1952 г. Тьюринг обратился в полицию Манчестера с заявлени-
ем о краже в его доме. Преступником оказался некто по имени «Гар-
ри»-знакомый нового гомосексуального партнера Тьюринга. Лучше
Тьюринга разбираясь в том, как устроен мир, Гарри посчитал его
легкой добычей. В Великобритании середины XX в. Тьюринг был
лишен защиты закона из-за своей гомосексуальной ориентации. Но
Гарри просчитался. Тьюринг обратился в полицию. Благодаря наи-
вной помощи Тьюринга полиция нашла Гарри, и он был осужден за
ограбление.

Однако Тьюринг просчитался гораздо сильнее Гарри и «запла-
тил» гораздо больше грабителя. Его осудили за «развратные дей-
ствия». Все усугублялось тем, что Тьюринг нарушил границу между
классами общества и вступил в интимные отношения с представите-
лем рабочего класса. Пока его сексуальные связи оставались внутри
университета, никто за пределами учебных аудиторий не обращал на
них внимания.
После признания виновным Тьюринг предпочел пройти эстро-
генную терапию вместо двухлетнего тюремного заключения. Он ре-
шил отказаться от своих эмоциональных желаний, но остаться в сре-
де, благоприятной для умственных занятий. Но это был неудачный
выбор. Гормональная терапия привела к импотенции (как и было
задумано) и тяжелой депрессии. Однажды Тьюринг пожаловался
другу, что у него растет грудь. В письме еще одному другу он пере-
формулировал парадокс лжеца по отношению к себе:

Тьюринг считает, что компьютеры могут мыслить.

Тьюринг лжет людям.

Следовательно, компьютеры не могут мыслить.

Тьюринг покончил жизнь самоубийством в 1954 г.

Мы можем только догадываться, каких выдающихся матема-
тических результатов он мог бы достичь в будущем. И мы можем
только догадываться, что случилось бы с Великобританией и всем
миром, если бы эта трагедия произошла с Тьюрингом 15-ю годами
ранее, до того как под его руководством во времена Второй мировой
войны был взломан код нацистской шифровальной машины «Эниг-
ма». Однако Тьюринг доказал, что никакой компьютер никогда не
сможет дать ответ на этот вопрос.
О ВЫЧИСЛИМЫХ ЧИСЛАХ и их
ПРИМЕНЕНИИ К ПРОБЛЕМЕ
РАЗРЕШИМОСТИ

[ПОЛУЧЕНО 28 МАЯ 1936 г,-ПРОЧИТАНО 12 НОЯБРЯ 1936 г.]

«Вычислимые» числа можно кратко описать как вещественные
числа, десятичное представление которых может быть вычислено
конечным способом. Формально предметом данной статьи являются
вычислимые числа, однако почти так же просто определить и иссле-
довать вычислимые функции целой, вещественной или вычислимой
переменной, вычислимые предикаты и т.п. Впрочем, в каждом из
этих случаев возникают одни и те же основные проблемы, и я вы-
брал для подробного рассмотрения вычислимые числа, поскольку
они требуют наименее громоздких приемов. В ближайшее время
я планирую разъяснить взаимосвязь между вычислимыми числами,
функциями и т.д. Эта работа будет включать развитие теории функ-
ций вещественной переменной в терминах вычислимых чисел. Со-
гласно моему определению, число является вычислимым, если его
десятичное представление может быть записано машиной.

В§§9и10я привожу некоторые доводы в пользу того, что вы-
числимые числа включают все числа, которые было бы естественно
относить к вычислимым. В частности, я показываю, что определен-
ные большие классы чисел являются вычислимыми. К ним относят-
ся, например, вещественные части всех алгебраических чисел, ве-
щественные части нулей функций Бесселя, числа л, е и т.д. Однако
вычислимые числа не включают все определяемые числа; приводит-
ся пример определяемого числа, не являющегося вычислимым.

Хотя класс вычислимых чисел довольно велик и во многом по-
хож на класс вещественных чисел, тем не менее он является пере-
числимым. В § 8 я исследую некоторые аргументы, которые, каза-
лось бы, доказывают обратное. При правильном применении одного
из этих аргументов получаются выводы, которые на первый взгляд
аналогичны выводам Гёделя253. Эти результаты имеют полезные
применения. В частности, показано (§ 11), что задача разрешимости
Гильберта (Еп^скеШип^зргоЫет) может не иметь решения.

253 Оос1е1, «ИЬег Гоппа! ипеЫзсйеМЬаге 8а1хе Тег РгтЛрха МаЙгетаДса ипй уегхуапсКег
8у§1ете, I», МопаКкере Ма1к. Рку$., 38 (1931).
В своей недавней статье Алонсо Чёрч254 предложил идею «эф-
фективной вычислимости», которая эквивалентна моей «вычисли-
мости», но определена совершенно иначе.

Чёрч также пришел к аналогичным выводам относительно про-
блемы разрешимости255. Доказательство эквивалентности между
«вычислимостью» и «эффективной вычислимостью» приводится
в приложении к настоящей статье.

1.	ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МАШИНЫ

Мы назвали вычислимыми те числа, десятичное представление
которых может быть вычислено за конечное число шагов. Здесь тре-
буется более подробное определение. Я не буду пытаться по-настоя-
щему объяснить даваемые определения до § 9. А пока только скажу,
что объяснение заключается в том, что человеческая память заведо-
мо ограничена.

Мы можем уподобить человека, вычисляющего вещественное
число, машине, которая может находиться только в конечном числе
состояний д7, д2,. . ., которые будем называть «^-конфигурация-
ми». Машина снабжается «лентой» (аналогом бумаги), проходящей
через нее и разделенной на отрезки (называемые «клетками»), каж-
дый из которых может содержать «символ». В каждый момент вре-
мени «в машине» находится только одна клетка, скажем, г-ая, содер-
жащая символ ®(г). Можно назвать ее «просматриваемой клеткой».
Символ, содержащийся в просматриваемой клетке, можно назвать
«просматриваемым символом». Этот «просматриваемый символ» -
единственный символ, о котором, так сказать, машина «непосред-
ственно осведомлена». Однако благодаря способности изменять свою
^-конфигурацию машина может помнить некоторые из символов, ко-
торые она «видела» (просматривала) раньше. Возможное поведение
машины в любой момент времени определяется ^-конфигурацией с[п
и просматриваемым символом ®(г). Эта пара ц , ®(г) будет назы-
ваться «конфигурацией»: таким образом, конфигурация определяет
возможное поведение машины. В некоторых конфигурациях, в кото-
рых просматриваемая клетка является пустой (не содержит символ),
машина записывает в эту клетку новый символ, в других конфигура-

254 А1оп/о СЬигсЬ, «Ап ипзоКаЫе ргоЫет оГ е1етеп!агу питЬег Йгеогу», Атепсап А.
о/МаАг., 58 (1936).

255 А1оп/о СЬигсЬ, «А по1е оп Йге Еп18с11еМип§8ргоЬ1ет>>, А. о/ЗутЪоИс Ао§гс, 1 (1936).
циях она стирает прочитанный символ. Машина может также сме-
нить клетку, которую она просматривает, но только путем сдвига на
одну ячейку вправо или влево. В дополнение к любой из этих опе-
раций можно изменить ^-конфигурацию. Некоторые из записанных
символов будут образовывать последовательность цифр, представ-
ляющую собой десятичную запись вычисляемого вещественного
числа. Другие-просто черновые записи, «помогающие запоминать».
Только эти вспомогательные записи будут подлежать стиранию.

Я полагаю, что этими операциями исчерпываются все операции,
используемые при вычислении числа. Доказать данное утверждение
будет проще, когда читатель ознакомится с теорией вычислительных
машин. Поэтому в следующем разделе я продолжу развивать эту те-
орию и буду предполагать, что читателю ясны понятия «машина»,
«лента», «просматриваемый» и т.д.

2.	ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Автоматические машины

Если на каждом этапе движение машины (в смысле, описанном
в § 1) полностью определяется конфигурацией, будем называть та-
кую машину «автоматической» (или ^-машиной).

Для достижения некоторых целей мы можем использовать маши-
ны (машины выбора или с-машины), движение которых определяет-
ся конфигурацией лишь отчасти (поэтому в § 1 используется слово
«возможное»). Когда эта машина переходит в одну из таких неод-
нозначных конфигураций, она не может продолжать работу, пока
внешний оператор не совершит некоторый произвольный выбор. Так
было бы, если бы мы использовали машины для работы с аксиома-
тическими системами. В данной статье я рассуждаю только об авто-
матических машинах и поэтому часто буду опускать префикс «а-».

Вычислительные машины

Если я-машина печатает два вида символов и при этом те, ко-
торые относятся к первому виду (называемые цифрами), состоят
только из 0 и 1 (остальные называются символами второго вида), то
машина будет называться вычислительной. Если машину снабдить
пустой лентой и привести в движение, начиная с правильной на-
чальной ^-конфигурации, подпоследовательность напечатанных ею
символов первого вида будет называться последовательностью, ко-
торая вычислена машиной. Вещественное число, двоично-десятич-
ное представление которого получено путем добавления десятичной
запятой перед этой последовательностью, называется числом, кото-
рое вычислено машиной.

Будем говорить, что на любом этапе работы машины номер про-
сматриваемой клетки, полная последовательность всех символов на
ленте и ^-конфигурация описывают полную конфигурацию на этом
этапе. Изменения машины и ленты между последовательными пол-
ными конфигурациями будем называть действиями машины.

Циклическая и ациклическая машины

Если вычислительная машина никогда не записывает больше
конечного числа символов первого вида, назовем ее циклической.
В противном случае будем называть ее ациклической.

Машина будет циклической, если она достигает конфигурации,
из которой нет ни одного возможного действия, или если она про-
должает работать и, возможно, печатает символы второго вида, но не
может напечатать больше ни одного символа первого вида. Значение
термина «циклическая» объясняется в § 8.

Вычислимые последовательности и числа

Говорят, что последовательность является вычислимой, если она
может быть вычислена ациклической машиной. Число является вы-
числимым, если оно отличается на целое число от числа, вычислен-
ного ациклической машиной.

Во избежание путаницы мы будем чаще говорить о вычислимых
последовательностях, а не о вычислимых числах.

3.	ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН

Можно спроектировать машину для вычисления последователь-
ности 010101. . . . Эта машина должна иметь четыре ^-конфигура-
ции « Ь», « С », «I», « е » и должна уметь печатать символы «0» и «1».
Поведение этой машины описывается в следующей таблице, где «Л»
означает, что «машина просматривает клетку справа от предыду-
щей». Аналогично для «А». «Е» означает, что «прочитанный сим-
вол стирается», а «Р» обозначает «печать». В данной таблице (и всех
последующих таблицах подобного рода) подразумевается, что для
конфигурации, описанной в первых двух столбцах, последовательно
выполняются операции из третьего столбца, а затем машина перехо-
дит в /77-конфигурацию, описанную в последнем столбце. Когда вто-
рой столбец пуст, это означает, что поведение, описанное в третьем
и четвертом столбцах, применяется к любому символу и при отсут-
ствии символа. Машина начинает работу с /77-конфигурации Ь с пус-
той лентой.

Конфигурация	Поведение

т-конфиг.	символ	операции	конечная т-конфиг.
Ь	Нет	Р0, К	С
С	Нет	К	е
е	Нет	Р1, К	
Г	Нет	К	ь

Мы можем существенно упростить эту таблицу, если (в отличие
от описания, приведенного в § 1) разрешим буквам А, К появляться
в столбце операций больше одного раза.

т-конфиг.	символ	операции	конечная т-конфиг.
	Нет	Р0	Ь
Ь	0	К, К, Р1	Ь
	. 1	К, К, Р0	Ь

В качестве несколько более сложного примера мы можем
спроектировать машину для вычисления последовательности
001011011101111011111... Эта машина должна уметь воспроиз-
водить пять /77-кон фигу раций, а именно «о», «р», «р», <4», «Ь»,
и печатать символы «о», «х», «0», «1». Первые три символа на ленте
будут «о о 0»; остальные цифры будут следовать через клетку. В про-
межуточных клетках никогда не печатается ничего кроме «х». Эти
символы служат для «сохранения места» и стираются, когда мы за-
кончили с ними работать. Кроме того, мы условимся, что в последо-
вательности цифр, расположенных через клетку, не будет пробелов.
Конфигурация		Поведение	
т-конфиг.	символ	операции	конечная т-конфиг.
6		Рэ, К, Рэ, К, Р0, К, К,	0
		Р0, ь, ь	
0	1	К, Рх, Ь, Ь, Ь	0
	0		Й
	Любой	к, к	сг
р	(0 или 1)		ч
	. Нет	Р\,Ь	р
	X	Е,Р	р
р	0	К	т
	- Нет	Ь,Ь	р
Г	Любой	К, К	т
	Нет	Р0, Ь, 1	0

Чтобы проиллюстрировать работу этой машины, ниже приведе-
на таблица, в которой представлены первые несколько полных кон-
фигураций. Эти полные конфигурации отображаются посредством
записи последовательности символов, которые располагаются на
ленте, вместе с ^-конфигурацией, записанной под просмотренным
символом. Последовательные полные конфигурации отделяются
двоеточием.

