Свободная конвекция в условиях внутренней задачи - Остроумов Г.А.

Автор: Остроумов Г.А.

Теги: теплопередача конвекция

Год: 1952

Похожие

Избранные задачи. Задачи и олимпиады

Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями

Задачи по физике

Текст

Г. Л. ОСТРОУМОВ
S'iSS
0 7?
СВОБОДНАЯ КОНВЕКЦИЯ
В УСЛОВИЯХ
ВНУТРЕННЕЙ ЗАДАЧИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕXНШЮ-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1952 ЛЕНИНГРАД
ПРЕДИСЛОВИЕ
JU
В процессе выполнения работы автор пользовался
советами и указаниями многих специалистов и рад слу-
чаю выразить свою благодарность особенно следующим
из них: академику Л. Д. Ландау, академику М. В. Кир-
иичёву и его сотрудникам, членам-корреспондентам АН
JI Н. Андрееву и А С. Предводителеву, а также
С. Н. Ржевпиву, IJ. Е. Степанову, Д. А. Франк
Каменецкому, II. Г. Шапошникову и Л. (3. Уйгенсону.
Особенно признателен автор А. М. Кузнецову, который
дал повод приняться за исследование и немало способ-
ствовал его успешному выполнению.
Материал, изложенный в монографии, имеет большой
объём, и его трудно изложить безупречно. Автор просит
сообщить ему о всех возможных недочётах его труда
и о предлагаемых путях их устранения.
Молотонский Госуииверснгет Август 1951 г.
им. А. М. Горького.
Г J] А В А 1
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИССЛЕДОВАНИЯ
§ 1. Определение гравитационен! конвекции
Гравитационной конвекцией*) называется гидродина-
мическое явление, возникающее в поле всемирного тяго-
тения в связи с тем обстоятельством, что различные части
жидкости имеют разную плотность. Более плотные части
тонут, менее плотные всплывают в окружающей жидкости.
Нод «жидкостью» здесь понимаются как капельные
жидкости, обладающие поверхностным натяжением, так
и газы. Гидродинамическая сторона процесса проявляется
в том, что частицы жидкости движутся не в пустом про-
странстве, а среди других подобных частиц, поэтому
каждая частица при своём движении лишь занимает
место каких-либо других частиц, отодвинутых сю в сторону.
«Частицы жидкости» содержат в себе огромное количе-
ство молекул.
Причиной различия в плотности обычно являются
различия в температуре или в составе, в частности—в кон-
центрации растворённых в жидкости примесей. Наряду
с этими наиболее распространёнными причинами раз-
личия плотности могут действовать и иные причины,
например электрострикция, а также термомагнитные [1—3]
и термоэлектростатические эффекты. Наиболее изученной
формой гравитационной конвекции является темпера-
турная (или тепловая) конвекция, поэтому целесообразно
*) Наряду с гравитационной конвекцией известны электростати-
ческая [1—IJ и магнитная [1—2J конвекция, возни кающие и элек-
тростатическом и магнитном полях.
13-5-4
АННОТАЦИЯ
Книга содержит теоретический и экспери-
ментальный материал, относящийся преимущест-
венно к теплопередаче, происходящей путём
конвекции внутри вертикальной трубы круглого
сечения, а также к некоторым смежным вопро-
сам. Книга рассчитана на научных работников,
инженеров, техников и студентов, работающих
п области геофизики, теплотехники, металлу pin и.
химического машиностроения и профгвгиеиы.
Опечатки
Страница Строка Напечат ано Должно быть По чьей вине
226 3 си. Последний Первый Ред.
рис. 53 249 12 си. г]'cms смя/г »
Зап. 1443
Редактор Т. В. Баженова.
Техн, редактор С. Н. Ахламов. Корректор И. Г. Зайцева.
Подписано к печати 22/1 1952 г. Бумага 82xlO8/sS- 4,44 бум. л. 14,555
печ. л. 14,85 уч.-пзд. л. 40 810 тип. зн. в печ. л. Т-00224. Тир. 4000 эпз.
Цена книги 8 руб. 90 коп. Переплет 2 руб. Зак. А4 1443.
16-п тип. Главполиграфиздата при Совете Министров СССР.
Москва, Трехпрудный пер., !).
ОГЛАВЛЕНИЕ
Список важнейших обозначений....................... • 1
Предисловие • •
Глава I Общая характеристика исследования.............. 1'1
§ I. Определение гравитационной конвекции .... 11
s 2. М. В. Ломоносов—основоположник научной поста-
новки вопроса о тепловой гравитационной конвек-
ции ........................................... 12
§ 3. Внешняя н внутренняя задачи.................... 20
§ 4. Практическое значение выбранного случая ... 21
Г.та в а 2. Исходные уравнения гравитационной конвекции 24
§ I. Физическим смысл различных членов каждого
уравнения.......................................... 24
§ 2. Математическая характеристика . ... 27
Глава 3. «Основные» (линеаризованные) уравнения гра-
витационном конвекции................................... 30
§ 1. Вид «основных» уравнений....................... 30
§ 2. Замечания об эксперимента льном и математическом
значении «основных» уравнений...................... 31
§ 3. Случай вертикального канала.................... 32
5 4. Образование составляющих гармонических уравне-
ний ........................................ .... 33
§ 5. Общие свойства решений «основных» уравнений
гравитационной конвекции................'.......... 34
§ 6. Форма решения бигармоппческого уравнения в ци-
линдрических функциях............................. 37
Г л а в а 4. Схема процесса решения задач о тепловой
гравитационной конвекции ............................... 39
§ 1. Общие граничные условия . . . .... 39
§ 2. Частные граничные условия..................... 40
§ 3. Обоснование схемы решения 42
§ 4. Путь решения................................... 43
1*
4
ОГЛЛВЛЕЛПС
Глава 5 Установившаяся конвеК|Ц1Я в вертикальном
канале круглого сечении ............................... 45
§ 1. Диаметральная антисимметрия свободного конвек-
тивного потока 45
§ 2. Критериальное значение конвективного параметра 31
§ 3. Учёт тепловой роли стенок трубки....... 54
§ 4. Суперпозиция вынужденной и свободной тепловой
конвекции ......................................... 57
§ 5. Применение цилиндрических функций от ком
п.тексногоаргумента для случаев, когда и верхней
части вертикального капала температур» выше,
чем в нижней....................................... 64
Г л а в а 6. Нестационарный режим гравитационной тепло-
вой конвекции в вертикальном канале круглого
сечения ... . . ....... 66
§ 1. Общие замечания................................. 66
§ 2. Периодизация процесса охлаждения пслатвердев-
шей отливки........................................ 66
§ 3. Первая стадия. Заливка формы сильно турбулп-
зопанной горячен жидкостью......................... 68
§ 4. Вторая стадия. Развитие свободного конвективного
движения........................................... 72
§ 5. Третья стадия. Охлаждение жидкости при нали-
чии конвекция.................................... 74
Глава 7. Конвекция в наклонной щели как пример
конвекции в канале не круглого сечения . . 80
§ 1. Упрощение «основного» бпгармонпческого уравне-
ния ............................................... 80
§ 2. Случай, когда температура в нижней части выше 82
§ 3. Случаи, когда температура в верхней части выше 83
§ 4. Заключительные замечания........................ 84
Глава 8. Вода как объект экспериментальных исследо-
ваний ................................................. 85
§ 1. Тепловые и конвективные параметры воды ... 85
§ 2. Интерполяционная формула для интервала 0 — 40° Ц 87
§ 3. Стандартная конвективная кривая и интерполяци-
онная формула для интервала 0 — 40'Ц............... 88
Глава 9. Оппсаппе экспериментальных моделей.............. 90
§ 1. Стеклянная модель............................... 90
§ 2. Металлическая модель............................ 94
§ 3. Метод температурной регистрации................. 96
§ 4. Метод исследования тепловых параметров готовой
модели ......................................... 101
ОГЛАВЛЕНИЕ
Г ла на 1U. Экспериментальное исследование свободной
тепловой конвекции в вертикальных моделях
круглого сечения при установившемся режиме 113
§ 1. Два режима тепловой конвекции и разделяющий
их кризис.......................................... ИЛ
§ 2. Постоянство значения конвективного параметра
в ламинарном режиме............................... 117
3. Замечание о количественной характеристике сверх-
критического режима тепловой конвекции .... 118
§ 4. Наличие поперечных градиентов температур и ре-
зультаты их измерений............................. 120
§ 5. Флуктуации азимута поперечного градиента тем-
ператур .......................................... 123
Г л а в а II. Экспериментальное исследование нестационар-
ных режимов тепловой конвекции в моделях
круглого сечения....................................... 125
§ I. Теоретические соображения, основанные па рас-
смотрении стационарного процесса.................. 125
§ 2. Коренные отличия нестационарных режимов при
наличии и и отсутствии конвекции.................. 128
§ 3. Нестационарные процессы, записанные поперечны-
ми термопарами................................... 12!)
< 4. Вынужденные тепловые колебания, вызываемые
модуляцией мощности подогрева................. 131
§ 5 Собственные тепловые затухающие колебания при
конвекции в моделях ограниченной длины . . . 133
Глава 12. Концевые явления при тепловой конвекции
в моделях круглого сечения (исследованные
методом температурной регистрации) .... 134
§ 1. Общее распределение средней по сечению темпера
туры вдоль всей вертикальной модели............... 134
§ 2. Метод столбика переменной длины.............. 138
§ 3. Метод подвижного поршенька................ 143
§ 4. Метод замещения.............................. 144
§ 5. Заключение................................... 146
Глава 13. Оптические методы исследования конвекции
в моделях специальной формы.........................- 147
§ 1. Вводные замечания............................ 147
§ 2. Метод призматического сосуда................. 148
§ 3 Метод вертикальных отклонений................ 157
§ 4. Метод решётки................................ 159
§ 5. Применение метода решётки к экспериментально-
му исследованию ламинарной конвекции и полости
щелеобразной формы................................ 167
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
Г л а п а 11. Заключительный обзор экспериментальных
исследовании линейных и квазилинейных
случаев................................................ 171
Глава 15. Случаи, требующие решения нелинейных
уравнений гравитационной конвекции . . . 173
§ 1. Практическое значение нелинейных случаев и ог-
раниченность охвата проблемы...................... 173
§ 2. Замечание об общем методе решения нелинейных
уравнений....................................... 171
§ 3. Случаи теплопотерь через несовершенную тепло-
изоляцию ........................................ 177
§ 4. Случай осевой симметрии . . .... 183
§ о. Случай диаметральной антисимметрии.................. 191
§ 6. Конвекция в горизонтальном канале круглого се-
чения ....................................... . . 198
§ 7. Конвекция в шаровой полости . . 211
Глава 16. Экспериментальное исследование тепловой
конвекции в полостях специальной формы 219
§ I. Постановка вопроса . 219
§ 2. Конвекция в шаровой полости...... 220
§ 3. Конвекция в цилиндрической полости е. горизон-
тальной осью...................................... 227
§ 4. Заключительные замечания . 230
Глава 17. Тепловая конвекция в наклонной модели круг-
лого сечения . . . . 231
§ 1. Описание установки....................... . 231
§ 2. Ламинарный режим.................................... 231
§ 3. Обобщение экспериментальных результатов .... 233
§ 4. Сверхкритический режим............................ 235
Глава 18. Заключение......................................... 237
Глава 19. Приложения ........................................ 240
§ 1. Электролитический метод измерения температур 240
§ 2. К вопросу о геотермическом градиенте............... 243
§ 3. К проблеме о естественной вентиляции ... 245
§ .4. К вопросу о скорости испарения..................... 247
Литература.......................•................ . 254
Фотографии (I—XXVII) в конце киши
СПИСОК ВАЖНЕЙШИХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

в — В (ж,
V — знак пространственного дифференцирова-
ния «набла», размерность 't/см.,
\ 6 = grad 0: (V v) = div t>,
[Vr] = rotv, (vV) v = (v grad) v,
Oa a2 c)2
Д = Г=. ,т+тг.,--|-знак лапласиана, размерность 1/c.w2,
i>x~ ду2 Oz-
n=v(x, у, z, t) — вектор скорости частиц жидкости см/сек,
р — р(х, у, z, Г) — давление, обусловленное конвективными
явлениями, бяр — дин/см2,
у — вектор ускорения силы тяжести,
g = 981 см/сек2,
; ** — коэффициент объёмного температурного
расширения жидкости, {/град.
О In р _ ,
; —коэффициент изменения плотности с коп-
центраппей, см3/г,
I, z, t) — температура, Ц,
I1 V V
ч s --коэффициент кинематической вязкости
Г жидкости, см2 J сек,
х =----коэффициент температуропроводности
Рс жидкости, см2/сек,
D— коэффициент диффузии в жидкости,
см2/сек,
р—плотность жидкости, г/см3.
С — концентрация примеси, г/см3,
dz s dx dy dz — элемент объёма, см3,
х, у, z-—декартовы координаты, см,
t — время, сек.,
г, 'р, z—цилиндрические координаты, см, рад, см,
А = ——вертикальный градиент температуры,
г рад/см.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Составление настоящей монография вызвано стремле-
нием восполнять существенный пробел в научных продета
влениях о конвективных процессах в поле силы тяжести.
С втимн явлениями мы сталкиваемся как в природных
условиях, например изучаемых в геофизике (естественная
конвекция в буровых скважинах н вопросы геотермики
подземных водоёмов), так и в ряде промышленных про-
изводств. Например, не выяснена роль тепловой конвек-
ции при остывании отливок, в химических производствах,
в вопросах профгнгнены (вентиляция).
Между тем сознательное использование конвекции
даёт уже в самом начале возможность разумного управле-
ния производственными процессами. Кроме того, знание
законов конвекции необходимо для правильного пони
мания природных явлений.
Глава 1 содержит общую характеристику исследова-
ния, его мотивов и применённого метода, а также указа
ния на приложения и перспективы.
Главы 2—7 содержат математическую теорию гравита-
ционной конвекции, причём центром тяжести является
разработка того случая, когда общие нелинейные урав-
нения допускают линеаризацию. Физически этот случай
соответствует движению частиц жидкости параллельно
образующим вертикального цилиндрического канала.
Соответствующее бигармоническое уравнение (подобно
аналогичному уравнению теории колебаний упругой
пластинки) решается в замкнутом виде через бесселевы
функции.
Глава 8 посвящена характеристике воды как объекта
конвективных исследований. Здесь приведены табличные
ПРЕДИСЛОВИЕ <)
данные <> тепловых и конвективных параметрах воды
(обладающей рядом особенностей) и для сопоставления
параметры некоторых других жидкостей.
1.1авы 9 -J4 посвящены экспериментальному псследо-
iiaiiiii'' на моделях тех явлений гравитационной конвек-
ции, которые удовлетворительно описываются линеари-
зованными уравнениями. В тексте даётся описание моде-
лей, служивших для опытов, а также приводятся резуль-
таты их тепловых исследований н результаты копвек-
гпвпых опытов, проведённых с ними. Эти опыты позволяют
сделать вывод, что приведённая теория в основном пра-
вильно отображает наблюдаемые явления.
Главы 15—17 посвящены изложению теории и описа-
нию экспериментов по изучению явлений, толкование
которых не укладывается в линейные пре дета вления.
Материал этих глав подчёркивает необходимость даль-
нейшей разработки нелинейной теории конвекции.
Заключительная глава [8 рисует общие перспективы
дальнейших исследований в области гравитационной
конвекции.
В приложениях (глава 19) эскизно намечены некото-
рые вопросы, которые по уложились в общую последова-
тельность изложения и подверглись лишь первоначаль-
ному освещению.
К разработке настоящей темы автор подошёл давно
при рассмотрении ряда вопросов, связанных с охлажде-
нием масляных трансформаторов и электронных ламп.
Но более глубоко вникнуть в эту тему его заставила
работа по термическим яв.гениям в нефтяных скважинах*).
11еясность научных представлений и полное отсутствие
литературы по этому вопросу привели его к необходимо-
сти самому приняться за экспериментальные п теорети-
ческие исследования.
Разнообразие возникших смежных вопросов, а также
трудность их математической трактовки (нелинейность
шфференциальных уравнений) заставили поставить и ис-
следовать первоначальную тему значительно шире, что
п явилось предметом настоящей монографии.
) Лит. [1 8].
ПРИДИ OJJOBHK
В процессе выполнения работы автор пользовался
советами и указаниями многих специалистов и рад слу-
чаю выразить свою благодарность особенно следующим
из них: академику Л. Д. Ландау, академику М. В. Кнр-
ничёву и его сотрудникам, членам-корреспондентам АН
JI. Н. Андрееву и А С. Предводителеву, а также
С. Н. Ржевпиву, IJ. Е. Степанову, Д. А. Франк-
Каменецкому, И. Г. Шапошникову и Л. С. Уйгепсону.
Особенно признателен автор А. М. Кузнецову, который
дал повод приняться за исследование и немало способ-
ствовал его успешному выполнению.
Материал, изложенный в монографии, имеет большой
объём, и его трудно изложить безупречно. Автор просит
сообщить ему о всех возможных недочётах его труда
и о предлагаемых путях их устранения.
Молотове кий Гоеунлнере нтет
им. А. М. Горького.
\вгу<т 1951 г.
Г j] А I! Л 1
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИССЛЕДОВАНИЯ
§ 1. Определение гравитационен конвекции
Гравитационной конвекцией*) называется гидродина-
мическое явление, возникающее в поле всемирного тяго-
тения в связи с тем обстоятельством, что различные части
жидкости имеют разную плотность. Более плотные части
тонут, менее плотные всплывают в окружающей жидкости.
Иод «жидкостью» здесь понимаются как капельные
жидкости, обладающие поверхностным натяжением, так
и газы. Гидродинамическая сторона процесса проявляется
в том, что частицы жидкости движутся не в пустом про-
странстве, а среди других подобных частиц, поэтому
каждая частица при своём движении лишь занимает
место каких-либо других частиц, отодвинутых ею в сторону.
«Частицы жидкости» содержат в себе огромное количе-
ство молекул.
Причиной различия в плотности обычно являются
различия в температуре или в составе, в частности—в кон-
центрации растворённых в жидкости примесей. Наряду
с. этими наиболее распространёнными причинами раз-
личия плотности могут действовать и иные причины,
например электрострикция, а также термомагнитные [1—3]
и термоэлектростатическнс эффекты. Наиболее изученной
формой гравитационной конвекции является темпера-
турная (или тепловая) конвекция, поэтому целесообразно
*) Наряду « гравитационной конвекцией известны электростати-
ческая [1—I] и магнитная [1—2] конвекции, возникающие и элек-
тростатическом и магнитном полях.
12 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИССЛЕДОВАНИИ [гл_ 1
более подробно исследовать именно эту форму явления.
С neit нетрудно сопоставить диффузионную (или концен-
трационную) форму конвекции, так как соответствующие
количественные выражения обнаруживают большое сход-
ство.
Конвекция называется свободной, если те напряжения
(в том числе нормальное давление), которые испытывает
жидкость на её границах, нс совершают механической
работы, т. е. если все границы жидкости непо-
движны.
Противоположный случай называется вынужденной
конвекцией. Он соответствует действию в изучаемой
системе какого-то механического насоса, прокачиваю-
щего жидкость.
Может встретиться и промежуточный случай, когда
на вынужденное движение прокачиваемой жидкости нала-
гается свободная конвекция (глава 5, § ^i).
Настоящая книга посвящена почтя исключительно
только свободной конвекции.
§ 2. М. В. .Ломоносов—основоположник
научной постановки вопроса
о тепловой гравитационной конвекции
Первым исследователем, который научно подошёл
к явлениям тепловой конвекции в природе, был акаде-
мик М. В. Ломоносов. Он первый правильно объяснил
основной механизм метеорологических явлений. В своём
сочинении «Слово о явлениях воздушных от Електриче-
ской силы происходящих» (1753 г.) он обстоятельно объ-
ясняет метеорологические явления, приводит доказатель-
ства правильности своих объяснений и настойчиво про-
пагандирует разработанные нм научные взгляды.
Упомянув вначале о важности предсказаний погоды
для человеческой деятельности и о трудностях и малой
популярности таких предсказаний, М. В. Ломоносов
далее пишет: «Часто я тому дивился, когда приметил,
что зимним временем, по растворении воздуха, в котором
снег тает, внезапно ужасные наступают морозы, которые
ио нескольких часах ртуть в термометре от третьего
ЗОМ0110С0В-0С110В0ПОЛ0Ж11ИК ПОСТАНОВКИ «ОПРОСА [3
§ 3|
u ni пятою градуса выше предела замерзания *), за три
(цать ниже оного предела опускают, и в самое то время
пространство больше ста миль но все стороны занимают,
о чём слухом тогда довольно увериться можно. Потом
сравняй сие с зимами 1709 п 1740 года, которые почти
по всей Европе свирепствовали, ещё больше чудился,
и бо.и Hie воз'ьпмел охоты изьискнвать причину толь крутой
перемены. Чуднее всего быть казалось сне особливо, что
оттепели почти всегда с дыханием и скорым стремлением
ветра в пасмурную погоду случаются, мороз напротив
того после утихнувших с ясностию неба жесткость свою
показывать начинает» (стр. 13 14).
Он подмечает, что жидкости более теплопроводны,
чем твёрдые тела, когда дело идёт о тепле, распростра-
няющемся вверх: «Со здравым рассуждением согласно
есть, житкость морской воды и градус термометра выше
пли около предела замерзания сохраняется для великого
пространства моря, и для подземной теплоты, которая
сквозь дно морское отдыхает. II так открытый моря и от
льду свободный в лежащей па себе зимою воздух больше
теплоты сообщают, нежели матёрая земля, мерзлым
запертая черепом, и засыпанная глубокими снегами,
сквозь которые дыханию подземной теплоты путь затво-
рёп» (стр. 15).
\1. В. Ломоносов спрашивает далее: «чему быть должно,
когда морские ветры веять перестанут?». И отвечает:
«Напрягая на оныя внимание, представляю разпость
теплоты и густостн между нижним воздухом и между тем,
который в верьху обращается. Что больше теплота здесь
нежели в верьху, или по общему понятию сказать, сильнее
стужа зимою бывает над облаками, нежели ниже их у зем-
ной поверьхности, сие есть рассуждением исследованная,
искусством изведанная и согласием воздушных явлений
утвержденная правда... Самая верьхняя часть Атмосферы
много меньше от солнца нагревается нежели нижняя...
Сверьх сего нагревшаяся от солнца земная поверьхность,
и возвращающийся от ней лучи больше в нижней, нежели
*) Дело идёт о 150-градуспой температурной шкале (вместо
100-градуепой шкалы Цельсия)
14 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИССЛЕДОВАНИИ |гл. I
в средней и верхней А тмосфере действуют... Град летней,
и оледеневшим верьхпгор высоких петипну пред очи пред
ставляют, и нам внушают, что среди самого лета не весьма
высоко над головами нашими надстопт всегда сильная
зимы строгость».
Ссылаясь на геодезистов, которые в Перуанских горах
«для измерения шара земного, много стужи претерпели,
и поту пролили», М. В. продолжает: «Долговременным
и бедственным искусством и точным исчислением доказано,
что па известной и определённой вышине всея Атмосферы
жестокой и беспрерывной мороз господствует, и высоких
гор верьхп вечным снегом покрыты содержит... Сие когда
под самым Екватором беспрестанно продолжается; то коль
великая стужи сила в пашем климате около той же вышины
свирепствует, лекго заключить можно».
Указав на явление града, М. В. продолжает: «однако
сне подлинно происходит, и ясно показывает ужасной
мороз, которой на высоте в снежном ядре опускающегося
града раждаетс.я. Во сие случается летом, что же должно
быть зимою?». Отметив, что в Енисейске наблюдаются
морозы, достигающие 131 градуса ниже предела замер-
зания (—87,5° Ц), и допустив, что такая же температура
господствует на высоте одной версты (1,0668 км), и под-
считав соответствующие плотности воздуха, М. В. при-
ходит к выводу: «Оттуду явствует что нижняя Атмо-
сфера часто бывает реже и пропорционально легче, нежели
верьхняя. (’ему состоянию воздуха что воспоследовать
должно, довольно явствует из Аерометрических правил,
и утверждается примерами. Истолковано мною прежде
сего движение воздуха в рудокопных ямах, от разной
густости происходящее, где в 50 и менее саженях течение
оного от подобных причин бывает. Сверьх сего и в домах
зимним временем теплой воздух при печах подымается,
холодной при окнах осядает, что по движению дыма
легко усмотреть можно. И так на толь ли знатной вышине,
которая на 100 или 200 сажен простирается, воздух ниж-
няго тягостию, много превосходящий противу естествен-
ных законов удержаться может? Опускается и помалу
мешается с нижним, жестокий мороз на нас проливая.
Без чувствительнаго дыхания осядает для того, что в одну
. ,|0М011О<’,0В ОСНОВОПОЛОЖНИК ПОСТАНОВКИ ВОПРОС V 15
Ji -I
( (4<уп ’У сД|Ш |,а несколько дюймов движется, когда в два
ч;ь а на НМ) пли 200 сажен опустится, борясь с, восходя-
щим ему навстречу». !’> качестве экспериментального дока-
ч-печьства этого положения М. В. ссылается па наблюде-
ние дымов, восходящих из труб, но ещё более глубоким
является следующее его замечание: «Второе действие
( И\ движений есть неба ясность: ибо хотя здесь i устоте
воздуха много приписать должно; однако восхождением
нунно н погружением онаго облака по большей обшир-
ности разделяются, тончают и исчезают.
11 так раждаются внезапные зимою морозы погруже-
нием к нам средней Атмосферы. В для того чудным делом
перестаёт сие казаться, что без всякого дыхания ветра
начинается.
Подобный погружения средней Атмосферы в нижнюю
и летом быть должны, в чём склонное к тому расположение
воздуха довольно уверяет. Ибо положим, что воздух, кото-
рый к произведению летом града доволен, на вышине трёх
сот сажен находится, и стужу 50 градусов ниже предела
замерзания в себе имеет, что по всякой справедливости
утверждать можно; в тоже время в нижней Атмосфере
близ земли до 40 пли 50 градусов выше оного предела
воздух согрелся: то будет по моим опытам и исчислению
густость верьхняго воздуха против густости нижняго,
как б против 5; а давлением верьхняго сжать нижней
и стал гуще верьхняго около одной десятой доли. В сем
состоянии, по незыблемым естества законам, верьхней
части Атмосферы должно опуститься в нижпюю, и толь
глубоко погрузиться, поколе перемешавшись с теплым
воздухом в равновесии остановится. Сему восходящаго
п писходящаго воздуха течению толь часто должно при-
ключаться, коль часто тягость вышшей Атмосферы пре-
восходит вес нижвпя, сверьх сего нижней воздух должен
верьхнему встречаться; и с оным сражаться на разной
вышине и разным стремлением, по мере вышины и раз-
ности теплоты и густостн; наконец надлежит сему удобнее
приключаться тогда, когда сильным летним зноем поверьх-
пость земная нагорев, лежащей на себе воздух греет
п расширяет, между тем над облаками превеликая стужа
среднюю часть Атмосферы стисняет».
Ki
ЮТЦЫ ХАРАКТЕРИСТИК А Ие.СЛЕДоВАПИН
||Л 1
Немного далее М. 1>. снова настаивает: «По коль скоро
(Илого теплоты нижней воздух расширится, в реже ста-
нет, холодная и густая часть Атмосферы опускаться в низ
принуждена бывает, и нижняя на ея место в верьх нодъ-
пмается. Сих перемен явления мысленным очам Вашим,
сколько из слова моего попять, и как сами видели, памято-
вать можете, па речах представить кратко как можно
постараюсь.
Когда больший тягости вышшая Атмосфера к низу
опускается; не везде горизонтальною равносппо прости-
раясь осядает, но как разный обстоятельства лучей сол-
нечных, по положению облаков и по неравности земной
поверхности разную редкость в воздухе производит.
II так в тех местах опускается к низу, где в тени горы пли
высокого здания, или густаго облака воздух гуще и тяже-
лее; восходит к веръху оттуду, где наклонением горы
к течению солнца обращенным, или сквозь облачный
отверстия упирающими лучами нагреты. Того ради когда
громовые тучи прежде дождя всходят, тогда пижппя облака
но большей части к верьху и к низу па подобие бугров
выдвигаются, косматые пары к земли простираются,
и запиваются кудрявые вихри, отворяются темный хляби,
и сверьху того выше сих явлений ясное небо мрачною
синевою покрывается. Все спи обстоятельства показы-
вают, что опускаясь часть средней Атмосферы, горючими
парами наполненная, и для того сипим мраком ясность
неба закрывающая, неравным своим погружением в ниж-
няя облака проницает, и сквозь них проходя, сражается
со встречным воздухом» (стр. 22).
Через несколько строчек М. В. снова указывает: «Чем
больше нижняя часть Атмосферы нагревается, тем спо-
собнее верьхняя в ней погружается. Которая меньше
теплоты чувствует, меньше редеет. Сие удобно познать
можно из повышения ртути в Термометре и понижения
в Барометре, снося их между собою...
Когда лучи солнечные посредством тучь пересекаются;
в тени оных воздух прохладиться п жжаться должен.
Того ради надлежало бы ему от краев тени к средине опой
иметь движение. Подобное действие от приращения па-
дающих дождевых капель должно воспоследовать: ибо
5 л чомопооов-осповоположпик постановки вопроса 17
и lamuue пары п водяные капли соединяясь, великое
множество воздуха в себя пожирают. Однако опое дви-
жение воздуха в средину тени едва ли когда случается,
ко больше противное тому от всех Вас примечено почти
всегда быть не сомневаюсь: нбо наступая отягощенные
молниями облака не токмо стремительный дыхания пред
собою посылают, но и мимо проходя, в стороны сильные
ветры испускают, после себя тишину по большей части
оставляя. Откудуж толпкая река воздуху происхождение
свое имеет? Ни отъипуды, как давлением верьхння Атмо-
сферы сжимаясь нижняя, во все стороны расшибается,
и в ту сторону больше всех стремиться, где меньше всех
сопротивления находит» (стр. 24).
Обращаясь к влиянию рельефа местности, М. В. далее
пишет: «... Воздух в гористых местах равновесия почти
никогда по имеет. Ибо он па обращенных к солнцу местах
всплывать, в тени погружаться, и тем самым холодную
п тяжелую верьхней Атмосферы часть удобнее притяги-
вать, движение се ускорять, ...и к земли ближе придви-
гать должен.
По согласию толпкаго множества перемен и явлений
Г>л уповаю, что сия моя Теория стоит не на слабом основании».
Через несколько страниц М. В. возвращается к кон-
хр/векции: «По захождении солнечном нижняя Атмосфера
> '' прохлаждается скорее нежели поверьхность земная, влаж-
ностию прозябающих *) насыщенная. По сему холодной
воздух, прикоснувшись теплой ещё земли, нагревается,
расширяется, легче становится и в верх восходит до толе,
пока прохолодясь, в равновесии остановится» (стр. 39 — 40).
Выступив с этим исчерпывающим объяснением кон-
вективных метеорологических явлений, М. В., разумеется,
не мог не встретить противодействия и возражений.
Поэтому ему пришлось добавочно дать «Изъяснения над-
лежащие к слову о електрических воздушных явлениях»
(стр. 65).
Наиболее существенным и колоритным из них является
первое: «Погружению и восхождению Атмосферы кратко
коснулся господин Франклин в своих письмах, однако
*) Растений. Прим. ред.
- Г. Л. Остроумии
18
ОПЩЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИССЛЕДОВАНИИ
|гл. I
что я в моей Теории о причине елсктрической силы в воз-
духе ему ничего не должен, из следующих явствует.
Во первых о погружении верхняго воздуха я уже мыслил
и разговаривал за несколько лет, Франклиновы письма
увидел в первые, когда уже моя речь была почти готова,
в чем я посылаюсь на своих господ Товарищей. 2. Погру-
жение верхней Атмосферы Франклин положил только
догадкою в нескольких словах. Я свою теорию произвёл
из наступающих внезапно великих морозов, то есть нз
обстоятельств, в Филаделфни, где живет Франклин,
неизвестных. 3. Доказал я выкладкою, что верхней воздух
в нижнем по токмо погрузиться может, по иногда и дол-
жен. 4. Из сего основания истолкованы мною многия явле-
ния с громовою силою бывающий, которых у Франклина
нет и следу.
Все сне не того ради здесь прилагается, чтобы я хотел
себя ему предпочесть, но последовал изволению господ
Товарищей, которые сие к моему оправданию присовоку-
пить мне приговорили» (стр. 65).
Теория М. В. Ломоносова основана на тщательных
и хорошо обработанных опытах.
«JV. Из многократно учинённых, стран. 17, строк. 31.
Опыты для определения разной густостп воздуха в раз-
ных градусах теплоты, при всех протчих обстоятельствах
равных, учинены мною, не упоминая других сосудов,
в манометрических трубках, равной ширины, без шариков.
Хотя разное количество паров распространения пропор-
цию переменяло, однако посредственная нашлась нарочито
правильна. То есть, воздух 50 градусов ниже предела
замерзания, к воздуху, что имеет теплоту при оном пре-
деле, есть в рассуждении пространства как 10 к 11,
но к тому, который состоит в 50 градусах выше предела
замерзания, есть как 10 к 12 или 5 к 6. Для сего четвёр-
тому градусу теплоты выше предела замерзания ответ-
ствует пространство воздуха 554, градусу под преде-
лом замерзания 131-му ответствует пространство возду-
ха 419, Того ради пространство оного к пространству
сего будет как 554 к 419, или почти как 4 к 3. То есть
воздух нижней Атмосферы будет легче верхняго одною
четвёртою долею.
iiOMOIIoCnr, OCIIOBOHOJIO.KJIHK ПОСТАНОВКИ ВОПРОС^ 19
? “ I
\ . Цетолиовачое мною, стран. 18, строк. 8. Кроме
1ли>кения воздуха, что бывает в рудниках, истолкованного
в новых Комелтариях в томе первом, изрядный есть
показатель! тиа восходящего н погружающегося воздуха
в свободной Атмосфере» (стр. 66). Далее М. 15. приводит,
объясняет л иллюстрирует случай суточных ветров на
|>а. иитадском озере в Альпах. Эту ссылку он .закапчивает
словами: «Сверьх сего в жаркие летние дни зыблется
но видимому земная новерьхность, не для другой какой
причины, как от смешения восходящего теплаго воздуха
с погружающимся холодным»*) (стр. 67).
После нового расчёта коэффициента расширения воз-
духа в «изъяснении VI» М. В. приводит в «изъяснении VII»
рисунок, ле оставляющий сомнений в том, что идея кон-
векции им была открыта, усвоена и освещена совершенно
правильно.
В другом своем труде М. В. снова возвращается к кон-
вективным явлениям: «О вольном движении воздуха в руд-
никах примеченном, из первого тома новых коментарпёв,
1763» [1—4]. Он описывает и объясняет здесь два слу-
чая конвекции в рудниках, имеющие место при соблю-
дении следующих условий: во-первых, чтобы рудник
имел два отверстия на дневную поверхность, находящихся
на разных высотах над уровнем моря; во-вторых, чтобы
температура воздуха на воле отличалась от температуры
земных слоёв, прорезанных рудником (см. ниже, гл. 5, § 4).
Приведённые выдержки показывают, что М. В. Ломо-
носов первым в мире тщательно изучил явление тепловой
конвекции в результате многолетних наблюдений, пра-
вильно объяснил это явление, объяснил этим явлением
основные метеорологические явления и приложил немало
труда для популяризации обнаруженных им закономер-
ностей.
Эти обстоятельства налагают на советских физиков
обязанность неустанно продолжать исследования М. В. Ло-
моносова и современными средствами изучать явления
гравитационной конвекции, расширяя круг охватываемых
вопросов.
*) Саг. ниже, i ыну 13.
20 О1ИЦЛЯ XAI’AKTKI’IIOTIJK \ ПОСЛЕДОВ\1П1Я |. 1
§ 3. Внешняя и внутренняя задачи
Среди всевозможных случаев тепловой гравитационной
конвекции наиболее подробному инженерно-техниче-
скому исследованню подвергались случаи, когда нагрева-
тель имеет гораздо меньшие размеры, чем размеры сосуда,
наполненного жидкостью. Изучение этих случаев обусло-
влено преимущественно требованиями практики пароко-
тельных установок. Совокупность этих случаев объеди-
няется общим понятием «внешней задачи тепловой ков
вскипи».
Противоположные случаи, когда размеры нагревателя
пли холодильника сравнимы с размерами сосуда, содер-
жащего жидкость, объединяются общим понятием «вну-
тренней задачи». Из числа этих случаев наиболее подроб-
ному инженерно-техническому исследованию подвергся
случай передачи тепла от одного твёрдого тела к другому
через тонкую прослойку жидкости 11—5, стр. 86], а также
случай передачи тепла от степкп трубы к прогоняемой
внутри неё жидкости |1—5, стр. 87 и след.].
Инженерно-технический характер указанных исследо-
ваний обусловлен той целью, которую они преследуют:
дать итоговую оценку количества тепла, переносимого
конвективным процессом в целом, не вдаваясь в детали
движения частиц жидкости и распределения её темпера-
туры. Источником для этих исследований служит много-
кратный и разносторонний эксперимент, а методом обоб-
щения результатов—метод теории подобия или теории
модели рования.
Наряду с таким инженерно-техническим подходом
к явлениям гравитационной конвекции имеет большое
значение и физико-математический подход if тем же явле-
ниям. При этом детально изучаются гидродинамическая
сторона процесса и распределение температур. Методами
исследования являются как экспериментальные методы,
так п математические приёмы классической гидродинамики.
Из числа экспериментальных методов наибольшее зна-
чение имеют гидродинамические методы регистрации дви-
жения взвешенных в прозрачной жидкости светорассеи-
вающих частиц, а также оптические методы, основаппые
7| ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫБРАННОГО СЛУЧАЯ 21
§ 11
на зависимости показателя преломления прозрачной
;|;идкостп от её плотности (температуры, концентрации).
Значение этих методов определяется тем, что при пра-
вильной постановке опытов пи взвешенные частицы,
ин лучи света по искажают заметно исследуемого явле-
ния. Меньшее значение имеют тепловые методы, примене-
ние которых сопряжено с искажающим поток введением
в жидкость неподвижных термометров (термопар или
гермосопротивлоний).
Математические приёмы классической гидродинамики
представляют собой искусственные приёмы решения слож-
ных гидродинамических уравнений тепловой конвекции.
Из них первым был метод Релея, сводящийся к оты-
сканию решений, периодических в пространстве |1—6].
Этот метод пашёл многочисленных последователей [1-—7],
которые руководились преимущественно стремлением ре-
шить математически некоторые задачи метеорологии.
Известны также некоторые удачные попытки математиче-
ски исследовать вопросы типичной внешней задачи
(например [1—<S|). Трудности, возникающие при матема-
тической трактовке вопроса, приводили к тому, что к реше-
нию этих задач привлекались крупнейшие математики,
для которых специальные технические вопросы были
чужды. Поэтому анализ обычно ограничивался механиче-
ской стороной явления, и лишь в редких случаях вскользь
затрагивал его тепловую сторону.
Таким образом, возникает настоятельная необходи-
мость исследовать: нет ли иного случая точного решения
уравнений тепловой конвекции, а также смежных с ними,
и вытекающих из него методов приближённого решения их.
Само исследование не должно ограничиваться механиче-
ской стороной вопроса, опо должно дать чёткое освещение
п тепловой (или концентрационной) его стороны.
§ Практическое значение выбранного случая
Точное решение уравнений тепловой конвекции воз-
можно получить для случая, который имеет большое
практическое значение. Это случай тепловой конвекции
в цилиндрической вертикальной полости, подогреваемой
22
ОБЩАЯ ХЛРЛКТНГВ1 ГИКА ПОСЛЕДОВ \IHlil
|гл. 1
снизу или сбоку. Практическое значение этого случая
определяется следующими обстоятельствами.
Во-первых, тепло, распространяющееся в земной коре
от пиросферы к дневной поверхности, проходит местами
через полости, содержащие жидкости пли газы. В них
может возникнуть конвективное движение, переносящее
снизу вверх некоторое количество тепла, добавляющееся
к теплу, переносимому молекулярной теплопроводностью.
От формы и интенсивности конвективного движения
зависит распределение температур как внутри полости,
так и в окружающих горных породах. Практически самым
важным случаем такой полости является вертикальная
буровая скважина. Дело в том, что часто о распределения
температур внутри слоёв земной коры геологи заключают
именно по распределению температуры в жидкостях,
заполняющих такие скважины. Между тем, температура
жидкости в скважине в действительности может быть
обусловлена не только температурой окрестных слоёв,
по и конвективным движением в пей. Сознательный и кри-
тический подход к результатам таких измерений уточнит
важнейшие геотермические представления 1.1- 9]
Во-вторы'х, во многих производствах используются
химические процессы в жидкостях в газах, сопряжённые
с изменениями температуры пли концентрации. В произ-
водствах часто используются резервуары, имеющие форму
чанов илп колонок. При некоторых условиях в них могут
самопроизвольно или искусственным путём возбуждаться
конвективные явления. Иногда эти явления желательны,
иногда они являются вредными. Во всяком случае, соз-
нательное управление ими улучшит илп ускорит произ-
водство.
В-третьих, при литье крупных изделий процесс осты-
вания отливки протекает не мгновенно. Охлаждение
расплава через стенки изложницы может вызвать в сплаве
явления тепловой конвекции. Конвекция усложняет про-
цесс охлаждения и затвердевания расплава и может по-
служить причиной желательных или вредных форм уса-
дочных явлений. Сознательное управление' конвективными
процессами открывает путь снижения брака в литье.
Особенностью конвективных процессов здесь является
.. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫБРАННОГО СЛУЧАЯ 23
S Ч
лх устанавливающийся режим. Сюда примыкают также
случаи сезонного замерзания водоёмов (определённых
форм).
В-четвёртых, производственные помещения часто
имеют форму отопляемых и проветриваемых колодцев.
|»опд|п1ионпрованпе воздуха в этих помещениях, прово-
димое и целях профессиональном гигиены, не может быть
правя,и.но осуществлено, если не учесть явлений тепло-
ной и диффузионной конвекции. В предлагаемой книге
случай конвекции в цилиндрическом канале исследуется
физико-математическими методами, причём даются крат-
кие инженерно-технические выводы.
1' . I Л Ji Л 2
ИСХОДНЫЕ > РАВНЕНИИ ГРАВИТАЦИОН1ЮН
КОНВЕКЦИИ
§ 1. Физический смысл различных членов каждого
уравнения
Процессы гравитапиопноп конвекции описываются сле-
дующими уравнениями [2 1]:
v (vV)v = -(/(ре + ^С) J-уДг, (2.1)
9 1 г \“9 = /Д9, (2.2)
C+v - \-C = J)SC, (2.3)
? -(Рг) = 0. (2.4)
Первое из этих уравнении получено из уравнения
Павье Стокса. Физический смысл каждого члена этого
уравнения может быть установлен, если помножить урав-
нение на массу элемента объема («частицы») жидкости
pd". При этом полезло иметь в виду, что в гидродинамике
применяются два метода описания движения жидкости.
В так называемом методе Лагранжа исследуются траекто-
рии различных индивидуальных частиц жидкости в про-
должение всего процесса. В методе Эйлера рассматри-
вается распределение скоростей во всём объёме жидкости
в данное мгновение.
Выражение г имеет смысл ускорения частицы объёма
dr в данной точке пространства п в данпое мгновение.
Условно его можно назвать эйлеровым ускорением.
В связи с тем, что выражение pt'dt входит г. уравнение
ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ЧЛЕНОВ УРЫИЫШП 25
§ и
люто закона Ньютона, этот член j равнения Панье-
Стокса может быть условно назвав ньютоновским.
Выражение [г7] v т U:2 — [г [7v]] представляет в
V(. laiioBiriniieMCH потоке ускорение материальной частицы
мтссы i’d~, движущейся но заданной траектории. Условно
е,(> можно назвать лагранжевым ускорением, Составляю-
щие .' ус2 и [e[yi’]J аналогичны касательному и нор-
мальному ускорениям частицы. Касательная составляю-
щая возникает при неравномерном движении материаль-
ной точки по её траектории. Нормальная составляющая
возникает при движении точки по криволинейной траекто-
рии. Член |r~| г пропадает, в частности, в том случае,
когда все частицы жидкости движутся прямолинейно,
равномерно и по параллельным траекториям. Последнее
требование прибавляется потому, что, например, при
радиальном растекании несжимаемой жидкости от одного
источника движение всех частиц хотя п прямолинейное,
но не равномерное: чем дальше от источника, тем ско-
рость меньше.
В связи с. тем, что выражение c2pdz входит в гидро-
у, 1
динамическое уравнение Бернулли, выражение ту-ya может
быть условно названо бериуллиапской силой.
Вся .левая часть уравнения (2.1) может быть условно
названа инерционной.
Выражение—vpd'z представляет собой силу гидроста-
тического давления. Вё можно условно назвать силой
I lac кал я.
Вели жидкость не везде имеет одинаковую температуру О
и концентрацию примешанных к ней примесей С, то плот-
ность её в разных местах будет разная, а именно р= =
со (1 + рО р рхС). Здесь ро означает плотность раство-
рителя при 0 = 0° и С = 0, 8 означает температурный,
а !3i—концентрационный коэффициент плотности. Таким
образом, выражение
</Po(P° + ₽iC') (2-5)
представляет относительный вес частицы жидкости г/т.
26 ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОЙ КОНВЕКЦИИ [r.,i
Явлений термодиффузни мы здесь нс рассматриваем.
Условно это выражение можно назвать архимедовой
силой. Оно определяет гравитационную природу изучае-
мого явления.
Выражение представляет собой силу вязкого
трения, действующего на частицу с/т. Условно это выра-
жение можно назвать луазейлевой силой.
Из этого разбора видно, что уравнение (2.1) представ-
ляет собой подытоженное выражение ряда э.юмептарпых
общеизвестных физических законов, отнесённых к одному
грамму жидкости и справедливых для любой частицы
жидкости.
Это уравнение не вполне точно в следующих отноше-
ниях.
В действительности плотность жидкости в архимедо-
вой силе выражается сложнее:
I’ - 1 ж) ° Ь 2 жй ° 1 •••+<<;G г У ле5 °
1 Ж) Лр ()р ! 1 I
Из этого выражения в уравнении (2.1) использовано
только первое приближение
Кроме того, имея в виду, что 30, 3j С обычно не велики
но сравнению с единицей, о можно полагать равным рр.
Уравнение теплопроводности (2.2) называется урав-
нением Фурье-Кпрхгофа. Если помножить это уравнение
па [>cd~, то первый член представит собой количество
тепла, расходуемое за секунду времени на нагревание
элемента объёма, второй член—количество тепла, уноси-
мого конвекцией из этого элемента объёма: в правой
части выражение схДО^с/т = кДОс/т представит количе-
ство тепла, притекающего к элементу объёма через тепло-
проводность окружающих частей жидкости. Таким обра-
зом, уравнение (2.2) выражает закон сохранения энергии.
Коэффициент /. называется коэффициентом температу-
ропроводности.
МАТЕМЛТИЧЕСК Ml ХАРАКТЕРИСТИКА
27
§ 4
Уравнение диффузии (2.3) иногда называется уравне-
нием Фика. Оно формально совпадает с уравнением
(2.2) и значение отдельных его членов аналогично значе-
ниям соответствующих членов уравнения (2.2). В иолом
уравнение (2.3) выражает физический закон сохранения
вещества (примесей). Коэффициент I) называется коэффи-
циентом диффузии.
Уравнение (2.4) называется уравнением непрерыв-
ности. Оно также выражает закон сохранения вещества
(основной жидкости растворителя—вместе с приме-
сями).
Уравнения (2.2), (2.3) и (2.4) точно выражают пред-
ставленные ими элементарные физические законы. Урав-
нения (2.1) (2.4) справедливы как для ламинарных
движений жидкости, так и для турбулентных.
§ 2. Математическая характеристика
В уравнениях (2.1)—(2.4) предполагается, что мы
имеем дело с жидкостью, физические свойства, т. е. пара-
метры которой известны. Неизвестными в этих уравне-
ниях считаются: скорость г, давление р, температура б
и концентрация С,—всего четыре функции, из них одна
векторная. Для их определения имеем как раз достаточное
число совместных уравнений, из них одно векторное,
хргумептамп этих функций являются координаты
и время. Уравнения (2.1), (2.2) и (2.3) суть дифференциаль-
ные уравнения в частных производных второго порядка
(через лапласиан 2), уравнение (2.4) имеет первый порядок.
Уравнения (2.11—(2.4) однородны, они нс содержат
свободных членов.
Все эти уравнения являются нелинейными. Нелиней-
ность узнаётся как в структуре самих уравнений, так и в
нелинейных свойствах физических параметров жидкости.
В действительности все параметры жидкости суть
Функции температуры. Обычно наиболее сильна зависи-
мость вязкости v от температуры, а также от концентра-
ции некоторых примесей. Обычно в меньшей степени
параметры жидкости зависят от давления р.
28 ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННО!! КОНВЕНЦИИ [rjj. 2
Нелинейная структур/. уравнений отображена чле-
нами: .лагранжевым в (2.1), конвективными в (2.2)
и (2.3) и всем уравнением (2.4). Вее нелинейные свойства
уравнений (2.1)—(2.4) связаны с их координатными
членами; временные члены v и 0 линейны.
Способов решения нелинейных дифференциальных
уравнений, дающих точное решение путем конечного числа
операций, не известно. Эта трудность л была причиной
того, что физико-математическая сторона явления срав-
нительно мало исследована.
Одной из особенностей нелинейного однородного урав-
нения является то, что если мы отыскали каким-либо
путём два решения такого уравнения, то сумма этих
решений уже не будет решением этого уравнения. Основ-
ной особенностью линейных однородных уравнении
является обратное свойство, отображающее физический
принцип наложения (суперпозиции). Поэтому пока при-
ходится отложить попытки точного решения уравнений
(2.1) (2.4) в их общем и строгом виде.
Приходится, во-первых, ограничиться теми случаями,
когда можно положить, что параметры жидкости либо
вовсе не зависят от температуры и давления, либо зависят
настолько слабо, что общий характер явления этой зави-
симостью не нарушается. Соответствующий приём имеет
смысл параметрической линеаризации уравнений. В этом
с. |учае можно решать задачу для всей установки прибли-
жённо с уточнениями в разных местах аппарата примени-
тельно к получившейся там температуре и давлению.
Вообще это ограничение практически не очень стесни-
тельно (исключение [2—2J).
Во-вторых, необходимо тщательно исследовать те слу-
чаи, когда можно устранить нелинейность из структуры
уравнений, т. с, провести структурную линеариза-
цию их.
Отмеченные трудности решения нелинейных уравне-
ний привели к тому, что уже в 1903 г. [2- 3] уравнение
(2.4) было параметрически линеаризовано: было уста-
новлено, что в пределах основных качеств конвективных
явлений можно полагать ур=О в системе (2.1) (2.4)
везде, кроме архимедовского члена в уравнении (2.1).
м VI КМ VJ ИЧКСИЛН X Ч‘ \H'lГИРШ ТИК А
в (,(il|1II .„им уравнение (2.4)
|_ ((,г) = j, 4- Г• V + pVr = О
превращается в такое:
Гг О.
(2.8)
Как было указано выше, структурная линеаризация
уравнен ня (2.1) осуществляется тогда, когда лагранжево
ускорение равно пулю и траектории частиц жидкости
(«струнки тока») образуют параллельный пучок. Направим
ось z декартовой системы координат параллельно этому
пучку. Тогда
v = г.sr (х, ?/); г-ж=£0; о„ = 0, (2-У)
<>Г,
Oz
= 0.
Ilpir условии структурной линеаризации уравнения
(2.1) уравнения (2.2) и (2.3) могут быть «структурно
линеаризованы», если окажется, что z-e составляющие гра-
диентов температуры и концентрации постоянны, т. е.
dzs ’ dz2
(2.W)
Опыт показывает (см. ниже, главу 10), что это—типичный
случай.
Ввиду того, что большинство опытов было проведено
с тепловой конвекцией, и полагая, что и в производствах
тепловые проблемы являются более важными, чем кон-
центрационные, а также учитывая симметрию темпера-
туры и концентрации в уравнениях, дальнейшее иссле-
дование будет вестись только с учётом температуры.
В случае необходимости по тому же образцу могут быть
исследованы и концентрационные проблемы. Явления
термодпффузиопной конвекции требуют самостоятельного
исследования.
Г Л Л В Л 3
«ОГЛ1 ()ВИЫ Е» (Л ИНЕАРИЗОВАНИЫ Е) > РА Bl IЕИИЯ
ГРАВИТАЦИОННОЙ КОНВЕКЦИИ
§ 1. Вид «основных» уравнении
Приняв во внимание проведённую выше параметри-
ческую и структурную линеаризацию исходных уравне-
Рис. 1. Ориентация осей ко-
ординат.
нпй, а также ограничиваясь
тепловой конвекцией, мы
получаем для установивше-
гося режима следующую си-
стему линейных однородных
уравнений:
0 = -1 . '2р.л_
р dz
+ g cos a[iO J- vAe, (3.1)
°’ у-^ + gsinaPM3-2)
(3.3)
2= °- с3-4)
Здесь учтено соотношение (3.9),
уравнения скалярны, и положено:
в силу чего все эти
ДО
Л.
(3.5)
;\мкч киля о зп хчг.ппн -основных» ур\внг.|нш 31
5 -I
[£,оскость YZ проведена через вектор ускорения силы
,,;|;1{есП1 у, который образует с осью Z угол а (ряс. 1).
Понятно, что уравнения (3.1)- (3.4) описывают только
laMHiiapnoe движение жидкости.
2. Замечания об экспериментальном н математическом
значении «основных» уравнений
Много усилии было затрачено на то, чтобы экспери-
ментально проверить допустимость тех основных пред-
положений, которые послужили к установлению системы
уравнении (3.1)- (3.4) (см. ниже, главы 10 и 13). В резуль-
тате оказалось, что эти предположения действительно
являются типичными для широкого круга эксперимен-
тально воспроизводимых тепловых конвективных явле-
ний. В то же время линейность (и однородность) уравнений
(3.1) (3.4) открывает путь их элементарного решения
в замкнутой форме. Таким образом, в этой системе
уравнений мы находим ключ к подробному физико-мате-
матическому исследованию определённого класса экспе-
риментально воспроизводимых явлений. Поэтому система
(3.1) (3.4), а также её решения и те условия, которые
определяют возникновение этого случая, будут в даль-
нейшем называться «основными».
Этот термин оправдывается егце следующими сообра-
жениями. Степень строгости экспериментальной проверки
.побыхдмвйэетпческих положений никогда не может счи-
таться соверптенпой. В эксперименте всегда будут суще-
ствовать малые отклонения от того идеала, который
описан уравнениями. Можно выделить широкую группу
таких воспроизводимых экспериментально явлений,
в которых идеальная обстановка будет главным и суще-
ственным ядром, а указанные малые явления будут
играть пренебрежимо малую роль. Эта группа и служит
указанным выше доказательством справедливости основ-
ных предположений. Но, кроме того, можно выделить
Другую, ещё более широкую группу явлений, в которых
>гн малые отклонения уже не будут пренебрежимы ввиду
их недостаточной малости. Но их можно математически
32 «ОСНОВНЫЕ» УР\В1|Е1ПШ ГР 1ВНТАЦПОИ. КОНВЕКЦИИ [гл.З
учесть, как нелинейные поправки к решению линеаризо-
ванной системы (3.1) (3.4).
Таким образом, уравнения (3.1) (3.4) играют не
только самостоятельную роль, давая точное jieniemie
задачи об эсперимепталыго воспроизводимых явлениях.
Они играют ещё и очень важную вспомогательную роль,
представляя собой основание для математического реше-
ния не строго линейных задач методом последовательных
приближений (см. ниже, главу 15).
§ 3. Случай вертикального капала
Приняв во внимание, что экспериментальная проверка
случаев, когда sin а не мал, наталкивается на большие
трудности (см. главу 17), положим, что канал вертикален,
ось Z колинсарпа с ускорением силы тяжести с/, угол
Тогда
[</»•] 0; cosa=—1. (3-G)
Положим также пока ^ = 0 (см. дальше, главу 5, § 4).
Тогда скалярные уравнения (3.1) — (3.4) перепишутся так:
— gP0-|~vAy = O, (3-7)
А’-хД6 = 0. (3.8)
Исключив из этих уравнений либо 6, либо v путём
применения к одному из них операции Лапласа, получим
совершенно одинаковые уравнения относительно v или О,
например:
{$ Ли — хуДДу = 0
или
ДАг- Л4г? = 0. (3.9)
Здесь
(3.10)
Операция исключения оказалась возможной в силу
коммутативности операций умножения и образования
лапласиана. Например, при исключении 0 положено;
g₽A0 = A(gB6). (3.11)
ОБРАЗОВАНИЕ СОСТАВЛЯЮЩИХ ГАРМОНИИ. УРАВНЕНИЙ 23
результат не зависит от того, сначала ли мы помножим
функцию координат 0 на постоянное число gp, а потом
образуем от произведения новую функцию — лапласиан
А, или же, наоборот, сначала образуем лапласиан от О,
а потом умножим результат па постоянное число gp.
Уравнение (3.9) представляет собой линейное однородное
неполное бпгармоппческое [3—1, 3 — 2] уравнение с по-
стоянными (в пределах оговорённых предположений)
коэффициентами. Символ АД имеет по определению сле-
дующее значение:
АД?, sz А (Ас) =. div grad div grad v =
= Г(Г(Г (?»)}) = г-д , п } (3.12) == \ ч; = 2 1 <>зл г)х2с>у2 Оу* J
Из (3.7) получим: 0 = -Д«. (3.13)
Если система (3.7) — (3.8) решена относительно 0, то из
(3.8) получим: «.-=-* ДО. (3.14)
§ h. Образование составляющих гармонических
уравнений
Уравнение (3.9) принято решать следующим епмво-
лпзовапным приёмом [3 — 3, стр. 197]. Положим:
0=(Д -Л2)(Д + Л2)о =
= ДДу-А2(До)+ Д(А¥) —А4« = ДДг>-Л4«. (3.15)
В силу свойства коммутативности
кЦЛо) A(Fy). (3.16)
Поэтому многократное равенство (3.15) справедливо. Но
выражения (3.15) только тогда могут быть равны пулю,
если справедливо хотя бы одпо из следующих уравнений:
(А — Л2)?’1 = Дг-1 — =0; До1 = А‘-у1, (3-17)
(Д ф- к2) t>2 =•--Дг>2 + = 0; Дг>2 = — k2v2. (3.18)
г.
Остроумов
34 «ОСНОВНЫЕ» УРАВНЕНИЯ ГРЛВИТЛЦ1ЮП. КОНВЕКЦИИ |гл. 3
Так как уравнение (3.9) линейно (и однородно), то самым
общим решением его будет любая линейная комбинация
решений уравнений (3.17) и (3.18) (удовлетворяющая раз-
бираемым далее граничным условиям), например:
v- Vy , ц2 у(ж,у). (3.19)
Тогда из(3.5)и (3.13)получится: 0 0 (z,у),12, а именно:
О - - Az = Oj 02 = ~ (Аг?! 4- Д«2)
=- (^.-o2). (3.20)
Ввиду того, что уравнения (3.17) п (3.18) каждое
второго порядка, всего в окончательное решение войдёт
четыре произвольные постоянные, определяемые из гра-
ничных условий.
§ 5. Общие свойства решении «основных» уравнений
гравитационной конвекции
Ещё до обсуждения вопроса о граничных условиях
из вида решений (3.19) и (3.20) можно вывести ряд
важных общих следствий.
Рис. 2. Вычисление объёмной скорости
конвекции.
1. Полный объём жидкости, протекающей снизу вверх
в плоскости z=0 сквозь площадку S, ограниченную
ОБЩИЕ СВОЙСТВА РЕШИНПИ
35
контуром L, за время /, равен (рис
\ vt dxdy = t («! + г’г) dx dy =
s s
S L
(3.21)
Здесь использована теорема Остроградского-Грппа, знак
~ означает дифференцирование по нормали к контуру L,
dl означает дифференциал дуги этого контура, знак
означает интеграл но замкнутому контуру.
2. Полный поток тепла, проникающий в силу моле-
кулярной теплопроводности жидкости (а иной —конвек-
тивной — теплопроводности в направлении, перпепдм-
кулярпом к z, нет) через боковую поверхность цилиндра
высотой h с основанием S, ограниченном контуром L, за
время I, равен:
=1 §2h dl=Mi 2 (°* -г °2)dl=
__tkhvk2 С / с/г>1
:~1Г J
—гЛ dl =
On J
= - - V = hp"AV .
Если положить, что движение жидкости направляется
стенками вертикального цилиндрического канала, имею-
щего сечение S, то из последнего равенства видно, что
поток тепла, поступающий из стенок канала в жидкость,
в принятых предположениях пропорционален полному
количеству жидкости, протекающему сквозь сечение ка-
пала. Если в некоторых местах сечения жидкость течёт
вверх, а в других — вниз, то может получиться, что пол-
ное количество протекающей жидкости будет равно нулю
(«замкнутый» канал, чистая естественная конвекция).
В этом случае в некоторых местах периметра стенок ка-
пала тепло может итти от стенок к жидкости, в других —
3*
?,(•) «ОСНОВНЫЕ» УРАВНЕНИЯ ГРАНИТ\ЦПОН. КОНВЕКЦИИ || л. ;;
от жидкости к стоике, по в сумме общий поток тепла
будет также равен пулю. Жидкость при таком естест-
венном конвективном потоке с постоянным градиентом
и постоянной но высоте скважины скоростью (но пере-
менной но сечению) нс нагревает и не охлаждает в целом
стенок скважины.
Если на протяжении некоторого участка канала про-
исходит итоговая передача тепла от жидкости к стенкам
или обратно, то какое-то из принятых предположений
отпадает. Например, может быть, имеет место искусст-
венное прокачивание жидкости сквозь канал и тогда
действительное движение жидкости представляет собой
наложение (суперпозицию) вынужденной и естественной
конвекции (см. дальше, главу 5, § 4). В этом случае,
уравнения (3.1) — (3.4) остаются лилейными. Или, может
оыть, имеется осевой градиент, так что — Ф 0 (т. с. по-
перечные составляющие скорости не пули, ср. (2.9)).
В этом случае линейное описание процесса является за-
ведомо неточным приближением, в некоторых случаях
допустимым (см. ниже, главу 10), в других случаях тре-
бующим существенных поправок (глава 15).
3. Полный поток тепла, уносимый конвекцией кверху
за время I через площадку S в плоскости z = О, опре-
деляется так:
Qt = tit ре 0 dx dy =
's’
сЛ («1 + Оа) (От + 02) dx dy =
*s
= («1 г »2) («1 — »2) dx dy =
1 s
§ $ ^-~v^dxdy.
1 s
(3.23)
= pvcZ
К этому конвективному потоку тепла, конечно, нужно
добавить молекулярный поток тепла
Qzt=-lASt. (3.24)
ФОРМА РЕШЕНИЯ ВИГ ДЕМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
37
§ 6. Форма решения бигармоничсского уравнения
в цилиндрических функциях
Наиболее подробно общее решен не бигармоничсского
уравнения (3.9), (3.15), (3.17) и (3.18) разработано в ци-
линдрических функциях. Положим;
x = rcos<s; y = rsin<p; г2- ж2-} у2; lgcp = -^-. (3.25)
Тогда [3 — 3, стр. 2UU н след.]
л Л, <Э2г>| ц2г, 1 Лд 1 с2с, .Q
+ т“г гтН--------• т• тт — A“yi-(3.26)
о.г2 dy2 dr2 г dr г‘ of2 '
1(сложив
Vj -ии(г) • cos(ns |-Yj), (3.27)
найдём из (3.26):
d2v. 'I dv„ /л2 , /> ои\
-. i -i г ( з ) «о- (3.2Ь)
dr2 г dr \r2 J '
Решением последнего (линейного) уравнения явится лю-
бая цилиндрическая функция Fn (пли линейная комби-
нация из таковых) порядка п от аргумента (ikr), удов-
летворяющая граничным условиям, которые будут рас-
смотрены впоследствии. Тогда решением уравнения (3.26)
будет:
(z7‘z’)l 0s («? + Yi)- (3.29)
п=0
В свете последних преобразований полезно для дальней-
шего следующее упрощённое представление о цилиндри-
ческих функциях: цилиндрическая функция — это такая
функция координат г, для которой операция Д по (3.26)
равноценна умножению па к2. Цилиндрические функции
хорошо табулированы [3 — 4,3 —5,3 —6].
Подбор самих цилиндрических функций и коэффици-
ентов перед ними в линейных комбинациях должен про-
изводиться путём учёта граничных условий.
В отличие от многих других случаев применения ци-
линдрических функций для решения физических задач,
в данном случае все функции, входящие в (3.29), хара1-
38 «ОСНОВНЫЕ» УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОН. КОНВЕКЦИИ |гл. 3
теризуются одинаковым значением параметра к. Оно об-
условлено по (3.1U) некоторыми едиными параметрами
одной и той же жидкости, в которой существует единый
вертикальный градиент температуры А.
По аналогии с уравнениями (3.26), (3.28) и (3.29)
для уравнения (3.18) вместо (3.29) найдём:
оо
«2=2 кг) cos(«® + y2). (3.30)
п О
Приняв во внимание (3.20), найдём для температуры
СО
о — = [Fn(z/tr)ros("? : у,)-
п =0
F„(—Ат) cos (/г^-1 Yz)l- (3.31)
Полезно иметь в виду следующую формулу, допуска-
ющую переход от высших порядков цилиндрических функ-
ций к низшим, особенно хорошо табулированным
(*) = (*) - Fn,2 (х). (3.32)
Из числа этих особенно хорошо табулированных функций
обычно удобно пользоваться функциями Бесселя Jн и
Неймана Л'п.
ГЛАВА 4
СХЕМА ПРОЦЕССА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
О ТЕПЛОВОЙ ГРАВИТАЦИОННОЙ КОНВЕКЦИИ
§ 1. Общие граничные условия
Для всех исследованных тепловых задач, отно-
сящихся к конвекции жидкости внутри цилиндрического
канала, характерны следующие общие граничные условия:
1. Внутри канала сечением S, ограниченного конту-
ром L, вблизи плоскости z=0 скорости и температуры
конечны, непрерывны и однозначны, вместе с необходи-
мым числом производных.
2. Общее количество жидкости V, прогоняемое через
канал, задано. Например, в случае одной свободной кон-
векции оно равно нулю («замкнутый» канал).
3. У стопки канала существует прилипший к ней слой
жидкости, скорость которого равна пулю:
«п=0.
(4.1)
4. Внутри этого прилипшего слоя температура непре-
рывна (не испытывает скачка)
еь = (6,.)ь. 0.2)
5. Внутри прилипшего слоя поток тепла перерывеп
(не происходит ни химической экзотермической или эндо-
термической реакции, пи иного накопления или выделе-
ния тепла):
dn J L
03)
40 СХЕМА ПРОЦЕССА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ |гл. 4
§ 2. Частные граничные условия
К общим граничным условиям в каждом случае необ-
ходимо прибавить частные условия распределения тепла
в массиве, окружающем канал, или в стспке канала,
т. е. сообщить какие-то сведения, касающиеся 0е.
Такие граничные условия обычно подразделяются
па два класса: неоднородные и однородные [4— 1]. Типич-
ными неоднородными условиями в теплопередаче являются
следующие два вида их.
1. Задана температура 6L в .любой точке контура L.
Это простейшее граничное условие, которое непосред-
ственно может быть подставлено в решение (см. ниже (4.7)),
и даёт искомый результат. Эти условия, в свою очередь,
должны удовлетворять исходным условиям: вдоль каждой
образующей (параллельной оси Z) температура должна
меняться ио линейному закону (3.5). Поэтому речь идёт
именно о контуре сечения L, а не о всей поверхности
стенки канала. Если в частных случаях это требование
к граничному условию не будет соблюдено, то поль-
зоваться «основными» линеаризованными уравнениями
для решения этих случаев нельзя, так как соблюдаются
неравенства, см. (2.9),
0, Оу 0.
2. Задан тепловой поток , проникающий из
окружающего массива в жидкость. Это условие также
может быть подставлено в решение и после, более или
менее сложных вычислений даст ответ. Это граничное
условие должно удовлетворять следствию из исходных
условий, а именно формуле (3.22), иначе снова будет
нарушено соотношение (2.9), или явление нс будет стацио-
нарным .
Наиболее типичным однородным граничным условием
является пропорциональность между теплопотоком
и температурой в каждой точке контура L, причём коэффи-
циент пропорциональности меняется от точки к точке
в соответствии со специальными тепловыми свойствами
§ 2]
ЧАСТНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
41
окружающего
контура L:
массива и геометрическими очертаниями
дп
£=/ (0 = /i (очО-
(4.4)
Для того чтобы пользоваться «основными» уравнениями,
необходимо, чтобы соотношение (2.9) было соблюдено,
т. е. чтобы функции /, Д по зависели от координаты z.
Наиболее разработан тот случай, когда тепловые свой-
ства окружающего массива характеризуются следующим
чрезвычайно общим положением: па конечных расстоя-
ниях канала в массиве нет источников или поглотителей
тепла.
А'4 = 0. (4.5)
Этим положением не исключается всякое наличие тепло-
вых явлений в массиве. Например, сама жидкость в канале
обычно служит источником местных тепловых явлений
в окрестности скважины в соответствии с формулой
(3.22). Кроме того, в массиве допустимо существование
потоков тепла, обусловленных наличием «бесконечно»
удалённых источников и поглотителей тепла. Эти источ-
ники и поглотители должны быть удалены от канала
настолько, чтобы обусловленные ими градиенты в массиве
(в отсутствии капала) не зависели заметно от координат
в пепосредствеппых окрестностях канала. В частности,
формула (3.5) представляет отображение одного из таких
распределений теплового поля в массиве.
Применение однородных граничных условий сводит
задачу решения уравнений (3.9), (3.20) и следующих
к задаче о собственных значениях, примеры чего будут
даны в дальнейшем.
В некоторых случаях граничные условия разных клас-
сов и видов могут сочетаться друг с другом. Решение
линейного дифференциального уравнения, удовлетворяю-
щее сразу нескольким граничным условиям, равно сумме
решений, каждое из которых удовлетворяет в отдельности
каждому классу и виду граничных условий. Однако физи-
ческий смысл будут иметь только те решения, которые
соответствуют одним и тем же значениям параметров
42 СХИМА ПРОЦЕССА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ [гл. 4
А и к. Этим признаком исследуемый вопрос отличается
от многочисленных популярных вопросов, связанных
с исследованием как бигармопического уравнения, так
и явлений теплопередачи.
§ 3. Обоснование схемы решения
С учётом граничных условий процесс решения конкрет

