HISTOIRE
DE
L’ACADEMIE ROYALE
DES
ET
BELLES LETTRES.
A N N E' E M D C C L y.
MDCCLVIL
Mémoires
D E
L’ACADÉMIE ROYALE
DES
SCIENCES
E T
B ELLES-LETTRES.
CLASSE DE MATHintA-
TIQUE.
* * *
*

CONTINUATION
DES RECHERCHES
S.UR LA THE’ORIE DU MOUVEMENT
DES FLUIDES.
PAR M. EULER.
I.
A yant réduit dans mes deux Mémoires précedens toute la Théorie
x des fluides, tant de leur équilibre que de leur mouvement, à
deux équations analytiques, la confîdération de ces formules paroit de
la plus grande importance ; puisqu’elles renferment non feulement tout
ce qu’on a déjà découvert par des méthodes fort différentes & pour la
plûpart peu convainquantes, tant fur l’équilibre que fur le mouvement
des fluides, mais aufli tout ce qu’on peut encore délirer dans cette
Science. Quelque fublimes que foient les recherches fur les fluides,
dont nous fommes redevables à Mrs. Bernoullis^ Clairaut, & iïAlem-
bert, elles découlent fi naturellement de mes deux formules générales :
qu’on ne fcauroit affés admirer cet accord de leurs profondes médi-
tations avec la fimplicité des principes, d’où j’ai tiré mes deux équa-
tions, & auxquels j’ai été conduit immédiatement par les premiers
axiomes de la Mécanique.
II.	Quoiqu’il ne foit pas fouvent à propos de donner à nos re-
cherches une trop grande étendue, de peur qu’on ne tombe dans un
calcul trop compliqué, dont on ne puiffe faire l’application aux cas les
plus Amples, qu’avec bien de la peine, il arrive ici précifément le con-
traire : puisque mes équations, quelque générales qu’elles foient, ne
laiffent pas d’être afies fimples, pour les appliquer aifément à tous les
cas particuliers : & par cela même elles nous préfentent des vérités fi
uni-
$	3i7	#
tmiverfelles, que notre connoiflance en tire les plus grands éclaircifle-
mens, qu’on puifTe fouhaiter. Et enfuite la plus grande univerfalité
qu’elles embraflent, n’empêche pas, qu’elles ne foient presque aufli
Amples, que lorsqu’on confidére des cas particuliers»
III.	J’ai déjà remarqué que mes formules renferment toute la
Théorie tant de l’équilibre que du mouvement des fluides: or, par
rapport à la nature des fluides, elles s’étendent également aux fluides
nommés elaftiques, qu’à ceux qui ne font pas fufceptibles de com-
preflion : & à l’égard de ceux - là, de quelque maniéré que la denfité
puifle dépendre de l’elafticité, foit que ce foit félon une loi confiante,
ou variable d’une maniéré quelconque. Enfuite, quelles que puiffent
être les forces accélératrices, qui agiflent fur les élémens du fluide,
leur effet eft aufli compris dans lesdites formules ; & enfin, de quel-
ques forces externes que le fluide foit follicité, & quelle que foit la figu-
re du canal, ou vaiffeau, où le fluide fe trouve, il y eft tenu compte
de toutes ces différentes circonftances.
IV.	Soit que la queftion roule fur l'équilibre, ou fur le mouve-
ment d’un fluide • & qu’on demande, ou la viteflè & direéhon de cha-
que particule, ou les forces, que le fluide exerce fur les parois du
vaifleau, qui le contient, ou la réfiftance, qu’un corps folide, qui y
eft plongé, eflàye, ou l’élafticité & la denfité du fluide, lorsqu’il eft
compreflïble en chaque endroit : toutes ces queftions, & d’autres fem-
blables, qu’on peut imaginer tant fur l’équilibre que le mouvement des
fluides, fe réduifent à une feule recherche, qui eft celle de l’état de près-
fion, où le fluide fe trouve dans chaque point. Je mefare cette pres-
fion par la hauteur d’une colonne d’une matière pefante homogène,
dont je pofe la denfité ZZ i, en forte que, pour trouver la preflion,
qu’une furface infiniment petite foutient, on n’a qu’à multiplier cette
furface par la hauteur, qui lui convient, & le poids de ce volume,
étant rempli de ladite matière homogène, fera égal à la preflion
cherchée.
R r 3
V.
&	3{9	&
V.	C’eft pour cette preflion, ou plutôt la hauteur, qui lui fert
de mefure, que je donne une équation différentielle, & tout revient à
en trouver l’intégrale. Mais, comme cette équation renferme plufîeurs
variables, on n’en fauroit entreprendre l’intégration, avant qu’on ait
découvert le rapport entre ces variables, qui eft néceflaire pour la ren-
dre intégrable. On tire de là les conditions de tout le mouvement,
tant par rapport à la vkeffe de chaque particule qu’à la denfité, qui s’y
trouve en chaque point, & à chaque inftant; de forte qu'une feule équa-
tion différentielle renferme à la fois plusieurs déterminations différen-
tes. L’intégration en elle-meme ne donne que la feule détermination
de la preflion, mais l'intégralité rient lieu de plufieurs équations, qui
fourniffent les autres déterminations effenrielles à la Théorie du mouve-
ment des fluides. Or, pour avoir toutes les déterminations, par les-
quelles en chaque cas le mouvement eft entièrement déterminé, il faut
joindre à cette équation l’autre équation, que j’ai trouvée.
VI.	Cette autre équation peut être regardée comme finie, puis-
qu’elle ne contient point des différentiels, quoiqu’elle en renferme des
•rapports. Elle eft fondée fur la continuité du fluide, & exclut tant le
vuide, que les particules du fluide pourroient laiffer entr’elles, que
leur pénétration mutuelle. Cette derniere circonftance eft aufli effen-
tielle aux corps fluides que folides; mais à l’égard de l’autre, il peut bien
arriver, que les parties du fluide fe féparent a&uellement, en laifiant
entr’elles un vuide, comme nous voyons dans les jets d’eau, qui font
diflipés enfin en gouttes. Les parties étant alors entièrement féparées
entr’elles, il eft évident qu’on n’y fauroit plus appliquer mes formules;
à moins qu’on ne veuille confidérer chaque goutte féparémenr, entant
quelle conftitue un corps fluide à part. Toute la Théorie des fluides
eft donc uniquement fondée fur deux équations, dont l’une contient la
preflion, & l’autre la continuité du fluide, dans toutes fes parties.
VII.	Sans entrer de nouveau dans le détail des raifonnemens,
qui m’ont conduit à ces deux équations, je me contenterai de mettre
ici
#	3’S
ici devant les yeux les équations mêmes. Et d’abord je confidére le Fïj i.
fluide comme rempliflànt un efpace quelconque Z, je le rapporte fé-
lon la maniéré ordinaire à trois axes fixes & perpendiculaires entr’eux
au point O, par le moyen des trois coordonnées :
OXrzr; XYzzjy, & YZzz*
parallèles aux trois axes OA, O B & OC. Il eft évident, que ces
trois coordonnées font indépendantes entr’elles ; car pour avoir tous les
points du fluide, il faut faire varier chacune féparément : & quand
on aura donné à deux des valeurs déterminées, la variabilité de la troi-
fième nous découvre encore une infinité de points difierens. C’eft
donc par ces trois coordonnées que le lieu de chaque point du fluide
eft déterminé.
VIII.	Mais quand il s’agit de difierens attributs, qui convien-
nent à la particule du fluide, qui le trouve dans ce point, il ne fuffit
pas d’en favoir le lieu; il faut outre cela confidérer, que Tétât du fluide
dans ce même point peut varier avec le teins, ce qui amene dans le
calcul la quatrième variable, indépendante des trois autres, & par la-
quelle eft marqué l’inftant du rems, pour lequel on cherche l’état de
la particule du fluide, qui fe trouve alors au point Z. Pour cet effet
il faut établir une époquAxe, depuis laquelle nous comptons le rems :
foit donc t le tems écoulé depuis cette époque jusqu’à l’inftant en ques-
tion; de forte que laqueftion déterminée eft àpréfent de chercher Tétât
du fluide au point Z, dont le lieu eft déterminé par les trois coordonnées
jr, jy, &	& pour le tems depuis l’époque établie ZZ t. Je marque
ici comme ordinairement le tems par Tefpace divifé par la vitefle, & la
moitié du quarré de chaque vitefle donne lahauteur, d’où un corps gra-
ve tombant acquiert une vitefle égale.
IX.	Enluite, je pofê pour le point Z déterminé par les trois va-
riables xy y y & %, & pour le tems ZZ t la preflîon du fluide expri-
mée par la hauteur ZZ de la maniéré que j’ai expliquée cy-deflùs.
Or, de quelque maniéré que cette hauteur p fera trouvée, on la pourra
tou-
H 32°	$$
toujours regarder comme une fonction des quatre variables X, y9 »,
&,t} de forte que fi l’on met le tems t confiant, on en trouvera la
preflion pour tous les points Z du fluide, & au même inftant ; mais fi
l’on fait confiantes les trois coordonnées x, y, & », on en connoitra
les preflîons au même point Z pour tous les tems. Dans les cas donc
où la preflion au même point Z demeure toujours la même, elle fera
exprimée par une fon&ion du lieu feulement, ou des trois coordonnées
x, y y », fans que le tems t y entre.
X.	H en eft de même de la denfîté du fluide, en cas qu’elle foit
variable, comme nous devons le fuppofer pour rendre nos recherches
générales. Soit donc q la denfité du fluide au point Z & pour le tems
t j &,q doit aufli être regardée comme une fonction des quatre va-
riables x, y, », & t: la mefure de la denfité q eft déjà déterminée
par la denfité de la matière grave & homogène mentionnée cy - defliis,
laquelle eft exprimée par l’unité, d’où la denfité indéfinie q fera expri-
mée par un nombre abfolu. Lorsque la denfité eft partout & toujours
la même, comme il arrive dans les fluides incompreflibles, je pofe
q — g. Dans les fluides élaftiques, ou plutôt compreflibles, la denfité
q dépend de la preflion /?, ou uniquement, ou de plus d’une fonction
des variables .v, jy, », & t\ où je remar^Bb que ia preflion p mefure
-en même tems l’&afticité des fluides au point Z ; vu que l’elafticité eft
toujours balancée par la preflion.
XI.	Après la preflion & la denfité, il faut confidérer les forces
accélératrices, par lesquelles tous les élémens du fluide font follicités,
& dont la gravité n’eft qu’un cas particulier, dont j’exprimerai la force
accélératrice par l’unité, 6c partant les autres forces accélératrices par
des nombres abfolus. Or, quelles que foient les forces accélératrices,
qui agiflent fur l’élément du fluide en Z, on fait qu’on les peur tou-
jours réduire à trois, félon les dire&ions Z P, ZQ, & ZR, fixes 6c
parallèles à nos trois axes. Soient donc ces trois forces accélératrices :
félon Z P = P j félon Z Qjzz Qj félon Z R ZZ R.
Si
321


