Автор: Лоторейчук Е.А.
Теги: электротехника электроэнергетика радиотехника приборостроение
ISBN: 5-8199-0040-5
Год: 2006
Текст
Е. А. ЛОТОРЕЙЧУК
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Допущено Министерством образования Российской Федерации
в качестве учебника для студентов
учреждений среднего профессионального образования,
обучающихся по специальностям технического профиля
ЬНБЛНОТВКо __
fnpicxoro хтю-таиия*
ЧНЮГО
ина
Москва
ФОРУМ — ИНФРА-М
2006
УДК 621.3(075.32)
ББК 31.2я723
Л 80
Научный редактор:
заслуженный учитель РФ С.Ц. Малинская
Рецензенты:
доктор физико-математических наук,
преподаватель МВТЭМТ им. Л. Б. Красина М. В. Гальперин;
заведующая отделом автоматизации ВГИБЛ им. М. Рудомино,
кандидат технических наук С. Б. Балакерская;
преподаватель Московского радиотехнического колледжа
им. А.А. Расплетина Н.П. Петрова
Лоторейчук Е. А.
Л 80 Теоретические основы электротехники: Учебник. — М.:
ФОРУМ: ИНФРА-М, 2006. — 316 с.: ил. — (Профессиональное
образование).
ISBN 5-8199-0040-5 (ФОРУМ)
ISBN 5-16-000986-8 (ИНФРА-М)
В учебнике излагается теоретический материал и описаны физиче-
ские явления и процессы, происходящие в электрических и магнитных
полях и цепях, а также рассмотрены методы расчета линейных и нели-
нейных электрических и магнитных цепей постоянного и переменного
(синусоидального и несинусоидального) токов.
Учебник написан в соответствии с государственным образователь-
ным стандартом, предназначен для студентов техникумов и колледжей
энергетических, электротехнических, приборостроительных ирадиотех-
нических специальностей, а также может быть рекомендован студентам
вузов.
УДК 339.1(075.32)
ББК 31.2я723
ISBN 5-8199-0040-5 (ФОРУМ)
ISBN 5-16-000986-8 (ИНФРА-М)
© Лоторейчук Е. А., 2004
© ИД «ФОРУМ», 2004
Предисловие
«Теоретические основы электротехники» — одна из основных
’'дисциплин энергетических, электротехнических, приборострои-
j тельных и радиотехнических техникумов и колледжей. Настоя-
f щая книга рекомендуется в качестве учебника для студентов пе-
/ речисленных специальностей.
® Предлагаемый учебник может быть также использован студен-
i тами и преподавателями смежных специальностей, не только тех-
никумов, но и вузов.
В книге излагается теоретический материал, описаны физиче-
ские явления и процессы, происходящие в электрических и маг-
‘ нитных полях и цепях, рассмотрены методы расчета линейных и
нелинейных электрических и магнитных цепей постоянного и пе-
ременного, синусоидального и несинусоидального токов, трех-
фазных цепей, переходных процессов и другие вопросы.
Материал регламентирован примерной программой предмета
«Теоретические основы электротехники», действующей в настоя-
щее время.
Автор глубоко признателен и благодарен Малинской Софье
Цалевне за помощь в научном редактировании издания, за указа-
ния и рекомендации, использованные автором при работе над
книгой.
Автор благодарит рецензентов Гальперина М. В., Балакер-
скую С. Б. и Петрову Н. П., замечания которых учтены в настоя-
щем учебнике.
Автор благодарен Шатайлову Ю. В. за техническую помощь в
создании и оформлении книги.
Е. А. Лоторейчук
Введение
Электрическая энергия широко применяется во всех областях
промышленности, сельского хозяйства, связи, транспорта, авто-
матики, вычислительной техники, электроники, радиотехники и
в быту благодаря своим весьма ценным свойствам:
1) универсальность, т. е. легко преобразуется в другие виды
энергии (тепловую, механическую, химическую и др.). В свою
очередь другие виды энергии (тепловая, механическая, химиче-
ская, ядерная, гидро- и др.) преобразуются в электрическую;
2) передается на большие расстояния с небольшими потерями.
В настоящее время действуют линии электропередачи протяжен-
ностью тысячи километров;
3) легко дробится и распределяется по потребителям любой
мощности (от десятков тысяч киловатт до долей ватта);
4) легко регулируется и контролируется различными электро-
приборами.
Электротехника как наука, изучающая свойства и особенности
электрической энергии, легла в основу развития многих отраслей
знаний — таких как медицина, биология, астрономия, геология,
математика и др.
Азбукой электротехники являются ее теоретические основы.
В настоящем учебнике теоретические вопросы электротехники
рассматриваются в неразрывной связи с практическими задача-
ми, что обеспечивает студентам знание качественных и количест-
венных соотношений в различных процессах.
Данный курс является базой для изучения специальных
предметов, поэтому является одной из важнейших дисциплин в
процессе подготовки студентов по электро-, приборе-, радио-,
кибернетическим и другим специальностям.
В учебнике условные обозначения соответствуют Единой систе-
ме конструкторской документации (ЕСКД).
В теоретическом материале, примерах и их решениях исполь-
зуется Международная система единиц СИ, которая приведена
в Приложении 1.
•. Глава 1
* ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
1.1. Электрический заряд
у Каждый химический элемент (вещество) состоит из совокуп-
ности мельчайших материальных частиц — атомов.
£ В состав атомов любого вещества входят элементарные части-
ш>1, часть которых обладает электрическим зарядом. Атом пред-
‘ ставляет собой систему, состоящую из ядра, вокруг которого вра-
.щаются электроны.
'£ В ядре атома сосредоточены протоны, несущие в себе положи-
тельный заряд. Электроны имеют отрицательный электриче-
ский заряд. В электрически нейтральном атоме заряд электронов
равен по абсолютной величине заряду протонов.
Электроны вращаются вокруг ядра по строго определенным
-^орбитам (слоям). В каждом слое количество электронов не дол-
жно превышать определенного числа (2л2, где п - номер слоя).
Так, например, в первом, ближайшем к ядру слое могут находить-
ся максимум два электрона, во втором — не более восьми и т. д.
’ Порядковый номер химического элемента в Периодической
। таблице Менделеева численно равен положительному заряду ядра
этого элемента, следовательно, и числу вращающихся вокруг него
электронов. На рис. 1.1 схематически показана структура атомов
водорода (а), кислорода (б) и алюминия (в) с порядковыми номе-
рами 1, 8 и 13.
Рис. 1.1
б
Глава 1. Электрическое поле
Атомы, у которых внешние электронные слои целиком запол-
нены, имеют устойчивую электронную оболочку. Такой атом
прочно держит все электроны и не нуждается в получении доба-
вочного их количества.
Атом кислорода, например, имеющий шесть электронов, разме-
шенных во внешнем слое, обладает возможностью притянуть к
себе два недостающих электрона для заполнения внешнего элект-
ронного слоя. Это достигается путем соединения с атомами таких
элементов, у которых внешние электроны слабо связаны со своим
ядром. Например, электронами внешнего (третьего) слоя атома
алюминия, которые слабо удерживаются и легко могут быть вы-
рваны из атома.
Если нарушается равенство числа электронов и протонов, то из
электрически нейтрального атом становится заряженным. Заря-
женный атом называется ионом.
Если в силу каких-либо причин атом потеряет один или не-
сколько электронов, то в нем нарушится равенство зарядов и та-
кой атом становится положительным ионом, поскольку в нем
преобладает положительный заряд протонов ядра. Если атом
приобретает один или несколько электронов, то он становится
отрицательным ионом, так как в нем преобладает отрицатель-
ный заряд.
Вещество (твердое тело, жидкость, газ) считается электрически
нейтральным, если количество положительных и отрицательных
зарядов в нем одинаково. Если же в нем преобладают положи-
тельные или отрицательные заряды, то оно считается соответст-
венно положительно или отрицательно заряженным.
В Единой системе конструкторской документации (ЕСКД),
которая используется в данном учебнике, электрический заряд
(количество электричества) обозначается буквой Q или q, а еди-
ницей заряда (в системе СИ) является 1 кулон, то есть [ Q] = Кл
(кулон). Электрон и протон имеют равный по величине, но про-
тивоположный по знаку заряд Q= 1,6-1(Г19 Кл.
Электрический заряд или заряженное тело создают электриче-
ское поле.
Электрическое поле — это пространство вокруг заряженного тела
или заряда, в котором обнаруживается действие сил на пробный за-
ряд, помещенный в это пространство.
Электрическое поле, создаваемое неподвижными зарядами,
называется электростатическим.
1.2. Напряженность электрического поля
Обнаружить электрическое поле можно пробным зарядом, если
поместить его в это поле. Пробным называется положительный
заряд, внесение которого в исследуемое поле не приводит к его
1.2. Напряженность электрического поля
7
изменению. То есть пробный заряд не влияет ни на силу, ни на
энергию, ни на конфигурацию поля.
Если в точку А электрического поля (рис. 1.2), созданного за-
рядом Q, расположенную на расстоянии г от него, внести проб-
ный заряд q, то на него будет дейст-
вовать сила F, причем если заряды
Q и q имеют одинаковые знаки, то
они отталкиваются (как это изобра-
жено на рис. 1.2), а если разные, то Рис. 1.2
притягиваются.
Величина силы F, действующей на пробный заряд q, помещен-
ный в точку А электрического поля, пропорциональна величине
заряда q и интенсивности электрического поля, созданного заря-
, дом Q в точке А
F=qEA, (1.1)
где Ёл — напряженность электрического поля, характеризующая
интенсивность поля в точке А.
Из (1.1) видно, что
Ёа=^. (1.2)
ч
То есть напряженность каждой точки электрического поля харак-
теризуется силой, с которой поле действует на единицу заряда, по-
мещенного в эту точку. Таким образом, напряженность является
силовой характеристикой каждой точки электрического поля.
Измеряется напряженность электрического поля в вольтах на
метр [£] = В/м.
Напряженность электрического поля — величина векторная.
Направление вектора напряженности в любой точке электриче-
ского поля совпадает с направлением силы, действующей на поло-
жительный пробный заряд, помещенный в эту точку поля (см.
рис. 1.2).
Поскольку в дальнейшем будут учитываться только значения
силы и напряженности, будем обозначать их Fvi Е соответственно.
Напряженность является параметром каждой точки электриче-
ского поля и не зависит от величины пробного заряда q. Измене-
ние величины q приводит к пропорциональному изменению си-
лы F (1.1), а отношение F/q (1.2), т. е. напряженность ЕА, остает-
ся неизменной.
Для наглядности электрическое поле изображают электриче-
скими линиями, которые иногда называют линиями напряжен-
ности электрического поля, или силовыми линиями. Электриче-
ские линии направлены от положительного заряда к отрицатель-
ному. Линия проводится так, чтобы вектор напряженности поля
в данной точке являлся касательной к ней (рис. 1 .Зв).
8
Глава 1. Электрическое поле
Рис. 1.3
Электрическое поле называется однородным, если напряжен-
ность его во всех точках одинакова по величине и направлению.
Однородное электрическое поле изображается параллельными ли-
ниями, расположенными на одинаковом расстоянии друг от друга.
Однородное поле, например, существует между пластинами
плоского конденсатора (рис. 1.3г).
1.3. Напряженность поля точечных зарядов
Точечным считается заряд, размерами которого можно прене-
бречь по сравнению с расстоянием, на котором рассматривается
его действие.
Сила взаимодействия F авух точечных зарядов Q и q (рис. 1.2)
определяется по закону Кулона:
F = (1.3)
4 яг2 £а
где г — расстояние между зарядами; £а — абсолютная диэлектри-
ческая проницаемость среды, в которой взаимодействуют заряды.
Из (1.3) следует, что напряженность электрического поля заряда
Q в точке А (рис. 1.2) равна
Таким образом, напряженность поля ЕА, созданная зарядом Q
в точке А электрического поля, зависит от величины заряда Q,
создающего поле, расстояния точки А от источника поля г и от
абсолютной диэлектрической проницаемости среды еа, в которой
создается поле. Диэлектрическая проницаемость характеризует
электрические свойства среды, т. е. интенсивность поляризации.
Единицей измерения абсолютной диэлектрической проницае-
мости среды является фарад на метр
г Q 1 Кл _Ф (фарад)
I еа J — | •> _ J — у, ~ >
4лг2Д В • м м (метр)
так как Кл/В = Ф.
1.3. Напряженность поля точечных зарядов
9
Различные среды имеют разные значения абсолютной диэлект-
рической проницаемости.
Абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума
1 А -9 И
£о = ;ЧГ-Ф/м или е0 = 8,85 10~12 Ф/м (1.5)
Зол !
называется электрической постоянной.
Абсолютную диэлектрическую проницаемость любой среды £а
удобно выражать через электрическую постоянную £о и диэлектри-
ческую проницаемость ег— табличную величину (Приложение 2).
Диэлектрическая проницаемость ег, которую иногда называют
Относительной, показывает, во сколько раз абсолютная диэлект-
рическая проницаемость среды больше, чем электрическая по-
s( стоянная, т. е.
Из (1.6) следует
£/ — £аАо-
(1-6)
(1.7)
Таким образом, напряженность электрического поля, созданно-
го зарядом Q на расстоянии гот него, определяется выражением
Q
Е =
4лг ЕО £г
Напряженность электрического по-
ля, созданного несколькими заря-
дами в какой-либо точке А этого
поля, определяется геометрической
суммой напряженностей, созданных
в этойточке каждым точечным заря-
дом: Еа = ЕЛ[ + ЕЛ2 + ... + ЕАк (см.
рис. 1.4).
Пример 1.1
' Расстояние между точечными за-
рядами Qx и Q2 равно г = 5 см. Вычис-
лить величину напряженности в точке
А, удаленной от заряда на расстоя-
ние гь а от заряда Q2 на расстояние г2
(рис. 1.5), если: 01 = 41О~11 Кл; Q2 =
= 6Ю-11 Кл; rt=4см = 410-2м; г2-
= 3 см = 3 1(Г2 м; гг- 1.
Решение
Напряженность, созданная заря-
дом Qi в точке А
©
10
Глава 1. Электрическое поле
(21 _ 4 10~1|-36л
4тгг12е0£, 4л( 4 • 10“2)2 • 10“9 • 1
= 2,25-102 В/м.
Напряженность, созданная зарядом Q2 в точке А
Qi
4лг2£о £г
6 10 11 • 36 7Г
4л(3 10-2)2 10~9 -1
= 6 102 В/м.
Направление векторов напряженности £Л1 и Ёлг, созданных
зарядами и Q2, и результирующего вектора напряженности ЁА
в точке А изображены на рис. 1.5.
Между векторами напряженности в данном примере угол ра-
вен 90° (г = + r2 > т-е- >/42 + З2 = 5, что справедливо только
для прямоугольного треугольника), следовательно, результирую-
щий вектор напряженности в точке А определяется выражением
Еа = J Е\ + £22 = V(2,25-102 )2 + (6 • 102 )2 = 6,4 • 102 В/м.
1.4. Теорема Гаусса
Произведение напряженности электрического поля Е и пло-
щадки S, перпендикулярной к ней, в однородном электрическом
поле называют потоком вектора напряженности поля N сквозь
эту площадку (рис. 1.6а)
N=EHS, (1.9)
где Ен — нормальная (перпендикулярная площадке S) составляю-
щая вектора напряженности Е электрического поля.
Как следует из рис. 1.6а, Ен = Ecos р.
Единица измерения потока вектора напряженности
[JV] = [ES] = (В/м)м2 = Вм.
Для неоднородного электрического поля площадку 5разбивают
на элементарные бесконечно малые площадки dS, для каждой из
которых поле можно считать однородным.
Тогда элементарный поток dN- EHdS.
Для определения потока вектора напряженности сквозь всю
площадку 5 элементарные потоки dN суммируют (интегрируют)
по всей площади S
N =\dN = \EHdS . (1.10)
•S' 5
Если, например, точечный заряд Q расположен в центре сфери-
ческой поверхности радиусом г (рис. 1.66), то напряженность во
всех точках этой поверхности, как следует из (1.8), равна
1.4. Теорема Гаусса
11
4 nr2 £0 £г
Векторы напряженности
перпендикулярны этой по-
верхности, т. е. Е„= Е, и
одинаковы во всех точках
этой поверхности. Тогда
поток вектора напряжен-
ности поля сквозь эту по-
верхность
а) б)
Рис. 1.6
N = <f£Hc/S = = Е 4лг2,
где фг/б1 = 4 кг2 — площадь поверхности шара радиусом г.
Следовательно, поток вектора напряженности будет равен
То есть поток вектора напряженности ТУне зависит ни от формы
поверхности, ни от места расположения зарядов внутри нее.
| Таким образом, поток вектора напряженности электрического
.поля сквозь замкнутую поверхность определяется отношением сум-
'мы зарядов, расположенных внутри этой поверхности, к абсолюти-
вной диэлектрической проницаемости среды (Ea = EOer).
у Формула (1.11) является математическим выражением теоремы
^Гаусса, которая применяется для расчета электрического поля.
^Пример 1.2
Определить поток вектора напряженности электрического поля
/сквозь сферическую поверхность радиусом г = 3 см (рис. 1.66),
заполненную маслом ег=2,2, если в ее центре находится точеч-
‘ ный электрический заряд Q= 2,2 10-11 Кл. Определить напряжен-
' ность электрического поля на поверхности сферы.
Решение
' Поток вектора напряженности сквозь сферическую поверхность
v Q 2,2-КГ11 -36л 1П.2 п/
ЕоЕг 10’9 -2,2
Тогда напряженность на поверхности сферы
Е = -У- = —36тс -.-10 — = Ю2 =100 В/м,
£оЕг 4л(3-10"2)2
где 5сф = 4кг2, а 3 см = 3 • 10~2 м.
12
Глава 1. Электрическое поле
Напряженность на поверхности сферы можно определить также
по формуле (1.8)
Е =----". '36тс---------------------= Ю2 =100 В/м.
4лг2£0ег 4л(3 • 10“2 )2 10'9 • 2,2
То есть результат получился таким же.
1.5. Потенциал и напряжение в электрическом поле
Для энергетической характеристики каждой точки электриче-
ского поля вводится понятие «потенциал». Обозначается потен-
циал буквой <р.
Потенциал в каждой точке электрического поля характеризуется
энергией W, которая затрачивается (или может быть затрачена)
полем на перемещение единицы положительного заряда q из данной
точки за пределы поля, если поле создано положительным зарядом,
или из-за пределов поля в данную точку, если поле создано отрица-
Из приведенного выше
определения следует, что
потенциал в точке А равен
Фл= WA/q‘, потенциал в
точке В — qB=WB/q, а по-
тенциал в точке С —
Фс= Wc/q.
Измеряется потенциал в
вольтах
тельным зарядом (рис. 1.7а).
Величина потенциала в каждой точке электрического поля
определяется выражением
jfrfr jEgdr
_ УУ А _ М ГА ГА .
ф А----------------------------------->
q q ч q
(1.12)
Потенциал — скалярная величина. Если электрическое поле со-
здано несколькими зарядами, то потенциал в каждой точке поля
определяется алгебраической суммой потенциалов, созданных в
этой точке каждым зарядом.
1.5. Потенциал и напряжение в электрическом поле
13
ь- Так как (рис. 1.7а) гА<гв<гс, то из (1.12) следует, что фл>
>Фв>фс, если поле создано положительным зарядом.
Если в точку А (рис. 1.7а) электрического поля поместить по-
ложительный пробный заряд q, то под действием сил поля он
будет перемещаться из точки А в точку В, а затем в точку С, т. е.
в направлении поля. Таким образом, положительный пробный
• заряд перемещается из точки с большим потенциалом в точку
х. с меньшим потенциалом. Между двумя точками с равными по-
| тенциалами заряд перемещаться не будет. Следовательно, для
> перемещения заряда между двумя точками электрического поля
$ должна быть разность потенциалов в этих точках.
Разность потенциалов двух точек электрического поля характе-
ре ризует напряжение U между этими точками
l^AB— <?А~Ч>в', ивс=(Рв~ фс; UaC=4>A~4>C-
ж Напряжение между двумя точками электрического поля харак-
Ж теризуется энергией, затраченной на перемещение единицы положи-
тельного заряда между этими точками, т. е. UAB= WAB/q.
К Измеряется напряжение в вольтах (В).
№ Между напряжением и напряженностью в од- А
к неродном электрическом поле (рис. 1.8) сущест-
® вует зависимость
Ж тт ^ав Fi
1 Uab =Ч>а -фв =——=— = £«,
В
Рис. 1.8
откуда следует
Е = ~^~
(1.13)
ж Из (1.13) видно, что напряженность однородного электричес-
Ж кого поля определяется отношением напряжения между двумя
ж точками поля к расстоянию между этими точками.
ж' В общем случае для неоднородного электрического поля значе-
№ ние напряженности определяется отношением
Е = ™,
di
(1-14)
5
Ж
й
где dU — напряжение между двумя точками поля на одной элект-
рической линии на расстоянии di между ними.
Единица напряженности электрического поля определяется из
выражения (1.13)
[Е ] = = В/м.
14
Глава 1. Электрическое поле
Потенциалы в точках электрического поля
могут иметь различные значения. Однако в
электрическом поле можно выделить ряд то-
чек с одинаковым потенциалом. Поверх-
ность, проходящая через эти точки, называ-
ется равнопотенциальной, или эквипотен-
циальной.
Равнопотенциальная поверхность любой
конфигурации перпендикулярна к линиям
рис. pg электрического поля. Обкладки цилиндри-
ческого конденсатора (рис. 1.76) и плоского
конденсатора (рис. 1.9) имеют одинаковый потенциал по всей
площади каждой обкладки и являются равнопотенциальными по-
верхностями.
Пример 1.3
Для условия примера 1.1 определить потенциал ср^ в точке А,
созданный зарядами Q; и Q2.
Решение
Ф., ——= 36» =—9 В,
4«г,е«е, 4я-4 IO1 10-* 1
-----Si б1о-"-збд _18В
4nrie0e, 4я-3 10-! IO'9 -I
Следовательно, алгебраическая сумма потенциалов равна
Фл =фл1 +фл2 =- 9 + 18 =9 В.
Пример 1.4
Точечный заряд Q= 5-10~12 Кл помещен в центре плоского воз-
душного конденсатора, расстояние между пластинами которого
равно 4,5 см. Напряжение между пластинами [7=225 В. Опреде-
лить напряженность Е электрического поля в точках А и В, находя-
щихся на расстоянии 0,5 см справа и слева от заряда Q и лежащих
на электрической линии, проходящей через заряд Q (рис. 1.9).
Решение
Напряженность однородного электрического поля между плас-
тинами конденсатора
£к = £ =—225—=50.102 в/м
( 4,5-10~2
Напряженности, созданные зарядом Q в точках А и В,
\Е'А\=\Е'В\ =
Q
4пГ 2£0 е,
-----5 -----=18 102 В/м.
4л(0,5 • 10"2)2 • 10'9 • 1
1.6. Электропроводность. Проводники
15
Ёк и £' направлены в противо-
-И
+ 18-102 =68-102 В/м,
-18-Ю2 =32402 В/м.
Напряженности, созданные в точках А и В однородным
электрическим полем конденсатора и зарядом Q, определяются
геометрической суммой векторов напряженностей £к и Е'.
В точке В векторы напряженностей Ёк и Е' совпадают по на-
правлению, а в точке А векторы
положные стороны.
Следовательно:
Ев = Ек +Е'В =50-102
Еа =Ек~Е'л =50 102
1.6. Электропроводность. Проводники
Способность вещества проводить электрический ток называется
электропроводност ъю.
По электропроводности все вещества делятся на проводники,
S диэлектрики и полупроводники.
IT Проводники обладают высокой электропроводностью. Различают
проводники первого и второго рода.
* К проводникам первого рода относятся все металлы, некоторые
сплавы и уголь. В этих проводниках связь между электронами и
ядром атома слаба, в результате чего электроны легко покидают
г пределы атома и становятся свободными. Направленное переме-
f щение свободных электронов и обуславливает электропровод-
» ность проводников первого рода. Таким образом, проводники
/ первого рода обладают электронной проводимостью.
К проводникам второго рода относятся электролиты, в которых
происходит процесс электролитической диссоциации, разделение
у; молекул на положительные и отрицательные ионы (ионизация).
./. Направленное перемещение ионов обуславливает электропровод-
•!й' ность проводников второго рода, т. е. в проводниках второго рода
имеет место ионная проводимость.
В проводниках отсутствует электростатическое поле (рис. 1.1 Об).
16
Глава 1. Электрическое поле
Если проводник поместить в электростатическое поле, то
под действием сил этого поля происходит перемещение зарядов
в проводнике: положительных — в направлении внешнего поля,
отрицательных — в противоположном направлении (рис. 1.10а).
Такое разделение зарядов в проводнике под действием внешнего
поля называется электростатической индукцией.
Разделенные внутри проводника заряды создают свое электри-
ческое поле, направленное от положительных зарядов к отрица-
тельным, т. е. против внешнего поля (рис. 1.10а).
Очевидно, разделение зарядов в проводнике прекратится тогда,
когда напряженность поля разделенных зарядов £внуп> станет
равной напряженности внешнего поля в проводнике ЁВНеш, т. е.
Рис. 1.11
£внугр = Д1неш, а результирующее поле
Е “ ^внутр _ Твнеш 0.
Таким образом, результирующее поле
внутри проводника станет равным нулю
(рис. 1.106). На этом принципе работает
электростатический экран, защищаю-
щий часть пространства от внешних
электрических полей (рис. 1.11). Для
того чтобы внешние электрические
поля не влияли на точность электроиз-
мерения, измерительный прибор помещают внутрь замкнутой
проводящей оболочки (экрана), в которой электрическое поле от-
сутствует (рис. 1.11).
1.7. Электропроводность. Диэлектрики
Электропроводность диэлектриков практически равна нулю в силу
весьма сильной связи между электронами и ядром атомов диэлек-
трика.
Если диэлектрик
поместить в элект-
ростатическое по-
ле, то в нем прои-
зойдет поляриза-
ция атомов, т.е.
смещение разно-
именных зарядов в
самом атоме, но
не разделение их
(рис. 1.12а). Поля-
ризованный атом
(молекула) может
1.7. Электропроводность. Диэлектрики
17
рассматриваться как электрический диполь (рис. 1.126), в кото-
ром «центры тяжести» положительных и отрицательных заря-
дов смешаются. Диполь — это система двух разноименных
зарядов, расположенных на малом расстоянии друг от друга в
замкнутом пространстве атома или молекулы.
Электрический диполь — это атом диэлектрика, в котором ор-
бита электрона вытягивается в направлении, противоположном
направлению внешнего поля £внеш (рис. 1.126).
Поляризованные атомы создают свое электрическое поле, на-
пряженность которого направлена против внешнего поля. В резу-
льтате поляризации результирующее поле внутри диэлектрика
ослабляется.
Интенсивность поляризации диэлектрика зависит от его ди-
электрической проницаемости (Приложение 2). Чем больше ди-
электрическая проницаемость, тем интенсивней поляризация в
диэлектрике и тем слабее электрическое поле в нем:
Е Евнеш Д|нутр
Этим еще раз подтверждается справедливость формулы (1.8)
Q
Е =
4 ПГ 2 £0 £,
Таким образом, напряженность электрического поля обратно
пропорциональна абсолютной диэлектрической проницаемости
среды еа, в которой создается электрическое поле.
Если диэлектрик поместить в сильное электрическое поле, на-
пряженность которого можно увеличивать, то при каком-то зна-
чении напряженности произойдет пробой диэлектрика, при этом
электроны отрываются от атома, т. е. происходит ионизация диэ-
лектрика. Таким образом, диэлектрик становится проводником.
Напряженность внешнего поля, при которой происходит про-
бой диэлектрика, называется пробивной напряженностью диэ-
лектрика.
А напряжение, при котором происходит пробой диэлектрика,
называют напряжением пробоя, или электрической прочностью
диэлектрика.
^пр
где Unp — пробивное напряжение, т. е. напряжение, при кото-
ром происходит пробой диэлектрика; d — толщина диэлек-
трика.
Напряженность электрического поля, которая допускается в
диусмиикс^ 11|ЯГТУ^Пользовании его в электрических установ-
j Пзриекогз хййшо-шамвга-
| чесыого шнедаа
| инв. М
18
Глава 1. Электрическое поле
ках, называется допустимой напряженностью. Допустимая на-
пряженность должна быть в несколько раз меньше электрической
прочности. Электрическая прочность некоторых диэлектриков
приведена в Приложении 2.
1.8. Электропроводность. Полупроводники
К полупроводникам относятся материалы, которые по своим
электрическим свойствам занимают промежуточное положение
между проводниками и диэлектриками.
Широкое применение в полупроводниковой технике получили
такие материалы, как германий, кремний, селен, арсенид галлия
и др.
Электропроводность и концентрация носителей зарядов в полу-
проводниках зависит от температуры, освещенности, примесей,
степени сжатия и т. д.
Электрическая проводимость полупроводника зависит от рода
примесей, имеющихся в основном материале полупроводника, и
от технологии изготовления его составных частей.
Различают две основные разновидности электрической прово-
димости полупроводников — электронную и «дырочную».
Природа электрического тока в полупроводниках с электрон-
ной проводимостью та же, что и в проводниках первого рода.
Однако так как свободных электронов в единице объема полу-
проводника во много раз меньше, чем в единице объема метал-
лического проводника, то ток в полупроводнике будет во много
раз меньше, чем в металлическом проводнике. В технике элект-
ронная проводимость называется проводимостью л-типа (от сло-
ва negative — отрицательный).
Полупроводник обладает «дырочной» проводимостью, если
атомы его примеси стремятся захватить электроны атомов основ-
ного вещества полупроводника, не отдавая своих внешних элект-
ронов.
Если атом примеси «отберет» электрон у атома основного ве-
щества, то в последнем образуется свободное место — «дырка»
(рис. 1.13).
Атом полупровод-
ника, потерявший
электрон, называ-
ют «дыркой». Если
«дырка» заполняет-
ся электроном, пе-
решедшим из сосед-
него атома, то она
«ликвидируется» и
1.8. Электропроводность. Полупроводники
19
атом становится электронейтральным, а «дырка» смещается на
место его атома, потерявшего электрон. Таким образом, если на
полупроводник, обладающий «дырочной» проводимостью, дейст-
вует электрическое поле, то «дырки» будут перемещаться в на-
правлении поля.
Перемещение «дырок» в направлении электрического поля ана-
логично перемещению положительных электрических зарядов
в поле, т. е. электрическому току в полупроводнике.
«Дырочная проводимость» в технике называется р-проводимо-
стью (от слова positive — положительный).
Нельзя строго разграничивать полупроводники по проводи-
мости, так как наряду с «дырочной» проводимостью полупро-
водник обладает и электронной проводимостью.
Рассмотрим природу полупроводниковой проводимости на
примере вентиля, представляющего собой контактное соеди-
нение двух проводников, один из которых обладает электрон-
ной проводимостью n-типа, а другой — «дырочной» р-типа
(рис. 1.14).
Вследствие большой концентрации электронов в полупровод-
нике типа п по сравнению с полупроводником p-типа, электроны
из первого проводника будут проникать во второй. Аналогично
происходит проникновение «дырок» в полупроводник п-типа.
В результате такого проникновения зарядов в тонком погранич-
ном слое возникают разноименные заряженные слои, между ко-
торыми создается электрическое поле, напряженность которого
Д (рис. 1.14а, б). Напряженность Д создана контактной разно-
стью потенциалов в пограничном слое двух полупроводников.
Эта напряженность Ёк образует потенциальный барьер в погра-
ничном слое, препятствующий дальнейшему проникновению за-
рядов ^пограничный слой каждого полупроводника. Напряжен-
ность Д направлена против силы, действующей на положитель-
ный заряд.
20
Глава 1. Электрическое поле
Если к полупроводникам, образующим />-п-переход, подвести
напряжение от постороннего источника с напряжением U, то на
границе полупроводников создается электрическое поле с напря-
женностью Е (рис. 1.14), направление которого зависит от поляр-
ности источника.
При прямом включении источника (t7np) созданная им напря-
женность Ё направлена против напряженности Ёк, т. е. ослабляет
ее (рис. 1.14а). В результате чего уменьшается противодействие
перемещению положительных зарядов в пограничном слое и уве-
личивается прямой ток в полупроводниках /пр.
Если напряженность Ё станет равной Д, то противодействие за-
ряженным частицам полупроводника определяется только сопро-
тивлением полупроводника.
При обратном включении источника ([7о6р) созданная им напря-
женность £ направлена в одном направлении с Д, следовательно,
усиливает ее (рис. 1.146). При этом усиливается противодействие
положительным зарядам в полупроводнике, в результате чего об-
ратный ток Др в ряде случаев может считаться равным нулю.
Таким образом, контактное соединение двух полупроводников
с разными проводимостями (и и р) обладает явно выраженной од-
носторонней проводимостью, т. е. является вентилем (см. гл. 19
п. 2).
Односторонняя проводимость, малые габариты и другие свой-
ства полупроводников используются в разнообразных приборах и
устройствах (выпрямители, усилители и пр.). Полупроводники яв-
ляются основным «строительным» материалом современных дио-
дов, транзисторов, фоторезисторов, микропроцессоров и другой
электронной техники.
Глава 2
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
2.1. Электрическая цепь
Основными элементами электрической цепи являются:
1) источник электрической энергии;
/ 2) потребители;
*'’ 3) устройства для передачи электрической энергии.
В источниках электрической энергии (генераторах, аккумулято-
рах, солнечных батареях, термоэлементах и др.) происходит пре-
образование различных видов энергии в электрическую.
В генераторах в электрическую энергию преобразуется механи-
ческая, тепловая, гидро-, атомная и другие виды энергии. В галь-
ванических элементах и аккумуляторах в электрическую энергию
преобразуется химическая энергия. Термоэлементы, фотоэлемен-
ты, солнечные батареи преобразуют в электрическую тепловую и
световую энергию.
В потребителях происходит обратный процесс, т. е. электриче-
: ская энергия преобразуется в механическую, тепловую, световую
и другие виды энергии.
Устройствами для передачи электрической энергии от источни-
ков к потребителям являются линии электропередачи, провода,
кабели и другие проводники. Провод представляет собой метал-
лическую проволоку из меди, алюминия или стали, покрытую
или не покрытую изолирующим слоем. Изоляция препятствует
контакту с токоведущими участками цепей, находящимися под
напряжением.
Все основные элементы электрической цепи обладают электри-
ческим сопротивлением.
Кроме основных элементов электрические цепи содержат вспо-
могательные элементы: предохранители, рубильники, выключа-
тели, переключатели, измерительные приборы (амперметры,
вольтметры, счетчики) и др.
Графическое изображение электрической цепи, содержащее
условные обозначения ее элементов, называется схемой электри-
ческой цепи. Все основные и вспомогательные элементы в схе-
22
Глава 2. Электрические цепи постоянного тока
мах электрических цепей имеют условные обозначения (При-
ложение 3). Схема электрической цепи показана на рис, 2.1.
В электрической цепи различают два участка: внутренний и
внешний. Источник является внутренним участком электриче-
ской цепи. Все остальные элементы относятся к внешнему участ-
ку электрической цепи.
2.2. Ток в электрической цепи
Электрический ток — это явление
упорядоченного (направленного) переме-
щения заряженных частиц в проводнике
под действием электрического поля.
Электрический ток может сущест-
вовать только в замкнутой электриче-
ской цепи (ключ Л"замкнут — рис. 2.1).
Интенсивность направленного пе-
ремещения электрических зарядов в
замкнутой электрической цепи ха-
рактеризует величину тока.
РИС. 2.1 Обозначается величина постоян-
ного тока буквой I, а переменного —
i (мгновенное значение). Величина тока / определяется количест-
вом электричества (зарядов) Q, проходящим через поперечное се-
чение проводника в единицу времени t:
i=°, i=*Q.
t dt
Измеряется ток в амперах, т. е. [/]= — = —
(2.1)
= А (ампер) —
с
единица измерения тока. L { -
Постоянным называется ток, величина и направление которого
не изменяется с течением времени. Постоянный ток /' изобра-
жен на графике (рис. 2.2).
За направление тока в замкнутой электриче-
ской цепи принимается направление от положи-
тельной клеммы источника к его отрицатель-
ной клемме по внешнему участку цепи (рис. 2.1).
Таким образом, направление тока противо-
положно направлению перемещения элект-
ронов в замкнутой цепи. Ток в цепи направлен так, как переме-
щались бы положительные заряды.
В неразветвленной электрической цепи (рис. 2.1) ток на всех уча-
стках (во всех сечениях) цепи имеет одинаковое значение, в против-
ном случае в какой-либо точке электрической цепи накапливались
бы заряды, чего не может быть в замкнутой электрической цепи.
2.3. ЭДС и напряжение в электрической цепи 23
Отношение величины тока в проводнике I к площади его попереч-
ного сечения 5 характеризует плотность тока в этом проводнике.
Обозначается плотность тока буквой J.
(2.2)
S’
'£• Единицей измерения плотности тока является ампер на квад-
ратный метр
[/] = = А/м2.
- О -
Так как на практике площадь сечения проводов обычно выра-
:'жают в мм2, то плотность тока выражают [J] = А/мм2.
Й Плотность тока - величина векторная. Вектор плотности тока
^направлен перпендикулярно площади сечения проводника.
Ж: Допустимая плотность тока определяет способность проводни-
S ка определенного сечения выдерживать ту или иную токовую на-
Жгрузку. Так, например, допустимая плотность тока для монтаж-
Вных проводов [У] = (6ч-8) А/мм2. По допустимой плотности тока
Ж определяют сечение проводов коротких линий и проверяют сече-
» ние проводов длинных линий, рассчитанных по допустимой по-
Жтере напряжения. Допустимая плотность тока в проводах из раз-
жличного материала и различных марок при разных условиях
ж монтажа приводится в справочной литературе (Приложение 11).
2.3. ЭДС и напряжение в электрической цепи
| Источник электрической энергии осуществляет направленное
I перемещение электрических зарядов по
5, (рис. 2.3).
I Энергия W, которую затрачивает или
[может затратить источник на пере-
F мещение единицы положительного заряда
Ело всей замкнутой
| электродвижущую
[(ЭДС):
всей замкнутой цепи
цепи, характеризует
силу источника Е
Рис. 2.3
Е =
W
гг ист
Из определения следует, что ЭДС является энергетической ха-
в рактеристикой источника тока, а не силовой, как можно было бы
BL решить по названию «электродвижущая сила». Единицей измере-
Ж ния ЭДС является вольт:
к Г w'
I (£,= 7
ДУ = В (вольт).
Кл
24
Глава 2. Электрические цепи постоянного тока
Энергия, затраченная на перемещение единицы положительного
заряда на каком-либо участке замкнутой цепи, характеризует на-
пряжение или падение напряжения на этом участке (внутреннем
или внешнем):
Для замкнутой электрической цепи условие равновесия напря-
жений _==_====,
| E=U0+U. | (2.3)
Таким образом, ЭДС источника (£) можно рассматривать как
сумму падений напряжения на внутреннем (Uo) и на внешнем (U)
участках замкнутой цепи (рис. 2.3).
2.4. Закон Ома для участка цепи
Закон Ома для участка электрической цепи устанавливает зави-
симость между током, напряжением и сопротивлением на этом
участке цепи.
Направленное перемещение электрических зарядов в провод-
нике (т. е. электрический ток Г) происходит
___т-ч под действием сил однородного электрическо-
'——] го поля (рис. 2.4). Напряженность поля опре-
___z_____ / \ / деляется из выражения (1.13)
<pJ< . >1<Рв П
с _ и ЛВ
Рис. 2.4 ~ ’
где UAB=tpA-i?B — напряжение на участке проводника длиной
Плотность тока в проводнике пропорциональна напряженности
однородного электрического поля, силы которого направленно
перемещают в нем заряды:
J=y£, (2.4)
где у —коэффициент пропорциональности, называемый удельной
проводимостью, характеризующий способность проводника про-
водить электрический ток.
Подставив в выражение (2.4) величину напряженности одно-
родного электрического поля, силы которого перемещают заряды
в проводнике, получим
Z = или / =
5 1 t _L’
yS
й. 2.5. Электрическое сопротивление 25
_L — электрическое сопротивление участка проводника (RAB)
“ уS
^длиной £, RAB = -^.
i 7
а Тогда
Это и есть математическое выражение закона Ома для участка
©Ш? электрической цепи.
»f Таким образом, ток на участке электрической цепи пропорцио-
ынален напряжению на этом участке и обратно пропорционален со-
Ятрдтивлению этого участка.
Ж Закон Ома для участка цепи позволяет определить напряжение
ia данном участке
(2.6)
Ф также вычислить сопротивление участка электрической цепи
n U АВ
К-АВ -----~7~
(2.7)
' Выражения (2.6) и (2.7) являются арифметическими следствия-
Ыи закона Ома, которые широко применяются для расчета элект-
рических цепей.
2.5. Электрическое сопротивление
ж Как уже говорилось, обозначается электрическое сопротивле-
ние буквой R. Единицей измерения сопротивления является Ом:
Ik [/?] = Ом.
X Электрическое сопротивление проводника — это противодейст-
Ж ewe, которое атомы или молекулы проводника оказывают направ-
Ж. (Ленному перемещению зарядов.
Сопротивление R зависит от длины проводника площади по-
® перечного сечения 5 и материала проводника р:
R=P~, (2-8)
К , 5
,;Где р=- — удельное сопротивление проводника, зависящее от
1 свойства материала проводника.
, Удельное сопротивление (р) — это сопротивление проводни-
ка из данного материала длиной 1 м площадью поперечного
речения 1 мм2 при температуре 20 °C. Величина удельного со-
26
Глава 2. Электрические цепи постоянного тока
противления некоторых проводников приведена в Приложе-
нии 4.
Единицей измерения удельного сопротивления является
[р] = Омм,
поскольку
[р ] = RS - Ом • м 2
L 7 J м
Однако на практике сечение проводников выражают в мм2.
Поэтому [р ] = Ом мм
м
Удельное сопротивление проводника определяет область его
применения. Так, например, для соединения источника с потре-
бителем применяются металлические провода с малым удельным
сопротивлением — алюминий, медь. Для обмоток реостатов на-
гревательных приборов применяются сплавы с большим удель-
ным сопротивлением — нихром, фехраль (при этом уменьшается
длина проводника I =
Величину, обратную сопротивлению, называют проводимостью
Единицей проводимости является сименс
[g] = См (сименс).
Элементы электрической цепи, характеризующиеся сопротив-
лением 7?, называют резистивными, а промышленные изделия,
предназначенные для выполнения роли сопротивления электри-
ческому току, называются резисторами. Резисторы бывают регу-
лируемые и нерегулируемые, проволочные и непроволочные,
пленочные, композиционные и др.
Сопротивление проводников зависит от их температуры.
Сопротивление проводника при любой температуре (с доста-
точной степенью точности при изменении температуры в преде-
лах О-? 100 °C) можно определить выражением
где Т?2 — сопротивление проводника при конечной температуре t°2;
Rt — сопротивление проводника при начальной температуре С;
а — температурный коэффициент сопротивления.
Температурный коэффициент сопротивления определяет отно-
сительное изменение сопротивления проводника при изменении
2.5. Электрическое сопротивление
27
его температуры на I °C. Единицей измерения температурного
коэффициента сопротивления является
[а] = Д_ = °С-1.
Для различных проводников температурный коэффициент со-
противления имеет различные значения (Приложение 4).
Для металлических проводников (Приложение 4) температур-
S ный коэффициент сопротивления а положителен, т. е. с ростом
температуры сопротивление металлических проводников увели-
чивается (2.9). Объясняется это тем, что при нагревании уве-
личивается подвижность атомов и молекул металла, а следова-
тельно, и число столкновений с ними электрических зарядов
увеличивается. Таким образом, возрастает противодействие на-
правленному перемещению этих зарядов, т. е. увеличивается со-
противление металлического проводника.
? Для проводников второго рода (электролитов) и угля темпера-
f турный коэффициент сопротивления а отрицателен, т. е. с ростом
температуры их сопротивление уменьшается (2.9). Объясняется
( это тем, что с повышением температуры ослабляются связи меж-
’ ду положительно и отрицательно заряженными частицами, что
, приводит к усилению ионизации, обуславливающей электропро-
водность, т. е. уменьшается сопротивление электролитов и угля.
< Для большинства электролитов а«—0,02 °C'1, а для угля
- а =-0,005 °C'1.
Температурный коэффициент сопротивления а проводников
определяет их применение. Например, такие сплавы, как кон-
' стантан и манганин, имеют малый температурный коэффициент
- сопротивления (Приложение 4), т. е. их сопротивление почти не
! зависит от температуры, поэтому их применяют в качестве мате-
1 риала для изготовления шунтов и добавочных сопротивлений,
служащих для расширения пределов измерения амперметров и
вольтметров, на точность которых не должна влиять температура.
; При понижении температуры некоторых металлов и сплавов до
: очень низких значений, порядка нескольких градусов Кельвина
(0 °К»-273 °C), возникает явление сверхпроводимости.
Сверхпроводником называют проводник, сопротивление которого
практически равно нулю.
। В сверхпроводнике совершенно не выделяется тепло при про-
хождении тока, так как электроны при направленном движении
не встречают препятствий. В нем невозможно существование
магнитного поля.
>' Следует ожидать широкого применения сверхпроводников в
электротехнике в будущем.
28
Глава 2. Электрические цепи постоянного тока
2.6. Закон Ома для замкнутой цепи
Для замкнутой электрической цепи (рис. 2.5) ЭДС источника,
согласно (2.3), можно определить выражением
Е= Uq+ U= /Д + IR = Д Д + Д), (2.10)
где До — сопротивление источника; Д — сопротивление потреби-
теля (сопротивлением проводов пренебрегают).
Из (2.10) следует, что ток в замкнутой цепи равен
Е
Ro + Д
(2.И)
Рис. 2.5
Выражение (2.11) является математиче-
ским выражением закона Ома для замк-
нутой цепи.
Из (2.10) можно определить напряжение
на внешнем участке цепи, т. е. напряже-
ние на клеммах источника Uмежду точка-
ми А и В (см. рис. 2.5).
U=E- UQ = E-IRb. (2.12)
Таким образом, напряжение U на клеммах источника электри-
ческой энергии меньше, чем ЭДС этого источника (Е) на величину па-
дения напряжения Uo на внутреннем сопротивлении источника.
Отсутствие нагрузки — ключ К разомкнут — соответствует ре-
жиму холостого хода. При этом IRq = Q. Вольтметр (И), подклю-
ченный к клеммам источника А и В (рис. 2.5), при отсутствии
нагрузки (/= 0) показывает ЭДС источника Е
U=E-IRo = E-Q = E.
Если же ключ К замкнут (/*0), то вольтметр покажет напря-
жение Uна клеммах источника, которое меньше ЭДС на величи-
ну Uo= IRq, равную падению напряжения на внутреннем сопро-
тивлении источника (2.12).
Из (2.12) следует, что с увеличени-
ем нагрузки, т. е. с увеличением тока
I, напряжение на клеммах источника
уменьшается, что можно показать
графически на внешней характери-
стике источника (рис. 2.6).
Очевидно, чем больше внутреннее
сопротивление источника Д, тем ме-
ньше будет напряжение на его клем-
мах при нагрузке Г.
2.7. Энергия и мощность электрического тока
29
2.7. Энергия и мощность электрического тока
В замкнутой электрической цепи источник затрачивает элект-
цческую энергию И<1СТ на перемещение единицы положительно-
р заряда по всей замкнутой цепи, т. е. на внутреннем и внеш-
ем участках ((2.3) и рис. 2.3).
Е= U+ Uo.
W
ЭДС источника определяется выражением Е = —Из этого
сражения следует, что энергия, затраченная источником, равна
С WWT=Eq = EIt, (2.13)
т Ч
ак как q= It, что вытекает из определения величины тока I =-.
Энергия источника расходуется на потребителе (полезная
дергия)
1 W=Uq=UIt (2.14)
[ на внутреннем сопротивлении источника (потери)
W0=Uaq=UaIt. (2.15)
Потерей энергии в проводах, при незначительной их длине,
1ожно пренебречь.
Из закона сохранения энергии следует
^1СТ=1Г+И/0. (2.16)
Во всех элементах электрической цепи происходит преобразо-
вание энергии (в источниках различные виды энергии преобразу-
ются в электрическую, в потребителях — электрическая в другие
виды энергии).
Скорость такого преобразования энергии определяет электриче-
скую мощность элементов электрической цепи
(2-17)
электрическая мощность буквой Р, а единицей
мощности является ватт, другими словами,
Обозначается
электрической
[Р] = Вт (ватт)
IР] _ ГИ7 _ Дж _ Вт с
= Вт.
с с
t
Таким образом, мощность источника электрической энергии
определяется выражением
рист = = P1L = EI. (2.18)
Q t
Мощность потребителя, т. е. полезная, потребляемая мощ-
ность, будет равна
30
Глава 2. Электрические цепи постоянного тока
q t
(2.19)
Если воспользоваться законом Ома для участка электрической
цепи, то полезную мощность можно определить следующим вы-
ражением:
(2.20)
Потери мощности на внутреннем сопротивлении источника
Ро = U0I = I2Rq. (2.21)
Для любой замкнутой цепи должен сохраняться баланс мощно-
стей
РИ„=Р+РО. (2.22)
Так как электрическая мощность измеряется в ваттах, то едини-
цей измерения электрической энергии является
[IT] = [/V] = Вт-с.
Коэффициент полезного действия электрической цепи ц опре-
деляется отношением полезной мощности (мощности потребите-
ля) ко всей затраченной мощности (мощности источника)
п = _£_.100%. (2.23)
ист
2.8. Закон Джоуля — Ленца
В проводах линии передачи электрической энергии, обмоток
якорей и полюсов электрических машин, электробытовых прибо-
ров и других потребителей происходит преобразование электри-
ческой энергии в тепловую.
Ток /, протекая по проводнику с сопротивлением R, нагревает
этот проводник. За время t в этом проводнике выделяется тепло,
количество которого определяется количеством электрической
энергии, затраченной в этом проводнике, т. е.
| Q= W=Pt=I2Rt, | (2.24)
где Q — количество тепла, выделенного в проводнике, Вт с.
Приведенная зависимость (2.24) является математическим вы-
ражением закона Джоуля — Ленца.
Таким образом, закон Джоуля — Ленца устанавливает зависи-
мость между количеством тепла и электрической энергией: количе-
ство тепла, выделенное током в проводнике, пропорционально квад-
рату тока, сопротивлению проводника и времени прохождения тока
по проводнику.
2.9. Режимы работы электрических цепей
31
4 , Количество тепла Q измеряется иногда внесистемной едини-
'^!цей — калорией (количество тепла, необходимое для нагревания
fe г воды на 1 °C). Причем 1 кал = 4,187 Дж, следовательно,
Вт с= 1 Дж = 0,24 кал.
ж Для определения количества тепла Q в калориях пользуются
I выражением .
J I Q =0,24 727?Г (кал). | (2.25)
К Коэффициент 0,24 называют электротермическим эквивален-
Жтом, который устанавливает зависимость между электрической и
тепловой энергией.
К Например, количество тепла, выделенное в проводнике с со-
противлением R = 24 Ом, по которому проходит ток 1= 5 А в те-
Ижение 2 часов (/=2 часа = 2-3600 = 7200 с) составляет:
Ж Q=Z27tt=52-24-7200 = 4 320 000 Вт-с = 4,32-106 Дж
Жили
Q = 0,24-4,32-106= 1,9368-106 кал.
it Преобразование электрической энергии в тепловую широко ис-
дользуется в разнообразных электронагревательных приборах.
Однако преобразование электрической энергии в тепловую вызы-
В вает и непроизводительные расходы энергии в электрических ма-
шинах, трансформаторах и других элементах электрической цепи
и снижает их КПД.
В. 2.9. Режимы работы электрических цепей
К В электрической цепи различают активные и пассивные эле-
»менты (участки). Активными считаются элементы, в которых
(Преобразование энергии сопровождается возникновением ЭДС
(аккумуляторы, генераторы). Пассивными считаются элементы,
в которых ЭДС не возникает.
Параметры, характеризующие работу электрической цепи (рис.
2.5) при различных режимах, определяются следующими выраже-
' НИЯМИ. р
К Ток в замкнутой цепи I =------—.
К Ro + R
В Напряжение на клеммах источника U= Е- IRq.
В Падение напряжения на сопротивлении источника U0 = IRo-
В Полезная мощность (мощность потребителя)
| P=P^-Po = EI~I2Ro.
» Исследуем изменение этих величин при изменении сопротивле-
Й; - ния R от бесконечности (режим холостого хода) до нуля (режим
В короткого замыкания).
32
Глава 2. Электрические цепи постоянного тока
1. В режиме холостого хода (ключ К разомкнут) Л = о°,
/« = 0; U=E\ t/o = O; Р=0.
2. В режиме короткого замыкания Л = 0,
Аз = —; U = E--~^-R0 =0; t/o=/-/?o=£;
Ао л0
Р = £—-^-Яо =0.
Ao RI
Таким образом, полезная мощность Р при холостом ходе и ко-
ротком замыкании равна нулю. Следовательно, при каком-то
значении сопротивления R полезная мощность Р имеет макси-
мальную величину.
Для определения этого значения определим первую производ-
ную полезной мощности по току и приравняем ее к нулю, т. е.
^=£-2/Яо = О
сП
или E=2IRq.
Следовательно, максимальная мощность будет при токе
Е
27?о 2 '
Максимальная полезная мощность выделяется при
I £ = | (2.26)
Полезная мощность максимальна, когда сопротивление потреби-
теля R станет равным внутреннему сопротивлению источника Ro.
Это и есть условие максимальной отдачи мощности источником
(2.26).
При максимальной отдаче мощности ток в цепи равен
I = - = ——, а коэффициент полезного действия
2R0 2
г) = —— =Щ: = = - = 0,5 = 50 %, так как U = —
Л,ст El 2EI 2 2
К 100 % КПД цепи приближается в режиме, близком к холосто-
му ходу.
Максимальной отдачи мощности добиваются в маломощной
аппаратуре: звуковоспроизводящей, радио, магнитофонах и др.
В мощных энергетических установках добиваются максимально-
го КПД.
2.9. Режимы работы электрических цепей
33
Зависимость напряжений и полез-
ай мощности от нагрузки (тока 7)
эказана на рис. 2.7.
Режим короткого замыкания в
пектрических установках нежелате-
ен, так как он приводит к большо-
у току (больше номинального), т. е.
резкому увеличению выделения
епла и выходу из строя аппаратуры.
Нормальным (рабочим) называется
•ежим работы цепи, при котором
гок, напряжение и мощность не пре-
ышают номинальных значений — значений, на которые источник
[.приемники энергии рассчитаны заводом-изготовителем.
I р и м е р 2.1
К источнику электрической энергии с ЭДС Е=30 В и внутрен-
иим сопротивлением Rq = 1 Ом подключен резистор R, сопротив-
ление которого можно изменять (рис. 2.5). Определить ток цепи I,
{апряжение на клеммах источника (/, мощность потребителя Р,
мощность источника и КПД цепи т| при следующих значени-
ях сопротивлений резистора R = 0,5 Ом; 1 Ом; 2 Ом.
еш ени е
1. При сопротивлении резистора R = 0,5 Ом
/ = —-— = - =20 А;
Ro + R 1+0,5
U= Д-/7?о = ЗО-20 -1 = 10 В;
Р= «7/= 10-20 = 200 Вт;
Рист = £/=30-20 = 600 Вт;
г|=-^-100%=^100% = 0,33 = 33 %.
Р„СТ 600
2. При сопротивлении резистора R= 1 Ом (Я= Ro — максималь-
ная отдача мощности)
I = ——=Л. = 15А;
Ro + R 1 + 1
U= Е- IRo = 30- 15-1=15 В;
Р= Ш= 15-15 = 225 Вт;
Рист=Е/=30-15 = 450 Вт;
2 - 7734
2.9. Режимы работы электрических цепей
35
_________Глава 2. Электрические цепи постоянного тока
П= З^-ЮО % =2|^.100% = 0,5 = 50 %.
Р»ст 450
3. При сопротивлении резистора R = 2 Ом
U= Е-IR$ = 30- 10 1 =20 В;
Р= UI= 20-10 = 200 Вт;
Рисг = £7=30-10 = 300 Вт;
П = ~~ • Ю0 % =|^ • 100 % = 0,67 = 67 %.
Пример 2.2
При замкнутом ключе К (рис. 2.8) показания вольтметра 6 В, а
амперметра 1,5 А. Если ключ .АГ разомкнут, то вольтметр покажет
6,6 В. Определить сопротивление потребителя R и внутреннее со-
противление источника Ro. Сохранен ли баланс мощностей и ка-
ков КПД цепи при замкнутом ключе А?
Решение
ежедневно выделяет его нагреватель и столько стоит потребляе-
мая чайником энергия за 1 месяц (30 дней), если 1 кВт ч энергии
стоит 63 копейки?
решение
Ежедневно энергия, потребляемая чайником, составляет
Wi= №=220-4-420 = 369 600 Вт-с = 0,102 кВт ч.
За 1 месяц чайник потребляет энергии
W= ЗОИЛ = 30 - 0,102 = 3,06 кВт-ч,
стоимость которой
3,06 • 63 = 192,78 коп. = 1 р. 93 коп.
Количество тепла, выделяемое ежедневно, равно
Q = 0,24 ИЛ = 0,24 -369 600 = 88 704 кал.
При разомкнутом ключе К вольтметр
показывает величину ЭДС источника
Е= 6,6 В, а при замкнутом — напряжение
на клеммах источника и потребителя
(7=6 В.
Тогда сопротивление потребителя
а внутреннее сопротивление источника
/? - Е -U 6,6-6
Rо = —-— = - = 0,4 Ом.
Баланс мощностей в работающей цепи: EI= I2(Rq +R), т. е.
6,61,5 = 1,52-(0,4 + 4) или 9,9 = 9,9, т. е. баланс мощностей сохра-
нен.
КПД цепи л=£=А=091=91%
£. 0,0
Пример 2.3
Электрический чайник, рассчитанный на напряжение (7=220 В
и ток 1= 4 А, ежедневно работает 7 минут. Какое количество тепла
3.1. Режимы работы источников
37
а ЭДС источника, направление которой не совпадает с выбран-
ным направлением обхода, — со знаком «минус». Например
(рис. 3.1а) направление обхода выбрано по часовой стрелке, тогда
У _ Е\ - Е2 + Е] - Е4
7? 1 + ТС + 7?з + Т?4 + 7?о] + 7?02 7?оз + 7?од
Глава 3
РАСЧЕТ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
3.1. Режимы работы источников
нЙКИ ЛИНеЙНЫе Элеме"™'
Рассмотрим неразветвленную линейную электрическую пет
с несколькими источниками энергии (рис 3 la) Р Ц b
Величина тока в неразветвленной электрической цепи с несколько
скои суммы ЭДС всех источников к полному сопротивлению цепи
ЪЕ
ZR
(3.1)
Если в результате расчета величина тока получится со знаком
«плюс», то его направление совпадает с выбранным направлени-
ем обхода, если же со знаком «минус», то направление тока цепи
противоположно выбранному направлению обхода.
? Определив, таким образом, величину и направление тока в
шел и, можно заключить, что направление ЭДС источников не
т^сегда совпадает с направлением тока.
Д. Источники, ЭДС которых совпадают с направлением тока, ра-
ботают в режиме генератора, а источники, ЭДС которых не со-
впадает с направлением тока, работают в режиме потребителя.
Если, допустим, в результате расчета цепи (рис. 3.1а) окажется,
что ток совпадает с выбранным направлением обхода (по часо-
вой стрелке), то источники с ЭДС Е, и Е3 будут работать в режи-
ме генераторов, а Е2 и Е4 — в режиме потребителей.
$ Напряжение на каждом участке электрической цепи определя-
ется отношением мощности, затраченной на
Ценной на ток, проходящий по этому участку,
' Р
1 U = -22_
,3 г' I '
V, 1 уч
S’ Ток на всех участках неразветвленной цепи
^значение I.
Напряжение на сопротивлении Д можно определить отношением
этом участке, де-
т. е.
имеет одинаковое
С2 = С1_
д На участке В'С, т. е. на клеммах источника Е2, работающего в
^режиме потребителя, мощность РВ'С затрачивается на преодоле-
ние мощности источника (Е27) и на потери на внутреннем co-
s' противлении источника Т?о2 (гДД, откуда следует
" Рв'с — ЕД+ 1~ Т?о2-
Тогда напряжение UBC на клеммах источника, работающего
<в режиме потребителя, равно
* UB'c — —= Е2 + W
38 Глава 3. Расчет линейных электрических цепей постоянного тока
Таким образом, напряжение на зажимах источника, работающе-
го в режиме потребителя, больше, чем ЭДС самого источника на ве-
личину падения напряжения на внутреннем сопротивлении этого ис-
точника:
Тпотр £потр "Г / £потр •
(3.2)
А напряжение на клеммах источника, работающего в режиме
генератора (2.12), меньше, чем ЭДС источника на величину па-
дения напряжения на внутреннем сопротивлении:
Un« = Eim-1 R,m . | (3.3)
Следовательно, напряжение на любом участке цепи (рис. 3.1а)
может быть определено выражением
U= <Р(+) — <р(-) = | (3.4)
где U — напряжение на участке между точкой с положительным
потенциалом <р(+) и точкой с отрицательным потенциалом ср(—), а
R — полное сопротивление участка.
В формуле (3.4) знак «плюс» ставят для участка, на котором ис-
точник работает в режиме потребителя, а знак «минус» для участ-
ка, на котором источник работает в режиме генератора.
Пример 3.1
Определить величину тока Г и напряжения на участках АВ, ВС,
CD' и D'A цепи (рис. 3.16), если известно:
Ei = 20 В; £2=18 В; £3 = 10 В; £4 = 24 В;
£, = 1 Ом; £2 — 2 Ом; £3 = 3 Ом; £4 — 4 Ом;
£01 = R02= = Roa = 0,5 Ом.
Проверить баланс напряжений.
Решение
Выберем направление обхода по часовой стрелке. Тогда
Г = Ei -Е2 + Е3 -Е4 = 20 -18 + 10-24 = д
Ri + R2 + R3 + £4 + £01 - 4 1+2 + 3 + 4 + 4-0,5
Так как значение тока получили со знаком «минус», то его на-
правление противоположно выбранному направлению обхода,
т. е. ток в цепи /'(рис. 3.16) направлен против часовой стрелки.
(В дальнейшем знак «минус» не учитывается.) На участке АВ ис-
точник работает в режиме потребителя, на участке ВС — в режиме
генератора, на участке CD' — в режиме потребителя и на участке
D'A — в режиме генератора. Таким образом
UAB= -UBA = -[£, + I\Ri + £,,)] = -[20 + 1(1 + 05)] = -21,5 В;
3.2. Потенциальная диаграмма
39
... ^с=£2-/'(Л2 + Л)2)=18-1(2 + 05)] = 15,5 В;
+ Ucd' = ~ ^с = —[£3 + Г(Л3 + Лоз)] = -[10+1(3 + 05)] = -13,5 В;
+ [/дЯ=£4-ЛЛ4 + Ло4) = 24- 1 (4 + 05)]= 19,5 В.
Баланс напряжений в замкнутой неразветвленной цепи
Соблюдается:
ь —21,5 + 15,5-13,5 + 19,5 = 0.
