Автор: Александров В.М.   Бабешко В.А.   Ворович И.И.  

Теги: общая механика   механика твердых и жидких тел   математика   задачи по математике   теория упругости   линейные уравнения  

Год: 1974

Похожие

Трёхмерные задачи математической теории упругости и термоупругости

Задачи по теоретической механике для физиков

Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред

Задачи по теоретической механике: Учебное пособие

Текст 
                    И.И.ВОРОВИЧ
В.М.АЛЕКСАНЛРОВ
В.А.БАБЕШКО
НЕКЛАССИЧЕСКИЕ
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1974


531
В 75
УДК 531
Неклассические смешанные задачи теории упругости»
И. И. В о р о в и ч, В. М. Александров, В. А. Ба-
Бабе ш к о, Издательство «Наука», Главная редакция физико-
математической литературы, М., 1974, 456 стр.
Рассматриваются математическая теория и прикладные
методы решения смешанных задач линейной упругости,
составляющих основу расчета на прочность контактирующих
деталей (подшипники скольжения, качения, зубчатые зацепле-
зацепления, фундаменты и основания и т. д.). Изучены контактные
задачи для областей, отличных от полуплоскости и полупрост-
полупространства (полоса, слой, клин), и получены простые, пригодные
в инженерной практике соотношения. Методы, развитые в кни-
книге, могут найти широкое применение в задачах теории хрупко-
хрупкого разрушения, аэромеханике, радиофизике, электростатике,
теории диффузии, термодинамике и т. д.
Дан строгий анализ смешанных задач теории упругости
в обобщенных постановках. Изучена разрешимость соответст-
соответствующих интегральных уравнений, свойства решений. Построе-
Построены эффективные методы решения. Обнаружены широкие воз-
возможности асимптотических методов, развитие которых состав-
составляет один из важнейших моментов книги. Книга предназначена
для специалистов в области математической физики и механики.
Илл. 29 Библ. 253 назв.
© Главная редакция
0242	156	физико-математической литературы
1537^	Н	1974
0242156	ф	р
В Q/2/Q2) 74 153^	издательства «Наука», 1974.


ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие	,	 7
Введение	 И
Литература к введению	 16
Глава I. Постановка основных смешанных задач для полосы и слоя.
Некоторые вспомогательные математические вопросы ... 21
§ 1. Постановка смешанных задач для полосы и слоя . . 21
§ 2. Некоторые функциональные пространства	 24
§ 3. Некоторые факты из функционального анализа и мате-
математической физики	 30
о о
§ 4. Основные свойства элементов из Н, H*f Н, Н*	 57
Литература к главе I	 76
Глава П. Исследование смешанных задач для полосы	 7S
§ 5. Разрешимость задачи I в обобщенных решениях. Един-
Единственность решения	 78
§ 6. Разрешимость задачи II в обобщенных решениях. Един-
Единственность решения	 81
§ 7. Дифференциальные свойства обобщенных решений за-
задач I, II в областях, не содержащих особых точек границы 84
§ 8. Поведение решений задачи I на бесконечности .... 100
§ 9. Поведение решений задачи II на бесконечности ... 112
§ 10. Представление решений задач I, II в окрестности осо-
особых множеств границы	 114
§ И. Некоторые вспомогательные предложения	 144
§ 12. Сведение задач I, II к интегральным уравнениям Фред-
гольма первого рода. Их разрешимость, единственность,
классы корректности	 150
Литература к главе II	 153
Глава III. Исследование смешанных задач для слоя	 155
§ 13. Разрешимость задачи III в обобщенных решениях. Един-
Единственность решения	 155
§ 14. Разрешимость задачи IV в обобщенных решениях. Един-
Единственность решения	 157
§ 15. Дифференциальные свойства обобщенных решений за-
задач III, IV в областях, не содержащих особых множеств
границы	 161
§ 16. Поведение решений задачи III на бесконечности . . 176


4	ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 17. Поведение решений задачи IV на бесконечности . . . 192
§ 18. Некоторые вспомогательные предложения	 194
§ 19. Сведение задач III, IV к интегральным уравнениям
Фредгольма первого рода. Их разрешимость, классы
единственности 	 200
Литература к главе III	 205
Глава IV. Постановка и исследование задач о штампе	 206
§ 20. Постановка и исследование основных задач о штампе
в двумерном случае	 206
§ 21. Постановка и исследование основных задач о штампе
в трехмерном случае	 211
Глава V. Дальнейшее исследование интегральных уравнений сме-
смешанных задач для полосы. Приближенные методы реше-
решения 	 215
§ 22. Общие свойства ядер интегральных уравнений для по-
полосы 	 215
§ 23. Решение контактных задач для очень толстой полосы 223
§ 24. Некоторые общие результаты относительно решения
интегрального уравнения B2.1)	 227
§ 25. Эффективное решение контактных задач для полосы при
больших значениях %	 230
§ 26. Сведение интегральных уравнений контактных задач
для полосы к бесконечным системам линейных алге-
алгебраических уравнений. Метод I	 234
Литература к главе V	 243
Глава VI. Решение интегральных уравнений для полосы. Метод II 245
§ 27. Сведение интегральных уравнений смешанных задач
для полосы к бесконечным системам линейных алге-
алгебраических уравнений	 245
§ 28. Решение некоторых типов интегральных уравнений
методом Винера — Хопфа	 249
§ 29. Приложение теории Винера — Хопфа к некоторым бес-
бесконечным системам алгебраических уравнений частного
вида	 268
§ 30. Некоторые свойства бесконечных систем, порожденных
интегральным уравнением B2.1)	 275
§ 31. Асимптотическое поведение бесконечных систем, поро-
порожденных интегральным уравнением смешанной задачи
для слоя	 280
§ 32. Об одном представлении решений интегральных урав-
уравнений смешанных задач	 292
§ 33. Асимптотика решений некоторых интегральных урав-
уравнений смешанных задач	 294
§ 34. Нулевой член несимметричной асимптотики. Прибли-
Приближенное определение некоторых интегральных характе-
характеристик решения	 303
§ 35. Построение нулевого члена симметричной асимптотики
решения при малых X (плоская задача)	 309
Литература к главе VI	 311


ОГЛАВЛЕНИЕ	5
Глава VII. Внедрение штампа в полосу (конкретные задачи) . . . .	313
§ 36. Плоская задача, плоский штамп		313
§ 37. Внедрение параболического штампа в полосу ....	324
§ 38. Внедрение плоского наклонного штампа в полосу . . .	332
Литература к главе VII		338
Глава VIII. Дальнейшее исследование интегральных уравнений сме-
смешанных задач для слоя в случае круговой области кон-
контакта. Приближенные методы решения	 339
§ 39. Общие свойства ядер интегральных уравнений для слоя
в случае круговой области контакта	 339
§ 40. Исследование осесимметричной контактной задачи для
упругого полупространства 	 342
§ 41. Некоторые общие результаты относительно решения
интегрального уравнения C9.1)	 346
§ 42. Эффективное решение контактных задач для слоя при
больших значениях А (случай круговой области кон-
контакта)	 348
§ 43. Сведение интегральных уравнений осесимметричных
контактных задач для слоя к бесконечным системам
линейных алгебраических уравнений. Метод I . . . . 352
Литература к главе VIII 	 357
Глава IX. Исследование интегральных уравнений смешанных задач
для слоя в случае круговой области контакта и малой
относительной] толщины слоя. Метод II. Приближенные
методы решения	 358
§ 44. Сведение интегральных уравнений осесимметричных сме-
смешанных задач для слоя к бесконечным] системам ли-
линейных алгебраических уравнений	 358
§ 45. Исследование бесконечных систем алгебраических урав-
уравнений специального вида	 360
§ 46. Решение бесконечных систем, полученных в § 44 ... 366
§ 47. Решение интегрального уравнения D4.2)	 369
Литература к главе IX	 375
Глава X. Внедрение круглого штампа в слой		376
§ 48. Внедрение плоского штампа в слой		376
§ 49. Внедрение параболического штампа в слой		381
§ 50. Внедрение плоского наклонного штампа в слой ...	383
Литература к главе X		385
Глава XI. Исследование интегральных уравнений смешанных задач
для слоя в случае произвольной области контакта. При-
Приближенные методы решения	 386
§ 51. Общие свойства ядер и представление решений инте-
интегральных уравнений для слоя в случае произвольной
области контакта	 386
§ 52. Вдавливание эллиптического в плане штампа в упругое
полупространство	 391
§ 53. Общее решение контактных задач для слоя при больших
значениях его относительной толщины X	 397


6	ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 54. Приближенный метод решения контактных задач для
слоя при достаточно больших Я	 402
§ 55. Построение «внутреннего» решения контактных задач для
слоя при малых значениях относительной толщины
слоя р	 405
§ 56. Построение решения в окрестности границ области кон-
контакта Q при малых значениях относительной толщины
слоя [х	 408
§ 57. Приближенное решение контактных задач для слоя при
малых jx (примеры) 	 414
Литература к главе XI	 418
Глава XII. Контактная задача для упругого клина с одной жестко
защемленной гранью	 419
§ 58. Интегральное уравнение контактной задачи для клина
с жестко защемленной гранью	 419
§ 59. Свойства ядра и решений интегрального уравнения кон-
контактной задачи для клина. Некоторые асимптотические
методы	 423
§ 60. Нулевой член асимптотики решения при малых > . . 427
§ 61. Замкнутое решение при специальной аппроксимации ядра 433
§ 62. Внедрение плоского штампа в клин	 443
Литература к главе XII	 447
Основные обозначения	 448
Список используемых функциональных пространств		451


ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга посвящена смешанным задачам теории уп-
упругости для полосы, слоя и клина при произвольных размерах
зоны контакта. Отступление от классической постановки здесь
в первую очередь связано с переходом к областям более сложной
формы, чем полупространство и полуплоскость, и отказом от
малости зоны контакта. Это обстоятельство и предопределило
название книги.
В книге в основном рассматриваются так называемые «кон-
«контактные задачи». Авторы не касались других важных областей
применения смешанных задач, таких, например, как трещины,
включения и накладки. Эти вопросы могли бы послужить темой
еще одного большого исследования.
В качестве основных методов исследования указанных не-
неклассических смешанных задач в монографии используются раз-
развитые авторами асимптотические методы «больших и малых Я».
Дано их систематическое изложение и конкретные приложения.
Приводятся различные приближенные соотношения, указы-
указывается их практическая точность, анализируется ряд характерис-
характеристик решений, важных для инженерных приложений. Асимпто-
Асимптотические формулы иллюстрируются большим количеством чис-
численных примеров, сведенных в таблицы.
Книга также содержит исследования по ряду математических
вопросов теории смешанных задач. Изучаются условия однознач-
однозначной разрешимости краевых задач и соответствующих интеграль-
интегральных уравнений, общая структура решений и классы их коррект-
корректности, поведение решений на бесконечности и в окрестности то-
точек и линий смены граничных условий.
Результаты математического исследования не только слу-
служат для обоснования используемых приближенных методов, но
и являются отправной точкой для конструирования самих ме-
методов.
Изложим кратко содержание отдельных глав.
В главе I дается механическая и математическая постановка
смешанных задач для полосы и слоя в классических и обобщен-
обобщенных решениях. Здесь вводятся соответствующие функциональные
пространства, приводится ряд фактов из функционального


8	предисловие
анализа, математической физики, теории упругости. Этот ма-
материал, вообще говоря, можно почерпнуть в книгах по функцио-
функциональному анализу, математической физике, теории упругости,
но при этом создалось бы большое неудобство для читателя. В
связи с этим все необходимые сведения сконцентрированы в
§ 3. В этой же главе изучаются свойства элементов некоторых
специальных функциональных пространств, возникших из сме-
смешанных краевых задач для полосы и слоя.
В главе II дается доказательство однозначной разрешимости
основных смешанных задач для полосы, производится деталь-
детальное исследование дифференциальных свойств решения, дается
представление решения в окрестности точек смены граничных ус-
условий, в частности контактного давления. В этой же главе изу-
изучается представление решений на бесконечности и выводятся
предельно точные оценки. Здесь же смешанная задача для поло-
полосы сводится к интегральному уравнению Фредгольма I рода.
Устанавливаются теоремы однозначной разрешимости и классы
корректности.
В главе III эти же вопросы исследуются в трехмерной зада-
задаче для слоя.
Глава IV посвящена математическому исследованию задачи
о штампе. При решении этой задачи требуется определить как
контактное давление, так и параметры жесткого перемещения
штампа. Доказывается однозначная разрешимость задачи о
штампе в такой постановке, дается сведение к некоторому
интегральному уравнению Фредгольма I рода, устанавливается
его разрешимость, классы корректности для контактного давле-
давления и функционалов, характеризующих жесткое перемещение
штампа.
В главе V исследуются общие свойства ядер интегральных
уравнений смешанных задач для полосы. Изучаются вид и диф-
дифференциальные свойства решения интегрального уравнения, со-
соответствующего случаю полосы очень большой относительной
толщины Я. Затем в дополнение к исследованиям главы IV вы-
выясняется структура решения рассматриваемых смешанных за-
задач при любом значении К. Указана взаимосвязь между «четны-
«четными» и «нечетными» решениями. Дается эффективное решение при
больших К в виде асимптотического ряда по степеням Я. Дока-
Доказывается при достаточно больших X однозначная разрешимость
задач. Излагается удобный алгоритм решения интегральных
уравнений при достаточно больших К (сведением к бесконечной
алгебраической системе).
В главе VI излагается метод построения решения интеграль-
интегрального уравнения для полосы при малых X. Строится резольвента
интегрального уравнения, выделяются изученные в предыду-
предыдущих главах особенности решения. Здесь же приводятся асимп-


ПРЕДИСЛОВИЕ	9
тотические разложения решения при малых Я, предлагаются при-
приближенные приемы для вычисления различных интегральных ха-
характеристик.
В главе VII приводятся конкретные примеры решения кон-
контактных задач для полосы методами, изложенными в главах V—
VI. Производится сопоставление различных результатов, по-
полученных по приближенным формулам в зависимости от степени
точности. Приводятся численные расчеты различных харак-
характеристик напряженного состояния и характеристик решения.
Указываются границы практической точности конкретных фор-
формул.
В главе VIII исследуются общие свойства ядер интегральных
уравнений осесимметричных смешанных задач для слоя. Изу-
Изучаются вид и дифференциальные свойства решения интеграль-
интегрального уравнения, соответствующего осесимметричной задаче для
упругого полупространства. Затем в дополнение к главе IV вы-
выясняется структура решения рассматриваемых осесимметрич-
осесимметричных смешанных задач для слоя. Указан способ построения реше-
решения для п-ж гармоники в задачах с круговой зоной контакта,
если только известно некоторое решение для нулевой гармоники.
Дается эффективное решение при большой относительной тол-
толщине слоя X в виде асимптотических рядов по степеням Х-1. Изла-
Излагается удобный алгоритм решения интегральных уравнений осе-
осесимметричных задач при достаточно больших X путем сведения
к бесконечной алгебраической системе.
В главе IX излагается метод построения решения при малых
К интегрального уравнения для слоя в случае круговой линии
раздела граничных условий. На основании результатов гла-
главы VIII исследование производится лишь для нулевой гармони-
гармоники. Исследование по своему характеру идентично изложенному
в главе VI. В последних параграфах строятся некоторые при-
приближенные и асимптотические решения интегрального урав-
уравнения.
Глава X посвящена конкретным примерам решения контакт-
контактных задач для слоя методами, изложенными в главах VIII, IX.
Приводятся результаты расчета давлений и других характеристик
напряженного состояния по полученным приближенным фор-
формулам.
В главе XI исследуются общие свойства ядер интегральных
уравнений пространственных смешанных задач для слоя. Дается
решение задачи о вдавливании эллиптического в плане штампа
с полиномиальным основанием в упругое полупространство.
Приводится эффективный метод решения рассматриваемых задач
при большой относительной толщине слоя X, Решение представ-
представляется в виде асимптотического ряда по степеням Х~х. Дается
приближенный метод решения при достаточно больших X путем


К)	ПРЕДИСЛОВИЕ
сведения к системе линейных алгебраических уравнений. По-
Построено «внутреннее» решение, справедливое при достаточном
удалении вглубь от контура L области контакта Q и малых зна-
значениях относительной толщины слоя [х. В зоне, прилегающей
к контуру L, при малых (х строится решение типа погранслоя,
асимптотически стыкующееся с «внутренним». При малых [х ука-
указан способ приближенного определения связи между силой, дей-
действующей на произвольный в плане плоский штамп, и его пере-
перемещениями. В качестве примера изучен эллиптический в плане
штамп.
Последняя глава посвящена приближенному решению плоской
задачи о действии штампа на упругий клин с одной жестко защем-
защемленной гранью. Получено интегральное уравнение задачи, изуче-
изучены свойства его ядра. Найдены простые асимптотические решения,
позволяющие в комплексе изучить задачу при всех значениях
входящих параметров. Получено замкнутое решение задачи при
специальной аппроксимации ядра путем решения некоторого пар-
парного интегрального уравнения.
Рассмотренные в монографии краевые задачи и соответствую-
соответствующие интегральные уравнения являются в определенной мере
типичными для многих смешанных задач математической физики.
Поэтому изложенные здесь методы имеют значительно более
широкую область применения. Они с успехом используются или
могут быть использованы для изучения смешанных задач: теории
концентрации напряжений (щели, накладки, включения), гидро-
гидроаэродинамики, термодинамики, термоупругости, линейной вязко-
упругости, дифракции, диффузии, моментной теории упругости,
теории фильтрации, теории изгиба плит и т. д.
Авторы признательны С. Г. Михлину и Л. П. Лебедеву за
весьма полезное обсуждение книги.
Большую помощь при оформлении книги оказали наши сот-
сотрудники Е. Д. Журавлев, В. А. Кучеров, Г. А. Павлик,
Л. М. Филиппова, за что мы их также сердечно благодарим.
И. И. Ворович,
В. М. Александров,
В. А. Бабешко


ВВЕДЕНИЕ
Употребляя термин «смешанная задача теории упругости»,
мы будем ниже иметь в виду случай, когда граница Q упругого
тела разбита на конечное число областей Qfe, в каждой из которых
заданы свои граничные условия. Таким образом, здесь изменяется
тип граничного условия при переходе через каждую линию,
ограничивающую указанные области. В плоской задаче граница
плоской области S разбивается на конечное число дуг со^, и здесь
тип граничного условия изменяется при переходе через точки,
разграничивающие дуги 0^.
Класс «смешанных задач» в вышеприведенном определении
достаточно широк. Он включает в себя контактные задачи, для
которых существуют области Qk, где перемещения заданы с точ-
точностью до линейного агрегата, а последний находится с помощью
дополнительных соотношений статики. Это так называемые задачи
о штампе. Кроме того, очень часто границы областей Qfe также
наперед не задаются и должны определяться из некоторых допол-
дополнительных условий, накладываемых на поведение напряжений
у границы области.
В настоящее время благодаря большому практическому и тео-
теоретическому значению смешанные задачи теории упругости при-
привлекают внимание многих исследователей. Одно из важнейших
применений этот раздел теории упругости находит при расчете
контактной прочности и жесткости в машиностроении.
Передача усилий и движения от одной детали к другой про-
производятся давлениями в области их контакта. Определение этих
давлений имеет существенное значение для расчета напряжений,
износостойкости:, температурного режима, перемещений и других
факторов контактной прочности и жесткости. Особое значение
эти вопросы имеют при проектировании зубчатых зацеплений,
разных типов подшипников качения и скольжения, бандажи-
рованных колес, прессовых посадок и т. д.
Другую область приложений смешанных задач составляет
расчет фундаментов и оснований. Важным этапом в решении этой
задачи**является "расчет контактных давлений между основанием
и Фундаментной плитой, а также расчет ее осадок. Изучение де-
деформаций плиты на основании важно не только само по себе, но


12	ВВЕДЕНИЕ
и постольку, поскольку с ними связаны деформации всего соору-
сооружения в целом. В настоящее время распространенными моделями
основания являются изотропное упругое полупространство или
многослойное упругое полупространство, частный случай кото-
которого есть слой на жестком (скальном) основании. Здесь мы при-
приходим к смешанной задаче теории упругости для слоя или полосы.
Значительный интерес смешанные задачи представляют и для
теории разрушения. Весьма распространенный тип разрушения
материалов связан с наличием острых концентраторов напря-
напряжений типа трещин или инородных включений. Все известные
критерии разрушения так или иначе получаются на основе ана-
анализа напряженного состояния в зоне действия концентрации,
а этот анализ опирается на решение соответствующей смешанной
задачи.
Теория контактных явлений разрабатывается в настоящее
время в трех направлениях: математический анализ смешанных
задач и методы их эффективного решения, анализ физико-ме-
физико-механических процессов в зоне контакта, разработка инженерных
методов расчета прочности контактирующих деталей.
Математический анализ важнейшего типа смешанных задач —
контактных — базируется на ряде упрощающих предположений.
Именно, если не учитывать микрорельефа поверхностных слоев
и их особых физико-механических свойств, а также предположить
малость зоны контакта по сравнению с характерными размерами
тел, то мы придем к классической постановке контактной задачи.
Математически вопрос сводится к решению некоторых смешанных
задач теории упругости для изотропных однородных полупло-
полуплоскости и полупространства. Хорошо известны трудности, связан-
связанные с решением этих задач, особенно в простпанственном случае.
Однако вышеописанные приложения смешанных задач в ряде
случаев заставляют отказаться от ряда упрощающих предположе-
предположений классической теории. В частности, выдвигаются контактные
задачи для неоднородных анизотропных сред, задачи, где важен
учет микроструктуры контактирующих поверхностей. Особо важ-
важное значение приобретают случаи, когда область контакта соизме-
соизмерима с размером контактирующих тел. Изучению некоторых та-
таких задач посвящена данная книга.
Основополагающими в теории смешанных задач были исследо-
исследования Г. Герца [75, 76], Я. Буссинеска [73], С. А. Чаплыгина [69],
М. А. Садовского [85]. Весьма эффективными оказались методы
теории функций комплексного переменного, развитые Н. И. Мус-
хелишвили и его учениками и сотрудниками. Эти методы базиро-
базировались на использовании конформных отображений и теории син-
сингулярных интегральных уравнений, построенной Н. И. Мусхе-
лишвили, И. Н. Векуа, Н. П. Векуа, Ф. Д. Гаховым, С. Г. Мих-
яиным, Д. И. Шерманом и другими. Для полуплоскости ряд


ВВЕДЕНИЕ	13
эффективных решений был получен применением формулы
М. В. Келдыша — Л. И. Седова.
Существенные применения методов теории функций комплекс-
комплексного переменного мы находим в работах Л. А. Галина, А. И. Ка-
ландия, С. Г. Михлина, Г. И. Савина, Д. И. Шермана и др. Тео-
Теория пространственных смешанных задач была продвинута
А. И. Лурье, И. Я. Штаерманом, Л. А. Галиным и др.
Инженерные приложения контактных задач начались в выда-
выдающихся работах А. Н. Динника, Н. М. Беляева и др.
Вышеперечисленные исследования касались в основном клас-
классических контактных задач. Результаты работ этого периода осве-
освещены в монографиях Н. И. Мусхелишвили [51], И. Я. Штаермана
[72], Л. А. Галина [34], А. И. Лурье [48], И. Снеддона [64],
С. Г. Михлина [50], В. И. Довноровича [42], Дж. Н. Гудьера,
Ф. Г. Ходжа [40], Я. С. Уфлянда [68]. Подробные обзоры даны
Д. И. Шерманом [70, 71], Н. А. Кильчевским и Э. Н. Костюком
[45], поэтому нет необходимости останавливаться на их разборе.
Повышение интереса к неклассическим задачам наблюдается
с середины 50-х гг. Это связано с тем, что к этому времени они
стали особенно актуальными для инженерного дела и созрели
необходимые методы решения.
Можно отметить несколько основных направлений в разработ-
разработке неклассических смешанных задач. В первом из них (Н. Н. Ле-
Лебедев, Я. С. Уфлянд, И. И. Ворович, Ю. А. Устинов, А. А. Баб-
лоян, А. Ф. Улитко, Н. М. Бородачев и др.) задача сводится
к некоторым парным или тройным функциональным уравнениям
(рядам, интегральным уравнениям), которые тем или иным спо-
способом преобразуются в интегральное уравнение Фредгольма II
рода. Решение этого уравнения производится каким-либо приб-
приближенным методом.
Второе направление (Н. X. Арутюнян, Б. Л. Абрамян,
A.	А. Баблоян, С. М. Мхитарян, Г. М. Валов и др.) характери-
характеризуется непосредственным сведением краевых задач к некоторой
бесконечной системе линейных алгебраических уравнений.
В работах третьего направления (А. И. Лурье, П. И. Клубина,
Г. Я. Попова, Н. А. Ростовцева, В. М. Александрова и др.) све-
сведение к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений
производится на основе разложения решения в ряд по специально
выбранной системе ортогональных полиномов. За счет выбора
полиномов получающиеся бесконечные системы оказываются почти
диагональными и удобными для численного решения.
Можно отметить и четвертое направление, основанное на идее
коллокации (И. Я. Штаерман, А. И. Каландия, И. И. Ворович,
B.	М. Александров, В. В. Копасенко, В. М. Фридман, В. С. Чер-
нина и др.). Здесь обычно контактное давление аппроксимируется
конечным числом параметров, для определения которых исаоль*


14	ВВЕДЕНИЕ
зуются условия связи, налагаемые на перемещения в конечном
числе точек области контакта.
Часть исследований, проведенных по первому направлению, из-
изложена в монографии Я. С. Уфлянда [68]. Обзоры работ по всем
четырем направлениям в свое время были даны Г. Я. Поповым и
Н. А. Ростовцевым [57], Б. Л. Абрамяном и А. Я. Александро-
Александровым [31, В. Л. Рвачевым [58], Б. Л. Абрамяном [1, 2], 3. Олеся-
ком [84].
Остановимся теперь подробнее еще на одном направлении, ко-
которому, в основном, посвящена данная книга.
Как правило, в сложных смешанных задачах теории упругости
мы имеем несколько безразмерных параметров геометрического
или механического происхождения, которые полностью опреде-
определяют задачу. Естественно возникает идея получать решение та-
таких задач в виде некоторых разложений, очень часто асимптоти-
асимптотических и эффективных в определенной области изменения пара-
параметров.
Серьезным преимуществом данного подхода является то, что
на его основе удается получить решение достаточно сложных сме-
смешанных краевых задач в простой аналитической форме, удобной
для инженерных расчетов. Для одной и той же задачи асимптоти-
асимптотический подход позволяет получить основные характеристики задачи
в нескольких формах, каждая из которых эффективна в своей об-
области изменения параметров. Опыт применения этих решений по-
показывает, что, как правило, области их эффективного использова-
использования перекрывают в совокупности весь мыслимый диапазон изме-
ненил параметров, таким образом, удается получить исчерпываю-
исчерпывающее аналитическое решение всей задачи.
Асимптотический метод для решения смешанных задач теории
упругости был предложен в работах И. И. Воровича, Ю. А. Усти-
Устинова (см. [2] в гл. VIII), И. И. Воровича, В. М. Александрова
(см. [5] в гл. XI). Несколько ранее этот метод был использован
И. И. Воровичем и В. И. Юдовичем [33], а также Н. И. Ахиезе-
ром [17] для решения смешанных задач гидродинамики.
В [33] рассмотрена задача об ударе круглого диска о слой
идеальной несжимаемой жидкости.
В [17] изучены свободные гармонические колебания жесткого
диска в пространстве, заполненном идеальной сжимаемой жид-
жидкостью. Основные параметры в обоих случаях были представлены
в виде асимптотических рядов по отрицательным степеням X = hi а,
где а — радиус диска, h — толщина слоя в [33] и h = с/о) (с —
скорость звука в жидкости, ш — частота колебаний)— в [17]. По-
Построенные асимптотические ряды оказались эффективными при
больших1 значениях параметра X. Поэтому метод в дальнейшем по-
получил название «метода больших X» (м.б. X).
В pa6oTeJ2], гл. VIII,*m.6. X был применен к решению осесим-


ВВЕДЕНИЕ	15
метричной задачи о вдавливании штампа (абсолютно твердого тела)
в упругий изотропный слой, лежащий без трения на жестком осно-
основании. В работе [5], гл. XI, м. б. X был применен к решению не-
осесимметричных контактных задач для слоя. Основным резуль-
результатом этой работы является установление следующего факта:
если известно решение задачи о действии штампа на упругое
полупространство, то приближенное решение задачи о действии
того же штампа на упругий слой может быть достаточно просто
получено в виде рядов по степеням X. В [67] этот же метод исполь-
использовался для исследования распространения трещины вблизи сво-
свободной поверхности полупространства, а в [1], гл. V — для ис-
исследования напряженного состояния полосы в смешанных усло-
условиях.
Г. Я. Попов также использовал м.б. X в работе [56], Д. В. Гри-
лицкий [36] применил его для изучения задачи о кручении двух-
двухслойной упругой среды штампом. Д. В. Грилицкий, Я. М. Кизы-
ма [37] рассмотрели с помощью м. б. X осесимметричную задачу
для трансверсально-изотропного слоя, покоящегося на жестком
основании.
В дальнейшем м.б. X и различные его модификации использова-
использовались для решения ряда плоских и пространственных смешанных
задач в работах [4, 5, 7, 12, 39, 41, 43, 44, 46, 47, 49, 53, 54, 59,
60, 62, 63, 65, 66, 74, 77, 80-83, 86, 88-90], см. также [1] в гл. VI,
[3] в гл. XI, [1, 2, 5, 6] в гл. XII.
В [29] И. И. Воровичем и В. В. Копасенко рассмотрена сме-
смешанная задача для слоя, опертого на кольцо, в условиях его изгиба.
В [30, 31] И. И. Ворович и О. М. Пенин изучили смешанные зада-
задачи теории упругости для слоя с неровным основанием.
В. М. Александровым [6] была построена логарифмически-сте-
логарифмически-степенная асимптотика, что позволило использовать м.б. X для ре-
решения целого ряда новых задач. В дальнейшем логарифмически-
степенная асимптотика была использована для решения различ-
различных смешанных задач в работах [4, 10, 15, 16, 24, 25, 61], см.
также [1] в гл. VI.
Метод больших X при всей его эффективности имеет по своей
природе ограниченную область применимости. Поэтому необходи-
необходимо было построить другой асимптотический метод решения сме-
смешанных задач при малых X, который в дальнейшем будем назы-
называть «методом малых X» (м. м. X). Такое построение было дано
В. М. Александровым (см. [2] в гл. VI) и несколько позже Койте-
ром [79]. В его основе лежит использование метода Винера — Хоп-
фа [52] и идея приближенной факторизации Койтера [78].
В дальнейшем главный член асимптотики при малых X и различ-
различные его модификации использовались при решении ряда смешан-
смешанных задач в работах [4, 6—9, И, 13—15, 32, 61—63, 65, 83], см,
также [5, 6] в гл. V, [1, 3, 4] в гл. VI, [1, 2, 6] в гл. XII.


