А. r. Мерзляк,
В. Б. Полонекий,
Е. М. Рабинович,
М. С. Якир


СБОРНИК


...,
задач и задании
ДЛЯ тематическоrо оценивания
по rеометрии для 7 класса


rI
 .


Харьков
«rимназия»
2010




УДК 373:513
БВК 22.151я721
.М52


МерЗJIJIК А. 1'., ПОJlОНСКИЙ В. Б., Рабинович Е. М., .якир М. С.
М52 Сборник задач и заданий для тематическоro оценивания по
rеометрии ДJIЯ 7 Класса........ Х.: rИNназии, 2010. ....... 112 С.: илл.
ISBN 978-966-8319-78-5.


Пособие представляет собой дидактический Nатериал по reoNетрии
для 7 класса общеобразовательных учебных заведений. Книrа является
составной частью учеБНО-Nетодическоrо комппеНТ8 и соответствует учеб-
нику по rеометрии дли 7 НЛRсса (авторы А. {'. Мерзляк. В. Б. Поповский,
М. С. Якир). Пособие содержит OKO
O 1000 З8дач. Первая часть .Треииро-
вочные упражнения t разделена нв четыре однотипных варианта по 230 за-
дач в каждом. Вторая часть содержит два варианта эадан"й для теМRтиче-
CKOro оцеНИВ8НИЯ учебных достижений учащихся ПО 12-бал.льной шкале
в соответствии с действующей проrраМNОЙ по Nвтематине.
Для учитеJIей общеобраЭОВ8'1'еJfЬНЫХ учебных заведений, учаЩИХСR
7 KJlaCCOB и их родитеJlей.


УДК 373:513
ББК 22.151в721


ISBN 978-966-8319-78-5


@ А. r. МеРЗJlЯН, В. Б. Полонский,
Е. М. Рабинович, М. с. Янир, 2007
@ 000 ТО .rимназиgt, ориrииал-макет, 2007




ОТ АВТОРОВ
УчеНlIкаl\l
Дороrие дети! Вы начинаете захватываЮlцее путешествие
по волшебной стране rеометрия. Mhl надеемся, что
путеводитель, который вы держите в руках, поведет вас за
собой к удивитеЛЪНЫf\f открытиям, приключениям и победам.
Учителю
Мы очень надеемся, что, приобретя эту книry не только
для себя, а и «на класс», Вы не пожалеете.. Даже если Вам
повезло и Вы работаете по учебнику, который нравится, все
равно задач, как и денеr, бывает либо мало, либо совсем мало.
Мы надеемся, что это пособие поможет ликвидировать
«задачный дефицит».
Первая час.ть  «Тренировочные упражнения» 
разделена на четыре ОДНОТИПНblХ варианта по 230 задач в
каждОМ. На стр.5 приведена таблица тематическоrо
распределения тренировочных упражнений. Этот материал
можно использовать для работы в классе и дома, а также при
составлении самостоятельных проверочных работ.
Вторая часть пособия содержит задания для тема..
тическоrо оценивания знаний учащихся (два варианта).
Содержимое заданий разделено условно на две части:
Первая соответствует начальному и среднему уровням
учебных достижений. Задания этой части обозначены сим..
вол о I\f пО (п  номер задания). Вторая часть соответствует
достаточному и высокому уровням. Задания каждоrо из этих
уровней обозначены СИ1\fволами n. и n.. соответственно.

4
Выполнение первой части маКСИМ8JlЬНО оценивается 8 шесть
баллов. Правильно решенные задачи уровня n8 добавляют еще
4 балл то есть ученик может получить отличную оценку
10 баллов. Если ученику удалось еще решить задачу n.., то он
получает оценку 12 баллов.
Родителям
Можно ли научить собственноrо ребенка решать задачи,
не будучи учителем? Несомненно! для этоrо нужно иметь
пособие, в котором MHoro однотипных упражнений. В этой
книrе их более 900, причем ДЛЯ каждой задачи приведено не
менее трех аналоrичных.
Желаем вам творческоrо ЭН1)'Зиазма и терпения...

Тренировочные упражнения
5
Тематическое распределение тренировочных упражнений
Номера
Тема упражне..
w
нии
Простейшие rеометрические фиryры и их 1 44
свойства
Смежные и вертикальные уrлы 45  66
Перпендикулярные прямые 67  72
Равные треуrольники. Периметр треуrольника 73  76
Первый и второй признаки равенства 77  92
треуrольников
Равнобедренный треуrольник и ero свойства 93  105
Признаки равнобедренноrо треуrольника 106  109
Третий признак равенства треуrольников 110115
МетОД доказательства от противноrо 116; 117
Параллельные прямые 118  122
Признаки параллельности двух прямых 123  127
Свойства параллельных прямых 128  13 1
Сумма уrлов треуrольника 132  152
Внешний уrол треуrольника 153  162
Прямоуrольный треуrольник 163  1 72
Свойства прямоуrольноrо треуrольника 1 73  1 77
Окружность. Некоторые свойства окружности 178  189
Касательная к окружности 190  194
Описанная и вписанная окружности 195197
треуrольника
Взаимное расположение двух окружностей 198 202
Задачи на построение 203  230

6
Тренировочные упражнения
1.
ТРЕНИРОВОЧНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ
Вариант 1
Простейшие rеометричсские фиryры и их свойства
Проведите прямую Ь и отметьте на ней точку с. Отметьте
точку D, не принадлежащую прямой Ь, и проведите прямую
CD. Moryт ли прямые Ь и CD Иl\lеть еще одну общую точку?
О1'вет обоснуйте.
Отметьте в тетради четыре точки М, F,
р и К (рис.!). Через каждые две точки
проведите прямую. ЗаПИIlfите все полу
ченные прямые.
OrMeTbTe в тетради точки К, Т и L так,
чтобы через них tожно бьто провести
прямую. Запишите все возможные на..
звания этой прямой.
Пользуясь рисунком 2:
1) определите, пересекаются ли прямые МК и а;
2) запишите все точки, принадлежащие прямой а; пря
мой МК;
3) запишите точки, не принадлежащие ни прямой а, ни пря
мой МК.
М
2.
.К
м.
.р
3.
F.
Рис. 1
4.
.Q
L К
Р F
. .
р
а
. .
L.
.
F'
.N
Рис. 2
Рис. 3
5. Какие из точек, отмеченных на рисунке 3, лежат между дву"
мя друrими? Для каЖДОl'О случая запишите соответствую..
щее равенство, которое следует из OCHOBHoro свойства
измерения отрезков.
6. Назовите все отрезки, изображенные на рисунке 4.
в А С Е р
. ".
. D
а)
б)
Рис, 4

Вариант 1
7
7. Точка D лежит между точками К и F. Найдите неизвестное
третье расстояние между данными точками, если:
1) КD = 2,7 см, DF = 11,6 см;
2) DK =  ДМ, КF = 4 ДМ.
8. Может ли точка А лежать между точкаи В и С, если
АВ = 3,6 см, ве = 8,3 СМ, АС = 4,7 см? Ответ обоснуйте.
9. Точка М принадлежит отрезку КБ, длина KOToporo равна
9 СМ. Определите длины отрезков МК и КЕ, если:
1) длина отрезка МК на 0,6 см меньше длины отрезка МЕ;
2) длина отрезка МК в 3 раза больше длины отрезка МЕ;
З) разность длин отрезков МЕ и МК равна 1,6 CI\f;
4) ](М: МВ = 2 : 7 .
10. На прямой последовательно отмечены точки А.. В, С и D,
АС = 8 см, BD = 6 см, ВС = 3 СМ. Найдите AD.
11. На прямой последовательно отмечены точки L, К, Р, F, Е
так, что LK = КР = PF = FE = 2 СМ. Какие ell\e равные
отрезки о'пределяются этими точками? Запишите эти отрез..
ки и найдите их длины.
12. Точка Р лежит между точками М и F, точки Е и N 
середины отрезков мр и PF соответственно. Найдите длину
отрезка MF, если EN = 4,7 СМ.
13. Отрезок длиной 1 О см состоит из четырех неравных частей.
Расстояние между серединами средних частей равно' 3 СМ.
Найдите расстояние между серединами крайних частей.
14. Точки А, В и С лежат на ОДНОЙ прямой. Iiайдите расстояние
между точками В и С, если АВ = 2,7 см, А С = 6,4 СМ.
Сколько решений имеет задача?
15. Отрезки МТ и FK равны (рис.5). 14
Докажите, что MF = ТК .
16. Длина отрезка MN равна 9,4 см.
Отметьте на ПРЯМОЙ MN такую
точку Р, что МР  PN = 3 см. Сколько
задача?
F
.
т
.
к
.
Рис. 5
решений имеет

8 Тренировочные упражнения
17. Точки Е, F, К и р лежат на ОДНОЙ прямой, точка F лежит
между точками Е и К. Найдите длину отрезка FP, если
EF = 4 см, ЕК = 11 см, КР = 14 см. Рассмотрите все воз..
можные случаи.
18. Длина отрезка CD равна 11 см. Найдите на прямой CD все
точки, для которых сумма расстояний ДО концов отрезка CD
равна: 1) 11 см; 2) 14 см; З) 9 см.
19. Пересекаются ли изображенные на рисунке 6:
1) прямая DE и отрезок АВ;
2) луч ОС и отрезок АВ;
3) луч ОС и прямая DE?
D
Е
А
oB
Рис. б
Рис. 7
10. На рисунке 7 прямые LM и CD пересекаются с прямой FK в
точках Р и В соответственно.
1) Запишите все образовавшиеся лучи с началом в точке В.
2) Запишите пары дополнитеЛЬНbIХ лучей, начало КОТОРЫХ
 точка Р.
11. Сколько различны
x лучей определяется тремя'.точками М, К
и Е, принадлежащими одной прямой?
12. О1'метьте точки L, F, Т и К так, чтобы луч LF пересекал
прямую ТК, а луч ТК не пересекал прямую LF.
13.
Проведите прямую АВ и отметьте на
ней точки D и Е. Запишите все лучи,
имеющие начало в точках D и Е. На..
зовите пары дополнительных лу.чей.
Из приведенных обозначений выпи.. о
шите все возможные названия уrла с
вершиной О (рис. В): СОМ; DME;
DOE; CED; C140; EDO; СОЕ; OMD; MOD; DEO.
14.
м
Рис. 8
Е

9
Вариант 1
25. Назовите все уrлы, изображенные на рисунке 9.
м
к
р
F
т
А О В

б)
Рис. 9
26. Начертите уrол MOF и проведите два луча ОК и ОР между
ero сторонами. Запишите все образовавшиеся уrлы.
27. Пользуясь транспортиром, надите rрадусную меру уrлов,
изображенных на рисунке 10. Определите вид каждоrо уrла.
а)
Е
К
F
Рис. 1 О
в)
т
D
28. Начертите уrол, rрадусная мера KOToporo равна: 1) 730;
2) 91 о; 3) 900; 4) 1520. Определите вид каждоrо уrла.
29. Постройте тупой уrол АОВ. Пользуясь транспортиром, раз..
делите ero на две равные части.
30. Луч AD проходит между сторонами уrла САЕ. Найдите
rрадусную меру уrла САЕ, если L.CAD = 390, LDAE = 63 о .
31. Проходит ли луч OD между сторонами уrла FOE, если
LFOE = 850, L.DOF = 870? Ответ обоснуйте.
32. Луч BD проходит между сторонами уrла АВС. Найдите уrол
DBC, если L.ABC = 63 о, L.ABD = 51 о .
33. Лучи DC и DK проходят между сторонами уrла MDL.
Найдите уrол MDC, если LMDL = 950, LCDK = 430 ,
LКDL=280.
34. Луч ОА проходит между сторонами уrла COD, paBHoro 870.
Найдите уrлы СОА и AOD, если уrол СОА меньше уrла
AOD на 290.

10
Тренировочные упражнения
35. Уrол EDN равен 112°. Луч DA проходит между ero сторо"
нами. Найдите уrлы EDA и NDA, если уrол EDA меньше
уrла NDA в 6 раз.
36. На рисунке 11 L РОТ = 78°, L FOL = 52°, L POF = 39°.
Найдите уrол TOL.
р
о
А
L
Рис. 1/
37. На рисунке 12 LCAE=78°,
Найдите уrол ВАЕ.
38. Развернутый уrол разделили на два уrла, один из которых
на 340 больше BToporo. Найдите образовавшиеся уrлы.
39. Прямой уrол разделили на 3 уrла, rрадусные меры которых
относятся как 2 : 3 : 5. Найдите величины этих уrлов.
40. Луч DC проходит между сторонами уrла ADK. Луч DM 
биссектриса уrла ADC, луч DP  биссектриса уrла CDK.
Найдите уrол АпК, если LМDP = 820.
41. Уrлы FOK и МОЕ равны (рис.1З). Докажите, что уrлы РОМ
и КОЕ также равны.
F
Е
Рис. 12
L BAD = 63°, LCAD = 480.
о
F
с
Е
Рис. 1 3
42. На рисунке 14 LDCE = L-KCP,
что LECF = ОСК.
43. Уrол между биссектрисой уrла и продолжением одной из
ero сторон равен 1240. Найдите данный уrол.
44. Какой уrол образует биссктриса уrла, paBHoro 540, с
продолжением одной из ero сторон?
р
Рис. 14
LDCF = LFCP. Докажите,

Вариант 1
11
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
Смежные н вертикальные уrлы
Moryт ли два смежных уrла быть равными: 1) 360 и 1540;
2) 590 и 121 о; 3) 930 и 770? О1'вет обоснуйте.
Найдите уrол, смежный с уrлом: р
1) 190; 2) 830; 3) 900; 4) 940; 5) 1560.
Может ли пара смежных уrлов СОСТО"
ять из oCTporo и прямоrо уrлов? Ответ М
обоснуйте.
Являются ли смежными уrлы РАК и
КАЕ (рис.15)? Запишите все пары
смежных уrлов, изображеННblХ на рисунке.
Уrол МРЕ меньше уrла LTF. Какому из уrлов соответствует
меньший смежный уrол? О1'вет обоснуйте.
Найдите смежные уrлы, если один из них на 380 больше
друrоrо.
Один из смежных уrлов в 5 раз больше друrоrо. Найдите
эти уrЛbl.
Найдите смежные уrлы, если их rрадусмые меры относятся
как 5 : 7.
Два уrла относятся как 1 : 3, а смежные с ними  как 4 : 3.
Найдите данные уrлы.
На рисунке 16 уrол АОВ равен 370. Найдите уrлы AOD,
DOC, вос.
А
к
с
Рис. 16
Рис. 17
Е
Рис. 1 5
L
Рис. /8
55. Верно ли утверждение, что для каждоrо уrла можно постро"
ить только один: 1) вертикальный уrол; 2) смежный уrол?
56. На рисунке 17 L-PMF = 320, LTMQ = 870. Найдите
уrол КМR.
57. На рисунке 18 LEAL + LLAD + LFAD = 2900. Найдите уrлы
ЕАFиFАD.

12 ТреНИРОБОLJные упражнения
.
58. ОДИН из уrлов, образоваВIUИХСЯ при пересечении двух пря..
мых, на 500 меньше друrоrо. Найдите эти уrлы.
59. Один из УI"ЛОВ, образовавшихся при пересечении двух пря..
МЫХ, В 4 раза больше друrоrо. Найдите 3ТН уrлы.
60. Найдите величину каждоrо из уrлов, образовавшихся при
пересечении двух прямых, если:
1) сумма двух из них равна 980;
2) разность двух из них равна 58°;
З) все уrлы равны между собой;
4) сумма трех из них равна 2860,
61. Разность между двумя смежными уrлами равна меньшему
из них. Найдите эти уrлы.
62. Три прямые пересекаются в одной точке (рис. 19). Найдите
уrол 1, если L2 + L3 = 1420.
Рис. 19
63. На рисунке 20 LCEF = LEFB. Докажите, что L-CEH =
= LQFB.
64. На рисунке 20 LFED = LQFB. Дo
кажите, что L.AFE + L CEF = 1800.
65. Прямые AD, ЕЕ и СР пересекаются
в точке О, причем луч ОБ 
биссектриса уrла FOD (рис.21),
LFOE = 420. Найдите LBOD.
66. Найдите смежные уrлы DOF и EOF,
если биссектриса уrла DOF образует
с лучом ОЕ уrол, который больше уrла FOE на 200.
Перпендикулярные прямые
67. Проведите прямую d и отметьте точку К, не принадле..
жащую d. С IIОМОЩЪЮ :-черte'iКАоrа' уrоJtБника I1роведите
через точку К прямую, перпендикулярную прямой d.
.А
с
Q
в
D
н
Рис. 20
А
D

Вариант 1
68.
72. Как, используя шаблон уrла в 15°, построить перпендику..
лярные прямые?
Равные треуrольиики. Периметр треуrольиика
73. Укажите все треуrольники, изобра..
женные на рисунке 23, ОДНОЙ из
вершин которых является точка А.
74. Треуrольники АВС и DEF равны,
причем уrлы А и D, В и Е СООТ..
ветственные.
1) Найдите сторону ВС и уrол С,
если EF = 14 см, а LF = 430.
2) Moryr ли в треуrольнике АВС быть равными стороны АВ
и АС, если все СТОРОНЫ треуrольника DEF разной длины?
75. Одна сторона треуrольника равна 24 см, вторая сторона на
18 см больше первой, а третья сторона в 2 раза меньше
второй. Найдите периметр треуrольника.
76. Одна сторона треуrольника на 41 см меньше второй и в
4 раза меньше третьей. Найдите стороны треуrольника, если
ero периметр равен 107 см.
Первый и второй признаки равенства треуrОЛЬВllКОВ
" , ,. ). .
77. Отрезки AF и DE пересекаютя.в roчке В так, что АВ = BD,
FB = ВЕ . Докажите равенство треуrольников АВЕ и DBF.
69.
70.
71.
Про ведите прямую п и отметьте точку А, принадлежащую
ей. Проведите через точку А прямую, перпендикулярную
прямой п, пользуясь чертежным уrольником.
На рисунке 22 LКМD = LEMF t D
LDME = LFMP. Докажите, что
DM 1. .'vfF.
Уrлы МКР и NКP прямые. Дока..
жите, что точки М, К и N лежат на
одной прямой.
На прямой DE между точками D и
Е выбрали точку F. Точка L не
принадлежит прямой DE. Докажите, что если
LDFL = L-EFL, то DE ..L FL.
13
Е
к
м
Рис. 22
р
А
МК
Рис. 23
с

14
Тренировочные упражнения
78. Докажите равенство треуrольников ABF и ADF (рис.24),
если АВ = AD, LBAF = LDAF.
А
А
F
D
Рис. 24
Рис. 25
А
с
Рис. 26
79. Докажите равенство треуrольников COD и AOD (рис.25),
если АО=ОС и BO=OD.
80. Докажите равенство отрезков АВ и DC (рис. 26), если
ВС = AD, LDAC = LBCA.
81. Orpезки AD и ВС пересекаются в точке О так, что АО = OD
и СО = ОВ . Найдите уrол ВАО, если LCDO = 340.
82. На стороне DF треуrольника DEF отметили такую ТОЧКУ Р,
что DP = PF . На луче ЕР от точки Р отложили отрезок РК,
равный РЕ. Докажите равенство треуrольников DPK и EPF.
83. В треуrольнике EFK EF = ЕК. Точки М и N  середины
сторон EF и ЕК соответственно. Докажите, что FN = км.
84. В треуrольнике АВС (АВ = ВС)
на сторонах АВ и ве отложены
равные отрезки АМ и CN
соответственно. Докажите, что
AN = СМ.
в
85. Отрезки АВ и CD пересекаются в
точке F. Известно, что АР = FB ,
LABC = LBAD. Докажите, что
треуrольники AFD и ВРС равны.
86. Докажите равенство треyrольников АВС и ,DEC (рис.27),
если АС = CD и LMAF = LTDK .