3.2. Потенциальная диаграмма
л При изучении и расчете некоторых электрических цепей необ-
ходимо определить потенциалы отдельных точек цепи и постро-
ить потенциальную диаграмму. Для этого можно использовать
выражение (3.4) (рис. 3.1а).
W На участке АВ точка В имеет положительный потенциал <р(+),
Ж точка А — отрицательный потенциал поэтому фв-фл =
ф(+) - ф(-) = £, - ДЛ, + Л^), так как источник работает в режиме
‘‘генератора, т. е.
+ Фл + £i - ДЛ) + £oi).
J На участке ВС точка В имеет положительный потенциал ф( + ),
точка С — отрицательный ф(-), поэтому фЛ-фС= ф(+)~ф(-) =
? = Е2 + 1(Д2 + Roi), источник с ЭДС £2 работает в режиме потре-
бителя, т. е.
фс= фя — £г - ДЛ2 + Roi)-
Таким образом, потенциал точки D можно записать
• . ф0 = фл + £i - £2 - /(£1 + Roi + Л2 + Roi + Ri),
«если обходить цепь по направлению тока, или
'И. Фр = фя +£4 - £з -/(Т?о4 + £} +Лоз),
/.если обходить цепь против направления тока.
Z; Отсюда можно сделать следующий вывод (правило): если обхо-
дить цепь или участок цепи по направлению тока, то потенциал в
^каждой точке определяется потенциалом предыдущей точки плюс
"ЭДС источника, работающего в режиме генератора, минус ЭДС ис-
‘точника, работающего в режиме потребителя, и минус падение на-
пряжения на участке между точками цепи.
V При обходе контура против направления тока знаки ЭДС и паде-
еАшя напряжения изменяются на противоположные.
£ Это правило особенно удобно применять в тех случаях, когда в
^Цепи имеются участки с несколькими источниками.
Потенциальная диаграмма представляет собой график зависи-
йлМости потенциалов точек цепи от величины сопротивлений уча-
стков между этими точками.
40 Глава 3. Расчет линейных электрических цепей постоянного тока
Для построения потенциальной диаграммы одну из точек элект-
рической цепи условно заземляют (потенциал ее принимают рав
ным нулю), а потенциалы остальных точек равны напряжении,
между ними и заземленной точкой.
Потенциальная диаграмма представляет собой ломаную линию
(рис. 3.3).
Пример 3.2
Для цепи, изображенной на рис. 3.2, дано:
Е = 8 В; Е2 = 24 В; Е3 = 9,5 В; Е, = 0,5 Ом; Л2=1 Ом;
А3=1,5 Ом; Я,, = 0,15 Ом; Д2 = 0,1 Ом; Л» = 0 Ом.
1. Определить величину и направление тока в цепи.
2. Определить потенциал точек В, С, D, Е, G, приняв потенциал
точки А равным нулю, фл = 0.
3. Построить потенциальную диа
грамму.
4. Составить и проверить баланс
мощностей для цепи.
Решение
1. Выбираем направление обхода
контура по часовой стрелке, тогда ве-
р и с. 3.2 личина тока
.______Е, - Е2 + Е3_____
Л] + Я2 + 7?3 + /?01 + R02 + 7?оз
8-24 + 9,5
-----------————- = -2 А.
0,5 + 1 + 1,5 + 0,15 + 0,1 +0
Знак «минус», полученный в результате вычислений, указывает
на то, что ток направлен против выбранного направления обхо-
да, как показано на рис. 3.2. В дальнейших расчетах знак «минус»
не учитывается. Таким образом, источник ЭДС Е2 работает в ре-
жиме генератора, а Е\ и Е3 — потребителей.
2. Для определения потенциалов указанных точек обходим кон-
тур по направлению тока. При этом получаем
<Рв = Фл-Е,-/7^)1 = 0-8-2 0,15 = —8,3 В;
Фс= 4>B-IR} = -8,3-2-0,5 = -9,3 В;
Фл = фс + Е2 — IRai = — 9,3 + 24 — 2-0,1 = 14,5 В;
Ф£=ФД-/Л2 = 14,5-2-1 = 12,5 В;
фс=<Р£-Е3-/7?оз= 12,5-9,5-2-0 = 3 В;
Фя = ФС-/Ез = 3-2-1,5 = 0.
3.3. Законы Кирхгофа
41
. 3, Для построения потенциаль-
ной диаграммы по оси ординат в
цфсштабе откладываются потен-
циалы точек, а по оси абсцисс —
^противления участков. Потен-
циальная диаграмма изображена
на рис. 3.3.
V 4. Баланс мощностей в электри-
ческой цепи с несколькими ис-
Ьчниками соблюдается при усло-
, что сумма мощностей источ-
ков, работающих в режиме
Цнераторов, равна сумме мощностей источников, работающих в
ме потребителей, и потерям мощностей на всех сопро-
ениях цепи, включая внутренние сопротивления источников:
EJ= E\I+ E3I+ /2(7?1 + + Roi + Roz + Л>з);
24-2 = 8-2 + 9,5-2 + 22-(0,5 + 1 + 1,5 + 0,15 + 0,1 + 0);
48 Вт = 48 Вт.
¥
3.3. Законы Кирхгофа
й'В схемах электрических цепей можно выделить характерные
«цементы: ветвь, узел, контур.
Ж: Ветвью электрической цепи называется ее участок, на всем про-
тяжении которого величина тока имеет одинаковое значение.
® Узлом электрической цепи (узловой точкой) называется место
оединения электрических ветвей. В узловой точке сходятся как
Ьинимум три ветви (проводника).
Контуром электрической цепи называют замкнутое соединение,
В которое могут входить несколько ветвей (рис. 3.46).
к* Ветви, содержащие источник электрической энергии, называ-
ется активными, а ветви, не содержащие источников, называют-
ся пассивными.
№ Первый закон Кирхгофа. В разветвленной цепи ток в различных
Ветвях может иметь различное значение. Сумма токов, входящих
В узловую точку разветвленной цепи, должна быть равна сумме
Иуоков, выходящих из этой точки.
< На рис. 3.4а показана узловая точка цепи А, для которой можно
Записать
'ii /i + /3 + /5 = А + Z* или — /2 + Л — Л + Л = 6,
I | ^=0- | <3-5>
5f Выражение (3.5) представляет собой математическую запись
^Первого закона (правила) Кирхгофа.
42 Глава 3. Расчет линейных электрических цепей постоянного тока
Рис. 3.4
Первый закон Кирхгофа формулируется так: алгебраическая
сумма токов в ветвях, соединенных в один узел, равна нулю.
Токи, входящие в узел, принято считать положительными, а вы-
ходящие из узла — отрицательными.
Второй закон Кирхгофа устанавливает зависимость между ЭДС
и падением напряжения в замкнутом контуре любой электриче-
ской цепи.
Точки А, В, С и D являются узловыми точками (рис. 3.46),
поскольку в каждой из них сходятся четыре проводника.
Определим потенциал каждой узловой точки, воспользовав-
шись выражением (3.4).
<р5 = <рл + Ei - /]7?о1 - I{R{ — Е2 — I2Ro2 (обход по току);
Фс = фв - I2R2 + Е2- I2Roi - I2R2 (обход по току);
фл = фс + ЛД- Ед + /зЛм (обход против тока);
фл = фл + ERs (обход против тока).
Сумма потенциалов всех узловых точек замкнутого контура равна
Фв + фс + фл + фл = фл + Ei - ЛЛ01 - RR} -Е2- IxRq2 +
+ фв ~ ER2 + Е2- I2Ro3 ~ I2R2 + фс + I3R4 ~ Ед — 12Дд + фд + I4R5.
Сократив все потенциалы замкнутого контура, слева и справа от
знака равенства, и перенеся все ЭДС замкнутого контура налево
от знака равенства, а падения напряжения оставив справа, можно
записать
— Ех + Е2 - Е2 + Ед = - I\Rq\ — I\RX - J}Rq2 — I2R2 —
- ЛЛи - ERi. + I3R4 + I3R04 + I4R5,
что и является вторым законом Кирхгофа, который формулирует-
ся так:
Алгебраическая сумма ЭДС в замкнутом контуре электрической
цепи равна алгебраической сумме падений напряжений на всех уча-
стках этой цепи
3.4. Последовательное соединение потребителей
43
S£= UR.
(3.6)
Выражение (3.6) представляет собой математическую запись
второго закона (правила) Кирхгофа.
Для определения знаков в алгебраической сумме направление
обхода контура выбирается произвольно: по часовой или против
часовой стрелки.
ЭДС источника, совпадающая с выбранным направлением об-
хода контура, считается положительной, а не совпадающая — от-
рицательной.
Падение напряжения на сопротивлении R считается положите-
йьным, если ток, протекающий через него, совпадает с выбран-
ным направлением обхода контура, или отрицательным — если
|ie совпадает.
К Для электрической цепи, изображенной на рис. 3.46, второй за-
|{0н Кирхгофа записывается так:
Ц. Е\- £2 + £3 — Ед = /i(7?i + Rqi + R02) +
й + 7?оз) - IitRi + Лм) ~ ERs-
t Направление обхода контура в приведенном расчете выбрано по
•расовой стрелке.
3.4. Последовательное соединение
Ж потребителей
^Последовательным соединением уча-
WnKoe электрической цепи называют
соединение, при котором через все уча-
гвгпки цепи проходит один и тот же
яйок (рис. 3.5).
Ж Напряжение на каждом последова-
тельно включенном участке пропор-
жионально величине сопротивления
wToro участка.
Ж При последовательном соединении
ЯВотребителей с сопротивлениями
Ж и (рис. 3.5) напряжение на их за-
икимах равно
Ж Ui = IRp, U2 = IR2, U3 = IR2.
Ж Воспользовавшись вторым законом Кирхгофа для рассматрива-
емой цепи (рис. 3.5), можно записать
£ U— U\ + U2 + U3
и
U= IRr + IR2 + /7?3.
(3.7)
44 Глава 3. Расчет линейных электрических цепей постоянного тока
Откуда
R~. + Т?2 + = Л
(3.8
Таким образом, общее (эквивалентное) сопротивление R последа
вательно включенных сопротивлений (потребителей) равно сумхи
этих сопротивлений.
Ток в цепи последовательно включенных потребителей
(рис. 3.5) определяется выражением
7=.
Я] + _/?2 + R?
Нетрудно понять, что при изменении сопротивления хотя бы
одного потребителя изменяется ток цепи, а следовательно, и ре-
жим работы (напряжение) всех последовательно включенных по-
требителей.
Поэтому последовательное соединение сопротивлений не на-
шло широкого практического применения.
Следует заметить, что при последовательном соединении рези-
сторов на большем сопротивлении тратится большая мощность
Р= UI=PR.
Потенциометр
Распределение напряжений, пропорциональное сопротивлени-
ям последовательно соединенных резисторов, используется в
работе потенциометра (делителя напряжения). В качестве потен-
1’0
Рис. 3.6
циометра можно использовать реостат с по-
движным контактом, включенным как пока-
зано на рис. 3.6.
Изменяя сопротивление реостата, можно
плавно изменять напряжение U2, получаемое
на потребителе: от величины входного напря-
жения Ui; подведенного к клеммам Г—Г'
(движок реостата в точке А), до нуля (движок
реостата в точке В). Потребитель подключа-
ется к клеммам 2'—2".
Делитель напряжения может состоять из не-
скольких резисторов с постоянными сопро-
тивлениями, соединенными последовательно. Напряжение при
этом можно снимать с каждого резистора или группы резисторов.
Потеря напряжения в проводах
В линиях электропередачи (ЛЭП) электрической энергии сое-
динительные провода включаются последовательно с потребите-
лем (рис. 3.7а).
3.4. Последовательное соединение потребителей
а)
Линия
Гак как провода обладают сопро-
влением Я=2р-£ (двухпровод-
д линия), то при прохождении
> ним тока происходит потеря на-
ряжения на них. За счет этой по-
ри напряжение в конце линии
[ектропередачи U2 меньше, чем
щряжение Ux в начале. Величина
утери напряжения в проводах:
Д[/=[/1-С/2 = /Ллр. (3.9)
Из (3.9) следует, что потеря на-
ряжения в проводах зависит от
>ка потребителя (нагрузки) /и со-
ставления проводов Апр.
Для того чтобы увеличение тока
линии не приводило к значи-
льной потере напряжения и к
цутимому уменьшению напряжения
!чений проводов ЛЭП производят с учетом допустимой потери
шряжения
А
2___
б)
А
Рис. 3.7
на потребителе расчет
(3.10)
е%=А£.Ю0%.
: U2
‘Допустимая потеря напряжения в многокилометровых ЛЭП не
элжна превышать 10%.
Расчет сечения проводов (двухпроводной линии) по допусти-
ой потере напряжения производят по следующему выражению:
„ э I э £1 2р£1-100 200р^Р2
Лпр н MJ e%U2 e%U\
це S — сечение проводов ЛЭП, мм2; р — удельное сопротивление
:атериала провода, Ом мм2/м; £ — длина ЛЭП, м; Pi — мощность
отребителя, Вт; Ui — напряжение на потребителе, В.
Выбранное по допустимым потерям напряжения сечение про-
одов ЛЭП должно быть проверено по допустимому току (Прило-
:ение 11).
Из (3.10) видно, что сечение проводов зависит от напряжения
а потребителе U2. Поскольку эта зависимость квадратичная, то
ля уменьшения сечения проводов рационально увеличивать на-
ряжение ЛЭП. В настоящее время напряжение ЛЭП переменно-
□ тока достигает 1150 кВ, а постоянного тока 1500 кВ.
Выражение (3.10) справедливо для ЛЭП с нагрузкой в конце ли-
ни (рис. 3.7а).
46 Глава 3. Расчет линейных электрических цепей постоянного тока
Если же нагрузка распределена вдоль линии (рис. 3.76), то сече-
ние проводов определяется выражением
+ (зло»
e%U\
КПД линии электропередачи в процентах определяется выра-
жением
л=А.1оо% = ^-д_^К.1оо%, (з.и)
th
где ?2 — мощность потребителя; Р\— мощность источника.
Как следует из (3.11), чем больше потеря напряжения At/в про-
водах, тем меньше КПД линии электропередачи. КПД длинных
линий электропередачи лежит в пределах (90—98) %.
3.5. Параллельное соединение
потребителей
Параллельным соединением участков электрической цепи называ
ют соединение, при котором все участки цепи присоединяются к од-
ной паре узлов, т. е. находятся под действием одного и того же на
пряжения (рис. 3.8). Токи параллельно включенных участков об-
ратно пропорциональны сопротивлениям этих участков.
Рис. 3.8
При параллельном соединении сопро-
тивлений /?1, Ri и 7?3 токи потребителей
соответственно равны
Воспользовавшись первым законом
Кирхгофа, можно определить ток I в не-
разветвленной части цепи
/=Д + /2 + /3 или I = У- + У- +
R, R2 R3
Тогда
(3.12)
Таким образом, обратная величина общего (эквивалентного) со-
противления R параллельно включенных потребителей равна сумме
обратных величин сопротивлений этих потребителей.
Величина, обратная сопротивлению, определяет проводимость
потребителя g. Тогда общая (эквивалентная) проводимость цепи
3.5. Параллельное соединение потребителей
47
>и параллельном соединении потребителей определяется сум-
)й проводимостей потребителей
g = gl + gl + g3-
(3.13)
„Если параллельно включены п одинаковых потребителей с со-
ротивлением R' каждый, то эквивалентное сопротивление этих
отребителей R = —. Если параллельно включены два потребите-
fl
[ с сопротивлениями Ri и R2, то их общее (эквивалентное) со-
ставление в соответствии с (3.12) равно
1 _ 1 + 1 _ Ri + ^2
^1,2 R\Ri
R -
1,2 R.+R,
зда
(3-14)
Если параллельно включены три потребителя с сопротивления-
и Rh R2 и R3, то общее их сопротивление (см. (3.12))
1 1 t 1 + 1 + RiR3 +RiR2
R\,2,2 R\ R2 R2 R1R2R3
гкуда ________________________...
R =
1,2,3 R2R3 + R,R3 + RiR2
(3.15)
Изменение сопротивления какого-либо из параллельно соеди-
ненных потребителей не влияет на режим работы (напряжение)
ругих потребителей, включая изменяемое. Поэтому параллель-
:ое соединение нашло широкое практическое применение.
При параллельном соединении потребителей на большем со-
ротивлении тратится меньшая мощность:
Р=Ш=¥-.
R
Глава 4
МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
4.1. Метод свертывания
Цепь со смешанным соединением включает в себя участки с по
следовательным и параллельным соединением потребителей, или
сопротивлений (резисторов).
Расчет электрической цепи с одним источником и смешанным
соединением резисторов методом свертывания проводится в еле
дующей последовательности.
1. На схеме отмечаются все токи и узловые точки.
2. Группы резисторов с явно выраженным последовательным
или параллельным соединением заменяются эквивалентными, и
определяются их сопротивления (см. (3.8) и (3.12)).
3. Замена производится до получения простейшей схемы, для
которой элементарно определяется общее (эквивалентное) со-
противление всей цепи.
4. По заданному напряжению источника и вычисленному обще-
му сопротивлению всей цепи определяется ток в неразветвленной
части цепи (общий ток).
5. Определяются падения напряжения на участках цепи и ток
каждого резистора.
Расчет цепи методом свертывания рассмотрим на примере 4.1
(рис. 4.1).
Пример 4.1
1. При заданных сопротивлениях всех потребителей цепи и на-
пряжении U определить токи всех потребителей.
2. Определить, как изменяются эти токи, если к потребителю
с сопротивлением /?« параллельно подключить лампу накалива-
Рис. 4.1
ния (рис. 4.3).
Расчет осуществить в общем
виде.
Внутренним сопротивлени-
ем источника пренебрегаем.
Решение
1. В рассматриваемой цепи
(рис. 4.1) определяются группы
потребителей, соединенных
последовательно или парад-
4.1. Метод свертывания
49
»ельно. Определяются эквивалент-
ные сопротивления участков, а
[схема при этом «свертывается».
Очевидно, резисторы А8 и А7
'соединены параллельно, так как
^напряжение на них одинаковое.
(Следовательно, их общее сопро-
тивление (рис. 4.2а)
j. R RtRs
R’-‘ ’ r-TK'
[ Сопротивление группы А7.8 соеди-
нено последовательно с резистором
(Re, таким образом, общее сопро-
тивление Аб-8 = Аб+ А7.8 (рис. 4.26).
! Сопротивление А6 Я соединено
параллельно с резистором А5 (в
; точках В, Q, следовательно, общее
[сопротивление (рис. 4.2в)
п A, Rb-S
/\>-R —---------
А5 + Rm
Сопротивление А5_8 соединено
последовательно с резистором At,
т.е. общее сопротивление =
= А4 + А5-8 (рис. 4.2г). Это сопро-
тивление подключено параллельно
к резистору А3 (в точках А, В), сле-
довательно, общее сопротивление
(рис. 4.2д)
D Ri Rm
Л 3-8 =------—.
A3 + R^.
Сопротивление А3_8 соединено
последовательно с резисторами R.,
и Ri, следовательно, общее (экви-
валентное) сопротивление иссле-
дуемой цепи R определяется вы-
ражением R~ Ai-8 = Ai + Аз-s + А3
(рис. 4.2е).
Последовательность метода свер-
тывания рассматриваемой схемы
можно проиллюстрировать схема-
ми, изображенными на рис. 4.2.
50
Глава 4. Методы расчета электрических цепей
Общий ток I, который проходит по сопротивлениям 7?i, R2 и
R3_g, определим, воспользовавшись законом Ома для замкнутой
цепи (рис. 4.2д, е):
1=1^11= 1^ = ^. (1)
Ток создает на сопротивлении Я3-8 (в точках А, В) падение на-
пряжения, величину которого определим по закону Ома
Uab = Лгз-8 Лз-8. (2)
Это же напряжение можно определить, воспользовавшись вто-
рым законом Кирхгофа,
UAB=U-I}Rl-I2R2. (3)
Напряжение UAB необходимо для вычисления тока 13 (рис. 4.2г)
и остальных токов:
/з = -^-. (4)
«з
К точкам А, В подключено общее сопротивление R^, следова-
тельно, ток, который проходит по резистору Ra, т. е. Ц, можно
определить по закону Ома (рис. 4.2в):
Этот же ток Д можно определить, воспользовавшись первым за-
коном Кирхгофа,
h = I\~ 1з- (6)
Ток Д создает падение напряжения UCB на общем сопротивле-
нии Т?5-8. Напряжение между точками С, В (Ucb) определяем по
закону Ома (рис. 4.2в):
UcB — U3-s = IaRs-s- (7)
Это же напряжение можно определить по второму закону
Кирхгофа:
UCB= UAB-IaRa- (8)
Напряжение Д5-8 необходимо определить для вычисления тока
Д (рис. 4.26) и остальных токов по закону Ома:
Л =-^- (9)
К 5
К точкам С, В подключено общее сопротивление Лб_8, следова-
тельно, ток, который проходит по резистору 7?б, т. е. /6, можно
определить по закону Ома (рис. 4.2а):
А = Д^ = (Ю)
IX.
4.1. Метод свертывания
51
wfj Тот же ток можно определить по первому закону Кирхгофа:
I Л = /2-/з-Л. (П)
Ток 16 создает падение напряжения UCd на общем сопротивле-
нии А7,8
Г UCD = UU = RRU (12)
ИЛИ Ucd~ Ucb~ 4-/Д. (13)
L Токи Z7 и Z8 определяются по закону Ома (рис. 4.1):
S I, = и I, -О*.. (14)
. Ri
(' Один из этих токов можно определить по первому закону
’Кирхгофа:
/7 = /6-/8 или R = k-R. (15)
( Таким образом, определены токи всех включенных в цепь
(рис. 4.1) потребителей.
’ 2. Рассмотрим динамический режим работы электрической
цепи, т. е. режим изменения токов и напряжений в цепи. В при-
; мере 4.1 эти изменения вызваны подключением лампы накалива-
ния R; параллельно резистору А8 (рис. 4.3).
Очевидно, параллельное подключение лампы накаливания к
сопротивлению Т?8 уменьшает сопротивление участка между точ-
ками С, D (А7-9), следовательно, уменьшается и общее сопротив-
ление цепи R (рис. 4.26—е).
Уменьшение общего сопротивления приведет к увеличению об-
щего тока цепи /, т. е. токов R и /2 (выражение (1)). Увеличение этих
токов вызовет уменьшение напряжения UAB (выражение (3)), а сле-
довательно, уменьшение тока /3 (выражение (4)). Так как ток R уве-
личился, а ток Д уменьшился, то ток Д увеличится (выражение (6)).
Увеличение тока Z4 приведет к уменьшению напряжения Ucb (вы-
ражение (8)), в результате чего уменьшится ток Д (выражение (9)).
Уменьшение тока Д вызовет увеличение тока Д (выражение (11)),
что приведет к уменьшению напряжения UC[) (выражение (13)).
Следовательно, уменьшаются токи Д и Д (выражение (15)).
52
Глава 4. Методы расчета электрических цепей
Как видно, параллельное подключение лампы R4 к резисторам
с сопротивлением R-, и Т?8 шунтирует их, т. е. уменьшает напряже-
ние UCD на этих сопротивлениях и токи /7 и /8 в них.
Таким образом, подключение дополнительного потребителя в
цепь вызывает соответствующие изменения режима работы всех
участков цепи.
Для расчета электрической цепи методом свертывания могут
быть заданы либо ток, протекающий через определенный рези-
стор, либо напряжение на одном из участков.
Методика расчета параметров таких цепей приведена в приме-
рах 4.2 и 4.3.
Пример 4.2
Для цепи (рис. 4.4) заданы: Д; /Д; R:, R2; R2; /Д и Rs.
1. Определить ЭДС источника Е.
2. Определить токи в остальных ветвях.
3. Определить мощность на каждом резисторе.
4. Составить уравнение баланса мощностей в этой цепи.
Рис. 4.4
Решение
Ток Ii проходит через источник и
создает падение напряжения на его
внутреннем сопротивлении (Д = ERn
и на резисторе с сопротивлением Rb
т. е. Ui^RRi. Тот же ток Д создает
падение напряжения между точками
А и В, т. е. UAB= IiRab. ЭДС источни-
ка складывается из этих падений на-
пряжения, т. е. Е= Uo + Ui + UAB.
Для определения напряжения
между точками А и В (UAB) и токов I2, Е, Е и Д произведем «свер-
тывание» схемы (рис. 4.4) и определим общее сопротивление RAB.
D R^Ra
A3 4 =------,
' R3 +R,
R2-A - R2+ R}74, RaB
R2—A R$
R2-4 + Rs
Искомые токи определим по закону Ома
J __ UАВ J _ UAB J _ UcB J _ Ес в
2 ~ R^’ 5 “ R5 ’ 3 " R, ’ 4 ~ /?4 ’
где UCB=IiRi,4 или Есв= UAB-I2R2.
Мощность на каждом резисторе определяется выражением
P=pR=UI.
Например: Л = Д2 Л, = UJi, Р5 = /2 R$= UABI5 и т. д.
Составляется уравнение баланса мощностей
Е11 = Рп + Р} + Р2 + Р} + Р4 + Р5.
53
4.2. Метод преобразования схем
[^ример 4.3
Для цепи (рис. 4.5) заданы: UA = UAB = 36 В; Ro~ 0,5 Ом; R} = 1 Ом;
!2=2 Ом; 7?3 = 3 Ом; 74 = 4 Ом; 7?5 = 5 Ом; 74 = 6 Ом; R7 = 7 Ом.
Определить токи всех резисторов и ЭДС источника Е.
ешен и е
По заданному напряжению на
частке АВ (UAB) определяются
эки
Uab
R<
= —=9А;
4
Uab
Rs-i
= —=2А,
18
Рис. 4.5
ак как
?5-7 = Т?5+ 74 +Т?7 = 5 + 6 + 7 = 18 Ом.
Напряжение UAb по закону Ома равно UAB = 73Т4-7.
г Uab
'’"TH
D R^Rsi
куда
•ак как
-3L = ha,
3,27
= ±111 = 3,27 Ом.
4 + 18
[ Напряжение UAC можно определить по второму закону Кирхгофа
S (7лс=С4,г+С/гс=^+/37?3 = 36+ 1 1-3 = 69 В.
!Тогда токи
72 =±£- = 69 =34,5А;
; R2 2
7, = /2 +4 + 4 = 34,5+ 9 +2 = 45,5 А.
: Ток Л создает падение напряжения на резисторе R{ и на внут-
реннем сопротивлении источника UQ.
! t/1 = 71/?I=45,5-l =45,5 В;
’ {/о =4^0 = 45,5-0,5 = 22,75 В.
Тогда ЭДС источника
£= £/0+ U + UAC= 22,75 + 45,5 + 69= 137,25 В.
4.2. Метод преобразования схем
Метод преобразования электрических схем применяют для рас-
чета сложных цепей путем преобразований треугольника сопро-
тивлений в эквивалентную звезду или звезды сопротивлений в эк-
вивалентный треугольник.
54
Глава 4. Методы расчета электрических цепей
Контур, состоящий из трех сопротивлений RAB, RBC и RCA, имею-
щий три узловые точки А, В и С, образует треугольник сопротив-
лений (рис. 4.6а).
Электрическая цепь, состоящая из трех сопротивлений RA, RB и
Rc, соединенных в одной узловой точке О, образует звезду сопро-
тивлений (рис. 4.66).
Расчет некоторых сложных цепей значительно упрощается,
если соединение звездой в них заменить соединением треуголь-
ником или наоборот.
Преобразование схемы должно производиться так, чтобы при
неизменном напряжении между точками А, В и С токи 1А, 1В и 1С
звезды и треугольника оставались без изменений.
Треугольник и звезда, удовлетворяющие этому условию, назы-
ваются эквивалентными.
Для такого преобразования рекомендуется изображать схему
цепи без заменяемого треугольника (или звезды), но с обозначен-
ными вершинами А, В, и С и к этим обозначенным вершинам
подсоединить эквивалентную звезду (или треугольник).
При замене треугольника эквивалентной звездой сопротивле-
ния звезды определяются следующими выражениями:
R-abRca . D _ RbcRab
R _ ______________
R АВ + R ВС + R СА R AB + R BC + Rca
RcaR ВС
(4.1)
Rc =
R АВ + R ВС + RcA
Таким образом, каждое сопротивление эквивалентной звезды
равно отношению произведения двух примыкающих к соответству-
ющей узловой точке сопротивлений треугольника к сумме трех его
сопротивлений.
4.2. Метод преобразования схем
55
При замене звезды эквивалентным треугольником каждое со-
эотивление треугольника определяется следующими выражени-
ли:
Rab = Ra + R в +
RaRb . D _ р р , RBR
— , К ВС ~ К В + Л С + —
Вс "а
Rca = R с + R a + —у.—-
(4.2)
i Каждое сопротивление эквивалентного треугольника равно сумме
трех слагаемых: двух примыкающих к соответствующим точкам
сопротивлений звезды и отношению произведения этих сопротивле-
ий к третьему сопротивлению звезды.
[ример 4.4
Определить токи во всех ветвях цепи (рис. 4.7а) при следующих
сходных данных: £=2,2 В; R} = 10 Ом; £2 = 30 Ом; £3 = 60 Ом;
= 4 Ом; Rs = 22 Ом; - 0.
ешение
Для расчета этой цепи заменим треугольник сопротивлений,
одключенных к точкам А, В и С, эквивалентной звездой, под-
люченной к тем же точкам (рис. 4.76).
Определим величины сопротивлений эквивалентной звезды:
= - ДО+о _ . 6 Ом.
£1 + 7?2 + £з 10 + 30 + 60
£|7?2 = 10 -30 = 3 Ом.
R\ + Т?2 + Ri Ю + 30 + 60
____= - .30 +0 ... =180м
+ R 2 + 7?з 10 + 30 + 60
Рис. 4.7
58
Глава 4, Методы расчета электрических цепей
Рис. 4.8
Пример 4.6
Определить токи во всех вет-
вях цепи, схема которой приве-
дена на рис. 4.8а, если задано:
£, = 40 В; £2 = 30 В;
£qi — R02= 0,4 Ом;
£1 = 30 Ом; R2 = R3 = 10 Ом;
£ = R$ — 3,6 Ом.
Решение
Количество ветвей и соответ-
ственно различных токов в
цепи (рис. 4.8а) равно пяти.
Произвольно выбирается на-
правление этих токов.
Расчетных схем две, так как в
цепи два источника с ЭДС £
и £2. Вычисляются частичные
токи, созданные в ветвях пер-
вым источником Г. Для этого
изображается та же цепь, толь-
ко вместо Е2 — его внутреннее
сопротивление R^.. Направле-
ние частичных токов в ветвях
указаны в схеме рис. 4.86.
Вычисление сопротивлений и
токов производится методом
свертывания.
7?5о2 = 7? 5 + R02 = 3,6 + 0,4 = 4 Ом;
R вс
2И1£_ = .1Ы=2,85 Ом
A3 + R 5 02 10+4
А авс — Ri + Rвс ~ 30 + 2,85 == 32,85 Ом;
КМ. .10-32,85
Я, +«;„ 10 + 32,85
R' = R4 + ROi + R'Ac =3,6 + 0,4 + 7,7 = 11,7 Ом.
Первые частичные токи в цепи (рис. 4.86), созданные источни-
ком £, имеют следующие значения:
/; =£к = _40_=з 4А;
R' 11,7
U'AC ^I'xR'ac = 3,4 7,7=26В;
4.3. Метод наложения
59
= —=2,6А;
10
= —^—=0,8 А;
32,85
= 0,8 • 2,85 = 2,ЗВ;
2 3
= _2—=о,23А;
10
2 3
= ±12=0,57А.
4
r и'АС
Iac =~r7
r U'ac
АВ =
> Л ЛВС
и ВС ~ I АВ R ВС
Т' U вс
1вс =~RT
_Ц ВС
2 ~ R'lfil
Вычисляются частичные токи, созданные вторым источником
F". Для этого изображается исходная цепь, в которой источник
j ЭД С Е[ заменен его внутренним сопротивлением Ли. Направле-
ния частичных токов в ветвях указаны на схеме рис. 4.8в.
; Сопротивления и токи определяются методом свертывания.
/Цо, = /?4 +Яо1 =3,6+ 0,4 = 4 Ом;
. „ = R2R^_ = Ub4_ = 2 85 0
я2+/ц0, ю + 4
R'bac = Л +R"ac =30 + 2,85 =32,85 Ом;
: М_^_=^-32^.=7,70м;
R3 + R'bac Ю +32,85
R" =RS +Ro2 +R'bc =3,6 + 0,4 + 7,7 = 11,7Om.
Вторые частичные токи в цепи (рис. 4.8в) имеют следующие
Значения:
=Al=_30.=2,6A;
R" 11,7
U'bc =1гЕ"вс =2,6-7,7=20В;
U"bc _20_ЭЛ.
10
_20_=0,бА;
32,85
U"AC =IaBR'ac =0,6-2,85=1,7В;
I" =£j£_ =0,17А;
АС R2 10
1"вс =
/?з
r U "вс
1ав
К АВС
/"=£/!£- = LZ =0,42 А.
/Цо, 4
(4.3
Тогда ток
(4.4'
Uab— Uba- [Е2 + I2(R2 + Rm)]-
Глава 4. Методы расчета электрических цепей
Искомые токи в рассматриваемой цепи (рис. 4.8а) определяют
алгебраической суммой частичных токов (см. рис. 4.8):
R = ГХ - Г; =3,4-0,43 = 2,97А;
Л = -/' + Г2 =-0,57 + 2,6 = 2,03А;
Iab —~Iab + I ав = —0,8 + 0,6 = —0,2 А;
Tic — I ас + I ас = 2,6 + 0,17 = 2,77А;
1вс =1'вс + 1"вс =0,23 + 2 =2,23 А.
Ток 1АВ имеет знак «минус», следовательно, его направлени
противоположно произвольно выбранному, он направлен из точ
ки А в точку В.
В
Рис. 4.9
4.4. Метод узлового напряжения
Расчет сложных разветвленных электрических цепей с несколь
кими источниками и двумя узлам.-,
можно осуществить методом узлово
го напряжения. Напряжение межд
узлами и называется узловым. UAB -
узловое напряжение цепи (рис. 4.9)
Для различных ветвей (рис. 4.9) уз
ловое напряжение UAI! можно опредс
лить следующим образом.
1. Поскольку для первой ветви ис
точник работает в режиме генератор.
UAb= Е\ — I\(R] + Ди)-
Величина тока определяется как
Л =~^ = (El-UAB)gi,
Ri +ROi
где g! =---------проводимость 1-й ветви.
7?! -7?о1
2. Для второй ветви источник работает в режиме потребителя
следовательно
= = -{Е2 + UAB)g2.
Ri +R02
3. Для третьей ветви
Uab — ~Uba = ~ RRj-
(Потенциал точки В для третьей ветви больше, чем потенций,
точки А, так как ток направлен из точки с большим потенциале:
в точку с меньшим потенциалом.)
Величину тока Д можно определить по закону Ома
4.4. Метод узлового напряжения
61
(4.5)
Г T TT „
Ki
Цо первому закону Кирхгофа для узловой точки А (или В):
/1 +/2 + 7з = 0. (4.6)
Подставив в уравнение (4.6) значения токов из уравнений (4.3),
t.4) и (4.5) для рассматриваемой цепи, можно записать
Eig\- UABg\- E-ig2- UABg2- UABgi = 0. (4.7)
Тешив это уравнение относительно узлового напряжения UAB,
ожно определить его значение
£,gi -E2g2
UAS-------------
g\ + gl + gl
Следовательно, величина узлового напряжения определяется огл-
ашением алгебраической суммы произведений ЭДС и проводимости
етвей с источниками к сумме проводимостей всех ветвей'.
(4.8)
и -YEg
(4.9)
Для определения знака алгебраической суммы направление то-
ов во всех ветвях выбирают одинаковым, т. е. от одного узла
другому (рис. 4.9). Тогда ЭДС источника, работающего в режи-
[е генератора, берется со знаком «плюс», а источника, работаю-
гего в режиме потребителя, со знаком «минус».
Таким образом, для определения токов в сложной цепи с двумя
злами вычисляется сначала узловое напряжение по выражению
4.9), а затем значения токов по формулам (4.3), (4.4), (4.5).
Узловое напряжение UAB может получиться положительным или
отрицательным, как и ток в любой ветви.
Знак «минус» в вычисленном значении тока указывает, что
овальное направление тока в данной
словно выбранному.
1р и мер 4.7
В ветвях схемы (рис. 4.10) требуется
определить токи, если: Ех = 35 В;
/2 = 70 В; 7?i = 1,7 Ом; R0l = 0,3 Ом;
.#2 = 0,9 Ом; #02 = 0,1 Ом; #3 = 4 Ом.
Решение
Узловое напряжение UAB
E[gl+E2g1
и as-------------------,
g\ + gl + g3
ветви противоположно
62
Глава 4. Методы расчета электрических цепей
1
1
тогда
где g! = ---=------= 0,5 См;
Я,+Л01 1,7 + 0,3
8!’гаг=мЬд-1См; «-^4=0’25См;
,35^5^704^
0,5 + 1+0,25
Токи в ветвях будут соответственно равны
Л = (£) - UAB)gl = (35 - 50) 0,5 = -7,5 А;
Л = (Е2 - UAB)g2 = (70 - 50) -1 = 20 А;
Л = ~UABgi = -50-0,25 = -12,5 А.
Как видно из полученных результатов, направление токов Л и 73
противоположно выбранному. Следовательно, источник Е> рабо-
тает в режиме потребителя.
Пример 4.8
Рис. 4.11
Два генератора (рис. 4.11), ЭДС и внутреннее сопротивление
которых одинаковы: Е} = Е2 = 122 В; ^! = Л)2 = 05 Ом, питают по-
требитель (нагрузку) с сопротивлением
R = 5,85 Ом.
Как изменится ток второго генератора:
1) при увеличении его ЭДС (£)) на 1 %;
2) при увеличении узлового напряже-
ния (UAB) на 1 %.
Решение
Определяется узловое напряжение
UAB цепи (рис. 4.11)
= 122-2+122-2 =1|7 в
gi + g2 +g3 2 + 2 + 0,171
ГД® ii i i |i
г'-^“бЬ=2См; fi-^"ob=2CM; г4=5к°’,71См-
Тогда ток второго генератора
Л = (Е2 - UAB)g2 = (122 - 117)-2 = 10 А.
1. При увеличении Е2 на 1 %, его величина станет равной
Е'2 = 123,22 В,
тт, 122-2 + 123,22-2
тогда UAB =--------------=117,6 В.
2+2+0,171
При этом Г2 = (Е'2 -U'AB)g2 = (123,22-117,6) -2 =12,4 А.
4.4. Метод узлового напряжения
63
Выпеловател ьно. увеличение ЭДС генератора Ег на 1 % приводит
^•увеличению тока этого генератора на 24 %.
1 f /2-~ 100 % = 12’4 ~10 • 100 % = 24 %У
I < 12 Ю J
г2. При увеличении узлового напряжения на 1 % его величина
йтанет равной
Г U"AB =118,17 В.
|при этом 1"г ~{E2 -UAB )g2 =(122 -118,17) 2 = 7,66 А.
Е Таким образом, ток второго генератора при увеличении узлово-
К| напряжения на 1 % уменьшится на 23,4 %.
№ Г /2 - Л , 100 % = 100 % = -23,4 %.^
В < 1г ю )
ВЗнак «минус» означает уменьшение, а не увеличение тока 12.
В Параллельное соединение генераторов
В Как видно из решения примера 4.8, незначительное изменение
ВДС одного из параллельно работающих генераторов значитель-
но изменяет ток этого генератора.
Причиной значительного изменения тока генератора может
Выть также незначительное изменение узлового напряжения
Кис. 4.11), что связано с изменением сопротивлений участков
Кпи или ЭДС источников.
К Параллельное соединение генераторов нашло широкое приме-
нение в электрических сетях энергоснабжения потребителей
Осветительная и силовая нагрузка).
'Значительные изменения токов генераторов, вызванные незна-
чительными изменениями параметров схемы электропитания по-
требителей от параллельно включенных генераторов, необходимо
Впитывать при проектировании и эксплуатации электроустано-
вок, в частности тот факт, что в различное время суток работает
Базное количество параллельно включенных генераторов.
Увеличение ЭДС какого-либо из параллельно работающих ге-
иераторов приведет к тому, что ток этого генератора окажется в
Юесколько раз больше тока остальных генераторов. Этим обстоя-
тельством пользуются, когда хотят «перевести нагрузку» с одного
енератора на другой.
г Генераторы окажутся также неодинаково загруженными при
©явных ЭДС, но при различных внутренних сопротивлениях. Бо-
№ее загруженными окажутся генераторы с меньшим внутренним
^сопротивлением.
г При снижении ЭДС какого-либо из параллельно включенных
[Генераторов до величины узлового напряжения цепи (Е= UAB) ток
64
Глава 4. Методы расчета электрических цепей
в цепи этого генератора падает до нуля: I=g(E- UAB) = 0. Генер;
тор, находящийся в таком режиме, называется уравновешенны
(скомпенсированным). Если ЭДС генератора станет меньше у
левого напряжения, то такой генератор начнет работать в режим
потребителя.
4.5. Метод узловых и контурных уравнений
Метод узловых и контурных уравнений для расчета сложны .
электрических цепей подразумевает составление системы уравн-,
ний по законам Кирхгофа. При составлении системы уравнени
должно учитываться следующее.
1. Число уравнений равно числу токов в цепи (число токов par
но числу ветвей в рассчитываемой цепи). Направление токов :
ветвях выбирается произвольно.
2. По первому закону Кирхгофа составляется (п- I) уравнени!
где п —число узловых точек в схеме.
3. Остальные уравнения составляются по второму закону Кир-
гофа.
В результате решения системы уравнений определяются иске,
мые величины для сложной электрической цепи (например, вс
токи при заданных значениях ЭДС источников Е и сопротивле
ний резисторов). Если в результате расчета какие-либо токи полу
чаются отрицательными, это указывает на то, что их направлени
противоположно выбранному.
Пример 4.9
Составить необходимое и достаточное количество уравнени!
по законам Кирхгофа для определения всех токов в цеп'
(рис. 4.12) методом узловых и контурный уравнений.
Решение
В рассматриваемой сложной цепи имеется 5 ветвей, следовате
льно, 5 различных токов, поэтому для расчета необходимо соста
вить 5 уравнений, причем 2 уравнения — по первому закон
Кирхгофа (в цепи п = 3 узловых точки А, В и С) и 3 уравнения -
по второму закону Кирхгофа (внутренним сопротивлением ис
точников пренебрегаем, т. е. 7?о = О).
Составляем уравнения:
1) Л + /2 + -6 + 4 = 0 (для точки А);
2) 1} +12 - Д = 0 (для точки S);
3) Е{~ Е~.= E(Rl + Д2) - ДАз (для контура АаВ);
4) Е2 + Es- Ец= ERi + Д(Л7 + R&) ~ ERt, (для контура АВЬСу,
5) Еа- Е3 = RRb - Д(7Д + Rs) (для контура АСс).
Обход по часовой стрелке.
4.5. Метод узловых и контурных уравнений
65
{имер 4.10
Определить токи в примере 4.7 методом узловых и контурных
>внений (схема рис. 4.10) при тех же заданных условиях.
цение
ри выбранном в схеме рис. 4.10 направлении токов составим
бходимое и достаточное количество уравнений по законам
зхгофа:
। /, + 12 + h = 0 или / = - /2 - Л;
г Ei = Ii(Ri + Roi) - I3R3 (обход по часовой стрелке);
I Е2 = I2IR2 + R02) ~ I3R3 (обход против часовой стрелки).
уравнение (2) подставляются значения тока Ц из уравнения
и числовые значения заданных величин. Тогда уравнения (2) и
будут выглядеть так:
35= -2/2-6/3;
70= -/2-4Л.
ля сокращения тока 12 при суммировании уравнений (2) и (3)
числовые значения уравнения (3) умножаются на 2 (два).
) 35= -2/2-6/3;
) 140 = 2Л-8/з.
'езультаты суммирования:
75 = -14/3.
)ткуда /3 =-^ = -12,5 А.
14
1з уравнения (3): /2 = 70+ (—12,5-4) = 20 А.
Рис. 4.12
-7734
66
Глава 4. Методы расчета электрических цепей
И из уравнения (1): I = -20- (—12,5) = —7,5 А.
Очевидно, что полученный результат совпадает с результатом
полученным методом узлового напряжения.
4.6. Метод контурных токов
При расчете сложных цепей методом узловых и контурных
уравнений (по законам Кирхгофа) необходимо решать систему из
большого количества уравнений, что значительно затрудняет вы-
числения.
Так, для схемы рис. 4.13 необходимо составить и рассчитать си-
стему из 7-ми уравнений.
Рис. 4.13
Ту же задачу можно решить, записав только 4 уравнения по
второму закону Кирхгофа, если воспользоваться методом контур-
ных токов.
Суть метода состоит в том, что в схеме выделяют т независимых
контуров, в каждом из которых произвольно направлены (см.
пунктирные стрелки) контурные токи А, /п, Ли, Av- Контурный
ток — это расчетная величина, измерить которую невозможно.
Как видно из рис. 4.13, отдельные ветви схемы входят в два
смежных контура. Действительный ток в такой ветви определяет-
ся алгебраической суммой контурных токов смежных контуров.
Таким образом
Л = Л; Л = 1\\ —1\, 1з- — In, Ia = In + Ani
I5- ~ Aiil 1в = Лп ~ Ini', Л = Av-
Для определения контурных токов составляют т уравнений по
второму закону Кирхгофа. В каждое уравнение входит алгебраи-
ческая сумма ЭДС, включенных в данный контур (по одну сторо-
ну от знака равенства), и общее падение напряжения в данном
контуре, созданное контурным током данного контура и контур-
ными токами смежных контуров (по другую сторону знака равен-
ства).
4.6. Метод контурных токов
67
I данной схемы (рис. 4.13) необходимо составить 4 уравне-
Со знаком «плюс» записываются ЭДС и падения напряже-
нно разные стороны знака равенства), действующие в направ-
ки контурного тока, со знаком «минус» — направленные про-
контурного тока.
кстема уравнений для схемы (рис. 4.13):
Ei = I\ (R01 + Ri + Ri)-IhR2,
Е2 = III (R02 + Ra + R3 + R2 ) - f 1R2 + Ли (R02 + Ra),
Ег + E3 = /in(-^02 + Ra + Re + R03 + Rs) + /11(^02 + Ra)~
-1 iv (R 03 + Re),
4 — E3 = Iiv (Roa + R03 + Re +R7)~Iui(Ro3 + Re)-
гшением системы уравнений вычисляются значения контур-
с токов, которые и определяют действительные токи в каждой
ви схемы (рис. 4.13).
имер 4.11
пределить токи во всех участках сложной цепи (рис. 4.14), если:
= 130 В; £> = 40 В; Е3 = 100 В; R{ = 1 Ом; 7?2 = 4,5 Ом; R3 = 2 Ом;
= 4 Ом; /?5 = 10 Ом; R& — 5 Ом; Rm = 0,5 Ом; Rq\ — R$3 = 0.
шение
'еобходимо составить 3 уравнения по второму закону Кирхго-
для определения контурных токов 1Ь /п и /1П (направление
[турных токов выбрано произвольно
казано пунктирными линиями).
I Ei = 1\(Лл + Ri + R4 + Re) + I111R4 + luRe,
• Ег = Iu(Rq2 + R2+ Rs + Re) ~ ImRs + I\Re>
) E3 = IM, + R3 + R5+ Ra) + I1R4 ~ IiiRs-
Годставляются числовые значения за-
1ных величин
) 130 =/j • 10 +/„]-4 +/ц-5;
) 40 = 1ц-20-7П1-10 + h-5;
) 100 = Ли 16 + 7, -4- Zu -10.
Рис. 4.14
13 уравнения (2) определяется ток I,
/, = 40 1ц 20 + • 10 = 8 _ /и . 4 + /щ . 2. (2')
значение тока Л (выражение (2')) подставляется в уравнение (1):
130 = (8 - /ц-4 + /1П-2) -10 + /щ-4 + 1ц-5 — 80 — 40 1ц + 20 1щ + 4-7щ + 5-1ц
или 50 =/ш-24-/ц-35.
68 Глава 4. Методы расчета электрических цепей
То же значение тока Л подставляется в уравнение (3):
3) 100 = /ш-16 + (8 - 1ц-4 + 7щ-2)-4 — 1ц-10= 16-7щ + 32 — 167ц + 8-/щ — 10
или 68 = /1п-24- /ц-26.
Из полученного уравнения (3) вычитается полученное уравне-
ние (1). В результате получим
18 = 7п-9.
1 о
Откуда контурный ток 1ц = — = 2 А.
Из уравнения (3) определяется контурный ток /П1
т 68 + 1ц • 26 68 + 2-26 д
---------------------24----= ^~24~~ ’5А'
Из уравнения (2') определяется ток Л
1} = 8 — /ц-4 + /1П-2 = 8 — 8 + 10 = 10 А.
Вычисляются реальные токи в заданной цепи:
10 А; /2 = /„ = 2А; 73 = /,п = 5 А;
Д = I] + Im = 10 + 5 = 15 А; Д=/ni — 7ц = 5 — 2 = 3 А;
/б = Ij + In = 10 + 2 = 12 А.
Проверяется правильность решения для 1-го контура (рис. 4.14).
7?i = 717?) + 7}7?4 + /б/Д;
130=10-1 + 15-4+12-5=130 В.
Решение правильное.
Такую же проверку можно произвести и для других контуров
(2-го и 3-го):
£) = Д(7?1 + Ло2)— Д7Д + ДЛб
или 40 = 2-5-3-10+12-5 = 40 В.
£з = 7з(Л3 + ТДз) + I4R4 + /5Л5
или 100 = 5-2- 15-4 + 3-10= 100 В.
Проверка показала правильность решения.
4.7. Метод эквивалентного генератора
Метод эквивалентного генератора рационально применять в
случае необходимости определения тока (напряжения, мощности
и др.) только одной ветви сложной электрической цепи.
Для этой цели разбивают сложную электрическую цепь на две
части — на сопротивление R, ток которого 7 нужно определить, и
всю остальную цепь, ее называют активным двухполюсником, так
4.7. Метод эквивалентного генератора
69
t эта часть имеет две клеммы А и В, к которой и подключается
Противление R (рис. 4.15).
жтивным этот двухполюсник называют потому, что в нем име-
д источник ЭДС. Этот активный двухполюсник обладает опре-
[енной ЭДС £эк и определенным внутренним сопротивлением
и называется эквивалентным генератором.
’ок в резисторе с сопротивлением R определяют по закону Ома
Аэк + R
Гаким образом, определение тока I сво-
вгся к вычислению ЭДС эквивалентного
Кератора £эк и его внутреннего сопро-
вления 7?зк.
Величина ЭДС Еэк определяется любым
кодом расчета цепей постоянного тока
росительно точек А и В при разомкну-
К клеммах, т. е. в режиме холостого хода. Практически эту ЭДС
ясно измерить вольтметром, подключенным к клеммам А и В
Ш холостом ходе.
Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора 7?эк вы-
юляется относительно точек А и В после предварительной
мены всех источников сложной схемы эквивалентного генера-
ла их внутренними сопротивлениями.
Практически для определения внутреннего сопротивления эк-
[валентного генератора измеряют амперметром ток между точ-
Ьми А и В работающего двухполюсника при коротком замыка-
1И, так как сопротивление амперметра настолько мало, что им
*>жно пренебречь. Тогда
Яэк = -^-. (4.Ю)
•* КЗ
ie UM — напряжение холостого хода, /кз — ток короткого замыка-
Такой метод практического определения внутреннего сопро-
гвления эквивалентного генератора R3K называется методом хо-
>стого хода и короткого замыкания.
Расчет параметров эквивалентного генератора, его ЭДС Еж и
^утреннего сопротивления 7?эк, рассматриваются в примерах 4.12
4.13.
ример 4.12
Определить ток в сопротивлении R}, подключенном к точкам А
В электрической цепи (рис. 4.8а) примера 4.6 методом эквива-
SHTHoro генератора.
70
Глава 4. Методы расчета электрических цепей
а)
б)
Рис. 4.16
Решение
Для определения тока I в сопротивлении определим ЭДС эк- I
Бивалентного генератора Еж (рис. 4.16а) и его внутреннее сопро-
тивление 7?эк (рис. 4.166) при холостом ходе, т. е. разомкнутой цепи
(между точками А и В).
Еэк. - иАс - Uвс .
Знак «минус» обусловлен тем, что источники в схеме включены
встречно и потенциал в точке А больше потенциала в точке В, так
как > Е2 (см. пример 4.6).
Напряжение
UtC - ^2 В 2 =
EiR2
Roi + r2 + Ri
40 10
0,4 + 10 + 3,6
= 28,6 В.
Напряжение
Следовательно, Еж = Uac - Уве =28,6-21,4 = 7,2 В.
Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора
= (^ai + + R} (RQ2 + 7?5) _
7?2+-^О1 + 7?4 R2 + R 02 + R 5
Ю-(0,4+ 3,6) 10-(0,4+ 3,6) _ . __ _
10 + 0,4 + 3,6 10 + 0,4 + 3,6
4.7. Метод эквивалентного генератора 71
:ой же ток получен в примере 4.6 на сопротивлении В.
имер 4.13
схеме рис. 4.17а сопротивления плеч моста равны 7?i= 1 Ом;
= В — 2 Ом.
^противление гальванометра 7?г = 98,33 Ом, ЭДС источника
; 12 В; Л)И = 0. Методом эквивалентного генератора определить
в ветви гальванометра (между точками А и В).
Рис. 4.17
ешение
Для определения тока в цепи гальванометра /г методом эквивален-
ого генератора необходимо вычислить ЭДС эквивалентного гене-
тора Еж между точками А и В (рис. 4.176) и внутреннее сопротив-
ние эквивалентного генератора Дэк относительно точек А и В при
сутствии гальванометра, заменив в схеме (рис. 4.17в) источник
IC его внутренним сопротивлением (Д)и = 0) равным нулю.
72
Глава 4. Методы расчета электрических цепей
Для определения ЭДС эквивалентного генератора £эк принима,
ют потенциал точки С схемы (рис. 4.176) равным нулю, т. е. <рс=о
Тогда 'i
Еж - Uba = ^>b~4>a=(E„-I]R1)-(E„-IaRa) =
-(.г. -тггтгя^-(Е~
Л 1 + Л 2 А4+Л3
= (12 __12_.i)_(i2 __11_.2) =2В.
v 1+2 1 v 2+2 7
При замене источника ЭДС £„ его внутренним сопротивле-
нием, равным нулю, замыкаются накоротко точки С и D схемы
(рис. 4.17в). При этом (рис. 4.17г) сопротивления R3 и Л» соедини 1
ны между собой параллельно. Также параллельно соединены '
между собой сопротивления R} и R2. Между точками А и В сопро- 1
тивления 7?1д и /?3,4 соединены последовательно. Следователь- 1
но, сопротивление эквивалентного генератора относительно то- ;
чек А и В будет равно
7?зк = 2 +4 =+ RzR- =1-^- + 2д2_=1)67 Ом.
/?! + R2 R3 + /?4 1+2 2 + 2 J
Тогда ток в ветви с гальванометром, который направлен из точ-i
ки В в точку А, т. е. из точки с большим потенциалом в точку с |
меньшим потенциалом (рис. 4.17а), будет равен
I = —-----=------2----= о, 02 = 2 10 -2 А.
Яг+Яэк 98,33 + 1,67 I
Глава 5
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
5.1. Основные понятия
елинейными называются цепи, в которые включены нелиней-
> элементы (нэ).
цемент электрической цепи, сопротивление которого зависит от
Шины и направления тока в нем или от напряжения на его за-
йцах, называется нелинейным. Нелинейными такие элементы
ываются потому, что их вольт-амперная характеристика (т. е.
зсимость тока от напряжения, приложенного к элементу)
{U) — нелинейная. Виды нелинейной зависимости показаны
)ис. 5.26, 5.36, 5.46 и др.
римерами нелинейных элементов могут служить электронные
: газонаполненные лампы, полупроводниковые приборы, лам-
накаливания и пр.
нелинейную цепь наряду с нели-
ными элементами могут быть
ючены линейные. Сопротивление
[ейных элементов практически не
исит от тока или напряжения (рези-
р). Вольт-амперная характеристика
1ейного элемента — прямая линия,
)ходяшая через начало координат,
[ку О (рис. 5.1).
торую точку (точку А) для построе-
I вольт-амперной характеристики
зейного элемента определяют вычислением тока Г в линейном
менте при произвольно выбранном напряжении U', придо-
нном к этому элементу, т. е. Г = U-, где R- заданное сопротив-
!ие линейного элемента — величина постоянная.
алитический расчет нелинейных цепей весьма сложен, так как
противление нелинейного элемента — непостоянная величина,
висящая от величины тока. Таким образом, в уравнении зако-
; Ома (/ = —) две переменные величины. Поэтому при расчете
линейных цепей к нелинейным элементам не применим закон
ча ни для участка, ни для замкнутой нелинейной цепи.
74
Глава 5. Нелинейные электрические цепи постоянного тока
Для расчета нелинейных цепей рационально использовать гра.
фо-аналитический метод, который предусматривает построение
суммарной вольт-амперной характеристики цепи. По суммарной
характеристике и характеристикам элементов определяются ис-
комые величины (обычно токи и напряжения).
Построение суммарной вольт-амперной характеристики нели-!
нейной цепи зависит от схемы соединения элементов нелиней- :
ной цепи и производится по заданным вольт-амперным характе-
ристикам нелинейных элементов и построенным характеристи-
кам линейных элементов, если они включены в цепь.
Кроме того, если в нелинейной цепи имеется линейный
элемент, то расчет нелинейной цепи можно производить построе-
нием так называемой нагрузочной характеристики (рис. 5.36).
5.2. Неразветвленная нелинейная цепь
В неразветвленной нелинейной электрической цепи все эле-
менты соединены последовательно и по всем элементам проходит
одинаковый ток (рис. 5.2а).
Для расчета цепи с последовательно соединенными нелинейны-
ми элементами НЭ1 и нэ2 по заданным вольт-амперными характе-
ристикам этих элементов строится суммарная вольт-амперная ха-
рактеристика нелинейной цепи (рис. 5.26).
При последовательном соединении элементов для построе-
ния суммарной вольт-амперной характеристики суммируются
абсциссы (напряжения) вольт-амперных характеристик эле-
ментов при различных токах (например, в точках 1, 2, 3, 4
рис. 5.26).
Зная напряжение, приложенное к цепи ((/'), по суммарной
вольт-амперной характеристике (точка А) определяем ток в нели-
5.2. Неразветвленная нелинейная цепь
75
ной цепи (/'). Этот ток создает падение напряжения на пер-
элементе Ui (точка Q и на втором элементе £72 (точка В).
Ьли же задан ток Г в рассматриваемой цепи, то по суммарной
Е>т-амперной характеристике можно найти напряжение цепи
[(точка А) и напряжение на элементах Ui и С/2 (точки С и В).
Г нелинейных элементов различают статическое R„ и динами-
ЙКое 7?дин сопротивления.
Статическое сопротивление Л;Т - это сопротивление нелиней-
jpo элемента в режиме работы цепи, т. е. сопротивление нели-
чного элемента в определенной точке его вольт-амперной ха-
ктеристики.
1 7?ст = ^. (5.1)
Вычислить статические сопротивления нелинейных элементов
режиме работы рассматриваемой цепи, т. е. сопротивления для
рек С и В вольт-амперных характеристик (при токе /' -
to. 5.26), можно следующим образом:
Динамическое сопротивление нелинейных элементов (7?днн) в
Ькиме работы цепи определяется как
Ядин = ^> (5-2)
а/
|е dU- бесконечно малое приращение напряжения (определяет-
Е по вольт-амперным характеристикам нелинейных элементов
точек С и В), a di - бесконечно малое приращение тока у этих
>чек.
Если в неразветвленную нелинейную цепь включен линейный
Еемент с заданным сопротивлением R, то для расчета такой не-
йнейной цепи можно произвести суммирование абсцисс (напря-
Сний) всех элементов цепи, включая линейный, построив пред-
фительно его вольт-амперную характеристику в той же системе
Эординат (рис. 5.1).
По суммарной вольт-амперной характеристике нелинейной
впи определяется режим работы цепи и ее элементов.
Для расчета нелинейной цепи с последовательно включен-
ым линейным элементом с сопротивлением R (рис. 5.3а) мож-
о воспользоваться построением нагрузочной характеристики
)ис. 5.36).
Нагрузочная характеристика представляет собой прямую ли-
ню, проведенную через две точки А и В (рис. 5.36). Точка А рас-
76
Глава 5. Нелинейные электрические цепи постоянного тока
положена на оси ординат (ток). Точка В — на оси абсцисс (напря-
жение).
Построение нагрузочной характеристики осуществляется с ис-
пользованием двух уравнений (5.3 и 5.4) для рассматриваемой
цепи в системе координат I=j{U)
Um =U'-UR=U’-I'R. (5.3)
Откуда Г = —- ^2-. (5.4)
R R R
Точка В соответствует величинам /' = 0 и Um = U' (см. (5.3)).
Точка А соответствует величинам 1/нэ = 0 и Г = U'/R (см. (5.4)).
При построении в тех же координатных осях заданной вольт-
амперной характеристики нелинейного элемента отмечается точ-
ка пересечения С этих характеристик, которая является единст-
венно возможной при заданном режиме работы цепи:
отрезок DC — ток цепи
отрезок OD - напряжение на нелинейном элементе — <7НЭ,
отрезок DB — напряжение на линейном элементе R — UR
Такой метод расчета неразветвленных нелинейных цепей назы-
вается методом пересечений.
На рис. 5.36 можно проследить изменения режима работы цепи
(/'; U„3\ UR) при изменениях напряжения сети U' (пунктирные ли-
нии). На том же рисунке показаны изменения режима работы
цепи при изменении сопротивления линейного элемента R (пере-
мещение точки С на рис. 5.36).
Если точка А, соответствующая измененному значению на-
пряжения сети U' или сопротивления линейного элемента В
(см. (5.4)), выходит за пределы графика (рис. 5.36), то определяют
5.3. Разветвленная нелинейная цепь
77
i р, который нагрузочная характеристика (прямая) составляет
ртикалью, проведенной из точки В (на оси U), соответствую-
j напряжению сети U', т. е.
м„ м, / м» м„
М/
М,
р = arctg/T-^-
(5-5)
М/-принятый на графике масштаб тока; Му- принятый на
£ике масштаб напряжения; U" - произвольно выбранное на-
жение (например, U')\ Г' - ток, соответствующий напряже-
э U" и сопротивлению R", т. е.:
( г, = U"
R"'
,'огда нагрузочную характеристику из точки В доводят только до
(юсечения с вольт-амперной характеристикой нелинейного
[мента (точка С рис. 5.36) и определяют режим работы цепи,
зтветствующий измененному значению сопротивления линей-
Го элемента R или напряжения сети U'.
5.3. Разветвленная нелинейная цепь
J разветвленной нелинейной электрической цепи нелинейные
ементы могут быть соединены параллельно. При параллельном
единении нелинейных элементов напряжение на всех элемен-
: будет одинаковым.