X
Рис. 3. Схема решения задачи
о гравитационной тепловой кон-
векции.
к, пишем для каждого из
ной задачи может быть на-
мечен следующим образом.
В массиве в плоскости
z=0 задан контур L (г, 4)
сечения капала скважины
(рис. 3). Разбиваем кон-
тур на элемента dl, центр
каждого элемента имеет
координаты г, <р. Поль-
зуясь выражениями (3.29)
и (3.31), а также общи-
ми и частными граничны-
ми условиями и задаваясь
каким-либо одним значе-
нием Л, соответствующим
элементов такие уравнения:
СО
«Ь==О = 2 lflniAl(^)cos(zi3-+Yn11) l
п -О
+ «пг^п (ikr) cos (ti'i + y„12) +
+ l>niJn (— hr) cos (n'i 4 Yn2i) +
+ bn2Nn( — Ar)cos(7?T>4-Yil22)], 06)
= '4- 2 0'*1(/Ar)COri 0? + Ь1 *> +
n 0
+ all2Nn (ikr) cos (w-p 4- y„ 12) —
— bnA J n ( - kr) cos 0? 4- Yn2i) -
- b,l2 Nn( - kr) cos (/is + Y«22)l, (z‘ •?)
/4U4 — . dr 1 f>0 . Л /4 m
\ an J L X di' dll 1 в f du )1. ’ ' *
§ 4J
ПУТЬ РЕШЕНИЯ
43
Если граничные условия неоднородны, то левые части
уравнений (4.7) и (4.8) заданы. Если же граничные
условия однородны, в частности, если справедливо (4.5),
то взамен уравнений (4.7), (4.8) (или вдобавок к ним,
если граничные условия смешанные) необходимо решить
внешнюю задачу (4.5). Решением этой внешней задачи
будут в цилиндрических координатах (3.25) выражения
вида
6С = Л2 + Е1Пд +
СО
+ 2 I Y«i) l-«‘n27-ncos(/z? + Y„2)].
n-1
(4.9)
I ’оль выражения Е In Е будет обсуждена в дальнейшем
(глава 5, § 4); пока полагаем, что 7? = 0.
Таким образом, получается система комплектов урав-
нений (4.6) —(4.9) относительно неизвестных постоянных
^//1» ^'П21 • • - 1 ^//1» • • • • Oil» /1'2» • • /
а также у„ь у„2, -. • , 7„ц, Y»i2> • • •
Число комплектов этих уравнений равно числу элементов
<11, па которые разбит контур сечения L.
Если окажется, что эти уравнения совместны, то
выбранное значение к пригодно, в противном случае нужно
выбрать новое значение к, т. е. градиента температуры
А, п повторить операцию решения уравнений заново.
Принципиально говоря, даже бесконечно большое
число элементов контура L может быть обработано с
конечной степенью точности для каждого значения пара-
метра к конечным числом математических операций [4 — 2].
Поэтому существование решения в любом случае не
должно вызывать сомнений.
§ 4. Путь решения
Однако вообще решение по приведённой схеме весьма
трудоёмко. Поэтому исключительное значение имеют
такие общие соображения, которые позволят, во-первых,
выделить типичные случаи, при которых число уравнений
44 СХЕМА ПРОЦЕССА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ [гл. 4
существенно сократится, во-вторых, которые могут послу-
жить путеводителями, делающими исследование смеж-
ных с ними вариантов излишним или существенно облег-
чающими это исследование. Важнейшим из этих общих
соображений являются соображения симметрии. Грубо
говоря, эти соображения побуждают, во-первых, ра-
ционально (центральным образом) полагать начало
координат, во-вторых, так направлять пулевой азимут,
чтобы ио возможности устранить азимутальные поправки
Yп11 > Yn12»- • •
Дальше даются примеры применения этих соображе-
нии.
ГЛАВА 5
УСТАНОВИВШАЯСЯ КОНВЕКЦИЯ В ВЕРТИКАЛЬ-
НОМ КАНАЛЕ КРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ
§ 1. Диаметральная антисимметрия свободного
конвективного потока
При канале круглого сечения па основании (3.19),
(3.29), (З.ЗО) и общего граничного условия 1 удобно
писать:
Г Л, (/Аг)
L Л, ('АТ?)
Л (Ат) 1
Л (АТ?) |
.7, ('Аг)
(/АТ?)
_Т.(Аг) ]
Т, (1:В) ]
COS Ф I-
_.М'Ат)_Л(Аг) /I
,72 (ТТ?) Т2 (AT?) J С°-
Удобство этого выражения состоит в том, что граничное
условие 3 (4.1) автоматически выполняется на стенке
капала при г = Н. В этом выражении отсутствуют функ-
ции Неймана в силу граничного условия 1, так как эти
функции уходят в бесконечность в начале координат
при г —>0. Направление плоскости XZ, от которой отсчи-
тывается азимутальный угол ф, по соображениям сим-
метрии выбирается параллельным внешнему градиенту.
В качестве частных граничных условий положим, как
в (4.5),
= =-В. (5.2)
dz \ дх /оо 4 ' -
Они расшифровываются по (4.9) следующим образом:
0е = Az-]- ( — Br + y') cos 9. (5.3)
46 УСТАНОВИВШАЯСЯ КОП1ПСКЦ. В ВШИГИКАЛЬП. КАНАЛЕ ||Л. 5
Здесь В означает неизвестный пока коэффициент. По (4.7)
п (5.1) для температуры внутри канала получим:
г ...
1 L Ji RkR) r
cos 2<p + ... |
J о (ikr) J„(kr) 1
J0(ikR) ~^J0(kR) j
Л (ikr) J2(kr)
Если в (5.1) ещё можно вставить функции Неймана
так, чтобы они, взаимно компенсируясь, нс дали беско-
нечности при г—>0, то в связи с переменой знака в по
слсдпсм уравнении они обязательно дадут бесконечность
при г—>0. Именно поэтому коэффициент при этих функ-
циях в решении (5.1) должен тождественно равняться
пулю, т. е. эти функции должны быть исключены из
решения.
В соответствии с общими граничными условиями (4.2)
(5.4), получим
0 = Лг + -н
+7НЙ)]СО8<р+У21^
(5.4)
n (4.3), а также сопоставив (5.3) и
для r — R:
О, — 0о = +
0+cos<p = (0)r й; 0o = (0)r,c.
х^Им^-ТЯгЧ
Л (Ы)
кН
.Ц(кНГ~
'"е \
= 0.
l-0 — —
Исключив коэффициент D из (5.5) и (5.6), получим:
(5-6)
(5-7)
Xv k2Vi
или
BRX
'г?;, Г ikRJ0(ikR) . kR Jo (kR) 9 1
L JRikB) + Ji(kR)
= BR |-J = 2B/?—2^
(5-8)
ikR JQ (ikR) । kR (kR) 1 1 i 4 1. zr q\
2Jj (ikR) + ДХ, (kR) 1 J +1 j (°’ '
Из этого уравнения видно, что в разбираемом слу-
чае ламинарное движение жидкости (выражаемое через