Вариант 1
15
87. Докажите равенство треуrольников АпМ и AFE (рис.28),
если АМ =АЕ и LDMA=LFEA.
С
91.
92.
93.
94.
95.
96.
На биссектрисе уrла О отметили точку Р, а на сторонах
этоrо уrла  такие точки D и Е, что LOFD = LOFE.
Докажите, что OD = ОЕ .
Высота треуrольника АВС, про..
веденная из вершины В, обра..
зует со сторонами ВА и не
равные уrлы. Докажите, что
L-BAC = LВCA .
На рисунке 30 АЕ = DC , А
LВDE = L-BED, LA = LC. ДО..
кажите, что LABD = LCBE.
Докажите равенство треуrольников по уrлу, биссектрисе
этоrо уrла и уrлам, которые она образует с противопо"
'" tJ
ложнои сторонои.
Равнобедренный треуrольниlC и ero свойства
Найдите периметр равнобедренноrо треуrольника, основа..
нне KOToporo равно 9 см, а боковая сторона  7 СМ.
Пери метр равнобедренноrо треуrольника равен 19 см, а
основание  7 СМ. Найдите боковые стороны.
Периметр paBHocTopoHHero треуrольника равен 24 см. На
ero стороне построили равнобедренный треуrолъник, пери..
метр KOToporo равен 36 см. Найдите стороны равно..
бедренноrо треуrольника.
Найдите стороны равнобедренноrо треуrольника, если ero
периметр равен 28 см, а основание на 8 см меньше боковой
стороны.
м
Е
Рис. 28
88. Докажите равенство уrлов С
L-CDB = LFBD и LCBD = LFDH.
89.
90.
F
в
Рис: 29
и F (рис. 29),
если
с
D Е
Рис. 30

16
ТреНИРОВОЧНblе упражнения
97. Найдите сторонЬ! равнобедренноrо
треуrольника, если ero периметр равен
84 см, а основание в 3 раза меньше
боковой стороны.
98. На рисунке 3 1 АВ = ВС . Докажите,
что L1 = L2 ,
99. О1'резок BD является высотой
равнобедренноrо треуrольника АВС
(АВ = ВС), LABD = 340, AD = 8 см. Найдите уrлы DBC,
АВС и основание АС.
100. В треуrольнике DEF DE = EF. Найдите периметр тре..
уrольника DEF, если длина высоты Ей равна 8 см, а
периметр треуrольника DEO  43 СМ.
101. В равнобедренном треуrольнике АВС АВ = ВС = 18 см.
Серединный перпендикуляр стороны АВ пересекает сторону
ВС в точке Е (рис. 32). Найдите АС, если периметр
треуrольника АЕС равен 27 см.
В
А
с
D
Рис. 31
F
Рис. 32 Рис. 33
102. В равнобедренном треуrольнике DEF (DF = EF) на
сторонах DF и EF отложены равные отрезки FM и FK
(рис.33). Докажите,! что LDME = тКЕ.
103. Стороны paBHOCTopOHHero тре..
уrольника АВС продлили на
равные отрезки АА., ВВ) и
СС. (рис. 34). Докажите, что
.. треуrольник A.Bl С)  равно..
сторонний.
104. Докажите, что в равнобед..
ренном треуrольнике медианы,
проведенные к боковым сторонам, равны.
Al
C1
Рис. 34

Вариант 1
17
105. Докажите равенство равнобедренных треуrольников по
высоте, проведенной к боковой стороне, и уrлу, который эта
высота образует со второй боковой стороной.
Признаки равнобедренноrо треуrольника
106. На рисунке 35 Ll = L2. Докажите,
что АВ=ВС.
107.На медиане ВА/ равнобедренноrо
треуrольника АВС с основанием АС
отметили точку о. Докажите, что тре..
уrольник АОС равнобедренный.
108. На рисунке 36 LABD = LADB,
LCBD = LCDB. Докажите, что МВС = MDC.
В С А
D
Рис. 36
109. На рисунке 37 LOAC = LOCA, LAOB = L-COB. Докажите,
что треуrольник АВС  равнобедренный.
Третий признак равенства треуrольников
110. На рисунке 38 AD = АК, CD = СК. Докажите, что
MDC=MKC.
111. На рисунке 39 АК = АМ, СК = СМ. Докажите, что
КО = ОМ.
D К
к м м
Рис. 38 Рис. 39 Рис. 40
112. На рисунке 40 DM = DE, РМ = РЕ. Докажите, что луч DF
 биссектриса уrла A/DE.
А
А
А
с
Рис. 35
в

18
Тренировочные упражнения
113. На медиане ЕК треуrольника DEF отметили точку Р:
Известно, что точка Р равноудалена от точек D и Р.
Докажите, что треуrольник DEF  равнобедренный.
114. Точки М и N лежат в одной полуплоскости относительно
прямой т. На прямой т отметили такие точки Е и К, что
МЕ = NK и МК = NE. Докажите, что LMEN = L-MКN.
115. Докажите равенство равнобедренных треуrольников по
боковой стороне и медиане, проведенной к ней.
Метод доказательства от ПРОТИВRоrо
116. Докажите от противноrо, что из двух смежных уrлов хотя
бы один не больше, чем 900.
117. Докажите от np<rnlBHOro, что если биссектрисы уrлов АОВ
и COD не лежат на одной прямой, то эти уrлы не являются
вертикальными.
Параллельные прямые
118. Проведите прямую k и отметьте точку В, не принадле..
жащую ей. Проведите через точку В прямую, параллельную
прямой k.
119. На рисунке 41 изображены две пере..
секающиеся прямые k и р и точка О, не
принадлежащая ни одной ИЗ них. Про..
о.
ведите через точку О прямые, парал..
лельные прямым k ир.
120. Начертите остроуrольный треуrолыIкK
и через каждую еаО вершину проведите
. прямую, параллельную противоположной стороне.
121. Прямая Ь параллельна стороне КР треуrольника LКP.
Может ли прямая Ь быть параллельной сторонам LK и LP?
О1'вет обоснуйте.
122. Докажите от противноrо, что если прямые а и Ь пере..
секаются и прямая а параллельна прямой т, то прямые h и
m пересекаются.
Признаки параЛЛeJIЬRОСТИ двух прямых
123. На рисунке 42 укажите все пары разносторонних, односто..
ронних и соответственных уrлов.
124. Параллельны ли прямые а и Ь на рисунке 43?
Рис. 4/

Вариант 1
19
125. На рисунке 44 LCAK = LКAB, LABK = LKBD. Известно,
что LКAB + LABK = 900. Докажите, что АС 11 BD.
126. На рисунке 45 Ll = L2. Докажите, что прямые а и Ь
параллельны.
А
Рис. 42
Рис. 44
с
а
1
D
Рис. 45
ь
Рис. 43
м
s
а
Р N
Рис. 46
127. На рисунке 46 точка К  середина отрезков МN и SP.
Докажите, что прямые MS и PN параллельны.
Свойства параллеJlЬИЫХ прямых
128. Через вершину А треуrольника АВС проведена прямая,
параллельная стороне вс. Найдите уrол АВС, если
LC = 900, LBAC = 360.
129. На рисунке 47 найдите rpадусную меру уrла х.
х
а)
6)
Рис. 47
в)

20
Тренировочные упражнения
130. На рисунке 48 АС 11 DB и СО = OD. Докажите, что
.мое = blJOD.
1100
D D Е
Рис. 48 Рис. 49
131. На рисунке 49 АВ 11 DE. Найдите rpадусную l\fepy уrла BCD,
если аве = 150°, LCDE = 110°.
Сумма уrлов треуrОЛЬRика
132. Существует ли треyrольник с уrлами 400, 800 и 500?
133. Найдите третий yrол треуrольника, если два ero yrла
равны: 1) 530 и 620; 2) 320 и 1410; 23) 40 и 10.
134. Уrол при вершине равнобедренноro треУIольника равен
480. Найдите уrлы при основании.
135. Уrол при основании равно6едренноrо треуrольника равен
720. Найдите уrол при вершине.
136. Найдите неизвестные уrлы треуrольника АВС (рис. 50).
1360 В
А
А
а)
с
А
с
А
с
с
б)
Рис. 50
в)
137. Найдите неизвестные уrлы треуrольника АВС (рис. 51).
в
а)
C
А В
б)
Рис. 51
в

А С
в)

Вариант 1
21
138. Найдите уrлы треуrольника DEF, если LD + LE = 700,
LE + LF = 150°.
139. Найдите уrлы равнобедренноrо треуrольника, если уrол
при основании на 36С больше уrла при вершине.
140. Найдите уrлы равнобедренноrо. треуrольника, если уrол
при вершине в 3 раза больше уrла при основании.
141. Найдите уrлы треуrольника, если их rрадусные меры
относятся как 3 : 4 : 5.
142. Один из уrлов треуr'ольника на 400 меньше BToporo и на 10°
больше тpeтLero. Найдите уrлы треуrольника.
143. Уrол при вершине равнобедрнно,,'о треуrольника равен
40°. Найдите меньший уrол, который биссектриса уrла при
основании образует с противоположной боковой стороной.
144. Один из уrлов, образованных при пересечении биссектрис
уrлов при основании равнобедренноrо треуrольника, равен
124°. Найдите уrлы треуrольника.
145. В треуrольнике MPF LM = 800, L-P = 400. Биссектриса
уrла А/ пересекает сторону FP в точке Jr. J1айдите уrол
FКМ.
146. В треуrольнике DEF L.D = 500, О  точка пересечения
биссектрис уrлов Е и F. найдите уrол EOF.
147. Высоты остроуrольноrо треуrолъника NPT, проведенные из
вершин N и Р, пересекаются в точке К, L Т = 560. Найдите
yroп NКP.
148. В равнобедренном треуrольнике АВС АВ = ве, LB = 480,
отрезки АТ и АМ  высота и биссектриса треуrольника
соответственно. Найдите уrол ТАМ.
149. Один из уrлов треуrолъника равен 100°. Высота и биссек-
триса, проведенные из вершины этоrо уrла, образуют уrол
20°. l-Iайдите неизвестные уrлы треуrольника.
150. Биссектриса уrла А равнобедренноrо треуrольника АВС
( АВ = ВС ) пересекает сторону Ее в точке п. Известно, что
АС = AD = BD. Найдите уrлы треуrольника АВс.
151. Найдите уrлы равнобедренноrо треуrолъника, если один из
них на 240 больше друrоrо. Рассмотрите два случая.
152. Найдите yrJ1bI равнобедренноrо треуrольника, если один из
них в 7 раз больше друrоrо. Рассмотрите два случая.

22
Тренировочные упражнения
Внешний уrол треуrольника
153. Один из внешних уrлов треуrольника равен 137°. Найдите
уrлы треуrольника, не смежные с ним, если один из них
равен: 1) 280; 2) 91 о; 3) 117°.
154. Один из внешних уrлов треуrольника равен 148°. Найдите
уrлы треуrольника, не смежные с ним, если:
1) один ИЗ них на 360 меньше друrоrо;
2) один из них в 3 раза меньше друrоrо.
155. Один из уrлов треуrольника равен 820. Может ли внешний
уrол треуrольника, не смежный с ним, быть равным: 1) 800;
2) 83°?
156. В треуrольнике MED L-M = 340, LD = 123 О. Найдите
внешние уrлы, построенные по одному при каждой
вершине треуrольника.
157. Один из внешних уrлов треуrольника равен 1300, а один из
уrлов треуrольника  43°. Найдите остальные уrлы тре..
уrольника.
158. [радусные меры двух внешних уrлов треуrольника равны
1390 и 87°. Найдите третий внешний уrол треуrольника.
159. Внешний уrол равнобедренноrо треуrольника равен 76°.
Найдите уrлы треуrольника.
160. Сумма уrлов равнобедренноrо треуrольника и одноrо из
ero внешних уrлов paBHa Найдите уrлы треуrольника.
161. Два уrла треуrольника относятся как 4 : 7, а внешний уrол
тpeтbero уrла равен 121 о. Найдите уrлы треуrольника.
162. Orpезок АЕ  биссектриса уrла А треуrольника АВС. Луч
АК перпендикулярен АЕ. Докажите, что луч АК 
биссектриса внешнеrо уrла треуrольника при вершине А.
Прямоуrольный треуrольник
163. Найдите второй острый уrол прямоуrольноrо треуrольника,
если первый равен: 1) 30; 2) 37°; З) 640; 4) 860.
164. Один из острых уrлов прямоуrольноrо треуrольника на 340
меньше друrоrо. Найдите эти уrлы.
165. Один из острых уrлов прямоуrольноrо треуrольника ,8
4 раза меньше друrоrо. Найдите эти уrлы.

Вариант 1
23
166. Найдите больший из уrлов, образованных при пересечении
биссектрисы oCTporo уrла прямоуrольноrо треуrольника и
противоположноrо катета, если второй острый уrол
треуrольника равен 260.
167. Биссектрисы oCTporo и прямоrо уrлов прямоуrольноrо
треуrольника при пересечении образуk>Т уrлы, ОДАН из
которых равен 1300. Найдите острые уrлы треуrольника.
168. Один из острых уrлов прямоуrольноrо треуrольника равен
21 О. Найдите уrол между биссектрисой и ВblСОТОЙ, прове..
денными из вершины прямоrо уrла.
169. В треуrольнике МКТ LK = 900. Высо1'а кв образует с ка..
тетом МК уrол, равный 320. Найдите острые yrлы
треуrольника.
170. На рисунке 52 L.ABC = LDCB = 900, А
АС = BD. Докажите, что АВ = DC.
171. Докажите равенство прямоуrольных
треуrольников по катету и биссек.. в
трисе, проведенной из вершины пря.. Рис. 52
Moro уrла.
172. На rипотенузе АВ прямоуrольноrо треуrольника АВС
отметили такую tочку О, что LOAC = LOCA. Докажите,
что точка О равноудалена от точек А, В и с.
Свойства примоуrольноrо треуrольннка
173. В прямоуrольном треуrольнике DEF катет DF равен 14 см,
LE = 300. Найдите rипотенузу DE.
174. В прямоуrольном треуrольнике АВС rипотенуза АВ равна
38 СМ, а LB = 600. Найдите катет ВС.
175. В прямоуrольном треуrольнике МNK MN = NK, а rипо..
тенуза МК равна 18 СМ. Найдите длину высоты, орове..
денной к rипотенузе.
176. В прямоуrольном треуrольнике КРЕ L-P = 900, LK = 600.
На катете РЕ отметили точку М такую, что LКМР=600.
Найдите РМ, если ЕМ = 16 см.
177. В прямоуrольном треуrольнике острый уrол равен 600, а
биссектриса этоrо уrла  8 СМ. Найдите длину катета,
лежащеrо против этоrо уrла.

24
Тренировочные упражнения
Окружность. Некоторые свойства окружности
178. Вычислите диаметр окружности, если ее радиус равен:
1) 3 см; 2) 5,6 см; З) т СМ.
179. Вычислите радиус ОКРУЖНОСТИt если ее диаметр равен:
1) 6 см; 2) 9,6 см; З) п см.
180. Начертите окружность, радиус который равен 3 СМ.
Проведите в ней рад'иус, диаметр и хорду.
181. Внyrpи окружности взяли произвольную точку, отличную
от центра. Сколько диаметров и сколько хорд можно черз
нее провести?
181. Какую линию образуют середины всех радиусов данной
окружности? О1'вет обоснуйте.
183. В окружности проведены диаметры КР и MN (рис. 53).
Докажите, что МК = PN.
184. На рисунке 54 радиус OF проходит через середину хорды
DE. Докажите, что ОР  DE.
Рис. 53
F
Рис. 54
А
с
Рис. 55
185. На рисунке 55 LABC = 320, точка О  центр окружности.
Найдите уrол АОС.
186. Докажите, что если хорды рав-
ноудалены от центра окружности,
ТО они равны.
187. На рисунке 56 хорда DC пе-
ресекает диаметр АВ в точке К,
LDКA = 600 КБ = 4 см FK =
, ,
= 6 см. Найдите длину хорды DC.
А
в

Вариант 1
25
188. Две окружности с центрами 01 и
02 пересекаются в точках С и D,
каждая из окружностей проходит
через центр друrой. Докажите, что
LC01D = 120°, L01D02 = 600.
189. Две окружности имеют общий
центр О (рис. 57). Сумма их ради..
усов равна 12 см, DF = 6 СМ. Опре..
делите радиусы окружностей.
F
Рис. 57
Касательная к окружности
190. Прямая касается окружности с центром О в точке А. На
касательной по ра:зные стороны от точки А отметили точки
В и С такие, что ОВ = ОС. Докажите, что ВА = А С .
191. Из точки А, лежащей вне окружности с центром О, про..
ведены к ней касательные АВ и А С (В и С  точки касания).
Докажите, что АО  биссектриса уrла ВАС.
192. Прямая а касается окружности в точке В (рис. 58). Найдите
уrол АОВ, rде точка О  центр окружности, если
L-ABC = 630.
а
Рис. 58
Рис. 59
193. Два окружности имеют общий центр (рис. 59). К меньшей
из них провели две взаимно перпендикулярные касательные
DE и КР, пересекающиеся в точке N. Найдите отрезок NE,
если ND = 3 см, а меньший из радиусов данных
окружностей равен 4 см.

26
Тренировочные упражнения
Описанная и вписанная окружности треуrольника
195. В треуrольнике центр описанной окружности лежит на
высоте. Докажите, что этот треуrольник равнобедренный.
196. В треуrольнике центр вписанной В
окружности лежит на высоте.
Докажите, что этот треуrольник
равнобедренный. А
197. В треуrольник АВС вписана
окружность, касающаяся ero
сторон в точках М, К и Р (рис.б!).
Найдите сумму длин отрезков АМ, ВК и СР, если периметр
треуrольника АВС равен 16 Cl\{.
Взаимное расположение двух окружностей
198. Две окружности с центрами 01 и
02 имеют внутреннее касание в
точке С (рис. 62). Докажите, что
точка С лежит на прямой О}02 .
199. Радиусы двух окружностей равны
7 см и 11 СМ. Найдите расстояние
между их центрами, если о круж"
ности имеют: 1) внутреннее касание;
2) внешнее касание.
200. Два окружности Jiмеют внешнее касание. Расстояние
между их центрами равно 22 см. Найдите раДИУСbl
окружностей, если они относятся як 4 : 7.
201. Расстояние между центрами ДВ}Х окружностей равно 9 СМ.
Определите, пересекаются ли эти окружности, если их
радиусы равны:
1) 6 см и 4 см;
194. К окружности провели касательные
АВ и АС (рис.БО). Касательная к
окружности в точке Е пересекает
прямые АВ и АС в точках D и f-'
соответственно. Найдите отрезок АВ,
если периметр треуrольника ADF
равен 16 см.
2) 4,5 см и 4,5 см;
с
с
Рис. 62
3)2сми6см.

Вариант 1
27
202. Три окружности попарно касаются друr друrа внешним
образом. О1'резки, соединяющие их центры, образуют тpe
уrольник со сторонами 9 см, 10 см и 11 см. Определите
радиусы окружностей.
Задачи на построение
203. Даны прямая а и точка В, не принадлежащая ей. Найдите на
прямой а точку, находящуюся на расстоянии 2 см от точки
В. Сколько таких точек может быть?
204. Постройте треуrолъник DEF, если DE == 5 см, EF = 7 см,
DF==9 см.
205. Начертите в тетради разносторонний тупоуrольный
треуrольник. Постройте треуrольник, равный данному.
206. Постройте треуrольник DEK, если DE == 4 см, DK == 5 см,
LD==lOO°.
207. Постройте треуrолъник FTM, если FT = 2 см, LF = 800,
LT == 20°.
208. Постройте равнобедренный треуrольник, боковая сторона
Koтoporo равна 3 см, а yrол при вершине  400.
209. Постройте треуrольник DBE, если DE == 2,5 см, LD == 700,
LB==10°.
210. Постройте равнобедренный треуrольник, боковая сторона
KOToporo равна 3,5 см, а уrол при основании  70°.
211. Начертите в тетради произвольный треуrольник и
постройте ero биссектрисы.
212. Постройте равнобедренный треуrольник по боковой cтo
роне и медиане, проведенной к ней.
213. Постройте прямоуrольный тpe
уrольник по катету и прилежащему
уrлу.
214. Постройте равнобедренный nрямо
yrольный треуrольник по ero BЫ
соте, проведенной к rипотенузе.
215. О1'метьте в тетради по клеточкам
точки D, Е и F (рис.63) и проведите
через эти точки окружность.
Е
D
F
Рис. 63

28
Тренировочные упражнения
216. Даны прямая k и точка М, не принадлежащая e. Проведите
через точку М прямую n, параллельную k.
217. Постройте rеометрическое место точек, равноудаленных от
..
концов данноrо отрезка.
218. Постройте rеометрическое место точек, равноудаленных от
сторон уrла АВС.
219. Постройте rеометрическое место точек  середин па..
раллельных хорд данной окружности.
220. Начертите уrол АОВ. Найдите точку, находящуюся на рас..
стоянии 5 см от точки О и равноудаленную от сторон уrла.
221. Через две точки проведите окружность, центр которой
принадлежит данной окружности. Коrда задача имеет един..
ственное решение? два решения? не имеет решений?
222. Постройте окружность, проходящую через вершину уrла и
точку на ero стороне, так,. чтобы центр окружности нахо-
дился на друrой стороне уrла.
223. Постройте окружность данноrо радиуса, касaIOЩУЮСЯ двух
данных окружностей.
224. Две окружности имеют внутРеннее касание. Постройте их
общую касательНуЮ.
225. Постройте касательную к окружности, которая перпендику-
лярна данной прямой.
226. Постройте равнобедренный треуrольник по уrлу при вер..
шине и высоте, проведенной к боковой стороне.
227. Постройте треуrольник АВС по уrлу А и высотам,
проведенным к сторонам АВ и АС.
228. Постройте прямоуrольный треуrольник по сумме катета и
rипотенузы и уrлу, противоположному друrому катету.
229. Постройте прямоуrольный треуrольник по rипотенузе и
разности катетов.
230. Постройте треуrольник АВС по стороне ВС, уrлу В и
разности сторон АВ и АС.

Вариант 2
29
1.
Вариант 2
Простейшие rеометрические фиryры и их свойства
Проведите прямую а и отметьте на ней точку В. О1'метьте
точку С, не принадлежащую прямой а, и проведите прямую
ВС. Moryr ли прямые а и Ее иметь еще одну общую точку?
Ответ обоснуйте.
Отметьте в тетради четыре точки А, В, С
и D (рис. 64). Через каждые две точки
проведите прямую. Запишите все полу..
ченные прямые.
О1'метьте в тетради точки М, Е и F так,
чтобы через них можно было провести
прямую. Запишите все возможные на..
звания этой прямой.
Пользуясь рисунком 65:
1) определите, пересекаются ли прямые АВ и Ь;
2) запишите все точки, принадлежащие прямой Ь; пря..
мой АВ;
З) запишите точки, не принадлежащие ни прямой АВ, ни
прямой Ь.
2.
.8
А .
.е
3.
D.
Рис. 64
4.
А
в
.
yb.F
. Р
А В
. .
с D
. .
.
м.
.к
Рис. 65
Рис. 66
s. Какие из точек, отмеченных на рисунке 66, лежат между
двумя друrими? Для каждоrо случая запишите соответ-
ствующее равенство, которое слеДует из OCHoBHoro свойства
измерения отрезков.
6. Назовите все отрезки, изображенные на рисунке 67.
К
A/
а)
N
в
.
м
б)
Рис. 67

30 Тренировочные упражнения
7. Точка С лежит между точками А и В. Найдите неизвестное
третье расстояние между данными точками, если:
1) АС==12,6 см, СВ=14,4 см;
2) АВ ==2 м, AC== м.
8. Может ли точк'! Е лежать между точками D и F, если
DE == 6,4 см, EF == 3,9 см, DF = 9,3 см? OrBeт обоснуйте.
9. Точка С принадлежит отрезку АВ, длина KOToporo равна
8 см. Определите длины отрезков АС и ВС, если:
1) длина отрезка АС на 0,4 см больше длины отрезка вс;
2) длина отрезка АС в 4 раза меньше ДЛИНЫ отрезка вс;
3) разность длин отрезков АС и ве равна 0,9 см;
4) АС:ВС==7:1.
10. На прямой последовательно отмечены точки К, L, М и N,
км = 9 см, LN == 8 см, КN = 12 см. Найдите LМ.
11. На прямой последовательно отмечены точки А, В, С, D и Е
так, что АВ == ве == CD == DE == 3 см. Какие еще равные от..
резки определяются этими точками? Запишите эти отрезки
и наЙДите их длины.
12. Точка С лежит между точками А и В, точки D и Е 
середины отрезков АС и СВ соответственно. Найдите дпину
отрезка DE, если АВ == 8,4 см.
13. Orpезок длиной 8 см состоит из четырех неравных частей.
Расстояние между серединами крайних частей равно 5 см.
Найдите расстояние между серединами средних частей.
14. Точки К, р и Т лежат на одной прямой. Найдите расстояние
между точками Р и Т, если КР == 4,9 см, КТ == 5,4 см.
Сколько решений имеет задача?
15. Orpезки АВ и CD равны (рис.68). А В С D
. . . .
Докажите, что А С == BD.
16. Длина отрезка АВ равна 8,2 СМ. Рис. 68
OrMeтLтe на прямой АВ такую
точку С, ЧТО АС  НС == 2 см. Сколько решений имеет
задача?