16	ВВЕДЕНИЕ
Главный член асимптотики решения пространственных сме-
смешанных задач для слоя был построен в работах В. М. Александ-
Александрова (см. [1, 2] в гл. XI).
В работах Смита [87] о действии штампа на упругий слой ко-
конечной толщины, лежащий без трения на жестком основании,
строится полная при малых К асимптотика решения задачи. Ос-
Основываясь на некоторых свойствах многочленов Лаггера и работе
Г. А. Гринберга [35], Г. Я. Попов [55] построил полную асимпто-
асимптотику решения задачи при малых X одной из задач дифракции.
Общий способ построения полной асимптотики при малых X ин-
интегральных уравнений, порождаемых некоторыми контактными
задачами для слоя с полосовой и круговой линиями раздела гра-
граничных условий, предложен в работах В. А. Бабешко [21, 23].
Существо метода заключается в сведении интегральных уравне-
уравнений к некоторым бесконечным системам линейных алгебраиче-
алгебраических уравнений. Этот же метод был применен в работах [19, 20, 22]
для исследования некоторых динамических и статических задач.
Другой метод построения полной асимптотики при малых X,
применимый для ядер более сложной природы, предложен в рабо-
работах [4, 7] (см. также [5] в гл. V, [1] в гл. VI). Построение полной
асимптотики для кольцевых областей раздела граничных условий
было дано в работах [6, 15, 26—-28, 38, 61].
В работах В. А. Бабешко [18] (см. также [5] в гл. VI) строится
полная асимптотика решения интегрального уравнения некото-
некоторых плоских смешанных задач для ядер еще более общей струк-
структуры и дается строгое обоснование главного члена асимптотики
решения.
Опыт использования асимптотических методов в теории упру-
упругости дает авторам основание надеяться, что эти методы окажутся
полезными и при решении других смешанных задач в многочислен-
многочисленных разделах механики сплошных сред и математической физики.
ЛИТЕРАТУРА К ВВЕДЕНИЮ
1. Абрамян Б.Л., Контактные (смешанные) задачи теории упругости.
МТТ, 1969, № 4.
2.	Абрамян Б.Л., Обзор результатов, полученных по контактным
задачам в Академии наук Армянской ССР. В сб. «Контактные задачи и их
инженерные приложения». НИИМАШ, Москва, 1969.
3.	Абрамян Б.Л., Александров А. Я., Осесимметричные зада-
задачи теории упругости. Там же.
4.	Александров В.М., Асимптотические методы в смешанных зада-
задачах теории упругости для неклассических областей. В. сб."«Концентра-
сб."«Концентрация напряжений», вып. 2, «Наукова думка», 1968.
5.	Александров В. М., К теории равновесных трещин в упругом
слое. Труды I Всесоюзного симпозиума по концентрации напряжений.
Киев, 1965.
6.	Александров В.М., Осесимметричная задача о действии кольце-
кольцевого штампа на упругое полупространство. МТТ, 4 967, № 4.


ЛИТЕРАТУРА К ВВЕДЕНИЮ	17
7.	Александров В. М., О плоских контактных задачах теории упру-
упругости при наличии сил трения и сцепления. ПММ, 1970, т. 34, вып. 2.
8.	Александров В. М., БабешкоВ. А. и др., Контактная зада-
задача для кольцевого слоя малой толщины. МТТ, 1966, № 1.
9.	Александров В. М., БабешкоВ. А. и др., Расчет термо-
термоупругих контактных давлений в подшипнике с полимерным покрытием.
В сб. «Контактные задачи и их инженерные приложения». НИИМАШ,
Москва, 1969.
10.	Александров В. М., Белоконь А. В., Асимптотическое ре-
решение одного класса интегральных уравнений и его применение к кон-
контактным задачам для цилиндрических тел. ПММ, 1967, т. 31, вып. 4.
11.	Александров В. М., Ворович И. И., Контактные задачи
для упругого слоя малой толщины. ПММ, 1964, т. 28, вып. 2.
12.	А л е к с а н д р ов В. М., Ку ч е р о в В. А., Некоторые задачи о дей-
действии двух штампов на упругую полосу. МТТ, 1968, № 4.
13.	Александров В. М., Сметанин Б. И., О продольных тре-
трещинах в пластинках. Труды VI Всесоюзной конференции по теории обо-
оболочек и пластин. «Наука», 1967.
14.	Александров В. М., Сметанин Б. И., Равновесная тре-
трещина в слое малой толщины. ПММ, 1965, т. 29, вып. 4.
15.	Александров В. М., С о л о в ь е в А. С, Некоторые смешанные
задачи теории упругости. МТТ, 1969, № 5»
16.	Александров В. М., Соловьев А. С, Некоторые смешанные
плоские задачи теории упругости и их приложение к расчету погрешно-
погрешностей тензоизмерений. МТТ, 1970, № 1.
17.	А х ие з е р Н. И., К теории спаренных интегральных уравнений. Запис-
Записки матем. отд. физико-матем. ф-та ХГУ и Харьковского матем. о-ва,
1957, т. 25, серия 4.
18.	Бабешко В. А., Асимптотические свойства решений некоторых
интегральных уравнений. ДАН СССР, 1969, т. 187, № 3.
19.	Бабешко В. А., Некоторые пространственные динамические кон-
контактные задачи для упругого слоя. В сб. «Контактные задачи и их инже-
инженерные приложения». НИИМАШ, Москва, 1969.
20.	Бабешко В. А., Об интегральном уравнении некоторых динами-
динамических контактных задач теории упругости и математической физики.
ПММ, 1969, т. 33, вып. 1.
21.	Б а б е ш к о В. А., Об одном асимптотическом методе при решении
интегральных уравнений теории упругости и математической физики.
ПММ, 1966, т. 30, вып. 4.
22.	Бабешко В. А., Об одном типе интегральных уравнений, возникаю-
возникающих в контактных задачах теории упругости. ПММ, 1969, т. 33, вып. 6.
23.	Б а б е ш к о В. А., Об одном эффективном методе решения некоторых
интегральных уравнений теории упругости и математической физики.
ПММ, 1967, т. 31, вып. 1.
24.	Белоконь А.В., Контактная задача, о взаимодействии упругого
диска с двумя различными жесткими штампами. ПММ, 1969, т. 33, вып. 1.
25.	Белоконь А. В., Смешанные задачи теории упругости для цилинд-
цилиндрических тел. В сб. «Контактные задачи и их инженетшые приложения».
НИИМАШ, Москва, 1969.
26.	Бородачев Н.М., О вдавливании штампа в торец полубесконечно-
полубесконечного упругого цилиндра. ПМ, 1967, т. 3, вып. 9.
27.	Бородачев Н. М., БородачеваФ. Н., Вдавливание кольце-
кольцевого штампа в упругое полупространство. МТТ, 1966, № 4.
28.	Бородачев Н. М., Бородачева Ф. Н., Кручение упругого
полупространства, вызванное поворотом кольцевого штампа. МТТ, 1966,
№ 1.
29.	В о р о в и ч И. И., Ко п а с е н к о В. В., Контактная задача для
оснований, работающих в условиях изгиба. Труды IV Всесоюзной конфе-


18
ЛИТЕРАТУРА К ВВЕДЕНИЮ
ренции по теории оболочек и пластин. Изд-во АН Арм. ССР, Ереван,
1964.
30.	В о р о в и ч И. И., П е н и н О. М., Сдвиг слоя с неровным дном. МТТ,
1968, № 6.
31.	В о р о в и ч И. И., П е н и н О. М., Смешанные задачи для полосы с не-
неровным основанием. МТТ, 1968, № 4.
32.	В о р о в и ч И. И., П е н и н О. М., П е н и н а Г. Г., Сдвиг слоя
с неровным основанием, МТТ, 1970, № 2.
33.	В о р о в и ч И\ И., Ю д о в и ч В. И., Удар круглого диска о жидкость
конечной глубины. ПММ, 1957, т. 21, вып. 4.
34.	Г а ли н Л. А., Контактные задачи теории упругости. Гостехиздат, 1953.
35.	Гринберг Г. А., Об интегральных уравнениях с ядром, зависящим
от абсолютной величины разности аргументов, и конечным промежутком
изменения переменных. ДАН СССР, 1959, т. 128, № 3.
36.	Г р и л и ц к и й Д. В., Кручение двухслойной упругой среды. ПМ,
1961, т. 7, вып. 1.
37.	Г р и л и ц к и й Д. В., К и з ы м а Я. М., Осесимметричная контакт-
контактная задача для трансверсально-изотропного слоя, покоящегося на жест-
жестком основании. Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 1962,
№ 3.
38.	Губенко В. С, МоссаковскийВ. И., Давление осесиммет-
ричного кольцевого штампа на упругое полупространство. ПММ, 1960,
т. 24, вып. 2.
39.	Губенко В. С, Филимонов И. Ф., О связи некоторых осесим-
метричных и плоских задач для слоя. Труды Ин-та инж. жел.-дор.
транспорта. Днепропетровск, 1964, вып. 50.
40.	Г у д ь е р Дж. Н., X о д ж Ф. Г., Упругость и пластичность. ИЛ,
1960.
41.	Довнорович В. И., О действии кругового в плане штампа на упру-
упругий слой конечной толщины, лежащий на жестком основании. Изв. АН
СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 1964, № 2.
42.	Довноро'вич В. И., Пространственные контактные задачи теории
упругости. Изд-во Б ГУ, Минск, 1959.
43.	3 а к о р к о В. Н., Ростовцев Н. А., К динамической контакт-
контактной задаче стационарных колебаний упругого полупространства. ПММ,
1965, т. 29, вып. 3.
44.	К и з ы м а Я. М., Контактные напряжения в случае сцепления круго-
кругового штампа с упругим слоем. Инж. журнал, 1964, т. 4, вып. 2.
45.	К и л ь ч е в с к и й Н. А., КостюкЭ. Н., О развитии в XX веке
теории контактных взаимодействий между твердыми телами. ПМ, 1966,
т. 2.
46.	Кузьмин Ю. И., У ф л я н д Я. С, Контактная задача о сжатии
упругого слоя двумя штампами. ПММ, 1967, т. 31, № 4.
47.	Кучеров В.А., О действии двух штампов на упругую полосу. В сб.
«Контактные задачи и их инженерные приложения». НИИМАШ, Москва,
1969.
48.	Лурье А. И., Пространственные задачи теории упругости. Гостехиз-
Гостехиздат, 1953-1
49.	Л у т ч е н к о С. А., О вдавливании штампа в боковую поверхность уп-
упругого основания в виде клина. ПМ, 1966, т. 2, вып. 12.
50.	Михлин С. Г., Интегральные уравнения. Гостехиздат, 1949.
51.	Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математи-
математической теории упругости. Физматгиз, 1966.
52.	Н о б л В., Метод Винера— Хопфа. ИЛ, 1962.
53.	ПальцунИ. В., Плоская задача для бесконечной полосы, ослаблен-
ослабленной целью. «Гидромеханика и теория упругости». Республиканский меж-
межведомственный научно-технический сборник, 1967, вып. 6.


ЛИТЕРАТУРА К ВВЕДЕНИЮ	19
54.	Ленин О. М., Контактная задача для неровного слоя. В сб. «Контакт-
«Контактные задачи и их инженерные приложения». НИИМАШ, Москва, 1969.
55.	Попов Г. Я., Об одном приближенном способе решения интегрального
управления дифракции электромагнитных волн на полосе конечной шири-
ширины. ЖТФ, 1965, т. 35, вып. 3.
56.	Попов Г. Я., Об одном приближенном способе решения некоторых
плоских контактных задач теории упругости. Изв. АН Арм. ССР, физ.-
матем. науки, 1961, т. 14, № 3.
57.	Попов Г. Я., Ростовцев Н. А., Контактные (смешанные) задачи
теории упругости. Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и прик-
прикладной механике. «Наука», 1966.
58.	Рвачев В.Л., Исследования ученых Украины в области контактных
задач теории упругости. ПМ, 1967, т. 3. вып. 10.
59.	Руховец А. Н., У ф л я н д Я. С, Смешанные задачи о кручении
упругого полупространства со сферическим включением. ПММ, 1968,
т. 32, № 6.
60.	Сметанин Б. И., Две щели в полосе конечной толщины. ПММ, 1970,
т. 34, вып. 2.
61.	Сметанин Б. И., Задача о растяжении упругого пространства,
содержащего плоскую кольцевую щель. ПММ, 1968, т. 32, вып. 3.
62.	Сметанин Б. И., Некоторые задачи о щелях в упругом клине и слое.
МТТ, 1968, № 2.
63.	Сметанин Б.И., О расклинивании упругого бесконечного клина.
ПММ, 1969, т. 33, вып. 5.
64.	С н е д д о н И., Преобразования Фурье. ИЛ, 1955.
65.	Соловьев А. С, Некоторые контактные задачи теории упругости,
связанные с вопросами концентрации напряжений. В сб. «Контактные
задачи и их инженерные приложения». НИИМАШ, Москва, 1969.
66.	Соловьев А. С, Об одном интегральном уравнении и его приложе-
приложениях к контактным задачам теории упругости с учетом"сил трения и сцеп-
сцепления. ПММ, 1969, т. 33, вып. 6.
67.	Устинов Ю. А., О влиянии свободной границы полупространства
на распространение трещин. Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машино-
машиностроение, 1959, № 4.
68.	У ф л я н д Я. С, Интегральные преобразования в задачах теории
упругости. «Наука», Ленинград, 1967.
69.	Чаплыгин С. А., Давление жесткого штампа на упругое основание.
Собрание сочинений, т. 3, Гостехиздат, 1950.
70.	Ш е р м а н Д. И., Метод интегральных уравнений в плоских простран-
пространственных задачах статической теории упругости. Труды Всесоюзного
съезда по теоретической и прикладной механике. «Наука», 1962.
71.	Шерман Д.И., Основные плоские контактные задачи (смешанные
задачи) статической теории упругости. В[сб. «Механика в СССР за 30 лет».
Гостехиздат, 1950.
72.	Штаерман И. Я., Контактная задача теории упругости. Гостехиздат,
1949.
73.	В oussinesque J., Applications des potentiels a Г etude de l'equi-
libre et du mouvement des solides elastiques. Paris, 1885.
74.	Dhaliwal R. E., An axisymmetric mixed boundary value problem
for a thick slab. Siam J. Appl. Math., 1967, v. 15, № 1.
75.	Hertz H., Gesammelts Werks; t. 1, 1895.
76.	Hertz H., Uber die Beruhrung fester elastischer Korper. Journal fur
die reine und angewandte Mathematik, Grelle, 92, 1882.
77.	К err L. M., The contact'Stress problem for an elastic, Sphere Indenting
an Elastic Layer. Trans. ASME, Ser. E,*J. Appl.Mech., 1964, v. 31, № 1.
78.	Koiter W. Т., Approximate solution of Wiener — Xopf type integral
equations, with applications Koninkl. Ned. Akad. Wetenschap. Proc.,
1954.


20	ЛИТЕРАТУРА К ВВЕДЕНИЮ
79.	К о i t e r W. Т., Solution of some elasticite problems by asymptotic
methods. В сб. «Приложение теории функций в механике сплошной сре-
среды», т. 1, «Наука», 1965.
80.	Low R. D., On a double mixed boundary value problem for an elastic
layer. Quart. Appl. Math., 1964, v. 22, № 2.
81.	Lowengrub M. A., A two-dimensional crack problem Int. I. Engng.
Sci., 1966, v. 4, K° 3.
82.	Martin Charles J., On a mixed boundary value problem in elasti-
elasticity Internat. Engng. Sci., 1967, v. 5, № 3.
83.	M e i j e r s P., The contact problems of a rigid cylinder on an elastic
layer. Appl. Scient. Res., 1968, v. 18, № 5.
84.	OlesiakZ., A survey of polish papers concerning the mixed boundary
problems in the theory of elasticity. «Theory Plates and Shells». Bratislava,
1966, 399—405.
85.	Sadowski M. A., Zweidimensionals Problem der Elastizitatstheoric.
ZAMM, 1928, t. 8, № 2.
86.	Sioya Siozyuke. Extension of a semi-infinite plate with a circular
inclusion. Trans. Japan. Soc. Mech. Engrs., 1966, v. 32, № 236.
87.	Smith E. R., On a flat punch ind ending on elastic layer in plane strain.
Quart J. Math., 1964, v. 15, № 59.
88.	Stachowriz В., Srefer G., Plane Problems of a punch in a non-
homogeneous elastic medium. Arch. mech. Stosowanej, 1968, № 20, 6.
89.	Wang С .F., Elastic contact of a strip pressed between two cylinders.
Trans ASME, 1968, Ev. 35, №№ 2, 5.
90.	Yih-Otu Cazis D. S., The contact problems of a plate pressed bet-
between two spheres. Trans. ASME, 1964, Ev. 31, № 4.


Глава I
ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ ПОЛОСЫ И СЛОЯ.
НЕКОТОРЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
§ 1. Постановка смешанных задач
для полосы и слоя
1. Рассмотрим упругую полосу S (— оо <i хг <1 + оо, 0^
<^ Хч <^ h) с коэффициентом Пуассона v, покоящуюся на жестком
основании хг = 0. Границу полосы х2 = h будем ниже обозначать
через Jfv границу х2 = 0 — через Жг (рис. 1). Предположим, что
на Ж1 задана система непересекающихся отрезков со = \J ©fc,
flft, bfe — концы tOfe. Пусть, далее, со* = CfCx \ оэ, т. е. со* содер-
содержит точки прямой #Г1? не принадлежащие со. Будем различать
следующие смешанные задачи для полосы S.
Задача I. Полоса жестко соединена с недеформируемым
основанием по прямой Ж2- На всей прямой Ж1 заданы касательные
напряжения, на со заданы нормальные перемещения, а на со* —
нормальные напряжения. Указанную задачу естественно рассмат-
рассматривать в условиях плоской деформации.
Задача I описывается уравнениями Ляме [7, 8, 9, 15]
&щ + KQxt = ft; 9 - utxt; * = 1, 2; К = -у^ , A.1)
к которым добавляются граничные условия
ut = 0; t= I, 2	на ЯГ2,	A.2)
ЩХ1 +и1Х2 = /1(ж1)	на Я1!,	A.3)
^2 = h (^i)	на «,	A.4)
(К - 1) и1Ж1 +1^+1) ЩХ2 = /3 («0	на со*.	A.5)
Задача II. Полоса без трения покоится на недеформируе-
мом основании. На всей границе Жх сохраняются те же условия,
что и в задаче I.
Задача II описывается уравнениями A.1) и граничными усло-
условиями A.3) — A.5). На Ж2 вместо условий A.2) будут иметь место
соотношения
щ = 0,	A.6)
0»	A.7)


22
ПОСТАНОВКА СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ И СЛОЯ [ГЛ. I
Чтобы окончательно замкнуть постановку краевых задач I, II,
необходимо оговорить условия на бесконечности и в точках ak, bk.
Обычно в качестве таковых используются условия, характеризу-
характеризующие определенный порядок изменения напряжений и перемеще-
перемещений на бесконечности и в точках а^, Ьк. Эти условия носят искус-
искусственный характер и диктуются лишь чисто математическими
О)"
со,
со.
°2 СО*
СО*
(О*
Рис. 1.
соображениями. Более естественным является, на наш взгляд, ус-
условие конечности потенциальной энергии деформации полосы.
Указанная энергия аккумулируется в полосе за счет работы внеш-
внешних сил, которую естественно всегда считать конечной. Таким
образом, решение каждой из сформулированных задач следует
искать в классе вектор-функций а (ии щ), удовлетворяющих
условию
[2
Ф8 (а) = J UsdS < оо; Щ = (К - 1) б2 +[2 2 и?ж + (иto + u2xif.
S	(=1
A.8)
Ниже будет показано, что условие A.8) вполне замыкает поста-
постановку задач I, П. Вместе с этим определяется точно и поведение
решений при | хх | -*¦ оо, а также в точках а^, Ъ^.
В условиях плоского напряженного состояния сохранятся все
условия задачи II, однако вместо v должна использоваться вели-
величина v' = -т—г-— .
2. Рассмотрим упругий слой F(— оо < хх, х2 < оо, 0 ^ х3^
^ fe), покоящийся на жестком основании х3 = 0. Границу слоя
х3 = h обозначим через Гь границу х3 = 0 —через Г2 (рис. 2).
N
Пусть на Гх задана область Q, причем Q = |J Qft, гдейь—огра-
гдейь—ограниченная область плоскости 1\, граница которой есть afe, Q^ не
пересекаются. Пусть, далее, Q* = I\ \ Q, т.* е. й* содержит
точки плоскости Гь не принадлежащие Q. Будем рассмат-
рассматривать следующие смешанные задачи теорли упругости для
слоя V.


ПОСТАНОВКА СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ И СЛОЯ
23
Задача III. Слой V жестко соединен с недеформируемым
основанием по плоскости Г2. На всей плоскости 1\ заданы каса-
касательные напряжения; на Q, сверх того, заданы нормальные пере-
перемещения, на ?2* — нормальные напряжен, я.
A.10)
A.11)
A.12)
Рис. 2.
Задача III описывается уравнениями Ляме в пространстве
[7, 8, 9, 15]
Л1, i JfR 	 6Т*	А 	 1,	+ 	 4 9 Q	/i Q\
/ли f —j— i\. \j X. — *T ti	— botxti " — -^ > > ^i	\ /
к которым добавляются граничные условия
щ = 0 на Г2, t = 1, 2, 3,
7/	I 7/		 fir Г \	TTQ	Г*	/ 	 4 9
3 2С/ "Т~ t ОСо 	 Jt \ 1? 2/ -СЮ. -^1? ^ 	 ¦*¦ ? ~?
	 / / ^ \ „я Q
M»g 	 /3 \*^1? ^2/ xici au ?
(^ — 1) (uixx+ игх2) + (-К" + 1) ^зх3 — Д (^и х%) на Q*. A.13)
Задача IV. Слой лежит на жестком основании без трения.
На 1\ сохранены те же условия, что и в задаче III.
Задача IV описывается уравнениями A.9) и граничными усло-
условиями A.11)— A.13). Вместо A.10) должны выполняться условия
ив==0 на Г2,	A.14)
7/	17/ 	 О ТТЯ Г	/—19	М 1^
^ЗХ/~Т~ ™txa === ^ xia. JL 2, t- — 1, ^.	^l.XU^
Для замыкания задач III, IV и здесь вместо условий на беско-
бесконечности и на гк примем условие конечности потенциальной энер-
энергии, которое для слоя принимает вид
э;	A.16)
= \
Ниже мы покажем, что A.16) вполне замыкает постановку задач III,
IV и определяет поведение решений при г = У х\+ х\-+ оо, а
также в окрестности г]г.


24	ПОСТАНОВКА СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ И СЛОЯ [ГЛ. I
§ 2. Некоторые функциональные пространства
1. Ниже будут использоваться действительные функциональ-
функциональные пространства Банаха и Гильберта. Более подробно об этих
пространствах см. в [4, 19, 21]. Мы приведем здесь самые
необходимые свойства. Пространство Банаха В есть совокуп-
совокупность элементов, удовлетворяющих следующим условиям:
1)	В есть линейная система с умножением на действительные
числа;
2)	каждому элементу а из В относится некоторое число, назы-
называемое нормой а, которое мы будем обозначать через || а || , так что
выполнены следующие правила:
а) || а || > 0 и || а || = 0 тогда и только тогда, когда а = 0;
B.1)
где р — любое действительное число;
3) В есть полная система. Для разъяснения этого свойства
введем понятие сильной сходимости элементов й„ЕВ. Говорят,
что последовательность йп сходится сильно к элементу а, если
выполнено предельное соотношезяз
Нш||<х-<хп||=0.	B.2)
П—>оо
Факт сильной сходимости йп к а будем обозначать следующим об-
образом: ап =ф а.
Назовем, далее, последовательность йп фундаментальной, если
для любого е ^> 0 можно найти такое N, что
B-3)
для любых аП1, йП2, если только п19 щ > N. Система В—полная,
если каждая фундаментальная последовательность йп имеет
предел, принадлежащий В. Таким образом, для полной системы
выполняется критерий сходимости Коши.
Пространство Банаха называется гильбертовым (пространст-
(пространством Н), если любой паре элементов а, Ь сопоставляется некото-
некоторое число (а, Ь), называемое скалярным произведением и удов-
удовлетворяющее следующим условиям:
г) (а, Ь) = (Ь, а);
Д) (« + Ь, с) = (й, с) + (Ь, с);
е)	(ра, Ь) = р (а, 6);
ж)	(«, й) > 0, причем (а, а) = 0 только в случае ft = О J
B.4)


§ 2]	НЕКОТОРЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА	25
При этом || а || = (а, аI/*. Для любых двух элементов а, Ь про-
пространства Гильберта справедливо неравенство
|(а, Ь)|<|а|.|Ы|.	B.5)
Неравенство B.5) есть следствие положительной определенности
квадратичной* формы Цс^а + а2Ь |2 переменных а1? а2. Как легко
проверить, все векторные и скалярные пространства Нл, W2*\
*	° * °
HfTt, Hi7t, Hf7r, HtK, ? = 1,2, которые будут введены ниже, являются
пространствами Гильберта.
2. Рассмотрим некоторую область п /-мерного евклидова про-
пространства. Через Нп обозначим пространство функций и, интегри-
интегрируемых с квадратом со скалярным произведением [4, 19—21]:
(hi, и2) \нп = § MiMrt-	B.6)
Будем говорить, что а(иь и2, • • •» ^п) ^ Ня, если каждая его со-
составляющая i^f принадлежит Нл, а скалярное произведение в век-
векторном пространстве Нп определим соотношением
п
(«1, ^2)нл = ^ 2 uir w2tdrt.	B.7)
7tf=l
Очевидно,
n
I и $,л = ^ M'drt; || а $я = $ 2 «fdn.	B.8)
В качестве я в наших рассуждениях будут либо полоса 5, либо
слой У, либо их подмножества, как-то: Жи Tti t = 1, 2; cofe, Qfe,
/с = 1, . . ., Ж, и т. д.
Через Lp7X обозначим пространство функций и, суммируемых
на я со степенью р ^> 1, положив
Г-	B-9)
Будем говорить, что вектор а(щ) €= Lp7X, f=l,2, ..., п, если
все его составляющие щ принадлежат Lp7X. При этом1
L?n есть пространство Банаха, которое совпадает с Нл. Отметим
также важное неравенство, которому удовлетворяют все вектор-
функции из 1рл:
и которое носит название неравенства Минковского [4, 19—21].


26	ПОСТАНОВКА СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ И СЛОЯ [ГЛ. I
3. Через В^ обозначим пространство функций и, имеющих
в замкнутой области я все производные до порядка к включитель-
включительно, причем fe-e производные удовлетворяют в я условию Гельдера
с показателем [х. Норму в В$п определим следующим образом:
к
14* =2	2 maxlc^ ли(Р)| +
В*« т=о а1+е.И-...+а,=т pS* *1 Ж2 -"У
+ max vq% 2 К«. ^«(Qi)-^ ^«(Q,) |, B-11)
где rQlQ2 — расстояние между точками Q1? Q2, a 3 ai au озна-
l'" /
чает производную
д	lU
Пространство функций, имеющих в я непрерывные производ-
производные порядка к, будем обозначать Ck7Z1 введя на этом множестве
норму
к
2	max 10^ ли(Р)|.	B.12)
Наконец, пространство функций, непрерывных в я, будем обозна-
обозначать через Ся, введя на этом множестве норму
||и[ся=тах|и|.	B.13)
Соответствующим образом определяются и векторные простран-
пространства В$К, Скп, Ся, причем
= 2 l"*!^; l«k = 2 ll^lk.	B.14)
4. Рассмотрим в области я множество функций СкЛ1 на котором
введем норму
a (v^+T-r *¦}"¦ BЛ5)
Замыкание С&п в норме B.15) называется пространством Соболева
p2 [20]. Термин замыкания означает, что W^ содержит все


§ 2]	НЕКОТОРЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА	27
функции из С^ и все элементы, полученные из Скп посредством
всевозможных пределов в норме B.15). Если каждая составляю-
составляющая иг вектор-функции и (щ, . . ., ип) принадлежит WJ2, то
говорят, что а ЕЕ W$2, полагая
п
рп t==1	pn
Как известно [19, 20], Wp2 содержит функции, имеющие произ-
производные по Соболеву порядка Jfe, суммируемые в я со степенью р.
Другие важные свойства функций из \Урк1 будут приведены ниже.
Пространство W$J используется нами, главным образом, когда
fc= 1,2; Z = 2,3.
5. 1) Рассмотрим некоторую подобласть я полосы S @ <^ #2<^)
и на ней множество Сщ вектор-функций а (их, и2). Зададим на С1я
скалярные произведения [11—13, 20]
(al5 a2) = \^j dixt^2xt^'i \а/Т==\^л ^j utxmdtt, B.17)
n t=i	n t=i m=l
2	2	2
/Ix'V A) X^ 7,B) I oV ,,d) ,Д2) i
	 4 ZA 4tx* ' Zj txf "•" ^ Zj txt ' Utxt ~>
+ / ,A) i 7f^)\/7f'2) | iiB)\ Л С /О /1 Q\
В формуле B.18) и^ — составляющие вектора аг, и\2) — вектора
а2. Очевидно, в соответствии с B.18),
2	2
2) Пусть область я есть вся полоса 5. Пусть, далее, Cjs —
подмножество вектор-функций а е= Qs, удовлетворяющих усло-
условиям
а|л = 0,	B.20)
mo.	B.21)
S «=i т=1
Замыкание Cs в норме B.17) назовем H*s, а замыкание CjsB норме
B.19) назовем Hxs. Замыкание Cg в норме B.16) при я = S и
P=Z = w = 2, /с = 1 назовем WBs. Рассмотрим теперь подмно-


28	ПОСТАНОВКА СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ II СЛОЯ [ТЛ. I
О
жество C\s вектор-функций а (щ, и2), принадлежащих C[s и таких,
что
и2|« = 0.	B.22)
о	о #	о
Замыкание Cis в норме B.17) назовем Н^, а замыкание Qs в нор-
о
ме B.19) назовем Н^.
3)	Пусть область я есть квадрат а со стороною h, основание
которого лежит на Ж2 (рис. 5, стр. 63). Пусть, далее, С{а есть
подмножество из С1О вектор-функций а таких, что выполнено усло-
условие B.20). Замыкание С{а в норме B.17) назовем Hi0, а замыка-
замыкание СJo в норме B.19) назовем Н1о. Далее, замыкание С& в
о
норме B.16) при л = о п р = I = п = 2; к = 1 назовем WgJ.
4)	Пусть теперь Cis — подмножество из Cis вектор-функций
а таких, которые удовлетворяют условиям B.21) и
O,	B.24)
где 5а (Ро) — круг с центром в точке Ро @, Л/2) радиуса А <у.
Замыкание Cts в норме B.17) назовем H2*s, а замыкание C\s B норме
о
B.19) назовем H2s. Пусть, далее, Cis есть подмножество вектор-
функций а0 H3Cis, для которых выполнено условие B.22). Замы-
о	о #	о
кание CJs в норме B.17) назовем H2s, а замыкание ds в норме
B.19) назовем H2s. Введем, наконец, множество Cls вектор-функций
а ее Cxs, удовлетворяющих следующим условиям:
а)	для а справедливы B.22) — B.24);
б)	любой функции из Cls ставится в соответствие определенная
постоянная сг, являющаяся линейным функционалом от а и та-
такая, что
2 2
II«1-0) = ИЗ S "tem + «5 + («1 - ciJ bv] dS < oo, B.25)
2S g t=1 m==1
где 6 (%) = V x\ -\- h2, a p < — 2 — некоторое любое, но фикси-
фиксированное число.
Замыкание C?s в норме B.25) назовем WBs. Постоянную сх
в дальнейшем будем называть нуль-проекцией а. Соотношение
между пространствами Hts, H*s» W^, ^Ш, t = 1, 2, будет изуче-
изучено в § 4.


