/
Текст
МАТЕМАТИКА
В ШКОЛЕ
6
1940
УЧПЕДГИЗ НАРКОМПРОСА РСФСР-МОСКВА
СОДЕРЖАНИЕ
плз чво-иопз’ллрпый отдел
Проф. В. С. Федоров—Функция............................. 1
С. Новоселов — Понятие функции и геометрические интерпретации 3
Проф. В. С. Федоров — Бесконечно малые, бесконечно большие
величины и пределы................................ 10
В. Севбо — Фигурные числа и арифметические ряды высших по-
рЯД«Л1,.......................................... 16
ИВ ИСТОРИИ АЗ^ТЕИЛТПВИ
Проф. И. Я. Депман — Недавно найденное сочинение Архимеда 27
Н. Шоластер — О числах внтд: W/t — 1 . .'50
ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНИЯ ГЕО.ЧЕТРПИ
Проф. Al С. Кованько — О видоизменении некоторых выводов,
касающихся теории объемов фигур ... 31
А. Фетисов — Геометрические преобразования 33
В. Падучев — Вписанный и описанный шар 17
КВАДРАТНЫЕ 3F ЕВНКНИЯ В СРЕДНТ.Ц ШКОЛЕ
П. Рыбаков— Графическое решение квадратных уравнений при
помощи окружности.................................. ... 12
А. Морев — О квадратных уравнениях и квадратных корнях 11
И. Смирнов — К методике решения задач на составление уравнений ;5
М. Мельников — Составление квадратных уравнении г.о условиям
задачи........................................... 46
। И. Гайлевичус — Наглядность при преподавании математики ... 51
из ОПЫТА
Н. Кувыркни — Школьная математическая предметная комиссия 52
1 Г. Ленгауэр — Зал математических развлечений в Доме заниматель-
ной науки............... ................. .
Б. Левитан — О преподавании десятичных дробей..............Ij
ЗА ГРАНИЦЕЙ
Проф. И. Я. Депман — Иоганнес Тропфке . . . . . . 62
Проф. И. Я. Депман — Новым математический журнал . 63
i КРИТИКА И ПИЁЛПОГРАФИЯ
Лроф. М. К. Гребенча—О книге Кузьмина и Фадеева «Алгебра
и арифметика комплексных чисел» ...................... 64
I С. Новоселов — Обзор новых книг ... ............ . 65
за цл 5И
I Решения задач, помешенных в № 3 1940 г. . . . 67
(Задачи для учащихся................ .............. . . 78
Задачи................................................. 78
{Указатель статей, помещенных в журнале «Математика в школе»
за 1940 г. . . ... . . .............79
Сводка по № 3 1940 i ......... ........3 стр. обл.
Зав. редакцией М. М. Гуревич
АЗ >1. Сданб в производство 10/Х 1940 г. Формат 70X1^» Учгиз. 1
Подп .'ио к не» 1 J'XI 1940 г. 5 п. л. 10.38 уч.-ичп. л. В п. л. 94 О J зи. Тир. 44.500. ’• * 1411
18-я тш . треста П а г йквига», Москва, LLI кий. лер., 10.
Пролетарии всех стран, соединяйтесь!
МАТЕМАТИКА
ШКОЛЕ —
МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
(В
1940
НОЯБРЬ -ДЕКАБРЬ
ГОД ИЗДАНИЯ СЕДЬМОЙ
ФУНКЦИЯ
Проф. Л- С. ФЕДОРОВ (Иеаирво)
***> *».
V/W',
этой заметке я хочу обратить
внимание на то, что исследования
самых ipocTHx задач элементар-
ной геометрии приводят чрезвы-
чайно просто и естественно к понятиям
переменной величины, промежутка ее из-
менения и функции (и не только непре-
рывной, но и разрывной).
1. Рассмотрим сперва один пример: пусть
требуется построить прямоугольный тре-
угольник АСВ, имеющий данный отрезок
АВ сзоей гипотенузой. Ясно, что имеется
бесконечное множество различных тре-
угольников АСВ *
Обозначим для всякого такого тре-
угольника АСВ длину гипотенузы АВ че-
рез а, катета АС — через X, катета СВ —
через у и высоте» AD — через г. В силу
условий задачи величина а имеет одно и
тоже значение для всех треугольников
АСВ, каждая же из величин х и у мо-
жет принимать бесконечное множество
различи ы'х. значений (если рассматри-
вать все треугольники АСВ данной задачи):
Черт. 1
> южет принимать всякое такое значе-
е, которое ^>0, но<^с, т. е. х может
ляться любому числу, удовлетворяю-
щему неравенствам: 0<^jc<Co. (1)
Равенство х = 0 невозможно, хотя х и
может принимать сколь угодно малые зна-
ченияг^>0, а также х может принимать
значения, как угодно близкие к а, но
невозможно равенство: х — а.
Величины у и z могут принимать все
такие значения, которые удовлетворяют
неравенствам:
0<J<a, (2)
0<-г^4
(очевидно, что z=— в случае x=j),
причем знаки неравенства нельзя заме-
нить знаками^. Значения величин х, у
и z, соответствующие одному и тому же
треугольнику АСВ, назовем соответствую-
щими друг другу и сделаем вывод:
1. В силу условий нашей задачи («по-
строить треугольник АСВ при одном усло-
вии: задана гипотенуза АВ») каждая из
величин х, у и z может принимать бес-
конечное множество различных значений.
Такие величины называем переменными
в данной задаче. Итак, X, у и г — пере-
менные, причем, как говорят, х изме-
няется в промежутке (1), у- — в проме-
жутке (2), z— в промежутке (3). Величина
а — постоянная в данной задаче, т. е.
имеет одно определенное значение.
2. Каждому значению х в промежутке (1)
соответствует одно определенное значение
у (а также z), так как при заданном зна-
чении х получаем задачу о построении
прямоугольного треугольника АСВ с дан-
ной гипотенузой и с данным катетом АС.
Вспомним определение функции: величина
у называется в данной задаче функцией
(однозначной) от х, определенной в неко-
тором промежутке изменения х, если каж-
дому значению х в этом промежутке соот-
ветствует одно определенное значение ве-
личины у. При этом у принимает на всем
промежутке изменения переменной или
бесконечное множество различных значе-
ний (как в задаче с треугольниками АС В),
или же только конечное число различных
значений. Понимая под функцией всегда
однозначную функцию, если нет оговорок,
получим, что в задаче с треугольниками
АСВ величины у и z суть функции от х,
определенные в промежутке (1).
2. Приведем теперь простой пример та-
кой функции от х, которая определена
для всевозможных действительных значений
переменной х и принимает конечное
число различных значений, и построим
график этой функции. Возгмем на плос-
кости луч ОА и два прямолинейных от-
резка: СВ и СО, а также рассмотрим
подвижной луч OL, который может иметь
всевозможные направления на этой плос-
кости (черт. 2).
Обозначим через х величину (в радиа-
нах) угла, образованного подвижным лу-
чем OL с неподвижным лучем ОА.
Через у обозначим число точек пересе-
чения луча OL с неподвижными отрезками
СВ и CD. Ясно, что х может принимать
О а ₽
I
1
1
i----------
271
Черт. 3
всевозможные действительные значения; у
может принимать только три значения:
0,1 и 2, причем у есть функция от х,
определенная для всех значений х. По-
строим график этой функции, обозначив
2
через а величину (в радианах) угла ВОС
и через р— величину в радианах угла
DOC. Получим чертеж 3 (прямоугольная
система координат) или чертеж 4 (поляр-
ная система координат: х—угол, у —
длина радиуса вектора).
График данной функции на чертеже
3 — типичный график «разрывной сту-
пенчатой функции» и притом периодиче-
ской с периодом 2л: для х = 0 имеем
_у=1 (точка а черт. 3); для 0<^х^а
имеем у = 2; для а<^х=^$ получим
_у==1; для р<^х<^2л получим у — 0
и для X = 2л имеем у =1 (точка b черт. 3).
Для каждого значения х величина у
получает одно, строго определенное зна-
чение. График этой же функции на
чертеже 4 состоит: из точки М(х=0,
у = 1 —мы ограничиваемся, конечно, про-
межутком 0 ^№£21:); из дуги NP, ли-
шенной точки Л/, с радиусом ON — 2;
из дуги QT, лишенной точки Q, с радиу-
сом OQ = 1, и из точки 0(р<^х<^2л,
j = 0).
3. Легко привести примеры нескольких
независимых переменных и функций от
таких переменных, исследуя известные за-
дачи элементарной геометрии, например,
задачу о построении треугольника АСВ
по одной его заданной стороне АВ, дли-
ну которой обозначим а, и двум приле-
жащим к этой стороне углам, размеры
которых (в радиа-
нах) обозначим аир
(черт. 5).
Рассматривая все- /
возможные треуголь- $/
ники АСВ с одной —д-----&
и той же заданной
стороной АВ, полу- Черт. 5
чим, очевидно, что
а—постоянная величина, а и р—перемен-
ные для этого семейства треугольников АСВ,
причем эти переменные изменяются в про-
межутках: 0<а<л, 0<Р<я. (4)
Совершенно ясно, что при заданном
значении величины а, которое обозначим,
например, ш, величина р может принимать
все значения в промежутке О Р < л -— тп
(и, наоборот, при p = .7z величина а из-
меняется в промежутке О<^а<^л — /я).
Называем в подобных случаях величины
а иРнезависимыми переменными
(это означает, что при всяком заданном
значении одной из них другая может
изменяться в одном или в несколь-
ких промежутках).
Рассматривая а и Р как прямоугольные
координаты точек некоторой плоскости,
мь' назовем точку (а, р),т. е. точку с аб-
сциссой а и с ординатой Р, допустимой
точкой, если существует треугольник АСВ
с такими углами аир. Легко видеть,
что все допустимые точки заполняют вну-
тренность прямоугольного треугольника
KOZ, каждый катет
Черт. 6
которого равен я
(черт. 6).
В самом деле, по-
лагая а — т, где
О т л, мы по-
лучим внутри тре-
угольника KOZ так-
же точки с этой абс-
циссой т, для которых р (т. е. ор-
дината) изменяется в промежутке
0<^Р<^тг — т, и задавая 3 =/п, получим
точки, для которых а изменяется в
промежутке О а л —т.
Внутренность треугольника KOZ и бу-
дет областью изменения незави-
симых переменных а и р.
Каждой точке этой области соответ-
ствуют определенные значения углоь. а и
Р для некоторого треугольника АСВ,
а потому, называя, например, через х
длину стороны АС, получим, что вели-
чина х, как имеющая одно определен-
ное значение для каждой точки внутри
треугольника KOZ, есть функция от не-
зависимых переменных аир, определен-
ная во всей области изменения этих пе-
ременных.
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ИНТЕРПРЕТАЦИИ
С. НОВОСЕЛОВ (ЛГосмва)
аг~ ' основе понятия функции лежит
[ R I идея соответствия. Для уяснения
_____J этой идеи обратимся к простей-
шим примерам.
1°. Пусть х есть число, выражающее
длину некоторого отрезка. В силу самого
условия х есть число положительное. Рас-
смотрим квадрат Q, построенный на этом
отрезке. Мы можем сказать, что всякому
положительному числу х соответствует
другое число х2, выражающее площадь
квадрата Q.
. 2°. Пусть во время некоторого физичес-
кого опыта температура окружающей среды
колеблется в пределах от —10° до —J—20°.
Каждому значению температуры t, взятому
в этом промежутке, —10^t=^20 соответ-
ствует вполне определенная длина данного
стержня.
3°. Пусть х есть радианная мера неко-
торого угла, х может быть любым дей-
ствительным числом. Каждому числу х
соответствует значение тригонометричес-
кого выражения:
sin3x cos'2 х,
это значение есть число 1 — одно и то
же, каким бы ни было х.
4е. Количеству купленного товара соот-
ветствует уплаченная сумма денег.
Подобного рода примеров различной сте-
пени трудности можно привести сколько
угодно. При помощи этих примеров мы
разъяснили понятие соответствия.
Следующим весьма существенным поня-
тием является понятие числового множе-
ства. Обратимся снова к приведенным выше
примерам. В примере 1° длина отрезка есть
положительное число, поэтому множество
всех допустимых значений х есть множе-
ство всех положительных чисел. В примере
2°, в силу самого условия, для числа t,
измеряющего температуру, возможным яв-
ляется любое значение, заключенное меж-
ду числами—10 и 20. Значит, множество
всех допустимых значений 1 есть множество
всех действительных чисел, удовлетворяю-
щих неравенствам:
—10 ===/«£ 20.
В примере 3° для х возможно любое дей-
ствительное значение. Значит множество
всех допустимых значений х есть множе-
ство всех действительных чисел.
Подмечая то общее, что имеется в рас-
смотренных нами различных примерах, аб-
страгируясь от конкретного содержания
каждого из этих примеров, мы сформули-
руем следующее определение:
Если даЬо некоторое множество дей-
ствительных чисел и если каждому числу
х этого множества поставлено в соответ-
ствие определенное число у, то мы скажем,
что у есть функция х. Эго записывается
так:
J =/(*)•
Так, в приведенных выше примерах пло-
щадь квадрата есть функция длины его
стороны; во втором примере длина стерж-
ня (в течение данного опыта) есть функция
температуры t\ в третьем примере значение
тригонометрического выражения sin2 х -ф-
-j-cos2x есть функция радианной меры
угла х.
Иногда приходится слышать возражения
против такого способа введения понятия
функции; эти возражения сводятся к тому,
что дать определение понятиям мно-
жества и соответствия в средней школе
не представляется возможным. Эти возра-
жения не имеют под собой серьезного ос-
нования, ибо понятия множества и соответ-
ствия являются в математике, по крайней
мере, на сегодняшний день, первона-
чальными понятиями, не поддающи-
мися определению через другие, более
простые понятия. Так, например, можно
было бы сказать, что множество есть сово-
купность элементов, собрание элементов,
коллекция элементоз и т. д., но все это есть
лишь замена одного слова другим, ни в
коей мере не дающая определения поня-
тия множества. Самое большое, что можно
сделать, это разъяснить понятия множества
и соответствия на ряде конкретных при-
меров. Эту, именно, цель и преследовали
приведенные выше примеры. Мы не сом-
неваемся, что примеры, поясняющие идеи
множества и соответствия, могут быть при
умелом подборе вполне доступны учащим-
ся средней школы (речь идет об учащихся
старших, т. е. VIII — X классов).
Возвратимся к понятию функции. Из
приведенного выше определения видно, что
функция определяется заданием
1°. Множества чисел, назовем это мно-
жество множеством значений аргумента;
2°. Закона соответствия, по которому вся-
кому числу этого множества ставится в
соответствие значение функции.
Всякое число, принадлежащее заданному
числовому множеству, будем'называть зна-
чением аргумента.
Множество значений аргумента и закон
соответствия, определяющие функцию, мо-
гут быть весьма разнообразны. Здесь
имеется большой выбор примеров как весьма
элементарных, так и сравнительно не элемен-
тарных. Взятые в надлежащей последова-
тельности эти примеры должны оконча-
тельно уяснить учащимся понятие функции.
Приведем в качестве образца несколько
примеров.
1. Пусть х — положительное число; по-
ставим ему в соответствие объем шара ра-
диуса х. Здесь множество значений аргу-
4
меита есть множество всех положительных
чисел, а закон соответствия выражается
известной формулой:
4 з
V = — КХ6
о
2. Тело падало с некоторой высоты в
течение 10 секунд с момента начала опыта.
Каждому моменту времени t в пределах
10 секунд падения соответствует прой-
денный путь. Множество значений аргу-
мента есть множество всех действительных
чисел, удовлетворяющих неравенствам,
0==s/sgl0, а закон соответствия выра-
жается известной формулой механики:
Т'
3. Пусть л- — любое действительное чис-
ло; если х рационально, то поставим ему
в соответствие число 1, а если х ирраци-
онально— то число 0. Функция, определен-
ная этим законом соответствия на мно-
жестве всех действительных чисел, назы-
вается функцией Дирихле.
4. Пусть п—любое натуральное число,
составим произведение всех натуральных
чисел от 1 до п: 1.2. 3... и. Таким образом,
каждому натуральному п соответствует зна-
чение этого произведения. Мы получили
функцию, определенную на множестве всех
натуральных чисел: для ее обозначения,
как известно, употребляется символ п!.
5. Пусть х любое действительное число.
Возьмем наибольшее целое число у, не
превосходящее х.
Так, если х — 1,5, то у = 1;
9
если х = ~, то у —2;
4
если х = 3, то у = 3;
еслих = —1,2, то_у = — 2;
если х~ ]/~ 5, то у, = 2;
—
если х— — у 40, то у = — 4
и т. д.
Проще будем называть у целой частью
X. Итак, каждому действительному числу
соответствует его целая часть, и мы имеем
функцию, для которой множество значений
аргумента есть множество всех действитель-
ных чисел.
6. Пусть г=^=0 есть любое рациональ-
ное число. Это число можно единственным
образом представить в виде несократимой
дроби:
р
г= —, где о — целое положительное чис-
Ч
ло, а р целое (положительное или отри-
цательное) число. Всякому рациональному,
отличному от нуля, числу г поставим в
соответствие знаменатель q. Мы получим
функцию, для которой множество значений
аргумента есть множество всех рациональ-
ных чисел отличных от нуля.
2
Так, если г — , то q = 3;
о л 2
если г= — 0,4 = .----—, то 9 = 5;
5
если г—7, то 9=1
и т. д.
Наиболее хорошо изученными операци-
ями являются действия, рассматриваемые
в элементарной математике, поэтому вполне
естественно стремление на практике — в
физике, в технике и в естествознании — вы-
ражать законы соответствия, хотя бы приб-
лиженно, при помощи формул, содержа-
щих операции, изучаемые в элементарной
математике. Но необходимо предостеречь
учащихся от ошибки, в которую легко
впасть. Эта ошибка имеет источником то,
что иногда при изучении функции ограни-
чиваются лишь такими функциями, для ко-
торых закон соответствия задается форму-
лой; например, ограничиваются рассмотре-
нием функций:
х2, sin х, а\ — и т. д.
х
Это может навести учащихся на неправиль-
ную мысль, что функция есть соотноше-
ние, задаваемое непременно при помощи
формулы. Дело в том, что когда мы
говорим о законе соответствия, дающем
возможность по значению аргумента опре-
делять значение функции, то вовсе не обя-
зательно, чтобы этот закон выражался при
помощи формулы, содержащей действия
элементарной математики. В математичес-
ком анализе известны такие функции, ко-
торые не выражаются в элементарных функ-
циях. С этой целью в приведенных выше
примерах функций мы и рассмотрели такие
функции как функция Дирихле или как
целая часть действительного числа. В этих
примерах мы дали описание закона со-
ответствия, но совершенно не интере-
совались тем, может ли этот закон
соответствия быть выражен при помощи
формулы или нет. Такого рода примеры
необходимо приводить учащимся. Наконец,
мы считаем полезным давать примеры функ-
ций, выраженных разными формулами в
различных промежутках. Например, можно
определить функцию f (х) на множестве
всех действительных чисел следующим за-
коном соответствия:
если х отрицательно, то f(x) = х;
если х положительно, то /(х)=х2;
если х = 0 го / (х) = 0.
Чтобы избежать впечатления искусствен-
ности, можно рассмотреть хотя бы такой
пример.
В сосуд объемом 3 л льется вода в тече-
ние 10 минут со скоростью 1л в минуту.
Каждому моменту времени t, где 0sg;/sg;10
соответствует ооърм v жидкости, находя-
щейся в сосуде, поэтому v есть функция t.
В течение первых трех минут закон соответ-
ствия может быть задан формулой прямой
пропорциональности: v = t, но по истече-
нии трех минут сосуд окажется наполнен-
ным, вода будет вытекать в том же коли-
честве, в котором она втекает, и объем
жидкости в сосуде будет оставаться неиз-
менным. Значит, закон соответствия меж-
ду v и t таков;
__ft (если Qt3)
V 13 (если 3<<=s:10).
Мы получим функцию, заданную разными
формулами в разных промежутках. Рассмот-
рим еще пример. Всякому действительному
числу х соответствует его абсолютная ве-
личина |х|; значит, |х| есть функция х,
определенная на множестве всех действи-
тельных чисел:
если х > 0, то |х| = х;
если х < 0, то |х| = —х.
Говоря о функции, мы подчеркнули,
что функция определяется заданием мно-
жества значений аргумента и законом со-
ответствия. Функции с одинаковым зако-
ном соответствия, но с различными мно-
жествами значений аргумента следует рас-
сматривать как различные. Пусть, напри-
мер, /(х)= х2 есть функция, заданная на
множестве всех действительных чисел (х —
любо§ действительное число) и пусть
<р (%) = х2 есть функция, заданная на мно-
жестве всех рациональных чисел (х—лю-
бое рациональное число). Хотя для на-
хождения значения функции в обоих слу-
чаях надо возвести значение аргумента
в квадрат, однако эти функции разли-
чны, ибо различны их множества значе-
ний аргумента. Так, например, /()/3) =
= 3, a не определена никак.
Для наглядного геометрического изобра-
жения закона соответствия функции обще-
известным способом является построение
графика. Мы остановимся сначала на дру-
гом способе. Возьмем две параллельные
числовые прямые на некотором расстоянии
fW
Черт. 1
будем соединять
друг от друга
(черт.1). На верх-
ней прямой будем
точками изобра-
жать значения ар-
гумента, на ниж-
ней — значения
функции; далее,
ами значения ар-
гумента с соответствующими значениями
функции. Таким образом, мы получим на-
глядное геометрическое изображение зако-
на соответствия данной функции. Разу-
меется, что в случае, когда множество
значений аргумента бесконечно, мы вынуж-
дены ограничиться лишь конечным числом
стрелок, взяв их в должном количестве,
чтобы получить ясную прибл! женную кар-
тину закона соответствия данной функции.
Приведем несколько примеров.
Черт. 2.
5. Рассмотрим функцию, определенную
на множестве всех действительных чисел
Черт. 4
отличных от нуля, при помощи за-
кона соответствия /(х) ~ Й. Как легко
видеть, при любом х>0 имеем /(х) = 1,
если же х<^0, то f(x) =—1. Значит,
любая стрелка, исходящая из точки, ле-
жащей правее начала координат, должна
окончиться в точке 1, а любая стрелка,
исходящая из точки, лежащей левее точ-
ки 0, должна окончиться в точке 1
(черт. 6). Из точки 0 не выходит ни одной
стрелки.
6. Пусть f(x) есть целая часть X; эта
функция была уже рассмотрена нами выше.
Если о х 1, то f(x) — 0, и все стрелки
1. На чертеже 2 дано изображение за-
кона соответствия для функции 2х, задан-
ной на множестве всех действительных
чисел.
2. На чертеже 3 для функции —х, за-
данной на том же множестве.
3. Рассмотрим функцию |х| на множест-
ве всех действительных чисел. Стрелки,
исходящие из точек х и —х, сойдутся в
одну точку, ибо значение функции в этих
точках одно и то же (черт. 4).
4. Если функция постоянна, т. е. каж-
дому значению аргумента соответствует
одно и то же число — значение функции,
то на чертеже все стрелки сходятся в одну
точку, изображающую это число (черт. 5).
6
сходятся в одну точку 0. Если 1 гСХ<^2,
то /(х) = 1, и все стрелки сходятся в’ одну
точку 1. Если — 1 ^х 0, то f(x) = —1,
и все стрелки сходятся в одну точку —1
и так далее (черт. 7).
Черт. 7
Описанный способ геометрической интер-
претации закона соответствия оказывается
весьма удобным при исследовании обратных
функций. Мы не считаем целесообразным
вводить в элементарную математику поня-
тие «многозначной функции». Это поня-
тие, совершенно чуждое теории функций
действительного аргумента, способно, по
нашему мнению, внести только путаницу
в элементарную математику. Если двум
различным значениям аргумента соответ-
ствуют всег ха два различные значения
функции, иначе говоря, равенство /(хг) =
— Яы возможно лишь при условии х, = х2,
то роли множества значений аргумента и
множества значений функций можно об-
ратить. Именно, если значению аргу-
мента х соответствует число у, y=f(x),
то теперь обратно числу у поставим в со-
ответствие х. Таким образом, мы прихо-
дим к понятию обратной функции. Обра-
тимся к описанной выше геометрической
интерпретации закона соответствия функ-
ции. Предположим, что в каждой точке
нижней прямой может оканчиваться не
более одной стрелки; переход к об-
ратной функции геометрически означает,
что мы меняем направления стрелок; те-
перь стрелки будут начинаться в точках
нижией прямой и оканчиваться в точках
верхней прямой (черт. 8).
Приведем простой пример. Рассмотрим
функцию у = х2, определенную на мно-
Черт 8.
жестве всех действительных чисел. Если
х=^0, то числа х и —х различны, но
х2 и (—х2) равны одному и тому же числу
у — х2, поэтому в любой точке у^>0
оканчиваются две стрелки, и переход к об-
ратной функции, с принятой нами точки
зрения, невозможен (черт. 9). Следо-
вательно, функция у = х2, определенная
на множестве всех действительных чисел,
не имеет обратной функции. Рассмот-
рим теперь функцию у = х2, определен-
ную на множестве всех неотрицатель-
ных чисел, х > О, всякое неотрицатель-
ное число у, является квадратом
одного единственного неотрицательного
числа х = ]/у. Функция ]/у и есть ис-
комая обратная функция. Обратимся к чер-
тежу 10. Мы видим, что теперь в каждой
точке у 0 оканчивается одна единственная
стрелка, ибо стрелки, исходившие из точек
отрицательной части верхней прямой, те-
перь отпали, а потому и сделается возмож-
ным переход к обрьгной функции. Анало-
гично, для функции у—х2, заданной на
множестве всех неположительных чисел,
х=^0, обратной функцией является фун-
кция х — — ^У (черт. 11).
Теперь остановимся на другой геометри-
ческой интерпретации закона соответствия
функции. Мы имеем в виду построение
графиков. Что такое график — является
общеизвестным, и мы не будем на этом
останавливаться. В стабильных учебниках
Черт. 11
алгебры и тригонометрии рассматриваются
графики таких простейших функций, как:
ах2-}- bx-}-c, ах, 1gх, sinx, cosx,
arc sin x и т. д.
Кроме этих простейших графиков, мы счи-
таем целесообразным знакомить учащихся
с графиками простейших разрывных функ-
ций, а также с графиками функций, за-
данных в различных промежутках разными
формулами. Ниже, в качестве образца,
мы приводим несколько простых примеров.
1. Функция |х( изображается двумя по-
лупрямыми — биссектрисами координатного
угла, образующими угол -в начале коор-
динат (черт. 12).
2. На чертеже 13 изображен график
функции, определенной законом соответ-
ствия:
( д:2 если (х>0),
Лх) —х (если (х 0).
3. Построим график функции, опреде-
ленной на множестве всех действительных
чисел, отличных от нуля законом соот-
ветствия:
Этот закон соответствия может быть за-
писан также в виде:
—1 (если х<0),
1 (если х>0).
Отсюда становится ясным, что график состо-
ит из двух полупрямых, изображенных на
Черт. 14
чертеже 14, при этом точка Она графике
не соответствует никакой точке.
4. Рассмотрим функцию, определенную
законом соответствия:
Лх) =
х2 (если x=J=0)
1 («ели х = 0).
Графиком этой функции является парабола
с вынутой «вершиной» и «поднятой» вверх
на расстояние рапное 1 (черт. 15).
Подобного рода примеров можно при-
вести весьма большое количество.
Теперь мы скажем несколько слов о функ-
циях, заданных формулой, и о построе-
нии их графиков. Возьмем какое-нибудь
математическое выражение, Ф(х). При под-
становке вместо х не-
которого действи-
тельного числа воз-
можно, что:
1°. Данное выра-
жение получит не-
которое действи-
тельное значение;
2.° Данное выра-
жение получит ком-
плексное значение;
3°. Данное выра-
жение потеряет смысл.
Так, например, выражение 1—X при
х = 3 получает значение —2. Выражение
1 — х2 при х = 5 имеет комплексное
1
1 —х
значение, выражение
не имеет
смысла при х — —1. Выражение lg10JC не
имеет смысла при х = —1.
Если дано соотношение у = Ф (х), где Ф(х)
есть некоторое математическое выражение
(например у — илиУ — arc s’n 2--)> ПРИ"
чем не указано, на каком множестве зна-
чений х это соотношение задается, то ус-
ловились рассматривать у как функцию х,
определенную на том множестве значений
х, при которых данное математическое вы-
ражение имеет действительные значения.
. Нахождение этого множества называется
установлением области опреде-
ления функции, заданной формулой
3>==Ф(х). При построении графика функ-
ции заданной формулой необходимо преж-
де всего установить область ее определе-
ния, а затем, исходя из свойств данной
функции, сделать набросок кривой. Этот
набросок может уточняться, в случае не-
обходимости, нахождением отдельных то-
чек, лежащих на кривой. Мы подчерки-
ваем, что в основу построения графиков
следует положить не построение кривой
«по точкам», а исследование свойств дан-
ной функции. В самом деле, кривая со-
держит бесчисленное множество точек,
поэтому выполнить фактически построение
их всех не представляется возможным, и,
если не учесть свойства и особенности
данной функции, то можно впасть в гру-
бую ошибку. Ниже ми приводим несколько
простых примеров на построение графи-
ков функций, заданных формулой.
1___х2
1. Функция V =--------- имеет действи-
1-|- х2
тельные значения при всех действительных
значениях х. Разделив числитель на зна-
менатель, получим:
Дробь -------- положительна при всех
1 -f-x2
значениях х, и наибольшее возможное ее
значение есть 1, которое она получает
в точке х —0. Значит, наибольшее зна-
чение у есть у = 1 (при х = 0). Так как
при положительных значениях х дробь
—----- убывает, и Ит -------= 0, то при
1-|-х2 х->со1-|-х2
Х>и данная функция также убывает и
limj =—1.
Х-> со
Так как при изменении знака х значе-
ние у не меняется, то кривая симметрична
относительно оси ординат. Заметим, что
кривая пересекает ось абсцисс в точках 4-1.
Для уточнения графика можно вычислить
значения у при некоторых частных значе-
/ 1 \
ниях х I например, х = —, х = 2 ит. д.1.
График рассмотренной функции изображен
на чертеже 16.
2. Рассмотрим функцию у = 1g sin х.
Выражение, находящееся в правой части,
только тогда имеет смысл, если выражение,
находящееся под знаком логарифма, т. е.
sin х, положительно. В промежутке (0, 2л)
имеем sin х> О, если 0<sinx<jt. Огра-
ничимся пока промежутком (0, 2л). Так как
0<lsinx<^l в промежутке (0, л), то
lg(sinx)^0. Наибольшее значение дан-
ной функции есть у = 0 в точке х = — .
2
( тс \ ,
В промежутке ( 0, — | функция sin х воз-
растает от 0 до 1, значит, lg (sin х) воз-
растает от как угодно больших по абсо-
лютной величине отрицательных значений
до нуля. В промежутке , л^ функция
sinx убывает от 1 до 0, значит, lg (sin х)
убывает от нуля до как угодно больших
по абсолютной величине отрицательных
значений. Промежуток (л, 2л) не принад-
лежит области определения функции. При-
нимая во внимание, что sinx есть перио-
дическая функция с периодом 2л, приходим
к заключению, что функция lgsin х опре-
делена в промежутках
.... (—2л,— л), (0, л), (2л, Зл),
(4л, 5л),...
и не определена в промежутках
.... (—л, 0), (л, 2 л), (Зл, 4л), ...
График данной функции изображен на
чертеже 17.
3. Функция 1g х2 определена на множест-
ве всех действительных чисел, отличных
от нуля; функция 2 Igx определена на
множестве всех положительных чисел, по-
этому неверно утверждение, что эти две
функции тождественны. Равенство lgx2 =
= 2Igx имеет место лишь при положи-
тельных значениях х. Графики функций
Igx2 и 2Igx изображены на чертеже 18.
‘'Оз'’——че&у»
Математика в школе, № б
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ, БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ВЕЛИЧИНЫ
И ПРЕДЕЛЫ
Проф. С. ФЕДОРОВ (Иваново)
------«1 а обычно задаваемый вопрос: что
J-J 1 же такое бесконечно малые и бес-
v. конечно большие величины? нель-
зя дать одного общего ответа,
годного для всех случаев и в то же время
достаточно точного. Приходится (как и при
объяснении символов бесконечности) по-
степенно излагать истинный смысл тех ти-
пических определений, рассуждений и фор-
мул, в которых говорится о бесконечно
малых и бесконечно больших. Здесь мы
ограничимся изложением самых необходи-
мых (для начального курса математического
анализа) определений и рассуждений. Пер-
вые задачи на нахождение пределов и на
бесконечно малые и бесконечно большие
величины основаны на следующих ниже
определениях.
I. Пусть функция /(х) обладает тем
свойством, что ее абсолютная величина
^ожет быть сделана как угодно малой для
всех значений переменной х, достаточно
близких к некоторому числу а и притом
меньших этого числа. Это свойство
/(х) выражаем такими словами: /(х) есть
бесконечно малая величина при
условии, что х стремится (неограниченно
приближается) к числу а слева. (Заме-
тим, что рассматриваются здесь и далее
только однозначные функции.)
Поясним данное определение простым
примером. Пусть х и у— переменные ка-
теты прямоугольного треугольника с по-
стоянной гипотенузой а, причем мы рас-
сматриваем всевозможные прямоуголь-
ные треугольники с такой гипотенузой,
так что х изменяется в промежутке
0<^х<^с, т. е. может равняться любому
Черт. 1
положительному числу, которое <^д, но
не может иметь значений ^а. Ясно, что
у = функции от х, определенной на всем
промежутке изменения х, т. е. имеющей
одно определенное значение (конечное) для
каждого значения х его промежутка изме-
нение. Очевидно также, что у может по-
лучить сколь угодно малые значения, если
х принимает значения, достаточно
10 -
близкие к числу а. Это свойство
переменной у и выражаем такими словами:
у есть бесконечно малая величина при
условии, что х неограниченно приближает-
ся к числу а (оставаясь, конечно, всегда
меньше числа а, иначе говоря, прибли-
жаясь неограниченно к числу а слева).
Свойство функции быть бесконечно ма-
лой, когда х стремится к числу а слева,
выражаем формулой:
/(х)-»0 при X->G(X<c), (1)
где знак -> заменяет слова «стремится к»
или «неограниченно приближается к». За-
метим, что пишут также вместо х-»с,
(х<а) такую символическую формулу:
х-*с — 0. Функция /(х) предполагается
определенной во всяком случае в проме-
жутке р < х а, где р — какое-нибудь
число < а. _____
Пример: |/sinx->0 при х->я(х<^л),
причем значения переменного х берем в
промежутке 0 < X < я. Указанное форму-
лой (1) свойство функции/(х) можно под-
робнее изложить так:
1) найдется в промежутке р<^х<^а
такое число хр что для всех значений х
в промежутке х1<^.х<^а получим нера-
венство:
|/(х)|<0,1. (2)
2) Найдется далее в промежутке
xt<^x<^a такое число х2, что для всех
значений х в промежутке х2 < х < о бу-
дем иметь:
1/(*)|<0,01 (3)
и т. д. без конца (переходим от 0,01 к
0,001, 0,0001, ..,) Вообще, если за-
дать как угодно малое положительное чис-
ло е, то всегда найдется в промежутке
р<^х<^с такое число х(е) (зависящее
от е), что для всех значений х в проме-
жутке x(e)<Zx<^a будем иметь:
|/(*)1<е- (4)
Ъ1 г____
Так, например, если /(х) — V а—х, где
п — целый положительный, то для всякого
е 0 получим неравенство (4) для 0 < с —
— х е4п, т. е. для всех значений х в про-
межутке а — е2п<^х <а. Следовательно,
в этом примере можно брать х(е) — а — е2'1.
Итак, V а — х-^0 при х-> а (х<^о). (Мы
берем х<^а, чтобы f(x) была действи-
тельной. )
II. Если функция /(х) обладает свойст-
вом, что для всякого как угодно малого
положительного числа £ найдется в проме-
жуткеа<С Ь(в котором определена фун-
кция f(x)), такое число х(е), чтобы во
всем промежутке а<С х <С -к(е) существовало
неравенство (4), тогда называем такую функ-
цию бесконечно малой величиной при х,
стремящемся справа к числу U, и выра-
жаем это свойство функции f(x)
формулой:
/(х)-»0 при х->с(х>а), (5)
причем, вместо х-> а (х> а) пишут также
такую символическую формулу: х->д-{-0
(т. е. х стремится к числу а, оставаясь
>«)•
Замечание. Функция f(x) определена
во всяком случае в промежутке a <Z. х < Ь,
где b — какое-то число > а.
III. Если функция /(х) обладает обоими
свойствами (1) и (5) при одном и том же
числе а в этих формулах, тогда скажем,
что «эта функция есть бесконечно малая
Черг. 4
величина, ког-
да ха (без
указаний:
«слева» или
«справ а»).
Пишем
/(х)-»0 при
х->а. (6)
Примеры гра-
фиков функ-
ций на черте-
жах 2—4 показывают, что возможны случаи,
когда у=/(х)-*0 при х->а слева, но
эта функция не^-0 при х->а справа,
хотя функция определена и для х > а
(черт. 2: при х — а функция имеет «раз-
рыв непрерывности»). Может быть и на-
оборот (черт. 3): у->0 при х->а спра-
ва (но не слева). На черт. 4 у-ь-0 при
х->а (с обеих сторон).
Само собой разумеется, что эти приме-
ры далеко не исчерпывают всего многооб-
разия функций, бесконечно малых при
х-+а (слева, справа или с обеих сторон).
На этих рисунках стрелки указывают
направления движений точек по кривым,
когда х-ь-а, j-*0; конечно, возможны
и более сложные движения.
Эти движения дают наглядное представ-
ление о процессе изменения ординаты те-
кущей точки, когда Эта текущая
ордината и есть бесконечно малая величина
при х-ъ-а.
В подобных примерах у есть ордината
текущей точки такой кривой, которая
имеет с осью абсцисс общую точку с абс-
циссой х = а.
Рассуждая о свойствах бесконечно малых
величин (в примерах аналогичных тем, ко-
торые указаны на приведенных чертежах),
мы, в сущности, рассуждаем о некоторых
общих свойствах кривых, проходящих че-
рез данную точку оси абсцисс, при этом
мы имеем дело с кривыми, которые являют-
ся графиками функций однозначных, как
всегда мы в этой работе предполагаем, и
от одного и того же переменного. Изучая
в элементах анализа сумму или отношение
двух бесконечно малых величин, мы должны
предполагать, что эти две бесконечно ма-
лые, которые назовем а и jl, суть функции
от одного и того же переменного х, при-
чем эти функции или обе обладают свой-
ством (1), или обе обладают свойством (5)
(что, конечно, не исключает того случая,
когда одна из них или обе они обладают
свойством (6), причем число а — одно и
то же для аир.
Полагаем, ради определенности, что а и
£ обладают свойством (1):
а = /1(х)->0 при x-^a(x<Za) (7)
?=/2(*)->0 при х^-а(х<Са) (8)
(итак, мы не будем выполнять действий
над двумя такими бесконечно малыми, из
которых одна 0 при х->а слева (черт. 2),
а другая ->0 при справа —черт. 3).
Под суммой a-f-p мы понимаем сумму ор-
динат, а под отношением a : {5 — отношение
ординат текущих точек соответствующих
графиков с одной и той же абсциссой х
(причем х<^а и х->а), т. е. двух точек,
расположенных на одной и той же пря-
мой, параллельной оси ординат и переме-
щающейся так, что она стремится к пря-
мой х — а, изобоаженной пунктиром.
Иногда говорят о таких бес конечно ма-
чых аир, что они одновременно
стремятся к нулю.
Докажем сейчас, что а-1- р~>0 при
х->а(х<а).
Мы проведем доказательство, ссылаясь на
наши определения бесконечно малых, не ог-
раничиваясь простыми случаями, которые
2—5. Заметим
сейчас же, что
и в случае,
изображенном
на чертеже 5,
движение пря-
мой, парал-
лельной оси
ординат и не-
ограничен но
пр иближа ю-
щейся к пря-
мой х= а, мо-
жет быть весь-
изображены на чертежах
Y I
Черт 5.
ма сложным, и мы только напрасно услож-
ним наши очень простые рассуждения, при-
влекая без всякой надобности понятия вре-
мени и движения.
Итак, исходим из данного нами опреде-
ления смысла формулы (1). Зададим по-
ложительное, произвольно малое число е
(т. е. наши рассуждения предполагают
только то, что е^>0, это мы и хотим выра-
зить, говоря о произвольной малости по-
ложительного е). Докажем, что из условий
(7) и (8) следует существование такого
числа х(в)<^а, для которого имеем для
всех значенийхв промежутке х(е)<^х<^а:
|а + £|<е.
(9)
В самом деле, из условия (7) следует
существование такого числа хр для кото-
рого имеем 1Л(х)| <С —, если только
х{ < х <1 а (зедь |/t(х)| можно сделать как
угодно малым, если а — х{ достаточно
мало).
Из условия же (8) имеем: найдется та-
е
кое число х2, что |/2(х1| <если толь-
ко х2 х <1 а. Пусть х0 — наибольшее
из чисел х^ и х2, так что имеем:
|/i(x)|<^ —- и |/2(*)1< —. есл|1 только
а,
о
(Ю)
так как хх<;х0 и х2«^х0.
Отсюда и следуег (9) при условии (10),
т. е. существует для всякого е^>0 число
х(е) (за которое можно взять число х0),
что и требовалось доказать.
Если имеем конечное число слагаемых
функций /й(х), А = 1,2,... л, которые
все обладают свойством (1) для одного и
того же числа а, то совершенно так же
докажем, что и их сумма обладает этим
свойством для того же числа а. Для дан-
ного е>0 и для каждой функции fk(x)
найдется такое число хл<а, что полу-
чим:
I7WK-J. СИ)
если только хк<^х<^а.
Пусть х0 — наибольшее из чисел xt,
х2, ...хп. Будем иметь (П), если толь-
ко х0<х так как xh^x0. Затем
доказательслво заканчивается так же, как
и в случае двух слагаемых.
Переходим теперь к определению по-
нятия предела и бесконечно большой ве-
личины (прежде чем изучать отношение
двух бесконечно малых).
Предварительно введем понятия положи-
тельных и отрицательных бесконечно малых.
IV. Величина a=f(x) называется поло-
жительной бесконечно малой при х->а,
если эта функция обладает свойством (6) и
принимает только положительные значения
для всех значений х, не равных числу а
и достаточно близких к этому числу. Это
свойство функции f(x) выражаем форму-
лой
а->-|-0 при х->а. (12)
На чертеже 4 приведен пример такой
функции. Мы не вводим никакого нового
числа -|-0: формула (12) берется вся це-
ликом, выражает то свойство /(х), кото-
рое мы определили, и никакого иного
смысла не имеет.
V. Совершенно аналогично определяется
свойство величины а = /(х) быть отри-
цательной бесконечно малой при х-*а.
Пишем а-» — 0 при х->а.
Впрочем иногда не пишут символов 0
и —0. Говоря о знаке бесконечно малой
/(х), приходится особенно внимательно
различать случаи:
х->а, (х<а) и х-*а, (х>п).