: э э 0 0 : 0 0 О 0 : 0 0 О 0 : 0 0 О 0	: э э 0	0 1:

бод	д	д	р

0 0 0 0 1 : 0 0 О 0 1 : о о 0 0 1: э э 0	0 1:

Р Р т	т

0000 1:090 0 1	: 00О 0 1	0:

г 0

0 0 0 0 1x0:....

о
Эта таблица может также быть записана в виде

Ь : о о о О 0: о о р О 0:...,	(С)

где слева от просматриваемого символа оставлен пробел, и на это
место записывается ^-конфигурация. Эту форму записи соблюдать
сложнее, но она нам потребуется позже для теоретических рассуж-
дений.

Соглашение о записи цифр через одну клетку очень полезно:
я буду использовать его всегда. Будем называть одну последова-
тельность чередующихся клеток К-клетками, а другую - ^-клетка-
ми. Символы в ТГ-клетках будут подлежать удалению. А символы
в У7-клетках образуют непрерывную последовательность.

До достижения конца никаких пустых клеток нет. Нет необхо-
димости иметь более одной 2Г-клетки между каждой парой К-кле-
ток: кажущуюся потребность в большем количестве ТГ-клеток можно
удовлетворить наличием достаточно богатого разнообразия симво-
лов, которые можно напечатать в 2Г-клетках. Если символ Р нахо-
дится в У7-клетке 5, а символ а - в ТГ-клетке справа от 5, то будем
говорить, что 8 и р отмечены символом а. Процесс печати символа а
будем называть пометкой Р (или 8) символом а.

4.	СОКРАЩЕННЫЕ ТАБЛИЦЫ

Существуют определенные виды процессов, используемых поч-
ти всеми машинами, и в некоторых машинах они применяются во
множестве сочетаний. К таким процессам относятся копирование
последовательности символов, сравнение последовательностей, сти-
рание всех символов определенного вида и т.п. Когда речь заходит
о таких процессах, мы можем существенно сократить таблицы для
т-кон фигу раций, используя «скелетные таблицы». В скелетных та-
блицах используются прописные готические и строчные греческие
буквы. Они похожи на «переменные». Заменяя каждую прописную
готическую букву ^-конфигурацией, а каждую строчную грече-
скую - символом, мы получаем таблицу для ^-конфигурации.

Скелетные таблицы следует рассматривать как сокращения: они
не являются обязательными. Если читатель понимает, как получить
полные таблицы из скелетных, нет необходимости давать в этой свя-
зи какие-либо точные определения.

Рассмотрим пример:
т-конфиг.	Символ	Поведение	Конечная т-конфиг.	
Т(ад«) -	0	Ь	г (ад а)	Из /77-конфигура- ции
	не а	ь	т(ада)	машина находит символ вида а,
				
	а			который является самым первым
Г (ад а) .	не а	к	г (ад а)	слева («первый а»),
				после этого /77-кон-
	Нет	к		фигурацией стано- вится ®. Если а
	а			отсутствует, то  ^-конфигурацией
шм-	не а	к	г (ад а)	становится •
	Нет	к	93	

Если мы всюду заменим © на р (например), на г, а а на х, то
получим полную таблицу для ^-конфигурации Г, х). называ-
ется «функцией /77-конфигурации», или «/77-функцией».

Единственными выражениями, которые разрешается подстав-
лять в /77-функцию, являются /77-конфигурации и символы машины.
Они должны быть перечислены более или менее явно: Они могут
включать такие выражения, как р(с,х); на самом деле должны, если
вообще имеются хоть какие-то /77-функции. Если бы мы не настаи-
вали на таком явном перечислении, а просто объявили, что машина
имеет определенные /77-конфигурации (перечисленные) и все /77-кон-
фигурации, получаемые путем подстановки /77-конфигураций в опре-
деленные /77-функции, мы бы получили бесконечное число /77-конфи-
гураций. Например, мы могли бы сказать, что машина должна иметь
/77-конфигурацию р и все /77-конфигурации, получаемые путем под-
становки /77-конфигу рации © в р(®). Тогда она должна иметь в ка-
честве /77-кон фигу раций р, р(р), р(р(р)), р(р(р(й))), • • •

Тогда наше правило интерпретации таково. Нам даны имена
/77-конф игу раций машины, выраженные, главным образом, в терми-
нах /77-функций. В нашем распоряжении также имеются скелетные
таблицы. Все, что нам нужно, - это полная таблица /77-конфигураций
машины. Она получается посредством многократной подстановки
в скелетные таблицы.
Дополнительные примеры.

(В пояснениях символ «—»> заменяет фразу «машина переходит
в /77-конф игу рацию...»)

е(®, 93, ос)	(К, 93, ос), 93, ос) Из е(®, 93, ос) первая буква

еЦ®, 23, а) е	®	а стирается, и —> ®. Если а отсутствует, —> 93 •

е (93, ос) е(е(К, 93, ос), 93, ос) Из е (93, ос) все буквы а

	стираются, и —> 93.

Последний пример кажется несколько более трудным для понима-
ния, чем большинство других. Предположим, что в списке ^-конфи-
гураций некоторой машины отображается е(Ь, х) (= р, например).
Ее таблица:

е(Ь, х)	е(е(Ь, х),Ь, х)
или	д	е (д, Ь, х).

Или более подробно:

9	е (д, Ь, х)
е(д, 6, х)	Т(еДд, 6, х), 6, х)
еЦд, 6, х)	Е	Ч-

Здесь мы могли бы заменить С । (р, Ь, х) на с/, а затем задать таб-
лицу для (с правильными подстановками) и в конечном итоге по-
лучить таблицу, в которой нет /77-функций.

ММ	фе1(М), с )

г Любой Д К  ММ -  Мет	Р р  1($)	Ь	Р) Из ре(®,Р) машина печатает р в конце ®	последовательности  символов, и —> ®.
Д©)	к	©	Из ^'(©,23, ос) она выполняет то же, что и для ^(©, 23, ос), но перемещается влево перед тем, как —> ©.

Г (©,93, а)	ТД©)/Да)

над«)	ивм

с(©,93,а)	Г(С1ВМ	С (©,23, ос) Машина записывает в конце первый символ, отме- ченный а, и —> ©.

С1(®)	р ре(©,р)

Последняя строка обозначает все множество строк, получаемых
из нее заменой р любым символом, который может встретиться на
ленте данной машины.

се (©, 93, а)	с (е (©,93, а), 93, а)  се (93, а)	се (се (93, а), 93, а)	се (23, ос) Машина копирует по по- рядку с конца все символы, отме- ченные а, и стирает буквы а; —> 83.
ге(©,93, а, р)	^(ГС1 (©,93, а, р), 93, а)  гег(©,93, а, р) Е,Р&	ге(©,23, ос, р)  Машина заменяет первую а на р, и —> ©; —> 83, если а отсутствует.
ге( 93, а, Р)	ге(ге(93, а, р), 93, а, р)	ге(83, ос, р)  Машина заменяет все буквы а на Р;  23
сг (©, 23, а)

сг (23, а)

с (ге (©, а, Р, а), 23, а) сг (23, ос) отлича-
ется от се (93, ос)
только тем, что
сг(сг(р, а), ге (93, а, ос), ос) буквы а не стира-
ются. т-кон фигу-
рация сг (93, ос) воз-
никает, когда на
ленте нет букв «а».

ср(ад@, а, Р)
срДЗДР)	У

ср2(®,?Х, у) |

Цср^ОЬЖ @,р),а)
Цср2(®, 21, у), 21, р)

21.

Сравниваются первый символ, отмеченный а, и первый символ,
отмеченный р. Если нет ни а, ни р, —> @. Если имеются оба символа
и они одинаковы, —> С. В противном случае —> 21.

сре(@, 21, @,а,р)

ср(е(е($,	р), а) 21, @, а, р)

сре(@, 21, @, ос, Р) отличается от ср(®, 21, @, ос, Р) тем, что в слу-
чае одинаковых символов первые аир стираются.

сре(21, @,ос, р)	сре(сре(21, ®, ос, р), 21, ®, ос, р).

Оре (21, @, ос, Р). Последовательность символов, отмеченных а,
сравнивается с последовательностью символов, отмеченных р. Если
они идентичны, —> @. В противном случае —> 21 • Некоторые из сим-
волов аир стираются.

о	Любой	к	Ф)	р(®, ос). Машина
	Нет	к	а,(й)э	находит послед- ний символ вида а^
				
				
	г Любой	к	Ф)	
	Нет		К	

р(®, ос)

<1(М1 (®, а))
41 (®, а)  ре 2 (©, а, Р)	а  не а	Т	ре(ре(®, р) а)	ре2(®, ос, р).  Машина печатает а Р в конце.
ее 2 (93, а, р)			се (се (93, Р), а)	се3(93, а, р, у).
се3(93, а, р, у)			се (се 2 (93, р, у), а)	Машина копирует в конец первый символ, отмечен- ный а, затем сим- вол, отмеченный р, и, наконец, сим- вол, отмеченный у; символы а, Р, у стираются.
	0	К	61 (®)	Из е(®) со всех
е(®)	не о	Т	е(®)	отмеченных сим- волов стираются
61 (®)	Любой К, Е, К Нет		61 (®)	отметки. —> ®.

5.	ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ ВЫЧИСЛИМЫХ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Вычислимая последовательность у определяется описанием ма-
шины, которая вычисляет у. Таким образом, последовательность
001011011101111. . . задается таблицей, которую вы видите выше,
и фактически любая вычислимая последовательность может быть
описана такой таблицей.

Имеет смысл привести эти таблицы к некоторому стандартному
виду. Первым делом предположим, что таблица задается в том же
виде, что и первая таблица, например таблица I на стр. 763. То есть
элемент в столбце операций всегда принимает одну из форм Е : Е,
К : Е, Ь : Ра : Ра, К : Ра, Ь : К : Ь : или вообще отсутствует. Табли-
ца всегда может быть приведена к такому виду посредством введе-
ния дополнительных ^-конфигураций. Теперь давайте пронумеру-
ем /77-кон фигу рации и назовем их с/р . . . , ^, как в § 1. Начальная
/77-конф игу рация всегда будет называться др Мы также пронумеруем
символы 5р . . ., 8т и, в частности, пробел = У(), 0 = 5р 1 = 52. Строки
таблицы теперь имеют вид:

т-конфиг.	Символ	Операции  Р8кЛ Р8к,К  Р^к	Конечная т-конфиг.  Фп чт <1т	(М) оу
			
ф	у			
ф	у			
			
Строки вида			
Ф должны записываться как		Е,К	Фп
Ф		Р80,К	Рп
а строки вида			
Ф должны записываться как		К	Фп
Ф		РР. К	Рп

Таким образом, мы приводим каждую строку таблицы к одному
из следующих видов: (ТУД (ТУ2), (ТУ3).

Из каждой строки вида (ТУХ) составляем выражение д1 8^ 8к Ьд^
из каждой строки вида (ТУ2) составляем выражение д1 8. 8к Кдт; из
каждой строки вида (ТУ3) составляем выражение д- 8к ^т.

Выпишем все выражения, составленные из таблицы машины,
разделив их точками с запятой. Таким образом мы получаем полное
описание машины. В этом описании мы заменим д1 буквой «Р», за
которой следует буква «Л», повторенная / раз, а 8. - буквой «Р», за
которой следует буква «С», повторенная у раз. Это новое описание
машины можно назвать стандартным описанием (СО). Оно состоит
только из букв «Л», «С», «Р», «А», «Л», «ТУ» и знака препинания «;».

Если, наконец, мы заменим «Л» цифрой «1», «С» - «2», «Л» -
«3», «А» - «4», «Л» - «5», «ТУ» - «6» и «;» - «7», то получим описание
машины в виде арабских цифр. Целое число, записанное с помощью
этих цифр, можно называть описательным номером (ОН) машины.
ОН однозначно определяет СО и структуру машины. Машину с ОН
п можно описать как М,(и).

Каждой вычислимой последовательности соответствует хотя бы
один описательный номер, при этом ни одному описательному номе-
ру не соответствует больше одной вычислимой последовательности.
Следовательно, вычислимые последовательности и описательные
номера являются перечислимыми.