Вариант 2
31
17. Точки А, В, С и D лежат на ОДНОЙ прямой, точка С лежит
между точками А и В. Найдите длину отрезка CD, если
АВ = 10 см, АС = 3 см, BD == 4 Cl. Рассмотрите все возмож
ные случаи.
18. Длина отрезка АВ равна 8 см. Найдите на прямой АВ все
точки, ДЛЯ которых сумма расстояний до концов отрезка АВ
равна: 1) 10 см; 2) 8 см; 3) 7 СМ.
19. Пересекзются ли изображенные на рисунке 69:
1) прямая МIУ и отрезок QR;
2) луч ОТ' и отрезок QR;
З) луч ОТ и ПРЯ!\1ая MN?
Q
Рис. 69
20. На рисунке 70 прямые АВ и CD пересекаются ,с прямой EF в
точках Р и К соответственно.
1) Запишите все образовавщиеся лучи с наЧ3Jl0М в точке Р.
2) Запишите пары дополнительных лучей, начало которых
 точка К.
21. Сколько различных лучей определяются тремя точками А, В
и (, не принадлежащими одной пряой?
22. Отметьте точки А, В, С и D так, чтобы прямые АВ и CD
пересекались, а лучи АВ и CD не пересекались.
23. Проведите прямую DE и отметьте на
ней точки М и Т. Запишите все лучи,
имеющие начало в точках М и Т. На-
зовите пар'ы дополнительных лучей.
24. Из приведенных обозначений выпи- М
шите все возможные названия уrла с Рис. 71
вершиной М (рис.71): А ОМ; АМО;
АМВ; ОМА; А10А; АМК; O!vJK; АВО; КМВ; ОК4.

32
Тренировочные упражнения
25. Назовите все уrлы, изображенные на рисунке 72.
М
в
"'/
L О М
с
а)
б)
Рис. 72
в)
26.
Начертите уrол Аве и проведите два луча BD и ВЕ между
ero сторонами. Запишите все образовавшиеся уrлы.
Пользуясь транспортиром, найдите rpадусную меру уrлов,
изображенных на рисунке 73. Определите вид каждоrо уrла.
К
27.

с
в
м
т н F
Q<- o
р D
R
Рис. 73
28. Начертите уrол, rpадусная мера KOToporo равна: 1) 54°;
2) 90°; 3) 147°; 4) 880. Определите вид каждоr'о уrла.
29. Постройте острый уrол DEF. Пользуясь транспортиром,
разделите ero на две равные части.
30. Луч ОБ проходит между сторонами уrла АОС. НаЙдите
rрадусную меру уrла А ОС, если LAOB = 480, LBOC = 340.
31. Проходит ли луч ВМ между сторонами уrла АВС, если
LABC = 430, LAБМ = 49° ? Ответ обоснуйте.
32. Луч DF проходит между сторонами уrла EDK. Найдите уrол
FDK, если LEDK = 380, LEDF = 290.
зз. Лучи OD и ОЕ проходят между сторонами уrла АйВ.
LAOB=87°, L.AОD=З40, LBOE=72°. Найдите уrол
"пОЕ.
34. Луч вп проходит между сторонами уrла АВС, paBHoro 740.
Найдите уrлы АБD и DBC, если уrол пве больше уrла Авп
на 280.
35. Уrол ABD равен 115°. Луч ВС проходит между ero сторо-
нами. Найдите уrлы CBD и АВ С, если уrол CBD больше
уrла АВС в 4 раза.

Вариант 2
33
36. На рисунке 74 L ABD = 85°, L СВЕ = 450, L CBD = 400.
Найдите уrол АВЕ.
А
D
о
р
с
в
Е
к
Рис. 75
LMOP=78°, LNOP=62°.
37.
Рис. 74
На рисунке 75 LМOK = 110°,
Найдите уrол NOK.
Прямой уrол разделили на два уrла, один из которых на 12°
больше BToporo. Найдите образовавшиеся уrлы.
Развернутый уrол разделили на 3 уrла, rрадусные меры ко..
торых относятся как 2 : 3 : 4. Найдите величины этих уrлов.
Луч ОС проходит между сторонами уrла АОЕ. Луч ОВ 
биссектриса уrла АОС, луч OD  биссектриса уrла СОЕ.
Найдите уrол BOD, если L.AOE = 144°.
Уrлы ВАС и DAE равны (рис.76). Докажите, что уrлы ВАп
и САЕ также равны.
В
38.
39.
40.
41.
А
в
р
Е
Рис. 76 Рис. 77
42. I-Ia рисунке 77 LABK = LFBM. Луч ВР делит пополам уrол
КEF. Декажите, что ВР делит пополам уrол АВМ.
43. Уrол между биссектрисой уrла и продолжением одной из
ero сторон равен 138°. Найдите данный уrол.
44. Какой уrол образует биссектриса уrла, paBHoro 480, с
продолжением одной из ero сторон?
Смежные и вертикальные yr лы
45. Moryr ли два смежных уrла быть равными: 1) 480 и 132°;
2) 830 и 87°; 3) 630 и 1270? О1'вет обоснуйте.

34
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
Тренировочные упражнения
Найдите уrол, смежный с уrлом:
1) 170; 2) 690; 3) 900; 4) 980; 5) 1430.
Может ли пара смежных уrлов состо..
ять ИЗ двух острых уrлов? О1'вет А
обоснуйте.
Являются ли смежными уrлы AOD и
СОА (рис. 78)? Запишите все пары
смежных уrлов, изображенных на рисунке.
Уrол АВС больше уrла МКР. Какому из уrлов соответствует
больший смежный уrол? О1'вет обоснуйте.
Найдите смежные уrлы, если один из них на 420 меньше
друrоrо.
Один из смежных уrлов в 4 раза больше друrоrо. Найдите
эти уrлы.
Найдите смежные уrлы, если их rрадусные меры относятся
как 4 : 5.
Два уrла относятся как 1 : 2, а смежные с ними  как 7 : 5.
Найдите данные уrлы.' .
На рисунке 79 уrол МЕК равен 1320. Найдите уrлы MEF,
FEP, РЕК.
к
с
в
F
Рис. 79
Рис. 78
в
Рис. 81
55. Верно ли утверждение, что для каждоrо уrла l\fОЖНО
построить: 1) два вертиальных уrла; 2) два смежных уrла?
56. На рисунке 80 L40B = 560, LCOD= 250. Найдите
уrол FOE.
57. На рисунке 81' LAOD+ LAOC+LCOB= 21Cf. Найдите уrлы
AOD и DOB.
58. Один из уrлов, образовавшихся при пересечении двух при..
мых, на 480 больше друrоrо. Найдите эти уrлы.

Вариант 2
35
59. Один из уrлов, 06разовавшихся при пересечении двух пря..
мых, В 5 раз больше друrоrо. Найдите эти уrлы.
60. Найдите величину каждоrо из уrлов, образовавшихея при
пересечении двух прямых, если:
1) все уrлы равны между собой;
2) сумма двух из них равна 840;
3) разность двух из них равна 460;
4) сумма трех из них равна 2280.
61. Один из уrлов, образовавшихся при пересечении двух оря..
мых, равен сумме двух смежных с ним. Найдите эти уrлы.
62. Три прямые пересекаются в одной точке (рис.82). Найдите
сумму уrлов 1 и 2, если L3 == 31 О.
с D
К
P. Poc.
63. На рисунке 83 пЕР == LCFE. Докажите, что LBEF ==
== LCFE.
64. На рисунке 83 LPFD == LAEF. ДО..
кажкre, что LCFE + LAEF == 180°.
65. Прямые АВ, CD и EF пересекаются
в точке О (рис. 84), причем луч ОЕ
 биссектриса уrла AOD, paBHoro
148°. Найдите уrол AOF.
66. Найдите смежные уrлы АВС и DBC,
если биссектриса уrла DBC образует
с лучом ВА уrол, который больше уrла АВС на 400.
Перпендикулярные прямые
67. Про ведите прямую а и отметьте точку М, не принадлежа..
щую й. С помощью чертежноrо уrольника проведите через
точку М прямую, перпендикулярную прямой а.
р
А В

36
Тренировочные упражнения
68. Проведите прямую Ь и отметьте точку Е, принадлежащую
ей. Проведите через точку Е прямую, перпендикулярную
прямой Ь, пользуясь чертежным УI"ОЛЬНИКОМ.
69. На рисунке 85 LAOD = L-COF ,
LDOC = LBOF. Докажите, что
ОС 1.. АВ.
70. Уrлы ABD и CBD прямые. Докажите,
что точки А, В и С лежат на одной
прямой.
71. Точка С лежит на прямой между точ"
ками А и В, точка D  вне этой
прямой, причем LACD = L-BCD. Докажите, что АВ 1. CD.
72. Как, используя IlIаблон уrла в 180, построить перпендику"
лярные прямые?
Равные треуrольниlCИ. Периметр треуrольиика
73. Укажите все треуrольники, изобра..
женные на рисунке 86, одной из
вершин которых является точка А.
74. Треyrольники МNP и АКТ равны,
причем уr'лы М и А, Р и Т соот..
ветственные.
1) Найдите сторону АК и уrол N,
если LK = 600, MN = 32 СМ.
2) Moryт ли все уrлы треуrольника АКТ быть равными, если
два уrла треуrольника MNP имеют разные rpaдycHbIe
меры?
75. Одна сторона треуrольника равна 38 см, вторая сторона на
19 см меньше первой, а третья сторона в 2 раза больше
второй. Найдите периметр треуrольника.
76. Одна сторона треуrольника в Зраза l\fеньше второй и на
23 см меньше третьей. Найдите стороны треуrольника, если
ero периметр равен 108 см.
Первый и второй признаи равенства треуrольннков
77. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке К так, что
АК = кв , СК = КD. Докажите равенство треуrольников
АКС и BКD.
с
А
о
Рис. 85
в
в
D
с
Рис, 86

Вариант 2
37
78. Докажите равенство треуrольников ABD и CBD (рис. 87),
если AD = DC и LADB = LCDB.
А
D
в
с
А
Рис. 87 Рис. 88 Рис. 89
79. Докажите равенство треуrольников ABD и CDB (рис. 88),
если AD = ВС и LADB = LCBD.
80. Докажите равенство отрезков АВ и CD (рис. 89), если
AO=OD и ВО=ОС.
81. О1'резки КР и EF пересекаются в точке М так, что
км = МР и ЕМ = МР. Найдите КБ, если PF = 12 см.
82. Точка М  середина стороны ВС треуrольника АВС. На
луче АМ от точки М отложен отрезок МК, равный АМ.
Докажите равенство треуrольников АСМ и КВМ.
83. На сторонах уrла ВАС отложены равные отрезки АМ и AN.
На биссектрисе уrла А взяли точку D и соединили с точками
М и N. Докажите, что DM = DN.
84. В треуrольнике АВС АВ = ве. Докажите, что медианы,
проведенные к сторонам АВ и ЕС, равны.
85. Отрезки АВ и CD пересекаlОТСЯ в точке Р. Известно, что
АР = PD, LCAB = LBDC. Докажите, что треуrольники
АРС и DPB равны.
86. Докажите равенство треуrольников ABD и CBD (рис. 90),
если LADB = LCDB и LAВD = LCBD.
В
А
с
А
с
Рис. 90 Рис. 91
87. Докажите равенство треуrольников ABD и CDB (рис.91),
если LABD=LCDB и LADB=LCBD.

38
Тренировочные упражнения
88. Докажите равенство отрезков AD и BF (рис. 92), если
АС=ВС, LA=LB.
с
А
F
А
в
Рис. 93
Рис. 92
89. На биссектрисе уrла А отметили точку D, а на сторонах
этоrо уrла  такие точки В и С, что LBDA = LADC.
Докажите, что BD = CD.
90. Биссектриса- уrла А треуrольника АВС перпендикулярна
стороне ВС. Докажите, что АВ = АС.
91. На рисунке 93 AD = CF , LBA С = LDFE, LA СВ = LEDF.
Докажите, что LABC = LDEF.
92. Докажите равенство треуrольников по медиане, уrлам, ко..
торые она образует со стороной треуrольника, к которой
она проведена, и уrлам, которые она образует со сторонами
уrла, из вершины KOToporo она проведена.
Равнобедренный треуrольник и ero свойства
93. Основание равнобедренноrо треуrольника равно 5 см,
боковая сторона  6 см. Найдите периметр треуrольника.
94. Периметр равнобедренноrо треуrольника равен 12 см,
боковая сторона  5 см. Найдите ero основание.
95. Периметр равнобедренноrо треуrольника равен 40 СМ. На
ero боковой стороне построили равносторонний треуrоль..
ник, периметр Koтoporo равен 45 см. Найдите основание
равнобедренноrо треуrольника.
96. Найдите стороны равнобедренноrо треуrольника, если ero
периметр равен 22 см, а боковая сторона на 2 см БОЛl,ше
основания.
97. Найдите стороны равнобедренноrо треуrольника, если ero
периметр равен 70 см, а основание в 2 раза меньше боковой
стороны.

Вариант 2
39
98. На рисунке 94 АВ = ве'. Докажите, что
Ll = L2 .
99. Отрезок ВЛf является биссектрисой
равнобедренноrо треуrольника АВС
(АВ = ВС), LCBM = 280, АС = 24 СМ.
Найдите уrлы АВС, АМВ и отрезок АМ.
100. В треуrольнике АВС АВ = вс. Най
Рис. 94
дите длину медианы BD, если периметры треуrольников
ABD и АВС равны соответственно 40 см и 50 см.
101. В треуrольнике АВС АВ = ве = 14 СМ. Серединный перпен"
дикуляр стороны АВ пересекает сторону АС в точке Е
(рис.95). Найдите АС, если периметр треуr.ольника ВЕС
равен 40 СМ.
А
с
с N
Рис. 95
м
Рис. 96
102. В равнобедренном треуrолънике АВС на основании ВС
отложены равные отрезки ВМ и NC (рис. 96). Докажите, что
АМ = AN.
103. На сторонах paBHOCTopOHHero.
треуrольника АВС отложены
равные отрезки AD, CF и ВЕ
(рис. 97). Докажите, что треуrоль
ник EFD  равносторонний.
104. Докажите, что в равнобедренном А С
треуrольнике биссектрисы уrлов
при основании равны.
105. Докажите равенство равнобедренных треуrольников, если
равны их основания и высоты, проведенные к основаниям.

40
Тренировочные упражнения
106. На рисунке 98 L-КDE = LEFP.
Докажите, что ED = EF.
107. На высоте СН равнобедренноrо.
треуrольника АВС с основанием АВ
отметили точку М. Докажите, что К D
треуrольник АМВ  равнобед
ренный.
108. На рисунке 99 Ее = CD, LACB= LACD. Докажите, что
MBD  равнобедренный.
В
Признаки раВllо6едренноrо треуrольниа
Е
F
р
Рис. 98
А
с
с
D
Рис. 99
А
Рис. 100
109. Внyrри paBHocTopoHHero треуrольника АВС (рис. 100) отме..
типи такую точку D, что L-BAD = LBCD. Докажите, что
MBD = CBD.
Третий признак равенства треуrольников
110. На рисунке 101 AM=MD и AF=FD. Докажите, что
ММР = ЫJMP.
111.На рисунке 102 AD=AC, BD=BC. Докажите, что
DO = СО.
F
D
А
А
в в
D
А С С
Рис. 101 Рис. 102 Рис. 103
112. На рисунке 103 АВ = AD, СВ = CD. Докажите, что луч АС
 биссектриса уrла ВАп.

Вариант 2
41
113. Внутри равнобедреНН,оrо треуrольника АВС ( АВ = ВС ) от..
метили точку М такую, что АМ =мс. Докажите, что пря..
мая ВМ перпендикулярна прямой АС.
114. Равные отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, причем
АС = BD. Докажите, что Ай = во.
115.Доките равенство треуrольников по двум сторонам. и
медиане, проведенной к одной из них.
Метод доказательства от противноrо
116. Докажите от противноrо, что из двух смежных уrлов хотя
бы один не меньше, чем 900.
117. Доките от противноrо, что каждый уrол имеет только
одну биссектрису.
IJараллельные прямые
118. Проведите прямую m и отметьте точку А, не принадле..
жащую ей. Проведите через точку А прямую, параллельную
прямой т.
119. На рисунке 104 изображены две пересе..
кающиеся прямые а и Ь и точка М, не
принадлежащая ни одной из них.
Проведите через точку М прямые,
параллельные прямым а и Ь.
120. Начертите тупоуrольный треуrольник и
через каждую ero вершину проведите
прямую, параллельную противоположной стороне.
.М
а
Рис. 104
121. Прямая а параллельна стороне АВ треуrольника АВС.
Может ли прямая а быть параллельной сторонам ВС и АС?
О1'вет обоснуйте.
122. Докажите от противноrо, что если прямые т и п парап..
лельны и прямая а пересекает прямую т, то она пересекает
и прямую n.

42
Тренировочные упражнения
Признаки параллельности двух прямых
123. На рисунке 105 укажите все пары разносторонних, односто..
ронних и соответственных уrЛО8.
А С
D
Рис. 105
т
640
п
Рис. 106
124. Параллельны ли прямые т и п на рисунке 106?
125. О1'резки АВ и CD пересекаются в точке О (рис. 107), причем
ОА = ОВ, ОС = OD. Докажите, что АС 11 BD.
126. На рисунке 108 Ll + L2 = 1800. Докажите, что прямые а и Ь
параллельны.
ь
А А D
Рис. 107 Рис. 108 Рис. 109
127. На рисунке 109 АВ = CD и ВС = Ап. Докажите, что
прямые ВС и AD параллельны.
Свойства параллельных прямых
128. Через вершину D треуrольника DEF проведена прямая,
параллельная стороне EF. Найдите уrол EDF, если
LE = 100°, L-F = 200.
129. На рисунке 110 найдите rрадусную меру уrла х.
а)
в
а
в
б)
Рис. 110
в)

Вариант 2 43
130. На рисунке 111 АВ == CD и АВ 11 CD. Докажите, что
МDB == ACBD.
с D
Рис. 111 Рис. J 12
131. На рисунке 112 АВ 11 CD. Найдите rpадусную меру уrла
АЕС, если LBAE = 400, LDCE == 700.
Сумма уrлов треуrольиика
132. Существует ли треуrолъник с уrлами 600, 700 и 800?
133. Найдите третий уrол треуrолъника, если два ero уrла
равны: 1) 42° и 540; 2) 480 и 126°; 3) 5° и 3°.
134. Уrол при вершине равнобедренноrо треуrольника равен
84 о. Найдите уrлы при основании.
135. Уrол при основании равнобедренноrо треуrольника равен
400. Найдите уrол при вершине.
136. Найдите неизвестные уrлы треуrольника АВС (рис.llЗ).
В в
1340
А С
б)
Рис. 113
137. Найдите неизвестные уrлы треуrольника АВС (рис.l14).
В в в
А
а)
1150
А
А В
с
1090
А С
в)
с
б)
Рис. 114
138. Найдите уrлы треуrольника АВ С, если LA + LB == 100°,
LB + LC = 1200.
а)

44
Тренировочные упражнения
139. Найдите уrлы равнобедренноrо треуrольника, если уrол
при вершине на 180 больше, чем уrол при основании.
140. Найдите уrлы равнобедренноrо треуrольника, если уrол
при основании в 2 раза больше уrла при вершине.
141. Найдите уrлы треуrольника, если их rpaдycHbIe меры от-
носятся как 3 : 5 : 7.
142. Один из уrлов треуrольника на 500 больше BToporo и на 200
меньше TpeTbero. Найдите уrлы треуrольника.
143. Уrол при вершине равнобедренноrо треуrольника равен
800. Найдите уrол между основанием и высотой, прове..
денной к боковой стороне.
144. Один из уrлов, образовавшихся при пересечении высот
равнобедренноrо треуrольника, проведенных к боковым
сторонам, равен 1320. Найдите уrлы треуrольника.
145. В треуrольнике АВС LA = 800, LB = 400. Биссектриса yr..
ла е пересекает сторону АВ в точке D. Найдите уrол CDA.
146. В треуrольнике Аве L..C = 700, D  точка пересечения
биссектрис уrлов А и В. Найдите уrол ADB.
147. Высоты треуrольника АВС, проведенные из вершин А и С,
пересекаются в точке Н, LA = 830, LC = 650. Найдите
уrол АНС.
148. Отрезки СН и СМ  высота и биссектриса треyrольника
АВС соответственно, LA = 680, LB = 260. Найдите
уrол НСМ.
149. Биссектриса одноrо из уrлов остроуrольноrо треуrольника
образует с высотой, проведенной из той же вершины, уrол,
равный 10°, а один из двух друrих уrлов треуrольника равен
700. Найдите неизвестные уrлы треуrолъника.
150. Уrол при вершине равнобедренноrо треуrольника равен
360. Докажите, что биссектриса уrла при основании делит
данный треуrольник на два равнобедренных треуrольника.
151. Найдите уrлы равнобедренноrо треуrольника, если один из
них на 180 больше друrоrо. Рассмотрите два лучая.
152. Найдите уrлы равнобедренноrо треуrол,ьника, если один из
них' в 4 раза больше друrоrо. Рассмотрите два случая.

ВариаJiТ 2
45
Внешний уrол треуrольника
153. ОДИН из внешних уrЛО8 треуrольника равен 1460. Найдите
уrлы треуrольника, не смежные с ним, если один из них
равен: 1) 480; 2) 890; 3) 1230.
154. ОДИН из внешних уrлов треуrольника равен 126°. Найдите
уrлы треуrольника, не смежные с ним, если:
1) один из них на 220 больше друrоrо;
2) один ИЗ них в 2 раза больше друrоrо.
155. Один из уrлов треуrольника равен 740. Может ли внешний
уrол треуrольника, не смежный с НИМ, быть равным: 1) 750;
2) 700?
156. В треуrольнике АВС LA = 480, LB = 390. Найдите внеш..
ние уrлы, построенные по одному при каждой вершине
треуrольника.
157. Один из внешних уrлов треуrольника равен 1400, а один из
уrлов треуrольника  380. Найдите остальные уrлы
треуrол ьника.
158. [радусные меры двух внешних уrлов треуrольника равны
1070 и 1230. Найдите третий внешний уrол треуrольника.
159. Внешний уrол равнобедренноrо треуrольника равен 880.
Найдите уrлы треуrольника.
160. Сумма уrлов равнобедренноrо треуrольника и одноrо из
"ero внешних уrлов равна 2360. Найдите уrлы треуrольника.
161. Два уrла треуrольника относятся как 3 : 4, а внешний уrол
третьеrо уrла равен 140°. Найдите уrлы треуrольника.
162. Докажите, что биссектриса уrла треуrолъника ибиссек"
триса внешнеrо уrла, проведенные из одной вершины,
перпендикулярны.
Прямоуrольный треуrольник:
163. Найдите второй ос!рый уrол прямоуrольноrо треуrольника,
если первый равен: 1) 20; 2) 460; 3) 540; 4) 89°.
164. Один из острых уrлов прямоуrольноrо треуrольника на 280
больше друrоrо. Найдите эти уrлы.
165. ОДИН из острых уrлов прямоуrольноrо треуrольника в
2 раза больше друrоrо. Найдите эти уrлы.

