Г. Т. МАРКОВ, Б. М. ПЕТРОВ, Г. П. ГРУДИНСКАЯ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
И
РАСПРОСТРАНЕНИЕ
РАДИОВОЛН
Допущено Министерством высшего и среднего спе-
циального образования СССР в качестве учебного
пособия для студентов радиотехнических специаль-
ностей вузов
МОСКВА «СОВЕТСКОЕ РАДИО» 1979
ББ£ 32.841
М 25
УДК 621.371.537.86
Марков Г. Т., Петров Б. М., Грудинская Г. П. Электро-
динамика и распространение радиоволн. Учебн. пособие для
вузов. — М.: Сов. радио, 1969. 376 с., ил.
В пер. 1 р. 20 к.
Книга состоит из двух частей. В части I рассматривают-
ся основные уравнения электродинамики. Изучаются вопросы*
возбуждения радиоволн различными источниками в свобод-
ном пространстве, в средах при наличии тел, а также в вол-
новодах, резонаторах и других направляющих системах. Ре-
шение задач возбуждения и Дифракции радиоволн проводит-
ся с единых методических позиций, что позволяет сосредото-
чить внимание на физических процессах. Рассматриваются
строгие и асимптотические методы решения граничных задач
электродинамики, показаны возможности применения ЭВМ.
для их решения. В части II излагаются вопросы распростра-
нения радиоволн различных диапазонов в естественных сре-
дах, таких, как поверхностные слои Земли, тропосфера, ионо-
сфера, космическое пространство, а также методы исследова-
ния этих сред. Большинство глав книги содержит контроль-
ные задачи.
Предназначается для студентов радиотехнических и ра-
диофизических специальностей вузов и будет полезной для
инженеров и научных работников тех же специальностей.
Рис. 157, табл. 2, библ. 30 назв.
Рецензенты: кафедра Московского авиационного ин-
ститута (зав. кафедрой д-р техн, наук проф. Д. И. Воскресен-
ский); д-р техн, наук проф, В И. Поповкин (Рязанский ра-
диотехнический институт).
Редакция литературы по вопросам космической
радиоэлектроники
„ 30401-063
м-------------
046(01)-79
1704040000
© Издательство «Советское радио», 1979
ПРЕДИСЛОВИЕ
Содержание настоящего учебного пособия соответствует программе
курса «Электродинамика и распространение радиоволн», утвержденной
Министерством высшего и среднего специального образования СССР
для специальности «Радиотехника» (0701). Полагается, что студенты
изучили в курсе «Высшая математика» разделы: «Элементы теории
векторных полей», «Ряды Фурье», «Преобразования Фурье», «Методы
математической физики», и в курсе «Физика» разделы: «Электростати-
ка», «Постоянный ток», «Электромагнетизм», «Оптика».
Учебное пособие состоит из двух'частей — «Электродинамика» и
«Распространение радиоволн» и написано на основе лекций, читаемых
в течение многих лет на радиотехнических факультетах Московского
энергетического и Таганрогского радиотехнического институтов, а так-
же на факультете повышения квалификации преподавателей Москов-
ского энергетического института. Электромагнитные явления освеща-
ются в книге с общих позиций — считается, что электромагнитное поле
в различных физических условиях возбуждается первичным (сторон-
ним) или вторичным источником. То, что в каждом случае известен ис-
точник поля, позволяет упростить физическую трактовку электромаг-
нитных явлений и лучше понять переходы от физических моделей
к математическим и наоборот. В части II книги из-за сложности об-
щей постановки электродинамической задачи с учетом естественной
трассы приходится строить упрощенные физические модели. По сущест-
ву в книге все основные электродинамические задачи изучаются с по-
мощью интегральных преобразований Фурье или рядов Фурье. Этот
общий подход позволяет сконцентрировать внимание изучающего курс
на электромагнитных явлениях, а не на разнообразии методов количест-
венного описания этих явлений.
Изучение конкретного электромагнитного явления распадается
в книге на три этапа. Первый этап — постановка задачи. Он имеет важ-
нейшее значение для понимания явления. При постановке задачи опре-
деляются исходные данные, граничные условия для электромагнитного
поля, распределение возбуждающего тока (заряда), форма устройства
и параметры материала, из которого оно выполнено, и т. д. Устанавли-
вается расположение точки наблюдения поля и уясняется возможность
измерения возбуждающего (заданного) тока. Уясняется, что необходи-
мо найти в результате решения задачи. Все это необходимо для того,
•чтобы осмысленно перейти от физической модели к математической.
Второй этап — математическое решение задачи. Для анализа математи-
ческой модели применяется некоторый математический аппарат, кото-
рый приводит к математическим результатам (формулам). Это слож-
ный этап, требующий математических знаний, навыков и опыта реше-
ния математических задач. Третий этап, тесно связанный с постановкой
задачи, — анализ математических формул применительно к заданной
физической модели. Из этих формул должна быть извлечена информа-
ция об электромагнитном явлении. В книге формулируется ряд теорем
и условий.в математической форме: теорема Умова — Пойнтинга, тео-
рема эквивалентности, граничные условия на поверхности р е а
сред, условия излучения на бесконечности и др. На основании этих тео-
рем и условий выбираются физические модели задач и строятся их
математические модели.
По материалам каждой главы сформулированы задачи, которые
могут быть использованы на практических занятиях, предусмотренных
программой курса. Материал, набранный петитом, не является вспомо^
гательным. Но при первом чтении книги, его можно опустить.
При доработке рукописи учтены замечания рецензентов Лауреата
Государственной премии СССР докт. техн, наук проф. В. И. Поповкина
(Рязанский радиотехнический институт) и докт. техн, наук проф.
Д. И. Воскресенского (Московский авиационный институт).
Часть I
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Глава 1
СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
1.1. Векторы электромагнитного поля
1.1.1. Теория электромагнетизма, изучаемая в курсе «Электроди-
намика и распространение радиоволн», основана на представлении
о непрерывном распределении электрических зарядов. Среду считаем
сплошной, покоящейся и вводим в нее покоящуюся ортогональную си-
стему координат, в которой имеется покоящаяся точка наблюдения р.
Система координат может быть, в частности, декартовой, и тогда р—
=р(х, у, z). Имеется в виду, что изучающий теорию знаком из курса
физики с опытными данными, приводящими к понятию электрического
заряда qa. Заряд может изменяться во времени t, тогда qa=q*(t).
В природе существуют два рода электрических зарядов: положитель-
ные и отрицательные. Одноименные заряды отталкиваются, а разно-
именные притягиваются.
Электрические заряды существуют в виде заряженных частиц. Эле-
ментарной заряженной частицей является электрон, заряд которого е—
=1,6-10-19 Кл. В состав атома каждого элемента входит определенное
количество электронов. Атом в целом не заряжен, так как в нем имеет-
ся положительный заряд, равный по величине сумме зарядов всех элек-
тронов атома. Если атом теряет один или несколько электронов, то он
становится положительно заряженным ионом. Если атом захватывает
дополнительный электрон, то он становится отрицательным ионом.
В электродинамике часто применяется понятие точечных зарядов.
Под точечными зарядами понимаются заряженные тела, размеры кото-
рых малы по сравнению с расстояниями между телами. Заряженное
тело может иметь такие размеры, что заряд, сосредоточенный в теле,
нельзя рассматривать как точечный. При этом необходимо использо-
вать понятие цбъемной плотности электрических зарядов в данной точке.
Выделим внутри заряженного тела малый объем AV и обозначим
через kqa величину электрического заряда в этом объеме. Тогда объем-
ной плотностью электрических зарядов в данной точке р называют ве-
личину	'
р9(р, £) = lim (Д^/ДУ) [Кл/м3].	(1.1)
ДУ-»0
Заряды могут быть распределены так, что заряженной оказывается
только поверхность тела. Тогда используется понятие поверхностной
плотности заряда
гя (р, t)= lim (Д^/ДЗ) [Кл/м8],
Д£-»0
где А#3 — заряд, сосредоточенный на элементе поверхности AS тела.
5
Заряды могут быть распределены так, что заряженным оказывает-
ся только некоторый контур (нить). При этом используется понятие
линейной плотности заряда
т]э(А	[Кл/м],
Д/->0
* где Д<7Э— заряд, сосредоточенный на линейном элементе длиной А/.
Надо иметь в виду, что в предыдущих выражениях значения эле-
ментов ДУ, AS и А/ являются бесконечно малыми не в строго матема-
тическом, а в физическом смысле. При этом в элементах или на эле-
ментах сосредоточено большое количество заряженных частиц.
1.1.2.	Упорядоченный перенос электрического заряда называется
электрическим током. Линии, вдоль которых движутся заряженные ча-
стицы, называются линиями тока. За положительное направление тока
принимается направление движения положительно заряженных частиц.
Выделим внутри тела, пр которому течет ток, трубку, боковая по-
верхность которой состоит из линий тока. Заряженные частицы при
движении не пересекают боковой поверхности трубки. Такая трубка
называется трубкой тока', поверхность металлического провода, нахо-
дящегося в вакууме, является примером такой трубки.
Электрический ток определяете^ вектором объемной плотности то-
ка и силой тока (током). Вектор объемной плотности тока равен заря-
ду, проходящему в единицу времени через единицу поверхности, пер-
пендикулярной линиям тока. Для того чтобы определить эту величину,
выделим в теле .площадку единичной площади, расположенную перпен-
дикулярно линиям тока, т. е. перпендикулярно вектору скорости v за-
ряженных частиц. Если в-единице объема содержится заряженных
частиц (размерность равна 1/м3), то рэ=еУГэ и переносимый через
единичную площадку заряд равен p3v. Поэтому вектор объемной плот-
ности тока
/(А	[А/м2].
По аналогии с ^вектором объемной плотности тока вводится поня-
тие вектора поверхностной плотности электрического тока
Js (р, t) = i=3V [А/м]
и вектора линейной плотности (линейного) электрического тока
/Э(А 0 = А [А].
Ток равен заряду, проходящему в единицу времени через поверх-
ность полного сечения тела. Если за время dt через поверхность сече-
ния тела прошел заряд dq9, то
jpy^dqzldt [А].
Так как dt и dq9 — скалярные величины, то i3— также скалярная вели-
чина.
1.1.3.	В теле, в котором протекает ток, выделим некоторый объем Vs
ограниченный замкнутой поверхностью S; точка наблюдения р находится
внутри объема V. Через элемент поверхности ndS, где п — внешняя
нормаль, в единицу времени в соответствии с определением вектора js
уходит заряд/’ndS, а через всю поверхность S—заряд J9ndS.
s
6
если aq<qai — изменение за единицу времени заряда, заключенно-
го в объеме, то
—difldt = ^j’ndS.	(1.2)
s
Поскольку
7Э J Рэ (z?, t)dV,	(1.3)
V
а по теореме Остроградского — Гаусса
§j3ndS == f di v J3dV,	(1.4)
s	v
то, учитывая, что равенство (1.2) справедливо для любого объема V,
получаем
divj9 = — d?3/dt.	, (1.5)
Равенство (1.5), называемое уравнением непрерывности, выража-
ет закон сохранения электрического заряда. В уравнении (1.5) исполь-
зованы символы частных производных, поскольку рэ является функцией
как координат, так и* времени.
При постоянном токе все электрические величины не зависят от вре-
мени, поэтому dp3/dt=O. Следовательно,
div/(p)=0.	(1.6)
Поле, характеризуемое не зависящими от времени векторными или
скалярными величинами, называется постоянным или стационарным.
Из выражения (1.6) следует, что при стационарном токе все линии тока
замкнуты, поле является соленоидальным.
1.1.4.	Взаимодействие покоящихся зарядов происходит посредством.
электрического поля. Покоящийся электрический заряд q\, не завися-
щий от времени t, т. е. постоянный заряд, создает электростатическое-
поле, вектор напряженности которого Е(р) во времени не изменяется.
На покоящийся точечный постоянный заряд q3 в электрическом поле
заряда q\ действует сила
F (р) = ч‘Е(р).	(1.7)
Из выражения (1.7) можно определить напряженность электрического
поля, являющуюся основной его характеристикой.
Силу F можно измерить. При известном точечном заряде q3 находим
E = Ffq3 [В/м]. Силу F можно также вычислить, используя устанбвлен-
ный опытным путем закон Кулона.
1.1.5.	Взаимодействие проводников с током происходит посредством
магнитного поля. Результаты опытов Ампера и последующие многочис-
ленные измерения показывают, что если I3d\ — элемент линейного по-
стоянного электрического тока (dl — вектор, имеющий длину d\ и на-
правленный вдоль вектора /э) внести в магнитное поле, то на элемент
будет воздействовать механическая сила, определяемая векторным про-
изведением
dF(p)=/a [dl, В],
где вектор В определен в каждой точке р. Вектор В называется маг-
нитной индукцией, он является основной характеристикой магнитного
7
я Последнее выражение можно рассматривать как определение
ичины В. Единицей измерения магнитной индукции является тесла
1.1.6.	В вакууме электрическое поле полностью определяется векто-
Е а магнитное — вектором В. При внесении в электрическое поле
личных диэлектриков напряженность электрического поля изменяет-
Под влиянием электрического поля заряды в каждой молекуле ве-
тва диэлектрика смещаются в противоположные стороны, поэтому
эдном конце молекулы появляется положительный заряд, а на дру-
_________отрицательный. При этом каждая диолекула превращается в элек-
ческий диполь и приобретает электрический момент. Это явление
ывается поляризацией диэлектрика (электронной поляризацией сме-
[ия). В зависимости от типа диэлектрика возможны дипольная и
ная поляризации.
Количественно поляризацию диэлектрика характеризуют вектором
яризованности Р, рарным. электрическому моменту единицы объема
лектрика. Зная вектор Р, можно определить поляризационные заря-
а затем учесть влияние поляризации на электрическое поле. Одна-
более удобным оказывается учитывать влияние диэлектрика с по-
дью вектора электрической индукции^ D определяемого равенст-
[
D = s0E + P,	(1.8)
80=(36п)-1 • 10~9 Ф/м — электрическая постоянная.
3 вакууме Р = 0, поэтому
D — s0E.	(1.9)
Магнитные поля одного и того же проводника с одинаковым током,
ещенного в вакуум и в другую среду, различны. Это происходит из-
гого, что среда в поле намагничивается, т. е. сама становится источ-
ом магнитного поля. Среды, способные намагничиваться, называют-
лагнетиками.
Магнитное состояние вещества можно охарактеризовать, задавая
нитный момент М каждой единицы его объема, называемый §екто-
намагниченности. Зная вектор М, можно учесть влияние среды на
нитное поле. Однако бол^е удобным при анализе оказывается ис-
ьзование вектора напряженности магнитного поля Н, определяемо-
13 равенства
В=р0Н+М,	(1.10)
цо=4л • 10-7 Г/м — магнитна'Ь постоянная.
В вакууме 2И=0, поэтому
В = [юН.	(1.11)
Способы измерения величин D и Н рассмотрим в § 2.11.
[1.1.7. Электрическое и магнитное поля могут находиться во взаимо-
5ствии. Всякое изменение электрического поля всегда сопровожда-
я появлением магнитного поля, и, наоборот, всякое изменение маг-
ного поля приводит к появлению электрического поля. Эта взаимо-
зь электрического и магнитного полей была открыта Максвеллом,
рмулировавшим основные уравнения, описывающие электро магнит-
поле.
Рис. 1.1. Силовые линии электрического поля то- Рис. 1.2. ^иловые линии магнит-
чечного постоянного положительного заряда в ва-	ной индукции
кууме
Электромагнитное поле как материальный объект может быть оха-
рактеризовано совокупностью четырех векторов Е(р, t) и В(р,
D(p, t) и Н(р, t), являющихся непрерывными функциями положения
обыкновенной точки р и времени t. Обыкновенной точкой считают та-
кую точку, в окрестности которой физические свойства среды непре-
рывны. При переходе точки наблюдения р через поверхность, ограни-
чивающую материальное тело, векторы поля и их производные могут
иметь разрывы. При этом точки р относятся к особым точкам. Харак-
тер разрывов устанавливается при изучении граничных условий. Пока
граничные условия не изучены, .особые точки из рассмотрения нами
исключаются.
1.1.8.	Для описания электрического и магнитного полей следует1 за-
дать векторы £, D и Bt Н в каждой точке поля. Это можно сделать
аналитически с помощью формул и графически, используя силовые ли-
нии. Силовая линия вектора напряженности электрического поля — это
линия, направление касательной к которой в любой точке совпадает
с направлением вектора напряженности поля в фиксированный момент
времени tf=t0 (рис. 1.1). Силовая линия вектора магнитной индукции —
это линия, направление касательной к которой в любой точке совпадает
с направлением вектора магнитной индукции в фиксированный момент
времени t=tQ (рис. 1.2). Чтобы при помощи силовых линий изобразить
не только направление, но и значения векторов Е(р, /0) и В(р, /0), на
графиках условно проводят силовые линии с определенной густотой так,
чтобы число силовых линий, проходящих через единицу поверхности,
перпендикулярной силовым линиям, было пропорционально величине
Е(р, t0) или В(р, to) в данной точке р. Силовые линии поля наглядно
показывают изменение поля в пространстве.
1.2.	Основные уравнения электродинамики
1.2.1.	М. Фарадей в результате многочисленных опытов открыл
один из основных экспериментальных законов электродинамики — за-
кон электромагнитной индукции: при изменении магнитного потока,
проходящего через замкнутый проводник, в последнем возникает элек-
тродвижущая сила (э. д. с.), пропорциональная скорости изменения
потока. Возникновение э. д. с. индукции, как установил Максвелл, вы-
звано появлением электрического поля, которое существует и в отсут-
ствие проводника. Закон Фарадея определяет величину индуцирован-
ной в контуре э. д. с. независимо от сопротивления этого контура, хотя
9
1.3.	Изменение магнитного поля во времени	Рис. 1.4. Контур L, направление
водит к появлению электрического поля (t=	его обхода и положительная нор-
=/j=const)	маль к поверхности
который протекает по контуру, зависит от его сопротивления. Ин-
-рал от вектора напряженности электрического поля по замкнутому
атуру не равен нулю и зависит от формы контура. Значит, силовые
нии электрического поля могут быть замкнутыми, т. е. электрическое
ле может быть вихревым (рис. 1.3). Таким образом, всякое измене-
е магнитного поля вызывает появление вихревого электрического по-
. Это первое основное положение теории Максвелла.
Сформулируем количественно закон электромагнитнрй индукции,
д .с. вдоль произвольной замкнутой кривой в пространстве, равная
тегралу от напряженности ’электрического поля, взятому с обратным
аком: —г ф Ed\, должна определяться скоростью изменения магнит-
L
го потока, охватываемого этим контуром, т. е. величиной J BdS.
1едовательно, можно записать обобщенный закон электромагнитной
дукции только посредством величин, характеризующих электромаг-
атное поле:
-d)Edl=^-^BdS.	(1.12)
L	S
Направление обхода контура L и направление положительной нор-
1ли п к поверхности S(dS=ndS), опирающейся на этот контур, взаи-
эевязаны (рис. 1.4). Положительное направление обхода контура вы-
дается произвольно. Тогда магнитный поток получается положитель-
ны или отрицательным в зависимости от направления линий вектора
по отношению к единичной нормали п. Скорость изменения потока
свою очередь положительна или отрицательна в зависимости от того,
$еличивается или уменьшается положительный поток.
Применим к левой части выражения (1.12) теорему Стокса, соглас-
) которой циркуляция вектора Е по замкнутому контуру равна по-
фхностному1 интегралу от составляющей ротора вектора Е по направ-
гнию нормали к поверхности, опирающейся на контур (рис. 1.4):
§Ed\= f rotEdS.	(1.13)
L	S
Отсюда
rot EdS = ~~r^BdS.
, s
Для того чтобы это соотношение было справедливо в случае любой по-
верхности, подынтегральные выражения должны быть равны друг дру-
гу. Поэтому
rot£(p, t)=—dB(p, t)/dt,	(1.14)
Знак частной производной по времени применен потому, что функция
В зависит не только от времени, но и от координат.
Выражение (1.14) представляет собой обобщенное выражение за-
кона Фарадея в дифференциальной форме. Стоящая в правой части
(1.14) производная определяет скорость изменения во времени магнит-
ной индукции в точке наблюдения р. В левой части уравнения содер-
жатся только пространственные производные составляющих вектора на-
пряженности электрического поля в точке р. Таким образом, произ-
вольное изменение электрического поля в пространстве и изменение
магнитного поля во времени взаимосвязаны: изменение во времени маг-
нитного поля в точке р приводит к появлению в этой же точке электри-
ческого поля, изменяющегося во времени.
Уравнение (1.14) называется вторым уравнением Максвелла. Урав-
нение (1.12) является его интегральной формой.
1.2.2.	Электрическую индукцию можно вычислить проще, применяя
теорему Гаусса. Пусть в объеме V, ограниченном поверхностью S, на-
ходится электрический заряд </э(/). Тогда поток вектора электрической
индукции через замкнутую -поверхность S равен алгебраической сумме
всех зарядов, расположенных в объеме:
§DdS=q*.	(1.15)
Учитывая выражение (1.3) и применяя формулу (1.4) для вектора D, по-
лучаем
J div DdV — J p9dV.
v	v
Поскольку это равенство справедливо для любого объема V, то,
приравнивая подынтегральные выражения, находим
div (/?, t) — p9(p, t).	(1.16)
Уравнения (1.15) и (1.16) показывают, что источниками электрического'
поля являются электрические заряды. Эти уравнения — следствие экс-
периментально установленного закона Кулона. Уравнение (1.16) спра-
ведливо в точке наблюдения р в любой момент времени. Это есть диф-
ференциальная форма теоремы Гаусса. Его называют третьим уравнен
нием Максвелла.
Из выражения (1.15) следует, что размерность потока вектора элек-
трической индукции такая же, как и размерность электрического заря-
да. Поэтому единицей измерения электрической индукции является ку-
лон на квадратный метр (Кл/м2).
Поскольку магнитные заряды (а следовательно, и магнитные токи)
в природе не существуют, то интегральной и дифференциальной форма-
ми теоремы Гаусса для магнитной индукции являются выражения:
<§>BdS = 0; div Я (р, 0 = 0.	(1.17)
11
Уравнение (1.17) показывает, что магнитное поле имеет вихревой
характер. Силовые линии вектора магнитной индукции всегда за-
мкнуты.	„
1.2.3.	Выделим в теле, в котором протекает постоянный ток с объ-
емной плотностью Др), замкнутый контур L и поверхность S, опира-
ющуюся на контур L (рис. 1.4). Для вычисления вектора напряженно-
сти магнитного поля Н(р) можно применить закон полного тока: в маг-
нитном поле интеграл от напряженности магнитного поля вдоль любого
замкнутого контура равен полному току, проходящему через поверх-
ность, ограниченную этим контуром, т. е.
ф Н (р) Л = J р (р) ndS.	(1.18)
L	S
Положительное направление обхода контура L согласовано с по-
ложительным направлением нормали п, как вращение, правого винта
согласовано с его поступательным движением. Из выражения (1.18)
следует, что единицей измерения напряженности магнитного поля явля-
ется ампер на метр (А/м).
Применяя к левой части равенства (1.18) формулу Стокса (1.13),
получаем
frotZf (p)dS=J/(p) dS.
s	s
Поскольку это равенство применимо к любой поверхности S, ограни-
ченной контуром L, то должны быть равны подынтегральные выра-
жения:
гоШ (р)=Р(р).	(1.19)
Это дифференциальная форма закона полного тока.
Применим к обеим частям уравнения (1.19) операцию дивергенции.
Дивергенция ротора всегда равна нулю. Поэтому div j3(p)=O, т. е. по-
лучено уравнение (1.6), справедливое для случая стационарного поля.
Контур L является замкнутым, и линии плотности тока не имеют ис-
точников — они замкнуты.
Пусть плотность тока зависит от времени, т. е. р — р(р, t). Если)
применить выражение (1.19) к нестационарному полю, то оно окажется
несправедливым, поскольку не удовлетворяется закон сохранения элек-
трического заряда (1.5). Это положение указывает на то, что взятое
для стационарного случая выражение (1.19) является неполным. Допу-
стим, что выражение (1.19) дополнено некоторым векторным слагае-
мым ф(р, f):
rot И (р, t) =р (р, 0 + ф.
Применив оператор дивергенции к обеим частям равенства, получим
-	<Яуф = — divj9(p, 0.
Используя закон сохранения электрического заряда (1.5) и учитывая
уравнение (1.16), находим
. •	। дрэ д .. п dD
div4 =-£-=—divO = div
12
Перестановка операторов div и d/dt допустима потому, что в обыкно-
венной точке р вектор D и его производные по условию непрерывны.
Следовательно, ф = и поэтому
rot И =j9 (р, 0 -4- dDidt.	(1.20)
Слагаемое dD!dt=j\ в правой части уравнения (1.20) имеет раз-
мерность объемной плотности тока. Так как это слагаемое обусловлено
вектором D, который часто называют вектором электрического смеще-
ния, то его называют объемной плотностью тока смещения. Сумма
Уэ+/Эс называется вектором объемной плотности полного электриче-
ского тока.
Уравнение (1.20) называют первым уравнением Максвелла. Инте-
гральная форма уравнения (1.20) в нестационарном случае определя-
ется соотношением
$ И (р, t)d\=A \j3(p, t) +Л (р, t)] dS.	(L 21)
L	S
Уравнение (1.20) в количественной форме выражает второе поло-
жение Максвелла-, переменное во времени электрическое поле вызыва-
ет такое же магнитное поле, как и ток проводимости с объемной плот-
ностью j3c. Всякое изменение во времени электрического поля приво-
дит к появлению вихревого магнитного поля.
1.2.4.	Полная система уравнений Максвелла состоит из четырех
уравнений	ч
rot/Z (р, t) = dD(p, t)ldt+f (р, t),	(1.22)
rotЕ(р, t) = —dB\р, t)/dt,	(1.23)
divP(p, О = РЭ(А /),	(1.24)
div В (р, t) = 0.	(1.25)
Первые два уравнения обладают симметрией в следующем смысле: со-
гласно первому уравнению изменение во времени электрической индук-
ции порождает вихревое магнитное поле, вектор напряженности кото-
рого изменяется в пространстве, согласно второму уравнению измене-
ние во времени магнитной индукции порождает вихревое электрическое
поле, изменяющееся в пространстве. Из этого следует возможность су-
ществования электромагнитных полей в средах вдали от тел с токами
проводимости. Электрическое и магнитное поля могут существовать,
взаимно порождая друг друга.
По аналогии с первым уравнением Максвелла величину —dB[dt =
в правой части второго уравнения Максвелла можно рассматри-
вать как объемную плотность магнитного тока смещения.
Уравнения Максвелла являются основными (фундаментальными)
уравнениями электродинамики. Не существует опытных данных, проти-
воречащих теоретическим результатам, полученным на основе уравне-
ний Максвелла. Поэтому далее эти уравнения постулируются.
Уравнения Максвелла становятся понятными в процессе теорети-
ческого и экспериментального изучения электромагнитных явлений.
В отличие от электрических процессов в цепях с сосредоточенными па-
раметрами, где соответствующие электрические величины (ток, напряже-
ние) обычно являются одномерными скалярными функциями времени,
величины, характеризующие электромагнитное поле, являются четы-
рехмерными векторными функциями, так как зависят от трех простран-
ственных координат и времени. Естественно, что представлять и пони-
мать картину электромагнитного явления, развертывающегося в про-
странстве и времени, сложнее, чем представлять и понимать электри-
ческое явление в цепи с сосредоточенными параметрами.
1.2.5.	Каждое из векторных уравнений (1.22) и'(1.23) эквивалент-
но трем скалярным линейным уравнениям первого порядка в частных
производных по трем координатным осям относительно 12 составляю-
щих векторов Е, D и В, Н. Например, в декартовых координатах си-
стемы скалярных уравнений имеют вид
дНг	дНу	dDx —— । <э	дЕг		dEy	dBx	
ду	dz	“ dt	xt		dy	dz	dt ’	
дНх	дНг	dDy — y 1 /э	/1 99«h	•dEx	dEz	dBy	(] 93aV
dz	дх	dt	**		dz	dx	dt ’	
дНу	дНх		। -э		dEy	dEx_	dBz	
дх	ду		I J z>		dx	dy	dt	
« В случае когда величины J9 и р9 считаются заданными, система
уравнений Максвелла (1.22) — (1.25) включает восемь скалярных ли-
нейных уравнений, в которых содержится 12 неизвестных скалярных
функций — составляющих векторов Е, D и В, Н. Поэтому сами по себе
уравнения (1.22) — (1.25) недостаточны для определения электромаг-
нитных полей в среде. В этом смысле система уравнений Максвелла
является неполной. Это естественно, поскольку в уравнениях (1.22) —
(1.25) не раскрывается механизм взаимодействия поля и среды, хотя
наличие последней учитывается.
Для того чтобы можно было произвести вычисление составляющих
векторов электромагнитного поля, уравнения (1.22) — (1.25) надо до-
полнить уравнениями, связывающими между собой величины D, J3 в
Е, а также Н и В. Три таких уравнения, называемых уравнениями со-
стояния,
D = D(E), В = В(Н}.	(1.26>
Г=Г(£)	(1.27>
выражают макроскопические свойства данной среды и должны быть
добавлены к уравнениям Максвелла.
1.3.	Материальные уравнения
1.3.1.	Характер функциональных соотношений (1.26), как известно-
из курса физики (раздел «Электричество и магнетизм»), определяется
физическими свойствами среды, окружающей точку наблюдения, и изу-
чается с учетом ее атомной структуры. При этом часто используются
экспериментальные методы. В макроскопической электродинамике
обычно используются только результаты этих исследований.
1.3.2.	В соответствии с выражениями (1.8) и (1.10) векторы поля-
ризованности Р и намагниченности М характеризуют влияние среды на
электромагнитное поле. Если физические свойства среды в окрестности
точки р одинаковы по всем направлениям, то среда изотропна. В каж-
дой точке изотропной среды векторы Е и Р и векторы Н и М. паралг-
14
лельны. В линейных изотропных средах векторы Е и Р и векторы j
jW связаны линейными зависимостями
E=Z?g8()E,	(1ш
где &э и kM — коэффициенты, называемые диэлектрической и магнит^
восприимчивостями среды.
Подставляя в выражения (1.8) и (1.10) соотношения (1.28),
линейных изотропных сред имеем
' D(p, t) = £aE(p, t), В(р, t)=paH (р, t),
(1
£a ==.so 0 F ^э)»	Ha HoO~F^m)»
где 8a и pa — абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемо
среды. На практике часто пользуются безразмерными относительнь
диэлектрической и магнитной проницаемостями
8==8а/8о=14~&э> Р=Ра/Цо==1_|_^м.
В случае однородной среды свойства ее постоянны от точки к i
ке, поэтому 8a и ра постоянны. В более общем случае 8а и ра зави
от положения точки р, т. е. 8a=8a(p), pa=Pa(p); при этом среда на
вается неоднородной.
Среда, в которой свойства в данной точке р различны по раз.7
ным направлениям, называется анизотропной. В анизотропной cf
векторы D и Е, Н и В параллельны только вдоль определенных
деленных осей. Если’ анизотропная среда линейна, то каждую из
ставляющих вектора D можно выразить в виде линейной функ
трех составляющих вектора Е. В декартовой системе координат
^х==811 Ex-)- 81 %Еу -р 813-^z,
^у=821	822^4" 82зДг,
^z= 8з1ЕхЧ~832-£1/“|-8зз£г,
где 8nm — компоненты тензора диэлектрической проницаемости. Ан;
гичное соотношение можно установить между векторами В и Н. Г
мерами анизотропных сред являются сегнетоэлектрики (сегнетова с
титанат бария и др.) и гиромагнитные среды (феррит и плазма в
стоянном магнитном поле).
Для диэлектриков 8>1 магнитная восприимчивость /гм может б
положительной и отрицательной. Вещества, имеющие положитель
восприимчивость, называются парамагнитными, а вещества с отр]
тельной восприимчивостью — диамагнитными. Восприимчивости 1
«еферромагнитных, парамагнитных и диамагнитных материалов о1
малы, поэтому в ряде практически важных случаев можно считать,
|ia=po- В случае ферромагнитных материалов (железо, кобальт и
и в случае сегнетоэлектриков векторы Р и М зависят от векторов
Н сложным образом. Зависимости являются нелинейными, и соот
ствующие материалы относятся к нелинейным средам. В больший
случаев нелинейных сред функции Р=Р(Е) и М—М(Н) могут б
заданы только графически.
1.3.3.	В общем случае электромагнитное поле в среде наводит i
проводимости. В большинстве веществ объемная плотность тока
водимости в точке р определяется только напряженностью электр
СКОГО поля, 1. е. nivicci MCC1U vuuinuuiv.^xv	---------
сред эта зависимость является линейной. При этом справедлив закон
Ома в дифференциальном форме, который в тех точках среды, где от-
сутствуют сторонние источники (см. § 1.4), имеет вид
/(A t) = <f(p)E(p, t),	' (1.30)
где оэ — коэффициент пропорциональности, называемый удельной объ-
емной проводимостью среды, его единицей измерения является
1/Ом-м=См/м (ниже для краткости оэ называется проводимостью).
Если оэ не зависит от положения точки р, то среда называется
однородной в смысле электропроводимости. Если среда анизотропна
в смысле электропроводимости, то для описания ее свойств вводится
тензор удельной объемной проводимости. У всех веществ оэ отлично от
нуля. Но значения аэ у разных веществ весьма существенно отличают-
ся. Например, аэ меди больше оэ фарфору в 1020 раз.
Применимость материальных уравнений в простой форме (1.29), (1.30) огра-
ничена. На высоких частотах в веществах наблюдаются явления запаздывания: век-
торы Р и М в точке р не успевают мгновенно следовать за векторами поля в этой
же точке. Поляризация и намагничивание отстают во времени от поля и становятся
зависящими от истории процесса, т. е. от того, что наблюдалось в точке р в преды-
дущие моменты времени. При этом вместо (1.29), (1.30) необходимо использовать
более общие локальные соотношения:
t
J >a(t-t')E(p,
—00
t
B(p,t}^ J p.o (<-*’)»(/>,	(1.31)
—00
t
—00
где 8a (t—f), ga(^—t') и —t')— функции, которые должны быть определены из
опыта. Параметры среды становятся зависящими от частоты электромагнитных коле-
баний. Поэтому явление, определяемое выражениями (1.31), получило название ча-
стотной (или временной) дисперсии среды.
Между векторами D, В и /э и векторами напряженности поля Е и Н может суще-
ствовать и нелокальная связь, при которой, например, зависимость между D и Е
определяется интегральным соотношением
D (р, t)=^a(p- X) Е (р', t) dV'.
v
Связи подобного типа определяют так называемую пространственную дисперсию.
1.4.	Источники электромагнитного поля
1.4.1.	Электрические ток и заряд являются источниками электро-
магнитного поля, так как они возбуждают (порождают) электромаг-
нитное поле. Понятие источников необходимо уточнить, так как элек-
трический ток не только возбуждает электромагнитное поле, но и сам
под воздействием возбужденного поля возникает в проводящей среде
согласно закону Ома.
16
являющиеся первичными и вторичными источниками поля. Физическое
содержание этих понятий лучше всего пояснить на таком примере.
Пусть в проводящей среде расположен провод с электрическим током,
возбуждаемым генератором высокой частоты (рис. 1.5). Распределение
объемной плотности тока вдоль проводника будем считать известным
из опытных данных. Ток возбуждает в окружающей среде электромаг-
нитное поле.
Так как среда обладает проводимостью оэ, то под действием поля
Е в среде возникает ток проводимости, вектор объемной плотности ко-
торого уэвт (р, £)=огэ£(р, /), точка наблюдения р находится вне прово-
да. Объемная плотность этого тока является вторичной. Объемная
плотность тока в проводнике является первичной, по, отношению ко
вторичному току она является сторонней: Объемную плотность первич-
ного Стороннего тока обозначают через /эст(р, 0- Она отлична от нуля
только тогда, когда точка р принадлежит проводу. Вектор объемной
плотности общего тока проводимости в пространстве записывается
в виде
(1-32)
где сторонний ток полагают заданной функцией координат и времени.
Применяется и другое понятие источника электромагнитного поля.
Пусть проводник с проводимостью сг’Пр, расположенный в ереде с па-
раметрами 8а, Ца 0% возбуждается генератором высокой частоты с по-
мощью двухпроводной линии (фидера) (рис. 1.6,а). В проводнике и
окружающей среде, в том числе в разрыве проводника с объемом AV,
образуется электрическое поле Е. В проводнике вне разрыва течет
электрический ток с объемной плотностью /*.При решении задачи воз-
буждения электромагнитного поля в окружающей среде мысленно мож-
но отбросить фидерную сйстему, которая практически не создает поля
в окружающей среде, и устранить разрыв А в проводнике. При этом
необходимо допустить, что в объеме AV непрерывного проводника при-
Рис. 1.5. Провод с током
в проводящей среде
2—116
17
ложена сторо НЯЯ нипрлмсппиью .элслхрпчсъплл v нуля *->• , иишчпа/ил
нуля при p&AV. В результате приходим к модели, изображенной на
рис. 1.6,6. Если <тэ — проводимость всего пространства, то ст9—оэпр, когда
р принадлежит проводу и объему ДУ, и сг^о^с, когда р находится вне
проводника и объема ДУ. Вектор объемной плотности .электрического
тока проводника в. месте разрыва согласно закону Ома определяется
выражением
J3=a9E-|-o9ECT.	(1.33)
Таким образом, при данной трактовке оказывается, что электро-
магнитное поле в проводнике и окружающей среде возникает под воз-
действием сторонней напряженности электрического поля £'ст, прило-
женной в объеме ДУ. Эта сторонняя напряженность электрического
поля считается заданной функцией координат и времени. При этом рас-
пределение, объемной плотности электрического тока в проводнике сле-
дует определить из решения граничной задачи или получить путем из-
мерений. Однако после определения тока он может уже считаться сто-
ронним (возбуждающим) по отношению к электромагнитному полю
в окружающей среде. Электрический ток проводимости с вектором объ-
емной плотности Уэвт=оэс Е в окружающей среде считается вторичным
(возбуждаемым).
Вектор объемной плотности стороннего электрического тока1
дэст и объемная плотность стороннего электрического заряда рэст
удовлетворяют уравнению непрерывности (1.5)
divj3CT = —6р’ст/6/.	(1.34)
Аналогично для вторичных тока и заряда тоже удовлетворяется
уравнение непрерывности
divj3BT = —6рзвт/(?Л	(1.35)
1.4.2.	Остановимся еще на одном понятии вторичных доков. Рас-
смотрим уравнения Максвелла для вакуума. Материальные уравнения
в этом случае определяются формулами (1.9), (1.11). В вакууме аэ=0.
Считаем, что в некотором объеме Vj задан сторонний'ток. Тогда из вы-
ражения (1.32) получаем Уэ—/эст. Учитывая это, из соотношений
(1.22) — (1.25) получаем уравнения Максвелла для вакуума
го1Я = е06£/6/4-У’ст, rot£= — ^dHfdt, divs0E=p3CT, divM?=0.
(1.36)
Рассмотрим уравнения Максвелла для случая, когда в вакуум вве-
дено некоторое магнитодиэлектрическое тело, занимающее объем V
(рис. 1.7). В объеме удовлетворяются соотношения (1.8) и (1.10). Про-
водимость тела обозначим через оэ. Во всем пространстве удовлетворя--
ется соотношение (1.32), но оэ отлична от нуля только в пределах объ-
ема V. С учетом этого из соотношений (1.22) — (1.25) получаем урав-
нения Максвелла
го!Я =евб£/^+/ст+Узвт+узпол, rotE = — p0dffldt —умпол,
di v е0 Е= рэ ст + р’вт + р9 пол, di v fxj? = рм “°л,	(1.37)
где J9™n — dP[dt-, f^ — dMIdt; рэпол= — divP; рмпол= —div Af—
векторы объемных плотностей токов и < зарядов электрической и маг-
нитной поляризаций.
18
Рис. 1.7. Объем VJt занятый сто-
ронними токами, и объем V, за-
нятый магнитодиэлектриком
' Рис. 1.8. Объем Vj, занятый-сторонним током,
и объем V, занятый вторичными токами
Токи и заряды электрической и магнитной поляризаций так же, как.
и ток проводимости с объемной плотностью /эвт, имеют смысл вторич-
ных токов по отношению к стороннему (первичному) току.
Сопоставляя уравнения (1.36) и (1.37), можно придти к следующе-
му выводу: присутствие в электромагнитном поле вещества может быть
полностью учтено с помощью эквивалентных распределений объемных
плотностей токов и зарядов электрической и магнитной поляризаций.
Можно, таким образом, отвлечься от наличия в пространстве вещества
и считать, что все пространство является вакуумом, в котором электро-
магнитное поле возбуждается сторонними и наводимыми в веществе
вторичными токами (рис. 1.8). Векторы объемных плотностей токов щ
зарядов электрической и магнитной поляризаций удовлетворяют "урав-
нениям непрерывности, аналогичным уравнению (1.35).
1.5.	Уравнение баланса энергии электромагнитного поля
1.5.1.	Всякое измерение составляющих векторов электромагнитного'
поля сопряжено с извлечением энергии из этого поля. Извлеченная'
часть энергии поля в приборах преобразуется в другие виды энергии.
В настоящем параграфе рассматриваются энергетические характери-
стики электромагнитного поля.
Чтобы подойти к понятию энергии электромагнитного поля, рас-
смотрим движение электрического заряда в электромагнитном поле.
Как известно из курса физики, на заряд Д<7Э, движущийся со скоростью-
v в электромагнитном поле, действует сила Лоренца
F=i/(E+[v, В]).
Поскольку v || Д1, на длине пути Д1 сила F совершает "работу
Д4=ГД1 = Д^ЕД1.
Мощность определяется как работа в единицу времени:
Д<Р==ДА/Д/=чД^э/Ш/Д^=Д^э£у.
Если Д?э— заряд, сосредоточенный в объеме ДК, то Д</э=рэДУ. Тогда'
Д^=рэДУЕу.
Но р*у=уэ. Поэтому мгновенная мощность Д& =j3EEV. Следовательно,
выражение для определения объемной плотности мгновенной мощности
имеет вид
Д^/ДУ=/£.	(1.38>
2*	19>
1.5.2.	Пусть объем V ограничен поверхностью S. Среда в объеме V
имеет параметры еа, Ца, аэ. В объеме V:i заданы сторонний электриче-
ский ток (объемная плотность стороннего электрического тока) или
сторонняя напряженность электрического поля (рис. 1.9,а). Найдем об-
щее выражение, определяющее баланс энергии электромагнитного поля
в объеме V.
Рассмотрим первые два уравнения Максвелла
rot И = dD/dt-\-j3, rotE =— dB/dt.
Умножим скалярно первое уравнение на вектор Е, второе — на вектор
Н и вычтем одно выражение из другого:
Н rot Е — Е rot Н = — Н	—Е дД— fE.
Далее воспользуемся векторным тождеством (П.З) и проинтегрируем
результат по объему V:
С div [£, H\dV = - J (н ^-+Е^\ dV - f fEdV.
V	v	у
По теореме Остроградского—Гаусса
fdiv[£, Н] dV= § [£, tf]ndS,
v	s
где n — внешняя относительно рассматриваемой области V единичная
нормаль к поверхности S. В результате имеем
— С (н	dV = f J9£W+(f, [£, Н\ndS. (1.39)
v	i'	s
Выражение (1.39) определяет закон сохранения энергии электромаг-
нитного поля. Под знаком йнтеграла первого слагаемого правой части
этого выражения в соответствии с соотношением (1.38) стоит объемная
плотность мощности (размерностью ватт на кубический метр). Следо-
вательно, интеграл представляет собой мгновенное значение мощности
20
в объеме V (имеет размерность ватт). Поэтому интеграл в левой части
равенства (1.39) имеет размерность мощности, а подынтегральное вы-
ражение в нем — размерность объемной плотности мощности. Для ли-
нейных изотропных сред справедливы материальные уравнения (1.29).
Поэтому
F dD __ д	ED	д	гаЕ2	dw3
dt ~ dt	2	dt	2	“	dt	’
н дВ _ д	НВ	д	_	дм™
Л dt dt	2 — dt	2	dt	’
где
w3(p, /) =eaE2(p, t)/2,	w™(p, >t)=paH2(p, t)/2.	(1.40)
Учитывая эти соотношения, из выражения (1.39) имеем
-	j (w9+s»’) dV = J J3EdV-[- ф [£, Н\ ndS.
V	vs
Как видно из этого равенства, сумма	является объем-
ной плотностью энергии электромагнитного поля в точке р в момент
времени t, причем w3 и оум — соответственно мгновенное значение плот-
ности энергии электрического и магнитного полей. Из курса физики из-
вестно также, что выражения (1.40) определяют плотности энергий
электрического и магнитного полей. Следовательно,
f w(p,
v
есть энергия электромагнитного поля в объеме V.
Поскольку объемные интегралы в формуле (1.39) выражают мощ-
ности, то поверхностный интеграл тоже выражает мощность и имеет
размерность ватт. Следовательно, вектор
1Цр, t) = [E(p, t),H(p, /)]	(1.41)
под интегралом имеет размерность ватт на квадратный метр и пред-
ставляет собой мгновенное значение вектора плотности потока мощно-
сти в точке р. Нормальная составляющая вектора Пп зависит от тан-
генциальных составляющих векторов электрического и магнитного по-
лей на поверхности S и определяет поток мощности через единичную
площадку поверхности S. Вектор П называется вектором Пойнтинга.
Если в объеме V задано распределение вектора сторонней напря-
женности электрического поля, то, учитывая равенство (1.33), из фор-
мулы (1.39) получаем
[fE"dV = +\i^dV -i-i^nndS.	(1.42)
Jdt 1 ] аэ 1 Ч7	х
V	V	S
Уравнение (1.42) —математическая запись теоремы Умова — Пойн-
тинга о балансе энергии электромагнитного поля. Левая часть этого
уравнения представляет собой мгновенную мощность стороннего поля
£ст, распределенного в объеме AV так, что Ест^0 при p^V и £ст=0
при р EzjAV (рис. 1.9,6). Первое слагаемое в правой части уравнения
представляет собой мгновенную мощность, накапливаемую в объёме V,
второе — мгновенную мощность потерь в этом объеме.
21
гис. i.iи. .элемент провода линии передачи постоянного
тока
Если в объеме задано распределение век-
тора сторонней объемной плотности электри-
ческого тока, то, учитывая равенство (1.32)>
из формулы (1.39) получаем теорему Умова—
Пойнтинга в другом виде:
(1.43>
Знак минус в левой части равенства (1.43) означает, что напряженность
электрического поля Е при отдаче энергии источниками противодейст-
вует стороннему (возбуждающему) электрическому току. Интеграл по
объему в правой части равенства (1.4Э) определяет мгновенную мощ-
ность потерь в объеме V.
1.5.3. Для иллюстрации энергетических соотношений применим теорему Умова —
Пойнтинга (1.42) к элементу провода линии передачи постоянного во времени тока
(рис. 1.10). В этом случае /э (р,	и векторы электромагнитного поля не
зависят от времени. Следовательно, ^,(/)=^>=const.
В объеме V, ограниченном поверхностью S=ST-|-S6 провода, сторонняя напря-
женность электрического поля отсутствует (Ест=0). Поэтому левая часть выражения
(1.42) равна нулю. Энергия электромагнитного поля в объеме V является постоянно»
во времени, поэтому первое слагаемое в правой части выражения (1.42) также равно
нулю.
Второе слагаемое в правой части (1-42), определяющее мощность потерь, име-
ет вид
f У92	У92
^п= J dV = -^S,l = (/%ST)! ' ,
у	®
где учтено, что плотность тока распределена равномерно в поперечном сечении Sr
провода.
Так как J9ZST есть сила тока (ток) Р в проводе, то ^п = i32₽, где /? = Z/a3ST—
сопротивление провода. Последнее выражение, как известно, есть закон Джоуля —
Ленца.
Учтем, что Е — 1гЕг + \гЕ„ Н=1ЧНЧ, на боковой поверхности Sg = 2ла/ провод
п=1г, на торцевых поверхностях ST провода n= + l2(ir, 1^, 12 — орты цилиндриче-
ской системы координат). Выбрав в качестве поверхности S поверхность провода, по_
лучим
= Ж [£, Я] ndS = (f) [1г, I ] ЕгН^ - - EZH S6 =	l»R,
s	s6
где использован закон полного тока (1.18), из которого имеем //(р=1э/2ла, и принято,
что ток не меняется по длине элемента, а сумма интегралов по торцевым поверхностям
равна нулю.
Таким образом, третье слагаемое в правой части уравнения (1.42) определяет
мощндсть, входящую из внешней области через боковую поверхность внутрь про-
вода.
22
Рис. 1.11. Принципиальная схема цепи переменного тока
Для провода линии передачи постоянного тока получаем
уравнение баланса энергии в виде
1.5.4.	Применим теорему Умова — Пойнтинга к цепи
переменного тока с сосредоточенными параметрами
(рис. 1.11). В схеме имеется источник с сосредоточеннной
э. д с. Считаем, что э. д. с. Эст изменяется во времени так медленно, что магнитным
полем конденсатора С и электрическим полем катушки индуктивностью L можно
пренебречь. Тогда согласно выражению (1.42) энергию электрического поля конден*
сатора и магнитного поля катушки можно выразить как
СоР(р, t)dV=±-q^,	t)dV = -Li^,
V	V
где 9Э(/) —заряд конденсатора; i®(0 —ток в цепи.
Мощности стороннего источника и потерь на сопротивлении R определяются
выражениями
J j9EcrdV = 1эЭст, J dV = i92/?.
v	v
Поскольку ток в цепи меняется медленно, то излучением его можно пренебречь. Тогда
поток вектора Пойнтинга через поверхность, охватывающую рассматриваемую цепь,
будет приближенно равен нулю, и последнее слагаемое в (1.42) исчезнет.
Таким образом, для рассматриваемой цепи выражение (1.42) сводится к сле-
дующему:
РЭСТ = -i-	Li3
Имея в виду, что dq9!dt=i9, и сокращая на Р, получаем
Эс Т=<7Э IC-\-Ldi^ldt^R.
Дифференцируя это выражение по времени, находим
dd^ldt^Ldn^ldt^-YRdi^ldt^lC.
Это есть известное уравнение цепи переменного тока.
1.5.5.	Рассмотрим далее применение выражения (1.42) к определению энергети-
ческих соотношений в двухпроводной линии, нагруженной на согласованное сопро-
тивление (рис. 1.12). Пусть провода линии имеют бесконечную проводимость, в на-
чале линии (z=0) включен генератор высокой частоты Эст—£СТД, сопротивление на-
грузки линии при z—l равно волновому сопротивлению линии /?ЭН=Ц7Л.
Как известно из курса «Основы теории цепей», в двухпроводной линии с согла-
сованной нагрузкой устанавливаются бегущая волна тока и напряжения. Картина
силовых линий векторов Е и И в некотором сечении линии ST, достаточно удаленном
•от начала и конца линии, в фиксированный момент времени имеет вид, показанный
на рис. 1.13. Причем напряженности электрического и магнитного полей синфазны.
Применим выражение (1.42) к объему Vi, ограниченному замкнутой поверхностью
Sp-j-S». Так как расстояние между проводами Д мало по сравнению с длиной волны,
то электромагнитное поле на достаточно удаленной части поверхности Si будет пре-
небрежимо малым. Поэтому можно пренебречь поверхностным интегралом в формуле
(1.42) на этой части поверхности, т. е. мощностью излучения по сравнению с мощно-
23
Рис. 1.13. Силовые линии
электрического (сплошные
линии) и магнитного (штри-
ховые линии) полей двух-
проводной линии
Рис. 1.12. Двухпроводная линия передачи
стыо, переносимой через поверхность 8Т. Поскольку
проводимость проводов сгПр бесконечно велика, второе
слагаемое в правой части выражения (1.42) будет рав-
но нулю. Таким образом, для и—iz
РОЭСТ = A J w (р>	_]_ j n\zlS,
где 1эо — ток в линии при z=0.
Если провести аналогичные рассуждения относительно объема V2 рассматривае-
мой системы (п=—iz), то получим
О = w (р, t) dV2 + 1э//?эн — nizdS,
V>	ST
где i3z — ток в нагрузке.
Равенство для объема V] показывает, что мгновенная мощность, отдаваемая
источником в линию передачи, равна сумме мгновенной мощности, накапливаемой
в объеме Vi, и мгновенной мощности, проходящей через поверхность ST в направ-
7
Рис. 1.14. Полость с окном в стенке трубы:
1 — металлическая труба; 2 — коаксиальный кабель; 3 — штырь
24
лении нагрузки. Равенство для объема V2 показывает, что мгновенная мощность, вы-
ходящая через поверхность ST, равна сумме мгновенной мощности, накапливаемой
в объеме Vs, и мгновенной мощности, теряемой в нагрузке линии.
Таким образом, мощность источника электромагнитной энергии, расположенного
в начале линии, передается в нагрузку в конце линии через пространство, окружаю-
щее линию передачи. Следовательно, провода двухпроводной линии являются только
направляющей структурой.
1.5.6.	Рассмотрим устройство, часто встречающееся в технике сверхвысоких ча-
стот. Возьмем отрезок металлической трубы (рис. 1.14), на одном торце трубы слева
поставим металлическую заглушку, а другой торец справа оставим открытым. Через
образовавшееся окно So внутренняя область V! соединяется с внешней областью V2
По металлическому штырю (продолжение внутреннего провода коаксиального кабе-
ля) протекает электрический ток, который можно считать сторонним. Сторонний ток
J9 ст внутри трубы (в объеме 1Л) возбуждает электромагнитное поле. Через окно So
в торцевой стенке трубы электромагнитное поле распространяется во внешнее про-
странство (в область V2)- Будем считать, что стенки трубы имеют бесконечную про-
водимость, а среда, заполняющая внутреннее пространство трубы Гь не имеет потерь
(оэ=0). Применяя к этому устройству теорему Умова — Пойнтинга в виде (1.43) и
учитывая, что поверхностный интеграл по стенкам трубы равен нулю, получаем
- j р ™EdV = J ay (р, 0 dV. + J* Ппс/50.
v	, So
Левая часть этого равенства определяет мгновенную мощность, отдаваемую сторон-
ним током. Интеграл по объему 1^1 определяет мгновенную мощность, накапливаемую
внутри трубы, а поверхностный интеграл — мгновенную мощность, проходящую через
окно So во внешнее пространство.
1.6.	Метод комплексных амплитуд. Монохроматические
электромагнитные поля
1.6.1.	Для того чтобы с помощью электромагнитного поля можно
было передавать информацию, векторы Е, D, И, В должны изменяться
во времени в соответствии с передаваемым сигналом. Например, в слу-
чае амплитудной модуляции изменение амплитуды тока в излучателе,
возбуждающем поле, во времени происходит по закону передаваемого
сообщения. Тогда все составляющие векторов электромагнитного поля
Е, D, Н и В оказываются амплитудно-модулированными. Если элек-
тромагнитное поле изменяется во времени, мгновенные значения всех
составляющих векторов поля и токов могут быть представлены в виде
интегралов Фурье (прямого преобразования Фурье). Рассматривая
мгновенные значения токов и векторов поля как функции времени и
применяя к ним преобразования Фурье, получаем
оо
ГСТ(А 0 = -j7=- JrcT(A
—оо
(1.44)
ОО	00
Е(р, = J Е (р, со) е1<°^0), D(p,t)=y= D (/?, со)е1а>^со;
—оо
(1.45)
?В(р, ®)е^.-(1.46)
00
Н (р, /) =	 J Н (р, »)	В (A t) =
—00	—00
25
В выражениях (1.44)— (1.4о; векторные функции г--"/>
Н(р, <о), D(p, ®) и ®(Р> ®) называются комплексными амплитудами или
спектральными плотностями векторов: объемной плотности тока, напря-
женностей электрического и магнитного полей, электрической и магнит-
ной индукций.
Если известны комплексные амплитуды полей, то с помощью пря-
мого преобразования Фурье могут быть определены мгновенные значе-
ния полей. Если известны мгновенные значения полей, то комплексные*
амплитуды полей могут быть найдены с помощью обратного преобра-
зования Фурье, которое, например, для стороннего электрического тока
имеет вид
00
ГСТ(Л “>) = 7^ $ /’"(?’	(1.47>
—00
Пара преобразований Фурье (1.44) « (1.47) порождает 6-функцию. Действитель-
но, подставив из формулы (1.47) /ЭсТ в преобразование (1.44) и поменяв порядок
интегрирования, получим
/ЭСТ(Л t) =
e'“ da
dt' da> =
Здесь выражение в квадратных скобках является 6-функцией
00
—00
Как известно из курса высшей математики, 3-фу1кция 3 (t — t') при всех значе-
ниях t равна нулю, кроме значения t — t', при котором .она равна бесконечности. Выра-
'	00
жение J3 ст (р, t) — С j9cr(p, tr)$ (f — Г) dtr показывает, что 3-функция переводит
t'~—00
значение стороннего тока в точке р из момента времени V в момент времени t без-
его функционального изменения.
Как видно из выражения (1.47), мгновенное значение тока /э ст(р, t) в виде
произвольной функции времени порождает непрерывный спектр комплексных ампли-
туд стороннего тока j3CT(p, ю).
1.6.2.	Представим мгновенные значения векторов тока и полей с по-
м°Щью выражений (1.44) — (1.46) и подставим их в выражения (1.22)
00	00
rot7^ “)e‘'"'dffl = 4vW	+
00	—00
’	<х>
+VS ^’(Л ">)е'""Л>,
— 00	(
26
00	00
rot7W fE(A <“)e‘“'d”>=—jB(^ <D)e“,<it"-
—00	—00
Здесь операции ротора и производной по времени можно внести под
знаки интегралов. Учитывая при этом, что d exp(fo£)/d/==ko exp^cof)
и что интегралы Фурье слева и справа равны друг другу, если равны
спектральные плотности, находим
rot Н(р, co) =n‘coiD(р, to) +j9(p, со),
rotE(p, со) =—гсоВ(р, со).	(1-48)
Если выражения (1.45), (1.46) подставить в материальные урав-
нения (1.29), то аналогичным образом найдем материальные уравнения
для комплексных амплитуд
D(p, (й)=8оЕ(р, со), В(р, со)=р,аН(р, со).	(Г.49)
Закон Ома в дифференциальной форме для комплексных амплитуд
представляется в виде j3=a3E. С учетом этого ' из формулы (1.32)
имеем
j3(p, со) =j3CT(p„co)+oaE(p, со).	(1.50)
Таким образом, подставляя соотношения (1.49) и (1.50) в уравне-
ния (1.48), первые два уравнения Максвелла для комплексных ампли-
туд при наличии стороннего тока получаем в следующем виде:
rot Н (р, со) — /соеаЕ (р, со) 4~ j3ст (р, с») оэЕ (р, <о) —
= i^aE(p, ®)+J3CT(A ю),	(1.51)
rotE(p, со) ==—е®роН(р, со),	(1.52)
где 8а=«а(1—1аэ/со8а). Величина 8а называется комплексной диэлек-
трической проницаемостью среды.
Подставляя выражения (1.45), (1.46) в уравнения (1.24) и (1.25)
с учетом равенств (1.29), находим третье и четвертое уравнения Макс-
велла для комплексных амплитуд
div 8а Е(р, со) =рэст(р, со) +рэвт(р, со),	(1.53)
divpaH(p, <о)=0,	(1.54)
где рэст(р, со) и рзвт(р, со)—комплексные амплитуды (спектральные
плотности) объемных плотностей электрического стороннего и вторич-
ного зарядов.
Уравнение непрерывности для комплексных амплитуд объемных
плотностей тока и заряда можно получить из формулы (1.5)
div j3(p, со) +йорэ(р, со)=О.	(1.55)
Из уравнения (1.55) для вторичных объемных плотностей тока про-
водимости и заряда имеем
div j3 BT = div cr3E=—iicop9 вт.
Поэтому уравнение (1.53) можно преобразовать, заменив в нем рэвт
величиной, найденной из последнего выражения:
div7aE=P3CT.	(1.56)
1.6.3.	Нетрудно заметить, что уравнения Максвелла (1.51) — (1.54),
материальные уравнения (1.49), закон Ома (1.50) и уравнение непре-
27
рывности электрического тока (1.55) для комплексных амплитуд легко
получить, если считать, что плотности тока и заряда и векторы поля
в частном случае изменяются во времени гармонически (являются
монохроматическими). Действительно, заменяя, например, в уравне-
ниях (1.22), (1.23) мгновенные значения величин их комплексными
значениями по правилу
Гст (A t) — У (р, ш) е'"', Е — Ее'”',
D—.De'"',	В —Be'"', Л/—Не'"'
и учитывая, что dD[dt—* z«)D exp (W), dBjdt —»• iw В exp (Ы), получаем
уравнения (1.51), (1.52).
Следовательно, все записанные уравнения для комплексных ампли-
туд исследуются только на одной* фиксированной частоте и комплекс-
ные “амплитуды полей на этой частоте определяются из решения
электродинамической задачи. Если необходимо определить комплекс-
ные амплитуды на других фиксированных частотах, то находятся
решения задачи и на этих частотах. Таким путем можно установить,
зависимость составляющих векторов поля от частоты. Для определения
мгновенного значения вектора напряженности поля нужно комплекс-
ную амплитуду вектора напряженности поля для данной частоты со
умножить на множитель ехр(ко/) и взять действительную часть полу-
ченного выражения. Например,
Е(р, £)=Re[E(p, со) exp (tat)] = Еоcos [<о/+Ф(р, со)],
где Е=Е0ехр[г‘Ф(р, со)]—вектор комплексной амплитуды; Ео — макси-
мальное значение вектора Е(р, t); Ф(р, со)—фаза комплексной
амплитуды.
Комплексные амплитуды векторов напряженностей электрического
и магнитного полей Е(р, со) и Н(р, со) для краткости часто будем
называть просто векторами напряженностей полей.
1.6.4.	Уравнения (1.£1) — (1.56) часто являются исходными для ре-
шения конкретных электродинамических задач. При’этом во многих
случаях пользуются понятиями идеального диэлектрика и идеального
проводника: для идеального диэлектрика сгэ=О, а для идеального про-
водника оэ->оо. Если в веществе преобладает объемная плотность тока
проводимости над объемной плотностью тока смещения, т. е.
|оэЕ| |i<j)8a Е|, то вещество называется проводником. Если в ве-
ществе преобладает плотность тока смещения над плотностью тока
проводимости, т. е. |оэЕ| <С |fcoeaE|, то вещество называется диэлектри-
ком. Полупроводниками считаются вещества, у которых Плотности
тока проводимости и тока смещения по модулю примерно одинаковы:
| СГЭЕ | ~ | l(D8aE |. •
Из результатов § 1.5 следует, что значение проводимости опре-
деляет значение объемной плотности мощности потерь в веществе (по-
терь на нагревание вещества).
Кроме потерь, обусловленных конечной проводимостью, в веществе
существуют потери, вызываемые диэлектрическим гистерезисом. Суть
этого явления состоит в том, что на высоких частотах вектор D(p, t)
в точке р не успевает следовать мгновенно за изменением во времени
вектора Е(р, t), так как процесс поляризации вещества является инер-
ционным. Поэтому между векторами D и Е появляется некоторый
фазовый сдвиг у, т. е. D= ере~пЕ. Если подставить это выражение
2S
в первое уравнение (1.48), то получим обобщенное значение комплекс-
ной диэлектрической проницаемости
Го = 8'а-г>"а = |1о|е-м,	(1.57а)
где е/а=8а cos у; г"а=8а siny-+-io3/co; tg Д=8,,а/8,а; угол Л называется
углом электрических потерь.
Процесс намагничивания вещества тоже является инерционным, и
вектор В(р, t) отстает по фазе от вектора Н (р, /), т. е. В = рае-“Н =
= где |ха — комплексная магнитная проницаемость:
Ра = Р-'а —Р*'а= Fa C0SV> Р”а = Ра 8Ш V.	(1.576)
Угол v учитывает наличие магнитных потерь в веществе.
При изучении монохроматических полей значения комплексных
диэлектрической и магнитной проницаемостей на каждой фиксирован-
ной частоте могут устанавливаться в результате измерений. Поэтому
материальные уравнения можно записать в форме
D(/?, ю) = 8в(р, ш) е~п (р' Е (р, ®), В (/?, со) = р.а(р, в>) Н (р, ®).
Таким образом, уравнения Максвелла для комплексных амплитуд
имеют вид
rotH = zWaE + j3CT, rotE = — Ло(ГаН, divsaE = p9CT, div?aH=0. (1.58)
Они справедливы только при отсутствии нелинейных эффектов.
1.7.	Уравнение баланса энергии для комплексных амплитуд
1.7.1.	Метод комплексных амплитуд применяется в теории цепей
с сосредоточенными параметрами и значительно облегчает анализ
цепей. Повторим некоторые определения теории цепей и введем опре-
деления энергетических характеристик электромагнитного поля при
применении метода комплексных амплитуд. Рассмотрим электрическую
цепь, схема которой изображена на рис. 1.11. При гармоническом из-
менении во времени э. д. с. цепи
<9CT(tf) =9q cos tot.	(1.59)
Ток i3(t) цепи, определяемый из решения уравнения цепи переменного
тока, имеет вид
/э(/) =;э0 cos(l0)iZ4--ф).	(1.60)
Здесь ф — сдвиг фаз между током и э. д. с., а гэ0 — амплитуда тока.
Мгновенная мощность, отдаваемая источником э. д. с., равна про-
изведению выражений (1.59) и (1.60):
^(/) =3CT(/)li3(0 =‘Э01эо COS tot cos (ю/+ф) =
—0,5c?oi3o[eos ф—|~cos (2®|/-рф)]-
• Чаще всего интересуются не мгновенной мощностью, а средней
мощностью пеои^д Т (которую измеряют с помощью приборов)
29
Т/2
S%p=4- Г Э"(<)<’(ОЛ=4-Л«’.cosф.	(1.61)
—Т/2
Представим выражения (1.59) и (1.60) с помощью метода комп-
лексных амплитуд:
ЭС1 (0=Re [3 (ш)	г* (/) -= Re [<’ (ш) е'"'],
где Э(<»)=3,; /’(ш) = комплексные амплитуды, и запишем ком-
«плексную мощность источника в виде
= 0,59 (со) /®* (<о) = O,590t’0e
где 1э* — комплексно-сопряженная ^амплитуда тока.
Средняя мощность в соответствии с формулой (1.61) определяется
как действительная часть от комплексной мощности
^Cp=Re ^=0,5 9oi3o cos ф.
Величину Re^ называют активной мощностью, мнимую часть комп-
лексной мощности
Im =—0,5 9oi9o sin ф
называют реактивной мощностью.
Как видно из трех последних формул, по известным комплексным'
амплитудам э. д. с. (напряжения) и тока легко вычислить среднее зна-
чение мощности или активную и реактивную мощности. Эту методику
можно применить для вычисления энергетических характеристик элек-
тромагнитного поля.
1.7.2.	Уравнение (1.42), выражающее теорему Умова—Пойнтинга
о балансе энергии электромагнитного поля, сформулировано относи-
тельно мгновенных значений мощности. Но чаще всего интересуются
средней и комплексной мощностями. Для того чтобы сформулировать
соответствующее уравнение баланса энергии электромагнитного поля,
рассмотрим уравнение Максвелла в комплексной форме. Пусть в объ-
еме V среда имеет параметры еа, оэ (см. рис. 1.9,а). Считаем для
простоты, что диэлектрический гистерезис отсутствует, т. е. у=0; маг-
нитных потерь нет, т. е. (ра=ца). В объеме Vj заданы комплексная
амплитуда объемной плотности стороннего электрического тока
j3CT(p, (о) или сторонней напряженности электрического поля -Ест(р, <о).
Найдем общее выражение, определяющее баланс энергии электро-
магнитного поля в объеме V. Запишем уравнения Максвелла в комп-
лексной форме для монохроматических колебаний:
rot Н = /(08аЕ + ]’э,	(1.62)
rot Е=—/(ор,аН,	(1.63)
где j3(p, о) при заданном стороннем токе или заданной сторонней
напряженности поля определяется выражениями (1.32) или (1.33), из
которых
|Э==рст + огэЕ или |э=|аэЕ + аэЕст.	(164)
Уравнение, комплексно-сопряженное (1.62), умножим скалярно на век-
тор Е:
ч/	ErotH* = —MoeaEE*+j3*E.	(1.65)
30
Умножив скалярно второе уравнение (1.63) на комплексно-сопряжен-
ный вектор Н*, получим
Н* rot Е==—t(0ipoHH*.	(1.66)
Вычтем из равенства (1.66) равенство (1.65):
k Н* rot Е—E rot Е*=— /сор,аНН*+/(!)8аЕЕ*— j3*E.	(1.67)
Воспользовавшись векторным тождеством (П.З) (см. приложение), про-
интегрировав равенство (1.67) по объему V и теоремой Остроградско-
го— Гаусса, имеем
§ [Е, H*]ndS = fo Г (—|ioHH*+«oEE*)dV — С jwEdV. (].68>
S	V	V
Выделим в (1.68) первичные (сторонние) источники электромаг-
нитного поля ЕСт или j3CT. Подставив во второй член равенства (1.68)
вместо вектора Е его выражение, определенное через Ест из соотноше-
ний (1.64), найдем
|| 4- j^E'W = im j’	— ^-) dV +
V	V
iHE’H*indS>	<ie9>
'	V	S	.
а подставив в этот же член вместо вектора j3* его выражение, опреде-
ленное через j3 ст из соотношений (1.64), получим
—j’c”EdV = i<0^
V	V
+J4-’9EEW + f)4“lE’ H*]ndS.	(1.70>
V	s
Выражения (1.69) и (1.70) представляют две формы записи тео-
ремы Умова—Пойнтинга в комплексной форме, или уравнения баланса
энергии для комплексных амплитуд. Левые части (1.69) и (1.70)
определяют реакцию возбуждаемого тока (поля) на сторонние источ-
ники. Знак минус в (1.70) указывает на противодействие возбуждае-
мого электрического поля стороннему току.
Вектор Пойнтинга в комплексной форме определяется выражением
П=0,5[Е, Н*].	(1.71)
Выделим в выражении (1.69) или (1.70) действительную часть:
Re С 4- FE'W=J -L IT: dv + Re ф DndS.
V	V	s
Левая часть этого равенства определяет среднюю мощность (активную,
мощность), отдаваемую сторонними источниками в объем V. Слагае-.
мые правой части равенства показывают, на что тратится активная
мощность стороннего источника. Первое слагаемое определяет среднюю
мощность потерь на нагревание среды в объеме V, второе — среднюю-
мощность, излучаемую из объема V через поверхность S. Например»
31
в устройстве, показанном на рис. 1.14, излучение происходит через
окно So. Если окно отсутствует, т. е. труба оказывается закрытой ме-
таллическими заглушками с обеих сторон, Нормальная составляющая
вектора Пойнтинга на поверхности So будет равна нулю (Пп=0 на
So). Тогда активная мощность источников будет тратиться только на
нагрев среды в объеме V.
Выделим далее в выражении (1.69) или (1.70) мнимую часть:_
Im j4-j“E'W=<»^-!i25^-e-^)dV + lm^)nndS.	(1.72)
v	v	s
Левая часть этого выражения определяет реактивную мощность, от-
даваемую сторонними источниками в объем V. Первое слагаемое пра-
вой части равенства определяет реактивную мощность, которая
устанавливается в объеме V, второе — реактивную мощность, которая
проходит через поверхность S и устанавливается вне объема V.
Если окно So (см. рис. 1.14) отсутствует, то Пп=0 на поверхно-
сти So. Последнее слагаемое оказывается равным нулю. В этом случае
реактивная мощность сторонних источников оказывается равной реак-
тивной мощности в объеме V.
1.7.3.	Остановимся на понятии реактивной мощности в объеме V,
т. е. на толковании интегралов по объему V в правой части выражения
(1.72). Для этой цели рассмотрим мгновенные значения плотностей
энергий электрического и магнитного полей, определяемые формулами
(1.40). Используя метод вычисления средней мощности, определяем
значения средних плотностей энергий электрического и магнитного
полей:
э	1 ЕЕ*	1	|С.|2	м	1	НН* 1	,„|2
ср	2	&а 2	4 sa I I ’	ср	2	2 ~— 4	।	'
Учитывая эти выражения, получаем
»	а =2ю j (р) _	(р)]	= 2ш	__
V	V
где Жмср и иЖэср—средние значения энергий магнитного и электриче-
ского полей в объеме V.
Таким образом, реактивная мощность в объеме V равна умножен-
ной на 2 со разности между средними значениями энергий магнитного
и электрического полей. Если <^IInJS=0, то при даэСр=^мср реактив-
s
ная мощность от источника в объем V не поступает.
1.8.	Уравнения Максвелла при наличии электрических
и магнитных токов
1.8.1.	Электромагнитное поле всегда возбуждается электрическими
токами и зарядами. Магнитные токи' и заряды по современным воз-
зрениям в природе не существуют, но введение понятия сторонних
плотностей фиктивных магнитных тока и заряда очень часто упрощает
электродинамические расчеты. Уже была введена объемная плотность
тока магнитной поляризации, которая реально существует. Однако
вводимая здесь объемная плотность стороннего фиктивного магнитного
тока связана не с явлением намагниченности вещества, а имеет смысл
32
объемной плотности стороннего тока, возникающего в результате дви-
жения сторонних фиктивных магнитйых зарядов.
Особенно упрощаются при введении сторонних фиктивных магнит-
ных тока и заряда исследования щелевых и рамочных излучателей,
решение задач возбуждения электромагнитного поля через отверстия
в волноводах и резонаторах. Физические модели, на основе которых
вводятся плотности сторонних магнитных тока и заряда, будут описаны
в последующих главах. Здесь рассмотрим математическую сторону
явлений.
1.8.2.	Пусть в некоторой области пространства заданы комплексные
амплитуды объемных плотностей стороннего электрического тока
j3CT(p, ®) и электрического заряда рэ(р, ®). Тогда первые два уравне-
ния Максвелла в комплексной.форме (1.58) имеют вид
rotHf = zo)7aE'+J9CT,	. (1.58а)
rot Е'= — zmJjH'.	(1.586)
Объемные плотности электрических сторонних тока и заряда должны
удовлетворять уравнению непрерывности
div j3CT+i®p9CT=O.	(1.73)
Из того, что divrotHz=0 и divrotE'=0, при учете (1.73) вытекают
третье и четвертое уравнения Максвелла:
div s^E' —рэст,	'	(1.74)
div|iaH' = 0.	'	(1-75)
Если j9CT#=0, рэст=И=0, то уравнения (1.58), (1.74), (1.75) назы-
ваются неоднородными уравнениями Максвелла; если в рассматривае-
мой области пространства сторонние электрические токи И заряды
равны нулю, то эти уравнения составляют так называемую однородную
систему уравнений Максвелла.
В рассматриваемую область пространства введем объемные плот-
ности сторонних магнитных заряда и тока. Комплексные амплитуды их
обозначим через рмст(р, со) и jMCT(p, со). Потребуем, чтобы удовле-
творялось уравнение непрерывности
div jM ст+ topM ст=0.	(1.76)
Тогда неоднородные уравнения Максвелла при отсутствии сторон-
них электрических тока и заряда и при наличии сторонних магнитных
токов и зарядов в рассматриваемом пространстве по аналогии с урав-
нениями (1.58), (1.74) и’(1.75) примут следующий вид:
rotH" = i®raE",	(1.77)'
rot Е” = — Z<o?aH" — jM ст,	(1.78)
div^aE" = 0,	(1.79)
divjTaH" = pMCT.	(1.80)
Эти уравнения по форме совпадают с уравнениями (1.37), когда
в последних приняты равными нулю объемные плотности стбронних
электрических тока и заряда и объемные плотности тока и заряда
электрической поляризации.
3—116	зз
Электромагнитное поле с векторами напряженностей полей Е'
и Н' возбуждается сторонними электрическими токами и зарядами,
а электромагнитное поле с вектора-ми напряженностей полей , Н" —
сторонними магнитными токами и зарядами.
1.8.3.	Пусть в рассматриваемом пространстве заданы электрические
и магнитные токи и заряды с комплексными амплитудами объемных
плотностей j9CT(p, ©), Пст(р, ©), рэст(р, ©) и рмст(р, со). Векторы
напряженности электрического и магнитного полей/возбуждаемых ими,
обозначим через Е и Н. Так как уравнения Максвелла линейны
(удовлетворяют принципу суперпозиции), то, суммируя (1.58а) и
(1.77), (1.586) и (1.78), (1.74) и (1.79), (1.75) и (1.80), получаем
гоШ=иа>ГаЕ+j9CT,	(1.81)
rot Е = — и£аН — jM ст,	(1.82)
div eflE = р>ст,	(1.83)
div£aH=pMCT,	(1.84)
где Е=Е'+Е"; Н = НЧН".
Для	мгновенных	значений векторов поля уравнения Максвелла,
следовательно, имеют	вид
rot Н = dD/dt + fст + аэЕ, rot Е = — dB[dt — f’ ст,
divZ> = P3, divE = pM,	(1.85)
где рэ=рэст-}-рэвт; рм=рмст; рэвт — мгновенное значение объемной
плотности вторичного электрического заряда.
Уравнения Максвелла (1.81) — (1.84) и (1.85) обычно применяются
в прикладной электродинамике.
Среде, в которой возбуждаются электромагнитные поля, определяе-
мые уравнениями (1.81) — (1.84) и (1.85), приписываются параметры
еа, р,а, причем эти параметры могут быть как изотропными, так и ани-
зотропными, как однородными, так и неоднородными.
Рассмотрим далее уравнения Максвелла при наличии только объ-
емных плотностей электрических сторонних токов и зарядов и уравне-
ния Максвелла при наличии только объемных плотностей магнитных
сторонних токов и зарядов. Легко заметить, что эти уравнения преоб-
разуются из одних в другие, если применить следующие перестановки:
Е-* Н Т	77 J9 СТ —> SM СТ ЛЭ —> _М
*- Н, еа _> — |1а, J — J , р <- — Р .
Этот принцип замены полей и токов в уравнениях Максвелла назы-
вается принципом перестановочной двойственности. Применение его
упрощает решение ряда электродинамических задач. Действительно,
если найдено электромагнитное поле, возбуждаемое электрическими
сторонними токами, то не надо решать задачу определения поля, воз-
буждаемого магнитными сторонними токами и зарядами в этом
пространстве — достаточно применить принцип перестановочной двой-
ственности.
34
1.9.	Электродинамические потенциалы для мгновенных значений поля.
Волновые уравнения
1.9.1.	Рассмотрим методы решения уравнений Максвелла при за-
данных источниках электромагнитного поля. Остановимся на методе
решения уравнений Максвелла для мгновенных значений векторов
напряженности поля. Будем считать, что среда является однородной
и, изотропной, диэлектрический гистерезис отсутствует, магнитные по-
тери равны нулю. Тогда можно применить обычные материальные урав-
нения (1.29).
1.9.2.	Положим jMCT=Q, рмст==о> т е считаем, что электромагнит-
ное поле возбуждается только электрическими сторонними токами и
зарядами. Учитывая выражения (1.29), первые два уравнения Макс-
велла (1.85) для мгновенных значений векторов поля запишем в виде
rot Я' = eadE'/dt + <з9Е' + j9 ст,	(1.86)
rot£' =г — радН’/dt.	(1.87)
По заданному распределению объемной плотности стороннего элек-
трического тока у9СТ необходимо найти векторы напряженности
электромагнитного поля Е'(р, t) и Н'(р, t) из уравнений (1.86) и
(1.87) Для проекций векторов Е' и Н' на координатные оси эти урав-
нения превращаются в систему шести дифференциальных уравнений
первого порядка в частных производных; решать эту систему непосред-
ственно трудно. Поэтому уравнения Максвелла с помощью вспомога-
тельных функций приводят к одному векторному и одному скалярному
уравнениям в частных производных второго порядка. Методы решения
таких уравнений хорошо разработаны.
Введем вспомогательную функцию Аэ(р, t)—мгновенное значение
электрического векторного потенциала (векторный потенциал сторон-
них электрических токов) с помощью соотношения
Я'=го1Дэ.	(1.88)
Подставим ее в уравнение (1.87):
rot Е'=—ца д rot A9/dt,
или
rot (E'+padA9/dt) =0.	(1.89)
Введем еще одну вспомогательную функцию <рэ(р, t) —мгновенное
значение электрического скалярного потенциала (скалярный потенциал
стороннего электрического заряда) таким образом, чтобы выражение
в круглых скобках уравнения (1.89) равнялось —gradqA Известно, что
rot grad <рэ=0, следовательно, равенство (1.89) удовлетворяется. По-
этому
Е'=—gradtp3—[LadA9/dt.	(1.90)
Далее используем уравнение (1.86) и подставим в него выражения
(1.88) и (1.90):
, ,	. д<?э д*Аэ *	. э э дАэ । .эст
rot rot А = — 8а grad	_еара	— grad ср — а р,а К/9 •
Учтем векторное тождество (П.4). Так как параметры среды
8а, |ла и оэ не зависят от координат, получаем
3*	35
grad (div Д’ + &-+ о’?’)=VM’ -	”• (1-91)'
В последнее выражение входят обе вспомогательные функции —
электрические векторный и скалярный потенциалы. Пока эти функции
произвольны, но их можно дополнить условием, связывающим их меж-
ду собой. С этой целью приравняем нулю выражение слёва в круглых
скобках:
div Аэ+ео^фэ/^4-аэ<рэ=0. .	(1-92)
Это выражение называется условием Лоренца или калибровкой Ло-
ренца. При этом из выражения (1.91) получаем уравнение для мгно-
венного значения электрического векторного потенциала
(1.93)
Уравнение (1.93) справедливо в среде с потерями. Называют его неод-
нородным волновым векторным уравнением (слово «волновое»
используется потому, что уравнение описывает волновой процесс). Если
правая часть уравнения (1.93) равна нулю, получим однородное вол-
новое уравнение. Найдя решение этого уравнения и воспользовавшись
соотношением (1.88), можно записать решение для мгновенного значе-
ния вектора напряженности магнитного поля Н'. Вектор напряженности
электрического поля Е' можно найти по формулам (1.92) и (1.90).
В декартовой системе координат уравнение (1.93) распадается на
три независимых уравнения относительно составляющих Аэх, Аэу и Аэ2.
Так, например, для составляющей Аэх оно имеет виД
д2Лэх . д2Аэх . д2Лэх д2Лэх э дА\ .9Ст ,<
дх? ду2 1 аг2	а а dt2 ~а dt Jx	v 9
t
1.9.3.	Далее, будем полагать, что электрические сторонние токи и
заряды равны нулю, а поле возбуждается магнитными сторонними
токами и зарядами jMCT(p, £),’рмст(р, 0- Тогда электромагнитное поле
в однородной изотропной среде с параметрами 8а, Ца и о9 определяется
уравнениями Максвелла (1*85) для мгновенных значений векторов
поля. Запишем первые два уравнения с учетом выражений (1.29):
rot H"=SadE"/dt+(j°E",	(1.95)
rot Е" = - p.adH"jdt —J*ст.	(1.96)
Введем вспомогательные функции 4м (р, t) и <рм (р, t) —мгновенное
значение магнитного ^векторного потенциала (векторный потенциал
сторонних магнитных токов) и мгновенное значение магнитного ска-
лярного потенциала (скалярный потенциал сторонних магнитных за-
рядов). Определим вектор
Е"=— rot 4м	(1.97)
и подставим это соотношение в первое уравнение Максвелла (1.95)
rot (Я"4-8а^4м/<?/4-оэ4м) =0.
Приравнивая выражение в скобках градиенту потенциальной функции
<рм с обратным знаком, находим
<Н"=—grad <рм—8ad4M/df—оэ4м.	(1.98)
Выражения (1.97) и (1.98) подставляем в уравнение (1.96). Ис-
пользуя формулу (П.4), находим
grad(div4“+i*0^)=VM“-«alx„^-aVo^+j"cr. (1.99)
Связывая магнитные векторный Ам и скалярный <рм потенциалы уело-
вием Лоренца
div Дм4Чцод<рм/д/==0,	(1.100)
получаем векторное неоднородное волновое уравнение для магнитного
векторного потенциала
Х“7*ЛМ © к д*Ам э дАм ________ ;мст	/1 1П1\
V A ®aFba ° Иа ^2 J •	(1.1U1)
Если решение уравнения (1.101) определено, то вектор Е"(р, t)
определяется по формуле (1.97), Н"(р, t) —по формуле (1.98) с учетом
выражения (1.100).
1.10.	Электродинамические потенциалы для комплексных амплитуд поля.
Уравнения Гельмгольца
1.10.1.	Мгновенные значения векторных и скалярных потенциалов
при решении электродинамических задач используются редко из-за
неудобства их применения. Обычно используется метод комплексных
амплитуд и применяются векторные потенциалы электрических и маг-
нитных токов и скалярные потенциалы электрических и магнитных
зарядов в комплексной форме.
1.10.2.	Воспользуемся принципом суперпозиции и предположим, что
в рассматриваемой области пространства задано распределение только
сторонних объемных плотностей электрических токов и зарядов. Ис-
пользуем уравнения (1.58а) и (1.586) для однородных и изотропных
сред, в которых отсутствуют магнитные потери (ца=ца) и диэлектри-
ческий гистерезис (ео=8а—Введем комплексную амплитуду
электрического векторного потенциала Аэ(р, .со). Выразим комплексную
амплитуду вектора напряженности магнитного поля через векторный
потенциал:
H'—rotA3.	(1102)
Подставив выражение (1.102) в уравнение (1.586), получим
» rot (E'+ico|xaA3) =0.
Приравнивая выражение в скобках градиенту от комплексной ампли-
туды скалярного потенциала <рэ(р, о») с обратным знаком, получаем
Е'=—grad <рэ—йораАэ.	(1.103)
Подставив выражения (1.102) и ,(1.103) в уравнение (1.58а)
найдем
grad (div Аэ + т7а?э) — \угАэ — <о27ар.аАэ == j9 ст.
37
Свяжем вспомогательные функции Аэ(р, со) и фэ(р, (о) условием Ло-
ренца
di v Аэ + г®еа<рэ=0.	(1.104)
Тогда для комплексной амплитуды электрического векторного потен-
циала получим следующее векторное неоднородное уравнение:
!	V2A°+&2A3=—-рст,	(1.105)
где £=•)/' sava — коэффициент распространения.
Уравнение (1.105) является векторным, уравнением Гельмгольца.
В декартовой системе координат векторное уравнение (1.105) распа-
дается на три независимых скалярных уравнения. В ортогональных
криволинейных системах координат (цилиндрической, сферической
и др.) необходимо пользоваться выражением V2A»=grad div Аэ—
—rot rot Аэ. Тогда уравнение (1.105) для криволинейных составляющих
вектора А» распадается на три взаимно зависимых скалярных урав-
нения.
Коэффициент распространения является комплексной величиной:
—ха. Действительную и мнимую части его можно выразить через
параметры среды: /г2=а)2Еара=(о2еа|1а—г’шцасг5. Приравнивая действи-
тельные и мнимые части двух выражений для k2, а затем квадраты
модулей левой и правой частей уравнения, находим
Параметры а и |3 зависят от частоты, диэлектрической и магнитной
проницаемостей и проводимости среды.
Для получения уравнения, определяющего скалярный потенциал
Фэ, подставим выражение (1.103) в уравнение Максвелла (1.74):
— sa di v grad — imta |xa[div A* = p’ °*.
Имея в виду, что div grad фэ=Афэ и учитывая калибровку Лоренца
(1.104), получаем уравнение Гельмгольца
д?э+*¥==-р9С7‘а-	(1.107)
Решать уравнение (1.107) нет необходимости, поскольку комплекс-
ную амплитуду скалярного потенциала можно найти из условия Ло-
ренца (1.104). Поэтому достаточно решить только векторное уравнение
(1.105). Тогда напряженность электрического поля с учетом условия
(1.104) определится выражением
Е' =?= — w^A* grad div А*.	(1.108)
Обычно на практике решают уравнение (1.105) для векторного
потенциала, затем векторы поля определяют по формулам (1.102) и
(1.108).
38	\
1.10.3.	Пусть далее в рассматриваемой области пространства задано
распределение объемных плотностей сторонних магнитных токов и за*
рядов, а сторонние электрические токи и заряды отсутствуют. Тогда
для определения векторов электромагнитного поля используем уравне*
ния Максвелла (1.77) и (1.78). Вводя в рассмотрение комплексные'
амплитуды магнитных векторного Ам(р, <о) и скалярного потенциала
Фм(р, <о), записываем
Е"=—rot Ам,	(1.109)
Н" = — grad<pM — t<osaAM.	(1.110)
После подстановки выражения (1.109) в уравнение (1.78) находим
— grad di v Ам -|- V ’Ам=i<op.a grad <рм — t»2ea|iaAM — jM ст.
Используя калибровку Лоренца
div Ам+1шро<рм=0,	(1.Ш)
получаем уравнение Гельмгольца для векторного потенциала магнит*
ных сторонних токов
V2AM+^2AM=—jMCT.	(1.112)
Подставляя выражение (1.110) в (1.80), с учетом (1.111) находим
уравнение Гельмгольца для скалярного потенциала сторонних магнит-
ных зарядов
Афм+&2Фм=—рм ст/ца.	(Г.113)
Используя (1.111), из выражения (1.110) по’лучаем формулу, свя-
зывающую напряженность магнитного поля с векторным потенциа-
лом Ам:
Н" = —	4-Д-grad div Ам.	(1.114)
Следовательно, для определения векторов поля Е" и Н" нет
необходимости решать уравнение (1.113).
1.10.4.	Если в рассматриваемом пространстве одновременно задано
распределение объемных плотностей сторонних электрических и маг-
нитных токов, пользуясь принципом суперпозиции, можно определить
значения векторов E==E'+E,,, Н = Н,+ Н,/ суммарного поля как реше-
ние уравнений (1.81) и (1.82). Поэтому
Е = — /со|л0Аэ 4-- grad di v А9 — rot Ам,	(1.115)
Н = — iinsaAM 4“ Д—graddiv AM4-rot А9.	(1.116)
Векторные потенциалы Аэ и Ам при этом определяются из решения
Уравнений Гельмгольца (1.105) и (1.112).
1.10.5.	Довольно часто при решении уравнений Максвелла вектор- 
ные и скалярные 'потенциалы не используются. Из уравнений (1.81 ]
и (1.82) взаимной подстановкой исключается вектор Е или Н и полу-
чаются уравнения Гельмгольца для вектора Н или Е.
Возьмем ротор от левой и правой частей уравнений (1.81) и (1.82):
rot rot Н = i(osa rot Е 4~ rot j9 CT, rot rot E= — io>pa rot H — rot jM CT.
39
Используем в первом из этих соотношений уравнение (1.82), а во вто-
ром — уравнение (1.81). Получаем
rot rot Н=- Ыа jM ст 4- rot j9 ст, rot rot Е=k*E - i^aj9 CT - rot jM CT.
Учитывая векторное тождество (П.4) и принимая во внимание урав-
нения (1.83) и (1.84), а также уравнения непрерывности для сторонних
токов (1.73) и (1.76), получаем уравнения Гельмгольца для векторов
поля
V2E+£2E=-MVV,	(1.117)
V2H + £2H = —Мм.	(1.118)
Здесь Мэ и Мм — векторные функции сторонних электрических и маг-
нитных токов:
М9 = — tcop J9 ст -------§.та^ div j9 ст — r°l ст»
Мм= — i(oeajM ст 4-	grad div jM ст4~ rot j9 ст.
Уравнениями (1.117) и (1.118) не всегда удобно пользоваться из-за
сложности их правых частей, поскольку заданные функции объемных
плотностей сторонних токов приходится дифференцировать для опре-
деления векторов Мэ и Мм.
1.10.6.	Иногда при решении задач электродинамики вместо вектор-
ных потенциалов используют вспомогательные функции /э и ZM—•
комплексные амплитуды векторов Герца для электрических и магнит- •<
ных токов, связанные с комплексными амплитудами векторных4 потен-
циалов:
А9 = 1шГа29, AM=i<op.aZM.	(1.119)
Из уравнений (1.105) й (1.112) для Z8 и ZM получаем векторные
уравнения Гельмгольца
j9CT,	ч
i<osa	s
V2z94-£sz9=
Если функции Z3 и ZM известны, то векторы Е и Н определяются 1
по формулам	1
Е = k*Zs 4- grad div Z9 — i<Dpa rot ZM,
H = £sZM4-grad div ZM 4- i<o»a r°t Z9»
получаемым из формул (1.115) и (1.116) с помощью выражений
(1.119).
1.11.	Уравнения электростатики, магнитостатики и стационарных токов.
Уравнения квазистационарных токов
1.11.1.	В частном случае во всем пространстве могут отсутствовать электриче-
ские и магнитные токи (/э = 0, jM==0), а электрические и магнитные заряды являются
статическими, т. е. не зависят от времени. Основные уравнения поля при этом полу-
40
чаются из уравнении максвелла ц.е»), если учесть, что векторы элешричеокого и
магнитного полей не зависят от времени, и поэтому производные по t равны нулю
(ов=0):
rotJE(p) = 0, div D (р) = рэ ст(р), D = ea£;	(1-120)
rot Я (р) =0, div2? (р) == рМсТ (р), B=p.aff.	(1.121)
В уравнениях (1.120) и (1-121) отсутствует связь между векторами электриче-
ского и магнитного полей. Уравнения (1.120) описывают электростатическое поле
(электростатику), а уравнения (1.121) — магнитостатическое поле (магнитостатику).
Поскольку А’=0, Ам=0, то Из выражений (1.90), (1.98) имеем
/	Е (р) ==—grad фэ (р),	(1.122)
Н(р)=—grad<pM(p).	(1.123)
Подставляя эти выражения в уравнения div еа£=рэ ct, div*g0 Я=рм ст для однород-
ной среды, получаем уравнения Пуассона
Дфэ=—рэ ст/ео, Дфм=—рм ст/ро.	(1.124)
f
Если р8 ст=0, рм ст=0, то уравнения (1.124) являются однородными. В этом
случае они называются уравнениями Лапласа.
1.1 U. Поле, возбуждаемое стационарными токами и зарядами, определяется
уравнениями
пЛЯ (р)=/э (р), rot£(p) =—/м(р),	(1.125)
div5(p)=pMCT(p), divD (р) — рэ (р),	(1.126)
следующими' из общих уравнений (1.85) с учетом равенства нулю производных по
времени. В этом случае существует связь между электрическим и магнитным полями,
так как/3 = J3 ст-|-ю8£. Объемная плотность стационарного тока удовлетворяет урав-
нению (1.6).
Из выражений (1 88), (1.97) имеем
Я(р)=пЛ А8(р), Е(р)=—rot Аи(р),	(1.127)
где векторные потенциалы в соответствии с соотношениями (1.93) и (1.101) удовлет-
воряют уравнениям
VM3 = — /эст, V2AM = —/мст.	(1.128)
1.11.3. Если плотности сторонних токов и зарядов и векторы поля во времени
меняются медленно, то можно пренебречь магнитным полем, обусловленным плотно-
стью тока смещения. Уравнения электродинамики квазистационарных (почти стацйо-
нарных) токов имеют вид
rot Н(р, t)=J3(p, t), div В(р, t) =рм, J3^j3ct4-g3£,
rotE (p, t)~—JM(p, t), divD (p, t)J= p3.
При этом связь между электрическими и магнитными полями существует.
Применение уравнений квазистационарных гоков _ к цепи переменного тока рас-
смотрено в п. 1.5.4.
Задачи	.
1.	Уравнения Максвелла (1.22) и (1.23) записать в виДе скалярных уравнений
относительно составляющих векторов поля в декартовой системе координат х, у, z.
Используя формулы приложения, запишем уравнение (1.22)- для проекции на
ось х. При этом получаем <xrot Я =пЛхЯ, \KdD/dt = dDx/dt,	Аналогично
41
находим проекции уравнения (1.ИИ) на оси у и г, и уравнения цли) — на оог х,
у, г. В результате два уравнения Максвелла в векторной форме распадаются «а
шесть уравнений Максвелла в скалярной форме:
дН2	дНу	-dDx,.a		дЕг	дЕу_	дВх
ду	дг	dt 1	1 X»	ду	дг	~~ dt ’
дНх	дН2	_dDy .		дЕх	дЕг _	дВу
дг	дх	dt		дг	дх	dt ’
дЩ	дНх	_dDz,		дЕу	дЕх_	дВ2
дх	ду	dt п	1 / г»	дх	ду	dt '
2.	Используя формулы приложения, записать уравнения Максвелла (1.22) и
(1.23) в виде скалярных уравнений относительно составляющих векторов поля в ци-
линдрической системе координат г, ф, iz. То же выполнить в сферической системе
координат R, 0, ф.
3.	В точке наблюдения р, расположенной вне источников электромагнитного
поля, выразить комплексную амплитуду вектора напряженности магнитного поля Н
через комплексную амплитуду вектора напряженности электрического поля Е, если
известно, что вектор Е в декартовой системе координат имеет только одну Составляю-
щую, отличную от нуля: E=izEz (ЕХ=ЕУ==О). Среда является однородной и изо-
тропной.
Используя уравнения (1.81) и (1.82), где в рассматриваемой точке р j8CT=0,
ет==о> и формулы приложения, находим:
1
Нл
1 дЕ2
ду ’
Н,=
дЕ2
дх ’
Н2=0.
4.	Используя условие задачи 3, выразить вектор Н через вектор Е в цилиндри-
ческой системе координат, если известно, что вектор Е в этой системе координат
имеет только одну составляющую E=izEz(ET=E(p = 0).
5.	Используя условие задачи 3, выразить вектор Н через вектор Е в сфериче-
ской системе координат, если известно, что вектор Е имеет только радиальную со-
ставляющую: Е=1нЕя (Е — Еф = 0).
6.	В точке наблюдения р, расположенной вне источников электромагнитного
поля, выразить комплексную амплитуду вектора напряженности электрического поля
Е через комплексную амплитуду вектора напряженности магнитного поля, если из-
вестно, что вектор Н имеет только одну составляющую. H=izHz (Нх=Н„=0) в де-
картовой системе координат; H=i2Hz (Нг— Н^^О), в цилиндрической системе коор-
динат; Н=1вНн (Нд = Н(р = 0) в сферической системе координат.
7.	Из векторного уравнения Гельмгольца для комплексных амплитуд электри-
ческого (магнитного) векторного потенциала получить скалярные уравнения Гельм-
гольца для декартовых составляющих векторного потенциала.
Для сокращения записи обозначим АЭ>М=А. Используя формулы приложения
и находя проекцию оператора V2A=grad div A—rot rot А.на ось х, имеем:
(V’A) = grad, div А - rot, rot А = i,	+^+-
[ d PAv ____________д	1 а‘А, ,
х L \ ду J дг \ dz дх /] 1 х \ дх1 ду1 *" dzz )'
Аналогичные соотношения получаются для выражений (V2A)iy и (V2A)iz.
42
Таким образом, определяя проекции векторного уравнения Гельмгольца после-
довательно на оси х, у, z, находим три независимых скалярных уравнения:
AA*’M4-£8A’-M= — £’м;
AA’*M + AsAjM = -j*'M;
AA®’M + fe2A|>M = -jJ’M,
где ^=д2/дх2-\-д2/ду2~\-д2/дг2— оператор Лапласа в декартовых координатах.
8.	Показать, что векторное уравнение Гельмгольца для комплексных амплитуд
векторных потенциалов в цилиндрической системе координат сводится к следующим
трем скалярным уравнениям относительно составляющих векторных потенциалов Ari
A^, Az:
1	2	_
ААГ + &8АГ г2 Аг	jr,
1	.	2 дА,
ДАф4-/ггАф ri Аф4- ri —	)ф,
AAz4-fe2Az = -jz,
1 д (. д \ , 1. 1
где Д — f	fg 0^2 +0гг
оператор Лапласа в цилиндрических координа-
тах.
Третье уравнение может решаться независимо от двух других уравнений. Пер-
вые два уравнения связаны друг с другом и поэтому составляют систему дифферен-
циальных уравнений в частных производных.
9.	Показать, что векторное уравнение Гельмгольца для комплексных амплитуд
векторных потенциалов в сферической системе координат сводится к следующим трем
скалярным уравнениям относительно составляющих векторных потенциалов Ад,
Ав и Аф:
2	2 д	2 <ЭАф _
ДАЯ + kskR — Ri Ar —	0 (sin 0Ав) — £2sin 9	JR.
1	2 дкИ 2 ctg 9 дАф
ДАв+ k*Ад — р sin2 6 Лв + дТ -^9 р sin 9	3 ~ Jei
1	2	2 ctg 9 дАд_____.
Д ф + <р /?2 sin2 0 <₽ ~1~ /?2 sin 0 tty /?2sin9 d<f	J*’
1 d f д \	1 d f d \ ,	1 d2
где Д—	£2sin9 Qsin 0 dQ j + ^sin2 9 оператор Лап-
ласа в сферической системе координат.
10. Используя результаты трех последних задач, получить из векторных неод-
нородных уравнений для мгновенных значений векторных потенциалов скалярные
Уравнения относительно составляющих векторных потенциалов в декартовой,, цилинд-
рической и сфёрической системах координат.
43
Глава 2
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
В НЕОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
2.1.	О постановке задач возбуждения поля
Рассмотрим довольно общий случай постановки задачи о возбуж-
дении электромагнитного поля заданными источниками. Пусть неогра-
ниченное изотропное пространство состоит из областей V, V2
(рис. 2.1), в каждой из которых параметры среды еа, На являются
непрерывными функциями координат. На поверхностях Si и S2, являю-
щихся границами раздела этих сред, пусть хотя бы один из параметров
На, о9 имеет разрыв. Так как на поверхностях раздела сред уравне-
ния Максвелла в дифференциальной форме теряют силу, мы должны
решать уравнения электродинамики в каждой из областей Vi, V и V2
по отдельности и затем на поверхностях Si и S2 сопрягать полученные
решения.
Предположим, что необходимо найти решение уравнений Максвел-
ла только в области V, где распределения сторонних электрических
токов j9 ст и сторонних магнитных токов jM ст являются заданными.
Точка р наблюдения подя находится в области V. Для комплексных
амплитуд имеем
rot Н (р) = i®7a (р) Е (р) -|r j9 ст (/?),
rot Е (р) = — i(opTa И (р) ~ jM ст (р).
(2Щ,
Полученные решения уравнений (2.1) в области V должны еще удовле-
творять заданным граничным условиям на поверхностях Si и S2, огра-
ничивающих рассматриваемую область V. Граничные условия на
поверхностях раздела сред будут сформулированы в гл. 3.
Для упрощения считаем, что электрический гистерезис и магнитные
потери отсутствуют, т. е. ea — sa — h9/m, р.а —рьа. Это предположение
не нарушает общности получаемых результатов.
Отметим, что применительно к определению поля в области V
(рис. 2.1) теорему Умова—Пойнтинга при наличии в этой области
сторонних электрических и магнитных токов можно записать так:
'р-дНН*
v
+J4-a>EEW+ J -г1Е> H’lndS.
V	Si+S2
(2.2)
Рис. 2.1. к постановке задач возбуждения элеК-*
тромагнитного моля
44
Последний интеграл в (2.2) берется как по поверхности Si, так и по
поверхности Sg. При этом нормали п к поверхностям Si и S2 направо
лены так, как показано на рис. 2.1.
Из выражения (2.2) видно, что для определения энергетических
соотношений в рассматриваемой области V необходимо знать векто-
ры Е и Н во всех внутренних точках области и тангенциальные состав-
ляющие этих векторов на поверхностях Si и S2.
Решение уравнений (2.1) или вытекающих из них уравнений вто-
рого порядка для вектора Е или вектора Н в общем случае неодно-
родных сред является очень сложной задачей. Введение же векторных
потенциалов для неоднородных сред также сопряжено с определен-
ными трудностями. Однако если бы мы хотели ввести понятия о век-
торных потенциалах при решении задач в неоднородных средах, то
мы могли бы свести уравнения Максвелла (2.1) к следующим:
rot Н (р) = /ш7а1Е (р) + j9 пол (р) 4- j9 ст (р),
(2.1а)
rot Е (р) = — Цьв1Н (р) — jM пол (р) — jM ст (р).
Здесь рпол и |мпол — токи электрической и магнитной поляризации,
определяемые выражениями
Г"”(р) = й»[Го0’)-«~]Е(р), (2.3) j"-MW = <®k(p)-lbjH(z>). (2.4)
Причем eai и pai — произвольно выбираемые не зависящие от коор-
динат параметры среды в области V. В частности, можно положить
8ai—ео и ца1=цо. Тогда уравнения Гельмгольца для векторных потен-
циалов примут следующий вид:
V2A3c+&2iA3C==—j3CT—рпол,	(2.5)
у2Дмс-|-^21ДмС== jM СТ jM ПОЛ,	(2.6)
где k1=my sal^ai —не зависящий от координат коэффициент распро-
странения/Поскольку уравнения Максвелла (2.1) являются линейны-
ми и применим принцип суперпозиции, т. е. АЗС=А34-АЗПОЛ. AMC=AM-f-
+Дмпол, то можно решать векторные уравнения Гельмгольца для А3,
Ам и для Аэпол, Ампол. В первом случае в правой части должны стоять
сторонние токи, во втором — токи поляризации. Однако при этом
трудности решения задач для неоднородных сред не уменьшаются.
Наряду с необходимостью удовлетворения решений граничным усло-
виям на поверхностях Si и S2 приходится еще, как правило, решать
интегральные уравнения для вторичных токов в области V, т. е. для
токов поляризации.
Отметим, что когда поверхность S2 отодвигается на бесконечность,
область V оказывается внешней областью относительно поверхности
•Si и тогда граничная задача называется внешней. В случае, когда
поверхность St стягивается в точку (исчезает), область V оказывается
внутренней областью относительно поверхности S2 и тогда граничная
задача называется внутренней. В данной главе будет рассмотрена
однородная изотропная среда в области V; граница St стянута в точ-
ку, а граница S2 удалена на бесконечность.
45
Таким образом, будем далее рассматривать возбуждение элек-
тромагнитного поля при заданном распределении сто’ронних токов
в неограниченной однородной изотропной среде. Решения задач в та-
кой среде очень хорошо разработаны и позволяют выявить основные
закономерности возбуждения и распространения электромагнитных
волн. Полученные при этом решения можно использовать при рас-
смотрении более сложных^ внутренних и внешних граничных задач.
Поле, возбуждаемое источниками, расположенными в неограниченном
пространстве, называют первичным (падающим) полём, а поле, отра-
женное границами раздела сред, — вторичным полем. Граничную за-
дачу при этом можно сформулировать так, что неизвестным оказыва*
ется только вторичное поле.
2.2.	Возбуждение электромагнитного поля
в неограниченном однородном пространстве
2.2.1.	Пусть в неограниченном однородном изотропном простран-
стве с параметрами «а, Ца, о9 задано распределение объемной плотно-
сти стороннего электрического тока j3CT(p, t), сторонний магнитный
ток отсутствует, т. е. jMCT(p, tf) =0. Необходимо найти возбуждаемое
этим распределением тока электромагнитное поле в точке р(х, у, z)
пространства.
Запишем соотношения, необходимые для решения поставленной
задачи. Искомые составляющие векторов поля Е(р, t) и Н(р, t) долж-
ны удовлетворять уравнениям Максвелла. Решение последних сводится
в соответствии с § 1.9 к решению в общем случае четырехмерного вол-
нового уравнения (1.93) для электрического векторного потенциала
Аэ(р, /). Поскольку магнитный ток отсутствует, то из уравнения (1.101),
применяемого к неограниченному пространству, следует, что Лм=0.
С помощью преобразования Фурье (или применяя метод комплексных
амплитуд) для векторного потенциала в волновом уравнении исключа-
ется производная по времени и уравнение превращается в трехмерное
уравнение Гельмгольца
V2A3-Hfe2A3=—j9 ст>	(1.105)
решив которое, найдем по уравнениям (1.102) и (1.108) комплексные
амплитуды векторов напряженности магнитного и электрического по-
лей. Умножив затем полученные выражения на eltot и взяв действитель-
ную часть, найдем мгновенные значения векторов поля.
2.2.2.	Теперь рассмотрим решение уравнения Гельмгольца (1.105).
Наиболее просто это удается сделать в декартовой системе коЬрдинат,
в которой векторное уравнение (1.105) распадается на три независимых
скалярных уравнения относительно составляющих Аэх, А?у, A3Z:
V«A*-HaA>-j*CT,
V’A; + ^A9 = -j9CT,	(2.7)
46
где Vs = д*/дхг + д3/ду2 + д*/dz3; k ~® У еар.а; еа=еа (1 —ia9/(»sa). Далее
предполагается, что функция распределения стороннего тока является
интегрируемой с квадратом, т. е. если М — конечная величина, то
J | j9 от (х, г/, z) |® dV <2И.	(2.8)
Левая часть (2.8) с точностью до множителя, имеющего размерность
ом, определяет мощность, генерируемую сторонними источниками, и,
значит, соотношение (2.8) соответствует физическим условиям рассма-
триваемой задачи.
При условии (2.8) любую из составляющих вектора стороннего элек-
трического тока j*CT, j’CT, j32CT в неограниченном пространстве можно
представить в виде преобразований Фурье. Например, составляющая j®CT
как функция координаты х при фиксированных значениях координат у, г
записывается в виде следующей пары преобразований Фурье:
00
j9CT(x, у, = J У, z)Q~i%xdn,	(2.9)
00
^(x, у, z) = pL- j j’CT(x, y, z)el'xdx.
X——00
(2.10)
Отличие преобразований (2.9), (2.10) от преобразований (1.44),
(1.47), приведенных в § 1.6, заключается в физическом смысле пере-
менных.В выражении (1.44) переменная со имеет смысл частоты,.‘пере-
менная х в (2.9) обладает теми же математическими свойствами, но
рассматривать ее надо как пространственную частоту; х называют так-
же коэффициентом распространения размерностью м-1. Функцию g(x,
у, г) по аналогии с функцией j9CT(p, о>) в выражении (1.47) можно на*
звать спектральной плотностью (или пространственным спектром) сто-
•э ст
роннего тока j .
Отметим, что если подставить в прямое преобразование Фурье (2.9)
спектральную плотность g(x, у, z) из (2.10) и поменять местами поря-
док интегрирования, то получим выражение
00
j’CT(x, у, г)=	!/> Z)
—00
во	j
2я 1	I
в котором функция в квадратных скобках обладает свойством дельта-
функции Дирака (б-функции):
~ Je-‘,‘tx-x'>dx = S(x — х').	(2.11)
Основным свойством б-функции является следующее:
f f (х’) 8 (х — х') dx' = Кпри х’	(2.12)
J	I 0 при х'&[а, 6].
47
Электромагнитное поле, определяемое уравнениями (2.7), так же как
и ток, является функцией, интегрируемой с квадратом. Поэтому к со-
ставляющим векторного потенциала Аэ можно применять в Неограни-
ченном пространстве преобразования Фурье. Однако векторный потен-
циал является функцией трех координат х, у, z и поэтому преобразова-
ние видя (2.9) нужно применить трижды. Проинтегрируем первое урав-
нение (2.7) и запишем решение для Аэх в виде тройного преобразова-
ния Фурье:
ОО ОО 00
Аэ* (А	J J ^2’ х3, ®)е * У dx1dx2dx3,
—00 —00 —00
(2.13)
где xi, Х2, хз— коэффициенты распространения, соответствующие коор-
динатам х, у, z.
Если найти спектральную плотность gi (xi, хг, хз), то, подставив ее
в выражение (2.13) и проинтегрировав последнее, найдем искомую со-
ставляющую векторного потенциала Аэх. С этой целью подставим раз-
ложение (2.13) в первое из уравнений (2.7). Учтем, что дифференци-
рование по х, у, z можно производить под знаком интеграла в (2.13).
Объединяя подобные члены и учитывая, что^ае-1Х11/(?7]а= — хае—1Х11> полу-
чаем
f I J(A’ —хз)Х
X e-‘v-'*,’-‘‘-2dx1dx!dx,= - j’CT(p. »).	(2.14)
Таким образом, известная функция распределения стороннего тока
j’CT(x, у, z) представляется в виде тройного преобразования Фурье, при-
чем спектральная плотность этого тока равна спектральной плотности
составляющей векторного потенциала gi(xi, х2, хз), умноженной на вы-
ражение (Л2—х21—х22—х23). Для того чтобы найти спектральную плот-
ность составляющей векторного потенциала gi(xi, х2, хз), надо к выра-
жению (2.14) применить тройное обратное преобразование Фурье1.
Умножим левую и правую части выражения (2.14) на множитель
ехР	+ ы,зг)»
где %'i, х'г, х'з — фиксированные значения xt, х2, х3 соответственно, и
внесем этот множитель под знак интеграла. Если затем полученный
результат проинтегрировать по координатам х, yt z, изменяющимся
в неограниченных пределах (взять интеграл по неограниченному про-
странству) , то получим 1
00 00 00	%
У У У ^—Х2, —Ха2 —ха3)£;(х15 Х2, хз, <о)Х
—00—00—00
[СО 00 - 00
W J f f е~‘	’dxdydz