Найдем описательный номер для машины I из § 3. После переи-
менования т-кон фигураций ее таблица будет выглядеть следующим
образом:

<71	*$0	Р8г,К	‘У 2
	$0		<?3
<?3	$0	Р82,К	
<74	*$0	Р80,К	

Другие таблицы можно было бы получить, добавляя не имею-
щие значения строки, такие как

<71





^2

Наша первая стандартная форма была бы

(7 1	2 ’	^7 2^0^0^7 3 ’	<7 3^0^2^<7 4 ’



Стандартное описание:

ШВВСЯШЛ; ВААВВПВААА;

ВАААВВССКВАААА; ВААААВВКВА;

Описательный номер:

31332531173113353111731113322531111731111335317

а также

3133253117311335311173111332253111173111133531731323253117

Номер, являющийся описательным номером ациклической ма-
шины, будем называть приемлемым номером. В § 8 показано, что не
существует общего процесса, позволяющего определить, является
данный номер приемлемым или нет.
6.	УНИВЕРСАЛЬНАЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ
МАШИНА

Можно создать одну машину, пригодную для вычисления любой
вычислимой последовательности. Если предоставить этой машине
ленту, в начале которой написано СО некоторой вычислительной ма-
шины Л1, то будет вычислять такую же последовательность, что и
Л1. В этом разделе я в общих чертах объясняю поведение машины.
Следующий раздел посвящен описанию полной таблицы для

Сначала предположим, что у нас имеется машина Л1/, которая
запишет в К-клетки последовательные полные конфигурации ЛЕ Их
можно представить в том же виде, как и на с. 765, используя второе
описание, (С), где все символы записаны в одной строке. Или луч-
ше преобразовать это описание (как в § 5), заменив каждую ^-кон-
фигурацию буквой «Р», за которой следует буква «Л», повторенная
соответствующее число раз, и заменив каждый символ буквой «Р»,
за которой следует буква «С», повторенная соответствующее число
раз. Количество букв «Л» и «С» должно соответствовать числам, вы-
бранным в § 5, чтобы, в частности, «О» был заменен буквами «РС»,
«1» - «ВСС», а пробелы - «Р». Эти замены необходимо делать после
компоновки полных конфигураций, как в (С). Если сделать замены
сначала, то возникают трудности. В каждой полной конфигурации
все пробелы будут заменены буквой «Р», так что эта полная конфи-
гурация не будет представлена в виде конечной последовательности
символов.

Если в описании машины II из § 3 заменить «о» на «РЛЛ», «о»
на «ВССС», «ср на «РЛЛЛ», то последовательность (С) примет вид:

РЛ : РСССРСССРЛЛРСРРС : РСССРСССРЛЛЛРСРРС :. . . (Ц)

(Это последовательность символов в Р-клетках.)

Нетрудно заметить, что если можно построить Л1, то можно по-
строить и ЛЕ. Можно сделать так, что поведение машины ЛЕ будет
зависеть от правил работы (т.е. СО) Л1, записанных где-то внутри
нее самой (т.е. внутри ЛЕ); каждый шаг мог бы выполняться в соот-
ветствии с этими правилами. Если представить, что правила можно
извлечь и заменить другими, то мы получаем нечто похожее на уни-
версальную машину.

Не хватает одной вещи: в настоящий момент машина ЛЕ не печа-
тает никаких цифр. Мы можем это исправить, печатая между каждой
последовательной парой полных конфигураций цифры, которые по-
являются в новой конфигурации, но отсутствуют в старой. Тогда вы-
ражение (Сх) становится следующим:

ББА : 0 : 0 : ВСССВСССШЛПСППС : БССС. . . .	(С2)

Не вполне очевидно, что Е'-клетки оставляют достаточно воз-
можностей для необходимой «черновой работы», но это действи-
тельно так.

Последовательности букв между двоеточиями в таких выра-
жениях, как (СД могут использоваться как стандартные описания
полных конфигураций. Если буквы заменить цифрами, как в § 5, мы
получим числовое описание полной конфигурации, которое можно
назвать ее описательным номером.

7.	ПОДРОБНОЕ ОПИСАНИЕ
УНИВЕРСАЛЬНОЙ МАШИНЫ

Ниже приведена таблица поведения этой универсальной маши-
ны. Возможные /77-кон фигу рации машины-те, которые появляются
в первом и последнем столбцах таблицы, а также те, которые появ-
ляются, когда мы выписываем несокращенные таблицы тех, которые
появляются в таблице в виде /77-функций. Например, е(ап^) отобра-
жается в таблице и является /77-функцией. Ее несокращенная таблица
(см. с. 769-770):

	0	к	С| (апг,
с(аит)	Не а	1	е(ап^)
	Любой	К,Е,К	еЦапТ;
еЦап^) -	Нет		ап^
			

Следовательно, С । (ап^) - это /77-конфигурация

Когда готова начать работу, на проходящей через нее ленте на-
несен символ о в У7-клетке и еще один символ о в следующей ТГ-клет-
ке; далее, только в К-клетках, идет СО машины, за которым следует
двойное двоеточие «::» (один символ, в К-клетке). СО состоит из
множества команд, разделенных точками с запятой.
Каждая команда состоит из пяти следующих друг за другом
частей

(1) «Р» и за ней последовательность букв «Л». Описывает соот-
ветствующую т-кон фигу рацию.

(1) «Р» и за ней последовательность букв «С». Описывает чита-
емый символ.

(Й1) «Р» и за ней другая последовательность букв «С». Описыва-
ет символ, на который должен быть заменен читаемый символ.

(1у) «А», «Л» или «ТУ», описывающие, куда должна переместить-
ся машина: влево, вправо или должна остаться на месте.

(у) «Р» и за ней последовательность букв «А». Описывает конеч-
ную т-кон фигурацию.

Машина должна уметь печатать символы «А», «С», «В», «О»,
«1», «и», «у», «ю>, «х», «у», «7». Ее СО составляется из «;», «Л», «С»,
«Р», «А», «Л», «ТУ».

Вспомогательная скелетная таблица.

соп(®, а) -	гНеЛ  -А	К, К  Ь, Ра, К	соп(®, а)  сопД®, а)
	Д	К, Ра, К	сопД®, а)
соп^®, а) .	О	К, Ра, К	соп2(®, а]
	с	К, Ра, К	соп2(®, а]
соп2(®, а) '	Не С	К, К	

соп(®, ос) е Начиная
с К-клетки, напри-
мер 5, последова-
тельность С симво-
лов, описывающих
конфигурацию, бли-
жайшую справа к 5,
отмечается буквами
а. —> С.

соп(®, ). В заклю-
чительной конфигу-
рации машина про-
сматривает клетку,
находящуюся на
четыре клетки пра-
вее последней клет-
ки с С. С остается
без пометки.
Таблица для .

ь	КЬ1,ьь::)	Ь. Машина печатает
к, к, Р к, к, РО, к, К, РА	ант	: БА в У7-клетках после :: —> ап^.
ап^		ап^. Машина отме- чает конфигурацию
апТ1	соп(!опт, у)	в последней полной конфигурации с у.  Ели.

Ели

7

нет 7 ни;

Я, Рх. Ь соп(ЙТф, х)

А, А	Ьт

Ь	Ьш

йгф сре(е(Ьлп, х,у), §ип, х, у)

^ОШ. Машина нахо-
дит последнюю
точку с запятой, не
отмеченную бук-
вой х. Она отмечает
эту точку с запятой
буквой х. а следую-
щую за ней конфигу-
рацию - буквой х.

^шр. Машина срав-
нивает последова-
тельности, отмечен-
ные буквами хи у.
Она стирает все
буквы х и у. —>	,

если они совпадают.
В противном случае
-> Ьш.

ап^. Если забежать вперед, найдена заключительная команда,
соответствующая последней конфигурации. Ее можно впоследствии
распознать как команду, которая следует за последней точкой с запя-
той, отмеченной х. §гт.
§гш		Цёйгц, ёгт!, 2)		. Машина раз-
§1т2  §гт3	А  не А  не А  А	А, Ри, Р, Р, Р  ЦРу  А, Ру, Р, Р, Р	соп(§гт2)  §гт3  §гт2  е(т!, 2)  §гт3	мечает команды. Та часть команды, которая относится к действиям, кото- рые следует выполнить, отме- чается буквой и, а заключительная /77-конф и ту рация - буквой у. Буквы 7 стираются.
т!  ш!2  тГ3  т!4  тГ5	г не А  .А  Г с  в  г не :  г Любой  Нет	чИ1Э  К, К	т?!  ДДДД	тГ2  К,Рх,Ь,Ь,Ь	ШЬ  тЦ  К,Рх,Ь,Ь,Ь	тЬ  К,Рх,Ь,Ь,Ь	т?з  т?4  соп(1(1(пг15)),)  К, Рч>, К	т?5  Р:		пЛ. Последняя полная конфигура- ция разбивается на четыре части.  Конфигурация остается без отметки.  Предшествующий ей символ отмеча- ется буквой X. Оставшаяся часть полной конфигура- ции делится на две части, первая из которых отмечает- ся буквой V, а вто- рая - буквой гг. После всего этого печатается двоето- чие. —>	.
	и)	. Проверяются
		команды (отме-
	Ь,Ь,1	ченные буквой и).
		Если среди них
г о	К, К, К, К	найдено
-42	2,. 21	«Печатать 0» или
не Р	т&1	«Печатать 1», то
г с	К, К	Д)4	в конце печатается
		0 : или 1 :.
не С	ТПё±	
г С	К, К	
^^4		
не С	ре2(т§1, 0,:)	
Г С	т§1	
		
не С	ре2(т^, 1,:)	
гп§1	рДтпё^), и)	. Записыва-
		ется следующая
тпё!!	а	к,Е	ш§Ь(а)	полная конфигура-
		ция, содержащая
тпёЬ (Е)	се 5 (оЬ, V, у, х, и, те)	отмеченные коман-
		ды. Буквы и, у, щ
тпёЬ (К)	се 5 (оЬ, V, х, и, у, те)	х, у стираются.
		ап^
ТПё!! (№)	се 5 (оЬ, V, х, у, и, те)	
00	е(апт)	

8.	ПРИМЕНЕНИЕ ДИАГОНАЛЬНОГО ПРОЦЕССА

Может показаться, что аргументы, доказывающие, что действи-
тельные числа не являются перечислимыми, также доказывают, что
вычислимые числа и последовательности не могут быть перечисли-
мыми256. Можно, например, предположить, что предел последова-
тельности вычислимых чисел должен быть вычислимым. Очевидно,
что это справедливо только в том случае, если последовательность
вычислимых чисел задана с помощью некоторого правила.

Или мы можем применить диагональный процесс. «Если вы-
числимые последовательности являются перечислимыми, то пусть
а ? - /7-я вычислимая последовательность, а - /77-ая цифра по-
следовательности а^. Пусть р - последовательность с /7-й цифрой
1 - ф (и). Поскольку р является вычислимой, существует номер К,
такой что 1 - ф (и) = ф^(/7) для всех п. Полагая п = К. мы имеем
1 = 2ф^(Х), т.е. 1 - четное число. Это невозможно. Следовательно,
вычислимые последовательности не являются перечислимыми».

Ошибка этого доказательства кроется в предположении, что Р
является вычислимой. Оно было бы верным, если бы мы могли пе-
речислить вычислимые последовательности конечным образом, но
задача перечисления вычислимых последовательностей равносиль-
на задаче выяснения, является ли данное число ОН ациклической
машины, а у нас нет общего процесса, позволяющего сделать это за
конечное число шагов. На самом деле, правильно применив доказа-
тельство на основе диагонального процесса, мы можем показать, что
такого общего процесса не существует.

Простейшее и самое прямое доказательство этого заключается
в том, чтобы показать, что если такой общий процесс существует, то
существует машина, которая вычисляет р. Это доказательство хоро-
шо звучит, однако имеет недостаток, поскольку может вызвать у чи-
тателя ощущение, что «здесь что-то не так». Доказательство, кото-
рое я приведу, лишено этого недостатка и дает некоторое понимание
важности идеи «ацикличности». Оно опирается не на построение Р,
а на построение последовательности Р', /7-я цифра которой-ф^я).

Предположим, что такой процесс существует; то есть мы можем
создать машину 3, которая, если ей предоставить СО любой вы-
числительной машины Ж, будет проверять это СО и, если Ж яв-
ляется циклической, будет отмечать это СО символом «г/», а если
она является ациклической, то символом «5». Объединив машины
Э и °И, мы можем построить машину Ж для вычисления последова-
тельности Р'. Для машины 3 может требоваться лента. Мы можем
предположить, что она использует Е’-клетки помимо всех символов

256 См. НоЬзоп, Ткеогу о//ипсйопз о/а геа! гапаЫе (2-е изд., 1921),
87, 88.
в У7-клетках и что, когда она выносит свое решение, все черновые
операции, выполненные машиной 3, стираются.