Заметим, что в случае а —0 условились
говорить: f(x)— бесконечно малая при
бесконечно малой величине х, или: f{x)
и х одновременно стремятся к нулю.
Примеры:
1) sinx->-f-0 при х-> + 0;
2) sin2x-=>+0 при х-»-4-0:
3) sinx->— 0 при х->— 0;
4) на чертеже 2: у->-[70 при
х-*а, (х<^а) на чертеже 3: _у->-{-0
при х-ь-а^ (х^>а).
VI. Мы скажем, что величина у, равная
F(x), имеет предел А при х->а, если А
есть такая постоянная, что функция, рав-
ная разности F (х) —А, есть бесконечно
малая при х-ь-а. Это свойство F(x) вы-
ражаем формулами вида:
F(x)-±A при х->а, (13)
или:
lim F(x) = А,
а
или:
lim F(x) — А.
х-—а
Итак, все эти формулы имеют тот смысл,
что у = А + а, где а -> 0 при х -> а (и здесь
приходится иногда выделять случаи, когда
х стремится к числу а только справа или
только слева).
VII. Переменная г называется положи-
тельной бесконечно большой при у-ъ-а,
если г есть функция от х, обладающая
тем свойством, что величина ей обратная,
т. е. — , есть положительная бесконечно
z
малая при х-ъ-а. Это свойство функции
выражаем формулой:
z->-\-co при х->а. (14)
Эту формулу можно, следовательно, заме-
нить формулой:
1
—-> + 0 при х->а (15)
и наоборот: из (15) следует (14). Пример:
мы пишем, что tgx-»-l-oo при х-> —
2
в том
тг
при х->~
дела).
смысле, что cig х -> -f- 0
(графики этих
ясно показывают суть
X
функций очень
VIII. Если z есть такая функция от х,
1
что — есть отрицательная бесконечно ма-
лая при х->а, тогда скажем, что z — от-
рицательная бесконечно большая величина
при х-^-а и напишем:
2->— оо при х->а.
(16)
Пример: мы пишем, что tgx->—00
л ( к \
при х->—, I х~>—), таккак ctgx->—0
2 \ 2 /
ГС / . ГС А
при Х->---, I XJ> —J.
2 \ 2 /
IX. Если — есть бесконечно малая при
х-ъ-а и притом такая, что найдутся зна-
чения переменной х, как угодно близкие
к числу а и такие, что для одних из них
2>0, а для других £<0, тогда назы-
ваем z бесконечно большой переменного
знака (или просто «бесконечно большой»)
при х->а и пишем:
z со при х а.
(17)
Замечание: пишут формулу (17) и в
случаях (15) и (16), т. е. всегда, когда
--->0 при х-ь-а.
z
Непрерывная кривая не может служить
графиком бесконечно большой величины
переменного знака. Этим мы хотим сказать,
что графиком такой функции не может
служить непрерывная кривая на промежут-
ках р<^х^а—-е и а + г^х <^Ь для
произвольно малого положительного е, так
как тогда бы нашлись значения х, как
угодно близкие к числу а и для которых
z, как функция от х, обращалась бы в
нуль, что невозможно для бесконечно боль-
шой величины2, ибо— -»0 при х->а, так
1
что мы предполагаем, что — принимает
определенное конечное значение для вся-
кого значения х, достаточно близкого к
числу а, кроме, быть может, значения
х = а.
Чтобы нагляднее представить себе, при
каком свойстве функции от х мы назы-
ваем эту функцию бесконечно большой
при х-ь-а, вспомним подробное объяснение
формулы (1), т. е. обратимся к неравен-
ствам (2), (3) и (4). Итак, пусть дано,
что 2-* со при х-ь-а. ЭтО означает, что
функция/(х), равная—, есть бесконеч-
но малая при х->а, т. е. при неограни-
ченном приближении х к числу а полу-
чаем последовательно неравенства (2) и (3)
и т. д., без конца, а потому при таком
изменении переменной х получаем после-
довательно: |г|> 10, |z|>100, |z|>
>•1000, |z]> 10 000 и т. д. без конца.
Вывод: функция F(x) называется беско-
нечно большой величиной при х-^о, если
эта функция обладает таким свойством:
как бы велико ни было число и>0, най-
дется такое значение переменной х, кото-
рое обозначим хп, что |Д(х)|>лдля
этого значения хп и для всех значений
переменной х, ближе расположенных к
числу а, чем хп (значение х — а исклю-
чается).
Если, кроме того, F(x)>0 для всех
значений переменной х, достаточно близ-
ких к числу а (значение х — а исклю-
чается), тогда говорят, что F (х)->4-оо
при х-»а (аналогично определяем смысл
формулы:
F(x)->—со при х-+а).
X. Формула:
lim/(x) = A (18)
со
означает, что, положив х=-^- и обоз-
начив через (/) функцию по-
лучим :
lim (/) = Д при/->0, (/>0).
Аналогичный смысл имеют формулы вида
/(х)-*+°° при х-*-J—со (19)
и т. п.
Можно иначе истолковать смысл фор-
мулы (18): мы скажем, что имеет место
Черт. 6
равенство (18), если функция /(х) обла-
дает следующими свойствами:
1) эта функция определена в «проме-
жутке»
а <х<+ оо,
где а — какое-нибудь число.
2) Дтя всякого, как угодно малого,
положительного числа £ найдется такое
число xs, что имеем
|/(х) — А|<е
для всех значений переменной х, боль-
ших числа Хв . Примеры графиков таких
функций приведены на чертеже 6 (теку-
щая точка кривой у=/(х) неограничен-
но приближается к прямой у — А при
х -*+ со).
Аналогичные объяснения получает фор-
мула (19) и т. п.
ОТНОШЕНИЕ ДВУХ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ
Задача ставится так: исследовать отно-
шение двух функций одного и того же
переменного: у
Л (*)
(20)
если эти функции или обе обладают свой-
ством (1) или обе обладают свойством (5)
(в обоих случаях — для одного и того же
числа а), причем предполагаем, что зна-
менатель не обращается в нуль для значе-
ний х, достаточно близких к числу а
(и которые мы рассматриваем), так как
деление на нуль не имеет смысла.
Особенности отношения таких двух
функций следующие: 1) при любой задан-
ной одной из этих функций, например
/2(х), всегда можно подобрать бесконечно
малую Л (*), такую, чтобы получить
у->0 при х-»с* (возьмем, например,
Л (х) = /2 (х) (х — а). Можно также по-
добрать Л (х) такую, чтобы получить
у = -j- оо при х -> а *. Например возьмем:
Л (*) =
А (-у)
х — а
2) Можно подобрать при любом задан-
ном числе А функцию Л (*) гак, чтобы
получить у-* А при х-э-а*.
Возьмем, например,
А(х) = (А + х — а)/2(х).
3) Наконец, можно подобрать
, такую функцию Л (*)» чтобы
X отношение (20) не стремилось
ни к какому-либо пределу, ни
к со, при х-^-а *.
Для этого достаточно взять
Л(х)=/2(х) sin
1 1
х — а
*х->аслева (или справа), если А и Л
обладают свойством (1) (или (5)).
4) Если же эти функции Д и /, неиз-
вестны, тогда ничего нельзя сказать о ха-
рактере изменения у при х-ь-а (справа
или слева).
В этом смысле и говорят о неопределен-
ности отношения двух бесконечно мал.чх
(в начальном курсе анализа).
СТУЧАЛ ПЕРЕМЕННОГО X, П"ППЧМ ТОЩЕГО
ТОЛЬКО ЦЕЛЫЕ БЧ.ТОЖЧТГЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
Пусть в некоторой задаче исследуется
переменная /(п), где п может принимать
или всевозможные целые положительные
значения или, во всяком случае, некоторое
бесконечное множество таких значений
(всегда обозначаем в этой статье буквой п
такую переменную). Например, п — число
сторон правильного многоугольника, впи-
санного в круг данного радиуса, /(и) —
площадь этого многоугольника. В этих за-
дачах формула вида:
Пт/(и) = Л
Л->ОО
выражает следующее свойство функции
/(и): для всякого, как угодно малого по-
ложительного числа £ найдется такое це-
лое положительное число ле, что имеем
|/(и)— А I £ Для всех допускаемых в
задаче значений п, больших числа л,.
Если А — 0, то f(n) называется беско-
нечно малой при л->оо. Ясно, что выра-
жает формула: /(и)-> оо при п->оо
(и т. п.)
БЕСКОНЕЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Имеем иногда такие задачи, в которых
переменная х принимает заданную беско-
нечную последовательность значений:
х1г х2..., хп
(21)
причем в этих задачах говооится о «пре-
деле некоторой функции Ё(х), когда х
пробегает последовательность (21) своих
значений». Эта фраза ничего нового (но
сравнению с уже изложенным) не пред-
ставляет.
В самом деле, последовательность (21)
задается «формулой ее общего члена»,
т. е. уравнением вида:
xn=f(n), п=1,2, 3...
и поэтому
F{x„) = F(f{n)),
и мы приходим к исследованию предела
полученной функции переменного п при
п -а> со.
БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ ВЕЛИЧИНА, ОБРАЩАЮЩАЯСЯ
В НУЛЬ БЕСКОНЕЧНОЕ ЧИСЛО РАЗ ПРИ СВОЕМ
ИЗМЕНЕНИИ
Если, например, некоторая функция f(x)
стремится к нулю, когда х стремится к
какому-нибудь числу а слева, причем f(x)
имеет бесконечное число нулей в промежутке
р<^х<а, тогда говорят, что /(х) есть
бесконечно малая величина при х-ь-а сле-
ва, которая обращается в нуль бесконечное
число раз при своем изменении (напомним,
что нулем функции f(x) называем корень
уравнения /(х) = 0). Конечно, мы могли
бы рассмотреть и тот случай, когда х -> а
справа (тогда/(х) имеет бесконечное число
нулей в промежутке а х Ь, или когда
х->-[-оо), тогда /(х) имеет бесконечное
число нулей левее любой точки оси пере-
менного х.
Замечание. На оси переменного х
мы называем направлением «слева направо»
положительное направление этой оси.
Следует отметить тот случай, когда не-
которая переменная у, равная функции
от t (где t — время), стремится к нулю
при t со, обращаясь в нуль бесконеч-
ное число раз при своем изменении,— мы
имеем явление затухающих колебаний точ-
ки иа оси у, если переменная у меняет
свой знак всякий раз при переходе через
нуль. Наконец, отметим и такой случай,
когда некоторая переменная, равная функ-
ции от п, стремится к нулю при и->оо,
обращаясь в нуль для бесконечной после-
довательности значений п. Например, возь-
мем
1
у — — sin
п
тем
2
, п = 1, 2, 3 ..
ФИГУРНЫЕ ЧИСЛА И АРИФМЕТИЧЕСКИЕ РЯДЫ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
В. СВВВО (Чернигов)
нашей литературе почти отсутству-
ет изложение вопросов теории так
называемых фигурных чисел и
общей теории арифметических ря-
дов высших порядков. Между тем
фигурные числа представляют значительный
исторический интерес как числа, появивши-
еся в результате первых попыток исследова-
ния свойств различных классов целых чисел.
Начиная от времен Пифагора (V — IV сто-
летия до и. э.) греческие математики уделяют
большое внимание изучению простейших
фигурных и многоугольных чисел с помощью
соответственных геометрических представ-
лений этих чисел. Создалось своеобразное
направление так называемой «геометрической
арифметики»,- пытавшейся разрешить проб-
лемы изучения свойств чисел с помощью
геометрических образов. Один из виднейших
представителей греческой арифме! ики — Ни-
комах (около 100 г. н. э.)—дает подробную
«геометрическую» классификацию чисел и
впервые излагает теорию многоугольных чи-
сел. Вслед за ним Дисфант (III столетие н. э.)
посвятил целую книгу вопросу о многоуголь-
ных числах. Даже значительно позднее, в
европейской математике XVI—XVIII столе-
тий, фигурные числа продолжали играть
заметную роль, особенно в работах Мавро-
лико, Штифеля, Тарталья, Ферма, Паскаля,
Я. Бернулли. У последних эти числа были
связаны с применениями к появившейся те-
ории вероятностей и к разработке старой зада-
чи о суммировании одинаковых степеней
натуральных чисел.
В настоящем очерке различаются собствен-
но фшурные числа и многоугольные числа,
имеющие свою отдельную теорию. Изложе-
ние теории фигурных чисел опирается на
уточненное арифметическое определение их
и этим, нам кажется, выгодно отличается от
изложения, данного, например, в «Элементар-
ной алгебре» М а р а к у е в а (т. I, 1903), где
фигурные числа определяются чисто фор-
мально, как числа, находящиеся в клетках
«треугольника Паскаля».
В порядке естественного обобщения следом
за фигурными и многоугольными числами
приводится элементарное изложение общей
теории арифметических рядов высших по-
рядков, заключаемое применением их к за-
даче суммирования одинаковых степеней
натуральных чисел.
Нам думается, что в этом объеме предла-
гаемый очерк может служить полезным ма-
териалом для кружковых занятий по матема-
тике в старших классах средней школы, по-
скольку его изучение будет способщвовать
повышению интереса к математике, а также
укреплению и углублению знаний учащихся
по некоторым вопросам элементарной алгеб-
ры (арифметическая прогрессия, соединения,
бином Ньютона и пр.).
Большинство выкладок теории основано
на применении некоторых дополнительных
свойств сочетаний, с которых мы и начнем
изложение.
I. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СОЧЕТАНИЙ
Предварительно рассмотрим некоторые
свойства сочетаний, которыми воспользуемся
в последующих выкладках.
Найдем сумму чисел сочетаний из п эле-
ментов по и и по (т—1) элементов.
cm^cm-i =
п п
_п (п —1) (л - 2)... (л — ти +31 (п — т 4-1) (
1-2-3. ..(т—1) т
. п(п —1) (и —2)... (и — т -}-2) _
1-2-3... (т — 1)
[п(л—1) (и—2).., (п —от 4~ 2)] „
1 -2-3... {,п —1) т
Х{(п — т 4-1) т\ =
_(л+1)л(л — 1)(л — 2)... [(л 4-1)— /и 4-1.
1-2-3... от
В результате приходим к следующей из-
вестной формуле:
(D
которую можно назвать рекуррентной
формулой сочетаний, так как она
дает возможность свести случай (л +1) всех
данных элементов к более простому случаю
п элементов.
Условимся, далее, считать, что
при всяком целом значении л.
В таком случае будем иметь также:
с" = С°=1.
п п
Кроме того, условимся считать
Сп — 0, если т > л.
Напишем теперь на основании формулы (1)
и принятых нами условий следующий ряд
тождеств:
,т +1___~т .
т +1 ^-т ’
^т+2 t'm+l’i ^-т+1’
+1 _ т +1 т
ст+3 — ьт+2~<~ ст +2»
+1 _ т +1 т
''т 4-4 ^т4-3тьт 4.3,
т+1_ т-Ы т
сл ~ип—1 +"сл—1 ,
т 4-1 _ т +1 т
'-'п +1 — сл Т сл •
Сложим почленно все эти тождества и при-
мем во внимание при этом, что член, стоящий
в левой части каждого тождества (кроме пос-
леднего), взаимно уничтожается с первым
членом правой части следующего за ним тож-
дества. Тогда получим очень важную фор-
мулу:
с"+с^+Н^+2+-.+
(2)
Этой формулой мы неоднократно будем
пользоваться в дальнейшем.
2. ПОНЯТИЕ О ФИГУРНЫХ ЧИСЛАХ
Рассмотрим натуральный ряд чисел; 1, 2,
3, 4,.... п (3), в котором общему n-му числу
можно приписать выражение:
= (1)
Суммируя этот ряд с помощью выведенной
выше формулы (2), будем иметь:
i—n
_ (п+»)я
1-2 ’
(5)
т. е. приходим к известному выражению
суммы чисел натурального ряда, получаемому
также из рассмотрения этого ряда, как ариф-
метической прогрессии.
Используем последнюю формулу (5) для
решенья следующей задачи: «Шары располо-
жены в виде треугольника
— так, что первый ряд тре-
JLjL угольника состоит из олно-
\го шара, второй ряд — из
(YJ') двух шаров, третий — из
' ' ' f трех шаров и т. д., вообще,
каждый л-й ряд треуголь-
ника состоит из ,t шаров
— — — — — — (рис. 1). Сколько иаров со-
держится во всем тре-
Рис. 1 У1 ельнике?»
Очевидно, количество ша-
ров в треугольнике выра-
зится, по формуле (5), суммой чисел нату-
рального ряда, начиная от единицы и кончая
числом п рядов треугольника. Придавая этому
числу последовательные значения: I, 2, 3,
4,..., п, получим соответствующие им коли-
чества шаров, содержащихся в треугольнике:
1, 3, 6, 10, 15, 21,... (6)
Полученные числа (6), в связи с приведенной
геометрической интерпретацией их как чисел,
выражающих количества элементов (шаров)
треугольника, называются треугольными
числами.
Легко видеть, что общий п-й член ряд?
треугольных чисел (6) имеет выражение:
2 (я-} 1)-п
Сл + 1- х,2 ’
(5)
тождественное с выражением суммы п чисел
натурального ряда.
2 Математика в школе, № 6
Чтобы подсчитать сумму п членов ряда (6)
треугольных чисел, снова используем форму-
лу (2). Будем иметь:
£ 4+1 = 4 +CZ3 +... + Сп +1 =
_ „з _ (л 4-2) (и+D я
-С"+2- 1.2,3 ™
Приведем пример новой задачи, иллюстри-
рующий процесс подсчета суммы треуголь-
ных чисел: «Шары одинаковых размеров
сложены штабелем в виде треугольной пира-
миды (гетраедра)
таким образом, что
X jB, верхний шар fle-
x' * к жит на трех шарах
второго слоя, ОТИ
Зд последние—на ше-
Z сти шаРа-х треть-
его слоя и т. д.
— — (рис. 2). Сколько
шаров в пирами-
— — де?»
_ Не трудно ви-
™С- 2 деть, что числа
шаров, содержа-
щихся в последовательных слоях пирамиды
начиная сверху, составляют ряд (6) треуголь-
ных чисел.
1, 3, 6, 10, 15, 21...
В таком случал общее количество шаров в
пирамиде выражается суммой (7) тре, голь-
ных чисел. Давая числу п слоев пирамиды
последовательные значения 1. 2, 3,... п, по-
лучим соответствующие им количества шаров
в пирамиде:
1, 4, 10, 20, 35, 56,... } . (8)
1-2-3 ’ 7
Полученные числа (8), в соответствии с из-
ложенной геометрической интерпретацией
их, называются пирамидальными, или,
точнее, тетраедрическими числами.
Выражение общего л-го члена ряда тетра-
едрических чисел
3 _ (я 4-2) (л 4-1) п
сл+2— 1-2-3
совпадает С выражением (7) суммы л тре-
угольных чисел.
Предыдущие геометрические иллюстрации
дают основание ввести общее понятие фи-
гурных чисел как членов таких после-
довательных рядов чисел, начиная от ряда
единиц, в которых любой л-й член последую-
щего ряда равен сумме первых л членов
предыдущего ряда, т. е. рядив;
1, 1, 1, 1, 1, 1...
1, 2, 3, 4, 5, 6...
1, 3, 6, 10, 15, 21 ...
1, 4, 10, 20, 35, 5б...
1, 5, 15, 35, 70, 126...
Чтобы различать принадлежность фигур-
ных чисел к тому или иному ряду, будем
приписывать им соответствующий пор fl-
17
док. Таким образом, числа, принадлежащие
ряду единиц:
1, 1, 1, 1, 1, 1...
будем называть фигурными числами нулевого
порядка, числа натурального ряда:
1, 2, 3, 4, 5, 6...
назовем фигурными числами первого порядка;
треугольные числа
1, 3, 6, 10, 15, 21 ...
— фигурными числами 2-го порядка, тетра-
едрические числа:
1, 4, 10, 20, 35, 56...
— фигурными числами 3-го порядка и т. д.
8. 0Г.ЩАЯ ТЕОРИЯ ФИГУРНЫХ ЧИСЕЛ
Очевидно, для того чтобы составить ряд
фигурных чисел каждого данного порядка,
доста очно знать общий член этого ряда.
Докажем, что общий л-й член ряда фи-
гурных чисел m-го порядка выражается фор-
мулой:
„(т)_ m _
г п — + т — 1—
= (л 4-от—П (и + от—2) ... (n-j-2) (n+D и
1-2-3...от , U
или:
г<«>=
л (л 4-1) (л 4~2)...(п4 от—1)
1-2-3. ..т
(9а)
Для доказательства воспользуемся методом
совершенной индукции, т. е. будем считать
верной формул) общего члена предыдущего
ряда фигурных чисел (т—1)-го порядка:
rm -1) _ т -1 _
_ (п 4-от—2) (п , от—3)... (л4~2) (п-{-1) л
1-2-3...(лг — 1)
(Ю)
и докажем, что при этом условии должнт
оставаться верной и формула (9) общего
члена последующего ряда фигурных чисел
m-го порядка.
В самом деле, исходя из определения фи-
гурных чисел, приходим к выводу, что
или, на основании формулы (10):
1=п
Отсюда, принимая во внимание свойство соче-
таний, выраженное формулой (2), приходим
к доказываемой формуле:
п+т—1
(я + от —1) (л от- -2)... (п4-2) (л-|-1) п
1-2-3...т
(9)
Таким образом, формула (9) общего члена
фигурных чисел от-го порядка будет доказа-
на, коль скоро окажется верной такая же
формула для фигурных чисел — 1)-го по-
рядка. Но для фигурных чисел 1, 2, и 3-го
порядка эта формула оказалась верной, что
легко видеть, рассматривая выведенные нами
выше формулы (4), (5.) и (7). В таком случае
эта же формула будет верна и для фигурных
чисел 4-го порядка, а далее и для фигурных
чисел 5-го порядка и т. д. Таким образом,
формула (9), дающая возможность написать
любой л-й член ряда фигурных чисел какого
угодно от-го порядка, нами доказана.
Вторым вопросом в изучении фигурных
чисел является суммирование членов ряда
фигурных чисел каждого данного порядка.
Этот вопрос легко разрешается, если принять
во внимание, что, согласно определению фи-
гурных чисел, сумма л членов фигурных
чисел m-го порядка должна быть равна л-му
члену фигурных чисел следующего (от4-1)-го
порядка, т. е. выражается форму пой:
i = п
Ч Л _ ₽<т+ гт+1 л п
/ ,Fi = Fn Сп+т' (41
7^1
или
1^.
__п(л+1)(л+2) ...(« + т)
— , (11 а)
1 -2-3 ... т(т4-1)
Формулами (9а) и (Па) исчерпываются основ-
ные положения теории фигурных чисел,
поскольку эти формулы целиком разрешают
вопрос с вычислении любого члена и суммы
чле нов фигурных чисел какого угодно по-
рядка.
Дополнительно рассмотрим два свойства
фигурных чисел. Первое из них, выражаемое
формулой:
4+!=^+!. (12)
состоит в том, что (л 4~1)-е фигурное число
m-го порядка равно (от4-1)-му фигурному
числу л-го порядка. Иначе говоря, знаки от
_(/и)
и п в символе гл+1 могут меняться мес-
тами.
Действительно, по формуле (С) имеем:
(т)
гп + 1 ьп±гги
Ап, п _ Лп+т)~п__ т
‘ т+1 ^п+т' ^п + т
отсюда, из равенства правых частей выте-
кает:
„(п)
Второе очень важное свойство фигурных
чисел можно записать формулой:
(т) Лот)’ (т-1)
ги + 1— гп нгл+1 • (lrfl
Это значит, что (лЦ-1)-е фигурное число
от-го порядка равно сумме предыдущего
л-го фигурного числа того же от-го порядка
и соответствующего (л4-1)-го фигурного
числа на единицу низшего (т—1)-го порядка.
Свойство это непосредственно вытекает из
рассмотренной нами вначале рс <уррентной
формулы сочетаний (Р, которую получаем,
раскрывая символы фигурных чисел равен-
ства (13) по формуле (9):
m __ т
Сп + т ^'п
т 1
4. АРИФМЕТИЧЕСКИЙ ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ
С фигурными числами мы встречаемся в
знаменитом «арифметическом треугольнике»,
который был известен уже китайским мате-
матикам XI столетия, а затем вновь был най-
ден в XVII столетии Паскалем (1623—1662),
почему и называется теперь «треугольником
Паскаля».
Мы приведем его в том расположении,
какое было принято самим Паскалем (см.
табл.).
(x*a)
(*+a)
(fra)
В горизонтальных строк ix и вертикальных
столбцах треугольника Паскаля, перенуме-
рованных, начиная от нуля, мы читаем после-
довательные фигурные числа соответственно-
го порядка, начиная от нулевого порядка,
т. е. от ряда единиц. При таком построении,
в клетке, стоящей на пересечении /п-й строки
и п-го столбца по нумерации Паскаля, мы
находим (л+1)-й член ряда фигурных чисел
т-го порядка, т. е. , или, что то же са-
мое (ш+1)-й член ряда фигурных чисел п-го
порядка, т. е. (1-е свойство фигурных
чисел — формула 12).
Существует очень простое правило по-
строения треугольника Паскаля, со-
стоящее в том, что в каждой клетке его
записывается число, равное сумме двух чи-
сел, стоящих в соседних клетках; одной —
слева и другой — сверху над данной клеткой.
Это правило непосредственно вытекает из
рассмотренного выше 2-го свойства фигур-
ных чисел (формула 13):
Треугольник Паскаля служит удобным
средством нахождения коэфицпентов членов
разложения бинома Ньютона. В самом деле,
рассмотрим фигурные числа стоящие в тре-
угольнике Паскаля на так называемой «базе»,
т. е. на диагональной линии, соединяющей
первые клетки одинаково занумерованных
строки и столбца и идущей слева направо
вверх. Ле”ко видеть, что на т-И базе, т. е.
на базе, соединяющей первые клетки пг-й
строки и /п-го столбца по нумерации Паска-
ля, находятся следующие фшурные числа:
р(т — 2) _ гт — 2 _ г-2
г3 '-'т
F(m-3) = C^-3 = C^, (14)
₽(1)__________гт — 1
гт — '-‘т ’
с-(О) — р-0 _____ ।
гт + 1~' щ—
т. е. последовательные коэфициенты
членов
разложения бинома Ньютона (x-{ a)m. Ha
этом основано применение треугольника Па-
скаль к нахождению коэфнциеитов разложе-
ния бинома Ньютона.
Используя рассмотренные выше свойства
фигурных чисел, нетрудно вывести основные
свойства биномиальных коэфициентов. Дока-
жем, например, что сумма коэфициентов
разложения бинома (хЦ-д)'п равна 2т.
Для этого возьмем фигурные числа (14),
служащие коэфицнентами разложения бинома
(х + а)т, т. е. лежащие па т-н базе треуголь-
ника Паскаля, и представим каждое из них
по формуле (13) в виде суммы двух слатае-
мых (по правилу построения треу гогьника
Паскаля):
pfm) =
Fz” — — Рх”1 ~ ^4- Р2т ~ 2\
р(т — 2) _ р/т — 2) । р(т — 3),
^’+1== fll^+O-
Складывая почленно все эти равенства,
найдем:
Г(тЦ. -1)+ р(т - 2)+.. FU)Fm+ х =
= 2-[Р'1т-1, + Р^л-2)4-р^1-3)4-...4-
4-^-i + F^]. (15)
Это значит, что сумма фигурных чисел,
стоящих на /п-й базе треугольника Паскаля,
равна удвоенной сумме фигурных чисел,
стоящих на предыдущей (т—1)-й базе того
же треугольника. Иными словами, сумма
коэфициентов разложения бино-
м а /n-й степени: (х + а)т равна удво-
енной сумме коэфиц-ентов раз-
ложения бинома (т — 1)-й степени:
(х + а\т ~~ \ Отсюда, так как -для бинома
1й степени (х + а)1 сумма коэфициентов
разложения равна 2, то для бинома (х + я)2
эта сумма равна 2 • 2 = 22, а для бинома
(х + а)3 та же сумма равна 2 • 22 — 2’ и т. д.
Таким путем найдем, что сумма бино-
миальных коэфициентов, соот-
ветствующих биному (х + я)т, будет
равна 2т.
Ъ. СУММИРОВАНИЕ ОДИНАКОВЫХ СТЕПЕНЕЙ
НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Из других применений фигурных чисел
рассмотрим вычисление суммы одинаковых
степеней первых п натуральных чисел. Нач-
нем с вычисления суммы квадратов п первых
натуральных чисел. Для этого возьмем фор-
мулу л-го фигурного числа 2-го порядка:
Г(2) = + = п‘ + п,
"1-2 2
откуда будем иметь:
я2 = 2/^-я.
Придавая букве я в этом равенстве ряд
последовательных целых значений: 1, 2, 3....
я и суммируя полученные равенства, будем
иметь:
l2 + 22 + 32 4-... + n2 = 2.[F^ + F^4-
+ fP)+... + FP)] _(1+2 + 3 +... + «).
Так как по определению фигурных чисел:
F(2)+^ + FP) + ...+FP) = F(3):=
Л(п + 1)(п + 2)
1-2-3
кроме того:
1+2+з+...+л=1<г±л.
то из предыдущего равенства найдем:
Р + 22 £ З2 +... + л2 = + V)fo +2) __
п(п-\ 1) п(п I- 1) (2я -j-l)
~ 2 6
Итак:
р 4- 2г + З2 +.. •+ я2 = -” (2п + Q. (16)
6
Эта формула носит название формулы Ар-
химеда, так как Архимед (III столетия до
и. э.) впервые в своей книге «О спиралях»
вычислял сумму квадратов чисел натураль-
ного ряда.
Что,»ы найти, далее, сумму kj бов натураль-
ных чисел, исходим из формулы л-го фигур-
ного числа 3-го порядка:
_ п(п 1) (я 4-2) _ r -f 3я*4-2я
F" 1-2-3 6
откуда:
я3=6.Г^ —Зл2 —2ft .
Придавая здесь букве я последовательные
целые значения: 1,2, З...П п сумл.нруя
полученные равенства, будем иметь:
1»4- 2> 4- 3> 4-.. .4- я3 = 6. [F:j3> 4- 4-
4 г^ + ...4-Р^]-3(124- 22 + з2 + ...4-
4 я2) - 2 (1 + 2 4- 3 4-... 4- п).
Отсюда, заменяя
+ ^3) + F^3) + + F3 = F(4) =
я (Я+ D (я 4-2) (Я 4-3),
1-2-3-4
12 4- 22 + з2 4-.. .4- я2 = и-(/г-+_^-^2п.+ Ь,
14-2+34-...4-я = и-(п-+-1)-,
найдем:
1’4-234-334-... + я3 =
6я(я4-1)(я4 21(я4-3)
1-2-3-4
Зя (я 4- 1) (2я 4- 1) 2я (я 4-1)
6 2
я (я -j~ 1) (я2 -j- 5я + 6 — 4я — 2 — 4) __
= . _
— п* (п ~Ь _ Г” 4 1) I2
_ 4 “ L 2 J ’
или, так как П + 1 - = 1 4* 2 + 3+...+ г., то:
Is 4- 23 + З3 4-... 4- л3 = (1, 4 24-
4-34-...4-я)2, (17)
т. е. сумма кубов я первых нату-
ральных чисел равна квадрату
суммы первых степеней этих чи-
сел.
Аналогичным путем, с помощью формул
фигурных чисел, можно иайти далее сумму
четвертых и более высоких степеней чисел
натурального ряда.
6. И ЮГЭУГОЛЬПЫЕ ЧИСЛА
Остановимся кратко на так называемых
«многоугольных числах», стоящих в тесной
связи с рассмотренными выше собственно
фигурными числами.
Возьмем снова натуральный ряд чисел 1,2,
3, 4,... я, представляющий собой ариф-
метическую прогрессию с разностью, равной
едгвице (d = 1).
Как известно из предыдущего, в резуль-
тате суммирования последовательного коли-
чества членов этого ряда мы получаем так
называемые треугольные числа: 1, 3, 6, 10,
15, 21, иллюстрируемые с помощью треуголь-
ника (рис. 3).
Рис. 3
Составим теперь из того же натурального
ряда чисел новую арифметическую прогрес-
сию, начинающуюся от единицы н имеющую
разность, равную двум (d = 2), т. е. прогрес-
сию, состоящую из нечетных чисел:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13.
Суммируя последовательные количества чле-
нов этой прогрессии, получим ряд чисел:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49...,
т. е. ряд квадратов чисел натурального ряда.
Числа этого ряда легко можно иллюстриро-
вать геометрически, как количества элемен-
тов, расположенных в виде квадрата (рис. 4),
поэтому их называют квадратными чис-
лами.
Если пойдем далее и составим арифмети-
ческую прогрессию, начинающуюся от еди-
ницы и имеющую разность, равную трем
(d=3)
1,4,7,10,13,16...,
то в результате суммирования последователь-
ного количества членов получим ряд чисел:
1, 5, 12, 22, 35, 51...,
иллюстпнруемых с помощью пятиугольника
(рис. 5) и называемых поэтому пятиуголь-
ными числами.
Продолжая аналогичным путем дальше, мы
придем к числам шестиугольным, семиуголь-
ным и т. д., вообще, к многоугольным числам,
иллюстрируемым с помощью соответствую-
щего многоугольника. При этом многоуголь-
ники, иллюстрирующие данный ряд чисел,
наслаиваются в виде ряда перспективно по-
добных фигур с центром подобия в одной из
вершин, общей для всех многоугольников
(рис. 5).
Рис. 5
Таким образом, многоугольными (или
полигональными) числами вообще мы бу-
дем называть числа, получающиеся при сум-
мировании последовательного количества
членов арифметической прогрессии, начинаю-
щейся от единицы и имеющей разность про-
грессии, равную любому натуральному чис-
лу (d = 1, 2, 3, 4...).
7. ФОРМУЛА! МНОГОУГОЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Рассматривая упомянутые выше примеры
многоугольных чисел, легко заметить что
разность арифметической прогоессии, служа-
щей для образования этих чисел, всегда на
две единицы меньше по сравнению с коли-
чеством сторон соответствующего много-
угольника, иллюстрирующего эти числа.
В самом деле,
для треугольных чисел эта разность про-
грессии равна:
d = 1 = 3 — 2,
для квадратных чисел: d = 2 = 4 — 2,
для пятиугольных чисел: d = 3=5—2
и т. д.
Отсюда заключаем, что вообще какие угод-
но /«-угольные числа получаются в резуль-
тате суммирования членов арифметической
прогрессии, начинающейся от единицы и
имеющей разность:
d=m — 2, (18)
причем всегда будет т > 2.
В таком случае, соответствующая арифме-
тическая прогрессия, служащая для о >разо-
вания многоугольных чисел, представится в
следующем виде:
1; 1+(т — 2); 1 + (т — 2).2; 1 (т — 2).3...;
1 + (/и —2)(л —1)..., . (19)
где множитель (п—1) соответствует л-му
по порядку члену арифметической прогрес-
сии.
Чтобы получить отсюда какое угодно л-е
по порядку многоугольное число, нужно
просуммировать п членов этой арифметичес-
кой прогрессии. В результате будем иметь
формулу общего л-го члена ряда /«-уголь-
ных чисел:
. 1+[!+(« — 2)(n — 1)] ,
—Ч—Сз— —’--------И-.П — п %-
или, вводя обозначения чисел сочетаний, по-
лучим:
P(„m) = C‘ + (/«-2)-C2. (20)
По этой формуле легко можно вычислить
любой член ряда катнх угодно многоуголь-
ных чисел. Например, чтобы найти 6-й член
ряда пятиугольных чисел, достаточно под-
ставить в формулу (20) значения:
л = 6; т - 5.
тогда получим:
р(5) = б + (5-2)-— = 51.
ь 2
Другой вопрос, интересующий нас при изу-
чении многоугольных чисел,— вычисление
суммы любого количества п каких угодно
многоугольных чисел. Чтобы вывести соот-
ветствующую формулу, будем придавать
букве п в формуле (2и) последовательные
значения: 1, 2, 3, 4... л.
Получим следующие равенства:
= с} + (т - 2) • Cj = cj *,
pW = Ci + (w_2).^,
^3m> = C| + (zn-2)-C|,
P^) = C'i + (/n-2).c|.
Р{,Г) = С1п + (т-2)-С^.
Суммируя почленно эти равенства, будем
р<^+/*">+, + /*») = (с} + с|-[-
+ cl4-...+ ci) + o-2)(c| j-c’-h
+cl+...+С„~) ,
откуда, принимая во внимание, что по фор-
муле (2) суммирования сочетании, будет:
С1 <С2 + Сз + -- • + Сл = С'.?. 4-1»
cl+cf+cf+...+с^с3^!,
получим окончательную формулу суммы п
первых членов рада иг-угольных чисел:
i= п
^Jpim> = C2+i + (w_2).c3 (21)
i =1
Для примера вычислим с помощью этой
формулы сумму п первых членов ряда квад-
ратных чисел, иначе говоря, сумму квад >а-
тов чисел натурального ряда.
Подставляя в формулу (21) значение: т — 4,
будем иметь:
1* + 2!4 3s-4- ... 4-пг = 9-4-
2
4- (4 — 2) ^и + 1)и<и~1) -
1-2-3
_ п(п 4-1)(34-2п - 2) _ п (и 4-1) (2п 4-1)
6 — 6
Мы снова получили известную иам формулу
Архимеда для суммы квадратов натураль-
ных чисел, выведенную выше с помощью
фигурных чисел.
Отметим, что задача суммирования квадра-
тов натуральных чисел может получить свое
геометрическое оторажение в задаче под-
счета шаров, сложенных штабелем в виде пра-
вильной пирамиды с квадра гным основанием.
Это обстоятельство приводи г к введению
нового вита пирамидальных чисел,
соответствующих пирамиде с квадратным
основанием. Общий n-ый член ряде та сих
пирамидальных чисел получим, подставив
т = 4 в предыдущую формулу (21), выведен-
ную выше для суммы членов многоугольных
чисел.
8. ОБЩЕЕ ПОИГГИГ ОБ АРИФ^Г^ИЧЕСЧИХ РЯДАХ
ВЫСШИХ 1ОГЯДКОВ
Переходим теперь к общему понятию ариф-
метических рядов высших порядков, охваты-
вающему все предыдущие виды числовых
рядов.
• Здесь имеется в виду принятое нами условие:
С™ = 0 при т > л. В данном случае. = 0.
Пусть нам дан ряд чисел, идущих в неко-
торой закономерней последовательности:
4, 7, 15, 30, 57, 104, 182, 305, 490...
Составим из него новый ряд чисел, служа-
щих разностями между каждыми двумя пос-
ледовательными членами данного ряда:
3, 8, 15, 27, 47, 78, 123, 185...
Этот последний ряд по отношению к перво-
му будем называть р азностн ы м рядом.
Если таким же путем составить последо-
вательные разности между членами второго
ряда, получим ряд:
5, 7, 12, 29, 31, 45, 62...,
называемый вторым разностным ря-
дом по отношению к первому (основному)
ряду.
Аналогичным путем можно составить тре-
тий разностный ряд:
2, 5, 8, И, 14, 17..., и т. д.
В нашем случае четвертый разност-
ный ряд представляет собой последователь-
ность одинаковых чисел:
3, 3, 3, 3. 3...
Таким образом, дзнный иам ряд чисел имеет
ту характерную особенность, что по отноше-
нию к нему че вертый разностный ряд оказы-
вается составленным из одинаковых чисел.
В этом случае да шый ряд чисел называет-
сяарифмегическим рядом четвер-
того порядка.
Вообще, если по отношению к дан-
ному основному ряду т-я разно-
стный ряд о.называется состав-
ленным из одинаковых членов, то
основной ряд называется арифме-
тическим рядом /л-го порядка.
Заметим, что указанное определение отно-
сится не только к цетым числам, но вообще
к каким угодно величинам, могущим иметь
также буквеш ое выражение.
Легко видеть, что введенное нами общее
понятие об арифметических рятах высших
порядков охватывав'’, как частный случаи, и
обыкновенную арифметическую прогрессию,
являющуюся арифметич ‘скнм рядом 1-го по-
рядка. Что касается фигурных чисел, то ряды
фигурных чисел также представляют собой
частные случаи арифметических рядов выс-
ших порядков.
В самом деле, возьмем ряд фигурных чи-
сел /л-го почядка:
Так как, согласно вышеупомянутому второму
свойству фигурных чисел, имеем:
то разность между двумя последовательными
фигурными числами /л-го порядка будет:
Г/1 + 1 гп —Гп+1 ‘
На этом основании заключаем, что первый
разностный ряд по отношению к взятому
нами ряду фигурных чисел /n-го порядка
будет:
—D. pO,i —1). р'гп—1) р(т — 1)
rfm — 1)
Г п -{-1 ‘’
т. е. оказывается рядом фигурных чисел
(т— 1)-го порядка, начинающимся от 2-го
члена.
Подобным же образом найдем второй раз-
ностный ряд:
р Л1 — 2). р{т — 2). р(т — 2). . р(т — 2).
р(т — 2)
гл + 1 •••>
Третий разностный рад:
р(т — F^™ — ®' FfF1 — . F'm —
/*т-3)
«4-1
и т. д. Таким путем найдем, что m-ый раз-
ностный ряд:
МИ • р(0) р(0) • р(°)
rm + l« Г..г + Ч---Гп ’ гл + 1'"
окажется составленным из фигурных чисел
нулевого порядка, т. е. из ряда е тиниц.
01 сюда з iK лючаем, что ряд фигурных
чисел /и го порядка является част-
ным случаем арифметического
ряда /п-го порядка
Не т удно, далее, убедиться, что все виды
многоугольных чисел, рассмотренных нами
выше, составляют арифметические ряды 2-го
порядка, поскольку первыми разности ими
рядами для них служат обыкновенные а иф-
метические прогрессии, т. е. сяды 1-го по-
рядит, а значит, в ю >ыми разностными ряда-
ми будут ряды одинаковых натуральных чи-
сел.
Ниже мы увидим также, что ряды одина-
ковых степеней последовательных натураль-
ных чисел в свою очередь будут частными
случаями арифметических рядов высшчх по-
рядков.
Таким образом, арифметические ряды зыс-
ших порядков являются категориями, обоб-
щающими многие известные нам и зачастую
достато1 но ценные в математике числовые
ряды Отсюда тем более важное значение
приобретают вопро< ы общей теории арифме-
тических рядов высших порядков, к изучению
которых мы и приступим.
9. ТЕОРИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ РЯДОВ ВЫСШИХ
ПОРЯДКОВ
Пусть нам дан арифметический ряд т-го
порядка:
yfrn). v(m) : ym) . . „(т) , (22у
по отношению к которому последовательные
разностные ряды будут:
1) у(от~1); УГ-1)"> У,т~1)...Упгл_1);
от -,(т —2). (п -2) . (т —2) (т — 2)
А/ *4) » У1 >->2 - Уп •
3) Уот-3); >4т“,3}---Л17г“3),
™-3)У3>; УЛ У”-
и-2) Уо2); У2; У2>-
т — У1’; УЛ № y(D-
т) У00); /и vn •
При этом последний лг-ый разностный ряд,
согласно определению арифметического ряда
/п-го порядка, должен состоять из ряда оди-
наковых членов, т. е.
Ч0)=У10) = ^)=..-= y^ = d.
