Текст
                    В.П. Тарасик
Математическое моделирование технических систем
Издание 2-е исправленное и дополненное
Утверждено Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебника для студентов технических специальностей высших учебных заведений
Минск Издательство «Дизайн ПРО» 2004
УДК 51.001.57:621(075.8)
ББК 22.1:39.33-01я73
Т 19
Рецензенты: Кафедра «Автомобили» Белорусского национального технического университета; д-р техн, наук, проф. В.С. Шевченко
Тарасик В. П.
Т19 Математическое моделирование технических систем: Учебник для вузов.— Мн.: ДизайнПРО, 2004.— 640с.: ил.
ISBN 985-452-080-3
Изложены основы методологии математического моделирования и проведения вычислительных экспериментов на ЭВМ в процессе проектирования сложных технических систем. Рассмотрены принципы и современные методы построения детерминированных и вероятностных, теоретических и экспериментальных факторных моделей, численные методы решения систем алгебраических и дифференциальных уравнений и задач многокритериальной оптимизации. Построение математических моделей и применение численных методов анализа иллюстрируется примерами.
Для студентов технических ВУЗов, аспирантов, инженеров (проектировщиков и исследователей) и научных работников.
УДК 51.001.57:621(075.8
ББК 22.1:39.33-01я7<
ISBN 985-452-080-3
© Тарасик В. П., 2004
© Оформление — издательство «Дизайн ПРО», 2004
Посвящается 40-летию основания Могилевского машиностроительного института (1961) и присвоению ему статуса университета (2000)
ПРЕДИСЛОВИЕ
Современный этап развития техники характеризуется чрезвычайно быстрой сменой моделей выпускаемой продукции, возрастающим количеством разработок, выполненных на новых, неизвестных ранее принципах, обеспечивающих изделиям более высокие потребительские качества и создающих жесткую конкуренцию на рынке их сбыта. Это приводит к необходимости интенсификации процессов создания новой техники, повышения качества проектов, разработки и организации производства конкурентоспособных изделий в короткие сроки. При этом достигается снижение затрат финансовых и трудовых ресурсов, рентабельность производства и планируемая прибыль.
В этих условиях важное значение приобретают сроки и качество выполнения проектно-конструкторских работ. Их соответствие современным требованиям можно обеспечить применением новой технологии проектирования, основанной на использовании методов математического моделирования и вычислительной техники.
Новый технический объект должен, безусловно, превосходить существующие. Это достигается соответствующей стратегией проектирования, нацеленной на достижение высоких показателей технического уровня и эффективности создаваемого изделия. Решаемые задачи в соответствии с этой стратегией носят оптимизационный характер и требуют разработки и применения новой технологии проектирования. В учебнике значительное внимание
уделено вопросам методологии автоматизированного проектирования. Современная методология проектирования базируется на системном подходе, использующем принципы декомпозиции, иерархичности, итеративности, локальной оптимизации и комплексного осуществления процесса проектирования, включающего функциональный, конструкторский и технологический аспекты.
Проектирование — сложный иерархический процесс, включающий множество взаимосвязанных стадий и этапов. Декомпозиция и иерархичность приводят к необходимости применения множества разнообразных моделей. Математическое моделирование технических объектов занимает центральное место в построении эффективной технологии автоматизированного проектирования. Инженер-проектировщик должен иметь четкое представление о видах математических моделей и способах их построения, режимах функционирования технических объектов и методах их моделирования, разработке алгоритмических моделей и их эффективной реализации с использованием современных средств вычислительной техники.
В учебных планах подготовки инженеров-конструкторов различных специальностей технического профиля предусмотрен ряд дисциплин, позволяющих освоить программирование, математическое моделирование технических объектов, компьютерную графику, технологию автоматизированного проектирования, прикладное программное обеспечение, изучить современные средства вычислительной техники и научиться использовать их для выполнения проектно-конструкторских работ.
Учебник предназначен для использования при освоении дисциплины «Математическое моделирование технических систем», входящей в учебные планы всех специальностей технического профиля (название дисциплины в учебных планах некоторых специальностей отличается от упомянутого только конкретизацией объектной области).
Цель дисциплины — изучение методов построения и анализа математических моделей, постановки и решения задач синтеза и оптимизации при автоматизированном проектировании машин, технических устройств, механизмов, систем и т.п.
Содержание книги построено на материалах различных литературных источников, оригинальных авторских разработках по математическому моделированию и на базе созданного и прочитанного курса лекций в Могилевском государственном техническом университете в период 1985 ... 2000 гг.
Для освоения материала данного учебника достаточно знаний, полученных студентами при изучении курсов высшей математики, физики, теоретической механики.
Второе издание учебника дополнено материалами по моделированию электромеханических систем. Отдельные разделы подвергнуты доработке с учетом опыта использования в учебном процессе.
Автор считает приятным долгом выразить глубокую благодарность рецензентам: профессору Л.А. Молибошко и д-ру техн, наук, профессору В.С. Шевченко, критические замечания которых способствовали улучшению содержания книги.
Замечания и пожелания просьба направлять по адресу: 212005, г. Могилев, пр. Мира, 43, Могилевский государственный технический университет, кафедра «Автомобили».
ВВЕДЕНИЕ
При создании машин, технических комплексов и других объектов широко используется моделирование. Как средство познания и преобразования материального мира моделирование применяется в экспериментальных и теоретических научных исследованиях.
Моделирование представляет собой процесс замещения объекта исследования некоторой его моделью и проведение исследований на модели с целью получения необходимой информации об объекте. Модель — это физический или абстрактный образ моделируемого объекта, удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователя физические свойства и характеристики объекта. Удобство проведения исследований может определяться различными факторами: легкостью и доступностью получения информации, сокращением сроков и уменьшением материальных затрат на исследование и др.
Различают моделирование предметное и абстрактное. При предметном моделировании строят физическую модель, которая соответствующим образом отображает основные физические свойства и характеристики моделируемого объекта. При этом модель может иметь иную физическую природу в сравнении с моделируемым объектом (например, электронная модель гидравлической или механической системы). Если модель и объект одной и той же физической природы, то моделирование называют физическим.
Физическое моделирование широко применялось до недавнего времени при создании сложных технических объектов. Обычно изготавливался макетный или опытный образец технического объекта, проводились испытания, в процессе которых определялись его выходные параметры и характеристики, оценивались надежность функционирования и степень выполнения технических требований, предъявляемых к объекту. Если вариант технической разработки оказывался неудачным, все повторялось сначала, т.е. осуществлялось повторное проектирование, изготовление опытного образца, испытания и т.д.
Физическое моделирование сложных технических систем сопряжено с большими временными и материальными затратами.
Абстрактное моделирование связано с построением абстрактной модели. Такая модель представляет собой математические соотношения, графы, схемы, диаграммы и т.п. Наиболее мощным и универсальным методом абстрактного моделирования является математическое моделирование. Оно широко используется как в научных исследованиях, так и при проектировании.
Математическое моделирование позволяет посредством математических символов и зависимостей составить описание функционирования технического объекта в окружающей внешней среде, определить выходные параметры и характеристики, получить оценку показателей эффективности и качества, осуществить поиск оптимальной структуры и параметров объекта. Применение математического моделирования при проектировании в большинстве случаев позволяет отказаться от физического моделирования, значительно сократить объемы испытаний и доводочных работ, обеспечить создание технических объектов с высокими показателями эффективности и качества. Одним из основных компонентов системы проектирования в этом случае становится математическая модель.
Математическая модель — это совокупность математических объектов и отношений между ними, адекватно отображающая физические свойства создаваемого технического объекта. В качестве математических объектов выступают числа, переменные, множества, векторы, матрицы и т.п. Процесс формирования математической модели и использования ее для анализа и синтеза называется математическим моделированием. В конструкторской практике под математическим моделированием обычно понимается процесс построения математической модели, а проведение исследований на модели в процессе проектирования называют вычислительным экспериментом. Такое деление удобно для проектировщиков и функционально вполне обосновано, поэтому в дальнейшем будем придерживаться этой терминологии.
Для осуществления вычислительного эксперимента на ЭВМ необходимо разработать алгоритм реализации математической модели.
Алгоритм — это предписание, определяющее последовательность выполнения операций вычислительного процесса. Алгоритм автоматизированного проектирования представляет собой совокупность предписаний, обеспечивающих выполнение операций и процедур проектирования, необходимых для получения проектного решения. Для наглядности алгоритмы чаще всего представляют в виде схем или графов, иногда дают их вербальное (словесное) описание. Алгоритм, записанный в форме, воспринимаемой вычислительной машиной, представляет собой программную модель. Процесс программирования называют программным моделированием.
Формализация процесса проектирования на основе математического моделирования позволяет его автоматизировать. Одним из основных компонентов системы автоматизированного проектирования (САПР) является математическое обеспечение, включающее математические модели объектов проектирования и их элементов, методы и алгоритмы выполнения проектных операций и процедур.
Развитие автоматизированного проектирования прошло несколько стадий. Вначале ЭВМ применялась лишь для выполнения вычислений по методикам, ориентированным на ручное решение. Это не вносило ничего нового в процесс проектирования, а лишь ускоряло выполнение отдельных его этапов. Затем начали использовать математические модели, позволяющие имитировать функционирование объектов проектирования, что позволило обеспечить повышение точности получаемой информации, организовать поиск оптимальных проектных решений и достичь универсальности описания отдельных проектных операций и процедур. Были разработаны единые подходы к получению математических моделей для целых классов технических объектов и эти подходы удалось формализовать. В результате процесс формирования математической модели оказалось возможным возложить непосредственно на ЭВМ. В дальнейшем основные усилия были направлены на разработку стратегии и методологии автоматизированного проектирования.
Полностью формализовать и автоматизировать процесс проектирования практически невозможно и нецелесообразно. На этапах разработки концепции технической системы, формирования технического задания, выбора технического решения, синтеза структуры, принятия решений и др. действия конструктора, основанные на его опыте и интуиции, как правило, непредсказуемы и не поддаются формализации. САПР предусматривает тесное 2. Зак. 3006
10
взаимодействие человека и ЭВМ. Это один из основополагающих принципов построения САПР. Вместе с тем все виды проектных работ, которые можно формализовать, должны быть автоматизированы. В этой связи важнейшая роль принадлежит математическому моделированию. При создании САПР необходима не только математическая модель создаваемого технического объекта, но и модели реализации все#' проектных операций и процедур.
Для разработки эффективной технологии автоматизированного проектирования необходимо детальное представление обо всех этапах и стадиях создания объекта с тем, чтобы осуществить их формализацию и математическое описание.
Наибольший эффект может дать автоматизация самых ранних этапов проектирования, когда осуществляется выбор технического решения. САПР позволяет просмотреть множество вариантов и отобрать несколько наилучших для дальнейшей детальной проработки и окончательного выбора. Как отмечал авиаконструктор П.О. Сухой, ошибку, допущенную при «завязке» проекта, уже не исправить совершенством инженерных расчетов и чертежными автоматами. Однако алгоритмы выполнения проектных работ на этих этапах и способы принятия решений еще недостаточно отработаны.
Высокий технический уровень изделия достигается в значительной мере на этапе функционального проектирования, на котором определяются основные параметры объекта. Проектные решения при этом в значительной мере определяют его качество. При недостаточной проработке проекта затраты на обеспечение качества, обусловленные необходимостью последующей доводки конструкции, достигают 10...20% от полной стоимости продукции. При этом 50...70% общих причин дефектов продукции связано с ошибками в проектно-конструкторских решениях, 20...30% — с недостатками технологических процессов, 5... 15% возникают по вине рабочих. Поэтому главная задача конструктора состоит в том, чтобы выявить и устранить потенциальные источники дефектов еще на стадии проектирования.
Операции и процедуры функционального проектирования, как правило, почти полностью поддаются формализации, что в конечном итоге создает необходимые условия для определения и выбора оптимальных параметров и структуры технического объекта. При этом используются математические модели создаваемых объектов, модели оценки и принятия решений, которые в виде соответствующих алгоритмов реализуются при проектировании.
При решении задач синтеза структуры, моделировании процессов функционирования объектов с переменной структурой возникает необходимость постоянного изменения математической
модели. Поэтому большое внимание уделяется методам автоматизированного формирования математических моделей.
На различных этапах и стадиях проектирования сложной технической системы используются различные математические модели. На ранних стадиях обычно модели простые, но чем подробнее проработка проекта, тем сложнее нужна модель. Математические модели могут представлять собой системы дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных), системы алгебраических уравнений, простые алгебраические выражения, бинарные отношения, матрицы и др. Сложные модели требуют больших затрат времени на проведение вычислительных экспериментов. Системы уравнений таких моделей обычно отличаются плохой обусловленностью, что создает проблемы обеспечения устойчивости вычислительного процесса, достижения необходимой точности при приемлемых затратах времени.
Поскольку все проектные работы носят оптимизационный характер, то решать системы уравнений для получения искомого результата приходится многократно. Ситуация усугубляется также многомерностью и многокритериальностью задач. На заключительных этапах проектирования часто приходится использовать вероятностные модели, с тем чтобы исследовать процессы функционирования технической системы в условиях, максимально приближенных к реальным.
Если САПР потребует слишком больших затрат времени на разработку проекта • изделия, то она вряд ли получит широкое практическое применение.
Отмеченные факторы указывают на необходимость поиска способов ускорения обработки информации и применения эффективных технологических маршрутов выполнения проектных работ. Глубокое знание этих вопросов и умение выбрать правильное решение при создании САПР может принести значительный эффект в сокращении материальных и временных затрат на проектирование.
Приведены основные сведения о моделировании технических объектов применительно к современной методологии автоматизированного проектирования, дана классификация математических моделей.
При автоматизированном проектировании используются теоретические и экспериментальные, детерминированные и вероятностные, статические и динамические, структурные и функциональные модели и др. Рассмотрены методы получения этих моделей, в том числе методы планирования эксперимента, регрессионного и корреляционного анализа. Значительное место отведено изложению методов оптимизации.
Особое внимание уделено разработке алгоритмов формирования математических моделей сложных технических систем из
12
моделей элементов, что позволяет автоматизировать процесс формирования и осуществлять его непосредственно на ЭВМ.
Рассмотрены вопросы дискретизации непрерывных систем, элементного структурирования и построения динамических моделей. Показаны аналогии динамических систем различной физической природы и математических моделей их элементов.
Изложены методы анализа статических состояний и переходных процессов технических объектов на основе использования численных методов решения систем алгебраических и дифференциальных уравнений. Показаны способы улучшения обусловленности систем уравнений.
Рассмотрены проблемы постановки и решения задач оптимизации.
В учебнике дано целостное представление о проблемах математического моделирования технических объектов.
1.	ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МОДЕЛИРОВАНИИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
1.1.	МЕТОДОЛОГИЯ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
Создание нового технического объекта — сложный и длительный процесс, в котором стадия проектирования имеет решающее значение в осуществлении замысла и достижении высокого технического уровня. Под техническим объектом в дальнейшем понимается техническая система — машина, механизм, технический комплекс, технологический процесс, а также любой их компонент, выделяемый в процессе проектирования путем декомпозиции (деления) структуры целостного объекта на отдельные блоки, части, элементы и т.п.
Современная методология проектирования базируется на системном подходе. Технический объект при системном подходе рассматривается как сложная система, состоящая из взаимосвязанных, целенаправленно функционирующих элементов и находящаяся во взаимодействии с окружающей внешней средой. Это позволяет учесть все факторы, влияющие на его функционирование, и обеспечить создание технического объекта с высокими показателями эффективности и качества.
Одно из важнейших требований системного подхода заключается в необходимости рассматривать существование и функционирование технического объекта во времени и в пространстве.
Описание существования объекта во времени приводит к понятию жизненного цикла, а в пространстве — к понятию внешней среды, с которой взаимодействует объект в процессе функционирования.
Жизненный цикл технического объекта представляет собой совокупность взаимосвязанных процессов создания и последовательного изменения его состояния от формирования исходных требований к объекту до окончания его эксплуатации. Жизненный цикл состоит из следующих стадий: создание, производство, обращение и эксплуатация. Каждая из стадий содержит целый ряд этапов, операций и процедур. Важно отметить, что все стадии жизненного цикла имеют прямые и обратные связи. Прямые связи очевидны. Так, качество проекта определяет надежность и эффективность технического объекта. Надежность сказывается на производственных и эксплуатационных издержках, а эффективность характеризует основные эксплуатационные свойства объекта (производительность, экономичность и др.). Но высокая эффективность новых разработок, в свою очередь, достижима лишь при учете результатов эксплуатации существующего технического объекта (или его аналога) и анализа технологических аспектов их производства. В этом случае имеют место обратные связи.
Сложность и взаимосвязанность процессов жизненного цикла требует глубокого и целенаправленного их изучения. Для этого широко используется математическое моделирование. Моделирование применяется на всех стадиях жизненного цикла. Посредством моделирования осуществляется решение исследовательских, поисковых, проектно-конструкторских и эксплуатационных задач. На этапе доводки конструкции приходится моделировать процессы функционирования технического объекта для выявления причин неудовлетворительных показателей надежности (поломки, преждевременный износ и др.) или эффективности (не достигается расчетная производительность, повышенный удельный расход энергии, низкие показатели качества переходных процессов и др.). В период эксплуатации технического объекта моделирование осуществляется с целью определения наиболее эффективных режимов функционирования, целесообразных областей и условий использования и т.п.
Процесс создания разделяется на стадии: предпроектные исследования, техническое задание, техническое предложение, эскизный проект, технический проект, рабочий проект, изготовление опытных образцов, испытания и доводка, приемочные испытания. Первые две стадии и частично третья составляют этап внешнего проектирования, на котором осуществляется научно-технический поиск и прогнозирование, формирование описания среды функционирования технического объекта, моделирова
ние и исследование, направленные на разработку концепции и технического решения. Этап внешнего проектирования, называемый также этапом научно-исследовательских работ (НИР), завершается разработкой технического задания.
Остальные стадии относятся к внутреннему проектированию и составляют этап опытно-конструкторских работ (ОКР), в процессе которого определяются и конкретизируются основные функциональные и конструктивные параметры, определяющие технико-экономические показатели и облик создаваемого технического объекта.
Решение проблемы создания нового технического объекта базируется на всесторонне обоснованной концепции и вытекает из безусловных потребностей общества, необходимости практической реализации достигнутого научного потенциала и повышения показателей эффективности.
Концепция определяется как комплекс требований к техническому объекту для выполнения его назначения и содержит описание основы функционирования объекта.
Кроме выделения стадий осуществляется декомпозиция процесса проектирования в зависимости от степени абстрагирования, характера отображаемых свойств объекта, его структуры, принятой схемы распределения работ между подразделениями проектно-конструкторской организации и др.
Декомпозиция приводит к выделению составных частей объекта (блоков), иерархических уровней, аспектов. Это позволяет сложную задачу проектирования свести к решению более простых задач с учетом взаимодействия между ними. Каждая задача решается на основе локальной оптимизации, но декомпозиция критериев при этом осуществляется таким образом, чтобы локальные цели были подчинены конечной цели проектирования. Следовательно, концепция системности выражается не только в выделении взаимозависимых и взаимодействующих элементов технического объекта как системы, но и в единстве целей их функционирования. Кроме того, технический объект, в свою очередь, рассматривается как элемент более сложной системы (надсистемы), в состав которой входит ряд объектов внешней среды, взаимодействующих с данным техническим объектом.
Таким образом, методология автоматизированного проектирования базируется на системном подходе, использующем принципы декомпозиции, иерархичности, итеративности, локальной оптимизации и комплексного осуществления процесса проектирования, включающего функциональный, конструкторский и технологический аспекты.
Аспекты различаются характером решаемых задач и используют различные описания.
16
Функциональный аспект включает отображение основных принципов функционирования, характера физических и информационных процессов в объекте. При функциональном проектировании осуществляется синтез структуры и определяются основные параметры объекта и его составных частей (элементов), оцениваются показатели эффективности и качества процессов функционирования. Результат проектирования — принципиальные, функциональные, кинематические, алгоритмические схемы и сопровождающие их документы.
Функциональное проектирование осуществляется практически на всех стадиях и этапах создания технического объекта и при этом многократно повторяется по мере раскрытия неопределенностей, характерных для начальных этапов.
Конструкторский аспект — это реализация результатов функционального проектирования. При конструкторском проектировании разрабатываются компоновки и рабочие чертежи деталей, осуществляется выбор стандартных и унифицированных элементов, материалов деталей, оформляется конструкторская и эксплуатационная документация.
При этом определяются оптимальные конструктивные параметры — размеры и форма деталей, сборочных единиц и т.п., обеспечивающие минимальные массу и габариты, равнопрочность элементов конструкции при заданном ресурсе.
Технологический аспект включает реализацию результатов конструкторского проектирования, т.е. их материализацию в виде физического изделия (машины, технической системы и т.п.). Технологическое проектирование решает задачи технологической подготовки производства. Разрабатываются технологические маршруты изготовления деталей, сборки, наладки и технологических испытаний изготавливаемых изделий, осуществляется выбор оборудования, оснастки, инструмента и т.д.
Кроме рассмотренной иерархии этапов, стадий и аспектов проектирования иерархические уровни выделяют на основе блочного структурирования технического объекта по функциональным признакам, а также в связи с различной степенью абстрагирования при описании физических свойств технического объекта на разных этапах и стадиях проектирования.
При блочном структурировании вначале выделяют крупные блоки, составляющие верхний иерархический уровень, затем каждый блок расчленяют на более мелкие блоки, входящие в следующий уровень, и т.д. вплоть до неделимых элементов (деталей), составляющих нижний уровень иерархии. Например, блоки верхнего иерархического уровня автомобиля: двигатель, трансмиссия, ходовая часть и др. В трансмиссию входят блоки: сцепление, коробка передач, карданная передача, главная передача, дифференциал. Каждый из них может быть, в свою очередь, расчленен на более мелкие блоки.
17
С другой стороны, технический объект и выделяемые по функциональным признакам блоки могут быть структурированы по степени абстрагирования (детальности описания физических свойств). В этом случае возникают три иерархических уровня'. верхний называют метауровнем, средний — макроуровнем и нижний — макроуровнем. Характерные особенности этих уровней будут рассмотрены в разделе 1.5. *
1.2.	СТРУКТУРА И ПАРАМЕТРЫ
ОБЪЕКТОВ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
Структура — это упорядоченное множество элементов и их отношений.
Технический объект при системном подходе рассматривается как система, состоящая из взаимодействующих элементов, составляющих упорядоченное множество.
Структура технического объекта характеризуется качественным и количественным составом элементов и их взаиморасположением или взаимосвязями. Качественное различие элементов определяется их физическими свойствами. Количественно физические свойства элементов выражаются некоторыми скалярными величинами, называемыми параметрами элементов.
Характеристики функционирования технического объекта зависят от его физических свойств и внешних воздействий окружающей среды.
Физические свойства объекта определяются его структурой и параметрами элементов, из которых он состоит. Внешние воздействия зависят от физических свойств внешней среды и характера ее взаимодействия с техническим объектом. Физические свойства внешней среды также определяются ее параметрами.
Параметр — это величина, характеризующая свойство или режим работы объекта. Под объектом здесь понимается как отдельный элемент технической системы, так и вся система в целом. Следует отметить, что параметрами технической системы являются показатели качества и эффективности', производительность, рабочая скорость, грузоподъемность, удельная материалоемкость, удельная энергоемкость, габариты, масса, показатели надежности, показатели качества переходных процессов и др. Эти параметры называют выходными параметрами технического объекта.
Если структура технического объекта определена, то его выходные параметры зависят только от параметров элементов и параметров внешней среды. Различают внутренние и внешние параметры.
Внутренние параметры — это параметры элементов, из которых состоит технический объект. Например, двигатель и
18
трансмиссия являются элементами автомобиля. Выходные параметры их — мощность двигателя, передаточные числа трансмиссии и одновременно это внутренние параметры автомобиля.
Выходные параметры характеризуют свойства технического объекта, а внутренние параметры — свойства его элементов.
При переходе к новому иерархическому уровню проектирования внутренние параметры могут стать выходными и наоборот.
Внешние параметры — это параметры внешней среды, оказывающей влияние на функционирование технического объекта. Например, для автомобиля внешняя среда — дорога и воздушная среда. Параметры дороги включают в себя углы продольного и поперечного уклонов, коэффициенты сопротивления качению и сцепления колес с дорогой. Параметры воздушной среды — плотность и относительная влажность воздуха, скорость и направление ветра.
1.3.	ОСОБЕННОСТИ ТЕХНОЛОГИИ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
Технология автоматизированного проектирования технических объектов базируется на изложенной в разделе 1.1 методологии. Схема типового маршрута проектирования технического объекта в среде САПР представлена на рис. 1.1. Основные компоненты маршрута предусматривают выполнение процедур анализа и синтеза, выступающих в диалектическом единстве.
Анализ технического объекта — это изучение его физических свойств, характеризуемых выходными параметрами. При анализе не создаются новые объекты, а исследуются заданные на основе изучения процессов их функционирования. Для этого проводятся вычислительные эксперименты с использованием математических моделей объектов.
Синтез технического объекта — это создание новых вариантов, обеспечивающих заданный алгоритм функционирования и выполнение технических требований к объекту.
Если определяют наилучшие в некотором смысле структуру и параметры, то синтез называют оптимизацией. При определении оптимальных значений параметров говорят о параметрической оптимизации. Задачу выбора оптимальной структуры называют структурной оптимизацией.
Декомпозиция и иерархичность процесса проектирования технического объекта обусловливают многообразие решаемых задач, их целей и используемых математических моделей на различных стадиях и этапах. Разнообразие учитываемых при этом физических свойств разделяет объекты на дискретные и непрерывные. Это различие определяется мощностью множества значе
19
ний переменных, характеризующих количество вариантов проектных решений. Если множество имеет мощность континуума, объект называют непрерывным, а если множество счетно — дискретным. Соответственно математические модели этих объектов называют непрерывными и дискретными.
Рис. 1.1. Схема типового маршрута проектирования технического объекта в САПР
20
В общем случае задачей синтеза является определение структуры и параметров технического объекта. В связи с различием математических моделей непрерывных и дискретных объектов методы решения задач их синтеза различны.
Рассмотрим подробнее проектирование непрерывного объекта на основе маршрута, приведенного на рис. 1.1. Объектом проектирования может быть любой элемент технического объекта, выделенный в результате декомпозиции.
Формализовать и автоматизировать процедуру синтеза структуры в большинстве случаев весьма сложно, поэтому синтез структуры объекта обычно осуществляется путем перебора возможных вариантов, генерируемых эвристическими методами. Для каждого варианта структуры формируется своя математическая модель и выбираются исходные значения внутренних параметров. Сравнивать альтернативные варианты структур можно лишь после определения оптимальных параметров элементов объекта. При этом для каждого варианта осуществляется имитация процесса функционирования объекта и определяются его выходные параметры — показатели качества и эффективности, которые используются для оценки оптимальности анализируемого варианта.
Математические описания элементов структуры проектируемого объекта известны и хранятся в базе данных. В результате формирование математической модели представляет собой по существу синтез абстрактной модели объекта. Процедура синтеза при этом легко формализуется и может быть автоматизирована.
Оптимизации подлежат обычно не все параметры объекта, а только некоторая их часть. Это обусловлено тем, что при проектировании технических объектов широко используются стандартные и унифицированные элементы, параметры которых не могут быть изменены. Параметры элементов объекта, подлежащие оптимизации, называют управляемыми параметрами.
При проектировании часто ограничиваются сравнением нескольких альтернативных вариантов структур, а иногда поиск решения заканчивают, если найден вариант, удовлетворяющий заданным техническим требованиям. Такое проектное решение называют допустимым.
Если сравнивается ограниченное число вариантов структур, то основными компонентами технологического маршрута проектирования являются: синтез структуры, анализ и оптимизация параметров вариантов структур, процедура оценки и принятия решения.
21
1.4.	ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
Рассмотрим общие вопросы постановки задач проектирования, полагая, что проектирование технического объекта осуществляется в среде САПР в соответствии со схемой типового маршрута, приведенной на рис. 1.1.
Техническое задание на проектирование обычно представляет собой вербальное (словесное) описание целей и задач проектирования данного объекта. Эти задачи, как отмечалось ранее, носят оптимизационный характер. Для осуществления проектирования конкретного технического объекта необходима его математическая модель и формализация понятия «оптимальный». В этом и заключается существо постановки задачи.
Результатом выполнения маршрута проектирования являются проектное решение и проектные документы, содержащие информацию о структуре и выходных параметрах технического объекта и о параметрах его элементов (внутренних параметрах объекта) при заданных внешних параметрах.
В общем случае задача проектирования имеет следующую математическую формулировку: определить структуру и внутренние параметры технического объекта, доставляющие экстремум некоторой скалярной функции при заданных ограничениях ф (X) > О, ф(Х) = О, где X — вектор оптимизируемых параметров.
Функцию f(x) называют целевой функцией или функцией качества. Она количественно выражает качество технического объекта. Эффективность и качество функционирования объекта характеризуются его выходными параметрами, поэтому они выступают в роли критериев оптимальности. Так как физические свойства объекта характеризуются множеством выходных параметров, то задача оказывается многокритериальной.
Процедура постановки задачи проектирования носит неформальный характер и включает следующие этапы: выбор критериев оптимальности, формирование целевой функции, выбор управляемых (оптимизируемых) параметров, назначение ограничений, нормирование управляемых и выходных параметров. Содержание этих этапов будет раскрыто позже при изучении методов оптимизации.
Многокритериальность задачи создает сложности формирования целевой функции и приводит к множеству возможных решений. Выделение некоторого подмножества решений задачи относится к проблеме выбора и принятия решения. Задачей принятия решения называют кортеж а =< W, 0 >, где W — мно
22
жество вариантов решений задачи; 0 — принцип оптимальности, дающий представление о качестве вариантов, в простейшем случае правило предпочтения вариантов. Решением задачи сс называют множество WOK cz W , полученное на основе принципа оптимальности.
Задачи принятия решений классифицируют по наличию информации о множестве W и принципе оптимальности 0 .
Если W и 0 неизвестны, возникает общая задача принятия решения. Это наиболее сложная задача, так как данные для получения WOK определяют в процессе ее решения. Задачу с известным 0 называют задачей выбора, а задачу с известными W и 0 — задачей оптимизации.
Построение W в общем случае является задачей выбора. Следовательно, общую задачу принятия решений можно свести к решению последовательных задач выбора. Информацию о физических свойствах вариантов W при этом доставляет ЭВМ, а выбор осуществляет лицо, принимающее решение (ЛПР), т.е. проектировщик.
Сложность задачи принятия решения обусловлена условиями неопределенности, характерными для начальных стадий проектирования технического объекта. Это приводит к необходимости многократного повторения процедур проектирования по мере раскрытия неопределенностей.
Раздел математической теории принятия решений в условиях неполной определенности называют теорией статистических решений.
1.5.	КЛАССИФИКАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
При проектировании технических объектов используют множество видов математических моделей, в зависимости от уровня иерархии, степени декомпозиции системы, аспекта, стадии и этапа проектирования.
На любом уровне иерархии объект проектирования представляют в виде некоторой системы, состоящей из элементов. В этой связи различают математические модели элементов и систем.
При переходе к более высокому иерархическому уровню блочного структурирования система низшего уровня становится элементом системы нового уровня, и наоборот, при переходе к низшему уровню элемент становится системой. В этом случае часто оказывается нецелесообразным использование одних и тех же видов математических моделей на разных уровнях. Обычно чем ниже уровень иерархии блочного структурирования технического объекта, тем более детальное описание его физических свойств.
Следовательно, на низших уровнях используют наиболее сложные математические модели. На высших уровнях могут быть с успехом применены более простые модели. Их можно получить путем аппроксимации моделей низших иерархических уровней.
В общем случае уравнения математической модели связывают физические величины, которые характеризуют состояние объекта и не относятся к перечисленным выше выходным, внутренним и внешним параметрам. Такими величинами являются: скорости и силы — в механических системах; расходы и давления — в гидравлических и пневматических системах; температуры и тепловые потоки — в тепловых системах; токи и напряжения — в электрических системах.
Величины, характеризующие состояние технического объекта в процессе его функционирования, называют фазовыми переменными (фазовыми координатами). Вектор фазовых переменных задает точку в пространстве, называемом фазовым пространством. Фазовое пространство, в отличие от геометрического, многомерное. Его размерность определяется количеством используемых фазовых координат.
Обычно в уравнениях математической модели фигурируют не все фазовые переменные, а только часть из них, достаточная для однозначной идентификации состояния объекта. Такие* фазовые переменные называют базисными координатами. Через базисные координаты могут быть вычислены значения и всех остальных фазовых переменных.
К математическим моделям предъявляются требования адекватности, экономичности, универсальности. Эти требования противоречивы, поэтому обычно для проектирования каждого объекта используют свою оригинальную модель.
Модель считается адекватной, если отражает исследуемые свойства с приемлемой точностью. Точность оценивается степенью совпадения предсказанных в процессе вычислительного эксперимента на модели значений выходных параметров с истинными их значениями. Погрешность модели 8 по всей совокупности т учитываемых выходных параметров оценивается одной из норм век-тора eM=(6i, е2,..., ет):
j е [1 : т
= max 8;
ИЛИ
8 — 8М
(1.1)
(1.2)
где 8у — относительная погрешность модели по /-му выходному
параметру:
24
е/ ={yj- У] )/У];
уj — значение j-ro выходного параметра, полученное в результате вычислительного эксперимента на принятой для проектирования математической модели; г/у — значение того же параметра, полученное при испытаниях технического объекта в контролируемых тестовых условиях или в вычислительном эксперименте на более сложной математической модели, точность которой проверена и отвечает принятой норме.
Математические модели технических объектов, используемые при проектировании, предназначены для анализа процессов функционирования объектов и оценки их выходных параметров. Они должны отображать физические свойства объектов, существенные для решения конкретных задач проектирования. При этом математическая модель должна быть как можно проще, но в то же время обеспечивать адекватное описание анализируемого процесса.
Классификация математических моделей, используемых при проектировании технических систем, приведена на рис. 1.2.
В зависимости от степени абстрагирования при описании физических свойств технической системы различают три основных иерархических уровня: верхний, или метауровень; средний, или макроуровень; нижний, или микроуровень.
Метауровень соответствует начальным стадиям проектирования, на которых осуществляется научно-технический поиск и прогнозирование, разработка концепции и технического решения, разработка технического предложения. Для построения математических моделей метауровня используют методы морфологического синтеза, теории графов, математической логики, теории автоматического управления, теории массового обслуживания, теории конечных автоматов.
На макроуровне объект проектирования рассматривают как динамическую систему с сосредоточенными параметрами. Математические модели макроуровня представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти модели используют при определении параметров технического объекта и его функциональных элементов.
На макроуровне объект представляется как сплошная среда с распределенными параметрами. Для описания процессов функционирования таких объектов используют дифференциальные уравнения в частных производных. На микроуровне проектируют неделимые по функциональному признаку элементы технической системы, называемые базовыми элементами. Примерами таких элементов являются рамы, панели, корпусные детали, валы, дис
25
ки фрикционных механизмов и др. Проектирование их основано на анализе сложнонапряженного состояния. При этом, естественно, базовый элемент рассматривается как система, состоящая из множества однотипных функциональных элементов одной и той же физической природы, взаимодействующих между собой и находящихся под воздействием внешней среды и других элементов технического объекта, также являющихся внешней средой по отношению к базовому элементу.
На всех рассмотренных иерархических уровнях используют следующие виды математических моделей: детерминированные и вероятностные, теоретические и экспериментальные факторные, линейные и нелинейные, динамические и статические, непрерывные и дискретные, функциональные и структурные.
По форме представления математических моделей различают инвариантную, алгоритмическую, аналитическую и графическую модели объекта проектирования.
В инвариантной форме математическая модель представляется системой уравнений (дифференциальных, алгебраических) вне связи с методом решения этих уравнений.
В алгоритмической форме соотношения модели связаны с выбранным численным методом решения и записаны в виде алгоритма — последовательности вычислений.
Аналитическая модель представляет собой явные зависимости искомых переменных от заданных величин (обычно зависимости выходных параметров объекта от внутренних и внешних параметров). Такие модели получают на основе физических законов либо в результате прямого интегрирования исходных дифференциальных уравнений, используя табличные интегралы. К ним относятся также регрессионные модели, получаемые на основе результатов эксперимента.
Графическая (схемная) модель представляется в виде графов, эквивалентных схем, динамических моделей, функциональных, кинематических и алгоритмических схем, диаграмм, циклограмм и т.п. Для использования графических моделей должно существовать правило однозначного соответствия условных изображений элементов графической и компонентов инвариантной математических моделей.
Среди алгоритмических моделей выделяют имитационные модели, предназначенные для имитации физических и информационных процессов, протекающих в объекте при функционировании его под воздействием различных факторов внешней среды.
Математические модели могут представлять собой функциональные зависимости между выходными, внутренними и внешними параметрами:
Виды математических моделей технических объектов
Рис. 1.2. Классификация математических моделей (ТО — технический объект)
Y = F(X,Q),
(1.3)
гдеУ,Х, Q —векторы выходных, внутренних и внешних параметров соответственно: У = (z/y), j = 1,тп; X - (xt), i = 1,п ;
Q = (qk), k=l,l; m, n, I — число выходных, внутренних и внешних параметров соответственно; F(«) — вектор-функция.
Математическая модель вида (1.3) относится к аналитической. Она позволяет легко и просто решать задачи определения оптимальных параметров. Поэтому, если представляется возможность получения модели в таком виде, ее всегда целесообразно реализовать, даже если при этом придется выполнить ряд вспомогательных процедур. Такие модели обычно получают методом планирования эксперимента (вычислительного или физического).
Деление математических моделей на функциональные и структурные определяется характером отображаемых свойств технического объекта.
Структурные модели отображают только структуру объектов и используются при решении задач структурного синтеза. Параметрами структурных моделей являются признаки функциональных или конструктивных элементов, из которых состоит технический объект и по которым один вариант структуры объекта отличается от другого. Эти параметры называют морфологическими переменными. Структурные модели имеют форму таблиц, матриц и графов. Наиболее перспективно применение древовидных графов типа И-ИЛИ-дерева. Они позволяют аккумулировать накопленный опыт, используя описания всех существующих аналогов, известных из патентной литературы и гипотетических объектов. Такие модели наиболее широко используют на метауровне при выборе технического решения.
Функциональные модели описывают процессы функционирования технических объектов и имеют форму систем уравнений. Они учитывают структурные и функциональные свойства объекта и позволяют решать задачи как параметрического, так и структурного синтеза. Их широко используют на всех иерархических уровнях, стадиях и этапах, при функциональном, конструкторском и технологическом проектировании. На метауровне функциональные модели позволяют решать задачи прогнозирования, на макроуровне — выбора структуры и оптимизации внутренних параметров технического объекта, на микроуровне — оптимизации параметров базовых элементов и несущих конструкций.
По способам получения функциональные математические модели делятся на теоретические и экспериментальные.
Теоретические модели получают на основе описания физических процессов функционирования объекта, а экспериментальные — на основе изучения поведения объекта во внешней среде, рассматривая его как кибернетический «черный ящик». Эксперименты при этом могут быть физические (на техническом объекте или его физической модели) или вычислительные (на теоретической математической модели).
При построении теоретических моделей используют физический и формальный подходы.
Физический подход сводится к непосредственному применению физических законов для описания объектов, например законов Ньютона, Гука, Кирхгофа, Фурье и др.
Формальный подход использует общие математические принципы и применяется при построении как теоретических, так и экспериментальных моделей.
Построение теоретических формальных моделей основано на вариационном принципе Гамильтона—Остроградского. Для динамических систем с сосредоточенными параметрами вариационный принцип приводит к уравнениям Лагранжа второго рода.
Экспериментальные модели — формальные. Они не учитывают всего комплекса физических свойств элементов исследуемой технической системы, а лишь устанавливают обнаруживаемую в процессе эксперимента связь между отдельными параметрами системы, которые удается варьировать и (или) осуществлять их измерение. Варьируемые параметры при этом называют факторами. Такие модели дают адекватное описание исследуемых процессов лишь в ограниченной области факторного пространства, в которой осуществлялось варьирование факторов в эксперименте. Поэтому экспериментальные математические модели носят частный характер, в то время как физические законы отражают общие закономерности явлений и процессов, протекающих как во всей технической системе, так и в каждом ее элементе в отдельности. Следовательно, экспериментальные факторные модели не могут быть приняты в качестве физических законов. Вместе с тем методы, применяемые для построения этих моделей (метод статистических испытаний, регрессионный анализ, корреляционный анализ, планирование эксперимента и др.), широко используются при проверке научных гипотез.
Функциональные математические модели могут быть линейные и нелинейные.
Линейные модели содержат только линейные функции фазовых переменных и их производных. Характеристики многих элементов реальных технических объектов нелинейные. Математические модели таких объектов включают нелинейные функции фазовых переменных и (или) их производных и относятся к нелинейным.
29
С целью упрощения задач проектирования на высших иерархических уровнях используют простые линейные модели. Если описание технического объекта представлено системой линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, то, применяя преобразование Лапласа, ее можно привести к системе алгебраических уравнений с комплексными переменными, решение которой значительно проще, чем исходной системы дифференциальных уравнений. Такой подход используется для построения математических моделей на метауровне. В моделях макроуровня следует учитывать нелинейные свойства технического объекта.
Если при моделировании учитываются инерционные свойства технического объекта и (или) изменение во времени параметров объекта или внешней среды, то модель называют динамической, В противном случае модель статическая. Выбор динамической или статической модели определяется режимом работы технического объекта, положенным в основу проводимой процедуры анализа в маршруте проектирования. Большинство задач функционального проектирования требует использования динамических моделей. При конструкторском проектировании часто применяют статические модели, а динамические эффекты процесса функционирования объекта учитывают при формировании нагрузочных характеристик посредством коэффициентов динамичности, определяемых в процессе функционального проектирования.
Математическое представление динамической модели в общем случае может быть выражено системой дифференциальных уравнений, а статической — системой алгебраических уравнений. Динамическая модель может также представлять собой интегральные уравнения, передаточные функции, а в аналитической форме — явные зависимости фазовых координат или выходных параметров технического объекта от времени.
Воздействия внешней среды на технический объект носят случайный характер и описываются случайными функциями. При проектировании также учитывается случайный разброс параметров элементов объекта, обусловленный технологическим процессом изготовления. Все процессы, происходящие в объекте, также случайны и могут быть оценены вероятностными и статистическими характеристиками: вероятностью выполнения тех или иных требований, корреляционной функцией, спектральной плотностью, математическим ожиданием, дисперсией и др. Анализ функционирования объекта в этом случае требует построения вероятностной математической модели. Однако такая модель весьма сложная и ее использование при проектировании требует больших затрат машинного времени. Поэтому ее применяют чаще на заключительном этапе проектирования.
30
Большинство проектных процедур выполняется на детерминированных моделях. Детерминированная математическая модель характеризуется взаимно однозначным соответствием между внешним воздействием на динамическую систему и ее реакцией на это воздействие. В вычислительном эксперименте при проектировании обычно задают некоторые стандартные типовые воздействия на объект: ступенчатые, импульсные, гармонические, кусочно-линейные, экспоненциальные и др. Их называют тестовыми воздействиями.
1.6.	РЕЖИМЫ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
В зависимости от характера внешних возмущающих и управляющих воздействий технический объект может находиться в установившемся или неустановившемся состоянии. Изменение его состояния выявляется анализом поведения фазовых координат.
Установившееся состояние технической системы достигается при неизменных характеристиках внешних воздействий. Если воздействия непрерывно меняются, то состояние системы будет неустановившимся. Режим работы системы при этом называют динамическим. Он сопровождается непрерывным изменением фазовых координат, определяющих характер движения системы в динамическом неустановившемся режиме.
Характерные примеры установившегося режима — состояние покоя и состояние равномерного движения всех элементов технической системы. Такие состояния также называют статическими или равновесными. Статичность состояния определяется неизменностью реакций взаимодействия всех элементов технической системы при постоянных внешних воздействиях.
Предположим, что на техническую систему, находящуюся в установившемся состоянии равновесия, в некоторый момент времени tQ приложено ступенчатое воздействие вида
F(t) =
Eq, £ > £q, О, t < tQ,
(1.4)
где Fq = const — модуль ступенчатого воздействия.
Движение системы будет определяться ее внутренними физическими свойствами и внешним воздействием. Пусть состояние технической системы характеризуется фазовой координатой x(t). Изменение ее после приложения ступенчатого воздействия можно представить в виде суммы двух составляющих: переходной хп(£) и вынужденной xB(t). Переходная составляющая устойчивой тех
нической системы с течением времени затухает (стремится к нулю) и система приходит в новое установившееся состояние равновесия, характеризуемое вынужденной составляющей хв(0 = хк = const. Следовательно, при приложении ступенчатого воздействия система осуществляет переход из одного установившегося состояния в другое, находясь при этом в течение некоторого времени в динамическом режиме. Такой динамический режим называют переходным процессом, а графики изменения фазовых координат системы — переходными характеристиками.
Если внешние воздействия на систему переменны во времени, то они вызывают в ней непрерывный ряд переходных процессов и состояние системы в течение всего времени наблюдения будет неустановившимся.
Переходные процессы возникают также при изменении структуры или параметров технической системы в процессе ее функционирования.
Если внешнее воздействие F(t) периодическая функция, для которой 2*0 “ Asin(coB^ + ф) (см. формулу (1.4)), то после затухания свободных колебаний (переходной составляющей) в устойчивой системе установятся вынужденные колебания с частотой со в и некоторыми постоянными амплитудами ABi = k^A, где k} — постоянный коэффициент, i — номер фазовой координаты системы. Такое состояние системы также относится к установившемуся, а режим называют стационарным режимом колебаний.