Движение машины Ж поделено на ТУ - 1 участков. На первых
участках, помимо прочего, машиной 3 были записаны и проверены
целые числа 1,2, .... ТУ- 1. Было обнаружено, что некоторое их ко-
личество, например Л(ТУ- 1), являются ОН ациклических машин. На
ТУ-ом участке машина 3) проверяет число ТУ. Если ТУ - приемлемое,
то есть если оно является ОН ациклической машины, то 7?(ТУ) = 1 +
+ Л(ТУ-1) и вычисляются первые 7?(ТУ) цифр последовательности, ОН
которой равен ТУ. Л(ТУ)-я цифра этой последовательности записывает-
ся как одна из цифр последовательности Р', вычисленной Ж. Если ТУ
является неприемлемым, то А(А) = Л(ТУ- 1) и машина переходит на
(ТУ + 1)-й участок своего движения.

Из построения машины Ж можно увидеть, что она является
ациклической. Каждый участок движения Ж заканчивается через
конечное число шагов. Или, согласно нашему предположению о 9)
, решение о том, является ли ТУ приемлемым, выносится за конеч-
ное число шагов. Если ТУ неприемлемо, то ТУ-й участок завершается.
Если ТУ приемлемо, это означает, что машина Ж (ТУ) с ОН, равным
ТУ, является ациклической, и, следовательно, ее Л(А)-я цифра может
быть вычислена за конечное число шагов. Когда эта цифра была вы-
числена и записана какЛ(А)-я цифра машины Ж7, ТУ-й участок завер-
шается. Следовательно, Ж - ациклическая.

Теперь пусть К будет ОН машины Ж. Что Ж делает на К-м учас-
ток своего движения? Она должна проверить, является ли К приемле-
мым, и принять решение: «5» или «и». Поскольку К является ОН ма-
шины Ж и Ж является ациклической, решением не может быть «и».
С другой стороны, решением не может быть «5». Поскольку, если бы
это было так, то на А-ом участке своего движения Н должна была бы
вычислить первые К(К-1) + 1 = К(К) цифр последовательности, вычис-
ленной машиной с А? в качестве ОН, и записать К(К)-ю цифру как циф-
ру последовательности, вычисленной Ж. Вычисление первых К(К) - 1
цифр было бы выполнено хорошо, но команды для вычисления А(Х)-й
были бы равносильны следующему: «вычислить первые /?(А) цифр,
вычисленных Н. и записать А(Х)-ю». Эта /?(А)-я цифра никогда не была
бы найдена. То есть Ж - циклическая, что противоречит тому, что мы
выяснили в последнем абзаце, и решению «5». Таким образом, оба ре-
шения невозможны, и мы заключаем, что машины 3 не может быть.

Далее можно показать, что не может быть машины кото-
рая, получив СО произвольной машины Ж, будет определять, напе-
чатает ли когда-либо М, заданный символ (например, 0).
Сначала покажем, что если существует машина %, то существует
общий процесс, позволяющий определить, печатает ли данная ма-
шина М, символ 0 бесконечное число раз. Пусть Л/Ц - машина, пе-
чатающая такую же последовательность, что и Ж, за одним исклю-
чением: на том месте, где М, печатает первый О, Л/Ц печатает 0. Ж2
печатает 0 на месте первых двух символов 0, и т.д. Таким образом,
если М, должна напечатать

А В А 0 1 А А ВО 0 1 О А В. . .,

То .Т1| напечатала бы _

АВА 0 1 ААВОО 1 ОАВ. . .

А Ж 2 напечатала бы_

АВА 0 1 ААВ 0 0 1 ОАВ. . . .

Теперь пусть 3? - машина, которая при получении СО М, будет
последовательно записывать СО Ж, Ж1? Ж2, . . . (такая машина су-
ществует). Объединим ^и ? и получим новую машину -	. При

движении сначала используется 3? для записи СО машины Ж,
затем % его проверяет, : 0 : печатается, если обнаружено, что Ж ни-
когда не печатает 0; затем & печатает СО машины Ж1? оно проверя-
ется,: 0 : печатается в том и только в том случае, если Л/Ц никогда не
печатает 0, и т.д. Теперь проверим с помощью Чо. Если оказалось,
что никогда не печатает 0, то Ж печатает 0 бесконечное число раз;
если О печатает 0 иногда, то Ж не печатает 0 бесконечное число раз.

Аналогично можно показать, что существует общий процесс,
позволяющий определить, печатает ли Ж бесконечное число раз
символ 1. Объединив эти процессы, мы получаем процесс, позво-
ляющий определить, печатает ли Ж бесконечное число цифр, т.е.
мы получим процесс для определения, является ли Ж ациклической.
Поэтому машина % не существует.

Выражение «существует общий процесс, позволяющий опреде-
лить. . .» использовалось в этом разделе как эквивалент выражения
«существует машина, которая определит. . . ». Такое использование
оправдано в том и только в том случае, если мы можем объяснить
наше определение «вычислимости». Задачи для каждого из этих «об-
щих процессов» можно свести к задаче об общем процессе, позволя-
ющем определить, обладает ли данное целое число п свойством &(п)
(например, может означать, что «п является приемлемым» или
«п является гёделевским представлением доказуемой формулы»),
и это эквивалентно вычислению числа, /7-я цифра которого 1, если
истинно, и 0, если ложно.
9.	ПРОСТРАНСТВО ВЫЧИСЛИМЫХ ЧИСЕЛ

Еще не было ни одной попытки показать, что «вычислимые»
числа включают все числа, которые естественно было бы считать
вычислимыми. Все аргументы, которые можно привести, вынужде-
ны в основном обращаться к интуиции и поэтому довольно неудов-
летворительны с математической точки зрения. На самом деле перед
нами стоит вопрос: «каковы возможные процессы, которые могут
выполняться при вычислении числа?”

Я буду использовать аргументы трех видов.

(а) Непосредственное обращение к интуиции.

(й) Доказательство эквивалентности двух определений (в случае,
если новое определение интуитивно более привлекательно).

(с) Примеры больших классов чисел, являющихся вычислимыми.
Если допустить, что все вычислимые числа «вычислимы», из этого
следует еще несколько утверждений того же характера. В частности,
из этого следует, что если существует общий процесс, позволяющий
определить, доказуема ли формула гильбертова функционального ис-
числения, то процедура определения может быть выполнена машиной.

I. [Тип (а)].

Этот аргумент - лишь развитие идей, изложенных в § 1.

Вычисление обычно выполняется путем написания определен-
ных символов на бумаге. Мы можем предположить, что этот лист
бумаги разделен на клетки, как в ученической тетради. В элементар-
ной арифметике иногда используется двухмерность листа бумаги.
Но такого использования всегда можно избежать, и, я думаю, все со-
гласятся, что двухмерность бумаги несущественна для вычислений.
Тогда я предполагаю, что вычисление выполняется на одномерной
бумаге, то есть на ленте, разделенной на клетки. Я также предполо-
жу, что число символов, которые можно печатать, конечно. Если бы
мы допустили возможность печатать бесконечное число символов,
то существовали бы символы, отличающиеся в произвольно малой
степени257. Влияние этого ограничения на количество символов не

257 Если считать символом то, что печатается в клетке, можно предположить, что
клетка: 0<х<1,0<х< 1. Символ задается как набор точек в этой клетке, т.е. множе-
ство, заполненное типографской краской. Если эти множества являются измеримыми, мы
можем ввести «расстояние» между двумя символами как стоимость преобразования одного
символа в другой, если стоимость перемещения единицы площади типографской краски на
единицу расстояния принять равной единице, и при наличии бесконечного запаса чернил
при х = 2, у = 0. При такой топологии символы образуют условно компактное пространство.
очень велико. Всегда можно использовать последовательности сим-
волов вместо отдельных символов. Так, арабское число, например 17
или 999999999999999, обычно считается отдельным символом. Ана-
логично, в любом европейском языке слова рассматриваются как
отдельные символы (а в китайском языке пытаются использовать
счетную бесконечность символов). С нашей точки зрения, разница
между отдельными и составными символами заключается в том,
что составные символы, если они слишком длинны, невозможно
охватить одним взглядом. Это согласуется с нашим опытом. Мы
не можем с ходу сказать, одинаковы ли числа 9999999999999999
и 999999999999999.

Поведение вычислителя в любой момент определяется символа-
ми, которые он «просматривает», и его «состоянием» в этот момент.
Мы можем предположить, что количество символов или клеток, ко-
торые может просматривать вычислитель в каждый момент време-
ни, ограничено числом В. Если ему требуется просмотреть больше,
он должен использовать последовательные просмотры. Мы также
предположим, что число состояний, которые необходимо учитывать,
конечно. Причины этого - того же характера, что и ограничения на
количество символов. Если допустить бесконечное число состояний,
некоторые из них будут «произвольно близки» и вызовут путаницу.
Вновь, это ограничение не относится к тем, которые существенно
влияют на вычисление, поскольку использования более сложных со-
стояний можно избежать, записывая больше символов на ленту.

Представим, что операции, выполняемые вычислителем, разбиты
на «простые операции», которые настолько элементарны, что даль-
нейшее их дробление трудно представить. Каждая такая операция
заключается в некотором изменении физической системы, состоя-
щей из вычислителя и его ленты. Мы знаем состояние этой системы,
если знаем последовательность символов на ленте, то, какие из этих
символов просматривает вычислитель (возможно, в определенном
порядке), и состояние вычислителя. Мы можем предположить, что
в результате выполнения простой операции изменяется не более од-
ного символа. Любые другие изменения можно разбить на простые
изменения такого вида. Ситуация с клетками, символы в которых мо-
гут быть изменены таким образом, аналогична ситуации с клетками,
которые «просматривает» вычислитель. Следовательно, без потери
общности можно предположить, что клетки, символы в которых из-
меняются, всегда являются «просматриваемыми» клетками.

Помимо такого изменения символов простые операции должны
включать изменение распределения просматриваемых клеток. Но-
вые просматриваемые клетки должны сразу распознаваться вычис-
лителем. Думаю, логично предположить, что к ним относятся только
те клетки, расстояние от которых до ближайших просматриваемых
непосредственно до этого клеток не превышает определенной фик-
сированной величины. Будем говорить, что каждая из новых просма-
триваемых клеток находится в пределах А клеток от клетки, просмо-
тренной непосредственно до этого.

В связи с «немедленным распознаванием» можно считать, что
существуют и другие виды клеток, которые немедленно распозна-
ются. В частности, клетки, отмеченные особыми символами, могут
считаться немедленно распознаваемыми. Теперь, если эти клетки
отмечаются только одиночными символами, может существовать
только конечное их число. И нам не следует нарушать свою теорию,
присоединяя эти отмеченные клетки к просматриваемым. С другой
стороны, если они отмечены последовательностью символов, мы не
можем считать этот процесс распознавания простым. Этот момент
очень важен и должен быть проиллюстрирован. В большинстве ма-
тематических статей уравнения и теоремы пронумерованы. Обычно
эти номера не выходят за пределы (скажем) 1000. Поэтому теорему
можно сразу распознать по ее номеру. Но, если бы статья была очень
длинной, мы могли бы дойти до теоремы 157767733443477; затем,
далее в этой статье, мы могли бы встретить фразу «... отсюда мы
имеем (применяя теорему 157767733443477). . .». Чтобы убедиться,
какая это была теорема, мы должны сравнить эти два номера циф-
ра за цифрой, возможно, вычеркивая цифры карандашом, чтобы не
учесть их дважды. Если, несмотря на это, все же есть основания по-
лагать, что существуют другие «немедленно распознаваемые» клет-
ки, это не разрушает мою аргументацию до тех пор, пока эти клетки
можно найти с помощью некоторого процесса, поддерживаемого
моей машиной. Эта идея развивается далее в пункте III.

Поэтому простые операции должны включать:

(а)	Изменение символа в одной из просматриваемых клеток.

(6)	Смену одной из просматриваемых клеток на другую клетку
в пределах А клеток от одной из просмотренных до этого клеток.

Может случиться так, что некоторые из этих изменений нераз-
рывно связаны с изменением состояния. Поэтому в качестве самой
общей отдельной операции следует взять одну из следующих:

(А)	Возможное изменение (а) символа в сочетании с возможным
изменением состояния.

(В)	Возможное изменение (6) просматриваемых клеток в сочета-
нии с возможным изменением состояния.
То, какая именно операция фактически выполняется, зависит от
состояния вычислителя и просматриваемых символов. В частности,
от этих компонентов зависит состояние вычислителя после выпол-
нения операции.