Так как каждый из последующих разностных
рядов является первым разностным рядом по
отношению к предыдущему ряду, то все
разностные ряды, выписанные для данного
ряда /п-го порядка, бтд.т представлять собой
арифметические ряцы соответственно низших
порядков. А именно, первый разностный, ряд
есть арифметический ряд (т — 1)-го поряд<а;
второй — (т — 2)-го порядка и т. д. Наконец,
(т —- 1)-й разностны i ряд есть арифметиче-
ский ряд 1-го порядка, т. е. обыкновенная
арифметическая прогрессия, разность кото-
рой d=y^°\ Формула общего (п-|- 1)-го чле-
на этой прогрессии, как известно, будет'
или:
= (23)
а формула суммы п членов той же прогрес-
сии будет:
_ /i).„+vW) «(«-О ,
-Го 2
или:
(2^
I = и
Что касается (гп— 2)-го разностного ряда:
У02);Л2);У2М2)--^2\ (25)
то он представляет собой арифметический
ряд 2-го порядка. Соответствующие форму-
лы общего члена и суммы членов этого ряда
найдем, исходя из того, что разности межау
последовательными членами его должны со-
ставить упомянутую выше арифметическую
прогрессию, т. е.
У^-У^УЛ
У32’-У2>=У1),
V<2> — v<?> „ - v(1) о
Уп — 1 -п — 2 Уп -2
.Я-У2» , =
Уп У п — 1 -Уп — 1 ’
Суммируя почленно эти равенства, будем
иметь:
откуда, принимая во внимание равенство (24),
найдем формулу общего (п 4- 1)-го члена,
рассматриваемого (/п— 2)-го разностного
ряда (25):
^)=j'^+j'E1)-cL+v-0)-ct (20
Придавая здесь букве / пос тедот а тельные
целые значения: О, 1, 2, 3 ... (л,—1) и сум-
мируя полученные равенства, найдем форму-
лу суммы п первых членов тоге же ряда (25)
VJ уР=^).п + У<1>-(С1+Й+^+
+ • .Ч-ci_j)+V(OO)- (C?+cl+cl 4-.. - +
+ Ci_x)*,
или, используя формулу (2) суммирования
сочетаний, получим.
==л— 1
(27)
Аналогичным путем, имея в виду, что для
(т — 3)-го разностного ряда:
у®; У?; ЛЧ (28)
реяставляющего собой арифметический ряд
третьего порядка, имеют место равенства:
v(3)_ v(8) _ v(2);
J 1 J о — У о
(3)_ Ы3)_ ,(2).
> 3 — > 2 ~ У 2 ’
v О) _ v(3)- _ v (2) .
J'n-l У п-2 — Уп -2 »
у(3)_ у(8)1=ч (2>
У п Уп—1 У л—1
и суммируя ати равенства, получим форму-
лу общего (n-j-l)-ro члена этого ряда (28):
i=n— 1
Л’-Й+Г»?-
= V^ + ^2,-C‘ + ^.Ci+^.c3. (29)
А далее, придавая букве п последователь-
ные целые значения: 0,1, 2,3... (п — 1) и поч-
ленно складывач полученные равенства, най-
дем формулу суммы п первых членов того
же ряда (28/
+У!?-С*. (30)
Обобщая, наконец, предыдущие рассужде-
ния и выкладки, придем к предположению,
что для данного нам арифметического ряда
ж-го порядка:
/от); y^i Ф)
должна иметь место аналогичная формула
общего (n-j-l)-ro члена:
= Лт)+Л"1"1’ - с ‘ +>Г-2’ - с2 4-
4-...4- У» - с”-1 4-У? • сл“ (31)
* Здесь имеете" в виду, что Гц’ - С, если т > я.
и формула суммы п первых членов:
‘2^У7> • с»1 +Уот-1) • С2+
4-ут-2).с^4-...+У?-С™4-
+УоО)-С^+1. (32)
Чтобы доказать эти формулы, снова вос-
пользуемся методом совершенной индукции.
Примем, что аналогичные формулы спра-
ведливы для арифметического ряда {гп—1)-го
порядка:
Уот-Ч УГ-1\ У2т_1>-..^т~°. (33)
служащего первым разностным рядом по
отношению к данному ряду (22).
Иначе говоря, будем считать справедли-
выми формулы:
уИ-Ц = убп-1) ь>(Г-2) . с 1 + . с 2 +
4-... 4- - с^24-У°) с^-1 (34)
vj= yjn-l) . с I 4-ym-2) . с * ц_
+ yr3)-cn34-..-+yj)-cr1 +
+ У'о ' С™ (35)
и докажем, что зри этих условиях должны
оправдываться формулы (31) и (32).
Так как члены ряда (33) служат последо-
вательными разностями между соседними чле-
нами данного ряда (22), то:
У'п)_у«)==У1»п-П;
v(m) Arri\ _ Ат—I).
-Уз У2 —Уч >
(m) _ (т) Am—I)
vn Уп—2~ У n—2;
(m) _ !>
Складывая почленно эти равенства, будем
иметь:
Уя’-Уо’^
/=л-1
1—0
откуда, принимая во внимание формулу (35),
которую мы допускаем справедл! юй, полу-
чим доказываемую формулу (31). Из этой же
формулы не трудно уже вывести формулу
(32). Для этого достаточно выписать форму-
лу (31) для отдельных значений п = 0,1,2,3_
(п — 1) и почленно сложить полученные ра-
венства.
Таким образом, общие формулы (31) и (32)
для арифметического ряда т го порядка бу-
дут доказаны при условии, если онн будут
справедливы для арифметического ряда
(л — 1)-го порядка.
Но эти формулы выше были выведены
нами дли арифметических рядов 1-го, 2-го и
3-го порядка. Поэтому на основании преды-
дущего они останутся справедливыми и для
арифметического ряда 4-го порядка, затем
5-го порядка и т. д. В результате, формулы
(31) н (32) окажутся справедливыми для ариф-
метического ряда любого zn-го порядка.
Итак, (л 1)-й член уп арифметического
ряда т-го порядка выражается формулой
(m) (m) (m-1) 1 (т-2) 2
Уп =>о +>) -С„+.у0 -Сп +
+ --+4 -Сп +у\}-Сп9 (31)
т. е. равен сумме его начального члена и про-
изведений начальных членов всех разностных
рядов иа число сочетаний из п элементов по
числу элементов, равному номеру соответст-
вующего разностного ряда.
Что касается суммы п первых членов ариф-
метического ряда /n-го порядку, то она выра-
жается формулой:
.С1 . Vм-с2
+№т_2>-спз+-.->'(о1)-с:+
(0) . m+l
+ >0 ьл
(32)
В обеих формулах коэфициенты:
3'о'П); У'о
(т-2) (1) (0)
.Уо • • • -Уо ; >о
не зависят от п и различны для отдельных
частных случаев рядов одного и того же
т-го порядка.
Таким образом, всякий арифметический ряд
какого угодно т-го порядка однозначно опре-
(т)
деляется своим начальным членом _у0 и на-
чальными членами
(т-1) (т-2) (1) (0)
Vo ; -У о ... -Уо ; -Уо
всех его разностных рядов. Поэтому все вычис-
ления, касающиеся того или иного арифме-
тического ряда высшего порядка, необходимо
начинать с предварительного определения
упомянутых начальных членов.
Для ппимера вычислим 18-й член арифме-
тического ряда 4-го порядка:
4, 7, 15, 30, 57, 104, 182...,
упомянутого в начале предыдущего пара-
графа.
Чтобы определить начальные члены всех
четырех разностных рядов, выписываем эти
ряды:
3, 8, 15, 27, 47, 78...
5, 7, 12, 20, 31...
2, 5, 8, 11...
3. 3, 3...*
Подставляя затем в формулу (31) найденные
начальные члены и п = 17, получим 18-й член:
Уи = 4-|-3 С17 + 5- С17-|- 2 • С17 +
+ 3-С17 = 9 235.
* Очевидно, достаточно выписать в первом
разностном ряду число членов, равное порядку
данного арифметического ряда.
Так как фигурные числа какого угодно
порядка являются арифметическими пядами
того же порядка, то рассмотренную теорию
арифметических рядов можно применить так-
же к вычислениям с фигурными числами.
Например, чтобы вычислить сумму j первых
пятнадцати фигурных чисел 4-го порядка:
1, 5, 15, 35, 70, 126...
выписываем соответствующие разностные
ряды:
4, 10, 20, 35, 56...
6, 10, 15, 21...
4, 5, 6...
1, 1...
и подставляем найденные начальные члены
в формулу (32) суммы членов арифметиче-
ского ряда; тогда получим:
s = 1 С15 + 4 • С15 + 6 • С15 4 С15 -f-
+ 1 С* = 11 628.
Кстати, на этом примере убеждаемся, что
вычисления с фигурными числами выпол-
няются гораздо проще по формулам, выведен-
ным выше специально для фигурных чисел.
Например, для предыдущей суммы первых
15-ти фигурных чисел 4-го порядка будем
иметь сразу:
= _15.16.17-18.19=11628
1-2-3-4-5
10. СВ 1ЙСТВ0 МНОГОЧЛЕНА, СВЯЗАННОЕ
С ПОНЯТИЕМ АРИФМЕТИЧЕСКИХ РЯДОВ ВЫСШИХ
ПОРЯДКОВ
В заключение рассмотрим замечательное
свойство целого многочлена относительно х,
связанное с понятием арифметических рядов
высших порядков и выражаемое теоремой:
Если в целый многочлен m - о й
степени относительно х:
Q (х) = Ахт + Вхт-1 + Схт~2 +
4-... + Кх + Л (36)
подставить вместо х последова-
тельные члены обыкновенной
арифметической прогрессии:
а; п -J- d; fl ”4* 2d; fl -4- 3d,
то соответственные значения
многочлена
Q(a); Q(a4-d); Q(a4-2d); Q(a4-3d),
составят арифметический ряд
т-го порядка.
Чтобы доказать это, составим выражение
нашего многочлена (36), получаемое при под-
становке в него (х 4- d) вместо х;
Q(x4-d) = X(x4-d)m4-B(x4-d)m-14-
+ с (X 4- d) m-2+... 4- К (X 4- d) 4- L.
Тогда разность.
Q (х 4- d) - Q (х) = А [(х 4- d)m - X™] +
4- й [(х 4- d)m-1 - х m-1] 4- С [(х + d)'71-2-
-xm-2i4-... + Kd,
Математика в школе, № 6
25
очевидно, представит собой некоторый целый
многочлен (т — 1)-й степени относительно х.
Обозначив его через Qt (х), будем иметь
Q + d) — Q (*) = Qi (*)•
Заменяя х в этом равен"тве последовательно
на х 4- d; х 2d; х 4* 3d... и т. д., получим
соответственно:
Q (х 4- 2d) — Q (х 4- d) = Qt (х 4- d);
Q (х 4- 3d) - Q (x 4- 2d) = Q, (x 4- 2d);
Q (x 4- 4d) - Q (x + 3d) = Qj (x 4- 3d);
Из этих равенств вытекает, что полученные
нами выражения упомянутого многочлена
(т — 1)-й степени:
< 2, (*); <2, (х 4- d); Q, (х j- 2d); Qt (х 4- 3d),
составляют первый разностный ряд по отно-
шению к ряду выражений данного многочлена:
Q(x); Q(x + d); Q(x-4-2d); Q(x-|-3d). (37)
Аналогичным путем найдем, что разность
Q, (х 4~ d) — Qi (х) составит новый многочлен
Qs (х) степени на единицу низшей, т. е. (zn—2)-й
степени относительно х:
Qt (x + dj— Qt (х) = (x),
откуда, при последовательной замене х иа
х 4-d; x4~2d
получим:
< 2, (х 4- 2d) — Qt (х 4- d) = Qj (x 4- d);
< 2. (x 4- 3d) - Q, (x 4- 2d) = Q, (x 4- 2d);
Это значит, что выражения нового многочлена
(т — 2)-й степени:
&(х); Qs(x4-d); Qi(x-]-2d),
составят второй разностный ряд по отноше-
нию к упомянутому ряду (37).
Продолжая таким же образом далее, най-
дем, что (т — 1) й разностный ряд по отно-
шению к тому же ряду (37) представит собой
ряд выражений многочлена первой степени
относительно х:
Qm-i(v); Qm-i(x4-'d); Qm-i(x-\-2d).
Если положим, что многочлен Qm_\(x) бу-
дет иметь общее выражение функции первой
степени от х, т. е.
Qm-i (х) = kx-j- b,
где k и b — некоторые постоянные коэфици-
енты, то упомянутый (т — 1)-й разностный
ряд представится в виде арифметической
прогрессии:
(kx 4-0; (kxb)kd; (Ax-f- b) 4~2fcd,
а m-ый разностный ряд будет состоять из
одинаковых членов, равных kd.
В результате приходим к выводу, что при
х = а, последовательный ряд значений дан-
ного многочлена:
Q(a); Q(a + d); Q(a + 2d); Q(a+3d)
представит собой арифметический ряд т-го
порядка, по отношению к которому т-й
разностный ряд будет состоять из одинако-
вых величин, равных kd.
Так как последовательные натуральные
числа
О, 1, 2, 3, 4...
составляют обыкновенную арифметическую
прогрессию, то из предыдущей теоремы выте-
кает следствие:
Частные значения целого мно-
гочлена m-й степени относитель-
но х, получаемые при подстанов-
ке вместо х последовательных
натуральных чисел 0, 1, 2, 3,... сос-
тавляют арифметический ряд т-го
порядка.
Применяя этот результат к частному слу-
чаю многочлена:
Q(x) = xm.
получим второе следствие:
Ряд т-х степеней последова-
тельных натуральных чисел, на-
чиная от единицы, представляет
собой арифметический ряд т-го
порядка.
Отсюда вытекает, что всякую сумму оди-
наковых степеней последова-ельных нату-
ральных чисел можно вычислить с помощью
теории арифметических рядов высших поряд-
ков. Например, чтобы вычислить сумму чет-
вертых степеней первых п натуральных
чисел, составляющих арифметический ряд
4-го порядка:
1, 16, 81, 256, 625, 1296...
выписываем соответствующие разностные
ряды:
15, 65, 175, 369, 671...
50, 110, 194, 302...
60, 84, 108...
24, 24...
Тогда по формуле (32) суммы членов ариф-
метического ряда будем иметь:
1 7
14 + 2«4-з«4-...4-л‘ = 1.с„ 4-1б-с„ +
Ч 4 S
4-50-С „4- Ю-Сп 4-24-С „ =
Заметим, кстати, что в то время, как фор-
мулы суммы квадратов я кубов натуральных
чисел были известны еще древним математи-
кам, формула суммы четвертых степеней этих
чисел впервые была найдена лишь в XV сто-
летни арабским математиком Алькаши в
несколько ином виде:
P4-244-344-...4-n4 =
= -(1-;-2-]-3 ^.,.4-л)-1
[ 5
4-(1 4-24-34-..,4-д)1 -Нг4-22 4-Зг +
4-... 4*
Что касается сумм более высоких степеней,
натуральных чисел, то ими занимались неко-
торые математики XVII столетия, в частности
Ферма. Позднее, в конце XVII столе гия, Яков
Бернулли в своей книге «Ars conjectandi»
показал, как можно при помощи свойств
фигурных чисел вывести формулы сумм оди-
наковых степеней натуральных чисел, и сам
выполнил вычисление до 10-й степени вклю-
чительно.
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
НЕДАВНО НАЙДЕННОЕ СОЧИНЕНИЕ АРХИМЕДА
Лроф. И. Я. ^^ЕЛЯАЛ (Ленинград)
рхимед, живший в Сиракузах, на
острове Сицилии, с 287 по 212„ год
до нашей эры, является величайшим
математиком не только древности,
но и всех времен.
Для не-математика Архимед является более
легендарным героем, чем реальным лицом.
О нем известно, что он был величайшим
инженером древности, применившим изобре-
тенные машины для защиты родины. Он изо-
бретал машины для бросания камней, он якобы
сжигал вражеские корабли при помощи зер-
кал, что считается многими легендой [хотя
французский академик Бюффон (1707—1788)
в некотором масштабе (на расстоянии 200
футов) повторил опыт Архимеда], он при
помощи рычагов с крючьями опрокидывал
вражеские корабли и т. д. Для математика
тот же Архимед — реальный человек, гени-
альный ученый, собрание сочинений которого
уже в издании 1807 г. представляет том в 650
страниц большого формата*.
К счастью для культуры, сочинения Архи-
меда дошли до нас в большем количестве и
в лучшем состоянии, чем творения других
древних гениев. Кроме того, научное наслед-
ство Архимеда увеличивается в большей сте-
пени, чем наследство кого бы то ни было из
древних творцов.
В 1906 г. датский историк математики проф.
И. Л. Гейберг, лучший знаток античной мате-
матики, открыл до сего неизвестное сочине-
ние Архимеда: «Послание к Эратосфену о
некоторых теоремах механики». Русский пере-
вод его: Проф. И. Гейберг, Новое сочинение
Архимеда (с предисловием приват-доцента
И. Ю. Тимченко) издан издательством «Мате-
зис», Одесса, 1909 г. Найдено это сочинение
было в Константинополе в монастыре в виде
палимпсеста, т. е. документа, с которого
смыта имевшаяся на нем первоначальная за-
пись и на месте ее написан новый текст.
Современная химия имеет средства в свою
очередь удалить вторичный текст и восста-
новить первоначальный. Таким путем находи-
лись неоднократно считавшиеся потерянными
произведения древних писателей.
Имеется еще другой путь, которым обога-
щалось наше знание античных авторов. Непо-
средственно в греческих оригиналах до нас
дошли далеко не все имеющиеся у нас произ-
ведения греческих математиков. Большую
услугу мировой культуре оказали арабские
* Oeuvres d’Archlmfede, traduites IltteraTement par
F. Peyrard, A Paris, chez Franco is Bulsson, 1807.
писатели, которые в IX и X вв., когда в Европе
никто ие интересовался наследством греков,
жадно переводили это наследство на арабский
язык, с которого несколькими веками позднее
эти произведения стали переводиться и на
европейские языки.
В Багдаде существовала правительственная
переводческая коллегия, значение которой
для мировой культуры нельзя достаточно
высоко оценить. Неоднократно на протяжении
нескольких веков в арабских переводах нахо-
дились сочинения древних авторов, заглавия
которых были известны из упоминаний о них,
дошедших до нас в произведениях древно-
сти. Однако остается еще целый ряд произ-
ведений, не обнаруженных до сих пор. Таким
сочинением Архимеда, о котором много раз
упоминают различные древние авторы, но
которое до последнего времени нам не было
известно, является его сочинение о правиль-
ном семиугольнике.
Греческие математики умели при помощи
циркуля и линейки вписать в окружность
правильные треугольник, четырехугольник,
пятиугольник, шестиугольник и все много-
угольники, которые получаются из названных
удвоением числа сторон, повторенным какое
угодно число раз. Построение правильного
семиугольника, очевидно, не удалось, так как
вся литература древней геометрии решения
этой задачи не содержит.
Случилось это не потому, что древние
геометры были недостаточно сведущи. Вопрос
о том, какие правильные многоугольники
можно построить циркулем и линейкой, был
решен только в начале XIX в. Гауссом
(1777—1855 г.). Гаусс показал, что правиль-
ный и-угольник, число сторон которого п есть
число простое, может быть построен цирку-
лем и линейкой лишь в том случае, если п
есть число простое вида 2г* -|-1, где k — целое
положительное или 0.
Составим таблицу чисел вида
n = 2'ft + l
/г: 0:1 : 2:3:4. ,
л:3:5:17:257:65537 ’ Ш
Все эти значения числа п суть числа про-
стые. Первые два случая, т. е. построение
правильных треугольника и пятиугольника,
были известны греческим геометрам. Построе-
ние правильного семнадцатиугольника вы-
полнил впервые Гаусс, и он завещал выре-
зать на своем могильном камне эту фигуру.
Правильный 257-угольник был построен еще
при жизни Гаусса пооф. Кенигсбергского
университета Ришело (1832 г.), а правильный
многоугольник с 65 537 сторонами нашел
своего любителя в лице Геттингенского про-
фессора Гермеса, который п эсле десятилетнего
изучения построил его в 1894 г.
Естественно возникает вопрос, какие еще
правильные многоугольники допускают по-
строение при помощи циркуля и линейки?
Теоретически исчерпывающий ответ дан Гаус-
сом: правильные и-угольпики, для которых
п — число простое, имеет вид п = 2г -f-1,
т. е. получается по нашей схеме (1) при даль-
нейших значениях k. Но здесь возникает
новый вопрос: давая в схеме (1) числу k зна-
чение пять, нужно решить вопрос, будет ли
полученное число (весьма большое) простым
или нет. Например, при k — 5 получаем:
п = 22®4-1 = 2зг + 1 = 15 294 967 297.
Простое это число или составное?
Решение вопроса, является ли данное число
п, когда это п число большое, простым или
составным, оказывается трудным. Отметим,
что в силу теоремы Гаусса правильный
семиугольник не может быть построен цир-
кулем и линейкой, так как 7 хотя число и
простое, но не вида22Й -р1. Однако у древних
писателей существуют неоднократные указа-
ния о том, что у Архимеда было сочинение
о правильном семиугольнике.
Эги сообщения весьма интересовали мате-
матиков. Можно было сделать два предполо-
жения о содержании неизвестного сочинения
Архимеда: можно было думать, что Архимед
ошибался и строил циркулем и линейкой
правильный семиугольник или же что он
нашел невозможность такого построения и,
быть может, Амказывал эту невозможность.
Еще Эйлер (1707—1783, великий математик,
член Петербургской Академии Наук) сказал,
(что ошибки великого человека иногда инте-
реснее его дел, где он не ошибается, поэтому
и при первом предположении утерянное со-
чинение Архимеда вызывало к себе исключи-
тельный интерес. При втором предположении
Архимед оказался бы предвосхитившим идеи
Гаусса, величайшего математика первой поло-
вины XIX в.
Умершим в 1925 г. немецким математиком-
арабистом Карлом Шоем был среди арабских
рукописей IX в. в числе астрономических
трактатов найден краткий трактат о правиль-
ном семиугольнике, который несомненно и есть
долго интересовавшее всех математиков со-
чинение Архимеда. В 1927 г. друзья умершего
К. Шоя издали при поддержке Прусской Ака-
демии Наук подготовленную к печати работу
Шоя, и, таким образом, среди многих астро-
номических и тригонометрических трактатов
персидского астронома Альбирунн (973—1048)
стало доступным читателям и сочинение Ар-
химеда. Оно помещено в добавлении к основ-
ному содержанию книги — трактату известно-
го арабского переводчика и математика Табит
ибн Курра (Tabit ibn Qurra, 826—902), который
прямо заявляет, что его трактат является
переводом старого ьесьма поврежденного
списка рукописи Архимеда. Если бы этого
указания и не было, все равно было бы ясно
происхожде ние трактата: льва узнают по ког-
тям.
Изложим ту часть найденного сочинения
Архимеда, которая относится непосредствен-
но к вопросу о семиугольнике. Кроме двух
предложений, относящихся непосредственно
к нтому вопросу, в сборнике Архимеда имеет-
ся ряд других теорем, из которы: некоторые
представляют также чрезвычайный интерес.
О них поговорим в особой заметке.
Если бы современному математику предло-
жить решить вопрос о построении правиль-
ного семиугольника, он поступил бы обычным
путем: предполагая задачу решенной, он стал
бы изыскивать, какие соотношения сущест-
вуют между искомыми, данными и вводимыми
вспомогательными величинами и как на осно-
вании этих соотношений выполнить построе-
ние.
Итак, предположим, что в окружность впи-
сан правильный семиугольник, что ВН (черт. 1)
одна из его сторон, и проведены ди шонали,
исходящие из вершин В
п и Н. Задача о построе-
иии семиугольника бу-
// дет решена, если будут
J/ х\ \/7 определены положения
\ /\. точек К и А на диаго-
U \ II нали BZ.
\\ // Имеем:
V \ 1) Z
2^A77A‘=^ZBG,KaK впи-
санные углы, опираю-
щиеся на седьму ю часть
Черт. 1 окружности; обозна-
чим этот угол через а
f 360° 180°\
он равен----—------);
\ 2-7 7 J
2) / ВНК = /_ HBZ = 2а;
3) /_КАН = 2я, как внешний угол треуголь-
ника НА7\
4) /_НКА = ВКТ = 4а, так как сумма углов
А ИКА равна 180°, нли Та, два же других угла,
уже определенные, составляют За = 3/7-180°;
5) /_ВКН = £АКТ — За, как углы, смежные
к углам в 4а;
6)&ВНА = £±ВНТ (общая сторона ВН и
соответстпенно равные углы); поэтому НА =
= ВТ, ВА=НТ\
7) £\ВТА = /\НТА (по трем сторонам);
8) 7 НТ А = /_ВА Т = 2а; КТ = КА.
Введем обозначения AZ = АН = х\ ВК —
= КН = z\ КА — у.
9) /\НКА подобен △/77CZ (три угла соот-
ветственно равны); отсюда НК: KZ = КА : НК.
KZ КА = НК ,
(y + x)y=z2.
10) А АНК подобен А АНТ (по трем
ветственно равным углам), отсюда
(1)
соот-
НТ:НА = НА:НК,
(д+у):х = х:д,
(y-\-z) z = x\ (2)
Вот те условия, каким соответствует деле-
ние окружности на 7 равных частей. Если их
можно осуществить, то будет решена и по-
ставленная задача.
Получение этих условий очень просто, но
нигде не приходилось встречать этого вывода.
Архимед этого вывода также не дает и, как
кажется, не делает этого по принципиальным
соображенияв*. Греческие геометры никогда
не исходили из предположений, осуществн-
мость которых еще не была доказана. Тот же
Архимед все свои рассуждения начинает не
с предположений, что рассматриваемая им
задача решена, а всегда с того, что уже
доказано. Не с какого угодно вписанного
многоугольника ведет он свои рассуждения,
а с определенного многоугольника, который
он умеет вписывать. Для себя Архимед, веро-
ятно, и рассуждал так, как мы делали только
что, но этого своего чернового рассуждения
ни он и викто из других греческих геомет-
ров никогда читателям не показывают. И в
данном случае Архимед начинает прямо
с построения отрезков, удовлетворяющих
только что полученным соотношениям (1) и
(2), совершенно не предупреждая читателя,
для чего это будет нужно. Читатель с удив-
лением лишь убеждается, что ничем не мо-
тивированное построение приводит совер-
шенно неожиданно к решению задачи. Вот
текст Архимеда, переданный при помощи со-
временных символов.
В квадрате ABCD (черт. 2) со стороной а
проведена диагональ ВС и из вершины D
секущая DTEZ так, чтобы пчощадь /\DI'C
равнялась площади Л AEZ. Вращая секущую
вокруг точки D, можно всегда достигнуть
такого положения. Если провести прямую KL
через точку Т параллельно BD и ввести
Черт. 2
обозначения ВК = г, КА = у, AZ — х, то для
указанного положения наклонно/} имеют место
предложения
1) ZK- АК = К.&, или (х 4- у) у = z-, (1)
2) АВ-КВ = AZ2, нли (у + z) z = х\ (2)
т. е. как раз те соотношения, которые мы
получили выше, и для иас после наших
добавочных рассуждений ясно, для чего Архи-
мед все это делает.
Доказательство
Площадь Л DTC ~ площади Л ZAE,
откуда следует, что
CD-TL = AZ-AE.
CD'.AZ~AE:TL. (3)
Д ZAE подобен Л DLT.
AE:LT= AZ-.LD. (4)
Из (3) и (4) имеем
CD AZ —AZ: LD,
CD-LD — AZ'-, или
AB-BK=AZS. (2)
£\DTL подобен Ls'Z.TK.
TL DL = IK'- KZ.
Ho DL~BK=TK и TL—KA, так как
точка T лежит иа биссектрисе угла В, и пер-
пендикуляры из любой точки биссектрисы
на стороны угла равны *. Поэтому пропор-
• Т. е. перпендикуляр, проведенный из Г
на BD и равный DZ, должен быть равен ТК-
Далее, АК = А В — ВК - KZ — КТ = TZ. Лег-
ко видеть, что эти равенства непосредственно
ция примет вид
KA:BK = BK:ZK,
ZK-AK = BK'.
(1)
Таким образом, найден способ деления от-
резка BZ в требуемых отношениях, если
только может быть найдено такое направле-
ние наклонной DZ, при котором площади
треугольников DTC и AEZ будут равны.
Установив эту предварительную лемму,
Архимед в последнем (17-м) предложении
найденного сочинения дает построение пра-
вильного семиугольника.
Предполагая, что отрезок BKAZ (черт. 3)
со своими делениями взят из предыдущей
мой
леммы, построим на
BZ треугол! ник BHZ
так, чтобы КН =
KB = z и АН—AZ=
=х. Для этого прово-
дим дуги из точек
К и А соответствен-
но радиусами ВК —
= z и AZ = х. Описав
вокруг треугольника
BHZ окружность, по-
лучим дугу ВН, ко-
торая и будет седь-
частью окружности, а угол HZB = a.
вписанным углом, опирающимся на седьмую
часть окружности.
Доказательство
Проведем вспомогательные прямые HAG,
ИКЕ, BG, ТА, ZG, GE.
’) /.77ZB = a;
2) /_Н1=а, так как £\HAZ равнобедрен-
ный, следовательно, v>ZG равна ^уВН
з) =
4) is АНК подобен /\ZliK, так как угол
при вершипе К У них общий, а по доказан-
ному в лемме
zy = (x + y):z,
т. е.
HK-.KA = KZ-.HK.
Из подобия треугольников АНК и ZHK
имеем:
Z Н.2 = а и <jEG = \jBH.
В четыреугольнике ТВНА".
5) х.ВАН= /_НЕТ, так как /\ВНК равно-
бедренный, равно как и £\BHG;
6) Al ВАН =2а Ггнешний угол Д HAZ)',
7) Д ВКТ = tsHKA (ВК = НК, и углы,
прилежащие к этим стиронам, соответствен-
но равны), откуда
НА=ВТ = х, КТ=КА=у, ^ВТН-=2а.
Наконец, /\КНА подобен А АНТ, так как
у этих треугольников угол Нг = а общий
и по второму соотношению, доказанному
в лемме,
z: х = х: (у + д),
т. е.
НК'.НЛ = НА-НТ.
Из подобия этих треугольников следует
8) лНТА= ._НАК+^.
9) Z_HS = АН,, - 2а, так как треугольники
ВКН и ТКА оба равнобедренные и с равными
при вершине углами, почему и углы при
следуют из того, что прямоугольный тре-
угольник ВКТ — равнобедренный.
77римечание редакции.
основании у них равны; в таком случае дуги
HZ, и BE каждая представл ют удвоенную
дугу Bff, следовательно, ВН есть седьмая
часть окружности, и правильный семиуголь-
ник построен. Но для этого нужно предва-
рительно выполнить деление отрезка BZ на
требуемые части, т. е. провести наклонную
DZ (черт. 2) так, чтобы треугольники DTG
и AEZ были равновелики, другими словами,
надо определить положение точки Е.
Архимед не дает никакого указания, как
построить точку Е. Конечно, он зиает, что
циркулем и линейкой ее построить нельзя
(задача приводит, как увидим, к кубическому
уразненню). При помощи же конических се-
чений, хорошо известных Ап хи меду, построе-
ние возможно. Такое построение дает арабский
математик Иби-Аль-Хайтам (Ibn Al Haitam,
965—1039), трактат которого на эту тему
напечатан в переводе Шоя вслед за тракта-
том Архимеда *.
Суть построения Иби-Аль-Хайтама в сов-
ременных символах следующая. Пусть сторона
квадрата (черт. 2) обозначена через а, тогда:
y-\-z = a, z=> а — у.
Уравнения Архимеда, определяющие равно-
великость рассматриваемых треугольников,
можно переписать так:
(х +У)У = (а — >)а: — У) = *2-
Исключим из этих уравнений у. Из второго
уравнения
V2 /7 2 —. У®
у = а — i = -;
а а
подстановка этого значения в первое урав-
нение дает после преобразований
х’ 4- 2ах2 — а2х — а' = 0,
* Иби-Аль-Хайтам родом из Б 1сры в Ме-
сопотамии; позднее жил в Каире. Выдающийся
математик и астроном.
т. е. кубическое уравнение; построение от-
резка х циркулем и линейкой невозможно.
Но уравнение а(а — у) = хг определяет па-
работу, уравнение (x-J-y)y = (a—у)г, или,
по раскрытии скобок,
ху = аг — 2ау,
гиперболу, и точка пересечения обеих кри-
вых определяет сторону правильного семи-
угольника. Все это рассуждение не только
целиком было доступно Архимеду, но, более
того, вполне в духе решения так называемых
невозможных (циркулем и линейкой) задач
древности. Совершенно таким же образом
решал задачу об удвоении куба Менехм
(Menachmus, 350 лет до нашей эры) ученик
Платоиа. Предполагать у Архимеда подобное
же решение задачи о правильно вписанном
семиугольнике совершенно естественно. Если
он ие поместил этого решения в свой трак-
тат, то, вероятно, потому что не считал это
решение требуемым, т. е. выполненным
циркулем и линейкой.
Оба предположения о содержании сочине-
ния Архимеда о семиугольнике оказались
неверными. Архимед не делал ошибки при
решении задачи, а также не оказался пред-
восхищающим идей Гаусса, ожидать чего
было, конечно, мало вероятно. Он дал в своем,
ныне ставшем нам известным, сочинении о
семиугольнике четвер-ую неразрешимую
(при помощи циркуля и линейки) задачу
древности вдобавок к давно известным зада- '
чам об удвоении куба, трисекции угла и
квадратуре круга. Если вспомнить роль этих
задач в истории развития математики, то
станет ясным значение вновь открытого
сочинения Архимеда, этого нового перла
среди ранее известных его сочинений. Гений
Архимеда после последнего открытия его
сочинения засиял новым, еще более ярким
светом.
О ЧИСЛАХ ВИДА: =
В. ШОЛАСХЕР
(« вадаче К 41, по» ещеннок в К В ва 1939 г. Решение в Кб 1939 г.)
Рассмотрим целые числа:
Wk = l + qk + qk,
где q— некоторое определенное целое число,
a k—'Произвольное целое положительное чи-
сло.
Пусть
^1=14-?+?1 = и.
Теорема. Всякое число Wk делится без
остатка на и при k = Зл + 1 и k = Зл + 2,
где л — любое целое положительное число.
Пусть при некотором k = ,п теорема выпол-
нена, т. е. V6Cm делится на и. Докажем, что
она будет выполнена и при k = m-}-3.
Действительно:
l^m+з = 1 + qmq3 + <7Em7e = q3 (1 + qm +
+ ^m) - (<73 - О + (<7° - q3) qsm = <73Гт -
-(q-l)U-bq3(q-l)aq^.
Остается еще показать, что Wt делится на и.
Действительно:
— 14- -г 94 = 1 + q 4- q~ + q (tj3 — 1) =
= “ + ?('? — l)u=u(l — 7-r<?!).
Ho W3 уже не делится на и, так как
IF3 = 1 4 т3 4- 7е = (<73~ 1Г 4-3?3 =
= «a(9-l)' + 3<7s.
Следовательно, если k = Зп, то Wk не де-
лится на и.
ВОПРОСЫ ПРЕЛОДАВ ДИЛЛ ГЕОМЕТРИИ
О ВИДОЕЗИЕНЕЙИИ НЕКОТОРЫХ ВЫВОДОВ, КАСАЮЩИХСЯ ТЕОРИИ
ОБЪЕМОВ ФИГУР
Проф. А. С. ПОБАЙТНО (Иваново)
§ 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
иастоящей статье мы имеем целью
видоизменить с точки зрения про-
; I J ; стоты и строгости изложения тео-
дь,--сх| рию объемов и площадей поверхно-
стей некоторых фигур. Сюда отно-
сятся пирамида, цилиндр, конус, шар с его
частями и усеченная призма. При определе-
нии объемов мы стараемся дать такие выво-
ды, которые были бы свободны от перекраи-
вания фигур в равновеликие им фигуры.
Мы не ограничиваемся этими выводами, но
и указываем их место и последовательность
в курсе элементарной геометрии.
Для полной строгости изложения мы счи-
таем необходимым поместить формулировку
наиболее важных положений теории преде-
лов в ее применении к измерению объемов
и площадей.
Аксиома непрерывности. Если
имеются две бесконечные последовательности
чисел at <а2<я3 < а4 . . . и fc2> fc3...
такие, что все числа первой меньше всех
чисел зторой и если разность (Ья—ап) мо-
жет рыть сделана как угодно малой вели-
чиной при «и» достаточно большом, тогда
существует такое число «с», которое боль-
ше всех чисел первой последовательности
и меньше всех чисел второй последователь-
ности. Эго число с принято называть общим
пределом двух последовательностей и запи-
сать так: с = lira ап = lim Ьп Отсюда ясно, что
л —>со л оо
разности (Ьп — с) и (с — «„) как угодно малы
при «п» достаточно большом.
Для площадей и объемов мы сформули-
руем определение, опираясь на предложение,
доказательства которого мы не приводим.
Лемма. Если фигура А содержит в себе
целиком фигуру В, то А больше
т J r J 1 объем
площади &
объема
Если А содержит в себе В, то мы это за-
пишем так: А В Площадь фигуры А мы
условимся записывать так | А |.
Определение. Если идет речь о не-
которой фигуре *С» и если включить в «С»
систему фигур Aj С Аг С Л3 С А4 CZ . . .,
площади ' ,
'объемы' К0Т0Рьи нам известны, и, наоборот,
включить С в систему фигур
В, ZD В2 ZD В3 В4 . .
_ — которых нам также известны, тогда
объемы г
согласно лемме имеем | Bt | > | Вг | > | В31 >...
и | А,|< | А2 | <| А3| <..... причем
все числа | Вг | больше всех чисел | А/1. Если
окажется, что | Вп | — | А„ | есть величина
сколь угодно малая при «л» достаточно боль-
шом, то, на основании аксиомы непрерывно-
сти, существует общий предел s — Вт А„ =
л->со
= Вт Вп, который мы и условимся называть
л~> оо
площадью С, т. е. величиной | С |.
Из этого определения мы получаем пло-
щадь круга помощью площадей вписанных
и описанных многоугольников. Аналогично
мы определяем объем цилиндра, а также
объем к шуса после того как нам известен
объем призмы и пирамиды.
Остановимся теперь на выводах некоторых
объемов.
- § 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ
а) Объем пирамиды
Лемма. Объемы двух треугольных пира-
мид с равными высотами относятся между
собой как площади их оснований.
Доказательство. Пусть „ иам даны
две пирамиды А, и А2 с одинаковой высотой h.
Поставим их на одну плоскость Р и, разде-
лив общую высоту иа «и» равных частей,
проведем через точки деления плоскости
параллельные плоскости Р. Они рассекут пи-
рс миды А, и Аг. Тогда площади соответ-
ствующих сечений двух пирамид А, и А2
будут находиться в том же отношении, как и
их основания. Обозначим это отношение
через К.
Построив иа каждоь. сечении той и другой
пирамиды входящую и выходящую призмы
(см. черт. 1), мы, очевидно, получим, что объ-
Черт. L
ВХОДЯЩИХ а
емы соответствующих призм, А,
и Л2 находятся в отношении равном Д'.
Отсюда и отношение суммы объемов
призм пирамиды At к сумме объе-
мов--------- призм равно К, и это неза-
выходящих г 2 г х*
висимо от величины «л».
Следовательно, основываясь иа определе-
нии объема (см. § 1), мы легко заключаем,
что отношение объема А, к объему А2 рав-
но К. (Отметим, что здесь мы фактически
совершаем переход к пределу при п -е>со.)
Итак, лемма доказана.
Теорема. Объем треугольной пирамиды
равен одной трети произведения площади
ее основания на высоту.
Доказательство. Пусть 5 — площадь
данной треугольной пирамиды, a ft — ее
высота. Построим куб
ABCDEFGH (см. черт. 2)
со стороной ргвной 2ft.
Четыре его диагона-
ли: AG, ЕС, ВН и FD
образуют вместе с его
ребрами шесть равных
четырехугольных пира-
мид, следовательно, объ-
(2ft)3
ем каждой равен —— =
Черт. 2
8ft3 4ft3
~~ . Возьмем
6 3
одну из них ABCDO и диагональной плос-
костью BOD разделим ее на две равные
треугольные пирамиды. Возьмем одну из
2
них ABDO. Ее объем равен — ft3. У нее
такая же высота ft, как и у данной нам
пирамиды, а потому, обозначив ее объем
через V, мы в силу доказанной леммы
2
должны заключить, что Vй3 = S; (пло-
2
щадь ABD)\ или: V: — h3 = S: 2h2, откуда
3
V = — S ft, ч. т. д.
3
Отсюда обычным порядком мы распростра-
няем доказанную теорему на случай любой
пирамиды, а затем и на объем конуса.
Ь) Объем шара и его частей
Возьмем полушарие радиуса R и конус
радиуса R и высоты /?, положим полушарие
через точки деления проведем ряд парал-
лельных между собой плоскостей, параллель-
ных Р.
Возьмем какую-либо плоскость, отстоящую
на расстоянии х от центра нашего шара О
или вершины G конуса. В пересечении ее с
шаром и конусом она даст круги соответ-
ственно радиусов R2 — х2 и х. Следова-
тельно, площади этих кругов будут соответ-
ственно равны г. (R2 — х2) и к х-. Следова-
тельно, их сумма постоянна и равна к/?3.
Построим теперь иа каждом сечении шара и
конуса по две системы входящих и выходя-
щих цилиндров (оии изображены в разрезе).
В силу только что сказанного ясно, что сум-
к входящего
ма объемов-------------цилиндра шара с со-
выходящего г *
выходящим
ответствующим входящим- цилиндром конуса
есть величина постоянная и равная .
п
Следовательно, сумма объемов всех входящях
’ J выходящих
цилиндров, сложенная с суммой объемов всех
выходящих
-----— цилиндров конуса, есть величина
постоянная, равная nR*h, как бы велико ии
было «и». Совершая предельный переход при
п_>оои используя определение объема, дан-
ное в § 1, мы заключаем, что объем шарового
сегмента высоты й, сложенный с объемом
усеченного конуса высоты Л, равен т./?ЕЯ.
Пусть V—объем сегмента.
Объем усеченного конуса представится,
очевидно, так:
у й [«-’ + (/? - й)-’ + Я (Я - й)].
Следовательно,
V + v h2 [/?-’ + (R - й)3 + /?(/?- ЙЧ = к R“k,
О
откуда
/ . Л3
У=гс( Rh3 - —
В частности, при й = R мы имеем объем полу-
2
шара V = —it R3, откуда объем шара равен
3
4
— к R3. Также легко находим объем шарово-
3
го сектора н пояса.
Черт. 3
и поставим конус на одну плоскость Р. На
чертеже 3 мы изображаем эти фигуры в их
осевом разрезе.
На расстоянии й < R от Р проводим пло-
скость Q || Р. Оиа отсечет от шара сегмент,
осевой разрез которого — АВТ, а от конуса —
усеченный конус, осевой разрез которою —
Л’В’СО’. Разделим h на п равных частей и
32
с) Объем треуголпиой усечен-
ной призмы
Пусть нам дана треугольная, усеченная не-
параллельно основанию, призма ABCDEF.