Рассмотренные динамические режимы технических объектов являются модельными. Они предназначены для проведения сравнительного анализа множества альтернативных вариантов в процессе синтеза. На самом деле в техническом объекте такие режимы в чистом виде практически не встречаются. Однако модельные режимы позволяют значительно облегчить и ускорить решение проектных задач, так как детерминированные модели гораздо проще вероятностных. Получаемая при этом информация об объекте хотя и не претендует на полноту, но оказывается практически полезной. Детерминированное моделирование широко используется на начальных стадиях проектирования. Заключительные стадии проектирования выполняют на вероятностных моделях.
Внешние воздействия реальной среды обитания технической системы описываются случайными функциями, а изменения фазовых координат системы представляют собой случайные процессы. Техническая система в этом случае все время находится в динамическом режиме.
32
При постоянных характеристиках случайных процессов их называют стационарными, а при переменных — нестационарными. Способы анализа и оценки выходных параметров системы при стационарных и нестационарных случайных процессах различны. В последнем случае они значительно сложнее, чем в первом, поэтому необходимость учета нестационарности при моделировании должна быть обоснованной.
Рассмотрим основные задачи анализа, решаемые при проектировании технических систем. В зависимости от модельного режима, положенного в основу решения конкретной проектной задачи, различают следующие виды анализа: статических состояний; переходных процессов; устойчивости; стационарных режимов колебаний; частотных характеристик; чувствительности; статистический.
Анализ статических состояний относится к задачам статики, а остальные виды анализа — к задачам динамики.
На макроуровне проектирования исходная математическая модель технического объекта представляет собой систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которая в нормальной форме Коши имеет вид
dV/dt = F(V, U, t),
(1-5)
где V — вектор фазовых координат; U — вектор внешних воздействий; t — независимая переменная — время.
Параметры элементов технического объекта X тоже входят в математическую модель (1-5), но только в качестве коэффициентов при переменных V .
Выходные параметры объекта Y непосредственно не фигурируют в системе (1.5). Они определяются по результатам решения V(t) системы уравнений. Большинство выходных параметров имеют смысл функционалов зависимостей фазовых координат
Y - Ф V(t)
Функционал представляет собой отображение класса функций в класс чисел. Примеры функционалов: определенные интегралы, экстремальные значения функций, значения функций при заданных значениях аргументов и т.п.
Система уравнений (1.5) описывает динамические режимы функционирования технического объекта. Анализ этих режимов заключается в решении системы уравнений (1.5) и последующем определении выходных параметров объекта. Задавая начальные условия V(0) = v0, находят решения V(t), а затем вычисляют
значения выходных параметров У , используемых в качестве
критериев при оптимизации внутренних параметров объекта X .
Критерии — это показатели качества и эффективности технического объекта. Их подразделяют на следующие группы: назначения; надежности; экономного использования сырья, материалов, топлива, энергии и трудовых ресурсов (экономические); ограничения вредных воздействий продукции (экологические); безопасности; стандартизации и унификации.
Математическая модель в виде (1.5) непосредственно используется при анализе переходных процессов, устойчивости, стационарных режимов колебаний. Эта же модель позволяет решать и задачи анализа статических состояний. Численное решение системы уравнений (1.5) при неизменных внешних воздействиях через конечный отрезок времени приводит к стационарной точке V* , в которой dv/dt = 0 . Это и будет точкой реше
ния задачи статики.
Математической моделью статических состояний является система алгебраических уравнений. Очевидно, что при dv/dt = О система дифференциальных уравнений (1.5) оказывается системой алгебраических уравнений
F(V, U) = 0.	(1.6)
Решение уравнений (1.6), безусловно, проще, однако не всегда процедура перехода от уравнений (1.5) к уравнениям (1.6) тривиальна. Например, для получения математической модели, описывающей состояние покоя технической системы, требуются соответствующие преобразования уравнений, обусловленные необходимостью перехода к геометрическим координатам, определяющим пространственное положение элементов системы. Этим и объясняется широкое применение в САПР уравнений (1.5), когда анализ статических состояний лежит в основе технологического маршрута проектирования технического объекта (см. рис. 1.1).
Частотный анализ проводится для определения резонансных режимов, для исследования передачи или преобразования информационных сигналов, представленных в частотной области. Если математическая модель линейная, используют преобразование Фурье и система уравнений (1.5) преобразуется в систему линейных алгебраических уравнений с комплексными переменными, которая затем используется для определения частотных характеристик объекта. Процедура преобразования дифференциальных уравнений в алгебраические называется алгебраизацией исходной дифференциальной задачи. Но полученная при этом модель тем
3. Зак. 3006
не менее описывает динамические свойства объекта. При алгеб-раизации нелинейной системы применяют метод гармонической линеаризации.
Частотными методами можно также решать задачи анализа устойчивости и стационарных режимов колебаний. Они часто используются на верхнем иерархическом уровне проектирования.
Анализ чувствительности выполняется для оценки влияния вариации параметров объекта на изменение целевой функции. Сложный технический объект обычно имеет множество внутренних параметров. Решение задачи оптимизации в этом случае вызывает значительные трудности. Вместе с тем не все параметры эффективно изменяют целевую функцию. Поэтому целесообразно их классифицировать и отобрать для оптимизации лишь те параметры, которые оказывают наибольшее влияние на целевую функцию. Такие параметры называют управляемыми. Выбор управляемых параметров осуществляют до решения проектных задач синтеза.
2.	МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НА МИКРОУРОВНЕ
2.1.	ОБЪЕКТЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ НА МИКРОУРОВНЕ
Макроуровень — это нижний иерархический уровень декомпозиции объектов проектирования по степени абстрагирования при составлении математического описания. На этом уровне осуществляется детальное описание физических свойств технического объекта. Объекты рассматриваются как сплошные среды, имеющие конечные области определения, выделяемые в трехмерном геометрическом пространстве. Такие объекты представляют собой динамические системы с распределенными параметрами. Их также называют непрерывными системами. Функционирование этих систем описывается дифференциальными уравнениями в частных производных.
Общий вид уравнений математической модели описания физических свойств технического объекта с распределенными пара-
метрами
(2.1)
или в компактной форме
(2.2)
36
где L — дифференциальный оператор; ср — искомая функция (фазовая координата); — пространственные координаты; п —количество пространственных координат; t — время; Z — вектор независимых переменных; 0(Z) — известная функция независи
мых координат.
Независимыми переменными в этих моделях являются про-
странственные координаты Xj,i = 1,п , и время t. Фазовая координата — функция независимых переменных.
Размерность задачи определяется числом пространственных координат п: при п == 1 — объект одномерный; при п = 2 — двумерный; при п = 3 — трехмерный.
Если уравнение содержит одну фазовую переменную, система описывается одним уравнением вида (2.1), если несколько фазовых переменных, т.е. вектор Ф = ((р1,(р2>--*»Фт)> то системой уравнений.
Если фазовые переменные не являются явными функциями времени, задачу анализа объекта называют стационарной, в противном случае — нестационарной. Стационарная задача характеризует статическое состояние технического объекта. Динамические режимы функционирования объекта относятся к нестационарным задачам и для их оценки требуются исследования переходных процессов.
Уравнение (2.1) имеет множество решений. Для получения единственного решения необходимо задать краевые условия. Краевые условия включают граничные и начальные условия. Граничные условия — это сведения об искомых непрерывных функциях (р и (или) их производных на границе S области определения объекта Q, характеризующие условия взаимодействия с окружающей внешней средой. Начальные условия — это значения этих же функций во всей области определения в начальный момент времени. Начальные условия задаются только при решении нестационарных задач (при исследовании переходных процессов).
Исходное дифференциальное уравнение в частных производных (2.1) вместе с краевыми условиями носит название дифференциальной краевой задачи и представляет собой математическую модель технического объекта с распределенными параметрами.
Существует несколько стандартных способов задания граничных условий. Для теплового объекта, представляющего собой твердое гомогенное (однородное) тело, используют граничные условия первого, второго и третьего родов.
Граничные условия первого рода означают задание на границе S области определения объекта Q значений (ps искомой функции фазовой переменной ср.
При граничных условиях второго рода задают на границе значения частных производных искомой функции по пространственным координатам.
Граничные условия третьего рода представляют собой уравнения баланса потоков, характеризующих обмен энергией объекта с окружающей внешней средой.
В некоторых случаях, например для гетерогенных (неоднородных по составу материала) тепловых объектов, могут быть и иные граничные условия.
Состояние объекта характеризуется изменением во времени фазовых координат, определяемых в различных его точках. Задача анализа процесса функционирования технического объекта на микроуровне заключается в определении функций фазовых координат для множества точек, выделенных в области определения объекта.
Объекты с распределенными параметрами могут быть различной физической природы: механические, гидравлические, тепловые, электрические, магнитные и др.
Механические объекты представляют собой элементы и базовые детали машин и механизмов: корпуса, рамы, панели, валы, крылья самолетов, лопасти турбин и др. При анализе механических объектов находят деформации и напряжения. Они определяют несущую способность конструктивных элементов, надежность и нормальные условия функционирования базирующихся на них других элементов объекта.
При проектировании многих технических объектов возникает необходимость анализа теплонапряженности деталей, выбора оптимальных размеров и конфигурации теплообменников и решения многих других задач теплопередачи. В тепловых объектах определению подлежат температурные поля и термические напряжения.
При анализе гидравлических и пневматических систем определяют режимы течения сплошных потоков жидкостей и газов, характеризуемые скоростями и давлениями.
Обычно в исходные уравнения (2.1) входят не все фазовые координаты, характеризующие процессы функционирования технического объекта, а только базисные, например деформации — в модели механической системы, температуры — в тепловой системе и т.д. Остальные фазовые координаты (например, напряжения в упомянутых системах) определяют через базисные координаты на основе уравнений, устанавливающих между ними соответствующие соотношения.
38
2.2.	ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НА МИКРОУРОВНЕ
Для построения математических моделей технических объектов с распределенными параметрами используют фундаментальные физические законы. К ним относятся, прежде всего, законы сохранения (массы, энергии, количества движения).
Общая формулировка закона сохранения: изменение во времени некоторой субстанции в элементарном объеме равно сумме притока-стока этой субстанции через его поверхность с учетом скорости генерации или уничтожения субстанции в этом объеме.
Уравнение, соответствующее данной формулировке, имеет вид
dq>/dt = -divJ + G,	(2.3)
где (р — фазовая переменная (координата), выражающая субстанцию; J — вектор плотности потока фазовой переменной; div J — дивергенция вектора J ; G — скорость генерации или уничтожения субстанции.
У трехмерного технического объекта вектор J состоит из трех составляющих, направленных параллельно осям декартовой системы координат х, у, 2, т.е. J = (JX9 JU9J2). Дивергенция век-тора J — скалярная величина, определяемая выражением
div J = dJx/dx + dJy /ду + dJz/dz.	(2.4)
Дивергенция вектора плотности потока характеризует сумму притока-стока субстанции через поверхность элементарного объема. В качестве субстанции в различных физических законах выступают: масса, энергия, количество движения и др.
Уравнение закона сохранения массы
=-div Jp,	(2.5)
где р — плотность массы, кг/м3; Jp — вектор плотности потока массы:
Jp = ри;	(2.6)
v — вектор скорости переноса массы.
Уравнение (2.5) в гидроаэродинамике называют уравнением неразрывности.
В одномерном случае, когда скорость направлена лишь вдоль оси х, уравнение (2.5) имеет вид
dp/dt = -д(ро)/дх.	(2.7)
39
Плотность потока массы Jp = pv измеряется в кг/(м2-с). Уравнение закона сохранения энергии
d(pE)/dt = - div Je+Ge,	(2.8)
где Е = е + р2/2 — полная энергия единицы массы; е — внутрен-няя энергия единицы массы; рГ — энергия единицы объема, Дж/м3; Jp — вектор плотности потока энергии; Gp — скорость генерации или поглощения энергии в единице объема, Дж/(м3-с).
В одномерном случае поток энергии направлен только вдоль оси х, тогда Jp = Jex » а уравнение (2.8) принимает вид d(pE)/dt = -dJEx/dx +
&Ех-	(2.9)
Плотность потока энергии измеряется в Дж/(м2-с).
Уравнение закона сохранения количества движения используют при моделировании движения потока жидкости. Для потока идеальной жидкости (без учета сил трения, обусловленных вязкостью) уравнение имеет вид
d(pv)/dt = -v div (ри) - grad р,	(2.10)
где ри — вектор количества движения единицы объема жидкости; р — давление жидкости; grad р — градиент давления.
Градиентом называют векторную функцию скалярного аргумента. Компонентами вектора градиента являются частные производные аргумента по пространственным координатам. Градиент давления grad р - (dp/dx^dp/dy^dp/dz).
одномерного потока жидкости получаем
d(pv)/dt = -vd(pv)/dx - др/дх.	(2.11)
При учете массовых сил и сил трения уравнение закона сохранения количества движения имеет вид
до/dt = GM - (grad р - r)V2u - т] grad div и/3)/р,	(2.12)
где Сод — напряженность поля массовых сил; rj — динамическая
вязкость; V2 —оператор Лапласа:	V2u •= (d2u/dx2) i +
+(d2v/dy2)j +(d2u/dz2)k .
Выражение (2.12) называют уравнением Навъе—Стокса.
Уравнения математических моделей микроуровня объектов другой физической природы можно найти в литературных источниках, например в [7,19].
2.3.	МОДЕЛИ ТЕПЛОВЫХ СИСТЕМ НА МИКРОУРОВНЕ
Процесс переноса тепловой энергии (теплоты) в пространстве с неоднородным полем температуры называется теплообменом. Теплообмен может осуществляться теплопроводностью, конвекцией и тепловым излучением.
Температурным полем называется совокупность значений температуры для всех точек пространства в данный момент времени. Температурное поле скалярное, так как температура — скалярная величина. Если температура Т является функцией только пространственных координат T(x,y,z), то процесс теплообмена стационарный и температурное поле стационарное. Если температура изменяется во времени, то процесс теплообмена и температурное поле нестационарные.
Соединив точки теплотехнического объекта, имеющие одинаковую температуру, получим поверхность равных температур, называемую изотермической.
При проектировании теплотехнических объектов на микроуровне используют уравнение теплопроводности, связывающее изменение температуры во времени и пространстве со свойствами среды. Это уравнение позволяет выполнять анализ температурных полей в твердых телах — деталях машин.
Уравнение теплопроводности может быть получено на основе закона сохранения энергии. Применительно к тепловой системе закон сохранения энергии можно сформулировать так: изменение во времени количества тепловой энергии в элементарном объеме равно сумме притока-стока энергии через его поверхность с учетом выделения энергии в том же объеме в единицу времени внутренними источниками (или поглощения энергии стоками).
По аналогии с уравнением (2.8) можно записать
dQ/dt = -div q + Gq ,	(2.13)
где Q — количество тепловой энергии в единице объема, Дж/м3; q — вектор плотности теплового потока, Дж/(м2 с); Gq — количество тепловой энергии, выделяемое в единицу времени в рассматриваемом элементарном объеме, Дж/(м3-с).
Выделение (или поглощение) тепловой энергии внутри тела может происходить из-за объемных химических реакций, прохождения электрического тока, фазовых превращений материала при изменении температуры и т.п. Величина Gq характеризует мощность внутренних источников теплоты (или стоков).
Изменение количества тепловой энергии в единице объема dQ пропорционально изменению температуры dT :
dQ = CpdT,	(2.14)
где С — удельная теплоемкость материала теплотехнического объекта, Дж/(кг-К); р — плотность материала.
Плотность теплового потока q в соответствии с законом Фурье пропорциональна градиенту температуры:
g=-XgradT,	(2.15)
где X — коэффициент теплопроводности материала теплотехнического объекта, Дж/(с-м-К); grad Т = (дТ/дх, дТ/ду, дТ/дг) — градиент температуры.
С учетом выражений (2.14) и (2.15) уравнение (2.13) приводится к виду
ar/Si = (Ср)-1 [ div(X grad т) + Gq ].	(2.16)
Для однородного изотропного тела X = const . Тогда
8T/8t = ат div grad Т + Gq /(Ср),	(2.17)
где ат = Х/(Ср) — коэффициент температуропроводности, м2/с.
Выражение дивергенции градиента температуры можно записать в виде
div grad Т= V2T = д2т/дх2 + д2т/ду2 + д2т/дг2 , (2.18) 2
где V — оператор Лапласа.
Для одномерного случая, когда теплопередача осуществляется только вдоль оси х, получаем
dT/dt = ат д2т/дх2 + Gq/ Ср.	(2.19)
Для решения уравнений (2.16), (2.17), (2.19) должна быть задана функция Gq = GQ(x,y,z,t) и краевые условия — начальные и граничные. Кроме того, необходимо описание геометрии теплотехнического объекта (его формы и размеров), а также физических свойств объекта и среды (значений параметров р,X,С).
Для многих теплотехнических объектов можно принимать Cq=O.K ним, в частности, относятся объекты, представляющие собой твердые тела: стенки теплообменников и корпусных деталей машин, диски и барабаны фрикционных муфт и тормозов и др. В этом случае уравнение теплопередачи для объекта, выполненного из материала, обладающего изотропными теплофизическими свойствами,
dT/dt = aTV2T.	(2.20)
Для одномерного случая
dT/dt = ат д2т/дх2 .	(2.21)
4. Зак. 3006
42
При описании граничных условий в зависимости от наличия информации о теплообмене на граничной поверхности принимают различные допущения. В простейшем случае задают граничные условия первого рода. При этом задается распределение температуры на граничной поверхности объекта S как функция координат и времени
Tg = q(x,y,z,t), x,y,z&S.	(2.22)
Граничные условия второго рода описывают распределение производных температуры по пространственным координатам на поверхности S
(dT/dn)s = \y(x,y,z,t), xfy,zeSf	(2.23)
где дТ/дп — модуль вектора градиента температуры.
Учитывая формулу (2.15), можно отметить, что граничные условия второго рода характеризуют распределение плотности теплового потока на граничной поверхности S.
При отсутствии теплового потока на поверхности объекта теплообмен с внешней средой не осуществляется. В этом случае говорят, что граничная поверхность объекта теплоизолирована. Граничные условия теплоизолированного объекта
(dT/dn)s = 0.	(2.24)
При проектировании технических объектов часто встречается случай, когда часть граничной поверхности теплоизолирована, а на остальной части осуществляется теплообмен с внешней средой.
Граничные условия третьего рода позволяют конкретизировать характеристики теплообмена с внешней средой. При этом задается распределение плотности теплового потока на граничной поверхности. Функция плотности теплового потока зависит от способа теплообмена. Для технических объектов наиболее характерны три способа: конвективный теплообмен твердого тела с окружающей газовой или жидкостной средой, генерирование на граничных поверхностях тепловых потоков в процессе трения контактирующих поверхностей и тепловое излучение.
При конвективном теплообмене плотность теплового потока на граничной поверхности пропорциональна разности температуры окружающей среды Тс и температуры граничной поверхности Tg
qs=a(Tc-Ts),	(2.25)
где а — коэффициент теплообмена (теплопередачи) через конвекцию, Дж/(с-м2-К).
Уравнение (2.25) выражает закон Ньютона. Принимая во внимание, что, согласно выражению (2.15), модуль вектора плотности теплового потока qg^-'kdT/dn, можно записать следующее уравнение баланса тепловых потоков:
XдТ/дп + ос(Тс -Ts) = 0.	(2.26)
Выражение (2.26) представляет собой уравнение граничного условия третьего рода при конвективном теплообмене.
Отметим, что выражения граничных условий первого и второго рода являются частными случаями уравнения (2.26). Так, при а -> оо и Л = const или при Z, —> оо и ot = const получаем
lim —(дТ/ дп) о сс/Х-»оо Сх/Л,
в результате Tg = Тс и приходим к граничным условиям первого
рода.
Если положить ot —> 0 , получим частный случай граничных условий второго рода — при теплоизолированной граничной поверхности.
При генерировании теплового потока на граничной поверхности, что характерно для фрикционных механизмов, подшипников скольжения и т.п., уравнение граничного условия третьего рода имеет вид
^dT/dn + qg = 0.	(2.27)
При лучистом теплообмене между твердым телом и внешней средой плотность теплового потока определяется по закону Стефана—Больцмана
qs = еа(Т4 - Т4),	(2.28)
где 8 — степень черноты поверхности, характеризующая ее излучательную (или поглощающую) способность; ст — постоянная Стефана—Больцмана.
На основе выражений (2.22) — (2.28) можно получить уравнения граничных условий для одномерного теплотехнического объекта.
Уравнения граничных условий первого рода Ts0 = <pi(0 при х = °;
TS, = <Р2(0 при X = L,
(2.29)
где Тд0 — температура на левой границе; TgL — температура на правой границе; L — клина объекта вдоль оси х.
Уравнения граничных условий второго рода (дТ / dx)s^ = v|/j(O при х = 0;
(dT/dx)s =у2(£) при х = L.f
Если какая-либо из границ (правая или левая) теплоизолирована, то дТ / дх - 0 для этой границы.
Граничные условия третьего рода при конвективном теплообмене
(2.30)
. дТ дх , дТ Л,--
дх
+ «оС^со - Ts0) = ° при х = °;
+ “L^cr, -TSr) = 0 ПРИ X = L; ь L
(2.31)
при генерировании теплового потока на граничных поверхностях
X----f qg =0 при х = 0;
дх 0	I
дТ
X----f qg =0 при х - L;
дх L
при теплообмене излучением
X + 8лС>( Г4 - Г4 1=0 при х = 0;
дх ' со 7
Л,—+ 8го(т4 -74 1=0 при x = L, дх	' CL bL 1
(2.32)
(2.33)
где ТСо и ТС£ — температура окружающей среды соответственно на левой и правой границах; 8g и 8£ — степень черноты левой и правой граничных поверхностей.
Отметим, что на левой и правой граничных поверхностях могут быть различные виды теплообмена.
Многие теплотехнические объекты выполняют многослойными. Обычно один из слоев обеспечивает несущую способность, а другие выполняют роль теплоизолирующих или фрикционных элементов. В многослойном объекте наряду с теплопроводностью имеет место теплообмен соприкасающихся твердых тел. Математическая модель объекта должна включать описание условий этого теплообмена. При анализе температурных полей все части объекта необходимо рассматривать совместно. Для каждой части (слоя) записывают свое уравнение теплопроводности, а краевыми условиями будут условия сопряжения, выражающие равенство температур и равенство плотностей тепловых потоков на поверхностях соприкасающихся частей:
T1S =T2S-,	(2.34)
45
Х1 (ату / a^)s = х2 (ат2 /dn)s.	(2.35)
Уравнения (2.34) и ^2.35) описывают граничные условия четвертого рода.
Кроме ^рассмотренных встречаются и другие виды граничных условий. Например, ня поверхностях соприкосновения возможны фазовые превращении вещества, требующие учета затрат тепловой энергии.
Если внешние возде^ствия на объект, характеризуемые функциями краевых условие, непостоянны, процесс теплопередачи будет нестационарным.~ для получения однозначного решения уравнений математической модели в этом случае надо кроме краевых условий задать и Начальные условия. При этом задается распределение температуры по Всей области определения объекта Q в начальный момент вреК[ени ПрИ _ g .
= У> г)> х, I/, z g Q .	(2.36)
Совокупность уравнеътеплопроводности и граничных условий составляет матем^тичесКуЮ модель теплового объекта на макроуровне. Результатам решения этих уравнений является температурное поле объек^а> на основании которого можно судить о его работоспособности Ограничение работоспособности на-
ступает при достижении пр^дельных значений температуры и напряжений, допускаемых для материала, из которого изготовлен объект. Напряжения в тепловом объекте определяются суммой напряжений от механическое нагрузки и термических напряжений, обусловленных градие^том температуры. Температурное поле позволяет определить тер^ические напряжения.
2.4.	МОДЕЛИ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА МИКРоуроВНЕ
В технических системах широкое применение находят гидравлические и пневматические приводы. При большой длине гидравлических или пневматических магистралей в них возникают волновые процессы, исслед<^вание которых возможно на основе непрерывных моделей, исп^ЛЬЗуЮщИХ дифференциальные уравнения в частных производнь$Хе
Основные физические свойства жидкостей и газов — текучесть, сжимаемость и непре^ывность потока. Текучесть оценивается вязкостью, сжимаемости — модулем объемной упругости.
Все применяемые на Практике жидкости и газы представляют собой обычные ньютпо^овС7Ше вязкие среды. В такой среде при взаимных перемещенцях
ее элементов возникают силы внутреннего трения. Напряя^ения Трения в ньютоновской жидкости пропорциональны относ^-тельным скоростям, или скоростям сдвига.
46
Жидкости обычно имеют сравнительно большую вязкость и слабую сжимаемость. Газы, наоборот, отличаются малой вязкостью и высокой сжимаемостью. Тем не менее математическое описание физических свойств жидкостей и газов на микроуровне можно выполнить на основе одних и тех же законов. Поэтому в дальнейшем будем говорить о жидкостной сплошной среде.
Движение жидкости в трубопроводе обычно рассматривают как одномерный сплошной поток. При этом положение поперечного сечения потока относительно начала отсчета геометрической координаты, выбираемого на левой граничной поверхности трубопровода, определяется одной координатой х. Значение х не зависит от кривизны осевой линии трубопровода, а равно ее длине от начала отсчета до рассматриваемого сечения.
Для описания движения жидкости используют закон сохранения массы и закон сохранения количества движения.
Закон сохранения массы выражает свойство непрерывности потока жидкости в трубопроводе и записывается в виде
д р / dt - -д(ри) / дх,	(2.37)
Уравнение Навье—Стокса в одномерном случае, выражающее закон сохранения количества движения элементарной массы, согласно (2.12), имеет вид
д2о
дх2
(2.38)
При анализе движения жидкости массовыми силами пренебрегают. Тогда
в трубопроводе обычно
dv	1 др 4 д2о
— =----—+ —ц—
dt	р дх 3 дх2
(2.39)
Находит применение также приближенная форма уравнения Навье—Стокса
до dt
(2.40)
где — коэффициент линеаризованного вязкого трения в трубо
проводе.
Иногда при исследованиях пренебрегают вязкостью жидкости. Принимая г) = 0 в выражении (2.39), получаем уравнение Эйлера для одномерного потока в трубопроводе постоянного сечения
до _ 1 др dt	р дх
(2.41)
Уравнение Эйлера учитывает лишь инерционные свойства потока, а уравнение Навье—Стокса — инерционные и диссипативные (рассеивание энергии) свойства.
Уравнения (2.37) и (2.39) сведем в единую систему
др	до
dt	дх
до _ 1 др 4 д2о dt р дх 3 П дх2
(2.42)
Уравнения (2.42) представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с тремя неизвестными функциями: скорости о, давления р и плотности р . Чтобы сделать систему определенной, необходимо в нее добавить уравнение связи между р и р.
Будем предполагать, что поток жидкости изолирован от притока тепла извне. Такой процесс движения жидкости называют адиабатическим. Характерная его особенность — постоянство энтропии [15]. Следовательно, адиабатический процесс является изоэнтропическим.
Для газа в рассматриваемом случае плотность можно выразить через давление на основании уравнения состояния
— =	1 Л,	(2.43)
р	k
где R — газовая постоянная; Т — температура; k — показатель адиабаты: k = Ср / Су ; Ср и Су — удельная теплоемкость газа при постоянном давлении и постоянном объеме соответственно; h - СрТ — энтальпия.
В пневматических приводах большинства технических объектов в качестве рабочего тела используют воздух. Параметры воздуха при Т = 273,15 К и Ро = 1 Па: Р = 1,293 кг/м3; Ср =1,006 103 Дж/(кг-К); Су=0,718103 Дж/(кг-К); показатель
адиабаты k = 1,405.
Следует также учитывать зависимость динамической вязкости от температуры. Обычно используют степенную зависимость вида
ц = По(7Ь / Т)п .	(2.44)
Показатель степени п для воздуха при температуре
90...300 К равен (-0,889), а при температуре 300...400 К п = -0,75.
48
Эта же формула годится и для рабочих жидкостей, используемых в гидроприводах. В температурном интервале 303 < Т < 423 К принимают п < 2,77.
Зависимость плотности от давления для жидкостей представляется следующим обобщенным уравнением изоэнтропы:
(р + В) / рп = const.
(2.45)
При проектировании машиностроительных гидроприводов часто принимают линейную аппроксимацию зависимости изменения давления от относительного изменения объема жидкости при ее сжатии. Эта зависимость устанавливается законом Гука и в од-
номерном случае имеет вид
(2.46)
где Е — модуль объемной упругости жидкости, который при адиабатическом процессе определяется выражением Еа = Vdp / dV ; V — объем жидкости.
Учитывая слабую сжимаемость рабочих жидкостей гидроприводов, полагают р = const и для анализа полей скоростей и
давлений в трубопроводе используют систему дифференциальных уравнений
dv _ 1 др 4 д2о . dt	р дх 3 дх2 ’
^Р- = -Е — .
dt дх
(2.47)
Значение модуля объемной упругости зависит от типа жидкости, давления, температуры, скорости деформации и характера термодинамического процесса. Наибольшее влияние на него оказывает давление, поэтому для минеральных масел обычно используют линеаризованную зависимость
Еа =Еао + Аар.	(2.48)
Коэффициент пропорциональности Аа зависит от типа жидкости и ее температуры. Так, для жидкости АМГ-10 при Т = 293 К Еао = 1,68-Ю3 МПа; Аа = 12,75.
Реальная жидкость в гидроприводах обычно представляет собой двухфазную газожидкостную смесь. Воздух в этой смеси может находиться в растворенном и нерастворенном состоянии. Растворенный воздух практически не влияет на свойства рабочих жидкостей. Нерастворенный воздух содержится в жидкости в
виде пузырьков. Вследствие значительно большей сжимаемости воздуха по сравнению со сжимаемостью жидкости модуль объемной упругости газожидкостной двухфазной смеси уменьшается, причем это уменьшение является существенным при малых давлениях.
Для определения модуля объемной упругости газожидкостной смеси Ес используется приближенное выражение
Po
Еа
LXq	IX a \J
Е„ + Аар
LXq	LX jl
z \l/k
Ев I PO
(2.49)
1 - Еи 1J
\ p J
p
E(1q + AaP
где 8B — относительный объем газовой фазы в смеси; k — показатель адиабаты сжатия воздуха; р$ — давление, при котором определен модуль объемной упругости Еа() (обычно принимают избыточное давление р$ =0).
Для минеральных масел, используемых в машиностроительных гидроприводах, параметры находятся в следующих пре
делах: EaQ = (1,35...1,92) 103 МПа; Аа=12...13; 8В == 0,005...0,06; k = 1,4.
Распределенные модели используются при анализе высокочастотных колебаний в системах гидравлических и пневматических приводов. Для решения систем уравнений (2.42) и (2.47) необходимо задать краевые условия. Обычно принимают граничные условия первого рода и задают функции давлений и скоростей на левой и правой границах участка трубопровода:
р =
v = <Р2(*);
(2.50)
где L — длина участка трубопровода.
Начальными условиями являются значения этих же функций в начальный момент времени tQ = 0 во всех контролируемых точках трубопровода. Если функции (2.50) не зависят от времени, процесс движения жидкости в трубопроводе будет стационарным. Его характеристики зависят только от граничных условий. Начальные условия задаются для исследования нестационарных (переходных) процессов, обусловленных переменными внешними воздействиями, определяемыми функциями (2.50).
50
2.5.	МОДЕЛИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА МИКРОУРОВНЕ
Технический уровень изделий машиностроения в значительной мере определяется рациональным выбором геометрических параметров входящих в их состав механических элементов. Форма и размеры элементов, их взаимное расположение в конечном счете определяют важнейшие параметры технического объекта — его массу и габариты, показатели надежности и долговечности.
Для решения задачи выбора геометрических параметров технического объекта необходим анализ напряженно-деформированного состояния его элементов. Значения напряжений и деформаций позволяют оценить прочность, долговечность, виброустойчивость конструктивных элементов и осуществить поиск их оптимальных размеров и конфигурации.
Примеры объектов проектирования: валы двигателей и трансмиссий, корпуса, рамы, панели и стержневые конструкции автомобилей, самолетов, станков, кораблей и др.
Современные методы анализа напряженно-деформированного состояния несущих элементов различных технических систем базируются на использовании моделей с распределенными параметрами. В основе построения таких моделей лежит теория упругости. Динамические модели различных элементов технических объектов сводятся к стержневым, пластинчатым, оболочечным или объемным системам, находящимся под действием произвольных механических нагрузок (сосредоточенных, распределенных, детерминированных, случайных и др.). Эти модели представляют собой динамические системы с распределенными параметрами, функционирование которых описывается дифференциальными уравнениями в частных производных.
Математической моделью анализа напряженно-деформированного состояния элемента механической системы является основное уравнение теории упругости — уравнение Ламе. Это уравнение выводится из условия динамического равновесия твердого тела под действием приложенных к нему сил, включая и силу инерции.
Выделим в твердом теле элементарный параллелепипед (рис. 2.1). Сформулируем условия его равновесия: геометрическая сумма сил, приложенных к выделенному элементарному параллелепипеду, включая его силу инерции, равна нулю. При этом учитываются распределенные нагрузки на гранях параллелепипеда и массовая сила. Распределенные нагрузки представляются нормальными и касательными напряжениями. Учитывая
закон о парности касательных напряжений, согласно которому
°31“°13> получаем уравнения равновесия в
g12 - с21>
с23 ~ с32>
проекциях на оси Xj, Х2,
Рис. 2.1. Компоненты напряжений на гранях элементарного параллелепипеда
+ pgt, i = 1,2,3,	(2.51)
где р — плотность материала твердого тела; щ — перемещение элемента вдоль оси Xf, (Jij — напряжение, действующее в направлении оси xt в грани элемента, перпендикулярной оси Xj. pg} — проекция вектора массовых сил pg на ось xit g — вектор ускорения свободного падения.
Напряжения связаны с деформациями , а
последние — с перемещениями щ. В случае линейной зависимости между ними,
устанавливаемой законом Гука, для анизотропного тела имеем
3
си =	+ 2Цеп;	(2.52)
7=1
ну = 2ц£у при i ф i,
где Eij — деформация, вычисляемая по формуле
(2.54)
Хи ц — постоянные Ламе, характеризующие упругие свойства
среды:
« _ Ev
(1 + v)(l - 2v) ’
(2.55)
(2.56)
Е — модуль упругости; v — коэффициент Пуассона.
52
Заменяя напряжения на деформации в уравнениях равновесия (2.51), получаем основное уравнение теории упругости, называемое уравнением Ламе
р	- (X + ц) grad div L7 4- pV2(7 4- pg,	(2.57)
dt2
-	2
где U — вектор перемещений; V — оператор Лапласа.
Модели для анализа напряжений и деформаций часто оказываются более удобными, если представлены в интегральной форме, вытекающей из вариационных принципов механики. Вариационный принцип Лагранжа (принцип потенциальной энергии) гласит, что потенциальная энергия системы получает стационарные значения на тех кинематически возможных перемещениях, отвечающих заданным граничным условиям, которые удовлетворяют условиям равновесия. Поэтому модель представляют в виде выражения потенциальной энергии Еп системы как разность энергии деформации Е& и работы W массовых и приложенных поверхностных сил:
En=ER-W,
где Ед = 0,5/етос/Л; ет = (ец,£22>Е33>Е12>Е13>Е2з)— вектор-стро-R
ка деформаций; 5 = (а11,а22,а33» а12,п13,а2з)Т — вектор-столбец
напряжений; R — область определения искомой функции.
Введем матрицу
	X 4- 2ц	X	X	0	0
	X	X 4- 2ц	X	0	0
D =	X	X	X 4- 2ц	0	0
	0	0	0	2ц	0
	0	0	0	0	2ц
	0	0	0	0	0
0 0 о о о 2ц
(2.58)
Используя матрицу (2.58), уравнения (2.52) и (2.53) можно записать в лаконичной форме
При использовании принципа Лагранжа вместо решения уравнения (2.57) требуется минимизировать функционал
(2.60)
п
53
2.6.	ПРИБЛИЖЕННЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НА МИКРОУРОВНЕ
Точные решения дифференциальных краевых задач удается получить лишь для немногих частных случаев. Проектирование технических объектов на микроуровне осуществляют на основе приближенных математических моделей, получаемых путем аппроксимации исходных моделей. Так же поступают и при решении большинства исследовательских задач. Аппроксимация осуществляется посредством дискретизации и алгебраизации дифференциальной краевой задачи.
Дискретизация представляет собой замену областей непрерывного изменения пространственных координат xt, i - 1, п , и времени t дискретным множеством точек. Эти точки называют узлами сетки и в них определяют искомые значения фазовой переменной <р . В этом случае непрерывная функция <р (х, заменяется множеством ее значений в узлах сетки. В результате функция и все ее аргументы оказываются дискретизированными.
Используя значения функции в узлах сетки, можно через них приближенно выразить частные производные дифференциальных уравнений* описывающих исследуемый процесс технического объекта и краевые условия. Тогда дифференциальные уравнения в частных производных преобразуются в алгебраические уравнения. В этом заключается суть алгебраизации дифференциальной краевой задачи.
Приближенные математические модели технических объектов на микроуровне получают на основе методов сеток.
В зависимости от способов осуществления дискретизации и алгебраизации краевых задач различают два метода сеток: метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ). Рассмотрим основные особенности этих методов.
Напомним, что технический объект на микроуровне представляет собой сплошную среду, локализуемую в некоторой ограниченной области R геометрического пространства, определяемой вектором координат X , т.е. X е R . Координаты геометрического пространства в дальнейшем будем обозначать х, у, z9 тогда X (х9 у9 z) .
В МКР дискретизация задачи заключается в покрытии области R сеткой и замене непрерывного множества независимых переменных X в области R конечным множеством точек Xk, являющихся узлами сетки. Сетка может быть прямоугольной, косоугольной, с постоянными или переменными расстояниями
54
Рис. 2.2. Дискретизация области определения объекта моделирования с помощью сетки (а) и аппроксимация границы области (б)
между узлами (шагами сетки). Наиболее часто используют сетку с постоянными величинами шагов. Такую сетку называют регулярной. На рис. 2.2, а показан пример построения сетки для двумерного объекта. Шаги сетки вдоль координатных соей х и у обозначены соот-
ветственно hx и hy . Узлы сетки, попавшие внутрь области R , называются внутренними. Точки пересечения прямых, образую
щих сетку, с границей S области R называются граничными узлами.
Алгебраизация задачи в МКР выполняется путем замены дифференциального оператора Lcp уравнения (2.2) разностным. При этом частные производные dtp / дх, Зср / ду, dtp / дх аппроксимируют отношениями конечных разностей, выражаемых через конечное множество значений функции (р (xk, yk, zk) в узлах сетки. В нестационарной задаче, когда ср зависит не только от геометрических координат, но и от времени t, т.е. ср = (р (х, у, х, t), дискретизации подлежит также независимая переменная t.
Дискретизация задачи в МКЭ осуществляется иначе, чем в
МКР. Область геометрического пространства R разделяется на непересекающиеся подобласти — конечные элементы (КЭ). В одномерных задачах КЭ представляют собой отрезки линий, в двумерных имеют форму треугольников или прямоугольников, в трехмерных — тетраэдров или параллелепипедов. Непрерывная фазовая переменная ср здесь также заменяется конечным числом
значений в точках с координатами х^, у^, х^, определяющими положения узловых точек упомянутых геометрических фигур в об
ласти R геометрического пространству.
Различаются также способы алге^раизации дифференциальных уравнений в МКЭ и МКР. В МКР аппроксимируются производные, а в МКЭ аппроксимируется искомое решение (р[х) некоторой функцией Xi с неопределенными коэффициентами.
55
Качество аппроксимации обеспечивается путем составления и последующей минимизации соответствующего функционала. В результате обеспечивается минимизация ошибки аппроксимации. При этом задача сводится к решению системы алгебраических уравнений.
Таким образом, общим в обоих сеточных методах является то, что они сводят исходную краевую задачу к системе алгебраических уравнений.
При использовании МКР возникают сложности в обеспечении точности математического описания граничных условий. В общем случае геометрическая область определения объекта R может иметь сложную форму границы S. Тогда граничные узлы отстоят от ближайших к ним внутренних узлов на расстояния, меньше шага сетки (рис. 2.2, б). Это приводит к необходимости либо отказа от регулярной сетки, либо замены действительной линии образующей граничной поверхности S ломаной линией S'. В любом варианте значительно осложняется моделирование технического объекта.
Поскольку КЭ могут иметь различные формы и размеры, такой проблемы в МКЭ не существует. Это одно из основных преимуществ МКЭ перед МКР, что позволяет применять его при проектировании деталей машин сложной конфигурации. В этой связи он нашел самое широкое применение в САПР.
МКР также широко применяется при решении инженерных и исследовательских задач.
Метод конечных разностей. Представим дифференциальное уравнение (2.2) в следующем виде:
5<р / 5t + L<p(xj = e(±,z),	(2.61)
где X — вектор геометрических координат: X = (x,y,z)T.
Дифференциальный оператор L(p(x) может включать первые, вторые, третьи и т.д. производные функции ср по независимым переменным х, у, г. Эти производные при алгебраизации задачи заменяются отношениями конечных разностей.
Выполним алгебраизацию уравнения (2.61), полагая, что технический объект одномерный и моделируемый процесс стационарный, т.е. X = х; dq/dt = O. Предположим, что дифференциальный оператор L(p (х) = 6(р / дх . Тогда исходное дифференциальное уравнение имеет вид дер / дх = б(х).
Осуществим дискретизацию независимой переменной х, введя сетку с постоянным шагом h, и заменим частную производную дер / дх следующим отношением конечной разности:
56
дер/дх = [ф(х + h)~ ф(х)]/h.	(2.62)
Подставляя выражение (2.62) в исходное дифференциальное уравнение, получаем разностное уравнение
ф(х + h)- ср (х)- 7Ю (х) = 0.	(2.63)
Пронумеруем узлы сетки от 0 до n-Ы. Узлы с номерами 0 и
п+1 будут граничными, а узлы 1, п — внутренними. В результате дискретизации независимой переменной х она получает следующие значения в узлах сетки: х = 0, Л, (п + l)h . Подставляя
последовательно эти значения в уравнение (2.63), получаем сис
тему алгебраических уравнений:
ф(л)-ф(о)-йе(о)= 0;
ф(2й)-ф(й)-ле(л) = 0;
(2.64)
Ф [(п +1) й] - ф(пй)- ЙО (пй) = 0.
В системе уравнений (2.64) б(г) при х=0, h, 2h, ... — задан-ная функция, определяемая в узлах сетки, а ср (б) и cp[(n + 1)/г] — значения фазовой переменной ср в граничных узлах, определяемые из уравнений, описывающих граничные условия. Если граничные условия описываются дифференциальными уравнениями в частных производных, то для определения ф(о) и ср[(п + 1)/г] они также должны быть подвергнуты конечно-разностной аппроксимации .
Решив систему алгебраических уравнений совместно с разностными уравнениями граничных условий, найдем дискретный ряд значений функции ср во всех внутренних узлах сетки, т.е. значения ф (ft), ф (2й),..., (р (пй). Чем меньше шаг сетки h9 тем точнее результаты определения функции ср по приближенной математической модели (2.64). Однако при этом увеличивается размерность системы уравнений и возрастают затраты времени на получение решения.
Аппроксимация частной производной дер / дх выражением (2.62) не единственная. Существуют и другие конечно-разностные выражения. При аппроксимации производных удобно пользоваться шаблонами, приведенными на рис. 2.3. Шаблоны на рис. 2.3, а — г используются для одномерных задач, а на рис. 2.3, д — ж — для двумерных. Шаблон представляет собой
часть сетки, включающую множество узлов Xk , значения пере
менных в которых используются при аппроксимации производ
57
ных в заданном узле X . Узлы Xk на рис. 2.3 показаны кружками, а узел X* обведен дополнительной окружностью. Слева от шаблонов указан аппроксимируемый дифференциальный оператор, а рядом с узлами сетки записаны значения коэффициентов, с которыми соответствующие величины (р^ входят в конечноразностные выражения.
Направления осей координат на рис. 2.3 выбраны таким образом, чтобы полученные результаты вычислений функции ср^ в таблице, напечатанной на принтере, располагались в порядке следования узлов сетки.
Шаблоны, показанные на рис. 2.3, а, б, в, позволяют составить выражения соответственно правой, левой и центральной конечно-разностных аппроксимаций производной дер / дх :
Рис. 2.3. Шаблоны для разностной аппроксимации дифференциальных операторов
us
— Ф/+1 Ф/>
= ф£ -Фг-i;
2h
— Фг+1 Фг-1-
(2.65)
(2.66)
(2.67)
Для второй производной, согласно рис. 2.3, г, получаем
h2—= cpj+i -2<pz +<рг_1.	(2.68)
дхл *
х
В выражениях (2.65) — (2.68) индекс i при искомой переменной ср соответствует номеру узла сетки.
Шаблоны, показанные на рис. 2.3, д — ж, используются при решении двумерных задач. Сетка в этом случае разделяет объект на вертикальные слои вдоль координаты х и на горизонтальные слои вдоль координаты у, отделяя слои друг от друга соответствующими плоскостями (вертикальными и горизонтальными). Координаты этих плоскостей обозначены соответственно xi-l^ xi> xi+l и У]-1* У]> У]+1 > где i и j — номера плоскостей. Узлы
сетки находятся на пересечениях вертикальных и горизонтальных плоскостей, а их расположение на координатной плоскости xOz/ определяется двумя координатами: по оси х и по оси у.