Sj 1 | ДИАМЕТРАЛЬНАЯ АНТИСИММЕТРИЯ СВОБОДНОГО ПОТОКА 47
его «амплитуду» цх) однозначно определяется следующими
условиями: параметрами жидкости п теплопроводностью
окружающего массива ле, диаметром канала скважины 2/?,
а также режимом её эксплуатации — поперечным гради-
ентом В и продольным градиентом А (через параметр к).
В связи с таким движением жидкости опа будет пере-
носить путём конвекции снизу вверх такое количество
тепла, которое определяется выражением (3.23). Если
расшифровать его применительно к данному конкретному
случаю, то получится:
J ।
(ikR)
( J, (кг) pi „ . .
— -r /, г < cos2 ф r ar aw =
L J, (kR) J j r
«Р evrj ( Г kRJu (ikR) y r kRJ„ (kR) 1 a
ll >JA'kR) J 1 L A(*R) J H
(5.10)
Г kRJt, (ikR) kRJ„(JkR)l 1
LiJt (ikR) ~ Ji(kR) J j
Исключив С] из (5.9)п (5.10), можно получить уравнения,
которые позволяют выразить это тепло непосредственно
через параметры жидкости и теплопроводность массива,
через диаметр скважины и через режим её эксплуатации.
Это исключение даёт:
к' /',Н^) = с(^г): (5И)
J /ke X. е у
+ = H (5Л2)
Здесь первый множитель левой части определяется
радиусом канала, второй — параметрами жидкости, третий
связывает поперечный градиент температуры В с коли-
чеством транспортируемого конвекцией тепла Q. В пра-
вой части мы имеем линейную функцию от отношения
теплопроводности жидкости к к теплопроводности мас-
сива к„ причём коэффициенты этой функции /'\(с) и F2(£)
определяются через безразмерный параметр продольным
48 установившаяся конвекц. в вертикалы!. канале [гд. 5
градиентом температур так (3.10):
£4 = (йй)*=^ . Л R*. (5.13)
В таблице I даны значения функций
1 J I ^<> № I2 1 I 1а
I L -г'Л(^) J 1 1 Л (?) J
2£2
91 и„ (>о , (о "I и/2’
“ L -U1 ОЧГ Л (5) J J
Р,(0-4л(Ц- [gfg»+^-2
й(Т£)=Л<Е)+£'ме);
(5.14)
Замечательно, что на значительном протяжении около
5 = 0 зависимость Fit F2, В, II от весьма близка
к линейной.
Анализируя проделанные вычисления, можно уста-
новить, что разобранный случай соответствовал смешан-
ным частным граничным условиям. В выражении (5.5)
слагаемое BR представляет неоднородную часть этих
1) ‘ г>
условии, слагаемое — однородную их часть. В связи
в этим обстоятельством коэффициент D исключился
из дальнейших выражений, коэффициент В определил
окончательный результат вычислений.
Поэтому представляет особый интерес исследовать
чисто однородный случай, когда В —0. Тогда из (5.9)
видно, что выражение в фигурных скобках приобретает
смысл фундаментального уравнения для определения
«собственных значений» аргумента kR—i:
t Г (^) I 1о бз) "I______о ( 1 Л
(5.15)
ди ХМБТВА. |Ы1 кН ШТШчПШЕТГПП СВОБОДНО! <> ПОТОКА
49
Г \ Остроумов
*) Таблица вычислена студентом Л курса фпзпко-математического факультета т. Земсдорф.
50 УСТАНОВИВШАЯСЯ КОНВЕКЦ. В ВЕРТИКАЛЫ!. КАНАЛЕ [гл. 5
Т а б л и ц а II
г кп 7.е 7.
2,86.) (1 67,4
2,9 0.07 70,7
1,0 0.31 81,0
I. 1 0.(12 92.4
1,2 1,02 104.9
1,3 1,59 118.6
1,4 2,43 133.6
>, 3.78 150,0
1.(1 (1,27 168.0
1,7 12,5 187,4
1,8 5,8,4 208,5
4.8317 о 215,8
ски говоря, произволен,
ве 10, § 5.
1 !еобходпмо обратить
внимание на то, что
амплитуда скорости г\
определяется в этом
случае количеством пе-
ренос в мого конвекцией
тепла, т. с. уравнением
(5.10), а не уравнением
(5.9), из которого она
выпадает вследствие
(5.15). Таким образом,
в пределах линеаризо-
ванной трактовки мо-
жет показаться, что ис-
следуемая форма кон-
вективного потока мо-
жет перенести с низу
вверх произвольно боль-
шие количества тепла. В
скоростях движения жидкости мы обязаны ожидать ка-
Значение kR 0, т. е. А О,
при условии Б 0 соответ-
ствует условию полной нзо-
тормнн я в установившихся
процессах не отражает коп
вективпого движения жидко
стп.
Собственные значения 3
из трансцендентного уравпе
ння (5.15) зависят от отно-
шения теплопроводностей
жидкости и окружающего
массива так, как это ото-
бражено в таблице IJ п на
рис. 4.
Азимут <р из вычислении
в этом случае совершенно
выпадает: он, математиче-
Эксперимент описан и г.та-
Рис. 4. Зависимость конвективного
критерия от относительной тепло-
проводности окружающего массива.
действительности при больших
$ 2j КРНТИРЙАЛЫЮЕ ЗНАЧЕНИЕ КОИВЕКТ. ПАРАМЕТРА 51
них-то явлений, похожих на турбулизацию. В связи
е этим линей пая трактовка станет недостаточной: в дей-
ствительности как скорости ламинарного потока, так и
количества переносимого конвекцией тепла ограничены
(глава 10, § 3).
§ 2. Критериальное значение конвективного
параметра
Из структуры параметра вытекает его критериаль-
ное значение в смысле теории подобия:
ГГ Ч Л 'J
W ", 4-Gr-l’r. (5.1В)
Критерии Грассхофа Gr и Прандт.тя 1’т именно в этом
сочетании (произведение) являются обычными критериями
теории подобия, когда речь идёт о передаче тепла
<>ш твёрдых тел к жидкостям пли обратно. В таких
случаях это произведение играет роль аргумента, а крп
серий Пуссельта функции |5 I].
В данном случае критерий Пуссельта в собственном
смысле пуль, так как итоговой передачи тепла от стенки
капала к жидкости нет, тепло передаётся конвекцией
от одной части жидкости к другой снизу вверх. В этой
теплопередаче можно приписать некоторое значение кри-
терию Пуссельта, в частности назвав этим критерием
отношение тепла, передаваемого от. нижележащей
жидкости к вышележащей конвекцией плюс молеку-
1ярпой теплопроводностью, к теплу,передаваемому только
молекулярной теплопроводностью по (3.23) п (3.24),
1 также (5.10)
\Н- I :-g. (5.17)
Однако, поскольку в линейной трактовке «амплитуда»
скорости Vt получается произвольной, а вместе с ней
и значение Q произвольное, постольку Nn** по (5.17)
становится неопределённым.
G другой стороны, критерий £4 приобретает так-
же особый, а именно двоякий смысл. Это, во-первых,
УсТАПО11|1ВН1 MICH I.Onr.I.h’H, l’> BIl'TIIKX.ilbll. KXIIX.IK |1VJ ,'|
критерий устойчивости жидкости, во-вторых, это одновре-
менно it критерии устойчивости движения жидкости.
Подробнее об этом будет сказано в главе И>, § 1,3. Вряд
.hi известны другие примеры такого совпадения в одном
численном значении различных содержании этого кри-
терия.
В отсутствии продольного градиента, при .1 О, т. е.
ври е о, поперечный градиент температуры В одно-
значно определяет количество тепла, переносимого коп
векцией снизу вверх. Положив и выражениях (•>.!)
и (5.4) £• о, получим:
Здесь г>ц представ.зяет новую - предельную «амплитуду»
процесса. Количество переносимого тепла определяется
выраженном (3.23):
И
Q =IjC > l)rdrd<p р-“-р ^Л- (о.19)
« о ' т+г;
Обращает па себя внимание, что движение жидкости
в этом случае во многом напоминает пуазей.левекий слу-
чай, а распределение температур такое же, как оно было
бы в твёрдом теле.
Разобранный здесь случаи диаметрально антисиммет-
ричен около осн У как в отношении скоростей, так
н в отношении температур, как это видно из уравне-
ний (5.1), (5.4) и (5.7). Поэтому и полный объём проте-
кающей жидкости К, а вместе с. ним и итоговый тепло-
обмен жидкости со стенками скважины согласно (3.22)
равен пулю — скважина «замкнута», — мы имеем дело
исключительно со свободной конвекцией.
Ы'ИТЕГП У.1Ы1ОЕ 311 УЧЕНИЕ КОНВЕЗ.Т, II \ I’AM ETi’A
Для примера па pm . •> изображено распределение
скоростей, температур и теллопотоков в круглом канале
Рис. .1. Распределение конвектпиных скоростей с,
температур 0 и теилонотокон у но диаметру'
вертикального канала круговою сечения. Тетю
и роводноеть .массива равна теплопроводности
жидкости.
для случая / в зависимости от расстояния до осн
канала, т. е. в меридиональном сечении, ,'hninn темпе
Рве. 6. Изолинии равных скоростей, темпера-
тур и теилонотокон но сечению вертикального
канала. Теп юпроводпость массива равна тепло
ироводиостп жидкости.
ратур продолжена в массиве за пределы капала. Па рис. (>
показано распределение тех же величин в виде изо.inmiii
54 Установившаяся вовлеки, в вертикалы]. канале [гл. 5
в плоскости z = 0, причём изотермы снова продолжены
в массив. На jure. 7 приведены те <кс кривые, что
н па ])ис. 5, по в более крупном произвольном масштабе.
Рис. 7. Распределение скоростей и темпе-
ратур по радиусу вертикального канала
круглого сечения. Теплопроводность мас-
сива бесконечно мала, равна или бесконеч-
но велика по сравнению с теплопровод-
ностью жидкости.
§ 3. Учёт тепловой роли стенок трубки
Итог параграф составлен по материалам работы
В. В. Славнова.
Если изучаемое явление наблюдается в канале, высвер-
ленном не в сплошном массиве, а в трубке, вмонтиро-
ванной в массив, то значение /ч„ входящее в формулу (5-6)
§ :Ч
УЧЕТ ТЕПЛОВОЙ 1’0.111 СТЕПОК ТРУБКИ
55
и ДР- будет зависеть как от теплопроводностей материала
трубки kj н массива л2> так и от радиусов трубки —внут-
реннего R п наружного /?,, а также и от градиента тем-
пературы в массиве В>. Найдём, какому эквивалентному
значению теплопроводности будет соответствовать
теплопроводность трубки, а также, каково эквивалент-
ное значение градиента В.
Приняв во внимание, что для случая трубки ни в пей,
пн в окружающем массиве не предполагаются источники
тепла
ДО, Д02 ДО,, I), (5.20)
найдём, аналогично (5.3):
Oj Г ) со.ч? 4- Az, I
4 ' У (5.21)
0., - ( - В„г + соя? + Az, J
Температуры внутри трубки Qj и вне её и2 сопрягаются
друг с другом па внешней границе трубки при радиусе
без скачков температуры и теплового потока:
. ( н J / R dX №
/-1 Q - Bt - -=к.2 Q - В2- -щ) .
На внутренней поверхности трубки температура её
материала сопрягается с температурой жидкости так,
как если бы канал был высверлен в сплошном массиве
с. теплопроводностью причём температуры в нём
должны быть 0 :
» BR + r^ ,
h. п.
( в. Й) - ( В да)
Таким образом, получается система из четырёх со-
вместных уравнений, связывающих следующие одпнна-
56 УСТЛ1ЮВПВПГЛЯСЯ КОПВЕКЦ. в ВЕРТИКАЛЬИ. КАНАЛЕ [гл. 5
дцать величии:
В Вл В2
D Di ID
Aj )~2
В Hi
Из них заданы В, ВА, i.)t } 2, /?2; пеизвес‘тнымп являются
В и ,.е. Таким образом, может показаться, что иехва
тает четырёх уравнении для исключения л и иг и их не
известных Вл, D, Dlt 1)2- Однако структура уравнении
(5.22) п (5.23) такова, что можно обойтись и без этих
исключений.
Действительно,
жеппе j , а из
исключив из уравнений (5.22) выра
уравнений (5.23)- выражение ,
получим соответственно:
/Л('1 Ч) О) -2/.JT, 0, )
I) } (5-24)
#1('чЛ а.) /{21(а Al) 0. J
Исключив теперь из последних уравнений выражение
0-2 —л1) (\>-Aj), получим:
(5.25)
Какие бы значения ни приписывать величине Bv, урав-
нение (5.25) останется справедливым, если положить:
(/., Z.j) (Ке-—/.,) (А1+лг)(л2-—А,)
В* Щ —
__7?А(. (X2 X]) /?2л2 (А„ — ?.,)
---------------------7fl --0. (0.26)
§ /j] СУПЕРПОЗИЦИЯ ВЫНУЖДЕН. II СВОБОД!!. КОНВЕКЦИИ 57
Отсюда подучаются окончательные выражения:
Пользуясь .этими уравнениями, можно опыты, произ-
ведённые в трубках, сопоставлять с теорией, разработай
iioii для Канада в сплошном однородном массиве. Паном
пн.м, что здесь идёт речь о диаметрально антисимметричной
конвекции.
§ 1. Суперпозиция вынужденной п свободной
тепловой конвекции
В противовес ранее наложенному случаю, разберём
теперь случаи, когда сквозь незамкнутый капал жидкость
прокачивается посторонним насосом. В этом случае
мы вправе ожидать наложения (суперпозиции) выну-
жденной и свободной конвекции. Тогда в уравнении (3.1)
существенную роль пачппает играть давление, созда-
ваемое насосом, 11 для вертикального канала вместо (3.7)
придётся написать-
+ 0. (5.28)
Уравнение (3.8) сохраняется:
Яг- 7.50; (5.29)
Исключив из этих уравнении г-, получим:
<г 4 1 1 f) j)
ДАО Л±Зи-= - . (5.30)
)то неполное бнгармоническое уравнение, линейное
в принять!\ предположениях, по неоднородное: оно имеет
58 УсТЛПоВПВШ MICH liODBEIill В ВЕГТПКЛ. 1Ы1 KA1J V'lJS [гл. 5
правую часть. Руководствуясь обычными правилами,
ищем сначала решение однородного уравнения, ио виду
совпадающего с уравнением (3.9):
ДД0„ -Л*0„ 0. (5-31)
Имея в виду, что для вертикальной скважины соблю
<Ч’ <Ч>
дается условие , , I») получим, по аналогии
' <)х <4/ ' ’
с (3.19) и в соответствии с (3.20), а также опираясь
на обычные правила решения неоднородных уравнений,
( Ледующне условия:
VM о 0„ ; 0о- (5.32)
( >| С юда
р (5.33)
В последнем равенстве при интегрировании положено,
что давление, обусловленное действием насоса, иссякает
как раз в плоскости z —о. или, иначе, что плоскость
XF проведена как раз через то сечение канала скважины,
откуда ведётся начало счёта давлений.
Сопоставляя этот результат с ранее разобранным
случаем, замечаем, что никаких новых членов в решения
уравнений этот случаи нс вносит.
Вынужденная прокачка жидкости сказывается не через
давление и не через новые члены в решениях, а только
через учёт того тепла, которое прокачиваемая жидкость
итоговым образом отдаёт стенкам скважины, и через
объёмную скорость прокачиваемой жидкости согласно
уравнению (3.22). В частности, пуазейлевскпй случай
соответствует Л—>0, к—>0 в он получится, если в сле-
дующих формулах воспользоваться разложением в ряд
бесселевых функций с учётом только двух первых членов:
Jo (и)и^1) —> I — ~ и2. (5.34)
*) Ввиду того, что все векторы в уравнении (3.1) колвнеарны
Sj 4] СУПЕРПОЗИЦИИ ВЫНУЖДЕН. И СВОБОД]!. КОНВЕНЦИИ 59
Воспользовавшись уравнениями (5.32) и (3.14), а также
(3.10), получим решение в том же виде, что и раньше,
а именно:
>'о
1 A (ikr)
I A RkB)
МА/) ] I „ Г J' </АТ1_ £1 (Аг) 1 <„„
А(*«)1 Чаа**) a (*r) г
О .1з
Г J2(ikr) J2(kr) 1 2
1 2 I J, (/AR) J., (kR) J
I r I •{" (, Ar) _> J" 1 I
A'1 I ° L AGAR) ' J„(AR) J b
(5.35)
?’з
Г .1, (ikr) Jl (Ar) ~j r
L J, ('AR) 1 J, (kR) J
(ikr) , J2(kr) ’ .
(MR) 1 J2(kR). ] “,S"V J
(5.36)
В качестве частных граничных условий, которые теперь
уточняются, используется выражение (4.У):
(>е = Л? ; ( -- »г+“) i-oss 1НЛо- (5-37)
На основании общих граничных условий (4.2) и (4.3)
напишем;
Or =i.Az + 2 —• ((.’о + Ут cos о -J- d2 cos 2's -j-
= —BR |-~^coss -6
(5.38)
г
J
ЬА-3 ( riJ, (ikR) J,(AR)1 Г Jn(ikR)
g> I ° LJ^ikR) ‘ J0(kR) J 1 ”61L /AGAR) 1
c,,s? :[ ( c- -") "'л+;; i. <5.39)
Исключив отсюда D, получим снова уравнение (5.8),
вместо (5.7) останется только ?-2 —0. Кроме того, ока-
жется:
/. 0^ Г ,J, (ikR) u J, (AR) Л E
4 - LAG^ ^uG^)J 7i‘
(5.40)
(5,11)
60 Уст\повпвшлясн конвг.кц. в вмгтикл.п.п. к гимн-: |Г!|. 5
Полный объём жидкости, прокачиваемой снизу вверх
сквозь канал скважины, по (3.21) и (5. 'i 1)вычщ-лптся так:
2^rvlt2
kR
/.
''< (ikR)
./„ (77.77)
./„(<//1 ./„(Ат) ] ,
./,.67.77) ./„(А/?)]
.7 НА-77; 1 И
•Л, (A/7) J ?c.f
(3./.2)
Па основании (3.22) определяется физическиii смысл
величины F из
-2-/.,./(Л' Qx. (3.43)
а именно, эта величина в некотором масштабе равна
тепловому потоку, проникающему из стенки капала
в жидкость на протяжении I см высоты канала. Таким
образом, устанавливается связь между Qi, В и Л, т. с. к.
Член, содержащий с(|, списывает как свободную, так
и вынужденную часть конвективного потока, но он равен
нулю при отсутствии вынужденной конвекции. Явление,
описываемое этим членом, имеет строгую осевую сим-
метрию .
В отсутствии поперечного градиента В — 0 либо
гу = О, либо справедливы соображения, приведшие
к (5.15). Член, содержащий гу, описывает только сво-
бодную часть конвективного процесса.
Необходимо снова подчеркнуть, что величина kR
во всех -членах уравнения (5.35), (5.36) и т. п. имеет одно
и то лее значение.
В качестве примера па рис. 8 приведены результаты
вычисления нескольких случаев при условии отсутствия
горизонтального градиента су - О: В =0. По осп абсцисс
отложено значение Г в произвольном масштабе, по осп
ординат—параметр (кВ)1, пропорциональный вертикаль-
ному градиенту I. Ла чертеже отмечено несколько точек
в этих координатах и рядом изображены соответствующие
< ',] СУПЕРПОЗИЦИЯ ВЫНУЖДЕН. п <’ВОГ,ОДН. КОНВЕНЦИИ g|
рас предо, юн ня скоростей (сплошные кривые) и темпера-
тур (пунктир) ио диаметру капала. Ла каждом чертеже
Гис. 8. Суперпозиция вынужденном и свободной теп-
ловой конвекции в вертикальном канале круглого
сечения. Распределение скоростей и температур по
диаметру канала для разных сочетаний величины вер-
тикального градиента температур п величины объём-
ном скорости вынужденного движения жидкости. Осе-
вая симметрия.
приведена равноценная пуазейленская парабола. Коорди-
наты выбранных точек и некоторые цифровые данные
к этому рисунку приведены в таблицах III, IV и V.
62 У< ТАНОВИВШАОСН KO1IBEK11. В ВЕРТИКАЛЕН. КАПЛЛЁ [гл. 5
Г а блица HI
1 -V точек рис. <8 kll\ - (кП)' 1‘ е ж и м
днпжрппй температур
свобод ПОР нЫНуЖ донное
1 4. (И 1 4 452,1 0 Пет Нет Вверху теплее
2 5,00 4,0i) 1 625,0 4 256,0 4-5 4 5 | Kiti. 1 Вверху и у стенок
.3,00 4 .81 0 I ТРП.1РС
Вверх Температура но
о 1 5 1 Id длине н сечеппini
трубы постоянна
« з.оо 81,0 -1 5 ] 1 Вверху и у стенок
7 8 4.00 4,(ill 2.?6,0 — 452, 1 4-2 0 < Есть Нет J холоднее
9 5,00 - 625.0 1 J Вниз Вверху холоднее
Т а б л и ц а 1V
7с I 4,Gil; (7.7?)4 - 452.1; а 0,179: Гц произвольный масштаб
Г R V а gfs/PO V,, Г В Г
0,000 19.79 4 408 0.520 4-0,943 18
0,04.3 19,51 404 0,564 - 0,84 62
0.087 18,98 392 0.607 —2,38 103
0,130 18,03 380 0.651 - 3,63 138
0, 173 16,82 .344 0.694 4.56 169
0.217 15,27 310 O.7.17 5,11 194
0,260 13,46 277 0,781 5,27 - 212
0,30-4 11, 48 22л 0,824 5,05 227
0.347 9,39 178 0.867 4.42 -236
0,384 7,70 129 0.910 - 3.40 240
0.434 5,02 78 0,954 1.97 242
0,477 + 2,92 29 0,9976 - 1,17 ') *2
1,00 0,00 -242
§ /,] СУПЕРПОЗИЦИЯ ИЫПУкКДЕП. И l-РОГ,ИДИ КОНВЕКЦИИ 63
Т а б и и ц а V
г г a "ill 'll r (?>R2J
н I'm 'H'tn rm J rm
(U{) 625 {kR)i 625
0,1) 14,8 336 0,0124 166
0,2 11,4 280 0. 177 162
0,4 3 52 78 0,60 122
0,6 3,36 , 108 1,28 42
0,8 4.80 4 174 1.48 435
1 .0 0,(к> l 132 0,00 1040
(AR)4 256 (AR,4 - 256
0,00 i .50 1 (2 0,68 12,1
0,25 »), 7з 81,0 0,86 9,1
0,50 2,20 21,8 1 ,25 14.2
0,75 0,64 - 50.0 1,32 23,7
0,95 0,485 - 85,0 — —
1 ,00 0.00 92.0 0,00 - 55.8
(AR) 4 81 (AR)4 4 SI
0,0 2.89 23,2 | 1.42 1,45
0,33 2,28 17,2 1.45 1.71
0,67 0,945 2 5 1,07 -ill, 35
0,933 0,100 10,0 — - -
1,00 0,000 12.8 0,00 t 25,1
(>'i Уст\iioniiuui MK'ii j<i»nr-i,i;ii в вг.гттп;ллi.n, к\п\.п.
§5. Применение цилиндрических функций
or комплексного аргумента для случаев, когда
в верхней части вертикального канала температура
выше, чем в нижней
При вычислениях приходится встречаться со случаем,
когда .1 больше или меньше пуля, так что (АЛ)4 получает
положительный пли отрицательный знак, Вычисления
производятся при помощи тех же таблиц бесселевых
функции [й 2|, принимая во внимание следующие об-
стоятельства. В (л.1) ц далее величины ±ikl{, -^кН
являются корнями характеристического уравнения (3.10)
{кР.у (5.44)
для дифференциального \ равнения (3.9). Если обозпа
МИТЬ
;АЛ4 , z л _
(5.45)
то соответствующие корня его будут:
^isr : ± I г' км I /
\ ' ’ г z = 'r^= 1Л
I - I -
Поэтому в (5.1) и т. д. нужно вместо J„(ikr) те-
верь писать Jo (|/г Лг), вместо ,/0(Az) нужно писать
Л(/ — г Az) 11 т. д. При этом полезно помнить, что
/,Г(/-Иг) J„(|/7Az); J*(| -/Zz) .7,(1 г Az).
(5.47)
Здесь звёздочкой отмечено сопряжённое значение ком
плексной величины. Тогда в выражения, подобные
(5.1) п т. д. пойдут члены вида
J„ (/ i кг) J„ (Г^? Ат) .7* (/ />г) J„ (/ VZ /,т)
J„() Z/;«) ,/„(Г^7А7?) 7Z(/ pzZ7?) JZ1(/' | 7AT?)
r ./„(< lzjAr) 1 * J„ (i l£, At) 5
1 r ZA7?) J ./„(/ I 7a«) ' V’’ "J
§ 5] ПРИМЕНЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 65
В частности, при п — 0:
Г J„(i 1'7 Ar) I * _ J„ (i /7 Ar) =
L Jv (i V'i kR) J Jn (i Vi kR)
,,. her (Ar) • bei (kR) — bei (kr) her (kR) ?c /q\
ЦГег (kli)p + (bei (AT?)Ja ' P•4УJ
Аналогично в выражения, подобные (5.4) и т. п.,
войдут члены:
f Г Л, (/ I 1кг) 1 * L (£ /7 Ar) 1
I L ./,>(/ )'i AT?) I 1 J„(i ) 7 AT?) J
ber (kr) • ber (kli) i -bei (A-) bei <kll) .
[b<-l- (ArtJ- T |ln i '
Таким образом, ныражеипя для скоростей и температур
получаются вещественные только в том случае, если
приписать условным «амплитудам» скорости г->и смысл
чисто мнимых величин.
Здесь символами Ьет и bei обозначены цплиндри
чсскпе функции Томсона.
Эти формулы и были использованы при составлении
рисунков и некоторых таблиц предыдущего параграфа.
Г. А. Остроумов
ГЛАВА С>
НЕСТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМ
ГРАВИТАЦИОННОЙ ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ
В ВЕРТИКАЛЬНОМ КАНАЛЕ КРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ
§ 1. Общие замечания
Представим себе массив, в котором высверлен верти-
кальный цилиндрический канал и создан определённый
градиент температуры, характеризуемый на бесконеч-
ности вертикальной составляющей Л и горизонтальной
составляющей -В по (5.2). В этот канал внезапно попа-
дает нагретая (плп охлаждённая) жидкость. Так как
стенки капала оказываются относительно жидкости хо-
лоднее (плп теплее), то при известных условиях в
жидкости может возникнуть тепловая конвекция. Она будет
переносить тепло снизу вверх и тем самым дополнительно
перераспределять температуру. Если дело идёт об отливке,
вылитой в холодную форму (изложницу), то такое пере-
распределение может повлиять па развёртывание про-
цесса затвердевания расплава. Самый процесс затверде-
вания, связанный с выделением теплоты плавления, рас-
сматривать не будем. Ограничимся также случаем, когда
В = 0.
§ 2. Периодизация процесса охлаждения
не затвердевшей отливки
Для облегчения дальнейших вычислений предлагается
следующая периодизация процесса, которая, вероятно,
является типичной. Однако возможны и другие типичные
процессы, требующие своей периодизации.
ПЕРИОДИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА ОХЛАЖДЕНИЯ
67
§ 2]
Первой стадией процесса будет процесс заполнения
канала скважины сильно турбулизованиой жидкостью,
которая, соприкасаясь с холодными стенками канала,
одновременно охлаждается. Ввиду сильной турбулизации
не теплового происхождения сё аффективные тепло-
и температуропроводность будут гораздо выше табличных
(молекулярных). Поэтому такая жидкость в тепловом
отношении будет представлять аналог весьма теплопро-
водного твёрдого тела, остывающего после внезапного
теплового импульса, сообщённого па осп цилиндрической
системы координат. Такой тепловой процесс хорошо изу-
чен (см. ниже). В нём решающее значение имеет увели-
ченный турбулизацией коэффициент температуропровод-
ности жидкости. Особенно простые соотношения полу-
чаются тогда, когда форма, куда выливается жидкость,
ие составляет бесконечно протяжённого однородного тела,
а может считаться тонкостенным сосудом, более или
менее теплоизолированным от бесконечного резервуара
постоян iгоiг температуры.
В целом первая стадия характеризуется тем, что в про-
должении её бурные механические нетепловыс процессы
исключили возможность возникновения более пли менее
обрисованного конвективного теплового движения. Про-
должительность первой стадии определяется продол-
жительностью затухания турбу.тп.зовапного движения
жидкости, а также обратной величиной температуропро-
водности жидкости.
Вторая стадия наступает тогда, когда турбулпзованное
движение в основном закопчено, а тепловое конвективное
движение зарождается и развивается в рамках той теп-
ловой картины, которая сложилась в продолжение пер-
вой стадии. Однако перенос этой конвекцией тепла ешё
не велик, и никакого существенного перераспределения
температур за это время по создалось. Продолжительность
второй стадии определяется величиной кинематической
вязкости "жидкости, т. е. соотношением между силами
инерцпоншыми и вязкостными.
Наконец, силы инерции в конвективном движении
сходят практически на нет. Устанавливается некоторое
более плп менее устойчивое тепловое конвективное дви-
5*
68
ЙЕСТАШ10НАРН. РЕЖИМ В ВЕРТИКАЛЕН. КАНАЛЕ [гл. 6
женис. Оно постепенно затухает вместе с затуханием тех
температурных разностей, которые его порождают. В свя-
зи с этим конвективная упорядоченная передача тепла
перераспределяет температуру: в верхней части делается
теплее, чем в нижней. Перераспределение идёт медленно
по сравнению со скоростью охлаждения жидкости в од-
ном сечении. Ото—третья, и последняя, стадия процесса.
Характер третьем стадии зависит от того среднего по сече-
нию распределения температур, которое сложилось к на-
чалу этой стадия. Возможно, что в течение третьей стадии
характер процесса будет медленно изменяться в резуль-
тате процесса переноса тепла вверх. Кроме того, характер
третьей стадии, конечно, зависит и от абсолютной ско-
рости охлаждения, т. е. от интенсивности отсоса тепла от
жидкости стенками скважины. В этом отношении цолесо
образно исследовать два варианта: быстрый (точнее, пре-
дельно быстрый) и медленный.
§ 3. Первая стадия. Заливка формы сильно
турбулизованпой горячей жидкостью
В случае бесконечной протяжённости окружающего мас-
сива тепловой процесс в нём описывается па близких рас-
стояниях от капала скважины и в начальные моменты
процесса такой функцией расстояния и времени [6- I,
б 2, б —3]:
0е1 = ; г < A; I < ~ . (6.1)
е1 4кхе1 ’ ’ 4х„ ' '
Вели бы канал был бесконечен, т. е. если бы интересую-
щие пас расстояния г были бы всегда гораздо меньше
высоты канала h, то эта формула была бы весьма точ-
ной. Если же высота канала Л не велика по сравнению
с темп расстояниями, на которых температура пграет ещё
какую-то существенную роль, то па расстояниях, боль-
ших чем /г, канал в бесконечном массиве уподобится
точке. Тогда имеют место соотношения:
О-
е •
(4^хД)‘!/2
(6-2)
1 >
4х,
§ 3] ПЕРВАЯ СТАДИЯ—ЗАЛИВКА ФОРМЫ 69
В связи с тем, что цилиндрическое поле распределе-
ния температур (6.1) переходит в сферическое (6.2) при-
близительно в момент времени
то и вблизи скважины около времени Н ход температуры
(6.1) будет постепенно изменяться и в пределе перейдёт
в (6.2)?
В этих формулах Q представляет теплосодержание
жидкости, налитой в скважину,
/9 — к7?2Лрс (Од—0ех). (6-4)
Здесь 6д — начальная температура жидкости, 6ех,—
средняя температура стенок скважины- и массива.
Процесс охлаждения на каждом расстоянии /- характери-
зуется своим специфическим временем — формулы (6.1)
и (6.2) —
*=•£• М
Тепловое поведение жидкости внутри скважины вряд ли
может быть точно описано математическими формулами
на первой стадии процесса. Приближённо можно пред-
положить, что оно описывается формулой (6.1). Это опи-
сание будет достаточно точным для тех моментов t, когда
В2 , . . , И- ~
т. е. по истечении характеристического времени охлажде-
пня ла стенке скважины (/—/?).
Здесь под буквой х нужно понимать усиленную тур
булизациеп теплопроводность жидкости. Разложив пока-
зательную функцию в (6.1) в ряд, можно написать:
Таким образом, распределение температуры внутри
жидкости стремится к параболическому закону. Высота
70
11ЕСТЛЦИОНАРН. РЕЖИМ В ВЕРТИКАЛЫ!. КАНАДЕ [ГЛ. (>
соответствующего параболоида постепенно убывает со вре-
менем по гиперболическому закону. Вдобавок и вся
температура вначале убывает по гиперболическому закону:
е-«ят[* №)*]• <6-8’
Впоследствии вся температура убывает со временем по
закону степени — 3/2, аналогично (6,2).
Если жидкость вылита в канал теплоизолированной
трубы, то уравнением, описывающим процесс её охлажде-
ния, будет (2.2) при г -0. Граничные условия однородны:
(М А /<• о\
—и-- w
Здесь 11 означает «приведённую» толщину теплоизоляции.
Ввиду того, что уравнение (2.2) теперь стало линейным
и однородным, п ввиду однородности граничных условий
задаёмся показательной зависимостью температуры от
времени. Для этого переписываем (2.2) так:
Д6 = -1б. (6.W)
Решение его подобно (3.26) таково:
Оно уточняется граничными условиями (6.9), которые
принимают следующий конкретный вид:
ПЕРВАЯ С'ТАДПЯ-ЗДЛПВКЛ ФОРМЫ
71
Крайними значениями входящего сюда безразмерного
параметра будут:
при // —> со ; |/ »О.
при Н—> 0; /0 ^7?) —>0; (6.13)
Z 2,405; 5,520; ..
В последнем, наименее благоприятном случае показатель
быстро возрастает с номером члена суммы (6.11), Напри-
мер,
‘7? = (|74§)S'71==5’2571, (6Л4)
Поэтому в выражении (6.11) второй член будет убывать
гораздо быстрее первого. В частности, тогда, когда нер-
- 1
вып член убавится до — первоначальной величины, вто-
рой член убавится до е-а’25 своей первоначальной
величины. Тем меньшее значение будут иметь следую-
щие члены выражения (6.11). Поэтому используем только
первое слагаемое суммы (6.11) п напишем:
» - »,/’ Л f ') - »"«’' [1 ©’] •
(6.15)
Сопоставляя это выражение с (6.8), узнаем и здесь
в скобках квадратичный член, а перед скобками — зави-
симость от времени. Однако в отличие от (6.8) форма
параболоида теперь нс изменяется со временем, а времен-
ная зависимость здесь более сильная, чем в (6.8),—
показательная. *
Продолжительность первой стадии в случае тепло-
изолированной трубы грубо может быть оценена по тому
признаку, чтобы к моменту её окончания все члены (6.11),
- 1
начиная со второго, были меньше — своей первоначаль-
72
ПЕСТЛЦПОНЛВП. РЕЖИМ В ВЕРТИКАЛЫ!. КАНАЛЕ
[гл. 6
нои величины. Этот признак- определяет продолжитель-
ность первой стадии в наименее благоприятном случае
так:
I И" П2
ч\ х (5,25)2 27J5z
(6.16)
Обычно же она будет короче. Аналогия выражений
в квадратных скобках в (6.7), (6.8) и (6.15) позволит
приближённо полагать для расчётов:
е 1 Jо {кН).
(6.17)
В этом случае продолжительность первой стадии оце-
нится по формуле (6.6).
Все приведённые рассуждения показывают, что соот-
ветствующие формулы описывают исключительно зату-
хающие процессы < 0.
Таким образом, к концу первой стадии распределе-
ние температур по радиусу канала всегда получается
близким к параболическому.
§ 4. Вторая стадия. Развитие свободного
конвективного движения
Вторая стадия в условиях ламинарного движения
жидкости описывается уравнениями, в которых параметры
жидкости соответствуют их стационарным — молекуляр-
ным (табличным) — значениям. Ввиду того, что к концу
первой стадии во всех случаях распределение темпера-
тур по сечению канала одно и то же — приблизительно
параболическое, для определения максимальной длитель-
ности второй стадии необходима обработка только одного
уравнения
у = -у • Ij-gge-l-vAu. (6 18)
Вторая стадия охватывает устанавливающийся режим
движения, описываемого этим уравнением. Длительность
этого режима, вообще говоря, обусловлена пе темп си-
лами (gp6), которые его вызывают, а свойствами жидко-
§ 4] ВТОРАЯ СТАДИЯ-РАЗВИТИЕ СВОБОДНОГО ДВИЖЕНИЯ
73
стп (v) п формой её течения. Поэтому полагаем:
v = (u-j-nj eql; |
<7h0=vA«.0. f
(6.19)
Здесь и отображает влияние градиента давления, а и0
представляет решение однородного уравнения, подоб-
кого (6.10):
- (6.20)
Решение уточняется граничными условиями: нали-
чием прилипшего слои и замкнутостью полости сква-
жины. Первое условие даёт:
(6.21)
Второе условие даёт:
(6.22)
Отсюда, исключив отношение —, получим:
и.
2 //?/,,(///?) = . (6.23)
По соображениям, аналогичным тем, которые разоб-
раны в связи с уравнением (6.15) и смежными, пред-
ставляет интерес наименьший (кроме 7 = 0) корень этого
трансцендентного уравнения. Вычисления дают его зна-
чения:
j Г — </ ту г .26,49v I Ji2 ...
J/—7? = a,U7; 7 = /))2 , I (6~J)
Ввиду того, что у большинства жидкостей— = Рг боль-
ше единицы, длительность второй стадии меньше дли-
тельности первой (6.16) '
(6.25)
74 UECTAJUllOllABll. РЕЖИМ В ВЕРТИКАЛЬ И. КАНАЛЕ [1Л. 6
§ 5. Третья стадия. Охлаждение жидкости при наличии
конвекции
Б ы с т р ы ii в а р и а н т
Третья стадия характеризуется параллельным зату-
ханием как тепловых, так и гидродинамических явле-
ний. Обозначив общий показатель затухания через q,
вместо (2.1) и (2.2) напишем:
qv — -'g[iO +
qO -|- At' 7.Д0.
Движение жидкости предполагается ламинарным.
В этих выражениях учтены соображения, связанные
с выводом формулы (5.33), а также формул (3.7), (3.8),
поэтому член с давлением опущен. Исключив из них 6,
получим последовательно:
° = (6-26)
y(vAy — qv) -|-=х (vAAo — q&o); (6.27)
<Ue-j(4+4)to-:-^t»=O. (6.28)
Это — полное би гармоп п чес кое однородное уравнение.
Будем его решать расширенным символизованным приё-
мом, пояснённым при выводе уравнения (3.19). Положим:
(Д А|) (Д j- А|) V = ДДо -I- (А* ; Af) д« 4- A* kf v = 0;'
Сопоставив (6.28) с (6.29), находим после умножения
Ад, к., на В:
х\У --- (А, ВУ , (к,Ву ~ - qB* 0 +1) J
В этих уравнениях х и у означают безразмерные
вспомогательные переменные (а не пространственные
(6.30)
§ 5|
ТРЕТЬЯ СТАДИЯ—ОХЛ ВЕДЕНИЕ
75
координаты). Полагая по очереди q = const, A- const,
мы получим па плоскости ху две системы изолинии.
Можно доказать*), что изолинии 7—const представляют
равноотстоящие параллельные прямые, а изолинии
Л — const — семейство гипербол, отнесённых к асимптотам:
(6.31)
Эти изолинии начерчены па рас. 9 и 1<). В ;>тцх коордн
Рис. 9. Изолинии равных показателей зату-
хания на плоскости вспомогательных коордн
нат—равноотстоящие прямые.
патах изолиния q (), проходящая в чётных квадрантах,
соответствует ранее разобранному случаю установивших-
ся процессов. Для дальнейшей обработки уравнений
*) Эта работа выполнена в 1947 г. К). Кирчемкппым с при-
менением правил аналитической геометрии. Он же доказал с пол-
ной строгостью, что приведённые преобразования являются необ
ходимым и однозначным следствием основного предположения
о том, что скорости параллельны образующим канала.
76
ИЕС'ГАЦИОНЛРН. РЕЖИМ В ВЕРТИКАЛЫ!. КАНАЛЕ [ГЛ. 6
примем все общие граничные условия, а в качестве
частных используем однородные условия (6.9) и требо-
вание (6.22) о «замкнутости» полости скважины.
Рис. 10. Изолинии равных вертикальных градиентов тем
пературы на плоскости вспомогательных координат—два
семейства гипербол, отнесённых к асимптотам.
Тогда решение уравнений (6.29), (6.26) аналогично
(5.1), (5.4) запишется так:
Г А (А.г) _ Л .
0 I ВД Jtl (k.,R) J ’
(6.32)
(6.33)
3 5]
ТРЕТЬЯ СТАДИЯ-ОХЛАЖДЕНИЕ
77
Требование о «замкнутости» полости запишется так:
н R
U = о г dr = г01 $ А (Л1И г dr —
о и
П
/ 0
» ] kJU^k^i) k2RJn(k2K)j v 1
Это уравнение устанавливает определённую снизь между
вспомогательными координатами ху, которая изображена
на рис. 11. Но смыслу
несообразно рассмат-
ривать только такие
формы конвективных
потоков охлаждае-
мой жидкости, когда
сечение трубы разби
вается не больше чем
па две зоны: в цент-
ральной круговой зо-
не жидкость движет-
ся вверх, в перифе-
рической кольцевой
жидкость движется
вниз. Это сообра-
жение ограничивает
кривую точкой с ко-
ординатами
изучаемых ламинарных процессов це-
Рис. 11. Изолиния замкнутости капала
на плоскости вспомогательных' коор-
динат—трансцендентная кривая.
у — (2,405)2
я = (5,520)2
5,8;
30.
(6.35)
По своему количественному выражению этот вариант
соответствует большим значениям разности х — у или
неустойчивому градиенту температуры (в нижней части
78
ПЕСТАЦИОНАГП. РЕЖИМ В ВЕРТИКАЛЕЙ. КАНАЛЕ [гл. 6
теплее). Он может Сыть реализован только при катастро-
фически быстрых охлаждениях модели. Аналогичный
случай для диаметрально антисимметричных движений
жидкости разобран в друюм месте [6 /i|.
М е д л е и и ы и в а р п а и т
Наряду с
в практике и
быстрым вариантом может
медленный вариант, когда в
встретиться
силу вялого
охлаждения скорость охлаждения О можно па большом
Промежутке времени считать небольшой и притом постоян-
ной. Соответствующие уравнения будут иметь вид
0 1 !lfl vJr; 1 ;> г/з 1 1 1 J (6.3(5)
о 1 -.1г /АО. ] 1
Определив из первого уравнения 0 и подставив во кто-
рос\ полупим:
о .1?- ад?-. (6.37)
1 |ОЛО',КН в
и г О. - , • (6.33)
замечаем, что здесь г0 представляет известное решение
однородного уравнения (3.9). Решение необходимо уточ-
нить посредством граничных условий, выражающих на-
личие прилипшего слоя и замкнутость канала. Оконча-
тельно получим:
Г 7,7? 1
-7 [у, (Л7?)--Д(|(А7?) | J0(,Ar)
Г Л I Jn(ikR) J у (kR) 7 iJ, (ikR) Jo (kR) +
[ ,.Ц (ДЙ) + ^7,(/М) 1 J(l(kr) 1
+ J=_______ z____________1__________1 } ((j 39)
J,, (ikR) J, (kR) ' iJ, (ikR)Je (kR) J ’ v 1
Отсюда и п.з (6.36) может быть определена и темпера-
тура 0. К этим выражениям вполне приложимы сообра-
жения о комплексных значениях параметра к, которые
получаются, если вверху будет теплее, чем внизу (глава
§ 5]
ТРЕТЬЯ СТАДИЯ—ОХЛАЖДЕНИЕ
79
5, § 5). Вследствие переноса тепла конвекцией снизу
вверх это почти обязательно случится.
Ограничимся случаем, когда по высоте модели тем-
пература ещё практически постоянна, Л О. Тогда из
(6.36) найдём:
ДО := ® ; 0 = 0о- О, (/ )2; 0. = -5' • ((i /|())
Уравнение Навье-Стокса приобретёт вид
- (6Л|)
С учётом прилипшего слоя и замкнутости капала реше-
ние его окажется таким:
Чй’+з®-]-
Этот конвективный процесс переносит снизу вверх такое
количество тепла, которое покрывает теплопотери верх-
них слоёв. Толщина того слоя А, теплопотери кото-
рого восполняются конвекцией, получается равной
А. = 1 - • • (Ь.'|3)
vxa 2304 ' '
Если эта толщина порядка радиуса капала или боль-
ше его, то конвекция может заметно задержать остыла
пис верхней части отливки по сравнению с нижней.
Учёт этого обстоятельства позволит сознательно управ-
лять усадочными явлениями [6—5) и снизить брак в литье.
Понятно, что в полости, содержащей жидкость, при
периодических нагреваниях и охлаждениях её возникает
явление гравитационно-термического детектирования —
возникает вертикальный градиент температуры, причём
в верхней части температура выше, чем в нпжпеп.
Дело в том, что при каждом полунпкле— охлаждении
или нагревании —происходит конвекция, которая пере-
несёт снизу вверх определённую порцию тепла. Накопле-
ние таких порций и создаёт эффект детектирования.
Г Л А В A 7
КОНВЕКЦИЯ В НАКЛОППОП ЩЕЛИ КАК ПРИЛИЛ’
КОНВЕКЦИИ В КАНАЛЕ НЕ КРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ
§ 1. Упрощение «основного» бпгармонпчсского
уравнения
Эта глава составлена но материалам работы Г. И. Гук.
В качестве примера теоретического изучения ламп
парного конвективного явления
Рис. 12. Расположение осей коорди
пат и составляющих температурного
градиепта для наклонной щели.
2R—общая ширина (просвет) щели.
в канале не круглого
сечения разберём теп-
ловую конвекцию в бес-
конечной наклонней ще-
ли, заполнений жидко-
стью и ограниченной
полубескопеч ними твёр-
дыми массивами с пло-
скими параллельными
границами. В окружа
ютах массивах создан
бесконечно удал ёниым 11
теп ловыми и с точилкам 11
постоянный темпера-
турный градиент с со-
ставляющими : парал-
лельно щели .1 и нор-
мально к щели—Я.
Обстановка иллюстрируется рисунком 12. Вектор ускоре-
ния силы тяжести лежит в
плоскости yz.
В- Д&с=0;
f*S <)у 1
дА _ дА _8А SB дБ дП _
д.г ду дг дх ду dz ' .
(7.1)
УПРОЩЕНИЕ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ
81
Предполагается, что составляющей градиента темпе-
ратуры вдоль оси х нет во внешнем массиве. Из соображе-
нии симметрии надо полагать, что её не будет и внутри
жидкости. Поэтому и составляющей скорости вдоль этой
осп не будет:
у-е = 0; ''° 0; 0. (7.2)
дх Ох ' '
В этих условиях в ламинарном режиме, видимо, воз-
можен *) конвективный поток с одной только составля
ющей скоростп вдоль осн z:
dv г\
v — v • -х-=0,
* ox
^ = 0
Oz
(7-3)
Тогда уравнения гравитационной тепловой
приобретут для стационарного режима вид
уравнений:
конвекции
линейных
о 1 rip , • О , d~r
0 = — — • 4 ем cos я V-
р dz О| 1 dy2
, №0
V-1 - у
(7-4)
По аналогии с предыдущим будем считать параметры
жидкости постоянными, т. е. допустим параметрическую
пгнеарйзацпю этих структурно линеаризованных урав-
нений.
Воспользовавшись результатами главы 5, § 4, где
разбирался случай суперпозиции свободной и выну-
жденной конвекции, выберем начало счёта z в том сечении
где ^| = 0. Ограничимся случаем, когда внешний насос,
прокачивающий жидкость сквозь щель, отсутствует, так
чго имеет место только свободная конвекция, и скважина
«замкнута». По аналогии с разобранным в главе 5,
§ I более сложным цилиндрическим случаем получим:
g-pcoya dys ’ (7-j)
*) Ясно, однако, что это не единстиегнюе решение и при
каких-то, ие сформулированных пока условиях оно может перейти
и в другие, например в ячеистое бейароиское (см. ниже, гл. 13,
вклейка XX).
б Г А. Остроумов
82
КОНВЕКЦИИ В НЧКЛОПНОЙ ШЕЛЛ
|гл. 7
пли
A.4 = _^^e.osa
Ю/4 ’ ,7. ' '
Это обыкновенное линейное однородное дпффереп
цпальпос ) равнение четвёртого порядка легко решается
элементарной показательной подстановкой. После весьма
простых, хотя н довольно громоздких вычислений через
три топометрические и гиперболические функции от вс
шественного илп комплексного аргумента решение при-
водится с учётом общих граничных условий к двум ка
чсственно различным решениям в зависимости от знака
параметра А4.
§ 2. Случай, когда температура в нижней чаетп выше
1:! этом случае имеют место условия:
/.*>0:
[sh кц sin ку “I
J1 кН ~ si n кН J ’
_ У I sli ку k sin kj/_ 1
g js cos a ] [ sh кН 1 sill кН J
Ila границе у стенки щели
кого потока (ср. выше обгцпе
ва 4, § 1, стр. 39) даёт:
отсутствие скачка тепло
граничные условия, гла
Отсюда
\sh/A,
(7.*)
-А:|Г|
<5 cos я
ch кН
shkH
cos кН )
sin кН ]
, К

Разность температур па обеих границах щели («перепад
температуры») получится равной:
0. - 0 - -4 (7.1(1)
gficosa '
Общин тепловой поток вдоль щели снизу вверх на
участке шириной Д’:
2^1
г>гчк
£0 COS я
sh 2кН sin 2кН ")
(shA-7?)2 1 (sin/^yj
§ 31 СЛУЧАИ, КОГДА ТЕМПЕР АТ. В ВЕРХНЕЙ ЧАСТИ ВЫШЕ 83
§ 3. Случай, когда температура в верхней части выше
Теперь А4 < 0. Положим
| А | = \/ 2т.
Те же расчёты, что н выше, дают:
[cos ту • sh ту sin ту • ch ту "1
cos mR sh mil sin mR ch mil ] ’
vA2 Г cos my • sh my sin my ch my
J —— < I — ~ | — —--- ----—
g^cosa L< c>s;»/? sh/zt/i sin mR • AimR
Перепад температуры па ширине щели даёт:
(7.12)
(7.13)
Поперечный тепловой поток через квадратный санти-
метр
2l.vm-' f cos mH ch mR — sin mR sh mR
g icosa ' 1 [ sin mR • sh mR
. sin mR • sh mR + cos mR • eh mR T
Г" sin mR • eh mR J
= [<'>h + ctg 2mR] = kcB. (7.15)
Продольный тепловой поток вдоль щели снизу вверх
выражается более сложными функциями.
Промежуточный случай, когда А 0, решается яле-
ментарно. Из второго уравнения (7.1) получим:
первого уравнения (7.4) получаем: 1
d2V ! cBg? COS a
rly2 dv Av cos 7. 'Ji 4^2+fc); (у3 + ЗЬг/ + с). (7.17)
dy V = Av i.fBgs cos 7. >
6/.V -
6*
84
КОНВЕНЦИЯ В НАКЛОННОЙ ЩЕЛИ
[Г.71. 7
Приняв во внимание наличие прилипшего слоя
(у)±п==0 и ограничившись антисимметричным случаем,
исключим произвольные постоянные интегрирования
Ъ и с; тогда получим:
J У [ 1 Y1 I •
(,-д L \r) j j ’ ,71S)
о = -^х ас в)2 д
< 4.1 ' < ' kw
§ 4. Заключительные замечания
Во всех трёх разобранных вариантах, пользуясь
результатами, полученными с круглыми сечениями, мы
рассматривали только антисимметричные условия.
В первых двух случаях мы имеем группы из трёх
совместных трансцендентных уравнений, которые связы-
вали между собой следующие пять параметров конвектив-
ного процесса: «амплитуду» скорости г-,, поперечный
градиент температуры в массиве—В пли поперечный
ноток тепла—/~еВ, перепад температуры на ширине щели
0 +—0_ и продольный градиент температуры А (через к и т).
Таким образом, для определённости задачи должны быть
заданы два из этих параметров. Кроме того, должны быть,
конечно, известны параметры жидкости, теплопровод-
ность массива ).с и ширина щели 2R. По примеру преж-
него надо полагать, что единственным решенпем, отобра-
жающим действительный физический процесс, может
быть то, которое соответствует наименьшему корню kR
этих уравнений, имеющих (в силу их трансцендентности)
бесконечно болт пюе число корней.
Для промежуточного случая получаются более про-
стые соотношения.
Г. 1 л в л
ВОДА КАК ОБЪЕКТ ЭКСПЕРИМЕНТА. 1Ы1Ы.Х
ИССЛЕДОВАНИИ
§ 1. Тепловые п конвективные параметры воды
Среди всевозможных 'жидкостей вода (Н3О) по своей
распространённости занимает пскл.очнте тыте место.
Гис. 13. Температурная зависимость кон-
вективного параметра воды.
Поэтому она может служить как объектом действитель-
ных производственных процессов, так и веществом для
Sii вод» i;\i; i>r>bi:i.i':>iiciir.rii.\i. исследовании [и <s
I
I
Воздух 20 — 157-!.O-3 «,0000603 0,722 ' 0.00O282

НИТЕГЛОЛИЦ. ФОРМУЛА ДЛЯ 1ПГ1ЕРВ 1 к 11-40 11
модельного экспериментального исследования. Нос юднее
применение стимулируется тем обстоятельством, что вода
имеет ряд особенностей. Отметим здесь очень большую
теплоёмкость воды я аномалию теплового расширения
в интервале от 0 до 4°Ц. Поэтому вода заслуживает
первого места в перечне жидкостей, могущих (.тужить
объектами исследований.
В таблице VI приведена выборка табличных данных
для воды в интервале от О до 100 Ц и для некоторых
других жидкостей. В столбце 8 приведён вычисленный
но этим данным «конвективный параметр» , входящий
во многие из приведённых выше формул. На ]шс. 13
изображена температурная зависимость некоторых пара-
метров воды в интервале 0 — 100' Ц.
Предварительные опыты показали, что водопроводная
вода нс сильно отличается от дистиллированной по ве-
g 3
личине параметра .
§ 2. Интерполяционная формула для интервала
0-40е Ц
В целях облегчения расчётов, связанных с примене-
нием конвективного параметра в промежуточных точках,
не попавших в последнюю таблицу, вычислена интерпо-
ляционная формула*) для интервала 0 40°Ц. Формула
представляет уравнение кривой, весьма точно проходя-
щей через точки, отмеченные в таблице VI в этом ин-
тервале температур (интерполяционная формула Ла-
гранжа):
= 100 ( - 20,5 I- 5,022 0 - 0,0070 О2 Ч 0,00763 О3 -
0,1100059 О4 0,0006013 О5) -- . (8.1)
’ ’ 1 (м3гpa'J ' '
=) Эту работу выполнил Н. М. Лувье.
88 ВОДА КАК ОБЪЕКТ ЭКСПЕРТШ. ИССЛЕДОВАНИИ [гл. 8
§ 3. Стандартная конвективная кривая и интерполя-
ционная формула для интервала 0 40 Ц
Как указывалось выше (рос.4), условием существо-
вания стационарного ламинарного конвективного движе-
ния в вертикальной скважине являются уравнения типа
(5.15) (в отсутствии горизонтального градиента) пли (7.9):
Е* (W S (8-2)
Отсюда следует:
S-- (м
Поэтому
е
о
Эта формула даёт распределение средних по сечению
температур вдоль длинной скважины при наличии в ней
стационарного ламинарного конвективного процесса.
Начало счёта вертикальных расстоянии положено в том
сечении, где температура равна 0 Ц. Интегрирование
в соответствии с нптсриоляцпонной формулой (8.1) даёт:
я = 100 {- - 20,5 0 4 2,511 О2 - 0,0023 63 J-
4-0,00191 64 -0,000012б3 -0,0000002О6} слг3. (8.5)
Эта формула справедлива от 0е до 40° Ц. Она даёт
стандартный закон распределения средней по сечению
температуры в скважине при ламинарной конвекции,
причём оказывается, что детали обстановки — радиус
скважины Л и относительная теплопроводность массива
(через функцию Е4)— влияет только на масштаб верти
калъных расстояний z, но не па вид кривой.
В таблице VII приведены координаты некоторых точек
этой стандартной кривой.
Стандартная конвективная кривая является уточне-
нием того приближённого основного предположения, что
вертикальный градиент температуры постоянен, как еле-
§ 3] КРИВАЯ И ИНТЕРПОЛ. ФОРМУЛА ДЛЯ ППТЕРВ. 0-40 Ц 89
дуст из формулы (2.10). В действительности это по-
стоянство справедливо при наличии ламинарной конвек-
ции только на
скважины, на котором тем-
пература, а с нею п пара-
метры жидкости остаются
постоянными. Стандартная
конвективная кривая пред-
ставляет собой тот действи-
тельный закон распределе-
ния температур, который
упрощён до линейного пу-
тём параметрической линеа-
ризации в основных уравне-
ниях (3.1) -(3.4) п следую-
щих.
Полезно отметит!., что чем
шире скважина, гем круп
протяжении столь короткого участка
Таблица VII
('.таи дартпая конвективная
кривая для воды
Температу- ра 6Щ Вертикальное расстояние (н 3
0 0
4 4 150
10 +(i 150
20 83 100
30 270 000
10 591 ООО
нее масштаб вертикальных расстояния иропорцпоиапьпо
четвёртой степени в формуле стандартной конвективной
кривой. Чем уже скважина, тем значительно больше
вертикальный градиент температур, а с ним тем ближе
возможность значительного нарушения линейности уравне-
ний. При заметных скоростях потока получится, что
температуры и параметры жидкости в одной части горн
зенталыюго сечения скважины значительно отличаются
от температуры и параметров в другой части сечения.
Ввиду того, что вязкость сильно убывает с температурой,
окажется, что сечсипе восходящей горячей струи заметно
меньше сечения нисходящей холодной струи (при «за-
мкнутой» скважине).
I . 1 А В Л 9
(И11К ATI I! E ЭКС 11 El’ll MEHTA. 1Ы! Ы X МОДЕ. 1 Ell
£ 1. Стеклянная модель
l> порядке проверки теории, изложенной выше, был
исследован ряд моделей, имеющих сходную конструкцию.
Наибольшее число опытов было проделано со стеклянными
моделями, наиол ценными дистиллированной водой. Такая
модель представляет стеклянную бюретку, снабжённую
рядом термопар. ТЗюретка выбирается из того соображе-
ния, что просвет такой трубки уже калиброван ио только
одинаково с. точностью изготовления бюретки, но и хорошо
известен. Как показали некоторые обмеры, изготовля-
емые бюретки довольно круглы, т. с. имеют по любому
азимуту почти одинаковые диаметры. Впрочем, степень
цплиндрпчяостн и круглости (не эллиптичности) следует
проверять при изготовлении из бюретки конвективной
модели. Необходимость точного знания диаметра модели
вытекает из того обстоятельства, что в формулах этот
диаметр (пли радиус) входит в четвёртой степени. Поэтому
погрешность в 1 % по диаметру даст погрешность в 4 % по
температурному градиенту.
При типовых экспериментальных исследованиях основ-
ным вопросом обычно бывает определение среднего по
сечению (и по периметру сечения при диаметральной анти-
симметрии) модели характерного температурного градиен-
та. Для измерения этого среднего градиента бюретка
снабжается у с р е д и я ю гц и м и (по периметру) тер-
мопарами следующею устройства.
На бюретку надеваются втугую одинарные подпаян-
ные пояски из топкой проволоки пли фольги, предпочти-
§ 1|
СТЕН Л Я Ш1АЯ МО Д ЕЛ 1.
тельно мс,иной. Провод пояска продолжается далее до
переключателя гальванометра. По нескольким (четырём)
равноотстоящим образующим бюретки протягиваются
юнкдс константановые проволочки, каждая из которых
подпаивается к каждому пояску. 'Таким образом, каж
дый поясок образует многократную (четырехкратную)
термопару.
Разность средних температур в местах расположе-
ния двух поясков сопровождается возникновением про-
порциональной электродвижущей силы между медными
проводниками, идущими от модели к переключателю.
Величина этой ЭДС составляет около 42 микровольт
па градус разности температур.
Число таких многократных термопар па бюретке, пх
размещение па пен и расстояния между ними обусловлю
ваются соображениями о цели проводимого эксиерпмеп
тального исследования. При описании экспериментов эти
соображения будут оговорены.
Для измерения средней температуры в каждом ярусе
модели эти термопары усредняющие по периметру—
вполне себя оправдали. Дело в том, что при тонких прово-
дах роль пх теплопроводности невелика, а погрешности,
обусловленные толщиной стенки (если эта толщина оди
какова), взаимно компспспруются на холодной и горячей
сторонах модели.
В нижней части модели располагается печь для подо-
грева модели. Она состоит из высокоомного изолирован-
ного (предпочтительно эмалированного) провода, намо-
танного непосредственно па стекло бюретки. Провод
печки продолжается медными (предпочтительно гибкими)
проводами до источника тока, причём места спаев, по
возможности, должны лежать на стекле. Длина печки
составляет от одного до двух наружных диаметров модели:
витки высокоомного провода укладываются возможно
более плотно друг к другу. Сопротивление печки выби-
рается применительно к напряжению источника тока,
причём часто приходится составлять печь из нескольких
проводов, включённых параллельно. Тогда провод нама
тывается иа бюретку «в несколько ниток» (термин из винто-
резной техники).
92
описании :и;си ки ш кпшьп ых мод ил kIi
[гл. 9
Обе проволочные системы, как измерительная, так
и силовая нагревательная, туго прибинтовываются к
стеклу бюретки нитяными бандажами (предпочтительно
из пуховой нитки).
Для стабн. 1пзаинн внешних температурных и радиа-
ционных нолей модель помещав ген в кожах из толсто
Гис. 14. Разрез стеклянной модели для иссле-
дования тепловой конвекшш. Показано сечение
бюретки, засыпка из магнезии, алюминиевый
кожух, расположение термосиаев и отводящих
проводов.
стенной медной или алюминиевой трубы, диаметром
в 5- 10 раз больше модели. Просвет между моделью и
кожухом нужно выдержать везде одинаковым посред-
ством центрирующих шайб, надетых па модель и точно
входящих внутрь кожуха. Этот просвет заполняется
чистой окисью магния (аптекарское название—magnesia
list а) в качестве теплоизоляции.
§ 1|
СТЕКЛЯННАЯ МОДЕЛЬ
93
На рис. 14 дана схема конструкции части модели в раз-
резе, причём нитяные бандажи не показаны.
Для измерения «поперечных температур»—разностей
температуры между горячим и холодным боком модели
в одном её сеченпп,—а также для определения азимута
Рис. 15. Схема расположения -двух пар
«поперечных» термопар для определения
азп мута д| i аметральной ап т и си мметрпн.
этой поперечной температуры должны быть применены
соответствующие «поперечные термопары».
На рпс. 15 показана схема конструкции одной пары
поперечных термопар, приспособленных для этих изме-
рений. По четырём равноотстоящим образующим бюретки
располагают четыре продолговатых кусочка медной фоль-
ги. Чем слабее исследуемое конвективное явление, тем
короче должны быть эти кусочки. В центре каждого
кусочка к нему припаяны концы тонких проволочек кон-
стантановой, идущей к диаметрально противоположному
94
OIIIIC ЧИПЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ
[гл. 9
кусочку, и медной, идущей к переключателю гальвано-
метра (I пара и 11 пара). Вся система туго прибинтовы-
вается к стеклу бюретки нитяным баидажем, не показан-
ным па рисуяке.
Для исследования распределения поперечных гради-
ентов температуры вдоль модели при азимуте, фиксиро-
ванном нарочитым наклоном модели от вертикали, нужно
расположить несколько поперечных термопар вдоль
модели. Если сооружение ранее описанных моделей и
требует некоторого навыка и надлежащей тщательности
в работе, то сооружение многократных поперечных тер-
мопар требует очень больших подготовительных и нала-
дочных работ. Однако и этим путём приготовление удо-
влетворительной модели удивительно трудоёмко и ре-
комендовать каков либо хороший метод пока затрудни-
тельно [9— I, стр. 997] (см. главу 11, § 3).
Стеклянные модели, изготовленные описанным мето-
дом, имели внутренний диаметр преимущественно около
I с.в, иногда до 0,526 ем (при внешнем диаметре 0,835 см).
Необходимо обратить внимание на то, чтобы модель
(несмотря на наличие у пей теплоизолирующего кожуха)
находилась в помещении с постоянной температурой,
без форточек или отопительных устройств. В крайнем
случае её можно поместить в шкаф с плотно закрываю-
щимися дверцами. I? противном случае результаты изме-
рений трудно интерпретировать.
Вверху бюретка присоединяется к более или менее
объёмистому резервуару (воронке), заполненному водой
и служащему резервуаром холода.
§ 2. Металлическая модель
Для исследованпя конвекции в металлической модели
такая модель была сооружена В. В, Славковым, В основ-
ных чертах она копирует стеклянную модель. На рис. 16
дана конструктивная и электрическая схема устройства.
Буквами abed помечены габариты металлической трубы,
наращённой воронкой е посредством патрубка В. Циф-
рами 1, 2 помечены два яруса четырёхкратных термопар.
Термопары расположены на равноотстоящих образую-
§ 21
М ETA. 1.ЧИЧЕСК All МОДЕЛЬ
95
щих трубы. При помощи медных и константановых про-
водников одинаковой длины четырёхкратные термопары
объединяются в специальных спаях в одиночные провода,
подключаемые к переключателю гальванометра. В связи
Рис. 16. Конструктивная п электрическая схема металлической
модели для исследования тепловой конвекции: abrd габариты
латунной трубки модели А, с—воронка, В -засыпка. /, 2—два
яруса усредняющих термопар, tt—рабочий термометр в дьюаре,
ы—контрольный термометр в другом дыоаре, 11—автоматический
переключатель гальванометра Г, О—нулевой провод, —источник
света, М фоторегистрпрующес устройство.
с тем, что материал трубы электропроводок (и не тожде-
ствен пн меди, ни константану термопар), необходимо
как медные, так и константановые провода порознь
соединять с гальванометром через двухполюсный пере-
ключатель. включив на пути каждого константанового
9(>
ОПИСАНИЕ ЭКСИ ЕГИМЕ1ГГА.1Ы1ЫХ МОД ЕЛ lift
|г.ч. 9
провода спай фиксированной температуры Ц. Эти послед-
ние спаи прибинтованы к шарику термометра Т, изоли-
рованно друг от друга. Для контроля одна из термопар
соединена с термопарой, таким же образом прибинтован-
ной к шарику второго термометра /2- Шарики обоих тер
мо.метров <• прибинтованными к ним термопарами залиты
парафином и помещены в дыоары.
В нижней части модели расположена печь, состоящая
из высокоомного эмалированного провода, намотанного
непосредственно па металл трубы.
Модель снабжается теплоизоляцией, заполняющей
металлический кожух.
§ 3. Метод температурной регистрации
Исследуемые тепловые процессы являются сравнитель-
но медленными процессами. При температуропровод-
ности воды (для комнатной температуры) около 2 • 10~3
см2.'сек и диаметрах моделей порядка 1 см продолжится ь
ность устанавливающихся тепловых процессов будет но
рядка 500 сек. В то же время период колебаний распро-
странённых зеркальных гальванометров (применение
коих необходимо ввиду малости термо-э. д. с.- порядка
42 микровольт па градус Цельсия) бывает порядка 5 сек.
Таким образом, запись показаний одной термопары одним
гальванометром является излишней: грубо j-оворя, это
равноценно получению свыше ста отсчётов на протяже-
нии одного процесса.
Между тем специфика термоэлектрических записей
требует постоянного контроля места нуля, а специфика
конвективных процессов требует регистрации темпера
туры в нескольких точках модели (тесная аналогия
с синоптикой). Поэтому вполне естественно немного
поступиться точностью, чтобы значительно вытирать
в надёжности п обзорности.
Широко применяемая идея метода записи показаний
нескольких термопар посредством одного гальванометра
состоит в поочсрёдпостп записи этим гальванометром
показаний разных термопар. Гальванометр переключается
с одной термопары на другую через такое время, в течение
§ 3| МЕТОД ТЕМПЕРАТУ ГНОЙ РЕГИСТРАЦИИ 97
которого его зайчик только успевает дойти до повой
своей установки и отпечатать её на фотоматериале.
Попятно, что требования к апериодичности гальвано-
метра здесь повышены и подбор критического сопроти-
вления требует пристального внимания. Изменение чув-
ствительности не может быть достигнуто одним шунтиро-
ванием гальванометра пли одним увеличением добавоч-
ного сопротивления в цепи термопары. Необходимо измс
пять обе эти величины так, чтобы сопротивление внешней
цени гальванометра при этом не изменялось и равнялось
критическому.
Если обозначить сопротивление гальванометра через р,
критическое сопротивление через /?0, сопротивление
шунта гальванометра через г, добавочное сопротивление
в цепи термопары через В. п относительное снижение
чувствительности (по напряжению) через п, то полу-
чим два уравнения с неизвестными г п R-.
1 1 _ 1
Г 1 к Иг. ’