Si elles dépendent uniquement du lieu Z, elles feront des fondions
des trois variables x, y , z ; mais fi l’on vouloir qu’elles variaflènt
aufli auec le tems, leurs expreflions renfermeroient outre cela la qua-
trième variable t.
XII.	Enfin, fi le fluide eft en mouvement, quel que foit le mou-
vement de la particule, qui fe trouve à prêtent au point Z, on le peut
aufli décompofer félon les mêmes trois directions fixes Z P, ZQj
& Z R ; foient donc les vitefles de l’élément en Z
félon Z P ZZ u ; félon ZQjZZ v ; félon ZR •—? w
de ces trois vitefles dérivées on connoitra non feulement la vraye vi-
teffe du point Z, mais aufli fa direction. Car la vraye viteflè fera
yÇuu —f— vv —J— ww)> que je nommerai ZZ», & les frac-
tions — j — ‘ — exprimeront les cofinus des angles, fous fesquel-
a a a
les la vraye direction eft inclinée aux axes OA, OB, OC. Ces vi-
teffes doivent aufli en général être envifagées comme des fondions
quelconques des quatre variables x> y, %, & f, puisqu’il pourrait
arriver qu’au même point Z le mouvement variât avqp le rems. Or il
eft évident, que lorsqu’on aura trouvé pour quelque cas déterminé, ces
fondions u, v, & w, on fera en état d’afligner le vray mouvement,
que chaque particale du fluide aura à chaque inftant.
XIII.	Pour ne rien omettre, qui puifle fembler néceffaire à l’é-
clairciflement de mes formules,, je dois expliquer une maniéré parti-
culière d’exprimer certaines valeurs différentielles , quoique je l’aye
déjà employée plufieurs fois. Lorsque s marque une fondion quel-
TTAt X
conque de A*, y, & ty cette expreflion mar9ue diffé-
rentiel de j*, (qui réfulte delà feule variabilité de x, en pofant les autres
quantités y, z, & t confiantes,) divifé par dx ; d’où l’on comprend
(ds\ (ds\ (ds\
ce que fignifient ces expreflions J >	’ \dt)' ^onc> “
Mém. de T Acad. Tom.XI,	S S	le
Ss
323
O
le différentiel complet de s eft ds 22	—|— MTy-f-NWs—|— Odt,
on voit qu’il y aura félon cette maniéré d’écrire *
Donc, en connoiffant tous les différentiels particuliers, on en formera
aifément le différentiel complet, qui fera :
dont il eft bon de bien remarquer la compofition, puisqu’elle nous fer-
vira à épargner quantité de coëffciens, que nous ferions obligés d’in-
troduire dans le calcul.
XIV.	Il eft démontré, que dans un tel différentiel complet :
ds™Ldx —f—	-ft- NW& —|— Odty
les coëfticiens L, M, N, & O, ont toujours un tel rapport en-
tr eux qu’il y a :
z>\	z7L\	t	zz/Lx	z^Ox
x^/yz	\dx)	’	'*dz)	\dx)	’	\dtJ	\dxd
z./Mx___z</Mx___________________________(dO>
xdz)	\dy J	5	\dt)	\dy )	J	\ dt )	\dz)t
& cette même maniéré d’exprimer peur fervir à démontrer cette belle
.	/7/L\ f dds \
^-«pnœonsÇ-^par^,
ce qui marque qu’il faut differentier deux fois <r de fuite, en po-
fant la première fois la feule A', & la fécondé fois la feule y varia-
ble, & omettre les différentiels dx & dy. Cela remarqué, on aura
propriété. Car, puisque L 22
or

or il eft aifé de montrer que
de cette propriété devient évidente.
>
d’où la vérité
XV. Maintenant je pofe pour abréger :
& Téquation différentielle qui détermine la preflion p eft :
^ = P</x-+-QXy-|-R<7z—•’X.dx—Ydy— Zd%,
dans laquelle le tems t eft fuppofé confiant. Or l’autre équation
tirée de la continuité du fluide eft :
& ce font les deux équations qui contiennent toute la Théorie tant
de l’équilibre que dû mouvement des fluides, dans la plus grande
univerfalité qu’on puiflè imaginer.
XVI.	Lorsqu’il eft queftion de t’équilibre, on n’a qu’à faire éva-
nouir les trois virefles », », & w, & puisque alors les quantités X4
Y & Z, évaneuïflent auflî, toute la Théorie de l’équilibre des flui-
des eft contenue dans ces deux équations :
R/Zs, le tems t étant confiant
5 s 2
de
3*4
de forte que la denfité q doit être une fon&ion indépendante du
rems t, ou bien la denfité au même endroit Z, fera toujours la mê-
me. Donc, puisque dp zz Pqdz —H Qjdy —|— Rqdzy cette for-
mule doit être un différentiel complet, & partant il faut que les
forces P, Qj R, ayem tant entr’elles qu a la denfité q un tel rap-
port qu’il foit :
fd.Vq>. z^-Q^x .	___z^/.R/x	çd. R^x
dy )	x dx J* x dz J \ dx s	x dz z \ dy s
& quand ces conditions n’ont pas lieu, il eft impofiible que le fluide
puifle jamais parvenir à l’état d’équilibre. Je pafle d’autres proprié-
tés, que j’ai fuffifamment dévelopées dans mon Mémoire fur l’équi-
libre des fluides.
XVII.	Pour le mouvement en général, puisque ï équation
différentielle eft :
dp — q (P-X)^ -4- q	-4- q (R-Z)^,
afin qu’elle foit poflîble, nous aurons de femblables déterminations :
/^(P-X)\
X dy J
\ dx J
fd.q(K-7S)\
\ dx J
fd.q^N'X _ Çd.q^-’L'X
\ dz /	\ dy J 9
de forte que la feule première équation renferme quatre détermina-
tions , mais auxquelles on peut fatisfaire par une infinité de maniérés
différentes. Ces trois dernieres conditions ne déterminent donc ab-
folumenr les trois vitefles, mais en chaque cas il faut avoir égard aux
autres circonftances, comme à l’état initial, à la figure du vaiflèau, &
aux forces externes, qui agiffent quafi par des piftons fur le fluide.
Ces
&	3*5
Ces circonftances n’entrent pas en confîdération dans l’équation difle*
rentielle, mais il en faut tenir compte dans l’intégration.
XVIII.	D’autres qui ont traité cette matière, fi l’on en excepté
M.d’Alembert^ n’ont donné au fluide qu’une étendue par deux dimenfîons
tout au plus, ou du moins ils ont fuppofé que le mouvement de chaque
particule fe fafle dans le même plan, & partant on ne peut regarder que
comme particulières les formules qu’ils ont trouvées; au lieu que celles
que je viens de donner, font tout à fait générales, & on ne fauroit imagi-
ner aucun cas, q uelque compliqué qu’il puifle être, qui n’y feroit pas com-
pris. Il fera donc bon de faire voir d’abord, que tout ce qu’on a découvert
jusqu’ici fur le mouvement des fluides, fe déduit fort aifément de mes
formules générales : or presque tout ce qu’on a donné fur cette ma-
tière, fe réduit au mouvement des fluides par des tuyaux infiniment
étroits, ou qu’on peut au moins regarder comme tels, de forte que
dans ces cas on ne conçoit qu’une feule dimenfion tant dans le flui-
de que dans fon mouvement. Enfuite je ferai aufiî voir comment
tout ce qu’on a écrit fur le mouvement des fluides en confidérant deux
dimenfîons, découle très naturellement de ces mêmes formules.
XIX.	Que le fluide foit donc renfermé dans un tuyau FZV,
dont l’amplitude foit partout quafi infiniment petite, que je fuppoferai
néanmoins variable, ce qui nous tiendra lieu de la fécondé équation
tirée de la continuité du fluide. Car nous n’aurons qu’à fuppofer par-
tout le mouvement & l’amplitude, telle que la continuité exige. Pour
cet effet foit dans un endroit fixe du tuyau F l’ampiitude zz^, &
après un tems quelconque ZZ t, foit la denfité du fluide en F ZZ
& la viteffe vraye dont le fluide s’y meut dans le tuyau ZZ œ j & quel-
que variables que puiflènt être la denfité (£, & la vitefle ou, leur chan-
gement dépendra uniquement du tems r, de forte que (£ & w feront
des fondions du tems t feulement. Maintenant, G nous fuppofons à
un endroit quelconque Z l’amplitude du tuyau Z rr, qui fera une
fon&ion du feul lieu Z, ûns qu’elle dépende du tems & que nous
S s 3	poli-
&	3^
pofions après le tems t, la denfité du fluide en Z ZZ £, & la vraye
vitefle — a ; & par la continuité^ du fluide, il faut qu’il fublifte un cer-
tain rapport entre ces quantités, qui répondent aux ferions F & Z.
XX.	Pour trouver ce rapport, nous n’avons qu’à chercher là
quantité du fluide, qui occupe maintenant le tuyau FZ, & la pofet
égale à celle, qui occupera après l’élément du tems dt, la partie du
tuyau /$, prenant Ff dt & 'xdt. Pour cet effet foir la lon-
gueur du tuyau F Z ZZ s , & il eft clair que la quantité du fluide, qui
remplit à préfent le tuyau FZ, eft ~fqrrds'. or après l’élément
du tems ///, puisque la denfité q fe change en q -f-
la quantité du fluide , qui rempliroit la même longueur FZ, feroit
fd (f\		.
~ f grrds —j— dt frrdsf	J : ajoutons y la pente portion, qui
occupera l’élément Zszzü^, qui fera ~ qrrnàt, & en retran-
chons la portion , qui répond à l’efpace F f ZZ w d t, qui feroit
dt, pour avoir la quantité du fluide, qui remplira après le
tems dt l’efpace du tuyau fz, qui fera :
(d r/X
— J —|— rr q$dt-------ffQudt.
Or celle-cy devant être égale à celle qui occupojt auparavant le tuyau
FZ, ou à fqrrds, nous aurons cette équation :
r r q fi ZZ ff(D w —fr rds ÇjjÇÿ >
qui tiendra lieu de l’équation tirée de la continuité du fluide.
XXÏ. Soient maintenant comme auparavant les forces accéléra-
trices P, Qj qui agiflent fur l’élément du fluide en Z, félon les
directions Z P, ZQ, & ZR, à que u, v, w, expriment les vi-
(efles dérivées du fluide en Z , félon ces mêmes dire&ions pour le
tems écoulé ZZ t ; ces directions étant prifes parallèles aux trois axes
fixes
3*7	$
fixes OA, OB, OC, auxquels je rapporte les trois coordonnées
OXzzx, XY zzzjy, & YZ~2, qui déterminent le lieu du point
Z. Or, puisque le tuyau F Z eft regardé comme une ligne immobile,
fa nature fera exprimée par une double équation entre les trois coor-
données jt, y y & z ; ou bien tant y que z fera exprimé par une
certaine fon&ion de x ; & puisque d s ZZ V(dx2-}-dy2 —
la longueur du tuyau F Z ZZ r, fera aufli une fonction de x : de mê-
me que l’amplitude du tuyau en Z zz r r. Ou réciproquement on
pourra regarder les quantités xy yy z, & rr, comme des fondions
de la feule variable x, dont la nature fera connue, quand on fup-
pofe donnée la figure du tuyau.
XXIÎ. Puisque la viteffe vraye h fuit la dire&ion du tuyau en Z
nous en connoirrons les vitefles dérivées, qui feront :
ÿdx	ÿdy	udz
u zz -j- j v — ~ ; w zz -7- ;
ds	ds	ds
d’où nous tirons comme en général a a ZZZ u u -f- v v -f- w w i
enfuite nous aurons :
u dy ZZZ v dx ; u dz ZZ 10 dx ; & v dz ZZ tv dy.
Or je remarque de plus, que puisque les deux variables y & z ne
varient qu’avec x, de forte que prenant x confiante, les deux autres
y & z y ne fubiffent point de changemens; fi nous rapportons tout à la
•1-1/1	1	rr- (dti\ fdu\ fdv\ o
variabilité de x) les expreflions J 3 \Jz) 3 \7~y &c* evanOUÏ~
, marque le différentiel de fi l’on fup-
ront ;
pofe x. & z, & confiantes: or pofant x & t confiantes les quanti-
tés u} vy w, ne fauroient plus varier. Donc nous aurons :
de forte que nous n’ayons dans ce cas que deux variables x & t.
xxin.
3-8	«O*
XXIII. De là nous obtiendrons :
Y^+ZA-^( J)+^((£)
Or, puisque udy ~t!dx & uà% ~ <wdxy nous aurons :
udx -uâx O
ZZ dx