48
'—CO —00 —00
Здесь надо учесть, что внутренние интегралы в левой части этого ра-
венства представляют собой произведение трех 6-функций вида (2.11).
Поэтому имеем
j f	—	*»» ®)8(^“z\)8(z2 — х\)Х
—ОС —00 —00
ХЧ*з ——^=jr- j J J j’CT(x’у> z* ®)х
—Ъо —00 —00
X	dxdydz,	*
Учитывая основное свойство (2.12) 6-функции в этом равенстве,
находим
(**—И 2— «'2—к2)	и'» “) =
------Йг" I J }£"(*у’г’
—CD —00 —00
Если перенести штрихи с x'i, х'2, х'з (пространственных частот) на
координаты х, у, г, то получим
00 00	00
g,K<и.. т)=-(й). J J Jo*'1 у'<г’’ т).х
—00 —00 —00
X — 5—i—2 i3~ dx'dy'dz'.
ZX * I + *2 + * 3 - “
(2.15)
Таким образом, спектральная плотность gi(xi, кг, хз) в разложе-
нии Адх (р, <в) (2.13) найдена. Эта спектральная плотность представ-
ляется как тройной интеграл по’ пространству существования сторонне-
го электрического тока j*CT. Можно утверждать, что выражение (2.15)
определяется интегрированием по физическому пространству х, у, г,
в то время как выражение (2.13) определяется интегрированием по
пространству коэффициентов распространения xi, Х2, хз-
Будем полагать, что сторонний электриче-
ский ток существует в некотором ограниченном ______________
объеме V', а в остальной части неограниченного /<эсг д
пространства сторонний ток отсутствует (рис./ J I £аиа
2.2). Тогда для краткости выражение (2.15) |	/
можно записать так:	\	I •
\ yf I
Рис. 2 2. К задаче возбуждения поля в неограниченном	J
пространстве
4—116
49
gl(^, X,, x3, ш) =
It-iX'+1х2у'+tx<#'
___________________AV'
*,l+*,* + *2»—Л2
(2.15a)
где dV'=dx'dy'dz'. Подставляя выражение (2.13a) в соотношение -(2.13)
и меняя местами порядок интегрирования, получаем
А*х(А »)= [ Г/(Х', у’, z', »)Х
V'
е
(х~х')~i*2 (y—y>)—i*s (z—z>)
-г-:—;-j_- 2------------ dnfajdn.
*21 + *2 T * a -- «	12	3
dVr.
Выражение в квадратных скобках представляет собой функцию коор-
динат точки наблюдения р(х, у, z) и функцию координат х', у', z', по
которым производится интегрирование, — координат точки истоков
q(xr, у\ z'). Обозначим эту функцию через (j(x, у, z; х', у', z'):
1 С Г р е—l»i (X —Xх) —	^0—^*з (z—z )
^) = (2^j«“ J J J x2a+ х2а + х% — Л*	(2.16)
—00 —00 —00
Тогда для составляющей векторного потенциала имеем
А\(А ®)= f j*CT(<7, '<o)G(A q)dV.	(2.17)
Выражение (2 17) представляет собой решение первого из уравнений
(2.7). Решение остальных двух уравнений получается аналогично
А’, (А ш)=^ j9CT(<?, <о) (?(/,; q)dV’t	(2.18)
Aez(p, <o)=j j92CT(A <o)G(p; q)dV.	(2.19)
Заметим, что A°=ixAax+iyA3J/+izAaz, где ix, iy> it — орты декартовой си-
стемы координат. Учитывая это и выражение |ЭСТ==Ц9СТ +у9СТ+Ujg”
получаем из формул (2.17) — (2.19) решение векторного уравнения
Гельмгольца (1.105):
А® {р, ®) = J j9 ст (q, ш) G (р-, q) dV'-	(2.20)
Точка q(x', у', z') в подынтегральном выражении (2.20) принадле-
жит объему V', в котором задан сторонний ток, — это точка источни-
ков поля. Функцию G(p; q) называют функцией Грина (функцией на-
ведения) неограниченного однородного изотропного пространства.
2.2.3.	Рассмотрим решение поставленной в § 2.1 задачи при усло-
вии, что в неограниченном однородном и изотропном пространстве элек-
трический сторонний ток отсутствует (j»cT=O), а в объеме V' задана
объемная плотность стороннего магнитного тока jMCT(p, ®). Так как
|эст_о, т0 Из уравнения (1.105) для неограниченного пространства по-
лучаем Аэ=0, а комплексная амплитуда магнитного векторного потен-
циала определяется уравнением Гельмгольца (1.112). Каждую из со-
50	\
ставляющих Амж, AMZ с помощью метода, использованного в этом
параграфе, можно выразить в виде соотношений, аналогичных (2.17) —
(2.19). Тогда решение уравнения (1.112) представляется выражением
Ам (р, <о) = f jM ст (<?, <й) G (р- q) dV'.	(2.21)
Комплексные амплитуды векторов напряженности электрического и
магнитного полей определяются подстановкой (2.20) и (2.21) в выра-
жения (1.115) и (1.116).
2.3.	Функция Грина неограниченного трехмерного пространства
Функция Грина неограниченного трехмерного пространства пред-
ставлена выражением (2.16) в виде интегрального разложения. Соот-
ветствующие интегральные разложения векторных потенциалов и век-
торов электрического и магнитного полей используются при решении
задач электродинамики. Но часто применяется свернутое представле-
ние функции Грина. Получим это представление.
Функция Грина зависит от положения точек истоков q(x', y't z') и
точек наблюдения р(х, у, z). Обозначим расстояние между этими точ-
ками через Rpq=z V (х—х')2+(#—/)2+(2—z')2 и перейдем в выраже-
нии (2.16) от декартовой системы координат к сферической: Rpq, 0, <р—
в физическом пространстве (рис. 2.3,а) и х, О, ф— в пространстве ко-
эффициентов распространения (рис. 2.3,6). Имеем
х—x'=Rpq sin 0 cos <р, y—y'=Rpq sin 0 sin ф,
z—z'=sRpq cos 0;
xi==x sin О cos ф, %2=x sin О sin ф,
X3=X cos O.
Знаменатель выражения (2.16) и произведение дифференциалов при
этом имеют вид н\-\-п22-\-<х,2з—k2=n2—k2; dxidx2^x3=x2 эш^Мхг/Мф.
Показатель экспоненты
XI (х—х') +%2 (у—у') + ХЗ (Z—Zr) =
=>tRpg[C0S 0 COS '0 + sin 0 sin Ф COS (Ф—ф) ] =%Rpq cos y.
Рис. 2.3. Сферическая система координат:
° —в физическом пространстве; б — в пространстве коэффи-
циентов распространения
4*
Рис. 2.4. Плоскость комплекс-
ного переменного х
51
Переменные интегрирования изменяются по х от О до оо, по й от 0;
до л и по ф от 0 до 2л. Таким образом, выражение (2.16) принимает
вид
ОО тс 2те —1*#пв COS
G(/r, <7) = 72^v f f f	—ьГ-и’эш&ЫМф.	(2.22а)
I ^7» 1111	*• п>
х=0&=0 ф=0
Для упрощения вычислений будем считать, что точка р располо-
жена на оси z—zr. Тогда 0=0 и cos y=cos О’. Поэтому интегралы по ф
и О* в (2.22а) просто вычисляются и получаем
00	l’x7?	—г*^пл
°(Р’ $ = ет- f е JCv	(2.226)
х=0	\
Для того чтобы применить к вычислению последнего выражения
теорему о вычетах, нужно перейти к интегралу по х в бесконечных пре-
делах. Для этой цели во втором слагаемом подынтегрального выра-
жения перед х поменяем знак (вместо+х подставим—х'). Тогда
G{p\ q)— ^HRpq
e РЧ
X2 — k2
udu — f 7-7^—^5 K’dv!
J (x1)2 — Й2
x'i=0
Суммируя интегралы, получаем
1 f e1’^
(Pi q) — (2л)2 iPpq J x2 _ k2
—00
(2.22в)
«
Перейдем на плоскость комплексного переменного к (рис. 2.4)^.
Подынтегральное выражение в (2.22в) имеет две особые точки типа?
полюса при х=хо1=Л и х=хо2=—k. Так как коэффициент распростра^
нения является комплексной величиной:
k = оо еарьа = Р — iat	1 (2.23)
где р и а — положительные величины (см. § 1.10), то особые точки
определяются выражениями xoi=p—ia и хог=—р + ш, т. е. первый no-J
люс хм лежит в четвертом квадранте комплексного переменного х^
а второй полюс хог— во втором (рис. 2.4).	'	;
Если взять интеграл (2.22в) по кругу бесконечно большого радиу-
са р в верхней полуплоскости комплексного переменного к, то он об^
ратится в нуль. Поэтому, доцолняя (2.22в) этим интегралом, получаеЦ*
G{P.	^^(fi^xdx,
(2т:)2 tRpq J х2—£2	(
где L — замкнутый контур в верхней полуплоскости комплексного пере^
менного х (обход по контуру против часовой стрелки). Применяя тео-
рему о вычетах, получаем
„,	.	1 п • 1 •	/	X exp (ixflp(?)
в&	2т J™.,(х~н”> (-*)«+*) ’
или, наконец,
.	1 exp (— ikRpq)
G ^Р''	R^q	(2.24)
52	\
Свернутая -форма функции Грина (2.24) неограниченного простран*
ства часто используется при вычислении полей, возбуждаемых в сво-
бодном пространстве различными излучателями.
2.4.	Представление функции Грина в декартовой
и цилиндрической системах координат
Часто электродинамические задачи необходимо решать в декарто-
вой или цилиндрической системе координат. При этом используются
представления функции Грина в интегральной форме. Последние мож-
но получить с помощью выражения (2.16).
2.4.1.	Рассмотрим прежде всего это выражение в декартовой систе-
ме координат. Формулу (2.16) можно упростить, выполнив интегриро-
вание, скажем, по хг. Подынтегральное выражение (2.16) на плоскости
комплексного переменного х2 при фиксированных значениях x^ и хз
имеет две особые точки типа полюса при х2—rvo и при х2=—ivo, где
vo= V х214~х2з—&2. Предположим, что x2i+x23>i62, где k — действитель-
ная величина. Тогда на плоскости комплексного переменного х2 первый
полюс находится в верхней полуплоскости, а второй — в нижней. Если
(*/—/)< 0, то (
Г	(2(.25)
—СО
можно дополнить интегралом по полукругу бесконечно большого ра-
диуса р в верхней полуплоскости (рис. 2.4), где при хг-ноо подынте-
гральное выражение стремится к нулю. Тогда последний интеграл ра*
вен интегралу по замкнутому контуру L, охватывающему особую точку.
Применяя теорему о вычетах, находим, что интеграл равен произведе-
нию 2ж на вычет в верхней полуплоскости втрчкех2=г\о- Выполняя вы^
числение, находим, что выражение (2.25) равно tcvJ"4 exp [v0 (у — у')].
Если (у—у')>0, то исходный интеграл (2.25) можно дополнить
интегралом по полукругу бесконечно большого радиуса в нижней по-
луплоскости, где при /х2-э—подынтегральное выражение стремится
к нулю. Тогда интеграл (2.25) равен интегралу по замкнутому конту-
ру. Применяя теорему о вычетах, находим, что интеграл (2.25) равен
ехР [— v0(t/ — /)].
Таким образом, учитывая значение интеграла по х2 в формуле
(2.16) v получаем
Г}(п „х  1 С Г ехР [—	(х — х') — 1к3 (г — zr) ±	-J- х%—й2(у—/)]
8„8 J |	/X2i + x%_fe2	А
X dxtdxit	(2.26)
где знак «плюс» в показателе экспоненты берется при {у—z/')<0, а знак
«минус» — при (у—у')>0.
Если х21+х2з<^2, то, выполнив вычисление интеграла (2.25), полу-
чим тем же путем из формулы (2.16) выражение (2.26). Формула
(2.26) остается верной и для среды с потерями, т. е. когда k — ком-
плексная величина.
53
Рис. 2.5. Точки наблюдения р и источника q в ци-
линдрической системе координат
Отметим, что в выражении (2.16) мож-
но было выполнить интегрирование по щ
или хз; при этом получаются еще два вы-
ражения, аналогичные (2.26). Формула
(2.26) применяется весьма эффективно
во многих внешних задачах электроди-
намики.
2.4.2.	Рассмотрим функцию Грина в ци-
линдрической системе координат г, ф, z
(рис. 2.5), в которой х=гсоэф, y—rsin^, z=z. Преобразуем
выражение (2.16). Для этого введем в пространство коэффициен-
тов распространения новые переменные интегрирования ix, ф, h, связан-
ные с переменными xi, хг, х3 соотношениями, аналогичными предыду-
щим: Х1=х cos ф, Х2=хзтф, хз=Л. Используя новые переменные в фор-
муле (2.16), находим
СЮ 2 те	ОО
г 1 С С f ехР{~ ixpcos (Ф — <р) — г' cos (Ф — <р')] — ih (z — г')} у.
J J J	x2-M2—Л2	*
х=0 ф—0 h——оо
X xdxdtydh.
Чтобы преобразовать это выражение, используем в нем известные раз-
ложения [25]
00
e~i«r cos (ф-ср) __ 2 i)nQin^^n (xr),
'	Л——00
00
cos (ф—___ 2 lme~im<$—'И/у (хгЭ
m=—oo
Уп&г)—функция Бесселя индекса п аргумента хг, и учтем затем
условия ортогональности экспоненциальных функций:
2и
О при nv=£n,
I при т = п.
Тогда
G=7TL_ V e-Wv-V) f	f	(*г!') e'^^xdKdh.
(2те)2 ZJ	J	J	х2 + п2 — kz
п=—оо	х=0 ft=—оо
•»
Будем теперь считать, что г>гь и воспользуемся известной [25]
формулой	•
(w) = 4- Iя® М - (- 1)Ч2’ (- ’«•)],	(2.27>
где Я^2) (хг) — функция Ганкеля второго рода индекса п, аргумента хг.
Тогда
54	,	\
G=^ I
n=—oo	Кх=0Л=—oo
, °C °C e-ih(z-^')	,
/ — J J	W Mh * •
»=0 ft=—oo
Во втором интеграле применим формулу [25]
&п(кг') = (—1)пУп(—гУ)	(2.28)
и затем произведем замену переменной так, чтобы в аргументах функ-
ций Бесселя и Ганкеля избавиться от знака минус. Тогда во втором
интеграле пределы интегрирования по % будут от —оо до 0. Объединяя
интегралы, получаем
0°	00	00	_^z2_z/\
G= 8^ 2	j	J	r>r'.
n=—CD	—00	—00
Если r<rf, то в исходном выражении применим для .7n(xr') фор-
мулу (2.27), а потом во втором интеграле воспользуемся для &п(кг)
соотношением (2.28), Объединяя последний результат с предыдущим,
получаем
G=8ir £ е-'"1’-’'’ j f
п——00	—00 —00
X («<') ^’(w)
'Уя(^)Н®(хг')
при г
при г
Теперь можно вычислить интеграл по х с помощью теоремы о выче-
тах. Переходя на плоскость комплексного переменного х и вычисляя
интеграл так же, как раньше, находим
<?(/>; <?)= Д J	f
Л=—00	—00
(yrr) Н®	(Vf)	При	г > f',
(vrr)	при	r<rf,
(2/29)
где v = — i У hz — k2. При интегрировании учтено ас имптотическое пове-
дение функции’Ганкёлй при больших значениях аргумента
X2’ (w) «	е-'<—(| v | г - оо).
(2.30)
Формула (2.29) применяется часто и эффективно при решении гра-
ничных задач в цилиндрической системе координат. Физическое содер-
жание формул (2.26) и (2.29) выясним, изучив конкретные задачи воз-
буждения электромагнитного поля заданными сторонними токами.
55
2.5.	Точечные источники и уравнение для функции Грина
2.5.1.	В предыдущих параграфах использовались понятия непрерыв-'
но распределенных плотностей зарядов и токов. Однако часто прихо-
дится исследовать поля, возбуждаемые точечными зарядами и точеч-
ными излучателями (токами). Чтобы сохранить удобное в физическом
и математическом отношении понятие плотностей зарядов и токов для
точечных величин, в электродинамике используют аппарат б-функций.
Например, если объем V, в котором имеется электрический заряд
q9, выбрать таким, что он постепенно «стягивается» до •' нулевого
объема вокруг точки po(V->O), то объемная плотность заряда рэ стре-
мится к нулю во всех точках р, кроме точки ро, где она стремится к бес-
конечности. Если использовать б-функцию, которую считаем равной,
нулю во всех точках, кроме точки р=ро, где она обращается в беско-
нечность, то плотность заряда при этом можно записать так: рэ=
=рэб(р, Ро)1 Действительно, тогда заряд в объеме V представляется
выражением
С р’ (р) do = С <?’8 (р, р,) dV = <?’.
V	V
Здесь при интегрировании использовано соотношение (2.12)—основное
свойство б-функции. Для трехмерной б-функции основное свойство по-
лучается в результате обобщения одномерного выражения (2.12):
при р*&?,
при poeV.
fr(p)*(p, P.)dV = !f(^
V	'
Размерность трехмерной б-функции можно определить, положив в (2.31)
f(pi)==l; тогда [б(р, р0)] ={У]_1 = м“3. Одномерная б-функция в де-
картовой системе координат в соответствии с (2.12) имеет размерность
[б (x—’Xq) ] =4*] -^М-1.
Если положить в (2.31) f(p)=l, то получим
Поскольку в декартовой системе координат dV=dxdydz, то из это-
го выражения имеем
б(р, ро)=б(х—xo)6(z/—Po)6(z—Zo).
В сферической системе координат dV=R2 sin Od/?d0d(p, поэтому
8 (P> Ро) —	5 ~ *o)8 (6 — 60)8 (<p — <p0).
(2.31)
при poev, -
При дЦУ.
4

В цилиндрической системе координат dV=rdrdqdz, поэтому
8 (А А) = у- 8 (г — г0) 8 (<р — ?0) 8 (z — z,).
Отметим, что с помощью б-функций могут быть выражены и объ-
емные плотности зарядов и токов, заданных на некоторой поверхности
56	\
Рис. 2.6. Линейные источники поля
или линии в пространстве. Например, если
в пространстве имеется бесконечно тонкая
прямолинейная нить Длиной L и на ней за-
дано распределение линейной (погонной)
плотности электрического заряда т]эст
([т)эст] =К-м-1), то, располагая декартову
систему координат так, чтобы ось z была Хг
параллельна нити (рис. 2.6), получаем, что
рэ ст (р) ст (х-Х()) § (р_ро),
где цэст отлична от нуля только в пределах нити:
»ст=рэст(г), zGL,
10,	L.
(2.32)
Если по нити протекает ток с заданной линейной плотностью
1Э, то аналогичным образом можно выразить объемную плотность элек-
трического тока
j9=Мэ (г) 6 (х—х0) 6 (у—уо),
(2.33)
цДе 1э зависит в общем случае от координаты z и отлично от нуля
только в пределах нити:
Р=/1’(г).
2 Gr L,
zl=L.
Выражения вида (2.33) будут использоваться в дальнейшем.
2.5.2.	Далее отметим, что структура найденных общих решений
(2.20), (2.21) уравнений Гельмгольца для векторных потенциалов про*
ста: решения показывают, что для получения векторного потенциала
стороннего источника надо подсчитать эффект от каждого элемента
источника и затем сложить все эффекты. В этом проявляется явление
интерференции электромагнитного поля. Например, если G(p, q) пред-
ставляет собой компонент потенциала в точке наблюдения р, порож*
денный единичным источником, расположенным в точке q (точечным
источником), то потенциал Ах в точке р,‘ порожденный совокупностью
сторонних источников с плотностью (р), равен интегралу от G(p\ q) X
X п0 всей области V изменения q, занятой источником.
Рассмотрим количественные соотношения. Подставив выражение
(2.20) в уравнение Гельмгольца (1.105), получим
C[V‘G(p; ?)+**G(p; 9)]j’CT(?)dV' = -j’CT(p).
Интеграл здесь переводит функцию стороннего тока из точки q в точ*
ку р без изменения. Как видно из формулы (2.31), выражение в квад-
ратных скобках под интегралом является 6-функцией, т. е. -
V2G+^2G=—6(р—q),
(2.34)
где 6(р—7)=6(р, q) —трехмерная 6-функция.
Таким образом, функция Грина удовлетворяет скалярному урав*
нению Гельмгольца, правой частью которого является 6-функция. Что*
Рис. 2 7. Источник в точке q
бы выяснить физический смысл правой ча-
сти этого уравнения, рассмотрим, например,
третье из уравнений (2.7)
v2A2’+^=-i:cT.
Если правая часть этого уравнения яв-
ляется d-функцией, т. е.
j*CT=a8(p-<7),	(2.35)
где а=1, причем размерностью а является А-м, то A3Z=G. Ток, опре-
деляемый выражением (2.35), можно назвать «точечным» током (за-
данным в точке q). Если отличен от нуля компонент ]Эст(рис. 2.7), то
j3CT = UCT = iz«S(^-7).
Реализовать такой ток можно с помощью элементарного электрическо-
го вибратора, который изучается в § 2.9.
Таким образом, функция Грина представляет собой решение ска-
лярного уравнения Гельмгольца с точечным единичным источником.
Уравнение (2.34) можно считать всюду однородным, кроме точки p=q,
т. е. когда точка наблюдения совпадает с точкой источника. Уравнению
(2.34), как нетрудно показать, удовлетворяет функция Грина в виде
(2.16), (2.24), (2.26) и (2.29).
2.6.	Линейные излучатели. Общие выражения поля,
возбуждаемого прямолинейными излучателями
2.6.1.	Применим полученные выражения для расчета электромаг*
нитных полей реальных излучателей. В качестве излучателей на прак-
тике очень часто используются тонкие провода длиной L, по которым
протекает высокочастотный электрический ток. Если размеры попереч-
ного сечения провода очень малы, то провод можно считать бесконеч-
но тонким и заменить нитью линейного тока длиной L (рис. 2.8,а).
Распределение линейного тока по длине нити (провода) можно из-
мерить и считать заданным. Таким образом, реальный физический из-
лучатель— тонкий провод, по которому протекает линейный ток, мож-
но заменить математической моделью — бесконечно тонкой линейной
нитью тока. Излучатели такого типа называют линейными электриче-
скими излучателями. Если по линейной нити тока протекает магнитный
ток, то излучатель будем называть линейным магнитным излучателем.
Физические модели последних рассмотрим позднее.
Считаем, что линейный излучатель расположен в неограниченном
однородном изотропном пространстве. Надо вычислить напряженность
электрического и магнитного полей в некоторой точке наблюдения р.
Поле удовлетворяет уравнениям Максвелла и, следовательно, уравне-
ниям Гельмгольца. Значит, для вычисления электромагнитного поля
надо найти векторные потенциалы (2.20) и (2.21), а затем уже с по-
мощью последних, используя выражения (1.115), (1.116), определить
векторы напряженности электрического и магнитного полей.
58	х
Рис. 2.8. Прямолинейный электрический излучатель:
а — декартова система координат; б — сферическая система координат; Аэ дано при t=t0
2.6.2.	Рассмотрим прямолинейный электрический излучатель конеч-
ной длины L. Для решения задачи введем декартову систему коорди-
нат и расположим ее так, чтобы ось z была направлена вдоль нити
тока. Началр координат расположим на конечном расстоянии от нити
тока (рис. 2.8,а). Тогда комплексная амплитуда объемной плотности
стороннего электрического тока нити определяется выражением (2.33),
в котором Хо=О, #о=О:
j3 ст (р) =izI3 (2) й (х—0) 6 (#—0).	(2.36)
Линейную плотность тока P(z), который отличен от нуля только в пре-
делах нити, можно представить так:
P(2)=pls(z)|ew, zSL,
(О,
где |p(z)| и ф(-г)—модуль и фаза тока. Функции |I9(z)| и ^(z) за-
даны. Они могут быть различными. На рис. 2.9 представлен гипотети-
ческий случай распределения модуля и фазы тока по длине прямоли-
нейного излучателя/ когда модуль тока одинаков во всех точках излу-
чателя (|P(z) I =I3o=const), а фаза меняется линейно по его длине
Ф (2) =0о+01Z, 0о и 01 — постоянные).
Мгновенное значение объемной плотности тока
" (р, t)=Re (z) S (x - 0) S (у - 0)] =
= Re[|I’|e'(“(+'w]8(^-0)S(iZ-0) = /’(z.
где Id(z, Z) = |I3(z) | cos [®Н-ф (z) ] —мгно-
венное значение линейного тока. Отметим,
что в каждом сечении z=const излучателя
ток меняется по гармоническому закону.
Вычислим векторные потенциалы. Так
как сторонний магнитный ток отсутствует
Рис. 2.9. Пример распределения тока по длине пря-
молинейного излучателя
59
(j м ст- 0), то согласно (2.21) Ам—0. Вектор Аэ находим из (2.20)
с учетом (2.24) и (2.36):
A9=i- (I* (/) 8 (х' - 0) 8 (у' - 0) X
V ехр [— Zfe У(х — хЭ2 + (У — 8 + (^ — Z92] л ,4
Х К(х-х')8+(у-У')8+(г-гТ	’
Интегрируя по / и / rf используя при этом основное свойство 6-функ-
ции (2.12), имеем
А9 —
ехр [— ik Уха + У2 + (* — z')z\	_
/х2+у2 + (z —z')2
IV)
(2.37)
____ *2
4тс
Заметим, что координата zr точки интегрирования ^(0, 0, z') (рис. 2.8)
принимает все значения, принадлежащие длине вибратора (z'eL), по«
этому здесь обозначено
Rpq = /x2 + y2 + (z —/)2= /х2 + у2 + z2 — 2zz' + z'2 =
= /£8 —2zz' + z'2,	(2.38)
где R=Vхг + уа z2 — расстояние от начала координат до точки на-
блюдения р’(рис. 2.8, а).
Векторный потенциал в точке р имеет только одну составляющую
A3=izA9z (Аэх=0, А%=0).
Теперь можно найти вектор Н(р) из (1.116). Вычисления проще
выполнить в сферический системе координат R, 0, <р (рис. 2.8,6). Эту
систему обычно применяют при анализе поля линейных излучателей.
Поскольку H=rotA3, то
Н — * Г d ЛмПад» \В1 Н — * Г * R д \
* Z?sin 0 [	0? ]’ У? [sin9 ~др(КАч>\’
ы _____ 1 Г Ф /р А») дк R
Пф “ R |_0У?	9'	09
(2.39)
А9* = (А%) = А% (1г1Л) = А% cos 0,
Аэ0 = (A9ifl) = А% (i8ifl) = — A% sin 0,
А\ = (А\) = А92(Мф) = °-
Заметим, что A3Z не зависит от угла ср, поэтому производные от
A3Z по <р равны нулю. Таким образом, учитывая последнее, из (2.39)
находим
Н„=О, Не=о, Нф = —L^(RsinOA92)--А-А(с08вА.г),	(2.40)
Следовательно, вектор напряженности магнитного поля имеет только
одну составляющую Нф (Н = i^H^) и силовые линии магнитного поля’ле-
жат в плоскостях, перпендикулярных прямолинейному излучателю, т. е.
, в плоскостях, параллельных экваториальной плоскости.
60	\ '
Подставив значение А»2 из (2.37) в (2.40) и объединив интегралы,
получим

1 С	• Л (П ®	I ('л А ® ^^РЧ J f
7~p-U (z ) sinO-эн-(Я—б—)+лг I coso- р. ) dz’.
4лН J ' ' L dR \ Rpq J 1 09 \ Rpq J J
Дифференцируя под интегралом, учитывая, что к
R — z’ cos 8 dRpq Rzr sin 9
dR R^ ’ ~dT— Rpq ’
и приводя подобные члены; находим
 H.=^sinep(z')^—	(2л1)
L
Вектор Е можно найти из (1.115). Но его можно определить и из
первого уравнения Максвелла. Если точка наблюдения р находится
вне источников (peV), то уравнения Максвелла являются однород-
ными:
rot И = i<oeaE, rot Е = — к»р>аН.
(2.42)
Из первого уравнения получаем
Е = —^-rotH, рё=У,
К0ео
и составляющими вектора Е в сферической системе координат явля-
ются
йоеа я sin 6 /dir(sin0#<p) д^~_	Sin 9 W (sin
F Г—	1 1	Г 1 dHR	д (RH }	—	1	1 jL (RH )	(7. 43)
		sin 0 дч>	dR	R dR	
	Е		1_ • * R коеа .		dHR ] Л —=0 dO	U’	
так как НЛ=Нв = 0 по (2.40). Таким образом, с помощью простых со-
отношений (2.41) и (2.43) могут быть вычислены все составляющие век-
тора Е по найденной составляющей Нф. Из выражений (2.43) следует,
что в общем случае вектор напряженности электрического поля пря-
молинейного электрического излучателя иМеет относительно радиаль-
ной координаты R продольную составляющую ER и поперечную состав-
ляющую Е0. Поэтому силовые линии электрического поля лежат в ме-
ридиональных плоскостях.
2.6.3. Рассмотрим прямолинейный магнитный излучатель длиной L. Считаем, что
по нити тока (рис. 2.8,а) протекает сторонний магнитный ток
jM ст = цм (2) g (х _ 0) 3 (г/ - 0).	(2.44)
Линейная плотность магнитного тока отлична от нуля только в пределах нити:
z<=L,
k I о>	zei,
где |1м| и Ф(г) —модуль и фаза магнитного тока.
61
Тогда А»=0, так как ги1=и. вектор л- определяется по (2.21), (2.24). Под-
ставляя значение тока из (2.44) в (2.21) и интегрируя, получаем
'	1 Г	~~ikIiDa
Амг =	1 Iм (г')  е - — . dz’t	= 0.	(2.45)
4л J
Поскольку Е=—rotAM, то в сферической системе координат, вычисляя так же,
как в случае электрического излучателя, находим
Е^=0, Е0= 0,
Еф-----sin 9 (Iм (г') е (1 + -JJjf-) Л'.	(2.46)
¥	ЧЛ	J	\	iKtfpq J
Из второго уравнения Максвелла (2.42) получаем вектор Н:
1 —
Н — — — rot Е, р S V,
1(0[Хо	г
и составляющими вектора в сферической системе координат являются
=	Ъ =	НФ = °-	<2-47>
Эти же результаты легко получить из (2.41) — (2.43), применяя принцип пере-
становочной двойственности (см. § 1.8).
Из выражений (2.46) и (2.47) следует, что вектор напряженности электрического
поля имеет только одну составляющую, лежащую в плоскостях, перпендикулярных
оси излучателя (в плоскостях, параллельных экваториальной плоскости). Вектор на-
пряженности магнитного поля имеет две составляющие Н8 и HR, и, следовательно,
силовые линци магнитного поля лежат в меридиональных плоскостях.
2.7.	Поле прямолинейных излучателей на больших расстояниях
2.7.1.	На практике основной интерес представляет знание поля на ,
очень больших расстояниях от излучателя, таких, что /?->оо (R^L).
Эту область пространства называют дальней зоной или зоной излу-
чения.
Совместим начало координат с некоторой точкой, принадлежащей
излучателю (рис. 2.10). Рассмотрим выражение для составляющей
(2.41) в дальней зоне. Выражение для расстояния Rpq между точкой^
интегрирования q и точкой наблюдения поля р можно в этом случае *
упростить (рис. 2.10). Так как z=J?cosO, то из (2.38) имеем
R„, = VR‘ - 2Rz' cos 0 + (z')! = R	l-2-|-cos0 + ^
Но поскольку |2'|<L, при
7?->oo получаем, что z'[R<g,l.
Поэтому под корнем второе и
третье слагаемые значительно
меньше единицы. Учитывая, что
]/1-|-А^1-[-А/2 при А<С1, на-
ходим
Рис. 2.10. к определению поля прямо-
линейного излучателя в дальней зоне
62
KP(^=r(1 — -~cos64-^)=fl — z'cosO (£->oo).	(2.48)
Этот же результат можно получить, если считать, что прямые qp и Ор
на рис. 2.10 параллельны; при этом расстояния от точечных источни-
ков, расположенных в начале координат и в точке q, до точки наблю-
дения отличаются на величину zr cos 0. Эту величину в оптике называют
разностью хода лучей. С учетом (2.48), поскольку R^> \z' cos 01, имеем
<2-49)
Но так как
t~tkRM= е“ад-г'c“6' = е~ме,кг'c°sS (R—oo),	(2.50)
то разностью хода z'cos0 в показателе экспоненты пренебрегать нель-
зя, так как величина kz' cos 0 не является малой.
Теперь с учетом соотношений (2.49), (2.50) рассмотрим в подын-
тегральном выражении (2.41) множитель, не зависящий от тока. Полу--
чаем
/?2
A pq
&—ikR.Qikzf cos 9
1
ikRpq
Z?-»oo
(2.51)
^pq J	R \ ,
— e	aikz' cos 0 [
e	|l k | ₽->oo>
где, для того чтобы можно было пренебречь слагаемым |(z&7?)1-| по
сравнению с единицей, считается, что
Таким образом, в дальней зоне -выражение (2.41) имеет вид
н =£ Sin 6 j119 (/) eife' ““ ’<fe' (I k IR - oo).
L
Значение интеграла в этом выражении зависит от функции распределе-
ния тока /9(z), длины излучателя L, коэффициента распространения k
и угловой координаты 0. Введем обозначение
a’F (0) = sin 6 С I9 (z') e/fe' “s ’dz',
L
где a9 — множитель, не зависящий от 0; F(0)—функция,
зующая зависимость напряженности поля от угла 0. Тогда
Теперь можно найти выражения составляющих вектора
ляя Нф из (2.53) в (2.43), получаем
m^lsin6fW] (lft|K—
(2.52)
характери-
(2.53)
E.
Подстав
(2.54)
Е,=4нф. ,Еф=ОР|/?-оо)
Из этих выражений видно, что отношение модулей
1Е/?1_ 1	| d [sin 6F (6)]/d8 | „ , , г>_ х
I Efl I ~ | k I p I F (0) sin e I vl « I
63
убывает с ростом расстояния как 1/|&|7?. Поэтому в дальней зоне |ЕН|^
по сравнению с |Е01 является очень малой величиной. Обычно значе^
нием |ЕЙ| в дальней зоне пренебрегают. Однако, как видно из послед-* '
него соотношения, при некоторых значениях углов 9, хотя |Ед| мало?5
|Ев|/|Ее| может иметь большую величину и при исследовании струк-
туры силовых линий электрического поля это надо учитывать.
В выражении (2.54) множитель ^/©еа с учетом (2.23) можно пре-
образовать так:
k]^a = to V гара/<ога =	ра/еа = IF,	(2.55)
где комплексная величина IF=|IF| exp (л arg IF), имеющая размерность
ом и зависящая от параметров среды, называется характеристическим
сопротивлением неограниченного пространства (|IF| и arg IF—модуль
и фаза сопротивления). При этом выражения (2.54) можно записать
в виде
Е„ = 1ГНф, Е„=0 (МЛ|-оо). Еф = 0.	(2.56)
Таким образом, в дальней зоне электрическое поле содержит единст-
венную составляющую Е0, связанную с единственной составляющей Нф
через характеристическое сопротивление пространства. Значит, векторы
E = i0E0 и Н = в дальней зоне взаимно перпендикулярны и каждый
из них перпендикулярен орту i^.
2.7.2.	Для прямолинейного магнитного излучателя поле в дальней
зоне (| k | 7?—>-оо) получаем из (2.46) и (2.47) таким же путем, как и
для электрического излучателя, или с помощью принципа перестановоч-
ной двойственности. Если обозначить	{
а“Е (6) = sin в f 7м (z') e‘fe'cos 8<fe',	(2.57)
где а* — множитель, не зависящий от 6, то найдем	j
F(6)	о,).
/ i
Н,=-Г-'Еф. HR=0 (|fc|R—.оо), H9=0.	(2.58)r,
Значит, в дальней зоне электрическое поле имеет единственную состав-‘|
ляющую (E = itpEtp), магнитное поле тоже имеет только одну составляю--
Щую Н0 (H = i0H0). Векторы Е имН взаимно перпендикулярны орту iR. I
Далее знак kR для поля в дальней зоне будем опускать, считая,
что |&|/?->оо.	4 /
2.7.3.	Сбставляющие векторов электромагнитного поля в дальней
зоне зависят от угловой координаты 0. Поперечные составляющие век* ]
торов поля от 0 зависят по закону Р(0), который, как видно из формул,'
(2.52) и (2.57), определяется функцией распределения линейного тока
по излучателю, длиной излучателя и коэффициентом распространения. ‘
Функцию F(0) называют характеристикой направленнрсти излучателя.
В общем случае Г(0) —комплексная величина:
F(0) = |F(0) | exp [iargF(0)j.
64	\
Функцию Iг (0)1 и arg г (О) называют амплитуинии и tpaeueuu харак-
теристиками направленности, а их графические изображения — ампли-
тудной и фазовой диаграммами направленности. Изучают обычно ха-
рактеристики направленности для конкретных излучателей.
Составляющий* векторов поля в дальней зоне от угла ф не зависят.
Это объясняется тем, что для прямолинейных излучателей в неограни-
ченном пространстве все направления по ф равноправны. Поэтому 'и
характеристика направленности не зависит от угла ф. В случае более
сложных излучателей характеристика направленности есть функция
углов 0 и ф: F—F (0, ср).
2.8.	Сферическая волна
Для того чтобы определить параметры, характеризующие процесс
распространения электромагнитного поля, рассмотрим мгновенные зна-
чения поля в дальней зоне.
2.8.1.	Предположим, что в среде не имеется потерь, т. е. сг9=О.
Тогда коэффициент распространения k и характеристическое сопротив-
ление среды являются действительными величинами. Из (2.23) и (2.55)
при этом имеем /?=р=	IF =	== | IF Мгновенные значе-
ния поля прямолинейного электрического излучателя в дальней зоне
получаем из (2.53), (2.5б):
= Re {(H'o/R) exp [i (<*>t — pR) -|- in/2 -|- i arg a3 + i arg F (6)]} =
= H'o cos (®f — -3R + ф9)/Я,	(2.59)
Ee(p, —	ER^0, Ev = 0,
где
Н'о=Н'о(О)^р|а’||Г(е)|/4л;
фэ=м /2+arg F (0) + arg a9.
Составляющие векторов поля меняются во времени по тому же гармони-
ческому закону, что и ток j3zCT(p, t), возбуждающий это поле. Но фаза
составляющих векторов поля зависит еще и от расстояния R и угла 0.
В один и тот же фиксированный момент времени при 0=01=const
значения фазы ©Л—^R+i|)a(0i) в точках пространства, расположенных
на разных расстояниях Ri и Ra от излучателя, различны. Однако можно
выбрать такое время ti для точки с расстоянием Ri и время t2 для точ-
ки с расстоянием Ra, что фазы будут одинаковыми, т. е.
co/i—PRi +i|'3 (01)	—₽R2+r(0i) •
3 н э. чит
(o(^2-M/₽=Rs—R1.	" (2.60)
Последнее выражение показывает, что для момента времени
должно быть и Rs>Ri- Значит, фаза, которую поле имеет в фиксиро-
ванной точке с расстоянием Ri в произвольный момент времени ti, по-
вторяется в более удаленной точке через промежуток времени &t=
=$2—ti, пропорциональный расстоянию между точками ARc=R2—Ri.
Следовательно, функция cos [со/—pR + i|)3(0) ] описывает волну, распро-
5—116	65
СТрЯ няницуЮСЯ в цилилшслспим naupdDvicnnn v^n uv nanyao«vnnr
от излучателя). Функцию cos [®/—<р/?+фэ] называют волновой функ-
цией. Поверхность, на которой волновая функция принимает заданное
фиксированное значение, называется поверхностью равных фаз или
фронтом волны. Фронт волны определяется выражением at—(М?4-фэ=
=const. Из (2.60) следует, что если за промежуток времени At—t2—ti
фронт волны, перемещается йа расстояние AR=^R2—Ri, то скорость пе-
ремещения фазы поля определится как Пф==1Д1/?/Д/. Переходя к беско-
нечно малым приращениям и взяв полный дифференциал от выражения
cof—(М?4-фэ==сопз1, получим общую формулу для определения этой ско-
рости:
Офг^/dfzatt/p.	(2.61)
Скорость перемещения фазы поля называется фазовой скоростью.
В неограниченном пространстве без потерь фазовая скорость не за-
висит от частоты, а в неограниченном пространстве с параметрами ва-
куума (эту среду называют свободным пространствам) ^ф=1/рЛеоЦо=
=2,998-108 м/с, т. е. скорости света в вакууме.
Коэффициент р характеризует' фазу поля и называется коэффи-
циентом фазы. Его можно представить в следующем виде:
₽ = ш Уеа^а = ш/иф = 21с/Тиф = 2®/Z,
где Т — период колебаний; X — длина волны электромагнитного поля
в среде с параметрами еа и ца, h=Tv$ — расстояние между^ двумя точ-
ками наблюдения, фаза поля которых сдвинута на 2л.
Если фэ не зависит от 0, то в момент времени t поле имее*г одина-
ковую фазу на сфере радиусом R=const и фронтом является сфера ра-
диусом R. Волновой множитель cos (cof—07?4-ф9)/7? или exp [i(<d/—0/? +
+Ф0)]/^ описывает расходящуюся (бегущую) от излучателя сфериче-
скую волну. Поверхность равных фаз такой волны движется со ско-
ростью Уф вдоль возрастающих значений R, при этом интенсивность
(амплитуда) волны убывает как 1 /R.	1
Составляющие векторов электромагнитного поля (2.59) описывают-
ся сферической волной, но поле еще зависит и от угловой координаты
(от характеристики направленности F(9)). Такая волна поля называет-
ся неоднородной сферической волной.
Электрический и магнитный векторы поля лежат во взаимно перпен-
дикулярных плоскостях (Е = igfg I И— i Н или Е — W [Я, ij) и перпен-
дикулярны вектору Ьг — направлению распространения поля. Про-
дольные составляющие поля отсутствуют (Ед=0, /7д=0). Такая
электромагнитная волна, векторы напряженности электрического и маг-
нитного полей которой лежат в плоскости, перпендикулярной направ-
лению распространения, называется поперечной волной и кратко обо-
значается Т-волна.
Среднее за период значение вектора Пойнтинга волны направлено
вдоль 1д, так как из выражения (1.71) имеем
ncp(/>)=Re[Е, H*]/2=[i,, i„]Re(E,, H*.)/2=iRnw	(2.62)
W nftp=Re(E1, H*)/2=F|H,|72; П^=П^=0.
Рассмотрим, как изменяется поле во времени в некоторой фиксиро-
ванной точке наблюдения р—р\. Так как в выражениях (2.59) характе-
66
Рис. 2.11. Графики зависимости мгновенных
значений составляющих векторов поля от вре-
мени в точке pi
ристическое сопротивление является
действительной величиной, то состав-
ляющая EB(pi, t) меняется во време-
ни по тому же закону cos (ant—^i-Нф8), что и составляющая Н^(рь /),
т. е. эти составляющие имеют одинаковую фазу (синфазны во времени).
Графики их зависимости от времени в точке pi(Ri, 0Ь <pi) изображены
на рис. 2.11.
Для фиксированного момента времени tx графики’зависимости состав-
ляющих	Е3(р, от расстояния R изображены на рис. 2.12,
где Л — расстояние, соответствующее длине волны в среде. Отметим,
что поле при £ —с измейением расстояния* изменяется по закону
‘ соз[<-^+Ф’(в)].
к
2.8.2.	Теперь изучим поле в среде с потерями. Коэффициент распро-
странения	—ia и характеристическое сопротивление среды в соот-
ветствии с выражениями (2.23) и (2.55) являются в этом случае комп-
лексными величинами. Мгновенное значение поля прямолинейного элек-
трического излучателя в дальней зоне получаем из (2.53), (2.56):
Н,(р. =	f(6)]=
+ , (2.63)
Е, (р, t)=Re [| W | e'	= | W	, (2.64)
где
Ho = Ho (0) ==	1 * | F (0) | e““*; ф9=-n/2 -f- arg F (0) + arg a3 * * * + arg k.
С увеличением расстояния амплитуды составляющих векторов маг-
нитного и электрического пблей убывают по экспоненциальному закону
за счет множителя ехр (—nR). Объясняется это явление тем, что из-за
5*
Рис. 2.12. Графики зависимости мгновенных значений составляющих векторов поля от
расстояния в дальней зоне
67
конечной проводимости среды энергия электромагнитного поля частично
переходит в тепловую энергию (поглощается средой) и происходит на-
гревание среды. Коэффициент а определяет скорость убывания ампли-
туды волны с расстоянием и называется коэффициентом затухания.
Расстояние б, на котором амплитуда волны уменьшается в е~
=2,718 раз за счет поглощения энергии электромагнитного поля средой,
называют глубиной проникновения поля в среду. Эта величина опреде-
ляется из условия ехр (—аб)=1/е, т. е.
6=1 /а.	(2.65)
Поперечные составляющие векторов электрического и магнитного
полей изменяются несинфазно: разность фаз между ними равна аргу-
менту характеристического сопротивления среды. Фазы поперечных со-
ставляющих поля зависят и "от аргумента коэффициента распростра-
нения.
Выражение для вектора Пойнтинга
П = [Е, H*]/2=[i,, i„] |WIH„H*/‘rsr/2 = i₽nR-,
где nR = |H |!|IT|exp(iarg 1Г)/2. Среднее значение вектора Пойнтинга
ncp=’Ren = iJH.|=|^|cos(argW2'	(2.66)
зависит от аргумента характеристического сопротивления среды (т. е. от
разности фаз поперечных составляющих векторов напряженностей маг-
нитного и электрического полей). Среднее значение вектора Пойнтинга
убывает с расстоянием как ехр (—2а7?)/R2. Волна является поперечной.
Фазовую скорость волны'можно определить так же, как и в случае
среды без потерь: приравнивая фазу поля постоянной и беря полный
дифференциал этого выражения, находим Пф=®/р. Физический смысл
параметра 0 тот же: это коэффициент фазы. Но в среде с потерями
коэффициент фазы в соответствии с выражением (2.23) зависит от ча-
стоты, поэтому и фазовая скорость зависит от частоты, т. е. среда с по-
терями обладает дисперсионными свойствами.
Если сторонний ток излучателя промодулирован во времени (по за-
кону сигнала), то возбуждаемое эл-ектромагнитное поле тоже модули-
ровано во времени и представляется совокупностью спектральных со-
ставляющих. Каждая спектральная составляющая имеет свою, отлич-
ную от других, фазовую скорость. Чтобы охарактеризовать скорость
распространения сигнала в диспергирующей среде, вводят понятие
групповой скорости Игр. Чтобы пояснить физический смысл групповой
скорости и выразить игр через параметры,, среды, можно рассмотреть
распространение сигнала, состоящего из суммы двух спектральных со-
ставляющих поля частоты <oi и частоты ®2- В соответствии с (2.63) для
этих составляющих поля имеем
(р. О=Н„ СО8-(ю'Щ^+±1>-,
П2,(р. 0 =	.	(2.67)
Мгновенное значение результирующего поля получается суммирова-
нием этих выражений. Если считать, что и со2 близки (<oi-^-co2), то
68
значения Hoi и Ноа мало отличаются. Обозначая их через Ноо и заме-
няя сумму косинусов произведением косинусов, получаем
Н, = 2Н„ -L cos {4- [(., - .Jf- ф, - У /?+(?•, - ф\)1} X
X cos {[(»,+«>,) t - ф, + ?.) R +	+ f%)]/2}.	(2.68}
Первый множитель (первый косинус) характеризует огибающую бие-
ний, а второй — высокочастотное колебание с частотой (oi + coa) /2.
Групповую скорость определяют как скорость перемещения максимума
огибающей, соответствующего максимуму плотности энергии электро-
магнитного поля.
Первый множитель в выражении (2.68) равен единице (имеет мак-
симум), когда аргумент косинуса равен нулю. Обозначая через Д®=
=(О1—(02, Д'р=|р1—Рг, Дфэ=фэ1—“фэ2, имеем
Дсо/—Др^?+Дфэ=О.
Беря полный дифференциал и считая, что (Oi-хог, находим
dR Дй) 1	1 /А Л\	/п
°ГР_ dt “"Др~Д&/Д(й “ d^/da> (Д<в“*°)-	(2.69)
Групповая скорость в общем случае зависит от частоты. В среде бее
потерь р = ад/еар.а и поэтому Угр =• »ф = W*1 /2-
2.8.3.	В случае сред, наиболее часто встречающихся на практике,
формулы, характеризующие параметры распространяющегося электро-
магнитного поля, можно упростить и при этом более1 подробно проана-
лизировать поле в таких средах.
Пусть излучатель расположен в диэлектрике с малыми потерями.
Тогда <о8а^>1огэ (см. § 1.6) и выражения (1.106) приближенно запишем
в виде
<0 Vsa^a’ а — °,5оэ У р.а/8а.	(2.70)»
Коэффициент затухания не зависит от частоты и пропорционален про-
водимости среды. Фазовая (2.61) и групповая (2.69) скорости в первом»
приближении равны друг другу и остаются такими же, как и в среде
без потерь:
со	1
°ф -= 1Г—
d г-------
Глубина проникновения поля в среду в соответствии с формулой
(2.65) оказывается обратно пропорциональной проводимости среды и
не зависит от частоты <в:
Характеристическое сопротивление среды (2.55) с учетом того, что»
°э/2(08а<С1, определяется выражением
____ ^1/Еа-=|Ц7|,
|/ 7а |/ Efll V1 — t0?7“e«	|/ sa
6»
которое не зависит от частоты и совпадает С соответствующим выра- '
жением для среды без потерь. Величина arg и ^оэтому состав-' f
ляющие векторов напряженности магнитного и Электрического полей
в этом приближении можно считать синфазными.
Пусть теперь излучатель расположен в среде, являющейся провод-
ником. При этом юэ^>1(08а (см. § 1.6) и выражения (1.106) приближенно „
запишем в виде	х
а |/вф.аоэ/2.	(2.71)
Для фазовой и групповой скоростей и для характеристического со-
противления из формул (2.61), (2.69) и (2.55) получаем
о — 1/ 2(0 v ~ On W — |/	е1и/4
Глубина проникновения поля в среду 6 2/ад|лаоэ.
Итак, в среде, являющейся проводником, коэффициенты фазы и за-
тухания приближенно одинаковы и растут с увеличением частоты, про-
'водимости и магнитной проницаемости; в диапазоне радиочастот они
могут иметь большое Значение, поскольку проводимость среды по уело- I
ъию является значительной. Длина волны в среде (%=2jr/ip) мала, по-
скольку р велико. Затухание амплитуды волны значительно. Глубина ।
проникновения поля мала.
Модуль характеристического сопротивления среды |	— (opia/сгэ)1/2, 1
являющейся проводником, в диапазоне радиочастот имеет малое зна- ;
чение, так как о9 велико. Поэтому амплитуда напряженности электри- ,
ческого поля |Т^|Я0 (см. (2.64)) очень мала. Это означает, что среднее ;
значение объемной плотности энергии магнитного поля намного больше
соответствующей плотности энергии электрического поля.	\
Составляющие векторов магнитного и электрического полей сдвину- ’
ты по фазе на 45°, поскольку arg W=n/4.	.
2.8.4.	Отметим, что для расположенного в неограниченном пространстве прямо- ]
линейного магнитного излучателя с помощью соотношения (2 58) можно получить
мгновенные значения электромагнитного поля в дальней зоне и так же, как |
в пп. 2 8.1—2.8.3, вычислить все параметры, характеризующие распространяющуюся
от излучателя волну. По существу все параметры не будут отличаться от изученных 1
в предыдущих пунктах
'	2.9. Элементарный электрический вибратор	?
2.9.1.	Элементарным электрическим вибратором называют прямоли- J
иейный излучатель, длина которого много меньше длины волны возбуж- *
даемого поля, а модуль и фаза линейной плотности электрического тока
распределены по длине вибратора равномерно (рис. 2.13,а). Реализо-^ |
вать на практике распределение тока, близкое к равномерному, можно j
•с помощью диполя Герца, представляющего собой два металлических <
шара, соединенных тонким проводом, к разрезу провода подсоединен,
например с помощью двухпроводной линии, источник э. д. с. (рис. 2.13,6).
Длина диполя много меньше длины волны излучаемого поля. Если на-
пряжение в разрезе, создаваемое с помощью источника э. д. с., менять
во времени по гармоническому закону, то заряды на шарцх тоже
меняются во времени по гармоническому закону. Распределение моду-
ля и фазы электрического тока по длине диполя из-за малой его длины
70	1
Рис. 2.13. Распределение тока по длине элементарного электрического вибратора (а),.
диполь Герца (б)
является близким к равномерному. Длина разреза Д намного меньше
длины диполя L, и поэтому можно считать, что провод непрерывен. Та-
ким образом, диполь Герца является физической моделью элементар-
ного электрического вибратора.
2.9.2.	Проанализируем поле, возбуждаемое элементарным электри-
ческим вибратором. При этом будем искать решение для ближней и для
дальней зоны.
Расположим начало сферической системы координат в середине'
вибратора и направим ось z вдоль его оси (рис. 2.8). Линейный ток на
вибраторе по условию представляется выражением 1Э (г) =1ЭО=
=| 1эо| ехр (про), где амплитуда |1э0| и фаза фо тока не зависят от z.
Магнитное поле излучателя, как показано в § 2.6, имеет толькр одну-
составляющую, определяемую формулой (2.41). Подставляя в нее ток.
1Э, получаем
и_Ш’.ви.. /exp(-.Ww)
' НФ~—RsIn9 J —-------------
-L/i
dz'.
Заметим, что чем меньше |&|L, тем меньше меняется в фиксированной'
точке наблюдения величина kRPq=[(kR)2—2kz (kz') + (&z')2]1/2 ПРИ
изменении z', а значит, и подынтегральная функция. Применяя при
I&|L<C 1 теорему о среднем, получаем 1
н	ехр(~г^>
Ф	4п	/?
(2.72}
Это выражение является точным в пределе, когда	Но при
|^|L->0 произведение IaoL, называемое электрическим моментом вибра-1
тора, должно оставаться постоянным. Линейный вибратор при этом
превращается в точечный вибратор, ток которого можно представить-
с помощью 6-функции: I®(z)=I%L6(z—0). Для точечного вибратора
выражение (2.72) является точным.
Далее будем считать, что. выражением (2.72) поле определяется*
С большой точностью при конечном значении |&|L (но |i£|L«c 1), и бу-
дем использовать в этом выражении и в выражениях для поля, полу-
ченных на основе формулы (2.72), знак равенства.
Составляющие вектора электрического поля вибратора определя-
ются формулами (2.43), подставляя в которые значение Нф из (2.72)
выполняя операции дифференцирования и усчитывая (2.55), находим
71
р __1Э(Л^ _ л ехР ( ikR) /11____’	/9 73^
ЕК“ 2тс COs9 R2 (1-Г ikRJ'^	(2.7о)
р __ik\30LW  д exp ( ikR) / < •_1_____1_\	,п плх
^9“ 4п Sin0 R (/ ‘ ikR k*R2)’		(^-'^
Е =0.
ф
Характерным в выражениях (2.72)—‘(2.74) является сложная за-
висимость поля от расстояния: имеются слагаемые, меняющиеся обрат-
но пропорционально первой, второй и третьей степени расстояния. На
малых расстояниях от вибратора в выражении для преобладает
слагаемое, меняющееся обратно пропорционально квадрату расстоя-
ния, а в выражениях для Ед и Е8—слагаемые, меняющиеся обратно
пропорционально кубу расстояния. Для того чтобы можно было прене-
бречь другими слагаемыми, кроме указанных, надо, чтобы
|А>|Я<1, т. е. Ж1/1Я	(2.75)
При этом условии ехр(—ikR)^A и получаем
и 1ЭО£ . д j-, 1ЭО£П7 д г, I90LU7 . д	.п
'	Нт=е -г-^- sin 6, Eg	° , D3 cos 6, Efl , D3 sin 6.	(2.76)
Ф 4п/?2	« i2nft/?3	8	i4n«/?3	'	'
Область пространства вблизи вибратора, радиус которой определя-
ется выражением (2.75), называется ближней зоной. Если записать
мгновенные значения составляющих векторов поля, то найдем, что
в ближней зоне составляющие вектора напряженности электрического
поля в указанном приближении отстают по фазе на 90° от составляю-
щей вектора напряженности магнитного поля. Поэтому вектор Пойнтин-
га П в том же приближении имеет чисто реактивный характер.
При анализе выражений (2.72) — (2.74) выделяют зону, в которой
модули всех слагаемых имеют примерно одинаковую величину. Эту зону
называют промежуточной зоной.
Если 1, то в выражениях (2.72) — (2.74) всеми слагаемыми,
кроме первых, можно пренебречь. Эту зону называют дальней зоной
элементарного электрического вибратора (или зоной излучения). Для
нее получаем
н____Шэо1 • л exp (— ikR)
ф 4п 5 ° R ' >
Е,=ГН„,	=	0 exp(~iW>.	(2.77)
Эти составляющие могут быть получены и из общих формул (2.53),
Подставляя в выражение (2.52) значение линейной плотности тока 1эо вибрато-
ра, вынося его из-под знака интеграла и выполняя интегрирование, находим при
M|L<C1
’	-t. , в	L/2
Р	plkz' cos 0
a3F (9) = sin 6 Poei^'cos 0	= poSin0L-------—	=
I	COS и
-L/2	-L/2
sin f -g- cos 9 I	1
= sin 9--------2_-------L P0L sin 9 (| k I L < 1),	(2.78)
так как функция sing/^1 при gel. Поэтому a3^Ia0L, F(0)^sin 0.
72
Продольной составляющей вектора поля в дальней зоне можно пре-
небречь, поскольку IE^IcIEjI. Мгновенные значения поля в среде без
потерь или в общем случае среды с потерями не отличаются от соот-
ветствующих значений, определяемых выражениями (2.59) и (2.63),
(2.64), что естественно, так как здесь исследуется частный случай пря-
молинейного излучателя. Поэтому параметры, характеризующие рас-
пространяющееся от элементарного излучателя поле, уже рассмотрены
в § 2.8. Кратко отметим, что поле, определяемое выражениями (2.77)
при Ед=4), представляет собой неоднородную сферическую Т-волну, бе-
гущую от вибратора. В среде без потерь поперечные составляющие
векторов электрического и магнитного полей синфазны, характеристиче-
ское сопротивление среды является действительным.
2.9.3.	Характеристикой направленности элементарного электриче-
ского вибратора является выражение
F(0)=sin0,	(2.79)
показывающее, что вибратор вдоль своей оси (при 6 = 0, 180°) не излу-
чает,*при этом в соответствий с (2.77) Нф = 0 и Е8 = 0. В направлении
нормали^к’оси вибратора (при 6 = 90, 270°) составляющие | Нф |, | Е01 мак-
симальны. Амплитудная и фазовая характеристики имеют вид
I Г/m I । • n I г (0 при 0<6< It,	*
F(0) = smj , argF(9)= к
(it при it < 6 < 2it.
Характеристика направленности (2.79) определяет зависимость со-
ставляющих векторов поля от угла 0, изменяющегося в меридиональной
плоскости. Поэтому ее называют характеристикой направленности в ме-
ридиональной плоскости. Поле от угла ср не зависит: вибратор излучает
одинаково во всех направлениях по <р (при 0=const), поэтому в эква-
ториальной плоскости (0=90°) характеристика направленности может
быть записана в виде Г(ф) = 1.
Амплитудные диаграммы направленности в меридиональной и
экваториальной плоскостях в полярной системе координат изображены
на рис. 2.14. В пространстве амплитудная диаграмма направленности
представляет собой тор с нулевым внутренним радиусом.
2.9.4.	Силовые линии электрического поля по определению касатель-
ны вектору поля Е = iRER -f- i0Er Силовые линии магнитного поля каса-
тельны вектору Я=1ф/7ф. С помощью формул (2.72) — (2.74) можно най-
ти мгновенные значения, векторов поля и построить силовые линии элек-
трического и магнитного полей для фиксированных моментов времени.
В момент времени t—t0, когда электрический заряд вибратора равен
нулю, силовые линии электрического поля оказываются замкнутыми и
картина силовых линий поля Е в некоторой меридиональной плоскости
изображена на рис. 2.15,а. Через четверть периода при t=tQ+T/4 элек-
трические заряды на концах вибратора становятся экстремальными и
семейство силовых линий «выходит из зарядов, опираясь на них», и
«отталкивает» во внешнюю область пространства существующие там
линии (рис. 2.15,6). Далее процесс повторяется. Сгущения силовых ли-
ний на рис. 2.15 соответствуют максимальным абсолютным значениям
электрического поля. Расстояния между соседними максимумами абсо-
лютных значений поля равно половине длины волны (0,5%).
73
Рис. 2.14. Амплитудные диаграммы направленности в меридиональной (а) и эквато-
риальной (б) плоскостях
Меридиональная плоскость
Экваториальная плоскость
а)	‘5)
/ '
Рис. 2.15. Структура силовых линий электрического и магнитного полей элементарного
электрического вибратора
"74
' Если построить и ироанализ ов к рт ну иловых линий для
ряда моментов времени, например между/=f0+3T/8 и t~tQ+T/2, то
окажется, что постепенно увеличивается число удаляющихся от вибра-
тора замкнутых! силовых линий электрического поля. Но, с другой сто-
роны, «обрывки» этих линий смыкаются концами с вибратором и «втя-
гиваются» в него по мере того/ как заряд вибратора уменьшается.
«Отшнуровавшиеся» от вибратора силовые линии образуют поле излу-
чения.
Силовые линии магнитного поля (рис. 2.15) представляют собой
окружности с центром на оси излучателя. Сгущения точек и крестиков
соответствуют максимальным абсолютным значениям магнитного и
электрического полей. На больших расстояниях от вибратора, там, где
Я имеет максимальное абсолютное значение, имеет' максимальное
абсолютное значение и Е9 . В экваториальной плоскости на рис. 2.15-
сечения силовых линий вектора Е представлены точками и крестиками.
Радиальная составляющая вектора Е увеличивается при 9->0, я, но-
с увеличением расстояния ее значение уменьшается; при больших R она
сдвинута по фазе на л/2 относительно поперечных составляющих векто-
ров поля // и Ев.
2.9.5.	Сторонний источник В соответствии с уравнением баланса
электромагнитной энергии расходует на создание поля во всем прост-
ранстве некоторую мощность. Активную и реактивную составляющие
этой мощности можно найти по известному потоку вектору Пойнтинга
через замкнутую поверхность S, ограничивающую объем, в котором
расположен источник, потерям в объеме и запасам энергий электриче-
ского и магнитного полей. По известным выражениям для поля вибра-
тора (2.72) — (2.74) все эти слагаемые могут быть вычислены. Здесь
с помощью уравнения (1.70) найдем только мощность, которую расхо-
дует источник, подсоединенный к вибратору, на создание поля излуче-
ния. Для этого надо выбрать поверхность 5 так, чтобы она проходила
в дальней зоне.
Рассмотрим наиболее важный для практики случай, когда вибра-
тор расположен в свободном пространстве (еа=ео, р,а=,цо). При этом
потери в среде отсутствуют (оэ=0), характеристическое сопротивление
1Г=()цо/ео)1/,2=12Ол Ом—377,1 Ом, ^==р=2л/%. В дальней зоне состав-
ляющие векторов поля (2.77) имеют вид
Hf=^sin9P^=^,Ee = It7H9, Ер = °,	(2.80>
а вектор Пойнтинга П = [Е, Н*]/2 = Пср = 1’₽Пср;г,
гда	ncpR=^|Hj72.
Из формулы (1.70) находим среднюю мощность, отдаваемую ис-
точником в объеме V. Эта мощность при отсутствии потерь расходуется
на создание поля излучения и называется мощностью излучения:
[ Ilnrfs. В качестве'поверхности 5 выбираем поверхность любой
s
сферы с таким радиусом р, чтобы S проходила в зоне излучения. Тогда
nds=i^p2 sin OdfWcp и
75
я 2л
Л = j dfl j Пср R (iRiR) ₽• sin top.
f 0 Q
Подставляя сюда значение Пср/? при R = p, используя выражение (2.80)
для Нф и интегрируя по <р, находим
РЕ = -j- W ! 'У 2® j sin* Ме=-з-| I9, г W	(2.81)
О	X
где учтено, что определенный интеграл равен 4 /3.
Вибратор для стороннего источника представляет нагрузку, в кото-
рой расходуется мощность Рх. Ток 1э0 в нагрузке известен. Приравнивая
мощность, отдаваемую в нагрузку, и мощность излучения, можно рассчи-
тать сопротивление нагрузки называемое сопротивлением излучения
элементарного электрического вибратора:
•откуда имеем	W7 =80it2 f-y-)	[Ом].
При L/X<cl сопротивление излучения является малой величиной.
2.10. Излучение элементарного магнитного вибратора
2.10.1. Элементарным магнитным вибратором называют прямолинейный излуча-
тель, длина которого много меньше длины волны возбуждаемого поля, а модуль и
фаза линейной плотности магнитного тока распределены по длине вибратора равно-
мерно (рис. 2.16,а). Надо найти и проанализировать возбуждаемое элементарным
магнитным вибратором поле.
Для решения задачи расположим начало сферической системы координат в се-
редине вибратора и направим ось z вдоль его оси (рис. 2.16,6). Линейный магнитный
ток на вибраторе по условий) представляется выражением (2.44) Iм (z) =1МО=
= | 1мо| ехр (1Ф0), где амплитуда |1мо| и фаза Фо тока не зависят от z. Электриче-
ское поле вибратора, как показано в § 2.6, имеет только одну составляющую, опре-
Рис. 2.16. Распределение тока по длине элементарного магнитного вибратора (а), сфе-
рическая система координат (б)
ikl"o
S " - 4n
делаемую формулой (2.46). Подставляя в нее ток вибратора, получаем
V2 exp (— ikRpq) / I \
J R2pq (l + ^RPq)dz''
-L/2
Выполняя здесь те же операции, что и в случае поля элементарного
вибратора [см. (2.72)], находим при 1:
„ ik\\L , ne~ikRf 1 \
Еф~ 4л sln0 R v+itkRj'
С помощью соотношений (2.47) можно найти составляющие вектора
электрического
(2.82)
*
напряженности
магнитного поля и Нй(Нф=0). Можно с^той же целью применить принцип пере-
становочной двойственности (см. § 1.8) к выражениям (2.72) — (2.74) для поля эле-
ментарного электрического вибратора. Используя этот принцип и учитывая, что при
его применении надо производить замену характеристического сопротивления про-
странства следующим образом: IF^l/IT (так как 1Г=^<оеа), находим
IM / e-ikR / j \
2nW cos 0 R2 V + ikR]’	<2-83)
ikl^L e~ikR(, .1	1 \
H9= sin0 R V + ikR~ k2R2 )’ H<₽ = 0-
Так же, как в случае элементарного электрического вибратора, при анализе
поля выделяют ближнюю, промежуточную и дальнюю ^зоны. Наибольший практиче-
ский интерес представляет знание поля в дальней зоне (зоне излучения). Все состав-
ляющие векторов поля в дальней зоне определяются выражениями (2.82), (2.83) при
|&|R—>оо или выражениями (2.58), если в последних иметь в вид\, “io aM=IM0L,
F(0)=sin0 [см. (2.57) и (2.78)]:
t£IM0L . e~ikR	Е	IM0L exp (-/&?)
Ч = — 4л sin 0 R ’ H9 — ~ W НЯ — 2л№ C0S 0 R2
нф = о-
• (2-84)
Таким образом, поле элементарного магнитного вибратора в зоне излучения яв-
ляется поперечным и представляет собой неоднородную сферическую волну, бегущую
от вибратора. В среде без потерь поперечные составляющие векторов электрического
и магнитного полей синфазны, характеристическое сопротивление среды является
действительной величиной. Характеристикой направленности вибратора в меридио-
нальной плоскости является функция
*	F(0)=sin0,	(2.85)
которая показывает, что элементарный магнитный вибратор не излучает поле вдоль
своей оси (при 9=0 и л имеем £^ = 0, Н0 = О). В направлении нормали к своей оси
вибратор излучает максимальное поле (при 9 = л/2 величины | Еф | и | Н01 максимальны).
Поле не зависит от азимутального угла, поэтому характеристика направленности яв-
ляется постоянной Е(ф) = 1. Диаграммы направленности в меридиональной и эква-
ториальной плоскостях не отличаются от представленных на рис. 2.14.
2.10.2. Мощность излучения элементарного магнитного вибратора можно найти
так же, как в случае элементарного электрического вибратора: надо найти вектор Пойн-
тинга в зоне излучения, а затем путем интегрирования его по любой замкнутой про-
ходящей в дальней зоне поверхности, ограничивающей объем, внутри которого нахо-
дится излучатель, найти мощность излучения.
77
Пусть вибратор находится в свободном пространстве. Тогда с учетом выражений
(2 84) вектор Пойнтинга
1	1	__ .'ОТМ £
П=—1Е, H*] = -2-[i(₽,iel---------^~sin9 —X
. elsR '₽2|IM0|2L2
X 8111,6 R = iR 2(4n)*WR* sin20-
Мощность излучения определяем по формуле (1.70). В качестве поверхности S берем
поверхность сферы такого радиуса р, что S находится в зоне излучения. Тогда
< я 2я (
л	R21 Iм I2 Z2 (*	(•	тс I Iм I2 / L \2
— (j) Dnrfs — 2 (4лр W J J sin9 ~ 3IF ’
3	0	0
где 1мо — линейный магнитный ток (измеряется в вольтах)
Если обозначить через Gs проводимость нагрузки, на которую работает сторонний
источник, подсоединенный к вибратору, то мощность, отдаваемая в нагрузку источ-
ником, равна Gs |1м0|2/2. Приравнивая эту мощность мощности излучения, получаем
_!_0 п»
2	11 • I — ЗЦ7 x J >
откуда находим проводимость излучения элементарного магнитного вибратора
2я / L \2
3^7 (“х”) [Ом-1].
Вопрос о реализации ^агнитного вибратора рассмотрен в последующих главах
книги.
2.11.	Электромагнитное поле бесконечного поверхностного
распределения электрического тока
2.11.1.	Рассмотрим задачу о возбуждении электромагнитного поля
бесконечно тонким слоем стороннего электрического тока. Будем назы-
вать <акой слой листом тока. Пусть ток распределен на бесконечной
плоскости так, что его модуль остается постоянным в любой точке пло-
скости, а фаза изменяется по закону бегущей волны только в направ-
лении, совпадающем с направлением вектора тока. Сторонний электри-
ческий ток является при этом поверхностным током, его мгновенное
значение /эст, комплексная амплитуда J3CT, единица измерения ампер
на метр. Ток J3CT задан в неограниченном однородном изотропном про-
странстве. Декартову систему координат расположим так, чтобы лист
тока совпадал с плоскостью г/=0, и направим ось х вдоль вектора тока.
Тогда комплексная амплитуда Стороннего поверхностного тока пред-
ставляется в следующей форм.е:
Гст(р) = /,^^=,^ое i%X ПРИ	(2.86)
(О	при i/=40,
где J90 = |J901 exp (1фэо), амплитуда |J®0| и начальная фаза тока -фэо не
зависят от координат х, z\ ро==2л/Хо — коэффициент распространения
(коэффициент фазы) тока (действительная величина).
Мгновенное значение поверхностного тока изменяется следующим
образом:
ст (А О = i J ЛI cos (<of - pex + ф90).	(2.87)
78
Для фиксированных
моментов времени /±=
-==tN=NT, где 7=2 л/ со—
период высокочастотного
колебания; N — целое чи-
сло, зависимость тока от
координаты х при фэо=0
изображена на рис. 2.17.
Распределение тока по х
имеет вид волны; %0 —
длина волны тока. Если t
переменно, то волна тока
смещается в положитель-
ном направлении оси х со
скоростью ю/ро> т. е. вол-
на тока; (2.87) является
бегущей вдоль возраста-
ющих значений х. По ко-
ординате z ток однороден,
т. е. график зависимости
его от z при t=tN и х=х0
имеет вид прямой, парал-
лельной оси 2.
Объемная плотность
Рис. 2.17. Лист поверхностного тока и распрёделение
мгновенного значения поверхностного тока бегущей
волны
стороннего тора выража-
ется через поверхностную
плотность тока с помощью
6-функции:
ja ст(р)_JacTg (у—<0).
(2.88)
Надо найти и проанализировать электромагнитное поле, возбуж-
даемое электрическим поверхностным током. Для этого вычислим век-
торный потенциал. Поскольку магнитный сторонний ток отсутствует
jmct—o, т0 в неограниченном пространстве Ам=0. Для вычисления А9
подставим в формулу (2.20) из выражений (2.86), (2.88), (2.26) зна-
чение тока j3CT И функции G. Меняя порядок интегрирования по коэф-
фициентам распространения и пространственным координатам, Имеем
00 со	------------!,
дэ_- J9° Г С ехР (—t’XiX—tx3z+K х21 + Х23 — fe2y)	Г е«х'(*1-Зо) у
Х 8«2 J J	Кх’з + х2» — k*	1 3J
—оо —оо	V
X егг'Хзе *	8 щ __ 0) dx'dy'dz'.
Применим теперь при интегрировании по уг основное свойство 6-
функции и учтем, что размеры плоскости, на которой задан сторонний
ток, бесконечны по х' и z'. Тогда
Аэ =
ехр (— txtx — in3z + Кх23 -f- х23 — k2y)
V х\ + х2з — &2
d^dK, X
оо	оо
х f e,x’{"-Mdx’ f e'*'4,dz'.
х' =—00	Zz =—оо
79
Сравнивая два внутренних интеграла с формулой (2.11), устанавливав
ем, что они являются разложениями 6-функций. Поэтому
00	00	------------
ДЭ ! J9o Г Г ехр (— 1X1% — тх3г ± К X2! + х23 — k2y)
"7 Х 2 J J	Kx2t + х23 —£2	А
—00 —00
.	X 5 (*1 - М 8 (Хз — °) dxjx,..
Применяя при интегрировании основное свойство (2.12) 6-функции, на-
ходим
тэ e—i&>x ±V^0-&y
А% = У е--7-„е....------, А% = 0, А% = 0.
2	П20 —fe2	у 2
(2.89)
Определим теперь составляющие вектора напряженности магнитного
поля:
тт . »э дАэ2 <^у	^дэ дАэ_
х х ду dz	у у dz дх
тт  го+ дэ.— дк у дкэх  J% —± Нз’о—kay
н2 —гот2л — дх — ду —+ 2 е е
О,
(2.90)
Составляющие вектора напряженности электрического поля опреде-
лим из первого уравнения Максвелла с помощью последних выра-
жений:
Е = L rot н = _1_	=ilk Kfo-*2 е ‘м е± Vr0-k>y
Л	Л	.	Л11	2	1
№а	1(йга »	<оеа
Еу = —L-rotyH =--------? 2kА е-‘‘3охе±^7=£у	(2<9})
1(йеа	«йеа Х	ыга
Ег — Q.
Верхний знак берется при у<0, а нижний — при г/>0.
Выражения (2.90), (2.91) имеют весьма простой вид. Это является
одной из причин того, что нами рассматривается бесконечный плоский
лист тока. Анализ этих выражений приводит к пониманию важнейших
физических явлений в электродинамике. Проведем сначала общий анализ
электромагнитного поля. Все составляющие вектора поля не зависят от
координаты z (однородны по z). Это обусловлено тем, что сторонний
ток однороден по г. На плоскости у—О
тт I — 1 тэ ifax_________ 1 тэ
Х1г|^=+о	2 d °е —“2~d*’
l_[ I —	1 т» A—i&>x 	1 p
n2 ly=—0—	2 u °c —	2~d x>
откуда имеем равенство
J’x= + 2H2|j(_t().	(2.92)
Касательная к поверхности составляющая йектора магнитного поля при
переходе через плоскость у=0 терпит скачок (разрыв непрерывности),
равный поверхностной плотности протекающего тока:
(2.93)
80
Касательная к поверхности составляющая вектора электрического
поля при переходе через плоскость у=0 непрерывна и равна
р   • J9o g2o	p~l Зо*
— I 2	~ с
соеа
Нормальная к плоскости составляющая вектора электрического
поля на поверхности у=А равна
.	Е9|,=+о= л-Ь-, E9|,=_o=-J’,-V.	(2.94)
2соеа	2toea
Если обозначить через тэ поверхностную плотность электрического
заряда на плоскости (при этом объемная плотность заряда рэ=
=хэ8(у—0)), то из уравнения непрерывности (1.73) находим
__ 1 dJ9x go ja
ico дх co x"
Для среды без потерь (80=е0) из выражения (2.94) имеем
£а^у l!/=+0=^t/ 1у=+0 = ”2”’	ly=—0“	|у-0=	2*-
При переходе через поверхность у=0 нормальная к поверхности со-
ставляющая вектора электрической индукции терпит скачок, равный по-
верхностной плотности электрического заряда:
М=+о-М=_о=-9
(2.95)
На листе тока (при z/=—{—0) Hz=J9x/2, Dy=r9/2. Значит, измерение зна-
чений поверхностных плотностей тока и заряда сводится к измерению
составляющих Нх (А/м) и (Кл/м2) (см. § 1.1).
Отношение касательной составляющей вектора напряженности
электрического поля к касательной составляющей вектора напряжен-
ности магнитного поля на поверхности возбуждающего тока (если смо-
треть в сторону тока) называют поверхностным сопротивлением и опре-
деляют по формуле
= i	= i Vi’°Xk2 W 10м1-
у=+о wea
Z— + —
Z — - н2
(2.96)
Рассмотрим более подробно электромагнитное поле для случаев,
когда р0>&, ро—0 и Pol<i^. Будем считать при этом, что потери \в среде
отсутствуют (оэ=0, значит, k—$, a=0, 8a=ea).
2.11.2.	В случае, когда = величина ]/р20—’р2 является дейст-
вительной и положительной. Составляющие векторов поля (2.90), (2.91)
за счет множителя ехр (—фох) имеют характер бегущих в направлении
оси х волн, т. е. поле распространяется вдоль направления х (вдоль
направления, определяемого ортом ix). Множитель exp (± Vр20—р2#)
указывает на затухание по экспоненте вдоль оси */(«/->+<*>). Для век-
тора Пойнтинга имеем
П=[Е, Н*] /2=—iyExH%/2+ixEy//*z/2.	(2.97)
Используя формулы (2.90), (2.91), находим
Пх = ^_| J3 |2е±2	П = ± г fe.IJ90 pe±2^^F4T.
8(Oea I ° I	’ У	8toea 1	0 <
6—116	81
Рис. 2.18. Изменение плотности потока элек-
тромагнитной энергии в направлении нормали
к листу тока
/ \	Значит, касательная к плоскости
|/7J	(%, z)	составляющая вектора Iloftrf-
_	тинга	является действительной вёли-
q	чиной,	а нормальная составляющая
Пу — мнимой. Это указывает еще раз
на то, что электромагнитное поле распространяется вдоль оси х (вдоль
ix) и, значит, переносит электромагнитную энергию в этом направле-
нии. Вдоль оси у нет волнового движения поля, поэтому электромаг-
нитная энергия в направлении нормали к листу тока не переносится. (
Плотность электромагнитной энергии уменьшается с ростом |г/| по
экспоненциальному закону ехр (—2 ]Лр20—$2у) (рис. 2.18).
Таким образом, электромагнитное поле, распространяющееся вдоль
направления х, и энергия этого поля сосредоточены (локализованы)
в основном около поверхности у=0. Волна такого типа называется по-
верхностной волной. Поверхностная волна как бы канализируется в на-
правлении х листом тока. При этом лист не создает поля излучения:
при |р|->оо вектор Пойнтинга равен нулю.
Фазовая скорость волны определяется по формуле (2.61): иф=
=со/р0. Поскольку ро>₽, то иф меньше скорости света с в данной среде.
Такую волну называют еще медленной волной. Для медленной волны
%o<%=2jt/p. Фронт этой волны (волновая поверхность) представляет
собой плоскость, перпендикулярную листу тока.
Поверхностное сопротивление медленной волны в соответствий ‘
с формулой (£.96) является чисто реактивным и носит индуктивный
характер.
Картину силовых линий поля можно изучить, определив с помощью ,
выражений (2.90), (2.91) мгновенные значения поля:
Нг=+ -Щр- е	’ cos К - [3,х + ф’.),
Ех = 1е	cos (4 - М+ф».+4) 	1
|	а	/	'	jf
Е, = +	е cos И - Р.Х + ф’.).
Задав фазу тока -фэ0, можно рассчитать картину силовых линий поля^
при фиксированном значении t. Взяв фэо=О и t=NT, получим	J
г
Нг= +	cos	j
____	ц
e^^sinP.x,	. 5
Картина силовых линий электрического и магнитного полей в ча- ’
сти плоскости ху при t=NT, построенная с учетом последних выраже- t
ний, изображена на рис. 2.19,а. Сгущения силовых линий соответству-
ют большей напряженности поля. В точках xn—riko/2 (п=0, ±1^4
a)
Рис. 2.19. Структура электромагнитного поля листа электрического тока
±2, ...) силовые линии электрического поля подходят нормально к ли-
сту тока, так как при этом sin PoX=sin пп—0 и поэтому Еу и Hz
в этих точках на листе имеют экстремумы, так как cos fj0x=cos гш=
=±1. В точках, сдвинутых на четверть длины волны, т. е. при ХпЧ2
=F0,25Xo, составляющая Ех имеет экстремумы, а Еу и Hz — нулевые зна-
чения. В этих точках силовые линии электрйческого поля касательны
листу. При других значениях х имеются составляющие Ех и Еу, поэто-
му силовые линии подходят к поверхности у=0 под некоторым углом.
Зависимость доставляющих векторов поля от х при некотором значе-
нии £/=f/i<0 изображена на рис. 2.19,6. Составляющая поля Ех опере-
жает ток на листе (см. рис. 2.17) в любой точке на четверть длины
волны (т. е составляющая Ех на листе опережает ток ^стпофазе на 90°).
На рис. 2.19,в приведены графики зависимости составляющих век-
торов поля в некотором сечении x=xi(O<xi<Ao/4), #=^<0 от коорди-
наты у. Как видно из графиков, все составляющие с ростом |г/| убы-
вают по экспоненциальному закону. На поверхности г/=0 касательная
к поверхности составляющая вектора магнитного поля Hz и нормаль-
ная составляющая вектора электрического поля Еу, как уже отмеча-
лось, имеют разрыв. Силовые линии поля Hz и поля Еу при $=4-0 и
У=—0 имеют противоположные направления (см. рис. 2.19,а). Если
считать, что время t изменяется (растет), то картина силовых линий
поля (рис. 2.19,а) перемещается в направлении увеличивающихся зна-
чений х с той же фазовой скоростью, с какой распространяется волна
тока (рис. 2.17).
2.11.3.	Предположим, что ро=О, т. е. поле возбуждается, как это вид-
но из (2.86), синфазным листом однородного (колеблющегося в одной
фазе) поверхностного тока. Тогда из общих выражений (2.90), (2.91)
имеем
Ех = — 0,5J9oVTe±l9z/, HZ=±EXVT-1, Е, = 0.	(2.98)
6*	83
Эта волна распространяется вдоль координаты у. Фронт волны (волно-
вая поверхность) представляет собой плоскость, параллельную листу
тока. Волна имеет только поперечные составляющие векторов поля,
связанные характеристическим сопротивлением пространства. Попереч-
ные составляющие векторов поля между собой синфазны, а фаза их
меняется по у по закону бегущей волны. Фазовая скорость волны <^ф—
= (ea|ia)-1/2=c- Амплитуда поля не зависит от координаты у. Такая
волна называется плоской электромагнитной волной. Выражение век-
тора Пойнтинга плоской волны получаем из формулы (2.97) с по*
мощью выражений (2.98):
n=±iy|J3oI2№/8 (Пх—Пг=0, Пу#=0),
т. е. при /у>0 вектор Пойнтинга направлен в сторону увеличения у,
а при у<0 — в сторону уменьшения у. Это еще раз показывает, что
синфазный поверхностный ток, образующий бесконечный плоский лист,
возбуждает плоские волны, бегущие от излучателя в сторону z/->=Foo/
Картину силовых линий плоской волны (2.98) можно исследовать,
определив мгновенные значения векторов поля плоской волны:
Ех=— 0,51 J3o| W cos (о/±₽^-Н|)эо), Hz=±ExF~1.
Для фиксированных моментов времени t=*NT при фэо=^0 получаем кар-
тину, изображенную на рис. 2.20,а. Силовые линии электрического и
магнитного полей лежат в плоскости xz. Интенсивность поля макси-
мальна по абсолютному значению в точках оси у с координатами Ут—
=m'kl<2, Л=2л/р — длина распространяющейся волны поля; т=0,
±1, ±2, ... (рис. 2.20,6). Картина силовых линий на рис. 2.20,а изо-
бражена только в части пространства, ограниченного по х координата-
ми ±6. Вообще же поле от х не зависит и при	сил|овые линии
неограниченное пространство параллельно са-
Ех продолжаются во все
Рис 2 20 Структура поля плоской волны, возбуж-
даемой плоским листом синфазного электрическо-
го тока
мим себе.
С течением времени
картина силовых линий
(рис. 2.20,а) передвигает-
ся в направлении у-*-
->+оо, при этом возбуж- ;
дающий ток порождает 
новые семейства силовых
линий, которые «продви-
Рис 2 21. Положение векторов
поля на фронте плоской волны
84
гают» существующие семениbd в с 1 ирону увсличивйкдцилъл апвчснии
координаты |г/|.
Фронт волны, определяемый выражением (2.98), т. е. поверхность,
где фаза поля (oZ+ifkH-фэо постоянна, является плоским. В некоторый
фиксированный момент времени фронт волны занимает положение, пред-
ставленное на рис. 2.21. Он движется в направлении z/->=Foo со ско-
ростью Уф=С.
Отметим, что на поверхности у—О тангенциальная составляющая
вектора напряженности возбуждаемого электрического поля Ех в каж-
дой точке находится в противофазе с возбуждающим током, т. е. она
противодействует ему. Поверхностное сопротивление согласно (2.96)
является отрицательным.
2.11.4.	В случае, когда р0 < k = р, величина ]/р20 — = i р2 — р2о
чисто мнимая. Поэтому составляющие векторов поля (2.90) и (2.91) име-
ют вид
Н = т e“I0oX e±l Vу
z "т"	2	*
(
р _____J9q р2о е±1	-92о у	^2 gQ)
р ___ - JMo
Е,,, —	-77--е е
У	2соеа
Множители ехр(—itiox) и exp(±z}/^2—р20«/) показывают, что поле
имеет характер бегущих волн как по оси х, так и по оси у. Значит,
волна распространяется вдоль осей х и у. Фазовые скорости вдоль этих
осей соответственно равны
Уфх = “Ж’ Уфу = “»//Г — Го-
Поскольку ро< Р и ]/р2 — Го <Ж то фазовые скорасти v$x и боль-
ше скорости света в данной среде. Такую волну называют быстрой
волной.
Вектор Пойнтинга определяем с помощью формул (2.97) и (2.99):
iJ%ispFEL, п о.
8соеа	У	8(Оеа	2
Составляющие вектора Пойнтинга вдоль осей х и у являются действи-
тельными величинами. Значит, быстрые волны поверхностного тока как
излучают электромагнитное поле (при zy—>=Foo имеется составляющая
Пу^О), так и направляют электромагнитное поле вдоль поверхности
(Пх:/=0). Поверхностное сопротивление быстрой волны
z=- rFT. I^a=- V KF^O
является действительной величиной и имеет отрицательное значение,
что характерно для случая излучения поля поверхностью (листом
тока).
Преобразуем выражения (2.99). Обозначим Po=pcoscp. Тогда по-
казатели экспонент в (2.99) запишем следующим образом.
— i$ax ± i ]/у — р20 у = — ф (х cos <р + у sin <?).
85
кис.	определению направления распро;
странения плоской волны, возбуждаемой листом
электрического тока	>
Если <р рассматривать как угол, изобра^
женный на рис. 2.22, то тогда хсозф^'*
+//зтф=р. Составляющие векторов^
поля (2.99) можно при этом записатЙ
в виде	.|
JMsin? -фр
2wea
, Е.
Р __ _ JM COS ? -фр
2(0еа

Нетрудно видеть, что составляющие Ех и Еу дают в сумме одну!
составляющую Еф = — Ex sin <р + cos ср. При этом имеем поперечную^
волну, распространяющуюся в направлении р: '	J
Е» = ^Т-е-геР’ Нг= + Е,И7-‘.
Фазовые скорости v$x и v$y определяются выражениями
(0	<0	с	с
** Pcosy- <dK^cos? ~ cosy ’ Ф* sin у •
волны
Фронт волны является плоским, направление распространения
определяет угол ,ф< Амплитуда волны не зависит от расстояния, а фаза!
меняется по закону бегущей волны. Такая волна, как уже отмечалось^
называется плоской волной и отличается от волны, рассмотренной
в предыдущем пункте, только тем, что она распространяется не вдолм
оси у-, а под углом ф к листу тока.	|
Фазовая скорость волны вдоль направления, определяемого углой|
Ф, равна o$=G)/p=c. Фазовые скорости v$x и v$y больше скорости све-1
та. Для объяснения этого рассмотрим рис. 2.23. Если за время AZ фронт!
волны переместился со скоростью с на расстояние Др в направлении^
определяемом углом ф, то вдоль осей х и у фронт переместился на|
расстояния Дх>Др и Дг/>Др. Поэтому
скорость перемещения фронта волны
вдоль осей х и у больше скорости света.
Если, например, ф-хгс/2, то Уфж-^оо. От-
метим, что фазовая скорость не характе-
ризует скорость перемещения сигнала.
Скорость перемещения сигнала, как уже
отмечалось, связана с групповой ско-

Ли
i
Рис. 2.23. К определению фазовых скоростей пло-
ской волны

86
ростью, которая всегда меньше скорости света. Если в среде имеются
потери ('o®=#0), то их влияние на параметры распространяющейся пло-
ской волны можно проанализировать так же, как это сдельно в § 2.8.
2.12.	Электромагнитное поле бесконечного поверхностного
распределения магнитного тока*
2.12.1.	Пусть на бесконечной плоскости, расположенной в неограни-
ченном однородном изотропном пространстве, задан бесконечно тонкий
«слой (лист) стороннего магнитного тока, такого, что его модуль остает-
ся постоянным в любой точке плоскости, а фаза меняется по закону
бегущей волны в направлении, совпадающем с направлением вектора
тока. Комплексную амплитуду поверхностной плотности стороннего
магнитного тока обозначим через JMCT. Единица измерения его — вольт
на метр. Декартову систему координат расположим так, чтобы лист то-
ка совпадал с плоскостью у=0, и направим ось х вдоль вектора тока
(см. рис. 2.17, вместо Лэст следует иметь в виду JMCT). Тогда сторонний
поверхностный магнитный ток представляется в следующем виде:
ixJMoe 1М при г/ = 0, •	(2.160)
I 0	при у=^=0, -
где JMo= | JMo|exp(ii|)Mo); амплитуда | JMo| и начальная фаза фм0 тока не
зависят от координат х и р0— коэффициент фазы тока.
Объемная плотность стороннего тока выражается через поверхност- i
ную плотность следующим образом:
♦
(2.101)
Надо найти и проанализировать электромагнитное поле, возбуж-
даемое магнитным поверхностным током. Решение задачи можно най-
ти, во-первых, тем же путем, который использован в § 2.11 (отличие
настоящей задачи от предыдущей заключается только в том, что те-
перь Аэ=0, а Ам надо вычислить), и, во-вторых, с помощью принципа
перестановочной двойственности (см. § 1.8). Применим второй путь.
Составляющие векторов электромагнитного поля получаем сразу
из выражений (2.90), (2.91), используя принцип перестановочной двой-
ственности:
Ех —0, Е^ = 0,
Е2= ± J” e-^e±^eIo-s,y
тт __ • JMo УРо — Р -i?ox	*
— 1 2 “ е е
Н„— т	e-t^e±r^ZF\ Нг = 0.	(2.102)
} У “2 сор.а *	«	v '
Все составляющие векторов этого поля не зависят от z, что являет-
ся следствием однородности по z стороннего тока. Касательная к по-
верхности составляющая вектора электрического поля
Р I ___________1 ГМ А—_________L Iм
L-,z\y=+o—	2 ° °с —	2 х’
1
>	р I ______ 1 Гм i$ox____ 1 ш
c'g\y=-9—~2~ ° ое — 2 ° х’
87
т. е. на поверхности у=0 имеем равенство	Л
Л= + 2Ег|в=т0.	(2.10^
При переходе через поверхность касательная к поверхности состав»
ляющая вектора электрического поля терпит скачок, равный поверх-|
ностной плотности протекающего магнитного тока, т. е.	-5
- Е2 + Ег|8=_„ = Л.	(2.104)5
Касательная к поверхности составляющая вектора магнитного по*
ля Нж при переходе через плоскость непрерывна и равна
Нормальная составляющая вектора магнитной индукции на пло?!
скости
В, Uo = rjl, |„=т0 =	е-^ = Т Ь- J-,.	(2.105)5
>
Если обозначить через тм поверхностную плотность магнитного за-
ряда на плоскости, то из уравнения непрерывности (1.74) находим 3
м__	1	_ Ро гм	•!
х — ~ д^с « х’	:
Поэтому нормальная составляющая вектора магнитной индукции*-
(2.104) выражается через магнитный поверхностный заряд следующим^
образом: Ву |	0= + tM/2. Значит, при переходе через поверхность у=&
нормальная составляющая вектора магнитной индукции терпит скачок^
равный поверхностной плотности заряда:	’
ВЛ=+0-ВД=_0—”	(2.10^
Поверхностное сопротивление определяется выражением
Z=:£i-U=77BF=77|WU7	104	(2’Н
Рассмотрим отдельно случаи, когда Ро>₽,	Ро=О	и	р0<'Р;	при этом
считаем, что потери в среде отсутствуют (т, е. &=ф, а=0, 8а=еа).
2.12.2.	Если р0>р, т0 величина Ур*0 — р2 действительная и поло]
жительная. Составляющие вектора поля (2.102) имеют характер бегу|
щих в направлении оси х волн. Вдоль оси у поле затухает по экспо^
ненте. Фазовая скорость волны иф=о/Ро меньше скорости света. Волч
на является медленной волной. Для составляющих вектора Пойнтинга^
П = 4-[Е. Н*] = -	<2Л08)
« х	4
с помощью	выражений	(2.102) получаем	J
п	п _ -	;IJMol2H*2o-?2 ±2Kfv=Fi/	)
х 8(^а	’	+ 1	8(0}Ха е	•
88
a)
Рис. 2 24 Структура электромагнитного поля листа магнитного тока
Составляющая Пх является действительной величиной, что указывает
на то, что электромагнитное поле переносит энергию вдоль оси х. Со-
ставляющая Пу является мнимой, т. е. электромагнитное поле вдоль
оси у энергии не переносит. Плотность электромагнитной энергии с ро-
стом |у| уменьшается по экспоненциальному закону. Волна является
поверхностной электромагнитной волной. Поверхностное сопротивление
(2.107) является чисто реактивным и носит емкостной характер.
Определив с помощью выражений (2?102) мгновенные значения
поля, можно, построить картину силовых линий электрического и маг-
нитного полей при -фмо=0 и t=NT (рис. 2.24), которая отличается от
картины поля на рис. 2.19 тем, что место силовых линий электрическо-
го поля заняли силовые линии магнитного поля. Анализ картины поля,
изображенной на рис. 2.24, не отличается от анализа, выполненного
в§2.11.
2.12.3.	Пусть лист магнитного тока является синфазным. Тогда ро=
= 0. Из выражений (2.102) при этом получаем отличные от нуля со-
ставляющие поля:
2Га“«е±,?" ЕЖ=ТГНХ. (2.109J
Это поле распространяется вдоль оси у. Фазы составляющих векторов
поля зависят от у по закону бегущей волны, фазовая скорость равна
скорости света. Поле имеет только поперечные составляющие, связан-
ные характеристическим сопротивлением пространства. Фронт волны
является плоским, амплитуды поперечных составляющих не зависят
от координат. Знанит, вдоль оси у распространяется плоская электро-
магнитная волна.
Картина силовых линий поля при -фмо=О и t=NT (2.109) приве-
дена на рис. 2.25 и отличается от картины силовых линий поля, воз-
89
Рис 225 Структура поля плоской волны, возбуждаемой плоским листом синфазного
магнитного тока	1
буждаемого синфазным листом электрического тока, только тем, что*
место силовых линий электрического поля занимают силовые линиям
магнитного поля и наоборот.
Отметим, что тангенциальная составляющая Нх в каждой точке*
поверхности у=0 находите^ в противофазе с возбуждающим токомЛ
она противодействует току.	;
2.12.4.	Если то величина р^р20 — р2 —/|/р2— р2в чисто мни*^
мая. При этом отличные от нуля составляющие векторов поля (2.1Q2JI
имеют вид
g ___ 4- JMo е~i?xQ±t Vp-poff,	*
TI __ JM° О2—Р20	^₽»—9
2 ир.» е е		;
н = т -Ь_ е-^е*'	(2.11O>J
у ' Z L<OfXa	I
Имеют место бегущие волны как по оси х, так и по оси у. Фазовые^
скорости ОфХ = а>/рв и v^y — (o/ )/р2— р20 больше скорости света с. ВолнйЗ
является быстрой.	(
Составляющие вектора Пойнтинга Пж и Пу являются действитель-
ными величинами. Быстрые волны поверхйостного тока, во-первых, со-
здают поле излучения, во-вторых, направляют электромагнитное поле
вдоль поверхности.
Поверхностное сопротивление быстрой волны Z= — I^p/j/p2 — р20 яв-
90
ляется действительной величиной и рмеет отрицательное значение, что
характеризует излучение электромагнитной энергии.
Если ввести обозначение po=pcos<p, то экспоненты в выражениях
преобразуются так же, как в § 2.11. Вместо составляющих Нх и Ну
можно* ввести только одну составляющую Нф =—Нх sin <р±Ну cos ср.
Из формул (2.110) получаем составляющие векторов поля плоской
волны:
Ег = ±	Нф = + EX’ *.
Угол <р определяет направление распространения плоской волны
(рис. 2.26). Силовые линии магнитного поля параллельны фронту вол-
ны, но лежат в плоскости ху. Силовые линии электрического поля па-
раллельны оси z.
Фазовая скорость вдоль направления, определяемого углом ср или
векторами р, равна скорости света в данной среде: v$=G)/$=c.
2.12.5.	Остановимся на понятиях электрической и магнитной волн.
Электромагнитное поле, возбуждаемое медленными волнами магнитно-
го или электрического поверхностного тока, распространяется вдоль
координаты х, т. е. х для медленных волн в условиях задач настоя-
щего и предыдущего параграфов можно рассматривать как продоль-
ную координату, а у, z — как поперечные.
Вектор напряженности магнитного пбля волны (2.102) имеет про-
дольную (Нх) и поперечную (Ну) составляющие, а вектор напряжен-
ности электрического поля лежит в плоскости, перпендикулярной на-
правлению распространения (см. рис. 2.24). Волну этого типа называ-
ют магнитной волной и кратко
обозначают Н-волна.
Вектор напряженности
электрического поля волны
(2.90), (2.91) имеет продоль-
ную и поперечную составляю-
щие, а вектор напряженности
магнитного поля лежит в пло-
скости, перпендикулярной на-
правлению распространения
{см. рис. 2.19). Волну этого
типа называют электрической
волной и кратко обозначают
Е-волна.
Быстрые волны'поверхно-
стного электрического или маг-
нитного тока возбуждают элек-
тромагнитную волну, векторы
напряженности электрического
и магнитного полей которой
лежат в плоскости, перпенди-
кулярной направлению распро-
странения (на рис. 2.26 на-
правление распространения ха-
рактеризуется вектором р).
Волну этого типа, как уже
отмечалось в § 2.8, называют
Рис. 2.26. К определейию направления распро-
странения плоекой волны, возбуждаемой ли-
стом магнитного тока
Рис. 2.27. К определению линейно-поляри-
зованного поля
91
поперечной электромагнитной волной и кратко обозначают О
волна. _	ш
Отметим, что прямолинейный электрический излучатель в неограЯ
ниченном пространстве (см. § 2.6 и 2.9) возбуждает Е-волну (так кая
имеются продольная составляющая Ед и поперечные составляющие
Е, и Н ), вырождающуюся в зоне излучения в Т-волну (рис. 2.|>15)Я
Прямолинейный магнитный излучатель в неограниченном пространства
(см. § 2.6 и 2.10) возбуждает Я-волну, вырождающуюся в зоне излу'||
чения в Т-волну.	J
2.13.	Наложение поля двух плоских листов тока	3
2.13.1.	Рассмотрим наложение (суперпозицию) поля двух бесконечш
но тонких слоев (плоских листов) тока в неограниченной среде без по*|
терь (о9=0).1 Пусть сторонние токи изменяются во времени по гармо-|
ническому закону с частотой <о.	1
В § 2.11 и 2.12 найдены поля листа стороннего электрического ин
листа стороннего магнитного тока. Предположим, что эти листы токая
наложены друг на друга так, что направления токов совпадают с осью!
х и фазовые скорости их равны. Тогда суммарное электромагнитное!
поле, возбуждаемое электрическими и магнитными токами, опреде*!
ляется выражениями	1
гл   —	г’М±^£’о—Р3 у	г
2— +2	»	J
Е — ^Э° ^2°—Р2 р~г'в|*±Иззо-з3 у	(2. llljkj
,	Х 2 соеа	я
Р .  — J90 fto	ipo^±Tp2o—£3 У.	J
+	2 СОеа 6	’	]
Е = + JM° е-/3ох±14ззо-ез!/	|
КР80 — Р2 р~гЗох±Тдао— З2 у	^2 | 12М
х 2	’ I
l_r   — JMo Ро р—i^oX±V^o— за у	I
+	2 w[xa е	-	|
Таким образом, суммарное поле имеет все шесть составляющих!
векторов^электромагнитного поля. Изменение при заданной частоте
=Р/Кба|1а соотношения между токами J9o и JM0 и фазовой скорости!
токов ^ф=со/3о (изменение параметра р0) приводит к изменению струк-1
туры электромагнитного поля.
Рассмотрим структуру поля быстрых волн. Изменение фазовой скоМ
рости токов приводит в соответствии с формулой 3о=3 cos <р к измене*!
нию угла излучения <р плоских волн. Поэтому достаточно исследовать^
картину поля при <р=90°, т. е. при излучении плоских волн в направ-J
лении, нормальном к листам токов. При этом выражения (2.111) и”;
(2.112) принимают вид		/	]
Н2 = +	e±z^, Ех =-------е±гЧ
E2=±^-e±z^, Н
2IF
92
Напомним, что здесь нижние знаки оерутся при у^и, а верхние при
у^$-
Рассмотрим направление вектора Е суммарного электрического
поля (вектор Н всюду перпендикулярен вектору Е):
Е = (_к^±1-г^е^.
В зависимости от соотношения между токами и JM0 этот вектор,
находясь в плоскости xz, будет занимать различные положения. Вве-
дем понятие плоскости поляризации, под которой понимается пло-
скость, проходящая через вектор Е и направление распространения
электромагнитной волны. Так, при JM0—0 плоскость поляризации со-
впадает с плоскостью х, у, при J3o=O плоскость поляризации совпа-
дает с плоскостью у, z.
Введем далее понятие вектора поляризации Р и представим сум-
марное поле в виде Е=Р|Е|. Здесь
IЕI = 4- Г i*7’+1 Г;	(2.113)
амплитуда напряженности электрического поля плоской волны
. ,м
р/„ «Л-Г-i lJ%l1F .<♦’+ j _ I J", I е‘ф _Ъ±18У
L	У l	I2 w2 +1 jm0 I8 И i2 w3 +1 jm0 i2 J
(2.114)
— комплексная амплитуда вектора поляризации электромагнитной
волны. Как нетрудно видеть из (2.114), | Р |=11.
Обозначим a=l J3J W/У| J3012 IF	12 и рассмотрим мгновенное
значение вектора поляризации, приняв для простоты фэ~0:
Р (У> 0 — — ka cos (<°t i $У) i 1 — a2cos (®f -j- Ф - М» (2-115)
где гр=1рм — сдвиг фаз возбуждающих токов.
Таким образом, мгновенное значение вектора поляризации изме-
няется во времени довольно сложным образом. Изучим частные случаи
выражения /(2.115).
При ф=0, т. е. при синфазном изменении во времени сторонних
электрического и магнитного токов,
Р (У> 0 = [—	i U V"" 1 —a2] cos (mt ± pi/)’.
Следовательно, в заданной точке наблюдения мгновенное значение век-
тора поляризации при ф=0, имеет постоянное направление, значение
вектора изменяется во времени по косинусоидальному закону. Угол б,
под которым вектор Р(у, t) расположен относительно оси х (рис. 2.27),
определяется из выражения tg6=+ 1 — а2/а. Электромагнитное
поле при этом называется линейно-поляризованным.
Если задать ф = и:/2 и а2 ==1/2 (т. е.а = |/" 1 —а2), то
Р(У> t) = — ’ха cos (®^ i Р#) + iz a sin (wt ± P#)«
93
=-~tg(at-ky)
Z| A
d>U<2_
y^O,tqff(t)=
=tg(at+Py)
zl
Нис. 2.28. К определению поля с круговой поляриз;
дней	(
-<xUi О
-СЩ
5)
a)
-сси2
I P

В этом случае значение вектора поляриз»
ции постоянно (равно единице), а сам ож
вращается с частотой ©. Угол 6(f), под к<Й|
торым вектор Р(у, t) расположен в данный
момент времени относительно оси зй
(рис. 2.28), определяется из выражений
tg 6 (f) =±tg (cofipz/).	Электромагнитно^
поле при этом называется полем с кругое^ш
поляризацией.	'
Относительно направления распространения при -ф=л;/2, как виднсц
из рис. 2.28, вектор поляризации совершает вращение по часовой стреЛ*1
ке (правое вращение). При #=const и изменяющемся t конец вектора
Р(у, t) описывает окружность. При f=const и переменном у конец век-J
тора Р(у, t) описывает цилиндрическую спираль с правым вращением?)
если смотреть в направлении распространений электромагнитной вол**
ны. Отметим, что при <ф=—л/2 и 0^=1/2 поляризация поля будет таю
же круговой, но вектор поляризации относительно направления рас^
пространения волны совершает вращение против часовой стрелки (ле^
вое вращение).	f'
В том случае, когда ф — ± те/2, но	— а2, электромагнит*
ное поле будет также вращающимся, однако конец вектора поляриза-!
ции описывает эллипс (эллиптическая поляризация).	j
2.13.2. Рассмотрим суммарное электромагнитное поле, возбуждаемое тонкий
плоским слоем стороннего электрического тока, поле которого опредёляется выраже»
ниями (2.111), и наложенным на него тонким плоским слоем стороннего магнитного
тока. Фаза магнитного тока меняется в направлении оси х, но вектор тока направо
лен по оси z (рис. 2.29). В этом случае комплексная амплитуда стороннего поверх*1
ностного электрического тока представляется формулой (2.86), а комплексная амплй*
туда стороннего поверхностного магнитного поля в отличие от формулы (2.100) опре*
деляется следующим выражением:
JM ст = I	е“'9‘Х "Ри У = °’
(о	при у ^0.
Вычисление составляющих векторных потенциалов листа стороннего магнитного
аналогично вычислению выражений (2.89). Имеем
(2.1
Am2 = J-±?-------------, A” =0, A\ = 0.	(2.117]
Составляющие вектора напряженности электрического поля определяются 06
формуле Е=—rotAM (1.109):
_	^А^2	__ JM0 Jn гл "по,,	-
Ex = -rotxAM^_-^= + -^-e-l^±
Е rot ьм—дА—?.._________—Л. ,	__р-^ох±/2 118’
%------Г°Ч/А — дх —	2 1Лв2~ "R2е	’	*	‘
*7° Р	I
Е2 =— rotzAM = 0.	'
Вектор напряженности магнитного поля находим по формуле (1.114):
Н =0 Н —О Н_________—-2—у/юеа—е—1’Эох±	9*У	(2
пх —и, —и, и2-------2
94
электромагнитного поля
Выберем токи JM0 и J80 так, чтобы удовлетворя-
лось условие
Го =
1<Мд
/Р2о-?г
JM0.
(2.120)
Тогда наложение поля (2.111) на поле (2.118) и
(2.П9) приводит к тому, что при у^О суммарное
поле оказывается тождественно равным нулю, а при
z/^0 оно удваивается и определяется выражениями
Hz __ j3oe—'Во*—	Ру1*
Ех = J“ е-***-У**~*Ч1	(2.121)
F _ Р А. Vfw*!/
Cf/-Je<osae
Таким образом, при условии (2.120) излучение электрического и магнитного сто-
ронних поверхностных токов становится односторонним.
Из выражений (2.121) видно, что на поверхности листов (при t/=4-0) имеют
место соотношения
!	Е, = л»г, =	=	(2.122)
Значит, тангенциальная составляющая (единственная) вектора напряженности
магнитного поля на поверхности листов терпит скачок и численно равна поверхно-
стной плотности электрического стороннего тока. Тангенциальная составляющая век-
тора напряженности электрического поля также терпит скачок и численно равна
поверхностной плотности магнитного стороннего тока. Нормальная составляющая
вектора напряженности электрического поля, умноженная на диэлектрическую про-
ницаемость среды еа, равна поверхностной плотности электрического заряда тэ, ко-
торая также терпит скачок при переходе через поверхность t/=0.
Поверхностное сопротивление
Z = Ед/Н^ = i
и совпадает с выражением, определяемым формулой (2.96).
2.14. Электромагнитное поле бесконечно протяженного линейного
электрического тока. Цилиндрическая волна
2.14.1. Рассмотрим постановку задачи. Пусть прямолинейная нить электрического
тока расположена в неограниченном однородном изотропном пространстве без по-
терь. Примем, что модуль линейного тока постоянен, а фаза меняется по линейному
закону, т. е. вдоль нити распространяется бегущая волна. Декартову систему коорди-
нат расположим так, чтобы ось г была параллельна нити тока (рис. 2.30). Тогда ли-
нейный сторонний ток нити в цилиндрической системе координат г, <р, z можно вы-
разить следующим образом;
i2I® ст = IZIge idoZ при г = а, <р = ?о»
0	при г ф а, ф <р0,
(2.123)
95
Рис. 2 30 Нить тока в декартовой и ци-
линдрической системах координат
Рис. 2 31 Распределение мгновенного зна- f
чения тока по нити
где 1эо=|1эо| ехР (йрэо)> амплитуда |1э0| и начальная фаза фэ0 тока не зависят ог
координат Коэффициент фазы тока р0 определяет скорость распространения волны f
тока вдоль нити. При р0—0 фазовая скорость стремится к бесконечности (синфазная
нить), при Ро=& фазовая скорость равна скорости света
Мгновенное значение тока изменяется следующим образом: /э ст=|1эо| cos (<в^—
—||Зох-]-фэо). В фиксированные моменты времени t=tN=NT ток является функцией J
только z\ распределение тока по длине нити изображено на рис. 2 31, величина ф3о 1
влияет только на значение тока при 2=0. Из графика видно, что в пределах полу- |
периодов 1, 3, 5, 7 ток ориентирован в положительном направлении оси 2, а в пре- |
делах полупериодов 2, 4, 6, 8 — в отрицательном. С течением времени волна тока^З
смещается в положительном направлении оси 2 со скоростью Оф=<о/р0-	|
Вектор объемной плотности комплексной амплитуды стороннего тока в цилинд- |
рической системе координат (см. § 2 5) выражается через вектор комплексной ампли- |
туды линейной плотности тока с помощью 6-функций
j3	стб(г_а,)5(ф_(р0)/л	(2.124) |
Надо найти и проанализировать электромагнитное поле, возбуждаемое нитью |
тока	’$
2.14.2. Рассмотрим решение задачи Вычислим сначала векторные потенциалы.''!
Так как магнитный ток отсутствует, то в неограниченном пространстве Ам=0. Для я
вычисления Аэ подставим в формулу (2 20) значения тока и функции G из
ний (2 124), (2.123) и (2 29). Меняя при этом порядок интегрирования по
циентам
свойство
распространения и пространственным координатам и используя
6-функции, находим
ОО	00	00
e-in(<₽-<₽0) С	f
А.=1-2 у
2 8т /I
П=—00
—00
—00
(,а) Wf’(vr),
.7,, («) Я‘2) (»о).
выраже-
коэффи-
основной
а, *.
Сравнивая интеграл по / с формулой (2 11), устанавливаем, что он представляем
собой разложение 6-функции, умноженной на 2л Учитывая это и
свойство 6-функции, получаем
используя основное а
а,
п=—со
‘^„(vor)//f (voa),
а,
где v0= — I Кр20 — kz.	1
Если считать, что нить тока расположена в начале координат, т е а=0, то, ••
учитывая, что г>0, надо в последнем выражении брать верхнюю строку Кроме того, j
5<п(0)=0 при a .J7o(O)=l, поэтому все члены ряда, за исключением нулевого,
96
равны нулю. С учетом этого при а=0 находим
Поскольку Аэ^ = 0 и А^О, то и АЭГ=АЭ^ = О.
Определим составляющие вектора напряженности магнитного поля в цилиндри-
ческой системе координат:
1 дкэг ^Аэ
Hr = rotrA3 = —“df------дГ- = 0’ He^rotzA*
(2.125)
1 ^(гА\)_1 дА%
г иьдг	г df “°*
4 дкэг дХ\ 1%	(vor)J
Н, . rot,А» = -57—е-г^----5^—t.
Производная от нулевой функции Ганкеля по аргументу
функцию Ганкеля с индексом, равный единице:
выражается через
dH^ (vor) dHp (yor)
dr V“ d (vor)
<= — v0H}2) (vor).
Чоэтому
Нф =	Я{2) ( о ).	(2.126)
Напряженность электрического поля находим из первого уравнения Максвелла:
Еф = —rot Н = 0.
г<оеа
Ef = -ArrotrH = -^^ = ?-^^e-/8«2//1(2) (vor), (2.127)
моеа	i(oea	соеа4/
Ez =—~ rot2H = “Лгу- W <гНч>) =“e~IPo8//02) М'
i<oea	iwsa	4a>sa
В последнем выражении при дифференцировании использована известная формула
[х#^ (х)] = х/^2) (х).
Отметим, что при больших значениях v<jr поле можно проанализировать, исполь-
зуя формулу (2.30), определяющую асимптотическое поведение функций Ганкеля при
больших значениях аргумента. При малых значениях аргумента функции Ганкеля
имеют следующие асимптотики:
<*<')• (2Л28>
Теперь проанализируем выражения (2.126), (2.127), считая, что проводимость
среды равна нулю (о»=0, й=10).
2.14.3.	Рассмотрим медленные волны (?в>?)« При этом у« = — raeht =
= yVo — &*• Подставляя в соотношения (2.126), (2.127) значения ve, можно вычислить,
составляющие векторов поля. На больших расстояниях от нити, когда Лог—>-оо, ис-
пользуя формулу (2.30), находим •
1Мо -в Г 2	. г
Е,=^Н,.	(2.129)
97
7—116
откуда следует, что поле имеет характер бегущей волны вдоль оси г. Составляющие
векторов поля волны убывают с ростом г по закону, определяемому произведением ]
экспоненциального множителя на	Поперечные составляющие векторов поля •
Нф и Ег синфазны. Вектор Пойнтинга распространяющейся волны
П = [Е, Н*]/2 « - !АН*ф/2 + 1гЕгН*ф/2	(2.130)
• имеет две составляющие: радиальную
2	16эт(?г е
и продольную
П _ J_E н* __	е_2ЛоГ
и2— 2 вгп ф- 16прг е
Радиальная составляющая Пг является чисто мнимой величиной, что указывает на
то, что вдоль радиального направления поле не распространяется. Продольная со-
ставляющая Пг — действительная величина. С ростом г составляющие Пг и Ht убы-
вают по закону, определяемому функцией ехр(—2hor)/r. Таким образом, в направ-
лении оси z распространяется поверхностная волна с фазовой скоростью Оф==а>/Ро<е.
Мгновенные значения поля при h$r—>оо определяются на основании формул
(2.129):
г НШо
ф	4
cos (<о( — М + Фэо);
11% I , Г~2~	п	л '
---4?--У °гсоЦЫ-М+Ф9о^^-(
Картина силовых линий электрического и магнитного полей, построенная для
момента времени t—NT при фэо=О, приведена на рис. 2.32. При построении силовых
линий в плоскости, содержащей нить тока (рис. 2.32,а), учтено, что при <р=л/2 и
Рис. 2.32, Структура поля волны, возбуждаемой бесконечной прямолинейной нитью
электрического тока (поверхностная волна)
98
Рис. 2.33. Цилиндрический фронт волны, возбуждаемой син-
фазной нитью электрического тока
<р=Зл/2 орты ir направлены в противоположные стороны. По-
скольку поле, определяемое выражениями (2.126), (2.127),
однородно по ср, то точно такая же картина будет в любой
плоскости, определяемой углами ф=фь ф=Ф14-л, где ф1=
=const.
По оси z поле имеет периодический характер, длина вол-
ны равна %о- Составляющие Ег и Ег при йог—>-оо сдвинуты
по фазе на 90°, что видно из рис. 2.32,6, где графики зависи-
мости составляющих векторов поля от z даны при больших
значениях hor и ф=л/2.
Силовые линии электрического и магнитного полей в неко-
торой поперечной плоскости, определяемой значением z=z&=
=const, 0<z<Xo/4, изображены на рис. 2.32,в. Графики-зави-
симости составляющих векторов поля от радиальной коорди-
наты представлены на рис. 2.32,г. При малых значениях йог
составляющие векторов поля изменяются по более сложным законам. Графики изме-
нения по г можно вычислить с помощью формул (2.128). При йог—>-0 для Щ. на
пример, имеем	=== 1% ехр (—/рог)/2лг.
Если выбрать в качестве контура L окружность малого радиуса и рассмотреть
циркуляцию вектора Н по этой окружности, то получим с учетом выражения
(2.123)
ИИ1 = 6	(|ф I,)	= I» ", h„r < 1.
L	L
Отметим, что в правую часть здесь не входит ток смещения. Это приближенное ра-
венство можно рассматривать как закон полного тока при h<jr—>0.
2.14.4.	Рассмотрим нить синфазного тока (0о=О). При этом ток по оси z одно-
роден, т. е. его фазовая скорость (иф z=(o/(30) равна бесконечности, а во времени он
меняется по закону cos (со/—]—4pa0) - Величина Vo в этом случае действительная и поло-
жительная: vq—й=р. Из выражений (2.126), (2.127) находим отличные от нуля со-
ставляющие поля:
нф = I’W-/,'2’ (fr)/4i, Ег = - 1^1ГЯ<2> (}г)/4.	(2.131)
При рг—>оо, используя в этих выражениях формулу (2.30), имеем
=	Ег«-Нф1Г.	(2.132)
Для составляющих вектора Пойнтинга при рг—>оо из соотношения (2.130) получаем
Пг=|Р0|ар2Г/16л1рг, 1Е=0.
Таким образом, электромагнитное поле, возбуждаемое нитью синфазного тока,
распространяется в направлениях, перпендикулярных нити. Поле имеет две попереч-
ные (относительно направления распространения) синфазные составляющие Ег и Hv,
т. е. нить синфазного тока возбуждает Т-волну. Фаза составляющих векторов поля
волны меняется по г при рг—>-оо по закону бегущей волны, фронт волны представ-
ляет собой бесконечный цилиндр с осью, совпадающей с нитью тока (рис. 2.33).
Амплитуды составляющих векторов поля убывают с ростом г по закону, определяе-
мому функцией l/j/У, Вектор Пойнтинга убывает с ростом г как 1/г. Составляющие
7*	99
Рис. 2.34. Структура поля цилиндрической волны, возбуждаемой нитью синфазного
электрического тока	<
'1
векторов поля однородны по азимутальному углу (по ср) и по координате z. Волну |
этого типа называют однородной цилиндрической волной.	d
Мгновенные значения составляющих векторов поля получаем из (2.131):	J
/7ф Re [Яр (₽л) е^^«/2+	|
(2.133>
Ег =»	Re [Н^ (рг) еМ+/в+‘ф’6].
При 0г—»-оо в соответствии с формулами (2.132) получаем
„ H’.lf ,/~2~	/	. Н
—~У	— "г + т)'	—
Картина силовых линий электрического и магнитного полей однородной цилинд*
рической волны в плоскости, проходящей через нить тока, для некоторого фиксиро !|
ванного момента времени изображена на рис. 2.34,а. Графики зависимости составляю* j
щих векторов поля от г представлены на рис. 2.34,6. Последние графики даны только Л
для области, где 0г велико.	|
При 0г —► О в соответствии с формулами (2.128) значение стремится к беско- J
вечности как 1/0г (имеет особенность типа 1/0г), значение Ег тоже стремится к бес- 'j
конечности, но как In (2/1,78 0г) (имеет особенность логарифмического типа). Пр» А
промежуточных значениях 0г амплитуды составляющих изменяются сложным образе»
с пзменением г.	| I*
Графики зависимости амплитуд составляющих векторов поля определяются графи- ।
ками зависимости модулей функций Н[2^ (|?г) [и (рг) от ₽г. Сложная [ зависимость
составляющих векторов поля от расстояния при малых и промежуточных значениях
0г наблюдается, как уже отмечалось, и для поля, возбуждаемого линейным излучате-
лем конечной длины в, неограниченном пространстве.	* ,
2,14.5.	В случае быстрых волн тока j?e р, поэтому v, =	является дей*
ствительной положительной величиной. При v0r-*oo составляющие векторов поля (2.126)г
(2.127) имеют вид
2-	. ₽—/а»ге—/’’г+/ж/4
(2.135>
юл	IFv.
Er csi Н<р	। , Ег— р Hjp,
Н'~—т-У
100
Рис. 2.35. К определению составляющих векто-
ров поля, возбуждаемого нитью электрическо-
го тока при v</—»-оо (быстрая волна тока)
т. е. при больших значениях VqT поле имеет
характер бегущих волн вдоль гиг. Фазо-
вые скорости вдоль осей г и г определяются
выражениями
»фг =	= ®/ I'V —К. »фг =>/₽о
и больше скорости света в данной среде.
Вектор Пойнтинга (2.130) имеет при этом
две действительные составляющие Пг и П3,
убывающие с увеличением г как 1/л
Следовательно, вектор Пойнтинга направлен вдоль некоторого направления р под
углом 6 к оси z, которое является направлением распространения волны (рис. 2 35).
В этом случае составляющие Ег и Ez являются проекциями вектора 2?$, перпенди-
кулярного вектору Пойнтинга.
Вектор Н — iq/fy перпендикулярен вектору Пойнтинга и НЗначит фронт волны
образует коническую поверхность, и относительно направления р’волна является попе- '
речной, т. е. Т-волной. Относительно направления, определяемого ортами ir или j5j волна
является Т-волной. Действительно, представляя р0 в виде Po=|$cos5, где б—такой угол,
что z.= pcosuJ, r=psin®, получаем М + vor= 0Р> Из рис. 2.35 видно, что Еь =
= £zcosJ — EzsinS (на рис. 2.35 мгновенное значения полей определены при некого
ром /=/1). Значит, при болыпих vor из выражений (2.135)получаем £5=^^. Фронт
волны движется с фазовой скоростью ^=1/Veap,fl в направлении, определяемом
вектором р, и представляет собой коническую поверхность; ось конуса находится на
нити тока. Заметим, что при малых и промежуточных значениях vy фронт волны
представляет собой более сложную, чем коническая, поверхность.
2.15.	Электромагнитное поле бесконечно протяженного линейного
магнитного тока	♦
2.15.1.	Пусть прямолинейная нить магнитного токд расположена в неограниченном
однородном изотропном пространстве. Вдоль нити распространяется бегущая волна
тока. Декартову систему координат расположим так, чтобы ось z была направлена
вдоль нити тока. Тогда линейная плотность стороннего магнитного тока в цилиндри-
ческой системе координат представляется выражением
1Мст= /У“ст = W.e-'9"’ "₽и '= °-
I 0	при г ф о,
(2.136)
где 1мо==|1мо| ехр (гфмо)', амплитуда |1и0| и начальная фаза ф“о тока не зависят от
координат. Объемная плотность стороннего тока имеет вид
J-м ст(р)=1« стД(г_0)в(ф_0)/г.
(2 137)
Надо проанализировать электромагнитное поле, возбуждаемое нитью магнитного
тока. Решение задачи можно найти, вычисляя магнитный векторный потенциал, а за-
тем составляющие векторов поля или применяя принцип перестановочной двойствен-
101
ности (см. § 1.8) к выражениям (2.126) и (2.127). Тогда имеем отличные от нуля
составляющие
' Еф = — 1 4/° е-1**	(V).
	=	(2.138)
тм ..г
•Проанализируем эти выражения, считая, что проводимость среды равна нулю.
2.15.2.	В случае медленных волн vo=—lh0. Подставив в формулы (2.138) зна-
чение Vo, можно .вычислить все составляющие векторов поля. Мгновенные значения
поля определяются выражениями
£ф - Re	(»,/•)],
//г = --^£ф,	(2.139)
Re > wi2> (’.О]-
Если найти асимптотические значения составляющих векторов поля при hor—>- /
—>-оо, то окажется, что они так же, как соответствующие выражения (2.129), убы- '
вают с ростом г по закону ехр(—hor)l]fr . Вдоль радиального направления поле не
распространяется. В направлении оси z распространяется поверхностная волна с фа-
зовой скоростью Рф=<о/|Ро<е. Поперечные составляющие поля Е^ и Н2 синфазны.
Относительно оси z поле представляет Н*волну. Картина силовых линий электриче-
ского и магнитного полей для момента времени t=NT при фмо=О приведена на
рис. 2.36. Она аналогична картине поля Е-волны, возбуждаемой бесконечной нитью ’
Рис. 2.36. Структура, электромагнитного поля бесконечной прямолинейной нити маг-
нитного тока (поверхностная волна)
102
электрического тока (рис. 2.32). Поэтому ее анализ не отличается от анализа, выпол-
ненного в § 2.14.
Если выбрать в качестве контура L окружность малого радиуса и вычислить
циркуляцию вектора* Е по L, то с учетом асимптотики функции Ганкеля (2.128) най-
дем ф Edl^—Iм ст(&</< 1). Это приближенное равенство можно рассматривать как
L
закон полного (магнитного) тока при hor—>0.
2.15.3.	Для нити синфазного (Ро=О) тока v0=P, отличные от нуля составляющие
векторов поля имеют вид
Е^ = --ТëР(И. нг = --^-//<2>(И-
При (ir-*оо эти составляющие убывают с ростом г как \/Vг , а фронт волны
представляет собой цилиндрическую поверхность. Поле распространяется в радиаль-
ном направлении и представляет бегущую в направлении возрастающих значений г
волну. Фронт волны не отличается от фронта, изображенного на рис. 2.33, векторы Е
и Н взаимно перпендикулярны, продольные составляющие поля отсутствуют, т. е.
имеется Т-волна. Структура электрического и магнитного полей отличается от струк-
туры, изображенной на рис. 2.34, только тем, что силовые линии электрического и
магнитного поля поменялись местами. При малых и промежуточных значениях рг поле
сложно зависит от расстояния. При больших волна является цилиндрической.
2.15.4.	В случае быстрых волн Vo является положительной действительной вели-
чиной. Поле так же, как и поле нити электрического тока, при больших значениях vqt
представляется бегущими вдоль г и вдоль z волнами с фазовыми скоростями, боль--
шими скорости света в данной среде. Если принять, что продольной осью является
координата г или ось z, то следует считать, что возбуждается Н-волна. Но если вы-
брать за продольное направление вектора Пойнтинга, то следует считать, что воз-
буждается Т-волна (рис. 2.35). Эта волна отличается от рассмотренной в § 2.14
только тем, что теперь вектор магнитного поля ориентирован вдоль образующей
конической поверхности фронта волны, а вектор перпендикулярен образующей
конуса (рис. 2.35).
2.16.	Электростатические поля. Поле стационарного тока
2.16.1.	Электростатическое и магнитостатическое поля и поле стационарного тока,
как указано в § 1.11, являются частными случаями электромагнитного поля. Поэтому
решения уравнений Пуассона (1.124), (1.128) для скалярных и векторных потенциа-
лов могут быть получены из общих решений уравнений Гельмгольца (2.20)^ (2 21):
Г = рэ ст (?) G (р> Я) dV',	(2.140)
V
Аэ(р) = f р ст (<7) G (р; q) dV',	(2.141)
V
При этом в выражениях для функции Грина (2.16), (2.24), (2.26) и (2.29) необхо-
димо положить k=0.
2.16.2.	В качестве примера применения формул (2.140) и (1.122) произведем
вычисление поля, возбуждаемого бесконечно тонким слоем статического электриче-
ского заряда с поверхностной плотностью тэ, образующего бесконечную, плоскость
в однородном пространстве.
Расположим декартову систему координат так, чтобы плоскость ху совпала
с листом заряда (рис. 2.37,а). Тогда рэ ст(р)=тэ(х, z)d(t/—0). Считаем для просто-
103
Рис. 2.37. Поле плоских листов электрического заряда
ты, что тэ не зависит от координат х, г. Подставляя в выражение (1.122) значение <р9
из формулы (2.140), используя формулу (2.26) и меняя порядок интегрирования, по-
лучаем при y^Q
Е(р) =
•с9	. Г Г ехР (—	— ^*21 + *гзУ)
~ 8ЛО гга(1 J J УЪ+Ъ
—ОО—ОО