§ 2]	НЕКОТОРЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА	29
5) Рассмотрим на со класс функций / (xj таких, что / ЕЕ в?-,
р, > О, а я — любая внутренняя подобласть со. Во всей области
со пусть / (хг) е Lpo), p > 1. Этот класс функций ниже будет обоз-
обозначаться через BfccoLp».
6. 1) Рассмотрим некоторую подобласть я слоя V (О <; х3 <; К)
и в ней множество С1п вектор-функций а (щ, и2, и3). Зададим на
С17Х скалярное произведение [11 — 13, 20]
= \ 2 ащ¦ <***&v, II а Т = S S S "tesd3t B-26)
/	Ь	l
71 Ь=1 S=l
и скалярное произведение
(а, • ая) = $ [
+ S (< + <)(< + <)] dn. B.27)
В формуле B.27) *41} — составляющие вектора а1? ^2) — состав-
составляющие вектора а2. Очевидно,
з
| а |р = \ [{К - 1) B "J2 + 2
з
2) Пусть область я есть весь слой 7. Пусть, далее, Civ есть
подмножество вектор-функций а ЕЕ Civ, удовлетворяющих усло-
условиям
а|Г2 = 0,	B.29)
3
2uU7<oo.	B.30)
l j=!
Замыкание C\v в норме B.26) назовем н{у, а замыкание C\v в норме
B.28) назовем Ь^у. Замыкание Cjy в норме B.16) при р = 2,
п=/ = 3, к = 1 назовем W^y.
о
Рассмотрим теперь подмножество C{v вектор-функций а(и19 иг,
и8) из С{у таких, что
Щ |а = 0.	B.31)
оамыкание С\у в норме B.26) назовем HlV, в норме B.28) — Н1У.


30	ПОСТАНОВКА СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ И СЛОЯ [ГЛ. I
3) Пусть, далее, С*у — подмножество из ClV вектор-функций,
которое удовлетворяет условиям
Из|г2 = 0,	B.32)
5 utdV = 0, * = 1,2,	B.33)
ША(Р0)
^	0,	B.34)
ША(Р0)
где ША (Ро)—шаР радиуса A<fe/2c центром в точке Ро @, 0, h/2),
и условию B.30). Замыкание С^у в норме B.26) назовем H*2V,
о
а замыкание С\у в норме B.28) назовем Н2у. Пусть, далее, С^у
есть подмножество вектор-функций а из CJV, для которых выпол-
о	о *
нено B.31). Замыкание С{у в норме B.26) назовем Н2У, а замы-
о	о
кание Сху в норме B.28) назовем Н2у. Введем, наконец, множество
C\v вектор-функций а из С2у, удовлетворяющих следующим усло-
условиям:
а)	для а справедливы B.31) — B.34);
б)	любой вектор-функции а ЕЕ C\v ставятся в соответствие оп-
определенные постоянные с1? с2, являющиеся линейными функцио-
функционалами от а и такие, что
з з
I«ll~(i) = \{ S 2 иЩ + и1 + К«1 - ciJ + (Щ - с,П ЪЪ) dV < оо,
		B.35)
где Ъ {хг, х2) = У х\ + х% + h2, p <С — 4. Замыкание С?у в нор-
норме B.35) назовем W2y. Постоянные с1? с2 в дальнейшем будем
называть нуль-проекцией вектор-функции а. Соотношение между
пространствами Н2у> Hgy, W2y будет изучено в § 4.
4) Рассмотрим на Q класс функций и (хг, х2) таких, что
и е B/Jrt, [л ^> 0, где я — любая внутренняя подобласть Q. Во
всей же области Q wgLpq, p^> 1. Этот класс функций ниже бу-
будет обозначаться через
§ 3. Некоторые факты из функционального анализа
и математической физики
1. Неравенство Гелъдера, Пусть функции и^ЕЕЦ,™ причем


§ 3	НЕКОТОРЫЕ ФАКТЫ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА	31
В этом случае
\\юг.. .wm\dn^f[ (^\р^ЯI1Рг .	C.1)
П	2=1 П
Неравенство Коши—Буняковского — Шварца. Пусть а(иг ... ип),
b(vx... vn) — два вектора, каждый из которых принадлежит Н„.
В этом случае имеем
|(а.&)|„п|<|Н|н„-||&1к.	C.2)
Неравенство C.2) есть частный случай B.5).
2. Пусть определено правило, согласно которому каждому
элементу а пространства Банаха В поставлено в соответствие
некоторое число у- (а). Будем при этом говорить, что на В определен
функционал у. Функционал ^назовем линейным, если он одноро-
однороден и аддитивен, т. е. если при любых йх, й2ЕВи для любых
чисел аг, а2 справедливо соотношение
У (агаг + а2а2) - а& (ах) + а& (а2).
Кроме того, линейный функционал У (й) будем называть огра-,
ничейным, если для произвольного элемента йеВ имеет место
неравенство
|^(tt)|<m|a||.	C.3)
Нормой линейного ограниченного функционала ^ (а) называется
число || у ||, определяемое соотношением
V'	<3-4>
Теорема 3.1. (Ф. Рисе) [4, 19, 21]. Для всякого линейного
и ограниченного в пространстве Гильберта функционала У (а)
существует элемент ф этого пространства такой, что
9Ч«) = («-ф); |1^1 = 11ф||-	C.5)
Последовательность йп элементов пространства В называется
слабо сходящейся [4, 19—21], если для всякого линейного и огра-
ограниченного в В функционала У имеет место предельное соотношение
C.6)
Факт слабой сходимости йп к а ниже будем обозначать следующим
образом: йп ->• а.
Множество М некоторого пространства называется сильно
(слабо) компактным, если из его любой бесконечной части можно
выделить сильно (слабо) сходящуюся последовательность.
Теорема 3.2. Всякое ограниченное множество простран-
пространства Гильберта слабо компактно.


32	ПОСТАНОВКА СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ И СЛОЯ [ГЛ. I
Оператор D (а), действующий из пространства Банаха Вх в про-
пространство Вг, будем называть вполне непрерывным, если он пере-
переводит ограниченное в Вх множество в сильно компактное мно-
множество Вг.
3. Рассмотрим в некоторой Z-мерной области я интеграл JV вида
C.7)
Пусть ядро К (Р, Q) при Р = Q имеет особенность, причем
?
C.8)
rPQ
Интегралы вида C.7), C.8) называются интегралами типа потен-
потенциала [4, 12, 19—21]. Нас будет интересовать принадлежность
1и (Р) к тому или иному пространству в зависимости от свойств U,
причем всегда будем считать, что U (= Цл- Необходимые для даль-
дальнейшего свойства 1и (Р) даются следующими предложениями
[4, 19, 201:
1) если Х<. Ш	), то Зи (Р) е= В|?, где к = <Ш	J — 5^),
[X = I(i	j-^-i и \i' = [х, если [X =т^ 1- Если A = 1, то
\i' < 1 и может быть взято сколь угодно близким к 1. Знак <тг>
означает ближайшее к п целое число, меньшее п. При этом имеет
место неравенство х)
C.9)
2) если X > j(l	), то Jf/ (P) в общем случае не будет не-
непрерывной функцией, но зато
Jv (P) е ЦЯв,
где ns — любая 5-мерная гиперплоскость, принадлежащая я,
?^1—п^Р w— » если 5 ^> ' "~ (' ~" ^) Р- При этом
Uu(P)hans<m\\U\\lpn.	C.10)
Указанные предложения будут нами использоваться для двух
случаев. В первом случае Z=2, % = I, I <^p ^2. Здесь,
х) В последующем нам часто придется иметь дело с неравенствами типа
C.9). При этом для справедливости соответствующих выводов вовсе не важно
то или иное конкретное значение постоянной т, а важен лишь факт ее су-
существования. Во всех этих случаях для этих постоянных будет использовать-
использоваться одно и то же обозначение т.


§ 3]	НЕКОТОРЫЕ ФАКТЫ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА	33
очевидно, мы находимся в условиях предложения 2.^ Поэтому
Зи ЕЕ L 8р и
В случае р = 2 Jjy (P) e Lg7V где g — любое число и
C-12)
Во втором случае Z = 3, A, = 2, 1 < р <^ 2. Здесь мы также на-
находимся в условиях предложения 2. Поэтому
3-Р "s
l|Ja(P)||L^ <m\U^ * = 2,3.	C.13)
З-Р "•
В случае р = 3 Jy (Р) е Ця , где g — любое большее единицы
число и имеет место неравенство C.12).
4. Свойства элементов Wp:) в основной части характеризуются
теоремами вложения. Так называются теоремы, в которых из
принадлежности U пространству W^ выводятся свойства произ-
производных U порядка^:, меньшего к. Указанные теоремы имеют
весьма существенное значение в математической физике и прев-
превратились по существу в самостоятельную ветвь анализа. Основы
этой теории заложены в работах С. Л.Соболева [20], В. И. Кон-
драшова, С. М. Никольского [17]. Изложение этих результатов см. в
[19—21], а также в [2, 3, 5, 17, 18, 27]. В [17] дано изложение
современного состояния вопроса. Оэычно теоремы вложения
устанавливаются для ограниченных областей и всего пространства.
В [6] имеется ряд теорем для пространства и полупространства. Мы
будем использовать теоремы вложения для простейшего случая
звездных ограниченных областей [20], а также для полосы и слоя.
Ограниченная область Q называется звездной относительно внут-
внутренней точки Р, если всякая полупрямая, выходящая из Р, пересе-
пересекает границу Q ровно в одной точке. Если Q содержит внутри себя
некоторый шар Ш, такой, что й звездна относительно любой точки,
принадлежащей Щ, то Q будем называть звездной относительно
шара III. Наконец, пусть Q =2 ^л гДе &J звездна относительно
р-1
своего шара, и пересечение йрс ^ Q^непусто. Будем говорить, что
2 И. И. Ворович и др,


34	ПОСТАНОВКА СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ И СЛОЯ [ГЛ. I
такие области удовлетворяют условию звездности. Для них спра-
справедливы теоремы вложения, и некоторые, необходимые для даль-
дальнейших рассмотрений, приводятся ниже.
а) Если U e W(pfei в Z-мерной области я, то на любом ограни-
ограниченном куске ns гиперплоскости s измерений U GE Lgw	^
I ^> рк, s^> I — рк. При этом
*	рте
В случае I = рк q = оо. Это означает, что U Е: Lqn при любом
q^> 1, и C.14) также будет иметь место при любом д. Естественно,
постоянная т?г в C.14) будет зависеть от q. При этом если	^
то имеет место полная непрерывность оператора вложения, т. е.
ограниченное в WpfcJ множество Z7 будет сильно компактным
в Цл . Если I = рк, то полная непрерывность имеет место при
любом q.
б) Если 1< рк, то U е ВН: , где & = /&	\ и [х = ft — ft,
Кп	\,	Р /
р' = jx, если [х < 1. Если [г = 1, то \i' < 1 и может быть взято
сколь угодно близким к единице. При этом
кп
Кроме того, вложение Wp^ в любое пространство Вй„; [i" < ^',
вполне непрерывно, т. е. любое ограниченное в W(*> множество
сильно компактно в В~?-
Наиболее часто предложения а), б) будут использоваться
в следующих вариантах:
1) U ЕЕ Wp1^, я — некоторая плоская область. В этом случае
согласно C.14) при l<Cp<C2CreL2p , причем
	¦ п
2-р
Ьж |w
2-р"
Далее, если Ж§ — некоторый отрезок CZ я, то C7^L p , при-
2-р
чем
Iff k, <H|tf|lw<i)-	C-17)
При р = 2?/еЦли?7е Lgjj-,, g > 1 и любое, причем
« U||сая <т(q)\UЦ» , IU^<m(g)|?/|Ц„ . C.18)


g 3]	НЕКОТОРЫЕ ФАКТЫ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА	35
1
Если р ^> 2, то здесь /<4ри^ЕВ0/, причем
WL *<Щи\\{1).	C-19)
Рассмотрим случай, когда [/gW^ />>1. В этом случае
2	2A-1-)
\ Если 1<р<2, то[(х = 2 ——. Поэтому ?/ЕВ0„ р ,
причем
.	C.20)
Далее, при 1 < р < 2, очевидно, U e WBp , С/ ЕЕ WAp , причем
1 п	—— «ЗтГ*
p , С ЕЕ Wp
2-р	2-р
2P	Wpn
Если p = 2, то Pe B^n и, кроме того, С/Те W^} и PeWJ10 при
любом д^>1. При этом
Если ^>2, то C/eBin, }x = ^"~ , причем
-	с3-23)
2) [/eWJ], л — некоторая трехмерная ограниченная область.
В этом случае I = 3, /с = 1. Согласно C.14) при 1^3
tf e L зр , причем
~^— тс
3-р
з-р"	р7С
Кроме того, если Го — кусок плоскости cz я, то U ЕЕ L 2р , при-
з=^Гв
чем
.	C.25)
з=? Г°
При ]) = 3 Р Е L5« и Lgr0, где g > 1 и любое, причем
W\lgn <m(q)lU\\wv; ||U^<i»(q)\\U\\^. C.26)
2*


36	ПОСТАНОВКА СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ И СЛОЯ [ГЛ. I
Если р ^> 3, то здесь /<^и [/ЕВ071р, причем
з <m\\U\\ A).	C.27)
1	Г~	^пл
рп
Рассмотрим случай, когда PgW^, p > 1. В этом случае
/> /ф, если 1 <Ср <у- В силу C.14) имеем
3-2P	3-2p °	^
Причем, помимо C.24), имеют место неравенства
,	C-28)
» <т№1(»>	C-29)
ЗР л	W^n
Если р = у, то тогда С/ ЕЕ Lqn и Lgr0 при любом q, причем
\\Ulqn<m(q)tU\\wB) ; |^|taro</n(g)||f7||wB) . C.31)
1-п	in
2	2
q
Соотношения же C.29), C.30) сохраняются. При -^ <^ р <^ 3
з <m\\U\\,2).	. C.32)
Соотношения C.29), C.30) сохраняются. Если/? = 3, то U G В0^
UgW^hUe W$o; ?>1и любое. При этом
I U \г < m ((х7) || С/ ||wB); | U || A) < т (?) || С/1| B);
I^iww<^(g)FllwB)	C.33)
при />>з ^еВ!» р и
1L
1_jlIJw
5. Приведем некоторые сведения из теории сингулярных ин-
интегралов (С. Г. Михлин [12]). Будем рассматривать интегралы


§ З]	НЕКОТОРЫЕ ФАКТЫ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА	37
вида
—I	v Vx/ ах» ^ V*^i» • • •' *l)i х \bi» • • ч ёг/« 1^0.00;
rPQ
i
Главным значением Jx (P) назовем предел
\ 	/	' U (к1) ак) |а-м)}	(о.оЬ)
если он существует. Многие важные свойства сингулярных инте-
интегралов, в том числе и существование главного значения, опреде-
определяются его характеристикой и символом. Для их введения предпо-
предположим, что L1 (P, Q) можно представить в виде / (Р, 6), где 6 —
точка единичной сферы 2Р с центром в Р. Иными словами, пред-
х 	?
положим, что Li зависит только от Р и-^	 ; t = 1, ...,/. Функ-
rPQ
цию / (Р, 6) будем называть характеристикой сингулярного интег-
интеграла C.35). Предположим, что / (Р, 6) разлагается в ряд по /-мер-
/-мерным сферическим функциям вида
C-37)
сходящимся хотя бы в среднем по 6 при каждом фиксированном Р.
Функцию Ф (Р, 6), определяемую соотношением
ф(р, е) = 2 /»
Г
назовем символом.
Пусть выполнены условия:
а)	O(P,e)EW[L причем ||Ф(Р, 6I1 (fc) <m, где m не зави^
сит от Р;
б)	&>1=J- + 1, р<2 и к>±±±- при р>2;
Р	z
в)	5 /(P,0)d2P=O;	C.39)
Бр
г)	U (Q) <= LpEr
В этом случае интеграл C.35) имеет главное значение, причем
C.40)


ПОСТАНОВКА СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ И СЛОЯ ГГЛ. I
Рассмотрим, далее, интеграл J2 (P) вида
Q,	C.41)
где я — некоторая ограниченная область Ег.
Лемма 3.1 [12]. Пусть ф (Р, 9) — непрерывно дифференци-
дифференцируемая функция декартовых координат точки Р и сферических
координат точки Q, U (Q) ЕЕ: Lvn; р^>1. В этом случае
Ja (P) ЕЕ Wp1^ и имеет место неравенство
C.42)
где т не зависит от U.
В дальнейшем нам придется иметь дело только с такими слу-
случаями, когда ф (Р, 0) есть полином от координат xt точки Р и три-
тригонометрический полином 6.
Для производных J2 (P) имеем формулу
pQ
<?(Р, в)cos(rpQ, [*
Интеграл в правой части этой формулы является сингулярным
и должен вычисляться по своему главному значению.
6. 1) Пусть я — некоторая плоская ограниченная область, а
отрезок прямой ns (Z я. Рассмотрим в я интеграл
J(P)= $*(P,Q)CT(Q)dQ.	C-43)
Лемма 3.2. Пусть ядро К (Р, Q) удовлетворяет неравенству
^L	C.44)
В этом случае, если U E= UPs, то J e Lgpn, причем
Длятдоказательства умножим C.43) на некоторую функцию
P)L и проинтегрируем по я. Имеем
2Р-1 П
5	J ^	C-46)


§ 3J	НЕКОТОРЫЕ ФАКТЫ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА	39
Поменяв в C.46) порядок интегрирования, будем иметь
= $ Y(Q)l7(Q)dQ, У(Р)=$Ж(Р, Q)T(P)dP. C.47)
В силу оценки C.44) заключаем, что *Р дается интегралом типа
потенциала, причем в данном случае s = 1, Z = 2, X = 1, и в силу
C.10), C.11) TeL^ , причем
р-1 "s	2P-1
Из C.47) имеем
p -\\U\\hn <m\\U\\Lpn .||Y|l2p .C.49)
Поскольку неравенство C.49) имеет место при любой функции 4я
из L 2р » то отсюда следует [4, 19—-21], что J e= L2p7C и справед-
2Р-1
лива оценка C.45).
2) Пусть теперь п — некоторая трехмерная ограниченная
область, а кусок плоскости jts d я. Рассмотрим в п интеграл
', Q)J7(Q)dQ.	C.50)
Л е м м а 3.3. Пусть ядро К (Р, Q) удовлетворяет неравенству
-?- •	C-51)
случае, если U ЕЕ LPns, mo J G L3 , причем
C.52)
3 ,
Метод доказательства леммы тот же. Умножим C.50) на неко-
некоторую функцию TgeL зр и проинтегрируем по п:
• п
Зр-2
Y dn = J $ Я (Р, Q) U (Q) T (P) dQ dP.	C.53)
тс	л я
Поменяв в правой части C.53) порядок интегрирования, будем
иметь
J	? J	. C.54)


40
ПОСТАНОВКА СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ И СЛОЯ [ГЛ. I
В силу оценки C.51) 4я дается интегралом типа потенциала, при-
причем s = 2, Z= 3, X = 2 и согласно C.13) fGLp .Из C.10),
C.11) имеем
Из C.54) в силу C.55) получаем
р-1
Зр-2
Зр
ЗР-2
C.55)
C.56)
Поскольку C.56) справедливо при любой функции
то отсюда следует, что JE=L3p и имеет место C.52).
р-2
7. 1) Рассмотрим упругую плоскость с упругой постоянной К.
Тензор Грина G# (P, Q) для уравнений A.1) имеет следующий
вид [9, 15]:
?? (хг — |lf x2 — g2) =
(XI —
И — %*) K
4rt(A:+l)
C.57)
Gff; t, j = 1,2, дают, как известно, перемещения точек Р (хх, х2)
упругой плоскости от действия сосредоточенных сил в точках
Q (?i> ?2)- G?5 определяются системой уравнений
К
x. = 6 (Xl - gO б (х2 -
*, / - 1, 2. C.58)
В C.58) 8tj —символ Кронекера,
2) Рассмотрим полуплоскость х2>0и для нее задачу теории
упругости с заданными на границе х2 = 0 нормальным перемеще-
перемещением и касательным напряжением. Такую задачу ниже будем
называть двумерной краевой задачей Б. Тензор Грина G?f двумер-
двумерной краевой задачи Б определяется уравнениями C.58) и гранич-
граничными условиями
G?2B k=0 = 0,	C.59)
&^0.	C.60)


3]
НЕКОТОРЫЕ ФАКТЫ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
41
Легко видеть, что
дается соотношениями
- gx, x2 -
- ?b x2
- l2) - Gft (x, - g
C.61)
3) Рассмотрим полуплоскость ^2>0и для нее задачу теории
упругости с заданными на границе х2 = 0 перемещениями. Такую
задачу ниже будем именовать двумерной краевой задачей А.
Тензор Грина G?j двумерной краевой задачи А определяется
уравнением C.58) и граничными условиями
Gff \Х2=0 = 0.	C.62)
Тензор Q\f будем искать в виде
(з'.бЗ)
где Uff" есть некоторый корректирующий тензор. Легко видеть, что
первые два слагаемые в правой части C.63) не дают перемещений
вдоль оси хг. Таким образом, U?^; / = 1,2, должны снять с гра-
границы х2 = 0 компоненту нормального перемещения. Из C.57),
C.63) получаем на основе этого требования необходимые гранич-
граничные условия для U?jS
U2A| _ = О" тт2А i _ i (xi — Zi)&K . tt2Ai
1
12
{К + 1)
=0 —
ТТ2А
U22
2) In Я - JT 4]' ff2== ^-
C.64)
Легко проверить, что соотношения C.64) будут выполнены, если
положить
C.65)
4) Рассмотрим полуплоскость ж2>0и для нее задачу теории
упругости с заданными на границе хг = 0 напряжениями. Такую


42
ПОСТАНОВКА СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ И СЛОЯ [ГЛ.
задачу ниже будем именовать двумерной краевой задачей В.Тензор
Грина G?f двумерной краевой задачи В определяется уравнением
C.58) и граничными условиями
C.66)
?f
Для построения G?f положим
l- llt х2,
2B
= G22? (Ж1 -
C.67)
U2B	о	о
jt — некоторый корректирующий тензор.
Легко видеть, что первые два члена правой части C.67) создают
на границе х2 — 0 лишь нормальные напряжения. Корректирую-
Корректирующий тензор U?f должен, таким образом, снять эти нормальные
напряжения. На основе этого требования из C.57), C.66), C.67)
получаем необходимые граничные условия для U?f:
(С + US*) |*2=0 = О, [(К - 1) U^ + (* + !) С] 1^оз=
л: — 1 я?1 -
/ln D\
= О, [(Я —
I/?*
C.68)
Далее, поскольку тензор U?f должен снять лишь нормальные
напряжения с границы х2 = 0, то его, следуя [8], можно искать
в таком виде:
1
2я A + К)
C.69)
где Ф*—некоторые гармонические функции. Из C.68), C.69) по-
получаем для Of граничные условия
— Eg
ф
^2
C.70)


§ 3]	НЕКОТОРЫЕ ФАКТЫ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА	43
Из C.70) находим
где
Ч\ = («, + S.) In Да - (х2 + Ь) + fo - у arctg |i±|l, ]
Х1~г\ C.72)
Т, = - («1 - 50 Ь Д2 + to - Si) - (** + S.) arctg Н=«-J
5) Поскольку в полуплоскости х2 > 0 также и ?2 > 0» то
имеют место неравенства
C.73)
На основе этих неравенств из формул C.57), C.61), C.63), C.65),
C.67), C.69), C.71), C.72) заключаем, что справедливы соотноше-
соотношения
Т = 0, А, Б, В, t, p, j = 1, 2.	C.74)
С помощью тензоров G?7; Т = 0, А, Б, В решение системы A.1)
при соответствующих граничных условиях можно представить
в виде
ut (Р) = S 2 G% (p' Q) ft (Q) dQ-
Вывод формулы C.75) достаточно известен [7], и мы приводить
его не будем. Формула C.75) при Т = 0 будет использоваться
в таких случаях, когда ^j= 0 вне некоторого круга 5га(Р0) РЭДИУ-
са А с центром в точке Ро. Для краевых задач А, Б, В всегда будет
предполагаться, что <^.= 0 вне некоторого полукруга радиуса А
с центром в точке Ро, лежащей на той прямой, где заданы соответ-
соответствующие граничные условия. При этом формулы C.75) будут
безусловно справедливы, если в некоторой окрестности я точки
Ро fj е Bfc; ji > 0.
Можно избавиться от этого требования и показать справед-
справедливость C.75) в более широких классах случаев.
6) Лемма 3.4. Пусть U ЕЕ Lpat, где п — некоторая плоская
область; р ^> 1. В этом случае
T = 0, А, Б, В; *, ; = 1, 2, C.76)


44	ПОСТАНОВКА СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ И СЛОЯ [ГЛ.1
имеет обобщенные вторые производные Jf^ х , причем
Для доказательства леммы 3.4 заметим, что после однократ-
однократного дифференцирования формулы C.76) мы, как легко видеть
из C.57), C.61), C.65), C.67), C.74), придем к интегралам вида
C.41) при I = 2. Утверждение нашей леммы будет доказано, если
установить, что в нашем случае выполнены все условия леммы
3.1. Для проверки рассмотрим, например, случай Т = 0, i — j =
= г = q = 1. Имеем
— JS (P) - \ -g|- GS *7 (Q) dQ.	C.78)
Далее, из C.57) получаем
д гл 20	з?1 — ^i B -f- i^) (a?i — ^i)^ ~\~ B — К) (x% — ?гJ /о nrw
"a	 ^11 =	7	,a , »гч —	!	T7	,. o		r \oio	^^ • (О.7У)
9a?i x±	4я A + Z)	[(a;i — ^iJ ~\- (a?2 — ^J]2
Перейдем теперь в C.79) к переменным Р, г, 0:
?i — ^i — rPQ cos 6» 1г — X2 ^ rPQ sin 6-	C.80)
Из C.79), C.80) для этого случая имеем
д ^20	COS0
		Г B -
дал "п "" "~ 4яA + /Г) [	F^"
Из C.81) видно, что в данном случае
Ф (Р, 6) = - 4я ^ 1} [B + К) cos2 9 + B - К) sin2 6]
и условия леммы C.1) выполнены. Таким образом, существует
—^Ju(P) и имеет место C.77). Аналогично, лишь с некоторыми
дополнительными рассуждениями, лемма 3.4 доказывается и для
Т = А, Б, В.
7) Рассмотрим интегралы Jr, Jr; r = 1,2, вида
C.82)
где ns — отрезок, принадлежащий граничной прямой.
Лемма 3.5. Пусть U ? Lp7V В этом случае Jr, Jr e Lap
во всякой ограниченной области я, причем
C.83)
, х2) = ^ G??r (хг — 1Ъ х2, 0) «7 (g
г, х2) = ^ G?^r (^ - glf sa, 0) C/ (