В результате искомая переменная (р должна иметь двойной индекс. Например, значение ср , соответствующее узлу сетки с ко-
ординатами и У]-\, обозначается	. Принимая сетку с
шагами hx ~ hy = h , составим конечно-разностные аппроксима-
ции дифференциальных операторов, шаблоны для которых приведены на рис. 2.3, д — ж:
где
9	9	9
оператор Лапласа (в двумерной задаче V = д ср / дх +
+ д\/ду2).
59
Подстановка выбранных аппроксимаций производных в исходное уравнение (2.61) и в уравнения граничных условий преобразует их для стационарной задачи в систему разностных уравнений
г(й)=О,	(2.72)
а для нестационарной — в систему обыкновенных дифференциальных уравнений
dV / dt = F (v),	(2.73)
где V — вектор, элементами которого являются значения фазовой переменной ср во внутренних узлах сетки.
Традиционно МКР применяют при моделировании движения жидкостей и газов в трубопроводах и теплообменных процессов. Рассмотрим примеры применения МКР для моделирования теплопередачи в одномерных и двумерных теплотехнических объектах.
Пример 2.1. Аппроксимировать исходную математическую модель одномерного теплового объекта при стационарной теплопередаче, полагая отсутствие в нем внутренних источников.
Согласно выражению (2.19), дифференциальное уравнение теплопроводности в этом случае ат(д2Т /дх2) = 0 .
Если объектом является изотропное тело, то ат = const для всей области R . Применяя регулярную сетку hx = h = const и используя выражение (2.68), получаем систему разностных уравнений
(7J-1 -2Tt +Тг+1)= О, 1 =	(2.74)
Если объект представляет собой стержень постоянного сечения и состоит из участков, изготовленных из материалов, различающихся физическими свойствами, то для аппроксимации частной производной д%Т / 5х2 необходимо использовать следующее конечно-разностное отношение:
е2т =	2	(тм - т, _ Tt - Tt!'
hi + hi+i hi+y	hi )
Математическая модель теплопередачи в этом случае должна также учитывать различие коэффициента температуропроводности ат для участков стержня. В результате получаем
fy+i	hi
Введем обозначение у; =	/(«Ti^i+1) и выполним приведение подоб-
ных:
Ti-i ~ Gi + l)^i + 7iTi+i = °, i = 1, n.	(2.75)
Очевидно, что уравнение (2.74) является частным случаем уравнения (2.75) при у. = 1 . Используя (2.75), составим разностные уравнения для всех внутренних узлов i = 1, п , перенеся в правые их части значения функции Т в граничных узлах:
60
(2.76)
~(yi + 1)^ +Y1T2 = -To; ^1 “ (y2 + 1)^2 + 72^3 = ^2 ~ (y3 + 1)^3 + Y3^4 = 0;
?n-l “ (Yzi + l)^n = ~lnTn+l-Уравнения (2.76) можно записать в матричной форме
АТ = В,
(2.77)
где А — матрица коэффициентов системы алгебраических уравнений (2.76), называемая матрицей Якоби; Т— вектор искомых значений функции; В — вектор внешних воздействий, определяемый заданными краевыми условиями.
Выпишем матрицу А системы уравнений (2.76):					0 0 0 0	(2.78)
А =	-(yi +1) Y1		0 Y2 -(y3+1) ... 1	0 0 0 0		
	1 0 0	- (y2 + 1) 1 0				
	о 0	0	0	-(y/i-i + i)	Yn-i	
	0	0	0	1	- (y« +1).	
Матрица А оказалась ленточной трехдиагональной. Это объясняется тем, что в данном случае при аппроксимации частной производной использовался трехточечный шаблон согласно рис. 2.3, г. В результате в каждом уравнении системы (2.76) фигурируют не более трех неизвестных.
Для определения значений функции Т в граничных точках, т.е. TQ и тп+1 , необходимо использовать уравнения граничных условий. Рассмотрим решение задачи для двух вариантов граничных условий: первого рода и третьего рода при конвективном теплообмене с ркружающей средой.
Граничные условия первого рода описываются выражением (2.22). В одномерном случае при стационарной теплопередаче задаются значения TQ = const и
Tn+1 = const , которые непосредственно подставляются в уравнения (2.76).
Граничные условия третьего рода при конвективном теплообмене описываются выражением (2.26). В одномерном случае для левой и правой граничных поверхностей получаем следующие выражения:
(2.79)
где А-! и Хл+1 — коэффициенты теплопроводности левого и правого граничных
слоев; q и а2 — коэффициенты теплообмена через конвекцию на левой и правой граничных поверхностях; Тс1 и Тс2 — температуры окружающих сред на левой и правой границах; b — размер объекта по оси х (длина стержня).
Предположим, что Тс1 > Тс2 . Тогда градиент температуры в левом граничном слое будет отрицательным, а в правом — положительным. Учитывая это и используя выражение конечно-разностной аппроксимации (2.65), получаем
61
Из этих выражений находим
Т0 = (7,1+Р17’с1)/(1 + Р1);
Tn+i = (Тп + р2Тс2)/(1 + р2),
(2.80)
(2.81)
где Pi = 04 /(hfa) ; Р2 = ос2 /(hn+1Xn+1) .
Значения функции Т в граничных узлах, определяемые выражениями (2.80) и (2.81), необходимо подставить в систему уравнений (2.76). Решение этой системы позволяет получить искомые значения температуры во всех внутренних узлах объекта.
Для решения системы алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов разработан и широко применяется весьма эффективный метод, называемый методом прогонки. Этот метод рассматривается в разделе 8.11.
В одномерной нестационарной задаче уравнение теплопро-(2	21
д Т / дх I. МКР преобразует это уравнение в систему обыкновенных дифференциальных уравнений.
В заключение отметим, что математические модели одномерных объектов микроуровня посредством конечно-разностной аппроксимации частных производных искомых функций по гео-
метрическим координатам можно легко привести к моделям макроуровня, что будет показано в главе 3 для объектов различной физической природы, а также в разделе 5.7 при моделировании
теплопередачи в твердых телах.
Пример 2.2. Аппроксимировать исходную мерного теплового объекта.
математическую модель дву-
Рис. 2.4. Схема к примеру 2.2
Пусть объект представляет собой	изотропное тело
= Ху = Л.) прямоугольной формы (рис. 2.4), в котором отсутствуют внутренние источники (<?q = 0), а внешние воздействия стационарны. Тогда дТ / dt - 0 и в соответствии с (2.17) и (2.18) уравнение теплопроводности имеет вид
д2Т д2Т
+	= 0.	(2.82)
дх2 ду2
При дискретизации объекта используем прямоугольную
сетку с шагами hx и hy вдрлъ осей координат х и у. Если hx hy , тогда ап
проксимацию производных уравнения (2.82) по шаблону на рис. 2.3, г необходи-
XJZi
мо выполнять раздельно вдоль каждой из координатных осей. Для конечноразностного выражения, аппроксимирующего д2Т / дх2 , используем узлы, расположенные в вертикальной плоскости при , а для д2Т / ду2 — в горизонтальной
плоскости при xt :
д2т/дх2 = (т^ - 2TtJ + Ti+lij)/h2-, д2т/ду2 - (т;>Л1 -2Ти +TlJ+1)/h2.
Подставим эти выражения в уравнение (2.82):
Тм_1 - 2(г + 1)тг>/ + TlJ+1 +	+ TMJ) = 0;	(2.83)
i = 1, n; j = 1, m,
где у = (hy / hx) 2 — для изотропного тела или у = aTXh2 /(aTyh2) — для анизотропного тела при Хх Ф Ху ; пит — количества рядов внутренних узлов сетки соответственно вдоль осей х и у (на рис. 2.4 п=4, т=7).
Порядок полученной системы алгебраических уравнений (2.83) равен п х т . Очевидно, что он значительно выше, чем для одномерной задачи. Еще более высокий порядок системы получается для трехмерных объектов, что требует огромных вычислительных затрат при решении подобных задач.
Используя выражения (2.83), составим уравнения для всех узлов с номерами j = 1, т при i = 1 , перенося при этом в правые части уравнений значения функции У, соответствующие граничным узлам:
где 7*01,...,ТОт — значения функции Т в граничных узлах, соответствующих х=0; 7*10 — значение функции Т в граничном узле с координатами х - hx‘f у - 0; 7*1 >гп+1 — то же в узле с координатами х = hx;y = (m + l)hy .
Для узлов с номерами j = 1,т при i = 2 получаем
-2(у + 1)Т*21 + ^22 + Y^ii + У^31 ~ ~^20»
^21 “ 2(у + 1)7*22 + 7*23 + уТ*12 + У?32 = Ф
^22 “ 2(у + 1)^23 + ^24 + У^13 + У ^33 = Ф	”
(2.85)
^2,т-1 ~ 2(у + 1)Т2пг + y7isZn + у ?з>т - ~Т2гп+1,
где Т2о — значение 7* в узле с координатами х = 2hx; у = 0; Т*2 щ+1 — то же в узле с координатами х = 2hx; у = (т + l)hy .
Остальные уравнения составляются аналогично. Количество таких систем уравнений равно п.
Для решения системы алгебраических уравнений (2.83) уравнения (2.84), (2.85) и др. необходимо привести к виду (2.77), т.е. заменить матрицу искомых
функций Titj, i - 1, n, j = 1, m (двумерный массив), вектором Tk, k = 1, (пт) . Это
преобразование выполняется на основе выражения k - j + (i - l)n.
Матрица коэффициентов системы уравнений
(2.86)
(2.77) для двумерной задачи
имеет вид
а	1	0	0	.
1	а	1	0	.
О	1	а	1	.
0 0 1а.
0	у	0	0	0	.
0	0	у	0	0	.
О	0	0	у	0	.
О	0	0	0	у	.
OOOO.alOOO. yOOO.lalOO. OyOO.OlalO. OOyO.OOlal. OOOy. 0001a.
О О О о о о о о
о о у О О у о о о о
о о о о о о о о
о о о о о о у О О у
(2.87)
OOOO.yOOOO.alOO OOOO.OyOOO.lalO 0000.00y00.01al 0000. ОООуО. 001a
В матрице А использовано обозначение а = -2(у + 1) .
Матрица А в данном случае оказалась пятидиагональной. Это обусловлено тем, что аппроксимация производных выполнялась по пятиточечному шаблону. Причем, диагонали с элементами у отстоят от главной диагонали на ±т столбцов. Кроме того, через каждые т элементов, отсчитываемых по главной диагонали, элементы двух смежных диагоналей оказываются равными нулю, в то время как остальные элементы этих диагоналей равны единице.
Вектор В правых частей системы уравнений (2.77) имеет такую же раз-
мерность, как и вектор искомых функций Т . Формирование вектора В нетрудно проследить на основе уравнений (2.84) и (2.85).
Для решения системы алгебраических уравнений (2.77) с пятидиагональной матрицей коэффициентов А используется метод матричной прогонки [19].
Метод конечных элементов. При решении задач, связанных с определением напряжений и деформаций в элементах конструкций технических объектов, наиболее часто используют МКЭ. Дискретизация такого объекта осуществляется с использованием конечных элементов, а алгебраизация задачи заключается в выборе аппроксимирующих функций для каждого КЭ. Малые размеры КЭ позволяют использовать простые аппроксимирующие функции причем одного и того же типа для всех КЭ опреде-
ленной формы. Обычно в качестве для отдельного КЭ применяют полиномы не выше третьей степени, например в одномерном случае:
64
u(x) =
i=0
Функции ЦХI в МКЭ представляют в форме

(2.88)
i=0
где коэффициенты qi имеют вполне определенный физический смысл — это значения аппроксимирующей функции в узловых точках; фДх) — функции, называемые координатными (или функциями формы); г — число узловых точек в конечном элементе.
В общем случае аппроксимации вектора ёр(Х) в тп-мерном пространстве выражение (2.88) принимает вид
(2.89)
где I — вектор размерности т х 1; Q — вектор размерности (тиг) х 1; N — интерполяционная матрица порядка т х (тпг), ее элементами являются координатные функции.
Важной процедурой МКЭ является выбор функционала, характеризующего качество используемой аппроксимации. Для механических систем в качестве такого функционала используют выражение потенциальной энергии (2.60). Минимизируя потенциальную энергию Еп , находят вектор перемещений u{x}. Деформации е^- связаны с перемещениями щ соотношениями (2.54), что можно выразить в матричной форме
811
822
833
812
813
823
2(д/дх1) о
о
д / дх2
д / дх%
0
о
2(6 / 6x2)
0
6 / 6Xj
0
6/ 6х3
0
о
2(6 / 6х3)
0
6 / дх±
д / 6х2
и±
и9
из
(2.90)
1
2
или более лаконично
(2.91)
где S — матрица-оператор дифференцирования.
Подставляя (2.91) в (2.60) и заменяя вектор его аппроксимацией VjXI по формуле (2.89), получаем
65
Еп = 0,5 $QTBTDBQdR - W, R где B=SN, Обозначим
К = $BTDBdR,	(2.92)
R
Матрицу К называют матрицей жесткости. Тогда Еп = 0,5QTKQ - W . В соответствии с принципом Лагранжа дифференцируем Еп по вектору Q и приравниваем нулю. В результате получаем систему алгебраических уравнений
KQ = Р,	(2.93)
где Р = dW / dQ — вектор правых частей, называемый вектором нагрузок.
Матрица жесткости К всей исследуемой детали составляется из матриц жесткости Ку отдельных КЭ. Матрицы Ку несут информацию о конфигурации и упругих свойствах материала конечных элементов и подсчитываются по формуле (2.92), в которой при этом под R понимается подобласть, относящаяся к рассматриваемому КЭ.
Более подробное и систематизированное изложение МКЭ можно найти в многочисленной литературе, например в [6,25,28].
5. Зак. 3006
3.	МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОСТЫХ ДИСКРЕТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
3.1.	ОБЪЕКТЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ НА МАКРОУРОВНЕ
На макроуровне осуществляют проектирование различных машин и механизмов. Объекты проектирования рассматриваются как сложные технические системы, состоящие из совокупности взаимодействующих элементов. Таким образом, в отличие от микроуровня, где объектами проектирования были детали машин (валы, корпуса, панели и т.п.), на макроуровне объект имеет сложную неоднородную структуру, состоящую из элементов — объектов проектирования микроуровня.
На микроуровне использовались математические модели, представляемые дифференциальными уравнениями в частных производных. Эти модели универсальны, дают наиболее полное описание физических свойств и позволяют решать любые задачи анализа технического объекта. Однако они чрезвычайно сложны даже для отдельного элемента машины или механизма и требуют значительных затрат времени на проведение анализа. Если рассматривать каждый элемент объекта макроуровня как сплошную среду, т.е. как динамическую систему с распределенными параметрами, то это сделает практически нереальным решение задач оптимизации структуры и параметров объекта.
67
Вместе с тем многие задачи проектирования успешно решаются с использованием более простых математических моделей. Эти модели можно получить путем аппроксимации распределенных моделей микроуровня на основе соответствующих допущений относительно представления структуры и физических свойств объекта. При этом динамическая система с распределенными параметрами путем дискретизации в пространственных координатах представляется совокупностью материальных объектов, выделенных из сплошной среды, — дискретных элементов с постоянными усредненными параметрами. Такую систему называют динамической системой с сосредоточенными параметрами.
Дискретный элемент в общем случае обладает инерционными, упругими и диссипативными свойствами (внутренние свойства системы). Различают простые и сложные элементы. Простой элемент наделен только одним из упомянутых физических свойств, а сложный — более чем одним.
Основанием для дискретизации является наличие выраженного дискретного спектра собственных частот колебаний системы в ограниченном диапазоне (например, для механических систем — до 300 Гц). Дискретные системы оказываются вполне пригодными для анализа колебательных процессов в этом диапазоне частот.
Математическая модель динамической системы с сосредоточенными параметрами — система обыкновенных дифференциальных уравнений вида (1.5).
Таким образом, объекты проектирования на макроуровне рассматриваются как системы, состоящие из совокупности взаимодействующих дискретных элементов. Задача проектирования таких объектов состоит в определении оптимальных параметров и структуры исходя из заданного описания внешней среды и технических требований к объекту.
3.2.	ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕХНИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА НА МАКРОУРОВНЕ
Построение математической модели технического объекта осуществляется на основе его динамической модели. Динамическая модель — это абстрактное графическое отображение основных физических свойств технического объекта и характеристик взаимодействия с внешней средой.
При построении динамической модели следует принимать во внимание лишь те физические свойства объекта и воздействия внешней среды, которые могут оказать существенное влияние на точность результатов исследования моделируемого процесса
68
функционирования объекта. Такой подход позволит избежать необоснованной избыточности в его математическом описании. Но при этом должна быть обеспечена адекватность математической модели (см. раздел 1.5).
На этапе построения математической модели микроуровня в инвариантной форме динамическая модель объекта проста. Она представляет собой графическое изображение области определения объекта Q соответствующей конфигурации, определяемой граничной поверхностью S, посредством которой осуществляется взаимодействие объекта с внешней средой. Во многих случаях достаточно вербального описания динамической модели. Необходимость построения динамической модели микроуровня возникает лишь при разработке алгоритмической модели (см. раздел 2.6).
При построении математической модели макроуровня в инвариантной форме почти всегда необходима разработка динамической модели. Это объясняется тем, что структура динамической модели макроуровня гораздо сложнее. Она представляется в виде совокупности взаимодействующих дискретных элементов и ее сложность зависит от степени абстрагирования при отображении физических свойств объекта.
На макроуровне для выделения дискретных элементов из сплошной среды используют различные методы: сеток, функционально законченных элементов и сосредоточенных масс.
Методы сеток подразделяют на метод конечных разностей и метод конечных элементов. Они обычно используются при построении алгоритмической модели на микроуровне в процессе ал-гебраизации дифференциальных уравнений в частных производных, но могут применяться и для построения математической
модели макроуровня путем аппроксимации модели микроуровня.
Метод функционально законченных элементов основан на выделении типовых элементов технического объекта, завершенных в конструктивном отношении и предназначенных для выполнения определенных функций (например, в гидромеханической системе — участок гидромагистрали, золотниковый клапан, дроссель, обратный клапан, насос, гидромотор и др.). Имея библиотеку математических моделей функционально законченных элементов и зная структуру технического объекта, можно составить полную математическую модель.
Наиболее часто при построении динамической модели используют метод сосредоточенных масс. Этот метод применим, если система имеет явно выраженный дискретный спектр собственных частот. Это характерно для технических объектов, у которых масса распределена в пространстве неравномерно. Напри
69
мер, в механической системе автомобиля масса вращающихся деталей в основном сосредоточена в маховике двигателя, крупных шестернях трансмиссии, барабане стояночного тормоза, колесах, имеющих большие радиальные размеры и обладающих большими моментами инерции, а соединяющие их детали (валы, муфты, карданные передачи и др.) имеют малые радиальные размеры и массу, но обладают существенными упругими свойствами. Из названия метода следует, что он предназначен для моделирования технических объектов, мерой инертности элементов которых служит масса.
При построении динамической модели методом сосредоточенных масс выделяют некоторые абстрактные материальные субстанции, наделяя их определенными физическими свойствами. Такими субстанциями являются: сосредоточенные массы, эквивалентные массам соответствующих частей технического объекта, и элементы, лишенные массы (невесомые), отображающие характер взаимодействия сосредоточенных масс.
Сосредоточенные массы обладают инерционными свойствами и способностью накапливать кинетическую энергию. Их называют инерционными элементами. Количество выделяемых сосредоточенных масс в динамической модели равно числу ее степеней свободы.
Взаимодействие сосредоточенных масс осуществляется посредством упругих, диссипативных, фрикционных и трансформаторных элементов.
Упругие элементы отображают упругие свойства динамической системы. Они обладают способностью накапливать потенциальную энергию.
Диссипативные элементы отображают свойства диссипации (рассеивания) энергии конструктивными элементами технического объекта, обусловленные силами внутреннего трения, пропорциональными относительной скорости перемещения взаимодействующих сосредоточенных масс (или сосредоточенных масс относительно внешней среды, например, при движении жидкости в трубопроводе).
Фрикционные элементы отображают физические свойства фрикционных механизмов технического объекта.
Трансформаторные элементы отображают безынерционные преобразования параметров потока энергии, осуществляемые техническими устройствами, называемыми трансформаторами.
Следует отметить, что рабочие процессы трансформаторов в общем случае могут быть весьма сложными, в особенности если происходит преобразование одного вида энергии в другой. В та
70
ком случае необходима более детальная математическая модель трансформатора. Здесь же речь идет о тех случаях, когда внутренними процессами трансформатора можно пренебречь и учитывать лишь пропорциональные изменения величин выходных фазовых переменных по отношению к величинам переменных на его входе без преобразования вида энергии. Более подробно этот вопрос будет изложен в разделе 5.2.
Состояние сосредоточенных масс характеризуется фазовыми координатами типа потока. Это геометрические координаты и их первые производные по времени, позволяющие определять положение сосредоточенных масс в многомерном фазовом пространстве и скорости их движения.
Взаимодействие различных элементов динамической модели отображается переменными типа потенциала.
Фазовые координаты типа потока выбирают в качестве обобщенных координат. Количество независимых обобщенных координат системы равно числу ее степеней свободы. В общем случае не все введенные фазовые переменные типа потока будут независимыми. Переменные же типа потенциала всегда принадлежат к зависимым координатам и выражаются через переменные типа потока.
Направления фазовых координат типа потока выбирают таким образом, чтобы они отражали положительное направление потока передаваемой через техническую систему энергии внешних источников. При этом также учитываются ограничения, наложенные объектами внешней среды на свободу перемещения сосредоточенных масс. Направления фазовых координат типа потока должны быть отображены в динамической модели системы.
Ограничения на изменения геометрических координат и скоростей движения сосредоточенных масс динамической системы называют связями. Различают связи: геометрические (позиционные) и кинематические; удерживающие и неудерживающие (виртуальные); стационарные и нестационарные; голономные и неголономные. Математическое описание ограничений дается уравнениями связей. Каждое уравнение связи отображает тот факт, что данная связь лишает материальную систему одной степени свободы. При этом соответственно уменьшается количество независимых координат системы.
Если в динамической модели выбрать только такие независимые фазовые координаты, которые отображают лишь перемещения сосредоточенных масс, допускаемые позиционными удерживающими связями, то необходимость составления и использования уравнений этих связей исключается. Сложное дви-
71 жение твердого тела при этом раскладывается на простейшие составляющие — поступательное и вращательное.
При моделировании технического объекта с виртуальными и неголономными связями уравнения этих связей включаются в состав математической модели.
Для обозначения элементов в динамических моделях применяют графические изображения, используемые в кинематических и принципиальных схемах.
Пример 3.1. Используя метод сосредоточенных масс, построить динамическую модель для анализа плавности хода автомобиля.
В связи с неровностями дороги движение автомобиля сопровождается колебаниями кузова и вибрацией его механизмов и деталей. Для того чтобы создать нормальные условия работы водителю, комфортные условия пассажирам, обеспечить сохранность перевозимого груза и нормальное функционирование механизмов и систем автомобиля, применяют систему виброзащиты (подвеску автомобиля). Эта система содержит упругие элементы и амортизаторы. Энергия толчков и ударов, возникающих на неровностях дороги, преобразуется в потенциальную энергию деформации упругих элементов подвески, вследствие чего обеспечиваются плавные колебательные движения кузова. Амортизаторы поглощают и рассеивают энергию колебаний, значительно уменьшая амплитуды резонансных колебаний. Упругими и диссипативными свойствами обладают и пневматические шины колес автомобиля. В результате подрессоренная масса кузова и неподрессо-ренные массы колес и мостов представляют собой многомассовую колебательную систему.
Адекватное описание физических свойств системы виброзащиты автомобиля позволяет провести анализ колебаний и выбрать оптимальные параметры упругих и диссипативных элементов подвески.
При движении автомобиля кузов можно рассматривать как твердое тело с шестью степенями свободы, совершающее линейные колебательные движения относительно трех ортогональных осей, проведенных через его центр масс, и вращательные движения относительно этих же осей (рис. З.Ц а). Перемещения колес при колебаниях зависят от кинематической схемы направляющих устройств подвески. Различают зависимую и независимую подвески колес. Если колеса непосредственно закреплены на несущей балке моста, движения их оказываются взаимосвязанными и подвеску называют зависимой. В этом случае мост вместе с колесами может перемещаться вертикально и вращаться относительно продольной оси автомобиля. Могут быть и другие направления движения, определяемые кинематикой подвески, однако перемещения в этих направлениях обычно незначительны и ими во многих случаях пренебрегают. При зависимой подвеске мост вместе с колесами можно рассматривать как твердое тело с двумя степенями свободы. При независимой подвеске колес обычно учитывают только их вертикальные перемещения.
Во многих случаях при моделировании зависимой подвески вместо одного твердого тела, совершающего вращательное и поступательное движения, принимают модель с двумя независимыми твердыми телами, совершающими только вертикальные перемещения, аналогично схеме с независимой подвеской колес.
Динамическая модель колебательной системы автомобиля с учетом изложенных представлений о физических свойствах системы виброзащиты приведена на рис. 3.1, а. Она имеет 10 степеней свободы. В практических задачах часто ограничиваются моделированием только трех движений кузова: поступательного вдоль оси 2 и вращательных относительно осей х и у, т.е. учитывают три степени свободы кузова. Тогда динамическая модель автомобиля представляет собой колебательную систему с семью степенями свободы.
72
Рис. 3.1. Динамические модели для анализа плавности хода автомобиля
73
Внешние воздействия на эту систему создаются неровностями микро- и макропрофиля дороги. Эти воздействия носят случайный характер и описываются случайными функциями q(t).
Рассмотренная динамическая модель приводит к довольно сложной математической модели и ее использование при проектировании требует больших затрат времени. Поэтому на ранних этапах проектирования применяют более простые динамические модели.
Для предварительного выбора параметров подвески используют одномассовую динамическую модель, пренебрегая массой колес и мостов (рис. 3.1, б). При этом принимают во внимание, что у существующих автомобилей параметры колебаний передней и задней частей кузова слабо связаны между собой. В этой связи постулируют допущение о несвязанности этих колебаний. Масса т представляет собой часть массы кузова, нагружающей колеса данного моста. Таким образом, динамическая модель в данном случае представляет совокупность инерционного, упругого и диссипативного элементов, находящихся под воздействием неровностей микропрофиля дороги q(t). Параметром упругого элемента является коэффициент жесткости с, учитывающий упругие свойства подвески и пневматической шины, а параметром диссипативного элемента — коэффициент сопротивления ц, учитывающий потери энергии в гидравлическом амортизаторе и шине при ее деформировании.
Одномассовая динамическая модель не учитывает колебаний колес. Парциальная частота колебаний колес обычно в 6... 10 раз выше парциальной частоты колебаний кузова (определение парциальных частот см. в разделе 7.6). Вследствие этого колебания колес могут вызывать вибрации элементов конструкции кузова и расположенных в нем приборов и механизмов. Кроме того, при проектировании должны быть найдены рациональные соотношения между параметрами упругих и диссипативных элементов подвески и шин. В этой связи возникает необходимость использования двухмассовой динамической модели (рис. 3.1, в). В этой модели учитывается масса части кузова тпг, приходящаяся на колеса данного моста, масса колес и моста пц, коэффициенты жесткости упругих элементов подвески с2 и шины Ci, коэффициенты сопротивления диссипативных элементов подвески Ц2 и шины щ. С учетом наложенных позиционных связей на сосредоточенные массы mi и ТП2 они могут перемещаться только вертикально вдоль осей соответственно и z2. Следовательно, система имеет две степени свободы.
Однако для более детального анализа влияния параметров подвески на колебания кузова необходимо учитывать связанность колебаний. Кроме того, возникает необходимость оценки колебаний механизмов и приборов, расположенных в различных местах кузова. В этом случае приходим к динамической модели плоских колебаний (рис. 3.1, г), в которой учитываются не только вертикальные колебания кузова относительно оси z0, но и угловые продольные колебания р относительно оси у. Колебательная система имеет четыре степени свободы и ее состояние определяется фазовыми координатами Р, 21, г2- Аналогичная модель используется при исследовании поперечных колебаний кузова.
Таким образом, в зависимости от степени абстрагирования при описании физических свойств технического объекта получают различные динамические модели.
В заключение еще раз подчеркнем необходимость обоснованного подхода к выбору моделей на различных этапах проектирования, постепенного их усложнения при приближении к заключительному этапу. Необходимость использования большого количества разнообразных моделей в процессе проектирования одного и того же технического объекта обусловливает актуальность автоматизации их формирования.
6. Зак. 3006
74
3.3.	КОМПОНЕНТНЫЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Физические свойства технического объекта в динамической модели макроуровня отображаются совокупностью взаимодействующих дискретных элементов. В зависимости от способа построения динамической модели каждый элемент может наделяться одним или несколькими физическими свойствами. При дискретизации методом функционально законченных элементов или сеточными методами элементы обычно обладают несколькими физическими свойствами и являются сложными. В методе сосредоточенных масс все элементы простые, так как, каждый из них наделен только одним физическим свойством.
В данной главе рассматриваются только простые дискретные
элементы.
Состояние простого элемента характеризуется одной фазовой переменной типа потока и одной переменной типа потенциала. Физическое свойство элемента описывается математической моделью, выражающей зависимость между этими фазовыми переменными. Это выражение называют компонентным
уравнением.
Основные физические свойства технических объектов любой физической природы — инерционные, упругие и диссипативные. Они отображаются в динамических моделях соответственно инерционными, упругими и диссипативными элементами. Фрикционные и трансформаторные элементы отображают специфические свойства, характерные не для всех технических объектов. Математическое описание этих свойств может быть различным, в зависимости от физической природы технического объекта. В этой связи фрикционные и трансформаторные элементы будут рассмотрены отдельно (в главе 5).
Компонентные уравнения дискретных элементов могут быть получены аппроксимацией моделей микроуровня или непосредственным использованием физических законов.
Аппроксимация моделей микроуровня осуществляется путем замены всех частных производных фазовых переменных по пространственным координатам отношениями конечных разностей. Например, производную дср/дх заменяют выражением
5<р/5х = (ср}-ф2)//х,
где (pi, (р2 — значения фазовой переменной ср на границах дискретного элемента (в узлах 1 и 2 дискретизации сплошной среды);
1Х — длина дискретного элемента вдоль оси х.
Значения параметров элементов, выделяемых из сплошной среды с распределенными параметрами, усредняют.
75
Для математического описания физических свойств элементов могут быть также использованы физические законы. Компонентные уравнения, полученные на основе физических законов, имеют следующий вид:
для инерционного элемента
ии = HdlJdt;	(3.1)
для диссипативного элемента
^д=Д1д;	(3.2)
для упругого элемента
U„=V[lvdt.	(3.3)
В уравнениях (3.1) — (3.3) приняты следующие обозначения: И, Д, У — параметры инерционного, диссипативного и упругого элементов соответственно; I — фазовая переменная типа потока; U — фазовая переменная типа потенциала. Индексы при фазовых переменных I и U указывают на принадлежность их соответствующим элементам.
Для получения полной математической модели технической системы необходимо объединить все компонентные уравнения элементов в общую систему уравнений. Объединение осуществляется на основе физических законов, выражающих условия равновесия и непрерывности фазовых переменных. Уравнения этих законов называют топологическими уравнениями. Они описывают характер взаимодействия между простыми элементами, устанавливая соотношения между однотипными фазовыми переменными.
Условия равновесия записываются для фазовых переменных типа потенциала
^1 = °’	(3.4)
I а условия непрерывности — для фазовых переменных типа потока
(3.5) k
Форма компонентных и топологических уравнений одинакова для систем различной физической природы.
Если фазовые переменные — векторные величины, то направления векторов учитываются только топологическими уравнениями, а в компонентных уравнениях их направления не учитываются. Компонентные уравнения (3.1) — (3.3) в этом случае устанавливают соотношения лишь между модулями фазовых пе-
ременных. Это позволяет обеспечить корректное описание взаимодействия элементов системы в полной математической модели.
Топологическое уравнение для векторных переменных формируются как равенство нулю геометрической суммы соответствующих фазовых координат, а для скалярных — равенство нулю алгебраической суммы этих координат.
Полная математическая модель технического объекта на макроуровне, составленная на основе компонентных уравнений, представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Искомыми функциями в этих уравнениях являются базисные фазовые координаты I и 17, а независимой переменной— время t. Размерность математической модели определяется общим порядком системы дифференциальных уравнений (или числом базисных координат). Эту модель обычно представляют в нормальной форме Коши, в которой все уравнения разрешены относительно первых производных фазовых координат dl/dt и dU/dt. Координатный базис в этом случае составляют фазовые переменные типа потока I и типа потенциала U.
Состояние сосредоточенных масс определяется фазовыми координатами типа потока. Количество таких координат соответствует числу степеней свободы динамической модели объекта.
3.4.	КОМПОНЕНТНЫЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Фазовые координаты. Сосредоточенные массы, отображаемые на динамических моделях механических систем, в силу учитываемых позиционных связей, могут совершать только простейшие виды движений — поступательное и вращательное. Сложное движение твердого тела представляется сочетанием этих простейших видов движения и соответствующим количеством сосредоточенных масс (инерционных элементов).
Поступательное движение твердого тела характеризуется линейной скоростью v и силой F, а вращательное — угловой скоростью со и вращающим моментом М. Они и принимаются в качестве фазовых переменных механической системы:
фазовые переменные типа потока — скорости и, м/с, рад/с;
фазовые переменные типа потенциала — силы F, Н, вращающие моменты М, Н м.
Параметры элементов. Параметром инерционного элемента при поступательном движении является масса т, кг, а при вращательном движении — момент инерции J, кг м2.
Параметр диссипативного элемента — коэффициент сопротивления ц, называемый также коэффициентом неупругого
77
сопротивления, коэффициентом вязкого трения, коэффициентом демпфирования. При поступательном движении он измеряется в Н-с/м, а при вращательном — в Н-м-с/рад.
Параметр упругого элемента — коэффициент жесткости с. При поступательном движении в качестве единицы измерения с используется Н/м, а при вращательном — Н-м/рад.
Компонентные уравнения. Компонентное уравнение инерционного элемента получают на основе второго закона Ньютона. Для поступательного движения твердого тела уравнение имеет вид
F^=mdv^/dt,	(3.6)
а для вращательного
Ми = J d®yjdt,
(3.7)
где F^,	— соответственно сила инерции и момент сил инерции
(или инерционный момент) элементов; ии, сои — скорости инерционных элементов.
Скорости ии и сои представляют собой абсолютные скорости сосредоточенных масс соответственно при поступательном и вращательном движениях. Если твердое тело совершает сложное движение, то его раскладывают на простейшие составляющие, выделяют соответствующие им сосредоточенные массы и для каждой из них составляют свое компонентное уравнение инерционного элемента.
Математическое описание диссипативного элемента основано на использовании закона Ньютона для вязкого трения: сила вязкого трения пропорциональна относительной скорости перемещения элементов трения. При поступательном движении компонентное уравнение имеет вид
Fn = Vvp.’	(3.8)
а при вращательном
Мд - цсод ,	(3.9)
где Ед, Мд — соответственно сила и момент диссипативных элементов; Пд, (Од — скорости диссипативных элементов.
Согласно закону Гука сила упругости деформируемого механического элемента при поступательном движении Fy или момент упругости Му — при вращательном пропорциональны деформации:
Fy = сху, Му = серу, где ху, (ру — соответственно линейная и угловая деформации: ху = Xi -х2; (ру = (pi ~ Ф2» х1> х2 — линейные перемещения узлов
78 дискретизации 1 и 2 (или выделенных сосредоточенных масс); (pl, (р2— угловые перемещения.
Выразив перемещения х и (р через фазовые переменные v и со , компонентные уравнения упругих элементов можно записать в интегральной или дифференциальной формах: при поступательном движении
Fv=cfvvdt; dFv /dt = cv*	(3.10)
при вращательном движении
Mv - с Г со vdt, dMv / dt - ccov ,	(3.11)
где Fn, Mv — соответственно сила и момент упругих элементов; иу, соу — скорости деформации упругих элементов.
Упругие и диссипативные элементы в динамической модели соединяют между собой сосредоточенные массы (рис. 3.1). В этой связи скорости этих элементов иу, соу, ид, сод представляют собой относительные скорости соединяемых ими сосредоточенных масс:
vyj = vi ~ v Z+l>
vp,k = vi ~ ^i+1’
где Vyj — скорость деформации j-ro упругого элемента; ид£ — скорость й-го диссипативного элемента; vi9 vi+^ — скорости f-й и (£+1)-й сосредоточенных масс, соединяемых j-м упругим и /?-м диссипативным элементами.
Скорости упругих и диссипативных элементов при вращательном движении твердых тел определяются аналогичными выражениями.
Силы F^, Fy, и моменты 7Ии, Му, Мд инерционных, упругих и диссипативных элементов характеризуют их взаимодействия в динамической модели. Они представляют собой внутренние потенциалы системы.
При движении системы под действием приложенных к ней внешних сил и моментов происходит изменение ее кинетической и потенциальной энергий, а часть энергии затрачивается на преодоление сил трения. Инерционные элементы динамической модели отображают свойство системы накапливать кинетическую энергию, упругие элементы — свойство накапливать потенциальную энергию, а диссипативные — рассеивать энергию потерь на трение путем превращения механической энергии в тепловую.
Топологические уравнения. Первое топологическое уравнение является уравнением равновесия. Оно выражает принцип Да-
79 ламбера: геометрическая сумма всех сил, приложенных к твердому телу, включая силу инерции, равна нулю'.
2^=0.	(3.12)
i
Уравнение (3.12) соответствует поступательному движению твердого тела. При вращательном движении используется уравнение
ЕД=о.	(3.13)
I
Второе топологическое уравнение определяет условие непрерывности фазовых координат типа потока. Оно выражает принцип сложения скоростей при сложном движении твердого тела: геометрическая сумма абсолютной, относительной и переносной скоростей равна нулю:
Z^ = o;	(3-14)
k
-0.	(3.15)
k
Количество составляемых топологических уравнений вида (3.12) и (3.13) равно числу степеней свободы моделируемой системы.
Если компонентные уравнения (3.6) — (3.11) записать в векторной форме, то в правых частях необходимо поставить знак минус. Это обусловлено тем, что сила инерции Еи и инерционный момент 7Ии направлены противоположно соответствующим ускорениям dVyJdt и dcbyjdt, сила и момент трения Рд и 7ИД противоположны относительным скоростям сосредоточенных масс бл и йл, а сила и момент упругих элементов Fv и противополож-ны векторам деформаций ху и сру. Однако, как отмечалось в разделе 3.3, компонентные уравнения при использовании метода сосредоточенных масс следует записывать без учета знаков фазовых координат, а их знаки необходимо учитывать лишь в топологических уравнениях.
3.5.	КОМПОНЕНТНЫЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГИДРАВЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
В гидравлической системе фазовыми переменными типа потока являются расходы Q, м3/с, а типа потенциала — давления р, Н/м2 (Па).
80
При выводе компонентных уравнений используем уравнения Эйлера, Навье—Стокса и Гука, полученные для одномерной системы с распределенными параметрами (см. раздел 2.4).
Для перехода к модели с сосредоточенными параметрами осуществим аппроксимацию моделей микроуровня путем замены частных производных фазовых переменных по пространственным координатам отношениями конечных разностей.
Уравнение Эйлера для трубопровода постоянного сечения dv)dt = - р^др/дх ,	(3.16)
где v — скорость потока жидкости в трубопроводе; р — плотность жидкости; х — геометрическая координата.
Разделим трубопровод на ряд участков длиной I и заменим частную производную др/дх отношением конечной разности
др/дх = -(pj - Р2)/1 = -р/1,
(3-17)
где pi, р2 — давления в узлах дискретизации 1 и 2, т.е. на границах выделенных участков трубопровода.
Здесь учтено, что градиент давления вдоль трубопровода grad р =др/дх отрицателен (давление падает по мере удаления от источника).
Расход жидкости в трубопроводе Q выразим через скорость потока v:
Q=Av,	(3.18)
где А — площадь поперечного сечения трубопровода.
Подставим значения др/дх из (3.17) и v из (3.18) в уравнение (3.16) и найдем выражение для определения р:
р = (pl/A)dQ/dt.
Введем обозначение
тг = pv/A2 = тж/А2,
(3.19)
где тг — коэффициент массы, кг/м4; V — объем жидкости в вы
деленном участке трубопровода длиной I: V=Al; тж — масса жидкости в этом участке.
С учетом (3.19) уравнение Эйлера (3.16) после дискретизации приводится к виду
Ри = тг dQ^/dt.	(3.20)
Сопоставляя (3.20) с выражением (3.1), приходим к выводу, что уравнение Эйлера отображает только инерционные свойства жидкости.
О1
Рассмотрим линеаризованное уравнение Навье—Стокса dv/dt - -р-1 др/дх -(2^/р)и,	(3.21)
где — коэффициент линеаризованного вязкого трения жидкости.
Учитывая выражения (3.17) и (3.18), получаем
р = (pZ/A) dQ/dt + (2^/A)Q.
Введем обозначение
цг =2^/a = 2^v/a2,	(3.22)
где jLi г — коэффициент гидравлического сопротивления, Н с/м5.
С учетом выражений (3.19) и (3.22) уравнение Навье—Стокса после дискретизации приводится к виду
р - т г dQ/dt + prQ.	(3.23)
Из выражения (3.23) следует, что уравнение Навье—Стокса отображает инерционные и диссипативные свойства жидкости, В этом случае р = рИ+рД, где рД — величина потерь давления на преодоление трения при движении потока жидкости в трубопроводе, а ри — затраты давления на разгон жидкости. Полагая ри и рД аддитивными величинами, выделим инерционный и диссипативный элементы участка трубопровода. Компонентное уравнение инерционного элемента соответствует выражению (3.20), а диссипативного элемента имеет вид
Рд=Цг£д.	(3.24)
Уравнение Гука
dp/dt = -Едо/дх	(3.25)
позволяет учесть упругие свойства жидкости. Выразим скорость потока о через расход Q по формуле (3.18). Тогда до/дх = А~гх xdQ/dx. Заменим dQ/dx отношением конечной разности
dQ/dx = - (Qi - Q2)/l = - Qy/l,	(3.26)
где Qi, Q2 — расходы в узлах дискретизации трубопровода 1 и 2; Qy — изменение расхода, обусловленное сжимаемостью жидкости.
В выражении (3.26) учтено, что при возрастании давления происходит увеличение объемной деформации жидкости и величина расхода жидкости при удалении от источника уменьшается.
На основе уравнения (3.25) с учетом выражения (3.26) найдем выражение для определения давления упругого элемента, полагая Е не зависящим от р:
ру = E(Al)-1 fQydt.	(3.27)
Введем обозначение
сг = EiAiy1 = E/V,	(3.28)
где сг — коэффициент гидравлической жесткости, Н/м5; Е — модуль объемной упругости жидкости, Н/м2.
В результате получаем компонентное уравнение упругого элемента гидравлической системы
Py = cr\Qydt.	(3.29)
Фазовые переменные ри, ру, рд представляют собой внутренние потенциалы исследуемой гидравлической системы, характеризующие взаимодействие выделенных дискретных элементов и определяющие потери давления источника на преодоление сил инерции жидкости и сообщение ей кинетической энергии, на деформацию жидкости и изменение ее потенциальной энергии, а также на преодоление сил внутреннего трения жидкости.
Коэффициенты тГ, сГ и цг являются параметрами соответственно инерционных, упругих и диссипативных элементов гидравлической системы.
Топологические уравнения имеют вид
2>=0;	(3.30)
I
=	(3-31)
k
Первое уравнение выражает условие равновесия потенциалов, действующих на сосредоточенные массы, а второе — условие непрерывности потоков жидкости.
Пример 3.2. На основе метода сосредоточенных масс построить динамическую модель гидравлической магистрали.
При построении динамической модели гидравлической магистрали ее разделяют на ряд участков и выделяют в них простые дискретные элементы — инерционные, диссипативные и упругие. Упругие элементы гидравлической системы должны учитывать не только сжимаемость жидкости, но и деформируемость трубопровода. Определение сг с учетом упругих свойств газожидкостной смеси и трубопроводов рассмотрено в разделе 3.9.
Фрагмент динамической модели гидравлической магистрали после ее дискретизации представлен на рис. 3.2. Модель содержит две сосредоточенные массы, характеризуемые коэффициентами масс mrj и 7nr2, два диссипативных элемента, обозначенных в виде постоянных дросселей с коэффициентами гидравлических сопротивлений цг1 и цг2, и один упругий элемент с коэффициентом гидравлической жесткости сг, отображаемый в гидравлических схемах в виде гидроаккумулятора. Внешние воздействия на систему представлены в виде источников потенциалов рв1 и рв2 — давлений источника и потребителя.
83
Рис. 3.2. Динамическая модель гидравлической магистрали
Из рис. 3.2 следует, что фазовые переменные типа потока QV[i и QRi, характеризующие состояния инерционных и диссипативных элементов, равны абсолютным расходам жидкости в выделенных участках гидромагистрали Qi и Q2, т.е. фазовым координатам сосредоточенных масс. Отсюда следует, что потери давления рд на преодоление сил внутреннего трения жидкости, определяемые уравнением (3.24), зависят от абсолютной скорости жидкости в трубопроводе. Фазовая переменная типа потока Qy упругого элемента равна разности расходов жидкости в смежных участках трубопровода, т.е. Qy == Qj - Q2.
3.6.	КОМПОНЕНТНЫЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОВОЙ СИСТЕМЫ
Б тепловой системе фазовыми переменными типа потока являются температуры Т, К, а типа потенциала — тепловые потоки Ф, Вт (или Дж/с).
Рассмотрим одномерный процесс теплопередачи в твердом теле, полагая, что передача тепловой энергии осуществляется только вдоль оси х. Разделим твердое тело вдоль этой оси на слои толщиной I, осуществив тем самым дискретизацию сплошной среды. Каждый из полученных при этом дискретных элементов можно характеризовать средними значениями параметров: плотности р, теплоемкости ст и коэффициента теплопроводности X. Очевидно, что эти реальные физические элементы, имеющие определенные геометрические формы и объемы, являются сложными, так как обладают одновременно инерционными и диссипативными свойствами, что характерно для сеточных методов дискретизации. Однако и в этом случае физические свойства дискретных элементов, так же как и в механической или гидравлической системе, можно отобразить простыми абстрактными элементами: инерционным и диссипативным.
Изменение тепловой энергии dQ в каждом дискретном элементе пропорционально приращению его температуры dT. В
результате можно записать следующее дифференциальное уравнение:
dQ/dt = ст dT/dt,	(3.32)
где ст — теплоемкость дискретного элемента, Дж/К:
ст=СрУ;	(3.33)
С — удельная теплоемкость материала, Дж/(кг-К); V — объем дискретного элемента, м3.
Изменение тепловой энергии в единицу времени представляет собой тепловой поток Ф = dQ/dt , поэтому уравнение (3.32) запишем в виде
Фи = ст dTyJdt.	(3.34)
Сопоставляя уравнение (3.34) с выражением (3.1), приходим к выводу, что оно является компонентным уравнением инерционного элемента тепловой системы.
Диссипативные свойства тепловой системы описываются уравнением Фурье q = -X grad Т. В одномерном случае уравнение Фурье имеет вид
q = - кдТ/дх,	(3.35)
где q — плотность теплового потока, Дж/(м2-с):
q = Ф/А;	(3.36)
А — площадь поверхности контакта дискретного элемента с источником тепловой энергии или со смежным дискретным элементом; X — коэффициент теплопроводности, Дж/(с м-К).
Заменим частную производную дТ/дх отношением конечной разности
дТ/дх = - (Л - Т2)/1 = - Т/I,	(3.37)
где Т2 — температуры в узлах дискретизации 1 и 2, т.е. на границах выделенных элементов твердого тела; I - длина дискретного элемента.
В выражении (3.37) учтено, что градиент температуры вдоль оси х отрицателен (температура падает по мере удаления от источника тепла).
Подставим значения q и дТ/дх в уравнение (3.35):
Ф = (ХА/1)Т.	(3.38)
Формула (3.38) позволяет определить величину потерь теплового потока в дискретном элементе в процессе теплопередачи.
Следовательно, она дает математическое описание диссипативного элемента.
Введем обозначение
щ. = X А/l = XF/Z2,
(3.39)
где цт — коэффициент теплового сопротивления дискретного элемента, Дж/(с-К); V — объем дискретного элемента, м3.
С учетом (3.39) получаем компонентное уравнение диссипативного элемента тепловой системы
Фд = ЦтГд.	(3.40)
По формуле (3.39) определяют цт при передаче тепла в твердом теле теплопроводностью, т.е. при индуктивном теплообмене. На поверхностях контакта твердого тела с жидкостной или газовой средой осуществляется конвективный теплообмен. Тепловой поток при конвективном теплообмене, в соответствии с законом Ньютона, пропорционален разности температур среды Тс и поверхностного слоя твердого тела Ts:
Фд = аАТд,	(3.41)
где Тд = Тс - Ts.
В этом случае коэффициент теплового сопротивления опре-деляется по формуле
цт = Аа,	(3.42)
где а — коэффициент теплообмена (теплоотдачи) через конвекцию, Дж/(с-м2-К).
Упругими свойствами тепловая система не обладает. Это следует из того, что тепловая энергия может передаваться только от более нагретых дискретных элементов к менее нагретым. Иными словами, тепловой поток при теплопередаче в твердом теле направлен противоположно градиенту температуры.
Значение фазовой переменной типа потенциала Фи характеризует величину теплового потока, затрачиваемую на изменение кинетической энергии дискретного элемента твердого тела в процессе теплопередачи, а значение Фд — величину потерь, обусловленную преодолением теплового сопротивления. Переменные Фи и Фд представляют собой внутренние потенциалы элементов тепловой системы. Параметрами инерционных и диссипативных элементов являются соответственно теплоемкость сТ и коэффициент теплового сопротивления цт.
86
Фазовая переменная типа потока Ти характеризует температуру дискретного элемента, а Тд представляет собой разность температур смежных дискретных элементов.
Топологические уравнения имеют вид
£Фг=О;	(3.43)
i
Z^=0-	(3.44)
k
Первое уравнение выражает условие равновесия потенциалов на поверхностях контакта дискретных элементов, а второе — условие непрерывности функции температуры.
3.7.	КОМПОНЕНТНЫЕ И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
В электрической системе фазовыми переменными типа потока являются силы тока I, А, а типа потенциала — напряжения или потенциалы U, В.
Инерционными свойствами обладают катушки индуктивности. Компонентное уравнение инерционного элемента
=LdlJdt,	(3.45)
где L — индуктивность, Гн.
Диссипативный элемент — резистор. Его компонентное уравнение получают на основе закона Ома
ид = ШД,	(3.46)
где R — сопротивление, Ом.
Упругими свойствами характеризуется конденсатор. Компонентное уравнение упругого элемента
Uy = С -1 \lydt,	(3.47)
где С — емкость, Ф.
Следует отметить, что реальные конструктивные элементы электрических систем — катушка индуктивности, резистор, конденсатор — обладают одновременно всем комплексом физических свойств. Однако при моделировании учитывают только одно, основное свойство элемента, так как параметры, отражающие другие свойства, незначительны и практически слабо проявляются в процессе функционирования технического объекта.
Особенностью электрической системы, отличающей ее от рассмотренных ранее видов систем, является то, что соединение
элементов в электрических схемах образует структуру, в которой легко различаются ветви и узлы. Причем ветви представляют собой двухполюсные элементы — резисторы, конденсаторы, катушки индуктивности, источники энергии и др. В этой связи оказывается более целесообразным использовать иные формы компонентных уравнений, чем приведенные выше, а именно: I = C(dU/dt)\ I = R ~^U; I = LT1 ftJdt . В этом случае топологиче
ские уравнения получают на основе законов Кирхгофа:
Z4 = °; k
(3.48)
Z^=o.
i
(3.49)
Уравнение (3.48) выражает первый закон Кирхгофа. Оно записывается для узлов электрической схемы и формулируется так: алгебраическая сумма токов для любого узла электрической схемы равна нулю. Так как сила тока — это переменная типа потока, то первый закон Кирхгофа описывает баланс потоков в узле.
Уравнение (3.49) выражает второй закон Кирхгофа. Оно составляется для замкнутых контуров электрической схемы.
Аналогично можно преобразовать уравнения математических моделей элементов и других видов систем. При этом компонентное уравнение инерционного элемента необходимо проинтегрировать, а упругого элемента — продифференцировать по времени. Такая смена формы уравнений компонентных элементов отражает свойство дуализма физических систем.
3.8.	АНАЛОГИИ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
Сведем все полученные компонентные уравнения элементов динамических систем различной физической природы в табл. 3.1.
Сравнивая компонентные уравнения, легко обнаружить динамические аналогии всех рассмотренных видов систем. Топологические уравнения этих систем также абсолютно аналогичны. В этом проявляется единство физических законов, несмотря на многообразие форм существования материи.
В табл. 3.2 приведены фазовые переменные и их единицы для систем различной физической природы, а в табл. 3.3 — параметры элементов и их единицы.
Тип элемента	Вид системы				
	Механическая		Гидравлическая	Тепловая	Электрическая
	поступательная	вращательная			
Инерционный	Ги = mdvn/dt	Ми = Jdo^/dt	ри= mrdQ4/dt	Фи = crdTK/dt	(7И = LdIJdt
Диссипативный	Fa = Нид	Мд = ц®д	Pr — p-rQfl	Фд = Мт^д	ия = шя
Упругий	Fy = cfrjydt	Му = doydt	Ру = Сг \Qydt	-—	Uy = C^\lydt
Таблица 3.2
Фазовая переменная	Вид системы				
	Механическая		Гидравлическая	Тепловая	Электрическая
	поступательная	вращательная			
Типа потенциала Типа потока	Сила F, Н Скорость и, м/с	Вращающий момент М, Нм Угловая скорость со, рад/с	Давление р, Па Расход Q, м3/с	Тепловой поток Ф, Вт Температура Т, К	Напряжение U, В Ток Z, А
Таблица 3.3
Тип элемента	Вид системы				
	Механическая		Гидравлическая	Тепловая	Электрическая
	поступательная	вращательная			
Инерционный	т, кг	7, кг-м2	тг, кг/м4	ст, Дж/К	L, Гн
Диссипативный	ц, Н с/м	ц, Н-м-с/рад	цг, Н-с/м5	Рт, Дж/(с-К)	R, Ом
Упругий	с, Н/м	с, Н м/рад	сг, Н/м5	—	С, Ф
3.9.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕМЕНТОВ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
Механическая система. Параметры инерционных элементов — массы т и моменты инерции J и упругих элементов — коэффициенты жесткости с определяют по известным формулам теоретической механики.
Параметры диссипативных элементов — коэффициенты сопротивлений ц можно найти, используя априорную информацию об относительных коэффициентах затухания колебаний у (коэффициентах апериодичности). Значения у обусловлены трением в конструктивных элементах технической системы, возникающим в результате их деформации и взаимных микроперемещений сочлененных деталей. Влияние трения в материале для металлических конструкций обычно во много раз меньше, чем трения в сочленениях деталей. В деталях, изготовленных из полимеров (резина, пластмасса и др.), трение значительно больше, чем в аналогичных металлических деталях (значение у примерно в 100 раз выше). В зависимости от конструктивного исполнения технической системы упругие элементы ее динамической модели могут отображать как отдельные сплошные (неделимые) детали, обладающие сравнительно небольшой жесткостью (например, пружины, длинные валы), так и целый ряд сочлененных деталей. В этой связи величина у колеблется в значительных пределах: у = 0,03...1,0. Для гашения колебаний применяют специальные демпфирующие элементы (резиновые муфты, гидравлические амортизаторы и др.), позволяющие значительно увеличить у и снизить амплитуды колебаний.
Коэффициент сопротивления Цу /-го диссипативного элемента механической системы зависит не только от у у , но и от параметров элементов динамической модели, непосредственно примыкающих к данному диссипативному элементу. При определении значений Цу используют парциальные системы.
Парциальной системой называется частичная одночастотная подсистема, выделяемая из динамической модели технического объекта. Она имеет только одну частоту собственных колебаний, называемую собственной парциальной частотой. На рис. 3.3 показаны динамические модели парциальных систем объектов механической природы с вращательным движением сосредоточенных масс. Особенность структуры парциальной системы состоит в том, что она содержит один базовый элемент и не
90
которое множество взаимодействующих с ним элементов с иными физическими свойствами по сравнению с базовым элементом. На рис. 3.3, а, в, д базовым является инерционный элемент с параметром Jj, а на рис. 3.3, б, г, е — упругий элемент с параметром Cj . Парциальные системы, показанные на рис. 3.3, а, б называют простыми, а на рис. 3.3, в — е — сложными.
Рис. 3.3. Динамические модели парциальных систем: а, в, д — с инерционным базовым элементом;
б, г, е — с упругим базовым элементом
Собственная парциальная частота определяется без учета диссипативных элементов. Это частота свободных незатухающих колебаний парциальной системы. Для системы с инерционным базовым элементом она вычисляется по формуле
(3.50)
У;=1
а для системы с упругим базовым элементом
1 - -ОС; / Jj ,	(3.51)
•» V *	*
*	~	•	Г-
где Cj — приведенный к i-му инерционному базовому элементу коэффициент жесткости j-го упругого элемента; К — количество упругих элементов, входящих в парциальную систему; Jj — параметр эквивалентного приведенного инерционного элемента, кинетическая энергия которого равна сумме кинетических энергий всех инерционных элементов парциальной системы.
91
Рассмотрим вначале парциальные системы с инерционным базовым элементом (рис. 3.3, а, в, д). Необходимость определения параметра Су возникает при наличии в парциальной системе трансформаторных элементов, что характерно для системы на рис. 3.3, д. Значение параметра Су определяется из условия равенства потенциальных энергий исходного упругого элемента с параметром Cj и приведенного упругого элемента с параметром Су. Если упругий элемент расположен на входе инерционного элемента, как Cj_^ на рис. 3.3, д, то приведенный коэффициент к
жесткости этого элемента Cy_j получают умножением Су_]_ на
квадрат передаточного числа t^y-i трансформаторного элемента
-л-	2
, а если на выходе, то делением: Cj_± = Cj^Ujj^’
к	9 -r-ч
С; - Cj / Ujj. Вход и выход базового элемента определяются по на
правлению передаваемого через динамическую систему потока энергии. Передаточное число трансформаторного элемента равно отношению скорости на его входе к скорости на выходе.
При отсутствии трансформаторных элементов (рис. 3.3, а, в)
“i =	(3.50а)
Рассмотрим определение параметра Jj для парциальных
систем с упругим базовым элементом. При отсутствии трансформаторных элементов (рис. 3.3, б, г)
. N
(3.52)
i=l
где N — количество инерционных элементов, входящих в парциальную систему.
Если же парциальная система содержит трансформаторные элементы (рис. 3.3, е), то в формулу (3.52) вместо Jj необходимо
подставлять приведенные к упругому базовому элементу моменты инерции Jj . Значение Jj определяется из условия равенства ки
нетических энергий исходного инерционного элемента с парамет
к
ром Jj и приведенного с параметром Jj . Если инерционный эле
мент расположен на входе базового упругого элемента, то Jj
92
умножают на квадрат передаточного числа трансформаторного элемента, а если на выходе, тогда делят. Для парциальной системы на рис. 3.3, е
т* _ т 2, т* _ т / 2 J i — ^iuij9 i+1 ~ ^i+1 / ui+l,j*
Пусть энергия в системе на рис. 3.4, а передается от массы mi к массе m2, а на рис. 3.4, б от массы Ji к массе J2- Обе системы имеют по два трансформаторных элемента ТЭ^ и ТЭ2.
Рис. 3.4. Парциальные системы с трансформаторными элементами и ТЭ2: а — поступательная, б — вращательная
В поступательной системе на рис. 3.4, а трансформаторные элементы отображают рычажные передачи. Передаточное число T3i найдем через отношение скоростей точек А и В, а передаточное число ТЭ2 — скоростей точек D и Е:
и1 = vpJvB = ~hl/h2 5 и2 = vd!vE = 121/122 •
93
Так как ТЭ1 расположен на входе в упругий элемент, а ТЭ2 — на его выходе, то значение т* вычислим по формуле тп* = m1ufm2(iz2)-1/(m1jz]2 +^2/1/3).
Аналогично определяется J* rjlsl парциальной системы на рис. 3.5, б:
J =J1ufj2(u2) 1/(е^г1и1 + ^2/^2)»
где ui и и2 — передаточные числа ТЭ^ и ТЭ2, отображающие зубчатые передачи: иг = ©i/©i2 = -212/211; и2 = ©12/0)2 = -222/221; Zij — числа зубьев передач.
При определении параметров диссипативных элементов ц7-используются парциальные системы с упругим базовым элементом. Значение Цу определяется по формуле
|Лу = 2у;е77*®у.	(3.53)
При поступательном движении твердых тел в формулы (3.50) — (3.53) вместо моментов инерции и Jj подставляют значения масс и т*; . На рис. 3.5 показан пример выделения парциальной системы с упругим базовым элементом Cj из динамической модели механической поступательной системы.
Рис. 3.5. Динамическая модель механической поступательной системы (а) и выделенная из нее парциальная система (б)
б

Парциальные системы с инерционным базовым элементом используют при упрощении динамических моделей технических объектов (см. разделы 7.6 и 7.7).
Гидравлическая система. Если при дискретизации гидравлической магистрали выделенные участки трубопровода имеют постоянное сечение, то параметры инерционных элементов тТ определяют по формуле (3.19).
Если же какой-либо участок трубопровода имеет сложную конфигурацию и состоит из нескольких частей различного поперечного сечения, тогда используется формула
тпг =pS(Fi/A/2),	(3.54)
L = 1
где Vt — объем i-й части участка трубопровода; — площадь поперечного сечения этой части; п — число частей.
Компонентное уравнение диссипативного элемента гидравлической системы в разделе 3.5 получено на основе линеаризованного уравнения Навье—Стокса и имеет вид
Рд=ЦгСг=Цг^и>	(3.55)
где v — скорость потока жидкости в трубопроводе.
В реальной гидравлической системе трение носит более сложный, нелинейный характер. Значение цг зависит от режима движения жидкости в трубопроводе. Различают два режима: ламинарный и турбулентный. Переход от ламинарного к турбулентному наступает при определенных условиях, характеризуемых числом Рейнольдса*.
Re=vd/v,	(3.56)
где d — диаметр трубопровода, м; v — коэффициент кинематической вязкости жидкости, м2/с. При температуре Т = 323 К для моторного масла v = 62-10-4, а для масла АУП v = 15-1 О'"6.
При Re < 2300 режим движения жидкости ламинарный. Потери давления по длине трубопровода определяются по формуле Пуазейля
рДл==8лру/и/А.	(3.57)
Принимая рдл = рд и используя формулы (3.55) и (3.57), находим значение коэффициента гидравлического сопротивления участка трубопровода длиной I при ламинарном режиме
цгл = 25,2pvZ/A2.	(3.58)
При Re > 2300 режим движения жидкости турбулентный. Потери давления по длине трубопровода определяются по формуле
рдт = 0,443XTpZu2/,	(3.59)
где Хт — коэффициент потерь на трение при турбулентном потоке. Его значение зависит от шероховатости стенок трубопровода и находится в пределах Хт = 0,025...0,030.
у о
Для определения Хт может быть использована формула Блазиуса".
Хт = О,3164Яе~0’25.
На основании формул (3.55) и (3.59), принимая рдт=рд, получаем выражение для определения коэффициента гидравлического сопротивления участка трубопровода при турбулентном режиме
цгт = 0,443XTpZ|Q|/(A2 4а ).
(3.60)
Так как цгт — величина положительная, а фазовая переменная Q — расход жидкости — может иметь любой знак, то в формуле (3.60) принимают абсолютную величину Q.
Кроме потерь по длине трубопровода существуют местные потери давления, обусловленные резким изменением величины и (или) направления скорости потока жидкости (сужение, расширение, поворот трубопровода и т.п.). Местные потери давления определяют по формуле
Рдм = 0,5СР1>2,	(3.61)
где Q — коэффициент местного сопротивления (безразмерная величина).
Значения С, приводятся в справочниках по гидравлике. Если местное сопротивление обусловлено дросселем, ограничивающим расход жидкости в магистрали, то определяется по формуле
С = (Ai / Адр)2 / С,
где Af — площадь поперечного сечения f-ro трубопровода; Адр — площадь отверстия дросселя; С — коэффициент расхода дросселя (С = 0,63...0,65).
Принимая рдм = рд и используя формулы (3.55) и (3.61), находим выражение для определения коэффициента гидравлического сопротивления, учитывающего местные потери,
цгм =0,5ф|е|/А2.
(3.62)
В динамических процессах режим движения жидкости в трубопроводе может изменяться в широких пределах. Поэтому при анализе переходных процессов для оценки потерь давления в трубопроводе используют сумму коэффициентов цгл, цгт, цгм, а коэффициент гидравлического сопротивления участка трубопровода определяют по формуле
25,2pvZ Г0,4432iTpZ	gp '
А2 Ч А24а + 2А2 у
(3.63)
96
Коэффициент жесткости сТ дискретного объема жидкости V определяется по формуле сг = E/V. Сжимаемость жидкости незначительна, но в процессе работы гидроприводов рабочая жидкость вспенивается и насыщается нерастворенным воздухом. Модуль объемной упругости газожидкостной смеси Ес оказывается гораздо меньше модуля упругости жидкости, особенно при небольших давлениях — до 6... 10 МПа (подробнее см. раздел 2.4). Кроме того, при определении коэффициента сг необходимо учитывать упругие свойства трубопровода. Во многих случаях деформация стенок трубопровода значительно снижает жесткость гидропривода.
Коэффициент жесткости упругого элемента зависит также от вида соединения выделенных дискретных элементов. — участков трубопровода и их параметров. В общем случае они могут иметь различные геометрические размеры — диаметры, толщины и длины, а также изготавливаться из различных материалов (сталь, латунь, эластичные шланги из резины или пластмассы и др.).
При последовательном соединении двух участков трубопровода коэффициент жесткости сг определяется по формуле
2
(3.64)
а при разветвлении трубопровода (три и более участков, объединяемых в одном узле)
/ N
сг =1/ £(1/сгД	(3.65)
/ У=1
где crj — коэффициент жесткости /-го участка трубопровода; N — число ветвей трубопровода, примыкающих к данному узлу.
Коэффициент жесткости /-го участка трубопровода определяют с использованием формул
Enpj/(Vj vj/y);
(3.66)
(3.67)
где crj — приведенный модуль упругости газожидкостной смеси /го участка трубопровода; Vj — объем /-го участка трубопровода;
— доля объема жидкости /-го участка трубопровода, отнесенная к данному упругому элементу; Ес — модуль объемной упругости газожидкостной смеси; jEt₽ j— модуль упругости материала /го участка трубопровода (для стали Етр = 2,1-Ю11 Па; для латуни
Етр = 91O10 Па); dTp j, 6тру — диаметр и толщина стенки у-го участка трубопровода.
Гидромеханическая система. К ней относятся различные гидроприводы, содержащие совокупность взаимодействующих механических и гидравлических элементов. В гидромеханической системе используются такие же фазовые переменные, как и в гидравлической, т.е. переменные типа потока — расходы Q и переменные типа потенциала — давления р. Так как в механической системе фазовые переменные иные, то параметры элементов динамической модели гидромеханической системы необходимо определять как для комплексных разнородных систем.
Коэффициент массы вычисляется по формуле
/пг = тгм+тТЖ = (mM+pV)/A2,	(3.68)
где тм — масса механических частей технической системы, отнесенная к данному инерционному элементу (например, масса поршня с присоединенными к нему деталями рабочих органов машины или механизма); V — объем жидкости гидромеханической системы, отнесенный к данному инерционному элементу.
В общем случае объем V переменный. В частности, объем полости гидроцилиндра зависит от перемещения поршня х
У = Уд ± Ах,	(3.69)
где Уо — начальный объем гидроцилиндра (в исходном положении поршня); А — площадь поперечного сечения гидроцилиндра; знак « + » принимается, если при увеличении координаты х объем цилиндра возрастает, а знак «-» — в противном случае.
Коэффициент гидравлического сопротивления цг для дискретных элементов, выделяемых в гидромагистрали, определяют по формуле (3.63), а для гидроцилиндров — по формулам (3.50), (3.51), (3.53), в которые вместо пц и Cj подставляют mTi и сгу.
Коэффициенты жесткости упругих элементов гидромеханической системы определяют по формуле
cr = cTj + cKj/Aj2,	(3.70)
где cYj — коэффициент гидравлической жесткости упругого компонента гидравлической природы, подсоединенного к гидроцилиндру (или к иному гидромеханическому объекту); сму — коэффициент жесткости механического упругого компонента.
Типичный механический компонент гидромеханической системы — возвратная пружина поршня или золотника. При наличии возвратной пружины часто упругими свойствами гидравлического компонента пренебрегают и коэффициент гидравлической жесткости определяют по формуле
7. Зак. 3006
98
Cr = СвпМ2,	(3.71)
где свп — коэффициент жесткости возвратной пружины; А — площадь поперечного сечения гидроцилиндра или гидроклапана. Если гидроцилиндр связан с рабочим органом машины или механизма, необходимо учитывать жесткость привода этого органа, а также жесткость элементов внешней среды, взаимодействующих с рабочим органом.
Пример 3.3. Определить параметры системы гидропривода, динамическая модель которого приведена на рис. 3.6.
Рис. 3.6. Динамическая модель гидропривода
В динамическую модель входят три сосредоточенных массы, три упругих элемента с коэффициентами гидравлической жесткости сг;- и три диссипативных элемента с коэффициентами гидравлического сопротивления Коэффициенты масс инерционных элементов тпг1 и тпгз определены с учетом масс поршней и объемов жидкости в полостях гидроцилиндров, а коэффициент тГ2 учитывает массу жидкости в гидравлической магистрали.
При определении коэффициентов гидравлической жесткости и сГ2 рассматриваются физические свойства двух компонентов. Одним из них является половина длины гидравлической магистрали, а вторым — полость гидроцилиндра. Для обоих компонентов определяется приведенный модуль упругости по формуле (3.67) и значение сГ]- по формуле (3.66), а затем используется формула (3.64) и находится значение сг.
При вычислении Епр для гидроцилиндра параметры dTp и 6тр в формуле соответствуют его диаметру и толщине стенок.
Коэффициент гидравлической жесткости возвратной пружины сг3 находится по формуле (3.71).
Коэффициенты гидравлического сопротивления цг1 и цгз характеризуют потери на трение при перемещении поршня относительно цилиндра. Основная доля потерь при этом определяется уплотнительным устройством гидроцилиндра. Коэффициент цг2 характеризует потери давления в гидравлической магистрали, а также на ее входе и выходе.
Состояния сосредоточенных масс определяются фазовыми координатами типа потока — расходами жидкости в гидроцилиндрах и Q3 и в гидравлической магистрали Число степеней свободы равно количеству этих координат.
99
Так как фазовыми переменными типа потенциала в гидромеханической системе принимают давления, то силы внешних воздействий FBi и FB2 на поршни гидроцилиндров при построении математической модели необходимо преобразовать в давления
Рв1 = -FbiMi; Рв2 ^в2Мз,
где Ai и A3 — площади поперечных сечений соответствующих гидроцилиндров.
Потенциалы упругих руу, диссипативных рд^ и инерционных элементов, характеризующих их состояния, являются внутренними распределенными силами системы.
Определение параметров тепловой системы достаточно полно изложено в разделе 3.6.
4.	ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НА МАКРОУРОВНЕ
4.1.	СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
При моделировании технических объектов на макроуровне они рассматриваются как динамические системы с сосредоточенными параметрами. Описание процессов их функционирования дается системами обыкновенных дифференциальных уравнений. При построении теоретических моделей используется два подхода: физический и формальный. Физический подход основан на непосредственном применении физических законов, а формальный использует общие математические принципы при описании физических свойств объектов. Общим в использовании обоих подходов является необходимость построения динамической модели объекта.
Структура динамической модели представляется в виде совокупности взаимодействующих дискретных элементов, каждый из которых наделен соответствующими физическими свойствами. Набор элементов и их свойства определяются способом структурирования.
В динамической модели, построенной на основе метода сосредоточенных масс, все элементы простые. Простой элемент наделен только одним физическим свойством и описывается компонентным уравнением, составленным с использованием соответствующего физического закона. Взаимодействия между элементами динамической модели описываются топологическими
101
уравнениями, выражающими условия равновесия и непрерывности фазовых координат. Топологические уравнения позволяют объединить все компонентные уравнения в общую систему уравнений и получить полную математическую модель технического объекта.
В главе 3 на основе физического подхода получены компонентные и топологические уравнения для технических объектов различной физической природы и установлены между элементами этих объектов динамические аналогии. Структурирование технических систем при этом выполнялось методом сосредоточенных масс и методом сеток (метод конечных разностей).
При формировании математической модели технического объекта на основе компонентных и топологических уравнений используют следующие способы: узловой, контурный, метод переменных состояния, табличный метод.
Наибольшую известность и широкое применение получил узловой метод. Он основан на использовании топологических уравнений, выражающих условия равновесия потенциалов в узлах дискретизации динамической системы. Математическая модель объекта получается в виде системы интегро-дифференциальных уравнений, искомыми неизвестными в которых являются фазовые переменные типа потока, характеризующие состояние сосредоточенных масс.
Узловой метод имеет ряд недостатков, осложняющих его использование для автоматизации формирования математической модели непосредственно на ЭВМ. Одним из недостатков метода является неудобная форма системы уравнений математической модели. Для использования численных методов интегрирования дифференциальных уравнений наиболее предпочтительно представление уравнений в нормальной форме Коши. Узловой метод не позволяет формировать математическую модель объекта с трансформаторными и фрикционными элементами, имеет ограничения на вид компонентных уравнений, требует значительной затраты времени на матричные вычисления в процессе формирования модели. Основные положения узлового метода будут рассмотрены в разделе 4.4.
Метод переменных состояния ориентирован на получение математической модели в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши. Однако представление структуры динамической модели в этом методе гораздо сложнее, чем в узловом, и требует выполнения большого объема подготовительной работы, которая не поддается автоматизации.
Табличный метод использует исходные компонентные и топологические уравнения непосредственно, без каких-либо преобразований, поэтому автоматизировать его легко и просто. Одна
102
ко математическая модель при этом получается высокого порядка и имеет избыточное число фазовых координат. Система уравнений оказывается переопределенной. Количество уравнений значительно превышает число степеней свободы системы. Это приводит к неустойчивости вычислительных алгоритмов при решении полученной системы уравнений (см. главы 8 и 9).
Контурный метод применяется в электротехнике и строительной механике, где схемы взаимодействия конструктивных элементов образуют замкнутые контуры прохождения сигналов. Применение его для других технических объектов требует построения схемы замещения (эквивалентной схемы) и сопряжено со значительными сложностями формализации процесса составления математической модели.
При структурировании динамической модели методом функционально законченных элементов выделяемые дискретные элементы не обладают такой общностью, как в методе сосредоточенных масс или в сеточных методах. Количество выделяемых функционально законченных элементов и их свойства в конкретной предметной области определяются ее особенностями. Для описания элементов различных технических объектов используется множество разнообразных математических моделей. Это создает определенные преимущества при моделировании, так как исключаются любые ограничения на способы описания физических свойств элементов. Однако при этом теряется межпредметная унификация математических описаний, что требует создания и хранения в памяти ЭВМ библиотеки математических моделей элементов всех возможных технических объектов. Тем не менее, при создании специализированных САПР в конкретных технических областях часто отдается предпочтение методу функционально законченных элементов.
Широкое применение для построения математических моделей технических объектов находит формальный подход. Он основан на использовании интегральных вариационных принципов аналитической механики. Одним из наиболее мощных теоретических методов формального моделирования является вариационный принцип Гамильтона—Остроградского. Он применим к техническим объектам различной физической природы (механическим, гидравлическим, электрическим и др.). Для систем с сосредоточенными параметрами вариационный принцип приводит к уравнениям Лагранжа второго рода.
Все упомянутые выше способы предназначены для получения математических моделей технических объектов в инвариантной форме. Эти модели представляют собой либо систему компонентных и топологических уравнений, либо систему обыкновенных дифференциальных уравнений. В частном случае при описа
103
нии статических состояний технического объекта математической моделью в инвариантной форме является система алгебраических уравнений, получаемая путем соответствующих преобразований исходной системы дифференциальных уравнений.
4.2.	ГРАФИЧЕСКИЕ ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
В инженерной практике часто используют графические формы представления математических моделей. Для использования графических форм должно существовать правило однозначного соответствия условных изображений элементов графической модели и компонентов инвариантной математической модели.
Одной из форм отображения физических свойств технического объекта является динамическая модель. Графические изображения элементов динамической модели отождествляются с их компонентными уравнениями, а соединения элементов соответствуют топологическим уравнениям. Следовательно, динамическую модель можно рассматривать в качестве математической модели технического объекта в графической форме.
Структурирование динамической модели и идентификация ее элементов позволяют формализовать процесс составления математической модели технического объекта в инвариантной форме. Для этого удобно использовать графические формы моделей в виде графов и эквивалентных схем.
Граф представляет структурную математическую модель системы и отображает ее топологию, а эквивалентная схема — функциональную модель и отображает топологию и компонентный состав, так же как и динамическая модель. Если ввести обозначения ветвей графа, то он будет содержать ту же информацию, что и эквивалентная схема.
Компонентные уравнения элементов динамической модели представляют собой компоненты полной математической модели объекта. Уравнения инерционных, упругих и диссипативных элементов технических объектов различной физической природы приведены в табл. 3.1. Трансформаторные и фрикционные элементы отображают специфические особенности внутренних свойств системы и ее взаимодействия с внешней средой. Их математическое описание будет рассмотрено в главе 5.
Характеристики процессов функционирования объекта определяются не только его внутренними физическими свойствами, но и внешними воздействиями. Математические описания этих воздействий также являются компонентами математической модели. Воздействия представляют собой источники потенциалов Пв = fl(I, t) и источники потоков 7В = f2(U, t). При построении полной математической модели в инвариантной форме все компо
104
нентные уравнения посредством топологических уравнений сводят в единую систему. Это наиболее удобно осуществлять с помощью графов.
Граф представляет собой совокупность узлов (вершин) и соединяющих их ветвей (ребер). Такое же определение имеет и эквивалентная схема. Определение графа может быть записано в следующем виде: Г = (У, В, И), где У — множество узлов; В — множество ветвей; И — инцидентор — указатель способа соединения ветвей.
Ветви графа и эквивалентной схемы соответствуют компонентам математической модели. Они отображают матема
тические описания инерционых, упругих и диссипативных элементов динамической модели и источников внешних воздействий.
Узлы графа и эквивалентной схемы соответствуют узлам дискретизации непрерывных объектов в геометрическом пространстве, вводимым при переходе от моделей микроуровня к моделям макроуровня. При дискретизации системы методом
сосредоточенных масс узлы дискретизации совпадают с сосредоточенными массами, представляемыми в динамической модели материальными точками или твердыми телами. Состояние технической системы и характер протекающих в ней процессов определяются фазовыми координатами узлов дискретизации. Эти координаты представляют собой потоковые переменные (например, в механической системе — скорости или геометрические координаты).
Сосредоточенные массы динамической модели обладают дуальными свойствами: они отображают инерционные свойства технической системы и одновременно являются носителями информации о ее состоянии. Последнее выражается в том, что систему фазовых координат динамической модели связывают непосредст-
венно с сосредоточенными
Рис. 4.1. Пример графа механической системы
массами.
Граф и эквивалентная схема позволяют эти свойства сосредоточенных масс дифференцировать более четко: инерционные свойства отображаются ветвями, а носители информации о состоянии технической системы — узлами. В результате каждая сосредоточенная масса отображается узлом графа или эквивалентной схемы, а ее физические свойства — ветвью инерционного элемента.
Узлы графа обозначают точками, а ветви линиями (рис. 4.1). Узлам присваивают номера сосредоточенных
105
масс, а ветвям дают обозначения параметров отождествляемых ими элементов динамической модели или обозначения источников внешних воздействий (источник потенциалов UB или источник потоков 1в). Один из узлов графа и эквивалентной схемы отображает инерциальную систему отсчета фазовых координат типа потока. Его называют базовым узлом (или базой) и ему присваивается нулевой номер.
Для обозначения различных ветвей эквивалентной схемы рекомендуется применять графические изображения, показанные на рис. 4.2. Ветви эквивалентной схемы и графа, отображающие внутренние свойства технического объекта, можно именовать так же, как и соответствующие им элементы динамической модели, т.е. инерционные, упругие и диссипативные. Поскольку эти ветви суть компоненты математической модели в графической форме,
то и компоненты имеют те же
Рис. 4.2. Обозначение ветвей эквивалентной схемы: а — инерционной;
б — диссипативной; в — упругой;
г — источника потенциала; д — источника потока
гие и диссипативные элементы
наименования, что и ветви.
На эквивалентных схемах и графах применяют обозначения параметров элементов и источников внешних воздействий соответственно виду моделируемой технической системы (см. табл. 3.2 и 3.3). На рис. 4.2 использованы обозначения для механической поступательной сис-
Рассмотрим особенности
темы.
построения эквивалентной схемы и графа на примере механической вращательной системы, динамическая модель которой приведена на рис. 4.3, а. Модель отображает инерционные, упру-системы и внешние воздействия
на нее. Элементы динамической модели обозначаются на схеме их параметрами с цифровыми индексами, соответствующими порядковым номерам элементов: — моменты инерции вращающихся твердых тел (сосредоточенных масс); Су, Цу — коэффициенты жесткостей и сопротивлений соответственно упругих и диссипативных элементов. На динамической модели необходимо также отобразить внешние воздействия на технический объект. Источники потенциалов Мв^ воздействуют непосредственно на сосредоточен
ные массы, а источники потоков сов^ — на упругие и диссипативные элементы. Рассматриваемый объект подвержен воздействиям только источников потенциалов Мв£,/г = 1,3 .
8. Зак. 3006
106
a
М2
о
Рис. 4.3. Динамическая модель (а), эквивалентная схема (б) и орграф (в) механической вращательной системы
Источники воздействий могут сообщать энергию объекту или отводить ее от объекта. Для отображения этого на динамической модели должны быть указаны положительные направления фазовых координат типа потока (или ф.), характеризующих состояния сосредоточенных масс, а также направления потоков энергии, сообщаемой объекту источниками внешних воздействий
107 а)в£ и Мв^. Если энергия источника потенциала подводится к объекту, то направления Мв^ и (О/ совпадают, а если отводится (т.е. вместо источника имеет место сток), то их направления противоположны. В рассматриваемом примере вращающий момент MBi является движущим, увеличивающим энергию объекта (к объекту подводится энергия двигателя), поэтому направления Мв1 и (01 совпадают. Вращающие моменты МВ2 и Мвз характеризуют сопротивления внешней среды движению объекта, на преодоление которых затрачивается его энергия. В этой связи направления МВ2 и со4, а также Мвз и (05 не совпадают.
Потенциалы упругих Myj и диссипативных Мд} элементов, характеризующие их взаимодействие с другими элементами системы, являются внутренними воздействиями и на динамической модели не изображаются.
Следует обратить внимание на то, что функции источников внешних воздействий типа потока сов£ и типа потенциала Мв^ обозначаются такими же символами, как и фазовые координаты типа потока и типа потенциала Му], моделируемого технического объекта. Чтобы их различать в динамических моделях, в обозначениях внешних воздействий вводится индекс «в».
Если один и тот же упругий элемент соединяет между собой более двух сосредоточенных масс, т.е. образует кольцевое соединение (например, элемент С2 на рис. 4.3, а), то такое соединение называется дифференциальным, а если кольцевое соединение сосредоточенных масс осуществляется различными упругими элементами, то его называют гираторным. Это же относится и к диссипативным элементам.
В случае дифференциального соединения следует иметь в виду, что все сосредоточенные массы, входящие в соединение, взаимодействуют с одним и тем же упругим и диссипативным элементами, что и отражено на схеме рис. 4.3, а.
При моделировании сложных технических объектов графические изображения диссипативных элементов на динамических моделях могут значительно усложнить чертеж (схему). Но если диссипативные элементы расположены в модели параллельно упругим элементам (что характерно для большинства механических систем), тогда их графические изображения можно исключить, а вместо них наличие диссипативных элементов отметить записью параметров Цу рядом с параметрами Су упругих элементов (при этом обозначения С] и цу должны разделяться между собой запятой). Это допущение будет использоваться в дальнейшем в динамических моделях вращательных механических систем (например, на рис. 4.6).
108
Построение эквивалентной схемы (рис. 4.3, б) начинают с инерционных ветвей, которые располагают вертикально. Эти ветви соединяют узлы, отождествляющие сосредоточенные массы системы, с базовым узлом, соответствующим инерциальной системе отсчета фазовых координат типа потока. Ветви упругих и диссипативных компонентов соединяют между собой взаимодействующие узлы, в соответствии с динамической моделью. Ветви источников потенциалов связывают узлы, к которым они приложены, с базой.
Граф является аналогом эквивалентной схемы и структура его аналогична (рис. 4.3, в). Если обозначить направления сигналов в ветвях графа, то получим ориентированный граф (орграф). Направления сигналов в ветвях графа изображают стрелками.
В ветвях источников внешних воздействий сигналы направляют от базы к узлу, если энергия подводится к узлу и источник обеспечивает возрастание потоковой переменной узла. В случае источника потенциала подвод энергии осуществляется при условии совпадения направлений Мв^ и При отводе энергии на преодоление сопротивлений направления Мв^ и <dz противоположны, поэтому направление сигнала в ветви источника — от узла к базе. Направление сигнала в ветви источника потока определяется аналогично, в зависимости от того, подводится энергия к техническому объекту от внешней среды или отводится.
Во всех ветвях инерционных компонентов направления сигналов от узлов к базе. Такое направление характеризует затраты энергии источников на увеличение кинетической энергии инерционных элементов. В любых других ветвях, соединяющих узлы с базой, кроме ветвей источников, сигналы всегда направлены к базе.
В ветвях упругих компонентов стрелки указывают направление передачи энергии от источников к потребителям. Если ветви диссипативных компонентов параллельны ветвям упругих компонентов, то направления сигналов в них одинаковые.
Однако встречаются случаи, когда нельзя однозначно указать направление передачи энергии в некоторых ветвях графа. Это характерно для систем с дифференциальным соединением сосредоточенных масс. В рассматриваемом примере сосредоточенные массы с моментами инерции J2, ^3 и ^4 соединены упругим элементом с коэффициентом жесткости С2 и диссипативным элементом с коэффициентом сопротивления В результате на эквивалентной схеме узлы 2, 3 и 4 связаны между собой одними и теми же упругими и диссипативными ветвями с2 и ц2. Энергия передается от узла 2 к узлам 3 и 4, но направление передачи энергии между узлами 3 и 4 априори установить нельзя.
109
Орграфа в отличие от эквивалентной схемы, содержит только ориентированные ветви. В этой связи упругая и диссипативная ветви с2 и Ц2 эквивалентной схемы, соединяющие узлы 3 и 4, на орграфе отсутствуют. Вместе с тем следует отметить, что отображать соединение этих узлов на орграфе нет необходимости. Орграф вполне определенно иллюстрирует взаимодействие всех трех узлов и отражает распределение энергии между узлами 3 и 4, передаваемой к ним через упругий и диссипативный элементы с2 и Ц2 от узла 2.
При гираторном соединении (рис. 4.4, а) каждая пара сосредоточенных масс соединена своими упругими и диссипативными элементами, поэтому все они должны быть отображены на орграфе соответствующими ветвями с указанием направлений в них сигналов (рис. 4.4, в). Здесь также определить направление сигнала в одной из ветвей может оказаться затруднительным. В этом случае принимают произвольное направление.
Рис. 4.4. Динамическая модель (а), эквивалентная схема (б) и орграф (в) технического объекта с гираторным соединением сосредоточенных масс
110
Пример 4.1. Составить графические формы математических моделей для анализа колебаний кузова автомобиля, обусловленных неровностями дороги.
На рис. 4.5, а приведена одна из возможных динамических моделей (см. также рис. 3.1, в). Твердые тела массами znj и Шъ (кузов и колеса автомобиля) совершают поступательные движения. Фазовые переменные типа потока в механической поступательной системе — скорости и, а типа потенциала — силы F. На систему наряду с источниками потенциалов FBi и FB2 действует источник потока, описываемый функцией ь>в1(£) . Источник потока отображает кинематическое воздействие внешней среды — неровностей дороги. Характеристикой этого источника является функция изменения скорости вертикального перемещения опорной точки D, определяемая выражением L>B1(f) = vy(t)[dh(y)/dy], где vy(t) — скорость движения автомобиля вдоль оси у; h(y) — функция микропрофиля поверхности дороги. Потенциалы внешних воздействий FBi и FB2 представляют собой силы тяжести соответственно кузова и колес автомобиля. Эти силы постоянны и их обычно не включают в модель при анализе малых колебаний. Однако при определении усилий в упругих элементах их необходимо учитывать. Кроме того, взаимные перемещения кузова и колес автомобиля ограничены направляющими устройствами подвески, а величины допускаемых перемещений зависят от значений усилий FB1 и Fb2.
При наличии источников потоков взаимодействие технического объекта с внешней средой осуществляется посредством упругих и (или) диссипативных элементов. В эквивалентной схеме и орграфе это приводит к возникновению дополнительных узлов, определяющих соединения ветвей упругих и диссипативных компонентов с ветвями источников потоков.
На рис. 4.5, б построена эквивалентная схема, а на рис. 4.5, в орграф рассматриваемой системы. Узлы 1 и 2 отображают сосредоточенные массы, а узел 1*— внешнюю среду, генерирующую воздействие типа потока i?B1(f) , передаваемое на упругий и диссипативный элементы С2 и Ц2 колес автомобиля. Узлы источников потоков имеют свою нумерацию и обозначаются звездочкой.
Рис. 4.6. Динамическая модель (а), эквивалентная схема (б) и орграф (а) механической поступательной системы с источником внешнего воздействия типа потока
Ill
Таким образом, орграф позволяет идентифицировать структуру и физические свойства моделируемой технической системы и представляет собой ее математическую модель в графической форме. Использование орграфа дает возможность формализовать процесс составления полной математической модели объекта в инвариантной форме, т.е. получить систему обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих процесс функционирования технического объекта.
Эквивалентную схему применяют обычно лишь при предметном моделировании, когда необходимо иметь схему замещения для построения эквивалентной динамической модели на элементах иной физической природы. При математическом моделировании технических систем ограничиваются использованием' орграфов.
4.3.	МАТРИЧНАЯ ФОРМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Информация о математической модели технического объекта, которую содержит орграф, может быть представлена в виде матрицы.