Первое из этих уравнении выражает требование,
чтобы внешняя цепь гальванометра имела всегда крити-
ческое сопротивление. Второе уравнение связывает
искомые величины с относительным снижением чувстви-
тельности п. Если помножить второе уравнение па ток,
дающий единичное отклонение гальванометра, то оно
выразит требование, чтобы этот единичный ток возникал
при отшунтированном гальванометре (левая часть) при
/?-кратпом—против неотшунтированного гальванометра—
напряжении (правая часть).
Разрешив эти уравнения, получим удобные формулы:
7? = пЯ0; г = (9.2)
Эти формулы показывают, что тщательно определив 110
можно совсем легко подбирать шунт г и добавочное сопро-
7 г. Л. Остроумов
98 ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ [ГЛ 9
тивлепис R к любому снижению чувствительности таль
нанометра п.
В качестве переключателя гальванометра следует ре-
комендовать шаговые искатели автоматической телефон-
ной станции. Они имеют несколько ярусов, содержащих
от 10 до 30 контактных ламелей, и дают широкие воз-
можности для комбинирования. Искатели требуют на-
дёжной установки вблизи модели в съёмных кожухах,
по возможности предохраняющих их от пыли. Контакт-
ные поверхности ламелей и пружины приходится иногда
протирать ваткой, смоченной спиртом. Совершенно не
следует увлекаться примененном стеклянной бумаги или
наждачного полотна.
Выводы термопар должны быть подпаяны к ламелям.
Этих выводов бывает порядочно. Поэтому приходится
располагать модель и переключатель почти рядом.
Выводы рекомендуется делать из многожильного про-
вода, представляющего собой гибкий жгут эмалирован-
ных медпых проволок диаметром около 0,4 мм, затяну-
тый в пнтяную оплётку. Эту оплётку можно предвари-
тельно стянуть с куска осветительного шнура.
Рекомендуется присоединять термопары к ламелям
так, чтобы поочерёдное переключение ламелей сопрово-
ждалось записью поочерёдно повышающихся пли пони-
жающихся температур, т. о. чтобы на протяжении цикла
записи случаи повышения температур группировались
друг с другом вместе, а случаи понижения—-также
вместе, чтобы переход от повышения температур к по-
нижениям происходил возможно реже (не чаще одного
раза за цикл). Это требует большой тщательности при
маркировке концов многожильного провода перед под-
пайкой концов его к термопарам и к ламелям. Соблюде-
ние этого правила значительно увеличивает чёткость
фотозаписей.
Шаговый искатель приводится в действие электро-
магнитом. Включение электромагнита производится от
контактора, управляемого кулачковым диском, сидящим
на валу моторчика Уоррена. При изготовлении контак-
тора удобно использовать полуфабрикаты, из которых
составляется телефонная аппаратура.
МЕТОД ТЕМПЕРАТУРНОЙ РЕГИСТРАЦИИ
9!)
Искра размыкания цепи электромагнита вызывает
быстрым износ контактов. Для надёжного срабатывания
электромагнита шагового искателя требуется мощность
порядка 20 ватт, правда в течение короткого времени.
Поэтому в зависимости от источника тока, приводящего
в действие электромагнит, рекомендуются различные
схемы для замедления износа контактов.
При низковольтных источниках тока—батарея 4—4,5
вольта—необходима обмотка электромагнита эмалиро-
ванным проводом диаметром около 0,6 мм, всего около
Рис. 17. Схема включения автоматического пере-
ключателя при низковольтном источнике тока:
Э—электромагнит автоматического переключателя,
1—рабочий контакт, включаемый от кулачкового
диска синхронного моторчика, 2—блокировочный
контакт, разрываемый якорем электромагнита
в момент срабатывания.
400 витков и около 1 ома сопротивлением. Здесь реко-
мендуется использовать то контактное приспособление,
которым обычно снабжён якорь электромагнита иска-
теля так, как это показано на схеме рис. 17. В момент
замыкания тока кулачковым диском моторчика Уоррена
(рабочий контакт 7) якорь электромагнита шагового
искателя ещё не разомкнул блокировочного контакта 2,
шунтирующего добавочное сопротивление около 10 он.
По обмотке электромагнита идёт полный ток порядка
4—5 ампер, достаточный для мгновенного срабатывания
шагового искателя (переключение гальванометра на сле-
дующую термопару). При этом контакт 2 размыкается
практически без искры и по обмотке электромагнита
начинает проходить ток около 0,5 ампера, достаточный,
чтобы только удержать якорь электромагнита в прнтя-
IGO ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ [1’Л. 9
нутом состоянии. Якорь отпадает при размыкании кон-
такта 1, происходящем также практически без искры.
Ничтожную оставшуюся искру можно устранить шунти-
руя электромагнит сопротивлением в сотню омов.
В этой низковольтной схеме следует обращать боль-
шое внимание на чистоту контактов. Особенно опасно
масло, которое из моторчика может попасть в контакт 1.
Гис. 18. Схема включения автоматического переклю-
чателя. при высоковольтном источнике тока (твёрдом
выпрямителе): Э—электромагнит переключателя,
I—рабочий контакт, включаемый от кулачкового диска.
Сопротивления в 10 и 100 омов рекомендуется намотать
высокоомным проводом поверх катушки электромагнита
и тем самым избежать лишней детали конструкции.
При высоковольтном источнике тока—например, твёр-
дый выпрямитель па 300 вольт—рекомендуется приво-
дить электромагнит в действие разрядом конденсатора
согласно схеме рис. 18. В центре рисунка показан типо-
вой (селеновый) выпрямитель. Своей средней точкой он
присоединён к фазному проводу городского тока через
блокировочный конденсатор. Ёмкость этого конденса-
тора целесообразно выбрать из того соображения, чтобы
в случае неисправности схемы он послужил бы ограни
чителем тока и тем спас бы выпрямитель от перегрева.
Например, при предельном токе выпрямителя 40 ма его
ёмкость следует выбрать порядка 1 миф.
Выпрямитель заряжает основной конденсатор большой
ёмкости (электролитический). Величина этого кондеи-
§ 4] МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕПЛОВЫХ ПАРАМЕТРОВ 101
сатора подбирается экспериментально в зависимости от
параметров электромагнита. Эта схема исключительно
нетребовательна к параметрам электромагнита, она хо-
рошо работает при электромагнитах, содержащих в об-
мотках весьма различное число витков и имеющих по-
этому различное сопротивление. Чем выше эти числа,
тем меньшей ёмкости кодепсатора достаточно для хоро-
шей работы схемы, но тем разрушительнее искра размы-
кания в рабочем контакте 1. Искра замыкания разрушает
рабочий контакт ле сильно.
При регулировке шагового искателя необходимо вни-
мательно следить за тем, чтобы срабатывание электро-
магнита происходило сразу и быстро, а также чтобы оно
сопровождалось перескоком контактных пружин, по
возможности, с середины одной ламели на середину сосед-
ней,—и так вдоль всего искателя.
Провода к фоторегистрирующему гальванометру мо-
гут быть довольно длинными, а сам гальванометр может
быть расположен в фотолаборатории.
В дальнейшем будут даны примеры фотозаписей.
На этих фотозаписях регистрация одного и того же объек-
та служит марками времени. Расстояние между ними
соответствует выдержке переключателя, умноженной на
число ламелей или объектов записи. На многих записях
видны пороки—выбросы, пропуски, фестончики. Они по-
служили поводом и материалом для разработки выше-
изложенных руководящих указаний.
§ 4. Метод исследования тепловых параметров
готовой модели
Разработанная рапее теория тепловой конвекции
в вертикальной круглой скважине связывает параметр
тепловой конвекции—критический вертикальный гра-
диент температуры А—с теплопроводностью окружающего
скважину массива ке (см. рис. 4) Поэтому тогда, когда
экспериментальное исследование проверяет эту теорию,
необходимо сопоставить получаемые результаты с таким
значением теплопроводности массива, которое равно-
цепно соответствующему параметру данной модели.
102 ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ [гл. 9
Хотя тепловые свойства материалов, из которых
приготовлена модель, ц могут быть известны, тем не менее
конструкция модели достаточно сложна. Поэтому вычи-
сление эквивалентной
Рис. 19. Устройство по-
движной печки для теп
лового исследования го
тобой модели: /—стек-
лянная трубка, 2—мед-
ный шкивок, 3—высоко-
омная обмотка печки.
теплопроводности теоретически
может быть ненадёжным. Таким
образом, возникает настоятельная
необходимость в методе непосред-
ственного определения па готовой
модели её итоговых тепловых па-
раметров, в том числе в эквива-
лентной теплопроводности равно-
ценного массива модели.
Метод основан па фотореги-
страции специального теплового
процесса, возникающего в модели,
заполненной воздухом. Этот спе-
циальный процесс создаётся ма-
ленькой печкой, пагреваемой по-
стоянным током и протягиваемой
при помощи специального копро-
вого приспособления внутри мо-
дели из конца в конец с постоян-
ной скоростью.
Печка устроена следующим
образом (рис. 19). На стеклянную
трубку 120 jf.it длиной п диамет-
ром 1,0/3,0 л/.it втугуго падет шки-
вок 2 из красной меди. Желобок
шкива до краёв заполнен обмот-
кой 3 из константановой прово-
локи, составляющей собственно
печь. Диаметр шкива таков, что
он входит внутрь модели почти без трения. Двойной
медный провод от печи марки ПШДЛ диаметром
0,21 мм служит одновременно подъёмным тросом. Печка
опускается в вертикально расположенную модель под
действием собственного веса, увеличенного свинцовым
грузиком, не показанным на чертеже. Трос прикрепляется
к барабану фоторогпетрирукицего устройства, служащего,
таким образом, одновременно и копровым механизмом.
] МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ 1’ЕП.ИОВЫХ ПАРАМЕТРОВ ЮЗ
Рис. 2d. Конструктивная схема модели и элек-
трическая схема её теплового исследования;
А—кожух модели, М—засыпка из магнезии,
П—подвижная печка, № 1—№ 8—ярусы ус-
редняющих термопар, присоединенные к ламелям
автоматического переключателя, 0,3 «в -градуи-
ровочное напряжение, соответствующее 7,15° Ц,
Г— самой ишущий гал ьвапометр.
104
ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ [ГЛ. !)
Поэтому скорость движения почки и капало модели равна
скорости фоторегистрацпи.
Рис. 21. К выводу
уравнения балан-
са тепла в связи
с тепловым иссле-
дованием готовых
моделей: 1—труб-
ка модели, 2 под-
вижная печь, дви-
жущаяся со ско-
ростью г, 6"—пло-
щадь поперечного
сечения трубки мо-
дели, dz—элемент
длины модели.
На рис. 20 изображена схематиче-
ски исследуемая модель и соединение
термопар с ламелями переключателя.
Г означает трубку модели, Л- алюми-
ниевый кожух, М—засыпку из порош-
ка магнезии, изолирующую модель от
кожуха. 11—движущуюся печку. Пунк-
тиром помечены константановые про-
вода термонар.
Уравнение баланса тепла примени-
тельно к элементу трубки длиной dz
(рис. 21) может быть написано:
[jcS dz ~ | 2тг/?1а dz 6 =
= lySd~dz+^-dz. (9.3)
* Дг2 dz ' '
Здесь p—плотность материала трубки,
с—его теплоёмкость, Aj— его теплопро-
водность, 5- поперечное сечепис стоп-
ки трубки, —её наружный диаметр,
О—температура элемента трубки dz,
средняя но объёму, Р—мощность печп,
а—коэффициент, характеризующий теп-
лоотдачу от трубки в теплоизоляцию.
В левой части уравнения собраны
члены, характеризующие расход тепла
па теплоёмкость элемента и на тепло-
потери. В правой части собраны чле-
ны, характеризующие приход тепла
через теплопроводность стенки и от
печки. Сократив на dz и учтя, что
мощность Р печки, передвигаемой со
скоростью
и, есть функция от аргумента yt—а
также перегруппировав члены, получим:
P^p(t~^. (9.4)
dz- г dt 1 dz ’ у v J ' '
4] Л1ЕТ0Д ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕПЛОВЫХ ПАРАМЕТРОВ ЮЗ
Положим здесь
(9.5)
x = t — — ; dz= — vdx;
v
и будем искать решеппя этого неоднородного линейноо
дифференциального уравнения в частных производных
с постоянными коэффициентами в таком виде:
^ = -^6". (9.6)
dz2 v2 4 7
e = eW=e(/-i); £-<r:
•Эта подстановка даёт обыкновенное дифференциальное
уравнение:
pct)2 2*Д, <w2 _ a2 dP 7
0 Aj J ?,.S’ dx ' )
Это линейное, по неоднородное уравнение с постоянными
коэффициентами можно в пашем случае привести к одно-
родному. Дело в том, что осевые размеры печки так
малы, что её можно считать точечным источником тепла.
Поэтому функция Р(х) будет везде нуль, кроме той
находится
её полная
точки, где эта печка в данный момент
(«дельта-функция»). В этой точке выделяется
мощность Р. Таким образом:
, о др п
при х=Р0 .. . — = ();
при я = 0 . .. \ |А/ж = 7\,.
(9.8)
Уравнение (9.7) для всех значений х, кроме
принимает вид
е„ _ fev2 q, 2r.R}aT,2 g
Д
Ищем решение в виде
х О,
О = 60 е«х.
откуда после подстановки в (9.9) получаем:
0/Ч12 9тт7?. лтР _
(9.10)
9
pct)2 Г
’-W
27-lB, ар2___„
! 1 А I 2’гД1°Х1
(9.11)
М

10(5 ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ [гл. 9
= (9-12)
I *711 > 17г I;
ирп х < 0 . . . О -0oeQ,a; 1g 0 = 1g О0 4 71 г 1g )
<?lg(J rflgfl . . /q/q (9.13)
-^-dT = ^e <М34371: J
при х = 0...6 60; (9.11)
при х > 0 -. . 6 = 60 с*72®;
- ig- = 0,4343 q2;
ах
(9.15)
при х = + со ... 0 - 0; 0' = 0; 0" = 0. (9.16)
Ход кривой 6 = 6(х) изображён на рис. 22 пли в полу-
логарифмическом масштабе на рис. 23.
Рис. 22. Ход температуры в данпом сечении мо-
дели при тепловом исследовании как функция от
времени (или координаты).
Всё тепло, полученное трубкой от печки, расходуется
в конечном счёте только па теплоотдачу, характеризуемую
параметром а. Математически это соответствует следую-
§ 4] МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕПЛОВЫХ ПАРАМЕТРОВ 107
щсму. Интегрируем каждый член уравнения (9.3) в пре-
делах от — эо до - :
-4-00 4-ОЭ 4 со
pcS —-dz + Z^a Qdz^S ^dz-\-P0-, (9.17)
— со — СО —СО
— vpcS 0' dx 2nR1 а Ot/z—— ~ b"dx /’0; (9.13)
-Jj —со —со
+ о° 4 со 4 со
-срсЛО | 4-2тгЯ1Я 0dz=-^0' | + Р0. (9.19)
—со —со —со
В силу соотношений (9.16) подстановки дают пуль.
Рис. 23. Ход логарифма температуры в данном сечении
модели как функция от времени (пли координаты).
Отсюда
а =-----------------
4-со
2т:Ь\ Odz
(9.20)
Кроме того, из (9.13), (9.14), (9.15) получается:
\ 6 dz = — v 60 eq^dx — v 0Q e^dx —
—со —со О
=’«И"+^]- <8-21>
108 ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ [гл. 9
Определив экспериментально путём фоторегистрации впд
функции 6 = 0(Z) при z = const п измерив фотозаписи
рис. 22 п 23, можно найти интеграл как путём прямого
суммирования 0 = 6 (z), так и путём (проверочного) вы-
числения через наклоны кривых gt и q2- Таким обра-
зом, выражение (9.20) позволяет определить первый
тепловой параметр модели а, характеризующий тепло-
потери.
Напомним, что оп связан с теплопроводностью тепло-
изоляции У соотношением [9 — 2, стр. 27]
2те/г1а = —А2 = /г1а1п-^. (9.22)
1 “2 -«1
"ч
В этой формуле Т?2 означает внутренний радиус кожуха А
на рис. 20, имеющего постоянную (комнатную) темпе-
ратуру.
Из уравнения (9.11) вытекает:
(9.24)
х __ zjKjii-j av
рсг2
= 72!
71 , . . 2ла Г 1 1. I
Уравнения (9.20), (9.23), (9.24) дают полное решение
вопроса об экспериментальных тепловых параметрах
модели.
На рис. I*) приведен пример автоматической записи,
подобный рис. 22, па рпс. 24 — сё расшифровка, подоб-
ная рис. 23. На последнем графике знаками Д, ф, □, Q
отмечены точки средних кривых фотографии, полученной
при вытягивании печки из модели кверху, а крестика-
ми— точки фотографии, полученной при опускании печки
вниз. Движение происходило с одинаковыми скоростями.
*) Рисунки, помеченные римскими цифрами, см б конце
КИНГИ.
§ 4] МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ТВИДОВЫХ ПАРАМЕТРОВ 109
- ige
Условные обозначения
-ВО
ЙВерх
До*Й
лад — кривая
• • • - кривая
□ □ □ — кривая
о о о — кривая
ххх- кривая
-мА,
А
д*>
д$
aS
По
Дхо
До*
А ХО
/V/
AZ
N3
NB .
NS- вниз
-16
Рис. 24. Результат обработки средней фотографии рис. I. Как
при движении печки вверх, так и при движении вниз точки удо-
влетворительно воспроизводят вид рис. 23. Масштаб температур:
38 делений соответствуют 4,5° Ц. По оси абсцисс отложены номера
марок времени (82,5 секунды). За нуль принят момент максимальной
температуры.