[ля расчета цепи с параллельным соединением нелинейных
ментов нэ1 и нэ2 (рис. 5.4а) строится суммарная вольт-ам-
>ная характеристика цепи по заданным вольт-амперным харак-
Рис. 5.4
78
Глава 5. Нелинейные электрические цепи постоянного тока
теристикам нелинейных элементов, при этом суммируются орд и.
наты (токи), соответствующие различным значениям напряже-
ний (точки 1, 2, 3, 4 на рис. 5.46).
При заданном значении тока в неразветвленной части нелиней-
ной цепи Г по суммарной вольт-амперной характеристике (точка
А) можно определить напряжение цепи U'. Это напряжение со-
здает ток в первом элементе (точка Q и во втором элементе /г
(точка В).
Если задано напряжение U', приложенное к элементам, то по
суммарной вольт-амперной характеристике определяется ток в
неразветвленной части цепи (точка Л), а по вольт-амперным ха-
рактеристикам элементов определяются токи Л и 12 (точки С и В
рис. 5.46).
Включение в нелинейную цепь линейного элемента не меняет
характера и порядка расчета.
5.4. Нелинейная цепь со смешанным
соединением элементов
Расчет нелинейной цепи при смешанном соединении элемен-
тов (в общем виде) рассмотрен на примере 5.1 (рис. 5.5).
Пример 5.1
По заданному напряжению цепи U' требуется определить токи
Г, Ii и Ir, напряжения на участках Ui и UAB (рис. 5.5а), а также со-
противления нелинейных элементов в заданном режиме работы
цепи. Заданы вольт-амперные характеристики нелинейных элемен-
тов нэ; и нэ2 (рис. 5.56) и сопротивление линейного элемента R.
Решение
По заданному сопротивлению R линейного элемента строится
вольт-амперная характеристика этого элемента (см. рис. 5.1). Ли-
нейный элемент с сопротивлением R включен параллельно с не-
Рис. 5.5
5.5. Стабилизаторы тока и напряжения
79
!Йным элементом нэ2, и суммарная вольт-амперная характери-
:а для участка АВ цепи (LAB) строится так же, как на рис. 5.46
суммируются ординаты (токи) характеристик H3j и R).
асток АВ соединен последовательно с нелинейным элемен-
нэь Суммарная вольт-амперная характеристика цепи (2)
ится так же, как на рис. 5.26.
ая напряжение цепи U', по суммарной характеристике цепи
ка К) определяется ток в неразветвленной части цепи Г
с. 5.56). Этот ток создает падение напряжения Ui (точка Q и
на параллельном участке (точка Е).
[апряжение на участке АВ (UAB) в разветвленной цепи создает
и Д (точка D) и IR (точка L).
предел ив напряжения и токи нелинейных элементов, можно
оделить статические сопротивления этих элементов в задан-
4 режиме работы цепи
r,~t- R,-~r-
аким образом, по вольт-амперным характеристикам соединен-
х смешанно элементов и их суммарным характеристикам мож-
определить все параметры нелинейной цепи (A; IR, Г', U}; UAB,
, если задан хотя бы один из этих параметров (рис. 5.56).
5.5. Стабилизаторы тока и напряжения
сть такие нелинейные элементы, вольт-амперная характеристи-
которых имеет участки, параллельные оси абсцисс или оси ор-
яат (рис. 5.6). Такие нелинейные элементы применяют в качест-
стабилизаторов тока (рис. 5.6а) и стабилизаторов напряжения
IC. 5.66).
Рис. 5.6
80 Глава 5. Нелинейные электрические цепи постоянного тока
В качестве стабилизатора тока можно использовать, например
бареттер (стальная нить в атмосфере водорода). На участке В’ В'
(рис. 5.6а) характеристика бареттера почти параллельна оси абс-
цисс. Если бареттер включить последовательно с участком «д
цепи (рис. 5.8), то ток / цепи почти не изменяется при изменении
напряжения или сопротивления (рис. 5.6а) — бареттер стабилизи-
рует ток в цепи.
Эффективность стабилизации характеризует коэффициент ста-
билизации, показывающий, во сколько раз относительное изме- j
нение тока А/меньше относительного изменения напряжения A U\
Рис. 5.7
Для стабилизации напряжения применяют газоразрядные или
полупроводниковые (кремниевые) стабилизаторы. Рабочий учас-
ток В'В" вольт-амперной характе-
ристики стабилизатора напряжения
почти параллелен оси ординат
(рис. 5.66). Стабилизатор напряже-
ния включается параллельно сопро-
тивлению R, на котором он стабили-
зирует напряжение.
Последовательно с разветвленным
участком (ab) включается балластное
сопротивление R^ (рис. 5.7).
Как видно из рис. 5.66, измене-
ние балластного сопротивления R^ в определенных пределах от
/' = —до /" = —почти не вызывает изменения напряжения на
К 5 К б
стабилизаторе и, следовательно, на нагрузке R (Uab на рис. 5.7).
Пример 5.2
Для стабилизации напряжения и тока накала электронной лам-
пы (4 В; 1 А) включен бареттер Б (рис. 5.8а), вольт-амперная ха-
рактеристика которого приведена на рис. 5.86.
Определить все токи и напряжения на бареттере Ut и нити нака-
ла U2, если напряжение сети U= 10 В, а сопротивление 2?1 = 4 Ом.
Определить пределы изменения напряжений сети, при которых
ток цепи / остается практически неизменным.
Решение
Масштаб напряжения на графике Му =2 В/см.
Масштаб тока на графике принят М/= 1 А/см.
Нагрузочная характеристика строится в координатах: (/=10 В:
5.5. Стабилизаторы тока и напряжения
81
= — = — = 5 А, так как R = — 2— = —-А = 2 Ом, где сопротив-
R 2 /?, +R2 4 + 4
ние нити накала лампы R2 = - = 4 Ом.
Следовательно, точка пересечения вольт-амперной характе-
[стики бареттера и нагрузочной характеристики В (рис. 5.86)
геет координаты U} = 6 В, а ток цепи 1=2 А. Напряжение
= 10-6 = 4 В, а токи Zri = 1®. = — - —— = - = 1 А.
R\ Ri 4
'Загрузочная характеристика проведена под углом р к оси орди-
т, т. е.
0 = arctgT? • —— = arctg2 • - = arctgl = 45 °.
Му 2
Загрузочные характеристики, соответствующие пределам изме-
нил напряжений сети, при которых ток цепи / остается практи-
ски неизменным (1=2 А), проводятся параллельно основной
грузочной характеристике под углами 0’ = 0 = 0” = 45° к оси ор-
нат.
Таким образом, как следует из графиков рис. 5.86, эти напряже-
ия соответственно равны
t/min = 6 В, tU=13 В.
Глава 6
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И ИХ РАСЧЕТ
6.1. Электрическая емкость
Если проводник А получит какой-либо заряд Q, то этот провод-
ник создает электрическое поле. Электрическое поле, созданное
проводником А, обладает энергией, которая и характеризует по-
тенциал проводника <р. Очевидно, изменение заряда проводника
вызывает аналогичное изменение его потенциала. Таким обра-
зом, между зарядом проводника и его потенциалом существует
прямая пропорциональность, которую можно записать следую-
щим уравнением:
е=сФ, (6.1)
где С - коэффициент пропорциональности, который и называет-
ся электрической емкостью проводника.
Из (6.1) следует, что электрическая емкость проводника
То есть электрическая емкость проводника характеризуется заря-
дом Q, который необходимо сообщить проводнику, чтобы его потен-
циал изменился на единицу.
Единицей измерения емкости является фарад
61 Кл
Ф В
К] =
= Ф (фарад).
Фарад — большая единица. Например, электрическая емкость
проводника под названием «земля» не превышает 0,7 Ф. Поэтому
на практике емкость измеряется в микрофарадах, нанофарадах и
пикофарадах.
Электрическая емкость проводника характеризует способность
проводника накапливать электрический заряд, изменяющий его
потенциал на единицу (на 1 В).
Емкость проводника не зависит от заряда Q, сообщенного про-
воднику, так как изменение заряда Q вызовет пропорциональное
1
изменение потенциала проводника <р, а их отношение остается
неизменным (6.2). (Емкость 5-литрового баллона не зависит от
количества жидкости, заполняющей баллон.)
6.2. Конденсаторы
83
Емкость проводника не зависит также от материала и массы
неводника.
Емкость проводника зависит от:
1) площади поверхности проводника, так как заряды располага-
ется на поверхности проводника;
7) среды, в которой находится проводник. Например, если про-
бник перенести из воздуха в минеральное масло, его емкость
уединится в 2,2 раза, так как диэлектрическая проницаемость
(инерального масла ег=2,2 (см. Приложение 2);
83) близости других проводников. Если рядом с проводником в
^ределенной среде расположен еще один проводник, то емкость
йстемы этих двух проводников будет гораздо больше, чем сумма
Йкостей каждого из этих проводников в этой среде. На этом
ринципе устроены электрические конденсаторы.
6.2. Конденсаторы
Конденсатор представляет собой два проводника, разделенных ди-
хектриком.
Емкость конденсатора характеризуется зарядом, который нуж-
о сообщить одному из проводников конденсатора для того, что-
Ы разность потенциалов между проводниками конденсатора (на-
ряжение) изменилась на единицу.
с_ Q _Q
Ф1 — Ч>2 и
(6.3)
Если одному из проводников конденсатора (обкладке) сооб-
гить электрический заряд Q определенного знака (например,
Q), то вокруг этого проводника образуется электрическое поле,
юд действием которого в другом проводнике (обкладке) проис-
одит разделение зарядов (электростатическая индукция) и заряд
акого же знака и величины «уходит в землю» или на отрицатель-
[ую клемму источника (рис. 6.1). В результате на проводнике, ко-
орому не сообщен заряд, остается заряд противоположного зна-
э, «минус», по величине такой же, как и сообщенный первому
[роводнику, заряд, т. е. —Q.
Таким образом, за счет электростатической индукции провод-
[ики (обкладки) конденсатора, изолированные друг от друга, по-
учают равные по величине, но противоположные по знаку заря-
;ы (+0и — Q) и разные потенциалы ф] и ip2- Следовательно, между
(роводниками (обкладками) конденсатора появляется напряже-
те и=ц>1~ <р2.
Различают естественные и искусственные конденсаторы.
Естественными конденсаторами являются
провода электрической сети, две жилы кабе-
ля, жила кабеля и его броня, провода воздуш-
ной линии электропередачи относительно
земли, электроды электронной лампы и др.
Естественные конденсаторы специально не
создаются, их емкость определяется конст-
рукцией электрических устройств, но ее не-
обходимо учитывать при расчетах, монтаже и
эксплуатации электротехнических и радио-
технических устройств.
Искусственные конденсаторы изготавлива-
ют специально. В зависимости от диэлектри-
ка различают воздушные, бумажные, керамические, слюдяные,
электролитические и другие виды конденсаторов. Каждый искус-
ственный конденсатор обладает определенной емкостью С и рас-
считан на определенное рабочее напряжение Up (оба параметра
указаны на корпусе конденсатора). Искусственные конденсаторы
нашли широкое применение в энергетике, автоматике, радиотех-
нике, электронике, в схемах электрических фильтров, усилите- i
лей, стабилизаторов, колебательного контура, улучшения коэф-
фициента мощности и т.д.
Конденсаторы могут служить для накопления и сохранения
электрического поля и его энергии (так как проводимость диэ-
лектриков конденсаторов ничтожно мала).
Широко используются конденсаторы как постоянной, так и пе-
ременной емкости.
6.3. Соединение конденсаторов
Параллельное соединение конденсаторов
Конденсаторы, как и резисторы, могут соединяться последова- [
тельно, параллельно и смешанно.
При параллельном соединении конденсаторов к каждому кон-
денсатору приложено одинаковое напряжение U, а величина за-
ряда на обкладках каждого конденсатора Q пропорциональна его ;
емкости (рис. 6.2).
Рис. 6.2
Qi-UQ-, Q2=UC2, Q3=UC2.
Общий заряд Q всех конденсаторов
Q — Qi + Qi + Qi — + С2 + Сз)
6.3. Соединение конденсаторов
85
Q =
и
(6.4)
)бщая емкость С, или емкость батареи, параллельно включенных
(денсаторов равна сумме емкостей этих конденсаторов. Очевид-
^что параллельное подключение конденсатора к группе других
точенных конденсаторов увеличивает общую емкость батареи
X конденсаторов.
ели параллельно включены т одинаковых конденсаторов ем-
тью С' каждый, то общая (эквивалентная) емкость батареи
X конденсаторов может быть определена выражением
'т .
(6-5)
(ледовательно, параллельное соединение конденсаторов при-
мется для увеличения емкости.
Последовательное соединение конденсаторов
последовательно соеди-
конденсаторы подклю-
источнику постоянного
ели
>ные
ъ к
<а с напряжением U (рис. 6.3),
: напряжение источника окажет-
приложенным к внешним об-
адкам крайних конденсаторов
Q — к левой обкладке конденсатора Сь а — Q — к правой об-
адке конденсатора С3). На вторых пластинах (обкладках) после-
вательно включенных конденсаторов и С3 тот же заряд Q, но
Противоположными знаками появится за счет электростатиче-
эй индукции (рис. 6.1). На обкладках конденсатора С2 появятся
>яды +Q и -Q за счет того, что заряд +Q перешел с правой об-
адки конденсатора Q (рис. 6.1), а — Q появился за счет электро-
ггической индукции или за счет перехода электронов (заряд — Q)
|1евой обкладки конденсатора С3.
Таким образом, на обкладках последовательно соединенных
«денсаторов, подключенных к источнику постоянного тока с
(Пряжением U, появятся заряды одинаковые по величине с
ютивоположными знаками. Напряжение на конденсаторах
определяется обратно пропорционально емкостям конденса-
ров:
+Qu-Q +2|г£ +QilG
с," с2"
Ц и2
Сз
и,
и
Рис. 6.3
£7, и2 = -^~ и и, =
с> 2 с, с3
(6.6)
86
Глава 6. Электростатические цепи и их расчет
По второму закону Кирхгофа
U = Ux + Уг + U. = Q
Откуда и = ± + _L + _L=X.
Q С\ С2 Сз С
(6.7)
Обратная величина общей емкости последовательно соединенных
конденсаторов равна сумме обратных величин емкостей этих кон-
денсаторов.
Из выражения (6.7) следует, что емкость батареи последователь-
но включенных трех конденсаторов Сь С2 и С3 (см. рис. 6.3) опре-
деляется выражением
q ____________С]С2 С3_______
1,2,3 ~С2С3 +С,Сз +ctc2 ’
При последовательном включении двух конденсаторов
щая емкость определяется следующим выражением:
(6.8)
их об-
(6.9)
Если в цепь включены последовательно п одинаковых конден-
саторов емкостью С каждый, то общая емкость этих конденса-
торов:
C = Y' (6,10)
Из (6.10) видно, что, чем больше конденсаторов п соединено
последовательно, тем меньше будет их общая емкость С, т. е. по-
следовательное включение конденсаторов приводит к уменьше-
нию общей емкости батареи конденсаторов. Зачем же последова-
тельно включать конденсаторы, если это приводит к уменьшению
общей емкости этих конденсаторов?
На практике может оказаться (пример 6.1), что допустимое ра-
бочее напряжение Uv конденсатора меньше напряжения, на кото-
рое необходимо подключить конденсатор. Если этот конденсатор
подключить на такое напряжение, то он выйдет из строя, так как
будет пробит диэлектрик. Если же последовательно включить не-
сколько конденсаторов, то напряжение распределится между
ними (6.6) и на каждом конденсаторе напряжение окажется мень-
ше его допустимого рабочего t/p. Следовательно, последовательное
соединение конденсаторов применяют для того, чтобы напряжение
на каждом конденсаторе не превышало его рабочего напряжения UP
(пример 6.1).
6.3. Соединение конденсаторов
87
Смешанное соединение конденсаторов
мешанное соединение (последовательно-параллельное) кон-
саторов применяют тогда, когда необходимо увеличить ем-
ть и рабочее напряжение батареи кондексаторов.
ассмотрим смешанное соединение конденсаторов на ниже-
гведенных примерах.
имер 6.1
/участку цепи с напряжением (7=380 В необходимо подклю-
ъ емкость С= 18 мкФ. Имеются конденсаторы емкостью
с 8 мкФ, рассчитанные на напряжение (7Р = 100 В каждый,
элько нужно таких конденсаторов и как их соединить?
шение
дя того чтобы напряжение на каждом конденсаторе не превы-
по его рабочего Uv, на заданное напряжение (7=380 В необхо-
40 соединить последовательно 4 конденсатора.
я=_^_ = 380«4.
ир 100
мкость этой группы, состоящей из 4 последовательно соеди-
нных конденсаторов, равна СП0Сл = — = т = 2 мкФ.
п 4
1дя получения емкости С= 18 мкФ необходимо включить
раллельно 9 таких последовательно соединенных групп
а —- = — = 9. Следователь-
j С поел 2
», необходимо иметь к =
пт = 4 9 = 3 6 конденсаторов
' соединить их смешанно
Йс. 6.4).
ример 6.2
Конденсаторы, емкости ко-
рых Ci = 2 мкФ; С2 = 1 мкФ;
= 2 мкФ; С4 = 6 мкФ; С5 =
4 мкФ, соединены по схеме
ю. 6.5 и подключены к ис-
«чнику с постоянным напря-
ением (7= 100 В.
’Определить общую емкость
>нденсаторов С, заряд и
Горгию электрического поля
Ждого конденсатора и всей
пи.
88
Глава 6. Электростатические цепи и их расчет
Решение
С3,4 = 7Д^г-=^-4=1,5мкФ=1,510-6 Ф.
С3 + С4 2 + 6
Ci_2 = Ct+C2 = 2 + 1 = 3 мкФ = 3-10 6 Ф.
г С1>2Сз 4 3 1,5 Л 6
С1-4 = —----— = -—= 1 мкФ =110 Ф.
С1,2+С3,4 3 + 1,5
Общая емкость конденсаторов (см. рис. 6.5)
С=С5+С1-4= 4= 1 = 5 мкФ = 510-6 Ф.
Заряды в параллельных ветвях распределяются пропорцио-
нально емкостям ветвей
(21-4 = С,_^0= 1 • 10"6-100 = 10"4 Кл;
(2з = С50=41О"6-1ОО = 41О~4 Кл.
Заряд 0]-4 создает напряжения:
01 = u2 =^±=U0± = 33,3 В; 03 =^к£ = 11°~4 = 50 В;
С1,2 3-Ю'6 Сз 2 10"6
^ = %=*- = тЦтт = 16’7 В <так как ft = а = Gi-4).
^4 О • 10
Заряды конденсаторов С} и С2:
(21=С101 = 21О-6-33,3 = 66,6 1О‘6 Кл;
02= С202= 1-10'6-33,3 = 33,3-10"6 Кл.
Пример 6.3
Напряжение на параллельно включенных конденсаторах С\
и С2 равно 0j = 02= 120 В (см. рис. 6.5). Определить напряжение
на каждом конденсаторе и напряжение всей цепи, используя ве-
личины емкостей примера 6.2.
Решение
Заряд пары (С) и С2) параллельно включенных конденсаторов
21,2= G.20 = ЗЮ"6-120 = 3,6- Ю"4 Кл.
Такой же заряд имеют конденсаторы С3 и С4, соединенные по-
следовательно с парой конденсаторов С, и С2, т. е.
2з= 04 =(21,2 = 3,6-10"4 Кл.
Тогда напряжение на конденсаторах С3 и С4 будет равно
Сз 2 10“6
£,4.^.у_ю;..60В.
С 4 6Ю~б
6.4. Емкость и энергия конденсаторов
89
тт 01,2 3,6 IO"4 -,nR
k напряжение всей цепи U =----=-----—— = 360 В.
С1-4 110°
>то же напряжение можно определить по второму закону
рхгофа: U= Uv + U3 + U< = 120 + 180 + 60 = 360 В.
Гакое же напряжение приложено к конденсатору С5, т. е.
= [/=380 В.
6.4. Емкость и энергия конденсаторов
4з искусственных конденсаторов большое распространение
лучили плоские конденсаторы. Плоским называют конденса-
р, у которого обкладки представляют собой параллельно распо-
женные пластины (рис. 6.6), разделенные диэлектриком.
Пренебрегая искажени-
I поля у краев пластин,
ектрическое поле между
1астинами можно счи-
ть однородным.
Из выражений (1.9),
.11) и (1.13) определяет-
I емкость плоского кон-
мсатора.
Поток вектора напря-
5нности через площадь 5
Q
Рис. 6.6
N = ES =
So£r
Откуда заряд пластины Q= ES^zr.
С другой стороны, та же напряженность однородного электри-
:ского поля между пластинами конденсатора согласно (1.13)
1вна £ = —, откуда напряжение между пластинами U=Ed.
d
Емкость конденсатора согласно (6.3)
с _ Q Е5еоег
" U ~ Ed
Следовательно, емкость плоского конденсатора
/>Еа
d ’
(6.11)
;е 5 — площадь пластины плоского конденсатора; Еа = £0Ег —
>солютная диэлектрическая проницаемость диэлектрика кон-
щсатора; d — расстояние между пластинами конденсатора.
90 Глава 6. Электростатические цепи и их расчет
Таким образом, емкость плоского конденсатора пропорциональна
площади пластины конденсатора, абсолютной диэлектрической
проницаемости диэлектрика конденсатора и обратно пропорциона-
льна расстоянию между пластинами конденсатора (толщине ди-
электрика).
Из выражения (6.11) следует, что емкость плоского конденсато-
ра можно увеличить за счет уменьшения расстояния между плас-
тинами конденсатора d. Однако такое увеличение емкости приве-
дет к уменьшению допустимого рабочего напряжения конденса-
тора с/р.
Из (6.11) следует, что, чем больше диэлектрическая проницае-
мость диэлектрика £а, тем больше емкость конденсатора с опреде-
ленными S и d.
Из (6.11) также следует, что емкость плоского конденсатора
можно увеличить за счет увеличения площади пластин конденса-
тора 5. Однако такое увеличение емкости С рационально осуще-
ствлять в конденсаторах с эластичным диэлектриком, например
бумажных. Бумажный конденсатор представляет собой две стани-
олевые ленты с парафинированной бумагой (диэлектрик) между
ними. Заготовка свертывается в рулон и помещается в кожух. Та-
ким образом значительное увеличение площади пластин (станио-
левых лент) незначительно увеличивает габариты конденсатора.
В искусственных конденсаторах с хрупким диэлектриком (на-
пример, слюдяных) увеличение площади пластин S нерациональ-
но, так как это приведет к пропорциональному увеличению габа-
ритов конденсатора.
Рис, 6.8
Для увеличения емкости конденса-
торов с хрупким диэлектриком по-
следние делают многопластинчатыми
(рис. 6.7).
При незначительном увеличении га-
баритов емкость таких конденсаторов
увеличивается в (л - 1) раз, т. е.
С=^1^(д-1),
d
(6.12)
где п — количество пластин многопла-
стинчатого конденсатора; (л - 1) — ко-
личество параллельно включенных
конденсаторов, подключенных к двум
клеммам (+ и —).
Многопластинчатыми рационально
делать конденсаторы переменной ем-
кости, преимущественно воздушные.
6.4. Емкость и энергия конденсаторов
91
ели между пластинами конденсатора расположены два диэ-
трика и поверхность раздела их параллельна пластинам
с. 6.8), то такой плоский конденсатор можно рассматривать
: два последовательно соединенных плоских конденсатора,
'оверхность раздела диэлектриков эквипотенциальна, и внесе-
• тончайшего металлического листа вдоль этой поверхности
саких изменений в электрическом поле не вызывает, так как
бое проводящее тело в электрическом поле эквипотенциально
Биопотенциал ьно).
ёмкости этих конденсаторов
С] = =5ео£2 (6.13)
di d2
L общая емкость плоского конденсатора с двухслойным диэлек-
ikom равна
С = -С1(?2- = S —е°-£1£2—. (6.14)
С] + С2 £1^2 + £ 2d 1
При последовательном соединении заряды конденсаторов оди-
1ковы:
Q=Ql = Q2=CiU} = C2U2=CU.
Тогда напряжения на конденсаторах:
Ux = U2 = (6.15)
С I С 2
Подставив в выражение (6.15) соответственно (6.13) и (6.14),
элучим значения напряжений
UX=U-----; U2 = U--------------------. (6.16)
£1^2 + £2^1 £[d2 +£2d\
Напряженности электрического поля в диэлектриках конденса-
тов
Ех = ; Е2 = U——. (6.17)
d\ £\d2 + z2d\ d2 tid2 + e2dx
'Используя (6.17), получим
Следовательно, напряженности полей в диэлектриках конденса-
тора с двухслойным диэлектриком обратно пропорциональны их диэ-
ектрическим проницаемостям.
Из выражения (6.18) следует, что если в многослойном конден-
соре есть слой, диэлектрическая проницаемость которого во
92
Глава 6. Электростатические цепи и их расчет
Рис. 6.9
много раз меньше проницаемости других слоев (диэлектриков),
то в этом слое (например, пузырьки воздуха) могут возникнуть
значительные напряженности, которые могут стать причиной
разрушения изоляции конденсатора. Поэтому сушка изоляции
проводов, кабелей, обмоток электрических машин и трансформа-
торов имеет огромное значение.
В цилиндрическом конденсаторе (рис. 6.9) радиально направ-
ленное поле возникает между двумя цилиндрическими электро-
дами, имеющими общую ось. Емкость С цилиндрического кон-
денсатора определяется выражением
_ _ 2 Л£ о £ г
чх — 7 >
1П->
(6.19)
где г\ — радиус внутреннего цилиндра (электрода); — радиус
внешнего цилиндра (электрода); t — длина конденсатора (высота)
(обычно больше диаметра конденсатора).
Двухпроводная линия (рис. 6.10) представляет собой естествен-
ный конденсатор, емкость которого необходимо учитывать при
расчете линии электропередачи. Емкость двухпроводниковой ли-
нии определяется из условия, что расстояние между проводника-
ми D значительно превосходит радиус самих проводов (г0)- Ем-
кость такой двухпроводной линии
можно определить по формуле
Рис. 6.10
7tl£a
In—
го
(6.20)
Если к конденсатору (рис. 6.1) или к электростатической цепи
(рис. 6.2—6.5) приложено напряжение U, то в электрической це-
пи этих конденсаторов создается электрическое поле, в котором
накапливается энергия
6.4. Емкость и энергия конденсаторов
93
(6.21)
Q — заряд конденсатора или конденсаторов, к которым при-
кено напряжение U, С~ электрическая емкость конденсатора
л батареи соединенных конденсаторов, к которой приложено
зряжение U.
'аким образом, конденсаторы служат для накопления и сохра-
нил электрического поля и его энергии.
пример 6.4
В цепи (рис. 6.11) заданы ве-
(чины: £1= 130 В; £2 = 125 В;
ii = 0,2 Ом; Л)2 = 0,5 Ом; R=
20 Ом и С=20 мкФ.
Определить энергию, накоп-
даую в электрическом поле
цнденсатора емкостью С.
Рис. 6.11
ешение
Для определения величины энергии воспользуемся выражени-
СТ/2
((6.21) W3„ =~ --Для этого необходимо определить напряже-
те на конденсаторе UAB.
Самым рациональным методом расчета этого напряжения в
шном случае является метод узлового напряжения, так как
Ёлючение конденсатора между точками А и В равносильно раз-
(шу цепи между ними.
; UAB = Е-5-- Е-82- = 130'5 + 1252 2 = j 27,66 В,
Я.+^+Яз 5 + 2 + 0,05
tegi =^2=5 см; g2 =^=2cM;g3 =^=0,05 см.
L и/ си2 20 10-6 -127,62
Тогда И<,л = =---------:— = 0,163 Вт-с.
Пример 6.5
Определить энергию электрического поля каждого конденсато-
1 отдельно и электрического поля всех конденсаторов батареи
ня примеров 6.1 и 6.2.
ешение
Для примера 6.1 (рис. 6.4).
Энергия электрического поля всех конденсаторов батареи,
зображенной на рис. 6.4, будет равна
94
Глава 6. Электростатические цепи и их расчет
.Cgl.18J0t.380- .0ДЗВт.с.
2 2
К каждому конденсатору схемы (рис. 6.4) приложено напряже-
ние U' = = 95 В, так как в каждой ветви включены после-
4 4
довательно 4 конденсатора. Следовательно, в каждом конденсато-
ре запасена энергия
1Г'Л =8J0\-952 =36>1. 10-з Вт.с
Тогда энергия электрического поля всех 36-ти конденсаторов
схемы рис. 6.4
= И^.К=36,1 10-3-36= 1,3 Втс.
Для примера 6.2 (рис. 6.5). Энергия электрического поля каждого конденсатора
м/ _C1CZ12 2 10^-33,32 -11.10"4 Вт с;
2 2
MZ С2и22 ЬЮ^ ЗЗ.З2 = 5,5- 10- 4 Вт с;
23Я 2 2
С3и2 2 10-6-502 1У,”= 2 = 2 = 25- 10-4 Втс;
UZ _С4^4 6 10'6-16,72 = 8,5- 10- 4 Вт с;
4 лл 2 2
UZ _С^и1 4- 10-6- 1002 = 200- 10- 4 Вт с.
2 2
Энергия электрического поля конденсаторов батареи (рис. 6.5)
равна
yz„ ' 1001 =250-Ю-1 Втс.
2 2
Из примера 6.5 видно, что энергия электрического поля бата-
реи конденсаторов (примеры 6.1 и 6.2) равна сумме энергий каж-
дого конденсатора батареи, независимо от схемы соединения
конденсаторов.
Глава 7
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ И ЕГО ПАРАМЕТРЫ
7.1. Магнитное поле
:ли магнитную стрелку поместить около проводника, по кото-
у проходит ток, то на стрелку будут действовать силы, застав-
щие стрелку установиться в определенном направлении. Если
водник с током вращать вокруг оси, перпендикулярной оси
водника, то и стрелка будет вращаться вместе с проводником.
Пространство, в котором обнаруживается действие сил на маг-
1ную стрелку или ток, называется магнитным полем,
(агнитное поле создается электрическим током.
_ ледовательно, магнитное поле и электрический ток неразрыв-
Iсвязаны. Магнитное поле не может существовать без электри-
кою тока.
1 направление магнитного поля принимается направление, в ко-
юм устанавливается северный конец магнитной стрелки, распа-
ленной в этом магнитном поле.
ля наглядности магнитное поле изображается магнитными ли-
:Ми, которые в отличие от электрических линий всегда замкну-
В качестве примера на рис. 7.1а приведены магнитные линии
тоянного магнита прямоугольной формы.
Управление магнитных линий, т. е. направление магнитного
я (МП), и направление тока I в проводниках различной кон-
урации, создающего это поле, связаны правилом буравчика,
ля прямого тока правило буравчика формулируется так: если
тупательное движение буравчика совпадает с направлением
:мого тока, то вращательное движение рукоятки буравчика при
м указывает направление магнитного поля. Магнитное поле
[мого тока, т. е. тока в прямолинейном проводнике, показано
рис. 7.16.
Ля кругового тока: если вращательное движение буравчика
(падает с направлением кругового тока, то поступательное дви-
ние буравчика при этом указывает направление магнитного
ля.
Поле кругового тока
изображено
на рис. 7.1 в.
а рис. 7.1г изображено магнитное поле, созданное током / в
:индрической катушке. Магнитное поле цилиндрической ка-
ши с током аналогично магнитному полю прямоугольного
нита (рис. 7.1а). По аналогии этих полей конец катушки, из
96
Глава 7. Магнитное поле и его параметры
которого выходят магнитные линии, будет считаться северным
полюсом N катушки, а конец, в который входят магнитные ли-
нии, — южным полюсом 5 катушки. Следовательно, магнитное
поле цилиндрической катушки полярно, т. е. имеет северный N
и южный S полюса. Полярным также является магнитное поле
кругового тока (рис. 7.1в), т. е. там, где магнитные линии выходят
из круга, — северный полюс N, а там, где входят в круг, — южный
полюс S круга.
В проводнике с током и вокруг него магнитное поле обусловле-
но этим током. Внутри постоянного магнита или намагниченного
тела магнитное поле обусловлено внутренним и внутримолеку-
7.2. Магнитная индукция
97
ым направленным движением элементарных заряженных ча-
ггоме любого вещества вокруг ядра направленно, по опреде-
ым орбитам вращаются электроны (круговой ток). Следова-
ло, атомы любого вещества являются элементарными магни-
ми, которые называются доменами. Домены имеют северный
щый полюс. Полярность домена зависит от направления тока
тронов вокруг ядра. Направление тока электронов вокруг
атома противоположно направлению вращения электрона,
д влиянием внешних факторов (внешнего магнитного поля)
ентарные магнитики-домены могут ориентироваться, т. е.
рачиваться в определенном направлении. Ориентация доме-
B определенном направлении обуславливает намагничивание
риала. Все материалы обладают различной способностью на-
[ичивания (магнитная проницаемость). Таким образом, на-
[итить данный материал — значит сориентировать элементар-
магнитики этого материала в определенном направлении,
агниченный материал, как и постоянный магнит, создает во-
себя внешнее магнитное поле. Чем больше доменов сориен-
ъано в одном направлении, тем интенсивней намагничен ма-
ал, т. е. тем сильней его внешнее поле. Если же все домены
риала расположены хаотично, то такой материал не создает
инего магнитного поля.
7.2. Магнитная индукция
я характеристики интенсивности магнитного поля вводится
ггие магнитной индукции. Магнитная йндукция характери-
, ся силой, действующей на движущийся в магнитном поле
Метрический заряд (ток). Обозначается магнитная индукция
вой В.
лементарная магнитная индукция dB, созданная в какой-либо
ке А элементом длины проводника df., по которому проходит
1 I, на расстоянии г от элемента длины d£
с. 7.2) определяется выражением
) — Савара)
(закон
dВ =—I ^s^na
4л г2
(7.1)
— абсолютная магнитная проницае-
5Ть среды, в которой определяется индук-
i; г — радиус-вектор (расстояние между'
Ментом длины d£ и исследуемой точкой А);
734
98
Глава 7. Магнитное поле и его параметры
а — угол между направлением тока I по элементу длины провод,
ника и радиусом-вектором г.
Для определения магнитной индукции В, которая создается
всем проводником длиной I с током /, в точке А необходимо про.
суммировать (проинтегрировать) элементарные индукции dB п0
всей длине проводника
B=\dB. (7.2)
t
Магнитная индукция - величина векторная. Вектор магнитной
индукции в каждой точке магнитного поля направлен по касате-
льной к магнитной линии в этой точке.
В качестве примера определяется магнитная индукция в центре
кольцевого проводника радиусом г, по
А5 которому проходит ток I (рис. 7.3).
Величина магнитной индукции опре-
деляется по выражению (7.2), т. е.
/<B = \dB, где (соглас.
( ( s' у ) i 4л г2
7/ и° (7.1)).
хСу— —у/ Так как радиус окружности г всегда
df. X"-------— перпендикулярен касательной к окруж-
ности, т. е. a = 90°, а sina=l, то
Рис.7.3 и
4 л г2 } 4 л г2
Вынося постоянные величины за знак интеграла, получим
B=^lL[d£, а£ = 2лп
4лг2'
Тогда 2лг.
4лг2
Иначе В=^-=^~, (7.3)
2r d
где d=2r— диаметр окружности.
Таким образом, магнитная индукция в магнитном поле пропор-
циональна величине тока I, создающего поле, и абсолютной маг-
нитной проницаемости среды ца, в которой она создается. Кроме
того, магнитная индукция в каждой точке магнитного поля зави-
сит от формы проводника, по которому проходит ток, создающий
магнитное поле, от длины этого проводника и от расстояния меж-
ду исследуемой точкой и этим проводником.
7.3. Магнитная проницаемость
99
Магнитное поле, магнитная индукция в каждой точке которого
•ет одинаковое значение и магнитные линии параллельны друг
&у, называется однородным.
Основной единицей измерения магнитной индукции является
ма: [5] - Тл (тесла). Однако в практических расчетах иногда ра-
онально воспользоваться единицами, эквивалентными основ-
ft единице:
! Тл = В'с = Ж*.
: м2 м2
Кроме того, иногда пользуются единицей магнитной индукции
tec: [5] = 1 Гс (гаусс) = 10-4 Тл.
i 7.3. Магнитная проницаемость
Дз выражений (7.1) и (7.3) следует, что магнитная индукция в
Гнитном поле зависит от абсолютной магнитной проницаемо-
ll ца, характеризующей магнитные свойства среды, в которой
Сдается поле.
Абсолютная магнитная проницаемость среды характеризует спо-
рность среды намагничиваться. Единицей абсолютной магнит-
й проницаемости является (из (7.3))
г , В с м Ом е Гн (генри)
Н а = --- = ------ = ----- = ---------.
L / J м2 - А м м (метр)
Абсолютная магнитная проницаемость вакуума ц0 ~ величина
ютоянная и называется магнитная постоянная. Ее значение
дно
Ро = 4тг-1О 7 Гн/м | или 125-10 8 Гн/м. (7.4)
Абсолютную магнитную проницаемость любой среды ца удобно
[ражать через магнитную постоянную ц0 и магнитную проница-
юсть цг, которая показывает, во сколько раз абсолютная маг-
иная проницаемость среды больше или меньше магнитной по-
оянной:
На
Mr =---,
МО
тогда
(7.5)
Иногда щ называют относительной магнитной проницаемо-
100
Глава 7. Магнитное поле и его параметры
В зависимости от магнитной проницаемости все вещества де-
лятся на диамагнитные, парамагнитные и ферромагнитные.
1. Магнитная проницаемость диамагнитных (противомагнит-
ных) веществ щ< 1. Так, например, для меди 0,999995, для се-
ребра цг= 0,999981. К диамагнитным веществам относятся кварц,
водород, вода, медь, серебро и др.
2. Магнитная проницаемость парамагнитных веществ цг> 1.
Так, например, для воздуха цг= 1,0000031, для платины
1,000364. К парамагнитным веществам относятся алюминий,
кислород, воздух, платина и др.
Магнитная проницаемость диамагнитных и парамагнитных ма-
териалов — величина постоянная и в технических расчетах прини-
маются равной единице (цг= 1).
3. Магнитная проницаемость ферромагнитных материалов но
много раз больше единицы цг» 1. Так, например, для чугуна
рг~600, для стали 7500, для пермаллоя 115 000. К ферро-
магнитным материалам относятся сталь, никель, кобальт, их
сплавы и др. Магнитная проницаемость ферромагнитных матери-
алов зависит от интенсивности магнитного поля и температуры,
поэтому ее значения указаны приближенно.
7.4. Магнитный поток
Магнитный поток Ф сквозь площадку S, перпендикулярную
вектору магнитной индукции Вн в однородном магнитном поле,
определяется выражением
(7.6)
Магнитный поток измеряется в веберах (основная единица):
[Ф] = [55] = g- c'2Mi = Вс = Вб (вебер).
м
В практических расчетах встречается единица магнитного пото-
ка максвелл, которая в 10а раз меньше
вебера: т. е. 1 Мкс= 10 8 Вб.
Если вектор магнитной индукции Л
составляет угол р с перпендикуляром
к площадке 5 (рис. 7.4), то нормаль-
ная (перпендикулярная) составляющая
вектора магнитной индукции 5„ опре-
деляется как Вн = 5cosp.
Р и с. 7.4
В общем случае при определении
магнитного потока через произволь-
7.5. Напряженность магнитного поля
101
поверхность в неоднородном магнитном поле площадку 5
ивают на бесконечно малые площадки dS, для каждой из ко-
[X поле можно считать однородным. Тогда элементарный
;итный поток с/Ф через элементарную площадку dS определя-
так:
Л
d® = BndS.
1гнитный поток Ф через всю поверхность площадью 5 опре-
ется суммированием (интегрированием) элементарных маг-
иях потоков <7Ф по всей площади S
®=\BHdS.
Магнитный поток сквозь замкнутую поверхность равен нулю
iBHdS=Q, так как каждая магнитная линия, входящая в замк-
ую поверхность, должна из нее выйти.
[агнитный поток, как один из параметров магнитного поля,
бходимо знать или определять при анализе и расчете режима
оты различных электротехнических приборов, устройств и
ihobok (магнитных цепей, электрических машин, трансфор-
оров, электромагнитов различного назначения, электроизме-
ельных приборов и др.).
к
7.5. Напряженность магнитного поля
'апряженностъ в каждой точке магнитного поля — это расчет-
величина, характеризующая интенсивность магнитного поля в
)й точке, созданного током, без учета среды, в которой создает-
юле.
бозначается напряженность магнитного поля буквой Н.
ьсли в катушку, по которой проходит ток I, внести сердечник из
^ромагнитного материала (рис. 7.1г), то величина магнитной
(укции В в каждой точке магнитного поля увеличивается, а на-
сженность Н в этих точках остается неизменной.
азница между напряженностью Яи индукцией В в какой-либо
ке магнитного поля (хотя обе величины характеризуют интен-
«жость магнитного поля) заключается в том, что напряжен-
tTb в точке магнитного поля характеризует интенсивность поля
той точке, созданного током без учета магнитной проницаемо-
< среды, в которой создается поле, а индукция в этой точке ха-
ктеризует интенсивность магнитного поля, созданного током и
едой, которая намагничивается и изменяет его интенсивность;
£. напряженность является расчетной величиной, не имеющей
йического смысла, так как физически невозможно представить
Бе, что интенсивность поля не зависит от среды.
102
Глава 7. Магнитное поле и его параметры
Таким образом, соотношение между В и Н в какой-либо точке
магнитного поля выглядит следующим образом:
В = \хгН = цоРг Н ,
(7.7)
так как щ характеризует способность среды намагничиваться
Следовательно, напряженность в этой точке
—— ----_—
я = А = -А_
Ма ЦоЦг
(7.8)
Из выражения (7.8) определяем единицу измерения напряжен-
ности в любой точке магнитного поля:
[#]=
Рис. 7.5
Вс м _А (ампер)
м2 Ом-с м (метр)
В практических расчетах можно встретить единицу напряжен-
ности эрстед (Э).
1 Э~80 А/м.
Напряженность — величина векторная,
причем направление вектора напряжен-
ности в каждой точке совпадает с направ-
лением магнитного поля в этой точке
(касательная к магнитной линии в этой
точке).
Если магнитное поле создано несколь-
кими токами, то напряженность в каждой
точке этого поля определяется геометри-
ческой суммой напряженностей, создан-
ных каждым током в этой точке (рис. 7.5):
На = Наi + Hai +...+ НАк.
Очевидно, для каждой точки магнитного поля напряженность
имеет определенную величину и направление.
7.6. Закон полного тока
Допустим, что в точке А вектор напряженности Н составляет
угол а с элементом длины dt замкнутого контура, ограничиваю-
щего поверхность, пронизываемую токами Ц, 12 и /3 (рис. 7.6).
Проекцию вектора напряженности Яна элемент длины контура
df. или на его продолжение Н, называют продольной составляю-
щей вектора напряженности:
Яг=Ясо5а.
7.6. Закон полного тока
103
Гумма (интеграл) произведений элементов длины df. замкнуто-
Ксонтура и продольных составляющих Нг в каждой точке этого
Стура, взятая по всему контуру, называется магнитным напря-
Еием UM, или магнитодвижущей силой F.
Г Uu=$Hfd£=F. (7.9)
Выражение j>Hed£ иногда
Ьывают циркуляцией век-
Ьа напряженности магнит-
но поля по замкнутому
кгуру.
Магнитное напряжение UM
[магнитодвижущая сила F
(меряются в амперах:
Г м
Алгебраическая сумма то-
>в, пронизывающих площадь, ограниченную замкнутым конту-
ры (рис. 7.6), называется полным током сквозь поверхность,
Граниченную этим контуром.
' f/=/1+/2-Z3. (7.Ю)
Это и есть математическое выражение полного тока для площа-
й, ограниченной контуром (рис. 7.6).
Для определения знака каждого тока (7.10), пронизывающего
рющадь, ограниченную замкнутым контуром, задаются направ-
5нием обхода контура (по или против часовой стрелки). Тогда
Ж, совпадающий с поступательным движением буравчика, ру-
Ьятка которого вращается в заданном направлении обхода кон-
jrpa, в алгебраической сумме берется со знаком «плюс» (напри-
1ер, токи Д и /2, если обход контура взят по часовой стрелке), а
Ж, не совпадающий с направлением обхода, со знаком «минус»
тапример, ток /3 при том же условии).
Установлено, что магнитное напряжение (магнитодвижущая
'*ла) поля по замкнутому контуру равно полному току, пронизыва-
ющему поверхность, ограниченную этим контуром'.
Формула (7.11) и есть математическое выражение закона полно-
> тока.
104
Глава 7. Магнитное поле и его параметры
Если напряженность имеет одинаковую величину по всему кон-
туру и направлена по магнитной линии (т. е. Нг =Н), то уравнение
закона полного тока упрощается:
(7.12)
Закон полного тока нашел широкое применение для расчета
магнитных цепей, магнитных полей, прямого тока, тока катушки
и др.
7.7. Магнитное поле прямолинейного
проводника с током
Напряженность в каждой точке магнитного поля, созданного
током прямолинейного проводника, и индукцию в этой точке
легко определить, воспользовавшись законом полного тока. То
есть закон полного тока позволяет определить интенсивность
магнитного поля (Н и В) в любой точке А магнитного поля, рас-
положенной на расстоянии г от центра прямолинейного провод-
ника радиусом а, по которому проходит ток / (рис. 7.7).
Можно определить Н и В, созданные током I в точке А, распо-
ложенной:
1) вне проводника с током и
2) внутри проводника с током.
Рис. 7.7
1. Напряженность в точке А, расположенной вне проводника с
током, т. е. г> а (рис. 7.7а), определяется по закону полного тока.
Для этого через точку А проводится условная окружность радиу-
сом г. Эта окружность и является контуром, который ограничива-
ет площадь круга, пронизываемую током /.
Таким образом, полный ток Е/= /
Тогда £ Hld£=^Hdf.=H ^d£ = H-2пг=Ы=/. (7.13)
7.7. Магнитное поле прямолинейного проводника с током
105
эи этом напряженность Н= Н, и по всей окружности радиу-
г имеет одинаковое значение, a ^dt=2nr — длина окружности
jycoM г.
1ким образом, величина напряженности в точке А, располо-
ной вне проводника, будет равна
(7.14)
:личина магнитной индукции в точке А согласно выражению
(7.15)
:ли магнитное поле создается в воздухе, т. е. цг= 1, тогда
В А = Р о -— •
2 пг
(7.16)
нтенсивность магнитного поля в любой точке А, расположенной
проводника с током, обратно пропорциональна расстоянию г от
тра проводника до этой точки ((7.14), (7.15) и (7.16)).
. Напряженность в точке А, расположенной внутри провод-
ка с током, г< а (рис. 7.76), также определяется по закону пол-
го тока. Окружность радиусом г ограничивает площадь сечени-
Sr=iu*. Сечение проводника радиусом а равно 5а = тш2. Плот-
:ть тока в проводнике определяется как Тогда
о о -а2
ичину напряженности магнитного поля в точке А внутри про-
Мика можно рассчитать по формуле
„ Z7 _JSr 1яг2
На ~ ч----п-----——
2 яг 2 яг яя -2яг
(7.17)
>еличина магнитной индукции в той же точке А внутри провод-
;а будет равна
(7.18)
Интенсивность магнитного поля в любой его точке, расположен-
й внутри проводника с током, пропорциональна расстоянию г от
нтра проводника до этой точки ((7.17) и (7.18)).
106 Глава 7. Магнитное поле и его параметры
Зависимость интенсивности магнитного поля внутри (г<а) и
вне (г> а) проводника с током от расстояния от центра (г) проил-
люстрирована на графике рис. 7.7в. Из графика видно, что с уве-
личением расстояния г от центра внутри проводника интенсив-
ность поля (Ви Н) увеличивается пропорционально г, а за преде-
лами проводника уменьшается обратно пропорционально г.
Таким образом, наибольшей интенсивности магнитное поле до-
стигает на поверхности проводника с током, при г= а.
Пример 7.1
По медному проводнику радиусом л = 0,5 см проходит ток
1= 50 А. Определить напряженность и индукцию магнитного по-
ля, созданного этим током, на расстоянии п = 0,2 см; г2 = 0,5 см;
Л = 1 см от центра проводника.
Решение
Вычисление значений Н и В производят по выражениям (7.14),
(7.15), (7.17) и (7.18), учитывая, что цг= 1 для среды вокруг и внут-
ри медного провода.
Итак:
„ I 50-0,2-10'2 . ..
Н, =-------гх -----------—- = 636,94 А/м,
2 ла2 2л(0,5-10-2 )2
где л = 0,2 см = 0,2-10~2 м; а = 0,5 см = 0,5-10-2 м.
Вх = цоЦгЯ1 = 4л -10“7-1 -636,94 = 799 -10’6 Тл.
„ I 50-0,5-Ю'2 , . .
Я2 =-------г2 =-----------—- = 1592,3 А/м,
2ла2 2тт(0,5-10~2 )2
где г2 = а = 0,5 см = 0,5-10~2 м.
Или Н2 = —~ =-----------------52---=1592,3 А/м,
2лг2 2 тг-'0,5-10-2
В2 = = 4я 10’7• 1 • 1592,3 = 2000• I О-6 Тл.
Н3=-^— =-------------=796,1 А/м,
2яг3 2 л-1-10’2
где г3 = 1 см= 1-Ю"2 м.
53 = цоЦгЯ3 = 4л-10-7-1-796,1 = 13- 10~б Тл.
Таким образом, пример 7.1 подтверждает, что наибольшая ин-
тенсивность магнитного поля имеет место на поверхности про-
водника с током. Кроме того, напряженность магнитного поля на
поверхности проводника можно определить по формулам (7.14)
или (7.17) — результат получается одинаковым.
7.8. Магнитное поле кольцевой и цилиндрической катушек 107
* 7.8* Магнитное поле кольцевой и цилиндрической
катушек
(нхряженность магнитного поля кольцевой катушки с числом
£ов И', по которым проходит ток I (рис. 7.8а), определяется
jce по закону полного тока.
М/тягтклп
Рис. 7.8
очка А находится на окружности радиусом г и длиной (. = 2кг,
азующей замкнутый контур. Поверхность, ограниченную
м контуром, пронизывают все РИвитков, по которым проходит
: I. Следовательно, полный ток, пронизывающий поверхность,
аниченную этим замкнутым контуром, будет равен Х/= IW.
[апряженность поля Н ъо всех точках замкнутого контура оди-
;ова и направлена по касательной в каждой точке окружности
с. 7.8а).
дя определения напряженности Н в любой точке этой окруж-
лги можно воспользоваться выражением (7.12):
H=^L = 1^-. (7.19)
t t
[роизведение тока I и числа витков обмотки W, т. е. IW, назы-
)т ампер-витками.
‘аким образом, напряженность магнитного поля в любой точке
ревой катушки определяется ампер-витками IW, приходящи-
J на единицу длины I этой катушки:
1а расстоянии г, меньше гх и больше г2, магнитное поле отсутст-
т, так как полный ток, пронизывающий поверхность, ограни-
Щую окружностью радиусом г (меньше Г\ и больше /у), равен
по EZ=0, т. е. магнитное поле вне катушки отсутствует.
(апряженность в любой точке кольцевой катушки можно опре-
(ить выражением (7.19), если воспользоваться частью кольце-
108
Глава 7. Магнитное поле и его параметры
вой катушки длиной £', на которой расположена часть витков Ц/.
катушки (рис. 7.86):
с
Цилиндрическую катушку (рис. 7.8в) можно рассматривать к;1(.
часть кольцевой катушки (рис. 7.86) с бесконечно большим ради,
усом. Поэтому и для цилиндрической катушки справедливо выра.
жение
(7.19)
Используя это уравнение, можно определить напряженность в
точке А, расположенной на осевой линии цилиндрической ка-
тушки длиной £ (рис. 7.8в). Однако выражение (7.19) является
приближенным.
Ошибка в определении напряженности в цилиндрической ка-
тушке будет тем меньше, чем больше длина катушки, меньше ее
сечение и исследуемая точка лежит ближе к центру цилиндра.
Более точным выражением для определения величины напря-
женности в точке А на осевой линии цилиндрической катушки
является выражение
Величина магнитной индукции в точке А цилиндрической ка-
тушки
Пример 7.2
Определить напряженность в точке А на оси катушки (рис. 7.9),
если ток в катушке 1= 2 А, число витков катушки W- 100. Вычис-
лить ошибку, полученную при опре-
Т делении напряженности в точке А
по приближенному выражению
(7.19). Габариты катушки даны в
। сантиметрах.
у Решение
С Определяется напряженность маг-
нитного поля в точке по прибли-
женному выражению:
PiT> ''7.02 в
<----------20--------->-
Рис. 7.9
7.9. Электромагнитная сила 109
‘ Н'А=™=-2400_ = 1000 А/м,
2^ 2010-2
£ = 20 см = 20-10~2 м.
1Я определения напряженности в точке А по более точному
ажению определяется cosp, и cosp2. Причем cosp! = cosp2, так
равны углы р, = р2.
cosPi =cosp2 =---= , IQ — = 0.9285.
\ас\ TTo^TF
згда
^^(cosp, +cosp2)= ^^-(0,9285+0,9285) = 928,5 А/м.
огрешность, полученная при определении напряженности по
ближенному выражению:
= На-Н_л_ j 0 0 % = 1000-928,5,100% = 715%
Г Н'А 1000
7.9. Электромагнитная сила
однородное магнитное поле с индукцией В помещен провод-
: длиной £, по которому проходит ток I, направленный пер-
дикулярно магнитным лш
округ проводника с током
цается магнитное поле Вг,
орое накладывается на
нитное поле В.
Управление поля В/ опре-
яется по правилу буравчи-
В результате наложения
нитных полей (рис. 7.10)
два от проводника маг-
гное поле усиливается, а
ва ослабляется (рис. 7.106).
I результате такого нало-
ния полей, как видно из
с. 7.106, на проводник с
ком в магнитном поле действует сила FM, под действием кото-
ft проводник будет вытесняться из магнитного поля в опреде-
нном направлении.
Эта сила FK, т. е. сила взаимодействия тока с магнитным полем,
зывается электромагнитной силой.
Направление электромагнитной силы определяется по правилу
вой руки:
(рис. 7.10а).
Рис. 7.10
110
Глава 7. Магнитное поле и его параметры
Левую руку располагают так, чтобы магнитные линии входили в
ладонь, вытянутые четыре пальца совпадали с направлением тока у
проводнике, тогда отогнутый большой палец укажет направление
электромагнитной силы.
Направление электромагнитной силы FM на рис. 7.106 подтвер-
ждает это правило.
Очевидно, на проводник длиной £, по которому проходит ток I,
перпендикулярно магнитным линиям поля с индукцией В дейст-
вует электромагнитная сила
| FK = IBt.
(7.22)
Электромагнитная сила, т. е. сила взаимодействия тока I, прохо-
дящего по проводнику длиной I перпендикулярно магнитному полю с
индукцией В, пропорциональна произведению этих величин.
Рис. 7.11
Если же проводник с током I поместить в
однородное магнитное поле под углом и.
(рис. 7.11), то величина электромагнитной
силы определяется по формуле (7.23).
В общем случае для однородного магнит-
ного поля и прямолинейного проводника с
током, расположенного в этом поле, вели-
чина электромагнитной силы определяется
выражением
FM = IBPsina, (7.23)
где £ — активная длина проводника, т. е. часть проводника, кото-
рая находится в магнитном поле; а — угол между током и магнит-
ным полем.
Единица силы ньютон связана с единицей магнитной индук-
ции тесла следующим соотношением:
[ Л, ]=[Ж]=А-Тл-м= AJL^m =н (ньютон).
м*
Если в неоднородное магнитное поле помещен криволинейный
проводник с током /, то элементарную бесконечно малую элект-
ромагнитную силу dFM, действующую на бесконечно малый эле-
мент длины проводника dl, для которого поле считается однород-
ным, определяют выражением
dFM = /ZWZsina.
7.10. Взаимодействие проводников с токами
111
I вычисления электромагнитной силы, действующей на весь
одник, элементарные электромагнитные силы dFM суммиру-
; (интегрируются) по всей активной длине проводника 7;
FM =J dFM = J /Basina. (7.24)
t t
1аимодействие тока с магнитным полем широко используется
дектрических машинах, электроизмерительных приборах,
тяговых и подъемных электромагнитах, контакторах и др.
электромагнитные силы приходится учитывать при расчете
кгрических аппаратов, распределительных устройств электро-
аций, линий электропередачи, сетей и в других случаях.
7.10. Взаимодействие проводников
с токами
Параллельное расположение проводников с токами на практике
речается часто, например в линиях электропередачи, при уста-
рении шин распределительных устройств электрических стан-
i и подстанций, в кабелях и др. Для того чтобы правильно вы-
ть провода, шины, изоляторы, на которых они закреплены,
сходится определять
кгромагнитные си-
взаимодействия про-
циков или шин.
Пила взаимодействия
х проводников с то-
да Л и /2 (рис. 7.12),
положенных на рас-
янии г друг от друга
_>аллельно по длине
'зависит от индукции
^созданной током од-
»го проводника в цен-
е другого, и тока дру-
fro проводника.
‘Индукция В], создан-
ия током Л в центре второго проводника (рис. 7.126), определя-
йся выражением (7.15):
Рис. 7.12.
б)
Bi =ЦоЦг-—•
> 2 тгг
Тогда электромагнитная сила FM взаимодействия второго тока /2
индукции В] согласно (7.22) равна
вм =12ва=12^—'-е,
2 г. г
112
Глава 7. Магнитное поле и его параметры
где FM — сила, с которой первый проводник действует на второй
проводник. С такой же силой второй проводник действует на пер,
вый. Следовательно, это и есть сила взаимодействия двух провод,
ников с током, т. е.
(7.25)
Выражение (7.25) позволяет определить силу взаимодействия
двух проводников с током с большой степенью точности, если
длина параллельно расположенных проводников значительно
больше расстояния г между ними.
Выражение (7.25) является математическим выражением закона
Ампера для определения силы взаимодействия проводников с током.
На практике удобно рассчитывать силу взаимодействия провод-
ников с токами F'u , приходящуюся на единицу длины проводни-
ков:
| г, Fu II 12
^м=—=MoMr-------• (7.26)
t 2 яг ’
Направление силы взаимодействия двух проводников с током
можно определить по правилу левой руки, определив предварите-
льно направление магнитной индукции каждого проводника в
центре другого проводника (рис. 7.13).
Определить направление силы взаимодействия двух проводни-
ков с токами можно иначе — определив направления магнитных
полей каждого проводника по правилу буравчика (рис. 7.14). Как
видно на рис. 7.14а,
магнитное поле между
проводниками ослабле-
но, а на рис. 7.146 -
усилено. Электромаг-
нитные силы направле-
ны в сторону ослаблен-
ного поля. В любом из
Рис. 7.13
Рис. 7.14
МП
б)
7.10. Взаимодействие проводников с токами
113
ложенных методов определения направления электромаг-
:ых сил (рис. 7.13 и 7.14) легко увидеть, что при одинаковом
давлении взаимодействующих токов проводники притягива-
я (рис. 7.13а и 7.14а), а при разных направлениях — отгалкива-
я (рис. 7.136 и 7.146).
им ер 7.3
пределить величину и направление сил, действующих на еди-
[у длины проводов 1, 2, 3 и 4, расположенных на расстояниях,
занных в сантиметрах на рис. 7.15а, если по проводам прохо-
токи: Ii = 1г = 100 А; /3 = Д = 200 А.
Рис. 7.15
ешение
Для решения примера 7.3 необходимо определить расстояние
Ежду проводами (1-4) и (2-3), т. е. расстояние b (рис. 7.15а).
b = п-4 = г2_3.
(Расстояние между проводами г,_2 = г3_4 = 15 см= 15-10-2 м = г.
Расстояние между проводами г1_3 = г2_4 = 20 см = 20-10-2 M = g.
[Тогда />=7г2 + g2 =V(15-10-2 )2 +(20-10-2 )2 =25-10’2 м, так как
и g являются катетами прямоугольного треугольника, а расстоя-
ие b является гипотенузой этого треугольника.
Силы взаимодействия между проводами с указанными токами,
риходящиеся на единицу длины этих проводов, определяются
о выражению (7.26):
/’21=Д12=МоМг Ыз_=4я10-7 1 • 100 10013,З Ю'3 Н/м.
’ 1,2 2лг 2тг-1510-2
f31=/’ r ZdL = 4n.io-7 -1 . ЮО-200 =20-10~3 Н/м.
’ 2ля 2я-20-102
114 Глава 7. Магнитное поле и его параметры
/,4,1=Г1,4=ЦоНг^-=47г-1О-7 -1 •—100'2-00 =16 Ю-3 Н/М.
2тг-25-10-2
Fu =Л2=ЦоМг4гт-=4тг-1О-7 1 -J00'200 = 1610"3 Н/м.
2яй 2 7С-25-10-2
Л,4 =Л,2=М0|1г4г^- = 4я-10-7 -1 100~200 =20-10~3 Н/м.
2*g 2 л-2010"2
Г3,4 =Л,з = МоЦг4^-=4п1О~7 1 ~ 20--200, =53,ЗЮ'3 Н/м
2лг 2л-15-10~2
При расчете учтено, что цг= 1, так как провода находятся в воз-
духе.
Направления сил взаимодействия указаны на рис. 7.156.
Глава 8
МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ И ИХ РАСЧЕТ
8.1. Магнитная цепь
состав многих электротехнических устройств входят
итные цепи.
'.гнитная цепь представляет собой сочетание тел преимущест-
) из ферромагнитных материалов, в которых замыкается маг-
1ый поток.
остейшей магнитной цепью является сердечник кольцевой
тки (рис. 7.8а), в котором замыкается магнитный поток, со-
ный током этой катушки. Магнитные цепи трансформато-
электрических машин, измерительных приборов и других
трических аппаратов имеют более сложную форму.
дельные участки магнитных цепей могут изготавливаться из
ичных ферромагнитных материалов различной формы и pas-
te. Одним из участков магнитной цепи может быть воздуш-
зазор.
нструктивно различают неразветвленные и разветвленные
[итные цепи (рис. 8.1).
рактерной особенностью неразветвленной магнитной цепи
. 8.1а) является то, что магнитный поток Ф, созданный токами
ггок для всех участков и сечений магнитной цепи, имеет одина-
е значение (как ток в неразветвленной электрической цепи).
я разветвленной магнитной цепи (рис. 8.16) характерно то,
созданный током магнитный поток Ф разветвляется, при
116 Глава 8. Магнитные цепи и их расчет
этом его величина определяется алгебраической суммой магнии
ных потоков в разветвлениях Ф = Ф, + Ф2 (как и ток в разветвлен,
ной электрической цепи — по первому закону Кирхгофа).
Разветвленная магнитная цепь может быть симметричной цЛ|,
несимметричной. Цепь считается симметричной, если правая и
левая ее части имеют одинаковые размеры, выполнены из одипц.
кового материала (включая воздушные зазоры) и действующие
в каждой части магнитодвижущие силы /И7 одинаковы.
Магнитные цепи могут быть однородными и неоднородны-
ми. Однородная магнитная цепь представляет собой замкнул ый
сердечник (рис. 7.8а), который по всей длине I имеет одинаковое
сечение 5 и выполнен из определенного материала.