Пусть ее боковые ребра равны соответ-
ственно AD = lt, ВС = /„ EF = 12.
Обозначим через S площадь ее поперечного
ортогонального сечения.
Вычислим ее объем; проведем сечение GHF
параллельно АВЕ, тогда наша призма разо-
Черт.
I
бьется иа две части: обыкновенную призму
ABHGEL и четы"ехугольную пирамиду
GHCDF. Объем первой равен очевидно l3S.
Объем второй равен -— площади GHcD,
О
умноженной на высоту Fj, но площадь
&DA-HC
GHCD =-----------LK =
+ (4-4)
• LX.
2
Следовательно, объем GHCDF равен
но
LK- F7 = 2S.
Следовательно, объем GHCDF =
_ 1 Z, + Z,-2/3
3 2
Отсюда объем V всей нашей усеченной приз-
мы представится так:
V = Z3S + y(Z, + Za-2Z3)S
или:
V = — (Z, + Z. + Z3) S.
о
Итак объем произвольно усеченной треуголь-
ной призмы равен одной трети суммы ее ре-
бер, умноженной иа площадь поперечного
ортогонального сечения.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ *
А. ФЕТИСОВ (Москва)
Ш. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПЕРЕНЕСЕПЕЕ (ТРАНСЛЯЦИЯ)
D,. Если произведем последовательно две
осевые симметрии по отношению к двум
взаимио-параллельиым, то получим преобра-
зование, которое называется параллель-
ным перенесением, или трансля-
цией.
Г,. При параллельном перенесении все
точки плоскости перемещаются в одном и
том же направлении и на одну и ту же дли-
ну, равную удвоенному расстоянию между
осями.
/: На чертеже 1 имеем: Z, (Л) = Д,; 4(Д,) = А’,
причем Zj // Z2. AAt J_ Z,; AtA' J_ lg, откуда, в
силу параллельности прямых Z, и Z2 следует,
что точки Д, Д( и Д' лежат на одной и той
же прямой. Если величину расстояния^ от
точки А до прямой Z, назвать р, а от той же
точки до прямой Z2 итзвать q, расстояние же
между осями обозначить т, то, очевидно,
m = p + q.__
АА, = 2р; А, А' = 2q: . •. ДД' = 2р + 2q = 2т.
Из доказанной теоремы мы видим, что па-
раллельное перенесение вполне определяется,
* Продолжение, см. №№ 4 и 5.
3 Математика в школе, № С
ес^и дать величину и направление отрезка
на который смещаются все точки плоскости.
ZJ2. Отрезок, на котором установлено опре-
деленное направление, называется векто-
ром. Два вектора считаются равными в том
и только в том случае, если оии одинаковы
по длине и по направлению (черт. 2). Век-
тор мы будем обозначать стрелочкой, поме-
щаемой над обозначением отрезка, причем
порядок букв в обозначении должен соответ-
ствовать начальной и конечной точке век-
тора. Например, на чертеже 2 мы имеем:
АВ = CD.
Итак, мы видим, что трансляция вполне
определяется заданием некоторого вектора,
дающего ее величину и направление. Если
этот вектор будет т и точка А смещается
в Д' (ДД = т}, то само преобразование мы
будем записывать так:
m (Д) = Д'.
Т\ (обратная). Всякую трансляцию можно
разложить на две осевые симметрии с осями,
перпендикулярными к направлению трансля-
ции, причем расстояние между осями вдвое
меньше длины векто-
ра, определяющего
трансляцию, и одну
из этих осей можно
провести произволь-
но.
/: Положи»', что т
(Д)ЕД' (черт. 3). Про-
ведем произвольную
ось Z, _L ДД' и пустя
It (А) = Д,. Проведем
33
теперь симметраль Z2 точек Л, и А' и вновь
получим преобразование, рассмотренное нами
на чертеже 1, так как Ц 1 АА' и I ЛАГ,
следовательно, Z, Ц /2.
С,. Так как всякая трансляция эквивалентна
двум осеьым симметриям, то это преобразо-
вание преобразует каждую фигуру в кон-
груэнтную и одинаково ориентированную (см.,
например, черт. 4).
С2. Ввиду того, что при трансляции всякая
точка плоскости смещается в новое положе-
ние, двойных
точек преоб-
разов ания при
трансляции
и ет. С другой сто-
роны, точка вся-
кой прямой, па-
раллельной на-
правлению транс-
ляции, преобра-
зуется в точку той
же прямой, поэтому все прямые, параллельные
направлению трансляции, преобразуются в са-
мих себя и, следовательно, являютсядвой-
ными прямыми преобразования.
С2\Две пары точек, взаимных в трансляции,
определяют пару взаимных прямых.
/: Если т (4) == А' и т (В) = В', то
т(АВ)Е А'В'.
С4. Две пары прямых, взаимных в трансля-
ции, определяют пару взаимных точек.
/: Еслит (a} а'\ и (Ь) = Ь', то tn{ab) а’Ь’.
Т,. Отрезки, соединяющие пары взаимных
в трансляции точек, равны и сонаправлены.
/ : Положим ицА) = А' н гп{В) — В' (черт. 4).
По определению трансляции имеем АА' — ВВ',
но тогда из параллелограма АА'В'В будем
иметь также:
АВ = А'В'.
Т2 (обратная). Обратно, если даиы две фи-
гуры в одной и той же плоскости, удовле-
творяющие условиям: 1°. Каждой точке пер-
вой фигуры соответствует одна и только
одна точ—а второй фигуры и обратно. 2°. Век-
торы, определяемые парами взаимных в этом
соответствии точек, равны, — то такие фи-
гуры можно преобразовать одна в другую
трансляцией.
/: Пусть фигуры АВС... и А’В’С' удовле-
творяют условиям теоремы: АВ = А’В',
ВС — В'С' и т. д. Тогда, по свойству парал-
лелогпама, будем иметь также: АА' = ВВ' —
= СС = . . . , т. е. точки ьторои фигуры
можно получить из точек перзой (Ьигуры
путем трансляции, определяемой хотя бы
вектором АА’.
Т3. Две последовательные трансляции в од-
ной и той же плоскости можно заменить од-
ной трансляцией.
/: Если мы последовательно произведен
две трансляции, определяемые ве''тора)ли m
и п (черт. 5), то получим: tn (А) = А',
п (А') = A”; m (В) — В'; п (В’) = В" Соглас-
но Г2, мы имеем: АВ = А’В' — А"В", т. е.
АВ = А"В", а это значит, что первоначальная
фигу ра (А, В, . . . ) и окончательная фигура
(А", В",. . . ) удовлетворяют условиям Т2
и, следовательно преобразуются одна в дру-
гую трансляцией.
D3. Вектор АА ' (черт. 5), который опреде-
ляет результат двух трансляций, называется
геометрической суммой (или просто
суммой) векторов АА' и А'А”, определяю-
щих первоначаль-
ные трансляции.
Как видим, для по-
лучения суммы
векторов нужно к
концу первого
вектора присоеди-
нить начало вто-
рого и взять век-
гор, идущий от
начала первого
вектора до конца
в/орсго. Получен-
ная операция записывается так: если А А' = т,
А'А" =~п, то АА' + А'А’’ = т = АА".
Мы употребляем здесь знак сложения и
термин «сумма» по двум причинам; во-пер-
вых, только что данное определение сумми-
рования векторов является естественным
обобщением правила суммирования отрезков,
а, во-вторых, полученная сумма подчиняется
тем же законам, каким подчиняется сумма
чисел в арифметике:
Св. Векторная сумма подчиняется переме-
стительному и сочетательному законам.
/: Возьмем вектор т с началом в точке М
и прибавим к нему вектор п (черт. 6). Если
теперь из того же
начала проведем
сначала вектор п,
а потом прибавим
к нему вектор т,
то, очевидно, по-
лучим параллело-
грам и конец век-
тора суммы и в
том и в другом
•у же точку — ко-
нец диагон'ли этого параллелограма. Итак:
= —закон перемести-
тельный. Попутно мы получили правило
сложения векторов при помощи параллело-
грама,— правило, которое широко приме-
няется в механике и физике.
Черт. 6
случае попадет в одну и
Прибавим теперь к вектору/л-|-п вектор р
(черт. 7) и получим
гГ
Черт. 7
сумму: (т-{-п)+р.
Но к той же самой
точ се мы придем,
прибавляя к вектору
т вектср ( п , и
получим U+T) +
+ Р = «+€«+/>)—
закон сочета-
тельный.
На примере трансляции мы можем подтвер-
дить основную мысль Ф. Клейна, утверждав-
шего, что геометрию можно рассматрпьать
как науку, изучающую некоторые группы
преобразований.
£>4. Будем называть гру ппой совокупность
элементов а, Ъ, с,. . ., обладающую следую-
щими свойствами:
1°. Существует некоторая операция (мы
будем говорить «композиция»), которая, бу-
дучи произведена над двумя элементами
группы, дает вновь элемент этой группы.
Если эту операцию обозначить звездочкой (*),
то мы будем иметь символически:
а * b = с,
где а, b и с — элементы данной совокупности.
2°. Эта операция подчиняется сочетатель-
ному закону:
а (Ь * с) = (а * 6) * с.
3°. В группе присутствует элемент (он на-
зывается единицей, нли модулем
группы), в композиция с которым любой
элемен.’ группы дает этот же самый элемент
т. е. остается неизменным. Если модуль
группы обозначить буквой е, то будем иметь
по определению:
а * е = а.
4°. Для каждого элемента а существует
элемент, в композиции с которым получается
модуль группы. Этот элемент называется
обратным элементу а л обозна-
чается а~ ’.
Итак:
а *а~1 = е.
Если, помимо перечисленных четырех
свойств, композиция группы обладает еще
свойством переместительности, т. е. если:
а * b — Ь * а,
то группа называется коммутативной
или Абелевой(по имени знаменитого нор-
вежского математика Н. Абеля (1802—1829).
Чрезвычайно общее понятие группы яв-
ляется одним из самых фундаментальных по-
нятий современной математики и играет в
ней исключительно важную роль.
Опираясь на только что установленные
сво ства группы, можно показать, что в каж-
дой группе существует только один модуль,
что каждому элементу соответствует только
один обратный элемент и что для всякой
группы (и не коммутативной) имеют место
равенства:
а * е = в* а
и
а * а~’ = а~1 * а — е.
Мы не будем здесь останавливаться па этих
доказательствах (желающие могут их найти
в любом курсе современной алгебры), так
как наличие вышеупомянутых свойств модуля
и обратного элемента в нашем случае будет
непосредственно очевидно.
Довольно простым примером группы нам
может послужить совокупность всех четных
чисел. Проверим на этой сово супиости все
свойство группы (композицией будет сло-
жен и е).
1°. Сумма двух четных чисел есть число
четное.
2°. Сумма подчиняется сочетательному за-
кону.
з*
3°. Модулем группы служит число нуль.
4°. Каждому четному числу соответствует
равное по абсолютной величине, ио обратное
по знаку четное число. Сумма таких чисел
дает модуль группы—нуль.
Группа будет Абелевом, так как сложение
чисел подчиняется переместительному закону.
Заметим, что совокупность всех нечетных
чисел не образует группы, так как оно не
удовлетворяет первому условию:сумма двух
нечетных чисел есть число четное.
Если элементами считать трансляции в од-
ной и той же плоскости, а композицией —
последовательное применение двух трансля-
ций, то все трансляции образуют группу и,
притом, коммутативную.
/: Посмотрим, удовлетворяют ли трансля-
ции вышеустановленным свойствам группы.
1°. Две последовательные траисляцни'экви-
валентны одной, как это установлено в Т3.
2°. Композиция трансляций подчиняется со-
четательному закону, что мы сразу же полу-
чим из С(, если будем определять трансля-
ции соответствующими векторами.
3°. Модулем группы служит так называе-
мое тождественное преобразова-
ние («покой»), которое получим в том пре-
дельном случае, когда оси симметрии, опре-
деляющие трансляцию, совпадут между собою.
В этом случае всякая точка плоскости после
двух преобразований вернется в первоначаль-
ное положение, т. е. все точки плоскости бу-
дут двойными.
4°. Для каждой трансляции существует
обратная трансляция, возвращающая точки
плоскости в исходное положение (т. е. при-
водящтя преобразование к покою). Вектор
обратной трансляции равен вектору перво-
начальной трансляции по длине, ио направлен
в противоположную сторону.
Наконец, из Cf следует также, что компо-
зиция трансляций подчиняется переместитель-
ному закону, следовательно, группа комму-
тативна.
Установленные нами свойства трансляции
могут быть широко использованы для реше-
ния различных геометрических проблем.
Разберем несколько примеров.
1. Между сторонами данного угла поме-
стить отрезок данной длины, параллельный
данной п пямой.
Решение. Дай угол аЬ, длина m и на-
правление прямой I (черт. 8). Транслируем
Черт. 8
прямую Ь в положение V при помощи век-
тора m (вектор длины m и расположенный
на прямой I). Пусть ob' = В’. Возвращая
точк} В' в исходное положение — в точку В,
мы получим искомый отрезок BB't так
как В В = т.
2. Между прямою и окружностью поме-
стить отрезок данной длины и направления.
35
Решение тем же методом, как и в пре-
дыдущей задаче: данную прямую переносят
в новое положение и находят точки пересе-
чения транслированной прямой с данной
окружностью. Можно поступить и иначе:
транслировать окружность, руководясь дли-
ной и направлением данного отрезка, и найти
транслированной окруж-
точки пересечения
При помощи
задачи
3
ности с дайной
прямой. Это имен-
но н сделано на
чертеже 9.
3. Между двумя
данными окружно-
стями поместить
отрезок данной
длины и направ-
ления.
Решение та-
кое же, как и в пре-
дыдущей задаче,
решаются следую-
щие две задачи:
4. Построить трапецию
нам.
5. Построить трапецию
и двум диагоналям.
по четырем сторо-
по двум основаниям
Решим еще несколько задач.
6. В точках А и В, расположенных по обе
стороны реки с параллельными берегами, на-
ходятся два селения. В каком месте реки
нужно построить мост, чтооы путь между
этими селениями был кратчайший?
Решение. Пусть а // b— берега реки,
А и В — пункты, в которых находятся селе-
ния. Имея в виду, что направление моста
должно быть перпендикулярно направлению
берегов, рассмотрим некоторый путь APQB.
В этой ломаной звено PQ есть величина,
и
самой короткой, если
опреде.шемая ши-
риной данной по-
лосы. Транслируем
точку А в А' иа
величину вектора
Путь AA'QB
равен пути APQB,
так как AA' = PQ
и A’Q = АР. I io,
очевидно, длина
пут 1 AA'QB будет
часть A’QB будет пря-
молинейной. Проводим прямую А'В; этим опре-
делим точку N и, вместе с тем, искомое поло-
жение моста (черт. 10).
7. В данном А АВС провести прямую па-
раллельную основанию ВС так, чтобы верх-
ний отрезок од-
ной боковой
стороны был
равен нижнему
отрезку другой
Черт. II
сто-
боковой
роны.
Решение.
Положим, что
задача решена
и MN—искомая
прямая (черт.
11): AM = NC.
Транслируем отрезок NC в положение МР.
/\ АМР равнобедренный, та с как VC = МР =.
= АМ, поэтому L1 = L 3. С другой стороны,
[_2=L3 как внутренние накрестлежащие.
Следовательно, 1 = (_ 2 и прямая АР — бис-
сектриса |_ А. Этим определив! ся точка Р
Дальне! шее решение очевидно.
Черт. 12
8. Дана прямая I и точки А и В по одну
сторону этой прямой. Найти такое положе-
ние отрезка MN данной длины т на этой
прямой, чтобы путь AMNB был бы кратчай-
шим.
ляет искомую точку
Черт. 13
М
м-
Черт. 14
Решение. Транслируем точку А на дли-
ну т параллельно прямой I — в точку А'
(черт. 12). Находим точку А", симметричную
с А' по отношению I. Прямая А" В опреде-
ли
9. Построить четыре-
угольник по четырем
сторонам и медиане (от-
резок, соединяющий се-
редины противополож-
ных сторон).
Решение. Пусть
ABCD—искомый четы-
реугольник (черт. 13),
MN— его медиана.
Транслируем CD в по-
ложение MD' и АВ— в положение МВ'. Так
как NB — ND и ВВ' # DD', то В' и D' цент-
рально симметричны по отношению к N.
В А МВ'Р’ нам известны
стороны МВ' и MD' и ме-
диана MN. Задача приве-
лась к построению тре-
угольника по двум сторо-
нам и медиане, проведен-
ной к третьей стороне. Для
решения этой задачи про-
должим MN на ее, длину за
точку N (черт. 14). М'п =
= MN. По свойству цент-
ра^ чей симметрии М'В' =
= MD и /\ МВ'М' мы мо-
жем построить по трем сторонам. Таким об-
разом, мы найдем точки М, N, В' и D’.
Остается иайти точки А, В, С и D. Точка В
находится от N иа расстоянии BN, которое
известно. От точки В’ точка В находится на
расстоянии BN — АМ, что тоже известно.
Поэтому точку В мы можем иайти засечками.
Аналогично найдем и точку D. Для отыска-
ния точек А и С транслируем отрезки МВ'
и MD’ в их исходное положение.
10. Построить четыреугольиик по четырем
сторонам и отрезку, соединяющему середины
диагоналей.
Решение аналогично решению пр щыду-
щей задачи.
11. Через две точки, данные на окружно-
сти, провести две параллельные хорды, сум-
ма которых равнялась бы данной длине.
Решение. Н чертеже 15—А и В дан-
ные точки; АС и ВО—искомые хорды. Транс-
лируем AD в положение СЕ. /\ ВСЕ — рав-
нобедренный, так как 1_1 = L2, L 2 = |_ 3»
Решение. Пусть Л АВС — искомый, АА',
ВВ’, СС' —его медианы (черт. 17), G —их
как L1 = L2, |_2 = L3,
Черт. 17
точка пересечения.
Транслируем AG
положение CD. Точ-
ки G и D центрально
симметричны по отно-
шению к В’, поэтому
вДСРО каждая сто-
2
рона равна — соот-
ветствующей медиа-
ны, следовательно.
причем все эти
углы известны, так
как |_ 2 опирается
на данную дугу
—АВ.
Основание BE в
В\ВСЕ равно дан-
ной сумме, следо-
вательно, А ВСЕ
можно построить
по основанию и
двум углам при
основании. Этим определится длина ВС и, зна-
чит, точку В мы сможем найти засечкой.
12. Построить параллелограм по двум сто-
ронам и углу ьежду диагоналями.
Решение. Положим, что ABCD — иско-
этот треугольник мы можем построить по
трем сторонам. Получив точки С, D и G, мы
полу ним точку В', за гем найдем точку Л и т. д.
14. Через точку пересечения двух окруж-
ностей провести секущую так, чтобы сумма
полученных хорд равнялась данной длине.
мый параллелограм
Черт. 16
(черт. 16). Транслируем
диагональ AD в поло-
жение BE. В А С Вс нам
известны: основание СЕ,
положение точки D на
нем, длина BD и |_ СВЕ,
равный углу между диа-
гоналями. Для отыскания
В строим наСЕ дугу, вме-
щающую данный____угол,
Решение. Пусть АВ (черт. 18) — иско-
мая секущая. Проводим OiM^AB и OtNА.АВ.
Черт. 18
Очевидно, MN =
— АВ. Транслиру-
ем МЧ в положе-
ние UtD. В прямо-
угольном £\OtDOs
нам известна ги-
потенуза О^О, и
катет (J^D = Л1Л'.
и на этой дуге данным расстог нием BD за-
сечкой определяем точку В.
13. Построить треугольник по трем его ме-
дианам.
Итак, Z\ O,DO2 мы можем построить по ги-
потенузе и катету. Получив точку D, опреде-
лим направление OZD и, вместе с тем, на-
правление секущей АВ.
ВПИСАННЫЙ И ОПИСАННЫЙ ШАР
В. ДАДЕ^ЕЕ (Ст. Лиски)
реди учащихся большие затрудне-
ния вызывают задачи на вписанный
и описанный шар. Значительная
часть этих затруднений относится
за счет чертежа, который нужно
построить по условию задачи. В методической
литературе этот вопрос почти совсем не раз-
работан. поэтому не только ученики, но иног-
да и преподаватель действует вслепую, не
имея перед собой определенной системы.
Черт. 1
Стереометрический чертеж— изображение
тела в пространстве—обладает той особен-
ностью, что здесь всегда может быть не
один, а бесчисленное множество вариантов,
чз которых надо выбрать наилучший.
Возьмем треугольную прямую призму и
изобразим ее тремя способами (черт. 1).
Мы начертили проекцию одной и той
же призмы. Разница между этими проек-
циями только в том, что в первом случае
(I) задняя (невидимая) боковая грань дала в
натуральную величину, во втором случае (11)
нет ни одной грани в натуральной величине,
а в третьем случае передняя боковая грань
изображена в натуральную величину. Про-
анализировать эту призму, решить относи-
тельно ее тот или иной геометрический во-
прос, конечно, можно иа каждом из этих чер-
тежей, ио легче и нагляднее выбрать тот ва-
риант, который болоше подходит к конкрет-
ным условиям данной задачи.
Возьмем комбинацию шара с простейшим
многогранником: вокруг прямоугольного па-
раллелепипеда описан шар (черт. 2).
Каждый из этих чертежей верен теорети-
чески, но в первой проекции большон круг
как бы висит в воздухе, ие будучи связан с
вершинами параллелепипеда, во втором слу-
чае большой круг, проходящий через диа-
гональное сечение, изображается в виде эллип-
са, а в третьем случае это сечение находится
в плоскости чертежа, и большой круг про-
ектируется в натуральную величину. Ясно,
что этот третий вариант является наиболее
наглядным и удобным изображением заданного
комбинированного тела.
Черт. 2
В задачах на вписанный и описанный шар
почти всегда приходится определять ту или
иную зависимость между радиусом шара и
линейными элементами многогранника. Для
нахождения же этой зависимости необходимо
произвести соответствующий анализ в отно-
шении одного из больших кругов шара.
Какие же требования мы предъявляем к
чертежу в целях его максимального удобства,
наглядности и убедительности? Формулиро-
вать эти условия нетрудно:
1) большой круг шара во всех случаях
(для вписанного или описанного шара—без-
различно) должен изображаться в натуральную
величину в плоскости чертежа;
2) для описанного шара многогранник (впи-
санный) следует располагать так, чтобы хотя
бы две из его вершин иаходилк-сь на фрон-
тальной проекции окружности большого кру-
га (плоскость чертежа);
3) для вписанного шара многогранник (опи-
санный) должен проектироваться с таким
расчетом, чтобы, по крайней мере, одна из
апофем многогранника изображалась в пло-
скости чертежа в натуральную вели-
чин у и, следовательно, была касательной к
проходящей в той же плоскости окружности
большого круга.
Выполнение этих минимальных требований
гарантирует построение грамотных и удоб-
ных для анализа чертежей.
В порядке обмена опытом я предлагаю вни-
манию читателей ту систему изложения разъ-
яснительного мттериала, которая много лет
практикуется мною в работе со старшими
классами. Прежде чем приступить к реше-
нию задач этого раздела, ученики должны
получить необходимые сведения об условиях
и специфических особенностях чертежа для
вписанного и описанного шара. Практика
показывает, что разъяснение можно ограни-
чить тремя основными видами многогранни-
ков: призмой, пирамидой полной и пирами-
дой усеченной. Каждый из этих многогранни-
ков может иметь четное или нечетное число
боковых граней, в соответствии с чем он бу-
дет иметь в многоугольнике основания четное
или нечетное число сторон; поэтому мы бу-
дем иметь два основных случая как для
вписанного, так и для описанного шара:
1) число боковых граней четное (2н);
2) число боковых граней нечетное
(2«+1).
Изложение начинаем с описанного шара,
ограничиваясь для наглядности примерами
простейших тел: прямоугольный параллеле-
пипед, правильная четырехугольная пирамида
и правильная четырехугольная усеченная
38
пирамида — для «четных» многогранников;
правильная треугольная призма и пра-
вильная треугольная пирамида (полная и усе-
ченная) — для «нечетных» многогранников.
Последовательный анализ в классе всех воз-
можных случаев для этих многогранников
способствует полному разъяснению вопроса
и дает ученикам ключ к самостоятельному
решению самых трудных задач на вписанный
и описанный шар.
I. ОПИСАННЫЙ ШАР
Черт. 3
А. Многогранник имеет четное (2п) чис-
ло боковых граней.
1) Призма (прямоугольный параллеле-
пипед— черт. 3)
Чертеж проекции выполняется в такой по-
следовательности. Описываем окружность про-
извольным радиусом
ОА и вычерчиваем
вписанный прямо-
угольник ABCD, в ко-
тором АВ и DC —
противолежащие бо-
ковые ребра, а ВС и
AD—диагонали осно-
ваний параллелепипе-
да. Строим теперь ко-
соугольную («каби-
нетную») проекцию
прямоугольника ос-
нования AEDF, про-
ведя EF под углом в
30° к AD и отложив EOt =FOt = АО. Пу-
тем проведения E,Ft || EF строим верхнее
основание BE,CF, и бо :овые ребра ЕЕ, и FF,.
Из чертежа видно, что прямоугольник
ABCD диагонального сечения вписан в
окружность большого круга, находяще-
гося в плоскости чертежа, поэтому
диагональ прямоугольника диагонального
сечения совпадает и равна диаметру шара.
Построение чертежа для всякой другой
прямой призмы с четным числом боковых
граней производится таким же способом.
2) Пирамида (черт. 4)
После проведения окружности вписываем
в нее равнооедренныи
Черт. 4
треугольник ASB по
боковой стороне AS,
равной боковому реб-
ру пирамиды. Косо-
угольная проекция
квадрата основания
вычерчивается так
же, как и для призмы,
после чего вершины
D, В и S соединяются
прямыми.
В плоскости черте-
жа имеем равнобед-
ренный треугольник
диагонального сече-
ния, вписанный в
окружность большого круга.
3) Усеченная пирамида
В окружность большого круга надо впи-
сать равнобочную трапецию АВВ,А, с боко-
вой стороной, равной боковому ребру усе-
ченной пирамиды. Основаниями трапеции
будут диагонали ВВ, и АА, нижнего и верх-
него оснований пирамиды.
После вычерчивания косоугольных проек-
ций оснований проводим боковые ребра Л5
и F,E, пирамиды.
Обобщая разобранные случаи, можно дать
такую формулировку:
Для «четных», или «симметричных», вписан-
ных многогранников большой круг описанно-
_ го шара проходит че-
Черт. 5
рез диагон 1льное се-
[ение, соответствую-
щее двум диамет-
рально противополо-
жным ребрам.
Другими словами:
большой круг опи-
санного шара прохо-
дит через вершины
двух диаметрально-
симметричных и про-
тиволежащих боко-
вых ребер.
Замечание. «Чет-
ными», или «симметричными», мы для крат-
кости будем называть призмы и пирамиды
с четным числом боковых граней.
В. Многогранник имеет нечетное (2л 1)
число Эоковых граней.
1. Правильная призма (треуголь-
ная) (черт. 6)
В окружности (большого круга) проводим
две параллельных хорды BCt и ADt с таким
расчетом, чтобы расстояние АВ между ними
равнялось боковому ребру призмы, а обе
хорды были расположе-
Черт. 6
ны на одинаковом рас-
стоянии от центра.
Откладываем теперь
горизонтальный отрезок
AD равный высоте ос-
нования призмы, строим
горизонтальную каби-
нетную проекцию одного
из оснований AFE, затем
параллельное ему дру-
гое основание и соединя-
ем между собой найден-
ные вершины призмы.
Плоскость большого круга определяется
боковым ребром АВ и пересекающейся с ним
(выходит из одной вершины Л) высотой AD
основания, причем, если призма правильная,
плоскость большого круга (т. е. плоскость
чеотежа) проходит через с р е д н ю ю высоту
CD грани EFt и перпендикулярно к этой
грани.
Здесь необходимо обратить внимание уча-
щихся, что в окружность большого круга
вписан не прямоугольник ABCD, а вспо-
могательный прямоугольник ABC,Dt, у
которрго основание BCt точно равно диаметру
малого круга (г -= АО, = С,О2) описанного
вокруг треугольника, а высотою прямоуголь-
ника является боковое ребро призмы. Из
этого легко выводятся зависимость ради>. са
шара (большого круга) от ребер призмы.
Обозначив радиус шара и малого круга соот-
ветственно через R и г, а ребра призмы че-
рез Z, на прямоугольного треугольника ABD,
получаем:
BD? = АВ-+ ADf,
или:
откуда
Я = l//a+4rs.
2. Правильная пирамида (черт. 7)
В окружности большого круга из верхнего
конца S вертикального диаметра строим хор-
Плоскость большого
чертежа, определяется
ду SA, равную боко-
вому ребру пирами-
ды, а по другую сто-
рону диаметра прово-
дим пунктиром сим-
метричную хорду
SF. В треугольнике
ASF находим точку
В так, чтобы расстоя-
ние SB равнялось
апофеме пирамиды,
после чего строим
обычным способом
косоугольную проек-
цию основания.
круга, т. е. плоскость
боковым ребром AS
н апофемой SB противолежащей ему доковой
грлии.
Из чертежа видно, что окружность боль-
шого круга описана вокруг вспомогательного
равнобедренного треугольника ASF, в кото-
ром угол а при основании есть угол наклона
ребра к плоскости основания.
С помощью угла « радиус шара легко вы-
ражается через боковое ребро или высоту
пирамиды.
Из треугольника SAF по теореме синусов
имеем -т— =
sm«
откуда
I
2 Sin а ’
Если дана высота (п = SO,) пирамиды, то
из прямоугольного треугольника ASO выра-
h
жаем I = т— , после чего получаем:
sin a J
ft
R = Fsin^a'
3. Усеченная пирамида (черт. 8)
В окружность большого круга надо впи-
сать вспомогательную равнобочную трапепию
ABC,Dt, у которой боко-
С и D определяется
вая сторона (АВ) равна
боковому ребру усечен-
ной пирамиды, а основа-
ния ВС, и АО, соответ-
твенно равны диаметрам
малых кругов, описан-
ных вокруг верхнего и
нижнего оснований пира-
миды.
Для правильной пира-
миды положение точек
путем отложения высот
оснований от вершин В и А, после чего строим
косоугольные проекции обоих оснований,
находим вершины пирамиды и заканчиваем
чертеж.
Окружность большого круга описана во-
круг вспомогательной равнобочной трапеции
(ЛВС,©,), размеры линейных элементов кото-
рой указаны выше.
Замечаем, что для правильной пирамиды
плоскость большого круга (плоскость чер-
тежа) проходит через боковое ребро (АВ) и
апофему (СО) противолежащей ему боковой
грани.
Попутно напоминаем учащимся, что окруж-
ность может быть описана только вокруг
равнобочной трапеции.
Обобщая разобранные случаи, получаем
следующее.
Для нечетных (несимметричных) вписанных
многогранников большой круг описанного
шара проходит через плоскость бокового
ребра и апофемы (или средней высоты) про-
тиволежащей ему боковой грани.
Большой круг описанного шара является
кругом, описанным вокруг вспомог а-
те л ьн ых фигур—прямоугольника,равнобед-
ренного треугольника или равнобочной тра-
пеции.
U. ВПИСАННЫЙ ШАР
А. Многогранник имеет четное число
(2л) боковых граней.
1. Призма (прямоугольный параллеле-
пипед) (черт. 9)
Окружность большого круга, находящегося
в плоскости чертежа, помещается внутри
описанного вокруг нее
квадрата ABCD, сторо-
на которого равна ребру
параллелепипеда (куба).
Для построения каби-
нетной проекции куба
проводим через верши-
ны В, С, D и X квадра-
та наклонные BtBt, CtCt,
DtDt н А,А, под углом
в 30°, 45° или 60° и
откладываем на них рас-
стояния BtBa, CtCt, D,Da
и А,Аа, равные половине ребра куба.
Большой круг вписанного шара находится
в плоскости того сечения (ABCD) призмы,
которое проходит через две противолежащих
боковых грани по их средним высотам.
Следует напомнить учащимся, Ч1О из всех
параллелограмов окружность может быть
вписана только в ромб. Поэтому шар
может быть вписан только в такой парал-
лелепипед, у которого все грани равные
между собою ромбы.
Черт. 10
Черт. II
Полезно также отметить, при каких усло-
виях может быть вписан шар в правильную
«-угольную призму: высота призмы должна
быть равна расстоянию между каждой парой
противолежащих граней призмы.
2. Пирамида (черт. 10)
Окружность большого круга шара вписан?
в равнобедренный треугольник SAB, у кото-
рого апофемы пирамиды являются боковыми
сторонами, а основание АВ равно расстоя-
нию между двумя противолежащими сторо-
♦
нами многоугольника основания.
После построения треугольника ASB, опи-
санного вокруг окружности с центром О
легко заканчиваем чертеж по методу постро-
ения косоугольных проекций.
Окружность большого круга помещается
таким образом внутри описанного равнобед-
ренного треугол >ника ASB, плоскость кото-
рого проходит через две противолежащих
апофемы.
Делаем теперь построение части этого
чер ежа, соответствующей какой-нибудь од-
ной из боковых граней пирамиды (черт. 11).
Во многих случаях для решения задачи
можно ограничиться именно таким чертежом.
что значительно упрощает работу.
Радиус вписанного шара легко выражается
прямоугольных треугольников А0,0 и
ASO, через апофе-
из
му (I) и угол а:
где
k = I cos а;
поэтому
а
r = Z-cos«-lg тр
шого круга, вписанного
Черт. 13
.. 3. Усечен-
Черт. 12 н а я п и р а м и-
д а (черт. 12)
Для учащихся становится совершенно яс-
ным, что окружность большего круга, про-
ходящая в плоскости чертежа, поместится
внутри равнооочной трапеции ABCD, осно-
вания ко.орой соответственно равны ребрам
оснований усеченной пирамиды, а боковая
сторона есть апофема боковой гпани усечен-
ноп пирамиды.
Построение начинаем с окружности боль-
в равнобочную тра-
пецию ABCD, пос-
ле чего заканчи-
ваем чертеж обыч-
ным способом.
Необходимо об-
ратить внимание
учащихся на свой-
ство описанной во-
круг окружности
равнобочной тра-
пеции: средняя ли-
ния этой трапеции
всегда равна бо-
ковой ее стороне.
что и подтверждается чертежом 13.
Из равнобедренного треугольника АСО
имеем: АС — ОС.
Но АС = АВ, а СО — половина средней
линии трапеции ABBjA,.
Следовательно: СО — АВ, или CD = АВ,
т. е. в равнобочной описанной тра-
пециц боковая сторона равна
средней линии.
Так как средняя линия равна полусумме
оснований, то CD = (ВВ,-J- ДЛ,) или CD —
= ВО, + Д02, то есть средняя линия
описанной вокруг большого круга трапеции
равна сумме апофем оснований усеченной
пирамиды.
Другими словами: апофема усечен-
ной пирамиды равна сумме апо-
фем ее оснований.
Из чертежа видно, что радиус вписанного
шара легко выражается через угол а наклона
боковой грани к плоскости основания и поло-
вину средней линии. В прямоугольном тре-
угольнике CON выражаем катет через гипо-
тенузу: R = СО -sin а.
Это дает возможность по данным апофемам
(пирамиды и ее оснований) определить радиус
вписанного шара.
В. Многогранник имеет нечетное (2zi -)- 1)
число боковых граней.
j Призма — черт. 14
Для прямой треугольной призмы, основа-
ниями которой являются правильные тре-
угольники. боль-
Черт. 14
шой круг вписан-
ного шара, прохо-
дящий в плоскости
чертежа, очевидно,
коснется трех сто-
рон прямоугольни-
ка (ABCD) средне-
го сечения.
Положение боль-
шого круга точно
определится опи-
санным вокруг не-
го вспомогатель-
ным описанным квадратом ABC,D„ сторон?
которого равна высоте АВ призмы.
При сечении шара горизонтальной пло-
скостью окружность большого круга спро-
ектируется в многоугольники оснований пря-
мой призмы в виде вписанных окружностей.
Отсюда делаем вывод: радиус вписан-
ного в прямую призму шара равен
половине высоты призмы, или радиу-
су вписанного в многоугольник основания
круга.
Проведя окружность большого круга в
плоскости чертежа (черт. 14), строим прямо- •
угольник ABCD, стороны которого соответ-
ственно равны высоте АВ призмы и высоте
ВС треугольника основания. Зная величину
ребра F,F, строим косоугольную проекцию ос-
нования обычным путем
Черт. 15
и заканчиваем чертеж.
Обращаем внимание
учащихся на ту особен-
ность «нечетной» приз-
мы, что шар, будучи ка-
сательным к боковой
грани EF,, не должен
касаться противолежа-
щего бокового ребра CD.
2. Пирамида
Берем сечение плоско-
сти чертежа, проходя-
щее (черт. 15) через бо-
ковое ребро SB и апо-
фему ХД противолежащей ему грани. Боль-
шой круг будет вписан в равнобедренный
вспомогательный треугольник ASB,, боковам
сторона которого равна апофеме пирамиды,
а угол а при основании есть угол наклона
боковой грани к плоскости основания.
Постооив теперь косоугольную проекцию-
площади основания, заканчиваем чертеж.
Зависимость между радиусом шара и апо-
фемой пирамиды будет та же, что и для пи-
рамиды с четным числом боковых граней;
а
Г — Icos a -tg -д .
3. Усеченная пирамида
Большой круг вписанного шара (черт. 16)г
будет вписан не в треугольник, а во вспомо-
гательную равнобочную трапецию АВВ,А,_
зависимость между линейными элементами
которой указана для аналогичного построе-
ния «четной» пирамиды: средняя линия (MN)
трапеции=апофеме (АВ) усеченной пирамиды
И ачинаем чертеж с большого круга в пло-
скости чертежа н вспомогательной описан-
ной трапеции ABCD, после чего от то^еч А
и В откладываем в половину натуральной
величины расстояния А3А3 и ВгВг и заканчи-
ваем чертеж обычным способом по методу
косоугольных проекций.
Предлагаемый цикл вводных разъяснитель-
ных упражнений на этом заканчивается.
Подводя итог проведенной работе, следует
обратить внимание учащихся на основное
различие между «четными» и «нечетными»
многогранниками для всех разобранных слу-
чаев вписанного и описанного шаре: для чет-
ных многогранников большой круг опреде-
ляется вписанным или описанным вокруг
него многоугольником (треугольник, ром(
или трапеция),построенным из линей-
ных элементов многогранника; длят
нечетных же многогранников соответствую-
щий многоугольник, которым определяется
большой круг, может быть назван вспомо-
гательным, линейные элементы которого
определяются путем некоторых вспомога-
тельных построений.
Другими словами: в четных многогранни-
ках большой круг располагается по симмет-
ричному сечению в плоскости чертежа, а в»
нечетных многогранниках такой симмет-
рии быть не может.
Практика показывает, что приведенная по
данной системе разъяснительная работа зна-
чительно способствует ориентироБ|<е уча-
щихся в задачах на вписанный и описанный
шар, так как преодолевается основная труд
ность в построении правильного н грамот-
ного чертежа, а это дает учащимся возмож-
ность правильно анализировать и самостоя-
тельно решать задачи.
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ
ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПРИ ПОМОЩИ ОКРУЖНОСТИ
И. РЫБАКОВ (Иваново)
И
статье М. Шевелева («Математика
в школе», 1938 г. М» 5—6) были при-
ведены 2 способа (способ Штечнера
и одни из вариантов способов д’Ока-
ня) графического решения квадрат-
ных уравнений при помощи окружности. Эги
способы дают возможность находить только
действительные корни квадратного урзвнения.
Приведем еще один способ, позволяющий
«находить также и комплексные корни
(.-квадратных уравнений.
Пусть дано уравнение:
Xs — рх -)- q = 0.
Рассмотрим 3 случая:
( р V f р V
1)-<7<С; 2) 3) (f J <Я-
I. Депо уравнение x^px-j-q = 0, причем
<0.
Наоси_у-ов откладываем отрезок, равный
W—q,для чего откладываем на оси х-ов вле-
<во от начала координат отрезок ОА = 1 и
«вправо от начала :оординат -отрезок OF =
— — q. Принимая AF за диаметр, строим полу-
окружность, которая пересечет ось _у-ов в
точке В; ОВ = У'--”*
Затем откладываем отрезок ООг =
Р
-;Ра-
диусом, равным О,В, строим полуокружность,
«ересекающую ось х-ов в точках М, и Ms.
Корни уравнен ля будут равны аосциссам то-
чек Afj и М,,. На самом деле:
Корни уравнения: xt = — 7,5 и х, = 1,5.
II. Дано уравнение: х® — рх + q = 0, причем
т>9>0-
Строим прямоугольник 0710,02, стороны
которого ОВ~у^ и ОО8 = Из точки
2
ружности, пересекающую ось х-ов в точках
М, и М2. Корни уравнения х2-|-/>х -|- q = О
равны абсциссам точек Л4, и Мг.
На самом деле
ОМ, = ОО, - М,О2 = | - VY- q и
•ОМ, = оо, - м,ог =
На чертеже 2 дано решение уравнения:
х*-)-6х —11.
На чертеже 3 и 4 дано решение уравнений:
1) х2 — 5,8х 4-4 = 0 и 2) х24- 7х-;-5 = 0.
Кории 1-го уравнения х, = 0,8 и xt=5.
Корни 2-го уравнения xt ~ — 6,2 и xt ps — 0,8.
Ш. Дано уравнение: х* +рх + q — 0, причем
Применим Гауссово изображение комплекс-
ных чисел. Строим OR = Vq. Откладываем
на оси х-ов ОО2 = ~ и через точку Ог про-
водим GH|| OY. Из центра О радиусом, рав-
ным Yq, провозим полуокружность, пересе-
кающую поямую GH в точках Ct н Сг. Точки
Ct и Cs соединяем прямыми с точкой О.
Корни уравнени i: Xj = ОО2 + OtC,i = — +
+ V? “(f J*' и ~J-
J/" f р \2
— У д—( — 1 I, или: х, = р (cos a-|-Z sin а) и
Xt = р (COS а — Z Sin а), где р = Y q.
На чертеже 5 и 6 дано решение уравнений:
1) х2 — 4 х-}-6 = 0 и 2) х2 + 2х-|- 10 = 0. Кор-
ни уравнений: 1) х, = 2 4-1,4 Z и хг => 2 — 1,4Z;
2) xt = — 1 + 3Z и хг = — 1 — 3Z.
I
О KBJ ДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯХ И КВАДРАТНЫХ КОРНЯХ
A. МОРЕВ (Высокого,Ярославской обл.)
И
чиболее продуктивное и полноцен-
ное построение урока по математике
требует подготовки класса к тем
вопросам, которые впервые ставятся
ч объясняются на уроке. В № 1 жур-
нала «Математика в школе» за 1938 г.
помещена очень ценная и содержательная
статья В. Падучева, освещающая подробно
процесс предварительной подготовки учени-
ков к уроку. На примере квадратных ураг-
нений автор излагает детчльный анализ всей
подготовительной работы, необходимой для
быстрого, точного и надежного усвоения это-
го предмета.
Нужно только заметить, что упражнения,
рекомендуемые автором, носят до некоторой
степени отвлеченный, теоретический характер.