46
Тренировочные упражнения
166. Найдите меньший из уrлов, образованных при пересечении
биссеКТРИСbI прямоrо yrла треуrольника и rипотеНУЗbI, если
один из острых уrлов треуrольника равен 38°.
167. Биссектрисы ocтporo и прямоrо уrлов прямоуrольноrо тре..
уrольника при пересечении образую уrлы, один из которых
равен 100°. Найдите острые уrлы треуrольника.
168. Из вершины прямоrо уrла прямоуrольноrо треуrольника
провели биссектрису и высоту, уrол между которыми равен
19°. Найдите острые уrлы треуrольника.
169. В треуrольнике АВС LC == 900. Высота CD образует с кате..
том АС yrол, равный 430. Найдите острые уrлы треуrоль--
ника.
170. На рисунке 115
== 900, АВ == CD.
AO=DO.
LABO == LDCO =
Докажите, что
А
D
171. Докажите равенство прямоуrОЛЬНbIХ
треуrольников по катету и высоте,
проведенной из веРШИНbI прямоrо
уrла.
172. Точка на стороне треуrольника равноудалена от ero
вершин. Докажите, что этот треуrольник прямоуrольный.
Свойства примоуrольноrо треуrОЛЬRика
173. В прямоуrольном треуrольнике АВС rипотенуза АВ равна
16 см, LA == 30°. Найдите катет ВС.
174. В прямоуrольном треуrольнике АВС LB == 60°, катет ВС
равен 6 см. Найдите rипотенузу АВ.
175. В прямоуrольном треуrольнике АВС АС ==вс. Найдите
длину rипотенузы, если ,высота, проведенная к ней, равна
18 см.
176. В прямоуrольном треуrольнике АВС LC=90°, LA = 30°.
На катете АС отметили точку Е такую, что LBEC == 60°.
Найдите АС, если ЕС == 8 см.
177. В прямоуrольном треуrольнике катет IДJlИНОЙ 12 см при..
леrает к уrлу 30°. Найдите биссектрису BToporo ocтporo
уrла треуrольника.

Вариант 2
47
Окружность. Некоторые свойства окружности
178. Вычислите диаметр окружности, если ее радиус равен:
1) 2 см; 2) 4,9 см; 3) а см.
179. Вычислите радиус окружности, если ее диаметр равен:
1) 4 см; 2) 7,8 см; 3) Ь см.
180. Начертите окружность, радиус которой равен 2 см. Про
ведите в ней радиус, диаметр и хорду.
181. На окружности отметили произвольную точку. Сколько
диаметров и сколько хорд можно через нее провести?
182. Все раДИУСbI окружности продлили на одну треть в
сторону, противоположную центру. Какую линию образуют
их концы? О1'вет обоснуйте.
183. В окружности проведены диаметры АВ и CD (рис. 116).
Докажите, что AD 11 ВС.
184. На рисунке 117 радиус ОМ перпендикулярен хорде АВ.
Докажите, что АК = кв .
185. На рисунке 118 LAOC = 420, точка О  центр окружности.
Найдите уrол АВС.
186. Докажите, что равные хорды
окружности равноудалены от
ее центра.
187. Хорда окружности МК "е..
ресекает ее диаметр АВ  точ"
ке F (рис. 119), LMFA=300,
мр =14см, FK =8см, Найди..
те длины отрезков мр и КТ.
А
А
Рис. 116
Рис. 117
Рис. 118
в
,., ,,.,
11(1

48
Тренировочные упражнения
188. Две окружности с центрами 01 и
02 пересекаются в точках А и В.
Докажите, что АВ 1. 0102.
189. Две окружности имеют общий
центр О (рис. 120). Их радиусы
относятся как 9: 5, а АВ = 8 см.
Определите радиусы окружностей.
Рис. 120
Касательная к окружности
190. Прямая касается окружности с центром О в точке В. На
касательной по разные стороны T точки В отложены
равные отрезки ВА и ве. Докажите, что ОА = ОБ.
191. Из точки М, лежащей вне окружности, проведены к ней
касательные МА и МВ, rде А и В  точки касания.
Докажите, что МА = МВ.
192. Прямая 1 касается окружности в точке А (рис. 121). Найдите
уrол ВАС, если LAOB.=108°, rде точка О  центр
окружности.
А
Рис. 121
Рис. J 22
193. В окружности провели две перпеНДИКУЛJlрные равные
хорды АВ и CD. Пересекаясь, они делятся на отрезки
длиной 7 см и 9 см. Найдите радиус окружности,
касающейся обеих этих хорд и имеющей с данной
окружностью общий центр О (рис. 122).

Вариант 2
49
194. К окружности провели касательные
АЕ и AF (рис. 123). Касательная к
окружности в точке D пересекает
прямые АЕ и АР в точках В и С
соответственно. Найдите периметр
треуrольника АВС, если АЕ = 5 СМ.
Описанная и вписанная окружности
треуrольника
Рис. 123
195.8 треуrольнике центр описанной
окружности лежит на медиане. Докажите, что этот
треуrольник равнобедренный.
196. В треуrольнике центр вписанной окружности лежит на
медиане. Докажите, что этот треуrольник равнобедренный.
А
197. 8 треуrольник AКD вписана
окружность, касающаяся ero сторон
в точках С, Е и F (рис. 124).
Найдите периметр треуrольника,
если АС + КЕ +DF = 14 см.
к
Рис. 124
Взаимное расположение двух окружностей
198. Две окружности с центрами о. и
02 имеют внешнее касание в точ"
ке А (рис. 125). Докажите, что точ"
ка А лежит на прямой 0102'
199. Радиусы двух окружностей равны
6 см и 9 см. Найдите расстояние
между их центрами, если окружности имеют: 1) BнyrpCHHee
касание; 2) внешнее касание.
200. Два окружности имеют внутреннее касание. Расстояние
между их центрами равно 16 см. Найдите радиусы
окружностей, если они относятся як 3 : 5.
201. Расстояние между центрами двух окружностей равно 7 см.
Определите, пересекаютtя ли эти окружности, если их
радиусы равны:
1)4сми5см;
2) 3 см и 2 см;
Рис. 125
З) 3,5 см и 3,5 см.

50
Тренировочные упражнения
202. Три окружности попарно касаются друr друrа внешним
образом. О1'резки, соединяющие их центры, образуют тре..
уrольник со сторонами 7 см, 8 см и 9 см. Определите
радиусы окружностей.
Задачи на построение
203. Даны прямая 1 и точка М, не принадлежащая ей. Найдите
на прямой 1 точку, находящуюся на расстоянии 3 см ОТ точ"
ки М. Сколько таких точек может быть?
204. Постройте треуrольник АВС, если АВ = 4 см, ве = 6 см,
АС=7 см.
205. Начертите в тетради разносторонний остроуrольный
треуrольник. Постройте треуrольник, равный данному.
206. Постройте треуrольник АВС, если АВ = 3 см, ве = 4 см,
LB = 500.
207. Постройте треуrольник АВС, если АВ = 3 см, LA = 400,
LB = 700.
208. Постройте равнобедренный треуrольник, основание
KOToporo равно 4 см, а уrол при основании  50°.
209. Постройте треуrольник АВ С, если АВ = 3,5 см, LA = 500,
LC = 110°.
210. Постройте равнобедренный треуrольник, основание
KOToporo равно 2,5 см, а уrол при вершине  700.
211. Начертите в тетради произвольный треуrольник и
постройте ero медианы.
212. Постройте треуrольник по двум
сторонам и медиане, проведенной к
одной ИЗ них.
213. Постройте прямоуrольный тре..
уrольник по двум KaTeTa\l.
214. Постройте равнобедренный прямо..
уrольный треуrольник по ero rипо..
тенузе.
215.О1'метьте в тетради по клеточкам
точки А, В и С (рис.126) и про..
ведите через эти точки окружность.
А
В
С
Рис. 126

Вариант 2
51
216. Даны прямая k и точка Е, не принадлежащая ей. постройте
прямую, проходящую через точку Е и образующую с
прямой k заданный уrол р.
217. постройте rеометрическое место точек, нахОДЯЩИХСЯ на
данном расстоянии от данной точки К.
218. постройте reометрическое место точек, находящихся на
данном расстоянии от данной прямой.
219. постройте rеометрическое место точек  середин хорд за..
данной длины данной окружности.
220. Даны прямая а и точка А, принадлежащая ей. Найдите
точку, удаленную от точки А на 4 см и от прямой а на 3 см.
Сколько решений имеет задача?
221. На данной прямой найдите центр окружности, проходящей
через две данные точки. Коrда задача не имеет решений?
222. На стороне ОА уrла АОВ отметили точку М. найдите точку,
находящуюся на данном расстоянии от точки М и от
стороны ОВ уrла.
223. постройте окружность данноrо радиуса, которая касается
данной прямой и данной окружности.
224. постройте касательную к окружности, которая проходиr
через точку, принадлежащую окружности.
225. Постройте касательную к окружности, параллельную
данной прямой.
226. постройте равнобедренный треуrольник по основанию и
высоте, проведенной к боковой стороне.
227. постройте треуrольник АВС по уrлу А и высотам,
проведенным к сторонам СВ и АС.
228. постройте прямоуrольный треуrольник по катету и сумме
друrоrо катета и rипотенузы.
229. постройте прямоуrольный треуrольник по разности
катетов и уrлу, противоположному меньшему из них.
230. Постройте треуrольник АВС по стороне ВС, уrлу В и сумме
сторон АВ и АС.

52
Тренировочные упражнения
Вариант 3
1.
Простейшие rеометрические фиryры и их свойства
Начертите прямую с и отметьте на ней точку А. Отметьте
точку К, не принадлежащую прямой С, и проведите пря..
мую АК. Moryт ли прямы
e с и АК иметь еще одну общую
точку? О1'вет обоснуйте.
Отметьте в тетради четыре точки Q, L, Т и
F (рис. 127). Через каждые две точки про..
ведите прямую. Запишите все' полученные
прямые.
О1'метьте в тетради точки А, В и С так,
чтобы через них можно было провести
прямую. Запишите все возможные на..
звания этой прямой.
Пользуясь РИСУНКОМ 128:
1) определите, пересекаются ли прямые QR и п;
2) запишите все точки, принадлежащие прямой п; пря..
мой QR;
3) запишите точки, не принадлежащие ни прямой п, ни пря..
мой QR.
2.
.L
Q.
.т
3.
8F
Рис. 127
4.
.L
N Х о
. ..
D
.
s
.
п
· ..4
т.
,
Рис. 128
Рис.129
5.
Какие из точек, отмеченных на рисунке 129, лежат меЖду
двумя друtими? Для каждоrо случая запишите соответ..
ствующее равенство, которое следует из OCHOBHoro свойства
измерения отрезков.
Назовите все отрезки, изображенные на рисунке 130.
А jC В м Q
;O ·
а)
6.
s
6)
Рис. 130

Вариант 3
53
7. Точка r лежит между точками Q и Е. Найдите неизвестное
третье расстояние между данными точками, если:
1) QT = 4,8 см, QE = 8,3 см;
2) QE = 5 м, ТЕ = l м.
8. Может ли точка А лежать между точками D и С, если
AD = 8,6 см, DC = 12,3 см, АС = 3,7 см? Ответ обоснуйте.
9. Точка Р принадлежит отрезку SM, длина KOToporo равна
1 О см. Определите длины отрезков SP и РМ, если:
1) длина отрезка SP на 1,2 см меньше ДЛИНЫ отрезка Р М;
2) длина отрезка РМ в 4 раза больше длины отрезка SP;
3) разность длин отрезков SP и РМ равна 2,2 см;
4) SP:PM =2:3.
10. На прямой последовательно отмечены точки S, Р, R и Т,
РТ = 6 см, SR = 12 см, PR = 2 см. Найдите ST.
11. На прямой последовательно отмечены точки D, Е, F, G и Н
так, что DE = ЕР = FG = GH = 6 см. Какие еще равные
отрезки определяются этими точками? Запишите эти отрез..
ки и найдите их длины.
12. Точка S лежит между точками R и Т, точки Q и м 
середины отрезков SR и ST соответственно. Найдите длину
отрезка RT, если QM = 5,9 дм.
13. О1'резок длиной 16 см состоит из четырех неравных частей.
Расстояние между серединами средних частей равно 4 см.
Найдите расстояние между серединами крайних частей.
14. Точки О, К и М лежат на одной прямой. Найдите
расстояние между точками О и М, если ОК = 8,2 см,
км = 7,3 см. Сколько решений имеет задача?
15. О1'резки АЕ и DF равны, точ"
ка Е  середина отрезка АК
(рис. 131). Докажите, что
DE = FK .
А
.
D Е F К
.. ..
Рис. 1 3 1
16. Длина отрезка EF равна 6,8 см. Отметьте на прямой EF
такую точку О, что ЕО  FO = 4 см. Сколько решений
имеет задача?

54 Тренировочные упражнения
17. Точки V, L, К и М лежат на одной прямой, точка К лежит
между точками L и М. Найдите длину отрезка KV, если
VM = 1 7 см, LM = 11 см, КL = 6 СМ. Рассмотрите все воз..
можные случаи.
18. Длина отрезка DK равна 10 см. Найдите на прямой DK все
точки, для которых сумма расстояний до концов отрезка DK
равна: 1) 8 см; 2) 12 см; 3) 10 СМ.
19. Пересекаются ли изоб.раженные на рисунке 132:
1) прямая MN и отрезок DS;
2) луч ОА и отрезок DS;
З) прямая МN и луч ОА?
О, /N
 М
D. .S
s Е
Рис. 133
Рис. 132
20. На рисунке 1 ЗЗ прямые SP и КЕ пересеКaIOТCJI с прямой TL
в точках О и М соответственно.
1) Запишите все образовавшиеся лучи с началом в точке М.
2) Запишите пары дополнительных лучей, начало которых
 точка О.
11. Сколько различных лучей определяются тремя точками D, Е
и F, не принадлежащими одной прямой?
12. О1'метьте точки S, Р, м и V так, чтобы прямые SM и PV
пересекались, а лучи SM и PV не пересекались.
13. Проведите прямую LМ и отметьте на ней
точки К и D. Запишите все лучи, имеющие
начало в точках К и D. Назовите пары до..
полнительных лучей.
14. Из приведенных обозначений выпишите
все возможные названия уrла с вершиной
О (рис.1З4): KOF; ODP; FOD; DOP; ODF;
ОРК; POD; PDO; PКD; РОК.
о
Рис. 134

Вариант 3
25. Назовите все уrлы, изображенные на рисунке 135.
О
55
в
А
м
6)
Рис. 135
26. Начертите уrол ASB и проведите два луча SK и SP между
ero сторонами. Запишите все образовавшиеся уrлы.
27. Пользуясь транспортиром, найдите rрадусную меру уrлов,
изображенных на рисунке 136. Определите вид каждоrо
уrла.
а)
в)
к о
р
R
D
Рис. 136
28. Начертите уrол, rрадусная мера KOToporo равна: 1) 680;
2) 930; 3) 1680; 4) 900. Определите вид каждоrо уrла.
29. Постройте острый уrол MOD. Пользуясь транспортиром,
разделите ero на две равные части.
30. Луч FE проходит между сторонами уrла DFQ. Найдите
rрадусную меру уrла DFQ, если L.DFE = 470, LEFQ = 190.
31. Проходит ли луч SA между сторонами уrла DSB, если
LDSB = 920, LASB = 930? О1'вет обоснуйте.
32. Луч OD проходит между сторонами уrла АОВ. Найдите
уrол DOB, если LAOB = 1080, LAOD = 870.
33. Лучи MD и MF проходят между сторонами уrла СМЕ.
Найдите уrол DMF, если LCME = 1060, LCMD = 570,
LFМЕ=З40.
34. Луч 'E проходит между сторонами уrла ASB, paBHoro 940.
Найдите уrлы ESA и ESB, если уrол ESA меньше уrла ESB
на 320.

56 Тренировочные упражнения
35. Уrол АВС равен 1050. Луч BD проходит между ero СТОрО"
нами. Найдите уrлы ABD и CBD, если их rpaдycHbIe меры
относятся как 4 : 11.
36. На рисунке 137 LКAF=54°, L-PAE=68°, LКAE=94°.
Найдите уrол Р АР.
s
Рис. 137
37. На рисунке 138 LAST = 53°,
Найдите уrол TSP.
38. Развернутый уrол разделили на два уrла, разность rpaдyc..
ных мер которых равна 28°. Найдите образовавшиеся уrлы.
39. Прямой уrол разделили на 3 уrла, один из которых в 2 раза
больше BToporo и в 3 раза меньше третьеrо. Найдите
величины этих уrлов.
40. Луч ОК проходит между торонами 'уrла POL. Луч OF 
биссектриса уrла РОК, луч ОТ  биссектриса уrла KOL.
Найдите уrол POL, если ПОТ = 76°.
41. Уrлы BAD и САЕ равны (рис. 139). Докажите, что если
LDAC=L-EAF, то LBAD=LDAF.
А
р
Рис. 138
LESP=48°, LASE=24°.
о
L
т
м
Рис. 139 Рис. 140
42. На рисунке 140 LDOF = LFOL, LLOT = LTOM. Дока..
жите, что уrол FOT в 2 раза меньше уrла пом.
43. Уrол между биссектрисой уrла и продолжением одной из
ero сторон равен 116°. Найдите данный уrол.
44. Какой уrол образует биссектриса уrла, paBHoro 1060, с
продолжением одной из ero сторон?

Вариант 3
57
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
Смежные и вертикальные уrлы
Moryт ли два смежных уrла быть равными: 1) 480 и 1320;
2) 830 и 107°; 3) 23° и 1470? О1'ветобоснуйте.
Найдите уrол, смеукный с уrлом: 1) 70;
2) 690; 3) 179°; 4) 90°; 5) 910.
Может ли пара смежных уrлов состоять из
двух тупых уrлов? О1'вет обоснуйте.
Являются ли смежными уrлы СОВ и DOA
(рис.141)? Запишите все пары смежных
уrлов, изображенных на рисунке.
Уrлы ASC и DOF равны. Что можно сказать
о смежных им уrлах? О1'вет обоснуйте.
Найдите смежные уrлы, если их разность равна 56°.
Один из смежных уrлов в 3 раза меньше друrоrо. Найдите
эти уrлы.
Найдите смежные уrлы, если их rpaдycHbIe меры относятся
как 7 : 8.
Два уrла относятся как 1 : 4, а смежные с ними  как
14 : 11. Найдите данные уrлы.
На рисунке 142 уrол PSM равен 58°. Найдите уrлы PSN,
NSK, KSM.
А
о
в с
Рис. 141
р
к
Рис. 142
Рис. 144
55. Верно ли утверждение, что если равные уrлы имеют общую
вершину, то они вертикальны?
56. На рисунке 143 LFOK = 21 о, L-LOD = 630. Найдите
уrол NOH.
57. На рисунке 144 LPSQ+L.QSF+LFSK=290°. Найдите уrлы
PSQ " QSF.
58. Разность двух из уrлов, образовавшихся при пересечении
двух прямых, равна 64°. Найдите эти уrлы.

65.
66.
67.
58
59.
Тренировочные упражнения
Один из уrлов, образовавшихся при пересечении ДВуХ при..
МЫХ, В 8 раз больше друrоrо. Найдите ЭТИ уrлы.
Найдите величину каждоrо из уrлов, образовавшихся при
пересечении двух прямых, если:
1) сумма двух из них равна 760;
2) разность двух из них равна 1240;
3) все уrлы ра&ны между собой;
4) сумма трех из них равна 2360.
ОДИН из уrлов, образовавшихся при пересечении ДВУХ при..
мых, В 2 раза больше суммы смежных с ним уrлов. Найдите
эти уrлы.
Три прямые пересекаются в одной точке С (рис. 145).
Найдите уrол DCK, если он на 25 о больше уrла РСТ и в
2 раза больше уrла KCF.
К
60.
61.
62.
D
А
м
F
с

D Е
F
63.
р т
Рис. 145 Рис. 146
На рисунке 146 LADC = LCEF. Докажите, что L-CDE =
= L-CED.
На рисунке 146 LCDE = L-CED.
Докажите, что LADC == LCEF.
Прямые MD, РЕ и КF пересекаются
в точке О, причем луч ОР 
биссектриса уrла MOF (рис. 147),
LMOP = 580. Найдите LEOF.
Найдите смежные уrлы MКF и МКЕ,
если биссектриса КL уrла МКЕ
образует с лучом КF уrол, который больше уrла LКE в
3 раза.
64.
Перпендикулярные прямые
Начертите прямую 1 и отметьте точку N, не принадлежащую
1. С помощью чертежноrо уrольника проведите через точку
N прямую, перпендикулярную прямой 1.