§ 3]	НЕКОТОРЫЕ ФАКТЫ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА	45
Лемма вытекает из неравенств C.74) и леммы 3.2.
Лемма 3.6. Пусть U ЕЕ Wp1^, p ^> 1, и равна нулю на кон-
концах отрезка ns. В этом случае Jr, Jr E= W^ во всякой ограничен-
ограниченной плоской области я, причем
IIU |Jr||w(i) <Hffl a) •	C-84)
Для доказательства заметим, что при г = 1 возможна пере-
переброска производных на Z/^) и после этого для производных Jlx э
Jix , q = 1, 2, мы окажемся в условиях леммы 3.5, откуда и полу-
получаем неравенства
14 Ь lJ«e«4p«<micrt« ' <? = 1'2-	<3-85)
Далее, при рассмотрении производных Jr3Cl, JrXl, r = 1, 2,
также возможна переброска производных по #i на ?7, и мы снова
оказываемся в условиях леммы 3.5, из которой вытекают нера-
неравенства
C.86)
Таким образом, нам осталось рассмотреть лишь J2X2, J^. В первом
случае имеем
J2*2 = ^ G^*> (^ ^ Ь. ^2, 0) U (У db.	C.87)
Учтем, далее, что G?7 удовлетворяют системе A.1), и поэтому
Gf?x2x2 выражается через G?^*,, G?^. После этого снова возможна
б	U
22 р	^
переброска производных на U и возможно применение леммы
3.5, что дает
Рассмотрим теперь J^. Если Т = Б, то, как это видно из C.61),
G2B
% есть сумма двух тензоров, из которых один зависит от
Х2 — ?2> а другой от х2 + ^2- И здесь, следовательно, возможна
замена производных по ?2 на производные по #2. При этом после
замены вторых производных по х2 на производные по х1 и смешан-
смешанные можно будет вновь перебросить производные по х1 на U.
В силу леммы 3.5 получим
-	!C-89)
В случае Т = А, В, очевидно, следует рассмотреть части ин-
интегралов C.63),р C.67), соответствующие корректирующим тен-'


46
ПОСТАНОВКА СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ И СЛОЯ [ГЛ. I
зорам U?f,U?f. На основе C.75), C.69), C.71), C.72) легко уста-
устанавливаем, что и для них справедливы неравенства C.89). Оче-
Очевидно у далее, что U в наших условиях — непрерывная функция и
C.83) справедливо при любой р ^> 1. Из этого факта и из C.85),
C.86), C.88), C.89) вытекает справедливость леммы 3.6 и C.84).
8. 1) Рассмотрим упругое пространство с упругой постоян-
постоянной К. Тензор Грина G?° (P, Q) для уравнений A.9) имеет следую-
следующий вид [7, 8, 9]:
C.90)
3=1
G?° дают, как известно, перемещения точек Р (хи х2, х3) упругого
пространства под действием сосредоточенных сил, приложенных
в точках Q (?х, ?2, ?з)- G?f определяются системой уравнений:
зз
Sn3? ] 	 TT/Wr	? \ &	t i k 	 | О Q /QQi\
xfc=l	'xi k=i
2)	Рассмотрим полупространство х3 > 0 и для него задачу
теории упругости с заданными на границе хъ = 0 перемещением
и3 и касательными напряжениями (задачу Б). Тензор Грина
G?f для этой трехмерной краевой задачи Б определяется уравне-
уравнениями C.91) и граничными условиями
G?3B k=o = 0; (G?IL + Ggp U=o - 0, * = 1,2, 3, / = 1, 2. C.92)
Непосредственной проверкой убеждаемся,что^составляющие G?f
даются соотношениями
q3B 	 рЗО / 	 ?		 t х 	 М_1_
тгзб	 рзо / t ~ ?	t \
G30 /	?	t	. ? \ . 	 л о Q /Q О/\
3J \^1 — fel» *^2 — t2? ^3 *Т~ ?3/» У — 1, л, О. ^O.«7^t^
3)	Рассмотрим полупространство х3 > 0 и для него задачу
теории упругости с заданными на границе х3 = 0 перемещениями


НЕКОТОРЫЕ ФАКТЫ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
4?
(задачу А). Тензор Грина G?j для этой трехмерной краевой задачи
определяется уравнением C.91) и граничными условиями
*,/= 1,2,3.
C.95)
j
Тензор Gtj будем искать в виде
Gtj {хг - ?ь х2 - ga, хъ - g8) -
- ga, Хз -
(хг
?f, ^ = 1,2; / = 1, 2, 3, C.96)
+ Бз) + Usf, / = 1,2,3; C.97)
где и?Д t, j = 1,2, 3, есть некоторый корректирующий тензор.
Легко видеть, что первые два члена в правой части C.96), C.97)
не дают составляющих перемещений вдоль осей х1, #2. Таким об-
образом, U?f должны снять с границы х3 = 0 компоненту нормаль-
нормального перемещения. Из C.90), C.95) —C.97) получаем на основе
этого требования необходимые граничные условия для U?^
2= (^l— li) + fa— У2+ й, ^ = 1.2,
тЗА |
C.98)
тзА
~ 4я(л: + 1).
UЗА |	л . 	 i 9 ТТ3 .
3i |х3=:0 — и» 7 — Х» ^» иЗЗ |х3=0 —
=	!	(К + 2 + И).
4я (Ж + 1) Д \л ' т Дг / ,
Легко проверить, что C.98) будут выполнены, если положить
зУ ;	/ = 1, 2,
дУ*A!-
DrL.. « = 1.2,
/ = 1,2,'
.C.100)
C.99)
ТзА
I —
зз —
1	/ ^ + 2
4я(А"+1)
Э 1
дх$ Ft?,
где
Rt
{хг - liJ + (^ - У2 + (*, +
C.101)
4) Рассмотрим полупространство х3 > 0 и для него задачу
теории упругости с заданными на границе х3 == 0 напряжениями


48
ПОСТАНОВКА СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ И СЛОЯ [ГЛ. I
(задачу В). Тензор Грина G?? для этой трехмерной краевой задачи
В должен удовлетворять уравнениям C.82) и граничным условиям
вида
(G??r + G?rBX3)|K3=o = 0, r = 1,2,
3
[(К - 1) 2 Gto* + 2G?&] |^=о = 0, < = 1,2, 3. C.102)
Построение G?f имеется в [8, 10]. Будем разыскивать его в сле-
следующей форме:
чЗВ
пзв
тЗВ
ga,
- Ъ, х3
— 1, 2, / =1, 2, 3,
Uff, / = 1,2,3,
C.103)
тЧО
где и?з — некоторый корректирующий тензор.
Легко видеть, что первые два члена в правой части не дают
на плоскости х3 — 0 касательных напряжений. Таким образом,
U?f должны снять с границы хъ = 0 компоненту нормального на-
напряжения. Из C.90), C.102), C.103) получаем необходимые для
этого граничные условия для ?
)
? :
.
= 1,2,3; У=1,2, C.104)
&
[{К - 1) (U& + U?2BX2) + (if + 1) U&J Ixa^o -
1 -
2я(Я+1)Л3
= 1,2,
C.105)
Поскольку U?f должны создавать на ^3 = 0 лишь нормальные
напряжения, то, следуя [8], будем их искать в виде
тзв
tj
ТзВ
1
2я (К + 1)
1
2я (^ +1)
= 1,2,3, /=1,2,
C.106)
где Фи t = 1, 2, 3 — гармонические функции. Граничные усло-
условия C.105), будучи выраженными в соответствии с C.106),


НЕКОТОРЫЕ ФАКТЫ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
49
дают
Ф:
W»Uh> = Ж'дз^' (l -"
3^
1 +
C.107)
Из C.107) находим
C.108)
5) Поскольку в полупространстве х3 > 0, также и
то имеют место неравенства
— I, ^, О,
1
C.109)
На основе этих неравенств из C.90) —C.108) заключаем, что
справедливы неравенства
I ГЗТ \<Г'т.\ г-зТ j ^ т . , гзТ \ ^ т
1^К|с|<|^К
р;/;* = 1,2,3; Т=.А,Б,В-
С помощью тензоров ОЩ (Р, Q); Т = 0, А, Б, В, можно при соот-
соответствующих условиях представить решение системы A.9) в виде
C.111)
Вывод формул C.111) достаточно известен, и мы его здесь приво-
приводить не будем.
Формулы C.111) будут использоваться только в тех случаях,
когда $f j = 0 вне некоторой конечной области. Например, если
Т = 0, то $f j ^ 0 вне некоторого шара Ша (Ро) радиуса А с центром
в точке Ро ЕЕ V, Для краевых задач А, Б, В всегда будет предпо-
предполагаться, что fj= 0 вне некоторого полушара радиуса А с цент-
центром в точке P0G F, лежащей на той граничной плоскости, где
заданы граничные условия. При этом C.111), безусловно, спра-
справедливы, если в некоторой окрестности л точки Р0ЗГу ЕЕ B^";
М- ^> 0. Можно избавиться от этого требования и показать спра-
справедливость C.111) в более широких условиях.


50	ПОСТАНОВКА СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ И СЛОЯ	[ГЛ.
Лемма 3.7. Пусть U e Lp7t, n — некоторая трехмерная
область, р ^> 1. В этом случае
; j,7 = 1,2; Т = 0, А, Б, В, C.112)
имеет обобщенные вторые производные Jifxrx , причем
C.113)
Доказательство леммы так же, как и в двумерном случае, ос-
основано на лемме 3.1.
Функция ср (Р, 6) в данном случае для —-G^ имеет, напри-
мер, следующий вид:
cos 8
C.114)
6) Рассмотрим интегралы Jr, Jr вида
J r (жь я2, ж8) = ^ G?^r (^х — %ъ х2 — |2, х3,0) X
— 1Ъ х2 — g2, ж3, 0) х
*,/,г = 1,2,3, ,
C.115)
где я5 — какая-либо плоская область, принадлежащая одной
из граничных плоскостей.
Лемма 3.8. Пусть U ЕЕ Ц>л . В этом случае Jr, Jr Ez Ц
S	— Т)ТС
всякой ограниченной области я, причем
C.116)
Лемма непосредственно вытекает из C.110) и леммы 3.3.
Лемма 3.9. Пусть U = %U, где % — фиксированная непре-
непрерывно дифференцируемая в я3 функция, обращающаяся в нуль
на границе п89 a U e= Wp1^. В этом случае Jr, JrEE W(j^ во вся-
2
кой ограниченной области я, содержащей я8, причем


§ 3]	НЕКОТОРЫЕ ФАКТЫ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА	51
Рассмотрим вначале случай, когда U ЕЕ С1л .
Для доказательства заметим, что при г = 1, 2 возможна
переброска производных на U (?i, ?2)> и после этого для производ-
производных Jr* , Jrx * г = 1? 2; g = 1, 2, 3, мы окажемся в условиях
леммы 3.8, откуда и получаем неравенства
||J,^I,\J'rx,^ <m\U||WU) ; г = 1,2; д= 1,2,3. C.118)
2 РК	8
Далее, при рассмотрения производных J/x , ]fX ; / = 1, 2, 3;
р = 1, 2, также возможна переброска производных по хи х2 на
Z7, и мы снова оказываемся в условиях леммы 3.8, из которой
вытекают неравенства
\\Jr^VrXj4 n<m\\U\\w(iy, r = 1,2,3, 9 = 1,2. (З.Ц9)
Таким образом, нам осталось рассмотреть J3Xg, JSX3. В первом
случае имеем
хг - gb х2 - ?2, х3,0) ?7 (|lf ?2) dgidb- C.120)
Учтем, что G?/ удовлетворяют вне я5 системе A.9), и поэтому
G?^3x3 выражаются через Gfj^, Gf^ и вторые производные по
а:г, ^2- После этого снова возможна переброска производных на U
и возможно применение леммы 3.8, что дает
i) ¦	C.121)
Рассмотрим теперь J3X3. Если Т = Б, то, как это видно из
C.93), C.94), G?f есть сумма двух тензоров, из которых один за-
зависит от хъ — ?з> а ДРУг°й — от хг + ?3- И здесь, следовательно,
возможна замена производных по ?3 на хз- После дальнейшей за-
замены этих производных на производные, имеющие хотя бы одно
дифференцирование по xr\ r = 1,2, можно применить переброску
производных на U, и мы окажемся в условиях леммы 3.8, из кото-
которой получим
U№i .	C-122)
В случае Т = А, В следует рассмотреть части интегралов, соот-
соответствующие корректирующим тензорам U?/\ Uff. На основе
C.99), C.100), C.106), C.107) и леммы 3.3 легко устанавливаем,
что для них справедливы неравенства C.117), C.119), (ЗЛ21),


52
ПОСТАНОВКА СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ И СДОЯ
[ГЛ. I
1
C.122). Далее, в силу теорем вложения (§§ 3,4) U суммируется на
jts со степенью, большей р. Из этого факта, из леммы 3.8 и соотно-
соотношений C.118), C.119), C.121), C.122) и вытекают леммы 3.9 и
C.117). В общем случае, когда
Е/ ^Mpl , C.117) будет справедли-
справедлива по замыканию.
9. При исследовании многих
вопросов математической физи-
> '' к и часто используются функции
X (r)> %i (г) следующей конст-
	 рукции:
1) х (г) = 1, если — оо ^ г<
^ D — б; х (г) = 0 если r^D.
	?	Здесь D, б — произвольные чи-
числа, но D > б > 0. На отрезке
D — 6^r^Z) х(г) меняется
произвольным образом, но так,
-f оо была бесконечно дифференцируе-
L
Д-Р В
Рис. 3.
чтобы х (г) на — с
мой функцией.
2) Xi (г) ^ 1 — X (г)- Примерный вид % (г) и
на рис. 3. Конкретные их конструкции можно
Очевидно, имеют место соотношения
max
max
dr*
Xi ([) приведен
найти в [20].
<m4. C.123)
1со.
Лемма 3.10. Пусть на со задана функция /2
Функцию /2 можно продолжишь на всю полосу S так, что-
чтобы продолжение /2 (#i, х2) удовлетворяло условиям: 1) f 2 (xu x2) S
е Cjs; 2) f 2 ^ 0 ewe некоторого прямоугольника П (/^ ^ а;2 ^ ^»
|#i| < ^>i); 3) имеет место неравенство
^	C-124)
постоянная т не зависит от /2.
Пусть lt — длина отрезка озь a pt есть расстояние между cof и
Пусть, далее,
р= Ymin( min lk, min p&).	C.125)
^	fc=l,...,N	/C=l,...,c^-1
Осуществим вначале продолжение /2 с со на всю линию Жг
[22, 28, 29]. Для этого рассмотрим отрезок cofe, концы которого
aft, bfe. Введем функцию /Ьл соотношениями
= - 3/2 BЬ, -
= A
4/2 D ^ - \


§ 3]	НЕКОТОРЫЕ ФАКТЫ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА	53
Легко видеть, что /bfc непрерывна вместе с первой производной
при bk <J xx <^ bk + р. Введем, далее, функцию fah {хг) соотноше-
соотношением
= — 3/а Bак — хг) + 4/2 \—ак
я* — Р < #1 < ак,
C.127)
Очевидно, /aft (^i) непрерывна с первой производной при ak —р <J
^ ^i ^ &fe. Определим теперь функцию f2 (^^ h), являющуюся
продолжением /2 с со на Жх следующим образом:
f2(xx, h) =/2(^),
если х1 = со; f2 (xu h) == /2bfc (^i)-x (^1 ~ &fe)^ если ^i попадает
в какой-либо отрезок [bk, bk + p];
/2 (^i, h) = /efc fe) • x (aft - жО,	C.128)
если хг попадает в какой-либо отрезок [ак — р, ah]; /2 (xu h) ^0 —
во всех остальных случаях.
При построении % (хг) принято D = р; б =-о-р.
Наконец, f2 (^i, a:2) зададим соотношением
f»(*i, ^)=/2(^Л).Х1(^)-	^3.129)
При построении %i принято: D = -5-; б =-о-. Проверим, что C.129)
О	О
удовлетворяет всем условиям леммы. В самом деле, принадлеж-
принадлежность f2ClS очевидна. Далее, также очевидно, что /2 = 0 в полосе
0	^ хг ^ h/З. Кроме того, /2 ^ 0 при хг ^> Ъ^ + р и при хг ^ ах —
— р. Таким образом, /2^ 0 вне прямоугольника П кх^ х2 ^ h,
1	^1 I < Du где hx = -j-fe; Dx = max {\bN + p |,| «! — p|}.
Для доказательства C.124) заметим, что из C.129) следует
m || f а (ж1э Л) | (D =
W2^


54	ПОСТАНОВКА СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ И СЛОЯ	[ГЛ. I
Из C.123), C.126) - C.128) легко получаем
Из C.130), C.131) вытекает C.124).
Лемма 3.11. Пусть /2 (xt) €Е W^. Тогда /2 (хг) можно про-
продолжить на всю полосу так, чтобы /2 ЕЕ W2g и выполнялись усло-
условия 2, 3 леммы 3.10.
Если /2 ЕЕ С1С0, то утверждение леммы 3.11 дается леммой 3.10.
Пусть теперь /2 s W2w, но ?= С1С0. Рассмотрим последовательность
/2n(#i) из С1@ такую, что /2П =» /2 в W2^. Продолжая, как это опи-
описано в лемме 3.10, каждую функцию /2n (хг) в S, мы получим после-
последовательность f2n(^i, x2), которая в силу C.124) будет сходиться
в W2s- Предельная функция /2 (хи х%) и есть, как легко убедить-
убедиться, искомое продолжение в данном случае.
Лемма 3.11 доказана.
Лемма 3.12. Пусть /3 (хи х2) ЕЕ С^. Пусть, далее, в каж-
каждой граничной точке Qk граничный контур ги имеет непрерывно
дифференцируемую кривизну. В этом случае /3 можно продол-
продолжить с Q на весь слой V так, чтобы' продолженная функция
/з (xi> я2, х3) удовлетворяла следующим условиям:
2)	№
где т не зависит от /3;
3) f з {xi, Х2,ч хз) ^ 0 вне некоторого цилиндра х\ + я2 ^ Z)?;
0 < ^i < л:3 < й-
Продолжим вначале /3 на плоскость Г1? для чего введем в рас-
рассмотрение число
Р = -о- min (vtj, pt, dt, h),	C.133)
6 tj
где vtj —расстояние между контурами гь г7-; р^ — минимальный
радиус кривизны контура; dh —диаметр Qk. Построим теперь
в каждой точке контура гк нормаль и введем местные координаты
s, п, как указано на рис. 4. На каждой внешней нормали к Qk
отложим отрезок длиною р. Таким путем мы получаем некоторый
контур гк1 эквидистантный гк и ограничивающий область Qk


§ 3]	НЕКОТОРЫЕ ФАКТЫ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА	55
(рис. 4). Продолжим/з из области Qk на Qkj положив
5,	y п) ~~ З/з (^, — п) ,
если хъх2(=&к/пн; \ C.134)
если х^, Я/21 fe>
где при построении % принято D = р; б = 0,5 р.
Определим теперь функцию /3 в плоскости 1\ следующим
образом:
/з (^ъ #2? ^) == До » если Xi, х2 ЕЕ Й/с, 1
*			C.135)
f^{x1,x2,ti) = U, если а
Пусть, наконец,
3 \ 1' ^Й» 3/ — / 3 V» 1» ь</2' / Л»1 \ 3/>	\tJ*i*J\Jj
где при построении Xi принято D = -s- fe; б = -^ . Проверим, что
о	О
/2 удовлетворяет условиям C.126). Выполнение 1) очевидно. Вы-
Выполнение 3) также очевидно. Действительно, по построению
/2 = 0 вне цилиндра •*• <^ хъ ^ h; х\ + ^2 ^ (^ц + РJ — ^i>
где Иц —радиус такого круга на Г1? внутри которого лежит Q.
Далее, из C.123), C.134) —C.136) следует
II f 8 II W(D < Ш II f 3 (^1» ^2, ^) |lw(l) =
= 772 ill / ^Ж X \ II / -I- / II Т \\	1 ^3 1Я7^
^	2Q	^	'2ан1п^
Из C.134) получаем
II ? II	<-^ »м II / II	/О /| ОО\
II / 3 l|w(l) ^s т || /3 [|w(l) •	\Р91дО)
W2V	W2Q
Из C.137), C.138) получаем второе соотношение 2) C.132).Лемму
3.12 можно считать доказанной.
ЛеммаЗ.13. Пусть /3 (хи х2) ^ W^q, а гк имеет непрерывно-
дифференцируемую кривизну. В этом случае /2 можно продолжить
на весь слой V так, чтобы продолженная функция f3 (xl7 х2, х3) ЕЕ
е W2y и удовлетворяла условиям 2,3 из C.132).
Доказательство леммы 3.13 приводиться не будет, ибо она полу-
получается из леммы 3.12 так же, как лемма 3.11 из 3.10.
Примечание. В леммах 3.10—3.12 рассматриваются
вопросы продолжения функций с некоторых областей на области
больших размерностей с сохранением определенных дифференци-


56
ПОСТАНОВКА СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ И СЛОЯ	[ГЛ. I
альных свойств и выполнением неравенств типа C.124), C.123).
Такие продолжения играют большую роль во многих вопросах
математической физики. В наших случаях важно осуществить
продолжения таким образом, чтобы оказался конечный интеграл
энергии деформации тела. Это можно сделать и при менее жест-
жестких условиях на /2 (хг), /3 (хи х2), гк, основываясь на рабо-
работах [1, 2, 5, 18, 24, 25] и [17]. В част-
частности, если говорить о /2(#i), /з (#i> #2)»
то необходимо и достаточно, чтобы
и (*,) е= wv., /з («1, ч) е= w&, где w&
и WJq —пространства Соболева —Сло-
бодецкого [18]. Контуры ek могут, на-
например, быть такими, чтобы соответ-
соответствующие области Qk были звездными
по Соболеву в вышеприведенном смысле.
Для изложения этих вопросов при-
пришлось бы совершить довольно объемное
отвлечение в теорию дифференцирова-
дифференцирования дробного порядка.
Лемма 3.14. Пусть на отрезке [О, D] f (г) 6Е B0^0)d], |х ^> О,
Рис. 4.
/ @) = 0. В этом случае f (г) гх*
min
если
если ?^i =
o.d], если %1 + |х > 0:
•о.
C.139)
если /
C.140)
В случае ^ > 0 C.139) вытекает сразу из [16]. Для константы
т в этом случае легко получаем соотношение
т =
этом справедливы неравенства:
A +
Рассмотрим теперь случай — \i
ности положим г2 ^ г1# Имеем
<«/Цв1 (ъ
B0[0,D]
Далее, поскольку Хг < 0, то
Хх < 0. Для определен-
C.142)
C.143)
B0[0,D]


4]	ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТОВ ИЗ Н, Н*, Н, Н*	57
и из C.142) имеем
^	+ O-J'-rh rf]. C.144)
B0[0,D]
Рассмотрим, наконец, величину
Легко видеть, что при 0 <^ а0^ оо эта величина ограничена неко-
некоторой константой т (fi, А^. Таким образом, имеет место неравен-
неравенство
| Г11 - Г? | Г? < |ф, Xi) | Г, - Г! ГХ«.	C.146)
Из C.144), C.146) получаем
||u |arx 1(+^). C.147)
B0[0,D]
Из C.141), C.147) получаем C.140), Лемма 3.14 доказана.
о о
§ 4. Основные свойства элементов из Н, Н*, Н, Н*
1. В данном разделе будут изучаться свойства интегралов вида
j (Р) =Л
s	rpQ
где V (Q) 6E L2s. В отношении ядра К (Р, Q) будем предусматри-
предусматривать два случая:
а)	К (Р, Q) = 0, если Р, Q принадлежат разным квадратам
а^; К (Р, Q) непрерывна по всем аргументам, если Р, Q неза-
независимо изменяются в каждом замкнутом квадрате а&;
б)	К (Р, Q) < тЪ (Р).
Здесь Ъ (Р) = Vx{ + h\
Лемма 4.1. Имеют место соотношения:
v
eLps
— 1 + 0,5р,
0, если 2^р в случае а);
—	1 — 0,5р, если 1
—	/?,	ес/ш 2^р б случае б),
D.2)
D-3)


58	ПОСТАНОВКА СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ И СЛОЯ	[ГЛ. Т
Для доказательства используем метод С. Л. Соболева [20]. Рас-
Рассмотрим вначале случай б) и предположим, что 2 <^ р ^ 4 Из
неравенства Гельдера C.1) имеем
где q —число, которое будем выбирать ниже в зависимости от р.
Из D.4) получаем
|J(P)pbP<^JvMQ)r^dQ.bP^|V|tp;s2gr;Qa+^Q)P/a . D.5)
Пусть q = —-— ; 0 <С 8 < р. Легко видеть, что в этом случае по-
р — 8
следний интеграл в правой части D.5) сходится и дает ограничен-
ограниченную функцию Р в S. Поэтому из D.5) имеем
т || V|Е \ \ V2 (Q) r^y^dP dQ. D.6)
Легко, далее, видеть, что yPQ 2 Ьр+р(Р)йР будет сходиться,
если р<С —1 —0,5/? — 0,5 е. Поскольку 8 можно выбирать
сколь угодно малым, то, очевидно, сходимость этого интеграла
будет обеспечена при любом р <С — 1 — 0,5 р. Однако необходи-
необходимо проследить, при каких условиях он будет ограниченной функ-
функцией Q в S. Легко видеть, что это обстоятельство будет иметь место,
если дополнительно р + р <^ 0. Но тогда из D.6) сразу вытекает
D.3), и лемма для этого случая доказана. Одновременное выпол-
выполнение неравенств р + р <; 0, р<—1 — 0,5 р приводит к D.2),
если р ^> 2. При р = 2 должно быть, очевидно, р <С — 2. Рас-
Рассмотрим, далее, случайр J> 4. Положим в D.5) Ц = чЛ-—,где 8 —
Z — 8
достаточно малое число. Легко видеть, что последний интеграл
в правой части D.5) сходится и дает ограниченную в S функцию
Q. Вместо D.6) мы в данном случае получае i
[\ J (Р) | ФдР < т || V l^s2 [ [ V2 (Q) rp%-%wdQdP. D.7)


§ 4]	ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТОВ ИЗ Н, Н*, Н, Н*	59
—Р, и если
Далее, \ rpQ~?)frp+p (P) dP сходится при р
р <^ — р, то будет еще и ограниченной функцией Q в S, и из
D.7) вытекает в этих условиях D.2), если р > 4. Одновременное
выполнение условий р<1 — р и р <; — р также приводит к ус-
условию р <; —р. Рассмотрим теперь случай 1 <С р < 2. Выясним
условия на хх + к2, при которых конечен \| J (P)|p bxi+x» ds;
1 <Ср < 2. Имеем
| J(Р)\vb«>+«>dP < (\(| J |рЬх0р dP] 2 \(ЬХ2) 2 dP
Для того чтобы оба интеграла в правой части этого неравенства
одновременно оказались сходящимися, очевидно, достаточно,
чтобы —^i- ^ — 2,	—	< — 1, откуда >сх + ^а'<! — 1 — 0,5 р.
2
Следовательно, и в этом случае соотношение D.2) обосновано.
Обратимся теперь к случаю а). Из неравенства Гельдера C.1)
в этом случае будем при р ^> 2 иметь
(Q)
и соответственно
2	ч Р_
2
D.8)
В правой части D.8) последний интеграл ограничен при любом
q > 0. Вследствие этого получаем
jj V2 (Q)
D.9)
Далее, легко видеть, что ypn3 b^dP будет сходиться при
s


60	ПОСТАНОВКА СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ И СЛОЙ	(ГЛ. I
р <С —	1» — <С 2 или при р < 1. Ограниченной функцией Q
этот интеграл будет, если р^О. При этом, очевидно, мы получим
соотношение D.2) в случае а). При 1 <р <С 2 анализ произво-
производится так же, как и в случае б).
Лемма 4.2. В условиях леммы 4.1 на каждой прямой CfC х2 =
= К\ о < лх < К
р< — 1 + 0,5/?,	если 1<р<2;
р^0,	ec^u ]?^2 в случае а);
р <; — 1 — 0,5р,	если 1 < р ^ 2;
р<^ — р,	^сди р^>2 в случае б).
зттгож имеет место неравенство
Для доказательства вначале рассмотрим случай б) и предпо-
предположим пока, что р^>2. Положив в D.5) q = р+ е; е ^> 0, будем
иметь
J	^ ^^. D.11)
Учтем, далее, что \ rpJ)+ebP+P(a:1)da;1 будет сходящимся при до-
'PQ
статочно малых 8, если
Р<-р.	D.12)
Кроме того, при этом будет выполнено соотношение
1
D.13)
равномерно относительно Q в 5. Из D.11), D.13) вытекает D.10).
Рассмотрим теперь случай 1 < р < 2. Имеем


0 0	пк
4]	ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТОВ ИЗ Н, Н*. Н, Н*	61
В силу доказанного первый интеграл в правой части этого нера-
неравенства будет существовать, если —- <^ — 2, а второй, если
Л/я
	< — 1. Из этих неравенств вытекает Xj. +х2< 1 — 0,5 р,
что и доказывает D.9), D.10) при 1 <^ р <^ 2 для случая б). Та-
Таким образом, неравенства D.9), D.10) полностью доказаны для слу-
случая б). В случае а) доказательство носит аналогичный характер,
и мы его здесь приводить не будем.
2. Теорема 4.1. Пространства Н^, Н^, wy эквивалент-
эквивалентны, т. е. содержат одни и те же элементы, причем выполнены
неравенства
IIа II о A) < || a |hiS < т2 [| а [| 0 A)	D.14)
W2S	W2S
I«II o^d) < IIа lH*s < ™21 a I o^,	D.15)
Hs	i	]«||H*g-	D.16)
Для доказательства заметим, что правые неравенства D.14) —
D.16) непосредственно следуют из формул B.16), B.17), B.19),
определяющих нормы в W2s, Hxs, H^. Пусть теперь некоторая
последовательность ап фундаментальна в W2s. Поскольку спра-
справедливы правые неравенства D.14) —D.16), то ап будет фунда-
фундаментальна и в His, Hxs. Отсюда вытекают соотношения
Йсн18;Йсн;8.	D.17)
Далее, из правого неравенства D.16) аналогично выводим соотно-
соотношение
;	D.18)
Докажем теперь левое неравенство D.15). Пусть а (ии щ) —
некоторый элемент из Cis. Вследствие B.20) имеем
х2
а (#!, х2) = j aXi dx2,	D.19)
о
откуда с помощью неравенства C.1) выводим
h 2


62	ПОСТАНОВКА СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ И СЛОЯ	[ГЛ. I
Из D.20) получим
h
ж	х °	HlS . D.21)
с	с
\ | а р dxx dx2 ^ h2 \ | аХз р dx2 dx2 ^ fe21| a J •
s	s	lS
В D.21) CfC — любая прямая х2 = hx; 0 < h± ^ fe.
Из определения нормы в W^s и D.21) вытекает левое неравен-
неравенство D.15). Из него же легко устанавливается соотношение
*	° мч
n^g С	 VV2JS»	V^'^^f
Из D.17), D.22) вытекает эквивалентность пространств Wy и Н^.
Рассмотрим теперь левое неравенство D.16) (неравенство
Корна) *). Докажем его вначале для квадрата о со стороной h, лежа-
лежащей на оси хг = 0, т. е. докажем, что
Предположив, что D.23) неверно, придем к существованию после-
последовательности ат такой, что
1К1Ь = 1; 1««К„-*0; тп-»оо.	D.24)
В силу теоремы 3.2 последовательность ат можно считать слабо
сходящейся в Н1а к некоторому элементу а. Докажем, что
а = 0. Имеем ат = а+ <рт. Из второго соотношения D.24) по-
получаем
1«Ь +I«Pm|fc +2(асрт)н1о->0; т-+<х>.	D.25)
Легко видеть, что последний член левой части в D.25) есть линей-
линейный и ограниченный относительно <рт функционал в Н1а. Посколь-
Поскольку Фт -> 0 в Н1о, то из D.25) получаем
откуда следует, что || а||н1а = 0 и в силу B.20) а = 0. Таким обра-
образом, ат ->• 0 в Hto.
*) По поводу неравенства Корна см. также: П. П. Мосолов,
В. П. Мясников, ДАН СССР, т. 201, № 1, 1957.