Сформируем матрицу размерности ос х р, где а — число строк, Р — число столбцов. В этой матрице каждому узлу орграфа, за исключением базового, соответствует строка, а каждой ветви — столбец. Единицами в матрице отметим наличие соединений между узлами и ветвями орграфа, а нулями — их отсутствие. Направления сигналов в ветвях орграфа отобразим знаками единиц. Если сигнал направлен от узла, примем знак минус, а если к узлу — знак плюс.
Матрицу, построенную по изложенным правилам для данного орграфа, называют матрицей инциденций.
В табл. 4.1 приведена матрица инциденций для технического объекта, динамическая модель которого и орграф представлены на рис. 4.3, а в табл. 4.2 — для объекта, модели которого представлены на рис. 4.5.
Обозначим матрицу инциденций А - (а/p, i = 1,а ; j = 1, Р , где а — число узлов графа, за исключением базового; р — суммарное число ветвей орграфа — инерционных, диссипативных, упругих и источников внешних воздействий.
Таблица 4.1
	Ветви															
Узлы	Инерционные					Диссипативные				Упругие				Источники потенциалов		
	«Л	е7 2		J4	J5		Ц2	Цз	Р4	(?1	<?2	сз	с4	МВ1	мв2	Мв3
1	-1	0	0	0	0	-1	0	0	0	-1	0	0	0	1	0	0
2	0	-1	0	0	0	1	-1	0	0	1	-1	0	0	0	0	0
3	0	0	-1	0	0	0	1	-1	0	0	1	-1	0	0	0	0
4	0	0	0	-1	0	0	1	0	-1	0	1	0	-1	0	-1	0
5	0	0	0	0	-1	0	0	0	1	0	0	0	1	0	0	-1
Подматрицы	Аи					Ад				Ау				4,		
Таблица 4.2
Узлы	Ветви									
	Инерционные			Диссипативные		Упругие		Источники потенциалов		
	Д711	т2	*	Ц1	Ц2	ci	?2	FBJ		&
1	-1	0	0	1	0	1	0	-1	0	0
2	0	-1	0	-1	1	-1	1	0	-1	0
1*	0	0	-1	0	-1	0	-1	0	0	1
Подматрицы	Аи			Ад		Ау		А3		
113
При составлении матрицы инциденций для объекта с источниками внешних воздействий типа потока v*j(£) в нее включаются не только узлы, отображающие сосредоточенные массы, но и узлы источников потоков, отмечаемые на орграфе и в матрице звездочкой и имеющие свою нумерацию. Кроме того, необходимо иметь в виду следующее. Каждый узел орграфа должен находиться в равновесии, что соответствует топологическому уравнению ^,Fi =0, где Fi — потенциалы ветвей, инцидентных данному i
узлу. Выполнение этого условия для узла источника потока обеспечивается, если учесть реакцию внешней среды F*j . Эта реакция представляет собой потенциал ветви орграфа, отображающей источник потока. Поэтому источники потоков в матрице инциденций формально замещаются источниками реактивных потенциалов F*j (см. табл. 4.2).
Матрицу инциденций А можно представить состоящей из подматриц инерционных Аи, диссипативных Ад, упругих Ау ветвей и подматрицы ветвей источников потенциалов Ав:
А [Аи, Аду Ау, Ав].
Из табл. 4.1 и 4.2 следует, что подматрица Аи во всех случаях единичная диагональная. В этой связи при составлении матрицы инциденций А с целью упрощения обычно подматрицу Аи опускают.
Рассмотрим подматрицу ветвей упругих компонентов Ау для примера технического объекта на рис. 4.3 (табл. 4.1) и установим связь между нею и компонентными уравнениями упругих элементов.
Компонентное уравнение упругого элемента механической вращательной системы имеет вид (см. табл. 3.1)
Mv = с	(4.1)
•7	J t7
Для первого упругого элемента, согласно динамической модели на рис. 4.3, a, coyi = coj- 02» следовательно, компонентное уравнение этого элемента
Му1 = ci J (®1 _ юг)dt-	(4.2)
Рассмотрим возможность получения этого же уравнения на основе матрицы инциденций. Примем во внимание, что состояние сосредоточенных масс, а следовательно, и отображающих их узлов графа, характеризуется фазовыми координатами типа потока
Учитывая это и используя столбец подматрицы Ау, соответст
114
вующий данному упругому элементу, можно составить следующее выражение:
п
Myj =-cJ(EHy//coi)dt,	(4.3)
1=1
где C0j — фазовая координата типа потока (угловая скорость) 1-й сосредоточенной массы (г-го узла орграфа); Иуу — инцидентор — элемент матрицы инциденций А, характеризующий наличие или отсутствие соединения j-й ветви орграфа с f-м узлом и направление сигнала в данной ветви; п — число узлов орграфа.
Используя выражение (4.3), на основе матрицы инциденций, приведенной в табл. 4.1, получаем компонентное уравнение для первого упругого элемента, полностью совпадающее с уравнением (4.2).
Для второго упругого элемента получаем
Му2 = с2 /(“2 ~“3	(4.4)
а для третьего
= с3 Jcosdf.	(4.5)
Сравнивая выражения (4.2), (4.4) и (4.5) и анализируя соответствующие им столбцы подматрицы инциденций Ау ветвей упругих элементов, легко обнаружить следующие закономерности. Если в столбце содержатся два ненулевых инцидентора, то упругий элемент соединяет между собой две сосредоточенные массы, т.е. осуществляет простое соединение. При наличии трех и более инциденторов (например, второй столбец подматрицы Ау в табл. 4.1) соединение сосредоточенных масс дифференциальное. Если инцидентор только один, то упругий элемент соединяет сосредоточенную массу с инерциальной системой отсчета. Такое соединение называют реактивным, а упругий элемент, осуществляющий это соединение, — реактивным упругим элементом.
Для получения компонентных уравнений инерционных элементов по матрице инциденций используют выражение, которое составляется аналогично выражению (4.3):
ми/=-^А(ииМ(0/),	(4.6)
at
где ИИц — диагональный элемент подматрицы инциденций АИ ветвей инерционных компонентов: ИИц = -1 для всех инерционных компонентов, поэтому Ми/ = J^du^/dt),
Компонентное уравнение диссипативного элемента
115
n
Mpji =
1=1
(4.7)
где Ид^ — элемент подматрицы инциденций Ад ветвей диссипативных компонентов.
Таким образом, на основе матрицы инциденций можно получить все компонентные уравнения элементов технической системы и построить ее математическую модель в инвариантной форме. Следовательно, матрица инциденций несет ту же информацию о системе, что и орграф или динамическая модель. Поэтому ее можно рассматривать как функциональную математическую модель технического объекта в матричной форме.
4.4.	УЗЛОВОЙ МЕТОД ФОРМИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Для формирования полной математической модели технического объекта на основе компонентных и топологических уравнений наиболее широкое применение получил узловой метод.
Напомним, что компонентные уравнения описывают физические свойства простых элементов, устанавливая соотношения между фазовыми переменными типа потока и типа потенциала, характеризующими состояния элементов. Топологические уравнения описывают условия равновесия и непрерывности фазовых переменных.
Используем обозначения фазовых переменных и параметров, применяемые для механической поступательной системы, и выпишем компонентные и топологические уравнения в этих обозначениях.
Принимая во внимание, что фазовые переменные системы 0^ и Fj составляют некоторые множества, запишем компонентные уравнения элементов системы в матричной форме:
уравнения инерционных элементов
Ги = mldv^/dty,	(4.8)
уравнения диссипативных элементов
Гд = цид;	(4.9)
уравнения упругих элементов
Fy=cjuydf,	(4.10)
где Ги, Гд, Fy — векторы потенциалов соответственно инерционных, диссипативных и упругих элементов; т, ц, с — диаго
116
нальные матрицы параметров этих же элементов; ии, ид, иу — векторы фазовых переменных типа потока соответствующих элементов.
Топологические уравнения механической поступательной системы:
уравнение равновесия потенциалов ветвей орграфа, инцидентных f-му узлу,
=0, i = l,n;
U Ji
уравнение непрерывности фазовых переменных типа потока l-й ветви орграфа
-0, Z = 1,L, J i
где n — число узлов орграфа, за исключением базового; L — число ветвей.
Используя матрицу инциденций, топологические уравнения можно записать в матричной форме
AF = 0;	(4.11)
uB+ATv = 0, в = и,д,у,	(4.12)
где А — матрица инциденций; Ат — транспонированная матрица A; F — вектор потенциалов ветвей; ив, v — векторы потоковых переменных соответственно ветвей и узлов графа.
Элемент ubZ вектора ив определяется по формуле:
п
»в1 = £ИвПРг,	(4.13)
1=1
где Ив^ — элемент матрицы инциденций, характеризующий инцидентность l-й ветви орграфа i-му узлу.
Основные положения узлового метода:
1) в качестве базисных координат используются узловые потоковые переменные и, характеризующие состояния узлов графа;
2) исходным топологическим уравнением системы является уравнение равновесия потенциалов ветвей в узлах графа (4.11), выражающее принцип Даламбера.
117
Вектор потенциалов системы F представим состоящим из подвекторов потенциалов компонентов — инерционных Ри, диссипативных Fn , упругих Fv и источников внешних воздействий
в
можно представить матрицу инциденций, состоящей из соответствующих подматриц:
А = [Аи, Ад, Ау, Ав].	(4.15)
Используя разложения (4.14) и (4.15), приведем уравнение равновесия (4.11) к виду
АИГИ +	+ AyFy + ABFB = 0.	(4.16)
Подставим значения потенциалов ветвей из уравнений (4.8) — (4.10) в равенство (4.16):
AKm(dvii/dt) + АдЦРд + Ayc$vydt + ABFB = 0.
Учитывая топологическое уравнение (4.12), фазовые переменные ри,рд,ру можно выразить через узловые потоковые переменные v . В результате получаем матричное уравнение, описывающее алгоритм формирования математической модели узловым методом,
АитА? (dv/dt) + АдЦАдб + АусАу Jvdt = ABFB.	(4.17)
Изложенный классический вариант узлового метода приводит к системе интегродифференциалъных уравнений (4.17). Такой вид уравнений неудобен для анализа процесса функционирования объекта. Как уже упоминалось, наиболее предпочтительной формой математической модели при использовании численных методов является система дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши. Однако отмеченный недостаток узлового метода можно легко устранить.
Преобразование интегродифференциальных уравнений (4.17) к нормальной форме можно осуществить путем расширения координатного базиса. Введем функции потенциалов упругих компонентов в состав базисных координат. Эти функции представляются выражением
Fy=-cAy\vdt.	(4.18)
Подставим значение FN в уравнение (4.17) и разрешим его •7
относительно производной dv/dt. Определим производную по
118
времени от вектор-функции Fy. Полученные выражения сведем в единую систему уравнений. В результате получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши
dv/dt = (АитпАи) 1(ABFB + AyFy - Ад|хАдй); dFy /dt = -cAyV.
(4.19)
В уравнениях (4.19) базисными координатами являются фазовые переменные v и Fy. Базисными координатами называют совокупность неизвестных переменных в уравнениях, описывающих функционирование динамической системы.
Для системы с источниками внешних воздействий типа потенциала потоковые фазовые переменные v характеризуют состояние сосредоточенных масс и являются независимыми координатами, а их количество равно числу степеней свободы системы. При этом число узлов орграфа п (за вычетом базового) равно числу сосредоточенных масс.
Орграф объекта с источниками внешних воздействий типа потока включает дополнительные узлы, отображающие внешнюю среду, генерирующую эти воздействия. Их называют узлами источников потоков. Такие узлы имеют свою отдельную нумерацию и отмечаются на орграфе звездочками (рис. 4.5, в). Узлы источников потоков характеризуются двойственными (дуальными) свойствами, отображаемыми двумя различными функциями v^(t) и vBcZ(f). Функция u*z(f) характеризует внешнее воздействие типа потока, возникающее в результате взаимодействия объекта с внешней средой. Функция 1>всД0 характеризует состояние i-й сосредоточенной массы, отображаемое потоковой переменной ивсг*. В этой связи переменная vBC t входит в координатный базис системы уравнений (4.19), а функция vBi(t) — в число внешних воздействий. Но поскольку сосредоточенные массы, отображаемые узлами источников потоков, принадлежат внешней среде, с которой связана инерциальная система отсчета фазовых координат типа потока, то vBCi = 0 и dvBCi/dt = 0. В результате дифференциальные уравнения относительно производных фазовых координат ивс/ превращаются в алгебраические выражения, используемые для вычисления реактивных потенциалов FB* внешней среды. Независимыми координатами системы являются только фазовые пе
119
ременные типа потока v, характеризующие состояния сосредоточенных масс технической системы. Эти массы отображаются на орграфе узлами с порядковыми номерами без индексов. Их количество равно числу степеней свободы системы.
Подматрица инерционных ветвей орграфа Аи, как отмечалось, является единичной матрицей. Порядок этой матрицы для объекта с источниками потенциалов равен числу степеней свободы системы п, а для объектов с источниками потоков ее порядок п+пи.п, где пи.п — количество источников потоков. Однако во всех случаях эта матрица квадратная. Такой же порядок имеет и диагональная матрица параметров инерционных элементов т. Для объектов с источниками потоков в состав матрицы т входят так
же элементы , являющиеся параметрами инерционности внешней среды. При моделировании технических объектов инерционность внешней среды полагают бесконечно большой, поэтому включение параметров т* в состав матрицы т необходимо рассматривать как формальный прием обеспечения необходимой ее размерности.
Так как матрицы Аи и т одного и того же порядка п, то матричное произведение в первом уравнении системы (4.19) (АитпАти)~1 «« zn’1. С учетом этого уравнения (4.19) можно записать в виде
dv/dt - т 1(ABFB + AyFy + АДРД); dFy/dt = -cAyV,

где Fr — вектор потенциалов диссипативных компонентов:
F& = -цАдй.
(4.20)
(4.21)
Для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (4.20) необходимо задать начальные условия и Fy0 при t = 0.
Проанализируем структуру системы уравнений (4.20). Первое матричное уравнение системы (4.20) выражает принцип Да-ламбера, а второе является компонентным уравнением упругих элементов. Уравнение (4.21) также матричное и представляет собой компонентное уравнение диссипативных элементов.
В системе уравнений (4.20) число неизвестных функций v и Fy равно числу дифференциальных уравнений. Следовательно, узловой метод позволяет избежать избыточности фазовых координат и переопределенности системы уравнений, что способствует
120
повышению устойчивости вычислительных алгоритмов при их решении численными методами. Процедура формирования математической модели полностью формализована и можно построить алгоритм ее реализации на ЭВМ.
Изложенная модификация узлового метода позволяет получить модель в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши, наиболее удобной при использовании численных методов интегрирования. Таким образом, эта модификация устраняет один из недостатков классического
узлового метода.
Узловой метод хорошо приспособлен для моделирования электрических цепей, гидравлических и тепловых систем (движение жидкости в гидравлических магистралях, теплопередача в твердом теле при одномерном тепловом потоке). Для механических систем он применим лишь в случае представления объектов в виде системы материальных точек или твердых тел, совершающих простые движения — поступательные или вращательные.
Но узловой метод не может применяться для динамических систем, содержащих трансформаторные и фрикционные элементы. Это обусловлено невозможностью отображения этих элементов матрицей инциденций. Узловым методом нельзя построить математическую модель системы твердых тел при сложном их движении — плоском, сферическом. Кроме того, в некоторых случаях для описания физических свойств технических объектов и взаимодействия с внешней средой недостаточно использования рассмотренных выше простых элементов. В частности, это относится к объектам с неголономными связями, с виртуальными связями и с переменной структурой. Такими свойствами обладают многие
механические и гидромеханические системы.
Пример 4.2. Применим модифицированный узловой метод для формирования математической модели анализа колебаний кузова автомобиля. Предположим, что исследование колебаний осуществляется на основе динамической модели, приведенной на рис. 4.5, а. Матрица инциденций для этого случая приведена в табл. 4.2. Используя ее, выпишем подматрицы ветвей источников Ав, упругих Ау и диссипативных АД ветвей:
0 0
1 о
-1 1
0 -1
Диагональные матрицы параметров элементов системы:
т =	। । о о *S о g ° Soo ।	।	; с =	। । ° о о 1	1	; м =	। । о т т- О ।	।	
Векторы потенциалов источников FB , упругих Fy
и диссипативных Рд
компонентов:
121
И, наконец, необходимо составить вектор фазовых переменных типа потока, необходимый для вычислений, предусмотренных вторым уравнением системы (4.20) и уравнением (4.21). Если объект подвержен внешним воздействиям только типа потенциала, то элементами этого вектора будут только независимые фазовые координаты v . Если на объект действуют источники потока, то в элементный состав вектора также включаются функции внешних воздействий v* . В этой связи вектор v в рассматриваемом примере имеет вид
где и и2 — независимые фазовые координаты, определяющие состояния сосредоточенных масс и m2; пв1 — функция, характеризующая источник потока, воздействие которого на систему обусловлено неровностями опорной поверхности дороги.
Вычислим матричные произведения слагаемых правой части первого
уравнения системы (4.20), принимая во внимание, что		
	। о о 	1	
т 1 =	о 1 CSJ £ О	•
	0	0 Wj 1	
После перемножения матриц получаем
Fyi/m1
(.Fy2 ~	’
- Fy21mi
д д
Fnllml
(FB2-FR1)/m2
77	/	*
~FB2lml
Сложим полученные векторы, в соответствии с исходным уравнением:
dvx /dt		(-^B1 + ^yl + ^д1)/от1
dv2 /dt dv^/dt	—-	(-Fb2 - -fyi + Fy2 ~ Fal + Fa2)/m2 . (F/j - fy2 - ^2)/m*
Принимая во внимание, что dv3cl/dt = 0, а -> со , получаем два дифференциальных уравнения первого порядка и одно алгебраическое выражение,
позволяющее определить реакцию внешней среды F*r :
dv-^/dt = (-FB1 + Fyl + Рд1)/т1 ;
122
dv2/dt = (-Гв2 - Fyi + Гу2 - Fal + FR2)/m2 ;
Ki = Fy2 + Fr2.
Уравнения, необходимые для определения Fy и , получим, вычислив матричные произведения в соответствии с выражениями (4.20) и (4.21):
d^yi/dtl	Гс^-и,+i>2)
= -сА,> =	.	;
dFy2/dt	c2(—v2 + i>Bi)
*
д1 /д2
В результате математическая модель рассматриваемого объекта представляется системой обыкновенных дифференциальных уравнений, общий порядок которой равен четырем, и тремя алгебраическими выражениями
dv^/dt = (ГЕ] + Fyl +	;
dv2/dt = (~Fb2 - Fyl + Fy2 - ГД1 + Рд2)/т2 ;
dFyl/dt = Cj(- + p2);
dFy2/dt = c2(- v2 + i>B1);
(4.22)
>
j
д2 ~ R2(_l,2 + ^Bl) ’
(4.24)
(4.25)
7 b1 ~ -ry2 ^д2 •
Для решения системы уравнений (4.22) необходимо задать начальные условия и10, п20, Fyio, Fy20. Значения _Fyl0 и ^20 обычно принимают исходя из условий статического равновесия: Fyl0 = FB1; Fy20 =	+ Fb2- Начальные скорости
сосредоточенных масс и f2o можно принять нулевыми. Задавая функцию uB1(t) и решая уравнения (4.22) — (4.25), получают искомые значения фазовых переменных L>i(i), v2 (t), Fyi(t), Fy2 (f), а также реакцию опорной поверхности
Если параметры элементов т, с, ц рассматриваемой системы постоянны, то полученная математическая модель будет линейной. Однако в реальных системах значения параметров элементов зависят от фазовых координат и модель оказывается нелинейной. Так, в системах виброзащиты автомобилей коэффициенты жесткости с± и С2 могут быть функциями деформаций упругих элементов. Кроме того, необходимо учитывать силы кулоновского трения, являющиеся нелинейными функциями. Отметим, что силы кулоновского трения при составлении математической модели условно относят к внешним воздействиям.
В гидравлической системе используются нелинейные функции для определения параметров диссипативных и упругих элементов цг и сг (см. раздел 3.9).
Однако нелинейные функции не препятствуют построению математической модели узловым методом, так как они включаются в нее после формирования системы уравнений.
4.5. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА
При моделировании сложных технических систем применяют уравнения Лагранжа второго рода. Их можно использовать при построении математических моделей объектов любой физической природы, если они рассматриваются как системы с сосредоточенными параметрами. При этом никаких ограничений на структуру и физические свойства объекта не накладывается.
Уравнения Лагранжа второго рода для системы с голоном-ными связями имеют вид
dt{dqt ) 5<Ii
i = 1,п,
(4.26)
где Ек — кинетическая энергия системы; Qi — обобщенная координата; qt — обобщенная скорость; Qi — обобщенная сила; п — число степеней свободы системы.
В качестве обобщенных координат выбирают независимые между собой переменные, которые позволяют полностью определить состояние исследуемой системы. Обычно в качестве обобщенных координат принимают величины, производные по времени от которых представляют собой фазовые координаты типа потока, приведенные в табл. 3.2. Например, для механических систем обобщенными координатами выбирают линейные и угловые перемещения, а обобщенными скоростями — линейные и угловые скорости. В этом случае обобщенные силы сохраняют свой физический смысл и представляют собой силы и вращающие моменты.
Каждой обобщенной координате qi соответствует своя обобщенная сила Qi. Работу всех обобщенных сил на возможных перемещениях системы (виртуальную работу) можно вычислить по формуле
5W	=
i-1	Z=1
(4.27)
где 6qi — вариация д-й обобщенной координаты; bWt — работа д-й обобщенной силы на возможном перемещении.
124
Из формулы (4.27) следует, что обобщенные силы представляют собой коэффициенты при вариациях обобщенных координат в выражении для виртуальной работы.
Так как вариации обобщенных координат &Qi независимы, то, вычисляя работу всех приложенных к системе сил на одном из возможных перемещений 6gz, а все остальные вариации в формуле (4.27) полагая равными нулю, легко определить каждую обобщенную силу Qi в отдельности.
Кинетическая энергия системы Ек в общем случае является функцией обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени и представляет собой сумму
Ек ~~ ^кО ^к1	^к2>
где Ек0 = а0; £к1 =	Ек2 = i X YaijQiQj-
i=l	z i=l/=l
Если формулы связей декартовых и обобщенных координат не содержат явно времени t, то Ekq = EKi = 0, а Ек = ЕК2- Следовательно, при стационарной структуре системы кинетическая энергия представляется однородной квадратичной формой
1	п п
(4-28) 2 i=l/=l
где rriij — элемент матрицы параметров инерционных элементов системы.
Обобщенные силы можно разделить на потенциальные Qn, диссипативные <2Д и произвольные Q*.
Силы называются потенциальными, если существует положительно определенная функция обобщенных координат, удовлетворяющая равенствам
Qm = -dEnldqi, i = l,n,
где Еп = En(qi,q2,...9qn) — потенциальная энергия системы.
В стационарном равновесном состоянии системы Еп = min, следовательно, &Еп = 0 и 52ЕП > О- В окрестности точки, соответствующей этому состоянию в фазовом пространстве, потенциальная энергия может быть представлена квадратичной формой
п п
~ 22 22	>	(4.29)
2	i=17=l
где Cij — элемент матрицы параметров упругих элементов сис
темы.
125
Обобщенные силы называют диссипативными, если существует положительно определенная функция обобщенных скоростей, удовлетворяющая равенствам
= - дФ/dqi , i = l,n,
где Ф — диссипативная функция Рэлея:
1 п п
Ф =~Z	(4.30)
1 i=\j=X
щу — элемент матрицы параметров диссипативных элементов системы.
Обобщенная сила Qz, соответствующая i-й обобщенной координате, равна алгебраической сумме произвольной Q , потенциальной Qnf и диссипативной составляющих:
Qi =Q- -(8En/dqi)-(^/dqi), i =Щ.	(4.31)
Подставим значение Q} в уравнение (4.26), опуская индекс (*) при составляющей Q* :
Обобщенная сила фигурирующая в этом уравнении, определяется с учетом работы источников всех внешних воздействий, а также некоторых внутренних источников, которые не могут быть отнесены к упругим и диссипативным элементам (например, силы кулоновского трения в механических системах).
Математическая модель, получаемая на основе уравнений Лагранжа второго рода, представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида
F(q,q,q,t) = 0.	(4.33)
В эту систему входит п дифференциальных уравнений второго порядка, где п — число степеней свободы системы.
Процедура получения математической модели на основе уравнений Лагранжа второго рода включает следующие операции:
1)	составление динамической модели технического объекта (при этом выделяются инерционные, упругие, диссипативные, трансформаторные и фрикционные элементы, определяются источники внешних воздействий);
2)	определение возможных перемещений элементов системы с учетом наложенных позиционных голономных связей и введение обобщенных координат qif количество которых должно соответствовать числу степеней свободы системы п;
3)	составление выражений для вычисления кинетической Ек и потенциальной Еп энергий и диссипативной функции Рэлея Ф ;
4)	составление выражения для вычисления виртуальной работы 8W источников внешних воздействий, определение обобщенных сил Qf,
5)	выполнение операций дифференцирования, предусмотренных уравнением (4.32), и формирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Отметим важное свойство функций Ек, Еи и Ф — их аддитивность. Напомним, что способностью накапливать кинетическую энергию обладают инерционные элементы, а потенциальную энергию — упругие элементы. Диссипативные элементы рассеивают энергию системы, затрачивая ее на преодоление внутренних сопротивлений. В связи со свойством аддитивности кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех инерционных элементов. Потенциальная энергия системы равна сумме потенциальных энергий всех упругих элементов, а диссипативная функция — сумме энергий потерь всех диссипативных элементов.
В общем случае, когда состояния дискретных элементов системы, обладающих инерционными свойствами и взаимодействующих между собой посредством безынерционных упругих и диссипативных элементов, описываются несколькими обобщенными координатами, функции Ек, Еи и Ф для каждого элемента определяются по формулам (4.28) — (4.30). Примером такого объекта является твердое тело с шестью степенями свободы. Однако при моделировании часто встречаются более простые динамические модели, в которых состояние каждого дискретного элемента характеризуется одной или двумя обобщенными координатами. Тогда функции Ек, Еп и Ф значительно упрощаются.
Например, при плоском движении твердого тела кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий в переносном (поступательном) и относительном (вращательном) движениях:
Ек = 0,5mv2 + O,5Jco2,	(4.34)
где гп — масса твердого тела; v — скорость центра масс тела; J — момент инерции твердого тела относительно оси, проходящей че
рез центр масс; со — угловая скорость вращения тела относительно этой оси.
Кинетическая энергия сосредоточенной массы жидкости в дискретном элементе — участке трубопровода
Ек = 0,5mrQ2,	(4.35)
где тг — коэффициент массы, кг/м4; Q — расход, м3/с.
Кинетическая энергия дискретного инерционного элемента твердого тела при одномерной теплопередаче
127
Ек = 0,5стТ2,	(4.36)
где ст — теплоемкость инерционного элемента, Дж/К; Т — температура элемента, К.
Следует отметить, что Ек в тепловой системе характеризует приращение кинетической энергии при нагреве на 1 К.
Кинетическая энергия инерционного элемента электрической системы
Ек = 0,5Ы2,	(4.37)
где L — индуктивность инерционного элемента, Гн; I — сила тока, А.
Потенциальная энергия упругого элемента
Еп = 0,5сА2,	(4.38)
где с — параметр упругого элемента (характеризует его способность накапливать потенциальную энергию — см. табл. 3.3); А = q^- qi9 q2 — обобщенные координаты инерционных элементов, соединяемых данным упругим элементом.
Для механической системы А представляет собой величину деформации упругого элемента (линейную или угловую), для гидравлической — изменение объема жидкости упругого элемента, для электрической — изменение заряда конденсатора. Тепловая система упругими свойствами не обладает.
Диссипативная функция определяется по формуле
Ф = 0,5цД2,	(4.39)
где ц — параметр диссипативного элемента; А = Qi Ql •> $2— обобщенные скорости (фазовые переменные типа потока), характеризующие состояния инерционных элементов, соединяемых данным диссипативным элементом.
Для механической системы А представляет собой относительную скорость движения взаимодействующих сосредоточенных масс, для гидравлической — скорость движения сосредоточенной массы жидкости в дискретном участке трубопровода, в тепловой системе — разность температур в узлах дискретизации, трической — ток резистора.
Для неголономной системы уравнения Лагранжа рода имеют вид
в элек-
второго
(4.40)
>
'£Aviqi+Av = О, v = 1,N, 1=1
128
где К — неопределенный множитель Лагранжа; Avy, Av — коэффициенты уравнений неголономных связей; п — число обобщенных координат; N — число неголономных связей.
Рассмотрим пример построения математической модели объекта на основе уравнений Лагранжа второго рода.
Пример 4.3. Построить математическую модель анализа динамических нагрузок в трансмиссии автомобиля при включении сцепления. Динамическая модель автомобиля приведена на рис. 4.6.
Параметры инерционных элементов — моменты инерции вращающихся твердых тел, параметры упругих элементов — коэффициенты жесткости Су, а параметры диссипативных элементов — коэффициенты сопротивления цу. Для отображения физических свойств сцепления трансмиссии и сцепления ведущих колес автомобиля с дорогой в модели предусмотрены фрикционные элементы ФЭ1 и ФЭ2. Преобразующие свойства трансмиссии отражаются трансформаторным элементом ТЭ. Внешние воздействия на систему представлены вращающими моментами MBi, Мв2, Мвз, причем MBi отображает воздействие двигателя, а Мв2 и Мв3 — сопротивления движению автомобиля (приведенные моменты сопротивлений качению, подъему и воздуха). Следует также учесть моменты трения зубчатых зацеплений трансмиссий Мтр и сцеплений Мф1т Мф2 в периоды, когда фрикционные элементы ФЭ^ и ФЭ2 буксуют, т.к. эти моменты представляют собой реакции неидеальных связей. Следовательно, моделируемая система неконсервативная. Поэтому при определении виртуальной работы 6W необходимо учитывать не тлько источники внешних воздействий Мв1, Мв2 и Мв3, но и моменты трения Мтр, Мф1, Мф2, несмотря на то, что это внутренние потенциалы системы.
с3,Рз
V/Z/Z/Z/z
Рис. 4.6. Динамическая модель для анализа нагрузок в трансмиссии автомобиля при включении сцепления
Получим вначале уравнения в предположении, что оба фрикционных элемента замкнуты, т.е. сцепление трансмиссии включено, а ведущие колеса не проскальзывают относительно поверхности дороги (качение без скольжения). В качестве независимых обобщенных координат выберем углы поворота сосредоточенных масс (р2, (р3, (р4 и (р5. При замкнутом сцеплении угловые координаты (pj и (р2 одинаковы. Сосредоточенная масса с моментом инерции J6 соединена с массой
129
J2 безынерционным трансформаторным элементом ТЭ, отображающим зубчатые передачи трансмиссии. Угловая координата массы J6 является зависимой от угловой координаты массы J2. Эта зависимость устанавливается выражением Фе = Фг/и, гДе и — передаточное число трансформаторного элемента. Аналогичная зависимость между угловыми скоростями этих масс: ф6 = ф2/и .
Составим выражения для определения кинетической и потенциальной энергий системы и диссипативной функции.
Кинетическая энергия
6	6
Ек = 1=1	1=1
где — угловые скорости сосредоточенных масс.
Выражая угловые скорости масс через независимые обобщенные скорости, получаем
Ек =0,5 [(Ji
+ J2 + Jq/u2)(£)2 + «^З®! + ^4о:>4 + ^б®!
(4.41)
Потенциальная энергия
з
з
Еп = ХЕШ = °’5ХС/Лг 7=1	7=1
Составим формулы для определения деформаций упругих элементов, выражая их через независимые обобщенные координаты: Aj = ф2/п - Фз ~ Фб5 А2 = Фз - Ф4; A3 = (р5. С учетом этих выражений потенциальная энергия
Еп=0,5 [с1((р2/и - ф3 - (р5)2 + с2((р3 - (р4)2 + с3 (psj. (4.42)
Так как диссипативные элементы в динамической модели расположены параллельно упругим, то выражение диссипативной функции Ф имеет такую же структуру, как и формула (4.42):
Ф = 0,5 [pi(co2/u-co3 -со5)2 +|л2(со3 — со4)2 + р3®5]-	(4.43)
Виртуальная работа источников внешних воздействий и реакций неидеальных связей при замкнутых фрикционных элементах Ф0! и ФЭ2, выраженная через вариации обобщенных координат,
8W — 7Ив18ф2 - Мв2бфз - Мвз8ф4 - Мтр8ф2 .	(4.44)
Момент трения Мтр, приведенный к массе с моментом инерции J2, можно определить по формуле
Мтр = (1 ~ П) С^у1 + ЛГц1)/(14Т|) , где г) — КПД трансмиссии; Му1, Мд1 — моменты соответственно упругого и диссипативного элементов:
МУ1 = С1(ф2/п - фз - Фб); МД1 = /и - со3 - ю5).
Используя выражения (4.41) — (4.44), на основе уравнений Лагранжа
(4.32) и выражения (4.27) получаем следующую систему дифференциальных уравнений:
®2 =	“ С^у! + МД1) /(un)]/(JJ + J2 + J q I u2)'t
®3 = (_^b2 + ^yl + ^Д1 “ ^y2 “ ^4д2)/ ^3 ’ ®4 = (-Мвз + My2 + Мд2) / J4 ;
®б ~ (MyX + Мд1 - My3 - Мд3)/ J5 ,
9. Зак. 3006
130
где Му2 = с2(ср3 - <р4); Му3 = с3ср5; Мд2 = ц2(со3 - со4); Мд3 = ц3со5 .
При буксовании сцепления ФЭ} число степеней свободы системы возрастает на единицу и возникает необходимость введения еще одной независимой обобщенной координаты фр На движение элементов системы при этом оказывает влияние момент трения сцепления Мфр что учитывается при определении виртуальной работы. Этот внутренний момент также формально относят к числу внешних воздействий. В математической модели при этом изменяется только первое уравнение системы и вводится одно дополнительное уравнение:
В1 - Мф1 sign(a>j - со2)]/ Jj;
Ф1 signCcoj - <о2) - (Му1 + Msi)/(ur|)]/(J2 + J6 /и2),
“1 = [мв1 - Мф1 sign(a>j - со2)] го2 = [мф1 signal - <о2) - (Му1
где signCcoj - со2)— дискретная функция, зависящая от знака аргумента (coj - со2) : при положительном аргументе она равна 1, а при отрицательном -1 (ее также называют функцией знака).
Необходимость введения функции sign обусловлена тем, что момент трения сцепления направлен противоположно относительной угловой скорости скольжения фрикционных элементов. При переключениях передач в трансмиссии угловые скорости coj и го2 изменяются в широких пределах, а их разность может быть как положительной, так и отрицательной.
Использование разных моделей для замкнутого и разомкнутого состояний сцепления создает неудобства при моделировании. Однако этого можно избежать и получить единую систему дифференциальных уравнений, учитывающую максимально возможное число степеней свободы моделируемого объекта. Введем дискретную функцию состояний сцепления ФЭ!
1 при [coj — со21 < Acoj; 0 при Icoj - со2 > Acoj,
(4.45)
где Acoj — допустимая разность между coj и со2 , определяющая условие блокирования фрикционного элемента (принимают в пределах 1...3 % от coj).
При Ly = 1 сцепление замкнуто, а при Li = 0 — разомкнуто (буксует). После замыкания сцепления может оказаться, что вследствие больших ускорений сосредоточенных масс момент упругого элемента, накапливающего потенциальную энергию в переходном процессе, совместно с инерционным моментом ведомой части превысит момент трения сцепления Мф^. Тогда сцепление разомкнется и начнется его буксование. Такой переход сцепления из одного состояния в другое можно учесть функцией переключения
Рх =0,5 1 + sign(M^n - (Му1 + Мд1)/(пг|) + (J2 + J6 /u2)cb2 )
(4.46)
При Pi — 0 сцепление размыкается и начинается его пробуксовка.
При включении сцепления ФЭ! нагрузки в упругих элементах трансмис-
сии значительно возрастают, что может привести к проскальзыванию ведущих колес относительно дороги (буксованию). Для отображения этого процесса в динамическую модель вводится фрикционный элемент ФЭ2. Расположение фрикционных элементов ФЭ! и ФЭ2 в динамической модели различно: ФЭ! разделяет две сосредоточенные массы, а ФЭ2 — упругий элемент и сосредоточенную массу. Наличие упругого элемента с2 между сосредоточенными массами J3 и J4 позволяет им поворачиваться относительно друг друга, поэтому использовать функцию вида (4.45) для определения состояния ФЭ2 нельзя. В этом случае применяется лишь функция переключения
131
Р2 = 0,б[1 + 8^п(Мф2 - |му2 + Мд2|) .
(4.47)
Использование функций Iq, Р19 Р2 позволяет сформировать единую систему дифференциальных уравнений, описывающих функционирование моделируемого объекта при любых изменениях состояний фрикционных элементов ФЭ1 и ФЭ2:
(bi = [мв1 - Мф1 sign (toj - со2)(1 - Iq) - (Му1 + Мд1)Ь1Р1 /(пц)]/
/[^1 + (^2 + ^6 / 1/2)^1 J
«2 = [МвЛА + Мф1 sign («1 “ «2XI - А) ~ (му1 + Мд1)/(иг|)]/
/№ 1^1 + ^2 + ^3 / и2}'
(Ь3 = [- мв2 + му1 + мД1 - (му2 + мд2)р2 - ^2sign (®з - “4X1 - ^2)]/ J3;
1 -	>	(4.48)
со4 = [- Мв3 + (Му2 + Мд2)-Р2 + Assign (со3 - со4)(1 - Р2)]/^4 5
со5 = (МУ1 + МД1 - Му3 - Мдз) / J5 ;
МУ1 =cj (со2 /п — (о3 -со5);
Му2 = с2 (со3 - (04 )Р2 + -Л4ф2 (1 ~ ^2 ) ;
Муз = с3 (05 ;
При буксовании сцепления ФЭ1 два первых уравнения различны и ©1 * со2 . После замыкания сцепления эти уравнения оказываются одинаковыми
и ©1 = (Ь2 . При этом необходимо принять со2 = ®i . Если колеса пробуксовывают.
Р2 = 0. Тогда при Мф2 = const Му2 = 0 , а при Мф2 = var Му2 = Мф2 . Эти осо
бенности учтены в выражении для Му2. После размыкания ФЭ2 вначале разность скоростей (coi - со2) возрастает, что увеличивает Мд2. Затем она уменьшается и при снижении Мд2 до его значения, достигнутого в момент размыкания, произойдет замыкание ФЭ2. Следует, однако, отметить, что в состоянии скольжения принятая модель ФЭ2 не отражает истинных значений Му2 и Мд2, т.к. при этом не вычисляется действительная скорость деформации упругого элемента. Например, при Мф2 = const деформация упругого элемента с2 в связи с его безынерци-онностью мгновенно принимает значение Дср2 = (Му2 + Мд2) / с2 = const , а
Лф2 = 0 , где Му2 и Мд2 — значения Му2 и Мд2 в момент размыкания ФЭ2. В
результате Му2 = Му2 + М*2; ТИд2 = 0 . Несмотря на это, функция Р2 обеспечивает адекватное описание условий переключения ФЭ2.
Для интегрирования системы уравнений (4.48) задаются начальные условия cozo, i = l,n, и Myj0, j = где п — число степеней свободы (в данном
случае п = 5); т — количество упругих элементов. Необходимо также задать функции источников внешних воздействий MBi, Мв2, Мвз и моментов трения сцеплений Мф1, Мф2.
Момент двигателя внутреннего сгорания при наличии регулятора или ограничителя угловой скорости определяют по формулам л ж L .	л ,	/_ \2
при

МдО -^о(Юд ~йдо) ПРИ СО
МДТ
(Од _ С0до »
М„1 > Мдт;
< ЛГдТ,
(4.49)
д > ^до И
при (0д > (0ДО и
132
где Мр, Мдо — моменты двигателя соответственно при максимальной мощности и при включении ограничителя; со^, содо — соответствующие этим моментам угловые скорости двигателя; сод — текущее значение угловой скорости двигателя; ko — коэффициент наклона регуляторной ветви характеристики двигателя; Мдт — тормозной момент двигателя при полном выключении подачи топлива.
Моменты сопротивления движению автомобиля
Мв2 = ^ав^кО Sign МвЗ =	+ тан/ГкО sign C04)g,	(4.50)
где тпя — масса автомобиля; тпяя, тпян — части массы автомобиля, отнесенные ’	СЛ	'	cljo * cLXl	*
соответственно к ведущим и ведомым колесам; g — ускорение свободного падения; / — коэффициент сопротивления качению; гк0 — радиус качения колес автомобиля; h — уклон продольного профиля дороги (положительный на подъеме, отрицательный на спуске).
Функция sign учитывает необходимость изменения знака момента сопротивления качению, если при трогании автомобиля с места на уклоне происходит откат автомобиля назад.
Изменение момента трения при включении сцепления в первом приближении можно определять по формуле
^Ф1 -
^ф1 тах^ / ^ф1 ^ф! max
при
при
о<* <гф1;
t > ^ф1>
(4.51)
где Мф1тах — максимальное значение момента трения при полном включении
сцепления; t, £ф1 — текущее и полное время процесса буксования сцепления ФЭр Момент трения сцепления ведущих колес автомобиля с дорогой
^Гф2 = Фг^ав^кО »	(4.52)
где — коэффициент сцепления.
Мощность Рф1 и работа трения ТУф/ фрикционного элемента ФЭ^ определяются по формулам
^ф£ = |^фгСОфг |»	(4.53)
= \p^dt9	(4.54)
о
где соф/ — угловая скорость относительного скольжения поверхностей трения для ФЭх соф1 = coj — со2, а для ФЭ2 соф2 = (со3 - ю4)(1 - Р2).
На рис. 4.7 приведены графики, полученные при моделировании процесса трогания с места автомобиля массой та = 14950 кг на дороге, характеризуемой параметрами: f - 0,02; h = 0,05; срх = 0,5. Параметры автомобиля: J1 = 3,8; J2 = 0,1; J3 = 2,103; J4 = 76,916; J5 = 2,213 (Jt в кг • м2); q = 7470; c216000; c3 = 11340 (c;- в Н м/рад); и = 5,25; ц = 0,9; Мр =600 Нм; <ьр = 220 рад/с; содо = 167 рад/с;	а = 0,44;	Ъ = 1,87; с = -1,31;	ko = 38,22 Н м с/рад;
^Ф1тах = 1410 Н м; #Ф1 = 0,75 с; Мф2 = 3390 Н м; гк0 = 0,5 м.
133
а
б
200
рад/с
50
100
0
Рис. 4.7. Графики переходного процесса при трогании автомобиля с места: а — угловые скорости сосредоточенных масс; б — угловые ускорения; в — моменты двигателя, сцепления и упругих элементов; г — мощности и работы буксования сцеплений
4.6. МЕТОД ФУНКЦИОНАЛЬНО ЗАКОНЧЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Во многих отраслях техники объекты состоят из некоторого конечного набора типовых конструктивных элементов. Каждый такой элемент имеет определенное функциональное назначение и выполняется в виде автономного объекта, завершенного в конструктивном отношении. При этом предусмотрена возможность его присоединения к другим типовым конструктивным элементам и создания на основе упорядоченной их совокупности некоторой интегрированной технической системы, обеспечивающей задан
134
ный процесс функционирования, отвечающий определенным требованиям.
При наличии таких элементов они могут быть положены в основу структурирования объектов при их математическом описании. Это создает определенные преимущества при проектировании. Структуру объекта составляют типовые элементы, имеющие соответствующие математические описания, которые используются для получения полной математической модели технического объекта. Изменяя в процессе проектирования количественный и качественный состав элементов и варьируя их параметрами, можно получить в результате технический объект с высокими показателями качества и эффективности.
Метод структурирования технического объекта и построения его математической модели в рассматриваемом случае называют методом функционально законченных элементов. Этот метод широко применяется при проектировании гидроприводов. Однако его можно использовать и в других областях техники.
Рассмотрим особенности этого метода на примере гидромеханических систем. Воспользуемся разработками, выполненными кандидатами технических наук Т.В. Пузановой и В.А. Широченно. В табл. 4.3 приведен предложенный ими набор структурных элементов. Он обладает высокой гибкостью и позволяет составить динамическую модель любого гидропривода.
Математические модели функционально законченных элементов можно получить различными методами, однако наиболее удобно воспользоваться уравнениями Лагранжа второго рода. В этом случае нет необходимости рассматривать взаимодействие элемента с другими элементами системы. Достаточно лишь составить выражения для определения кинетической Ек и потенциальной Еп энергий и диссипативной функции Ф . Так как Ек, Еп и Ф представляют собой квадратичные функции обобщенных координат и обобщенных скоростей, то не возникает необходимости выбора направления координат или учета предполагаемого расположения элемента в динамической модели. Воздействия на элемент, как внутренние, так и внешние, также не принимаются во внимание при построении его математической модели. Дело в том, что взаимодействия элементов будут учтены топологическими уравнениями при формировании математической модели системы, а для внешних воздействий составляются отдельные математические описания, входящие в библиотеку моделей воздействий, которая, так же как и библиотека моделей элементов, используется на стадии формирования полной модели системы.