Вариант 3
59
68. Проведите прямую р и отметьте точку С, принадлежащую
ей. Про ведите через точку С ПРЯМУ10, перпендикулярную
прямойр, пользуясь чертежным уrольником.
69. На рисунке 148 уrлы ASK и MSC пря..
мые. Докажите, что LASM = LKS.C.
70. Уrлы АОВ и АОС равны между
собой, а точки В, О и С лежаl ВЗ
одной прямой. Докажите, что уrлы
АйВ и АОС прямые.
71. Даны прямая CD и точка А,
принадлежащая ей. Точки К и р ле..
жат в разных ПОЛУПЛОСКQС'fЯХ относительно прямой CD. ДО..
кажите, что если LКAD == LDAP = LPAC' = LCAK, то пря..
мая КР проходит через А и перпендикулярна прямой CD.
72. Как, используя шаблон уrла в 60, построить перпендику..
лирные прямые?
Равные треуrольники. ПерИl\fетр треуrольника
73. Укажите все треуrольники, изобра.. Br
женные на рисунке 149, одной из
вершин которых является точка А.
74. Треуrольники OST и MNP равны,
причем TOpOHЫ ОТ И МN и уrлы О
и N соответственные.
1) Найдите сторону МР и уrол Т,
если ST = 7 дм, LМ = 150.
2) Может ли периметр треуrольника OST быть больше, чем
периметр треуrольника MNP?
75. Одна сторона треуrольника равна 32 СМ, вторая сторона в
2 раза меньше первой, а третья сторона на 19 см больше
второй. Найдите периметр треуrольника.
76. Одна сторона треуrольника на 39 см меньше второй и в
3 раза меньше третьей. Найдите стороны треуrольника, если
ero периметр равен 189 СМ.
Первый и второй признаки равенства треуrо..ьвиков
77. Orpезки АВ и AD равны, луч АО  биссектриса уrла ВАп, С
 произвольная точка луча АО. Докажите равенство
треуrольников АВС и АпС.
к
А
s
Рис. 148
в
А.
С,
с
Рис. 149

60
Тренировочные упражнения
78. Докажите равенство треуrольников ABD и ACD (рис. 150),
если АВ = АС и LB,,4D = LCAD.
А
А D
в D
Рис. 150
Рис. 151
к
Е
L
т
р м F
Рис. 152
79. Докажите равенство треуrольников ABD и DCA (рис. 151),
если АВ = CD и LBAD = LCDA.
80. Докажите равенство отрезков КМ и ЕМ (рис. 152), если
LКPT=LEFL, MP=MF, КP=EF.
\
81. Точка М  середина стороны АВ треуrольника АВС. На
луче СМ от точки М отложили отрезок MD, равный СМ.
Найдите ВС, если AD = 3,4 СМ.
82. На сторонах АВ и ВС треуrольника АВС отметили такие
точки Е и К, что АЕ = СК. Известно, что АВ = ве. Дока..
жите равенство треуrольников АВК и СВЕ.
83. Точку Р, лежащую внутри уrла MDE, соединили с точкоЙD
и к отрезку DP через точку Р провели перпендикулярную
прямую, пересекающую стороны уrла в точках L и F,
причем PL = PF. Докажите, что LLDP = LFDP.
84. В треуrольнике DEF из точки Е опущен перпендикуляр на
сторону DF, пересекающий ее в точке К. Докажите, что
если DK = FK, то ED = EF.
85. На прямой а отмечены трчки А и
В. В разных полуплоскостях отно"
сительно прямой а отмечены та..
кие точки D и Е, что LDAB =
LEAB и LDBA = LABE. Докажи..
те, что треуrольники ВАп и ВАЕ
равны.
86. Докажите равенство треуrоль..
ников SКD и SMP (рис. 153), если
SM =SK и LSMP=LSКD.
Рис. 153

Вариант 3
61
91.
92.
93.
94.
95.
87. Докажите равенство треуrольников АВС и FED (рис. 154),
если AD == CF, LBAC == LEFD и L-BCA == LEDF.
к В
А
Рис. 154 Рис. 155
88. Докажите равенство уrлов BAD и ВСЕ (рис. 155), если
LBEF == LBDK и ВЕ == BD .
89. На биссектрисе уrла А отметили точку В и через нее
провели прямую, перпендикулярную биссектрисе уrла. Эта
прямая пересекает стороны уrла в точках М и К. Докажите,
что ВМ == ВК.
90.
Биссектриса уrла Е треуrольника
DEF пересекает сторону DF в точ"
ке Р. На сторонах ED и EF выбра- р
ны соответственно точки М и N
такие, что L.J.\fPE == LNPE. Дока- М
жите, что РМ == PN.
На рисунке 156 СМ == РА,
LC == LA, LCPK == L.AMK. Дока..
жите, что LСКМ == LAКP.
Докажите равенство остроуrольных треуrольников по высо-
те и уrлам, которые она образует со сторонами уrла, из
веРllIИНЫ KOToporo она проведена.
Равнобедренный треуrольник и ero свойства
Основание равнобедренноrо треуrольника равно 4 см, а
боковая сторона  11 см. Найдите периметр треуrольника.
Периметр равнобедренноrо треуrольника равен 26 см, а
основание  8 СМ. Найдите боковую сторону.
Периметр paBHocTopoHHero треуrольника равен 18 СМ. На
ero сторонах во внешнюю часть построены равные
равt-Iобедренные треуrольники, сумма периметров которых
равна 60 c. Найдите стороны этих равнобедренных
треуrольников.
с
к
А
Рис. /56

62
Тренировочные упражнения
96. Найдите стороны равнобедренноro
треуrолъника, если ero периметр pa
вен 46 СМ, а основание на 4 см боль
ше боковой стороны.
97. Найдите стороны равнобедренноrо
треуrольника, если ero периметр
равен 78 см, а боковая сторона Рис. 157
составляет 0,8 основания.
98. На рисунке 157 MN = NK. Докажите, что Ll = L2.
99. О1'резок ЕК является медианой равнобедренноrо тре..
уrольника DEF (DE = EF), LDEF = 700, пк = 15 см.
Найдите уrлы DEK, DКE и основание DF.
100. В треуrольнике АВС АВ = ВС, вп  биссектриса уrла В.
Найдите периметр треуrольника ABD, если BD = 17 см, а
периметр треуrольника АВС равен 68 СМ.
101. В треуrолънике КLМ км = LМ = 24 см. Серединный
перпендикуляр стороны LM пер.есекает сторону км в точке
N (рис. 158). Найдите сторону LK, если периметр
треуrольника LКN равен 36 см.
L Т
м
А
Рис. /58
102. На сторонах АВ и ВС равно..
бедренноrо треуrольника АВС
( АВ = ве ) отложены равные
отрезки AD и СЕ (рис. 159).
Докажите, что АЕ == CD.
103. Биссектрисы уrлов А, В и С
А
paBHocTopoHHero треуrольника
АВС пересекают стороны ВС, АС
и АВ в точках А), 01 И С.
соответственно (РИС. 160). Докажите,
А)В )С.  равносторонний.
с
Рис. 159
В
с
01
Рис. 160
что треуrольник

Вариант 3
63
104. BD  высота равнобедренноrо треуrольника АВС
( АВ = ВС). Биссектриса уrла А пересекает BD в точке О.
Докажите, что СО  биссектриса уrла С треуrольника АВС.
105. Докажите равенство равнобедренных треуrольников по
высоте, проведенной к боковой стороне, и уrлу, который
она образует с основанием.
Признаки равнобедренноrо треуrольника
106. На рисунке 161 Ll = L2. Докажите, Е
что DE=EF.
107. На биссектрисе DB равнобедренноrо
треуrольника DEF с основанием EF
отметили точку А. Докажите, что Tpe
уrольник AEF равнобедренный.
108. На рисунке 162 LKSP = LKSN,
PS = SN. Докажите, что МРЕ = ЫCNE.
Р
N L N
Рис. 162 Рис. 163
109. На рисунке 163 LD = DN, LOLN = L.ONL. Докажите, что
blJLO = blJNO.
Третий признак равенства треуrольников
110. На рисунке 164 АВ = CD, ве = AD. Докажите, что
МВС = I1CDA.
111. На рисунке 65 мр = РЕ, мр = FE. Докажите, что МК = КЕ.
р К
к
Е
А
с
Рис. 161
D
Е
м к Е С
Рис. 164 Рис. 165 Рис. 166
112. На рисунке 166 КЕ = CF , КF = СЕ . Докажите, что
LКEF = LCFE.

64
Тренировочные упражнения
113. Точка пересечения медиан треуrольника равноудалена от
ero вершин. Докажите, что этот треуrОЛЬНИk равносто..
ранний.
114. На прямой а отметили точки М и Р. Точки Е и К лежат в
ра.1НЫХ полуплоскостях относительно прямой а, причем
ЕМ = МК , ЕР = РК . Докажите, что прямые а и ЕК
перпенДикулярны.
115. Докажите равенство треуrольников по двум сторонам и
медиане, проведенной к третьей стороне.
Метод доказательства от противноrо
116. Докажите от противноrо, что если два луча делят раз..
вернyrый уrол на три уrла, то среди этих уrлов хотя бы
один не больше, чем 600.
117. Докажите от противноrо, что если разность двух уrлов
равна 30, то они не MOryт быть вертикальными.
Параллельиые прямые
118. Проведите прямую Ь и отметьте точку F, не принадлежа..
щую ей. Проведите через точку F прямую, параллельную
прямой Ь.
119. На рисунке 167 изображены две пере..
секающиеся прямые Ь и т и точка N,
не принадлежащая ни одной из них.
Проведите через точку N прямые,
параллельные прямым Ь и т. Рис. J 67
120. Начертите остроуrольный треуrольник
и через каждую ero вершину проведите прямую, параллель..
.
ную противоположной стороне.
121. Прямая с параллельна стороне сп треуrольника CDE.
Может ли прямая с быть параллельной сторонам СЕ и DE?
О1'вет обоснуйте.
122. Докажите от ПрОТИвноrо, что если прямые а и Ь парап..
лельны и прямая с не пересекает прямую а, то она не
пересекает и прямую Ь.
Признаки параллеJlЬВОСТИ двух прямых
123. На рисунке 168 укажите все пары разносторонних, односто-
ронних и соответственных уrлов.
124. Параллельны ли прямые с и d, На рисунке 169?

Вариант 3
65
N М
Рис. 168
с
d
Рис. 169
125. На рисунке 170 АВ = CD, ВС = Ап. Докажите, что
АВ 11 CD и ве 11 AD.
126. На рисунке 171 L1 = L2. Докажите, что прямые с и d
параллельны.
А
Рис. 170
с
с
d
Рис. 172
127. На рисунке 172 NK = мр и LMКN = LКМР. Докажите,
что прямые MN и РК параллельны.
Свойства параллельиых прямых
128. На ОДНОЙ из сторон уrла АВС отметили точку D, чере'3
которую провели прямую, параллельную вс. Эта прямая
пересекает биссектрису уrла АВС в точке М. Найдите уrлы
треуrольника BDM, если LABC = 700.
129. На рисунке 173 найдите rрадусную меру уrла х.
а)
Рис. J 71
б)
Рис. 173
в)

66
130. На рисунке 174
СМ = РМ .
С
Тренировочные упражнения
СЕ = ЕК , РМ 11 КБ. Докажите, что
р
к
А В
500

С D
Рис. 174 Рис. 175
131. На рисунке 175 4B 11 CD, LBAO = 1500, LOCD = 200.
Найдите rрадусную меру уrла АОС.
Сумма уrлов треуrольника
132. Существует ли треуrольник с уrлами 300, 1200 и 400?
133. Найдите третий уrол треуrольника, если два ero уrла
равны: 1) 310 и 240; 2) 170 и 1310; 23) 10 и 70.
134. Уrол при вершине равнобедренноrо треуrольника равен
220. Найдите уrлы при основании.
135. Уrол при основании равнобедренноrо треуrольника равен
290. Найдите уrол при вершине.
136. Найдите неизвестные уrлы треуrольника DEF (рис. 176).
Е
6)
Рис. 176
137. Найдите неизвестные уrлы треуrольника мрр (рис. 177).
Р F
Е

71}'1> F
D
а)
а)
б)
Рис. 177
Е
в)
F
в)

Вариант 3
67
138. Найдите уrлы треуrольника АВ С, если LA + LB = 200,
LA+LC=175°.
139. Найдите уrлы равнобедренноrо треуrольника, если уrол
при основании на 48° меньше, чем уrол при вершине.
140. Найдите уrлы . равнобедренноrо треуrольника, если
rpaдycHbIe меры уrла при основании и уrла при вершине
относятся как 2 : 5.
141. Найдите уrлы треуrольника, если один из них в 2 раза
больше Bтoporo и в 3 раза меньше тpeTbero.
142. Один из уrлов треуrольника в 3 раза меньше BToporo и на
400 меньше тpeтbero. Найдите уrЛbl треуrольника.
143. Уrол при основании равнобедренноrо треуrольника равен
300. Найдите уrол между боковой стороной треуrольника и
высотой, проведенной ко второй боковой стороне.
144. Один из уrлов треуrольника на 26° больше друrоrо. При
пересечении биссектрис этих уrлов образуются уrлы, один
из которых равен 120°. Найдите уrлы треуrольника.
145. В треуrольнике АВС LA = 23°, LB = 760. Биссектриса уrла
В пересекает сторону АС в точке F. Найдите уrол BFC.
146. Уrлы треуrольника относятся как 1 : 2 : 3. Найдите мень..
ший из уrлов, образовавшихся при пересечении биссектрис
больших уrлов треуrольника.
147. Продолжения высот, проведенных из вершин А и В
треуrольника АВС, пересекаются в точке Н, LA = 15°,
LB = 23°. Найдите уrол АНВ.
148. Orpезки DH и DK  высота и биссектриса треуrольника
DME соответственно, LDME=1230, LDEM =19°.
Найдите уrол HDK.
149. В треуrольнике АВС LC = 126°, отрезки AD и AN 
высота и биссектриса треуrольника соответственно,
LDAN = 480. Найдите неизвестные уrлы треуrольника
АВС.
150. Биссектрисы уrлов треуrольника МРК пересекаются в
точке О, LMOK = 126°. Найдите уrлы мор и РОК, если
LPMK =56°.

68
Тренировочные упражнения
151. Один из уrлов равнобедренноrо треуrольника на ЗЗО
больше друrоrо. Найдите уrлы треуrОJlьника. Рассмотрите
два случая.
,152. Найдите уrлы равнобедренноrо треуrольника, если два из
них относятся как 2 : 5. Рассмотрите два случая.
ВнеШllНЙ уrол треуrольника
153. Один из внешних уrлов треуrольника равен 87°. Найдите
уrлы треуrольника, не смежные с ним, если один из них
равен: 1) 43°; 2) 86°; 3) 240.
154. ОДИН из внешних уrлов треуrольника равен 128°. Найдите
уrлы треуrольника, не смежные с ним, если:
1) один из них на 460 меньше друrоrо;
2) один из них в 7 раз больше друrоrо.
155. Один из уrлов треуrольника равен 960. Может ли внешний
уrол треуrольника, не смежный с ним, быть равным: 1) 920;
2) 970?
156. В треуrольнике АВС LA = 320, LB = 49°. Найдите внеш..
ние уrлы, построенные по одному при каждой вершине
треуrольника.
157. Один из внешних уrлов треуrольника равен 158°, а один из
уrлов треуrольника  570. Найдите остальные уrлы тре..
уrольника.
158. I'paдYCHbIe меры двух внешних уrлов треуrольника равны
1520 и 141°. Найдите третий внешний уrол треуrольника.
159. Внешний уrол равнобедренноrо треуrольника равен 1240.
Найдите уrлы треуrО]Jьника.
160. Сумма уrлов равнобедренноrо треуrольника и одноrо из
ero внешних уrЛО8 равна 2860. Найдите уrлы треуrольника.
161. Один из уrлов треуrольника в 3 раза больше BToporo, а
внешний уrол тpeтbero уrла равен 280. Найдите уrлы
треуrольника.
162. Докажите, что биссектриса внешнеrо уrла при вершине
равнобедрен Horo треуrольника параллельна основанию
этоrо треуrольника.

Вариант 3
69
Прямоуrольный треуrольник
163. Найдите второй острый уrол прямоуrольноrо треуrольника,
если первый равен: 1) 1 о; 2) 230; 3) 750; 4) 880.
164. Один из острых уrлов прямоуrольноrо треуrольника на 460
меньше друrоrо. Найдите эти уrлы.
165. Острые уrлы прямоуrольноrо треуrольника относятся как
2 : 7. Найдите эти уrлы.
166. Найдите уrлы, которые образует высота прямоуrольноrо
треуrольника, проведенная к rипотенузе, с катетами, если
один из острых уrлов треУI"ольника равен 3 70.
167. Биссектрисы ocтporo и прямоrо уrлов прямоуrольноrо тре..
уrольника при пересечении образуют уrлы, один из кото..
рых равен 110°. Найдите острые уrлы треуrольника.
168. Разность между острыми уrлами прямоуrольноrо треуrоль..
ника равна 380. Найдите уrол между биссектрисой и
высотой, проведенными из вершины прямоrо уrла.
169. В прямоуrольном треуrольнике ОДИН из острых уrЛО8
меньше уrла между биссектрисой и высотой, проведенными
к rипотенузе, на 290. Найдите острые уrлы треуrольника.
170. На рисунке 178 MN = КР, NE = PF, NE .1. МК, PF .1. МК.
Докажите, что МР = ИК .
171. Докажите равенство прямо.. К
уrольных треуrольников по
катету и биссектрисе, прове..
денной из вершины прилежа...
щеrо к этому KaTery oCTporo М
уrла. Рис. /78
172. Докажите, что если медиана
равна половине стороны, к которой она проведена, то уrол
напротив этой стороны равен 900.
Свойства прямоуrольноrо треуrольника
173. В прямоуrольном треуrольнике МРК катет МК равен
23 см, LP = 300. Найдите rипотенузу МР.
174. В прямоуrольном треуrольнике CFO rипотенуза СО равна
42 см, LO = 600. Найдите катет РО.
175. В треуrольнике АВС LC = 900, АС = ве = 16 см, К  сере..
дина АС. Через точку К проведена прямая, перпендикуляр"

70
Тренировочные упражнения
ная катет)' АС, пересекающая rипотенузу АВ в точке Р.
Найдите длину отрезка КР.
176. В треуrольнике АВС АВ = 8С = 6 см, LA == 750. Найдите
высоту AD.
177. В "рямоуrольном треуrольнике АВС L-C = 900, LA = 300.
Биссектриса уrла В пересекает катет АС в точке М. Найдите
ВМ, если АМ  СМ = 4 см.
Окружность. Некоторые свойства окружности
178. Вычислите диаметр окружности, если ее радиус равен:
1) 4 см; 2) 3,7 С\1; З) h СМ.
179. Вычислите радиус окружности, если ее диаметр равен:
1) 8 см; 2) 11,8 см; 3) k СМ.
180. Начертите окружность, радиус которой равен 2,5 СМ.
Проведите в ней радиус, диаметр и хорду.
181. Дана окружность с центром о. Сколько точек пересечения
имеет окружность: 1) с прямой ОМ; 2) с лучом ОМ?
182. Какую линию образуют все точки, расстояние которых до
центра окружности в 3 раза меньше радиуса? OrBeт
обоснуйте.
183. В окружности проведены радиусы ОА, ОВ и ОС (рис. 179).
Докажите, что если LAOB = LCOB, то АВ = ВС.
184. На рисунке 180 АВ  диаметр окружности, АС и AD 
равные хорды. Докажите, что LCAB = LDAB.
в
А
с
А
Рис. 179
Рис. 180
Рис. 181
185. На рисунке 181 LADF = 63 О, точка О  центр окружности.
Найдите уrол А OF.
186. Докажите, что если хорды параллельны, то прямая, про..
ходящая через их середины, проходит и через центр
окружности.

Вариант 3
71
187. На рисунке 182 хорда АС пересекает диаметр КР в точке М,
LCME=60°, АМ=6см, СМ=12см.НайдитеВЕ.
С
р
D
Рис. 182
Рис. 183
188. Две окружности с центрами 01 и 02 пересекаются в ТОЧ"
ках С и D. Докажите, что луч 01 02  биссектриса
уrла СО. D .
189. Две окружности имеют общий центр О (рис. 183). Сумма
радиусов окружностей больше их разности на 6 см,
CD = 4 см. Найдите радиусы окружностей.
Касательная к окружности
190. К окружности проведены две касательные. Отрезок, соеди..
няющий точки J{асания, проходит через центр окружности.
Докажите, что касательные параллельны.
191. Из точки М, лежащей вне окружности с центром О, про..
ведены к ней касательные МВ и МЕ (В и Е  точки ка..
сания). Докажите, что прямые ВЕ и ОМ перпендикулярны.
192. На рисунке 184 прямая т касается окружности с центром О
в точке Е. Найдите уrол СОЕ, если LКEP = 1360.
А
с
Рис. 185
193. Два окружности, радиус одной из которых в 2 раза больше
радиуса друrой, имеют общий центр (рис. 185). Из точки А

72
Тренировочные упражнения
окружности большеrо радиуса провели к друrой о круж"
ности касательные, пересекающие первую окружность в
точках В и с. Найдите уrол ВАС.
194. К окружности проведены касатель"
ные ВМ и ВК (рис. 186). Через точку
D окружности провели еще одну
касательную так, что она пересекает
прямые ВМ и вк в точках А и С
соответственно таких, что ABC 
равносторонний. Найдите отрезок
ВМ, если AD = 5 см.
Рис. 186
Описанная и вписанная окружности треуrольника
195. В треуrольнике центр описанной окружности лежит на
пересечении двух медиан. Докажите, что этот треуrольник
равносторонний.
196. В треуrольнике центр вписанной окружности принадлежит
серединному перпендикуляру ero стороны. Докажите, что
этот треуrольник равнобедренный.
197. Периметр треуrольника АВС, описанноrо около окруж"
ности, равен 24 см. Окружность касается стороны АВ в
точке М, причем отрезок АМ на 2 см больше отрезка ВМ.
Найдите стороны треуrольника, если точка касания со
стороной АС удалена от вершины А на 4 см.
Взаимное расположение двух окружностей
198. Общая точка D окржностей с D
центрами 01 и 02 лежит на прямой
0102 (рис. 187). Докажите, что D 
точка касания этих окружностей.
199. Радиусы двух окружностей равны
9 см и 15 см. Найдите расстояние
между их центрами, если окружности
имеют: 1) BнyrpeHHee касание; Рис. 187
2) внешнее касание.
200. Два окружности имеют внешнее касание. Расстояние
между их центрами равно 36 см. Найдите радиусы
окружностей, если они относятся як 5 : 7.