Активность учеников в процессе этих упра-
жнений недостаточно стимулируется; они в
большей мере наблюдают, слушают и сообра-
жают в уме, чем работают самостоятельно.
Возможно, что это впо ше уместно, если учесть
ьэзраст и развитие учащихся VIII класса.
В прежние годы мне приходилось прораба-
тывать этот вопрос в VII классе неполной
средней школы. Там я должен был несколько
иначе проводить подготовку учащихся. Преж-
де всего я не долго задерживался на общих
вопросах, таких, как нуль в качестве множи-
теля. Этот предмет занимал немного времени
при подготовке к решению неполных квад-
ратных уравнений. Значителпно больше вре-
мени тратилось на предварительные упраж-
нения для объяснения полных уравнений. Они
сводились к практической работе повторения
очень немно1их тем из пройденного ранее.
Первая тема — разложение иа множители
трехчлена по формуле (a+fc)2. Начиная с
формулы a24-2af>4-i>s и самых простых приме-
ров этого типа, учащиеся практиковались в
этом направлении до тех пор, пока они не
оказывались в состоянии быстро и без труда
решать примеры типа: и тг +
a*
+ am + — и т. п. Тогда предлагалось сделать
4
р
разложение Xх±^рх
Учеников часто смущало введение разно-
образных букв в примеры одного типа, пере-
становка букв, перемена знака и тому подоб-
ные мелочи. Цель упражнений сводилась к
тому, чтобы на практических примерах не-
сложного типа не только показать прием
Рг
разложения х2 -j-px 4- —£•, но добиться того,
чтобы дети самостоятельно усвоили мысль о
разнообразии случаев, к которым можно при-
менить данную формулу (a-j-i»)1.
Далее проводилась практика вычисления
формул. Само собой разумеется, что дети
были поставлены в известность о том, что
они будут изучать полные квадратные урав-
нения и что все примеры они делают для
подготовки. Это возбуждало их интерес и
поднимало активность. Повторение формул
начиналось с очень простого материала, вроде
а+Ъ а-1-тг
----и-------, для подстановки давались целые
2 л
числа в различных комбинациях для каждой
формулы. Путем постепенного подхода, более
или менее быстрого в зависимости от степе-
ни развития класса, ученики подходили к
выражению
а также и к формулам общего вида.
Далее выяснялась двузначность выражений,
содержащих один квадратный радикал, и на
этом подготовительная работа заканчивалась.
Объяснение полных уравнений приведенно-
го типа распадалось на две части: анализ
способа решения и получение общей формулы.
Диализ решения проводился на числовых при-
мерах.
Одни или два из числа лучших учеников
после этого решали на доске несколько при-
меров числовых уравнений без формулы. Уче-
ники начинали сами догадываться, сколько
нужно прибавить к каждой части уравнения,
чтобы в левой части получить точный квад-
рат. Когда таким образом ход решения усваи-
вался, тогда я говорил, что существует дру-
гой, более легкий способ решения приведен-
ных уравнений при помощи общей формулы.
Я по! азывал, как получается эта формула. Бла-
годаря подготовке все действия были для
учащихся совершенно ясны и понятны. Вре-
мени для вывода формулы требовалось очень
мало. Наконец, детям показывался прием
практического применения формулы, объяс-
нялось то, почем) этот способ решения про-
ще, чем данный ртньше. Учащиеся в резуль-
тате этой работы усваивали квадратные у рав-
нения очень быстро и прочно.
Кстати я хочу поделиться своим опытом
по вопросу об извлечении квадратного корня.
И здесь я теоретические моменты вводил
попутно, например, определение числа цифр
корня по числу граней степени давал лишь
тогда, когда в этом являлась надобность.
Я начинал дело с то мых четырехзначных ква-
дратов. Прежде всего составлялась и записы-
валась табличка, которая не требовала ника-
ких усилий для запоминания:
102 = 100; 20* = 400; 30! = 900; 4О2=16ОС
н так далее до 1002= 10000.
Учащиеся, зная, что данное им число есть
точный квадрат, хотя бы 5 184, находили по
таблице первую цифру корня. Корень этот
должен быть больше 70, так как 702 = 4 900
и меноше 80 в виду того, что 802 = 6 400,
данное же число находится между этими чис-
лами. На основании этих соображений соста-
влялось уравнение:
(70 4-х)2 = 5184,
или:
4 900 4- 140х 4- х2 = 5 184.
Полученное отсюда уравнение
140х 4- х2 = 284
ученики не могли решить, так /ак о квад-
ратных уравнениях еще не было речи. Чтобы
найти выход из затруднения, обращалось вни-
мание на то, что х число однозначное, не
больше 9 и поэтому х2 не больше 81. Это
соображение давало нам возможность отбро-
сит- х2 и решить уравнение приблизительно,
а не точно, с -ем, чтобы сейчас же проверить
найденное решение и установить, насколько
оно верно. Если решение окажется неверным,
тогда мы сумеем, пользуясь им, сделать не-
обходимую поправку. Уравнение таким обра-
зом получает вид: 140х = 284, или х = приб щ-
зительно 2. Значит, искомое число =72. Про-
верка дает 72* = 5 184, или; <140-4-х) х =
= (140-|-2) 2 = 284.
Таких примеров давалось ученикам не-
сколько, н когда они усваивали до некоторой
степени этот приеи, я говорил, что сущест-
вует более удобный для практики и упро-
щенный способ решения уравнение такси о
рода, без х. Далее я излагал общеизвестный
алгоритм извлечения квадратного корня и все
действия объяснял как упрощение приемов,
уже известных ученикам.
Этот способ изложения давал очень хоро-
шие результаты. Распространение найденного
приема на большие числа не представляло
труда. Легко давалась и практика прибли
ж много вычисления иррациональных корней.
К МЕТОДИКЕ РЕШЕНИЯ 315 ДАЧ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Тл СМИРНОВ •
лешая задачи на составление урав-
[ т~) j нений учащийся подходит к приме-
j Jr j неиню технических навыков для мате-
-----магического анализа и решения воп-
росов научного и производственного
порядка; развитию научных приемов такого
анализа и решения должна соответствовать и
методика ра юты учащих я при решении за-
дач. С этой точки зрения ход оешепия задачи
распадается на следующие ступени: ^установ-
ление на основе предварительного разбора
условия задачи той величины, количествен-
ную характеристику которой выражает каж-
дая часть уравнения; 2) составление уравнения
по условиям задачи; 3) решение уравнения;
4) установление ответа па вопрос задачи;
5) проверка решения. Для иллюстрации при-
водим два примера, взятые из контрольных
работ в VIII классе нашей школы.
1-й пример (Шапошников и Вальцов, ч. 1,
гл. VIII, № 85}. Работа ученицы Сурат.
«Колхоз заготовил для зимнего прокормле-
ния крупного рогатого скота 210 т силосован-
ного корма. Но при вступлении в колхоз но-
вых хозяйств число голов скота увеличилось
на 10. Вследствие этого, чтобы хватило за-
пасенного корма, пришлось норму корма на
голову скота умен .шить на 0,5 т. Сколько
тонн силосованного корма предполагалось
расходовать на голову скота первоначально?»
Решение
1. Значение каждой части урав-
нения
Условимся, чтобы каждая часть уравнения
выражала норму корма, выдаваемую ла голо-
ву скота после вступления в колхоз новых
хозяйств.
2. Составление уравнения
х (голов) скота было в колхозе до вступ-
ления новых хозяйств.
210
— (тонн) предполагалось расходовать на
голову скота первоначально.
х + 10 (голов) скота стало после вступле-
ния в колхоз новых хозяйств.
210
х+10
(тонн) корма
приходилось на голову
скота после вступления новых хозяйств
(I часть уравнения).
210
~т- — 0,5 (тонн) корма приходилась на го-
лову скота после вступления новых хозяйств
(1 часть уравнения).
3. Решение уравнения
210 210
------= — — 0,5,
JC-4-10 X
= ЭД* * + 2 100 — 0,5^ —5 х,
0,5хг + 5х — 2 100 = 0,
хг + Юх — 4 200 = О,
* = ~ 5 ± |/25 + 4 200 = — 5 + 65;
X] = 60; х2 = —70.
4. Ответ на вопрос задачи
Корень уравнения « —70», как отрицатель-
ное число, для решения задачи не подходит,
• Учитель 181-й школы Комик,ернопского района
Москвы.
следовательно, в колхозе до вступления но-
вых хозяйств было 60 голов скота, а на од-
ну голову предполагалось израсходовать
210 т: 60 = 3,5 т корма.
Ответ: 3,5 т.
5. Проверка
После вступления в колхоз новых хозяйств
голов скота стало 60—{-10 = 70, на голову
скота стало приходиться 210 : 70 = 3 т корма,
меньше, чем предполагалось, на 3,5 иг — 3 т =
= 0,5 иг; это соответствует условию задачи.
2-й пример (Шапошников и Вальцов, ч. 1,
гл. VIII, № 98). Работа ученицы Шиловой.
«Двое рабочих, работая вместе, могут вы-
полнить некоторую работу за 12 час. Первый.’
работая отдельно, мог бы выполнить ту же
работу на 10 час. быстрее второго. Во сколь-
ко часов мог бы выполнить эту работу каж-
дый из них, работая отдельно?»
Решение
1. Значение каждой части урав-
нения
Условимся, чтобы каждая часть уравнения
выражала часть работы, которую два рабо-
чих, работая вместе, выполняют за 1 час.
2. Составление уравнения
х (час.)—время, в течение которого первый
рабочий, работая отдельно, может выполнить
всю работу.
— (часть работы) делает перьый рабочий
за один час.
х+10 (час.) — время, в течение которого
второй рабочий, работая отдельно, может вы-
полнить всю работу.
1
х+10
бочий за
1
(часть работы) — делает второй ра-
один час.
—— (часть работы) — выполняют
оба рабочих за один час (I часть уравнения).
— (часть работы) — выполняют оба рабочих
за один час (П часть уравнения).
3. Решение уравнения
A-+-L_=l
* х + 10 12’
12х + 120 + 12х = х= + Юх,
.— х‘ + 14х +120 — 0,
х1— 14х — 120 = 0,
* = 7 ± 1/49 + 120 = 7 ± 13; Xi = 20;
х2 = — 6.
4. Ответ на вопрос задачи
Корень уравнения «—6», как отрицатель-
ный, для ответа не годится. Ответ:
1-й рабочий может выполнить работу за
20 час.
2-й рабочий может выполнить работу з а
20+ 10 = 30 час.
5. Проверка
1-и рабочий за один час выполняет —
20
часть работы, второй выполняет — часть ра-
боты, оба вместе за 1 час могут выпол-
1,1 5 1
нить ол + ол = со ~ часть мботы. а всю
20 oU оО 1Z
работу за 1;— =12 часов, это соответствует
условию задачи.
Как показывают приведенные примеры,
первая ступень в ходе решения задачи, обычно
в школах отсу гств) ющая, имеет особо важное
значение, переводя работу над составлением
уравнения из плоскости голой интуиции в
плоское)ь осознанной целеустремленности на
основе предварительного разбора задачи, при-
вивая, таким образом, учащимся навыки об-
щего научного подхода к решению поставлен-
ного вопроса. Четвертая ступень—установ-
ление ответа на вопрос задачи — должна быть
хорошо усвоена учащимися в разрезе разли-
чения формального математического ответа
(корни уравнений; от ответа по существу иа
поставленный в задаче вопрос, что также
имеет большое значение в ходе научного ис-
следования. Наконец, пятая ступень — про-
верка решения задачи, также нередко опус-
каемая, является существенной завершающей
частью работы, соответствующей заключи-
тельной стадии научного исследования — эк-
спериментальной проверке установленной ги-
потезы.
В заключение укажем, что основная идея
приведенной методики решения задач на со-
ставление уравнений—связать развитие анЭ'
литических математических способностей уча-
щихся, что является воспитательной задачей
учителя математики, с воспитанием навыков
общих приемов научного исследования, что
является существенной задачей всей средней
школы, подготавливающей контингенты для
вузов и активных сознательных работников
нашего социалистического строительства.
СОСТАВЛЕНО КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ ПО УСЛОВИЯМ ЗАДАЧИ
ЛГ. МЕЛЬНИКОВ (Ктпш .а)
Cej
ели составление уравнений 1-й сте-
пени по условиям задачи дается
учащимся с большим трудом, то со-
ставление квадратных уравнений,
как дело еще более сложное, яв-
ляется самым уязвимым местом при про-
хождении курса математики в средней школе.
С одной столоны, перевод словесного текста
на язык математических формул требует не
только навыков, но и достаточного общего
развития, с другой стороны, самые задачи
в задачнике размещены так, что, поняв на
двух-трех задачах некоторые приемы соста-
вления уравнений, учащийся подобных задач
больше ие встречает, а видит новые й новые
по своему характеру задачи, перед которыми
становится втупик.
По нашему мнению, преподаватель должен
наметить три-четыре типа задач на составле-
ние квадратных уравнении, подробно разо-
брать их и дать учащимся возможность ре-
шить достаточное количество задач каждого
типа, в некоторых случаях ограничиваясь
лишь составлением уравнения, так как при
самом решении его ооычно не встречается
затруднений.
Решение всякой задачи с помощью уравне-
ний распадается на следмощие части:
1) обозначив какую-либо нз неизвестных
величин через х, выражают -при помощи х и
известных данных величины, имеющиеся
в условии задачи;
2) установив, какие из величин, встречаю-
щиеся в тексте задачи, могут быть равны и
при каких условиях, составляют уравнение;
3) решают полученное уравнение;
4; исследуют полученное решение.
Учащимися до тжно быть усвоено, что при
обозначении величин должно соблюдаться
единство наименований мер; так, если
в условьях задачи встречаются н метры, и
сантиметры, надо брать все в метрах или
сантиметрах; если величины выражены в ча-
сах и минутах, надо перевести их или в ча-
сы или в минуты; в зависимости от этого
уравнение примет тот или иной вид. Иссле-
дование решения уравнения выясняет, мо-
гут ли найденные значения искомой величи-
ны служить ответом на вопрос задачи.
Рассмотрим три типа задач на составление
квадратных уравнений:
1) задачи на определение числа по зави-
симости между его элементами;
2)' задачи на зависимость между временем,
отводимым на работу, и выполненной частью
работы;
3) задачи на определение расстояния, ско-
рости или времени движения.
Имея достаточно твердые навыки в соста-
влении уравнений по з щачам данных типов,
учащиеся без особого труда справятся с за-
дачами иного характера, особенно геометри-
ческого.
Приводимые в дальнейшем для упражне-
ний задачи в большинстве своем давались на
приемных испытаниях в вузах или на выпуск-
ных испытаниях в рабфаках.
I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА ПО ЗАВ ИС МЛ ОСТИ
МЕЖДУ ЕГО ЭЛЕМЕНТАМИ
Задача 1. Сумма цифр двузначного числа
равна 5, а квадрат его, сложенный с квадра-
том обращенного числа, даег 1553. На: :ти
это число.
Обозначим количество десятков в двузнач-
ном числе через х, тогда количество единиц
будет 5 — х, а все искомое двузначное число
можно записать, кас Юх-}-(5 — х), или:
9х-}-5, обращенное же число, т. е. написан-
ное теми же цифрами, но в обратном порядке,
будет (5 — х) 10-}-х, или: 50—9х.
По второму же условию задачи сумма
квадратов искомого двузначного числа и обра-
щен! ого равна 1 553, т. е. получается уравне-
ние:
(9х + 5)2 -)- (50 — 9 г)» = 1 553,
или, после упрощений:
х2—5x4-6= О,
откуда:
х, = 3, х8 = 2.
Искомое число будет 32 или 23; оба ответа
удовлетворяют условиям задачи.
При обозначении через х количества еди-
ниц, очевидно, получится то же самое урав-
нение.
Задача 2. Число выражено двумя цифрами,
из коюрых вторая — справа на 4 больше
первой. Если это число умножить на сумму
его цифр, то получится 208.
Найти это число.
Если количество десятков в искомом числе
обозначим через х, то количество единиц
будет х-ф-4, все же число выразится, как
10х4-(х4-4), или: 11x4-4; сумма цифр этого
числа будет х-|-(х4-4), или: 2с-}-4. Умно-
жая число на сумму его цифр, получим
уравнение:
(11x4-4) (2x4-4)-208
или, после упрощений:
11x^4-2бх — 96 = 0,
откуда:
4
х, = 2, xs = — 4 — .
Второе значение х не удовлетворяет усло-
виям задачи, следовательно, количество де-
сятков в искомом числе будет 2, единиц—бу-
дет 6, а все число = 26.
Задача 3. Знаменатель арифметической
дроби на 3 больше числителя. Если числи-
тель и знаменатель дроби увеличить на 2, то
вся дробь увеличится вдвое. Найти перво-
начальную дробь.
Обозначив числитель дроби через х, а зна-
менатель через х-)-3, получим для некоторой
дроби выражение
. Увеличение числи-
теля и знаменателя этой дроби на 2 дает но-
вую дробь —J—. По условию задачи новая
х4- 5
дробь вдвое больше первой, следовательно,
чтобы получить равенство, надо или данную
дробь умножить на 2, или новую дробь раз-
делить на 2, т. е. получаются уравнения:
2г х4~2 х х-ф-2
—~ , или ---------- =------------,
х 4” $ *- $ х 4" 3 2 (х 4~ 5)
что, конечно, одно и то же.
Решив полученное уравнение, найдем, что
х, = 1, х± = — 6. Искомая дробь будет
X 1
----, т. е. при х, = 1 это будет —. Увели-
х+ 3 4
чение числителя и знаменателя на 2 дает но-
3
вую дробь —-, вдвое большую, чем данная.
6
Второе значение х не удовлетворяет условию
задачи.
При обозначении через х знаменателя дро-
х_____________________________________з
би, числитель будет х — 3, вся дробь —-—
новая дробь:
х-_1
х4- 2’
уравнение примет вид,
2 (х — 3) х— 1
х х + 2'
СОСТАВИТЬ И РЕШИТЬ УРАВНЕНИЯ
ПО СЛЕДУЮЩИМ УСЛОВИЯМ
1. Дробь, числитель которой на 2 меньше-
’знаменателя, будучи сложена с обратной ей»
4
дробью, дает в сумме 2 —Найти эту дробь.
15
2. Знаменатель арифметической дроби на Si-
больше числителя; если к числителю и знаме-
нателю этой дроби прибавить по 2, то полу-
ченная дробь будет больше искомой на — .
О
Найти эту дробь.
3. Число выражено двумя цифрами, сумма-
которых равна 6- Если цифры переставить и-
полученное число умножить на прежнее
число, то получится 765. Найти это число.
4. Сумма цифр двузначного числа равна 12,
а квадрат его, сложенный с квадратом обра-
щенного числа, дает 9 360. Найти это число--
„ 1 1
5. Если — искомого числа умножить на —
его и к произведению прибавить учетверен-
ное искомое число, то полученная сумма бу-
дет больше 36 на столько, на сколько иско-
мое число меньше 36. Найти это число.
6. На какое число надо разделить 354,
чтобы частное было на 3 единицы больше,
а остаток на 3 единицы меньше делителя?'
II. ЗАДАЧИ ПА ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ВРЕМЕНЕМ,
ОТВОДИМЫМ НА РАБОТУ, И ВЫПОЛНЕННОЙ ЧАСТЬЮ-
РАБОТЫ
Задача 1. Двое рабочих, работая вместе,
могут окончить некоторую работу в 12 дней.
Во сколько дней каждый из них, работая
отдельно, может выполнить ту же работу,
если известно, что второй должен работать-
на 10 дней больше первого?
Допустим, что первый рабочий в отдель-
ности может выполнить работу в х дней;
второму для выполнения той же работы по-
требуется х-|-10 дней.
Обозначим теперь, какую часть работы,
выполняет каждый из иих в один день. Оче-
видно, что первый, выполняя всю работу
1
в х дней, в один день выполнит—, а второй
1
выполнит -----, работая же вместе он:»
х4-Ю
1
выполняют в день — . Получается уравнение:
х 1 х4-10 12
или, после упрощений:
Xs—14х— 120 = 0,
откуда:
xt = 20, х, = — 6.
Второй ответ не годится по условиям за-
дачи; следовательно, первый рабочий выпол-
нит работу в 20 дней, а второй в 30 дней.
При обозначении через х числа дней, необ-
ходимых для выполнения работы второму
рабочему, число дней первого рабочего бу-
дет х—10, и уравнение примет вид;
3. Обозначив через х время работы треть-
его экскаватора, время работы всех
х
вместе придется обозначить как —, время
1
х— 10
___£
х ~ 12'
Решив полученное уравнение, найдем, что
х = 30, т. е. второй рабочий выполнит ра-
боту в 30 дней, следовательно первый выпол- •
чит ее в 20 дней.
работы первого —10, или;
6
х „ х-1-120 „
го — 4- 20, или: --------. В
6 6
Х-+-60
—-—, второ-
0
один час пер-
Задача 2. Три экскаватора производят ра-
боту. Если эту работу будет выполнять
□дин первый, то кончит работу иа 10 дней
позже, чем все вместе. Если эту же работу
будет выполнять второй, то он кончит ее на
20 дней позже, чем все вместе, а если тре-
тий, то ему потребуется времени в 6 раз
больше, чем при работе всех экскаваторов
вместе. Во сколько времени выполнит рабо-
ту каждый из них в отдельности?
Любой из имеющихся в условии задачи
сроков может быть принят за х, т. е. может
быть составлено 4 различных уравнения.
1. Если срок работы первого экскаватора
обозначим через х, то для одновременной
работы всех экскаваторов потребуется на
10 дней меньше, т. е. х —10; второму экска-
затору — на 20 дней больше, чем всем вме-
>сте, х—10-J-20, т. е. х-|-10; третьему
в 6 раз больше, чем всем вместе, т. е.
6(х—10). В один же день первый экскава-
1 „ 1
тор выполнит —, второй выполнит -------,
1 *+1°
третий выполнит --------, все вместе вы-
6(х —10)
вый выполнит —;—- , второй -----, , тре-
х+60 F x-l-120 F
. 1 6 „
тин—, все вместе —. Уравнение будет
V V *
х-1—60 х-|-120 х х
4. Наконец, через х можно обозначить срок
одновременной работы всех экскаваторов.
Тогда время первого будет х-|-10, время
второго = х-f- 20, время третьего =6х. Вы-
полняемая в один день работа для первого
1 1
экскаватора = — , -, для второго = —
1 1
для третьего —, для всех вместе = —.
6х х
Уравнение:
1 1 _1_____1_
x-f- 10 x-f- 20 6х х
полнят ------,
х— 10’
откуда
получим
уравнение:
х +х+Ю+(х-10;6 х—10
Как видим, наиболее простое уравнение мы
получили в четвертом случае.
3-дача 3. В резервуар водопровода прове-
дены три трубы. Первая наполняет его на
1 час скорее, чем Вторая, а третья освобож-
дает резервуар в три раза медленнее, чем
наполняет первая труба. При одновременной
работе всех труб пустой резервуар напол-
няется в 1 — часа.
Освободившись от дробей и приведя по-
добные члены, будем иметь:
Ух1 — ! Юх —600=0,
откуда:
х = 20,
т. е. первый экскаватор может выполнить
работу в 20 дней, второй — в 30 дней, тре-
тий— в 60 дней, все вместе — в 10 дней.
2. Если через х обозначить срок работы
второго экскаватора, то время выполнения
работы всеми вместе будет х — 20, первого
экскаватора = х — 10, третьего = 6 (х — 20);
в один же день первый выполнит--,
х—10
1 1
второй — , третий —-— , все вместе
—Уравнение примет вид:
_^+_L+_L_ = _L_.
х—Ю х 6(х — 20) х — 20
Решив его, получим, что х = 30. Время
работы первого экскаватора будет 20 дней,
второго 30 дней, третьего 60 дней, срок
одновременной работы всех вместе = 10 дням.
В какое время третья труба освобождает
от воды наполненный резервуар, если за-
крыть первые две трубы?
1- Допустим, что третья труба освобождает
резервуар в х часов, тогда время наполне-
мчя его первой трубой будет втрое меньше,
т. е. —, а время наполнения второй тру-
бой = — -)- 1, или
3
труба подает —,
рез третью трубу
—-— . За один час первая
О
вторая подает
1
вытекает — ,
х
3
х +3’
че-
в результа-
те же одновременного действия всех труб
2
резервуар за один час наполнится на —
/ 1
( так как весь он наполняется в 1 — часа
\ 2
Получится уравнение:
х х-)-3 х 3 ’
а,после освобождения от дробей и приведе-
ния подобных членов:
2Х2 — 9х —18 = 0,
откуда:
х~ 6,
т. е. третья труба освобождает резервуар за
6 часов.
2. При обозначении через х времени напол-
нения резервуара первой трубой получится
уравнение:
1 1 А
х + х + 1 — Зх — 3
или, после упрощений:
2x2 —Зх —2 = 0,
откуда:
х = 2.
Время освобождения резервуара третьей
трубой равно Зх, т. е. будет 6 часов.
3. При обозначении через х времени на-
полнения резервуара второй трубой, полу-
чится уравнение:
1 1 1 2
х — 1 х Зх—3 3
или:
2х= — 7х + 3 = 0,
откуда'
х = 3.
Время освобождения резервуара третьей
трубой = Зх — 3, т. е. 6 часов.
Составить и решить квадратные
уравнения с одним неизвестным
по следующим условиям
1. Два каменщика, работая вместе, сложили
стену в 20 дней. Во сколько дней мог бы
выполнить эту работу каждый из них в от-
дельности, если второму потребуется для
этого на 9 дней больше, чем первому?
2. Двое рабочих, работая вместе, выполнят
работу в 4 часа 48 минут. Если бы эту же
работу им пришлось выполнять отдельно, то
первый закончил бы ее на 4 часа скорее
второго. Во сколько часов каждь'й из них в
отдельности выполнит работу?
3. Из двух машинисток одна может пере-
писать доклад на 2 часа скорее, чем другая.
Во сколько часов каждая может переписать
доклад в отдельности, если, работая одновре-
менно, они перепишут его в 2 часа 55 мин.?
4. А может выполнить некоторую работу
на 2 часа скорее чем В, а С вдвое дольше,
чем В. В какое время каждый из них может
выполнить работу, если, работая вместе, они
выполнят ее в 2 часа?
5. А выполняет некоторую работу в срок
на 5 дней больший, чем В и на 9 дней боль-
ший, чем С. А и В, работая вместе, выпол-
нят эту работу в срок, равный сроку С. Оп-
ределить время, в которое каждый выполнит
&ту работу отдельно
6. Две трубы, работая одновременно, на-
полнят бассейн в 3 часа. Первая из них в
отдельности наполняет его на 2 ч. 30 м. ско-
рее, чем вторая. В какое время каждая труба
в отдельности может наполнить бассейн?
7. Ванна наполняется водой на 6 минут
скорее, чем освобождается от иее. При от-
крытом кране и спускном отверстии ванна
наполнилась в 36 минут. В какое время
4 Математика в школе, № 6
ванна наполнится водою прн закрытом спу*
скном отверстии?
8. Две молотилки обмолачивают весь хлеб
в 12 дней. Если бы первая молотилка обмо-
лотила половину всего хлеба- а затем вто-
рая— остальную часть, они бы проработали
25 дней. Во сколько дней каждая из них в
отдельности могла бы окончить эту работу..
9. Два землекопа, из которых второй начал
работать на 1,5 дня позже первого, вырыли
ров в 7 дней. Если бы эта работа была пору-
чена каждому отдельно, то первому для
выполнения ее понадобилось бы тремя днями
больше, чем второму. Во сколько дней каж-
дый из них может вырыть ров?
10. В бассейн проведены три трубы; первая
наполняет его 8-ю часами дольше, чем вто-
. 4
рая, а вторая требует — времени, употреб-
5
ляемого третьей трубой для наполнения бас-
сейна.
Если все трубы действуют разом, то бас-
сейн наполняется в 5 часов. Во сколько ча-
сов каждая труба может наполнить бассейн?’
Ш. ЗАДАЧИ НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЯ,
СКОРОСТИ ПЛИ ВРЕМЕНИ ДВИЖЕНИЯ
Возьмем следующие условия:
Два пешехода вышли о повременно на-
встречу друг другу из городов А и В; при
встрече оказалось, что первый из них про-
шел на 6 кг больше второго; продолжая путь
с той же скоростью первый приходит в город
В через 4 — часа, а второй приходит в го-
род А через 8 часов после встречи.
По этим данным могут быть получены от-
веты на различные вопросы:
1. Найти расстояние между городами.
2. Определить, сколько километров прошел
каждый из них до встречи.
3. Определить, сколько километров прохо-
дил каждый из них в час.
4. Определить, через сколько часов они
встретились.
5. Найти, сколько часов каждый пешеход
был в пути.
1. Допустим, что по данным условиям тре-
буется определить расстояние между горо-
дами.
Ооозначив искомую величину через х, рас-
стояние, пройденное первым пешеходом до
встречи, мы должны обозначить + 3 , или
х + 6
—-— , а расстояние, пройденное вторым =
Х О Х~~ 6 я-г
=------3, или —-— . После встречи первый
пешеход должен пройти тот путь, который
х — 6
пройден вторым, т. е. —-— и скорость его
х — 6 1 х — 6
движения будет —-— : 4 —, или —-— ;
х-[ 6
второй пешеход после встречи пройдет —-—,
х-[-6 x-J-G
а скорость его будет ----: 8, или ———.
41
Первый был в пути (часов) х:
9х
л — 6
; второй был в пути х :
х —6
9
, т. е.
х-{-6
16 ’
т. е.
16х I
— ; разница же во времени 3— часа.
х 6 2
Получается уравнение:
16х 9х _ 7
х + 6 х — 6 2 ’
или, после упрощения:
эткуда:
7х2 — 300x 4-252 = 0,
х = 42.
(9x4-6) 8
= —-------, а так как время второго на
4 —х-[-6
2
„ 1
3— часа больше времени первого пешехода,
то получается уравнение:
(9х-[-6)8 9x4-6 7
. 1 . с х 2
4 — х4-6
2
или, после упрощения:
7Х2 —24х—16 = 0,
2. Если по данным условиям надо опреде-
лить, сколько километров прошел каждый
пешеход до встречи, то через х можно выра-
зить любое из этих расстояний.
Пусть первый пешеход до встречи прошел
* км, тогда путь, пройденный вторым, будет
х — 6, а расстояние между городами х 4-х'— 6,
Первому пешеходу оставалось пройти по-
сле встречи х —6 (км), а второму х (км).
Скорость первого будет ——— , скорость
х
/второго =---
8 *
откуда:
х = 4.
4. Если, наконец, по данным условиям надо
узнать, через сколько часов встретились пе-
шеходы, то, обозначая искомую величину
через х, время, затраченное первым пешехо-
дом на весь путь, через х -J- 4 —, а время вто-
рого пешехода через х-]-8, найдем, какую
часть пути каждый из них проходил за один
час.
Очевидно, первый пешеход за 1
1
X — 6
Первый был в пути (2х — 6): —— (часов;;
ходил
—, второй проходил
7
час про-
1
Второй был в пути (2х —6): -7- (часов).
8
а за х часов
первый прошел --------, вто-
Разница во бремени 3 ~ часа.
Получается уравнение:
рои прошел
, а вместе за х часов они
(2х —6)8 (2х — 6)-4,5 _ _7
х х —6 2
«ли:
7х2—192х-[-576 = 0,
«откуда:
х = 24.
3. Если по данным условиям требуется
«найти, сколько километров в час проходил
каждый пешеход, то через х можно ооозна-
чить скорость первого или второго.
Допустим, что первый пешеход в час про-
ходил х км, тогда после встречи за 4 — часа
он прошел 4— х км, а второй за 8 часов
прошел на 6 км больше, т. е. 4—-x-f-6 км,
4,5х -[- 6
и скорость второго будет ---------
8
Расстояние между городами равно 4—-х4-
+ ^4 х 4- 6^, т. е. 9х + 6.
Время которое первый пешеход затратил
9х-[-6
яд весь путь, будет --- —; время второго =
прошли весь путь, т. е. 1. Получается урав-
нение:
= 1,
_1
2
или, после упрощения:
х2 = 36,
откуда:
х = 6.
В атом случае 6 км, на которые первый
пешеход до встречи прошел больше, чем
второй, для решения не имеют значения, для
определения же скорости пешеходов и рас-
стояния между городами они необходимы.
Тем же порядком можно составить «уравне-
ния, если надо найти время, затраченное каж-
дым пешеходом иа дорогу.
Так как для составления уравнения для ре-
шения задачи необязательно именно искомую
в задаче величину выражать через х, то воз-
можно составление различных уравнений при
решении одной и той же задачи в зависимости
от того, какая величина выражена через х.
Кроме того, при одном и том же ооозначе-
нии величин возможно получение равносиль-
ных уравнений.
Необходимо, хотя бы на одном примере,
'эазобрать с учащимися получение различных
уравнений по одним и тем же условиям, в
зависимости от обозначения величин.
Составить и решить квадратные
уравнения с одним неизвестным
последующим условиям
1. Два грузовика одновременно выезжают
с одного и того же уклада в пункт, отстоя-
щий от него на 160 км, один идет со скоро-
стью на 4 км в час большей, чем другой, н
приходит к месту назначения на 2 част рань-
ше. С какой скоростью идет каждый гру-
зовик?
2. Два велосипедиста выезжают одновре-
менно из одного и того же пункта, причем
один из них отстает от другого на 2 км в час
и потому прибывает в место назначения на
30 минут позже. С какой скоростью ехал
каждый велосипедист, если известно, что им
надо было проехать 56 к я?
3. Расстояние Mei. ду двумя городами по
реке равно 72 км. Пароход прошел это рас-
стояние туда и обратно в 10 часов. Найти
скорость парохода, если скорость течения
реки равна 3 км в час.
4. Моторная лодка, обладающая скоростью
в 20 км в час, прошла расстояние между
двумя пунктами по реке туда и обратно, не
останавливаясь, за 6 — часов. Расстояние
4
между пунктами 60 км. Узнать скорость те-
чения реки.
5. Из горсда А в город В, отстоящий от А
на 21 кк, отправился пешеход; спустя час
вслед за ним отправился другой пешеход,
проходивший в час больше первого на 4 км;
он успел перегнать первого, достигнуть го-
рода В и возвратиться в город А в то время,
в какое первый пешеход успел только придти
в город В. Сколько километров в час прохо-
дил первый пешеход?
6. Расстояние между двумя станциями же-
лезной дороги равно 48 км. Скорый поезд
проходит это расстояние на 20 минут скорее,
чем пассажирский, так как последний имеет
скорость, иа 12 км в час меньшую, чем ско-
рый. Определить скорость каждого поезда.
7. Из двух станций, расстояние между кото-
рыми 000 км, были отправлены навстречу
друг другу два поезда с расчетом, что они
встретятся на половине пути. Определить
скорость в час каждого поезда, если первый
из них вышел на один час раньше второго со
скоростью, на 5кк в час меньшей, чем ско-
рость второго поезда.
8. Два самолета одновременно вылетают
навстречу друг другу из городов А и В, рас-
стояние между которыми 560 км. Через час
полета они встретились и, не останавливаясь,
продолжали путь. Первый прибыл в город В
на 35 минут скорее, чем второй прибыл в
город А. Найти скорости самолетов.
НАГЛЯДНОСТЬ ПРИ ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ
И. ГАЛЕВИ ЧУ С (Каднав)
При разборе математических вопросов мы,
преподаватели, должны больше считаться,
особенно в младших классах, с психологией
учащихся, в глазах которых интерес к пред-
мету возрастает, можно сказать, пропооцио-
нально степени его наглядности, образности,
числу чертежей и рисунков. Этим, кроме то-
го, устанавливается связь математики с чер-
чением и рисованием и развивается эстети-
ческое чувство учащегося. Сам предмет, со-
провождаемый иллюстрациями, оживает, во-
просы, его касающиеся, лучше запечатлева-
ются, учащийся постепенно укрепляет в себе
склонность к предмету и легче с ним род-
нится.
С это": точки зрения желательно в школе
побольше давать таких задач, которые сопро-
вождались бы изящным чертежом, притом
Черт. 4
доступным для выполнения его самими уча-
щимися.
В качестве примера можно привести такую
задачу: «Найти величину площадей заштри-
хованных частей квадратов (рис. 1—4), если
сторона квадрата равна а см».
ЛЗ ОПЫТА
ШКОЛЬНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПРЕДМЕТНАЯ КОМИССИЯ
(«з опыта работы Ростонипского райпедкабикета Москвы)
JT. рувыреип
ри года назад для улучшения каче-
ства преподавания Наркомпрос
РСФСР рекомендовал организовать
в каждой средней и неполной сред-
ней школе предметные комиссии.
Нельзя сказать, чтобы цели и задачи этил
комиссий и их организационная структура
были достаточно ясны.
Кто должен возглавлять комиссию, руково-
дить ее работой? Этот простой и естествен-
ный вопрос на практике решался с большими
затруднениями и самым различным образом.
В одних школах председатель назначался или
избирался из среды учителей математики
дайной школы; в других комиссии возглавля-
лись директором школы и завучем; в треть-
их— устанавливалась сменность (по нескольку
раз в год) председателей, избираемых или
назначаемых из состава комиссии. Каждый из
этих методов разрешения вопроса вызывал
возражения. Так, в первом случае говорили
о возрождении института «старших» учителей,
об опасности перехода к председателям комис-
сии функций завуча и т. п., второй способ
был явно нецелесообразен и нежизненен;
третий делал работу комиссии крайне нерав-
номерной в зависимости от организационных
способностей и степени авторитета «времен-
ного» председателя. В конце концов наиболее
целесообразным оказалось назначение пред-
седателя директором школы.
Но вопрос о содержании работы предмет-
ной комиссии попрежиему был неясен.
В большинстве случаев планы работы пред-
метных комиссий были похожи один на дру-
гой и все вместе копировали работу район-
ного или городского педагогического каби-
нета или даже Института усовершенствования
учителей. В некоторых случаях, желая избе-
жать копирования, школы становились на
путь своеобразных «университетов». Так,
например, в 265-й школе учителя математики
по «дальности» расстояния до райпедкабинета
или до горпедкабинета и по недостатку вре-
мени не рассчитывали посещать лекции, док-
лады и семинары, организуемые в районном
или городском масштабе, поэтому оии сочли
целесообразным наметить ряд теоретических
и методических вопросов и приглашать
в школу профессоров «с именами». Учителей
математики в этой школе было 5. Одна лек-
ция стоила не менее 100 рублей. Дирекция
школы легко пошла на эти затраты, одобрив
и поддержав инициативу математиков. Но,увы,
уже в скором времени у дирекции денег не
оказалось, и работа предметной комиссии
замерла. В отдельных случаях математические
52
предметные комиссии пытались организовать
у себя тематические семинары по решению
задач, по доказательству теорем и пр., причем
руководителями таких семинаров были обычно
наиболее квалифицированные и опытные
члены комиссии. Но и такая работа прекра-
щалась в самом начале, не успев развиться.
Как правило, во всех школах района предмет-
ные комиссии собирались 2—3 раза в год
и не оставляли после себя никаких следов.
Многие учителя стали смотреть на предмет-
ную комиссию, как на лишнюю и ненужную
организацию, которая только отнимает время
для заседаний и заставляет отбывать своеоб-
разную повинность. Скука, посторонние раз-
говоры во время доклада, отсутствие прений
и, как финал, одобрение доклада, были обыч-
ным явлением почти каждого заседания.
Наш педагогический кабинет поставил пе-
ред собою задачу выяснить причины столь
слабой работы предметных комиссий, проана-
лизировать их и наметить ряд мероприятий,
которые могли бы изменить положение и сде-
лать предметную комиссию хорошим орудием
улучшения качества преподавания и повыше-
ния успеваемости учащихся. И вот оказалось,
что в содержании работы математических пред-
метных комиссий нет тех стержневых вопро-
сов, которые были бы интересны для всех
членов комиссии. Например, когда ставится
доклад о решении арифметических задач
в V классе или о том, как изучать в том же
классе пропорции, проценты и т. п., то учи-
теля VII—X классов скучают, а иногда
и не являются на заседание; наоборот, во-
просы об уравнениях, логарифмах, о биноме
часто совершенно неинтересны, а иногда недо-
ступны для учителей младших классов.
В результате, учителя расходятся недоволь-
ные, а дирекция школы лишь утешает себя
лишним протоколом да возможностью улуч-
шить статистические показатели школьного
отчета. На вопрос: «Почему же у вас не рабо-
тает предметная комиссия?» все учителя ста-
раются доказать, что нет общих, нужных
и интересных вопросов, поэтому всякое засе-
дание неприятно и для докладчика, и для
слушателей. Часто причиной плохой работы
предметной комиссии у чителя называют отсут-
ствие времени для раб оты и даже невозмож-
ность выбрать обший, устраивающий всех
день и час для заседаний. Так например,
5 учителей математики 611-й школы никак не
могли найти ни одного дня в месяц, чтобы
выделить его для предметной комиссии:
каждый предлагал такие дни и часы, которые
не устраивали остальных.
Во всех остальных случаях, когда предмет-
ная комиссия вела какую-то работу, содер-
жание этой работы было малоценным.'В пла-
нах работы предметных комиссий многих
школ района можно найти один и тот же
вопрос: «Методика решения арифметических
задач», «Методика решения геометрических
задач на построение», «Составление уравнений
по условию задач» и пр. Это не удивительно,
так как городской педагогический кабинет
разослал по школам и районам примерную
тематику работы предметных комиссий. Еще
более характерно то, что вопросы эти одина-
ковы не только по названию, но одинаковы
и по содержанию, ибо каждый докладчик
черпает материал из одних и тех же литера-
турных источников. Доклады отличаются одни
от другого только личными симпатиями док-
ладчика к тому или иному автору, к тому
или иному методическому рецепту. Счастли-
вым исключением являются крупицы личного
опыта докладчика. И ни в одном докладе не
отражается практика данной школы, данного
учителя. Нередко, наоборот, бывает так, что
хорошие мысли докладчика диаметрально
противоположны тому, что он делает в классе,
а в классе работа ведется кое-как, успевае-
мость низкая. В этом сознаются иногда
и сак:и докладчики. Один из таких докладчи-
ков учитель К. на районном совещании учи-
телей заявил примерно так: «Товарищи, я
буду говорить, как надо делать, ио делаю лн
я сам так — не знаю, может быть, делаю, но
очень редко». Учитель Г. выступает с содер-
жательными докладами, а за плохую успева-
емость учащихся, за низкое качество препо-
давания его вынуждены были снять с работы
в пятых классах и дать III класс.
Если сравнить тематику работы предметных
комиссий с тематикой работы районного
н городского педагогических кабинетов
и Института усовершенствования учителей,
то приходится констатировать полную ее иден-
тичность. Но, если последние организации
преподносят вполне квалифицированный мате-
риал, научно обоснованный, взятый из луч-
шего опыта, то в предметной комиссии, как
правило, преподносится низкопробная, ком-
пилятивная, наспех составленная мешанина.
Конечно, бывают и хорошие, содержательные
доклады, в таком случае их надо делать
дош оянием всех учителей района, ставить их
в районном педагогическом кабинете. Таким
образом, получается ненужная кустарщина,
без пользы для данной школы, скучная для
коллектива математиков в целом. Отсюда
неизбежен вывод, надо отказаться от общих,
«мировых» вопросов н все внимание прико-
вать к вопросам и нуждам данной шко-
лы, данного класса.