X
6^-0) e^*^x'+l*^zZ+rxi‘+x^^v’dx'dy'dz'
* dxjdx3.
Внося оператор градиента под знак интеграла и учитывая основное свойство 6-функ-
ции и равенство (2.11), находим
Е(р)=1уЕ„; Еу==тэ/2еа; Ех— 0; Ег=0 при у^О.
Аналогично находим
Еу——тэ/2ва, Ex—Ez—G при у^д.
Таким образом, силовые линии вектора Е начинаются на листе и уходят вправо
и влево на бесконечность (см. рис. 2.37,а). Скачок нормальной к листу составляющей’
вектора D=e,aE при переходе через заряженный лист равен поверхностной плотности
электрического заряда:
^«|«=+о—Dy | у=_()==тэ.
2.16.3.	Пусть два расположенных на расстоянии d друг от друга листа заряжены
положительными статическими электрическими зарядами с \ постоянной поверхностной
плотностью тэ (рис. 2.37,6). Тогда
рэ (р) —( у—о) _|_тэб (у—d).
Для точки наблюдения р, расположенной между листами, т. е. при O^y^d, из
формул (1.122), (2.140), (2.26) получаем
00 ОО ,	,
А р Г р—«1*—i*3Z	.._______ .
Еи (п) — — -5-----х— I I “т--------------V Ге~^х*1+х’» У 4- рУ***+**» (У—<01 \z
у{Р) 2еа ду J jrx\ + x’a	+	1Х
—00 —00
Х3(хх — 0)8 (х3— O)dxidxt.	(2.142)
Если точка наблюдения находится слева или справа от листов, т. е. при у^О
или y^d, то формула для Ev отличается от формулы (2.142) тем, что выражения
в квадратных скобках имеют вид
ехр (Кх^ + х’, у) 4- ехр [Кх23 + х®, (у — </)]
104
или
exp (— Kx’j + xS у) + exp {—	+ x% {у — rf)J.
* Используя основное свойство б-функции, находим Ey—Q при	Еу——тэ/еа
при у<0; Еу=ъ*/га при y^d.
Следовательно, между листами Е—О (т. е. электростатическое поле отсутствует)
и происходит электростатическое экранирование. Слева и справа от листов значение
Еу оказйвается удвоенным по сравнению со значением Еу одного листа поверхно-
стного заряда. Картина силовых линий электростатического поля изображена на
рис. 2.37,6.
2.16.4.	Пусть один из двух расположенных на расстоянии d друг от друга ли-
стов заряжен положительным статическим электрическим зарядом с постоянной по-
верхностной плотностью -J-т®, а другой — отрицательным статическим электрическим
зарядом с поверхностной плотностью —тэ (рис. 2.37,в). Тогда р8(р)=тэб(у-0)-—
—тэб(у—d). При этом для точки наблюдения, расположенной между листами, т. е.
при O^y^d, с учетом разложения (2.11) получаем из формул (2.140), (2.26) скаляр-
ный потенциал
тэ
?Э W = 2Z
00
л Р—i*ix—I*#	- -----
г 2 X [<«-“>] г (к, - 0) X
J * * 1ТХ 3
Выполняя интегрирование
Э
х 6 (х3 — 0) dxt dx3.
по Хз и преобразуя подынтегральное выражение, находим
f	, (х_ _ 0) .
*1
—оо
\	1
Учитывая, что lim Xj sh [х, (d/2 — у)] = d/2 — у, имеем
х,->0
d
(2.143)
Для точек наблюдения, расположенных слева и справа от листов, аналогичным
путем получаем
(2.144)
/тэ^/2еа при у < 0,
Фэ (п) = г
(—t3d/2ea при y^d.
Вектор Е статического электрического поля определяется формулой (1.122):
।	± 1	_____।
у ду ' г dz J У ду ’
так как потенциал зависит только от координаты у. Следовательно, EX=EZ—Q, Еу=
=—dqp/ду. Используя выражения (2.1'43), (2.144), находим
Е = — grad <f9 =
(2.145)
у I 0 при у
2.16.5.	Пусть имеем конденсатор, образованный параллельными, расположенными
на расстоянии d друг от друга плоскими пластинами. Пластины заряжены разноимен-
ными электрическими зарядами с поверхностными плотностями -рг® и —тэ.
Приближенно можно считать, что пластины конденсатора — части заряженных
разноименными зарядами параллельных листов. При этом напряженность электриче-
ского поля определяется выражением (?,145). Это поле однородно по координате у
и существует (без учета краевых эффектов) только между пластинами конденсатора.
Электрические силовые линии начинаются на положительно заряженной пластине и
105
Рис. 2.66. двухпроводная линия
кончаются на отрицательно заряженной пластине
конденсатора (рис. 2.37,в). На, поверхностях пластуй
нормальная к поверхности составляющая вектора D
имеет скачок, равный поверхностной плотности элек-
трического заряда.
Электрический потенциал пластин определяется
выражениями (2.143), (2.144). Разность потенциалов
пластин, называемая напряжением конденсатора,
(7=ФЭ | у=о—фэ | y=d=i:ad/&a=Eyd.
Емкостью конденсатора С называется отноше-
ние величины заряда т’З пластины (S — пло-
щадь поверхности пластины) к напряжению: C=Szafd. Объемная Плотность энер-
гии электростатического поля определяется выражением (1.40). Так как Еу одно-
родно, то энергия электростатического поля в объеме V=Sd (между пластинами кон-
денсатора) равна (^э —&aE2ySd/2=CU2l2.
2.16.6. В качестве примера применения формулы (2.141) вычислим векторный
потенциал бесконечной двухпроводной линии,
направим вдоль оси одного из проводов
—Г3 плотности постоянных линейных токов в
Ось z декартовой системы координат
(рис. 2.38). Обозначим через /э и •
одном и другом проводах. Тогда объ-
емная плотность тока
/э ст (р) = Уэ2. Рг = ™ (X - 0) [ (у - 0) - 5 (у - tZ)].
Подставив это выражение в формулу (2.141), используя соотношение (2.24) при
k=0 и полагая (временно) длину проводов равной 2h, получим для точки р, распо-
ложенной В ПЛОСКОСТИ 2=0,
h	k
Р С dz'	Р f dz'
\Р)~ г 4п J /гг1 + 2/г 4л J Vr\ + z'2 ’
—h	—h
где r2i=x2-j-y2; r22—х2-[~(у—d)2.
1 Произведя замену переменных и = Kr2i + г'2 — z', v = Кг2г + z'2 — z' и про-
интегрировав, найдем
Аэ _ /э < KrvpF-ft _£_1 /^+T2-ft
2 4п П + h2 + h 4л п /Г22 + h2 _|_Л ’
Аэх=Аэу=0. Устремляя Лк бесконечности и учитывая, что Кг2 + Л2— h^sr2/2h, по-
лучаем
ЛЭг (/,) = -2Г1п 7Г’
Вектор напряженности магнитного поля определяется выражением (1.127). По-
этому Hx^==dA9zldyt Ну-дА^дх.
Задачи
1.	Записать с помощью 6-функции объемную плотность тока излучателя в виде
кругового витка линейного электрического тока (по бесконечно тонкому витку про-
текает линейный ток).
Решение. Радиус витка обозначим через а. Начало цилиндрической системы ко-
ординат г, ф, z расположим в центре витка, ось z направим вдоль нормали к плоско-
сти витка. Обозначим через 1э комплексную амплитуду линейной плотности электри-
106
ческого тока при некотором значении ср. Тогда 1э=4ф 1Э (ср). Ток равен нулю во всех
точках наблюдения, за исключением точек р(г, кр, z)=p(a, ср, z0). В этих точках комп-
лексную амплитуду объемной плотности электрического тока можно выразить с по-
мощью 6-функции
j3 (р)=1Э (ср) 6 (г—а) 6 (z—г0).
Мгновенное значение объемной плотности тока
Р (р, t) = Re (/>)] = | I» (?) | 8 (r - a) 8 (z - z.) cos [<rf + 4s (,)],
где 11® | и фэ(<р) —амплитуда и фаза линейного тока.
2.	Записать с помощью 6-функции в декартовой и цилиндрической системах ко-
ординат комплексную амплитуду и мгновенное значение объемной плотности электри-
ческого тока прямолинейного излучателя конечной длины. Записать мгновенное зна-
чение тока для случая, когда последний изменяется по закону бегущей ролны.
3.	Записать выражение для комплексной амплитуды и мгновенное значение
объемной плотности электрического тока на бесконечно длинном круговом цилиндре,
по которому протекает поверхностный электрический ток известной плотности.
4.	Построить в плоскости xz картину силовых линий замедленной волны элек-
тромагнитного поля листа электрического тока.
5.	Построить в плоскости ху при 2——Л/2 картину силовых линии замедленной
волны электромагнитного поля, возбуждаемого бесконечной нитью электрического
тока, при t=NT, фэо=О.
6.	Вычислить вектор Пойнтинга электромагнитной волны, возбуждаемой беско-
нечной нитью линейного магнитного тока. Проанализировать значения вектора Пойн-
тинга для случаев медленных, быстрых волн и волн, возбуждаемых синфазной нитью
тока.
7.	Показать, что в цилиндрической системе координат для поля, не зависящего
от z, функция Грина неограниченного пространства (двумерного) G==(l/4i)#(2>o(&rPg),
rpq=[r2—2racos(tp—Фо) —Н^2]ljf2> где а, ф<> — координаты нити тока (источника).
Указание. При решении задачи можно использовать соображения, примененные
при выводе выражения (2.125).
8.	Показать, что в зоне излучения электромагнитное поле кругового витка ли-
нейного электрического тока при а<сА. (а — радиус витка) совпадает с полем ориен-
тированного вдоль оси витка элементарного магнитного вибратора при условии, что
магнитный момент вибратора IM0L равен ikna2WI9, где I3 — постоянная по периметру
витка комплексная амплитуда электрического тока.
9.	Показать, что в зоне излучения электромагнитное поле кругового витка ли-
нейного магнитного тока при (а — радиус витка) совпадает с полем ориенти-
рованного вдоль оси витка элементарного электрического вибратора при условии, что
электрический момент вибратора laoL равен —ikW-'na2!™, где Iм — постоянная по
периметру витка комплексная амплитуда магнитного тока.
Глава 3
ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ И ТЕОРЕМЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
3.1.	Граничные условия электродинамики- Поля на границах
раздела сред
3.1.1.	В гл. 2 изучалось электромагнитное поле, возбуждаемое сто-
ронними источниками в бесконечном однородном пространстве. Пара-
метры среды 8’а, Ца при этом предполагались непрерывными.
107
D реальных уеливиил нс иывас! исипидсчпшл идпирмАлгм-л. ърсд,
всегда на некотором расстоянии от излучателей находятся различные
объекты, создающие неоднородность в пространстве. В большинстве
случаев излучатели располагаются в непосредственной близости от по-
верхности земли. Кроме того, излучатели, располагаемые на судах,
самолетах, спутниках, находятся вблизи металлических поверхностей.
Комплексные диэлектрические проницаемости земли, металла и воз-
духа различны. Поэтому на поверхностях раздела воздух — земля и
воздух — металл имеется скачок параметра еа- На поверхности раздела
воздух — металл может иметься еще и скачок параметра ра.
При решении задач возбуждения электромагнитного поля, как уже
отмечалось, используются дифференциальные уравнения Максвелла,
описывающие электромагнитное поле в точке (локально). Поэтому ,
в тех точках, где имеется разрыв параметров еа, |ia, они должны быть
дополнены условиями, определяющими поля на границах раздела срёд.
Поведение электрического и магнитного полей при переходе точки на-
блюдения через границу раздела сред может быть установлено с по-
мощью уравнений Максвелла в интегральной форме.
Интегральную форму уравнений Максвелла при наличии электри-
ческих и магнитных тдков и зарядов получаем из уравнений (1.85) так
же, как в § 1.2. Применяя те же обозначения, имеем
$Hdl =^- f DdS + С fdS,
L	S	S
§Edl = — -^BdS —
L	S	S
§DdS = CpW,
S	V
(3.1)
(3.2)
(3-3)
§BdS= f fudV.
S	V
(3.4)
Пусть’электромагнитное поле возбуждается в пространстве, где имеет-
ся поверхность S — граница раздела двух сред: среды с параметрами
Ра1 и среды с параметрами еа2, ?а2 (рис. 3.1). Векторы поля в первой
среде обозначим через Ei, Hi, Dit Вх, а во второй — через Е2, Н2, D2, В2.
Рис. 3.1. Поверхность раздела сред
Рис. 3.2. К выводу граничных условий для
нормальных составляющих векторов поля
108
D )Иаопслпл	входят векторы электрического и магнитного
полей той среды, в которой находится точка наблюдения поля р. Если
точка наблюдения поля находится на границё раздела, то условия, ко-
торым удовлетворяют электрические и магнитные поля первой и второй
сред, надо установить.
3.1.2.	Сначала установим условия, определяющие на поверхности
раздела сред поведение нормальных к границе раздела составляющих
векторов поля. Для этого выделим у поверхности раздела 5 элемент
цилиндрической формы объемом ДУ так, чтобы один торец цилиндра
находился в первой среде, а другой — во второй. В увеличенном мас-
штабе элемент Д У изображен на рис. 3.2. Обозначим через ДО поверх-
ность, образованную пересечением объема ДУ с границей раздела, че-
рез П1 и п2— единичные векторы внешних нормалей к торцам цилиндра,
находящимся соответственно в первой и второй средах (рис. 3.2). Тогда
элементы площадей торцов определяются так: AS*=n.iASi, Д$а==П2Д.$2.
Кроме того, Д$=пД$, ASi=AS2=AS и ДУ=Д5ДЛ; п2=—ni=n (при
этом предполагается, что в любой точке поверхности S существует нор-
маль к поверхности).
Теперь применим уравнение (3.3) к объему ДУ, ограниченному тор-
цами Д$1, ДО2 и боковой поверхностью цилиндра Д56. Интеграл по
поверхности цилиндра можно представить в виде суммы интегралов
С p.Wds.+f p!(A)ds,4- j Ods=j pw.
&St	ASa	Д5й	ДИ
Считаем здесь, что ДЛ—*0, тогда AS6—0, поэтому интеграл по бо-
ковой поверхности цилиндра стремится к нулю. Поскольку ДО мало,
то и D2 в первых двух слагаемых можно вынести из-под знака ин-
теграла. Аналогично можно вынести рэ из-под знака интеграла в пра-
вой части. Поскольку Д/г—>0, то pi—>р2—*ps, где р8— точка наблюде-
ния, расположенная на границе раздела сред. Таким образом, получаем
D.(pJbS,+D,(ps)i>S,^?bV
ИЛИ
D2nAS —P^AS^ p9ASA/i, pGS.
Значит,
— 2)1)п = гэ, pG$.
поскольку поверхностная плотность электрического заряда ,га=рэДЛ
(так как рэ=^э/ДУ=^/Д5 Дй=тэ/Д/г).
Применим далее к объему ДУ уравнение (3.4). Выполнив анало-
гичные преобразования, получим
(В2—В1)п=тм, реЗ.
Значения nD и пВ определяют нормальные составляющие векторов
индукций Dn и Вя. Поэтому из двух последних равенств имеем
Dm—£ni=T®, Dm—ВП1=тм, p^S.	(3.5)
Это математическая формулировка гранцчных условий для нор-
мальных составляющих векторов индукций. Сформулировать словами
граничные условия (3.5) можно так: нормальные составляющие век-
109
ТОрОВ ЭЛеКТрИЧеСКОИ И машишии индукции па ipaiiniAv
сред испытывают скачок (разрыв), равный поверхностной плотности
электрического или магнитного заряда.
Если заряды на поверхности отсутствуют (тэ=тм=0), т0
о„,=о„2. в„,=в2. PGS, -	(3.6)
т. е. нормальные составляющие векторов индукций при переходе через
поверхность раздела сред непрерывны.
Поскольку Dn=8aEn, Вп—цаНп, то при отсутствии поверхностных
зарядов для нормальных составляющих векторов поля получаем
Sal^nl~Sa2^n2’	nl = ^а2^'nV	(3-7)
Из выражений (3.5) имеем граничные условия для комплексных
амплитуд индукций:
вп2-в„,=л pes. (3.8)
3.1.3.	Найдем граничные условия для касательных составляющих
векторов электромагнитного поля. Для этого воспользуемся уравне-
ниями (3.1) и (3.2), в которые входят интегралы по контуру, опираю-
щемуся на некоторую поверхность. В качестве контура выберем эле-
ментарный контур AL, одна сторона которого AZi проходит в первой
среде, а другая AZ2— во второй (рис. 3.1). В увеличенном'масштабе
контур AL и часть граничной поверхности изображены на рис. 3.3,а.
Расположим точку наблюдения ps на граничной Поверхности 5. Пусть
пит — единичные векторы нормали и касательной к поверхности S
в точке ps (предполагаем, что касательная в каждой точке поверхно-
сти S существует). Введем в точке ps ортогональный вектор v, такой,
что r=[v, п]. Боковые стороны контура обозначим через АЛ. Контур-
AL опирается на поверхность AS=;A/A/z, причем AS=vAS. Применим
теперь закон полного тока (3.1) к элементарному контуру AL, опираю-
щемуся на элементарную поверхность AS. Интеграл по замкнутому
контуру AL представляется в виде суммы интегралов по частям кон-
тура AZi, AZ2 и двух интегралов по боковым сторонам АЛ контура. Если
АЛ->0, то последние два интеграла стремятся к нулю. В правой части
равенства (3.1) при АЛ->0 и малом AZ можно воспользоваться теоре-
мой о среднем и вынести значения £>ср и j9cp из-под знака интеграла..
При этом получаем
я.(д) Д1,+Н, (Л) Д1, = as+j-VS.
Рис. 3 3 К выводу граничных условий для касательных составляющих векторов поля!
(а) и для составляющих векторов поля на поверхности идеального проводника (б>
ПО
при Ш1~*и имеем рг — р2^р5 и исръ д = £/cpvAZAA -> 0,; fc^S~
= fv(MAhv) = t3vMv = J3vM, где /э=тэу; v — скорость движения
электрического заряда. Учитывая, что при AA->0 Ah=—tAZi, A12=tAZ2,
AZi=AZ2=AZ и, кроме того, r=[v, и], получаем
(Я2-Я1)т^(//2-Я1)[т,п] = /Ч p^S.
Используя здесь свойство смешанного произведения векторов и сокра-
щая равенство на v, получаем
[п, Н2 —H^^J9, p(ES.	(3.9)
Применим теперь к контуру AL уравнение (3.2). Выполнив преоб-
разования, аналогичные сделанным, находим
[п,£2 -£J = - Jm, p&S.	(3.10)
Для комплексных амплитуд полей из двух последних выражений
имеем
[n, H2-Hi]=J3, [п, Ег—Ei]=—JM, p^S.	(3.11)
Поскольку выражение [п, а]=а^ определяет касательную к поверх-
ности S составляющую вектора а, то из условий (3.9) — (3.11) следует,
что касательные составляющие векторов напряженности электриче-
ского и магнитного полей при переходе через поверхность раздела
сред терпят скачок (разрыв), равный поверхностной плотности тока.
Отметим, что в средах с конечной проводимостью (реальных сре-
дах) поверхностные токи не могут существовать. Существование, на-
пример, поверхностного электрического тока в среде с электрической
проводимостью оэ в соответствии с § 1.5 привело бы к тому, что в ко-
нечном объеме AV расходовалась бы при А/г—Ч) бесконечная мощность.
Источников, обеспечивающих такую мощность, нет, поэтому и реали-
зовать поверхностный электрический ток в этих условиях нельзя. Од-
нако при проводимости какой-либо из сред, стремящейся к бесконеч-
ности, или, точнее, при такой большой проводимости, когда глубина
проникновения поля в среду становится очень малой по сравнению
с длиной волны в среде, измерение поля или тока вблизи поверхности
производится все же всегда вне пределов глубины проникновения.
В этих условиях возможен скачок касательной составляющей вектора
напряженности магнитного поля и, значит, оправдано допущение о воз-
можности существования поверхностного тока.
Поверхностные токи в условиях (3.9) — (3.11) могут задаваться как
сторонние. В качестве примеров можно обратиться к задачам возбуж-
дения электромагнитного поля плоским листом электрического или
магнитного поверхностного тока (см. § 2.11 и 2.12). Бесконечную пло-
скость, по которой протекает ток, в каждой из этих задач можно рас-
сматривать как границу раздела сред (с одинаковыми параметрами).
На границе раздела протекает поверхностный сторонний ток. Поведение
касательных составляющих векторов напряженности магнитного и
электрического полей определяется выражениями (2.93) и (2.104), по
форме совпадающими с граничными условиями (3.11).
Если поверхностные токи на границе раздела сред отсутствуют, то
из условий (3.9) — (3.11) получаем.
’	(3.12)
Е1т==Е21, Н1т = Н2т, p(=S,
111
т. е. тангенциальные составляющие векторов напряженности электри-
ческого и магнитного полей остаются непрерывными при переходе че-
рез поверхность раздела реальных сред.
Пусть одна из сред, например вторая, является идеальным про*
водником. Электромагнитное поле в идеальном проводнике существо*
вать не может, т. е. Е2=Н2==0, поскольку при	коэффициент
затухания Если бы электромагнитное поле в идеальном провод-
нике отличалось от нуля (Ег, Н2 конечны), то при <j®2-^oo получили бы,
что |ja2|->oo(jЕ * * * * * * 82»o92E2). Поэтому объемная плотность мощности по*
терь стремилась бы к бесконечности, а источников, которые могли бы
компенсировать бесконечные потери, не существует.
Итак, полагая поле во второй среде равным нулю, получаем из
(3.11) граничные условия на идеально проводящей поверхности:
[Hi, n]=J®, [n, Et]=JM, peS.	(3.13)
Если сторонний поверхностный магнитный ток на идеально прово*
дящей поверхности отсутствует (JM=0), то имеем
[Hi, n]=Ja, [и, Ei]=0, p^S.
(3.14)
G помощью условия Ел1 = 0 на поверхности идеального проводника
можно получить важные равенства для составляющих вектора напря-
женности магнитного поля. Расположим с этой целью начало декар*
товой системы координат в некоторой точке плоской поверхности раз*
дела сред (рис. 3.3,6). Из второго уравнения Максвелла находим л
ту 	1	/ д&ух дЕХ|
так как ЕЖ1=0, Eyi=0 при p<=S. Из первого уравнения Максвелла
с учетом условия (3.14) имеем
Е _0______
Е-~°~ I дУ
PG 5,
:,.=о=-4т-
д
дх
Жг/
дг дх
откуда находим, имея в виду, что Н^ = 0 при pG'S:
дН /дг=О, dHJdz = 0, p(=S.
Z
Таким образом, нормальная составляющая и нормальная произ*
водная от касательной составляющей вектора напряженности магнит-
ного поля на поверхности идеального проводника обращаются в нуль-
В общем виде имеем
Нп/ = 0, ^Нт1/^л = 0, pCS.	(3.14а>
Отметим, что и — единичная внешняя нормаль (точка наблюдения
поля Ei, Hi находится в первой среде, а нормаль направлена во вто*
рую среду).
В качестве примера рассмотрим граничные условия для устройст-
ва, описанного в § 1.5 (рис. 1.14). Будем считать, что поверхность S
112
ОЛоаluiouvi	lavio uicnun MCidJ14M4VtM)M чруиы И ОКНО С ПО-
верхностью So. Если векторы напряженностей электрического и маг-
нитного полей внутри полости обозначим через Ег, Нг, вне полости —
через Еь Hi, то на металлических стенках трубы (считаем металл иде-
ально проводящим) граничные условия имеют вид
[п, £,] = (), [Н„ n] = J9, Hn/ = 0, dHJ<^ = 0, p(ES-S0,
а на поверхности окна необходимо использовать граничные условия (3.12):
E-jj = Et2, Htl z= Ht2, р Er S,
3.1,4.	Предполагалось, что в любой точке граничной поверхности
существует единичный вектор и, нормальный к поверхности (нормаль).
На граничной поверхности могут быть ребра, на которых нормаль
не существует. Следует ожидать, что поле в точках наблюдения, лежа-
щих на ребрах, будет отличаться от поля на гладких поверхностях.
При отыскании решений электродинамических задач, кроме обычных
граничных условий (3.8), (3.11), необходимо учитывать так называе-
мое условие на ребре. Оно сводится к требованию, чтобы плотность
энергии искомого электромагнитного поля была пространственно ин-
тегрируема в окрестности ребра (условие Мейкснера). Физически это
означает, что в конечной области вокруг ребра должна быть сосредо-
точена конечная энергия электромагнитного поля.
Граничные условия при решении задач возбуждения поля при
наличии поверхностей раздела сред играют такую же важную роль,,
как и дифференциальные уравнения для потенциалов или полей.
3.2.	Лемма Лоренца
Для того чтобы сформулировать в общей форме задачу возбужде-
ния электромагнитного поля в пространстве с произвольно располо-
женными неоднородностями, а также при доказательстве ряда прин--
ципиальных положений электродинамики часто используют вспомога-
тельное математическое соотношение, называемое леммой Лоренца.
3.2.1.	Рассмотрим лемму Лоренца в дифференциальной форме.
Пусть в изотропной в общем случае неоднородной среде с непрерывно,
изменяющимися параметрами еа, Ца задано распределение сторонних
электрических и магнитных токов jjCT, ]“ст частоты ко, возбуждаю-
щих электромагнитное поле Ei, Hi, удовлетворяющее уравнениям Мак-
свелла:
rotH^w^ + J?”	(3.15)
rot Е, = — i«£oH, — j" ".	(3.16)
Пусть далее в той же среде задано распределение сторонних элект-
рических и магнитных токов j2 ст, j2 ст частоты <о возбуждающих поле
Еа, Н2, удовлетворяющее уравнениям
rotHs = bIflE2 + r2CT,	(3.17)
rot Еа = — ’г<о|хвНг —т j2 ст.	(3.18)
8—Ц6	пз>
Установим с помощью уравнений (3.15)—(3.18) связь между по- \
лями и сторонними токами. Для этого умножим скалярно первое из *
уравнений на Е2, а последнее —на Hi и вычтем из первого результата *
второй. Учитывая тождество
div [a, b] ==brota—arotb,	(3.19) »
получаем
— div [Е2,	= i<» saE1Es + jj ctE2 + /(OfiaHjHa + j“CTHr
Теперь, умножив скалярно второе уравнение на Н2, а третье —на Et и ,
вычтя второй результат из первого, получим
7
div [Ер HJ = —	— j“CTH2 — /шеаЕжЕж — j® CTEr
Сложим последние два равенства. Имеем	’
div [Е„ НJ - div [Е,, Н,1 = К "Е, - j“"H2 - j’ СТЁ, + j"СТН(. (3.20)
В левую часть полученного равенства входят дифференциальные >
операции. Равенство это называют леммой Лоренца в дифференциаль- <
ной форме.
3.2.2.	Подучим лемму Лоренца в интегральной форме. Рассмотрим
область Vo пространства, ограниченную поверхностью 5. Поверхность 5
может быть поверхностью раздела сред или некоторой вспомогатель-
ной поверхностью, охватывающей полностью или частично сторонние
токи.
Сторонние токи ст, j}ICT, охватываемые поверхностью S, распре
делены в объеме Vlf а сторонние токи j®07, охватываемые поверх-
ностью 5, — в объеме V2 (рис. 3.4). Проинтегрируем выражение (3.20)
по области Vo. Применяя к левой части результата теорему Остроград-
ского—Гаусса и учитывая, что сторонние токи отличны от нуля только
в объемах V4 и V2, получаем лемму Лоренца в интегральной форме:
j{[E„ НЛ - [Ег, Н,]} dS, = f " (?) E, (?) - j; " (?) H, (?)] dV, -
S	.	V,
~ J Ш CT (7) E1 (7) - j2MCT (7) (q)]
va
(3.21)
где q — точка интегрирования. Это соотношение
устанавливает связь между полями и возбуждаю-
щими их токами, при этом учитывается влияние на
электромагнитное поле формы и пространственного
расположения поверхности S. Равенство (3.21) во
многих электродинамических задачах используется
при составлении интегральных уравнений.
Рис. 3.4. К выводу леммы Лоренца в интегральной форме
114
3.3.	интегральные соотношения для полей. 1еорема эквивалентных
поверхностных токов
Лемма Лоренца в интегральной форме позволяет выразить иско-
мые напряженности электрического и магнитного полей, возбуждае-
мых сторонними токами, в некотором объеме и при этом учесть влия-
ние поверхности раздела. Можно предположить, что при наличии по-
верхности раздела сред возникают следующие процессы: сторонние
источники возбуждают в пространстве электромагнитное поле, которое,
распространяясь по всем направлениям, достигает поверхности, ограни-
чивающей заданный объем, и отражается (рассеивается) ею. При' этом
возникают волны, распространяющиеся в направлениях, обратных на-
правлениям волн, бегущих от источников. В результате переотражений
от поверхности раздела в объеме устанавливается некоторое резуль-
тирующее поле. Физический процесс можно трактовать следующим об-
разом. На поверхности раздела сред под воздействием первичного поля
источников могут протекать вторичные поверхностные токи, которые,
в свою очередь, возбуждают вторичное поле в объеме. Значения вто-
ричных поверхностных токов должны зависеть от сторонних источни-
ков, от параметров среды, формы и граничных условий на самой по-
верхности раздела.
3.3.1.	Определим интегральные соотношения для полей. Пусть в объ-
еме Vo, ограниченном поверхностью S, заданы в области V сторонние
токи j9CT?jMCT (частоты со), возбуждающие электромагнитное поле,
напряженности которого Е(р), Н(р) надо определить, причем peV0
(рис. 3.5). На поверхности S удовлетворяются заданные граничные
условия.
Для решения задачи примем в лемме Лоренца (3.21), что j9CT_j9CT,
jMcT_jMCT. у0Гда и ^—Е^), Hj = H(p). Для того чтобы выразить на
пряженность электрического поля, введем в рассмотрение в точке р
вспомогательный электрический диполь с единичным моментом
ток которого изменяется с той же частотой со; диполь ориен-
тируем вдоль единичного вектора а, а вспомогательный магнитный ток
положим равным нулю.
Вспомогательные токи обозначим через j®ст, j“CT и примем в лемме
(3.21) j9CT= j9 сЧ = а8(7 — р), j^CT=j:CT=O. Тогда Е2 = Е9(7; //),
Н2=НЭ(^; р), где q — произвольная точка, (?eV’o; Еа(с?; р), Нэ(су; р) —
возбуждаемые в точке q напряженности электрического и магнитного
полей вспомогательного электрического диполя, расположенного в точ-
ке р.
Подставим значения токов и полей в выражение (3.21). (Заметим,
что точка q является точкой наблюдения тока	поэтому при
подстановке этого тока в'интеграл по об-
ласти V2 по координатам этой точки про-
изводится интегрирование.) Используя
основное свойство трехмерной б-функции
Рис. 3.5. К выводу интегральных соотношений
Для полей
115
во втором интеграле правой части и перенося скалярное произведе-
ние аЕ в левую часть равенства, а поверхностный интеграл — в правую,
лолучаем
аЕ (р) = f [Г " (?) Еэ (?; р) - )“ст (?) Н’ (?; />)] dV, +
V
Е* (?; р), Н (?)] - [Е (?), Н* (?; /;)]} dS,.	(3.22)
3
Для того чтобы определить напряженность магнитного поля, вве-
дем в рассмотрение в точке р вспомогательный магнитный диполь
с единичным моментом (/МА=1), ориентированный вдоль единичного
вектора Ь, а вспомогательный электрический ток положим равным ну-
лю. Тогда в лемме Лоренца j9CT= j9CT=O,J“CT= j“CT =b6(^-p),
E2=EM(ty; p), H2 = Hm(?; p), где q — произвольная точка, z/eVoJ Ем(^;
р), Нм(^; р)—напряженности полей вспомогательного магнитного ди-
поля. При этом из леммы (3.21) получаем
ЬН (р)=- Г [г " (?) Е“ (?; р) -	(?; />)] dVi-
u
- j {[E’(?; p) H (?)] - [e (?).!Hl(?; /7)]} dsr	(3.23)
В найденных выражениях (3.22) £и (3.23) скалярные ^произведения
аЕ, ЬН позволяют определить любую составляющую векторов Е и Н.
Действительно, полагая, например, в сферической системе координат а
равным одному из ортов i0 или i^, найдем составляющие Е^, Е0 или
Е^.' Естественно, что при этом электрический диполь в каждом случае
-ориентирован или вдоль орта или ifl, или 1ф. Поэтому каждому значе-
нию а соответствует свое вспомогательное поле Еэ, Нэ. Аналогично
каждому значению вектора b соответствует свое вспомогательное поле
Ем, Н^.
В настоящем параграфе будем, в частности, считать, что Еэ, Нэ и
Ем, нм — поля вспомогательных диполей в неограниченном пространст-
ве. Для однородного изотропного пространства эти поля определейы
в § 2.9 и 2.10. Для неоднородного неограниченного пространства задача
определения вспомогательных полей не всегда разрешима.
В выражениях (3.22) и (3.23) интегрирование по объему при изве-
стных вспомогательных полях всегда может быть выполнено, так как
сторонние токи являются заданными функциями координат. При этом
в результате интегрирования получим некоторую функцию от р. Пере-
ставив множители в смешанных произведениях векторов, поверхност-
ные интегралы в последних равенствах целесообразно представить
в следующем виде:
J {[Е’<“>. Н] — [ Е, Н’<">]} nd$,= С {[Н, n] Е’<"> — [n, Е] dSe (3.24)
3	3
где индекс э берется при вычислении вектора Е, а индекс м — при вы-
числении Н. Поскольку выражения [Н, п] и [n, Е] определяют каса-
тельные составляющие векторов искомых полей на поверхности, то из
выражений (3.22) и (3.23) следует, что касательные составляющие век-
торов искомого поля входят под знаки поверхностных интегралов и для
116
того чтобы найти искомое поле в произвольной точке ре Vo, надо знать
касательные составляющие векторов того же искомого поля на ограни-
чивающей поверхности S. В некоторых важных задачах электродина-
мики касательные составляющие векторов напряженностей искомых по-
лей на поверхностях $ могут быть заданы с помощью приближенных
представлений: ^на основе опытных данных (на основе измерений) или
вычислены путем приближенного решения задачи. Тогда в результате
интегрирования по поверхности S получим некоторую функцию от р.
Значит, векторы Е(р) и Н(р) становятся известными функциями.
Заметим, что при решении электродинамической задачи обычно не-
обходимо найти только один вектор Е или Н. Другой вектор находится
из уравнений Максвелла.
Если точку наблюдения р расположить надлежащим образом на
поверхности S и определить составляющую вектора Е или Н, касатель-
ную к поверхности, то из выражений (3.22) или (3.23) найдем, что
искомая касательная составляющая вектора входит и под интеграл
в правой части равенства. Так же можно получить интегральное урав-
пение относительно неизвестной касательной составляющей вектора
поля.
3.3.2.	Введем в рассмотрение эквивалентные поверхностные токи.
В соответствии с граничными условиями (3.11), (3.13) касательные со-
ставляющие векторов поля [и, Е], [Н, п] на поверхности S имеют раз-
мерности соответственно поверхностных плотностей магнитного и элек-
трического токов. Значит, в выражении (3.24) касательные составляю-
щие векторов поля можно заменить эквивалентными электрическим и
магнитным поверхностными токами J9 и JM:
[Н, n]=J®, [n, Е] =Jm.	(3.25)
При этом из выражений (3.22) и (3.23) получаем
аЕ = ± f [j9 СТЕЭ(М) — jM CTH’W] dV + f [ J3E3 <M> — JMH9<M>] dS.,
bH (p) J	* J	’
v	s
p&\,	(3.26)
где для сокращения записи объединены две формулы, знак «плюс» со-
ответствует составляющей Е, «минус»—Н. Из этих выражений видно,
что эквивалентные поверхностные токи в возбуждении поля играют ту
же роль, что и сторонние токи. Но существенно То, что сторонние токи
являются заданными функциями, а эквивалентные поверхностные токи
появляются под воздействием полей сторонних токов.
3.3.3.	Очень часто при решении практически важных задач электро-
динамики применяют теорему эквивалентных поверхностных токов. Для
того чтобы получить исходные выражения, применяемые при этом для
расчета векторов напряженности поля, и сформулировать теорему, пред-
положим, что необходимо решить такую электродинамическую задачу,
в которой заданы изолированные замкнутые поверхности So, Si, S2 (мо-
жет быть и ряд других поверхностей). Источники поля заданы в объе-
мах V' и V", расположенных в общем случае на разных расстояниях
от начала координат (рис. 3.6,а) (начало координат находится внутр#
объема Vo).
В формуле (3.26) интегралы распространяются по поверхностям
«So, Sb S2, обычно имеющим в реальных условиях сложную форму. Чем
сложнее поверхности, тем сложнее процедура вычисления поля. Поэтому
117
Рис. 3.6. К выводу теоремы эквивалентных поверхностных токов
с целью упрощения вычислений применим следующий прием. Вве-
дем в рассмотрение некоторые фиктивные поверхности S' и S" так, что-
бы в объеме Р, ограниченном поверхностями S' и S", не оказалось сто- -
ронних источников поля (рис. 3.6,6). Поверхности S' и S" могут частич-
но совпадать с So, Sb S2, выбор их формы определяется стремлением
возможно больше упростить решение поставленной задачи. Считаем,
что точка наблюдения находится в объеме Р(реР), в котором сторон-
них источников нет. Значит, уравнения Максвелла в области Р явля-
ются однородными, поэтому в исходном выражении (3.26) объемный
интеграл отсутствует, а поверхностный интеграл берется по S' и^ S".
С учетом этого получаем
, аЕ(р)^± Г	(3.27)
ЬН(р) J ,,
S'4-S"
Из выражения ’(3.27) следует, что электромагнитное поле в объеме,
в котором отсутствуют сторонние токи, возбуждается распределенными >
на ограничивающих объем поверхностях эквивалентными поверхност-
ными токами. Если электромагнитное поле вне объема Р можно каким-
либо методом найти, то тем самым определяются и касательные к по-
верхности составляющие векторов поля. По касательным составляющим
с помощью выражений (3.25) вычисляются эквивалентные поверхност- .
ные токи'.
Проведенные рассуждения можно пояснить, рассматривая энерге-
тические соотношения. Электромагнитное поле, возбуждаемое сторон-
ними источниками, заданными вне объема Р, распространяется и до-
стигает поверхностей S' и S". Мощность, которую электромагнитное
поле переносит через поверхности S' и S" и которая расходуется источ-
никами на возбуждение электромагнитного поля в объеме Р, зависит
от нормальной к поверхностям S' и S" составляющей вектора Пойнтин-
га. Последняя определяется касательными к поверхностям S' и S" со-
ставляющими векторов поля. Это определяет роль касательных к огра-
ничивающим поверхностям составляющих векторов поля, а значит, и 
роль эквивалентных поверхностных токов.	7
Теорема эквивалентных поверхностных токов гласит: поле в сво-
бодной от источников области может быть создано электрическими и
магнитными токами, распределенными по ограничивающей область по-
верхности, и в этом смысле действительные источники поля можно за-
менить «эквивалентными» поверхностными токами.
118
3.4.	Условия излучения
По пучим условия, которые накладываются на искомое электромаг-
нитное поле при решении внешних задач электродинамики.
3.4.1.	Будем считать, что поверхность S" расположена на бесконеч-
но большом расстоянии от начала координат, а поверхность S' — на
конечном расстоянии (рис. 3.6,6). Сторонние источники заданы в обла-
стях V' и V". Необходимо определить электромагнитное поле, удовлет-
воряющее уравнениям Максвелла в неограниченном пространстве, неко-
тором имеются поверхности раздела сред Si и S2. Граничные условия
на поверхностях Si и S2 известны. Таким образом, необходимо рассмот-
реть внешнюю задачу электродинамики.
Если поверхность S" находится на бесконечности, то при отсутст-
вии сторонних источников в объеме V" на бесконечности необходимо
потребовать, чтобы распространяющееся поле, возбуждаемое сторонни-
ми источниками, заданными в объеме V', не отражалось поверхностью
S". Волн, распространяющихся из бесконечности в направлении источ-
ника, не должно существовать. Необходимо, чтобы вся энергия, расхо-
дуемая источниками в V' на возбуждение поля, переносилась послед-
ним на бесконечность. Вектор Пойнтинга на больших расстояниях от
объема V' и от тел с поверхностями Si и S2 должен быть направлен
в сторону увеличивающихся расстояний (в сторону направления рас-
пространений поля от источника, т. е. наружу). Эти физически очевид-
ные требования по существу сводятся к тому, что поверхность S" не
должна влиять на электромагнитное поле в точках р, расположенных
на конечном расстоянии от начала координат.
Для того чтобы поверхность S" не влияла на поле Е(р), Н(р),
необходимо, чтобы интеграл по S" в (3.27) обращался в нуль. Рассмот-
рим, каким условиям должны удовлетворять при этом векторы Е и Н
искомого поля на поверхности S". Приравнивая в выражении (3.27)
интеграл по S" нулю, с учетом соотношений (3.25) имеем
lira f (ЛЭЕЭ(М) — JMH3(M)) dS —
V°°s-
= lim Г {[H(tj), и] ЕЭ(М) (7; ^)-[n, E (7)] Нэ (7; /?)} dS =0, p^V. (3.28)
V°°s-
Считаем, что точка p расположена на таком расстоянии от начала
координат, что RP<^Rq, и предположим, что S" представляет собой сфе-
ру, радиус которой Rq стремится к бесконечности; тогда dSq=
=R2q sin QqdQqdfpq (рис. 3.7). Следовательно, для выполнения равенства
(3.28) достаточно потребовать, чтобы
lim {[Н (?), п]Е*«(17;р)_[п,Е(<7)]Н’<") (q;p)}R!, = 0, R„<Rr (3.29)
ч
Векторы ЕЭ(М) (q\ р), Нэ (м)	р) определены как поля, возбуждаемые в
точке q электрическим или магнитным вспомогательным диполем, рас-
положенным в точке р. Поскольку RP<^Rq, то можно считать, что точ-
ка q расположена в дальней зоне вспомогательных диполей и, значит,
электромагнитное поле вспомогательных диполей в точке q является
119
Рис. 3 7. К формулировке условий излучения Л

s
образом, вспомогательные
поперечным (Т-волна), поперечные состав»^
ляющие векторов Е5*1®), Нэ<м> связаны харак-Ж
теристическим сопротивлением прострация
ства. Вектор Пойнтинга Пэ<м) вспомогателы-»
ных полей .имеет направление, совпадающее®
с направлением радиуса вектора Rpq. Там
как при/?д^>|7?р можн® считать, что Rpg||R||iw
(см. § 2.7), то Пэ<м>=пПэ<м\ т. е. направле*|
ние вектора Пойнтинга совпадает с направ-|
лением нормали к поверхности S". Таким
поля связаны следующими соотношениями: |
ГНЭ(М) (7; р) = [и, ЕЭ(М) (q; /?)],	|
(3.30>|
ЕЭ(М) (<?; р) == W [Н9(м> (<?; р), n], Rp < Rq.	|
Преобразуем равенство (3.29) сначала с помощью первого, а затем У
с помощью второго из выражений (3.30).	I
Используя свойство смешанного произведения векторов сначала q
в первом, а затем во втором слагаемом, получаем последовательно два
равенства	(
lira {[и, ЕЭ(М)] Н - [n, Е] Нэ<м>} R\ = lim {ГН - [n, E]} H9<M> Rs = 0,
V°°	Rq^
lim {[H, n] E9(M) — [H9<M), n] E} R\^= — W1 lim {E — W [H, n]} E9(M> 7?2 = 0,
V00	Vе0
rwRp<^Rq.
В соответствии с результатами § 2.9 и 2.10 при Rp<^Rq существу*',
ют пределы lim R Н9(м) и lim RЕ9(м), которые не равны нулю в среде /
7?^—>оо
без потерь. Значит, необходимо потребовать, чтобы
lim ЯДГН —[n, Е]}=0, lim Rq{E -Г[Н,п]} = 0.	I
V°°	Rq-+co
Обычно индекс q при R опускают, учитывают, что п=|я, и записывают
эти предельные соотношения в виде
lim 7? {ГН — [i^, Е]} = 0, limtf{E — Г [Н, i ]} = 0.	(3.31}
^->00	/?-»ОО
Эти условия составляют электромагнитное условие излучения. Из’ них
следует, что искомое электромагнитное поле внешней задачи электро-
динамики на больших расстояниях от источников' и поверхностей раз-
дела должно быть поперечным; вектор Пойнтинга искомого поля на
больших расстояниях должен быть направлен в сторону увеличиваю-
щихся значений расстояния от источника, т. е. волн, приходящих из
бесконечности, не существует. Объясняется последнее, как уже отмеча-
лось, отсутствием источников электромагнитного поля на бесконечности.
3.4.2.	Уравнения Гельмгольца обычно решают относительно состав-
ляющих векторов электромагнитного поля, составляющих векторных
потенциалов или определяют функцию Грина, т. е. находят скалярные
величины. Поэтому целесообразно из электромагнитных условий
120
излучения получить условия, определяющие поведение скалярных ве-
личин.
Разложим векторы Е и Н по ортам сферической системы координат
и подставим результат в равенства (3.31). Приравнивая слагаемые при
одноименных ортах, получаем
lim7?H„=0, lim^E^O, lim /?(1ГНв+Еш)=0,
R-*ao	R-*<X)	R-+ao
lim7?(E — IFHJ=O, limR(lFH — E_)=0, limR(Es + li7H,)=0.
7?->00	J?->QO	/?->QO
Из этих равенств следует, что даже в среде без потерь продольные со-
ставляющие векторов искомых полей с увеличением расстояния должны
убывать быстрее, чем 1/R, т. е., как уже отмечалось, на больших рас-
стояниях в среде распространяется Т-волна.
Выражая из однородных уравнений Максвелла поперечные состав-
ляющие вектора электрического поля через поперечные составляющие
вектора магнитного поля или, наоборот, подставляя результат в пре-
дыдущие равенства и пренебрегая бесконечно малыми высших поряд-
ков, найдем условия для каждой из поперечных составляющих векторов
поля, например для Е0 имеем]	f
lim R (dEJdR + Жв) = 0.	(3.32)
Соотношение (3.32) называют условием излучения (условием Зом-
лерфелъда). Оно гласит, что искомое поле на бесконечности должно
иметь вид бегущей на бесконечность сферической волны, т. е. любая из
поперечных составляющих векторов поля, например Efl, должна зави-
сеть от координат по закону Ев = Ео (9, <?) ехр (— ikR)/R.
Нетрудно проверить, что функция Грина (2.24) неограниченного
трехмерного пространства G(p; у) = (1 /4л) ехр (—ikRpq) /Rpq удовле-
творяет условию излучения, поэтому при Rq<^.RP—»оо она определяет
собой бегущую на бесконечность сферическую волну.
3.4.3.	В случае, когда в пространстве возбуждается цилиндриче-
ская волна, в качестве поверхности S" в интеграле (3.28) выбираем по-
верхность цилиндра, радиус которого rq стремится К бесконечности, тог-
да dS4=rqdyqdzq. В качестве Вспомогательных полей используем поля
^бесконечных нитей линейного электрического или магнитного поля.
Рассуждая, как и в предыдущих двух пунктах, получаем электромаг-
нитное условие излучения для цилиндрической волны
lim /7{1ГН — [ir, Е]}=0, lim/г {Е — W [Н, IJ} = 0	(3.33)
г->ао	г->оо
я условие излучения, например, для составляющей Еф
limF7(®-/fr+iftEJ=0.	(3-94)
r->ao	Y
Физическое содержание равенств (3.33), (3.34) не отличается от
«физического содержания соответствующих равенств (3.31), (3.32).
Продольные составляющие векторов полй в среде без потерь должны
убывать с увеличением расстояния от источников быстрее, чем
Искомое поле на бесконечности должно иметь вид бегущей на бес-
конечнрсть цилиндрической волны, т. е. при г—>оо, например, функция
121
Е0 должна зависеть от координат по закону Еф = Еф (<?, г) ехр (— ikr)[Vr*
где функцию Еф(<р,г) необходимо находить из решения конкретной гра-
ничной задачи.
Функция Грина ( 2.29) неограниченного пространства в цилиндриче-
ской системе координат удовлетворяет условию «излучения (3.34). Она
определяет собой при г—>оо, конечном г' и h2<ik2 спектр бегущих на
бесконечность цилиндрических волн. Если возбуждающие токи (а зна-
чит, и поле) не зависят от координаты z, то функция Грина неограни-
ченного (двумерного) пространства имеет вид G=(l/4f) //J2) (krpq) (см..
§ 2.14), тоже удовлетворяющий условию излучения (3.34). При гр—>оо
и конечном rq она определяет собой бегущую на бесконечность цилинд-
рическую волну.
3.4.4.	В случае плоской волны, распространяющейся вдоль оси у,
аналогично можно получить электромагнитные условия излучения
lim {ГН - [i^, Е]} = 0, lim {Е — W [Н,у} = 0	(3.35)
£/->00	£Н>С0
и условие излучения, например, для составляющей Ех
,	Нт(<?Ех/^+‘*Е*)=О,	(3.36)
^->00
показывающие, что продольные составляющие векторов поля плоской
волны отсутствуют, а поперечные составляющие образуют плоские вол-
ны, бегущие на бесконечность.
В ряде сложных граничных задач поверхность S" может не быть
сферической, цилиндрической или плоской. Тогда условия излучения
могут иметь другую форму, отличающуюся тем, что составляющие век-
торов поля с увеличением расстояния от источников убывают по более
сложному закону.
3.4.5.	Особо важную роль условия излучения играют при решении
граничных задач для сред без поглощения (&=ф, а=0). Если среда
имеет поглощение (а=£0), то выделить в решении волны, бегущие от
источника на бесконечность, нетрудно, так как амплитуды таких волн
убывают, как показано в § 2.8, по экспоненциальному закону. Ампли-
туды же волн, бегущих в противоположном направлении, т. е. прихо-
дящих из бесконечности (сходящихся к началу координат), изменяются
с расстоянием по закону exp (ikR)/R и с увеличением расстояния от
начала координат возрастают по экспоненциальным законам; при от-
сутствии источников на бесконечности такие волны должны исключать-
ся из решений, так как их появление физически не обосновано.
Если имеется среда без поглощения, то для того чтобы выяснить,,
какие решения задачи характеризуют приходящие из бесконечности
волны, вводят малое поглощение (а мало). В полученных решениях, где
учтены только волны, уходящие на бесконечность, совершают предель-
ный переход, полагая а—>-0. Этот принцип построения решений назы-
вают принципом предельного поглощения.
3.4.6.	Следует заметить, что в ряде работ* по электродинамике [3J
мгновенные значения векторов поля представляются не в виде исполь-
зованных здесь выражений (когда векторы поля зависят от време-
ни по закону ехр (йв/)), а в следующем виде: А(р, /)—>А(р, со)Х
Хехр (—i&t). Электромагнитные условия излучения (3.31), (3.33) >
(3.35) для комплексных амплитуд поля при этом не меняются, а усло-
122
вия излучения (3.31), (3.33), (3.35) отличаются тем, что вместо мнимой
единицы i в них берется сопряженная величина •—i. При этом и функ-
ции Грина отличаются тем, что в них i заменяется на —i.
3.4.7.	Из изложенного ясно, что электромагнитные условия излуче-
ния и условия излучения (Зоммерфельда) при решении внешних гра-
ничных задач играют'Такую же важную роль, как и граничные условия
на поверхностях раздела сред.
3.5.	Теорема взаимности
3.5.1.	Получим равенство, широко применяемое в ряде практически
важных случаев. Рассмотрим изотропную среду с непрерывно изменя-.
ющимися в пространстве Го параметрами еа, ца. Зададим в объеме V!
рассматриваемого пространства сторонние электрические и магнитные
токи jjCT, j“CT частоты со (рис. 3.4). Возбуждаемые этими токами
поля обозначим через Еь Нь В области V2 рассматриваемого простран-
ства зададим сторонние электрические и магнитные токи j9 ст, j“CT
той же частоты со, а поля, возбуждаемые ими, обозначим через Е2, Н2.
Сторонние токи и поля связаны леммой Лоренца (3.21). Пусть сто-
ронние токи заданы в неограниченном пространстве Го. В этом случае
поверхность S, ограничивающая заданное пространство, находится на
бесконечности и, следовательно, с учетом электромагнитных условий
излучения поверхностный интеграл в выражении (3.21) равен нулю.
Тогда получаем
(3.37)
Это есть математическая формулировка теоремы взаимности для неог-
раниченного пространства. Она широко используется в теории излуче-
ния и приема электромагнитных волн, например при установлении
принципа взаимности (взаимозаменяемости) передающих и приемных
антенн.
3.5.2.	Физический смысл теоремы взаимности (3.37) рассмотрим на
примерах. Пусть сторонние магнитные токи отсутствуют jj1 ст= j” ст= О,
а сторонние электрические токи реализуются с помощью элементарных
электрических вибраторов: считаем, чтр в точке рх расположен пер-
вый элементарный электрический выбратор с током j9CT (р, pj =I9iliX
ХЧР— pt), возбуждающим электрическое поле напряженностью
Ei(p, pj, а в точке pz—второй вибратор с током j9 ст(р,p2)=i32^(p—Pz)>
возбуждающим поле напряженностью Е2(р, р2); PJi, 1э212 — электриче-
ские моменты токов. Подставляя токи в выражение (3.37) и интегрируя,
получаем
1Э111Е2(Р1, /72)‘с=19212Е1 (Р2> pi),	(3.38)
где E2(pi, р2) —электрическое поле, возбуждаемое вторым вибратором
в месте расположения первого вибратора, a Ei(p2, Pi)—электрическое
поле, возбуждаемое первым вибратором в месте расположения второго
вибратора. Величины 1jE2=33i2 и 12Е, = Ээ21 имеют размерность вольт,
123
_____к
Pz
5)
А
Рис. 3.8. К пояснению те<^
ремы взаимности длж
двух элементарных элек-1
трических вибраторов ।
нх можно рассматривать как электродвижущие силы, наводимые
рым вибратором в первом и первым вибратором во втором. При
выражение (3.38) можно записать в виде
1э1Ээ12 = Р2ЭЭ21 ИЛИ ЭЭ12/1Э2 = 5821/1Э1.
Величины Ээ12/1э2=-^12 и 332i/I3i=Z2i имеют размерность ом. Они харак-
теризуют электромагнитную связь (взаимодействие) излучателей. Их
называют взаимными сопротивлениями (или сопротивлениями связи)
излучателей. Значит, взаимные сопротивления вибраторов равны: Zi2==
=Z2i.
Предположим, что электрические моменты токов первого и второго
вибраторов равны: I3ili=I92l2=I31. Тогда из равенства (3.38) следует:
Ег(Рь P2)=Ei(?2, Pi),	(3.39>
т. е. в неограниченном пространстве с произвольно изменяющимися па-
раметрами изотропной среды перемена местами точки наблюдения поля
и точки расположения элементарного электрического вибратора не ме-
няет вектора напряженности электрического поля (значит, и величины
составляющей вектора поля, касательной вибратору)
Например, расположим элементарный вибратор в точке рь а на-
пряженность электрического поля Ei измеряем в точке р2 (рис. 3.8,а).,
Затем тот же вибратор перенесем параллельно в точку р2, а напряжен-
ность электрического поля Е2 измеряем в точке pi (рис. 3.8,6). Найдем,
что напряженность электрического поля Ei равна измеренной в точке
Pi напряженности поля Е2.
Для расположенных в точках pi и р2 элементарных магнитных виб-
раторов с одинаковыми по величине и направлению магнитными мо-
ментами можно получить выражения, аналогичные (3.39): Н2(рь р2) =
=Н1(р2, pi).	{
Рассмотрим другой пример. Пусть сторонние токи реализуются с по-
мощью элементарных вибраторов. Но в точке д расположен электри-
ческий вибратор; jj CT=I91118 (р — /?,), jJ*CT==O, а в точке р2—магнит-
ный: ]2ст==12Ц(р — p2),	ст=0. Тогда, пользуясь формулой (3.37), по-
лучаем
1э111Е2(р1, р2) ——IM2l2Hi(р2, pi).
Величина l2Hi=,9M2i имеет размерность ^мпер, ее можно рассма-
тривать как магнитодвижущую силу, наводимую электрическим вибра-
тором в магнитном диполе. Последнее выражение можно записать-
в виде
Р1Э312=— 1м2Эм2ь
что позволяет проанализировать электромагнитную связь излучателей.
124
3.6.	Теоремы единственности решений уравнений Максвелла
Теоремы единственности показывают, как необходимо формулиро-
вать граничную ^задачу электродинамики для того, чтобы она имела*
единственное решение, и позволяют утверждать после того, как полу-
чено решение задачи, что данное решение единственно и не надо забо-
титься об учете других возможных решений. Доказательство единст-
венности решения граничной задачи может быть непосредственно полу-
чено из уравнения баланса энергии электромагнитного поля.
3,6.1.	Рассмотрим область Vo, ограниченную замкнутой поверхно-
стью S. Предположим, что среда в области Vo является изотропной и
в общем случае неоднородной с параметрами еа, Ца- В объеме V, рас-
положенном внутри области Vo, заданы сторонние электрические и маг-
нитные токи j8CT, jM ст. На поверхности S заданы граничные условия,,
причем на части поверхности Si задана только тангенциальная состав-
ляющая вектора напряженности электрического поля, а на оставшейся-
части поверхности S2— только тангенциальная составляющая вектора
напряженности магнитного поля (рис. 3.9,а).
Надо показать, что решение уравнений Максвелла
rot Н = Zcd^E + j9 ст, rot Е = — /®раН — jM ст,	(3.40>
удовлетворяющее указанным граничным условиям, является единст-
венным.
3.6.2.	Рассмотрим внутреннюю задачу электродинамики, когда объ-
ем Vo конечный. Доказательство теоремы единственности при этом про-
ведем, предполагая, что существуют два решения поставленной задачи:
Ei, Hi и Е2, Н2. Образуем разность решений: E=Ei—Е2, H=Hi—Н2.
Поскольку Еь Hi и Е2, Н2 удовлетворяют неоднородным уравнениям
(3.40), то разность этих решений удовлетворяет однородным уравне-
ниям Максвелла:
rot Н = к»еаЕ, rot Е = — 1шр.аН	(3.41 У*
и однородным граничным условиям на поверхности S
Ех=0 на S„ Нх=0 на S2.	(3.42>
Применим к разностному решению уравнение баланса энергии-
электромагнитного поля (1.70). Учитывая, что уравнения (3.41) одно-"
родны, т. е. сторонних токов для разностного поля рет, получаем
о)	8)
Рис. 3.9. К доказательству теоремы единственности
125
V	V
(3.43)1
s
Из граничных условий находим, что поток вектора Пойнтинга через
поверхность S отсутствует, так как
[Е, Н*]п = [п, Е]Н*=ЕТН* = О на Sp
(3-44)
[Е, Н*].п = [Н*, п] Е = Н*,Е = 0 на S,.	|
Значит, для разностного поля в область Vo электромагнитная энер- I
гия не поступает, вместе с тем в области Vo нет сторонних источников. /
Следовательно, потери энергии в области Vo должны быть равны нулю.‘
Поэтому	/
область Vo электромагнитнаяэнер- I
гапттл идт rTnnnunwv wnTnunwvnn Js
J-^-a3EE*dV = 0.
v
(3.45)
Но из равенства (3.43) вытекает, что
f	НН* f ЕЕ* т/
J Ра 2	2	’
V	V
(3.46)
При анализе соотношений (3.45), (3.46) необходимо различать два
случая. В первом случае проводимость среды отлична от нуля, т. е. '
иэ#=0. Тогда из (3.45) следует, что Е=0 при p&V0, и из (3.46) следует,
что Н=0 при peV0. Поэтому Ei=E2,	Следовательно, заданием
касательной составляющей вектора электрического или магнитного по-
ля на граничной поверхности обеспечивается единственность решения
уравнений Максвелла.
Во втором случае проводимость среды равна н^лю, т. е. оэ=0. Тог-
да выражение (3.45) удовлетворяется тождественно при разностном
поле, отличающемся от нуля. Необходимо только, чтобы в соответствии
с выражением (3.46) средняя энергия электрического поля была равна
средней энергии магнитного поля. Это значит, что электрическая энер-
гия переходит в магнитную, т. е. внутри объема происходят свободные
колебания. Как будет видно из дальнейшего, свободные колебания вну-
три замкнутых объемов (объемных резонаторов) без потерь наблюда-
ются на определенных (собственных) частотах. Следовательно, в огра-
ниченном объеме при отсутствии потерь в среде единственность реше-
ний имеет место только на частотах, отличных от резонансных. ,
3.6.3.	Рассмотрим внешнюю задачу электродинамики. Пусть об-
ласть Vo ограничена изолированными замкнутыми поверхностями So,
Si, S2 (рис. 3.9,6). Поверхность So является сферой, радиус которой R
стремится к бесконечности. На So удовлетворяется электромагнитное
условие излучения (3.31), а на Si и S2, как и в п. 3.6.1, задана танген-
циальная составляющая вектора электрического или магнитного поля.
Для доказательства теоремы единственности опять применим к раз-
ностному полю уравнение баланса энергии электромагнитного поля
(1.70). В результате получим выражение (3.43), в котором поверхност-
126	\
ный интеграл является суммой интегралов по So, Si и S2. Предполо-
жим, что среда в объеме и0 имеет потери, объем V и поверхности Sb S2
находятся на конечном расстоянии от начала координат. Тогда из-за
затухания электромагнитного поля в среде амплитуды составляющих
векторов электрического и магнитного полей на поверхности So при
J?—>оо уменьшаются быстрее, чем по закону 1/\R. Значит; для разност-
ного поля на поверхности So справедлива оценка
|Е|	|Н| <ЛШ1+а,
где Afi, М2 — конечные положительные величины; а — положительное
число. При этом
4-<£>[Е,	при Я-оо. (3.47}
Оо
Поток вектора Пойнтинга разностного поля через Поверхности Si
и S2 в выражении (3.43) с учетом граничных условий (3.44) равен ну-
лю. Поэтому разностное поле удовлетворяет соотношениям (3.45) и
(3.46), откуда следует, что Е=0 и Н=0, т. е. Ei=E2 и Hi==H2.
Если среда в объеме Уо не имеет потерь, то теорема единственно-
сти для внешней задачи электродинамики остается справедливой. Дей-
ствительно, при а=0 в оценке (3.47) поток вектора Пойнтинга через
поверхность So остается конечной величиной. Но этот поток равен мощ-
ности электромагнитного поля, переносимой волнами, распространяю-
щймися из объема Уо через поверхность So. Поскольку для разностного
поля в объеме Vo источники электромагнитного поля отсутствуют, та
поток вектора Пойнтинга разностного поля через поверхность So дол-
жен быть равен нулю. Следовательно, необходимо, чтобы на поверхно-
сти So или Е=0, или Н=0. Значит, выражение (3.46) тождественно
равно нулю, т. е. разностное поле равно нулю в объеме Vo.
Теоремы единственности показывают, что при формулировке внут-
ренней граничной задачи необходимо требовать, чтобы искомое элек-
тромагнитное поле удовлетворяло уравнениям Максвелла и граничным
условиям на поверхностях раздела сред. На поверхности раздела необ-
ходимо определять только касательную составляющую вектора напря-
женности электрического поля или только касательную составляющую
вектора напряженности магнитного поля. .При формулировке внешней
граничной задачи необходимо, кроме того, требовать, чтобы искомое
поле удовлетворяло электромагнитным условиям излучения.
Отметим, что выражения (3.22) и (3.23), определящие интеграль-
ные соотношения для полей, согласуются с теоремой единственности.
Действительно, по формулам (3.22) и (3.23) можно найти поле в любой
точке р рассматриваемой области, если помимо задания сторонних
электрических и магнитных токов заданы тангенциальные составляю-
щие векторов искомого электрического и магнитного полей на ограни-
чивающей рассматриваемую область поверхности S. При этом на вспо-
могательные поля допускается накладывать произвольные граничные
условия. Нами предполагалось, что на поле вспомогательных диполей
наложены условия излучения на бесконечности. Однако на поле вспо-
могательных диполей можно наложить какое-либо условие на ограни-
чивающей поверхности S, например положить Е®(м) —0 или H®(M) = 0
на S. Тогда в выражениях (3.22) и (3.23), а также в (3.26) в интегра-
127
.лах по S выпадает первое или второе подынтегральное слагаемое. Сле-
довательно, наложение на искомое поле граничных условий в отноше-
нии тангенциальной составляющей только вектора Е или только векто-
ра Н на поверхности S является и достаточным и необходимым в соот-
ветствии с теоремой единственности.	•
3.7.	Принцип Гюйгенса и интеграл Кирхгофа
•
3.7.1.	При вычислении составляющих векторов напряженностей
электрического и магнитного полей иногда используется интеграл Кирх-
гофа, количественно выражающий принцип Гюйгенса. Чтобы получить
интеграл Кирхгофа, рассмотрим свободную от сторонних источников
область Р, ограниченную поверхностями S" и 5' (рис. 3.6,6). Найдем
интегральные выражения составляющих векторов поля Е и Н в обла-
сти Р.
Уравнения Максвелла в области Р являются однородными, следо-
вательно, уравнения Гельмгольца (1.117), (1.118) также являются одно-
родными. Для любой декартовой составляющей векторов поля (Ei и
Нг) имеем
Р2Ег+/г2Ег=0,	V2Hi+^Ht=0, ре=Р,
где i==x, у, z.
Пусть в точке ^еР расположен вспомогательный точечный источ-
ник. Скалярное поле этого источника в соответствии с результатами
§ 2.5 является функцией Грина G(p; р), удовлетворяющей уравнению
(2.34):
V2G+^2G=—б(р—q).	(2.34)
Умножим последнее уравнение, например, на Ег-, а предыдущее — на
G и вычтем первый результат из второго. Интегрируя полученное ра-
венство по области Р и применяя основное свойство 6-функции, полу-
чаем
С(GV'E, — E,V!G)dV= Г1(9)’ В 9(3.48)
и	Io,
Используя теорему Грина
J(GV!Ei-E/V*G)rfV= j (0^~ E,^dS,
V	S'+S"
' и меняя местами координаты *гочек р и р, имеем
Е,(р)= f	?)-Ei(?)‘^^-)dS,, />£?.
S'+S"
Если поверхность S" отодвинута на бесконечность, то, применяя
условие излучения, имеем
В качестве функции G здесь может быть использована функция Грина
неограниченного однородного трехмерного пространства (2.24). Выра-
>128
—p&V.	(3.49)
дп 1 дп. J	'	'
жение (3.49) йозвОляет по известным значениям Ег и дЕг/дп на гранич-
ной поверхности определить функцию Ег- во всех точках объема.
Следует иметь в виду, что задавать произвольные, не связанные
друг с другом значения составляющих векторов поля и их нормальных
производных на границе нельзя, так как эти значения строго связаны
интегральным равенством, получающимся из (3.49), если точку р рас-
положить на поверхности S'. Поэтому при приближенных вычислениях
необходимо задавать составляющие поля и их нормальные производ-
ные, наиболее удовлетворяющие интегральному равенству при p^S'.
Выражение (3.49) называют интегралом Кирхгофа. Оно дает ко-
личественную формулировку принципа Гюйгенса, согласно которому
функция Ег, характеризующая интенсивность волнового процесса
(удовлетворяющая скалярному уравнению Гельмгольца), в любой точ-
ке наблюдения является суперпозицией сферических волн, излучаемых
элементарными источниками, распределенными на заданной поверхно-
сти (в частном случае являющейся поверхностью волнового фронта).
Если сравнить интеграл Кирхгофа с выражениями (3.27), учиты-
вающими векторный характер поля, то можно сделать такой качествен-
ный вывод: составляющая вектора напряженности поля и ее нормаль-
ная производная на границе играют роль эквивалентных поверхностных
токов, вспомогательные поля ЕЭМ и Нэ(м> играют роль функции Грина и
ее нормальной производной. С помощью поверхностного интеграла
в (3.27) или (3.49) производится суммирование излучения элементар-
ных источников, распределенных на ограничивающей объем поверхно-
сти. Функция Грина, описывающая излучение точечного источника, ко-
личественно характеризует поле распределенных на поверхности эле-
ментарных излучателей.
До сих пор функция G считалась функцией Грина неограниченного
пространства, удовлетворяющей условию излучения. Однако при реше-
нии уравнения (2.34) можно наложить на G граничное условие на по-
верхностях S'+S". Если S" удаляется в бесконечность, то кроме усло-
вия излучения можно, например, потребовать, чтобы G=0 на S' или
dG/дп—О на S'. В первом случае уравнение (2.34) совместно с услови-
ем G=0 на границе области дает первую граничную задачу (задачу
Дирихле), а во втором случае уравнение (2.34) совместно с условием
dG/dn—Q на границе области дает вторую граничную задачу (задачу
Неймана). Соответствующие решения задач называют функцией Гри-
на первой граничной задачи (Дирихле) и функцией Грина второй гра-
ничной задачи (Неймана).
Если в (3.49) исподьзовать функцию Грина Gi задачи Дирихле или
функцию Грина G2 задачи Неймана, то интеграл Кирхгофа упрощается:
Е,(р) = - f E.^-dS, илй Е,(Р)=jpeV. (3.50)
S'	S'
Аналогично в выражениях (3.22) — (3.24), (3.26), (3.27) на вспомо-
гательное поле может быть наложено, как уже указывалось, некоторое
граничное условие. Например, можно потребовать, чтобы касательная
к поверхности S' составляющая вектора Еэ<м) или Нэ(м> на S' была рав-
на нулю. При этом, естественно, интегральные выражения для векторов
поля Е и Н упрощаются. Тип граничного условия, налагаемого на
вспомогательные поля, определяется возможностью максимального
упрощения процедуры решения данной конкретной граничной задачи.
9—116 ’	129
3.7.2.	Интеграл Кирхгофа не учитывает векторного характера электромагнитного
поля, поэтому он имеет ограниченное применение в электродинамике. Векторный
характер электромагнитного поля учитывается с помощью интегралов (3.27), выра-
жающих теорему эквивалентных поверхностных токов. Эти интегральные соотношения
чаще всего и применяются при решении практически важных задач. Считается, что
они выражают принцип Гюйгенса 'для векторных полей.
Если в некотором объеме V области Vo и на ограничивающей объем Vo поверх- '
ности S заданы сторонние токи, то при вычислении векторов Е и Н могут оказаться
более удобными не выражения (3.22), (3.23), а полученные на их основе преобразо-
ванные выражения. Чтобы эти выражения получить, учтем, что в соответствии с фор-
мулами (1.115), (1.116) и (2.20), (2.21) и результатами § 2.5 имеем
Еэ = ———(ksaG -J- grad div aG), H9=rotaG,.
xwea
HM = —~~ (k2bG + grad di v bG), EM — —- rot bG,
где G —функция Грина неограниченного однородного пространства. Подставив по-
следние выражения в формулы (3.22), (3.23), получим
аЕ (р) = С _L_ (fe2j9 CTaG _]_! j3 ст grad(? div^aG ~ iZtaf CT rot^aG) dVq +
J icoea
+ ?—(A2J3aG + J3[grad?[div^aG — Mo~aJM rot^aG) dSq; (3.51)
J xcoea
bH (p) = f —(fe2jM CTbG + jM CT gra^ div^bG-HcoJTaj3 rot qbG) dVq +
+ f —3“ (fe2JMbG 4- JM grad^ div4 bG 4>^J£ rotq bG) dSq. (3.52)
iwjj.a -
Здесь токи являются функциями точек q, a G — функцией точек р и q. Чтобы под-
черкнуть, что в подынтегральных выражениях дифференцирование производится по
точкам q, мы делаем пометки grad q, divg, rotg. Векторы E(p), H(p) определяются
в точках Наблюдения поля р. Единичные векторы а, b заданы в точке р, интегриро-
вание производится по тем точкам q, где токи не равны нулю. Замечая, что
J rotgaG=a rot PJG, J gradg divgaG=a gradp divP JG,
где индекс p указывает на дифференцирование по точкам наблюдения поля, получаем
из (3.51), (3.52) (при сокращении единичных векторов а и b в левой и правой частях)
выражения
Е (р) = ———(&2АЭ + grad di v Аэ)—rotAM,
йоеа
Н (р) = ——— (fe2AM -]- grad div Ам) 4- rot Аэ,	(3.53)
х<ор.а
где ’	х
А9(м) = J j9(м) crGdVq + f J3(M) GdSq. .
v	s
Эти выражения совпадают и по форме и по существу с выражениями, полученными
и использованными в гл. 2.
130
3.8.	Приближенные граничные условия
Очень часто в задачах возбуждения электромагнитного поля заданными источни-
ками при наличии резкой границы раздела двух сред пользуются приближенными гра-
ничными условиями. Это позволяет искать электромагнитное поле только в той среде,
в которой находятся источники поля, не интересуясь возбуждаемым полем во второй
среде.
Пусть границей раздела двух однородных изотропных сред с разными парамет-
рами является поверхность S=S'-]-S", отделяющая область Vi с заданным распреде-
лением сторонних источников поля от области Уг, в которой сторонние источники поля
отсутствуют (рис. 3.10). Будем предполагать, что среда в области Уг имеет настолько
большую проводимость оэ2, что коэффициент распространения в этой среде	—ia
определяется выражением
Гсор.аа72 ,	(2.71)
и что глубина проникновения поля во вторую среду <5%[2/а>цасгэ]!^2. Проводимость
среды в области Vi будем предполагать незначительной, так что |si] С |е2|.
Для вычисления поля в некоторой точке р области Уг можно воспользоваться
теоремой эквивалентных поверхностных токов в виде, определяемом формулой (3.27).
Вспомогательное поле диполя, помещаемого в точке наблюдения р (рис. 3.10), может
быть выражено через функцию Грина неограниченного пространства
1 ехр (— ikRpq) 1 ехр (— aRp, — $Rpq)
-------R^~ =-4Г---------------R^----------
Поскольку выражение ехр (—aRPq) определяет уменьшение амплитуды поля
с ростом RPq по экспоненте, то при условии (2.71) только небольшой участок поверх-
ности S вблизи нормали, опущенной из точки наблюдения р на поверхность S, дает
существенный вклад в электромагнитное поле. Удаленные точки поверхность 5 не
дают вклада в поле, если точка наблюдения р близка к поверхности S. Интеграл
в формуле (3.27) должен быть распространен только по площадке S", поскольку вклад
от интегрирования по поверхности S' пренебрежимо мал. Если сторонние источники
поля в области Vi, имеющей малые потери, находятся от площадки S" на расстоянии,
много большем радиуса кривизны площадки S", и если радиус кривизны площадки
S" много больше длины волны возбуждаемого поля, площадку S" можно считать
плоской и поля Е, Н на S", а следовательно, и поверхностные токи Jao=i[H, n], JMo=
= [n, Е] в (3.27) в пределах площадки S" можно считать постоянными по амплитуде
и фазе.
Введем локальную декартову систему коор-
динат так, чтобы плоскость xz являлась каса-
тельной к площадке S" и ось у проходила через
точку р (рис. 3.10). Можно теперь считать, что
поле в точке наблюдения р создается бесконеч-
ными листами синфазных электрических и маг-
нитных токов, распределенных по поверхности
У=0. В соответствии с формулой (3.27) теоремы
эквивалентных поверхностных токов для точки
наблюдения, находящейся вне области ^(peVs).
РЬс. 3.10. К определению приближенных гранич-
.	ных условий
9*
131
поле тождественно равно нулю. Направляя ось х вдоль эквивалентного поверхно-.
стного электрического тока, а ось г вдоль эквивалентного -поверхностного магнитного
тока, согласно (2.120) и (2.121) найдем, что J9o=—JMojZ7а/£а , и поле в точке р<
будет определяться выражениями
Hz(p)=J8oe-lftv, Ex(p)=JMoe-1^.	(3 54)
Таким образом, электромагнитное поле в области в точках р, находящихся
вблизи поверхности S, представляет собой при условии (2.71) локально-плоские Т-вол-
ны, распространяющиеся по нормали от поверхности S. На поверхности S тангенци-
альные составляющие векторов этих волн равны Hz(p)=J30; Ех(р)=—у/~pa/saJ30.
Так как тангенциальные составляющие векторов электрического и магнитного
полей на границе раздела двух сред являются непрерывными, то в области Vi на по-
верхности S тангенциальные составляющие векторов поля определяются теми же вы-
ражениями и их отношение равно |/у,а/7а. . Отсюда вытекают приближенные гранич-
ные условия для определения поля в области Vf
z = Ех (р)/- Нг (/7) = /	(3.55)
Граничные условия (3 55) применяются для расчета электромагнитного поля
в волноводах, в частности при определении мощности потерь на нагрев стенок вол-
новода, при расчете напряженности цоля радиоволн, распространяющихся вдоль по-
верхности земли.
Задачи
1.	Для составляющих векторов напряженности электрического и магнитного
полей записать граничные условия на поверхности идеально проводящего кругового
бесконечно длинного цилиндра.
2.	Для составляющих векторов напряженности электрического и магнитного пб-
лей записать граничные условия для волны, распространяющейся внутри идеально
проводящей бесконечно длинной трубы, поперечное сечение которой имеет вид окруж-
ности или прямоугольника.
3.	На идеально проводящую плоскость нанесен слой диэлектрика постоянной
толщины. Записать граничные условия для векторов электромагнитного поля.
4.	На ша,р конечной проводимости нанесен слой диэлектрика постоянной толщины.
Записать граничные условия для векторов электромагнитного поля.
5.	Проверить, что поле плоской волны, возбуждаемой листом поверхностного
тока, удовлетворяет электромагнитному условию излучения и условию излучения.
6.	Показать, что неоднородная сферическая волна, возбуждаемая элементарным
электрическим или магнитцым вибратором в неограниченном однородном изотропном
пространстве, удовлетворяет электромагнитному условию излучения и условию из-
лучения.
7.	Показать, что цилиндрическая волна, возбуждаемая бесконечно протяженной
нитью тока, удовлетворяет электромагнитному услови^о излучения и условию из-
лучения.
132
Глава 4
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В НАПРАВЛЯЮЩИХ
СИСТЕМАХ
4.1.	Общие сведения о направляющих системах
Излучатели конечных размеров, расположенные в свободном про-
странстве, возбуждают электромагнитное поле, распространяющееся по
всем направлениям. Однако энергию электромагнитного поля часто не-
обходимо передавать от излучателя (возбудителя) к нагрузке так, что-
бы она была локализована в части пространства — определенном ка-
нале. В качестве таких каналов используют направляющие системы
в виде металлических проводов и труб, металлических стержней, по-
крытых диэлектриком, диэлектрических стержней и .др. Вдоль направ-
ляющих систем распространяются направляемые электромагнитные
волны. Направляющие системы называют также линиями передачи
энергии.
На рис. 4.1 показаны поперечные сечения применяемых линий пере-
дачи энергии: двухпроводной линии (а), экранированной двухпровод-
ной линии (б), коаксиальной линии (в), прямоугольного волновода (а),
круглого волновода (д), П-образного волновода (а), эллиптического
волновода (лс); диэлектрического волновода (з), однопроводной линии
(и), полосковой линии (к).
Различают линии передачи закрытого типа, в которых электромаг-
нитные поля локализованы в экранированном от внешнего пространст-
ва канале (рис. 4.1,6—ж), и линии открытого типа, в которых электро-
магнитные поля имеют характер поверхностной волны, большая часть
энергии поля которой сосредоточена вблизи направляющей системы
(рис. 4.1,з—к). Существуют также линии передачи оптического типа.
Двухпроводная линия изучается с помощью телеграфных уравнений
в курсе «Радиотехнические цепи и сигналы». Строгий анализ линий
передачи энергии возможен только на основе уравнений электродина-
мики.
Рис. 4.1. Поперечные сечения направляющих систем
$
133
4.2.	Прямоугольный волновод. Граничные задачи
для векторных потенциалов. Решения граничных задач
4.2.1.	Рассмотрим общие соображения по постановке задачи воз-
буждения электромагнитного поля в прямоугольном волноводе. Пусть
имеем бесконечную заполненную однородным изотропным диэлектри-
ком металлическую трубу с прямоугольным одинаковым по длине по-
перечным сечением (рис. 4.2). Считаем, что электрический гистерезис
и магнитные потери отсутствуют (см. § 2.1). Внутри трубы в объеме V
заданы сторонние электрические и магнитные токи с комплексными ам-
плитудами j9CT и jMCT, возбуждающие электромагнитное поле. Введем
декартову систему координат так, чтобы ось z была направлена вдоль
волновода (трубы), а объем V был расположен на конечном расстоя-
нии от начала координат (рис. 4.2). Будем считать, что стенки волно-
вода имеют идеальную проводимость. Тогда касательная к поверхности
стенок составляющая вектора напряженности электрического поля в со-
ответствии с граничным условием (3.14) на стенке должна обращаться
в нуль. По координате z волновод является неограниченным. Поэтому
электромагнитное поле должно удовлетворять условиям излучения при
Решение неоднородных уравнений Максвелла так же, как в случае
неограниченного пространства (см. § 2.2), сводится к решению неодно-
родных уравнений Гельмгольца для комплексных амплитуд векторных
потенциалов:
V2A9-H2A3=—j9 ст,	(4.1)
V2AM+^2AM=—jM o’.	(4.2)
Векторы напряженности электрического и магнитного полей вычис-
ляются с помощью формул
Е =— *<ораА9-|----------grad div А9 — rotAM, *	(1.115)
Н = — йоеДм -j- grad div Ам + rot Аэ.	(1.116)
Составляющие векторов Аэ и Ам должны удовлетворять на стенках вол-
новода некоторым граничным условиям. Последние можно получить из
соотношения (1.115), приравняв касатёльные составляющие вектора Е
на стенках волновода нулю. Значит, уравнения (4.1), (4.2) необходимо
решать при определенных граничных условиях для составляющих век-
торов Аэ и Ам на стенках волновода. Этим задача возбуждения элек-
тромагнитного поля в волноводе отличается
от соответствующей задачи для неограни-
ченного пространства.
4.2.2.	Обычно Прямоугольный волновод
возбуждается с помощью прямолинейного
электрического вибратора, перпендикулярно-
Рис. 4.2. К пбстановке задачи возбуждения прямо-
угольного волновода
134
го продольной оси волновода. Поэтому изучим этот наиболее важный для
практики случай. Пусть сначала j® ст=i^J®ст, jMCT=0. Тогда из урав-
нений (4.1) и (4.2) имеем Ам=0, A9X=A8Z=O, а составляющая А\ век-
тора Аэ удовлетворяет скалярному уравнению Гельмгольца
д2Кэу д2Аэу д2А9у
дх? ду2 "Ь dz2
(4.3)
Решение этого уравнения можно искать, последовательно применяя
преобразование Фурье по координатам х и у, а затем по координате z
[т. е. применяя метод Фурье (см. § 2.2)]. Но электромагнитное поле и,
следовательно, функция Аэу(х) существуют на интервале	По-
этому функцию А%(х) при фиксированных у и z удобно сразу предста-
вить в виде разложения в ряд Фурье по х:
1	00
А%(Х, у, z)= Ст(у, z)exp^— i — x^	(4.4)
т——оо
где Ст — коэффициенты Фурье функции Аэу(х), зависящие от коорди-
нат у и z.
Электромагнитное поле и, следовательно, функции А?у(у), Ст(у]
существуют на интервале	Поэтому функцию А?у(у) при фикси-
рованном z представим в виде разложения в ряд Фурье по у:
,00	00
'А%(х, у, z) = ехр( — i™x^ dmn(z) ехр(—i ^~yj, (4.5)
tn=~ 00	Л =—oo
где dmn(z) —коэффициенты Фурье функции Ст(у).
Поскольку по координате z электромагнитное поле может сущест-
вовать в интервале —oo<z<oo, то функцию A3y(z) и, значит, функцию
dmn^z) представим в виде разложения в интеграл Фурье по z:
,	00	00
А’„(х, у, г)=	ехр(—/^х)	ехр(-iZ-у} у
т=—оо	п=—оо
00
Ху^ J^Xn(>c)exp(—ixz)dx. ।	(4.6)
—00
Для определения коэффициентов g'эт надо использовать граничные
условия для функции Аэу и так же, как в случае неограниченного про-
странства, уравнение Гельмгольца (4.3).
Установим граничные условия для функции Аэу. Касательными со-
ставляющими вектора Е к стенкам волновода, расположенным при х=0
и х—а, т. е. к боковым стенкам, являются составляющие Еу и Ez. Зна-
чит, в соответствии с условием (3.14) необходимо, чтобы
Еу=0, Ez=0 при х=0, х=а.	(4.7)
Составляющими вектора Е, касательными к стенкам волновода, распо-
ложенным при у=0 и у=Ь, т. е. к нижней и верхней стенкам, являются
Ех и Ez. Поэтому необходимо потребовать, чтобы
' «	Ех=0, Е2=0 при i/=0, y^=fy.	(4.8)
135
Составляющие вектора Е выражаются через функцию Аэу с помощью '
формулы (1.115):
р —	______—
13 *	дхду	’
МОЕд у
1	^2АЭ„
£„ = -<>^+-^-5-/,	(4.9)
ДСОЕд у
1 д2Аэ„
А	У
'	^z=Z~~Sr~d^dy~	•
,	КОеа	у
Из этих выражений видно, что граничные условия (4.7) и (4.8) удов- '
летворяются, если
Аэу=0 при х=0, х=а,	(4.10)
дкэу/ду=0 при у=0, у=Ь.	(4.11)
Как видно, на части граничной поверхности (на боковых стенках) иско-
мая функция должна обращаться в нуль, на другой же части (на ниж-
ней и верхней стенках) должйа обращаться в нуль нормальная про-
изводная искомой функции.
Дифференциальное уравнение (4.3) вместе с граничными условия-
ми (4.10), (4.11) составляют граничную (краевую) задачу.
4.2.3. Получим решение граничной задачи (4.3), (4.10), (4.11). Для
этого надо найти коэффициенты §3тп выражения (4.6), которое при фик-
сированных значениях у и z можно рассматривать как разложение со-
ставляющей А% по системе волн, бегущих вдоль увеличивающихся зна-
чений х при т^О и вдоль уменьшающихся значений х при /п<0. Ко-
эффициенты фазы этих волн равны дискретным значениям |/п|л/а, где
т=0, ±1, ±2, ... Амплитуды этих волн, бегущих навстречу друг дру-
гу/ определяются коэффициентами g^mn-
Используем граничное условие (4.10) при х=0. С помощью фор-
мулы (4.6) получаем
оо	оо	оо
S ехр(~/2Г»)	J ?Х.=°-
п——ао	—оо	т=—оо	'
Это равенство может удовлетворяться, только если внутренняя сумма
по т равна нулю. Приравнивая ее нулю и преобразуя следующим об-
разом:
00	00	—00	00
Sутп	Sутп~\~	ёутп ^0/г”4“ 1ёутп ёу (—/п)п1*
т=~ оо	т=0	т=—1	т=1
находим О^при т=0 и = —g*mn при m^=Q. Учитывая
эти равенства в формуле (4.6), получаем
<4	оо	00
sinvx S exp(-«vF)	(4-12)
m—1	n=—<x>	—oo
где ёутп~—^ёутп' ^Ри х — а выражение (4.12) удовлетворяет гранич-
ному условию (4.10). Выражение (4.12) при фиксированных г/ и г
136
представляет собой разложение Аэу по системе стоячих вдоль оси х
волн. Стоячие волны имеют при этом дискретные значения коэффици-
ента фазы |/п | л/а/Количество узлов данной волны зависит от номе-
ра т.
Подставляем выражение (4.12) в граничное условие (4.11) при #=0.
Приравнивая внутреннюю сумму по п нулю, получаем, что gy^_n} =
^Symn- Преобразуя в формуле (4.12) ряд по и с учетом этого соотноше-
ния, находим
sinvx2cosvy	<4лз)
m=l	п~0	—оо
гДе g^«==eXX/’ е«=1 ПРИ е„ = 2 при /г=1, 2, 3, ... Выра-
жение (4.13) при у—Ь удовлетворяет граничйому условию (4.11).
Выражение (4.12) при фиксированных х и z можно рассматривать
как разложение функции-Аэу по системе волн, бегущих вдоль увеличи-
вающихся значений у при и вдоль уменьшающихся значений у при
п<0. Коэффициенты фазы этих волн равны |п|л/б. Амплитуды этих
волн определяются коэффициентами^. Из*граничных условий сле-
дует, что амплитуды волн должны быть одинаковыми. Поэтому, как
следует из разложения (4.13), наложение бегущих навстречу друг дру-
гу волн приводит к системе стоячих волн вдоль оси у.
Если х и у фиксированы, то в (4.13) искомая функция Аэу(г) есть
разложение по системе бегущих вдоль положительных и отрицательных’
значений z плоских электромагнитных волн с амплитудами gaymn. Ко-
эффициенты фазы волн занимают весь непрерывный спектр от х=0 до
х—>+оо.
Подставим разложение (4.13) в уравнение (4.3). Выполнив диффе-
рейцирование, получим выражение
^„(и)Х
Xsin~xcos^-</exp(— i’nz)'dn = — j’CT(x, у, z).
Отсюда следует, что функция распределения объемной плотности воз-
буждающего тока (в правой части равенства) представлена в виде раз-
ложения по той же системе функций, что и искомый векторный потен-
циал.
Для определения коэффициентов ggymn применим к последнему ра-
венству обратное преобразование Фурье. С этой целью умножим обе
части равенства на sin (т'лх/а) cos (n'nylb} exp (ix'z)/]/^rt, где tn', n',
x' — фиксированные значения tn, n и и, и проинтегрируем результат по
всему объему волновода. Учитывая разложение (2.11) б-функции и
условия ортогональности
. тк . тгЪ , ,	(0 при
sin — xsin----xdx — { r
a a	[1 при m — mr,
(4-14)
•n С fin n'n . (О при n^n',	lA 1C.
-4- I cos-т- у cos -г- ydy^= I r	(4.15)
d b y ft 11 при n=>nr	'
и проводя замену переменных интегрирования х, у, z, х' на х', у', z'
х, находим
g’s™(’«) = p=^7fj’CT(x'> у', z')sin™ x'cos^-y'X
У Z7UIO J
V
[KZf
х X2 4- {Пп/а}2 + (nn/b)2 —	•	(4-1
Если подставить формулу (4.16) в (4.13), то получим, что выражение
А% содержит интеграл
ОО	. ,
/.	—tx(z-z')
I-------------------------(1v
J *2 + (яг^/а)2 + (fin/b)a — k2	’
—00
применяя к которому теорему о вычетах (см. § 2.3, 2.4) при z—z'<0,
найдем, что он равен л expfyWn(z—zz)]/ywn, а при z—zz>0 равен
я ехр [—ymn(z—z')]/утп,* где утп— V (тя/а)2+(nn/b)2—k2.
Введем обозначение ymn=ikmn, где
kmn = ']/rk2 — (tmt/ay — (пъ/Ьу.
В результате имеем
00	00
А» /	\ I ЧГЧ VI en . тп пп С . тп , пп . ч .
у(х’ У’ *)=-EF2j JJX7slnVxcos — У} sinvX'cos-j-j/'X
		SJ.
Z') Q.iktnnZ'dzr 4-
(4Л7)
/п=1 Я=0
z'=z
~iktnne f
_|_efAwi2 J jyCT(*', y', z')e 1ктпг,йгг
z>=z
dx'dy'.
(4.18)
где у знака интеграла означает поперечное сечение волновода.
Заметим, что выражение (4.18)* удовлетворяет всем условиям тео-
ремы единственности. Оно удовлетворяет граничным условиям на иде-
ально проводящих стенках волновода и принципу излучения на беско-
нечности в направлении оси z,’неоднородному уравнению Гельмгольца
(4.3) для точек наблюдения, находящихся в области источников (по
отношению к оси z), и однородному уравнению Гельмгольца для точек
наблюдения, находящихся вне области источников.
В области источников поле существует (если kmn — действительная
величина) в виде суперпозиции волн, бегущих по z навстречу друг дру-
гу. Для точек наблюдения, находящихся правее источников по оси zi,
второе слагаемое в (4.18) выпадает и поле существует в виде бегущих
волн в направлении возрастающих значений z; для точек наблюдения,
находящихся левее йсточников, первое слагаемое в (4.18) выпадает и
поле существует в виде бегущих волн в направлении уменьшающихся
значений z.
138
Можно записать выражение (4.18) в сокращенной форме:
ОО 00
А% (/») = 2 2 sin V X cos ~уе*1*™*,	(4.
т=1 п=0
где
Г (?) ™™х' cos^ y^'dv'.
V
где верхний знак берется при z—z'<0, а нижний — при z—z'>0. Отме-
тим, что параметр kmn имеет смысл коэффициента распространения
волны вдоль оси z.
4.2.4.	Пусть электрический ток, возбуждающий поле в волноводе,
перпендикулярен продольной оси, но направлен вдоль оси х, т. е.
|эст—=jxj^CT и jMCT=0. Тогда из уравнений (4.1) и (4.2) имеем Ам=0,
A3y=A3z=O, а составляющая Аэх удовлетворяет скалярному уравнению
Гельмгольца
<?2АЭХ  д2А?х । д2Аэх 1 ^2 * э  -э ст	/д 20У
дх2	ду2 ’ dz2	Jx *
Составляющие вектора Е выразим с помощью формулы (1.115):
п	АЭ .	1 д2А%
х Н" ~ лх2 >
Если функцию А® представить в виде разложения (4.6), в которой
надо gymn заменить коэффициентами gxmn, то из выражений (4.7), (4.8)
следует, что граничным условием для Аэх является условие
Аэх=0 при г/==0, у=Ь\ дА.эх/дх=О при х=0, х=а. (4.22)
Решение граничной задачи для функции Аэх находим так же, как
для функции Аэу: '
00 оо
A9x(p) = JJ JJaxmncos-^xsin-y-^e±I^«z,	(4.23>
m=0 п=1
где
ахтп=	Г Г ст(?) cos —х' sin^£-y'e+ikmnZ’dV'. ’
хтп labktnn v	а	Ь
v
Анализ разложения (4.23) по существу не отличается от анализа
разложения ^4.19), выполненного при решении граничной задачи для
Функции Аэу.
4.2.5.	Пусть далее электрический ток, возбуждающий поле в вол-
новоде, параллелен продольной оси волновода, т. е. рст—
=IJ9CT, jMCT = 0. Тогда Ам—О, АЭХ=АЭУ=О. Продольная составляющая
вектора Аэ удовлетворяет уравнению Гельмгольца
135-
^к+^+^.+йХ = -ЙСТ- (4.24 Я
Разложение функции Аэг представляется формулой (4.6), в которой надо
заменить коэффициентом g^mn. С помощью выражений (4.7), (4.8)
и (1.115) получаем граничные условия для Аэг:
A3z=0 при х=0, х=а, у=0, y=b.	(4.25)
Решение граничной задачи (4.24), (4.25) для функции Aaz находим
так же, как для функции А%. В результате получаем
ASz(/0 = J] J] agmnsin™xsin^ye±tk™g,	(4.26)
т=1 п=1
где
2	(* эст t \	г • пл t	яг»
агтп iabktnn jJz (<?)sln'V-x: siny^e dV.
v
Анализ этого разложения по существу не отличается от анализа раз-
ложения (4.19).
Если все составляющие вектора стороннего электрического тока
отличны от нуля, то, применяя принцип суперпозиции, получаем Аэ=)
= ixAax+iJ/A9J/+izA9z. Векторы Е и Н определяются тогда по общим
формулам (1.115), (1.116).	j
4.2.6.	Пусть электромагнитное поле в волноводе возбуждается сто-
ронним магнитным током jMCT = iJ”CT + i\j“CT-{- izj“ ”, сторонний элект-
рический ток отсутствует: j9CT=0. Тогда Аэ=0, составляющие вектора
Ам в соответствии с выражением (4.2) определяются скалярными
уравнениями Гельмгольца
дх2 "г ду2 Т dz2 T^j- Jf »
где j = x, у или г. Решение этого уравнения ищем в виде разложения
(4.6), где g'x3mn необходимо заменить коэффициентами g^n. Вектор Е при
этом определяется выражением ^\115). Подставляя составляющие Ех,
ЕйиЕгв условия (4.7), (4.8), получаем граничные условия для состав-
ляющих Амх, Аму и Амг на стенках волновода:
Амх —0	при jc —0, х=а; -^=0	при у = 0, у=Ь,	(4.27)
о	при х = 0, х=а; Аму = 0	при у=0, у — Ь,	(4.28)
О	при -Г = 0, х = а\ ^-^-=0	при // = 0, у — Ь.	(4.29)
Каждое из условий (4.27) — (4.29) совместно с уравнением Гельм-
гольца составляет граничную задачу. Применяя для решения задач
140
метод Фурье, находим
С» 00
I А“,(р) = у'JJ^sin^xcos^-^'W,	(4.30)
/72=1 П=0
А"в (А) = 2 S 6<"“ cos Vх sin V »e±'W>	(4.31)
/77=0/1=1
00	00
А”г (P) = jj Ьгтп cos ™ x cos	уе±1к™г,
m=0n=0
где
6-»=йЙг (j“" sin^ycos^/e’^dV",
V
= f j""Wcos V*' sin^/e^'^-,
V
t	Г*	*м ст / \ ITItz » /Itc v + lb & ут Tf
bzmn = <Л!2 - I J, (Q) cos — x cos -r- y'e mn dVr.
zmn i2abkmn J Jz v*' a b &
v
Анализ разложений (4.30) — (4.32) по существу не отличается от
анализа разложения (4.19).
Если в объеме V волновода отличны от нуля и электрический и
магнитный сторонние токи, напряженности электрического и магнит*
кого полей вычисляются по формулам (1.115) и (1.116), а составляю-
щие векторных потенциалов—по формулам (4.19); (4.23), (4.26),
(4.30) —(4.32).
Полученные решения задачи о возбуждении поля в бесконечном
прямоугольном волноводе с идеально проводящими стенками и произ-
вольным распределением сторонних электрических и магнитных токов
являются общими. Они удовлетворяют как однородным, так и неодно-
родным уравнениям Гельмгольца для векторных потенциалов и, следо-
вательно, удовлетворяют как однородным, так и неоднородным урав-
нением Максвелла.
Для того чтобы провести анализ основных свойств поля
в волноводе, достаточно рассмотреть точечные возбудители. Это упро-
стит задачу.
4.3. Свойства электромагнитного поля в прямоугольном волноводе
4.3.1.	Найдём векторы напряженности электрического и магнитного
полей в волноводе. Пусть электромагнитное поле в прямоугольном
волноводе возбуждается элементарным электрическим вибратором
(диполем), расположенным в точке х0> Уо, £о и направленным вдоль
Рис. 4.3. Прямолинейный
вибратор в волноводе
t
141
оси у (рис. 4.3). Тогда объемная плотность тока представляется в виде
j3 ст (р) —	(х—Хо) б {у—у о) б (Z—Zq) ,
где 1ЭУ£— момент тока диполя. Подставим это выражение в формулу
(4.18). Как уже отмечалось, для точек наблюдения поля, расположен-
ных в области z>z0, второй интеграл в квадратных скобках выраже-
ния (4.18) равен нулю, так как при zr>z равен нулю ток. Первый
интеграл в квадратных скобках, поскольку при z'^z ток не равен
нулю, оказывается конечным. Поэтому выражение в квадратных скоб-
ках равно
I%L ехр [—ikmn (z—z0) ] б (х'—х0) б (у'—у0).
Для точек наблюдения поля, расположенных в области z<Zz0, первый
интеграл в квадратных скобках7 равен нулю, поскольку при z'=^z равен
нулю ток; второй интеграл отличен от нуля, так как при z’~^z отличен
от нуля ток. При этом выражение в квадратных скобках равно ?
ехр [ikmn (z—z0) ] б (х'—х0) б («/'—г/о).
Используя основное свойство б-функции при интегрировании вы-
ражения (4 18), получаем
00	°° 1Э г
а э VI VI 1 sn • тг- пп . тп пп ч /
A и = V >	SID--Ха COS -г- у. SID-ACOS-j-l/X
У ZJ ZJ tab kmn a ° b a b a zx
m=l n=0
x exp[± ikmn(z — z0)].
Введем обозначение
' Is Ze
' a™>=7^slnV^cos—	<4-33)
и с помощью выражений (4.9) определим составляющие вектора Е.
Составляющие вектора Н определим по формуле (1.116).
Представим при этом составляющие векторов электрического и
магнитного полей в следующей форме:
ОО ОО	00 00
Е,(/>)=3 SE,н,(/’)=3	(4.34)
z т=1 п=0	т=1 п—0
где Езтп(р), Н3тп(р)—составляющие вектора (/=х, у или z) напря-
женности поля электромагнитной волны, характеризуемой индекса-
ми т и пл
р ___ г	np.±lkm^z~z*>
L-'xmn.-	~ ^тп COS X SIH , у& та ,
fa>eaab	°
 атп
Е
'-‘утп
^zmn— +
А2 f пъ \2	. тп пп +ik (г—г0)
К —	] Sin-----XCOS-7-we- тп^ °',
\Ь	а b я
(4.35>
TX/lZjmn	• Z7ZK • ПЛ	. (Z—Za\
-^La^sm—xsin-f-ye-1^2
^ab
Hxmn= + ^тпатп^^~х cos ye±lkmn{z z°\ Hymn—0,
(4.36}
zfnn = ~amncos — xcos — ye~Rm^ <
142
Индексы тип при векторах напряженности поля
Ещп (р) —IxExmn 4" 1уЕ?/7Пп 4" IzEzjnn»
HTOn (/?) =i«Нхтпп 4" ij/Hymn 4- Iztizmn
характеризуют тип электромагнитной волны. Каждой паре значений чи-
сел тип соответствует определенный тип волны. Таким образом, поля,
возбуждаемое сторонними токами в волноводе, представляются в виде
бесконечной суммы волн различных типов.
4.3.2.	Изучим типы электромагнитных волн. Предположим времен-
но для упрощения анализа, что диэлектрик, заполняющий волновод, не
имеет потерь, т. е. &=$=со У 8аЦа— действительная величина. Тогда
kmn при достаточно малых значениях пит будет также действитель-
ной величиной и каждый из типов волн, составляющие векторов поля
которых описываются выражениями (4.35), (4.36), имеет вид бегущей
волны, распространяющейся от вибратора вдоль волновода. Вдоль сто-
рон а и b поле любого из типов волн имеет характер стоячей волны,
причем число т определяет число полуволн соответствующей состав-
ляющей вектора поля, укладывающихся на интервале	ап —
число полуволн той же составляющей вектора поля, укладывающихся
на интервале Q^y^Jb.
Коэффициент распространения конкретного типа электромагнитной
волны, соответствующего индексам т, п, можно представить в обычной
форме: kmn=^mn—Щтп, ГДе fJmn и Отп — коэффициенты фазы и затуха-
ния волны. Пусть
kmn = Pmn — ^тп	(Ш^а)2 — (Н^Ь)2, р2 = (02Sop.a > (/Hit/CZ)2 -|- (П7с/Ь)2,
где атпп=0; pmn=[P2— (тл/а)2— (пзт/Ь)2]1/2. Тогда фазовая и группо-
вая скорости этого типа волны определяются выражениями
__ со __	у*
V1 — (тК/Чау — (п1/2ЬУ ’	' '
- (ЯЯ/26)’,	(4.38)
где иф=%/7’==(еаца)-1/2 — фазовая скорость распространения электро-
магнитной волны, возбуждаемой вибратором в неограниченном прост-
ранстве с параметрами еа, |хя; X — длина волны поля в неограниченном
пространстве с параметрами еа, pa, соответствующая круговой частоте
<o=2nf=2jx/T; Т — период колебаний; / — Частота колебаний.
Длина волны в волноводе при заданных размерах а, b для типа
волны, характеризуемого индексами т, п, определяется из выражения
Ртп=2л/%втп=[Р2— (тл/а)2— (пл/Ь)2] 1/2,
откуда
Лв^„=--7= х	(4.39)
/ 1 — (т\/2а)2 — (пк/2Ь)2	'
Мгновенные значения составляющих векторов поля описываются волно-
вой функцией cos [со/—ftmn(z—Zoj+tymn], где — некоторая фаза.
Ь волноводе существует волновой процесс.
В предельном случае можно выбрать такую длину волны X или
частоту при заданных размерах а, b и числах т, п, что коэффициент
143
распространения kmn обратится в нуль. При этом длину волны и часто»
ту данного типа электромагнитной волны называют критическими. Из®
выражения
km = /РЛр—и«/в)! — (п^ъу=О	•
нахйдим, уЧИТЫВаЯ, ЧТО Рьр=2зх/Ккр тпп—^кр mn (£аНа) 1^2==2Jt/нр mn
________2______ .	__ °Ф / / m \2 . / п у ,.
*Ч”Ю—Т^)«+ («/»)> ’	2 |/ (а/Д 1 -W>!
Чем больше числа шип при заданных размерах а и Ь, тем меньше/
критическая длина волны и тем выше критическая частота для данного ’
типа волны.	г
При Х-^Акр mn получаем, что |/готп|^>0 и, как видно из выражения
(4.33), |#mn|—>о°- При этом амплитуды составляющих Е х тп> Еу тпг
Нгтп стремятся к бесконечности. В действительных условиях стежки
волновЬда и среда, заполняющая волновод, имеют конечные проводимо- *.
сти, поэтому на критической длине волны амплитуды, хотя и становятся '
большими, но имеют конечную величину.
Выражения (4.37) — (4.39) для фазовой и групповой скоростей и*
длины волны в волноводе с учетом формулы для Акр и выражение для ,
коэффициента фазы можно представить более компактными форму-
лами:
°ф тп== у." д ,,	х2~ * Vrpmn==vd?V'l (^Мкр тп) »	(4-41)
4	1 — (V Акр тп)
\------г,	=	(4.42)'
" 1 И/Акр тп)
Из выражений (4.37) — (4.42) следует, что фазовая скорость каж-
дого типа волны зависит от частоты (от длины волны), т. е. волновод
обладает дисперсионными свойствами.
Если длина волны такова, что р2<[ (тл/а)2+ (пл/ЪУ2], то. коэффи-
циент распространения kmn можно представить следующим образом:
kmfl	™тп А ~ i V(Wа)2 -J- (П7с/6)2 — §2,
и, значит, pmn=0, Щпп = [ {тл[а)2+ (пл/Ь)2—р2]1/2. При этом состав-
ляющие векторов поля для волн тех типов, которые удовлетворяют
условию ртп=Ю, зависят от координаты z по закону ехр [±iamn(z—z0)],
т. е. их амплитуды убывают по экспоненциальным законам с удалением
точки наблюдения поля от вибратора аналогично тому, как это имеет
место при распространении волны в неограниченном пространстве с по-
терями. Но в отличие от неограниченного пространства ц данном слу-
чае в волноводе волновой процесс отсутствует и мгновенные значения
составляющих векторов поля описываются не волновой функцией,
а функцией со§ (й)^+фтоп). Поэтому термин «Филы волн» в этом случае
Используется условно, поскольку волн при этом не существует. Типы
электромагнитных «волн», у которых амплитуды составляющих векто-
ров поля убывают по экспоненциальному закону вдоль продольной ко-
ординаты, а коэффициент фазы 0mn равен нулю, называют затухающи-
ми. Затухание в этом случае связано ре с потерями энергии на нагрев
144
среды, а с тем, что размеры волновода выбраны так, что данный тип
волны с индексами т и п не может распространяться в волноводе. Вол-
новод является избирательной системой.
Таким образом, в волноводе возбуждается бесконечный дискретный
спектр типов «волн». Только конечное число типов волн с наименьшими
индексами тип являются распространяющимися и бесконечное число
типов волн с наибольшими индексами тип являются затухающими
(нераспространяющимися). Поля этих типов волн существуют вблизи
возбуждающего источника и на некотором достаточно большом рас-
стояний от источника затухают настолько, что ими можно пренебречь.
Тогда можно считать, что поле в этих удаленных точках наблюдения
определяется только распространяющимися типами волн.
Выберем, например; волновод с размерами стенок а=0,71%, .Ь—
=0,5%. Тогда только волна, характеризуемая индексами т=\, п=0,
имеет действительное значение коэффициента распространения (Z?io=
=4,47/%). Все волны с индексами т>1 и п>0 являются нераспростра-
няющимися, и поэтому на достаточно большом расстоянии от возбуж-
дающего устройства можно считать, что
Е(р)=Е10(р), Н(р)=Ню(р).	(4.43)
4.3.3.	Если в волноводе распространяется только волна, характери-
зуемая индексами т=1, п=0, то составляющие векторов напряженно-
сти полей этой волны, определяемые выражениями (4.35) (4.36),
имеют вид
Е„. = 0, Ег1о = О, Нг„ = 0, E,1.=-ia„OSin^es“»<*-^’(
Н„.= +	HzlG=^cos^	(4.44)
Следовательно, вектор напряженности электрического поля лежит
в плоскости, перпендикулярной направлению распространения. Вектор
напряженности магнитного поля имеет продольную и поперечную со-
ставляющие. Такая волна (Ez=0, Hz#=0) называется магнитной волной
или Н-волной. Составляющие векторов напряженности электрического
и магнитного полей этой волны зависят от поперечных координат х и у:
вдоль оси х укладывается одна полуволна (одна вариация) а вдоль
оси у — нуль полуволн (нуль вариаций). Для того чтобы полностью
охарактеризовать эту волну, ее называют волной типа Ню-
Магнитную волну, характеризуемую индексами тип, называют
волной типа Нтп. Например, если волйовдд возбуждается прямолиней-
ным магнитным вибратором, параллельным продольной оси волновода,
то из физических соображений следует, что силовые линии электриче-
ского поля должны находиться только в плоскостях, перпендикулярных
оси вибратора, т. е. в поперечной плоскости волновода. Значит, вектор
напряженности электрического поля не имеет продольной составляю-
щей. Силовые линии магнитного поля находятся в плоскостях, прохо-
дящих через ось вибратора, поэтому вектор напряженности магнитного
поля имеет продольную составляющую. Очевидно, что при этом в вол-
новоде возбуждаются только Нтта-волны.
Если электромагнитное поле возбуждается прямолинейным элек-„
трическим вибратором, параллельным продольной оси волновода, то из
простых физических соображений следует, что силовые линии магнит-
10—11*6 •	, 145
кого поля вибратора должны находиться в плоскостях, перпендикуляр-
ных оси вибратора, т. е. в поперечных плоскостях волновода, поэтому
вектор напряженности магнитного поля не имеет продольной состав-
ляющей и содержит только поперечные составляющие, силовые линии
электрического поля вибратора должны находиться в плоскостях, про-
ходящих через ось вибратора и, значит, вектор напряженности электри-
ческого поля имеет продольную составляющую. Математически эти ре-
зультаты следуют из того, что ток продольного прямолинейного элек-
трического вибратора j3CT=izjzCT, поэтому A9=izA3z. Из выражения
(1.116) следует, что продольная составляющая вектора магнитного поля
в волноводе при этом отсутствует и вектор напряженности магнитного
поля лежит в поперечной плоскости. Вектор напряженности электриче-
ского поля, определяемый соотношением (1.115), содержит продольную
и поперечные составляющие. Возбуждаемое поле является электриче-
ской волной (£-волной). При этом волну, характеризуемую индексами
тип, называют волной типа Emn.
Из выражений (4.35), (4.36) видно, что элементарный электриче-
ский вибратор, перпендикулярный продольной оси волновода, возбуж-
дает электромагнитную волну, векторы напряженности электрического
и магнитного полей которой именит продольные и поперечные состав-
ляющие.
4.3.4.	Рассмотрим составляющие векторов поля в случае, когда в диэлектрике,
заполняющем волновод, имеются потери. При этом
ktnn — тп — famn = Vk2 — (тп/а)2 — (пк/Ь)2 — Г₽2 — а2 — (/пте/а)2 — (пте/&)2 — х‘2ар.
Если р2—ia2> (mn/a)2-]-(nn/6)2, то, возводя в квадрат обе части последнего ра-
венства и приравнивая действительные их части, а затем их модули, получаем
1(АГт„+V+ М‘)/2]1 ,
\	(4.45)
«™= к- ML + V М'т + 4«!f)/2] |/2.
где Мтп=р2—а2—(тл/а)2—(пл/Ь)2.
Обычно в волноводах применяются диэлектрики с малыми потерями, т. е. соеа^>аэ.
При этом (см. (2.70)) р со V, а 0,5аэ Kp.a/sa. Значит, а2/р2<^1. На частотах
где 4(а/р)2<^1—(/иХ/а)2 — (лХ/6)2, из выражений (4.45) находим
(А/ЛКр тп)2 »	(^-/^кртп)2 •	(4.46)
Таким образом, в волноводе, заполненном диэлектриком с малыми потерями, ко-
эффициент фазы, а значит, фазовая и групповая скорости и длина волны в волноводе
приближенно равны соответствующим значениям для волновода, заполненного идеаль-
ным диэлектриком. То же утверждение относится к коэффициенту атп (см. (4.33)),
значениям W и k (см. § 2.8).
Коэффициент затухания зависит от проводимости диэлектрика, длины волны,
размеров волновода и типа распространяющейся волны. Составляющие векторов элек-
тромагнитного поля волн всех типов зависят от, координаты z по закону
ехр [+ipmn(z—z0)+amn(2—z0)], т. е. с ростом |z—z0| убывают по экспоненте. По-
следнее объясняется, как известно, переходом части электромагнитной энергии рас-
пространяющегося поля в тепловую.
Итак, в волноводе, заполненном диэлектриком с малыми потерями, изменяется
только распределение поля по продольной координате. Поэтому далее анализ элек-
146
тромагнитного поля в волноводе можно проводить в предположении, что диэлектрик
является идеальным. В окончательных выражениях наличие потерь можно учитывать
с помощью коэффициента затухания (4.46).
4.4. Волна типа Ню в прямоугольном волноводе
4.4.1.	Рассмотрим вектор Пойнтинга волны типа Ню- Комплексные
амплитуды составляющих векторов напряженностей электрического и
магнитного полей волн типа Ню определяются выражениями (4.44).
Значит,
Пю= [Ею, Н*ю] /2= (—izEJ/ioH*xio_bixEyioH!i!zio) /2,
т. е. имеется две составляющих вектора Пойнтинга:
ПгЮ=:(—ЕуюН*хю) /2, Пх1О==Еу1оН*гю/2.
' Если предположить, что диэлектрик, заполняющий волновод, не
имеет потерь, т. е. £=р и &io=Pio, то, используя выражения (4.44), на-
ходим
Пг10 = + 0,51 а10 [2 sin2 ъх'/а,
(4.47)
ПХ10 = — 0,5zWm2~11 а1012 sin (ъх'а) cos (ъх/а).
Продольная составляющая вектора Пойнтинга является действительной
величиной, это значит, что электромагнитное поле переносит энергию
вдоль волновода. Эта составляющая при z—2О>0 является положитель-
ной, при z—Zo<O — отрицательной, т. е. электромагнитное поле распро-
страняется от вибратора вдоль возрастающих и вдоль уменьшающихся
значений z—zo (знак минус при Пгю означает, что вектор Пгю и opTiz
направлены в противоположные стороны).
 Поперечная составляющая вектора Пойнтинга является мнимой ве-
личиной. Это указывает на то, что электромагнитное поле не переносит
энергию в поперечном направлении волновода. Это соответствует физи-
ческим представлениям: как уже отмечалось, волны переотражаются
между идеально проводящими стенками волновода, вследствие чего
образуется стоячая волна поля на интервале
Если выразить поперечную составляющую вектора Ею через по-
перечную составляющую вектора Ню, т. е. Еую=±^нюНхю, где Zhio=
=W&/kio, то IIzio можно представить в такой же форме, как в случае
неограниченного пространства (см. § 2.9):
nzi0==FZH10|Hxio|2/2.	(4.48) ’
Величину Zhjo называют характеристическим сопротивлением вол-
новода для волны типа Ню- Отметим, что если исследуется волна типа
Hmn, то можно по аналогии с выражением (4.48) ввести понятие харак-
теристического сопротивления волновода Z^mn для этого типа волны:
оно равно отношению поперечной составляющей вектора Етп к перпен-
дикулярной ей поперечной составляющей вектора Hmn. Аналогично вво-
дится понятие характеристического сопротивления волновода для вол-
ны типа Етп.
Для волновода, заполненного диэлектриком с малыми потерями, из
формул (4.48), (4.44) и .(4.46) находим
П2„= + 0,5ZH101 k„ I* I a„ Is sin8 f*x/a)
10*
147
где
.	(X/2a)2]-1/2=»0*5c3^[l—(X/2a)2]_1A	J
Из этого выражения следует, что из-за поглощения в диэлектрике про-
дольная составляющая вектора Пойнтинга с увеличением \z—2о| убы-'f',
вает по экспоненциальному Закону. Характеристическое сопротивление
из-за малости реактивной части с учетом выражений (4.45), (4.46) у (
можно принять равным (см. § 2.8)
Z _____W I п/ [ Р ~ I ।	/
№”Л -kmn	/1 — (Л/Лкртп)2 ’	?
Найдем мощность излучаемую вибратором в волноводе, заполнен-
ном диэлектриком без потерь. В качестве объема V, внутри которого ,
находится источник —вибратор, выбираем объем, ограниченный плоско- I
стями 21—г0>0 и z2—2о<0 (где можно считать, что существует только
Ню-волна) и внутренней поверхностью стенок волновода. Поскольку
на последней касательная составляющая вектора Е равна нулю, то и ]
составляющая вектора Пойнтинга, нормальная стенкам, равна на них J
нулю. Поэтому
5% = ф	J J H\zdxdy
s	о о \
Z—z3
Z=2i
а b
— J j Higdxdf/
о о
Здесь учтено, что dS=iidxdy при z=zi и dS=—i^dxdy при z=z2. *
Используя выражения (4.47), находим
Так как для стороннего источника вибратор представляет нагрузку'
(см. §2.9), то = ] 1% Г^е/2, где — сопротивление излучения вибра-
тора в бесконечном Волноводе. Приравнивая два последних выражений
для 3\ и учитывая соотношение (4.33), получаем	*
KE=k10-g-sin‘^).	(4.50)'
Сопротивление излучения является максимальным, если XQ—a/2, и рав-
но нулю, если Хо=0 или х0=а. Сопротивление излучения растет с ро-
стом характеристического сопротивления и длины вибратора. Изменяя
величины х0, Zhw, можно регулировать значение
4.4.2.	Критическая длина волны и критическая частота поля Ню-
волны ’определяются выражениями (4.40)
Z =2а,	(4.51)
У Wa
Если размеры волновода выбрать так, что а>Ь, то длина волны
Afepio оказывается больше длины критических волн всех других типов.
Поэтому поперечные размеры волновода при заданной длине волны %
оказываются самыми малыми, если в нем распространяется только
Ню-волна. По этой причине на практике для передачи энергии по пря-
моугольному волноводу используется в основном Ню-волна. Эта волна
имеет наименьшую критическую частоту в црямоугольном волноводе.
Поэтому она называется волной основного типа. Волны всех остальных
типов в прямоугольном волноводе (они могут быть и распространяю-
щимися и затухающими) называются волнами высших типов.
148
(4-49)1
Длина волны в волноводе, фазовая и групповая скорости волны
основного, типа в соответствии с формулами (4.42), (4.41) определя-
ются выражениями
2	-	Х
ЛВ1в~'	/-----Z х ч 2 ’ ифЮ —	/---- Т 2 »
°гр»=°Ф V/ 1	( 2®) ’	(4.52)
Из выражения (4.51) следует, что заполнение волновода диэлек-
триком с большим значением ео приводит к понижению критической
частоты. Значит, при этом по волноводу с заданными размерами по-
перечного сечения могут распространяться волны с большей длиной.
4.4.3.	Рассмотрим структуру 'электромагнитного поля волны qchob-
ного типа в волноводе, заполненном идеальным диэлектриком, при усло-
вии, что волны всех высших типов являются затухающими. Определим
мгновенные значения составляющих векторов напряженности поля. Бу-
дем считать, что поле изучается на таких больших расстояниях от воз-
буждающего устройства, где высшими типами волн можно пренебречь.
Тогда удовлетворяются выражения (4.43). Для определенности поло-
жим z—Zo>’O. Из выражений (4.44) имеем
# «о (А 0 = cos cos (z — г0) Ц- Ф10],
(А 0 = — Pi. I	| sin — sin [«rf — р1в (г — г0) Ф10],
=(4.53)
где аю= | Дю | ехр (^Фю). Отметим, что касательные к стенкам волно-
вода составляющие вектора напряженности магнитного поля на стен-
ках имеют экстремум, а нормальная к стенкам составляющая вектора
напряженности магнитного поля так же, как и касательная составляю-
щая вектора напряженности электрического поля, на стенках обращает-
ся в нуль во все моменты времени.
Для момента времени 1=1 \ с помощью выражений (4.53) можно
построить графики зависимости составляющих векторов поля от коор-
динат х, у и г. Полагая, например, t=NT, где N— целое число, имеем
при Фю=0
#«»(А	= —^cos^-cos[p10(z — г0)],
^хю(А = |sin^sin$01(z —z0)],	(4.54)
Д/1а(А Nt) =—ZHl0Hxl0(p, №t).
Все составляющие векторов поля Ню-волны не зависят от координа-
ты у. В некотором сечении z=zi при x=xi графики зависимости состав-
ляющих векторов поля от у имеют вид прямой, параллельной оси у
(рис. 4.4,а). Графики зависимости составляющих векторов напряжен-
ности поля от х при z=zi изображены на рис. 4.4,6. Значения EyW и
Нх10 у боковых стенок (при х=0, х=а) равны нулю. Касательная к бо- ‘
ковым стенкам составляющая вектора напряжености магнитного поля
149
Рие 4 4 Графики зависимости составляющих векторов напряженности поля от ко-
ординат	/
(Ягю) на боковых стенках имеет экстремумы Графики зависимости со-
ставляющих векторов напряженности поля от координаты z при х~Х\
изображены нд рис. 4.4,в.
Вектор напряженности магнитного поля лежит в плоскости (х, z),
так как НУю^0. Силовые линии магнитного поля должны быть всегда
замкнуты, поэтому при t=NT они имеют вид, изображенный на
рис. 4 5,а (штриховые линии) /Если при некотором z=zx составляющая
JZzio при 0^х^а/2 направлена вдоль орта iz, то при а/2<х^а она на-
правлена в противоположную сторону. Если при некотором z~z<i Hz[q—
=0, то составляющая Яхю, наоборот, является максимальной (при х—
—а/2). По координате z картина поля имеет периодический характер,
что ясно из рис. 4.4,в. В любой поперечной плоскости составляющая
Яхю имеет одно и то же направление при всех значениях х, что под-
тверждается графиком Яхю(х), приведенным на рис 4.4,6. Сгущения
силовых линий поля на рис. 4 5 соответствуют большей интенсивности
поля.	)
Рис 4 5 Силовые линии электрического и маг-
нитного полей волны типа Н]о в прямоуголь-
ном волноводе
15 0
Рис. 4.6. Распределение поверхностных токов на нижней и
верхней стенках волновода
Так как вектор напряженности электриче-
ского поля имеет только одну составляющую
£yio, то силовые линии электрического поля па-
раллельны орту \у. Составляющая £Ую находит-
ся в противофазе с составляющей ЯХ1о, т. е. если
7/хю направлен по орту ix, то составляющая EyW
направлена вдоль вектора (—iv); Еую имеет экс-
тремумы в тех же точках оси z, в которых имеет
экстремумы Яхю. Силовые линии электрического
прля в плоскости xz изображены на рис. 4.5,а
точками и крестиками.
В плоскости ху (рис. 4.5,в) показаны сило-
вые линии электрического и магнитного поля.
Составляющая £Ую не зависит от у; при х=0,
х=а она обращается в нуль и имеет экстремум
при х—а/2. Поэтому густота силовых линий
электрического поля наибольшая в окрестности
х=а/2. Составляю-
щая /7х1о тоже имеет экстремум при x—af2 и равна нулю при х=0,
х—а.
С ростом t картина поля, изображенная на рис. 4.5,а, б, переме-
щается вдоль возрастающих значений z.
4.4.4.	Найдем и проанализируем поверхностный электрический ток
на внутренних стенках волновода. Распространение электромагнитной
волны по волноводу приводит к появлению электрического тока на его
стенках. Поскольку проводимость стенок долновода по предположению
идеальна, то электрический ток является поверхностным (см. п. 3.1.3).
Если по волноводу распространяется волна основного типа, то в соот-
ветствии с условием (3.13) на идеально проводящей поверхности имеем
J9=:[Hio, п], где п — внешняя нормаль к стенке волновода (рис. 4.6).
Это выражение показывает, что плотность поверхностного тока опреде-
ляется тангенциальной составляющей вектора напряженности магнит-
ного поля на стенке волновода, вектор J9 перпендйкулярен вектору Ню.
Так как Hio=ixHxio + izHzio, то на боковых стенках при х=0, где
п=—ix, имеем J9=—iyHzi0(0, у, z); при х—а, где n=ix, имеем J9=
=iyHzio(a, у, г). Токи на боковых стенках не зависят от у, посколь-
ку Hzio не зависит от у. Они являются поперечными токами. В каждом
сечении z=Zi токи J9y на противоположных стенках в один и тот же
момент времени направлены в одну и ту же сторону (в выражениях для
токов надо учесть, что Hzi0 у противоположных боковых стенок имеет
разные знаки).
На нижней стенке волновода (z/=0)J9=ixHzi0—izHxio, на верхней
стенке (y—b) J9=—ixHziO+izHxio, т. е. имеются продольные J9Z и по-
перечные J9x составляющие вектора тока. На нижней стенке J9Z=—Нхю,
на верхней J9z=Hxio, т. е. векторы продольных токов направлены в раз-
ные стороны. Так как Hxio в фиксированное время имеет экстремум
в середине нижней (верхней) стенки, а у боковых стенок равна нулю
(см. рис. 4.4,6), то и продольные токи /9Z в середине имеют экстремум,
а у боковых стенок нулевое значение. Поперечные токи, определяемые
значением Hz\q на стенке, наоборот, в середине нижней (верхней) стен-
ки рэзны нулю, а /у боковой стенки имеют экстремум.
151
Рис. 4.7. Силовые линии поверхностного тока
на внутренних стенках волновода (f^o-волна)
Рис. 4.8. Неизлучающие (/, 2) и излу-
чающие (3—5) щели (Ню-волна)
Графики зависимости мгновенных значений составляющих вектора
тока от координат в фиксированный момент времени изображены на’
рис. 4.6. Картина силовых линий вектора поверхностного тока изобра-
жена на рис. 4.7. Поверхностные токи в областях, отмеченных цифрами
1—3, близки к нулю. В этих областях составляющая Еу10 имеет экстре-
мумы, значит, ток смещения, равный ^адЕую/dt, тоже имеет экстре-
мальные значения. Таким образом, ток проводимости на стенках вол^
новода переходит в ток смещения/в полости волновода и линии полного
тока являются замкнутыми.
В стенках волновода часто прорезаются щели. Анализируя распре-
деление поверхностного тока основной волны на стенках волновода,
можно установить, что поперечная составляющая вектора тока в сере-
дине верхней и нижней стенок равна нулю. Значит, если в середине
верхней или нижней стенки вырезана узкая продольная щель /, то токи
проводимости ее не пересекают и щель практически не влияет на рас-
пространяющуюся в волновод волну (рис. 4.8,а). Такие щели исполь-
зуются в измерительных устройствах, в щель вводится зонд, переме-
щаемый с помощью механических приспособлений вдоль оси z волно-
вода.
Щель может быть расположена так, что ее пересекает ток прово-
димости (рис. 4.8,а, б). Тогда между кромками щели возникает элек-
трическое поле Ещ (токи проводимости на щели переходят в токи сме-
щения). В соответствии с принципом эквивалетных поверхностных то-
ков значение Ещ на щели можно заменить эквивалентным поверхност-
ным током JM=[n, Дщ]. Вектор JM направлен вдоль продольной оси
щели. Если ширина щели А стремится к нулю, то поверхностный ток
на щели можно заменить линейным IM^J^A и таким образом получить
прямолинейный магнитный излучатель. Следовательно', узкая щель
в стенке волновода, изображенная на рис. 4.8,6, эквивалентна прямоли-
нейному магнитному излучателю. Узкую щель- в стенке волновода мож-
но считать физической моделью линейного магнитного излучателя (см.
§2.6).
4.4.5.	Особенности структуры поля Ню-волны можно пояснить с помощью кон-
цепции парциальных волн, предложенной французским физиком Бриллюэном.
Из рассмотрения выражений для составляющих векторов поля (4.44) видно, что
в поперечном сечении волновода в направлении оси х поле имеет вид стоячей волны,
которая может быть представлена как суперпозиция двух бегущих волн. Одна из бе-
гущих волн распространяется вдоль увеличивающихся, а другая вдоль уменьшаю-
щихся значений х. Кроме того, электромагнитное поле этих двух волн распространяет-
ся в виде бегущих волн вдоль оси z. Значит, в общем случае поле можно представить
152
в виде бегущих волн, распространяющихся под некоторыми углами к осям х и г.
Для того чтобы получить математическую запись такого представления, в выражениях
(4.44) заменим тригонометрические функции показательными с помощью формулы
Эйлера (от стоячей волнЫ по х перейдем к бегущим по х волнам). Считаем, что k=$,
/>1О=01О, и для определенности положим zo=0, z>0. Получаем разложение поля
Ню-волны на два поля:
E„,= E»>+Ef>(	=	Ня. = Н^1>+^2>,
где
Е^ = 4" ехр	i	х — гр10г ),
Н<!) = — 4“ «юРю ехр	i	х — ip10z ),
Hz(1) =	010 ехР (~ 1 х ~ ^’г )
— составляющие поля первой парциальной волны;
1	/	я	X
Е^2) = “2“ ««Я ехр ( — ш + i — х —	,
1	/	тс	\
Hi2) = — "2~ аю₽ю ехр I — in+i —x — ipiozj,
Hz2) = — ~%Г а1» ехр ir' + 1 "Г * “	)
— составляющие поля второй парциальной волны.
Введем так же, как в § 2.11, обозначение л/а=Рсоз<р, где <р — некоторый угол.
Тогда plfl=(P2—P2cos2qp)1/2=psin(p. Значит,
лх/а-рРю^Рр,
где p=x cos ф-J-z sin ср — расстояние (рис. 4.9,а).
Нетрудно видеть, что и определяют только одну составляющую вектора
напряженности магнитного поля Н^:
= — И*.1* sin у +Н^ cos <f = О,5а1о₽е-/е₽.
Таким образом, отличные от нуля составляющие векторов напряженности поля
первой волны имеют вид
И*1) = O,5alo₽e-Z^,
и, следовательно, описывают поле плоской волны, распростраряющейся в направлении,
определяемом вектором р: вектор Пойнтинга волны ориентирован в направлении век-
тора р, фронтом волны является плоскость, перпендикулярная вектору
р (рис. 4.9,а). Фазовая скорость волны иф=а)/Р=(8аЦа)_1/2 и длина волны % равны
соответствующим величинам для случая распространения волны в неограниченном
пространстве (см. § 2.11).
Для поля второй волны, имея в виду, что л/а=$ cos <р, получаем
— я 4- пх/а — Р10г = — |1р', H<2> = -г Н^.2) sin у — Hj2) cos
где р'=(а—х) cos ф-j-z sin ф. Таким образом,
Н® = О,5а1о(?е-‘’0Р' ,
к
153
Рис. 4.9. Плоские парциальные волны, образующие волну типа Ню:
1 — фронт первой волны; 2 — фронт второй волны
— составляющие векторов напряженности поля плоской волны (рис. 4 9,6). Вектора
Пойнтинга ее ориентирован в направлении вектора р'. Фазовая скорость и длина вол-3;
ны % такие же, как и для первой волны.	j
Итак, поле Ню-волны представлено в виде суперпозиции двух плоских парциаль-1
ных волн, распространяюпЫхся в направлениях, образующих угол ±ф с осью х. На
пути этих плоских волн имеются металлические стенки волновода (при х=0, х=а),=
от которых волны отражаются, при этом фронты отраженной первой волны парад-,
дельны фронтам второй вклны и наоборот (рис. 4.9,в, а). Таким образом, суперпози-!
цию двух плоских волн нД большом расстоянии от источника можно рассматривать^
как результат многократного отражения от стенок волновода одной, например первой*!
парциальной волны.	|
Фазовая скорость парциальной волны в направлении оси z o$,B2=o$/sin <p==|
=Оф[1—(Х/2а)2]*/2, т. е. волна является ускоренной. Объяснение эффекта увеличения^
фазовой скорости вдоль некоторого направления дано в § 2 11 (см. рис. 2 23). Угод|
падения волны ф на отражающую поверхность определяется выражением ф==|
=arc cos(n/ap)=arc cos(%/2a). Поэтому если %<2а, то ф>0 и волна является рас-|
пространяющейся. При Х=2а угол (р=0 и волна переотражается между стенками!
волновода, не распространяясь вдоль оси z. Это значение X является критичёским^
При %>2а угол ф становится мнимым и распространение волны невозможно. Ана-г'
логично можно найти и другие параметры, характеризующие волну основного типа.
4.5.	Электромагнитное поле в направляющей системе
4.5.1.	В общем случае векторы напряженности Е(р), Н(р) электро-1
магнитного поля в прямоугольном волноводе представляются в виде 1
бесконечных рядов по векторам напряженности поля Emn(p), Hmn(p) ]
различных типов электромагнитных волн. Каждый из векторов Emn>|
Hmn в соответствии с выражениями (4.35), (4.36) имеет вид	|
Е,„„ (Р) = Е™ (р±) 屓л»<г~2") ,	I
(/>)=Н„„ (pj) е*,	(4.55);
где точка наблюдения лежит в поперечной плоскости.
В направляющих системах любого вида, в которых в продольном
направлении неизменны поперечное сечение и электромагнитные свой-
ства заполняющих сред, т. е. в регулярных направляющих системах,
векторы напряженности электромагнитного поля могут быть также пред-
ставлены в виде выражений (4.55).
Если точка наблюдения поля р лежит вне области источников элек-
тромагнитного поля (по отношению к оси z), то векторы Emn(p)
и Hmn(p) удовлетроряют однородным уравнениям Максвелла:
rot Hmn = jo)saEmtt, rot Emn
Выразим с помощью первого уравнения Максвелла поперечные состав-
ляющие векторов напряженности электрического поля:
	Е = ^хтп	1 ,	(dUzmn	дНутп		(4.56)
		icosfl	ду	dz 1 ’	
	F —	1	( дН-хтп	d^zmn \	(4-57)
	‘-‘утп		1 dz	dx \ •	
С помощью второго уравнения Максвелла выразим поперечные состав-
ляющие векторов напряженности магнитного поля:
Н —-	1	( dEzmn	d^ymn	(4.58)
Lkxmn	110р.д	k dy	dz /’	
Н —	1	f d^xmn	ffiZzmn \	• (4.59)
х Lymn	1	( dz	dx J	
Если подставить в соотношение (4.56) вместо Нутп его значение
(4.59), а в (4.57) вместо Нх7пП его значение (4.58) и учесть, что •
d2Emn/dz2=—(4.60)
то получим
p 		tWp-a	dHzrnn J	1	dsEzmn
i-'xmn	£>2 4 ±mn	dr/ *	kS±mn	dzdx * (4.61)
p	__	dHzmn	I 1	
i-'ymn ' tf2 K J_mn	dx	^2±m	, dzdy ’