НО ОПИСАНИЕ ГИгСПВРИМЕИТАЛЫГЫХ МОДЕЛЕЙ [гл. 9
Все кривые начерчены гак, чтобы максимальная орди-
ната соответствовала нулю па осп абсцисс.
Как видим, вид кривых на рис. 23 и 24 одинаков.
Обмер графика рис. 24 дал такие значения:
-- = 470сек.; —— =1150 сек. (9.25)
'71 —'/2
Обмер трёх кривых па самой фотографии рис. 1 дал
значение
4 с° к . .
0 dz = 0,242 ° = ^-7’—=- 22>2 град • см. (9.26)
—со
В этой записи 0,242 см есть линейная длина, приходя-
щаяся па один цикл работы переключателя (расстояние
между фотомаркамн), 8,4 мм/град— чувствительность
гальванометра, определяемая посредством градуирующей
записи—верхний горизонтальный ряд точек, соответ-
ствующий 0,300 мв, т. е. 7,15° Ц. Число 773,5 мм есть
сумма всех ординат фотозаписи.
Контрольный подсчёт по формуле (9.21) дал:
+ СО
6dz = 22,4 град • см. (9.27)
—со
Запись была снята на стеклянной модели диаметром
11,28/13,28 мм при мощности печки 0,0532 вт =
= 0,0127 кал/сек. Отсюда по формуле (9.20) получается
в среднем
а = 1,46 10*4 кал/град сек см2. (9.28)
Нужно отметить, что из этого числа на долю сигнальных
медных (}, = 0,9) проводов диаметром 0,41 мм сечением
0,00132 см2, отстоящих друг от друга на 6 см по длине
модели (каждый из них длиной 1,68 см до кожуха)
падает
0,90 • 0,00132 „ ,,о „ . . „ 9 /Q пах
aj = ==—-—===0,28 10~4 кал град сек см.-. (9.29)
2TV.R] • ь • 1,Ь8 ’ ' 1 '
§ 4] МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕПЛОВЫХ ПАРАМЕТРОВ 111
Но формуле (9.22) отсюда подучается для засыпки маг-
незией:
л2 = 0,62 (1,46-0,28) 10-* 1,27-=
= 1,00 10~4 кал/град -см. (9.30)
(Теплопроводность воздуха при 20° Ц составляет
0,60 10-4 кал/град см.) По формуле (9.23) для теплопро-
водности модели получаем после подстановки:
v =0,01'311 см/сек; <5 = 0,38 см2;
. __ -к
Л1 ~ *S'7i (—?2)
3,14 - 1,33 • 1,46 - 10~4 (О.ООЗИ)2 - 470 - 1150 ч (9.31)
0,38 " ~
= 84 10-4 кал/град см;
i.^S =31,8 - 10~4 кал см/г рад.
Молекулярная теплопроводность воды в канале модели
составит 14 10“4 кал см/град, т. е. меньше половины
теплопроводности стенок.
Нужно отметить, что из этого числа на долю четырёх
проволочек из константана диаметром 0,21 мм падает:
к'S' = 4 • 0,054 • 0,000345 = 0,75 • 10~4 кал см/град. (9.32)
Поэтому поправленное значение для стекла получается:
KiS = 31,0 10~4 кал см/град;
Хх = 82 • 10~4 кал/град см.
Если принять во внимание формулы (5.27), то для
моделей диаметром 11.28/13,28 мм из стекла того же
сорта, с какими было проведено большинство опытов,
окажется, что теплоёмкость эквивалентного массива
получается равной 0,00141 кал/град см, т. е. того же
порядка что и теплопроводность воды. Таким образом, для
этих стеклянных моделей приближённо X = р,.
По формуле (9.24) получим:
(9.33)
рс = 1,64 кал/град смъ.
(9.34)
112
ОПИСАНИЕ иКСиВ1’ИМЕ11ТЛЛЫШХ МОДЕЛЕЙ [ГЛ. !)
Гидростатическое взвешивание дало р = 2,59 г/см'.
Отсюда теплоёмкость стекла модели с = 0,63 кал'град'2.
При осуществлении этого метода особенно важными
помехами, требующими заботливого внимания, являются
следующие.
Необходимо, чтобы печка действительно была «точеч-
ная», т. е. чтобы её осевые размеры не превосходили
радиальных. С печкой длиной в три диаметра также были
получены красивые записи, однако интерпретация их
представляет чрезвычайные трудности.
Каждая из вышележащих термопар регистрирует
повышения температуры, когда печка проходит мимо
нижележащих термопар, и понижение—даже ио сравне-
нию с кожухом—в промежуточных положениях печкп.
Явление резко ослабляется, когда верхняя часть стеклян-
ной трубки печки (рис. 19) обмотана по всей длине шер-
стяной питкой почти до внутреннего диаметра модели.
Эта помеха обусловлена, невидимому, конвекцией воз-
духа в трубке над печкой. Поэтому для её устранения
целесообразно располагать модель горизонтально.
Этот метод обладает рядом недостатков, снижающих
его строгость. Чем тоньше стенка модели по сравнению
с диаметром модели, чем материал её теплопроводное
по сравнению с теплоизоляцией и чем тоньше провода тер-
мопар, тем метод строже,—вместе с тем выше и качество
исследуемой модели.
ГЛАВА Io
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ 1IC( '.ЛЕДОВАЯ! IE
СВОБОДНОЙ TEilJOBOH КОНВЕКЦИИ
В ВЕРТИКАЛЬНЫХ МОДЕЛЯХ КРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ
Ill’Ll УСТАНОВИВШЕМСЯ РЕЖИМЕ
§ I. Два режима тепловой конвекции и разделяющий
их кризис
Многочисленные измерения, наблюдения и фото-
записи, проделанные на различных вертикальных моде-
лях, привели к выводу, что при умеренном нагреве печи,
расположенной в нижней части модели, в последней воз-
никает конвективное движение заполняющей её жидкости.
В основных чертах это движение правильно описывается
изложенной выше теорией.
Подробности наблюдаемых явлений следующие. После
включения уличи иного тока в цепь нечки распределение
температуры вдоль модели сначала испытывает более или
менее сильные изменения (см. ниже, главу 1 I). По исте-
чении некоторого срока эти изменения постепенно
прекращаются и устанавливается определённое стацио-
нарное распределение температуры. Оно характеризуется
почти постоянным вдоль модели характеристичным -
вертикальным градиентом температуры *).
Величина этого градиента в широких пределах не зави-
сит непосредственно от мощности подогрева (см. табл. V] 11)
*) Если бы жидкость отвердела, то постоянный вдоль .модели
градиент емишлея бы градиентом, убывающим но показательному
закону (см. ниже, рис. V).
Г. \. Остроумов
114 ЭКСПЕРИМ. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТАНОВИВ!!!. НЕЖИМА [гл. Ю
Га илица VI11
Ч \ С Г Ь 1
ч/п in? Гем пера- тура О’ и Мош ПОСТЕ Гра дпеит| (А«р .г/лк) 41 । Хи* Примечания
1 21,9 0.012 о, юз 90 116 Мидель 1, предварит.
00.98
2 28,6 U, 08 0,97 108 260 Верхи, ярус'
3 31,1 0,08 0,83 1 105 295 Средний
4 33,5 0,08 0,77 107 333 Нижний
27,5 0.12 0,95 99 432 Верхний Модель V.
6 30.5 0, 12 0,85 104 455 Средний ‘ 0 0,526
7 32,5 0, 12 0.82 1 110 480 Нижний
8 31.5 0,27 0,82 105 1030 Верхний
9 33,8 0,27 0,66 91 13(H) Средний
Сред! . 104±2
10 26,4 0.061 0.087 103 495 Модель I, серия JII
11 22,0 0,122 •— 1420 Модель IV, 0 3,8
и только несколько изменяется с температурой того
участка модели, где измеряется градиент: при повы-
шении температуры градиент убывает. Знак градиента
температуры всегда таков, что внизу теплее, чем вверху.
Таким образом, явление конвективного переноса тепла
жидкостью в вертикальной трубе отличается следующими
особенностями от молекулярной передачи тепла в твёрдых
телах: во-первых, практическим постоянством градиента
вдоль модели и, во-вторых, его независимостью от мощ-
ности подогрева.
На рис. V и VI сопоставлены примеры фотозаписей
распределения температуры вдоль модели при конвекции
в ней и в том случае, когда жидкость заменена латунным
стержнем, плотно входящим в модель. Верхняя кривая
отображает температуру нижней—наиболее горячей
термопары.
§ 11
ДВА РЕЖИМА ТЕПЛОВОЙ копвеншш
115
Таблица VIII
ЧАСТЬ И
ц/и ;V Гем- пера- тура 0 ’Ц Мощ- ность Q-- Гра днепт СМ т Ан* Примечания
1 12 13 1 14 15 16 17 18 36.0 42,5 45,4 49, 1 48,1 48,7 54,8 и,27 0,49 0,49 0,49 0,746 0,746 0.746 0,80 1.11 1.02 1.30 1.90 1,80 2.26 121 214 217 308 377 423 620 1100 1440 1500 1220 1300 1300 1040 Нижний ярус Верхний Средний Нажппй Верхний 1 , Средний Нижний
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1 31 32 33 34 35 36 21,1 30,5 39,8 34,5 42,9 37,7 47,0 56,5 50,1 47,5 64.4 0,38 0,65 1,05 3.80 1.73 3.80 1.53 2,07 2.50 3,80 2,70 0, 15 0,39 1,02 1:?; 1,62 1.21 1.58 1.83 2,32 1.74 181 560 2170 2260 2640 3160 3200 5400 5500 6300 8700 2410 1550 930 2660 131X1 2130 1120 ИЗО 1200 1450 1310 Модель 1, с<рия 11, 0 0.98
29.2 29,8 29,9 29,7 32,9 36,1 96.3 0,170 0.245 0,435 0,331 0,550 0,680 4,94 0,097 0,152 0,229 0,231 0,345 0,509 2,50 133 217 327 328 568 956 19500 1620 1490 1760 1320 1470 1220 1540 Модель I, серия III, 0 0,98
Средн. Nu* 1460 J- 80
Проверочными опытами установлено, что этот режим
соответствует ламинарному движению жидкости. На
рис. 11 дапа фотография путей частиц алюминиевой пудры,
8*
1|(i .H.'CIII II (’СЛЕДОВАН! ГЕ УСТАНОВИВ!!!. РЕЖИМУ |r;i 10
взвешенных в воде модели u освещённых сбоку. Фотогра-
фия показывает, как поток с. осевой симметрией внутри
печи самопроизвольно преобразуется па протяжении
модели в ноток с диаметра.ii.noii антисимметрией: < права
тёплая жидкость поднимается, слева холодная опускается
(ср. рис. ill, где дана фотография верхней части топ же
моде. । и).
При очень .ua.ibi.r мощностях подогрева в модели,
заполненной жидкостью, наблюдается, так же как и в слу
чае твёрдого тела, показательный закон распределения
температур. -Нот закон оправдывается только тогда
и только в тех частях .модели, где градиент температуры
не достиг характеристической величины. Надо Jio.iaraib,
что при этих малых .мощностях и соответствующих градиен-
тах конвективного движения пет и неподвижная жидкость
ведёт себя юж твёрдое тело. На каждом участке модели
градиент температуры пропорционален мощности подо
грена.
При включении в цепь печи тока полыней сиг!Ы сначала
также наблюдается более пли менее бурный нестаппопар
иый режим, довольно быстро сменяющийся новым ре
жимом, который только условно можно назвать стацио-
нарным. Температурная запись идёт теперь неровно н
обнаруживает неправильные ко.п-бания. Вертикальный
градиент температуры испытывает скачки (достигаю-
щие 30% его сроднен величины). Отот средний градиент
на каждом участке моде.тп практически пропорционален
мощности подогрева.
Проверочными опытами со взвешенной алюминиевой
пудрой установлено, что теперь конвективный поток
имеет турбулпзованное < троение, причём .масштаб турбу-
лентности имеет порядок диаметра капала моде.тп.
Таким образом, при малых вертикальных градиентах
температуры жидкость, невидимому. неподвижна, перенос
тепла вдоль моде.тп обусловлен, вероятно, молекулярной
теп. гопроводпос тыо. При щстпжепнп характеристического
градиента температуры возникает ламинарное конвектив-
ное движение жидкости, которое способно переносить
большие тепловые мощности в сравнительно широком
интервале .этих мощностей. Превзойти характериотвческвн
§ 2| ПОСТОЯНСТВО 311 ХЧЕН. КОП ВЕ1.ТПВИ. и ХРЛМЕТР \ 117
градиент возможно исключите. тыю за счёт нарушения
ламинарного движения жидкости, т. е. за счёт турбули-
зации*). Тепловые свойства такого турбулнзоваиного
конвективного потока похожи на свойства твёрдого тела.
Отсюда видно, что характеристический градиент имеет
критериальное значение; величиной iриннеита опреде-
ляется характер движения жидкости. Ниже итого i радн-
епта жидкость в покое, при нём поток жидкости .ш.мп-
иареп. выше его ноток' турбу.тнзован.
Характеристический градиент определяет гидродина-
мический кризис; резкое качественное изменение харак-
тера движения жидкости. Ту p6y.ni зова иное движение
жидкости можно охарактеризовать как сверхкрнтнческое.
§ 2. Постоянство значения конвективного параметра
в ламинарном режиме
Многочисленные обмеры фотозаписей и другие изме-
рения показали, что конвективный параметр (3.16)
£4 =
(Ш.1)
*) Для противопоставления напомним условие ламинарноети во-
шка: уравнения струйки тока не содержат времени и явном виде.
Уравнения струйки тока таковы:
dx dy dz dx V,- dz ?•
= =— или , =— ; - =--
rx- T- dy vy du v„
Для ламинарного движения необходимо, чтобы
<?!’„ dl\ dv,, dv-
0> , ,Гх
dt\Vy>) dt\V,J ,2 ,,2
и 1 v
Отсюда
dvx (,vu "vz
~dt di di dlnvx dlnv,, Mint.
= = пли = , - = !_!_
l'.c I'i, t'z dt lit dt
Для стационарного ламинарного потока — равно нулю.
118 HKCHKl'IIM. ПОСЛЕДОВ\НПЕ X CI И10В11ВШ. НЕЖИМА [1;1 JO
указанный на стр. 51. имеет и действительности почти
постоянное значение, определяемое формулой (5.15),
рис. 4 п табл. II. Например, для стеклянных моделей ато
значение приблизительно равно 1(10. Принимая во внн
манне замечание на стр. Ill о том. что для стеклянных
моделей оказалось около I. приходим к выводу, что
формула (5 15) оправдывается у дов.тетворн гельно для
стеклянных моделей (см., например, табл. VIII).
Тщательные нзлюренпя, произведённые И. В. Славно-
вым с .латунной моделью, заполненной водой, дали зна-
чение И = 186 I 2. Соответствующее значение тенлоиро-
водпостп латуни укладывается в пределы табличных
значений. Отсюда видно снова, что л для металлических
моделей формула (5.15) оправдывается удовлетворительно.
В частности, вполне понятно, что с повышением темне-
ратуры, когда параметр увеличивается, вертикаль
ный г радпент температуры -I должен уменьшаться, чтобы
конвективный параметр Д сохранил своё критическое
значение.
§ 3. Замечание о количественной характеристике
сверхкрптпчеекого режима тепловой конвекции
Для ориентировочной характеристики количества
тепла, переносимого конвекцией в сверхкрвтпческом
режиме, применим условную величину, определяемую
следующим образом:
Здесь Q означает мощность подогрева. Л средний во
времени градиент температуры при сиерхкрнтнческом
режиме, остальные буквы имеют прежние значения.
Если бы Q означало тепловую мощности, переносимую
конвекцией в данном << ченин мо<> .ш (где градиент равен .1),
то выражение (10.2) можно было бы условно назвать кри-
терием Нуссельта Nn’* в применении к передаче тепла
через конвекцию от нижележащих участков модели
ЗАМЕЧАНИЕ О СВЬРХШШТИЧЫЬОМ РЕЖИМЕ Ц9
к вышележащим -о т ж и д к о с т л к ж и д к о с т и
(ср. формулу (5.17)). Точный смысл критерия Нуссельта,
как известно, относится к передаче тепла от т в ё р д о г о
т е л а к ж и д к о с т и, или в а о б о р о т. Таким
образом, параметр^ Nu* в последнем выражении имеет
Рис. 25. Схематическое сопоставление законов передачи
тепла свободной конвекцией *). В крупном масштабе—распо
ложепие экспериментальных точек, полученных на разных
моделях (разные отметки): при ламинарном режиме—верти
кальная полоса, при сверхкритическом режиме—горизон-
тальная полоса. В мелком масштабе передача тепла снизу
вверх от жидкости к жидкости—ломаная линия /, от твёрдо-
го теле к неограниченной жидкости—кривая II, от твёрдого
тела к твёрдому телу через жидкую прослойку—кривая fll.
и высшей степени условное значение. Тем не менее
из нескольких серий опытов с различными стеклянными
моделями выяснилось, что значения Nu* при сверхкрити-
ческом режиме имеют сравнительно небольшой разброс
около среднего значения. Я а двойном рис. 25 в крупном
масштабе показаны полученные результаты, причём раз-
лпчным .моделям в разных опытах соответствуют различ-
ные знаки. Как видим, точки располагаются около двух
пересекающихся прямых, из которых вертикальная
*) По материалу табл. VI1F.
1<() ОЬСИЕГПМ. ПССЛЕДОВ\ИИЕУСТЛЛОВИВ111. РЕЖИМ X [iVl. Ц
соответ< твует ламинарному, горизонта, н.пая сверх кри-
тическому ре > к н ма и.
На том же рисунке n мелком масштабе показано соот-
ношение между указанными пересекающимися прямыми I
и двумя известными зависимостями подлинного критерия
Пуссельта для случаен передачи от твёрдого тела к неси ра-
нпчепной жидкости кривая //, и через жидкие прослои
ки кривая 7/7 (в функции от конвективного критерия с’).
Из этого графика видно следующее.
а) Сколь ни велика условность величины Nu*. всё
же её приблизительная незавшпмость от конвективного
параметра И в сверхкритпческом режиме отражает ана-
логию тепловых свойств жидкости в этом режиме л твёр-
дого тела (ср. начальный участок кривой III).
б) Расположение кривой / находится в разительном
противоречил с расположением известных кривых 1J в III.
Это противоречие вполне соответствует разному содержа-
нию понятий Nu* и подлинного «критерия Пуссельта Nu».
в) Численное значение Nu*, определённое из данных
табл. VIII, 1460 ± 80 несомненно гораздо больше, чем
значение Nu**, имеющее более определённый физи-
ческий смысл. Значение Nu* следует рассматривать как
верхний предел возможных значений Nu** (для исследо-
ванных стеклянных моделей; см. также формулу 10.10).
§ 4. Наличие поперечных градиентов температур
и результаты их измерений
Одним из важнейших признаков ламинарного тепло-
вого конвективного процесса, описываемого формулами
главы 5, § 1, является тот факт, что в этом процессе
один бок модели теплее, чем другой. Экспериментальное
подтверждение этого обстоятельства имеет большое зна-
чение в смысле установления достоверности упомянутых
форму. !.
Для измерения поперечного градиента необходимо
оборудовать модель поперечными термопарами так, как
это описано в главе 9, § 1.
Измерение поперечных температур производилось при
мощностях, близких к критическим. В этих условиях
§ Z,J НАЛИЧИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ ГРАДИЕНТОВ ТЕМПЕРАТУР Jvf
модель иредстап.тяет хороший проводник тепла. Поэтому
роль теплоизоляции становится небольшой; опыты про-
изводились па стеклянных моделях, расположенных
к воздухе без специальной теплоизоляции.
Измеренные поперечные разности температур удобно
сравнпвать с вертикальным характеристичным градиентом
и выражать их через такое число диаметров, модели, на
протяжении которых горизонтальная разность равняется
вертикальной. Такие «относительные» поперечные раз
постя температур, выраженные в диаметрах модели,
имеют определённый физический смысл для ламп парного
режима. Из формулы (5.5) и соседних вытекает, что
поперечная разность температур равна
Or ни 0r п 0 0_ 2-2. (10.3)
Ь I
«Относительная» поперечная разность температур
будет по определению равна
С другой стороны, из формул (5.10), (5.17) и (10.2)
получаем:
уп** _ ' ..а__ > 1 >-S
ъ1{*КЛ~ 2ginir-lA 1 2g'AA/-R2 v
(10.5У
Здесь фигурными скобками отмечено то же выражение,
которое стоит в фигурных скобках в формуле (5.10).
Исключив из последних двух уравнений (10.4) и (10.5)
величину rL, находим;
’'Ll <<L-° Y
" 2g^A<R2 ’ < 2AR ) '
Таким образом, тепловая мощность, переносимая!
ламинарным конвективным потоком, пропорциональна
квадрат) относительной поперечной разности темпе-
ратур.
122 ЭКСНЕРИМ. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТАНОВИВ!!!. РЕЖИМА | гл. 1(1
Для стеклянных моделей, когда/.е =&/.; i — kR^‘3,2:
-4 100, выражение в фигурных скобках прпблизптель'
но равно
| ] 30,3.
Поэтому ирн6.1 н жен по
Если во< иользоваты я формулами (5.22), (3.23) и
вычислить поперечную разность температур 0с, на
внешней поверхности стеклянной модели, то нриблизи
только получится при >.2 ' щ, что *ф. Gf_ почти равно
или немного меньше, чем 0
0(. 0( ^6, -0_. (10.8)
Полетал, шя внешние поперечные разности температур
(у вместо 0, — 0_ в формулу (10.7), мы будем по-
лучать немного заниженные значения
Измерения обнаружили очень значительные внешние
поперечные разности температур. Например, в модели
диаметром около c.w при мощности подогрева
0,169 кал/сек обнаружена относительная поперечная внеш-
няя разность температур в Ю,< диаметра трубы, что
соответствует
\н-:; а 43(i. (10.9)
При критической мощности подогрева на грани пере-
хода ламинарного режима в сверхкритическпй обнаруже-
на «максимальная» поперечная внешняя разность темпера-
тур в 15,5 диаметра (абсолютно 1,3'J Ц), что даёт значение
Nu**^960. (10 10)
Это число следует считать нижним пределом для
числа Nu*, вычисленного ранее из других соображений (§ 3).
Дальнейшие измерения показали, что небольшие укло-
нения оси трубы от вертикали увеличивают поперечную
разность температур. Так как они одновременно увели
чивают и критическую мощность, то они тем более увели-
чивают максимальное значение поперечной разности.
s 51 ФЛУКТУАЦИИ ЛЗИМХ TА ПОПЕРЕЧНОГО П’АДПШП A 123
Например, для наклона оси модели на 5,75 от вертикали
максимальная (подкритическая) поперечная внешняя
разность температур получилась абсолютно равной
2,0е Ц плп 24 диаметрам. Отсюда для наклонной модели
Nu**^2300 (сравн. главу 17 § 4).
Все :>тп измерения касались величины поперечного
градиента температ) р.
§ 5. Флуктуации азимута поперечного градиента
температур
Что касается азимутов поперечной разности температур
(рис. 6), то оказалось, что они более или менее устойчивы
только прп наклонной
модели. Например, при
наклоне в 5е, 75 и мощ-
ности подогрева 0,169
кал сек (ламинарный ре-
шим) вероятные откло
нения азимута ио много-
численным измерениям
получились около±1' .7
душ. При том же на-
клоне и сверхкрптнче
сном режиме (мощность
подогрева 0,68 кал.'еск)
вероятное отклонение
получилось 4:11 дуги.
Знак поперечной раз-
ности в наклонной мо
Рис. 26. Самопроизвольное вращение
азимута диаметральной антисиммет-
рия. зарегистрированное посредством
двух нар «поперечных» термопар, за
промежуток времени в 26 минут. По
осям координат —• «относительные»
поперечные разности температур
в диаметрах модели D.
дели соответствует при-
митивным представле-
ниям: верхний бок теп-
лее нижнего.
При вертикальной
модели азимут попереч-
ной разности темпера
тур очень неустойчив
даже при ламинарном режиме. Наблюдаются случайные
расположения плоскости диаметральной симметрии и сё
124 ОКОП El’ll М. ПОСЛЕДОВ ХИНЕ 5 ( Г MIOB11BIII. РЕЖИМА || л. JQ
самопроизвольные повороты. В качестве примера на
рис. 26 приведён временной ход относительно)! попереч-
ной BiieiHiieii разноси) температур с учётом его ази-
мута. В этом диаграмме по осям координат отложены
одновременные значения относительной поперечной раз-
ности температур (выраженные и диаметрах), наблю-
дённые посредством обоих комплектов термопар. Если
складывать зтп значения ио правилу параллели)рам
ма, то с каждой парой таких значении можно соче-
тать определённое направленно вектора относите,)ьнон
поперечной разности температур. Он совпадает по на
правлению с нормалью к плоскости антисимметрии.
Длина его точнее обрисовывает поперечную разность
температур, чем каждая из составляющих порознь. Именно
:>ти значения н принимались выше в расчёт.
Последний рисунок показывает, как поперечная раз-
ность температур описала за полчаса почти целую окруж-
ность (пометки сделаны через минуту времени).
Г . I л в л и
DKCIIEI’HMEUTAJEUOE ИССЛЕДОВАНИЕ
НЕСТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ ТЕПЛОВОЙ
КОНВЕКЦИИ В МОДЕЛЯХ КРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ
§ 1. Теоретические соображения, основанные*
на рассмотрении стационарного процесса
На рис.. 27 изображён отрезок модели скважины. При
ne<<>nej>iiiciinou теплоизоляции этого участка часть удель-
ного тепла </t - рсОг?., транспортируемого копиекцпей снизу,
от источника, будет больше, чем часть сдельного тепла <].>,
уносимого вверх, так как па протяжении участка часть
удельного тепла д' уйдёт через теплоизоляцию. Поэтому
кривые д. с п О на верхней границе участка скважины
будут ниже соответствующих кривых, относящихся к пнж-
neii границе того же участка. Отсюда следует, что часть
струек конвективного потока из восходящего русла
(справа) будет загибаться в пнсходяч1.ее русло (слева).
В центральном сечении скорости жидкости хотя и малы,
ио не нули, и направлены горизонтально. Теория этого
явления освещена в главе 15, § 5.
Опыт подтверждает эту теоретическую картину.
На рис.. Ill дана фотография конвективного потока, кото-
рый сделан видимым путём прибавления к воде неболь-
шого количества алюминиевой пудры, ярко освещённой
сбоку. Моделью служила тонкостенная стеклянная
трубка, диаметром 38 40 мм, без всякой теплоизоляции,
подогреваемая в её нижней части. 11а фотографии видно
загибание струек как около холодной крышки, так и на
протяжении модели в соответствии со схемой рис. 27
(ср. рис. 11).
126 экспквпм. исследование пестап. режимов [1Л. и
Рис. 27. Эскиз теоретического
распределения скоростей г,
температур 0 и теплопотоков
q в двух сечеппях модели, а
также форма струек тока
(в плоскости симметрии) при
наличии теплогппсрь в стенки
модели <?'.
Ввиду того, что при конвективном ламинарном по-
токе вдоль модели устанавливается постоянный градиент
средней по сечеппю температуры, эта средняя темпера-
тура, а вместе с ней п по-
тери тепла через несовершен-
ную теплоизоляцию у' явля-
ются линей и о й функцией
вертикальных расстояний -
вдоль модели. Расход тепла,
необходимый для покрытия
потерь от верха модели до
данного сечения z, есть
квадратичная функция рас
стояния Вместе с тем,
подвод полного количества
тепла Q, покрывающий эти
теплопотерп. является также
квадратичной функцией от с.
Поэтому скорость t есть
снова л п н е й пая функция
расстояния
•' f . (11.1)
"m
Здесь начало отсчёта вер-
тикальных расстояний z по-
ложено в том сечении, где
конвективное движение пре-
кращается. Дальше этого
сечения передача тепла про-
должается, но, вероятно,
только за счёт молекулярной
теплопроводности жидкости
и стенок модели. Этот про-
цесс соответствует передаче
тепла через твёрдый стержень, п соответствующая
температура есть показательная функция расстояния z.
Сопряжение обоих законов происходит при z = 0 в ус-
ловиях непрерывности как средних температур, так и
тепловых потоков, т. е. температурная кривая в этом
случае не имеет ни скачка, ни излома.
§ I]
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СООБРАЖЕН ИЯ
127
На рис,. 2S изображено
пых масштабах описанное
распределение температур
о скоростей. Выше точки
- = 0 показательный за-
кон изменений темпера
тур сочетается с отсут-
ствием конвективной ci;n-
р< >стп с.
Между обоими боками
модели, где cosa>=: -J-1 и
скорости восходящего и
нисходящего тока соответ-
ственно максимальны, бу
дет наблюдаться «попереч-
ная» разность температур
О 0_ = 4'^ к. (I1.2)
Поэтому на том же
рисунке можно в соответ-
ственно подобранном мае
штабе изобразить О О
тою же прямой, что и г.
На основании уравне
пня (11.1) МОЖНО ВЫЧИс
лить эффективный путь
теплового потока за бес-
конечно малый промежу
ток времени dl:
dz = rdl = z±mdl. (11.3)
"TH
Интегрируя это урав
пение, можно определить
и зависимость пути,
в соответственно подобран-
Гис. 28. Предположительное рас
иределевие скоростей г, темпера
тур 0 п поперечных разностей
температур 0+—0 для модели,
подогреваемой снизу прп наличии
теплопотерь через стенкн в ламп
парном режиме тепловой конвек-
ции. На высоте z=0 конвекция
прекращается. Выше этого сече-
пия теплопередача происходит
только через молекулярную теп-
лопроводность по показательному
закону. За нуль температур при-
нята температура окружающей
среды. В сечении zm скорость
имеет значение vt„.
потоком, от времени
проходимого
in[-3f2(e+-6jl. ^(z-/m).
L J
(11.4)
128 эксппепм. последов\iihe пкстдц. режимов [i.i. II
II.; этой формулы вытекает, что время /, потреб-
ное для добегапия конвективного потока до сечения z,
есть логарифмическая функция от з, от с плп от
(О -0 ).
§ 2. Коренные отличия нестационарных режимов
при наличии и в отсутствии конвекции
Для исследования нестационарных режимов электро
печь модели была подсоединена к аккумуляторной батарее'
через программный переключатель. <hi представляет собой
отельный телефонный шаговой искатель, по очереди
вы водящий н вводящий в цепь нечн добавочное сопротивле-
ние. Секции этого добавочного сопротивления были
подобраны так, чтобы мощность печи изменялась прибли-
зительно в отношениях 0: I : 2: 3: 4 : 3: 2 1:0. Мощность
подогрева соответствовала 0:0.012; 0.025; 0,040; 0,054 н г. д.
калорий в секунду. Продолжительность выдержки на
каждой ступени мощности составляла 3 часа. Па рис. IV
приведён пример заноси.
Для сравнения на рис. V приведена аналогичная
запись, когда вместо воды в бюретку был введён плотно
входящий .латунный стержень. Выдержка па каждой сту
пени мошпостп составляла 2 часа. Сопоставление обоих
фотографий показывает, что явления конвективной тепло
проводное! и отличаются от соответствующих явлений
молекулярной i с и,юироводностн в твёрдом стержне.
В установившемся режиме отличие заключается в сом,
что температуры (расстояния горизонтальных участков
кривых от нулевой линии) различных термопар следуют
в случае конвективного переноса тепла линейному, в слу
чае твёрдого стержня —показательному законам. Пезна
чптельное нарушение первого у самых горячих термопар
обусловлено их близостью к печке, около которой резко
выражены к горизонтальные составляющие скорости
(что можно видеть па рис. II. где показана нижняя
часть потока, представлен него на рис. Ш).
В нестационарном режиме отличие заключается в том.
что изменение температур со временем по показательному
закону, отлично выраженное при твёрдом стержне, лини,
весьма нрнб. тишельно выражено в конвективном случае.
;ij
ЗАПИСЬ ПОПЕГКЧ НИМИ ТЬЖМОИЛРЛМИ
129
Особенно резкое отличие заметно в начале записи.
Па рис. VI и VII приведены фотозаписи, снятые при уско-
ренном движении фотомате-
риала. Видно, как тепловой
процесс добегает но очере-
ди от термопары к термо-
паре. Па рис. VIII приведе-
на фотография, полученная
II. II. Мерзляковым па дру
гои модели. По обмерам на-
чальных участков рис. IV
и VIII построен график
рис. 29. В нём по оси абс-
цисс отложено время г. про-
извольном масштабе, соот-
ветствующее первому замет-
ному отклонению темпера-
туры данной термопары от
температуры кожуха, по оси
ординат — логарифм устало -
вившейся средней темпера-
туры (относительно кожуха).
Как видим, точки хоро-
шо укладываются на пря-
Рпс. 29. Линейная зависимость
логарифма стационарной тем-
пературы от времени добега-
ния конвективного процесса до
соответствующей термопары.
мне.
Таким образом, формула
(11.4) получает первое экспериментальное подтверждение.
§ 3. Нестационарные процессы, записанные
поперечными термопарами
Фотозаписи приведённого типя рисуют ход средней
температуры в данном сечении модели. Эта средняя
температура устанавливается в результате затраты пере-
носимого конвекцией тепла на нагревание данного участка
модели и на покрытие теплопотерь. Поэтому на записях
перенос тепла проявляется только в виде его результата,
а не сам по себе. Интенсивность переноса можно лучше
проследить по наблюдениям поперечной разности темпе-
ратур 0 —0_.
У Г. А. Остроумов
130 Э1.СП14РНМ. ИССЛЕДОВАНИЕ Т1ЕСТАЦ. РЕЖИМОВ [1Л. Ц
Для этого была сооружена новая модель из бюретки,
как было описано выше, па стр. 94 ([9 1]; стр. 991). Она
имеет несколько поперечных термопар, укреплённых па
расстояниях 50 мм друг от друга, и три усредняющих
термопары, укреплённые вперемежку с первыми на рас-
стояниях 200 .н.п друг от друга. Поперечные термопары
были устроены следующим образом. Медный провод диа-
метром 0,41 мм протянут по образующей вдоль бюретки.
С противоположной стороны к бюретке прибинтованы
вдоль образующей восемь ромбиков из медной фольги
толщиной 0,10 мм со стороной в 73 диаметра бюретки
и углом в 60е.
К середине каждого ромбика своей серединой припаян
константановый провод диаметром 0,21 мм, которым
охватывал бюретку как пояском. Этот провод своими кон-
цами был припаян в одной точке к продольному медному
проводу.
Медные проводники, подпаянные к уголкам ромбиков,
были подсоединены к переключателю гальванометра.
Продольный медный провод был присоединён к i альвано-
метру непосредственно и служил общим проводом всех
термопар.
Для стабилизации азимута ламинарного конвектив-
ного процесса модель была укреплена под^/450 к вер-
тикали без всякой теплоизоляции так, что медный про-
вод совпадал с верхней, а ромбики с нижней образующей
модели. Таким образом, поперечные термопары изме-
ряли в некотором масштабе поперечные внешние разно-
сти температур 0(.+— 6С_, т. е. скорости конвективного
потока V.
Параллельными опытами с другими моделями было
установлено, что наклон модели вплоть до 45° к вертикали
не сильно нарушает процесс конвективной теплопередачи
в его наиболее существенных чертах (глава 17).
На рис. IX показан пример записи. Вверх от нулевой
линии записана температура нижней усредняющей тер-
мопары. Вниз записаны поперечные температуры нижней
(первой) и верхней (восьмой) термопар.
На рис. X показан пример записи, когда скорость дви-
жения фотоленты увеличена и вместо усредняющей тер-
§ 4J
и i >i i j У ж де Иные те 11 л о 111.1 к 1; । I е 1; \ 11 и я
131
мопары была включена средняя (четвёртая) поперечная
термопара. На фотографии видна поочерёдная запись
нижней (верхняя кривая), средней и верхней (нижняя
кривая) термопар, а также пулевая линия, Стрелкой
в левой части записи помечен момент включения, в пра-
вой—момент выключения печи. Па рис. 30 показано
время добегания конвектив-
ного процесса, считая от
момента включения печи (абс-
цисса), в зависимости от
логарифма установившейся
поперечной разности темпе-
ратур (ордината); точки ло-
жатся на прямую.
Таким образом, формула
(11.4) получает второе экспе-
риментальное подтвержде-
ние.
§ 4. Вынужденные
тепловые колебания,
вызываемые модуляцией
мощности подогрева
Дальнейшие опыты ве-
лись со второй моделью, опи-
санной в § 3, п состояли в пе-
риодическом изменении (мо-
дуляции, вынужденных колебаниях) мощности подогрева.
Период составлял 6 минут. На рис. XI и XII показан
пример записи. На фотографии видно запаздывание
конвективных воли, порождаемых включением и выклю-
чением добавочной мощности (моменты включений и вы-
ключений отмечены стрелками), по мере движения их
вдоль модели. Применяя методы гармонического ана-
лиза, можно подсчитать соответствующие сдвиги фаз
или времена запаздывания конвективного сигнала. Нанося
на график координаты термопар и соответствующие откло-
нения гальванометра, можно найти экстраполяцией коор-
динату той точки, где конвектпвпый поток прекращается.
9*
Время до бегания
Ряс. 30. Линейная (зависи-
мость логарифма поперечной
стационарной разности темпе-
ратур от времени добегания
конвективного процесса.
132 •>!.< HKI'll M. IIOC.II ЕДО H A II ПК II El '.T All.'РЕ’.В И МО В I |VI ||
Считая ату точку за начало отсчёта продольных расстоя-
ний z и нанеся на новый график время запаздывания
в функции от логарифма новых координат термопар, по-
лучим график рис. 31 (па график нанесены результаты об-
работки нескольких опытов). Из этого графика видно, что
Рис. 31 Результат гармонического анализа фо-
тографий рис. XI. Линейная зависимость (сред-
него) фазного угла тепловой волны (времени
добегания) от логарифма координаты поперечной
термопары.
точки вновь ложатся на прямые, пересекающиеся вблизи
координаты центра печи. По графику можно опреде-
лить тепловую инерцию печи, которая задерживает
развитие конвективных явлений приблизительно на
80 сек.
Таким образом формула (11.4) получает третье
экспериментальное подтверждение.
На рис. ХТП показан пример записи температурных
волн Ангстрема в применении к конвективному переносу
тепла. Эта запись пока не поддалась наглядной расшиф-
ровке.
§ 5] СОБСТВЕННЫЕ ТЕПЛОВЫЕ ЗАТУХАЮЩ. КОЛЕБАНИЯ 133
§ 5. Собственные тепловые затухающие колебания
при конвекции в моделях ограниченной длины
При опытах, аналогичных тем, которые записаны на
рис. XI и XII, по соответствующих большим мощностям
подогрева, было замечено, что кривые приобретают вид
затухающих синусоид (см. так-
же верхние кривые рис. VII Б
и рис. VIII).
Типичная кривая приведена
на рис. 32, на котором запи-
сана разность температур по-
средством средней (четвёртой)
поперечной термопары.
Опытами, носящими предва
рительный характер, установ-
лено, что «период» соответству-
ющих колебаний тем меньше,
чем больше мощность подо
грева и чем короче столбик
жидкости, находящейся в дви-
жении. «Затухание» колебаний
увеличивается с уменьшением
мощности подогрева. Эти об
стоятельства заставляют пред-
полагать, что колебания ото-
бражают факт кругового тече-
ния жидкости в модели. Опре-
делённая порция жидкости, по-
лучившая более высокую тем
Рис. 32. «Собственные»
тепловые колебания в мо-
дели, наклонённой под Z 45°
к вертикали, записанные
средней поперечной термо-
парой. Стрелками поме-
чены моменты включения
и выключения печи. Мощ-
ность 3,0 кал! сек.
пературу, повторно минует
данную термопару. С течением времени эта порция пере-
мешивается и обменивается теплом с окружающими
объёмами жидкости, и явление затухает. На рис. VIII
заметно, как период этих колебаний удлиняется по мере
добегания конвективного процесса до всё более удалённых
термопар, т. с. по мере удлинения столбика жидкости,
повлечённого в конвекцию.
ГЛАВА 12
КОНЦЕВЫЕ ЯВЛЕНИЯ ПРИ ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ
В МОДЕЛЯХ КРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ (ИССЛЕДОВАН-
НЫЕ МЕТОДОМ ТЕМПЕРАТУРНОЙ РЕГИСТРАЦИИ)
§ 1. Общее распределение средней по сечению
температуры вдоль всей вертикальной модели
Гидродинамическая характеристика концевых явлений
представлена на рис. II и III.
С точки зрения физике- математического исследования
больший интерес представляют простейшие явления около
плоско й крышки (илп два) модели.
Для измерения средних по периферии температур
непосредственно по всей высоте столбика жидкости (в том
числе у дна и крышки), в котором происходит тепловая
конвекция, была изготовлена специальная модель, изо-
бражённая на рис. 33. В лапках массивного держателя 1
укреплены: сверху латунный стержепь 2, снизу цилин-
дрический стеклянный резервуар 3 с пробковым дном.
Сквозь это дно проходит стеклянная трубочка, закрытая
пробкой, на которой свободно сидит латунный поршень 4.
На утончённую снизу часть этого поршня намотан высо-
коомный эмалированный провод электрической печи.
На стержепь 2, трубку и поршень 4 надета с лёгким трением
вторая цилиндрическая стеклянная трубка 5, диаметром
около 1 ем. Па её середину намотана в одни слой тонкая
медная эмалированная проволока, составляющая изме-
рительное термосопротивлепие 6. Трубка 5 снабжена резер-
вуаром с проточной водой 7 п воронкой запаса 8. Средняя
часть трубки 5 (с катушкой б) окружена ватиновой тепло-
изоляцией, не показанной на чертеже. В резервуар
§ 1]
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕ!! ТЕМПЕРАТУРЫ
1:
Рис. 33. Эскиз аппарата для исследования
средней периферической температуры по
всей длине вертикальной модели: I—держа-
тель, 2—поршень, 3—резервуар со ртутью,
•/—горячее дно столбика жидкости, 5—под-
вижная трубка модели, 6—катушка термо-
сопротивления, 7—водяное охлаждение,
S—резервуар запаса, 9—мостиковая схема
для измерения температуры.
136 КОНЦЕВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В МОДЕЛЯХ КРУГЛ. СЕЧЕНИЯ [гл. 12
Рис. 34. Мостиковая схема для из-
мерения температуры: 6—катушка
термосопротивления, 9—плечи мо
стика, 10—рубильник для обозна-
чения на фотографиях масштаба
температур, 11—автомат для обо
значения на фотографиях нулевой
лнппи и марок времени.
собой мостик, уравновешенный
налита ртуть, образующая уплотнение ртутного запора.
Поверх неё в трубку 5 налита дистиллированная вода,
частично выступающая в резервуар 8.
При помощи часового механизма п копрового устрой-
ства, не показанных на чертеже, система деталей 5—6—7—
8 приводится в очень медленное движение (11,8 мм в час)
в вертикальном напра-
влении. Скорость этого
движения совпадает си
скоростью движения фо-
томатериала в регистри-
рующем устройстве. Та
ким образом, термосо-
протпвлеипе 6 регист-
рирует сначала темпе-
ратуру поршня 4, слу-
жащего горячим дном
водяного столбика, по-
том температуру водя-
ного столбика па раз-
ных высотах, наконец,
температуру конца стер-
жня 2, служащего хо-
лодной крышкой водя-
ного столбика.
Термосопротивление
6 включено в схему,
показанную на рис. 34.
Эта схема представляет
для некоторой средней
температуры опыта. Сопротивления плеч 9 подобраны
так, что они образуют одновременно критическое со-
противление фоторегистрирующего гальванометра. Ру-
бильник 10 шунтирует 1,6% всего сопротивления этого
плеча мостика. Поэтому замыкание его разбалансиро-
вывает мостик так же, как повышение температуры
катушки на 4°Ц. Включение рубильника 10 произво-
дится от руки и служит для градуировки фотозаписи.
Контакт 11 выключается автоматом через каждый
час па несколько десятков секунд. Соответствующие
§ 1]
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ТЕМПЕРАТУРЫ
137
отметки па фотозаписях
служат реперами: они
дают и марки времени
и намечают нулевую ли-
нию. Параметры всей
схемы подбираются так,
чтобы обеспечить макси-
мальную чувствитель-
ность мостика при наи-
меньшем нагреве катуш-
ки 6.
Па рис. 35 приведен
пример записи. Па нём
помечены оси координат:
вертикальное расстояние
в натуральную величину
и температура термосо-
противления 6, а также
места, занимаемые дном
и крышкой полости мо-
дели. В области 1 кривая
соответствует концу не-
стационарного режима
после включения печи и
водяного охлаждения.
Область 2 соответствует
записи температуры дна,
область 6—записи темпе-
ратуры крышки, область
7—записи нестационар-
ного режима после вы-
ключения печи и водя-
ного охлаждения. Отброс
х представляет собой гра-
дирующий отброс, 4 °Ц,
получаемый путём вклю-
чения на короткое время
рубильника 10.
Посредине фотогра-
фии проходит ряд репер-
Рис. 35. Распределение средней по
периферии температуры по высоте
вертикальной модели. Слева эскиз
размещения по вертикали горячего
дна и холодной крышки водяного
столбика. Справа автоматическая
фотозапись температуры, х—мас-
штабное отклонение 4 'Ц, 1—конец
нестационарного режима после
включения печи, 2—температура
горячего дна, 3—показательный
закон распределения средней по
периферии температуры в жидкости
около горячего дна, 4—характери-
стический градиент температуры
в средней части столбика модели,
•5—показательный закон распреде-
ления температуры вблизи холод-
ной крышки, б—температура хо-
лодной крышки, 7—показательный
закон изменения во времени темпе-
ратуры крышки после одновремен-
ного выключения печи и водяного
охлаждения. Нулевая линия отме-
нила часовыми марками времени,
138 КОНЦЕВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В МОДЕЛЯХ КРУГЛ. СЕЧЕНИЯ [гл. 12
иых точек, намечающих нулевую линию и представляю-
щих часовые марки времени. Температура столбика
жидкости в модели — средняя по периферии — сильно
изменяется около дна и крышки — области <3 и 5 — и слабо
изменяется в средней части модели — область 4. На фото-
записи заметны зубчики, изобличающие некоторую не-
устойчивость конвективного процесса в области 4.
Приведённая фотография даёт поучительную картину.
Она показывает, что при конвекции вдоль средней части
модели действительно устанавливается небольшой верти-
кальный градиент температуры, соответствующий более
низкой температуре в верхней части, который у дна и у
крышки переходит в другой закон- показательный закон
изменения температуры.
Тот факт, что общий перепад температуры у дна
в области 3 превышает общий перепад температуры
у крышки в области 5, обусловлен теплопотерями на
протяжении столбика модели: количество тепла, полу-
чаемое от дна, расходуется не только на передачу тепла
у крышки, по и па теплнпотерп на протяжении модели.
§ 2. Метод столбика переменной длины
В целях дальнейшего изучения концевых явлений была
изготовлена и исследована вторая модель, изображённая
в разрезе па рис. 36. В нижний конец стеклянной трубки 1,
диаметром около 1 см, вставлена почти втугую медная
фигурная пробка 2, причём зазор уплотнён обрезком рези-
новой трубки 3. На пробку 2 намотан эмалированный
высокоомный провод печи 4, так что вся пробка служит
горячим плоским дном модели. В модель с лёгким трением
входит массивный медный поршень й со штоком, оканчи-
вающимся ушком 6‘. Верхняя часть модели окружена охла-
ждающим резервуаром 7, наполненным водой. Таким
образом, поршень б образует холодную крышку столбика
жидкости Л’, в которой возбуждается изучаемое конвек-
тивное движение. Этот столбик образован дистиллиро-
ванной водой, налитой в трубку 1 почти до верха. На
стекло трубки на расстоянии 2 -3 диаметров друг от друга
намотаны две однослойные катушки тормосопротиплспия .9
§ 2|
МЕТОД СТОЛБИКА ПЕРЕМЕННОЙ ДЛИНЫ
139
из тонкого медного
эмалированного про-
вода, включённых
в два соседних пле-
ча мостика. Мостик
уравновешен тогда,
когда обе катушки
имеют одинаковую
температуру. При
равновесии включе-
ние или выключение
рубильника 11 не
сопровождается от-
клонениями зайчика
фоторегистрирующе-
го гальванометра.
Рубильник 10 ис-
пользуется для гра
дуировки чувств!!
тольности так, как
это было описано
выше.
Поршень 5 за уш-
ко 6 сцеплен с коп-
ровым устройством и
часовым механизмом,
при помощи которых
он может двигаться
вверх или вниз со
скоростью фотомате-
риала в регистри-
рующем устройстве
(11,8 мм в час).
Предполагается,
что катушки .9 будут
иметь температуру,
почти равную темпе-
ратуре дна и крышки
столбика 8. Таким
образом, при задап-
Рис. 36. Эскиз аппарата для исследова
ния распределения температур методом
столбика переменной длины: 1—верти-
кальная трубка модели, 2—горячее дно,
3—резиновое уплотнение, 4—печь,
5 — подвижной поршень — холодная
крышка столбика жидкости, 6—ушко
для копрового тросика; 7—резервуар
холода, f—столбик жидкости, в кото
рой происходит конвективное движе-
ние, О—две катушки термосопротивле-
пия, образующие два плеча измери-
тельного мостика, 10— рубильник мас-
штабного отклонения, //—автомат ма-
рок времени и нулевой липин.
140 КОНЦЕВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В МОДЕЛЯХ КРУГЛ. СЕЧЕНИЯ [гл. 12
ной мощности подогрева печи 4 показания гальванометра
приблизительно пропорциональны «тепловому сопроти-
влению» столбика 8. Мало того, поднимая нижний
край поршня выше верхней катушки термосопротивле-
ния, можно проследить за средней по периферии темпе-
ратурой модели п о д её холодной крышкой.
Предварительные опыты с этой моделью состояли
в визуальных гидродинамических наблюдениях движения
между дном 2 и крышкой 5 пробковых опилок, подмешан-
ных к воде. Наблюдения велись посредством бинокуляр-
ного микроскопа сквозь стенку модели. Яти наблюдения
показали, что при заданной мощности подогрева опилки
остаются в покое при малых расстояниях между дном
и крышкой. По море увеличения этого расстояния возни-
кает ячеистое движение Бенара [12 1]. Чем больше мощ-
ность подогрева, тем при меньших расстояниях между
дном и крышкой возникает это движение, тем мельче
ячейки п тем интенсивнее в них движение. При даль-
нейшем подъёме крышки это ячеистое движение переходит
в антисимметричное движение, иллюстрированное фото-
графиями рис. II и III.
По окончании этих предварительных гидро динамиче-
ских наблюдений модель была одета ватиновой теплоизо-
ляцией и исследование продолжалось методом темпера-
турной регистрации.
На рис. 37 приведён пример полученных записей.
Масштабный выброс вверх в начале записи (слева) соот-
ветствует указанному числу градусов Цельсия. Часть
кривой 1 описывает установившийся тепловой режим, когда
поршень 5 лежит на дне 2. Часть кривой 2 соответствует
умеренным расстояниям поршня от дна, пока конвекции
ещё не возникает. Чем больше это расстояние, тем больше
и разность температур между дном и крышкой. Эта раз-
ность почти пропорциональна расстоянию: в действитель-
ности кривая представляет собой начальную часть пока-
зательной кривой. Здесь жидкость ведёт себя как твёрдое
тело. Тепловое сопротивление пропорционально длине
столбика модели. Часть кривой 3 соответствует конвек-
тивному ламинарному режиму. На протяжении значи-
тельного расстояппярразность температур почти не зависит
МЕТОД СТОЛВПНЛ ПЕРЕМЕШЮП ДЛИНЫ
141
Рпс. 37. Записи температурных разностей
методом столбика переменной длины.
142 КОНЦЕВЫЕ ЯВЛЕНИЯ Ji МОДЕЛЯХ 1.1>УГЛ СИНЕНИЯ [гл
от расстояния между дном и крышкой: тепловое сопро-
тивление. модели почти пе зависит от её длины, оно почти
целиком определяется концевыми областями около дна
я крышки.
Бросается в глаза резкость переходов от области 1
к области 2 -момент отрыва поршня от горячего дна— и от
области 2 к области 3—момент возникновения конвектив-
ного движения. Впрочем, последний переход происходит
ступеньками, как бы в несколько приёмов. Это, невиди-
мому, соответствует последовательной смене нескольких
ячеистых форм конвективного движения.
Область 3 кончается тогда, кш да нижний торец nopin-
ия 5 минует верхнюю измерительную катушку термосо-
противления. Теперь начинается область кривой 4, которая
соответствует постепенному уменьшению разности темпе-
ратур между измерительными катушками. Эта область
обусловлена тем, что уходящий вверх поршень уносит
с собой прилегающую к нему область больших темпера-
турных градиентов и низких температур.
Перепад температур около крышки в области 5 меньше,
чем перепад у дна в области 2 (ср. область 5 и область
3 на рис. 35). Область 5 соответствует режиму охлаждения
модели после выключения печи.
На рис. 37 приведены примеры фотозаписей, соответ-
ствующие различным мощностям подогрева, обозначен-
ным на каждой фотографии. Всего фотозаписями охвачев
диапазон мо!цностей подогрева от 0,00165 до 1 кал!сек.
В начале некоторых записей заметен нестационарный
режим, сопровождающий включение печи.
Из сопоставления этих фотографий видно, что чем
больше мощность подогрева, тем круче и короче подъём
кривых в области 2, где жидкость ведёт себя в тепловом
отношении почти как твёрдое тело.
Особый интерес представляет фотозапись 5 на рис. 37.
Области 7, 2 и 3 развиты в пей почти так же, как и на
предшествующих кривых. Правда, в области 3 заметны
зубчики, изобличающие неполную стационарность кон-
вективного процесса при столь больших мощностях
подогрева, которым соответствуют большие скорости
конвективного движения. Эти зубчики на кривой 5 при-
МЕТОД ПОДПИСНОГО JIOl'llIEUbKA
143
§ 3]
близитольно вчетверо крупное, чем на кривой 4, которая
почти вдвое ниже кривой 3. Это подчёркивает нелинейную
природу указанной неполной стационарности процесса.
Что же касается области 4, то здесь обнаружена особен
пость, которую интерпретировать пока по удалось.
Записи, полученные при опускании поршня в модели,
дали результаты, вполне сходные с теми, которые полу-
чаются при поднимании поршня, и приведены на послед-
них фотографиях.
В целом приведённые кривые очень поучительны,
однако количественных заключений из них извлечь также
пока не удалось.
§ 3. Метод подвижного поршенька
Интересный и простой эксперимент можно осуществить
следующим образом. В модель рис. 38 на тонкой нитке
опущен медный цилиндрический поршенёк /, с незначи-
тельным трением входящий в модель. Высота цилиндрика
приблизительно равна его диаметру—внутреннему диа-
метру канала модели. Если регистрировать среднюю тем-
пературу по периметру в каком-либо сечении модели 2
и в то же время медленно вытягивать цилиндрик из
глубины модели, то получится запись, подобная рис. XIV.
Эта запись произведена при помощи термосопротивления
по схеме, рис. 34. Перед записью в канал модели был
опущен короткий медный стержень 3, входящий в модель
с лёгким трением: верхний ого торец служил горячим дном
водяного столбика; середина стержня приходилась внутри
печи.
Пока цилиндрик лежит на дне, конвективный процесс
развёртывается над ним и температура термосопротивле-
ния 2 мало отличается от температуры резервуара холода
вверху модели. В момент отрыва цилиндрика 1 от дна 3
на кривой возникает характерный зубчик, отмеченный на
фотографии рис. XIV цифрой 1. Цифрой 2 помечен момент,
когда верхний торец цилиндрика вступает в плоскость
измерительной катушки, цифрой 3—когда нижний торец
его выходит из её плоскости. На протяжении участка 1—2
термосопротивление регистрирует постепенное повышение
И4 КОНЦЕВЫЕ ЯВЛЕНИИ В МОДЕЛЯХ hl’J 1.11. СЕЧЕНИЯ [1л. 12
температуры у дна модели, образованного движущимся
цилиндриком, т. е. и а
Рис. 38. Метод подвиж-
ного поршенька: 1—под-
вижной поршенёк на
нити, 2—катушка термо-
сопротивления, 13—горя-
чее дно модели.
д ним. Заметно, что чем ближе под-
ходит тёплый поршенёк к измери-
тельной катушке термосопроти-
вления, тем быстрее повышается
её температура. На участке 2- 3
поршенёк находится внутри измс
рительпой катушки. При этом её
температура повышается лишь не-
значительно в связи с конечной
теплопроводностью материала пор-
шня. Точка 4 соответствует момел
ту выключения тока подогрева.
Па протяжении участка 3—4 за-
регистрирована температура под
поршнем. Заметно сначала бысз
рое повышение температуры, спя
зап ное с удалением поршня, за
тем более плавное ее пониже-
ние, связанное с влиянием тепло-
потерь через несовершенную теп-
лоизоляцию.
На протяжении всей записи
заметны зубчики, изобличающие
неполную стационарность кон-
вективного ламинарного процесса.
§ 4. Метод замещения
Особенно наглядны фотозапи-
си, получаемые таким же обра-
зом, как на рис. 38, но связанные
с регистрацией температур во мно-
гих сечениях модели и получающиеся при замене корот-
кого поршенька длинным стержнем. По сути дела, этот
метод соответствует плавному замещению жидкости
твёрдым стержнем (или наоборот) в процессе конвекции.
Следующие фотозаписи были получены со стеклянной
моделью, как па рис. 14, диаметром 10,76/12,77 мм,
у которой пять нижних термопар были расположены на
§ Ч
метод замшцнлпя
145
расстояниях по I0 .им, остальные на расстояниях 30 мм
друг От друга. При снятии разных фотографий верхняя
кромка латунного стержня, вдвинутого внутрь печки
и образующего горячее дно модели, занимала несколько
разные положения относительно термопар. Например,
на рис. XV записано два опыта, когда эта кромка как раз
приходилась посредине между двумя нижними осродня ю-
гцими термопарами. Опыты заключались в записи тепло-
вого пронесся в модели при движении в ней латунного
стержня, почти сплошь заполняющего сечение модели.
Скорость движения равнялась скорости фотозаписи
(11,8 мм в час). Один раз стержень в ы т я г и в а л с я
вверх из модели, другом раз опускался в неё. Фото-
плёнки с полученными на них записями были сложены
вместе и отпечатаны па бумаге контактным способом.
Как видно, обе записи довольно хорошо совпадают друг
с другом вплоть до отдельных зубчиков на кривых, изоб-
личающих неполную устойчивость ламинарного режима
конвекции.
Ввиду важности этого вопроса такие парные опыты
были повторены с различными скоростями движения
латунного стержня. На рис. XVI даны примеры записей,
полученных при мощности подогрева 0,090 кал!сек и ско-
рости движения фотоматериала 11,8 мм в час. Верхняя
запись А соответствует такой же скорости движения
стержня, как и скорость фотоматериала, вторая—скорости
втрое меньшей, третья—скорости в восемь раз меньшей.
Из сопоставления этих записей видно, что различия друг
от друга записей «вверх» и «вниз» обусловлены именно
временем, а не координатой стержня. Чем медленнее
движение стержня, тем точнее сливаются записи.
На следующих рисунках приведены некоторые фото-
графии, полученные приведённым способом при разных
мощностях подогрева. Начальная часть записи представ-
ляет распределение температуры вдоль латунного стержня,
стоящего непосредственно на подставке внутри модели.
В момент отрыва стержня от подставки её температура
начинает повышаться, а температура стержня—пони-
жаться. Разность температур первоначально нарастает
пропорционально толщине водяной прослойки. Когда
10 Г. Остроумов
146 1.ОПЦЕВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В МОДЕЛЯХ КРУГЛ. СЕЧЕНИЯ [гл. 12
толщина прослойки достигает определённого значения,
том меньшего, чем больше мощности подогрева, возникает
конвективное движение, усиливающее леронос тепла
и увеличивающее охлаждение подставки; температура
подставки перестаёт повышаться. Но мере того как ниж
ний торец стержня минует при своём поднятии уровень
одной термопары за другой и уходя уносит с собой
низкие температуры, температура каждой термопары
повышается соответственно средней ио периферии тем
пературе жидкости на ее уровне.
Приводимые фотографии показывают, во-первых, что
характерным законом изменения средней по периферии тем-
пературы вблизи два или крышки того столбика жидко-
сти, в котором происходит тепловая конвекция, является
показательный закон. Из обмеров фотографий получается
такая зависимость:
0 = 0о(|-с В. (12.1)
Здесь положено (1 = 0 при z = 0. Безразмерное число s
равно приблизительно 1 пли 2.
Во-вторых, эти фотографии показывают, что неустой-
чивость ламинарного конвективного режима особенно
усиливается при значительных мощностях и при опреде-
лённых высотах столбика жидкости, а именно кратных
примерно 3—4 диаметрам канала модели (рис. XVI и
рис. XVII).
§ 5. Заключение
В целом все эти записи, однако, ещё не смогли дать
законченной количественной картины концевых явлений.
Дело в том, что величина 60 в последней формуле полу-
чается на практике раза в четыре меньше, чем можно
ожидать из сопоставления молекулярной теплопровод-
ности воды и мощности подогрева. Иначе говоря, тепло-
проводность в концевом явлении оказывается как бы
раза в четыре больше, чем её табличное (молекулярное)
значение. Этот ответственный вопрос требует даль-
нейшего освещения.
ГЛАВА 13
ОПТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
КОНВЕКЦИИ В МОДЕЛЯХ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ
§ 1. Вводные замечания
Конвективные явления представляют ту особенность,
что скорости и температуры изменяются в толще жидко-
сти очень причудливо. Они не могут быть изучены
путем наблюдения скоростей и температур только па
границах того резервуара, в котором конвекция имеет
место. Исследование глубоких внутренних слоёв требует
применения какого-то зонда, проникающего в толщу
жидкости.
Устройство даже самых замысловатых термометров,
вводимых в струю конвективного потока, не облегчает
задачи, а усложняет её: конвективный поток’, встречая
даже самую тонкую нить, искажается ио сравнению со
своим первоначальным направлением и обменивается
с. нею теплотой.
Поэтому большое значение имеют такие методы, кото-
рые допускают глубокий зондаж конвективного явления,
и в то же время, по возможности, не влияют на развитие
и протекание процесса.
Такими методами являются методы оптические. Све-
товой луч в прозрачной жидкости поистине ничтожно
воздействует на жидкость и в то же время может испытать
в жидкости такие изменения, которые позволяют изучить
вызывающие их причины. Один из таких методов давно
используется в гидродинамике—метод подмешивания к
жидкости светорассеивающих частиц. Он был использо-
ван выше при изготовлении фотографий рис. II и III.
10*
148 0ПТИЧ. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КОНВЕНЦИИ [гл. 13
IJ этой гласе будет изложена группа методов, исполь-
зующих зависимость показателя преломления (скорости
распространения света) от температуры. Эти методы
основаны на том факте, который описывается с большой
точностью известной формулой Лоренц-Лорептпа и кото-
рый можно сформулировать так: изменения показателя
преломления почти точно пропорциональны изменениям
плотности данного вещества (зависящей, в частности, от
температуры). Экспериментальными предшественниками
этих методов являются варианты полутепевого метода.
Один из этих методов груб (§§ 2 и 3), он пригоден лишь
для демонстрационных целей. Другой, представляющий
его развитие, обещает большие перспективы, как количест-
венный метод (§§ \ и 5).
§ 2. Метод призматического сосуда
Конвективное явление возбуждают в сосуде специаль-
ной формы: в высокой призме треугольного или трапеце-
идального сечения Л, изображённой в плане на рис. 39.
Сосуд наполняется исследуемой жидкостью и устанав-
ливается непосредственно перед большим объективом С.
Па двойном фокусном расстоянии за объективом уста-
навливается точечный источник света 5. Па двойном
фокусном расстоянии перед объективом получается дей-
ствительное изображение этого источника, отклонённое
в сторону сосудом как призмой с вертикальным прелом-
ляющим ребром и растянутое ею в спектр. 13 этом месте
помещается диафрагма В с маленьким отверстием а. Свет,
прошедший через отверстие диафрагмы, падает на объек-
тив фотоаппарата. Этот объектив может иметь очень
малую светосилу, но должен быть ахроматизовап к дей-
ствующим на фотоматериал лучам света. На матовом
стекле фотоаппарата получается резкое изображение той
части призмы А, которая сзади просвечивается через
большой объектив С.
Такая установка напоминает полутеневую установку,
часто применяемую для качественного наблюдения кон-
вективного теплообмена. Описываемая установка отли-
чается тем, что исследуемому объекту придала форма
§ 2]
МЕТОД ПРИЗМАТИЧЕСКОГО СОСУДА
149
призмы. Это усовершенствование даёт ряд преимуществ
(ср. 113-1]). ’
Если сосуд наполнен однородной жидкостью, то откло-
нение лучей одинакового цвета во всех частях призмы
одинаково. Диафрагма вырезает из спектра определён-
ную область, например зеленую. На матовом стекле изо-
бражение получается зелёного цвета. Если же на пути
Рис. 39. Оптический метод призматического сосуда.
5—точечный источник света, С—большой объектив,
.4—призматический сосуд, в котором создаётся тепловое
явление, В—диафрагма с отверстием а, О—след неоткло-
нённого изображения источника света, КФ, К^Ф,, DE,
ЕВ—-расположения полоски спектра па диафрагме В при
различных процессах в призматическом сосуде, а, Ъ, d—
различные местоположения отверстия а но отношению
к полоскам спектра.
лучей какое-либо место призмы будет иметь более высокую
среднюю температуру, т. е. меньшую плотность, то сред-
ний показатель преломления этого места будет меньше
п оно слабее отклонит лучи. Через отверстие диафрагмы
смогут пройти только более преломляемые синие лучи.
Нагретое место призмы отобразится на матовом стекле
синим пятном. Более холодное место отобразится крас-
ным пятном. Чем сильнее отличается средняя темпера-
тура двух участков призмы, тем сильнее отличается цвет
150 ОНТ11Ч. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КОНВЕНЦИИ
[гл. 13
изображений этих участков на матовом стекле. Средняя
температура может получить такие большие изменения,
что соответствующие места будут казаться чёрными. Они
будут отображены в инфракрасных или ультрафиолето-
вых лучах. Чтобы увидеть глазом эти участки, нужно
подвинуть диафрагму с отверстием в горизонтальном
направлении.
Если по высоте призмы будет расположено несколько
раздельных слоёв жидкости разного показателя прелом-
ления, то на матовом стекле эти слои будут отображены
в разных цветах. Если же по высоте призмы образуется
непрерывное изменение, характеризуемое постоянным
градиентом показателя преломления, то жидкость в призме
будет действовать как дополнительная призма с горизон-
тальным преломляющим ребром. Например, если внизу
теплее, чем вверху, то призма Отклонит .лучи не только
в сторону, по и вверх. Лучи разного цвета образуют
несколько наклонную и чуть размытую полоску спектра.
На рис. 39 слева вверху схематически изображена
плоскость диафрагмы В. Точкой О помечено то место,
где получилось бы белое изображение источника света,
если бы показатель преломления жидкости был равен
единице (след главной оптической оси большого объектива
С на рисунке справа внизу). Буквами КФ на одном уровне
с точкой О помечен спектр, образуемый горячим местом,
буквами КгФг — образуемый холодным местом призмы.
Линия Е представляет несколько размытый спектр,
получающийся при наличии в призме умеренного верти-
кального градиента показателя преломления Линия FB
соответствует большому вертикальному градиенту.
Если отверстие диафрагмы расположить в точке а, то
через него можно увидеть горячую часть призмы синего
цвета, холодную — красного. Ио в него не и о и а д у т
лучи от того участка призмы, где установился вертикаль-
ный градиент показателя преломления. Этот участок
будет па матовом стекле казаться чёрным. Для того чтобы
получить па матовом стекле изображение этого участка,
нужно отверстие поднять в точку Ъ или d. Через это отвер-
стие будет казаться чёрной вся призма, кроме участка
с зада...гм вертикальным градиентом.
§ 2|
МЕТОД ПРИЗМАТИЧЕСКОГО COCJ ДА
151
Места с горизонтальным градиентом показателя пре-
ломления будут либо усиливать, либо ослаблять действие
призмы А. Такие ме-
ста не следует сме-
шивать с нагретыми
или охлажденными
участками, как это
видно из следующих
рассуждений.
На рис. 40 схема
тически показан ход
лучей в призме, на
холящейся в вакуу-
ме, у которой имеет-
ся горизонтальный
градиент показателя
преломления
ц=н (ж). (13.1)
Положим ЛЕ —-
BF = dx. Для то-
го чтобы лучи, иду
щие под углом мини-
Рис. 40. Ход лучей в призме с пере-
менным показателем преломления.
мального отклонения
(внутри призмы перпендикулярные к оси ж), были откло-
нены по направлению ВС, нужно, чтобы оптическая длина
хода АВС была равна оптической длине EFG:
пАВ + ВС = (и + £ dx У EG.
При этом
BGC £±-s; ^FBG=~ : >
ВС BF dx I
. s . }
sin —— cos — co? — ,
AB -srlg-t; EG- (ж ! <7x)lg~ .
(13.2)
(13.3)
152 ОИТИЧ. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КОНВЕКЦИИ
|1Л. 13
Подставив (13.3) в (13.2), получим:
''IП гх у
" "" ?/; rf.r= 0; у у^
. jf)t> s
sin ——
о; п(1 =— - ;
(13.6)
Длина 5/ (/ равно расстоянию призмы А от отверстия а)
означает горизонтальное смешение отверстия в диафраг-
ме В. Это смещение необходимо для того, чтобы увидеть
призму в лучах света, для которых её показатель пре-
ломления равен не /<0, а п = п() -)-?/. В связи с тем, что
в силу последних соотношений (13.5)
§ 2]
МЕТОД ПРИЗМАТИЧЕСКОГО СОСУДА
153
Из этой формулы вытекают следующие выводы:
1. В тех случаях, когда градиенты показателя пре-
dv г-
ломлепия — заведомо малы, цвет при оелом источнике
ож
плп смещения ь1 при монохроматическом источнике света
в некотором масштабе непосредственно определяют по-
казатель преломления
У = К(11). (13.9)
Изолинии одинакового цвета (смещения) соответствуют
топографическим горизонталям рельефа показателя пре-
ломления (температуры).
2. В тех случаях, когда градиенты заведомо велико
и занимают узкие участки призмы, так что общие из-
менения показателя преломления не велики, цвет (пли
смешения) определяет именно эти градиенты:
dji К (6Г) (13.10)
d.c х ' '
В последнем случае удобно представлять себе изображе-
ние призмы как «рельеф» показателя преломления (тем-
пературы) с зеркальной поверхностью, освещаемой под
разными углами: блики на этом рельефе определяют
такие места, где его крутизна соответствует данному
положению источника света (смещению).
Таким образом, на изображении призмы изолинии
одинакового цвета—при белом источнике света, или свет-
лые линии (практически их границы) при монохромати-
ческом источнике света—при некотором смещении 8/
представляют собою: либо изолинии равной температуры -
идея горизонталей, либо изолинии равного горизонталь-
ного градиента - - идея зеркального рельефа.
Для фотографической регистрации наблюдаемых кон-
вективных явлений необходимо как-то различить между
собой актиничные цвета спектра. Это можно осуществить,
в частности, следующим путём. Нужно подобрать такой
источник света, который давал бы большое число линий
(железная дуга). Предварительным спектрографированием
па данном фотографическом материале детально устанав-
ливается сравнительная интенсивность всей послсдо-
154 ОПТИН. МЕТОДЫ ПОСЛЕДОВ\НИН КОНВЕКЦИИ | гл. 13
вательноети спектральных линий. Если на том же мате-
риале сфотографировать процесс тепловой конвекции
в сосуде Л, то на фотографии будут видны изолинии оди-
накового цвета — изолинии одной в той же спектральной
липни. Установив эти спектральные линии по их после-
довательности и относительной интенсивности, можно
делать заключения о распределении температуры в модели.
Для более грубых целей можно применить упрощён-
ный приём. Применяют такой источник света, который
имеет небольшое число ярких линий (ртутная дуга).
Гис. 41. Демонстрационный вариант оптического ме-
тода призматического сосуда. $’ кратер дуги, С -бо.чь
шоп объектив, .1 стеклянная призма, И призматиче-
ский сосуд, Q проекционный объектив, Z) -диафрагма
с отверстием, оборотная призма, У—демонстра-
ционный .экран.
Выбирают одну актиничную линию и фотографируют
модель в свете этой линии при нескольких положениях
отверстия а диафрагмы. Каждая фотография даёт свою
изолинию одинакового цвета. Узость и резкость этой
изолинии, а также необходимая продолжительность
выдержки определится размерами точечного источника
п отверстия в диафрагме (или соответствующих им щелей).
Полезно отмстить, что объектив С должен быть светосиль-
ным, но его хроматизм не играет существенной роли.
Этот метод допускает демонстрационный вариант.
В качестве источника света 5 по рис. 3!) берут непо
средственно кратер электрической дуги Петрова, а фото-
аппарат заменяют таким расположением приборов, как
показано на рисунке 41. Регулировку начинают
с. того, что устанавливают па пути .лучей, отклонённых
призмой .1, типовой проекционный объектив Q так, чтобы
§2] МЕТОД ПРИЗМАТИЧЕСКОГО СОСУДА 155
он давал на экране Э резкое изображение призмы А.
После этого устанавливают перегородку D с отверстием
в такой плоскости, где получается растянутое в спектр
изображение дуги Отверстие в этой перегородке поме-
щают в зеленой части спектра, отчего на экране изобра-
жение призмы окрашивается в хорошо видимый зелёный
цвет.
Трудности дальнейшей регулировки отображают про-
тиворечивость требования достаточной освещённости
экрана при сохранении чувствительности. Эта регули-
ровка сводится к подбору расстояний между кратером
дуги и большим объективом С (подбор сопровождается
перемещением перегородки D) и к подбору диаметра отвер-
стия в перегородке D. Регулировку необходимо прпуро
чивать к имеющейся оптике. По окончании регулировки
установки и её испытания рекомендуется тотчас за пере
городком I) поставить оборотную призму чтобы изоб-
ражение на .жрано не получалось перевёрнутым
Тепловые конвективные явления возбуждаются в приз-
матическом сосуде А спиральками, клубочками или
решётками из высокоомного провода, по которому про-
пускается электрический ток. Призму А рекомендуется
заполнять такими нелетучими тяжёлыми жидкостями,
которые не действуют разрушающе на материал сосуда
(в частности, на клей пли замазку, уплотняютцую рёбра
призмы). Повидимому, наиболее подходящими являются
смеси глицерина с водой.
При решении несложных задач можно жидкостью
заполнять сосуд в форме прямоугольного параллелепи-
педа, приставив к нему стеклянную призму. Это располо-
жение указано на последнем рисунке (Л —стеклянная
призма, В- сосуд с жидкостью).
Результаты работ по такому оптическому методу,
проконтролированные опытами со с вето рассеивающими
частицами, показали следующее.
Во-первых, в отсутствии тепловых явлений на смесях
воды с глицерином можно полностью подтвердить все
положения теории, изложенной выше (в том числе и для
случаев слоистого расположения растворов различной
концентрации).
156 ОПТИЧ. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КОНВЕКЦИИ [гл. 13
Во-вторых, можно исследовать распределение темпе-
ратур при нагреве печи в однородной жидкости. Оказы-
вается, что при малых мощностях подогрева распределе-
ние температур отличается устойчивостью. Над печкой
заметен неподвижный столб восходящей горячей жидкости,
прижатый течением к ближайшей стенке. Это распределение
температурных градиентов изобличает ламинарное тече-
ние жидкости. В средней части модели имеется только
в о р т и к а л ь п а я составляющая с к о •
рост и; явленно отличается наличием значительных
горизонтальных и отсутствием заметных вертикальных
градиентов температур. Вблизи печки и вблизи поверх-
ности жидкости обнаруживаются вертикальные градиенты
температур, а вместе с ними и горизонтальные составляю-
щие скорости частиц жидкости.
Устанавливающиеся режимы при включении печки
протекают следующим образом. Через мгновение после
включения почки над ней образуется как бы шапка горя-
чей жидкости. Она быстро поднимается, оставляя за собой
горячий след и поэтому напоминая своими очертаниями
гриб. Достигнув поверхности жидкости, шапка сбивается
в сторону пли расплывается и постепенно исчезает. При
выключении печи наблюдаемое явление постепенно блед-
неет и в течение нескольких секунд картина исчезает
бесследно — температуры выравниваются.
При значительных мощностях подогрева восходящий
столб горячей жидкости не остаётся неподвижным. От
него отделяются ответвления, явление приобретает <<локо-
пообразный» характер [13 2, стр. 751. Чем сильнее подо-
грев, тем более бурное движение наблюдается в жидкости.
Наряду со значительными горизонтальными градиентами
возникают местами значительные вертикальные градиенты
температур.
В-третьих, можно исследовать конвективные явления
в том случае, когда модель разделена тонкой металличе-
ской перегородкой - как бы вторым дном — на два отсека.
Жидкость нижнего отсека нагревается печкой и подогре
вает перегородку, перегородка подогревает жидкость
верхнего отсека. При этих условиях в верхнем отсеке
наблюдались широкие конвективные потоки с небольшим н
МЕТОД В Е РТ И К А Л ЫI Ы X „О Т1 < Л О И ЕII ИЙ
157
§ 31
горизонтальными градиентами температур. Вблизи пере-
городки заметны з и а ч и т е .и ь и ы е вертикальные
градиенты температур.
В-четвёртых, можно исследовать случай, когда нижняя
половина модели была предварительно заполнена жидко-
стью повышенной плотности (повышенная концентрация
глицерина в воде или пониженная температура), а поверх
нее осторожно налита жидкость пониженной плотности
(пониженной концентрации или повышенной темпера
туры). Оказалось, что уже ничтожный скачок плотности
так же блокирует конвективный поток, как твёрдое про-
межуточное дно (ср. [13—2], стр. 76, рпс. 28, стр. 83,
рис. 32). Вблизи границы раздела заметны значительные
вертикальные градиенты температур: скачок плотности
сопровождается скачком температур.
В целом картина, видимая на проекционном экране,
представляет чарующее красочное зрелшце.
§ 3. Метод вертикальных отклонений
Для изучения явлений конвективной теплопередачи
при сверхкритических мощностях и именно в круглых
трубках применяется специальная модель. Она приспо-
соблена для наблюдения больших вертикальных градиен-
тов температуры.
Модель состоит (рис. 12) из вертикальной бюретки .1.
На нижнюю часть её намотан непосредственно на стекло
эмалированный высокоомный провод печки В. На среднюю
часть бюретки надет призматический сосуд D в форме
прямоугольного параллелепипеда с пробковым дном
и двумя стеклянными боковыми стенками. На верхнюю
часть бюретки насажена воронка Е, служащая резервуа-
ром холода.
Бюретка, воронка и призматический сосуд запол-
няются водой. Иногда полезно в воронку положить
лёд.
Своей средней частью модель располагается перед
большим объективом С полутеневой установки с гори-
зонтальными ножами F и 6. Ножи отрегулированы так, что
в отсутствии теплового явления на матовом стекле фото-
15.8 011ТИЧ. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КО 11 BE1. II.II II | г. |. |.J
аппарата резко видны па чёрном фоне только снег. 1ые
деления бюретки.
При возникновении вертикальных градиентов темпера-
туры (снизу теплее) соответствующая часть бюретки дев-
ствует как призма, отклоняющая лучи вверх. Эти лучи
проходят над вторым ножом и попадают через объектив 11
на матовое стекло фотоаппарата к. Здесь возникает свет
лое изображение этой части бюретки.
Рис. 42. Оптический метод вертикальных отклонений. 6'—источ-
ник света, С большой объектив, II—фотообъектнп, к—матовое
стекло или фотоматериал, F, С—горизонтальные ножи, А—стек-
лянная трубка модели, D—призматическая ванночка. В печка,
Е—резервуар холода.
Опыты показывают, что при малых мощностях подо-
грева нс возникает оптически заметных вертикальных
температурных градиентов. При мощностях подогрева,
больших критического, вся жидкость в бюретке самопро-
извольно разбивается по вертикали па ряд отсеков,
отделённых друг от друга значительными скачками тем-
ператур. Границы этих отсеков самопроизвольно беспо-
рядочно перемещаются. Наиболее типичной формой
такого перемещения является поступательная. Наряду
с ней часто встречается другая типичная форма —
обменная: разделяющая два отсека светлая граница изги-
бается, вытягивается, приобретает форму знака интеграла
и разрывается надвое, обе части весьма стремительно сли-
ваются с противоположными торцами обменивающихся
отсеков. Такие деформации участков большого градиента
изобличают как бы вальсирующее обменное движение
Л1 ИТОН 1ЧСН1ЁТКИ
жидкости в двух соседних отсеках. Осью этого вальсирую-
щего движения является какой .либо диаметр трубы.
Эти опыты показывают, что те большие градиенты,
которые получаются при сверхкрнтических мощностях
подогрева, распределяются но высоте трубки неравно
мерно. Они сосредоточены преимущественно на границах
определённых областей на границах отсеков. В преде-
лах каждой области несомненно имеет место интенсивное
ламинарное движение п перенос тепла. Однако вдобавок
к нему возникает временами обменное вальсирующее
движение, разом перемешивающее содержимое двух сосед
них областей. Именно таким образом при увеличении
мощности подогрева два процесса нарастают нарал
дельно. Во-первых, увеличиваются средние градиенты.
Во-вторых, учащается обменное движение и усиливается
перенос тепла. Таким образом объясняется сверхкрити-
ческий участок на рис. 25. В этом объяснении содер-
жится существенный статистический элемент, он связан
с Toil беспорядочностью явления, которая отмечена выше.
§ 4. Метод решётки
При экспериментальной проверке законов распростра-
нения тепла (а также диффузионных процессов) в конечном
счёте приходится обычно проверять справедливость
основного уравнения теплопроводности или формально
совпадающего с ним уравнения диффузии. Существенным
членом в этих уравнениях является лапласиан температур
пли концентраций. Непосредственное вычисление лапла-
сиана, т. е. суммы вторых производных ио координатам
от наблюдаемых величив температур или концентраций,
по методу конечных разностей связано с большими по-
грешностями, так как приходится вычислять малые
разности больших величин, измеренных только прибли-
зительно. Поэтому исследователям приходится прибегать
к различным обходным приёмам, например сначала ап-
проксимировать наблюдаемые величины какими-либо
целесообразно выбранными аналитическими функциями
координат, а потом аналитическим путём вычислять зна-
чение оператора Лапласа от этих функций.
160 оНТИЧ. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КОНВЕКЦИИ |гл. 13
Таким образом, непосредственное экспериментальное
определение величины лапласиана, хотя бы для условий
плоской задачи, очень заманчиво. Ниже описывается
оптическая установка, позволяющая решать эту задачу
(рис. 43, ср. [13 -3]).
Исследуемая модель Л, снабжённая положительными
линзами изготовляется так, что она служит как пред-
метом, так и объективом в полутеневой установке. Фокус
ное расстояние этого объектива должно быть велико по
Рис. 43. Оптический метод решётки. S—источник света, Д—модель-
объектив, В—решётка, Q—фотообъектив, , [—матовое стекло или
фотоматериал. Показан ход пеотклонённых лучей и ход одного
отклонённого моделью луча.
сравнению с размерами модели (малая светосила модели
'объектива). Модель освещается точечным источником
света 5. В отсутствии теплового или диффузионного про-
цесса изображение источника света фокусируется моделыо-
юбъективом на решётку В, представляющую собой систему
-равноотстоящих вертикальных и горизонтальных стерж-
ней, и именно на перекрестие этих стержней. Через хоро-
ший объектив Q, расположенный непосредственно позади
решётки, модель-объектив фокусируется на матовое
стекло Д или фотопластинку обыкновенной фотокамеры,
’пли на фильм киносъёмочного аппарата. Это изображение
будет тёмным, так как оно получено только за счёт лучей,
рассеянных моделью, потому что прямые лучи источника
задержаны перекрестием стержней решётки В
§ II МЕТОД РЕШЕТКИ 1G1
Если теперь в модели возникает тепловое или диффу-
зионное явление, то в некоторых местах её возникает
градиент плотности, а вместо с ним и градиент показа
теля преломления. Такне места будут действовать как
призмы, отклоняющие лучи в сторону больших плотно-
стей. Свет, проходящий через эти места модели, попадает
на решётку не в то перекрестие, как раньше, а на новый
участок решётки на стержень её пли в про межуток между
стержнями. В первом случае это место па позитиве фото-
графии снова получится тёмным, во втором — светлым.
Таким образом, теперь па фотографии модели возникнут
тёмные полосы, распадающиеся на два семейства. Каждая
тёмная полоса соответствует одному стержню решётки,
отстоящему от точки первоначальной фокусировки па
определённое расстояние. Поэтому одно семейство, соот-
ветствующее горизонтальным стержням решётки, отобра-
зит па фотографии модели изолинии равного вертикаль-
ного, второе — изолинии равного горизонтального гра-
диента показателя преломления (плотности, температуры,
концентрации). Расчёт чувствительности см. стр. 169.
Расположение изолиний допускает следующее толко-
вание. Число изолинии равного вертикального градиента
плотности, приходящееся па единицу длины любого верти-
кального отрезка в пределах изображения модели, пред-
ставляет в известном масштабе пространственную скорость
изменения вертикального градиента плотпостп в этом
месте модели, т. е. вторую производную плотности по
вертикальной координате. Точно так же число изолинии
равного горизонтального градиента, приходящееся на
горизонтальную едппипу длины, представит вторую про-
изводную по горизонтальной координате. Сумма обоих
чисел (с учётом знаков) в том же масштабе даст величину
лапласиана плотности (показателя преломления, темпе-
ратуры, концентрации).
Таким образом, задача, сформулированная выше,
решается непосредственно с большой степенью точности.
По сравнению с методом § 2 (рис. 39) этот метод пред-
ставляет следующие особенности.
Во-первых, диафрагма В заменена решёткой, что
представляет наиболее существенное отличие.
П Г. А. Остроумов
162
oil Т|1Ч. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ I ,UJI ВЕКЦИИ [гл. [;j
Во-вторых, используется (для фотографирования) столь
узкий диапазон световых волн, что неполный ахрома-
тизм модели-объектива не является помехой.
В-третьих, большой объектив С совмещён с моделью
А — это отличие наименее существенное.
На следующих фотографиях даны примеры применения
этого метода*). В качестве модели взята цилиндрическая
полость в металлическом массиве с горизонтальной осью
диаметром и длиной по 35 .и.м (см. ниже, рис. 54). Полость
ограничена с обеих сторон положительными очковыми
стёклами и заполнена глицерилом.
Вертикальное направление отмочено на фотографиях
прямой линией отвеса.
Рис. 44 соответствует случаю, когда в массиве создан
вертикальный градиент температуры (внизу теплее).
В связи с этим в полости возникло конвективное движение
жидкости: по вертикальному диаметру тёплая жидкость
поднимается, по бокам опускается. В тех местах модели,
где жидкость интенсивно нагревается или охлаждается -
внизу и вверху, — лапласиан имеет большую положитель-
ную или отрицательную величину: изолинии равных
градиентов расположены густо. Это особенно заметно
в отношении вертикальных градиентов. В центральной
части моделш нагретая жидкость, поднимаясь, переносит
большие количества тепла, сохраняя температуру почти
неизменной: в этой части изолинии почти отсутствуют.
Вернее, здесь заметна одна изолиния, свитая в причудли-
вый клубок. Он может быть расшифрован увеличением
фокусного расстояния пли применением мелкоячеистой
решётки.
Рис. 45, А соответствует случаю, когда в массиве создан
горизонтальный градиент температур. В связи с этим
в полости возникло конвективное движение: вдоль тёплой
стенки жидкость поднимается, вдоль холодной—опу-
скается. Значительная густота изолиний обоих се-
мейств наблюдается в тех частях модели, где темпера
тура жидкости подвергается значительному изменению.
*) В изготовлении этих фотографий принимала участие
МЕТОД РЕШЁТКИ
163
§ 4]
В центральной части модели имеются признаки только
вялого теплового процесса. Изолиния, образовавшая
в центре фотографии одну замкнутую кривую, соответ-
ствует почти нулевому горизонтальному градиенту. Изоли-
Рис. 44. Конвекция в цилиндрическом
горизонтальном канале, наблюдаемая
методом решётки. Подогрев снизу, охла-
ждение сверху. Вертикальная прямая —
линия отвеса. Две системы изолиний:
крест накрест системы взаимно охваты-
вающих кривых и клубок в центре —
изолинии равного горизонтального гра-
диента, остальные — изолинии равного
вертикального градиента.
нии, образовавшие наискосок две пары взаимно охва-
тывающих фигур, принадлежат к семейству равных вер-
тикальных градиентов.
Полезно подчеркнуть, что явления диффракции огра-
ничивают чувствительность описываемого метода снизу,
И*
164
ОПТИЧ. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КОНВЕКЦИИ [гл. 13
Я
я
£
К м
В й
я
к
Я
я
я
л
к
* £
Га
Я о Я
я
я
я
ф
я
я
я
я
г
я
я
я
г
я
я
я
S
к
я
я
я
S
я
я
S
сб
и
3
я
я
лГ я
ф й
и я
=Я я
Я о
Я
и
Я 1
е в к
Нй
СЙ Г* 1-Г
я
оГ ?!
§ 4]
МЕТОД РЕШЁТКИ
1G5
а не сверху. Дело в том, что решётка, стоящая перед свето-
сильным объективом, разбивает его на множество объек-
тивов малой светосилы, а отображение на фотографии
близких друг к другу полос равноценно фотографирова-
нию мелкоячеистого объекта: ведь это отображение произ-
водят узкие пучки света, исходящие из тесно прилегающих
друг к другу участков модели. На рис. 46 буквой/* обо-
Рис. 46. К вычислению диффракционпых явле-
ний. ОО—оптическая ось фотоаппарата, Р—стер-
жни в плоскости решётки, Ф—фотопластинка,
I—приблизительное фокусное расстояние, d—рас-
стояние между стержнями решётки, х—расстоя-
ние между полосами па фотографии.
значена плоскость решётки, буквой Ф — плоскость фото-
пластинки, d означает расстояние между соседними
стержнями решётки, х — расстояние между соответствую-
щими им полосами на фотографии. Для простоты положим,
что дело идёт о ближайших окрестностях главной опти-
ческой оси фотоаппарата ОО. Из прямоугольных треуголь-
ников получаем элементарно:
Отсюда после вычитания
(/i — г2) (г, -|-г2) = xd. (13.12)
В соответствии с выводами дпффракцпоппой теории опти-
чш'кпх инструментов полосы получаются па фотографии
166 011ТИЧ. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КОНВЕКЦИИ [гл. 13
|юзкими, если разница п г2 будет не более чем длина
Л
полуволны света . Положив приближённо г\-\- г2 = 21,
найдём условие резкости полос:
xd^ 1к. (13.13)
Отсюда видно, что для грубых процессов, когда градиент
меняется значительно ужо на небольших расстояниях
(х мало), решётка должна быть редкой (с/ должно быть
велико). Наоборот, для деликатных тепловых процессов,
когда еле заметное тепловое явление даёт широкие полюсы
на фотографиях (ж велико), нужно и можно применять
мелкоячеистую решётку (d может быть мало).
Этот метод может быть применён для количественных
измерений во всех тех случаях, где может быть полезен
качественный полутепевой метод. Ниже приводятся
некоторые его варианты.
а) Для увеличения светосилы и сокращения выдержки,
в частности для киносъёмок устанавливающихся процес-
сов, точечный источник света может быть заменён плоским.
В этом случае он должен представлять негативное вос-
произведение решётки (прозрачные вертикальные и гори-
зонтальные щелеобразные просветы в непрозрачном слое)
в таком масштабе, который обеспечивает тёмное изобра-
жение при отсутствии изучаемого явления. Необходимо
всё-таки, чтобы видимые размеры источника были малы,
если смотреть из центра модели («малая светосила»).
б) Объектив фотокамеры может быть заменён вогнутым
зеркалом, на котором начерчена решётка. Этот вариант
существенно сокращает габариты установки.
в) Объектив модели также может быть заменён вогну-
тым зеркалом. Тогда луч света должен дважды пройти
сквозь модель, что удваивает чувствительность метода.
Этот вариант ещё раз существенно сокращает габариты
установки.
Для субъективных наблюдений метод допускает ещё
следующее видоизменение. Источник света заменяется
освещённой матовой или молочпой поверхностью, на
которой нанесена разноцветная сетка равноотстоящих
штрихов, фотоаппарат заменяется глазом наблюдателя,
§ 5] ИССЛЕДОВАНИЕ ЛАМИНАРНОЙ КОНВЕНЦИИ В ЩЕЛИ 107
рассматривающего модель-объектив сквозь одно малень
кос отверстие, помещённое взамен решётки. Отметив
цветом штриха его направление (вертикальное или гори-
зонтальное) и его номер (например, выделив нулевые
и пятые штрихи особыми цветами), мы можем по конфигу-
рации видимого цветного узора быстро ориентироваться
в характере наблюдаемого процесса.
§ 5. Применение метода решётки к экспериментальному
исследованию ламинарной конвекции в полости
щелеобразнон формы
Настоящий параграф составлен по материалам работы
Г. Н. Гук.
В качестве примера первоначального применения
метода решётки ниже описывается исследование конкрет-
ного вопроса, указанного в заголовке параграфа. В сере-
дине баббитового параллелепипеда, изображённого на
рис. 47, выфрезе рована щелеобразная полость 38x6 мм.
Полость заклеена двумя очковыми стёклами по+1,5
диоптрии и наполнена дистиллированной водой. Для
наполнения полости служит сквозной канал диаметром
3 л.и. Объём полости раз в 70 меньше объёма массива,—
можно считать, что условия в модели близки к условиям
щели в бесконечно большом массиве.
По обе стороны полости параллельно её длине просвер-
лены сквозные каналы: с одной стороны—три — для за-
кладки в них фарфоровых трубок с нихромовой печкой
внутри, с другой стороны — два, снабжённые штуцерами,—
для подводки охлаждающей воды. Модель зажата в тексто-
литовые круги и может па горизонтальных параллельных
стержнях оптической скамьи занимать любой угол
к вертикали.
Источником света служит отверстие в кожухе лампы
диаметром 0,2 мм. Ввиду того, что в этих опытах верти-
кальная составляющая градиента температур была очень
мала п на этой стадии последований не представляла
интереса, все нижеприводимые фотографии были изго-
товлены с решёткой, составленной из одних вертикальных
стержней. Яти стержни диаметром 1,3 .«.в были распо-
168 ОПТИЧ. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КОНВЕКЦИИ [гл. 13
ложеиы друг от друга на расстоянии Злм« между осями.
Фотообъектив диаметром 45 мм с фокусным расстоянием
210 мм был расположен вместо с решёткой на расстоянии
-1Z0
Рис. 47. Эскиз модели для исследования конвекции в наклонной
щели оптическим методом решётки.
около 5G0 мм от средней плоскости модели. Фокусное
расстояние модели, заполненной водой, оказалось 480 мм.
При этих условиях расчёт чувствительности может
быть сделай па основе следующих соображений. ТТа рис. 48
§5] ИССЛЕДОВАНИЕ ЛАМИНАРНОЙ КОНВЕКЦИИ В ЩЕЛИ Ififl
изображено два параллельных луча, проходящих в тол-
ще модели геометрический путь s на расстоянии dy
друг от друга. Оптическая длина пути одного луча, про
ходящего в жидкости в оо-
ласти с температурой 0, бу-
дет sn, где п — показатель
преломления жидкости. Опти-
ческая длина соседнего луча
будет s ( п + ^cZ0 , так как он
проходит внутри жидкости,
имеющей другую темпера-
туру. Таким образом, оба
луча па пути s приобретают
оптическую разность хода
s^dO. Поэтому фронт вол-
ны, а вместе с ним и лучи
отклонятся на малый угол
dn dO Т1
s = - . Если это отклоне-
на dy
ние лучей будет соответство-
вать одной ячейке решётки,
то (ср. рисунок 46)
dn dO х ,, q . >.
srf6s.Ty = T- <1314)
Отсюда
ls M
Для воды при 20° Ц
9-10-5 i/град. Поэтому для ;
Рис. 48. Расчёт чувствитель-
ности оптического метода
решётки, s—толщина модели,
I—расстояние от модели до
решётки, х—расстояние между
стержнями решётки. Показано
расположение фронта световой
волны.
оставляет приблизительно
указанных размеров модели
получим:
а: = 0,3 см\ 1—56см; «=4см;
15 г рад/см.
(13.16)
Отклонения (при температуре выше 4° Ц) направлены
в сторону холодных мест моде,ли. При повышении темпе-
170
OUT114. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КОНВЕКЦИИ |1Л. 13
<1п ..
ратуры величина растет, поэтому , приходящееся
на одну ячейку решётки, убивает, так что те же абсолют-
ные градиенты температуры выражаются теперь более
высоким номером стержня решётки. Поэтому полосы на
фотографиях, соответствующие более горячим местам
в модели, расположены гуще, чем в антисимметричных
холодпых местах.
Длите.нагое ть устанавливающихся тепловых режимов
составляла для этой модели около двух часов.
Для иллюстрации па вклейках приведён ряд фото-
графий, полученных с этой моделью (двукратное увели
чепне) — рис. XVIII, ЛБВГДЕ. На этих фотографиях
можно проследить изменения тепловой картины при раз-
ных мощностях подогрева для вертикальных щелей.
В центре каждой фотографии видна чёрная линия нити
отвеса. Чтобы эту линию можно было всегда видеть, уста-
новка регулировалась так, чтобы в отсутствии теплового
процесса изображение было светлым: пучок света попадает
не на стержень, а в середину ячейки решётки. Видно, что
по мере повышения мощности подогрева число полос
увеличивается, причём форма их почти не изменяется. На
всех фотографиях заметен S-образньтй изгиб центральной
светлой полосы. Он показывает, что область нулевого
горизонтального градиента температур занимает всю дли-
ну центральной части модели и заворачивается вверху
к горячей, внизу к холодной стенке модели. Ото обстоя
тельство наталкивает на мысль, что вертикальная раз-
ность температур по абсолютной величине если не равна
горизонтальной, то близка к ней. Ввиду того, что верти-
кальный подогрев не был специально организован, эта раз-
ность имеет знак, возникающий стихийно: вверху теплее.
На рис. XIX, Л и Б изображены фотографии, полу-
ченные с наклонной щелью, па рис. XX с горизонталь-
ной щелью.
Г Л А В А 14
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ОБЗОР
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ
ЛИНЕЙНЫХ И КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СЛУЧАЕВ
Как видно из материала, изложенного в главах 9—13,
теория, приведённая в начале книги, в основном оправды-
вается для ламинарного движения жидкости.
1. Численное значение величин, входящих в теорети-
ческую формулу (5.15), удовлетворительно подтверждается
в эксперименте на моделях разного диаметра и изготовлен-
ных из разных материалов (глава 10, § 2).
2. Конвективный параметр действительно постоянен
вдоль высоты модели в тех её частях, где конвекция
имеет место (табл. VIII). Конечно, при расчётах необ-
ходимо учитывать ход стандартной конвективной кривой
(глава 8, § 3).
3. Ламинарное движение в замкнутой модели действи-
тельно состоит в том, что сечение модели самопроизвольно
разбивается на две части: в одной—тёплая жидкость под-
нимается вверх, в другой—холодная опускается вниз
(рис. III).
4. При ламинарном движении действительно один
бок модели теплее, чем другой (глава 10, § 4 и 5).
5. Диаметральная антисимметрия, соответствующая
наименьшему корню характеристического уравнения (5.15),
наблюдается в действительности выше печки даже при
кольцевом подогреве (рис. II).
6. В сродней части вертикальной модели скорости лами-
нарного потока, по крайней мере в основном, вертикальны
и сопровождаются малым вертикальным—характеристи-
172
ЗАКЛЮЧИТ. ОБЗОР НКСПЕРИМ. ИССЛЕДОВАНИИ [гл. 14
ческим— п значительными горизонтальными градиентами
температур (глава 13, § 2).
7. Условия на концах модели вс играют решающей роли
в установившемся режиме, за исключением ещё сомнитель-
ного случая коротких столбиков жидкости (глава 12, § 5).
8. Вблизи плоских границ модели (горячее дно и холод-
ная крышка) приб шзительно соблюдается показательный
закон средней по периметру температуры (формула (12.1)).
9. Нестационарные явления конвекции отличаются рази-
тельными особенностями (глава 11).
10. Ламинарный и сверхкритический режимы конвек-
ции отделены друг от друга резким кризисом (глава 10,
§ 1, рис. 25).
11. Сверхкритический режим характеризуется при-
близительным постоянством условного числа Нуссельта,
значение которого показывает, что в сверхкритическом
режиме модель в тепловом отношении равноценна твёрдо-
му телу с теплопроводностью, вероятно, в тысячу раз
большей, чем молекулярная теплопроводность жидкости
(глава 10, § 3)
ГЛАВА 15
СЛУЧАИ, ТРЕБУЮЩИЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ ГРАВИТАЦИОННОЙ КОНВЕКЦИИ
§ 1. Практическое значение нелинейных случаев
п ограниченность охвата проблемы
Как было показано в главе 5, аналитической обработке
в известных функциях поддаётся только случай линейных
дифференциальных уравнений, который описывает исклю-
чительно специализированный случай: строгая коллинеар-
ность вектора скоростей потока, оси трубы и вектора уско-
рения силы тяжести, а также постоянство вдоль модели
температурного градиента. В главе 11 было показано, что
вследствие теплопотерь па протяжении модели это тре-
бование не строго соблюдается даже и в модели специаль-
ного устройства. В природе и в промышленной практике
это требование ещё менее строго выдерживается даже
в более или менее аналогичных случаях по следующим
причинам:
1. Нестрогая цилиндрнчность полостей (полости и тру-
би переменного сечения).
2. Нестрогая одинаковость стенок в смысле толщины
пли коэффициента теплопроводности на протяжении поло-
сти.
3. Присутствие не учтённых источников или поглотите-
лей тепла, создающих добавочные градиенты температуры .
4. Параметрическая нелинейность процесса, роль ко-
торой особенно сказывается в полостях малых размеров
(поры).
5 Концевые явления и явления вблизи главных источ-
ников и поглотителей тепла.
174 НЕЛИНЕЕН. УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦ. КОНВЕКЦИИ [гл. 15
6. Нестрогая вертикальность оси полости.
Между тем, во всяком практическом случае некоторые
из этих причин явятся весьма существенными, а другие -
даже и решающими.
В то же время решение системы нелинейных дифферен-
циальных уравнений в частных производных не приводит-
ся к применению известных функций, введённых в практику
и изученных в связи с решением именно линейных уравне-
ний. Поэтому ясно, что математические методы могут
помочь в деле изучения процессов конвекции только в виде
некоторых сложных и громоздких расчётных процедур
(метод последовательных приближений).
Отсутствие математического обобщающего руководя-
щего указания о наиболее интересных теоретических
случаях заставляет уделять больше внимания случаям,
которые в будущем возможно получат наибольшее прак-
тическое значение. Поэтому в настоящем рассмотрении
приведены только первоначальные теоретические резуль-
таты всего трёх исследований: вертикальной круглой
трубы с теплопотерями, горизонтальной круглой трубы
и шаровой полости.
§ 2. Замечание об общем методе решения нелинейных
уравнений
Способ решения нелинейных дифференциальных урав-
нений в замкнутом виде не известен. Хорошо изучены
функции, представляющие решения линейных дифферен-
циальных уравнений. Эти функции только в виде редких
исключений удовлетворяют простым нелинейным дифферен-
циальным уравнениям. Например, решение обыкновенного
дифференциального уравнения первого порядка сплошь
и рядом приводится к трудно вычисляемым рядам, если
это уравнение нелинейное.
Поэтому ясно, что решение уравнений гравитационной
конвекции, нелинейных, в частных производных и при-
том высокого порядка, не может быть простой задачей.
Здесь может помбчь аналогия с другими более или менее
исследованными случаями решения нелинейных уравне-
ний, например теми, которые получили важное применение
§ 2] ЗАМЕЧАНИЕ OB OlilHEM .МЕТОДЕ РЕШЕНИИ 175
и радиотехнике благодаря блестящим работам школы
советских академиков Я. И. Мандельштама и 11. Д. Пана-
лекси. Именно, плодотворными оказались разные варианты
метода последовательных нрнб.тюкенпп.
Сущность метода (в применении к вопросам гравита-
ционной конвекции) заключается в следующем. Пронзво
дятся три операции.
Во-первых, система дифференциальных уравнений (2.1),
(2.2), (2.4) путём исключения всех неизвестных, кроме
одного, приводится к одному дифференциальному уравне-
нию, конечно, повышенного порядка. Примером этой
операции является переход от двух гармонических урав-
нений второго порядка к одному бигармоннческому урав
нению четвёртого порядка в главе 3, § 3.
Во-вторых, сообразуясь с частными особенностями
разбираемого случая, задаются частными зависимостями
искомой функции от всех аргументов, кроме одного, при
непременном условии разделения переменных. Таким
образом переходят от более общего случая дифференци-
ального уравнения в частных производных к суженному
случаю обыкновенного уравнения (в полных производных).
Примером этой операции является типичный случай вве-
дения показательной зависимости от времени, использо-
ванный в главе 6, §3, уравнение (6. 11). При исключении
таким путём неизвестной зависимости от пространствен-
ных координат рекомендуется использовать свойства про-
странственной епмметр] иг.
В-третьих, решают получившееся обыкновенное ноли
нейное дифференциальное уравнение собственно методом
последовательных приближен пи.
Сущность самого метода последовательных приближе-
ний заключается в том, что сначала па основании физиче-
ских соображений, специализированных разбираемым
частным случаем, вводят или отыскивают некий параметр,
количественно характеризующий «меру нелинейности»,
потом разбивают искомую функцию на сумму новых функ-
ций, из которых каждая отличается от предыдущей мно-
жителем— указанным параметром нелинейности; наконец,
располагают уравнение по степеням этого параметра.
Поскольку этот постоянный параметр не нуль, постольку
176 11ЕЛШ1КЙП. X I' \Ш1£11Ш1 1'1'ЛВИТАЦ КОНВЕКЦИИ [гл. l.>
суммарное уравнение может бить удовлетворено только
тогда, когда коэффициенты у разных степеней параметра
нелинейности - искомые функции от о< тавлснпого одного
аргумента—будут пули. Таким образом, одно уравнение
превращается в систему совместных уравнений. Каждое
из уравнений получается .тинойпым относительно очередно-
го искомого слагаемого, входящего в неизвестную функцию,
но неоднородным, содержащим в правой части уже оты-
сканные слагаемые функции и их производные в нелиней-
ных комбинациях. Решение очередного из этих уравнений
позволяет прибавить к уже найденному ранее решению
шдачи новое уточнение очередное последовательное при
ближенне.
В этой последовательности огромное значение имеет то
«нулевое» приближение, с которого начинается процесс
последовательных приближений. Это пулевое приближение
играет ключевую роль. При выборе новой функции в каче-
стве нулевого приближения мы можем прийти к описанию
качественно новых процессов (ср. ниже, § 4 и§ 5). Рассмот-
ренный выше, в главе 3, линеаризованный случай играет
роль «основного» ключевого направления для исследова-
ния некоторых частных вариантов этих качественно раз-
ных процессов.
Что касается порядка указанных трёх операций, то
в зависимости от частны х особенностей каждого отдельного
изучаемого случая порядок этих операций может быть
выбран различным по соображениям облегчения техники
громоздких расчётов, вплоть до того, что сначала произво-
дится одна из операций только частично, потом другая
и, наконец, завершается первая операция (см. замечание
в конце § 5). Однако в каком-то виде фрагменты этих трёх
операций будут отображены при любой методике вычи-
слений и, принципиально говоря, представляют единый
приём.
Что касается физической сущности этих операций, то
вторая и третья операции представляют собой в математи-
ческом виде некоторые физические гипотезы. В выборе
этих гипотез значительная роль принадлежит требованиям
практики и осуществимости физического проверочного
эксперимента.
?,| ТЕИЛОИОТЕГН ЧЕРЕЗ ПЕСОВЕРШ ТЕИ Л0113ОЛ Я J 111 К> 177
В этой связи необходимо подчеркнуть, что разобран-
ные н главе 3 «основные» уравнения не представляют собой
исходных общих уравнений гравитационной конвекции,
в которых нелинейные члены механически вычеркнуты.
Нелинейная физическая природа уравнений сохранена н
представлена конвективным членом Лс в уравнении тепло
проводности Фурье-Кирхгофа (3.3). Структурная матема-
тическая линеаризация оказалась допустимой исключи
сльно в силу выбранного частно! о случая, в котором
0. <>Л _йЛ=() (2.10), (3.5)
dZ dz~ d.r dlf ' \ /
а также
q, = 0; 5=0. (2.9)
Наоборот, ес иг полученное в главе 5 решение, подкреп-
лённое экспериментами, ирнведенными в главе 10, подста-
вить в, исходное уравнение (2.2) главы 2, зачеркнув в левой
части последнего нелинейный член, то эти уравнения,
«линеаризованные» таким механическим способом, не будут
удовлетворены. В этом легко убедиться элементарной под
становкой.
Само собой разумеется, что для упрощения громоздких
вычислений рекомендуется к указанным трём операциям
прибавить четвёртую приведение уравнений к безразмер-
ному виду.
§ 3. Случай теплопотерь через несовершенную
теплоизоляцию
Этот параграф и следующие §§ 4 и 5 составлены по
материалам работы Н. М. Писарева.
В главе И были изложены соображения и экспери-
менты, связанные с тем случаем, когда на протяжении
канала, в котором наблюдается тепловая конвекция,
имеются теплопотери сквозь стенки. Эти теплопотерн
вызывают отступления от строгих предположений, из
которых мы исходили при выводе «основных» уравнений
главы 3 и были, в частности, оговорены в § 5. стр. 36.
Учтём теперь структурную нелинейность уравнений
конвекции и решим задачу строже. Выберем цилиндра
12 г. А. Остроумов
178 пелипеПп. х г vbiieiiiiii it\biiT\11 конвенции [гл. 15
ческую систему координат, так что ось Z совладает с
осью канала и направлена против ускорения силы тя-
жести. Начальный азимут выберем произвольно, предпо
лагая отсутствие поперечных градиентов температуры
вдалеке от капала. Исходные уравнения гравитационной
конвекции в координатной форме (цилиндрические коор-
динаты) запишутся для стационарного режима так
[2-1, стр. 50].
Уравнения 11авье-Стокса:
dvr , ')!г । '^г г?2
- 1 1____1 . * —L г» — ——-
dr 1 г dtp - dz г
I d/>
р dr
dr,
dr
! rr i;?
dz 1 r
dtp2 ' dz2 r dr '
(15.1)
(71/2 1 *7? 1 -I /7
. ____±____I____T . ------- _J t ______________.
r Or ' r dtp ' dz p dz
Уравнение Фурье-Кирхгофа:
<90 ,1 <Э0 , <)6
l'r ' r ' ?1? ' dtp'' Vz ' dz~
= 1 1. . <2!в.^Л /1521
\ dr1 r dr ' r2 dtp2 ' dz2 J ' ' '
Уравнение непрерывности:
^Ч-- - ^ + ^ + ^ = 0. (15.3)
dr г у a z 1 r ' 1
В соответствии с опытом (глава 11) для перехода от
уравнений в частных производных к обыкновенным урав-
§ :>,] ТК1ГЛОПОТ Г.1>|1 ЧЕРЕЗ IIEI OBKI'III. TKil.lUHlIio. 1Я1ЦПО 17!)
пениям (в полных производных) задаёмся такой зависи-
мостью осевой составляющей скорости от вертикальной
координаты и от азимута:
"И (rt ' ) (/о + /1 cos?4-/2 cos2?. .). (15.1)
В этом выражении первый множитель определяет
размерность скорости. Во втором множителе безразмер-
ное слагаемое а определяет интенсивность конвективно-
го яв. 10ППЯ г. сечении z 0 (имеет смысл числа Рейнольд-
са). Второе слагаемое определяет предположенную ли-
нейную зависимость этой интенсивности от координаты z
(глава И, § 1). Одновременно это слагаемое содержит
безразмерный «параметр нелинейности» /г. При /г — О
имеем линеаризованную задачу, решённую в виде «основ-
ных» уравнений главы 3. В третьем множителе скорость
разложена в ряд Фурье по кратным азимутам и содер-
жит искомые безразмерные функции одного только ра-
диуса г—/0, Д, /2, • - -
Пользуясь соображениями симметрии и но аналогии
с предыдущим для радиальной составляющей напишем:
= 2^ Л (^о 4-1 cos-5 ф ^'2 cos 2s , ...). (15.5)
Для азимутной составляющей также напишем:
»<р = (Ф1 sin © 4- Ф2 sin 2? 4- ...). (15.6)
По соображениям симметрии Ф0 = и: предполагается от-
сутствие равномерного вращения жидкости в канале
вокруг его оси. В линеаризованном случае радиальная и
азимутная составляющие были нулями, так как там/г = 0.
Уравнение непрерывности даёт:
J [/о + у ~ cos <5 +
+ F'2 4- — F^ cos -f-... j 4*
4- у • (Ф1 cos <f 4- 2Ф2 cos 2<р 4- ...) 4-
+ J(/o~l Л cos-5 | /2 COS 2? ; ...) = f). (15.7)
12*
Ы) IlE.llIIlElilJ. УРАВНЕНИЯ Г1'\ВИ1\Ц. КОНВЕКЦИИ [гл. 15
Отсюда получаются такие связи:
^4 * yJ/o
' -Л y'l’i j/1 <);
Fj (О) Ф, (О);
F' I \-F^\ | <1'2 [Ht-z 0;
В силу наличия прилипшею елся
F0(F) = F,(/?) Ф, (й) Ф2(й)
/..(/?) /1(/?)=/2(й) ••• -0. (13-9)
Подставив гипотезы (15.4) (15.6) в уравнения Па-
вье-Стокса (15.1), получим:
( Й' / { ^F° + F' COS ? COS ' •' ') x
X (Fo -I- F' cos © 4- F2 cos 2© + . . ) +
+ “ (ф1sin ? + ф2 sin 2© -(-...) x
X ( — Fj sin — 2F2 sin 2s — . ..) —
— у (ф, sin® 4-Ф2 sin 2<p + ...)2 j> =
1 Op v2/? f p„ 1 1 ,,
-? • 7>7+ R И» + 7 F° “ +
+ ( +~F'l-^ F3) cos ® | (F" +1 F;-A f2)cos 2® -
— Д Ф1 cos® — Д Ф2cos 2© — - .. J- ; (15.10)
§ 3] ТЕПЛОПОТЕРИ ЧЕРЕЗ НЕСОВЕРШ. ТЕПЛОИЗОЛЯЦИЮ |81
Г Д ) | (^0 Ь 1 C0S ? “Г 2 COS 2ср 4“ • • • ) X
х ('J‘j sin ® + Фо sin 2® -]-...) +
! “ (Ф1 '•? ! Фгsi11 2? + • • ) X
X (Ф1соа®4 2Ф2сой2® ]-...) 1
+ (/''г, +Ficos®+7%cos2®+ .. .)(Ф]я{п® + Ф2н1п2<р+...)} -----
- - • ~ 1 (ф; ч- - ф; — 4 sin ? 4-
or d<f ‘ К I \ 1 г 1 г2 1
+ (ф2 + 7 ф2 - Ф2) sin 2® -
— -v sin® —v ^2 sin2® + ... I ; (15.11)
г2 ‘ Z’“ ‘ J
4- д ) - (Fo + Ficos ? + F2 cos 2<p + . ..) X
x (/o + л cos 4- /2 cos 2® 4- ...) —
— — (Ф! sin ® 4- Ф-2 sin 2® 4- • •) X
X (/1 sin ® ; 2/2 sin 2® 4- .. •) 1
4- Uo4- /1 cos® 4-/2 cos 2® 4- ••• )21 =
--7-ff+^Ca 1 h£)l^ 4/o 1
4-(/M-4/' -r4/i)cos?-'r
(/24- 7 /2 - ^/2) cos2® 4- • • • ] -£₽6. (15.12)
Уравнения (15.10) и (15.11) не содержат членов, зави-
сящих от вертикальной координаты z, поэтому
°; °- (15ЛЗ>
dr dz dz
Отсюда следует, что выражение , встречающееся в
уравнении (15.12), не зависит ни от радиуса г, ни от
азимута а, а зависит исключительно только от верти-
кальном координаты 5. По аналогии с ранее разобран-
182 HEJIlIHEllU. Ъ РАВНЕНИЯ ГРАВЛГАЦ. КОНВЕКЦИИ |гл 15
ныы случаем суперпозиции свободной и вынужденной
конвекции в соответствии с уравнением (5.33) полагаем:
-g-=:-p^2. (15.1'1)
Продифференцировав (15.12) по радиусу г, мы исключим из
пего давление р. Для облегчения счёта предварительно
преобразуем это уравнение, выполнив в нём умножение
и сгруппировав члены с одинаковыми функциями от
азимута. При этом учтём следующие соотношения:
2 sin2 <5 = 1 c.os2'f; 2 cos2 <5 = 1-j-cos 2'5; 1
2 cos <5 • cos 2-5 = cos -5 cos 3<p: у (15.15)
2sin<p • sin 2'5 = cosэ -cos 3-5. |
Таким путём получим:
,y86
Здесь знаком [ }' обозначена производная ио радиусу г
§ 41
СЛУЧАИ осевой симметрии
183
от выражения в фигурных скобках в уравнении (15.16).
Далее, такое же обозначение будет применено к сле-
дующим производным от того же выражения по радиусу
и по азимуту.
Подставим теперь полученные выражения н уравне-
ние; Фурье-Кирхгофа (15.2):
у р h ~ J ,
(F0 '-FiCos^ + ^2cos2?+. . .) ------------{
ч- ( а р Л ,
+ у • (*l’i sin ? + ф2 sin 2'f + . ..)--р-- { jy г
+ i ("|/z й)(/°+ЛС0В? h/2cos2? + ...) [j P-'^ | } | =
После сокращения это уравнение перепишется так:
I Г > 1 ( V L и и__
I Г i J- г2 i j ?
(/„ I /, coa ? + /2 cos 2-5 p-...)
~ j{ [ J (Лл A cos® ,-/2cos2? p...) j [ +
-P у ('1>1 sin '5 1 <1>2 sin 2-f H .. .) { | ? +
-l-CFo-l A’lCOS'pH Леон 2p I- .. .) | (15.19)
Ввиду большой сложности полученного уравнения
расшифровывать его в обшем виде вряд ли целесообразно.
§ 4. Случай осевой симметрии
Остановимся теперь на одном частном случае, отли-
чающемся своей кажущейся просто-roii: допустим, что
всё явление симметрично около осп Z.
Этот случай наблюдается эксперимента. 1ьш> внутри
печки, подогревающей модель (например, см. нижнюю
184 HEJHlItElill. > РАВНЕНИЯ ГРЛВИТЛЦ. К011НЕ1.ЦЛН [рд 15
часть рис. II). В этом случае
/1 /2 • • 11 । /*.•=...=- Ф] *1*2 ..=(); 1
0. <>0 () (15.20)
<)у ' ity ‘ J
( охраняются только две безразмерные функции радиуса:
/о и F„. Тогда уравнение (15.19) перепишется так:
Иначе его можно представить следующим образом:
^4/о = /> l’1[/?/o(^/o4y/Qb7-
I" ^о^/о уг/и р /<>) J г (^^о/о ^1>/о+-
Здесь положено:
/uvny/o" i/G + yl/o ^/о;
' . Pi; Л4 .
§ 4]
СЛУ ЧАИ ОСЕВОЙ симметрии
185
Из (13.22) видно, что если h = 0, то мы имеем перед
собой ранее разобранный случаи «основных» линейных
уравнений (3.9). Если же h отлично от нуля, то при-
ходится решать нелинейное уравнение (15.22).
Применяя для этого метод последовательных при-
ближений, разложим /0, Fo на суммы неизвестных функ-
ций от радиуса г по степеням А:
/о '?о ' > ^о- ч) 1 А.-\2 (15.21)
Подставив irn значения в (15.Ь), получим:
r'+l:().p_L,bo==O; :'+lr1 ();... (15.25)
Подставив (15.24) и (15.25) в уравнение (15.22), полу-
чим путём уравнивания коэффициентов у одинаковых сте-
пеней А следующий ряд уравнений:
5^,-4%, = О; (15.26)
’П'?о I ’«Vo j? 'т'о'т’о + /> %2 j 5 (15.27)
А Л62 - = 4 { Р1’ [ 4 60 ( 6" , ;- 60 +
4^ G>°+T^)
+ +-’ 91 ~4 Ф1) 4 4 4^0 4“
1" -4% + •Hl'?! Г ^|'?0 + Vo1?! +77
+:Ж4-:^о 1-2:^+2:14g i- ад*; "i адо" +
+ i + 4 4.-х; : 4 ад; - 4% (:оФо + 4 +
ад;; р ад;>)} • (1^-2«)
186 HE.'lllUEiill. A I’ABUHIllIH I l’AВИТ Ml. КОНВЕЯ НИИ |1JJ. II
Уравнение (15.26) совпадает с ранее разобранным
линеаризованным случаем — уравнением (3.9). В осталь-
ном мы получим систему неоднородных линейных бигар-
моничоских уравнений относительно неизвестных функций
Ф1, ф2, • • В правых частях каждого из этих уравнений
стоят функции, ранее определённые из предыдущих
уравнений. Все функции 6 и " суть чётные функции
радиуса. Последние уравнении нужно интитрировать
в известных общих граничных условиях: каждая из
функций должна быть конечна, непрерывна и однозначна,
она должна давать пуль в прилипшем слое у стенки
канала и удовлетворять условию «замкнутости», например:
R
2тс \ Ф ,/ dr = U. (1 5.29)
о
Что касается уравнения (15.26), совпадающего с «ос-
новным» уравнением (3.9), то оно для случая осевой
симметрии в замкнутом канале даёт решение:
.. _ '‘° Г Jo (кг) 1 .
2 R L Jo (’kR) 70 (kR) ] ’
AT? = 4,611: (AT?)4 = 452,1. (15.30)
Отсюда но (15.8) для радиальной составляющей получим
в первом приближении:
_1 г —(ikr) , J, (кг) ~1 _ .h r ...
' R ’ kR L 'Jo(ikR) ~r J„(kR) ] R J
Подстановкой можно убедиться, что эта радиальная
составляющая даёт на границе в прилипшем слое (при
г = И) пуль.
При вычислении функций Фп, ф2, ... по уравне-
ниям (15.27), (15.28) и т. и. обнаруживается следующая
особенность. Общее решение, например, уравнения (15.27)
является суммой решения уравнения вида (15.26) (одно-
родного) и какого-либо частного решения неоднородного
уравнения (15.27). Первое слагаемое этой суммы удовле-
творяет условию замкнутости (15.29). Второе же сла-
гаемое можно получить следующим образом. Нужно
представить как искомое частное решение, так и правую
§ 41
СЛУЧАИ ОСЕВОЙ симметрии
187
часть уравнения (15.27) как ряды подходящих ортого-
нальных функций. Путём уравнивания коэффициентов
найдутся коэффициенты искомого ряда.
Подходящими ортогональными функциями явятся,
конечно, в данном случае функции Бесселя первого рода
нулевого порядка. Они легко дают на границе нуль
и потому уже удовлетворяют условию прилипшего слоя;
также они удовлетворяют условиям конечности, непре-
рывности п однозначности.
Однако найденный ряд будет удовлетворять условию
замкнутости (15.29) не всегда, а лишь при одном един-
ственном значении параметра жидкости Рг. Это полу-
чается потому, что правая часть уравнений (15.27), (15.28)
и т. и. является линейной функцией от этого параметра,
а потому и искомый ряд, а также и условие замкнутости
будут такими же линейными функциями от него.
Будет ли это единственное (вещественное) значение
параметра Рг реально осуществимым (в частности, положи-
тельным) пли оно потребует фантастических свойств жидко-
сти— пока не ясно. Одпако значение этого параметра,
полученное с помощью уравнения (15.27), скорее всего
будет отличаться от его значения, полученного с помощью
уравнения (15.28) и т. и., в результате чего получится
противоречие.
Таким путём мы приходим к тому почти достоверному
выводу, что в осесимметричном случае (15.4) пропорцио-
нальность вертикальной составляющей скорости у. дву-
члену ^14-Л^-^ реально неосуществима. Случаи, подоб-
ные этому и наблюдённые экспериментально, соответству-
ют какой-то иной — не линейной —зависимости этой верти-
кальной составляющей от вертикальной координаты z
пли каким-то иным значениям параметра кН, отличаю-
щимся от 4, 611 (15.30).
Гипотезу (15.4) в приме нении к осесимметричному
случаю можно рассматривать пе более как очень грубое
перво начальное приближение. Дальше будут приведены
некоторые вычисления, использующие эту гипотезу, по
преувеличивать значение выводов из этих вычислений
пока по следует.
188 НЕЛЛИК1111. М ЛВПЕ1Н1Я Ш’АВИТЛЦ КОНВЕКЦИИ [гл. 15
Ивицу сложности процесса решения последних уравне-
нии имеет смысл осветить важные физические вопросы,
минуя это решение. Пожалуй, важнейшим вопросом явля-
ются тепловые условия на границах у стенки канала,
которые обусловливают описываемое пелинейвое явление.
Умножим каждый член уравнения (15.2) па элемент
объёма г dr dy dz и проинтегрируем в пределах слоя высо-
той R. Тогда последний член в левой части даст с учётом
(15.20) и (15.18):
R Ji R
И V* ?zr(ird^dz-^R $ ?у,1г=
6 О I) О
« -7 a + h “Л «
= 2^R[A\Vzrdr+^. \/0( }гФ-]. (15.32)
0 о
Здесь первый член в квадратных скобках равен нулю
в силу «замкнутости» скважины.
Первый член в левой части уравнения (15.2) даст:
1' 2.я , и ~‘2 (а 4 /г 4,Л
5 i dr Г <lr (,<f dz \l' r--------gW----И г rdr =
ООО о
,,2/, ' ("h/i к) С
R- }Fo[}',rdr- (1533)
о
Если взять последний интеграл но частям, получим:
R ИИ
\F0T\{]'rdr] F(lr{] |-\{}[ F(',4 1^о] rdr =
О О (I
R
^R\/0{}rdr. (15.34)
о
Подстановка здесь исчезает в силу наличия прилипшего
слоя. Преобразования выпо.лнены на основании уравне-
ния непрерывности, в частности (15.8).
Таким образом, оба оставшихся члена в левой части
уравнений (15.2) (15.18) равны друг другу. Физический
§ 4|
СЛУЧАЙ ОСЕВОЙ СИММЕТРИИ
18!)
смысл выражения (15.32) таков: это—тепло, уносимое
конвекцией вверх из слоя высотой R за одну секунду
времени. Физически)! смысл равного ему выражения
(15.33) это тепло, транспортируемое радиальной состав-
ляющей скорости от периферии к внутренним частям
жидкости.
Правая часть уравнений (15.2) — (15.18) посте инте-
грирования даст
11 2тъ 11
-х ДО г <7т-<7<р г/.з = - z2ir/?3 (йг) в" 05.35)
ООО
Здесь использована теорема Остроградского Грина. Всё
уравнение (15.2) после интегрирования и подстановок
даст:
о
= - 2^7?ах 4 -К Wr- в- (15.36)
Отсюда определяется параметр нелинейности h:
/г= -- . . К >гЬ_ . (15.37)
•у / Т£ ' '
/о { 1 г дг
О
С другой стороны, тепло, переносимое конвекцией через
сечение z вверх, равно в силу соотношения (3.23)
R
Q = рс2к с_0г dr —
о
R ^(a + h -Л
- I Л^-) ^/о[^4------g6R
b
=1g?(»+A£)!V»! ^rd- (15-38)
190 ИЕЛПиКЛН. УРАВНЕНИЯ ГРЛВПТМ1. КОНВЕКЦИИ | ГЛ. 15
Член с .1 пропадает в силу «замкнутое,тп'> канала сква-
жины. На протяжении одного сантиметра высоты канала
это тепло увеличивается па величину
(1Г>.39)
Сопоставив это выражение с соотношениями (15.35),
(15.36) и (15.37), найдём:
а также
t/z 2h
(15.41)
Последние уравнения связывают параметр нелинейности Л
с экспериментально наблюдаемыми обстоятельствами:
интенсивностью подогрева (или теплопотерь) через стенки
канала.
Необходимо отметить ещё следующее важное обстоя-
тельство: экспериментально наблюдаемый вертикальный
градиент на периферии сечения канала отличается от
того среднего градиента Л, который играет в этой теории
важную роль. Действительно, ограничиваясь первым чле-
ном разложения (15.24) и воспользовавшись формулой
(15.16), найдём:
(у) = АН-^ГфИ'-1 ФО • (15.42)
\dz/r=R g-pZ?2 V г Jr-H ' '
Далее, учтя формулу (5.33) и подставив вместо ф0 его вы-
ражение через бесселевы функции (5.35) —(5.36), найдём:
\dz)r=R giR2
. 42hk2 I
~А~^ [
(Дфо)г- R =
JylikR) -Zo (kR)
Jo (ikR) + Jo (kR)
2 Pr • 1 •= А Г
(kR)3 j L
W-2-^=
1 2-йг] (15-43)
СЛУЧАЙ ДНА MET Г АЛЬП Oil А 1П ИСИММЕТРИН
1’)|
Для воды при температуре около 20 1( Рг 7. Подста
нив, получим:
(3 ,,-4‘ 1'3 «5-м>
Здесь член в квадратных скобках представляет относи-
тельное уменьшение экспериментально наблюдаемого
периферического вертикального градиента температуры
по сравнению со средним по сечению градиентом. Поэтому
при некотором значении h может получиться, что этот
градиент сравняется < тем вертикальным 1раднентом,
который соответствует диаметральной антисимметрии.
Это получится тогда, когда
М^евой 3
Для стеклянных моделей (Л7?)дИПЧ 100; (Л/?)осевоп =
= 452,1. Отсюда
'•4-(’-sS>U7- («•«>
Невидимому, это обстоятельство и представляет причину
того, что в случае печей кольцевого подогрева, намотан-
ных непосредственно па стекло, конвективный поток
из диаметрально антисимметричного над печью самопро-
извольно превращается в осесимметричный внутри печи.
Вряд ли последнее уравнение (15.45) точно отображает
численное значение h (можно ожидать, что в действи-
тельности соответствующее значение h меньше), однако
характер явления имеет, невидимому, именно эту при-
роду.
§ 5. Случай диаметральной антисимметрии
В качестве второго примера рассмотрим более слож-
ный случай диаметрально антисимметричного основно-
го потока, который был ранее качественно описан в
главе 11.
4<)2 11ЕЛИ11ЕЙП. УРАВНЕНИЯ ГРЛВИТАЦ. КОНВЕКЦИИ [rJl. |г.
Винду того, что все три координаты играют теперь
существенную роль, необходимо воспользоваться выве-
денным ранее уравнением (15.19) во всей его сложности.
Однако, поскольку на основании экспериментальных
результатов главы 11 основной формой явления следует
считать антисимметричную форму, положим теперь
в (15.4) вместо (15.20)
/о « /1 » Л- (15.46)
Тогда из (15.S) получится автоматически
Л, « Л > F.,; '1*1» Ф2- (15.47)
Ввиду того, что при Л О все перечисленные функции
исчезают, кроме /г, применим теперь новое обозначение.
и будем вместо
/<» /2. Л>. F2, ф2
писать
Л/о, hF 0, hF%, ЛФ2.
Кроме того, положим: I ((5
Л ФоН-*Ф1+Л%2+ •
F1 — Со 4 ЛС1 ’ г • • •
Фх — <1>о -Р //О), ф Л2(02 ~р . . .
Тогда выражение в фигурных скобках в уравнении (15.16)
перепишется так:
Со = А/о4 —/0 r /FFofo -[ - ф (Со44г,1ф .. -)(Фо + М'14‘ • • •) +
"г -у F2j2 2^- (е>о + + • • •) (Фо I + • • - ) —
— — Ф2/2 + /о + фу (0>о + 2Лю0Ю1 + . . .) , /г ] =
— А [ /о J у /о — фу СоФо + 2гР 1иоФо — 2^2 «’о ] +
-ф^[-^Со’К + ^о) +
I 2rR (С)о'^1 + °’1Фо)-у o,otui ] 4- • • • (15.49)
§ 51
СЛУЧАЙ ДИАМЕТРАЛЬНОЙ АНТИСИММЕТРИИ
W3
<'i=^ + /''K4-W2+4'^+r^ + -y-^ r/Vo"
~гФ. - £ф2- |[л^„0% + /р'/( , ...И
(Со лг,1+...)л/;+Л(:0 л;, .)/'4
' 2 -^2 ('bo + ^'V; ) 7 (‘"о-ГЛо,Н )/2
27 <1’2 ОМ - ) 4 /о <’!>о 1 А’М-.-.) 1
4 ”д (Фо I ^?| 4 ) /2 j Фо ’ 1 ,. Фо г2 Фо I
’97Ф2Ф0 ’i~ r fotyo + д’ Фо/г^ ] 4 • - • (I ^-50)
G < л/х + J /2 £ [ /rFnf2 : л^’2/01
г|(м а:, )с0, аф; : • • •)!
Г 2г' («>о + () (Фо ^Ф1 т • ') I' 7Г
i_ 1 ,С2 .< ,1 ] Д [ i" ' 7 _ /l f
( ЧВ ‘° В 1 J L 12 г !- г2 12
I - Т 1 . 1 ,.2 1
2В '*° J" 2rR 27? '1*® ] 1
А2 Г 1 ,, , , г , 1 / ,
/? I f ( '""'Ф " ^1ио) 27 ("’о?]-t-011 Vo) 1
2д'\Ф1]’ 45.31)
Подставив эти значения в уравнение Фурье-Кирхгофа
(15.1Р), полудим последовательные коэффициенты при
разных тригонометрических функциях азимута в виде:
13 Г. А. Ортроумов
194 НЕЛИНЕЙП. УРАВНЕНИЯ ГРАВН'ГАЦ. КОНВЕКЦИИ [гд 15
При cosO:
С'о + 76‘о“ А‘Л/0-Р1' - 4[4/оС'о +
г (% +/*'>, + .-)C1 + .^hf2(',~
2,. /w । I- ) G p’l’sC's i AF0C; +
t- 2 /;r’i )C't4- jW-’i] -I- . 0. (15.52)
При соя ср:
Hp’i-Pt! ^(фи+/^ .-••) ‘’•P[4/oC1i
'|“д^("'оН ^'?i+- )С0 rp(% A'b+--)G +
Г2В.^^' ^u,i I’• ) C24--^-Ф2С'| 4
H(CU !^i\ ...yCi + kF^ + ^hF^-V
4"2 (’o + /^i )C2 j + -••— 0. (15.53)
При cos2cp:
Ci +1 c.; - a c2 _ k4.h - Pr [ A /2c0+A /0c2 4
+ 2Я ('^0 ^*1+ •••) Ci4 27 (°'o L^wiH- • • •) C1-Ji-hF2Co +
+ hF0C’2 4-A (Co + h\ + .. .) C' ] + ...= 0. (15.54)
В этих выражениях вспомогательные функции Со, Clt Ct
в новых обозначениях имеют следующий смысл:
С0 == 7Г [ C0j0-\--- (!,0 -pACj + ...) (г1)0 -| /гф( + •••) +
А2 , 1
~2~ Сif2 (°<0 ~r + • ) (% 4- Л01 Ь • • •) —
— 4- ‘IWa + р /о + 2ту (Фо + &Ф1 + • F + -р- /I ] =
$5] СЛУЧАЙ ДИАМЕТРАЛЬНОЙ АНТИСИММЕТРИИ |у5
-л [д/о ( 2 ‘ 2г ‘"о'^о ’Г2В*<0]
/Г [ 2 + ’«’W “ 4г 1 +(,’А) +
1-iWi] !-• (15.55)
'i А(% | ЛЬ1 | ) * | hF0(^t /Л[ . .. .) г
i (Cn I ЛС, I )/;/' ' * (Co + ACj-; \
I у I I ) ”(luo l Л(,,1 I }111г
^//1>2(%+Л'Ь ...)+^/г/0(%-1 Л'?1 Н..) )-
( д (''?О т + )/2 J А (4(1 +Лф1 + )
ц С -^оФо 4' Сн/о 1“ ~2 С0/2 4^ 2' 2’ljo ~2 '"о/2 ~
i '!>2ф04- i /0Ф0 Н Ф0/2) 4- - • • (15.56)
6'2=--ЛА/2 i[l>2F.,j>\ ^Ff/'4
4' ~2 (С.) I А,14- • • •) (% 4- Л’Х 4- • • •) 4~
н ("’о 4 /д->1 -!...) (Оо 4- /*>! 4- • ) :
4 ^-/<Л+21?(%4-Лф14-...)2]
h I(i^+4ro'o4>0+24%9] i
+4 [-<(^м-« ; 4г (^14-04%) 4
4-7W1] 4-... (15.57)
Сгруппировав теперь члены уравнений (15.52)—(15.54)
по одинаковым степеням h, получим:
Члены, не содержащие 7г:
Мф0-7С^о = 0. (15.58)
13*
196 ИЕЛИНЕЙ11. УРАВНЕНИЯ ГРАВНТАЦ. КОНВЕКЦИИ |, ;| Щ
Члены, содержащие h в первой степени:
^/о-Л4/о =^Д (QK ' ' ^о2)
i Рг • 2R (^ФоД,К -71 ’оД'?.'): (15.59)
ДДф, /с4% О: (15.60)
АД/, А“4/2 -^Д ^оФ(>+ у 4-у *•> у г
4 2/.С R^0^0 "1” ушоД'?о 4' ^оДфо^- (1 о.61)
Остальные уравнения имеют более сложный вид. В урав-
нении (15.58) узнаём «основное» уравнение. Остальные
дают возможность вычислить функции /п и /2. Отметим,
что поправка к Ф() оказывается не ниже второй степени
по /г, так как уравнение для не отличается от урав-
нения для % и потому не даёт «поправки» к последней
функции: можно считать
>?i = <).
Различные функции, встречающиеся в этих уравне-
ниях, связаны друг с другом уравнением непрерывности,
которое в новых обозначениях, с учётом (15.8) (15.48),
напишется в развёрнутом виде так:
А'о • 7 1 . у /<>
Е’.'.ф -1- /Л, > -Ф, J ’ •):
“ ' Г , I г 1 в 7- 1 (15.62
Ч) 4 + В 0:
1 1 г,
ч + у ’< 4 ,eJ + R ?1 0.
Вдобавок к этим соотношениям следует иметь в виду
ещё и следующее соотношение. Если продифференциро-
вать (15.10) по азимуту, а (15.11)—по радиусу, то можно
§ -Ч
СЛУЧАИ ДИАМЕТРАЛЬНОЙ антисимметрии
197
составить двоякое выражение для
<)r д<? '
1 сРр , 2 . \ . .
— Та = —о ( ~ i 1------------Г '* 1 ) Sirup 4- ... =
pr dr dep rR \ г2 J т
= 7? ( + 4 Г|) sin ? + • •
(15.63)
(15.64)
получим:
(15.65)
Здесь сохранены члены только с множителем Asin&.
Отсюда в новых обозначениях члены, содержащие первую
степень h, имеют коэффициенты:
1 , 2 . , 2 , 4 „
У + yf ‘"о -- ^<><0 у* Со,
1 лг 2 г, , 4 г \ ' I 2
У ' уГ Со 4- ур Со • - — А«*о + уг ш0 ,
Подставив из (15.62) о>0 в уравнение (15.64),
и)о— /fVo -С —г~0,
rlV I _ Г'" .1_L _____3 г- •> г _
'о Г г Ч) ' ,.2 *0 гз Ч> г=» ’’0 — ,
1 ,>>' , '* о» , 1 з , I
Я'?0 ’1"гВ^0 I' Яг’^°‘
Решение этой системы уравнений нужно использовать
в правых частях уравнений (15.59)—(15.61).
Из этого наброска видно, сколь трудоёмка работа по
решению нелинейных уравнений гравитационной конвек-
ции даже в пределах первого приближения — первые
степени параметра нелинейности Л. Однако путь реше-
ния, сводящийся к решению систем линейных уравне-
ний, даёт ясную перспективу, как нужно добиваться
результата.
В заключение полезно отметить, что тот порядок
операций, который приведён здесь, невидимому, сбере-
гает максимум расчётного труда. Пожалуй, логически
строже было бы произвести подстановку разных степеней
параметра h непосредственно в исходные гипотезы (15.4) —
(15.6), а яе в готовое уравнение (15.13), как это выпол
нено выше— (15.48) и след. То, что приведено здесь,
представляет собой двукратное введение одного и того
же малого параметра h. Разумеется, результаты, полу-
ченные обоими способами, одинаковы (см. выше, § 2).
198 11 ИЛИ НЕЙИ. УРАВНЕНИЯ ГР4ВИТЛЦ. КОНВЕКЦИИ |гл 15
§ 6. Конвекция в горизонтальном канале
круглого сечения
Настоящий параграф составлен ио материалам работы
Е. М. Жуховицкого.
В качестве третьего примера рассмотрим плоское
конвективное движение жидкости, возникающее в беско-
Рис. 19. Расположение осей
координат для горизонталь
него канала.
печном горизонтальном ка
нале круглого сечения, вы
сверленном в бесконечном
однородном твёрдом масси
не. В этом массиве источни-
ками и поглотителями теп
ла, находящимися па бесь.о
вечно большом расстоянии,
создан постоянный во вре
меня градиент температуры,
перпендикулярный к оси ка-
нала. На большом (но сра
внеиию с диаметром капала)
расстоянии это температур
ное иоле однородно. В ок
рестностях капала это одно-
родное поле будет искажено:
при неподвижной жидкости её молекулярной тепло
проводпостью, а при конвекции
Проведём оси координат так,
Но условиям симметрии