Неоднородная магнитная цепь (рис. 8.1а) состоит из нескольких
однородных участков, каждый из которых по всей своей длине
имеет одинаковое сечение и выполнен из определенного мате-
риала.
На рис. 8.1а изображена неразветвленная неоднородная магнит-
ная цепь, состоящая из трех однородных участков длиной К и
^з, где €3 — воздушный зазор.
8.2. Закон Ома для магнитной цепи
Если по кольцевой катушке с числом витков W проходит ток /
(рис. 7.8а), то этот ток в сердечнике катушки длиной L и сечением
S создает напряженность (7.19)
I
На рис. 7.8а изображена однородная неразветвленная магнит-
ная цепь, сердечник которой по всей длине I выполнен из одного
материала с относительной магнитной проницаемостью цг. Тогда
магнитный поток Ф в сердечнике кольцевой катушки можно
определить по формуле
Ф =BS = ЦоИг ^-S, (8.1)
где В = цоЦг Н = цоРг (8.2)
Это же уравнение (8.1) можно записать иначе:
ф= ™
I ’
где числитель (IJV) — магнитодвижущая сила, или магнитное
( р )
напряжение магнитной цепи UM = IW, а знаменатель ---------
I ЦоЦгО
8.2. Закон Ома для магнитной цепи
117
цитное сопротивление магнитной цепи (по аналогии с элек-
цеским сопротивлением, зависящим от длины, удельной
водимости и сечения проводника — см. (2.8)), т. е.
I
Г” 5
(8.3)
•гда магнитный поток магнитной цепи
|ф4г- (8.4)
-о и есть математическое выражение закона Ома для
(азветвленной однородной магнитной цепи, изображенной
рис. 7.8а, т. е. магнитный поток в рассматриваемой магнитной
и пропорционален магнитному напряжению Uu и обратно пропор-
<нален магнитному сопротивлению RM (как и ток по закону Ома
участка электрической цепи).
ели неразветвленная цепь неоднородна и на сердечнике
лотся две обмотки, т. е. две магнитодвижущие силы и три
юродных участка (рис. 8.1а), то закон Ома для такой маг-
•ной цепи:
7?М1 + R м2 + 7?мз
и иначе:
(8.5)
(8.6)
к и ток в неразветвленной электрической цепи с нескольки-
источниками и несколькими сопротивлениями).
выражениях (8.5) и (8.6) знак «плюс» между магнитными
ряжениями ставят тогда, когда обмотки W\ и W2 (рис. 8.1а)
ючены «согласно», т. е. создают магнитные потоки в сердеч-
ке одного направления, а знак «минус» — когда обмотки вклю-
ы «встречно», т. е. создают магнитные потоки в сердечнике,
[равленные друг против друга.
:з выражений (8.3) и (8.5) следует, что наибольшим сопро-
влением в магнитной цепи обладает воздушный зазор 7?3, так
к относительная магнитная проницаемость его цгз=1, притом
э магнитная проницаемость ферромагнитных участков исчис-
ется десятками тысяч.
118
Глава 8. Магнитные цепи и их расчет
Как видно, законы в магнитной цепи для определения магнит-
ного потока во многих случаях аналогичны законам в электри-
ческих цепях для определения электрического тока, что в значи-
тельной степени помогает при расчетах магнитных цепей.
Однако пользоваться законом Ома с использованием выраже-
ний (8.4) и (8.5) для расчета магнитных цепей не представляется
возможным, так как магнитная цепь нелинейная. Нелинейность
магнитной цепи обусловлена тем, что магнитное сопротивление
ферромагнитных участков магнитной цепи, определяющее маг-
нитный поток, само зависит от магнитного потока.
Тем не менее законы Ома для однородной и неоднородной цепи
решают качественную задачу расчета цепей, т. е. зависимость па-
раметров магнитных цепей друг от друга.
Расчет магнитных цепей производится с использованием зако-
на полного тока.
8.3. Намагничивание ферромагнитных материалов
Так как ферромагнитный материал является основой магнитных
цепей, то для исследования и расчета магнитных цепей необходимо
изучить свойства и характеристики ферромагнитных материалов.
Если по катушке с числом витков W, распо-
ложенной на замкнутом магнитопроводе дли-
ной I, проходит ток / (рис. 8.2), то в катушке
создается магнитное поле, напряженность ко-
торого
£
Если магнитопровод выполнен из нефер-
ромагнитного материала, то индукция в маг-
нитном поле магнитопровода Д = ц0Я.
Если же магнитопровод катушки выполнен
из ферромагнитного материала, то этот мате-
риал намагничивается, т. е. происходит ориентация доменов ферро-
магнитного материала в направлении внешнего магнитного поля,
созданного магнитодвижущей силой катушки IW. Тем самым созда-
ется добавочная магнитная индукция Ва, обусловленная намагничива-
нием ферромагнитного материала магнитопровода: Ва = цоЛ/, где М -
величина, характеризующая намагниченность материала.
Таким образом, магнитная индукция В в магнитопроводе катушки
складывается из двух компонентов — магнитной индукции внешне-
го поля, созданной МДС катушки Во, и добавочной индукции В3,
созданной намагниченным магнитопроводом из ферромагнитного
материала, т. е.
(8.7)
В= Во + В2 = ц0Я+ р0М.
8.3. Намагничивание ферромагнитных материалов
119
Н
Рис. 8.3
сердечника М увеличивается
Ьисимость магнитных ин-
Ьий Во, В, и В от измене-
Кнапряженности Н пред-
Ьдена на рис. 8.3.
Ьисимость 50=/(Я) —
рлая линия из начала ко-
Ьнат (прямая 1).
Ьракгер изменения доба-
Ьой индукции В, =f(H)
кно объяснить следующим
»зом (кривая 2):
исток Оа - намагниченность
июрционально напряженности Н\
йасток ab - рост намагниченности сердечника М замедляется,
как большинство доменов уже сориентировалось в направле-
Й магнитного поля катушки;
асток Ьс — рост намагниченности сердечника М прекращает-
рт. е. наступает режим магнитного насыщения, так как все до-
йы сориентировались в направлении внешнего магнитного
кя (участок Ьс параллелен оси абсцисс).
Суммарная кривая B=f(H) строится путем сложения ординат
юзых Ло=/(Я) и Ba=f(H).
Суммарная кривая 3 зависимости индукции ферромагнитного
(ериала от напряженности магнитного поля B=f(H) называет-
ртэивой намагничивания данного ферромагнитного материала,
рвые намагничивания различных ферромагнитных материалов
Введены в Приложениях 5 и 6.
|>ерромагнитные материалы относятся к нелинейным средам,
^гому магнитные цепи, в которых они используются, являются
винейными.
Йагнитная проницаемость ферромагнитных материалов — ве-
рина непостоянная и зависит от предварительного намагничи-
1ия, т. е. от напряженности поля, созданного в материале. Ха-
ртер этой зависимости представлен кривой ца=/(Я) (рис. 8.4).
Йвая построена по уравнению
В), полученному в соответствии со На А
чцими зависимостями:
В= Во + Вд — р.о7/+ ЦоЛ/,
выражения (7.7)
5= ЦоЦг#= ЦаЯ.
огда
Ba = \i0M
Цо
О
Рис. 8.4
цаЯ = ц07/+ ц0М.
120
Глава 8. Магнитные цепи и их расчет
Если левую и
то получается
правую части этого уравнения разделить на ц
Из уравнения видно, что изменение ца зависит от отношецця
М/Н (остальные величины постоянные). С увеличением Н щ
участке Оа (рис. 8.3 и 8.4) М растет быстрее, чем Н, следователь-
но, отношение М/Нувеличивается, и увеличивается ца(8.8).
Максимального значения абсолютная магнитная проницае-
мость ца достигает на участке ab зависимости Ba=j\H) (рис. 8.4).
В режиме же насыщения (участок Ьс) намагниченность (Л/) оста-
ется неизменной, следовательно, отношение М/Н уменьшается,
вызывая уменьшение ца (выражение (8.8) и рис. 8.4). При даль-
нейшем увеличении Я-> °° ца -> ц0 (8-8), т. е. ферромагнитный ма-
териал теряет свои ферромагнитные свойства.
Определить магнитную проницаемость ферромагнитного мате-
риала при определенной напряженности Н или индукции В
можно, воспользовавшись кривой намагничивания данного фер-
ромагнитного материала:
а .
Цо
8.4. Циклическое перемагничивание
Изменение тока в катушке (рис. 8.2) и соответственно напря-
женности Н магнитного поля в ней не только по величине,
но и по направлению приводит к изменению индукции в ферро-
магнитном сердечнике катушки по величине и направлению
(рис. 8.5).
Зависимость магнитной индукции В в сердечнике от напря-
женности Н при изменении тока I катушки по величине и на-
правлению можно проследить по кривой рис. 8.5.
Если в катушке находится полностью размагниченный сердеч-
ник, то при токе /=0, Яо = =0 (рис. 8.5).
Увеличение тока приводит к увеличению напряженности
а следовательно, и индукции В в ферромагнитном материале Д°
насыщения по кривой 0—1, т. е. по кривой намагничивания
данного ферромагнитного материала (рис. 8.5). Если уменьшать
ток до нуля, то и напряженность //уменьшается до нуля, а индУк'
ция при этом уменьшается от величины В„, (насыщение) до значе'
8.4. Циклическое перемагничивание
121
-2 по кривой 1—2. Значение
ции 0—2, оставшейся в сер-
ке катушки (рис. 8.5) при
шении напряженности до
называется остаточной ин-
ей Вг в данном ферромаг-
>м материале. Остаточная
:ция в сердечнике Вг имеет
за счет того, что не все эле-
рные магнитики материала
иентировались при размаг-
вании, т. е. часть доменов
ись сориентированными в
юлении внешнего поля ка-
и изменить направление тока в катушке, а следовательно, и
гвление напряженности в сердечнике и увеличивать эту на-
енность (в обратном направлении), то можно добиться
ьшения индукции до нуля (кривая 2—3), т. е. сердечник пол-
ью размагнитится. Напряженность 0—3, которая потребо-
:ь для того, чтобы размагнитить ферромагнитный материал,
долностью дезориентировать домены, называется задержи-
цей, или коэрцитивной, силой Нс.
пи продолжить увеличение напряженности, то индукция из-
it свое направление и ее значение будет увеличиваться в но-
Направлении от нуля до насыщения по кривой 3—4.
*.и уменьшать напряженность до нулевого значения, то ин-
1я уменьшится по кривой 4—5, где отрезок 0—5 — остаточная
щия Вг в обратном направлении. Чтобы размагнитить сер-
1к, т. е. уменьшить индукцию до нуля, необходимо снова из-
ть направление тока и напряженности (в первоначальном
авлении) и увеличивать его. При этом индукция в сердечни-
(еньшится до нуля по кривой 5—6, где отрезок 0—6 — задер-
ющая, или коэрцитивная, сила Нс в первоначальном направ-
и, которая снова размагничивает сердечник — уничтожает
точную индукцию. Дальнейшее увеличение напряженности
1едет к увеличению индукции от нуля до насыщения в перво-
льном направлении по кривой 6—1.
ивая 0—1 называется кривой первоначального намагничива-
а замкнутая кривая 1—2—3—4—5—6—1 называется кривой
Шческого перемагничивания, или петлей гистерезиса. Гисте-
с — греческое слово, означающее «отставание», т. е. измене-
Индукции отстает от изменения напряженности: напряжен-
ъ уменьшилась до нуля, а индукция еще не равна нулю, или
122
Глава S. Магнитные цепи и их расчет
индукция только уменьшилась до нуля, а напряженность уже уве,
личивается в обратном направлении.
Циклическое перемагничивание имеет место в магнитопрово.
дах (сердечниках) электрических машин, трансформаторов, элек.
троизмерительных приборов, дросселей и др., по обмоткам кото,
рых проходит переменный ток.
Циклическое перемагничивание сопровождается затратой эле к.
трической энергии, которая преобразуется в тепловую и в боль-
шинстве случаев рассеивается в пространстве. Такие тепловые
потери относят к магнитным потерям Ры и называют потерями
энергии (мощности) на циклическое перемагничивание, или по-
терями на гистерезис. Мощность потерь на циклическое перемаг-
ничивание данного ферромагнитного материала пропорциональ-
на площади, ограниченной петлей гистерезиса этого материала.
Для борьбы с подобными потерями в различных аппаратах и ма-
шинах применяют различные меры, основной из которых явля-
ется выбор ферромагнитного материала для сердечников с узкой
петлей гистерезиса.
Искусственно циклическое перемагничивание можно приме-
нить для размагничивания ферромагнитного материала, т. е. для
уменьшения остаточной индукции до нулевого значения. Для
этого по катушке, расположенной на магнитопроводе из ферро-
магнитного материала, пропускают изменяющийся по величине и
направлению ток (переменный ток), величину которого посте-
пенно уменьшают до нулевого значения.
8.5. Ферромагнитные материалы
Свойства большинства ферромагнитных материалов являются
одинаковыми, однако проявляются они по-разному в зависимо-
сти от химического состава материала. В этой связи различают
две основные группы ферромагнитных материалов: а) магнит-
но-мягкие и б) магнитно-твердые.
А. Магнитно-мягкие ферромагнитные материалы обладают вы-
сокой магнитной проницаемостью (цг® 1(г), низкой задержива-
ющей (коэрцитивной) силой (Нс < 400 А/м) и узкой петлей гисте-
резиса, т. е. малыми потерями на гистерезис.
Магнитно-мягкие ферромагнитные материалы легко намагни-
чиваются и размагничиваются.
К магнитно-мягким материалам относятся металлы и сплавьй
электролитическое железо, электротехническая сталь, пермаллой-
ферриты, магнитодиэлектрики и др.
Железо и электротехническая сталь нашли широкое примене'
ние для магнитных цепей электрических машин, аппаратов,
трансформаторов, электроизмерительных приборов, т. е. там, гДе
8.5. Ферромагнитные материалы
123
бходимо создать сильное магнитное поле при относительно
ольших магнитодвижущих силах (IW).
ерриты и магнитодиэлектрики применяются в качестве маг-
опроводов в аппаратуре проводной и радиосвязи, в магнитных
кителях, вычислительных машинах и других видах техники,
ермаллой используется при изготовлении сердечников, пред-
гаченных для работы в высокочастотных устройствах до
ЭО кГц. Магнитные свойства пермаллоев в значительной сте-
ц зависят от технологии их изготовления.
Магнитно-твердые ферромагнитные материалы обладают
рачительной магнитной проницаемостью — порядка не-
1ьких сотен), относительно высокой остаточной индукцией
(0,3+125) Тл, большой задерживающей (коэрцитивной) силой
(5000- 240 000) А/м и имеют широкую петлю гистерезиса.
j магнитно-твердых материалов изготавливаются постоянные
гиты, применяемые в технике связи, электроизмерительной
[ике и т. п.
магнитно-твердым материалам, обладающим лучшими маг-
цыми свойствами, относятся такие сплавы, как альни, альни-
альнико и др.
имер 8.1
пределить и изобразить изменение относительной магнитной
ницаемости цг электротехнической стали при следующих зна-
ях напряженности в ней:
Н= 1000; 2000; 4000; 8000; 12 000 и 16 000 А/м.
(ение
зультаты расчета заносятся в таблицу 8.1, воспользовавшись
юй намагничивания электротехнической стали (Приложе-
В На
6) и следующими выражениями: ца = —; цг = —.
Н цо
Таблица 8.1
Н (А/м) Б(Тл) ца (Гн/м) Mr
1000 1 10‘3 796,2
2000 1,4 0,7-10"3 557
4000 1,6 0,4-10'3 318
8000 1,7 0,21-Ю'3 167
12 000 1,8 0,15-Ю*3 119
16 000 1,88 0,1210"3 95,5
126 Глава 8. Магнитные цепи и их расчет
Расчет неоднородной магнитной цепи
Прямая задача расчета неразветвленной неоднородной \1аг
нитной цепи (рис. 8.9) решается в следующей последовательности
1. По заданному магнитному потоку Ф, который для вСех
участков неразветвленной цепи имеет одинаковое значе.
ние, определяют магнитную индукцию В каждого участка
D Ф П Ф D Ф С ’
В} =—; Вг =——; S3 =—, где S - площадь сечения участка
01 О 2 *>3
Для прямоугольного сечения (рис. 8.7) S=ab\ для круглого сече-
ния (рис. 8.8) 5 = ^-.
4
Если задана магнитная индукция какого-либо участка Д„„ т0
находят магнитный поток этого участка Ф^ = B^S^, который для
всех участков неразветвленной цепи имеет одинаковое значение.
Затем определяют магнитную индукцию остальных участков, как
показано выше.
2. По кривым намагничивания материалов (Приложение 5
или 6) определяют напряженности ферромагнитных участков Н
и Н2. Напряженность в воздушном зазоре вычисляется по отно-
г т 3
шению Я3 =—.
Ро
3. Определив длину средней линии каждого участка, по закону
полного тока (второй закон Кирхгофа для магнитной цепи) вы-
числяют намагничивающую силу рассчитываемой магнитной
цепи IW= Hiti + Н2£2 + или ток I, или витки W.
Пример 8.2
Определить число витков обмотки, расположенной на сердечни-
ке из электротехнической листовой стали, размеры которого указа-
ны на рис. 8.9. в см, если по обмотке проходит ток 1= 5 А, который
создает в магнитной цепи магнитный поток Ф = 43,2-10 4 Вб.
Решение
Магнитная цепь состоит из 3-х однородных участков сечением
51 = 6-10’2-6-КГ2 = 36-10~4 м2 (6 см = 6-10’2 м); 52 = 8-10“2-6-10'2 =
= 48-10 4 м2 (8 см = 8-10 2 м); 53 = 36-10 4 м2 (воздушный зазор).
1. По заданному потоку определяется магнитная индукция
в каждом однородном участке:
Б, = Ф^ = 43,2 • 10-4 =1 в ^_ф =43,2- Ю-4 =0 9Т;,-
Sj 36 10"4 S2 48 • 10-4
„ ф 43,2 • 10
В2 = — =------------=1,2 Тл.
53 36 IO’4
8.6. Расчет неразветвленных магнитных цепей
127
По кривой намагничивания для листовой электротехниче-
: стали (Приложение 5 или 6) определяются напряженности
юго — Я1 = 1000 А/м и второго — Н2 = 500 А/м участков. На-
кенность в воздушном зазоре Я3 = — = ———— ~ 1-106 А/м.
цо 4л • 10’7
Составляется уравнение по закону полного тока для магнит-
цепи: IW= H\t\ + H2t2 + из которого определяется ис-
ое число витков обмотки
+ ^2^2 + Я3£3 _
I
1000 • 0,545 + 500 • 0,17 +106 0,5 10“2
=--------------------------------------= 1126 витков.
5
редварительно вычисляется длина средней линии каждого
гтка:
= 20 + 3 + 9 + 3+ 19,5 = 54,5 см = 0,545 м,
= 4 + 9 + 4= 17 см = 0,17 м,
— 0,5 см = 0,510-2 м.
братная задача расчета неоднородной неразветвленной маг-
ной цепи, т. е. определение магнитного потока по заданной
нитодвижущей силе (МДС), может быть решена методом
ледовательных приближений. Для этого задаются нескольки-
значениями магнитного потока и для каждого из них решают
Мую задачу расчета магнитной цепи. По результатам расчетов
(агничивающих сил для разных магнитных потоков строят за-
имость Ф=/(/ИД (рис. 8.10), по которой определяют искомый
Нитный поток Фиск по заданной МДС IW3m.
128
Глава 8. Магнитные цепи и их расчет
Рис. 8.11
Пример 8.3
Определить магнитный поток в замкнутом сердечнике из лис-
товой электротехнической стали, размеры которого указаны на
рис. 8.11 в мм, если на сердечнике расположена обмотка (катуш-
ка) с числом витков W= 500, по которой проходит ток /= 2 А (об-
ратная задача). Длина каждого воздушного зазора ^о=О,2 мм
(рис. 8.11).
Решение
Сечение сердечника магнитной цепи и воздушных зазоров
при указанных размерах будет равно 5С = 50 = 4-1(Г2-4-10~2 =
= 16-КГ4 м2 (40 мм = 4-10-2 м).
Длина четырех воздушных зазоров на стыках сердечника:
4 = 4^о= 4-0,2-10"3 = 0,8- КГ3 = 0,08-10~2 м (0,2 мм = 0,2-10’3 м).
Длина средней линии сердечника: 4 = 4-12-10_2 = 48-10“2 м, так
как длина каждой стороны квадрата сердечника
Г = 16-10'2 - 2-10"2- 2-10'2 = 12-10-2 м.
Как видно, длина воздушного зазора (4 = 0,08-10-2 м) очень
мала по сравнению с длиной средней линии сердечника, поэтому
ее влиянием на длину сердечника (т?с = 48-10-2 м) можно прене-
бречь.
Магнитная цепь в рассматриваемом примере состоит из двух
однородных участков — сердечника из листовой электротехниче-
ской стали длиной = 48-10-2 м, сечением 5С= 16-КГ4 м2 и воз-
душного зазора длиной = 0,08-10-2 м, сечением 5С = 16-КГ4 м2.
Для выбора одного из магнитных потоков на графике зависи-
мости Ф=/(7Ж), например Ф, (рис. 8.10), предполагается, что
магнитное сопротивление воздушного зазора Д равно магнитно-
му сопротивлению всей магнитной цепи R..,.
Это предположение обусловлено тем, что сопротивление воз-
душного зазора А, значительно больше сопротивления ферромаг-
8.6. Расчет неразветвленных магнитных цепей
129
ях участков цепи, магнитная проницаемость которых (цг)
ячи раз больше магнитной проницаемости воздуха (ц,= 1).
эму магнитным сопротивлением ферромагнитной части, в
>м приближении, можно пренебречь.
им образом по закону Ома для магнитной цепи
Ло °-08-10:;____=39,8.10* ом.
Po-Vo 4тс • 10~7 16 IO"4
да ф,=ф01=1^= 2 ' 500 =25,12-10-4 Вб.
Ro 39,8 • 104
,аемся магнитным потоком Ф1 = 25-10“4 Вб.
гнитодвижущая сила (IW), необходимая для создания маг-
ого потока Фь определяется в следующей последователь-
гнитная индукция в магнитопроводе и воздушном зазоре бу-
авна
ф,_ф,=25 10^= л
5. 16 10 *
пряженность магнитного поля в сердечнике из листовой
гротехнической стали (Приложение 6)
Я1С = 3500 А/м.
и этом магнитное напряжение
Я1С = Я,с4 = 3500-48-10’2 = 1680 А.
пряженность в воздушном зазоре
Я10 =-^L= 1)56 , = 124-104 А/м.
Ро 4л • 10 7
агнитное напряжение при этом
? Uw = Я1(Д = 124-104-0,08-10“2 = 992 А.
гедовательно, магнитодвижущая сила для создания магнитно-
отока Ф1 в магнитной цепи будет равна
h иы = Яс + Яо = ЯЛ + Яо€о =1680 + 992 = 2672 А.
к как заданные ампер-витки (JW= 1000 А) меньше, чем тре-
ся для создания магнитного потока Фь то для построения
)ика зависимости Ф=/(/И/) в необходимых пределах про-
дьно выбираемый магнитный поток необходимо уменьшать,
определяется МДС для создания магнитных потоков Ф-> =
ИО-4 Вб; Ф3= 15-10-4 Вб и Ф4= 10-10’4 Вб.
34
130
Глава 8. Магнитные цепи и их расчет
Магнитодвижущая сила для каждого из выбираемых магнитных
потоков Ф2, Ф3 и Ф4 определяется тем же методом и в той хе
последовательности, что и для магнитного потока Фь
Результаты расчетов заносят в таблицу 8.2 и график Q>=f(JW\
строится по этим результатам (рис. 8.12).
Таблица 8.2
Участок цепи Ф|104 (Вб) Вх (Тл) Нх (А/м) Ux„ = H^ (А) /,1И (А) Фз-104 (Вб) в3 (Тл) н2 (А/м) </2м=я2г (А) [ДА)_
Эл.-техн, сталь 25 1,56 3500 1680 2672 20 1,25 1600 768 1564
Возд. зазор 124-104 992 99,5 104 796
Участок цепи Ф3104 (Вб) Ву (Тл) Hi (А/м) н3( (А) I3W (А) Ф4-104 (Вб) В4 (Тл) я, (А/м) я4м=я4^ (А) (А)
Эл.-техн. сталь 15 0,94 100 480 1079 10 0,625 300 144 342,4
Возд. зазор 74,8-104 599 49,8-Ю4 198,4
Примечание. Если по таблице 8.2 значение Ф104 = 25 Вб, то это означает, что
Ф = 2510-4 Вб.
По этому графику определяется магнитный поток Ф, создан-
ный заданными ампер-витками /1^ = 1000 А.
Как видно (рис. 8.12), заданная МДС JW- 1000 А создает в маг-
нитной цепи магнитный поток
Ф=14,910~4 Вб.
Ч-------Р-------Р------1------Р-------1--->
500 1000 1500 2000 2500 3000 IW (А)
Рис. 8.12
Такой же результат можно получить при расчете той же магнит-
ной цепи графо-аналитическим методом пересечений (рис. 8.13).
Как указывалось выше, магнитная цепь является нелинейной
цепью, так как кривая намагничивания любого ферромагнитного
материала, из которого состоит магнитная цепь, — кривая линия
(см. рис. 8.3 и Приложение 6).
8.6. Расчет неразветвленных магнитных цепей 131
ким образом, рассматриваемая в примере 8.3 (рис. 8.11) не-
етвленная магнитная цепь состоит из двух однородных участ-
участок, выполненный из листовой электротехнической ста-
- нелинейный участок и воздушный зазор — линейный учас-
(2?0 = МоЯ на рис. 8.3).
[едовательно, расчет нелинейной неразветвленной магнитной
< можно осуществить графо-аналитическим методом пересе-
1й аналогично методу расчета нелинейных неразветвленных
ктрических цепей постоянного тока (см. рис. 5.36, 5.6, 5.86).
дя нелинейного участка неразветвленной магнитной цепи
оится кривая зависимости Ф=/((7С) по результатам, получен-
и при расчете обратной задачи примера 8.3 (таблица 8.2). Кри-
зависимости Ф=/((7С) называется магнитной характеристи-
1 магнитной цепи.
дя построения магнитной характеристики выписываются зна-
ния величины магнитного потока Ф и магнитного напряжения
ферромагнитных участках (Uc) в таблицу 8.3 из таблицы 8.2. По
лученным данным строится магнитная характеристика нели-
йного участка рассматриваемой цепи (рис. 8.13).
Таблица 8.3
Ф 104 (Вб) £/с = ЯЛ(А)
10 144
15 480
20 768
25 1680
Рис. 8.13
132
Глава 8. Магнитные цепи и их расчет
Согласно второму закону Кирхгофа для магнитной цепи, изоб-
раженной на рис. 8.11, в соответствии с законом полного тока:
Uc+ U0 = IW,
откуда Uc = IW- Uo = IW- Л,Ф, • (8. Ю)
где Ro — магнитное сопротивление воздушного зазора, Uo = /?оф
что следует из закона Ома для участка магнитной цепи (8.4).
Зависимость (8.10) (Uc = IW- Л>Ф) линейная и графически
изображается прямой линией, построение которой производится
по двум точкам А и В (рис. 8.13).
Точка А откладывается на оси абсцисс UQ при Ф = 0 (т. е. при
UC = IW), а точка В откладывается на оси ординат Ф при £/с = О
(т. е. Ф = Точка пересечения прямой АВ с магнитной ха-
Ro
рактеристикой нелинейного участка магнитной цепи (точка Q
определяет искомый магнитный поток Ф (на оси ординат) и маг-
нитное напряжение Uc (на оси абсцисс), соответствующее это-
му магнитному потоку. Таким образом, магнитное напряжение
Uc = 450 А (рис. 8.13) создает магнитный поток в магнитной цепи
Ф = 14,9-10’4 Вб.
Как видно, результат получился таким же, как при расчете це-
пи (рис. 8.11) методом последовательных приближений.
8.7. Расчет разветвленных магнитных цепей
Расчет симметричной разветвленной магнитной цепи рассмат-
ривается на примере 8.4 (прямая задача).
Пример 8.4
На среднем стержне Ш-образного сердечника, выполненного
из электротехнической стали Э21 (1311), расположена обмотка
с числом витков W- 515 (рис. 8.14). Якорь А этой разветвленной
магнитной цепи выполнен из стали Э42 (1512). Между якорем А
и сердечником находится воздушный зазор = 0,2 мм. Размеры
магнитной цепи даны в мм.
Определить величину тока в обмотке, расположенной на сред-
нем стержне, при котором в якоре А создается магнитная индук-
ция ВА = 1,2 Тл.
Решение
Магнитная цепь по оси симметрии (00’) делится на две равные
части. Каждая часть рассчитывается отдельно как неоднородная
неразветвленная магнитная цепь. Магнитный поток Ф в каждой
части определяется по заданной магнитной индукции в якоре
Ф = BASA = 1,2-56-1 (Г4 = 67,2-КГ4 Вб,
где SA = 7-10’2-81(T2 = 5610”4 м2.
8.7. Расчет разветвленных магнитных цепей
133
= 1,4Тл,
(каждой части (половине) вычисленный магнитный поток за-
кается через якорь, воздушные зазоры и участок Ш-образного
шечника.
ГПо вычисленному потоку Ф определяется магнитная индук-
| в однородных участках.
Га участке
f в ф :67’2 •10-4
. ’ 51 48 • 10л
Ь = 6-10~2-8-10"2 = 4810"4м2.
за участке
ф= 67,2-10^
52 56 ПИ
|52 = 7-10"2-810“2 = 56-10“4 м2.
I зазоре бокового стержня
Г 5заз. 2 52 ~ 1,2 Тл.
В зазоре среднего стержня
1- Взаз. i = 5i= 1,4 Тл.
I якоре — 5А= 1,2 Тл.
I. Напряженность магнитного поля для ферромагнитных участ-
р (Приложение 5):
ЯА = 540 А/м, Я, = 1580 А/м, Я3 = 840 А/м.
Напряженность в воздушных зазорах:
; Язаз. 1 = = 1,1 Ю6 А/м,
1 Цо 4тг • 10 7
134 Глава 8. Магнитные цепи и их расчет
Язаз.2 = ^_1 =—=0,95-106 А/м.
Цо 4л • 10 7
3. Величина тока определяется из уравнения, составленного по
закону полного тока:
j _ Н \ + H\l.\ + Hil.2 + (74i + Hn )4
W
= [540 • 18,5 10“2 + 1580 17,5 • 10"2 + 840-29-10"2 +
+ (1,1 + 0,95) • 106 • 2 • 10“* ] / 515 =2 А,
где длина средней линии каждого участка магнитной цепи соот-
ветственно равна:
4 = 35 + 115 + 35 = 185 мм=18,510-2 м,
4 = 0,2 мм = 2-10-4 м,
1\- 280 - 70 - 35 = 175 мм = 17,5-10~2 м (длиной зазора пренебре-
гаем),
4 = 175+ 115 = 290 мм = 2910-2 м (длиной зазора пренебрегаем).
Таким образом, индукцию 5А=1,2 Тл в якоре разветвленной
магнитной цепи (рис. 8.14) создает ток /=2 А.
Расчет несимметричной разветвленной магнитной цепи рассмат-
ривается на примере 8.5 (прямая задача).
Пример 8.5
Для разветвленной несимметричной магнитной цепи (рис. 8.15)
известны длины пяти участков, их поперечные сечения и магнит-
ный поток Ф5 в воздушном зазоре длиной 4- Остальные участки
выполнены из ферромагнитного материала, кривая намагничива-
ния которого известна.
Определить магнитодвижущую силу /^(МДС), созданную дву-
мя обмотками, необходимую для создания в зазоре магнитного
потока Ф5.
Решение произвести в общем виде. Стрелками указано направ-
ление магнитного потока участков цепи.
Решение
Магнитные потоки участков 3, 4 и 5 одинаковы, т. е. Ф,=
= Ф4 = Ф5, следовательно, можно определить магнитную индхк-
Ф 5
цию в каждом участке В = ——, и если сечения этих участков оди-
Э уч
наковы, то и магнитная индукция в них одинакова, т. е-
By— В.: = By.
Для участков 3 и 4, выполненных из ферромагнитного материя'
ла, по кривой намагничивания определяется напряженность поля
8.7. Расчет разветвленных магнитных цепей
135
Рис. 8.15
и Н4, а напряженность в воздушном зазоре определяется по
рмуле
Н5 =^-.
Цо
Лагнитное напряжение на участках 3, 4, 5, между точками А
Р, определяется соотношением UM = Н2£2 + Н5£5 + Н4£4.
Такое же магнитное напряжение будет на участке £\, так как
расположен между точками А и В, т. е. UM = H£i, откуда вычис-
втся Hi
1о кривой намагничивания для материала участка определяет-
индукция В\ и магнитный поток Ф1 = Д5].
Лагнитный поток согласно первому закону Кирхгофа для раз-
деленной магнитной цепи будет равен Ф2 = Ф[ + Ф3.
1еличина магнитной индукции вычисляется отношением
В1
1о кривой намагничивания определяется Н2.
_'огда искомая МДС будет равна F= IW= Н2£2 + UM.
Обратную задачу расчета разветвленной магнитной цепи ре-
ают с использованием схем замещения и графо-аналитическим
атодом.
Расчеты всех магнитных цепей произведены с учетом отсут-
вия рассеяния магнитного потока.
Рис. 9.1
Глава 9
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
9.1. Явление и ЭДС электромагнитной
индукции
Если проводник длиной I пересекает магнитное поле с индук-
цией В со скоростью V, то в этом проводнике индуктируется ЭДС
электромагнитной индукции.
Явление наведения ЭДС электромагнитной индукции в проводнике,
пересекающем магнитное поле, называется электромагнитной ин-
дукцией.
Природу наведения ЭДС в пересекающем магнитное поле про-
воднике можно рассматривать на примере перемещения указан-
ного выше проводника перпендику-
лярно линиям магнитного поля со
х скоростью V, вверх (рис. 9.1).
х Очевидно, вместе с проводником
х вверх перемещаются все свободные и
х несвободные заряды проводника, со-
х здавая свой ток, т. е. направленное
х перемещение зарядов. Так как пере-
мещающиеся направленно заряды
создают ток в магнитном поле, то на
каждый свободный заряд будет дейст-
вовать электромагнитная сила, направление которой можно
определить по правилу левой руки. Учитывая, что за направление
тока принято направление перемещения положительных зарядов,
ток положительных зарядов, перемещающихся вместе с провод-
ником, направлен вверх, а ток отрицательных зарядов — вниз, т. е.
противоположно току положительных зарядов.
В результате взаимодействия тока зарядов с магнитным полем
на положительные заряды, в данном примере, электромагнитная
сила направлена влево, а на отрицательные заряды — вправо. Та-
ким образом, на концах рассматриваемого проводника сосредота-
чиваются разноименные заряды (рис. 9.1), т. е. создается ЭДС
электромагнитной индукции Е.
Направление ЭДС электромагнитной индукции определяется
правилом правой руки: правую руку располагают так, чтобы маг-
нитные линии поля входили в ладонь, а отогнутый большой палец
9.1. Явление и ЭДС электромагнитной индукции
137
азывал направление перемещения проводника (направление скоро-
; V), тогда вытянутые четыре пальца покажут направление пи-
кированной ЭДС Е (см. рис. 9.1).
роводник с ЭДС может выполнять функцию источника элект-
еской энергии.
гличина индуктированной ЭДС рассчитывается с учетом того,
разделение зарядов в проводнике происходит под действием
ктромагнитных сил, напряженность которых определяется вы-
сением
г _ Динд _ Дар ВИ. _ ^зар ВЦ. _ г
-^инд — ~ ~ ,
(9.1)
(7зар (7зар ^(?зар
Етд — напряженность индукции — напряженность поля, со-
рная электромагнитными силами и направленная так же, как
[Ы, действующие на положительный заряд (рис. 9.1); ДИ1Щ -
ктромагнитные силы, действующие на заряды, создающие ток
ядов; ^ар — заряды, создающие ток зарядов; /зар — ток зарядов,
[равленно пересекающих магнитное поле, т.е. I3iV=q-^/t (ко-
[ество электричества в единицу времени); V=H./t — скорость
смещения проводника (зарядов), где I — путь, пройденный за-
дам за время t.
азделенные в проводнике заряды создают в нем электрическое
ie, напряженность которого Ёэл направлена от положительного
яда к отрицательному (рис. 9.1). Таким образом, напряжен-
лъ электрического поля в проводнике Ёэл направлена против
гряженности индукции ЁИНЛ. Очевидно, разделение зарядов в
эводнике под действием электромагнитных сил прекратится
да, когда напряженность Еэл станет равной ЕИШ:
Езл = Епт = ВУ.
Сосредоточенные на концах проводника разделенные заряды
здают в проводнике однородное электрическое поле. Следова-
рьно, напряжение на концах проводника согласно (1.13) будет
вно
; U= ЕЭЛ£—ВУЕ
Так как проводник разомкнут (холостой ход), то напряжение U
И концах проводника равно его ЭДС — Е (см. раздел 2.6).
Тогда
Е=ВУ£.
(9.2)
.Так определяется ЭДС электромагнитной индукции Е в провод-
‘Ике длиной пересекающем однородное магнитное поле с ин-
гкцией В перпендикулярно его направлению со скоростью V.
138
Глава 9. Электромагнитная индукция
Если же проводник пересекает поле под
углом а (рис. 9.2), то ЭДС — Ев этом провод,
нике определяется выражением
Е= 5P?sina,
(9.3)
Рис. 9.2 где а — угол между направлением движения
проводника и магнитным полем.
Если проводник с индуктированой ЭДС замкнуть, то в замкну-
той цепи проводника появится ток, который, как и ЭДС, называ-
ется индуктированным.
Направление индуктированного тока совпадает с направлением
индуктированной ЭДС.
9.2. Преобразование энергий. Правило Ленца
Преобразование механической энергии в электрическую
Если проводник пересекает магнитное поле, то в нем индукти-
руется ЭДС электромагнитной индукции. При замыкании про-
водника в цепи появится индуктированный ток. Таким образом,
механическая энергия, затраченная на перемещение проводника
в магнитном поле, преобразуется в электрическую энергию тока в
этом проводнике.
Подобное преобразование механической энергии в электриче-
скую имеет место в электрических генераторах.
Направление индуктированного тока в проводнике определяется
по правилу правой руки (рис. 9.3). Индукти-
рованный ток взаимодействует с магнитным
полем, в результате чего на проводник с током
/действует электромагнитная сила F, направ-
ление которой определяется по правилу левой
руки. Как видно (рис. 9.3), эта сила направле-
на против скорости перемещения проводника
V, которая является причиной возникновения
индуктированного тока.
Это и легло в основу правила Ленца, соглас-
но которому индуктированный ток всегда про-
тиводействует причине, вызвавшей его (т. е.
сила F, вызванная индуктированным током /, противодействует
перемещению проводника со скоростью V, которое и является
причиной, вызвавшей этот ток).
Затраченная на перемещение проводника механическая мощ-
ность компенсируется мощностью электромагнитных сил FV, т. е.
Pmx = FV=BUV=IE=P3n. (9.4)
Рис. 9.3
9.2. Преобразование энергий. Правило Ленца
139
авнение (9.4) устанавливает количественную сторону преоб-
вания механической энергии в электрическую. Таков баланс
цостей при преобразовании механической энергии в элект-
скую.
Эеобразование электрической энергии в механическую
ЛИ по проводнику сопротивлением R, расположенном в маг-
[ом поле с индукцией В, проходит ток I, созданный источни-
С ЭДС Е и внутренним сопротивлением 7?о, то на этот провод-
будет действовать электромагнитная сила Е за счет которой
юдник будет перемещаться (рис. 9.4).
дим образом, электрическая энергия тока /ист преобразуется в
щическую энергию движения этого проводника под действи-
лектромагнитной силы F.
iKoe преобразование электрической энергии в механическую
ет место в электрических двигателях.
вправление электромагнитной силы определяется по правилу
>й руки. При движении проводника в том же магнитном поле
действием электромагнитной силы У7 в проводнике, пересека-
ем это поле, индуктируется ЭДС электромагнитной индукции
; Направление индуктированного тока /инд, вызванного этой
D в замкнутой цепи, определяется по правилу правой руки
9.4).
дк видно, индуктированный ток /ииц направлен против тока
очника /ист в сопротивлении R. Тем самым еще раз подтверж-
ТСя правило Ленца: индукти-
чнный ток всегда противодей-
ует причине, вызвавшей его',
/„нд направлен против тока
взаимодействие которого с
нитным полем создает элект-
агнитную силу F, явля-
вйся причиной создания /инд.
1я замкнутой цепи, изобра-
:ной на рис. 9.4, величина
образованной электрической
ргии в механическую опреде-
гся на основании второго за-
[а Кирхгофа:
Е— Ект — IRq + IR
1 Е= ЕИНЛ+ I(Rq + R).
множив левую и правую части равенства на I, получаем
Е1= Еннл1+I2(Ro +R)
140
Глава 9. Электромагнитная индукция
или P3n = BV£I+l\RG + R) = FV+lXR(i + R) = P^ + \P3n, (9 S)
где £ИНД=ЙР?; РМ = ЕГ, F=BIE, PMn = FV; &РЗЛ = I2(Rq+ R) - моць
ность электрических потерь в рассматриваемой цепи; /= /ист - 7
Таков баланс мощностей преобразования электрической энер.
гии в механическую.
9.3. ЭДС электромагнитной индукции
в контуре и катушке
Допустим, что проводник длиной t пересекает однородное маг-
нитное поле с неравномерной скоростью К= db/dt (рис. 9.5). Сле-
довательно, в этом проводнике индуктируется переменная ЭД с
электромагнитной индукции
e = BV£ = B£^-,
dt
где е — мгновенное значение переменной ЭДС; db — бесконечно
малый отрезок пути, пройденный проводником за время dt.
За время dt проводник пересекает элементарную площадку
магнитного поля dS=£db. Следовательно, е = В—.
dt
db
Рис. 9.5
Пронизывающий проводник элементар-
ный магнитный поток d<& магнитного поля
равен
d<b = BdS.
Тогда
(9.6)
Таким образом, ЭДС электромагнитной
индукции в проводнике равна скорости изме-
нения магнитного потока в этом проводнике.
Из уравнения (9.6) следует, что для созда-
ния ЭДС электромагнитной индукции в про-
воднике проводник должен пересекаться пе-
ременным магнитным потоком, поскольку при постоянном значе
нии магнитного потока его производная равна нулю (--= О)-
dt
Для того чтобы магнитный поток, пронизывающий проводник,
был переменным, необходимо, чтобы или проводник пересекал
неподвижное магнитное поле, или магнитное поле пересекал0
неподвижный проводник, или проводник должен пересекаться
переменным по величине или направлению магнитным потоком
9.3. ЭДС электромагнитной индукции в контуре и катушке
141
Выражение (9.6) получено для случая пересечения прямолиней-
но проводником однородного магнитного поля с неравномер-
Вскоростыо под углом 90°.
|го же выражение (9.6) справедливо для определения ЭДС
юдромагнитной индукции в проводнике любой формы, пере-
Ьцощем любое магнитное поле под любым углом.
|а практике возникает необходимость определить ЭДС элект-
иагнитной индукции в замкнутом контуре или катушке.
или контур пересекает неоднородное магнитное поле со ско-
тью V, то в левом проводнике этого контура, пересекающем за
элементарный магнитный поток йФц, индуктируется
йФ 1
----, а в правом проводнике контура, пересекающем за
dt
элементарный магнитный поток с?Ф2, индуктируется
с?Ф2
~~dt~
Направление ЭДС в проводниках контура определяется по пра-
jy правой руки.
>ти ЭДС, как видно на рис. 9.6, на-
калены в контуре навстречу друг
ду. Следовательно, суммарная ЭДС
>ктромагнитной индукции в контуре
}на их разности
<7Ф2 -<7Ф1
е = е2 -61 =
dt
61 =
я dt
>б2 =
Scxxx
>ф®<-
XXXjX
_ xxxk
ххЙх
—• \ —*
е1 е-
хжх
X
X
(/Ф2
ХХХХ XXX
Рис. 9.6
dt
Положительное направление ЭДС
шзано с направлением вращательного
Ьжения рукоятки буравчика, посту-
Гельное движение которого совпадает
Направлением магнитного поля.
Приращение магнитного потока г/Ф
контуре за время dt, полученное при
Й?емещении контура влево (рис. 9.6), равно бф = </Ф] - <7Ф2, так
вс с?Ф1 вошел в контур, а с/Ф2 вышел из контура за это время.
(Следовательно, ЭДС электромагнитной индукции в контуре
I 1/Ф2 -оФ, dФ^ -</Ф2 г/ф
г е =----------=------------------.
F dt dt dt
уЭДС электромагнитной индукции в контуре определяется скоро-
ръю изменения магнитного потока в этом контуре, взятой с об-
етным знаком:
(9.7)
iiiil
142
Глава 9. Электромагнитная индукция
Знак «минус» здесь отражает правило Ленца, которое для кон.
тура гласит так: индуктированный в контуре ток, наведенный ин-
дуктированной ЭДС, противодействует изменению магнитного по-
тока в этом контуре.
Индуктированный ток в контуре изменяет свое направление в
зависимости от того, уменьшается или увеличивается магнитный
поток в этом контуре (рис. 9.7) при неизменном направлении его.
То есть при увеличе-
нии магнитного потока
(рис. 9.7а) индуктиро-
ванный ток противо-
действует этому уве-
личению, а при умень-
шении потока индук-
тированный ток проти-
водействует его умень-
шению (рис. 9.76).
катушке, состоящей из W
а)
б)
Рис. 9.7
изменяется в
Если магнитное поле
витков (рис. 9.8а), то в каждом витке (контуре) этой катушки ин-
дуктируется ЭДС е' Во всех витках этой катушки ЭДС
dt
e = We'^^.
dt
Произведение ФИ/='Р называется потокосцеплением.
Тогда ЭДС, индуктированная переменным магнитным потоком
в катушке, будет определяться:
е ------
dt
(9.8)
Таким образом, ЭДС электромагнитной индукции в катушке рав-
на скорости изменения потокосцепления в ней, взятой с обратным
знаком. Знак «минус» является отражением правила Ленца.
9.4. Явление и ЭДС самоиндукции
Если по катушке с числом витков W (рис. 9.8а) проходит ток /,
то этот ток создает в катушке магнитный поток Ф, величина кото-
рого пропорциональна току. Очевидно, пропорционально этому
току и потокосцепление Т = Ф W.
Следовательно, отношение — для данной катушки — величина
постоянная. Эта постоянная величина обозначается буквой L и
называется индуктивностью катушки:
9.4. Явление и ЭДС самоиндукции
143
l4
(9.9)
Ьким образом, индук-
(цость L является пара-
фом определенной ка-
йки, а также параметром
Бого проводника и кон-
а)
Рис. 9.8
Синицей индуктивности
[вляется генри:
Вб_Вс
I А А
[Z] =
= Ом • с = Гн (генри).
магнитный поток, созданный в катушке (рис. 9.8а) с
|тков Истоком I, будет равен согласно (8.1)
1 Ф-ц.ц.^5.
в "'^2
Гогда потокосцепление Ч =Ф№ = ц0Цг 5.
Индуктивность катушки определяется выражением
г_V _ W2 о
£___РоИг—5.
числом
(9.Ю)
Таким образом, индуктивность катушки пропорциональна квад-
упу числа витков катушки и зависит от габаритов и материала
агнитопровода этой катушки.
[Изменять индуктивность катушки можно изменением магнит-
&й проницаемости магнитопровода ца = цор/ при разомкнутом
Йгнитопроводе катушки сердечник можно вставлять или выни-
|ть из катушки, а при замкнутом сердечнике из ферромагнитно-
I.материала можно изменять ток катушки (рис. 8.4).
Если по катушке с индуктивностью L (рис. 9.86) пропустить пе-
ненный ток i, то он создает в катушке переменный магнитный
Сток, который индуктирует в витках катушки ЭДС самоиндук-
Йи eL.
Явление наведения ЭДС самоиндукции в проводнике, контуре или
цтушке, вызванное изменением тока в самом проводнике, контуре
пи катушке, называется явлением самоиндукции.
ЭДС самоиндукции в катушке можно определить, используя
йражения (9.8) и (9.9):
। dLi г di
1 e, =---=-----=—L—.
dt dt dt
144
Глава 9. Электромагнитная индукция
Таким образом, ЭДС самоиндукции eL в проводнике, контуре
или катушке пропорциональна скорости изменения тока в этом
проводнике, контуре или катушке, взятой со знаком «минус», т. е
о Т
dt
(9.11)
Знак «минус» отражает здесь правило Ленца, которое в данном
случае можно сформулировать так: индуктированный в катушке
ток, вызванный ЭДС самоиндукции, противодействует изменению
тока, вызвавшего эту ЭДС.
Так, например, если ток i катушки увеличивается, то ЭДС само-
индукции (индуктированный ток) противодействует этому
увеличению; если же ток i катушки уменьшается, то индуктиро-
ванный ток противодействует его уменьшению.
Из формулы (9.11) видно, что индуктивность L как параметр
проводника, контура и катушки характеризует их с точки зрения
наведения в них ЭДС самоиндукции, т. е. чем больше индуктив-
ность L, тем больше ЭДС самоиндукции в них при неизменной
скорости изменения тока.
Если по катушке с индуктивностью L проходит ток I, то в маг-
нитном поле этой катушки накапливается энергия, величина ко-
торой определяется:
W - I2
магн
(9.12)
9.5. Явление и ЭДС взаимоиндукции
Если две или несколько катушек расположить так, что магнит-
ный поток одной из них пронизывает витки остальных, то такие
катушки называют магнитосвязанными.
Если по одной из магнитосвязанных катушек, например первой
Wi (рис. 9.9а), пропустить ток то он создает в этой катушке маг-
нитный поток Ф,, пропорциональный ц, часть которого Фы
пронизывает витки второй катушки 1V2, создавая потокосцепле-
ние 'Pi,2 = Ф1.2^2, пропорциональное ф Часть магнитного потока
Ф1 рассеивается Фр.
Если по второй катушке W2 (рис. 9.9а) проходит ток i2, то он со-
здает в ней магнитный поток Ф2, пропорциональный i2, часть ко-
торого Ф2,1 пронизывает витки первой катушки И^, создавая по-
токосцепление 'Ргл = Фг,11^1, пропорциональное i2.
9.5. Явление и ЭДС взаимоиндукции
145
[едовательно, для двух магнитосвязанных катушек отноше-
величина постоянная, обозначается буквой М и называется
мной индуктивностью этих катушек.
1заимная индуктивность М — это параметр магнитосвязанных
>водников, контуров или катушек.
заимная индуктивность М измеряется в генри
[М]= у = ^=Омс=Гн.
юли на магнитопроводе неразветвленной магнитной цепи
[С. 9.96) расположены две катушки W\ и W2, то при отсутствии
юеивания (магнитный поток каждой катушки полностью за-
кается в магнитопроводе и пронизывает другую катушку) вза-
ная индуктивность этих катушек определяется выражением
£ — общая длина магнитопровода; S — сечение магнитопрово-
Ф12 = Цо Цг = Ф1 (согласно выражению (8.1)).
'аким образом, взаимная индуктивность двух магнитосвязанных
пушек пропорциональна произведению числа витков этих кату-
к и зависит от габаритов и материала магнитопровода, на ко-
вром расположены эти катушки.
i
146 Глава 9. Электромагнитная индукция
Каждая из рассмотренных магнитосвязанных катущек
(рис. 9.96) обладает индуктивностью (см. (9.10))
Произведение этих индуктивностей будет равно
LiL2 $2 =мг. (9.15)
Следовательно, при отсутствии рассеяния величина взаимной
индуктивности
М=/ЦЦ.
В общем случае
М = KyjL\L2. (9.16)
Коэффициент К называют коэффициентом связи двух магни-
тосвязанных катушек
ЦЬ2
Коэффициент связи К показывает, какая часть созданного ка-
тушками магнитного потока пронизывает одновременно обе магни-
тосвязанные катушки.
Коэффициент связи может изменяться от нуля до единицы, т. е.
0 1. При отсутствии рассеяния магнитного потока 7^=1, а
при отсутствии магнитной связи К=0.
Если по одной из магнитосвязанных катушек (рис. 9.96), напри-
мер первой, пропустить переменный ток ц, то он создает в ней пе-
ременный магнитный поток Фь часть которого ФЬ2 пронизывает
витки второй катушки W2 и индуктирует в них ЭДС взаимоиндук-
ции ем.
Явление наведения ЭДС взаимоиндукции в одной из магнитосвя-
занных катушек, вызванное изменением тока в другой катушке, на-
зывается явлением взаимоиндукции.
ЭДС взаимоиндукции во второй катушке будет равна
(9.18)
То есть ЭДС взаимоиндукции в одной из магнитосвязанных
катушек пропорциональна скорости изменения тока в другой
катушке со знаком «минус».
9.5. Явление и ЭДС взаимоиндукции
147
;довательно
(9.19)
йк «минус» отражает правило Ленца.
йимная индуктивность М как параметр взаимосвязанных
{одни ков, контуров и катушек характеризует явление взаимо-
пщии с точки зрения наведения ЭДС взаимоиндукции в од-
‘элементе (катушке 2), вызванное изменением тока в другом
юнте (катушке 1), магнитосвязанном с ним.
{дение взаимоиндукции лежит в основе работы электрических
[сформаторов.
сложенное к первичной обмотке трансформатора напряже-
U\ уравновешивается падением напряжения на обмотке ixRx,
' самоиндукции этой обмотки е £1 = -L—- и ЭДС взаимоин-
;; _ dt
щи в той же обмотке ет = -М —— (см. рис. 9.96).
dt
эименяя второй закон Кирхгофа (для мгновенных значений),
но записать для первичной обмотки
Ux + е£1 + емх = ixRx или Ux = ixRx - eLl - eMl.
'огда Ux = ixRx + £i —+ M —I (9.20)
Io аналогии можно записать выражение для определения на-
^жения U2 на вторичной обмотке, к которой подключается по-
витель:
u2 =i2R2 + ь2^_ + М^-. (9.21)
| dt dt
1еред ЭДС взаимоиндукции в (9.20) и (9.21) может стоять знак
Йнус», если имеет место встречное включение, т. е. eL и ем в об-
ыске направлены в разные стороны.
Сак видно, в обмотках трансформатора имеет место явление
бктромагнитной индукции, самоиндукции и взаимоиндукции,
м же отличаются эти явления?
1рирода всех этих явлений одинакова — переменный магнит-
1й поток индуктирует в проводнике, контуре или катушке пере-
Нную ЭДС. Если происхождение этого потока произвольно, то
индуктирует ЭДС электромагнитной индукции е. Если этот
Гнитный поток создан током, проходящим по самому провод-
ку, контуру или катушке, то он индуктирует ЭДС самоиндук-
148
Глава 9. Электромагнитная индукция
ции eL. Если магнитный поток создан током, проходящим по Од
ному элементу цепи (например, первому контуру) магнитосвя
занному с другим элементом цепи (например, вторым контур0м?
то он наводит во втором контуре ЭДС взаимоиндукции ем.
9.6. Вихревые токи
Сердечники якоря и полюсов электрических машин, трансфОр,
маторов, дросселей и других аппаратов, по обмоткам которых
проходит переменный ток, выполняются обычно из электротех-
нической стали, представляющей собой ферромагнитный мате-
риал и одновременно проводник.
Переменный ток в обмотках массивных сердечников (рис. 9.10а)
создает в этих сердечниках переменный магнитный поток Ф, на-
правленный вдоль сердечни-
ка перпендикулярно площади
его поперечного сечения. Пе-
ременный магнитный поток в
каждом сечении сердечника
индуктирует ЭДС электромаг-
нитной индукции. Эта ЭДС в
каждом слое массивного сер-
дечника создает токи, которые
замыкаются в этом слое прово-
дящего материала (рис. 9.10а).
Эти токи называются вихре-
выми токами.
Между вихревыми токами в
каждом слое массивного сер-
дечника и током I, создаю-
щим эти токи, существует не
электрическая, а электромаг-
нитная связь.
Вихревые токи вызывают
нагрев стальных сердечников
электромагнитных аппаратов
и снижают их КПД за счет потерь энергии, которая тратится на
нагрев.
Потери, вызванные вихревыми токами в токопроводящих сердеч-
никах, называются потерями на вихревые токи. Для уменьшения
потерь на вихревые токи стальные сердечники, по обмоткам ко-
торых проходит переменный ток, выполняют из листовой стал**
(рис. 9.106). Для этой цели используются тонкие листы толшИ'
ной 0,35 или 0,5 мм, малое сечение которых создает большое со-
противление вихревым токам (см. (2.5)) и уменьшает их. Д-1Я
9.6. Вихревые токи
149
ьшения вихревых токов листы стали изолируются друг от
I специальным лаком. Кроме того, для ослабления вихревых
в, а следовательно, и потерь на них в электротехническую
, вводится кремний, благодаря чему увеличивается удельное
отивление, а следовательно, и сопротивление сердечника в
>м (см. (2.8)).
травление вихревых токов в сердечниках определяют по пра-
/. Ленца.
(Хревые токи применяются для индукционной плавки метал-
,;закалки стальных деталей (шестерен и коленчатых валов),
рдукционных печах вихревые токи используют для нагрева-
заготовок. Принцип действия индукционных приборов
дорических счетчиков) базируется на вихревых токах. Вих-
йе токи используются в электроизмерительных устройствах,
(агнитоиндукционных успокоителях колебаний некоторых
0оров.
Глава 10
ОДНОФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
10.1. Основные понятия
Для получения, передачи и распределения электрической
энергии применяются в основном устройства переменного тока:
генераторы, трансформаторы, линии электропередачи и распре-
делительные цепи переменного тока.
Постоянный ток, необходимый в некоторых областях народно-
го хозяйства (транспорт, связь, электрохимия и др.), получают
выпрямлением переменного тока.
Переменным электрическим током называют ток, периодически
изменяющийся по величине и направлению.
Основное достоинство переменного тока заключается в возмож-
ности трансформировать напряжение. Кроме того, электрические
машины переменного тока надежней в работе, проще по устрой-
ству и эксплуатации.
Говоря о переменном токе, обычно имеют в виду синусоидаль-
ный переменный ток, т. е. ток, изменяющийся по синусоидально-
му закону. При синусоидальном токе ЭДС электромагнитной ин-
дукции, самоиндукции и взаимоиндукции изменяются по сину-
соидальному закону.
Синусоидальный переменный ток проходит в замкнутой линей-
ной электрической цепи под действием синусоидальной ЭДС.
Рассмотрим получение синусоидальной ЭДС. Если в однород-
ном магнитном поле с индукцией В равномерно со скоростью V
вращается рамка (рис. 10.1), то в каждой активной стороне этой
рамки длиной £ индуктируется ЭДС электромагнитной индук-
ции, которая согласно (9.3) будет равна
е= 7? Pysina,
где a — угол, под которым активный проводник рамки пересекает
магнитное поле (угол между Ви Г), или угол поворота рамки от-
носительно нейтральной плоскости NW, как углы со взаимно
перпендикулярными сторонами.
Плоскость AW называется нейтральной, т. к. ЭДС в рамке,
расположенной в этой плоскости, равна нулю (а = 0, следователь-
но, sina = 0).
10.1. Основные понятия
151
: как BVI — величина постоянная по условию, то е пропорцио-
ia sin а, т. е. ЭДС в этой рамке, при вращении ее вокруг оси
изменяется по синусоидальному закону. Если к этой рамке
почить нагрузку (потребитель), то в замкнутой цепи (рис. 10.1)
ет ток, который, как и ЭДС, изменяется по синусоидальному
ну. Поэтому такой ток и называется синусоидальным,
нусоидальная ЭДС e=fia) изображена на графике рис. 10.2.
’ график принято называть «волновая диаграмма». (Если из-
пощаяся величина изображена в зависимости от времени
О, то ее называют «временная диаграмма».) На этой диаграм-
Рис. 10.2
152 Глава 10. Однофазные электрические цепи переменного тока
ме синусоида ограничивает величины ЭДС (ординаты) при раз
личных углах поворота рамки относительно нейтральной плоско
сти NW. Как видно, синусоидальная ЭДС изменяется по величц
не и направлению.
10.2. Величины, характеризующие синусоидальную ЭДс
Амплитуда - это максимальное значение периодически измени,
ющейся величины.
Обозначаются амплитуды прописными буквами с индексом т
т. е. Ет, Um и 1т.
Нетрудно видеть (рис. 10.2), что ЭДС достигает своих амплитуд,
ных значений тогда, когда рамка повернется на угол а = 90° или
на угол а = 270°, так как |sin90°| = |sin270°| = 1. Следовательно
Ет = ВИ.
Тогда
е = £msina.
(Ю.1)
Период — это время, в течение которого переменная величина
делает полный цикл своих изменений, после чего изменения по-
вторяются в той же последовательности.
Обозначается период буквой Т и измеряется в секундах, с (сек)
т.е. [Т] = с.
Значение ЭДС через каждый период определяется следующим
равенством (рис. 10.3):
e(ti) = e(ti+ Т) = е(^ + кТ),
где к — целое число.
На рис. 10.3 изображена временная диаграмма синусоидальной
ЭДС при вращении рамки в магнитном поле.
Частота — число периодов в единицу времени, т.е. величина,
обратная периоду.
Обозначается частота буквой /, f = у, и измеряется в гер-
цах (Гц):
[Л = Г^1 =1 =гц-
L / J с
Стандартной частотой в электрических сетях России является
частота f = 50 Гц. Для установок электронагрева пользуются час-
тотами / = 50ч-50 1 06 Гц(1106 Гц=1 МГц — мегагерц).
При частоте /=50 Гц, т.е. 50 периодов в секунду, период
T=-L = -L=0,02 с.
f 50
10.2. Величины, характеризующие синусоидальную ЭДС
153
овая частота (угловая скорость) характеризуется углом пово-
рамки в единицу времени.
эзначается угловая частота буквой со (омега):
со = ^. (10.2)
t
меряется угловая частота в единицах радиан в секунду
с), так как угол измеряется в радианах (рад).
время одного периода Т рамка повернется на угол 360’ =
рад. Следовательно, угловую частоту можно выразить следу-
и образом:
| ю = у = 2л/. (Ю.З)
иовенное значение — это значение переменной величины в
й конкретный момент времени.
новенные значения обозначаются строчными буквами, т. е.
I.
выражения (10.2) следует, что угол поворота рамки а = со/,
i мгновенные значения синусоидальных величин можно за-
гь так:
е = £,„sin cor; i= /„sinmt; и= Umsinat. (10.4)
мм образом, любая синусоидальная величина характеризует-
[плитудой и угловой частотой, которые являются постоянны-
ля данной синусоиды. Следовательно, по формулам (10.4)
ю определить синусоидальную величину в любой конкрет-
момент времени t, если известны амплитуда и угловая ча-
154 Глава 10. Однофазные электрические цепи переменного тока
Фаза и сдвиг фаз
Если в магнитном поле вращаются две жестко скрепленны
между собой под каким-то углом одинаковые рамки (рис. 10.4^
т.е. амплитуды ЭДС Ет и угловые частоты со их одинаковы,
мгновенное значение их ЭДС можно записать в виде
ei = £,„sin (со/+ТО; е2 = fmsin (со/+ Т2),
(Ю.5)
где % и 'Pj - углы, определяющие значения синусоидальных ве-
личин С] и е2 в начальный момент времени (t-Q), т. е.
eOi = £msin Ть с?02 = ^sin Т2.