о о
§ 4]	ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТОВ ИЗ Н, Н*, Н, Н*
Рассмотрим теперь последовательность
Ьт = ат — сст,
где вектор ат имеет составляющие
= -%.^; a2m = -^-zi; *т = ± $ (м2тЯ1 - «lmxi) da. D.26)
Очевидно, далее, что кт есть линейный и ограниченный в HltJ
функционал, и поэтому аш -> 0 при тп ->• оо. Имеем, кроме того,
При достаточно большом т из D.24), D.27) вытекает
IIьт||н* > 1 — е; \\ЬШ\\и1а< 8,
где 8 — любое сколь угодно малое число.
D.28)
т
_L
б.,
Рис. 5.
Однако D.28) противоречит неравенству Корна [И, 13, 23, 26]
которое, как известно, имеет место для 6т, так как в силу D*26)
rot Ьт do = 0.
Таким образом, D.23) доказано. Разобьем теперь полосу S на
квадраты ат со стороной А-, лежащей на оси х2 = 0 (см. рис. 5).
Имеем
« Гн18 = S l« l
21 <
Из D.30), вытекает справедливость левого неравенства D.16) и
кроме того,
D.31)


64	ПОСТАНОВКА СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ И СЛОЯ	[ГЛ. I
Из D.18), D.31) вытекает эквивалентность пространств Hxs и H^s-
* ° m
Таким образом, все три пространства Н^, Н^, W2s эквива-
эквивалентны. Теорема 4.1 доказана.
Следствие. Всякая вектор-функция а €Е Hxs, H^s, W2s
имеет в S обобщенные производные первого порядка, суммируемые
с квадратом.
Лемма 4.3. Пусть а принадлежит любому из пространств
Н^, HlS, Wgs- В этом случае a eLpn, 1рж0; p > 1, где п — лю-
любая ограниченная подобласть S, У?о — отрезок конечной длины. При
этом имеют место неравенства
hs, Ин* , ||се||0 A)}. D.32)
О
О ,
В случае пространства Wy лемма непосредственно вытекает
из теоремы вложения (§ 3, п.4 а)), а D.32) следует из C.18). Для
пространств Hxs, Нгз утверждения леммы вытекают из доказанной
эквивалентности.
Теорема 4.2. Пусть а принадлежит любому из прост-
пространств Hjs, Hjs, W^s- В этом случае
?
1) а • № е Lps, где р < —1 + 0,5/?, еа/ш 1 < р < 2; р < 0,
если р > 2;
2) а • fep С Lp#, где р < -1 + 0,5/?, есда 1< /? < 2; р < 0,
/? = 2, и р < 0, есд^ р > 2, где ^ — любая прямая х2 == /^г;
0 ^ кг ^ h. При этом справедливы неравенства
Для доказательства воспользуемся представлением С. Л. Со-
Соболева [20]:
а (Р) = ст + V i=i	,	D.34)
справедливым в любом квадрате ат для всякой функции а ?Е ClS.
В D.34) ст — постоянный вектор, At (P, Q) — непрерывные функ-
функции, когда Р (xv x%), Q (?х, ^2) изменяются в S. Если aEz C\s, то
a (xv 0) = 0.


§ 4]	ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТОВ ИЗ Н, Н*. Н, Н*	65
Это условие дает соотношение для определения ст*
2
2 At(P,*Q)aZt
Интеграл в правой части этой формулы для всякой вектор-функ-
вектор-функции а ЕЕ C\s не должен зависеть от xv Подставив сш в D.34), бу-
будем иметь
2	2
2 At (p. Q) ац (Q) <*Q S л< <р> *Q} % (Q) rfQ
^ f==1	D.35)
Соотношение D.35) показывает, что а (Р) представляется интегра-
интегралами типа D.1), причем мы имеем здесь случай а), так как ядра
К (Р, Q) определены в каждом квадрате ок и непрерывны. Вне ка-
каждого квадрата ok соответствующие ядра можно считать равны-
равными нулю. Очевидно, далее, что утверждения 1) теоремы 4.2 сле-
следуют непосредственно из леммы 4.1 (формула D.2), случай а)).
Утверждения 2) теоремы 4.2 следуют непосредственно из леммы
4.2 (формула D.9), случай а)). Поскольку Н^ есть замыкание
C\s в норме B.17), то теорему 4.2 можно считать установленной
для всех элементов Н^. В силу эквивалентности Н^, W2s, Н^
теорему 4.2 можно считать доказанной окончательно.
Лемма 4.4. Если а е Hxs, mo соотношение B.20) выполня-
выполняется на Ж2 почти всюду*
Очевидно, необходимо рассмотреть случай, когда а ЕЕ HlS, но
ы 6= C\s- В этом случае должна существовать последовательность
ап ge Q\s и такая, что ап ==» а в Н^. В силу B.20) и D.32) для вся-
всякого отрезка Жо е Ж г должно иметь место неравенство
Из этого соотношения вытекает, что \\а \\i] ж = 0 и а — 0 на ^0-
Поскольку Жо — произвольный отрезок Жг, то лемму 4.4 можно
считать доказанной.
о
Лемма 4.5. Каждая функция из Hxs удовлетворяет соотно-
соотношению B.22) почти всюду.
Доказательство леммы 4.5 базируется на неравенстве D.32)
и производится так же, как и доказательство леммы 4.4.
3 И. И. Ворович и др.


66	ПОСТАНОВКА СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ И СЛОЯ	[ГЛ. I
3. Перейдем к рассмотрению пространств H2s, H^s* W2s- Преж-
Прежде всего конкретизируем построение W2g. Именно, нуль-проекцию
сг в формуле B-25) будем выбирать, исходя из представления С. Л.
Соболева D.41) для всей полосы S. При этом поскольку в данном
случае интегрирование в D.41) ведется сразу по всей полосе S,
то здесь, как это следует из самого построения At (Р, Q) [20], име-
имеет место неравенство
| ^ (Р, Q) | < 1яЬ (Р)
и на основе леммы 4.1 (случай б)) приходим к выводу, что
L
(иг — сг) Ъ2 ЕЕ Us; р < —2. В этом случае формула B.25) вполне
оправдана.
Теорема 4.3. Пространства H2s> H2g, W2s эквивалентны,
т. е. содержат одни и те же элементы, причем выполняются, не-
неравенства
Iа hs < ^ | а || wg,	D.36)
Ч«1»а><11*Ь <m2[t«|[ а),	D.37)
W2S	2S	W2S
mi II«II * < II«lks < m2 \\ a |U .	D.38)
Для доказательства заметим, что правые неравенства D.36) —
D.38) непосредственно вытекают из определения норм H2s, H2s,
W2s B.17), B.19), B.25). Из этих неравенств вытекают соотноше-
соотношения
W^CH2S, W^C^s, H;scH2S.	D.39)
Рассмотрим теперь левое неравенство D.37). Для его доказатель-
доказательства, во-первых, заметим, что если а {и±, хг2) е Cjg, то для и2 вслед-
вследствие B.23) справедливо неравенство
[	af* .	D.40)
HS
Далее, поскольку иг имеет в S непрерывные производные, для
иг во всей полосе S справедливо представление С. Л. Собо-
Соболева [20]
D.41)


§ 4]	ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТОВ ИЗ Н, Н*. Н, Н*	67
о котором говорилось ранее, \At (P, Q) | <J mfe(P). Из D.41) и лем-
леммы 4.1 (случай б)) при р = 2 с помощью неравенства Минковско-
го C.3) будем иметь
II (иг - с,) 62 |4s < т || а \\h,j р < - 2,	D.42)
где сх — нуль-проекция а. Из определения нормы в W2g B.25) и
неравенств D.40), D.42) и вытекает левое неравенство D.37). Из
D.37) приходим к выводу, что
HjsCWg»	D.43)
а из D.39), D.43), следует, что H^s и WBs эквивалентны. Левое не-
неравенство D.38) доказывается так же, как и левое неравенство
D.16). При этом устанавливается эквивалентность H2s> H2s- Ле-
Левое же неравенство D.36) вытекает из левых неравенств D.37),
D.38). Таким образом, пространства H2s, W2s, H2s оказываются
эквивалентными, и теорема 4.3 доказана.
Следствие. Всякая вектор-функция а е H2s, H2g,
W2s имеет в S обобщенные первые производные, суммируемые с
квадратом*
Лемма 4.6. Пусть а принадлежит любому из пространств
H2S) H2s, W2s- В этом случае а ?Е 1-ря» Lp^0; р > 1, и я — любая огра-
ограниченная подобласть S, Jf0 — отрезок конечной длины. При этом
имеют место неравенства
Теорема 4.4. Пусть а принадлежит любому из прост-
пространств W2s, H2s, H2s и сх есть нуль-проекция а. 5 этшш случае
2;
2) (^-cObieELp*; p<-l-0,5p,
3)	u2bv^LpS; p<-l+0,5p, 1<р<2; р<0, если р>2;
4)	^fe^Lp^; p<-l+0,5p, 1<р<2; р<0,
2.
3*


68	ПОСТАНОВКА СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ И СЛОЯ [ГЛ. I
Здесь CfC — любая прямая х2 = hx\ 0 ^ \ ^ h. При этом имеют
место неравенства
< го {|| a ||h2S, I а Ц^, || а Ц^}. D.45)
Утверждения 1), 2) теоремы 4.4 вытекают из представления D.41)
и лемм 4.1, 4.2 (случай б)). Здесь же получаются и соответствую-
соответствующие неравенства D.45). Соотношения 3), 4) теоремы 4.4 вытекают
из представления
Ua(P) = ^ ""*	- С fal ,	, D.46)
справедливого для хг2 (Р) из Cj§ вследствие граничного условия
B.23) и лемм 4.1, 4.2 (случай а)).
Лемма 4.7. Каждая вектор-функция а из H2s удовлетворя-
удовлетворяет соотношению B.24). Соотношение B.23) выполняется почти
всюду.
Лемма 4.8. Каждая вектор-функция а из H2s удовлетворя-
удовлетворяет B.22) почти всюду.
Леммы 4.7, 4.8 вытекают из неравенств D.44).
Следствие. Пусть ап =?> а0; п ->• оо, в каком-либо из
пространств H2s» H2s, W2s- В этом случае имеют место предель-
предельные соотношения
р
сщ-> сю, || (мщ — w10) Ь2 IjLas1—> 0 ^^ п -^ оо, р < 2, D.47)
где с1п, с10 — соответствующие нуль-проекции.
Следствие вытекает из теоремы 4.3 и условия C.24).
4. В данном разделе будут изучаться свойства интегралов
вида
j(P) = С *(P,Q)V(Q)<*Q
В отношении ядра К (Р, Q), предусматриваются два случая:
а) К (Р, Q) = 0, если Р, Q принадлежат разным кубам Gkh
где Gki определяется соотношением kh<^ хг ^ (А: + l)fe, lh ^ #2 ^
^ (Z -j- l)fe; 0 ^ ж3 ^ ^; if (P, Q) непрерывна по всем аргумен-
аргументам, если Р, Q изменяются в каждом кубе Ght;
б) 1 К (Р, .Q) | < mb2 (Р). Здесь Ъ (Р) = /^ + х\ + h\


§ 4]	ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТОВ ИЗ Н, Н*. Н, Н*	69
Лемма 4.9. Имеют место соотношения
; р<0,
в случае а);
_2_р, 1<Р<2;Р<-2р, 2<р<6
в случае б).
D.48)
.	D.49)
Для доказательства и здесь используем представление С. Л.
Соболева [20]. Рассмотрим вначале случай б) и предположим по-
пока, что р > 2. С помощью неравенства Гельдера C.1) получим
v -L	J__i_	2 —
;TdQ)P (J V^ (Q) dqJ P (^;4+ Tj2
<mb»(P) \V»(Q)rpo«dQr \V2(Q)dQr * \гр(Г « * D.50)
и далее
v
. D.51)
Параметр q будем выбирать в зависимости от р, но всегда с выпол-
выполнением условия 1 < q < 2. Легко видеть, что при этом последний
интеграл правой части D.51) будет сходящимся и дает ограничен-
ограниченную функцию Р, если Р Е F. Из D.51) при этом получим
| J (P) \*bv < т || V ||L^ [ V* (Q) \ r;f &P-W dp rfQ. D.52)
Пусть 2 <С р <^ 3. Положим q = 1 + 8, где 8>0 и достаточно
мало. Легко видеть, что \ r*+z№+w (P)dP будет сходиться, ес-
если -г-ц:	Р — %Р^> 2, или если р <С — 2 — р. Однако ограниченной
функцией Q этот интеграл будет, если р + 2р <^ 0. Таким овра-
оврага __?_ «
зом, если р^ —2/?, то \^Рд1+е Ьр+2^(Р)йР есть ограниченная


%	ПОСТАНОВКА СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ И СЛОЯ	[ГЛ. 1
функция Q в S и из D.52) имеем
D.53)
Лемма 4.9 в этом случае доказана. Рассмотрим, далее, интер-
интервал 3 < р < 6. Пусть q = -~ + е. Очевидно, если 3 < р < 6, то
о
е >> О всегда можно выбрать так, чтобы выполнялось условие
1 < q < 2. Подставив g в D.52), будем иметь
J (Р) |р № dP < го IV Ц™ jj V2 (Q) jj rpQ^ ЬР+ар dP dQ. D.54)
Легко видеть, что V rp р+3? №+2p dP сходится,
если
Зб
— р — 2р > 2 или если р < 1 — 2р. Нам важно, однако, чтобы он
был ограниченной функцией Q в S, что будет выполнено, если р <^
^ —2р. Из D.54) получаем D.53). Рассмотрим теперь полуинтер-
полуинтервал 1 < р ^ 2. Имеем с использованием неравенства Гельдера
Очевидно, существование интегралов в правой части этого не-
неравенства будет обеспечено, если
1-
2 + 8
откуда хх + х2 < —2 — р. Таким образом, случай б) исчерпан.
Обратимся теперь к случаю а). С помощью неравенства Гельдера
C.1) при р > 2 будем иметь
J (Р) |р Ъ* < т* \ V2 (Q) г * dQbP (P) || V Ц?
От.1	Or.;
Последний интеграл в правой части этого неравенства будет
о
сходиться, если - > 1. При этом будем иметь
| J (Р) |р Ьр (Р) dP < mw [ [V2(Q) rpQT dQ Ы> (P) dP || V ||^.
Далее, легко видеть, что \rpQa bp(P)dP будет сходиться, если


§ 4]	ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТОВ ИЗ Н, Н*. Н, Н*	71
р<^ —	2, — <^ 3. Ограниченной функцией Q этот интеграл будет
при р <, 0. При этом мы, очевидно, получаем утверждение лем-
леммы 4.9 в случае а) при р > 2. При р < 2 требуемый результат
получается применением тех же рассуждений, что и в случае б).
Лемма 4.9 доказана.
Лемма 4.10. В условиях леммы 4.9 на каждой плоскости
Г х3 = ftx; 0 ^ ftx <; ft,
р<0, 2<р<4
в случае а);
р<-2р, 2<р<4 <4'55)
в случае б),
ш этом имеет место неравенство
I J&^ lLpr < w IIV Ицу	D*56)
Рассмотрим вначале случай б). Из D.51) будем иметь
D.57)
Пусть 2 <С /? < 4. Положим g = ¦—- + е; 8^> 0. Очевидно, всегда
можно выбрать 8 так, чтобы 1 << q < 2, и тогда последний интег-
интеграл в правой части D.57) сходится. Легко видеть при этом, что
он будет давать ограниченную функцию Р, в результате чего бу-
будем иметь
\ | J |р &р dP < т || V К \ V2 (Q) \ г p+2s ь,5+2р ^р ^Q. D.58)
Очевидно, интеграл по плоскости Г в правой части D.58) будет
сходиться, если —^	р — 2р^> 2 или если р < —2р. Легко ви-
деть, что при этом он будет ограниченной функцией Q bV. Из D.58)
при этом сразу получаем D.56). Пусть теперь 1 < р <; 2. Имеем
2+е
V]2+?4 1-^j 2+? D.59)
Очевидно, интегралы правой части будут сходящимися, если
их -^- < - 2 B + 8);	^— < - 2, если хх + х2 < - 2 - р.
1~ 2 + 8


72	ПОСТАНОВКА СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ И СЛОЯ [ГЛ. I
При этих условиях из D.59) также вытекает D.56). Случай б),
таким образом, разобран до конца. В случае а) доказательство
леммы производится аналогично, и мы его приводить не будем.
5. Теорема 4.5. Пространства Н1У, Hiv, W$v эквивален-
эквивалентны, т. е. содержат одни и те же элементы, причем выполнены
неравенства
™г II«II о A) < 1 а ||н1У < т2 \\ а || 0 ,	D.60)
w2y	w2y
ml №„,(!)< HI/
W2V	IV
Ia l[ < Ia
Поскольку теорема 4.5 доказывается по той же схеме, что и тео-
теорема 4.1, то ее доказательство приводиться здесь не будет.
Следствие. Всякая вектор-функция а ЕЕ Нгу имеет в V
обобщенные производные первого порядка, суммируемые с квадра-
квадратом.
Лемма 4.11. Пусть а принадлежит любому из пространств
Нху, Нху, V/y. В этом случае
1) а ЕЕ 1~рп, где я — любая ограниченная подобласть V; 1 ^
2)aG Lpr0, гЭе Го — любой ограниченный кусок плоскости, 1 ^
<; р <; 4. Яри amojw имеют место неравенства
1а t^. II»1кл < ^ (II»Iky II »1 • ,, || а || о A)}. D.63)
lv	W2V"
В случае пространства W2y лемма непосредственно вытекает
из теоремы вложения (§ 3, п. 4, а), а D.63) следует из C.24), C.25),
Для Hjy, Hxy лемма вытекает из эквивалентности пространств.
Теорема 4.6. Пусть а принадлежат любому из прост-
ранете HlV, Н1У, WJy. В этом случае
V
1) abj e LpV, г9е р < —2 + р, Kjo < 2; р < 0, 2 < jp< 6;
2) а&Р е Lpr> з9е Г — любая плоскость хъ = hv 0 ^ fex <^ h
-2 + р, 1<р<2;р<0, 2<jt><4.
справедливы неравенства
pV, || а&?||Lpr < т {\\ а Цу, |а I . , || а \\ 0 A)}. D.64)
Для доказательства будем представлять себе слой V как со-
совокупность кубов okl, kh^ хг^{к -f 1)^» /^ ^ ж2 ^ (/ + 1)^;


§ 4]	ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТОВ ИЗ Н, Н*, Й, Н*	?3
О <^ х3 ^ h. В каждом таком кубе для любой вектор-функции
а Ez Cjy имеет место представление С. Л. Соболева [20]
а (Р) = Ск1 + \ •?*	; Р (хг, хл, х3), Q (glf l2, &,).
°W	D.65)
Учтя теперь условие B.29), из D.65) получаем
з
а(Р)_ С	tL
°ы
(
ак1
В силу D.65), D.66) получаем
з
2 At (P, Q) aSj (Q) <*Q
5
* (xlt Хг, 0).	D.66)
rPQ	f	rP*Q
Представление D.67) показывает, что а (Р) дается интегралами,
к которым можно применить леммы 4.9, 4.10, так как по самому
построению [20] At (P, Q) ограничены в каждом кубе GhU а если
Р, Q принадлежат разным кубам, то At (P, Q) = 0. При этом мы
имеем случай а). Очевидно, далее, что утверждения 1) теоремы
4.6 вытекают из леммы 4.9 (формула D.49), случай а)), а утвер-
утверждения 2) теоремы 4.6 вытекают из леммы 4.10 (формула D.55),
случай а)). Разумеется, будут справедливы соотношения D.64).
Очевидно также, что теорема 4.6 будет справедлива и для всех
а е Нху и, значит, Н1У, W^. Теорему 4.6 можно считать дока-
доказанной.
Л^е м м а 4.12. Если а ЕЕ Н1У, то B.29) выполнено на Г2 поч-
почти всюду.
о
Лемма 4.13. Каждая вектор-функция Игу удовлетворяет
соотношению B.31) почти всюду.
Леммы 4.12, 4.13 следуют непосредственно из того, что для
элементов из Cjv, c\v выполнены соответственно B.29), B.31),
и из неравенств D.63).


74	ПОСТАНОВКА СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ И СЛОЯ [ГЛ. I
6. Рассмотрим основные свойства элементов Н2у, Н2у,
Прежде всего конкретизируем построение W2y. Именно, нуль-
проекции в формуле B.35) будем выбирать, исходя из представ-
представления С. Л. Соболева D.73). Поскольку здесь представления D.73)
рассматриваются во всем слое F, то для ядер At (Р> Q) [20] мож-
можно получить оценки
I At (P, Q) | < mb2 (P)
и на основе леммы 4.9 (случай б)) приходим к выводу, что {uh —
— ck)b2 ее L2v; к = 1, 2, если р < —4, и формула B.35) в этих
случаях вполне оправдана.
Теорема. 4.7. Пространства Н2у, Н2у, W2y эквивалентны,
т. е. содержат одни и те же элементы, причем выполнены нера-
неравенства
fo(i}.	D.68)
W 2V	Н2У	W2V
lH*y-	D-70)
Для доказательства заметим, что правые неравенства D.68)
вытекают из определения норм Н2у, H*2v, W$- Из этих неравенств
следует
W$ С Н2У, Щ с Н;у, Н;у С H2V.	D.71)
Рассмотрим левое неравенство D.69). Для его доказательства,
во-первых, заметим, что если a (uv гг2, гг3) CZ С?у, то для гг3 вслед-
вследствие B.32) справедливо неравенство
(H* ,	D.72)
которое также вытекает из представления D.77) и леммы 4.9 при
р = 2 в случае а).
Далее, поскольку uv w2 имеют в V непрерывные производные,
то для uv гг2 справедливы представления
з
5
rPQ
dQ; * =1,2. D.73)
Из D.73) и леммы 4.9 (случай б)) при р = 2, соответственно р <С
< —4, в силу D.49) будем иметь
| (Щ - ск) Ь^Г \\Чу < m 1 а |н^; & = 1, 2.	D.74)


§ 4]	ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТОВ ИЗ Н, Н*, Н Н*	75
Из определения нормы в W2y B.35), неравенств D.72), D.74)
и вытекает левое неравенство D.69) и соотношение Н2у
В силу D.71) можно считать эквивалентность пространств Н2у
W2y установленной. Левое неравенство D.70) доказывается ана-
аналогично тому, как это сделано в теореме 4.1 для H[s и Н^. При
этом устанавливается эквивалентность Н2у, Н2у. Таким образом,
утверждение теоремы 4.7 об эквивалентности Н2у, Н2у, W2y мож-
можно считать доказанным. Левое неравенство D.68) вытекает из ле-
левых неравенств D.69), D.70).
Теорема 4.7 доказана.
Следствие. Всякая вектор-функция а, принадлежащая
любому из пространств Н2у, Н2у, W2y, имеет в V обобщенные про-
производные первого порядка, суммируемые в V с квадратом.
Лемма 4.14. Пусть а принадлежит любому из пространств
Н2у, K2V» WBy. В этом случае
1)	а< ЕЕ LpTl, еде я — любая) ограниченная трехмерная подоб-
подобласть V; 1 <; р <; 6;
2)	a d 1-рГо, где Го — ограниченный кусок плоскости, 1 ^ р <^
<; 4. При этом имеют место соотношения
, ||a|U
2 v	2
D.75)
В случае W2y лемма вытекает из теоремы вложения (§ 3, п. 4,
а)), а D.75) следует из C.24), C.25). В случае Н2у, Н2у лемма сле-
следует из эквивалентности пространств.
Теорема 4.8. Пусть а принадлежит любому из прост-
пространств H2V, H2y, W2y, cv c2 — нуль-проекции а. В этом случае
-^2р, 2<р<6;
2)	(мх-^Ьр, К-с2N^ ELpr, p<-2-p,
р<-2р, 2<р<4;
3)	^ELpy, p<-2 + p, 1<р<2; р<0, 2<р<6;
4) M3b?"e=Lpr> P<-2+^, 1<^<2;	р<0,


76
ПОСТАНОВКА СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ И СЛОЯ [ГЛ. I
В 2), 4) Г — произвольная плоскость хг = \, О ^ hx <; h.
При этом имеют место соотношения
— ci) Ъ v ,
JL
— Сх)Ь р , (и2 —
> , иф v \^у ^
<™{Ца|наУ, IH * , ||а|| (
н2у Ws
D.76)
Утверждения 1), 2) вытекают из представления D.73) и лемм
4.9, 4.10 (случай б)). Здесь же получаются и соответствующие не-
неравенства D.76). Утверждения 3), 4) теоремы 4.8 вытекают из
представления
А% (Р, Q) ищ (Q) rfQ
2 ^ (\
(Р\ Q) «з- (Q) dQ
52J + Й
D.77)
Р (xv x2, x3), P* (xv x2, 0), Q (gt, g2» ^з)^ и лемм 4.9, 4.10 (слу-
(случай а)). Таким образом, теорема 4.8 доказана.
Лемма 4.15. Для всех вектор-функций а ЕЕ Н2у, Н2у, W^
выполнены условия B.33O B.34). Условие B.32) выполнено почти
всюду.
о
Лемма 4.16. Каждая вектор-функция а из H2v удовлетворя-
удовлетворяет соотношению B.31) почти всюду.
Леммы 4.15, 4.16 следуют непосредственно из того, что для
элементов из С\у и С\у выполнены соответственно B.31), B.32),
B.33), B.34), и из неравенств D.75).
Следствие. Пусть ап=4> а0 в одном из пространств
* Н3у, W^v- В этом случае имеют место соотношения
с1п
с2п-> с2 ||(ukn — uk)b2
0 при п-> оо. D.78)
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ I
1
Бабич B.C., Слободецкий Л. Н., Об ограниченности интегра-
интеграла Дирихле. ДАН СССР, 1956, т. 106, 604—606.
2. Бесов О. В., Ильин В. П., Естественное расширение класса обла-
областей в теоремах вложения. Матем. сб., 1968, т. 75 A17), вып. 4. 483—495.
З.Ильин В. П., Солонников В. А.,О некоторых свойствах функций
многих переменных. Труды Математ. ин-та АН СССР, 1962, т. 66, 205—226.


ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ I	77
4.	Канторович Л.В., А к и л о в Г. П., Фукнцшшальный анализ
в нормированных пространствах. Физматгиз, 1959.
5.	Кудрявцев Л. Д., Прямые и обратные теоремы вложения. Прило-
Приложение к решению вариационным методом эллиптических уравнений. Тру-
Труды Матем. ин-та АН СССР, 1959, т. 55, 1—182.
6.	Кудрявцев Л. Д., Теоремы вложения для классов функций, опре-
определенных во всем пространстве и полупространстве. I. Матем. сб. 1966,
т. 96, вып. 4, 616—639; II. Матем. сб. 1966, т. 70, вып. 1, 3—35.
7.	КупрадзеВ. Д., ГегелиаТ. Г., БашелейшвилиМ.О.,
Бурчул адзе Т. В., Трехмерные задачи математической теории уп-
упругости. Изд-во Тбилисского ун-та, Тбилиси, 1968.
8.	Лурье А. И., Пространственные задачи теории упругости. Гостех-
издат, 1955.
9.	Л я в А., Математическая теория упругости. ОНТИ, 1935.
10. МиндлинР., ЧеньД., Сосредоточенная сила в упругом полу-
полупространстве. Journal of Applied Physics, 1950, v. 21, № 9. Механика,
сб. переводов, 1952, № 4 A4).
И. М и х л и н С. Г., Вариационные методы решения задач математической
физики, 1950, УМН, т. 5, вып. 6 D0).
12.	М и х л и н С. Г., Многомерные сингулярные интегралы и интегральные
уравнения. Физматгиз, 1962.
13.	Михлин С. Г., Проблема минимума квадратного функционала. Гос-
техиздат, 1952.
14.	Морен, Методы гильбертова пространства. «Мир», 1965.
15.	Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математи-
математической теории упругости. «Наука», 1966.
16.	Мусхелишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнения.
Физматгиз, 1962.
17.	Никольский СМ., Приближение функций многих переменных
и теоремы вложения. «Наука», 1969.
18.	Слободецкий Л. Н., Обобщенные пространства С. Л. Соболева
и их приложения к краевым задачам для дифференциальных уравнений
в частных производных. Уч. зап. Пед. ин-та им. Герцена, Ленинград, 1958,
т. 197, 54—112.
/19. Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 5. Физматгиз, 1959.
20. С о б о л ев С. Л., Некоторые применения функционального анализа
в математической физике. Изд-во МГУ, 1950.
^f 21. Соболев В. И., Л ю с т е р н и к Л. А., Элементы функционального
анализа. «Наука», 1965.
22.	ФихтенгольцГ. М., Курс дифференциального и интегрального
исчисления, т. I, Гостехиздат, 1947.
23.	Эйдус Д. М., Контактная задача теории упругости. Матем. сб. 1954,
т. 54, вып. 3.
24.	Aronszajn N., Boundary values of functions with finite Dirichlet
integral, Confer, partia. diff. equat. Studies on eigen value problems. Univ.
of Kansas, 1955.
25.	Nirenberg L., On elliptic partial differential equations, Ann. Sc.
Norm. Sup, Pisa, ser. Ill 1959, XIII, F II, 115—162.
26.	Friedrichs K., On the boundary-value problems of the theory of
elasticity and Korns inequality. Annals of Mathematics, 1947, v. 48, № 2,
April.
27.	Gagliard о F., Proprieta di alqune classi di funzioni in piu variable,
Ric. mat. J., 1959, № 1, 24—51.
28.	Hestenes R., Extenions of the range of a differentiable function. Duke
Math. Journal, 1941, № 8.
29.	Whitney H., Analytic extensions of diffirentiable functions defined
in closed sets. Trans. Amer. Math. Soc, 1943, № 36; 1946, Яа 40.