en ne fuppofant que x variable, ou bien en ne fuppofant que le tems t
confiant, puisque nous n’avons que deux variables x & t. Enfuite
n d x	dx
à caufe de « ZZ , puisque le rapport — , ne dépend point du
tems t, nous aurons
\dt) 3 & Psrtar,t -
dx2 -\-dy2 A-d*2 /dxy
d s	W t)
Par conféquent nous aurons :
'Kdx —Ydy -\-7adz ZZ ds H~ 8^8,
en fuppofant dans te terme xdts le tems t confiant.
XXIV. Donc, expofant la preflion du fluide en Z par la hau-
teur p, nous parvenons à cette équation différentielle :
— zz P dx —|— Q/jy —H R d 2> •— ds Ç — a du,
q	xxt fs
où le tems t eft fuppofé confiant, tout comme le terme a du le renfer-
me déjà : & cette équation jointe à l’autre tirée du principe de la con-
Cd
-77 J
Cltsy
renferme toutes les déterminations du mouvement du fluide par le tu-
yau
^9	#-
yau FZ. Je remarque ici en paflant, que fi au lieu de rapporter le»
quantités y & z à xy j’eufle rapporté ou x & z à yy ou x &, y
à z y j’eufle trouve la même équation différentielle ; ce qui eft évi-
dent, puisque aucune de ces trois coordonnées n'y entre préférable-
ment aux autres. Elles n’y paroiflent même plus que dans le membre
P dx -f- Qj/y -f- R/ü, qui réfulte des forces follicitantes.
XXV. Voilà donc les formules pour le mouvement d’un fluide
quelconque, tant incompreflîble, que compreflible félon une loi quel?
conque, & folliciré par des forces accélératrices quelconques, par un
tuyau d’une figure quelconque ; que perfpnne n’a encore données dans
ce degré de généralité autant que je fâche. Mais aufli dois-je avouer,
que dans cette grande étendue on ne fauroit découvrir l’intégrale de
cette équation différentielle ; d’où dépend cependant toute la détermi-
nation du mouvement. Or, fi nous fuppofons le fluide incompreflîble,
<3c que fa denfiré foir partout & toujours la même — ce qui eft le
cas auquel on s’eft principalement borné, à caufe de ^ZZ J)ZZ^,
nos deux équations pour le mouvement dans ce cas deviendront :
— ZZ Vdx —Q/j -j— Rdz — ds f 7^)------------bda,
g	\dt j
& rru ZZ ûü , ou ü ZZ -------------.
XXVI. Puisque y & z font déterminées par x, quelles que
foient les forces P, R, la formule Pdx —|— Qdy —f— Rdz fera
toujours intégrable. Soit donc P dx —(— Q/y H-’ R «.7s ZZ dV y de
forte que V exprime ce que j’appelle l’effort des forces. Enfuite,
puisque r r ne dépend point du tems r, pendant que la vitefle w,
à la fe&ion donnée F en dépend uniquement, nous aurons
fda\ fffd^\	_ (du\
( — JZZ —( j j oc lexpreflion ( — I , ne dépendra pas non
plus du lieu Z, ou de la variable xy ou de s.
Mém. de Mead. Tom. XL
Donc
O 330
Donc notre équation différentielle fera :
dp — jxt ffds(dw\	•	.
zz /V ----- ---( -7- ) - 3 d a,
£	rr\dtj
& parce que le tems t eft fuppofé ici confiant, l’équation intégrale
en fera :
tp	fdü)\ „ -ffds	„
— ZZ	V —	( -7- ) f '—	—-	4 a a —	Conft.
g	\dt / rr
«.	r 1
OU bien en remettant pour a fa valeur — :
— - V —	-^4-Conft.
g	\dtj rr 2 r4
où h confiante peut renfermer le tems t.
XXVII.	Cette formule comprend tout ce qui a été écrit jus*
qu’ici fur le mouvement des fluides par des tuyaux, ou canaux quel-
conques; que les Auteurs, ou ont fuppofés infiniment étroits, ou ont
crû, qu’on pouvoir regarder le mouvement tel, comme s’ils étoient
infiniment étroits. On n’a pas même douté d’appliquer cette formule
au mouvement de l’eau par des vaifleaux d’une largeur quelconque,
en quoi on s’eft fondé fur cette hypothefe, que par toute l’étenduë de
chaque feétion horizontale du vaiflèau l’eau ait le même mouvement :
& ayant comparé ce calcul avec les expériences, on a trouvé en effet,
qu’on ne s’étoit pas écarté trop de la vérité. Cependant la condition
de l’amplitude infiniment petite eft fi eflentielle au cas, que je viens de
déveloper, qu’on n’en fauroic admettre à la rigueur l’application aux
tuyaux, ou vaifleaux, dont la largeur eft confidérable. Les conclufions
qu’on en en tire, ne peuvent être regardées que comme des approxi-
mations à la vérité.
XXVIII.	On peut aufli faire l’application de la formule (§.24.)
au mouvement d’un fluide élaftique par un tuyau infiniment étroit,
quand on fuppofe que le mouvement eft déjà devenu permanent, ou
tel
331
tel qu’au même endroit du tuyau Z, tant la vîteffe 8, que h denfité
foit toujours la même. Dans ce cas les quantités & 8 feront des
fondions de la feule variable j ou x > & partant (7A ZZo, de
— o ; or les quantités (£ & w deviendront abfolument cons-
tantes. On aura donc rrqx ~ff$ w > & l’équation différentielle
fera — zz dN — adÿ) où le tems eft fuppofé confiant. Donc, fi
?
la denfité <7 eft proportionnelle au reffort /, ou qu’il y ait p ZZ — ,
S
de forte que fi la denfité eft ~g> félaftlcité foit zz on aura
A I a zz V — 4 88 -f- Conft. ou bien ;
g
Æ , xr /4(Î)2W2	h ,
— ZyzzV--------------------f-H----------îb
g	z 2 r'qq	g
en prenant l’intégrale V en forte, qu’elle évanouïffe au point F;
où devient ^ZZ(p, & rrzz#'.
XXIX.	Pour appliquer ce calcul à l’air, fuppofons encore plus
généralement, que félafticité ne dépend pas feulement de la den-
fité, mais aulli de la chaleur, qui foit variable par la longueur du tu-
yau. Soit le degré de chaleur en Z ZZ que je fuppofe àufli tou-
jours le même, & en F zz y, où la denlité foit $ g, & pofons
félafticité en Z exprimée par la hauteur p ZZ —, où la chaleur ç
foit donnée par une fonction quelconque de x, ou de x, Ayant donc
rrqÿ — ffgw, & dp — — (qdç f/y),
O /
netre équation différentielle fera :
— dN — ÿdü ,
ou
<1	33^ H
. ,	.	r,	d a	du	zdr
ou bien a cauie de — ZZ-----,----.
q	a	r
h	f,	2odrX
—{do— ------------1—Jzz^V —a/y,
gy\• a r x
d’où il s’agit de chercher la valeur de S.
' XXX. Pour éviter les difficultés du calcul, fuppofons le tuyau
horizontal, & partout de la même largeur, de forte que rvzz.ff}
qa ZZguù, & la force accélératrice de la gravité donnera dN ZZ o,
d’où nous aurons :
^yx. 5 a ✓	^y\. an x
dont l’intégrale eft - zz--------H w-----8, d’où l’on trouvera la vi-
^ys gu
teffè a, & de là la denfité q ZZ ~ , & enfin l’élafticité, ou la pres-
sion p zz ZZ h —|— g w ( 0) - «). Si l’on prend F unité pour
y 8
marquer la denfifé du mercure , h fera la hauteur du baromètre
en F ; donc, fi la hauteur du baromètre à l’autre bout du tuyau Z,
qui eft ZZ py eft auffî connue, nous en tirerons:
hou>	h—p ____________gyp
ÿ ZZ —— ZZ w H----------; OC ZZ .
y p	y m	h r
*ÿ p ( h —
Donc w w zz	, d’où l’on connoitra le mouvement de l’air
g\Ji<>-yp)
par ce tuyau horizontal, qui fe réduira à rien, à ce qu’on voit, lors-
que p zz h.
Fig. 5- XXXI. Or, fi nous concevons un tuyau horizontal A C ouvert
par fes deux bouts A & C, & que la hauteur du baromètre en
A ZZ A B zz h y foit plus grande que celle en B zz C D ZZ p, l’air
coulera fans ceffe de A vers C. Que ab repréf^iteJe degré de cha-
leur
333
AB	CD
leur en A & cd celui en C, & tandis que —T > -—-, le mouve-
ab	cd
ment de l’air par le tuyau atteindra un degré permanent ; mais lorsque
AB CD	... AB .CD 1
—T ZZ —? , & a plus forte ration lorsque —r < —7, le mouvement
tib cd	(ib cd
ira toujours en accélérant, & deviendra de plus en plus rapide. Cela
arrivera donc lorsqu’il fait beaucoup plus chaud en C, que le baromè-
tre eft plus bas qu’en A, où il eft plus haut. Mais, ii la hauteur du
baromètre eft la même de part & d’autre, l’air ne fe mouvra pas par
le tuyau, quoique la chaleur foit différente ; ce qui cependant n’eft
pas contraire à ce que j’ai démontré, que latmofphere ne fauroir être
en équilibre, à moins qu’à égales hauteurs la chaleur ne foit la même :
car dans le préfent cas l’équilibre eft maintenu par la fermeté du tuyau.
XXXII.	Sur le mouvement des fluides par des tuyaux infini-
ment étroits, on trouve encore des recherches particulières, lorsque
les tuyaux ne font pas en repos, mais qu’ils font tournés autour d’un
axe. J’ai traité aflès au long cette matière en quelques Mémoires,
que j’ai compofés à l’occafion d’une machine hydraulique aufli ingéni-
eufe que nouvelle , inventée par M. le Confeiller Privé de Scgner
à Halle. Quelque difficile & epineufe que puifle paroitre cette recher-
che, elle peut être déduire allés aifémenr de mes formules generales,.
& même de celles, que j’ai déjà dévelopées pour le mouvement des
fluides par des tuyaux immobiles, en y inrroduifanr la confidération
du mouvement, qu’on veut fuppofer dans le tuyau. Dans les Mémoi-
res allégués je n’ai examiné que les cas, où le tuyau eft tourné au-
tour d’un axe fixe ; mais, puisque le tuyau peut recevoir une infinité
d’autres mouvemens, je m’en vais faire l’application à un mouvement
quelconque du tuyau.
XXXIII.	Ici il faut d’abord bien diftinguer le mouvement relatif
du fluide dans le tuyau, de fon vrai mouvement ; ce mouvement
rélatif s’-eftime de la même maniéré, comme fi le tuyau étoit en repos ;
Tm	’	b
9	334
& le vray mouvement Te trouve par h combinaifon du mouvement ré-
latif avec le mouvement du tuyau. De la même maniéré le vrai mou-
vement de chaque element du fluide fera compofé de fon mouvement
relatif & du mouvement du point du tuyau, où cette particule fe
trouve à chaque inftant. Or les forces qui agiflent fur le fluide fe ra-
portent à fon vrai mouvement, & point du tout à fon mouvement re-
latif : cependant il eft clair, que fi le mouvement du tuyau étoit tel,
que tous fes points fuflent portés avec des viteflès égales & uniformes
fuivant la même direction, ou que tout l’efpace qui contient le tuyau,
fe mût uniformément félon la même direétion , le vrai mouvement
du fluide demanderoit les mêmes forces, que le mouvement relatif:
ou bien le mouvement relatif fubiroit les mêmçs changemens que fon
mouvement véritable.
XXXIV.	Ce n’eft donc, qu’entant que les élémens du tuyau
ne fe meuvent pas uniformément, & félon la même direction, que le
mouvement relatif du fluide eft troublé, entant que le fluide ne reçoit
pas les mêmes accélérations que le tuyau. D’où il s’enfuit que le mou-
vement rélatif fera le même, que fi le fluide étoit folliciré, outre les for-
ces qui y agiflent immédiatement, par des forces égales & contrai-
res à celles dont le mouvement du tuyau eft accéléré ou retardé.
Pour rendre cela plus évident, on n’a qu’à confidérer une portion de
fluide dans un. tuyau, & que le tuyau reçoive quelque accélération en
avant, alors le fluide demeurera en arrière, & fon état relatif dans le
tuyau fera le même, que fi le fluide étoit poufle en arrière par une ac-
célération égale. Donc, pour déterminer le] mouvement rélatif du
fluide dans un tuyau mobile, nous n’avons qu’à tranfporter fur le
fluide les forces accélératrices qui agiflent fur le tuyau, mais félon des
directions oppofées.
XXXV.	Que le tuyau par un mouvement quelconque foit donc
Fig- 4- parvenu après le tems ZZ t, dans la fituation FZV, qu’au bout F,
foit comme auparavant fon amplitude la denfité du fluide — (fi,
&
$	33f	$
& la viteflè relative dans le tuyau zz w, & ces quantités Q &
feront des fondions du tems , comme auHï les trois coordonnées
ODzZtf, DEzzÆ, & EF ZZ c, par lesquelles eft déterminé le
lieu du bout F au tems ZZ t. Qu’à un autre point quelconque Z
déterminé par les trois coordonnées O X ZZ x > X Y — y, &
Y Z zz z, foit l’amplitude zzrry la longueur du tuyau FZ zz f, &
au même tems ty la denfité du fluide en Zzz^, la vitefle rélarive
dans le tuyau ZZ s, & la preflion zzp. Donc, pour la continuité du
fluide, qui fe détermine également par le mouvement rélatif, que par
l’abfolu, nous aurons cette équation : rr	— frrds
pourvû qu’on étende 1 intégrale frrds ( —- j par la partie F Z , de
forte qu’elle évanouïfle en faifant a' ZZ /?, jy ZZ & fcZZC.
XXXVI.	Soit 1’élement du fluide en Z, folliciré par les trois
forces accélératrices Z P z P , Z Qjzz Q^, & Z R zz R , comme
auparavant. Mais pour le mouvement du tuyau, quel qu’il foit, qu’on
décompofe le mouvement du point Z, félon les mêmes diredions,
dont les vitefles foient :
félon ZP ZZ « ; félon ZQjz v ,• & felonZRzzw;
j’employe ici les mêmes lettres r, qui me marquoient aupara-
vant les vitefles du fluide, puisque dans ce fens elles ne font plus dans
le calcul, & qu’il n’y en a point à craindre de confufion. Or, puis-
que le tuyau eft fuppofé rigide, & ne fauroit changer de figure pen-
dant fon mouvement, les trois vitefles doivent tenir un certain rapport
aux coordonnées, & cette confidération nous fournir les détermina-
tions fuivantes :
u ZZ Z H— Çy ~ J) 2 ; t/ZZ« + Ô2 — Çx ; ^~n H——Sjy;
où les quantités /, tfr, zz, ô, font, ou confiances, ou desfonc*
lions quelconques du tems t.
XXXVII-
336
c#b
«86?
XXXVÏL Pour obtenir maintenant les forces accélératrices du
point Z du tuyau, il eft évident que ces forces feront :
~ du r, _ dv	__ dw
félon ZP zz “ j félon ZQ“ félon Z R ZZ i
dtJ	dt	dt
où du , dv y dw* marquent les changemens des vicefles pendant le
tems dt ; or pendant ce tems les trois coordonnées X, y^ %, qui
fe rapporteur au point Z prennent les accroiflèmens dx ZZ udt>
dy~vdty & dzzz.'wdt ; d’où nous aurons :
du ZZ dl 4- ydÇ------zdqÇvdt—* v^dt
d v ZZ dm 4— zd$-----x dÇ —f— üwdt — Çudt
dv}~ dn 4— xdq-------yd fl 4“ ]udt----Qvdt,
& en fubftituant pour u, v, ôc w leurs valeurs, nous aurons :
du	_dl	1	zdfj	1— Pw — Mu ( P P 1 — V — I P$\ty - I
d t	dt	dt	dt	
d v dt		dm dt	zd Q dt	xdï  dt n	
J -+-	-M) l-ô m - -h Ô 9)z+, £7 -H (fr.
XXXVIII. Ayant trouvé ces accélérations, nous n’aurons qu’à
les foutraire des forces accélératrices P, Q, R, qui agiflent immédiate*
ment fur l’elément du fluide, qui fe trouve en Z, & de là nous tire-
rons pour le mouvement rélatif du fluide dans le tuyau mobile l’é-
quation différentielle fuivante :
du	,	, du t dv r dw r r fdx\
JL ZZ P^r+Q/y+R/s —7- dx — -r~dy — ~—dz-ds( ~~ )-adÿ.
q —	dt dt J dt \dtJ
où le tems t eft fuppofé conftant ; & puisque la figure du tuyau eft
donnée, les trois variables x, y, %, feront déterminées par la feule j.
On
&	337	<&
On n’a donc qu’à fubftituer pour	les valeurs trou-
dt dt dt
vées, & on aura les équations les plus générales pour le mouvement
d’un fluide quelconque dans un tuyau agité d’un mouvement quelcon-
que. Lorsqu’on veut que le tuyau tourne autour d’un axe fixe, ce
n’eft qu’un cas très particulier de l’hypothefe générale , fuivant la-
quelle j’ai établi le mouvement du tuyau tel, qu’il s’étende abfolument
à tous les mouvemens poflibles.
XXXIX. Pour faire voir l’ufage de ces formules dans quelque
cas plus particulier, fuppofons d’abord que le fluide foit incompreflî-
ble , & que fa denfité foit partout & toujours la même. Pofons donc
(J)ZZ^, & q~ g9 & l’équation, qui renferme la continuité du
n	f	_ (d*\ ff fdu\
fluide, fera rrx ZZ/w, donc y ZZ —, & ( ^- J ZZ — ( — ).
’	rr KdtS rr\dtJ
Soit de plus P dx —|— Q/y -f- Rdz zz dV9 & l’intégrale de notre
équation différentielle fera :
— ~c
___xàl	yd™	zdn
\dtJ J rr 2r* dt	dt	dt '
dd- f{ydx - xdy~) 4- ^fÇzdy -ydz) -f- ^-/(xdz - zdx)
c» i'	a c	n c
—— \m}x -f- (O/z —(»}/ — Ôzzz) z
—Ktf+’rt)**—i(N-4-fâyy—
4- ÇQxz 4- Çijxy 4- yfyz,
où puisque le tems eft fuppofé confiant, il faut prendre les intégrales
f (ydx—xdy} &c. de la position du tuyau à chaque inftant.
* XL. Puisque ce cas eft encore trop général, fuppofons que le
tuyau tourne autour de l’axe OC, en forte qu’âpres le tems ZZ r,
la vitefle de rotation à la diftance ZZ e foit zz la vitefle de ro-
tation du point Z, dont la diftance à l’axe OC eft ZZŸ(xx —|—yy)9
JWto. ^rxc^.Tom.XI.	v v	fera
fera zz — V (xx	d’où nous tirerons fes vitefles dérivées
«ZZ —, r zz- — 3 & iv ZZ o ; deforte que pour cecas on aura :
e	e
/ ZZ o ; m ZZ o ; wZZ o ; ZZ — ; i) ZZ o ; 8 ZZ o ;
e
& partant nous aurons pour le mouvement relatif du fluide dans ce
tuyau cette équation :
£
S
à v
^-f{ydx-xdy')
V V
—rr, (•*•*+ •’'•’')>
2 e e
où la conftante peut encore renfermer le tems t d’une maniéré quel-
conque.
XLI. Confidérons la pofition initiale du tuyau, où le lieu du
point Z air été exprimé par les trois coordonnées X,Y,Z; & pendant
le tems t le point Z ou Y aura décrit autour de Taxe O C un angle
t -I r	O ! ~vdt v	,
de forte que Jip ZZZ — , oc ZZ J —, d ou apres le tems t,
les coordonnées pour le point Z feront :
XZZ Xcoftp------Yfintp ; y ZZ Xfin-Jj -j- Ycoftp ; £> ZZ Z ;
& partant x x —p y y zz X X —p Y Y. De plus à caufe dd
dx zz </Xcofxp —- //Yfîntp j & dy zz *7Xfinip —^/Ycofip,
nous aurons : ydx — xdy ZZ Y JX — X^/Y.
Donc, par l’équation pour la figure & fituation du tuyau au commen-
cement, nous aurons :
£ _
£