Вариант 3
73
201. Расстояние между центрами двух окружностей равно t 6 СТ\1.
Определите, пересекаются ли эти окружности, если их ра..
диусы равны: 1) 9 см и 10 см; 2) 11 см и 5 см; 3) 8 см и 8 СМ.
202. Три окружности попарно касаются друr друrа внешним
образом. Отрезки, соединяющие их центры, образуют тре..
уrольник со сторонами 5 см, 6 см и 7 см. Определите
радиусы окружностей.
Задачи на построение
203. Даны прямая Ь и точка К, не принадлежащая ей. Найдите
на прямой Ь точку, находящуюся на расстоянии 2,5 см от
точки К. Сколько таких точек может быть?
204. Постройте треуrольник SEF, если SE = 4 см, EF = 5 см,
SF =8 см.
205. Начертите в тетради разносторонний тупоуrольный
треуrольник. Постройте треуrольник, равный данному.
206. Постройте треуrолъник PQR, если PQ = 3 см, QR = 2,5 CM
L-Q = 950.
207. Il0стройте треуrольник LТN, если LN = 3 см, LL = 40С,
LN = 1000.
208. Постройте равнобедренный треуrольник, боковая сторона
KOToporo равна 2,5 см, а уrол при вершине  110°.
209. Постройте треуrолъник MSE, если MS = 3 см, LM = 100,
LE = 400.
210. Постройте равнобедренный треуrольник, боковая сторона
KOToporo равна 2,5 см, а уrол при основании  400.
211. Начертите в тетради остроуrольный
треуrольник и постройте ero высоты.
212. Постройте равнобедренный тре..
уrольник АВС по биссектрисе АМ,
основанию АВ и уrлу ВАМ.
213. Постройте прямоуrольный тре..
уrольник по катету и противопо--
ложному уrлу.
214. Постройте равнобедренный прямо.. Рис. 188
уrольный треуrольник по ero катету.
215. Отметьте в тетради по клеточкам точки S, т и F (рис. 188) и
проведите через эти точки окружность.
т
s
F

74
Тренировочные упражнеия
216. Даны точки А и В. Через эти точки проведите
соответственно прямые т и п так, чтобы т 11 n. Сколько
решений имеет задача?
217.Постройте rеометрическое место точек центров
окружностей, проходящих через две заданные точки.
218. Постройте rеометрическое место точек, равноудаленных от
двух параллельных прямых.
219. Постройте rеометрическое место точек центров
окружностей данноrо радиуса, проходящих через данную
точку.
220. На прямой а отметьте точки А и В. Найдите точку,
равноудаленную от тоЧ'ек А и В и находящуюся на данном
расстоянии от прямой а. Исследуйте количество решений.
221. Даны две параллельные прямые и точка, лежащая между
ними. Постройте окружность, касающуюся этих прямых и
проходящую через данную точку. Сколько решений имеет
задача?
222. Постройте окружность данноrо радиуса, которая касается
одной стороны данноrо уrла и имеет центр на друrой ero
стороне.
223. Постройте окружность данноrо радиуса, которая касаетср
двух данных пересекающихся прямых.
224. Две окружности имеют внешнее касание. Постройте их
общую касательную, проходящую через точку касания.
225. Постройте касательную к окружности, пересекающую
данную прямую под данным уrлом.
216. Постройте равнобедренный треуrольник по уrлу при осно"
ванин и высоте, проведенной к боковой стороне.
227. Постройте треуrольник по стороне и высотам, лроведен"
ным к двум друrим сторонам.
228. постройте прямоуrольный треуrольник по сумме катетов и
rипотенузе.
229. Постройте прямоуrольный треуrопьник по разности
катетов и уrлу против большеrо из них.
230. Постройте треуrольник АВС по стороне ВС, уrлу С и
разности сторон АС и АВ.

Вариант 4
75
Вариант 4
1.
Простейшие rеометрнческие фuryры u их свойства
Проведите прямую т и отметьте на ней точку Е. OrмeтьTe
точку F, не принадлежащую прямой т, и проведите прямую
EF. Moryr ли прямые т и EF иметь еще одну общую точку?
О1'вет обоснуйте.
О1'метьте в тетради четыре точки С, М,
D и N (рис. 189). Через каждые две
точки проведите прямую. Запишите все
'полученные прямые.
О1'метьте в тетради точки Р, Q и R так,
чтобы через них можно было провести
прямую. Запишите все возможные на..
звания этой прямой.
Пользуясь рисунком 190:
1) определите, пересекаются ли прямые MN и с;
2) запишите все точки, принадлежащие прямой с; оря..
мой MN;
3) запишите точки, не принадлежащие ни прямой С, ни оря..
мой MN.
2.
с.
М.
.D
з.
н.
Рис. 189
4.
L.
с F
. .
.р
D Е
. .
Рис. 190 Рис. 191
5. Какие из точек, отмеченных на рисунке 191, лежат между
двумя друrими? Для каждоrо случая запишите соответ..
ствующее равенство, которое следует из OCHoBHoro свойства
измерения отрезков.
6. Назовите все отрезки, изображенные на рисунке 192.
S к к L
А
F
v
а)
б)
Рис. 192

76 Тренировочные упражнения
7. Точка S лежит между точками Р и К. Найдите неизвестное
третье расстояние между данными точками, если:
1) PS = 3,4 дМ, SK = 1,9 дм;
2) РК = 3 М, SK = }4} М.
8. Может ли точка Q лежать меЖДу точками Р и R, если
PQ = 4,7 ДМ, QR = 5,8 ДМ, PR = 9,5 дм? О1'вет обоснуйте.
9. Точка V принадлежит отрезку LO, длина KOToporo равна
12 СМ. Определите длины отрезков LVи VO, если:
1) длина отрезка VO больше длины отрезка L V на 1,8 см;
2) длина отрезка L V меньше длины отрезка VO в 5 раз;
3) разность длин отрезков LVи VO равна 2,8 см;
4) L V : VO = 1 : 5 .
10. На прямой последовательно отмечены точки F, L, К и Т,
FK = 7 см, РТ = 14 см, LT = 9 см. Найдите КL.
11. На прямой последовательно отмечены точки S, Т, К, N, Q
так, что ST = ТК = КN = NQ = 7 СМ. Какие еще равные от..
резки определяются этими точками? Запишите ЭТИ отрезки
и найдите их длины.
12. Точка А лежит между точками Х и У, точки О и Р 
середины отрезков АХ и А У соответственно. Найдите длину
отрезка ОР, если ХУ = 7,8 см.
13. Отрезок состоит из четырех неравных частей. Расстояние
между серединами средних частей равно 4 см, а расстояние
между серединами крайних частей  12 СМ. Найдите длину
отрезка.
14. Точки D, Е и F лежат на одной прямой. Найдите расстоя.ние
между точками D и F, если DE = 3,6 см, EF = 2,9 см.
Сколько решений имеет задача?
15. Отрезки МК и РЕ равны М Р К Е N
.. .. .
(рис. 193). Докажите, что если
РК = EN, то точка К  середина Рис. 193
отрезка МN.
16. Длина отрезка CD равна 7,6 СМ. О1'метьте на прямой CD
такую точку К, что СК  КD == 1 СМ. Сколько решений имеет
задача?

Вариант 4
77
17. Точки Р, R, S и Т лежат на одной прямой, точка R лежит
между точками Р и s. Найдите длину отрезка RT, если
РТ = 16 см, PS = 9 см, SR = 8 см. Рассмотрите все возмож"
Hbre случаи.
18. Длина отрезка СР равна 9 СМ. Найдите на прямой СР все
точки, для которых сумма расстояний до концов отрезка CF
равна: 1) 8 см; 2) 10 см; З) 9 см.
19. Пересекаются ли изображенные на рисунке 194:
1) прямая КN и отрезок МЕ;
2) луч SB и отрезок МЕ;
З) прямая КN и луч SB?
.
м
.
Е
Рис. 194
20. На рисунке 195 прямые DC и АВ пересекаются с прямой КТ
в точках О и S соответственно.
1) ЗаПИU1Ите все образовавшиеся лучи с началом в точке s.
2) Заl1ишите пары дополнительных лучей, начало которых
точка о.
21. Сколько различных лучей определяются тремя точками 
М и К, принадлежащими одной прямой?
22. О1'метьте точки S, в, Q и L так, чтобы прямые SQ и BL
пересекались, а лучи SQ и BL не пересекались.
23. Проведите прямую TF и отметьте на ней
точки V и R. Запишите все лучи, имею..
щие начало в точках V и R. Назовите пары
дополнительных лучей.
24. Из приведенных обозначений выпишите
все возможные названия уrла с вершиной
S (рис. 196): DSL; SDY; SDX; LSX; DSY;
LYD; XYL; LSY; SYX; SYD.
s
L
Рис. 19б

78
Тренировочные упражнения
25. Назовите все уrлы, изображенные на рисунке 197.
А В F L
С
б)
Рис. 197
26. Начертите уrол МXD и проведите два луча ХЕ ...и XF между
ero сторонами. Запишите все образовавшиеся уrлы.
27. Пользуясь транспортиром, найдите rрадусную меру уrлов,
изображенных на рисунке 198. Определите вид каждоrо
уrла.
в)
Р L
D
с
в
Рис. 198
28. Начертите уrол, rpадусная мера Koтoporo равна: 1) 730;
2) 90°; 3) 890; 4) 173°. Определите вид каждоro yrла.
29. постройте тупой yrол МТF. Пользуясь транспортиром, раз..
делите ero на две равные части.
30. Луч SO проходит между сторонами уrла ASB. Найдите
rpадусную меру уrла ASB, если LOSA = 47°, LOSB = 640.
31. Может ли луч ОА проходить между сторонами yrпa EOF,
если LEOF = 1040, LFOA = 1030 ? OrBeт обоснуйте.
32. Луч BN проходит между сторонами уrла АВС. Найдите уrол
ABN, если LABC = 830, LCBN = 69°.
33. Лучи CD и СЕ проходят между сторонами yrла ACF. НаЙДИ..
те'уrолDСЕ,если LACF=88°, LAСD=4ЗО, ОСЕ=570.
34. Луч QM проходит между сторонами уrла CQF, paBHoro 690.
Найдите уrлы MQC и MQF, если yrол MQC больше yrпa
MQF на 27°.
35. Уrол MSK равен 1020. Луч SD проходит между ero сторо..
нами. Найдите уrлы MSD и КSD, если их rpaдYCHbIe меры
относятся как 9 : 8.
Е
к

Вариант 4
79
36. На рисунке 199 LAOK =840, LBOL=73°, L.BOK = 27°.
Найдите уrол AOL.
А
Рис. 199
Рис. 200
37. На рисунке 200 LDSP = 62°, L. ESF = 470, LPSF = 290.
Найдите уrол DSE.
38. Прямой уrол разделили на два уrла, разность rрадусных Мер
которых равна 42°. I--Iайдите образовавшиеся уrлы.
39. Развернутый уrол разделили на 3 уrла, rpадусные меры ко..
торых относятся как 3 : 5 : 7. Найдите величины этих уrлов.
40. Луч SA проходит между сторонами уrла BSC. Луч SD 
биссектриса уrла BSA,' луч SE  биссектриса уrла CSA.
Найдите уrол BSC, если LDSE = 830.
41. Уrлы PSM и KSE равны (рис.201). Докажите, что если
L.PSM = L-Мf..'iF, то LPAK + LESF = LKSE.
о
s
Рис. 201
Рис. 202
42. На рисунке 202 LDOK = L.MOP, LPOK = LTOM. Дока..
жите, что уrол DOT в 2 раза больше уrла КОМ.
43. Уrол между биссектрисой уrла и продолжением ОДНОЙ из
ero сторон равен 1640. Найдите данный уrол.
44. Какой уrол образует биссектриса уrла, paBHoro 116°, с про..
должением одной из ero сторон?

80
Тренировочные упражнения
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
Смежные и вертикальные уrлы
Moryт ли два смежных уrла быть равными: 1) 31 о и 1590;
2) 1420 и 380; 3) 17° и 1530? О1'вет обоснуйте.
Найдите уrол, смежный с уrлом: 1) 50;
2) 740; 3) 900; 4) 101 о; 5) 1780.
Может ли пара смежных уrлов COCTO
ять из прямоrо и тупоrо уrлов? Ответ
обоснуйте.
Являются ли смежными уrлы KSE и
КSF (рис.203)? Запишите все пары
смежных уrлов, изображенных на рисунке.
Уrлы, смежные с уrлами MSD и CLP, равны. Что можно
сказать о самих уrлах? Ответ обоснуйте.
Найдите смежные уrлы, если их разность равна 1040.
Один из смежных уrлов в 11 раз меньше друrоrо. Найдите
эти уrлы.
Найдите смежные уrлы, если их rpaдYCHbIe меры относятся
как 9 : 11.
Два уrла относятся как 1 : 5, а смежные с ними уrлы  как
11 : 7. Найдите данные уrлы.
На рисунке 204 уrол СТВ равен 710. Найдите уrлы СТА,
ATD, DTB.
45.
Рис. 204
к
Рис. 203
L
н
Рис. 206
55. Верно ли утверждение, что если два уrла имеют общую
сторону, то они смежные?
56. На рисунке 205 LМPD = 1030, LFPK = 490. Найдите
уrол ЕРТ.
57. На рисунке 206 LКNH + LКNL + LLNE = 2300. Найдите
уrлы КNH и КNL.
58. Разность двух из уrлов, образовавшихся при пересечении
двух прямых, равна 780. Найдите эти уrлы.

Вариант 4
81
59. Один из уrлов, образовавшихся при пересечении двух пря..
мых, В 9 раз больше друrоrо. Найдите эти уrлы.
60. Найдите величину каждоrо из уrлов, образовавшихея при
пересечении двух прямых, если:
1) сумма двух из них равна 960;
2) разность двух из них равна 620;
З) все уrлы равны между собой;
4) сумма трех из них равна 2940.
61. Один из уrлов, образовавшихея при пересечении двух пря...
мых, В 4 раза больше суммы смежных с ним уrлов. Найдите
эти уrлы. .
62. Три прямые пересекaIOТСЯ в одной точке М (рис. 207).
Найдите уrол АМВ, если он в 3 раза больше уrла TMQ и на
50 меньше уrла PMR.
А В
А
Е
Q
Рис. 207 Рис. 208
63. На рисунке 208 LA.ВK = LCDB. Докажите, что LCBA =
= LBDF.
64. На рисунке 208 L СВА = LBDF. Е F
Докажите, что пвк = LCDB.
65. Прямые EL, КF и РТ пересекаются
в точке S (рис. 209), причем луч SP
биссектриса уrла ESK L
LFSL = 640. Найдите LLSP. Рис. 209
66. Найдите смежные уrлы CFH и
СРТ, если биссектриса уrла CFH образует с лучом FT уrол,
который больше уrла CFH на 540.
Перпендиулярные прямые
67. Начертите прямую р и отметьте точку F, не принадлежа..
щую ей. С помощью чертежноrо уrольника проведите через
точку F прямую, перпендикулярную прямой р.

82
Т'реНИрОВОLlные упражнения
68. Нчертите прямую k и OTl\1eTbTe точку 11, принадлежащую
ей. Проведите через точку Н прямую, перпендикулярную
прямой k, пользуясь чертежным уrольником.
69. На рисунке 21 О LЕКМ + LSКP =
== L-TКE + LTKS и LЕКМ + L.EKT =
== L-TKS + LSКP. Докажите, что
LTКlvf = LTКP = LEKS == 900.
70. Уrлы АОВ, ВОС, ('OD и DOA равны
между собой. Докажите, что прямые
А С и BD пересекаlОТСЯ в точке О и
IIерпендикулярны.
71. Даны прямая МNи точка О, принадлежаlдая ей. Точки А и В
лежат в одной полуплоскости относительно прямой MN.
Докажите, что если LAOl\1 = LBOM = LAON == LBON, то
точки А, В и О лежат на прямой, перпендикулярной пря
мой ми.
72. Как, используя шаблон утла в 5°, построить I1ерпендику
лярные прямые?
Равные треуrольники. Периметр треуrОЛЫlика
73. Укажите все треуrольники, изобра.. F
женные на рисунке 211, одной из
вершин которых является точка А.
74. Треуrольники SKT и АВЕ равны,
причем уrлы Т и Е и стороны 511" и
АЕ соответственные.
1) Найдите сторону ВЕ и yroJl К,
если КТ=15см, LB=108°.
2) Может ли отношение периметров данных треуrольников
быть равным 2?
75. Одна сторона треуrольника равна 48 см, вторая сторона в
2 раза больше первой, а третья сторона на 1 7 Cl.t меньше
второй. Найдите периметр треуrольника,
76. Одна сторона треуrолъника на 27 см больше второй и R
2 раза больше третьей. Найдите стороны треуrольника, если
ero периметр равен 163 см.
fIервый и второй признаки равенства треуrодьников
77. На прямой а отмечены 2 точки А и В; в разные полу
плоскости относительно ПрЯ10Й а отложены равные уrлы
т
м
р
к
Рис. 210
к
в
Рис. 211

Вариант 4 83
DAB и АВС. На лучах AD и ВС F
отложены равные отрезки AF и BL.
Докажите, что MFB == AВLA.
78. Докажите равенство треуrольников
MFK и PFK (рис.212), если
МК==РК, FK..LMP. М Р
79. Докажите равенство треуrольников
АВЕ и CDK (рис.213), если
АК==СЕ, BE=DK, LAКD==LCEB.
В Т D К L
с
F
А
D
Рис. 213 Рис.214
80. Докажите равенство треуrольников АпК и FКD (рис.214),
если LТDF == LLКA, DF == КА.
81. К биссектрисе АО уrла ВАС "роведена nерпендикулярная
прямая, пересекающая стороны уrла в точках К и Р. Най
дите АК, если АР == 7.,5 СМ.
82. На биссектрисе BD треуrольника АВС взяли точку О. ДOKa
жите равенство треуrольников AOD и COD, если АВ == ве.
83. В треуrольнике МРН МР==РН. На сторонах РМ и РН от
точки Р отложены равные отрезки РЕ и РК соотзетственно.
Докажите, что LMEH == LМКН. L
84. В треyrольнике LTK проведены
высоты W и КF. Докажите, что если
ТF==ТD, то LD==КF.
85. На прямой с отмечены точки Т и К. В
F
одной полуплоскости относительно
прямой с отмечены такие точки Р и
Q., что LQTK == икт, итк == LQKT. Докажите, что
АТРК == AКQT.
86. Докажите равенство треуrольников FLP и NLM (рис.215),
если LF == LN, LLFP == LLNM .
N
Рис. 215

84
Тренировочные упражнения
87. Докажите равенство треуrольников MPD и FPE (рис.216),
если РМ = PF, LМ = LF, L-MPE = L-FPD .
Е
м
D
F
Рис. 216
р
Рис. 217
88. Докажите равенство отрезков КБ и КР (рис. 2] 7), если
LCDK = LPML, DК=КМ.
89. В треуrольнике АВС LA = LC. На сторонах Ее и АВ
отметили такие точки К и р соответственно, что
L-КAC = LPCA. ДОJ<ажите, что АК = СР.
м
D
F
90. Через точку О  середину
отрезка MN  проведена пря..
мая а. К отрезку МN в точках
М и N проведены перпендику..
ляры, пересекающие прямую
а в точках К и р со ответ.. Н Е
ственно. Докажите, что точка
О  середина отрезка КР.
91. На рисунке 218 DP=КE, LFDP=LКEH, LМКD=LИРЕ.
Докажите, что MD = NE.
N
Рис. 218
92. Докажите равенство треуrольников АВС и Al В) С) , если
АВ = А) В) , LA = LA) и медианы, проведенные к сторонам
АС и A)C1, образуют со сторонами АВ и AJB) равные уrлы.
Равнобедренный треуrольннк и ero свойства
93. Основание равнобедренноrо треуrольника равно 11 см, бо-
ковая сторона  7 см. Найдите l1ериметр треуrолъника.
94. Периметр равнобедренноrо треуrолъника равен 37 см, а ero
основание  9 см. Найдите боковую сторону.

Вариант 4
85
95. Периметр равнобедренноrо треуrольника pabel-i 58 см. На
ero основании построен равносторонний треуrольник,
периметр KOToporo равен 42 СМ. Найдите стороны
равнобедренноrо треуrольника.
96. Найдите стороны равнобедрен..
Horo треуrольника, если ero пе..
риметр равен 63 см, а боковая
сторона на 6 CI больше
основания.
97. Найдите стороны равнобедрен- Рис. 219
Horo треУI.ольника, если ero
периметр равен 87 см, а основание составляет 0,9 боковой
стороны.
98. В треуrольнике TFK ТК = КF (рис.219). Докажите, что
Ll = L2 .
99. Orpезок кв является высотой равнобедренноrо тре..
уrольника МКР (МК = КР), LMKP = 640, мр = 28 см.
Най,ците уrлы МКВ, РКВ и отрезок ВР.
100. В треуrольнике LHQ LH = HQ. Найдите периметр тре..
уrольника LHQ, если медиана HP равна 11 см, а периметр
треуrольника LPH  34 см.
101. В треуrольнике DEF DE = EF = 21 СМ. Серединный пер-
пендикуляр стороны DE пересекает сторону DF в точке К
(рис. 220). Найдите DF, если периметр треуrольника EКF
равен 60 СМ.
Е
т
к
Рис. 220
F
D
L D
Рис. 221
102. В равнобедренном треуrолънике LTD на основании LD
отложены равные отрезки LE и DK (рис.221). Докажите, что
LTКE=LTEK.

86
Тренировочные упражнения
103. Биссектрисы рав носторон Hero
треуrольника DEF ересекаются в
точке О (рис.222). Точки М, L и Р
- середины отрезков OD, ОЕ и
OF соответственно. Докажите, что
треуrолъник MLP  paBHOCTO
ронний. D
104. В равнобедренном треуrольнике Рис. 222
АВС ( АВ = АС ) медиана АК
пересекает медиану BD в точке М. Докажите, что луч СМ
пересекает сторону АВ в ее середине.
105. Докажите равенство равнобедренных треуrольников по
высоте, проведенной к основанию, и yrлу при 'вершине.
Признаки равнобедренноrо треуrольника
106. На рисунке 223 LКМL = LPEM .
Докажите, что РМ = РЕ.
107. Дан равнобедренный треyrольник К D
АВС с основанием АС. На продол
жении ero медианы BD за точку D oт
метили точку К. Докажите, что тpe
yrольник АКС  равнобедренный.
108. На рисунке 224 LABD = LADB, , LВA С = L СШ.
Докажите, что мое = woc.
А
м
с
Рис. 224
р
Е
Рис. 225
109. Внyrpи paBHocTopoHHero треуroльника МРЕ отметили тa
кую точку О, что LOME = LOEM (рис.225). Докажите, что
МfOP = МОР.

Вариант 4
87
Третий признак равенства треуrОЛЬНIIКОВ
110. На рисунке 226 LT = FE, LF = ТЕ, Докажите, что
MTE=tWFL.
111.На рисунке 227 АВ=ВС и AD=DC. Докажите, что
АЕ = ЕС.
в
с
L
Е
с А
D
Рис. 226 Рис. 227
112. На рисунке 228 АВ = CD и
АО=ОС и BO=OD.
Рис. 228
Ве = AD. Докажите, что
113. Точка пересечения биссектрис треуrольника равноуда1lена
от ero вершин. Докажите, что этот треуrольник равносто..
ронний.
114. Точки С и D лежат в разных полуплоскостях относительно
прямой 1. На прямой 1 отметили такие точки А и В, что
АС = BD, AD = Ее. Прямая CD пересекает отрезок АВ в
точке о. Докажите, что точка О  середина отрезка АВ.
115. Докажите равенство треуrольников по стороне, высоте,
проведенной к этой стороне, и уrлу между высотой и
медианой, проведенными к этой стороне.
Метод доказательства от протнвноrо
116. Докажите от противноrо, что если два луча делят
развернутый уrол на три уrла, то среди них хотя бы один не
меньше, чем 600.
117. Докажите от противноrо, что если сумма двух уrлов равна
1760, то они не MOryr бbIТЬ смежными.
Параллельные прямые
118. Проведите прямую р и отметьте точку Т, не принадле..
жащую ей. Проведите через точку Т прямую, параллельную
прямой р.
119. На рисунке 229 изображены Д8е пересекающиеся прямые а
и Ь и точка Q, не принадлежащая ни одной ИЗ них. Прове..