Глава II
ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ ПОЛОСЫ
§ 5. Разрешимость задачи I в обобщенных решениях.
Единственность решения
Определение. Обобщенным решением задачи I назовем
вектор-функцию a (uv u2) ЕЕ Hxs, у которой компонента и2 при-
принимает на о) заданное значение /г (хг) и которая удовлетворяет ин-
интегральному тождеству
(а • <р)н18 — § /1Ы Ф1 dxi — \ /з (*i) Ф2 dx1 — ^FydS = 0 E.1)
Жх	си*	S
для любой вектор-функции ф (фх; ф2) Ez Hxs.
Введенное обобщенное решение E.1) позволяет исследовать
задачу I при весьма общих предположениях относительно внеш-
внешних нагрузок, действующих на полосу. Кроме того, легко уста-
устанавливается, что всякое достаточно гладкое обобщенное решение
E.1) задачи I удовлетворяет исходным уравнениям и граничным
условиям A.1.5).
Однако даже негладкие обобщенные решения E.1) имеют не-
непосредственный механический смысл. Соотношение E.1) выража-
выражает принцип возможных перемещений Лагранжа для нашей поло-
полосы. Таким образом, удовлетворение уравнений равновесия и ста-
статических граничных условий осуществляется здесь через принцип
возможных перемещений. Геометрические условия должны осу-
осуществляться заранее.
Теорема 5.1. Пусть выполнены условия'-
_ JL
1) массовые силы F Dfv 4f2) таковы, что F-Ъ р ЕЕ LPl»g; p[ ^>
^>1, р дается соотношениями 1) теоремы 4.2, в которых надо по-
ложитъ р =
2) граничные задания Д, /3 на CfCx таковы, что Д-6 Р2 ЕЕ
EL'^, /3• Ъ?2 е=L '^; рз> 1; р2 дается соотношениями 2)
теоремы 4.2, в которых надо положить р = р2 = -у—?— ;


§ 5]	РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ I В ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЯХ	79
3) перемещения /2 (х±) ЕЕ W^.
В этом случае задача I имеет обобщенное решение и притом
единственное.
Для доказательства положим
a (uv и2) = aQ (uov и02) + Ь (О, f2),	E.2)
где f 2 есть продолжение функции /2 (хг) с со в полосу S, даваемое
леммой 3.11. Если подставить E.2) в E.1), то дело сведется к отыс-
о
канию вектор-функции а0 (uot) ge Hxs из интегрального тождества
е/С 1
Т(Ф) - \ h(*i)Ф1 dx, + J /зф2d^2 + ^F• фdS - (Ъ• ф)н18. E.3)
Лемма 5.1. 77/?гг выполнении условий 1) — 3) Г (<р) есть ли-
нейный и ограниченный в HlS функционал.
Линейность очевидна. Далее имеем
)hJ. E.4)
Используя неравенства Гельдера C.1) из E.4), получаем
| Г(ф) | <^ || kb V2 ||l , • || cpib2
_ 2L
+ \\Fb »l
„ 	 Pt . f	 А о /с; ел
y^	,	,	6 —¦ X, Li. \к) ,%J J
На основе неравенств D.33) имеем
P2
II.	«-" W II «JL •	II ГП МЮ2 (I.	.<< YYl II #П II.,
Кроме того, в силу неравенств B.5), C.124), имеем
8.	E-7)


80	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ [ГЛ. II
Из E.5) — E.7) следует
-HI/2IU))- E-8)
2
20)
Соотношение E.8) показывает справедливость леммы 5.1.
В силу теоремы Рисса (§ 3.2) существует элемент а0 из ^
такой, что линейный и ограниченный функционал Т (<р) может
быть представлен в виде скалярного произведения (а0 <p)hiS,
причем, очевидно, а0 удовлетворяет интегральному тождеству
E.3). Очевидно, вектор-функция а = а0 + Ь будет удовлетворять
интегральному тождеству E.1). Существование обобщенного реше-
решения задачи I доказано.
Далее, из E.3), E.8) имеем
2	2
-^lL , +||/2«w(i))I<PI|hiS E.9)
для произвольной
Ф <= HlS.
Из E.9) вытекает, что
+ \\Fb П, +I/4w). E-10)
Р^Ь	2о)
Отметим, что в силу E.2), C.124), E.10) имеет место неравен-
неравенство
E.11)
откуда сразу же следует и единственность обобщенного решения.
Теорема 5.1 доказана.
: Метод доказательства однозначной разрешимости задачи I
носит название функционального [14]. Он будет использоваться
и для исследования задач II, III, IV.


8 6]	РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ II В ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЯХ	81
§ 6. Разрешимость задачи II в обобщенных решениях.
Единственность решения
Определение. Обобщенным решением задачи II назовем
вектор-функцию a (иг, u2) ЕЕ Н^, у которой компонента и2 при-
принимает на ю заданное значение /2 (х^) и которая удовлетворяет ин-
интегральному тождеству
{а • <p)h2S — \ Л ((ft. — с) dxx — \ /Зф2 dxx — \ [?г (q^ — с)+?2ф2] dS=0
Д	«•	si
F.1)
о
для любой вектор-функции <р (фх, ф2) ЕЕ H^s и постоянной с.
Механический смысл введенного обобщенного решения, как и
в случае задачи I, заключается в том, что при выполнении F.1)
а (иг, и2) удовлетворяет уравнениям A.1) и соответствующим гра-
граничным условиям в смысле принципа возможных перемещений
Лагранжа.
Теорема 6.1. Пусть выполнены условия*
1)	массовые силы F (fv ^2) таковы, что
fx-Ъ Р" ?ЕLp* 8; f2• Ь Pl2 Ebg; р1Ь р12^> 1;
/?ц дается соотношениями 1) теоремы 4.4, в которых надо поло-
положить р = т-^— ; pi2 дается^ соотношениями 3) теоремы 4.4, в ио«
торых надо положить р = —^—;
2)	граничные задания fv /3 wa ^ таковы, что
Р21	Р22
Р21 дается соотношениями 2) теоремы 4.2, а р22 — соотношения-
соотношениями 4) теоремы 4.4, в которых надо соответственно положить
p2i = -;	^г '» р22— -т—*— »
3) перемещение /2 (жх) d W2w. ^ а/?гол« случае для однозначной
разрешимости задачи II необходимо и достаточно выполнения
соотношения
\ i^i + Jfi^ = O.	F.2)


82	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. И
Соотношение F.2), как легко видеть, выражает факт уравнове-
уравновешенности внешних сил, приложенных к полосе, в проекции на
ось xv
Прежде всего установим необходимость F.2) для разрешимос-
разрешимости задачи П. Пусть существует а 6Е H2s, удовлетворяющая F.1)
о
для любой вектор-функции ф ЕЕ H2s- Подставив в F.1) ф = О,
получим F.2).
Перейдем к доказательству достаточности. Положим
a (uv и2) = «о (uov иОг) + Ь (О, f2),	F.3)
где f2 есть продолжение функции /2 (хг) с to в полосу S, даваемое
леммой 3.11. Если подставить F.3) в F.1), то получим для опре-
определения а0 интегральное тождество
т (ф) = \ А (Ф1 - <0 dxj. + ^ /Зф2 dxi +
Ж\	со*
+ \ If 1 (Ф1 - с) + ?2ф2] dS - (Ь • ф)н28. F.4)
Лемма 6.1. При выполнении условий 1—3 теоремы 6.1 Г (ф)
о
есть линейный и ограниченный в H2s функционал-
Линейность очевидна. Для доказательства ограниченности за-
заметим, что вследствие F.2) Т (ф) можно записать в следующем ви-
виде:
Т (ф) = \ А (Ф1 - ci) dx± + [fs Ш dxi +
Жг	со*
+ ^ Ifi (ф1 - сх) + f 2ф2] (tei - Fi • ф)н28, F.5)
где сх — нуль-проекция ф. Имеем, далее, в силу неравенства Гель-
дера C.1)
\ Л (Ф1 — ci) dxi ^ Ц/ife Vzi ||l / • || (Ф1 — ?i) b Vn
Из D.45) получаем
| ^ /1 (Ф1 ~ сг) dxx | < m fl ДЬ" "й JL ^ . || ф |]й^.	F.6)


§ 6]	РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ II В ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЯХ	83
Аналогично, используя неравенство Гельдера C.1) и оценку
D.45), получаем
Pll	Pll
r F-7)
Непосредственно на основе неравенства Гельдера C.1) и неравенств
D.45) имеем
"S	, F.8)
'¦42S
о
Pl2
< m I fjb V™ \\i , • I ф ||h2S. F.9)
Наконец, в силу B.5)
I F'<P)h2S КII & [|h2S 1 ф||h2S•	F.10)
Из F.4) — F.10) получаем
Соотношение F.11) и доказывает лемму 6.1.
о
Существование вектор-функции а0 6Е H2s и удовлетворяющей
F.4) вытекает теперь из теоремы Рисса (§ 3.2). Очевидно, далее,
в силу F.3) а будет удовлетворять F.1). Далее, из F.11) имеем
(=1


84	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. II
откуда на основе C.4), C.5) получаем
_ Р21	Р22
P2i *	vv?*
+ Sir«b Pl<|t% + Il/2|U} F.13)
(=1	Plts	¦*» >
и из F.3)
2	?lf
+ 2!Г,Ь Pi4l^ +II/2IU)}. F.14)
t=l	V±tS	2o>
Из F.14) вытекает единственность решения задачи II.
Примечание 1. При введении пространства H2s> играю-
играющего основную роль в постановке задачи II, мы использовали ус-
условие B.24), которое, в сущности, не диктуется механическими со-
соображениями. Если от него отказаться, то придем к тому, что иг
определяется с точностью до произвольной постоянной.
Примечание 2. Условия теорем 5.1, 6.1 являются дос-
достаточными для разрешимости задач I, II. Их можно ослабить, на-
например, в той части, которая касается требований на /2 (хг). Необ-
Необходимым и достаточным условием здесь будет принадлежность
/2 {x-D пространствам Соболева — Слободецкого W^, о которых
речь шла в примечании к леммам 3.10—3.12. Далее, массовые си-
силы F и поверхностные силы/х, /3 должны быть лишь такими, чтобы
соответствующие функционалы в правых частях E.3), F.4) были
линейными и ограниченными соответственно в Н^, Н^.
§ 7. Дифференциальные свойства обобщенных решений
задач I, II в областях, не содержащих
особых точек границы
1. Обобщенные решения задач I, II, существование которых ус-
установлено в §§ 5, 6, имеют пока лишь такую степень гладкости,
которая позволяет вычислять потенциальную энергию. В связи с
этим возникают два вопроса: 1) какие дополнительные сведения
о гладкости обобщенных решений можно получить в условиях тео-
теорем 5.1, 6.1; 2) как изменяется гладкость обобщенного решения
задачи 'при усилении гладкости исходных данных задачи. Вопрос
о том, в какой степени гладкость исходных данных переносится на
гладкость решения, изучался для широкого класса краевых задач в


§ 7] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИИ 85
работах [4, 15, 19] и других. Мы изложим решение этой проблемы
применительно к задачам I, II, используя некоторые результаты
[4, 15]. Предварительно введем некоторые понятия.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида
= *,; * = l,...n; р = 1	Zf G.1)
и граничных условий
feh = fo; а = 1,...,х.	G.2)
.?
Будем, исходя из постановки задач I, II, предполагать, что Etj
и Faj- — однородные дифференциальные операторы с посто-
постоянными коэффициентами. Наряду с матрицами-операторами
(^(-^r) бУДем рассматривать матрицы Etj (?р), Faj. (?р),
полученные путем подстановок -^	>|р. Характеристической
v
матрицей системы || С (?Р) || назовем матрицу
|| С AР) || = ||F FР)|| • || Е &р) ||.	G.3)
Очевидно, || С || имеет % строк и п столбцов.
Пусть, далее, ? (?1? ?2 ••• ?>д — произвольный орт, лежащий
на поверхности У?, где заданы граничные условия G.2), а v (vlf ...
... vi) — орт нормали к Ж, проведенный в этой же точке. Пусть,
далее, т^ — корни уравнения,
det || Е„ (? + tv ) || = 0,	G.4)
лежащие в верхней полуплоскости. В G.4) Etj (t, + tv) означает
полином, получающийся в результате подстановки |р ->¦ ?0 +
+ xvр. Характеристическим полиномом М назовем полином,
даваемый соотношением
П -*.)•	' G-5)
Полином М (т) определяется только системой G.1), границей Ж
и не зависит от характера граничных условий.
Совершим теперь в || С || подстановку \v ->• ?0 + vpx и разде-
разделим каждый член матрицы на М (т). Остаток обозначим через
raj (т). Матрицу || R || = || raj \\ будем называть матрицей остатков.
Легко, далее, видеть, что
г
,	G-6)


86
ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ
[ГЛ. II
где г — степень полинома М (т). Составим, далее, матрицу || Д|| :
A)
A) B)	B)	(г)	(г)
'т гц • • • гщ • ¦ • гц • • • гщ
A)	A) B)	B)	(г)	(г)
'21 * ' ' Г2п Г21 * * ' Г2п ' ' • Г21 * ' * Г2п
г
1х\
rB)
Г21 '
rB)
Г2П "
(г)
Г21
(Г)
Г2П
G.7)
которую будем называть матрицей дополнительности.
Определение 1. Система G.1) называется эллиптиче-
эллиптической, если уравнение
det||E«,Fi. -. 60 11 = 0	G.8)
не имеет других действительных корней, кроме ?* = 0; t=l, ..., п.
Приведенное определение эллиптической системы принадле-
принадлежит И. Г. Петровскому [12]. Широкое обобщение понятия эллип-
эллиптической системы мы находим в [21]. В нашем случае однородных
дифференциальных операторов G.1) оба определения выделяют
один и тот же класс систем.
Определение 2. Будем говорить, что граничные усло-
условия G.2) удовлетворяют условию дополнительности, если ранг
матрицы дополнительности есть г.
Как показано в [4, 15, 19], выполнение условий дополнитель-
дополнительности приводит к важному свойству краевой задачи — нетеровос-
ти. При этом также гарантируется усиление гладкости решения
при усилении гладкости исходных данных задачи. Именно в свя-
связи с этим условия дополнительности играют столь важную роль в
общей теории дифференциальных уравнений. Отметим далее, что
в случае эллиптической по Петровскому системы условие допол-
дополнительности совпадает с известным условием Я. Б. Лопатинско-
го [8].
Лемма 7.1. Система уравнений плоской задачи теории уп-
упругости G.1) эллиптична. Действительно,
A
g)\ G.9)
откуда и вытекает эллиптичность.
Лемма 7.2. Граничные условия краевой задачи А (задание
перемещений на Жг в задачах I, II, § 3. п.7) удовлетворяют соотно-
соотношению дополнительности.
Матрица || F || в данном случае, как легко видеть, есть просто
единичная матрица и || С || = || Е ||.|Вектор ? имеет на Жг состав-
составляющие 1,0; вектор v имеет на CW^ составляющие 0,1. Вектор ? +
+ vt имеет составляющие 1, т. Уравнение для т5 получим, если в
выражении G.9) совершим подстановку ^-М; 1>ъ-+г и приравняем


§ 71 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ	87
его нулю:
A + Т2J = о.	G.10)
Характеристический полином М дается соотношением
М = (т - О2-	G.11)
Подстановка %v ->- (?р + tvp) в нашем случае есть ?х -> 1,
l(l + JD + f *т I
NGH| #т (i -ь л:) т» +11"	( }
Матрица остатков дается формулой
I2JT + 2 + *	Кх
Наконец, из G.13) получаем матрицу дополнительности
19 Л- ТС П	9/	/?"
0 2 + /Г К И<1+*)|-	G'14>
Легко видеть, что ее ранг есть 2, что и доказывает лемму 7.2.
Лемма 7.3. Граничные условия краевой задачи Б (задание
и2 и касательного напряжения на Жг в задаче II и на to в задачах
I, II, § 3, п.7) удовлетворяют соотношению дополнительности.
Матрица || F || в данном случае имеет вид
|рн|о ill-	GЛ5)
Для матрицы || С || получаем
После подстановки ?х -*¦ 1, |2 ->- т имеем
Матрица остатков дается формулой
Кх
и, наконец, матрица дополнительности
о 2 + К	К


88	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. V
Легко видеть, что ранг || Д || есть 2. Лемма 7.3. доказана.
Лемм а. 7.4. Граничные условия краевой задачи В (задание
напряжений на to* в задачах I, II, § 3, п.7) удовлетворяют соотно-
соотношению дополнительности.
Матрица || F || в данном случае имеет вид
Для || С || получаем
II	Ь «J + е2) + 2КЩ	Ь EJ + ф + Ш II
Поскольку граничные условия задаются здесь на Жх, то в G.21)
совершаем подстановку ?х->- —1, ?2= — т. В результате полу-
получаем
1+2JTT»	|
Матрица остатков дается соотношением
2 A — К) х — 2*	4Ют + 2# + 1
II И || 2it(Z 1) 2^(^ + 1) 2(^ + з^ + 1)тг 2i(iT + l)
G.23)
и, наконец, для матрицы дополнительности имеем
-f 1) -2г(/1Г + 1
G.24)
Легко видеть, что G.24) имеет ранг 2. Лемма 7.4 доказана. Таким
образом, для всех типов граничных условий, с которыми мы встре-
встречаемся на разных участках границы в задачах I, II, соотношения
дополнительности выполнены, и мы имеем возможность применить
результаты из [15].
Теорема 7.1. Пусть выполнены все условия теоремы 5.1
(соответственно 6.1). Тогда
1)	если в некоторой подобласти S' полосы S F ЕЕ B^s', то во
всякой замкнутой подобласти S" d Sr, граница которой может
выходить на Ж2, обобщенное решение задачи I (соответственно
И) ЕЕ B?+2)s". Здесь \ir = 11, если \i < 1, и \i' можно считать сколь
угодно близким 1, если \i = 1, к ;> 0;
2)	если в некоторой подобласти S' полосы SF ЕЕ В^и, кроме
того, Д, /3 G в?+1, ш*» то во всякой замкнутой подобласти S" a S',


§ 7] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ 89
граница которой может выходить на CWX и внутрь со*, обоб-
обобщенное решение задачи! (соответственно II) ЕЕ в?+2, s"J /с>0;
3) если в некоторой подобласти S' полосы S F ее B%s' и, кро-
кроме того, /х ЕЕ B?+1j0), afzEE: В^+2, ш*» wo во всякой замкнутой под-
области S" CZ 5", граница которой может выходить на Жх и
внутрь со, обобщенное решение задачи I (соответственно II) ЕЕ
4) ес/ш б некоторой подобласти S' полосы S F ее B?s' и, кроме
того, /х е В?+1^; /3 е В*+1,«»; /2 е В^+2,о>, яго во всякой замк-
замкнутой подобласти S"(Z.S', граница которой может выходить на
У?г, внутрь со и внутрь со*, обобщенное решение задачи I (соответ-
(соответственно II) е B^+2,S"; k > 0. #/ж amoji имеет место неравенство
K	(|^ +|Л|в!л +Ш\? +|/3||в,х )• G.25)
При отсутствии массовых и поверхностных сил мы получаем нера-
неравенство
\"Lr <^|АЬ,	G.26)
B/t,S"	в/ссо
также справедливое при к !> 0.
Примечание. Если F e Bos» то, как это следует из тео-
теоремы 7.1, а будет иметь в полосе S непрерывные производные вто-
второго порядка. При этом легко устанавливается из интегрального
тождества E.1) (соответственно 6.1), что а удовлетворяет в каждой
внутренней точке слоя системе A.1) и граничным условиям A.2)
(соответственно A.7)). Если, кроме того, /х ЕЕ В1^, /2 е В^,
/з ЕЕ В?о*, то а дополнительно удовлетворяет граничным услови-
условиям A.3) — A-5) во всех внутренних точках со и со*. В этом смысле
обобщенное решение задачи I (соответственно II) есть классиче-
классическое решение. Вопрос о поведении в окрестности особых точек не-
необходимо рассмотреть особо.
2. Выясним теперь, какие дополнительные сведения о локаль-
локальных дифференциальных свойствах обобщенных решений задач I,
II можно получить, не предполагая дифференцируемости внешних
нагрузок. Предварительно получим некоторые интегральные пред-
представления решений задач I, II. Указанные представления будут
существенно использованы нами и при анализе поведения решения
на бесконечности.
Пусть Ро — внутренняя точка полосы 5. Пусть, далее, *SA (P0)j—
круг радиуса А с центром в точке Ро, целиком принадлежащий S.
Построим на радиусах круга 5А (Ро) функцию %» конструкция ко-
которой описана в § 3, п. 9, и рассмотрим а = %а, где а — обобщен-
обобщенное решение задачи I или II. Очевидно, а = а, если 0 <^ г <^ А —
— б, и а == 0, если г > А.


90	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. II
Л е м м а 7.5. В условиях теорем 5.1, 6.1 для любого решения
задач I, II в круге SA (Po) имеет место представление
- 1Ъх2 - Ь)(/у + Xf j)<*№, G.27)
где G?° — двумерный тензор Грина для уравнений теории упру-
упругости (§ 3.7); f] — линейные комбинации щ и их первых производных с
бесконечно дифференцируемыми коэффициентами.
Для определенности наметим доказательство применительно
к решениям задачи I. Выберем в формуле E.1), определяющей
обобщенное решение задачи I, возможные перемещения в виде
о	о
%<Pi» %Ф2» где ф е= Hxs. Очевидно, %ф е= Н^. При этом после не-
некоторых элементарных преобразований соотношение E.1) можно
записать в следующем виде:
С 2
(а • Ф)н18 + ) 2 if] + Xf i) Ф/И = 0,	G.28)
н18
где
J	к [(ixfa + 2хДх2) +
G.29)
*.];
Формула G.28) показывает, что а можно рассматривать как
обобщенное решение задачи I, но для массовых сил ft = ft +
+^%ft и /iki = 0» /з k* s= 0, /2 |ы = 0. Если предположить, что
ft е BosA(po), то в силу теоремы 7.1аЕ B2sA(p0) и а можно рас-
рассматривать как классическое решение задачи теории упругости
для всей плоскости xv x2 под воздействием массовых сил ft- Но
в этом случае формула G.27), как уже отмечалось, безусловно,
справедлива, и вывод ее является достаточно традиционным. Но
в наших условиях в соответствии с теоремой 5.1 ft g L *s; I <;
<С Pi, в силу неравенств D.32), характеризующих свойства эле-
элементов HlS, a e Lp2sA(P0) при любом р2 > 1, a aXl, aX2 e L2sA(P0)-
Поэтому массовые силы ft + %ft = f *t B нашем случае принад-
принадлежат лишь L 'S (p и формула G.27) должна быть получена иным
способом. Обоснование формулы G.27) можно найти в [2, 9]. Ее
можно, например, получить, приближая внешние усилия доста-
достаточно гладкими функциями.
Пусть, далее, точка Ро находится на Ж2, и рассмотрим полу-
полукруг 5а (Ро) (рис. 6), являющийся пересечением круга ?а (Ро)
(А < h) и полосы S.


§ 7] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ 91
Лемма 7.6. В условиях теоремы 5.1 в S\ (Po) имеет место
представление
где ^J = f) + xfj; j = 1, 2; /J дается формулой G.29); G?f
тензор Грина двумерной краевой задачи А (§ 3, п.7).
Рис. 6.
В случае, если^JgB^ , то в силу теоремы 7.^	^
и формула G.30) выводится непосредственно. В общих ус-
условиях теоремы 5.1 формула G.30) обосновывается так же, как
и в случае леммы 7.5.
Лемма 7.7. В условиях теоремы 6.1 в SA (Po) имеют место
представления
(хъ х2) = J\B1 + J22B1; и2 (хъ х2) = J\
\B2
2Б2,
G.31)
где
— ?1, #2,
a ft по-прежнему даются формулами G.29); G?f — тензор Гри-
Грина двумерной краевой задачи Б (см. § 3, п.7).
Пусть точка Ро е Жг. Рассмотрим полукруг S2A (Ро) (рис. 6),
являющийся пересечением круга SA (Po) (A << h) и полосы S и
не имеющий общих точек с ю.


92
ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ
[ГЛ. II
Лемма 7.8. В условиях теорем 5.1, 6.1 имеют место пред-
представления
где
4i=i
— 1Ъ хъ К) 4-
G.32)
+ [Х/з + (K-l) uxft. + (X + 1)щуЛ2) Gff (P, Q)} dIA
В формуле G.32) G?f — тензор Грина двумерной краевой за-
задачи В (§ 3, п.7).
Пусть точка Роесо. Рассмотрим полукруг S\ (Po) (Рис 6),
являющийся пересечением круга Sa (Ро) (А << Л) и полосы S и
не имеющий общих точек с со*.
Лемма 7.9. В условиях теорем 5.1, 6.1 имеют место пред-
представления
ut (Р) = J2Bt —
где
a) (X/i
G.33)
Доказательство лемм 7.7—7.9 вполне аналогично доказатель-
доказательству лемм 7.5, 7.6 и поэтому приводиться здесь не будет.
Примечание. В случае задачи II в формулах G.27),
G.31), G.32), G.33) можно к перемещениям ut добавить жесткие
смещения, допускаемые граничными условиями. Такие представ-
представления приходится, например, использовать при анализе поведе-
поведения решений задачи II, если | хг \ -> оо.
Дополнительные данные о дифференциальных свойствах обоб-
обобщенных решений даются леммами 7.10 —7.14.


§ 7]	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ 93
Лемма 7.10. Пусть в условиях теоремы 5.1 в некотором
круге SA*(Po)F^LqisA*(j>o)\ qi>p[>i- В этом случае обобщен-
обобщенное решение задачи I a ЕЕ W^^Po)? причем
0<8<А, А + 8<А*. G.34)
Будем исходить из представлений G.27), Рассмотрим два
случая:
1) 1 < Qi < 2. В данном случае, очевидно, f ] е LgisA(P0) при-
причем, как это видно из G.29),
11 & lW < т (S1 ^
Далее, правые части G.27) суть интегралы типа потенциала, при-
причем сингулярные операторы, получающиеся их дифференцирова-
дифференцированием по xt в силу леммы 3.4, ограничены в любом Lp; p ^> 1. От-
Отсюда следует, что а е Wl^Po)' пРичем
Из G.35), G.36) и вытекает G.34). Лемма для данного случая до-
доказана.
2) 2 < qlu В силу 1) в данном случае а е W^A_5(P0),
G.37)
Из теоремы вложения C.22) и G.37) вытекает, что а е
причем q — любое и, значит,
\а\ о,	<i»Ai.	G.38)
wgiSA_8(P0)
Из G.29), G.38) следует, что F* e UsA_8(Pr), ричем
tF'hsAMv,<m&	G-39)
или в силу произвольности А, б


94	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. II
Из представления G.27) и G.40) в силу леммы 3.4 имеем
^Po)) причем
что в силу произвольности А, б эквивалентно G.34). Лемма 7.10
доказана.
Лемма 7.11. Пусть в условиях теоремы 5.1 в некотором
полукруге Si* (Po) F €= Ц^а* W, ?i > р[ > 1. В этом случае
обобщенное решение а задачи I ЕЕ W^sa-8(p0). При этом имеют мес-
место неравенства
0<б<А, А + б<А*. G.42)
Лемма 7.11 доказывается так же, как и лемма 7.10, с использо-
использованием представления G.30).
Лемма 7.12. Пусть выполнены условия теоремы 6.1. Пусть,
далее, в некотором полукруге *Sa*(Po) JPeL^a* (Po); q± > р'п,
Pi2 ^> 1 • В этом случае обобщенное решение задачи II а ЕЕ W^2)s > (Ро),
причем имеет место неравенство
; 0<б<А, Л + б<А*. G.43)
Будем исходить из представления G.31). Для доказательства
заметим, что J$Bt дается интегралом, распространенным по двум
отрезкам А —б ^ | хх— I^^A. Поэтому в полукруге /5а-5(Ро)>
0<6<A, J$Bt — непрерывная с производными любого поряд-
порядка функция.
Из C.18), G.31) с помощью неравенств Коши — Буняковско-
го — Шварца получаем
и в силу произвольности б, А
Рассмотрим, далее, два случая:
1) 1 < qx ^ 2. Очевидно, здесь $7e:L х , причем
G.45)


§ 7]	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ 95
Далее, в силу леммы 3.4 и G.45) получаем:
Из G.31), G.44), G.46) и вытекает G.43), так как б у нас, в сущ-
сущности,— произвольное число, удовлетворяющее соотношению 0 <<
<^6<;А. Лемма в данном случае доказана.
2) 2<^qx. Очевидно, здесь в силу 1) можно считать, что
<4
w	б<А*.	G.47)
2S^(P0)
По теореме вложения C.22) а ЕЕ WA\ при любом q
Q& д (Ро)
Ialw(D ONIWB) <гпА2А+ъ.	G.48)
2S^(P0)	2S^(P0)
Но тогда, очевидно, tfjEzl- Qi/T34 и согласно G.31) и лемме 3.4
о1/пч и справедливо неравенство:
5.	G.49)
Из G.46), G.49), учтя, что б, А связаны лишь условием 0 <; б <<
< А; А + б <; А*, а в остальном произвольны, получаем G.43).
Лемма 7.12 доказана.
Лемма 7.13. Пусть в условиях теоремы 5.1 в некотором
полукруге S\ (Po) JPe LQlsA(p0); q± > р[ > 1. Пусть, далее, на пе-
пересечении У?х и S\ (Ро) касательные и нормальные усилия Д, /3 е
е Lg2; q2 > p'2 > 1. В этом случае обобщенное решение задачи I
а е И^А_8(Рв); q = min [jzr^ ; 2^2j , если 1 < gx < 2, и ? = 2g2,
> 2.
этож имеют место неравенства:
IaIwd)	<i
Й| (Ро)
G.50)
Доказательство базируется на представлении G.32). Учтем,
во-первых, что на основе леммы 3.2 и C.22)^/2В^ WA)g2 ,


96	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. II
причем
|/22b||w(d <"*(INw<i) +11 A
Далее, если qx <; 2, то в силу леммы 3.4 J\% ЕЕ WBL и, значит,
^1 А' °'
/гве WAJg 2 , причем в силу C.21)
-i=iTSA(Po)
II Лв ||w(i)	< т (|| а || A) + || FI	) < mAi. G.52)
Из G.32, 51, 52) получаем:
S	1	G.53)
откуда и вытекает G.50). Если qx ^> 2, то на основе доказанного
мы сразу получаем утверждение леммы 7.13.
Лемма 7.14. Пусть в условиях теоремы 5.1 в некотором
полукруге S\ (Po)
В этом случае обобщенное решение задачи I aEE Wl1^ , Q =
^sA5(po)
= min («r-~, 2q2, 2q3), ^^w qx < 2. Ec^u ^
. \z —gi	у
2g3). При этом имеет место неравенство
= min («r-~, 2q2, 2q3), ^^w qx < 2. Ec^u ^ > 2, ттго g = min Bg2,
\z —gi	у
w	¦	G.54)
3Sl_5(Po)
Рассмотрим представление G.33). В силу леммы 3.6 /2б
wA)
G.55)


§ 73	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ 97
Далее, из леммы 3.5 следует, что J\b €E WA) 3 , причем
VI. G.56)
Рассмотрим теперь два случая.
1) К ft < 2. Здесь в силу C.11LeW Ml
2-gi
<™(INW(D +1П n43.,J<mAA. G.57)
Из G.33), G.55), G.56), G.57), следует, что а е W?^, m ч, причем
IIа La)
откуда и вытекает G.54). Лемма в данном случае доказана.
2) 2 < дг. В этом случае J\B e W^3 (Po), q — любое и
3
2S|(PO)
^2,2^3).	G.58)
Из G.33), G.55), G.56), G.58) имеем
1	G.59)
откуда и следует G.54). Лемма 7.14 доказана.
Рассмотрим один важный частный случай, когда в некоторой
окрестности Ро (для простоты будем считать, что Ро совпадает с на-
началом координат) F == О, Д == 0, а /2 е W^J, ? ]> 1.
В этом случае, как легко видеть, в представлении G.33) J\b
будет распространен по полукольцу ?2 > О, (А — бJ <; ?? +
+ ?г ^ А2. Следовательно, в некоторой окрестности Ро /2б будет
непрерывной функцией координат. Далее, /2Б дается интегралом,
распространенным по двум отрезкам —А ^ ?х ^ —А + б, А —
— S ^ |х ^ А, и тоже будет непрерывной функцией координат в
некоторой окрестности Ро. Что же касается /2в, то несложными
рассуждениями на основе леммы 3.2 убеждаемся, что /2в G W^ в
некоторой окрестности Ро. Таким образом, в этом случае а е= W3V
в той же окрестности Ро.
4 И. И. Ворович и др.