Определив функции Ек, Еи и Ф и используя уравнения Лагранжа второго рода, получают математическую модель элемента, которая в общем случае представляется выражением вида
Таблица 4.3
№ п/п	Элементы гидропривода	Обозначения элементов				Физические свойства элементов и их математические описания		
						инерционные	диссипативные	упругие
1	2	3				4	5	6
1	Участок гидромагистрали с	1	5? 2 т				тх	(Игл * + Нгн Я2Sign*)А	
2	Безынерционный участок гидромагистрали	• т=) to •					(Игл * + Нгн л2 sign х) А	
3	Безынерционный упругий элемент	1			сг			сг (±АуХу) /=1
4	Механический подвижный элемент			X —* ц		тх		
					-аЧ			
		1				Г 2			
			т					
5	Возвратная пружина	<-вп						“ xi+l)
Продолжение табл. 4.3
1	2	3			4	5			6
6	Постоянный дроссель	1 •>—	р = со	—«2 nst		Ар	( л. \ Ах Is Адр >	2 signr	
7	Переменный дроссель	1 •	р.п =	—«2 гаг		Ар	Ах с л ° Лдр.п	\2 signx /	
8	Обратный клапан	1		*2				0,5gpAx2 sign х			
9	Насос	Фн 1	2 Л,			^нФн	аиФн			
10	Гидромотор	•—— 1	Фгм 2 ^гм		'Л'мФгм	^соФгм			
137
Fn + Fr + Fy = FB,	(4.55)
где FK — сила инерции элемента; F^ — диссипативная сила элемента; Fy — сила упругости элемента; FB — сила взаимодействия данного элемента с другими элементами системы.
Для элементов вращательного движения вместо сил в уравнение (4.55) будут входить соответствующие моменты
Ми + Мд + Му = мв.
В табл. 4.3 указаны физические свойства, которыми наделены функционально законченные элементы, и даны математические описания этих свойств. В формулах приняты следующие обозначения параметров и фазовых переменных: т, Jn, JrM — масса и моменты инерции соответствующих дискретных инерционных элементов; А — площадь поперечного сечения гидромагистрали; цгл, цгн — коэффициенты соответственно линейных и нелинейных потерь; ц — коэффициент вязкого трения; р — плотность жидкости; 8 — коэффициент расхода дросселя; Адр, Адр.п — площади сечений соответственно постоянного и переменного дросселей; — коэффициент местного сопротивления; ат, ва — коэффициенты гидромеханических потерь; сг — коэффициент жесткости упругого элемента, определяемый по формуле (3.66); свп — коэффициент жесткости возвратной пружины; х — координата сосредоточенной массы, взаимодействующей с упругим элементом; w — количество масс, взаимодействующих с данным упругим элементом; х, х — скорость и ускорение сосредоточенной массы.
Значения цгл и цгн определяются по формулам:
цгл = 25,2pvZ/A; цгн = 0,443XTpz/VA 4- O,5gp.
Обозначения параметров, входящих в эти формулы, даны в разделе 3.9.
Площадь сечения переменного дросселя зависит от факторов управления Адр п = /(х^, р^, t), где х^ — координата регулирующего органа дросселя; р% — управляющее давление; t — время.
Обратный клапан рассматривается как безынерционный элемент переключения. В зависимости от направления скорости потока жидкости и разности давлений на его входе рвх и выходе рвых он может находиться в открытом или закрытом состоянии. Условие открытия при х = О
sign (рвх — рвых) = 1,
а условие закрытия при х Ф О
П sign х = -1 ,
Ю. Зак. 3006
138
где х — скорость потока жидкости в магистрали, в которой расположен обратный клапан; П — дискретная функция, характеризующая условия работы клапана: П = 1, если клапан расположен в магистрали так, что пропускает жидкость только в положительном направлении скорости потока; П = -1 — в противном случае.
Если обратный клапан снабжен возвратной пружиной, то к Рвых добавляется слагаемое РПр.о.кМо.к, где РПр.о.к — усилие пру-жины обратного клапана; А0>к — площадь перекрываемого клапаном отверстия — для шарикового или грибкового клапана, или площадь поверхности управляющего элемента — для золотникового клапана.
Для построения математической модели системы необходимо использовать компонентные уравнения функционально законченных элементов из табл. 4.3 и топологические уравнения, выражающие условия равновесия потенциалов и непрерывности фазовых переменных типа потока. Топологические уравнения составляются для узлов взаимодействия элементов. Как следует из табл. 4.3, каждый элемент представляет собой двухполюсник и содержит два узла, отмеченные цифрами 1 и 2. Исключение составляет лишь безынерционный упругий элемент, отображающий упругие свойства газожидкостной смеси и трубопроводов, который содержит только один узел.
В гидромеханической системе взаимодействие функционально законченных элементов осуществляется посредством рабочей жидкости, поэтому в качестве топологического уравнения используется уравнение баланса расходов жидкости в узлах взаимодействия элементов, выражающее условие непрерывности фазовых координат:
f w Л 
XQi -0, j = l,u,	(4.56)
где Qi — расход жидкости i-ro элемента, взаимодействующего с j-m узлом; w — количество элементов, взаимодействующих с этим узлом.
Давление жидкости в каждом узле взаимодействия одинаково для всех функционально законченных элементов, примыкающих к данному узлу.
Расход Qf можно выразить через скорость потока жидкости и площадь его поперечного сечения А/: Qi = Ai xt. Тогда уравнение непрерывности потока для j-го узла принимает вид
139
W
ЦА^Ъ.	(4.57)
i=l Топологическое уравнение (4.57) эквивалентно уравнению позиционной связи
w
Хх А}Х} = 0.
i=l
(4.58)
Наличие позиционных связей системы приводит к избыточности координат и переопределенности системы уравнений, по
этому избыточность желательно
Рис. 4.8. Фрагмент динамической модели гидравлической магистрали
исключать.
Рассмотрим порядок исключения избыточных координат на примерах. На рис. 4.8 приведен фрагмент динамической модели системы, отображающей ветвление гидравлической магистрали в точке у. Участки гидромагистрали, примыкающие к узлу ветвления у, обладают инерционными, упругими и диссипативными свойствами. Эквивалентный упругий элемент с коэффициентом гидравлической жесткости сг, отображающий упругие свойства всех участков, располагается в узле ветвления. При малых объемах жидкости в участках и
жестких трубопроводах упругими свойствами иногда пренебрега
ют и исключают из модели этот упругий элемент. Тогда коорди
наты всех инерционных элементов Xj оказываются взаимосвязанными и число степеней свободы на единицу меньше общего числа координат.
Выберем в качестве зависимой координаты х^ Тогда в соот-вествии с уравнением связи (4.58) можно записать
s
Ai Xi + Aj Xj = 0, i=l
где s — число степеней свободы рассматриваемой подсистемы; Xi — независимая обобщенная координата; Xj — зависимая обобщенная координата (на рис. 4.8 Xj = х4).
140
В результате получаем уравнения связей между зависимыми
Ху и независимыми xt координатами системы
s	___
Xj = Y(AilAj)xi’ i = ^r-	(4.59)
i=l
Предположим, что каждый элемент гидромеханической системы обладает одновременно инерционными, диссипативными и упругими свойствами и подвергается внешнему воздействию FB. Движение такого элемента описывается дифференциальным уравнением, структура которого имеет вид выражения (4.55).
Записав для всех элементов аналогичные уравнения и исключив из них зависимые координаты и их производные, получаем систему дифференциальных уравнений в виде
i = 1, п, (4.60)
где FHy, Fpjj, Fyij
составляющие воздействия j-ro элемента с
исключенной зависимой координатой Xj на элемент системы с ко
ординатой xf, г — число исключаемых зависимых координат, равное числу уравнений связей.
Для фрагмента системы, изображенного на рис. 4.8 число степеней свободы s = 3, число связей г = 1, а математическая модель его содержит 3 уравнения вида (4.60) и одно уравнение связи (4.59).
Систему уравнений (4.60) можно представить в виде
Хд ’ *^1 ’ *^2 > • • • >	Q 1,8.	(4.61)
Уравнения (4.61) в совокупности с уравнениями связей (4.59) представляют собой математическую модель динамической системы с s степенями свободы. Решение этих уравнений позволяет определить все обобщенные координаты системы: независимые Xj и зависимые Ху. При этом необходимо задать начальные условия Х/о, Xj0, i = 1, s .
Следует отметить, что не каждое уравнение системы (4.60) будет содержать составляющие, стоящие под знаком суммы. Например, если в подсистеме, приведенной на рис. 4.8 учесть упругие свойства газожидкостной смеси и трубопроводов, то координаты всех инерционных элементов Xj окажутся независимыми и уравнения будут иметь вид

i = 1,4.
Как следует из табл. 4.3, обобщенные координаты Xj можно задать только тем функционально законченным элементам, кото-
141 рые обладают инерционными свойствами. Математическое описание остальных элементов должно осуществляться с использованием обобщенных координат инерционных элементов.
Динамические модели гидроприводов представляют собой разветвленные разомкнутые цепи, а в системах автоматического управления — замкнутые одноконтурные или многоконтурные цепи. Точки ветвления цепей делят их на отдельные ветви, состоящие из некоторого набора последовательно соединенных функционально законченных элементов. Если в такую ветвь наряду с инерционными элементами входят также безынерционные, то описание последних дается с использованием обобщенных координат примыкающих инерционных элементов.
Рис. 4.9. Динамические модели ветвей гидроприводов, состоящих из взаимодействующих функционально законченных элементов
На рис. 4.9 даны динамические модели фрагментов ветвей. Узлы взаимодействия входящих в них элементов обозначены
У/. Фрагмент ветви на рис. 4.9, а включает три функционально законченных элемента: участок гидромагистрали 1, постоянный дроссель 6 и безынерционный упругий элемент 3 (обозначения элементов соответствуют их порядковым номерам, принятым в табл. 4.3).
Поскольку согласно принятым условиям при структурировании элементов постоянный дроссель считается установленным в данный участок гидромагистрали, а безынерционный упругий элемент примыкает к этому участку, то состояние всех элементов ветви определяется координатой сосредоточенной массы жидкости в участке трубопровода х1. Используем координату х± и площадь поперечного сечения участка трубопрово-
142
да Ai в моделях всех элементов ветви. Решая совместно уравнения этих элементов, получаем дифференциальное уравнение рассматриваемой ветви
А1 1т1Х1 + Црл!*! +
Ргн1^1
sign Xj +	= р.
Фрагмент схемы на рис. 4.9, б также содержит один элемент, обладающий инерционными свойствами (механический подвижный элемент 4). Остальные элементы безынерционные, поэтому математическое описание ветви можно составить, используя только одну независимую обобщенную координату Х4.
Выпишем уравнения всех компонентов ветви, обозначив их координаты номерами элементов:
(Мгл2*2 + HrH2*2sign*2)A2 = А2<Р ~ Pyl)!
^4^4 + Р4%4 ~ ^4Ру1 ~~ ^вп» свп^4 = -^вп’
где Pyi — давление жидкости в узле взаимодействия у^; FBn — усилие возвратной пружины.
Используя топологическое уравнение х2 ~ (Al /А)*4 и Ре" шая совместно компонентные уравнения, получаем дифференциальное уравнение ветви
1	А	А2
——(т45с4 + р4х4 + свпх4) + цгл —А х4 + цгн2 —$ х4 sign х4 = р.
А4	а2	А$
Для фрагмента схемы на рис. 4.9, в аналогичные выкладки
приводят к уравнению ветви
Х4 + Ц4Х4 + Свп#4
^-4 .	А4 . 2 •
+ Ргл1 л *^4 + Мтн1 о”^4 sign %4 ~ Р • А1	А(
Таким образом, несмотря на то, что в рассматриваемой ветви два инерционных элемента, получено одно дифференциальное уравнение с одной неизвестной х4, принятой в качестве независимой обобщенной координаты. Значение координаты определяется из уравнения связи: хг = (А4/А1)х4.
143
Если функционально законченные элементы, обладающие инерционными свойствами, разделены между собой упругим элементом, их координаты оказываются независимыми. Так, динамическая модель ветви гидромеханической системы, представленная на рис. 4.9, г, имеет две степени свободы и для ее математического описания необходимо использовать две независимые координаты Xi и х4. В результате получаем систему дифференциальных уравнений
Ai + цгл1х1 + si£n xi + сгЗх1 - сгЗ (А4/А1)х4 = р;
А41(т4х4 + цх4 + свпх4) + сг3 (А4/А4) ((А4/А1)х4 - х4) = 0.
При формировании математической модели объекта методом функционально законченных элементов система дифференциальных уравнений (4.61) имеет не совсем обычный вид. В отдельные уравнения системы могут входить вторые производные одновременно нескольких обобщенных координат. В этой связи при необходимости приведения их к нормальной форме Коши можно поступить следующим образом. Предполагаем искомыми неизвестными в системе уравнений (4.61) вторые производные независимых обобщенных координат xt и для их определения составляем систему неоднородных алгебраических уравнений вида
+ #12^2 + ••• + als%s ~ а21Х1 + «22^2 + ••• + a2s*s ~ f2’
(4.62)
asl*l + ^s2*^2 + — + ass^s ~~ ft
где aki — коэффициенты при искомых переменных xt; fk — функции возмущений, определяемые независимыми координатами xt и их первыми производными xt = а также внешними воздействиями на инерционные элементы системы FBi, т.е.
fk(vi9 xi> ~^),	1,8.
Решив в общем виде систему уравнений (4.62) и введя обозначение Xi =dvi/dt9 получим следующую систему дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши:
dvi/dt = ft(vk,FBk, pi, k = l,s,
Z 1, Q)> i 1, s,
dpj /dt = fj(vh, fe = l,s),
j = 1,Q>
) (4-63)
144
где pj — давление, определяемое деформацией упругого элемента, расположенного в j-м узле взаимодействия элементов системы; q — число узлов, в которых учитываются упругие свойства системы.
Если упругим элементом является возвратная пружина, то ее усилие выражается через давление посредством соотношения FBn = рА, где А — площадь рабочей поверхности механического подвижного элемента, с которым взаимодействует возвратная пружина.
Переменные и Pj являются фазовыми координатами системы гидропривода. При этом количество переменных типа потока равно числу степеней свободы системы.
Задавая начальные условия и р7о и интегрируя систему уравнений (4.63), получают искомые функции скоростей движения потоков жидкости и механических элементов гидропривода Vi(t) и давлений жидкости Pj(t) в узлах, в которых расположены упругие элементы.
5- СТРУКТУРНО-МАТРИЧНЫМ МЕТОД ФОРМИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
5-1- ОСНОВЫ СТРУКТУРНО-МАТРИЧНОГО МЕТОДА
Динамическая модель технического объекта, построенная методом сосредоточенных масс, представляется совокупностью взаимодействующих элементов — инерционных, упругих, диссипативных, трансформаторных и фрикционных. Техническую систему, динамическая модель которой может быть представлена совокупностью только инерционных, упругих и диссипативных элементов, назовем простой. Динамическая модель сложной технической системы кроме этих элементов содержит трансформаторные и (или) фрикционные элементы. К сложным также относятся механические системы при сложном движении твердых тел.
Математическую модель простой технической системы можно сформировать узловым методом, используя информацию, содержащуюся в матрице инциденций. Алгоритм формирования математической модели модифицированным узловым методом описывается системой уравнений (4.20) и (4.21).
Первое матричное уравнение системы (4.20) получено на основе условия равновесия потенциалов ветвей орграфа, инцидентных соответствующим его узлам, и выражает принцип Даламбера. Это топологическое уравнение. Второе уравнение системы (4.20) и уравнение (4.21) представляют собой матричные компонентные уравнения соответственно упругих и диссипативных элементов системы.
146
Принцип формирования компонентных уравнений рассматривался в разделе 4.3, где отмечалось, что эти уравнения могут быть составлены с использованием столбцов матрицы инциденций.
Топологические уравнения также можно непосредственно получить с помощью матрицы инциденций. Выясним принцип их формирования, используя результаты построения математической модели для примера технического объекта, рассмотренного в разделе 4.4. Динамическая модель объекта приведена на рис. 4.5, а, орграф построен на рис. 4.5, в, а матрица инциденций дана в табл. 4.2. Математическую модель объекта составляют уравнения (4.22) —(4.25).
Выпишем матрицу инциденций анализируемого объекта, исключив из нее подматрицу инциденций инерционных элементов Аи, так как она в системе уравнений (4.20) не используется. Кроме того, осуществим перестановку подматриц Ад, Ау и Ав, поменяв их столбцы местами. Матрица инциденций с учетом этих изменений приведена в табл. 5.1.
Таблица 5.1
Узлы	Ветви						
	Источники потенциалов			Упругие		Диссипативные	
	Л,1	Рь2			С2		И2
1	-1	0	0	1	0	1	0
2	0	-1	0	-1	1	-1	1
Г	0	0	1	0	-1	0	-1
Подматрицы		-Ав						Ац
Сопоставляя два первых уравнения системы (4.22) с элементами строк табл. 5.1, соответствующими узлам орграфа 1 и 2, легко заметить, что эти уравнения можно получить путем суммирования потенциалов компонентов, инцидентных данным узлам,
dvi/dt -
N
7=1
/ ПЦ,
i = l,n, (5.1)
где L — количество источников внешних воздействий типа потенциала (источников потенциалов); N — количество упругих элементов системы; К — количество диссипативных элементов;
п — количество сосредоточенных масс системы, равное числу ее степеней свободы.
Наличие или отсутствие источников потенциалов, упругих и диссипативных элементов, а также направления сигналов в ветвях орграфа определяются соответствующими инциденторами И, значения которых содержатся в матрице инциденций. Поэтому
147
выражение (5.1) можно записать в таком же виде, как и выражения для компонентных уравнений в разделе 4.3. В результате вместо сложных уравнений узлового метода (4.20) и (4.21) получаем простые выражения для формирования топологических уравнений равновесия сосредоточенных масс и компонентных уравнений упругих и диссипативных элементов непосредственно по матрице инциденций:
п	___
~ j ^УИ^ 9 J ~ ^9^9 i=l
п	____
— ~№k	~ ^9^9
1=1
(5.3)
В 771
т = 1,М,
(5.4)
где М — количество источников внешних воздействий типа потока; FBm — реакция внешней среды, генерирующей тп-й источник потока.
Уравнения (5.2) — (5.4) описывают алгоритм структурноматричного метода формирования математических моделей простых технических объектов.
При использовании этого метода топологические уравнения равновесия потенциалов dv / dt = f(FB,Fy,F^) и выражения для определения реакций внешней среды F* = f(Fy9FA) получают, алгебраически суммируя потенциалы ветвей орграфа по строкам матрицы инциденций, а компонентные уравнения упругих и диссипативных элементов — суммируя потоковые переменные узлов орграфа по соответствующим столбцам матрицы инциденций. При этом, как следует из уравнений (5.2) — (5.4), слагаемые компонентных уравнений и выражений для определения F* необходи
мо умножить на минус единицу.
Основу структурно-матричного метода формирования математических моделей, так же как и узлового, составляет матрица инциденций, которая, как отмечалось в разделе 4.3, представляет собой матричную форму математической модели. Однако этот ме
148
тод несравненно проще узлового, так как исключает необходимость выполнения сложной вычислительной процедуры перемножения матриц. Алгоритм структурно-матричного метода легко реализовать на ЭВМ и, следовательно, обеспечить автоматизацию процесса построения моделей. Метод отличается очевидной наглядностью в отображении структуры технической системы и ее взаимодействия с внешней средой. Он превосходно иллюстрирует полное соответствие между математическими моделями в матричной форме и инвариантной, т.е. в форме систем дифференциальных и алгебраических уравнений.
В последующем будет показано, что структурно-матричный метод, в отличие от узлового, позволяет формировать математические модели сложных технических объектов с трансформаторными и фрикционными элементами. Он обладает теми же возможностями, что и уравнения Лагранжа второго рода, но алгоритм формирования модели гораздо проще и хорошо приспособлен к автоматизации.
Приведем примеры формирования моделей с применением изложенного метода.
Пример 5.1. Моделирование механической системы. На рис. 5.1, а приведена простейшая динамическая модель, которую используют при анализе нагру-женности трансмиссии транспортного средства, обусловленной неровностями
Рис. 5.1. Динамическая модель (а) и орграф (б) трансмиссии транспортного средства
опорной поверхности дороги. Орграф, соответствующий этой модели, построен на рис. 5.1, б.
Сосредоточенные массы с моментами инерции Jlf J2, J3 отображают инерционные свойства объекта. Движение масс определяется внешними воздействиями типа потенциала, характеризуемыми вращающими моментами двигателя Мв}, сопротивления качению МВ2, сопротивления воздуха и преодолеваемого подъема Мв^. Кроме того, на характер движения оказывают воздействие неровности дороги, создающие источник потока, описываемый функцией (ОдДО . Упругий элемент с коэффициентом жесткости С2 отображает дифференциальное соединение сосредоточенных масс J2 и с источником потока. Все эти особенности учтены при построении орграфа. Неровности дороги создают дополнительное сопротивление движению транспортного средства и на его преодоление затрачивается энергия двигателя. Поэтому направление сигнала в ветви источника потока со*! принимается от узла 1* к ба
149
зе, а реакция внешней среды М*^ , обусловленная этим источником, также считается отрицательной.
В табл. 5.2 приведена матрица инциденций модели объекта, представленной на рис. 5.1.
Таблица 5.2
Узлы	Ветви							
	ЛГВ1	МЪ2		м*л	Ci	<?2	Mi	М2
1	1	0	0	0	-1	0	-1	0
2	0	-1	0	0	1	-1	1	-1
3	0	0	-1	0	0	1	0	1
1*	0	0	0	-1	0	1	0	1
Подматрицы	ч						j	
При моделировании обычно используют обозначения фазовых переменных и параметров элементов, принятые для математического описания объектов конкретной физической природы (см. табл. 3.2 и 3.3). Рассматриваемый объект представляет собой вращательную механическую систему, поэтому фазовыми переменными типа потока являются угловые скорости со , а типа потенциала — вращающие моменты М.
Используя формулы (5.2) — (5.4) алгоритма структурно-матричного метода и матрицу инциденций, составим уравнения математической модели технического объекта:
dvyjdt — (AfBj — Afyj — M^/JA;
dcs^/dt = (-Мв2 + Afyl - Му2 + -Л4Д1 - ^д2)/с^2 ’
da^/dt = (-ЛГв3 + Му2 +	>
dMyl/dt - qfcoj -со2);
dMy2/dt = с2(ю2 - w3 - сов1);	j
(5.5)
МД1 - Ml(со1 ~ t02)’ ^д2 - М2(С02 ~ 033 - сов1)» ^в1 - Му2 + Мд2.
Задавая начальные условия ш10, со2о> юзо> ^yio> Afy20 и интегрируя систему дифференциальных уравнений (5.5), можно проанализировать нагруженность трансмиссии транспортного средства, обусловленную источниками внешних воздействий Мв1, Мв2, Мв3 и гов1 .
Пример 5.2. Моделирование гидравлической системы. На рис. 5.2, а приведена принципиальная схема гидравлической системы, состоящей из насоса 1, переливного клапана 2, трех гидромагистралей потребителей 3, 4 и 5 и соединительной магистрали 6. При построении динамической модели необходимо учесть основные свойства гидравлической системы. Предположим, что магистрали потребителей сравнительно короткие и волновыми процессами в них можно пренебречь. Тогда их можно рассматривать как дискретные элементы, наделенные инерционными и диссипативными свойствами. Массу жидкости в дискретном элементе рассматривают как сосредоточенную. Если объем жидкости в соединительной магистрали 6 значительно меньше объемов жидкости в магистралях 3, 4 и 5, в первом приближении его массой можно пренебречь или учесть эту массу путем перераспределения ее между массами магистралей 3, 4 и 5. Но пренебре-
150
гать потерями в соединительной магистрали без достаточных оснований нельзя, поэтому будем учитывать характеристики ее гидравлического сопротивления.
Внешние воздействия на гидравлическую систему создаются потребителями и насосом, причем воздействия потребителей представляют собой источники потенциалов, а воздействие насоса — источник потока. Источники потенциалов описываются функциями давлений = f(t), характеризующими потери напора в гидроаппаратах потребителей, а источник потока — функцией расхода (подачи насоса) QH = f(t).
Если подача насоса QH превышает пропускную способность гидравлических магистралей, открывается переливной клапан 2 и пропускает часть жидкости на слив. При этом клапан обеспечивает поддержание практически постоянного давления насоса рп = const. Такую гидросистему называют системой с источником неограниченной энергии. В этом случае в динамической модели насос изображается как источник постоянного давления рн, а функция подачи QH(t) не указывается. Однако во многих случаях пропускная способность гидравлических магистралей при заданном уровне максимального давления, ограничиваемого переливным клапаном, оказывается выше подачи насоса. Тогда суммарный расход
151
жидкости в магистралях определяется подачей насоса и можно в первом приближении считать QH = const (или в общем случае QH = а давление насоса рн будет определяться давлениями потребителей и потерями в гидромагистралях. Такую гидросистему называют системой с источником ограниченной энергии, и
насос в динамической модели изображают как источник потока QB1 (рис. 5.2, б).
Упругий элемент, учитывающий сжимаемость газожидкостной смеси и деформируемость стенок трубопровода, подключают в точке ветвления гидравлической магистрали. Он осуществляет дифференциальное соединение всех инерционных элементов и источника потока.
Фазовыми переменными типа потока в гидравлической системе принимают расходы Qi, а типа потенциала — давления pj.
На рис. 5.2, в построен орграф гидросистемы, а в табл. 5.3 приведена матрица инциденций.
Таблица 5.3
Узлы	Ветви								
	Рв1	Рв2	РвЗ	* Рв1	СГ1	Мт1	Нг2	МтЗ	Мт4
1	-1	0	0	0	1	-1	0	0	0
2	0	-1	0	0	1	0	~1	0	0
3	0	0	-1	0	1	0	0	-1	0
1*	0	0	0	1	-1	0	0	0	-1
Подматрицы	Ав				Ау	Ад			
Составим уравнения математической модели, пользуясь структурноматричным методом:
dQ1/dt = (~рв1 + ру1 - рл1)/тг1;
dQ2/dt = (-рв2 + ру1 - рд2)/тг2 ;
dQ^/dt = {-рв3 + ру1 - р^)/тТ^ dpyi/dt ~ сг1(~Ф1 ~ Ф2 ~ Фз + Фв1)»
(5.6)
Рд1 ~ М-ггФг» i ~ 1,2,3, Рд4 Мт4Фв1» .PbI Ру1 + Рд4»
где рв1 = Рн — давление, развиваемое насосом.
Для решения системы уравнений (5.6) задаются начальные условия Фю, Ф20, Фзо, РуЮ-
Пример 5.3. Моделирование гидромеханической системы. В заключение рассмотрим более сложный технический объект, принципиальная схема которого дана на рис. 5.3, а. Это схема гидропривода, который включает насос 1, переливной клапан 2, гидрораспределитель 3, гидравлическую магистраль, состоящую из трех участков 4, 5 и 6, и два гидродвигателя 7 и 8, выполненных в виде гидравлических цилиндров с возвратными пружинами 9 и 10. Гидродвигатели приводят в действие рабочие органы некоторой машины или механизма. Взаимодействие гидродвигателей с рабочими органами характеризуется функциями внешних воздействий на систему гидропривода FBi и FB2 . Функция h(t) характеризует состояние и процесс включения или выключения гидрораспределителя. Обычно время включения гидрораспределителя существенно меньше времени переходного процесса гидропривода, поэтому при моделировании полагают мгновенное включение гидрораспределителя.
152
Рис. 5.3. Принципиальная схема (а), динамическая мо, и орграф (в) системы гидропривода
153
Способ моделирования насоса определяется соотношением его подачи и пропускной способности гидропривода при заданном уровне давления рн, поддерживаемом переливным клапаном. В предыдущем примере предполагали, что гидросистема имеет источник ограниченной энергии. В данном примере предположим, что в процессе включения гидропривода давление насоса падает незначительно, и примем условие рп = const.
Система гидропривода содержит гидравлические и механические взаимодействующие элементы. Фазовыми координатами гидромеханической системы принимают расходы (переменные типа потока) и давления Pj (переменные типа потенциала).
При моделировании гидропривода примем во внимание инерционные свойства жидкости в дискретных участках трубопроводов, поршней гидродвигателей с учетом присоединенных к ним масс рабочих органов и массы жидкости в гидроцилиндрах. Упругие свойства гидропривода учтем введением моделей гидроаккумуляторов в точках ветвления гидромагистрали и взаимодействия гидравлических и механических элементов. Кроме того, необходимо учесть упругие свойства возвратных пружин, оказывающие на физические свойства гидропривода, как правило, гораздо большее влияние, чем сжимаемость газожидкостной смеси и деформируемость трубопроводов.
На процесс функционирования гидропривода значительно влияют утечки жидкости из рабочих полостей гидродвигателей и аппаратуры управления. Режим движения жидкости в щелях между поверхностями, осуществляющими герметизацию рабочих полостей, ламинарный, поэтому значение коэффициента гидравлического сопротивления щелей цг определяют с использованием только первого слагаемого формулы (3.63), т.е. по формуле Пуазейля. При определении значений коэффициентов pri для участков гидромагистрали учитываются все виды потерь — по длине и местные. Кроме того, при моделировании необходимо учитывать потери на трение при взаимном перемещении механизмов гидродвигателей (механические потери).
Динамическая модель гидропривода, построенная с учетом изложенных предположений о его свойствах, приведена на рис. 5.3, б, а орграф — на рис. 5.3, в. Функции источников потенциалов рв2 и рв3 определяются соотношениями рв2 = FBi/A3, рв3 = FB2/A5, где А3 и А5 — площади сечений цилиндров гидродвигателей. Источник потенциала рв1 отображает воздействие насоса на систему гидропривода. Моделирование утечек из полостей гидродвигателей осуществлено в виде источников потоков QBl и Q*2 .
В табл. 5.4 составлена матрица инциденций моделируемого гидропривода. Столбцы источников потенциалов рв1 и р*2 введены для учета реакций внешней
среды, обусловленных источниками потоков QBl и Qb2 .
Таблица 5.4
Узлы	Ветви		
	Рв1 Рв2 РвЗ Рв1 Рв2	^-г! ^г2 ^гЗ ^г4 ^г5	Цг1 Рт2 М-гЗ М-г4 Иг 5 М-гб М-г7
1 2 3 4 5 1* 2*	1	0	0	0	0 0	0	0	0	0 0	-1	0	0	0 0	0	0	0	0 00-100 0	0	0	-1	0 0	0	0	0	-1	-1	0	0	0	0 1-1000 0	1-10	0 100-10 0	0	0	1	-1 0	10	0	0 0	0	0	1	0	-1	0	0	0	0	0	0 0	-1	0	0	0	0	0 0	0	-1	0	0	0	0 0	0	0	-1	0	0	0 0	0	0	0	-1	0	0 0	0	0	0	0	-1	0 0	0	0	0	0	0	-1
Подматрицы	Ав	Ау	
154
Используя матрицу инциденций и формулы (5.2) — (5.4) алгоритма структурно-матричного метода, составим уравнения математической модели гидропривода:
.	dQjdt = (рв1 - ру1 - Рд|)/тг!!
dQ2/dt = (ру1 - ру2 - £д2)/тпг2 ;
dQs/dt = (~рп2 + ру2 - ру3 - рд3)/тга;
dQjdt = (ру1 - ру4 - рд4)/тпг4 ;
dQcJdt = (-рв3 + ру4 - ру5 - рл5)/т,.5;
dpyl/dt = eri(Q1-Q2-Q4);	Г	(5'7)
^Ру2/^ “ сг2^2 ~	“ Ов1)’
dPys/dt = cr3Q3;
dpyi/dt - сг4^4 ~ Фб “ ^в2)»
dPyb/dt = cr5Q5;
Рд1 ~ Рг&1>	“ 1»5, Pjaj “ Мт;^в(;-5)»	/ ~ 6,7,
* *
Рв1 — Ру2 ~ Рдб* Рв2 ~ Ру4 ~ Рд7’
Два последних выражения используются для определения расходов утечек:
0з1	(.Ру2	/>в1)/Мт6’
^в2	(.Ру4 Рв2^/Рг7'
(5.8)
Функции QBl и Qb2 зависят от фазовых координат ру2 и рУ4, поэтому их надо подставить в выражения для определения производных dpy2/dt и dpy^/dt, входящие в систему дифференциальных уравнений (5.7).
Для решения системы уравнений (5.7) необходимо задать начальные условия Q/о» i - 1,5; Ру/о» J ~ 1,5. Кроме того, необходимо располагать математическими описаниями внешних воздействий на систему, представляемых функциями рв1, рв2 и рв3.
При моделировании утечек из рабочих полостей элементов гидроприводов должны быть заданы характеристики р^ внешней среды, в которую поступает жидкость утечек. Если этой средой является окружающий воздух, то ее реакции рв; равны нулю.
Перемещения поршней гидродвигателей 7 и 8 ограничены длинами гидроцилиндров. Следовательно, на поршни наложены односторонние неудерживающие (виртуальные) связи. Способы учета виртуальных связей при моделировании технических объектов будут рассмотрены в разделе 6.5.
5.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ С ТРАНСФОРМАТОРНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
Трансформаторные элементы отображают безынерционное преобразование характеристик потока энергии — переменных типа потока и типа потенциала. В технических объектах используются механические (зубчатые, цепные, фрикционные, рычажные,
155 клиноременные), гидравлические (гидрообъемные и гидродинамические) и электрические трансформаторы.
Физические свойства трансформатора характеризуются передаточным числом, КПД и коэффициентом трансформации. Преобразование фазовой переменной типа потока характеризуется передаточным числом и (или обратной ему величиной, называемой передаточным отношением i = 1/и), а типа потенциала — коэффициентом трансформации К. Потери учитываются КПД ц.
На рис. 5.4 приведена схема механического трансформаторного элемента, отображающего в динамических моделях технических объектов зубчатую передачу. Трансформаторный элемент состоит из двух звеньев — входного (ведущего) 1 и выходного (ведомого) 2.
Передаточное число трансформаторного элемента определяется отношением потоковых переменных на входе и
выходе элемента. Потоковой переменной для механической вращательной системы является угловая скорость. Тогда, в соответствии с приведенным определением, передаточное число трансформаторного элемента, представленного на рис. 5.4, будет равно отношению угловой скорости на его входе со^ к угловой скорости на выходе элемента (»2.в
и = C01/CD2.	(5.9)
Коэффициент трансформации представляет собой отношение потенциала на выходе трансформаторного элемента к потенциалу на его входе.
Так как переменной типа потенциала для механической вращательной системы является вращающий момент, то коэффициент трансформации находится по формуле
Рис. 5.4. Схема зубчатой передачи
К = М2/Мъ	(5.10)
где TVfj, М2 — вращающие моменты соответственно на входе и выходе трансформаторного элемента.
Параметры и и К — скалярные алгебраические величины. Они учитывают не только модули, но и направления преобразуемых трансформаторным элементом фазовых переменных.
КПД элемента определяется отношением полезной мощности Р2 на его выходе к затраченной мощности Р\ на входе элемента:
И = |^2 ЛР1| = \М2и2/(М1Ю1)\.
(5.11)
156
. В формуле (5.11) учтено, что КПД — скалярная положительная величина, а мощность — скалярная алгебраическая величина, поэтому отношение мощностей необходимо взять по абсолютной величине.
КПД трансформаторного элемента можно выразить через его передаточное число и коэффициент трансформации:
г) = \К/и\.	(5.12)
Формулы для определения параметров трансформаторных элементов других видов и другой физической природы аналогичны, только в них используются свои обозначения фазовых переменных в соответствии с табл. 3.2.
Узловой метод, как отмечалось в разделе 4.4, не позволяет формировать математические модели объектов с трансформаторными элементами. Рассмотрим возможность использования для этой цели структурно-матричного метода.
Предположим, что динамическая модель технического объекта имеет вид, представленный на рис. 5.5, а. Эта модель отображает физические свойства механической вращательной системы с двумя зубчатыми передачами, моделируемыми в виде трансформаторных элементов ТЭц и ТЭ21.
Рис. 5.5. Динамическая модель механической вращательной системы с двумя зубчатыми передачами (а) и ее орграф (б)
Индексы i и j трансформаторных элементов ТЭ^ и их параметров Щр Кц, Y]ij условимся задавать следующим образом: i соответствует номеру индекса параметра инерционного элемента, а у — номеру индекса параметра упругого элемента, между которыми расположен трансформаторный элемент.
Пусть сосредоточенная масса с моментом инерции Jj связана с двигателем, а масса — с рабочим органом машины или механизма. Для любого технического объекта характерны два режима функционирования — тяговый и тормозной. В тяговом режиме энергия двигателя передается посредством механизмов системы привода рабочим органам. В тор
157
мозном режиме, наоборот, двигатель начинает поглощать энергию, накопленную рабочим органом, и становится на какое-то время тормозом. Переход с одного режима на другой осуществляется автоматически, в зависимости от воздействий внешней среды на объект, а также от управляющих воздействий оператора.
Если технический объект не содержит трансформаторных элементов, математическая модель его не меняется при переходе с одного режима на другой. В объектах с трансформаторными элементами возникает необходимость учета потерь в этих элементах. Величина этих потерь пропорциональна потенциалам в примыкающих к трансформаторному элементу упругом и диссипативном элементах. Но так как знаки этих потенциалов изменяются в зависимости от режима работы объекта, а энергия потерь всегда отрицательна, то эта особенность должна быть учтена в математической модели.
Рассмотрим установившееся движение механической системы при С0| = const и со2 = const. Расчленим эту систему на четыре подсистемы, как показано на рис. 5.6, а — г. Отброшенные части в каждой из подсистем заменим соответствующими реакциями таким образом, чтобы они оставались в состояниях равновесия и имели постоянные скорости вращения. В этом случае сосредоточенная масса с моментом инерции будет находиться в равновесии под действием внешнего момента Мв1 и момента реакции отброшенной части системы 7Иэ11 (рис. 5.6, п), звенья трансформаторного элемента будут уравновешиваться моментами реакций МэП, Му1 и 7Ид1 (рис. 5.6, б) и т.д. Отметим, что моменты Му1 и Мд1 — это внутренние потенциалы соответственно упругого и диссипативного элементов системы, представленной на рис. 5.5, а.
а	б	—г-
Мэ11 м
®э21
ТЭП
®Э11 Мд1 Му1 МД1
ТЭ21
ж
^э21	©2	^э21
Мв2
Рис. 5.6. Схема для анализа условий равновесия элементов при равномерном движении механической системы
158
Из условий равновесия сосредоточенных масс и J2 получаем: Мэц = MBj; МЭ21 = МВ2, где Мэ11 и Жэ21 — эквивалентные моменты, оказывающие на сосредоточенные массы и J2 такие же воздействия, как и моменты упругого и диссипативного элементов через соответствующие трансформаторные элементы ТЭП и ТЭ21. В свою очередь, трансформаторное преобразование приводит к необходимости учета изменения потоковых переменных сосредоточенных масс при определении потенциалов упругих и диссипативных элементов. Следовательно, при моделировании объекта с трансформаторными элементами возникает задача определения эквивалентных потенциалов ветвей, взаимодействующих с сосредоточенными массами посредством трансформаторных элементов, и эквивалентных потоковых переменных узлов орграфа.
Определим эквивалентные потенциалы упругих и диссипативных ветвей и эквивалентные потоковые переменные узлов для исследуемого объекта на тяговом и тормозном режимах. Для этого необходимо рассмотреть подсистемы, представленные на рис. 5.6, б и в, отображающие преобразование характеристик энергии трансформаторными элементами.
Тяговый режим. КПД трансформаторного элемента ТЭП (рис. 5.6, б)
П11	^вых11/^вх11 (^yl -^д1) С0э11/(МэПС01) , (5.13)
где Рвх11 — мощность на входе ТЭц, подводимая к нему от двигателя; РВых11 — мощность на выходе ТЭц, отводимая от него и передаваемая через упругий и диссипативный элементы к ТЭ21; сс>1 и сОэц — угловые скорости на входе и выходе ТЭц.
Принимая во внимание, что передаточное число ТЭП иц = ю1/^э1Ь находим искомый эквивалентный момент 7ИЭ11 и искомую эквивалентную угловую скорость соэц
МЭЦ = (Му1 +
юэ11 ~
КПД трансформаторного элемента T32i (рис. 5.6, в)
(5.14)
(5.15)
Л21 “ |^вых21/^вх21 ~ ^э21ю2/.(^у1 + ^д1)соэ21]	(5.16)
где PBX2i> -РВых21 — мощности соответственно на входе и выходе трансформаторного элемента ТЭ21; соЭ21, ю2 — угловые скорости на входе и выходе ТЭ21.
Учитывая, что передаточное число ТЭ21 1^21 = ®э21/®2> получаем
159
Мэ21 = (^yl +	!
(5-17)
®э21 = ®2“21-	(5.18)
Тормозной режим. На этом режиме направления всех моментов будут противоположными показанным на схемах рис. 5.6, а входы и выходы трансформаторных элементов поменяются местами. В этой связи их КПД необходимо определять обратными отношениями мощностей в сравнении с отношениями, принятыми в формулах (5.13) и (5.16). В результате получаем
следующие значения эквивалентных моментов: для ТЭП
для ТЭ21
^э11 - (^yl + ^дОЛп/^!!
9
Л^э21 - (Му1 + Л^д1)и21/Т121 •
(5.19)
(5.20)
Таблица 5.5
Узлы	Ветви			
	мв1	•Мв2	С1	
1	1	0	-1	-1
2	0	-1	1	1
Подматрицы			Ау	Ац
Построим орграф и составим матрицу инциденций для рассматриваемого объекта, не принимая пока во внимание наличие в динамической модели (рис. 5.5, а) трансформаторных элементов. Орграф приведен на рис. 5.5, б, а матрица инциденций в табл. 5.5.
Сравнивая выражения (5.14) И (5.17), можно отметить, что если ТЭ расположен на входе упругого и диссипативного элементов, то при определении эквивалентного по
тенциала Мэ потенциалы этих элементов Му и Мд необходимо делить на передаточное число и и КПД г), а если на выходе, то, наоборот, умножать. Для достижения этого достаточно и и ц возвести в степень инцидентора И, так как в первом случае инцидентор равен -1, а во втором +1 (см. табл. 5.5).
Сравнивая выражения (5.14) и (5.19) и соответственно (5.17) и (5.20), можно заключить, что зависимость Мэ от ц определяется также знаком потенциала Му упругого элемента. При этом полагаем для всех упругих элементов на тяговом режиме Му положительным, а на тормозном — отрицательным.
Из сравнения выражений (5.15) и (5.18) следует, что при определении эквивалентных потоковых переменных шэ^ необходимо значения узловых потоковых переменных coz умножить на
160
передаточные числа трансформаторных элементов, возведенные в степени инциденторов И/у.
При выводе уравнений (5.14), (5.17), (5.19), (5.20) предполагалось, что в динамической модели содержатся два параллельных элемента — упругий и диссипативный. Такие модели характерны для механических систем. Однако в некоторых видах систем (например, в гидромеханических) эти элементы могут иметь иное взаимное расположение. Учитывая это, составим отдельные выражения для определения эквивалентных потенциалов упругих Mdyij и диссипативных 7ИЭД^ элементов:
М •• - М	^уУ
1V1 эуI] - 1V1 У] \Ul] ^ij )
M^ik = Мд*(и^п2дЪИд^ ,
где Ryj = sign Myf, RRk = Ryj при k = j.
Эквивалентные потоковые переменные узлов для ветвей упругих элементов определяются по формуле
Иуи «эу = ®tuij > а для ветвей диссипативных элементов
^ik = ^iUik ’
В динамических моделях трансформаторные элементы изображаются так же, как и на принципиальных и кинематических схемах. В цепи передачи энергии они расположены последовательно между сосредоточенными массами и упругими элементами. На орграфе узлы отображают сосредоточенные массы. Между узлами могут быть только параллельные ветви орграфа, т.к. они отображают потенциалы, воздействующие на узлы. Поэтому трансформаторные элементы на орграфе отобразить в виде ветвей невозможно. В этой связи расположение трансформаторных элементов на орграфе отмечают выносными линиями, проведенными от узлов i и ветвей у, взаимодействие которых осуществляется посредством данного ТЭу (рис. 5.5, б).
Для формирования математической модели технического объекта с трансформаторами в дополнение к матрице инциденций составляется матрица трансформаторных элементов (матрица ТЭ). Она аналогична матрице инциденций, но составляется лишь для упругих и диссипативных элементов. Наличие трансформаторных элементов между узлами и ветвями орграфа отмечают в матрице ТЭ единицами, а их отсутствие — нулями.
В табл. 5.6 приведена матрица ТЭ для технического объекта, динамическая модель которого дана на рис. 5.5, а.
Таким образом, информация о физических свойствах и структуре объекта с механическими трансформаторными элементами дается двумя матрицами: матрицей инциденций А и матрицей трансформа-
Таблица 5.6
Узлы	Ветви	
	ci	
1	1	1
2	1	1
торных элементов ТЭ.
Обозначим элементы матрицы ТЭ, соответствующие упругим ветвям орграфа, T9ij, а диссипативным ветвям — Для учета наличия и расположения в схеме динамической модели трансформаторных элементов введем следующие функции:
при Тэу=1;
1	при Тэц = 0;
(^п2*)Ид“
1
при
при
T9ik = Ф
при Tdik =1; при Tdik = 0.
(5.21)
(5.22)
(5.23)
(5.24)
Введем эти функции в уравнения (5.2) — (5.4):
dv;
If dt
пц l'
n	____
dFyj/dt = -Cj YHyijVtSyij, j = 1, N;
5»
(5.26)
n	_____
i=l
m =	(5.27)
где n — число степеней свободы системы; N — количество упругих элементов; К — количество диссипативных элементов; L —
Н. Зак. 3006
162
количество источников типа потенциала; М — количество источников типа потока; щ — переменные типа потока; Fyj, F^k, FBi — потенциалы соответственно упругих и диссипативных элементов и источников потенциалов; F*m — реакции внешней среды, обу
словленные источниками потоков.