Поэтому эти углы Ti и % называют начальными фазами сину-
соид.
Начальные фазы Tj и Т2 этих ЭДС различны.
Таким образом, согласно (10.5) каждая синусоидальная величина
характеризуется амплитудой Ет, угловой частотой со и начальной
фазой Т. Для каждой синусоиды эти величины (Ет, со и Т) явля-
ются постоянными. В выражениях (10.4) начальные фазы Т сину-
соид равны нулю (Т = 0).
Величина (coZ+T) называется фазой синусоиды.
Разность начальных фаз двух синусоидальных величин одинаковой
частоты определяет угол сдвига фаз этих величин:
Т1,2 = Т1-Т2. (10.6)
При вращении против часовой стрелки (рис; 10.4а) ЭДС в пер'
вой рамке достигает амплитудного и нулевого значения раньше’
чем во второй, т. е. в[ опережает по фазе е2 или е2 отстает по фазе
10.3. Среднее и действующее значения переменного тока
155
!( (рис. 10.46). Угол сдвига фаз 'Pi,2 показывает, на какой угол
I синусоидальная величина опережает или отстает от другой
I. достигает своих амплитудных и нулевых значений раньше
позже).
е синусоидальные величины одинаковой частоты, достигаю-
одновременно своих амплитудных (одного знака) и нулевых
ений, считаются совпадающими по фазе (рис. 10.5а).
ли две синусоиды одинаковой частоты достигают одновре-
но своих нулевых и амплитудных значений разных знаков
;. 10.56), то они находятся в противофазе.
1емя, на которое одна синусоидальная величина опережает
отстает от другой, характеризует время сдвига фаз 7) 2 = —
со
>рое можно выразить через период Т и частоту f синусоиды
ующим образом:
, Tb2 т
I1 2 —------ —----- =-------1 .
со 2 Ttf 2 л
(Ю.7)
10.3. Среднее и действующее значения
переменного тока
роме амплитудных и мгновенных значений переменный ток,
.ряжение, ЭДС характеризуются еще средними и действующи-
,(эффективными) значениями.
Среднее значение переменного тока
реднее значение переменного тока равно величине такого по-
янного тока, при котором через поперечное сечение провод-
а проходит то же количество электричества Q, что и при пере-
лом токе.
156 Глава 10. Однофазные электрические цепи переменного тока
Таким образом, среднее значение переменного тока эквивалент
но постоянному току по количеству электричества Q, проходяще~
му через поперечное сечение проводника в определенный проме-
жуток времени.
Средние значения переменных величин обозначаются пропис-
ными буквами с индексом «с», т. е. Ic, Ue, Ес.
Если ток изменяется по синусоидальному закону, то за полови-
ну периода через поперечное сечение проводника проходит опре.
деленное количество электричества Q в определенном направле-
нии, а за вторую половину периода через то же сечение проходит
то же количество электричества в обратном направлении. Таким
образом, среднее значение синусоидального тока за период равно
нулю, т. е. /с = 0.
Поэтому для синусоидального переменного тока определяется
его среднее значение за половину периода 7/2, т. е.
/С=-А,
Т/2
Из выражения (2.1) значение переменного тока i = —^~, откуда
dt
Q = J idt. Следовательно, среднее значение синусоидального тока
/ = /„sin wt с начальной фазой Т = 0 за полупериод определяется
(рис. 10.6) выражением
г
2 г 9
4 = v | 1т sinco/Л =- Im = 0,6377т ,
Т о я
где = 2л/, а Т =1 / f.
Графически среднее за полупериод значение синусоидального
тока равно высоте прямоугольника с основанием, равным 772, и
Рис. 10.6
площадью, равной площа-
ди, ограниченной кривой
тока и осью абсцисс за по-
ловину периода (рис. 10.6).
Под средним значением
переменной величины по-
нимают постоянную со-
ставляющую этой величи-
ны.
Средние значения сину-
соидального напряжения и
ЭДС за полупериод можно
определить по аналогии с
током.
10.3. Среднее и действующее значения переменного тока 157
Uz Л Um = 0,637Um ; Ес = —Е т = 0,637 Ет ;
71 71
7С = - 7т = 0,6377„ .
7Г
(10.8)
Действующее значение переменного тока
Йствующее (или эффективное) значение переменного тока —
Значение переменного тока, эквивалентное постоянному току
Ьпловому действию.
Чествующее значения переменных величин обозначается про-
яыми буквами без индексов: 7, U, Е.
'йствующее значение переменного тока Iравно величине такого
поянного тока, которое за время, равное одному периоду пере-
юго тока Т, выделит в том же сопротивлении R такое же ко-
>ство тепла, что и переменный ток i:
т
I* 2RT = \i2Rdt.
о
гкуда действующее значение переменного тока
I2 = ±ji2dt или I =
0
ли переменный ток изменяется по синусоидальному закону с
1льной фазой, равной нулю, т. е. i=Imsma>t, то действующее
[ение такого синусоидального тока будет равно
7 = 1Г sin2 «ГЛ = -^ = -4т = 0,7077И .
Vo V2 1,41
?йствующее значение синусоидального тока в -J~2 = 1,41 раза ме-
е его амплитудного'значения. Так же можно определить дейст-
вие значения синусоидального напряжения и ЭДС.
U = —=0,707Um ; Е =^=0,707 Ет;
V2 V2
— =0,7077„ .
2
(Ю.9)
оминальные значения тока и напряжения в электрических це-
и устройствах выражаются их действующими значениями.
158 Глава 10. Однофазные электрические цепи переменного тока
Так, например, стандартные напряжения электрических сетей
U= 127 В или U= 220 В выражают действующие значения этих на
пряжений. А изоляцию необходимо рассчитывать на амплитуд^
значение этих напряжений, т. е.
Um = 127-72 =179 В или Um = 220 - 72 = 310 В.
При расчете цепей переменного тока и их исследованиях чаще
всего пользуются действующими (эффективными) значениями
тока, напряжения и ЭДС.
На шкалах измерительных приборов переменного тока указыва-
ется действующие значение переменного тока или напряжения.
Именно действующие значения тока, напряжения и ЭДС ука-
зываются в технической документации, если нет специальных
оговорок.
Коэффициенты формы и амплитуды
Отклонения кривых тока, напряжения и ЭДС от синусоиды ха-
рактеризуются коэффициентами формы Аф и амплитуды Аа.
Коэффициент формы К$ определяется отношением действую-
щего значения переменной величины к ее среднему значению:
(10.10)
Коэффициент формы необходимо учитывать при проектирова-
нии и изучении выпрямительных устройств и электрических ма-
шин.
Для синусоидальных величин коэффициент формы будет равен
ts I т
А ф — ——----
72-2Zm
= 1,11.
Коэффициент амплитуды Аа определяется отношением ампли-
тудного значения переменной величины к ее действующему зна-
чению:
(Ю.П)
Для синусоидальных величин коэффициент амплитуды равен
Аа =112^ =72 =1,41.
Чем больше коэффициент формы и коэффициент амплитуды
отличается от значений Аф= 1,11 и Аа= 1,41, тем больше рассмаТ'
риваемая кривая отличается от синусоиды. Так, например, есл11
10.4. Векторные диаграммы
159
11,41, то исследуемая кривая имеет более острую форму, чем
усоида, а если Кл< 1,41, то более тупую.
>афик прямоугольной формы имеет коэффициент амплитуды
rl.
10.4. Векторные диаграммы
ня наглядности синусоидальные величины изображают векто-
и, вращающимися против часовой стрелки со скоростью, рав-
[ угловой частоте со этих синусоид. Так как эти векторы изоб-
ьют синусоиды в начальный момент времени (/=0), то они
рдвижны. Длина вектора в выбранном масштабе определяется
щитудой синусоиды, а угол поворота вектора против часовой
5лки относительно положительного направления оси абсцисс
ен начальной фазе синусоиды. Таким образом, вектор учиты-
г все значения, характеризующие синусоидальную величи-
— амплитуду, угловую частоту и начальную фазу.
апример, три синусоидальные ЭДС одинаковой частоты
। ei = £’„iSin(co/+45°),
е2 = jE^sin (со/),
e3 = £’„,3sin (со/-60°)
кно изобразить векторами (рис. 10.7).
овокупность нескольких векторов, изоб-
сающих синусоидальные величины одина-
рй частоты в начальный момент времени,
ывается векторной диаграммой.
а векторной диаграмме (рис. 10.7) на-
цно видны величины синусоид (ампли-
ы), их начальные фазы и углы сдвига
। между ними. Очевидно, наибольшую
[литуду имеет ЭДС еь а наименьшую —
С е3. ЭДС ei опережает по фазе ЭДС е2
/гол 45°, а ЭДС е3 отстает от ЭДС et по фазе на угол 105° и т. д.
[ачало отсчета времени можно выбирать произвольно, т. е.
1н из векторов векторной диаграммы направляется произволь-
а остальные векторы (соответствующих длин) изображаются
отношению к нему под углами,
ными углам сдвига фаз между
ли (рис. 10.8). При указанном вы-
•е ЭДС могут быть записаны так:
er = £mlsin (at),
e2 = Em2sin (at-45°),
e3 = fm3sin (co/— 105°).
Рис. 10.8
160 Глава 10. Однофазные электрические цепи переменного тока
При этом амплитуды ЭДС и углы сдвига фаз остаются неизмец.
ными (как и угловая частота), а меняются только начальные фазЬ1
синусоид, изображенных на векторной диаграмме (рис. 10.7)
В расчетах, если специально не оговорено, начальные фазы не
рают роли.
10.5. Сложение синусоидальных величин
Сложение и вычитание синусоидальных величин одинаковой
частоты можно осуществлять аналитически и графически. В резу-
льтате такого сложения (вычисления) получается синусоида с той
же частотой, с определенной амплитудой и определенной началь-
ной фазой.
Аналитическое сложение предусматривает сложение мгновен-
ных значений синусоидальных величин, выраженных аналитиче-
ски, т. е.
е = е1 + е2-е3,
где ф = £misin (соГ+ хщ), е2 = £m2sin (со/ — vp2), е3 = £m3sin (со/).
Тогда
е= £mJsin (со/ + х|/!) + -E^sin (со/-ф2) - £m3sin (со/) =...
...=£msin (со/± у).
Математический анализ позволяет определить суммарную ЭДС
е и ее аналитическое выражение.
Графическое сложение можно осуществлять по: 1) волновым
(временным) диаграммам и 2) векторным диаграммам.
1. Графическое сложение по временным диаграммам (рис. 10.9)
осуществляется следующим образом: ординаты суммарной сину-
соиды определяются сложением ординат слагаемых синусоид в
различные моменты времени.
Как видно, в рассматриваемом примере амплитуда суммар-
ной синусоиды не равна алгебраической сумме амплитуд слага-
емых синусоид. Начальная фаза суммарной синусоиды также
не является результатом арифметических действий, т. е. по
временным диаграммам производятся только графические дей-
ствия.
2. Графическое сложение по векторным диаграммам осуществ-
ляется в следующей последовательности. Прежде всего необходи-
мо построить векторную диаграмму слагаемых синусоидальных
величин (рис. 10.10а).
Определение вектора, изображающего суммарную синусои-
ду, осуществляется сложением векторов слагаемых синусоид
161
10.5. Сложение синусоидальных величин
414
<45'
,90'
135“
о
в)
412
б)
Рис. 10.10
4>4 а)
Рис.
414
Х4л5
уо
правилу многоугольника, т. е. из какой-либо точки О изобра-
от вектор, соответствующий первой слагаемой синусоиде
;с. 10.106), из конца этого вектора изображают вектор, соответ -
ующий второй слагаемой синусоиде, и т. д.
ектор, соответствующий суммарной синусоиде, проводят из
ки О к концу последней слагаемой синусоиды.
Тот вектор (рис. 10.106), в масштабе изображения слагаемых
гусоид, соответствует амплитуде суммарной синусоиды 1т.
>л поворота этого вектора против часовой стрелки относитель-
положительного направления оси абсцисс соответствует поло-
тельному значению начальной фазы у суммарной синусоиды,
ювая частота суммарной синусоиды равна частоте слагаемых
[усоид.
ычитание синусоидальной величины равносильно умноже-
о этой величины на отрицательную единицу (—1), что соот-
ствует повороту вектора этой величины на 180° (рис. Ю.Юв).
'34
162 Глава 10. Однофазные электрические цепи переменного тока
Сложение и вычитание синусоидальных величин по векторные
диаграммам рассматривается в примере 10.1.
Пример 10.1
Заданы мгновенные значения четырех токов:
z’i = 3sin 314г;
z2 = 2sin (314/+90°);
z3= l,5sin(314/+135°);
z4= 2,5sin(314r-135°).
Определить:
1) суммарный ток при условии irl = ц + i2 + z3 + z4;
2) суммарный ток при условии zz2 = Л - ii + z3 - z4;
3) частоту f всех синусоид.
Решение
Для построения векторной диаграммы слагаемых токов задают-
ся определенным масштабом токов М/ (например, М/= 1 А/см).
В этом масштабе построена векторная диаграмма токов на
рис. 10.10а.
1. Для определения суммарного тока производится сложение
векторов по правилу многоугольника (рис. 10.106). Суммарный
ток в результате сложения будет равен izl = ц + z2 + z3 + z4 =
= l,5sin(314/+ 90°). Амплитуда суммарного тока 1т- 1,5 А опреде-
лена из многоугольника в выбранном масштабе, а начальная фаза
его измерена транспортиром Т = 90°.
2. Построение многоугольника для заданного условия показано
на рис. 10.10в. Из многоугольника определяется результирующий
ток
zx2 = z’i - z2 + z3 - z4 = 3,75sin (314r + 20°).
3. Частота слагаемых и результирующих токов будет равна
/=_“ =Ш = 50Гц
J 2л 6,28
В заключение можно сделать вывод, что самым удобным и, сле-
довательно, распространенным методом сложения синусоидаль-
ных величин является метод графического сложения по вектор-
ным диаграммам. Этот метод и будет использован при расчете
электрических цепей однофазного и трехфазного тока, изменяю-
щегося по синусоидальному закону.
Так как действующие значения синусоидальных величин про-
порциональны их амплитудным значениям (см. (10.9)), то вектор.
10.5. Сложение синусоидальных величин
163
ахающий в определенном масштабе амплитудное значение, в
дем масштабе представляет действующее значение той же ве-
ины. Исходя из этого, в дальнейшем на векторных диаграммах
>т изображаться векторы, в определенном масштабе представ-
шие не амплитудное, а действующее значение синусоидальной ве-
щы, которое чаще всего используется при расчетах цепей пе-
енного тока.
Глава 11
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА.
ЭЛЕМЕНТЫ И ПАРАМЕТРЫ ЦЕПЕЙ
СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
В общем случае цепь переменного тока характеризуется тремя
параметрами: активным сопротивлением R, индуктивностью L и
емкостью С. В технике часто применяются цепи переменного
тока, в которых преобладает один или два из этих параметров.
При анализе работы и расчетах цепей исходят из того, что для
мгновенных значений переменного тока можно использовать все
правила и законы постоянного тока.
11.1. Цепь с активным сопротивлением
Активным сопротивлением R обладают элементы, которые на-
греваются при прохождении через них тока (проводники, лампы
накаливания, нагревательные приборы и т. д.).
Если к активному сопротивлению R (рис. 11.1) приложено си-
нусоидальное напряжение и = Umsmwt, то и ток в этой цепи изме-
няется по синусоидальному закону (рис. 11.1в):
i = — = sin «Г = Im sin иг,
R R
где (И.1)
Ток в цепи с активным сопротивлением совпадает по фазе с
напряжением, так как начальные фазы их равны ('Р, = = 0).
Векторная диаграмма для цепи с активным сопротивлением
изображена на рис. 11.16, временная диаграмма изображена на
рис. 11.1в.
Математическое выражение закона Ома для цепи переменного
тока с активным сопротивлением имеет вид:
(11.2)
Это вытекает из выражения (11.1), если левую и правую части
уравнения разделить на J2 =1,41.
165
11.1. Цепь с активным сопротивлением
сим образом, действующее значение синусоидального тока /
орционально действующему значению синусоидального на-
пенил Uи обратно пропорционально сопротивлению R участ-
ии, к которому приложено напряжение U. Такая интерпре-
я закона Ома справедлива как для мгновенных, так и для
твующих и амплитудных значений синусоидального тока.
Активная мощность
гновенная мощность в цепи с активным сопротивлением
гделяется произведением мгновенных значений напряжения
лса, т. е. p-ui. Это действие производится над кривыми тока и
ряжения в определенном масштабе (рис. 11.1в). В результате
учена временная диаграмма мгновенной мощности р.
ак видно из временной диаграммы, мощность в цепи с ак-
ным сопротивлением изменяется по величине, но не изме-
тся по направлению (рис. 11.1в). Эта мощность (энергия) не-
атима. От источника она поступает на потребитель и полно-
ю преобразуется в другие виды мощности (энергии), т. е.
ребляется. Такая потребляемая мощность называется актив-
!оэтому и сопротивление R, на котором происходит подобное
^образование, называется активным сопротивлением.
> цепи с активным сопротивлением мгновенная мощность ха-
кгеризует скорость преобразования электрической энергии в
стие виды энергии.
количественно мощность в цепи с активным сопротивлением
ределяется следующим образом:
р = ui = Um sin со Г • Im sin со/ = U„ Im sin2 coZ =
U J U I (11.3)
= cos 2 at = UI - UI cos 2 co?.
2 2
166
Глава 11. Электрические цепи синусоидального тока
Мгновенная мощность в цепи синусоидального тока с актив
ным сопротивлением представляет собой сумму двух величин
постоянной мощности UIи переменной [Z/cos 2coZ, изменяющейс
с двойной частотой. 4
Средняя за период мощность, равная постоянной составляю,
щей мгновенной мощности UI, является активной мощностью р
Среднее за период значение переменной составляющей, как
и всякой синусоидальной величины, равно нулю, то есть
Таким образом, величина активной мощности в цепи синусои-
дального тока с активным сопротивлением с учетом закона Ома
определяется выражением:
Р = UI = I1 R = У— ,
R
L=________ ____
(Н.4)
где U— действующее значение напряжения; /— действующее зна-
чение тока.
Единицей активной мощности является ватт:
[Р] = [L7] = Вт .
11.2. Поверхностный эффект и эффект близости
Сопротивление проводника постоянному току Ro называют
омическим сопротивлением и определяют выражением (2.8)
R о = р -. Сопротивление проводника переменному току R назы-
5
вают активным.
Оказывается, что сопротивление проводника переменному то-
ку больше его омического сопротивления за счет так называемого
поверхностного эффекта и эффекта близости, т. е. R> Ro.
Увеличение активного сопротивления вызвано неодинаковой
плотностью тока в различных сечениях проводника (рис. 11.2а).
На рис. 11.2а изображено магнитное поле проводника цилинд-
рического сечения. Если по проводнику проходит переменный
ток, то он создает переменный магнитный поток внутри и вне
проводника. Этот поток в различных сечениях проводника ин-
дуктирует ЭДС самоиндукции, которая, согласно правилу Лениа.
противодействует изменению тока как причине создания ЭДС
Очевидно, центр проводника охвачен большим количеством маг-
нитных линий (большее потокосцепление), чем слои, близкие к
поверхности. Следовательно, в центре проводника ЭДС (сопро*
тивление) больше, чем на поверхности проводника. Плотность
11.2. Поверхностный эффект и эффект близости
167
д на поверхности больше, чем в центре. Поэтому это явление и
Ывается поверхностным эффектом.
аким образом, поверхностный эффект уменьшает сечение
родника для переменного тока, а следовательно, увеличивает
'активное сопротивление R.
Отношение активного сопротивления проводника к его омиче-
иму сопротивлению определяет коэффициент поверхностного
|>екта £, (кси)
рафик зависимости коэффициента поверхностного эффекта от
метра проводника d, его удельной проводимости у, магнитной
•ницаемости материала проводника ц0Цг и частоты переменно-
гока /, проходящего по проводнику, показан на рис. 11.26.
[ри токах большой частоты f (радиочастотах) ток в центре про-
цика отсутствует. Поэтому такие проводники делают трубча-
«и, т. е. полыми.
[а величину активного сопротивления проводника R оказывает
[яние и эффект близости.
ели токи в двух параллельных проводах, расположенных близ-
друг к другу, направлены в одну сторону, то элементы сечения
сводников, удаленных на большее расстояние друг от друга,
шляются с меньшим магнитным потоком и имеют большую
)тность тока (заштриховано на рис. 11.3а), чем элементы сече-
sr проводников, расположенные близко друг к другу.
!сли же токи в близко расположенных параллельных проводах
1равлены в различные стороны, то большая плотность тока на-
едается в элементах сечения проводников, расположенных
©ке друг к другу (заштриховано на рис. 11.36).
аким образом, эффект близости в проводниках также влияет
активное сопротивление проводников за счет наведения в раз-
Глава 11. Электрические цепи синусоидального тока
а)
б)
Рис. 11.3
(П.6)
i,u,p,e
б)
Рис. 11.4
Ul~El
Ф
личных элементах сечений проводников различных ЭДС взаимо-
индукции, направление которых определяется правилом Ленца.
11.3. Цепь с идеальной индуктивностью
Идеальной называют индуктивность L такой катушки, актив-
ным сопротивлением R и емкостью С которой можно пренебречь,
т.е. R = 0 и С=0.
Если в цепи идеальной катушки индуктивностью L (рис. 11.4а)
проходит синусоидальный ток i = /„sin со/, то этот ток создает в ка-
тушке синусоидальный магнитный поток ф = Ф„5шсо/, который
индуктирует в катушке ЭДС самоиндукции, равную согласно (9.11)
т сП у С* Im Sin Со/ r r j — . . Л \ z< 1
в/, = --/,— = • L------= -/„ со£ cos со/=/„ со/-sin( со/—), (115)
at at 2
так как (- cos со/) = sin( со/ - -
Очевидно, эта ЭДС достигает своего амплитудного значения Еа
тогда, когда sin( со/ - у) = 1:
Ещ = ImCoL.
UL
Т-
в)
11.3. Цепь с идеальной индуктивностью
169
огда
eL = Ет sin(art - Л).
(И.7)
ким образом, ЭДС самоиндукции в цепи с идеальной индук-
чостью L, как и ток, вызвавший эту ЭДС, изменяется по сину-
альному закону, но отстает от тока по фазе на угол 90° = -
;.11.4б, в). 2
) второму закону Кирхгофа для мгновенных значений можно
[сать
u + eL = iR = 0.
(Н.8)
куда и = -eL.
тда напряжение, приложенное к цепи с идеальной индуктив-
гью (см. (11.5)):
u = -eL = -/„®£sin(co?-Л) = /mco£sin(co? + Л). (Н-9)
{евидно, напряжение достигает своего амплитудного значе-
Um тогда, когда sin( at + Л) = 1:
Um = ImaL.
(11.10)
ледовательно,
t/msin(cor + j) .
(Н.П)
аким образом, напряжение, приложенное к цепи с идеальной ин-
тивностью, как и ток в этой цепи, изменяется по синусоидально-
закону, но опережает ток по фазе на угол 90°= Е (рис. 11.46, в).
резюмируя все вышесказанное, можно сделать вывод: для суще-
Ьования тока в цепи с идеальной индуктивностью необходимо
чложить к цепи напряжение, которое в любой момент времени
ino по величине, но находится в противофазе с ЭДС, вызванной
UM током (рис. 11.46, в).
временная диаграмма (рис. 11.4в) еще раз иллюстрирует прави-
Ленца: ЭДС eL противодействует изменению тока.
1сли уравнение (11.10) разделить на V2 =1,41, то получается
*ImL, откуда
гпх
II uL
(11.12а)
’то уравнение (11.12а) и есть математическое выражение зако-
I Ома для цепи синусоидального тока с идеальной индуктивно-
го. Очевидно, знаменатель этого уравнения есть не что иное,
К сопротивление, которое называют индуктивным сопротивле-
1ем X,.
170
Глава 11. Электрические цепи синусоидального тока
Таким образом,
(Н.13)
Закон Ома для этой цепи можно записать иначе:
(11.126)
Индуктивное сопротивление XL — это противодействие, которое
ЭДС самоиндукции eL оказывает изменению тока.
Реактивная мощность в цепи с индуктивностью
Мгновенная мощность для цепи синусоидального тока с идеа-
льной катушкой равна произведению мгновенных значений на-
пряжения и тока
p = ui = Um sin( ®/ + у) • Im sin со/ = Um Im sin со/ • cos®/,
где sin( ®/ + ^) = cos ®/.
Следовательно, р = U т Iт sin®/ - cos ®/.
Полученное уравнение умножают и делят на 2:
= —^2-2sin®/• cos®/= [7/sin2®/. (1114)
Таким образом, мощность в цепи синусоидального тока с идеаль-
ной катушкой индуктивности изменяется по синусоидальному зако-
ну с двойной частотой.
Следовательно, среднее значение этой мощности за период Л,
как и любой синусоидальной величины, т. е. активная потребляе-
мая мощность, в этой цепи равна нулю, Р=0.
Временная диаграмма (рис. 11,4в) подтверждает этот вывод. На
диаграмме видно, что мгновенная мощность (p = ui) в рассматри-
ваемой цепи изменяется по синусоидальному закону с двойной
частотой.
То есть в 1-ю и 3-ю четверти периода мощность (энергия) ис-
точника накапливается в магнитном поле индуктивности. Макси-
мальное значение накапливаемой в магнитном поле идеальной
катушки энергии по (9.12) равно
/2 L
MZ _ 7 7-
2 .
Во 2-ю и 4-ю четверти периода эта мощность (энергия) из маг-
нитного поля идеальной катушки возвращается к источнику.
11.4. Цепь с емкостью
171
дам образом, в цепи переменного тока с идеальной катуш-
мошность не потребляется (Р= 0), а колеблется между источ-
>м и магнитным полем индуктивности, загружая источник и
ода.
сая колеблющаяся мощность (энергия), в отличие от активной,
потребляемой, называется реактивной.
означается реактивная мощность буквой Q и измеряется в
4, т. е. [<2]= вар (вольт-ампер реактивный).
тичина реактивной мощности в рассматриваемой цепи опре-
ется выражением
Ql = Ш = I2 XL = . (11.15)
I L I
к как реактивная мощность QL имеет место в цепи с индук-
[ым сопротивлением, то индуктивное сопротивление считает -
еактивным сопротивлением X индуктивного характера (ин-
L), т. е. XL.
11.4. Цепь с емкостью
ли конденсатор емкостью С подключить к источнику с посто-
им напряжением U (рис. 11.5а), то ток зарядки конденсатора
ходит в цепи очень короткое время, пока напряжение на кон-
саторе Uc не станет равным напряжению источника U.
ж в рассматриваемой цепи (рис. 11.5а) практически отсутст-
' (амперметр А покажет 7=0).
:ли же конденсатор подключить к источнику с синусоидаль-
I напряжением (рис. 11.56), то ток в цепи конденсатора суще-
гет все время, пока цепь замкнута, и амперметр А покажет этот
Ток в цепи конденсатора, подключенного к источнику с си-
оидальным напряжением, имеет место потому, что напряже-
на конденсаторе Uc отстает по фазе от напряжения источника
и зарядке, и при разрядке конденсатора. Например, пока на-
кение на конденсаторе достигает значения 1, напряжение ис-
(ика достигнет значения 2 (рис. 11.5в), т. е. конденсатор заря-
Р и с. 11.5
172
Глава 11. Электрические цепи синусоидального тока
жается; пока конденсатор зарядится до напряжения 2, напряже-
ние источника уменьшится до напряжения 3 - конденсатор
разряжается на источник и т. д. Однако ток проходит только в
цепи конденсатора. Через диэлектрик конденсатора ток не про-
ходит.
Таким образом, если к конденсатору емкостью С приложено си-
нусоидальное напряжение и - t/„,sin a>t, то в цепи конденсатора
проходит ток i (рис. 11,6а):
• dq du dUm sin со/ тг „
i = С— =С-----------------= Um соС cos a>t =
dt dt dt (11.16)
= UmaC sin(co/ + ^),
где q= Си согласно (6.3).
Очевидно, ток в цепи конденсатора достигает амплитудного
1т= итслС. (11.17)
Тогда i = Im sin(a>Z + $) . J (11.18)
Как видно, ток в цепи конденсатора, как и напряжение, прило-
женное к его обкладкам, изменяется по синусоидальному закону, од-
нако опережает это напряжение по фазе на угол 90 ° = -.
Следовательно, напряжение отстает по фазе от тока на 90° = г
(рис. 11.66).
Если уравнение (11.17) разделить на -J2 =1,41, то получится ра-
венство 1= U(£>C или _________
1 (П
соС
19а)
11.4. Цепь с емкостью
173
jo равенство (11.19а) и является математическим выражением
Ьна Ома для цепи переменного тока с емкостью.
Очевидно, знаменатель этого равенства является сопротивлени-
^онденсатора Хс, которое называется емкостным сопротивле-
)м: „
1 _ 1
соС InfC
(11.20)
Ьгда закон Ома для цепи с конденсатором можно записать:
(11.196)
[мкостное сопротивление — это противодействие, которое ока-
пает напряжение заряженного конденсатора напряжению, при-
(кенному к нему (рис. 11.5а).
Реактивная мощность в цепи с конденсатором
5сли в цепи конденсатора емкостью С, Rc = 0 (рис. 11.6а) прохо-
Г ток i, изменяющийся по синусоидальному закону:
i = /„sin at,
Напряжение и, приложенное к этому конденсатору (рис. 11.6),
1ет равно
(11.21)
и = Uт sin( at - у) = - U„, cos at.
Мгновенная мощность в цепи с конденсатором
p = ui = -Um cos at Im sin at =
= 2 cosco? sin co? ——UI sin2co?.
2
Мощность в цепи с конденсатором, подключенным к источнику с
Ьусоидальным напряжением, изменяется по синусоидальному зако-
с двойной частотой (рис. П.бв).
Следовательно, активная мощность Р в рассматриваемой цепи
яс. 11.6а), равная среднему значению мгновенной мощности за
риод, имеет нулевое значение, Р=0.
Это следует и из временной диаграммы (рис. П.бв). На
йменной диаграмме видно, что изменение мгновенной мощно-
яр по синусоидальному закону происходит с двойной частотой:
2-ю и 4-ю четверти периода мощность (энергия) источника на-
паивается в электрическом поле конденсатора.
174
Глава 11. Электрические цепи синусоидального тока
Максимальное значение энергии, накапливаемой в электриче
ском поле конденсатора, равно
В 1-ю и 3-ю четверти периода эта мощность (энергия) из элект-
рического поля конденсатора возвращается к источнику.
Таким образом, в цепи переменного тока с конденсатором про-
исходит колебание мощности (энергии) между источником и
электрическим полем конденсатора. Такая колеблющаяся, но не
потребляемая мощность называется реактивной мощностью.
Величина реактивной мощности в цепи конденсатора определя-
ется выражением
Qc =UI = I2XC^- .
AC
(11.22)
Из временных диаграмм (рис. 11.4в, Н.бв) видно, что реактив-
ная мощность в цепи конденсатора изменяется в противофазе с
реактивной мощностью в цепи с идеальной катушкой. Отсюда и
знак «минус» в уравнении (11.21) — аналитическом выражении
мгновенной мощности в цепи с конденсатором.
Так как реактивная мощность Qc имеет место в цепи с емкост-
ным сопротивлением, то это емкостное сопротивление считается
реактивным сопротивлением X емкостного характера (Хс).
Глава 12
РАСЧЕТ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
асчет электрических цепей синусоидального тока произво-
;я преимущественно с помощью векторных диаграмм. В на-
шей главе рассматривается расчет неразветвленных цепей
^соидального тока, содержащих активное сопротивление R,
активность L и емкость С в различных сочетаниях.
12.1. Цепь с активным сопротивлением
и индуктивностью
:ли по цепи с реальной катушкой, обладающей активным со-
тивлением R и индуктивностью L, проходит синусоидальный
i = Imsmwt (рис. 12.1а), то этот ток создает падение на-
жения на активном сопротивлении проводников катушки
iR и индуктивном сопротивлении катушки uL = iXL.
ледовательно, по второму закону Кирхгофа, для мгновенных
чений, приложенное к реальной катушке напряжение можно
исать
u-u^ + Ul. (12.1)
То равенство справедливо для неразветвленной цепи синусои-
ьного тока с последовательно включенными активным сопро-
лением R и индуктивным сопротивлением XL (рис. 12.16).
ктивное напряжение (рис. 11.16) совпадет по фазе с током и
кет быть записано ua = Umismat. Индуктивное напряжение
.1) uL = UmL sin (at + ^) опережает ток на угол 90° = ^.
Рис. 12.1
176 Глава 12. Расчет линейных электрических цепей синусоидальною т0Ка
Мгновенное значение напряжения, приложенного к цеци
определяется алгебраической суммой мгновенных значений
пряжений м, и uL согласно (12.1). А действующее значение этого
напряжения U определяется геометрической суммой их действу,
ющих значений
О— 01 + 0{_.
Это равенство лежит в основе построения векторной диаграм-
мы (рис. 12.1 в).
Из векторной диаграммы (рис. 12.1 в) видно, что напряжение <7,
приложенное к реальной катушке, опережает по фазе ток / нд
угол <р. Мгновенное значение этого напряжения может быть запи-
сано:
и = (/„ sin (шГ + ф), (12 2)
где ф — это международное обозначение угла сдвига фаз между
током и напряжением ды любой цепи переменного тока.
Воспользовавшись теоремой Пифагора для определения гипо-
тенузы прямоугольного треугольника, по векторной диаграмме
(рис. 12.1в) определяется напряжение
и +U2l = J/2R2 + I2X2 = I^R2 +X2. (12.3)
Откуда
(12.4)
Равенство (12.4) является математическим выражением закона
Ома для цепи синусоидального тока с активным R и индук-
тивным Xt сопротивлениями в неразветвленной цепи.
Знаменатель этого равенства является сопротивлением этой
цепи, которое называется полным, или кажущимся, сопротивле-
нием цепи синусоидального тока. Обозначается кажущееся (пол-
ное) сопротивление любой цепи переменного тока буквой Z:
ZK R2 +Х2,
(12.5)
где Z* — полное, или кажущееся, сопротивление реальной катуш-
ки (рис. 12.16).
12.1. Цепь с активным сопротивлением и индуктивностью 177
Тогда закон Ома для любой цепи переменного тока в общем
„цде можно записать
Z'
(12.6)
гдС Z~ кажущееся сопротивление этой цепи.
Треугольники напряжений, сопротивлений, мощностей
^Треугольник, все стороны которого изображены векторами на-
пряжений, называется треугольником напряжений. Пользуясь
векторной диаграммой для неразветвленной цепи с активным и
индуктивным сопротивлениями (рис. 12.1в), выделяем треуголь-
ник напряжений (рис. 12.2а).
Связь между напряжениями в данной цепи можно рассматри-
вать как соотношение между сторонами и углами прямоугольного
треугольника:
U = yjUl +U2l- Ut = Ucos <р; UL = (/sin <р и др. (12.7)
Если все стороны треугольника напряжений разделить на ве-
личину тока в цепи, то получится подобный прямоугольный
треугольник, все стороны которого в определенном масштабе
ЛэбражаюI сопротивления цепи, т. е. получится треугольник со-
противлений (рис. 12.16). Сопротивления не являются вектор-
ными величинами. Из треугольника сопротивлений можно опре-
делить:
Z = ^/?2 + Л-; ; R= Zcos<p; XL = Zsin<p.
R XL . XL
cos<p = —; Sin<p = —; tg<p = —
£ L !\
(12.8)
(12.9)
Рис. 12.2
178
Глава 12. Расчет линейных электрических цепей синусоидального
Обычно тригометрические функции угла <р определяются
треугольника сопротивлений отношением (12.9).
Если все стороны треугольника напряжений умножить на ве.
личину тока цепи, то получится подобный прямоугольный трс.
угольник, все стороны которого в определенном масштабе изоб-
ражают мощности цепи, т.е. получится треугольник мощностей
(рис. 12.2в).
Произведение напряжения и тока цепи характеризует полную
мощность цепи
S=UI, (12.10)
которая измеряется в вольт-амперах, т.е. [5] =В А.
Однако потребляется в цепи только часть полной мощности -
активная мощность
Р- 5cos(p= i//cos <р,
(12.11)
где cos<p показывает, какая часть полной мощности 5 потребля-
ется в цепи, поэтому cosip называют коэффициентом мощности:
cos Ф » у
(12.12)
Полная мощность цепи 5 называется кажущейся.
Из того же треугольника мощностей (рис. 12.2в) можно
записать:
Q=5sincp= f//sincp. (12.13)
5 = V'P2 + Q1 .
(12.14)
Построив треугольники напряжений, сопротивлений и мощ-
ностей для любой цепи синусоидалього тока, по выражениям
(12.7)—(12.14) можно рассчитать параметры этой цепи.
12.2. Цепь с активным сопротивлением
и емкостью
Если в цепи с последовательно включенными активным со-
противлением R и емкостью С протекает синусоидальный ток
i=/„sinw/, то он создает падение напряжения на активном
сопротивлении ил = LUsinmt и на емкостном сопротивлении
ис = (Zncsin (mt-^). Векторная диаграмма для этой цепи изображе-
на на рис. 12.36.
12.2. Цепь с активным сопротивлением и емкостью
179
Рис. 12.3
Напряжение цепи изменяется, как и ток, по синусоидальному
закону и отстает по фазе от тока на угол р < 90’, т. е.
м= (/msin(cor-cp). (12.15)
Действующее значение напряжения U, приложенного к этой
цепи, определяется по векторной диаграмме (рис. 12.3):
U = JU1 + U2 = J/2R2 + I2X2 = I R '~ + X2.
да математическое выражение закона Ома для этой цепи:
и___
+ Х1 zc
(12.16)
Пример 12.1
К цепи с последовательно включенными сопротивлениями
Л=>8 Ом и Xc = 6 Ом (рис. 12.3а) приложено напряжение (/=220 В.
Определить ток цепи /, напряжение на активном U, и реактив-
ном Uf участках, полную 5, активную Р и реактивную Q мощ-
ности
Решение
Для определения тока вычислим полное сопротивление цепи
z = Jr2 +х2 = Vs2 +б2 = юом.
Тогда ток будет равен
" /в1/=220 =22А.
Z 10
ряжения на участках:
Ut = lR = 22 8=176 В; Up= IXс= 22 6 = 132 В.
Полная мощность 5= (//=220-22 = 4840 В-А.
180 Глава 12. Расчет линейных электрических цепей синусоидально, о
Активная мощность P=5cos<p = 4840-0,8 = 3872 Вт.
f cos<p = — = А =0,8.1
V v Z 10 ' J
Реактивная мощность Q = 5sin<p = 4840-0,6 = 2904 вар.
' sinq> = -^£ = — = 0,6.'l
k Z 10 J
12.3. Неразветвленная цепь с активным сопротивлением
индуктивностью и емкостью
Если в неразветвленной цепи с /?, L и С (рис. 12.4а) протекает
синусоидальный ток /=/„sinwf, то он создаст падение напряже-
ния на всех участках цепи: ua= t/^sinw, uL = U„Lsin (шГ+ ~) й
“с= £4csin
Мгновенное значение напряжения цепи определяется по фор-
муле
и= (/„sin (соГ±ср).
Гак как в рассматриваемой цепи включены два реактивных со-
противления Ад и Ас, то возможны три режима работы цепи'
1) XL>Xc, 2) XL<Xe, 3) XL = XC.
Векторная диаграмма цепи для режима АД>АС изображена на
рис. 12.46.
Рис. 12.4
Знак перед углом сдвига фаз q> зависит от режима работы цепи
Если в рассматриваемой цепи преобладает индуктивное напряже-
ние (сопротивление), т. е. UL> Uc, то цепь имеет индуктивный ха-
рактер и напряжение U опережает по фазе ток / (+<р).
Если в цепи преобладает емкостное напряжение (сопротивле-
ние). т.е. UL< Uc, то цепь имеет емкостной характер и напряже-
ние U отстает по фазе от тока / (—<р).
12.3. Неразветвленная цепь с
и
181
до векторной диаграммы (рис. 12.46) следует:
и = JU1 + U1 = JUl +(UL- Uc)1 =
= J I'R1 +(IXl.-IXc)1 = lj R2 + (*< -Xc)2. (12.17)
Жпппотинление R может включать в себя сопротивление само-
.дотельного резистора или активное сопротивление реальной
t^ryuiKii и конденсатора.
Математическое выражение закона Ома для неразветвленной
[gnu с активным сопротивлением, индуктивностью и емкость:
В I /=t / и <1218>
I V/?2+(Хд-Хс)2 z
где Z - полное (или кажущееся) сопротивление неразветвлен-
ной цепи с R, L и С, т. е.
Z^jR1 +(XL-Xc)2.] (12-19)
На рис. 12.5 изображены грсугольники напряжений, сопротив-
лений и мощностей для рассматриваемой цепи.
Знак и значение угла ф можно определить из треугольника со
ротивлений (рис. 12.56);
8Ф = 4-%‘/С <|2М
А А
Или
ДШф
X XL- Хс
Z Z
(12.21)
Из выражений (12.20) и (12.21) видно, что если XL>Хс. то угол ф
положителен (+ф), если XL<XC, то угол <р отрицательный (-ф).
Из треугольника мощностей (рис. 12.5в) видно, что в цепи с R,
и С кроме активной мощности />=5'со$ф имеется реактивная
182 Глава 12. Расчет линейных электрических цепей синусоидального т0(ч
мощность (?=Ssin<p. Кроме того, в цепи происходит колебали,
мощности (меньшей из двух реактивных, в нашем случае ,
между электрическим полем конденсатора С и магнитным полем
катушки индуктивности L, так как мощности QL и Qc изменяют^
в противофазе. Но эта мощность (1-2 на рис. 12.5в) не считается
реактивной, так как она нс загружает источник и провода.
Из треугольника мощностей (рис. 12.5в) видно, что реактивная
мощность, которая загружает источник и провода, (?= О/ - Q
Эта реактивная мощность (энергия) колеблется между источ-
ником и магнитным полем катушки индуктивности, так как
Ql > Qc-
Полная мощность цепи определяется по формуле
S^P1 + Q2 . (12 22)
12.4. Колебательный контур
Электрические цепи, в которых происходят периодические из-
менения токов, напряжений, энергии называются колебатель-
ными.
Для того чтобы исследовать резонансные явления, необходимо
иметь представления о процессах в колебательном контуре, со-
стоящем из идеальной катушки и конденсатора без потерь.
Если конденсатор емкостью С зарядить до напряжения U„, то
в электрическом поле этого конденсатора накопится энергия,
максимальное значение которой согласно выражению (6.21):
и2с
Если к заряженному конденсатору подключить индуктив-
ность L замыканием ключа К (рис. 12.6), то конденсатор будет
разряжаться через индуктивность пе-
ременным током /. При этом в индук-
тивности L создается ЭДС самоин-
дукции eL, и в магнитном поле ее на-
капливается энергия, максимальное
значение которой (9.12):
IV -'-L
Источником энергии в этом конт\ре
является конденсатор. Ток в контуре, состоящем из индуктивно-
сти L и конденсатора С, не прекращается даже когда конденсатор
полностью разрядится. За счет ЭДС самоиндукции и энергии, на-
копившейся в магнитном поле индуктивности, конденсатор бул£т
Рис. 12.6
12.5. Резонанс напряжений
183
^джаться, и энергия магнитного поля индуктивности переходит
здектрическое поле конденсатора. При этом источником энер-
’ и в этом контуре является индуктивность. Дальше процесс по-
^рястея
Таким образом, в замкнутом контуре, состоящем из индуктив-
ности и емкости, происходит колебание энергии между электри-
ческим полем конденсатора С и магнитным полем индуктивно-
сти L. Поэтому такой замкнутый контур называется колсбатель-
^КОНТУРОМ
Колебание энергии в колебательном контуре происходит
с определенной частотой ш0, которую называют частотой собст-
венных колебаний контура. Частоту собственных колебаний ш0
определяют из условия равенства энергии электрического и маг-
нитного полей:
или t/2C = /2£=t/2w2C2£,
2 2 0
так как из (11.19) в цепи переменного тока с емкостью /= (ЛоС.
Откуда
(12.23)
(12.24)
Таким образом, частота собственных колебаний колебательно-
го контура определяется параметрами этого контура L и С.
Если в колебательном контуре отсутствуют потери (идеаль-
ный контур), то колебания в нем будут незатухающими с неиз-
менной амплитудой. Если в колебательном контуре имеется ак-
тивное сопротивление, т. е. возникают потери, то колебания
энергии в нем будут затухающие, с уменьшающейся амплитудой,
если эти потери не компенсируются.
12.5. Резонанс напряжений
Если в цепи синусоидального тока с последовательно соединен-
Нь»ми конденсатором емкостью С и катушкой с сопротивлением R
•индуктивностью L (рис. 12.7а) равны реактивные сопротивле-
нйя, то в цепи наступает резонанс напряжений. Равенство реак-
тйвных сопротивлений является условием резонанса напряжений.
(12.25)
184 Глава 12. Расчет линейных электрических цепей синусоидального
— 1 ........................................................
Из (12.25) следует Юр»! = —, тогда частота резонанса опреде
<Ореэ^-
ляется выражением
СОрез = -__ = СП о .
/Тс
<12 24,
Из (12.26) следует, что резонанс напряжений имеет мест0
в неразветвленной цепи с L и Стогда, когда частота вынужденны,
колебаний (частота источника) будет равна частоте собствен,
ных колебаний резонансного контура ю0- Следовательно, добить-
ся резонанса напряжений можно изменением частоты источника
соре, или изменением параметров колебательного контура L или с
т. е. изменением частоты собственных колебаний ш0-
Полное (кажущееся) сопротивление цепи (рис. 12.7а) при резо-
нансе напряжений определяется по формуле
Zpe, =7 R1 +(XL -Хс )2 = >1 R1 + 0=/?,
(12.27)
так как XL-XC=O.
То есть полное сопротивление неразветвленной цепи при резо-
нансе напряжений 2^, становится минимальным и равным актив-
ному сопротивлению цепи R.
Следовательно, ток в неразветвленной цепи при резонансе на-
пряжений максимальный:
_ U U
R
(12.28)
Реактивные сопротивления при резонансе напряжений равны
между собой, т. е.
— = <Врез L = L = = ZB. (i 2.29)
«ре, С /ТС V С
Mia
С,
б)
Рис. 12.7
12.5. Резонанс напряжений
185
Таким образом, реактивные сопротивления при резонансе на-
-яжений равны (каждое) волновому сопротивлению Z„, кото-
^называют характеристическим сопротивлением:
(12.30)
Напряжения на индуктивности UL и на емкости Uc при резонан-
се напряжений равны между собой, так как равны сопротивле-
ния, см. (I2.25).
UL = IXL = IZ, = IXC= (/с. | (12.31)
Равенство (12.31) определяет название «резонанс напряжений*.
Так: как UL и Uc изменяются в противофазе, то напряжение в ре-
зонансном режиме равно напряжению на активном сопротивле-
нии (/„ т. е. U= Ut, что видно на векторной диаграмме (рис. 12.76).
При резонансе напряжений каждое из реактивных напряже-
ний (71 и Uc может оказаться большим, чем напряжение цепи U.
= (12.32)
UUIRR
где Q — добротность резонансного контура.
Добротность контура Q показывает, во сколько раз напряжение
на индуктивности UL и емкости Uc (каждое) больше напряжения
цепи U.
Высокая добротность резонансного контура (при малом актив-
ном сопротивлении контура) нашла широкое применение в ра-
диотехнике, в частности в антенном контуре.
Из векторной диаграммы (рис. 12.76) видно, что при резонансе
напряжение цепи (/совпадает по фазе с током /, угол между / и U
Ф = 0 и cos<p= 1. Следовательно, кажущаяся мощность цепи S при
Резонансе вся потребляется, т.е. является активной:
P=5cos(p = 5. (12.33)
Колеблющаяся между магнитным полем индуктивности и
электрическим полем емкости мощность (QL = Qc) не является ре-
мизной, так как не загружает источник и провода.
Из выражения (12.33) следует, что при отсутствии активной
Мощности Р (активного сопротивления R) резонансный контур
^эновится при резонансе идеальным колебательным контуром,
^едовательно, при наличии активного сопротивления R источ-
Рис. 12.8
ник расходует свою мощность на компенсацию потерь в конту-
ре, за счет чего колебания в цепи будут незатухающими.
Кроме активного сопротивления R резонансной цепи и на-
пряжения, приложенного к ней, все параметры резонансной цепи
(/; £4; Uc; Z; XL; Хс] угол <p; UK) изменяются с изменением частоты-
сети О).
Эти изменения параметров резонансной цепи наглядно иллюст-
рируются резонансными кривыми, изображенными на рис. 12.8.
На резонансных кривых четко просматриваются значения этих
параметров при частоте резонанса wp„.
12.6. Общий случай неразветвленной цепи
Для неразветвленной цепи, содержащей несколько активных и
реактивных сопротивлений различного характера (рис. 12.9а),
справедливо геометрическое равенство напряжений (баланс на-
пряжений)
(7= (/а1 + Оц + Oct + Oil + О LI + £7aj + 0с2 + &L3 + £^4,
которое лежит в основе построения векторной диаграммы (рис. 12.96)
Таким образом, напряжение цепи равно геометрической сумме
напряжений на всех участках этой цепи.
Из векторной диаграммы следует (рис. 12.96)
и = yl и i + и2,
где U, = £/а1 + £4г + £4j + ~ активное напряжение цепи равно
арифметической сумме напряжений на активных участках цепи:
Uf = £/д| - UC\ + Uu~ иа+ Uц — реактивное напряжение цепи равно
алгебраической сумме напряжений на реактивных участках цепи.
Те же рассуждения можно отнести и к сопротивлениям:
- полное сопротивление цепи Z = У R2 + X2 ;
- активное сопротивление цепи R = R + Л2 + /?5 + Л;
— реактивное сопротивление цепи X- Хц~ Ха + Хи~ Ха + Хп-
12.6. Общий случай неразветвленной цепи
187
Рис. 12.9
Напряжение на каком-либо участке неразветвленной цепи
(рис. 12.9а), например на участке АВ, определяется так:_
Uab = IZab = I7(^2 + Я3)2 + (-2fci + X li - Хс г + -V и )2 •
Вектор напряжения Uab показан на векторной диаграмме (рис.
12.96).
Пример 12.2
Напряжение, приложенное к неразветвленной цепи (рис. 12.10)
(/=220 В, частота тока сети / = 50 Гц. Начальная фаза тока чо = 0.
Сопротивление участков цепи: Л( = 8 Ом; Л = 7 Ом; /?, = 5 Ом;
In = 20 Ом; Ха= 18 Ом; Хп= 10 Ом; Хп= 13 Ом.
Рис. 12.10
Требуется:
I. Вычислить ток цепи / и записать его мгновенное значение.
2. Записать мгновенное значение напряжения цепи иЛЕ, опреде-
лив предварительно угол <р и характер цепи.
3. Определить напряжение между точками АВ и CD.
4. Построить в масштабе векторную диаграмму цепи, определив
предварительно напряжение на каждом сопротивлении.
5. Определить мощности 5, Р и Q цепи.
6. Определить частоту, при которой в цепи наступит резонанс
Напряжений, и ток при резонансе.
7. Определить максимальную энергию, запасенную в магнитном
ч°ле катушек и электрическом поле конденсаторов 1К,с-
8. Как нужно изменить емкость конденсаторов, чтобы в цепи
Наступил резонанс напряжений при частоте /=50 Гц?
188 Глава 12. Расчет линейных электрических цепей синусоидального Тп
--------------------------------------------------------------—2^4
Решение
1. Дчя определения тока цепи / необходимо вычислить По;щг
сопротивление цепи:
Z = 7 (Л| + Ri + /?))' + (-Лет + Лд| + Xli - Xci) =
= 7(8 + 7 + 5)2 + (-10 + 20 + 18 -13)2 = 25 Ом.
U 220
Действующее значение тока /=-^ = =^ = 8,8 А, а амплитудное
значение тока 1Ш=411= 1,41 8,8 = 12,4 А.
Угловая частота ш = 2к/=2-3,14-50 = 314 рад/с.
Мгновенное значение тока цепи:
/= /„sin (со/+ vJ= 12,4sin(314г), так как ф, = 0.
2. Угол сдвига фаз ф и характер цепи определяется через tg q>:
tom_X ~xci+Хи +XLi-ХС2 -10 + 20 + 18-13 15 n ,,
'г,”я---------Я|+Я1+Я,---------------87775------= 20=°”
Таким образом, угол <р = 37* (из таблицы), характер цепи индук-
тивный (+<р).
Тогда мгновенное значение напряжения цепи
иле= (/«sin (со/+ <р) = 310 sin (314/ + 37),
где = 1,41-220 = 310 В.
3. Напряжение на участках:
Uab = IZAB = /^Л,2 + Л2, = 8.8V82 + 102 = 1 12,6 В;
Ucd = IZcd = l^Rl + Xli =8,8>/52 + 182 =164,1 В.
4. Для построения векторной диаграммы определяются напря-
жения:
[/С1 = /Хс1 = 8,8-10 = 88 В,
(/Я1 = //?, = 8,8-8 = 70 В,
ию = ir2 = 8,8 7 = 62 В,
(/Д1 == 8,8 20= 176 В,
(/„«//?, = 8,8-5 = 44 В,
14г=/Ли = 8,8 18=158 В,
С/« = /Ла = 8,8-13=114 В.
Векторная диаграмма цепи (отображает только характер участ-
ков, но не величины напряжений на них) изображена н3
рис. 12.11.
12.6. Общий случай неразветвленной цепи
189
5 i Полная мощность цепи
Л [//«220 8,8=1936 В А,
•Ьщвная мощность Р=
5 5cos ф = 1936 0 8 = 1548,8 Вт
(Так как cos <р = — = ^| = 0,8),
реактивная мощность Q=
e5sin<p= 1936 0,6= 1161,6 вар,
(Так как sinq>=-у»—=0,6).
6. Для определения частоты
резонанса вычисляется индук-
тивность L и емкость С цепи:
. Xl Хц + XLi
L =---=-----------=
со (О
= 2Оч_18^о.12 Гн.
314
I с = -Ь =__________*_____
и>Хс ш(Х ci + Хсз)
Тогда
UL2
Рис. 12.11
1
314(10 + 13)
= 138 10-4
Ф.
(Оре, = -== = —- = 246 рад/с;
JLC 70,12 138 10 '
, 246
| --2, -2-3.14 ”-2Г“-
Ток цепи при резонансе /ре, = = 11 А.
7. Максимальная энергия, запасенная в магнитном поле кату
тек
Г1 L 124’0 12
W„L = = 9,23 Вт с.
L 2 2
ксимальная энергия, запасенная в электрическом поле кон-
ггоров:
w [Л(//С1£/С2)12с_
с----2----- J
[1,41(88.114)Г - B IO-* _5 63 Вт с
2
190 Глава 12. Расчет линейных электрических цепей синусоидальное т„
---------------------------------------------------------------
8. Условие резонанса XL = XC-
По условию задачи XL = XLl + Xu = 20 + 18 = 38 Ом, а ХС=.Х. +
+ Хс2= 10+13 = 23 Ом. Этому Хс соответствует емкость сй
= 138-10'6 Ф при / = 50 Гц. Дтя того чтобы выполнить условие г>е
зонанса при сохранении частоты 50 Гц, необходимо Хс увеличив
до 38 Ом. Чтобы емкостное сопротивление равнялось 38 Ом. ве
личина емкости С должна быть равна
—-— =-----?-----= 83 10ч Ф
2т/Хс 2-3,14 50-38 ’
т. е. емкость конденсаторов нужно уменьшить на
138- IO"4- 83-10“*=55-10"* Ф = 55 мкФ.
Глава 13
РАЗВЕТВЛЕННАЯ ЦЕПЬ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
13.1. Активный и реактивный токи
Для расчета разветвленных цепей синусоидального тока вво-
дится расчетные величины активного и реактивного токов цепи.
Если к цепи, содержащей активное сопротивление R и ин-
дуктивное XL (рис. 13.1а), приложено синусоидальное напряже-
ние w= £/msin <ot, то синусоидальный ток в цепи, вызванный этим
напряжением, отстает от него по фазе на угол ср (рис. 12.1 в),
i= /„,sin (а»г-ф).
кторная диаграмма в этом случае изображена на рис. 13.16.
R
б)
Рис. 13.1
Ток цепи / (рис. 13.16) раскладывается на две составляющие,
одна из которых Д совпадает по фазе с напряжением, другая /р —
Кинута на 90*. Составляющая тока /„ совпадающая по фазе с на-
пряжением, называется активной составляющей, или активным
Юком. Составляющая тока /р, имеющая относительно напряже-
ния сдвиг по фазе на угол 90*, называется реактивной составляю-
щей, или реактивным током.
Активный и реактивный токи физического смысла не имеют.
Они являются расчетными величинами, так как в неразветвлен-
ной цепи (рис. 13.1а) ток на всех участках имеет одинаковое зна-
чение. Однако понятия активный /, и реактивный /р токи
значительно облегчают расчет разветвленных цепей синусоидаль-
ного тока. Соотношения между токами определяются из треуго-
•ЧЬника токов (рис. 13.16).
192
Глава 13. Разветвленная цепь синусоидального тока
13.2. Проводимости
Из треугольника токов для рассматриваемой цепи (рис. 13.ig.
следует: /,= /cos<p; /р = /sinq> и /=^.
С другой стороны, известно, что /= — (см. (12.6)), a cos сри
sin <р = ^ (см. (12.9)).
Z
Тогда
I. -Zcos<|, = ^ А.и я .Ugi
(13.1)
где g — активная проводимость цепи, равная
(13.2)
Величина, на которую умножают напряжение, чтобы получить
ток, называют проводимостью.
А так как g определяет активный ток /», то ее и называют ак-
тивной проводимостью.
Таким образом, активная проводимость g определяется величи-
ной активного сопротивления, деленного на квадрат полного (кажу-
щегося) сопротивления цепи.
Величина реактивного тока определяется выражением
(13.3)
(13.4)
(13.5)
где у = V/?2 + X2 = , так как для цепи
V Z Z Z1 Z2 Z
синусоидального тока с R и L (рис. 13.1а) Z = ^R1 + X2 .
Таким образом, у — полная, или кажущаяся, проводимость
цепи:
(13.6)
13.3. Параллельное соединение катушки и конденсатора
193
Полная (кажущаяся) проводимость цепи «у» является обрат-
ной величиной полного (кажущегося) сопротивления цепи.
^дктивпая g и реактивная b проводимости являются соответст-
вии0 обратными величинами активного R и реактивного X со-
противлений только в том случае, если эти сопротивления (Л и X)
являются единственными в цепи или ветви, т. е. g = — и b = -р-.
7? л
Если же в неразветвленной цепи (или ветви) включены сопро-
тивления Я, XL и Хс, то для определения проводимостей можно
воспользоваться выражениями (13.2), (13.4), (13.6). Треугольник
проводимостей для рассматриваемой цепи (рис. 13.1а) изображен
на рис. 13.1в. Соотношения между проводимостями определяют-
ся из этого треугольника.
13.3. Параллельное соединение
катушки и конденсатора
Если к источнику синусоидального напряжения u=U„smwt
подключить параллельно реальную катушку с активным сопро-
тивлением Ri и индуктивным XL и конденсатор с активным со-
противлением R2 и емкостным Хс (рис. 13.2а), то токи в паралле-
льных ветвях этой цепи изменяются по синусоидальному закону:
/i = /M|Sin (ш/- cpj; ij= Л’sin (<о/+ <pj).
Действующие значения этих токов будут соответственно равны
7 • 7734
194
Глава 13. Разветвленная цепь синусоидального тока
Ток в неразветвленной цепи I равен геометрической сумМе
токов в ветвях, так как токи не совпадают по фазе:
т=1+т2.
Для определения этого тока строится векторная диаграмма це,
пи (рис. 13.26), из которой следует:
I = 7Л2 + Л2 = V(Ai + /.i)2 + (/₽. -Ли)2 =
=V(^ + W +(ыь-иь2)2 =
= Uyl(gi +g2 )2 +(bi -bi )2 = Uy, (13.7)
где
y=yl(gi +g2)2 +(b} -bi)1 .
(13.8)
Таким образом, ток в неразветвленной части цепи /определяется
произведением напряжения U и полной проводимости цепи у.
Реактивные проводимости в ветвях имеют различные знаки,
так как сопротивления в ветвях различного характера (индуктив-
ное и емкостное).
Треугольник проводимостей рассматриваемой цепи изображен
на рис. 13.2в.
Характер разветвленной цепи определяется так же, как и не-
разветвленной. Если ток цепи / отстает от напряжения U (как
в рассматриваемом случае), то цепь индуктивного характера, ес-
ли же ток /опережает напряжение U, то цепь емкостного харак-
тера.
13.4. Резонанс токов
Резонанс токов в цепи (рис. 13.2а) с параллельным включени-
ем катушки и конденсатора (в различных ветвях) возникает при
равенстве реактивных проводимостей в ветвях:
Ь{ = Ь2 или bL = Ьс
(13.9)
Выражение (13.9) является условием резонанса токов в раз-
ветвленных цепях синусоидального тока.
Полная (кажущаяся) проводимость при этом условии
Ур« =V(gi +g2 )2 +(b{ -bj)2 =
= 7(Я1 +g2)2 +о = g, + g2 = g,
(13.Ю)
так как b{ - b2 = 0.
13.4. Резонанс токов
195
I Таким образом, полная проводимость цепи при резонансе то-
ков минимальна по величине и равна активной проводимости g.
Следовательно, и ток в неразветвленной части цепи при резонан-
се токов имеет минимальную величину
I^Uy^Ug. (13.11)
I Реактивные токи в ветвях при резонансе токов равны между
собой
Ipl~UbL=Ubc=Ip2. (13.12)
U
Это равенство и определяет название «резонанс токов*.
На основании равенства (13.12) строится векторная диаграмма
при резонансе токов (рис. 13.3). Реактивные токи находятся
в противофазе, поэтому ток в неразветвленной части цепи / при
резонансе токов равен активному току /„ и совпадает по фазе с на-
пряжением, т.е. q> = 0, a cos<p=l. Следовательно, вся мощность
цепи 5 при резонансе токов является активной Р:
Р= 5cos<p = 5.
Эта активная мощность компенсирует по-
тери на активном сопротивлении в паралле-
льном резонансном контуре. Мощность
(энергия), которая колеблется между элект-
рическим полем конденсатора и магнитным
полем индуктивности при резонансе, не яв-
ляется реактивной, так как не загружает ис-
точник и провода.
I Частота резонанса токов в параллельном резонансном конту-
ре может быть определена из условия резонанса токов, т. е. ра-
венства реактивных проводимостей в ветвях (bi = д2):
1
/р2
Рис. 13.3
4.
fOpeiL (Ope, С
+ (0ри1‘ /Н + -----1---
со^,С2
После ряда преобразований равенства (13.13)
1стота резонанса токов
(13.13)
определяется
(13.14)
Резонансная частота зависит не только от параметров колеба-
тельного контура L и С, но и от активных сопротивлений в вет-
вях реального резонансного контура.