vv
zce
XLII.
33»	&
XLII. On peut rapporter ici encore une autre queftion de la
derniere importance en plufieurs occafîons, qui roule fur la force de
réaétion que le vaifleau fourient des prenions du fluide, qui y eft con-
tenu. Comme cette réa&ion eft le réfukat de toutes les preflîons du
fluide fur les parois du vaifleau, on la pourroit déduire de i’expreflîon
générale, qui donne la preflion du fluide en chaque endroit : or
cette détermination deviendroit fouvent trop épineufe, & même impra-
ticable. Mais j’ai expofé ailleurs une autre méthode fort Ample pour
arriver à ce but, qui eft fondée fur cette belle propriété, que la réa&ion
fur le vaifleau eft égale à la fomme de toutes les forces, qui agiflent
fur le fluide, moins celles qui font requifes à maintenir fon mouve-
ment. De là fi zz, r, «r, marquent les trois vitefles du vray mouvement
du fluide en Z, puisque l’élément delamafle y eft zz: qrrdiy la réac-
tion qui réfulte de cet élément fe réduira à ces trois forces :
félon ZP ZZ qr rds ^P—	’ félon Z Qzz q r
& félon ZR ZZ q rt‘ds
XLIII. On peut de même réfoudre la queftion en général, lors-
qu’on demande les forces, qu’un vaifleau quelconque foutient du fluide,
qui s’y trouve agité d’une maniéré quelconque. Car d’abord le vaifleau
foutient les forces externes, qui agiflent par le moyen des piftons
fur le fluide ; enfuite le vaifleau foutiendra aufli de la part de chaque
élément du fluide en Z, dont la mafle peur être répréfenrée par
qdx dy dz> &. que j’appellerai ZZZ dMy de certaines forces, qui fe ré-
duifent à trois, fuivant les directions Z P, Z Q^& Z R, & ces for-
ces élémentaires feront
félon =	félon ZQ^—
& félon ZR~ </M
V v 2	On
U
Fig-, r.'
&	340	&
On n’a donc qu’à prendre les intégrales de ces formules, & les étendre
par toute la maffe fluide contenue dans le vaifleau, pour avoir conjoin-
tement avec les forces des piftons la force totale de la. réaction.
XLIV. J’ai déjà remarqué que presque tous les cas du mouve-
ment des fluides, qu’on a traités jusqu’ici, fe réduifent à celui d’un
tuyau infiniment étroit, que je viens de déveloper. Outre celui-là on
n’en trouve guères, qu’on ait confîdéré. Or, pour y arriver il faut très
confidérablement limiter nos équations générales. Car d’abord il faut
fuppofer le fluide incompreflîble, ou fa denfité y confiante, tant par
rapport au tems qu’au lieu; pofons donc ^zz^. Enfuire il faut fup-
pofer le mouvement du fluide permanent, ou tel qu’au même endroit
tes trois vitefles u, v, «r, avec la preflîon p, demeurent toujours les
mêmes, quoiqu’il pafle continuellement d’autres élémens du fluide par
lé même point : de forte que ZZ o, (zO ZZ o, &
ZZ °* ke tems n’entrera donc plus en confidération, &
toutes les quantités que nous aurons à déterminer, ne feront que des
fondions des trois variables x, jy, & % ; ce font les trois vitefles
v} w, avec la hauteur j?,qui expriment la preflîon dans chaque point Z.
XLV. Nous aurons donc pour tes quantités X, Y, & Z, tes va-
leurs fuivantes :