Теперь мы можем спроектировать машину, выполняющую функ-
ции такого вычислителя. Каждому состоянию вычислителя соответ-
ствует «^-конфигурация» машины. Машина просматривает В кле-
ток, соответствующих В клеткам, просматриваемым вычислителем.
При любом перемещении машина может изменить символ в просма-
триваемой клетке или сменить любую из просматриваемых клеток
на другую клетку, находящуюся на расстоянии не более А клеток от
одной из других просматриваемых клеток. Выполняемое перемеще-
ние и последующая конфигурация определяются просматриваемым
символом и ^-конфигурацией. Машины, описанные только что, поч-
ти не отличаются от вычислительных машин, определение которых
дано в § 2, и для любой машины этого типа можно создать вычисли-
тельную машину, вычисляющую ту же последовательность, то есть
последовательность, вычисляемую вычислителем.

II.	[Тип (Ь)].

Если изменить систему обозначений функционального исчисле-
ния Гильберта258 так, чтобы она стала систематической и включала
только конечное число символов, становится возможным создать ав-
томатическую259 машину Ж, которая найдет все доказуемые форму-
лы этого исчисления260.

Теперь пусть а - последовательность, и обозначим Са (х) вы-
сказывание «х-й символ а есть 1», так чтобы261 —Са(х) означало
«х-й символ а есть 0». Далее предположим, что мы можем найти ряд
свойств, которые определяют последовательность а и могут быть
выражены через Са(х) и логические функции 7У(х), означающие,

258 Выражение «функциональное исчисление» используется всюду в смысле огра-
ниченного функционального исчисления Гильберта.

259 Чтобы сделать это, наиболее естественно было бы создать сначала машину для
выбора (§ 2). А потом уже легко создать требуемую автоматическую машину. Мы можем
предположить, что выбор - это всегда выбор между двумя возможностями: 0 или 1. Тог-
да каждое доказательство будет определяться последовательностью выборов /р /2, . . . ,
/ 01 = 0 или 1,72 = 0 или 1? • • • = 0 или и’ следовательно, число 2" +	~1 + /2 2" “ 2 +

. . . + I полностью определяет доказательство. Автоматическая машина последовательно
выполняет доказательство 1, доказательство 2, доказательство 3, . . . .

260 Автор нашел описание такой машины.

261 Знак отрицания пишется перед выражением, а не над ним.
что «х - неотрицательное целое число», и В(х, у), означающие, что
«у = х + 1». Когда мы конъюнктивно соединим все эти формулы, мы
получим формулу, назовем ее Л, которая определяет а. Элементы А
должны включать необходимые фрагменты аксиом Пеано, а именно:

(Эи) Щи) & (х) (ТУ (х)	(Зу) Р (х, у))&(р(х,у)	М (у)),

которые мы обозначим Р.

Когда мы говорим « 21 определяет а», мы подразумеваем, что - 21
не является доказуемой формулой, а также что для каждого п одна из
следующих формул (Л ) или (В^ доказуема.

(Л)262

(вп),

где означает Р(и, и') & Р(и\ и") & ... Р(и^Г1~1\

Тогда я говорю, что а-вычислимая последовательность: маши-
ну а для вычисления а можно получить путем достаточно простой
модификации Ж.

Мы разбиваем движение Ж а на участки, п-й участок предназна-
чен для поиска /7-го символа а. По окончании (п- 1)-го участка после
всех символов печатается двойное двоеточие ::, и последующая ра-
бота выполняется в клетках, расположенных правее этого двойного
двоеточия. Первым делом необходимо написать букву «Л» и за ней
формулу (Л ), а затем «В» и следом формулу (В ). Затем машина
начинает выполнять работу Ж, но как только найдена доказуемая
формула, она сравнивается с (Л ) и (В ). Если эта формула совпадает
с (Л ), печатается символ «1», и /7-й участок завершается. Если она
совпадает с (2? ), то печатается «О» и участок завершается. Если она
отлична от обеих формул, то работа Ж продолжается с точки, в ко-
торой она была отложена. Рано или поздно будет достигнута одна
из формул (Л ) или (2? ); это следует из наших предположений об а
и Л и из известных свойств Ж. Следовательно, /7-й участок в конце
концов будет завершен. Ж а является ациклической; а - вычислимая
последовательность.

Можно также показать, что числа а, определяемые таким мето-
дом аксиом, охватывают все вычислимые числа. Это выполняется

262 Последовательность г штрихов обозначается Г).
путем описания вычислительных машин в терминах функциональ-
ного исчисления.

Следует помнить, что мы придали фразе «21 определяет а» до-
вольно специфический смысл. Вычислимые числа не включают все
(в обычном смысле) определимые числа. Пусть 8 - последователь-
ность, /7-й символ которой равен 1 или 0 в зависимости от того, яв-
ляется п приемлемым или нет. Это - прямое следствие теоремы из
§ 8 о том, что 8 - невычислима. Можно (насколько мы теперь знаем)
вычислить любое заданное количество символов 8, но не с помощью
универсального процесса. Если вычислено довольно много симво-
лов 8, для получения последующих символов необходим совершен-
но новый способ.

III.	Это можно считать модификацией I или следствием II.

Мы предполагаем, как в I, что вычисление выполняется на лен-
те; но мы не используем понятие «состояние», рассматривая более
физический и определенный аналог. Вычислитель всегда может пре-
рвать свою работу, уйти и вообще забыть о ней, а позже вернуться
и продолжить ее. Если он так поступает, он должен оставить памят-
ку с инструкциями (записанными в некоторой стандартной форме)
с объяснением, как продолжить работу. Эта памятка заменяет «со-
стояние». Мы будем предполагать, что вычислитель работает в та-
кой несвязной манере, что он никогда не делает более одного шага за
один раз. Памятка с инструкциями должна позволять ему выполнить
один шаг и написать следующую памятку. Таким образом, на лю-
бом этапе ход вычислений полностью определяется памяткой с ин-
струкциями и символами на ленте. То есть состояние системы может
быть описано одним выражением (последовательностью символов),
состоящим из символов на ленте, за которыми следует символ Л (ко-
торый, как мы предполагаем, не должен появляться больше нигде)
и за ним памятка с инструкциями. Это выражение можно назвать
«формулой состояния». Мы знаем, что формула состояния на любом
заданном этапе определяется формулой состояния до выполнения
последнего шага, и предполагаем, что связь этих двух формул мо-
жет быть выражена в функциональном исчислении. Другими слова-
ми, мы предполагаем, что существует аксиома Л, которая выражает
правила, управляющие поведением вычислителя, в терминах связи
между формулой состояния на любом этапе и формулой состояния
на предыдущем этапе. Если это так, мы можем создать машину для
записи последовательных формул состояния и, следовательно, вы-
числения требуемого числа.
10. ПРИМЕРЫ БОЛЬШИХ КЛАССОВ
ВЫЧИСЛИМЫХ ЧИСЕЛ

Удобно начать с определений вычислимой функции целой пе-
ременной, вычислимой переменной и т.д. Существует много эк-
вивалентных способов определения вычислимой функции целой
переменной. Простейшим, вероятно, является следующий. Если
у - вычислимая последовательность, в которой 0 появляется беско-
нечно263 часто, а п-целое число, то определим ^(у, п)-число симво-
лов 1 между /7-ым и(п+ 1)-ым символом 0 в у. Тогда ф(я) вычислима,
если для всех п и некоторой у выполняется ф(я) = ^(у, п). Эквивалент-
ное определение таково. Пусть Н(х, у) означает ф(х) = у. Тогда, если
мы можем найти непротиворечивую аксиому ?! ф, такую что ?! ф —> Р,
и если для каждого целого п существует целое число У, такое что

21 ф н[и^п\

и такое, что если т ф(я), то для некоторого №

21ф	-Ц-н(иМ,

тогда можно сказать, что ф-вычислимая функция.

Мы не можем дать определение универсальных вычислимых
функций действительной переменной, поскольку нет универсального
способа описания действительного числа, но мы можем дать опреде-
ление вычислимой функции вычислимой переменной. Если п - при-
емлемое число, то пусть у/? будет числом, вычисленным М (п).
и пусть

ос„ =

1ап(л(у„

пока не окажется, что у/? = 0 или у = 1, в каждом случае % = 0. Тогда,
если п пробегает приемлемые числа, а пробегает вычислимые чис-
ла264. Теперь пусть ф(Р) - вычислимая функция, для которой можно
показать, что ее значение для каждого приемлемого аргумента явля-

263 Если Л вычисляет у, то задача о том, печатает ли Л символ 0 бесконечно часто,
того же свойства, что и задача о том, является ли Л ациклической.

264 функция может быть определена множеством других способов, чтобы пробе-
гать вычислимые числа.
ется приемлемым265. Тогда функция/ определенная как /(<*„) =
является вычислимой функцией, и все вычислимые функции вычис-
лимой переменной могут быть представлены в таком виде.

Можно дать подобные определения вычислимых функций не-
скольких переменных, функций целой переменной, принимающих
вычислимые значения, и т.д.

Я сформулирую ряд теорем о вычислимости, но докажу только
(и) и теорему, аналогичную (ш).

(1) Вычислимая функция вычислимой функции целой или вычис-
лимой переменной является вычислимой.

(и) Любая функция целой переменной, определяемая рекурсив-
но через вычислимые функции, является вычислимой. То есть если
ф(т, п) вычислима и г-некоторое целое число, то г|(я) вычислима,
где

т](0) = г,

т|(л) = <р(/?,Т1(" — 1))-

(Й1) Если ф(т, п)- вычислимая функция двух целых переменных,
то ф(/7, п) - вычислимая функция п.

(1у) Если ф(я) - вычислимая функция, всегда принимающая зна-
чения 0 или 1, то последовательность, я-я цифра которой есть ф(я),
вычислима.

Теорема Дедекинда не справедлива в ее обычном виде, если мы
всюду заменим «вещественное» на «вычислимое». Но она справед-
лива в следующем виде:

(у) Если С(а)-логическая функция вычислимых чисел и

(а) (За)(Зр){С(а)&(-С(р))},

(6) С(а) & (-С(Р)) —> (а < Р),

и существует универсальный процесс определения истинного значе-
ния С(а), тогда существует вычислимое число такое что

О(ос) а < ^,

265 Невозможно найти универсальный процесс определения приемлемости задан-
ного числа, однако зачастую можно показать, что определенные классы чисел являются
приемлемыми.
—С(ос)	а > ^.

Другими словами, теорема справедлива для любого сечения вы-
числимых элементов, такого что существует универсальный процесс
определения, к какому классу принадлежит данное число.

Вследствие этого ограничения теоремы Дедекинда мы не можем
сказать, что вычислимая ограниченная возрастающая последова-
тельность вычислимых чисел имеет вычислимый предел. Это можно
понять, рассмотрев, например, такую последовательность:

1?	2’	4’	8’	16’ 2’ ’ ’ ’ ’

С другой стороны, (у) позволяет доказать

(у!) Если аир вычислимы и а < Р и ф(а) < 0 < ф(Р), где ф(а) - вы-
числимая возрастающая непрерывная функция, то существует един-
ственное вычислимое число у, удовлетворяющее условию а < у < Р
и ф(у) = 0.

Вычислимая сходимость

Будем говорить, что последовательность Р/? вычислимых чисел
сходится вычислимо, если существует вычислимая целочисленная
функция вычислимой переменной е, такая, что можно пока-
зать, что если е > 0 и /7 > А(е) и /77 > А (е), то Р/?- Р/;/ < е.

Тогда мы можем показать, что

(уп) Степенной ряд, коэффициенты которого образуют вычисли-
мую последовательность вычислимых чисел, вычислимо сходится
во всех вычислимых точках в пределах его интервала сходимости.

(уш) Предел вычислимо сходящейся последовательности вычислим.

И если ввести очевидное определение «равномерной вычисли-
мой сходимости»:

(1х) Предел равномерно вычислимо сходящейся вычислимой
последовательности вычислимых функций является вычислимой
функцией. Следовательно,

(х) Сумма степенного ряда, коэффициенты которого образуют
вычислимую последовательность, является вычислимой функцией
в пределах его интервала сходимости.

Из (уш) и л = 4^1 - 3+5“ •••) Делаем вывод о вычислимости л.

Изе = 1 + 1 + ^- + || + ... делаем вывод о вычислимости е.
Из (ух) заключаем, что все действительные алгебраические числа
вычислимы.

Из (ух) и (х) заключаем, что действительные нули функций Бес-
селя вычислимы.

Доказательство (и).