196
Глава 13. Разветвленная цепь синусоидального тока
Если в резонансном контуре отсутствуют активные сопротив.1 _
ния в ветвях, то частота резонанса токов становится равной
частоте собственных колебаний идеального резонансного кон-
тура i
= <о0 .
____
4LC
Если в резонансном контуре Rt > > R* или /?’<—</?’, то
резонанса токов добиться невозможно.
Резонанс токов нашел широкое применение в радиотехнике и
выпрямительной технике (в резонансных фильтрах) и др.
Пример 13.1
Напряжение, приложенное к параллельно включенным катуш-
ке и конденсатору (рис. 13.4а), (/= 127 В, частота сети / = 50 Гц.
Параметры цепи: Я=10 Ом; £ = 63,7 мГн; С—212 мкФ. Опреде-
лить:
1) токи всех участков цепи: /ь 12 и /;
2) углы сдвига фаз этих токов относительно напряжения: <р,,
Ф: и <р;
3) полную S', активную Р и реактивную Q мощности цепи;
4) частоту, при которой наступит резонанс токов в этой цепи
Построить векторную диаграмму.
Решение
U
а)
R
L
1. Сопротивление участков цепи:
At»«314-63,7-10“’ = 20 Ом,
Хс =-!-=—— = 15Ом,
соС 314-212
где ш = 2я/= 2-3,14-50 = 314 рад/с.
13.4. Резонанс токов
197
(Противление 1-й ветви:
Z, = Jr* + X2 = V102 + 2О2 =22,4 Ом.
‘оки в ветвях соответственно равны
/, =-^«-121 = 5,67 А,
Z, 22,4
7-=-?L=12Zb8,47a.
15
10 -0,02 См,
Для определения тока I в неразветвленной части цепи опре-
[еляются проводимости:
= _Я_ =____
Sl Z2~22,42
b, = *£=-20 =0,04 См,
Z2 22,42
b2 =-L_ = ± =0,067 См.
2 Хс 15
Тогда полная проводимость цепи будет равна
У = +(*i -Ь2 )2 = л/0,022 +(0,04-0,067)2 = 3,36 10 2 См.
Ток в неразветвленной части цепи
I=Uy=\21 3,36 10'2 = 4,27 Л.
2. Углы сдвига фаз:
, . 0,04 , -
< Pi = arctg — = arctg-2— = arctg2 =64 ;
0,02
< p2 = 90°, так как ветвь чисто емкостная;
b bt - b2 0,04-0,067
< р = arctg — = arctg —-= arctg ’ ---=
gi gi 0,02
* arctg (-1,35) = -53’30'.
I Знак «минус» перед значением угла ф параллельного контура
означает, что цепь имеет емкостной характер, так как Ь2> Ь}.
3. Полная мощность цепи 5= U1= 127-4,27 = 542 В-А.
гАктивная мощность цепи P=5cos<p = 542-0,59 = 320 Вт, так как
cos <р = cos 53’30' = 0,59.
I Реактивная мощность цепи 0=Ssin9 = 542 O,8 = 434 вар, так как
sin ф = sin 53’30' * 0,8.
198 Глава 13. Разветвленная цепь синусоидального тока
4. Угловая частота резонанса токов в цепи равна
1
~JLC '
J 63. ? 10 JO 2
-------------=212 рад/с,
-62-7'° -о
212-10**
___________1
763,7 10"’
Откуда /ре, = = 35,2 Гц.
2 я 2-3,14
Для построения векторной диаграммы определяют активные и
реактивные токи в ветвях:
/,! = ££, = 127-0,02 = 2,54 А;
7р1= Ubx = \27-0,04 = 5,08 А;
/,2 = 0, так как в ветви с емкостью отсутствует активное
сопротивление, т. е. Я2 = 0;
/р2=/2 = 8,47 А.
Векторная диаграмма для рассматриваемой цепи изображена
на рис. 13.46.
На векторной диаграмме видно, что ток 7 опережает напряже-
ние U на угол 53‘30' (цепь емкостного характера).
13.5. Коэффициент мощности
Номинальные параметры, т. е. мощность источника мощ-
ность потребителя Рпотр и коэффициент мощности cos<p,;1TP,
связаны следующим соотношением
. (13.15)
COS<pnOTp
Из (13.15) следует, что чем меньше cosipnoTT, тем бблыную
мощность 5 должен иметь источник для питания этого потреби-
теля, т. е. тем больше его габариты, вес, расход материалов, стои-
мость и др.
Ток в цепи потребителя с определенным cos <pnon, согласно вы-
ражению (12.11) равен
(13.16)
и cos ср по1р
Из (13.16) видно, что чем меньше со$(рпотр, тем больше ток
потребителя /, тем больший ток проходит по проводам линий
199
13.5. Коэффициент мощности
электропередачи, тем больше потери энергии в этой линии и
меньше КПД ее и всей системы (3.11). Кроме того, увеличение
уока требует дтя его передачи проводов большего сечения, т. е.
большего расхода цветных металлов.
Таким образом, низкий коэффициент мошности потребителя
cos Фпотр приводит к увеличению мощности источника, питающего
этот потребитель, уменьшению КПД линии электропередачи и к
увеличению сечения проводов линий электропередачи.
В России установлен минимально допустимый коэффициент
мошности не менее 0,93, т. е. cos <pnow должен быть равен или
больше 0,93 (совфпотр > 0,93).
Однако cos<рпотрбольшинства электрических потребителей пере-
менного тока меньше этой нормы. Так, например, cos<pnol1, асин-
хронных двигателей, в зависимости от нагрузки, составляет
0,2-т-0,85, трансформаторов — 0,5+0,9, выпрямителей - 0,7+0,85 и
т.д. Следовательно, коэффициент мощности этих потребителей
необходимо повышать.
Так как большинство потребителей представляет собой нагруз-
ку индуктивного характера, то для улучшения cos(pnOTp парал-
ьно с ним подключаются конденсаторы (рис. 13.5а).
б)
а)
Рис. 13.5
векторной диаграммы (рис.
13.56) видно, что с под-
Из
ключением конденсатора С (ключ К замкнут) появляется 1С, за
счет которого уменьшается угол <р (ср < ср„) и увеличивается cos<p
установки. При этом уменьшается ток цепи /, который до под-
ключения конденсатора был равен току нагрузки /н.
Для повышения коэффициента мошности (cos<p) конденсатор
можно включить последовательно с потребителем индуктивно-
го характера. Однако при этом нарушается режим работы (напря-
жение) потребителя. Поэтому для улучшения cos ср конденсатор
подключают параллельно с нагрузкой (рис. 13.5а).
200
Г лава 13. Разветвленная цепь синусоидального тока
Коэффициент мощности можно повысить, увеличив активную
нагрузку. При этом увеличивается потребляемая энергия, что
экономически нерационально (уменьшается КПД установки).
Пример 13.2
Асинхронный двигатель, включенный в сеть с напряжением
£/=220 В и частотой / = 50 Гц, развивает на валу мощность
Ри= 11,4 кВт. КПД двигателя пдв = 95 % при cos<pH = 0,74. Опре-
делить емкость конденсатора С, который необходимо включить
параллельно с двигателем (рис. 13.5а), чтобы повысить cosep уста-
новки до 0,95.
Решение
Мощность, потребляемая двигателем из сети:
P = 2"_=LL4=|2kBt=12 -103 Вт.
Пи 0,95
Ток нагрузки /„, т. е. ток двигателя (рис. 13.5а), равен
I Р 12 103 7, 7Д
" £/cos9h 220 0,74
Реактивная составляющая тока двигателя /рн (рис. 13.56)
4« = /„sin <р„ = 73,7 0,67 = 49,4 А
(по таблице <(>„ = 48*, sin <р„ = 0,67).
Ток установки / при подключении конденсатора, т. е. при
cos <р = 0,95, будет равен
!- Р _12103 _57 4А
£/cos<p 220 0,95
При cos <р = 0,95 угол <р= 18*, sin <р «= sin 18’= 0,31.
Реактивная составляющая тока установки (рис. 13.56)
/w=/sin <р = 57,4 0,31 = 17,8 А.
Ток конденсатора 1С (рис. 13.56)
/с- /р„ - /₽у = 49,4 - 17,8 = 31,6 А.
Емкостное сопротивление конденсаторов
Хс =Т- = ТГ7=6’96Ом-
/с 31,о
Емкость конденсаторов, которые нужно подключить пара:
дельно двигателю для улучшения cos<₽ до 0,95:
С = —— =-----1---=------—--------= 457,5 мкФ.
ыХс 2nfXc 2 3,14-50 6,96
лава
СИМВОЛИЧЕСКИЙ МЕТОД
РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
14.1. Действия над комплексными числами
'имволический метод нашел широкое применение для расчета
>жных цепей переменного тока.
Символический метод расчета основан на использовании комп-
лексных чисел.
Комплексное число А состоит из вещественной А' и мнимой
А" частей, т. е. А = А' +jA*.
Комплексное число на комплексной плоскости можно предста-
вить вектором. Проекция вектора на вещественную ось (ось абс-
цисс) соответствует вещественной части комплексного числа А'
(рис. I4.la). Проекция вектора на мнимую осьу (ось ординат) со-
Кветствуст коэффициенту при мнимой единице А". Мнимая еди-
ница J представляет собой поворотный множитель, умножение на
который означает поворот вектора на 90‘ против часовой стрелки,
т.е. в положительном направлении. Мнимая единица
Тогда;2 = -1;/,»-/»У4= 1.
Рис. 14.1
202 Глава 14. Символический метод расчета цепей переменного тока
Комплексным числам Л = 3 + 4/ и 5=5-2/ соответствуют век-
торы А и В, изображенные на комплексной плоскости (рис. 14.1а
и б) в масштабе.
Модуль комплексного числа соответствует длине вектора, изоб-
рожающего это комплексное число.
Из построения (рис. 14.1а) видно, что модули комплексных
чисел определяются выражением
\А | = л/(Л')2 + (ЛЖ)2 .
(14.1)
Следовательно, | А | = V33 + 42 = 5; | В\ = -J51 +(-2)2 = 5,4.
Углы аир, образованные векторами А и В с положительным
направлением вещественной оси, называются аргументами комп-
лексного числа.
Аргументы комплексного числа (рис. 14.1а) определяются вы-
ражением
а = arctg
(14.2)
То есть а = arctg | =53*30'; р - arctg^-j j = -2Г40*.
Как видно, аргумент комплексного числа В отрицательны»,
так как вектор В повернут на угол 0 по часовой стрелке, а не
против.
Существует три формы записи комплексного числа:
1) алгебраическая: А = A' +jA"; (14.3)
2) тригонометрическая: А = |/l|cosa+j|^|sina, (14.4)
так как Л'= |H|cosa, а А” = |/l|sina;
3) показательная:
Л=|Л|е'о = 5е75П0', В= |5|e'|, = 5,4e-'21™ (14.5)
где е — основание натурального логарифма, однако в данном
случае имеет чисто символическое значение.
Для перевода из показательной формы записи комплексного
числа в алгебраическую пользуются тригонометрической формой
записи комплексного числа (14.4).
Для перевода из алгебраической формы записи комплексного
числа в показательную определяют модуль по (14.1) и аргумент
по (14.2) комплексного числа.
Дпя перевода комплексного числа из одной формы в другую
можно использовать логарифмическую линейку или микрокаль-
кулятор.
14.1. Действия над комплексными числами
203
Комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать и
делить
Сложение и вычитание комплексных чисел производится толь-
ко в алгебраической форме
Л+Я=3+/4 + 5-/2 = 8 +/2;
A- S=3+/4-5+/2 = -2+/6.
На рис. 14.16 видно, что сложение и вычитание комплексных
чисел соответствует сложению и вычитанию векторов, изобра-
жающих эти числа.
Умножение и деление комплексных чисел можно производить
в алгебраической форме:
А В= (3 +/4)(5 -j 2) = 15 +/20 -/6 + 8 = 23 +j 14 = 27e'jrw;
A 3 + /4J3 + /4)(5 + /2) 15 + /20 + /6-8
В “5-/2 “(5-/2)(5 + /2) “25-/10 + /10 + 4
= 7 + 7 26 = 0,24 + /О,896 = 0,93елгм'.
I
Для того чтобы избавиться от комплексов в знаменателе, чис-
литель и знаменатель умножают на комплекс, сопряженный с
комплексом знаменателя. У сопряженного комплекса знак перед
мнимой единицей/ изменяется на обратный.
Произведение двух сопряженных комплексов - вещественное
число, равное сумме квадратов вещественной и мнимой частей
этих комплексов.
Однако умножение и деление комплексных чисел удобно про-
изводить в показательной форме.
При умножении комплексных чисел в показательной форме
Модули этих чисел перемножаются, а аргументы складываются
алгебраически:
А В= |Л|-|Д|еЯа*<-’,, = 5-5,54-ея5Г,°--2,'*г, = 27е;51’30'.
При делении комплексных чисел в показательной форме моду-
ли этих чисел делятся, а аргументы вычитаются с учетом знаков:
А _ 1^1 >|«-<-|>>| _ 5 /|я-юч»1-40 | =0 93е^4’50'
В “|В| 5,54
Таким образом, сложение и вычитание комплексных чисел мож-
но производить только в алгебраической форме, а умножение и де-
ление удобней и проще производить в показательной форме.
204 Глава 14. Символический метод расчета цепей переменного тока
14.2. Ток, напряжение и сопротивление
в комплексном виде
Если ток и напряжение изменяются по синусоидальному зако.
ну i= /„sin (соГ+у,), и = U„sin(<£>t+ уи), то, как указывалось выше
их можно изобразить векторами и, следовательно, записать комп-
лексными числами:
U^Ue*', (14.6)
где / и U - комплексы тока и напряжения. Точка над комплек-
сами указывает, что ток и напряжение изменяются по синусо-
идальному закону с определенной частотой со; / и U — модули
комплексов тока и напряжения, они же действующие значения
тока / = -^ и напряжения U = у(и у, - аргументы комплск-
V2 V2
сов тока и напряжения, они же начальные фазы тока у, и на-
пряжения %,.
Для неразветвленной цепи с R и L (рис. 12.1а) мгновенные зна-
чения синусоидального тока и напряжения можно записать так:
/ = /„sin со/, и = //„sin (соГ+ <р). Тогда комплексы тока и напряжения
I = 1е/й, U~Ue*. (14.7)
Комплекс полного сопротивления цепи Z определяется отно-
шением комплекса напряжения к комплексу тока, т. е.
Z = =^e>(^0) = Ze^.
i i
(14.8)
Комплексные величины, не зависящие от времени, обознача-
ются прописными буквами с черточкой внизу.
Модулем комплекса полного сопротивления является кажущееся
сопротивление цепи Z = а аргументом — угол сдвига фаз меж-
ду током и напряжением ср.
Алгебраическая форма записи комплекса полного сопротивле-
ния Z
Z=Zey’ = Zcos<p+yZsin<p = R+jXl. (14 9)
Вещественная часть комплекса полного сопротивления есть ак-
тивное сопротивление R, а коэффициент при мнимой единице / '
реактивное сопротивление X. Знак перед поворотным множите-
лем (мнимой единицей) указывает на характер цепи. Знак «плюс*
соответствует цепи индуктивного характера, а знак «минус»
цепи емкостного характера.
14.3. Мощность в комплексном виде
205
Выражения комплексов сопротивлений различных цепей при-
ведены в Приложении 7.
"Обратная величина комплекса сопротивления - комплекс про-
водимости Y =— .
Любую цепь переменного тока можно рассчитывать по зако-
нам постоянного тока, если все величины представить в комплек-
сной форме. В этом и заключается достоинство символического
метода расчета.
14.3. Мощность в комплексном виде
| Для неразветвленной цепи с Ли С (рис. 12.3а) мгновенные зна-
чения тока и напряжения можно записать как
и = (/„sin со/, /= /„sin (<о/+<р).
’’ Комплексы напряжения и тока соответственно равны
U=Ue'°, 1 = 1е*.
I Комплекс полной мощности цепи 5 определяется произве-
дением комплекса напряжения U и сопряженного комплекса
тока / (нал сопряженным комплексом синусоидальной величины
ставят «звёздочку»)
S = UI=UeJ° Ie*=UIe'*=Se*. (14.10)
Таким образом, модулем комплекса полной мощности S являет-
ся кажущаяся мощность цепи S= UI, а аргументом — угол сдвига
фаз между током и напряжением.
Г Если комплекс полной мощности 5 перевести из показатель-
ной формы в алгебраическую, то получится
LS = UIe *=UIcos(-<р) + JWsin(-<p) = Р -jQ. (14.11)
То есть вещественная часть комплекса полной мощности — ак~
ивная мощность Р, а коэффициент при мнимой единице — реак-
тивная мощность Q,
Знак перед поворотным множителем j указывает на характер
Цепи. В рассматриваемой цепи реактивная мощность емкостно-
го характера (—jQ).
! Комплексы величин токов, напряжений, сопротивлений, мощ-
• Ностей и других параметров цепи синусоидального тока необхо-
димо выражать в двух видах записи комплексного числа: показа-
тельной и алгебраической. В этом случае сразу определяются
Действующие значения тока, напряжения, кажущееся сопротив-
ление, его активные и реактивные части (Ли X), угол сдвига фаз ф
Между током и напряжением, характер цепи, кажущаяся S, актив-
ная Р и реактивная Q мощности. Кроме того, в неразветвленной
206 Глава 14. Символический метод расчета цепей переменного тока
цепи напряжения на участках складываются, суммируются токи в
разветвленных цепях, а сложение комплексов можно производить
только в алгебраической форме записи. В алгебраической форме
записи кажущейся мощности 5 сразу определяются активная
мощность Р и реактивная мощность Q. В показательной форме
записи сопротивлений производится их умножение и деление,
необходимое при расчете цепей синусоидального тока при сме-
шанном соединении потребителей, и т. д. Необходимость выра-
жения комплексов в двух видах следует из примеров, разобран-
ных в этой главе.
Пример 14.1
Для цепи, изображенной на рис. 14.2а, дано:
/?1 = 8 Ом; Лст = 6 Ом; Л2 = 9 Ом; Хи=12 Ом; Jo=10 Ом;
U= 127 В.
Определить токи /ь /2, 1у, напряжение на участках А С (UAC) и CD
(UcdY, мощности 5, Р и Q цепи; угол <р и характер цепи.
Построить векторную диаграмму цепи.
Решение
Комплексы сопротивлений участков (по номерам токов) и пол-
ного сопротивления цепи будут равны
Z, = R, -jXa = S-j6 = 1 Ое
Z2 = R2+jXa = 9+j\2 = \ 5ejS™,
Z5 = -;Xo = -/10=10eyw.
Комплекс сопротивления участка CD цепи:
Z,Z. 15e7S3'1010e7*1'
14.3. Мощность в комплексном виде
207
= I50**”- = 16,35е-у*'и' = (10,65 - /12,45).
9,2еу,гм'
Тогда полное сопротивление цепи равно
£= Zi + ZCfl = 8 -/6 + 10,65 -J 12,45 = 18,65 -j 18,45 = 26,2е -y44‘4i’.
£ Вектор заданной величины (тока или напряжения) можно на-
править в любом направлении. Однако удобнее совмещать его с
вещественной или мнимой осью.
В рассмотренном примере заданное напряжение направляется
по вещественной оси. Таким образом, комплекс общего напряже-
ния будет равен
U = UeJ0 = 127еу0 =127 В.
Комплекс тока цепи / равен комплексу первого тока /1:
4,85^-.
Z 26,2
Комплекс напряжения на участке АС:
Uac = 4,85е?44 45 • 10с50 = 48,5еу7 35 .
Комплекс напряжений на участке CD.
Ucd -=iZCD = 4,85с'44 43 • 16,35e’y4913 =79,2е*у4 40 .
Комплексы токов / i и /з:
i. _ С СР _ 79,2 с _ . 27 с 'узгз°
Z2 15е'узГ10’
/з = со = 79>2g /4 40 _ у 92 е-'83’20'
Z3 Юе"7*0’
Комплекс полной мощности цепи:
5 = 1/7= 127су0 4,85е'у44 43 = 616су44’43 = 437 - >433.
Из расчета цепи (рис. 14.2а) символическим методом следует:
/=/, = 4,85 А; 4=5,27 А; 4 = 7,92 А; С/лс=48,5 В;
(/СО=79,2 В; 5=616 В А; Р=437 Вт; (? = 433 вар; Ф = -44’45';
Z,= Ю Ом; Z2= 15 Ом; Z5 = 10 Ом; ZK= 16,35 Ом; Z=26,2 Ом.
арактер цепи емкостной, так как угол <р отрицательный.
екторная диаграмма для рассматриваемой цепи с учетом
|альных фаз напряжений и токов изображена на рис. 14.26.
208 Глава 14 Символический метод расчета цепей переменного тока
Пример 14.2
Для цепи, изображенной на рис. 14.3, дано:
Рис. 14.3
Я, = 1,5 Ом;
Ха = 2 Ом;
Я2 = 5 Ом;
Хдз = 4 Ом;
.%с7 = 6 Ом;
Я3 = 2 Ом;
X/j — 3 Ом;
Я» = 3 Ом;
Х„ = 4Ом;
/2 = 2 А.
Определить токи /ь Д, Д, /; напряжение цепи U', угол <р и ха-
рактер цепи.
Решение
Комплексы сопротивлений участков (по номерам токов):
Z, = Я, -jXa = 1,5-2/= 2,5е ^Г10’;
Z2 = Я2 +у(Хи - Хо) = 5 + (4 - 6)/= 5,4е
Z3 = RJ+jXLi^2 + 3j=3,6e'>b’20-,
Zt = R4-jXc^3-4j=5e~jSTlv.
Вектор заданного тока /2 в примере направим по мнимой
оси, т. е.
/ = 2еуэд= j2.
Комплекс напряжения на участке CD:
Ucd = /iZ2 =2e>"‘-5,4e^‘,*>=10,8e>“‘M'=4 + 10y.
Значение токов будут равны соответственно
/э = Ag. = 10>8е* ” = Зелг = 2,93 + 0,625 j,
Z2 3,6е'*“
/1 =/j + /j =2; + 2,93 + О,625;=2,93 + 2,625;=3,94еяг50
Комплекс напряжения на участке АС:
йлс =Ut =iiZt =3,94е>4Г50'.2,5е--'5Г|0 =
= 9,85е"71120 =9,65-1,94/.
14.3. Мощность в комплексном виде
209
Комплекс напряжения на участке АВ, т. е. напряжение сети, равен
U =U лв =U ас + Ucd = 9,65-1,94/ + 4 + 10/ =
= 13,65 + 8,06/ = 15,85g*0'35'.
Комплекс тока /«:
/ 4 = У-А£- = !A85eAlL = 3 17е*3'45' = о, 345 + 3,15/.
Z4 5g-'53'10'
Комплекс тока цепи:
I = h + =2,93 + 2,625/ + 0,345 + 3,15/ =
= 3,275 + 5,775/=6,64g760 33 .
Комплекс полной мощности цепи:
5 =///*= 15,85g *°'35'-6,64g-760’33= 105,2g •73О= 91 -52,5/.
Результаты расчета:
/,= 3 А; /, = 3,94 А; Д = 3,17 А; /=6,64 А; 17-15,85 В; UCD= 10,8 В;
[ 7/Лс=9,85 В; 5=105,2 В А; Р=91 Вт; 0=52,5 вар; ф = -30*;
Z, = 2,5 Ом; Z2 = 5,4 Ом; Zj = 3,6 Ом; Z, = 5 Ом.
Характер цепи емкостной.
Пример 14.3
По условиям примера 14.2 определить полное сопротивление
цепи (рис. 14.3).
Решение
Z2Z3 _5,4е*г*М,6е'м'*\
Z2+Z3“ 5-2/+ 2 + 3/
= 19,44еуИ4° =2,7g/a30'= 2,47 + 1,23/;
7,05g*10,
! Zi-j = Z, + Z2 з = 1,5 - 2/+2,47 + 1,23/= 3,97 - 0,77/=4g"',r;
z_z _ ZAZ„ _ 5g-/33’I0-4gJU’
--1-4 Z4+Z,_3 3-4/+ 3,97-0,77/“
_ 2Qg~764 10 _2 37e-/»♦»•
8,45g-*4'20'
Результаты расчета: полное сопротивление цепи (рис. 14.3)
Z = 2,37 Ом; угол сдвига фаз ф =-29*50'; характер цепи — емкост-
ной.
Погрешность 10' при расчете угла <р в примерах 14.2 и 14.3
в пределах допустимого.
Глава 15
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
С ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТЬЮ
15.1. Переменная магнитная связь
Индуктивность двух взаимосвязанных катушек можно изме-
нить, если кроме магнитной связи эти катушки соединены элект-
рически. Индуктивность таких катушек зависит от их соединения
и взаимного расположения относительно друг друга.
Устройство, дающее возможность изменять магнитную связь
(коэффициент связи К) двух контуров или катушек, называют ва-
риометром.
Вариометр представляет собой две катушки, одна из которых (2)
может поворачиваться внутри неподвижной катушки (I), изменяя
при этом угол между магнитными потоками катушек (рис. 15. 1).
В зависимости от взаимного расположения этих катушек раз-
личают их согласное и встречное включение.
При согласном включении угол между магнитными потоками
катушек (а) не превышает 90’ и магнитные потоки катушек при
этом суммируются.
При встречном включении угол между магнитными потоками
катушек (а) превышает 90’ и магнитные потоки при этом вычита-
ются.
Схема замещения последовательно соединенных катушек ва-
риометра изображена на рис. 15.2а.
При согласном включении катушек суммируются ЭДС самоин-
дукции, созданные магнитными потоками Ф, и Ф2:
15.1. Переменная магнитная связь
211
г di\. г dii
Также суммируются ЭДС взаимоиндукции, созданные пото-
ки одной катушки, пронизывающие витки другой катушки:
Рис. 15.2
R'i+L^ + M^
При последовательном соединении катушек (рис. 15.2а)
h - 6 = i-
Составляется уравнение по второму закону Кирхгофа для пер-
вой катушки:
«1 + еД| + ем1 = /Ль или ui*Rii+LA
at
или в комплексной форме
U\ = RJ + jv)Lli+ jaMI.
Для второй катушки:
u2 + eL2 + eU2 = iR2, или и2 = R2i + L2 + М
at at
(15.1)
или в комплексной форме
Ui = R2I + jo>L1I+ jwMI.
• Напряжение, приложенное к последовательно включенным ка-
Вшкам (входное напряжение), определяется по формуле
и = и, + и2 = R,i + L £ + М^- + R2i + lA + ьА =
dt dt dt dt
— (Rt + R2)i + (Z, + L2 + 2M
at
U = (R.+ R2)i+jw(L} + L2 + 2M)i.
(15.2)
Тогда
(15.3)
212 Глава 15. Электрические цепи с взаимной индуктивностью
Векторная диаграмма цепи при последовательном согласщ
включении двух катушек показана на рис. 15.26.
Как следует из (15.3), общая индуктивность двух катушек вари
ометра при их согласном включении:
Lc- £| + L2 + 2М. П5.4)'
Таким образом, при согласном включении катушек ЭДС сам0.
индукции и взаимоиндукции складываются: (15.1) и (15.2) При
встречном включении тех же катушек ЭДС самоиндукции и взац.
моиндукции вычитаются:
Ui = R[i+ М^- или U\ = R}f + juLJ-jtnM/'. (15.5)
Для второй катушки: Ui = R2i+ jwL-J - juMI. (15.6)
Тогда напряжение, приложенное к встречно включенным ка-
тушкам, определяется выражением
й = й\-йг =(Rt +R2)i+ jwdt +L2 -2M)L (15.7)
Из выражения (15.7) следует, что общая индуктивность двух ка-
тушек вариометра при их встречном включении:
L» = L1 + LI-2M (15.8)
Сравнивая (15.4) и (15.8), видим, что суммарная (эквивалент-
ная) индуктивность двух магнитосвязанных катушек и, следова-
тельно, их индуктивное сопротивление X=taL при согласном
включении больше, чем при встречном:
Zc = -Jr- + to1 L\ > Z. = -J~R2 + (o2 L2„, где R= Rt + R2.
Следовательно, ток магнитосвязанных катушек при согласном
включении /с меньше, чем ток /в при их встречном включении,
т. е. /с</..
Если обмотку катушки выполнить двумя рядом расположенны-
ми изолированными проводами, соединенными электрически с
одной стороны (концами или началами), то получится встречное
включение, при котором Lt = L2= М. При этом общая индуктив-
ность согласно (15.8) будет равна нулю
L,= Lt + L2-2M=O.
Безындуктивныс катушки, намотанные таким двойным прово-
дом, называются бифилярными.
В ряде случаев явление взаимоиндукции бывает полезным
(трансформаторы). Иногда это явление бывает нежелательным'
например, если параллельно линии электропередачи расположи
на линия связи.
15.2. Воздушный трансформатор
213
15.2. Воздушный трансформатор
рассмотрим в качестве примера расчета индуктивно связанных
цепей воздушный трансформатор, который состоит из двух ин-
луктивно связанных катушек (обмоток), намотанных одна на дру-
гую (рис. 15.3а).
Рис. 15.3
Первичная обмотка трансформатора присоединена к источни-
ку с напряжением U|, а к вторичной обмотке с напряжением и2
«включается приемник, например, с активным сопротивлени-
ем R.
Положительные направления и2 и i2 выбираются так, чтобы
ЭДС самоиндукции и взаимоиндукции суммировались (соглас-
ное включение):
(Zi -Riii + jwL\ii + jtoMI i = Z\i i + jiaMI i. (15.9)
Таким образом, напряжение, приложенное к первичной обмот-
ке трансформатора U i, состоит из активной составляющей RJi,
совпадающей по фазе с током /| (рис. 15.36), реактивной состав-
ляющей jaLi/i, опережающей ток /| по фазе на 90°, и составляю-
щей juMi j = -Ё\ч, опережающей по фазе ток /1 на 90*.
Сопротивление первичной обмотки трансформатора равно
Z । = Я] +jtnL.
Так как во вторичной цепи отсутствует источник питания, т. е.
Е2 - 0, то по второму закону Кирхгофа можно записать:
Rj I + R2 I 2 + jtoL J /1 + jtoMI I =U 2 + R2 i 2 + jwL 2 i2 + jtoM I1 =
= Z2/2 + juMh =0, (15.10)
214 Глава 15. Электрические цепи с взаимной индуктивностью
где Ui = RI2 — напряжение на приемнике R или на клеммах
вторичной обмотки, a Z2 = R+ R2+j(aL2 ~ сопротивление вторщ*
ной цепи.
ЭДС взаимоиндукции во вторичной обмотке будет равно
Егм = -juMI 1 = Z212 = R11 + R21'2 + j<»L2 / 2. (15.1 jj
На векторной диаграмме (рис. 15.36) показано, что £2Votci ает
по фазе от тока 11 на 90° и равна сумме падений напряжений
на сопротивлениях R, R2 и на J<oL2.
Из выражения (15.11) определяется ток вторичной цепи
h =- z (15.12)
Подставив выражение (15.12) для тока /2 в (15.9), можно опре-
делить Ur.
и, (15.13)
42 \ 4.2 J
где Z„, ~ входное сопротивление нагруженного трансформатора.
Слагаемое --М называют вносимым сопротивлением в пер-
4г I 2 * * * * * В А/г
вичную цепь, т.е. Zau = ш .
Z2
; Следовательно, для источника питания
1 » нагруженный трансформатор можно пред-
I ставить простой схемой замещения
JL (рис. 15.4).
Тогда по закону Ома
Т £/1 = (/? 1 + jtoL 2) 11 + Z вн 11 = (1514)
I J I = (Z| + Zbh)/'1=Zb/|.
1 Откуда /i = -^~.
I zBH ZB
M Таким образом, при заданных параметрах
__________I первичной и вторичной цепей и напряже-
ний источника питания можно рассчитать
Рис. 15.4 токи !\ и /2 и построить векторную диа-
грамму (рис. 15.36).
В режиме холостого хода, когда /2 = 0, ток /1 =-^2- и
вл
напряжение вторичной обмотки Ui = t/гхх = -jwA//t = Eim.
Глава 16
ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ
16.1. Трехфазная система ЭДС
Производство, передача и распределение электрической энер-
гии осуществляется в основном трехфазным током в трехфазных
цепях Широкое распространение в качестве нагрузки в трехфаз-
ных цепях получили трехфазные потребители. В трехфазных це-
пях используются трехфазные трансформаторы. Электрическую
энергию в трехфазных цепях производят трехфазные генераторы,
создающие синусоидальные ЭДС одинаковой частоты, в трехфаз-
ных системах.
Трехфазной называется система трех ЭДС одинаковой частоты,
сдвинутых друг относительно друга по фазе так, что сумма углов
сдвига равна 2л, или 360*.
Трехфазная система ЭДС называется симметричной, если ЭДС
трех фаз сдвинуты друг относительно друга на угол = 120* и ам-
плитуды этих трех ЭДС одинаковы по величине:
еА =Е„ sin(wr),
ев =Еп sin(<i>r-^) = sin(ior-120°),
(16.1)
ес = Em sin(cof-4^) = Е„ sin(cor-240°).
Комплексы этих ЭДС
Ёл « ЕАе10'; Ёв = EBe-J'20'; Ёс = Ece y240*. (16.2)
Получение симметричной трехфазной системы ЭДС осуществ-
ляется в трехфазном электромашинном генераторе (рис. 16.1а), в
котором три жестко скрепленные под углом 120* обмотки пересе-
кают магнитное поле с частотой ш, вращаясь (в данном случае)
Против часовой стрелки.
Начала обмоток грехфазного генератора обозначаются пропис-
ными буквами А, В и С, а концы их соответственно X, Y, Z
'2 е- в трехфазном генераторе имеется три обмотки: АХ, BY и
рис. 16.1а).
216
Глава 16. Трехфазные цепи
Таким образом, при вращении в магнитном поле жестко
скрепленных обмоток в них индуктируются одинаковые ЭДС
(Ел - Ей= Ес) одинаковой частоты со и сдвинутые на 120‘.
Векторная диаграмма такой симметричной системы ЭДС изоб-
ражена на рис. 16.16. Как видно из векторной диаграммы, мгно-
венное значение ЭДС в обмотке CZ можно записать в виде
ес= £«sin (tor-240*) = £msin((ur + 120’), (16 3)
а комплекс этой ЭДС
Ec=EceflX', (16.41
т. е. логично, чтобы начальная фаза Тсне превышала 180’ = п рад.
К каждой обмотке трехфазного генератора может быть подклю-
чена нагрузка с сопротивлениями Z/ Ze и Zc-
Если при этом три обмотки генератора электрически не соеди-
нены (рис. 16.2а), то такая трехфазная система называется несвя-
занной. Несвязанная трехфазная система практического приме-
нения не нашла.
Практическое применение нашла связанная трехфазная систе-
ма (рис. 16.26). Эта система экономически и энергетически более
Рис. 16.2
16.2. Соединение обмоток генератора звездой
217
чциональна, так как используется три или четыре соединитель-
провода вместо шести и получить можно два различных
пряжения, фазное и линейное, вместо одного.
{рждая обмотка трехфазного генератора со своей нагрузкой и со-
мнительными проводами называется фазой (рис. 16.2). В трех-
\j3HOti системе различают три фазы А, В и С (международные
^означения — прописные буквы).
Положительное направление ЭДС и токов в каждой фазе на
,ис 16.26 указаны стрелками.
В связанных трехфазных системах применяется соединение об-
иоток генератора и потребителя звездой F или треугольником Е.
16.2. Соединение обмоток генератора звездой
При соединении обмоток генератора звездой концы обмоток X,
Уи /электрически соединяются в одну точку 0 (рис. 16.3а), кото-
рая ^называется нулевой, или нейтральной. При этом генератор с
потребителем соединяется тремя или четырьмя проводами.
Провода, подключенные к началам обмоток генератора (Л, В
и С), называют линейными проводами, а провод, подключенный
к нулевой точке 0, называется нулевым, или нейтральным.
Рис. 16.3
В связанных трехфазных системах различают фазные и линей-
ные напряжения и токи.
Фазны м называется напряжение между началом и концом обмот-
генератора или между нулевым и линейным проводом. Обознача-
йся фазные напряжения прописными буквами с индексами фаз иЛ,
Uc (рис. 16.3а). Так как сопротивление обмоток генератора
*ало, то фазные напряжения практически не отличаются от
ЭДС в обмотках генератора.
^Линейным называется напряжение между началами обмоток гене-
Ра,»орс; или между линейными проводами. Обозначаются линейные
>1апРяжения UAB, Uвс, Уса (рис. 16.3а).
218
Глава 16. Трехфазные цепи
Можно определить зависимость между линейными и фазну^
напряжениями при соединении обмоток генератора звездой и
Мгновенные значения фазных напряжений равны разностЯм
потенциалов между началами и концами соответствующих обм*
ток, т. е.
Ия = фя-фх; Ыв = фв-фг; Ис=фс-фг. (1ц
Мгновенные значения линейных напряжений равны разност^
потенциалов между началами соответствующих обмоток:
Мла = Фл-<₽л; «вс=Фя-Фс; Ыа4 = Фс-Фл- (16.6)
Потенциалы концов обмоток одинаковы Фх=Фу=Ф* так как все
они соединены электрически в одну точку.
Тогда
иАв — Фл - Ф>= (ил + Фх) - (ив + фг) = иА - ив, '
и вс— Фя-Фс= (ив + Фу) — (ис+Фг) = и в — ис, •
«СИ = Фс_Фл=(«С+Ф2)_(«Л + Фа) = «С_Ил- ,
(16.7)
То есть мгновенное значение линейных напряжений определя-
ется разностью мгновенных значений двух соответствующих фаз-
ных напряжений.
При соединении обмоток генератора звездой действующее значе-
ние линейного напряжения определяется геометрической разностью
двух соответствующих фазных напряжений. На этом основании
построена векторная диаграмма напряжений (рис. 16.36) для сое-
динения обмоток генератора звездой. К такому же результату
приводит определение комплексов линейных напряжений симво-
лическим методом:
йлв = йл-йв-, йвс =йв-йс-, йсА-йс-йл. (16.8)
При симметричной системе ЭДС
фазные напряжения равны по величи-
не (UA = UB = Uс) и сдвинуты по фазе на
угол 120*. По векторной диаграмме
(рис. 16.36) определяется линейное на-
пряжение (рис. 16.4).
Линейное напряжение Uqa при сим-
метричной системе ЭДС трехфазног-1
генератора определяется равенством
^СА = ^с~ ^А-
Из диаграммы (рис. 16.4) определяем
ся вектор (комплекс) Оса-
16.3. Соединение обмоток генератора треугольником
219
Uu = 2UC cos30° = 2UC .
flpu симметричной системе ЭДС линейное напряжение трехфаз-
нога генератора, обмотки которого соединены звездой, в ТЗ = 1,73
^аз<г больше фазного напряжения:
ил =4зи*.
(16.9)
Если говорят о напряжении генератора 127/220 В, то имеется
в виду, что фазное напряжение в трехфазной цепи 127 В, а линей-
ное - 220 В. В сети с напряжением 220/380 В фазное напряжение
220 В, а линейное - 380 В. Очевидно, что обмотки генератора та-
кой симметричной цепи соединены звездой и отношение напря-
жений получится равным
220 -380 - гт. 7,
127 220
(16.10)
В связанных трехфазных системах фазным называется ток, про-
ходящий по обмотке (фазе) генератора /ф, а линейным считается
ток, проходящий по линейному проводу
Как видно на рис. 16.3а, при соединении обмоток генератора
звездой линейный ток /, равен фазному току 1$:
= (16.11)
16.3. Соединение обмоток генератора треугольником
При соединении обмоток генератора треугольником (рис. 16.5а)
конец обмотки фазы А соединяется с началом обмотки фазы В,
конец обмотки фазы В соединяется к началом обмотки фазы С,
конец обмотки фазы С соединяется с началом обмотки фазы А и
к точкам соединения подключаются линейные провода.
Рис. 16.5
220
Глава 16. Трехфазные цепи
При соединении обмоток генератора треугольником (рис. 16.5а)
трехфазная цепь трехпроводная.
Как следует из схемы соединения обмоток треугольником
(рис. 16.5а), линейное напряжение UAB равно фазному напряже-
нию UA, 1^вс~ Ув 11 Uqa ~ (/с-
То есть
Цп=Цф-
(16.12)
Из схемы (рис. 16.5а) следует, что три обмотки генератора, сое-
диненные треугольником, образуют замкнутый контур, ток в ко-
тором при отсутствии нагрузки (холостой ход) определяется вы-
ражением
j _ Ёл + Ёв + Ёс
Z л + Z в + Zc
(16.13)
где Ёл, Ёв и Ёс ~ комплексы (векторы) ЭДС фаз генератора;
Za, Zb и Zc - комплексы сопротивлений обмоток генератора
(Za= RA+jXA\ Zb= Rb+jXb и Zc= Rc+jXc), т. e. каждая обмотка об-
ладает активным R и индуктивным X сопротивлениями.
Так как сопротивления обмоток малы, падением напряжения на
них можно пренебречь и считать, что напряжение на каждой об-
мотке генератора равно ее ЭДС.
При симметричной системе ЭДС и правильном соединении об-
моток генератора треугольником (рис. 16.5а) геометрическая
сумма ЭДС (комплексов) обмоток генератора, образующих зам-
кнутый контур, равна нулю (рис. 16.56). Следовательно, и ток в
замкнутом контуре обмоток, соединенных треугольником, также
равен нулю (/=0) при холостом ходе независимо от величины
внутреннего сопротивления обмоток Z-
Если обмотки симметричного генератора соединены «непра-
вильным» треугольником, т. е. неправильно подключить начало и
конец хотя бы одной из обмоток, например BY (рис. 16.5'а), го
геометрическая сумма ЭДС в замкнутом контуре обмоток будет
равна удвоенному значению ЭДС одной фазы (рис. 16.5'6). С уче-
том малого внутреннего сопротивления обмоток генератора ток в
16.4. Соединение потребителей звездой
221
.шснугом контуре достигает катастрофической величины даже
«отсутствии нагрузки (холостой ход). Таким образом, соедине-
',(е обмоток трехфазного генератора «неправильным» треуголь-
ном равносильно короткому замыканию в замкнутом контуре
обмоток.
16.4. Соединение потребителей звездой
При соединении звездой потребителя и генератора (рис. 16.6)
фехфазная система представляет собой сложную цепь с двумя уз-
ювыми точками 0 и О'. Точка 0 - нейтральная точка генератора,
3 0' - нейтральная точка потребителя. Напряжение между эти-
ми узловыми точками £/Л- называется напряжением смещения ней-
inpa.>u.
б)
Рис. I6.6
Соединение генератора и потребителя звездой может быть с ну-
левым проводом (рис. 16.66), т.е. четырехпроводная цепь, и без
нулевого провода (рис. 16.6а), т.е. трехпроводная цепь.
Величину напряжения смешения нейтрали t/v определяют ме-
т°ло.м узлового напряжения (см. (4.9)) в символической (геомет-
рической) форме:
Г" Ёл Ya + EbYb +Ёс .
I и N ~------------------
Гл+г,+гс+го
(16.14)
222
Глава 16. Трехфазные цепи
где Ur/ — комплекс (вектор) напряжения смешения нейтрал
Ёл, Ёв и Ёс — комплексы (векторы) ЭДС в обмотках соответс/
вуюших фаз генератора; Ха, 1г и Хс ~ комплексы проводимости
соответствующих фаз:
YA У в =— и Ус
- zA'~‘ ZB -с
1
Zc’
где Za, Zb и Zc ~ комплексы сопротивлений фаз потребителя
включая внутреннее сопротивление обмоток генератора и сопр0’
тивление соединительных проводов; Yo = —- комплекс прово-
зе
димости нулевого провода, a Z, - комплекс его сопротивления.
Напряжение U’ на каждой фазе потребителя, соединенного
звездой (рис. 16.6а), с учетом напряжения смешения нейтрали
определяют следующим образом:
иА = ё а - й n ; й'в = ё в-й n и й'с -Ёс-йн, (I6.15)
где UА, Uв и Uс ~ комплексы (векторы) напряжений на фазах
потребителей.
На основании (16.15) строится векторная диаграмма напряже-
ний (рис. 16.7), на которой вектор напряжения смещения нейтра-
ли взят произвольно. Из векторной диаграммы (рис. 16.7) следу-
Рис. 16.7
ет, что при наличии напряжения
смешения нейтрали напряжения
на фазах потребителя, соединен-
ного звездой, различны по вели-
чине и по начальной фазе даже
при симметричной системе ЭДС в
обмотках генератора.
Очевидно (рис. 16.7), что напря-
жения на фазах потребителя, со-
единенного звездой, будут одина-
ковыми по величине U'A = U\S
~U'c , если напряжение смешения
нейтрали отсутствует, т. е. =
при симметричной системе ЭДС
генератора.
Напряжение смещения нейтрали отсутствует, т. е. UN = 0. пр“
равномерной (симметричной) нагрузке фаз или при наличии нулево#
провода.
Рассмотрим эти условия.
1. Равномерная нагрузка фаз.
Равномерной называют нагрузку, при которой комплексы сопр0'
тивлений фаз равны между собой.
16.4. Соединение потребителей звездой
223
То есть
• или
(16.16)
(16.17)
Y(Ea + Eb + Ec)
Тогда U n = —--------------= 0, так как при симметричной
системе ЭДС сумма Ел + Ев + Ес =0 (см. рис. 16.56).
Так как комплекс сопротивления фазы Z^-Z^e^, то равномер-
ной считается нагрузка, при которой сопротивления фаз одинаковы
по величине ZA = Zt - Zc, по характеру (активный, индуктивный или
ункостной) и имеют одинаковый угол сдвига фаз Фл = Фв = Фс.
2. Наличие нулевого провода.
При наличии нулевого провода, соединяющего нейтральные
точки 0 и 0' (рис. 16.66), 2ю = 0, a =
L LEY LEY п
Тогда Un = —-—=— = ——— = 0.
Zr + Y 0 ZK + 00
В обоих случаях (1 и 2) напряжения на фазах потребителя, под-
ключенного к трехфазному генератору с симметричной системой
ЭДС, одинаковы по величине. При этом величина напряжения U'
на каждой фазе потребителя, соединенного звездой, в /3=1,73
раза меньше линейного напряжения, т. е.
и, и„
U* =V5=U3
(16.18)
Ток в нулевом проводе In (рис. 16.66) при соединении потре-
бителей звездой определяется геометрической суммой токов в фа-
зах потребителя:
/*=Л + Л + /с. (16.19)
Токи в фазах потребителя определяются по формулам
1л /в =^~; ic (16.20)
ZA Zb Zc
Очевидно, что при равномерной нагрузке фаз (U'A = U'B =U'C
(16 18) и ZA = ZB = Zc (16.16)) токи в фазах равны по величине
и сдвинуты, как и напряжения, по фазе на 120*. Следовательно, их
геометрическая сумма (Л+ 1 в + 1с) равна нулю, т.е. In =0
(см. рис. 16.56, где вместо Е подставить /).
Таким образом, при равномерной нагрузке фаз нулевой провод
нужен.
224
Глава 16. Трехфазные цепи
При неравномерной нагрузке фаз отсутствие нулевого провода
приводит к неодинаковым по величине напряжениям на кал
фазе потребителя (рис. 16.7). При этом на фазе с большим сопр^.
тивлением Z будет большее напряжение £/'.
Так как отсутствие нулевого провода при неравномерной ца.
грузке фаз потребителя, соединенного звездой, нарушает режи.\,
работы потребителей U', то предохранитель в нулевой провод
ставят.
Следовательно, нулевой провод служит для выравнивания напря,
жений на фазах потребителя при неравномерной нагрузке фаз
При соединении потребителей звездой ток каждой фазы потре-
бителя /ф (рис. 16.16) равен линейному току трехфазной цепи /,;
Zi> ~ А-
16.5. Соединение потребителей треугольником
При соединении потребителя треугольником (рис. 16.8) к каж-
дой фазе потребителя приложено линейное напряжение трехфаз-
ной цели
t/; = ил.
(16.21)
Рис. 16.8
вами с индексами фаз, т. е. 1А, 1В
Ьв, 1вс и 1сл-
Так как при симметричной си-
стеме ЭДС все линейные напря-
жения равны по величине и
сдвинуты на угол 120’ по фазе,
то и напряжения на каждой фазе
потребителя, соединенного тре-
угольником, равны по величине
(Ц'л =U'B =и'с ) и сдвинуты по
фазе на угол 120’, независимо от
характера нагрузки.
При соединении потребителей
треугольником линейные токи
обозначаются прописными бук-
и /с, а токи в фазах потребителя '
Воспользовавшись первым законом Кирхгофа, линейные токи
можно определить выражениями (рис. 16.8)
/л = /ла - 1сл; is = 1вс — 1лв и 1с = 1сл - 1вс . (16.22)
Линейный ток при соединении потребителей треугольником опр*'
деляется геометрической разностью двух фазных токов, сходящий
с линейным в одной узловой точке (рис. 16.8).
16.6. Мощность трехфазного тока
225
(16.23)
фазные токи потребителя, соединенного треугольником, опре-
4йпотся;
М /вс iCA = Уд*
Z-ЛВ — ВС Z.CA
[]ри симметричной системе ЭДСгенератора (Ел = Е в = Ес}и рав-
номерной нагрузке фаз потребителя (Z4fl = Z,C = ZCA] токи в фазах
,Лребителя равны между собой по величине [IАВ = / вс = /сл) «, так
к-е как напряжения на фазах потребителя, сдвинуты друг относи-
гпельно друга по фазе на угол 120’ (рис. 16.9).
1с = 2 1Са cos30’= 2 1сл^=^1са.
Таким образом, при равномерной нагрузке фаз и симметричной
системе ЭДС при соединении потребителей треугольником линей-
ный ток в трехфазной цепи в -/3 = 1,73раза больше фазного тока:
1я=431ф. (16.24)
16.6. Мощность трехфазного тока
Активная мощность, отдаваемая трехфазным генератором и по-
>ебляемая трехфазным потребителем, определяется суммой ак-
<вных мощностей каждой фазы потребителя:
Р = Ра + Рв + Pc = I^a cos фа + (16.25)
+ Vфв /фв COS фд + U фс 1 фС COS фС •
Аналогичное определение можно отнести и к реактивной мощ-
ности трехфазного тока, т. е.
Q -Qa + Qв + Qc - Чфа 1фл sinфл +
+ Uфв 1 фв sinфа + 11фс 1 фс &1пфс •
’7734
(16.26)
226
Глава 16. Трехфазные цепи
Полная, или кажущаяся, мощность трехфазного потреби re,-ISI
равна
(16.27)
Очевидно, что при равномерной нагрузке фаз (Ци = = и,сИ
/фи = /фл=4с) активная мощность трехфазного тока равна
утроенному значению активной мощности каждой фазы
Р=ЗРф = 3(/ф/фС05Фф. (16.28)
Однако на практике удобней оперировать линейными величи-
нами, так как доступными являются линейные провода, а не об-
мотки генератора или двигателя.
При соединении потребителя звездой при равномерной нагруз-
ке фаз
l/ф =^-, а /ф=/л.
Тогда Р= 3 С/ф/фСОБ Ф = 3-^=- A cos ф = Л U„ /, cos <р.
При соединении потребителей треугольником при равномерной
нагрузке фаз
иф=ил-, а 4 = 4-
Л
Тогда Р=ЗС/ф/фСО8ф = 3-^ (A, cosф = ЛU„ 1Я cos<p.
Таким образом, при равномерной нагрузке фаз при соединении
потребителей звездой и треугольником мощности трехфазного
тока определяются выражениями:
активная мощность Р = 43 Uj, 1л cos q>; (16.29)
реактивная мощность 0 = Л ил Д, sin<p; (16.30)
полная, или кажущаяся, мощность 5 = Л С/. / л (1631)
или при неравномерной нагрузке по (16.27)
S = Р1 + Q2.
При неравномерной нагрузке фаз полная, или кажуша-Я-
мощность трехфазного тока может быть определена суммой поЛ'
16.7. Топографическая диаграмма
227
Hbix мощностей каждой фазы, выраженной в комплексной фор-
» а именно ___________________
5=5л+5в+5с. (16.32)
равномерную нагрузку в трехфазных цепях обеспечивают элек-
А^чес-кие двигатели трехфазного тока, обмотки которых могут
быть соединены или звездой, или треугольником.
16.7. Топографическая диаграмма
ИТапряжение между отдельными точками трехфазной цепи мож-
но найти графически путем построения так называемой топо-
графической диаграммы.
Топографическая диаграмма — это векторная диаграмма, по-
строенная так, чтобы каждой точке цепи соответствовала опреде-
ленная точка на диаграмме и чтобы вектор, проведенный в эту
точку из начала координат, выражал по величине и фазе потенци-
1Всоответствующей точки цепи. Отрезок, соединяющий любые
две точки на этой диаграмме, определяет напряжение между соот-
ветствующими точками цепи. Если топографическая диаграмма
построена в определенном масштабе, то по ней можно опреде-
лить искомое напряжение и ток по величине и по фазе.
При построении топографической диаграммы для трехфазной
цепи удобно принять за точку с нулевым потенциалом нулевую,
или нейтральную, точку генератора. Этой точке генератора соот-
ветствует начало координат топографической диаграммы.
Топографическая диаграмма для трехфазной цепи, изображен-
ной на рис. 16.6, построена при
Условии, что точка 0 на диаграмме
(рис. 16.10) соответствует нулевой
Точке генератора, потенциал ко-
торой равен нулю, т.е. Фо = О.
Из точки 0 откладываются в
^Пределе ином масштабе напря-
жений Му векторы фазных ЭДС
оа , Ёв и Ёс , в результате чего
получаются точки А, В и С на то-
пографической диаграмме. Эти
Точки на диаграмме соответству-
*°i началам обмоток генератора,
^единенного звездой точками А,
° и С цепи._
Огрезок ВС, равный разности векторов Ёв - Ёс, представляет
собой линейное напряжение U вс = Фа-Фе (падением напряже-
228
Глава 16. Трехфазные цепи
ния на внутреннем сопротивлении обмотки_генератора пренебре.
гаем, т. е. Ел = (7л). Аналогично отрезки АВ и СА на топограф,,,
ческой диаграмме изображают линейные напряжения Uab и
соответственно.
Отложив из точки 0 (начало координат) вектор напряжения
смешения нейтрали Un (отрезок 00’), определяют потенциал ну.
левой точки потребителя 0' на диаграмме. Тогда отрезки О'Л, 0'в
и 0' С выражают напряжение на фазах потребителя йл, U в и Uc.
Если напряжение смешения нейтрали Un отсутствует ((7л1 =0),
то точка 0' (нулевая точка потребителя) на топографической диа-
грамме совпадет с точкой 0 (нулевой точкой генератора). Тогда
векторы напряжений на фазах потребителя й'л, U'B и U'c равны
по величине и по фазе векторам ЭДС генератора Ёл, Ёв и Ёс.
Применение топографической диаграммы для расчета трехфаз-
ной цепи рассмотрено в примере 16.1 настоящей главы.
Рис. 16.12
Пример 16.1
К трехфазной трехпроволной
сети с линейным напряжени-
ем (4 = 220 В подключен потре-
битель, соединенный звездой, с
сопротивлениями RA = RB-Rc=
= 10 Ом (рис. 16.11).
Определить напряжение и ток
каждой фазы потребителя в каж-
дом из трех режимов:
1. Потребители соединены звез-
дой, как показано на рис. 16.11.
2. Обрыв в фазе А, т. е. Ли = «>
3. Короткое замыкание в фазе Л,
т. е. Яя = 0.
Решение
Решение этой задачи произво-
дится с помощью построения то-
пографической диаграммы для
каждого режима.
1. Так как в данном режиме име-
ет место равномерная нагрузка фаз
(Ra= Rb= Re), следовательно, на-
пряжение смещения нейтрали
равно нулю ((Дг=О) и точка 0' на
топографической диаграмме сов-
падает с точкой 0 (рис. 16.12).
16.7. Топографическая диаграмма
229
Пренебрегая внутренним сопротивлением обмоток генератора
= Ел, й'в = Е в мй'с = Ес), определяют напряжение на каж-
дой фазе потребителя при симметричной системе ЭДС:
иА =и'в =и'с -^.^ = 127в,
1,73
так как Un = UAB= UBC= Uca = 220 В.
Ток каждой фазы потребителя будет равен
I — I - I - л — 127 _ 1 т т д
h-,‘ - ,с -~r7'1o ’
Линейные токи в каждом линейном проводе также равны между
собой и равны фазным токам каждой фазы, т. е. 1Я= /ф = 12,7 А.
2. При обрыве в фазе А схема трехфазной цепи обретает сле-
дующий вид (рис. 16.13а), а топографическая диаграмма показана
на рис. 16.136.
Таким образом, точка 0' на топографической диаграмме при об-
рыве в фазе А как бы опустилась на вектор линейного напряже-
ния Ubc, разделив его величину поровну между U'K и U'c , т.с.
U'B = U'C в-^-=-^-»^ = 110В.
2 2 2
Напряжение на оборванной фазе А, т. е. напряжение между точ-
ками О' и Л в схеме, как следует из топографической диаграммы
(рис. 16.136), будет равно
U0A = U'A -(U'c)1 = ^2202 -ПО2 =190В.
Токи в фазах: !А = 0, так как КА = <»;
Рис. 16 13
230
Глава 16. Трехфазные цепи
Токи в линейных проводах:
1лл— h — 0; Дв= Дс= 11 А.
3. При коротком замыкании фазы А схема трехфазной цепи ц0.
казана на рис. 16.14а, топографическая диаграмма на рис. 16.146.
Таким образом, точка 0' на топографической диаграмме цри
коротком замыкании фазы как бы поднялась в точку ,-i
(т. е. Фо- = Ч>л) и фазные напряжения U'B и U'c совпали с векто.
рами линейных напряжений UAB и UAC соответственно и стали
равными им по величине, т.е. U’B = UAB- £4 = 220 В, U'c =
— UCA — £4 = 220 В, at/; =0.
Ток в коротко замкнутой фазе 1А, т. е. ток в проводе, соединяю-
щем точку 0' и А, определяется геометрической суммой токов
7Лк = Т в + ТС (рис. 16.146), т.е.
/* =2/с cos30°=2/c ^=73/с = 73 -22 =38А.
Напряжение U'B и U'c и токи /я и 1С в режимах 2 и 3 легко
определить из схем рис. 16.13а и 16.14а, не прибегая к топографи-
ческим диаграммам.
Пример 16.2
К соединенному звездой генератору с фазным напряжением
127 В подключен потребитель, соединенный треугольником. Ак-
тивное сопротивление каждой фазы потребителя R = 8 Ом, индук-
тивное Ад = 6 Ом (рис. 16.15а).
16.7. Топографическая диаграмма
231
Определить ток в каждой фазе генератора, отдаваемую им мощ-
ность и построить векторную диаграмму.
Решение
В Эту задачу можно решить, не прибегая к символическому мето-
ду и построению топографической диаграммы.
Напряжение на каждой фазе потребителя [/фп равно линейно-
му' напряжению генератора Uat:
U*„ = U„ = С/фе 73=127 1,73 =220 В.
противление каждой фазы потребителя равно
7фп = JR1 +X2l = V82 + 62 = 10 Ом.
Ток каждой фазы потребителя (нагрузка равномерная):
г _ _ 220 _ и? а
ю-ИА-
В каждой фазе генератора проходит линейный ток потребителя,
Идинснного треугольником, т.е. (см. рис. 16.15а)
/ф =/лп =Л/ф„ = 1,73-22 =38 А.
Отдаваемая генератором мощность (активная мощность) равна
Р = 73 U, /, cos <р = 1,73 • 220 38 0,8 = 11570 Вт,
как cos гр = —— = — =0,8.
Z.„„ 10
232
Глава 16. Трехфазные цепи
Угол Ф = 37’ (Приложение 10).
Таким образом, ток фазы потребителя отстает от напряжения
на угол 37’, так как нагрузка индуктивного характера.
Вычисленные величины легли в основу построения векторной
диаграммы (рис. 16.156).
Пример 16.3
Параметры трехфазного потребителя, соединенного звездой
имеют следующие значения: RA = 8 Ом; Хл = 4 Ом; Хв=5 Ом;
Rb= 3 Ом; Rc = 10 Ом. Линейное напряжение сети симметричной
системы ЭДС £/, = 220 В.
Определить:
1) напряжение на каждой фазе
потребителя;
2) токи каждой фазы потреби-
теля;
3) мощности 5, Р и Q цепи.
Построить векторную диаграмму.
Решение
Допустим, что обмотки генера-
тора соединены звездой, тогда на-
пряжение каждой фазы генера-
тора (при симметричной системе
ЭДС)
£/Ф = -^ = -^- = 127 В.
V3 1.73
Напряжение на каждой обмотке генератора в комплексной
форме:
йл -127е>0* =127,
U, =127е-у120' = -63,5-110/,
Uc = 127е'120‘ =-63,5 + 110/.
Сопротивление Z каждой фазы потребителя:
ZA = RB + jXA »8 + 4/=9е'»**\
ZB = RB -jX„ = 3-5/ = 5,82e^‘,
Zc =RC = 10 = 9eyO'.
Проводимости Yкаждой фазы потребителя:
Гл =^ = Г-^=°’119е =0,0985-0,049/,
ZA де1*
YB ----------Ц«т=0.>7«УМ* =0.0875 + 0,146/,
ZB 5,82е-'”
16.7. Топографическая диаграмма
233
Ус = J--—1—=О,1е'70' =0,1.
Zc \0eJ0‘
Напряжение смещения нейтрали Un при отсутствии нулевого
овода, т.е. при Zn = °° и _Г=0, будет равно
йл ул + йвУв + йс ус
Un =——-----—----—---т;---=
127еуо* 0, Не726-30 + 127е~7120, 0,17е7”‘ + 127еу|20,
0,0985 - 0,049 /' + 0,0875 + 0,146 / + 0,1 + 0
= 72,6е-'”' = 37,4-62,3/.
[ри вычислении Un принято: Ua = Е лUb = Ев и Uc =Ес.
[апряжение на каждой фазе потребителя (16.15):
U\ = Ub-Un -127-37,4 + 62,3/-
= 89,6 + 62,3/=1О9е ;34‘50';
и'в =Ub-Un =-63,5 -110/-37,4 + 62,3/ =
=-100,9 - 47,7/= 113е‘ЛЯ40 ;
Uc = Uc - Un =-63,5 + ПО/-37,4 + 62,3/ =
= 100,9 + 172, 3/= 2ООе'120’20’.
Токи в каждой фазе потребителя:
1л
й'л _109е^” _,2 1ел-2<г.
ZA ~
^=£к = Ше^=19>4е-^-;
ZB 5,82e-ys’’
; _й'с _ 2OOeyl”,;o' -эре^1”’20'
Zc Юе'0'
Мощности каждой фазы потребителя:
к =[)'л =Ю9еА,‘м U.le **"’ =1318ел‘"35<г =1180 + 590/;
S, =й'в /в =113e-Jlw’*°‘ 19,4efi,‘M =2192e J59' =1130-1880;;
5с =й'с Ic =200eflX>’2° •гОе'7’20"20’ =4000е7°’ =4000.