4 октября 1939 г. в педагогическом каби-
нете было созвано районное совещание
председателей школьных математических
предметных комиссий. На этом совещании был
сделан анализ работы комиссий, вскрыты
недочеты этой работы и детально обсужден
вопрос, чем и как должны заниматься пред-
метные комиссии. Договорились о том, что ос-
новой работы п| едметной комиссии должно
быть взаимное изучение опыта преподавания
математики каждым учителем и в каждом клас-
се, включая четвертые классы, учителя кото-
рых должны входить в состав комиссии. Цели
такого изучения были определены следующим
образом: 1) лучшие образцы опыта делать
достоянием всего коллектива учителей мате-
матики; 2) вскрывать недочеты преподавания,
коллективно обсуждать их и путем ряда
пазработанных мероприятий устранять; 3) ру-
ководить работой молодых учителей и учи-
телей, впервые работающих в данном классе.
Изучение опыта должно проводиться путем
регулярного, систематического взаимного
посещения уроков. Результаты посещения
должны фиксироваться каждым посещающим
в своей тетради, загем анализироваться и в
форме конкретных предложений обсуждаться
на заседании комиссии. Вполне понятно, что
большое внимание должно быть уделено
составлению графика таких посещений, при-
чем, в интересах дела вовсе нет надобности
фиксировать день и час посещения; достаточно
указать, сколько раз за данный промежуток
времени каждый учитель должен побывать на
уроках данного учителя.
Изучение и последующее обсуждение опыта
должно проводиться в двух разрезах: 1) как
ведется преподавание математи"и в целом
в данном классе и данным учителем, причем
наблюдению и обсуждению подвергаются все
стороны урока — от поведения учителя и уча-
щихся в классе до изложения материала учи-
телем и усвоения его учащимися; 2) как про-
водятся отдельные части урока (проверка
дальнейших заданий, опрос, самостоятельная
работа, записи, преподнесение нового матери-
ала н т. п.) каждым учителем в каждом классе;
в этом случае в центре наблюдения должны
быть детали данного момента в уроке, причем,
конечно, не должны упускаться из виду и дру-
гие моменты.
Таким образом, изучение опыта работы
в плане предметной комиссии отргжается
двояко: 1) обсуждение отчета преподава елей
о работе в данном классе в целом; 2) обсуж-
дение того или иного вопроса в разрезе всех
классов. В первом случае ставятся отчеты
всех преподавателей по очереди, причем
очередность постановки отче.а определяется
отнюдь не порядком класса, а исключительно
состоянием работы в данном классе, положе-
нием данного класса среди других классов по
успеваемости. Как правило, в течение учеб-
ного года отчет одного и того же препода-
вателя должен быть поставлен и обсужден
не один раз. Постановке отчета обязательно
предшествует посещение уроков данного учи-
теля всеми остальными учителями. Только
в этом случае обсуждение отчета будет кон-
кретным и полезным. Вторичное обсуждение
о.чета того же учителя должно иметь ввиду
проверку выполнения сделанных этому учи-
телю Указании и предложений.
На практике эти положенияосущес влялись
так. В 267-й школе где председателем комис-
сии состоит 3. И. Сосновская, повестка засе-
дания предметной комиссии от 27 октября
1939 г. была такова: 1) сообщение препода-
вателей К. и Г. о ходе работы в IV и V клас-
сах; 2) сообщение т. В. о работе в X классе;
3) анализ посещенных уроков. Перед обсуж-
дением этих отчетов у т. Г. было посещено
3 урока, а у т. К.— 5 уроков, ут. В.— 1 урок.
Это, конечно, мало, но уже и при таком ко-
личестве посещений протокол заседания отра-
жает деловое обсуждение отчетов и фикси-
рует каждому из отчитавшихся товарищей
ряд конкретных предложений. 11 ноября того
же года предметная комиссия обсуждала итоги
успеваемости за первую четверть и вынесла
решение: «Поставить на заседании комиссии
отчет о работет. К. с целью проверки данных
ей указаний, посетив предварительно ее
уроки».
Еще характерные примеры: учьтель 285-й
школы т. М. при решении задач в V классе
нередко допускала неверные решения и на
замечания завуча отвечала примерно так:
«Это мой метод; пусть ученики ошибаются,
а на следующем уроке я с ними анализирую
эти ошибки, и получается хорошо». Свои
погрешности т. М. пыталась обосновать прин-
ципиальными соображениями, и не каждый
завуч мог разгадать истинную природу подоб-
ных погрешностей. П тедметная комиссия
(председатель М. Г. Попова) вмешалась в это
дело. Путем посещения уроков т. М. допус-
кавшиеся погрешности были подтверждены,
а на ближайшем заседании предметной
комиссии ложный метод М. был разоблачен и
осужден. Учитель 249-й школы т. 3. на уроках
в VI классе, желая сделать их заниматель-
ными, вульгаризировал материал и различ-
ными сратнениями и неуместными Д1 ижениями ,
и жестами смешил учеников. Председатель
комиссии т. Мельников во-время и вполне
правильно раскритиковал «паясничанье» учи-
теля.
Надо сказать, что взаимное посещение
уроков прививается туго, и это объясняется
наличием некоторой консервативности средн
учителей, боязнью критики и самокритики,
боязнью испортить личные отношения. Очень
часто желание и необходимость посещения
уроков вырождались в форму организации
так называемых «открытых» уроков с после-
дующим их обсуждением. Это, конечно, не-
плохо, но и нельзя ограничиваться только
«открытыми» уроками, так как они школьной
погоды не делают.
Ч'о же касается обсуждения методических
вопросов в разрезе всех классов, то такие
вопросы в каждой школе могут быть своими.
Так, напоимер, в одном из протоколов засе-
дания комиссии 267-й школы после обсужде-
ния успеваемости учащихся по ма-ематике
выяснилась необходимое I-ь «поставить на
комиссии вопрос о проверке домашних зада-
ний и методике опооса (с этой целью органи-
зовать взаимное посещение уроков)». В таких
случаях на заседании комиссии надо ставить
доклады 2—3 учителей разных классов, при-
чем сама формулировка вопроса должна
исключать трактовку вопроса в академичес-
ком стиле и должна примерно быть такой:
«Как я помогаю отстающим учащимся»,
«Как я веду записи на классной доске», «Как
я обучаю учащихся доказательству теорем»
и т. п. При обсуждении таких докладов,
естественно, делаются ссылки на литератур-
ные источники, рекомендующие то или иное
улучшение. Ясно, что подобная постановка
работы треоует от каждого учителя затраты
определенного количества энергии и времени
и нн в коем случае не ограничивается фор-
мальным проведением заседаний, заю все
члены комиссии объединяются общими инте-
ресами, интересами своей шголы. повышением
качества преподавания и успеваемости уча-
щихся.
Необходимо также, чтобы каждый член
предметной комиссии имел определенное
54
и постоянное поручение, выполнение которого
обсуждается систематически на заседаниях
комиссии. Например, т. А. поручается руко-
водить математическим кружком; т. Б. пору-
чается организовать математические разделы
в стенгазетах каждого класса ь общешколь-
ной или организовать выпуск математического
бюллетеня; т. В. поручается аннотирование
учебной и методической литературы; т. Г.—
аннотирование журнала «Математика в шко-
ле», т. Д.— организация школьного кабинета
наглядных пособий и т. п. Выполнение пору-
чения должно обязательно проверяться не
только по устным сообщениям данное о товари-
ща, но и по фактическим данным. Планы ра-
боты предметных комиссий должны включат:
в себя и эти вопросы. В протоколах 267-й
школы и других школ значатся следующие
пункты: «Подбор устных упражнений по алгеб-
ре для VI класса поручить т. Розентуль;
составление библиографического списка ста-
тей по отдельным темам (из журнала «Мате-
матика в школе» за 1937—1939 гг.) поручить
т. Сосновской; составление аннотаций на
журнал «Математика в школе» за 1939 г.
поручить т. Чоборовской; организацию круж-
ковой работы поручить т. Васильеву».
Очень часто учителей интересуют вопросы
общеметодического порядка, касающиеся
опроса, ведения тетрадей, домашних работ
и пр. В некоторых школах у отдельных учите-
лей имеется хороший опыт в том или другом
разделе. В этом случае предметная комиссия
намечает для себя опытную работу по одному
из разделов. Руководителем работы выде-
ляется тот учитель, который в данном раз-
деле имеет определенные достижения, и под
его руководством работа по этому разделу
развертывается во всех классах, всеми учи-
телями. Систематическое обсуждение и кор-
ректирование такого опыта поможет в даль-
нейшем перенести его во все школы района
или, через печать, сделать достоянием широ-
ких учительских масс. Потребность в такой
работе огромна, на каждом учительском со-
вещании эти вопросы ставятся, но обычно
не находят толкового развернутого решения.
То же самое относится к новым в >просам,
выдвигаемым жизнью. Одним из таких во-
просов является вопрос о привитии учащимся
на уроках математики практических жизнен-
ных навыков. Пусть предметная комиссия
предварительно обсудит конкретные возмож-
ности по каждому классу, пусть затем она
крупицами собирает и обсуждает лучшее из
такого опыта. Тогда вопрос этот скорее
перейдет из области беспредметных рассуж-
дений в область конкретных фактов.
Наконец, предметные комиссии должны
организовать проверку и обсуждение таких
документов, как «Нормы оценок». В связи с
этим документом особым вниманием комис-
сий должны пользоваться темы проверочных
письменных работ по каждому классу как
четвертных и годовых, так и текущих по
отдельным темам. Истекший 1939/40 учебный
год показал, что предметные комиссии в
школах нашего района сыграли очень боль-
шую роль в подготовке документации к ис-
пытаниям: билетов и тем для письменных
испытаний. Компетентное обсуждение этих
документов предметными комиссиями помог-
ло и учителям-составителям, и дирекции
школ, устранил многие ненормальности. На-
i—irer
конец, вниманием предметной комиссии долж-
ны пользоваться и вопросы повышения ква-
лификации своих членов. Многие учителя
учатся в заочной или вечерней системе педа-
гогического образования. В отдельных случа-
ях эта учеба проходит формально, без необ-
ходимого эффекта, в других случаях обуча-
ющийся нуждается в помощи. Предметная
комиссия должна быть кровно заинтересована
в том, чтобы все ее члены возможно скорее
получили необходимую квалификацию, поэ-
тому надо включать в планы работ отчеты
обучающихся о ходе учебы.
Председатель предметной комиссии должен
быть авторитетным руководителем коллек-
тива учителей, он должен быть хорошим
организатором и помощником дирекции шко-
лы в деле улучшения качества обучения и
воспитания учащихся. Он должен быть тесно
связан с районным и городским педагоги-
ческим кабинетами и Институтом усовершен-
ствования учителей. В истекшем учебном
году наш районный педагогический кабинет
вел систематическую работу с председателя-
ми предметных комйссий, регулярно, не реже
двух раз в четверть, собирая их на совеща-
ния. На этих совещаниях обсуждался опыт
работы предметных комиссий и випоосы
организационного характера: о проведении
единых полугодовых письменных работ, о
методике анализа ошибок, о примерных би-
летах для испытаний, о примерной тематике
письменных работ и пр. Здесь выявлялся
у и уточнялся опыт работы отдельных школ.
В отдельных случаях изменялся организаци-
онный характер в работе комиссий. Напри-
мер, в 297-й школе было мало преподавате-
лей и все они — неопытные. Школа эта нахо-
дится в одном здании с 276-й школой, где
работает тоже мало учителей, но с большим
опытом и квалификацией, причем один из
них работает и в 297-й школе. Тогда для
этих двух школ была организована одна пред-
метная комиссия. Надо сказать, что описан-
ная в данном обзоре работа • предметных
комиссий еще только развертывается, она
еще переживает болезни роста, но путь, из-
бранный районом, будет и в текущем учебном
году служить основным путем. В целях по-
пуляризаций лучшего опыта работы предмет-
ной комиссии на августовском районном
совещании учителей математики было по-
ставлено сообщение 267-й школы. Председа-
тель предметной комиссии этой школы 3. И.
Сосновская сообщила следующее (приводим
выдержки из ее сообщения): «Вопрос о пре-
подавании арифметики в IV — V классах
занял большое место в работе комиссии.
Прежде всего мы условились, что товарищи
должны побывать на уроках арифметики.
Затем я дала план, по которому преподава-
тели должны были рассказать о своей работе,
а остальные преподаватели — свои впечатле-
ния, чтобы тем самым организовать обмен
опытом. Нами был проведен тщательные
анализ уроков, сделаны выводы и даны ука-
зания преподавателям с тем, что в дальней •
шем будет проведена провеока, как эти ука-
зания будут использованы товарищами... На
первом собрании второй четверти мы обсуж-
дали вопрос, чем объяснить слабую успевае-
мость в нашей школе. Из высказываний всех
преподавателей нам удалось установить, что-
если учащиеся работают недостаточно, то:
1) мы их все-таки плохо контролируем в смы-
сле выполнения домашних заданий; 2) допол-
нительные занятия, развернутые в школе, не
были достаточно эффективны; 3) особенно
неудачно проходили письменные провероч-
ные работы... Второе собрание было посвя-
щено проверке домашних заданий. Перед
этим собранием я посетила уроки некоторых
товарищей, чтобы просмотреть, как же идет
проверка домашних заданий. При первом
посещении я убедилась в том, что у нас или
нет совсем проверки, или она слишком много
занимает времени и не достигает цели, так
как, просмотрев тетради, я увидела, что у
учащихся многое осталось неисправленным..
При следующем посещении уже чувствова-
лась перестройка работы у многих препода-
вателей... Что я делаю, как председатель? —
Я бываю на собраниях в городском и район-
ном педагогических кабинетах. Кроме собра-
ний комиссии, провожу индивидуальные бе-
седы с товарищами о выполнении программы,
о письменных работах и их результатах, об
опросе, об успеваемости, знакомлюсь с класс-
ными журналами. В первом полугодии посе
тила 21 урок, во втором —19. Я веду записи
посещений, анализирую их, готовлюсь к соб-
раниям, сравниваю успеваемость за данное
время с прошлым н т. г.».
Выводы, которые напрашиваются сами со-
бой, таковы:
1. Основной и объединяющей целью в ра-
боте предметных комиссий должно быть
повышение качества преподавания и успе-
ваемости учащихся.
2. Основным методом является изучение
опыта работы каждого члена коллектива
математиков как в разрезе класса в целом,
так и в разрезе отдельных вопросов по всем
классам.
3. Содержание работы должно в основном
состоять из взаимного посещения и коллек-
тивного обсуждения уроков.
4. Помимо этого каждый член коллектива
должен выполнять какую-либо постоянную
работу по заданию комиссии и отчитываться
в этол работе.
5. План работы должен учитывать именно
такую целенаправленную работ}, которая
указана выше, и не должен ориентнрозаться
на разрешение общих академических вопро-
сов.
6. Работа комиссии должна находить свое
отражение в соответствующей документации.
ЗАЛ МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАЗВЛЕЧЕНИИ
В ДОМЕ ЗАНИМАТЕЛЬНОЙ НАУКИ*
Г. ЛЕИГАУЭР (Ленинград)
Е!
числе прочих отделов Ленинград-
ского дома занимательной науки
долгое время работал отдел зани-
мательной математики.
Этот отдел, по мысли автора его
Я. И. Перельмана, предназначался скорее
для «недругов математики», чем для ее
друзей.
Задачей этого отдела было не столько
научить математике, сколько возбудить у
широких кругов посетителей интерес к ма-
тематическим знаниям, побудить к изучению
математических дисциплин.
Четыре условия, которыми руководство-
вался автор отдела — элементарность, не-
школьный материал, существенность, зани-
мательность, дали возможность подобрать
такие экспонаты, которые пользовались
неизменным успехом у самых широких кругов
посетителей.
Трехлетний опыт работы этого отдела
позволил констатировать большой интерес
посетителей к занимательной математике,
позволил выделить наиболее интересные
и доходчивые типы экспонатов этого отдела
и установить правильную методику работы
в нем. На основе этого опыта явилась
возможность и необходимость существенным
образом переработать и расширить экспози-
цию этого отдела н приспособить его к новым
методам работы с посетителями, основанным
на проявлении наибольшей самодеятельности
со сторону последних.
Новый, • начительио расширенный и изме-
ненный отдел занимательной математики,
открытый в этом сезоне, носит название «Зала
математических развлечений» **.
В задячи Зала математических развлечений
отнюдь не входит систематическое изложение
-основ элементарной математики. Экспонаты
зала имеют целью возбудить у самых широ-
ких кругов посетителей естественное любо-
пытство, интерес к математическим развле-
чениям и переключить их в любознательность,
в интерес к элементарным математическим
знаниям.
Элементарность, существенность и занима-
тельность попрежнему остаются важнейшими
условиями, которым должна удовлетворять
экспозиция Зала математических развлечений.
Наряду с этим имелось стремление к воз-
можно большей полноте отдела, к разнообра-
зию тем и экспонатов в нем.
Одно из условий, которыми руководство-
вались при устройстве Зала математических
развлечений,— «нешкольный материал» — тре-
бует пояснений. То, что в экспозицию Зала
в первую очередь привлечен «нешкольный
материал», конечно, совсем не означает, что
* К пятилетию со дня основания Ленинградского
дома занимательной науки.
** В экспозицию зала в основном вошли материалы
по занимательной математике, собранные в работах
Я. И. Перельмана. Подбор материалов для зала и кон-
струкция экспонатов выполнены автором этой статьи.
Художественное оформление экспонатов принадлежит
ведущему художнику Дома занимательной науки
А. Я. Малкову.
школьник не найдет для себя интересных
и полезных экспонатов в Зале математиче-
ских развлечений. Под словами «нешкольный
материал» отнюдь не надо понимать материал,
совершенно оторванный от школьного курса
математики. Напротив, почти все экспонаты
зала так или иначе связаны с этим курсом
и могут служить хорошим дополнением или
иллюстрацией к нему. Однако тематика экспо-
натов и их оформление часто далеки от тех,
какие школьник приьык встречать в школе
прн изучении математики. Экспонаты зала
по-иовому и часто с совершенно неожидан-
ной стороны освещают знакомый школьнику
учебный материал, углубляют его, пред-
ставляют в новом разрезе и т. д.
В этом смысле необходимо понимать здесь
условие: привлекать в экспозицию зала,
в первую очередь, нешкольный материал.
Опыт прежнего отдела математики показал,
что такого рода материал пользуется успехом
среди школьников и педагогов.
Зал математических развлечений рассчитан,
главным образом, на самодеятельность посе-
тителей, в противоположность дру-им отде-
лам Дома занимательной науки, где работа
с посетителем проводится обычным экскур-
сионным порядком. Эта экскурсия построена
так, что в каждом отделе посетитель нахо-
дится строго определенное время.
В Зал математических развлечений группа
экскурсантов попадает в конце экскурсии
по дому занимательной науки, когда все
прочие отделы уже пройдены ею. Это дает
возможность посетителю оставаться в зале
столько времени, сколько он сам пожелает,
в зависимости от большего или меньшего
его интереса к экспозиции зала.
Входящую в зал группу встречает экскур-
совод, проводящий короткую, десятиминут-
ную осведомительную экскурсию по залу, при
этом даются краткие объяснения по несколь-
ким, наиболее интересным экспонатам зала
и в общих чертах характерна! ются прочие
экспонаты. Далее группа знакомится с экспо-
натами зала в порядке самодеятельности. Все
экспонаты снабжены этикетками и надписями,
и любой, достаточно инициативный посети-
тель сможет работать с ними самостоятельно.
Зал, в котором все экспонаты можно тршать
руками, работать с ними, где много инте-
ресных задач и т. п., уже сам по себе
достаточно побуждает посетителя к само-
деятельности. К этому еще присоединяются
усилия экскурсовода-консультанта, который
то здесь, то там организует посетителей
вокруг отдельных экспонатов, дает указания,
отвечает иа вопросы и, таким образом, акти-
визирует самодеятельность группы.
Чтобы дать оолее подробное представление
об экспозиции Зала математических развле-
чений, приводим здесь описание некоторых
типичных его экспонатов.
Экспонаты можно объединить в несколько
смысловых и тематических групп. Мы начнем
описание с группы экспонатов, имеющих
целью общее развитие представлений о чн-
слах, развитие счетных навыков, сообрази-
тельности и т. п.
Один из этих экспонатов весьма своеоб-
разным способом дае. представление о том,
как велик миллион. Вот как описывает этот
экспонат Я. И. Перельман в своей книге
«Занимательная арифметика».
«Ряд зубчатых колес подобран и сцеплен
в этом приборе так, что когда рукоятку
поворачивают 10 раз, стрелка первого цифер-
блата делает один оборот. Когда рукоятка
повернется 100 раз, стрелка этого циферблата
обойдет круг 10 раз, и одновременно стрелка
соседнего, второго, циферблата сделает один
оборот. Чтобы заставить стрелку следующего,
третьего, циферблата обернуться один раз,
надо сделать рукояткой прибора 1 000 обо-
ротов. После 10 000 оборотов рукоятки
обернется один раз стрелка четвертого цифер-
блата и т. д.; наконец, после 1 000 0СО оборо-
тов рукоятки обернется однажды последняя,
шестая, стрелка.
...Этот прибор действует на мышечное
чувство. Вертя его рукоятку и наблюдая за
тем, как медленно движутся стрелки иа
последних циферблатах, мы непосредственно,
своими руками как бы ощущаем вес тех
шести нулей, которые сопровождают единицу
в изображении миллиона. Ведь, чтобы до-
браться до шестого нуля, нужно вертеть
ручку прибора без отдыха и остановок
сплошь в течение одиннадцати суток (считая
по одному обороту в секунду)».
Стены зала использованы для помещения
на них ряда «числовых диковинок». Сюда
относится прежде всего надпись, идущая под
потолком в виде фриза по всем четырем
стенам зала: знаменитое число к, вычисленное
Шенксом (1873) и содержащее 707 цифр.
Вероятно, Дом занимательной науки является
единственным местом Союза, где любой по-
сетитель может видеть «самое длинное к».
Другие «числовые диковинки» включены
в виде рельефных цифр в лепной орнамент
стен зала. Эю числа 2, 5, 9, 12. 13, 365, 999,
1001 н др. Каждое из этих чисел обладает
многими любопытными свойствами. Число 2,
например, — наименьшее из положительных
четных чисел, единственное простое четное
число, основание простейшей и, быть может,
любопытнейшей «двоичной» системы счисле-
ния и т. п. Описание особенностей приведен-
ных чисел, изображенных на стенах зала,
дано в одной из специальных витрин. Чита-
теля, заинтересующегося особенностями этих
чисел, отсылаем к книжке Я. И. Перель-
мана «Занимательная арифметика», изд. 7-е,
ГОНТИ, 1938, стр. 71-85.
Своеобразным экспонатом являются ариф-
метические ребусы — арифметические зшачи,
в которых требуется восстановить неиз-
вестные цифры в тех или иных выкладках.
Один из таких ребусов, составленный Я. И. Пе-
рельманом, приводим здесь для примера:
ШИ*...
2 [ J g • 8 •
• г • ®
Точками здесь обозначены недостающие
цифры, которые требуется восстановить.
Читатель, после несложных рассуждений, без
сомнения найдет ответ к этой задаче. Именно'
делимое здесь равно 110768, а делитель— 112.
Легко показать при этом, что указанное
решение ребуса является единственным.
В Зале математических развлечений ариф-
метические ребусы оформлены в виде не-
больших деревянных пюпитров. На месте
недостающих цифр сделаны круглые углуб-
ления-гиезда. Определив в процессе решения
какую-либо из недостающих цифр ребуса,
посетитель вставляет в соответствующее
гнездо деревянную шашку, на которой нари-
сована нужная Цифра. Затем определяется
следующая цифра и т. д. — до заполнения
всех пустых мест ребуса.
Очень интересен экспонат «Задумай число»,
основанный на некоторых элементарных пра-
вилах алгебры и арифметики. Экспонат
оформлен в виде фигуры совы, сидящей на
дереве. Вращая рукоятку, посетитель читает
надписи, появляющиеся в специальном око-
шечке и указывающие, какие действия нужно
произвести над числом, которое он задумал.
В конце появляется надпись, объявляющая
посетителю, какое число у него получилось
в результате вычислении. «Отгадывание»
в этом случае основано на том, что резуль-
тат выкладок не зависит от задуманного числа,
так как последнее исключается в процессе
выкладок. Но так как исключение зад^ ман-
ного числа производится незаметно для посе-
тителя, каждый раз различными способами,
подчас довольно замысловатыми, то раскрыть
секрет этого «автомата-отгадчика» бывает
не так просто.
Когда в выкладках участвуют одновремен-
но несколько человек, причем каждый из них
задумывает свое число, независимость резуль-
тата от задуманного числа подчеркивается
особенно ярко. Какое бы число ни было
задумано — результат у всех один н тот же!
Этот прием дает возможность экскурсоводу
очень доходчиво объяснить, на чем основано
действие этого «автомата».
Смысл этого экспоната не только в том,
что он облегчает объяснение некоторых эле-
ментарных правил арифметики и алгебры.
Он побуждает ребят добровольно, охотно
и подолгу проделывать важную, но обычно
скучную работу — тренировку в устном
счете.
Несколько экспонатов зала посвящены раз-
личным системам счисления. Один из Hiii,
например, имеет вид старой пожелтевшей
записи автобиографического характера, текст
которой мы здесь воспроизводим *.
«Я окончил курс университета 44 лет от
роду. Спустя год, РО-^епиим молодым чело-
веком я женился на 34-летней дев) шке. Не-
значительная разница в возрасте — всего
11 лет — способствовала тому, «то мы жили
общими интересами и мечтами. Спустя не-
много лет у меня была уже и маленькая
семья из 10 детей. Жалования я получал
в месяц всего 200 рублей, из которых */1(| при-
ходилось отдавать сестре, так что мы с детьми
жили на 130 рублей в месяц» и т. д.
Странные противоречия в числах этого
отрывка объясняются тем, что числа эти
написаны в недесятичной системе счисления.
• За-ача эта предложена Я. И. Перельманом. См.
«Занима елытая арифметика;, изд. 7-е. ГОНТИ, 1938,
стр. 5& 57.
Фраза: «Спустя юд (после 44 лет,, 190-летним
молодьн/ человеком...» дает ключ к решению
задачи. Так как от прибавления единицы
к числу 44 в этой системе получается число
10'), то значит, цифра 4 является наибольшей
цифрой этой системы. Таким образом, осно-
ванием этой систем .1 является числц 5. Поэто-
му ч ,сло «44» в этой си гене 4X5 + 4, т. е.
24 число «13®» означает 1x5X5, т. е. 25
и т. д. Не трудно, далее, восстановить смысл
всей записи курс университета был окончен
24 лет от роду; женитьба произошла на 25-м
году; девушке было при этом 1У лет; семья
состояла из 5 детей; месячн )е жалование —
50 руб., сестре отдавалось */5 жалованья,
оставалось, следовательно, 40 руб.
Занимател пая загадочность текста этого
экспоната служит, таким образом, поводом
для беседы о недеслтичных системах счисле-
ния.
Другой экспонат, относящийся к системам
счисления, с виду ничем не отличается от
обычных автоматических весов с цифербла-
том, какие можно встретить сейчас в любом
продуктовом магазине. Однако, всматриваясь
в их шкалу, посетитель видит, что на ней
нанесены ие г laMMbi, а... мужские и женские
имена, всего .63 имени. Взвешивают на этих
весах особые пластинки с написанными, на
них пепечнями имен. Посетитель отпирает те
пластинки, на которых имеезся его имя. Те
же п астипки, на которых имени посетителя
нет, eMv предлагается положить на весы.
Стрелка бесов останавливается после этого
как раз ппотив имени посетителя, написанного
н шкале весов.
Секрет заключается в том, что пластинки
имеют различные веса, относящиеся, как
числа: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
К к известно, пользуясь этими числами, как
слапемымн, можно образозать в сумме любое
число от 1 до 63 и притом одним только
способом. Например, чисто 53 может быть
получено только как с, мма 32+ 16 + 4 + 1.
Ника им другим способом нельзя получить
число 53 из перечисленных выше слагаемых.
Таким образом, из указанных 6 пластинок
можно получить 63 различных их сочетания,
каждое из которых обладает различным
весом. С этими сочетаниями связаны опре-
деленные имена, написанные на пластинках,
именно: вес каждого сочетания пластинок
Весы, отгадывающие имя
, Задумай число
соответствует тому имени, которого нет
ни на одной из них.
В процессе объяснений по поводу этого
экспоната очень удобно дать понятие о про-
стейшей «двоичной» системе счисления, на
свойствах которой экспонат осиоваи. Более
квалифицированная группа экскурсантов мо-
жет получить с помощью этого и прочих
экспонатов зала довольно ясное поедставдение
о системах счисления вообще.
К числу экспонатов, дающих представление
о теории вероятности, относится прежде всего
широко известный аппарат, называемый
«доской Гальтона». Это почти отвесно уста-
вов 1енная доска, плоскость которой усеяна
большим количеством торчащих гвоздиков,
расположенных в шахматном порядке. Сверху
из отверстия сыпятся крупинки: ударяясь
о I воздики, они отклоняются случайным
образом в разные стороны и падают в ма-
ленькие за грома внизу доски. Закрома эти
застеклены, так что уровень кру-
пинок в каждом закроме хорошо
виден.
Так как вероятность больших от-
клонений крупинок невелика, то наи-
большее число крупинок падает в
средние закрома. В крайние закрома
крупиио:: попадает меньше. Вскоре
уровни крупинок в закромах обра-
зуют контур, близкий к кривой рас-
пределения вероятностей Гагсса.
Экспонат э.от пользуется боль-
шим успехом и служит незаменимым
пособием для элементарного объяс-
нения основ теории вероятностей.
Весьма просто от доски Гальтона
перейти к различным практическим
применениям теории вероятностей,
например к рассеиванию артилле-
рийских снарядов и т. п.
Доходчивость экспоната позволяет
демонстрировать его даже детям.
Интересно замечание одного реоенка, выска-
занное им своему отцу, по поводу этого
экспоната. «Здесь зернышки падают в беспо-
рядке. а ложатся в порядке».
Другой экспонат демонстрирует знаменитую
задачу Бюффон! с бросанием иглы. Эта за-
дача оригинальным и неожиданным способом
приводит к определению числа it. Заключается
она в следующем. Иглу определенной длины
случайным обраюм бросают на поверхность,
на которой проведены параллельные линии,
отстоящие друг от друга на расстояниях
вдвое больших, чем длина иглы. Е'ли по-
вторить бросание много раз и подсчитать чис-
ло случаев, когда игла ложится ттк, что пе-
ресечет одну из параллельных линий, а затем
разделить общее число бросаний на число
таких случаев, то с большим или меньшим
приближением должно получиться число тс.
Экспонат Зала математических развлечений
ДЗН представляет собою стол, на котором
разграфлены параллельные линии. Над сто-
лом натянута система сеток, через которые
проваливается одновременно 100 иголок, бро-
саемых поверх этих сеток. Назначение сеток—
сделать падение каждой иглы возможно бо-
лее случайным.
Сбоку экспоната имеются небольшие счеты
н тетрадь записей и вычислений. Повторив
бросание 5 раз и сосчитывая число случзев,
когда иглы пересекают линии, начерченные
на столе, посетитель довольно быстро убеж-
дается в справедливости теоретического рас-
чета, который утверждает, что число всех
брошенных иголок, разделенное на число пе-
ресечений иголок с линиями, дает значение п
тем более точное, чем больше совершается
бросаний.
Для пяти бросаний, при которых число всех
брошенных иголок равно 500, получается зна-
чение it с точно тью всего лишь около 0,1...
В тетрадке, приложенной к экспонату, ведутся
записи всех совершаемых бросаний. Сумми-
руя все бросания, совершенные посетителями
в течение многих дней, н сообщая новым по-
сетителям подученные числа, экскурсовод
может демонстрировать, как уточняется п ш-
ближение к к по мере увеличения числа бро-
саний.
Теория этого экспоната достаточно проста.
Упрощенное ее изложение вполне доступно
посетителям, имеющим хотя бы смутные пред-
ставления о начатках школьной математики.
Для школьник )в, знакомых с геометрией кру-
га, теория этого экспоната не представляет
никаких затруднений.
Следующий экспонат иллюстрирует еще
одну задачу по теории вероятностей.
Задачу эту легко уяснить на таком при-
мере: обычно трамвайный, автобусный и про-
чий билет зшумерован числом, состоящим
из шести цифр; какова наиболее вероятная
сумма цифр номера трамвайного билета, по-
лученного вами сегодня в тргмвае? Другими
словами, какова наиболее вероятная сумма
шести цифр, взятых наудачу? Теооетичесчий
расчет показывает, что наиболее вероятная
сумма цифр в этом случае равна 27.
Этот результат можно демонстрировать с
помощью экспоната, носящего название «Трам-
вайный билет». Фигура кондуктора держит
небольшой деревянный футляр, ь футляре,
на общей оси, независимо друг от друга,
вращаются шесть круглых барабанов, на ци-
линдрической поверхности которых написаны
цифпы от 0 до 9. Цифры видны в окошечки,
прорезанные в футляре.
Толчками руки посетитель приводит бара-
баны в быстрое вращение, сообщая каждому
из барабаноп случайную скорость и даже
случайное направление вращения.
Специальным остановочным приспособле-
нием все барабаны могут быть мгновенно
остановлены, причем цифры, написанчые на
барабанах, ра щолагаются точно в окошечках
футляра. Посетитель подсчитывает сумму
цифр и замечает ее с помощью особого гчег-
ного приспособления, имеющэгося иа экспо-
нате. Повторяя этот опыт несколько раз, по-
сетитель иаглятио убеждается, что из шести
цифр наиболее часто образуются суммы, близ-
кие к 27.
Теория перестановок иллюстрируется до-
вольно неожиданным экспона том. С виду это
обыкновенный ларец, из числа тех, которые
«просто открываются». Однако в этом ларце
в самом деле скрыт механизм с секретом. Ла-
рец этот открывается только при определен-
ном расположении особых пластинок различ-
ной ширины, вставляемых в замок ларца.
Расположение этих пластинок оп зеделяе ’ся
установке, механизма замка, производимой
экскурсоводом перед закрыванием ларца каж-
дый раз другим способом. Посетителю пред-
лагается сообщить, каковы все возможные
перестановки из четырех пл.шгинок и сколь-
ко нх. Убеждаясь, чю этих перестановок не
так уж много, посетитель приобретает жела-
ние перепробовать их все для того, чтобы,
наткнувшись случайно иа нужный порядок
пла тннок, открыть ларец, гем более, что иа
ларце имеется надпись, обещающая премию.
Открыв парец, посетитель получает в виде
премии одну из имеющихся в нем популяр-
ных книжечек по математике.
Интересен экспонат, иллюстрирующий, как
быстро растет степень какого-либо числа
вместе с ростом показателя степени.
Устройство этого экспоната можно понять
из следующего Представим себе некоторое
количество брусков квадратною сечення, на-
пример. 10 штук, уло кенпых вплотную друг
к другу так, что их верхние боковые грани
образуют одну плоскость. Нарисуем на этой
плоскости какой-нибудь портрет. На каждяй
брусок попадет какая-лчбо тасть лица. На
один из брусков попадет, например, нос, на
другой — гуоы и т. д. Нарисуем теперь на
остальных грех гранях нашею бруска ту же
часть лица, но несколько измененную и при-
том так, чтоб каждые два соседних бруска
можно было прикладывать друг к другу любы-
ми гранями без нарушения непрерывности
линии портрета. Ком зинируя разные грани
разных брусков, мы будем получать все но-
вые и новые портреты, и все они хотя бы
одной ма генькой деталью будут отличаться
от всех предыдущих. Сколь.со портретов
можнэ получить, комбинируя различным об-
разом 4 грани всего лишь 10 брусков? Ког-
да задают этот вопрос посетите зим, получа-
ют обычно самые разнообразные о 1веты. «Со-
рок», «Бол ше тысячи», «Много» и т. п. Ред-
ко кто из посетите гей до-адывается, как ве-
лико число всех портретов. Именно это чис-
ло равно 4'“, т. е. несколько больше одного
миллиона!
Беря число брусков, вдвое меньшее, мы по-
лучаем всего лишь около тысячи комбина-
ций и т. д.
Находящийся в зале математических раз-
влечений ДЗН экспонат устроен несколько
иначе, чем здесь описано, удобнее в обраще-
нии. Одиако идея экспоната остается та же —
быстрый рост числа при незначительном
возрастании показатетя степени.
Мы описали лишь несколько экспонатов
Зала математических развлечений. Помнло
этих экспонатов, в зале имеется большое чис-
ло разнообразных математических игр, раз-
влечений, задач и т. п. Каждая из иих осно-
вана на каком-либо положении математики,
достаточно элементарном, но и достаточно
существенном.
Есть экспонаты, затрагивающие вопросы
топологии. Серия экспонатов под общим наз-
ванием «Геометрия на весах» дтет возмож-
ность путем взвешивания различных геомет-
рических фигур и тел иллюстрировать раз-
ные теоремы 1 еометрии.
Есть экспонаты, которые разными занима-
тельными приемами развивают простран-
ственные представления посетителей, научают
читать чертежи и т. и.
Наконец, в специальных витринах помеще-
ны наборы различных занимательных мате-
матических задач. Задачи эти непрерывно
сменяются для того, чтобы посетители моглн
иметь всегда новый материал. Они подбира-
ются по следующим группам:
1. Задачи, не требующие или почти не тре-
бующие математических знаний и основанные
на сообразительности и догадке.
2. Задачи, требующие, кроме смекалки, еще
и элементарных математических знаний или
заставляющие вспомнить эти знания, когда-
то полученные в школе.
3. Вопросы и задачи, имеющие целью про-
верку н уточнение математических знаний
школьника. Эго, главным образом, неожидан-
ные сопоставления и выводы, иногда парадок-
сы и т. п Группа этих задач разбита па три
серии, подобранные для разных классов сред-
ней школы.
4. Серия для любителей трудных или остро-
умных математических задач. Эти задачи
дтя своего решения требуют достаточной
математической подготовки, одиако ие выхо-
дящей из объема куоса средней школы.
5. Задачи для ребят в возрасте 8—12 лет.
6. Задачи-шутки, математические фокусы
и развлечения.
Наш далеко- не полный очерк о Зале мате-
матических развлечений ДЗН все же дает
достаточное представление о тех методах,
какими пользуется ДЗН для популяризации
математических знаний. Хочется за тончить
его словами Паскаля: «Предмет математики
настолько серьезен, что полезно не упускать
случаев делать его немного занимательным».
О ПРЕПОДАВАНИИ ДЖЯТ1РШ i IX ДРОБЕЙ
(Яа опыта работы)
£. ЛЕБИТАЕ (г. Сталин»)
зученне десятичных дробей начинает-
ся после обыкновенных дроаей, т. е.
после того, как ученики имеют уже
ясное представление и полное по-
нимание дро~>ного числа. Введением
к изучению этой темы может слсжить такое
указание преподавателя: «Мы более подробно
изучим те дроби, у которых знаменатель 10
или степень числа 10».
Часто учениси дают такое определение:
«Десятичной дробью называется дпо,ь без
знаменателя». На этом «определении» надо
остановитпся и объяснить его абсурдность.
Во-первых, дробь должна иметь знаменатель,
если знаменателя нет, то мы имеем не дроб-
ное число, а целое. Затем надо показать, что
7 ЗУ 51
такие дроби, как Yqq > iqoq’ и т-д-'иазы'
ваются десятичными. Вопрос только сво-
дится к форме записи дроби.
На записи десятичной дроби мы расширяем
наше понятие о нумерации чисел. При изу-
чении целых чисел мы удалялись от единиц
только влево, теперь уже можем удаляться
также вправо. Надо приучать учащихся при
записи под диктовку к тому, 4T0jfci десятич-
ные знаки зап 1сывать только после того, как
услышали последний разряд. Я этого доби-
ваюсь таким путем: нужно записать 3,025.
Диктую: «три целых» (учениси записывают
3\ затем: «двадцать пять» (делаю малую nav-
зу, тем временем некоторые уже записали 25),
затем добавляю «тысячных». Несколько раз
так проделать, н ученики уже насторожены
при письме и обязательно ожидают услышать
разряд до того, как запишут.
Чтобы ученики умели быстро читать, мы
ааучиваем, что одна цифра после запятой —
десятые, две — сотые, три — тысячные и т. д.
Надо требовать ясного произношения наи-
менования разряда: «десятых», «сотых», «ты-
сячных» и т. д., ибо часто говорят «десятков»
вместо «десятых», «сотен» вместо «сотых»
й т. д. В таких случаях выясняем, на каком
месте стоят «десятые», а на каком — десятки.
Ученики убеждаются в том, что мое требова-
ние — ясно произносить наименование разря-
да — вполне обосновано и справедливо.
При изучении вопросов: сокращение деся-
тичной дроби, приведение к общему знамена-
телю, обращение смешанного числа в непра-
вильную дробь, сравнение десятичных дробей
ученики еще раз убеждаются в том, что де-
сятичные дроби представляют собой частный
случай обыкновенных дробей, а так же в том,
насколько рационализируются все вычисления
благодаря записи этих дробей без знамена-
теля.
Сравнение дробей провожу на основе по-
разрядного сравнения. Ка :ая дробь больше:
3,72 или 3,71285? Целых и десятых одинако-
вое количество, а сотых в первом числе боль-
ше, значит оно больше.
Все действия над десятичными дробями я
объясняю на основе свойств целых чисел и
действий над ними, затем проверяемсправед
ливость правил действий над обыкновенными
дро >ями в применении к десятичным и опя~ь-
таки убеждаемся в преимуществах пользо-
вания десятичными дробями. Техии са сложе-
ния и вычитания затруднений не вызывает.
Но надо обратить внимание на устный счет.
Во многих случаях ученики дают устно пра-
вильные ответы, а при записях ошибаются.
8,164-3 = 8,19; 0,74-0,9 = 0,16; 13,64-0,7 =
= 13,13 и т. д.
На таких примерах надо достаточно упраж-
няться устно, затем с записью в строчку.
Чтобы избежать ошибок при подписывании
слагаемых, уменьшаемого и вычитаемого я
говорю так: надо подписывать числа одно
пол другим так, чтобы одинаковые разряды
стояли под одинаковыми, т. е. писать так,
чтобы все запятые были одна под другой.
Следует приучать писать запятую перед
переходом к целым, а не в конце, после вы-
числений, ибо иногда ученики вовсе забыва-
ют записать запятую:
325,82
4- 8.J6 25
,3825
Обязательно решаю почти вес примеры и
задачи из задачника ня меры. Эти задачи
помогают осмыслить действия с десятичными
дрооями и развивают логическое мышление.
После изучения сложения и вычитания даю
проверочную работу на один час:
й - 37 84
1) записать без знаменателей: |qqq' , JqqoO’
325
5 100000-
2) 11айти сумму: 3,025 -j- 18,12 4- 325 4- 0.СЭ67.
3) Найти разность: 15,67 — 3,0028.
4) Какая из дробей больше: 15,68 или
15,67325?