88
ТреНИРОВОЧНblе упражнения
дите через точку Q ПрЯМbIе, I1араллель
ные прямым а и Ь.
120. Начертите тупоуrольный треуrольник и
через каждую ero вершину проведите
прямую, параллельную противополож
ной стороне.
121. Прямая п параллельна стороне FA
треуrольника BAF. Может ли прямая п быть параллельной
сторонам ВА и ВР? О1'вет обоснуйте.
122. Докажите от ПрОТИ8ноrо, что если прямые rn и п не пере..
секaIOТСЯ, а прямые 11 и k пересекаю1"СЯ, то прямые т и k
также пересекаются.
Признаки параллельности двух прямых
123. На рисунке 230 укажите все пары разносторонних, односто..
ронних И соответственных уrлов.
.Q
Рис. 229
Рис. 230
124. Параллельны ли прямые а и с на рисунке 231 ?
125. На рисунке 232 АВ = EF, BD = CF, DE = АС. Докажите,
что АС 11 DE.
126. На рисунке 23З Ll + L2 = 1800. Докажите, что прямые т и
п параллельны.
D Е
А
с
п
1
т
Рис. 232 Рис. 233 Рис. 234
127. На рисунке 234 EF = DK и L.FEK = LDКE. Докажите, что
прямые DE и КF параллельны.

Вариант 4
89
Свойства параллельных прямых
128. На биссектрисе уrла АВ С отметили точку М. Через эту
точку провели прямую, которая параллельна прямой АВ и
пересекает сторону ВС в точке N. Найдите уrлы тре..
уrольникаВМN, если L-ABC =1200.
129. На рисунке 235 найдите rрадусную меру уrла х.
в)
б)
Рис. 235
130. .На рисунке 236 CD = DE, LDFK = LDCE. Докажиrе, что
DF = DK.
а)
А
с
D Е
p.n6 p.n7
131. На рисунке 237 ВА" DE, LABC = 1400, LCDE = 100.
Найдите rрадусную меру уrла BCD.
Сумма уrлов треуrольника
132. Существует ли треуrольник с уrлами 200, 500 и 120°?
133. Найдите третий уrол треуrольника, если два ero уrла
равны: 1) 280 и 570; 2) 90 и 1530; 23) 40 и 70.
134. У rол при вершине равнобедренноrо треуrольника равен
360. Найдите уrлы при основании.
135. Уrол при основании равнобедренноrо треуrолъника равен
670. Найдите уrол при вершине.

90
Тренировочные упражнения
136. Найдите неизвестные уrлы треуrольника FLE (рис.238).
L
L

170
7F Е
F
F
б)
Рис. 238
137. Найдите неизвестные уrлы треуrольника CHQ (рис. 239).
Н
а)
в)
Q
Q
с н
с
а) 6)
Рис. 239
138. Найдите уrлы треуrольника MFK, если LM + LK = 1230,
LK +LF = 158°.
139. Найдите уrлы равнобедренноrо треуrольника, если уrол
при вершине на 540 меньше, чем уrол при основании.
140. Найдите уrлы равнобедренноrо треуrольника, если
rpaдycHbIe меры уrла при основании и уrла при вершине
относятся как 3 : 4.
141. Найдите уrлы треуrольника, если один из них в 3 раза
меньше BToporo и в 2 раза больше TpeTbero.
142. Один из уrлов треуrольника на 300 меньше BToporo и в
7 раз больше TpeTbero. Найдите уrлы треуrольника.
143. Уrол при вершине равнобедренноrо треуrольника равен
80°. Найдите уrол между основанием и биссектрисой уrла
при основании.
144. Один из уrлов, образованных при пересечении биссектрис
yrла при основании и уrла при вершине равнобедренноrо
треуrольника, равен 1300. Найдите уrлы треуrольника.
145. В треуrольнике МТQ LM = 440, LT = 580. Биссектриса
уrла Q пересекает сторону МТ в точке F. Найдите уrол
QFM.
в)

Вариант 4
91
146. Уrлы треуrольника относятся как 4: 3 : 8. Найдите
больший из уrлов, которые образовались f1рИ пересечении
биссектрис меньших уrлов треуrольника.
147. Продолжения высот треуrольника MNP, проведенных из
вершин М и N, пересекаются в точке fl, LM == 580,
LN == 140. Найдите уrол MНN.
148. Orpезки АН и АМ  высота и биссектриса треуrольника
АВС соответственно, LA == 200, LB = 1350, Найдите уrол
НАМ.
149. В треуrольнике АВС высота, оП)'urенная из вершины В,
пересекает сторону АС в точке Н, а биссектриса уrла В
пересекает А С в точке М, LABH = 23 о, LBMA = 640.
Найдите уrлы треуrольника АВС.
150. Биссектрисы уrлов треуrольника DEF пересекаются в
точке М, LDME = 1340. Найдите уrлы DMF и EMF, если
LEDF = 280.
151. Один из уrлов равнобедренноrо треуrольника на 420
больше друrоrо. Найдите уrлы треуrольника. Рассмотрите
два случая.
152. Найдите уrлы равнобедренноrо треуrолыlка,, если два из
них относятся как 4 : 7. Рассмотрите два случая.
Внешний уrол треуrольника
153. Один из внешних уrлов треуrольника равен 1230. Найдите
уrлы треуrольника, не смежные с ним, если один из них
равен: 1) 270; 2) 91 о; З) 122°.
154. Один из внешних уrлов треуrольника равен 980. Найдите
уrлы треуrольника, не смежные с ним, если:
1) один ИЗ них на 240 больше друrоrо;
2) один ИЗ них в 13 раз меньше друrоrо.
155. Один из уrлов треуrольника равен 104°. Может ли внешний
уrол треуrольника, не смежный с ним, быть равным:
1) 1040; 2) 1 О 5 о; 3) 103 О?
156. В треуrольнике POF LP = 290, LF = 640, Найдите внеш..
нне уrлы, построенные по одному при каждой вершине
треуrольника.

92
Тренировочные упражнения
157. Один из внешних УI'ЛОВ треуrольника равен 1430, а один из
уrлов треуr'ольника  3 10. Найдите остальные уrлы тре..
уrольника,
158. rрадусные \1СРЫ двух внешних уrлов треуrольника равны
151 о и 143 О. I--Iайдите третий внешний уrол треуrольника.
159. Внешний yro.i1 равнобедренноrо треуrольника равен 136°.
Найдите уrлы треУIОIlьника.
160. Сумма yroB равнобедренноrо треуrольника и одноrо из
ero внешних уrлов равна 2740. Найдите уrлы треуrолъника.
161. Один из yrJ10B треуrОJlьника в 4 раза больше друrоrо, а
внешний уrол TpeTbero уrла равен 105°. Найдите уrлы
треуrольника.
162. Луч, ВЫХОДЯIl{ИЙ из вершины равнобедренноrо треуrоль..
ника, параллелен основанию. Докажите, что этот луч 
биссектриса внешнеrо уrла при вершине равнобедренноrо
треуrольника.
Прямоуrольиый треуrольник
163. Найдите второй острый уrол прямоуrольноrо треуrольника,
если первый равен: 1) 40; 2) 260; З) 730; 4) 870.
164. Один из острых уrлов прямоуrольноrо треуrольника на 580
больше друrоrо. Найдите эти уrлы.
165. Острые уrлы прямоуrольноrо треуrольника относятся как
3 : 7. Найдите эти уrлы.
166. Уrол, который образует высота прямоуrольноrо треуrоль--
ника с одним из катетов, равен 390. Найдите острые yrлы
прямоуrольноrо треуrольника.
167. Биссектрисы ocтporo и прямоrо уrлов прямоуtопьноrо
треуrольника при пересечении образуют уrлы, ОДИН из
которых равен 1260. Найдите острые уrлы треуrо1iЬНИkа.
168.О1'ношение острых уrлов пр.ямоуrольноrо треуrольника
равно 8 : 7. Найдите уrол между биссектрисой и высотой,
проведенными из вершины прямоrо уrла.
169. В прямоуrольном треуrольнике один из острых уrлов
больше уrла между высотой и биссектрисой 8 4 раза.
Найдите острые уrлы треуrольника.

Вариант 4
93
170. На рисунке 240 DA 1. ЕК, F
FB .lEK, DE=КF, EF=DK.
Докажите, что DA = FB .
171. Докажите равенство прямоуrоль.. D
ных треуrольников по катету и Рис. 240
медиане, проведенной к друrому
кате1)'.
172. В треуrольнике АВС LACB = 900, СВ  высота. Orрезок
CD  биссектриса треуrольника АСН. Докажите, что
BC=BD.
Свойства прямоуrольноrо треуrольника
173. В прямоуrольном треуrольнике СНК rИПотенуза ЯК равна
34 Cf\.t, LK = 300. Найдите катет СН.
174. В прямоуrольном треуrольнике MDS катет DS равен 28 см,
LD = 600. Найдите rипотенузу DM.
175. В прямоуrольном треуrольнике DEF DE = EF, точка М 
середина DE. Через точку М провели прямую, перпенди"
кулярную катету DE, которая пересекает rипотенузу DF в
точке К, МК = 9 см. Найдите длину катета DE.
176. В равнобедренном треуrольнике DEF DE = ЕР. Высота
DH образует с основанием DF уrол, равный 15°. Найдите
DE, если DH = 4 см.
177. В прямоуrольном треуrольнике НРЕ (LH =900) ЕК 
биссектриса уrла Е. Отрезок КЕ в 2 раза больше отрезка кв
и на 8 см меньше отрезка РН. Найдите катет РН.
Окружность. Некоторые свойства окружности
178. Вычислите диаметр окружности, если ее радиус равен:
1) 9 см; 2) 6,8 см; 3) х см.
179. Вычислите радиус окружности, если ее диаметр равен:
1) 18 см; 2) 15,8 см; 3)у см.
180. Начертите окружность, радиус которой равен 3,5 см. Про--
ведите в ней радиус, диаметр и хорду.
181. Вне окружности взяли произвольную точку. Сколько
диаметров и сколько хорд можно через нее провести?

94
Тренировочные упражнении
182. Какую линию образуют точки, расстояние от которых до
центра окружности в 3 раза больше радиуса окружности?
Ответ обоснуйте.
183. В окружности проведены радиусы
ОМ, ОК и ON (рис. 24 1). Дока..
жите, что если MN = NK , то
LMON = LNOK.
184. На рисунке 242 DK  диаметр
окружности. Хорды DE и DF
образуют с DK равные уrлы.
Докажите, что DE = DF.
к
к D
Рис. 242 Рис. 243
185. На рисунке 243 LKOM =840, точка О  центр
окружности. Найдите уrол КNM.
186. О1'резок, соединяющий середины двух хорд, проходит
через центр окружности. Докажите, что данные хорды
i  параллельны.
187. Хорда МБ окружности пересекает ее
диаметр CD в точке L (рис. 244),
ML = 1 О см, мн = 5 см. Найдите
отрезок EL, если он больше, чем EF,
на 4 см.
188. Две окружности с центрами 01 и 02
пересекаются в точках А и В, каждая
из окружностей проходит через центр
друrой. Докажите, что АВ
биссектриса уrла 01 АО2 .
с
F
D
Рис. 244

Вариант 4
95
Касательная к окружности
189. Две окружности имеют общий
центр О (рис. 245). Найдите радиусы
окружностей, если КL = 5 см, а сумма
радиусов окружностей равна 9 см.
190. К окружности проведены две
параллельные касательные. Докажи..
те, что отрезок, соединяющий точки
Рис. 245
касания, проходит через центр окружности.
191. В окружности с центром О провели хорду DE, не
проходящую через точку о. Через точку О провели прямую,
перпендикулярную хорде DE. Докажите, что точка
пересечения касательных к окружности, "роведенных через
точки D и Е, принадлежит этой прямой.
192. На рисунке 246 прямая 1 касается окружности в точке В,
точка О  центр окружности. Найдите уrол РВЕ, если
LAOB = 1220.
А
Рис. 246
А
Рис. 247
193. Два окружности имеют общий центр О (рис. 247). Из точки
А окружности большеrо радиуса проведены касательные AF
и АК к друrой окружности, пересекающие первую
окружность в точках D и Е соответственно, LDAE = 60 о,
точки F и К  точки касания. Найдите меньший из
радиусов данных окружностей, если больший радиус равен
8 см.

96
Тренировочные упражнения
194. К окружности проведены касательные
КМ и кв (рис. 248). Через точку А
окружности провели еще одну каса..
тельную так, что она пересекает
прямые КМ и кв в точках N и Р
соответственно таких, что КP 
равносторонний. Найдите отрезок КМ,
если КР = 6 СМ.
Описанная 11 вписанная окружности треуrольника
195. В треуrольнике центр описанной окружности лежит на
высоте. Докажите, что этот треуrольник равнобедренный.
196. В треуrольнике центр вписанной окружности лежит на
пересечении двух высот. Докажите, что этот треуrольник
рав носторонний.
197. Окружность, вписанная в треуrольник DEF, касается
стороны DF в точке А такой, ЧТО AD  АР = 14 см. Вершина
Е удалена от точки касания вписанной окружности со
стороной EF на 4 см. Найдите стороны треуrолъника, если
ero пери метр равен 60 см.
Взаимное расположение двух окружностей
198. Общая точка А окружностей с
цетрами 01 и 02 лежит на пря-
мой 0102 (рис. 249). Докажите,
что А  ТОЧl<а касания этих
окружностей.
199. Радиусы двух окружностей
равны 14 см и 17 см. Найдите
расстояние между их центрами, если окружности имеют:
1) внyrpеинее касание; 2) внешнее касание.
200. Два окружности имеют BнyrpeHHee касание. Расстояние
между их центрами равно 36 СМ. Найдите радиусы
окружностей, если они относятся як 5 : 9.
201. Расстояние между центрами двух окружностей равно 28 СМ.
Определите, пересекаются ли эти окружности, если их
радиусы равны:
1) 14 см и 15 см;
2)14сми14см;
к
Рис. 248
Рис. 249
3) 1 О см и 17 см.

Вариант 4
97
202. Три окружности попарно касаются друr друrа внешним
образом. Отрезки, соединяющие их центры, образуют тре...
уrольник со сторонами 1 7 см, 18 см и 19 см. Определите
раДИУСЫОКРУJКностей.
Задачи на построение
203. Даны прямая с и точка р", не при надлежащая ей. Найдите на
прямой с точку, находящуюся на расстоянии 3,5 см от точки
F. Сколько таких точек может быть?
204. Постройте треуrольник АВС, если АВ = 5 см, ВС = 6 см,
АС =7 см.
205. Начертите в тетради равнобедренный тупоуrольный
треуrольник. Постройте треуrольник, равный данному.
206. Постройте треуrольник SPK, если SP = 4 см, РК = 3,5 см,
LSPK = 850.
207. Постройте треуrольник NCF, если NC = 5 см, LN = 500,
LC = 400.
208. Постройте равнобедренный треуrольник, основание KOTO
poro равно 3,5 см, а уrол при основании  500.
209. Постройте треуrольник ХОУ, если ХУ = 5 см, LX = 400,
LO = 700.
210. Постройте равнобедренный треуrольник, основание
KOToporo равно 3,5 см, а уrол при вершине  110°.
211. Начертите в тетради ryпоуrольный треуrольник и
постройте ero высоты.
212. Постройте треуrольник АВС по стороне АС, медиане ВМ и
уrлу ВМС.
213. Постройте прямоуrольный тре..
уrольник по rипотенузе и острому
уrлу.
214. Постройте равнобедренный прямо..
yrольны
й треуrольник. по отрезку,
соединяющему середину rипотену"
зы с серединой одноrо из катетов.
215.О1'метьте в тетради по клеточкам
точки К, L и Р (рис. 250) и проведите
через эти точки окружность.
L
К
Р
Рис. 250

98
Тренировочные упражнения
216. Даны отрезок АВ и точка С вне ero. Ilроведите через точку
С прямую, параллельную отрезку АВ. Всеrда ли задача
имеет решение?
217. Постройте rеметрическое место точек  середин отрезков
ДЛИНЫ т с общим концом А.
118. Постройте rеометрическое место точек, равноудаленных от
двух пересекающихся прямых.
219. Постройте rеометрическое место точек вершин
треуrольников с заданной стороной АВ и заданной высо"
той h, проведенной к этой стороне.
220. На прямой 1 отметили точки F и К. Точка Р не принадлежит
прямой 1. Найдите точку, равноудаленную от точек F и Р,
которая находится на данном расстоянии от точки К.
Исследуйте количество решений.
221. Постройте окружность, которая касается данной прямой а и
проходит через данную точку А. Сколько решений имеет
задача?
222. Дан уrол АВС. Найдите точку, находящуюся на данном
расстоянии а от стороны БА уrла и на расстоянии 2а от
стороны ВС.
223. Постройте окружность, касающуюся двух данных парал--
лельных прямых и данной окружности, центр которой
лежит между этими прямыми.
224. Постройте касательную к окружности, которая проходит
через данную точку, лежащую вне окружности.
125. Даны окружность и две точки внyrри нее. Постройте
касательную к окружности так, чтобы точка касания была
равноудалена от этих двух точек.
226. Постройте равнобедренный треуrольник по уrлу при
основании и высоте, проведенной к боковой стороне.
227. Постройте треуrольник по стороне, высоте, проведенной к
ней, и высоте, проведенной к друrой стороне.
228. Постройте прямоуrольный треуrольник по сумме катетов и
острому уrлу.
229. Постройте прямоуrольный треуrольник по катету и
разности rипотенузы и друrоrо катета.
230. Постройте треуrольник по ero периметру и двум уrлам.

Вариант 1
99
ЗАДАНИЯ для ТЕМАТИЧЕскоrо
ОЦЕНИВАНИЯЗНАНИЙ
Вариант 1
Тематическое оценивание К!! 1
Тема. Простейшие zеОJНетрические фиZУр61 и их свойства
1.0 Луч OD ПрОХОДИТ между сторонами уrла АйВ. Найдите
величину уrла DOC, если LAOB =870, LAOD = 380.
2.0 Один из уrлов, образованных при пересечении двух пря..
мых, равен 630. Найдите rpaдYCHbIe меры осталЬНЫХ уrлов.
3.0 Один из смежных уrлов на 520 больше друrоrо. Найдите эти
уrлы.
4.8 На рисунке 251 отрезки АС и BD
равны. Докажите, что отрезки АВ и
CD также равны.
5.8 Уrлы АВС и CBD  смежные, луч ВМ
 биссектриса уrла АВС, уrол АВМ на 360 больше уrла
CBD. Найдите уrлы АВС и CBD.
6... Точки А, В и С лежат на одной прямой, АВ = 15 см,
отрезок АС в 4 раза больше отрезка ВС. Найдите длину
отрезка АС.
А
.
в
.
с
.
D
.
Рис. 251
Тематическое оценивание Н!! 2
Тема. Треуzольники
1. о Докажите равенство треуrольников
ABD и CBD (рис. 252), если
LABD=LCDB и AB=CD.
2. о Найдите стороны равнобедренноrо
треуrольника, если ero периметр
равен 84 см, а боковая сторона на
18 см больше основания.
в с
AN
Рис. 252

100
Задания для тематичноrо оцениванI01
3.. На рисунке 253 DP = РЕ , DK = КЕ .
Докажите равенство уrлов КDM и КЕМ.
4.. Докажите, что в равных треуrольниках
биссектрисы соответственных уrлов
равны. D
5.88 Серединный перпендикуляр стороны АВ
треуrольника АВС пересекает ero
сторону АС в точке D. Найдите периметр
треуrолыfкаa BDC, если АС = 8 см, ВС = 6 см.
Е
к
Рис. 253
Тематическое оценивание Н! 3
Тема. ПаршrлеЛЬН6Iе пpsиlble. Су.м.ма уzлов mреуzольника
1.0 На рисунке 254 найдите уrол 1.
2.0 Найдите уrлы треуrольника
АВС, если уrол А на 150 меньше
уrла В и в 3 раза меньше уrла с.
з.. Высоты АМ и ВК треуrольника
АВС пересекаются 8 точке Н,
LBAC = 400, LABC = 750. Най..
дите уrол АНВ.
4: На рисунке 255 ВС 11 AD, НС = AD .
Докажите, что АВ = CD.
5.88 В треуrольнике АВС LC = 900,
LB = 300. На катете НС отметили
точку D такую, что LADC = 600. Найдите длину катета НС,
если CD = 5 см.
а
ь
1
Ai
;с
D
Рис. 255
Тематическое оцениванне К! 4
Тема. Окружность и "Pyz. rеометрические
построения
1.° На рисунке 256 точка О  центр окруж"
ности, LAOe = 500. Найдите уrол вео.
с
Рис. 256

Вариант 1
101
2.0 Постройте треуrольник АВС, в КОТО i1 О!\-1 АВ = 4 см,
а=400, LB=70°.
3.8 Через КОНЦЫ диаметра АВ окружности
проведены параллелъные ХОРДЫ ве и AD
(рис. 257). Докажите, что AD = Ее .
4. · К окружности с центром О провели
касательную АВ (В  точка касания).
Найдите радиус окружности, если А
АВ = 8 см и L-AOB:::. 450. Рис. 257
5... На данной окружности постройте ТОЧI<у, находящуюся на
данном расстоянии от данной прямой. Сколько решений
может иметь задача? ·
Тематическое оценивание Н! 5
Тема. Обобщение и сисmемаmизация знаний учаЩIIXСR
1. о Постройте треуrольник АВС, если АВ = 7 см, ве = 4 Cf,
АС=5см.
2. о Найдите уrлы треуrольника, если их rpaДYCHbIe меры ОТНО"
СЯТСЯ как 4 : 5 : 6.
з.. Один и острых уrлов пряr"lоуrольноrо треуrольника равен
420. Найдите уrол между высотой и биссектрисой,
проведенныии из вершины прямоrо уrла треуrольника.
4.. Докажите, что .треуrольник АВС равнобедренный (рис.258),
если AD = ЕС и LBDE = LBED,
В В
с
А D Е С
Рис. 258
5... На рисунке 259 АВ 11 DE,
Найдите yrол А CD.
D
Рис. 259
LВAC = 1300, LCDE = 60°.
Е