98	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. II
Примечание I. В леммах 7.10 —7.12 и в частном случае
леммы 7.14 установлена принадлежность обобщенного решения а
в некоторой области пространству Wj?\ В силу теоремы вложения
(формулы C.20), C.21)) в этой области справедливы соотношения
а ее Во	, ах ЕЕ L 2f7l , если 1 <; qx << 2. При этом справед-
ливы неравенства:
« а И 2 (х „1_у ||а|^ <m{Ai,A2A}.	G.60)
Во V	«i '	2-gi
Если ^ = 2, то в соответствии с C.22) а ЕЕ Bq при любом [л/ <;
<С 1; axt ее Ц при любом 1 << g << оо и
Вл
; IK IL < т {ЛХА, Л1}.	G,61)
1 —•
&сли gi>2, то aeBi Ql и
|а||1___1_<т{Л1А,Л2А}.	G.62)
Bi ai
В леммах 7.13—7.14 установлена принадлежность а пространству
<7-2
W(~1}, 'g ^> 2. По теореме вложения а Е Воч , причем
G.63)
Примечание П. В условиях теоремы 6.1 для решений
задачи II неравенство G.34) будет справедливо, если qx > р'п,
Л.2>1; неравенство G.50) будет справедливо, если qx > р[г,
Pi2 > 1; #2 > Pa» P22 > 1; неравенство G.54) будет справедливо,
если дх > ри, р[2 > 1; g2 > p2i, g3 > 2.
3. В данном разделе рассматриваются аналитические свой-
свойства решений при отсутствии массовых сил и поверхностных наг-
нагрузок.
Теорема 7.2. Пусть в условиях теоремы 5.1 (соответст-
(соответственно 6.1) массовые силы F тождественно равны нулю. В этом
случае
1)	всякое обобщенное решение задачи I (соответственно II)
есть аналитическая функция xt в каждой внутренней точке 5,
2)	а можно аналитически продолжить черея У?21
3)	пусть, далее, на некотором интервале (а, Ъ) CZ о)* внешние
нагрузки f± = /3 = 0. В этом случае а аналитически продолжает-
продолжается через любой отрезок [cd] CZ (a, b),


§ 7J	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ 99
В силу теоремы 7.1 всякое обобщенное решение задачи I (соот-
(соответственно II) бесконечно дифференцируемо во всех внутренних
точках S, и, следовательно, дважды непрерывно дифференци-
дифференцируемо.
Аналитичность решений уравнений двумерной теории упру-
упругости в этом случае доказана Н. И. Мусхелишвили [10]. Анали-
Аналитичность а можно также установить из G.27). В самом деле, при
jTi = $ ъ — 0 интеграл в правой части G.27) фактически распро-
распространен на круговое кольцо А — б^г^А с центром в точке
Ро. Пусть точка xt пробегает круг 5i (Po). В этом случае
~2
в области интегрирования G.27) Gf? являются аналитическими
функциями своих переменных и разлагаются в равномерно и аб-
абсолютно сходящиеся ряды вида
Gf? (а* - llt xt, U) = 2 eft 1\%Ы3&-	G-64)
Указанные ряды окажутся равномерно и абсолютно сходящимися
и после интегрирования в правой части G.27). При этом мы полу-
получаем равномерно и абсолютно сходящиеся ряды по хи х2 для а.
Утверждение 1) доказано. Для аналитического продолжения обоб-
обобщенного решения задачи I через У?2 рассмотрим представ-
представление G.30).	• >
При $х = $% = 0 интегрирование в правой части происхо-
происходит лишь по полукольцу А — б ^ г ^ А, ?2 > 0 (см- Рис- 6).
Когда хи х% изменяются в любой области, не имеющей общих точек
с данным полукольцом, интегралы в правой части G.30) оказыва-
оказываются регулярными. Они имеют любое число непрерывных произ-
производных, в частности, удовлетворяют уравнениям плоской задачи
теории упругости и в точках полуплоскости х2 ^ 0, за исключе-
исключением вышеупомянутых двух отрезков. После этого аналитичность
щ вытекает, например, непосредственно из теоремы [10]. Ее также
можно установить и используя примененное выше разложение
Gf? в ряды. Поскольку точки Ро, А, б были выбраны нами произ-
произвольно, то ясна возможность аналитического продолжения че-
через всю линию «%V Аналогично доказывается возможность ана-
аналитического продолжения обобщенных решений задачи II через Жг
(с использованием представления G.31).
Для доказательства п.З теоремы рассмотрим некоторую точ-
точку Ро ее (а, Ъ). Можно построить отрезок на CfCx с центро i в Ро
длины 2А такой, чтобы он целиком принадлежал (а, Ь). Рассмот-
Рассмотрим теперь полукруг 5а (Ро) и для него представление G.32).
Соотношение G.32) и дает продолжение а в круг Sa-ъ (Ро)- В этом
легко убедиться, используя такие же рассуждения, какими уста-
устанавливалась возможность продолжения через Жг.
4*


100	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ	ЙГЛ. II
§ 8. Поведение решений задачи I на бесконечности
1. При постановке задачи I мы не делали никаких априорных
предположений о поведении решений на бесконечности. Вместо
них использовалось более естественное с механической точки зре-
зрения условие конечности потенциальной энергии полосы. Из это-
этого условия и будут получены точные характеристики поведения
решений задачи I на бесконечности.
Теорема 8.1. 1) Для всякого обобщенного решения а задачи
I в условиях теоремы 5.1 справедливы неравенства:
I о, (Ро) | < тх (Ро) + тг (Ро) Ъ^ (| хг | - К) + т3 (Ро) Ър* {\хх\- Ь),
(8.1)
где mt (Po)> i = 1, 2, 3,— ограниченные в замкнутой полосе S
функции точки Ро, причем mt (Ро) ->¦ 0 равномерно в S, если ||
-> оо;
2) При F ?5 0
3fc»fc,«^>0, если \х1\->оо, А! + ^2>0	(8.2)
Х1 Х2
в любой полосе 0 ^ х2 <^ Ь,г <C.h равномерно относительно х%,
3) если F = 0, /х ^ /3 ^ 0 на со*, то (8.2) справедливо во всей
полосе S равномерно относительно 0 <^ х2 ^ h. В (8.1) — (8.2)
#ъ #2 — координаты точки Ро.
Для доказательства утверждения 1) рассмотрим представле-
представление G.27) и вытекающее из него неравенство G.34). Поскольку,
как это следует из теоремы 4.2, рг <^ 0, то будем иметь
A(P0)
_?!	JBi.
<HL(D +1*Ъ PiI!l .	max
W2SA (Po)	PlSA(Po) PeSA(P
Далее из G.60) — G.62) получаем:


§ 8J	ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ I НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
Пусть теперь гп1 (Ро) = т \\а| A) ; m2(P0) = m\\Fb Pl (Lv .
WSSA(Pe)	Р1 А(Ро)
В силу теоремы 4.1 aEWas, а по условиям теоремы E.1)
Pi
Fb 1eLp's (Po) и, следовательно, тх,т2,->0, когда Ро-*00-
X А
Соотношение (8.1) доказано, таким образом, в полосе 0 < б <;
^ х2 <J h— б, где б < у и любое. Рассмотрим пограничную по-
полосу 0 ^ х2 <^ б. В этой полосе справедливы представление G.30)
и соответствующее неравенство G.42), которые на основе анало-
аналогичных рассуждений приводят к справедливости (8.1) в полосе
0 <; x2^h — б. В пограничной полосе h — б ^ х2 <; h рассмот-
рассмотрим представление G.32) и вытекающее из него неравенство G.50).
Поскольку в условиях теоремы 5.1 pi^> 11 р'2^> 1, то q^> 2 и
можно использовать неравенство G.62), из которого следует
2L	-.2L
a(P0)|<m{|a|w«J + Ъ^ {\хх \ - А) 1 Fb Ч,-* (Р<) +
* А \ о/	1 А
Уг	V»	Pi
+1№'Ч	J,. (8.5)
2	А	2	А
При выводе (8.5) учитывалось, что в силу D.9) р2<^0. Пусть
Ра	Ра
теперь т3 (Ро) = тII ЛЬ Ра ||l , п +т II /зЬ 2 IIl ,	• По-
Р2	Р2
скольку по условию теоремы 5.1 ДЬ 2 , /3Ь 2E=L ' *, то, оче-
очевидно, m3(P0)->0, если |^!|-»оо. Из (8.5) в этом случае следу-
следует (8.1). Таким образом, (8.1) доказано во всей полосе О^а^^Л.
Для доказательства утверждения 2) снова рассмотрим G.27),
положив там F = 0. В этом случае интеграл в правой части G.27)
оказывается распространенным по кольцу СА,& (Ро), А — б<;
^ г <; А из-за наличии у слагаемых /* множителей %', %". Если
рассмотреть а в круге Sx (Po)> т0 интегралы правой части
G.27) будут регулярными и их возможно дифференцировать


102	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. It
любое число раз. Вследствие этого имеем:
д
ut	J	Xl X2	Xl
cA,5(po)
откуда имеем Ca,5(P0)
I dx*lxf<I <11 ^G??|!4Ca5(Po)IF||L2CAiS(Pe).
3—1
Далее, первый множитель в правой части данной формулы есть
некоторая постоянная, зависящая от к19 к2, р, А, б, а второй мно-
множитель стремится к нулю при Ро-> + оо, так как JP* Ez L2s« Та-
Таким образом, соотношение (8.2) пока установлено в любой полосе
0 < h2 ^ х2 ^ hi < А. Рассмотрим представление G.30). Интег-
Интеграл в правой части G.30) при $^ = 0 оказывается распространен-
распространенным по полукольцу СА,5 (Ро)> определяемому соотношением \2 >
>0; А — б^г^А, и можно применить весь предыдущий ход
рассуждений, так как этот интеграл оказывается регулярным.
В результате приходим к выводу, что соотношение (8.2) будет спра-
справедливо и в любой полосе 0 <^ х2 <; h± < h. Таким образом,
(8.2) можно считать установленным в любой полосе, 0 ^ х2 <^
^ Уьх < h. П. 2) теоремы 8.1 доказан.
Для доказательства п. 3) остается лишь рассмотреть поведе-
поведение а в полосе 0 < h2 ^ x2 ^ h, примыкающей к Cf?x. Для этого
рассмотрим представление G.32). При F = 0 и Д ^ /3 = 0 на
(jo* J2B дается интегралом, распространенным на полукольцо А —
— б ^ г <; А, %2 < h, a J|b дается интегралом, распространенным
по двум отрезкам А — б <^ 111 ^ А. Таким образом, если рас-
рассматривать а в полукруге 5у2(А-Б), то оба интеграла оказываются
собственными и их можно дифференцировать сколь угодно большое
число раз. Дальнейший ход доказательства соотношения (8.2) в
полосе 0 < /&i <; х2 <; h не отличается от предыдущих рассужде-
рассуждений. П. 3) теоремы 8.1 доказан.
Легко видеть, что учет жесткого смещения в формулах G.27),
G.32) не меняет оценки (8.1). Таким образом, теорему 8.1 можно
считать доказанной полностью.
2. Изучим более детально поведение решений задачи I при
хх -> + оо в предположении F = 0, /х = /3 = 0 на со*. Пусть D,
б — два таких числа, что множество w содержится внутри отрезка
| хх | <. D — б, х2 = h. Пусть % (х±) — срезающая функция, постро-
построенная для постоянных D, б в соответствии, с § 3, п.9 Пусть, далее,
Очевидно, а ^ а при хг > D; а ^ 0 при хг ^ D — б. Далее,
в силу теоремы 7.1 а — бесконечно дифференцируемая функция в


§ 8]	ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ I НА БЕСКОНЕЧНОСТИ	ЮЗ
полосе 0 <^ х2 ^ h. Для ее составляющих легко получить систему
дифференциальных уравнений:
КвХ1 + Дйх = кг; к, = (К + 1) (хХ + 2X'u1Xl) + К%'щХ2,
КвХ2 + Ш2 = к2; к2 = %"щ + 2%'щХ1 + КХ'и1Х2,	(8.6)
и граничных условий
иг |аг, = й2 |Л = О,
(8.7)
а*
[(ff-l)ff:
Рассмотрим
/i ~ \
LXi + (^ + 1) U2xa] |a
преобразование
оо
—с»
Фурье
1
й4 = (i? — l)x'Wi.
Й* вектор-функции а:
оо
- \ а {хъ х2) e^^dxx. (8.8)
D-5
Поскольку в силу теоремы 8.1 а ->• 0 при ^ ->¦ + °° равйомерно
относительно 0 <; х2 ^ h, то а* (^, a:2) есть аналитическая функция
параметра h = ^ + й2 в полуплоскости Ла > 0 [11]. Это же обс-
обстоятельство будет иметь место и для любой производной д к2а*.
^	*2
В целях более полного анализа зависимости 5* от X произведем
преобразование Фурье краевой задачи (8.6), (8.7). В результате
получаем:
u*ix2x2 — Kilu2X2 — A + К) Х2й[ == к[ (к, х2),
(К + 1) и2Х2Хг — Къки1Хг — Х2и2 = Ага (А., ж2),
(8.9)
^2)к=л = ^зг	(8.10)
> й*2Х2 — (К — 1) iXul] \X2=h = /C4,	(8.11)
'у* 	 'у* 	 Г|# 	 Г\	/Q Л ОЧ
где
оо	D
т-Lr- ^ к*е*хч1хи	(8.13)
Очевидно, к* являк?тсд целыми функциями параметра	X [3, 7],


104	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. II
Введем теперь тензор Грина Ж$ (х2, v\2, X) для краевой задачи
(8.9) — (8.12). .Т/у (х2, т]2, ^) определяются из системы уравнений
= 0,	(8.16)
) L
В формулах (8.14) б (#2) — функция Дирака, б^ — символы
Кронекера. С помощью CfC^ (x2, 1|2, Я) Щ находятся в следующем
виде:
щ (к, х2) = — к\жа (x2i h, к) — к{жп (х2, К К) +
h
1 Жа {хъ г,, %) к{ (г,, X) + Я\а (х%, т|, X) к\ (ч, '
Для dtftj могут быть получены явные формулы, так как система
(8.14) имеет постоянные коэффициенты. Однако эти формулы доста-
достаточно громоздки, и мы приведем лишь необходимые сведения отно-
относительно Жф на основе которых и будет изучена'зависимость й\ от X.
Прежде всего отметим, что Ж^ (х2, v\2, Я) — мероморфные
функции X — при любых 0 <; x2i т]2 < ft, представимые в виде:
где Dtj (х2, т]2, Я) — некоторые целые функции параметра X.
D<j (#2> Лг» ^) в принципе легко строятся, поскольку, как уже
указывалось, (8.14) имеет постоянные коэффициенты. Формулы
(8.18) осуществляют аналитическое продолжение а* из верхней
полуплоскости в нижнюю, но уже в виде мероморфной функции,
полюса которой совпадают с нулями Di (Xh), лежащими в нижней
полуплоскости.
Лемма 8.1. Нули целой функции Di (z) образуют множество,
симметричное относительно мнимой и действительной осей
плоскости. Асимптотика больших нулей дается соотношением:
zn ~ ± In n ± inn; п =± 1, 2, . f ,	(8.20)


8j
ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ I НА ЁЕСКОЙЕЧНОСГЙ
Формула (8.20) непосредственно вытекает из уравнения
^ = 0; z=W, (8.21)
и более детально будет обоснована в § 22.
Значения корней уравнения (8.19) приведены в табл. 1.
Рассмотрим теперь плоскость П комплексной переменной Я
и окружим каждый корень уравнения (8.21) кругом достаточно
малого радиуса о, так, чтобы каждый такой круг содержал лишь
л
м,
м,
А/,
Рис. 7.
Рис. 8.
один корень (8.21). Плоскость с выброшенными кружками обо-
обозначим через По (рис. 7).
Лемма 8.2. На множестве По имеют место оценки:
\д fri n2Mttj\^:m(kuk2io)\'k\u1Cl+Ki,	(8.22)
где т (kx, k2, о) зависит лишь от кг, к2, о. Формулы (8.22) спра-
справедливы При О <^ Х2 <^ TJ2 ^ h U При О ^ ТJ <^ ^2 ^ ^»
Отметим, что оценки в интегральных нормах обратных опера-
операторов для широкого класса эллиптических систем, содержащих
параметр, имеются в работе [1]. Оценка (8.22) получилась равно-
равномерной, так как она выведена на основе анализа явных формул для
Wtj. Этот анализ достаточно элементарен и здесь не приводится.
Лемма 8.2'. При любом целом р* > 0 имеет место оценка:
I Л! К -^2- e^D; X = bi + **¦!	(8-23)
Оценка (8.23) получается непосредственно интегрированием
по частям формулы (8.13).


106	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. It
Лемма .8.3. При любых целых к2, р* > 0 в По имеют место
оценки:
(8-24)
Неравенство (8.24) вытекает из (8.18), (8.22), (8.23).
В дальнейшем через Пв+а^к будет обозначаться прямоугольник
0	^ х2 ^h; D + Si <^ хг <^ R. В частности, IId+Sj, о© есть полу-
полуполоса 0 <; х2 ^ h; D + Si < xi <C °° •
Теорем а 8.2. Всякое обобщенное решение а (щ; и2) задачи
1	при условиях F = О, Д ^ /3 = 0 «а со * представляется в полу-
полосе Пх)+51)ОО; бх ^> 0 равномерно сходящимся рядом
	 °°	i	i _г tii
а (а?!, х2) = у 2я i ^ ° Спфп f zn, -~] в п h ,	(8.25)
n=i
где фп — собственные векторы однородной краевой задачи (8.9),
N2
(8.12), Сп — некоторые функционалы от решения а. Знак 2
71=1
(N2 может быть и бесконечным) означает, что суммирование в
(8.25) ведется по парам корней уравнения (8.21) вида zn = zln -J-
+ Щп'> —2n = — zln + J^2n> лежащим в нижней полуплоскости. Ря-
Ряды (8.25) можно сколь угодно раз дифференцировать по х±, хъ и мы
снова будем получать равномерно сходящиеся в Пв+5Ь оо ряды.
Для доказательства рассмотрим полуполосу Пв+5ьоо. Обратное
преобразование Фурье от а* к а дается соотношением
\ да* ( йучг**4Х	(8.26)
Мы уже отмечали, что 3 fcl а* (Я, ^2) суть аналитические функ-
функции Я при А,2 > 0. Далее, в силу оценки (8.24) достаточно взять,
например, р* = Лх + ^2 + 3, чтобы убедиться в равномерной
сходимости интеграла (8.26) на любой прямой — с» ^ Кг ^
^ + оо, Я2 ]> 0. Данное обстоятельство в совокупности с фактом
бесконечной дифференцируемое™ а позволяет считать обратное
преобразование (8.26) обоснованном. Рассмотрим, далее, в ком-
комплексной плоскости Я прямоугольник М1М2М3М4 (рис. 8). Имеем:
м8	м3
М2
{ ?Х|А )	+ \ Xt2 ( f	(8.27)
M3 '


§ 8]	ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ I НА БЕСКОНЕЧНОСТИ	Ю7
В правой части (8.27) Jn — сумма вычетов функции дх^г а*
(—iX)ki e~iXXt относительно корней Хп (8.21), попавших в МхМгМзМ^
Предполагается, что стороны прямоугольника не содержат корней
Dx (Щ = 0. Устремим теперь MiM^n M2M3 к бесконечности.
В силу соотношений (8.20) при достаточно большом удалении
МХМ4 и М2М3 попадают в По, где имеют место оценки (8.24), и
на этих отрезках будут справедливы неравенства:
^ | МгМз | т (fcs, р )
Поэтому достаточно взять в (8.28) р* = 2 + кх + к2, чтобы убе-
убедиться в том, что при удалении М^М^ М2М3 в бесконечность второй
и четвертый интегралы в левой части (8.27) исчезают. При этом,
очевидно, нолучаем
-оДгХ2 Х% 2
Г*	'*'
где 62 = Х2 — | МХМ41. Из (8.26) имеем:
'iX)^e-a^dX. (8.30)
Выберем теперь Ыг = —{п + 0,5) я, где п = 0, 1, . . ., сю.
Вследствие (8.20) можно заключить, что прямая Хг + ?б2, — оо <^
<J Хг ^ оо, вся лежит в По и справедливы неравенства:
—/Г (п+0'5)л+<эо
—(п+0,5) -г-
>{ki,p*)e *	С
(8.31)
л образом, интеграл в правой части (8.30) равномерно исче-
исчезает в любой полуполосе Пв+51,оо при п—> оо. Отсюда получаем


108	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. II
равномерно сходящееся в Пв+s^oo разложение
оо
S °выч д* *Л* (^Х*) (— ft)*1*-***1;
*i>0; &2>0. (8.32)
Ход рассуждений при выводе формулы (8.32) и определяет харак-
характер суммирования 2°, описанный в формулировке теоремы 8.2.
Займемся более детальным определением коэффициентов в фор-
формуле (8.32). Рассмотрим вначале случай кх = к2 = 0 и найдем
z
вычет 5* (^, #г) при X = Хп = -^-. Поскольку все корни Di (z) —
простые (в чем легко убедиться непосредственно), то
выч a* (-J-, х 2] = lim ^^ ^ ^ , X2j ^. (8.33)
Z — Z
Z Z
Пусть у* = —jr^ • В этом случае в окрестности zn будет иметь
место разложение
^ + + S
^ + о + iT • -f S-i = выч ^* (^» жг)- (8.34)
Подставив (8.34) в систему (8.9), определяющую а*, легко по-
получаем краевые задачи для а^г (и,1Д, w,li2), 20 (йод» ,2)- • •
следующего вида:
Kizn ^	A + К) z\ ^
S
S-1.1X. - -р- й!1>8 = 0,
W
[(if + 1) u\Vt - {K~h1)tZn u_hl] Ц = 0,	(8.37)
a.ik = 0,	(8.38)
i2:ifaXi + 2 A + А') \ й:1Д,	(8.39)
-^-g:w, . (8.40)


§ 8]	ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ I НА БЕСКОНЕЧНОСТИ	Ю9
( Йо,1х2 — I ~^~ й02) | = к3 I —~ , Х2 J + ^-1,2»
[(Я + 1) й*0>2Хг - (Я - 1) i \ й;д] Ц =	I (8.41)
= к\ у\, x^j + (Я - 1) ш1хд, ^
«ок^О.	(8.42)
Из (8.35) — (8.38) вытекает, что
а\ = Спф?,	(8.43)
где вектор-функция фп(ф?хг1, фп2) — собственная вектор-функция
краевой задачи (8.9) — (8.12), соответствующая собственному
числу Хп, а Сп — некоторая постоянная. Функции ф^, фп2 даются
соотношениями
фш = ^—?	2n ch znj I ^ sh zn — + — ch zn -у 1 +
(8.44)
Постоянная СЛ должна определяться из условия разрешимости
краевой задачи (8.39) — (8.42). Это условие может быть получено
с помощью собственной вектор-функции if1 (г^, г|)п2) задачи,
сопряженной к (8.35) — (8.38). Для гр1 имеем
я|& = фпх; ^п2 = - фп2 *	(8.45)
Для Сп при этом получаем
К (V h) Фад (гп- *) - К (V й) <Рп2 (V
(8.46)
Таким образом,
выча*(Ма)=Сп?*,	•	(8.47)


НО	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. II
и разложение (8.32) в этом случае имеет вид
°°	-iz —
г 2°Cn<p*e п h .	(8.48)
n=i
Из формулы (8.46) видно, что если корню zn = znl + izn2 соот-
соответствует в разложении (8.48) коэффициент Сп, то корню —znl +
+ iZnz соответствует коэффициент Сп. Кроме того, из (8.44) легко
видеть, что этому же собственному числу соответствуют собстве-
ные функции — фп1, — Фп2- Поэтому разложению (8.48) можно
придать следующий вид:
! 21 X
n=l
. . ( л i f	#2 \ " Zn'Г i p „I /	= ^.1 й и ft I	/Q /Q\
Здесь суммирование ведется по всем корням уравнения (8.21),
расположенным в четвертом квадранте. Аналогичный анализ про-
производных рядов (8.32) приводит к формулам:
о		l/rr * У Г я гп1 i г У2 ] р п h
п=1	^	'
Формулу (8.50') можно также записать и в следующем виде:
n=i
Ц^)( ^^} ¦ (8.51)
Суммирование в правой части (8.51) производится по всем корням
уравнения (8.21), расположенным в четвертом квадранте. Такое
же рассмотрение можно произвести и для любой полуполосы
II_(Df5i\-ос. Теорема 8.2 доказана.
3. На основе (8.30) можно установить и точные характеристи-
характеристики поведения задачи 1 на бесконечности. Выберем б2 так, чтобы
в полосу 62 <! Я2 <^ 0 цопала ровно одна пара корней уравнения


§ 8]	ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ 1 НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
(8.21): zn -f iz±2, —zn + Щ2' В этом случае будем иметь
(8.52)
Оценивая, как и в теореме 8.2 интегральный член в правой
части (8.52), будем иметь
I	^). ¦ (8.53)
При этом, очевидно, в правой части (8.53) можно брать
А = — (*22— 8)?	ГДе Z22<C8<C0» Z22 = lm Z2.
Аналогичное рассмотрение можно провести и в случае хх —> — со.
Вышеизложенное даст возможность сформулировать следующий
факт.
Теорема 8.3. Пусть F = 0 w ^ = /3 = 0 «а со*. Б эягял^
случае для обобщенного решения задачи I при достаточно больших
хх имеют место оценки
С1ф1 (- SFlf -^),Г21 X]} | < ^^ ^. (8.54)
Аналогичная оценка может быть получена при достаточно боль-
больших по модулю отрицательных х±.
Еще раз отметим, что zx = zn + i%2 есть наименьший по мо-
модулю корень уравнения (8.21), лежащий в четвертом квадранте,
a z2 = z2l + iz22 — следующий по модулю корень, также лежа-
лежащий в четвертом квадранте. Численные значения корней урав-
уравнения (8.21) приведены в табл. 1.
Вопрос о поведении решений бигармонического уравнения
в полосе на бесконечности рассматривался в [25]. В работах [22,
24] устанавливается полнота однородных решений для бигармо-
нической задачи. Весьма общий результат о полноте однородных
решений содержит работа [20], обзор работ имеется в [23]. При-
Примененный здесь прием приводит к теоремам о представлениях ре-
решений с помощью однородных решений. Кроме того, он без се-
серьезных изменений может быть применен и к исследованию пове-
поведения решений в слое, что будет показано ниже.