молекулярной
ещё и конвекцией.
как указано па рис. 49.
и;
dv,
~dz
д%х__Q
dz
(15.66)
Уравнение струек тока (линий тока) имеет вид: в декар-
товых координатах:
Г^- = d~ ; с,, dx — dy ~ c/'F О; (15.67)
r.c I'lj
и полярных координатах:
dr, r^.d'f d'V О. (15.68)
j 6] КОНВЕКЦИЯ В ГОРИЗОНТ. КАНАЛЕ КРУГЛ. СЕЧЕНИЯ fgg
Здесь буквой 'Г обозначена функция тока. Очевидно,
что
пли
<?’Г й'Г -)
-г’': Tty |
дТ 1 <лг
— о:; - гг.
ИГ, Г, O f Г J
(15.69)
Ото преобразование возможно, если с/’Г является в (15.67)
или (15.68) полным дифференциалом, т. е. если
Ж'Г дс1: _ (ДЧ' dic _
dxdy ду ~ дуд.г <‘л- ' ,|г( удч
ЖЧ-' Зс Й2Ч <ПГ ,
______ , -__т_________у_______*_ I .
дгх dtp Off d’p dr t 1 dr , r
Последние строчки совпадают с уравнениями непрерыв-
ности соответственно в декартовых и полярных коор-
динатах:
+ = О. (15.71)
ду ' дх дг г. Г) др '
Таким образом, введение функция тока допустимо.
Струйки тока характеризуются по (15.67), (15.68)
тем, что вдоль нпх d'I’ = 0, т. е. Т —const. Чем ско-
рость больше, тех» струйки тока расположены теснее
друг к другу.
Для того чтобы воспользоваться уравнением Навье
Стокса и исключить из него градиент давления путём
применения операции ротора, вычислим ротор скорости:
Г»’].,
dvz ^1',,
ду dz
|Г„1 =
* dz дх
l'2'lz— ду — дзЯ ду2
5 'Г.
(15.72)
Применив операцию ротора к уравнению Навье (люкса,
получим:
|V[r[Vr]|] *Д[Гв]4-₽(Гбр/]. (15.73
)
200 ПЕЛИНЕЙП. УРАВНЕНИИ ГРАВИ'ГАН. КОНВЕНЦИИ [и 15
Подставив сюда (15.69) и (15.72), получим такое ска
лирное уравнение (составляющая по осп z от (15.73)):
~ -g₽y , (15.74)
дх \ду J ду \дх J ° дх ' '
или, выполнив дифференцирование и приведение в левой
части:
</ч- гвг и\ч- . .... о оо
— ---------------------- -— — -/УД'] — ер —
ду дх дх ду ‘ <):г
(15 75)
Уравнение Фурье-Кирхгофа перепишется теперь так:
01 ро_рч’ дв__.хдб
ду дх дх ду
Перейдём к полярным
стных формул:
координатам посредством изве-
д д 1 . д \
я- = COS Ф ------Sill sr ;
ох ‘ <Jrt rt ‘ df
д . <9,1 д |
5-=81ПФч------1--COS© — .
ду ‘ дгг г, ’ <9<р 1
(15.76)
(15 77)
Тогда система (15.75), (15.76) перепишется в полярных
координатах таким образом:
IfdV дЬФ РФ' Р1ФЧ _ А
Г1 у df dr, дгх d'f J |
л ли- о <50 Pfl 1 . \ ;
= VAMP-gPQ_cosc?_-.-S1n?^ ; } (!5.78)
1 <рф ао рф' ао\
Г1 \_5? дгх d'f)~X ' )
Уравнение непрерывности уже использовано при обра-
зовании' функции тока ’Г. Считается, что уравнения
параметрически линеаризованы (см. главу 2, § 2).
Мы получили систему дифференциальных уравнений
в частных производных высокого порядка (до четвёр-
того но 'F и до второго по б), нелинейных, но однород-
ных и с постоянными коэффициентами (в пределах
параметрической линеаризации). Её нужно решать в тех
раничных условиях, которые специально обсуждались
(j (J) КОНВЕКЦИЯ В ГОРИЗОНТ. КАНАЛЕ КРУГЛ. СЕЧЕНИЯ 20J
выше (глава 4, §§ 1 и 2). С введением новой функции
’Г эти граничные условия формулируются так:
1. В пределах сечения канала (0 < гх < R) функции Ч
и U конечны, непрерывны и однозначны вместе с необ
ходимым числом производных.
2. У стенки при r1=R имеется прилипший слой
жидкости (см. уравнение 15.69):
3. Внутри прилипшего слоя нет скачков темпера-
туры и теплового потока:
4. В окрестностях канала нет источников и погло
штелей тепла
46,, = 0. (15.81)
5. На бесконечности задан градиент температуры
~>В. (15.82)
/г^со \dy '
Для удобства решения и не сужая его общности (так как
в уравнениях встречаются лишь производные), положим,
что на стенке Ч; исчезает:
СОг, К (15.83)
Для упрощения дальнейших выкладок приведём урав-
нения (15.78) к безразмерному виду. В качестве масштаба
длины выберем радиус канала R, в качестве масштаба
температуры выберем произведение
a0r=rVa*+b2.
Кроме того, положим:
rv = Rr;
'I (/’I, <Д= х/Дг, <е); 0(гп <р) = A0Rb(r, <?),
14= __£g^4 = Gr • Рг .
(15.84)
(15.85)1
202 НЕЛИПЕПН. УРАВНЕНИИ ГРАВИТАП. КОНВЕКЦИИ |гл j,’.
Связь функций тока через х, а не через v, как это на
пришивалось бы по виду уравнения, определяется
удобством дальнейших вычислений. Здесь г,— обыкно-
венный радиус, г — безразмерный, ’Г — обыкновенная
функция тока, F - безразмерная; 0 — обыкновенная темпе-
ратура, И —безразмерная. После приведения обпару
житея, что вся безразмерная система определится теперь
одним безразмерным параметром 1*, имеющим крвтерп
альпос значение:
I I (OF dXb' dl< <Ш'\ j
J’r г \<jf dr dr (i'f / ।
t4 CaO 1 . X x .. r .....
-^((?rcos? ; (15.86)
Ait
г \ Лг dr dr d'f J J
В силу того, что Ло означает арифметическое зиаче
ине корпя (15.84), с'1 существенно положительно, так
как обычно б отрицательно.
Полезно обратить внимание на то, что через пара
метр z4 устанавливается связь между механической
и тепловой сторонами явления: отсутствие тепловых
явлений (Ло = О) пли отсутствие их влияний на меха
пичсскую сторону процесса (при t3 _(>; v сс пли z=oc)
приводит к значению с4 О. Эго значение соответствует
тому, что оба уравнения «истомы совместных уравнений
(15.86) превращаются в независимые уравнения. нс состав
ляющие системы.
Также нужно напомнить, что в силу предположений
о параметрической линеаризации уравнений (15.86) они
автоматически становятся неверными при больших зна-
чениях £4.
Поэтому целесообразно искать реше н и е
в виде рядов, расположенных по стопе
ням с4. Положим:
S4/?(i) + а.₽/г<2) .
у 0(0).р^&(1)+ teft(2)4
!),. П‘П,+ + Л
ЯП> = 0.
(15.87)
j б| КОНВЕНЦИЯ В ГОРИЗОНТ. КАНАЛЕ КРУГЛ. СЕЧЕНИЯ 20?.
(15.88)
Сущность процесса решения заключается в том, что ре
шения в форме рядов (15.87) подставляются в уравпс
пня системы (15.86). Путём сравнения коэффициентов при
одинаковых степенях J,4 получаются уравнения следу
ющего вида:
ДД /?<«) =/(})<('); {,(!); /7(2),
. . . ; })(«-*));
Д&.’О /|(Ж°); Л’(1), й(1);
. . .; F,n~1 >, Я 'эт1 >).
Функции /, /t охватывают как функции F и й раз
личных номеров, так и их младшие производные.
Первое из этих уравнений представляет собой двучлен
ное бнгармоническое линейное уравнение с постоянными
коэффициентами, неоднородное, содержащее в правой
части уже определённые ранее известные функции. Вто
рое уравнение представляет собой элементарное гармо
ническое уравнение Пуассона. Принципиальных препят-
ствий к решению этих уравнений нет: решение всегда
существует.
Что касается процесса решения, то полезно заметить
следующее [15 — 1 ].
Любая функция Fo, удовлетворяющая однородному
бигармоническому уравнению
ДД/?о = 0, (15.89)
может быть представлена в виде
^о = Л + ^/2. (15.90)
где /5 н /2— гармонические функции. Любая гармониче
скан функция /, конечная в пределах заданного круга
радиуса г—1, может быть представлена в виде такого
ряда:
СО
2 ^”(«ncos« ? I ~b„ (15.91)
n=0
Поэтому решение однородного бигармоннческого урав-
нения (15.89) может быть представлено (и конечных
204 ПЕЛНИЕЙП. УРАВНЕНИЯ ГРАВИТМ1. КОНВЕКЦИИ |гл. 15
функциях) в таком виде:
оо
f 2 ("'< os п? ь ьпsi"п ?) г
п О
Н г” *2 (fljn со.ч/rf -j- bln sin n®)J. (15.92)
Далее заметим, что
ДА (/•“) = а2(а — 2)2га~ 4; j
ДД (га coszzcp) — (а2 — zt2) [(а - 2)2 n2jz-a-4 coszts; (15.93)
АД (га sin 77^) (а2 zi2) [(а — 2)2 — zz2)/а-4 sin zzip. |
Решение неоднородного уравнения (15.38) является, как
известно, суммой решения однородного уравнения (15.89)
п частного решения неоднородного уравнения (15.88),
причём эта сумма должна удовлетворять граничным
условиям. Для упрощения этих граничных условий
и введено требование Ч'(Л)_ 0 (15.83).
Применив эти соображения к гармоническому урав-
нению для безразмерной температуры it, придём к тем же
выводам, только вместо (15.93) выражения получатся
проще:
Д (га) = а2 га-2-
Д (га cos нф) — (а2 — zi2) /а 2 cos /?ф;
A (r“ sin жр) — (а2 — п2) г»-2 sin zzc.
(15.94)
Чтобы удовлетворить граничным условиям (15.81) и
(15.82). полагаем
*»<0) = г cos <рsin ф; 1
со 8
1йп) = 2 г~т cos sin । (15.95)
m= 1
ZZ —1,2, 3, ... J
Используем эти подготовительные вычисления для
частного случая, когда
(15.96)
6 61 КОНВЕКЦИЯ В ГОРИЗОНТ. КАНАЛЕ КРУГЛ. СЕЧЕНИЯ 205
т. о. когда подогрев идёт только сбоку и вертикальная со-
ставляющая градиента температуры на бесконечности пуль.
Подстановки и вычисления дают следующее:
Нулевое приближение:
М°>==0; у<04 = г<0> = 0;
> ?
0<°) = АВМ°> - 2^1~р ;
(1.1.97)
Первое приближение:
Второе приближение:
//(2) — Mr2 ( — 11 , 24 г- 15г1 f 2ге) sini?;
?1(2) = 2.^2/j/r( — 114-24г- 15г*-1-2гв)(-оя2<р;
г 2? '
r<2) = ^ t8 2Мг ( — 11 4- 48г2 - 45г4-|-8гс) sin 2'»;
0(2) = ARt? М {г [( — г b{r2 — Cjr4 + dLre —
— егв) cos ср 4-г- (а2 — />2гг4-с2г4 — г72г°) cos Зф]} :
0(2> — ARisM у ( а3 со* <р /л-, cos Зср'') .
(15.99)
20i; ИЕЛИНЕПП. УРАВНЕНИЯ ГРЛВИТАЦ. КОНВЕНЦИИ |г.;1. 15
В последних формулах
ценные обозначения:
применены
следующие с,окра
Аналогично можно вычислить и третье приближение,
которое, ковечно, будет иметь erne более сложный вид.
Судя по физической стороне процесса конвекции,
описываемой этими уравнениями, не существует такого
значения параметра ;4 системы при котором она
не имела бы конечного решения. Поэтому, а также
по аналогии со случаем передачи тепла через прослойки,
надо полагать, что в пределах параметрической лине-
аризации никаких ограничений на с4 не налагается.
§ (>] КОНВЕКЦИЯ В ГОРИЗОНТ. КАНАЛЕ КРУГЛ. СЕЧЕНИЯ 207
другой стороны, степенные ряды (15.87) сходятся
наверняка только при значениях с4 1; поэтому можно
опасаться, что про > 1 приведённые решения дадут
расходящиеся ряды. Впрочем, судя по примеру, до-
считанному выше до второго приближения. практическая
сходимость рядов (15.87) очень сильна. Таким образом,
невидимому, вопрос о границах приложимости решений
в форме рядов (15.87) может надёжно решить только
эксперимент.
Полученное решение допускает следующую физическую
интерпретацию. 15 /н/левол/ приближении не допускается
движения жидкости; конвектиш нет. Жидкость, запол-
няющая канал, ведёт себя в тепловом отношении
как твёрдое тело с иной теплопроводностью, чем теп-
лопроводность массива (типичная задача теории потен
циала).
В результате того распределения температуры, которое
соответствует нулевому приближению, возникает в первом
приближении простейшая форма токов конвекции—круго-
вая (15.98): жидкость поднимается вдоль тёплой стенки
и опускается вдоль холодной, линии тока—замкнутые
окружности, радиальная составляющая скорости—нуль,
в центральной части канала жидкость вращается почти
как твёрдое тело. В связи с таким движением возникает
в канале и его окрестностях вертикальный градиент тем-
пературы (через sin ср)—гравптацпонпо-термиче! кий эф-
фект (см. главу 16, § 1).
В результате того добавочного изменения температуры,
которое описывается первым приближением, во втором
приближении (15.99) возникает радиальная составляющая
скорости п поле температур усложняется: возникает зави-
симость от утроенного полярного угла <р. В связи с тем,
что отвлечённое число М очень мало— порядка 10~5,—надо
ожидать, что радиальные скорости достигнут того же
порядка, что и скорости кругового движения первого при-
ближения при значениях
;4--Gr • Рг 2 • 10в, (15.102)
если принимать за определяющий размер радиус канала.
Если же принять за определяющий размер диаметр 27?,