&
O $4*	©
& nos deux équations, qui renferment le mouvement du fluide, feront:
= Pdx J- Qdy -+- Rdz — Xdx — Ydy-----1dz}
Donc, la première équation devant être intégrable, il faut qu’il foit
^/P-rfXx _ z/Q-ffYx zYP-£Xx __ zz/R-^Zx zYQ-</Yx _ //R-£Zx
dy ) x dx J’x dz ) x dx ) ’x dz / x. dy J
Or fi les forces, dont le fluide eft follicité, font réelles, la partie
Pdx —|— Qdy -+- Rdz eft toujours intégrable d’elle-même, &
l’intégrale que j’indique par V, marque l’effort des forces follicitantes»
XLVI. Or, puisque le mouvement du fluide eft fuppofé perma- Fig. t,
nent, toutes les particules, qui paffent fucceflivement par le point Z,
décriront la même route. Ou fi nous concevons dans le fluide une
fedion fixe B O C , toutes les particules qui paffent par le même
point F de cette fe&ion, fe mouvront félon la même ligne F Z V.
Inrroduifons donc cette ligne F Z V dans le calcul ; & foient pour le
point F les coordonnées O E ZZ Æ & E F ZZ r, qui font confiantes
pour la même courbe FZV, mais variables déroutes les maniérés pofli-
bles pour des courbes différentes. Pour un point quelconque Z de cet-
te courbe foient les trois coordonnées O X zz x ; X Y zz y &
Y Z ZZ s, & la nature de cette courbe fera exprimée par deux équa-
tions entre x, jy, & z qui renfermeront outre cela les deux con-
fiantes b & c, comme fes paramétrés ; d’où l’on pourra déterminer
l’une & l’autre féparément par les trois coordonnées xy y de s.
Soient donc les formules différentielles , qui en réfultent :
db ~Ldx —|— Mdy —j—	& de zz Idx —mdy —ndz
où L, M, N, I, w, », feront des fondions des feules coordonnées
*> y,
V v 3
XL VIL
343
X^ndx -4— Mndy ZZZ Wldx	Nmdy ;
XLVII. Puisque la particule en Z fe meut fuivant la direftion
de la|courbe Z a, fes trois vitefles uy v, & «r, tiendront entr’elles le
même rapport, que les différentiels dxy dy & dz^ entant qu’ils re-
gardent la même courbe. Or, ayant dans ce cas db~& & de 7^0,
nous aurons :
dy
dx Nzw-------------M«
Lmdx —p zz 'M.ldx -f- M ndz ;
dz	L m -4- MZ
ou dx	Nz»—
d’où nous tirons :
dx : dy ; dz ZZZ N®--Mzz : Lw—r-NZ : MZ —-Lw
Pofons donc :
«ZZK(Nw----M«); ?zzK(L«----NZ); wzzK(MZ—-Lz?)
où il eft encore incertain, fl le fafteur commun K dépend uniquement
des quantités confiantes b & c, ou outre cela encore des coordonnées
x, y & ce qu’il faut décider par l’équation tirée de la continuité
du fluide.
XLVIII. Mais, pour avoir la valeur de il faut regarder
là feule x comme variable, & les deux autres y & z comme confiantes,
d’où cette confldération s’étend fur les courbes voifînes, & fuppofe
par conféquent variables les quantités b & c ; d’où nous aurons
db —: Ldx & de zz Idx. Or nous verrons bientôt que le
faéleur K doit être une fonction dp b & e. Soit donc :
dK zz Bdb 4- Cdc
&, puisque les autres quantités L, M, N, & Z, ær, n dépendent uni-
quement des trois coordonnées x,y & s, nous aurons :
.7.,.	x	<d^\	ZvZMxX
De
343
De la même maniéré on trouvera :
0=<BM+C.) (La—N/) + K (l (g) + „(
& la Tomme de ces trois formules doit être égale à zéro.
XLIX. Or la Tomme des trois premiers membres fe détruit vi-
fiblement; & pour les derniers membres, fi nous confidérons, que les
formules différentielles LtZr -p- Mdy —Nà & Idx m dy -~f- ndz
doivent être intégrables, on aura :
dm^. sdl^ sdn\ sd!*\	__(dm
dx) ^dyJ 3 xdxJ xdzJ 9 \dy J xdz
xdx) xdy) 3 xdx) xdz) 3 ^dy) \dz)t
& partant les trois derniers membres fe détruiTent aufli d’eux mêmes.
D’où je concluds que K eft uniquement fon&ion de b & c, comme j’ai
fuppoTé. Car fi l’on croyoit, que K pût aufïï renfermer x. y, & z^
je remarque dabord, que par le moyen des deux équations entre
-*Vj on en pourroit éliminer deux, de forte que K ne feroit
fonction que de b, c} & d’une des trois x, y} z. Or fi s’éroit x, on
auroit outre les termes qui fe détruiTent encore