Подставляя в выражения (4.58), (4.59) значения поперечных со-
ставляющих векторов напряженности электрического поля из соотноше-
ний (4.56), (4.57) и учитывая, что
	д? Hmn 1 3z2——№mn H mn t	(4.62)
имеем		
tj 		1	дгН2тП  xmn	k2^n dzdx T	rc5sa dEzmn	
	kZJ_mn dy	(4.63)
it 	 1	d2H zmn^ ymn	b2±mn dzdy	d\Lzmn	
	dx •	
i		155
Из формул (4 61), (4.63) следует, что в направляющей системе по*
перечные составляющие векторов напряженности поля можно находиты
с помощью выражений для продольных составляющих векторов напря-
женности поля
Для магнитных волн EZ7nn=0 и поперечные составляющие векторов
напряженности поля имеют вид
рм _______ <JnZmn ттМ ________ t u nzmn
xmn~ k\mn ду ^xmn~k\mn dzdx ’
(4.64)
рм *  	дНгит tjm .	1 дгНгтп
утп~~&^	дгду ’
где индекс «м» означает, что величины относятся к магнитным волнам.f
Для электрических волн Hzjnn=0 и поперечные составляющие век* (
торов напряженности поля имеют вид
рэ	1 dsEzmn пэ _______ itoSa dEzmn
хтп~~ &±тп dzdx ,nxmn—ki^ dy ,
(4.65>
рэ ____	1 dzE2tnn rj3 ______ i^sa dEzmn
ymn~ k\mn dzdy * n Утп~~~	k2±mn dx ’
где индекс '«э» озирает, что величины относятся к электрическим
волнам.	4	t
Общее поле направляющей системы в соответствии с выражениями
(4.61), (4.63) ерть сумма полей магнитных и электрических волн:
Етпп--ЕМТПП + ЕЭТПП> Нтпп-НМТПП + Н^п. .	(4.66)
Таким образом, электромагнитное поле в направляющей системе5
с декартовой системой координат разложено на сумму полей магнит*
ных и электрических волн. Все поперечные составляющие векторов на-;
пряженности поля волн различных типов выражены только через про* 3
дольные составляющие векторов напряженности поля волн соответст*:
вующих типов.	>
4.5.2.	Выражения (4.64) и (4.65) можно записать в векторной фор*
ме, справедливой в любой ортогональной криволинейной системе коор* |
динат. Обозначим через Е^ш/г и Н1тп векторы напряженности поля, на-1
ходящиеся в поперечной плоскости ху.
Ej_mn === ^х^хтп “h	Н J^mn = ixHxmn igHymn.	M
Тогда	*
Emn =z Ej.mn + ^z^z/nn’ Hmn HJ_mn
Умножая два верхних уравнения (4 64) на ix, а два других на iy и ?
складывая результаты, находим
gradlH^l-	<4-67>
к J_mn	<
где индекс «_!_» при градиенте означает, что учитываются только сла-^
гаемые с частными производными по поперечным координатам.	J
156	• л
Умножая два первых уравнения (4.65) на ix, а два других на и
складывая результаты, получаем
E\™.=^giadl5>.	«69)
Н\™ = “	g'radiE«™l'	(4.70)
Таким образом, электромагнитное поле любой регулярной направ-
ляющей системы разложено на сумму полей магнитных и электрических
волн. Для вычисления поперечных составляющих векторов напряжен-
ности поля необходимо знать только продольные составляющие векто-
ров напряженности поля.
4.5.3.	Продольные составляющие векторов напряженности поля,
определяющие в соответствии с выражениями (4.67) — (4.70) попереч-
ные составляющие векторов, удовлетворяют однородным уравнениям
Гельмгольца в скалярной форме (см. § 1.10)
V2Ez тп (Р)+^Е z тп (р)=0,
(4.71)
V2HZ7nn(p) +£2нz тп (р)=0.
Если учесть, что V2=V2j+d2/dz2, где — оператор Гамильтона, вклю-
чающий только производные по поперечным координатам, и выражения
(4.60) и (4.62), то получим однородные уравнения Гельмгольца для
продольных составляющих векторов напряженности поля типов волн
в следующей форме:
(pj + &\т„Е2,„„ (рх)=0,	(4.72)
•<7=±Нг„„ (/«J +	(pj = 0.	(4.73)
Коэффициент k^mn в этих уравнениях имеет смысл коэффициента рас-
пространения данного типа волйы в поперечном, направлении.
Присоединив к уравнению (4.72) граничное условие для Ez тп на
ограничивающих поверхностях направляющей системы, а к уравнению
(4.73) граничное условие для Hzmn, получим граничные задачи. - • ,
4.5.4.	В качестве примера применения ’ полученных соотношений рассмотрим раз-
ложение поля (4.34)—(4.36), возбуждаемого элементарным электрическим вибратором
в прямоугольном волноводе, на поля магнитных и электрических волн. Считаем, что
решением граничной задачи возбуждения волновода определены Hzmn и Е2ТОП [см.
(4.35), (4.36)]. Тогда для магнитной волны из выражений (4.64) или (4.67), (4.68)
имеем
рм _ хтп ~	1 COLL а тп Пп	тп . пп ±ik <z-z0) amncos а xsin b ye mn	(4.74)
	Jjnn а		
рм 	 утп —	( тп k2_L.mn \ а J	mn	nn ±ikmrdz-za) ^mnsin— X cos — ye mn	(4.75)
НМХИ1П		ikmn ( тп k\mn X. а .	) amnsin	x cos—ye mn	(4.76)
.... +ikmn тп пп	тп пп ±tktz—za)
Н утп ~	а у атп cos а х sin & уе	.	(4.77)

Для электрической волны из выражений (4.65) или (4.69), (4.70) получаем
ik2mn тт пт	тт пт	±гьnn(z-z0)
Еэхтп —	~ 2 a b а,пп c0S л % b	*	(4.78)
ik2mn / пл \2	. тт пп ±ik (z-z0)	. _Q.
Еэу/пп==—•;—Hr- fl/nnSin — xcos-r-ye mn ,	(4.79)
„3 T ikmn f nm\2 znn >/№ a±ikmn^~z^	raenv
H xmn —	fj j amn s^n a %CoS b №	»	u (4.80)
„„ ±ikmn mn пт	mm Пт ±ik Iz-Zo)	. Q
нэ^=£	~ — amncos— xsin— ye mn .	(4.81)
Легко проверить, что составляющие векторов суммарного поля (4.66) равны со-
ответствующим составляющим''векторов (4.35), (4 36).
Из выражений (4.74) — (4.81) следует, что поперечный элементарный электриче-
ский вибратор в прямоугольном волноводе возбуждает в общем случае бесконечное
число типов магнитных и электрических волн.
4.5.5.	Картину силовых линий электрического и магнитного полей
Нтп- и Етп-волн можно построить с помощью выражений (4.74) —
(4.81) таким же образом, как это сделано для волны основного типа.
Но построение картиньХ силовых линий можно выполнить также, руко-
водствуясь только физическими соображениями. При этом в основном
используются граничные условия, которым удовлетворяют выражения
Рис. 4 10 Распределение составляющих вектора
напряженности электрического пол’я волны типа
Нц в поперечном сечении прямоугольного волно-
вода (Z = Z1, t=ti)
158
Рис. 4.11. Распределение составляющих вектора напря-
женности магнитного поля волны' типа Ни в попереч-
ном сечении прямоугольного волновода (z=zt.
I ff
*	О
ч
(4.74) — (4.81): касательная к поверхности составляющая вектора на-
пряженности электрического поля и нормальная составляющая вектора
напряженности магнитного поля на идеально проводящей поверхности
равны нулю, а касательная к поверхности составляющая вектора напря-
женности магнитного поля и нормальная составляющая вектора напря-
женности электрического поля на идеально проводящей поверхности
имеют экстремумы. Последовательность построения картины силовцх
линий рассмотрим на примере. Пусть необходимо построить силовые
линии поля Нц-волны в прямоугольном волноводе.
Магнитная волна Нц имеет составляющие векторов напряженности
поля £мхц, £мун, Ямхц, Ямуп и Ямгц. Составляющая £хц (индекс «м»
для сокращения записи в настоящем параграфе опустим) параллельна
верхней и нижней стенкам волновода (рис. 4.10,а) и при у=0, у=Ь
равна нулю, вдоль оси у имеется одна полуволна поля (рис. 4.10,6).
Составляющая £хц вместе с тем перпендикулярна боковым стенкам, и
значит на них имеет место экстремум, а на интервале О^х^а уклады-
вается одна полуволна (рис. 4.10,в).
Составляющая £уц параллельна боковым и перпендикулярна верх-
ней и нижней стенкам (рис. 4.10,г). Поэтому на боковых стенках £уц=
=0, а на верхней (у=Ь) и цижней (г/=0) стенках £уц имеет экстре-
мумы (рис. 4.10,6, е). Силовые линии электрического поля должны
искривляться так, чтобы учитывалось поведение составляющих £хц и
£уп при изменении координат х, у (рис. 4.10,ж).
Составляющая Яхц касательна верхней и нижней стенкам и пер-
пендикулярна боковым стенкам, поэтому Ях11 имеет экстремумы при
«/=0, у=Ь и равна нулю при х=0, х=а. Составляющая Нуц перпенди-
кулярна верхней и нижней стенкам и касательна боковым стенкам, по-
этому Яу1=0 при у=0, у=Ь и имеет экстремумы при х=0, х=а. Сило-
вые линии вектора /7ц должны искривляться так, чтобы учитывалось
поведение составляющих НхП и Нуц при изменении координат х, у
(рис. 4.11).
Совмещая картины силовых линий электрического и магнитного
полей, представленные на рис. 4.10, ж и 4.11, получаем картину сило-
вых линий электрического и магнитного полей Нц-волны в плоскости
(*, У) (рис. 4.12). Взаимная ориентация векторов £ц и Яц должна
Рис. 4.12. Силовые линии электрического и магнитного полей волны типа Нц в прямо-
угольном волноводе
159
быть такой, чтобы вектор Пойнтинга был направлен вдоль векто* Я
pa iz.
Для того чтобы построить структуру электромагнитного поля в пло-« J
скости yz (при x=xi), надо учесть, что составляющая вектора маг- |
нитного поля Hzu касательна стенкам волновода и поэтому имеет на |
них экстремумы. Поскольку т=1, п=Л, то направления Hzu противо- 1
положны у противоположных стенок. Все составляющие векторов элек- 1
трического и магнитного полей распределены по координате z по зако-
ну бегущей волны, поэтому направления силовых линий в поперечных ]
сечениях, сдвинутых на Хв/2, должны быть - противоположными 1
(рис. 4.12). Аналогично можно построить картину поля Нц-волны ,
в плоскости xz.
Картины силовых линий поля волн типов Н21, Еп и E2i приведе- |
ны на рис. 4.13. Из анадиза рисунков следует, что картину силовых
лйний поля волны типа H2i (или Е21) можно получить, если мысленно
разделить интервал О^х^а на две (т=2) части и в каждой из о бра- $
зовавшихся областей волновода построить картину силовых линий поля
Нц-волны (или Ец-волны). При этом направления силовых линий по- I
лей надо выбрать так, чтобы в интервале О^х^а укладывались две |
полуволны поля.
Аналогично, раздепчв на т частей интервал О^х^а и построив ‘
в каждой образовавшейся\области волновода картину силовых линий 1
поля Нц-волны (или Ец-волны), можйо получить картины силовых ли- |
НИЙ полей Hml-ВОЛНЫ (или Ет1-В0ЛНЫ).	1
Картины силовых линий полей Hiq-волн (или Eig-волн, фиксиро- ]
вано) можно получить путем поворота картины поля Hgi-волН (Едц '
волн) в пространстве вокруг продольной оси на 90°.
Рис 4 13 Структуры силовых линий электрического и магнитного полей волн типов /
Н21, Еп и E2i в прямоугольном волноводе	41
160
Картину СИЛОВЫХ ЛИНИЙ ПОЛЯ Emn-ВОЛНЫ (или Нтоп-волны) можно
построить, разделив мысленно на т равных частей интервал
на п равных частей интервал	и построив в каждой из образо-
вавшихся областей волновода картину поля Ец-волны (или Нц-волны).
4.5.6.	Отметим, что ни один из индексов т или п волн типа Етп
не может быть равным нулю, поскольку Ezmn должно быть равно нулю
на стенке волновода, а значение m—Q или«:=4) указывает, что EzOn или
Ezmo не меняется вдоль х или у и, значит, должно быть равно нулю
всюду. Если продольная составляющая вектора напряженности элек-
трического поля некоторого типа волны равна нулю/то в соответствии
с выражениями (4.69), (4.70) Е*±тп = 0 и Нэ±тп = 0. Поэтому наимень-
шими значениями индексов тип являются т=Л, п=1. Наибольшей
критической длиной волны из всех волн типа Етоп обладает Ец-волна.
Один из индексов т или п волн типа Нтоп может быть равен нулю.
Поэтому наибольшей критической длиной волны из всех волн типа
Hmn обладает Ню-волна (Акр ю=2а) или Н^-волна (Акр01=2б). По-
скольку, как следует из формул (4.40), всегда Акр io>5ip п и %кр01>
>Акрц, то Н10- или Hoi-волна является наинизшим типом волн в пря-
моугольном волноводе. При а>Ь имеем %крю>^кро1 и наинизшим ти-
пом является волна типа Ню-
Волны типа Нтоп с разными структурами полей, но с одинаковыми
коэффициентами распространения вдоль оси z называются вырожден-
ными. При этом для Нтоп- и Нт,п,-волны (m/a)2+(n/d)2=(m'/a)2+
+ («76)2-
Аналогично волны типа Етп с разными структурами поля, но с оди-
наковыми коэффициентами -распространения вдоль оси z также явля-
ются вырожденными. Вырожденные волны имеют одинаковые фазовые
и групповые скорости.
4.6.	Возбуждение прямоугольного волновода прямолинейным
магнитным излучателем
4.6.1.	Электрическое поле Ещ в щели, вырезанной в стенке волновода, может
быть сторонним. Например, расположенный вне волновода излучатель, возбуждая
в пространстве электромагнитное поле, наводит электрические токи на внешних стен-
ках волновода, которые через щель затекают на рнутренние стенки волновода и воз-
буждают электромагнитное поле в волноводе. Напряженность электрического поля
на щели по отношению к электромагнитному полю, возбуждаемому внутри волновода,
является сторонней ЕщТ. Тогда магнитный ток JM CT=[n, ]на щели является сто-
ронним. Если ширина щели Д удовлетворяет условию Д/%—>0, то в соответствии
с § 4.4 можно считать, что волновод возбуждается линейным магнитным током
Iм ст, расположенным на внутренней стенке волновода.
Чаще всего щели, применяемые в качестве возбудителей поля, являются прямо-
линейными, при этом соответствующие щелям магнитные излучатели также прямо-
линейны.
4.6.2.	Рассмотрим возбуждение прямоугольного волновода узкой поперечной
щелью, вырезанной в верхней или нижней стенке волновода (рис. 4.14,а). Если
Iм ст — линейный магнитный ток на щели, то jM CT=ixIM ст(х)6(г/—z/0)6(z—zo), где
Уо=Ь или г/о=0- Длина щели L обычно выбирается так, чтобы по ней укладывалась
одца полуволна тока. Это условие удовлетворяется, если L близко к Х/2. Выберем
L="k/2 (полуволновая щель). Тогда
Iм ст (x)=im0 cos	Хо—Х/4^х^х0-|-%/4.
11—116
161
Рис. 4.14. Поперечная
(а) и продольная (б) щели в волноводе
Так как j“CT= j"CT=0, то AMz/= AMz=0. Составляющую магнитного векторного
потенциала находим из выражения (4.30):
ОО 00
V*.	ПП	+ ik 2
amx=2j	xcosT^e’ ’
m=l n=0
где,
x0+X/4
b™n = 7a^cos^y*^maZ° J sin“V' xf cosb(x' — x0)dx'. (4.82)
Xg—X/4
Продольные составляющие векторов напряженности поля определяем по форму-
лам (1.115), (1.116):
00	00
те	пгп	пп +ik z
H*=±^2j2j	— XCOS — ye- mn ,
zn=l n=0
Ez= — J nbxmn SinX sinуе^1ктпг .	(4.83)
m=l n=0
Из этих выражений видно, что поперечная щель (магнитный излучатель) в стен-
ке волновода возбуждает Hmn- и Emn-волны. Объясняется это тем, что прямолинейный
магнитный излучатель, расположенный в поперечной плоскости волновода, излучает
электромагнитное поле, силовые линии электрического поля которого находятся в про-
дольных плоскостях и, значит, имеется продольная составляющая вектора напряжен-
ности электрического поля; силовые линии магнитного поля находятся в плоскостях,
проходящих через ось вибратора, поэтому имеется и продольная составляющая век-
тора напряженности магнитного поля.	(
Поперечные составляющие векторов напряженности поля можно получить из
выражений (4.67)—(4.70).
Выберем размеры волновода так, чтобы в нем распространялась только волна
основного типа. Выполняя интегрирование в формуле (4.82), находим

2IM0fe теХ , пх0
= iabk\0 cos 4а sin а

Тогда из (4.83) получаем
1м02тей	теХ 5 пХд пх ^ih^iz—z^
HZio — ± i^^bk^g cos 4а sin a cos а е
(4.84)
162
[4з выражений (4.64) или (4.67), (4.68) находим
ттм	21М0	• ЯХф ,	.it /_ _ \
Н«' = -Г5Щ-СО5ТГ5,П—s,n~е	‘	•
EMjcio= 0, Нму1о = 0, Ему10 = + ZHIOH\10.	(4.85)
Из формул (4.84), (4.85) видно, что при заданных токе и размерах волновода поле
наибольшей интенсивности возбуждается поперечной щелью в том случае, когда се-
редина щели совпадает с серединой верхней или нижней стенки.
I Мощность излучаемая поперечной щелью в волноводе без потерь, определяется
по формуле (4.49). Подставляя в нее выражение вектора Пойнтинга для волны типа
Ню, используя (4.85) и учитывая, что«У,'1;= 0,51IM0 |г Gs(cm. § 2.10), находим внут-
реннюю проводимость излучения полуволновой щели
Gt~Wab$\0cos 4а sin а •
Если щель располагать ближе к боковой стенке, то внутренняя проводимость излу-
чения ее уменьшается.
4.6.3.	Найдем электромагнитное поле, возбуждаемое в прямоугольном волноводе
узкой продольной полуволновой щелью, вырезанной в верхней или нижней стенке вол-
новода (рис. 4.14,6). Заменим щель прямолинейным магнитным излучателем. Тогда
jM ст= СТ’ где
izCT= Iм (2) з (X —Хо) б (у — у0), Уо = Ьилиуо — О.	(4.86)
На излучателе укладывается одна полуволна тока. Поэтому линейный магнитный
ток Iм (г) имеет вид
Iм (z) =1мо cos k(z—z0), z0—K/4^z^Za-[-^,/4.
Так как j“ CT= ст = 0, то Амх = Аму—0, a AMZ определяется выражением
(4.32), где интеграл для Ьгтп записывается с учетом того, что объем 1V, занятый ис-
точником (щелью) электромагнитного поля, находится в интервале z0—X/4^z^z0-|-%/4.
Имея в виду представление интеграла (4.18), получавм
ОО ОО
ям 1 VI VI етеп	rm е тп	пп
А г= l|X^C0S“XC0S~9J cos— x'cos— y'e ™X
m=0 n=0	Sj_
z	oo	-
Гz')	+ е+/‘"»г J	«' (4-87)
Ю	Z	-
Для точки наблюдения, координата z которой находится в интервале z0—X/4<z<
<z0-)-X/4, подставляя в (4.87) ток (4.86), находим
ОО 00
ЯМ 1М» VI V emsn тп пп
А‘=1^ь^ 2j_^rcos“x°cos~s,><
m=0 n=0
тп пп
Xcos -7-х COS-у- у
2
e-ikmnz у cos k (Zr—zo) e^’dz' +
Zo-X/4
Zio+^/4
+ e mn I cos k (zr — z0) e dz' •
z
(4.88)
Для области, где z<ZzQ—X/4, координата точки интегрирования (источника)
z'~>z\ при этом сторонний ток при z'<Zz отсутствует и, следовательно, первый из ин-
11*	.	"	163
тегралов (4.87) обращается в нуль. Для области, где z>z0-]-X/4, имеем z'<z; пра
этом ток при z'~>z отсутствует и, следовательно, второй из интегралов (4.87) обра*\|
щается в нуль. Таким образом,
ОООО	'	,
AMz==72^r2j S^cos а *°cos ь УоХ J
т=0 n—Q	Sj
ze4-X/4
Xcos----xcos—j— ye~ mn \ cosfc (zr •—?0) e dzr, (4.89)'
Cl	и	J
z0—X/4
где верхние знаки берутся для z<z0—%/4, а нижние — для z>Zo-j-V4.
Выполнив интегрирование j^ (4.88), для z0—%/4<z<Zo-p74 получаем
Ам2 = J J] fe8 ^kmn С0$ k (г “ 2о) “ ik& lkmnV4cos kmn (г “ X
т=0 п=0
тк	пп тк пк
X COS х0 cos -у- Уо cos —у X cos -у- у.
(4.90)
Выполнив интегрирование в (4.89),
ходим
для областей г<г0—Х/4 и z>z0-p74 на-
Ам.
IV
2 iab
m—О n=0
emen
'j_mn ^mn
cos
тп	пп
4~ cos — х0 cos -у- у0 X
kmn/-
тт.
...	ПК
X cos -у х cos —у- уе

(4.91)
Таким образом, вне источника электромагнитное поле в соответствии с послед-
ним выражением имеет вид бегущих вдоль продольной координаты волн. В пределах
источника, т. е. в интервале z0—X/4<z<z0-LA/4, поле в соответствии с выражением
(4.90) имеет характер стоячих *волн, сдвинутых друг относительно друга по фазе.
Стоячие волны можно представить в виде суммы распространяющихся навстречу друг
Другу бегущих волн.
Продольные составляющие электромагнитного поля находим с помощью выра-
жений (1.115), (1.116). Для точек наблюдения, расположенных вне интервала
Zg—K/4<ZzCz0-j-^/4, получаем
t? пи	етеп 1Мо ктТ{К
^zmn—^ H2m„—— w abkmn COS 4 X
тк	пк	пт	Пк ±ib (.z-z0)
X cos —— x0 cos —у- уо cos —— x cos —y- ye
Значит, продольная щель (продольный магнитный излучатель) в прямоугольном
волноводе возбуждает только волны типа Hmn> электрические волны отсутствуют. Для
основного типа волны
им	21М0 ЙюХ.	Zn)
Hzn=-r^rocos—cos —cos —e-^(z 2°> ,
H%0 = ±-^y-cos-^-cos-y-sln— e-
= zt ^HloI4Mxio> I-Mxio ~ 14'ую = 0-	(4.92)
В интервале zQ—%/4 C z <: z0-|-X/4 электромагнитное поле волны основного типа
имеет те же составляющие векторов напряженности поля, но более сложную зави-
164
симость от координаты z. Отметим, что в этом интервале и на некотором расстояний
от него даже при размерах волновода, удовлетворяющих условию существования
только основного типа волны, высшие типы волн имеют большую интенсивность и,
могут оказывать определяющее влияние на формирование картины поля в этой об-
ласти.
Мощность излучаемая продольной щелью в волноводе без потерь, определяет-
ся по формуле (4.49). Подставляя в последнюю выражение вектора Пойнтинга для
волны типа Ню, используя выражения (4.92) и учитывая, что =O,5|IMo|2 G^.h»
ходим внутреннюю проводимость излучения полуволновой продольной щели: *
4ka пх0	X
cos a cos
Из этой формулы видно, что Gs обращается в нуль, если щель расположена в середи-
не верхней и нижней стенки волновода (х0=а/2); GE максимально, если щель рас-
положена у боковой стенки (хо=0 или х0=а).
4.6.4.	Рабочий диапазон частот, в котором могут быть использованы обычные
прямоугольные волноводы, как следует из изложенного, ограничен критической ча-
стотой основной волны и недопустимостью распространения волн высших типов, из
которых первой является волна типа Н2о- При этом рабочий диапазон длин волн X
должен удовлетворять условию а<%г<2а.
Расширить рабочий диапазон частот и уменьшить поперечные размеры волновода
можно путем выбора формы его поперечного сечения. Обычно используют волноводы
с П- и Н-образными поперечными сечениями (рис. 4.1,е). Для расчета этих волново-
дов используют приближенные методы.
4.7.	Возбуждение круглого волновода.
Электрические и магнитные волны
4.7.1.	Постановка задачи о возбуждении электромагнитного поля
в круглом волноводе не отличается от постановки соответствующей за-
дачи для прямоугольного волновода (п. 4.2.1). Только волновод имеет
круглое, одинаковое по длине сечение (рис. 4.15). Чаще всего круглый
волновод возбуждается линейными электрическим или магнитным,
(щелью) вибраторами.
Если в качестве возбудителя электромагнитных волн в волноводе
используется прямолинейный электрический вибратор, параллельный
продольной оси волновода, то силовые линии магнитного поля его на-
ходятся в плоскостях, перпендикулярных оси вибратора, т. е. в попереч-
ных плоскостях волновода. Поэтому вектор напряженности магнитного*
поля не имеет продольной составляющей. Силовые линии электрическо-
го поля находятся в плоскостях, проходящих через ось вибратора.
Вектор напряженности электрического поля имеет продольную состав-
ляющую, и в волноводе возбуждаются электрические волны. Для того-
чтобы определить типы электрических волн, необходимо, как следует
из выражений (4.69), (4.70), найти
продольную составляющую вектора
напряженности электрического поля.
Рис. 4.15. Прямолинейный вибратор в круглом
волноводе
165
Если в качестве возбудителя волновода используется прямолиней-
ный магнитный вибратор, параллельный продольной оси волновода, то
силовые линии электрического поля его находятся в поперечных пло- |
скостях волновода, силовые линии магнитного поля находятся в плоско-,
стях, проходящих через ось вибратора. Поэтому вектор напряженности ,
электрического полй не имеет продольной составляющей, а вектор на- d
лряженности магнитного поля содержит продольную составляющую. •
Зная продольную составляющую вектора напряженности магнитного
поля, можно по формулам (4.67), (4.68) найти поперечные составляю- ,
щие векторов Е и Н и тем самым определить типы магнитных волн.
Если волновод возбуждается поперечными электрическим и маг- \
нитным сторонними токами, в долноводе возникают электрические и \
магнитные волны.
Возбуждаемое в волноводе электромагнитное поле должно удов-
летворять граничному условию: касательная составляющая вектора Е
на стенке волновода с идеальной проводимостью должна обращаться ,
в нуль. Это условие можно использовать при определении граничных
условий для векторных потенциалов. Граничные условия для Аэ и Ам
на стенке волновода и неоднородные уравнения Гельмгольца для них
составляют граничную задачу, Эта граничная задача просто решается 
при определении продольных составляющих векторных потенциалов
A3Z и Amz, которые зависят от продольных составляющих векторов сто-
ронних токов. Поперечные составляющие векторных потенциалов
А^(м) и А*(м) зависят от поперечных составляющих векторов сторон-
них токов.и определяются связанными неоднородными уравнениями
Гельмгольца (см. гл. 1). Вследствие этого граничные условия для
э(м) и дэ(м) не определяются в простой форме.
Поэтому при произвольном распределении в круглом волноводе
сторонних токов определяют продольные составляющие векторов поля
Ег и Нг и затем в соответствии с формулами (4.34) и (4.67) — (4.70)
находят для областей вне источников (по оси z) поперечные составляю-
щие векторов поля.
Решение граничной задачи можно искать двумя путями. Во-первых, можно пред-
положить, что сторонние источники (вибраторы) расположены в неограниченном про-
странстве и возбуждают первичное поле, соответствующее неограниченному простран-
ству. На поверхности стенки волновода, как следует из § 4.4, протекает вторичный
поверхностный электрический ток. Последний возбуждает вторичное (отраженное от
стенки) электромагнитное поле, которое, накладываясь на первичное поле, создает
полное поле, удовлетворяющее граничным условиям и уравнениям Максвелла. В соот-
ветствии с этой трактовкой поле надо искать в виде суммы двух слагаемых, одно из
которых соответствует первичному, а другое — вторичному полю. При использовании
выражений для векторных потенциалов представление поля должно иметь вид раз-
ложения (2.29) совместно с (2.20) или (2.21), спектральная плотность вторичного поля
которого определяется из граничного условия.
Во-вторых, продольные составляющие векторов полд или векторных потенциалов
можно сразу искать для полного поля. Продольные составляющие векторов искомого
поля можно представить в виде разложений с помощью преобразований или рядов
Фурье. Но коэффициенты разложений (спектральные плотности) должны определять-
ся не только из неоднородных уравнений Гельмгольца, как в случае неограниченного
пространства, но и из граничных условий.
Так же, как в случае прямоугольного волновода, применим второй путь?
163
4.7.2. Рассмотрим задачу возбуждения круглого волновода радиу-
са а элементарным электрическим вибратором, параллельным продоль-
ной оси волновода (рис. 4.15). Введем цилиндрическую систему коорди-
нат г, ср, z, совместив ось z с осью волновода. Координаты вибратора
обозначим через r0, <jpo, Zb- Тогда
j9CT=iJ*CT, где j9CT = I9(z)8(r — гв)S(<р—<p0)/r, jMCT=0.
Прэтому Ам=0, A?3C=A%=0; Аэ2 удовлетворяет неоднородному уравне-
ний) Гельмгольца
1 д (г дДэЛ______1 ^A3z_L^A9z I д.гдэ —____;эст (493V
г дг dr J' rz д? dz*	Jz •	(4.У0>
Касательными к поверхности стенки волновода составляющими
вектора Е являются Еф и Ez. Определим их из выражения (1.115):
Е L д2А% е — 1 fe8A9 I d8AM (4 94>
i(0£a	7	1<&еа	\	/
Граничные условия Е^ —О, Ez = 0 при г— а удовлетворяются, если
Аэ2=0 при г—а.	(4.95)
Найдем решение граничной задачи (4.93), (4.95). Электромагнит-
ное поле и, следовательно, функция Аэ2 по координате ср являются пе-
риодическими с периодом, равным 2л. Разложим Аэ2 в ряд Фурье по»
тригонометрическим функциям:
00
А% (г, (р, z) = 2 [Сп (г, z) sin ncp-J- D„ (г, z) cos «<р].
Электромагнитное поле по координате z надо определить в интервале
—oo<z<oo, поэтому функции Cn(z) и Dn(z) представим в виде разло-
жения в интеграл Фурье, т. е. в виде бесконечного непрерывного спект-
ра плоских волн с коэффициентами распространения х. Тогда
оо
1
а-2=5
. 1
, х)е Ixzdx sin/Kp-f-
—00
00	"1	)
J Dn (г, х) e~lxzdx cos«<p j.
—00	-*
ДГ2Г
Подставив это выражение в уравнение (4.93), имеем
7£('£)+Н-7)С
(4.96>
п=0 —оо
ixz
е <
I I Г 1 д / dDn \ I /«г	г я2 \ гл 1	1	эст
+ [— -эг ('-эгщ* т) O„]costf <?}=-), •
Умножим это равенство на cos п'<р ехр	а затем на sin«'<pX
и' — фиксированные значения «их. Проин-
от 0 до 2л, а по z от —оо до оо. Учтем!
X ехр (гх'г)/1/21с, где п',
тегрируем результаты по
условия ортогональности
2п
, . (°’
cos п’ ср аср= |
I2it/en,
<Р
п п’
п — п'
2 it
J sin/z<p
о
О, п=^= п.’
It, п = пг
О
16Т
и разложение S-функции (2.11). Производя замену переменных <р, z на,
<р', z', а х', п' на х, п, получаем
—	х’ —Dn =
2к оо
j J j*ст (г> ?'> z')cos «т'е,хг' d<?' dz', (4.97)
<р'=0 zz=—оо
— Д <г^г.'+-^>-х’-4^Сл=
г dr у dr j \\	гг ) п
2 it оо
',1/г f f j’" (»•/. И sinn<t'^'dz'd<t'.
тс (2тс) ' J J *
tp'=O z'=—co
. (4.98)
Из выражения (4.96) следует, что для удовлетворения граничному
условию (4.95) необходимо положить
Dn(a, х)—0, Сп(а, х)=0.	(4.99)
Кроме того, поле на продольной оси волновода, т. е. при г=0,
должно быть конечным, поэтому Аэ2(0, ср, z) также должно быть ко-
нечно. Значит, коэффициенты Dn и Сп должны удовлетворять условиям
£)п(0, х), Сп(0, х) конечны.	(4.100)
Учтем, что уравнением Бесселя, определяющим цилиндрические
функции Zn(yr), является
7- 4- ('•^l) + (y2--?-)zUY'-)=O.	(4.101)
Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка (4.101)
имеет два линейно-независимых решения: ^п(уг) и Nn(yr), где «7п(у/')>
Nn(yr)—соответственно функции Бесселя и Неймана. Общим решени-
ем уравнения (4.101) является линейная комбинация решений Уп(уг)
и Nn (yr).
Поскольку левые части равенств (4.97), (4.98) имеют вид левой
части уравнения (4.101), то функции Dn(r), Сп(г) можно выразить
с помощью линейной комбинации решений &п(уг) и Nn(yr). Но
Ап(уг)->оо при r-И). Значит, условию (4.100) функция Nn(yr) не удов-
летворяет. Поэтому коэффициенты Dn, Сп выражаются только через
функции Jn(yr). Потребовав выполнения условия (4.99), получим,
что решение (уг) должно удовлетворять условию
yn(ya)=Q.	(4.102)
Это уравнение имеет бесконечное количество корней ya=vnm, т=Л,
2, 3, ... Например, при п=0 корни равны: voi=2,4O5, -v02=5,52, vo3=
= 8,654; при п=\ vn = 3,832, vi2=7,016; при n = 2 v2i = 5,135, v22=8,417;
при n==3, V3i = 6,379, V32=9,76.
Итак, граничное условие (4.95) удовлетворяется, если в качестве
решений выбираются функции Зп (&пт,г). где o^m=vnm/ci.
Электромагнитное поле находим в интервале О^г^а, следователь-
но, функции A3Z и Dn(r), Сп(г) заданы в том же интервале. Разложим
функции Dn(r) и Сп(г) в ряд Фурье по системе функций ^n(ow):
Оп (г, и) = J аэпт (х)	(аптг), Сп (г, х) = g b\m (х) Уп Ктг).
т=1	т=1
168
Коэффициенты аэпт(и), ЬэПт(п) определим, подставив последние выра*
экения в уравнения (4.97), (4.98). Учитывая уравнение (4.101), имеем
J] a’™ — х* — а=J	(V) =
т=1
2тс оо
еп
j J jgCT (г>	z') cosn(f>'el*z d(p'dz',
<р'=0 z*=—оо
00
J] ti>m (k‘ - х* - :jn (О^г) =
т=1
2к оо
=-------т^лц- (	(	<г-	г')sin
<р'=Ог'=—оо
Умножим эти равенства на г&п(впт'Г) и проинтегрируем их по г от О
до а. Используя условие ортогональности
^„(an^)3„(omnlr)rdr=
О
о,
.0,5a»J^(Oaraa),
т=£т’,
ni=m',
где ^'п (впта) — производная функция Бесселя по аргументу, произ-
водя замену переменной интегрирования г на г' и т' на т, получаем
(и) = ,	f j’" (?> cos tif’
a	т/
&n (9nmr')
(enma)
___s_______dV'
** + °2nm-k2 aV ’
(4.103)
(») = J .,2 f j’" (?) sin n<f'
паг(2n) ' J 2
(anrrfl)
. ___________dV't
x2 + «2nm-fe2 ’
&n (Bnmr')
где dV'=r'dr'd(p'dz'; V — объем расположения сторонних источников.
Подставим Dn, Сп в разложение (4.96). Применяя теорему о вы-
четах (см. § 2.2, 2.4) к интегралу типа (2.24), так же, как в случае
выражения (4.18), получаем
а% (р)=ет- j S йг J	ст (?) cos п <tp ~ х
n=0m=l V
«7п (вптг) &п (anmr') g±l^ntn	г>
(9пт аУ
(4.104)
где ^пт=:Укг—<?пт—Ук* — ^пт!а2\ верхний знак берется при z—z'<COt
нижний — при z — z’ > 0.
4.7.3.	Если волновод возбуждается линейным магнитным вибратором
параллельным продольной оси волновода, то jMCT=izjMCT, j9CT=0. Тог-
да Дм-= izAMz, Аэ = 0. Из .выражения (1.115) определяем составляющие
вектора Е, касательные стенке волновода: Е? = (?AMz/(?r; Ег = 0.
169
Значит, граничное условие на стенке волновода удовлетворяется, если
dAMz/dr=0 при г=а.	(4.105)
Продольная составляющая вектора Ам удовлетворяет уравнению
+^+^+^=-г- <4-юб)
Решение граничной задачи (4.105), (4.106) находим так же, как
решение задачи для A°z. Отличие состоит в том, что для определения
коэффициентов разложения несю^одимо использовать не граничное
условие (4.99), а граничное условие
^- = 0, ^-=0 при г = <г,	(4.107)
полученное из (4.105). Эти условия приводят к уравнению
^'n(Ya)=0,	(4.108)
которое имеет при заданном п бесконечное количество корней ya=|Xnm>
лг = 1, 2, 3, ... Например, при п=0 корни равны: ц01=3,38, цог=7,О2;
при п—1 цц=1,84, Ц12=5,83; при п—2 p,2i=3,05, Ц22=6,71.
Граничное условие удовлетворяется, если в качестве решений вы-
бираются функции ^п(хпп^), где Хпт=|Лп7п/о. В интервале О^г^а
функцию Лм2 и, следовательно, коэффициенты Dn, Сп можно разло-
жить в ряд Фурье по системе функций Уп (иптг):
Dn (г, *) = 2 аЫ>т М С» (г’ = 2	% п (%птГ)-
т=1	т=1
Подставляя эти разложения в соотношения (4.97), (4.98), где надо за-
менить}*1^ на j*’CT, проводя дифференцирование, умножая результат на
^п(Кпт'Г) И учитывая, что
а
j "Л(W)УЛ*™,г) г dr —
о
0,
^2	(^пта)
Л пти ]
т=^тг,
m = rri,
получаем значения коэффициентов амп7П, Ьмпт- Подставляя их в фор-
мулу для AMZ, находим
А"г 2 £ j ст с°л«<*—?'> х
п=0 т=1	V
\/	п (хптг) «7п	c^iknm ^z~z<^
^^-nz/^nmaz)^n(xnma) е
(4.109)
где knm-=Vk2 — x2nm=pk2 —
^.1A. Пусть электромагнитное поле в волноводе возбуждается про-
дольным элементарным магнитным вибратором (щелью), расположен-
ным на стенке волновода в точке с координатами (а, фо, 2о), при этом
j “ ст= 1МОА6 (г—a) б (ф—фо) б (z—г0) /г. Тогда
n=r0m=i
ГДе %пт—•
10
Продольные составляющие векторов напряженности магнитного
и электрического полей определяем по формулам (1.115), (1.116). Учи-
тывая выражения (4.34), (4.55), имеем
HZnm=== feV72naa knn$,nrn COS fa ?o) n (faunf) ®	» ^znm == 0«
(4.110}
Поперечные составляющие векторов поля находим с помощью вы-
ражений (4.67), (4.68):
рм ______ г* с-гпА и 1._________ fofta /: дНгпт___. 1 дНгпт t
Inm	k2lnml’«♦ brdaj_ri2nmj — k2^m	дг »r r d<f у
цм _____ 1 сггяН д^гпт —	/» д2Н.гПт i : d2Hzzwn\
П Шт— k^nm &raux dz k*±nm Vr drdz d<fdz)>
ГД6 k\nm^kt — k\m = ^nmlaS. ’
Вычисляя составляющие вектора HMnm, находим	''
ттм ___ -4- AV пгп .	/	\ /у /	\ p±l^nm ^z~'Zfd
H <$nm — ± kW2nai rX,nm Sln П fa	™ "n ^птГ> 6 ’
Вычисляя составляющие вектора Enm и сравнивая их с последними
выражениями, получаем
Е”,™= ±	Е”гяи=т	ZHroi = lF/e/fe„m. (4.111>
Таким образом, продольная элементарная щель в волноводе воз-
буждает бесконечное количество типов магнитных волн Нлт. Каждой
паре значений п и т соответствует магнитная волна определенного
типа. Целое число п равно числу стоячих полуволн поля, укладываю-
щихся по окружности волновода. Целое число т характеризует рас-
пределение стоячей волны поля вдоль радиуса волновода (вдоль коор-
динаты г).
Круглый волновод так же, как прямоугольный, обладает избира-
тельными свойствами: при заданном радиусе а распространяющимися
являются волны, у которых коэффициенты фаз pnm действительные
числа, затухающими — «волны», у которых коэффициенты фаз — мни-
мые числа. Длина волны, при которой 0nm=O, является критической»
Если потери в волноводе отсутствуют, то
^пт—^run	Iпп) nm/a
откуда
кр пт == 2ЛП/рпт-	(4.112}
Фазовая и групповая скорости равны
иф пт =8^==-i/ri ~п /А	^2 ’ UrP пт " ПФ 1 (^Мнкр пт) ’ fa’
рпт у 1 — (Л/Лнир^)2
Длина волны в волноводе
к пт = Я/ У1 - (Я/янкр пт)\	(4.114>
171
z=zf
Рис. 4.16. Картина силовых линий?
электрического и магнитного полей,
волн типа Ноь Нц, Еоь Еог в круглом
волноводе в момент t—ti
Для волны типа HOi Анкре1=
= 1,64 а, для волны типа Нц
Ан кр п =3,42 а. Для волн типа
Hnm При П, т>1 Ан крпт^
Ан кр ц.
Картины силовых линий
электрического и магнитного
полей волн типа Hnm можно
построить, определив мгновен-
ные значения составляющих
векторов поля Ем, Нм по выра-
жениям (4.110), (4.111). На
рис. 4.16 изображены картины
силовых линий электрического
и магнитного полей волн типа
Н01 и Нц. При этом z—Zo>0,
2о<0. Из рисунка видно, что
структура электромагнитного
поля волны типа Нц в круглом
волноводе мало отличается от
структуры поля волны типа
Ню в прямоугольном волно-
воде.
Вектор поверхностного
электрического тока на стенке
типа Нц имеет продольную и

'волновода при распространении волны
поперечную составляющие, так как у стенки отличны от нуля продоль-
ная Нмгпто и поперечная Н11^составляющие вектора магнитного поля.
При распространении волны типа HOi поперечная составляющая Нмфпот
вектора HMnm отсутствует, а составляющая НмГП7п=0 на стенке волно-
вода. Поэтому продольная составляющая вектора поверхностного тока
отсутствует и ток является поперечным. Вектор напряженности элек-
трического поля волны типа HOi имеет только азимутальную состав-
ляющую Емф01.
4.7.5.	Пусть волновод возбуждается продольным элементарным эле-
ктрическим вибратором: j3 ст = 190£8 (г — г0) 8 (ср — ср0) 8 (z — z0)/г. Тогда из
’выражения (4.104) получаем
(Р) = 12^ J] cos n (? — ft) (anmr) e
n=0 m=l
где %'nm==^'2n((JnmCt) 1^п(оптГо). Продольное составляющие векто-
ров напряженности электрического и магнитного полей определяем по
формулам (1.115), (1.116). Учитывая выражения (4.34), (4.55), имеем
т-i ___ 1	e«fe l пт	/	\ /и t \ ~^nm	г т	n
Ezntn 2na2 k W k~ CO5 ft) n (°птГ) £	’ Hznrn = 0.
(4.115)
172
Следовательно, возбуждаемые волны являются электрическими волна-
ми. Поперечные составляющие векторов поля находим по выражениям
(4.69), (4.70):
рэ ___J____< дЕгпт 1_______/. дТгпт । ; ^г^гпт\
±nm-k\nm^aaj. dz -k\nm dzdr “Г’Ф dzdy )>
иэ ____ гС0£л r: n-rad F 1__ I<0Sa (i ^znm • dEznrn\
H±--------grad^EJ--^ ------------------------—)•
где k\nm = k‘ — k,rm = v'n„/a!.
Вычисляя составляющие вектора Нэгап|, находим
рэ _____ 1ЭоЬ___пеп •	, __	\ /у / X _±lA«/n <2—2»)
** гпт	/2лаг	rk W	SID	(<р	<Ро) J п \аптЧ ®	»
тегcos	屓™ ,2“2” • 
Вычисляя составляющие вектора ЕЭП7П и сравнивая их с послед-
ними выражениями, получаем
Е тт~ 4- %ЕптН <?пт’ г.пт = ± ^Епт^ mm* ^Enm^^^nml^- (4.116)
Критическая длина волны при отсутствии потерь в волноводе
(Рп7И== 0)
Хе кр пт—^Ла/Vnm-
(4.Н7)
Из этого выражения находим Хе кр oi = 2na/2,4O5=2,62 а, Xe«pii=
= 1,64 а. Оказывается, что Хекртип<Хнкр и- Поэтому волну типа Нц
называют основной волной круглого волновода.
Фазовая и групповая скорости и длина волщл определяются выра-
жениями (4.113), (4.114), если в них заменить Хнкрпш на Хекрптп-
Силовые линии электрического и магнитного полей Enm-волн мож-
но построить так же, как в случае прямоугольного волновода,
определив мгновенные значения составляющих векторов напряженно-
сти поля (рис. 4.16).
Сопротивление излучения вибратора можно найти тем же методом,
который использовался для прямоугольного волновода.
Полученные для круглого волновода решения граничных электро-
динамических задач удовлетворяют условиям теоремы единственности.
4.8.	Коаксиальная линия. Полосковые волноводы
4.8.1.	В круглом и прямоугольном волноводах, жак следует из пре-
дыдущих результатов, поперечные Т-волны не могут существовать. Это
утверждение физически* можно обосновать так: предположим, что
в волноводе распространяется волна, у которой силовые линии векто-
ров Е и Н лежат в поперечной плоскости. Силовые линии вектора Н,
являясь замкнутыми, должны охватывать линии тока. Но токи прово-
димости отсутствуют, поскольку проводников внутри волновода нет.
Значит, током может быть только продольный ток смещения. Поэтому
должна иметься продольная составляющая вектора Е. Следовательно,
Т-волна в волноводе не может распространяться. Из этих рассуждений
ясно, что для существования Т-волны в замкнутой со всех сторон на-
173
правляющей системе необходимо, чтобы последняя состояла не менбм
чем из двух изолированных друг от друга металлических проводников
по которым может протекать ток проводимости. В частности, этому
условию удовлетворяет коаксиальная линия (рис. 4.1,в).	!1
Внутренний металлический проводник цилиндрической формы pa*d
диуса b изолирован от внешнего цилишра радиуса а с помощью ди*|
электрика с малыми потерями или с помощью тонких диэлектрических^
шайб. Возбуждается коаксиальная линия щелями, вырезанными во"
внешнем цилиндре, или электрическими вибраторами.	I
4.8.2.	Задача возбуждения коаксиальной линии ставится так жеЛ
как задача возбуждения круглого волновода. Отличие заключается!
в том, что кроме внешнего цилиндра имеется внутренний металличе-1
ский цилиндр, на котором электромагнитное поле тоже должно удовле-4
творять граничным условиям.
Считаем, что Коаксиальные цилиндры являются бесконечно про-
водящими. Тогда граничные условия имеют вид
Еф = 0, Ег = 0 при г —а, г = 6.	(4.118)
Значит, если рассматривать задачу возбуждения линии продольным
прямолинейным электрическим вибратором (см. п. 4.7.2), то вместо
условия (4.95) имеем
Аэ2=0 при r=a, г=Ь.
Функция Аэг представляется выражением (4.96). Коэффициенты Dn, Сп
в соответствии с последним выражением должны удовлетворять усло-
виям
Dn(b, х)=0, Dn(a, х)=0, Сп(Ь, х)=0, Сп(а, х)=0.	(4.119)
Электромагнитное поле определяем на интервале Ь^г<а. Начало
координат (г=0) из рассмотрения исключается, поскольку поле в про-
воднике при 0^r<cb отсутствует. Поэтому функции iDn(r) и Сп(г)
надо выражать с помощью линейной комбинации функций ^(уП и
Nn(yr), являющихся решениями уравнения Бесселя:
Dn (г, х) — dnSfn (yr) + d'nNn (yr),
Cn(r, %)=CnJn(yr)~\~c'nNn(yr).	(4.120)
Из условия (4.119) имеем
dnSfn (yb) -\-d'nNn(yb) = 0, dn2fn^ya) ~{~d'nNn(ya) =0.
Выражая здесь из первого уравнения dn и подставляя-его значение
во второе уравнение, получаем
Nn (yd) tfn (yd) =Мп (yb)/Jn (yb).	(4.121)
Условие (4.119) для Сп приводит также к уравнению (4.121). Это
уравнение при заданном значении п имеет бесконечное количество ре-
шений— корней уравнения епт, определяющих так же, как в круглом
волноводе, бесконечное количество типов электрических волн, которые
соответствуют значения упт. Но трансцендентное уравнение (4.121)
отличается от уравнения (4.102) для круглого волновода. Отличие
приводит к тому, что первым корнем при п=0 является значение
еоо=уоо=0. Действительно, при ух<С1 справедливы асимптотики
2	2
Wsl.	----j-lnT778V5>
174
рис 4.17. Силовые линии электриче-
ского и магнитного полей волн Too,
Нц и Е0] в коаксиальной линии
поэтому из уравнения (4.121)
имеем In (2/1,78 уа) =
==1п (2/1,78у&). Это равенство
удовлетворяется при уоо=О.
Таким образом, существу-
ет решение с индексами п=0,
т=0. Поскольку п—0, то со-
ставляющие векторов напря-
женности поля не зависят от
координаты <р (поле симмет-
рично по <р). Так как ^±оо=О,
то koQ—k и, значит, критиче-
ская длина волны находится
из выражения /?кроо— Ркроо—
=2л/ХКроо=О, т. е. Хкроо-*00,
а критическая частота /кр00=0.
Фазовая скорость волны Офоо
равна (8ар,а)“1/2. Таким образом, полученное решение определяет
основную волну. Можно показать, что для основной волны продольная
составляющая электрического поля равна нулю. При этом поперечные
составляющие векторов поля по формулам (4.69), (4.70) определить
нельзя, так как ЕгОо-^О и ->0. Не приводя из-за громоздкости вы-
ражение векторного потенциала, запишем сразу выражения для векто-
ров Еоо и Ноо волны основного типа при z—Zo>O
E„ = irEr, Ег=Ь-е-ш, Нов=1ф Нф, Н=И7--ЕГ (4.122)
Продольных составляющих векторов напряженности поля волна не
имеет. Выражения (4.122) определяют поле поперечной волны (Т-вол-
ны). Силовые линии электрического и магнитного полей этой волны
при t=tl изображены на рис. 4.17.
Рассмотрим еще один крайний случай, когда аргументы функций
Бесселя и Неймана в уравнении (4.121) велики. Тогда функции Бес-
селя можно заменить их асимптотическими представлениями. При
л=0 получаем
я \	»г/\  1/2 ./
, Ас(х)~|/ —Sin А'----ТГ
4 ’	0' '	г пх \	4/
Уравнение (4.121) при n=Q с учетом последних асимптотических зна-
чений приводится к виду sin у (а—&)«0. Корнями этого уравнения яв-
ляются y<Qm^mn/(a—b<), т=1, 2, 3, ... При этом k0m~]fk2—
критическая длина волны Хкр от= (2/т) (а—6), критическая частота
/крот^и/п/2(а—Ь). Продольная составляющая вектора напряженно-
сти электрического поля EzOm отлична от нуля. Поперечные составляю-
щие Еэ±Оот, Нэ±Оот векторов Е90т, Нэот определяются формулами
175
(4.69),	(4.70). Таким образом можно найти поле Eom-волны в коакси*
альной линии.
Силовые линии электрического и магнитного полей волны типа EOi
при t=^tx изображены на рис. 4.17.
4.8.3.	Если коаксиальная линия возбуждается продольной щелью,
то граничное условие в соответствии с выражением (4.105) имеет вид
5Ам2/(5г=0 при r=a, г=Ь.
Вместо уравнения (4.121) получим аналогичное уравнение, в ,которое
входят производные функции Бесселя и Неймана. Корни уравнения
определяют параметры волны типа Нптп- Наименьшую критическую
частоту имеет поле волны типа Нц. Приближенно эта частота опре-
деляется формулой fKp n~v/a(a-t-b), а критическая длина волны
Ккр ц~л(<14"Ь).
Силовые линии электрического и магнитного полей волны типа Нц
при изображены на рис. 4.17.
4.8.4.	Найдем волновое сопротивление коаксиальной линии для
основной волны. Напряжение в некотором поперечном сечении опреде-
ляется формулой
а
и= ^Erdr=Etln
ь
Ток на внутреннем цилиндре находим с помощью закона полного тока
Г=2wH = Ee2*F- ’е ~ikz.
Волновое сопротивление линии определяется формулой
гл=-^=г^-1п-2-[ОмЬ
4.8.5.	Полосковый волновод (линию) можно получить, деформируя
коаксиальную линию с круглым поперечным сечением (рис. 4.1,в) так,
чтобы сечение ее внутреннего и внешнего проводников стало прямо-
угольным (рис. 4.18,а). Удаляя узкие стенки внешнего проводника,
получим полосковую линию передачи, являющуюся симметричной ли-^
Рис. 4.18. Переход от коаксиальной линии (а) к полосковым линиям
(б~д)
176
нией (рис. 4.18,6). Удалив одну из внешних пластин, получим симмет-
ричную полосковую линию (рис. 4.1,к, 4.18,в).
Полосковая линия передачи относится к линиям открытого типа.
Средой, заполняющей линию, может быть воздух или диэлектрик
с малыми потерями (полистирол, фторопласт, полеолефины и др.);
проводники изготовляются из меди. Несмотря на простоту конструкции,
строгий анализ электромагнитного поля полосковой линии затруднен
из-за сложных граничных условий: электромагнитное поле существует
в линии и во всем неограниченном пространстве, касательные состав-
ляющие вектора Е должны быть равны нулю на всей поверхности
проводников. При анализе электромагнитного поля в полосковых ли-
ниях обычно используются результаты приближенных решений.
Можно считать приближенно, что токи проводимости в централь-
ной полоске и заземленных пластинах являются продольными, т. е.
имеют только одну составляющую j8=izj9z. Поэтому A9=izA3z и A9Z
вне источников удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца.
При решении задачи о распространении поля в линии можно предпо-
ложить, что векторы поля основной волны представляются выраже-
ниями (4.55), где для основной волны kmn—k. Тогда Аэг=
=А(х, у)ехр(—ikz), ф9=ф(х, «/)ехр(—ikz) и из уравнений Гельмгольца
имеем \7®^А = 0,	О, т. е. в указанном приближении поло-
сковый волновод можно изучать на основе уравнений Лапласа. Из
условия Лоренца имеем ф9=—div A9/i(D8a=ZA9z, где Z= (ца/еа)1/2—
характеристическое сопротивление линии; поэтому можно определить
только одну из функций ф или А. Векторы Н, Е находим по (1.102),
(1.108): H=ix6A9z/6«/—iydA^/dx; Е=—Z(ixdA?z/dx-\-iydA3z/dy). Отно-
шение поперечных составляющих поля равно характеристическому со-
противлению. Например, Ex/Hy=Z. Силовые линии магнитного поля
замыкаются вокруг продольного тока проводимости центральной по-
лоски и лежат, как и силовые линии электрического поля, в попереч-
ной плоскости (рис. 4.18,6). Указанное приближение описывает
квазипоперечную волну.
Понятия о постановке и решении краевой задачи для полосковой
линии можно рассмотреть на простом примере, когда внешние пла-
стины полосковой линии находятся под напряжением, а к централь-
ной бесконечно тонкой полоске приложено напряжение и. Пусть под-
ложка, на которой расположена центральная полоска, состоит из
одного слоя однородного изотропного диэлектрика с параметрами еоь
Цо, а пространство над центральной полоской заполнено диэлектриком
с параметрами еа2, Цо- Введем декартову систему координат
(рис. 4.18,г). Структура линии и ее возбуждение симметричны отно-
сительно оси у. Поэтому можно ограничиться изучением половины си-
стемы (рис. 4.18,6). Разделим всю область между пластинами на час-
тичные области /, 2 и 3 (рис. 4.18,6). В областях 1 и 2 решение
Уравнения v^<p = O можно представить в виде разложений в ряды
Фурье, в области 3 — интегрального разложения (см. § 2.16). Коэффи-
циенты разложений определяются из граничных условий на пластинах
и полоске в результате приравнивания касательных составляющих
векторов поля на границах областей и ср^д.
Критическая частота квазипоперечной волны (волны основного
типа полосковой линии) равна нулю; величина Z зависит от параметров
12—116	.	174
диэлектрика, размеров линии b и L, на величину Z влияет и толщина
центральной полоски. Предпочтительны для ‘использования полосковые
линии с 7=50 Ом.
Преимуществами полосковых линий являются малые габариты и
простота изготовления, что обеспечивает их низкую стоимость. Приме-
няются полосковые линии при изготовлении интегральных схем, мало-
габаритных волноводных узлов.
4.9. Поверхностные волны над слоем диэлектрика на металле
4.9.1.	В качестве направляющих систем мргут применяться устрой-
ства, представляющие собой металлическую поверхность, покрытую
слоем диэлектрика (рис. 4.1,и). Рассмотрим простую структуру, обра-
зованную металлической плоскостью, покрытой слоем диэлектрика по-
стоянной толщины b с однородным^ параметрами sai, pai (рис. 4.19).
Внутри слоя находится параллельная металлической плоскости беско-
нечная прямолинейная нить синфазного магнитного тока. Устройство
расположено в пространстве с однородными параметрами 8а, Ца- Счи-
таем, что 8ai>8o, Ца1>ца. Необходимо найти возбуждаемое нитью
электромагнитное поле. Последнее должно удовлетворять уравнениям
Максвелла в слое диэлектрика и в окружающем пространстве, гра-
ничным условиям на металлической поверхности и на поверхности
раздела диэлектриков и, наконец, условиям излучения.
Введем декартову систему координат.И расположим ее так, чтобы
ось х была параллельна нити тока, а плоскость у—0 совпадала с ме-
таллической плоскостью. Координаты нити тока обозначим через у0, Zq.
Тогда jM ст=ixj“CT =ixIM06(t/—«/o)6(z—z0), j3CT=0. Обозначим через
Ei, Hi и AMi векторы электрического и магнитного полей и магнитный
векторный потенциал, возбуждаемые сторонним источником в слое ди-
электрика, т. е. при Q^y^b, а через Е, Н и Ам — векторы электриче-
ского и магнитного полей и магнитный векторный потенциал в верхнем
полупространстве (при у^Ь). Если считать металлическую плоскость
идеально проводящей, то в соответствии с граничным условием (3.14)
имеем
E^ = Q при y = Q.	(4.123)
На поверхности раздела диэлектриков получаем из условия (3.12)
Ет1=Ет, Htl=HT при у = Ь.	(4.124)
Это есть граничные условия для искомого электромагнитного поля.
Поскольку j9CT-=0, то Аэ1 = 0, А’=0. Вектор jMCT содержит только
одну составляющую jMCT, поэтому AMi=uxAMxl, AM = ixA\. Функция АМЖ1
4	X
Рис. 4.19. Слой диэлектрика на металлической
плоскости и нить тока в слое
178
удовлетворяет неоднородному уравнению Гельмгольца
д8Амх1 .РАу.^
дх2 ’ ду2 ' дг2
{-£\АМХ1 = —j“-CT,
0<y<b,
(4.125)
где — «о у еа1р.а1. Поскольку в области у^Ь сторонних источников
нет, то функция Амх удовлетворяет однородному уравнению Гельм-
гольца
52Амх/5х2+52Амх/5у2+52Амх/522+Л2Амх=0, у^Ь, (4.126)
где k = <o V еа|ха.
Составляющими векторов Eb H-j и Е, Н, касательными металли-
ческой поверхности и поверхности раздела диэлектриков, являются Exi,
Ezi, Hxi, Ни, Ex, Ez, Hx, Hz. Определяем их по формулам (1.115), (1.116):
Exi — Ех=0, Hzi = Hz=0, Ezi=5AMxi/5y;	(4.127)
Ez = дкмх1ду, Hx = — imeaikuxli Hx — — iweakMx.
Подставляя последние выражения в условия (4.123), (4.124), по-
лучаем граничные условия для функций Амхь Амх:
dAMxi/dy=0 при t/=0,	(4.128)
<?А^/^ = <?Амж/й/,	при у = Ь.	(4.129)
Уравнения (4.125), (4.126) совместно с гранитными условиями
(4.128), (4.129) составляют граничную задачу.
4.9.2.	Для решения поставленной граничной задачи используем
преобразование Фурье функций AMxi, Амх.
Сначала рассмотрим физические соображения, которыми руко-
водствуются при решении задачи. Сторонний ток возбуждает электро-
магнитное поле, которое, распространяясь в слое при О^у^Ь,
возбуждает поле и -в верхнем полупространстве при у^Ь. Возбуж-
даемая нитью тока волна, распространяясь в направлении границы
У=0 под некоторым углом, должна отразиться. Отраженная волна,
распространяясь в направлении верхней границы под некоторым углом/
должна тоже частично или полностью отразиться. Поле в слое ди-
электрика образуется, таким образом, в результате наложения пар-
циальных волн.
Полное электромагнитное поле Eb Hi в слое диэлектрика пред-
ставим в виде суммы первичного поля Епь Hni и вторичного поля Евь
Нв!. Первичное поле вычисляется в предположении, что сторонний ис-
точник расположен в неограниченном пространстве с параметрами
Bai, gai- Вторичное поле обусловлено переотражениями от границ раз-
дела или, другими словами, возникающими эквивалентными поверх-
ностными токами на границах раздела сред. В соответствии с этими
представлениями векторный потенциал AMi полного поля тоже является
суммой векторных потенциалов А“п. первичного и А™в вторичного поля:
AMj = А“п + А/в, 0 < у < Ь.
1	1 I 1 7	«у
(4.130)
12*
179
Векторы А“п, А“в удовлетворяют соответственно неоднородному и одно-
родному векторным уравнениям Гельмгольца. Граничные условия (4.128),
(4.129) для А“в и (4.129) для Ам являются неоднородными, так как в них*
входит заданная функция А*т. В математической записи неоднородности
в граничных условиях можно считать источниками вторичных полей и,
значит, функций А“в» Ам, удовлетворяющих однородным уравнениям Гельм-
гольца.
Решение неоднородного уравнения (4.125) для Амп определено фор-
мулой (2.21):
А” (р) = f j“ " (?) G (р- q) dV, 0<y<b.
V
Подставляя в эту формулу функцию Грина из выражения (2.16) и выра-
жение тока j“CT==IM08 («/— у0) 8 (г — z0), используя основное свойство
6-функции и учитывая, что получающийся интеграл по х! в бесконечных
пределах равен 2n6(xi—0), имеем
f Г ехр 1-	(у- у,}- » (z— г.)] d d
xi	(2эт)2 J J	* 2 + * 3 — «1	2
—ОО —00
Выполняя интегрирование по х2 так же, как в выражении (2.25), полу-
чаем
00	._______
| ехр [± V* -	- j. (г-г.)]	0<у<Ь
4^	1	у к2_£2	и
»=—00
(4.131)
верхний знак берется при у—уо<0, нижний — при у—г/о>О, х=х3.
Итак, n агнитный векторный потенциал первичного поля при 0< у < £
имеет только одну составляющую А‘^п. Магнитный векторный потенциал
вторичного поля тоже имеет только одну составляющую А™.
Поскольку вторичное поле EBi, HBi обусловлено парциальными
волнами, отраженными от границ раздела сред при t/=0 и при у=Ь,
представляем его в виде суммы полей, одно из которых обусловлено
отражением от нижней границы раздела, а второе — от верхней. Ре-
шение однородного уравнения (4.125) для А*в тогда представляем
в виде суммы
00	_	_	_____ _____________
A”(/’) = SL f jAr У"	(4.132)
где ft(x)—спектральная плотность волн, возбуждаемых поверхност-
ными токами, протекающими на металлической плоскости, при г/=0;
поскольку для этих волн у—6'>’0, то при показателе экспоненты взят
знак «минус». Аналогично fs(x)—спектральная плотность волн, воз-
буждаемых эквивалентными поверхностными токами, протекающими на
180
поверхности y—b\ поскольку при этом у—b<.Q, то при показателе экс-
поненты взят знак «плюс».
Из граничного условия (4.128) можно получить связь между
функциями Л (х) и f2(x). С учетом формул (4.130) — (4.132) из условия
(4.128) получаем, используя обозначение qx= j/x2— k\:
fi (х) =f2 (х)ехр (— qxb) + ехр (^луо).
Подставляя ft (х) в формулу (4.132), получаем
А“‘=^Г J	К"'lr+n) + 2f, (х) e^"b ch 4ty] dr.. (4.133)
—ОО
Спектральную плотность f2(x) определим из граничного условия
(4.129). Для этого надо записать разложение функции Амх. Поскольку
в верхнем полупространстве сторонних источников нет, то поле Е, Н
при у>Ь является вторичным. Составляющая векторного потенциала
Амх этого поля определяется эквивалентными поверхностными токами
(вторичными) при у=Ь. Поэтому решение уравнения (4.126) записы-
ваем в виде
jf(x) e_'?(z'‘fc)_IX(z“Zo)dx, y^b,	(4.134)
— оо
где f(x)— спектральная плотность; q — ]/х2—k2\ при показателе экс-
поненты взят знак «минус» с учетом условия излучения и расположе-
ния вторичных источников при у=Ь.
Подставляя выражения (4.131), (4.133) и (4.134) в граничные
условия (4.129), применяя обратное преобразование Фурье, получаем
(1\/2я) е qib [— ch qxy,-\- f2 (x) sh qxb\ = — qf (x),
(Г0/2я) qxe~qib(Q/Q [ch^t/e + f2 (x) ch^b]=f (x).
Это система двух функциональных уравнений относительно f(x) и
/г(х). Решая ее, получаем
f2 (%) = . (<yi£a ,	(4.135)
q~ai chq^+qjashqy
f (х) =	—-------ch ---------•	(4.136)
" q^aichq1b + qjashqlb
Значит, если подставить эти функции в выражения (4.133), (4.134)
и выполнить интегрирование, то найдем А”в и Амх. Векторы напряжен-
ности электрического и магнитного полей в диэлектрическом слое и
над слоем определяются по формулам (1.115), (1.116). Поскольку
Н21 = Н2=о, а Е21#=0 и Ег#=0, то в слое и над слоем распространяется
Е-волна.
Решение задачи удовлетворяет условиям теоремы единственности.
4.9.3.	Рассмотрим поле над слоем диэлектрика. Пусть потери от-
сутствуют, т. е. eai = 8ai, 8a=8a. Тогда nk— действительные величины,
klZ>k по условию.
181
Из выражений (4;134) и (4.136) имеем
) Оо	\
дм — 1МДеД« Г сЬ ?1Уо ехр [— <7 (У ~ Ь) — I» (Z — з0)}
х 2л J q&ai ch^b-f- q^ashqib	'	'
Подынтегральная функция в точках х==х(0), %(i), ..., Щя) имеет 2V-f->
полюсов первого порядка, определяемых из уравнения	4
q&ai ch^i& + 7i8a sh <7i6==O,	(4.138)|
и точки ветвления при x=±k{ и к=±к. Контур интегрирования пЫ
действительной оси замкнем полуокружностью бескрнечно большой»
радиуса в верхней полуплоскости при z—2о<О и в нижней полупло-
скости при z—zQ>0. Точки ветвления необходимо выделить разрезам^
Вычеты в полюсах равны	।
£alIM0 Ch 4 ^У~Ь} ~~l* (Z~Z°>	4
2 г- - -—г------г гту При К= Т И(Л)»	г
где штрих над квадратной скобкой означает производную по х, знак,
«плюс» соответствует z—z0<0, а «минус» z—z0>0. Значение интеграла
(4.137), обусловленное полюсами, равно ±2л7, умноженному на сумму
вычетов в соответствующей полуплоскости. Введем обозначение
д+___4- o„;£qiImq _____ch ____________________
П “ 2л p7eaich<7ib + <7i£asfl7ib]'	+ («)•
Тогда из (4.137) имеем
N
А\(р) = 3 А’ ехр [-/x’fa)-k‘(у~Ь) + 1к(п) (z —г,)Л-А“пр(/>),
п=0
(4.139)
где верхний знак соответствует z — z0 < О, нижний г — г0 > 0; Ам (р)
— значение части интеграла (4.137), вычисленное по ветвям раз-
резов, выделяющих точки ветвления; А”пр определяет поле пространст-
венной волны.
Наиболее интересной в случае применения направляющих систем
является сумма по п, входящая в формулу (4.139). При А=0 имеется
только один полюс и получаем
Ам = А* е“^(о)~Аа (y~b} e±IX(0} (z~2°} + Ам пр.
х о	л
Первое слагаемое здесь при Х(0), действительном и большем k, опре-
деляет поверхностную волну. Амплитуда ее максимальна на поверх-
ности раздела сред (г/=&) и уменьшается по экспоненциальному
закону при удалении точки наблюдения по нормали к поверхности
раздела. Вдоль увеличивающихся значений поле имеет характер
бегущей волны. Подобная волна уже рассматривалась в § 2 11, но
там она была получена путем подбора распределения тока, образую-
щего бесконечный тонкий слой (на математической модели). Возникно-
вение поверхностной волны в настоящей задаче обусловлено наличием
слоя диэлектрика, т. е. особенное 1ями физической модели.
Если имеем iA+1 полюсов, то первое слагаемое в формуле (4.139)
при Х(п), действительных и больших k, определяет N+1 поверхностную
182
волну, каждая из которых имеет свою фазовую скорость ОфП=со/х(Я)
и распределение поля вдоль оси у. Действительна, обозначая через
#	_	_______ i
А™=2 АП ехР[—	к*(у — Ь)± ixM (z — ze)]
и=0
слагаемое выражения (4.139), характеризующее поверхностную волну,
находим из соотношений (1.115), (1.116) или (4.127) составляющие
векторов напряженности поля Епов, Нпов поверхностных волн:
ЕГ = — з	А* ехр [ — /н2(п)— ks (y — b)± 1км (Z — 2<)],
п=0
(4.140)
+ L /Z(ra)A" ex^l — ^^~k2(y — b) ± /х(л) (z — z0)],x
(4.141)
ууПОВ _j jHOB ,_ j jHOB_q
X	у z ’
A;exp[-/i?^I!(y-*)±i«w(z-z.)]. (4.142)
Эти выражения описывают поле поверхностных Е-волн. Тип волны ха-
рактеризуется числом и. Вектор Пойнтинга Ппов имеет две составляю-
щие Ппов и Ппов. Но Ппов является чисто мнимым, а Ппов действитель-
у	г	у	'	Z
ным. Значит, слой диэлектрика на металле является направляющей
системой: энергия канализируется вдоль слоя перпендикулярно нити
стороннего тока. С помощью выражений (4.140) — (4.142) можно рас-
считать мощность, переносимую поверхностной волной вдоль слоя на
разных расстояниях от слоя диэлектрика. Очевидно, что с ростом %(П)
амплитуды составляющих поля у поверхности у—Ь увеличиваются
и большая часть энергии электромагнитного поля переносится поверх- <
костной волной в слое и на малых расстояниях от поверхности раздела
сред у—Ь (волна локализуется у поверхности раздела сред).
4.9.4. Для того чтобы изучить разные типы поверхностных Е-волн, характеризуе-
мых числом п, надо изучить влияние параметров слоя на значения Х(П) и на количе-
ство полюсов.
Рассмотрим характеристическое уравнение
(4.138), определяющее значения х<П), т. е. значения
коэффициентов распространения или коэффициентов
фазы (при Х(п) действительном) поверхностных волн
(4.140) — (4.142). Пусть k jj = k\ — х2 = iqt.
Тогда уравнение (4.138) после умножения на b
приводится к виду
qb = k±l b (еа/еа1) tg fejj b. "	(4.143)
Рис. 4.20. К решению характеристического уравнения
183
Это трансцендентное уравнение проще всего решать и анализировать графическим ме-
тодом. С этой целью построим график зависимости правой части уравнения (4.143) от
£ й] (сплошные кривые на рис. 4.20). Для того чтобы построить график зависимо-
сти левой части уравнения qb от k . j Ь, учтем, что
(qb)2 + (fexl by = (k\ - fe2) b2 = (pb)2,	(4.144}
где p=(fe2i—fe2),/2= k (eolp.oi/eflp.o —!)I/2 — известная величина, так как kb и параметры
сред заданы. Последнее выражение есть уравнение окружности на плоскости перемен,
ных ftjj b и qb с центром в начале координат; с его помощью просто построить зави-
симость левой части уравнения (4.143) от fejj b (штриховая кривая на рис. 4.20).
Точки или cnb, в которых графики пересекаются, соответствуют равенству левой
и правой частей уравнения (4.143), т. е. корням уравнения. Величины fejj b и qb
являются положительными, поэтому графики функций изображены только в первом
квадранте.
Из графиков следует, что уравнение (4.143) или (4.138) может иметь несколько
решений k^ln = ]/ /г2!—х2л) или qn=^V*2(п) — fe2 , соответствующих корням Х(П)=»
=	—k2,ln =]/rkz — q2n [знаки и перед радикалами учтены в выражениях
(4.139)	— (4.142)). Одна из кривых для правой части уравнения (4.143) проходит через
начало координат, поэтому при любрм значении pb имеется решение уравнения (4.143).
Значит, при любом малом значении толщины диэлектрического слоя и любой частоте
w имеется первый корень уравнения х(0)	12±10. Сплошные кривые пересе-
кают оси b в точках, где fejj b = пп, п = 0, 1,2,... Если 0 Ьр =
= b Prfe21— fe2 <л, т. е. 0^b<n/Kfe2i — k2, то уравнение (4.143) может иметь
лишь одно решение Х(о>. Последнее соответствует основной волне, так как критическая
частота при этом равна нулю.
Если п<рЬ<2те, т. е. it/V fe2i — k2 < b < 2n/V fe2i — k2 , то возможно еще'одно ре-
шение X(i) и в направляющей системе может распространяться еще одна волна. Если
#л<рЬ< (ЛГ+1)л, то в системе возможно распространение #4-1 волн с разными
значениями коэффициентов распространения Х(П). Значения
6К₽" - ук2	" Т К; ц~ „ ггГ
F я 1 К	Г eai(Xai 'saP-a I
соответствуют толщинам, при которых могут возникать первый, второй и т. д. типы
волн, т. е. волны высших типов.
В случае, если b/Л велико, то сплошные кривые имеют болырую крутизну: пересе-
чение штриховой кривой с первой ветвью сплошной кривой происходит при fej_10b = п/2,
при этом п/2Ь, т. е. ^k2t — k2 n/2b=sxO. Значит, X(0)SxAi и основная волна
распространяется с фазовой скоростью 1»ф0 (saiP-ai)~» соответствующей фазовой^
скорости в неограниченном пространстве с параметрами eal, p.ai. Для волн высщих
типов с ростом b/Х растет крутизна сплошных кривых, поэтому b -» пъ и, значит
т. е. ОфЛ-* (eaip.ai)~1/2 •
Если Ь/Х-»О, то ^о=)Лх20) —№ -*0 и Х(0)-»А, значит-, фазовая скорость
волны ^фо-* (eaP-a)—1/2 « Если толщина слоя Ь-»Ькр/г, то £рл b-»bp; поэтому (/пЬ-»0
и для вновь возникающего типа поверхностной волны х(л) -»Л.
184
ется одним из основных параметров. Поэтому вводят коэффициенты замедления волн,
равные Цф/Уфп=Рп/Р=х(П)/^ (k и — действительные величины). Последние мож-
но рассчитать, вычислив величины %<„). На рис. 4.21 приведены расчетные графики
для случая, 'когда еа=80, jia=gai=go, еа1=2,6в0.
Отличие структуры электрического и магнитного полей определенного типа по-
верхностной Е-волны от структур, изученных в § 2.11 и 2.12, состоит только в том, что
силовые линии электрического поля неперпендикулярны поверхности раздела у = Ь,
так как при у = Ь отлично от нуля Е”ов (рис. 4.22).
4.9.5.	Рассмотрим поверхностное сопротивление слоя диэлектрика
на металлической плоскости. Пусть толщина слоя мала (Ь/% мало),
так что в направляющей системе распространяется только волна ^основ-
ного типа, и х2(0)<С#2ь При этом Пвов= ЕвовН^пов/2. Если обозначить
Епов = — ZFHn0B, то Ппов= — 0,5Z|HnOB]2,
Z	ь х	у	Г. I X 1
т. е. поперечная составляющая вектора Пойнтинга имеет обычный вид.
Определим величину Ze на поверхности раздела сред, т. е. при у~Ь.
Используя формулы (4.140) — (4.142), а затем (4.143), получаем
ЕП°В	у А ______ fe2
' __z	___ ~ * (о) к 
Нпов	— z<osa
х у=Ъ
l(aeai
Учитывая, что х2<о)<С^2ь находим
Z^iW. tg(^), ^i= (Meat)1/2.
Величина Ze имеет смысл поверхностного сопротивления поля Е-волны
(см. § 2.11, 2.12). Поверхностное сопротивление Ze имеет индуктивный
характер и определяется только параметрами слоя диэлектрика и час-
тотой.	v
Рис. 4.22. Силовые линии элек-
трического и магнитного полей
над слоем диэлектрика на ме-
талле в момент времени to
185
Если известно поверхностное сопротивление Ze, то при решений
граничной задачи возбуждения слоя диэлектрика на металлической
плоскости можно вместо граничных условий (4.124) использоват^
условие
Ez=— ZEHX при у=Ь.	(4.145jj
4.9.6.	Предположим теперь, что слой диэлектрика на металлической плоскост^
возбуждается бесконечной прямолинейной (синфазной нитью электрического ток^
(рис. 4.19). При этом постановка задачи о возбуждении электромагнитного поля
в структуре не меняется по сравнению с п. 4.9.1, но сторонние токи имеют ви^
j9 °T=ixI9o6(z/—jfo)6(z—z0), jM ст—Q Значит, А’1 = 1ЖАЭЖ1, AMi=0; АЭ=1ЖА9Ж, Ам=0.
Очевидно, что граничные условия для касательных составляющих^напряженностей поля
определяются выражениями (4.123), (4.124). Но в соответствии с формулами (1.115)^
(1.116) отличные от нуля составляющие векторов Ei, Hi и Е, Н, касательные \ пйт;
верхностям раздела, имеют вид
'	Hzi=—dkaxi/dy. Н2=—дА.ах/ду, Exl=—iopaiA’xi, Еж=—1(ор,аАэж.
Поэтому граничные условия для A’xi и А9Ж формулируются так:
>	Аэх1=0 при y=Q',
dAaXi/dy=dkax/dy, |га1Аэх1 = ЦаАэж при y=b.	j
Продольные составляющие векторов Ei, Е равны нулю. Поэтому возбуждаемое поле;
является полем Н-волн.	'
Методика решения граничной задачи не отличается от использованной в п. 4.9.2.
Но поскольку граничные условия в этой задаче имеют другую форму, то вместо урав-
нения (4.143) имеем другое характеристическое уравнение	1	-
qb = — (р.а/ца1) й±1 ctg Л±1 Ь,
определяющее коэффициенты распространения Х(П) поверхностных Н-волн.	д
Решением граничной задачи при у^Ь является
_ ________________ (
аМр)=2 Вп ехр [—/х2(п) — k* {у — Ь)± ix(ra)(z — z0)] + А*пр(р),
и=0	(
где В* — коэффициенты; 1 — число решений предыдущего уравнения; функция
А* ПР описывает пространственную волну.
В правую часть характеристического уравнения для Н-волн вводит сомножителе
'ctg b. Поэтому первое решение уравнения х(0) появится при pb>«/2, т. е. прЙ|
Ь>л/2К/г21 — /г2 . Значит, поверхностные Н-волны в направляющей системе появля-i
ются только при условии, что Ь > 0,25Z.K— 1 .
Если в направляющей системе распространяется только Н-волна, имеющая одно*
значение коэффициента фазы Х(о), то £вов = ZH Явов , где поверхностное сопротив-
ление
tg (fab)	(4.146)
найдено при условии, что х2(0)<^&21.
4.9.7.	Отметим, что, применяя метод, изложенный в п. 4.9.2, можно
получить решение граничной задачи возбуждения слоя диэлектрика на
металлической плоскости при более сложном распределении сторонних
источников. Физически ясно, что если, например, вместо бесконечной
прямолинейной поперечной синфазной нити магнитного тока исполь-
зуется прямолинейный излучатель конечной длины, то вследствие того»
что электромагнитное поле будет зависеть от координаты х, в напрай-
ляющей системе будут отличными от нуля продольные составляющие
186
*	'lIIM
векторов Ei и Hi, т. е. поле будет определяться суперпозицией полей
Е- и Н-волн. Аналогичное положение возникает в том случае, когда
ширина слоя по координате х конечна.
4.9.8.	Для передачи энергии электромагнитных волн применяются
направляющие системы, образованные металлическим цилиндром, по-
крытым слоем однородного диэлектрика (рис. 4.1,и). Не решая строго
граничную задачу о возбуждении электромагнитного поля в системе,
остановимся лишь на приближенном анализе. При этом надо учесть,
что металлический круговой цилиндр, покрытый слоем диэлектрика по-
стоянной толщины, приближенно можно рассматривать как плоскую
металлическую поверхность со слоем диэлектрика, свернутую в ци-
линдр. Из этого следует, что если в слое диэлектрика имеется коль-
цевая нить синфазного магнитного тока, то в структуре возбуждаются
поверхностные Е-волны. Толщину слоя и параметры диэлектрика можно
выбрать так, чтобы в слое распространялась волна основного типа.
Устройство при этом приобретает свойства направляющей системы от-
крытого типа. Электромагнитное поле локализовано в слое диэлектрика
и у поверхности раздела диэлектриков.
Структура электрического и магнитного полей в направляющей
системе в некоторый момент времени отличается от приведенной на
рис. 2.33 только тем, что на поверхности раздела диэлектриков имеется
продольная составляющая электрического поля и силовые линии элек-
трического поля подходят к ней неперпендикулярно. Если поперечный
магнитный сторонний ток зависит от азимутального углк, то в системе
возбуждаются Е- и Н-волны. Однако параметры слоя диэлектрика мож-
но выбрать так, чтобы в направляющей системе распространялась
только волна основного типа, соответствующая волне в слое диэлек-
трика на металлической плоскости.
В обычных условиях в результате коррозии на поверхности метал-
лического проводника образуется пленка диэлектрика с потерями.
Волна основного типа может распространяться с потерями вдоль такого
проводника. Отметим, что электромагнитное поле проникает внутрь
металла, так как проводимость его конечна. Глубина проникновения
мала, но слой, в который проникает электромагнитное поле, можно рас-
сматривать как слой диэлектрика с комплексной диэлектрической про-
ницаемостью. Металлический провод, таким образом, приобретает свой-
ства направляющей системы.
4.9.9.	В качестве направляющих систем открытого типа нашел при-
менение диэлектрический волновод, представляющий собой диэлектри-
ческий цилиндр радиуса а, в котором с помощью сторонних источников
возбуждается электромагнитное поле (рис. 4.1,з). Цилиндр находится
во внешней среде с параметрами еа, ца.
Граничная задача о возбуждении электромагнитного поля в ди-
электрическом волноводе отличается от аналогичной задачи для круг-
лого металлического волновода тем, что на поверхности раздела ди-
электриков (г=а) необходимо удовлетворить граничным условиям ти-
па (4,124). Последнее указывает на то, что задача подобна задаче
о возбуждении поля в слое диэлектрика на металле. Векторные потен-
циалы поля во внешней среде необходимо определять с учетом усло-
вий излучения.
Анализ характеристического уравнения позволяет определить ти-
пы электромагнитных волн, которые возбуждаются в направляющей
системе, и их коэффициенты распространения.
18?
4.10.	Поверхностные волны над ребристой структурой
4.10.1.	В электронных приборах СВЧ и в антенных устройствах"
в качестве замедляющих систем применяются ребристые структуры '
(рис. 4.23,а). При определенных условиях над ребристой структурой
может распространяться поверхностная (медленная) волна. Коэф фи-—
циент замедления волны зависит от геометрических параметров ребри-J
стой структуры и частоты. Для того чтобы найти коэффициент замед-|
ления, надо решить граничную задачу о возбуждении электромагнит-;
ного поля над структурой.	1
Обычно применяются плоские периодические структуры, период?
которых da много меньше длины волны noj/я в канавке, толщина реб-^
pa а глубина b одинакова для всех канавок (рис. 4.23,6). Ka-J
навки могут быть заполнены диэлектриком с диэлектрической и маг-’
нитной проницаемостями eai, p<xi. Введем систему координат.так, как 1
показано на рис. 4.23. Будем считать, что по координате х канавки *
бесконечны и однородны. Дно каждой канавки расположено при
=0, а вершина ребра — при у=Ь. В верхнем полупространстве при*
у^Ь среда имеет диэлектрическую и магнитную проницаемости ga, Ца.
Электромагнитное поле возбуждается бесконечной прямолинейной
синфазной нитью магнитного тока, параллельной канавкам. При этом
jM ст = ст = ixIM03 (у — у0) 8 (z — z0). Нить возбуждает поле в канавках
(обозначим его через Eb Hi), и поле над канавками при у^Ь
' (обозначим его через Е, Н). Поле Ei, Hi должно удовлетворять гра-
ничным условиям на металлической поверхности канавок. Тангенци*.
альная составляющая вектора Е на поверхности ребер должна быть
равна нулю. В пределах канавки на поверхности у—Ь тангенциальные,
составляющие векторов Eb Е и Hr Н должны совпадать, т. е. должны>
выполняться условия типа (4.124).
Считаем, что уо^Ь, т. е. нить*тока расположена в верхнем полу>|
пространстве. Тогда уравнения Максвелла для векторов поля Е, ЙЦ
неоднородны, векторный потенциал AM=ixAMx удовлетворяет неодно-;
родному уравнению Гельмгольца; уравнения Максвелла поля Еь Не-
однородны, уравнение Гельмгольца для AMi=ixAMxi однородно.
Считаем, что Е=Еп-рЕв, Н=НП+НВ, где Еп, Нп — первичное поле^
источников в неограниченном пространстве с параметрами &а, EV
Рис. 4.23. Ребристая структура
133
Нв — вторичное поле, обусловленное эквивалентными поверхностными
токами.
Значит, А\—А“пА*в, причем А™ и А“в удовлетворяют уравнениям
V2 А“н + £2А“ = — £ст, V8A“B + &2А“В = 0.	(4.147)
Векторы Ei, Hi описывают вторичное поле, функция Амх1 удов-
летворяет уравнению Л
V2AMxi +^2AMxi =0.	(4.148)
Вместо граничных условий типа (4.124), как отмечено в § 4.9,
можно использовать приближенные граничные условия.
Ez=—ZeHx, Ex=ZHHz, y=b,	(4.149)
где поверхностные сопротивления Ze и Zh должны быть выражены
через параметры структуры. Тогда граничные условия для функций
Амх и AMxi могут быть записаны с учетом равенств (4.149).
Найдем приближенные значения Ze и Zh. Для этого надо найти
векторы поля Eb Ht и по их; составляющим так же, как в случае пря-
моугольного волновода, определить Ze и Zh.
Рассмотрим канавки как волноводы. Электромагнитное Поле в них
распространяется в отрицательном направлении оси у. Относительно
продольного направления (оси у) в общем случае в канавке могут
возбуждаться Е-, Н- и Т-волны. Но поскольку расстояние между пла-
стинами do—d<O, то в ней может распространяться только Т-волна.
Тогда решение уравнения (4.148) можно представить в виде только
двух бегущих волн—* одна распространяется в положительном на-
правлении оси у, а другая в отрицательном:
где Ai(z2), Аг(z2)—постоянные коэффициенты; z2—координата сере-
дины исследуемой канавки. Из выражений (1.115), (1.116) получаем
Ег1 = «М-Ае-'*” + Агег‘-’), ЕЯ=Е„=Д
Н„=-	(А.е-'^Н- V"), Н„=Ня = 0.
На дне канавки должно удовлетворяться граничное условие Ezi=O
при t/=0. Поэтому Аг=А1. Значит
Ег, = — 2kiAl sin kxy, Hxi — — cos кгу.
Вдоль оси у в канавке устанавливается стоячая волна поля, узел Ezi
и пучность Hxi находятся на дне канавки. Используя понятие харак-
теристического сопротивления [см. (4.48), (4.116)], имеем Ezi=
==—ZTHxi, где ZT — характеристическое сопротивление для Т-волны:
Zt=—Ezi/Hxi==j№itg kxx.	(4.150)
Отношение EZi/Hxi необходимо определить при у=Ь в пределах пе-
риода структуры. При этом на торце ребра £zi=0. Учитывая, что тол-
щина ребра мала, d<^dQ и средняя отношение (4.150) по периоду
структуры, находим при у=Ь
ге = (ZT)“>	= (- Е„/НЯН,=(, = 1F, tg kfi.	(4.151 >
Поверхностное сопротивление поля Е-волны над структурой явля-
ется чисто реактивным при отсутствии потерь в диэлектрике канавок
189
и в зависимости от значения Ь/К может иметь индуктивный или емЛ
костной характер.
Если над структурой распространяется Н-волна, то составляющая
Exi вектора Ej не может распространяться в канавке при dQ—d^Xi.
Поэтому Exi=0 в пределах канавки и на торце ребра. Значит, f
Zh=0 при y=b,	(4.152)
т. е. для магнитных волн ребристая структура представляет собой
идеально проводящую поверхность.
Выражения (4.151), (4.152) можно уточнить, если векторы Ei, Hi
определять с учетом высших типов волн.
Найдем граничное условие для Амх. Так как Ez=d№х1ду, Нх=
=—йоеаАмх, то из выражения (4.145) получаем
d№'x[dy = i<oeaZEAMx при у = Ь.	(4.153)
Дифференциальные уравнения (4.147), (4.148) совместно с гра*
ничным условием (4.153) составляют граничную задачу.
4.10.2.	Найдем решение граничной задачи. Функция А™, удовлетво*
ряющая неоднородному уравнению (4.147), в общем виде представ-
ляется выражением (4.131), в котором kf надо заменить на k:
Амп(/?) = р- f2_e±9(^o)-I*(2“2o)d*, y^b, (4.154)
X	471	| q
—ОО
где q — /х2— k*.
Функция А“в, удовлетворяющая однородному уравнению (4.147) и не-
однородному граничному условию (4.153), определяется вторичными
токами на поверхности у=^Ь, поэтому она должна иметь представле-
ние, аналогичное (4.134):
*
00
А”(/>) =	y^b. (4.155)
—00
Спектральную плотность <р(х) найдем, подставив последние два вы-
ражения в условие (4.153). Считая при этом Ze не зависящим от ко-
ординат и применяя .обратное преобразование Фурье, имеем ]
q -f- i(oeaZg	।
Найдем продольную составляющую вектора Ев. Из -выражений
(1.115), (4.155) с учетом того, что (OEaZE==^ZE/I17=/?Z, где Z=Ze/№—*
нормированное значение поверхностного сопротивления, получаем
Е% = — & f е« (Ь~Уй}	{z'~Zo} dx. (4.156)
2 4л J	q + ikZ	'	-
—00
190
полюсу.
(4.158)
возбуж-
Подынтегральное выражение здесь имеет особые точки типа полюсов
и точек ветвления. Полюса определяются из условия обращения зна-
менателя в нуль:
q ikZ — 0 или ]/х2 — k*= — ikZ, v.* — ks = — (kZf. (4.157)
Значит, полюса имеем при х‘= х(1) = — k У1 — Z2 и х=х(г)= k VT—Z2.
Точками ветвления являются х== ± k.
Для того чтобы выполнить интегрирование, замкнем путь инте-
грирования по действительной оси х полуокружностью бесконечно
большого радиуса в верхней полуплоскости при z—z0<0 и в нижней
полуплоскости при z—Zo>0. С помощью разрезов выделяем однознач-
ные ветви подынтегральных функций, для которых удовлетворяется
условие излучения. В соответствии с теоремой Коши интеграл равен
сумме вычетов в полюсах подынтегральной функции, умноженной на
±2ш (знак «плюс» берется при z—zo<O и знак «минус» при z—zo>
>0), и интегралу по берегам разреза.
В верхней и нижней полуплоскостях имеется по одному
Вычеты в полюсах равны
*мо с<? (ft-*/») Я-ikZ при z —ze<0, х=х(1),
4"	+ikZY при z — z0 > О, х=х(2),
где
(?+ikzy=^-	ikZ)=V-
Из условия (4.157) можно установить необходимый для
дения поверхностных волн характер реактивности поверхностного со-
противления. В разложениях (4.154) — (4.156) Re У (x/k)2—1>0, что
обеспечивает сходимость интегралов при z/->oo и выполнение условий
излучения. Значит, — n/2^arg ]/’(х/&)2~ 1^л/2. Из уравнения (4.157)
следует, что необходимо, чтобы
(XJarg ZsgCn.	(4.159)
Таким образом, мнимая часть комплексного поверхностного сопро-
тивления должна быть положительной, т. е. иметь индуктивный харак-
тер: Z=/?-HX, Х>0. При комплексном сопротивлении емкостного ха-
рактера (Х<0) поверхностная волна не появляется.
Итак, выражение (4.156) представляется в виде суммы двух слага-
емых: первое слагаемое обусловлено вычетами (обозначим его через
ЕВЧП0в), второе обусловлено интегралами по берегам разреза (обозначим
его через Евчпр). Учитывая значения вычетов (4.158), находим из (4.156)
Е* (р) = - ехр [ikZ (у - 2*+Л) ± ik	(г-г.)] +Е’’ ”Р,
(4.160)
где знак «плюс» берется при z—z0<0; «минус» — при z—z0>0.
Слагаемое Евчпр определяет продольную составляющую вектора Ев<
пространственной волны. Появление последней объясняется непосред-
' . > 1&1
ственным отражением поля источника от поверхности раздела у=Ь— f
от ребристой поверхности. Часть энергии электромагнитного поля, из-
лучаемого источником, переходит в энергию поверхностной’ волны,
а остальная часть идет на формирование поля сложной пространствен-
ной волны, распространяющейся от плоскости раздела по всем направ-
лениям.	*
Наибольший интерес для направляющих систем представляет слу-
чай, когда поверхностное сопротивление является чисто реактивным:
Z=dX. Пусть среды не имеют потерь &i=|3i). При этом для пер-
вого слагаемого (4.160) имеем
К,т(Р)= $== exp[-pX(y-2*+«/0) ± 1р/Т+Т5(г-г,)].
(4.161)
Это выражение показывает, что электромагнитное поле над ребри-
стой поверхностью с индуктивным поверхностным сопротивлением име-
ет характер поверхностной волны. Поверхностная волна может рас- <
пространяться, если pUZ-HFitg,pi^>0, т. е. при условии, что '
tg	2л&/%1>0. Значит, наименьшая глубина канавок, при которой 4
может распространяться поверхностная волна вдоль ребристой поверх- «
ности, определяется условием 0<£<Xi/4.	j
Фазовая скорость поверхностной волны uBOB = o)/p]/l	—
=Оф/|/1 -j-X1, т. е. она меньше фазовой скорости волны в неограни-
ченном пространстве иф = (о/р = (еар.а)_1/2. Коэффициент замедления ра-
вен X1	= -J- (W~1W1 tgpi^)2- Изменяя размер ребристой струк-
туры, можно в широких пределах менять коэффициент замедления.
Отметим, что в области больших значений tg нельзя пользоваться
приближенной формулой (4.151) для вычисления поверхностного со-
противления, для вычисления коэффициента замедления при этом не-
обходимо строгими методами найти значение поверхностного сопротив-
ления или использовать граничные условия типа (4.124).
4.11.	Спиральный волновод
4.11.1.	Спиральный волновод можно получить намоткой металла*
ческого провода на цилиндр радиуса а с углом намотки Т и шагом d
(рис. 4.24,а, б). Спиральные волноводы используются в качестве за-
медляющих систем в лампах бегущей и обратной волны, а также в ан-1
тенных устройствах.
а)	-	5}	в)
Рис. 4.24 Продольное (а) и поперечное (б) сечения спирального волновода; коакси-
альная линия передачи со спиральным внутренним проводником (в)
192
Спиральная замедляющая система может представлять собой ко-
аксиальную линию передачи со спиральным внутренним проводником
(рис. 4.24,в). При возбуждении такой линии волна распространяется
по внутреннему проводнику (вдоль винтовой линии) со скоростью,
близкой к 1>ф== (8о|Аа)“1/2. Следовательно, вдоль одного витка волна рас-
пространяется за время &t==2nalv$. За это время волна смещается по
оси 2 на расстояние шага d. Если обозначить фазовую скорость вдоль
спирали (волновода) через ифсп, то A/=d/u$cn. Значит, коэффициент
замедления волны Уф/Уфсп=2л«/^. Эти элементарные рассуждения по-
казывают, что коэффициент замедления волны не зависит от частоты.
Но из строгого анализа следует, что распространяющаяся волна обла-
дает дисперсионными свойствами.
4.11.2.	Рассмотрим постановку задачи о возбуждении спирального
волновода. Направим вдоль оси волновода ось z цилиндрической си-
стемы координат (рис. 4.24,6). Считаем, что спираль бесконечна по
координате z и расположена в неограниченном пространстве. Пусть
продольный элементарный электрический вибратор, находящийся в точ-
ке qo(fo, <ро, 2о), возбуждает электромагнитное поле. Провод спирали
считаем идеально проводящим. Поэтому касательная составляющая
вектора напряженности электрического поля на поверхности провода
должна быть равна нулю. Формулировка зтого граничного условия на
винтовой линии с учетом толщины провода математически сложна.
Строго решить задачу возбуждения волновода из-за сложного вида гра-
ничных условий не удается. Поэтому при изучении спирального волно-
вода используют приближенные граничные условия.
Будем считать, что толщина провода спирали и шаг намотки d
стремятся к нулю. Тогда все пространство делится поверхностью ци-
линдра г=а на внутреннюю (г^а) и внешнюю (г^а) области. Пара-
метры сред во внутренней и внешней областях обозначим соответст-
венно через 8ai, pai и 8а, |ia- Векторы поля и векторные потенциалы во
внутренней области Ei, Hi и Аэ1, AMi, во внешней — Е, Н и Аэ, Ам.
На винтовой идеально проводящей линии при г —а должны удов-
летворяться граничные условия Еф1 = 0, Еф=0, где Еф1, Еф — касатель-
ные составляющие векторов Ер Е к направлению витков провода. Про-
ецируя векторы Ej и Е на винтовую линию, получаем
Еф1 cos<p-|"Ezl sin<|> = 0, Еф cos ф-|-Ег sin ф = 0.
Так как поверхностная проводимость между витками отсутствует, то
нормальные к бесконечно тонкой винтовой линии составляющие векто-
ров Et и Е при переходе через поверхность г=а должны быть непре-
рывными (нормаль лежит на поверхности г=а). Проецируя векторы
Еь Е на нормаль к винтовой линии, получаем
— Еф1 sin ф -J- EZ1 cos ф ~ — Еф sin ф -{- Ег cos ф.
Последнее условие совместно с двумя предыдущими приводит к сле-
дующим трем равенствам:
Е21=Е2,	==£«, при г = а,	(4.162)
Еф1 = — ЕгЛ2Ф при г = а.	(4.163)
Так как токи проводимости в направлении нормали к виткам спи-
рали отсутствуют, то на поверхности г=а должны быть непрерывными.
13—116 .	193
касательные к направлению вдоль каждого витка составляющие векй|
торов Hi и Н:	|
Н^созф + Н^тф^Н^созф + НгЭШф при г = а. (4.164}|
Граничные условия (4.162) — (4.164) являются идеализацией, не
учитывающей влияния на возбуждаемое поле толщины провода и шага*’
намотки спирали. Они являются примером анизотропных граничных^
условий, связанных с анизотропным характером проводимости цилин- >
дрической поверхности г=а.
Итак, необходимо найти электромагнитные поля Ei, Hi и Е, Н,
удовлетворяющие уравнениям Максвелла, граничным условиям
(4.162) — (4.164) и электромагнитному условию излучения при |г|->оо
и г->оо.
Сторонние магнитные тоци отсутствуют^ поэтому AMi==AM=0.
Электромагнитные поля Ei, Hi и Е, Н представим в виде наложе- <
ния первичных полей ,ЕЛ1, Hni и Еп, Нп и вторичных полей EBi, HBt и
Ев, Нв:
Е1 = ЕП1 + ЕВЬ Hi^H^ + H^; Е = Ел-|-Ев, Н=НП+НВ. (4.165>
Аналогично А® = A®11 -f- Аэ = Аэп + Аэв.
Первичные поля определим как поля, возбуждаемые сторонним
источником в неограниченном пространстве. Если сторонний источник
находится во внутренней области (го<а), -а во внешней области сто- '
ронних источников нет, то А311 удовлетворяет неоднородному вектор-
ному уравнению Гельмгольца
\7!A," + k* А’"= — j’ст, .	(4.166)
а Аэп=0. Если, наоборот, сторонний источник находится во внешней
области (го>а), а во внутренней области сторонние источники отсут- „
ствуют, то Авн =0, а Аэп удовлетворяет неоднородному векторному 4
уравнению Гельмгольца
?2АЭП+ШЭП=—j3 ст-	(4.167) -
Векторные потенциалы вторичных токов Авв, Аэв удовлетворяют од-
нородным уравнениям Гельмгольца
V2Aib + k\ авв=о, v2a3b + &2АЭВ=0.
Источниками их можно считать эквивалентные поверхностные токи
на поверхности г=а. Пусть продольный элементарный электрический
вибратор находится во внутренней области:
jTT = U £Г == М О L5 (г — *о) 5 (Г — г0) 8 (9 — <р0)/г, где г0 < а.
Тогда
Аэп=0, £п=0, Нп=0, А®в = А“=0,
1 д ( дР%\ , !	(	( д2дЭ|>_ ;Э-СТ
г дг у dr J' г3 «V дг3	Jzt ’
Решение этого уравнения определено формулой (2.21):	*
V
194
Подставляя в эту формулу функцию Грина из выражения (2.29) и ис-
пользуя при интегрировании основное свойство 6-функции, получаем
ОО	00
A*(P)=^ £	уе-'Л'?-г"’ах
Л ——00	—00
(yj), Г>>Г0,
(v/0), Г<Г0,
(4.168)
где Vj = — iVh2 — k\.
Найдем продольные
формул (1.115), (1.116):
пп JU 1
'	„=-00
|^n(v1r,)^2)(v1r), Г>Г0,
Х ^(v.r)W<2>
составляющие векторов Eni и Hni с
помощью
00	00
VI	е—in(<p-<Po)	f
—00
(4.169)
^о»
Hnzl —О, где k2±i = k\ — hz.
Таким образом, продольная составляющая вектора напряженности пер-
вичного магнитного поля отсутствует. Из выражения (1.116) находим,
что H^jT^O. Но величина Нпнаряду с Нв21 входит в левую часть
граничного условия (4.164). В правую часть входит и функция HBZ.
Значит, несмотря на то, что Hnzi отсутствует, вторичные поля должны
содержать продольные составляющие векторов напряженностей маг-
нитных полей. Это является следствием особого характера граничных
условий (4.162) — (4.164).
Вторичные поля EBi, HBi и Ев, Нв в соответствии с выражениями
(1.117), (1.118) удовлетворяют однородным уравнениям Гельмгольца
(4.170)
(4. 171)
V2EB+FEB=0, V2HB-H2HB=0.
Если найти продольные составляющие векторов напряженностей этих
полей, то продольные составляющие векторов напряженностей полных
полей определим по формуле (4.165):
Ezi=Enzi + EBzi, Hzi=HBzi,	(4.172)
EZ=EBZ, HZ = HBZ.	(4.173)
Поперечные составляющие выражаются через продольные состав-
ляющие векторов полных полей с помощью формул, аналогичных фор-
мулам (4.67) — (4.70).
Таким образом, необходимо найти решения однородных уравне-
ний Гельмгольца (4.170), (4.171), удовлетворяющие граничным усло-
виям (4.162) —(4.164).
4.11.3.	Решения уравнений (4.170), (4.171) для продольных состав-
ляющих векторов EBi, HBi и Ев, Нв ищем в виде, аналогичном виду
выражения (4.169). Но при этом следует учесть, что вторичные источ-
ники поля EBi, HBi расположены на цилиндрической поверхности г=
ЛЗ* х	195
1
з=а; для внутренней области г^.а и EBzi, HBzi выражаются через фунет
цию ^n(vfr), имеющую конечное значение при г=0. Вторичные источу
ники поля Ев, Нв расположены также на поверхности г=а; для внеш*я
ней области r^a, EBZ, Н^Лдолжны удовлетворять условию излучению
при г->оо, точка г=0 из рассмотрения исключается, поэтому EBZ, HBJ
выражаются через функцию Н® (уг). Таким образом,	У
00
I?b  	e~in^~'p°)
n=—00
H%,= у e-'"1’-’”’