102
Задания для тематическоrо оценивания
ЗАД1\ III1Я ДЛЯ ТЕМА ТИЧЕскоrо
ОЦЕНИВАНИЯЗНАНИЙ
Вариант 2
Тематическое оценивание Х!! 1
Тема. ПростеЙIUlIе zеометрuчеСl<uе фuzуры и их свойства
1.0 Точка М принадлежит отрезку АВ. Найдите длину отрезка
МВ, если АВ = 12,3 см, АМ = 7,4 СМ.
2. о Один из уrлов, образоваННblХ при пересечении двух пря..
мых, равен 1240. Найдите rpaдYCHbIe меры остальных yr лов.
3.0 Один из смежных уrлов в 11 раз меньше друrоrо. Найдите
эти уrлы.
4.. На рисунке 260 LAOC = LBOD. Дока..
жите, что LAOB = LCOD .
s: Уrлы DEF и MEF  смежные, луч ЕК 
биссектриса уrла DEF, уrол F на 780
меньше уrла MEF. Найдите уrлы DEF и
MEF.
6... Точки М, К и Р лежат на одной прямой, МР = 24 см, отрезок
КР в 5 раз меньше отрезка МК. Найдите длину отрезка МК.
А
с
о
D
Рис. 260
Тематическое оценивание К!! 2
Тема. Треуzольнuкu
1.0 Докажите равенство треуrольников
MBF и DBF (рис.261), если LМBF =
= LDBF, LMFB = LDFB.
2.0 Найдите стороны равнобедренноrо
треуrольника, если ero периметр
равен 85 см, а основание в 2 раза
меньше боковой стороны.
в
м
F
Рис. 261

BapiaHT 2
103
в
3.- На рисунке 262 АВ = ВС , AD = DC.
Докажите равенство отрезков АЕ и ЕС.
4.- Докажите, что в равных треуrольниках
медианы, проведенные к соответствен..
ным сторонам, равны.
5... Серединный перпендикуляр стороны АС
треуrольника АВС пересекает ero старо..
ну АВ в точке К. Найдите длину стороны
АВ треуrольника АВС, если ВС = 7 см,
треуrольника ВКС равен 23 см.
А
с
D
Рис. 262
а периметр
Тематическое оценивание Х! 3
Тема. ПараллелЬН6Iе пpsufbIe. Су.м.ма УlЛов mреУlольниКQ
1. о На рисунке 263 найдите уrол 1.
2. о Найдите уrлы треуrольника
РРК, если уrол F в 4 раза
больше уrла Р и на 540 меньше
yr ла К.
з.8 Высоты BD и СЕ треуrольника
4.ВС пересекаются в точке М.
Найдите уrол АВС, если LACB = 250,
LBMC=110°.
4: На рисунке 264 ве 11 AD, АВ 11 CD.
Докажите, что ве = AD.
5... в треуrольнике Аве LC = 900,
LA = 300, отрезок ВМ  биссектриса
треуrольника. Найдите длину катета АС, если ВМ = 6 см.
т
Ai
Рис. 263
;с
D
Рис. 264
Тематичесое оцениванне К!! 4
Тема. Окружность и KPYZ. rеомеmрические
построения
1. о На рисунке 265 точка О  .центр окруж"
ности, LABO = 400. Найдите уrол вос.
А
с
Рис. 265

104
Задания для тематическоrо оценивания
2. о I1остройте треуrольник DEF, в котором DE = 3 см,
DF = 4 см, L-D = 500.
3. · Через КОНЦЫ диаметра MN окружности
провели равные хорды МК и PN
(рис. 266). Докажите, что мк 11 PN.
4.8 К окружности С центром О провели
касательную' CD (D  точка касания).
Найдите радиус окружности, если
СО = 16 см и LCOD = 600.
5... l-Ia данной окружности постройте точку, равноудаленную от
двух пересекающихся прямых. Сколько решений может
иметь задача?
Рис. 266
Тематическое оценивание Х! 5
Тема. 0606щение и сисmе.матизацШl знаний учаЩUXСR
1.0 Постройте tpеуrольник MFP, если
мр = 2 см, MF = 5 см, РР = 6 см.
2.0 НаЙДите уrлы треуrольника, если
один из них равен 300, а два друrих
относятся как 1 : 5 .
3: Уrол между высотой и биссектрисой,
проведенными из вершины прямоrо
уrла прямоуrольноrо треуrольника,
равен 80. Найдите острые уrлы тре--
уrолъника.
4.8 Докажите, что треуrолъник КPF равно--
бедренный (рис. 267), если КМ = КБ и
LMКF = L-EКP.
5... На рисунке 268 MKII FP, L-MКE =500,
LКEF =110°. Найдите уrол EFP.
м
F
К
р
Е
Рис. 267
м
Е
F Р
Рис. 268

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
К ТРЕНИРОВОЩIЫМ УПРАЖНЕНИЯМ
Вариант 1
12. 9,4 СМ. 13. 8 СМ. 14. 9,1 СМ или 3,7 СМ. Указание. Рассмотрите
случаи, коrда точка В лежит между точками А и С I:t коrда точка
А лежит между точками В и С. 16. Два решения. Указание.
Рассмотрите случаи, коrда точка Р принадлежит отрезку МN и
не принадлежит ему. 17. 21 СМ или 7 СМ. 32. 120.33.240.34.29°,
58°.35.16°,96°.36.13°.37.930.38.73°, 107°.39.18°,27°,45°.
40. 164°. 43. 112°. 44. 153°. 50. 71 о, 109°. 51. 300, 1500. 52.75°,
105°. 53.20°, 60°. 57. 70° и 110°. 58.65° и 115°. 59. 360 и 144°.
60.1)49°,49°,131°,131°; 2)61°,61°,119°,119°; 4) 74°, 74°,
106°, 106°. 61. 60°, 120°. 62. 38°. 66.40° и 140°. 75. 87 см.
76. 11 СМ, 44 СМ, 52 СМ. 81. 34°. 93. 23 СМ. 94. 6 СМ. 95. 8 см,
14 см, 14 см. 96. 12 см, 12 см, 4 СМ. 97. 12 СМ, 36 см, 36 см.
100. 70 СМ. 101.9 СМ. 128.54°. 131. 100°. Указание. Через точку
С проведите прямую, параллельную прямой ВА. 134.66°.
135.36°. 136. а) LB=136°; LC=21°; б) LA=66°; LB=66°; в)
LA = 33°; LB = 966°; LC = 51 О. 137. в) 20°, 70°, 90°. 138. 30°,
40°,110°.139.72°,72°,36°.140. 108°,36°,36°.141.45°,600,75°.
142.400, 50°, 90°. 143. 75°. 144.68°, 56°, 56°.145.80°. 146. 115°.
147. 124°. 9°. 148.9°. 149.20°, 60°. 150.72, 72°, 36°. 151. 76°,
52°, 52° или 68°, 68°, 44°. 152. 84°, 84°, 12° или 20°, 20°, 1400.
153. 1) 1090; 2) 46°; 3) 20°. 154. 1) 56, 920; 2) 37°, 1110.
156. 157°, 147°, 57°. 157.500, 87°. 158. 134°. 159.38°, 38°, 104°.
160. 37°, 37°, 106°. 163. 1) 87°; 2) 53°; 3) 26; 4) 4°. 164.28°, 62°.
165. 18°, 72°. 166.122°. 167.10°, 80°. 168.24°. 169.580 и 32°.
173. 28 см. 174. 19 СМ. 175. 9 СМ. 176. 8 СМ. 177. 12 СМ. 185. 64°.
187. 20 см. 189. 3 см и 9 см. 192. 126°. 193. 11 СМ. 194. 8 СМ.
197. 8 СМ. Указание. Касательные к окружности, проведенные из

106
ОДНОЙ точки, равны. 199. 1) 4 см; 2) 18 см. 200. 8 см, 14 см.
202. 4 см, 5 см, 6 СМ. 219. Искомое rеометрическое место точек
 диаметр окружности, проходящий через середины этих хорд,
за исключением концов диаметра. 226. Указание. Постройте
прямоуrольный треуrольник по катету (высота, проведенная к
боковой стороне) и противоположному острому уrлу (уrол при
вершине ИСКОfоrо треуrольника). 227. J/казанuе. Постройте
прямоуrольный треуrОJ1ЬНИК ABD по уrлу А (или смежному с
НИМ" если LA > 90° ) и катету BD (BD  высота, проведенная к
стороне АС). l"'оrда АВ  сторона искомоrо треуroльника АВС.
228. Указание. Постройте треуrольник ACD, в котором AD
равна данной сумме катета и rипотенузы, уrол D  половине
известноrо уrла а искомоrо треуrольника, LA = 900  а. Прове..
дите серединный перпендикуляр стороны CD. Ero точка пере...
сечения с AD  третья вершина В искомоrо треуrольника АВС.
229. Указание. Постройте треуrольник BAD, в котором
LD = 1350, BD  разность катетов, АВ  rипотенуза искомоrо
треуrольника. Перпендикуляр к прямой BD, проведенный из
точки А, пересечет BD в точке С  третьей вершине искомоrо
rреуrольника АВС. 230. Указапuе. Постройте треуrольник DBC
по сторонам В С:, BD = АВ  АС и уrлу В между ними.
Серединный перпендикуляр отрезка DC пересечет прямую DB в
точке А  третьей вершине ИСI<омоrо треуrольника АВС.
Вариант 2
12. 4,2 см. 13. 1 СМ. 14. 0,5 см или 10,3 СМ. 17. 11 см или 3 СМ.
32.90. 33.19". 34.23° и 51 о. 35.230 и 92°. 36. 90°. 37. 940.
38.390, 510. 39.40°,600, 800. 40.720.43.84°.44.1560. 51.360,
144°. 52.800, 1000. 53.400, 800. 57.300, 150°. 58. 660, 114°.
59. 3 00, 1500. 60. 2) 420, 420, 1 380, 138 о; 3) 670, 670, 11 3 о, 11 3 о .
61. 600, 1200. 62. 1490. 66. 800, 1000. 75. 95 см. 76. 17 см, 51 см,
40 СМ. 81. 12см. 93. 17 см. 94.2см. 95.10см. 96.6см, 8 см,
8 см. 97. 14 см, 28 см, 28 см. 100.]5 см. 101.26 см. 128.600.

Ответы
107
\
131. 110°. 134.480. 135. 100°. 136. а) 430, 300; б) 46°, 820; в) 270,
71 о, 820. 137. в) 400, 500, 90. 138. 400, 600. 800. 139. 540, 540, 720.
140.360, 720, 720. 141.360, 40°, 840. 142.200, 700, 900. 143.400.
144.660, 660, 480. 145.70°. 146.125°. 147.1480. 148. 21"J.
149.600, 500. 151.660, 66°, 480 или 540, 540, 720. 152. зоо 3()'\
1200 или 800, 800,200. 153. 1) 980; 2) 570; З) 230. 154. 1) 520,74";
2) 42°, 840. 156. 1320, 141 о, 870. 157.400, 1020. 158. 1300.
159. 440, 440, 920. 160. 280, 280, 1240. 161. 400, 600, 800. 164. 31 о,
590. 165.300,600. 166.830. 167.700, 1200. 168.640,260. 169.430,
470. 173.8 см. 174. 12 СМ. 175.36 см. 176. 2.4 СМ. 177. 8 см.
185. 210. 187. 7 см, 4 см. 189. 10 см, 18 СМ. 192. 540. 193. 1 M.
194.10 СМ. 197.28 см. 199.1) 3 см; 2) 15 СМ,, 200.24 см, 40 СМ.
202. 3 см, 4 Cl\1, 5 см. 219. ИСКОl\tое rеометрическое место точек
 окружность, касающаяся всех этих ХОРД, центр которой
совпадает с центром данной окружности. 227. Vказаlluе. 110"
стройте прямоуrольный треуrольник ABD по уrлу А (или
смежному с ним, если L4 > 900) и катету BD (BD  высота,
проведенная к стороне АС). АВ  сторона искомоr'о
треуrольника. Далее, построив прямоуrольный треуrольник 1)0
rипотенузе АВ и катету АМ (АМ"  высота, проведенная к Сl ()
роне ВС), найдете уrол В иском'оrо треуrольника. 228. Указаlluе.
Постройте прямоуrольный треуrольник ACD по данному катету
АС и катету CD, равному сумме BToporo катета и rипотенузы.
(ерединный перпендикуляр отрезка AD пересечет CD в точке В
 третьей вершине искомоrо треуrольника АВС. 229. УказаllUС.
Постройте треуrольник ABD, в котором DB равна разности кате..
тов, LD = 1350, уrол В  даНdЫЙ по условию уrол. Перпен"
дикуляр к прямой BD, проведенный из точки А, пересечет ее в
точке С  третьей вершине искомоrо треуrольника АВС.
230. Указанuе. Постройте треуrольник BCD по стороне ВС,
уrлу В и стороне BD -= АВ + .4С. Серединный перпендикуляр
отрезка CD пересечет BD в точке А  третьей вершине
искомоrо треуrольника АВС.

108
Вариант 3
12. 11,8 ДМ. 13. 12 СМ. 14. 0,9 СМ или 15,5 СМ. 17. 22 см или 12 СМ.
32. 210. 33. 15°.34. 31 о, 63°. 35. 28°, 77°. 36.28°.37. 19°.38. 76°,
104°. 39. 100, 200, 600. 40. 152°. 43. 128°. 44. 127°. 50. 118°, 62°.
51.450, 1350. 52. 84°, 96°. 53. 12°, 48°. 57. 1100, 70°. 58. 58°,
122°. 59.200, 160°. 60. 1) 380, 38°, 142°, 142°; 2) 280, 28°, 152°,
152°; 4) 56°, 56°, 124°, 124°. 61.360, 144°. 62. 820. 66. 90°, 90°.
75. 83 СМ. 76. 30 см, 69 см, 90 СМ. 81. 3,4 СМ. 93. 26 СМ. 94. 9 СМ.
95. 6 C1, 7 СМ, 7 СМ. 96. 14 см, 14 см, 18 СМ. 97. 30 СМ, 24 см,
24 СМ. 100. 51 СМ. 101. 12 СМ. 128.35°, 35°, 110°. 131. 170°.
137. б) 630, 630, 540. 138. 50, 15°, 60°. 139. 440, 44°, 52°. 140. 40°,
400, 100°. 141. 200, 400, 120°. 142. 28°, 68°, 84°. 143.30°.
144. 60°, 47°, 63°. 145. 610. 146. 750. 147. 38°. 148. 52°. 149. 30°,
24°. 150. 116°, 118°. 151.49°,49°,82° или 380,71 о, 710.152.400,
400, 1000 или 750, 75°, 30°. 154. 1) 41 о, 87°; 2) 16°, 112°.
155. 131 о, 148°, 810. 156. 131 о, 148°, 810. 157. 22°, 1010. 158. 67°.
159.560, 56°, 68° или 62°, 620, 56°. 160.530, 53°, 74° или 74°,
74°, 32°. 161. 7°, 21 о, 152°. 164. 22°, 68°. 165. 20°, 70°. 166. 53°,
37°. 167.50°,400. 168.19°. 169.8°, 82°. 173.46 СМ. 174.21 СМ.
175.8см. 176.3 СМ. 177.8см. 187.9см. 189. 3 см, 7 СМ.
192.880. 193. 60°. 194. 15 СМ. 197.6 СМ, 8 СМ, 10 СМ. 199. 1) 6 СМ;
2) 24 СМ. 200. 15 СМ, 21 СМ. 202.2 см, 3 СМ, 4 СМ. 226. Указание.
Построив прямоуrОЛЬНblЙ треуrольник Асп (т =90°) по
катету CD (высота искомоrо треуrольника) и уrлу А (уrол при
основании искомоrо треуrольника), найдите АС  основание
искомоrо треуrольника. 227. Указание. Построив прямоуrоль..
ные треуrольники по rипотенузе (стороне искомоrо
треуrольника) и катету (высоте искомоrо треуrольника),
найдите уrлы при известной стороне искомоrо треуrольника.
228. Указание. Постройте треуrольник ABD по LD = 45°,
стороне AD (сумма катетов) и стороне АВ (rипотенуза искомоro
треуrольника). Высота, проведеннзя из вершины В к стороне
AD, пересечет AD в точке С  третьей вершине искомоrо

OrвeTЫ
109
треуrольника. 229. Указание. Постройте треуrольник ABD't в
котором DB равна разности катетов, LD == 450,
LAВD == 180°  LВ, rде LB  данный в условии уrол. Перпен"
дикуляр 1( прямой BD, проведенный из точки А, пересечет ее в
точке С  третьей вершине искомоrо треуrольника АВС.
230. Указание. постройте треуrольнк BDC, в котором
АС = АС  АВ, уroл е и сторона ВС даны
 по условию. Cepe
ДИННЫЙ перпендикуляр стороны BD пересечет прямую DC в
точке А  третьей вершине искомоrо треуrольника Аве.
Вариант 4
12. 3,9 см. 13. 16см. 14. 0,7 СМ ИЛИ 6,5 СМ. 17:15см или 17см.
33. 12°. 34.21 о, 48°. 35. 54°, 48°. 36. 130°. 37.44°. 38.240, 66°.
39. 36°, 60°, 84°.40. 166°. 43. 32°.44. 122°.50. 38°, 142°.51. 15°,
165°. 52.81°, 99°. 53.15°, 75°. 57.50°, 130°. 58.51°, 129°.
59.18°, 162°.60.1) 48°,48°, 132°, 132°; 2) 59°,59°, 121°, 121°;
4) 66°, 66°, 114°, 114°. 61.20°, 160°. 62.750. 66. 126°, 54°.
75. 223 СМ. 76. 76 СМ, 38 СМ, 49 СМ. 93. 25 СМ. 94. 14 см. 95.14 см,
22 СМ, 22 СМ. 96. 17 СМ, 23 СМ, 23 СМ. 97. 27 см, 30 СМ, 30 СМ.
100.46 СМ. 101. 39 СМ. 128.60°, 60°, БОО. 131.50°. 136. а)
LF == 92° LE == 34°. б) LF = 170 LE = 57°. В) LL == 870
, , , , ,
LE = 439, LF = 50°. 137. в) L.C = 470, LH = 90°. 139. 24°, 78°,
78°. 140.'54°, 54°, 72°. 141. 20°, 40°, 120°. 142. 100, 700, 100°.
143.25°.144.20°,800,80°.145.97°.146.138°. 147.62°. 148.55°.
149. 15°, 67°, 98°. 150. 122°, 104°. 151. 1) 46°, 460, 88°; 2) 32°,
74°, 74°. 152. 1) 48°, 48°, 84°; 2) 70°, 70°, 400. 154. 1) 370, 61 о;
2) 7°, 91°. 156.151°, 116°, 93°. 157.112°, 37°. 158.66°.
159. 1) 68°, 68°, 44°; 2) 44°, 440, 920. 160. 1) 860, 860, 8°; 2) 47°,
47°, 860. 161. 21 О, 75°, 84°. 164. 16°, 74°. 165. 270, 630. 166. 390,
51 О. 167. 72°, 18°. 168. 30. 169. 30°, 60°. 173. 17 СМ. 174. 56 СМ.
175. 18 СМ. 176. 8 СМ. 177.24 СМ. .185. 420. 187. 8 СМ. 189. 7 см,
2 СМ. 192. 119°. 193. 4 СМ. 194. 9 см. 197. 1 О СМ, 24 СМ, 2б СМ.

11 ()
200.81 см, 45 СМ. 202.8 см, 9 см, 10 СМ. 227. Указание. Построив
прямоуrольный треуrольник ADC по rипотенузе АС (известная
сторона ИСКОl\10rо треуrольника) и KaTery AD (высота, проведен..
иая к друrой стороне треуrольника), найдете уrол С искомоrо
треуrольника АВС. Построив прямоуrольный треуrольник ВЕС
по уrлу С и катету НЕ (вторая высота искомоrо треуrолъника),
найдете сторону ВС искомоrо треуrольника. 228. Указание.
Постройте треуrольник ABD, в котором LD = 450, сторона DA
равна данной сумме катетов, уrол А дан по условию. ОП)'СТИВ
высо1)' на сторону DA, найдете третью вершину С треуrольника
АВс. 229. Указание. Постройте прямоуrольный треуrольник
ADC (LC = 900) по катету АС (данному по условию) и катету
CD (разности между rипотенузой и катетом искомоrо
треуrольика). СереДИНRЫЙ перпендикуляр стороны AD пере..
сечет прямую CD в точке В  третьей вершине искомоrо
треуrольника АВС. 230. Указание. Постройте треуrольник DBE,
в котором DE  сумма сторон искомоrо треуrольника,
LD=-!LA, LE=!LC, rде LA и LC  известные уrлы
искомоrо треуrольника. Серединные перпендикуляры отрезков
BD и ЕЕ пересекут DE в точках А и С'  вершинах искомоrо
треуrольника АВс.

Содержание


01' авто ро в . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3


Тематическое распределение тренировочных упражнений .....5
Трениро
очные упражнения ................ ..... ..... ........................... ... 6


в ар иа нт 1................................................................................. 6


Вариант 2.............................................................................. 29


в ар нант З.....................,........................................................ 52


в а р и а нт 4.............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7 5


Задания для тематическоrо оценивания знаний ......................99


Вариант 1................................................... .'... ... ... .. . .. .. .. . .. . .. .. 99


Вариант 2............................................................................ 1 02


,
О1'веты и указания к тренировочным упражнениям .............105




IIQ,ВIf,альне вuдаННJI


МЕРЗЛЯК АрК8дiй rриrорович
ПОJIО1IСЬКИЙ Вiталiй Борисович
р АБIНОВИЧ Юхим Борисович
ЯКIР Михайло Семенович


3бiриик
задач i 38вдаиь
ДЛЯ теМ8тичноrо оцiнюванвя
з l'eoMeтpii для 7 КJl8CY


Рос;uською ",V080Ю


Редактор r. Ф. Висоць"й
Комп
ютерна верстка о. о. 'J,'далов
Коректор Т. е. Цента


Пiдписано до друку 05.05.2010. Формат 60><90/16.
rариiтура шкiльна. Папiр офсеТRИЙ. Друк офсетний.
'Умовв. друк. арк. 7,00. Тираж 3000 ПРИМ. 3вмовлення М695.


ТОВ ТО .riмназiя.

вул. BOChMoro Верезня, 31, М. XapKiB 61052
Тел.: (057) 719
17
26. 158
83
93, 719
46
80, факс: (057) 158
83
93


Свiдоцтво ДК М 644 Biд 25.10.2001 р.


BiMPYKOBBHO 3 roтових дiапозитивiв
у APYKapHi IПI .Модем.
Тел. (057) 758
15
80. 158
15
90