5) Обратить в неправильную дробь: 3,028.
Умножение я объясняю, исходя из свойств
действий над целыми числами и изменения
произведения. В качестве проверки применяем
правило умножения обыкновенных дробей.
Надо также дать указание о подписывании
множителей. Вовсе не обязательно, чтобы за-
пятые стояли одна под другой, наоборот, это
часто даже неудобно: 15,67 15,67
X 3,2 Х3,2
второй способ записи является более удоб-
ным.
При делении надо обратить внимание иа то,
что нельзя сразу делить любое число, а нуж-
но делить раньше целую часть, затем сносить
по одной цифре: 6,3189,18 —нельзя сра-
зу делить 63 на 18, а раньше делить 6 целых
и записать 0 целых в частном.
Важно решать такие примеры 0,002:5;
0,0004:20 и т. д. Такие примеры заставляют
выполнять действие осмысленно, а не меха-
нически.
Надо приучить учеников ставить запятую
в частном, как только они заканчивают де-
лить целую часть.
Все время надо обращать внимание на де-
литель и выяснить, каков он: целое число или
дробь.
При делении на дробь, следует раньше за-
черкнуть запятую в делителе, затем уже пе-
рейти к делимому.
Надо бороться с приемом уравнения нуля-
ми делимого и делителя.
Порядок записи при делении таков:
6, 19:2,5= 61,9 | 25, т. е. запятые
переносим в уме. При такой записи видно,
какое число дано было первоначально для
деления, а также устраняются неудобства в
тех случаях, когда надо приписать много ну-
лей к делимому 3,2:0,061)2; если писать так:
3,2|0,и002, то нулей негде приписывать.
При делении часто напоминаю- помните,
что делитель должен быть целым числом.
Примерная проверочная работа.
1) Найти произведение- 3,02^-12,08.
Найти частное чисел: 1) 0,002:20; 2) 3,4:50;
3) 8:0,02; 4) 3,62:0,025.
Как решить тот или иной пример в деся-
тичных дробях или обыкновенных? Здесь тре-
буется большой навык.
Я даю такие указания: 1) учесть число тех
и других дробей (предпочтение отдать боль-
шему числу); 2) возможность обращения всех
обыкновенных дробей в конечные десятичные;
3) часть действий выполнять над десятичными
дробями, часть иад обыкновенными. Я требую
все эти моменты продумать раньше, затем
принять решение, в каких дробях вычислять.
Примерная проверочная работа:
1)^2,314 — у) : i + ( 1 "гЬ 0,7125 Y 3
\ 4 / 50 \ 1Ь /
(№ 275).
2) Смешано три сорта товара: — кг по
4
6 р. 72 к. за кг; 5 — кг по 3 руб. за кг; 4,1 кг
по 2,2 руб. за кг. Сколько стоит 1 кг смеси?
(№ 279).
Подробные методические указания имеются
в соответствующих пособиях. Я хотел только
указать некоторые моменты, на которые я об-
ращаю особое внимание при изучении десятич-
ных дробей, бпагодаря чему я добиваюсь вы-
сокой успеваемости.
ЗА ГРАНИЦЕЙ
ИОГАНЯЕС ТРОПФКЕ
(1866—1939)
Проф. И. Я. ДЕПМАН {Ленинград}
10 ноября 1939 г. в Берлине умер доктор
Иоганнес Тропфке.
В лице Тропфке сошел в могилу один из
последних историков математики в Европе.
Это } тверждение станет понятным, если от-
метить, что в 1919 г. умерли В. В. Бобынин
и Журден, в 1920 г.— Мориц Кантор и И. Г.
Ц штеи, я 1922 г.— Г. Зутер и А. Фаваро, в
1923 г.— Г. Энострем, в 1925 г.— Роуз-Болл
и К. Шой, в 1928 г.— Босманс и Гейберг,
в 1929 г.— А. В. Васильев, в 1930 г.— Ф. Кед-
жори, в 1931 г.— Г. Внлентнер, наконец, в
1939 г. И. Тропфке.
Из биографии И. Тропфке известно лишь
то, что он родился в Берлине 14 октября
I860 г., что он состоял преподавателем сред-
них школ, а позднее занимал посты по учебно-
адмииистративной службе, дослужившись до
поста Oberstudiendirektor’a. Докторскую сте-
пень он получил в университете в Галле в
1889 г.
Эют скромный учитель средней школы по-
лучил всемирную известность созданием луч-
шего справочника по истории элементарной
математики, переведенного на многие языки
мира и использованного преподавателями
математики во всем мире.
В 1899 г. в приложении к программе реаль-
ной гимназии появилась на 37 страницах
статья неизвестного до того времени И. Тропф-
ке под заглавием «Где н когда впервые по-
явились основные понятия нашей школьной
математики. Очерк 1». Продолжения статьи
автор не дал, так как он от своего первона-
чального плана вскоре перешел к гораздо
более широкому. Уже в 1902 г. вышел пер-
вый том его большой истории элементарной
математики, в 1903 г.— второй. Весь труд на
850 страницах в то время был не только са-
мым большим но и самым тщательным в
пэласги истории элементарной математики.
Работа содержала более 3000 ссылок на
источники; самые квалифицированные крити-
ки признали, что автор дал ценный н во мио-
гом оригинальный труд. В 1921/1923 гг. вы-
шло второе изданье труда Тропфке, уже в
7 томах: I—арифметика, II—общая арифме-
тика, III—пропорции и уравнения, IV — гео-
метрия, V — плоская и сферическая тригоно-
метрия, VI — некоторые специальные разделы
элементарной математики (прогрессии, слож-
ные проценты, комбинаторика и теория ве-
роятностей, аналитическая геометрия, стерео-
62
метрия, конические сечения, максима и мини-
ыа), VII — указатели.
В общем, второе издание было более чем в
два раза больше первого как в количествен-
ном отношении, так и в отношении привле-
чения научного аппарата: две трети общего
числа ссылок на капитальную историю мате-
матики Кантора, имевшихся в первом изда-
нии, были заменены ссылками на подлинные
первоисточники. Уже во время выхода вто-
рого изданья международная критика при-
знала, что ни одна ооласть знания ии иа
одном языке ие имеет столь обстоятельного
и в тако! степени основанного на перво-
источниках очерка своей истории, как эле-
ментарная математика в семитомном труде
И. Тропфке. Эта уверенность особенно укре-
плялась тем обстоятельством, что корректуру
читали виднейшие историки математики —
Геннрнх Вилейтнер (1874—1931) и педантич-
нейший в смысле точности, редактор журнала
по истооии математики «Bibliotheca Mathema-
tica» Густав Энестром (1852—1923).
За второе издание своей книги автор в
тридцатых го тах получил премию, учрежден-
ную известным математическим издательством
Тейбнера—Аккермана в Лейпциге а «Еже-
годник объединения немецких математиков»
в 1933 г. писал, что книга Тропфке должна
находиться в библиотеке каждого преподава-
теля математики.
Десятью годами позднее, с 1930 г, с.ало
выходить третье издание труда Тропфке.
Первые три тома третьего издания (1930 —1937)
показывают, что размеры второго издания
вновь увеличились в среднем иа 50%, и, та-
ким образом, в результате тридцатнлетней
работы автора вырос колоссальный по объе-
му обзор истории элементарной математики.
Автор остался верен своей идее — дать
истори'? появления всех понятий и, в особен-
ности, всех терминов и символов элементар-
ной математики. Полноты автор, конечно, не
достиг и при колоссально разросшемся объе-
ме своего сочинения.
Тропфке внимательно следил за новостями
в области истории математики и вносил их
в свою книгу. Но, с другой стороны, автор,
например, не был в состоянии дажз в третьем
издании учесть новые открытия в области
вавилонской математики, которые самым ос-
новательным образом меняют вкоренившиеся
взгляды на происхождение современной
школьной алгебры вплоть до объяснения зна-
чения самого термина алгебра (работы С. Гапд-
за, О. Неугебауэра и др). За рутинность
взглядов автора в этом вопросе О. Нейге-
бауэп весьма основательно упрекает третье
издание II тома.
Но какие бы поправки ни внесли будущие
исследования в труд Тропф.е, для настояще-
го момента он является самым богатым и все
же самым достоверным источником справок
по истории элементарной математики. Для
интересующегося историей науки и историей
культуры, в особенности же для преподава-
теля математики, труд Тропфке является не-
заменимым.
На русском языке имеется лишь часть 1
т. I первого издания труда Тропфке (И.
Тропфке — «История элементарной мате-
матики в систематическом изложении», т. 1,
ч. 1. Арифметика. Перевод Д. А Бема и
Р. Э. Струве, под ред. И. И. Чистякова. М_,
1914). Нашим издательствам необходимо по-
думать о том, каким путем сделать доступ-
ным советскому учителю труд Тропфке.
НОВЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
ПРОФ. И. Л. ДЕНМАН [Ленинград]
№~~№ овый международный математичес-
ГII ] кий журнал под заглавием «Mathe-
i Л. j matical Revi ws» будет издаваться
-----с этого года Броуновским универ-
ситетом под руководством Амери-
канского математического общества и при
поддержке ряда ученых и благотворительных
организаций.
Рокфеллеровский институт внес универси-
тету 49 500 долларов для создания лаборатории
микрофильмов, долженствующей обслуживать
новый журнал и математический факультет
университета. Первым редактором нового меж-
дународного математического журнала приг-
лашен известный профессор Отто Е. Н ey-
re б а у э р, прославившийся за последние го-
ды своими капитальными исследованиями по
истории математики, главным образом рас-
шифровкой вавилонских математических па-
мятников. Его лекции по истории до-гречес-
кой математики имеются в русском переводе:
О. Неугебауэр — «Лекции по истории ан-
тичных математических наук». Т. I. До-гре-
ческая математика. ОНТИ, 1937.
О. Е- Неугебауэр был профессором Геттин-
генского университета, откуда он был вынуж-
ден переселиться в Копенгаген, а в 1938 г.
был приглашен профессором Броуновского
уннверентега в Соединенных Штатах Амери-
ки. Он состоял реда {тором такого же между-
народного математического журнала «Zentral-
blatt fiir Mathematik», но вышел из состава
редакции, когда издатель Шпрингер без ве-
дома редактора вычеркнул из списка соре-
дакторов Леви- Чнвита. Вместе с Неугебауэром
из редакции «Zentralblatt fiir Mathematik» вы-
шли: американская группа редакторов — Ку-
рант, Беблен и Тамаркин, кроме того Г. Бор
и Харди. Из иностранных членов редакции
после этого остались лишь француз Жюлия
и финн Неванлннна, так что журнал потерял
свой международный характер. Конфликт меж-
ду редактором Неугебауэром и издателем
Шпрингером имел началом то, что редакто-
рам было предложено оценивать математи-
ческие труды разных авторов не только с
точки зрения математики.
После потери международного характера
журналом «Zentralblatt fill Mathematik» и был
поднят вопрос о создании нового между-
народного математического органа в Аме-
рике.
Журнал ставит себе задачей обозпевагь все
области чистой математики и будет печатать
статьи на четырех языках — английском, фран-
цузском, нем :цком и итальянском. Он мыс-
лится как справочный центр математических
информаций для исследователей и препода-
вателей математики всего мира.
• Институт Карнеги назначил для поддержа-
ния нового журнала 60 тыс долларов, Рок-
феллеровский институт—12 тыс. долларов, Аме-
риканское математическое общество и аме-
риканская математическая ассоциация вносят
по 1 000 долларов. Лабораторию микрофиль-
мов предполагается использовать для копи-
ролания редких математических документов
для Броуновской математической библиотеки.
Копиями фильмов редких статей и публика-
ций журнал предполагает обслуживать мате-
матиков всего мира. Фильмы всех статей,
которые рассматриваются в журнале, могут
быть получены подписчиками от редакции
за нх счет.
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
F. КУЗЬМИН и Д. ФАДЕЕВ «АЛГЕБРА И АРИФМЕТИКА
КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ»
Проф. Л1 К. ГРЕБЕНЧА (Москва)
Кинга, напитанная крупнейшими спецнпи-
стами нашего Союза по теории чисел, пред-
ставляет собой монографию, посвященную
арифметике и алгебре комплексных чисел,
рекомендуемую для чтения учителям и уче-
никам старших классов.
Первая часть этой книги для учителей, по-
лучивших высшее образование в универси-
тетах и педагогических институтах, не со-
держит, исключая главы VII (о кватернионах)
ничего нового, так как содержание ее сов-
падает с соответствующими главами курса
высшей алгебры. Для учеников же, интере-
сующихся математикой, излагаемый материал
совершенно нов, исключая, быть может, со-
держтния некоторых параграфов, посвящзи-
ных действиям над комплексными числами.
Ряд вопросов этой части освещен ориги-
нально и прочтетсч с интересом и учителями,
знакомыми с излагаемыми вопросами.
Часть вторая содержит новый материал для
учителя, а тем более для учеников. Эта часть
весьма интересна уже потому, что она значив
тельно расширяет кру гозор учителя распро-
странением понятий, связанных с натураль-
ным числом, на новые объекты.
Вероятно, эта книга будет еще не раз пе-
реиздаваться, поэтому хотелось бы, чтобы
ряд дефектов, в большинстве случаев методи-
ческого характера, был в ней исправлен.
Поскольку книга рекомендуется ученикам
(а в последнее время в школе ведется боль-
шая работа по повышению математической
культуры), приходится быть очень вниматель-
ным к внешней стороне изложения.
В книге имеется ряд таких недочетов,
которые, быть может, и покажутся «придир-
ками», но все же лучше их выправить. Ниже,
попутно с замечаниями общего характера,
ряд этих дефектов перечислен.
Введение. §6. Авторы, перечисляя ос-
новные этапы развития понятия о числе (це-
лые, дробные, отрицательные, комплексные),
не упомянули об иррациональных числах.
Глава 1, §2. В очень интересном приме-
ре (стр. 10) жетательно указать, в каком на-
правлении происходит вращение колеса, ина-
че решение может оказаться неверным.
§ 3. В самом начале этого параграфа (стр. 11)
сказано, чти число i названо знаком, для ко-
торого «пока опрелеляем только одно дей-
ствие— возвышение в квадрат»- и сейчас же
за этими же словами следует; «Пооиззеденне
вещественного числа b на i будем обозначать
bi или ib— безразлично. Числа Ы называются
64
мнимыми. Сумму вещественного числа а и
мнимого b будем писать в одном из видов;
а -|- W, а ib, Ы + a, ib + я».
Вторая часть этой выписки противоречит
первой, ибо вводится действие у множеиия
на I, равно как и сложение без всякого пред-
упреждения.
§ 4. Следовало бы указать на единствен-
ность результата в действии вычитания и
деления. Употреблен термин «сопряженное
число» без пояснения.
§ 7, стр. 19. Нужно оговориться, что идет
речь о форме с целыми коэфнцнентами.
Глава И, § 1. Термин «представление
чисел» не очень удобен, тем более, что далее
говорится об изображении чисел (стр. 23).
В § 2 ничего не сказано о связи длин отрез-
ков ОА н ОВ с числами х и у.
На стр. 25 сказано об арифметическом
и алгебраическом измерении огрезков. Уче-
никам это не будет понятно. Неверное рас-
суждение, подобное приведенному на стр. 24,
встречается еще в книге Ко л ь мана «Пред-
мет и методы современной математики».
§ 3. Обозначение arg z неупотребительно.
«Чтобы полностью определить <f — нехорошо»
(стр. 26). «Величина г определена полностью».
§ 4. Не объяснен термин «величина век-
тора».
§ 6. В примере 1 авторы ссылаются на
другой прием решения задачи, называя его
остроумным, ио не указывают, где с ним
можно познакомиться, если нет возможности
его привести. Конец § 6 о полииомах
Чебышева несколько скомкан, если иметь
в виду ученика.
Глава III. § 1—4 для учеников почти
недоступны, так как идея непрерывности
в курсе средней школы ученикам не сообщает-
ся; тем более не следует начинать с непре-
рывности функций комплексной переменной.
Определение непрерывности дано слишком
сжато.
Пример не разъясняет сущности непрерыв-
ности в точке z, так как по условию И^пг,
а 1^,1 <^пг, следовательно, неравенство
\z—zt\ < —L-j имеет место не внутри круга,
если \z\ = т.
Еще более сжато пояснение равномерной
непрерывности функции. Когда доказывается
непрерывность полинома в ограниченной
области, то сказано, что S зависит лишь от
е, но не о г z, в то время как в определении
об этом ничего не сказано. I
§ 2. Следовало бы оговорить, что коэфи-
циенты полинома— комплексные числа.
§ 4. Следовало бы сказать, что последова-
тельность контуров неограниченная, и точка,
им принадлежащая, — единственная.
§ 11. На стр. 60 следовало бы оговорить
знак корня при извлечении корней из обеих
частей неравенства.
Из того факта, что обе части равенства
обращаются в бесконечность при некотором
значении аргумента, еще не следует, что это
значение есть корень (стр. 61).
Глава IV, § 1. В истории математики
неизвестно, что Ферма имел доказательство
этого утверждения.
§ 3. Не сказано, о точках пересечения пря-
мой с какой линией идет речь (стр. 67).
Глава V, § 1. На стр. 75 сказано, что
алгебраическое решение двухчленного уравне-
ния может быть доведено до конца.
§ 2. Замечание о построении циркулем
и линейкой было бы уместно сделать г § 1
главы IV.
§ 5. Лучше было бы сказать, что число
мнимых корней зависит от знака дискрими-
нанта (а ие величины) (стр. 90). Также лучше
придерживаться термина «комплексный ко-
рень» (а не «мнимый корень»).
Непонятен смысл выражения «простои
множитель» в абзаце о дискриминанте «"стр. 93).
Глава VI, § 1. Лемма верна не при люоом
натуральном и, а при п>1.
При доказательстве существования предела
(1 —"У* сказано, что «числа с такими
свойствами должны стремиться к пределу»
без ьсякого пояснения.
§ 2. «Предельное положение вектора» не
объяснено.
§ 4. «Складывая, без всякого применения
теоремы Пифагора, получаем» (стр. 102) —
нехорошо.
§ 5. Подстановку в формулы Эйлера /Г
вместо у следовало бы несколько разъяснить,
так как ученикам смысл ее не будет понятен.
§ 6. Важно, то, что sh Зу непрерывно воз-
растает; «постоянно возрастая» — менее по-
пятно.
Часть вторая, глава 1. В § 1 авторь»
забыли включить 0 в совокупность чисел.
«Чем совокупность четных чисел хуже
совокупности всех целых чисел? На первый
взгляд — ничем» (стр. 126). Эти фразы не-
удачны.
§ 3. Вторая часть теоремы первой не вы-
текает из второго свойства общего наиболь-
шего делителя.
В заключение можно высказать следующее
предложение: очень трудно в одной книге
удовлетворить интересам учителя и ученика.
Даже для учителей некоторые вопросы трак-
туются в очень сжатом виде, ие говоря уже
об учениках. С другой стороны, содержание
первой части для учителя менее интересно,
чем второй, ибо с высшей алгеброй учитель
знаком в объеме здесь излагаемом, поэтому
напрашивается мысль: из этой книги сде-
лать две — одну для учеников, включив в нее,
в основном, первую часть, но сделать изло-
жение более доступным; вторую часть сде-
лать содержанием другой книги (для учи ге-
лей), которую можно было бы несколько-,
расширить (например главой о кватернионах,,
алгебоаических числах и т. п.) в зависимости,
от издательских возможностей.
ОБЗОР НОВЫХ КНИГ
С. НОЪОСЕЛОИ (Москва)
Акад. Ч. Н. Лузин. Теория функций действи-
тельного переменного. (Общая часть.) Учеб-
ное пособие для педвузов. Учпедгиз, 1940 г.,
302 стр. Цена 5 руб.
Книга акад. Н. Н. Лузина является посо-
бием по курсу «Теория функции действитель-
ного и комплексного переменного», читаю-
щемуся на III и IV курсах физико-математи-
ческих факультетов педагогических институ-
тов; она охватывает дескриптивную часть
теории функций действительного переменного
множество и мощность, множества точек,
теория пределов, функция и непрерывность,
свойства непрерывных функций, непрерыв-
ные кривые и аналитическое изображение
непрерывных функций. Кроме глав, посвящен-
ных рассмотрению перечисленных основных
вопросов, в конце книги даны два приложе-
ния: «Теория иррациональных чисел» и «Клас-
сификация Бэра».
Теория функций действительного перемен-
ного является одной из основных в высшей
современной математике. Знание основ теории
функции необходимо и учителю средней
школы, ибо здесь получают глубокое науч-
ное обоснование такие вопросы, как учение
об элементарных фузкциях, учение о действи-
тельном числе, вопрос об аналитическом'
изображении функций н т. д. Однако при*
изучении теории функций встречается сле-
дующее затруднение: от читателя требуется
привычка к абстрактному мышлению, а су-
ществующие учебники и пособия обычно
предполагают читателя в этом отношения
уже достаточно подготовленным. В книге*
акад. Н. Н. Лузина мастерски сочетаются
предельная ясность и доступность изложения
с безукоризненной научной строгостью. Язык
книги живой и яркий, оказывает значитель-
ную помощь читателю в воспрниятии глубо-
ких идей теории функций. Обычно в руко-
водствах по теории функций изложению са-
мой теории функций предшествует обоснова-
ние теории действительных чисел. Учитывая,,
что для начинающего читателя теория ир-
рационального числа может представить-
затруднения, автор выделяет этот вопрос-
в отдельное приложение. Таким образом,
читатель, на основе известных из элементар-
ной математики свойств действительных чисел,,
может приступить к изучению самой теории
функций, а затем обратиться к обоснованию
понятия действительного числа, действий над
действительными числами и их свойств.
Следует отметить, что в книге Лузина из-
ложены основные вопросы теории плоских
совершенных множеств и кривых Жордана
и Пеано; этим вопросам в учебной литературе
на русском языке не уделялось должного
внимания.
Книга акад. Лузина далеко не полностью
охватывает основные вопросы теории функций,
так она не содержит теории меры множеств,
~еории интегрирования, автор не останавли-
вается на таком интересном вопросе, как
антиномии теории множеств В целом книга
написана с большим математическим вкусом
и является ценнейшим вкладом в учебную
литературу.
И. Б. Абельсон. Две прогрессии. Издатель-
ство Академии наук СССР. Научно-популяр-
ная серия «Академия Наук стахановца**».
1938 г. Стр. 163. Цена 4 руб.
Книга Абельсона о гносится к числу научно-
популярных книг по избранным вопросам
элементарной математики. Основным содер-
жанием книги является рассмотрение ариф-
метической и геометрической прогрессий,
а затем переход к изучению основных
свойств логарифма и показательной функции.
Расположение материала следующее: сначала
рассматриваются отношения и пропорции
и основные арифметические задачи на про-
порцию, затем арифметическая прогрессия
и суммипование квадратов, кубов и фигур-
ных чисел; полученные результаты прила-
гаются к вычислению площадей ограниченных
параболами высших порядков; после этого
рассматривается геометрическая прогресс ih
и наконец показательная функция и логарифм.
Как большоедосто-тнство книги необходимо от-
метить доступность изложения. При рассмот-
рении чеоечисленных выше вопросов в их
взаимной связи автор прибегает к многочис-
ленным интересным и оригинальным приме-
рам, а также к геометрическим иллюстрациям.
Интересная задача—рассмотреть в популярном
изложении арифметическую и геометрическую
прогрессии и логарифм в их взаимосвязи—
решена автором в целом удачно. Наряду
с отмеченными достоинствами книга
И. Б. Абельсона не лишена значительных
недостатков. г!ам представляется, что основ-
ным источником всех недостатков данной
книги является отсутствие точной установки,
на какого читателя рассчитана книга. Так
например, с одной стороны, автор, рассчи-
тывая на мало подготовленного читателя,
заменяет в ряде случаев доказательство на-
глядной интерпретацией или рассматривает
частные случаи с конкретными числовыми
данными; с другой стороны, на стр. 65 автор
для обоснования формулы суммирования
квадратов предлагает воспользоваться мето-
дом индукции, не давая нужных разъяснений
относительно сущности этого метода. Далее,
арифметические выкладки иногда излишне
подробны, тогда как рассуждения о беско-
нечно малых и дифере*.циалах совершенно
невразумительны. Непонятно, почему автор
придает такое оольшое значение-логарифми-
ческой линейке. Следствием отмеченных не-
достатсов двилась некоторая сумбурность
изложения. В настоящей статье мы не наме-
рены дискутировать вопрос, насколько серия
«Академия наук стахановцам» соответствует
своему назначению, мы остановимся лишь
на значении книги для средней школы. Книга
Абельсона содержит много интересного, по-
добранного с большим вкусом материала для
занятий школьных математических кружков
и с этой точки зрения представляет значи-
тельный интерес. В ней имеются интересные
арифметические задачи, задачи, связанные
с понятием вероятиостн, фигурные числа
и их свойства, свойства площади, гиперболы,
геометрическое объяснение, как получается
ряд для логарифма и т. д. Мы полагаем, что
некоторые задачи, а также геометрические
интерпретации могут быть использованы
учителем и в классной работе.
П. Д. Беттлновский. Основы теоретической
арифметики. Пособие для физико-математи-
ческих институтов. Учпедгиз, 1939 г., 176 стр.
Цена в перепл. 3 р. 30 к.
Книга Белоновского содержит изложение
следующих вопросов теоретической арифме-
тики: понятия множества и натурального
числа, отрицательные числа и Дроби, дели-
мость чисел (разложение на множители, срав-
нения, периодические десятичные дроби, ко-
нечные непрерывные дроби), иррациональные
числа и комплексные числа.
Книгу Белоновского можно отнести к числу
тех элементарных пособий, которые не ставят
споен целью дать глубокое научное обосно-
вание предмета, но зато быстро вводят чи-
тателя в круг идей соответствующей научной
дисциплины и сообщают минимум знаний,
необходимый для изучения более серьезной
литературы. Язык книги очень простои
и доступный, изложение в научном отношении
достаточно корректное. Все это позволяет
считать книгу Белоновского весьма полезной
для начинающих. Очень оживляют книгу
помещенные в начале каждой главы краткие
исторические сзедения. Мы полагаем, что
в качестве учебника для педагогических ин-
ститутов по курсу «Теория чисел» книгу
Белоновского нельзя признать вполне доста-
точной (хотя бы в части обоснования ариф-
метики, а также в части, посвященной самой
теории чисел), но зато она может служить
в качестве основного пособия для учитель-
ских институтов при прохождении курса «Эле-
ментарная математика». Исходя из этого,
можно выразить пожелание, чтобы в после-
дующих изданиях в первую очередь наибо-
лее подробно были представлены разделы,
соприкасающиеся с материалом программы
средней школы. Так, например, мы полагаем,
что вопрос о представлении действительных
чисел в виде десятичной дроби должен быть
изложен более полно: автор почти не касается
обращения периодических дробей в простые,
а это очень важно для будущего учителя.
Последний параграф, посвященный гнпер-
комплексны.и числам, изложен недостаточно
отчетливо.
Кингу Белоновского можно рекомендовать
учителям, работающим над повышением своеч
квалификации; некоторые ее главы можно
рекомендовать учащимся старших классов,
интересующимся математикой.
ЗАДАЧИ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, П9МЧГЦЕНП1-ТХ В № 3 1940 г.
41.
Отсюда легко находим:
Натуральное число а имеет п различ-
ных положительных делителей. Найти произ-
ведение всех его делиге чей.
I. Пусть п — четное число. Для любого
а
делителя at имеем целое число == — , кото-
рое тоже является делителем а, причем а^а^-а.
Таким образом, все делители а распада-
п
ются иа пар, каждая из которых в произ-
ведении дает а. Перемножив все эти делите-
ли, очевидно, получим:
л
д,. я,... д„ = дт = j/д".
2. Пусть п — число нечетное (что может
быть лишь тогда, когда п является точным
квадратом). Тогда один нз делителей будет ра-
вен \/а. Остальные п — 1 делителей, по пре-
п — 1
дыдущему, составят - j— пар, каждая из
которых дает в произведении д. Произведение
всех делителей будет равно:
п—1
.а,.. .ап = а 2 • \/а = j/л”.
Итак, в обоих возможных случаях искомое
произведение равно ап. Это—наиболее про-
стое и короткое решение. Были даны и очень
сложные решения с привлечением известной
формулы количества разложений для числа
« = д“,д;>..., а также формулы сочетаний
и т. п.
42.
По стороне треугольника д, сумме двух
дру'-их сторон т и площади 8 вычислить
без помощи тригонометрии радиус описан-
ной окружности.
Подавляющее большинство решений исхо-
дило из формулы:
Остается в формуле (1) выразить неизвест-
ное произведение Ьс через дачные величины
а, т и S. Для этого воспользуемся формулой
Герона:
45 = 1/(0 + b + с) (а + b — с) (а — 6 + с) (6-f-c — а) (2)
Величина Ь-\-с~т нам известна. Определим
Ь — с. Сделав подстановку Ь (2) получим;
165s = (т-|-л) (т — а) [д-}-(6 — С)1 [« — (6 — с)]
16№ = (тг — а-) [дг — (b - c)sJ.
а- (т* — а~) — 16S!
тг — аг
(Ь-С/ =
Итак, имеем:
6! 4- 2Ьс -|- с! = т*,
аг (т2 — а1) — 168®
62 -2Ьс + <? =-----------------
т- — а?
(3)
(4)
Вычитая (4) из (3), найдем:
а2(тг — a’)— 168*
46с — тг —-------— -“J-" ".
т- — д4
или:
(щ2 —д=)= + 168’
46с =---------------.
т2— а*
Определив отсюда 6с и подставив в (1),
получим окончательно:
n[fm3—дг)2+16.S2]
16(т! — cf)S
Можно также, как делали некоторые, из
фо >мулы (2) путем аналогичных преобразо-
ваний получить прямо значение 6с.
43.
В треугольник вписать две окружности
равного радиуса так, чтобы каждая касалась
„вух сторон треугольника и второй окруж-
ности.
1. Большинство решало задачу аналитиче-
ским путем; Наиболее частый вариант его
следующий.
Пусть Ot и О; — центры искомых окруж-
ностей. Очевидно, оии должны лежать на бис-
сектрисах углов А и С. Точка пересечения
этих биссектрис — центр О окружности, впи-
санной в данный треугольни t. Обозначив
радиус последней через г, а радиусы иско-
мых окружностей через х, определим х. Из
подобия треугольников О±ОО2 н АОС имеем;
0,0. _ ОБ
AC ~ 0D
или:
2х г — х
6 г
б‘
67
Отсюда определяем х:
Итак, х находится, как четвертый пропор-
циональный к известным отрезкам Ь, г и b^f-2r.
Теперь решение сводится к эл гментаоной
задаче: вписать в данный угол окружность
данного радиуса.
2. Из вариантов этого решения отметим
еще решение т. Владимирова с применением
известных формул тригонометрии для котан-
генса половинного угла треугольника
А р — а
Из треугольников АМС\ и CNOt (черт. 1)
находим:
АМ = xctg-^- —х Р- —, (1)
АС = х ctg — =х - - (2)
Далее:
АС=Ь = AM-\-MN -\-NC—х +
+ 2х + х Р-^.
Отсюда:
Ьг — х(р— а 4-2/ -J-jo — с) =
— х{2р-а~с-\-2г)=х(Ь-\- 2г).
Ь 2г'
3. Значительная часть решавших дала ре-
шение задачи методом подобия. Анализ чер-
тежа 1 дает, что для решения задачи доста-
точно вписать в данный треугольник АОС
прямоугольник, у которого сторона, лежащая
иа основании, была бы вдвое более высоты.
Построение можно выполнить хотя бы так:
На биссектрис* АО (черт. 2) берем произ-
вольную точку М и строим прямоугольник
Из (1) и (2):
O,O8 _ OgD
MN ~~NP'
или:
212? — _ 2 (3)
O2D NP
Итак, окружности, проведенные из Ot и Ог
радиусом 0£О, касаются стор, н АВ и ВС и
друг друга (так как O1Ot = 2O2Z>).
4. Приведем решение т. Воскресенского
(им же было дано и первое решение).
Пусть О, и Ог — искомые центры. Прове-
дем ОМ || АС и АО2 до пересечения с ОМ в
точке М. Из подобия треугольников АОМ и
АО£О2 имеем:
ом = олг
о\ог OtE '
(Нетрудно видеть, что ON и ОЛЕ — высоты
соответственно треугольников АОМ н AOjOj,
опущенные из вершины А.) Из (1):
— =—; 0М=2г. (2)
2х х
Отсюда простое построение: из точки О
проводим ОМ || АС; откладываем ОМ = 2г;
соединяем А с М; точка О2 пересечения АМ
с биссектрисой СО — один из искомых цен-
тров. Остальное очевидно.
5. Наконец, дадим решение т. Гевондян
(приславшего задачу), которое не встрети-
лось ни у кого из читателей.
Рассматриваем площадь данного треуголь-
MNPO, у которого QP — MN = 2MQ. (По-
строение очевидно.)
Соединяем точки А и N и продолжаем AN
до пересечения с биссектрисой ОС в точке О2.
Проводим O.Oj || АС до пересечения с бис-
сектрисой АО в точке Ot. Точки Ot и О2 —
искомые центры. Действительно, из подобия
треугольников АО1О1 и AA'.N, а также AOtD
и ANP имеем:
О,Ог AQS.
MN AN ’
O.2D _ АО.
NP ~ AN '
(1)
(2)
гур:
о =
2) $Bopt — x(h—х);
3) SBOsC=^;
4. 5) So,CF + $Е(\С —
О $£0,0, = %x2‘
Сложив полученные выражения и прирав-
няв их к величине площади всего треуголь-
bh
ника —, получим уравнение:
«+(ft_x)x + ^ + (L12^+2^ = ^,
2 2 2 2
из которого и определим х.
сх 2hx — 2х2 + ах Ц- Ьх — 2№ 4- 4х: = bh;
(а 4- b 4- с 4* х = bh;
bh
с 4" b 4" c^-2h
Построение х элементарно. Легко показать,
что, выразив ь последнем равенстве h через г
^например, при помощи формулы: h = >
придем опять к выражению:
Ьг
х —------1
*4-2г
что показывает тождественность этих выра-
жений.
44.
На стороне АВ треугольника АВС взята
точка D и из нее проведены DE || АС и
DF\\BC. Определить площадь треугольника
CEF, если площади треугольника ADF и
BDE соответствеиио равны S, и
Несложная и в различных вариантах доста-
точно распространенная задача. Из ряда ва-
риантов решений прив :дем два.
отсюда
S2 _ РЕ2 __ FC2
/ St~ АР~ AF2’
Треугольники ADF и FEC имеют равные вы-
соты, опущенные из вершин D и Е. Следо-
вательно, площади этих треугольников отно-
сятся, как соответствующие основания, т. е.
Отсюда:
x FC
St AF
Xs __ FC2
S( AF1
(2)
Сравнивая (1) и (2), получим:
x2
W
f; x = ys&.
2. Из тех же треугольников, пользуясь
теоремой об отношении площадей треуголь-
ников, имеющих по равному углу, имеем:
х CE-FC FC х _ СЕ-FC СЕ
St~ DF-AF~ AF’ S2 — BE-DE~~ BE'
Отсюда:
x2 _FC-CE __DE PF _ b
S,S2 AF-BE BE AF a ' b
x=ys^.
45.
Если из концов диаметра привести две пе-
ресекающиеся хорды, то сумма произведений
каждой хорды на ее отрезок от конца диа-
метра до точки пересечения есть величина
постоянная. Доказать.
Легко показать, что угол Е тупой (так ка.г
измеряется полусуммой полуокружности и
дуги DC). Применяем формулу для квадрата
стороны, лежащей против тупого угла.
АВ2 = АЕ2-}-ВЕ2-\-2АЕ-ЕС. (1)
Прямоугольные треугольники ADE и ЕСВ
подобны; следовательно:
— ; АЕ ЕС = ED ЕВ. (2)
ED ЕС
Тогда из (1) имеем:
АВ2 = АЕ2 4- BE2 4- АЕ • ЕС 4~ ED • ЕВ =
= АЕ (.АЕ 4- ЕС) 4- BE (BE 4- ED) =
= АЕ- AC + BE-BD. (3)
Итак, искомая сумма равна АВ2 = 4/?!, т. е.
величина для данного треугольника постоян-
ная, и т. д.
46.
Доказать, что сумма квадратов всех сторон
четыреугольника равна сумме квадратов его
диагоналей, сложенной с учетверенным квад-
ратом отрезка, соединяющего середины диа-
гоналей.
Приведем наиболее короткое решение
(тт. Барщевский, Кобылин, Могильницкий
и др.).
В E\ABD отрезок ЛА' — медиана. По изве-
стной формуле имеем:
44№ = 2д2 4- 2d? — BD2. (1)
Аналогично для /\BCD:
4CN2 = 2b22с* — BD2. (2)
Сложив (1) и (2), получим по сокращении
на 2;
2 AN2 4- 2С№ = д® 4- 6= 4- с2 4- d= — BD2,
или:
а=4-^4-с2 4-сР = 2Л№ |-2С№4-В£)!. (3)
Из Л ACN, где MN — медиана, имеем:
4М№ = 2Д№ + 2С№ — АС2.
Отсюда:
2AN2 + 2С№ = АС2 4- 4MN*. (4)
Подстановка из (4) в (3) дает:
c=4-ft2-]-c«4-d* = AC2 t-BD2+4MN2,
ч. т. д.
В более длинных решениях определялись
медианы 6 треугольников (прибадлялись ме-
дианы ВМ и D/Л из треугольников АВС и
ACD и еще раз определялась медиана MN из
△.ВАШ), что ненужно удваивало раиоту.
ED = а — АЕ = а
а — с___а-{-с
’ 2 ~ 2
BD =
5£24-£D2 = J// 4r24-^±^
Подстановка из (6) и (7) в (5) дает:
D ab • BD дб]/16 г2 4- (а 4- с)2
=--------- =------------------=
4S
2 • 4аг
(П
47.
6 К 16г2Ч-(дЧ-с)*
Вычислить стороны трапеции по радиусам
вписанной и описанной окружностей.
Задача оказалась трудной. Именно, вслед-
ствие сложности вычислений она получила
много неверных ответов.
Сделаем два предварительных замечания.
1. Так как дается радиус описанной окруж-
ности, то трапеция равнобедренная.
2. Напомним известное свойство описанной
Черт. 3
Черт. 1
около окружности
трапеции. Из чер-
тежа 1 получаем:
СР±=СМ, (1)
PD = DN (2)
(как касательные,
проведенные из од-
ной точки). По сло-
жении имеем:
CD = CM-\-DN =
или, приняв во внимание (3):
_ & ]/16 г2 + 4Z>3 by/4r2+b2
1\ =----------- =------------
8г 4г
(8)
= BC.AD ВС^-АГ
2 + 2 2
т. е. боковая сторона равна полусумме осно-
ваний.
Перейдем к решению. Оиознсчим: AD — а;
АВ = CD = b; ВС = с. По предыдущему,
имеем:
а + с = 26. (3)
Проведя СЕ ± AD (черт. 2) нз £\CED имеем;
Из уравнения (8) выразим b через- данные
Риг:
b У4г2 + 62 = 4г/?,
462г2 + &4 = 16г2/?2
644-4г262 — 16/?2г2 = 0,
Ь2 = — 2г2+ /4г4 4- 16/?2г2 =
= — 2г2 4- 2г Уг2^4Рг.
(Знак минус перед радикалом отбрасываем.)
Итак, имеем:
Черт. 2
СЕг = СЕА — ED2,
или:
Но из (3) b -
2
После подстановки
получим:
ас = 4г2.
Воспользуемся формулой:
/? = ^-С
4S
(4)
(5)
в применении к треугольнику ABD (черт. 3).
(Очевидно R для этого треугольника и для'
дайной трапеции один и тот же.)
Здесь
_ AD • BE а • 2г
(6)
6 = V 2г/г24-4/?2 —2г2.
Наконец, из системы уравнений (3) и (4):
д4-с = 2К 2гУг2+4Р2— 2г2,
ас = 4г2
находим а и с:
(9)
а = У2гУг2+4R2 — 2г2 4-
4-У 2г/г2-f- 4/?2 —6г2, (10)
с = У2г/г24-4/?2 — 2г2 —
— У 2r Vr2+4R2 - 6/ 2. (11)
Выражения (9), (10), (11) .и дают ответ на
вопрос задачи.
48.
В данный квадрат впгсать равносторонний
треугольник так, чтобы одна из его вершин
лежьла в данной точке стороны квадрата.
1. Дадим, прежде всего, решение прислав-
шего задачу т. Голованик и нескольких чи-
тателей.
Пусть N—данная точка и £\JANP— иско-
мый. Сторону квадрата обозначим через а.
Заметим, что:
BNP + /, ANM = 120°,
/. BNP + BtPN = 90°.
Отсюда вычитанием получаем:
ANM — £_ BtPN = 30°,
т. е. / ANM больше, чем / BtPN на 30°.
Построив WE = 30° и отложив NE = а,
получим ДЛ/ДЛ! = &NBtP (по дв] м сторо-
нам и углу между ними). Отсюда ME ]_NE.
Отсюда построение: проводим NE под
углом 30° к АВ, отложим V£ = а, восставим
перпендикуляр ЕМ к NE. Точка At— вторая
вершина искомого треугольника.
2. Решение т. Титова: Пусть MNP — иско-
мый треугольник, М—давная точка. По-
строй, [ / АМЕ = 60° и отложим ME = МА.
Точку г соединим с Р. Тогда Z\/V.1A1 =
= [\РЕМ, так как
Черт. 2
MN — MP; МА = МЕ; £AMN=<EMP =
= 60° — £NME.
Следовательно, |_ МЕР = 90°.
Отсюда построение; принимая данную точ-
ку М за вершину-, строим при стороне AD
угол ЛМЕ = 60°; откладываем МЕ = МА;
в точке Е восстанавливаем перпендикуляр к
ME Точка Р пересечения этого перпендику-
ляра со стороной квадрата дает вторую вер-
шину треугольника.
3. Решение т. Хвастовского и т. Линне
(Латвия). Из Данной точ и At опускаем пер-
пендикуляр на основание искомого треуголь-
ника. В полученных четыреугольииках MEPD
и MENA сумма противоположных углов рав-
на 2d, следовательно, около каждого из них
можно описать окружность. Отсюда:
МАЕ = 21 MNE = 60°,
Z. МЕЕ = / МРЕ = 60°
(как опирающиеся соответственно на одну и
ту же дугу ME).
Отсюда построение. На стороне квадрат»
AD (иа которой лежит данная точка) строим
равносторонний треу-
гольник AED. Верши-
ну Е соединяем с At
и через Е проводим
NP _[_ЕМ. Получим
две остальных вер-
шины искомого тре-
угольника.
Задача имеет еще
ряд различных, до-
вольно остроумных,
решений, в том чис-
ле и алгебраических,
ги, несколько более-
длинных, чем приведенные.
49.
Решить уравнение:
(7-УТ)2 = ]ЛТ^Т’. (!)•
Положим:
7 - УТ = у, (2>
[/x^z. (3>
Тогда из (2) и (3) имеем:
у 4* z = 7 (4>
и из (1):
У2 = У1 —г*
или:
y14-z4=l. (5>
Черт. 3
но. по большей
Возведем (4) в четвертую и вторую степень.