Пусть Я(х, у) означает «г|(х) = у», и пусть А(х у, 7) означает
«ф(х, у) = 7». 21 ф - аксиома для ф(х, у). Мы принимаем за 21 :

21 ф & Р 8с	С(х,у)) & (С(х,у) & С(у,^)

8с(р^	н(и,и^\\ & (К(у, зг) & Н(у,х) 8с К(щх,Д)

8с\Н(уу,Д) & 0(2,V 0(^,2)	(—

Я не буду приводить доказательство непротиворечивости 21 п.
Такое доказательство может быть проведено методами, используе-
мыми в книге Гильберта и Бернейса Огипс11а§еп с!ег Ма^Иетайк (Бер-
лин, 1934). Непротиворечивость также очевидна из смысла.

Предположим, что для некоторых п, мы показали

21 п & Р^> -+ нД-1\

тогда для некоторого А/,

21ф	Яр"\ г/^""1», г/^"»),

2Ц &Р^ Яр"Л г/р

& НД~1\

& к(и^ г/(11("-1)) гг^"^

ОС 2Х. \ 1Л у 1Л	у (Л	К

Р

(Зп~^ и^\

I 1Л	^14	|

& Яр"-1/ гг^"-1»)

& к(и(п) г/п("-1)) г/^"^ н(и^ и^\

\ 14	14	у 14	I & 7 11 I 14	14	I •
Следовательно,

21 я -► нД\

Также	21 п & А") —> Я^и,и^0^.

Следовательно, для каждого п некоторая формула вида

21 п &ГМ)	нД\и^\

доказуема. Кроме того, если Мг > М и М1 > т и т Т|(г/), то

2Ц & Р^ Ср11(")Ц(т)| V

2Ц & Р^	V	) &

Следовательно,

2Ц &Р'М']	[~нД\и^.

Таким образом, условия нашего второго определения вычисли-
мой функции выполнены. Следовательно, ц - вычислимая функция.

Доказательство модификации (ш).

Предположим, что нам дана машина Я, которая, начав с ленты
с символами о о, за которыми следует последовательность из любо-
го количества букв «Я» в Р-клетках, и ^-конфигурации Ь. вычислит
последовательность у , зависящую от количества п букв «Я». Если
§л(т) - т-я цифра у , то последовательность р, п-я цифра которой
есть § (п), вычислима.

Мы предполагаем, что таблица для Я была записана таким об-
разом, что в каждой строке в столбце операций оказывается только
одна операция. Кроме того, мы предполагаем, что

5, 0, 0 и 1 не появляются в таблице, и заменим всюду о на 0, 0 на
О и 1 на 1. Затем выполняются дальнейшие замены. Каждую строку
вида

21	а РО	23
мы заменяем строкой

21	а	РО	те (23, и, к, к)
и каждую строку вида			
21	а	рТ	23
строкой			
21	а	рТ	те (23, Й, /г, к)

и добавляем в таблицу следующие строки:

и	ре(и1з0)

тц л, Рк, я, Р0, я, Р&	и 2



ге(113,и3, к, /г)

и3

ре(и2, Р)

и аналогичные строки с Ь вместо и и 1 вместо 0 наряду со следую-
щей строкой

С

Л, РЕ, Л, Рк

Ь.

Тогда мы получаем таблицу для машины Я7, которая вычисля-
ет р. Начальная ^-конфигурация - с, а начальный просматриваемый
символ - второй символ о.

11.	ПРИМЕНЕНИЕ К ПРОБЛЕМЕ РАЗРЕШИМОСТИ

Результаты § 8 имеют несколько важных применений. В частно-
сти, они могут использоваться для того, чтобы показать, что проб-
лема разрешимости Гильберта (НИЪег1 ЕпКскеШип&ргоЫет) не
может иметь решения. В данный момент я ограничусь доказатель-
ством именно этой теоремы. С постановкой этой задачи можно оз-
накомиться в 3-й главе книги Гильберта и Аккермана Сгипскйре (Лег
ТкеогеИзскеп Ьо&к (Берлин, 1931).

В этой связи я собираюсь показать, что не может существовать
универсального процесса для определения доказуемости заданной
формулы 21 функционального исчисления К, то есть не может су-
ществовать машины, которая, получив любую из таких формул 21,
сможет в итоге сообщить, доказуема ли она.
Наверное, стоит отметить следующее: то, что я буду доказы-
вать, весьма отличается от хорошо известных результатов Гёделя266.
Он показал, что (в формализме Ргтсгрга МаЛетаИса) существуют
такие утверждения 21, что ни 21, ни - 21 не могут быть доказаны.
Как следствие было показано, что в рамках этого формализма невоз-
можно доказать непротиворечивость Ргтсгрга Ма1ИетаИса (или К).
Я же покажу, что не существует универсального метода, позволяю-
щего решить, доказуема ли данная формула 21 в рамках К, или, что
сводится к тому же, непротиворечива ли система, состоящая из К
и дополнительной аксиомы - 21.

Если бы было доказано отрицание того, что показал Гёдель, други-
ми словами, если для каждого 21 доказуемо либо 21, либо - 21, то у нас
было бы непосредственное решение проблемы разрешимости. Ибо мы
можем придумать машину Ж, которая последовательно докажет все
доказуемые формулы. Рано или поздно Ж достигнет либо 21, либо - 21.
Если она достигнет 21, то мы знаем, что 21 доказуемо. Если она до-
стигнет - 21, то, поскольку К непротиворечива (Гильберт и Аккер-
ман), мы знаем, что 21 недоказуемо.

Из-за отсутствия целых чисел в К доказательства получаются
несколько громоздкими. Но основные идеи весьма просты.

Для каждой вычислительной машины Ж мы создаем формулу
Ип (Ж) и показываем, что если существует универсальный способ
определения доказуемости Ип (Ж), то существует универсальный
способ определить, печатает ли Ж когда-нибудь 0.

Смысл используемых пропозициональных функций заключается
в следующем:

Д$.(х, у) следует понимать как «в полной конфигурации х (маши-
ны Ж) символ в клетке у есть 5».

Дх, у) следует понимать как «в полной конфигурации х просма-
тривается клетка у».

Куц(х) следует понимать как «в полной конфигурации х ^-конфи-
гурация есть дт».

Р (х, у) следует понимать как «у следует сразу за х».

1п$1	} - сокращенная запись для

(х,у, хх,ух){(д,. (х,у) & /(х,у) & Кд (х) & К(х, х7) & К(ух,у))

266 Там же.
& К,, (х',у) & КЯ1 (х')
&(2) V (к5. (х,г) К8к (х',2)



представляют собой сокращенные записи других подобных выра-
жений.

Приведем описание Ж к первой стандартной форме из § 6. Это
описание состоит из множества выражений вида	(или

с заменой А на Л или ТУ)- Построим все соответствующие выраже-
ния вида	и возьмем их логическую сумму. Назовем ее

Вез(Ж).

Формула Ип (Ж) должна быть следующей:

(Е1г/)[7М(и) 8с (х)^(х)	(Зх7) А(х, х7)) &

&(лг)(Г(у,г) -► И(у) & 2У(г)) & (у)К8о (и,у)

& 1(и,и) &	(г/) & Вез (Ж)]

[Мд/) & ... & Вез (Ж)] можно сокращенно записать как Л (Ж).

Подставив предложенные выше значения, мы получаем, что
Ип (Ж) означает «в некоторой полной конфигурации М, на ленте
появляется 5'1 (то есть 0)». В соответствии с этим я доказываю сле-
дующее:

(а)	Если в некоторой полной конфигурации машины М на ленте
появляется то Ип (Ж) доказуема.

(6)	Если Ип (Ж) доказуема, то в некоторой полной конфигурации
машины Ж на ленте появляется 5р

Когда это будет сделано, доказательство оставшейся части тео-
ремы тривиально.

Лемма 1. Если в некоторой полной конфигурации
машины Ж на ленте появляется то 11п (Ж) доказуема

Мы должны показать, как доказать Ип (Ж). Предположим, что
в /7-ой полной конфигурации последовательность символов на ленте:

0)’	!)’••• пу после чего следуют пустые клетки, и что про-
веряется /(и)-й символ и что ^-конфигурация Тогда мы можем
сконструировать высказывание

К5г(п, 0) м) & К8г{п, 1)	»')&•••& К5г(п, т) («А мМ) &

& У & К

\	/ Ууу \	/

V Е(и,у) V Г(и',у) V ... V	V [и^п\у^

которое можем обозначить ССп.

Как и раньше, Е(и, и') & Г(и', и") & Г(и^г~ Ч обозначим Р^ГХ

Я покажу, что все формулы вида Л (Ж) & _> ССЛ (сокращен-
но СЕ ) доказуемы. СГ означает «п-я полная конфигурация М, - это
то-то и то-то», где вместо «то-то и то-то» стоит фактическая я-я пол-
ная конфигурация М,. Поэтому ожидается, что СРл должна быть до-
казуема.

СЕ0 очевидно доказуема, поскольку в полной конфигурации все
символы - пробелы, ^-конфигурация - с/ р а проверяемая клетка -и,
то есть СС0:

(у)К80 У) & Ж «) & КЧ1 У)-

Тогда Л (Ж) —> СС0 тривиально.

Затем покажем, что СРл СРл + х доказуема для любого п. Необ-
ходимо рассмотреть три случая в зависимости от того, куда переме-
щается машина при переходе от я-й к (п + 1)-ой конфигурации: вле-
во, вправо или остается на месте. Допустим, что имеет место первый
случай, т.е. машина перемещается влево. Аналогичное доказатель-
ство применимо и для остальных случаев. Если г(п. /(и)) = а. г(п + 1,
г(п + 1)) = с, &(/(и)) = Ъ и к(г(п + 1)) = <7, то Вез (Л1) должен включать
1п$1{да8ь8^Ьдс} в качестве одного из членов, т.е.

Оез(Ж) 1п81{^ЗД^с}.

Следовательно, Л (Ж) & ,Н"+1) -ч- 1п81{да8ь8^Ьдс} & /И"+1)

Но 1п8Г{дМЬдс} &	(СС„ СС„+1)

доказуема, поэтому

ли)&Г"+1^(сс„ ^СС„+1)
и

т.е.

(л(Л1) & Р^ СС„) (л(Л1) & Г"+1)	сс„+1),

СРп -+ СРп+1.

СЕп доказуема для любого п. Теперь, согласно предположению
данной леммы, 5'1 появляется в некоторой полной конфигурации
в последовательности символов, печатаемых Ж; то есть для некото-

рых целых чисел IV, К формула ССЫ содержит	) в каче

стве одного из членов и, следовательно, ССИ	до-

казуема. Тогда мы имеем

СС

иЛ(М]&Р(лг) -> СС*.

Кроме того, мы имеем

(Зи)Л(Ж) (Зи)(Зи')...(зи^](л(Ж) & Г(ЛА)),

где № = шах(7У, К). Таким образом

(Ег/)Л(Л/0 —>

(Эи)А(М) (ем(ла))(еи(/с))т?51 (м(ла), гС^,

(Эи)А(М')	(Ну)(Е/)Я51 (5,/),

т.е. Ип (Ж) доказуема.

Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Если Ип(Ж) доказуема, то в некоторой полной
конфигурации машины Ж на ленте появляется

Если мы заменим в доказуемой формуле функциональные пере-
менные логическими функциями, то получим истинное высказыва-
ние. В частности, если мы подставим в Ип(Ж) значения, приведен-
ные на с. 794-795, то получим истинное высказывание со значением
«51 появляется где-то на ленте в некоторой полной конфигурации
машины Ж».
Теперь мы в состоянии показать, что проблема разрешимости
не может быть решена. Предположим обратное. Тогда существует
универсальный (механический) процесс определения доказуемости
Ип(Ж). Согласно Леммам 1 и 2 это означает, что существует процесс
определения, печатает ли Ж когда-либо 0, но это невозможно в со-
ответствии с § 8. Следовательно, проблема разрешимости не может
быть решена.

Принимая во внимание большое количество частных случаев
решения проблема разрешимости для формул с ограниченными
системами кванторов, интересно представить Ии (Ж) в таком виде,
в котором все кванторы находятся в начале. Ии (Ж), фактически,
представляется в виде

(иХЗДИ^и^.ДХ)®,	ф

где 93 не содержит кванторов, а п = 6. Путем несложных преобра-
зований можно получить формулу со всеми основными свойствами
Ип(Ж), которая имеет вид (I) с п = 5.

Добавлено 28 августа 1936 г.
ПРИЛОЖЕНИЕ

ВЫЧИСЛИМОСТЬ И ЭФФЕКТИВНАЯ
вычислимость

Ниже в общих чертах доказывается теорема о том, что все эф-
фективно вычислимые (Х-определимые) последовательности вычис-
лимы, и наоборот. Предполагается, что читателю понятны термины
«правильно сформированная формула» (ПСФ) и «преобразование»,
как они используются Чёрчем и Клини. Во втором из этих доказа-
тельств предполагается (без доказательства) существование несколь-
ких формул; эти формулы могут быть построены непосредственно
с помощью, например, результатов Клини, описанных в статье «Тео-
рия положительных целых чисел в формальной логике», Американ-
ский математический журнал, 57 (1935).