Мощность всей трехфазной нагрузки:
S=SA +SB +SC =1180 + 590/ + 1130-1180У +4000 =
= 6310-1290/=6420е-71га'.
234
Глава 16. Трехфазные цепи
Результаты расчета
Za = 9 Ом;
ZB= 5,82 Ом;
Zc = 10 Ом;
Гл = 0,11 См;
Уя = 0,17 См;
Ус=0,1 См;
(Д = 72,6 В;
U'A = 109 В;
U't =113 В;
Uс =200 В;
Л» 12,1 А;
Л = 19,4 А;
1с =20 А;
5^=1318 В-А;
5Я=2192 В А;
Sc = 4000 В А;
5=6420 В А;
Л=1180 Вт;
Л, = 1130 Вт;
Рс = 4000 Вт;
Р=6310 Вт;
Qa = 59 вар;
Qa= 1880 вар;
0с=0 вар;
Q= 1290 вар;
Фл = 26’30'; Фя = -59*;
Фс = 0; Ф = 11’35'.
Векторная диаграмма рассматриваемой цепи изображена на
рис. 16.17.
Пример 16.4
К трехфазной сети с линейным напряжением £/л = 38О В
подключены двигатель Д и однофазные силовые потребители
(рис. 16.18).
Обмотки трехфазного двигателя мощностью Р= 10 кВт и
cos Ф = 0,76 соединены треугольником. Однофазные силовые
потребители с параметрами: Яи = Ля=12 Ом; /?с = 8 Ом; Ллв
= 2G = 9 Ом; Хс = 6 Ом - соединены звездой.
Определить: показания амперметров Ay и А*; мощность Р•
потребляемую всей нагрузкой; показания вольтметров.
В линейном проводе С сгорел предохранитель (обрыв линей-
ного провода С). Как при этом изменится показание вольтмет-
16.7. Топографическая диаграмма
235
pa Ki, если оборвется и нулевой провод? Как изменится показа-
ние вольтметра И2?
Решение
I Расчет трехфазной цепи (рис. 16.18) можно осуществить, не
прибегая к символическому методу и построению топографиче-
ской диаграммы.
перметр Л] включен в линейный провод С, подводящий
ние к двигателю, обмотки которого соединены треугольни-
ком и представляют равномерную нагрузку фаз; следовательно
(см. (16.29))
= 20 А.
f = / — _ 10000
" " ’ 4ЫЯ cos<pM ~1,73380 0,76
I Амперметр А, измеряет ток в фазе В силового потребителя, сое-
диненного звездой. При наличии нулевого провода напряже-
ние на каждой фазе потребителя (/ф = ~~ = = 220 В, тогда ток
в фазе В будет равен
3 1.73
=14 7 А.
Za 15
так как Za = JR2, + Х2в = V122 + 92
15 Ом.
234
Глава 16. Трехфазные цепи
1 г
Рис. 16.17
Результаты расчета
ZA = 9 Ом;
ZB= 5,82 Ом;
Zc= 10 Ом;
Гл = 0,11 См;
Ге = 0,17 См;
Ус=0,1 См;
(Zv=72,6 В;
U'A =109 В;
U'B =113 В;
Uс = 200 В;
Л =12,1 А;
1в= 19,4 А;
1С =20 А;
SA= 1318 В А;
5,= 2192 В А;
5С = 4000 В А;
5= 6420 В А;
Л =1180 Вт;
/>,= 1130 Вт;
/>с=4000 Вт;
/>=6310 Вт;
Ол = 59 вар;
QB- 1880 вар;
Qc=0 вар;
Q= 1290 вар;
Фл = 26’30'; Ф,= -59’;
Фс=0; Ф = 11’35'.
Векторная диаграмма рассматриваемой цепи изображена на
рис. 16.17.
Пример 16.4
К трехфазной сети с линейным напряжением (7л = 38О В
подключены двигатель Д и однофазные силовые потребители
(рис. 16.18).
Обмотки трехфазного двигателя мощностью Р-10 кВт и
cos ф = 0,76 соединены треугольником. Однофазные силовые
потребители с параметрами: RA=RB=\2 Ом; /?с=8 Ом; Х< =
= А, = 9 Ом; Хс-6 Ом - соединены звездой.
Определить: показания амперметров At, Аг, Аз и А,; мощность Р»
потребляемую всей нагрузкой; показания вольтметров.
В линейном проводе С сгорел предохранитель (обрыв линей-
ного провода С). Как при этом изменится показание вольтмет-
16.7. Топографическая диаграмма
235
ра если оборвется и нулевой провод? Как изменится показа-
ние вольтметра И2?
Решение
Расчет трехфазной цепи (рис. 16.18) можно осуществить, не
прибегая к символическому методу и построению топографиче-
ской диаграммы.
I Амперметр включен в линейный провод С, подводящий
фктание к двигателю, обмотки которого соединены треугольни-
ком и представляют равномерную нагрузку фаз; следовательно
(см. (16.29))
Ли « /л
Р№ 10000
cos<pm 1,73•380 • 0,76
= 20 А.
I Амперметр Л измеряет ток в фазе В силового потребителя, сое-
диненного звездой. При наличии нулевого провода напряже-
ние на каждой фазе потребителя (/ф = ’ - - "nn п
£• = pyj = 220 В, тогда ток
в фазе В будет равен
Лз = h =-^- = ^ = 14,7А,
так как ZB = J R2B + X j, = V122 + 92 = 15 Ом.
236
Глава 16. Трехфазные цепи
Показания амперметра Л3, включенного в фазу С силового п0.
требителя:
/ _ , _ U* _220 _„ А
так как Zc = ^Я2 + Х^ = V82 + 62 = 10 Ом.
Амперметр Л4 включен в нулевой провод, ток в котором Д опре-
деляется геометрической суммой токов в фазах силового потреби-
теля, соединенного звездой (см. (16.19) и рис. 16.19).
Для вычисления геометрической суммы токов фаз необходимо
построить векторную диаграмму токов (рис. 16.19).
При наличии нулевого провода напряжения на фазах сдвину,
ты на угол 120’. Угол сдвига фаз между током и напряжением,
исходя из условий, для всех трех фаз одинаков (это видно из за-
данных параметров силового потребителя):
tg<*»^ =tg<Pa =tg<Pc =4£=4£=4L = ^ = I=1’33-
К А К В х\С ' О
Следовательно, фазные токи сдвинуты так же, как и напря-
жения, на угол 120*. Величины токов определены: /л = /в = 14,7 А,
/с = 22 А. На основании этих данных можно построить векторную
диаграмму токов (рис. 16.19).
На векторной диаграмме складываются геометрически Тл и
и получается суммарный ток, равный 14,7 А.
Поскольку этот суммарный ток находится в противофазе с то-
ком 1С, то ток в нулевом проводе Д равен 7,3 А:
22 -14,7 = 7,3 А.
Следовательно, амперметр Ад покажет ток 7,3 А.
Для расчета мошности Р, потребляемой всей нагрузкой, вычис-
ляется активная мощность каждого силового потребителя:
Рл = и'л /лсо5фл = 220-14,7-0,8 = 2587 Вт,
где С08Фл = -^_=|| =0,8.
лл 15
Рй=U'B Да» Фя = 220-14,7-0,8 = 2587 Вт,
где со5фа=^- = Ц =0,8.
Рс= U 'с /сСО5Фс= 220-22-0,8 = 3887 Вт,
где cos Фс== А = °, 8.
Z г Ю
16.7. Топографическая диаграмма
237
(Тогда активная мощность, потребляемая всей нагрузкой, будет
«рвна
р_ рА + рн+ рс + рди = 2587 + 2587 + 3887 + 10000 = 19046 Вт « 19 кВт.
При обрыве линейно-
Ю провода С и нулевого
г?вода две фазы сило-
вого потребителя А и В
ажутся соединенны-
ми последовательно и
подключенными к ли-
нейному напряжению
ы= 380 В. Так как со-
отивления этих фаз
равны по величине, т. е.
Za ф ZB, то это линейное
Г ряжение
ся между
овну, т. е.
распреде-
ними по-
190 В вместо
I ^=f/e=^ = 3|0=i90B.
Таким образом, вольтметр покажет напряжение
220 В, которое он показывал до обрыва.
! При обрыве линейного провода С фазы В и С двигателя окажут-
ся соединенными последовательно и подключенными к линейно-
му напряжению UAB= 380 В. Так как сопротивления обмоток дви-
ггеля равны между собой, то линейное напряжение иАЙ распре-
Клится поровну между обмотками В и С двигателя, т. е.
UB = (/с=^£ = 3|0 =190 В.
Таким образом, вольтметр покажет напряжение 190 В вместо
380 В, которое он показывал до обрыва.
240
Глава 17. Вращающееся магнитное поле
шающееся магнитное поле трехфазного тока нашло широк „
применение в трехфазных машинах (асинхронных и синхрон
ных).
17.2. Вращающееся магнитное поле
двухфазного тока
Двухфазным током называется совокупность двух однофазных
токов, сдвинутых по фазе на угол 90”= - друг относительно друга
(рис. 17.36): 2
Л = sin о/, (17 3
ii = /т sin(<o/ -90’). *
Эти токи создают в обмотках переменные магнитные потоки,
сдвинутые по фазе также на угол 90°:
Ф| = Ф„ sinci>f;
Ф2 = Ф„ sin( ait -90°).
(17.4)
Таким образом, если по двум неподвижно скрепленным под уг
лом 90” обмоткам пропустить двухфазный ток, то внутри этих об'
17.3. Пульсирующее магнитное поле 241
коток (рис. 17.3а) создается вращающееся магнитное поле двух-
фазного тока.
Как видно (рис. 17.36), постоянный магнитный поток (Ф = Ф„
одной фазы) вращается против часовой стрелки, если при указан-
ном расположении обмоток первый ток опережает второй ток /2
по фазе.
< Нетрудно убедиться в том, что если бы второй ток (/2) опережал
.первый (А), то магнитное поле вращалось бы в обратную сторону.
Вращающееся магнитное поле двухфазного тока широко при-
меняется для пуска и работы однофазных мадгин переменного
тока.
17.3. Пульсирующее магнитное
поле
f Если по неподвижной катушке
(обмотке) машины пропустить си-
Врсоидальный ток /=/я5ш<в/, то
внутри этой катушки создастся пу-
льсирующее магнитное поле, т.е.
поле, изменяющееся по величине и
направлению, но расположенное в
одной плоскости (рис. 17.4).
Пульсирующее магнитное поле,
как видно из рис. 17.4, можно
рассматривать как два магнитных
‘Поля, вращающихся в разные сто-
роны. Поэтому в машинах, в кото-
рых используется пульсирующее
KtaniHTiioe поле, отсутствует пуско-
вой момент. Для работы таких ма-
шин Gio необходимо создать. Пус-
ковой момент в таких машинах со-
. здают или механически, или за счет
Пусковой обмотки, по которой в
момент пуска пропускают импульс
тока, сдвинутого по фазе относительно основного синусоидаль-
ного тока, проходящего по катушке (обмотке) машины (анало-
гично двухфазному току).
Глава 18
НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЙ ТОК
18.1. Основные понятия
Периодическими косинусоидальными токами называют токи,
изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидаль-
ному закону.
Несинусоидальные токи возникают при различных режимах ра-
боты электрических цепей. Таких режимов четыре.
1. Источник электрической энергии вырабатывает несинусо-
идальную ЭДС или несинусоидальный ток, а все элементы
цепи (активные сопротивления, индуктивности и емкости) ли-
нейны, т.е. от величины тока не зависят. Такая цепь называемся
линейной.
2. Источник электрической энергии вырабатывает синусоида-
льную ЭДС, но один или несколько элементов цепи нелинейны,
т.е. имеют нелинейные характеристики (катушка со стальным
сердечником, выпрямители).
3. Источник электрической энергии вырабатывает несинусо-
идальную ЭДС, а в электрическую цепь входят одно или несколь-
ко нелинейных сопротивлений.
4. Источник электрической энергии вырабатывает постоянную
или синусоидальную ЭДС, а один или несколько элементов цепи
в процессе работы изменяют свои параметры.
Таким образом, причиной несинусоидальности в электриче-
ской цепи может быть источник электрической энергии или по-
требитель, т. е. нагрузка, или оба одновременно.
В электрических генераторах (источниках электрической энер-
гии) основной причиной несинусоилальной ЭДС (напряжений)
является неравномерное распределение магнитного потока (по
окружности) в зазоре между статором и ротором генератора.
Причиной появления несинусоидальных токов в нагрузке явля-
ется, как указывалось выше, нелинейные вольт-амперные харак-
теристики потребителей или преобразователей, например транс-
форматоров. В настоящей главе рассмотрен расчет и особенно-
сти работы линейных электрических цепей при воздействии на
них несинусоидальных ЭДС, т.е. первый из перечисленных вы-
ше режимов работы. Остальные режимы рассматриваются в гла-
ве 19 и в специальной технической и справочной литературе.
18.2. Гармоники
243
18.2. Гармоники
Несинусоидальныс колебания могут быть периодическими и
непериодическими. При рассмотрении периодических несииу-
соидальных колебаний можно воспользоваться теоремой Фурье,
согласно которой любая периодически изменяющаяся величи-
на может быть представлена в виде суммы постоянной состав-
Еицей и ряда синусоидальных составляющих с кратными Часто-
H.
инусоидальные составляющие несинусоидалъных колебаний назы-
>тся гармониками.
инусоидальная составляющая, частота которой равна частоте
инусоидальной периодической величины, называется основ-
I, или первой, гармоникой. А синусоидальные составляющие,
тоты которых в 2, 3, ..., к раз больше частоты несинусоидаль-
| ной величины, называются соответственно 2-й, 3-й, ..., /с-й гар-
моникой.
ГАналитическое выражение несинусоидальной периодической
функции можно записать так:
/(со/) = Л + Asin (со/ч- vi) + Asin (2со/+у2) +
+ Asin (Зсо/ + чрз) + + Asin(fcco/+у*), (I8.1)
где f(<ot) — несинусоидальная величина, изменяющаяся с часто-
тои со; А ~ постоянная составляющая несинусоидальной величи-
.* ны; At; А2; А;. А ~ амплитуды соответственно 1-й, 2-й, 3-й и к-н
I гармоник, т.е. синусоидальных составляющих с частотой со, 2со,
4 Зсо,, кш; уь у2, хрз,, у* — начальные фазы соответственно 1-й, 2-й,
3-й и к-й гармоник.
Из выражения (18.1) следует, что сложение синусоидальных
колебаний (гармоник) с рахтичными частотами и разными нача-
Льными фазами дает несинусоидальное колебание. Убедиться в
I Этом можно при графическом сложении двух синусоидальных
ЭДС е} и е3 (рис. 18.1).
На рис. 18.1а складываются две синусоиды е{ и е3 (е=е| + е3), где
е\ = Em.sin со/; е3 = Em3sin Зсо/.
На рис. 18.16 складываются две синусоиды е, и е3 (е = е, + е3), где
= E„]Sin со/; е3 = E„l3sin (Зсо/-тг).
Нарис. 18.1в складываются две синусоиды е{ и е3 (e = et + е3), где
е{ = E.|Sin со/; е3 = EmJsin (Зсо/-у3).
Как видно, суммарные колебания (е=е} + е}) в рассмотренных
I трех случаях (а, бив) получились рахтичными.
244
Глава 18. Несинусоидальный ток
Л*СО5 у* = В,
Из рис. 18.1 также видно, чТо
нс все несинусоидальные перио-
дические колебания расклады на-
ются в полный ряд Фурье. В дан-
ном случае складываются только
1-я и 3-я гармоники, и результи-
рующие колебания e = et + e3 мо-
гут быть записаны в виде:
е= £mlsin<u/+ £w3sin ЗыГ -
для рис. 18.1а;
е= £M1sinco/+ £mJsin (ЗшГ-тг) -
для рис. 18.16;
е= £mIsin £„3sin (Зсо/-у3) -
для рис. 18.1b.
Таким образом, несинусоидаль-
ные кривые е, изображенные
на рис. 18.1, раскладываются в
ряд Фурье только на нечетные
гармоники 1-ю и 3-ю, т.е. в раз-
ложении отсутствуют постоянная
составляющая, все четные гармо-
ники и высшие нечетные гармо-
ники (5-я, 7-я, 9-я и т.д.).
Гармоники можно преобразо-
вать, применив из тригономет-
рии формулу синуса суммы двух
углов. Из выражения (18.1) А-ю
гармонику можно представить в
виде
4tsin(Acor+»|/*) =
•Asin Ao)fcosx|/*+ (18.2)
+ Acos Acorsin у*.
Обозначив постоянные величи-
ны выражения (18.2)
и Asin Vi= С*, (18 3)
18.3. Свойства периодических кривых
245
[ЛОЖНО получить
Asin(JtcoZ+v*) = fi*sin^wZ+ Geos fart. (18.4)
Тогда выражение (18.1), т.е. ряд Фурье для несинусоидальной
периодической функции, примет вид
/(a>Z) = Ло + Д sin соГ + В: sin 2wt + В, sin 3toZ + + 5* sin ka>t+
+ C|Coso>r+ C2cos2coZ+ C3cos3coZ+ + QcosJtcoZ. (18.5)
В отличие от амплитуды k-ti гармоники А,, постоянные величи-
ны Bi и С* могут быть положительными или отрицательными.
I Такая запись (18.5) характерна тем, что гармоники составляют
ряд синусов и ряд косинусов с начальными фазами, равными
нулю (у* = 0).
18.3. Свойства периодических кривых
1 Несинусоидальные периодические кривые, с которыми прихо-
дится встречаться в электротехнике, являются симметричными
относительно оси абсцисс или ординат или начала координат.
Так как среднее за период Т значение синусоиды равно нулю
(§ 10.3), то среднее за период значение несинусоидальных коле-
банни, состоящих из нескольких синусоид и нс содержащих по-
стоянной составляющей, также равно нулю.
I Или иначе, если у несинусоидальной периодической кривой среднее
за период значение (ордината) равна нулю, то постоянная составля-
ющая такой кривой также равна нулю. Среднее значение периодиче-
I ской кривой, состоящей из постоянной составляющей и ряда гармо-
ник, равно постоянной составляющей.
| Так, например, пульсирующая кривая (рис. 18.2в) мгновенной
мощности Р в цепи переменного тока с активным сопротивлени-
ем может быть разложена на постоянную составляющую и сину-
соиду (гармонику), изменяющуюся с двойной частотой (см. выра-
жение (11.3)), т.е. вторую гармонику. Среднее значение такой
кривой равно постоянной составляющей, т.е. активной мощно-
сти Р= U/ (см. (11.4)).
Периодическая кривая называется симметричной относитель-
но оси абсцисс, если на расстоянии половины периода они имеют
ординаты, одинаковые по величине, но обратные по знаку
(рис 18.2а), т.е. отрицательная полуволна такой кривой пред-
оставляет собой зеркальное изображение положительной полу-
В Волны
! Кривые, симметричные относительно оси абсцисс, не содержат
Постоянной составляющей и четных гармоник (рис. 18.1). Такая
кривая содержит только нечетные гармоники:
/(wZ) - H|Sin (o)Z+ Vi) + /lisin (3<oZ + y}) +/4}sin (5coZ+ ц»3) + (18.6)
246
Глава 18. Несинусоидальный ток
Т—*1 1
в)
Кривые, симметричные относительно оси абсцисс, встречаются
в электротехнике часто, например кривые тока в катушке со ста-
льным сердечником, подключенной к сети с синусоидальным на-
пряжением.
Периодическая кривая называется симметричной относительно
начала координат, если любым двум абсциссам, имеющим одина-
ковое значение, но разные знаки, соответствуют ординаты, рав-
ные по величине и обратные по знаку (рис. 18.26).
Кривые, симметричные относительно начала координат, не со-
держат постоянной составляющей и косинусоид. Такая кривая
содержит только синусоиды:
/(or) = ^isincor+52sin 2<о/+53sin 3<вГ+ + /?*sin k<nt. (18.7)
Часто встречаются кривые, симметричные относительно оси
абсцисс и начала координат (кривые 1, 2, 3 и 4 таблицы 18.1). Та-
кие кривые не содержат постоянной составляющей, четных гар-
моник и косинусоидальных составляющих, а содержат только не-
четные синусоиды:
/(©О = Bi sin art + fijsin ЗшГ+ ftsin 5шГ+ (18.8)
Кривая, симметричная относительно оси ординат, изображена
на рис. 18.2г. Такая кривая не содержит синусоид. Она содержит
постоянную составляющую и косинусоиды:
= Ап + C|Cos<o/+ C2cos2<o/ + C3cos3<jj/ + (18.9)
18.3. Свойства периодических кривых
247
В таблице приведены несинусоидальные периодические кривые
ометрически правильной формы и разложение их в ряд Фурье.
Таблица 18.1
248
Глава 18. Несинусоидальный ток
18.4. Несинусоидальный ток в линейных
электрических цепях
Если к линейной цепи приложено несинусоидальное напряже-
ние, которое раскладывается на ряд гармоник, то ток в этой це-
пи раскладывается на такое же количество тех же гармоник.
Если, например, к неразветвленной цепи, состоящей из R, £ и с
(рис. 18.3), приложено несинусоидальное напряжение
и = i4lsin(cof + vi)+ t/mjsin(3wr+уз)+ C/^sin (5соГ+ ц/5),
R
Рис. 18.3
то сопротивление этой линейной цепи для раз-
личных гармоник имеет различные значения
Активное сопротивление R для всех гармоник
одинаковое, если пренебречь поверхностным
эффектом.
Индуктивное сопротивление XL = <aL с увели-
чением номера гармоники увеличивается, так
как увеличивается частота со, и для любой гар-
моники может быть определено выражением
Xu = kwL = kXLb
(18.10)
где к — номер гармоники; Х1Л — индуктивное сопротивление пер-
вой гармоники.
Емкостное сопротивление Хс=-~ с увеличением номера гар-
соС
моник уменьшается и для любой гармоники определяется выра-
жением
1 _ Xci
ktaC
(18.11)
к ’
где к — номер гармоники; XCi ~ емкостное сопротивление первой
гармоники.
Полное сопротивление неразветвленной линейной цепи дчя
любой гармоники
Z* =V/?1 + (Хи -Ха)г .
(18.12)
Угол сдвига фаз между током и напряжением для любой гар
МОНИКИ
Хи — Хи Ф* = arctg—— = arctg ——. А А (18.13)
18.4. Несинусоидальный ток в линейных электрических цепях 249
I Очевидно, угол сдвига фаз Ф может быть положительным или
отрицательным в зависимости от характера цепи для определен-
ной гармоники (Xt>Хс или XL<XC).
Амплитуды токов для каждой гармоники равны
Zt
(18.14)
Мгновенное значение несинусоидального тока в линейной
цепи (рис. 18.3) с заданным несинусоидальным напряжением и
определяется выражением
/= /mlsin (соГ+ ч»| - Ф() + /«jsin (Зсо/ + у3 - Ч»з) +
+/m5sin (5ш/+у5 - Ф5). (18.15)
I Если в неразветвленной цепи включен конденсатор, а в прило-
женном к этой цепи несинусоидальном напряжении имеется по-
^стоянная составляющая, то ток постоянной составляющей равен
нулю, так как для постоянной составляющей конденсатор пред-
ставляет разрыв цепи.
Если задан несинусоидальный ток в линейной цепи и к-я гар-
моника тока записана
4= £asin (аД+у*), (18.16)
то напряжение в цепи, соответствующее этой гармонике, равно
и* = f4*sin (kat + у* + Ф*). (18.16')
I Для расчета всех параметров цепи используются выражения
(18.10)-(18.14).
Пример 18.1
I К линейной цепи (рис. 18.3) с параметрами R= 100 Ом,
£ = 0,02 Гн, С=2 мкФ приложено несинусоидальное напряжение
и = 250 sin (10000+ 180 sin (3000г + 15’) + 130 sin (5000г) +
+ 100 sin (7000г-30*).
I Определить и записать мгновенное значение тока i в этой цепи.
Решение
В Для определения полного сопротивления цепи вычисляются
Лндуктивные и емкостные сопротивления для каждой гармоники
(1-й, 3-й, 5-й и 7-й):
| ЛГи = <о£ = 1000 0,02 = 20 Ом; ХС1 = -L = . J-Q-- = 500 Ом;
<оС 1000-2
АГц = Зш£ = 3 1000 0,02 = 60 Ом; = —!—= . =167 Ом;
F Зо)С 3 1000 2
250
Глава 18. Несинусоидапьный ток
Аи = 5Ад| = 51ООО 0,02= 100 Ом; XCi = ф = 100 Ом;
Z„ = 7^,-7 1000 0,02 =140 Ом; XCi =^-=^2=71 Ом.
Тогда полные сопротивления Z гармоник:
Z, = yjR2 + (Xu- XCi )2 = V1002 + (20-500)2 = 490 Ом;
Zj = jR2 + (XLS - XCi )2 = V1002 + (60 -167)2 = 147 Ом;
Z5 = Jr2 + (Xls - XCi )2 = V1002 + (100-100)2 = 100Ом;
Z7 = ylR2 +(XL, - Xci )2 = V1002 + (140-71)2 = 121 Ом.
Амплитуды токов гармоник:
Z1 ~=0,51 А; 490 Zj = 180=1,22 А; 147
'-S =—— Zj »Шж1,ЗА; 100 Z 7 100 П Л -JJJ-0.83A.
Углы сдвига фаз для каждой гармоники:
Ф1 = arctg-*Ц-~ Xci = arctg 2°1~0^°() = -78*;
Фз = arctg Хи ~ Xci = arctg 60 ~*67 = -47*;
i\ 1UU
Ф5 = arctg Xti ~ Xcs = arctg-100 Н°9 = О’;
К 11Ю
ф7 = arctg Xli r Xcl = arctg =35».
Тогда мгновенное значение тока в цепи равно
i = 0,51 sin [ 1000/- (-78*)] + 1,22sin [3000/ + 15*- (-47*)] +
+ l,3sin (5000/- 0) + 0,83sin (7000г + 30* - 35*) =
= 0,51 sin (1000г + 78*) + 1,22sin (3000г + 62’) +
+ 1,3sin (5000г) + 0,83sin (7000r - 5’).
Из рассмотренного примера можно сделать следующий вывод-
Если в линейной цепи включено только активное сопротивление
R, то кривая тока будет подобна кривой напряжения. Если кроме
активного в цепи имеются еще индуктивное и емкостное сопро-
тивления, то кривая тока не будет подобна кривой напряжения
Такая цепь (рис. 18.3) для некоторых гармоник может иметь ем-
костной характер, например для первой и третьей гармоник в
примере 18.1, так как ток опережает по фазе напряжение этих
18.4. Несинусоидальный ток в линейных электрических целях 251
гармоник. Для некоторых гармоник — индуктивный характер, на-
пример для седьмой гармоники в примере 18.1, так как ток от-
стает от напряжения этой гармоники. Для одной из гармоник в
разветвленной цепи с катушкой и конденсатором может быть
резонанс напряжений, например для пятой гармоники в приме-
ре 18.1. Резонанс напряжений возник потому, что
XLi~Xa. (18.17)
i В разветвленной цепи с несинусоидальным напряжением с па-
раллельно соединенными катушкой и конденсатором для одной
из гармоник может возникнуть резонанс токов при равенстве ре-
активных проводимостей, т.е.
bu^bek- (18.18)
Пример 18.2
В линейной цепи (рис. 18.3) протекает несинусоидальный ток
/= 1,8sin(1000г + 15*)+ 1,1 sin2000г. Параметры цепи: Я=8 Ом,
L = 0,008 Гн и С= 100 мкФ. Записать мгновенное значение напря-
жения и, приложенного к этой цепи.
Решение
Определяется индуктивное и емкостное сопротивления для 1-й
и 2-й гармоник:
I XLl = aL= 1000 0,008 = 8 Ом; ZCI = — = — = 10 Ом;
I соС 1000 100
Хп = 2<о£ = 2-1000 0,008 = 16 Ом; Хсг = —Ц-=——--=5 Ом.
Г 2ыС 2 1000 1
Полные сопротивления 7для 1-й и 2-й гармоник будет равны
Zt = -J R2 + (XLi - Хс, )2 = V82 + (8-10)2 = 8,25 Ом;
Z2 = ylR1 +(XLi - ХС2 )2 = V82 + (16-5)2 =13,6 Ом.
I Амплитуды напряжений гармоник:
। £/я1 =/mlZ| = 1,8 8,25 = 14,85 В; t/m2 =/m2Z2= 118 13,6= 14,96 В.
n, Углы сдвига фаз ф для 1-й и 2-й гармоник:
Ф1 = arctg ХЧ- ~ Xci = arctg= -14*;
К о
<р2 = arctg Xl2 ~ Хсг = arctg = 54*.
Л\ о
Мгновенное значение приложенного напряжения будет равно
252 Глава 18. Несинусоидальный ток
и = l/mlsin (1000/ + 15’ + <Pj) + t/«2sin (2000/+ф!) =
= 14,85 sin (1 000/+ Г) + 14,96 sin (2000/+ 54‘).
18.5. Действующее значение
несинусоидальной величины
Действующим называют значение несинусоидального тока, эк-
вивалентное постоянному току по тепловому действию.
При этом нужно учесть, что несинусоидальный ток складывает-
ся из постоянной составляющей и ряда гармоник:
/ = /о + /1 + 4 + ij + = /о + /„isin (со/+у 1) + /„2sin (2<х>/+ у2) +
+ 7m3sin (3<в/+ уз) +
Каждая составляющая несинусоидального тока выделяет тепло
в некотором элементе цепи с сопротивлением R. Воспользовав-
шись рассуждениями § 10.3 для определения действующих значе-
ний тока гармоник и постоянной составляющей несинусоидаль-
ного тока, можно сделать вывод, что
I = 7 Л2 + fi + /, + ••• + /*. (18.19)
где /о — постоянная составляющая несинусоидального тока;
Л. Л. > Л ~ действующее значение токов гармоник, т. е. 7*=-^^.
V2
Таким образом, действующее значение несинусоидального тока
является средней квадратичной величиной постоянной состав-
ляющей и действующих значений токов гармоник.
С учетом выражения (10.9) действующее значение несинусоида-
льного тока можно определить по формуле
(18.20)
Аналогично действующее значение несинусоидального напря-
жения определяется выражением
и = у1иг0 +игг + ui + ... + (/’.
(18.21)
Действующее значение несинусоидального напряжения является
средней квадратичной величиной постоянной составляющей и дей-
ствующих значений напряжений гармоник.
18.5. Действующее значение несинусоидальной величины 253
I Действующие значения несинусоидальных токов и напряжений
измеряются амперметрами и вольтметрами электромагнитной,
электродинамической и тепловой систем.
Кроме коэффициента формы Кр и коэффициента амплитуды
д;, определение которых дано в § 10.3 (выражение (10.10) и
(10.11)), несинусоидальные периодические кривые характсризу-
Еутся коэффициентом искажений К„. Коэффициент искажений
определяется отношением действующего значения основной (первой)
шармоники тока или напряжения к действующему значению этих не-
Лнусоидсиьных величин. Такое определение аналогично для ЭДС,
far н итого потока и т.д.
I Коэффициент искажения тока
(18.22)
коэффициент искажения напряжения
X2 + ... + */f
(18.23)
I Дтя синусоиды К„= 1.
Чем меньше коэффициент искажения отличается от единицы,
тем ближе к синусоиде данная кривая.
I Так, например, для треугольной формы кривой (кривая 2 таб-
лицы 18.1) - К„ «0,99, а для прямоугольной формы кривой (кри-
вая 3 таблицы 18.1) — А'и = 0,9.
|( В электронике и радиотехнике несинусоидальность кривой ха-
рактеризуют коэффициентом гармоник, показывающим удельный
вес высших гармоник К, относительно первой (основной) гармоники:
J I 2 + 11 + +
Кг = л
Чем меньше коэффициент гармоник, тем ближе к синусоиде
есинусоидальная кривая.
254______________Г лава 18. Несинусоидальный ток
18.6. Мощность несинусоидального тока
Под активной мощностью Р несинусоидального тока пони-
мают среднее значение мгновенной мощности (§ Н.1) за пе-
риод, т. е.
। г .г .г
Р pdt ~r\uidt = + + Vi) +
1 о ‘ о 1 о
+ U„2 sin(2u>t + vj ) + ... + sin(W + y* )]x
X [/„ + sin(со/ + V! - <p1) + I„i sin(2cor + -Фз) + ...
... + Iяк sin(kbit + v* - ф * )]dr
Проинтегрировав это выражение, получают
Р= Ри + Pi + Р2 + + Л = U0I0 + Uilt cos Ф1 +
+ f/j/jcos Ф2 + + C4Acos9*,
(18.25)
где Ро — мощность постоянной составляющей несинусоидально-
го тока; Л, Р2, , Pt - активные мощности гармоник несинусо-
идального тока.
Таким образом, потребляемая, т. е. активная, мощность в цепи
несинусоидального тока определяется суммой постоянной мощности
и активных мощностей гармоник.
Реактивная мощность в цепи несинусоидального тока, по ана-
логии, определяется выражением
Q= Qt + Qi+ + Qk= САЛяпФ| +
+ U2hsin4>2+ + (АЛбшФ*.
(18.26)
Реактивная мощность в цепи несинусоидального тока определяет-
ся суммой реактивных мощностей гармоник.
Постоянная составляющая реактивной мощности отсутствует,
так как для постоянного тока колебание мошности (энергии) не-
мыслимо.
Полная, или кажущаяся, мощность в цепях несинусоидального
тока равна S= UI.
Следует иметь в виду, что несинусоидальный ток или напряже-
ние не могут быть выражены при помощи векторов. Кривые не-
синусоидального тока и напряжения в общем случае даже не по-
добны. Так что невозможно применить понятие об угле сдвига
фаз, принятое для синусоидальных токов.
Поэтому при изучении некоторых свойств цепей несинусоида-
льного тока несинусоидальные токи и напряжения заменяют эк-
вивалентными синусоидальными. Замена производится таким
18.6. Мощность несинусоидального тока
255
образом, что действующее значение синусоидального тока при-
нимается равным действующему значению заменяемого несину-
соидального тока, а действующее значение синусоидального
напряжения принимается равным действующему значению неси-
нусоидального напряжения.
I Тогда угол сдвига фаз Ф между эквивалентными синусоидами
Напряжения и тока выбирается таким, чтобы активная мощность
эквивалентного синусоидального тока была равна активной мощ-
ности несинусоидального тока, т.е. (/э/эсо8фэ.
куда
cos<p, =77-7
V Э *
(18.27)
I При этом 5Э=(7Э/Э. Однако для цепи несинусоидального тока
в общем случае
S^P1 +Q2. (18.28)
Равенство 5=V Р1 + Q1 (выражение (12.14)), выведенное из
реугольника мощностей (рис. 12.2в), справедливо для синусои-
дального тока определенной частоты <о. Несинусоидальный ток
Вкладывается из нескольких синусоидальных составляющих с
разными (кратными) частотами и разными углами сдвига фаз <р
между током и напряжением (определенными для каждой гармо-
ники); т. е. для несинусоидального тока нельзя построить вектор-
ную диаграмму и прямоугольный треугольник мощностей. Поэ-
тому выражение (12.14) для несинусоидального тока несправед-
Ливо и полная (кажущаяся) мощность не равна 7 Р2 + О1.
Пример 18.3
К линейной цепи (рис. 18.4) приложено несинусоидальнос на-
пряжение u = 310 + 210sinto/+ 176sin(Зсо/+ 72*)- Реактивные со-
противления для первой гармоники: ХД1 = 3 Ом; Ха = 9 Ом. Актив-
ные сопротивления: /?|=4 Ом; Я2 = 6 Ом.
[Требуется записать мгновенное значение тока цепи i и опре-
делить показания всех приборов, включенных в цепь, а также
коэффициент мощности цепи созФ3
Решение
Так как в цепь включен конденсатор, то сопротивление цепи
Для постоянной составляющей несинусоидального напряжения
Равно бесконечности, а ток постоянной составляющей равен
нулю, т. е. /0 = 0.
256
Глава 18. Несинусоидальный ток
Рис. 18.4
Сопротивление цепи для 1-й и 3-й гармоник:__________
Z, = 7(Я| +*:)* + (Хц - Xci)2 = 7(4 + 6)2 + (3-9)2 =
_____________________=11,65 Ом;
Z, = yllRi +Я2)2 +(%i3 - Хс, )2 = 7(4 + 6)2 + (9-З)2 =
= 11,65 Ом.
таккакХ£3 = ЗХп = 3-3 = 9Ом и ХСз =^1- = | = ЗОм.
Амплитуды токов гармоник: 3 3
/Ж1 »£±L = -21P_3I8A; /я3 =£i!L = _LZL=15,l А.
Zi 11,65 Z, 11,65
Углы сдвига фаз Ф для 1-й и 3-й гармоник:
Ф1 = arctg ~ Х— = arctg 2^2 = -31*;
Л IV
ф 3 = arctg Хи ' = arctg 2=2 = 31
Л 1 и
Тогда мгновенное значение несинусоидального тока цепи бу-
дет записано
/ = 18 sin (ci)f+ ЗГ)+ 15,1 sin (Зш/ + 4Г).
Показания вольтметра Иь т.е. действующее значение прило-
женного к цепи напряжения:
Ucen, = + Ut + u3 = 3102 + 1492 + 1252 = 366 В,
так как У, = -^ =212 = 149 В; I/, =-^-«-122 =125 В.
72 1.41 72 1,41
Таким образом, первый вольтметр И, показывает 366 В
Амперметр А показывает действующее значение тока цепи
/ = 7/2 + /2’ = 712,82 + 10.72 = 16,7 А,
____________18.6. Мощность несинусоидального тока 257
„„как/, .^-.-Н-=12,8А; /, . . Ill. 10,7 А.
IТаким образом, амперметр А показывает ток 16,7 А.
Для определения показаний второго вольтметра И2 вычисляют
^Противление участка ЛЯ для 1-й и 3-й гармоник:
ZMl = ^R2 + Х2С1 = у/62 + 92 = 10,8 Ом;
ZM3 = R2 + Х23 = V62 + 32 = 6,7 Ом.
Тогда падение напряжения для 1-й и 3-й гармоник на участ-
ке ЛЯ будет равно
Цш = 7^ = 12,6-10,8 =138,2 В;
«ш-AZ»-10,7-6,7-71,7 В.
Кроме того, постоянная составляющая напряжения сети Uo
приложена к конденсатору. Следовательно, действующее значе-
ние напряжения на участке ЛЯ:
иАВ = JU2 + U2'. + U2 = т/3102 + 138,22 + 71,72 = 347 В.
Таким образом, вольтметр И2 показывает 347 В.
Ваттметр И'измеряет активную мощность цепи, т. е.
Р=Ро+Л + Л =
= и010+ LA/iCOs<Pi + i/3/3Cos<P} =
= 310 0+ 149 12,8 0,86 + 125 10,7 0,86 = 2790 Вт,
так как cos<P1 = cos(-3r) = cos(+3r) = 0,86 = cos‘P3.
Ваттметр И7 показывает мощность Р= 2790 Вт.
Для определения коэффициента мощности цепи cos<p, вычис-
ляется полная мощность £ = UJa = 366 16,7 = 6112 В А.
I Тогда коэффициент мощности цепи
cosep, = — =^^=0,46.
Я, 6112
К Эквивалентные синусоидальным величины /, = /;
S, = 5= (/,/, и Р,= Р.
Пример 18.4
I Несинусоидальный ток в линейной цепи (рис. 18.5) г =
= 1,8sin(1000/+ 15)+ 1,1 sin3000г. Параметры цепи: Я = 8 Ом;
7 = 0,02 Гн и С=33,3 мкФ.
Требуется: записать мгновенное значение приложенного к цепи
апряження; определить показание всех включенных в цепь при-
боров; определить полную 5, реактивную Q мощности и эквива-
лентный угол сдвига фаз между током и напряжением цепи <рэ.
|в • 7734
258
Глава 18. Несинусоидальный ток
Рис. 18.5
Решение
Определяются ин-
дуктивное XL и емко
стное Хс сопротивле-
ния для 1-й и 3-й гар-
моник:
Ад| = =
= 1000-0,02 = 20 Ом;
1 10*
1000-33,3
= 30 Ом;
Ju = m)L = 3000-0,02 = 60 Ом; Хсз —=—1°!---------=10Ом
ш3С 3000-33,3
Сопротивление цепи для 1-й и 3-й гармоник:
Z, = 7^1 + (Хи - XdY = V82 + (20-30)2 = 12,8 Ом;
Zi = ylRl + (Хи - Хсз )2 = >/82 + (60 -10)2 = 50,60 Ом.
Амплитуды напряжений сети для 1-й и 3-й гармоник:
(4.! = /»!^= 1,8 12,8 = 23 В; UmJ= ImiZ3 = 1,1 50,6 = 55,7 В.
Углы сдвига фаз для этих гармоник:
<Р1 = arctg'У-‘- = arctg20 30 =-51’30';
R 8
Фз = arctg Х“ ~ Xci = arctg 6Q~10 =81’.
К о
Тогда мгновенное значение приложенного к цепи напряжения
записывается
и = 23 sin (1000Г- 36’) + 55,7 sin (3000/+ 81’).
Действующее значение приложенного напряжения:
(/( =-^-=-^-=16,3 В; U3 = ^2=39,5 В;
V2 1.41 V2 1.41
U = 7t/2 +(/32 = V16.32 +39,52 = 42,7 В.
Вольтметр, включенный на входе цепи, показывает 42,7 В.
Действующее значение тока:
/, = ZiL = _LdL = 1 28 А; /3 =Z=L =_LL =0,78 А;
V2 1,41 V2 1.41
18.7. Электрические фильтры
259
/ = Ji* + /32 жл/1,282 + О,782 ж 1,5а.
I Амперметр показывает ток 1,5 А.
| Ваттметр показывает активную мощность в цепи потребителей,
определяемую значениями
Р( = U{ ДсобФ, = 16,3-1,28-0,62 = 13 Вт;
Р3={/3/3со$Ф3 = 39,5-0,78-0,16 = 5 Вт.
, Показания ваттметра:
Р= Pj + PjS! 13 + 5= 18 Вт.
Вольтметр И) показывает падение напряжения на участке це-
пи АВ
UMi = /1 ZAB{ = 1,28• V82 + 202 = 27,6 В;
f/ли = 73Zw = 0,78-782 + 602 =47,2 В;
Цм = +^з = V27,62 + 47,22 = 54,68 В.
Вольтметр Vt показывает напряжение 54,68 В.
Полная, или кажущаяся, мощность в цепи несинусоидального
тока 5= {//=42,7-1,5 = 64 В-А.
Реактивная мощность Q цепи равна
0 = CViSin 4>i + £/}/351пФ3 =
= 16,3-1,28 (-0,77) + 39,5-0,78-0,98 = 14 вар.
Эквивалентный угол сдвига фаз ф, между током и напряжением
Фэ = arccos -Д- = arccos ---'8 -- = 73е.
и^13 42,7-1,5
Эквивалентные синусоидальные величины соответственно
авны
Р, = Р=18 Вт; {/, = 42,7 В; /, = /=1,5 А.
18.7. Электрические фильтры
Электрическая цепь, содержащая индуктивность и емкость, об-
адает различными сопротивлениями для различных гармоник,
так как индуктивное сопротивление XL = <о/ с увеличением номе-
ра гармоники (увеличивается частота) увеличивается, а емкостное
Хс=-^— уменьшается. Это дает возможность при заданной кривой
соС
напряжения изменять форму кривой тока путем включения элек-
трического фильтра между источником и потребителем
(рис. 18.6).
260
Глава 18. Несинусоидальный ток
Для того чтобы отфильтровать
высшие гармоники несинусо
идального напряжения, т.е. не
пропустить их к потребителю,
последовательно с потребите
лем включается индуктивность,
а параллельно емкость (рис
18.6а, б). При этом чем выше
номер гармоники, тем ббльшим
сопротивлением обладает ин
дуктивность и тем большее на
пряжение этой гармоники пада
ет на индуктивном сопротивле-
нии и тем меньшее напряжение
поступает на нагрузку. Кроме
того, чем выше номер гармони
ки (частота), тем меньше сопро-
тивление конденсатора, тем бо
льший ток этой частоты прохо
дит через конденсатор, отфиль-
тровываясь от потребителя. На
рис. 18.6 показаны Г-образныи
фильтр (рис. 18.6а) и П-образный фильтр (рис. 18.66).
Если нужно отфильтровать постоянную составляющую несину-
соидального напряжения или его низкие частоты (гармоники), то
в фильтре (рис. 18.6а, б) меняют местами индуктивность и ем-
кость (рис. 18.6в).
Если в напряжении, поступающем на вход фильтра, имеется
к-я гармоника, которую нужно отфильтровать, т. е. не пропустить
к потребителю, то последовательно с потребителем можно вклю-
чить параллельный резонансный контур (рис. 18.7а), настроен-
ный в резонанс токов на частоту этой А:-й гармоники. В результате
чего на большом сопротивлении резонансного контура (близкого
к бесконечности — при отсутствии активного сопротивления в
контуре) напряжение k-Vi гармоники падает на контуре, не попа-
дая на нагрузку.
Такого же эффекта можно добиться, если параллельно с потре-
бителем включить последовательный резонансный контур
(рис. 18.76), настроенный в резонанс напряжений на частота
£-й гармоники.
При резонансе напряжений сопротивление последовательного
контура мало, следовательно, уменьшается сопротивление участ-
ка ЛЯ схемы и уменьшается напряжение к-н гармоники на нем, а
следовательно, и на потребителе .
18.7. Электрические фильтры
261
Потр.
Одновременное
ключение обоих
онтуров (рис. 18.7в)
беспечивает зна-
ительно лучшую
фильтрацию.
Однако резонанс-
ное фильтры хо-
ошо отфилыро-
ывают ту гармо-
шку, на частоту
второй они на-
троены в резо-
ia нс-
Фильтры, в кото
>ых резонансные
юнтуры поменяли
<естами (рис. 18.8 по отношению к рис. 18.7), называются Поло-
зовыми и служат для того, чтобы пропустить к приемнику к-ю
армонику, на которую они настроены в резонанс, и нс пропус-
игь другие гармоники.
Рис. 18.8
Электрические фильтры широко используются в радиотехнике,
в технике сильных токов, в выпрямительной технике, в технике
проводной связи, в вычислительной технике и др.
Глава 19
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
19.1. Нелинейные элементы
Нелинейными электрическими цепями переменного тока называ-
ются цепи, в состав которых входят один или несколько нелинейных
сопротивлений (нелинейных элементов) переменного тока.
Характерной чертой нелинейных элементов переменного тока
являются нелинейная вольт-амперная, кулон-вольтовая, вебер
амперная и другие характеристики.
Переменному току оказывают сопротивление активные сопро
тивления, индуктивности и емкости. В соответствии с этим нели-
нейные сопротивления переменного тока могут быть разделены
на три группы: 1) группа нелинейных активных сопротивлении;
2) группа нелинейных индуктивных сопротивлений; 3) группа не-
линейных емкостных сопротивлений.
Каждая из этих групп сопротивлений подразделяется на управ
ляемые и неуправляемые.
1. В качестве управляемых нелинейных активных сопротивле-
ний широкое распространение получили электронные и полупро
водниковые приборы, магнитные усилители и другие устройства.
Неуправляемыми нелинейными активными сопротивлениями
являются электрическая дуга, полупроводниковые выпрямители,
лампы накаливания и др. Нелинейные элементы этой группы
способствуют созданию несинусоидальных токов в электриче
ских цепях.
2. Под нелинейными индуктивными сопротивлениями, или
иначе нелинейными индуктивностями, понимают катушки с фер-
ромагнитными сердечниками, для которых зависимость магнит-
ного потока в сердечнике оттока в катушке нелинейна. Катушка
с ферромагнитным сердечником в цепи переменного тока иска-
жает форму кривой тока, т. е. является генератором несинусоида-
льного тока. Катушку со стальным сердечником называют дрос-
селем (рис. 19.4).
3. Для нелинейных конденсаторов зависимость заряда Q на об-
кладках от напряжения, приложенного к конденсатору, нелиней
на. Нелинейные конденсаторы называют варикоидами или вари
капами. Пространство между обкладками нелинейного конденса-
19.2. Выпрямители - источники несинусоидального тока
263
тора заполнено сегнетодиэлсктриком, диэлектрическая прони-
цаемость которого зависит от напряженности электрического
поля между обкладками конденсатора. Сегнетодиэлектрики обла-
дают гистерезисом, т. е. отставанием изменения электрического
смешения в диэлектрике от изменения электрического поля в
нем.
Такие явления, как выпрямление переменного тока в постоян-
ный, стабилизация напряжения, умножение и деление частоты,
получение сигналов различной формы и т. д., можно получить то-
лько в нелинейных цепях переменного тока.
В настоящей главе рассматривается работа двух нелинейных
элементов: вентили (1-я группа нелинейных активных сопротив-
лений) и катушки с ферромагнитным сердечником (2-я группа
нелинейных индуктивных сопротивлений).
19.2. Выпрямители -
источники несинусоидального тока
Выпрямителями называют аппараты, преобразующие перемен-
ный ток в постоянный.
Основным элементом любого выпрямителя является элект-
рический вентиль. Электрический вентиль обладает малым со-
противлением в прямом направлении и большим в обратном
направлении. Вентиль имеет нелинейную вольт-амперную ха-
рактеристику (рис. 19.1), поскольку обладает практически одно-
сторонней проводимостью. Графическое изображение электриче-
ского вентиля в электрических схемах и положительное на-
• правление прямого напряжения и тока показано на рис. 19.1а.
Вентиль, сопротивление которого в прямом направлении равно
нулю, а в обратном - бесконечно большое, считается идеальным
вентилем. Характеристика идеального вентиля дана на рис. 19.16.
Вентиль, сопротивлением которого в прямом напраазении пре-
небречь нельзя, а обратным током можно пренебречь, имеет
вольт-амперную характеристику, изображенную на рис. 19.1в.
Вольт-амперная характеристика реального полупроводникового
вентиля изображена на рис. 19.1г. Как видно, если к реальному
Рис. 19.1
264 Глава 19. Нелинейные электрические цепи переменного тока
вентилю приложено увеличивающееся по величине обратное на-
пряжение (—и), то его ток в обратном направлении увеличивается
незначительно. Однако когда это обратное напряжение превыша-
ет номинальное (—t/„), обратный ток становится ощутимым и при
некотором обратном предельном напряжении вентиль теряет
свои вентильные свойства.
Основными параметрами вентилей наряду с вольт-амперной
характеристикой являются допустимая температура, плотность
тока и допустимое обратное напряжение.
В выпрямителях вентиль включается по различным схемам.
В схеме однополупериодного выпрямителя вентиль включается
последовательно с потребителем R, ток которого необходимо вы-
прямить (рис. 19.2а).
Если к цепи, изображенной на рис. 19.2а, приложено синусои-
дальное напряжение и= (7„sin со/ (и обратным током вентиля мож-
но пренебречь), то ток в положительный полупериод изменяется
также по синусоидальному закону:
I —--------
R„ +R
U„ sin со/
= sin со/.
В течение же отрицательного полупериода напряжения
(и < 0) тока в цепи нет, так как предполагается R^ - °°. Таким об
разом, в рассматриваемой цепи создается однополулсриодное вы-
прямление синусоидального тока (рис. 19.26). При однополупе-
риодном выпрямлении образуется значительная пульсация
тока, т.е. большая переменная составляющая (гармоника) вы-
прямленного тока и незначительная величина среднего значе-
ния (постоянная составляющая) этого тока /0 (см. кривую 5 таб-
лицы 18.1).
19.2. Выпрямители - источники несинусоидального тока
265
Таким образом, на сопротивлении R в результате выпрямления
синусоидального напряжения и создается несинусоидальный ток
и несинусоидальное напряжение и„.
Если вентили включены по мостовой схеме (рис. 19.3а) и к мос-
' ту подведено синусоидальное напряжение и = [/„sincor, то по со-
I противлению потребителя R проходит несинусоидальный пульси-
рующий ток, полученный в результате двухполупериодного вы-
прямления (рис. 19.36).
В положительный полупериод синусоидального напряжения и
ток проходит через вентили 1, 2 и через потребитель слева напра-
во (рис. 19.3а). В отрицательный полупериод напряжения и ток
I проходит через вентили 3, 4 и через потребитель также слева на-
I право. Таким образом, ток через потребитель изменяется по вели-
। чине, но не меняется по направлению (рис. 19.36), т. е. через по-
требитель проходит пульсирующий ток, который складывается из
I постоянной составляющей и четных гармоник. Таким же будет и
I напряжение и„ на потребителе (см. кривую 6 таблицы 18.1). При
двухполупериодном выпрямлении постоянная составляющая не-
синусоидального тока и напряжения больше, чем при однополу-
периодном выпрямлении, а пульсации, т.е. гармоники, меньше.
При выпрямлении трехфазного тока (см. кривую 7 таблицы 18.1)
несинусоидальный ток раскладывается на постоянную составля-
ющую и гармоники, кратные трем, т. е. 3, 6, 9 и т. д. При этом по-
стоянная составляющая тока (напряжения) на потребителе увели-
чивается, а пульсации уменьшаются (по сравнению с однофаз-
ным током). Для уменьшения пульсаций на потребителе в любой
схеме соединения вентилей используются электрические филь-
тры (см. § 18.7).
266 Глава 19. Нелинейные электрические цепи переменного тока
19.3. Катушка с ферромагнитным сердечником
Наиболее распространенным нелинейным элементом перемен
ного тока в электрических машинах, трансформаторах и других
аппаратах является катушка со стальным сердечником (рис. 19.4)
в)
Рис. 194
Если магнитный поток в сердечнике изменяется по синусоида-
льному закону ф - Фяяп а>1, то при отсутствии рассеяния он ин-
дуктирует в катушке, расположенной на сердечнике, ЭДС само-
индукции
е = =-(0|FOwcos<or = £Msin((or
dt dt 2
Если пренебречь активным сопротивлением катушки, то напря
жение, приложенное к ней, равно по величине и противоположно
по знаку ЭДС самоиндукции, определяемой по (11.9):
и = — ei = coWz0„cos(D/= tfmsin (<of+^),
где (/„ = = 2тг/И 'Фт, а действующее значение напряжения
U„
(J = -- = --------
42 1.41
или (/=4,44/И/Ф„. (19.1)
Если к катушке со стальным сердечником приложено синусои-
дальное напряжение, то в сердечнике возникает синусоидальный
19.3. Катушка с ферромагнитным сердечником
267
Рис. 19.5
магнитный поток. Ток в катушке
» при этом оказывается несинусои-
дальным. Эго связано с нелиней-
иой зависимостью между магнит-
ным потоком и током ф=/(0- На
рис. 19.5а показана петля гистере-
зиса, изображающая эту зависи-
мость.
| Для каждого момента времени (г0,
Й, б и т. д.) по петле гистерезиса на-
водят значение тока и откладывают его на ординате магнитного
потока (смотри пунктирные линии на рис. 19.5). При увеличении
магнитного потока пользуются участком ab петли гистерезиса,
при уменьшении - участком Ьс и т.д.
I Как видно (рис. 19.56), кривая тока при синусоидальном маг-
нитном потоке несинусоидальна.
I Кривая намагничивания ферромагнитного материала (рис. 8.3)
выражает зависимость индукции В в ферромагнитном материале
| от напряженности Н магнитного поля в катушке. Напряженность
КГ в катушке пропорциональна току / в катушке. Магнитный по-
ток в ферромагнитном материале Ф = BS связан с напряжением
14, приложенным к катушке, прямой пропорциональностью
(19.1). Следовательно, основную кривую намагничивания ферро-
магнитного материала магнитопровода B=f(H) можно считать
вольт-амперной характеристикой катушки с сердечником из фер-
ромагнитного материала (рис. 8.3), если изобразить ее в коорди-
натах UK и / (рис. 19.5в). Таким образом, катушка с ферромагнит-
1ным сердечником является нелинейным элементом переменного
Ока, т. е. источником несинусоидальности.
268 Глава 19. Нелинейные электрические цепи переменного тока
19.4. Мощность потерь. Векторная диаграмма
катушки со стальным сердечником
При расчете цепи катушки со стальным сердечником несинусо-
идальный намагничивающий ток i часто заменяют эквивалент
ным синусоидальным, который имеет то же действующее значе-
ние, что и несинусоидальный. При этой замене пользуются по-
правочным коэффициентом зависящим от формы кривой тока,
которая в свою очередь зависит от максимального значения ин-
дукции в сердечнике В„.
Значение коэффициента Е, для электротехнической стали при
индукции, не превышающей Вт»0,8 Тл, принимается равным
единице. При больших значениях магнитной индукции попра
вочный коэффициент можно найти по графику (рис. 19.6).
1,0 1,2 1,4
Рис. 19.6
При синусоидальном токе век-
торная диаграмма для катушки
(без активного сопротивления)
со стальным сердечником (без
рассеяния) может быть построе-
на как для идеальной индуктив-
ности (рис. 11.46), т. е. ток отста-
ет от напряжения на угол 90°.
Если учесть потери на цикли
ческое перемагничивание в сер-
дечнике Рцп и на вихревые
токи Р„, т. е. потери в стали
Лт = Лп + А»» то ток в кату и:
ке со стальным сердечником отстает от напряжения на угол
Ф'<90° (рис. 19.7а). При этом появляется активная составляющая
тока
U
= /cos<p' = 7sin5,
(19.2)
совпадающая по фазе с напряжением, и реактивная составляю-
щая тока
/р =/sin ф'=/cos 8. (19.3)
Реактивная составляющая тока, совпадающая по фазе с магнит
ным потоком и намагничивающая сердечник, называется намаг-
ничиваюшим током катушки.
Угол 8, на который ток / опережает по фазе магнитный поток Ф
(рис. 19.7а), называется углом потерь
tg8 = b-. (19.4)
• р
19.4. Мощность потерь
269
Потери в стали (магнитные потери) можно определить выраже-
нием
(19 5)
где G — масса ферромагнитного сердечника, кг; Рул — удельная
мощность потерь в стали, Вт/кг.
Удельную мощность потерь вычисляют по формуле
(19.6)
где P|.o/w “ потери в стали при индукции В„=\ Тл и частоте
/=50 Гц; Вт — максимальное значение индукции.
Значения Р|>0/30 для различных марок электротехнической стали
даны в Приложении 8.
Если не пренебрегать активным сопротивлением катушки Я, то
падение напряжения на этом сопротивлении Ut=!R совпадает
по фазе с током /. На активном сопротивлении возникают потери
мощности, которые являются электрическими потерями и назы-
ваются потерями в меди Р„ = /2Я. Эти потери складываются с маг-
нитными и создают суммарные потери в катушке со стальным
сердечником Р= Р„ + Рч. Суммарные потери Р влияют на угол по-
терь 8 и на активную составляющую тока катушки /.= /cos<p, так
как cos<p = p^ .
Большая часть магнитного потока, т. е. основной поток Ф, за-
мыкается в сердечнике, а незначительная часть потока Фр рассе-
ивается (рис. 19.46). Поток рассеяния Фр индуктирует в катуш-
ке ЭДС рассеяния £J, ==/Хр, где /.р — индуктивность
рассеяния. На преодоление ЭДС рассеяние в напряжении, прило-
270 Глава 19. Нелинейные электрические цепи переменного тока
женном к катушке, появляется составляющая UV = -EP, которая
опережает ток на угол 90’. Поток рассеяния Фр совпадает по фазе
с током.
Следовательно, напряжение на зажимах катушки со стальным
сердечником складывается из напряжения U' = -£, где Е создает-
ся основным магнитным потоком Ф, падения напряжения на ак-
тивном сопротивлении катушки U, = IR и напряжения С/р = -£,_
т.е. U = U'+ Ui + Up. Это выражение используется при построе-
нии векторной диаграммы катушки со стальным сердечником
(рис. 19.76).
19.5. Схема замещения
Эквивалентная схема катушки со стальным сердечником изо-
бражена на рис. 19.4в. На эквивалентной схеме выделены актив-
ное сопротивление R и индуктивное сопротивление рассеяния Хг
Оставшуюся катушку с сердечником можно считать идеальной.
Напряжение U' = -E для идеальной катушки можно предста-
Эти соображения легли в основу построения схемы замеще
ния катушки со стальным сердечником (рис. 19.8а).
Реальная катушка (рис. 19.4а) и схема ее замещения (рис. 19.86)
при одинаковых напряжениях на зажимах U имеют одинаковые
токи и мощности.
Активная составляющая тока^определяет активную проводи-
мость идеальной катушки g0 = — = _ " ,, а намагничивающий
U' (U')1'
ток - реактивную проводимость bQ =~~7- На рис. 19.86 показана
схема замещения катушки со стальным сердечником с учетом
этих проводимостей.
19.5. Схема замещения
271
Пример 19.1
На среднем стержне Ш-образного магнитопровода (рис. 19.9),
^полненного из листовой (А = 0,5 мм) стали Э42 (1512) с воздуш-
ном зазором £, = 0,5 мм, расположена обмотка, к которой подве-
яно напряжение U= 220 В при частоте / = 50 Гц. 10 % объема сер-
[ечника заполнено изоляцией. Активным сопротивлением об-
мотки и рассеянием можно пренебречь.
Размеры магнитопровода
даны в мм.
Определить число витков обмотки И< ток в обмотке /, потери
в стали Р„, коэффициент мощности цепи cos <р и угол потерь 5 для
того, чтобы создать максимальную магнитную индукцию в сред-
нем стержне В„ = 1,2 Тл.
Решение
По выражению (19.1) определяется число витков обмотки
W =---------------------—----------= 230 витков,
4,44/Фя 4,44 • 50 • 43,2 10-4
• где
Ф„ = 5т5ср/Ст= Яя2асА^ = 1,2-8-10-,-5-10'2 0,9 = 43,2-10"4 Вб;
Scp - плошадь сечения среднего стержня сердечника; — коэф-
фициент заполнения сердечника сталью, /Сст = 0,9.
Расчет намагничивающего тока /р произведен по закону пол-
ного тока для половины симметричной магнитной цепи. Сечение
всех участков половины магнитной цепи SCI одинаковое
(рис. 19.9) и определяется по формуле
SCT= К„ас = 0,9 410“2 510-2 = 18-10"* м2.
272 Глава 19. Нелинейные электрические цепи переменного тока
Длина средней линии половины сердечника
= 2(Л-|-|) + 2(|-|-|)-2Л =
= 2(200-20-20)+ 2(^9-20-20)-2 0,5 = 559 мм =55,9 Ю'2 м.
Напряженность магнитного поля в магнитопроводе (Приложе-
ние 5) для стали Э42 (1512) Я=210 А/м, так как действующее зна-
чение заданной индукции В = = рр =0,85 Тл, а в Приложе
нии 5 указаны действующие значения магнитной индукции.
Напряженность в воздушном зазоре (В, = В) будет равна
„ й, 0,85 _ ,_4 ..
Н, = — =--------= 67,7-10 А/м.
Ро 4л-10'7
Поправочный коэффициент £ для максимальной индукции
В„- 1,2 Тл определяется из графика (рис. 19.6), £=1,1. Тогда на
магничивающий ток /р определяется по формуле
Н1„ + 2НЛ.