(4.174Я
(4.175Ц
00
Ег= 2 е“М(‘₽~'Ро)
П=—00
f f„ (Л) e-'412-2”1//® (w) dh,
—00
f rn(h)	(yr)dh,
(4.177) 1
—00
где v = — i Vh2 — k2. Спектральные плотности fn(h) необходимо опреде-
лить из граничных условий (4.162) — (4.164).	J
Входящие в граничные условия поперечные составляющие Еф1,
и Еф, Нф векторов напряженностей полей находим или с помощью выра-
жений (4.67) — (4.70), рассматривая их как формулы, определяющие <
пространственные гармоники, или с помощью уравнений Максвелла, *
для EBi, HBi и Ев, Нв. Подставляя затем найденные выражения и фор- t
мулы (4.174)— (4.177) в граничные условия (4.162) — (4.164) и приме-
няя к полученным равенствам обратное преобразование Фурье, полу*
чаем систему четырех линейных алгебраических уравнений, опреде-
ляющих спектральные плотности. Решение этой системы в частном
случае, когда eai=ea, pai=pa vi=v, =kj), имеет вид
‘1/
где
196
г».
1 I%L	. (afea±tg<l> — nft)8	(ya)]8
Fn 8m 1&еа	, (ak}2	<ya)'
pa (A)=v. i	(,Д) .
(va) ’
—______—Lk 4 у (vr ) 4- f’ •
8<кое.	(w) r m.
f9	a^^tg^ — nh
i ni—	(va) I	\
:m =	afe2±tg4>-n/2	(vq)
n	ia>p.ava H}?)'(vay n'
‘ (4.178Ц
(4.179)
п


Подставляя значения спектральных плотностей в выражения
(4.174) —(4.177) и выполняя интегрирование, находим продольные со-
ставляющие векторов напряженности полей. При интегрировании, на-
пример, выражения (4.174) надо учесть, что особые точки типа полю-
са являются корнями трансцендентного уравнения Fn(h)=Q. С по-
мощью формулы (4.179) и этого уравнения находим, что значения ко-
эффициента распространения h определяются из характеристического
уравнения
(afe2. tg Ф — nh)* 3п (va) /7^2) (va)
W	’	(4.180>
Азимутальной гармонике с заданным номером п соответствуют не-
сколько корней уравнения hn(jny Значит, распространяющиеся волны*
имеют дискретные значения волновых чисел hn(m)- Приз том фиксиро-
ванному значению п соответствует свое распределение амплитуд со-
ставляющих векторов поля в поперечном и продольном сечениях вол-
новода.’ Если hn(m) действительные и hn(m)>k, то все азимутальные"
гармоники поля во внешней области имеют характер поверхностных
волн, так как уП(т)=—iVh2n^m)—£2, и при |	|->оо из формулы*
(2.30) следует, что
НТ (v„ta>r) *	ехр [- <v„ta)r + in -J-j-y
= >"+1ехр(— Укг„ы
п (^2n(m)	^2)
Фазовые скорости волн поля во внешней и внутренней областях
одинаковы, определяются выражением ифп(7п)=ю//гП(т) и меньше скоро-
сти Оф= (8аЦа)~1/2, т. е. волны являются медленными.
4.11.4.	Найдем коэффициенты замедления волн в частном случае,,
когда возбуждающий вибратор расположен на оси волновода, т. е.
при г=0. При этом ^о(О)=1 и «7п(0)=0 при |п|>0. Значит, отличны
от нуля только спектральные плотности fo(h), соответствующие нуле-
вой азимутальной гармонике (/г=0). Электромагнитное поле в этом
случае не зависит от азимутального угла <р, что соответствует физи-
ческим представлениям о поле продольного вибратора, расположенно-
го на оси волновода. Уравнение (4.180) при n=Q имеет вид
Л (уд) ^р2) (уд) __ _ y2fea	.4 jgjу
«7'0(va)//<2>'(va) “	^±tg2|“
Если |va| <<1, т. е. а/Х<С1 (низкие частоты), то, подставляя в это
уравнение асимптотические значения функций Бесселя и Ганкеля и их
производных при малых аргументах и решая полученное уравнение,,
находим, что Ло^^^+Д/г, где Д/г<С1. Величина Д/i слабо зависит от
ka и ф. Коэффициент замедления Aoi/p близок к единице.
Если |va|^>l, т. е. а/Х»1 (высокие частоты), то, используя
в уравнении (4.181) асимптотические значения цилиндрических функ-
ций при больших аргументах и решая полученное уравнение, находим,,
что ho(2)^k j^ctg^+l. При малых углах намотки ф получаем hopf^
ctg ф, т. е. фазовая скорость волны на высоких частотах ^фо(2)^
^(eapa)_1/2tg ф=(еаца)_1/22ля/с/ определяется лишь углом намотки ее
витков или отношением длины витка к шагу спирали. Значит, на вы-
соких частотах волна как бы распространяется вдоль винтовой линии,
т. е. «прилипает» к проврду спирали и распространяется вдоль него.
Коэффициент замедления волны	может быть большим.
Для того чтобы построен графики зависимости коэффициента за-
медления от значений а/к (проанализировать дисперсионные харак-
теристики замедляющей системы), необходимо численно решить транс-
цендентное уравнение (4.180) при разных значениях п, а/% и ctg-ф.
4.11.5.	Если рассматриваемая спираль помещена внутри круглого
металлического волновода (трубы), то решение задачи возбуждения
электромагнитных волн в системе можно получить аналогичным обра-
зом. Но вторичное поле при этом должно удовлетворять условиям
Еф2 =0, Ez2=0 на поверхности трубы. В выражениях (4.176), (4.177)
надет добавить дополнительные спектральные плотности, учитывающие
наличие вторичных токов на стенках трубы.
4.12.	Понятие о квазиоптических направляющих системах
4.12.1.	В диапазоне сантиметровых волн в качестве канализирую-
щих систем широко применяются прямоугольные и круглые волново-
ды. Размеры волноводов выбираются таким образом, что в них рас-
пространяется только один основной тип волны. Но при длинах волн
короче 1—мм эти волноводы применять нельзя, так как возрастают
потери в стенках волноводов и возникают технологические трудности
при изготовлении волноводов. Например, если выбрать размеры пря-
моугольного волновода из условия распространения в нем только вол-
ны типа Ню (я=0,9%, Ь=0,45%), то при длине волны Х=0,2 мм зату-
хание оказывается очень большим (120 дБ/м).
С увеличением поперечных размеров волновода (см. § 4.13)
уменьшаются потери. Но при этом могут распространяться высшие типы
волн. Число распространяющихся типов волн (приближенно оно вычис-
ляется по формуле 2nS^7“2) превышает 3U04. Возможность распро-
странения большого числа типов волн приводит к существенному иска-
жению передаваемого сигнала (поскольку каждый тип волны имеет свою
групповую скорость).	’
На волнах миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов ис-
пользуются линзовые и зеркальные линии передачи (лучевые волно-
воды) .
4.12.2.	Линзовая линия передачи состоит из периодически распо-
ложенных на общей оси длиннофокусных' диэлектрических линз
(рис. 4.25). Если расположить в фокусе излучатель, то возбуждаемое
им электромагнитное поле падает на линзу, линза фокусирует падаю-
щее поле, далее оно распространяется к следующей линзе. Если бы
точно выполнялись законы геометрической оптики, то каждая линза
формировала бы сходящийся пучок лучей, который попадал бы на
следующую линзу. Однакц сходящийся пучок, ограниченный прямо-
линейными образующими, не формируется. На следующую линзу по-
падает расходящийся пучок, линза, являясь фазовым корректором, фо-
кусирует его. Часть энергии электромагнитного поля не попадает на
Рис. 4.25. Схематическое устройство линзо-
вой линии
<98
Рис. 4.26. Схематическое устройство зеркальной линии
соседнюю линзу, т. е. имеются потери на излучение (радиационные
потери).
Для расчета линзовой линии передачи необходимо знать функцию
распределения вектора напряженности электрического или магнитно-
го поля в некотором поперечном сечении линии. Для этого необходимо
по функции распределения поля на выходе одной из линз найти поле
на входе следующей линзы, а затем функцию распределения на
выходе последней. Поле на выходах линз, расположенных на расстоя-
нии, равном периоду, отличается только постоянным множителем. Из
этого условия можно получить уравнение для поля волн, распростра-
няющихся вдоль линии.
Существенным недостатком линзовых линий является наличие по-
терь в линзах: часть энергии электромагнитного поля отражается от
поверхностей линз, часть превращается в тепло. Свободными от этих
потерь являются зеркальные линии.
4.12.3.	Простая зеркальная линия состоит из периодически распо-
ложенных изогнутых зеркал (рис. 4.26,а). Каждое зеркало является
фазовым корректором. Уравнения для расчета линии можно получить
геометрическими методами.
Недостатком простой зеркальной линии является большая чувст-
вительность к точности расположения, в частности к перекосам зер-
кал. Большой устойчивостью в этом смысле обладают схематически
показанные на рис. 4.26,6 перископические зеркальные линии, в ко-
торых каждая пара зеркал, являющихся одним фазовым корректором,
жестко скреплена друг с другом.
4.13.	Затухание волн в направляющих системах. Приближенный
учет потерь в стенках волноводов
4.13.1.	Решения граничных задач о возбуждении электромагнит-
ных волн в направляющих системах получены в предположении,' что
проводимость металла равна бесконечности. Реально металлы имеют
большую, но конечную проводимость. Распространяющееся электро-
магнитное поле проникает в металл и часть энергии электромагнит-
ного поля теряется. Поэтому даже при отсутствии потерь в диэлектри-
ке (например, заполняющем волновод) амплитуды составляющих век-
торов напряженности поля уменьшаются с ростом |z—zoj, т. е. волны
в направляющих системах являются затухающими.
Для того чтобы найти коэффициент затухания ОтП каждой из
волн в направляющей системе, необходимо строго решить граничную
задачу с учетом конечной проводимости металла. В этом случае надо
искать решение уравнений Гельмгольца для составляющих векторов
поля в металле, а на границах раздела приравнивать касательные со-
ставляющие векторов напряженности поля в металле и прилегающей
среде. Решение позволит определить значения коэффициентов распро-
'	•	199
Рис. 4 27. Элементарный объем в волноводе
странейия, в том числе и коэффициентов
затухания. Но решение граничных задач
с учетом равенства касательных состав,
ляющих векторов напряженности поля
на границах является громоздким, как
это следует из § 4.9—4.11. Поэтому для
определения коэффициентов затухания
используют приближенный метод. При
этом учитывается, что из-за большой проводимости металлов глубина
проникновения поля в них мала (см. § 2.8), составляющие векторов
поля быстро затухают в направлении нормали к поверхности разде-
ла сред.
Например, для меди глубина проникновения поля 8 = 3,9|^2 [мкм],
для латуни 8=7,3]/Л [мкм], для серебра 8==3,7}Vx [мкм] (Z берется
б метрах).
Рассмотрим метод приближенного определения коэффициентов за-
тухания волн. Выделим в волноводе объем AV малой длины Аг, огра-
ниченный стенками волновода и плоскими поверхностями Si, S2, рас-
положенными в поперечных сечениях при z—Az/2 и г+Аг/2
(рис. 4.27). Диэлектрик, заполняющий волновод, считаем идеальным>
Применим к объему AV теорему Умова — Пойнтинга. Поскольку
сторонних источников в объеме AV нет, то ^ст=0. Поэтому
Re ф IldS = Re J HdS, + Re [ Ш32 + Ref HnrfS. = 0,  (4.182)
s	St	S2	Sc
где S — поверхность, ограничивающая объем AV; Sc — поверхность
боковых стенок волновода; и т единичный вектор, нормальный боко-
вым стенкам. Рассмотрим последний интеграл в этом выражении. Так
как Az мало, то
Z+Az/2
f IIn^Sc = £ dl J Пп^г = Дг § 1Ы,	(4.183)
Se	l z—bz/2	I
где / — периметр поперечного сечения волновода.
В интегралах по Si и S2 в формуле (4.182) учтем, что dSi=
=—dS2——izdS. Тогда
Re J nigdS2 — Re J Ili^S, == — Дг Re Ilndl.
St	St	7
Считаем, что Дг—>0. При этом поверхности S, и S2 устремляются к по-
верхности S± поперечного сечения в точке г. Разделив равенство на
Аг, получим	1
j ^izdS= — Re(j)IInd/.
-L
(4.184)
Левая часть равенства представляет собой производную от сред-
ней мощности поля,' распространяющегося через сечение волновода.
Очевидно, что если глубина проникновения поля в металл мала, то
структуры полей в волноводе с идеально проводящими стенками и
200
в реальном волноводе мало отличаются. Поэтому при вычислении век*
тора Пойнтинга в левой части равенства можно использовать выра-
жения векторов напряженностей полей в волноводе без потерь.
В правой части равенства имеем интеграл от среднего значения
нормальной составляющей вектора Пойнтинга по периметру попереч-
ного сечения волновода. На стенках реального волновода касательная*
составляющая вектора напряженности электрического поля хотя и ма-
ла, но отличается от нуля. Поэтому Пп на стенках волновода имеет
конечное значение. Приближенно касательную составляющую векто-
ра Е можно определить с помощью граничных условий (см. § 3.8)
[Е, n]=Z[n[n, Н]],z	(4.185}
где поверхностное сопротивление металла	ехр (i<n/4) ]/©р^/с^—
=2?i+iXi; poi, оэ1 — магнитная проницаемость и проводимость металла
(см. § 2.8). Эти условия справедливы для всех типов волн. Например,
на нижней стенке прямоугольного волновода (п=—
'E‘zmn== ^1Нхтп> Ехпгп===^1Нгтпп, t/==0,	(4.186)-
поэтому интеграл
а	а
f ПотпП |^_0<//== "2" J [ЕОТГ1» H*mn] (	dx — - g- J ( ^гтп^хтп Н~
ГО	О
а	а
+ ЕягаН»ям)^=^-J(| Н„,|Ч1Нг,„„|’) dx=	Г| Н,ил ) dx,
О	о
где |Н^|— модуль касательной к стенке составляющей вектора
в волноводе без потерь.
Аналогичные выражения можно получить для интегралов по верх-
ней и боковой стенкам и, таким образом,
Re ф Пт„пЛ=Re -Г ИГ, ф | H,m„ |! dl.	(4.187)
I	I
Если размеры волновода выбраны такими, что в нем распростра-
няется волна только одного типа, характеризуемая фиксированными
индексами т и п, т. е. вместо общих выражений (4.34) имеем
E(p)=^Em„(p), H(p)==Hmn(p),	(4,188)
то равенство (4.184) позволяет найти коэффициент затухания волны
этого типа. Действительно, с учетом формулы (4.55)
-Пот” — 1 Ё-ГЕ	Н* 1—— ^-JlE (о 1 Н* (п И е~2“отл<z~Zo) 1 =
dz 2 dz 1 тп' ^nl— 2 dz	п тп е	J —
= -%п[Ет„С»х), Н*„„(Р±)]
Правая часть (4.184) также содержит ехр [—2атп(?—z0)]. Сокра-
щая ее, из равенства (4.184) получаем, что
Re V, § | Н,„„ (?±) |’ М
-----------------•	(4.189)
2Re J [Е„„(/>±),
Таким образом, приближенное значение коэффициента затухания
волны в волноводе можно рассчитать, зная электромагнитное поле
в волноводе с идеально Доводящими стенками. При большой прово-
димости стенок волновода! значения атп, рассчитанные по формуле
(4.189), близки к измеренным. Формула (4.189) применима к направ-
ляющим системам, в которых имеются металлические поверхности.
4.13.2.	Обычно в направляющих системах применяют диэлектрики
с малыми потерями. При этом значения коэффициентов фазы и зату-
хания можно рассчитывать по формулам (4.45).
Анализируя влияние потерь на характеристики электромагнитного
поля в волноводе, можно установить, что скачкообразного перехода
от поля распространяющихся волн к полю «затухающих» волн в вол-
новодах с потерями нет. Изменение частоты в окрестности критиче-
ских частот сопровождается резким изменением соотношения между
значениями pmn и атп' на частотах, больших критических, волны явля-
ются распространяющимися, но слабо затухают в направлений рас-
пространения, на частотах, меньших критических, волны сильно за-
тухают, но все же являются распространяющимися, так как коэффи-
циент фазы ртп хотя и мал, но отличен от нуля и составляющие век-
торов поля описываются волновой функцией cos [со/—pmn (z—Zq) 4-
4" фтп] •
4.13.3.	Найдем коэффициенты затухания атп волн в прямоуголь-
ном волноводе. Интегралы в числителе и знаменателе выражения
(4.189) имеют вид
а	Ь
§ IН™ г Л=J {| Н„„„ I’+1 Н2„„ 11^+j {| Ц™ I’ +1 нг,,,„ nx=ady+
I	о	о
о	ь
+ у {| Нхта | г+|	I } у=ьdx+plfW + l
^zmn I }х=<4У’
а	О
а Ъ
J Н тп\ dS dx (ЕХОТПН утп	хотй) dy.
6	6
Для магнитных волн, подставляя в эти формулы значения составляю-
щих векторов напряженности поля (4.36), (4.74) — (4.77) и выполняя
интегрирование, находим из выражения (4.189)
а -	.	a-^-2b(mX/2ayt	/п>0, п = 0, Ь-\-2а(пА./2Ьу,	т = 0, 1 х2 (	(4.190) ГН 2а J	1 Х2крти ]"Г
' и™ Атп	
где A^abW/1 - ^кртп', Втп=\- ^[1\ртп.
Для электрических волн, используя значения составляющих векторов
напряженности поля (4.35), (4.78) — (4.81), находим тем же путем
= ЛЛ=Г	/'ш.у!	>0	0	(4.191)
Emn пАтп L \ Ь ) “ k a J J ’	v
202
Рис. 4.28. Зависимость коэффициентов затухания волн в прямоугольном медном волно-
воде
Из выражений (4.190) следует, что коэффициент затухания волны
типа Нц, зависит от поперечных размеров волновода а и b и длины
волны X. Из графиков, приведенных на рис. 4.28,а, видно, что при дли-
нах волн, близких к критическим, коэффициент затухания Ню-волны
может быть значительным. При %->Хкрю величина аню->°о, что явля-
ется следствием допущений, сделанных при выводе формулы (4.189).
На самом деле аню велико, но конечно. С уменьшением % от значе-
ний, близких к коэффициент затухания сначала уменьшается,
а затем увеличивается. При	(f->oo) коэффициент затухания рас-
тет пропорционально величине что связано с такой же зависи-
мостью от А, поверхностного сопротивления металла.
Из формул (4.189), (4.190) следует, что значение аню пропор-
ционально периметру волновода и обратно пропорционально площа-
ди поперечного сечения. Минимальное значение коэффициента зату-
хания аню обеспечивается при Ь/п=1,18. Однако значение отноше-
ния bja не является критичным — его изменение от 0,5 до 2 лишь
незначительно меняет значение аню-
На рис. 4.28,6 для сравнения приведены графики коэффициентов
затухания основной волны и волн высших типов. Значения коэффи-
циента затухания волны основного типа меньше значений коэффици-
ентов затухания волн высших типов.
Опыт показывает, что измеренные значения amn из 15—20% боль-
ше вычисленных по формулам (4.190), (4.191). Объясняется это тем,
что на стенках волновода имеются микронеровности, из-за которых
увеличивается путь токов, а значит, растут потери. Применяя форму-
лы (4.189) — (4.191), следует помнить, что они получены в предполо-
жении, что в волноводе распространяется только волна одного типа,
т. е. поле представляется выражением (4.1$8). Если в волноводе рас-
пространяется волны нескольких типов, то в равенство (4.184) необ-
ходимо подставлять значение вектора Пойнтинга, определяемое сум-
мой распространяющихся волн. При этом может оказаться, что коэф-
фициенты затухания волн отдельных типов отделить друг от друга
нельзя и формула (4.189) потеряет смысл.
203
4.13.4.	Найдем коэффициенты затухания волн в круглом волноводу. Интегралы
в числителе и знаменателе выражения (4.189) имеют вид
\
• $ I |= a j {I Нф„„|> + IHot, 1=} df, г = а,
I	о •
J [Епт* Н*пот] dS = J У(ЕгшпН*(рЛА?1 Е<рпт H*rnm) rd<fdr.
0 0
Для магнитных волн, подставляя в эти формулы значения составляющих векто-
ров напряженности поля (4.110), (4.111) и выполняя интегрирование, находим из вы-
ражения (4.189)
Г X2 я2 '
^пт -А'пт [х2крп/п	V? пт	Л2 ’
Ч'де Д'пт —	— X2/Х2крпт •
Для электрических волн, используя значения составляющих векторов напряжен-
ности поля (4.116), находим тем же путем: aEnm=Ri/A'nm-
Коэффициенты затухания волн простейших типов в( круглом волноводе зависят
ют длины волны примерно .так же, как в прямоугольном (рис. 4.29). Аномальными
•свойствами обладает только волна типа Ноь Коэффициент затухания этой волны
с уменьшением длины волны (с ростом частоты) асимптотически стремится к нулю.
Это объясняется тем, что волны типа НОш возбуждают в стенках только поперечные
токи, интенсивность которых с ростом частоты уменьшается (см. п. 4.7.4). Значит,
уменьшаются и потери в стенках волновода.
Наименьший коэффициент затухания на высоких частотах имеет волна типа Ноь
По этой причине целесообразно на высоких частотах для передачи энергии электромаг-
нитного поля на очень большие расстояния использовать волны типа Ноь Но эта волна
имеет значительную критическую частоту, при небольших деформациях стенок волново-
да возбуждаются другие типы волн, имеющие большие значения коэффициентов зату-
хания. Поэтому аномальные свойства волны типа Hoi трудно использовать на
практике.
4.13.5.	Найдем коэффициент затухания основной волны в коаксиальной линии.’
Для этого с помощью выражений (4.122) определяем значения интегралов в форму-
ле (4.189)
2w	2ic \
§ I Н,оо I’ Л = » J I Н, l^adt + 6 J | Н„ |2=(, df,
I	Q	0
J
S1
H*oe] dS
2п а
ЕгН*ф rdydr.
О b
Используя выражения (4.122) и выполняя интегри-
рование, получаем из выражения (4.189) для случая, ко-
гда внутренний и внешний проводники выполнены из одно-
го материала:
Si (а+Ь)
“™о - 2Wab In (a/b) 4
Рис. 4.29. Зависимость коэффициентов затухания волн
в круглом медном волноводе радиуса а=15 мм
204
Поскольку /?i пропорционально корню квадратному из частоты, то коэффициент зату-
хания основного типа волны при постоянных размерах а и b увеличивается с увели-
чением частоты как f1/2. Если с увеличением частоты остаются постоянными значения
а/к (чтобы распространялась только волна основного типа), то коэффициент затуха-
ния увеличивается как f3/2.
Коэффициент затухания аТоо зависит of отношения а/b. Он минимален при
ц/Ь=3,6; однако при изменении этого отношения в пределах от 3 до 6 коэффициент
затухания меняется мало.
Коэффициент затухания основной волны коаксиальной линии больше коэффициен-
тов затухания основных волн прямоугольного и круглого волноводов. Например, медный
волновод прямоугольного сечения 72X34 мм с воздушным наполнением на« длине волны
%=10 см имеет коэффициент затухания 1аню=0,02 дБ/м. Коаксиальный кабель
РК-75-9-1? с полиэтиленовым наполнением имеет коэффициент затухания «то=О,8 дБ/м.
Значит, на длине 10 м затухание волны типа Ню в волноводе составляет 0,2 дБ, т. е.
менее 5% по мощности, затухание волны основного типа в коаксиальном кабеле равно
8 дБ, т. е. около 84% по мощности. Таким образом, коаксиальную линию (кабель)
в диапазоне СВЧ применять нецелесообразно.
Задачи
1.	Найти составляющие векторов напряженности электромагнитного поля в прямо-
угольном волноводе, возбуждаемом поперечным элементарным электрическим вибра-
тором, параллельным оси х. Нарисовать картины силовых линий электрического и
магнитного полей волны типа Ноь
2.	Найти сопротивление излучения элементарного электрического вибратора, па-
раллельного оси х, возбуждающего волну типа Hoi в прямоугольном волноводе.
3.	Нарисовать картины силовых линий электрического и магнитного полей волн
типа Ню и Ез1 в прямоугольном волноводе.
4.	Найти внутреннюю проводимость излучения узкой полуволновой щели, выре-
занной в боковой стенке прямоугольного волновода и возбуждающей волну типа Ню.
Вычислить значение внутренней проводимости, если а=23 мм, Ь = 10 мм, Л==3 см,
волновод заполнен воздухом.
5.	Показать, что сопротивление излучения продольного элементарного электриче-
ского вибратора, возбуждающего волну типа Eof в круглом волноводе, равно R% **
=L2^20(o'oir0) [2na4toea₽oi5<2i(aoia)]_1, где L — длина вибратора; го — расстояние ©т
оси волновода до вибратора.
6.	Вычислить коэффициент замедления волны над плоским слоем диэлектрика на
металлической плоскости, если Ь/Х=0,2, еа = 8о,	ев1=2,6во (при вычис-
лении можно использовать график рис. 4.21).
7.	Вычислить коэффициент затухания основной волны в прямоугольном медном
волноводе с воздушным заполнением, если а—22,8 мм, й=5 мм, Л=3,2 см.
8.	Вычислить коэффициент затухания волны основного типа в коаксиальной линии
с воздушным заполнением, если проводники линии изготовлены из меди, a=4,6 мм,
Л = 1,37 мм, Л=3,2 см.
Глава 5
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В РЕЗОНАТОРАХ
5.1.	Общие сведё^ия о резонаторах. Определения
5.1.1.	В колебательной системе, в которой используется LC-контур
с сосредоточенными параметрами, энергия электрического поля со-
средоточена в конденсаторе, а энергия магнитного поля — в индуктив-
ной катушке. Конденсатор и индуктивная катушка разнесены в про-
странстве, поэтому переход энергии электрического поля в энергию
магнитного поля и обратный переход сопровождаются распростране-
нием электромагнитного поля. Размеры элементов и соединительных
проводов LC-контура в диапазонах длинных, средних и коротких волн
очень малы по сравнению с длиной волны. При этом излучение элек-
тромагнитного поля элементами LC-контура ничтожно мало и доброт-
ность контура определяется только потерями в индуктивных катуш-
ках и соединительных проводах и в диэлектрике конденсаторов.
По мере перехода в диапазон метровых, а затем и дециметровых
волн для увеличения резонансной частоты контура cod[(oo=(LC)~1/2] и
для получения заданной добротности Q[Q= j/L/C/J?] необходимо*
уменьшать индуктивность и емкость элементов. С этой целью умень-
шают площадь пластин конденсатора и увеличивают расстояние меж-
ду пластинами, а также уменьшают число витков индуктивной катуш-
ки. Уже в диапазоне метровых волн размеры витка сравнимы с дли-
ной волны. Поэтому LC-контур излучает электромагнитное поле.
Потери на излучение снижают добротность контура, применение его
в качестве колебательной системы невозможно. Параллельное вклю-
чение в контур ряда витков приводит к уменьшению излучения поля
в результате экранирования поля витками, позволяет уменьшить,
индуктивность и, следовательно, увеличить резонансную частоту. При
бесконечном увеличении числа витков получаем тороидальный резо-
натор, электромагнитное поле которого полностью экранировано от
внешнего пространства.
Если соединить прямоугольные пластины конденсатора, то можно*
получить параллелепипед, образованный металлическими стенками, на-
зываемый прямоугольным объемным резонатором. Соединяя круглые
пластины конденсатора и увеличивая их число, получаем цииндр,
образованный металлическими стенками, — цилиндрический объемный
резонатор.
В объемных резонаторах нельзя выделить области пространства
со свойствами только емкости или только индуктивности. Лишь в не-
которых частных случаях’ резонатор специальной формы можно при-
ближенно рассматривать как LC-контур и выделять области, где пре-
имущественно сосредоточена энергия электрического и магнитного*
полей. Например, в тороидальном резонаторе электрическое поле со-
средоточено в основном между параллельными пластинами, а маг-
нитное поле — в основном в желобе. Резонаторы этого типа называ-
ют квазистационарными.
Электромагнитные колебания могут существовать в ограниченном
металлической поверхностью объеме любой формы, если линейные
размеры объема достаточно велики по сравнению с длиной волны.
В технике СВЧ наиболее широкое распространение получили прямо-
206	х
угольные, цилиндрические и коаксиальные резонаторы, которые мож-
но рассматривать как отрезки направляющих систем. Закрытые объ-
емные резонаторы применяются в диапазонах сантиметровых и деци-
метровых волн в качестве избирательных систем в усилителях, гене-
раторах, измерителях частоты, для построения частотных фильтров.
Они являются элементами таких электронных приборов, как клистрон
и магнетрон.
Применение закрытых объемных резонаторов в диапазонах мил-
лиметровых и оптических волн связано с теми же трудностями, что и
применение закрытых направляющих систем. Поэтому в этих диапа-
зонах волн нашли применение открытые объемные резонаторы, в ко-
торых часть металлических стенок резонатора удалена. При опреде-
ленных условиях излучение поля в окружающее пространство может
быть малым, а добротность системы значительной.
5.1.2.	Из теории колебательных контуров известно, что собствен-
ные колебания в резонаторе возникают, когда* от стороннего источни-
ка в течение малого промежутка времени в него вводится энергия
электромагнитного поля. Если стенки резонатора имеют идеальную
проводимость, а диэлектрик не имеет потерь, то из уравнения балан-
са энергии электромагнитного поля следует, что dW/dt=Q. В резона-
торе возникают собственные (свободные) колебания, не связаннные
с источиком электромагнитного поля, причем энергия электрического
поля переходит в энергию магнитного поля и наоборот.
Объемный резонатор имеет ряд собственных частот Колебанию
каждой частоты соответствует определенная структура электромаг-
нитного поля.
Вынужденные колебания обусловлены воздействием стороннего
источника на поле в резонаторе. Если частота колебаний стороннего
источника совпадает с одной из собственных частот <»v, то амплитуды
поля бесконечно возрастают (при отсутствии потерь) или становятся
очень большими (при наличии потерь). Совпадение частоты вынуж-
денных колебаний с одной из собственных частот называется резо-
нансом.
5.2.	Добротность объемного резонатора
5.2.1.	Рассмотрим общие выражения для собственных частот в резо-
наторе с потерями. Пусть Ev, Hv — комплексные амплитуды напряжен-
ностей поля на частоте в резонаторе, стенки которого имеют конеч-
ную проводимость аэг, а заполняющий резонатор диэлектрик не имеет
потерь. Тогда, подставляя в первое уравнение Максвелла выражение Hv
из второго уравнения, умножая результат скалярно на E*v и интегрируя
полученное выражение по объему резонатора Vo, находим
J E*v rot rot EvdV
v0
207
Поскольку Е*, rot rot Е, = rot Е, rot Е*, — di v [Е*,, rot Е,|, то, применяя
теорему Остроградского — Гаусса, получаем
J | rot Ev I2 dV — § [E\ ,frot;EJ dS
=2!-^----------,	(5.1)
’	ea^a ) I E J2 dV
Vo
где S — поверхность резонатора.
Используя второе уравнение Максвелла, имеем
* , rot Е J dS = — i<Dvpa § [Е*„, Н J dS^ — 2i^a ф П/S. (5.2)
s	S	S
Если оэ,—> оо, то этот интеграл равен нулю, так как Е^ = 0 на
стенках резонатора. Обозначая собственную частоту резонатора без по-
терь через шОу, получаем
х f|rotEJ2(/V
,
Ov ^|ха J IЕ, р dV ’
v
Определим собственную частоту резонатора с потерями в том слу-
чае, когда проводимость стенок конечна, но велика. Тогда интеграл
(5.2) не будет равен нулю. Заменяя в нем величину на малоотли-
чающуюся известную величину <%, получаем
Пренебрегая здесь во втором слагаемом малой действительной частью
по сравнению с единицей, получаем приближенное выражение длясоб*
ственной частоты резонатора с потерями:

(5.3)
где
Q =ш 0,5е_
vo_______
Re ф П/S
s
(5.4)
Если о9!—>оо, то на стенках E,v—►(), ПУЯ—*0. Значит, Qv—>оо, а ш,—*
Таким образом, при большой проводимости стенок резонатора собст-
венные частоты колебаний в резонаторе с потерями близки к собствен-
ным частотам резонатора без потерь.	х
208
Мгновенные значения напряженностей поля с учетом формулы
(5.3) определяются выражениями
£ (/) = Re [Е,(р) e'"’']=Re рЕ^е'^'е—”,/2<г>],
Я (<) = Re [Hve'"0,,e_”°>w-],
т. е. поля затухают во времени по экспоненциальному закону. Скорость
затухания зависит от значения Qv. По аналогии с обычным £С-конту-
ром величину Qv называют собственной добротностью объемного резо-
натора. Поскольку
V
где — энергия электромагнитного поля в^резонаторе (см.§ 1.7,	=
=--2Ж’ср, Гэср=-Гмср), вычисляемая по известному полю в нем, а
Re§n/S=^7„
S
где 5й””—мощность потерь в стенках резонатора, то добротность мож-
но определить по формуле
<5-5>
Если при вычислении интегралов в числителе и знаменателе форму-
лы (5.4) применить теорему о среднем, то найдем, что Qv пропорциональ-
но отношению Vo/S, откуда следует, что большую собственную доброт- *
ность должны иметь резонаторы с большим значением отношения Vo/S.
5.2.2. Мощность потерь в стенках резонатора можно найти ана-
логично тому, как это сделано в § 4.13. Используя приближенные гра-
ничные условия на стенках, имеем
C’ = Ref n/S=4-Re^[E*,, H,]dS=4-Red)[n. E*JH„d$=
s	s	s
(5.6>
s
где ^i = (<n0vHai/2o\)1/2 или #i=1/si°9h	— глубина проникновения поля
в металл; Ну берется в предположении, что стенки резонатора имеют
идеальную проводимость.
Реально в диэлектрике, заполняющем резонатор, имеются потери.
Средняя мощность их (см. § 1.7)
^,=4	с5-7»
В знаменателе формулы (5.5) при определении собственной доброт*
ности среднюю мощность потерь необходимо считать равной сумме
средних мощностей потерь в стенках резонатора и в заполняющем ди-
электрике. В открытых резонаторах к указанным потерям добавляются
потери на излучение 9^ у.
14—116	209-
Как LC-контуры, так и резонаторы используются в сочетании с нагрузками.
Добротность резонатора с учетом собственных потерь и потерь в нагрузке назы-
вается нагруженной добротностью QHV. Она определяется выражением
«в, =	+ ^р, Н-^ср. )
или	’
1 __ и cpv “Г'7 cpv ' и cpv ! и cpv
<2Н, ~ «оЖ + “оЖ *
Первое слагаемое здесь соответствует величине, обратной добротности изолированного
резонатора, —собственной или непогруженной добротности (5.5). Второе слагае-
мое имеет размерность величины, обратной добротности, которую называют внешне^,
или вносимой добротностью QBHV = coov^v/^cpv » т- е* внешняя или вносимая
добротность определяется отношением энергии, накопленной в самом резонаторе к сред-
ней мощности потерь в нагрузке.
5.3. Прямоугольный резонатор
5.3.1.	Рассмотрим постановку граничной задачи о возбуждении
прямоугольного резонатора (рис. 5.1). Резонатор заполнен однородным
диэлектриком с параметрами еа, и возбуждается сторонними токами
ja ст, jM ст, заданными в объеме V. Считаем, что стенки резонатора имег
ют идеальную проводимость. Тогда поле в резонаторе должно удовлет-
ворять граничному условию (3.14), т. е. Е,=0 на стенках. При этом
К условиям (4.7), (4.8) необходимо добавить граничные условия н^
торцевых стенках. Таким образом, получаем граничные условия на
стенках резонатора
Е2 |х_0, а "= 0, Ex |^_Oi ь = 0, Ег |£г=0>6'=0, „	(5.8)
Ex = 0, Е^ = 0 при 2=0, г = /.	(5.9)
Векторные потенциалы Аэ, Ам удовлетворяют неоднородным век-
торным уравнениям Гельмгольца
ААЭ4-Л2АЭ=—j3 ст,	(5.10)
ААМ+^2АМ=—]мст.	(5.11)
Векторы напряженности поля вычисляются по формулам (1.115),
(1.116). Поэтому составляющие вектора Аэ на боковых, нижней и верх-
ней стенках удовлетворяют тем же граничным условиям (4.10), (4.11),
(4.22), (4.25), которые имеют место в прямоугольном волноводе. На
торцах резонатора из выражений (1.115),
.(4.21), (4.9) имеем дополнительно Аэх=0,
Аэу=0 и dA3z/dz=0 при z=0, /. Таким
образом, составляющие векторного потен-
циала должны удовлетворять граничным
условиям
Рис. 5.1. Прямоугольный резонатор
-210
АЧ=о.6 = О.^ х=0. =0; A’,U. =0,	=0; (5.12)
А% = 0, Аэ^0, dk\[dz=O при z = 0, z=l. (5.13)
Уравнение (5.10) и граничные условия (5.12), (5.13) составляют
граничную задачу о возбуждении резонатора сторонним электрическим
током.
Из выражений (1.115) и (5.8) находим, что составляющие вектора
Ам должны удовлетворять граничным условиям (4.27)—(4.29). Из вы-
ражений (1.115) и (5.9) имеем dAMx/dz=dAM^/dz=AMz=0 при г=0,
z = l. Таким образом, составляющие векторного потенциала Ам должны
удовлетворять граничным условиям
адм	дАм„
A\U.o=0,	=0;	х=0 о=0, АЧ=0.,=0;	(5.14)
^ = °.	= А“г = 0 при г = 0, г=/.	(5.15)
Уравнение (5.11) и граничные условия (5.14), (5.15) составляют
। граничную задачу о возбуждении резонатора сторонним магнитным то-
ком.
5.3.2.	Найдем решение граничной задачи для Аэ. Граничные задачи
возбуждения резонатора отличаются от задач возбуждения прямоуголь-
ного волновода (§ 4.2) только тем, что резонатор имеет ограниченную
длину по г. Поэтому электромагнитное поле существует на интервале
Составляющие векторных потенциалов при фиксированных х
и у необходимо представлять в виде разложений в ряды Фурье по х.
Значит, вместо разложения (4.13) имеем
ОО	ОО	ОО
А’»=£ sinvA'S cos^y J	. (5-16)
m—1	n=0	P-—oo
t. e. A9y представлено в виде разложения по системе волн, бегущих
вдоль увеличивающихся значений х при и вдоль уменьшающихся
значений z при р<0. Коэффициенты распространения этих волн равны
|р|п/l. Амплитуды волн определяются коэффициентами разложения^
g'9 .
Подставляя (5.16) в условие (5.13), получаем (так же, как в п. 4.2.3)
^по=0’ ётп(-р)=~ g'mnp’ P>Q- Таким образом, выражение (5.16) при-
водится к виду
оо оо оо
A,"=S S S ^sin^Acos^sinZ7A> <5Л7>
т=1 п—0 р=1
где	— ^ё'ущпр' Здесь А® представлено в виде разложения по сто-
ячим вдоль оси z волнам, т. е. наложение бегущих навстречу друг дру-
гу волн-, отраженных от торцевых стенок резонатора, приводит к систе-
ме стоячих волн.
Подставим выражение (5.17) в уравнение (4.3). Дифференцируя
А% по х, у и z, умножая результат на sin (т'лх/арХ1
Xcos(n'ttz//b)sin(p'n;z//), где т', п', р'— фиксированные значения т,
14*	,	211
п, р, интегрируя по объему резонатора и используя условия ортого*
нальности (4.14), (4.15), получаем
g'ymnp =	J £ CT <Х'’ #'* Z'} Sin VX' C°S V У' 51П T"
V
'	(5.18)
где k2mnp= (тл/п)24-(пл/Ь')24-(рл/02; Vo—nb/ —объем резонатора.
Аналогичным образом, используя выражение (4.23), (4.26), (5.13) и уравнения
Гельмгольца для АЭХ) Aaz, получаем
ОО ОО 00
. VI <1 VI „ тп . пп . pit
А Zj Zj 8^cos ~г *si"—s'*1"—*	<5-19>
m=Q л=1 p=l
00	00 <50
. VI VI VI * mn nn pn
A9g=L LI] ^w8inT*sinT»cos i Zt (5*20>
tn=\ n=l p=0
где
eimnp—v^^ kl) j’"(x'.J/'.2')cos —x'sin-j-a'sin-j-srW'; ,
у	4
. n	Й
•	4e0 v	mn nn pn	.
-*=)] Йст(х'. S'. z')sin —x'slnVj'cos^2W'. , '>
V	t
5.3.3.	Найдем решение граничной задачи для Ам. Используем разложений1^
(4 30)—(4 32) составляющих векторного потенциала по осям х и у, удовлетворяющие J
граничным условиям (5 14) на боковых, верхней и нижней стенках резонатора. Разло- 4
в ряды Фурье по координате г при фиксированных значениях х, у. Для опре-ц
жим их
деления
а затем
где
коэффициентов разложений применим сначала граничные условия (5.15)
уравнения Гельмгольца. В результате получим
<50	<50 <50
. VI VI VI .	. тп пп Рп
Amx = 2j 2j 2JgMxmpSln— х cos-у-у cos-у-2,
т=1 п=0 р=0
во <50 со
. VI VI VI	тп пп рп
=2j 2j L s^ymnp cos vx sin v cos t 2>
m=0 л=1 p=0
to to to	,
VI VI V	mn nn pn
AMz^ 2j 2j \g\mnpWS-^-x cosу sln-f-z,
m=0 n=0 p=l
(5.21f
V
(5.22):.
ч
(5.23|
2епео П ..	... mn nn pn ,,
j 1“ W	-Tу’ Tz'^
V
g“,mnp = y,	y) j )?"(*'.»'. x'Icos^-x'sIb^j' cos^-zW;
= V. J г"(*'’ *'2'’ C0S^T*'V 8'slnTL2W'-
V
212
5.3.4.	Векторы напряженности поля определяются выражениями
(1.115), (1.116) и могут быть вычислены в общем случае произвольно
распределенных источников. ' Проанализируем частный случай.
Пусть резонатор возбуждается элементарным электрическим
вибратором, расположенным в точке х0, у0, zQ вдоль оси у. Тогда
Гст=’ЛСТ^19°£б(х“x0)6(y-yQ)6(z—z0), р*сТ=о. Из выражений
(5.19) —(5.23) имеем A3X=A9Z=O, Ам=0. Из формулы (5.18) получаем
э	4e„I30L	. тп пп . рп
g утпр — Vo (fe2rnnp — Sin а ^oCOS-^-£/0Sin-j-Z0.	(5.24)
Будем считать «продольной» координату z. «Продольные» состав-
ляющие векторов напряженности поля находим по формулам (1.115),
(1.116):
ОО 00 ОО	00	00	00
Е.= 2 2 2 нг= 2 2 2
т=1 п=0 р=\	т=1 п=0 р=1
где
г?	1 пп рп э . тп ". пп ~ рп	,с
^гтпр	~ I) I g Утпр Sm X sin у COS Z, (5.25)
тт	/ял э	тп пп . рп
Hzm„p=—cos—?ccos — </ sin у г.	(5.26)
Величины тип имеют здесь тот же смысл, что и в случае прямоуголь-
ного волновода. Величина р равна числу полуволн, укладывающихся
вдоль длины резонатора I. Поле в резонаторе является суперпозицией
бесконечного числа стоячих «волн», возникающих в направлении осей
х, у и z. Понятие волн в резонаторе теряет смысл. Возникающую струк-
туру поля правильнее называть колебаниями электрического или маг-
нитного типа и обозначать как ЕтПр-колебание и Нтпр-колебание. От-
метим, что направление, относительно которого определяется «продоль-
ная» составляющая векторов Е или Н, т. е. «продольное» направление,
можно выбрать совпадающим с осью z, х или у, так как в прямоуголь-
ном резонаторе нет выделенного (отличающегося от других) направ-
ления.
Из формул (5.25), (5.26) видно, что элементарный электрический
вибратор возбуждает в резонаторе поле, являющееся суперпозицией
Етппр" и Нтпр-колебаний.
Предположим, что диэлектрик, заполняющий резонатор, не имеет
потерь (еа=еа). Тогда при заданных размерах резонатора и фиксиро-
ванных значениях т, п, р можно подобрать частоту со стороннего источ-
ника так, что k2mnp—k2=Q в знаменателе выражения (5.24). При этом
Hz возрастают до бесконечности, т. е. наступает резонанс. Частота
колебаний со совпадает с собственной резонансной частотой коотпр резо-
натора для заданного типа колебаний: (&2omnp&aiia=k2mnp- Значит,
1 П тп\а , /пп\а । fpn V~	z(- o7,
 (5-27)
Собственная длина волны резонатора
к
X -	_	2
вотпр vxm/ay+ww + wl)* •
213
При наличии потерь в резонаторе (fe — комплексная величина $
—^2=#0) векторы напряженности поля при резонансе имеют боль*
шое, но конечное значение, зависящее от электрического момента’1ЭО£1
и положения источника^ Меняя положение источника (например, xoj
Уо, z0), можно регулировать эффективность возбуждения колебаний дан*-*
ного типа.	1
Пусть частота колебаний стороннего источника совпадает с собст^
венной частотой резонатора ю колебаний типа Exvx или типа Hxvx(x, v,
X фиксированы). Тогда амплитуды колебаний типа Exvx> Hxvx окажутся
намного больше амплитуды колебаний типа Emnp, Нтпр
X =£/?). В этом случае можно считать, что поле в резонаторе определяй
ется только векторами Exvx, Hxvx, т. е.	}
Е(р)=Е„х(р), Н(р) = Н„х(р).
Например, если частота со стороннего источника совпадает с собствен-^
ной частотой резонатора союь то, пренебрегая всеми колебаниями дру«
гих типов, имеем
Е(р)=Е10Ь Н(р)=Ню1.	(5.28)^
Эти выражения аналогичны выражениям (4.43) для прямоугольного1
волновода.	'
В некоторых случаях колебания различных типов могут иметь одй4;
наковые собственные частоты. При одних и тех же значениях чисел^
т, п и р возможен, например, резонанс для Emnp- и Нтопг)-колебаний.'|
В резонаторе в этом случае возбуждаются две разные структуры пало
с одинаковыми резонансными частотами. Такое явление называется»
вырождением колебаний. Если одно из чисел т, п, р равно нулю, тот
вырождения не возникает. •	J
5.3.5.	Основным (низшим) колебанием резонатора при заданных!
размерах a, b, I называют колебание, имеющее наименьшую собствейЛ
ную резонансную частоту. В случае колебаний типа Hmnp колебание^
Ню1 или Нон имеет самую низкую собственную частоту:
Если источник поля имеет частоту (о=®о 101 и в резонаторе вод|
буждается колебание типа Нюь то все другие колебания с малыми амн*
плитудами векторов поля являются колебаниями высших типов.* Дл’Й
колебания типа HiOi из формул (5.25), (5.26), (5.28) имеем '	*
Ег=0,	=	=	(5.2Э)
u-	u	t
Из формул (4.67), (4.68) находим	”
E“x = 0, H“„=0, E»,=E"„„=-<ii0<f’,I,1sin^-sm^, (5.3(|
H”, =• H»,,, = -	g’t;„ sin cos .	(5.31)
Силовые линии электрического и магнитного полей в резонаторе
можно построить так же, как в случае прямоугольного волновода. ДлЯ
этого необходимо найти мгновенные значения составляющих векторов
поля и изучить их зависимость от координат в фиксированный момен1?
214
Рис. 5.2. Структура поля Нюгколебания в резонаторе (/=Л)
времени. В случае колебания типа Ню1 из выражений (5.29) — (5.31)
получаем
H\(x, z, f) = -^-]/yi01|cds^sin-^-cos(a)/ + <p3),
Ему (х, z, t) = шр.а | g3yvn | sin	sin	cos (art + фэ 4-	,
(х, г, 0 = -р I Лю11 sin	cos	cos (ш/ фэ -j- -к),
д
Составляющие векторов напряженности электрического и магнит-
ного полей сдвинуты относительно друг друга по фазе на угол Зл/2
или л/2. Поэтому все составляющие вектора Пойнтинга имеют реак-
тивный характер. Зависимость составляющих векторов поля от коорди-
нат х и у не отличается от соответствующей зависимости для волны
типа Ню в прямоугольном волноводе. Но зависимости от координаты z
векторов поля волны типа Ню в волноводе и векторов поля колебания
типа Ню1 в резонаторе существенно отличаются, так как в резонаторе
распределение поля по z имеет характер стоячей волны. Картина си-
ловых линий поля колебания типа Нюь изображенная на рис. 5.2, Отли-
чается от структуры поля водны типа Ню (см. рис. 4.5) г только тем,
что экстремумы составляющих | Нх ioi |, | Hz 1011 и |ЕУю1| сдвинуты по
оси г.
На внутрених стенках резонатора протекает поверхностный элек-
трический ток J9= [Н, п], вычисляемый так же, как в случае прямо-
угольного волновода. На верхней, нижней и боковых стенках токи не
отличаются от токов на стенках прямоугольного волновода (волна типа
Ню). На торцевых стенках ток связан с составляющей волны'типа
Нх 101-
Собственную добротность резонатора можно вычислить по форму-
ле (5.5). Для колебания типа Ню1 энергия электромагнитного поля
в резонаторе вычисляется по известному значению Ему. Если диэлек-
трик не имеет потерь, то средняя мощность потерь в металле резона-
тора складывается из потерь в боковых, верхней и нижней стенках и
потерь в торцевых стенках. Средняя мощность потерь вычисляется
с помогцьй) приближенных граничных условий так же, как при опреде-
лении коэффициента затухания волн в прямоугольном волноводе
(§ 4.13). Вычисляя энергию электромагнитного поля и мощность по-
терь в резонаторе с помощью выражений (5.29) — (5.31) и подставляя
результат в формулу (5.5), получаем собственную добротность резона-
тора для колебаний типа HiOi
Пм __ 1 Ь	а* + Р
ч 101— 2 Й Ыг/а + агЬ/1-^-аг/2-]-Р/2 ’
где принято, что ра=р0 и ра1=ц0- Для кубического резонатора из медш
(а==Ь=/), принимая Х=3,2 см, получаем расчетное значение QMioiJ
«а!О4. Реально собственная добротность меньше этой величины и за|
висит от чистоты обработки и степени окисления поверхностного слою
металла в резонаторе, качества контактов в спайке стенок резонатор»
и в соединении его с подводящими линиями и т. д.	1
5.3.6.	Пусть резонатор возбуждается элементарным электрически^
вибратором, параллельном осиз. Тогда j3ст=izj3CTz==izI9oE6(x—
—#o)6(z—z0), jMCT=0.	>	‘	|
Из выражений (5.17), (5.19) и (5.21)—(5.23) имеем АЭЖ=АЭУ=О|
Ам=0. Коэффициент g3zmnp в выражении (5.20) имеет вид	®
э	* . тп . пп	пп
ё гтпр “ V0(Aamnp —A2) Sln ~а~ Х° Sln— Уо C0S ~Г *•*
Из формулы (1.115), (1.116) получаем
ОО ОО 00	$
Е‘ = 3 2 2 Е-»-’ Н* = °-	<5'3М
т=1 п=1 р=0	ч
где
т->	I тп э • «п . пп пп
Е~тпо =--------g zmnn SW X SIH— U COS 5- Z.
г<0о mnpea	f
Значит, прямолинейный вибратор, параллельный оси z, относительна
этой оси возбуждает только колебание типа Етппр. «Поперечные» coj|
ставляющие векторов поля определяем по формулам (4.69), (4.70). ДлЙ
колебаний типа Ецо имеем
E^Jll э . пх . пу
2110	~ S 2110 sin sin , *
«We	Ь
» ттэ	9	. пх пи
Н хпо =-7-g 2110 Sin-COS-^-,
AUU	U О »HQ	д	k ,
Нэ,
»	==___2_р-э nos —sin-^- Е9 —Е9 —О
0110-- а & 2110 а	2110--0110---и’
Собственая добротность резонатора для колебаний типа Ец0 опр»
деляется обычным образом:
Оэ _ 1 ab(as + bs)l
4 110 “ S 2 (а3 + b3)l + ab (а2 + 62)’
где принято, что pa=Hai=po-
5.4.	Цилиндрический резонатор
5.4.1.	Цилиндрический резонатор можно рассматривать как отрезок:
круглого волновода, закрытого на концах (в поперечном сечении) ме«
таллическими пластинами (рис. 5.3,а). Отсюда .следует, что волне тип4
Епт в волноводе соответствуют колебания типа Ептр в резонаторе, воЛ-
не Hnm в волноводе — колебания типа Нпгпр в резонаторе. Числа п н
имеют для резонатора тот же смысл, что и для волновода. Число р
определяет число полуролн, укладывающихся вдоль длины резонатора^
216
Рис. 5.3. Разрез цилиндрического резонатора и структура электрического и магнитного
полей
Поле колебания типа Ептр содержит составляющую вектора Е,
перпендикулярную торцам резонатора, поэтому при р=0 поле равно-
мерно распределено по длине резонатора — граничные условия на тор-
цах при этом удовлетворяются. Значит, в резонаторе можно возбудить
.колебания типа ЕП7ПО. Поле колебания типа Hnmp содержит составляю-
щую вектора Н, перпендикулярную торцам резонатора. Поскольку по-
следняя должна быть равна нулю на торце, то равномерного распреде-
ления поля по длине резонатора при колебаниях типа Нптр быть не
может, т. е. р#=0 при колебаниях типа НптР- *
5.4.2.	Рассмотрим поле колебаний типа Ептр в цилиндрическом ре-*
зонаторе, заполненном однородным диэлектриком с параметрами еа,
Ра. Стенки резонатора считаем идеально проводящими. Введем цилин-
дрическую систему координат'так, чтобы плоскости 2=0 и 2=/ совпа-
дали с плоскостями торцов (рис. 5.3,а). Ось z направим вдоль оси
резонатора.
Поле колебаний типа Ептр можно возбудить с помощью прямолиней-
ного электрического вибратора, параллельного оси г. При этом j3CT =
jMCT = 0. Поэтому Ам = 0, А®=А®=0, А® удовлетворяет урав-
нению (4.93), а на боковой стенке—граничному условию (4.95). На тор-
иевых стенках резонатора необходимо потребовать, чтобы Ег и Е^ были
Равны нулю. Так как составляющие Ег и Еф в соответствии с формула-
Ми (1.115), (4.94) пропорциональны <?Аэ2/дг, то необходимо, чтобы вы-
полнялось граничное условие
dA3z/dz=0 при 2=0, 2=/.	(5.33)
217
Постановка задачи о возбуждении резонатора отличается от по-
становии соответствующей задачи для круглого волновода (см. п. 4.7.2) *
только тем, что искомое значение Аэ2 должно удовлетворять дополни^ j
тельному граничному условию (5.33). Поэтому решение граничной за-
дачи отличается тем, что функция Аэ2 представляется не в виде инте-
грала Фурье, а в виде ряда Фурье по z на интервале от z=0 до z~l, •
ОО 00
А% (р)=2 S [С'«р (И sin «ср + D'np (г) cos «ср]
п=0 р=— оо
Подставляя это выражение в граничное условие (5.33) при 2=0 и
представляя сумму по р в виде-двух сумм (по отрицательным и поло-;
жительны)м р), находим ,(так же, как в п. 4.2.3), что С'П(-р)— С'пр*
D'n(-p)=Dnp. С учетом этого имеем
00 оо	;
А% = 2	[СЛр (г) sin п? + Dnp (г) cos «?] cos^ z, (5.34)
n=0 p—0
где Спр—epC np] Dnp—&pDfnpПодставим значение Аэ2 в уравнение
(4.93), умножим результат сначала на cos cos (p'nz/l), а затем на
sinn'<pcos (p'nzjl), где n', p' фиксированы, и проинтегрируем равенство
по <р от 0 до 2л, а по z от 0 до I. Полученные два уравнения определяю!*
коэффициенты Dnp, Спр и аналогичны равенствам (4.97), (4.98). Опре-
деляя коэффициенты Dnp, СПр точно так же, как в случае цилиндриче*
ского волновода, и подставляя их значения в выражение (5.34), сумми*
руя подобные члены, находим решение граничной задачи:	•	'
1	епер<7п (алотг) cos-y-г
А’г==_ЙГ L Ъ L	Х ‘ (
n=0m=lp=0	|
X p29c4^)^os^(?^?')^(v,)cos^-2Wr,	(5.3^
V	I
где 70 = ад2/;	^ = 0^ + ^.	1
Пусть резонатор возбуждается элементарным электрическим вибр«
тором, т. е. j®ст^ 1ЭОА8 (г — г0) 8 (ср — <р0) 8 (г — zj/r. При этом из форму?
лы (5.35) имеем
00	00	00
A>2 2 2Aw	(5.361
п=0 т—1 р—0
где
А гптр 8 птр"Уп (°пт?) COS П (ср  COS j Z,
___ епер!эо^	&п {<3птго)	Р™ ~
8 птр~ V0(k\mp-k^ {.пта) C0S I
218
Из выражений (1.115) и (1.116) находим составляющие
векторов
оо СО СС	00	00	00
е=2 S S е«г«р» и - 2 2 2 Нптр'-
и=0т=1 р=0	п=0т=1 р=0
znmp
i(i>ea
ks —	g\mp Jn (<snmr) COS tl (<P - %) cos-^- z,
E w =	£3™гР$n < W) Sin П^~ S in ~^T Z> <5*38)
1<1)£д
Ernmp= — g*nmpV'n ^nmr) COS tl (<? — <p0) Slfl-^-Z;
йжа1
^rnrnp r g птрУ n (Рптr) sin n (<p —	cos —y— z,	(5.39)
Hynmp	°nmg nmp^ n (^пт^) COS tl (<p фо) COS Z, Hznmp— 0.
По этим формулам, задав п, т, р, можно вычислить все составляющие
векторов напряженности поля колебаний типа Ептпр. Если резонатор
не имеет потерь, то, как видно из выражения (5.37), при частоте источ-
ника, равной собственной частоте резонатора	)
<^=т=г/^'+(^)!’	'	<5-40>
амплитуды составляющих векторов напряженности поля возрастают до
бесконечности.
Расположив вибратор на оси резонатора (го=О), найдем, что
gdnmp = 0 при n>0, g30mp=0, так как &п(0) =0 при п>0, <7 о(0) =1. При
этом все составляющие векторов напряженности поля не зависят от
угла <р (поле колебаний типа ЕОтр симметрично относительно угла <р и
Е,о„р=О, Нг0„?=0.
Наименьшую собственную частоту из колебаний типа Ептр имеет
колебание типа Еою:
со9 — g»i __ voi —	2’4Q5
0010	аУ\ара а ^еа&а
Структура электрического и магнитного полей колебания типа
^010 для момента /=^ изображена на рис. 5.3,6. Собственная доброт-
ность резонатора определяется формулой (5.5). Если в резонаторе воз-
буждено колебание типа Еою и частота стороннего источника равна
"Собственной частоте резонатора, то можно считать, что Е=Еою, H=Hoio.
Поскольку Eoio=izEzoio, то энергия электромагнитного поля резонатора
определяется выражением
=V„, = ± sa у ] Е, ]* dV = 4- е J I Его1о I* dV,
Vo	Vo
в к°торое EzoJO надо подставить из формулы (5.38).
j. Средняя мощность потерь определяется по формуле (5.6), в которую
’г,°ю ==i)(>H,>010 надо подставить из выражения (5.39). Выполняя интегриро-
®ание, пользуясь формулой (5.5) и считая, что заполняющая резонатор
219
среда и стенки не обладают магнитными свойствами, т. е. цп—
находим собственную добротность колебаний типа Еою
\	Qaoio=^o/6S.
5.4.3.	Рассмотрим поле колебаний типа Нятр, которое можно возбудить с
мощью прямолинейного магнитного вибратора, параллельного оси г. При этом «4>
=iz j“ ст»	j’OT“0, поэтому Аэ—0, AM=izAMz; Амг удовлетворяет уравнению (4.1
и граничному условию (4.105). Дополнительное по сравнению с круглым волной^
условие в резонаторе состоит в том, что Еф и Е/ должны обращаться в нуль/
идеально проводящих торцах. Из формулы (1.115) следует, что Ег=—г~1дА\
и Еф =dh.4z/dz. Поэтому на торцах должны удовлетворяться граничные условий
AMz = 0 при z—0, г=/.	(5,
Неоднородное уравнение Гельмгольца (4.106) и граничные условия (4.105), (&
составляют граничную задачу о возбуждении резонатора прямолинейным магнитй
вибратором.
Решение граничной задачи ищем в виде
ОО ОО
AV= [слр (f) sin n<t + Dnp (г) cos n?] sin у- z.
n—0 p=l
Тем же путем, который использовался в п. 4.7.3 при решении аналогичной задачи д
круглого волновода, находим
. „	2 V V V	WOг (
У,пт^п (Knma){k2птр ^2)J
,	n=0 m=l /з=1	V
pn
cos n (<?—<?') Уп(*птг') sin -J-?'
ГДе ^2Ятр=Х2Ят+(рл//)2.
Из выражений (1.115), (1.116) находим составляющие векторов напряженней
поля колебаний типа Нптр. При частоте со стороннего источника, равной част<
собственных колебаний типа Н птр резонатора
1
...м_______________
ш оптр—> ./-------
V еа^а
наступает резонанс.
Наименьшую собственную частоту из всех типов Ня?яр-колебаний имеет колеб(
ние типа Неи, структура электрического и магнитного полей которого (при t=rti) ИЙ
бражена на рис. 5.3,в.
>В цилиндрическом резонаторе возможно вырождение колебаний. Вырождение
лебаний связано, во-первых, с осевой симметрией резонатора — при одном и .том
значении п (п=/=0) в резонаторе могут быть возбуждены поля двух структур одк<?|
и того же типа колебаний, но повернутые вокруг оси z друг по отношению к ДРУ*
на угол 90°. Подобное вырождение называют поляризационным (поворотным). Во-вТ<
рых, возможно вырождение поля для колебаний типа Hoip ц Ецр.
В § 4.13 показано, что коэффициент затухания волн типа Нот в круглом волю
воде мал и обладает аномальными свойствами: он стремится к нулю с увеличений
частоты. Поэтому резонатор, в котором возбуждено поле колебания типа Надъ име(
большую собственную добротность, достигающую величины порядка 105 в сантиметр^
вом диапазоне волн. Резонаторы с колебаниями типа Ноц применяются в качест!
высокочастотных Волномеров. При этом один из торцов резонатрра играет роль Ю
движного поршня. С изменением длины I меняется резонансная частота (длина волны
220
5.5.	Коаксиальный резонатор
5.5.	V Коаксиальный резонатор можно рассматривать как отрезок
коаксиальной линии, закрытой на концах (в поперечном сечении) ме-
таллическими пластинами (рис. 5.4).
Поскольку в коаксиальной линии волной основного типа является
волна типа Т, то можно утверждать, что в коаксиальном резонаторе
колебанием основного типа является колебание типа Тр. Число р долж-
но определять количество полуволн поля, укладывающихся вдоль дли-
ны резонатора I. Если в коаксиальной линии распространяется волна
типа Т, то в соответствии с выражениями (4.122) имеются только две
составляющие векторов напряженности поля Ег и Н^. Так как Ег
должна быть равна нулю на торцах резонатора, то р не может быть
равно нулю. Значит, необходимо, чтобы р—\, 2, 3,...
Проведем анализ собственных колебаний типа ТР. В коаксиаль-
ной линии, как видно из выражений (4.122), распространяется только
волна, бегущая вдоль возрастающих значений z. Если имеются торцы,
то кроме бегущей волны должна появиться отраженная волна (бегущая
вдоль уменьшающихся значений z). Значит, Ег в резонаторе можно
представить в виде суммы двух бегущих волн:
Е, = 4’(Е.”е’,4г + Е’»е+‘*2)’	(5.43)
где Еп0, Ев0 определяют падающую и отраженную волны. На торцах
имеем граничные условия: Ег=0 при z=0, z=l\ при 2=0. получаем
Ев0=—Еп0. Тогда
Ег = ~~ Ео sin kz,	(5.44)
где Ео=—2iEno.l При z=l имеем sin ЛЛ=О, нетривиальными решениями
этого равенства являются kl=pitlI, р=1, 2, 3,..,
Выражение Н находим из второго уравнения Максвелла:
Н =----------^-= - cos fe.	(5.45)
<₽	dz l(j3^ar	'
Таким образом, поле колебаний типа Тр определяется выраже-
ниями
E„=ifEr=-i-E.sin^Z, Hp=-i
Картина силовых линий поля основного колебания типа Т! в мо-
мент времени приведена на рис. 5.4.
При £о = «,тор Vв резонаторе возникает резонанс. Соб-
ственная частота резонатора для колебания типа Тр
№ =______L__£ZL
тор — у— t .
Рис. 5.4. Коаксиальный резонатор
i
221
1
Добротность резонатора для колебаний типа Тр определяется с по-Ч
мощью формулы (5.5). При ца=Ца1=Цо получаем	,
п _ 1 I * п __1/а + 1/Ь	'	;
^Т1 — 28 1 + //4а0 ’	0 — In (а/Ь) 1	’
В коаксиальном резонаторе могут возбуждаться колебания высших' \
типов. Каждое из высших типов колебаний характеризуется своим рас’ [
пределением поля в поперечном и продольном направлениях. Анализ :
полей колебаний высших типов можно выполнить так же, как для -
цилиндрического резонатора.
Задачи
1.	Найти составляющие векторов напряженности поля колебания типа Ноп в пря-
моугольном резонаторе. Показать, что они удовлетворяют граничным условиям на -
стенках резонатора.	‘
2.	Построить картину силовых линий электрического и магнитного полей колеба- |
ния типа Нои в прямоугольном резонаторе.	п
3.	Прямоугольный резонатор с размерами а=23 мм, Ь = 10 мм, 2=23 мм запол- <
нен воздухом. Рассчитать и сравнить собственные частоты колебаний типов Ню1 и
Нои. Вычислить собственную добротность резонатора для колебания типа Нщ (стен- >
ки резонатора медные).	J
4.	Проверить вывод выражений векторных потенциалов (5.35) и (5.42).
5.	Найти составляющие векторов напряженности поля колебания типа Нои в ци-
линдрическом резонаторе. Построить картину силовых линий электрического и магнит-
ного полей. Вычислить собственную частоту колебания. Волновод заполнен воздухом,
радиус волновода а=20 мм.
Глава 6
ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ.
ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
6.1.	Общая характеристика задач дифракции
В настоящей главе рассмотрим внешние граничные задачи элек- S
тродинамики (см. § 2.1). Считаем, что в объеме V заданы сторонние^
токи и заряды (рис. 2.1). Имеется объект ограниченный поверх-'
ностью 51, на которой электромагнитное поле удовлетворяет заданным j
граничным условиям. Поверхность 5о удалена на бесконечность. Среда,
заполняющая объем Со, является однородной и изотропной с парамет- 4
рами 8а, ца. Объем V в общем случае может быть расположен да лю*м
бом расстоянии от объекта Vi. Случай, когда объем V расположен в не*1
посредственной близости от поверхности Si объекта или на самой
поверхности, часто встречается в антенной технике (см. § 3.1). Прак-м
тический интерес при этом представляет полное поле, являющееся на-’
ложением первичного (падающего) поля и вторичного (отраженного
или рассеянного объектом 1Л). Источником электромагнитного поля
является вся система, состоящая из стороннего источника и объекта.
Целью решения граничной задачи в этом случае может быть, напри-1
мер, определение характеристики направленности излучателя и ампли-
туды напряженности поля при заданных форме поверхности Si объ-5
екта, граничных условиях на Si и положении стороннего источника.
222	J
Случай, когда объем V расположен на большом расстоянии от по-
верхности встречается в радиолокации. Размеры объекта при этом
намного меньше расстояния между антенной и объектом; можно счи-
тать, что это расстояние стремится к бесконечности. Значит, на объект
падает локально плоское поле. Целью решения граничной задачи в этом
случае может быть, например, вычисление амплитуды поля, рассеян-
ного объектом, в той точке наблюдения, где расположена приемная
антенна (зонд), вычисление зависимости рассеянного поля от угла
(диаграммы рассеяния) при заданных форме объекта, положении сто-
роннего источника (антенны радиолокатора), граничных условиях на Sb
Вектор Пойнтинга рассеянного поля в дальней зоне определяет так
называемую эффективную площадь рассеяния объекта, которая входит
в основное уравнение радиолокации.
Считаем, что первичное (или падающее) поле Ел, Нл, возбуждае-
мое сторонним источником в неограниченном пространстве в отсутствие
объекта и соответствующие векторные потенциалы Аэл, Амп извест-
ны. Вторичное поле и соответствующие векторные потенциалы так же,
как в § 4.9—4.11, обозначим через Ев, Нв и Аэв, Амв. Полное поле опре-
деляется векторными суммами:
Е=Ел+Ев; Н=Нп+Нв; Аэ<м)=Аэ<м) л4-Аэ<м> в.	(6.1)
Для обозначения объекта Vi употребляют следующие термины, при-
менение которых зависит от назначения объекта или его формы: пре-
пятствие, переизлучатель, отражатель, рассеиватель, экран, пассивная
антенна, поглотитель, радиолокационная цель.
Возбуждаемое сторонним источником электромагнитное поле, рас-
пространяясь в пространстве, как бы огибает встречающееся на пути
препятствие. Это явление на раннем этапе развития «волновой теории
получило название дифракции. В настоящее время под явлением дифрак-
ции в широком смысле понимается поведение волн в некоторой облас-
ти, имеющей границу с теми или иными свойствами. Полем дифракции
(дифракционным полем) является полное поле Е, Н. К дифракционным
задачам относятся задачи о распространении волн в неоднородных на-
правляющих системах, проникновение волн через отверстия в экранах,
огибание волнами различных препятствий, проникновение волн через
различного рода решетки, явления отражения и поглощения волн пре-
пятствиями, возбуждение поверхностных волн, распространение волн
в неоднородной атмосфере Земли и др.
Поскольку первичное поле известно, то основной целью при изучении
дифракции является определение амплитуды, фазы и поляризации рассе-
янного или полного поля как функций формы и параметров 8аь Ца1 препят-
ствия. Форма и параметры eai, pai практически важных препятствий
могут быть разнообразными; накопление информации об их рассеиваю-
щих свойствах возможно путем: 1) точных решений в замкнутой форме
или численных решений для условий, достаточно строго соответствую-
щих физической модели; 2) аналитических или численных решений для
условий, приближенных к реальной физической модели; 3) эксперимен-
тальных исследований. Результаты измерений и приближенных реше-
ний должны сопоставляться с результатами точных решений. Поэтому
точные решения в замкнутой форме могут играть роль эталонных ре-
шений, с их помощью можно проверять точность приближенных реше-
ний.,
223
Примерами задач, для которых можно получить точные решения,
достаточно строго соответствующие физической модели, являются за-
дачи дифракции на плоской поверхности раздела сред, на идеально про?-
водящих бесконечных круговом и эллиптическом цилиндрах, клиЬе, сфе-
ре и др.
6.2.	Падение плоской волны на плоскую границу раздела двух Сред
6.2.1.	На практике часто встречается случай, когда сторонний источ-
ник расположен над плоской поверхностью раздела двух сред. При
линейных размерах плоской поверхности, значительно превышающих
длину волны и расстояние до источника, поверхность раздела можно
аппроксимировать бесконечной плоскостью. Например, если антенна
расположена на некоторой высоте над Землей, то при расчете поля на
расстояниях, меньших расстояния прямой видимости, сферическую по-
верхность Земли в районе расположения антенны можно считать ло-
кально плоской и бесконечно протяженной. Поле в точке наблюдения,
расположенной над поверхностью раздела, есть сумма падающего поля
и поля, отраженного от поверхности раздела. Последнее зависит от
параметров обеих сред.
Распространяющееся поле проходит и в ту среду, где стороннего
источника нет. Очевидно, что оно тоже должно зависеть от параметров
обеих сред.
6.2.2.	Рассмотрим постановку задачи. Пусть над плоской бесконеч-
ной поверхностью раздела^ однородных изртропных сред с параметра-
ми еа, Ца и Еаь Ца1 расположен под некоторым углом к поверхности
раздела плоский лист синфазного электрического тока (рис. 6.1,а).
Лист тока находится в пространстве‘с параметрами еа, Ца. Необходимо
найти возбуждаемое электромагнитное поле, удовлетворяющее уравне-
ниям Максвелла, граничным условиям на поверхности раздела сред и
условиям излучения.
Введем декартову систему координат так, чтобы плоскость xOz сов-
пала с поверхностью раздела (рис. 6.1,а). Промежуточную систему ко-
ординат х', у', z' расположим так, чтобы лист тока совпал с плоскостью
Рис. 61. К постановке задачи об отражении плоской волны от поверхности раздела
двух сред
224
x'Oz' и направим ось х' вдоль вектора тока (см. п. 2.11.1). Тогда сто-
ронний синфазный ток представляется в форме jaCT=ixJ906(i/'—О).
В п. 2.11J1 показано, что в неограниченном пространстве векторные по-
тенциалы этого тока имеют составляющие
А™	А” = А’?=О, А“=0.	(6.2)
На плоскости yOz
р=у cos ф-f-z sin ф,
у'=ро~^(у cos 6©-}-г sin Go) =po— (y cos 0©—z sin 0©),
поэтому
A’“=AS“ =As"e'ilscos<>«-zsl,1<W, А’"=АЭ"=О. A“=0,	(6.3)
где AqH= J3o exp (— /£p0)/2/£.
Считаем, что p0->oo. Тогда источник падающего поля расположен
на бесконечности. По формулам (1.115), (1.116) находим
I En=ixEnx, Е%=-^ОАЗП, х	(6.4)
Нпг = — 0А“/ ду = — ik cos &ОАЗП= W~1 cos &0Е\.	(6.5)
Таким образом, на поверхность раздела сред падает плоская элек-
тромагнитная волна. Вектор Пойнтинга ее Пп направлен под углом О©
к нормали к поверхности раздела (рис. 6.1,а). Угол ft© называется уг-
лом падения волны.
Плоскость, проходящую через нормаль к поверхности раздела сред
и направление распространения волны, называют плоскостью падения.
Вектор Еп, определяемый выражением (6.4), перпендикулярен плоскос-
ти падения, поэтому эту волну называют нормально поляризованной
плоской волной. Поскольку вектор Еп параллелен поверхности раздела
сред, эту волну часто называют горизонтально поляризованной волной.
Полное поле в верхнем полупространстве (г/^0) является наложе-
нием падающего и отраженного полей и удовлетворяет выражениям
(6.1). Полное' поле Eb Hi в нижнем полупространстве (у^О) равно
вторичному (прошедшему или преломленному) полю, поэтому
Е^Е8,, Н^Н8,, А9Х = А*В, AMx = Af.	(6.6)
Вектор j9CT параллелен оси х. Поэтому Аэ= ix А9Х = ix (А8П + А9В),
Аэх = ixA9xl. Поскольку jMCT=0, то АМ=АМ1 = О. На поверхности раз-
дела сред в соответствии с условиями (3.12) необходимо выполнение
граничных условий
ЕХ=ЕВЛ;1 или ЕПХ+ЕВХ=ЕВХ1 при t/=0,	(6.7)
H2=HBzi или Hnz+HBz=HBzi при г/=0. .	(6.8)
Из формул (6.3), (6.4) находим
Е\ = - /о^аАзв, ЕХ1 = ЕВХ1 = -	(6-9)
Нвг = - д^(ду, Нв21 += - дАэ*1ду.	(6.10)
15'~Ц6.	225
Подставляя эти выражения и выражения (6.4), (6.5) в (6.7), (6.8), по*
лучаем граничные условия для составляющих векторных потенциалов
^а:+^аг=^.а:. »=о,	 <6.n)
д^1ду + д^1ду=дка’1ду, у-=0.	(6.12>
Функции 'А9” и А” удовлетворяют неоднородному и однородному
уравнением Гельмгольца] j* ‘
дАи+*!А”=-j9", AA"+FA"=0, у>0.	(6.13>
X	%	X	XX
Функция А** удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца
ДА^+^А^О, i/<0.	(6.14}
Уравнения (6.13) и (6.14) совместно с граничными условиями
(6.11), (6.12) ^условиями излучения составляют граничную задачу.
6.2.3.	Рассмотрим решение граничной задачи. Решение неоднород-
ного уравнения [Гельмгольца для А’п представляется выражением’(6.3),
определяющим плоскую волну, направление распространения которой ха-
рактеризуется углом 60. Функцию А®п можно представить в виде интег-
рального разложения (§ 2.11—2.13). Решения А’в, Авв , удовлетворяю-
щие однородным уравнениям (6.13), (6.14), можно искать тоже в виде
интегральных представлений с неизвестными спектральными плотнос-
тями, а также в виде, аналогичном виду (6.3). Используем последний
путь. Тогда
А®в(д) = Аэое~гАр = k\e'lk{y 003 ф+2 sln ф), у > 0,	(6.15)
А3® (А)= Аэ01е-^р*=Аэ01е-^(^СО5ф1+28|пф1>, у<0,	(6.16)
где Аэо, Аэо1 — амплитуды; р и pi — расстояния до точек наблюдения р
и pi, расположенных соответственно в верхнем и нижнем полупростран-
ствах; ф и ф1— углы, характеризующие направления распространения
отраженного и преломленного полей (рис. 6.1,а). Точка наблюдения
отраженного поля находится в верхнем полупространстве, поэтому 0^
^ф^зт/2 и Зл/2^ф2л. Точка наблюдения преломленного поля р\
находится в нижнем полупространстве, поэтому л/2^ф]^Зл/2.
Для того чтобы найти значения ф] и Аэо, Аэоь используем гранич-
ные условия (6.11), (6.12). Подставляя в условие (6.11) функции (6.15),
(6.16), (6.3), получаем
Азпе~ш Sln + P>aA90e-fft2 sln ф= p.alA301e'^z sln ф*.	(6.17)
Поскольку от значений 'г зависят лишь экспоненты, то это равенство
может удовлетворяться только при условии k sin -60=^ sin ф=^1 sin фь
Значит,
ф='О,о,	(6.18),
k sin 6’o=^i sin фь	(6.19)
Угол ф называется углом отражения. Равенство (6.18) является фор-
мулировкой первого закона Снеллиуса: угол падения равен углу отра- х
женйя. Угол ф1 определяется соотношением (6.19). Введем угол 6’пр==
226
sssjt—фь Тогда sinipi—syiOnp, cos^i =—cos'O'np. Из соотношения (6 19)
получаем
sinflnp=(£/£i)sinfy).	(6.20)
Угол Опр называется углом преломления. Последнее равенство выража-
ет второй закон Снеллиуса для идеальных диэлектриков.
Таким образом, из выражения (6.17) получаем
Р'а^О	o==P,ai^- ov	(6.21)
Подставляя в условие (6.12) выражения (6.15), (6.16), с учетом
(6.18), (6.19) имеем
ДЭП _ дэ _ fei C0S^P дэ	22)
A0	fccosa0
решая относительно Аэ0 и Аэ01 систему двух линейных алгебраических
уравнений (6.21) и (6.22), получаем
A9.= ^A“ A’01 = Rlnpi^- А’п.
где
p,aife cos »0 — р.а&! cos 0ПО	W1 cos 80 — Т cos &пр
p-ai^ COS &о + M-afej COS 0пр	IF, COS Oo -f- F COS йпр
P ___________________2p.ai& cos&Q______________	________2W\ cos Oo
^_LnP palk cos + ixpfcj cos &Пр = cos »0 + cos $np
(6.23)
(6.24)
— коэффициенты Френеля нормально поляризованной волны.
Составляющие векторов напряженности отраженного и преломлен-
ного полей находим по формулам (1.115), (1.116):
H'9I = U7’ sinOnpE\„
H’J1 = 1IT,cos»npE>,1,
E%, = E”21 = H\, =0,
(6.25)
Ев   • п дэп—ik Р
х — i(op‘ai\jjAq е ,
H,„=®'-,sin&.E\,
H% = — «7-’cos»,E,„
EBs=E% = H% = 0,
где р=г/cos #о+г sin О»; р!=—у cos #np+z sin Опр. Векторы
П‘ = i.	|Е\Гsin», + i„-	|E"x|cos9,,
Пойнтинга
(6.26)
— *z 2W* । ^*112 ^пр 2W* I Е Xi | cos ^пр
определяют направления распространения отраженного и преломлен*
кого полей (рис. 6.1,а). Векторы Ев, Нв перпендикулярны друг другу
и направлению распространения отраженного поля, они связаны харак-
теристическим сопротивлением W. Векторы EBi, HBi тоже перпендику-
лярны друг другу и направлению распространения преломленного по-
ля; связаны они характеристическим сопротивлением нижнего полупро-
странства Wi. Поверхности равных фаз Представляют собой плоскости,
перпендикулярные направлению распространения волны. Амплитуды
векторов напряженности полей при отсутствии поглощения не зависят
от расстояния. Волны являются плоскими.
!£•	227
На поверхности раздела из (6.25) получдем
Е%/ЕПХ=Я±, Евх,/Е% = Я±пр, У=0,	(6-27),
откуда видно, что и 7?1пр являются коэффициентами отражения и
прохождения (преломления) нормально поляризованной волны. В случае
когда аэ,-^оо, поле отражается от идеально проводящей поверхности
раздела. При этом еа1 —* -а /оо и R± —— 1, R±пр — 0. Значит, падающее ,
электромагнитное поле полностью отражается, оно не проникает в ниж-
нее полупространство. На поверхности раздела Ех=Епх-|-Евх=0, т. е.
Евх сдвинуто по фазе на л относительно ЕПХ.
Решение граничной задачи удовлетворяет условиям теоремы един-
ственности.	'
6.2.4.	Заменим в условиях задачи п. 6.2.2 лист поверхностного элек-
трического тока листом поверхностного магнитного тока. Ось хг также
направим вдоль вектора тока. Тогда сторонний синфазный магнитный
ток представляется в форме |мст= j*, JM06 (у'—0). В п. 2J3.2 было по-
казано, что в неограниченном пространстве при этом
А™ = -^-е~№Л А“ = А“ = 0, А” = О.	(6.28)
В системе координат x,y,z имеем
д мп __ дмпе ik (у cos &о— z sin ®о)	ДМП __ дмп __ Q дэп
X О	’ у 2	*
где A“n = JMoexp(—ik^0)/2ik. Считаем, что’р0 —* оо. Тогда падающее
поле приходит из бесконечности. По формулам (1.115), (1.116) находим
HT-=ixH\, Нпх=-^аА^;	'	(6.30)
дАмп	дАмп
En=i^ + izEn2, E^-^f-, Е%=-^-.	(6.31)
На поверхность раздела сред под углом Фо к нормали падает
плоская электромагнитная волна (рис. 6.1^6). Вектор, определяемый
выражениями (6.31), параллелен плоскости падения, поэтому падаю-
щую волну называют параллельно поляризованной. Поскольку вектор Е
лежит в вертикальной плоскости, эту волну также называют вертикаль-
но поляризованной.
На поверхности раздела сред должны удовлетворяться граничные
условия
Enz+EBz=EBzi, Нпх4-Нвх=НвХ1 при y=G. (6.32)
Поскольку
Евг = дк™/ду, Е\-=дк™/ду,
Нвг^-ьГаАГ> НвЖ1 = -ав1А"»
= 0,	(6.29)
228
то из последних равенств получаем граничные условия для составля-
ющих векторных потенциалов:
дЬ™1ду+дк™/ду=дк™/ду, у = 0-,	(6.33)
ГаА“ +;аАГ » У = 0.	(6.34)
Функции А“п и А”в удовлетворяют неоднородному и однородному
уравнениям Гельмгольца
ДАмп4-/г2Амп==— jMCT, ДАмв4-^Амв=0, z/>0.	(6.35)
Сторонние источники в нижнем полупространстве отсутствуют, поэтому
A“J удовлетворяет уравнению
ДА”+^,А”=0, F<0.	(6.36)
Соотношения (6.33) — (6.36) совместно с условиями излучения со-
ставляют граничную задачу.
6.2.5.	Решения А™ и А“в ищем в виде (6.15); (6.16):
=	= A“je-i4<«'“s*+2sln*>> г/>0;	(6.37)
А“(р!) = А"1е_“,₽,= А*,.,е_'4‘<‘'СО8ф'+”'пф‘|, у<0.	(6.38)
Подставляя эти выражения в условие (6.34), получаем формулы
(6.18), (6.19). Подставляя функции (6.37), (6.38) в условие (6.33),
используя равенства (6.18), (6.19) и (6.34) и решая систему линей-
ных алгебраических уравнений относительно Ам0 и AMoi, находим
А“.= R„A” , Аи„ =Л11прА“" где
Р ____Тп* СОЗ в. — ~ак, cos 9пр	_	Д' cos 9, — У, cos 9пр	(6.39)
II	~	~ , А	№ COS &0 4~ НА COS $по
eaik COS + eakl COS 0пр	О -г 1	пр
п ____ 27fll fe cos а0 __	21Г cos ftp	zg 4QX
11 np	7fllfecos»04-^1Cos»np	IF cos 90 4-^ cosOnp
— коэффициенты Френеля параллельно поляризованной волны.
Составляющие векторов напряженностей отраженного и прошед-
шего полей находим по формулам (1.115), (1.116):
Н\А” е-'*,
E,,=-W'sin&,H\,
Е“г = И7 cos &„Н\,
H’„=H% = E\ = 0,
HT^-^R^A^e-'41’1,
ET^-W'.sin^HT,,
E’^-r.cosVl-,,,	(6.41)
№„=^,=£•„=0.
Из последних выражений видно, что отраженное и прошедшее поля
являются плоскими волнами. Направления распространения их опре-
деляются векторами Пойнтинга отраженной и прошедшей волн
(рис. 6.1,6).
На поверхности раздела получаем из (6.41)
H\/WX==R",	НвХ1/Н\=^)1пр, • у =0,
229
откуда видно, что коэффициенты /?п и /?||пр являются коэффициентами
отражения и прохождения (преломления) параллельно поляризован'
ной волны.
6.3.	Возбуждение нитью тока плоской границы раздела двух сред
6.3.1.	При расчетехэлектромагнитного поля излучателей, располо-
женных у границы раздела двух сред, например над поверхностью
раздела земля — воздух, необходимо количественно учитывать влияние
параметров сред, положения излучателя над поверхностью раздела и
других факторов на полное поле.
Пусть в условиях задачи, сформулированной в п. 6.2.4, лист по-
верхностного синфазного магнитного тока заменен прямолинейной
нитью стороннего магнитного тока. Нить параллельна поверхности
раздела и находится в полупространстве с параметрами еа, ра
(вис. 6.2,а). Необходимо найти возбуждаемое электромагнитное поле,
удовлетворяющее уравнениям Максвелла, граничным условиям на
поверхности раздела сред и условиям излучения.
Введем декартову систему координат так, чтобы плоскость xOz
совпала с поверхностью раздела сред и ось х бртла параллельна нити
тока. Нить расположена на конечном расстоянии от начала координат.
Тогда jMCT—ixIMo6(//—^o)6(z—г0). Поэтому AM=ixAMx, АМ1=1ЖАМЖ1.
Поскольку j3CT=0, то Аэ=Аэ1 = 0. Составляющие векторных потенциа-
лов на поверхности раздела удовлетворяют граничным условиям (6.33),
(6.34). Функции А“п, А“в, А“в удовлетворяют уравнениям (6.35),
(6.36).
Выражения (6.33) — (6.36) совместно с условиями излучения со-
ставляют граничную задачу. Задача для нити дока отличается от зада-
чи п. 6.2.4 тем, что на поверхность раздела падает не плоская,
а цилиндрическая волна (при
6.3.2.	Рассмотрим решение граничной задачи. 'Функцию. А™ можно
вырамть череа функцию Ганкеля второго рода с нулевым индексом (см.
§2.14, 2.15). Функция Амп определяет цилиндрическую падающую волну.
Однако поверхность раздела является плоской и удовлетворить гра-
ничным условиям на ней для цилиндрических волн не удается. Естест-
венным при этом является разложение падающего и вторичных полей
по системам плоских волн с неизвестными амплитудами. Поскольку
для жлоских волн, как показывают результаты § 6.2, удовлетворить
Ум
(уо^о!
• СсьРа
О
777//W/W/;/
£аъ Pat
а)
Рис. 6.2. Нить тока у поверхности раздела сред
230
граничным условиям на плоской поверхности раздела легко, то при
этом оказывается возможным получить решение поставленной задачи.
Задача (6.33) — (6.36) отличается от граничной задачи (4.125)\
(4.126), (4.128), (4.129) только тем, что нить тока расположена в верх-
нем полупространстве, а толщина магнитодиэлектрического слоя яв-
ляется бесконечной, и поэтому вместо граничного условия (4.128) при
решении задачи надо использовать условие излучения для Амх1. При
этом применяются те же физические соображения, что и в п. 4.9.2.
Функция А™ определяется выражением (2.21), откуда так же, как
в случае формулы (4.1Т1), находим
I о°
• ТМ р 1
А“П==_4Г ]ТехР[+9г,)]	у>0, ' (6.42)
—со
где q=y%2 — k\
Можно считать, что вторичные источники отраженного поля нахо-
дятся на поверхности xOz, где у=0 (см. п. 4.9.2). Поэтому решение
однородного уравнения для А“а, удовлетворяющее условию излучения
при ищем в виде, аналогичном последнему выражению (см.
(4.134)):
А”=-^- ffM(x)-l-e_’!'-'*(2-‘2",dx, у>0.	(6.43)
—00
Поскольку у^О, то знак при экспоненте выбран отрицательным.
Можно считать, что вторичные источники преломленного поля рас-
пределены на поверхности у=0. Тогда решением уравнения (6.36),
удовлетворяющим условию излучения при —оо, является выражение
. °°
A\,=A” = -g-	(6.44)
где
Подставляя выражения (6.42) — (6.44) в граничные условия
(6.33) — (6.34) и применяя обратное преобразование Фурье, получаем
для спектральных плотностей и fMi отраженного и преломленного
полей
Г\ («) =	- г (X),	Ц- Г, (и) =Д, ‘ [е-™ + Г (•/.)].
41	ч
Решая эту систему функциональных уравнений, находим
 egi Я еаЯ 1 g—ЧУ о рл , ^еаЧ1	g—ЧУо	^5)
eai4 + еаЯ1	eai4 + еаЯ1
Формулы (6.43) — (6.45) совместно с выражениями (1.115), (1.116)
определяют отраженное и преломленное поля.
6.3.3.	Предположим, что вместо нити магнитного тока над той же
поверхностью раздела расположена прямолинейная нить стороннего
синфазного электрического тока (рис. 6.2,а). Тогда j3CT=ixI306(y—•
~~Уо)6(г—z0). Значит,
Аэ=1хАэх = 1\(Аэ; + Ар, A\=ixA::> АМ = АМ, = О.
231
Составляющие векторных потенциалов удовлетворяют граничным условней
ям (6.11), (6.12). Функции Авп, Авв, Авв удовлетворяют уравнениям (6.130
(6.14), которые совместно с граничными условиями (6.11), (6.12) И
условиями излучения составляют граничную задачу. '
6.3.4.	Решением неоднородного уравненения Гельмгольца для функ- J
ции Авп» удовлетворяющий условию излучения, в соответствии с фор- 1
мулой (2.12) является так же, как и (6.42), выражение	*
А9"=-!л	у>0.	(6.46)1'
х 4п J q	47	4	'
—00
Решения Авв, Авв ищем в виде (6.43), (6.44):
А*в=-^2- jf(x)-^e“^_tx(2-Zo) d%, у^О, *	(6.47)
оо	;
А“=-^-	y«SO. (6.48)
—00
Спектральные плотности /э(х), f3i(x) находим из граничных усло-
вий (6.11), (6.12):
f9 (х) = е~^° -^gl ~-q^a, f\ (х) = е“^° —.	(6.49)
flV'ai 4“ Я№а	"Ь<71Н,а
Выражения (6.47) — (6.49) совместно с формулами (1.115), (1.116)
определяют отраженное и прошедшее поля.
6.3.5.	Рассмотрим практически важный случай. Пусть среда, за-
полняющая нижнее полупространство, является идеальным проводни-
ком (оэ1->оо). Тогда 8ai~•»—/°о, k2i~>—/оо. Из формул (6.45), (6.49)
в пределе получаем	<	(
= ==Qt
Для нити линейного магнитного тока из выражений (6.44), (6.43) ,
имеем Амв=0 и	*
XI
А“=	и>0.	(6.50) •
х 4п \ q	I	'	'
о
Для нити линейного электрического тока из выражений (6.48), (6.47) <
находим Аэв=0 и
XI
» 00	,	\
А’" = —Лг- С J_	u&O. (6.51)-
х	4к J q	’ s	x s
—QO
Сравнивая два последних выражения с формулами (6.42) и (6.46),
определяющими поле нити тока в свободном пространстве при
У—Уо>§, находим, что в случае идеально проводящей поверхности
раздела отраженное поле как бы возбуждается нитью тока, располо-
женной в точке (—//о, 2о), т. е. в точке, являющейся зеркальным изо-
бражением истинного ист?чника. В случае нити магнитного тока токи
в зеркальном и истинном источниках не отличаются по фазе и ампли-
232
•	А
б)
Рис. 6.3. К вычислению отраженного поля
б)
туде (рис. 6.2,6), в случае нити электрического тока токи в зеркальном
и истинном источниках равны по амплитуде, а‘ по фазе сдвинуты на
угол, равный л (рис. 6.2,в). Таким образом, воздействие идеально
проводящей поверхности на электромагнитное поле можно заменить
воздействием фиктивного источника (источника зеркального изобра-
жения). Цри этом система, состоящая из истинного источника и
идеально проводящей поверхности раздела, заменяется системой,
состоящей из истинного источника и источника зеркального изображе-
ния (рис. 6.2,6, в). Этот метод учета влияния поверхности раздела на
электромагнитное поле называется методом зеркальных изображений.
В случае нити магнитного тока при t=t\ силовые линии напряжен-
ности первичного электрического поля и электрического поля зеркаль-
ного источника имеют вид окружностей (рис. 6.2,6). В случае нити
электрического тока силовые линии напряженности первичного магнит-
ного поля и магнитного поля зеркального источника также имеют вид
окружностей (рис. 6.2,в). Складывая векторы напряженности первич-
ного и вторичного полей, для поля нити магнитного тока получаем
Ё,=2Е“„ Нх=2№х, Ег=0. у=0,	(6.52)
для поля нити электрического тока
Hz=2Hnz, Ни=0, Ех=0, г/=0.	(6.53)
Если нить тока приближается к идеально проводящей поверхности
(#о~*О), то истинный и зеркальный источники сближаются. В случае
нити магнитного тока в пределе (z/o=O) поле при г/^0 определяется
магнитным током, равным сумме токов истинного источника и его зер-
кального изображения, а поскольку эти токи равны, то полное поле
в верхнем полупространстве удваивается по сравнению с полем нити
магнитного тока в неограниченном пространстве. Когда нить электри-
ческого тока располагается на идеально проводящей поверхности,
в пределе полное поле равно нулю, так как сумма токов истинного
источника и его зеркального изображения равна нулю. Можно утвер-
ждать, что поле истинного источника компенсируется полем источника
зеркального изображения, поскольку поля истинного источника, и зер-
кального изображения сдвинуты по фазе на л.
Выражения (6.42), (6.46) являются разложениями составляющих
векторных потенциалов по системам плоских волн. Их можно предста-
вить в другой форме, использованной в § 2.14, 2.15. Совместим начало
системы координат хг, у', г' с -нитью стороннего синфазного тока
'	.	if&3
(рис. 6.3,а) и учтем, что нить тока параллельна оси хг. Используя |
формулу (2.125), получаем
АГ=^Яо2,т. А“" = -^С (М. 0>о.	(6.54)'
Совместим начало системы координат х", у", z" с зеркальным изо-’
бражением источника и учтем, что нить тока зеркального изображения
параллельна оси х". Вместо (6.51) и (6.50) получаем тем же путем
АГ=—(^")- аГ=25-яГ(^")- </>о,
где учтено, что электрический ток источника зеркального изображения
равен —1эо, а магнитный 1м0.
Если то.чка наблюдения (рис. 6.3) находится на большом расстоя-
нии от излучателя	г'>р0)> то О'р\\О"р, поэтому 0’,='0*'о=-0>",
r"=/-,+2z/(>cos где 2z/0 cos O'— разность лучей О'р и О"р. Используя -
асимптотику (2.30) функций Ганкеля, находим
где F (г) = Y^^kr ехр (—ikr + ^/4); индекс оо означает, что отражен-
ное поле рассматривается для идеально проводящей поверхности. Со-
ставляющие векторов напряженностей отраженного электрического и <
магнитного полей в соответствии с формулами (1.115), (1.116) имеютвид:
для нити магнитногр тока	»
H"^=H"TO=0, Н\00 = -г-«.ГаА” = -«Д,0,25 Iм,F (г");	!
для нити электрического тока
Ев =‘ЕВ =0, Ев ==/«>раАэв ^«,и-1л-Г(г").	;
усо * zoo ’ хоо “а хао г"а 4	\ г
Из выражений для Нвхоо и Евхоо следует, что падающее и отражен-
ное поля на большом расстоянии от излучателя имеют характер :
цилиндрических волн.	1
6.3.6.	Для вычисления отраженного поля при произвольных пара- ]
метрах сред необходимо выполнить интегрирование в формулах (6.43), J
(6.45), (6.47), (6.49). Приближенные значения интегралов находятся?
методами теории функций комплексного переменного (методом пере- "
вала). Эти вычисления можно найти, например, в работе [21].	j
Выполняя оценку интеграла (6.43), в случае нити магнитного тока-X
получаем	*
Нвх (p) = 7?|IHBX00(p)^:—-<o7o0,25IM0/?|(F (г%	'
Н% = НВ2 —0, i/^O.	(6.55) *
Выполняя оценку интеграла (6.47), в случае нити электрического
тока получаем
Евх (р) = Я±ЕВХОО (р) <орвО,25РвЯ±F (г-),
(6.56)
E% = E\=0, i/^O,	<
И4	j
где (КЛ%)=Н^/НВХОО, /?±(^0Лгпр)=Е\/Е«оо при </ = 0,	и Я±
определены выражениями (6.39) и (6.23).
Из "соотношений (6.55), (6.56) следует, ^что 7?(1 и имеют смысл
коэффициентов отражения параллельно и нормально поляризованных ци-
линдрических волн. Значения 1МО7?(1 и 1э0#± можно рассматривать как
комплексные амплитуды токов зеркальных источников. В пределе, когда
o’j—-оо, получаем ——1,	► !, поэтому токи источников зеркаль-
ных изображений стремятся к IM0 i I9eexp(/7t).
Аналогично можно определить и преломленное поле.
6.3.7.	В случае, когда прямолинейная нить стороннего тока над
плоской поверхностью раздела двух сред имеет конечную длину, ис-
следование отраженного и преломленного полей производится тем же
методом: составляющие векторов напряженностей полей раскладывают-
ся по системам плоских волн, амплитуды плоских волн (или спектраль-
ные плотности) определяются из граничных условий. При этом
количественные соотношения для составляющих векторов напряженно-
стей становятся более сложными. Но качественные представления
остаются такими же, как в случае бесконечной нити стороннего тока.
Например, если конечной длины нить магнитного тока Iм параллельна
границе раздела, то граничное .условие на идеально проводящей по-
верхности (Е“,+Е\=0) удовлетворяется только в том случае, когда
магнитный ток истинного источника и магнитный ток источника зер-
кального изображения одинаковы по амплитуде и по фазе. Если ко-
нечной длины нить электрического тока 1э параллельна поверхности
раздела, то на идеально проводящей поверхности граничное условие
(Нпп + Нвп=0) удовлетворяется, когда электрический ток истинного
источника и электрический ток источника зеркального изображения
равны по амплитуде, но противоположны по фазе. При конечных про-
водимостях сред можно считать, что поле в точке р, расположенной
на' большом расстоянии от излучателя, возбуждается истинным и зер-
кальным источниками, причем ток в зеркальном источнике равен или
Я „Iм, или 7?±1э.
Если конечной длины нить стороннего электрического тока* перпен-
дикулярна поверхности раздела сред, то на идеально проводящей по-
верхности раздела граничные условия удовлетворяются, когда ток зер-
кального изображения равен (по амплитуде и по фазе) току истинного
источника (рис. 6.3,6). При конечных проводимостях сред влияние
плоской поверхности раздела на поле в удаленной точке наблюдения
можно заменить влиянием зеркального источника, ток которого равен
V
Если конечной длины нить стороннего магнитного тока перпенди-
кулярна поверхности раздела сред, то на идеально проводящей поверх-
ности граничные условия удовлетвряются, когда ток зеркального ис-
точника равен по амплитуде току истинного источника, а по фазе они
сдвинуты на л (рис. 6.3,в). При конечных проводимостях сред влияние
плоской поверхности раздела на поле в удаленной точке можно заме-
нить влиянием зеркального источника, ток которого равен #±1М.
Результаты настоящего параграфа показывают, что коэффициенты
отражения определяют вторичное поле излучателей в удаленных точ-
' ках .наблюдения.
235
6.4.	Полное преломление и отражение волн	ч
6.4.1.	Энергия падающего электромагнитного поля при определен-
ных условиях может полностью переходить в энергию преломленного
электромагнитного поля. Отраженное поле при этом отсутствует. В со-
ответствии с выражениями (6.25), (6.41) для этого необходимо, чтобы
коэффициенты отражения были равны нулю.
Рассмотрим случай, когда потери в средах отсутствуют/ т. е
7а = еа,, еа1 — еа1. Пусть 7? =0; для этого надо, чтобы числитель
(6.39) был равен нулю, т. е. чтобы выполнялось равенство I7cos&0|| ==
== cos Э-Пр. Так как из выражения (6.20) следует, что cos2$np^=l —
— (k sin&0(| )2/k\, то из приведенного равенства получаем
sin&0„=k,.e°^/|x°-e“' у/2.	(6.57)
11	\ е а —е ai j
Пурть = Приравняв числитель выражения (6.23) нулю, имеем
1Иг cos = W cos Э'пр. Подртавляя сюда значение cosO-np, находим
sin»0 = (v.a,	.	(6.58)
\ Р- а Iх ai J
Таким образом, поле, падающее на поверхность раздела под углом
&0!! или Э'ор проходит из верхнего полупространства в нижнее не от-
ражаясь. Угол &0|| или {^называется углом полного преломления (уг-
лом Брюстера).
Для немагнитных сред ра = ра1 = р0. Поэтому при параллельной
поляризации
Sin&oj, = V^I(ea + eai)-	(6-59)
При горизонтальной поляризации, как следует из формулы (6.58),
явления полного преломления не существует. Для существования угла
Брюстера при горизонтальной поляризации необходимо, чтобы
Иа¥=Ра1.
Коэффициенты преломления (6.24), (6.40) при обеих поляризациях
в случае падения поля под углом Брюстера равны единице. Множителе
sin-Опр и cos Опр в соответствии со вторым законом Снеллиуса являются
действительными и положительными. Значит, прошедшее поле (6.25)
или (6.41) является полем плоской волны, распространяющейся под
углом Опр к нормали к плоскости раздела сред.
6.4.2.	При определенных условиях возможно полное отражение па-
дающего поля (явление полного внутреннегр отражения). При этом пре-
ломленное поле при у-*—оо отсутствует. Из второго закона Снеллиуса
следует, что при увеличении угла падения Фо угол преломления увели-
чивается и при некотором значении Фонр становится равным ФПр=л;/2..
Это предельное значение угла. Поэтому из (6.20) получаем sinB'0Kp=
— kjk. В случае немагнитных сред sin8-0Kp—l/"eai/sfl. Для среды без
потерь величина Уе = я называется показателем преломления и
sin Фо кр—Пх/п. Поскольку вшФокр^!, необходимо, чтобы Пх<Л, т. е.
среда полупространства с параметрами eai, Цаь пх должна быть опти-
чески менее плотной.
236
Если Фо>Фокр, то из выражения'sinftnp==(& sin Фо)/&1 следует, что
зшФпрЖ т. е. Фпр является мнимой величиной. Считаем, что Фпр=
т°гда sm^np=sin^chY)+izcosgshY). Действительные величи-
ны | ит] выбираем так, чтобы 5шФпр был действительной величиной.
Если % — (4т + 1)л/2, где т=0, ±1, ±2, ..., то значение q определяет-
ся выражениями
sin^np—chi] = (^/^1)sin^0>l, cos О'пр = — z sh т].	(6.60)
Для преломленного поля при нормальной поляризации при
Фо>Фокр по формулам (6.25), (6.60) получаем
Е%,=- ^1лрА”еМ sh ^‘к,г с” ’•	Е V = Е“- = °>
Н’ = 0; Н’ = — Г-1 ch 1 Е%„ Н’ = — ill??' sh ц Е" .
Вектор Пойнтинга этого поля имеет действительную Пв21 и мнимую
П%1 составляющие. Значит, преломленное поле энергии вдоль нормали
к границе раздела не переносит. Амплитуды поля при оо убывают
по экспоненциальному закону. Поле имеет характер волны, бегущей
вдоль возрастающих значений z, фазовая скорость волны
= (eaip^i)-1/2/sin Фо- Поверхность раздела сред является направляющей
поверхностью. Вдоль нее в нижнем полупространстве распространяется
поверхностная Н-волна. Аналогично поверхностная Е-волна получается
из выражений (6.41) для параллельной поляризации поля.
Коэффициенты отражения (6.23), (6.39) выражаются в комплекс-
ной форме
й±=|К±|е'Ф1,	7?|| = |R|1 |егф",	(6.61)
где | 7? | ’, | R н | и ф±, ф (| — модули и фазы коэффициентов отражения.
При &0 > имеем |	|. ,
В верхнем полупространстве полное поле получается наложением
падающего и отраженного полей. При Горизонтальной поляризации,
используя (6.9), (6.25), находим Ey=Ez=0,
Ех 7= —	A;"ei4'J-'22cos (ky cos ft, + 0,&[>±) <Tlta s,“ *•.	(6.62)
Из второго уравнения Максвелла получаем Нх=0,
Ну — W~1 sin $OEX, Hz = iW~1 cos &0 tg (ky cos &0 + 0,5фх) Ex. ~ (6.63)
Вектор Пойнтинга этого поля имеет действительную IIZ и мнимую
• Пу составляющие. Волна распространяется вдоль направляющей по-
верхности. Фазовая скорость волны равна фазовой скорости поверх-
ностной волны в нижнем полупространстве. Поверхностями равных фаз
будут плоскости 2 = const, перпендикулярные оси z, поверхностями
равных амплитуд — плоскости, параллельные поверхности раздела. По-
этому волна является неоднородной плоской волной. Распределение
Ех вдоль координаты у имеет характер стойчей волны. При значениях,
определяемых из условия cos(ky cos Фо+ Фд^/2) =0, Ех=0. Если при
этих значениях у расположить идеальнр проводящую плоскость, парал-
лельную границе раздела, то граничные условия на плоскости удовле-
творяются. При этом образуется слой магнитодиэлектрика на металле.
Используя формулу Эйлера дйя cos(ky собФо+ ф±/2), распространяю-
щуюся в слое волну (6.62), (6.63) можно представить в виде суммы
'	,	237’
Рис. 6.4. Графики зависимости коэффициентов отражения от углов падения волны
двух парциальных плоских волн, переотражающихся на границах об*
разованного слоя. Эта концепция может быть использована при физи*
песком анализе условий распространения волн в слое диэлектрика?
(см. § 4.9).
Аналогичные результаты можно получить из выражений (6.41),
(6.30) в случае параллельной поляризации.
6.4.3.	Зависимость коэффициентов отражения от угла падения при
заданных параметрах сред мож?ю рассчитать по формулам (6.23),
(6.39). Для немагнитных сред без потерь (цэ1=югэ2=0), когда верхнее?1
полупространство является воздухом (еа=ео), графики модулей и фаа
коэффициентов отражения при нормальной и параллельной поляризд*
циях приведены на рис. 6.4,а. Для случая, когда нижнее полупростран-
ство является воздухом (sai = so), аналогичные графики приведены на
рис. 6.4,6.
6.4.4.	Пусть среда, заполняющая нижнее полупространство, имеет
отличную от нуля проводимость оэ1. Проводимость среды, заполняющей
верхнее полупространство, равна нулю. Преломленное поле при этом4
определяется общими выражениями (6.25), (6.41), в экспонентах ко-
торых имеются величины k\ sin Фир и kx cos Опр. Величина ki sin Опр—
=&sinOo действительная, так как k и Оо — действительные величины.
Учтем, что &i = pi—iai, тогда
kx cos Э'пр = yrk21 — k2 sin260 — ]/р21 — a2! — k2 sin2 &0— z2p1a1. (6.64)-
Обозначим cos Onp=|3?/—zay, где py и ay определяются (6.64). При
этом из выражений (6.25) получаем для нормальной поляризации
Еву1=Ев21 = Нвх1 = 0,
ив	• П MnftVj(VfesinW.	/с ecti
ЕВХ1 = — i^a ^±прАо е у е у ;	(6.65)
Н°„ = W~' ± sin ».Е\„ Н’и = «71	Е\,	(6.66)
Эти выражения описывают волну, у которой поверхностями равных
фаз (прямая 1 на рис. 6.5) являются плоскости $vy—kz sin Оо=const?
238
Рис 6 5 к определению преломленного поля в про-
водящей среде
Поэтому направление распространения пре-
ломленной волны определяется углом Опр,
удовлетворяющим выражению tgOnp=
= (&sinOo)/₽y С увеличением" |z/| ампли-
туды составляющих векторов напряженно-
сти поля из-за потерь затухают по экспо-
ненциальному закону. Поверхностями равных амплитуд (прямая 2 на
рис. 6.5) являются поверхности r/=const. Поверхности равных ампли-
туд и фаз наклонены друг к другу под углом Опр (рис. 6.5).
Рассмотрим важный для практики случай. Пусть |&i|>j£|. При
этом из равенства (6.64) получаем ау«аь Кроме того, Опр«0.
Из выражений (6.65) имеем
EBxi^WiHBzl, HByi^0.	(6.67)
Для параллельной поляризации из формул (6.41) аналогично находим
Ebz1«—ЕвУ1«0.	(6.68)
Выражения (6.67), (6.68) описывают однородную плоскую Т-вол-
ну, распространяющуюся вдоль нормали к поверхности раздела
(Опр~0). Поперечные составляющие векторов напряженности поля
в любой точке нижнего полупространства, в том числе и на поверхно-
сти раздела, связаны характеристическим сопротивлением IFj среды.
Значит, на поверхности раздела
Е^^^Н^ь Е^-^Н^
(6.69)
На поверхности раздела сред строго выполняются граничные усло-
вия (6.7), (6.8), (6.32): ,
EBxi = Ex, HB21=HZ, EB2i=Ez, HBaci==Hx.
Используя эти равенства в условиях (6.69), получаем для полного поля
в верхнем полупространстве
Ег~—№1НХ на поверхности раздела. (6.70)
Характеристическое сопротивление в этом случае называют
поверхностным сопротивлением Z=WX. Равенства (6.70) в векторной
форме можно представить следующим образом:
[n, E]=Z[n[H, п] ] на поверхности раздела, (6.71)
где п — внешняя относительно области, в которой определяется поле
Е, Н, нормаль к границе.
В § 3.8 приближенные граничные условия получены другим ме-
тодом.
6.4.5.	Как уже отмечалось, при оэ1=И=0 амплитуды составляющих,
векторов напряженности поля убывают с увеличением |г/| ПО экспо-
ненциальному закону. В случае проводников оэ1->оо и затухание опре-1
деляется экспонентой exp(ai#). Амплитуды всех составляющих векторов
напряженности поля быстро убывают вдоль нормали к поверхности
раздела. Поле сосредоточено в основном у поверхности раздела в слое,
толщина которого равна глубине проникновения поля 6ь вычисляемой
'	,	239
Рис. 6.6 Графики зависимости коэффициентов отражения от углов падения волны
по формуле (2.65). Плотность вторичного тока (j3i = o9iEBi) тоже экс-
поненциально убывает по мере удаления от поверхности раздела.,
Значит и ток сосредоточен у поверхности проводника в основном в слое
толщиной бр Это явление называют поверхностным эффектом (скин-
эффектом).
Явление поверхностного эффекта приводит к тому, что поперечное
сечение провода как бы уменьшается и в результате на высоких час-
тотах значительно увеличивается активное сопротивление провода по
сравнению с сопротивлением того же провода постоянному току. На
высоких частотах центральная часть провода не используется и по*
этому применяются полые провода.	t
6.4.6.	Если сгэ1=#=О, оэ=0, то поле в верхнем полупространстве ка-
чественно не отличается от того поля, которое имеет место при оэ1==0.
Коэффициенты отражения рассчитываются по формулам (6.23), (6.39)<
Графики зависимостей модулей и фаз коэффициентов отражения or
угла падения волны приведены на рис. 6.6 (еа==8о, 80i=10eo). Срав*
некие этих графиков с соответствующими графиками, изображенным»
на рис. 6.4,а, показывает, что при параллельной поляризации и на*
личии потерь в нижней полуплоскости графики зависимости коэффи-
циента отражения имеют ярко выраженный минимум, но полного
преломления волны не происходит.
Кривые [	(6д)| имеют монотонный характер. С увеличением оэ, и Л
величины |	| и | R^ | возрастают. Фаза фн меньше 180°, только при
6в—90° фаза фп = 180°, в области углов, близких к углам Брюстера,
фп резко изменяет свое значение. Фаза ф± больше или равна 180° и из*
меняется монотонно.
Отметим, что в случае идеально проводящей поверхности раздела
1ЯХ1=|ЯВ 1 = 1, ф±=180° ф„=;о.	
Если на поверхность раздела падает волна с произвольной линей-
ной поляризацией, то вектор Еп можно представить в виде суммы двух
векторов, один из которых параллелен, а другой перпендикулярен
плоскости падения. Так как в общем случае модули коэффициентов
отражения параллельно и нормально поляризованных волн различны»
то в точке наблюдения соотношение между амплитудами составляю-
щих векторов напряженности поля отраженных волн отличается от
соответствующего соотношения для падающих волн. Поскольку
ф^ и ф(|, не равны, то составляющие векторов напряженности поля
240
отраженных волн при параллельной и при нормальной поляризации;
сдвинуты по фазе. Поэтому результирующее отраженное поле имеет
эллиптическую поляризацию.
6.5.	Возбуждение нитью тока кругового цилиндра
6.5.1.	Пусть имеется бесконечный круговой цилиндр радиуса.
а с поверхностным сопротивлением, возбуждаемый нитью стороннего
электрического тока, параллельной оси цилиндра. Сторрнний ток воз-
буждает электромагнитное поле, удовлетворяющее уравнениям Макс-
велла, граничным условиям на поверхности цилиндра и условиям
излучения. Пространство вне цилиндра является однородным и изо-
тропным с параметрами еа, ца- Необходимо найти векторы напряжен-
ности полного Е, Н и рассеянного Ев, Нв полей.
Введем цилиндрическую систему координат, ось z которой направ-
лена вдоль оси цилиндра (рис. 6.7,а). Тогда сторонние токи j3CT==
—^о)6(ф—<Ро)/Л jMCT=0. Векторные потенциалы первичного'
поля найдены в § 2.14:
Амп=0, АЭП = АЭП = О,
г ¥
ДЭП 1Эо уч е~in (<₽-<Ро) | п (К)	} (^Г)» Г > го»
2	Г<Г9.
(6.72>
Векторные потенциалы вторичного поля Амв=0, АВВ=АВВ=О.
Необходимо найти А9В. Следовательно, для векторных потенциалов-,
полного поля имеем A’ = j2A% = i2 (А9П-(- А9В), Ам=0.
Рис. 6.7. Распределение токов на цилиндре и диаграммы рассеяния поля
16—116	241’
Составляющие векторов напряженности первичного, вторичного й
полного полей определяем по формулам (1.115), (1.116):	,
Е%=—н; = —Н«Г=Д--^,	(6.73)
E%=-^A“	Н", = -^.	Н-Г=Д.^.	(6.74)
Ez=-foft,A*„ Нт=-^,	Н,=-Д^.	(6.75)
Пусть нить тока удаленМ от цилиндра на такое расстояние, что
р|г0->оо. В этом случае цилиндр относительно стороннего источника
находится в дальней зоне. Можно предположить, что в области, заня?
той цилиндром, падающее поле должно быть локально плоским. Дейст-
вительно, при |£|/q->oo и конечном kr в выражении (6.72) необходим^
использовать нижнюю строку (г<го). Для функции Ганкеля (kr0)
можно применить асимптотику (2.30). Подставив при этом в вь^.
ражение (6.73) для Еп2, получаем
Е!12~—	e~ikr^14 inQ~in{^}an(kr), |£|г0->оо.
n=—00
(6.76)
Отсюда видно, что если точка наблюдения, находящаяся в началу
координат (г=0), удаляется от нити тока (rQ растет), то амплитуда
поля убывает при а=0 пропорционально 1 / У г0; волна является бегу*
щей, т. е. выражение (6.76) описывает цилиндрическую волну, расхо-
дящуюся от источника.
Пусть г0=const Обозначим
Р ____°^а1ЭД 1/ 2 -ikr0+iK/4	*
°^~	4 V mkr0
Ряд по функциям Бесселя в (6.76) является разложением экспо-
ненты (см. п. 2.4.2). Значит,
Епг —EoefAr cos	(6.77)
Из второго уравнения Максвелла или из (6.73) имеем
Н^-Г'Чоз^-^Е^ №,=0, г0-*оо.
Значит, в точке наблюдения р, расположенной на бесконечно большом
расстоянии от источника, волна падающего, поля является плоской и
направление ее прихода определяется углом\р0 (углом падения). При
го большом, но конечном (Го>а) падающее поле можно считать ло-
кально плоским.
Относительно оси z электромагнитное поле имеет характер Е-волны
(поляризация поля такова, что Е параллельно оси г). Считаем, что
поверхностное сопротивление цилиндра Ze для Е-волны определено,
например, методом, использованным в § 4.10 [см. (4.145), (4.151)].
Тогда из формулы (6.71) получаем граничное условие
[п, Е]=2е[п[Н, п]] при г=«.	(6.76)
242
Подставляя сюда E = il2Ez и Н =s= irHr-|-i Н , имеем 4
Ег=2ЕН? при г—а. □	(6,79)
В случае металлического цилиндра Ze=0.
Подставим в условие (6.78) выражения Е2 и ГПиз [(6.75). Тогда
дэ	^Аэ2 г лэ	?дЛэ2
А’2=:---------г- [или	Аэ2 —А—, г = а.
г 1щх.а дг	*	2	1(1Ц/.а д (for)
Учитывая, что k/a^a-W-1, ZB/W~Z0B — нормированное поверхностное
сопротивление, получаем
A9z+iZOEdA9z/d(&r)=O, г=а,	(6.80)
— это граничное условие для A9Z. В него входит как сама функция A9Z,
так и ее нормальная производная на граничной поверхности. Это гра-
ничное условие аналогично условию (4.153).
Функции А9П и А9В удовлетворяют уравнениям
ДАЭП+ &2АЭП= — j9 ст, ДАЭВ4- £2АЭВ == 0,	(6.81)
2*Z	Z	Z 1 Z *	'	'
где Д — оператор Лапласа в цилиндрической системе координат [см.
(4.93)]. Просуммировав левые и правые части этих уравнений, полу-
чим неоднородное уравнение Гельмгольца для функции A9Z.
Выражение (6.72) есть решение уравнения (6.81) в неограниченном
пространстве для Аэп. Дифференциальное уравнение [для А9В является
______ 2	_	2 т-
однородным. Но граничное условие' для А9В, получаемое из условия (6.80),
лдэв	/	ЛДЭП \
A9B + i‘Z0RT^==“A9n+ZZOF^-,	г = а,	(6.82)
2 1 ОЕ д (яг) \ 2 0Е д (kr) у ’	v '
является неоднородным, поскольку его правая часть есть заданная
функция.
Однородное уравнение Гельмгольца (6.81) для Аэв<совместно с не-
однородным граничным условием (6.82) и условием излучения при
г->оо составляет граничную задачу.
Отметим, что применение граничных условий вида (6.79) позволяет
исключить из рассмотрения электромагнитное поле внутри цилиндра
(при г^а).
6.5.2.	Решение уравнения (6.81) ищем в виде, аналогичном (6.72),
При этом надо учесть, что источниками А9В можно считать вторичные
эквивалентные поверхностные токи на цилиндре (при г=а).
Вторичное поле определяется в области г^а, поэтому точка г=0
исключается из рассмотрения. Учтем, что должны удовлетворяться
условия излучения (3.33), (3.34). Значит, решение должно быть сход-
ным с выражением верхней строки в (6.72):
2 аяе-,я(йг), га.	(6.83)
П——00
Функция А9В представлена здесь в виде суммы пространственных (ази-
мутальных) гармонии. Амплитуду каждой азимутальной гармоники
16*	343
определяем из граничного условия (6.82). Подставляя в последнее вы*
ражения (6.83) и (6.72), умножая равенство на ехр(пг'ср) и интегрируя
результат по ср от 0 до 2л, находим
п ___	1эо 4/(2)/х,r\p	с __ (fea) + ^QE^'n(feg)
-	4i п„	G" H^(ka) + iZosH^' (ka)'
(6.84)'
Составляющие векторов напряженности вторичного поля опреде-
ляем по формулам (6.74): Евг= ЕВФ = НВ2 = О,
00
Е‘г = -/ЩЛ, 2 ад~'"'^’"'Я'2'(М,	(6.85)
п=—00
Н’, — —	у /гад-'"’’-’"’Я® (М-	(6.86)
П=—Q0
00
Н”,= -А 2 апе-,п^Н^' (kr).	(6.87)
П-—00
Все составляющие векторов напряженности полного поля можно полу-
чить по формулам (6.75). Выражения (6.83) — (6.87) определяют
решение поставленной электродинамической задачи. Они удовлетво-
ряют всем условиям теоремы единственности.
6.5.3.	Рассмотрим важный для радиолокации и теории приемных
антенн случай. Пусть источник находится на большом расстоянии от
цилиндра. При этом на цилиндр падает локально плоское поле (6.77).
Тогда, подставляя значение ап из формулы (6.84) в выражения
(6.85) — (6.87) и используя асимптотику функции Ганкеля (kro)
при	получаем составляющие векторов напряженности рас-
сеянного поля
Ев2=—Ео 2 inCne~in{^H^ (kr),	(6.88)
П= — 00
00	"*
' S 1ПпС^~‘”	(kr}'	(б-89)
>Я=—00
у гС„е~//1(ф~фо)Я(2)'(Лг).	(6.90)/
С помощью этих выражений и выражений (6.76) можно найти
поверхностные вторичные электрический и магнитный токи на ци-
линдре:
J9= [H, n]„ JM=[n, Е], г=а.
Эти токи связаны граничным условием (6.78):	4
Jm—ZE[n,J3], г=а.	(6.91)
Для J3 получаем .
J’ = [irHr + iH^ (-ir)] = i2Hv, г —а.
Значит, Л = Лэф = О,	JMr —JMe = 0, Змф = /ЕЗэ2.
244
Из формулы (6.76) и второго уравнения Максвелла имеем
00
Нпф^Ж- У He~Ztt(<₽~'₽о)y'n(kr). .
ч>	7 j	n \ /	।
П=—00
Поэтому
Н,-=Н“9 + Н’ф=^ У] Ге-1'1	(6.92)
Л=—00
Полагая здесь г=а и учитывая выражение вронскиана цилиндрических
функций [6, 25], найдем, что
(ka) H(^'(ka) — J'„ (ka) (ka) = 2/iitka.	(6.93)
Тогда
, _ 2E, p ine~in
z~- Wvka 2j //(2) (fea)+ t-Z0EH^' (ka) ’
(6.94)
т. e. поверхностный ток на цилиндре зависит от его электрического
размера ka, поверхностного сопротивления и направления падения
волны.
С помощью выражения (6.94) можно рассчитать зависимость тока от координа-
ты ср. Для сокращения объема вычислений целесообразно ряд (6 94) преобразовать
следующим образом:
00	—1
Si" ехр [— in (у — у0)] _ уу f”exp [— (у — уа)]
Ж2> (ka) +	(ka) Zj Н%> (ka) + IZOEH™' (ka)+
n=—<x>	m =—oo
yi >» exp [—in (<f — -ГЧ (—I)'1/'1 exp [in (? — ?„)]
+Li H™ (ka) + IZ№H®' (ka) 41 «12> (ka) -J- iZaEH^ (ka)
n=0	n—1
y, i»exp[-in(?-j)]
^LiH^(ka) + iZ0EH^' (ka)
n=0
Если учесть, что H^n (х)=Н^ (х) ехр (—inn), то сократив (—1)” в числителе
и знаменателе первого ряда в правой части равенства, объединив суммы и применив
формулу Эйлера, получим
00	00	1
Sin ехр [— in (у — у0)] _ уу	cos и (у — у0)
Н^!(ka) + iz^ff^'jka) 2j Н™ (ka) + iZ0E/<2>' (ka)'
n——X> * <afci'f i— —III II	°
На рис. 6.7,6 приведены графики нормированных значений модулей
тока | J3zo (ф) | = | Лэ?(ф) 11 Jaz(0) |-1 на металлическом цилиндре (Ze=O)
Для разных значений ka при ф0=0, графики симметричны относительно
угла <р = фО = О (а=0).
При рассмотрении графиков целесообразно использовать термины,
применяющиеся в оптике. Освещенной областью называют часть по-
верхности цилиндра, соответствующую углам <р от 2л;—фт до фт, тене-
вой областью — часть поверхности, соответствующую углам <р от фт до
2л—<рт (на рис. ’6.7,в источник расположен при <ро=О). Область, при-
мыкающую к углам фт и 2л—фт, называют Областью полутени. Если
'	245
сторонний источник расположен на бесконечности, г0-+оо, то фт=90*
и область тени соответствует углам ср от 90 до 270°.
Из графиков, изображенных на рис. 6.7,6, видно, что распределе- ;
ние модуля поверхностного электрического тока по азимутальному)
углу зависит от электрического размера цилиндра ka, с увеличением ka
увеличивается неравномерность тока: при больших значениях ka в об- J
ласти тени ток мал по модулю, при а<0,5Х (ka<ri) ток, затекающий 1
в область тени, сравним по амплитуде с током на освещенной части? 1
цилиндра. В области полутени значение тока определяется значением
а[К
В радиолокации информация о свойствах и положении объекта
в пространстве извлекается из рассеянного поля в основном, когда
объект расположен на больших расстояниях от излучателя. При
(строго при |&|г->оо), используя асимптотику функций Ганкеля, иа
выражений (6.88) — (6.90) получаем
ИЙ
___	QO
E%» — Eo)/~ e“;'ir+"/4 V (—(6.96).
Н‘т~ — V-'E\; Нвг»0.	(6.97),
Из этих соотношений видно, что поле рассеяния является цилиндриче-
ской волной.
Для сокращения объема вычислений ряд в выражении (6.96) мож-
но преобразовать аналогично тому, как это сделано в (6.95). Учитывая»,
в (6.84), что	= (—1)п^п(х), и выполняя преобразования, на-
ходим
где функция	4 ’
00	'
=	—	(6.98>1
п=0	1
характеризует зависимость в дальней зоне рассеянного поля от азиму-
тального угла. Эту функцию называют характеристикой рассеяния.
Графики нормированных функций ]	] = [ Гвэ (<р) 11F33 (0) ]-1, т. е.
диаграммы рассеяния, для металлического цилиндра при разных зна-.
чениях ka в полярной системе координат изображены на рис. 6.7,2-
(сплошные кривые). Сторонний источник расположен при фо=0»
|&|го->оо. Из графиков следует, что с увеличением электрического ра-^
диуса цилиндра растет поле в направлений ф=180°. 'Лепесток диа-^
граммы рассеяния, максимум которого ориентирован в направления
Ф=180°, с ростом ka становится все уже. Если считать, что при
->оо полное поле Е=ЕП + ЕВ при ф==180° должно быть равно нулю, так
как цилиндр в этом случае затеняет электромагнитное поле, то Ев->-
—> Ел при ф = 180°.
6.5.4.	Заменим в условии задачи, сформулированной в п. 6.5.1, нить синфазного
электрического тока нитью синфазного магнитного тока. Тогда сторонние токи имеют
вид j э ст=0, jMCT = 1г I” 6(г—г0) 8 (у—<р0)/г- При этом Аэп=0, А™ = iz А”п. Значит Аэв=3
=0, AMB=r= А“°. Функции А“п иА“в удовлетворяют уравнениям (6.81), в которые
индекс ,э“ надо заменить индексом „м“. РешениемЛюоднородного уравнения Гельмгольца
для А??11 является выражение (6.72), в котором тоже необходимо заменить индекс э“
индексом ,м“. Первичное поле нити магнитного тока изучено §] 2.15. Для^ нити
синфазного магнитного тока имеем
Н" = Нф = 0, Н* =	— Zto7aA™ .	(6.100)
Составляющие векторов напряженности вторичного поля 1 дА”в	дА“в Ев 				—. Ев =	— гв — 0 сг	г д<р ’ Ь<₽	dr ’	и>		(6.101)
нв = н; = о, Нв =	-	А™ .	(6.102)
Относительно оси z электромагнитное поле представляет собой Н-волну. Считаем,
что поверхностное сопротивление цилиндра Zh для Н-^|лны определено. Граничное
условие при этом получаем из формулы (6.71):
[n, E]=Zn[n, [Н, п]], г=а.
Имея в виду, что Е = irEr + 1ф H = izH2, находим
Еф = — ^нН2, г = а.	(6.103)
Подставив сюда значения Еф = Епф + Евф и Н2= Нп2 + Нв2 из (6.99)—(6.1С2)
обозначив через Z^ = ZH 'W нормированное поверхностное сопротивление, получим
граничное условие для А™ :
1 дк™3 f 1 дА™ \
(6Л°4)
6.5.5.	Решение граничной задачи для А^в ищем в таком же виде, как и (6.83):
00
А”8 = 2 ЬпГ1п^\Н® {kr)f г^а,	(6.105)
П=—ОО
Подставляя это выражение в граничное условие (6.104), умножая равенство на
ехр (in'cp) и интегрируя результат по ф от О до 2л, находим
Ьп =
1МО	^'п (^а)	(^а)
-^н„ «4.4 =	(м.
(6.106)
Составляющие векторов напряженности вторичного поля определяем по формулам
(6.101), (6.102): Ев2=№г = №ф=0,
EBr = -y- bnnt-in&-^H® (kr),	(6.107)
п = —00
Евф = й 2 bne-in(*-^H^' (kr),	(6.108)
п. =—00
Нв2 — —	2 bne~in^~^H™ (kr).	(6.109)
п=—00
Выражения (6.106)—(6.109) определяют решение поставленной электродинамической
задачи. Они удовлетворяют всем условиям теоремы единственности.
U1
Рис. 6.8. Распределения токов на
металлических цилиндрах и диаграммы рассеяния
цилиндров
6.5.6.	Проанализируем конкретные случаи. Пусть |&|г0—>оо. Тогда из выражения '
(6100) имеем	'	1 \
Ф	оо	*
Н^ = -1-ю7оА“п = Н0 2	(6.110) '
п=~ 00	( ,
где при Го—const обозначено постоянное значение падающего поля:
и 1МоШ£а	?__р—ikrn+i-иЦ
Используя формулу разложения экспоненты в ряд по функциям Бесселя (п. 2.4.2)» ’
получаем
H2=H0ez*fCos^-4><’>.	> (б.ШР
Из первого уравнения Максвелла при этом имеем
Еп — IF cos (у — ?О).НП2, Епг^0.	(6.112)j
Значит, на цилиндр падает локально плоское поле.	.	£
Электрический поверхностный ток, наводимый на поверхности цилиндра:
F = [H, п] = —1фН2, т. е. Рф=-Н2 =-(Нп2 + Н«г), г = а,
j3r==jaz==o. Подставляя сюда выражения (6.109), (6.110), с учетом (6.106) находим^ <
применив тождества (6.93) и (6.95):
t
J9 fl ,nin eoSn(f-f.)	(6.11S) i
n=0
На.рис. 6.8, а изображены графики нормированных значений тока | Рфо (<р) | ==*
= I (?) 11	(0) |“1 на металлическом цилиндре (Z0H = 0) при <f>0 = 0. Из графиков^
видно, что распределение амплитуды тока Рф по углу <р в области тени и полутени
при одних и тех же значениях ka существенно отличается от распределения амплитуд^
тока J92 (см. рис. 6.7, б). Объясняется это тем, что tqk Лэф протекает в направле-
нии, перпендикулярном оси, и поэтому интенсивно затекает в область тени. В область
тени затекают две волны тока: при ф==фт = 90° и при <р=—<рт ——90°. Наложение
этих волн тока приводит к тому, что появляйся максимумы и минимумы, характер- s
ные для режима стоячих волн.	<
248
Для рассеянного поля при г>а из выражений (6.107)—(6.109) и (6.106), исполь-
зуя тождество (6.95), получаем
Н%==-Н.	рш (?),	=	Е",=0,	(6.114)
ОО
где FBM (?) = 2 sn (—l)”^n cos n(<f — ?0) — характеристика рассеянйя цилиндра для
n=0
Н-волны.
Нормированные характеристики рассеяния | Т7™ (у) ] = | FBM (?) [ | FBM (0) j-1 метал-
лического цилиндра при разных значениях ka изображены на рис. 6.7,г (штриховые
кривые). Из графиков видно, что при одних и тех же значениях ka диаграммы рассея-
ния Е- и Н-волн могут существенно отличаться.
Нормированные диаграммы рассеяния | F™ (у) | = | FBM (у) 11 Гвм (л) |~1 цилиндра
с поверхностным сопротивлением (Z0H=— 4i) в декартовой системе координат изобра-
жены на рис. 6.8,6 (фо=О, £а=12). Там же для сравнения приведена диаграмма
рассеяния цилиндра для Е-волны (Zoe=—4i, ka=12), нормированная по значению
|Евэ(л)|. Обе диаграммы рассеяния мало отличаются (особенно для углов в освещен-
ной области) от диаграмм металлического цилиндра.
6.5.7.	Рассмотрим интересный для теории антенн случай. Пусть нить электрическо-
го 'или магнитного стороннего тока находится на конечном расстоянии от металличе-
ского цилиндра (Ze=Zh = 0). Тогда можно считать, что электромагнитное поле воз-
буждается сторонним источником и вторичными поверхностными токами на цилиндре,
т. е. излучателем является система, состоящая Из стороннего источника и объекта,
у которого расположен сторонний источник. Найдем поле, возбуждаемое такой систе-
мой в дальней зоне.
Из выражений (6.84), (6.106) для металлического цилиндра имеем
ап
— Н(2) (kr ) 	, Ь
41 Нп (^о) ^2) (йа) ’ Ьп
— //<2) (kr )
41
Для нити электрического тока с помощью формул (6.72) — (6.74) и преобразова-
ния (6.95) получаем при г>г0 Ег = Еф = 0,
ОО
Ег = Eg + Eg = -	(А»° + АГ) - У	(Т ~И™ (kr).
где fn (ka) = (ka) (fer0) — Уn (kr0)	(ka). При | k | r -* оо, используя асимпто-
тику функций Ганкеля, находим
где
= &nin —	(ka)	(6.115)
— характеристика направленности излучателя, состоящего из продольной нити элек-
трического тока, расположенной вблизи металлического цилиндра.
Из второго уравнения Максвелла имеем
Нф^-И7-’Е2, Нг^0, Нг=0.
Таким образом, полное (дифракционное) поле относительно радиального направ-
ления представляет поперечную цилиндрическую волну. Распределение составляющих
\	,	249
векторов напряженности поля по азимутальному углу в дальней зоне зависит от |
значений ka и электрического расстояния k(rQ—а) между нитью и цилиндром. Норми- J
рованные по максимальному значению диаграммы направленности излучателя при •
ka=\, 3 и 12 и при г0—а=к/4, ф0 = 0 приведены на рис. 6.9,а. Поскольку продольные
токи слабо затекают в область тени, то значение |Е2| в области тени быстро умень- 1
шается с увеличением ф. Диаграммы направленности не имеют резких осцилляций,
характер их мало зависит от значения ka.
Для нити магнитного тока с помощью формул (6.100), (6.102), (6.105) и преобра-
зования (6.95) получаем при г>г0 Нг=Нф = 0,
о _	~ г А™ _1_ Дмв\ 1Э°Ю5а V с C0S П ~	(kr\
Н2= — /<0Еа(А2 +AZ )=	4 2j е« Н®*'(ka)
где f,n^ta,)=dfn{ka)ld(ka).
При |&|г—>оо, используя асимптотику функций Ганкеля, находим
Нг Kist	w,
где
00
Sf'n COS П (<Р — Фо)
(6Л16)
п=0
— харамверистика направленности излучателя, состоящего из продольной нити синфаз-
ного магнитного тока, расположенной у металлического цилиндра. Из первого уравне-
ния Максвелла имеем
Еф^И7Н2, Ег^0, Е2=0.
Таким образом, полное (дифракционное) поле имеет характер поперечной цилин-
дрической волны. Распределение по углу ф составляющих векторов напряженности
•лноро поля Зависит от значений ka и электрического расстояния й(г0—а) между
нитью и цилиндром. Нормированные диаграммы направленности, рассчитанные по
формуле (6.116), изображены на рис. 6.9,6 для значений ka—\, 3 и 12; нить магнит-
ного тока (узкая щель) расположена на поверхности цилиндра (г0=а) при ф0==0.
Как видно из диаграмм, в дбласти тени величина |Н2| значительна. Объясняется это
тем, что поперечный поверхностный ток Зэф на цилиндре затекает в теневую область
(см. рис. 6.8,а). Наличие осцилляций диаграмм направленности в области тени также
объясняется затеканием тока в область тени.	/
Рис. 6.9. Диаграммы направленности нитей тока, расположенных вблизи металличе-
ского цилиндра
250
6.5.8.	Задачу дифракции электромагнитных волн на шаре можно решить тем же
методом, который применен для решения задачи дифракции волн на цилиндре. Отли-
чие состоит в том, что необходимо использовать не цилиндрическую, а сферическую
систему координат и, значит, решения задачи представляют в виде разложений не по
цилиндрическим, а по сф'ерическим функциям. Сечение шара по большому кругу и по-
перечное ’ сечение цилиндра имеют одинаковую форму, поэтому естественно ожидать,
что распределения поверхностных токов по большому кругу шара и по окружности
цилиндра должны мало отличаться при соответствующих поляризациях падающего
поля как в освещенной области, так и в области полутени. Количественное сравнение
результатов подтверждает этот вывод.
Если на конечном расстоянии от шара находится сторонний источник, то излуча-
телем является система, состоящая из шара и стороннего источника. На большом рас-
стоянии от излучателя и шара полное электромагнитное поле относительно радиально-
го направления представляет поперечную сферическую волну. Составляющие
Е0 или Н0 векторов Е и Н с увеличением расстояния 7? от начала координат в даль-
ней зоне убывают как \/R (в среде без потерь), а характеристики направленности
Fa или Ем отличаются от характеристик направленности (6.115) или (6.116) тем, что
они зависят, еще от угла 0:
Еэ=Еэ(0, ф), Ем = Ем(0, ф).	(6.117)
Функции Fa, FM зависят, как и'в случае цилиндра, от значений ka (а — радмув шара|,
положения стороннего источника относительно шара и поверхностного сопротивле-
ния шара.
6.6.	Возбуждение идеально проводящего клина. Дифракция
на полуплоскости
6.6.1.	Поверхность объекта, облучаемого сторонним источником,
часто имеет изломы, кромкщ ребра. Влияние таких выступов на элек-
тромагнитное поле можно исследовать, аппроксимировав поверхность
объекта поверхностью клина. Точка наблюдения электромагнитного
поля может оказаться в области тени, образованной объектом типа вы-
сокой горы; приближенно рассчитать поле при этом можно, заменив ре-
альный объект (гору) клиновидным. Задача дифракции волн на клижа
имеет точное решение и представляет большой практический интерес.
Рассмотрим постановку задачи. Пусть бесконечный идеально про-
водящий клин с внешним углом раствора у возбуждается сторонним
синфазным электрическим током, вектор ]эст которого параллелен реб-
ру клина (рис. 6.10,а, б). Пространство, в котором расположены клин
и источник, является однородным и изотропным с параметрами еа, Ца-
На гранях клина должны удовлетворяться граничные условия для ка-
сательных составляющих вектора напряженности электрического поля
Рис. 6.10. К решению граничной задачи
на поверхности клика
е 51
и условия на ребре (см. п. 3.1.4). Искомое поле должно удовлетворять»^
уравнениям Максвелла и условиям излучения.
Граничные условия на гранях клина наиболее просто записыва- *
ются в цилиндрической системе координат, которую расположим так,,
чтобы ось z была совмещена с ребром клина, а плоскость xOz совпала
с прверхностью одной из граней (рис. 6.10,а). Считаем, что сторонний
ток однороден по координате z. При этом j3CT= i2j^CT, jMCT = 0. Сле-
довательно, A3=izA% Ам=0; функция Аэ2 удовлетворяет/неоднородному^
уравнению Гельмгольца (4.93). Поскольку стороннцй ток и граничные
условия однородны по координате z, то Аэ2 и векторы напряженности
поля не зависят от z (dAaz/dz=0) и уравнение Гельмгольца имеет вид
— 4-	+	<6.118>
г дг дг у 1 г2 ду2 1	2 z	4 г
Из выражения (1.115) получаем Er = Eip—0,
Ez==—Kop,aAaz.	(6.119)
Граничное условие для Ez имеет вид Ez=0 при ср=О и ф=у. Для Ааг
граничные условия получаем из (6.119):
'Аэ2=0 при <р=0, ф=у.	(6.120У
Уравнение Гельмгольца (6.118) совместно с граничным условием.,
(6.120), условиями излучения и условиями на ребре составляет гра-
ничную задачу.
6.6.2.	Учтем, что электромагнитное поле и, следовательно, функ-'
цию Aaz необходимо найти в интервале О^ср^у. На границах интер-
вала искомая функция должна быть равна нулю. Аналогичные усло-
вия налагаются, например, на функцию AJZ в инервале	при ре-
шении задачи возбуждения прямоугольного волновода. Поэтому, исполь-» \
зуя результаты § 4.2, разложим А% в ряд Фурье по системе функций*
sin шор/у:	।
оо	_
A\ = С„ (г) sin	(6.121)
/1 = 1
Это выражение удовлетворяет граничным условиям (6.120). Пусть v=njt/y. Коэф^
фициенты Сп найдем, подставив (6.121) в уравнение {6.118); умножим результат на
sinv'q), где v'=n'nly, и проинтегрируем его по ср от 0 до у. Используя свойство ортог,
тональности (4.14), получаем, заменив п' на п, а ф на ф':	,
1 д / дСп \ / v2 \	2 р
~'дГ\г~дГ) + ^— “J Cn=-~ j j2 T(r> <)sinvT'd?\
о
Представим Сп(г) в виде интеграла Фурье — Бесселя
/
сп (г) — ^ап(*)Уп (хг) xix	(6.122)^
О
и подставим в предыдущее выражение. Учитывая, что в соответствии с уравнением ‘
(4.101)
1 д (	f \
~Г~д7 V —д~г—)—V2 -	(")*
252
имеем
.	оо	I
Р	2 Г
J ап (*) (*2 — *2) (*П	“ "7" ] ЙСТ <г’ ?') sin
о	о
Умножим это равенство на гУч (х'г) и проинтегрируем по г от 0 до оо. Учтем при»
этом, что
00
f	,	S (х — Xх)
I («О 3, (»'<) rdr = -'у.
J	V хх'
О
и применим основное свойство 6-функции. Получим
ап (*) = —	& СТ (г'> /) —	i_S^2r'dy'dr'.
S
Подставив это выражение в формулу (6.122) и затем в (6.121), имеем
00	Оо
Аэг = -у sin V? | £ ст (?) sin vf'dS' j	*d*’
S s	о
где dS'=r'dq>'dr'. Интегрирование по переменной % здесь выполняется тем же мето-
дом, который использован в п. 2.4.2 для получения разложения (2.29). Используя ре-
зультаты п. 2.4.2, получаем
А9г
я £ f	f^v (!«•') « 2) (И. г>г’,
fti	,,, L,	(6.123У
Uv(kr)//'21 (kr’), r<r’.
Если сторонний источник представляет собой нить тока (рис. 6.10, в), т. е
j*CT=IW-ro)M?-?o)A, то
л!э0 vi	/^v (^о)(м> т>г9,
Аэ2=-77- ▼ . sin v<posinvy S i
В	r<r0.
Составляющие векторов Е и Н определяем по формулам (1.115), (1.116):
Е _Е -н -О Е —А9	Н—i-—2 Н__________—2-
— с-ф— пг~A-z— . ~ А Z’ nr— г д<₽ ’ П<₽~ дг
1(йеа	’
(6.124).
(6.125>
Рассмотрим поведение составляющих векторов напряженности поля вблизи ребра.
Пусть сторонние источники находятся на конечном расстоянии от ребра. Тогда Аэг
определяется формулой (6.123) при г<г'. Если kr—>0, то для функции (kr) мож-
но воспользоваться асимптотикой
^v(kr)^ (fer)7v!2* (^->0).		(6.126>
Основной вклад в сумму в выражении (6.123) вносит первый член ряда (при
п~1). Пренебрегая вторым и последующими членами ряда, находим
А92^АЭО(^)’/Т (fer-O),	(6.127>
где Аэо не зависит от г. Из выражений (6.125) при kr—>0 получаем
Ег^=—А% (kr)”'!, Hr^k^(kr)^-1,
/юеа	т	I
25»
откуда видно, что >ри 7>л, т. е. для острого клина, |Е2|-*0, |Нг|-*оо и |Нф|-*
__>Оо. Поскольку |НГ|—>оо, то и модули плотности поверхностного электрического
тока | J3z ] на гранях стремятся к бесконечности на ребре.
Среднее значение объемной плотности энергии электрического и магнитного полей
вычисляем по формулам
К>Мср — 4 Р-аНН*
о>эср ="еаЕЕ*/4 = еа | Е2 ]2/4,
1
4 P-a
(Мэ0 2
<МЭО 2 nk „
k~W +тА9°
(feT)2^"2.
(6.128)
При kr—>0 имеем w3Cp—>0, a wMcp—>-oo. если у>л.
Найдем средние значения энергии электрического и магнитного полей в объеме
ДУ конечной величины, включающем ребро. Используя формуль! п. 1.7.3, получаем
<^'эср — 4 sa У 1 Е212 rdrdydz,
ду
^мср = 4 f w^rdrdydz.
ДУ
Поскольку |EZ|2 не имеет особенностей при rsAV, то — конечная величина.
Используя (6.128), для ^мСр получаем
Жмср =
1 С
4 Р-а J
ДЗ
Г 4.
к~дГ +
P-aY (^)2,t/l f
“	8л£ J
AS
Дг
d(fdz I
о
TA’
(kr)2^ 2rdr =
21
dydz.
“ А%
dA% 2
dy
Интеграл здесь не зависит от г и является конечной величиной. Значит, ^“ср имеет
в объеме ДУ конечное значение. Таким образом, электромагнитная энергия, запасенная
в объеме ДУ, является конечной и решение задачи (6.124), (6.125) удовлетворяет
условиям на ребре.
Используя асимптотическое поведение функций Ганкеля при1 |&г|—>оо, можно
убедиться, что выражения (6.125) удовлетворяют электромагнитным условиям излуче-
ния (3.33).
Итак, решение задачи (6.123), (6.125) удовлетворяет всем условиям теоремы
единственности.
6.6.3.	Выражения (6.124), (6.125) позволяют изучить ряд интересных для практи-
ки частных случаев. При у=2л клин переходит в полуплоскость (рис. 6.10,а). Рас-
смотрим случай дифракции плоской волны на полуплоскости. Пусть нить электрическо-
го тока так удалена от полуплоскости, что можно считать |Л]г0—>о°- Если Го=const,
то на полуплоскость падает плоская электромагнитная волна. Поле дифракции опре-
деляется выражениями (6.124), (6.125), в которых надо использовать асимптотическое
значение функции Н^2)2 (fer0) при |kr\ -> со.
Имея в виду последнее, из формул (6 124), (6 125) находим
_____	00
Е2^_	Лп ^-sin	(kr) (I k I r. - oo).
«=1
(6.129)
254
Введем обозначение
Ezo
~~ 4
/2
nkr0
e—ikr0+i^/it
Тогда
оо
Ez = Ezo2 t"/2sinsin -y ZXn/2 (kr).	(6.130)
n=l
В соответствии с (2.132) Ez0 определяет в начале координат электрическое поле нити
тока, расположенной в неограниченном пространстве на расстоянии г0 от начала коор-
динат. Значит, Ez0 равно составляющей напряженности первичного электрического
поля нити тока в начале координат.
При вычислении составляющей Ez полного поля необходимо в выражении (6.130)
суммировать число членов ряда, большее значения kr. Поэтому при малых kr это вы-
ражение легко использовать для вычисления полного поля. При больших значениях kr
(и особенно при \kr—>оо|) пользоваться выражением (6 130) из-за медленной сходимо-
сти ряда нельзя (так как количество членов ряда, которые надо суммировать, стре-
мится к бесконечности). Поэтому применяются методы асимптотических оценок.
Чтобы выполнить асимптотическую оценку выражения (6.130) при больших зна-
чениях kr, используем тригонометрическое преобразование произведения sin («ф0/2)Х
Xsin (пф/2). Получим
ОО
E2=EZ0J in/2 cosn5^^—cosn^-^-j zrn/2(Ar). (6.131>
/1=0
При n=0 выражение в квадратных скобках равно нулю, поэтому выражение
(6.131) совпадает с (6.130).
Преобразуем формулу (6.131)
Ez — 2 Ezo
ОО	00
J en<»/2cos л	(kr) - J] .„/'•'’cos n ^2^ .7„/2 (kr)
Ln=0	n=0
Используем табличный интеграл [6, с. 987]
____________ cos (Ф/2)	оо
«(ф)е=У 2-е^созФ J e-^=4’^;^/2c°SrtT’zrn/2(^)’ (6Л32>
—оо	л=0
Тогда
Е2 = Е20[ы(ф—фо)—ы(ф+фо)].	(6.133)
Рассмотрим сначала случай, когда cos (ф/2) > 0. Обозначим V2kr cos (ф/2) =
= а>0и преобразуем интеграл следующим [образом:
Ч	а	оо	оо	  а
J e~l'ttdz = J e~l^dz— j e~llfldz	=	J e~^dz,	(6.134)
—oo	—oo	a	oo
так как интеграл с бесконечными пределами от ехр (—1т?) равен V^/i. В последнем
нтеграле выполним замену переменной по правилу t2==t1, dz = dzJ2 Р^тр а затем
проинтегрируем результат по частям. Получаем
Если |&|г—>оо (а—>оо), то, интегрируя по частям во втором слагаемом справа,
убеждаемся, что интегралом справа можно пренебречь. Подставим значения интегра-
255
лов (6.135), (6.134) в исходное выражение (6.132). Преобразуя показатель экспонен-
ты, получаем	,
и (ф) eikr Ф+ехР +	, |fe|r~>oo, cos-y->0.	(6.136)
^2^2^008(0/2)’ 11	* '
Рассмотрим второй случай. Пусть cos (ф/2) <0. Обозначим [—V2fer | cos (ф/2) ]]=»
=—а\ и преобразуем интеграл в выражении (6.132), использовав замену переменной:
—-Gj f	00	оо
j e~t'‘,dr = J er^'dx	=“2“ У	е~П1
—оо	at	a»t
Интегрируя по частям при |&]г—>-оо,	учитывая,	что	cos	(Ф/2)*=—]cos (Ф/2)|, и пре-
небрегая слагаемыми, пропорциональными (fer)~3/2, (Лг)-5/8, ..., получаем
V4kr cos (Ф/2)
f	i exp (—i2kr cos2 0,5ф)
J	2 V 2kr cos 0,5ф
—00
Подставив это выражение в (6.132), найдем
ехр (— ikr 4- (Зп/4)	,,,	Ф	‘
“(Ф)* 2/^7 cos (ф/2)’	cos-<°-	(в-137)
Выражения (6.136), (6.137) можно объединить следующим образом:
и (ф) « е*-*МФ) + eXPJ~^+‘3,,/4),
2 V2nkr cos (ф/2) ’
тде т](Ф) = 1 при cos (Ф/2)>0 и т](Ф)=О при cos (Ф/2)<0.
Подставив последнее выражение в формулу (6.133), получим при [&|г—>оо ✓
(6.138)
Е2^. Ег0 [ехр [ikr cos (у — <р0)] т) (<р — ?0) — ехр [ikr cos (? 4- ?0)] т) (? + <р0) +
+	2^2^kr cos [(<р — <р0)/2] cos[(¥ + t0)/2]J •
Первое слагаемое, умноженное на Ezo, равно составляющей вектора напряжен-
ности электрического поля падающей волны, приходящей с направления, определяемо-
го углом фо (угол падения в § 62 равен л/2—фо); фронт волны является плоскостью,
так как сторонний источник находится на бесконечности (см. рис. 6.10,г). Так как'*
т)(ф—фо)=О при cos [(ф—ф0)/2]<0, т. е. при л<ф—фо<3л, то падающее поле i
в области тени (2л^ф>фт — л+фо) отсутствует.	,
Второе слагаемое в (6.138) в соответствии с результатами § 6.2 определяет зер- \
кально отраженную от облучаемой полуплоскости плоскую волну, распространяющую-
ся от полуплоскости в направлении, определяемом углом —фо. Знак минус при этом
слагаемом означает, что фаза коэффициента отражения равна нулю. Так йак т](ф+
4-фо)=О при соз[(ф-[-фо)]/2<0, т. е. при 2л>ф>ф1=л—ф0, то зеркально отражен-
ное поле в области углов 2л^ф>ф1 отсутствует.
Отсутствие падающего поля в области тени и зеркально отраженного пол#
в области, где ф>фь ф^2л;, соответствует физическим представлениям об отражении
поля от поверхности раздела сред, изложенным в § 6.2 и 6.3.
Последнее слагаемое в выражении (6 138) описывает цилиндрическую волну, рас-
сеянную ребром и расходящуюся от ребра; при этом ребро является вторичным источ-
ником— нитью вторичного электрического тока. Это слагаемое зависит от угла фо и
угла наблюдения ф.
Если ф=л+фо = фт, т. е. точка наблюдения поля находится на границе освещен-
ной и теневой областей, то cos [(ф—фо)/2]==О и верхний предел интеграла в (6.132)
256 . 	к
Рис. 6.11. Нормированные диаграммы рассеяния (а) и диаграммы направленности рас-
сеянного поля (б)
6)
равен нулю. То же происходит, когда ф=фь В этих случаях использовать выражение
(6.138) нельзя, так как оно получено при условии, что cos (Ф/2)^=0. Если cos (Ф/2) =
— О, т. е. ф=л, то интеграл в (6.132) вычисляется точно.
В области тени ф>л, значит ф>фт>фь Поэтому т)(Ф)=0. При этом из выра-
жения (6.138) получаем значение в области тени:
р р ехр(—t'fer + гЗд/4) /___________1________________1______\
г~ 20	2V~2^kr \cos[(y — <?0)/2]	cos [(у + f0)/2] ) ’
ут<<р=С2л, [&|г-*оо.	(6.139)
Нормированные диаграммы рассеяния |Ft| — |Ег(ср) |/|Ех(фсН-1О0) | в области
тени при фо=ЗО° (фт=210°), фо=6О° (фт=240°) и фо=90° (фт=270°) изображены
на рис. 6.11,а (сплошные кривые). При фо = О из (6.139) следует, что Ег—0 при всех
значениях ф. В этом случае нить тока расположена на полуплоскости и ее поле ком-
пенсируется при всех значениях угла <р (во всем пространстве, как следует из
выражения (6.138)) полем зеркального источника, амплитуду электрического тока
в котором при |й|г0—>-оо можно считать равной амплитуде тока истинного источника,
а фазу — сдвинутой на л.
В области тени с увеличением угла ф, как следует из графиков, амплитуда со-
ставляющей вектора Е резко уменьшается. При углах ф, близких к фт, амплитуда
имеет значительную величину, но при ф==360° Ег=0. Даже если первичное поле па-
дает нормально на полуплоскость (фо— 90°), |Ег| при изменении ф на 10° (от 280 до
290°) уменьшается в два раза. При всех значениях ф0 (О<фо^9О°) |Е2| мало в обла-
сти тени при ф, близких к у=2л.
6.6.4.	Заменим теперь в условиях задачи п. 6.6.1 вектор стороннего электриче-
ского тока вектором стороннего магнитного тока jM-CT = i2j“ ст, однородного по коорди-
нате г. При этом j9 ст — 0 и, значит, Аэ = 0, АМ = 12АМ2. Функция Ам2 "удовлетворяет
уравнению (6.118), в котором индекс «э» надо заменить на «м». На гранях клина
17-1116	257
должно выполняться граничное условие Ег=0 при ф=0, ф=у. Поскольку Ег—
=—дА*г/гд(р, то граничным для AMZ является условие
дАмг/дф=0 при <р=0, ф=у.	(6.140)
Искомое поле должно удовлетворять условиям излучения н условиям на ребре клина.
Уравнение Гельмгольца для AMZ совместно с граничным условием (6.140), усло-
виями излучения и условиями на ребре составляет граничную задачу.
6.6.5.	На интервале О^ф^у функцию AMZ разлагаем в ряд Фурье по системе
функций cosvф, удовлетворяющих граничному условию (6.140):
оо	—-
АИ2 = 2 dn (О C0S
л=0
Коэффициенты разложения dn определяем тем же методом, который использован
в п. 6.6.2. Подставляя их в последнее выражение и выполняя интегрирование по к,
находим
r<r, (6.141)
n=0 S
В случае нити синфазного магнитного тока [j2CT=IMo^(r— го)^(? — *Ро)/г1 получаем
п1м Л	(?,{*,) И® (Лг), Г>Г„
А"г = B72j',,COS7f"c'>s’T	r<r..	(6Л42)
п=0	4
составляющие векторов Е и Н определяем по формулам (1.115), (1.116): Ez=Hr=
= Нф = 0, '
Е*=-----£ф = ^Г> Нг=-<т^А“г.	(6.143)
С помощью формулы (6.126) устанавливаем, что при kr—>0 особенности в вы-
ражениях (6.143) могут появиться из-за члена ряда, соответствующего п=1. При
этом
А«г^Ам0(йг)^,
где Ам0 не зависит от г,
>	Нга;-^0А% (Ar)*/’.
Значит, | Ег | -> оо и | Еф | -> co, | Н21 -> 0 при kr -> 0, у > п. Поэтому | J9r | -* 0, а>эср -»
—>-со о>мср—>-оо при kr—>-0. Однако энергия электромагнитного поля, запасенная
в конечном объеме AV, включающем ребро, конечна.
Таким образом, решение задачи удовлетворяет всем условиям теоремы единствен-
ности.
6.6.6.	Пусть нить магнитного тока удалена на такое большое расстояние от полу-
плоскости, что можно считать |£|г0—►<». При этом из выражений (6.141), (6.142)
получаем
н2 = Нго i"/2en cos cos -у- Jnj2 (kr),	(6.144)
n=0
где
Iм k Г 2
Н — — —1/ — - P-^o+i«/4
«го-----41Г К
258
— значение составляющей вектора напряженности магнитного поля H=izHz, возбуж-
даемого в начале координат нитью синфазного магнитного тока, расположенной в не-
ограниченном пространстве на расстоянии г0 от начала координат.
Асимптотическая оценка суммы в выражении (6.144) при больших значениях
]&|г выполняется так же, как в п. 6.6 3. В результате имеем (
Hz=Hz0 [«(ф—фо) +и (ф+фо) ].
Цри |&|г—>-оо получаем
4»
Н2 Нго ехр [ikr cos (у — у0)]	— ft) + ехр [ikr cos (у + ft)] (? + ft) +
ехр (—ikr + /Зп/4)
2]<2ftAr
1
<р+ ft
cos —2—
(6.145)
Таким образом, поле дифракции представляет собой сумму поля падающей под
углом фо плоской волны, приходящей от излучателя, расположенного на бесконечности,
поля зеркально отраженной от освещенной грани полуплоскости волны и цилиндри-
ческой волны, расходящейся от кромки полуплоскости. В области тени падающее поле
отсутствует; в интервале Ф1<ф^2л зеркально отраженное поле равно нулю.
В области тени т](Ф)=0, значит, падающее и зеркально отраженное поля отсутст-
вуют. При этом из формулы (6.145) получаем
„	„ ехр (— ikr 4- 73п/4) 7	1________________1	\
20	2 К2^г \cos [(<р — ye)/2]	cos [(у + ft)/2] /’
ут<<р<2гс, | k |г -> оо.	(6.146)
Нормированные диаграммы рассеяния |FT | = |Hz(<p) | /(|Нг(фт+Ю°) | в области
тени при фо=ЗО, 60 и 90° изображены на рис. 6.11,а (штриховые кривые). Из диа-
грамм рассеяния следует, что |HZ| убывает с увеличением ф в области тени медленнее,
чем | Ez |. Значение Hz при ф=у зависит от ф0. Это значит, что в случае, когда век-
тор Е падающего поля параллелен ребру, интенсивность рассеянного поля в области
тени меньше, чем в случае, когда вектор Е перпендикулярен ребру.
Если фо=О, то нить стороннего магнитного тока расположена на металлической
полуплоскости; при |/г|г0—>о° можно считать, что ток в зеркальном источнике по
амплитуде и по фазе совпадает с магнитным током в истинном источнике и поэтому
Н2 должно удваиваться. Формулы (6.145) и (6.146) соответствуют этим физическим
представлениям: при <ро=О
'	е—ikr+i 3«/4
Нг»2Н20 «'*•“•»,)(,)+ -=75=——
2 V 2nkr cos0,5<p
т. е. можно считать, что амплитуда тока стороннего источника увеличилась в два раза
6.6.7.	Выражения (6 123), (6 141) позволяют исследовать поля излучателей, рас-
положенных на конечном расстоянии от ребра клина. Изучим Йоле нити магнитного
тока, расположенной у полуплоскости (у = 2л). Пусть |йг|—>-оо, а нить расположена
на грани при фо=2л;, причем г0 конечно.
Полагая в формуле (6.142) |£|г—>оо, у=2л, <ро=2л, из выражения (6.143) на-
ходим
ОО
Нг==Н,У)	(|й| г от),
п=0
где
И	1/ J_e-/Ar+^/4
4 F mkr е
17*
259
Нормированные по максимальному значенияю |HZ| диаграммы направленности,
|7?(ф) | — |Hz(<p) |/|Нгмакс| при Лг0=*=1,57, 6,28 и 15,7 изображены на рис. 6.11,6. Из
графиков видно, что чем дальше.от ребра находится нить тока (или щель), тем мень-
шее по амплитуде поле она возбуждает в области тени (при 0^ф<л). При йг0=15,7
(г0 = 2,5%) |HZ| в области тени очень мало. Диаграммы направленности зависят от
расстояния от нити тока (щели) до ребра. В направлении ребра (при ф=180°) |HZ|
увеличивается с ростом го. Наличие экстремумов в диаграмме направленности при
Го=2,5% объясняется влиянием на поле вторичного поверхностного тока J3 на полу-
плоскости, волна которого переотражается между ребром и нитью тока (щелью); при
,-0=2,5% имеется нечетное число участков тока, фазы в которых сдвинуты на л; отра-
женная от кромки волна вторичного тока при этом значении г0 еще велика по интен-
сивности. При |й|г0—>°° диаграмма направленности стремится к полуокружности. ’
6.7.	Отверстие в экране. Характеристики направленности
6.7.1.	Изучение задачи дифракции электромагнитной волны на от-
верстии в экране позволят исследовать ряд принципиальных для элек-
тродинамики явлений.
Пусть имеется бесконечно тонкая идеальной проводимости пло-
скость (экран), в которой* вырезано отверстие площадью S0T
(рис. 6.12,а). Неограниченное пространство делится плоскостью на две
области (рис. 6.12,6). В левой области имеется сторонний источник,
заданный в объеме V'; параметры однородной изотропной среды
8ai, Pai- В правой области сторонние источники отсутствуют; пара-
метры однородной изотропной среды еа, Ца. Сторонний источник возбуж-
дает в левой области первичное электромагнитное поле Eni, Hni, ко-
торое падает на плоскость и на отверстие. В области появляется
Рис. 6.12. Отверстие произвольной формы в металлическом
и поля вспомогательных диполей
экране, системы координат
260
отраженное поле EBi, HBi. Полное поле Ei, Hi на освещенной стороне
экрана вне отверстия должно удовлетворять граничному условию
Ел1=0. На освещенной стороне экрана-электромагнитное поле наво-
дит поверхностный электрический ток. Возбуждаемое электромагнит-
ное поле, распространяясь через отверстие, создает поле Е, Н в пра-
вой (теневой) области. Поле Е, Н на экране вне отверстия должно
удовлетворять граничному условию Ет =0. На отверстии в соответст-
вии с граничным условием (3.12) касательные составляющие полей
Ei, Hi и Е, Н должны быть непрерывны, т. е. Е^^’Е^, H.tl = Ht или
[п, Е'1] = [п, Е], [Hi, п] = [п, Н].	(6.147)
На теневой стороне экрана тоже наводится поверхностный элек-
трический ток.
Электромагнитные поля Е, Н и EBi, HBi должны удовлетворять
условиям излучения. Необходимо найти напряженности электромаг-
нитного поля Е, Н.
6.7.2.	Эту задачу можно сформулировать- как’ граничную задачу для
векторных потенциалов. Для этого^так же, как в §а6.2 и 4.9, необхо-
димо записан» однородные уравнения Гольмгольца для векторных потен-
циалов Д®в, ЛГ^и А9=Аэв, А\==Амв, неоднородные граничные условия
для AjB, А™ на освещенной стороне экрана вне отверстия и одноро"д-
нис граничные условия для Аэ, Ам на теневой стороне экрана вне от-
верстия. На отверстии граничные условия для векторных потенциа-
лов получаются из условий (6.147). Опыт решения граничных задач
подсказывает, что строгое решение сформулированной таким образом
граничной задачи должно быть сложным в Математическом отно-
шении.
Поставленную в п. 6.7.1 задачу можно сформулировать в инте-
гральной форме, используя результаты § 3.3. Для этого в области
справа от экрана проведем поверхности S' и S" так, чтобы S' совпала
с теневой частью экрана, a S" ограничивала объем V с внешней сто-
роны (рис. 6.12,6). Составляющие векторов Е, Н вычисляются при
этом по формуле (3.27)-:
аЕ(;?) = ± [ (РЕ9 <м) — JMH9(M))WS , pGV.
ЬН (р) S,JS„
Считаем, что поверхность S" находится на бесконечности. В соответ-
ствии с условиями излучения (3.31) интеграл по поверхности S" равен
нулю. Значит,
аЕ(^ = ± f (PE*w — JMH9 <м>) dSQ, ' p^V. (6.148)
ЬН (р) s>
В этой формуле J8, JM в соответствии с (3.25) — эквивалентные поверх»
 ностные токи, выражающиеся через касательные к поверхности S' (по-
верхностям экрана и отверстия) составляющие векторов Е и Н:
Р=[Н, n], JM=[n, Е] на S'.	s (6.149)
Заменяя на отверстии касательные составляющие векторов Е и
Н по (6.147), получаем
и], JM=*[n, El] на Sot.	(6.150)
261
Поскольку Ет = 0, Н.=Д0 на S' вне отверстия, то
J»=[H, п], jM_-о на 5' вне отверстия.	(6.151)
С учетом (6.150) и (6.151) выражение (6.148) приводится к виду
аЕ(/>) = ± f {[Нр П]Е’<"> — [n, EjH*<“>}dS,± f	q^V, .
ЬН(р)
(6.152)
где S'—Sot означает, что второй интеграл справа берется по теневой
части поверхности экрана вне отверстия.
Проведем поверхность S'i и поверхность S"i так, чтобы S'i совпа-
ла с освещенной поверхностью экрана, a S"i ограничивала объем V'
с внешней стороны (рис. 6.12,6). Считаем, что поверхность S'\ нахо-
дится на бесконечности. Векторы Et, Hi определяются выражениями
(3.22), (3.23). Используя в последних условие (3.31) и формулу (3.24),
получаем
(р) — ± j (js СТЕ’<Ч> — jM СТН’(М)) Л', + J {[Н, п] Е’<">—
-[и, E,]H’<M»}dS,, р<=У,.	(6-153)
Если в выражениях (6.152) и (6.153) точка наблюдения поля на-
ходится на отверстии (ре£от), то, пользуясь условиями (6.147), полу-
чаем в результате предельного перехода выражение, связывающее ка-
сательные составляющие векторов напряженностей полей Ei, Hi и Е,
Н на отверстии (т. е. эквивалентные поверхностные токи).
Расположив точку наблюдения поля сначала на теневой, а затем
на освещенной стороне экрана вне отверстия, поверхностный электри-
ческий ток (6.149), входящий и под знак интеграла, можно выразить
в первом случае по формуле (6.152) и во втором — пЪ (6.153). Полу-
ченные соотношения будут определять систему интегральных уравне-
ний для поверхностных токов. Решение такой системы уравнений
в замкнутой форме встречает математические трудности. Поэтому при-
меняются численные и приближенные методы.
Для того чтобы получить некоторую информацию о поле Е, Н,
можно предположить, что полное поле Ei, Hi на отверстии равно па-
дающему полю, т. е. Ei = En!, Hi = Hni на S0T, а поверхностный элек-
трический ток на теневой стороне экрана вне отверстия отсутствует,
т. е. J9=0 на S'—S0T. Тогда составляющие векторов Е и Н выраже-
ниями (6.152) определяются в замкнутой форме:
ЬН / м = * 1 <1н “ ”1 Е’” <?’ Р> - [“> Е"> (01 Н’(Ч (?• Л} dS«-	V-
\Р) s
от
(6.154)
Допуская, что Ei=Eni, Hi=Hni на S0T, эквивалентные поверхноср
ные токи (6.150) на отверстии запишем в виде
’	JM*=[n, EnJ на SOT.	(6.155)
Выражения (6.155) на отверстии и предположение J9^0 на тене-
вой стороне вне отверстия (JM=0 вне отверстия строго) дают возмож-
ность вычислить векторные потенциалы с помощью обычных формул,
а затем и векторы Е, Н. С помощью формул (6.154) эти векторы вы-
ражены непосредственно.
262
Соотношение (6.154) из-за принятых допущений является при-
ближенным. Погрешности вычислений при этом и тем самым право-
мерность допущений, как обычно, могут быть определены или с по-
мощью более строгого решения или опытным путем. В рассматривае-
мой задаче правомерность сделанных допущений может быть полу-
чена на основе физических представлений. Поскольку тангенциальная
составляющая напряженности вторичного магнитного поля в отвер-
стии в рассматриваемой задаче в точности равна нулю, выражение *
(6.155) для эквивалентного электрического тока на S0T является точ-
ным. Тангенциальная составляющая вектора напряженности вторич-
ного электрического поля на отверстии не равна нулю. Однако это по-
ле в основном определяется рассеянием на кромках отверстия и для
достаточно больших электрических размеров отверстия этим полем
можно пренебречь. Электрический ток на теневой стороне экрана име-
ет существенное значение также у кромок отверстия, а в остальной
части экрана мал. Поэтому влиянием этого тока на поле в теневой
области экрана также можно пренебречь.
Допущения, принятые в настоящей задаче, относятся к допущени-
ям метода физической оптики. Поскольку приближенные значения то-
ков на отверстии известны, то для вычисления векторов Е, Н могут
быть использованы выражения (3.53).
6.7.3.	Применим выражение (6.154) для вычисления дифракции
волн на отверстии в экране. Считаем, что &=ф.
Пусть объем V является конечным и расположен на таком боль-
шом расстоянии от отверстия, что падающее поле в отверстии имеет
характер сферической Т-волны. При этом, не нарушая общности, мо-
жем считать, что сторонним источником является элементарный элек-
трический вибратор. Введем декартову систему координат с началом
в центре отверстия, плоскость хОу совпадает с плоскостью экрана
(рис. 6.12,в). Диполь расположен в точке Q—Q(xo, уо, £о). Пусть q—
некоторая точка на отверстии (рис. 6.12,в, а). Тогда вектор ПВ1 на-
правлен по радиус-вектору Rq?, соединяющему точки Q и q, Вектор
Е11! в точке q известен. Поскольку поле является поперечным, то Hni=
= [iQ(/, EnJ где орт igQ=RQQ//?Qg. Считаем, что потери в среде
справа от экрана отсутствуют.
Поверхностные токи (6.155) на отверстии (п=—iz) имеют вид
jM==ixjMx+iyjMy> Jmx=ev, JMy=—Enxi,
Ja = ixJ9x-{-iyj%, J9X =	1 (ixQqEnzi izQqEnxl) >
J%=	,	(6.156)
Введем сферическую систему координат (рис. 6.12,в). Найдем со-
ставляющие вектора Е в точке р, расположенной на большом расстоя-
нии R, таком, что R значительно больше поперечных размеров отвер-
стия. При этом расстояние между точками q(x', у', z') и р(х, у, г)
равно
= V (х-х')’ +(</-/)’+?’=R V l-2xx'IR‘-2yy'IR‘ + (f'IR)^.
R [ 1 — xx'/R‘ — yy’IR‘ + 0,5 (р'/R)‘] = R — х' sin 0 cos <f — у' sin 9 sin <p+
+ p'=/2R=R — ti(x', </'),	(6.157)
>	263
так как z'=0, x=R sin 0 cos <p, y=R sin 0 sin ср. Здесь обозначено: p/z= 1
=?x'2+y'2, Tj=x'sin0cos(p+//'sin0sin(p—p'2/2R.	1
Радиус-векторы R и Rgp при R->oo можно считать параллельны-*
ми (рис. 6.12,г). При iR^>p' в знаменателях выражений, определяю-
щих амплитуду поля, можно считать, что 4 lRqP^\ /R,	1
Для того чтобы найти Ев, положим, что веточке р a = ie. Тогда
векторы Еэ, Нэ поля, возбуждаемого в точке q, расположенным в точкер
на расстоянии R (Ы?>1, р'С/?) вспомогательным) электрическим виб-
ратором с единичным ромеитом, определяются выражениями (2.80)
V. • • в,	в, iW	Ж е-|М!
в13, в* ^в —2Л	Rqp 2Л R е ’
Н’=1;н;, н;=и7-Еэ0, £-«>.	(6.158)
Эти выражения можно найти, располагая в точке q элементарный
электрический вибратор и определяя поле в точке р, а затем приме-
няя теорему взаимности (см. § 3.5). Векторы Еэ и Нэ в пространстве
взаимно ориентированы так, что вектор Пэ направлен от точки р к точ-
ке q (рис. 6.12,д).
Подставляя выражения для токов (6.156) и векторов Еэ, Нэ в фор-
мулу (6.154), можно найти Е0. Для получения более простых выраже- 1
ний предположим, что диполь, возбуждающий первичное поле в левой
области, параллелен оси у и расположен на оси z, т. е. Enxi = Enzi=0,
Q=Q(0, 0, 2о). При этом iQq=iz, поэтому ixQq—iyQq==Q, izQq=l. Значит,
из выражений (6.156) имеем
Гм — i Тм Тм —рп ,
*	-X, d X-----yl,
J»v=—Ц7-'Е“„1.
Подставляя эти выражения и выражения (6.158) в формулу’ (6.154)
и вынося за скобку общие множители, находим
р Г W Г1 1
аЕ (р) = igE (р)а= Eg (р) = j i\ig ixH j -ур- Е“р1 (q) Еэ0 (</, р) dSq.
5от 4
Учитывая выражение Ее и что ipieJ= cos 0 sin <р, ixi^ = — sin ср, полу-
чаем
_ /sin» /WJ	X р-ikR f
E, (P)	cos в +’l V J E“»‘e dSt - “)• <6-159>
SOT
Для того чтобы найти выражение Еф, положим [а = 1ф (рис. 6.12, е).
Тогда векторы Еэ, Нэ поля, возбуждаемого в точке q расположенным
в точке р вспомогательным электрическим вибратором с единичный
моментом, определяются выражениями
1ЕЭ='~— L Еэв, Н’= — iflH9fi,
iW r~ikR .
Е’.= 95-Цг-еЛ
Ф 2д К ,	8	Ф
Подставляя выражения токов и последние выражения в формулу
(6.154) и вынося общие множители, находим
264
/COS? f 'IF	\ a—iW? /*	.,
E%W*--aT- Gt + cos9J h- J E"»'(Z’ y')e ds, («-<*)• (6.160)
.	5ot
Чтобы определить Ел, положим a=iB. При этом в точке q Еэ=^0,
Нэ^0, поскольку диполь не излучает вдоль оси. Из формулы (6.154)
получае^ Ел(р)«»0 при R->oo. ,
Таким образом,
Е —igEg + ^E^ ig cos H-l) sin £+
+ ’<₽ +cos бу cos ?J iT ~~R~ J E^1 y,>i e 15 (X ’У dSi °°)‘
5ot
(6.161)
Составляющие вектора H(y>) при R —>со можно найти из второго
уравнения Максвелла:	IF_1E0, Hg = —0?
Таким образом, поле в теневой области в дальней зоне имеет ха-
рактер неоднородной сферической Т-волны и зависит от угловых коор-*
динат.
Естественно, что эквивалентные поверхностные электрический
и магнитный токи не должны возбуждать в плоскости xOz (экватори-
альная плоскость) составляющей вектора напряженности^электрического
поля Е0, а в плоскости i/Oz (меридиональная плоскость) ~ составляющей
Еф вектора Е. Этим физическим представлениям соответствуют у • по
лученные результаты: при <р = 0 (плоскость л'Ог)Е0 = О, при <р=%/2
(плоскость yOz) Е^ = 0.
Из выражения (6.161) следует, что зависимость вектора Е от
угловых координат 6 и ф при R=const определяется формой и разме-*
рами поверхности S0T и функцией распределения поля Enyi(x', у') по
поверхности отверстия. Изучить зависимость Е от угловых координат
можно для отверстий заданной формы и заданных функций распре-
деления.
Рис. 6 13. Прямоугольное отверстие в металлическом экране (а), диаграмма
ленности (б) и диаграмма направленноети элемента Гюйгенса (в)
направ-
n-i