Будем иметь:
y, + ^ + 4yz(y2 + z2) + 6y2z2 = 7\ (6)
у» 4-= 49 — 2yz. (7>
Подставив из (7) в (6) ,и приняв во внима-
ние (5), получим;
1 4- 4yz (49 — 2yz) 4- 6y2z2 = 74,
что по упрощении даст:
(yz)2 — 98 (yz) +1200 = 0. (8?
Отсюда:
yz = 49 + 1^1201 . (9)
Решив обычным путем систему уравнеиш
(4) и (9), найдем:
2
Наконец, из (3) получим:
Неверные решения имеют по большей части/
ошибки в вычислениях, но есть и_нелепые.-
ответы.
5J.
Доказать равенство Эрмита:
£(х)4-д(х4-^-)4-£(х-ь|)4-
+ ...+е(х+~1)^Е(Пх),
где знак Е (а) обозначает целую часть а (п —
натуральное число).
"Пусть
х — a-j-а, (1)
где а — целое число, а < 1; всегда можно
'Найти два числа г и п, удовлетворяющие ус-
ловию;
Г Г 4- 1
п—, (Г<п). (2)
Левую часть данного равенства представим
ж виде:
£(х)+£ (х+п) • • +
Не трудно показать, что каждый член пео-
твой строки равен а. Денствителоно, возьым
наибольшее из чисел первой строки;
Приняв во внимание (1) и (2), получим:
.п—г—1 п—г—1
* +----п----= а + ° +---п----< а +
т. е. целая часть каждого из чисел первой
-строки равна а. Слагаемых в этой строке
п— г, следовательно, их сумма равна
а(п — г).
Аналогично легко показать, что каждый
член второй строки равен а4~1- Количество
членов равно п—(п— г) —г. Их сумма =
= («+1) г-
Сумма всех членов левой части равна, та-
ким образом:
а (п — г) {а 1) г = ап — аг 4- аг г =
= ап г. (3)
Правая часть:
Е (пх) = Е (ап 4- па) = ап 4- г, (4)
так как из (2) имеем:
г^пи <г 4~ 1.
Из (3) и (4) и следует справедливость дан-
ного равенства.
51.
Дана двояковыпуклая (образованная двумя
пересекающимися сферами неравных радиу-
сов) чечевица. Найти объем чечевицы, если
ее толщина (по линии
центров) d, а поверх-
ность S.
Пусть
OD = г; OiC = rt;
№D = й; МС = й,.
Объем чечевицы мож-
но рассматривать, как
сумму объемов двух
сферических сегментов,
<с поженных своим:! основаниями. Имеем:
v =
— (Зг-Л)Э5 -(3r,-ft.),
3 3
(1)
или:
v = тс(/1гг4-/г^,) — ~(h3 -Ml). (2)
•J
Поверхность чечевицы:
S = 2n(rh (3)
Далее, по известному свойству хорды, пер-
пендикулярной к диаметру (или, что то же,
перпендикуляра, опущенного из вершины пря-
мого угла на гипотенузу) имеем:
Из левой окружности:
АЛТ» = Л (2г —й).
Из правой окружности:
АЛ23 = й1(2г1—й,).
Сгсюда;
й(2г—й) = й1(2г1 —Л,).
Или:
rh — rtht = (*s — fti). (4)
Из (3) имеем;
гй 4- 6ifti —' . (5)
Из (4) и (5) легко (сложением и вычитанием)
находим:
Г==4й^'ЬА'_Й1/’ (6)
1 [S , , \
r^h+h^hi)- (7)
Делья подстановку из (6) и (7) в (2) или
(1) и принимая во внимание, что
й, 4- А, = d, (8)
получим:
Г ft / S , <Д й( /•$ ,
я / . , fhS , И3
, ft,s , ^1_л»й, _h3 _ hf\
4 ' to 4 4 3 3/
/ dS ftS 4- 3ft2ft> 4- злл? 4- fii \
= 7C I -. — -------------- | =
\4л 12 /
= n _ №4-A,)*\ = aS _ nF
~ \4TC 12 J 4 12
и, наконец:
v = —(3S—nd2).
12
По отзыву многих читателей задача интерес-
ная и вполне элементарная, но преобразования
несколько утомительны.
52.
Решить систему уравнений
х’4~У (*У ~ 0 = 0. (О
у’-х(ху4-1) = 0. (2)
Исключаем тривиальный случай; х=_у = 0.
Из (1) имеем-
т3
^ = 1-ху. (3)
Из (2):
Отсюда:
Т = 1+^
Перемножив (3) и (4, получим:
= 1 — х2у2.
Отсюда:
Из (5) определим >>и подставим в (1):
2л*4-1Т’К2 = 0,
~1±У2 .
(4)
(5)
(6)
(7)
2 — 2\^2х*~ 4х4
—
2 (2-}-У 2)
(2—У2 )Уг = 2 (У 2 — 1) = У2 —1
4 4 2
т. е. получили правильный, исходный, резуль-
тат.
Итак, если обозначим через xt, xt, х3, х±
четыре значения
то соответственно получим:
1Л2 У2 У2 У2 _
У1 = -—; Уг=~—; Уз= -—; у-^— ~
2х, 2х2 2х3 2х4
2 — У2
Уг =-------•
2х
Аналогии.'о, определив из (5) х и подста-
вив в (2), найдем:
и
Так как числители имеют по два знака, а
корни 4-й степени по четыре значения, то ис-
следование приго цности всех комбинаций
значений х и у, конечно, утомительно.
При других способах решения, данных не-
которыми читателями, ряд непригодных зна-
чений отбрасываются в процессе решения
(самые решения ие приводим в силу их длин-
ноты). Для данного же способа проверка кор-
ней, как показал, т. Шебаршин, может быть
Это значение непригодно, так как мы ви-
дели, что 2хау2 = 1, а получаем:
2 - У 2 . „ 2 6 -'4 У 2
Хуг =---------; Хау2 =----------- и
2 4
2^ = 3-2]Л2¥=1.
—1___1/2
II. xi =--i1 — 4х4 = 1 — 2( — 1 —
2 ’
— У2) =3 4-2]/7=С|/’2‘-|-1)2.
Следовательно,
произведена следующим путем.
Решим первое уравнение относительно у и
найдем, что _______
ху_,,+ ,.=|);,, = .‘±.
2х
Если теперь
1 ± У(1 1-]/2)2 l+d + jA).
2х 2х
у,=
2+У21
2х
и уа = —
Уч
2х
I л-=^1+И,
2
Аналогично случаю 1 убедимся, что _у, не
удовлетворяет уравнению 2xIja = l. Если же
Уг
---, то подстановка во второе урав-
2х
то
нение дает:
1— 4х4=1 — 2(— 1 + 2/2Э = 3 —2К2 =
= (/2- 1У-
Следовательно,
У =
1 +^2— ()
2х
или:
У1
У 2 2—У 2
= -— и у, =---
2х 2х
Подставим найденные значения во второе
уравнение:
У.=
У2 .
2х ’
у2 — х-у — х
У 2 У'х
4л3 2
у2-х2у —х = 0; —1^.
4г3 2
_ —+ 4х4
4 л3
т. е.
2 — 4л4 = 03
откуда:
х4 = = У^(У^+ч) =
2(У 2 — 2) —4
_ 1 ь У27
2
т. е. получили исходный результат.
Если обозначим через х5, х^, xlt хв четыре
4 /-------------
, / 1 1/9
значения!/ _______г. . , то соответственно
V 2
.найдем:
V 2
2хв
Л
2х,
Кг .
2-4 ’
У» =
Уб = -
Ув —
Итак, ие считая нулевых решений, система
имеет восемь пар корней. Что касается ну-
левых значений неизвестных, то и их чис to
может быть определено: если найденные
значения у из первого уравнения под-
ставить во второе, то мы придем к двум
уравнениям (соответственно двум значе-
ниям >):
(1 - 2х4) К1 -4л4 = 6х* — 1 и
(1 - 2Х4) jA - 4х4 = 1 — fex4,
которые дают. 4х12 -J- 4х“ — х* = О,
откуда:
х4 = 0 и 4 -в 4~ 4х* — 1=0.
Последнее уравнение дает найденные выше
значения для х‘, т. е. данная система могла
быть решена и этим путем.
53.
Решить систему уравнений:
(x-j)(x«-y) = a, И)
(х4-у)(х’4-у2) = 6. (2)
Раскроем скобки:
х3 — х2у — ху2 -j~ Vs = а, (3)
Xs 4- х\v 4- ху2 = Ь. (4)
Сложим (3) и (4):
2 (х2 4“ У) = а 4- 6. (5)
Вычтем (3) из (4):'
2х2у 4- 2х_у* = Ь —a. (6)
Умножим (6) на 3 и прибавим к (5). Получим:
2 (х 4- У)3 — 4Ь — 2а,
(х 4- у)3 = 2Ь — а
Отсюда:
х -\-у = а — а (7)
(где а один из кубичных корней из 1).
Выражение (6) перепишем так:
2xj(x4-j)=6-a. (8)
Подставив из (7) в (8), найдем:
b — а
Обозначив:
3z-------------------- „
а у 26 — a = R, (to)
получаем систему:
6 — a
ху =-------
27?
решив которую, найдем,
х_1?±Ук1--2К<Ь-а)
27?
= + Кт?4 - - 27с (6 —а)
27?
(13)
(14)
Подкоренное выражение можно упростить,
приняв во внимание (10):
Т?4 — 27? (6 — а) =/?’• 7? — 27? (6 — а) =
= (26 — а) 7?—27? (6 — а) = 267? — а/? —
— 267? 4- 2а7? = а/?.
Тогда (13) и (14) примут вид:
, (,5>
27?
27?
Здесь 7? имеет три возможных значения.
Отметим, что, выводя из (8) выражение (9),
мы допустили, что
К26 —fl=£0,
т. е.
26 — о 0.
Если же 2b— а — то из (7) следует, что
x4-j = o.
Но тогда из (1) и (2) следует a = 0 и 6 = 0.
В этом случае данная система становится не-
определенной, и ее решениями будут:
х = п; у = — п,
где п — произвольное число.
К решению задачи читатели подходили раз-
личными путями, иногда рядом сложных и
утомительных преобразований. В результате
часто получалось для х и у сложнейшее
выражение (например, с длиннейшим иррацио-
нальным многочленом в знаменателе) и не де-
лалось никаких попыток к его упрощению.
54.
Решить систему уравнений:
tg х = a tg 2у;
tgy= 6tg2x.
Применив к правым частям формулу тан-
генса двойного угла, перепишем данные урав-
нения в таком виде:
tgx =
tgy:
2а tg_y
1 —tg'j’’
26 tg х
1—tg2x‘
(П
(2)
Подстановка из (2) в (1) дает:
tgx
4abtg х
(l-tg2x)| П 462 tg sx ~1 L (1 — tg’xyj
(3)
(И)
(12)
После упрощений:
tg x [tg4 x — 2 (1 — 2a6 4- б2) tg2 x -J- 4-(l— 4a6)] = 0. (3')
Отсюда: tgx = 0 (4)
и после подстановки (4) в (2): tg> = 0. (5)
Получаем первую систему решений:
х = т.п; у= г.п.
Или из (3') имеем:
tg4 х — 2 (1 — 2a6 4 b2) tg2 х 4- (1 — 4a6) = 0.
Решив это биквадратное уравнение отно-
сительно tg х, найдем:
tgx= ±Vl—2ab + b2 ±2b-\f 1-)-(д—6/. (6)
Подстановка из (6) в (2) после преобразова-
ний дает (проще—можно сделать подстанов-
ку из (1) в (2) и повторить предыдущие
преобразования):
tgу = + ]/ 1—2аЬ+2а2±2ауТ+(а—Ь)2. (7)
В формулах (6) и (7) надо брать одновре-
менно либо верхние, либо нижние знаки.
О решениях этой задачи можно сказать то
же, что и по поводу предыдущей.
55.
Найти правильную дробь, зная, что если из
ее числителя вычесть 12, а к знаменателю
прибавить 7, то получится дробь, в четыре
раза меньшая дроби, полученной из данной
от прибавления к числителю и вычитания из
знаменателя 12.
Решаем задачу обычным способом для по-
добных неопределенных уравнений. Пусть
числитель и знаменатель искомой дроби хну.
Тогда по условию
4 х = ++J+ л)
У + 7 у—12*
По упрощении получим:
Зху —55х —60у -|-492 = 0. (2)
Определим отсюда у:
Зу (х — 20) = 55х — 492,
„ 55х — 492 55х —1100 + 608
х — 20 х — 20
Эу = 55+- —8~. (3)
х —20
Так как у — число целое, то х — 20 должно
быть делителем числа 608. Чтобы уменьшить
X
число испытаний, учтем, что — должно быть
правильной дробью, т. е. х <у.
Из (2) имеем:
Зху + 492 = 55х + 60у.
Отсюда:
Зху + 492<115у
и подавно:
Зху < 115у,
х < 39; х — 20 < 19.
Отсюда, из положительных делителей числа
608 подлежат испытанию лишь: 1, 2, 4, 8, 16.
Составим соответству ющую таблицу.
x —20 X 608 3y У X У
x—20
1 21 608 663 221 21 221 годится
2 22 304 359 2 119- — не годится (у — дробь)
4 24 152 207 69 24 69 годится
8 28 76 128 42 — 3 — не годится
16 36 38 93 31 — не годится (у<х)
Итак, условию удовлетворяют лишь две
дроби:
21 24
221 И 69 ‘
Что касается отрицательных делителей
числа 608, то из условия заключаем, что
х>12; х — 20 > — 8,
следовательно, испытанию подлежат лишь
—1, —2, —4. Аналогично предыдущему
убеждаемся, что все эти случаи не дают ре-
шений.
Решением некоторых неравенств можно
было бы уменьшить еще число испытаний,
но последние так легки, что от их сокраще-
ния выигрыша во времени не получится.
Почти все неверные решения давали только
24
одно значение дроби------.
56.
Число А — 2/и-значное, изображенное од-
ними четверками; число Б — т + 1-знач-
ное, изображенное одними двойками; число
С—пг-значное, изображенное одними восьмер-
ками. Показать, что число А-\ B-^-C-j-7
есть точный квадрат.
Записав числа А, В и С по десятиричной
системе, будем иметь последовательно:
А + В + С + 7 = 4 (l + 10 + ...+ 102m~1) +
+ 2 (1 + 10 +..-+10m) +
+ 8(1 + Ю-|- ...+ Ют~1) + 7 =
9 9
, 8 (10^-1)
9 ’Г
4-102'w+2-10,n+1+8-10nl—4—2—8+63
9
_ 4-102m -f-28-10m + 49 _/',2-10m4~7\l
9 V 3 J'
Так как 2-10m4-7 делится иа 3, то A-j-B-}-
4- С 4- 7 есть, таким образом, квадрат целого
числа.
Легко показать, что
2-10”14~7 66...69
3 т— 1 раз
Неприятное впечатление оставляют реше-
ния, которые исходят из нескольких частных
случаев (т=1, 2, 3), подмечают закономер-
ность и обобщают, не давая доказательства.
57»
Доказать тождество
fa . b . с\
4 — Н----F — )
\ I т п)
abc
1тп’
где /, т, п — расстояние центра окружности,
описанной около треугольника, соответствен-
но от сторон а, Ь и с.
1. Большинством дано наиболее короткое
решение.
Легко видеть, что / А = DOC (черт. 1),
так как и тот и другой измеряются полови-
ной дуги ВС. Аналогично:
Z В = Z. АОЕ; £.С= С BOF.
Из треугольников CDO, АЕО и BFO имеем
tgCO/) = tgA = ^-, (1)
tg АОЕ = tg В = (2)
2т
tgBOP = tgC = —. (3)
2«
Для углов треугольника имеем известную
формулу:
-HgB4-tgC = tgAtgBtgC.
Делая подстановку из (1), (2), (3), получим;
я , & с _ abc
21 2т 2п 81тп
или:
2- Еще короче аналогичное доказательство
т. Кобылина, исходящего из формулы:
A R Г A R (
ctg ; l-ctg-+ctgi:=ctg^ctg^ctg^. (5)
Из тех же треугольников АЕО, BFO и CDO
имеем:
ctg ?=-*-; ctga = -^-; ctg3 = -£-_ (6)
2Z 2т 2п
Но, как видно из чертежа:
2« 4-204-2? = 180°, т. е. «4-04-? = 9О°
и к ним применима формула (5). Подстановка
в нее из (6) и дает требуемое тождество.
Ряд читателей исходил при доказательстве
из теоремы Птоломея для 4-угольннка.
Рассмотрим случаи тупоугольного (что
сделано немногими) и прямоугольного (что
не сделано никем) треугольника.
Пусть угол А — тупой. Тогда tg А =
=----у, и формула (4) примет вид:
или, что то же:
= (7)
\ I т п) 1тп
В случае прямого угла один из перпенди-
куляров обращается в нуль и соотношение (4)
теряет смысл, но остается в силе равносиль-
ное, вообще говоря, ему равенство:
4 (птл 4~ bln elm) = abc. (8)
Действительно, в этом случае, например,
при а = 40°, имеем:
1 = 0; т = - ; п = —.
2 2
и подстановка в (8) дает тождество.
Отсюда, между прочим, видно, что равен-
ство (8) является общим для всех трех слу-
чаев, если условиться брать со знаком минус
длину перпендикуляра, лежащего вне данного
треугольника.
58.
Решить систему уравнений:
x2-/=z3; (1)
(x4-y4- z) (x-J-y-z) X
X (х — у 4-z) (— х 4-у -J-z) = 576; (2)
У — х 4-1.
Приведем наиболее короткое ее решение,
данное М. Шебаршиным.
Из (1) ур 1вненчя по перенесении всех чле-
нов в левую часть и возведении в квадрат
получим:
х44-У4-г1— 2л2 у2 — 2x2z24-2v2z2 = 0. (4)
С другой стороны, уравнение (2) по пере-
множении даег:
К* 4~ .У)2 — z2] [z2 — (х — у)2] = x2z2 4- 2xyz2 4~
4- y2z2 — z* — (х2 — у2)2 xBz2 — 2jc vz2 4-
4- yBz2 = — x2 — у2 — z2 4- 2x2y2 4- 2x2z2 -f-
4-2y2z2 = 576. (5)
Сложив (4) и (5) получим:
4y2z2 = 576; y2za=144; yz = ± 12. (6)
Уравнение (6) вместе с третьим дает си-
стемы:
У — z= 1, (7)
yz = 12,
и
y-z=l, (8)
у z = —12.
Решив обычным путем системы (7) и <8) и
найдя из (1) соответственные значения х,
получим 8 систем решений:
У1,2 — 4; = 3; -*j,2 — + 5;
Узд = —3* 2з,4 = —4; х3>4 = + 5;
14-Z1/47 —1+/V47
Уб,6 — ~ ’ г°<6 ~ 2 ’
-«5,6 = ± z /23;
1—Z/47 —1—Zj/47
>7.8=—; 27,8= - ;
*7,8 = t ‘ 1 23 •
Неверные решения опять заключались
в неполноте их. Большей частью давались 4,
реже 2, а иногда даже одно решение.
59.
Треугольник АБС вращается около биссек-
трисы AD угла А. Доказать, что поверхно-
сти, образуемые при
вращении прямыми АБ
и АС, относятся, как
объемы тел, получен-
ных от вращения тре-
угольников ABD и
ACD.
Из целого ряда до-
казательств приве-
дем три наиболее
простых, переходя от
Солее длинных к бо-
лее коротким. (А.
Владимиров, М. Ше-
баршив и др.):
Обозначив поверх-
ность через s, имеем:
SAB = т.ВЕ-АВ\ SAC = r.CF-AC,
Sab = BE-АВ АВ
sAC cf-ac~cf'ac‘
По свойству биссектрисы угла треуголь-
ника имеем для треугольника САВ:
(2)
AC CD
Из подобия треугольников BED и CFD:
BD = BE
CD~ CF'
Из (3), (2) и (1) имеем:
SAb __ВЕ BE _ВЕг
Sac ~ CF CF~ CF2 '
Далее:
vabd = vab + vbd = T Г-БЕ2-АЕ 4-
О
4- — яВ£2 • ED = — r.BE? AD, (5)
3 3
VACD —VAC VCD — “ ~
— — л CF^DF = — ~CFf- AD. (6)
3 3
Из (5), (6) и (4);
3. Наиболее короткое решение (Н. Барщев-
ский, Г. Капралов) получим, если воспользу-
емся известной леммой об объеме тела, по-
лученного от вращения треугольника около
оси, лежащей в его плос-
кости (см. Киселев, ч. 2,
Черт. 2
§ 141).
Согласно этой лем-
ме, имеем непосредст-
венно:
VABD — SAB ’ DE* (!)
о
vacd — sac ' Т DF- (2)
*5
Но так как AD — биссектриса угла А, то
DE = DF и из (1) и (2) получаем:
VABD SAB
VACD SAC
60.
На ребрах прямого трехгранного угла
взяты точки А, В и С так, что треугольник
АРС равен некоторому данному треуголь-
нику. Построить отрезки SA, SB и SC (S —
вершина трехгранного угла;.
Из чертежа непосред-
5 ствеино выводим (по ус-
/V. ловию все плоские уг-
/ ли при S — прямые):
х/ \ N.
/ V 'k X2 + у2 = с2, (1)
/ -Е-Х-'/6
\/ y2-[-z2 — a2, (2)
—¥
ь z2 + x2 = b2. (3)
По сложении:
x2 + v2 + z2= аг + ьг + с1 (4)
2
Вычитая из (4) последовательно (1), (2) и
(3), получим
, а2 4- Ь2 — с2
2
6’4 с2 — а2
х2 =----!-------,
2
№ =
Д2_^4-Се
2
Порядок построения понятен: строим (на-
пример, для х):
1) т = /б24-с2; 2) п — |/ т2 — а2:
Как видим, и по вычислениям, и по по-
строению задача вполне элементарна. Но
важно то, что только очень немногие указа-
ли, что треугольник АВС должен быть остро-
угольным (в случае тупоугольного треуголь-
ника построение невыполнимо). Действитель-
но, как известно, / BSC> / A;j>CSA>>В;
/ ASB > ZC, т. e. углы В irC — острые.
ЗАДАЧИ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ
21. Светящаяся точка находится на расстоя-
нии d от центра шара. Определить величину
х освещенной части поверхности шара. Про-
следить изменение значения х в зависимости
от изменения d.
И. Гайлевичус (Каунас)
22. См. задачу на стр. 51 в заметке
И. Гайлевичус.
23. Доказать для треугольника равенство;
л и
а2 = (Ь + с)2 sin2 -—(- (6 — с)2 cos® —.
Е. Банкет (Новый Свержень, Барановичской
обл.)
24. Вычислить основание и боковую сторону
равнобедренного треугольника, если даны: бо-
2 У~2
ковая высота h —----- и медиана, проведен-
3
V17
ная к боковой стороне т —-------.
Б. Костриц (Ленинград)
25. Определить углы равнобедренного тре-
угольника, в котором центры кругов вписан-
ного и описанного симметричны относительно
основания равнобедренного треугольника.
Б. Костриц
26. Доказать, что при любом п выражение
лэ-|-11л
делится на 6.
И. Кацман (Житомир)
27. Найти зависимость между а, Ь и с
(исключить х и у) уравнений^
х у — а-, х2 + у2 = Ь2; х3 4-У = с3.
И. Кацман
28. При каких условиях справедливо ра-
венство
sin (« -|- Р) = sin а sin р.
Б. Костриц
29. Если
sin4 a cos4 а__ 1
а "4 b ~ а-[(>’
то
sin8 a ,cos8 а_ 1
4" ip (а -f- Ь)3'
Доказать.
Б. Костриц-
30. Найти объем конуса, если известно,
что радиус его основания равен г и что
объем вписанного шара вдвое меньше объема
конуса
С. Городов (Ленинград)
ЗАДАЧИ
101. Решить уравнение:
х(х — 1) (jc — 2)(х-3)=1.
Г. Ахвердов (Ленинград)
102. Решить уравнения:
2х34-5х2 — Зх,— 12 = 0,
4х3 -j- 4х2 х -|- 6 = О,
зная, что они имеют один общий корень.
Г. Ахвердов
103. Дан {\АВС своими сторонами а, b и с.
Вычислить радиус круга, вписанного в тре-
угольник, об шзоьаиный перпендикулярами к
стиронам данного треугольника, проведенными
через его вершины.
А. Ананич (Красноярск)
104. Решить систему уравнений:
х2 + _у 17х2у =17,
у2 + х Уху2 = 68.
Е. Банкет (Новый Свержень, Баранович-
ской обл.)
105. Решить систему уравнений:
Зх 4- ху — у2 — Зу = О,
х2—5x4-2у2 —12 = 0.
Е. Банкет
106. При каких рациональных значениях
х выражение у = Ух2 — х -f-1 будет иметь
рациональные значения.
А. Влачимаров (Ялта)
107. Точка касания окружности, вписанной
в прямоугольный треугольник, делит гипо-
тенузу на части, равные х и у.
Определить площадь треугольника.
А. Владимиров
108. Доказать тождество:
/ 3 ,_ Зу---»•>
Па2Ь2 W а2 4- у Ь2) =
= [(/? 4- Vb3) - ( а2 4- 62)]3.
Л. Гольдман (Томск)
109. Из верхних вершин квадрата на его
основание опущены две наклонные, причем
сумма проекций этих наклонных на основание
равна диагонали квадрата. Найти зависимость
между углами, образованными каждой из
на <лонных с соответствующей боковой сто-
роной квадрата.
Л. Гольдман
110. Решить систему уравнений
(У 4" г)2 — х2 = а2,
(z4-x)2-y2 = 62,
(х-j- у)2 — г2 = с2.
111. Упростить выражение:
112. Упростить выражение:
/3,7и 4- /ЗЦ- /б"4- 21/2.
ИЗ. Упростить (привести к логарифмиче-
» скопу виду) выражение:
—тгг- 4 + sec2 (45° + х) -}-
sec22x csc22x 1 1
4- esc1 (45° + x) + tg2 2x.
114. Доказать, что при целых значениях
х и у численное значение выражения:
(х2_у3— 4х2у) (х44-х2 —2)
делится на 216.
115. Сумма цифр трехзначного числа 7.
Доказать, что необходимое и достаточное
условие делимости этого числа на 7— одина-
ковость цифр десятков и единиц.
116. Построить треугольник по b и с, знаь.
что А = 2В.
117. Решить уравнение:
]/Зх2 —10х-}-8 —]/бх24-17х —32 =
= У18х2 —24х .
113. Решить систему уравнений:
х ]/х +j']/j = 341,
х У? + у1/х = ззо.
119. Построить треугольник по двум сто-
ронам, зная, что сумма соответствующих им
высот равна третьей высоте.
120. Решить уравнение:
2 sin Зх = 3 cos х + со j Зх.
УКАЗАТЕЛЬ СТАТЕЙ, ПОМЕЩЕННЫХ В ЖУРНАЛЕ «МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ»
ЗА 1919 год
ТЕОРИЯ И ИСТОРИЯ МАТЕМАТИКИ
Д. Гончаров — Элементы гармонического
анализа в курсе тригонометрии, № 3 стр. I—6.
Проф. И.Депман — Л. Ф. Магницкий, 5,
стр. 18—21.
Проф. И. Депман — Недавно найденное со-
чинение Архимеда, № 6, стр. 27—30.
А. Н и к о л I с к и й — Полчправильные тела
Архимеда, № 5, стр. 5—11.
С. Новоселов — Геометрическая теория
комплексных чисел, № 3, стр. 7—22.
С. Новоселов — Понятие функции, № 6,
стр. 3—10.
В. М о р е в — Сто лет назад, № 2, стр. 67—69.
В. С е в б о- Фигурные числ i, № 6, стр. 16—26.
Проф. В. Федоров — Сферические треу-
гольники, № 1, стр. 12—14.
Проф. В. Федоров — Функция, № 6,
стр. 1—3.
Проф. В. Федоров — Бесконечно малые,
бесконечно большие величины и пределы,
№ 6 стр. 10—15.
А. Фетисов — О преподавании геометрии
в средней школе, № 4, стр. 1—7.
Э. X ил ь ке в и ч —Геометрия Н. И. Лоба-
чевского, № 1, стр. 1—9.
Проф. И. И. Чистяков — Решение некото-
рых трансцендентных уравнений, № 5, стр.
11—14.
Е. Шелепин — Об аликвотных дробях,
1, с гр. 9—11.
Г. Шлегель — Преобразование радикала
VА + |/В . № 5, стр. 15—17.
В. Яковлев—Преподавание геометрии и
оптические иллюзии, № 3, стр. 23—26.
, МЕТОДИКА
А. Алмазова - Математический кружок,
№ 4, стр. 51—55.
И. Альтшулер — К вопросу о методике
обучения составлению уравнений, № 2,
стр. 48—51.
И. Альтшулер — Евклидово доказатель-
ство теоремы Пифагора, № 5, стр. 48—49.
Е. Березанская — О составлении уравне-
ний из условий задачи, № 2, стр. 17—18.
А. Б о г д а н о в — Сложные проценты, № 1;:
стр. 62—63.
Л. Бубис —Работа математического круж-
ка, № 3, стр. 61—61.
И. Вугман — Из опыта кружковой работы
в VI—VII классах, № 4, стр. 55—57.
И. Гайлевичус — Наглядность при пре-
подавании математики, № 6, стр. 51.
В. Голубев — Решение задач по геометрии
с применением тригонометрии, № 1, стр.
39—44.
Д. Гончаров — Третий год работы секции
математиков Одессы, № 2, стр. 65—66.
А. Горский — К вопросу методики реше-
ния задач на составление уравнений, № 2,
стр. 40—42.
А. Горский — О трудности деления и его
упрощении, № 5, стр. 60—61.
Р. Г у т е р — Школьный математический кру-
жок в Московском университете, № 3,.
стр. 56 -57.
Ф. Дзюба—Проценты, № 5, стр. 50- 55,
О. Дирекчиянц — О составлении уравне-
ний, № 2, стр. 42—47.
П. Д о р ф — Стереометрический ящик, № 1,
стр. 55—62.
И. Дуб — Периодические дпоби в курсе-
арифметики, № 5, стр. 58 -58.
П. Евтушенко — Рабата математического
кружка, № 3, стр. 58—59.
В. Ермольев — Что должно быть в основе
прохождения периодических дробей, № 5,
стр. 56—57.
Б. Журавлев — О математическом зрении,
№ 5, стр. 72—76.
Г. Жураховский — Составление уравне-
ний по условию задачи, № 2, стр. 52—57
М. Зарубин — К вопросу о решении гео-
метрических задай на вычисление, № 1,
стр. 64—67.
Е. Зеленин — Исследование уравнений пер-
вой степени с одним неизвестным, № 1,
стр. 15 -22.
Е. Зеленин — Изложение первых глав сте-
деометрии и задачи на построение, № 5,
<гр 29—46.
Клинцова—О математическом школьном
журнале, № 4, стр. 59—61.
i
J1 роф. А. С. К о в а и ь к о— О видоизмене-
нии некоторых выводов, касающихся теории
объемов фигур, № 6, стр. 31—33.
Ci. Козьмин — Составление уравнений с
одним неизвестным в VII классе, № 2, стр.
37—39.
Г. Костанди — Об умножении многознач-
ных чисел, № 5, стр. 59—59.
Проф. В. Крогиус — О биноме Ньютона,
№ 3, стр. 27 -29.
•В. Крол ев ец — Неравенства второй степе-
ни, № 2, стр. 14—16.
Н. Кувыркин — Школьная математическая
предметная комиссия, J& 6 стр. 52—55.
TI. Кузнецов — Шесть лет работы мате-
матического кружка, № 4, стр. 58—59.
А. Лебедев—Решение задач на составле-
ние уравнений 1-й степени, № 2, стр. 34—37.
В. Левитан — О преподавании десятичных
дробей, № 6, стр. 60—61.
Г. Ленгауэр — Зал математических развле-
чений Дома занимательной науки, № 6,
стр. 56—60.
Б. Лурье — Относительные числа № 3,
стр. 29—37.
П. Макаревич — Методические сообра-
жения к практике составления уравнений,
№ 2, стр. 32—34.
•М. Мельни : о в — Составление квадратных
уравнений, № 6, стр. 46 51.
И. Мирианашвзли — Работа математи-
ческого кружка, № 3, стр аЗ—55.
А. Могильницкий — Решение геометри-
ческих задач с применением тригонометрии,
№ 5, стр. 76—78.
Проф. Д. Д. Мордуха й-Б олтовский-
Методика геометрических определений, № 2,
стр. 1—8.
А. Морев — С квадратных уравнениях,
6, стр. 43—44.
®. О в ч а р е н г: о — Математический кружок
в школе, № 3, стр. 60—60.
В. Падучев — Вписанный и описанный шар,
№ 6, стр. 37—41.
Т. Песков — Пространственные представ-
ления учащихся средней школы, № 1, стр.
50—55.
•С. Петров — О составлении уравнений из
условий задач, № 2, стр. 19—24.
Г. Поляк— Опыт систематизации типовых
задач, № 4, стр. 22—28.
ЛИ. Покровская — Привитие учащимся на-
выка к самостоятельной работе, № 4, стр.
<2—44.
П. Рыбаков — Графическое решение квад-
ратных уравнений, К» 6, стр. 42—43.
П. Се.рдобольский —Методика составле-
ния уравнений, № 2, стр. 25—31.
В. С ина ке вич — Равносильность уравне-
ний и решение уравнений 2-й степени, № 2,
стр. 9—13.
В. Синакенич — К вопросу о прохожде-
нии логарифмов в средней школе, № 4,
его. 14—21.
И. Смирнов — Исследование уравнений,
№ 1, стр. 22—38.
И. Смирнов — К методике решения задач
на состанление уравнений, №6, стр. 45—46.
С. Срулевич — Из опыта работы матема-
тического кружка, № 3, стр. 57—58.
Г. Стальков — Опрос ученика как форма
учета навыков и знаний, № 1, стр. 45—49.
Н. Ушаков — Решение задач на построение
методом подобия, № 2, стр. 58 -60.
Л. Федорович — Внеклассная работа по
математике, № 4, стр. 45—51.
А. Фетисов — Геометрические преобразо-
вания, №4, стр. 7—13; № 5, стр. 24—29; № 6,
стр. 33—37.
С. Чуканцов — Задачи с конкретным со-
держанием, № 2, стр 61—65.
С. Чуканцов — Ближе к практике, №4,
стр. 29—41; № 5, стр. 62—72.
Н. Шоластер — О вычислении числа л,
№ 5, стр. 47—47.
Н. Шоластер — О числах вида wk = 14-
+ 9* + <72Й1 № 6, стр. 30.
Проф. К. Щербина — Математический кру-
жок в средней школе, № 3, стр. 38—47.
М. Щинова — Теория соединений в средней
школе, № 3, стр. 48—52.
Ш. ХРОНИКА
Проф. И. Депман — За границей, № 3,
стр. 62—64.
Проф. И. Депман — Академик Д. А. Гравэ
(некролог), 1 Ь 3, стр. 65—66.
Проф. И. Депман — Новый математический
журнал, № 6, стр. 63.
Проф. И. Депман — Тропфке, №6, стр.
62—63.
IV. КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИИ
Проф. М. Греиенча — О книге Кузьмина
и Д. Фадеева «Алгебра и арифметика комп-
лексных чисел», № 6, стр. 64—65.
В. 3 я б л и ц к и й — Школьная библиотека и
математика, № 2, стр. 69—70.
В. Невский — Новые книги по математике,
№ 3, стр. 67—68; № 5, 79-80.
С. Новоселов — Обзор новых книг, № 6,
стр. 65—66.
СВОДКА ПО № 3 1940 г.
По отзыву ряда читателей задачи этого
номера проще, тем, например, № 2. Этим и
объясняется сравнительно небольшое количе-
ство неверных решений по большинству за-
дач. Нужно отметить, что вообще решений
но этому номеру поступило меньше обыч-
ного, что, очевидно, объясняется летним
периодом. Прислано решений (ь скобках —
чи ло неверных решений): №41—35(7), №42—
43(4), № 43—42(0), № 44-504), № 45—42 (1),
№ 46—49(0), № 47—32(11), № 48—3("4),
№ 49- 21(11), № 50 — 23 1), № 51—29(1),
№ 52—29(15), № 53—34(14), № 54-32(12),
№ 55—27(19), № 56—31(2), № 57—40,0), № 58—
29(26), № 69—47(0), № 60—37(2).
Обращает иа себя внимание неожиданно
большое количество неверных решений таких
легких задач, как 55 и 58. В первой вместо
двух давался одни ответ, во второй вместо
восьми — четыре, два и даже один, Ошибки
в решениях задач § 52,53 и 54 связаны пол-
ностью со слабым умением оперировать с ра-
дикалами. Ряд решений давали ответы в
целую строчку, где в числителе и знамена-
теле фигурирует целый ряд двойных радика-
лов, при этом не проявлено никакой попытки
к упрощению их как в процессе решения,
так и в окончательном результате. В связи
с этим в настоящем номере мы даем несколь-
ко задач на упрощение радикалов. Отметим,
что вычисления в этих задачах (да и других)
в ряде решений выполнены так беспорядочно
и грязно, что редакция просто ие н состоянии
была проследить их и проверить их правиль-
ность (интересно, требуют ли эти товарищи
чистоты и упорядоченности записи от уча-
щихся?). В дальнейшем редакция вынуждена
будет просто оставлять без рассмотрения
деорежно выполненные ре чения. Л. Алексан-
дров (Днепропетровск) 41—48, 54—58, 60.
Г Алмазов" (Шербеево) 41, 43—45, 51, 55,
57 -59. Г. Ахвердов (Ленинград) 41—45, 48,
50, 55,56,58—60. Н. Барвин-кий (Перекоп) 52.
И. Барщевский (Сухом Лог) 41—60. В. Бере-
стовский (Новоград-Волынск) 42, 44, 47, 51—
54, 58, 59. К. Бирюков (Ряжск) 42, 44, 45, 52—
54, 58. Л. Бубис (Полтава) 46, 47, 51. LL. Ва-
кар (Смоленск) 41—60. Н. Введенский (Геор-
гиевна) 41—44, 46- 51, 53, 54, 56—60. A. Btia
дикиров (Ялта) 41—57, 59, 60. С. Воскресен
ский (Куйбышев) 41— 60/ Н Голайдо(с.)\рас-
ная I ора) 41—4'1, 52. 5. 57—60. С. Городов
(Ленинград) 41— ,6, 48—53, 56—60.7/. Г осман
(Одесса) 57. //. Дзигавг (Тбилиси) 12, 44, 52,
58—60. В. Дмитревский (Ленин! рад' 41, 43—
49, 51, 54, 60. Б. Дудолькевич (П ппг’орску 42,
44, 46, 57, 59, 60. Я. Жовтун (М Локпя) 41—
46, 48, 49, 51, 52, 54, 56, 57, 59, 60. А. Жук
(Дятьково) 44, 46, 47, 53, 51 57—59 Г. Кап-
рале с (Горький) 41—45, 47, 51, 55- 60. М.Ке-
келия (Бандза) 41—43, 45, -50, 53, 57—60.
Ф. Клейнман (Бердичев) 53. Б. Кобылин
(Галич) 41—60. С. Коле~ник (Харьков) 41—49,
51, 53 -60. Г. Корчагин (Устькулом) 41—60-
А. Косанян (Таганрог) 44, 45, 57. А. Костов-
ский (Мелитополь) 41—46, 50, 51, 54, 55, 57—
60. В. Kpvmoeqee (Карелн) 42, 45, 47, 59.
И. Крылов ,/орький) 41—47, 49,51—54,56,57,
59, 60 С. Кулагин (Тагай) 59, 60. Лебедев
(Обоянь) 41,43—46, 50,53, 55, 59. М. Левин
(Таганрог) 42-46, 48, 50, 55—60. В. Линис
(Елгава — Латвия) 41—48, 50, 51, 53, 55—5?.
И. Лившиц (Гомель) 44, 54. Н. Любоч'кий
(Старая Русса) 41, 43—45. А. Логашов (Кол-
тпнекое) 42—47, 19—57, 59. Е. Марчевская
(Харьков) 42, 46, 48—52, 55—57- Л. Маслова
(Воронеж) 41—48, 50—54, 56—60. В. Машлус
(Одесса) ч1, 43, 44, 54. Л. Медведев (Михай-
ловка) 11, 43—48, 51- 53, 55—57, 59, 60.
М. Месяи (Житомип) 42—48, 50 —57, 59, 60,
Метелицина (Михайлов) 42, 4|, 45, 52—55.
57—59. Г. Мискарян (Кировабад) 41—48, 53,
54, 56, 57, 59, 60. А. Могилъницкий (Гайсин)
41—60. В. Нефедов (Ряжск) 41—49, 51—54,56,
57, 59, 60. Н. П исклепов (Марки) 42—44.
В. Плотников (Типелево) 41—49, 51—60.
77. Постников (Рязань) 42—48, 52—54, 57—63.
И. Рабинович (Рига — Латвия) 41—43, 56.
Д. Ржевский (Рчбинск) 42—48, 50, 53—56, 54,
60. И. Сергачев (Раменье) 42, 44, 53, 57, 60..
Н. Титов (Казань) 42—54,56—60. В. Ураевский
(Кузнецк) 46, 54. В. Федоров (Березово) 41 —
46, 52, 59, 60. Е. Хвастов'кий (Сталинград)
41, 43—46, 48, 51, 54, 56, 57, 59, 60. < Чека-
лин (Скопин) 44, 46, 53, 54, 59. В. Шалупенко
(Куйбышев) 44—47, 49, 51, 52, 54—57, 59, 60.
А. Шафаренко (Лебедин) 55, 59- М. Шедар-
шин (МедвеЖ1 егорск) 41—60. С. Штернберг
(Умань) 58. Э. Ясиновый (Березо-Валка) 41—47.
50, 51,56 -60
ОТ РЕДАКЦИИ
В статью «Пространственные представления учащихся средней школы», напеча-
танную в № 1 1940 г., автор, т. Песков, просит ввести следующие поправки.
1. На стр. 50, 2-й столбец, строки 5—10 являются концом цитаты из доклада
проф. Александрова (на совещании преподавателей математики в 1935 г.), которые
при сокращении редакцией статьи оказались как бы принадлежащими автору статьи.
2. В таблице на стр. 50 на вопрос 14 й по недосмотру автора процент верных
ответов оши-очно указан 84 вместо 24.
Цежа 1 р. К коп.
^15
04.Н ДИ1ЬО
"OC.f-ИЬ.КА П • гнг^и”
91 РО I.
•О 1,1? v' "'М ’I ►'
К СВЕДЕНИЮ ПОДПИСЧИКОВ
По всем вопросам подписка — перемена адреса, неполучение журналов а т. д.—
просим обращаться по месту сдачи подпаска в предприятия свяла. В случае
нлразрешения вопроса на месте следует обращаться в Бюро претензий пред-
приятий связи. Издательство а редакция журнала подписки на журнал не
принимают и не екепедируют его. Этим всецело ведают органы связи.
При обнаружении дефекта в номере журнала просим прислать его длп
обмена по адресу: Москва, Орликов пер., 3, Отдел периодических изданий
Учпедгиза
Издательство