9 ИЧ
210-55,9-Ю’2 +2-67,7 10* -0,5 -10 2 , д
--------------2304J----------------- Х М А
Масса стали сердечника
G= SUCTp = 18-10<55,9 1О’2• 7800 = 7,848 кг,
где р = 78ОО кг/м’ - плотность стали.
Потери в стали
Лт=Лд<' = 2 7,848= 15,8 Вт,
где Руд= Р\.п/^В2 = 1,4-1,22 = 2 Вт/кг, так как для стали Э42 при
толщине листов Д = 0,5 мм /’i.o/so = 1,4 Вт/кг (Приложение 8).
Активная составляющая тока обмотки обусловлена этими поте
рями, т. е.
/. = ^£L = =0,07 А.
U 220
Ток в обмотке (рис. 19.7) будет равен
I = 7 Л2 + /₽ = л/0,072 + 3,142 = 3,13 А.
Р 15 8
Коэффициент мощности цепи cos<p = —2-=----------=0,023.
U1 220-3,14
угол ср = 88*40', а угол потерь 8 = 90* - 88’40' = Г20'.
19.6. Феррорезонанс
273
19.6. Феррорезонанс
В цепи с нелинейной индуктивностью (катушка со стальным
_ :рдечником) существует нелинейная зависимость напряжения
на индуктивности UL от тока I (рис. !9.5в). Следовательно, резо-
нанса напряжений, т.е. равенства напряжений на емкости Uc и
ндуктивности 14, можно добиться изменением тока при послс-
овательном соединении конденсатора и нелинейной индуктив-
юсти (рис. 19.10а).
Цепи, содержащие нелинейную индуктивность и линейную
мкость, называют феррорезонансными, а явление равенства
спряжений UL и ис, описанное выше, называют феррорезо-
1ансом.
Д'1я объяснения явления фсррорезонанса можно воспользова-
ться вольт-амперной характеристикой нелинейной индуктивно-
сти UL=f{I), линейной емкости Uc=f(f) и линейного активного
шротивления (4 =/(/)•
При построении суммарной вольт-амперной характеристики
в)
Рис. 19.10
274 Глава 19. Нелинейные электрические цепи переменного тока
рассматриваемой цепи исходят из того, что напряжение источни-
ка U уравновешивается суммой напряжений:
U = U, + UL + йс = U. + Uf. (19.7)
Из векторной диаграммы для рассматриваемой цепи (рис
12.46) следует, что индуктивное напряжение UL опережает по фа
зе ток на угол 90“, а емкостное напряжение Uc — отстает на 90
(Для упрощения несинусоидальные величины заменены эквива
лентными синусоидальными, т. е. вольт-амперная характеристика
нелинейной катушки UL=f(I) аналогична характеристике, пока
занной на рис. 19.5в.) Следовательно, реактивные напряжения
UL и Uc находятся в противофазе, т. е. Uv = Ul - Uc •
Величину емкости можно подобрать так, чтобы прямая Uc=f(h
пересекла кривую UL=f(I). Точка их пересечения и является точ
кой феррорезонанса напряжений (U L = Uc), при котором
t/p = UL - Uс =0. Следовательно, U = U, = IR (Up - реактивное
напряжение цепи).
Из графика (рис. 19.106) следует, что с увеличением тока / на-
пряжение U сначала растет (участок 0-2), затем уменьшается
(участок 2—3), достигая минимального значения при феррорезо
нанес (точка 3), затем снова растет (участок 3—5).
Из того же графика видно, что при непрерывном увеличении
напряжения источника U ток / плавно увеличивается до значе
ния /2 и скачком увеличивается до Д, после чего продолжает плав
но расти (участок 4-5).
При плавном уменьшении напряжения (/ток / уменьшается до
А и скачком уменьшается до Д, затем плавно падает до нуля (при
(/=0).
Характерно, что при каждом скачке тока / его фаза по
отношению к напряжению U изменяется на 180’, поэтому это яв
ление называют «опрокидыванием фазы». «Опрокидывание
фазы» в феррорезонансной цепи происходит потому, что до зна
чения тока /2 цепь имеет индуктивный характер, т. е. XL >Хс, а по-
сле значения тока /3 - емкостной, т.е. XL<XC (рис. 19.106). Вь:
звано это тем, что после феррорезонанса происходит магнитное
насыщение сердечника катушки, стабилизируется XL и UL, а (
растет.
Явление «опрокидывания фазы» проиллюстрировано на рис
19.10в, на котором показаны кривые напряжений U=f(j) и
Uc-f(f) Из кривой UL=f(J) видно, что напряжение на выводах
катушки (точки В и С схемы - рис. 19.10а) остается почти неиз
менным (А(7 2) даже при значительном изменении (Д(/) напряже
J9.6. Феррорезонанс
275
ия сети U(точки А и D), если незначительным значением напря-
цения U, можно пренебречь.
Это явление используется в феррорезонансных стабилизаторах
спряжения, в которых значительное изменение входного напря-
жения (Д€7) на клеммах AD вызывает незначительное изменение
ыходного напряжения (\UL) на клеммах ВС, к которому подклю-
ен потребитель.
При параллельном соединении катушки с ферромагнитным
ердечником и конденсатора может возникнуть феррорезонанс
оков, если IpL = fpc-
Глава 20
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
20.1. Основные понятия
Переходный процесс в электрической цепи — это электромагнит-
ный процесс, возникающий в электрической цепи при переходе от од-
ного установившегося (принужденного) режима к другому. Устано-
вившимся (принужденным) называется режим работы электриче-
ской цепи, при котором напряжение и токи цепи в течение
длительного времени остаются неизменными.
Такой режим в электрической цепи устанавливается при длите-
льном действии источников постоянной или переменной ЭДС
при неизменных параметрах этой цепи R, L и С.
Переходный процесс вызывается коммутацией в цепи. Комм,
тацией называется процесс замыкания или размыкания рубильников
или выключателей. Переходный процесс может быть вызван изме-
нением параметров электрической цепи R, L или С.
Переходный процесс базируется на двух законах коммутации
1) ток в индуктивности не может изменяться скачком;
2) напряжение на емкости не может изменяться скачком.
Действительно, если ток в индуктивности L изменяется скач-
ком, т.е. мгновенно, то ЭДС самоиндукции eL становится беско-
нечно большой (при 4о« = 0):
о I
е l = -L— =«и.
dt
В реальных цепях ЭДС самоиндукции может иметь только ко-
нечные значения.
Если в цепи с емкостью С напряжение на ее обкладках изменя-
ется скачком, т. е. мгновенно, то появляется бесконечно большой
зарядный (или разрядный) ток (при 4^ = 0):
„ du с
I = С--— = оо.
dt
Ток в электрических цепях может иметь только конечные зна-
чения.
Переходный процесс является быстропротекаюшим процессор-
длительность которого обычно составляет десятые, сотые и даже
20.2. Подключение катушки индуктивности к источнику напряжения 277
миллионные доли секунды и сравнительно редко — секунды и
даже десятки секунд.
Таким образом, один установившийся режим цепи отделяется
рт другого некоторым промежутком времени, в течение которого
происходит постепенный переход от прежнего состояния цепи
к новому.
Переходный процесс в линейных цепях можно рассматривать
как результат наложения двух процессов:
1) нового установившегося режима, который наступает после
коммутации;
2) свободного процесса, обеспечивающего переход цепи от
прежнего установившегося режима к новому установившемуся
Таким образом, ток i цепи в течение переходного процесса
можно представить суммой двух токов: нового установившегося L,
и свободного 4». возникающего после коммутации:
*='у + 'с. (20.1)
Аналогично напряжение в течение переходного процесса равно
и = иг + ис,. (20.2)
В результате переходного процесса происходят изменения тока,
напряжения, фазы, частоты и т.д.
Изучение переходных процессов очень важно, так как оно по-
зволяет выявить возможные превышения напряжения на отдель-
ных участках цепи, которые могут оказаться опасными для изоля-
ции установки, позволяет выявить возможные броски токов, ве-
личина которых в десятки раз превышает установившийся.
Изучение переходных процессов позволяет выявить ситуации,
возникаюшие в электрических цепях при коротком замыкании,
резком включении и выключении рубильников, и прочие режи-
мы работы цепи.
20.2. Подключение катушки индуктивности
к источнику с постоянным напряжением
Если катушку индуктивности (RL) подключить к источнику с
постоянным напряжением {/(замыкание ключа К), то ток / в не-
разветвленной цепи (рис. 20.1а) будет увеличиваться от нуля (в
начале переходного процесса) до установившегося значения
«, =/ = ^. (20.3)
Л
Установившийся, т. е. постоянный, ток / не индуктирует в ка-
тушке ЭДС самоиндукции, поэтому индуктивное сопротивление
в установившемся режиме при условии (20.3) отсутствует.
278
Глава 20. Переходные процессы в электрических цепях
Рис. 20.1
Этот увеличивающийся ток / индуктирует в индуктивности /
катушки ЭДС самоиндукции (см. (9.11))
„ _ / di
eL =-L— .
dt
Следовательно, для любого момента времени переходного про
цесса по второму закону Кирхгофа можно записать
U+eL = iR или U=iR+ L—.
dt
Разделив уравнение (20.4) на R, получают
„ Н1- (205»
В уравнении (20.5) ^- = /— установившийся в конце переходно
го процесса ток (4). ”
Отношение —
R
( L Гн _ Ом с _ с
\ R J Ом Ом
постоянной времени Я£-цепи, т. е.
(20.4)
имеет размерность времени
J. обозначается буквой т (тау) и называете я
L
R
(20.6)
Тогда уравнение (20.5) можно записать в виде
/_/=т (2о,7)
dt
Если это уравнение проинтегрировать, предварительно разде
лив переменные (ток и время), а затем спотенцировать, то полу
чим выражение
= /+(—),
(20.8)
20.3. Отключение и замыкание flL-цепи
279
е е — основание натурального логарифма (е= 2,71); I — устано-
[вшийся ток (/у); (-/е*'Л1) - свободный ток (4»), так как i- <> + 4.,
-k ,hl .
(20.9)
| Таким образом, уравнение, которое позволяет определить вели-
чину тока в цепи с индуктивностью L в любой момент переходно-
го процесса Л£-цепи при подключении реальной катушки индук-
тивности к источнику с постоянным напряжением U, записыва-
ется в виде _______
/=/(1-е-’/и).
(20.10)
I Воспользовавшись Приложением 9, по выражению (20.10) мож-
но определить, что за время /=Т1_ ток в цепи увеличивается до
К.63/, а за время t-4,6tl - до 0,99/, т. е. до 99 % установившегося
Ека £
Теоретически переходный процесс происходит бесконечно
-1ЛГО. Практически переходный процесс в рассматриваемой цепи
Вчитается законченным, когда ток i увеличивается до 99 % уста-
новившегося тока /.
Как видим, чем больше тд, тем больше времени / длится пере-
ходный процесс.
I Таким образом, постоянная времени h определяет скорость
Переходного процесса или его длительность.
ЭДС самоиндукции в рассматриваемой цепи, вызванная сво-
бодным током 4в> определяется выражением
<?£= Ue ,fxi.
(20.11)
I Таким образом, ЭДС самоиндукции в Я£-цепи, подключенной
к источнику с постоянным напряжением U, будет уменьшаться.
Так, за время t=xL, ЭДС самоиндукции согласно (20.11) умень-
пится до 0,37U, а за время /= 4,6тд — до 0,01 U, т. е. до 1 % посто-
янного напряжения U.
Увеличение тока и уменьшение ЭДС самоиндукции катушки
при подключении катушки к источнику с постоянным напряже-
нием U показаны на графике рис. 20.16.
20.3. Отключение и замыкание RL-цепи
I Если цепь с катушкой, в которой проходит установившийся
ток 1 (рис. 20.1а), разомкнуть, то ток i в такой цепи с боль-
280 Глава 20. Переходные процессы в электрических цепях
шой скоростью уменьшается до нуля и в катушке индуктируется
большая ЭДС самоиндукции eL
Эта ЭДС полностью приложена к клеммам ключа, так как при
размыкании сопротивление ключа становится бесконечно боль-
шим. Эта ЭДС вызывает значительное увеличение электрическо-
го поля между контактами ключа, а следовательно, и напряжен-
ности поля. Большая напряженность электрического поля может
вызвать искровой и даже дуговой разряд между размыкающимися
контактами ключа, в результате чего обгорают контакты ключа.
Поэтому рубильники в Я£-цепях шунтируются специальны-
ми устройствами, которые обеспечивают гашение дугового раз-
ряда. Для гашения дугового разряда необходимо одновременно
с отключением катушки индуктивности от источника замкнуть
ее на разрядное сопротивление Rq (рис. 20.2а).
Уменьшение тока 4. при отключении катушки от источника
(рис. 20.1а) происходит по закону
4.= /е-,Лх .
Наглядно это уменьшение можно наблюдать на рис. 20.16, если
кривую изменения eL считать кривой уменьшения тока в соот-
ветствующем масштабе.
Постоянная времени при отключении катушки от источника
с постоянным напряжением U определяется как и при включе-
нии катушки на это напряжение, т. е. т4 = —.
R
Если катушку с установившимся током /, зашунтированну*0
сопротивлением Л, (рис. 20.2а), отключить от источника (разо-
мкнуть ключ А), то в замкнутом контуре ABCD в начальный
20.4. Зарядка, разрядка и саморазрядка конденсатора 281
иомснт коммутации (г0 = 0) пройдет ток /£, = /е'° = /, т. е. устано-
вившийся ток. Этот ток I может оказаться недопустимо большим
Кя резистора с сопротивлением Rn.
Для определения активного сопротивления катушки R* и пол-
ного ее сопротивления Z* включают амперметр А и вольтметр V
тис. 20.26), т. с. вместо резистора с сопротивлением в контур
ABCD (рис. 20.26) включен вольтметр V. Этот вольтметр может нс
выть рассчитан на установившийся ток /, проходящий через него
jpn размыкании ключа, в результате чего может сгореть. Чтобы
не «сжечь» вольтметр (рис. 20.26), сначала необходимо отключить
(ольтмстр, а затем разомкнуть ключ К.
Как видно, за счет переходных процессов в цепях с индуктив-
Ьстью возникают большие токи и напряжения. С этим необхо-
димо считаться и учитывать при проектировании и эксплуатации
цепей с индуктивностью.
20.4. Зарядка, разрядка и саморазрядка
конденсатора
Если конденсатор с сопротивлением (утечки) R и емкостью С
Кдключить к источнику с постоянным напряжением U (замыка-
нием ключа К), то в цепи (рис. 20.3а) появится ток зарядки кон-
денсатора (см. (11.16)):
/=^=С—, (20.12)
dt dt
Йе ис — напряжение на конденсаторе в любой момент времени
переходного процесса.
По второму закону Кирхгофа для цепи зарядки конденсатора
(рис. 20.3а) можно записать уравнение
U=iR+Uc или U- ис- iR-RC^f-, (20.13)
dt
где произведение RC имеет размерность времени, обозначается
буквой т и называется постоянной времени переходного процесса
в ЯС-цепи, т. е.
тс= RC. (20.14)
f Гт1 =ГЯС1 =Ом Ф=Ом Кл = =с.
J L J BAA
Уравнение (20.13) можно записать в виде
п__________________duc
(20.15)
dt
282
Глава 20. Переходные процессы в электрических цепях
Если в уравнении (20.15) разделить переменные, проинтегриро-
вать, а затем спотенцировать, то получится выражение
ис = U- Ue'h' = U+(-Ue-'" ), (20.16)
где U ~ установившееся напряжение Uy /?С-цепи; (— Ue~,,Xt) -
свободная составляющая напряжения исл на конденсаторе; т. е.
«с=му + и„.
Следовательно, напряжение на заряжающемся конденсаторе в
любой момент времени t переходного процесса определяется вы-
ражением
мс= tZ(l ). (20.17)
По (20.17), пользуясь Приложением 9, можно определить, что
за время Г=тс конденсатор зарядится до напряжения uc= 0,63 {7,
а за время /=4,6тс — до напряжения мс=0,99С/.
Теоретически зарядка конденсатора длится бесконечно долго,
а практически конденсатор считается заряженным, когда напря-
жение на нем достигает 99 % напряжения источника U.
Таким образом, и в ЯС-цепи, чем больше постоянная време-
ни тс, тем больше времени t тратится на зарядку конденсатора,
т. е. и в данном случае постоянная времени хс характеризует дли-
тельность зарядки и разрядки конденсатора.
Ток i при зарядке конденсатора (см. (20.13)) уменьшается по за-
кону
(20.18)
где /= — — максимальный ток, который имеет место в начальный
R
момент /=0 зарядки конденсатора (момент коммутации).
20.4. Зарядка, разрядка и саморазрядка конденсатора
283
За время / = тсток в цепи заряжающегося конденсатора умень-
иится до 0,37/, а за время Г=4,6тс - до 0,01 /, при котором пере-
ходный процесс можно считать законченным.
Графики изменения напряжения на конденсаторе и тока в цепи
арядки конденсатора изображены на рис. 20.36.
Если конденсатор емкостью С, заряженный предварительно
ю напряжения U, разряжать через резистор с сопротивлением R
рис. 20.4а), то напряжение ис на конденсаторе и ток в цепи раз-
>ядки будут уменьшаться по закону
uc=Ue ,,tc,
i=Ie-'tc,
(20.19)
(20.20)
где U — напряжение на конденсаторе до начала разрядки (при
1=0), а /= — — максимальный ток в начальный момент разрядки
(при / = 0), тс= RC - постоянная времени в цепи разрядки кон-
денсатора.
Рис. 20.4
) За время Г=тс напряжение и ток уменьшатся до 37 % своих
максимальных значений. Изменение напряжения и тока на раз-
ряжающемся конденсаторе показаны на рис. 20.46 (в разных мас-
штабах).
[ Если конденсатор емкостью С, заряженный до напряжения U,
ртсоединить от источника, то он будет разряжаться через свой
диэлектрик. Напряжение на нем будет уменьшаться по зако-
ну ис= Ue~,hc . Процесс разрядки конденсатора через свой ди-
электрик называется саморазрядом.
। Постоянная времени саморазряда зависит от физических
свойств диэлектрика
Tc=p£fl£„ (20.21)
где р - удельное сопротивление диэлектрика; е0 - электрическая
постоянная; е, — диэлектрическая проницаемость диэлектрика
(относительная).
284
Глава 20. Переходные процессы в электрических цепях
Для определения напряжения, тока, ЭДС в любой момент пе
реходного процесса Я/.-цепи и ЯС-цепи можно воспользоваться
таблицей показательных функций (Приложение 9).
Пример 20.1
Катушка электромагнита с параметрами Я= 11 Ом и
Л = 0,11 мГн подключена к сети постоянного тока с напряже-
нием U= НО В. Определить время Г, за которое ток в катушке i
увеличится от нуля до 8 А. Определить, какого значение достш-
нет ЭДС самоиндукции eL за время t.
Решение
Установившийся ток /= — = —= ю д.
Я 11
„ L 0,11 10J 1Л_,
Постоянная времени для катушки г£=-^ =---------= 10 с.
А 11
Подставляем значение величин в (20.10):
8= 10(1-е"'/,£), откуда е ’7’* =1^ = 0,2.
По Приложению 9 определяется Х-^ = 1,6, откуда
/=1,6т£ = 1,6-10-5 с.
ЭДС самоиндукции за время 1,6-10-5 с уменьшается со 110 В
до значения
eL=Ue 'hl = цое-' бю-’/ю-* = пОе’*1*» 110 0,2 = 22 В.
Пример 20.2
К зажимам катушки индуктивности с параметрами Як = 100 Ом,
£и= 10 Гн подключен вольтметр И (рис. 20.26) электродинамиче-
ской системы. Сопротивление вольтметра Яу=5000 Ом. Напри
жение на клеммах источника t/=200 В.
Определить напряжение на зажимах вольтметра и ток в обмот-
ках прибора (обмотки соединены последовательно) при / = 0, если
размыкание рубильника К произойдет мгновенно и дуги не воз
никнет.
Решение
До размыкания рубильника через катушку проходил ток
Z=/=JL = 200 = 2A
Як 100
20 4. Зарядка, разрядка и саморазрядка конденсатора
285
I В момент размыкания рубильника (Г= 0) весь этот ток проходит
цо обмоткам вольтметра. При этом на вольтметре напряжение
жганет равным
Uv=IvRv= 2-5000 =10000 В.
I Такого напряжения (10 кВ) и такого тока (2 А) обмотка вольт-
метра (обычно подвижная обмотка электродинамического прибо-
ра рассчитана на ток порядка десятков, максимум, сотен милли-
ампер) не выдержит и сгорит.
К При размыкании рубильника с конечной скоростью между
расходящимися контактами рубильника К (рис. 20.26) возникнет
электрическая дуга. Это приведет к тому, что увеличение напряже-
ния на вольтметре и тока через обмотки вольтметра будет меньше,
чем в рассмотренном выше случае (мгновенное размыкание руби-
льника). Однако меры предосторожности для сохранения вольт-
метра и рубильника, описанные выше, нужно соблюдать.
Пример 20.3
I Конденсатор емкостью С=2 мкФ через сопротивление
R - 500 кОм подключается к источнику с постоянным напряже-
Ем [/= 220 В.
предслить напряжение на конденсаторе ис и ток в цепи за-
а конденсатора i через 2 с от начала заряда конденсатора
(/ = 2 с), а также время за которое этот конденсатор зарядится
до напряжения Uc= 150 В.
Решение
I Постоянная времени заряда конденсатора
тс=ЯС=500 103-2-10‘3=1 с.
I Напряжение на конденсаторе через 2 с от начала заряда
uc= ) = 220(1 -е 1/1 ) = 220-0,865= 190 В.
I Ток в цепи заряда конденсатора через 2 с от начала заряда
/= le 'hc = 44- 10’3-0,135 = 5,94 10’3 А,
Так как /= —=——— = 44-10-3А.
R 500 103
I Время Г заряда конденсатора до напряжения 150 В определяет-
ся по формуле (20.17):
150 = 220(1 - e , h<).
I Откуда е ,Ъс = 220 -150 =0 318 в
286
Глава 20. Переходные процессы в электрических цепях
Из таблицы показательных функций (Приложение 9) находя?
/'=1,14 с.
Рис. 20.5
Пример 20.4
Параметры цепи, изображеi;
ной на рис. 20.5, следующие: А _
= 6 Ом; Я2 = 200 кОм; /?3 = 60 Ом;
£ = 3 Гн; С= 10 мкФ и (/= 120 В.
Определить значение токов в
ветвях через время /= 2 с после за-
мыкания ключа К.
Решение
Д.1Я ветви (1) с индуктивностью
определяются:
установившийся ток /,=^-=125 = 20 А
и постоянная времени т£ =
£ = 3
R 6
0,5 с.
Тогда ток через 2 с будет равен
/, = /1(1-е'Л‘) = 20(1-е'2/а5) = 20(1-е"4) =
= 20(1-0,018) =19,64 А.
Для ветви (2) с емкостью определяются:
максимальный установившийся ток по окончании переходного
процесса
, _ U _ 120
=-----ж--------
Ri 200-Ю3
= 0,6 10‘3 А
и постоянная времени тс= R2C= 200-103-10-10~6 = 2 с.
Тогда ток зарядки через 2 с будет равен
=0,610"3e’VJ =0,6 10"3 0,37 = 0,22 10’3 А.
Для ветви (3) с активным сопротивлением R3 определяется
Г и 120 л
ток ветви /3 = — = = 2 А.
Ri 6
Постоянная времени т5 = 0, так как отсутствуют L и С.
Через 2 с значение тока будет таким же, т. е. /3 = /3 = 2 А.
Глава 21
ТЕМЫ ДЛЯ ВЫБОРА
ПРИМЕНИТЕЛЬНО К СПЕЦИАЛЬНОСТИ
21.1. Четырехполюсник в цепях постоянного
и переменного тока
Четырехполюсником называется часть электрической цепи,
меющая две пары зажимов (рис. 21.1а).
К одной паре зажимов — входных (Г—1") — может быть присое-
инен источник, а к другой паре — выходных (2'-2") — присоеди-
яется потребитель.
Если внутри четырехполюсников нет источников питания, то
го называют пассивным. К пассивным четырехполюсникам
тносятся двухпроводная линия электропередачи, трансформато-
ы, выпрямители, фильтры, делители напряжения, мостовая схе-
ia и др.
Если электрическая схема содержит источник ЭДС, то в прямо-
гольнике, который изображает четырехполюсник, ставится бук-
а «А» (активный).
288 Глава 21. Темы для выбора применительно к специальности
21.1. Четырехполюсник в цепях постоянного и переменного тока 289
Рассмотрим пассивный четырехполюсник.
Такой четырехполюсник является передаточным звеном между
источником питания и потребителем. При этом предполагается,
что может изменяться нагрузка четырехполюсника и напряжение
на входе, но схема внутренних соединений четырехполюсника и
значения сопротивлений в ней остаются неизменными.
Напряжение Ub приложенное к входным зажимам (!'— 1”), на-
зывается входным напряжением. Ток, проходящий через входные
зажимы (Г-Г), называется входным током Д.
Напряжение С/2 между выходными зажимами (2'-2") называется
выходным напряжением. Ток, проходящий через выходные зажи-
мы (2'-2и), называется выходным током 12 (рис. 21.1). Положи-
тельное направление напряжений и токов выбирается произволь-
но. Расчет подтвердит или опровергнет этот выбор.
Между входным и выходным напряжениями и токами четы-
рехполюсника существуют линейные зависимости, называемые
уравнениями четырехполюсника:
жения и токи нс изменяются. Для симметричного четырехполюс-
ника существует дополнительная связь между постоянными:
А = Д.
(21.4)
Любой пассивный четырехполюсник, сопротивления которого
постоянны, можно заменить эквивалентным четырехполюсником
с тремя сопротивлениями, соединенными звездой — Т-образная
схема замещения (рис. 21.16) или треугольником — П-образная
схема замещения (рис. 21.1 в).
Уравнения четырехполюсника (21.1) и (21.3) справедливы для
Т- и П-образных схем замещения. Постоянные четырехполюсни-
ка по-разному зависят от своих сопротивлений в этих схемах за-
(/, = А1/2 + ВА,
I} = CU2 + JU2.
(21.1)
мещения.
Постоянные четырехполюсника А, В, С и Д (в любом случае)
зависят от схемы внутренних соединений четырехполюсника, от
величины сопротивлений схемы и от частоты (для переменного
тока) и могут быть определены расчетным или опытным путем.
Постоянные четырехполюсника экспериментально можно
Величины А, В, С и Д в уравнениях четырехполюсника называ-
ются постоянными четырехполюсника.
Постоянные четырехполюсника А и Д — отвлеченные числа,
В имеет размерность сопротивления, а С — проводимости. Посто-
янные четырехполюсника взаимосвязаны уравнением
АД-ВС = 1. (21.2)
Если поменять местами входные и выходные зажимы четырех-
полюсника (рис. 21.1а), т. е. источник ЭДС присоединить к зажи-
мам (2'—2"), а потребитель к зажимам (Г—Г), то уравнение четы-
рехполюсника изменится:
определить в режимах холостого хода и короткого замыкания.
В режиме холостого хода (выходные зажимы 2'—2" разомкнуты,
Jj = O) четырехполюсник подключают к источнику и измеряют
входное напряжение (/,, и входной ток /|х.
В режиме короткого замыкания (зажимы 2'—2" замкнуты на-
коротко) измеряют входное напряжение UiK и входной ток /и.
Поменяв местами источник и потребитель, при холостом ходе
(зажимы Г-1" разомкнуты) определяют U& и /ь, а при корот-
ком замыкании (зажимы Г—1" замкнуты накоротко) определя-
ют U2k и Л». Воспользовавшись результатами этих измерений,
определяют постоянные четырехполюсника:
Д = С^-; В=Д^-.
> 2к Лк
(21.5)
^«Д^+ВЛ,
h = CU2 + M2.
(21.3)
Как видно, при перемене входных и выходных зажимов четы-
рехполюсника в уравнениях четырехполюсника меняются места-
ми коэффициенты А и Д (ср. (21.1) и (21.3)). Уравнение (21.2)
остается справедливым и дтя этого случая.
Четырехполюсник называется симметричным, если при пере-
мене мест источника и потребителя входные и выходные напря-
По вычисленным постоянным четырехполюсника (21.5) опре-
деляют параметры Т-образной и П-образной схем замещения.
Дтя Т-образной схемы:
Для П-образной схемы:
10-7734
о _А-1. й _Д-1
я.-—. «>-—
(21.6)
290 Глава 21. Темы для выбора применительно к специальности
Ло =В; Я» =-А-; R2 = -Ц. (21.7)
Д-1 А-1
Для определения коэффициентов и параметров четырехполюс-
ника в цепях переменного тока их записывают в символической
форме. Уравнения четырехполюсника в символической форме
для расчета в цепях переменного тока записываются следующим
образом:
t/i =AUi + Bii,
ix =cu2 + a.i2.
(21.8)
Постоянные четырехполюсника А, В, С и Д в символической
форме связаны уравнением
АД-ВС =1.
Для симметричного четырехполюсника
А=Д.
(21.9)
(21.10)
Расчет производится по тем же уравнениям, что и для четырех-
полюсников в цепи постоянного тока.
21.2. Круговые диаграммы
Проектируя линии электропередачи, электрические двигатели
и другие электротехнические установки, строят графики изме-
нения тока, мощностей, коэффициента мощности и других вс
личин от какого-либо переменного параметра, например сопро-
тивления.
Для исследования режимов работы электрических цепей пере-
менного тока при изменении одного из параметров цепи можно
применить круговые диаграммы.
Обоснование метода, порядок построения круговых диаграмм
и определение по ним электрических величин рассматривают
ся на примере неразветвленной цепи с переменным активным
и постоянным реактивным (индуктивным) сопротивлением
(рис. 21.2а).
Для этой цепи справедливо выражение (второй закон Кирх-
гофа)
U^iR + jIXL. (21.11)
Рассмотрим изменение тока в этой цепи при изменении сопро
тивления R от нуля до бесконечности.
21.2. Круговые диаграммы
291
Рис. 21.2
При коротком замыкании (Я = 0)
/ -
~ ".‘v _ •
При холостом ходе (Я=~)
Ах = 0.
(21.12)
Для определения тока при любом сопротивлении R выражение
(21.11) можно разделить на jXL-.
(7 /? + / Яд
JXt JXL JXL •
Тогда (21.13)
Таким образом, геометрическая сумма двух векторов — вектора
R
тока I и отстающего от него на 90° вектора (- jl~~) — постоянна
Xl
и равна току короткого замыкания. Следовательно, ток короткого
замыкания 7» - величина постоянная. Вектор тока короткого за-
мыкания можно изобразить гипотенузой прямоугольного треуго-
льника, катетами которого являются рассмотренные выше сдви-
нутые на угол 90° два вектора.
Для двух значений тока / (/' и Г) при двух значениях сопро-
тивления R (R' и R') построение треугольников показано на
рис. 21.26. Следовательно, вектор тока короткого замыкания
можно рассматривать как диаметр полуокружности, по которой
скользит конец вектора тока / при изменении сопротивления R
(рис. 21.26).
При коротком замыкании рассматриваемая цепь имеет чисто
индуктивный характер (Л = 0). Следовательно, напряжение цепи
U опережает ток /ю на угол 90°. Напряжение цепи является ре-
292 Глава 21. Темы для выбора применительно к специальности
зультатом геометрической суммы двух напряжений, векторы ко-
торых сдвинуты на угол 90’, т. е. U = Uк + j Uxl Таким образом,
напряжение цепи U можно рассматривать как диаметр полу-
окружности, по которой вектор UK скользит при изменении со-
противления Я (рис. 21.2в).
Для построения круговой диаграммы рассматриваемой цепи
необходимо задаться масштабом тока М/ и масштабом напря-
жения Mf. В соответствующих масштабах строят вектор /« и
опережающий его на угол 90* вектор напряжения U. На этих век-
торах проводят полуокружности (рис. 21.3).
Для выяснения зависимости тока и других величин от сопро-
тивления R необходимо выполнить дополнительные построе-
ния. В масштабе сопротивлений Мя по направлению вектора
тока /о откладывают индуктивное сопротивление XL. Сопротив-
ление Л}, можно выразить тем же отрезком ОА, что и ток /», тогда
масштаб сопротивлений МЛ определяют из отношения
= откуда Мя=—^М/.
М, Мя 1а
В этом масштабе на прямой АВ перпендикулярно О А отклады-
вают величину активного сопротивления R (отрезок АВ), тогда
отрезок ОВ выражает полное сопротивление Z рассматриваемой
цепи (рис. 21.3). Очевидно, отрезок ОС в масштабе тока М/И яв-
ляется вектором тока I при соответствующем значении сопротив-
ления R, а отрезок СА — вектор Отрезок OD в масштабе на-
Ад
пряжения Ми является вектором напряжения Uk (совпадает по
фазе с током /), а отрезок DE — вектором напряжения UxL (на
угол 90’ опережает ток /).
21.2. Круговые диаграммы
293
Проекция вектора тока / на вектор напряжения U (отрезок ОК)
является активным током /., а проекция тока / на вектор тока ко-
роткого замыкания Un (отрезок OL) — реактивным током /р, т. е.
k=OK M,; IP=OLM,. _________
Очевидно, тот же отрезок ОК, но в масштабе мощности Мг
является активной мощностью цепи Р, а отрезок OL — реак-
тивной мощностью цепи Q, у.е. P=i„U=OKMlU=7)KMl>, а
Q = IPU= ОА M,U= ОА М,.
Отсюда следует, что масштаб мощности МР= M,U.
Тогда отрезок ОС в масштабе мощности Мл - полная, или
кажущаяся, мощность цепи 5. Следовательно, на круговой диа-
грамме (рис. 21.3) видны изменения токов, напряжений, мощно-
стей, сопротивлений и угла сдвига фаз ф между током и напряже-
нием в зависимости от изменяющейся величины активного со-
противления R.
В таком же порядке строится круговая диаграмма для неразветв-
ленной цепи с переменным активным и постоянным емкостным
сопротивлениями. Однако ток в этой цепи опережает напряжение
на угол <р, а при коротком замыкании (Я = 0) - на угол 90° (см.
рис. 21.4).
Пример 21.1
Построить круговую диаграмму неразветвленной цепи с по-
стоянным емкостным и переменным активным сопротивлениями
(рис. 21.4а) и определить по ней значения тока, активного и реак-
тивного напряжений, активной, реактивной и полной мощно-
стей, а также полного сопротивления, угла ф и коэффициента
мощности для переменных активных сопротивлений: Я=0; 5; 10;
15; 20 Ом, если к цепи приложено напряжение (/=200 В, а емко-
стное сопротивление A°c= 10 Ом.
Решение
Определяем ток короткого замыкания цепи (/? = 0)
In =-^- = —=20 А.
Хс Ю
Выбираем масштабы тока М/=2 А/см и напряжения Му=
= 20 В^см. Тогда масштаб сопротивлений можно определить
мл =-у£-М; = • 2 = 1 Ом/см, а масштаб мощности Мл= М/(/=
= 2 • 200 = 400 Вт/см.
В этих масштабах строим круговую диаграмму (рис. 21.46), по
которой определяем все искомые величины для цепи (рис. 21.4а)
при указанных сопротивлениях R и заносим их в таблицу 21.1.
294 Глава 21. Темы для выбора применительно к специальности
Таблица 21.1
R Z / и. Uc Р Q 5 Ф COS<P
Ом Ом А В В Вт вар В А град
0 10 20 0 200 0 4000 4000 90 0
5 11.2 17,8 80 178 1588 3178 3560 63 0,446
10 14,1 14 141 141 2000 2000 2820 45 0,705
15 18 11.2 166 ПО 1920 1280 2320 33 0,83
20 22,3 9 176 90 1640 840 1880 27 0,89
б)
Рис. 21.4
21.3. Электрические цепи с распределенными параметрами
295
Если в неразветвленной цени (рис. 21.5а, б) переменным явля-
ется реактивное сопротивление (индуктивное или емкостное), то
при коротком замыкании (Л=0) /я = —, цепь чисто активная и
Л
напряжение цепи совпадает по фазе с током
Для построения круговой диаграммы цепей (рис. 21.5а, б) учи-
тывают, что диаметрами полуокружностей являются ток и на-
пряжение цепи U.
Построение круговых диаграмм производится аналогично пре-
дыдущим (рис. 21.3 и 21.46). Особенностью построения круговых
диаграмм с переменным реактивным сопротивлением является
то, что векторы и U совпадают по фазе.
Масштабы выбирают и рассчитывают как указано выше.
Построение круговых диаграмм для неразветвленных цепей
с переменными реактивными сопротивлениями XL и Хс показа-
но на рис. 21.5в.
21.3. Электрические цепи с распределенными
параметрами
Электрические цепи, параметры которых (сопротивления, ин-
дуктивности и емкости) распределены по всей длине, называются
цепями с распределенными параметрами.
В неразветвленных цепях с распределенными параметрами токи
в разных сечениях неодинаковы. Это происходит вследствие то-
ков утечки между проводами, токов смещения через межпровод-
296 Глава 21. Темы для выбора применительно к специальности
ные емкости и по ряду других причин. Так как токи утечки про-
порциональны напряжению, а токи смещения пропорциональны
частоте и напряжению, то с ростом напряжения и частоты их вли-
яние становится более заметным. Кроме того, токи утечки и сме-
шения увеличиваются с увеличением протяженности линии.
К цепям с распределенными параметрами относятся линии
электропередачи.
Любая электрическая линия, например двухпроводная линия
электропередачи или электросвязи, характеризуется четырьмя
первичными параметрами, отнесенными к единице ее длины: ак-
тивным сопротивлением проводов /?о, индуктивностью проводов
Lo, активной проводимостью изоляции между проводами & и ем-
костью между проводами Со. Если первичные параметры распре-
делены равномерно по всей длине линии, то линию называют од-
нородной.
Для исследования длинные линии с распределенными парамет-
рами заменяют схемами замещения (рис. 21.6).
б)
Рис. 21.6
На схеме замещения однородной линии с потерями (рис. 21.6а)
рассматривается длинная линия, состоящая из бесконечно боль-
шого числа элементарных ячеек длиной dxc параметрами: актив-
ным сопротивлением Rodx, индуктивностью L^dx, проводимостью
изоляции godx и емкостью G4x, находящихся на разном расстоя-
нии х от начдла линии.
21.3. Электрические цепи с распределенными параметрами 297
В зависимости от целей и требуемой точности выполненного
расчета можно учитывать все четыре параметра или некоторые из
них. Например, при исследовании линии электропередачи напря-
жением 35 кВ и частотой /=50 Гц часто не учитываются токи
смешения и утечки, т.е. принимается gfl = 0 и Со = 0.
При высокой частоте или при коротких импульсах напряжения
токи смешения могут быть значительно ббльшими и ими прене-
бречь нельзя. Но при высокой частоте и малой длине линии мож-
но пренебречь активным сопротивлением & и проводимостью g0.
При этом получается схема замещения однородной линии без по-
терь (рис. 21.66).
Исследуя длинную линию электропередачи как цепь с распре-
деленными параметрами, в которой имеются токи утечки и сме-
шения, передачу энергии следует рассматривать как движение
электромагнитных волн, или волн тока и напряжения.
При включении генератора в начале линии возникают волны
тока и напряжения, которые движутся от генератора (начало ли-
нии) к нагрузке (конец линии). Когда электромагнитная волна
достигает конца линии, ее энергия лишь частично поглощается
нагрузкой. При этом возникают отраженные волны тока и напря-
жения, перемещающиеся от нагрузки к генератору.
Только при специально подобранном сопротивлении нагрузки
вся энергия поглощается нагрузкой и отраженные волны отсутст-
вуют.
Если сопротивление нагрузки в конце линии равно волновому
сопротивлению линии, то такая нагрузка называется согласован-
ной. Если же сопротивление нагрузки в конце линии отличается
от волнового сопротивления, то нагрузка называется несогласо-
ванной. Волновое сопротивление выражается отношением на-
пряжения к току падающих (прямых) или отраженных волн. При
согласованной нагрузке отраженных волн в линии нет, т. е. энер-
гия, которую несет падающая электромагнитная волна, полно-
стью поглощается в нагрузке.
При исследовании различных режимов работы длинных линий
необходимо учитывать коэффициент отражения р и коэффициент
преломления т.
Коэффициент отражения характеризует соотношение между
падающими (прямыми) и отраженными волнами напряжения и
тока:
U отр I огр
Р =—------- =—--
U пад I пал
(21.14)
298 Глава 21. Темы для выбора применительно к специальности
Коэффициент преломления в рассматриваемом пункте линии л:
т = -^-=-4-. (21.15)
U пад I та
То есть коэффициент преломления т равен отношению комп-
лексов напряжения (тока) в рассматриваемой точке л к комплексу
напряжения (тока) падающей волны.
Если на каждую падающую (прямую) волну напряжения и тока
накладывается отраженная волна с амплитудой, равной амплиту-
де падающей волны, то результирующий процесс называют стоя-
чей волной.
Скорость распространения электромагнитных волн в проводах
воздушной линии в первом приближении можно считать равной
скорости распространения электромагнитных волн в вакууме,
т. е. с = 300 000 км/сек.
Расстояние, на которое распространяется электромагнитная
волна, или волна тока и напряжения, в течение периода Т, назы-
вается длиной волны X, т. е. X = с Г= у.
При частоте / = 50 Гц - X = ^00 000 _ ^qqq КМ = 6 Ю6 м.
300 000
При частоте /= 1 МГц= 106 Гц - Х = -----= 0,3 км = 300 м.
10‘
При частоте /= 100 МГц — Х = 3 м.
При известной длине волны легко показать распределение то-
ка или напряжения вдоль линии в любой момент времени и
без вычислений токов утечки и смешения. Например, при частоте
/ = 1 МГц и Х = 300 м в некоторый момент времени ток i в нача-
ле линии (на зажимах генератора) равен нулю. В тот же момент
времени на расстоянии Х/4 = 75 м от начала наблюдается наиболь-
шее значение тока на расстоянии Х/2 = 150 м от начала он ра-
вен нулю; на расстоянии ЗХ/4 = 225 м ток опять максимален; на
расстоянии Х= 300 м ток снова равен нулю и т. д.
В следующий момент времени характер распределения тока бу-
дет таким же, но нулевые и амплитудные значения тока будут на-
блюдаться в других сечениях линии.
Неодинаковость тока наблюдается только в линиях, длина кото-
рых (. соизмерима или больше длины волны X. Такие линии назы-
ваются длинными по отношению к длине волны. Очевидно, одна
и та же линия при одной частоте будет длинной, а при другой, ме-
ньшей частоте (Х = —) может быть недлинной. Например, при
21.3. Электрические цепи с распределенными параметрами
299
Рис. 21.7
-| Нагрузка |
стандартной частоте / = 50 Гц вдоль линии протяженностью
I = 300 м укладывается только одна двадцатитысячная часть дли-
ны волны
1 _ 300 1
X 6 10‘ 20 000'
Следовательно, величина тока, проходящего через каждое сече-
ние линии в любой выбранный момент времени, практически
одна и та же, т. е. линия слишком «коротка», чтобы в ней можно
было заметить неравномерное распределение тока.
При частоте же /= 1 МГц, как показано на рис. 21.7, в той же
линии (£ = 300 м) уложится одна волна тока, и, следовательно, ли-
ния считается длинной.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Система единиц СИ
Наименование величины Принятое обозначе- ние Единица измерения Сокру- шенное обозна- чение Связь с другими единицами
Количество электри- чества (заряд) Q. ч кулон Кл
Время i секунда С 3600 с = 1 ч
Сила F ньютон н
Длина i метр м
Сила тока (ток) Г, i ампер А 1 А=1 Кл/с
Напряженность электрического поля Е вольт на метр В/м
Энергия (работа) И джоуль Дж 1 Дж= 1 Вт с
Электрический потенциал J вольт В
Напряжение V, и вольт В
Электродвижущая сила Е, е вольт В
Электрическое сопротивление R.X.2 ом Ом 1 Ом=1 В/А
Электрическая проводимость g. Ъ.у сименс См 1 См - 1 А/В
Электрическая емкость С фарад Ф 1 Ф - 1 Кл/В
Индуктивность, вза- имная индуктивность L, М генри Гн 1 Гн= 1 Ом-с
Магнитная индукция В тесла Тл 1 Тл=1 B6/mj-I(H Гс
Магнитный поток Ф вебер Вб 1 Вб= 1 В с= 10я Мкс
Напряженность магнитного потока // ампер на метр А/м
Активная мощность Р пап Вт
Реактивная мощность Q вольт-ампер реактивный вар
Полная мощность S вольт-ампер В А
Абсолютная диэлектрическая про- ницаемость Е. фарад на метр Ф/м
Абсолютная магнит- ная проницаемость Ик генри на метр Гн/м
Частота / герц Ги 1 Гц-i с"1
Приложения
301
Приложение 2
Значение
относительной диэлектрической проницаемости ег
и пробивной напряженности Епр
Материал £г Enf. кВ/мм
Бумага парафинированная 4,3 10-25
Вода дистиллированная 80 —
Вомух 1,0 3,0
Гстинакс 5-8 20-40
Масло 2,2 7-12
Мрамор 8-10 1.5-3,5
Миканит 5.2 15-20
Парафин 2.2-2.3 20-30
Резина 3-6 15-20
Слюда 5-7 80-110
Стекло 5,5-8 10-40
Фарфор 5.5-6 1.5-20
Шифер 6-10 0.5—0,8
Эбонит 2.8-3,5 60-80
302
Приложения
Приложение 3
Условные графические обозначения,
применяемые в электрических схемах
Наименование Условный знак
Е
Источник электрической энергии, источник ЭДС
Электрический генератор постоянного тока
£
Химический источник энергии
Электрический двигатель постоянного тока
Электрическая лампа накаливания —
Приемник электрической энергии, резистор —[ 1—
Реостат регулируемый 1
Резистор переменный —1 1—
Конденсатор:
постоянной емкости НН
переменной емкости
Катушка индуктивности:
без магнитопровода <YW
с магнитопроводом
Провод, кабель, шина электрической цепи
Соединение электрическое •
Соединение разъемное 0
Приложения
303
Продолжение табл.
Наименование Условный знак
Выключатели: однополюсный двухполюсный
Предохранитель плавкий
Амперметр —
Вольтметр —©“
Диод полупроводниковый -й-
Заземление
Приложение 4
Основные характеристики проводниковых
материалов
Материал Удельное мектрическое сопротивление, р, Ом м^/мм Среднее значение температурного коэффициента сопротивления а (0* 100 'С)
Алюминий 0,026-0,029 0,0040-0,0043
Бронза 0,021-0,052 0,004
Вольфрам 0,053-0,055 0,004-0,005
Железо 0,098 0,006 .
Константан 0,44-0,52 0,00005
Латунь 0,03-0,08 0,002
Манганин 0,42-0,50 0,00003-0,00004
Медь 0,0172-0,0182 0,004
Нихром 1.0-1,2 0.00013
Фехраль 1.0-1,2 0,0005
Хромаль 1.3 0,00004
304
Приложения
Приложение 5
Характеристика намагничивания сталей
В, Тл Марка стали
1211 (ЭН). 1212(312), 1311 (321) 1511 (341), 1512 ( 342)
И, А/м Н. А/м
0.10 — 40
0.20 — 50
0,30 2 60
0,40 140 70
0,45 152 75
0,50 171 85
0,55 191 94
0.60 2И ПО
0,65 236 127
0,70 261 - 145
0.75 287 165
0,80 318 185
0,85 352 210
0.90 397 235
0,95 447 270
1,00 502 300
1,05 570 340
1.10 647 395
1,15 739 460
1,20 84Q 540
1.25 976 640
1.30 1140 770
1.35 1340 970
1,40 1580 1300
1.45 1950 1830
1,50 2500 2750
1.55 3280 3850
1,60 4370 5150
1.65 5830 6950
1.70 7780 8900
Приложения
305
Приложение 6
Кривые намагничивания стали и чугуна*
Литая сталь
• Кривые намагничивания нс всегда совпадают с аналогичными кривыми в дру-
гих печатных изданиях.
306
Приложения
Приложение 7
Комплекс сопротивления для различных цепей
Характер цепи Комплекс сопротивления
-I R Z=R+JXL-Ze*
R Z=R-jXc~Ze-*
ч R |_|р5с Z=R+j(XL-Xc) = Ze^
R Z=R-Re-/°'
Z~JXL = XLe^
4gc Z^-JXc^Xce-^
Приложение 8
Потери активной мощности в стали
Марка стали ЭИ 312 Э13 321 Э31 Э31 Э41 342 341 342 343
Толщина листа, мм 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,35 0,5 0,5 0,35 0,35 0,5
р 1.0/50. Вт/кг 3,3 3,2 2,8 2,5 2,0 1.6 1,6 1,40 1,35 1,2 2,8
Приложения
307
Приложение 9
Таблица показательных функций
(с X - кт/ е~х (е-’) ( х - кт/ Г*(е’Ь
0.1 0,9048 2,0 0.1353
0.2 0.8187 2,1 0-1225
0,3 0.7408 2.2 0.1Ю8
0.4 0.6703 2.3 0.1003
0.5 0.6065 2.4 0,0907
0.6 0,5488 2.5 0.0821
0,7 0.4966 2.6 0,0743
0,8 0.4493 2.7 0.0672
0.9 0.4066 2,8 0,0608
1.0 0.3679 2.9 0.0550
1.1 0.3329 3 0-0498
1.2 0,3012 4 0,0183
1.3 0.2725 5 0.0067
1.4 0.2466 6 0.0025
1.5 0.2231 7 0.0009
1.6 0.2019 8 0.0003
1,7 0,1827 9 0,000123
1,8 0,1653 10 0,000045
L2 QJ496
308
Приложения
Приложение 10
Таблица тригонометрических функций
Угш, град sin ч СЧ COS Угол, град
1 0,0175 0,0175 57,2900 0.9998 89
2 0,0349 0,0349 28.6363 0,9994 88
3 0,0523 0,0524 19.0811 0,9986 87
4 0,0698 0,0699 14,3007 0,9976 86
5 0,0872 0,0875 11,4301 0,9962 85
6 0,1045 0,1051 9.5144 0,9945 84
7 0,1219 0,1228 8,1443 0,9925 83
8 0,1392 0,1405 7.1154 0,9903 82
9 0.1564 0,1584 6.3138 0,9877 81
10 0,1736 0,1763 5,6713 0,9848 80
II 0.1908 0,1944 5,1446 0.9816 79
12 0.2079 0,2126 4,7046 0,9781 78
В 0.2250 0,2309 4.3315 0.9744 77
14 0.2419 0,2493 4,0108 0,9703 76
15 0,2588 0,2679 3,7321 0,9659 75
16 0,2756 0,2867 3,4874 0.9613 74
17 0.2924 0,3057 3.2709 0,9563 73
18 0,3090 0,3249 3,0777 0,9511 72
19 0,3256 0.3443 2,9042 0,9455 71
20 0,3420 0.3640 2,7475 0,9397 70
21 0,3584 0.3839 2,6051 0,9336 69
22 0,3746 0,4040 2,4751 0,9272 68
23 0,3907 0,4245 2,3559 0,9205 67
24 0,4067 0,4452 2.2460 0,9135 66
25 0,4226 0,4663 2,1445 0,9063 65
26 0,4384 0,4877 2,0503 0,8988 64
27 0,4540 0,5095 1.9626 0,8910 63
28 0,4695 0,5317 1.8807 0.8829 62
29 0,4848 0,5543 1.8040 0,8746 61
30 0.5000 0,5774 1,7321 0.8660 60
31 0,5150 0,6009 1.6643 0.8572 59
32 0.5299 0,6249 1,6003 0,8480 58
33 0.5446 0,6494 1,5399 0.8387 57
34 0,5592 0,6745 1.4826 0,8290 56
35 0,5736 0,7002 1.4281 0,8192 55
36 0,5878 0,7265 1.3764 0,8090 54
37 0.6018 0,7536 1,3270 0,7986 53
38 0,6157 0.7813 1,2799 0,7880 52
39 0,6293 0,8098 1,2349 0,7771 51
40 0,6428 0,8391 1,1918 0,7660 50
41 0,6561 0.8693 1.1504 0,7547 49
42 0,6691 0,9004 1,1106 0,7431 48
43 0,6820 0.9325 1,0724 0,7314 47
44 0,6947 0,9657 1,0355 0,7193 46
45 0,7071 1.0000 1,0000 0,7071 45
Угол, град COS !£ sin Утл, град
Приложения
309
Приложение 11
Таблица значений номинальных токов
для различных сечений медных проводов с резиновой изоляцией,
проложенных открыто
Поперечное сечение, мм2 Наибольший ДОПУСТИМЫЙ ток. А Поперечное сечение, мм2 Наибольший допустимый ток. А
0.50 10 35 150
0.75 13 50 190
1.0 15 70 240
1.5 20 95 290
2.5 27 120 340
4,0 36 150 390
6.0 46 185 450
10 68 240 535
16 90 300 615
25 125 400 735
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. М.: Высшая
школа, 1978.
2. Попов В. С. Теоретическая электротехника. М.: Энергоатомиздат,
1990.
3. Евдокимов Ф. Е. Теоретические основы электротехники. М.: Высшая
школа, 1999.
4. Константинов В. И., Симонов А. Ф., Федоров-Королев А. А. Сборник
задач по теоретической электротехнике. М.: Энергия, 1975.
5. Зайчик М. К). Сборник задач и упражнений по теоретической элект-
ротехнике. М.: Энергоатомиздат, 1988.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие......................................... 3
Введение........................................... 4
Глава 1. Электрическое поле................................. 5
1.1. Электрический заряд........................... 5
1.2. Напряженность электрического поля ............. 6
1.3. Напряженность поля точечных зарядов............ 8
1.4. Теорема Гаусса.............................. 10
1.5. Потенциал и напряжение в электрическом поле . . . 12
1.6. Электропроводность. Проводники................ 15
1.7. Электропроводность. Диэлектрики............... 16
1.8. Электропроводность. Полупроводники............ 18
Глава 2. Электрические цепи постоянного тока............... 21
2.1. Электрическая цепь............................ 21
2.2. Ток в электрической цепи...................... 22
2.3. ЭДС и напряжение в электрической цепи......... 23
2.4. Закон Ома для участка цепи.................... 24
2.5. Электрическое сопротивление.................. 25
2.6. Закон Ома для замкнутой цепи.................. 28
2.7. Энергия и мощность электрического тока........ 29
2.8. Закон Джоуля - Ленца.......................... 30
2.9. Режим работы электрической цепи............... 31
Глава 3. Расчет линейных электрических цепей постоянного тока . 36
3.1. Режим работы источников ...................... 36
3.2. Потенциальная диаграмма....................... 39
3.3. Законы Кирхгофа............................... 41
3.4. Последовательное соединение потребителей .... 43
Потенциометр ................................ 44
Потеря напряжения в проводах................. 44
3.5. Параллельное соединение потребителей.......... 46
312
Содержание
Глава 4. Методы расчета электрических цепей................. 48
4.1. Метод свертывания............................. 48
4.2. Метод преобразования схем...................... 53
4.3. Метод наложения................................ 57
4.4. Метод узлового напряжения...................... 60
Параллельное соединение генераторов............ 63
4.5. Метод узловых и контурных уравнений............ 64
4.6. Метод контурных токов.......................... 66
4.7. Метод эквивалентного генератора................ 68
Глава 5. Нелинейные электрические цепи постоянного тока .... 73
5.1. Основные понятия............................... 73
5.2. Неразветвлснная нелинейная цепь................ 74
5.3. Разветвленная нелинейная цепь.................. 77
5.4. Нелинейная цепь со смешанным соединением
элементов............................................ 78
5.5. Стабилизаторы тока и напряжения................ 79
Глава 6. Электростатические цепи и их расчет................ 82
6.1. Электрическая емкость.......................... 82
6.2. Конденсаторы................................... 83
6.3. Соединение конденсаторов....................... 84
Параллельное соединение конденсаторов ..... 84
Последовательное соединение конденсаторов ... 85
Смешанное соединение конденсаторов............. 87
6.4. Емкость и энергия конденсаторов................ 89
Глава 7. Магнитное поле и его параметры..................... 95
7.1. Магнитное поле................................ 95
7.2. Магнитная индукция............................ 97
7.3. Магнитная проницаемость........................ 99
7.4. Магнитный поток............................... 100
7.5. Напряженность магнитного поля . .............. 101
7.6. Закон полного тока............................ 102
7.7. Магнитное поле прямолинейного проводника
стоком............................................. 104
7.8. Магнитное поле кольцевой и цилиндрической
катушек............................................. 107
7.9. Электромагнитная сила......................... 109
7.10. Взаимодействие проводников стоками........... Ill
Содержание
313
Глава 8. Магнитные цепи и их расчет.......................... 115
8.1. Магнитная цепь................................... 115
8.2. Закон Ома для магнитной цепи..................... 116
8.3. Намагничивание ферромагнитных материалов ... 118
8.4. Циклическое перемагничивание..................... 120
8.5. Ферромагнитные материалы......................... 122
8.6. Расчет неразветвленных магнитных цепей........... 124
Расчет однородной неразветвленной магнитной
цепи............................................. 124
Расчет неоднородной магнитной цепи. ...... 126
8.7. Расчет разветвленных магнитных цепей............. 132
Глава 9. Электромагнитная индукция............................ 136
9.1. Явление и ЭДС электромагнитной индукции .... 136
9.2. Преобразование энергии. Правило Ленца............ 138
Преобразование механической энергии
в электрическую ................................ 138
Преобразование электрической энергии
в механическую................................... 139
9.3. ЭДС электромагнитной индукции в контуре
и катушке........................................ 140
9.4. Явление и ЭДС самоиндукции....................... 142
9.5. Явление и ЭДС взаимоиндукции..................... 144
9.6. Вихревые токи.................................... 148
Глава 10. Однофазные электрические цепи переменного тока . ... 150
10.1. Основные понятия............................. 150
10.2. Величины характеризующие синусоидальную ЭДС . 152
Фаза и сдвиг фаз............................... 154
10.3. Среднее и действующее значение переменного тока 155
Среднее значение переменного тока.......... 155
Действующее значение переменного тока...... 157
Коэффициенты формы и амплитуды............. 158
10.4. Векторные диаграммы...................... 159
10.5. Сложение синусоидальных величин.......... 160
Глава 11. Электрические цепи синусоидального тока. Элементы
и параметры цепей синусоидального тока................... 164
11.1. Цепь с активным сопротивлением................. 164
Активная мощность................................ 165
11.2. Поверхностный эффект и эффект близости.... 166
314
Содержание
11.3. Цепь с идеальной индуктивностью............. 168
Реактивная мощность в цепи с индуктивностью . . 170
11.4. Цепь с емкостью............................. 171
Реактивная мощность в цепи с конденсатором. . . 173
Глава 12. Расчет неразветвленных электрических цепей
синусоидального тока....................................... 175
12.1. Цепь с активным сопротивлением и индуктивностью 175
Треугольники напряжений, сопротивлений
и мощностей................................. 177
12.2. Цепь с активным сопротивлением и емкостью ... 178
12.3. Неразветвленная цепь с R, L и С............. 180
12.4. Колебательный контур........................ 182
12.5. Резонанс напряжений ........................ 183
12.6. Общий случай неразветвленной цепи........... 186
Глава 13. Разветвленная цепь синусоидального тока.......... 191
13.1. Активный и реактивный токи.................. 191
13.2. Проводимости . ............................. 192
13.3. Параллельное соединение катушки
и конденсатора. ............................... 193
13.4. Резонанс токов.............................. 194
13.5. Коэффициент мощности........................ 198
Глава 14. Символический метод расчета электрических цепей
переменного тока........................................... 201
14.1. Действия над комплексными числами........... 201
14.2. Ток, напряжение и сопротивление в комплексном
виде........................................... 204
14.3. Мощность в комплексном виде................. 205
Глава 15. Электрические цепи с взаимной индуктивностью.... 210
15.1. Переменная магнитная связь.................. 210
15.2. Воздушный трансформатор..................... 213
Глава 16. Трехфазные цепи.................................. 215
16.1. Трехфазная система ЭДС...................... 215
16.2. Соединение обмоток генератора звездой....... 217
16.3. Соединение обмоток генератора треугольником . . 219
16.4. Соединение потребителей звездой............. 221
16.5. Соединение потребителей треугольником...... 224
Содержание 315
16.6. Мощность трехфазного тока................. 225
16.7. Топографическая диаграмма................. 227
Глава 17. Вращающееся магнитное поле..................... 238
17.1. Вращающееся магнитное поле трехфазного тока . . 238
17.2. Вращающееся магнитное поле двухфазного тока . . 240
17.3. Пульсирующее магнитное поле............... 241
Глава 18. Несниусоидальный ток........................... 242
18.1. Основные понятия.......................... 242
18.2. Гармоники................................. 243
18.3. Свойства периодических кривых............. 245
18.4. Несинусоидальный ток в линейных электрических
цепях........................................... 248
18.5. Действующее значение несинусоидальных
величин ........................................ 252
18.6. Мощность косинусоидального тока........... 254
18.7. Электрические фильтры..................... 259
Глава 19. Нелинейные электрические цепи нссииусоидального
тока.................................................. . 262
19.1. Нелинейные элементы....................... 262
19.2. Выпрямители - источники несинусоидального
тока.......................................... 263
19.3. Катушка с ферромагнитным сердечником...... 266
19.4. Мощность потерь. Векторная диаграмма катушки
со стальным сердечником......................... 268
19.5. Схема замещения........................... 270
19.6. Феррорезонанс....................... . . . . 273
Глава 20. Переходные процессы в электрических цепях...... 276
20.1. Основные понятия........................ 276
20.2. Включение катушки индуктивности (RL)
на постоянное напряжение........................ 277
20.3. Отключение и замыкание RL-цепи............ 279
20.4. Зарядка . разрядка и саморазрядка конденсатора . . 281
Глава 21. Темы для выбора, применительно к специальности .... 287
21.1. Четырехполюсники в цепях постоянного
и переменного тока.............................. 287
21.2. Круговые диаграммы........................ 290
316
Содержание
21.3. Электрические цепи с распределенными
параметрами............................
Приложения...........................
Список литературы....................
Лоторейчук Евсей Александрович
Теоретические основы электротехники
Учебник
Редактор С. И. Зубкова
Корректор В. Г. Овсянникова
Компьютерная верстка Н. В. Ивановой
Оформление серии В А. Лотовой
Слано в набор 26.03.2002. Подписано к печати 10.06.2003. Формат 60x90/16
Печать офсетная. Гарнитура «Таймс». Бумага типографская
Усл. печ. л. 20. Уч.-игл. л. 19,7. Доп. тираж 4000 экз. Заказ № 7734.
ЛР № 071629 от 20.04 98
Издательский Дом «ФОРУМ»
101831, Москва — Центр, Колпачный пер, д. 9а
Тел./факс: (095) 925-32-07, 925-39-27
E-mail, fonim-books@mail.ni
ЛР№ 070824 от 21.01.93
Издательский Дом «ИНФРА-М»
127214. Москва, Дмитровское ш., 107
Тел : (095) 380-05-40
Факс (095) 363-42-60
E-mail: books@infra-m.nl
Http://www.infra-m.ni
Отпечатано в полном соответствии с качеством
предоставленных диапозитивов в ОАО «Тульская типография».
300600, г. Тула, пр Ленина. 109.