6.7.4.	В качестве примера рассмотрим отверстие в экране прямо-
угольной формы с размерами а, b (рис. 6.13,а). Начало системы коор-
динат совместим с серединой отверстия. Величина р' имеет максималь-
ное значение р'макс на краю отверстия. Считаем, что значение
^Р^акс/27?=Дф<Сл. При этом можно пренебречь слагаемым kp'2[2R
в выражении для Y] в (6.157). Тогда из (6.161) имеем
Е(р)эф9
cos0^ cos2^-Х
ikR а,<?	6/2
С tikx'sin 0 cos ф dx’ С Епр1 у') tiky' sin 9 sfn Чу' (R -> оо).
—а/2	—6/2
Пусть распределение поля ЕПУ1 на отверстии является равномер-
ным, т. е. ЕлУ1(а/, i/')=Eo=const. При этом, выполняя интегрирование,
получаем:
iEgab exp(-ffeR)
“2Л------(R — oo).	(6.162)
Здесь
г (М = [1 в (й7 cos 0+ 1pm ? + 1Ф (^г + cos 0 j cos <р J
(6.163)
—‘характеристика направленности;
ga=0,5&a sin 0 cos <р, ^=0,5£& sin 0 sin ср.
Если <р=0, то получаем характеристику направленности отверстия
в плоскости xOz: Faz(0)== 1фЕхг,
, ____( W । д\ sin (Q,5&a sin 6)
хг — IjF? *" C0S ° J 0,5ka sin 0 *
(6.164)
Если (р=л/2, то получаем характеристику направленности отвер-
стия в плоскости у, z:
Fs.(ll) = isFs„ F,.= (^cosH-l)		<6’165)
Из этих выражений следует, что характеристика направленности
отверстия в плоскости xz или yz определяется электрическим размером
отверстия в соответствующей плоскости и не зависит от размера от-
верстия в другой плоскости. На рис. 6.13,6 приведена зависимость мно-
жителя sin в интервале	(где g=O,5Msin0, d равно а или
Ь), которая при больших значениях kd определяет зависимость Fxz или
FyZ от 0 при малых значениях угла 0. Функция sin £/£ является четной.
Из графика следует, что имеются направления 0П (при £п=
—Q,5kdsin0п=пл, п=±\; ±2, ±3, ...), в которых вектор напряжен-
ности поля равен нулю. Первые нули появляются при £i== 0,5kd sin 0i =
=л и 5-1=0,5Ы sin 0-i=—л, т. е. sin0i=X/d, sin0-i=—h/d. При
d/i%^>l имеем Qi^K/d, 0-i^—К/d. Угол между первыми нулями 20о^
^2.Kld, т. е. определяется только относительной величиной d/h. Для
уменьшения 20о паХо увеличивать значения а'/Х.
При 0=0 имеется основной экстремум диаграммы, при других
значениях 0 появляются побочные экстремумы.
266
Измерения показывают, что в секторе углов 0, в котором лежат
первые несколько нулей диаграммы направленности, расчетные резуль-
таты, полученные по формуле (6.162), близки к истинным. При боль-
ших значениях углов 6 расчетные и истинные результаты отличаются
значительно. Следовательно, в секторах углов, где появляются вторые,
третьи и т. д. побочные максимумы, принятые в методе допущения
приводят к существенным ошибкам. В секторе углов, где имеются
основной экстремум и первые побочные экстремумы, выражение
(6.161) можно использовать для расчетов диаграмм направленности
отверстия в экране.
6.7.5.	В теории антенных устройств и в оптике используется поня-
тие элемента Гюйгенса — элемента фронта (поверхности) распростра-
няющейся волны. В связи с этим рассмотрим поле, возбуждаемое пло-
ской поверхностью S0T малых электрических размеров (ka<^l, kb<g.l),
на которой ЕП1У распределено равномерно, т. е. En!/i = Eo=const.
Учитывая, что при |->0 функция sin|/|->l, найдем, что последние
два множителя в формуле (6.163) приближенно равны единице. Та-
ким образом, при kb^.1 получаем
/ТТ \	/IF \
FJ9) = i0 (гГ cos9+1 jsin ? + ’<₽ (wT + cos 4 cos<p,
Fxg (Q) = Й7 + cos 9;	(9)=cos 9 +1.
При 1Г=1Г1 получаем Fxz=Fy2=l+ cos 0=2 cos2 (0/2). График кривой
(l + cos0) изображен на рис. 6.13,в. Его называют кардиоидой. Из
графика видно, что экстремум диаграммы направленности имеет место
при 0=0, а нулевое значение при 0=180°, т. е. элементарная площадка
обладает направленностью излучения. Значит, элемент Гюйгенса не
излучает в направлении на источник и излучает максимум поля в на-
правлении распространения волны.
6.7.6.	Выражения для поля в области тени (6.162) получены в пред-
положении, что &р'2 /27?т. е. 7?>р'2 /Л и l/7?a0^l/R в знаме-
макс'	макс' ' ЧР 1
нателях выражений, определяющих амплитуды напряженностей век-
торов электрического и магнитного полей. Это дальняя зона. Электро-
магнитные явления в этой зоне называются дифракцией Фраунгофера
(термин, заимствованный из оптики). Признаком дифракции Фраун-
гофера является сформировавшаяся сферическая волна.
6.8. Зоны Френеля. Область пространства, существенная
при распространении волн
6.8.1.	Когда расстояние от отверстия в экране до точки наблюдения
в теневой области экрана R уменьшается, то, начиная с некоторого R,
слагаемым kp'2l%R в выражении для т](х', у') пренебречь нельзя. Элек-
тромагнитные явления на этих расстояниях имеют существенные отли-
чия от явлений В дальней зоне и характеризуют дифракцию Френеля.
Для изучения дифракции Френеля на отверстии в бесконечном
идеально проводящем экране предположим, что отверстие имеет пря-
моугольную форму. Падающее поле возбуждается элементарным элек-
трическим вибратором, расположенным на расстоянии, значительно
большем размеров отверстия. Потери в среде справа от экрана отсут-
ствуют. Необходимо изучить электромагнитное поле на таких расстоя-
'	267
Рис. 6.14. Отверстие в экране «
ниях от отверстия, при которых величиной ^р'2/27? пренебречь нель*
ЗЯ, НО 1 /Rqp^l/R.
Введем декартову систему, координат так, как показано на
рис. 6.14. Врбратор расположен в точке Q(0, 0, —z0), электрический мо-
мент вибратора ориентирован вдоль оси у. Поскольку хо==#о==£'==О и
|2о| >»2а, d+b, то расстояние от точки Q до некоторой точки на отвер-
стии
Л.Т/	+ (л- J/T+(ZO- г')Я Кх'!+У’ + г!.=
=|z.|/l +(p'/z.)!«= |г.'|+:р”/2|г,|.
(6.166)
Вибратор в точке q возбуждает поле
рп -- I рп
1 - yv
__	iWJ\L exp(—ikRQq)
у1~~ 2k RQq
Подставим в это выражение RQq (6.166). Расстояние zQ считаем таким,
что фазой &p'2/2|zo| в показателе экспоненты пренебрегать нельзя,
a ilRQq^l IRqo, где Rqq — расстояние от точки Q до начала координат;
7^00=1^01. Получаем1
EV = - Г—ехр (-7Л (х” + y'WR#]. (6.167)
Q0 >
Для вычисления поля в некоторой точке наблюдения р можно
использовать выражения (6.159) — (6.161). Предположим для упроще-
ния анализа, что точка наблюдения расположена на оси г, т. е. 0=ср==
=0. В соответствии с выражениями (6.157) при этом ii(x', у') =
=—p'2/2R=—(x'2-\-y'2)/2R. Из формул (6.159) — (6.161) получаем
Е.=0,	‘
8	i
- (2Л)! (iT, + ‘J RVR J J eXf> [ A 2	+ R J X
x^—ag^—b
~ik 4"	у,2 \ dx'dy'*
2 V420 А/ fefc, J
268
где Rqp=Rqq+R — расстояние между точками Q и р. Произведем за-
мену переменных, положив
_L& Л2--4-—Аг'® — — и2	~ k f 1 -4-.1 'b/2  71 г.2
2 й	)х 2	2 й R )У — — »•
Для упрощения полагаем, что Wi=W. При этом
*
т-. 1э LW e~lkRQP р — 1 т °А — I %- »а
-R—р	dMfe	dV’ (6Л68)
«1	V1
где и, = —ag\ u2=ag\ v^ — bg\ v2=gd\ g=V2RQplXRRQ9.
Учтем, что выражение
z	n __ Дэопг exp(— ikRqp)
2Л RQp
определяет поле вибратора в неограниченном пространстве. Значит,
еслиЕф представить в виде
' Еф — Е^.Ф (a, b, d\ Я),	(6.169)
где
. “а -ij- ««	-z2-V»
Ф = -^-|е 2 du\e 2 do,	(6.170)
«1	Vi
то станет ясно, что функция Ф характеризует влияние экрана с отвер-
стием на дифракционную картину поля. Очевидно, что если Ф=1, то
экран с отверстием не влияет на распространяющееся поле. Отметим,
что интегралы в выражении (6.170) в замкнутой форме не берутся.
Обычно обозначают
2 dt= f cos-^-i;2^—i f sin — Sdt
b	о
Функции C(x)— j* cos t2d% S(-c)^= j* sin-^-T2^ называют интегралами
6	b
Френеля. Для них составлены табли-
цы. Очевидно, что С(—т) =—С(т),
S(— т)=—S(t).
Если по оси абсцисс откладывать
значения С(т), а по оси ординат S(t)
при разных действительных параметрах
т, то получается кривая из двух ветвей,
симметричных относительно начала ко-
ординат, называемая спиралью Корню
(рис. 6.15).
Рис. 6.15. Спираль Корню
969
Обозначим f{-с) = VСО» Тогда
ф=[/(ц2)-/(М1)][/(и2)-/(щ)].	(6.171)
\ *
Функцию Ф можно вычислить при заданных ka, kb, kd и установить
влияние электрических размеров отверстия на поле в точке наблюде-
ния. Рассмотрим крайние случаи. Пусть а-+<х>. При этом в экране про-’
резана бесконечная вдоль оси х щель. Тогда щ-*—оо, м2->°°. Исполь-
зуя спираль Корню, получаем
г м=/4 (--Й-4-)=—т /4- о - о=--г-
и«г)=/44-<1-/>=4--
Значит f(н2)—f(«i)=l. Поэтому из выражений (6.169), (6.171) на-
ходим
E,=E„[f(t>,)—Цо,)].
Если 6—>оо, d->oo, то Vi-*—оо, и2->оо, используя спираль Корню,
аналогично получаем f (и2)—f (щ)=1.
Таким образом, Еф = Е^, т. е. поле в точке^наблюдения равно полю
в неограниченном пространстве.
Предположим, что а-+0. Тогда | щ |->0, w2->0. С помощью спирали
Корню устанавливаем, что f(wi) и f(w2)->0, поэтому Ф->0. Значит
Еф —>0. Это соответствует физике явлений: если отверстия в идеально
проводящей плоскости нет, то последняя полностью экранирует элек-
тромагнитное поле. Аналогичные явления происходят, когда b, d-^Q.
Пусть f(v2)—f(ui)=l. При малых значениях а по спирали Корню
устанавливаем, что разность |f(w2)—f (wi) | является малой величиной.
Поэтому поле [ Еф ] незначительно. С увеличением а, как нетрудно уста-
новить, величина |f(w2)—f(wi) | колеблется около единицы, т. е. мало
отличается от f (оо)—/(—оо)—1. Это происходит при ц2, |«i|^ V2,
т. е. при
Если а оставить постоянным, а увеличивать размеры b и d от нуля,
то происходят аналогичные явления. При о2,	, т. е. при Z>=
= d^YlRRQjRqp значение |f(y2) — f(t\)| близко к единице.
Таким образом, начиная с некоторых значений, увеличение разме-
ров отверстия почти не сказывается на дифракции волн, поле в точке р
остается равным полю в неограниченном пространстве, т. е. экран с от-
верстием фактически не влияет на распространяющееся поле. Если
экран с отверстием располагать на разных расстояниях Rq0 от вибра-
тора вдоль линии, соединяющей точки Q и р, то, вычислив размеры а,
b, d, при которых поле при дифракции почти равно полю диполя в не-
ограниченном пространстве, можно определить область пространства,
существенную для распространения электромагнитных волн между точ-
ками Q и р. При разных расстояниях и R наименьшие значения
-	(6.172}
270
Очевидно, что эта область охватывает пространство вблизи прямой,
соединяющей точки Q и р. Поле в этой области переносит основную
часть электромагнитной энергии.
6.8.2. Простая интерпретация полученных закономерностей может
быть дана на основе принципа Гюйгенса—Френеля. Согласно принципу
Гюйгенса каждый элемент фронта распространяющейся волны является
источником вторичной волны. Полное поле в точке наблюдения опре-
деляется суммированием полей этих элементов. Построение, предло-
женное Френелем, как известно из курса физики, позволяет наглядно
истолковать этот принцип.
Применим построение Френеля к задаче о дифракции поля на от->
верстии в экране. На поверхности S0T имеется фронт распространяю-
щейся волны, возбуждаемой вибратором. Значит, можно считать, что
на этой поверхности распределены вторичные элементарные источники.
Пусть -Sot имеет форму круга. Разделим поверхность 30т на зоны Фре-
неля (рис. 6.16). При этом границы зон представляют собой концен-
'трические окружности. Радиусы окружностей определяются из усло-
вия, чтобы электрическая длина пути от точки Q до границы n-й зоны
и от границы этой зоны до точки р была на л больше, чем электрическая
длина пути от точки Q до границы (п—1)-й зоны и от границы этой
зоны до точки р. Значит, если eai=ea, p.ai—|л<и то
)Р(Я1п+#п)— p(/?Qo+tf)=wt, п=1, 2, 3.N. (6.173)
Поскольку радиус отверстия много меньше jRQ0 и то
1 г2	_____—	~ 1 г2
R1„=/R!Qo+r?„ = «во+4-V- •	=/*"+''» == «Я- ТТ-
Используя эти приближенные выражения в предыдущем условии, по-
лучаем
rfc VnlRR^R^	(6.174)
Рис. 6.16. К построению зон Френеля на отверстии в экране
271
Рис. 6.17. к дифракции поля на полуплоскости
Радиус первой (л=1) зоны Френеля г	XRR^I Rqp совпадает с.
размером отверстия, существенным для процесса распространения волны
между точками Q и р. >
При изменении Rqq остается справедливым равенство (6.173),
являющееся уравнением эллипса с полюсами в точках Q и р. Следова-*
тельно, в пространстве первая зона Френеля представляет собой эллип-
соид вращения, а зоны Френеля высших номеров — пространства меж-
ду двумя эллипсоидами вращения (рис. 6.16).
Можно считать, что существенной при распространении волн меж-
ду точками Q и р является область пространства, ограниченная зона-
ми Френеля нескольких начальных номеров.
Из выражений (6.172), (6.174) видно, что при %-»-0 имеем гп->0.
Значит, площади поперечных сечений эллипсоидов уменьшаются и
в пределе (Х->0) эллипсоиды превращаются в прямую Qp, называемую
лучом. Поэтому при малых X (например, в области световых волн)
можно считать, что волна распространяется по прямому лучу от точ-
ки Q к точке р. Введение понятия луча значительно упрощает прибли-
женное решение ряда электродинамических задач.
6.8.3. Выражения (6.169)—(6.171) позволяют найти приближенные значения поля
при дифракции волн на идеально проводящей полуплоскости, когда источником пер-
вичного поля является элементарный электрический вибратор.
Если а—>оо, то отверстие в экране превращается в бесконечную по оси х щель.
При d—>-оо верхняя часть экрана (см. рис. 6.14) отодвигается на бесконечность. В ре-
зультате получаем идеально проводящую полуплоскость, расположенную в неограни-
ченном пространстве (рис. 6.17,а).
При а/%—>-оо параметры и2—»-оо, щ—>—оо, поэтом^ f(«2)—f(«i) = l. При
d/K—>-оо параметр v2—>-оо, значит, f(u2)=0,5. Из выражений (6.171), (6.169) полу-
чаем при этом
k	Еф =	[0,5 f (t>i)],
т. е. значение поля в точке наблюдения зависит от величины
272
Если b>0, то точка р находится в освещенной области. Это случай так называемой
открытой трассы; в этом случае Oi<0. При больших b/k |ui[ велико и _о 5
Поэтому Еф = Еуо, т. е. полуплоскость почти не влияет на поле в точке р
С уменьшением b/Х изменение |величины l носит оснйллврзюшрй характер
1 Еф I близко [к | Еро |. При Ь/Х=О получаем /(&,)= О и Еф=Е^0/2, т. е. напряжен
ность поля в точке' р равна половине напряженности поля в свободном пространстве.
Эт» явление можно объяснить тем, что половина площади,’ существенной при распро-
странении поля между точками Q и р, перекрыта полуплоскостью.
Если &/А<0, то точка наблюдения находится в области тени. Это случай закры-
той трассы, в этом случае oi>0 При й/Х—»—оо параметр —>оо и f(vi)—>-@,5
значит, —>-0 (полуплоскость превращается в плоскость и полностью экранирует
поле источника в точке р). При 0>й/Х>—оо функция f(vi) имеет такие значения, что
Еф | мало.
График зависимости нормированной Напряженности голя J Е^ |/1 Еу01 от значение
Ь/тг (Г1—[радиус первой зоны Френеля) приведен на рис. 6.17, б. Отметим, что значе
ние Е^ (р), полученное здесь на основе приближенных представлений, удовлетворительш
соответствует значениям напряженности поля в точке р, полученным на основе строго-
го решения задачи дифракции поля на клине (§ 6 6)
6.9.	Краткие сведения о методах решения задач электродинамики
В том случае, когда граница возбуждаемого тела не совпадает
с координатной поверхностью одной из ортогональных систем коорди-
нат или когда граничные условия являются сложными (например, по-
верхностное сопротивление в (6.80) есть функция координат), получить
строгое решение граничной задачи электродинамики невозможно. Иног-
да оказывается, что и полученное строгое решение непригодно для
проведения вычислений из-за плохой сходимости рядов. Например,
если электрический радиус цилиндра ka-^oo (а=0), то, поскольку ко-
личество (AZ) учитываемых членов ряда (6.98) должно быть больше
ka, N-+<x> и выполнить вычисления с помощью формулы (6.98) не-
возможно.
Возникающие на практике электродинамические задачи чаще все-
го должны быть решены своевременно (в сжатые сроки) с минималь-
ными экономическими затратами. Получение результатов эксперимен-
тальными методами (путем макетирования и измерений) часто сопря-
жено с большими экономическими затратами и потерей времени. По-
этому если нельзя получить строгое решение, которое можно исполь-
зовать для анализа и вычислений, то стараются найти решение гра-
ничной задачи приближенными методами или получить численные ре-
зультаты.
В граничной задаче можно выделить характерный линейный мак-
симальный размер I области V для внутренней задачи или области Vi
для внешней задачи ^(рис. 2.1). Например, для задачи возбуждения ци-
линдра (§ 6.5) 1—а.
Подход к построению решения задачи зависит от значения Z/X.
Разлйчают три характерные области: 1) квазистатическую (релеев-
скую) область, когда Z/Xcl, 2) квазиоптическую область, когда Z/%^>
^1,3) резонансную область, когда Z/X«U.
Если Z/1<1 (.% велико, со мало), то решение уравнения Гельмголь-
ца или уравнений Максвелла представляется в виде разложения в ряд
' 18—116	2f3
по степеням малого параметра Z/Х. Если в разложении, пренебречь все-
ми членами, имеющими порядок малости //Л,,, то уравнения Гельмголь-
ца (1.107) и (1.105) для скалярного и векторного потенциалов перей-
дут приближенно в уравнения Пуассона (1.124), так как &2<рэ->0 и
^2Дэ_>о в (1.107) и (1.105) при А->оо. Поскольку значение к хотя и ве-
лико, но конечно, при этом приближенное решение электродинамиче-
ской задачи называют квазистатическим или решением в длинновол-
новом приближении. Реш^нйе уравнений Пуассона и Лапласа прощ^
решения уравнения Гельмгольца. Но не всегда удается аналитически
решить и .граничную задачу для уравнений Пуассона или Лапласа.
Если в разложении в ряд учитывать члены, имеющие порядок малости
ЦЬ, (ЦК)2 и т- Д-> т0 придем к последовательному решению ряда ста-
тических и стационарных задач.
Когда X/Z<C1 (X мало, со велико), то, представив.решение уравне-
ний Максвелла или Гельмгольца в виде разложения в ряд по степеням
малого параметра К/l (или по степеням параметра 1 /kt) и ограничив-
шись нулевым приближением, получим, как будет показано в § 6.10,
уравнения геометрической оптики. Поскольку К хотя и мало, но отли-
чается от нуля, приближенные решения задачи называют квазиоптиче-
скими или решениями в коротковолновом приближении.
Квазиоптические методы решения граничных задач электродинами-
ки можно разделить на две группы: на асимптотические методы иссле-
дования точных решений (см. пп. 6.6.3 и 6.6.6) и эвристические мето-
ды, основанные на привлечении различных физических идей. К эври-
стическим методам относятся лучевые и волновые. Лучевым называют
метод геометрической оптики и такие его уточнения, как геометриче-
ская теория дифракции, распространяющая геометрические методы на
задачи дифракции, комплексная геометрическая оптика, метод парабо-
лического уравнения. Волновые методы включают в себя метод физи-
ческой оптики и уточняющие его методы, такие как метод \краевых
волн, позволяющий найти поправку к полю рассеяния, связанную с воз-
можным наличием изломов (ребер) на граничной поверхности.
Квазиоптические методы позволяют решать значительно более ши-
рокий класс граничных задач, чем точные методы.
В резонансной области параметр. Z/Х (или Jv/Z) не является малым
и приближенные методы решения задач электродинамики применять
трудно. В этой области требуются строгие решения граничных задач.
Для построения строгих решений применяются метод интегральных пре-
образований (см. гл. 2, 4—6) и метод собственных функций (см. гл. 4,
5). Схема применения методов состоит в том, что при решении гранич-
ной задачи подбирается такая система координат, чтобы граничная
поверхность совпала с одной из координатных поверхностей. Затем на-
ходятся решения однородного уравнения Гельмгольца при однородном
граничном условии. Эти решения при определенных условиях образуют
полную ортогональную систему функций. Решение неоднородного урав-
нения Гельмгольца при однородных граничных условиях или решение
однородного уравнения Гельмгольца при неоднородных граничных усло-
виях ищется в виде разложения в ряды (метод собственных функций)
или интегралы (метод интегральных преобразований) по этой системе
функций. Методы применимы, как уже отмечалось, лишь при простых
граничных условиях и простой форме граничной поверхности.
Как в резонансной, так и коротковолновой и длинноволновой обла-
стях построить аналитическое решение граничной задачи строго или
274
приближенно часто не удается. В этом случае для получения числен-
ных результатов могут быть применены методы интегральных уравне-
ний и вариационные методы. Как отмечалось, интегральные уравнения
для поверхностного тока, например на идеально проводящей поверхно-
сти объекта, могут быть получены на основе интегральных соотношений
(3.27) для векторов напряженности поля. Интегральные уравнения
можно составить для тел практически любой формы. Интегральное
уравнение включает и граничное условие задачи. Методы решения ин-
тегральных уравнений хорошо разработаны. На их основе строятся
алгоритмы решения задач на ЭВМ.
Вариационные методы являются численными. Существует ряд мо-
дификаций этих методов.
6.10.	Метод геометрической оптики
6.10.1.	Приближение геометрической оптики хорошо используется
для описания сложных явлений в волновой теории, так как оно хорошо
согласуется с интуитивными физическими представлениями о поле: из
законов геометрической оптики следует, что в однородной среде проис-
ходит прямолинейное распространение поля (вдбль луча) и что плот-
ность энергии (или амплитуда поля) определяется законом сохранения
потока энергии в так называемой лучевой трубке. Эти физические пред-
ставления часто используются для проверки правильности решения
сложной электродинамической задачи. С этой целью обычно строится
коротковолновая асимптотика строгого решения. Если последняя согла-
суется с геометрооптическими представлениями, то это подтверждает
правильность решения и помогает физическому осмыслению получен-
ных результатов. Этот путь использован, например, при физической
интерпретации результатов, полученных в § 6.5 при изучении рассея-
ния поля цилиндром и в § 6.6 при исследовании рассеяния поля клином.
В случае неоднородных сред метод геометрической оптики чаще
всего оказывается единственным методом, с помощью которого можно
получить решение задачи. Кроме того, на основе этого метода построен
ряд эвристических: методов (например, геометрическая теория ди-
фракции).
6.10.2.	Перейдем от уравнений Максвелла к уравнению геометри-
ческой оптики. Пусть <»—>оо. Обозначим через kQ = о»	коэффици-
ент распространения для свободного пространства. Тогда kQ-+oo (но ko
конечно). Среду считаем неоднородной и изотропной. Рассмотрим пер-
вые два уравнения Максвелла вне сторонних источников:
rot Н=йо£аЕ, rot Е=—ГащдН.	(6.175)
Искомые векторы напряженности электрического и магнитного по-
лей представим в виде разложений:
ОО	00
г?  1 л— ik0L \ 1	и  1 n—ik0L
i/T	’ п“Пга е Zi w ’
r еа	m=Q	т—0
где L — скалярная функция координат, определяющая изменение фаз
векторов напряженностей полей и называемая эйконалом (от греческо-
го слова «эйконал» — изображение); ит, vm — амплитудные коэффи-
циенты, имеющие одинаковые размерности.
18*'	.	.	275
Поскольку 1 /ko-^O, то, используя только первые члены ряда в пре-
дыдущих выражениях, имеем
Е —L- цв ехр (— ik0L), Н = -^=- ve ехр (— ik^L). (6.176)
/Л
Будем рассматривать только приближение (6.176) и, имея это
в виду, вместо знака «приближенно» будем использовать знак «равен-
ства» и индекс «О» у и0 и v0 опустим, считая, что u0=u, v0=v. Подста-
вим выражения (6.176) в уравнения (6.175). Учитывая известное из
векторного анализа тождество
rot(^exp(-/U)] = 2tb^
= ехр(-^) rot;, + exp,
У Р'Д
ad /ехР(—у)
К
gradp.a ' _
I, a
[grad L, а] =	rot а +
У Ра	У Р-а
। ехр(—ife0£)
"I 2^,,
grad 1 ik> exp (-ВД [a, grad I],
Р*а J	V V.a
где a — некоторый вектор, и умножая первое из равенств Ана фХаХ
ХК)" ехр (/£,£)» а второе на
1 х .	1 Г
-тг- rot V-k-Tpr- v*
ikg	1 2lkg
у £a(ik0)~1 exp(^eL), получаем
——-j + [v, grad L] — nu = 0,
(6.177)
1 , . 1
-rr- rot u + u
ikg 1 2lk3 “»
£a. +[u,gradL
-]-/zv = 0,
где n = V sap,a/sop,o.
Первые два члена в каждом из этих уравнений имеют порядок ма-
лости 1 /ko. Пренебрегая ими и сохраняя знаки равенства, получаем
уравнения Максвелла для весьма высоких частот — уравнения геомет*
рической оптики:	}
[v, grad L] =пи, [u, grad£] = — nN.	(6.178)
Найдем условие совместности этих уравнений. Для этого значе-^
ние v из второго уравнения подставим в первое уравнение и учтем, что
векторы и и gradZ, как следует из (6.178), взаимно перпендикулярны.
Тогда получим n2u=u(grad L)2. Отсюда имеем дифференциальное урав-
нение
(gradL(p))2=n2(p),	(6.179)
называемое уравнением эйконала. Последнее является условием разре-
шимости системы (6.178).
Для среды без потерь, где п и L — действительные функции кеор-
динат, вводя единичный вектор LjL, параллельный grad А, из (6.179)
получаем
\	grad £ = /?£/£,
где п = Уsap,a/sep,e — коэффициент преломления.
276	*	/
(6.189)
Подставляя это выражение в систему (6.178) и сокращая на п
имеем
[v, £/L]^u, [u,L/L] = — v,	(6.181)
т. е. векторы u, v и L/L образуют правую тройку. Значит, проекции
векторов и и v на направление L/L отсутствуют.
Найдем выражение вектора Пойнтинга в среде без потерь. Учиты-
вая (6.176), (6.181), получаем
L__________1_
L
— —L-71   (V V
2 V
(uu*)4-.
(6.182)
Из этого выражения видно, что электромагнитное поле распространяет-
ся в направлении, определяемом вектором L/L. В направлении вектора
L/L поле переносит электромагнитную энергию.
Если учесть, что поле имеет только составляющие векторов Е и Н
(т. е. и и v), перпендикулярные направлению распространения £/£,
то ясно, что распространяющаяся волна в точке р является попереч-
ной. Линии, определяемые вектором L/L, называются лучами.
Из выражения (6.182) следует, что uu*=vv*. Значит, с учетом
(6.176) имеек^ еаЕЕ*=[гоНН* или еа| Е|2=ца| Н|2, т. е.
lEI/IHI^y^ =Wr.
(6.183)
Это выражение совместно с выражениями
(6.176) и с учетбм поперечности волны по-
казывает, что распространяющееся поле
в точке р представляет собой локально пло-
скую волну.
Поверхность равных фаз распростра-
няющегося поля с локально плоской вол-
ной (6.176) определяется равенством
kQL(x, у, z) = const, т. е. £(х, у, z) = const.
Для того чтобы найти семейство равных
фаз, надо решением уравнения эйконала
(6.179) найти функцию £(%, у, z) при за-
данной функции п(х, у, z). Линии вектора
LfL ортогональны эквифазным поверхно-
стям и определяют направления лучей.
Пусть имеются две эквифазные поверх-
ности Li(x, у, z), и L2(x, у, z), расположен-
ные друг от друга на расстоянии р
(рис. 6:18,а). Выделим на поверхности Ц
элементарную площадку dSi. Трубка лучей,
опирающихся на эту площадку, пересекает
на поверхности L2 элементарную площад-
ку dS2.
Рце. 6.18. К построению трубки и траектории куи*