При принятых обозначениях фазовых переменных в этих уравнениях функции Ryj и Вд&, используемые в выражениях (5.21), (5.22), имеют вид
Ryj = sign Fyf, RRk = Ryj при k = j.	(5.28)
Уравнения (5.25) — (5.27) описывают алгоритм формирования математической модели технического объекта с трансформаторными элементами структурно-матричным методом.
Пример 5.4. Построить математическую модель технического объекта с механическими трансформаторами. Динамическая модель объекта представлена на рис. 5.5, а.
Используя матрицы А и ТЭ, приведенные в табл. 5.5 и 5.6, и обозначения фазовых переменных со, М и параметров элементов J, с, р, применяемые в механических вращательных системах, на основе выражений (5.21) — (5.28) получаем
«У1 ИцПц
Ryl ИцПцУ
dto-Jdt^ МВ1
1 ’
dco2/df- - Мв2 + Mylu21r]21yl + Affllu21r]21yl ^/j2 ; dMyl/dt = сДс^/пц -со2п21),
>	(5.29)
где Мд1 = pj (coj/izn - co2i/21) ; Лу1 = sign Myl.
На рис. 3.4, а приведена динамическая модель технического объекта с поступательными движениями сосредоточенных масс и тп2. Очевидно, что его модель абсолютно аналогична модели объекта на рис. 5.5, а и описывается уравнениями, аналогичными уравнениям (5.29), в которых необходимо лишь заменить обозначения фазовых переменных со и М на v и Ff а также параметров инерционных элементов J на т. Значения передаточных чисел рычажных трансформаторных элементов для схемы рис. 3.4, а найдем из соотношений: U11 = va/vB = -^11/^12,° W21 = Ud/vE = ^21/^22-
При формировании математической модели объекта с использованием уравнений (5.25) — (5.27) следует иметь в виду, что поскольку направления движений сосредоточенных масс учтены при выборе направлений отсчета фазовых координат сосредоточенных масс v (или со), то в формулы (5.21) — (5.24) значения передаточных чисел трансформаторных элементов и подставляют по абсолютной величине.
Необходимо также отметить, что КПД механического трансформатора зависит от передаваемой нагрузки и скоростного
163
режима, т.е. ц = /(М,со). Однако теоретическое определение этой зависимости весьма сложно и приближенно. Ее обычно определяют экспериментально после создания технического объекта. В процессе проектирования механических объектов значение ц принимается постоянным, соответствующим номинальному режиму работы, на основе информации о выбранном аналоге.
Гидродинамический трансформатор (ГДТ) представляет собой гидравлическую лопастную машину, основными элементами которой являются (рис. 5.7, а): насосное 1 и турбинное 2 колеса, колесо направляющего аппарата (реактор) 3 и система питания, обеспечивающая поддержание необходимого давления и температуры рабочей жидкости. Насосное колесо выполняет функцию генератора, преобразуя подводимую к нему механическую энергию двигателя в энергию рабочей жидкости. Турбинное колесо представляет собой гидравлический двигатель, который энергию рабочей жидкости преобразует в механическую энергию. Двойное преобразование энергии в ГДТ сопровождается значительными потерями и представляет собой довольно сложный для математического описания процесс. Однако, как показывает опыт исследований, при сравнительно небольших ускорениях колес ГДТ в переходных режимах, характерных для реальных технических объектов, во многих случаях при моделировании можно использовать статические характеристики, полученные на установившихся режимах. При этом ГДТ рассматривается как элемент безынерционного преобразования параметров потока энергии, определяемого коэффициентом трансформации К, передаточным отношением i и КПД т|, а инерционные свойства его колес и рабочей жидкости учитываются в динамической модели в виде сосредоточенных масс.
Рис. 5.7. Схема гидродинамического трансформатора (а) и его характеристики (б)
164
Типичные характеристики простейшего ГДТ показаны на рис. 5.7, б. Особенность физических свойств гидродинамического трансформатора заключается в том, что все его параметры, характеризующие преобразование энергии, переменны и зависят от скоростного и нагрузочного режимов. Его преобразующие свойства выражаются функциями К = f(i), ц = f(i) и Хн = f(i). Вместо передаточного числа и используется передаточное отношение i. Это объясняется тем, что на тяговом режиме i изменяется в пределах 0 < i <1. При i = 0 и = оо, что создает затруднения при моделировании. Кроме того, значение i непосредственно характеризует величину скольжения s = 1 - i и поэтому удобно для оценки режима работы ГДТ.
Характеристики преобразующих свойств гидродинамического трансформатора определяются выражениями
К = Мт/Мн;	(5.30)
i = сот/сон;	(5.31)
г) = Ki,	(5.32)
где 7ИН, сон — вращающий момент и угловая скорость насосного колеса; 7ИТ, сот — то же турбинного колеса.
Вращающий момент насосного колеса определяется по формуле
Мн = ХнроМ ,	(5.33)
где Хн — коэффициент момента насосного колеса, характеризующий нагрузочную способность гидродинамического трансформатора; р — плотность рабочей жидкости; Da — активный диаметр гдт.
Таким образом, параметры К, i, г| и потенциалы 7ИН и Мт зависят от фазовых координат типа потока сон и сот, определяющих состояния входного и выходного элементов ГДТ (насосного и турбинного колес). В этом состоит существенное отличие гидродинамического трансформатора от рассмотренного выше механического трансформатора с постоянными параметрами К, и, ц.
На рис. 5.8, а приведена динамическая модель трансмиссии автомобиля с гидродинамическим трансформатором ГДТ!2 и двумя механическими трансформаторами ТЭ21 и ТЭ31. Для ГДТ^ применено специфическое графическое изображение, а в его обозначении используется двойной индекс, составленный из номеров взаимодействующих с ним сосредоточенных масс: первая цифра принадлежит массе насосного колеса, а вторая — турбинного. Потенциалы Мн и Мт оказывают непосредственные воздействия на колеса ГДТ и приложены к сосредоточенным массам с параметра-
165
ми Ji и J2- По существу ГДТ делит динамическую модель на две подсистемы — дотрансформаторную и затрансформаторную, а потенциалы Мн и Мт отображают их взаимодействие. Первая подсистема находится под воздействием источников потенциалов Мв1 и Мп, а вторая — под воздействием Мт и Мв2- Однако следует иметь в виду, что в отличие от МВ1 и -^в2» являющихся потенциалами внешних воздействий, 7ИН и Мт представляют собой внутренние потенциалы системы. Учитывая отмеченные особенности системы с ГДТ и существенные различия гидродинамических и механических трансформаторов, информация о расположении ГДТ приводится в матрице инциденций и включается в подматрицу воздействий Ав.
1 ГДТ12 j2
ЛГв1 а>! М
ю3
Рис. 5.8. Динамическая модель (а) и орграф (б) системы гидромеханического привода с гидродинамическим трансформатором

Орграф моделируемого объекта показан на рис. 5.8, б. В табл. 5.7, а дана матрица инциденций А, а в табл. 5.7, б — матрица механических трансформаторных элементов ТЭ.
Таблица 5.7, а	Таблица 5.7, б
Узлы	Ветви					
	мв1	Мв2	Мн	мт		
1	1	0	-1	0	0	0
2	0	0	0	1	-1	-1
3	0	-1	0	0	1	1
Подматрицы					Ау	Ад
Узлы	Веч	РВИ
	С1	И1
1 2 3	0 1 1	0 1 1
Так как потенциалы Мп и Мт являются источниками воздействий на сосредоточенные массы динамической модели, то на орграфе они отображаются ветвями, соединяющими узлы 1 и 2 с базовым узлом 0 орграфа. При этом учитывается направление передачи энергии — от насосного колеса к турбинному. В результате обеспечивается выполнение условий динамического равновесия сосредоточенных масс согласно принципу Даламбера. Для того чтобы подчеркнуть единство моделируемой технической системы, содержащей гидродинамический трансформатор, его расположение на орграфе отображается посредством выносных линий от
166
ветвей потенциалов Мн и Мт и узлов, соответствующих массам насосного и турбинного колес (аналогично обозначениям расположения механических ТЭ).
Пример 5.5. Построить математическую модель технического объекта с гидродинамическим трансформатором, динамическая модель которого представлена на рис. 5.8, а.
Используя матрицы А и ТЭ, приведенные в табл. 5.7, а и табл. 5.7, б, на основе выражений (5.21) — (5.28) получаем:
do^/dt = (Мв1 -	;
dto2/dt = I Мт - (Му1 + МД1) /(ад21у1)j/J2;
da3/dt = - Мв2 + (Му1 + Мд1)(и31Г1з1у1 )1/J3;
dMyl/dt = cj (со2 / u21 - co3u31 );
Мд1 = I U21 ~ ®3^31)»
MH = XHpcofDl; MT = KM*.
(5.34)
(5.35)
(5.36)

yi = sign Му р
Для решения системы дифференциальных уравнений (5.34) необходимо задать начальные условия сою, ©20, ®зо, Afylo и время интегрирования Тк. Но в данном случае принимать произвольные значения начальных условий нельзя, т.к. гидротрансформатор устанавливает строго определенные соотношения между всеми фазовыми координатами системы со^ и Mj. Их значения, естественно, также зависят от внешнего воздействия на входе системы, т.е. от момента двигателя
Мв1. Этот момент представляет собой нелинейную функцию Мв1(со1), определяе
мую выражением (4.49). Параметры гидротрансформатора Хн и К — также нели
нейные функции, аргументом которых является передаточное отношение i.
Функции Хн = tpj(i) и К = <p2(i) обычно представляются в виде полиномов
ФО) = £«*** = 1‘Мат/авА	(5.37)
Aj=O	k=0
где ak — коэффициенты полиномов. Степень полинома m принимают в пределах 5...10.
Начальные условия обычно соответствуют состоянию статического равновесия системы. Так как при этом все производные фазовых координат по времени равны нулю, то М* = Мв1, Мд1 = 0. Режим работы двигателя задается значением угловой скорости со10. Введя обозначение Хн =<Pi(i) и используя выражение (5.33), можно записать следующую систему нелинейных алгебраических уравнений:
= MBi(co!);|	(5 38)
*-н-ф1(0 = °- J
В этой системе искомыми переменными являются Хн и i. Вычислив их значения при заданном coj = со1О , затем определяют остальные координаты начальных условий:
ю20 = <W;
ю30 = ю20/(u21u31)’*
>	(5.39)
Мую = ЛГти21г)21;
Мт = MB1(cD10)/f(i).
167
Наряду с механическими и гидродинамическими трансформаторами в приводах рабочих органов машин и механизмов находят применение гидродинамические муфты и гидрообъемные трансформаторы.
Гидродинамическая муфта отличается от трансформатора тем, что у нее на всех режимах работы К « 1, а изменяется лишь
Рис. 5.9. Принципиальная схема (а), динамическая модель (б) и орграф (в) гидрообъемного трансформатора
168
КПД: т] = f(i). На тяговом режиме, при 0 < i <1, в первом приближении можно принимать r| = i, а на тормозном, при i > 1, т] = 1/j. Для определения значения i используются уравнения (5.38).
В системах гидравлических приводов различных машин находят применение гидрообъемные трансформаторы. На рис. 5.9, а приведен фрагмент принципиальной схемы гидропривода с гидрообъемным трансформатором. Он представляет собой гидроцилиндр со ступенчатым поршнем и тремя полостями 1, 2 и 3. Полости 1 и 3 называют рабочими, так как они находятся под давлением рабочей жидкости, а полость 2 соединена со сливом и в ней расположена возвратная пружина 6. Гидрообъемный трансформатор в данной схеме предназначен для повышения давления рабочей жидкости в гидравлической магистрали 5 по сравнению с давлением в магистрали 4, развиваемым насосом. Такой механизм называют также гидравлическим мультипликатором. Магистраль 5 связана с гидродвигателем привода рабочего органа машины. Повышение давления в ней позволяет увеличить усилие на рабочем органе (например, в гидравлическом прессе).
Возможна и иная схема мультипликатора — со ступенчатым гидроцилиндром, в котором расположены два автономных поршня, взаимодействующих посредством рабочей жидкости, как показано на рис. 5.10, а.
При моделировании примем во внимание упругие свойства жидкости и трубопроводов, а также возможные утечки жидкости из рабочих полостей гидроцилиндров.
На рис. 5.9, б и 5.10, б даны динамические модели рассматриваемых гидросистем, а на рис. 5.9, в и 5.10, в — их орграфы.
Пример 5.6. Сформировать математическую модель гидромеханической системы, приведенной на рис. 5.9. Матрица инциденций А для этой системы приведена в табл. 5.7, а матрица трансформаторных элементов — в табл. 5.8.
Таблица 5.7
Узлы	Ветви											
	Рв1	Рв2	* ^В1	* Р в2	СГ1	^г2	^гЗ	Рт1	Нг2	ЦгЗ	Мт4	Мт5
1	1	0	0	0	-1	0	0	-1	0	0	0	0
2	0	0	0	0	1	-1	-1	0	-1	0	0	0
3	0	-1	0	0	0	0	1	0	0	-1	0	0
1*	0	0	-1	0	1	0	0	0	0	0	-1	0
2*	0	0	0	-1	0	0	1	0	0	0	0	-1
Подмат-[ рицы										Ад		
16
Рис. 5.10. Принципиальная схема гидрообъемного трансформатора с двумя поршнями 2 и 3 (а), его динамическая модель (б) и орграф (в)
12. Зак. 3006
170
Таблица 5.8
Узлы	Ветви							
	^Г1	^г2	^гЗ	^Г1	Нг2	НгЗ	Мт4	Мт5
1	0	0	0	0	0	0	0	0
2	0	0	1	0	0	0	0	0
3	0	0	0	0	0	0	0	0
1*	0	0	0	0	0	0	0	0
2*	0	0	0	0	0	0	0	0
Используя матрицы А и ТЭ, получаем следующие уравнения математической модели:
dQ2/dt = ру1 - ру2 - ру3/(и23т)2
dQ3/dt = (-рв2 + ру3 - р^1тг3 ;
dpyl/dt = crl(Ql ~ Q2 ~ Qb1)» dp у2/dt = cr2Q2;
Фуз/^ = сгЗ (^г/М23 ~ Q3 “ Фв2);
Рд1 ~	= 1»®» Pffj ~ Mtj^b(j-3)’ 7 =: 4,5,
^г2»‘
(5.40)
Рв1 = Ру1 - Рд4»' Рв2 = РуЗ - Рдб5 ^уЗ = Signpy3.
Два последних выражения используются для определения расходов утечек
QbI — (Ру1 ~ -Рв1)/мт4 ’	^в2 ~ (РуЗ ~ Рв2)/мт5 •
Если утечки жидкости происходят в воздушную среду, то рв1 = рв2 = 0.
Передаточное число гидрообъемного трансформатора п23 определим из соотношения расходов жидкости в его рабочих полостях 1 и 3: u23 = Q2/Q2. Выразим расходы Q2 и Q2 через скорость поршня v2: Q3 = А2и2; Q2 = A2v2. В результате получаем
и23=А2/А”2,	(5.41)
где А2, А2 — площади поверхностей поршня в полостях 1 и 3 ступенчатого гидроцилиндра (рис. 5.9, а и б).
Пример 5.7. Составить уравнения математической модели гидромеханической системы, динамическая модель которой дана на рис. 5.10, б, используя матрицы А и ТЭ, приведенные в табл. 5.9 и 5.10.
Таблица 5.9
	Ветви									
Узлы	Рв1	Рв2	* Рв1	СГ1	сг2	сгЗ	Мт1	Мт2	НгЗ	Мт4
1	1	0	0	-1	0	0	-1	0	0	0
2	0	0	0	1	-1	0	0	-1	0	0
3	0	-1	0	0	1	-1	0	0	-1	0
1*	0	0	-1	0	1	0	0	0	0	-1
Подматрицы	^в			Ау			Ад			
171
Таблица 5.10
Узлы	Ветви		
	СГ1	сг2	сгЗ
1	0	0	0
2	0	0	0
3	0	1	0
1*	0	0	0
Так как диссипативные ветви орграфа не связаны с трансформаторными элементами, то в табл. 5.10 приведена сокращенная матрица ТЭ, учитывающая лишь инцидентность упругих ветвей с трансформаторными элементами.
Математическую модель рассматриваемой гидромеханической системы составляют следующие уравнения:
dQjdt = (p„i - pyi - рй1)/тт1;
dQ2/dt = (pyi - ру2 - рд2)/тг21
dQ3/dt = (~рв2 + РУ2“з2’Ъ2У2 “ РуЗ ~ Рцз>1тгЗ;
dp^i/dt — «Г1(О1 ~ Фг)*
dPyi/dt = сг2(®2 — ®3и32 — ®в1)’
dpy3/dt = cr3Q3,
(5.42)
Pp,l ~	— Рд4 Нг4^в1»
Рв1 = Ру2 - Рд45 Ry2 = Slgnpy2.
Расход утечек QB1 определяется по формуле:
0в1 ~ (Ру2 ~ .Рв1)/Мт4 •
Передаточное число гидрообъемного трансформатора и32 определяется отношением скоростей движения поршней 2 и 3 (рис. 5.10, а):
и32 5=5 v2/v3 = А3/А2,	(5.43)
где А2, Аз — площади рабочих поверхностей поршней 2 и 3.
Значение давления /?в2 можно найти из соотношения: рв2 = F/A%.
5.3.	СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
В предыдущих параграфах рассматривались простейшие движения твердого тела — поступательное и вращательное. Однако во многих случаях возникает необходимость моделирования сложного движения твердого тела в трехмерном, пространстве с учетом его взаимодействия с другими твердыми телами механической системы. На схеме, приведенной на рис. 5.11, два твердых тела соединены между собой и с внешней средой упругими элементами, которые позволяют им совершать поступательные и вращательные движения относительно трех ортогональных осей инерциальной системы координат 0£т)£.
Положение твердого тела в инерциальной системе осей полностью определяется шестью обобщенными координатами: коор-
172
Рис. 5.11. Динамическая модель механической системы двух твердых тел
динатами полюса ^о, По, и эйлеровыми углами ф, 0, ср. Однако дифференциальные уравнения движения твердого тела, выражения кинетической энергии и других физических величин в обобщенных координатах получаются	весьма
громоздкими и труднообозримыми. При определении скоростей точек твердого тела предпочтительнее пользоваться не обобщенными скоростями, а некоторыми величинами, линейно зависящими от обобщенных скоростей. Такие величины называют квази скоростями.
Введем помимо неподвижных осей подвижную систему осей Qxyz, неизменно связанную с твердым телом. Тогда в качестве квазискоростей можно при-
нять проекции сох, еду, со2 вектора угловой скорости твердого тела Q на оси подвижной системы координат Qxyz.
Выражения квазискоростей через обобщенные скорости имеют вид
0)х = 0 cos ф + ф sin 0 sin ф;
©у = -0 sin ф + ф sin 0 cos ф; >
(5.44)
со2 = ф + ф cos 0.
Сложное движение твердого тела можно разложить на два составляющих движения: переносное поступательное вместе с полюсом и относительное сферическое вокруг полюса. В качестве полюса 0 целесообразно выбрать точку центра масс твердого тела. Скорость любой точки тела равна геометрической сумме скоро
173
сти полюса и скорости этой точки в ее сферическом движении относительно полюса:
»i =v0+ vOi
(5.45)
где Vq — вектор скорости полюса; Vqi — вектор скорости относительного сферического движения.
Скорость Vqi определяется векторным произведением вектора угловой скорости сферического движения Q и радиуса-вектора точки roz в подвижной системе координат:
vOi=Clx rOi =
СО-/О
(5.46)

lx(® u?i	+ Ч/(®z%i	xlJi
где ix,iv,iz — единичные векторы (орты), определяющие направ-ления осей подвижной системы координат Oxc/z; со^-, со17, сог — проекции вектора угловой скорости сферического движения Q на эти оси; xif, у[,	— координаты i-й точки в системе осей Оху г.
Векторным произведением (5.46) пользоваться при осуществлении вычислительных экспериментов неудобно. Наиболее целесообразно использовать для этой цели матричные операции. В этой связи для определения положения i-й точки твердого тела в подвижной системе координат введем вектор rzT = (xif yf, , а для определения скорости сферического движения точки — вектор »i = (vxi> vyi’ vzi) > гДе vxi’vyi>vzi — проекции вектора скорости сферического движения на оси подвижной системы координат.
Используя векторы q и , составим матричное уравнение для определения скорости сферического движения
Vi =
(5.47)
со — кососимметрическая матрица:
О — со-
со =
<в- 0 -со-
«А-
сот/ со^ О
(5.48)
со^ сох
Элементы сох , L''-y > соz матрицы со представляют собой ква-
зискорости твердого тела.
174
Выражение (5.47) позволяет определить проекции вектора скорости i-й точки на оси системы координат Oxyz в сферическом движении тела
vxi ~ ®yzi 03хУъ*
vyi = ю zxi ~ ю xzi> *
(5.49)
vzt = ®хУ1 ~®yxi-
Сравнивая выражения (5.49) с векторным произведением (5.46), можно убедиться, что в обоих случаях получены одинаковые значения искомых проекций скоростей на оси Oxyz. Выражения (5.49) получены в 1765 г. Эйлером и носят его имя.
Определим кинетическую энергию твердого тела. Согласно теореме Кенига, кинетическая энергии твердого тела в общем случае движения равна сумме кинетической энергии в переносном поступательном движении вместе с центром масс и кинетической энергии в сферическом движении относительно центра масс:
Е — Е +Е
-‘-'к ^к.пер ‘ ^к.отн*
При определении 2?КЛ1ер спроецируем вектор скорости полюса (скорости центра масс ) на оси подвижной системы координат Oxyz. Эти проекции также представляют собой квазискорости px(h vy0> vzq. Используем вектор квазискоростей и составим матричное выражение для определения 2£к#пер. Так как инерционные свойства твердого тела при поступательном движении одинаковы относительно любой из осей системы координат Oxyz и характеризуются скалярной величиной т — массой твердого тела, то выражение кинетической энергии в переносном поступательном движении имеет вид
к.пер — 0,&!TLVqEVq,
(5.50)
где т — скалярный множитель — масса твердого тела; Vq = (vxq,
vy0> vz0) — вектор квазискоростей центра масс твердого тела; Е — единичная матрица порядка п == 3.
Вычисление матричного произведения, согласно формуле (5.50), приводит к выражению
-^к.пер, = 0,5ah(uxq + ^0 +	(5.51)
Кинетическая энергия твердого тела в сферическом движении относительно центра масс определяется с использованием матричного выражения
к.отн
= O,5coTJoco,
(5.52)
175
где сот = ((ох,со„,сог) — вектор квазискоростей сферического дви-жения тела; Jq — матрица параметров инерционных свойств твердого тела в сферическом движении (матрица инерции):
J0 =	Jxx Jxy	Jxz -Jyx Jyy - Jyz —Jzx ~ Jzy Jzz	•
(5.53)
Jxx, Jyy, Jzz — моменты инерции твердого тела относительно осей подвижной системы координат соответственно Ox, Оу, Oz; Jxy, Jyz, Jzx — центробежные моменты инерции твердого тела соответственно относительно осей хиг/, z/из, зих; при этом Jxy = Jyx, JyZ в Jzy* Jzx ~ Jxz*
Моменты инерции относительно осей определяются по формулам
Jxx ~	+ zt );
i
Т V- / 2 2ч
Jyy — X mi(zi + xi ); г i
T XT / 2 2ч
Jzz ~ ^1Щ(Х1 + yt), i
(5.54)
где mi — масса f-го элементарного объема твердого тела; Xf, у}, Zf — координаты центра масс этого объема.
Центробежные моменты инерции вычисляются по формулам
Jxy ~ i
Jyz =	*
i
Jzx = t
(5.55)
Моменты инерции твердого тела относительно осей — скалярные положительные величины, а центробежные моменты инерции могут быть положительными, отрицательными и равными нулю.
Из формул (5.54) и (5.55) следует, что значения моментов инерции зависят от выбора начала подвижной системы координат Oxyz и направления ее осей. Начало координат рекомендуется принимать в центре масс твердого тела. Если однородное твердое тело имеет ось симметрии, то эта ось является его главной цен
176
тральной осью инерции. Одну из осей системы координат целесообразно совместить с этой осью, тогда центробежные моменты инерции, выражения которых включают координаты этой оси, окажутся равными нулю. Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то во всех точках этой плоскости одна из главных осей инерции направлена по перпендикуляру к этой плоскости. Одну из осей системы координат необходимо направить перпендикулярно к плоскости симметрии, тогда центробежные моменты инерции, зависящие от координат этой оси, будут равны нулю.
Если однородное твердое тело имеет две взаимно перпендикулярных оси симметрии, то при выборе их в качестве координатных осей все центробежные моменты будут равны нулю. Эти оси будут его главными центральными осями инерции, а матрица инерции в этом случае диагональная:
О
о
О
Jyy
о
о
о
Jzz
(5.56)
Вычислив матричное произведение согласно формуле (5.52), получим выражение для определения кинетической энергии сферического движения твердого тела относительно его центра масс
^К.ОТН ~ ^г^(^ХХ®Х + ^УУ^У + ^22®2 ~ Ху® X® у ~	к КГ7\
ии у	у и	(5.57)
- 2 J7/un7/a), - 2J~vco~co~).
Кинетическая энергия твердого тела в квазикоординатах с учетом выражений (5.51) и (5.57) определяется по формуле:
АЛ.
0,5i71(l?xQ + VyQ + Vg()) + JXX®X + Jyy® у + J 22® 2
2(JXy®X®y + Jy2®y®2 Jzx®2®x\ '
(5.58)
Если тело имеет главные центральные оси инерции и оси системы координат Oxyz совмещены с этими осями, выражение для определения Ек упрощается:
ДЛ,
0,5
m<vx0
„2	7>2 А Т ,Л2 _L Т	_L Т ,Л2
+ vy0 + vz0' + JxX® X + Jyy® у + JZZ®ZZ
(5.59)
Вычислим частные производные функции кинетической энергии по всем квазискоростям, а полученные выражения продифференцируем по времени. В результате получим компонентные уравнения инерционных элементов, отображающих физические свойства твердого тела:
177
^их iridvx^ldt, Fny mdVy^ jdt, F^z — mdv^o/dt
^HX ~ ^XX d^xJ dt ~ dxy d‘tty I dt — Jzx d(ft2/dt ;
TV^hz/ “• dyy d&y Idt — dyZ d&zldt — dXy d<ttx /dt,
-^И2 — dzz d($z /dt — dzx d(£)x !dt — dyz d(by Idt,
(5.60)
где Fm, F^y, F^z — проекции на оси подвижной системы координат силы инерции, возникающей при переносном поступательном движении твердого тела; Мих, Миу, МИ2 — проекции на эти же оси момента сил инерции в относительном сферическом движении вокруг центра масс»
Направления векторов сил инерции Ги и момента сил инерции Ми противоположны направлениям соответствующих векторов ускорений dv^/dt и d(b/dt , однако в компонентных уравнениях это не учитывается, так как знаки потенциалов инерционных, упругих и диссипативных элементов учитываются автоматически при формировании математической модели структурно-матричным методом. Эти знаки определяются направлениями сигналов в ветвях орграфа. Для всех ветвей инерционных компонентов сигналы направлены от узлов к базе. Это означает, что энергия механической системы затрачивается на преодоление сил инерции, поэтому силы инерции в уравнения равновесия узлов входят с отрицательными знаками.
5.4.	МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПРИ ПРОСТРАНСТВЕННОМ ДВИЖЕНИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Физические свойства твердого тела, учитываемые при моделировании его движения, характеризуются параметрами его инерционности — массой и моментами инерции. Динамическая модель сложного пространственного движения твердого тела может быть представлена шестью инерционными элементами, компонентные уравнения которых соответствуют выражениям (5.60).
Рассмотрим движение какого-либо твердого тела, входящего в состав механической системы (рис. 5.11). Взаимные перемещения твердых тел системы ограничены. Их колебания относительно положений равновесия будем считать малыми. Тогда для математического описания их относительных движений вполне достаточно использования динамических (5.60) и кинематических (5.49) уравнений движения в подвижной системе координат Oxyz. Погрешности в определении их относительных перемещений при этом невелики и ими можно пренебречь.
Представление динамической модели твердого тела в виде шести взаимодействующих инерционных элементов предполагает, что три из них совершают поступательные движения вдоль соответствующих осей системы координат Oxyz, а остальные совер
178
шают вращательные движения относительно этих же осей. Твердые тела в механической системе (рис. 5.11) соединены между собой упругими и диссипативными элементами (последние на рис. 5.11 не показаны, с целью упрощения изображения модели объекта). Поэтому любое перемещение твердого тела, как поступательное, так и вращательное, приводит к изменению состояния упругих и диссипативных элементов, связанных с данным телом, а эти элементы, в свою очередь, оказывают влияние не только на другие твердые тела системы, но и на характер другого составляющего вида движения данного твердого тела. Иными словами, принудительное перемещение твердого тела в каком-либо одном направлении непременно вызовет другие возможные его движения. Следовательно, выделенные инерционные элементы поступательного и вращательного движений взаимодействуют между собой посредством упругих и диссипативных элементов, что должно быть отображено на орграфе.
Рассмотрим движение твердого тела, представленного на рис. 5.12, а. Оно связано с неподвижной внешней средой упругими и диссипативными элементами 5 — 8, а через упругие и диссипативные элементы 1 — 4 на тело передаются кинематические воздействия ^1(0, ув2(0» увз(О > рв4(^) • Состояния элементов 5 — 8 определяются скоростями точек А, В, С, D, в которых они соединены с твердым телом, а состояния элементов 1 — 4, кроме того, функциями i>*i(f), рв2(^)» рвз(О > ув4(0 9 характеризующими источники внешних воздействий.
Так как твердое тело совершает сложное движение, то скорости точек А, В, С, D можно определить по теореме о сложении скоростей в переносном и относительном движениях. Используя формулы (5.49) для проекций скоростей i-й точки в относительном сферическом движении, можно записать следующие выражения для определения проекций ее абсолютной скорости •к it к vxi 9 v * * * *yi > vzi •
vxi ~ vx0 + vxi ~ vx0 +	® zUi*
vyi ~ vy0 + vyi ~ vy0 + ®zxt ® xzi’
(5.61)
»zi = vz0 + »zi = vz0 +®хУ1 ~®yxi,
где uX09 vy0> vz0 — проекции вектора скорости центра масс твердо-
го тела на оси системы координат Oxi/z; vxh vyi, vzi — проекции
вектора относительной скорости i-й точки в сферическом движении вокруг центра масс; сох, со^, — проекции вектора угловой скорости сферического движения на те же оси; xi9 yL, — координаты i-й точки.
1
Рис. 5.12. Динамическая модель (а) и орграф (б) твердого тела с шестью степенями свободы
180
± ± ±
Скорости uXi,Vyi,vZi непосредственно характеризуют состояния упругих и диссипативных элементов 5 — 8, а для определения состояния упругих элементов 1 — 4 необходимо дополнительно учесть кинематические воздействия внешней среды:
vxi ~ vx0 + ®yzt ~ ®zVi ~ vBXi> vyi ~ vy0 + ®zxi ~ 03 xzi ~ иву1’ vzi = vz0 + ®хУ1 ~ ®yxi ~ vBZi>
(5.62)
*
где vBXi, vByi, vB2i — проекции вектора vBi на оси системы коор
динат»
Используя формулы (5.61) и (5.62), составим компонентные уравнения упругих элементов механической системы, изображенной на рис. 5.12, а. Рассматривая проекции виртуальных перемещений точек А, В, С, D на оси системы координат Оху? и пренебрегая величинами второго порядка малости, для упругих элементов 1 — 4 получаем следующие выражения:
dFyl/dt = cx(vzq +	- tOyXi - ив1);
dFy2/dt = с2(рг0 + mxy2 - ®yx2 - i>b2); dFyz/dt = с3(рг0 + &xy3 - со^хз - t>*3); dFy4Jdt = c4(vz0 + сохг/4 - ®ух4 - kb4).
(5.63)
В этих уравнениях и далее индексы при координатах точек крепления упругих элементов соответствуют номерам упругих элементов.
Для упругих элементов 5 и 6
d^y^/dt	®yz5 ®z£/s)’
dFyQ / dt —	— co^z/g),
а для упругих элементов 7 и 8
dFyi/dt = c7(vy0 + югх7 - coxz7);
dFys/dt = c8(vy0 + <вгх8 -wxz8).
(5.64)
(5.65)
Формулы (5.63) — (5.65) отображают взаимодействия инерционных и упругих элементов механической системы. Они подтверждают отмеченную выше особенность модели сложного движения твердого тела, заключающуюся в том, что все инерци
181
онные элементы этой модели взаимосвязаны между собой упругими и диссипативными элементами. Структура компонентных уравнений диссипативных элементов аналогична, поскольку в динамической модели они параллельны упругим элементам.
Состояния инерционных элементов динамической модели твердого тела характеризуются квазискоростями vxq9 vyo, vzq9 (Dx, (tty, oZ9 причем, vxq9 VyQ, vzq относятся к инерционным элементам поступательных движений, параметрами которых является масса твердого тела т, а сох, со^, со2 — к элементам вращательных движений, параметры которых — моменты инерции относительно осей JXX9 Jyy9 JZZ9 а также центробежные моменты инерции Jху, Jyz* ^ZX‘
Напомним, что система координат Oxyz связана с твердым телом, начало ее находится в центре масс, а направления осей совпадают с главными осями инерции тела.
С учетом особенностей динамической модели твердого тела на рис. 5.12, б построен орграф, на основании которого составлена матрица инциденций, представленная в табл. 5.11. Для упрощения изображения орграфа на нем не показаны ветви диссипативных элементов. В табл. 5.11 с этой же целью не приведены элементы подматрицы инциденций диссипативных элементов АД9 поскольку она полностью совпадает с приведенной подматрицей ^у.
Таблица 5.11
Ветви
лы	F		?в2	РвЗ	Fb4	<?1		Сз	с4	С5	Св	С7	<?8
1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	-1	-1	0	0
2	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	-1	-1
3	-1	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0
4	0	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	-1	-1
5	0	0	0	0	1	1	1	1	1	-1	-1	0	0
6	0	0	0	0	0	0	0	0	0	-1	-1	-1	~1
1*	0	1	0	0	0	-1	0	0	0	0	0	0	0
2*	0	0	1	0	0	0	-1	0	0	0	0	0	0
3*	0	0	0	1	0	0	0	-1	0	0	0	0	0
4*	0	0	0	0	1	0	0	0	-1	0	0	0	0
	As					Ay	1							
В приведенной матрице, так же как и на орграфе, узлы 1,2, 3 отображают поступательно движущиеся массы вдоль осей соответственно х, у, г9 узлы 4, 5, 6 — массы с вращательным движением относительно этих же осей, а узлы 1*...4* принадлежат
182
внешней среде, генерирующей внешние воздействия vb1,...,vb4. Потенциалы F^9...9F^ представляют собой реакции внешней среды.
Из формул (5.63) — (5.65) видно, что фазовые переменные типа потока со^, coz, характеризующие состояния инерционных элементов вращательного движения, подвергаются некоторым безынерционным преобразованиям, определяемым координатами точек твердого тела, в которых к нему присоединены упругие элементы. Эти преобразования подобны рассмотренным в разделе 5.2 преобразованиям, осуществляемым безынерционными трансформаторными элементами, отличаясь от них лишь тем, что здесь не происходит потери энергии. Эти преобразования обусловлены относительным сферическим движением твердого тела и описываются уравнениями Эйлера (5.49). Скорости точек тела в относительном движении vxi, Vyi, vzi можно рассматривать как результат безынерционных преобразований фазовых переменных cox, со^, осуществляемых трансформаторными элементами, расположенными между упругими и диссипативными элементами и инерционным элементом, моделирующим вращательную составляющую относительного движения твердого тела.
На орграфе трансформаторные элементы расположены у ветвей, связанных с узлами 4, 5, 6, отображающими сосредоточенные массы, совершающие вращательные движения. Трансформаторные элементы обозначены символами ТЭу, где i — номер инцидентного трансформаторному элементу узла, a j —номер инцидентного упругого элемента.
В табл. 5.12 приведена матрица ТЭ.
Таблица 5.12,
Узлы	Ветви							
	ci	^2	^3	с4	С5	С6	с7	
1	0	0	0	0	0	0	0	0
2	0	0	0	0	0	0	0	0
3	0	0	0	0	0	0	0	0
4	1	1	1	1	0	0	1	1
5	1	1	1	1	1	1	0	0
6	0	0	0	0	1	1	1	1
1*	0	0	0	0	0	0	0-	0
2*	0	0	0	0	0	0	0	0
3*	0	0	0	0	0	0	0	0
4*	0	0	0	0	0	0	0	0
183
Матрицу ТЭ легко составить непосредственно по матрице инциденций А. Если в столбцах матрицы А ненулевые элементы принадлежат как узлам, отображающим поступательно движущиеся массы, так и узлам, отображающим массы с вращательным движением, то в этих столбцах необходимо отметить наличие трансформаторных элементов в строках, соответствующих узлам с вращательным движением масс.
Передаточные числа трансформаторных элементов определяются на основе уравнений Эйлера (5.49), из которых получаем
u(vn,Gyk) = vn/tok ,	(5.66)
где и(и^,(Оь) — передаточное число трансформаторного элемента, осуществляющего преобразование угловой скорости со^ в линейную относительную скорость Vjt i-й точки твердого тела в сферическом движении; j = х, у, z; k = х, у, z\ j /?.
Согласно уравнениям (5.49) и (5.66) формулы для определения передаточных чисел ТЭ имеют вид
2^(2^xi»® i/)	^xt/^y ~
2^(2^f, СО^,)	Vyt/®z ~
Vzi/<&x ~ £/i>
^(^xi’^2) vxi/^z ~ ~У1,’ u(Vyt9®x) ~~ vyi/®x ~ u(yzi9d}y) — ^zij^y = ~xi-
(5.67)
Приведем значения передаточных чисел трансформаторных элементов для рассматриваемого примера, вычисленные по формулам^.67): и41 = уг; и±2 = i/2; ^43 = 2/3; 2Z44 = z/4; u47 = -z7;
2^48	^8>	2Z51	*^'1>	2Z52	2Z53	^З»	2Z54	•^4>	2/55	И5,
u56 = 2б; и65 = ~У5> ^66 = -2/6; иб7 = х7> иб8 = Не-
очевидно, что передаточные числа трансформаторных элементов в механических системах со сложным движением твердых тел имеют размерность длины и могут быть как положительные, так и отрицательные. Их значения определяются координатами точек крепления упругих и диссипативных элементов к твердому телу. КПД трансформаторных элементов в данном случае обычно принимают равными 1.
Формирование математической модели исследуемой системы осуществляется структурно-матричным методом на основе информации, содержащейся в матрицах А и ТЭ. Используется алгоритм формирования, описываемый уравнениями (5.25) — (5.27).
Пример 5.8. Составить уравнения математической модели механической системы, динамическая модель которой дана на рис. 5.12, а.
Используя матрицы А и ТЭ (табл. 5.11 и 5.12), на основе структурноматричного метода получаем
таг
dvjdt = (-Fy5 - Fy6 - Fa5 - F^/m:, dvy /dt = ( -^*y7 — -^y8 ~ -^д7 — -^дв)/^ ’ dvjdt = (-FB1 + Fyl + Fy2 + Fy3 + Fy4 + Гд1 + Fr2 + Fa3 + F^/m’ d&x/dt = [(Fyl +7^)1/! + (Fy2 + ^2)1/2 + Uy3 + ^дз)£/з + + (^y4 + ^4)^4 + Uy7 + ^д7)27 + (^y8 + ^дв^вР^х»
d&y/dt = [- (Fyl ^д1)х-, - (Fy2 + Fa2)x2 - (Fy3 + Рд3)х3 -— (-^y4	^д4)^'4 ~ (^уб ^д5)^5 ~ (^уб + ^д6^б\/^у^
dvtjdt - [(Fy5 -kFb5)i/5 4- (Fy6 + Ffl6)i/6 - (Fy7 + ^д7)х7 - (Fy8 + ^д8)х8ре/г;
dFyl/dt = q(i?B1 - vz - йхух + (o^xj;
dFy2/dt = c2(vj — vz — &xy2 + (0^X2);
dFy3/dt = c3(r*3 - vz - coxi/3 + 0^X3);
dFyJdt = c4(v*4 -vz- axy4 + MyX*)',
dFyJdt — C5(vx "I"	— (^гУб)*
dFyJdt = c6(vx + coyz6 - a>zy6);
dFy7 jdt ~ c7(vy - cdx27 + югх7);
dFy3/dt = cjvy - cox28 + шгх8).
(5.68)
Уравнения (5.68) составлены в предположении, что твердое тело однородно и симметрично относительно осей системы координат Oxi/2. В противном случае в уравнения относительно djdt необходимо дополнительно включать члены, учитывающие центробежные моменты инерции тела, согласно формулам (5.60).
Формулы для определения потенциалов (усилий) в диссипативных элементах FRk такие же, как и для dFyJdt , только вместо Cj в них необходимо подста
вить щ. Реакции внешней среды найдем по формуле
F . = F  4- F • i = 14
J Bl yl	ГД1»	-
(5.69)
5.5.	МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПРИ ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
При моделировании многих технических объектов приходится учитывать плоское движение твердых тел. Это тоже сложное движение, которое можно разложить на два составляющих: переносное поступательное движение вместе с центром масс и относительное вращательное вокруг оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения.. В этом случае динамическая модель твердого тела представляет собой три инерционных элемента, взаимодействующих между собой, а также с другими сосредоточенными массами системы и с внешней средой посредством упругих и диссипативных элементов. Число степеней свободы твердого тела при плоском движении равно трем. Фазовыми координатами типа потока при описании его движения принимают проекции скорости переносного поступательного дви
жения центра масс на координатные оси и угловую скорость относительного вращательного движения.
Плоское движение совершает, например, твердое тело массой то в динамической модели колебаний автомобиля, приведенной на рис. 3.1, г.
При решении практических задач нередко оказывается, что центр масс твердого тела движется в координатной плоскости прямолинейно, или движение его вдоль одной из координатных осей равномерное. В таком случае при построении математической модели принимают во внимание только две степени свободы твердого тела и составляют уравнения движения только в переносном поступательном движении вдоль одной из осей координат и в относительном вращательном движении. Такое упрощение принято для модели на рис. 3.1, г исходя из предположения, что скорость движения автомобиля vx = const.
На рис. 5.13, а приведена динамическая модель, используемая при анализе вертикальных и продольных угловых колебаний кузова автомобиля и их воздействий на водителя. Эта модель отличается от схемы на рис. 3.1, г лишь тем, что в ней моделируется система виброзащиты сиденья водителя. С этой целью в модель введено твердое тело массой т^, равной суммарной массе водителя и сиденья. В результате колебательная система включает 4 твердых тела, взаимодействующих между собой и с внешней средой посредством упругих и диссипативных элементов. Наложенные на систему твердых тел голономные связи, обусловленные направляющим аппаратом подвески, позволяют массам m2 и т^ совершать только поступательные движения относительно центра масс кузова (точка О) вдоль оси Оз, поэтому их состояния характеризуются фазовыми переменными Uj, и 2 и и4 — линейными скоростями. Тело массой т% совершает плоское движение. Для его описания необходимо ввести три фазовые координаты: vx, vz и а)у, где vx, vz — линейные скорости центра масс тела в переносном поступательном движении относительно координатных осей х и
а)у — угловая скорость относительного вращения вокруг оси z/, проходящей через центр масс кузова. Инерционные свойства тела в плоском движении отображаются тремя инерционными элементами. Параметры двух из них одинаковы и равны массе т^, а параметром третьего элемента является момент инерции тела Jy относительно оси у:
Jy=mspy,	(5.70)
где Ру — радиус инерции тела относительно оси у.
186
Рис. 5.13. Динамическая модель (а) и орграф (б) для анализа колебаний кузова автомобиля и водителя на подрессоренном сиденье
187
Упругие и диссипативные элементы с коэффициентами жесткости ci, с 2 и коэффициентами сопротивления (иц, Ц2 отображают физические свойства шин автомобиля, элементы с параметрами <?з, с4, цз, — свойства системы виброзащиты кузова автомобиля, а элементы с параметрами с$, Ц5 — свойства системы виброзащиты сиденья водителя. Силы тяжести твердых тел Fbi,...,Fb4, причем, Fb4 — сила тяжести водителя и сиденья. Воздействия внешней среды описываются функциями (t) , v^2 (О, характеризующими микропрофиль поверхности дороги.
Таким образом, приведенная на рис. 5.13, а динамическая модель автомобиля отображает поступательные движения твердых тел массами mj, m2 и каждое из которых имеет по одной степени свободы, и плоское движение тела массой m3 с тремя степенями свободы. Общее число степеней свободы колебательной системы в итоге равно шести.
Плоское движение твердого тела является частным случаем пространственного движения. Уравнения кинематики и динамики его могут быть легко получены из общих уравнений, приведенных в разделе 5.3, принимая во внимание, что сох = со2 = 0; и vy = 0. Уравнения Эйлера (5.49) в этом случае
^xi	Vzi — СйуХ},	(5. (1)
а компонентные уравнения инерционных элементов, согласно выражениям (5.60),
FHX = rn3dvx/dt;
Fuz=m3dvz/dt'->	(5.72)
^ку Jyd^y / dt'
Уравнения (5.71) используются для определения передаточных чисел трансформаторных элементов, осуществляющих безынерционные преобразования поступательных движений элементов системы во вращательные и наоборот (см. раздел 5.4). Трансформаторные элементы при плоском движении твердого тела — рычажного типа. Длины рычагов равны модулям координат точек 3, 4, 5 присоединения упругих и диссипативных элементов к твердому телу.