210 НЕЛНПЕПН. УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦ. КОЛЛЕКЦИИ [гл. 15
как это принято в инженерных расчётах, то такое «инже-
нерное» значение критерия будет
Gr • 1’1- 3,2 10в. (15.103)
Это число близко к тому, которое соответствует перелому
в кривых теплопередачи через прослойки—см. рис. 25,
кривая III. Этот факт оправдывает применение только
двух членов в рядах, которые, таким образом, невидимому
действительно быстро сходятся. Поэтому надо полагать,
что точность, обеспечиваемая вторым приближением в пре-
делах 0 < I4 < К)3, весьма велика.
В порядке сопоставления с опытом на рис. 50 даны изо-
линии равного градиента, вычисленные по приведённым
формулам. Как видим, качественно они удовлетворительно
соответствуют фотографически полученным линиям, при
ведённым на рис. 45, Л.
Однако соответствие получится полнее с рис. 45, Б.
На этой фотографии изображены изолинии, которые на-
блюдаются в той же оптической модели, если поместить
нагреватель и холодильник не справа и слева, что соответ-
ствует рис. 45, /1, а под углом в 45° к вертикали, как
помечено на фотографии 45, Б. Причину лучшего соответ-
ствия можно видеть в следующем. Вследствие ограничен-
ных линейных размеров модели (которые лишь втрое пре-
восходят размер полости) в условиях рис. 45, А вертикаль
ный градиент температуры (сверху теплее) непропорцио-
нально велик по сравнению с теоретическим случаем беско-
нечного массива. В условиях рис. 45, Б этот вертикальный
градиент несколько скрадывается косым размещением
печки и холодильника. Поэтому действительные условия
приближаются к тем, которые соответствуют теории
(горизонтальный градиент в бесконечном массиве).
Расхождения 'теории и опыта следует отнести ещё и за
счёт случайного значения параметра £4, а также случай-
ного отношения теплопроводностей, принятого в расчёте
(^ = 0,0083).
Дальнейшая разработка этого приёма даёт надежду
исследовать конвекцию и в наклонном канале, перпенди-
кулярном к горизонтальной составляющей температурного
§ 7]
КОНВЕКЦИЯ В ШАГОВОМ полости
211
градиента. Результаты расчётов следует сопоставлять
с результатами опытов, соответствующих такому же эффек-
тивному расположению градиента, такому же отношению
теплопроводностей и такому же значению параметра ё4,
какие приняты в расчётах.
§ 7. Конвекция в шаровой полости
Настоявши пара1раф составлен по материалам работы
Е. Драхлина.
Пусть в бесконечной твёрдой среде с коэффициентом
теплопроводности имеется сферическая полость
радиуса R, заполненная несжимаемой (но термически
деформируемой) жидкостью с не зависящими от темпе-
ратуры коэффициентами теплопроводности /., теплоёмко-
стью с и коэффициентом динамической вязкости ц. Пусть
на бесконечности задан постоянный в пространстве и во
времени градиент температуры среды А. Найдём рас
пределеппе температуры О (х, у, z) в жидкости и в твёр-
дой среде 0(, (х, у, z), а также распределение скорости
r(x,y,z) в жидкости. Начало декартовых координат
х, у, z берём в центре сферы.
Введём следующие обозначения. Пусть 0о есть сред-
нее по объёму значение температуры; ро^ро(0о)— плот-
ность жидкости в равновесии, р = р'—р0; р0 ~ р0 (0„) —
давление в равновесии, р'~р— р0\ пусть р' < р0. Огра-
ничимся первым приближением для температуры и вто-
рым для скорости:
О'==О бо==б'(О)ф-0'(1); |
о;. = 6,, - 0о == о;<0) -{- 0,'< 1); ) (15.1(И)
v=ri,y ; г'2); г(0)= о. J
В пулевом приближении жидкость считается неподвижной.
Граничные условия имеют следующий вид:
г(Л) = О; 1
0(7?) = ОД/?); I (15.1(0)
} /<(05 /<«Г5
\<>г Jr =R \ dr Jr=n' J
14*
212 ПЕЛИНЕПИ. УРАВНЕНИЯ ГГЛВПТАП. НОНВЕК11И11 [гл. 1Й
Здесь г означает радиус-вектор, г2 = ж2 + г/2+ z2. Учи-
тывая условия симметрии, предположим, что линии тока
лежат в плоскостях, параллельных плоскости, опреде
ляемон направлениями </ и А, и выберем эту плоскость
за плоскость ху, а направление </ за направление оси у.
Введём функцию тока ’Г:
= ’Г<1) ! ,Г(2)- (15-1,,С)
Исключив давление (ср. уравнение (15.75)), получим еле
дующие уравнения:
д*дч-= - А г —’ Г л _
V L дх < дх2 ди дуя )
-7 ( ; (15.107)
ду \у>хду <ta3 у J '/ дх ' 7
+ (15.108)
Здесь знаком А* обозначен лапласиан в координатах
х п у:
, * д2 , д2
А ‘ -= Т-7. Л” -7-77 •
дх- ду-
В пулевом приближении прв неподвижной жидкости
V/(f,)-=0. (15.109)
Решаем это уравнение вместе с соответствующим уравне
пнем внешней задачи
Д6е(0> = 0 (15.110)
и с учётом граничных условий (15.105). Получаем извест-
ный результат из теории потенциала (потенциал диэлек-
трического шара в однородном поле):
°'(и, = л|^[Ла’ : Лу2/];
^(,,)= [fet • 1 ] • 1-*4^1- (15112>
Здесь Jr и Ау означают соответствующие компоненты
вектора градиента температуры на бесконечности А.
5 71
КОНВЕКЦИЯ В ШАРОВОЙ полости
213
В первом приближении уравнения (15.107), (15.108)
дают:
д*д<Г(|Ч-Л? . аь <0) ; (15.113)
/Д0'(|)^<1) г'1’ • (15.114)
г rkc ' J dy ' '
Здесь необходимо сделать небольшое математическое
отступление.
Пусть имеем уравнение Д*Д'Г — Q, где 'Г (.г, у, z)
неизвестная функция, a Q известный полином отенепи А'
РЧ’ <лг
относительно х, у, z, и пусть нужно найти п при
граничных условиях
f"4 ) =( 7 ") (15.115)
X. <Лс Jr Л \ ф/ Jr ]. ' '
Положим:
cW V, (л) (л) (л; Г z r х 2m -]
апХХ у31 Z1 [дяу “М ;(15-116)
л—О
5>Г VI, Зп) (л) (л) Г Z г X. 2т 1
У z 1АЯ7 -1J ’ (15Л17)
л=0
Здесь i<"), i(n)t j\n)t y(i,)j р(п)^ т _ натуральные числа,
пробегающие независимо друг от друга значения 0, 1,
2, ..., А7-(-3. Число s определяется тем, что в правых
частях (15.116) и (15.117) должны присутствовать все
слагаемые указанного вида, у которых сумма степеней
х, у, 2 и г составляет ряд натуральных чисел в пре-
делах от 2 до Аг-|-3. Можно показать, что выражения
(15.116) и (15.117) решают поставленную задачу, если
найти коэффициенты а„ и Ьн. Для этого нужно восполь-
зоваться, во-первых, уравнением Д*ДЧ’ = (7 и, во-вторых,
тем обстоятельством, что смешанные производные от Ч',
выраженные через ап при помощи (15.116) и через blt
при помощи (15.117), должны совпадать.
214 НЕЛИНЕЙН. УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦ. КОНВЕКЦИИ [гп, 15
Применив указанный математический приём, решаем
уравнение (15.113) и находим компоненты скорости
(15.106) в первом приближении. Вычисления дают:
(i)_A . gM>^4 . 44 . К (R, 2 Vx '20 7s У?1 Х4-2/.Д 1) 3 / г Хг , „о г У 20 ‘ V2 Ю * А+2А/' у2 Z2); (15.118) г2 у2 - Z2).
(15.119)
Можно убедиться в том, что в этом приближении линии
тока являются окружностями, параллельными плоско-
сти ху.
Для нахождения распределения температуры в первом
приближении решаем уравнение (15.114) совместно с соот-
ветствующим уравнением (15.110) внешней задачи при
соблюдении граничных условий (15.1U5). В результате
получим:
О = аж5-К 2з2а;:‘--’- 2:зг,ту2 1 2х3у2) -J-
Ч а2 (з2т 4- х3 -1 ху2) -|- а3х
-г я4 (z4y - х/'у у5 2z2x2y -J- 2z2y3 ; 2х2уя) {
+ а^г2у + х2у + уя) + асу. (15.120)
Здесь
9 gp (1714-18X0 2.
8— 2800 ’ vz ‘ (Хч-.2Хр)з х'
О'(|,= — . . Льх—Ах>/
350 м2 х (X + 2Хг)3 г3

§ 7] КОНВЕКЦИЯ В ШАРОВОЙ полости 215
Нахождение температуры и скорости во вггором при-
ближении требует уже весьма громоздких вычислений.
Компоненты скорости во втором приближении предста-
вляют собой полиномы седьмой степени относительно
координат х, у, z. Для нахождения коэффициентов в
этих полиномах пришлось решить систему из 44 линей-
ных алгебраических уравнений.
Окончательные выражения для скоростей во втором
приближении выглядят так:
^2) = It (P1Z* Р:,У' ' ’ Ри^У~ +
I-Ръх~У~-\ Piz~ i /V4 РвУ2 Pi») X
X (ж2 + у2 z2 - -1)ж ;(</, z4 4 </2ж4 фq-ij* 4-
+ q^x2 -f- q&z2y2 4- q6x2y2 + </7s2 ?8ж2 -f-
4-^г4-М(?2 + ?/2 + ^1)’/;
z9. 1 (15.123)
) = У + 7-22:4 + 7’3?y4 + 7-4322:2 7,;'"2y2
+ rex2y2 -] r.z- + rsx2 -! rvy2 rJ0) X
X (ж2 + y3 4- z2 — 1) ж -I- (XiZ4 4- s-2x’ ,s;;?/4 4-
4- s4z2a:2 4- s-z2y2 4- s6z2?/2 4- s7z2 4- sr.t2 -f- s0y2 4-
4-Sio)(^24-?/24-z2 -l)y. .
Здесь положено:
Л-! = 2е З3 • 5 • 7 • 11 13 - 8 648 640;
Л2 = 3 4 • 5 • 7 • 13 • 4919 = 26 857 740; I
± ( Л2. Д15.124)
1 “ 20 V >2 / Я8« ' \ X 4 2\е ) ’
7 - К >2-4с
2 20 К -4 J < Л , 2ле/ .1 '
Здесь pi, q{, ri и Xi(Z=1, 2, ..., 10) представляют
собой постоянные числа, значения которых приводятся
216 ЙЕЛИНВЙН. УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦ. КОНВЕНЦИИ [гл. 15
в таблице IX. Значения д10 и г10 таковы:
_ 179 390 17/. ' 18>.„ , . х
3 2800 (X ь 2Х„)Лг’ ।
237 439 , 17Х + 18Х,. * /
7’" 8 28(Ю (> \ 2А(.) - J
(15.125)
Для иллюстрации этих очень сложных результатов-
рассмотрим в виде примера случай нагрева сбоку (.1,; О).,
причём положим для упрощения счёта см. (15.121)
Gr . 1’г 560; /. = /. (15.126)
— 1 а 1 > , lit на IX
Pi 7/ // >?
1 1 063 472 913 88 1 ЮЗ 985 88 1 065
570 1 068 531 88 1 412 039 88 -3 990
3 990 310 279 317 651 — 570
88 88
4 1 633 _ 897 487 44 1 384 776 44 —7 035
5 7 035 162 731 5 727 136 —1 635
44 44
6 4 560 621 337 896 777 —4 560
44 11
7 —3 874 Н)206 561 26'1 13 737 022 264 3 874
8 —3 379 15 392 945 2С4 18 260 720 264 “ 15 755
9 13 755 5 382 743 26 Г 7642 112 Г*'т264 3 379
10 2 809 7 jo rl(j - 2 809
§ 71
КОНВЕНЦИЯ В ШАРОВОЙ полости
217
При этом из (15.121) получим:

ai — а2 — 0;
а5 = тгЛ‘-; 7 с
—£Д-
(15.127)
Да. (ьпейшпс вычисления показывают, что в этом
случае распределение скоростей (изолиний скоростей)
в любой плоскости, проходящей через ось z (меридио-
нальной плоскости), очень напоминает то, которое при
ведено выше, па рис. 6. Максимальное значение тан
ronniia.ibiioii состав, гящой скорости оказывается около
",() радиуса сферы и равно приблизительно 10,6 при
значении Gi- 1’г 560. Однако во втором приближении
струйки тока оказываются не окружностями, а имеют
овальную форму, вытянутую в направлении осн у — х и
сжатую в направлении осн у х. При этом па осях
х и у максимальное- значение радиальной составляющей
получается при принятом значении Gr - Рг 560 па по-
ловине радиуса сферы и равно ± 1,4 — .
Конвективный процесс в полости вызывает в окру-
жающем массиве (в рамках первого приближения) кро-
ме действующего извне горизонтального градиента тем-
пературы ещё и вертикальный градиент (15.122):
9 yR^Ax ,,r
“ 350’ >/. ’(Л + 2Д)2’ Г3 ’
Как видим, сферическая полость уподобляется верти
кальпому тепловому диполю, интенсивность которого
пропорциональна квадрату внешнего градиента /1,. и
седьмой степени радиуса сферы Л. В этом сказывается
гравитационно-термический эффект конвекции (ср. фор-
мулу (15.98)).
Если детально проследить весь ход выкладок, при-
ведённых выше, то можно установить, что они продета
пляют собой неявно проведённый метод последователь
ных приближений, основанный на разложении решений
218 НЕЛИНЕИН. УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦ. КОНВЕКЦИИ [гл. 15
по степеням числа Грассхофа:
(;г = €^. (15.129)
Отмеченное обстоятельство проявляется и структуре
формул (15.118) я (15.121).
Этот пример показывает, что практические вычисле-
ния принудительно приводят к такому разложению и
поэтому совершенно целесообразно это разложение про-
водить в явном виде с самого начала вычислений, при-
няв Gr за малый параметр нелинейности.
ГЛАВА 1G
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕПЛОВОЙ
КОНВЕКЦИИ В ПОЛОСТЯХ СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ
§ 1. Постановка вопроса
В литературе хорошо освешёп вопрос о тепловых конвек-
тивных явлениях в бесконечной горизонтальной щели между
двумя твёрдыми плоскостями (ячейки Бенара 112- 1]).
Главным содержанием настоящей книги явилось исследо-
вание противоположного случая—тепловой конвекции
в вертикальном канале. Естественно увязать .эти крайние
случаи с промежуточными случаями: тепловой конвекцией
в шаровой полости и в горизонтальном канале круглого
сечения не только теоретически (глава 15, §§ 6 и 7), но
и экспериментально.
Оба эти случая имеют большое практическое значение.
Во-первых, в состав многих теплоизоляционных материа-
лов случайно или сознательно бывают включены такие
полости. Если в жидкости плп газе, заполняющем эти
полости, возникнет конвекция, то эффективная тепло-
проводность такого вкрапления может оказаться гораздо
большей, чем можно ожидать по величине молекулярной
теплопроводности жидкости илп газа. Хотя в строитель-
ном деле и определена эффективная теплопроводность
воздушных включений, однако считать вопрос исчерпан-
ным нельзя и уточнить роль конвекции в таком вопросе
необходимо.
Во-вторых, конвективный перенос тепла в таких поло-
стях обладет одной характерной особенностью, требующей
детального изучения. Дело в том, что конвекция состоит
В' том, что тёплые части жидкости всплывают, холодные
220 ТЕПЛОЕ. КОНВЕКЦИЯ В ПОЛОСТЯХ СПЕЦ. ФОРМЫ (гЛ. 16
тонут в окружающей жидкости. Поэтому в результате
конвекции непременно возникает дополнительный верти-
кальный градиент температуры: сверху становится теплее
(ср. формулы (15. 98), (15. 128)). Этот добавочный конвек-
тивный градиент искажает первоначальное тепловое поле
в том твёрдом массиве, который содержит полости. Возни-
кает специфический гравитационно-термический эффект
(напоминающий известный гальваномагнитный эффект
Холла): прохождение теплового потока сквозь пористое
тело в гопизонталыюм направлении сопровождается доба-
вочным нагревом его верхней части и добавочным охлажде-
нием нижней. Нектор потока Ten ia перестаёт быть кол
гииеариым < вектором градиента температуры, между
ними возникает вертикальное расхождение. Поэтому пеня-
Рис. 51. Эскиз модели для
исследования тепловой кон-
векции в шаровой полости:
И—печка, V холодильник,
Ji—капал для заполнения
модели водой. 1 в В—место-
положение наружных термо-
вар. Точками показано рас-
положение 18 внутренних
термопар.
изготовлена разъёмная х
рпс. 51, Обе половины мо;
i iie «эффективная теплопровод-
ность пористого массива» те-
ряет смысл скаляра, а приоб-
ретает смысл тензора, компо-
ненты которого связаны с век-
тором ускорения сплы тяжести.
Это обстоятельство обычно
игнорируется практиками, в
то время как его правильный
учёт может сэкономить стра-
не много мегакалорий тепла.
В дальнейшем излагаются
лишь первоначальные экспе-
риментальные изыскания, про-
ведённые в этом направлении.
§ 2. Конвекция в шаровой
полости
Этот параграф составлен
ио материалам работы II. А.
Плешкова.
Из куска плексигласа раз-
мером 47 х 47 х 62 мм была
дель, показанная в разрезе на
in пришлифованы друг к другу
§ 2] КОНВЕКЦИЯ В ШЛРОВОП ПОЛОСТИ 221
и герметически сжаты. В толще куска высверлены кана-
лы диаметром около 1 мм. В эти каналы вставлены двой-
ные изолированные провода термопар медь— константан
диаметром около 0,2 мм так, чтобы самые термосная были
вдвинуты внутрь шаровой полости приблизительно на
1 мм. Каналы с проводами от термопар заклеены воском.
Полость наполнена дистиллированной водой через канал /т
Рис. 52. Эскиз расположения и нумерация
внутренних термопар в модели для исследо-
вания тепловой конвекции в шаровой полости.
диаметром около 3 мм. Модель размещена на печке 7/
и накрыта холодильником X латунным сосудом, содер-
жащим лёд и воду.
Термосная общим числом 18 были размещены по внут-
ренней поверхности сферы в соответствии со схемой рпс.
52. Их координаты, выраженные географическим языком,
сведены в таблицу X.
Кроме того, непосредственно на печке под холодиль-
ником были расположены термопары в точках Л п Б.
222 ТЁПЛОВ. КОНВЕНЦИЯ В ПОЛОСТЯХ. СПЕЦ. ФОРМЫ (гл. 16
Т а б л и ц а X
Таблица XI
Псследоцапис конвекции в шаровой полости
№ термопар
Мощность вт
холо-
диль-
ник
+9(Н
0,196 0,595 1,09 1,92 3,00 4,14 6,5 3,00 угол 20э
9,5 о 3,5 3.5 6.25 9,5 8,5 8,25 6,85
15.75 14.25 14,25 14,75 17,1 21 18,75 25,75 18,35
17,5 17 17,25 17.75 16,5 15,75 16 16,63 16,5 15,75 16 16,6 17,5 16,88 17 17,5 19,5 19.25 19,38 19,6 23 22,5 23,05 22,65 20 19,5 20,5 20,75 27 26,88 26,25 26 20,85 21,3 21,3 20,85
§ 2]
КОНВЕКЦИЯ В ШАРОВОЕ ПОЛОСТИ
223
1 № термопар Шпрота Мощность вм X
0,196 0.37 0,595 1,09 1,92 3,00 4.14 6.5 3,00 угол 2(Р
6 18.5 17,5 17,5 18,75 21,37 25 22,75 30,5 22,35
1 18 17 17,17 18,38 21,5 25,45 23 31 23,85
8 р. 17,9 16,9 16,87 18 20,5 24,5 21,75 30,75 23,97
9 18 16,83 16,75 18 20,5 24,25 21,65 29,1 23,72
10 и 18,3 17 16,87 18 13 21 24,75 22,88 29,75 23,6
11 СП) 18,75 17,38 17,25 18,7 21.25 25,1 23,5 29,75 22,85
12 18,88 17,5 17,75 18.9 21,25 24,25 23,5 29,25 22,47
13 18,75 17,6 17,75 18.9 21 24,5 23,12 29,5 22,6
14 19 18 18.25 19,75 23,25 27,5 26,5 34,75 26. 1
15 18,5 17,82 18 19,62 23,25 27,5 27 35,6 27,72
16 —457 18,8 17,85 18,25 19,75 23,75 28 27,75 36,26 27,47
17 19,25 18,25 18.5 19.9 23,62 27,9 28 36 26,35
18 —90' 19,25 18.63 19,25 21,0 26,12 32 32,5 44,25 31,1
В печка 23,25 25,25 27,75 34,75 56.25 64.5 78 124,75 69,35
Результаты измерений приведены в таблице XI и па
объединённом рис. 53, соответствующем восьми разным
мощностям подогрева. На каждом частном графике
этого чертежа дана зависимость температуры от «долго-
ты» соответствующей термопары. Линии соответствуют
одинаковым «шпротам»: линия 7—верхнему полюсу,
линия 18—нижнему полюсу, средняя линия—экватору,
и т. д. Линии А п В соответствуют температурам верхнего
и нижнего торна модели. Аналогичное распределение тем-
ператур было получено и при другом методе измерения
температур (электролитическом, см. главу 19, § 1).
Из сводного рисунка видно, во-первых, что средняя
температура экватора не равна средней из температур
полюсов. Температура экватора выше средней тогда,
когда она ниже 20° Ц—комнатной температуры, и ниже
средней, когда она выше комнатной.
1’iic. 33, 1—3. Результат псследоваипя тепловой конвекции в шаровой полости.
яонХск1хэо '
Рис. 53. 4—6. Результат исследования тепловой конвекции в шаровой полости.
226 1 EIl.'KJli. КОНВЕКЦИЯ В ПОЛОСТЯХ СПЕЦ. ФОРМЫ [гл. 16