Мощности, переносимые через площадки dS^dS^LjL и dS2~
= dS2L[Lt в соответствии с (6.182) равны
«й8, = ПД$, = —т±= (v,v*,) dS„
2 V eaijxai
M = n2dS2 = -гД= (v, v*,) dS„
/	2 И efl2p.fl2
В геометрической оптике предполагается, что выполняется гипоте-
за о сохранении энергии внутри лучевой трубки (обмена энергией меж-
ду лучевыми трубками, в том числе и соседними, не происходит). Для
этого необходимо, чтобы d$\=d&2- Из этого условия можно определить
значения |v2|, | и21 по значениям |vi|, |ui|, т. е. найти амплитуду
|Е2| по значению | Ei |. Например, в случае однородной среды (еа=
=const, pa=const) это условие имеет вид
(uiU*i)dSi=(u2u*2)dS2.	(6.184)
Пусть главные радиусы кривизны площадки dS\ равны и Т?2. Так
как в однородной среде лучи являются прямыми, то главные радиусы-
кривизны площадки dSz равны и Т?2+р- Тогда
б/51/б/52=7?1/?2/(7?1+р) (^г+р)-
Из (6.184) имеем равенство
u1u*1/u2u*2=(/?1+p) (Я2+р)/ад2,	(6.185)
определяющее совместно с (6.176) и (6.183) изменение амплитуд на-
пряженностей электрического и магнитного полей вдоль луча.
Таким образом, из уравнений геометрической оптики (6.178) мож-
но получить информацию о характере электромагнитного поля, форме
лучей и изменении интенсивности поля вдоль лучей. Сведений об абсо-
лютном значении векторов и и v (или Е и Н) и их ориентации в про-
странстве из этих уравнений получить нельзя.
6.10.3.	Из уравнений эйконала (6.180) может быть выведен принцип Ферма. Про-
интегрируем уравнение (6.180) по некоторому пути I, соединяющему точки А и В, ле-
жащие на двух поверхностях равных фаз (рис. 6.18,6):
f grad Ldl = J n (L/L) 61.	(6.186>
i	ll
Интеграл в левой части равенства J grad L61 = С {dL/dl)dl = L{B')— L(A) не зави-
I	I
сит от формы пути интегрирования и определяется только значениями эйконала на по-
верхностях равных фаз. Интеграл в правой части V n(L/L)dl — f ncos 86/, где 8 —
i	I
угол между лучом и касательной к пути интегрирования. Значит, из (6.186) имеем
f n cos 86/ — L (В) — L (Л).	(6.187)
’ I
Если путь интегрирования проходит вдоль луча (/л), то 6 = 0. При этом
Jn6/= £(£) — £ (Л).	.	(6.188)
(л
Интеграл в левой части этого равенства называется оптической длиной пути вдоль
луча. Из равенства (6.188) следует, что оптическая длина пути вдоль любого луча, на-
278
чикающегося на одной поверхности и заканчивающегося на другой, всегда одна
и та же.
Правые части равенств (6.187) и (6.188) одинаковы, поэтому
ndl = I п cos tidl
Так как |cos & [ С 1, то из этого равенства получаем
л
nd/< ndl.	(6.189)
‘л *
Полученное неравенство выражает принцип Ферма, согласно которому оптическая
длина пути вдоль луча меньше, чем вдоль любой другой линии, соединяющей две
данные точки. Из принципа Ферма следует, что в однородной среде лучи являются
прямыми линиями.
С помощью принципа Ферма и вариационных методов можно постройть лучи, не
используя уравнения эйконала.
6.10.4.	Рассмотрим условия, при которых справедливы уравнения геометрической
оптики. В каждом из уравнений (6.177) при выводе (6.178) были отброшены первые
два слагаемых, при этом считалось, что
1
-т-1 rot v К j [v, grad Ь] I,
«о
2/г0 [V’
grad p,fl
Р-а
j пи
-у-1 rot и |<|[ и, grad/]|,
1 I
2^о |
grade/
<^ | nv |.
(6.190)
1
Но из выражений (6.180), (6.182) следует, что |gradL|=n, |u| = |v|. Кроме
того, k=kon, 2vq=?v/t, где X — длина волны в среде. Используя эти обозначения
в (6.190), получаем
X[rot v[/[v[ «:2л, Z|grad Ца/ц0| <4л;
(6.191)
X|rotu|/|u| «:2л, Х|grad 8в/8а| «:4л.
Поскольку в эти неравенства входят дифференциальные операторы, то смысл не-
равенств состоит в том, что относительные изменения величин v, и, jia и еа на длине,
равной длине волны в среде, должны быть малы по сравнению с 2л и 4л. Значит,
уравнения геометрической оптики справедливы до тех пор, пока относительные изме-
нения диэлектрической и магнитной проницаемостей среды и амплитуд и и v, на рас-
стоянии, равном длине волны в этой среде, можно считать малыми по сравнению с ве-
личиной 2л.
6.10.5.	Рассмотрим законы преломления и отражения лучей. Пусть
имеем границу (поверхность) раздела двух сред с различными пара-
метрами 8аь Ца1 И 8а2, Ца2- Считаем, ЧТО рЗДИуСЫ КрИВИЗНЫ ПОВерХНОСТИ
раздела велики по сравнению с длинами волн в средах и что поверх-
ность можно считать*локально плоской. На поверхности имеется скачок
параметров среды, и поэтому условия (6.191) применимости уравнений
(6.178) геометрической оптики не удовлетворяются. Чтобы установить
законы отражения и преломления лучей, можно воспользоваться стро-
го установленными электродинамическими законами для плоской вол-
ны, падающей на плоскую границу раздела двух сред (см. § 6.2). Если
на локально плоскую поверхность раздела падает локально плоская
волна, то, применяя формулу (6.18),1 найдем, что угол падения луча
равен углу его отражения. Углами падения Оо и отражения ф являются
соответственно углы между нормалью к границе раздела в рассматри-
ваемой точке и направлением падающего и отраженного лучей в этой
желточке (см. рис. 6.1). Углом преломления Одр является угол между
Рис 6 19 К расчету поля методом геометрической оптики
нормалью к границе раздела в рассматриваемой точке и направлением
преломленного луча в этой же точке (рис. 6.1). Применяя (6.20) и
используя коэффициент преломления, получаем закон щ sin 4о=
=n2sin<>np, справедливый локально. Предполагается, что отражение
соседних лучей происходит независимо друг от друга. Семейства па-
дающих, отраженных и преломленных лучей лежат в одной плоско-
сти— локальной плоскости падения. Каждое из семейств лучей опреде-
ляется своим эйконалом в соответствующей области пространства.
Законы отражения и преломления, изложенные здесь, можно так-
же получить с помощью принципа Ферма.
6.10.6.	В качестве примера рассмотрим в приближении геометриче-
ской оптики задачу о дифракции волн, возбуждаемых нитью синфаз-
ного магнитного тока, на идеально проводящем цилиндре радиуса а
(рис. 6.7,а). В некоторой точке Ь(а, т), расположенной на освещаемой
источником поверхности цилиндра (рис. 6.19,а), при rQ^>a из формул
(6.110), (6.111) получаем Hn=izHnz, где
Hnz (а, т) = Но ехр [ika cos (т—фо) ].	(6 192)
Если точка b (а, т) находится на теневой части поверхности, то
Hnz(a, т)=0.
Пусть Ь(а, т) есть точка отражения луча qb падающего поля. Тог-
да поле в точке наблюдения р определяется лучом Ьр отраженного
поля. Положение точки 6, т. е. угол т, можно определить из равенства
углов падения и отражения или из условия минимума суммы ро+р, где
ро и р — длины падающего и отраженного лучей. При г0, г^>а т^(ф+
+фо)/2.
Представим отраженное поле в точке р, образуемое только одним
лучом Ьр, в виде	*
Нвг (р) = | R |, [ Н% (а, т) ехр (-— г А»р),	(6.193)
где |Яц | имеет смысл модуля коэффициента отражения, 'а ехр(—iko)
определяет фазу поля.
Для определения значения |Я [ используем закон сохранения энер-
гии внутри лучевой трубки. Рассмотрим лучевые трубки падающего и
отраженного полей. Для этого проведем луч из точки q в точку
&i(a, т-|-Дт) и построим соответствующий ему отраженный луч b\tn
280
(рис. 6.19,6). Лучи qb и qbx образуют (двумерную) лучевую трубку
падающего поля. Если ДЗП — расположенное у цилиндра поперечное
сечение этой трубки, то, ограничив размер сечения по координате z
величиной Дг, имеем АЗп=Дг(аДт) cos (т—фо).	'
. Лучи Ьр и bim образуют (двумерную) лучевую трубку отраженно-
го поля. Если ДЗВ — расположенное у точки наблюдения поперечное
сечение лучевой трубки отраженного поля, то, ограничив размер сече-
ния по координате z величиной Дг, имеем Д5в==Дгг • 2Дс.
Обозначая через ДРП и ДРВ мощности, переносимые падающим и
отраженным полями через сечения Д5П и Д5В, и приравнивая их (или
используя выражение (6.184)), получаем
|Hnz(a, т) |2ASn=|HBz(r, <р) |2АЗВ,
откуда находим
IP I —1	—1
1^11 I У 2г COS 2
При имеем р^г—a cos 0,5(ф—<р0). Поэтому из (6.193) получаем
Н-, (р) = н, j/cos-^2- е‘и“ “•
Рассеянное поле, как следует из этого выражения, представляется
в виде цилиндрической волны. Диаграмма рассеяния поля имеет вид
кардиоиды (рис. 6.13,в). При ф=ф0, т. е. в направлении на источник
поля, имеет место максимум |HBZ|; при <р—фо—нп; JHBZ|—>0. Если
изобразить на рис. 6.7,г диаграмму рассеяния в виде кардиоиды, то
будет видно, что в области —л/2<ф<л/2 она мало отличается от диа-
грамм рассеяния, вычисленных строгим методом при больших значе-
ниях ka. При других углах ф диаграммы рассеяния существенно отли-
чаются.
Предположим, что фо=О (рис. 6.7,в). При конечном г0 углы, раз-
граничивающие область тени и освещенную область, |<рт|<л/2. Если
точка b находится в области тени, то отраженного луча не будет, так
как падающее поле в этой точке равно нулю. Значит, если точка на-
блюдения поля находится в области тени (<р близко к л прц г0^>а), то
| Нвг | =0. На самом деле поле проникает в область тени и поле |HBZ|
при ф, близких к л, как это видно из диаграмм, изображенных на рис.
6.7,г, может значительно отличаться от нуля. Ясно, что метод геомет-
рической оптики дает значительную погрешность в области тени и вбли-
зи границ тени.
Можно вычислить поверхностный электрический ток, наводимый
падающим полем на цилиндре. Если точка b находится в освещенной
области, то ток отличен от нуля, а если она находится в области тени,
то ток равен нулю. График распределения тока при г0—►оо для ka—>
—>оо (^—>0) приведен на рис. 6.7,6 (штриховая линия).
6.10.7.	Из уравнения эйконала следует, что в неоднородных средах,'
где коэффициент преломления п является функцией координат, лучи
искривляются. Явление искривления лучей в неоднородных средах на-
зывается рефракцией.
Простым примером, рефракции является изменение направления
лучей, возникающее при падении поля на плоскую поверхность раздела
дред (§ 6.2).
281
Рис. 6.20. К прохождению луча в плоско-слоистой
среде
Строгое решение электродинамиче-
ских задач При заданны^ функциях п(р)
сопряжено с большими математическими
трудностями. Поэтому количество строго
решенных задач весьма ограничено.
Пример решения одной из задач приво-
дится в § 9.3.
Если относительные изменения ди-
электрической и магнитной проницае-
равном длине волны в среде, малы, то
мостей среды на расстоянии,
распространение электромагнитных волн описывается уравнениями
геометрической оптики.
Если коэффициент преломления среды зависит только от одной из
декартовых координат, то распространение волны в такой среде можно
изучать не только с помощью законов геометрической оптики, но и пу-
тем деления среды на плоские слои такой толщины, чтобы в пределах
слоя коэффициент преломления можно было считать постоянным. На-
пример, если в среде с коэффициентом преломления п, изменяющимся
только в одном направлении, ввести декартову систему координат так,
чтобы п являлось функцией только z (n=n(z)), то, разделив среду на
плоские слои, границы которых параллельны плоскости хОу (рис. 6.20),
найдем, что на границах слоев удовлетворяются законы Снеллиуса. Из
второго закона Снеллиуса имеем
«о sin 0О=sin 01=?= «2 sin 02= ••• =nmsin0m.
В m-м слое
(6.194)
EOT	5am) ^p ( ik0L),
где L=nw z cos sin 0OT удовлетворяет уравнению эйконала. Из
предыдущих равенств можно определить 0т и, значит, построить семей-
ство лучей. Но при таком подходе пренебрегаем отражением от границ
раздела сред.
6.11.	Метод физической оптики
С помощью метода физической (волновой) оптики можно прибли-
женно вычислить поле в области тени. Применяется этот метод для
расчетов полей излучения, в частности в теории антенных устройств.
Метод основан на принципе Гюйгенса — Френеля, количественной фор-
мулировкой которого является интеграл Кирхгофа (3.50). Поэтому ме-
тод называют приближением Кирхгофа.
Метод физической оптики состоит в том, что функции Ei и dEildn,
в (3.49) выбираются из следующего условия: на освещенной части по-
верхности они равны соответствующим значениям поля падающей вол-
ны, а на теневой — нулю. Как отмечалось в § 3.7, это условие противо-
речит самому интегральному равенству (3.49).
В тех случаях, когда электродинамическую задачу не удается све-
сти к скалярной, пользуются интегральными выражениями (3.27). При
этом вместо точных значений J3, JM подставляют их приближенные зна-
282
чения: на освещенной части поверхности J9=[H, и], JM==[n, Е], а на
теневой принимают J9=0, JM=0.
Если поверхность S'-f-S" в (3.27) совпадает с поверхностью иде-
ально проводящего тела, то считают, что JM=0 на поверхности в силу
граничного условия Ет =0, а поверхностный электрический ток, ис-
пользуя понятие локально плоской волны, падающей на локально пло-
скую поверхность, берут таким же, как в случае возбуждения идеально
проводящей плоскости (см. § 6.2 и 6.3, в частности формулу (6.52)),
т. е. полагают ЛЭ=2[НП, и].
Способ задания приближенных значений поверхностных токов ука-
зывает на сходство методов геометрической и физической оптики. Если
основной предпосылкой метода геометрической оптики является пред-
положение о независимости отражения соседних лучей, то в основу
метода физической оптики положена гипотеза о независимости токов,
возбуждаемых в разных точках поверхности. Но метод физической
оптики дает уточнение решения задачи, так как, хотя токи на теневой
части поверхности и считаются по-прежнему равными" нулю, поле в об-
ласти тени отлично от нуля, поскольку учитываются волновые свойства
поля. Из-за того, что токи на теневой части поверхности считаются рав-
ными нулю, поле в области тени никак не зависит от характеристик
неосвещенной части поверхности: ее формы, кривизны, протяженности
и др. Этот факт может приводить к существенным погрешностям и по-
зволяет ожидать, что методом физической оптики можно получить хо-
рошие результаты в тех случаях, когда токи на теневой части поверх-
ности действительно малы. В силу того, что при вычислении тока на
теневой части поверхности применяется метод физической оптики, надо
ожидать, что с уменьшением кривизны и увеличением электрических
размеров освещенной части поверхности точность результатов, полу-
ченных методом физической оптики, увеличивается. Критерием же точ-
ности этого метода может служить строгое решение задачи или экс-
перимент. Примером применения метода физической оптики служит
задача о дифракции поля на отверстии в экране (§ 6.7, 6.8, в частности
формулы (6.150), (6.151)).
6.12.	Понятие о геометрической теории дифракции
6.12.1.	Расчеты поля в области тени и полутени с помощью мето-
дов геометрической и физической оптики не дают удовлетворительного
результата. Для преодоления этой трудности можно использовать два
пути. Первый путь, заключающийся в уточнении и дополнении этих двух
методов, применен Дж. Б. Келлером к методу геометрической оптики
и П. Я. Уфимцевым к методу физической оптики. Второй путь, заклю-
чающийся в приближенном решении волнового уравнения для области
тени и полутени, выбран В. А. Фоком и И. А. Леонтовичем. Используя
и тот и другой путь, в освещенной области получают результаты, со-
впадающие с результатами геометрической оптики.
6.12.2.	Метод, предложенный Келлером, базируется на обобщенном
принципе Ферма о возможности распространения электромагнитного
поля не только вдоль обычных лучей, но и вдоль так называемых ди-
фракционных лучей, под которыми понимаются лучи, проведенные по
кратчайшему пути от источника в точку наблюдения и имеющие при
этом5 с отражающей поверхностью общий отрезок гладкой кривой или
при наличии ребер общие точки. При дифракции на ребре дифракцион-
283
Рис. 6.21. Дифракционные лучи и лучевые координаты
ные лучи образуют конус, осью которого является касательная к ребру,
а угол при вершине равен удвоенному углу между падающим лучом и
касательной к ребру. При отражении от гладкой кривой поверхности/
дифракционный луч состоит из трех частей: двух отрезков, касательных
к поверхности, проведенных из точек истока и наблюдения, и отрезка
'геодезической кривой b\b2 на поверхности тела (рис. 6.21,а). Таким
образом, дифракционные лучи проникают в область геометрической
тени и образуют там некоторое поле.
Метод можно применить, например, к задаче о возбуждении уда-
ленным источником металлического цилиндра с произвольным попереч-
ным сечением (рис. 6.21,6). Если g —длина дифракционного луча, от-
считываемая от точки касания Ь\ до точки наблюдения р, а т]— длина
дуги, проходимая лучом по поверхности тела, то решение для области
тени можно записать в виде
у =	(6.195)
где v — величина, пропорциональная напряженности поля, 3) — дифрак-
ционный коэффициент, определяемый из сравнения решения (6.195)
с асимптотикой точного решения для кругового цилиндра; при этом ра-
диус кругового цилиндра принимается равным радиусу кривизны за-
данного цилиндра в точке «отрыва» луча Ь2. Если рассматривается
дифракция лучей на экране произвольной формы, то в качестве эталон-
ного берется строгое решение задачи о дифракции на полуплоскости Й
считается, что токи вблизи точки касания этих двух экранов примерно
одинаковы.
6.12.3.	Метод краевых волн, уточняющий метод физической оптики, развит при-
менительно к) выпуклым металлическим телам, поверхность которых имеет изломы.
Основывается метод на том, что на искривленной идеально проводящей части поверх-
ности тела ток отличается от значения 1Э=2[НП, п], которое используется в методе
физической оптики. Вводится поправка J'9 и общий ток	где J3 называется
равномерной частью тока, a J'8— неравномерной. Точное значение J'3 можно опреде-
лить лишь на основе строгого решения электродинамической задачи. Однако в ряде
случаев оказывается возможным вычислить приближенное выражение неравномерной
части тока. Например, если размеры изломов (ребер) и расстояния между изломами
на поверхности тела велики по сравнению с длиной волны Л,, то предполагается, что
J'* отлично от нуля только в непосредственной близости от ребра и соответствует
распределению тока у ребра клина, аппроксимирующего излом. ТОк на ребре клина
имеет характер краевой волны, распространяющейся от ребра, амплитуда тока быстро
убывает с удалением от ребра.
284
6.12.4.	Как метод Келлера, так и метод краевых волн имеют ряд недостатков.
Например, в случае тела сложной формы трудно получить эталонное решение, реше-
ние (6.195) становится несправедливым у поверхности тела (£—*-tj). Метод параболи-
ческого уравнения, развитый В. А. Фоком и М. А. Леонтовичем, имеет ряд преиму-
ществ. Параболическое уравнение является упрощенным уравнением Гельмгольца и по-
зволяет найти главный, превосходящий по значению остальные член решения.
Если согласно обобщенному принципу Ферма в пространстве определены направ-
ления лучей как обычных, так и дифракционных, то следующим шагом является пред-
положение о характере энергетического обмена между лучевыми трубками. Гипотеза
о независимости распространения поля внутри лучевых трубок заменяется следующими
гипотезами: 1) сохраняется понятие луча, энергия не накапливается в лучевой трубке
и не колеблется внутри нее; 2) обмен энергией между разными лучевыми трубками —
так называемая поперечная диффузия амплитуды — происходит в соответствии с прин-
ципом локальности, т. е. только между соседними лучевыми трубками. Из требований
метода геометрической оптики сохраняется требование медленности изменения ампли-
туды напряженности поля вдоль луча.
6.13.	Интегральные уравнения электродинамических задач и системы
линейных алгебраических уравнений
6.13.1.	Появление электронных вычислительных машин позволило исследовать ши-
рокий круг электродинамических задач, ранее недоступных для исследования анали-
тическими методами.
Считается, что из существующих методов решения электродинамических задач ’
наиболее удобным для реализации на ЭВМ является метод интегрального уравнения.
Получить интегральное уравнение данной задачи можно, как отмечалось в гл. 3, на
основе интегральных соотношений для векторов напряженности электрического или
магнитного поля. При формулировке уравнения используются заданные граничные
условия. Интегральное уравнение тем или иным способом сводится к системе линейных
алгебраических уравнений, которая с помощью некоторого известного эффективного
алгоритма решается на ЭВМ. Естественно, что при этом необходимо определить опти-
мальный численный метод, который бы позволил при заданном объеме памяти ЭВМ
и ее быстродействии получить при минимальных затратах машинного времени макси-
мум информации об электромагнитных явлениях. Это можно сделать только, если при
решении электродинамической задачи использованы методы вычислительной мате-
матики.
На конкретных примерах рассмотрим методику получения интегральных уравнений
поверхностных токов и сведем решение интегральных уравнений к решению систем ли-
нейных алгебраических уравнений.
6.13.2.	Пусть бесконечный круговой цилиндр радиуса а с поверхностным сопро-
тивлением возбуждается прямолинейной нитью синфазного магнитного тока. Нить па-
раллельна оси цилиндра (рис. 6.7,а). Поверхностное сопротивление зависит от азиму-
тальной координаты и не зависит от продбльной координаты. Необходимо найти воз-
буждаемое электромагнитное поле.
Эта задача отличается от задачи, поставленной в п. 6.5.4, только тем, что по-
верхностное сопротивление является функцией азимутальной координаты, т. е. Zh=
=2н(ф). Тогда граничное условие (6.103) имеет вид
E,(f) = -ZH(f)Ha(T), г = а.	(6.196)
Нетрудно убедиться, чтд решение этой задачи получить в замкнутой форме ме-
тодам собственных функций, использованным в § 6.5, не удается. Для получения чис-
ленных результатов целесообразно сформулировать задачу в виде интегрального урав-
265
нения для поверхностного тока. В результате численного решения интегрального урав-
нения можно определить электрический или магнитный поверхностный ток. Затем по
поверхностным электрическому и магнитному токам с пймощью интегральных соотно-
шений для поля (3.26) или выражений (3.53) можно найти векторы напряженности
электрического и магнитного полей.
Выберем в качестве поверхности S поверхность цилиндра 5Ц (см. рис. 3.5 и 6.7,а).
Учтем, что по условию задачи j’CT = 0. Составляющие вектора Н(р) полного поля
можно определить из интегральных выражений (3.26). При этом
ЬН (р) — J jM СТНМ (р, q)dVq
- J [Г(9)Е“(р, ?)-J«(7) Н«(р, q)\dSq,
(6.197)
где в соответствии с формулами (3.25) электрический и магнитный поверхностные токи
на цилиндре определяются выражениями
р = [Н, (-1,)] = - [1,нг+1фнф + уу = |гн, - 1,нг,
JM = [_|r, Е] = - [1ГЕГ + 1фЕф + 12Е2] = - 1гЕф + 1фЕ2,
т. е.
J%=0, J%=-Hz, Р2=Нф; JMr = 0, Лмф = Е2, Jm2 = —Е^.	(6.198)
Для того чтобы определить Hz, зададим b=iz. В качестве вспомогательного тока
в (6.197) используем нить синфазного магнитного тока, т. е. в соответствии с п. 3.3.1
jMCT =ьб(^—р) =iz6(r'—г)б(ф'—ф)/г', где q=q{r't ф'). Тогда Ем, Нм — векторы
напряженности поля синфазной нити магнитного тока (при /мв = 1), не зависящего
от г. Считаем, что граничные условия, которые могут быть наложены на вспомогатель-
ное поле на поверхности Sq, тоже не зависят от г. Тогда в соответствии с п. 6.5.4
поле вспомогательного тока является полем Н-волны, т. е. HM=izHMz, EM=irEMr-j-
+ ЧЕ\-
Сторонний ток jM CT=izIMo6(r—г0)б(ф—фо)//-=1г1мо6(р—^о), где <7о=<7о(го, фо),
в (6.197) и поверхностное сопротивление, а значит, и поверхностные токи, тоже н$
зависят от z. Учитывая это, интегрируя в (6.197) по z вдоль цилиндра единичной
длины (dSq — adq'dz') и имея в виду, что по (6.198)
J9 = i<pJ% + W3z> JM = 1ФJM<p + i2JM2,	(6.199)
получаем
нг (p) = 1».Н»г (p; »,) - C [J’, (q) E»„ (p; ?) - J»2 (q) H"2 (p; <Z)]r,=o<ra</f'.
0
H2 (r, ?) = IM0HM2 (r,	r0, <p0) — [Рф (?') Емф (r, <p; a, —
о
- JM2 (?') HM2 (r, ?; a, <f')]r>a adf.	(6.200)
Если функции Рф, JM2 известны, то Н2(г, <р) может быть вычислено по этой формуле.
Однако вторичные токи неизвестны. Чтобы получить уравнение для их вычисления,
расположим точку наблюдения поля на поверхности цилиндра, т. е. положим г=о,
Тогда
Н2(а, <р) — 1МОНМ2 (а, у; г0, ?0)|г<^а —
-J (¥') Е*ф (г, f; а, f) - JMZ (/) Н”2 (г, Г, a, «')]г=а+0 а/f
286
Из формулы (6.198) Hz(a, ?) =— J’^.'C учетом этого получаем
2«
-( [!%(»')В»,(г. ?;	?’)-J’W)H"2(r, Т; о, т’)1г=1+о «<?’•	(6.201)
О
Наложим на вспомогательное поле граничное условие
Емф (г, <р)=° при г —а,	(6.202)
соответствующее некоторому цилиндру идеальной проводимости. При этом первое сла-
гаемое под интегралом в (6.201) пропадает и получаем
— J9<p (?) = IMoHMz (а, ср; Го, <Ро) |Го^а + J JMz (?') Н“г (г» а» ?') 1г=а+о<^?'-
о
Из граничного условия (6.196) и формул (6.198) [имеем == — JMz/^h- учетом
этого
2ic
J“z(f)- J ZH(T)H»2(r, r; «. Н1г=«+Л(Т')«У = 1м.2н (»)№,(«. f; г„ ,,) |г>ао.
0
(6.203>
Полученное соотношение является интегральным уравнением Фредгольма второго
рода относительно продольной составляющей вектора поверхностного магнитного тока.
Если Zh зависит от <р, то найти в замкнутой форме аналитическое решение этого
уравнения не удается.
6.13.3.	Ядро интегрального уравнения (6.203) определяется полем вспомогатель-
ного тока, представляющего нить синфазного магнитного тока. Поле должно удовлет-
ворять граничному условию (6.202). Соответствующая граничная задача решена*
в п. 6.5.5. Поскольку нить расположена на поверхности цилиндра (г'—а), то на осно-
вании результатов п. 6.5.7 получаем для полного поля, учитывая, что ток является
«единичным»,
л=0	п
Значение HMz(a, ср; г0, фо) при го^а, определяющее свободный член, находим, сумми-
руя выражения (6.100) и (6.109) при г—а и го^а:
н«г (а. г. г., ,.) = ф £
п=0
С помощью формулы (6.93) получаем f'n=2/inka. Учитывая, что <08а = £/^» имеем
Н-2(г, , а,	(*г),	(6.204>
л—0	”
00
Н\{а, у; г0» То) = 4^„а У] s« H(2)\ka}	(6.205>
287
6.13.4.	Подставим выражения (6.204), (6.205) в уравнение (6.203); обозначим
7вп(ф)=Ин(ф)/№ и для удобства дальнейших преобразований разделим результат
на 2он(ф)- Имеем
У К (т. ?') J“2 (?')	- f (f  ?.)•	(6.206)
b
где
I	1 ,fe>)
K (?. ?') = -ж? Xi ”•cos n ” -f'*	
(1=0
Iм. v
/(?, T.)=-^2j s"cos"<?-«•*W(2)-уэд’
n=Q	n
В выражении (6.206) точку наблюдения тока на цилиндре можно зафиксировать
(<p=const). Точка интегрирования в процессе выполнения интегрирования, переме-
щаясь в интервале 0^ф,^2л, попадает на точку наблюдения тока, т. е. при некотором
ф' может выполняться равенство ф=ф'. При ф'—>ф имеем |К(ф, ф') [—>оо, т. е. ядро
уравнения (6.206) имеет особенность.
Если го>а, то при фо==ф функция f((p, фо) не имеет особенности.
Чтобы перейти от уравнения (6.206) к системе линейных алгебраических уравне-
ний, разобьем интервал интегрирования в (6.206) на N одинаковых промежутков
Дф=2л/ЛЛ Середина промежутка номера / (/—1, 2, ..., N) ф3=Дф/2+(/—1)Дф. .При-
меняя метод Крылова — Боголюбова, получаем
N	<POT+^<₽/2	I
‘	* с
Гг(Ут) J	(6.207)
Д<р/2	1
Введя обозначения ,
(?от+д<р/2
JM2 (?/) = JM/» S)jm— J К (<?/, y')d<p', f (<fj, <Po) = fj> ^0H (ъ) =
соотношение (6.207) запишем в виде
jm.
-Zf-Tj	0= I. 2, 3.........N).	(6.208)
m=l
Это система линейных алгебраических уравнений. Матрица системы известна, так как
Zj и известны.
Если вычислить значения JMz($/)> то значения поверхностного электрического тока
Рф в точках <р/ вычисляются с помощью граничного условия Лэ? (?у) =— JMZ (у/)/2н (?/)•
В том случае, когда нить стороннего магнитного тока расположена на поверхно-
сти цилиндра (го=о), при фj=фo свободный член в (6.206) имеет особенность
(|/(Ф, фо) |—>-°о при ф—>фо). Положение точек, в которых определяется ток, при
этом необходимо задавать так, чтобы ф;#=фо-
Порядок N системы линейных алгебраических уравнений определяется числом
точек, в которых вычисляется значение тока. С этой точки зрения с увеличением #
может быть реализована большая точность вычисления функции Лмг(ф). Но при этом
возрастает порядок системы, а значит, и трудности реализации численного алгоритма
на ЭВМ. Надо иметь в виду, что система (6.208) является комплексной (JMz=Re
288
4-iImJMz), поэтому порядок действительной системы линейных алгебраических урав-
нений равен 2N.
Отметим, что на вспомогательное поле Ем, Нм в рыражении 46.201) может быть
наложено на поверхности 5Ц граничное условие, отличающееся от условия (6.202).
Например, можно наложить граничное условие Е^ =—ZiHMz, где Zj— постоянное по-
верхностное сопротивление. Значение Zi может выбираться из соображений упроще-
ния алгоритма и увеличения точности решения получаемого интегрального уравнения.
6.13.5.	С помощью выражения (6.197) ^ожно установить, что составляющие Нг,
Нф вектора Н отсутствуют и поэтому H=izHz, где Н2 определено выражением (6.200).
6.13.6.	В п. 6.13.4 изложен метод получения и решения одномерного интегрально-
го уравнения, когда искомая функция зависела только от одной координаты. При этом
в уравнение входил интеграл по дуге окружности на цилиндре. Если' поверхностное
сопротивление или сторонние источники зависят не только от азимутальной, но и от
продольной координаты или цилиндр имеет конечную длину, то из выражения (6.197)
можно получить интегральное уравнение, но оно будет уже двумерным, поверхностный
ток становится функцией координат <р и z и в уравнение будет входить интеграл по
поверхности цилиндра (цилиндр можно выбрать по конечным z).
6.13.7.	Интегральные уравнения можно получать не только на основе интеграль-
ных выражений поля (3.26), но и с помощью других аналогичных выражений. Для
примера составим интегральное уравнение поверхностного электрического тока на
идеально проводящем теле (рис. 6.22). Пусть поверхностный ток J3 наводится падаю-
щим полем, векторы напряженности которого равны Еп, Нп. Тогда вторичный ток J9
возбуждает вторичное поле, векторы напряженности которого равны Ев, Нв. Вектор-
ный потенциал вторичного поля определяется обычной формулой (см. 3.53)):
Аэв(р) = р^ (q}G(p; q)dSq,
s
где S — поверхность тела; G=exp (—ikRPq)/4nRpq— функция Грина неограниченного
пространства. Вторичный поверхностный магнитный ток на идеально проводящем теле
отсутствует. Значение Нв определяется формулой (3.53):
Нв (р) = rotp f F (q) G (р; q) dSq = f rotp {J9 (q) G (p, q)} dSq,
s	• s
где индекс p означает, что дифференцирование производится по координатам точки
наблюдения. По формулам векторного анализа
rotp (GJa)=G rotp Ja(^)-[-[gradp G, J3(<?)],
и так как rotp J’(^) =0, то получаем
HB'(p) = - f[J9(<z), gradp01dS9.
s
Умножим векторно это равенство на единичную внешнюю нормаль и прибавим
к левой и правой частям равенства слагаемое [Нп, и]. Имеем
[Нв(р) + Нп(р), п] = [Нп(р), n]- f Ц5Э (<7), gradpG(p; q)], n]dSq.
s	'
Значение НВ+НП==Н, где Н определяет полное поле. На идеально проводящей по-
верхности Ja= [Н, и], поэтому, используя предельный переход и располагая точку на;
блюдения поля на поверхности тела, получаем
, J» (р) = 2 [Нп (р), п] - 2 J [[J® (</), gradpG (р, q)] и] dSq, p£S. (6.2Q9)
19-М16
289
Рис. 6.22. К формулировке двумерного интегрального
уравнения поверхностного тока
Это выражение является векторным интегральным урав-
нением поверхностного тока.
При выводе интегрального уравнения (6.209)
учтено, что G является функцией Грина неограниченно-
го пространства и; поэтому при расположении точки
наблюдения на поверхности интегрирования S выделя-
ется внеинтегральное слагаемое.
При выводе интегрального уравнения (6.203) на
функцию Грина, роль которой играют вспомогательные
поля Ем и Нм, налагалось граничное условие на по-
верхности интегрирования S и поэтому в предельном
переходе нет необходимости.
Применение численных методов к решению двумерного уравнения (6.209) свя-
зано с большими трудностями, поскольку порядок соответствующей системы линей-
ных алгебраических уравнений определяется количеством площадок, на которые мо-
жет быть разделена поверхность S.
В частном случае, когда тело является поверхностью вращения, решение интег-
рального уравнения можно существенно упростить. С этой целью на поверхности
тела располагается координатная сетка ('О’, (р), состоящая из меридианов (линий О’)
и параллелей (линий ф) (см. рис. 6.22).
Ток J9 записывается в виде Р =	+ i’, а каждая из его составляющи
Рд., Рф представляется в виде ряда Фурье по координате у. Функция ехр(—ikRpq)/kRpx
тоже разлагается в ряд Фурье по координате ф. Затем поверхностный интеграл
в (6.209) представляется в виде двух интегралов — по координате О’ и по координа-
те ф. Интеграл по координате ф вычисляется аналитически.
Интегральное уравнение (6.209) благодаря ортогональности тригонометрических
функций распадается на бесконечное множе'ствр независимых друг от друга одно-
мерных интегральных уравнений для каждой азимутальной гармоники тока. Реше-
ние одномерных интегральных уравнений производится обычными методами. Этот
путь упрощает получение окончательных результатов. Особенно большие упрощения
получаются в некоторых частных случаях, например, если сторонний источник не за-
висит от азимутальной координаты.
6.14.	Возбуждение периодической решетки
6.14.1.	Рассмотрим задачу о возбуждении плоской металлической решетки, рас-
положенной в однородной изотропной среде с параметрами еа, ца, оэ=0. В радио-
технике решетки применяются в сканирующих антенных устройствах, в голографиче-
скйх устройствах и пр.
Пусть решетка образована из 2N-[-1 тонких идеально проводящих и бесконечно
длинных полосок шириной а, отстоящих друг от друга на расстоянии d. Решетка
возбуждается бесконечной параллельной полоскам нитью синфазного электрического
тока с амплитудой /%, расположенной в точке г0, ф0 (рис. 6.23). Введем декартову
систему координат так, чтобы ось z была параллельна полоскам, а начало координат
совместим с центром средней полоски.
Представим полное поле в виде наложения первичного поля — поля нити тока
В неограниченном однородном пространстве и вторичного поля — поля электрических
токов, наводимых на полосках решетки. Векторный потенциал первичного поля А|п
определяется формулой (6.72), En=i2En2, Hn=ixHnx-[-i|,Hnv, где Нпх«= 0Азп/<5р, Н^ =
=— дкпг/дх.
290
Рис. 6.23. Дифракционная решетка.
Наводимые на полосках решетки поверхностные электрические токи совпадаю^
по направлению с вектором Еп и не зависят (как и векторы Ея, Нп) от координа-
ты z. Вторичное электромагнитное поле имеет те же составляющие EBZ, Нвх, Нву,
что и первичное поле.
Пусть возбуждающая нить тока удалена от решетки на такое расстояние, что
kr0 -* со (k =<оКеар,а = р). Тогда вблизи решетки
Enz=Eo ехр (ikx cos sin <p0) •	'	(6.77)
На каждой идеально проводящей полоске должно удовлетворяться граничное
условие
Enz-j-EBz=O.	.	(6.210)
Как следует из (6.77), Enz на полосках имеет постоянную амплитуду, и линей-
но изменяющуюся (по х) фазу. Вторичное электрическое поле на полосках согласно
(6.210) также должно иметь постоянную амплитуду и линейно изменяющуюся (по х)
фазу. Однако вследствие взаимного влияния полосок и краевых эффектов в решетке
наводимый на полосках электрический ток по амплитуде и фазе является сложной
функцией координаты х.
Число полосок в решетке может быть большим. Поставленная задача решается
просто, если W—>оо.
6.14.2.	Предположим, что толщина полосок 2А=0. При krQ—>оо и N—>оо все
полоски решетки оказывается в одинаковых условиях и объемная плотность наво-
димого на них тока
'	f(x, y) = y%(x)S(!/-0)-i2J3(x)e/fecos^(!/-0).	(6.211)
19*
Фаза тока от полоски к полоске изменяется по линейному (по х) закону. Период
решетки равен d.' Комплексная амплитуда тока J9(x) является периодической функ-
цией координаты х и может быть представлена в виде ряда Фурье:
*	00
SZ 2кт \
^m^l~i — x], •	(6.212)
т—— оО
Векторный потенциал вторичного поля
Аэв= J j3*GdV',	(2.20)
где функцию Грина удобно применить в виде разложения (2.26). Подставляя (6.211),
(6.212) и (2.26) в формулу (2.20), меняя порядок суммирования и интегрирования
и используя основное свойство 6-функции, получаем А9В __ А9В = О,	v
00
Ag (Л, у} — 2	t$ym ехР ( ^хгПх ± $утУ)>	(6.213)
т=—оо
где рхш=—cqs <ро—$ym=(k2—р2*™) V2; знак «плюс» берется для у<0, знак
«минус» — для у>0.
По формулам (1.115), (1.116) находим
Е| = - йор.аАвв,	HB = -dABB/dx.
Таким образом, выражение (6.213) полностью определяет поле рассеяния перио-
дической решетки. Электромагнитное поле представляется в виде дискретного спектра
пространственных гармоник, называемых волнами Флоке. Отметим, что J3TO опреде-
ляется обратным преобразованием Фурье разложения (6.212):
а/2
,	1 С	i2nmxr .
Pm==~d~ J J9 (х') ехР—— dx'.	(6.214)
'	—а/2
6.14.3.	Сопоставляя выражение (6.213) с выражением (2.89), замечаем, что ток
решетки возбуждает в пространстве спектр быстрых и медленных волн; как следует
из результатов § 2.11, быстрые волны определяют излучаемое решеткой поле, мед-
ленные волны определяют поле, сосредоточенное вблизи решетки. Каждому значению
индекса m соответствует определенная пространственная гармоника (волна Флоке).
Пространственные гармоники с индексом т, который удовлетворяет условию
(—Р cos фоН-2лт/4)2> р2,	4	(6.215)
являются неизлучающими — они описывают медленные (поверхностные) волны,
амплитуда поля которых уменьшается по экспоненте при увеличении |у|. Условию
(6.215) удовлетворяют те гармоники, у которых фазовая скорость волны вдоль оси х
меньше скорости света в окружающей среде; их имеется бесконечное множество.
Пространственные гармоники, индексы которых удовлетворяют условию
(—р cos фо-|-2лпг/й)2< Р2,	(6.216)
являются быстрыми — их фазовые ° скорости вдоль оси х больше скорости света
в окружающей среде. Нулевая гармоника (/и=0) всегда является излучающей. Усло-
вию (6.216) .удовлетворяет конечное число пространственных, гармоник низших ин-
дексов.	(
Введем для коэффициентов фаз быстрых гармоник обозначение pxm—"cosy™. "
Тогда Pj/m=p sin Yni- Физический смысл углов ут поясняется рис. 6.24. Гармоники
292
Рис. 6.24. Направление лучей
с индексом т создают излучение под углом, опреде-
ляемым из выражения —(3 cos фо-|-т2л/й—13 cos ут-
Так как Р=2л/Х, то
cos ут=—cos фо—p/wX/rf.	(6.217)
Для нулевой гармоники (т=0) -условие (6.216)
соблюдается при любых значениях d/X: cos у0=—cos фо-
Из этого выражения получаем два угла То,1=180°—ф0
и у0 2=180°—|-фо- Следовательно, нулевая гармоника из-
лучает под углами уо,1 и уо,2 (7 на рис. 6.24); эти углы
определяет направления основных лучей.
Если d/X<0,5, то ни при каких значениях ]т\>0
условие (6 216) не соблюдается. Поэтому излучающей
является только нулевая гармоника, остальные гармо-
ники описывают поверхностные волны.
При значениях d/X>0,5 (0<фо<90°) условие
(6216), кроме случая т=0, прежде всего выполняется
для гармоники с индексом пг=—1; при этом угол yi
определяется выражением cos yi=—cos фо-1-K/d.
Рассмотрим пример. Пусть d/Т,—0,75. Тогда при фо=2О° ^0,1=160°, Уо,2=2ОО°,
yI(i=66,8°, Yi,2=—66,8°. Таким образом, кроме основных лучей имеются еще так на-
зываемые дифракционные лучи при 71,1=66,8° и yi,2=—66,8° (2 на рис. 6.24).
По мере увеличения d/'k появляются дифракционные лучи, соответствующие
большим значениям |/п|. В антенных сканирующих решетках дифракционные лучи
не должны присутствовать, поэтому d/1 выбирается равным 0,5 или несколько боль-
шим (в зависимости от величины сектора сканиройания).
6.14.4.	Для определения электрического тока, наводимого в полосках решетки,
необходимо составить и решить интегральное уравнение тока. Если 2Д конечно, то
напряженность вторичного электрического поля на полосках определяется выраже-
нием
Е*(х, #)|^±д =—i<op.aA*B(x, 10|^=±д-	(6.218)
Подставим в граничное условие (6.210) при у—А значения Enz и EBZ из (6.77)
и (6.218) с учетом (6.213); при этом для J3m используем выражение (6.214). В ре-
зультате получаем интегральйое уравнение Фредгольма первого рода относительно
искомой функции распределения тока J3(x) при г/=Д:
а/2
j К(х, х') P(x')dx' = Eoe‘>sIn'p°,	(6.219)
—а/2
где ядро
оо
К(Х, Х') = £ V —1—e-/2x/n(x-x')/rf-i8Asin7z71#	(6.220)
sin Yzm
m=—oo
Для решения интегрального уравнения (6.219) можно применить метод / моментов,
частным случаем которого является метод Галеркина. Заметим, что в ядре интеграль-
ного уравнения (6.220) величина Д берется не равной нулю с тем, чтобы сходимость
ряда была достаточно быстрой.
В соответствии с методом Галеркина представим разложение функции распре-
деления электрического тока J’(x) в виде разложения в ряд по системе базисных
(линейно независимых) функций fi(x), /з(х),...:
J9(X) = 2W„(X),	(6.221)
л
^где Ьп — коэффициенты разложения, подлежащие определению.
Для точного решения интегрального уравнения функции fn(x) должны состав-
лять полную систему функций и суммирование в (6.221) должно быть бесконечным.
Подставляя (6.221) в уравнение (6.219), имеем
а/2
2 bn J К(х, x')f„(^)^ = Eeel>sin4
п —а/2
Умножая последнее выражение на функцию fz(x)(Z=l, 2, 3,...) и интегрйруя по х
в пределах от —а/2 до а/2, получаем систему линейных алгебраических уравнений
относительно неизвестных Ьп\
а/2 а/2	а/2
%bn J j К(х, xf)Z/(x)/n(x9dxrfx' = E0e^sin<₽« j ft(x)dx. (6.222)
п	—aft, —aft	•	—а/2
В качестве базйсных функций могут быть взяты, например, следующие функ-
ции: 1) /п(х)=ехр(—i2nnx/d)-, при этом для воспроизведения распределения тока
нужно брать большое число членов ряда (6.221) и система уравнений (6 222) (при
усечении ряда) будет довольно высокого порядка, 2) fn (x)=cos(nn/a) (х-|-а/2) [а/2—
—х) (а/2-j-x)]-1/2; при этом для воспроизведения распределения тока достаточно
взять только несколько членов ряда (n=0, 1, 2). Второе выражение для fn(x) учи-
тывает особенность распределения поверхностного тока и на кромках полосок. Однако
при а—может оказаться, что разложение первого вида оказывается предпочти-
тельнее, чем разложение второго вида.
Для решения системы линейных алгебраических уравнений (6.222), т. е. опре-
деления коэффициентов разложения Ьп в формуле (6.221), используются ЭВМ.
Задачи
1.	Над плоской поверхностью раздела двух немагнитных сред с параметрами
eai=8o, ба2=3ео, аэ2=2-10-3 См/м расположена нить магнитного тока. Частота со=
=2л-30 МГц. Найти модули и фазы коэффициентов отражения для случаев: а) нить
тока расположена в первой среде, б) нить тока расположена во второй среде. Угол
падения 0'=30° в обоих случаях.
2.	Решить ту же задачу для нити электрического тока.
3.	Имея решения задач 1 и 2, выразить токи зеркальных изображений через
токи истинного источника.
4.	Прямолинейная нить электрического тока параллельна оси бесконечного иде-
ально проводящего кругового цилиндра. Вдоль нити распространяется бегущая волна
тока..Нить и цилиндр расположены в однородной изотропной среде. Найти возбуж-
даемое электромагнитное поле.
5.	Прямолинейная нить, магнитного тока параллельна оси бесконечного цилиндра
с постоянным поверхностным сопротивлением и расположена на таком расстоянии
г0, что kr0—>оо (&=$). Найти поле рассеяния на расстоянии г при kr—>-оо.
6.	В бесконечно тонкой идеально проводящей плоскости прорезано отверстие
прямоугольной формы. Сторонним источником, расположенным слева от плоскости
в точке Q (0, 0, z0), где fez0^>l (fe=P), является элементарный магнитный вибратор
(рис. 6.14,6). Методом физической оптики в точке, расположенной справа от отвер-
294
стия на расстоянии, значительно большем поперечных размеров отверстия, найти
электромагнитное поле. Среды являются однородными.
7.	На идеально проводящий круговой бесконечный цилиндр, расположенный
в однородной изотропной среде, падает поле, возбуждаемое прямолинейной нитью
синфазного электрического тока. В приближении геометрической оптики найти рас-
сеянное электромагнитное поле.
8.	Бесконечный круговой цилиндр с поверхностным сопротивлением, располо-
женный в однородной изотропной среде, возбуждается прямолинейной нитью син-
фазного электрического тока. Нить параллельна оси цилиндра. Поверхностный им-
педанс зависит от азимутальной координаты. Сформулировать интегральное уравне-
ние поверхностного тока. Приближенно свести интегральное уравнение к системе
линейных алгебраических уравнений.
Часть II
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
Гл ав а. 7
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН
7.1.	Классификация радиоволн по диапазонам частот и способу
распространения
7.1.1.	Передача сигналов в естественных условиях от передающего
устройства к приемному происходит в пространстве, образующем до-
вольно сложную <по своим параметрам среду. При распространении
радиоволн по таким естественным радиотрассам (радиолиниям) средой
служат поверхность и атмосфера Земли или космическое пространство.
В свободном пространстве радиоволны распространяются прямо-
линейно со скоростью света с=3-108 м/с и не испытывают поглощения.
Влияние среды на распространение радиоволн проявляется в измене-
нии амплитуды поля волны (большей частью уменьшении), изменении
скорости и направления распространения радиоволны, в повороте пло-
скости поляризации волны, в искажении передаваемых сигналов. Для
учета влияния среды на характеристики распространяющихся в ней ра-
диоволн необходимо изучить электрические свойства земной поверхно-
сти и атмосферы, а также физические процессы, происходящие при рас-
пространении радиоволн.
Условия распространения радиоволн по естественным трассам
определяются многими факторами, полный анализ которых оказывает-
ся слишком сложным. Поэтому в каждом конкретном случае строят
модель трассы распространения радиоволн, выделяя те факторы, кото-
рые оказывают основное воздействие, и пренебрегая второстепенными,
малосущественными факторами.
Земная поверхность оказывает существенное влияние на распрост-
ранение радиоволн: в полупроводящей поверхности Земли радиоволны
поглощаются; при падении на земную поверхность они отражаются;
радиоволны дифрагируют на сферической поверхности земного шара.
Радиоволны, распространяющиеся в непосредственной близости (в мас-
штабе длины волны) • от поверхности Земли, будем называть земными
радиоволнами. При теоретическом рассмотрении условий распростра-
нения земных радиоволн атмосферу обычно считают сначала непогло-
щающей средой с относительными диэлектрической и магнитной про-
ницаемостями, равными единице, а затем вносят необходимые поправки,
В окружающей земной шар атмосфере различают две большие об
ласти, отличающиеся своими электрическими свойствами: нейтросферу
и ионосферу. Нейтросфера занимает нижний наиболее плотный ^лой
атмосферы толщиной около 60 км. Она состоит из нейтральных молекул
атмосферных газов и делится в свою очередь на тропосферу и страто-
сферу. Тропосфера — приземный слой нейтросферы, простирающийся до
высоты примерно 10—15 км. Тропосфера неоднородна как в вертикаль^
ном направлении, так и вдоль земной поверхности, кроме того, ее элек-
296	к	\
трические параметры меняются при изменении метеорологических
условий. В тропосфере происходит рефракция радиоволн, и поэтому
в действительности распространение земных волн зависит от состояния
тропосферы. Кроме того, тропосфера обусловливает распространение
так называемых тропосферных волн, которое связано с явлением рас-
сеяния и отражения радиоволн от неоднородностей тропосферы.
Стратосфера представляет собой более однородную и менее измен-
чивую среду. Поскольку плотность газа в атмосфере уменьшается с вы-
сотой, относительная диэлектрическая проницаемость в стратосфере
близка к единице и эта область оказывает меньшее вляние на распро-
странение радиоволн, чем тропосфера.
Ионосферой называется область атмосферы на высоте 60—
20 000 км над земной поверхностью. На этих высотах'плотность газа
весьма мала и газ частично или полностью ионизирован. В этой обла-
сти число свободных электронов меняется с высотой и составляет 103-—
106 эл./см3. Присутствие свободных электронов существенно влияет на
электрические свойства газа и обусловливает рефракцию и отражение
радиоволн в ионосфере. Вследствие рефракции и отражения в ионосфе-
ре радиоволны распространяются на очень большие расстояния. Ионо-
сфера является статистически неоднородной средой, и радиоволны рас-
сеиваются в ней, что также обусловливает возможность распростране-
ния радиоволн на большие расстояния. Радиоволны, распространяю-
щиеся путем отражения от ионосферы или рассеяния в ней, будем на-
зывать ионосферными волнами. На условия распространения ионосфер-
ных волн свойства земной поверхности и тропосферы влияют мало.
На расстояниях в 3—4 радиуса земного шара атмосфера Земли
переходит в межпланетную плазму. Газ в межпланетной плазме пол-
Таблица 1
Наименование диапазона волн	Границы диапазона		Области применения
Мириам етровые (сверхдлинные)	От 100 до 10 км	ОтЗ до 30 кГц	Радионавигация, радиотелеграфная связь, передача метеосводок
Километровые (длинные)	- От 10 до 1 км	ОтзЬ до 300 кГц	Радиотелеграфная и радиотелефонная свя- |зи, радиовещание, радионавигация
Гектометро вые (средние)	От 1000 до 100 м	От 300 до 3000 кГц	То же
Декаметровые (Короткие)	От 100 до 10 м	От 3 до 30 МГц	Радиовещание; радиотелеграфная, радиоте- лефонная и радиолюбительская связи, косми- ческая радиосвязь и др.
Метровые (ультракороткие)	От 10 до 1 м	От 30 до 300 МГц	Радиовещание, телевидение, радиолокация, космическая радиосвязь, радиолюбительская связь и др.
Дециметровые (ульт ракоротки е)	От 100 до 10 см	От 300 до 3000 МГц	Телевидение, радиолокацияj радиорелейная связь, космическая радиосвязь и др.
Сантиметровые (ульт ракорот к не)	От 10 до 1 см	ОтЗ до 30 ГГц	Радиолокация, радиорелейная связь, астро- радионавигация и др.
Миллиметровые	От 10 до 1 мм	От 30 до 300 ГГц	Радиолокация и др.
ностью ионизирован, плотность электронов равна плотности положи'
тельно заряженных частиц и составляет 10—100 эл./см3.
Таким образом, оказывается возможным рассмотреть раздельно
влияние на распространение радиоволн земной поверхности, тропосфе'
ры, ионосферы и межпланетной плазмы.
В связи с полетами космических кораблей к Луне и к ближайшим
планетам Солнечной системы (Венере, Марсу) изучаются условия рас-
пространения радиоволн в атмосферах и вблизи поверхностей этих пла'
нет. Получены данные об электрических параметрах поверхностей пла-
нет, строении их атмосфер, что дает основание для построения моделей
радиотрасс, проходящих вблизи планет, с использованием опыта рабо-
ты наземных радиолиний.
7.1.2.	К радиоволнам относят электромагнитные колебания, длина
волны которых лежит в пределах от 2-10~9 до 105 м, что соответствует
частотам колебаний от 15-1010 до 3• 10~3 МГц.
В зависимости очт длины рабочей волны влияние одной и той же сре-
ды на распространение радиоволн проявляется по-разному. Радиоволны
в зависимости от частоты их колебаний используются на радиолиниях
различного назначения. В связи с этим и для удобства выбора модели
трассы радиоволны делят на диапазоны (табл. 7.1). Радиоволны каж-
дого диапазона имеют свои особенности распространения, но на грани-
цах диапазонов не существует резких изменений этих особенностей.
Диапазон радиоволн ограничен и представляет собой естественный
ресурс, который при современном интенсивном развитии радиосредств
требует рационального использования. Применение новых путей и
средств распространения радиоволн (ретрансляция через искусствен-
ные спутники Земли, рассеяние на неоднородностях атмосферы) позво-
лило расширить области использования метровых и более коротких
волн. Расширились границы используемых радиоволн как в сторону
мириаметровых, так и в сторону миллиметровых волн.
7.2.	Распространение радиоволн в свободном пространстве
7.2.1.	Свободное пространство представляет собой неограниченную
непоглощающую среду, относительные диэлектрическая и магнитная
проницаемости которой равны единице. В действительности таких сред
не существует, однако выражения, описывающие условия распростра-
нения радиоволн в свободном пространстве, являются фундаменталь-
ными. В более сложных случаях обычно пользуются теми же выраже-
ниями с внесением в них множителей, учитывающих влияние конкрет-
ных условий распространения.
Для проектирования радиосистем различного назначения необхо-
димо уметь рассчитывать напряженность поля вблизи приемной антен-
ны или мощность сигнала на входе приемного устройства. Протяжен-
ность естественных радиотрасс обычно велика (километры — тысячи
километров), поэтому всегда рассматривается поле в дальней зоне из-
лучателя. Принято рассчитывать и измерять напряженность электри-
ческого лол я.
Простейшим излучателем является элементарный электрический
вибратор, напряженность электрического поля которого в дальней зоне
на расстоянии R от излучателя определяется формулой (2.80), записан-
ной здесь в ином виде (индекс 0 здесь и далее опускается, индекс 0
298
указывает, что определяется поле в свободном пространстве):
Е. = ‘ sin 9е~'‘*=IЕ-1 e'W,"W •	(2.80)
где | Е, | = 60-у;?0  L I sin 61; ф® определяется (2.59).
В ряде случаев напряженность поля удобнее выражать не через
ток в антенне, а через мощность, излучаемую антенной. Мощность, из-
лучаемая элементарным вибратором в свободном пространстве, опре-
деляется формулой (2.81):	=40л2|130| (L/1)2 [Вт].
Сопоставляя выражения (2.80) и (2.81), получаем формулу для
амплитуды напряженности электрического поля элементарного вибра-
тора:
1Е. | =F /90^мР  I sin в I [В/м].	(7.1)
Коэффициент направленного действия — это число, показывающее во
сколько раз пришлось бы увеличить мощность излучения антенны при
переходе от направленной антенны к ненаправленной при условии со-
хранения одинаковой напряженности поля в месте приема (при прочих
равных условиях):	Где —мощность излучения
ненаправленной антенны.
Элементарный вибратор представляет собой слабонаправленную
антенну (рис. 2.14), его характеристика направленности описывается
формулой (2.79) и выражение (7.1) можно переписать в более общем
виде:
|Е,| = /бб^®|Е(0,¥)|/7?.
С учетом (2.80), принимая фэ=0, получаем
Ео = /60^ | F (6, <р) | ехр (— ikR)/R.	(7.2)
Формула (7.2) справедлива для антенны любого типа, если под-
ставить в нее соответствующие значения 3) и |Г(0, <р)|. На радиоли-
ниях стремятся ориентировать передающие антенны таким образом,
чтобы максимум характеристики направленности совпадал с направле-
нием распространения волны на данной радиотрассе (на простейших
радиотрассах — это направление на приемную антенну). Поэтому ча-
сто принимают |Жф)1=1.
7.2.2.	В некоторых случаях определяют не напряженность поля,
а мощность в приемной антенне £?пр, которая равна произведению плот-
ности потока энергии П вблизи антенны на эффективную поверхность
антенны Аэфф> т. е. площадь фронта приходящей электромагнитной вол-
ны, мощность которой как бы поглощает антенна: ^,пр='ПАЭфф- Эффек-
тивная площадь приемной антенцы связана с ее коэффициентом на-
правленного действия ^>пр соотношением АЭфф=^прХ2/4л. Плотность
потока энергии вблизи приемной антенны определяется через мощность,
излучаемую передающей антенной (2.80):
п=। е0 |*/240«=
где индекс S относится к передающей антенне.
299
Учитывая последние соотношения, получаем выражение для мощ-
ности, создаваемой в приемной антенне при распространении радио-
волн в. свободном пространстве:
(7.3)
Из выражения (7.3) видно, что применение направленных антенн эквива-
лентно увеличению мощности передатчика в 2)гЗ)Пр раз. Последняя фор-
мула наиболее часто применяется при расчете радиолиний метровых и
более коротких радиоволн.
Ослабление мощности Г при распространении радиоволн в свобод-
ном пространстве, определяемое как отношение мощности сигнала на
входе приемника к мощности излучения передающей антенны при не-
направленных передающей и приемной антеннах, называемое основны-
ми потерями радиолинии, получаем из формулы (7.3) в удобном для
расчетов виде, если расстояние выражается в километрах, частота —
в МГц и потери — в децибелах:
Г,= 101g(^np/S“2)=-[33 + 20(lg/? + lgfi] [дБ].	(7.4)
7.3.	Влияние среды на характеристики передаваемых сигналов
7.3.1.	В естественных условиях границы раздела неоднородных сред
сложны, а параметры сред зависят от частоты. Передаваемый сигнал
при этом искажается, поскольку групповая скорость распространения
сигнала зависит от частоты. Для учета влияния неоднородностей на
условия распространения радиоволн используют понятие области про-
странства, существенной при распространении радиоволн. Учесть влия-
ние неоднородностей атмосферы и границы раздела сред можно с по-4
мощью теоремы эквивалентных поверхностных токов или используя
понятия токов и зарядов поляризации. Однако решить граничные зада-
чи даже для простых моделей не всегда удается. Поэтому часто при-
меняются приближенные методы.
Во многих случаях можно считать, что для сложной трассы декар-
товы составляющие Е3 (/=х, у, z) вектора Е(р, «о) определяются так >
же, Как в свободном пространстве, но влияние среды учитывается с по-
мощью множителя влияния среды V3(p, ®) = |Vj| ехр (iarg V3), т. е.
Ё3=Ео3У„	(7.5)
где EOj(p, со) вычисляется при заданном стороннем токе по (7 2)
Декартовы составляющие мгновенного значения вектора Е(р, t)
определяются по (1.45):
00
Е} = VW J Е»J	1 ехР О* arsV1 +	(7-6>
—00	}
откуда видно, что множитель V3 имеет смысл коэффициента передачи
эквивалентного пространству четырехполюсника.
Строгое определение множителя V3 возможно только для упрощен-
ных моделей земной поверхности и атмосферы. В инженерных расчетах
нередко используется модель трассы с постоянными средними парамет-
рами среды и рассчитывается среднее значение напряженности поля или
мощности на входе приемной антенны. В моделях Трасс с детерминиро-
300
ванными параметрами существенные искажения сигнала наблюдаются
в тех случаях, когда Vj является резко меняющейся функцией частоты.
Это имеет место; например, при распространении радиоволн в ионизи-
рованном газе, когда частота проходящей радиоволны близка к собст-
венной частоте ионизированного газа (см. гл. 9).
7.3.2.	В действительности при распространении радиоволн по есте-
ственным трассам параметры среды (тропосферы, ионосферы) меняют-
ся во времени случайным образом, флуктуируют. Поэтому радиотрасса
представляет собой линейную систему со случайными параметрами.
Четырехполюсник, эквивалентный такой системе, имеет коэффициент
передачи, который для каждой частоты представляет случайный про-
цесс. Детерминированный сигнал, поданный на вход такого четырех-
полюсника, на выходе приобретает характеристики случайного сигнала,
амплитуда и фаза которого флуктуируют.
Флуктуационные процессы параметров естественных сред очень
сложны и еще недостаточно изучены, что затрудняет построение экви-
валентных четырехполюсников. Однако в ряде случаев считают, что
случайные значения параметров естественной среды (высоты неровно-
стей земной поверхности, диаметр капель дождя и др.) распределены
по нормальному закону, для которого плотность вероятностей р(х)
определяемся выражением
/’w=7^7ex₽(-j£^L)- '	, (77>
где х— случайное значение параметра; а — среднее значение парамет-
ра х; о — среднее квадратическое отклонение случайной величины.
Флуктуации амплитуд и фаз сигналов изучают на основании непо-
средственных наблюдений на радиотрассах различного вида. Флуктуа-
ции амплитуды сигнала называются замираниями. Измерения показы-
вают, что замирания представляют собой нестационарный случайней
процесс. Однако с приемлемой для практики точностью в течение огра-
ниченных интервалов времени замирания можно считать стационарным
случайным процессом. Для каждого вида радиотрассы и длины радио-
волны длительность этих интервалов времени определяется экспери-
ментально. Замирания в течение такого ограниченного интервала вре-
мени называет быстрыми замираниями, а изменение средних значений
уровня за большие интервалы времени — медленными замираниями.
Для характеристики скорости замираний определяют их частоту —
среднее число пересечений мгновенными значениями огибающей сигна-
ла данного уровня за единицу времени или обратную величину — сред-
ний период замираний.
Статистическое распределение глубины замираний (распределение
уровней сигнала) исследуется экспериментально, причем обычно изме-
ряется закон распределения уровня огибающей сигнала. Любую коор-
динатную составляющую напряженности поля радиоволны Ej (j=x,
У, z), прошедшей некоторый путь в естественной среде со случайными
параметрами, можно рассматривать как результат суперпозиции основ-
ной волны I Eochj | cos (at—<росн;) и большого числа N элементарных со-
n=N
ставляющих 2 |Enj| cos (Ы—<pnj) со случайными амплитудами и
п=Л
фазами:	.	___•
301
,	n=s.N
Щ (A 0 = lEoca/l COS W — <Poch/) + 2 1 Ел/1 cos (<rf — ?«/)•	(7.8)
Л=1
Изменение во времени амплитуды основной волны |E0CHj| пред-
ставляет медленные замирания. Медленные замирания связаны с изме-
нением условий поглощения или отражения радиоволн в среде. Напри-
мер, если монохроматическая плоская волна проходит в поглощающей
среде расстояние Р, то логарифм отношения составляющих амплитуд
поля в начале и конце этого пути In [|Е0СН|/1 ЕОСн|я=о] = ~а/?. Предпо-
лагая, что случайная величина a(t) распределена по нормальному за-
кону, получаем, что амплитуда напряженности поля прошедшего сигна-
ла |Еосн| распределена по логарифмически-нормальному закону. На*
блюдеция показывают, что, действительно, медленные замирания наи-
лучшим образом описываются логарифмически-нормалъным законом,
т. е. нормально распределенной оказывается амплитуда напряженности
поля, выраженная в децибелах.
Быстрые замирания обусловлены случайными изменениями фазо-
вых соотношений элементарных волн. Амплитуда вектора напряженно*
сти поля |Е(р, /) | (7.8), представляющего сумму полей элементарных
волн (|Еосн|== 0), подчиняется закону распределения Релея\
р(|£|)=-21Де-1£|,/”.	(7.9)'
Амплитуда результирующего вектора напряженности поля | Е (р, t) | s
при |ЕОсн 1=7*0 оказывается распределенной по закону Райса (или ’по
обобщенному закону Релея):	4 1
(7.10)'
/ IЕ ПЕлг 1 \	. J
где Jo( ——музи —функция Бесселя первого рода нулевого порядка^
от чисто мнимого аргумента:	(г) =^0(*z); |Е|—амплитуда случай*^
ного значения составляющей результирующего поля.	।
При расчетах вычисляют среднее или медианное (превышаемое j
в течение 50% времени наблюдений) значение напряженности поля или.
мощности в приемной антенне, а также уровни, превышаемые в задан-
ном интервале времени наблюдений (составляющем, например, 90 И ’
99,9% времени). Таким образом, если говорить об уровне напряженно-!
сти поля в точке наблюдения, то необходимо указать, в течение какогог
^времени (в процентах), с какой вероятностью наблюдается или превы-
шается данный уровень.
Временная корреляционная функция сигналов К(т) характеризует 4
статистическую связь замираний сигналов при временном разнесении.1
Получаемые из экспериментов нормированные корреляционные функции
удовлетворительно описываются экспоненциальным законом	' -
А(т) = ехр (-т/т0),	(7.11)
где т — интервал разнесения наблюдения сигналов по времени; ю—мас-
штаб временной корреляции. Пространственная корреляционная функ-
ция характеризует статистическую связь в двух пространственно раз-
несенных точках. Ее нормированное значение определяется аналогично
(7.11):
(7.12)
A(Z) =texp (—Z/Zo),
302
где I — интервал разнесения точек наблюдения в пространстве; /0___
масштаб пространственной корреляции.
Функция корреляции стационарного процесса связана с его спект-
ром,. который характеризует среднюю картину распределения энергии
сигнала в пределах занимаемой.им полосы частот.
Флуктуирующий сигнал обладает частотным спектром, однако
в отличие от детермированной модуляции составляющие спектра цепре-
рывно и случайным образом меняют положение и амплитуду. Частот-
ный спектр является наиболее полной характеристикой частотных
свойств замираний. Частотные спектры колебаний определяются или
непосредственно по виду сигналов, или путем измерения корреляцион-
ной функции процесса и последующего вычисления частотного спектра.
Флуктуации амплитуды и фазы поля в точке приема определяют устой-
чивость работы радиолиний, они вызывают искажения сигнала, что
ограничивает возможную полосу передаваемых частот.
7.4.	Влияние помех на работу радиолинии	*
Помехами,-или шумами, называют посторонние сигналы, поступаю-
щие на вход радиоприемного устройства одновременно с полезным сиг-
налом и имеющие частоту, попадающую в полосу пропускания прием-
ника. Для уверенного обнаружения полезного сигнала на выходе при-
емника необходимо, чтобы мощность полезного сигнала на входе при-
емника превышала мощность помехи ^ш. При работе радиолиний
различного вида (радиотелеграфа, радиотелефона, телевидения, радио-
локации, телеметрии и др.) требуется определенное минимальное от-
ношение ЛМг. Минимальная мощность полезного сигнала, необходи-
мая для надежной работы радиолинии данного вида, определяется уров-
нем помех. Уровень помех так же, как уровень полезного сигнала,
обычно претерпевает случайные изменения во времени. Поэтому вычис-
ляется вероятность того, что на данной радиолинии отношение ^с/^ш
превышает заданное значение. Эта вероятность называется устойчиво-
стью работы радиолинии.
Мощность помех на входе приемника принято определять через
шумовую температуру Тш:
&ш=кД{Тш,	(7.13)
где к=1,38-10~23 Вт/град«Гц — постоянная Больцмана; Af— полоса
пропускания приемника (в герцах). Суммарная шумовая температура
на входе согласованного с антенной приемного устройства
— Тщ пр 4- ^"шА 4“ ^ГА’	(7' 14)
где Тшпр — температура теплового шума приемника, приведенная к его
входу, она зависит от типа приемного устройства и возрастает с ростом
рабочей частоты, причем в диапазоне сантиметровых и более коротких
радиоволн часто Тщпр превосходит остальные слагаемые формулы и
целиком определяет значение Тт-, ТшА— температура теплового шума
конструкции приемной антенны, определяемая тепловыми потерями
в антенне; ТеА — антенная температура, определяемая общим воздей-
ствием на антенну всех внешних источников шумовых помех, к которым
относятся промышленные и атмосферные помехи, помехи космического
происхождения, шумы, обусловленные тепловым излучением поверхно-
303
сти и атмосферы Земли; можно представить как сумму шумовь^
температур, обусловленных отдельными источниками:	'
7\ д := ~Ь ^атм “Н ^гал “1“ ^дискр “1“ ^атм зем “f” ^пов зем»	(7.15)
где Тп — температура промышленных помех; Татм — температура атмо-
сферных (грозовых) помех; Тгал — температура галактики; ТДИскр —
температура дискретных космических источников радиоизлучения;
ТатМзем — температура газов атмосферы Земли; ТПОвзем — температура
поверхности Земли.
Для определения ТеА необходимо вычислить интеграл по полному
телесному углу Q=4jc, отсчитываемому из точки наблюдения для каж-
дого из слагаемых формулы (7.15). Например,
Га™=-^|7’Я(9,Т)Р!(О.<Р)^.	(7.16)
где 0пр и Т(0, <р)—коэффициент направленного действия и нормиро-
ванная характеристика направленности приемной антенны; Тя(0, <р) —
угловое распределение яркостной температуры внешних источников
помех. Яркостной температурой источника помехи (шума) называется
температура абсолютно черного тела, создающего такую же спектраль-
ную плотность излучения (плотность потока мощности в полосе частот
1 Гц), как и данный источник. Основной задачей, решаемой при нау-
чении распространения радиоволн, является разработка методов рас-
чета энергетических параметров радиолиний таким образом, чтобы
в точке наблюдения .с заданной вероятностью выполнялось необходи-
мое соотношение	Избыточная мощность передающего устрой-1
ства приводит к удорожанию системы и к возможному созданию помех
сигналами данной станции работе других радиолиний. Мощности по-
лезного сигнала и помехи на входе приемного устройства зависят от
частоты радиоволны. Поэтому в ряде случаев имеется возможность вы-
бора оптимальной рабочей волны, для которой отношение ^с/^ш ма-
ксимально и энергетические параметры радиолинии при заданных уело- *
виях оказываются наилучшими.
Глава 8
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗЕМНЫХ РАДИОВОЛН
8.1.	Простейшие модели радиотрасс, проходящих вблизи
поверхности Земли
8.1.1.	В большинстве случаев приемная и передающая антенны или
хотя бы одна из них размещаются на таких расстояниях от земной по-
верхности, при которых необходимо учитывать влияние последней на
распространение радиоволн. Тогда электрическое поле в месте приема
можно представить как совокупность первичного поля, т. е. поля, соз-
даваемого излучателем в неограниченной однородной среде, и вторич-
ного поля, обусловленного влиянием поверхности Земли4 на распростра-
нение радиоволн.
304
Таблица 8.1
Вид земной поверхности или покрова	f, МГц	S	См/м
Морская вода	Менее ЗЛО2 ЗЛО3 10* 10s	75 ,	70 65 10	1—6 1—6 10-20 • 10—20
Пресная вода рек, озер	Менее 3- 10е 3.103 10* 10s	80 75 65 10 /	Ю-2—ЗЛО-2 1—2 10—20 —	1
Влажная почв^	Менее 3-102 ЗЛО3 10*	20—30 20—30 10—20	2Л0-2—ЗЛО-1 5Л0-1—1 1—3
Сухая почва	Менее 3-102 ЗЛО3 10*	3—6 3—6 3—6	Ю-s—2 Л0-3 Ю-2—7Л0-2 ю-мло-1
Мерзлая почва	Менее ЗЛО2 ЗЛО3 10*	3—6	10-3—10-2
Лед (t	10°С)	Менее ЗЛО2 ЗЛО’ 10*	4—5 3—5 3—2	и « Л 1 1 1 ООО w 1 1 1 ООО
Снег (t = —10°С)	Менее ЗЛО2 3 10s 10*	1,2 1,2 1,2	10-6 10-3 10-3
Лес	Менее 3-102 ЗЛО’	1,004 1,04—1,4	10-3—10-®' 10-3—10-’
Для определения напряженности электрического поля в этом слу-
чае необходимо знать электрические параметры земной поверхности:
ее относительную диэлектрическую проницаемость 8 и проводимость о9.
В табл. 8.1 указаны значения электрических параметров наиболее ти-
пичных видов земной поверхности, определенные экспериментально
в широком диапазоне волн. Большая часть (71%) земного шара пред-
ставляет собой водную поверхность. Электрические свойства воды зави-
сят от степени ее солености; с увеличением солености увеличивается о3
(на волнах длиннее 3 см), что связано с присутствием ионов. Условно
рассматривают воду морскую и пресную, хотя содержание солей в воде
различных морей не одинаково. Вода пресных Водоемов содержит раз-
личные примеси. Поэтому в табл. 8.1 указаны пределы возможного из-
менения величины о9. Электрические свойства почвы зависят от ее
структуры, степени влажности, однородности, температуры. С увеличе-
нием влажности проводимость почвы возрастает. Характерно, что во
всем диапазоне радиоволн, длиннее метровых, 8 и о9 воды и почвы не
зависят от частоты, а на дециметровых и особенно на более коротких
волнах 8 уменьшаете^, а а9 возрастает с повышением частоты вплоть до
&)—116	305
Рис 8 1. График частотной зависимости коэф-
фициента удельного поглощения:
1 — морская вода, 2 — пресная вода, 3 — влажная
глина (влажность 15%), 4 — сухой песок (влажность
4%)
частоты резонанса молекул воды
(1,5—6)-104 Л|Гц.	Растительность,
снег, лед, покрывающие почву, могут
рассматриваться как полупроводящие
слои, лежащие на поверхности почвы.
Влияние этих покровов особенно су-
щественно на сантиметровых и милли-у
метровых волнах.	'
Оценим соотношения плотностей токов проводимости и токов сме-
щения в земной поверхности различных видов. Используя формулк,
приведенные в п. 1.6.4, и параметры 8 и о3, указанные в табл. 8.1, ви-
дим, что для морской воды равенство плотности токов проводимости и
токов смещения наступает при частоте радиоволны f=103 МГц, а для
влажной почвы — при f^lO МГц. Поэтому морская вода может рассма-
триваться как диэлектрик на радиоволнах сантиметрового диапазона, ч
а влажная почва — на метровых и более коротких волнах. Таким обра-
зом, все виды земной поверхности на волнах сантиметрового диапазона ч
имеют свойства, близкие к свойствам идеального диэлектрика, а на
километровых волнах имеют свойства проводника.
Рассмотрим частотную зависимость коэффициента затухания и фа- 4
зовой скорости при распространении радиоволн в морской воде и влаж-';
ной почве. Величины аир, как видно из формулы (2.71), сначала уве- t
личиваются с повышением частоты, а затем согласно (2.70) а практи--
чески не зависит от частоты и только вблизи частоты молекулярного
резонанса воды поглощение резко возрастает.	'
На практике пользуются величиной коэффициента поглощения
г [дБ] или удельного поглощения Ti [дБ/м], связанной с коэффици-.
ентом затухания простым соотношением	'
r = 201g]E/E.| = 201ge~“R= — 8,6аК[дБ], ’Г=—8,6а [дБ/м],	(8.1)’
где |ЕоI и |Е|—амплитуды напряженностей электрического поля
в свободном пространстве и в поглощающей среде. Графики частотной
зависимости Г1 приведены на рис. 8.1. Из графиков цидно, что погло-
щение радиоволн в морской воде значительно превышает поглощение
во влажной почве. Распространяться через толщу земли или моря (на-
пример, для радиосвязи с погруженными подводными лодками) могут
только километровые и более длинные волны.
Реальные источники создают сферические волны, но на большом
расстоянии от источника малую часть фронта сферической волны мож-
но считать плоской. Сферическую поверхность Земли на* небольшом
участке тоже можно считать плоской. Поэтому рассмотренный в § 6.2
случай отражения плоской волны от плоской границы раздела двух сред
представляет практический интерес, и для расчета напряженности поля
волны, отраженной от поверхности Земли, используют формулы (6.23)
и (6.39). '
8.1.2.	Строгое решение задачи об определении напряженности поля
волн, распространяющихся над реальной земной поверхностью, при про-
306 '
ч
Рис. 8.2. К определению расстояния прямой ви-
димости Модели радиолиний при антеннах,
поднятых над поверхностью Земли и располо-
женных-^вблизи Земли
извольном расположении излучателей
весьма сложно. Поэтому при теорети-
ческом изучении и расчете поля земных
радиоволн строят некоторые упрощен-
ные модели. Прежде всего полагают
атмосферу однородной непоглощаю-
щей средой с 8 = 1, сга=О, а поверх-
ность Земли считают гладкой и одно-
родной. Затем в формулы, полученные
при этих предположениях, вносят не-
обходимые поправки. Практически все радиотрассы, использующие
земные радиоволны, можно свести к двум основным моделям: 1) пере-
дающая или приемная антенна или обе вместе подняты высоко (по-
рядка нескольких длин рабочей волны) над поверхностью Земли, что
выполняется обычно на волнах короче 20—30 м; 2) обе антенны распо-
ложены в непосредственной близости от поверхности Земли, как это
имеет место в диапазонах гектометровых и километровых волн.
Пусть передающая и приемная антенны расположены в точках
и pi соответственно на высотах /zi>A, и h2>k над поверхностью Земли,
представляющей собой гладкую сферу радиуса ао, расстояние между
антеннами R (рис. 8.2). Для качественного рассмотрения происходя-
щих при этом явлений воспользуемся понятием области, существенной
при распространении, радиоволн. Из рис. 8.2 видно, что если соотноше-
ние между величинами h2 и R таково, что первая зона Френеля не
достигает земной поверхности, то возможно прямолинейное распростра-
нение радиоволн между точками и Если первая зона Френеля
перекрывается земной поверхностью, как это имеет место при распро-
странении между точками q\ и р2, то сферичность Земли является пре-
пятствием, за которое радиоволны распространяются только путем ди-
фракции подобно тому, как это происходит при помещении полупло-
скости на пути распространения волны. Поле в этом случае оказывает-
ся сильно ослабленным, поскольку в распространении участвуют только
часть первой зоны Френеля и зоны высших порядков, искаженные влия-
нием поверхности Земли. Для уменьшения ослабляющего действия
Земли необходимо, чтобы первая зона Френеля была открыта, т. е. ми-
нимальное расстояние между прямой линией Qipi и поверхностью
Земли было больше радиуса первой зоны Френеля.
Ориентировочной оценкой возможности прямолинейного распрост-
ранения радиоволн служит расстояние прямой видимости. Расстоянием
прямой видимости называется расстояние между передающей и при-
емной антеннами, при котором прямая линия, соединяющая эти антен-
ны, касается земной поверхности. Из рис. 8.2 можно определить рас-
стояние прямой видимости
£ = V (а. + hty - а\ + V(a0 + h2y - а\
Следовательно, пренебрегая малыми величинами h2i и h?2 по сравне-
нию с 2П(Л1,2, имеем
R. = V 2а, (Г*. +
(8.2)
307
20*
или, подставляя значение ао=637О км и выражая 7?о в километрах, a hi
и h2 в метрах, получаем
R. = 3,57 (Vh,+Vht) [км].	(8.3)
В зависимости от соотношения между протяженностью радиотрас-
сы R и расстоянием прямой видимости Rq (при тех же высотах располо-
жения антенн) следует выбирать одну из трех моделей трассы: 1) если
протяженность трассы мала (J?<0,2^0), то поверхность Земли можно
считать плоской; 2) при 0,2J?0<J?<0,8i/?o первая зона Френеля не пере-
крывается выпуклостью земной поверхности, но необходимо учитывать
влияние сферичности Земли; 3) при #>О,8/?о расчет следует вести
с учетом дифракции аналогично тому, как это сделано в п. 6.5.3. Об-
ласть, лежащая на расстоянии О,87?0<)7?<1,27?0> называется областью
полутени (участок вблизи р2 на 8.2), а при R> 1,2/?0 начинается область
тени.
В случае, когда антенны расположены непосредственно на поверх-
ности Земли (Л1==/г2=0), понятие расстояния прямой видимости не име-
ет смысла (рис. 8.2), поскольку сегмент, ограниченный прямой * RqP,
является препятствием для прямолинейного распространения радио-
волн. Пока высота этого сегмента d много меньше максимального ради-
уса первой зоны Френеля d<0,5 RqPK влияние сферичности Земли
не учитывают и можно использовать модель плоской ЗеМли. При уве-
личении расстояния R высота сегмента d может стать равной или боль-
шей 0,5 V Rqph и необходимо использовать модель сферической Земли.
Моделью плоской Земли можно пользоваться при низко располо-
женных антеннах в метровом диапазоне волн для радиотрасс протя-
женностью до 10—20 км, на декаметровых волнах.— протяженностью до
нескольких десятков километров, на средних и длинных волнах — до не-
скольких сотен километров.	4
8.2.	Поле излучателя, поднятого над земной поверхностью
8.2.1.	Влияние земной поверхности на распространение радиоволн <
наиболее просто учесть, когда передающая и приемная антенны подня-
ты над однородной поверхностью Земли на высоту в несколько длин
волн. Практически это можно сделать только в диапазоне волн от 10
до 1 см и иногда в диапазоне волн 100—10 м. Если электромагнитная
волна достигает земной поверхности на значительном (по сравнению
с длиной волны) расстоянии от излучателя, то участок фронта волны
вблизи земной поверхности можно считать плоским. При небольшой
протяженности радиолинии (R}<.
<О,27?о) поверхность Земли также
можно считать плоской.
На границе раздела воздух —
земля происходит отражение электро-
магнитной волны и поле в месте прие-
ма является результатом интерферен-
Рис. 8.3. Модель радиолинии при антеннах,
поднятых над поверхностью Земли (Л1>А. и
Й2>Л.), и малых протяженностях трассы
(К<0Ж)
308
Рис. 8.4. К выводу интерференционной фор*
мулы
I
ции прлей первичной волны и вол-
ны, отраженной от земной поверх-
ности (вторичной волны), как
представлено на рис. 8.3. Первич-
ная и отраженная волны распро-
страняются путями qip и Я\пгр, дли-
ны которых обозначены через Ri и
R2. Протяженность радиотрассы обозначена через R, а высоты распо*
ложения передающей и приемной антенн — hi и Л2, причем h\>'K И
h2>h. Можно считать, что источником отраженной волны является
фиктивный излучатель, находящийся на расстоянии hi ниже поверхно-
сти Земли, и влияние поверхности заменить действием этого излуча-
теля (см. п. 6.3.7). Длина пути отраженной волны заменяется равной
ей длиной прямолинейного пути q2mp.
Мгновенное значение составляющей вектора напряженности элек-
трического роля излучателя, находящегося в точке qi (поле первичной
линейно-поляризованной волны), определяем как напряженность поля
излучателя в свободном пространстве (7.2), считая, что направление
максимума характеристики направленности излучателя составляет
с направлением на приемную антенйу угол Дбь
Р (р, t)=Re [(pW^/R,) F (ДО,)
Мгновенное значение составляющей вектора 'напряженности элек-
трического поля фиктивного излучателя, находящегося в точке <72 (поле
отраженной вторичной волны, направление распространения которой со-
ставляет угол Д02 с направлением максимального излучения антенны),
определяется выражением
Е- (M)=Re [|	х | (ГбОЗДХ) F (А9«) е'("'-^-ф)1,	>
где |/?)(	| е"‘гФ — коэффициент отражения от поверхности Земли для
поля соответствующей поляризации, определяемый формулами (6.23)
или (6.39).
Протяженность радиотрассы обычно много больше высоты подъе-
ма антенн R^>hi, h2. В этом случае можно считать, что лучи qip и q2p
параллельны и составляющие векторов Еп(р> t) и £в(р, t) совпадают
по направлению. Из рис. 8.4 легко выразить разность расстояний R2 и
Ri че^ез hi и угол падения 0 волны на поверхность: &R=R2—Ri=
=2hi cos 0. Эти величины по условию много меньше R, и при вычисле-
нии амплитуд векторов напряженности поля можно считать
^A/Ri^&l/R. Тогда мгновенное значение результирующей составляющей
вектора напряженности электрического поля
Е (р, t) = Е" (р, f) + В* (р, 0 = Re {(У 60.9\®,/R) F (ДО,) X
ч/ Г 1 [ I р I ? (А9>)
X 1 + | A|It ± 1 р (д01)
е~-i (2k AiCosS+Ф) jgi (&t—kR)
309
Амплитуда составляющей вектора результирующей напряженности по-
ля равна модулю выражения, заключенного в фигурные скобки:

i+l-W
г (де2)12
Г(деж)
+ 21. 11 ЯйГ)coscos’+Ф) }1/2	FWI = IЕ.IfVI-
(8.4)
Полученное выражение носит название интерференционной формулы.
В эту формулу входят два сомножителя: | Ео |—амплитуда поля, соз-
даваемого данным излучателем в свободном пространстве, и | V| —мно-
житель влияния среды (7.5), в данном случае Земли, зависящий от вы-
соты расположения антенн над Землей, протяженности радиотрассы,
отражающих свойств поверхности Земли и характеристики направлен-
ности излучателя. Произведение F (A0i) | V| является характеристикой
направленности излучателя с учетом влияния Земли. Эта характеристи-
ка направленности формируется двумя излучателями: реальным и
фиктивным. Действие их таково, как если бы в центре системы (точка
q на рис. 8.4) находился один излучатель, имеющий характеристику на-
правленности /7(А01) | V|. Направление на этот излучатель из точки на-
блюдения составляет угол 0 с вертикалью. Мощность на входе прием-
ной антенны на радиолинии рассматриваемого вида также определяет-
ся множителем влияния Земли. Среднее за период значение плотности
потока мощности вблизи приемной антенны П= |£0|2|У|2/240л, откуда
получаем, что согласно (7.3) 'мощность на входе приемной антенны
-	^=^^1^17(4^)’.
Обычно рассчитывают потери на радиолинии Г [дБ], которые скла-
дываются из потерь в свободном пространстве Го и потерь, обусловлен-
ных влиянием Земли:
r=(ro+2Olg|V|) [дБ],
(8.5)-*
причем Г может быть как меньше, так и больше Го.
Интерференционная формула (84) широко применяется для расчета радиолиний
метровых и более коротких волн различного назначения, например радиорелейных,
радиолокационных, телевизионных. Она асимптотически, т. е. при hifk—>оо или
—>оо, является точной для плоской однородной Земли.
При выводе формулы (8.4) предполагалось, что отражение радиоволн от зем-
ной поверхности происходит в некоторой точке т. В действительности отраженная
волна формируется участком земной поверхности, окружающим точку отражения,—
областью, существенной при отражении, границы которой определяются первой зо-
ной Френеля.
При нормальном падении волны на плоскую поверхность раздела сред первая
зона Френеля представляет собой окружность Если передающая и приемная антен-
ны разнесены на расстояние R, то в точку приема приходят первичная и вторичная
(отраженная) волны, для каждой из которых имеется область, существенная для
распространения (рис. 8.5). Для первичной волны эта область представляет собой
эллипсоид вращения с фокусами в точках и р. Для отраженной волны строят
эллипсоид вращения с одним из фокусов, находящимся в точке расположения фик-
тивного источника <7а- Область пересечения эллипсоида вращения с поверхностью
310
Рис. 8.5. Область поверхно-
сти, существенная при от-
ражении радиоволн
Земли представляет собой область, существенную при отражении радиоволн, и имеет
конфигурацию эллипса, большая ось которого вытянута в направлении распростра-
нения волны. Размеры малой и большой полуосей эллипса соответственно равны
/ (Я'г-рЯ'г) ] 1/2> аф=Ьф/со5 0.	•-
Обозначения видны на рис. 8.5, где q2m=>R'2, mp=*Rr,2. Размеры первой зоны Френеля
на реальных трассах могут составлять многие километры в продольном и десятки
метров в поперечном направлениях. * Поверхность Земли, формирующую-отраженную
волну, можно представить как совокупность источников Гюйгенса, интенсивность ко-
торых определяется коэффициентом отражения, являющимся функцией угла падения
волны. Угол падения сферической волны меняется в пределах области, существенной
при отражении.
Изменение коэффициента отражения в пределах области, существенной при отра-
жении (площади эллипса, ограниченного первой зоной Френеля), равно	=
= (dR л t j_/d9) (dft/dR) Оф. Если и, j_ и, _l» т0 этим изменением можно пренебречь
и пользоваться приближенной формулой (8 4). В противном случае необходимо уточ-
нить получаемые формулы.
Допущение в формуле (8 4) также заключается в том, что прямой и отражен-
ный лучи принимались параллельными и их разность хода определялась приблйженно
выражением Д/?=2й1 cos 0. В действительности, как следует из рис. 8.3, R22—7?2i=
~4hiRi cos 0—4/z2i, откуда полагая (/?1-p?2)^27?, имеем Д7?—T?2—iRi=2/iicos0—2hi/R.
Следовательно, ошибка составляет 2hJR. Ошибкой в определении разности фаз пря-
мой и отраженной води можно пренебречь, если она много меньше л. Концепция
параллельных лучей применима при 2khi/Ri<g.n> или R^>4h2i/h, что выполняется на
протяженных радиотрассах.
8.2.2.	В качестве примера применения интерференционной формулы
рассмотрим поле элементарного электрического вибратора, расположен-
ного параллельно поверхности Земли (горизонтально). В экваториаль-
ной плоскости вибратор не обладает направленными свойствами
F (iAQJ =F (Д02) и создает нормально поляризованную волну (см. § 2.9).
Учитывая, что в диапазоне метровых и более коротких волн поверхность
Земли по отражающим свойствам близка к диэлектрику, считаем
Ф±=180° и переписываем формулу (8.4) для этого случая в виде
 | Е | =	[1 4-1	|2 — 21	| cos (m,cos 6)]1/2 /7?.	(8.6)
Проанализируем полученное выражение. Последнее слагаемое множи-
теля влияния Земли быстро изменяется с изменением угла 0, благодаря
чему поле в экваториальной плоскости вибратора приобретает лепест-
ковую структуру. Максимумы излучения появляются в направлениях,
311
Рис. 8.6. Диаграмма направленности горизонтально расположенного электрического
вибратора в экваториальной плоскости
приближенно определяемых условием cos (2kh\ cos Омаке)=—1, откуда
cos Омакс— (2п4-1)Х/4Аь где n=0, 1, 2 ...
Число максимумов результирующей характеристики направленно-
сти ограничено величиной пМакс = (4Л1 /Л—1)/2, поскольку cos Омакс Не
может быть больше единицы. Для более точного определения положе-
ния максимумов излучения следует учитывать зависимость 7? от 0. Ве-
личина | Е^акс определяется по формуле
|£Uc=l/603°A(i+IR±!W-
Первый максимум излучения наблюдается при cos 0макс1=А,/4Ль и чем
выше над поверхностью Земли расположен вибратор, тем больше пер-
вый лепесток его характеристики направленности прижат к земле.
Минимумы излучения наблюдаются в направлениях, для которых
cos (2khx cos 0МИн) =Ч~1, откуда cos0Mhh=2hX/4/ii, причем |£'|мйн=
==]/60^Е2)Е(1—|| *)//?. Характеристика направленности горизон-’
тального электрического вибратора, расположенного на высоте h\—ЗЛ
над поверхностью с 8=1,5, оэ=0, изображена на рис. 8.6,а и б в декар-
товой и полярной системах координат. С уменьшением угла 0 уровень
лепестков уменьшается, что связано с изменением величины. |/?J.
Характеристика направленности вибратора в меридиональной пло-
скости (плоскости, параллельной поверхности Земли); такая же, как ,
в свободном пространстве. В других направлениях, т. е. в плоскостях,
перпендикулярных поверхности, горизонтальный вибратор излучает по-
ле, имеющее горизонтальную и вертикальную составляющие вектора Е.
Каждую из составляющих вектора Е определяют отдельно и затем нахо-,
дят результирующую напряженность поля.. При этом поле вибратора
оказывается эллиптически поляризованным с преобладающей горизон-
тальной составляющей.
Распределение поля в вертикальной плоскости вибратора при на-
личии полупроводящей поверхности мало отличается от распределения
поля в случае идеальной диэлектрической поверхности. Если радио-
трасса проходит над неоднородной поверхностью Земли, свойства кото-
рой меняются по длине трассы, то основное влияние на напряженность
поля оказывает участок трассы, лежащий в области, существенной при
отражении радиоволн (рис. 8.5).
Таким образом, при расчете напряженности поля на трассе, прохо-
дящей над неоднородной поверхностью, необходимо пользоваться коэф- >
312
фициёнтами отражения,' определенными для поверхности, находящейся
в пределах области, существенной при отражении. ,
8.2.3.	В наиболее важном для практики случае распространения ра-
диоволн вдоль поверхности Земли (0=90°) и при слабонаправленных
антеннах формулу» (8.4) можно свести к (8.6) при любой поляризации
волны и провести дальнейшее ее упрощение. Считая приближенно
1^и I I 1» $|| ^Ф±«Д80°, F(Д01)^F(Д*02) ==5»1, из (8.4) получаем
| Е | = 2 (VttW^DJR) sin (kht cos 0).
Под знаком Синуса здесь стоит малая величина: &fticos0<^l, и при
kh\ cos 0<л/6 синус можно заменить его аргументом: cos0^/z2/^
(рис. 8.4) и окончательно записать
 4л J/"hihs	4nhifl2 
|£.ИП
(8.7)
4тс/г1/г2
“Ж“
Эта формула впервые была получена Б. А. Введенским и носит его
имя. Она наглядно характеризует зависимость напряженности электри-
ческого поля от расстояния, длины волны и высоты расположения
антенн.
8.2.4.	При расстояниях между передатчиком и приемником, лежа-
щих в пределах 0,2Ro<R<G,8RQ, следует учитывать сферичность зем-
ной поверхности. Схема распространения радиоволн с учетом сферич-
ности Земли изображена на рис. 8.7.
Еёли в точке отражения волны rti провести плоскость MN, каса-
тельную к поверхности Земли, и отсчитывать высоты антенн от этой
плоскости, то картина распространения радиоволнz над сферической
поверхностью Земли будет аналогична картине распространения волн
над плоской поверхностью. ( Для определения напряженности поля на
расстояниях, меньших Ro, можно пользоваться ^формулами (8.4) или
(8.7), подставляя в них вместо действительны/ высот расположения
антенн hi и приведенные высоты h'i и h'2. При таком рассмотрении
разность хода лучей сохраняется и угол падения волны на поверхность
Земли остается неизменным, следовательно, результат будет пра-
вильным.
Для расчета напряженности поля нужно найти приведенные высо-
ты h'\ и h'2 по известным высотам hi
и h2 и расстоянию R. Если бы
рис. 8.7 был изображен в масштабе,
то было бы видно, что действитель-
ные и приведенные высоты почти не
имеют углового расхождения и мож-
но считать h'i=^hi—Ahi, h'2=h2—Ah2.
Рис. 8.7. К учету сферичности земной поверх-
ности при использовании интерференционной
формулы
А
Из треугольников Oq'm и Ор'т можно найти q'nv= y2aaLh^ тр' ==
= У 2aokht и
(q'm)2/2a0, Mi2	(тр'У/2а0.	(8.8)
Определение положения точки отражения т в общем случае связа-
но с громоздкими вычислениями. При небольших расстояниях, R<
< 0,5Ro, положение точки отражения т можно найти так же, как для
плоской земной поверхности:
mq'^Rhi/ (hi+hz), mp'^Rh2/ (h2 + hi).	(8.9)
При значительных расстояниях между антеннами, близких к рас-
стоянию прямой видимости, прямая q'p' и ломаная qmp почти слива-
ются и можно считать, что
q'm y2aohlf тр' У 2aohz.
Учитывая, что R‘ % Ro = У 2а0 (У К -{- Уhz), находим
q'm	R УК/(УК + УК)’ тр'	КУК/(УК + УК)-	(8- Ю)
Для промежуточных случаев берут положение точки т как сред-
нее двух положений, определяемых формулами (8.9) и (8.10).
8.2.5.	Рассмотрим пример расчета простейшей радиолинии. Пусть антенны —
короткие вибраторы — расположены вертикально над почвой средней влажности на
высотах fti=25 м, /г2=9 м, длина волны %=10 см (/=3000 МГц), протяженность трас-
сы /?=20 км. Требуется найти полные потери мощности на трассе.
Прежде всего определяем по формуле (8.3) расстояние прямой видимости =
= 3,57(^25+ /§) = 28,6 км; R/Ro=0,7 и расчет ведем по интерференционной формуле
с учетом влияния сферичности Земли. Учитывая, что R^tRo и используя формулы (8.10)
и (8.8), находим приведенные высоты антенн:
<7i«z =20)^25/8 = 12,5 км, Lhx = 13,4 м, Дйг = 4,5 м,
/+ = 25—13,4 = 11,6 м, /г'2 =9 —4,5=4,5 м.
Проверяем применимость интерференционной формулы с точки зрения параллельно-
сти прямого и отраженного лучей:	4(Ri)2/iX=4- 135/0,1=5,4 км. Это условие вы-
полняется. Проверяем применимость упрощенной формулы Введенского (8.7). Из
табл. 8.1 находим электрические параметры влажной почвы е=20, оэ=1 См/м и от-
ношение 60о8%/е=0,3< 1. Косинус угла падения волны на поверхность 0056=^/1'2/./?=
=4,5/2-104=2,3-Ю-4, и, следовательно, можно принять 0^90°, |/?ц |=1, Фц =180°.
Условие /i'i/z,2<AJ?/12 также выполняется. Множитель влияния Земли рассчитываем
по формуле (8.7):
У=4л/1/1/г'2Ж=^4л-11,6-4,5/2-104-lQ-^0,33.
Полные потери определяем по формулам (8.5) и (7.4):
Г=—j[33-[-20(lg Л-f-lg f)]4-201g V=
=—[33+20(1,3+3,47)]—20-0,48=—138 дБ.
В данном случае поверхность Земли вносит дополнительное ослабление мощности
радиоволны.
314
8.3.	Распространение радиоволн над неровной поверхностью Земли
при антеннах, поднятых высоко над поверхностью
8.3.1.	Обычно на земной поверхности имеются более или менее вы-
раженные неровности, наличие которых влияет на распространение
радиоволн. Для расчета напряженности электрического поля в каждом
конкретном случае необходимо построить профиль трассы и в зависи-
мости от характера этого профиля вести расчет тем или иным ме-
тодом.
Рассмотрим влияние на распространение радиоволн типичных ви-
дов неровностей земной поверхности: мелкие неровности (шероховатая
поверхность); пологие холмы, города; высокое одиночное препятствие
(гора, высокий дом). При падении волны на ровную плоскую поверх-
ность поле отраженной волны распространяется в одном направлении
(угол отражения равен углу падения) и только при нормальном паде-
нии волны на поверхность отраженная волна возвращается к излуча-
телю. Такое отражение называют зеркальным. Если поверхность зем-
ли неровная, то радиоволны отражаются в различных направлениях,
в том числе и»в обратном, отражение является рассеянным, причем на-
пряженность поля отраженной волны в направлении зеркального от-
ражения меньше, чем в' случае отражения от ровной поверхности. При
рассмотрении отражения радиоволн от неровной поверхности говорят
об эффективном коэффициенте отражения в направлении зеркального
отражения.	1
В диапазоне дециметровых и сантиметровых волн коэффициент от-
ражения от неровной поверхности обычно определяют эксперименталь-
но. На рис. 8.8 представлен пример зависимости эффективного коэффи-
циента отражения от угла падения волны на реальную земную поверх-
ность для волн различной длийы (штриховые кривые). Измеренное
значение эффективного коэффициента отражения тем больше отличает-
ся от рассчитанного для ровной поверхности (сплошная кривая на
рис. 8.8), чем короче длина волны и чем меньше угол падения волны
на поверхность.
Качественно такую зависимость можно пояснить следующим обра-
зом. Пусть плоская волна отражается от поверхности с неровностями,
наибольшая высота которых равна h (рис. 8.9). Часть мощности па-
дающей волны отразится на нижнем уровне неровностей аах, а другая
часть — на верхнем ЬЬ\. Плоскость, перпендикулярная направлению
Рис. 8.8. Зависимость эффективного коэффициента
отражения от угла падения волны на неровную по-
315
распространения падающей, волны, является фазовым фронтом. Опре-- •
делим фазовые соотношения на плоскости пп\, перпендикулярной на-
правлению .распространения отраженной волны. Очевидно, что наиболь-
шая разность фаз окажется между волнами, отраженными от верхнего
(точка D) и нижнего (точка В) уровней неровностей. Разность хода
лучей тп и тм составляет 2XB^2Acos0. что приводит к сдвигу фаз
между лучами, равному Aitp=2trt*2A(cos 0)/А. Считают, что если фазо-
вые искажения на плоскости пп\ не превышают л/2, то волну можно
считать плоской и влиянием неровностей на отражение волны пренеб-
речь. Тогда максимальная высота неровностей, при которой отражение
еще можно считать зеркальным,
Лдоп==А/8созв.
Соотношение (8.11) называется критерием Релея. Этот критерий
показывает, что при данной высоте неровностей отражение ближе
к зеркальному для полого падающих лучей и более длинных волн.
Влияние неровностей земной поверхности, особенно существенно
сказывается при распространении сантиметровых и миллиметровых
волн. В этих диапазонах даже небольшие неровности З^мли и взвол-
нованное море вызывающ рассеянное отражение волны. Поэтому расчет
напряженности поля над неровной поверхностью ведется по формуле
(8.4), но с учетом значения эффективного коэффициента отражения для
участка поверхности, существенного при отражении.
8.3.2.	При отражении от неровной земной поверхности поле рассе-
янной волны распространяется и в направлении к источнику, что созда-
ет обратное отражение, которое чаще всего относится к мешающим
сигналам. Для оценки интенсивности обратных отражений, создавае-
мых различными видами неровной земной поверхности, пользуются по-
нятием эффективной пдощади рассеяния (ЭПР). Зависимость эффек-
тивной площади рассеяния о от угла падения волны на поверхность при
фиксированном положении точки наблюдения называют диаграммой
обратного рассеяния поверхности. Часто пользуются понятием норми-
рованной диаграммы обратного рассеяния, представляющей собой за-
висимость о/а0 от угла падения волны, где а0— значение а при нор;
мальном падении волны. Величины о определяются экспериментальна
Результаты измерений, пример которых приведен на рис. 8.10, показы-
вают, что ЭПР возрастает с увеличением отношения высоты неровно-
сти к длине волны.
На трассах метровых и более коротких волн протяженностью 100—150 км, про-
ходящих через горные кряжи высотой 1000—2000 м, наблюдается явление, называв» >
Рис. 8 10. Диаграммы обратного рассеяния от морской по-
верхности:
1 — скорость ветра 10—20 км/ч, 2 — 20—30 км/ч, 3 — 40 км/ч
Рис. 8 11. Модель трассы с «усиливающим» препятствием
316
мое «усилением препятствием». Это явление заключается в том, что интенсивность
электромагнитного поля радиоволны при некотором удалении от препятствия ока-
зывается больше, чем на том же расстоянии от передатчика на трассе без препят-
ствия. Схема трассы с усиливающим препятствием изображена на рис. 8 11. Физика
явления «усиления препятствием» заключается в том, что вершина горы служит
естественным ретранслятором. Поле, возбуждающее вершину горы, складывается из
двух волн: прямой qn и отраженной qmyi. Волны дифрагируют на острой вершине
горы как на краю экрана и распространяются в область за гору. При этом в место
расположения приемной антенны р придут два луча nmzp и пр. Таким образом, на
участках трассы передающая антенна — гора и гора — приемная антенна распро-
странение происходит в пределах прямой видимости.
При отсутствии препятствия расстояние 100—150 км обычно превышает предел
прямой видимости и в точке наблюдения имеется только весьма слабое поле, обу-
словленное дифракцией на сферической поверхности Земли. Расчеты и эксперименты
показывают, что такое препятствие — ретранслятор — может дать усиление напряжен-
ности электрического поля на 60—80 дБ [10]. Исследования, проведенные на трас-
сах, пересекающих хребты Заилийского и Киргизского Ала-Тау, показали, что ис-
пользование явления «усиления препятствием» оказывается экономически выгодным:
оно избавляет от необходимости устанавливать высокогорные ретрансляционные
станции.
Большой город с точки зрения распространения радиоволн можно рассматривать
как сильно пересеченную местность. Строгий расчет напряженности электрического
поля в таких условиях практически невозможен. Многочисленные опыты показали,
что в среднем напряженность поля метровых и более коротких волн в городе меньше,
чем на открытой местности, примерно в 3—5 раз Поэтому грубую оценку среднего
уровня напряженности поля можно производить по формуле Введенского (8.7), вводя
в нее множитель (0,6—0,4). Если имеется прямая видимость между передающей и
приемной антеннами, то расчет можно вести по формуле Введенского, причем высоту
расположения антенны следует отсчитывать от среднего уровня крыш.
Внутри помещений структура поля является еще более сложной, причем необ-
ходимо учитывать поглощение радиоволн в стенах здания.
8.4.	Поле вертикального электрического вибратора, расположенного
вблизи земной поверхности
8.4.1.	Передающие антенны километровых и гектометровых волн
выполняются чаще всего в виде мачт или башен, расположенных- в не-
посредственной близости от поверхности Земли. По принципу дейст-
вия такие антенны эквивалентны вертикальному заземленному вибра-
тору. Приемные антенны также располагаются вблизи поверхности
Земли. В некоторых случаях антенны декаметровых и более коротких
волн располагают вблизи поверхности Земли, например автомобильные
антенны или антенны переносных радиостанций. Как было указано, при
небольшой протяженности радиотрассы поверхность Земли можно счи-
тать плоской'.
Рассмотрим наиболее простой случай, когда вибратор расположен
вблизи идеально проводящей поверхности (рис. 8.12,а). Условия, близ-
кие к этим, наблюдаются при распространении километровых волн над
морской поверхностью. Поскольку подводимая к вибратору мощность
излучается только в верхнее полупространство, напряженность поля за-
земленного вибратора по сравнению с напряженностью поля вибра-
тора в свободном пространстве увеличивается в ]/2 раз. Поэтому на-
\	Ж
пряженность поля заземленного вибратора вблизи поверхности Земли
определяется формулой
|Ег1|=|/‘ 1203\®£/Я [В/м].	(8.12)
Характеристика направленности такой антенны имеет максимум излу-
чения, ориентированный вдоль земной поверхности. Согласно гранич-
ным условиям при 2=0 вектор напряженности 'электрического поля
имеет только одну составляющую Ezl и электромагнитная волна рас-
пространяется вдоль поверхности Земли.
8.4.2.	Если среда, вблизи которой расположен излучатель, облада-
ет потерями и характеризуется комплексной диэлектрической проницае-
мостью 82=82—/сгэ2/(08о, то часть энергии радиоволн, распро-
страняющихся от антенны, проникает в глубь среды. Следовательно,
помимо составляющей вектора Пойнтинга Пх, имеется составляющая
Пг (рис. 8.12,6). Вектор напряженности электрического поля над по-
верхностью имеет, помимо вертикальной составляющей Ezb горизон-
тальную составляющую Ехь Выясним соотношение между составляю-
щими вектора напряженности поля на границе раздела воздух — земля
(z=0). Для этого воспользуемся приближенным граничным условием,
которое в диапазонах километровых и гектометровых волн применимо
для всех видов поверхности Земли:
 (6.70)
f
Пусть вертикальный вибратор создает над полупроводящей по-
верхностью Земли вертикальную составляющую вектора напряженно-
сти электрического поля Ezi. Приближенно волну в верхнем полупро-
странстве можно считать плоской. Следовательно, величины EZ1 и Hyi'
связаны соотношением Hyi=Ezi/120n. Приравнивая правые части по-
следних выражений, получаем сотношение между вертикальной и го-
ризонтальной составляющими вектора напряженности электрического
поля вблизи земной поверхности:
Е«, = Е„/(е, - io’/«>ea)'/2 = Ег,е“-ф'2/[е\ + (o’/«н„)!]1	(8.1 3)
где = arctg (о9а/шеД2).
318
Используя граничные условия (3.7) и (3.12), запишем при а —О
г? __________^zi_______	Е22 ехр (	/ф) р __________р
г2~е2— ^23/ws0~'^s22 _|_ (a%/we0)2jl/2>	х&-
(8-14)
Таким образом, все составляющие комплексной амплитуды векто-
ра напряженности электрического поля выражены через составляю-
щую Ezi, причем вертикальная составляющая поля в верхнем полу-
пространстве больше горизонтальной, а горизонтальная составляющая
поля в нижнем полупространстве больше вертикальной. Горизонталь-
ная и вертикальная составляющие вектора Е несинфазны, благодаря
чему результирующее поле над поверхностью Земли и в глубине Земли
поляризовано эллиптически в вертикальной плоскости. Наклон большой
оси эллипса поляризации над Землей определяется углом |
(рис. 8.12,6):
Ctg^=[8^+ (оэ2/С1>8о)2]1/4.
Наличие горизонтальных составляющих Exi и Ех2 поля вертикаль-
ного вибратора, расположенного вблизи Земли, позволяет применять
в качестве приемной антенны горизонтальный провод, растянутый
в направлении распространения волны на Земле или в Земле. Поме-
щать провод глубоко в землю нецелесообразно, поскольку в глубине
Земли поле быстро затухает.
8.4.3.	Разработан приближенный метод расчета электромагнитного
поля вибратора, расположенного на поверхности Земли [10, 30]. На-
пряженность векторов электромагнитного поля при распространении
волны над полупроводящей поверхностью меньше, чем при распро-
странении волны над идеально проводящей поверхностью, поскольку
энергия радиоволны, проникающей в Землю, частично теряется в ней.
Изменение электромагнитного поля при распространении волны
над полупроводящей поверхностью учитывается введением в выраже-
ние (8.12) множителя влияния Земли, являющегося комплексной ве-
личиной, модуль которой меньше или равен единице 1Л = |V\ |eI<₽:
|E,|=’<^|V1|.	(8.15)
Определение зависимости множителя влияния Земли от парамет-
ров трассы и длины волны весьма сложно с математической точки
зрения. Впервые решение этой задачи предложил в 1909 г. А. Зом-
мерфельд. Решение было дано в интегральной форме, непригодной
для инженерных расчетов. В 1923—1925 гг. советский ученый М. В. Шу-
лейкин и голландский ученый Б. Ван дер Поль придали этому ре-
шению более удобный вид, что позволило рассчитать график зависи-
мости множителя | Vi | от параметра р (рис. 8.13), где р определяется
формулой
Р=Т^?/Х[822+ (сГ°2/СО8о) 2] 1/2	(8.16)
и называется численным расстоянием.
8.4.4.	Рассмотрим приближенную теорию расчета множителя влияния Земли Уь
Пусть вертикальный электрический вибратор расположен на поверхности плоской
Земли с большой проводимостью. Требуется определить поле на поверхности Земли
в удаленной точке р(х/О, г), находящейся на расстоянии R от вибратора (рис. 8.14).
Для решения задачи будем исходить из теоремы эквивалентных поверхностных
токов\ Расположим в точке наблюдения р(х, О, г) вспомогательный - горизонтальный
319
Рис 8 13. Зависимость множителя влияния Земли |1Л| от численного расстояния р; па-
раметр Q=e2/60(j2a^
магнитный вибратор с единичным моментом тока и направим его вдоль оси у
(рис. 814,а). Напряженность искомого магнитного поля в точке р в соответствии
с выражением (3.26) определяется формулой
Нш (р) =- У Г " («) Е“ (?• р) rfV, + С (J- (?) Н“, (?, р) - Р (?) Е“, (?,/>)) dS,. (8.17)
V ‘	s'	* •
Используя метод зеркальных изображений (см. § 6.3), представим векторный потен-
циал вспомогательного диполя в виде
(8Л8)
где = V(x — x')2 + yf2 + (z — zf)2  R’2 = V(х —х’)2 + у’2 + (z + z')2.
Вспомогательные поля EMi и HMi в точке #(х', у', г') как функции координат
х', у', z определим формулами
EMt = — rot Ам, Нм! = -J— (fesAM + grad div AM).	(8.19)
[•(Ou* j
Подставив (8.18) в (8.19) и (8.17), найдем, что EM,ji=0 и что при z'—О. т. е.
когда точка q находится на поверхности Земли, Емц=0. Что касается нормальной
Рис. 8.14. К вычислению поля диполя над плоской полупроводящей средой:
а — расположение источников и точки наблюдения; б — зона, существенная для распространения
радиоволн
320
к поверхности составляющей вектора напряженности электрического поля вспомога-
тельного диполя, то на поверхности Земли R^—R'z—R'— К(х — х')2 -ф у'2 z2 и при
fe/?'>l
. iWzL ехр (— х — х'
EVOh P)^—%-----Ц,--
(8.20)
Вычислим первое слагаемое в формуле (8.17):
j3CT('7)=izI%^(x'—0)6(/—0)6(г'—0),	,	(8.21)
поэтому
f 1э ст (п\ рм (п п\ _H92L£ ехР ( ikRa) X	_
— U ь 1 V?’ p)ayq-------2^------/?о — V х2 4-г2.	(8.22)
V
Выражение (8.22) есть составляющая Ну[ вектора напряженности магнитного
поля, возбуждаемого вертикальным вибратором над идеально проводящей плоско-
стью.
Далее заметим, что в удаленной точке р поле определяется зоной, существенной
при распространении волны (рис. 8.14,6) Поскольку kR^i, то y'-^iR. Поэтому чле-
ном div Ам можно пренебречь по сравнению с величиной Ам. Действительно,
1 ехр(-Ш?') у’ п ------------------
HVA“=-^-^-^---------------’-fr, R' = /(x-x')s + у'‘-
Поэтому с учетом того, что J3(<?)EMi=O (так как EMyi=EMxi=0), из. формулы (8.17)
при z=0 находим
Н,„ (/>) =	+ ( J” (?) Н“, (q, р) dSq,
S
где НмХ1 = 0; Нм^
k2 1 ехр (— ikR")
1шр.о 2л R'
Но поверхностный магнитный ток J“=[n, Е]=—-i^Esc—{-i^Ev, поэтому
=—ExHMyi. Таким образом, получаем
И	*~,ut
(р) — 2п R
k2_____1_
z<op.0 2л
У (д)
s
e~ikR'
~~R'
(8.23)
Будем предполагать, что Земля имеет настолько большую проводимость, что при-
менимо приближенное граничное условие
(<7) Ц/1 (<7) и Р-оЛаг- Учитывая, что (fe2/zwp.o) у р-о/^аг = — №/у еаг/ео> по-
лучаем
R
’	I^Lik exp(—ikR) 1 Г ik	ехр (- ikR')
Н<Д =х~2^-----------R---------~2п J	™ R'
S Y еаг/ео
Введя множитель влияния Земли УДЯ), запишем
Н (п\ 1ЭzLik eXp(~/feR) у (R\
Ht/i (Р) — 2л	R V1 ’
'	тт \3zLik ехр (—ikr') ,, z
(9)	=	- - ? — <г')-
dSq. (8.24)
(8.25)
Тогда при подстановке (8.25) в (8.24) получается следующее интегральное урав-
нение для множителя влияния Земли:	»
С , „ ехР(—ikfr'+R'—£)]
v, (R) = 1----^7= V, (>•') —--------TR,--------- dS,, (8.S6)
2л V е2
21—116
>21
где г' — Кх'я -j- у,я; R'== К(х — х')’ +Интегральное уравнение (8.26) для мне?
жителя влияния Земли является двумерным. Упрощая, можно свести его к однрмер-
ному интегральному уравнению. В пределах трассы, существенной при распростране-
нии волн (рис. 8.14,6), можно приближенно положить
R'^(R — x') + y'2/2(R — х'), г'^х' +у'я/2х', У, (г') У, (хг).
У R
При этом rf + R' —R^z ~2—(/? — у7) х' и интегРиР0вание в (8.26) по S можно свести к
интегрированию по х' от Д до R—Л (А—>-0), а по у’ распространить в бесконечных
пределах от —оо до -}-оо: (
Vj (xr)dxr dy'.
(8.27)
Делая подстановку y'=svV\(R — x')x'/2R, интеграл по у' сводим ' к известному
интегралу:
ехр
1/Х (R — xf) х'
Г 2R
MR— х')х'
2R
Таким образом, интегральное уравнение (8.26) сводится к следующему:
_____Я-Д
Vt (R) = 1 — i ~\f С -z	dXt'	(8.28)
t	м , г Жег .) V(R-x’)x’	V '
д
которое может быть решено численными методами.
8.4.5.	Для работы радионавигационных устройств и радиодальномеров необхо-
димо точно знать скорость распространения земных радиоволн. Множитель влияния
Земли является комплексной величиной, и мгновенное значение вертикальной со-
ставляющей вектора напряженности электрического поля на некотором расстоянии от
излучателя
Ег1 = ]/ 120^^2 (| Vi | /R) cos (art — fer — у),	,	(8.29)
где ф — фазовый угол, являющийся функцией численного расстояния р (рис. 8.15,а).
Рис. 8.15. Зависимость фазы множителя влияния Земли (а) и фазовой скорости (6)
поверхностной волны от р и параметра iQ=e2/6Oo02X.
322
Изменение фазы волны с расстоянием эквивалентно изменению фазовой скоро*
сти. Действительно, приравняв полный дифференциал фазы нулю
i dR д<р (о) до
d [<of — <о/? — ?(р)] = u>dt — <в —----(8.30)
я подставив значение р из (8.16), найдем фазовую скорость
dR /	1	д<? \-1
°Ф— dt “Д1 + 2I»',! dR)	*	<8-31)
На рис. 8.15,6 построены зависимости фазовой скорости от параметра р. Из
рисунков видно, что при малых значениях р фазовая скорость поверхностной волны
меньше скорости света; при р>5 8на практически равна скорости света. Чем больше
проводимость <гэ2 и диэлектрическая проницаемость ег, тем быстрее фазовая скорость
приближается к скорости света. Условие равенства фазовой скорости и скорости
света можно считать выполненным, начиная с расстояний в несколько десятков длин
волн.
8.5.	Расчет напряженности поля в зоне тени
Для определения напряженности поля на значительном расстоянии от передаю-
щей антенны, когда модель плоской поверхности Земли неприменима, необходимо ре-
шать задачу о дифракции электромагнитных волн на шаре (см. п. 6.5.8). Задача
усложняется тем, что приходится учитывать реальные электрические параметры
Земли.
Пусть имеется полупроводящич шар радиуса а0 (земной шар) и вблизи него
на высоте fti над поверхностью в точке q расположен излучатель, а точка наблюдения
р находится на высоте й2, над поверхностью шара. Расстояние между точками q и.
р вдоль поверхности Земли (по" дуге) равно R. Необходимо найти поле в точке р.
Решение проводится аналогично решению задачи о возбуждении цилиндра (§ 6.5),
и оно известно [21, 29]. Здесь рассмотрен только результат решения.
Амплитуда напряженности электрического поля определяется по формуле (7.5),
в которой множитель влияния Земли представляется в виде ряда: •
ехр (ixts)
tS + <l*
Va|=2
+	(<s + У»)
W (ts)	w (<fe)
(8.32)
где w (0 — функция Эйри, которая выражается через функцию Ханкеля второго рода
порядка 1/3:
w (0 = (л/3)1/2 ехр (— <2я/3) (Г)(1/2)	(2/3/2/3);
определяются как корни уравнения w'(t)—qw(t)=Q, где g—i(ne/X) V’/(e2—
—йт’2/<о0ео) */2; параметры x и r/i>2 представляют собой нормированные расстояния R
и высоты расположения антенн hi и Л2:
'	R	2,hi t2
*	°0 V Х’/"2а2о
Ряд (8.32) плохо сходится при R<Ro (Ro— расстояние прямой видимости) и быстро
сходится в области тени при R^>R0, где можно использовать только первый член
ряда и с достаточной точностью определять множитель влияния Земли упрощенной
формулой
। TZ I	olZ—	e‘Xi I	II B'(fl + y«) I	,0 004
| V, I = 2V*x	.	(8.33)
21» '	'	'	'	323
О 2 Ц61020Ы у
5)
Рис. 8.16. Графики функ-
ций Ux и U2
Рис.8.17. Графики для определения напряженности
' поля в зоне дифракции:
а — распространение волн над сушей аэ=ю-з См/с; б—рас-
пространение волн над морем аэ—4 См/м
Здесь первый множитель зависит от расстояния, а второй и третий — от высоты
подъема передающей и приемной антенн. Формулу (8.33) можно записать более
кратко. | V2|=it/i(x)t72(z/i)t72(y2) или
V2 [дБ]=£Л(х) [дБ]-]^^) [дВ]+С/2(у2) [дБ],	. (8.34)
где
%
f/i (х) = 2 Клх
ехр (ixt)	w(ti+yi,2)
tx+q2 ’ ^г(У1,г)= w
Для определения функций £Л(х) и С/2(у) по подсчитанным параметрам х, yit у*
существуют графики (рис. 8.16). Расчет по этим графикам проводится главным об-
разом для диапазона метровых и более коротких волн, где применяются антенны,
высоко поднятые над поверхностью Земли. Расчет напряженности поля в диапазоне
декаметровых и более длинных волн, когда антенны располагаются вблизи Земля,
упрощается, поскольку I/2(«/i)=C/2(«/2)=l.
Для определения напряженности поля в зоне тени, когда антенны расположены
вблизи Земли, служат графики Международного консультативного комитета по ра-
диосвязи (МДКР), построенные на основании расчетов по дифракционным формулам,
(рис. 8.17). На графиках дана зависимость напряженности поля от расстояния для
различных длин волн и различных электрических параметров земной поверхности прн
мощности передатчика 1 кВт. Для определения напряженности поля при заданной
мощности передатчика необходимо значение напряженности поля, определенное по
графику, умножить на величину [кВт]й>2.
Напряженность поля в зоне тени убывает с расстоянием по экспоненциальному
закону, т. е. гораздо быстрее, чем при распространении волн над плоской земной
поверхностью. Напряженность поля тем больше, чем длиннее волна, так как с уве-
личением длины волны уменьшается, во-первых, влияние препятствия (сферической
поверхности Земли) и, во-вторых, поглощение волн в Земле. Рассмотренная модель,
не учитывающая присутствия атмосферы, имеет ограниченное практическое значение,
поскольку в большинстве случаев в зоне тени поле существенно (а иногда и в основ-
ном) зависит от влияния какой-либо из областей атмосферы: в диапазоне метровых
и более коротких волн — тропосферы, в диапазонах декаметровых и более длинных
волн — ионосферы.
Глава 9
АТМОСФЕРА И ЕЕ ВЛИЯНИЕ НА РАСПРОСТРАНЕНИЕ
>	РАДИОВОЛН
9.1. Состав и строение атмосферы