& ainfi des deux autres, d’où il eft évident, que K doit uniquement
dépendre des deux quantités b & c.
L. Prenant donc pour K une fon&ion quelconque de b de c,
nous avons déjà des valeurs générales pour tes trois viteffes :
«—K(Nz« — M/z); rz=K(Lzz------------NT); w=K(MZ-----------Lm)
qui
344	3$
qui fatisfont à la formule, que la continuité du fluide nous a fournie.
Mais pour l’autre équation différentielle, je remarque que fi l’on confi-
déroic la feule x comme variable, & qu’on intégrât la formule, on
trouveroit la vraye intégrale, pourvu qu’on fit entrer les deux autres
variables y & z dans la confiante, que l’intégration entraîne. Dans
ce cas on opéreroit de la même maniéré, comme fi l’on vouloit feule-
ment chercher la preflion pour les endroits, où y & z font de même
valeur, ou qu’on voulut chercher la preflion pour une ligne droite pa-
rallèle à l’axe O De la même maniéré on pourroit trouver l’inté-
grale, en fuppofant x ou x & z, confiantes, ou en général pour
une ligne quelconque, qu’on conçoit tirée par le fluide.
LL En conféquence de cela nous pourrons aufli trouver l’inté-
grale, en ne confidérant que la feule ligne F Z V, ou en regardant les
quantités b & c comme confiantes. Or, puisque alors les quantités
y & z dépendent	de x, fi	la	variabilité	de la	feule x donne
(duX	/’d'wX	.	r	fdu\ n
rx> \Txy	VjJ’	formules	&c.
deviendront nulles ; d’où nous tirons :
X7x—|— Yi/y—(- ZfZs ZZ udx	+ udy -J- udz
Mais dans ce cas ayant u : v : w ZZ dx \ dy \ dz, & partant
ZZ vdx & udz ZZ ivdx, cette formule devient
Xdx -j— Ydy —*Ldz ZZ udx ~+~ vdx -\-wdx
. fudu 4- vdv 4- w dzux	, /«/«x
ZZ dx (-----!— -----------)Z m -r- )
\	d X	J	X u X / t
fi nous prenons a pour marquer la virefle vraye du fluide en Z. Donc,
fi nous pofons P dx —J— Q/y H- R^/^ZZ f/V, l’intégrale de notre
équation différentielle fera — ZZ V ------ | a a *-(— D,
£
où D eft uije certaine fonction des quantités b & c.
LII
$	345 <flÜ
LII. Cette même intégrale fe trouve auflî, fans que nous né-
f du>\
’dÿj)	&c' Pourvu que nous re-
marquions que pour les vitefles du fluide dans la ligne FZ V il y a
udy ~ udx ; udz zz •wdx de vdz :—_ wdy
Car alors la formule Kdx -f- Ydy -f— Z<Zfc fe change en celle-cy : j
dont l’intégrale eft évidemment | a a : & nous aurons conyne
cy - deflus :	— ZZ V --------• f ü a —|— D.
£
Or, puisque nous avons ici traité comme confiantes les quantités^ &r,
la confiante D renfermera ces quantités.
LUI. Donc, pour la même ligne courbe F Z V, puisque la va-
leur de D eft confiante, nous pourrons comparer entr’elles les pres-
fions du fluide dans tous les points de cette ligne, de forte que fi nous
favions la preflîon dans un feul point, nous en pourrions conclure la
preflîon dans tous les autres. Car d’abord nous avons pour chaque
point la valeur de V, & la figure de la ligne FZ V nous donne à coq-
noitre par les équationis L d x —|— M d y -4— N d z zz ô
& Idx -H H- ZZo les trois vitefles », », w, d’où
nous tirons :	.	(
_ TLL (m ni -4— n n) —|— MM(// —|— n n) —p- N N(7/
B8_ KK-j—jLM/ot—aLN/® — jMNbs J
Mém. de l'Acad, Tom.XI,	X	OU

34<5	&
où K eft aufllune quantité confiante par toute l’étendue de la courbe
F Z V, & l a ÿ indique, comme j’ai déjà remarqué la hauteur due à
-la viteffeg, ou celle de laquelle un grave tombant acquiert la même
yiteffe ÿ.
LIV. L’équation trouvée — ZZ V —' f a ÿ -f- D fera donc
k véritable intégrale de notre équation différentielle, pourvu qu’on
aflîgne à D la jufte valeur qui lui convient. Ou bien cette fondion
de b & c doit être telle, qu’en différèntiant l’équation trouvée, en fup-
pofant suffi b & c variables, on parvienne précifément à notre équa-
tion différentielle. Donc il faut qu’il foit U d a ------------ d D Z—
X d x -f- Y dy —f- Z d z j ce qui donne
(udz

'dv-
(wdx——udz) “H (wdy—— vdz')
ou bien :
LV. Puisque D eft fondion de b & c, pofons dD zz E db + F de,
& remettant pour db & de leurs valeurs, nous aurons:
</Dzz(EL-f- (EM-f-Fm)dy —|— (EN + F;/)/s
ce différentiel devant être égal à celui que nous venons de trouver, nous
en tirerons les trois égalités fuivantes :
EL
347	&
e l+?i= . Æ) _
\.dxs \dyj \dx/ \dzj
EM+F« = W(^)j—«(g)
EN+F» = «(£)—« (g) 4-v (£) — v
Ces trois égalités, en les combinant enfemble, & remarquant que
L» ——f— Nw zzzo & lu —mv nui '—
nous les réduifons à ces deux ;
LVI. Puisque E, F, & K, font des fondions de l & c, il
faut que ces deux formules foiçnt telles f qu’en fubftituanc pouç,
C— \	&c. leurs valeurs, elles deviennent réductibles aux
dys \>d*S
deux feules quantités b &- c: c’eft à dire, que par le moyen des deux
équations entre a*, jy, s, & b, cy les trois quantités x, y & z en puis-
fent entièrement être éliminées. Donc, pour que cela arrive, il faut,
que la fonction K obtienne une certaine détermination. Enfuite il faut
de plus, que ces deux quantités ou fondions de b & c foient telles,,
que la formule Qdb -f- ¥dc devienne intégrable : & de là on tire-
ra la jufte détermination de la quantité D, & par conféquent celle de
h prelïïonp. De là on comprend aulfi que les deux équations entre
a*, 7, s à 4, c ne dépendent pas entièrement de notre volonté, mais
quelles exigent certaines conditions, pour que le cas foit poflible,
X X 2
LVIL

348
LVII. Un cas particulier, qui mérite notre attention, eft lors-
que chaque particule du fluide tourne autour de l’axe OC, de forte
que toutes les lignes F Z V font des cercles décrits autour de l’axe
Ô C. Nous aurons donc, puisque tous ces cercles font en des plans
parallèles au plan A O B, Y Z zzazz c, & xx -f- y y zz b b ; d’où
nous tirons
xdx —f— ydy
V(xx-\~yy)
& de ZZ dz & partant :
—77-—i—S M—Î7Z—r—V Nzzo; 7~o; »=o; n~i
, V(xx-\-yy) V(xx±jy) .
Donc les vitefles feront :

Kjv
V ZZ 777-----;---r & îv'ZO
V(xx 4-jyjy)
& la vitefle vraye azzV(uu -+- vv -f- •w'w') ZZ K D’où l’on
voit que, par toute la périphérie du même cercle, la vitefle eft la même,
ou que chaque élément du fluide fe meut d’un mouvement uniforme
autour de l’axe OC, dont la vitefle «zz K eft une fonction, tant delà
hauteur du cercle E F ZZ c que de fon rayon O E zz b.
LVIII. La preflîon du fluide, qui tourne de cette façon autour
v
de l’axe O C, fera donc en chaque point Z ; — zz V---| K K -f- D
S
où la quantité D doit être une certaine fonflion de b & c, en forte que
<ZD
,	7 KWy—KWx	_
Or udy—vdx zz— -/z • .—r- zz— Kdb, & azzz.de, déplus
y(xx-yyy)	r
BWjr4-B)'<7y ~ ,
pofant dK ZZ odb -4-Cde ZZ 777-* ,	-+- Cas», nous aurons :
r	V(xx-j-yy)
#	349	$
Kxr
(^iyy)T
Byy „
xx t y y
Kyy Bjrjt’
(.'xx-|-yyp' xx^yy
dv\____ Cr fdù\ Cy
dz)	V (xx -|-yy)	\dz)	V (xx yy) •
Ces valeurs étant fubftituées donnent, à caufe de b ~ V(xx	y y)
i/D— 5A— 4- Bim -H CK£-= 5J5— -h K</K
b	b
Cette formule devant être intégrable, il faut que K foir une fonction
quelconque de b feulement,, fans renfermer la hauteur EF ZZc.
LIX. Donc la virefle par chaque cercle décrit autour de l’axe
O C dépend uniquement du rayon de ce cercle ; prenant donc pour
K une fon&ion quelconque du rayon O E ZZ nous aurons
K 2 d b , T - _ _ _	i /r
D ZZ f —---------|— i K K ; & partant pour la preflion nous aurons
cette équation :
£ — V > Æl—
g ~	~b '
Les limites, ou la furface fuprème de cette mafle fluide fera la, où la
„	,	. ï n. x j- x -i	xx ।	r^2
preflion p évanouit, c eit a dire, ou il y aura : V -f- y —— — o.
Sous cette furface le fluide fe trouvera dans tout l’efpace, où la près-
lion p fe trouve pofîtive. On voit bien que cette furface fera engen-
drée par la rotation d’une certaine courbe autour de l’axe OCy & la
nature de cette courbe fera expnmee par 1 équation V -f y—— ZZo.
Or cette même équation, en changeant les confiantes, exprime toutes
les autres furfaces, où la preflion eft la même, qu’on appelle les furfaces
de niveau.
Xx 3
LX.
3*9