§ 3] Цилиндрическая полость с горизонтально!! осью 227'
Ясно, что температура экватора получится в ы ш е
средней из полюсных температур тогда, когда жидкость
в конвективном движении поднимается у стенок и опус-
кается во вертикальной оси модели. Этому явлению спо-
собствует низкая средняя температура всей модели ио
сравнению с комнатной: модель нагревается по только от
печки, но и через боковые стенки от комнаты. Когда сред-
няя температура модели выше комнатной, то получается
обратное явленно.
Во-вторых, из сводного рисунка видно, что на среднюю
температуру каждого круга шпроты накладываются волны
преимущественно с периодом в один оборот около верти-
кального диаметра сферы (при больших мощностях подо-
грева—волоборота). Возможно, что эти волны также воз-
никают в результате влияния окружающей обстановки
(окоп, отопительных приборов, так как опыты производи
лись .зимой и модель не была теплоизолировала).
Из'этого обсуждения вытекают следующие предполо-
жительные выводы:
а) Тепловая конвекция в этих опытах имела место
п переносила, конечно, вдобавок к молекулярной тепло-
проводности дополнительные количества тепла снизу вверх:
эффективная теплопроводность жидкой среды была больше
её молекулярной теплопроводности.
б) Форма конвективного течения весьма подвержена
посторонним температурным влияниям, их необходимо
очень тщательно устранять при налаживании уточняющих
измерений.
Замечательный пример тепловой конвекции в шаровой
полости больших размеров (аэростат, нагреваемый солн-
цем) исследован Е. В. Кудрявцевым [16—1].
§ 3. Конвекция в цилиндрической полости
с горизонтальной осью
В главе 13, рис. 41 п 15, были даны фотографии неко-
торых случаев. Они были получены в модели, эскиз кото-
рой изображён на рис. 54 и которая подобна модели рис. 47.
Между двумя текстолитовыми кругами через асбестовые
прокладки зажат прямоугольный блок из свинцового
15*
22Н ТЕПЛОВ. КОНВЕКЦИЯ в ПОЛОСТЯХ СПЕЦ. ФОРМЫ |гл. 16
сплава малой теплопроводности (баббит). В блоке высвер-
лено цилиндрическое отверстие, заклеенное двумя поло-
жительными очковыми стёклами. Полученная' полость
Рис. 54. Эскиз модели для исследования конвекции в горизонталь-
ном канале круглого сечения оптическим методом решётки.
сообщается с наружным пространством сквозным каналом,
через который она заполнена глицерином, после чего
канал был закрыт пробками с обеих сторон. Вдоль проти-
воположных сторон блока просверлены трубчатые капали,
в которые входят соответственно фарфоровые трубки
(j 3] ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПОЛОСТЬ С ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ осью 229
электропечи и штуцера подводки водяного охлаждения.
Нихромовая спираль электропечи вставлена внутрь канала
фарфоровой трубки. При помощи сочетания электропечи
и водяного охлаждении в блоке можно создать условия
приблизительно однородного теплового поля, перпендп
кулярного к горизонтальной осн модели.
Поместии модель на двух горизонтальных стержнях
оптической скамьи, можно градиенту температуры в блоке
придавать любую ориентацию относительно вертикали
(печка расположена внизу, сбоку пли вверху- под лю-
быми углами). Углы отсчитываются посредством малень-
кого отвеса, скользящего перед лимбом, прикреплённым
к текстолитовому кругу.
Наблюдения конвективных явлений в этой модели как
посредством взвешенных светорассепвающих частиц, так
к посредством оптического метода решётки показали сле-
дующее. Типичны два рода движения: круговое и верти-
кал ьпо-диаметральное.
Круговое движение получается при расположении
печки и холодильника по обе стороны oi полости модели.
Оно состоит в том, что жидкость вдоль тёплой стенки
поднимается, вдоль холодной—опускается, и, таким обра
зом, струйки тока похожи на почти правильные круги.
Вертикально-диаметральное движение получается при
расположении печки внизу, а холодильника вверху. Это
движение состоит is том. что жидкость в вертикальной
диамстральной плоскости поднимается, а но бокам вдоль
цилиндрических степок — опускается. (Впрочем, воз-
можно и обратное явление—см. обсуждение результатов
в предыдущем параграфе.)
Оба эти рода движения достаточно устойчивы и при
наклонных положениях модели, невидимому, могут со-
существовать вместе.
При любом из этих движении ясно заметно наличие
значительных вертикальных градиентов температур.
Таким образом, наглядно видно, что роль жидкости
в полости модели равноценна роли вертикального
теплового диполя, или, вернее, непрерывной цепи та-
ких диполей, расположенной вдоль горизонтальной осц
модели.
230 ТЕПЛОЙ. КОНВЕКЦИЯ В ПОЛОСТЯХ СПЕЦ. ФОРМЫ [rJI IG
4; 4. Заключительные замечания
Описанные здесь первоначальные опыты и их резуль-
таты пока не дают полного ответа па поставленные в нала
ле главы вопросы. Главная их роль заключается в том,
что они обрисовывают всю зкспорнмеитальиую трудность
задачи. В частности, ясно, что необходимо пользоваться
комплексными методами: например, оптический способ
наблюдения нужно сочетать с методом температурной
регистрации и т. и. Также необходимо очень тщательно
исключать внешние неучитываемые влияния, учитывать
неустранимые влияния и т. д. Таким образом, необходи-
ма разработка подходящего для опытов оборудования
и аппаратуры.
ГЛАВА 17
ТЕПЛОВАЯ КОНВЕКЦИЯ В НАКЛОННОЙ МОДЕЛИ
КРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ
§ L Описание установки
Эта глава составлена по материалам работы В. Л. Те-
тюева.
Для экспериментального исследования тепловой кон-
векции в круглой замкнутой модели, подогреваемой с од-
ного конца и ориентированной под разными углами к вер-
тикали, были использованы модели такого же типа, как
описанная в главе 9, § 1.
Модель была средней частью прикреплена к горизон-
тальной оси специального станка и при помощи часового
механизма совершала приблизительно один оборот за
сутки. Таким образом, ось канала модели очень плавно
занимала относительно вертикали различные углы, начи-
ная от нуля (печь внизу) через я (печь вверху) до 2~
(печь снова внизу). Отсчёт температур производился по-
средством автоматов, как описано выше, в главе 9, § 3.
В качестве фотозаппсывающего приспособления сначала
использовалось обычное устройство, регистрации которого
приведены выше в различных разделах (декартова запись).
§ 2. Ламинарный режим
Примером служит выдержка из фотозаписи рис. XXI.
Запись велась пять суток, причём существенных отличий
в записи одних суток от записи других обнаружить не
удалось. За нуль принята температура алюминиевого
кожуха модели. Пять осредняющих термопар, наиболее
232 КОНВЕНЦИЯ В НАКЛОН. МОДЕЛИ КРУГЛ. СЕЧЕНИЯ [гл. 17
близких it печи, расположены па расстояниях 1 см друг
от друга, остальные—на 3 см друг от друга.
Когда печь расположена вверху, то температура из-
меняется вдоль модели по показательному закону, причём
температуры участков, близких к печи (верхние кривые),
значительно выше остальных. Температуры удалённых
от 1 ечп участков модели почти равны температуре кожуха.
Момент, когда модель занимает строго вертикальное
положение «j-ечыо вверх», отмечен естественной маркой:
воздух, заключённый в части резервуара холода на проги
воположном от печи копне модели, проппкал в капал
модели всплывающим пузырём и частично вытеснял оттуда
воду. Температура всех термопар повышалась резким рыв
ком. Величина рывка тем больше, чем больше градиент
температуры в месте расположения данной термопары.
Обратное всплывание воздушного пузыря из глубины моде-
ли происходило в тот момент, когда капал модели ирппп
мал горизонтальное расположение. Соответствующий мо
мент отмечается па фотозаписи маленьким обратным рыв-
ком: более холодная жидкость подступает к печи.
Когда печь расположена внизу, то в модели имеет
место ламинарная конвекция. Столбик жидкости имеет
болыпую эффективную теплопроводность; кривые распо-
ложены почти на одинаковых расстояниях друг от друга,
градиент температуры вдоль столбика одинаков. Гра
дпепт этот зависит от угла между осью капала модели
и вертикалью: вообще, чем этот угол меньше, тем гра
диент также меньше. Однако в момент строгой вертикально-
сти трубы градиент температуры в области, близкой к печи,
имеет своеобразный острый максимум. Этот максимум де-
лается незаметным только па расстоянии от печи, при
мерно равном 17 диаметрам канала.
Впоследствии фотозаиисывающее устройство было усо-
вершенствовано. Па той же горизонтальной осп, около
которой вращается модель, был укреплён алюминиевый
диск. К этому диску простыми скрепками подкалывались
куски двусторонней (пе коробящейся) фотоплёнки. Галь-
ванометр был расположен так, что его зайчик двигался по
горизонтальному радиусу диска. Таким образом, фотоза-
писи получались в форме полярных диаграмм, на которыу
§ 3] ОБОБЩЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ 233
углы были равны углам между осью канала модели и вер-
тикалью.
На следующих рисунках даны примеры фотозаписи
с таким устройством. Рис. XXII соответствует несколько
большей! мощности подогрева, чем рис. XXIII. Такие
полярные записи допускают такое же толкование, как
и декартовая запись на рис. XXI.
Пузырёк воздуха при этих записях был тщательно уда-
лён н тепловое расширение воды поглощалось упругим
компенсатором (кусок резиновой трубки, закрытый зажн
мом Мора). На фотозаписях за пуль принята температура
самой горячей термопары. Периферическая кривая отно-
сится к температуре алюминиевого кожуха модели. Па
последнем рисунке заметен копен, нестационарного про-
цесса, сопровождавшего запуск модели в ход из положе-
ния «печь вверху». Па рис. XXIV дай двойной отпечаток
обеих последних фотографий, причём видно, как в конвои
тинной части обе фотографии совпадают друг с другом.
§ 3. Обобщение экспериментальных результатов
Попытки обработать полученные кривые привели к
следующему выводу. Вообще говоря, в каждом положе-
нии модели распределение температур вдоль модели соот-
ветствует рис. 28, а именно: линейный закон распреде-
ления температур без скачка и излома сопрягается с пока-
зательным законом. Первый характерен для конвектив-
ных режимов и для участков модели, ближайших к печи.
Второй характерен для молекулярной теплопроводности
н наблюдается в вертикальной модели вдалеке от печи.
Замеченные небольшие отступления от симметрии запи-
сей и от указанного сходства легко объясняются нестацио-
нарными режимами: можно уменьшить скорость враще-
ния, тогда и записи будут более симметричными, а сход-
ство с упомянутым схематическим рисунком увеличится.
Однако в этом общем сходстве имеются и существен-
ные отличия. Во-первых, характеристический конвектив-
ный градиент зависит от угла как чётная функция (уве
личпвается с увеличением угла). Во-вторых, показатель
экспоненты также зависит от угла, как будто теплопровод-
234 КОНВЕКЦИЯ В НАКЛОН МОДЕЛИ КРУГЛ. СЕЧЕНИЯ |гл. 17
ность жидкости изменяется с увеличением угла и приоб-
ретает экстремальное (молекулярное) значение при угле,
равном ~ (печь вверху).
Примитивное толкование первого из этих фактов при-
водит к следующим соображениям. Если в «основных»
уравнениях главы 3 предположено, что сила тяжести
действует вдоль вертикальной модели, то естественно
считать, что при наклонной модели будет действовать
Гис. 55. Предположительное рас
пределеппе конвективных потоков по
сечению наклонной круглой трубы.
совпадению мешает упомянутый
ксимум. Для углов больше 45°
ускорение силы тяжести нужно
только осевая со-
став л я ю щ а я си-
лы тяжести. Поэтому
нужно в формуле (3.7)
только заменить вели-
чину g па geos я, т. о.
сохранить cos а в фор
муле (3.1). Сопоставле-
ние этой гипотезы с ре
зультатамн обмеров фо
тографий показало, что
эта гипотеза удовлетво-
рительно оправдывает
ся в пределах почти от
нуля до угла в 45° с вер
тпкалыо. Вблизи пуля
маленький резкий ма-
получается, как будто
умножить не на cos а,
а на большую величину, которая ближе к единице,
чем cos я. Сопоставление этого факта с материалом, изло-
женным в главе 11, приводит к предположительному
выводу, что чем выше теплоизоляция модели, тем примени-
мость «закона косинуса» будет шире.
В самом деле, затраты тепла конвективного потока на
теплопроводность стенок требуют нарушения антисиммет-
рии потока и возникновения в бывшей плоскости анти-
симметрии добавочного восходящего потока вдоль оси и
нисходящего у стенки (см. главу 16, § 2). Надо полагать,
что в наклонной модели проекции струек тока и услов-
ной «поверхности антисимметрии» приобретают вид, изо-
браженный на рис. 55. Таким образом, составляющие ско-
§ '6
СВЕРХ КРИТИЧЕСКИЙ РЕЖИМ
235
ростп, нормальные к оси модели, приобретают столь сущест-
венное значение, что разработанная выше линейная трак-
товка не приводит к удовлетворительному описанию дей-
ствительности.
I Грнмитивиос толкование второго из упомянутых фак-
тов—изменения кажущейся молекулярной теплопроводно-
сти жидкости в наклонной модели дать пока трудно. Осо-
бенно странным представляется тот факт, что кажущаяся
теплопроводность почти горизонтальной модели, когда
в ней, надо полагать, имеется и конвекция, меньше, чем
в вертикальной модели «ночью вверх», когда в пей вряд
ли может иметь место конвекция. Этот факт отображён
на последних рпсуиках тем, что они имеют большее про
тиженпе в ширину, чем в высоту: температура наиболее
горячей термопары относитёлыю кожуха выше при почти
горизонтально ii, чем при вертикальной модели при одп
паковой мощности подогрева.
§ 4. Сверхкритический режим
При повышенной мощности подогрева при почти вер-
тикальной модели (вблизи нуля угла наклона, лечь
внизу) возникает с.верхкрнтпческпп режим тепловой кон-
векции. На рис. XXV, .1 и Б изображены полярные фото-
записи, соответствующие значительной мощности подогре
ва ^0,80кал в сек.- и большой чувствительности гальва
иометра: Г Ц соответствовал 6,2'5 льм. За пуль принята
температура верхней усредняющей термопары, наиболее
удалённой от печки, представляющая собой на фотогра-
фиях правильную дугу окружности. Вниз от этой дуги
записана относительная температура кожуха. На фото-
графиях видно, как режим конвекции, ламинаризованныы
наклоном модели при больших углах наклона, резко
сменяется сверхкрптическпм режимом при малых углах:
гладкие равноотстоящие кривые резко сменяются расплыв-
чатыми полосами, изобличающими как снижение эффек-
тивной теплопроводности жидкости, так и неустойчивость
процесса.
На рис. XXVI, А и Б изображены полярные фотозапи-
си, соответствующие большой мощности подогрева и столь
2.Я» КОНВЕНЦИЯ В НАКЛОН. .МОДЕЛИ КРУГЛ. СЕЧЕНИЯ [гл. [7
малой чувствительности гальванометра (1° Ц соответство-
вал 0,66 .и.и), что четыре кривые предыдущей записи
в ламинарном режиме почти неразличимо сливаются в одну.
Этому слиянию благоприятствует увеличение конвектив-
кого параметра воды —связанное с повышением сред-
ней температуры жидкости в модели при этой повышенной
мощности (см. главу Я). На последней фотозаписи вниз от
нулевой линии дуги окружности снова записана тем-
пература алюминиевого кожуха модели п ещё ниже—
температура дыоара репера комнатной температуры. Вид-
но, как увеличен не мощности подогрева повлекло за со-
бой затруднение ламипарпзацпп в более широком угле,
чем раньше (3'i 35 градусов дуги ла рис. XXVI, А и Б
по сравнению с 13—14 градусами па рис.. XXV, А и Б).
На рис. XXVII благодаря увеличенной чувствитель-
ности можно различить детали характера неустойчивости
ври сверхкритнческом режиме.
Из сопоставления последних фотографий напрашивает
ся вопрос: не является ли маленький острый максимум
вблизи пулевого угла па рис. XXI отображением зароды-
ша сверхкритнческого режима, наглядно развивающегося
при больших мощностях; возможен .ли вообще ламинар-
ный реяшм при строго вертикальной модели п полном
отсутствии внешних поперечных градиентов температуры?
В этой связи полезно подчеркнуть, что описанные в этой
главе опыты проводились в хорошо термостатированном
помещении.
ГЛАВА 18
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Изложенный выше материал ни в коем случае нельзя
считать исчерпывающим вопрос о гравитационной копиек
цпп в условиях внутренней задачи. Наоборот, он .пнппнн
раз подчёркивает неисчерпаемость любой ветви пауки.
По этот материал может послужить вехой для дальней-
ших изысканий в областях, которые непосредственно отно-
сятся к производственным проблемам, а также к вопросам
физико-математического исследовання.
Можно привести ориентировочный перечень тех перво-
начальных тем, которые непосредственно вытекают нз
проделанной работы и которые при их дальнейшей разра-
ботке неминуемо разовьются в солидные научно-техип
веские исследования.
1. Исследовать ио литературным материалам, как раз-
рабатывались идеи Ломоносова о конвекции русскими
и советскими учёными.
2. Пересмотреть и заново теоретически разработать
основания для составления уравнений гравитационной
конвекции в целях их уточнения, а главное расширения
круга их применимости.
3. Распространить выводы этой работы на случаи кон-
векции пе гравитационной (а электростатической, магнит-
ной или иной) природы.
4. Исследовать «внешнюю задачу» гравитационной
конвекции как частный случай «внутренней».
5. Распространить исследование на разные жидкости
и разработать методику измерений конвективного пара-
е3
метра , как химико-аналитического признака для
жидкостей.
238 ЗАКЛЮЧЕНИЕ |гл Is
6. Исследовать конвекцию в газах с темп же аналити-
ческими целями.
7. Исследовать конвективные явления указанного типа
в многофазных системах с расслоением вблизи температуры
взаимного растворения и использовать помутнения жидко
стп, связанные с образованием самостоятельной фазы,
как «термос конический» фактор.
8. Выяснить вопрос о том, наступает ли критический
режим у газов столь же резко, как у жидкостей, и каковы
его характерные особенности.
!). Исследовать явление в моделях некруглого сечения.
10. Исследовать явления в моделях переменного сече
пня.
11. Тщательнее исследовать воду п другие промышлен-
но важные жидкости с точки зрения величины копвектпв
него параметра п издать табулированные результаты.
12. (’.оставить и издать таблицы разных цилиндрических
функций от аргумента (|7 г'д ) для использования их при
инженерных расчётах тех случаев конвекции, когда ввер-
ху теплее, чем внизу (глава 5, § 5).
13. Исследовать работу вытяжных устройств и дымохо-
дов с естественной и принудительной циркуляцией с точ
кп зрения суперпозиции свободной п вынужденной кон
вскипи (глава 5, §4).
14. Распространить таблицу 1 па случай, когда вверху
теплее.
15. Уточнить вопрос о теплопроводности жидкости
в концевых явлениях.
16. В вопросе о скорости добегания конвективных явле-
нии внести в замеченную полуэмпирпческую зависимость
(глава 11) исчерпывающую количественную ясность.
17. Исследовать «собственные» тепловые колебания при
нестационарных режимах применительно к промышлен-
ным нуждам.
18. Исследовать диффузионную (концентрационную),
а также термоднффузпонную конвекцию в части, анало
точной исследованной здесь тепловой конвекции.
19. Исследовать на моделях конвекцию в процессе
охлаждения отливок (как гидродинамическую, так и теп-
ловую сторону).
заключений
23!)
20. Экспериментально уточнить сверхкритическое зна
чение числа Нуссельта н выяснить, от каких именно пара
метров оно зависит и как.
21. Исследовать аналитически нелинейным сверхкрнтп
веский случай.
22. Исследовать экспериментально конвекцию в таро
вой полости при горизонтальном градиенте температур.
23. Дополнить теорию конвекции в горизонтальной
трубе случаем подогрева снизу.
24. Исчерпывающим образом исследовать эксиерпмен
тально вопрос о конвекции в круглом горизонтальном
канале (в свете теории главы 15, § 6).
25. Исследовать вопрос о конвекции в наклонном кана-
ле при любой ориентации градиента температур.
26. Исследовать процесс морехода пли сосуществова-
ния конвекции с оссиой симметрией и с диаметральной
антисимметрией при теилопотерях в стенки.
27. Исследовать конвекцию в цилиндрической полости
с учётом параметрической нелинейности (для узких напил
ляров, как, например, поры котельной накипи).
28. Исследовать влияние длины жидкостного столбика
па степень устойчивости конвективного движения в нём
(рис. XVII ‘ и XVIII).
29. Исследовать вопрос о гравитационно-термическом
эффекте и построить тензор эффективной теплопроводно
стн пористых материалов па основе содержания глав 5
(табл. 1), 15 и 16.
30. Исследовать гравитационно-термические и грани
тацпонно-копцентрационпос детектирование: возникни
венпе вертикальных градиентов температуры или кон
центрацип в полостях, содержащих жидкости или газы,
при периодических изменениях температуры или кои
центрацип.
ГЛАВА 19
ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. Электролитический метод измерения температур
Настоящий параграф составлен по материалам работы
11, А. Плешкова.
Как известно [19—1], разность потенциалов /?, наблю-
даемая между двумя одинаковыми металлическими элек-
тродами, опущенными в раствор соли того же металла,
выражается формулой
= 2/7 11" -^oi — ^21*1 ^оа)- (19.1)
Здесь А’о1, Ло2 означают соответственно константу рав-
новесия при абсолютных температурах Тг п Т2, Z валент
иость ионов металла, /?—газовую постоянную. Выраже-
ние составляет 198,4 микровольта па 1 Ц.
Можно ожидать, что выражение в скобках будет в малом
интервале температур 7\—7'2 пропорционально этому
интервалу
Л’ = Л(Л-Т2). (19.2)
Величина множителя А, была определена эксперимен-
тально для медных электродов и растворов медного купо -
роса в воде.
Компенсатором Рапса была измерена э.д.с. между двумя
кусками эмалированного электротехнического медного
провода диаметром0,41 мм, оголённые концы которых были
навиты па шарики двух термометров, помещённых в рас-
твор модного купороса.
§ 1] ЭЛЕКТРОЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ИЗМЕРЕНИЯ ТЕМПЕРАТУР 241
Первый опыт касался насыщенного раствора. Хими-
чески чистый раствор сернокислой меди в дпстпллпрован-
ной воде был поме'шёи в два стаканчика, соединённые друг
с другом сифонным капилляром. В обоих стаканчиках
кристаллы купороса были в небольшом избытке. Один
из стаканчиков подогревался печкой, высокоомный эма-
лированный провод которой был намотан па стекло ста
канчпка в его нижней части. Другой стаканчик имел ком-
натную температуру. Термометры погружались своими
шариками в стаканчики и служили одновременно мешал-
ками. Электроды всё время держались замкнутыми и толь
ко на короткие промежутки измерений включались па ком-
пенсатор. Оказалось, что в интервале температур 10 Ц
(8 отсчётов) коэффициент А в последнем уравнении постоя-
нен и равен 100 микровольтам па градус.
В другом опыте, охватывающем 34 отсчета в интервале
30° Ц, электроды были или замкнуты накоротко, пли были
разомкнуты на длительные сроки. Оказалось, что при
разомкнутых электродах коэффициент Л получается рав-
ным 62 мкв/град\ при замкнутых электродах коэффициент
сохраняет прежнее значение 100 мкв/град. 'Гак как замы-
кание и размыкание производилось в течение процесса
измерений, то теперь коэффициент А был определён так:
Т2 = const. (19.31
Тот же опыт, повторенный для 20п(>-ного раствора хи-
мически чистой сернокислой меди, при разомкнутых элек-
тродах дал значение А! = 65,7 мкв/граО в интервале 21,5°11
при 25 отсчётах. При опыте, который проводился очевь
медленно, оказалось, что цифры, получаемые при по-
вышении температуры, хорошо совпадают с цифра-
ми, получаемыми при понижении. Одновременно обна-
ружилось, что и при Тх Т2 существует заметная э.д.с.
(110 лкв), обусловленная химической нетождествен н остью
электродов.
В 15%-ном растворе технического медного купороса
в дистиллированной воде при разомкнутых электродах
в интервале 45° Ц при 13 отсчётах вверх и 6 отсчётах вниз
с выдержкой на высшей температуре оказалось, что Лх = =
16 Г. А. Остроумов
ПРИЛОЖЕНИЯ
[гл. 19
242
- 61 мкв/град. В этом опыте оказалось также, что значения
Л] при пути вверх и при пути вниз хорошо совпадают друг
с другом, однако за время выдержки на высшей темпера-
туре произошло изменение начальной э. д. с. от значения
120 до значения 240 мне.
Опыты, проведённые с насыщенным раствором техни-
ческого сильно загрязнённого медного купороса, раство-
рённою в водопроводной воде в интервале 26 Ц,
(16 точек вверх п IS вниз), дали значение Лг - 74 мкв/град
и также обнаружили смещение начальной э.д.с. при
выдержке на .максимальной температуре.
Внутреннее сопротивление исследованных препаратов
довольно велико (порядка 30 (ММ) ом). Поэтому заменить
комнеисационпые измерения э.д.с.такого «термоэлектро-
. 1НТПЧССКОГО элемента» измерениями тока неосмотрительно.
Дело в том, что при обычных (малоомных) гальванометрах
это будут измерения «тока короткого замыкания». Сила
тока обусловлена не тол ько э. д. с. элемен та, но и его вну-
тренним сопротивлением (включая сюда поляризационные
эффекты). Опыт подтвердил, что зависимость показаний
гальванометра, присоединённого к элементу непосред-
ственно, от разности температур является нелинейной: при
повышении, температуры одного из электродов сопротив
.ленне препарата убывает, а показания гальванометра
непропорционально возрастают.
Для проверки того, годится ли этот приём для измере-
ний в условиях технической практики, был проведён
следующий опыт. Стеклянная трубка диаметром 2,5 см
и длиной 45 см была наполнена песком, загрязненным поч-
венной пылью ii пропитанным насыщенным при комнатной
температуре раствором технического медного купороса
в водопроводной воде. С обоих концов трубка была закры-
та пробками с вставленными в них термометрами. Шарики
их обматывались оголёнными концами эмалированного
электротехнического провода диаметром 0,41 мм, образу-
ющими электроды. На одном конце трубка была обмотана
высокоомным эмалированным проводом электрической
печи. В интервале разностей температур до 18°Ц (9 отсчё-
тов) измерения с разомкнутыми электродами дали значение
Аг = 62 мкв!град, в интервале 22—40° (6 отсчётов) измерения
§ 21 К ВОПРОСУ О ГЕОТЕРМИЧЕСКОМ ГГЛДПЕПТЕ 243
с замкнутыми электродами дали значение А1 -80 мкв/град.
Заметно значительное изменение начальной э.д.с. при
сборке и при выдержках прибора на высоких температурах.
Приведённые материалы показывают, что при прппя
тип ряда предосторожностей электролитический метод
может быть пригодным для технических измерений темпе-
ратурных разностей. Главным его недостатком является
изменение начальной э.д.с. при продолжительных опытах.
Это изменение, конечно, связано с диффузионными про-
цессами. Для водных растворов коэффициент диффузии
раз в сто меньше коэффициента температуропроводности,
поэтому выравнивание концентрации у электродов будет
происходить раз в сто медленнее, чем выравнивание тем
ператур, тем более, что диффузия может лттн только через
жидкость, а ген.юта и через стенки. Учёт этого обстоя
тельства поможет усовершенствовать методику измерений.
§ 2. К вопрос) о геотермическом градиенте
Геологи часто опускают термометр в буровые скважи-
ны для измерения температуры слоёв земной коры. При
этом предполагают, что в отсутствии поступления жидко-
сти извне жидкость в скважине находится в покое и име-
ет на каждой глубине температуру окружающих стратигра-
фических напластований.
Между тем в глубине скважин температура выше, чем
у поверхности земли, и могут возникнуть условия для
конвективного теплоиерепоса.
Большинство геологов отзывается о возможности теп
ловой конвекции в буровых скважинах скептически
119 -2]. Между тем только при малых температурных гра-
диентах жидкость в скважине может быть в покое. По до-
стижении характеристического градиента она придёт
в движение и будет переносить очень много тепла снизу
вверх. Для скважины диаметром 12 дюймов (30 см),
заполненной пресной водой, характеристический градиент
будет раз в (30)4 i 10е меньше, чем в нашей первой модели
(диаметром около 1 см). Он будет составлять примерно
/1 - 10“’ граО/см, что соответствует геотермической ступе-
ни порядка 10’ см/грао — 10® м/град=\00 км/град.
16*
244
Приложения
[гл. 19
Чтобы получить среднюю мировую геотермическую
ступень 30 м/град, т. е. характеристический градиент
I. — 3,3-10-4 град/см, нужно взять скважину диаметром
около 1,2 см, заполненную пресной водой.
Геотермическую ступень при характеристическом гра
диеите следует определять по формуле
1 _ g'i И1
.1 - >-, (Wx;ip
(19.4)
т-ь •• у £f J ••
Входящий в эту формулу параметр ‘ для пресной воды
и некоторых других жидкостей приведён в главе 8. Радиус,
трубы R следует выражать в сантиметрах, характеристп
веское число (kRy имеет значение около ста (точнее см.
рис. 4).
Если источник тепла внизу будет достаточной мощно-
сти, т. е. если теплопроводность горячих слоёв у дна сква-
жины достаточно велика, то возникнет сверхкрптпческий
режим теплопередачи. При этом режиме эффективная тс
плопроводность жидкостей гораздо выше её молекулярной
(табличной) теплопроводности. Опа может быть оценена
приближённо по формуле (см. главу 10, §5 3 и 4)
1500 > Л'^.= Хи** > 960.
Л
(19.5)
Входящее сюда значение табличной теплопроводности /.
пресной воды равно в технических мерах приближённо
, кг Kti.i
<»,->----- ----.
град .и час
Геологам известны [19 -3] нарушения температурного
ноля земной коры, связанные с вкраплением в правильное
напластование горных пород каких-либо инородных (руд-
ных) тел различной формы и состава. Буровая скважина
также является таким инородным телом. Можно опреде-
лить эффективную теплопроводность этого тела по приве-
дённым формулам. Тогда можно учесть то искажение,
которое оно вносит в температуру окружающих слоёв,
а также те погрешности, какие дают указанные измерения.
' К ПРОБЛЕМЕ О ЕСТЕСТВЕННОЙ ВЕНТИЛЯЦИИ 245
§ 3. К проблеме о естественно» вентиляции
Пусть имеется помещение, отделённое от наружного
воздуха толстой горизонтальной стенкой с цилиндрическим
каналом в ней. Длина канала велика по сравнению с его
диаметром, а края его закруглены. Если температура внп
зу канала будет выше, чем вверху, то обстановка будет
благоприятна для возникновения конвекции. Ограничим-
ся пока случаем единственного отверстия, так что количе-
ство наружного воздуха, входящего в помещение, равно
количеству воздуха, вытекающего ио тому же каналу
(условия диаметральной антисимметрии).
Благоприятные условия вентиляции имеются только
при ламинарном режиме, когда горизонтальные составляю-
щие скорое гл воздуха в канале певеллкп. При сверхкри
тическом режиме перемешивание воздуха в канале резко
ухудшает условия для вентиляции. Ламинарный
режим возникает только при характеристическом гради-
енте. Он наблюдается тогда, когда длина канала I, его
радиус R и разность температур во внешнем bi здухе и в по-
мещении 0'—G" удовлетворяют условию
~ 2ои> (19-°)
вытекающему из формулы (5.15). Это значение—200 соот-
ветствует малой теплопроводности воздуха сравнительно
с твёрдыми телами (см. график рис. 4). Например, кирпич
пая кладка имеет теплопроводность раз в 10 оотипе, чем
воздух. Подставляя параметры воздуха для температуры
20° Ц, получим приближённо
°—=Q".R‘^2. (19.7)
Например, при толщине стенки в полметра в диаметре
отверстия 2R = 10 см условия ламинарией конвекции
возникают при разности температур
О'_^2 = ()ОД6Ц. (19.8)
I.)
Максимально возможное количество тепла, переноси-
мого ламинарным режимом, соответствует критической
приложении
[r.i. I'i
течке. В ней оно равносверхкрнтпческому. Таким образом,
для критической точки получаем приближённо
<ДФ <Л ки** Ь7?*6' N u** (19.9)
Например, для воздуха
Сир—6. 10-5K^Nu**^4 10-4-"-. (19.10)
Грубо положив ?in**^l03, найдём:
Скр~°^' чпл/сен. (19.11)
Чем уже капал, тем больше критическое количество вере
носимого тепла. Например, при отверстии канала днамст
ром 27? = 10 см количество переносимого тепла ничтожно —
около 0,1)2 кал/сек.
При не слишком длинных навалах почти всё .что коли-
чество тепла пройдёт прямо с воздухом. Воздух, выходя-
щий вверх, не успеет потратить много тепла во встречный
нисходящий поток воздуха через боковую—мол окуляр-
ную—теплопроводность. Поэтому можно приближённо по-
ложить:
Отсюда объёмная скорость определится так:
• I
{С (О' — О")
Например, для воздуха
(М 2 103
3 - .... (j") ~ fit ((j- __0») •
(19.12)
(19.13)
(19.14)
Если подставить разность температур через характерпстп
четкий градиент, то это даст;
Г • 1()2 у c..«3/cew. (19.15)
Таким образом, при условии наличия именно характе-
ристического градиента обмениваемый объём воздуха
пропорционален площади сечения капала 5 и обратно
пропорционален его длине I («закон Ома»).
S 4J
г; вопгосл <> скорости иг,парения
Для приведённого примера это даст.
I ~ 30() сиг’/срл-. (1. 1G)
Если капал короток плп если его края острые, то дей-
ствие краевых эффектов может парушитьиродноложениый
ламинарный режим н ухудшить условия вентиляция.
Если критический градиент превзойдён, то условия,
благоприятные для вентиляции, так резко ухудшаются,
что выгоднее разбить канал на несколько каналов путём
устройства в нём продольных вертикальных перегоро-
док. Этим способом можно подвести при каждом i радлепте
просвет канала к характеристическим размерам. Усло-
вия вентиляции при этом попутно улучшатся от того, что
в каждой дольке канала установится самостоятельный но-
ток воздуха. Тогда вентиляция может осуществляться
без встречных потоков в одном русле.
§ 4. К вопросу о скорости испарения
Этот раздел составлен по материалам работы В. Б. Ше-
ина.
Допустил!, что в сплошном однородном массиве, за
иолняющем нижнее полупространство, высверлена верти-
кальная цилиндрическая скважина, иаио.тпеппая водой
(рис. 56). Слабая турбулизация воздуха над этим кана-
лом поддерживает у устья скважины постоянную абсо-
лютную влажность Ct г/с.м'л. Во всей установке обеспе-
чены строго изотермические условия.
Ввиду того, что водяной пар имеет молекулярный
вес 18, тогда как молекулярный вес воздуха равен 29,
окажется, что более влажный воздух внутри верхней
части скважины будет легче, чем более сухой воздух
над скважиной. При определённых условиях в верхней
части скважины может возникнуть гравитационная диф-
фузионная конвекция: более лёгкие пары могут всплы-
вать в более сухом воздухе, проникающем сверху
в скважину. Выясним эти условия, а вместе с этим и
установим скорость процесса высыхания воды в канале.
На диаграмме, приведённой на том же рисунке, изо-
бражена зависимость средней по сечению влажности,
248
ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. 1У
госнодствуютеи в скважине, от уровня сечения:
С- С (з). (19.17)
Непосредственно над уровнем воды в скважине постоян-
но господствует («10^%-ная») влажность Со(6), опреде-
Рнс. 50. Вертикальная скважина, запол-
ненная высыхающей водой, и распределе-
ние средней но сечению влажности возду-
ха в вей. Линия AEF соответствует кон-
вективному процессу. Линия АВ соответ-
ствует критическому градиенту влажности.
z„—критическая глубина. . Линия Alt
соответствует чисто молекулярной диффу-
зии водяных паров.
ляемая температурой опыта. Например, при температу-
ре 20' Ц Со = 1,73- IO-5 г{смА. Если пад устьем сква-
жины господствует относительная влажность 60% прп
20° Ц, то = 1,04 10~5 г/сл3.
К ВОПРОСУ О СКОРОСТИ ИСПАРЕНИЯ 249
При барометрическом давлении 760 мм ртутного стол
ба и какой-то влажности С парциальное давление па-
ров р и воздуха рь равно соответственно по уравнению
Клапейрона:
Р-=~С-, р„ R£cb. (19.18)
/> + рь = 76О = 7?о7’(^ + 5). (19.19)
X Г Г ft У
()тсюда
Здесь /?„ -газовая постоянная, 7 абсолютная темпера
тура, р н р;, -молекулярный вес, соответственно, воды
и воздуха. Плотность смеси воздуха с паром равна
Р- С + Сь. (19.21)
Отсюда концентрационный коэффициент плотности (см.
формулы (2.7))
= J (1 ;)= °г (19.22)
По аналогии с уравнением (5.15) и но рис. 1 най-
дём для случая сплошных стопок скважины, пепропи
цаемых пи для воздуха, ни для пара, значение конвек-
тивного параметра (ось Z направлена вниз)
£* _ ^ = 67,1. (19.23)
vZ) az ' '
Отсюда критическое значение среднего по сечению верти
кального градиента концентрации
<!С f7 , '>D , 18-10-5-0,25-1,3-10-3 _5,07-10"°
<1з ~ ‘ Я4' 0/’1' 1,3-10 3-981 0,61-Л4 — Л4
(19.21)
Здесь положено для воздуха: D = 0,25 см1/сек; Сь=;
= 0,0013 г/см3; q = 18 • 10-5 г/см сек.
2й() Ш’ПЛОЖЕПНЯ |г,ц. )<;
Поэтому критической глубиной от устья до по-
верхности воды в скважине, при которой критический
градиент концентрации только-только достигается, будет:
5,07 10 «; 10е. (19.25)
о, 07
При наших предположениях окажется:
Z1> = T?^u^^>_L0\ ^2^-10 1,36-^ с.«. (19.20)
Соображения, использованные здесь ио авалей пи с теп
,K4joji конвекцией, пригодны, конечно, при таких верти-
кальных расстояниях, которые по крайней мере превы-
шают диаметр скважины
„„>277; 277 1,36/?*. (19.27)
Отсюда для радиуса скважины
Ня>^\. 1,47сл3; 77>1,14 с.м. (19.28)
Прпти чес кое* распределение концентрация изображено на
последнем рисунке прямой АВ. Если в процессе высы-
хания уровень z„ ещё пе достигнут, а достигнут лишь
уровень s1; то по аналогии с рис. 35 мы вправе ожидать
того распределения средних по сечению концентраций,
какое изображено изогнутой линией AEF. Она в сере-
дине отображает критический градиент, сопрягающийся
ио краям с концентрациями С', и Со экспоненциальными
переходами.
Оба перехода одинаковы ввиду того, что сквозь стопки
скважины потерь вещества в этом случае нет в отличие
от потерь тепла, отображённых на рпс. 35.
Заменив мысленно эти дна перехода одним удвоенным,
получим кривую AGF.
Скорость переноса испарившейся жидкости практи-
чески определяется в его конвективной части диффузион-
ным с он роти влей нем экспоненциальных переходов. Это
сопротивление можно оцепить, приняв во внимание форму-
лу концевых явлений (12.1) как сопротивление участка
скважины длиной 277. Влияние конвекции на процесс
§ 'll
I, ВОПРОС) о СКОРОСТИ IHIIAPJ11 НИ
шпарения in раппчивается только некоторым снижением
на покормим ти жидкости активною влажною дефицита.
Этот влажный дефицит принимает значение, изображён
пое отрезком
(з„- з). (19.29)
Поэтому скорость испарения равна
с->' '.) <1!|-3|,)
В левой части этою выражения стоит полный поток
массы паров испаряющейся воды, имеющей в жидком
состоянии плотность р0. Г> правой части этот же поток
разбит на два диффузионных слагаемых. Первое из них
отображает «преодоление диффузионною сопротивления»
экспоненциального перехода (с дальнейшим переносом
этого потока конвекцией). Второе слагаемое отображает
молекулярный диффузионный поток, сопровождающий
конвекцию и соответствуюшпй критическому i радпенту
концентраций:
(19.31)
Сократив последнее уравнение на площадь сеченлн
скважины -7?2 и разделив переменные, получим после
интегрирования:
=„+ 2Я —s "
1пг1±-^ "0 If (( О' ^1) . (19.32)
“0 !>(<’ -Ci) t p 2R:n;,o ;
; - 27? , з0(1 li (Co - Ci) _ p 2R;u;,c ). (19.33)
Здесь положено в качестве начальных условий
z = 27? при t — 0.
(19.34)

252
Начальная скорость высыхания (при I О)
ZrfcX -< ,)
(19.35)
2Я?„
\ at7 о
оказывается обратно пропорциональной радиусу сква-
жины.
Показательная зависимость z от I изображена при
блаженно на рис. 37.
Рис. 57. Теоретическая кривая высыхания
воды в вертикальной скважине. Показа-
тельная кривая аа соответствует конвек-
тивному режиму. Парабола бб соответству-
ет одной молекулярной диффузии. По до
......... критической глубины экспонен-
закоп высыхания сменяется па-
раболическим.
стиженип
циалытый
В тот момент I
конвекция прекратится,
диффузия, описываемая
^R2<iu<lz
^1,
dl
(19.36)
когда z дойдёт до значения zu,
останется одна молекулярная
упрощённым уравнением
Z
(’.окращенис на площадь к/t2, разделение переменных и
BiiTeiрпровавпе дают последовательно:
zd^^^df,
?0
z2;==?£(£<Lz£i)(Z + i2).
Ро
(19.37)
5 2> к Вопросу о спорости испарений 253
Постоянная интегрирования t2 выбирается из того соо-
бражения, чтобы z получилось равным з0 при таком /х>
которое соответствует этому моменту по уравнениям
in- , /,)• (1».3<S)
Исключив отсюда no/i\чпм:
Дг’__ / / -Ь’зпрп j /Н) .,т
Таким образом,
«. '<«] <|9Л0>
Здесь выражение в квадратных скобках в принятых
условиях положительно.
Переход показательного закона высыхания в парабо-
лический происходит при таком уровне воды в скважине,
который определяется координатой z з0. Подстановкой
можно доказать, что в этом месте кривая высыхания
2= z(t) не испытывает пн скачка ни излома.
Таким образом, действительный процесс высыхания
воды в скважинах представляет два сменяющих дру
друга процесса (рис. 57): показательный аа и параболи-
ческий бб.
При параболическом процессе распределение влаж-
ности (теперь постоянной по сечению) в зависимости от
глубины уровня воды изображается, прямой .1/6 (рис. 56).
Возможно, что при условиях
2fl<z<z0 (19.41)
режим конвекции будет в действительности не ламинар-
ным, а турбулизованным сверхкрптпческнм. Эта возмож-
ность особенно велика прп малых .значениях z, которые
гораздо меньше z0. До получения экспериментальных
данных о сверхкритическпх явлениях в газах сказать
что-либо об этом режиме затруднительно. В этих расчё-
тах предполагается, что величина $ в формуле (12.1)
равна 2.
. ШТИРАТУРЛ
Глава I
I. В. II. Л р а б а д ж и, Об электрическом ветре е острия, ЖТФ,
XX. А» 8, стр. 967, риг. 1 <14)501. Также см. Snioluchowski.
I’hys. Z. 6, 629, (I!)05 .
2. JI. Г. К о .i т a in о в, Л. М. ('. т р о г а в о и а и II. Г. Т а-
с к и и а. Влияние .магнитного ноля на осаждение коагуля-
тов, стр. 47- .59; \|. В. \| о г е и д о в и ч п В. Ф. Т и-
IH а п в к и н, () механизме влияния магнитного ноля па
реакцию оседания эритроцитов, стр. 79—86.
Сборник; Впо.югнческое п лечебное действие .магнитного ноля и
строго периода чеЛэй вибрации, \1о.ютовгиз, 1948.
3. Д. В. А гонки н. Опреде.наше теплопередачи посред-
ством п рмомагии гной конвекции, ДАВ 74, Aii 2, 229 -232
(19.50).
М. В. 71 о м о и о с о в, Сочинения, т. 7. стр. 1 —11, 1.>8— 167,
изд. АВ СССР, 1934.
к \1. А. \1 и х е с в, Основы теплопередачи, изд. 2, Госэперго-
пздат, 1949.
6. В а \ 1 ei gh, Phil. Mag., 32, 529 (1916).
7. \. ('.. Ill и in к и и, УФН, XXXI, All 4, 463 (1947).
8. ,J. II Гутман. О ламнпартюй термической конвекции над
стационарным источником тепла. Журнал Прикладная мате-
матика и механика 13, А» 4, 43.5 (1949).
Глава 2
I. JI. .,1 а и д а у и Е. ,1 и ф ш п ц, Механика сплошных сред,
стр. 204, Гостехиздат, 1944. Также см. А. О lie г be с к,
Анн. <1. I’hys. iind (’.hem. В. VII, стр. 271 292(1879).
2. С. А. Р а п о н о р т, О характере теплообмена в высокОвяз-
кмх жидкостях, ЖТФ XX, Л!: 9, 1120- -1130 (19:i()).
3. .1. Bonssinesq, Theorie analvtiqiie de la chalenr, II.
§ 261, 172, 1903.
Глава 3
4
. В. II. С м и р п о в, Kvpc высшей математики, т. III, стр. 388,
ГТТП, М,—Л., 1933.
2. В. II К о я л о в и ч, Об одном уравнении с частными производ-
ными четвёртого порядка, Спб., 1902.
ПГГЕРЛТУГЛ
255
3. Р. О. К у з ь м и Бесселевы функции, ОПТП, \1. .11., 193:>.
4. Я. II. Шпильрейп, Таблицы специальных функции,
J, ГТТП, М. -Л., 1933.
5. Е. Янке и Ф. Эгиде, Таблицы функций, ОПТП, ПЯТИ,
Харьков Киев, 1934, О ГИЗ, .М.-Л., 1948.
6. Л. А. Л ю с т е. ]> и и к, II. Я. А к у in с. к п и и В. А. Д и ч
кпн, Таблицы бесселевых функции, ГТТП, М. .1., 1949.
Глава 4
1. М. ,4. М и хее в, t нповы теплопередачи, стр. 229, фиг. 123, 1949.
2. Л. В. К а н т о р о в п ч и В. II. IV р ы л о в, Методы при-
ближенного решении уравнений в частных производных, гл. I,
§ 2, стр. 2(1—52. М. 'Л., 1936.
Глава 5
1. М. А. М и х с е п, неновы теплопередачи, стр. 78, рис. 31) пли
стр. 86, рис. 33, М— Л., 1949.
2. Я. 11. III и н л ь р е й и. Таблицы специальных функций, I,
стр. 101, 151, ГТТП, М. Л., 1933.
Глава 6
1. <0. Ф ]) а и к и Р. М п з е с, Дифференциальные и пптеграль
ные уравнения математической физики, 11, стр. 633 и след.,
ОПТП, М -Л., 1937.
2. X. С. К а р с л о у, Теория теплопроводности. стр. 169 п след.,
О ГИЗ, М. -Л.; 1947.
3. А. В. Л ы к о в, Теплопроводность нестационарных процессов,
стр. 119, ГЭИ, М. Л., 1948.
4. Г. А. О с т р о у м о в, К вопросу об устанавливающихся режи-
мах свободной ламинарной тепловой конвекции в скважинах
круглого сечения, ч. II теоретическая, ЖТФ, XX, вып. 11,
стр. 918 1000, 1950.
• >. Л. 11. С око л ь с к а я, Конвекции в расплавленных метал-
лах, Пзв. АП СССР, отд. техн, паук, Ai 9. стр. 1365, 1949.
Глава 9
1. Г. А. О с т р о у м о в, ЖТФ, XX, Д'« 8, 918— 1000 (1950).
2. М. А. Михеев, Основы теплопередачи, стр. 27, М.—Л.,
1949.
Глава 12
1. II. В ей a rd, Les tourbillions cellulaires dans tine nappe liqui-
de. Revue gen. des Sciences. XI. № 23, стр. 1261 —1271,
15.XII 1900: стр. 1309—1328, 30.XIJ 1900. Les tourbillions cel-
lulaires dans une nappe liquide Iransportaiite de la chaleur
par convection on reqime permanente. Ann. de Chemie et de
Physique 7-me serie, т. XXIII, стр. 62—144, 1901
256
ЛИТЕРАТУРА
Глава 13
I. П. В. Афанасьев, Новый метод измерения свободной диф-
фузии в растворах, ДАН LVIII, № 7, 1383 (1947). Также
см. Г. А. Остроумов. Известия ЕНИ при Молотовском
Госуиинерситете, т. 12, № 4, стр. 113 126, 1947.
2. М. А. М и х е е в, Основы теплопередачи, ГЭП, М. „I., 1919.
3. А. Г. К о л е с и и к о в, Пзв. АП О,ССР, серпа географ, и гео-
физ., А» 5, стр. 639, 1940.
Глава 15
1. Ф. Франк и Г1. М и з с с, Дифференциальные и интеграль-
ные уравнения математической физики, 11, стр. 283, формула
(32), ОНТП, М.—Л., 1937.
Глава 16
1. Е. В. Кудрявце в, Моделирование естественной конвек-
ции при больших определяющих размерах, Изв. АП СССР,
отд. техн, паук, № 1, стр. 53 -66, 1949.
Глава 1!)
1. А. П. Бродскв й, Физическая химия, т. II, стр. 700, 5 44/
(417), ГХ11, 1948.
2. С. А. К расков с к л й, Труды комиссии по геотермике,
выл. 1, Геотермические измерения в СССР (1928—1938),
Изд. АП СССР, 1941.
3. II. Н. К о р ы т и и к о в а, О связи глубинных температур
с термическими коэффициентами горных пород и формой
глубинных структур, Пзв. АН СССР, серия геофпз., Л» 3,
стр. 1 15—143, '1943.
ФОТОГРАФИИ
I — XXVll
Рис. 1. Примеры автоматических фотозаписей при тепловом исследовании моделей. Верхняя запись—
0,3 милливольта градуировочная (соответствует 7,15° Ц). Самая нижняя запись—реперная температура
дыоара. Цикл переключений гальванометра (марки времени) через 82,5 секунды. Верхняя фотография—
А—скорость движения печки слишком мала, кривые почти симметричны. Средняя фотография—Б—ско-
рость движения печки паивыгоднейптая, фотография удобна для обмеров. Нижняя фотография—
Б—скорость движения велика, нарастание температур почти по зависит от скорости движения печки.
На нижней фотографии градуировочная запись не отмочена. Па всех фотографиях приведены лишь
начальные пли средние части всей длины записи.
Рпс. 11. Тепловая кон-
векция в трубе круг-
лого сечения, наблюдае-
мая с помощью свето-
рассепвающих частиц.
Внизу эмалированный
провод высокоомной пе-
чи. Видно, как осесим-
метричное явление, раз
нпвающееся внутри печи
(по периферии жидкость
поднимается, по осп опу-
скается), самопроизволь-
но сменяется диаметраль-
но антисимметричным
явлением, развивающим-
ся над печью (справа
жидкость поднимается,
слева—опускается). Диа-
метр трубки 3,8/4,0 см
(модель IV на табл
8, п. 11).
Рпс. III. Форма струек тока, сфотогра-
фированная посредством светорассеи-
вающих частиц (верхняя часть рис. II).
Трубка лишена теплоизоляции. Вверх}
виден торец холодной крышки. Справа
жидкость поднимается, слева опу-
скается.
Рис. IV. Нестационарный режим ламинарной тепловой конвек-
ции, зафиксированный методом температурной регистрации при
помощи программного переключателя в вертикальной модели. \1а
кспмальная мощность (1,054 кал'сек. Выдержка па каждой ступени
мощности но 3 часа. Верхняя линия—запись нижнего яруса тер
мопар.
Pirc. V. Нестационарный режим латунного стержня, «ведён-
ного в модель вместо жидкости. Заметно резкое отличие тепло-
вых явлений в твёрдом стержне от явлений в жидкости (ср.
предыдущий рисунок).
Рис. VI. Расшифровка 'рис. V путём ускоренной записи. Вертикальные просветы—часовые марки
времени. Фот. А соответствует мощностям: 0,092; 0,180; 0,304; 0,42 кал/сек. Фот. Б соответствует
мощностям: 0,028; 0,056; 0,09: 0,13 кал!сек.
Рис. VII. Запись пускового периода в вертикальной модели. Температура дыоара 13,2е Ц. Продолжи-
тельность цикла переключений 82,5 сек. Запись П—0,48 нт, J}—0,50 'em. Заметно первое возппкно-
пепно «собственных» колебаний.
Гис. VIII. Нестационарный режим
тепловой конвекции в вертикальной
модели: добегаппе конвективного
теплового процесса по очереди до
последующих ярусов осредпяющпх
термопар.
Рис. IX. Фотозапись температуры нижней осреднпющей термо-
пары—верхняя кривая, и двух поперечных термопар—нижней
и верхней -кривые вниз от пуля. Заметна почти мгновенная
реакция поперечных термопар, характеризующая интенсивность
процесса переноса тепла, по сравнению с плавной реакцией
осредияющих термопар, характеризующей результат процесса
переноса тепла конвекцией. Ось модели наклонена иод 45'
к вертикали.
Рис. X. Фотозапись трёх поперечных термопар и нестационарном режиме. Стрелками поме-
чены моменты включения п выключения печи. Продолжительность цикла переключений гальвано-
метра (расстоянии между марками времени) равно 7,5x4 = 30 сек. Ось модели наклонена
под 45° к вертикали.
Рис, XI. Часть записи поперечными термопарами вынужденных тепловых колебаний в модели, на-
клонённой под углом 45° к вертикали. Период вынуждающих колебаний (> лип. Цикл переключении
гальванометра равен 5x4=20 сек., мощности слева направо 0,174; <',71; 1,58 кал/сек, глубина
модуляции на понижение 20% 110 мощности. Заметны возмущения, обусловленные собственными
колебаниями (при больших мощностях).
Гис. XII. Вынужденные тепловые колебания в модели, наклонённой под углом 45’. Цикл переклю-
чений гальванометра 7,5x4=30 сок., мощности слева направо 0.71 и 1,58 кал/сеп, глубина модуля-
ции па понижение 10% по мощности.
* ?. *

f
» •

‘ T
\
\ \ 1
t
Рис. XIII. Тепловые волны конвекции вдоль модели, наклонённой под 45’ к вертикали, запи-
санные тремя поперечными _тс_рмопарамп. Средняя часть записи. Продолжительность цикла
иореключеппй гальванометра 7,5 <4 = 30 сок. Период (> мин. Стрелками помечены моменты вклю-
чения и выключения печи.
Рис. XIV. Запись температуры ио методу подвижного поршенька: 1—момент отрыва поршенька от
юрячего дна, 2—верхний торец поршенька входит в измерительную катушку, 2—нпжшш торги
поршенька выходпт из измерительной катушки, 4—вы
... ключоппе печи. Пулевая лпппя помечена часовыми мар-
ками времени. Модель вертикальна.
Рпс. XV. Запись многими термопарами изменения
температур при методе замещения. Двойная фоторепро-
дукция движения замещающего стержня вверх и вниз.
Заметно хорошее совпадение при обоих родах движе-
ния. Модель вертикальна.
Рис. XVIA Запись многими термопарами изменения температур при методе замещения, двойные
фоторепродукции. Мощность подогрева 0,09 кал/сек. Модель вертикальна. Скорость фотоматериала
11,8 лш в час. Скорость стержня 11,8 .№» в час.
j
Рис. XVII. Метод замощения. Запись прп разных мощностях подогрева. А 0,014 кал/сек;
1> -0.056 ь-ал/.-с»; В 0,090 кал/'гек. Заметен экспоненциальный ход температуры вблизи торца
замещающего стержня, а также усиленно неустойчивости прп определённых длинах столбика
Is Г. А. Остроумов
Рис. XVIII. Конвекция в вертикальной щели, исследованная оптическим методом решётки. Решётка:
стержни диаметром 1,3 .и.м, расстояние 1,7 мм в свету (3 мм между осями). В середине фотографии—верти-
кальная липия отвеса. Л—мощность подогрела 18 вт,' 13—24 вт, U- -35 ст, 7—58 вт, Д — 72 ст, Е—87 вт.
Па фотографиях Г, Д и Е слова вверху заметно действие дпффракцпн: полосы смазаны; на фотографии
Е то же заметно и справа внизу.
Рпс. XIX. Конвекция в наклонной щели, исслсдоиапная мето-
дом решётки. Буквами .г, а и в помечены холодная, горячая и верх-
няя части модели. Мощность 37 вт. (Йот. Л—наклон 15° к верти-
кали; Б—35° к вертикали. Заметно кажущееся искривление нити
отвеса: фотообъектив сфокусирован на центральную плоскость
модели; нить отвеса ближе к фотообъективу. Фотообъектив в силь-
но отклонённых лучах, отобразивших боковые части модели, «ви-
дел» пить отвеса правее центральной плоскости модели, в не-
отк.тонённых центральных лучах—левее центральной плоскости
модели.
X
г н
Рис. XX. Конвекция в горизонтальной щели, исследованная
методом решётки. Буквами х, г, е, н помечены холодная, горячая,
верхняя и нижняя части модели. Мощность подогрева 64 ст. Стерж-
ни решётки горизонтальны. Видна вертикальная линия нити отвеса.
Наличие полос указывает на наличие конвекции (лапласиан темпе-
ратур не нуль). Волнообразность полос указывает на ячеистую
структуру конвективного потока: понижения полос соответствуют
направлению потока вниз, повышения—вверх.
Рис. XXI. Часть пятисуточной фотозаписи распределения температур вдоль модели. вращаемой
около горизонтальной оси. Цикл обращения занимает одни сутки. Время увеличивается справа
налево. Понижения записи соответствуют положениям «печь внизу»—конвективное'движение имеет
место. Повышения записи—«печь вверху»—молекулярная теплопроводность. За пуль принята
температура алюминиевого кожуха.
Рис. XXII. Фотозапись распределения температур вдоль вращаемой модели (один оборот за сутки).
Стрелкой помечено направление вращения и такое расположение модели, когда печь внизу: конвекция
создаёт равноотстоящие фотозаписи температуры равноотстоящих термопар. За нуль—круговая запись—
принята температура горячей термопары; пунктирная периферическая запись' соответствует темпера-
туре алюминиевого кожуха. В начале записи заметен нестационарный пусковой период. Мощность
подогрева примерно вдвое-втрое меньше, чем в предыдущей записи.
Рис. XXIII. Фотозапись, подобная предыдущей. Мощность подогрева раза
в полтора меньше, чем на последней записи.

Рис. XXIV. Двойная репродукция фотографий XXII и XXIII. В конвективной части обе фотозаписи
совпадают.
Рис. XXV. .1 и В. Фотозапись распределения температур
вдоль вращающейся модели. Скорость вращения—один
оборот в сутки. Направление вращения помечено стрелкой.
За нуль принята температура самой холодной термопары—
дуга окружности. Вверх записана температура равиоотстоя
щпх чётных усредняющих термопар. Вниз записана темпера-
тура кожуха. При почти вертикальном расположении модели
возникает сисрхкритпческий режим тепловой конвекции.
В начале записи заметны остатки нестационарного пуско-
вого режима. Мощность подогрева умеренная.
исапа темпрпатура кожуха (на фото о иэта запись отсутствует), епте ниже
температура репера (лью ара).