9.1.1. Схема строения атмосферы изображена на рис. 9.1, где пока-
заны основные области атмосферы, отличающиеся своими электриче-
скими свойствами: нейтросфера, состоящая из тропосферы (до 12____
18 км от поверхности Зем,ли) и стратосферы (от верхней границы тро-
посферы до 60 км), и ионосфера (от 60 км до верхней границы атмос-
феры, достигающей примерно 20 000 км). Границы между областями
атмосферы изменяются по высоте в зависимости от времени года, вре-
мени суток, географического района и других факторов [12, 8, 10].
Состав газа в тропосфере и стратосфере такой ясе, как у поверх-
ности Земли: азот занимает примерно 78% объема, молекулярный ки-
слород— 21%, аргон — 0,33%, углекислый газ — 0,03%, водород, ме-
тан и другие газы содержатся в еще меньших количествах. В тропо-
сфере содержится также водяной пар, процентное содержание
которого убывает с высотой и зависит от метеорологических условий,
меняясь в пределах от 0 до 4% по объему. В этой области атмосферы
происходит интенсивное перемешивание газов благодаря господствую-
щим здесь воздушным течениям.
В ионосфере под действием солнечной радиации происходит дис-
социация кислорода и азота и появляются атомарные составляющие
этих газов, газы не перемешиваются и располагаются слоями в соот-
ветствии с их молекулярным весом. Кроме того, начиная с высоты
примерно 60 км, газы ионизированы, за счет чего здесь имеется значи-
тельное количество свободных электронов и ионов.
Плотность атмосферы Л°м характеризуемся числом молекул, со-
держащихся в 1 см3 воздуха на данной высоте над уровнем моря, и
связана с давлением р (в паскалях) и абсолютной температурой Т
соотношением	(к — постоянная Больцмана). Плотность ат-
мосферы при постоянной температуре изменяется по высоте так же, •
как атмосферное давление. В однородной по составу атмосфере дав-
ление меняется с высотой h по барометрической формуле р=
—роехр(—MghfRT), где р0 — давление вблизи поверхности Земли;
7?=8,32 Дж/град-моль — универ-
сальная газовая постоянная; Т —
абсолютная тепература; М —
масса грамм-молекулы газа; g—
ускорение силы тяжести. В дей-
ствительности состав 'воздуха ме-
няется с высотой, что приводит
к отклонению распределения дав-
ления и плотности по высоте
от барометрической формулы.
Плотность атмосферы на разных
высотах над уровнем моря иллю-
стрируется рис. 9.1.
На этом же рисунке показана
зависимость температуры воздуха
22—116
h,HM
101 -
10
Нг,Ог
Тропо-
сфера
Ионосфера
NbNi,0i
Стратосфера.
W15 Ян,мол.1см3
°- 7 я
107	Ю11
д 200	400	600 Т,к
Рис. 9.1. Строение, состав и плотность атмо-
1 сферы
325
от высоты над поверхностью Земли. Она меняется немонотонно. В тро-
посфере воздух нагревается от поверхности Земли, нагретой Солнцем,,
и обычно температура в этой области убывает с высотой на 5—6 К на
километр. Но иногда на небольших интервалах высот наблюдается*
местное возрастание температуры с высотой, называемое темпера-
турной инверсией. Верхняя граница тропосферы характеризуется пре-
крашением падения температуры. В области ионосферы температура
возрастает с высотой, поскольку нагревание воздуха здесь происходит
непосредственно за счет излучения Солнца. Максимум в кривой рас-
пределения температур на высоте 50—60 км объясняется присутстви-
ем слоя озона, который поглощает ультрафиолетовое излучение
Солнца.
9.1.2.	Электрические параметры тропосферы определяются давле-
нием, температурой и влажностью. Абсолютной влажностью атмосфе-
ры называют парциальное давление водяных паров рп- Относительная1
влажность S пропорциональна абсолютной влажности и выражается
в процентах: S=pn’100/Es, где Es— давление водяных паров, насы-
щающих пространство при заданной температуре, определяемое по спе-
циальным таблицам [12]. Температура, влажность и давление тропо-
сферы меняются с изменением метеорологических условий. Поэтому
для проведения расчетов радиолиний принята модель, называемая
нормальной тропосферой, параметры которой соответствуют среднему
состоянию тропосферы; атмосферное давление у поверхности Земли,
равное ро=О,О1 МПа, с увеличением высоты уменьшается на 12 кГц/км; 4
температура у поверхности Земли Т=288 Кис увеличением высоты
уменьшается на 5,5 град/км; относительная влажность 5=60% не ме-
няется с высотой. Верхняя граница нормальной тропосферы принята
равной по высоте И км.
Электрические параметры стратосферы определяются теми же
факторами, что и параметры тропосферы, но, поскольку плотность га-
за в стратосфере существенно меньше, эта область оказывает меньшее
влияние на распространение радиоволн, чем тропосфера. Поэтому да-
лее основное внимание будет уделено изучению влияния тропосферы
на распространение радиоволн.
В тропосфере помимо регулярных сезонных и суточных изменений!
параметров происходят непрерывные случайные изменения, вызванные
непрерывным перемещением воздуха как вертикальными, так и гори-
зонтальными потоками. Скорости движения воздуха при этом часто
оказываются значительными, так что движение носит вихревой, турбу-
летный характер. При турбулентном движении скорость потока воз-
духа на отдельных участках отличается от средней скорости. Поэтому •
и плотность воздуха в отдельных объемах тропосферы отличается от
среднего значения. Эти отклонения непрерывно меняются — флуктуи-
руют с изменением скорости воздушных течений.
9.1.3.	Электричекие параметры ионосферы определяются присутст- •
вием электронов и ионов. Число электронов, содержащихся в единице-
объема воздуха, называется электронной плотностью и обозначается
Л%. Соответствен© плотности положительных и отрицательных ионов
обозначаются ./Г* и «/ГГ.Ионосфера в целом является квазинейтральной,
т. е. число имеющихся в ней положительных зарядов равно числу от-
рицательных зарядов. Для того чтобы произошла ионизация газа, дол-
жна быть произведена некоторая работа, называемая работой иониза-
326
ции. Основным источником, дающим энергию для ионизации атмосфе-
ры, является Солнце, которое имеет температуру около 6000 К и
излучает широкий спектр электромагнитных колебаний, а также пото-
ки заряженных частиц. Кроме того, источником ионизирующего излу-
чения являются звезды, а также метеоры, вторгающиеся в земную
атмосферу со скоростями 11—73 км/с, создающие на высоте 80_______
100 км местную ионизацию: за метеором образуется столб ионизиро-
ванного газа, который быстро расширяется и рассеивается, существуя
в атмосфере от одной до нескольких секунд.
Одновременно с появлением новых электронов в ионосфере часть
имеющихся электронов рекомбинирует с положительными ионами,,
а также присоединяется к нейтральным молекулам. После прекраще-
ния действия источника ионизации (с заходом Солнца) электронная
плотность постоянно спадает и тем быстрее, чем больше плотность
атмосферы.
Процесс баланса ионизации многообразен и весьма сложен. Рас-
смотрение этого процесса составляет самостоятельный раздел знаний—
аэрономию.
В результате экспериментальных исследований ионосферы полу-
чены сведения о ее строении. На высоте 250—400 км имеется основной
максимум ионизации, называемый слоем Fz. Область ионосферы ниже-
основного максимума называют внутренней ионосферой, а область вы-
ше этого максимума — внешней ионосферой. Наиболее изучена внут-
ренняя ионосфера. Здесь имеется несколько неярко выраженных мак-
симумов ионизации, обозначаемых буквами D, Е, Ft, F% (рис. .9.2).
Ионосферные слои характеризуются электронной плотностью в макси-
муме ионизации Л’эмакс; высотой нижней границы слоя ho, числом
соударений v электрона с тяжелыми частицами за 1 с, происходящими
в процессе теплового движения электрона [12, 8].
Многолетние астрономические наблюдения за Солнцем показали,
что его активность периодически меняется, причем длительность цикла
составляет примерно 11 лет. При изменении солнечной активности су-
щественно меняется интенсивность ультрафиолетового излучения Солн-
ца. Критерием солнечной активности служит относительное число сол-
нечных пятен, характеризующее площадь поверхности Солнца, имею-
щую наиболее высокую температуру.
9.1.4.	Регулярная слоистая структура ионосферы временами нару-
шается, особенно часто в годы максимума солнечной активности. Про-
исходит нерегулярное изменение интенсивности потока заряженных ча-
стиц, испускаемых Солнцем. Иногда плотность потока сильно возраста-
ет и заряженные частицы, попадающие в атмосферу Земли, двигаясь
по спиралям в направлении силовых линий земного магнитного поля
к полярным районам, нарушают нормаль
ный режим ионизированных слоев, вызы-
вая так называемые ионосферно-магнитные
бури. Ионосферные бури могут продол-
жаться от нескольких часов до двух суток
и особенно часты в приполярных районах.
Существуют методы прогнозирования ионо-
сферных возмущений.
Рис. 9.2. Распределение электронной плотности ионо-
сферы
327
22*-
Временами на Солнце происходят вспышки интенсивного ультра-
фиолетового излучения, которое обладает большой проникающей спо-
собностью, так как содержит волны короче 0,1 мкм и вызывает повы-
шенную ионизацию слоя D ионосферы, которая может продолжаться
от минуты до нескольких,часов.
Помимо регулярных слоев, в ионосфере на высоте 90—НО км вре-
мя от времени образуется спорадический (нерегулярный) слой £с,
представляющий собой скопление ионизированного газа гораздо боль-
шей электронной плотности, чем плотность окружающей среды на той
же высоте. Этот слой появляется над сравнительно небольшой терри-
риторией (примерно 100X100 км2) и может перемещаться под дейст-
вием господствующих в ионосфере ветров.
9.1.5.	Ионосфера неоднородна по своему строению и в горизонталь-
ном направлении, она содержит слабые объемные неоднородности, об-
разующиеся в результате непрерывного сгущения и разрежения плот-
ности ионизации, нерегулярного как во времени, так и в пространстве.
Неоднородности представляются некоторыми областями с электронной
плотностью, отличной от среднего значения электронной плотности на
данной высоте ионосферы. Размеры неоднородностей лежат в очень
широких пределах — от нескольких метров до нескольцих километров.
На высотах 60—80 км в слое D преобладают мелкие неоднородности
размером до десятков метров, в слое Е — неоднородности размерами
200—300 м, а в слое F — неоднородности размерами до нескольких ки-
лометров, имеющие продолговатую форму и вытянутые вдоль силовых
линий магнитного поля Земли. Отклонение электронной плотности не-
однородностей от среднего значения электронной плотности окружаю-
щего ионизированного газа составляет 0,1—1%. Под действием ветра
неоднородности ионосферы перемещаются со скоростью, не превышаю-
щей 1—2 м/с.
9.2.	Диэлектрическая проницаемость и показатель преломления
тропосферы
9.2.1.	Измерения показывают, что относительная диэлектрическая про-
ницаемость тропосферы (воздуха) незначительно превышает единицу,
однако изменения 8 тропосферы во времени и пространстве существен- *
но влияют на распространение радиоволн, особенно волн короче 10 м. '
Относительная магнитная проницаемость тропосферы р,=1. Потери
энергии радиоволн в тропосфере весьма -малы во всех диапазонах ра-,
диоволн, кроме волн короче 3 см. Поэтому в первом приближении счи-
тают проводимость тропосферы сг9=О. Природа и .метод учета потерь
энергии радиоволн в тропосфере рассмотрены в § 9.5.
Тропосфера — изотропная среда, ее диэлектрическая проницае-
мость определяется соотношением
8а=8о ( 1+&э) ИЛИ 8=1 +	(1.29)
Ее диэлектрическая восприимчивость представляется как сумма ди-
электрических восприимчивостей газа k3V и пара Д9П.' &э=»&эг+&эп. Мо-
лекулы газов не обладают начальным дипольным моментом, и их по-
ляризация обусловлена смещением зарядов в молекуле относительно
равновесного положения. Поэтому величина определяется как ди-
электрическая восприимчивость одной • молекулы &эг1, умноженная на х
число молекул содержащихся в единице объема газа: k3r—
^=|^Эг1Л9м==^эг1Рг/к7', где рг — парциальное давление газа.
ада
Молекулы водяного пара имеют постоянный дипольный момент,
и их поляризация обусловлена не только смещением зарядов в моле-
куле, но и поворотом самой молекулы в направлении поля. Повышение
температуры увеличивает скорость движения молекул и затрудняет
ориентацию молекул в направлении поля, так что величина &эп зависит
от температуры воздуха:
где Л’мп — число молекул пара в единице объема тропосферы; рп —
парциальное давление пара.
Подставляя в (1.29) выражения для кэг и kw и учитывая, что р—
=рг+рп, получаем
_	1 ] &ЭГ1 /	। ^эп1 Рп \
С учетом значений ЛЭП1 и k9ri, определяемых экспериментально, по-
следняя формула записывается в следующем виде:
' s = l+ 1.552U0-.	+	(91)
где р и рп выражены в паскалях; Т — абсолютная температура.
При изучении распространения радиоволн в атмосфере используют
коэффициент'преломления среды n = clv^. Для среды с малыми поте-
рями и = в соответствии с (2.70) и дальнейшими формулами имеем
л = с]/гее0р.0=- ]/е. Следовательно, коэффициент преломления тропосферы
можно выразить следующим образом: д =^8 =±= ]Л(е— 1) —1=1-|—(s—1)/2,
откуда
д=,+	(9.2)
Коэффициент преломления тропосферы не зависит от частоты для
волн длиннее 1 см. На волнах миллиметрового диапазона существенно
сказываются потери -'(что можно учесть введением комплексной ди-
электрической проницаемости е, и тогда показатель преломления за-
висит от частоты).
В силу того, что значение п мало отличается от единицы, удобнее
пользоваться величиной N=(n—1) -106, называемой приведенным по-
казателем преломления тропосферы.
9.2.2.	Коэффициент преломления тропосферы можно определить путем измерения
температуры, давления и влажно'сти воздуха с помощью самолетных и аэростатных
метеорографов и последующих расчетов по формуле (9.2). Недостатком такого ме-
тода является инерционность приборов (термометра, барометра и психометра), что
не дает возможности измерить быстрые изменения (флуктуации) коэффициента пре-
ломления или мелкие неоднородности тропосферы при перемещении приборов на
самолете.
Возможно и непосредственное измерение коэффициента преломления тропосферы
радиорефрактометром. Преимуществом метода являются высокая точность, большая
чувствительность, высокая разрешающая способность по времени и пространству,
быстрота получения данных о состоянии тропосферы, отсутствие дополнительных рас-
четов [9]. .Этот метод измерения коэффициента преломления основан на сравнении
собственных частот двух резонаторов — эталонного, откачанного и герметизирован-
32>;
Рис. 9.3. Изменение приведенного коэффициен-
та преломления тропосферы с высотой:
1 — средний профиль ЛГ; 2 — изменение N с учетом
неоднородностей
ного, и измерительного, продуваемого возду-
хом, коэффициент преломления которого изме-
ряется. При одинаковых размерах резонато-
ров отношение собственных частот (5.27) эта-
лонного резонатора и измерительного равно
fo vtlfon—n. Разность собственных частот ре-
зонаторов пропорциональна приведенному ко-
фициенту преломления тропосферы:
N
fo эт—fon—foa(fo эт/foH—1) —
=fon (n—1 МоиЛГ-10-8,
откуда Лг=106(/о эт—/ои)/ои.
9.2.3.	Измерения, проведенные с помощью самолетных рефракто-
метров, позволили создать упрощенную электрическую модель тропо-
сферы. В соответствии с этой моделью зависимость коэффициента пре-
ломления тропосферы от высоты определяется: 1) средним профилем
изменения N с высотой, 2) слоистыми неоднородностями и 3) турбу-
лентными флуктуациями [9].
Средний профиль изменения N с высотой, соответствующей нор-
мальной тропосфере, хорошо аппроксимируется экспоненциальным за-
коном (рис. 9.3) N(h)=Nowp(—bn}, где No— приведенный показа-
тель преломления вблизи поверхности Земли, принимающий в зави-
симости от метеорологических условий значения от 260 до 380; b —
показатель экспоненты, лежащий в пределах 0,10—0,14 км-1. На
высотах от 0 до 2—3 км над поверхностью Земли можно пользоваться
более простым линейным законом аппроксимации изменения N с вы-
сотой:
N(h}=NQ+gh, .	(9.3)
где g—dN/dh— градиент изменения N по высоте, для нормальной
тропосферы g——40 км-1 (или dn]db=—4-10-5 км-1)- На высоте 10 км
Af=93 и постоянно в течение года.
Слоистые неоднородности определяются как отклонение N от сред-'
него профиля. Толщина слоистых неоднородностей (слоев) составляет
от единиц до сотен метров, а протяженность — от сотен метров до со-
тен километров. Отклонение коэффициента преломления в слое от
среднего для данной высоты значения ANC—NC—N, называемое интен-
сивностью слоя, меняется от 2(W в интервале высот 0—1 км до 2/V
в интервале высот 4—5 км. Слои перемещаются под действием ветра
со скоростью 2—30 м/с.
Флуктуации коэффициента преломления воздуха, вызванные его
турбулентным движением, определяются средним квадратическим от-
клонением N от среднего значения — интенсивностью AN2 и масшта-
бом неоднородности Lq. Интенсивность и масштаб неоднородностей
описываются статистически и лежат в пределах AAf2=10~3—10-4,
==0,01—500 м. Весь объем тропосферы заполнен такими слабыми мел-
комасштабными неоднородностями. Интенсивность неоднородностей
почти не меняется с высотой, а размеры несколько увеличиваются
с удалением от поверхности Земли.
330
Рассмотренная модель тропосферы берется за основу при расчете
радиолиний, проходящих в тропосфере. При расчете радиолиний не-
большой протяженности (не превышающей или незначительно превы-
шающей расстояние прямой видимости) основное значение имеет сред-
нее изменение коэффициента преломления тропосферы N с высотой.
В этих случаях пользуются упрощенной моделью, пренебрегая в пер-
вом приближении слоистыми неоднородностями и мелкими флуктуа-
циями коэффициента преломления тропосферы, считая, что Параметры
тропосферы изменяются с высотой монотонно (кривая / на рис. 9.3).
9.3.	Рефракция радиоволн в тропосфере
9.3.1.	Тропосфера представляет собой неоднородную среду, и рас-
пространяющиеся в ней радиоволны претерпевают рефракцию. Полу-
чим уравнение траектории электромагнитной волны, распространяю-
щейся в неоднородной тропосфере. Для этого воспользуемся уравнением
эйконала
grad£=n £/L=nl.	.	(6.180)
Продифференцируем это уравнение по г, где г — расстояние вдоль тра-
ектории луча (рис. 9.4):
-±(gra<l£)=-±(ln).	(9.4)
Так как в уравнении эйконала единичный вектор 1 является касатель-
ным к траектории луча, то
| gradr L | —п или dLldr==n.	(9.5)
Меняя порядок дифференцирования в левой части уравнения (9.4) и
учитывая (9.5), получаем
A (grad L) = grad (х £)=grad п‘
Отсюда, возвращаясь к (9.4), запишем уравнение луча для среды
с произвольной зависимостью п от координат:
gradft = -|r(ln).
Для модели тропосферы, в которой учиты-
вается только изменение показателя пре-
ломления с высотой над поверхностью Зем-
ли, градиент коэффициента преломления
grad/г совпадает по направлению с радиус-
вектором R, проведенным из центра Зем-
ли. Поэтому, умножая векторно выражение
(9.6) на R, получаем
[R grad «] = |R ~ (1/4) J = 0.
Так как
[«4-о»)]=4р-	л‘].
Рис. 9.4. К выводу уравнения траектории волны
331
то с учетом параллельности векторов dR/dr и 1 получаем
A[R, «11-о.
(9.7)
Это уравнение описывает траекторию волны в атмосфере, пара-
метры которой изменяются только в радиальном направлении. Прида-
дим выражению (9.7) более наглядный вид, применив его к случаю
сферически слоистой среды. Обозначая, как это показано на рис. 9.4,
угол между радиус-вектором R и единичным касательным к траекто-
рии луча вектором 1 через 0 и считая п постоянным в пределах тонко-
го сферического слоя, получаем m3 [A? isinS] /дг=0, откуда уравнение
траектории волны в сферически слоистой среде запишем в виде
nR sin 6=const.	(9.8)
Если найдена траектория, то эйконал' L или фазовый путь по лучу
определяется по формуле (6.188): L= j* n(r)dr.
Уравнение (9.8) можно получить, рассматривая сферически слои-
стую среду (рис. 9.5). Пусть из точки q излучается волна, падающая
под углом 0! на границу раздела сл<рев в точке mi. При переходе во
второй слой происходит преломление волны, причем, если коэффици-
ент преломления п убывает с высотой, угол преломления ф1 оказыва-
ется больше угла падения 0Ь На границе раздела второго, третьего '
и всех последующих слоев также происходит преломление радиовол-
ны. В результате этого волна движется по траектории, имеющей вид
ломаной линии ... mn. Траекторию волны можно определить
из Д^Оть в котором sin Q2IR1 = sin ZOmim2/^2 = sini|9i/J?2, где на осно-
вании закона преломления sin xpi= (гг±/лг2) sin 0i. Отсюда получим урав-
нение траектории волны в тропосфере: Rifh sin Q^Rzn^ sin 02=. •. или
в общем виде nR sin 0=const, совпадающее с (9.8).
9.3.2.	Если, уменьшая толщину слоев, перейти к плавному изменению
коэффициента преломления с высотой, то ломаная траектория
qmqnz ... mn будет стремиться к некоторой плавной кривой.
Радиус кривизны траектории волны определим из рис. 9.6 [18],. 1
где изображены две сферические поверхности, отстоящие одна от дру-
гой по радиусу (высоте) на расстоянии dh, на котором коэффициент
преломления изменяется на величину dn. Точка О — центр окружно- 1
Рис. 9.5. Рефракция радиоволн в сфе-
рически слоистой среде
Рис. 9 6. К определению радиуса кривиз-
ны траектории волны
332
стей, совпадающий с центром земного шара. Волна падает на нижнюю,
поверхность под углом 0, а на верхнюю — под углом 0 + d0. На участке
ab траектория волны представляется отрезком кривой Д/ с радиусом
кривизны р= lim (Д//Ду1), причем Oi— центр кривизны отрезка
кривой Д/, Ду1=Ду+Д0. Отрезок Д/ определяем из ДаЬс:
Al=RAy/sin (0 + Д0) ^7?Ду/ sin 0,
откуда
«. Л/ .. y/sin 9	R	Л
р= lim —— lim . г~тъ~—~ .......	<.г~о .	(9 9\
дТ1_>0 ДУ1 дТ1_>о ДТ + Д9 (1+ d9/dY)sin9
Продифференцировав уравнейие (9.8) по у
d(Rn sin 0) fdy=Rn cos QdQ/dy-]-(Rdnldy-\~ndR/dy)sin 0=0,
определим
t/9___tg 9 dh / dn R  . \____/ dn _R__.
dy R 4 \ dh n ' / dh n *
поскольку из ДаЬс видно, что tg &=Rdyfdh.
Подставляя это выражение в (9.9), имеем
__________________________________п____
Р (dn/dh) sin 9 •
(9.10}
В тропосфере основной интерес представляет распространение по-
логих лучей (0->9О° и /г^г1), для которых выражение (9.10) имеет вид
Р = —(9Л1>
dn/dh	'	’
Знак «минус» показывает, что траектория имеет положительную кри-
визну, т. е. обращена выпуклостью вверх.
Если показатель преломления меняется линейно по высоте
(d/z/d/i=const), то радиус кривизны траектории не меняется с высотой
и траектория представляет собой окружность. Для нормальной тропо-
сферы р=25 000 км.
Таким образом, основное влияние тропосферы на распростране-
ние радиоволн заключается в искривлении траектории волны.
9.3.3.	В изложенных в гл. 8 методах расчета напряженности поля
земных волн не учитывалось влияние тропосферы, поэтому они при-
годны при прямолинейном распространении волн. Для упрощения рас-
Рис. 9.7. Определение эквивалентного радиуса земного шара
33^
четов при учете влияния тропосферы в некоторых случаях оказалось
удобным свести криволинейную траекторию распространения волн
к прямолинейной. Такое упрощение производится путем введения поня-
тия эквивалентного радиуса Земли.
Картину распространения волн по криволинейной траектории вбли-
зи реальной земной поверхности (рис. 9.7,а) заменяют картиной рас-
пространения волн по прямолинейной траектории вблизи поверхности
Земли с измененным радиусом аЭкв\ (рис. 9.7,6). Понятием эквива-
лентного радиуса Земли можно пользоваться в том случае, когда ко-
эффициент преломления меняется с высотой по линейному закону
п=пъ+ (dnldh)h или N=N0+gh. Тогда уравнение траектории волны
в сферически слоистой тропосфере (9.8) можно записать в виде
(л. +	(а. + ht + h) sin 0 = п0 (а0 4- AJ sin 0e,
или
0+v^XI+^r)sin9=sin8"-
Раскрывая скобки и пренебрегая малым членом -д
а также учитывая, что п^1 и а0+Л1^а0, получаем
[\+h(dn]dh -M/ao)]sin0=sin0o.	(9.12)
Для эквивалентной однородной тропосферы, при распространении
в которой углы падения волны на сферические слои равны соответст-
вующим углам в реальной неоднородной тропосфере, уравнение траек-
тории волны примет вид
(H-A/a3KB)sin0=sin0o.	(9.13)
Сравнивая выражения (9.12.) и (9.13), видим, что тропосферу
можно рассматривать как однородную среду с неизменным по высоте
значением коэффициента преломления, если вместо действительного
рудиуса Земли ввести эквивалентный радиус, определяемый соотно-
шением \la^=dnldh+\[aQ, откуда
Лэкв— ! + aidn/dh	1 + а„ (dN/dh) • 10-6 ‘	14)
Выпрямленный луч проходит над земным шаром эквивалентного
радиуса на той же высоте, что и криволинейный луч над реальной
земной поверхностью.
Отношение эквивалентного радиуса Земли к действительному обо-
значают
х__аэкв	1______________1_______ /П 1
4 a, \+aadn/dh 1 +aa(dN/dh}‘10-6 ‘	'
Если коэффициент преломления меняется с высотой линейно и
dnjdh=—4-10~5 км-1 (dNjd>h=—40 км-1), как это имеет место для
нормальной тропосферы, то К=4/3 и такая рефракция называется нор-
мальной тропосферной рефракцией.
Влияние рефракции на распространение радиоволн необходимо
учитывать при рассмотрении сравнительно протяженных трасс, на ко-
торых учитывается влияние кривизны земной поверхности.
334
Перечислим основные случаи, когда можно использовать эквива-
лентный радиус земного шара.
1.	Расстояние прямой видимости с учетом рефракции определяется
формулой (8.2) с заменой в ней ао на пЭкв:
[км].	(9.16)
В условиях нормальной рефракции К = 4/3 и /?экв [км] = 4,15
Следовательно, R3KJR0 = 1,15 и при нормальной рефракции рас-
стояние прямой видимости возрастает на 15%.
2.	Амплитуда напряженности поля с учетом рефракции прибли-
женно рассчитывается в пределах применимости формулы Введенско-
го (8.7) в результате подстановки в формулу приведенных высот (8.8)
значения эквивалентного радиуса Земли. При нормальной рефракции
приведенные высоты антенн h' увеличиваются и, следовательно, на-
пряженность поля возрастает.
3.	Расчет поля в зоне тени и полутени в соответствии с формулой
(8.32), в которую следует вместо п0 подставлять пЭкв, что также при-
водит к увеличению напряженности поля.	(
При изменении метеорологических условий происходит изменение
величины dN/dh, вызывающее колебания напряженности поля. Помимо
этого, изменяются углы прихода радиоволн, что при узких диаграммах
направленности антенн может привести к ослаблению мощности по-
лезного сигнала на входе приемной антенны.
9.3.4.	Случаи рефракции можно классифицировать следующим об-
разом в зависимости от знака и величины градиента dnfdh.
Отрицательная тропосферная рефракция: dn/dhX). Показатель
преломления возрастает с высотой, и траектория волны обращена вы-
пуклостью вниз (р<0). Эквивалентный радиус Земли оказывается
меньше действительного (рис. 9.8,а), что приводит к уменьшению на-
пряженности поля в месте приема.	'
Положительная тропосферная рефракция: dn/dh<Q. Коэффициент
преломления убывает с высотой, и траектория обращена выпуклостью
вверх (р>0). При этом различают три частных случая: 1) нормальная
Рис. 9.8. Виды тропосферной рефракции
335
рефракция, когда dnjdh——4« 10_5 км"1, р=25 000 км, aaKB=4/3flo, на-
пряженность поля в точке приема больше, чем при отсутствии рефрак-
ции (рис. 9.8,6); 2) критическая рефракция, когда dn/dh=—15,7Х
Х10~5 км~1=—1 /По, р=«о, Яэкв-^00—эквивалентная земная поверх-
ность представляется плоской, волна движется параллельно этой по-
верхности на постоянной высоте (рис. 9.8,в); 3) сверхрефракция, когда
dn!dh<\[cUi, р<а0, аЭКв<0, наступает полное внутреннее отражение вол-
ны в тропосфере и луч возвращается к земной поверхности. Эквива-
лентный радиус Земли оказываете^ отрицательным (рис. 9.8,г), так
что волна, имеющая эквивалентную прямолинейную траекторию, обя-
зательно будет падать на вогнутую поверхность Земли.
Условия, необходимые для появления сверхрефракции, связаны
с метеорологическим режимом. Резкое убывание коэффициента пре-
ломления с высотой наиболее часто вызывается температурной инвер-
сией, которая может появляться как -вблизи земной поверхности, так
и на высоте 2—3 км. Температурная инверсия возникает над сушей
в вечерние часы, когда воздух вблизи поверхности Земли после захода
Солнца быстро охлаждается. Над морем это явление наблюдается при
движении с берега теплого сухого потока воздуха. Температурные
инверсии бывают нерегулярно, и прогнозируется только вероятность-
появления инверсий в определенном районе в данное время.
9.3.5.	Появление условий сверхрефракции на значительном расстоя-
нии над земной поверхностью способствует дальнему распространению
дециметровых и сантиметровых волн. Излученная волна рефрагирует
в тропосфере и снова возвращается на Землю, где отражается. Таким
образом, радиоволна распространяется путем последовательного чере-
дования двух явлений: рефракции в атмосфере и отражения от земной
поверхности. Это явление аналогично распространению радиоволн
в волноводе, поэтому оно получило название распространения волн
в условиях тропосферного волновода. В отличие от металлического
волновода стенки тропосферного волновода полупрозрачны. Имеется
поле и за пределами волновода, так как волна, частично преломляясь,
выходит за пределы волновода.
Для тропосферного волновода определенной высоты по аналогии
с металлическим волноводом имеется некоторая критическая длина
волны ХКр, более длинные волны быстро затухают и не распространя-
ются. Критическая длина волны связана с высотой волновода соотно-
шением %кр=8-10~4 Высота атмосферных волноводов достигает
нескольких десятков метров, следовательно, волноводное распростране-
ние возможно только для сантиметровых и дециметровых волн. Рис. 9.9
иллюстрирует распространение радиоволн в условиях тропосферного
волновода. Слева изображен график изменения коэффициента прелом-
ления с высотой, а справа — соответствующая траектория волны. На-
чиная непосредственно с земной поверхности, создаются такие атмос-
ферные условия, при которых коэффициент преломления убывает с вы-
сотой быстрее, чем в случае критической рефракции, и только
на некоторой высоте рефракция становится нормальной. В условиях
тропосферного волновода только наиболее пологие лучи 6—>90° отра-
жаются от стенок канала, а более крутые лучи ’6->0 просачиваются, по-
скольку в соответствии с (9.10) при 0->0 р->оо. Распространение радио-
волн в тропосферном волноводе от передающей к приемной антенне
возможно только тогда, когда обе антенны находятся в пределах вол-
336
Рис. 9.9. Тропосферный волновод h \	j *
повода. Тропосферные волноводы об-
разуются нерегулярно и не могут	\ /\У\/
обеспечить устойчивую работу pa-	N 7^^/7777777777777777777777777,-
диолинии. Но это явление может слу-	г
жить причиной создания взаимных помех станциями, работающими
в- сантиметровом диапазоне волн и разнесенными на большие расстоя-
ния. Кроме того, появление тропосферного волновода может явиться
помехой Для работы радиолокационных станций обнаружения само-
летов, Самолет, находящийся выше атмосферного волновода, может
быть не обнаружен, так как радиоволны отражаются от его верхней
стенки.
9.3.6.	В заключение этого параграфа рассмотрим пример расчета радиолинии
с учетом рефракции. Параметры радиолинии примем такими же, как в примере
п. 8.2.5: /ii=25 м, А2=9 м, А=10 см. Протяженность трассы /?=20 км. Коэффициент
преломления меняется с высотой линейно dn/dh——4-Ю-5 км-1 (нормальная рефрак-
ция). Требуется найти полные потери Мощности на трассе.
Расстояние прямой ‘видимости с учетом рефракции определяем по формуле
(9.16):
/?эКВ=/Шо(//ц+^Г2) = /?о/К = 28,6 /Tj5=30,6 км, /?//?эКВ = 0,67.
Расчет можно вести по интерференционной формуле с учетом сферичности земной по-
верхности. Находим приведенные высоты антенн
ДЛ1ЭКВ— 2дэкв 2а0К К 1,15“10,8м’ Д/г2Экв - 3,9 м,
й'1Экв = 25—10,8 м = 14,2 м, АГ2экв=9 — 3,Ъ = 5,1 м.
Применимость упрощенной формулы Введенского (8.7) была проверена в примере
п. 8.2.5, и этой формулой можно пользоваться и здесь.
Подсчитаем множитель влияния Земли
К=4л/г'1ЭквА,2экв//?Х=4л: • 14,2 • 5,1/2 •, 104 • 10-!=0,46,
и по формулам (8.5) и (7.4) находим полные потери: Г=—[33-|~20 (1,3-{-3,47) ]—20Х
X 0,34= 143,6 дБ. При нормальной тропосферной рефракции амплитуда напряженно-
сти поля возросла на 5,6 дБ по сравнению со случаем отсутствия рефракции (ср.
с примером п. 8.2.5) v
9.4. Отражение и рассеяние радиоволн на неоднородностях тропосферы
9.4.1.	Рефракция радиоволн в тропосфере, связанная с изменением
среднего значения коэффициента преломления с высотой, обусловливает
увеличение дальности распространения радиоволн на 10—20%, что су-
щественно для волн короче декаметровых. Значительное увеличение
дальности распространения радиоволн, вызванное рефракцией, происхо-
дит нерегулярно, во время образования тропосферного волновода. Од-
нако наблюдения показали, что напряженность поля метровых и более
коротких волн на расстояниях, значительно превышающих расстояние
прямой видимости, систематически превышает значения, полученные
в соответствии с дифракционной теорией с учетом нормальной рефрак-
337
ции« Эти сравнительно высокие уровни напряженности поля на расстоя-
ниях 300—800 км от передающей антенны связаны с существованием
слоистых и мелкомасштабных неоднородностей и объясняются главным
образом двумя явлениями: 1) отражением от достаточно протяженных,
и стабильных слоистых неоднородностей, 2) рассеянием на мелкомас-
штабных неоднородностях турбулентного происхождения. Оба эти фак-
тора действуют одновременно, и результирующее поле имеет весьма
сложную структуру.	I
Не существует какой-либо единой общепринятой теории дальнего»
тропосферного распространения радиоволн (ДТР), хотя имеется боль-
шое количество работ, посвященных этому вопросу [9]. Поэтому здесь
будут отдельно рассмотрены теоретические предпосылки отражения,,
а затем и рассеяния радиоволн, позволяющие качественно пояснить эти
явления.
9.4.2.	Рассмотрим уравнения Максвелла для неоднородной среды в точках, где
нет источников поля, учитывая, что в атмосфере ц=1, а еа является функцией коор-
динат. Тогда из (1.51) — (1.56) получаем
rot Н = i{asa (р) Е, rot Е = — «ор.аН, div [еа (р) Е] = Q, div (р.аН) = 0.
Подставляя значение Н, найденное из второго уравнения, в первое и используя пре-
образование rot rot E=grad div E—V2E, записываем
y2E -f- (coa/c2sa (p) E — grad div E = 0.	(9.17)
Преобразуя третье уравнение Максвелла для неоднородной .среды, определяем из.
него
div К (р) Е] =~а (р) div Е -|- Е grad~a (р) = 0, div Е = — Е -------grad 7а (р)
еа (Р)
и, подставляя выражение для div Ев (9.17), получаем уравнение
(О2 ~
V2E + -^-efl (/>)Е + grad
Е^—
~а(Р)
grad7a (р)
= 0.
(9.18)
Из (9.18) следует, что при медленном изменении еа(р) в пространстве последний
член мал и уравнение сводится к уравнению Гельмгольца для вектора Е, но с за-
висящим от координат коэффициентом распространения k:
V2E-Hfe2(p)E=0.	(9.19)
Путем подстановки в (1.19) решения в виде, аналогичном (6.176), можно получить
уравнение эйконала (6.180).
Однако к тонким слоям, встречающимся в тропосфере, не всегда можно при-
менить приближенные методы* геометрической оптики (6.194). Рассмотрим распростра-
нение волны в плоской слоистой среде вдали от источников поля. Пусть е0, а сле-
довательно, и коэффициент распространения k зависят только от координаты г. Со-
вместим плоскость падения волны с плоскостью xOz. Для простоты представим, что
волна падает на слой под углом 0О и имеет только одну составляющую вектора Е,
совпадающую с направлением оси у—Еи. Определить Еу можно, решив скалярное
уравнение
Решение ищем в виде
daEy/dx2-|-d2Ev/dz2-pa(2) Еу=0.
Еу(х, z)=^(x)Z(z).
(9.20) -
(9.21)
338
Рис. 9.10. Изменение коэффициента преломления
с высотой в переходном и симметричном слоях
Подставляя (9.21) в (9.20), записываем
1 д2Х	1 d2Z
X дх2	Z dz2	(9,22)
Равенство (9.22) может иметь место только
в том случае, если обе его части равны постоян-
ной величине. Обозначим эту постоянную через Ь2
и получим для Z(z) и Х(х) два уравнения
(9.23)
d2Z/dz2+ [k2 (z) —62] Z=0, d2X/<9x2+62x=o.
Теперь решение будем искать в виде
Еи(х, z)=Z(z)exp(—ibx),
где Z(z) находится из уравнения (9.23), a b—ko sin 0о, как и вне слоя.
Строгое аналитическое решение уравнения (9.23) известно для немногих видов
функции k(z), в частности для функции вида
k2(z)/k20=n2(z)—l—Wexp (лгг)/[1-|-ехр(mZ)],	(9.24)
' описывающей так называемый переходной слой, и для функции вида
k2(z)/k2o==n?(z)==l—4M exp(/nz)/[l-|-exp(mz)]2,	(9.25)
описывающей симметричный слой [7], где m— число, определяющее форму слоя.
Зависимости n2(z) для этих двух случаев изображены на рис. 9.10, где по оси
абсцисс отложены величины (1—n2(z)){N (для переходного слоя) и (1—п2{г))/М
(для симметричного слоя), причем N и М определяются в точках наибольшего от-
клонения л(г) от единицы:
• при z=0 л2(0)=1—М, при z—J-°° л2(оо)=1—N.	(9.26)
По оси ординат отложена величина г/5%о=тг/4л, где S=4n/mX0— относитель-
ная толщина слоя; Хо — длина волны в свободном пространстве.
Для переходного слоя уравнение (9.23) перепишем с учетом (9.24):
d2Z/dz2-|-(£2o{l—Wexp (mz)/[1-|-ехр (mz)]}-A2)Z=0.
Решение этого уравнения проводится путем замены переменных с целью сведения
его к гипергеометрическому уравнению вида
d2F (а + р_1)^т dF	$
d? 5(1-5) dl Ul-5)
(9.27>
где F = r (z) Z; r (z) = r0£~^2 (1 — 0 — ~	; ^=—exp (mz); коэф’
фициенты a, P и у связаны с параметрами слоя и углом падения волны на слой соот-
ношениями
a = 1 + 0,5/ [S (cos 90 — Kcos290— N) + 1],
Р = 1 + 0,5/ [S (cos 90 + V cos2 90 — iV) + 1], у = 1 4- IS cos 9e.
Величина Z выражается через эти коэффициенты следующим образом:
Z = г^т~Х1\(1 — 5)<1+«+Э+П/2р.
Решение гипергеометрического уравнения дается в математических справочниках и
представляется в виде гипергеометрического ряда
« 1 . a₽ t I «(«+D₽(P + D fcS ,
F («, p, Y. 5) = 1 + — 5 +	i.2.y(y+ 1) v 5 +
«(«4-1) (« + 2)P (P+1) (P + 2)	.
+	1^.3-Y(Y + 1) (Y + 2) S + —
339
Пользуясь этим рядом для произвольных значений £ (а следовательно, и z), можно
найти поле в любой точке слоя. Однако для распространения радиоволн наибольший
интерес представляет поле на значительном расстоянии от слоя: г—>оо (прошедшее
через слой поле) и z—>-—оо (отраженное от слоя поле).
При z—>оо £—>—оо, а при z—j—оо |—>-0 и можно пользоваться более просты-
ми асимптотическими выражениями для решения уравнения. При z—>-оо решение
представляется в виде одной плоской волны, прошедшей через слой, а при z—>-—оо—
в виде двух плоских волн: падающей ^-отраженной.
Взяв отношение коэффициентов перед соответствующими экспонентами, получим
для коэффициента отражения
лперех _ Г cos 9°) Г[-— 0,5/5 (cos 90 + /cos2 90 - 1У)]Х,
Г (— iS cos 90) Г [0,5/5 (cos 90 — Vcos2 0О—TV)] X
ХГ [ 1—0,5/5 (cos 90 + / cos2 90 — jV)[
ХГ [l-f-Q,5/S (cos 90—V cos2 90 — N)]
Коэффициент отражения представляет собой комплексную величину, модуль которой оп-
ределим, воспользовавшись соотношениями | /?^ре х | = У Я^рехдперех * и Г Г (_
—z) = л/sin mz. Проведя преобразования, получим | /?“рех| = 1 при cos2 90 <N,
, „прпрх  sh [0,5л5 (cos 90—/cos2 9,—Л^)]
1	1 = chlO,5^(cosO.+ rc<»M.-W)] ПРН С“ W> N-
(9.29)
Первый случай (cos29o<A/) аналогичен явлению полного внутреннего отраже-
ния, имеющего место на границе раздела двух сред (см. п. 6.4.2). При стремлении
толщины переходного слоя к нулю гиперболический синус в (9.29) можно заменить
аргументом и выражение для коэффициента отражения от переходного слоя перехо-
дит в записанное ранее выражение для коэффициента отражения Френеля (6.23).
Для поляризации другого вида, когда вектор Е лежит в плоскости падения вол-
ны, коэффициент отражения выражается той же формулой (9 29), но при этом он
представляет собой отношение амплитуд составляющих HvM(z) отраженной и падаю-
щей волн.
Коэффициент отражения от симметричного слоя (9.25) определяется из выра-
жения (9 27), где коэффициенты аи0 выражаются иначе:
а = 0,5 (1 +/1 — 452М),	₽ = 0,5 (1 + /1— 452Л4 + /5cos 90).
Формула для определения коэффициента отражения окончательно записывается в та-
ком виде:
.	. Г (/5 cos 90) Г 1	---------
I «Г I = Г (-<3 cos 8.) Г [— (- 1 - Г	IS cos в.) j х
х Г [0,5 (1 + /1 — 4S2M2“— /5 cos 90)J (l/л) cos (0,5л /1—452Л4).	(9.30)
Здесь возможны два случая.
1.	452Л4> 1 и 0,5 /452Л4— 1 = tZj — действительная величина. Тогда
I /?сим | =_______________chjra(i_______________ з
Г [chn^j-J- 5 cos 90) ch п (</х—5cos90)]^2
2.	452Л4 < 1 и 0,5/1— 4S2Af = d2— действительная величина. Тогда
 | /?с.им | =---------------------------------------ръ;	(9.32)
•Г [cos2 ж/2 ch2 (л5 cos 90)-[-sin2 nd2 sh (rcS cos 9e)]
где M определяется показателем преломления n в центре слоя: Л4=1—л2(0).
340
При Af-*0 слой исчезает, ^->1/2 hJ/?“m1=0, т. е. отражение отсутствует.
В тропосфере п>1, Af<0 и при любой толщине слоя следует пользоваться
формулой (9.32). При этом если толщина слоя S—>-оо, то ]	|-»0 и отражение
отсутствует. Это объясняется тем, что при растяжении слоя уменьшается граДиент
показателя преломления. Но при малых градиентах можно пользоваться приближе-
нием геометрической оптики.
В тропосфере коэффициент отражения имеет значительную величину только для
самых пологих лучей и при мдлой толщине слоя по сравнению с длиной волны. По-
этому отражение наблюдается на метровых волнах, сантиметровые и дециметровые
волны отражаются слабее.
При отражении от слоев происходит многолучевое распространение радиоволн.
Могут приходить лучи, отразившиеся только от слой, а также от слоя и поверхности
Земли. Возможно появление нескольких слоев на разных высотах. В этом случае
число лучей еще более увеличивается. Благодаря флуктуациям коэффициента прелом-
ления длины путей интерферирующих лучей непрерывно меняются, что приводит к бы-
стрым колебаниям напряженности отраженного поля.
9.4.3.	Рассмотрим физику процесса рассеяния радиоволн на неодно-
родностях тропосферы. Пусть в точке q, находящейся вблизи поверх-
ности Земли, расположен излучатель, а точка наблюдения р находится
на значительном расстоянии, где напряженность поля волны, дифра-
гирующей вокруг сферической поверхности Земли, очень мала
(рис. 9.11). Тропосфера представляет собой слабо неоднородную сре-
ду, в каждом элементарном объеме dV которой относительная диэлек-
трическая проницаемость ен отличается от среднего значения еср на
величину Ае=8н—8Ср, причем еср«^1, а Ae<U. Поперечная составляю-
щая комплексной амплитуды вектора напряженности электрического
поля, создаваемая излучателем на расстоянии в точке pi, опреде-
ляется согласно формуле (7.2)
]/‘бОг/“Ей)£ ikR
Е1 =----------------е .
(9.33)
Под действием этого электрического поля среда в объеме dV, котррому
принадлежит точка pi, поляризуется, причем вектор поляризованности
dP в соответствии с (1.28) связан вектором Е] соотношением АР=
=AeeoEi. В объеме dV возникает ток поляризации с объемной плот-
ностью, определяемой выражением »(см. (1.37))
рпол^дру^^др, (9.34)
который создает электромагнит-
ное поле в точке наблюдения р,
отстоящей от pi на расстоянии
Поперечную составляющую
комплексной амплитуды вектора
напряженности электрического
поля, создаваемого излучением
элементарного объема, в точке р
определим по формуле (2.77):
Рис. 9.11. Рассеяние радиоволн на неодно-
родностях тропосферы
341
(9.35)
‘tTv	Ag	Ag
где 0 — угол между направлением вектора Ei в точке pi и направлени-
ем из точки pi в точку наблюдения р2. Подставляя в (9.35) значение
|ДР| и Ei из (9.33), имеем
dE„=У 60®,®,	+ sin w (9 зб)
Поле, созданное переизлучением всего объема неоднородностей среды,
участвующего в распространении радиоволн, является результатом ин-
терференции элементарных полей
Е, =	1/60®,®, f-«Pt— **<«' + «,)] sinвл,_ (9.37)
J	12
V
Таким образом, при тропосферном рассеянии имеет место многолу-
чевое распространение радиоволн, результирующее поле Е2 зависит от
степени неоднородности тропосферы Де/e, которая меняется во време-
ни и в пространстве случайным образом. Поэтому расстояния (R1+R2),
проходимые отдельными интерферирующими лучами, также меняются
во времени, что приводит к случайному изменению фазовых соотноше-
ний между элементарными полями dE2. В результате суммарное поле
Ез представляет собой случайную величину. Для ее вычисления необ-
ходимо знать статистические закономерности изменения Де/е во време-
ни и в пространстве.'
9.4.4.	Схема радиолинии, использующей тропосферное рассеяние,
изображена на рис. 9.11. Передающая антенна, расположенная в точ-
ке q, имеет диаграмму направленности, ширина которой схематически
изображена линиями qa и qaj, и освещает некоторый объем тропосфе-
ры, лежащий в пределах этой диаграммы. Приемная Антенна, распо-
ложенная в точке р, имеет диаграмму направленности, ширина которой
ограничена прямыми pb и pb\. Ко входу приемника приходят радиовол-
ны, распространяющиеся в пространстве, ограниченном диаграммой
направленности приемной антенны. Таким образом, в передаче радио-
волн участвует объем тропосферы aba\b\ — рассеивающий объем. Высо-
та расположения рассеивающего объема обычно составляет 3—5 км,
что обеспечивает протяженность радиолинии 300—900 км.
Большие потери энергии при распространении радиоволн предъ-
являют повышенные требования к аппаратуре: применяются передат-
чики мощностью 10—100 кВт, параболические антенны больших раз-
меров (до 40 м в диаметре) с £Z>=50—60 дБ, на входе приемников
устанавливаются малошумящие параметрические усилители. На радио-
линиях тропосферного рассеяния используются рабочие частоты 300—
5000 МГц, так как с дальнейшим повышением частоты сильно возрас-
тают потери энергии, а для работы на более низких частотах пришлось
бы еще более увеличить размеры антенн.
В настоящее время радиолинии тропосферного рассеяния широко
используются там, где нельзя установить промежуточные ретрансляци-
онные пункты радиорелейных линий: над проливами, в северных и ма-
лонаселенных районах. Эти радиолинии обеспечивают хорошую надеж-
ность передачи телефонных и телеграфных сообщений.	1
342
9.4.5.	При дальнем тропосферном распространении радиоволн поле
подвержено замираниям. Причиной быстрых замираний является много-
лучевое распространение радиоволн. Амплитуды интерферирующих ком-
понентов вектора напряженности поля dE2 можно считать одинаковыми,
а фазы этих компонентов — случайные величины, плотность вероятности
которых равномерно распределена в интервале от 0 до 360°. При этих
условиях амплитуда результирующего вектора напряженности поля Е2
оказывается распределенной по закону Релея (7 9), что подтверждает-
ся наблюдениями. Расстояние пространственной корреляции (7.12J
быстрых замираний в направлении вдоль трассы значительно больше,
чем в перпендикулярном направлении. Поэтому для получения более
устойчивого сигнала на входе приемника применяют прием на две (ре-
же четыре) антенны, разнесенные в направлении, перпендикулярном
трассе, на раестояние (70—100) X. Принятые 'отдельными антеннами
сигналы детектируют и затем суммируют. Применяют также разнесе-
ние,по частоте, т. е. одну и ту же информацию передают одновремен-
но на двух частотах. Опыт показывает, что для получения некоррели-
рованности замираний необходим относительный частотный разнос
Af/f^(2-5) • Ю-з.
Медленные замирания связаны со случайным изменением метеоро-
логического режима тропосферы. Статистическое распределение ампли-
туд напряженности поля медленных замираний подчиняется нормаль-
но-логарифмическому закону (п. 7.3 2).
Характерной особенностью работы радиолинии ДТР является воз-
никновение амплитудных искажений при передаче широкополосного
сигнала.
Рассмотрим упрощенную картину, считая, что в распространении
участвуют только две волны, одна из которых проходит самый длинный
из возможных путей qbp, а другая — самый короткий путь qbip
(рис. 9.11). Сдвиг фаз между напряженностями полей этих волн на
разных частотах различен. На основной частоте f сдвиг фаз Д<р=
' =(2nf/c)АЯ, а на крайней боковой частоте fn=^f-]-Fn он изменяется до
величины Аф=(2л/с) (H~Fn)A^, где AJR—qbp—qb\p. Таким образом,
для каждой гармоники передаваемого сигнала возникает своя разность
фаз двух лучей, благодаря чему некоторые составляющие спектра мо-
гут усиливаться, а другие ослабляться, и сигнал искажается. Время
запаздывания одного луча относительного другого непрерывно меняется
из-за флуктуаций неоднородностей тропосферы, при этом меняются и
искажения Для уменьшения искажений необходимо, чтобы .разности
фаз Aqp и Афп отличались меньше чем на 2л: Аф—Афте=2л;7’,пА7?/с«С2л
или Fn<^.clAR.
Следовательно, максимальная ширина полосы частот, которая мо-
жет быть передана без искажения, определяется максимальным време-
нем запаздывания луча qbp относительно луча qb\p. Опыты показали,
что на трассе протяженностью 300 км это запаздывание составляет при-
мерно 0,1 мкс, поэтому можно передать без искажений полосу частот
в несколько мегагерц. Чтобы передать без искажений более широкую
полосу частот, следует уменьшить AR, а следовательно, максимально
возможную разность хода лучей qbp—qb\p, для чего приходится сужать
"диаграммы направленности антенн.
9.4.6.	Инженерный метод расчета радиолиний ДТР, основанный на
экспериментальных данных, позволяет рассчитать среднюю мощность
на входе приемника в зависимости от расстояния (для расстояний 100—
Рис. 9.12. К расчету мощности на входе приемной антенны
»
800 км), длины волны (для волн 3—150 см) с учетом метеор о логичен
ских условий и, замираний сигналов. Множитель ослабления является
выраженным в децибелах отношением мощности на входе приемйой
антенны ^Пр при ДТР и мощности, создаваемой в свободном простран-
стве ^про (7.3) (параметры линии не меняются):
B=lOlg[^np/^npo] [дБ],
(9.38)
и складывается из следующих компонентов:
В=Вс+ДВмЧ-ДВр+АР+ДВ1,	(9.39)
где Вс — ослабление поля для заданных расстояния и длины волны
при стандартных условиях; ДВМ — поправка на метеоусловия; ДВР — по*
правка на рельеф местности; ДО — поправка на потери усиления антен*
ны; ДВ — дополнительное ослабление за счет замираний.
На рис. 9.12,а приведены зависимости множителя ослабления от
расстояния при стандартных условиях для различных длин волн, т. е.
когда распространение происходит над гладкой сферической поверх*
ностью Земли и индекс преломления у поверхности N=(n—1)*106=
=310. Графики даны для расстояний более 100 км, когда напряжен-
ность поля сигнала, рассеянного на неоднородностях тропосферы, пре-
вышает поле дифракции с учетом нормальной рефракции.
Для других метеорологичеёкйх условий вводится поправка ДВМ,
определяемая для расстояний 7?=100—350 км, ДВм=(0,93—1,63-10-3!/?)
(А/ср—310) [дБ], а для расстояний 7?=350—880 км АВм=(0,5—
—0,4-10-^/?) (МСр—310) [дБ], где Ncp — среднее за месяц значение при-
веденного коэффициента преломления для данной трассы.
Кроме того, имеются графики и таблицы, позволяющие вносить
поправки на влияние рельефа местности, потери усиления антенн [9].
Быстрые и медленные замирания сигналов, которые всегда наблюдают-
ся при дальнем тропосферном распространении волн, определяют устой-
чивость работы радиолинии. На рис. 9.12,6 приведен график распреде-
ления глубины медленных замираний (в децибелах) относительно
344	>
среднего значения множителя ослабления для трасс различной протя
женности. По оси абсцисс отложено время (в процентах), в течени
которого величина АВ больше значений, указанных на оси ординат
Пользуясь этим графиком, можно найти величину АВ, необходимую
для обеспечения устойчивой работы данной радиолинии в том или ино!
проценте времени.
9.5.	Поглощение радиоволн в тропосфере
При распространении в тропосфере поле сантиметровых и боле»
коротких радиоволн испытывает затухание, связанное с частичным пре
образованием электромагнитной энергии в другие виды энергии и с рас
сеянием.
Наибольшее затухание радиоволны испытывают во время дожд!
и тумана, состоящих из капель воды. Поле проходящей радиоволнь
наводит в каждой капле ток поляризации, который, во-первых, вызы
вает тепловые потери в воде капли и, во-вторых, является источников
вторичного излучения, что приводит к рассеянию энергии радиоволны
Затухание возрастает с укорочением длины волны, увеличением разме-
ра капель и интенсивности осадков.
Рассеяние сантиметровых радиоволн каплями дождя и тумана
приводит к появлению отраженных сигналов, мешающих нормальной
работе радиолокационных станций.
Кроме рассмотренных видов поглощения, миллиметровые волны
испытывают добавочное поглощение в молекулах водяного пара и кис-
лорода. Это поглощение связано с тем, что молекулы НгО обладают
постоянными электрическими моментами, а молекулы Ог — магнитными
моментами. Электромагнитное поле проходящей волны приводит в коле-
бание молекулы, причем, когда частота волны совпадает с собственной
частотой колебаний молекул, возникают резонансные явления и энер-
гия волны переходит во внутримолекулярную энергию. Это приводит
к селективному поглощению волн определенной длины.
Для учета влияния ослабления в формулы, выражающие зависи-
мость амплитуды напряженности поля от расстояния, вводится экспо-
ненциальный множитель
|Е| == |Е0| ехр (-чхТрЯ),	(9.40)
где | Ео| —напряженность поля без учета поглощения; атр — коэффици-
ент поглощения радиоволн в тропосфере. Коэффициент поглощения ра-
Рис. 9.13. Зависимость коэффициента поглощения радиоволн в тропосфере
диоволн (в децибелах) Гтр, связанный с атр соотношением (8.1), яв-
ляется суммой коэффициента затухания (поглощения и рассеяния}
в каплях воды (Г'Тр) и коэффициента' селективного поглощения
(Гх,тр) Гтр—Г'тр+Г^тр.
Расчетные зависимости Г'тр от длины волны при прохождении ра-
диоволн в дожде и тумане различной интенсивности (количество осад-
ков указано в миллиметрах на час) представлены на рис. 9.13,а. Из
графиков видно, что поглощение резко уменьшается с увеличением дли-
ны волны и становится ничтожно малым для волн длиннее 10 см. За-
висимость коэффициента селективного поглощения r'Vp от длины волны
представлена на рис. 9.13,6, из которого видно, что интенсивное погло-
щение происходит на волнах 0,25 и 0,5 см для О2 и на волнах 0,18 и
1,35 см для водяного napja. Радиоволны, испытывающие селективное
поглощение, неприменимы/для передачи сигналов в тропосфере.
9.6.	Электрические параметры ионизированного газа
и коэффициент распространения волн
9.6.1.	Наличие в верхних слоях атмосферы свободных электронов
и ионов определяет электрические параметры ионизированного газа е
и о9, а следовательно, его проводящие и преломляющие свойства. Ди-
электрическую проницаемость ионизированного газа можно определить,
используя материальные уравнения для комплексных амплитуд (1.49)
и выражение для вектора поляризованности (1.28)
D=EoeE==eoE + P-	(9.41)
Поляризация ионизированного газа происходит благодаря тому,
что под действием электрического поля проходящей волны свободные
электроны получают смещение относительно равновесного положения
в направлении, обратном направлению вектора напряженности элек-
трического поля. Вектор поляризованности ионизированного газа опре-
деляется как произведение заряда в единице объема на вектор смеще-
ния этого заряда:
Р=-еЛи,	(9.42}
где е — заряд электрона; Л°э — число, электронов в единице объема га*
за; 1э — вектор смещения электрона относительно равновесного положе-
ния. Смещение электрона 1э можно определить из уравнения движения
электрона
— еЕ = m9d\ldt2 mjtdljdt,	(9.43)
где /тгэ=9,106* 10~31— масса электрона [кг]; v — число соударений одно-
го электрона с тяжелыми частицами (молекулами, ионами), происхо-
дящих за 1 с [1 /с].
Левая часть уравнения (9.43) —это сила, с которой поле электро-
магнитной волны воздействует на электрон. Правая часть — это урав-
новешивающие ее силы: сила Ньютона и сила, аналогичная силе тре-
ния. В ионосфере содержатся ионы и нейтральные молекулы, соверша-
ющие беспорядочное тепловое движение. Сталкиваясь с тяжелыми
частицами, электроны передают им энергию, полученную от электро-
магнитной волны. При столкновениях эта энергия переходит в энергию
теплового движения тяжелых частиц. Таким образом, происходит по-
глощение радиоволн в ионизированном газе, которое количественно
346

оценивается проводимостью. При каждом столкновении электрон пе-
редает молекуле все накопленное количество движения mad\aldt, и если
в секунду происходит v столкновений, то количество движения за се-
кунду уменьшится на величину m9vd\a/dt.
Ионизированный газ, если на него не действует постоянное магнит-
ное поле, представляет собой изотропную, ср еду и векторы Е и 1э па-
раллельны. Тогда можно, ориентировав ось х прямоугольной системы
координат по направлению Е, искать решение уравнения (9.43) в виде
1эх=|1эх| ехр (Ы). Подставляя это выражение в уравнение (9.43). в ска-
лярной записи получим
—сЕх=—m3(o2l9x+i/n9(i>l0xv,
откуда
1	___ (О + 4V р
9Х тэт со2 4- v2 х'
(9.44)
С учетом уравнений (9.44) и (9.42) выражение (9.41) можно запи-
сать в следующем виде:
-рч _ г-1 _ .	iff*.	J/*	1 "1	у-»	яр. .
Dx = бЗ.Ег = 1-----7-Г-:-jT------I ------- SeEx. (9.45)
.	• *	еотэ (со2 4- v2)	m3(<o2+v2) ®e0 J • x '	'
Из формулы (9.45) видно, что относительная диэлектрическая прони-
цаемость ионизированного газа является комплексной величиной:
.	^Зе2 . Л/\егу 1
g —- I___________2___________1 _______2____ ..
. ёотэ (to2 + v2) 7Яэ(сО2 + у2) toe0
(9.46)
Сопоставив (9.46) с общим выражением для комплексной относитель-
ной диэлектрической проницаемости вещества 8=8—io9/coeo, найдем
выражение для параметров ионизированного газа:
8=1—Л9эе2/8отэ(®24-¥2),	(9-47)
оэ=Л’эеЧ/тэ((В2-Н2).	(9.48)
Подставив числовые значения е, та, &о, получим
8=1-3,19- 109/Гэ/(w2+v2),	(9.49)
o9=2,82-10-W3/ (co2+v2) [См/м].	(9.50)
Здесь и далее следует подставлять в эл./см3.
Из формулы (9.49) видно, что относительная диэлектрическая про-
ницаемость ионизированного газа всегда меньше единицы и зависит от
рабочей частоты. Физической причиной уменьшения диэлектрической
проницаемости воздуха при образовании свободных электронов являет-
ся отставание фазы тока, создаваемого движением зарядов, от фазы
тока смещения в свободном пространстве.
Для высоких частот, когда ®2^>v2, можно пренебречь величиной v2
по сравнению с со2. Тогда формулы (9.47) и (9.48) представим в виде
8=1—а^э/ео/Иэ®2,	(9.51)
u9=e2JfavlfnaGi2.	(9.52)
Проводимость и величина, на которую диэлектрическая проницаемость
отличается от единицы (1—8), изменяются обратно пропорционально
квадрату рабочей частоты. При определенном соотношении электронной
плотности и частоты диэлектрическая проницаемость газа можёт ока-
23*	•	347
заться равной нулю. Круговая частота <оо, при которой выполняется
условие е=0,
a>8e = ^f9e2/sew9 или f0 [кГц] 9/Жэ,	(9.53)
называется собственной частотой ионизированного газа или частотой
Ленгмюра.
Выражение (9.51) можно переписать иначе, используя собственную
частоту ионизированного газа /о:
е= 1—ш20/ш2=1—f2o/f2=l—81Л"Э/Р [кГц]. -	(9.54)
При со<«о относительная диэлектрическая проницаемость оказы-
вается меньше нуля. Это значит, что коэффициент фазы является мни-
мой величиной: р=±/со ]/je|еоЦо- Чтобы выяснить физический смысл
мнимого коэффициента р, подставим\го значение в выражение для по-
ля волны в среде без потерь (2.59). В нем появится множитель
ехр(—$7?), откуда следует, что в ионизированном газе при i©<®0 элек-
тромагнитные колебания не распространяются и затухают по экспонен-
циальному закону.
На низких частотах, при v2><o2, можно пренебречь величиной со2
по сравнению с v2. Тогда формулы (9.47) и (9.48) примут вид
8=1—3,19-lOM^/v2,	(9.55)
о2=2,82- lO-M’g/v.	(9.56)
В этом случае электрические параметры ионизированного газа не
зависят от рабочей частоты, как и в твердых телах.
9.6.2.	Влияние отрицательных и положительных ионов на электрические пара-
метры ионизированного газа учитывается аналогично влиянию электронов. Смещение
ионов под действием электрического поля создает дополнительный электрический мо-
мент единицы объема газа. Уравнение движения однозарядных ионов запишется ана-
логично уравнению (9.43), только вместо массы электрона тэ следует подставить
массу иона тв. Вектор поляризованности ионизированного газа является суммой
векторов, созданных смещением электронов и ионов. При .этом фазы векторов поля-
ризованности, созданных положительными и отрицательными ионами, одинаковы, так
как положительные ионы, хотя и являются носителями зарядов другого знака, дви-
жутся под действием поля в противоположном по сравнению с электронами направ-
лении. Поэтому выражение для относительной диэлектрической проницаемости с уче-
том влияния ионов запишется в виде
,= , _ . .(9 57)
е0/иэ (to24-v2)	e0W2H(to24-v2)	е0/пи((О24-v2)	'' }
В тех случаях, когда число электронов и ионов примерно одинаково, влиянием
ионов можно пренебречь. Действительно, масса атома водорода в 1840 раз, а масса
атома азота в 258 000 раз больше массы электрона и последние два члена уравнения.
(9.57) оказываются значительно меньше второго члена. В тех случаях, когда элек-
троны отсутствуют и ионизация газа обусловлена наличием положительных и отри-
цательных ионов (при значительной плотности газа), необходимо учитывать присут-
ствие ионов и их влияние на распространение радиоволн.
9.6.3. Коэффициент распространения волны &=$—ia связан с па-
раметрами среды соотношениями (1.106). Проследим частотную зави-
симость коэффициента затухания радиоволн а в ионизированном газе.
Для низких частот co<v, е и о0 не зависят от частоты. С другой стороны,
348
для низких частот оэЭ>шеа и согласно (2.71) и (9.56) можно записать
выражение для а в виде
=	(9.58)
Затухание в этом диапазоне возрастает с увеличением частоты.
Для высоких частот q>v и о9 зависит от частоты. В этом диапазо-
не частот выполняется условие соеа>оэ, 8^1. Учитывая (2.70) и (9.52),
а также, что 8^=4, получаем
°Э I / У*а 6(ЮГЭ£2 Л . ос
а “ И 17	°’136/2 [Гц] [м ].	(9.59)
Затухание убывает с увеличением, частоты. Следовательно, зави-
симость затухания от частоты описывается функцией, имеющей макси*
мум. Можно показать, что этот максимум находится в области частот
со, близких к v. Физическая причина такой частотной зависимости за-
тухания радиоволн заключается в том, что в диапазоне частот co<v
время свободного пробега электрона т меньше периода колебаний Т.
За время и<Т электрон отбирает малую часть энергии волны и энергия
волны передается нейтральным молекулам малыми порциями. При ©>
>v и х>Т электрон успевает несколько раз переизлучить энергию поля,
не передавая ее нейтральным молекулам. При частоте со, близкой к v,
наблюдается явление резонанса и происходит наибольшее поглощение
энергии радиоволн. Для ионосферных слоев число столкновений v=
=103—107 с-1. При v=107 с-1 условие <o=v выполняется для волны дли-
ной около 200 м. Поэтому в диапазоне волн короче 100 м происходит
уменьшение затухания с повышением частоты, а в диапазоне волн длин-
нее 200 м затухание увеличивается с повышением частоты. Коэффици-
ент фазы на низких частотах согласно (2.71) и (9.56) зависит от час-
тоты рабочей волны так же, как и коэффициент затухания (9.58), а на
высоких частотах он меняется с изменением частоты более резко: при
V<C(1) И (08а>Оэ
Р ы _ М1 — foo/*»)2]172 .	(9.60)
Фазовая и групповая скорости распространения радиоволн в иони-
зированном газе с учетом изложенного в п. 2.8.3 определяются форму-
лами (2.61) и (2.69), которые в наиболее интересном для практики
случае распространения радиоволн короче 100 м в ионизированном газе
запишутся в следующем виде:
' (9’62)
da> dto [° I со2 J j
Из сопоставления формул (9.61) й (9.62) следует зависимость меж-
ду фазовой и групповой скоростями волны в ионизированном газе:
v$Vrp=с2. Коэффициент преломления ионизированного газа на высоких
частотах
(Щ.
n = V${C= [1—'<й2о/ш2]1/2.
Таким образом, в ионизированном газе фазовая скорость волны
больше скорости света, а сигнал распространяется со скоростью, мень-
шей скорости света. Если рабочая частота приближается к собственной
частоте ионизированного газа (aw-wo), групповая скорость уменьшается
(угр->0), а фазовая скорость резко возрастает (рф->-оо). В действитель-
ности благодаря потерям энергии волны в реальном ионизированном
газе фазовая скорость достигает большой конечной величины.
Для передачи сигнала необходимо передать некоторую полосу час-
тот, причем каждая из групп гармоник сигнала распространяется со
своей групповой скоростью. Если спектр сигнала неширок, то разница
в групповых скоростях отдельных групп гармоник невелика и можно
считать, что весь сигнал распространяется со скоростью, соответствую-
щей групповой скорости неущей чатоты. Сигналы, содержащие широ-
кий спектр частот, при прохождении через ионосферу искажаются [7].
Искажения сказываются сильно в том случае, когда импульс короткий,
а несущая частота близка к собственной частоте ионизированного газа.
9.7.	Влияние постоянного магнитного поля на электрические
параметры ионизированного газа
9.7.1.	Ионизированный газ ионосферы находится в постоянном
магнитном поле Земли, напряженность которого составляет 40 А/м.
Присутствие постоянного магнитного поля изменяет условия движения
электронов, в результате изменяются и электрические параметры иони-
зированного газа.
Рассмотрим прежде всего, как влияет магнитное поле на движение
электрона в том случае, когда электромагнитные колебания отсутству-
ют и электрон совершает только тепловое движение. Направим вектор
постоянного магнитного поля Но в сторону отрицательных значений оси
у. Из всей совокупности электронов для рассмотрения выберем элек-
трон, скорость теплового движения va которого параллельна вектору ix.
В постоянном магнитном поле на электрон действует сила Fh=
=—Я], нормальная к направлению его первоначального дви-
жения, поэтому траектория движения электрона искривляется. Радиус
кривизны траектории р определяется из уравнения движения электрона:
таи2э/р=ероиэЙ0, где в левой части записана центробежная сила, урав-
новешивающая силу Fh- Из этого уравнения видно, что электрон дви-
жется по окружности, радиус которой p=m3va/epoHo- Направление
вращения совпадает с движением часовой стрелки, если смотреть вдоль
силовых линий магнитного поля. Время обращения электрона по окруж*
ности Тн=2лр/и9=2птэ/ер0//0, а частота вращения
I
^н=1/7,н=ероЯ0/2лпгэ.	(9.64)
Явление вращения электрона в постоянном магнитном поле назы-
вается гиромагнитным резонансом, а частота /н — частотой гиромагнит-
ного резонанса. Подставляя в формулу (9.64) числовые значения вхо-
дящих величин и значение Яо=4О А/м, получаем /н=1,4 МГц. Если
рассмотреть движение иона в магнитном поле, то частота вращения
иона окажется в тысячи раз меньше /н и выйдет из диапазона радио-
частот.
350
9.7.2.	Рассмотрим движение электрона в постоянном магнитном по-*
ле при прохождении электромагнитной волны. Уравнение движения
электрона в постоянном магнитном поле имеет вид
еЕ зд, —т9	v.	(9.65)
В присутствии постоянного магнитного поля вектор силы, действующей
на электрон, непараллелен вектору Е проходящей волны, направление
движения электрона непараллельно направлению вектора напряженнос-
ти электрического поля волны и зависит от взаимного направления век-
торов Е и Но. Следовательно, векторы D и Е не параллельны, пара-
метры среды зависят от направления распространения волны, среда
становится анизотропной.
Для определения диэлектрической проницаемости ионизированного
газа в присутствии постоянного магнитного поля обратимся к п. 1.3.2,
в котором введено понятие тензора диэлектрической проницаемости
анизотропной среды D=eaE или в декартовой системе координат
Dx = ЕххЕх-Н&ху	8xzEz === 8оЕх+Р х,
Dy — 8ухЕу—1“&ууЕу~{~ 8yzEz — 80Еу-f- Ру,	•	(9.66)
Dz = 8zxEz_f~8zyEy_|~8zzEz== 8oEz-{- Р z-
Обставляющие вектора Р определим из уравнения (9.65). Для этого,
умножив обе части уравнения (9.65) на ej^3lm9 и обозначив, ’как й
ранее, Р=—еЛМэ, (о2о=е2Лс’э/тэео,	перепишем его в виде
С0208Е—КОСОЙ [Р, h]=—©(со—iv)P,
где h — единичный вектор, совпадающий по направлению с направле-
нием вектора Яо
Выберем ось z декартовой системы координат совпадающей с на-
правлением вектора Яо и распишем последнее уравнение по коорди-
натным осям:
®2оеоЕх—«og)hPi/=—<» (<о—iv) Рх,
(£>2о8оЕу-]-1сосонРх=—«о (®—iv) Ру,
. ®2o8qEz=—(О (<о—iv) Pz.
Решая систему уравнений, выразим составляющие вектора Р через со-
ставляющие вектора Е:
р ==	---—	[(« — Zv) Ех 4- i-нЕу],
х <o[(w— tv)2—<a2H] *•'	1 * '	**
P„ -------n-----—n- [— 1»НЕЛ + (—iv) E J,
v	co K® — iv)2 •—<o2H] 1 н * 1 '	B
--A
Рг =
о”» P
<o(a —iv) •*

35J

Подставив полученные выражения в (9.66), найдем компоненты тензо-
ров относительной диэлектрической проницаемости:
S =
sxx £лу £хг	со20 (со — tv)	. 		 1	<0 [(со — tv)2 — <о2н1 z со[(со — tv)2 — С02н] <о20сон	со20(со —tv)
еух £уу еуг ~	z <о[(со — /V)2—С02н] 1 <о[(со — iv)2—<02н]	0 <0%
ezx szy £zz	0	0.1 ю((О	 jy)
(9.67)
Откуда ВИДНО, ЧТО &xz—=£yz"—Szx—8zj/—О*	\
Если частота соударений электрона с тяжелыми частицами мала
по сравнению с рабочей частотой: co^>v, как это имеет место на высо-
ких частотах, и поглощением можно пренебречь, то выражение (9.67)
упрощается, однако компоненты тензора останутся комплексными:
®20
1 со® — <огн	1 со(<ог — со2н)
.	<0%
' г со(<ог — <02н)	СО2 — С02н
О	О
О
О
Ц>2о
(О2
(9*68)
Из (9.68) видно, что влияние постоянного магнитного поля на па-
раметры ионизированного газа сказывается особенно сильно, если рабо-
чая частота близка к гирочастоте. Для ионосферы это соответствует
диапазону гектометровых волн. При со>>соп в ряде случаев можно пре-
небречь влиянием постоянного магнитного поля, однако некоторые эф-
фекты проявляются и на высоких частотах.
9.8.	Траектории радиоволн в ионосфере
9.8.1.	Электронная плотность ионосферы сначала возрастает с вы-
сотой, на высоте 3Q0—400 км имеет максимум, а затем убывает
(рис. 9.2). Следовательно, диэлектрическая проницаемость ионосферы
убывает с высотой, имеет минимум на высоте максимума электронной
плотности и возрастает до единицы при дальнейшем увеличении рас-
стояния от Земли.
Если среда неоднородна, но на протяжении длины волны ее свойст-
ва меняются мало, то распространение волн на небольшом участке
пути близко к распространению волн в однородной среде с показателем
преломления, соответствующим данному участку неоднородной среды.
Таким образом, распространение радиоволн в неоднородной среде долж-
но быть примерно таким же, как распространение радиоволн в одно-
родной среде с меняющейся от точки к точке диэлектрической прони-
цаемостью.*
352
Рассмотрим сначала изотропную ионосферу. Поле в неоднородной
ионизированной среде в приближении геометрической оптики можно
описать выражением
кг»
где L определяется из уравнения эйконала (6.180). Взяв интеграл вы-
ражения (6.176) по траектории волны (по лучу) [ | grad L | dl = С п/, по-
лучим
i
(9.69)
В поглощающей ионосфере коэффициент преломления является комплекс-
ной величиной: п = \^еара/sop.o = k/kQ = (0 — 1а)1кй, изменение амплитуды
и фазы вектора напряженности электрического поля с учетом (6.176)
и (9.69) описывается зависимостью
Е — -;Е° ехр
Ке~(/)
(9.70)
a(t)dl —
где аир определяются по (9.58) —(9.60) и изменяются вдоль тра-
ектории волны в соответствии с изменением электронной плотности и
числа соударений электрона с тяжелыми частицами в ионосфере. По-
скольку амплитуда и фаза поля определяются интегральными значе-
ниями коэффициентов затухания и фазы, закон изменения параметров
ионизированного таза с высотой сказывается не очень существенно на
результате.
Рассмотрим распространение волны в неоднородной ионосфере,
считая что свойства ее меняются с высотой, а в горизонтальном на-
правлении остаются постоянными. Предположим, что выполняются'
условия применимости приближения геометрической оптики. Разобьем
ионосферу на тонкие слои, в пределах каждого из которых диэлектри-
ческую проницаемость будем считать постоянной. Запишем уравнение
траектории волны так же, как при распространении радиоволны в сло-
истой тропосфере:
(<2о~|~^о) «о sln 0о— (tzo-f-i/zo-)-^) zz (2) sin 0,	19.71)
где Ло — высота нижней границы ионосферы; nQ — коэффициент прелом-
ления воздуха на этой высоте (рис. 9.14).
При уменьшении толщины слоев, т. е. при
плавном изменении n(z), траектория волны
в пределе обратится в кривую. При убывании
n(z) с 'высотой волна на каждый последую-
щий слой падает под все большим углом, так
что на некоторой высоте могут создаться
условия ‘для полного внутреннего отражения
и волна пойдет по касательной к границе раз-
дела слоев. При небольшой неоднородности
Рис, 9.14. Траектории радиоволн в ионосфере
353
ионосферы траектория волны может отклониться вниз и тогда она, пре-
ломляясь, вернется на Землю — произойдет отражение волны. Таким
образом, в ионосфере отражение радиоволн происходит не на границе
воздух ионизированный газ, а в толщине ионизированого газа. Отра-
жение может произойти только в той области ионосферы, где диэлек-
трическая проницаемость убывает с высотой, а следовательно, элек-
тронная плотность возрастает с высотой, т. е. «ниже максимума элек-
тронной плотности ионосферного слоя.
Выясним соотношение между электронной плотностью, углом па-
дения волны на нижнюю границу ионосферы и рабочей частотой, кото-
рое должно быть выполнено для того, чтобы произошло отражение
радиоволн от ионосферы. Угол полного внутреннего отражения (см.
п. 6.4.2) при плавном изменении диэлектрической проницаемости с вы-
сотой блИЗОК К 30°, ПОСКОЛЬКУ Sin 0пр=«2/Л1^1.
На нижней границе ионосферы можно принять По=1 и, используя
уравнение траектории волны (9.71), записать условие отражения:
sine.=n (г„	«( г) (1 +	•	(9-72)
Условие отражения связывает угол падения волны на нижнюю границу
ионосферы с диэлектрической проницаемостью в толще самой ионосфе-
ры на той высоте над нижней границей ионосферы Zq, где происходит
отражение волн.
Условие отражения можно записать в другом виде, подставив в не-
го выражение для коэффициента преломления ионизированного газа
(потери энергии и влияние постоянного магнитного поля земли не учи-
тываются):
• SinOe = rr=7VP [1+гв/(а0+А0)],	(9.73)
где /:2о[кГц]=81Л98- Следовательно, при определенной электронной
плотности волна данной частоты отразится только в том случае, если
угол падения 0О равен или превышает величину, определяемую выра-
жением (9.73). Чем больше	тем при меньших значениях 0О воз-
можно отражение. Угол 0окр, при котором в данных условиях еще воз-
можно отражение, называют критическим углом.
Из выражения (9.73) можно определить максимальную рабочую
частоту волны, которая отразится от ионосферы при заданных элек-
тронной концентрации и угле падения волны на слой:
f,=f, [1 - («.+/=.)’ sin’ е./(а. + Л.+г.)!Г'/2-	(9-74)
Эту формулу можно упростить, если учесть, что zQ<g. (ао+^о) (а&=*
=6370 км, го^2ОО—300 км). Пренебрегая в знаменателе величиной,
малой по сравнению с единицей, получаем соотношение, называемое
законом секанса:
f9 = f0sec60.	(9.75)
Чем меньше угол падения волны на ионосферу, тем большая электрон-
ная плотность требуется, для того чтобы волна отразилась, и отражение
происходит на большей высоте. Если волна падает на ионосферу нор-
мально, то
fe=o=fo [кГц] =9]/>».
(9.76)
354
При нормальном падении волны на ионосферу отражение происхо-
дит на той высоте, где рабочая частота равна собственной частоте ио-
низированного газа и, следовательно, 8=0. Из (9.75) и (9.76) видно,
что отражение волн, посланных нормально и под углом к ионосфере’
происходит при одной и той Же электронной плотности, следовательно,’
на одной и той же высоте, если f0=f8=o sec0o. В случае одной и той
же электронной плотности ионосферы , и наклонного падения может от-
разиться волна, частота которой в sec60 раз превышает частоту волны,
отражающейся при вертикальном падении волны на слой.
Чем больше электронная плотность, тем для более высоких частот
выполняется условие- отражения. Максимальная частота, при которой
волна отражается в случае вертикального падения на ионосферный
слой, называется критической частотой отражение происходит вблизи
максимума ионизации слоя):
/кр [кГц]^9 макс*	(9*77)
Если рабочая частота больше критической, то при нормальном па*
дении волны на ионосферу отражения не происходит и волна уходит'
в космическое пространство.
Таким образом, в условиях применимости методов геометрической
оптики коэффициент отражения от ионосферы меняется в зависимости
от частоты скачком при /==/кр’, если рабочая частота / меньше крити-
ческой /кр, то происходит полное отражение волны от ионосферного
слоя, коэффициент отражения равен единице; при />/кр коэффициент
отражения равен нулю.
При наклонном падении волны ионосфера прозрачна для частот,
превышающих максимальную частоту, определяемую из (9.74):
/,„„ = /кр [ 1 - (а. + Л.)’ sin’ е./(а.+й.+г.)’]-’2’-
Эту формулу можно привести к виду, аналогичному (9.75): /0 =
— Af„ sec 6, где
Л=[14-22о/cos 6о]	(flkrWio)]-(9.78)
Сферичность Земли и ионосферы ограничивает максимальный угол па-
дения волны на ионосферу. Из рис. 9.14 видно, что луч, направленный
по касательной к Земле, падает на ионосферу под наибольшим возмож-
ным при данной высоте слоя углом Оомакс- Из AqOm можно найти, что
Sin0 о макс—^о/ (ао+М.
То обстоятельство, что волна не может быть послана под углом,
большим 0,о макс» приводит к ограничению рабочего диапазона. При за*
данной электронной плотности Ломакс может отразиться волна, частота
которой не превышает
f Омаке макс = 9Л р	макс SCC вОмакс [кГц] •
Так, если отражение происходит на высоте 200 км, отношение
/о макс макс//кр^4 и обычно от ионосферы могут отражаться волны длин-
нее 10 м (частотой ниже 30 МГц).
9.8.2.	Распространение и отражение радиоволн в ионосфере мы
рассматривали с позиции применимости законов геометрической опти-
ки. Выясним справедливость такого подхода для случая нормального
падения волны на слой ионосферы. Как >и раньше, предположим, что
 '	‘	355
диэлектрическая проницаемость меняется только в вертикальном на*
правлении по h. Влияние постоянного магнитного поля не учитываем.
Условие медленного изменения свойств среды на протяжении длины
волны в среде Хср считается выполненным, если соблюдается неравен-
ство
XCp|gradsa|/8a<^4jT.	(6.191)
В ионосфере резкие перепады 8 наблюдаются только при появлении
спорадических слоев, но, поскольку отражение радиоволн при нормаль-
ном падении на ионосферу происходит в области, где е=0, ясно, что
в этом случае условие (6.191) не выполняется.
Чтобы выяснить, какие явления происходят'в случае отражения
радиоволн и какова ошибка, возникающая при исследовании процес-
сов отражения с применением законов геометрической оптики, рассмот-
рим результаты строгого решения этой задачи (п. 9.4.2). Распределение
электронной плотности по высоте в каждом отдельном слое ионосферы
хорошо аппроксимируется функцией вида (9.25) для симметричного
слоя.	х
Коэффициент преломления ионизированного \аза в максимуме ио-
низации п2=1—f2Kp/f2 (9.63), откуда с учетом (9.26) коэффициент М
в (9.30) равен М=1—л2=/2кр//2=^2/А,2Кр. Для регулярных ионосфер-
ных слоев всегда выполняется условие 4SM^> 1, которое с подстанов-
кой значений М и 5=3,^/1то/%кр имеет вид 4/1гп/Х1фЭ>1 или Лтп/ХхфЖ
где hm составляет десятки километров, а Хкр — не более сотен метров
(/кр=10—1 МГц).
Формула, определяющая коэффициент отражения от симметрично-
го слоя при нормальном падении волны на слой, получается из (9.32)
и принимает простой вид
сим ।_	ch2 (3,6n/zm/XKD)
1 I — ch[3,6r.(^MKp)(l +Mp)]ch[3(64VW(l -Жр)Г (У,/У'
Анализ формулы (9.79) показывает, что при f=fKp 10,5, про-
исходит частичное отражение волны, при f /кр J	1® —* 0, отражение
волны отсутствует, при f < fKpj 1, происходит полное отражение
волны.
Таким образом, в некотором диапазоне частот волна частично про-
ходит через слой ионосферы и отражение является неполным. При этом
чем больше толщина слоя, тем более резко изменяется коэффициент
отражения.
На рис. 9.15 представлена частотная зависимость для /гт=
= (30—1) Лкр. Для существующих в ионосфере толщин регулярных сло-
Рис. 9.15. Частотная зависимость коэффициента от-
ражения от ионосферного слоя симметричной формы
356
ев область частичного просачивания волны оказывается очень не-
большой. Так, при Аш/Лкр=30 и отклонении частоты 1 —f[f=. ±1,7-10-*
коэффициент отражения падает до] | = 0,001 и возрастает до |7?^м|==
= 0,999. Таким образом, практически можно считать, что | /?^м| =0 при
f>/Kp и |Я^“| = 1 при f<fKp. Критическая частота является предель-
ной частотой для волн, отражающихся от слоя ионосферы при нормаль-
ном падении. Поэтому в практических целях рассмотрение отражения
волн от регулярных слоев ионосферы допустимо с позиций геометриче-
ской оптики. С другой стороны, отражение от тонких спорадических
слоев возможно, если частота волны в несколько раз превышает крити-
ческую частоту слоя.
9.9.	Методы экспериментального исследования ионосферы
9.9.1.	Экспериментальное исследование ионосферы ведется главным образом ра-
диометодами путем изучения условий прохождения и отражения радиоволн в ионо-
сфере. Основным из них является метод вертикального зондирования ионосферы им-
пульсами, осуществляемого с помощью ионосферной станции. Ионосферная станция
состоит из передатчика и приемника, имеющих общую антенну, и индикаторного
устройства. Передатчик работает в импульсном режиме с длительностью импульсов
примерно 10 мкс. Рабочая частота передатчика плавно изменяется в диапазоне от
1 до 20 МГц. Частота повторения импульсов обычно выбирается 25 Гц. Мощность
передатчика в импульсе составляет 5—20 кВт. Максимум излучения антенны на-
правляется вертикально вверх. Сигнал с выхода приемника подается на индикатор,
которым служит электронно-лучевая трубка. Используют индикаторы типа А с ли-
нейной разверткой и панорамные индикаторы типа В.
Ионосферная станция с простейшим индикатором типа А работает следующим
образом. Устанавливается некоторая рабочая частота передатчика. Излученный вер-
тикально вверх, импульс отражается от ионосферы на той высоте, где f—fo, прини-
мается и подается на вертикальные пластины электронно-лучевой трубки, на гори-
зонтальные пластины которой подана линейная развертка. Измеряя время запазды-
вания отраженного импульса, определяют так называемую действующую высоту от-
ражения hx—cktll, которая превышает действительную высоту, поскольку скорость
распространения импульсов в ионизированном газе оГр<с.
Меняя рабочую частоту передатчика, получают зависимость действующей вы-
соты отражения от рабочей частоты, называемую высотно-частотной характеристикой.
В более сложных панорамных станциях дается развертка и на вторые пластины
осциллографа, причем эта развертка синхронизирована с частотой передатчика. Тогда
на экране трубки с длительным послесвечением видна непосредственно высотно-ча-
стотная характеристика, которая автоматически фотографируется. Вид типичной вы-
Рис. 9.16. Высотно-частотные характеристики ионосферы:
1 — обыкновенная волна; 2 — необыкновенная волна
12 3^5 {,МГи,
S)
О 4 8 12 16 20 24
Время суток, ч
Рис. 9.17. Суточное изменение критических частот
линиями отмечено время восхода
Время суток, ч «,
на средних широтах (штриховым»
и захода Солнца)
сотно-частотной характеристики для обыкновенной (кривая /) и необыкновенной
(кривая 2) волн изображен на рис. 9.16,а.
Для исследования ионосферы выше основного максимума ионизации (слоя F)
используются ионосферные станции, установленные на искусственных спутниках Зем-
ли, движущихся почти по круговой орбите на высоте примерно 1000 км. Зондирова-
ние ведется с внешней стороны ионосферы. На рис. 9.16,6 приведена высотцо-частот-
ная характеристика, полученная таким образом. Высота отсчитывается от положения
спутника по радиальному направлению к поверхности Земли.	1
По высотно-частотным характеристикам определяют две основные величины, не-
обходимые для расчета радиолиний: высоту нижней границы слоя hQ и критическую
частоту fKp. Высотно-частотные характеристики наземными станциями фиксируются
каждые полчаса, что позволяет проследить зависимость fKp и ho от времени суток,
по сезонам и в течение цикла солнечной активности. На рис. 9.17 представлены гра-
фики суточного изменения усредненных значений критических частот в зимние и лет-
ние месяцы.	(
Измерения, проводимые с помощью ионосферных станций, служат для состав-
ления прогнозов критических частот и высот ионосферных слоев. Прогнозы крити-
ческих частот каждого слоя представляют в виде карт для каждого четного часа
московского времени.
9.9.2.	Данные о распределении электронной концентрации по всему вертикаль-
ному разрезу ионосферы можно получить при запуске геофизических ракет, искус-
ственных спутников Земли и космических кораблей. Измерение электронной плотно-
сти производят по наблюдениям за изменением какого-либо параметра радиоволн,
принимаемых на Земле, при перемещении излучателя в ионосфере по высоте, напри-
мер по изменению поляризации волны, по изменению фазовой скорости, поскольку ?!
эти величины зависят от электронной плотности среды, в которой происходит рас- '
пространение. Наиболее часто используется фазометрический метод, основанный на S
измерении разности фаз двух волн разных частот (основной частоты генератора и 1
частоты третьей гармоники) [8].
358
г
Глава 10
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ДЕКАМЕТРОВЫХ И БОЛЕЕ
КОРОТКИХ ВОЛН
10.1.	Особенности распространения декаметровых волн
10.1.1.	Земные волны декаметрового диапазона распространяются
«а расстояния, не превышающие нескольких десятков километров. Рас-
чет напряженности электрического поля можно проводить в зависимо-
сти от высоты расположения антенн над поверхностью Земли по форму-
лам (8.4) или (8.15).
Ионосферные волны этого диапазона могут распространяться на
многие тысячи километров, причем не требуется передатчиков большой
мощности. Поэтому волны декайетрового диапазона используются глав-
ным образом для радиосвязи и вещания на большие расстояния ионо-
сферной волной.
Декаметровые радиоволны распространяются на большие рдсстоя*-
ния путем отражения от ионосферы и поверхности Земли. Такой способ
распространения называют скачковым и характеризуют расстоянием
•скачка Rci, Rc2, • • •, Ren, числом скачков п, углами входа 0Oi и прихода
Во2 волны (рис. 10.1). Расстояние скачка зависит от высоты отражаю-
щего слоя, рабочей частоты и диаграммы направленности антенны
в вертикальной плоскости, оно меняется в зависимости от времени года,
•сезона и уровня солнечной активности. В среднем максимальное рас-
стояние скачка при отражении от слоя F2 принимают равным 4000 км,
при отражении от слоя F\— 3000 км, при отражении от, слоя £—
2000 км. Максимальное расстояние скачка имеет место при излучении
волны по касательной к горизонту, однако у реальных антенн максимум
излучения направлен под некоторым углом к горизонту, что приводит
.к уменьшению максимального расстояния скачка. Минимальное рас-
стояние, для которого выполняется условие отражения (9.72) (при
<ОО1=0Ок^), называют расстоянием зоны молчания (Rci)- Обычно антен-
на излучает в некотором интервале’ углов, соответствующем ширине
диаграммы направленности антенны в вертикальной плоскости (штри-
ховая линия на рис. 10.1) и составляющем 10—15°. При углах входа,
^больших 0окр, волны могут распространяться по различным траекториям
Рис. 16.1. Схема распро-
странения коротких волн на
большие расстояния:
1 — интерференция воли, отра-
женных однократно и двукрат-
но от ионосферы, 2 — волна,
однократно отраженная от ионо-
сферы; 3 — волна, распространя-
ющаяся путем двух отражений
от ионосферы; 4 — волна, для
которой направление распрост-
ранения совпадает с направле-
нием максимального излучения
антенны; 5 — волна, рабочая ча-
стота которой больше макси-
мально допустимой

(одно или два отражения от слоев F2, Fi или Е). Преимущественной
траектории распространения волны не существует. Вероятность появле-
ния той или иной траектории зависит от протяженности трассы и со-
стояния ионосферы.
Существенное влияние на распространение декаметровых волн ока-
зывает неоднородность ионосферы в горизонтальном направлении [15].
Градиенты критических частот максимальны в утренние и вечерние
часы, когда их величина достигает 0,4 МГц на 100 км. В горизонтально
неоднородной ионосфере нарушается симметрия траектории волны
(углы входа и прихода не равны между собой), изменяются расстоя-
ние скачка и условия отражения.
10.1.2.	Коротковолновая радиолиния может успешно работать при
выполнении двух условий: 1) должно быть выполнено условие отраже-
ния волны от ионосферы (9.72), 2) напряженность поля полезного сиг-
нала в данном месте должна превышать уровень помех. Из первого
условия выбирается максимальная применимая частота (МПЧ). Второе
условие ограничивает диапазон применимых частот снизу: чем ниже
частота (в пределах коротковолнового диапазона), тем сильнее погло-
щение волны в ионосфере. Электронная плотность ионосферы меняется
в течение суток и в течение года. Значит, изменяются и границы рабо-
чего диапазона, что приводит к необходимости изменения рабочей длины
волны в течение суток. Днем работают на волнах 10—25 м, а ночью на
волнах 35—100 м. Понятно, что необходимость менять длину волны и
каждый раз правильно выбирать ее усложняет как схему станции, так
и работу оператора.
10.1.3.	Поле декаметровых радиоволн всегда подвержено замирани-
ям (см. п. 7.3.2). Основной причиной быстрых замираний служит при-
ход в точку приема двух волн, однократно и двукратно отраженных от
ионосферы. Изменения электронной плотности, непрерывно происходя-
щие в ионосфере, приводят к изменению длины пути каждой из волн
и к изменению разности фаз между ними, а следовательно, к случайным
изменениям суммарной напряженности электрического поля, которые
в диапазоне коротких волн являются частыми и глубокими.«Помимо
этого, замирания вызываются рассеянием радиоволн на неоднородно-
стях ионосферы и интерференцией рассеянных волн, интерференцией
обыкновенной и необыкновенной составляющих волны. Кроме интер-
ференционных замираний, на декаметровых волнах имеют место поля-
ризационные замирания, причиной которых является поворот плоскости
' поляризации волны при распростанении ее в направлении силовых ли-
ний магнитного поля Земли. На практике все указанные причины зами-
раний действуют одновременно. Быстрые замирания хорошо описыва-
ются законом распределения Релея (7.9) (при интервалах наблюдения
3—7 мин).
Медленные замирания, для выявления которых необходимо вести
наблюдения в течение 40—60 мин, вызваны изменением поглощения-
радиоволн в ионосфере. Распределение амплитуд сигнала при медлен-
ных замираниях подчиняется нормально-логарифмическому закону со
стандартным отклонением около 8 дБ. Пространственная корреляцион-
ная функция замираний описывается законом (7.12) с расстоянием
пространственной корреляции Z0=(10—25) X при разнесении точек на-
блюдения в направлении, перпендикулярном направлению трассы. При
разнесении точек наблюдения вдоль трассы расстояние корреляции воз-
растает. В практике радиосвязи используют обычно две антейны, разне-
360
сенные на расстояние /^10Х. Сигналы складывают после детектирова-
ния. Эффективным является разнесение антенн по поляризации, т. е.
одновременный прием на вертикальную и горизонтальную антенны
с последующим сложением сигналов.
10.1.4.	Работа радиолиний декаметрового диапазона подвержена
частым нарушениям, которые возникают в результате ионосферных воз-
мущений (см. п. 9.1.4). Основной причиной нарушения работы радиоли-
ний являются ионосферно-магнитные бури. Работа радиолинии прежде
всего нарушается на наиболее высоких частотах, а восстанавливается
раньше на низких частотах. При сильных возмущениях приходится при-
бегать к ретрансляции по линиям, проходящим в районах более низких
широт. Нарушения, вызванные ионосферно-магнитными бурями, длятся
от нескольких часов до двух суток. Второй причиной являются внезап-
ные вспышки поглощения, проявляющиеся только на освещенной сторо-
не земного шара, они приводят к нарушению работы радиолиний на наи-
более низких частотах декаметрового диапазона, длятся от нескольких
минут до нескольких часов и восстановление работы радиолинии начи-
нается на более высоких частотах.
10.2.	Распространение дециметровых и сантиметровых радиоволн
на космических радиолиниях [8]
10.2.1.	С помощью космических радиолиний осуществляется радио-
связь пилотируемых космически^ кораблей с Землей и между собой, ра-
дионаблюдение за полеток и управление полетом космических кораблей,
передача с космического корабля радиотелеметрической информации
(результатов измерений режима работы аппаратуры, параметров поле-
та, данных научных наблюдений), изучение космоса, поверхностей и
атмосфер планет, сбор метеорологических данных, наземная радиосвязь
и ретрансляция радиовещательных и телевизионных программ через
ретрансляторы, расположенные на ИСЗ, и др.
Траектория искусственных спутников Земли имеет три характерных
участка. На начальном, стартовом, участке траектории спутник с раке-
той-носителем при работающих двигателях движется в сравнительно
плотных слоях атмдсферы, где происходит отделение отработавших сту-
пеней ракеты. На втором участке траектории скорость-движения спутни-
ка несколько превышает первую космическую скорость и движение
воруг Земли происходит по эллиптической орбите в сильно разреженной,
атмосфере. Третий участок траектории соответствует возвращению спут-
ника, вхождению его в плотные слои атмосферы. У невозвращаемых
спутников третий участок траектории отсутствует. На первом и третьем
участках траектории расстояния от наземных станций до спутника неве-
лики и распространение радиоволн осуществляется в пределах прямой
видимости. На распространение радиоволн на этих участках траекто-
рии оснбвное влияние оказывает образующийся вблизи спутника иони-
зированный газ, электронная плотность которого на несколько порядков
выше, чем в ионосфере. Причиной ионизации на первом участке траек-
тории я-вляется отработанный газ двигателя, а на третьем — термоди-
намический нагрев воздуха при движении спутника в плотных слоях
атмосферы со сверхзвуковой скоростью.
На втором участке в зависимости от высоты спутника и от длины
волны распространение радиоволн возможно как в пределах прямой
24—116	361
видимости, так и за ее пределами. На условия работы радиолинии ока-
зывает влияние тропосфера и ионосфера Земли.
Траектория космических кораблей может быть также разбита на
три участка, причем условия распространения радиоволн на первом и
третьем участках для спутников и космических кораблей совпадают. На
втором участке траектории скорость корабля превышает вторую косми-
ческую скорость, корабль выходит из поля тяготения Земли и движется
в межпланетном пространстве. Протяженность радиолинии космический
корабль — Земля может достигать сотен миллионов километров. В этом
случае на условия работы радиолинии влияет межпланетная плазма и
атмосфера Земли.
10.2.2.	Источником ионизированных частиц в межплан'етном про-
странстве является Солнце. Ионизированные частицы движутся в ра-
диальных направлениях от Солнца, причем средняя электронная плот-
ность убывает с увеличением расстояния от Солнца по квадратичному
закону. Вблизи поверхности Земли, на расстоянии примерно 150 млн. км
от Солнца, электронная плотность межпланетного газа составляет
Лээ=60 эл./см3, чему соответствует /о^70 кГц. Неоднородности меж-
планетного газа, движущиеся со скоростями 300—800 км/с, вызывают
флуктуации амплитуды, фазы, угла прихода и спектральной плотности
радиоволны.
На радиолинии Земли — космический корабль определяющим явля-
ется ослабление сигнала из-за большой протяженности трассы (основ-
ные потери) и поглощение в атмосфере Земли. Например, в соответ-
ствии с формулой (7.4) на волне частотой 100 МГц на расстоянии
1000 км основные потери составляют 133 дБ, а на трассе Земля—Луна
(расстояние 384 400 км) — 184,6 дБ.
Диапазон частот, пригодный для работы радиолинии Земля — кос-
мический корабль, ограничен поглощающими и отражающими свойства-
ми земной атмосферы. ^Радиоволны длиннее 10 м отражаются от ионо-
сферы и поэтому непригодны для радиосвязи с объектами, находящи-
мися за ее пределами. Коэффициент затухания радиоволн в ионосфере
с повышением рабочей частоты убывает по квадратичному закону
(9.59). При прохождении всей толщи ионосферы волнами короче 3 м
затухание не превышает 0,1 дБ. Верхняя граница частот, применимых на
космической радиолинии, определяется поглощением радиоволн в т*ро-
досфере (см. § 9.5) и достигает примерно 10 ГГц. Для радиолинии
Земля — ИСЗ, траектория которого проходит ниже основного максиму-
ма электронной плотности ионосферы, применимы метровые и декамет-
ровые волны.	*
Поляризация радиоволн, излученных со спутника и принимаемых
на наземной станции, непрерывно меняется, что обусловлено и эффек-
том Фарадея, и флуктуацией электронной плотности ионосфер,ы. ijpn
прохождении волны частотой 1 ГГц всей толщины ионосферы угол по-
ворота плоскости поляризации достигает примерно 360° [17]. .
10.2.3.	При определении угловых координат космического объекта
радиотехническими методами направление прихода волны, отраженной
от объекта или излученной с него, не совпадает с истинным направле-
нием на объект вследствие рефракции. Угол между истинным направ-
лением на космический объект и касательной к траектории волны в точ-
ке расположения приемной антенны называется рефракционной ошиб-
кой (угол 60, рис. 10.2). Для точного определения угловых координат
космических объектов радиотехническими методами необходимо вносить
362
Рис. 10.2. К вычислению рефракционной ошибки
тропосферы
поправки на рефракционные ошибки, ко-
торые определяются теоретически. С до-
статочной степенью точности можно счи-
тать, что ошибки, вызванные рефракци-
ей в тропосфере и ионосфере, сумми-
руются.
Рассмотрим сначала, как определя-
ется рефракционная ошибка в тропосфе-
ре. Из рис. 10.2 следует, что рефракцион-
ная ошибка определяется как разность
углов еи и 0К: 60—0И—Ок, причем 0И=
a |=(nosin0H) /Яс, где ^ — рас-
стояние от центра земного шара до кос-
мического объекта. Угол у находится путем интегрирования выражения
для элементарного угла dy, определяемого из Aabc: dy— (z/^tgO)//?,
где tgO в свою очередь определяется из уравнения траектории волны
в сферически слоистой среде (9.8): tg0=niflosin 0К [(л7?)2—(rtiflo)2X
X'sin20K]~1/2, где 0, R и п — текущие значения для точек траектории вол-
ны; ni — значение коэффициента преломления воздуха вблизи поверх-
ности Земли. Окончательно выражение для рефракционной ошибки
запишем в следующем виде:
R
60= J n&R-1 sin 0к [(пЯ)2 — («А)г sin2 6К]~1/2 dR-\~
°* г \
+ arcsin sin (0кг+ 66)] — 6К.
(ЮЛ)
Величину S0 вычисляют, задаваясь определенным законом измене-
ния п с высотой. Результаты вычислений рефракционной ошибки, вно-
симой нормальной тропосферой, в зависимости от yrjia возвышения
спутника при высоте 450 км показаны на рис. 10.3.
Рефракционная ошибка, вызванная влиянием
быть вычислена по формуле, аналогичной фор-
муле (10.1). Но уравнение траектории волны
примет иной вид:
(по+^о) sin 0о = nR sin 0, tg0 =
= (яо+Ы sin 0o [ («Я)2— (ao+&o)2sin0o]-1/2,
благодаря чему в формуле (10.1) появляется за-
висимость рефракционной ошибки от высоты
ионосферы. На рис. 10.3 показана зависимость
рефракционной ошибки (в угловых секундах),
вызванной ионосферой, в зависимости от угла
Ряс. 10.3. Сопоставление рефракционных ошибок, обуслов-
ленных влиянием тропосферы и ионосферы на волнах ча-
стотой 50, 100, 200 МГц,, в зависимости от угла возвыше-
ния спутника:
ионосферы, может
—— ионосфера,------------тропосфера
возвышения спутника при высоте 450 км. При расчетах взята макси-
мальная электронная плотность ионосферы.
Ошибки, вызванные влиянием тропосферы и ионосферы, соизмери-
мы при частоте 200—300 МГц, на частотах 50—100 МГц тропосферную
рефракцию можно не учитывать, на частотах выше 400 МГц ошибки,
обусловленные влиянием ионосферы, ничтожно малы. Тропосфера и
ионосфера являются статистически неоднородными средами. Флуктуа-
ции коэффициентов преломления этих сред приводят к флуктуациям
угла прихода радиоволн, и поправка на зенитный угол помимо среднего
значения имеет нерегулярную составляющую [17, 18].
При определении расстояния до спутника или космического кораб-
ля радиотехническими методами возникают ошибки, вызываемые тем,
что в атмосфере волна распространяется со скоростью, отличающейся
от скорости света в свободном пространстве. Поскольку тропосфера не
является диспергирующей средой, ошибки, возникающие при определе-
нии расстояний фазовым и импульсным методами, совпадают. Время
R
запаздывания фазы при прохождении пути R равно t= J Ш?/иф(7?) =
о
R	r
= С n(R)dRlc. Эффективное растояние /?Эф=с/= С п(R)dR, а дей-
6	о
R
ствительное расстояние R= j* dR. Ошибка в определении расстояния
6
R	R
^R = R^~R = ^H—\)dR=lQ-^N(R)dR,
о	о
где N(R) —приведенный коэффициент преломления тропосферы. Ошиб-
ка составляет 2—8 м для зенитных углов 0—70° и 30—80 м для зенит-
ных углов 85—89°.
Ошибки в определении расстояния, обусловленные влиянием ионо-
сферы, в случае применения фазового и импульсного методов отличают-
ся только знаком, а по величине они в первом приближении одинаковы.
Действительно, эффективные расстояния при определении их фазовым
и импульсным методами соответственно равны
R	R
R«t,t=c(	(R) = [ (1 - 81^, (R)f-T,/2dR =
о	о
R
= [(1-40,5ж,(7?)/-’)<«,
О
R	R
R,„rp=c CdR?orp(R)= f(1 -81^s(R)f-T,/2« =
О	о
R
== С (1 — 40,5</Гэ(Я)/-а)-М/?,
о
тде учтено, что Тогда ошибки в определении расстояний
364
r
А^Ф=Г(1“40,5Жэ(1?)Г8
о
R
— l)dR = —40,5/"* J^a(R)dR,
О
R	R
ARrp= П(1 — 40,5Жэ (7?) Г5)'1 — 1] dR + 40,5Г8 J (7?) dR.
о	о
Ошибка ARrp вычисляется с учетом того, что член 40,5Лээ(К)?~2<С 1.
Ошибки на частоте 10 МГц при небольших углах возвышения наблю-
даемого объекта могут достигать 2—4 км, а на частоте 1000 МГц они
не превышают 40 м [8, 17].
10.2.4.	В диапазоне метровых и дециметровых волн, особенно на
космических радиолиниях, существенное влияние оказывают космиче-
ские помехи, представляющие собой радиоизлучение, создаваемое вне-
земными источниками. Основным источником радиоизлучения является-
Галактика, создающая фон, на который накладывается излучение мно-
гих дискретных источников (Солнца, планет, звезд), имеющее, однако,
второстепенное значение по сравнению с излучением Галактики, по-
скольку оно создает существенные помехи только в том случае, когда
антенна направлена на источник излучения.
Радиоизлучение Галактики наблюдается во всех направлениях, но
особенно интенсивным оно является в ее экваториальной плоскости
в направлении центра Галактики. Излучение Галактики измерялось
в диапазоне от гектометровых до сантиметровых волн, на основании
чего были построены карты распределения радиоизлучения по небес-
ной сфере. На рис. 10.4 приведена частотная зависимость яркостной
температуры Галактики для участков ее^максимального и минимально-
го излучения. Поскольку помехи Галактики уменьшаются, а помехи
приемника возрастают с повышением частоты, на частотах выше 150—
200 МГц определяющими являются шумы Галактики, а на более низких
частотах — помехи, создаваемые грозовыми разрядами. Уровень галак-
тических помех постоянен, но за счет вращения Земли в данной точке
земной поверхности наблюдается суточное изменение уровня этих помех.
Помехи создаются также излучением атмосферы Земли. На рис. 10.4
представлена частотная зависимость шумовой температуры атмосферы
Земли для различных углов места. На частотах выше 1000 МГц атмо-
сферные шумы преобладают, над галактическими и являются практиче-
ски единственным видом внешних помех.
Рис. 10.4. Частотная зависимость яркостной тем-
пературы помех
Приложение
ФОРЛ1УЛЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
Теорема Остро градского—Гаусса:
(П.1>
где п — внешняя относительно рассматриваемой области нормаль к замкнутой поверх-
ности S, ограничивающей объем V.
Теорема Стокса:
Adi == f rot An dS.
L s
(П.2>
Теорема Грина:
J ut grada2dS = f (HjAuj + gradn, grad«2) dV,
s
I (ai £rad — az £fad ui) dS = I («1Дг/2 — «2A“i) dV,
S	v
где иг и a2 — скалярные поля; S — поверхность, ограничивающая объем V.
Правила вычисления:
• div [А, В] = В rot А — A rot В,	(П.З)
rot rot А — grad div А —у2А,	(П.4)
div grad Ф = ДФ,	(П.5)
rot grad Ф = О,	(П.6)
div rot А О,	(П.7)
div ФА = Ф div А 4- A grad Ф,	(П.8)
rot ФА = Ф rot А + [grad Ф, А].	(П.9)
Прямоугольные" координаты:
с»Ф ’ дФ	дФ
srad«5'=-*T>	гга^ф = 'ЭГ- <пл0>
div А = дкх/дх, 4- дКу/ду 4- дкг/дг,	(П?11)
Г0,.А — ду ja > rot(,A = дг дх , rotjA— дх >— ду , Д (П.12>
ДФ = д2Ф/д№ 4- а2Ф/д1/г 4- д2Ф/^2,	(П.13)
й (р — q) = 3 (х — х') 3 (у — у') 8 (z — z').	(П.14)
Цилиндрические координаты:
с?Ф	1 дФ	^Ф
grad^ = —,Т gradff Ф = —£ГабгФ = ^-,	(П.15)
366
Id. 1 dA
divA==T___(rAr) + —
dA?
dz 1
, , i алг
rotrA= —
dA,
ro4A--dT-
dA^
dr >
1 д .
rotzA = ~ -^г(гАф)
1 dAr
r d<f »
J__d_
r dr
1	d21P	rd2»P
r2	dy2	dz2 ’
5 (р —4) = 8 (Г —г') -у- 3 (у — у') 3 (z — zr).
(П.16)
(П.17)
(П.18)
(П.19)
ДФ =
Сферические координаты:
d’p	1 d4H	1 d’p
grad^^-j^-, grad85> = -s--3r, grad,V^^—(П.20)
div A =	(Я!Ал.)+Лз1пв de (sinSA,) + fisin s	(П.21)
1:	d^	1	d Ag
rot*A = ^sin3“d9" (sin6A) _'On9"d7"’
1 dkR	i d
rot8A-£sin9 dy dR ^Ay)’	(n-22^
If d	1 dA^
rot? A =	(£A0) — -y »
, 1 d / d’p Y, 1 Id / „df \(	1	d2^
A9~^R\^dR' dRj) + #2sin9 s 09 V n 0 d9jJ + R2sin2 Г »	(П*23)
« <p -:?)=»<« -«')	- ®'> -яигв?;«- ?') •	o’. 24)
Разложение вектора А^на составляющие в декартовой, цилиндрической,^ сфериче-
ской системах координат:
А = Ах1х +’А^ +1AZ1Z,
А = Arlr + A^i? 4- Aziz,	(П.25)
A =’Ar 1л + Afl V+Ap *ф.
Связь между" прямоугольными и цилиндрическими (сферическими) составляющими
вектора А:
Ar = Ах cos у 4- Ау sin'y,
А? = — Ах sln у 4- Ау cos у,	(П.26)
•	Az = Az,
Ar = Ах cos у si1 6 4- Ау sln у sin 6 4- Az cos 9,
A0 = Ax cos у cos 6 4- Ay sln у cos 6 — Azsin 6,	(П.27)
AJf== — Ax sin у 4- Ay cos y.
367
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Абрагам-Беккер. Теория электричества: Пер. с нем./ Под ред. Т. П. Кравца.—
М.—Л.: Технико-теоретич. лит., 1939. — 259 с.	'
2.	Баскаков С. И. Основы электродинамики: Учеб, пособие для вузов. — М.: Сов.
радио, 1973. — 348 с.
3.	Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны: Учеб, пособие для вузов. — М.:
Советское радио, 1957. — 581 с.
4.	Вольман В. И., Пименов Ю. В. Техническая электродинамика: Учеб, пособие
для вузов. — М.: Связь, 197'1. — 487 с.
5.	Гольдштейн Л. Д., Зернов Н. В. Электромагнитные поля и волны: Учеб, по-
собие для вузов. — М.: Сов. радио, 1971. — 662 с.
6.	Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произве-
дений: Справочник. — М.: Наука, 1971.— 1108 с.
7.	Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. — М.: Нау-
ка, 1967. — 683 с.
8.	Грудинская Г. П. Распространение радиоволн: Учеб, пособие для вузов.—М.:
Высшая школа, 1975. — 280 с.
9.	Дальнее тропосферное распространение ультракоротких радиоволн/
Н. А. Арманд, Б.ЖА. Введенский, И. А. Гусятинский и др.; Под ред. Б. А. Введен-
ского, М. А. Колосова, А. И. Калинина и др. — М.: Сов. радио, 1965. — 415 с.
10.	Долуханов М. П., Распространение радиоволн: Учебник для вузов. — М,:
Связь, 1972. — 336 с.
11.	Зубкович С. Г. Статистические характеристики радиосигналов, отраженных
от земной поверхности. — М.: Сов. радио, '1968. — 222 с.
12.	Калинин А. И., Черенкова Е. Л. Распространение радиоволн и работа радио-
линий: Учеб, пособие Для вузов. — М.: Связь, 1971. — 439 с.
13.	Каценеленбаум Б. 3. Высокочастотная электродинамика. — М.: Наука,
1966. —240 с.
14.	Кисунько Г. В. Электродинамика полых систем. — Л.: ВКАС, 1949. — 426 с.
15.	Ковалевская Е. М., Керблай Т. С. Расчет расстояния скачка, максимальной
применимой частоты, углов прихода радиоволны с учетом горизонтальной неоднород-
ности ионосферы. — М.: Наука, 1971.— 116 с.
16.	Распространение радиоволн: Сб. статей/ АН ССР. — ИРЭ. — М.: Наука,
1975, —368 с.
17.	Колосов М. А., Арманд Н. А., Яковлев О. И. Распространение радиоволн
при космической связи. — М.: Связь, 1969.— 155 с.
18.	Колосов М. А., Шабельников А. В. Рефракция электромагнитных волн
в атмосферах Земли, Венеры и Марса. — М.: Сов. радио, 1976. — 220 с.
19.	Луи де-Бройль. Электромагнитные волны в волноводах и полых резонаторах:
Пер. с франц./ Под ред. В. Т. Овчарова. — М.: ИЛ, 1948.— 108 с.
20.	Марков Г. Т., Васильев Е. Н. Математические методы прикладной электро-
динамики.— М.: Сов. радио, 1970,— 120 с.— (Современная радиоэлектррника. Б-ка
радиоинженера).
21.	Марков Г. Т, Чаплин А. Ф. Возбуждение электромагнитных волн. — М.:
Энергия, 1967,- 1967.-376 с.
22.	Миказан П. С., Ранкие Г. Ж. Основы электродинамики: Уче.б. пособие для
вузов. — Рига: Звайгзне, 1967. — 257 с.
23.	Никольский В. В. Электродинамика и распространение радиоволн: Учеб, по-
собие для вузов. — М.: Наука, (1973. — 607 с.
24.	Семенов Н. А. Техническая электродинамика.'—М.: Связь, 1973. — 480 с.
368
25.	Смирнов В. И. Курс высшей математики. В 5 т. Т. 3, ч. 2. — М.: Наука,
1974. —672 с.
26.	Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма: Пер. с англ./ Под ред. С. М. Ры-
това. — М.—Л.: Технико-теоретич. лит., 1948. — 540 с.
27.	Тамм И. Е. Основы теории электричества.: Учеб, пособие для вузов. — М..:
Наука, 1966. — 624 с.
28.	Справочник по теоретическим основам радиоэлектроники. В 2-х т. Т. 1./ Под
ред. Б. X. Кривицкого, В. Н. Дулина.—М.: Энергия, 1977. — 504 с.
29.	Фок В. А. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. —
М.: Сов. радио, 1970. — 518 с.
30.	Черный Ф. Б. Распространение радиоволн. — М.: Сов. радио, 1972. — 464 с.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Вектор плотности заряда 6
—	поляризации 93
Волна быстрая 85
—	вырожденная 161
—	высшего типа 143, 148
—	магнитная (Н-волна) 91, 145
—	медленная 82
—	основного типа 143, 148
—	плоская 84
—	поверхностная 82
—	поперечная (Т-волна) 66, 92, 175
—	сферическая 66
—	электрическая (Е-волна) 91, 146
Волновод тропосферный 336
Гельмгольца уравнение 37, 38, 39
Герца вектор 40
Глубина проникновения поля в сре-
ду 68
Гюйгенса принцип 129
---для векторных полей 130
б-функция Дирака 26, 47
Дерихле задача 129
Диаграмма направленности излучате-
ля 65
— обратного рассеяния 316
Диполь Герца 70
Дифракция 223, 267
Длина волны в волноводе 143, 171
-------критическая 144
Задача граничная (краевая) 136
Закон секанса 354
—	электромагнитной индукции 9
Замирание 301, 343
Зоммерфельда условие 121
Зона дальняя 62, 72, 267
—	излучения см зона дальняя
Инверсия температурная 326
Индукция магнитная 7
—	электрическая 8
Интерференция 57
Ионосфера 297, 325, 327
Кирхгофа интеграл 128, 129
Концепция парциальных волн 152
Корню спираль 269
Критерий Релея 316
Коэффициент восприимчивости сре-
ды 15
—	затухания 68
—	отражения 222, 230
---эффективный 315
—	прохождения 228, 230
—	распространения 37
—	удельного поглощения 306
— фазы 66
Лапласа оператор 42, 43
Лоренца лемма 114
— условнее (калибровка) 35
Максвелла система уравнений 11, 13г
27, 33
-------интегральная форма 108
Метод зеркальных изображений 233
Мощность излучения 75
* Напряженность магнитного поля 6
— электрического поля 7	’
Неймана задача 129
Отражение полное 236, 237
Плоскость падения волны 225
— поляризации 93
Плотность тока смещения 13
----стороннего 17, 18
Пойнтинга вектор 21, 31
Показатель преломления 236
----тропосферы 329
Поляризация поля 93, 94
Потенциал магнитный векторный 34
----скалярный 36
— электрический векторный 34
---- скалярный 34
Принцип перестановочной двойственно-
сти 34
— предельного поглощения 122
Проводимость излучения 78
Проницаемость диэлектрическая 27
— магнитная 28
Радиус Земли эквивалентный 334, 335>
Расстояние прямой видимости 3Q7
Резонатор объемный 206	*
— — добротность нагруженная 210
-----собственная 208, 209, 222
-----колебание высшего тиДа 214
----- основное 214, 219
---------- частота резонансная 213, 219, 221
------собственная 207, 208
Рефракция 281, 331
— тропосферная 333, 334, 335, 336
Сверхрефракция 336	**
Скорость групповая 68
—	фазовая 66
Снеллиуса закон 226, 227
Сопротивление взаимное 124
—	излучения 76
—	поверхностное 81
—	характеристическое 64, 147, 176
Стокса формула 10
Стратосфера 297, 325
Температура шумовая 303
Теорема взаимности 123
370
— единственности 127
— Остр огр адского— Гаусса 7
— Умова — Пойнтинга 21, 22, 31
— эквивалентных поверхностных токов
.118
Тропосфера 297, 325
— нормальная 326
Турбулентность среды 326, 330
Угол Брюстера 236
— отражения 226, 279
----- критический 354
— падения 225, 279 '
— полного преломления 236
— преломления 227, 279, 280
Уравнение волновое векторное 35, 36
— непрерывности 7, 27
— состояния 14
— эйконала 275, 276, 331
Условие граничное 109; ПО, 112
-----анизотропное 194
— излучения 120, 121
Формула интерференционная 310
Френеля зона 272
— интеграл 269
— коэффициенты 227, 229
Функция волновая 66
— Грина 50, 53, 55
Характеристика направленности излуча-
теля 64
Частота критическая 144
— отражения критическая 355
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие................................................. 3
Часть 1.
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Глава 1. Система уравнений электродинамики	.	5
1.1.	Векторы электромагнитного поля .	..................... 5
1.2.	Основные уравнения электродинамики...............................	9
1.3.	Материальные уравнения..............................................14
1.4.	Источники	электромагнитного поля....................................16
1.5.	Уравнение	баланса энергии электромагнитного поля....................19
1.6.	Метод комплексных амплитуд. Монохроматические электромагнитные
поля......................................................................25
1.7.	Уравнение	баланса энергии для комплексных амплитуд..................29
1.8.	Уравнения	Максвелла при наличии электрических и	магнитных токов 32
1.9.	Электродинамические потенциалы для мгновенных значений поля. Вол-
новые уравнения...........................................................35
1.10.	Электродинамические потенциалы для комплексных амплитуд поля
Уравнения Гельмгольца .................................................... 37
1Л1. Уравнения электростатики, магнитостатики и стационарных токов
Уравнения квазистационарных токов ....	*...................40
Задачи .............................................................  з	41
Глава 2. Излучение электромагнитных волн в неограниченном пространстве .	44
2.1.	О постановке задач возбуждения поля.................................44
2.2.	Возбуждение электромагнитного поля в неограниченном однородном
пространстве ............................................................ 46
2	3. Функция Грина неограниченного трехмерного пространства ....	51
2.4.	Представление функции Грина в декартовой и цилиндрической систе-
мах координат.............................................................53
2	5. Точечные источники и уравнение для функции Грина...................56
2.6.	Линейные излучатели. Общие выражения поля, возбуждаемого прямо-
линейными излучателями....................................................58
2,7.	Поле прямолинейных излучателей на	больших	расстояниях ....	62
2.8.	Сферическая волна...................................................65
2.9.	Элементарный электрический вибратор................................ 70
2.10.	Излучение элементарного магнитного	вибратора........................76
2.11.	Электромагнитное поле бесконечного поверхностного распределения
электрического тока........................................................78
2.12.	Электромагнитное поле бесконечного поверхностного распределения
магнитного тока...............................................  .	.	.	87
2.13.	Наложение поля двух плоских листов тока............................ 92
2.14.	Электромагнитное поле бесконечно протяженного линейного электриче- *
ского тока. Цилиндрическая волна..........................................-95
2.15.	Электромагнитное поле бесконечно протяженного линейного магнит-
ного тока.................................................................101
2.16.	Электростатические поля. Поле стационарного	тока ...................ЮЗ
Задачи ...............................................'.................106-
Глава 3. Основные принципы и теоремы электродинамики....................... 107
3.1.	Граничные условия электродинамики. Поля на границах раздела сред 107
3.2.	Лемма Лоренца.......................................................ИЗ
3.3.	Интегральные соотношения для полей. Теорема эквивалентных поверх-
ностных токов.............................................  ,	.	.	. П5
3.4.	Условия излучения..................................................119
372
3.5.	Теорема взаимности...................................................
3.6.	Теоремы	единственности решений уравнений Максвелла .	.	.	. ’	125
3.7.	Принцип	Гюйгенса и интеграл Кирхгофа.............................128
3.8.	Приближенные граничные условия...............................131
Задачи ..........................................................*	132
Глава 4. Электромагнитные волны в направляющих системах..................133.
'4.1. Общие сведения о направляющих системах.........................133.
4.2.	Прямоугольный волновод. Граничные задачи для векторных потенциа-
лов. Решения граничных задач........................................134
4.3.	Свойства электромагнитного поля в прямоугольном	волноводе	...	141
4.4.	Волна типа Hi0 .в прямоугольном волноводе....................147
4.5.	Электромагнитное поле в направляющей системе.................154
4.6.	Возбуждение прямоугольного волновода прямолинейным магнитным
излучателем......................................................161
4.7.	Возбуждение круглого волновода. Электрические и	магнитные волны	165
4.8.	Коаксиальная линия. Полосковые волноводы.....................173
4.9.	Поверхностные волны над слоем диэлектрика на металле .	...	178
4.10.	Поверхностные волны над ребристой структурой	......	188
4.11.	Спиральный волновод..........................................192
4.12.	Понятие о квазиоптических направляющих системах..............198
4.13.	Затухание волн в направляющих системах. Приближенный учет потерь
в стенках волноводов...................................................  199’
Задачи ................................................................205
Глава 5. Электромагнитное поле в	резонаторах........................... 206-
5.1.	Общие сведения о резонаторах. Определения....................206
5.2.	Добротность объемного резонатора.............................207
5.3.	Прямоугольный резонатор......................................210
5.4.	Цилиндрический резонатор.....................................216
5.5.	Коаксиальный резонатор.......................................221
Задачи ...............................................................  222
Глава 6. Граничные задачи электродинамики. Дифракция электромагнитных
волн.................................................................222
6	1. Общая характеристика задачи дифракции............................222
6.2.	Падение плоской волны на плоскую границу	раздела	двух	сред	.	.	224
6.3.	Возбужение нитью тока плоской границы раздела	двух	сред	.	.	.	230
6	4. Полное преломление и отражение волн..............................236
6.5.	Возбуждение нитью тока кругового цилиндра.........................241
6	6. Возбуждение идеально проводящего клина. Дифракция на полу-
плоскости .............................................................251
6.7.	Отверстие в экране. Характеристики	направленности....... 260*
6.8.	Зоны Френеля. Область пространства, существенная при распростране-
нии волн ..............................................................267
6.9.	Краткие сведения о методах решения	задач электродинамики .	.	.	273
6.10.	Метод геометрической оптики..................................275
6.11.	Метод физической оптики......................................282
6.12.	Понятие о геометрической теории дифракции.................	.	283
6.13.	Интегральные уравнения электродинамических задач и системы линеййых
алгебраических уравнений...........................................285
6.14.	Возбуждение периодической решетки............................290
Задачи ..............................................................294
Часть II.
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
Глава- 7. Общие вопросы распространения радиоволн......................... 296
7.1. Классификация радиоволн по диапазонам частот и способу распро-
странения .......................................................296
7.2. Распространение радиоволн в свободном пространстве..............298
7 3. Влияние среды на характеристики передаваемых сигналов ....	300
7.4. Влияние помех на работу радиолинии......................... 303
37 а
Глава. 8. Распространение земных радиоволн..................................304
8.1.	Простейшие модели радиотрасс, проходящих вблизи поверхности
Земли ..................................................................304
8.2.	Поле излучателя, поднятого над земной поверхностью ......	308
8.3.	Распространение радиоволн над неровной поверхностью Земли ’ при
антеннах, поднятых высоко над поверхностью..............................315
8.4.	Поле вертикального электрического вибратора, расположенного вблизи
земной поверхности......................................................317
8.5.	Расчет напряженности поля в зоне тени..............................323
Глава 9. Атмосфера и ее влияние на распространение радиоволн ....	325
9.1.	Состав и строение атмосферы...............................• . .	325
9.2.	Диэлектрическая проницаемость и показатель преломления тропосферы 328
9.3.	Рефракция радиоволн в тропосфере	д..................331
9.4.	Отражение и рассеяние радиоволн на неоднородностях' тропосферы	.	337
9.5.	Поглощение радиоволн в тропосфере .	...	,...............345
9.6.	Электрические параметры ионизированного газа и коэффициент распро-
странения волн..........................................................346
9.7.	Влияние постоянного магнитного поля на электрические параметры*
ионизированного газа................................................... 350
9.8.	Траектории радиоволн	в	ионосфере	.	  352
9.9.	Методы экспериментального	исследования ионосферы...................357
Глава 10. Распространение декаметровых и более коротких волн ....	359
10.1. Особенности распространения декаметровых волн......................339
10.2 Распространение, дециметровых и сантиметровых радиоволн на космиче-
ских радиолиниях [8].................................................361
Приложение. Формулы векторного	анализа............................366
Список литературы...........................................................369
Предметный указатель , ...................................................  370
ИБ № 269
Григорий Тимофеевич Марков
Борис Михайлович Петров
Галина Петровна Грудинская
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН
Редактор Е. В. Вязова
Художественный редактор Н. А. Игнатьев
Переплет художника О. В. Камаева
Технический редактор Г. 3. Кузнецова
Корректор 3. Г. Галушкина
Сдано в набор 04.04.79 Подписано в печать 22.08.79	Т-15727
Формат 70X100/16 Бумага типографская № 3	Гарнитура литер. Печать высок i я
Объем 30,55 усл. п. л. 29,09 уч-язд. л.	Тираж 19 000 экз.
Зак. 116 Цена 1 р. 20 к.
Издательство «Советское радио», Москва, Главпочтамт, а/я 693
Московская типография № 10 «Союзполиграфпрома» Государственного Комитета СССР по делам
издательств, полиграфии'и книжной торговли. Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10