»LX. Soif AZC la génératrice d’une telle furfacede niveau, &
f- qu’on pofe OPzza’, PZzijy & OZzzs, de forte que y marque
le rayon du cercle décrit par le point Z autour de Taxe O C ; & foit a
la vitefîe de ce point, & une fonction quelconque du rayon P Z y.
Que le point Z foit attiré au centre O par une force accélératrice Z,
qui foit une fonction quelconque de la diftande OZ ZZs, & on aura
pour la nature de la courbe AZC cette équation
— pià% 4-/—zz o.
y
Soit, par exemple, Z zz a <5c æ zz Çj*, & notre équation fera
77Z-4— i
en pofant le demi-axe OC — /?,
& de là le demi - diamètre de l’équateur GA, qui foit O A ZZ ?> fera
déterminé par cette équation :
( m -4— i ) £ §	,	,
ï...  -------- £2» —	►—
ou bien, fachant le demi-diamètre de Féquateur O A ZZ **, le demi-axe
”'Y	\
fera: a —	—	2 a n e^ni & fi la différence eft
fort petite, on aura a ZZ e —- --------------
LXI. Confierons aufli un fluide qui tourne dans un vaiflèau
Fig. 6. cylindrique A E F B, autour de fon axe OC, qui foit vertical, 5c
que le fluide n’effuye d’autres forces que celle de la gravité. La plus
haute furface A C B fera donc concave ; & pour en trouver la na-
ture, pofon s OPzz% & PZzzj, & 1a vitefle rotatoire du point
Z, qui foit zz «, foit une fonction quelconque du rayon P Z — y..
L’effort de la grayité ~ r, agiffant dans la direction verticale fera
ZZ f— d% zz,-----------------d’où l’équation pour la courbe C Z A fera ;.
d9& o * t
35*	c^5
f	a Donc, fi la vitefle eft proportionelle à la dis*
tance de l’axe jy, ou qu’il foit «ZZ —-, l’équation fera yy~2c(z-d) :
& partant la courbe A C B fera une parabole dont le fommet eft en C,
& le paramétré ZZ 2 c. Il eft évident que les folutions de ces cas font
les mêmes, que celles qu’on a trouvées par les méthodes ordinaires.
LXXII. Paflbnsàdes cas un peu plus compliqués, & fuppo- Fig. 2.
fons que chaque courbe F Z V fe trouve toute dans un plan parallèle
au plan A O B, & que le mouvement par tous les plans parallèles au
plan A O B foit le même. On aura donc pour la courbe F Z V,
premièrement szZc, & enfuite une équation entre les deux coordon-
nées x, y, & le paramétré OEzz^, qui fera indépendante de la hau-
teur EF — c-} de cette équation on pourra donc définir b par x &7,
d’où nos deux équations différentielles pour toutes les courbes FZV
feront ;
db ZZ Ldx H- M dy & de zz dz
de forte que N z o, 7 zz o, wZZo, & 72 zz 1. Donc les
trois vitefles du point Z feront :
u zz — KM; v ZZ K L & iv ~ o.
D’où, fi nous pofons ^KzzB^-f- C^rzzBL^
nous aurons :
(ÿ)=-CM
\dxj	\dx/ \dyj	\dy J \dz/
(s)=+bl-+k(e) ; G3>blm+,O ; ©=“
JLXIIL

LXIII. Ces valeurs fournilTent les formules fuivantes :
X* +Y^Z*=K.(m* (g) -L* (^)+L4 @-»W, Q)
Ou bien pofànt la vraye vitefle V(« u —v v -j- ww)	la pres-
fion fera exprimée par cette formule — ZZ V-| « 8 -p D, où D
çft une telle fonction de b & c y que
a'D = K^^B(L»-|-Mi )H“ K(S)-+•	CK <LL+ MM> âc
Or B db H— CJc ~ d K ; donc
-t- KK + (0 + 0)
dû — KdK (LL-J-MM)
& partant il faut, que les quantités x & y fe puifient entièrement
éliminer de cette formule, par la relation donnée entre x, y & b.
LXIV. Dans le cas du cercle il eft arrivé, que les quantités
LL -4- MM & ( — ) -f- ( — ) font devenues réduélibles à la
\axy \dy y
feule quantité b : mais, fi l’on prend d’autres lignes courbes, on s’ap-
percevra bientôt, que cette rédu&ion ne fauroit avoir lieu que très ra-
rement. Et il femble que ce foie un des plus difficiles problèmes, de
trouver telles équations entre .r, y & Æ, que la valeur trouvée pour
</D puilfe entièrement être délivrée des quantités x & y par le
moyen
353
JOA
W
moyen de 1 équation fuppofée. Or fi cela arrive ou non ? on s*affeu-
rera en force : Ayant trouvé l’expreffion différentielle de JD, on fub-
ftituera pour y fa valeur par b & x ; enfuite on verra s’il eft poflible
de pofer pour K une telle fonction de b, que tous les termes, qui con-
tiennent encore x, fe détruifent tout à fait : quand cela réuffit, on au-
ra dD exprimé par une fon&ion de b multipliée par db, d’où l’on ob-
tiendra enfin aifément l’intégrale.
LXV. Quelque difficile qu’il foit de réfoudre cette équation, ou
de lui fatisfaire par des formules particulières , on en peut trouver une
infinité par une fuppofition heureufe, qui rend d’abord l’équation diffé-
rentielle intégrable, au lieu que j’ai commencé ici par fatisfaire à l’équa-
tion tirée de la continuité. J’ai déjà remarqué que notre équation dif-
férentielle devient intégrable, en prenant pour les trois vitefles v, v,
telles fondions de x,y, & z, que la formule udx -I— vdy -4- Tüdz
admette l’intégration, ce qui fe peut faire par une infinité de maniérés
différentes : car on n’a qu’à prendre à volonté une fondion quelcon-
que de x, y, z, la différentier, & choifir les coëfficiens de dx, dy,
& dz, pour les valeurs de u, v, & w. Mais il faut bien prendre gar-
de , qu’on ne donne cette folution pour générale, vû qu’il y a une in-
finité de mouvemens poffibles, où la formule udx —|— vdy —wdz,
n’eft pas intégrable. Cependant cette fuppofition eft très propre à
nous fournir une infinité de folutions particulières, auxquelles on ne
fauroit parvenir par la méthode que je viens d’expliquer.
LXVI. Soit donc comme jusqu’ici le fluide incompreflible, & fa
denfité partout & toujours la même - & que de plus le mou-
vement fe trouve dans un état permanent, de forte que le tems n’en-
tre point en confidération. Pour ce cas j’ai donné cy - deflus (45) les
deux équations, qui renferment les conditions du mouvement. Sup-
pofons de plus que la formule Vdx -4— Qdy *4— R^2», tirée des
forces accélératrices, foit intégrable, l’intégrale étant ~V qui exprime
l’effort de ces forces. Cela pofé j
Mtm. dt Mead. Tom.XI.	Y y	Soit
354
Soit la formule a d X —|— v dy —|— w d s intégrable,
LXVII. Pofant donc la vitefle véritable
en Z zz a zz V ( u u —f— v v —f— zo’ )
l’intégrale de notre équation différentielle fera :
— zz V — | « a -f- C,
g
où C eft une telle confiante, qui demeure partout 5c toujours la même.
Et de là on reconnoit d’abord, que cette folution n’eft que particulière
vû que nous avons déjà eu des cas, où la preflîon p n etoit pas définie
par cette forme. Car, fi nous comparons cette expreflîon avec l’in-
tégrale générale trouvée ci - deflus — ZZ V----------- ’ ÿ y -4- D > nous
voyons que l’hypothefe préfente neft que ce cas particulier, où D
devient égal à une quantité confiante, au lieu qu en général la quan-
tité D étoit variable par rapport aux courbes différentes, que les par-
ticules du fluide parcourent, quoique pour la même courbe D de-
meure invariable.
LXVIIL
353
LXVIIL Ceîa eft aufli évident par l’expreflîon différentielle, qui
a été trouvée cy-deffus (54) pour la valeur de r/D, qui évanouît ou-
.	__(fdv\	fdw\ fdw\ fdu>.
vertement lorsque^)-^);	(—)- (__)
& ce font les conditions de l’intégrabilité de 4a formule :
udx —|— v dx —|— •wte) de forte que dans ce cas la quantité D de-
vient en effet confiante. Donc, puisque en general elle peut avoir une
valeur variable, on fe tromperoit fort, fi l’on s’imaginoit que l’intégra-
bilké de la formule udx —H vdy -wdz fût une condition abfolu-
ment néceffaire pour tous les mouvemens des fluides. Mais cette hy-
porhefe ne facisfait qu’à i équation différentielle, 6c il refte encore!
remplir la condition de la continuité contenue dans cette formule ;
(j-)	Çjd) = ° ’ Partanc Ü s’ a£lc de trouver
telles cxpreflions pour v} 6c tv , qu’il foit :
1. udx\vdy]-w^ intégrable: & U.
& alors on aura pour l’état de preflion du fluide cette équation :
LXIX. Pourfuivons d’abord le cas, où chaque particule du flui-
de achevé fon mouvement dans le même plan, auquel l’axe O C foit
perpendiculaire, ou ce qui revient au même, que toute la mafle du
fluide foit réduite au plan A O B, auquel fe faffe aufli le mouvement.
Or c’eft à ce cas principalement, que fe font attachés ceux qui ont
examiné plus foigneufement le mouvement des fluides. Donc, puisque
dans ce cas la vitefle w eft nulle, notre hypothefe exige de telles va-
leurs pour les deux autres viteffes u & r, qu’il foit :
.	T . ,	,,	o	TT fd U\ ,
I. u dx -+- v dy intégrable, & 11.	Q ~ 0 ?
6c alors on aura pour la preflion p, l’équation fuivante :
— zz; V — | a « 4— C,
g	pre-
prenant 8 pour la vraye vitefle de chaque particule, ou 188, pour
la hauteur due à cette vitefle, de forte que a a ZZ uu —v v. Mais
il ne faut pas penfer, que ces deux conditions renferment tous le$
mouvemens poflibles dans le même plan ; car il y a en effet des
mouvemens, où la formule udx —|— vdy n’eft pas intégrable.
LXX.
Or on fatisfait à la formule
en rendant ce différentiel udy — vdx intégrable. Il faut donc que
ces deux formules udx —|— vdy & udy-------------vdx foient intégrables,
ce qu’on obtient par la méthode fort ingénieufe de M. ÜAlembert.
Car, puisqu’il faut que la première, plus lafeconde multipliée par V— i,
foit aufli intégrable, on aura :
u{dx *-\—dyV— i)*4-+ V7— i) > à rendre intégrable.
Et prenant V—i aufli négatif, il faut que ces deux formules :
Cv X	f v "\
«H— -ÿ—j(dx-^-dyV— i) & {u—
foient intégrables ; auxquelles conditions on fatisfait en prenant pour
v
u -f— p— une fonction quelconque de x -f- y V — i, & pour
u----—— une fondion quelconque de <r — yy~i. Or il faut
prendre de telles fondions, que les deux valeurs de u & v devien-
nent réelles, & que les imaginaires foient détruites.
LXXI. Prenons les (p &	Pour marques des fondions, & pofons :
v	i
“ -4- y — = 1 $> : H-J V-1 ) -f—-p— tp : ( X H-J V-1 )
V	1
&
<8^
O 357