ПСФ, представляющая целое число п. будет обозначаться
Будем говорить, что последовательность у, п-я цифра которой есть
фу(и)? является Х-определимой или эффективно вычислимой, если
1 + фу(и) является Х-определимой функцией п, т.е. если существует
ПСФ 7Иу, такая что для всех целых п

{му}(А„)сопуАфу(й)+1,

т.е. {7Иу}(Ду преобразуется в Аху7. х(х(у)) или Аху . х(у) в зависи-
мости от того, является я-я цифра X нулем или единицей.

Чтобы показать, что каждая Х-определимая последовательность
у является вычислимой, мы должны показать, как построить машину
для вычисления у. Для удобства можно тривиальным образом моди-
фицировать расчет преобразования для использования с машинами:
в качестве переменных вместо а. Ь, с. ... можно использовать х, х',
х" ... Теперь мы сконструируем машину <52, которая, получив фор-
мулу 7Иу, печатает последовательность у. Конструкция 52 аналогична
устройству машины Ж, которая доказывает все доказуемые форму-
лы функционального исчисления. Сначала сконструируем машину
выбора 521? которая, получив ПСФ, например ТИ, и обработав ее
соответствующим образом, выдает некоторую формулу, в которую
преобразуется М. Затем можно изменить так, чтобы получилась
автоматическая машина <52 2, которая последовательно выдает все
формулы, в которые преобразуется М. Машина <52 2 является частью
машины <52. Движение машины <52, получившей формулу ТИу, делит-
ся на участки, п-й из которых предназначен для поиска п-й цифры у.
Первый этап 77-го участка - формирование {Л/у}(7\Г). Затем эта фор-
мула передается машине X 2, которая последовательно преобразует
ее в различные другие формулы. Каждая формула, в которую она мо-
жет быть преобразована, когда-нибудь появляется, и каждая, будучи
найдена, сравнивается с

и с

т.е. И2

т.е.

Если она совпадает с первой из них, машина печатает цифру 1
и 77-й участок завершается. Если она совпадает со второй, печатается 0
и участок завершается. Если она отличается от обеих формул, то возоб-
новляется работа 5€2. Согласно предположению,	преобразу-

ется в одну из формул А2 или следовательно, 77-й участок рано или
поздно будет завершен, т.е. 77-я цифра у когда-нибудь будет записана.

Чтобы доказать, что каждая вычислимая последовательность у
является Х-определимой, мы должны показать, как найти формулу,
такую что для всех целых п

{му}(#„)сопу#1+фу(„).

Пусть Ж - машина, вычисляющая у, и рассмотрим полные кон-
фигурации Ж, описанные с помощью номеров, например мы можем
взять ОН полной конфигурации, как описано в § 6. Пусть ^(77) - ОН
/7-й полной конфигурации. В таблице для машины Ж указана связь
между ^(77 + 1) и ^(77):

^(я+1) = Ру(ф)),

где Ру - функция вполне определенного, но не очень простого вида:
она задается таблицей для Ж. Функция ру является Х-определимой
(доказательство этого я опускаю), т.е. существует ПСФ, такая что

для всех целых п

{А}Ки)сопу^(и+1)-

Пусть V означает



где г = ^(0), тогда для всех целых п

Н}(^)сопу^(й).
Можно доказать, что существует формула V такая, что

сопу Лх



СОПУ И2
сопуЛ3

если при переходе от я-й
к (п + 1)-ой полной конфи-
гурации печатается цифра 0.

если печатается цифра 1.

в остальных случаях.

Пусть означает

^[{{и}({^}({г/у}(«))}({г/у}(«))[,

так что для каждого целого п



сопу{РГу}(2У„),

и пусть О - формула, такая что

{{е}(^)}(^)сопу#ф),

где г (5) -5-е целое д. для которого {(Ар преобразуется либо в
либо в Л2. Тогда, если означает

|{и',}({{е}(и',)}(»))|,

она будет обладать необходимым свойством267.

Магистерский колледж, Принстонский университет

Нью-Джерси, США

267 В полном доказательстве Х-определимости вычислимых последовательностей
было бы лучше модифицировать этот подход, заменив числовое описание полных
конфигураций описанием, которое легче обрабатывать с помощью нашего инструментария.
Выберем определенные целые числа для представления символов и /77-конфигураций маши-
ны. Предположим, что в некоторой полной конфигурации числа, представляющие последо-
вательные символы на ленте, Яр <у2, • • • 8п-> чт0 читается //?-й символ и что т-конфигурация
имеет номер Л тогда мы можем представить эту полную конфигурацию с помощью формулы
[[ж ,ж ,... ,ж 1, лл □, [м , • • • ж 11

где [а, Ъ\ означает X и [{{г/} (ц)} (6)],

[а, Ь, с] означает X и [{{{г/}(«)}(^)}(с)], и т.д.
О ВЫЧИСЛИМЫХ ЧИСЛАХ и их
ПРИМЕНЕНИИ К ПРОБЛЕМЕ
РАЗРЕШИМОСТИ.

ИСПРАВЛЕНИЕ

В статье «О вычислимых числах и их применении к проблеме
разрешимости» 268автор представил доказательство неразрешимости
Еп18скеШип§8ргоЫет из еп§еге ЕипкИопепка1кй1. В этом доказатель-
стве содержались некоторые формальные ошибки269, которые будут
здесь исправлены: кроме того, в той же статье имеется ряд других
утверждений, которые следует изменить, хотя они и не являются
ошибочными в том виде, в котором были представлены.

Выражение для 1п81{^5^д7} на с. 794-795 вышеуказанной ста-
тьи должно быть следующим:

(х,у) & /(х,у) & Кф (х) & Е^х.х1^ & К (у7,у))

-► (/(х',& К8к (%', Д & Кф (х') & Р(У,г) V (К5а (х,г) -> К8д (х',г)).

(х,^)	7?^ (х7,^^ & ••• &	(х,^) К8м (х7,^^

50,	. . . , 8М-символы, которые может печатать Ж. Утверждение

на с. 796, а именно

«1п81{дМ^е} & ^("+1) (СС СС„+1)

доказуема» является ложным (даже с новым выражением для
1п81	<№<}} • мы не можем? например, вывести Е + —> (- Е (и,

и")), а значит никогда не можем использовать элемент

^(УУ V (т?Хо (х,г) -+ К8о (х',г)) & ... & (к8м (х,г) К8м (х',г))

в 1п81{^а8ъ8^дс}. Чтобы исправить это, мы вводим новую функци-
ональную переменную С[С(х, у), что означает «х предшествует у»].

268 Ргос. Ьопс1оп Ма1к. 8ос. (2), 42 (1936-7).

269 Автор признателен П. Бернейсу за сообщение об этих ошибках.
Тогда, если О - сокращенная запись

(х)(В№)(у,2){р(х,№)&Р(х,у)—-(}(х,у)')&(р(х,2)&(р2,у)^(}(х,у))
&[с(х,х) V (С(х,у) & Р(у,У) V ?(х,у) & Р(?,у)) (-^(х,Д)],
то исправленная формула Ип (Ж) должна быть следующей:

О)л(м) (В5)(эг)я51 (я, г),

где А (Ж) - сокращенная запись

<2 & (у)	(и, у) & 1(щи) &	(г/) & Ве§(Ж).

Утверждение на с. 796 должно тогда быть следующим

^1{да8ь8^дс} &<2& Р^ - (ССп СС„+1),

г(и, /(и)) = Ь, г(п + 1, /(и)) = б/, к(п) = я, к(п + 1) = с.

Вместо слов «логическая сумма» на с. 795, следует читать
«сопряжение» (конъюнкция). С учетом этих изменений доказатель-
ство является верным. Ип (Ж) может быть приведена к виду (I)
(с. 796) с п = 4.

Некоторые трудности вызывает особый способ определения
«вычислимого числа» (с. 762). Если вычислимые числа должны
удовлетворять интуитивным требованиям, то мы должны получить
следующее:

если мы можем сформулировать правило, связывающее с каж-
дым положительным целым числом п два рациональных числа ап
и Ъп, удовлетворяющих неравенствам ап < ап+± < Ьп+\ < Ъп,
Ъп — ап <	, то существует вычислимое число а, для которого

ап < а < Ъп для любого п.	(А)

Можно представить доказательство этого утверждения, удов-
летворяющее обычным математическим стандартам, но связанное
с применением принципа исключенного третьего. С другой стороны,
следующее утверждение ложно:

Существует правило, согласно которому, если имеется правило
формирования последовательностей а^иЪ^в (А), то мы можем по-
лучить ОН для машины, чтобы вычислить а.	(Б)
То, что утверждение (Б) ложно, по крайней мере если мы дого-
воримся, что десятичные разряды чисел вида т/2п всегда должны
заканчиваться нулями, можно увидеть следующим путем. Пусть
Я - некоторая машина, определим сл следующим образом: сп =
если Я не напечатала цифру 0 до момента, когда была достигнута
/7-я полная конфигурация, сл = | — 2-т-3, если цифра 0 впервые
была напечатана во время /77-й полной конфигурации (т < п). По-
ложим ал = сл-2~п~2,Ьл = сл+ 2~п~2. Тогда неравенства (А) выпол-
няются, и первая цифра а есть 0, если И когда-либо печатает 0, и 1
в противном случае. Если бы (Б) было истинно, у нас должен был
существовать способ поиска первой цифры а, если задан ОН Я: т.е.
мы должны были бы иметь возможность определить, печатает ли Я
когда-нибудь 0, что противоречит результатам § 8 статьи, о которой
идет речь. Таким образом, хотя (А) показывает, что должны суще-
ствовать машины, вычисляющие постоянную Эйлера (например),
в настоящее время мы не можем описать какую-либо такую машину,
поскольку мы пока не знаем, записывается ли постоянная Эйлера
в виде т/2п.

Этой неприятной ситуации можно избежать, изменив способ
связи вычислимых чисел с вычислимыми последовательностями,
оставляя без изменений множество вычислимых чисел. Это можно
сделать разными путями270. Приведем один пример. Предположим,
что первая цифра вычислимой последовательности у есть /, и что за
ней следует 1, повторенная п раз, затем 0 и, наконец, последователь-
ность, г-й символ которой есть с;.; тогда эта последовательность у
должна соответствовать вещественному числу

оо	(^\г

(2/-1>+Е(2сг-1) - .

г = 1

Если машина, вычисляющая у, рассматривается как вычисляю-
щая также это вещественное число, то (В) выполняется. Единствен-
ность представления вещественных чисел последовательностями
цифр теперь потеряна, но для теории это не очень важно, поскольку
описательные номера не единственны в любом случае.

Магистерский колледж,

Принстон, Нью-Джерси, США Научно-популярное издание

270 Такое использование перекрывающихся интервалов для определения веществен-
ных чисел восходит к работам Брауэра.
Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ.................................5

ВВЕДЕНИЕ...................................11

Евклид

(325-265 до н. э.)

Жизнь и труды...............................14

НАЧАЛА ЕВКЛИДА

КНИГА 1..................................21

КНИГА V..................................29

КНИГА VII................................59

КНИГА IX.................................91

КНИГА X..................................99

Архимед

(287-212 до н. э.)