При vx = const одну степень свободы твердого тела массой m3 (рис. 5.13, а) можно не учитывать и использовать только две фазовые координаты vz = и со^. В этом случае для определения передаточных чисел трансформаторных элементов Щ] достаточно второй формулы (5.71). Присвоим инерционному элементу,
188
совершающему вращательное движение, номер 5 и определим передаточные числа U53, U54, U55 трансформаторных элементов ТЭ53, ТЭ54, ТЭ55, расположенных между упругими элементами с параметрами С3, С4, с5 и данным инерционным элементом. Энергию колебательная система получает из внешней среды в результате воздействия на нее неровностей дороги, поэтому на входах ТЭ53 и ТЭ54 будут линейные скорости vz% и vz4 точек 3 и 4, а на выходе — угловая скорость со,,. На входе же ТЭ55 будет cov, а на вы
ходе . Согласно определению, равно отношению потоковых переменных на входе и на выходе ТЭ^, следовательно,
^53 — uz3 /	~ ^3’	^54 — уз4 / ®у ~ ^4»
^55 “ ~^у / уз5 “ —1
(5.73)
Значения координат и при вычислениях иц принимаются с учетом их знаков, поэтому передаточные числа рычажных ТЭ могут быть как положительные, так и отрицательные.
Пример 5.9. Сформировать структурно-матричным методом математическую модель технического объекта, динамическая модель которого дана на рис. 5.13, а.
Построим орграф рассматриваемой системы (рис. 5.13, б). На орграфе отображены трансформаторные элементы ТЭ53, ТЭ54, ТЭ55.
В табл. 5.13 приведена матрица инциденций, а в табл. 5.14 матрица ТЭ. Так как диссипативные элементы параллельны соответствующим упругим элементам, то подматрицы инциденций этих ветвей Ад и Ау одинаковы. Поэтому в матрицах А и ТЭ, так же как и на графе, диссипативные ветви не отображены.
Таблица 5.13
Узлы	Ветви										
	^В1	Fb2	FB3	-^в4		^2	Cl	с2	сз	с4	
1	-1	0	0	0	0	0	1	0	-1	0	0
2	0	-1	0	0	0	0	0	1	0	-1	0
3	0	0	-1	0	0	0	0	0	1	1	-1
4	0	0	0	-1	0	0	0	0	0	0	1
5	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	-1
1*	0	0	0	0	1	0	-1	0	0	0	0
2*	0	0	0	0	0	1	0	-1	0	0	0
Подматрицы	Ав						Ay				
Используя структурноматричный метод, на основании матриц А и ТЭ составим уравнения математической модели технического объекта:
Таблица 5.14
Узлы	Ветви				
	С1	с2	сз	с4	сь
1	0	0	0	0	0
2	0	0	0	0	0
3	0	0	0	0	0
4	0	0	0	0	0
5	0	0	1	1	1
1*	0	0	0	0	0
2*	0	0	0	0	0
189
dv1/dt - (-FB1	+ ,Fyl	- Fy3 + Рд1 - F]l3)jmy;
dv2/dt = (~Fb2	+ Fy2	- Fy4 + Fr2 -	;
dv3/dt = (-Fb3	+ Fy3	+ jFy4 - Fy5 + Рд3	+	Fn4	- Рд5)/т3 ;
dv4/dt ( Fb4	+ -^y5	+ ^д5)/rm4 »
dm у /dt —	{Fy3 + jF^3)x3 — (-fy4 + -^4)^4 (-^уб
dFyl/dt = q(uB1 - uj;
dFy2/dt = c2{vb2 - v2Y
dFy3/dt = CgC^ - v3 + myx3);
dFy4/dt = c4(y2 - v3 + coyx4);
dFyb/dt = c5(v3 - v4 - myx5).
(5.74)
В уравнениях (5.74) учтены значения передаточных чисел ТЭ.
Уравнения для определения усилий в диссипативных элементах Рдк и ре-
акций опорной поверхности дороги FB1 , FB*2 читатель может легко составить самостоятельно .
5.6.	МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ С ФРИКЦИОННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
В системах приводов рабочих органов машин широкое применение находят фрикционные механизмы — муфты и тормоза. Они предназначены для включения и выключения приводов и предохранения их механизмов от перегрузок.
Фрикционные механизмы содержат функциональные поверхности трения и подразделяются на управляемые и неуправляемые. Функционирование первых характеризуется тремя возможными состояниями: скольжением, замкнутым и разомкнутым состояниями. Включение управляемого фрикционного механизма осуществляется путем прижатия поверхностей трения друг к другу по сигналу внешнего управляющего воздействия. Процесс включения сопровождается относительным скольжением функциональных поверхностей трения механизма и завершается их замыканием (соединением). В неуправляемых механизмах трения третье состояние отсутствует. Они постоянно включены, но при достижении некоторой предельной нагрузки начинают проскальзывать, предотвращая перегрузку механизмов привода рабочих органов машины и ее двигателя. Состояние скольжения характеризуется диссипацией энергии, обусловленной внешним трением рабочих поверхностей механизма.
Фрикционные свойства механизмов трения в динамических моделях отображаются безынерционными фрикционными элементами (ФЭ). Применяются две модели ФЭ. В первой модели ФЭ располагается между двумя сосредоточенными массами механической системы, а во второй — между массой и упругим и диссипативным элементами (на рис. 4.6 соответственно ФЭг и ФЭ2). Пер
190
вая модель используется при моделировании фрикционных муфт механизмов трансмиссии, а вторая — сцепления колес мобильных машин с опорной поверхностью дороги. Математические описания обеих моделей ФЭ приведены в разделе 4.5 (см. пример 4.3). Они существенно различны.
Наличие фрикционных элементов приводит к переменной структуре динамической модели и необходимости изменения математического описания процесса функционирования технического объекта в зависимости от состояний ФЭ/. Характер изменения модели зависит от типа ФЭ. При использовании первого типа ФЭ переменность структуры объекта отражается лишь на топологических уравнениях, описывающих условия динамического равновесия сосредоточенных масс, а компонентные уравнения остаются неизменными при любом состоянии ФЭ. Применение второго типа ФЭ приводит к необходимости изменения как топологических, так и компонентных уравнений.
Алгоритм формирования структурно-матричным методом математической модели технического объекта с фрикционными элементами рассмотрим на примере динамической модели, представленной на рис. 5.14, а. Эту модель используют для исследования динамических нагрузок в трансмиссии автомобиля при переключении передач.
При изменениях состояний ФЭ изменяется количественный и качественный состав элементов динамической модели, воздействующих на сосредоточенные массы, примыкающие к фрикционным элементам. Это необходимо отобразить в орграфе. На режиме скольжения ФЭг1 на массу J\ воздействуют потенциалы (моменты) внешнего источника 7Ив1 (двигателя) и фрикционного элемента Мфц (сцепления), а после замыкания ФЭП — потенциалы источника 7Ив1, упругого Му1 и диссипативного 7Ид1 элементов. На массу J2 при скольжении ФЭП воздействуют моменты ТИфц, 7Иу1 и а после замыкания — Мв1, и Мд1. Изменяются также параметры инерционных элементов: на режиме скольжения это Ji и J2, а после замыкания ФЭц = J2 -	+ J2 • При сколь-
жении ФЭ21 суммарный момент упругого с$ и диссипативного элементов ограничивается моментом фрикционного элемента, т.е. |му3 + 7Идз| = ТИф21. В результате на массу J4 воздействуют моменты Му2, МД2 и ^ф21, а на массу J5 — моменты Мф21 и Мв%. После замыкания ФЭ21 масса J4 находится под воздействием Му2, МД2> АГуз, АГдз, а масса — под воздействием 7Иу3, 7Идз, Мвз« Следовательно, в орграфе будет ряд переменных ветвей. Назовем их виртуальными ветвями и в их обозначения введем верхний индекс *. Орграф моделируемого объекта показан на рис. 5.14, б. Ветви диссипативных элементов в орграфе не показаны, т.к. они параллельны ветвям упругих элементов.
191
a
Ji ФЭц J2
co. т Л	ФЭ21 Js <os Ma
ЮГЖ)))
C2^2	ЛГв2 ЛГф21 »
^В1	-МвЗ
Рис. 5.14. Динамическая модель трансмиссии автомобиля (а) и орграф (б)
Процесс формирования математической модели технического объекта с фрикционными элементами состоит из двух этапов. На первом этапе наличие ФЭ не принимается во внимание и составляются матрицы инциденций и трансформаторных элементов ТЭ. Матрица инциденций приведена в табл. 5.15, а матрица ТЭ — в табл. 5.16. Используя эти матрицы и формулы алгоритма структурно-матричного метода (5.25) — (5.27), получают топологические и компонентные уравнения математической модели объекта без учета ФЭ.
Таблица 5.15
Уз-лы	Ветви								
	МВ1	^в2	Мв3		?2	?з		Р2	Рз
1	1	0	0	0	0	0	0	0	0
2	0	0	0	-1	0	0	-1	0	0
3	0	0	0	1	-1	0	1	-1	0
4	0	-1	0	0	1	-1	0	1	-1
5	0	0	-1	0	0	1	0	0	1
Подматрицы		^в							
Таблица 5.16
Уз-лы	Ветви					
	С1	с2	сз		Р2	Из
1	0	0	0	0	0	0
2	0	0	0	0	0	0
3	1	0	0	1	0	0
4	0	1	0	0	1	0
5	0	0	0	0	0	0
192
На втором этапе для отображения переменной структуры объекта введем дополнительную матрицу, определяющую положения фрикционных элементов в динамической модели и инцидентность виртуальных ветвей орграфа сосредоточенным массам модели. Эту матрицу назовем матрицей фрикционных элементов (матрицей ФЭ). В табл. 5.17 приведена матрица ФЭ моделируемого объекта. Поскольку математические описания фрикционных элементов обоих типов ФЭП и ФЭ21 различны и неодинаково их влияние на изменение структуры объекта, то введем две различных подматрицы Аф1 и Аф2 для их отображения. В обозначениях фрикционных элементов и их потенциалов первый цифровдй индекс отображает тип элемента, а второй — порядковый номер. Инциденторы виртуальных ветвей источников внешних воздействий 7ИВ/., упругих Cj и диссипативных элементов отметим индексами *, а подматрицы инциденций виртуальных ветвей обозначим соответственно А*9 А* А* а У 7 А
Таблица 5.17
| Узлы	Ветви										
		Жр21	МВ1	^в2	Мв3		С2	сз		М2	Мз
1	-1	0	0	0	0	-1*	0	0	-1*	0	0
2	1	0	1*	0	0	0	0	0	0	0	0
3	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
4	0	-1	0	0	0	0	0	-Г	0	0	-1*
5	0	1	0	0	0	0	0	1*	0	0	1*
Подматрицы	^ф!	Аф2		* Ав			*			* Ад	
Следует обратить внимание на то, что инциденторы виртуальных ветвей орграфа расположены только в тех строках матрицы ФЭ, в которых находятся ненулевые инциденторы фрикционных элементов.
Матрица ФЭ позволяет модернизировать исходную математическую модель, полученную на первом этапе. Преобразованиям подлежат лишь те уравнения, структура которых зависит от наличия ФЭ. Так как на нее влияет тип ФЭ, то рассмотрим алгоритмы модернизации отдельно для каждого типа ФЭ.
Как отмечалось выше, ФЭ первого типа влияют лишь на структуру топологических уравнений. Компонентные уравнения остаются без изменений. Преобразованиям подвергаются только те топологические уравнения, которые соответствуют строкам матрицы ФЭ, содержащим ненулевые инциденторы фрикционных элементов Иф^д, где i — номер строки (номер сосредоточенной массы), q — номер ФЭ первого типа. Алгоритм преобразования г-го топологического уравнения описывается выражениями
193
do у l'
dt
Mi + ИфИдМф1д(1 - Lg) sign (X ИфИд£0/) +
i
+ (ZH*iZMBZ +хи;умуУтуУ +X^ikMKkTKik)LqP1q i	i	k
при ИфПд * 0; q = 1,Q; i = 1,2Q ;
~	Д/) + 22 JiLq Иф1г<7 ,
i
(5.75)
(5.76)
где Mi — суммарный потенциал (момент), действующий на i-ю сосредоточенную массу при отсутствии фрикционного элемента (соответствует числителю первого уравнения системы (5.25), в которой обозначение потенциалов F принято для поступательной механической системы); M^lq — потенциал (момент трения) д-го ФЭ первого типа; Lq — функция состояния q-го ФЭ; P-^q — функция переключения; И*и ,	— инциденторы виртуаль
ных ветвей соответственно источников внешних воздействий, упругих и диссипативных элементов; Tyij9T^— функции трансформаторных элементов, определяемые выражениями (5.21) и (5.22); Ji— параметр i-ro инерционного элемента; Q — количество ФЭ первого типа.
Обобщенные выражения для определения функций Lq и Plq, характеризующих состояние фрикционного элемента ФЭ19, составляются также на основе матрицы ФЭ (см. выражения (4.45) и (4.46)):
1 при £ифПд<Вг < Асод;
Lq =	*	(5.77)
о при 22иф119ю1 > Дю9;
i
р1д
= 0,б[1 + sign (Мф1;(?
при
(5.78)

где Дсо^— допустимая относительная скорость скольжения Q-ro ФЭ, при которой можно считать его замкнутым.
Фрикционные элементы второго типа влияют на структуру как топологических, так и компонентных уравнений. Топологические уравнения, подлежащие преобразованиям, обнаруживаются по тому же признаку, что и в предыдущем случае, а именно по 13. Зак. 3006
194
условию Иф2/Г 0, где г — номер ФЭ второго типа. Алгоритм преобразования отличается от предыдущего и описывается выражением
do у
l'
dt
Mt 4- Иф2/ГА/^ф2г (1 -^2r) sign Иф2уг0)у) + i
(5.79)
при И‘ф2Ут' — Иууу “	^9, г — 1,7?, i 1,27?,
где 7? — количество ФЭ второго типа; Р2Г — функция переключения r-го ФЭ:
при Иф2£г —	-И-дМг
Преобразуемые компонентные уравнения упругих элементов обнаруживаются по аналогичному условию, а выражение алгоритма их формирования имеет вид
dIV[fac>r
-	4	—	(1 ~ Т^г)
При Иф2 jr — Иууу — 1.
Компонентные уравнения диссипативных элементов остаются без изменений.
Пример 5.10. Построить математическую модель технического объекта, динамическая модель которого приведена на рис. 5.14, а.
Используя алгоритм структурно-матричного метода, описываемый выражениями (5.21) — (5.26) и (5.75) — (5.81), а также матрицы инциденций, ТЭ и ФЭ, представленные в табл. 5.15 — 5.17, получаем:
duyjdt = Л7в1 — Л7фл sign(co1 — со2)(1 ~	— (Afyj +	i]/(<71 -+- e/2Lj);
dc^/dt = - (Л7у1 + Л7Д1) 4- Л/фц sign(co1 — со2)(1 — L^) + Л7в17/1Р11]/(е717/1 + J2);
du^/dt = (Му1 + Л7д1)и31т)31 - (Му2 + Мд2)]/ J3;
dajdt = [- Мв2 + (Му2 + Мд2)и42т|42 - A^21sign(co4 - со5)(1 - Р21) -
- (Л7у3 + Мд3)Р21 / J4;
du^/dt = [- Мв3 + A^21sign(co4 - со5)(1 - Р21) + (Му3 + -Л7д3)Р21]/ J5;
dMyl/dt = ^(сог - co3u31);
dMy2/dt = c2(co3 - co4u42);
dMy3/dt = c3(co4 - co5)P21 + (бШф2 /df)(l ~ ^21)»
^7Д1 = Mi(co2 ~ «3^31): МД2 = Н2(юз ~ ю4п42); Мд3 = ц3(со4 - а>5).
>(5.82)
(5.83)
195
В процессе формирования математической модели в данном случае выражения (5.74) — (5.80) алгоритма преобразований использовались для получения 1, 2, 4 и 5 топологических уравнений и компонентного уравнения третьего упругого элемента.
Для интегрирования системы уравнений (5.82) необходимо задать начальные условия сою, i = 1, п; Му;0, j = 1,N, функции внешних воздействий Мв1, Мв2, Мв3 и фрикционных элементов Мф11, Мф21.
В математической модели (5.82) использован неоднородный базис. Базисными координатами в ней приняты переменные типа потока — угловые скорости сосредоточенных масс и переменные типа потенциала — моменты упругих элементов Myj.
Уравнения с неоднородным базисом удобно использовать при получении линейных математических моделей. В этом случае обычно сокращается порядок системы дифференциальных уравнений. Но реальные технические объекты во многих случаях содержат упругие и диссипативные элементы с нелинейными характеристиками. В частности, упругие элементы могут иметь переменные коэффициенты жесткости, зависящие от деформации, зазоры в сопряжениях деталей, ограничения перемещений сосредоточенных масс и деформаций упругих элементов, накладываемые связями, и др. При моделировании таких систем, как будет показано в главе 6, используется однородный базис, а потенциалы упругих элементов выражаются через геометрические координаты (или xt) соединяемых ими сосредоточенных масс, а не через их производные cof (или vt), как в модели (5.82). В этом случае моделирование процесса функционирования фрикционного элемента второго типа значительно усложняется, т.к. возникает необходимость точного определения относительного углового (или линейного) перемещения поверхностей трения и последующего учета его в замкнутом состоянии. Поэтому для нелинейных систем рекомендуется использовать модели ФЭ первого типа не только для управляемых фрикционных механизмов, но и при моделировании неуправляемых фрикционных механизмов, предназначенных для ограничения нагрузок в различных приводах. Эта же рекомендация относится и к моделированию сцепления колеса с опорной поверхностью дороги, особенно для тяжелых тягово-транспортных машин с большими диаметрами шин. На рис. 5.15 приведена такая динамическая модель, в которой сосредоточенная масса с моментом инерции J5 отображает инерционные свойства ведущих колес, a J6 — поступательно движущейся массы машины.
Читателю рекомендуется в качестве упражнения составить математическую модель, используя рис. 5.15.
ЛГвз
сов
Рис. 5.15. Динамическая модель трансмиссии с управляемым ФЭц и неуправляемым ФЭ12 фрикционными элементами
5.7.	МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
При построении математических моделей тепловых систем на микроуровне дискретизацию объектов осуществляют посредством методов сеток. На рис. 2.4 показан пример дискретиза
196
ции двумерного теплового объекта — твердого тела, температура которого зависит от времени t и геометрических координат х и у (предполагается, что температура не зависит от координаты г). Сетка, наложенная на твердое тело, выделяет дискретные элементы в виде прямоугольных пластин. Характерная особенность этих элементов заключается в том, что каждый из них обладает одновременно инерционными и диссипативными свойствами. Следовательно, выделенные дискретные элементы тепловой системы являются сложными. Напомним, что упругими свойствами тепловая система не обладает.
Задача анализа теплопередачи в твердом теле на микроуровне моделирования заключается в определении температуры в узлах сетки. На ранних стадиях проектирования часто рассматривают одномерный процесс теплопередачи. Так, при анализе теплонапряженности дисковых фрикционных муфт и тормозов автомобилей, тракторов, станков и других машин пренебрегают теплопередачей в радиальном и окружном направлениях, анализируя лишь изменение температуры по толщине дисков.
Одномерными можно также считать задачи анализа теплопередачи через стенки теплообменников, корпусных деталей машин, стены зданий и сооружений и других деталей технических объектов. Математические модели таких объектов можно привес
ти к моделям макроуровня.
Исходная математическая модель микроуровня представляет
собой дифференциальные уравнения в частных производных, опи
сывающие процессы, происходящие в моделируемом объекте, и граничные условия. Рассмотрим процесс преобразования этой
дифференциальной краевой задачи
Рис. 5.16. Дискретизация одномерного теплового объекта
к задаче макроуровня, математической моделью которой является система обыкновенных дифференциальных уравнений.
На рис. 5.16 представлена динамическая модель одномерной тепловой системы, используемая для анализа изменения температуры вдоль координаты х. Дискретные элементы представляют собой пластины (слои). Узлы сетки, в которых определяется температура, расположены на поверхностях этих пластин. Узлы отображены на оси х и обозначены цифрами. Пронумеруем узлы
197
от 0 до п+1. Узлы с номерами 0 и п+1 называются граничными 9 а
узлы 1,п — внутренними. Количество слоев N = п+1.
Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье для одномерной сплошной среды (см. раздел 2.3)
dT/dt = (Xd2r/dx2 + Gq)/(Cp),
(5.84)
где Т — температура; X — коэффициент теплопроводности; С — удельная теплоемкость материала; р — плотность; Gq — количество тепловой энергии, генерируемой или поглощаемой в единицу времени в единице объема. При анализе теплопередачи в твердых телах без фазовых превращений можно принимать Gq = °’
Уравнение (5.84) описывает физические свойства системы с распределенными параметрами. Для перехода к системе с сосредоточенными параметрами, получаемой путем дискретизации сплошной среды, используем конечно-разностную аппроксимацию второй частной производной
d2T/dx2 =
[7(х +1, t) - 2Т(х, t) + Т(х -1, t)]/12 ,
(5.85)
где I — шаг дискретизации по оси х.
Введем обозначения:	T(x+l9t) =	T(x9t) = Тр,
Т(х - l9t) =	9 где i — номер узла сетки. Тогда выражение
(5.85) можно записать в виде
d2T/dx2 = (7}_i - Ti)/l2 - (Ti - Ti+1)/l2+1.	(5.86)
Подставив выражение (5.86) в уравнение (5.84), получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
dTl/dt = (7}-i — Ti)pTi/cTf — (Tf — ^4-1)Цт1+1/ст1+1	~	(5.87)
где сТр pTj — соответственно теплоемкость и коэффициент теплового сопротивления z-го дискретного элемента:
= CtPtVf,	(5.88)
(5.89)
I7/, Ч — соответственно объем и длина i-ro дискретного элемента.
Система уравнений (5.87) описывает физические свойства твердого тела при одномерной теплопередаче. Решение этих уравнений позволяет определить изменение температуры Ti(t) во всех
внутренних узлах твердого тела i - 1, п в переходном процессе не-Установившейся телопередачи, обусловленном изменением воздействий на твердое тело окружающей его внешней среды.
198
Проанализируем структуру дифференциального уравнения, записанного относительно производной температуры f-ro внутреннего узла системы, кроме узлов с номерами i = 1 и i = п. Уравнение (5.87) для i-ro узла можно записать в виде
dTi/dt = Ф д//cTi — Фд/+1/^тг+1»	(5.90)
где
Фд/ -
Фд/+1 = Нт/+1 (Ti “ ^f+1)*
(5.91)
(5.92)
Выражения (5.91) и (5.92) представляют собой компонентные уравнения диссипативных элементов i-ro и (i 4- 1)-го слоев твердого тела (дискретных элементов).
Граничные узлы с номерами i = 0 и i = п+1 принадлежат одновременно твердому телу и внешней среде. Эти узлы находятся на граничной поверхности твердого тела, посредством которой осуществляется его взаимодействие с внешней средой. По аналогии с другими системами, рассмотренными в предыдущих параграфах данной главы, отнесем эти узлы к внешней среде, генерирующей на граничных поверхностях внешние воздействия на объект.
С учетом изложенного на рис. 5.17, а построен орграф тепловой системы. При этом сделано предположение, что направление теплового потока в твердом теле совпадает с положительным направлением оси х. Узлы орграфа 1...4 отображают соответствующие внутренние узлы твердого тела 1...4 (см. рис. 5.16), а узлы, отмеченные звездочкой, т.е. узлы 1* и 2*, отображают граничные узлы i = 0 и z = 5 соответственно. Все узлы орграфа соединены между собой ветвями диссипативных элементов с обозначениями параметров этих элементов цт^. Ветви, соединяющие узлы орграфа 1...4 с базовым узлом 0, не принадлежат инерционным элементам, как это было в механических, гидравличеких и других системах. Это обусловлено тем, что дискретные элементы тепловой системы сложные, обладающие одновременно инерционными и диссипативными свойствами, отобразить которые отдельными элементами невозможно. Это следует из уравнений (5.87) и (5.90). Формальное изображение этих ветвей на орграфе, с одной стороны, подчеркивает наличие инерционных свойств у тепловых объектов, а с другой — отображает связь фазовых координат типа потока Г/, характеризующих состояние узлов орграфа, с системой отсчета этих координат, начало которой отображает базовый узел.
Рассмотрим условия равновесного состояния граничных узлов 1* и 2*. Для узла 1* условие равновесия потенциалов имеет вид
199
Фв1 ~ Фд1 а для узла 2*
Фв2 = Фд5
Рис. 5.17. Орграфы тепловой системы:
а — при источниках внешних воздействий типа потока;
б — при теплоизолированной правой границе и источнике типа потока на левой границе; в — при источниках внешних воздействий типа потенциала
= Цт1(Гв*1-71),	(5.93)
= HT5(?4 ~Тв2)9	(5.94)
где ФВ1, Фв2 — тепловые потоки, генерируемые соответственно
на левой и правой граничных поверхностях; TBi , Тв2 — температуры граничных узлов 1* и 2* (т.е. узлов 0 и 5 на рис. 5.16).
Поскольку выражения (5.93) и (5.94) аналогичны выражениям (5.91) и (5.92), то система уравнений (5.87) с учетом уравнения (5.90) может быть записана в виде
dTi/dt = Ф1сТ1 — Фд/4-i/^Ti+l ’ i = 19п.	(5.95)
Составим матрицу инциденций, соответствующую орграфу на рис. 5.17, а. Матрица А приведена в табл. 5.18.
Таблица 5.18
Узлы	Ветви						
	ФВ1	Фв2	М"Г1	Цт2	МтЗ	|Д,Т4	Мт5
1	0	0	1	-1	0	0	0
2	0	0	0	1	-1	0	0
3	0	0	0	0	1	-1	0
4	0	0	0	0	0	1	-1
1*	1	0	-1	0	0	0	0
2*	0	-1	0	0	0	0	1
Подматрицы	-Ав						
200
Принимая во внимание, что кроме внешних воздействий типа потока (температуры граничных узлов или окружающей среды) к твердому телу могут быть приложены воздействия типа потенциала (генерируемые на граничной поверхности тепловые потоки, например, в результате трения соприкасающихся тел), и используя матрицу инциденций, уравнениям (5.91) — (5.95) можно придать следующий вид:
dTi/dt —	/ctZ + X Ид^Фд/г/ст#; (5.96)
z	k
Фд/? = ~	»	(5.97)
i
Фвтп ~ “22»	(5.98)
k
i = l,n; 1 = 1, L; k = l,K; m = l,M,
где ИВ£/, Ид^, Идт^ — инциденторы (элементы матрицы А) , отображающие инцидентность ветвей источников потенциалов и ветвей диссипативных элементов соответствующим узлам орграфа; L — количество источников потенциалов Фв/; К — количество диссипативных элементов тепловой системы; М — количество ис
точников внешних воздействий типа потока Твт .
Уравнения (5.96) — (5.98) описывают алгоритм структурно-матричного метода формирования математической модели тепловой системы. При этом необходимо учитывать граничные условия.
Граничные условия I рода. Задаются значения температур граничных узлов TBi и Тв2 • В этом случае на основе уравнений
(5.96) непосредственно получаем математическую модель теплового объекта в виде системы уравнений (5.95). При этом потенциа
лы диссипативных элементов Фд^> определяются по компонентным уравнениям (5.97), а уравнение (5.98) позволяет определить зна
чения тепловых потоков Фв1 и Фв2 на левой и правой граничных поверхностях, необходимые для поддержания заданных значений температур граничных узлов Тв1 и Т*2 . Тепловые потоки Фв1 и
Ф*2 генерируются источниками тепловой энергии внешней среды (или представляют собой стоки — в случае отвода тепла от твердого тела). Но при граничных условиях I рода потенциалы источников внешних воздействий неизвестны, поэтому в уравнении (5.96) принимается Фв/ = 0«
Использование уравнения (5.97) приводит к выражениям вида (5.91) и (5.92), а уравнения (5.98) — к выражениям вида (5.93) и (5.94).
Для решения полученной системы дифференциальных уравнений (5.95) необходимо задать начальные условия Т^,
Таким образом, при формировании математической модели тепловой системы с граничными условиями I рода используется динамическая модель с источниками внешних воздействий типа потока, характеризуемыми температурами граничных поверхно-стей и Т*2 •
Граничные условия II рода. Задается градиент температуры на граничных поверхностях. В одномерном случае необходимо задать значения дТ/дх при х = 0 и при х = Ъ , где Ъ — размер твердого тела вдоль оси х. Как показано в разделе 2.3, их можно легко свести к граничным условиям III рода. Однако при равенстве нулю градиента температуры на граничных поверхностях целесообразно непосредственно использовать граничные условия II рода. Этот случай соответствует теплоизолированной граничной поверхности.
Предположим, что пятый слой теплового объекта на рис. 5.16 выполнен из теплоизоляционного материала, характеризуемого малым значением коэффициента теплопроводности Х5. При этом цт5->0, а « Т4. Следовательно, теплообмен с окружающей средой через правую граничную поверхность будет незначительным и им можно пренебречь. В орграфе при этом граничный узел 2* может быть исключен (рис. 5.17, б). Составим матрицу инциденций для твердого тела с теплоизолированной правой границей и с заданными граничными условиями I рода на левой границе. Матрица А приведена в табл. 5.19.
Таблица 5.19
Узлы	Ветви				
	* Фв1	Ит1	Рт2	ИтЗ	Рт4
1	0	1	-1	0	0
2	0	0	1	-1	0
3	0	0	0	1	-1
4	0	0	0	0	1
1*	1	-1	0	0	0
Подматрицы	Ав	Ад			
Математическая модель объекта в этом случае будет такой Же, как и в предыдущем, но только в ней ФД5 = 0.
14. Зак. 3006
202
Граничные условия III рода. На граничной поверхности задаются условия теплообмена с внешней средой. Возможны три вида теплообмена: генерирование на граничных поверхностях тепловых потоков в процессе трения контактирующих поверхностей (например, во фрикционных механизмах), конвективный теплообмен твердого тела с окружающей газовой или жидкостной средой и теплообмен излучением.
Граничные условия в первом случае имеют вид
X сТ/5х + Фвх/Ав = 0,	(5.99)
где Ф вх — проекция теплового потока на ось х; Ав — площадь поверхности граничного теплообмена.
Составим граничные условия для х = 0 и х = b (рис. 5.16), заменив при этом частные производные дТ/дх отношениями конечных разностей,
дТ _	~ ^в! _ _ Фв1х . дТ _ ^в2 ~ Тп _ _ Фв2х
дх х=0 Ь.	^1^в1 дх х=ь ^п+1	^п+1^в2
гдеТв1, 7^2 — температуры граничных узлов, обусловленные тепловыми потоками Фв1 и Фв2 на граничных поверхностях.
Если тепловые потоки Фв1 и Фв2 на левой и правой граничных поверхностях твердого тела направлены от внешней среды к телу, т.е. тепловая энергия подводится к нему с двух сторон, то проекции тепловых потоков на ось х будут равны: Фв1х = Фвр ФВ2Х = ~ Фв2- В этом случае с учетом выражения (5.89) получаем'
Фв1 = Нт 1(^1 “ ^1)> Фв2 ~ Нтп+1С^в2 — Тц). (5.100)
Сравнивая выражения (5.100) с выражениями (5.93) и (5.94) и принимая во внимание, что для рассматриваемого примера Тп = Цтп+1 = ЦТ5? легко заметить, что в этом случае в системе уравнений (5.95) потенциалы диссипативных элементов первого и последнего слоев твердого тела Ф Д1 и Ф д5 должны быть заменены на потенциалы источников внешних воздействий Фв1 и Фв2 . Эта замена на орграфе отражается исключением граничных узлов (рис. 5.17, в). Матрица инциденций, соответствующая данному орграфу, приведена в табл. 5.20.
Выражения (5.100) используются для определения температуры граничных узлов
^в! =^1 + <^в1/Цт1>	^в2 ~ ?п + Фв2/Цтп+1 •
203
Таблица 5.20
Узлы	Ветви				
	Фв1	Фв2	Рт2	ЦтЗ	Цт4
1	1	0	-1	0	0
2	0	0	1	-1	0
3	0	0	0	1	-1
4	0	1	0	0	1
Подматрицы	А-В		Ад		
При конвективном теплообмене задается температура окружающей среды (на левой границе Тс^ и на правой Тс2) и коэффициенты теплообмена через конвекцию и 0С2- В этом случае воздействия внешней среды являются источниками потоков и орграф тепловой системы имеет вид, приведенный на рис. 5.17, а, а матрица инциденций соответствует приведенной в табл. 5.18 матрице А.
Математическая модель тепловой системы при конвективном теплообмене включает систему обыкновенных дифференциальных уравнений (5.95) и компонентные уравнения (5.91) — (5.94). Но коэффициенты тепловых сопротивлений цт| и pTg в уравнениях (5.93) и (5.94) должны учитывать одновременно свойства теплопроводности граничных слоев, определяемые коэффициентами теплопроводности Xj и Х5, и свойства теплообмена между ними и окружающей средой, характеризуемые коэффициентами теплообмена через конвекцию и СС2’ Следовательно, в этом случае необходимо в качестве и цт5 использовать эквивалентные коэффициенты теплового сопротивления граничных слоев. Для определения температуры граничных узлов и Тв2 и эквивалентных коэффициентов теплового сопротивления цт1 и цтп+1 = цт5 используем граничные условия
X (8Т/8х) + а(Тс - Т*) = 0 .	(5.101)
Составим граничные условия для х = 0 и х = Ъ, предпола-
гая, что температура окружающей среды Т и Тс2 выше температуры тела. Тогда градиент температуры в левом граничном слое будет отрицательным, а в правом — положительным:
dT/dx\x_Q = (Ti —	= — ОС|(ТС1 — 7|В1)/Х|;
дТ/дх^_^ = (Тв2 ~ ^п)Ап+1 = а2(^с2 — ^в2)/^п+1 -
204
На основании этих выражений получаем
^В1 = (Р"ГИ1^1 "* М'ТК1^с1)/(Р'ТИ1 +Мтк1)>	(5.102)
^в2 ~ (НтИ 71 + 1^71 + Нтк2-^с2 )/(НтИ 71 + 1 +М”гк2) >	(5.103)
где цти1, Цтитг+1 — коэффициенты теплового сопротивления граничных слоев при индуктивном теплообмене, определяемые по формуле (5.89); цтк1, цтк2 — коэффициенты теплового сопротивления при конвективном теплообмене между окружающей средой и граничными слоями твердого тела.
Значения коэффициентов цткх и цтк2 определяются по формулам
Цтк1 ^1^в1» Цтк2 ^2^-в2 9	(5.104)
где ABi, Ав2 — площади граничных поверхностей, через которые осуществляется теплообмен твердого тела с окружающей средой. Для определения эквивалентных коэффициентов теплового сопротивления pTi и pTn+i подставим значения и Тв2 в выражения (5.93) и (5.94). В результате получим
Фв1=фд1=Нт1(^с1-71);	(5.Ю5)
®в2 = Фдтг+1 = М-т/г+1 (^тг ~ ^с2)»	(5.106)
где
ЦТ1 — Нти1^тк1 /(М"ги1 “*"Мтк1)’	(5.107)
M'ttt + I — М"гитг + 1Мтк2/(Нти 71 + 1 ’^М^тк2)’	(5.108)
Для решения системы дифференциальных уравнений (5.95) необходимо задать начальные условия Т^, i = 1,п .
5.8. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Широкое применение в промышленности и в быту имеют технические объекты, представляющие собой электромеханические системы. Это обусловлено тем, что электрическая энергия — самый удобный и легкодоступный вид энергии.
Характерная особенность процесса функционирования электромеханической системы — взаимное преобразование электрической, магнитной и механической энергий, что создает известные сложности при математическом моделировании. В этой связи разработаны идеализированные модели макроуровня с дискретизацией параметров электротехнических объектов на основе метода сосредоточенных масс. В этом случае также применим структурноматричный метод моделирования. Отметим, что в электрических системах понятие «сосредоточенная масса» относится к катушке индуктивности. Рассмотрим несколько характерных примеров.
205
На рис. 5.18, а показана принципиальная электрическая схема системы зажигания бензинового двигателя внутреннего сгорания. Основные элементы системы зажигания: источник электрической энергии (аккумуляторная батарея и генератор), катушка зажигания, конденсатор, прерыватель-распределитель, свечи зажигания. На схеме отображены: источник потенциала С7в1 (внешнее воздействие); катушка индуктивности с первичной и вторичной обмотками, индуктивности которых обозначены соответственно Li и L2, сопротивления — Я; и R2; конденсатор емкостью Ci, установленный параллельно контактам прерывателя КП; конденсатор емкостью С2, соответствующей емкости проводов высокого напряжения; искровой промежуток И свечи зажигания и его сопротивление R&
Рис. 5.18. Принципиальная электрическая схема системы зажигания бензинового двигателя внутреннего сгорания
Процесс функционирования системы зажигания состоит из трех фаз:
накопление энергии в индуктивном элементе первичной обмотки катушки зажигания при замкнутых контактах прерывателя;
возникновение импульса высокого напряжения во вторичной обмотке катушки зажигания после размыкания контактов прерывателя;
пробой искрового промежутка свечи под воздействием высоковольтного импульса и выделение накопленной энергии в форме искрового разряда.
Максимальная энергия ^Kimax, запасенная в индуктивном элементе первичной обмотки,
^к1шах ~	(5.109)
Индуктивный элемент отображает инерционные свойства объекта, поэтому Ек1 — кинетическая энергия. Процесс накопле
206
ния энергии EKi начинается с момента замыкания контактов прерывателя КП и возрастания тока Ii в первичной обмотке. Ток создает магнитное поле, магнитный поток которого Ф =LL Однако увеличению тока, согласно законам электромагнитной индукции, противодействует возникающая при этом ЭДС самоиндукции в этой обмотке = -дФ / dt = -L^dl^ / dt. Поэтому значение /imax
зависит от времени t3K замкнутого состояния контактов прерывателя
t3K = 60s/(nnNi),	(5.110)
где s — скважность — отношение t3K к периоду следования искр; пд — частота вращения коленчатого вала двигателя, об/мин; Nt — число искр за один оборот вала двигателя (для двухтактного двигателя Nt = пц, для четырехтактного —	= пи / 2 , где пц —
количество цилиндров двигателя).
После размыкания контактов прерывателя исчезновение тока Ii приводит к возникновению ЭДС взаимоиндукции Е2 в° вторичной обмотке катушки зажигания. Поскольку последняя представляет собой электромагнитный трансформатор (ЭМТ), то между Е2 и Е^ имеет место следующее соотношение:
Е2 = КЕТ = -KL^Iidt,	(5.111)
где К — коэффициент трансформации катушки зажигания: К = w2 /1^1 ; Wi, w2 — количество витков соответственно первичной и вторичной обмоток.
Из выражения (5.111) следует, что Е2 зависит от скорости снижения тока т.е. от модуля производной dl± / dt . Увеличению dli I препятствует магнитное поле, но способствует ему наличие в цепи конденсатора Ci, способного накапливать потенциальную энергию, поглощая при этом кинетическую энергию индуктивного элемента. После достижения разности потенциалов на электродах свечи зажигания значения напряжения пробоя L7np происходит искровой разряд, и запасенная энергия индуктивного и емкостного элементов вторичной цепи превращается в тепло в сопротивлении R3 искрового промежутка свечи.
В первой фазе, т.е. при замкнутых контактах КП, процессами во вторичной цепи можно пренебречь и рассматривать лишь процесс накопления энергии в индуктивном элементе первичной обмотки катушки зажигания. Динамическая модель и орграф процесса этой фазы представлены на рис. 5.19, а матрица инциденций — в табл. 5.21. Математическая модель процесса:
dI1/dt = (UB1-UA1)/L1;
(5.112)

207
Таблица 5.21
Рис. 5.19. Динамическая модель (а) и орграф (б) системы зажигания при замкнутых контактах
мы является электромагнитное преобразование
Узлы	Ветви	
	tf.l	
1	1	-1
Динамическая модель и орграф для второй фазы показаны на рис. 5.20. Характерной особенностью моделируемой систе-энергии, осущест-
вляемое катушкой зажигания, что отображено в динамической
модели и на орграфе посредством электромагнитного трансформатора ЭМТ. Свойства ЭМТ, выражаемые зависимостью (5.111), существенно отличаются от свойств механических трансформаторов,
поэтому информация о его расположении дается в матрице инциденций (аналогично тому, как это сделано по отношению к гидродинамическому трансформатору в разделе 5.2). Диссипативный
элемент R% подключается после достижения условия С7у2 > J7np ,
т.е. после накопления упругим элементом С2 достаточного потенциала С7у2.
Рис. 5.20. Динамическая модель (а) орграф (б) системы зажигания при разомкнутых контактах
Используя матрицу инциденций, приведенную в табл. 5.22, на основе структурно-матричного метода получаем математическую модель второй и третьей фаз рабочего процесса системы зажигания:
208
/ dt = (UB1 - C7yl -Пд1)/ A;
cZI2 / dt - (E2 - Uy2 - Цд2 - Ццз) / ^2»
dUyl /dt = Ci11}, dUy2 / dt - C2^Z2;
(5.113)
^д1 = Rlh> ид2 = ^2^25
(5.114)
^дЗ ^3 ^2 >
^2 ~	/ ^0-
Таблица 5.22
Узлы	Ветви	1						
	^В1	е2	С1	С2	Л1	Т?2	Из
1	1	0	-1	0	-1	0	0
1 2	0	1	0	-1	0	-1	-1
Пример 5.10. Получить характеристики переходного процесса системы зажигания двигателя автомобиля ВАЗ—2106. Параметры системы: L1 = 10,5  10-3 Гн ; L2 = 46 Гн ; Су = 0,25  10”® Ф ; С2 = 45,5  10-12 Ф ; R, = 6,30м; R2 = 7,75  103 Ом; Я3=1106Ом; C7b1=12B; К = 78,5 .
Для решения поставленной задачи необходимо проинтегрировать уравнения (5.112) и (5.113). На рис. 5.21, а приведены графики изменения тока и ЭД С самоиндукции E~f в первичной обмотке катушки зажигания в первой фазе рабочего процесса, соответствующей замкнутому состоянию контактов прерывателя. После замыкания контактов нарастание тока происходит по экспоненте, а его максимальное значение зависит от времени замкнутого состояния t3K, определяемого выражением (5.110). При моделировании принята частота вращения коленчатого вала двигателя ид =4200 об/мин, скважность s = 0,7, тогда t3K = 0,005 с. Графики изменения индуктируемой ЭДС во вторичной обмотке Е2 после размыкания контактов и накапливаемого потенциала емкостным элементом вторичной электроцепи Uy2 показаны на рис. 5.21, б. В момент времени tnp напряжение иу2 превышает напряжение пробоя искрового промежутка Unp, происходит искровой разряд и выделение накопленной энергии, в результате ЭДС Е2 резко падает.
При моделировании электрических машин (двигателей, генераторов) используют идеализированную модель, называемую обобщенной электрической машиной. В теории электрических машин доказано, что любая многофазная машина с n-фазной обмоткой статора и m-фазной обмоткой ротора при условии равенства полных сопротивлений фаз статора (ротора) в динамике может быть представлена двухфазной моделью [35, 36]. На рис. 5.22, а показана схема обобщенной электрической машины, а на рис. 5.22, в — соответствующая ей схема электромеханического преобразователя (ЭМП). Вводятся две системы ортогональных
209
координат: координаты а, р связаны с непод-
вижным статором, а координаты d, q — с вращающимся ротором. Угол поворота фэл осей d, q относительно осей а, Р называют элек-
Рис. 5.21. Графики переходного процесса системы зажигания двигателя: а — при замкнутых контактах;
б — после размыкания контактов
трическим углом поворота ротора. Вдоль каждой из этих осей расположены соответствующие обмотки статора и ротора двухфазной модели. Электромагнитные процессы в цепях этих обмоток описываются уравнениями динамического равновесия потенциалов d^; /dt = Uj-Rjl;,
1 '	J j г
j = 1,4,	(5.115)
где ЧЛ — потокосцеп-ление у-й обмотки; Uj — напряжение;
R; — активное сопротивление обмотки;
I] — ток в обмотке.
Индекс j принимает значения let, 1р, 2d, 2q .
Потокосцепление каждой обмотки определяется результирующим действием токов всех обмоток:
^у =^у/у + ££уЛ> k*j9	(5.116)
k=l
где Ljj — собственная индуктивность у-й обмотки; Ljk — взаим-J J	11
ная индуктивность между у-й и &-й обмотками (индекс k принимает те же значения, что и у).
Для симметричной неявнополюсной машины Ljj не зависит от положения ротора, т.е. Ьц = const. Взаимные индуктивности 9 9
между обмотками статора LloCjip; Lipla и ротора L2d2q\ L2q^2d равны нулю, т.к. магнитные оси этих обмоток в обобщенной машине сдвинуты на угол л/2.
210
Рис. 5.22. Модели обобщенной двухфазной электрической машины (а) и (б) и схема электромеханического преобразователя (в)
Взаимные индуктивности обмоток статора и ротора проходят полный цикл изменений при повороте осей d, q на угол <рэл = 2п, поэтому с учетом принятых на рис. 5.22, а направлений т