& nous aurons r
*=l<p : (x+yV-1 )+m>: (x-yV-1 )+-~—y.(x+yV-1 )~^p—'l’-(x-yV-1 )
<p.(x +yV-1 )+~57— ^--(x-yV-1 )+^(x-^yV-i)+^-.(x-yV-i)
Or fi (p:/? & (ÿ\q marquent des fonctions femblables des quantités
p &	de même que ty'.p & ^:qy les imaginaires fe détruiront
dans nos formules, & u & v feront exprimées par des fonctions
réelles de x & jy.
LXXII. Or, pour trouver les valeurs réelles que ces expreflions
renferment, pofons la droite OYzzr, & l’angle AOYzzcm^
pour avoir x zz s cof w, & y zz x fin w ; & puisque
jr+jy V—i ZZ r (cofw +V— i finw), & une puiflànce quelconque
(xj^yl/—1)”—<fw(c°f«w+. J/—r.finztto), nous aurons en pofantr
fy:p ZZZ A —j- B/? —f— C/?2 —J— D/?3 —J— E/?4 —|— &c.
ty-.p = 51	@p2 -4-	-4-@/?4 -J- &c.
pour les vitefles « & v les formules fuivantes r
w ZZ A -f- B x cofw -f- Csr cofz w -f- Dj3 cof3 —f- E j4cof401 —|-&c.
-|- 33 j fin w-f-lin 2 ûü—)—®y3 fin 301—J—(Jj4fin 4W-4-&C.
vzzîl-h^cofwH-ejj cofz a>-4~	3 cof3 w 4- S J4 cof4W -|-&c.
—-Bjfina»----C fin 2a;---D J3fin 3^---Ej4 fin300-4—&c.
Ou l’on peur prendre pour les coefficiens A, B, C, &c. & 51,33,	&c.
des quantités confiantes quelconques : & fi l’on veut remettre les va-
leurs x ZZ	5	=	\—v	(—;
17 v\xx-ryyj r(x^Tyy)
on obtiendra les vitefles u & v, exprimées par x & y.
LXXIII. De là on pourra aufli trouver une équation pour tou-
tes les courbes, que chaque particule du fluide décrira fur le plan
Y y 3	AOB.
358	$
A O B. Soit EYV h courbe, que décrit la particule, qui fe trouve
en Y; & puisque les vitefles fourniflent dx zz udt & dy~vdt la
nature de cette courbe fera exprimée par cette équation udy — vdx —o.
Maintenant, fi nous fubftituons pour u ôc v les valeurs trouvées à caule
de dy ZZZ dsfa. w —f— s dm cofw, & dx ZZ z/rcofw------------sdü) finw,
nous trouverons de l’équation udy — vdx ZZ o l’intégrale fui vante :
O ZZ-h A s fin w —f- |B s* fine w -f- |C s3 {103 w —f— |Dr4 finq-W—|-&c.
— cof w 2 cofz w 3 cofg w — 15) y 4 cofq-ûü — &c.
où O marque une quantité, qui eft bien confiante pour toute |a courbe
EYV, mais pour des courbes diverfes elle doit erre variable. Elle
fera donc comme le paramétré de ces courbes, dont la variabilité four-
nil toutes les courbes, que tous les élemens du fluide décrivent.
LXXIV. Voilà donc une équation générale pour toutes les cour-
bes, qui peuvent être décrites par les particules du fluide, entant que
Fhypochefe de Fintégrabilité delà formule udx vdy eft admife.
Cette équation eft entièrement générale , fi l’on y ajoute aufli des
termes, ou l’expofant de r eft, ou négatif, ou [rompu, comme
jTfin PTin fui, &c. Car, quand même les fondions de x+yV-1
feroient , ou rompues, ou irrationnelles, ou même tranfeendanres, on
les peut toujours convertir en des fériés infinies, dont les termes ren-
ferment des puiffances x + yV— 1, & par là on parviendra toujours
à une expreflion femblable à la trouvée. Je remarque de plus, qu’une
telle fonction log. (x^yV— OH"” log. (1— yV— 1) donnerait 2/r, &
y — 1 x—yV—i
donnerait 2 w, d’où nous pourrons encore ajou-
ter à nos formules à volonté tels termes a/s- & fw, qui rendraient
les courbes tranfeendantes.
LXXV. Mais ce qui eft le plus important de remarquer fur cette
équation, c’eft qu’elle renferme routes les courbes poflîbles, ou bien
le mouvement du fluide peut toujours être tel, qu’une des courbes EYV
foit
359


foie une ligne donnée.; Et c’eft par cette propriété, que notre calcul
peut être appliqué à un vaifleau d’une figure donnée ; car, fi le plan, où
fe trouve le fluide eft terminé par la figne B H, il faut bien que cette
ligne BH, foit une de l’infinité des courbes EY V. Comme toutes ces
courbes différent entr’elles par la variabilité de la quantité O, on peut
concevoir que le cas O ZZZ o, donne la courbe propofée B H. Or dans
ce cas notre équation peut être réduite à cette forme :
Il s’agit donc de prouver, que quelle que foit la courbe donnée BH, fon
équation entre x & y eft toujours réduélible à cette forme, ou qu’on
peut toujours aflîgner pour (f) & ip telles formes de fondions, que
cette équation exprime une ligne donnée.
LXXVI. Pour mettre cela hors de doute, pofons ar-|-yy-i ZZZ 2^2
& x —yV— i de forte que	& y = ^7~> &
fubftituons ces valeurs pour x & y dans l’équation de la courbe donnée
B H. De là nous obtiendrons une équation entre p & dans laquelle
entreront les deux quantités p & q presque également, la différence
ne viendra que du figne )/— i. De cette équation entre p <5c qy qu’on
cherche premièrement p par & la réfolution des équations, que je
fuppofe ici, donnera p zz Q, où Q^fera une certaine fonction de q.
Qu’on cherche enfuite pareillement q par pour avoir q ZZZ P, où P
fera une certaine fonffion de p > & femblable à la fonflion Q^au figne
}/— 1 près. De ces deux valeurs on pourra former une nouvelle équation
p-f^-P-Qzzo; ou encore plus généralement f’p+f-q—
où f eft la marque d’une fonction quelconques Ôc cette équation ren-
fermera encore la courbe donnée B H.
LXXVII. Or, fi nous remettons pour p & q leurs valeurs
x+yV-î	x-yV-i	, .
p zz ——---------oc q zzz —----------, il eft évident, que cette équa-
2	2
tion fera comprife dans la forme :	O ZZZ
3^o
o ~ (pOfy V -1 )-+-(tr(x-yV-1	+yV-1 )-y—fr-(r-yV-1 ),
ou fans faire la reftirution des valeurs p & on s’appercevra aifément,
que l’équation : ftp --------------ftP —f.Qzz o>
eft toujours réductible à la forme:
Orj ayant réduit l’équation pour la courbe B H à la forme :
f-p -\-f-q — f-P — f-Qj= o,
toutes les autres courbes EYV, qui repréfentent avec la donnée le
mouvement du fluide, feront comprifes dans cette équation :
ftp ~¥~f-4------/:P —“f* O
en donnant à O fucceflîvement toutes les valeurs poflîbles.
LXXVIIL Si nous prenons pour /z: la marque d’une autre
fonétion quelconque, la courbe donnée fera aufli comprife dans cette
équation plus générale :
f-p -+- f--q — /;P — /=Q_ •> __
qui fera encore réductible à la forme :
ÿr~t ’I'-T’-ÿï-^--q=: o.
Et alors on aura pour toutes les autres courbes EYV, que le fluide
décrit par fon mouvement, cette équation :
f-p H- f-q — f-P — f-Q. n
en donnant à O fucceflîvement toutes les valeurs poflîbles.
LXXIX.
O
/ LXXIX. Par cette réduction générale on voit que, pour la mê-
me ligne donnée B H, on peut trouver une infinité de fyftèmes diffé-
rens pour les autres courbes EYV, puisque nous pouvons prendre
pour les deux marques /, & P des forces des fondions quelconques.
Il fe pourra donc faire que, parmi les autres courbes EYV, il fe trou-
ve encore une qui foit donnée. Et cette recherche fervira à découvrir
la vraye réfiftance qu’un corps d’une figure quelconque, placé dans le
courant en fouffrira; car alors cette autre courbe donnée doit conve-
nir avec la figure du corps. Or, pour trouver la réfiftance, on n’a qu a
différentier l’équation générale pour les courbes, en fuppofant O cons-
tant, & la comparaifon du différentiel avec la forme udy — vdxzzzo^
donnera les valeurs de u & v, d’où l’on tire enfuite la vraye vitefle
ÿ ;—:	u -f- v v), & de là la preflîon du fluide à chaque endroit.
LXXX. Cependant il faut que je le répété encore une fois, que
par ce moyen on n’obtiendra point tous les mouvemens poflîbles pour
chaque figure donnée du plan, où le fluide fe meut : on ne trouve que
les cas, o41a formule udx vdy eft intégrable, & hormis ces cas
il y a encore une infinité d’autres, qui renferment également des mou-
vemens poflîbles. On comprend auflî aifément, que quand même la
figure du canal, & celle du corps qui y eft fixé, eft donnée, le cas
n’eft pas encore déterminé: car le mouvement du fluide pourroit être
agité & troublé d’une infinité de maniérés différentes, de forte pour-
tant que le fluide qui touche les bords du canal, & le corps qui y eft
fixé, en fuive toujours la dire&ion par fon mouvement: & cette feule
réflexion peut fuflîre pour nous convaincre, que les formules que je
Viens de trouver, ne font pas générales.
Mim. dt Mead. Tom. XI.
Zz
NOU-