Жизнь и труды...............................111

ИЗМЕРЕНИЕ КРУГА

Предложение 1...........................119

Предложение 2...........................119

Предложение 3...........................120

ИСЧИСЛЕНИЕ ПЕСЧИНОК В ПРОСТРАНСТВЕ РАВНОМ

ШАРУ НЕПОДВИЖНЫХ ЗВЕЗД (ПСАМИИТ)..........123

ПОСЛАНИЕ АРХИМЕДА К ЭРАТОСФЕНУ
О НЕКОТОРЫХ ТЕОРЕМАХ МЕХАНИКИ.............136

Рене Декарт

(1595-1650)

Жизнь и труды.............................164

О ЗАДАЧАХ, КОТОРЫЕ МОЖНО ПОСТРОИТЬ, ПОЛЬЗУЯСЬ

ТОЛЬКО КРУГАМИ И ПРЯМЫМИ ЛИНИЯМИ..........172

О ПРИРОДЕ КРИВЫХ ЛИНИЙ....................186
Исаак Ньютон
(1642-1727)

Жизнь и труды..................................227

О ДВИЖЕНИИ ТЕЛ

КНИГА I. Отдел I. О методе первых
и последних отношений, при помощи
которого последующее доказывается............238

Леонард Эйлер

(1707-1783)

Жизнь и труды..................................249

О СУММАХ РЯДОВ ОБРАТНЫХ ВЕЛИЧИН................261

СЕМЬ МОСТОВ КЕНИГСБЕРГА........................272

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТОГО, ЧТО ЛЮБОЕ ЦЕЛОЕ

ЧИСЛО ЯВЛЯЕТСЯ СУММОЙ ЧЕТЫРЕХ КВАДРАТОВ.............281

Пьер Симон де Лаплас

(1749-1827)

Жизнь и труды..................................286

ОПЫТ ФИЛОСОФИИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.............294

Часть II. Применение исчисления вероятностей.326

Карл Фридрих Гаусс

(1777-1855)

Жизнь и труды.......................................421

ТРУДЫ ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Раздел III. О степенных вычитах.............431

Раздел IV. О сравнениях второй степени.......454

Огюстен Луи Коши

(1789-1857)

Жизнь и труды..................................466

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Урок III. О производных функциях одной переменной.476
Урок IV. Дифференцирование функций
одной переменной.............................480

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Урок XXI. Об определенных (междупредельных
или частных) интегралах........................485

Урок XXII. Формулы, определяющие точные
или приближенные величины
междупредельных интегралов.....................488

Урок XXIII. Разложение определенного интеграла
на несколько других.............................493

Урок XXIV. О частных интегралах, величиной коих суть
или бесконечные, или неопределенные.............497

Николай Иванович Лобачевский
(1792-1856)
Жизнь и труды.....................................502

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

ПО ТЕОРИИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЛИНИЙ
I. Введение..................................512

II.	Параллельные линии.......................514

III.	Сумма внутренних углов прямолинейного
треугольника.................................517

IV.	Исследование угла параллельности.........521

V.	Взаимное расположение параллельных линий..522

VI.	Измерение трехгранных углов..............526

VII.	Предельная линия..........................530

VIII.	Предельная поверхность...................534

IX.	Уравнения, связывающие стороны и углы
прямоугольного треугольника..................536

X.	Разыскание функций П(х)...................541

XI.	Уравнения, связывающие стороны и углы
всякого треугольника.........................543
Эварист Галуа
(1811-1832)

Жизнь и труды.................................549

МЕМУАР ОБ УСЛОВИЯХ РАЗРЕШИМОСТИ

УРАВНЕНИЙ В РАДИКАЛАХ.........................562

ПРИНЦИПЫ....................................563

Предложение 1...............................566

Предложение II..............................569

Предложение III.............................562

Предложение IV..............................570

Предложение V...............................570

ПРИЛОЖЕНИЕ К НЕПРИВОДИМЫМ

УРАВНЕНИЯМ ПРОСТОЙ СТЕПЕНИ
Предложение VI..............................573

Предложение VII.............................573

Предложение VIII............................575

ПРИМИТИВНЫЕ УРАВНЕНИЯ, КОТОРЫЕ
РАЗРЕШАЮТСЯ В РАДИКАЛАХ (фрагмент)............577

ПИСЬМО ОГЮСТУ ШЕВАЛЬЕ.........................586

Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд

(1831-1916)

Жизнь и труды..................................593

НЕПРИРЫВНОСТЬ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
1. Свойства рациональных чисел..............599

2.	Сравнение рациональных чисел
с точками прямой линии.....................601

3.	Непрерывность прямой линии...............602

4.	Созидание иррациональных чисел...........605

5.	Непрерывность области вещественных чисел.609

6.	Вычисления с вещественными числами.......610

7.	Анализ бесконечных.......................613
ЧТО ТАКОЕ ЧИСЛА И ДЛЯ ЧЕГО ОНИ СЛУЖАТ?
1. Система элементов........................616

2.	Отображение системы.........................619

3.	Подобие отображения. Подобные системы.......621

4.	Отображение системы в себе самой............623

5.	Конечное и бесконечное......................628

6.	Просто бесконечные системы.
Ряд натуральных чисел........................630

7.	Большие и меньшие числа.....................632

8.	Конечные и бесконечные части числового ряда.638

9.	Определение отображения числового ряда
помощью индукции.............................640

10.	Классы просто бесконечных систем............646

11.	Сложение чисел..............................648

12.	Умножение чисел.............................651

13.	Возвышение чисел в степень..................653

14.	Число элементов конечной системы............654

Георг Кантор

(1848-1918)
Жизнь и труды......................................660

К ОБОСНОВАНИЮ УЧЕНИЯ
О ТРАНСФИНИТНЫХ МНОЖЕСТВАХ.........................668

Курт Гёдель

(1906-1978)

Жизнь и труды......................................703

О ФОРМАЛЬНО НЕРАЗРЕШИМЫХ

ПРЕДЛОЖЕНИЯХ «ОСНОВАНИЙ МАТЕМАТИКИ»
И СВЯЗАННЫХ С НИМИ СИСТЕМАХ........................714
Алан Мэтисон Тьюринг

(1912-1954)

Жизнь и труды.....................................749

О ВЫЧИСЛИМЫХ ЧИСЛАХ И ИХ

ПРИМЕНЕНИИ К ПРОБЛЕМЕ РАЗРЕШИМОСТИ................759

1.	Вычислительные машины.....................760

2.	Определения...............................761

3.	Примеры вычислительных машин..............762

4.	Сокращенные таблицы.......................765

5.	Перечисление вычислимых последовательностей.770

6.	Универсальная вычислительная машина.......773

7.	Подробное описание универсальной машины...774

8.	Применение диагонального процесса.........778

9.	Пространство вычислимых чисел.............782

10.	Примеры больших классов вычислимых чисел.788

11.	Применение к проблеме разрешимости.......793

Лемма 1......................................795

Лемма 2......................................797

ПРИЛОЖЕНИЕ. ВЫЧИСЛИМОСТЬ

И ЭФФЕКТИВНАЯ ВЫЧИСЛИМОСТЬ......................799

ИСПРАВЛЕНИЕ.....................................801
Серия «Мир Стивена Хокинга»

Стивен Хокинг

БОГ СОЗДАЛ ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
Математические открытия, изменившие историю

Под редакцией д. ф.-м. н. Ольги Сажиной

Перевод с английского:

Ольга Сажина, д. ф.-м. н., ведущий научный сотрудник отдела
релятивистской астрофизики ГАИШ МГУ
(Жизнь и труды: Евклид, Архимед, Декарт, Ньютон, Эйлер, Лаплас,
Гаусс, Коши, Лобачевский, Галуа, Дедекинд, Кантор, Гёдель;

Гёдель «О формально неразрешимых...»)

Елена Шимановская,к. ф.-м. н., научный сотрудник отдела
Внегалактической астрономии ГАИШ МГУ

(Жизнь и труды: Тьюринг; Тьюринг «О вычислимх числах и их применении»)
Андрей Дамбис, д. ф.-м. н., ведущий научный сотрудник отдела изучения
Галактики и переменных звезд ГАИШ МГУ (Эйлер «Семь мостов Кенигсберга»,
«Доказательство того, что любое число...»)

Леонид Зайцев (Эйлер «О суммах рядов обратных величин»)

Перевод с греческого:

Дмитрий Мордухай-Болтовской (Евклид «Начала»)
Федор Петрушевский (Архимед «Измерение круга»)
Георгий Попов (Архимед «Псаммит»)

Перевод с немецкого:

Редакция «Вестника опытной физики и элементарной механики»
(по И. Гейбергу «Послание Архимеда к Эратосфену»)
Вениамин Каган (Лобачевский «Геометрические исследования»)
Николай Парфентьев (Дедекинд «Что такое числа...»)

Самуил Шатуновский (Дедекинд «Непрерывность и иррациональные числа»)
Федор Медведев (Кантор «К обоснованию учения...»)

Перевод с французского:

Адольф Юшкевич (Декарт «О задачах...», «О природе кривых линий»)
Алексей Власов (Лаплас «Опыт философии теории вероятностей»)
Виктор Буняковский (Коши «Дифференциальное исчисление»,
«Интегральное исчисление»)

Наум Мейман (Галуа «Мемуар...», «Приложение...»,
«Уравнения простой степени...», «Письмо Огюсту Шевалье»)

Перевод с латыни:

Виктор Демьянов (Гаусс «Труды по теории чисел»)
Алексей Крылов (Ньютон «О движении тел»)

Фото автора на обложке: Филип Майнотт (РЫйр Мупо1)
Общероссийский классификатор продукции

ОК-034-2014 (КПЕС 2008): 58.11.1 - книги и брошюры

Произведено в 2022 году в Российской Федерации
Подписано в печать 26.01.2022

Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. 51

Печать офсетная. Бумага офсетная. Гарнитура Тппез Келу Котапс
Тираж 5000 экз. Заказ

Заведующая редакцией Юлия Данник
Ответственный редактор Павел Здешнее
Оформление обложки Дмитрий Агапонов
Компьютерная верстка Наталья Селищева
Технический редактор Наталья Чернышева
Корректор Наталья Сгибнева

ООО «Издательство АСТ»

129085, РФ, г. Москва, Звездный бульвар, дом 21,
стр. 1, комната 705, пом. I

Адрес нашего сайта: \у\у\у.а81.ш

Е-таП:а8к@а81.ш

«Баспа Аста» деген ООО

129085, г. Мэскеу, жулдызды гулзар, д. 21, 1 цурылым, 705 болме
Б1здщ электрондыц мекенжайымыз: \у\у\у.а81.ги: Е-таП: о§1х@а81.гп
Казакетан Республикасында дистрибьютор жэне ошм бойынша
арыз-талаптарды кабыл дау шы ны ц окпп

«РДЦ-Алматы» ЖШС, Алматы к..

Домбровский кош., 3«а», литер Б, офис 1.

Тел.: 8(727) 2 51 59 89, 90, 91, 92, факс: 8 (727) 251 58 12 вн. 107;

Е-таИ: КПС-А1та1у@ек8то.кх

Ошмнщ жарамдылык мерз1м1 шектелмеген; Ондхрген мемлекет:

Ресей Сертификация карасгырылмаган
ЛЕОНАРД МЛ ОДИНОВ

СТИВЕН ХОКИНГ
О ДРУЖБЕ И ФИЗИКЕ

БОЛЬШОЙ ЧЕЛОВЕК В БЕЗГРАНИЧНОЙ ВСЕЛЕННОЙ
О
СТИВЕН ХОКИНГ,
РОДЖЕР ПЕНРОУЗ,
БРАЙАН ГРИН,
ЕВГЕНИЙ КАСПЕРСКИЙ

ПОД РЕДАКЦИЕЙ ГАРИКА ЙСРАЕЛЯНА И БРАЙАНА МЭЯ

ВСЕЛЕННАЯ

ЕМКИЕ ОТВЕТЫ НА НЕПОСТИЖИМЫЕ ВОПРОСЫ

ЛУЧШИЕ ЛЕКЦИИ ФЕСТИВАЛЯ НАУКИ 8ТАНМ08
СТИВЕН
ХОКИНГ

И ЛЕОНАРД МЛ ОДИ НОВ

<'	• V Ж

*	у

высший
ЗАМЫСЕЛ

ВЗГЛЯД АСТРОФИЗИКОВ НА СОТВОРЕНИЕ МИРА

О
НИЛ АРМСТРОНГ
БАЗЗ ОЛДРИН
АЛЕКСЕЙ ЛЕОНОВ
РИЧАРД ДОКИНЗ

ПОД РЕДАКЦИЕЙ ГАРИКА ИСРАЕЛЯНА И БРАЙАНА МЭЯ

ЧЕЛОВЕК
В КОСМОСЕ

ОТОДВИГАЯ ГРАНИЦЫ НЕИЗВЕСТНОГО
Математика и логика— прочное основание естественных наук, осо-
бенно тех, что оперируют сложными прогностическими моделями.
Стивен Хокинг, при помощи уравнений описавший немало гипоте-
тических вселенных, исследует важнейшие математические тру-
ды за последние 25 веков, в сборнике «Бог создал целые числа»
в том числе работы Исаака Ньютона, Николая Лобачевского и Эва-
риста Галуа. Оригинальные, снабженные комментариями тексты
позволяют проследить прогресс математической мысли, проложив-
шей путь для нынешнего века технологий. Каждая глава начинается
с биографического очерка ученого, написанного Стивеном Хокин-
гом: он раскрывает ключевую идею автора и значение его труда.

Работы «О формально неразрешимых предложениях “Основа-
ний математики”» Курта Гёделя и «О вычислимых числах и их
применении к проблеме разрешимости» Алана Тьюринга публи-
куются на русском языке впервые.

книги для любого настроения здесь

>лллн/у.а5(.ги | \л/\л/\л/.Ьоок24.ги

□ ук.сот/12с1а1е15СУоа5С

ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ГРУППА АСТ 0 Ок.Г 11/|7С1а(е1$1УОа51

18ВМ 978-5-17-113541-6