112	исследование Смешанных задач дли йоЛось! Сгл. И
§ 9. Поведение решений задачи II на бесконечности
1* Метод исследования поведения решений задачи I на бес-
бесконечности переносится без каких-либо существенных изменений
и на случай задачи II. Поэтому мы ограничимся лишь формули-
формулировкой основных результатов, не приводя их доказательств.
Теорема 9.1. 1) Для всякого обобщенного решения а задачи
II справедливы неравенства:
! иг - с19 и2 | < шЪ^ ( | хг | + h); е > 0.	(9.1)
В (9.1) сг — нуль-проекция а.
2)	Если дополнительно F = 0, то в любой полосе 0 < #2 <^
^ hx <^h имеют место предельные соотношения
дх№> (ui — сь Щ) < тЪ^ (\Xl\ + h); кг + к.2 > 1, (9.2)
равномерно относительно х2, е ^> 0.
3)	Если дополнительно Д ее= /3 ^ 0 на со *, то тогда соотно-
соотношение (9.2) выполняется во всей полосе 0 <^ х2 ^ h равномерно
относительно х2.
Отметим лишь, что при доказательстве теоремы 9.1 целесооб-
целесообразно использовать непосредственно представления G.27), G.31),
G.32), составленные для иг — с1? и2, где сг — нуль-проекция
решения задачи II. Далее, поскольку в задаче II не доказана при-
принадлежность их — сх L2s, то здесь необходимо при изучении по-
поведения решений на бесконечности применять оценки теоремы
4.4, ц. 1), 2).
2. При более детальном анализе поведения решений задачи
II нужно учесть, что одно из граничных условий A.2) иг = 0
заменяется граничным условием A.7). В соответствии с этим пре-
претерпевает изменение и краевая задача (8.9) — (8.12). Здесь
вместо условия (8.12) появляются соотношения:
щ\Хш=0; ^|л=0.	(9.3)
Соответственно меняется тензор Грина задачи, и полюса резоль-
резольвенты определяются соотношением
Dn (z) = 0; Dn = 2z + sh 2z; Kh = z/ (9.4)
Собственные функции q>S; ?=1,2, однородной краевой задачи
(8.2) — (8.11), (9.3) даются соотношениями:
-Ь (l + 4") ^]8Ьг + ^shz сЬг
(9.5)


§ 91	ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ II НА БЕСКОНЕЧНОСТИ	ЦЗ
Собственные функции сопряженной задачи даются соотношениями
Теорема 9.2. Всякое решение а (ии гг2) задачи II при
условиях F = 0; Д = /3 ^ 0 на со* представляется в полуполосе
~	0. равномерно сходящимся рядом
где ер" — собственный вектор однородной краевой задачи (8.9) —
(8.11), (9.3), Сп—некоторые функционалы от а.
Для них можно составить формулы, аналогичные (8.44), ко-
которые здесь за ненадобностью приводиться не будут. Знак 2°
означает, что суммирование (9.7) ведется по парам корней урав-
уравнения
1 + ^L = о; z = М,	(9.8)
вида zn = znl + izn2, —zn = —znl + izn2, лежащим в нижней
полуплоскости. Ряды (9.8) можно сколь угодно раз дифференци-
дифференцировать по #х, х2, и мы снова будем получать равномерно сходя-
сходящиеся ряды.
Формуле (9.7) можно придать следующий вид:
OCt	- Xi
- 2 ГСпФ? (*». -г) e"lZn h + СпЧ? ( - Fnf 4f-) /^ * 1 . (9.9)
Здесь уже суммирование ведется по корням уравнения (9.8),
лежащим в четвертом квадранте.
Такое же рассмотрение можно произвести и для полуполосы
П
3. Более точные, чем (9.1), (9.2), оценки поведения решений II
на бесконечности дает теорема 9.3.
Теорема 9.3. Пусть F == 0, /х = /3 = 0 на со *. В этом
случае для обобщенного решения задачи II при достаточно боль-
больших хг имеют место оценки
- /2
57


Н4	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. II
равномерно относительно 0 <^ х2 ^ h при любом z22 <C 8 <С 0.
Аналогичная оценка может быть получена и при достаточно
больших по модулю отрицательных хх. Напомним, что z± — наи-
наименьший по модулю корень уравнения (9.8), лежащий в четвертой
четверти, a z2 — следующий по модулю корень, также лежащий
в четвертой четверти. Численные значения корней уравнения (9.8)
приведены в табл. 1. Асимптотика этих корней дается формула-
формулами B2.6).
§ 10. Представление решений задач I, II
в окрестности особых множеств границы
1. В § 7 были рассмотрены свойства обобщенных решений задач
I, II в областях, не содержащих особых точек границы, к которым
мы относим концы отрезков ak, bh. При отсутствии массовых сил
и поверхностных нагрузок на о* основной результат здесь сво-
сводится к тому, что в точках, не принадлежащих со, решения суть
аналитические функции координат. В областях, примыкающих
к о , степень гладкости а определяется степенью гладкости /2 (хх) —
функции, дающей перемещения и2 на со-
В данном параграфе будет предполагаться отсутствие массовых
сил, поверхностных усилий на со* и касательных на со. Мы полу-
получим явные представления решений в окрестности каждой из осо-
особых точек ak, bk (к = 1, . . .Jf). Следует отметить, что для одного
эллиптического уравнения общего вида представление решений
в окрестности конических точек изучалось в фундаментальных
работах [6, 18].
В нашем случае мы имеем дело с сильно эллиптической систе-
системой, кроме того, будут использованы гельдеревы нормы, более
естественные в наших задачах. Вследствие этого произведено
специальное рассмотрение этого вопроса.
Лемма 10.1. Пусть / (г) sLp на [0, D] р > 1. В этом
случае
D
\ Цг)г>-Чг\ 0<6<D,	A0.1)
есть целая функция,
D
2)	h(X) = ^f(r)r*-W	A0.2)
есть аналитическая функция параметра X = Хг -J- ik2 в полупло-
полуплоскости Хг^> 1/р.


§ 10]	РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБЫХ МНОЖЕСТВ	Ц5
Для доказательства совершим в A0.1) замену г = ег, в ре-
результате чего получаем:
lnD
Jx(X)= ^ /(е')>Л..	A0.3)
In (D-5)
Для интегралов вида A0:3) утверждение 1) установлено, напри-
например, в [3, 7].
В случае A0.2) рассмотрим последовательность Д (г), опреде-
определяемую соотношением
7 (г); 8<г<Х,
Считая в A0.2) К лежащим в полуплоскости кх ;> Хо ^> — , имеем:
D	. е •
h № -• J»W = J [/(г) - Д (г)] г^Уг = J / (г) г^-Уг. A0.5)
о	о
Из A0.5) получаем:
О
V
dr
Из A0.6) вытекает, что при Хх > Яо > — последовательность це-
целых функций J2e (Я) сходится равномерно к функции J2 (Я),
которая, таким образом, является аналитической в любой полу-
полуплоскости Ях ;> Яо ^> — . Лемма 10.1 доказана.
Лемма 10.2. Пусть f (r) — функция, равная нулю вне от-
отрезка [D — б, D], 0<^6<^D, удовлетворяющая на всей беско-
бесконечной прямой условию Гелъдера с показателем jjt ^> 0. J5 этом
случае- при Х2 Ф 0 имеет место неравенство'.
D-5
Для доказательства учтем, что
р
ЗД= Г/(Ф:>-^г =
D-5
"B0[D-5,D}
A0.7)
A0.8)


116	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. II
Совершив теперь в A0.8) подстановку t = t — r^-., получим:
ТС	/	л \ »	.1 /	л\
Т + ТГТ \х* T5TilXl гМт + 7ГТ1
ОО	ТС	/	Tt \
= _ С f(e*^)e^+J^' Wdt. A0.9)
—оо
Из A0.8), A0.9), имеем:
ТС	/	ТС \
- f(e +I^") е^ + Ш> ') e^dt. A0.10)
Поскольку / (г) е в? [_ оо, оо] и исчезает вне отрезка [D —б, D],
то / (г) гх* также будет удовлетворять условию Гельдера с пока-
показателем ji на всей бесконечной прямой. Отсюда
Т	>.	t иЩ
t)	В()[— », »]
тс	T^V*
<2i/IU	lkXlIU	I1 — еЩР-тг - A0.11)
B0[—оо.оо]	Bo[D-8,D]	Г
В последнем переходе в формуле A0.11) учтено неравенство
[|/гМ	< /1^	|||U
11	"вй-00,00] ^ " 1в0[-оо,оо] " 4[D-8,D]
Лемма 10.2 доказана.
Лемма 10.3. Пусть выполнены условия
= 0 при г>Д /(г)еВйо,оо], ^>0; /@) = 0, A0.12)
что имеет место неравенство
U	(
В0[0,оо]
Б этом случае J2 (Я) есть аналитическая в полуплоскости %г ^> —[
функция, причем имеет место оценка
2|J2|< w^Al'D) ||/|U 11
»	B0[0,oo]
где у (jx, Я); /?г (\i, Kly D) даются соотношениями C.139), C.141)
леммы 3.14.


§ 10]	РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБЫХ МНОЖЕСТВ	Ц7
Для доказательства рассмотрим некоторую точку Яо = Я01 +
+ iA,02, принадлежащую полуплоскости Хг ^>и—jx. Имеем формаль-
формальное разложение
Ja(Jt) = J/(г)гх--1^-Мг = 2 (Х'~к\0) [f(r)r*o-i(lnrfdr. A0.15)
Докажем, что в круге | X — Хо | <^ \i + А.О1 ряд A0.15) равномер-
равномерно сходится. Для этого рассмотрим функцию
II 4
Очевидно, Д (Я,) аналитична в круге | V— А,о | <^ jx + ^Oi c цен-
центром в точке А,о. Разложим ее в ряд Тейлора по степеням А, — Я,о.
Имеем:
В0[0,оо].'
^\r. A0.17)
Легко видеть, что ряд A0.17) мажорирует ряд A0.15). Действи-
Действительно,
/с!
| In r pdr< 1^M-||/|| j, С r^+^llnrl* dr. A0.18)
Kl	B[] J
B0[0,oo] J
Таким образом, в каждой точке полуплоскости Хх ^> —\л J2 (Я») —
голоморфная функция X.
Перейдем к получению оценки для J2 (Я). Для этого исполь-
используем прием леммы 10.2 и совершим в A0.2) замену г = е1. При
этом получим
lnD
A0.19)


118	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. П*
и далее произведем подстановку т == ^—-тт-т- • В результате
I ^2 I
In D- ~
dx =
(Ю.20)
Из A0.19), A0.20) следует
'+"fq"/1('+W)	A0.21)
Вследствие того, что / = 0 при г ;> D,- интегрирование в правой
части A0.21) ведется фактически^ по полупрямой — оо <^ t ^
< In D. В силу леммы 3.14 из A0.21) получаем:
I 2 h (X) |< \т fti Д ь D) || / [U | ^ - е + W |^ Л, A0.22)
-ее	0[0,D]
где у и иг даются соотношейияйи C.139), C.141). Из A0.22) и
получается A0.14). Лемма 10.3 доказана.
Лемма 10.4. Пусть f (г) == 0 при г > D м, к/кше того,
/ (г) е= .В?[о,оо], Л > 0. Б этом случае
D
/(г)г^Уг	A0.23)
есть аналитическая функция в полуплоскости ^ > — (й + (г),
за исключением, быть может, точек Я = 0, —1, . . ., —й, где
возможны простые полюса. Кроме того, в полуплоскости Кг ^>
> — (Л + |i) ^ргг Я2 =т^= 0 имеет место оценка
A0.24)
где v (и-> ^i + й)> ^ (и-/ ^i + ^» D), определяются формулами
C.139), C.141) леммы 3.14.*Аналитичность J3 (Я) при Хг > —1
(за исключением точки X = 0) непосредственно следует из леммы
10.3.


§ 10] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ IB ОКРЕСТНОСТИ ОСОБЫХ МНОЖЕСТВ	Ц9
Произведем в правой части A0.23) интегрирование по частям,
перебрасывая производные с г на /. При этом получим соотно-
соотношение
A0.25)
П
которому можно придать следующий вид:
A0.26)
Очевидно, первый член правой части A0.26) есть мероморфная
функция с полюсами, указанными в условиях леммы 10.4. Вто-
Второй член правой части A0.26) в силу леммы 10.3 есть аналитиче-
аналитическая функция при Хг + к > —\i с полюсами, указанными в усло-
условиях леммы. Таким образом, утверждение леммы относительно
аналитической природы J3 (Я) доказано.
Имеем, далее, из A0.26)
| Ja (М I <
A0.27)
Второй член правой части A0.27) оценим по неравенству A0.14).
В результате после несложных выкладок получаем A0.24). Лемма
10.4 доказана.
2. В последующем,существенную роль будет играть краевая
задача
%1 - (КХ + 2 + К) fli"+ (К + 1)(%2 — 1) % = -f|
v т -г ) 2 -rv л- д	; 1 ,, A02g)
(Я + 1) «2 - (ia - 2 - Я) ai + (X2 - 1) оа =
В A0.28) дифференцирование ведется по переменному 0, изменя-
изменяющемуся в пределах 0 <^ 9 ^ я. К системе A0.28) присоединяем
граничные условия
[а[ — (к + 1) а2] |9=о = 0,	A0.29)
К — (X + 1) а2] |9=к = 0,	A0.30)
[(К + 1) ai — Oi(JrX — JC — Х- 1I |в^я - 0, A0.31)
а2| =0.	A0.32)


120	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ	СГЛ. II
Происхождение системы A0.28) — A0.32) выявится в следующем
пункте, сейчас же рассмотрим некоторые свойства ее тензора
Грина Ж$ @, tj). Его построение элементарно, так как система
A0.28) имеет постоянные коэффициенты. В силу громоздкости
формул для Wtj мы их приводить не будем, а отметим лишь, что
Ж$F, тьЯ) = Р'^е'^%) ; D (Я) = 2Яsin2лЯ. A0.33)
U {А)
В формуле A0.33) Dtj F, ть Я) — целая функция Я. Нас будет
интересовать поведение Ж^ в области По (см. рис. 9). Область
По строится так же, как и в § 8, однако кругами выделяются
нули D (Я).
Лемма 10.5. В области По при 0 ^ т} ^ я и при 0 <^ ц ^ 9
имеют место оценки:
^<; (М ДЖ го (*ь К) I ^ l^+fc2+1. (Ю.34)
Неравенства A0.34) устанавливаются непосредственным ана-
анализом явных формул для «Я^(9, Ti, Я). В силу элементарности
этот анализ здесь не приводится.
3. После вышеприведенных предварительных рассуждений
перейдем непосредственно к анализу поведения обобщенных ре-
решений задач I, II в окрестности какой-либо особой точки границы.
Поскольку в этом вопросе задачи I, II качественно не различа-
различаются, мы для определенности везде будем говорить о задаче I.
Пусть вектор а (иг1 и2) есть обобщенное решение задачи I.
Интегральное тождество E.1) при отсутствии массовых сил, ка-
касательных сил на Жг и нормальных на со * приобретает следующий
вид:
(«• Ф)н18 = $ [(К - 1) (u1Xl + и2Х2) (ф1Х1 + ф2Х2) +
s
+ 2 {u1Xiy1Xl + iWPa*) + (wi*2 + игх,) (Ф1эс, + Фгх,)] dS = 0 A0.35)
о
для любой вектор-функции ср (ф1? ф2) е Hxs. Компонента и2 на
со должна иметь заданное значение /2 (^х). Пусть <р (ф1э ф2) —
дважды непрерывно дифференцируемая вектор-функция, отлич-
отличная от нуля лишь в некоторой окрестности точки ak1 bh, где и
будет изучаться структура решения наших задач. Для таких
функций соотношение A0.35) можно записать в виде:
оо
—оо
t + фа*
№. + Ф
Pi] +
-1
+ Ф
¦(*
!2х2)х2
+
)Ф?
Дф2]} dS —
A0.36)


§ 10]	РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБЫХ МНОЖЕСТВ	121
Перейдем в A0.36) к полярным координатам, поместим их
начало в точке ak, bk. Чтобы не вводить новых обозначений, мы
через щ будем обозначать радиальную составляющую а, через
и2 — касательную, соответствующий смысл будут иметь и ф1?
ф2. Соотношение A0.36) в полярных координатах примет следу-
следующую форму:
\/v \ А\(	. ^lr	фЛ . ^109 , К	2+К
[(К + 1) [ц1гг + -iL - -3LJ + -i_ + —ф2г9	7^-
, Фю
X rd rdQ = \ ux -^ + ф2г - -^- + u Ur - 1) ф +
. A0.37)
Возьмем возможные перемещения ф* в следующем виде:
щ = г\(в) х(г),	A0.38)
где х (г) — функция, построенная в §§ 3, 9. При построении
% (г) D и б выбраны с соблюдением условий 0 <^ б <^ D <^ min (pfe, h),
о
Чтобы A0.38) принадлежала Hxs, необходимо с2 @) = 0 и
Re X = Хг > 0. Подставив A0.38) в A0.37), будем иметь:
D я
5 $ иг {(К + 1) [(^ - 1) г*-* х + x*rx+i + B^ + 1) г*%'] сг +
о о
+ с'2% (КХ — 2 — К) г^-1 + Кх'г^'ш) +
I *^2 12 I/V	—Г" Л	l^J'v —| JLJ | yf f	l#w —— JLIJ —г™
1 + сгх'г* + с, (Я, - 1) хг^] +
и2 [(if - 1) (x'r* + xXr^-i) Cl + (К + 1) (ci + c0 xr^-i]} lo dr. A0.39)
Рассмотрим, далее, новые неизвестные
D
и, F, Я,) = $ «, (г, 0) xr^dr,	A0.40)


122	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ [ГЛ. 1Г
с помощью которых соотношению A0.39) можно придать следу-
следующий вид:
[{К
0
¦f wx {K% - 2 - К) + (К + 1) сщ] dQ =
+ щ [(К - 1) сг% + (K + l) (c'2 + Cl)]nQ -
— [сА+(К — l)ci^i]|J. A0.41)
В A0.41)
D
Qt = — ^ Ut^K + i)[fr2 + B'K + l)%ir]rx'4r; * = 1,2, A0.42
D-5
D
7 = 1,2.	A0.43)
D-S
Очевидно, и* суть преобразования Меллина [5, 13, 16, 17] функ-
функций ut%.
Лемма 10.6. щ F) — непрерывные функции б Зля 0 <^ б <^
^ я при Jij ^> 0. Действительно, имеем:
D	e	D
и* (8, Я) = \ иф^'Чг = \ щхг^-Чг + \ щхг^'Ыг A0.44)
о	о	е
и, далее, в силу неравенства Гельдера
е	е	:	с	г	р	р-1
\ ut (г, 8) г^-Ыг м^\ |^| г^^йг^ (\|#* |р^п f\ r^) p~xdr] p .
О	О	О	О
A0.45)
В силу D.32)(^|wf|pdrI/P<?Ti||a|JHlS при р> 1 и из A0.45) по-
0
лучаем:
ЦлЛн.еВ	Р [	-а
Таким образом, первый из интегралов правой части A0.44) при
достаточно большом р равномерно на 0 <^ 6 ^ я исчезает при
? ->- 0? а второй есть непрерывная функция. Следовательно?


§ ю! №Шейиё заДаЧ в окрестности осоёых множеств 128
щ (9, Л) есть равномерный предел непрерывных функций и сама,
следовательно, непрерывная функция. Лемма 10.6 доказана.
Лемма 10.7. Пусть f% ЕЕ WgS, q ^> 1. В этом случае при
^i ^> 0» Щ (9, Я) — дважды непрерывно дифференцируемые по 9
функции, удовлетворяющие по 9 дифференциальным уравнениям:
? _ до + 2 + if) ц? + (if + 1)(Я2 - 1) щ = Мх (9),
(Я + 1) «Г - (ЯЯ - 2 - ЯК' + (Я2 - 1) i4 = Ма (в)
и граничным условиям
[? - (К + 1) щ _ М3] |е=0,* - 0,	A0.48)
[(Я + 1) щ -ul(Kl-K-X-l)- М4] |,=я = 0, A0.49)
оо
Щ @, Я) = J /, (r) r^%dr = /; (Я),	A0.50)
О
где
Мх F, Я) = (?х (9, %) - К®!, (9, X); М2 (в, X) = -%^- - /Г«2е (9, Я);
A0.51)
М8 = - Здг\ М4 = A - К) Зд2.	A0.52)
Для доказательства положим в A0.41) с2 = 0и примем, кроме
того, с[ @) = сх @) = 0. В результате получаем интегральное
тождество
+ и[с[ + с[и2 (КХ + 2 + К)] сЮ =
+ Cl (я) [щ (я) (JCX - X + К + 1) - (К - 1) Жх (я)], A0.53)
из которого в предположении /2 е W(q2 ; g > 1, вытекает соот-
соотношение:
тс
5 {[(Я + 1) (Я2 - 1)щ - Мх] d + Ы;(ЛГЯ + 2 + Я) q + u\c\}d% =
о
-' ¦ =и{ (я) ? (л) + сг (я) [uj (я) (ЯЯ - X + К + 1) + Жх (я)]. A0.54)
В самом деле, в силу леммы 7.14 в этом случае а е W^ при g ^> 1
и в силу G.62) будет непрерывно дифференцируема в окрестности
со, включая внутренние точки со. Поскольку по доказанному а
при наших условиях (F = 0, /х = /3 = 0) аналитична во всех
точках, не принадлежащих со, то 5йг (9) — непрерывно диффе-


124	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ ГГЛ. И
ренцируемая функция Э при О^О^яи
= сг (я) здг (я) —
Введем теперь операторы:
\ *
= — ^ и[ F — s) ds; Кощ = \ u*2ds;
е	е
- (?х) (в - *) ds.
Легко видеть, что справедливы соотношения:
A0.55)
Из A0.54), A0.56) имеем:
(io.56)
Kt [(if + 1) {%* - 1) щ - MJ + (ЖЬ + 2 + К) Коиг + щ) с[т =
= и[ (я) сг (я) + сх (я) [щ (я) (ЯХ - X + Я + 1) + Жх (я)]. A0.57)
Легко, далее, устанавливается, что полином ах6 + а2» гДе
ах = —(КК -X + К + 1)и2 (я) — 3ix (я); а2 = mJ (я) +
+ пщ (п)(КХ -Ji + Z + lj + rc^! (я), A0.58)
для любой дважды непрерывно дифференцируемой функции
?i F), для которой с± @) = с'\ @) ^ 0, удовлетворяет соотно-
соотношению:
= и{ (я) ci (я) + ci (я) [иг (я) (К% — К + К + 1) + 58i (я)]. A0.59)
Из A0.57), A0.59) имеем:
- ^6 - a2} c[ (9) d9 = 0 A0.60)


§ 10]	РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБЫХ МНОЖЕСТВ	125
для любой дважды непрерывно дифференцируемой функции cv
стесненной лишь условиями сг @) = сг @) = 0. Из A0.60) выте-
вытекает представление:
и[ F, X) = ахв + а2 - (Кк + 2 + К) Кощ -
- Кх [(К + 1) (X2 - 1) и[ - MJ. A0.61)
Положив теперь сх = 0, с2 Ф 0, можно из A0.41) получить пред-
представление
(К + I)i4( , X) = рхв + р2 - (^ - 2 - К)Кои{ -
- ^[(Я2- l)i^-M2], A0.62)
где рх, р2 — некоторые постоянные. Из A0.61), A0.62) сразу выте-
вытекает, что щ — дважды непрерывно дифференцируемые функции
0 при 0 <; 6 ^ я, удовлетворяющие уравнениям A0.47). После
этого из A0.41) получаются граничные условия A0.48). Граничное
условие A0.49) вытекает из того факта, что для всякого обобщен-
обобщенного решения задачи I условие 1.4 выполняется почти всюду.
Лемма 10.7 доказана.
Свойства тензора Грина краевой задачи A0.47) — A0.50)
изучены нами в необходимой мере в п. 2 данного параграфа.
Лемма 10.8. Пусть /2 Е= b?w; k > 1; 0 < ц, <^ 1. В этом
случае при Я2 -=^ 0 и к2 ^ к имеют место неравенства
!	A0.63)
В A0.63), как обычно, \i' = \i, если \х <^ 1, и [г' можно взять
сколь угодно близким к 1, если [л = 1.
Для доказательства учтем, что в силу A0.43) и леммы 10.1
3&t являются целыми функциями А,. Далее, в силу теоремы 7.1
Щ ЕЕ B/Js", где S" — любая замкнутая подобласть S, не содержа-
содержащая особых точек, и, следовательно, MfEEB? в криволинейном
прямоугольнике D — 8<^r^D; 0<^6<^я. Поэтому справед-
справедливо соотношение:
D
<90fc253i=— \ <9efrA%rXi+i42r; к%^к.	A0.64)
D-5
Наконец, интегрируя правую часть A0.64) по частям, получим:
р
A0.65)


126	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. II
Легко видеть, что множитель нри гх+к~к* в подынтегральном выра-
выражении A0.65) принадлежит но гВ^[_0О}ОО-^ равномерно при 0<;б/^
^ я. При этом в силу G.26)
|| дгк-к2 (двк&х'Iг < т (D, б, к) ||UIU •	A0'66)
0[-оо,оо]	АГо>
Далее заметим также, что этот множитель удовлетворяет всем
условиям леммы 10.2. Из A0.65), A0.7), A0.66) получаем неравен-
неравенство A0.63) для t = 1. Совершенно аналогично рассматривается
случай t = 2. Лемма 10.8 доказана.
Лемма 10.9 Пусть /2 ?Е ВКо"» к > 1. В этом случае при
%2 Ф 0 и к2 ^ к имеют место неравенства
(Ю.67)
Доказательство леммы 10.9 проводится так же, как и леммы
10.8, и более подробно описываться не будет. На основе лемм
10.8, и 10.9 и соотношений A0.51), A0.52) приходим к следующим
утверждениям,	>
Лемма 10.10. Пусть /2 GE BL; к > 1. В этом случае Mt
являются целыми функциями Я, причем при А,2 Ф 0 имеют место
оценки:
18 Mil	< m (D, 6, fc, |iQ (I X I + 1) ,, ,
II с'в^1^* ||c[0| n] 4	F=^	I /a IB^ X
ц	|
B0[D-5, D]
* =1,2; 0<&2<& — 1, A0.68)
ь X
П
X-1| ,-*»+*-*¦ |l p/ |1 — e lx«l |^'; ^ = 3,4; 0 < k2 < A. A0.69)
B0[D-5, D]
4. Перейдем к изучению аналитических свойств щ @Г Я)
как функций параметра X.
Лемма 10.11. Пусть /2 ? В^ы; к,;> 1. Б этом случае
вектор-функция д^х а* F, ?i), 0 ^ 0 ^ я, кг ^ к аналитична
в полуплоскости Кг^> 0 и может быть аналитически продолжена


§ 10] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБЫХ МНОЖЕСТВ	127
в полуплоскость Хг ^> (k + \i). При этом defela* (9, X) может
иметь простые полюса в точках ХР = —Р, Р = 0, 1, . . ., Nx =
= k,Xj =.— j — 0,5, 7 = 0,.,., N2, N2 = k — 1, если 0<[x <I 0,5
^ N2 = fc, ес/ш [x ^> 0,5. J? точке X = 0 возможен двукратный
полюс.
Аналитичность a* F, Я) @ <^ Э ^ к) при Хх ^> 0 вытекает из
леммы 10.1. В самом деле, в силу лемм 4.3, 4.6 а е= Lp на любом
отрезке конечной длины при jp ^> 1. Из п. 2) леммы 10.1 вытекает,
что а* F, X) — аналитическая функция при Ях > — , т. е. при
Хх > 0. Далее, из A0.61), A0.62) вытекает, что d0a* F, А,) @ <
<^ 0 ^ я) будет аналитической функцией X, если Хг ^> 0. Из
системы A0.47) — A0.50) получаем, что этим же свойством будут
обладать и все производные д^ха* (9, X); кг ^ к. Аналитичзское
продолжение а* (9, Я) в левую полуплоскость осуществим с по-
помощью краевой задачи A0.47) — A0.50). Общее решение A0.47) —
A0.50) дается соотношением
и\ = и]1 + и? + и? Ц- и\\	A0.70)
где их удовлетворяют однородной системе A0.47) и однородным
граничным условиям A0.48), A0.49). Условие A0.50) сохраним
неоднородным, щ2 пусть удовлетворяет однородной системе
A0.47) и однородным граничным условиям A0.49), A0.50). Ус-
Условия A0.48) оставим неоднородными. щг пусть удовлетворяет
однородной системе A0.47) и однородным граничным условиям
A0.48), A0.50), неоднородное условие A0.49) сохраним. Наконец,
их пусть удовлетворяет неоднородной системе A0.47) и одно-
однородным граничным условиям A0.48), A0.50). Решения щ1, щ29
и*?, и* можно непосредственно построить, и они имеют следу-
следующий вид:
^1	Jn \h)	r	"	Лп	JVl3 (иj h/j «Тс/*	• fJVl3 \R>y Ai) *Sf
Uf 	*	ii m/t/t (A/ Wl.	Uf	"^~	—I— —i	. •
A0.71)
^¦3 _ M4 (Jt, X) л ^ Q4
AKX cos Хл ^ *
где
— (КХ + К + 2) sin (X + 1) F - я)];
[-К(Х + l)cos(X - 1)(в - я) +
- is: - 2) cos (А, + 1)(в — я)];


128	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. II
sin(^-1)е-
гтт
(X, в) = ^~^~2 cos (X - 1H -
- [(X + 1) -M^L + (Ь _ l)ctg\jt]sin(X - 1H + (КХ - К - 2) х
X [- i=?±«! + -^ (ctg Хя + -*?) sin (X +1H], (Ю.72)
%\ = (КХ + К + 2) cos (X + 1) 0 — К (К — 1) cos (Я, — 1) в,
%\={К1- К- 2) sin (й, + 1) 9 - К (К - 1) sin (К — 1) 0,
Л\ (X, Q) = (KX + К - 2) cos (X + 1) 0 -
— Я (Я, + 1) cos (Я - 1) 9, A0.73)
Л1(Х, 0) = (КХ— К— 2) sin (X + 1)в — К(Х + 1) sin (A, — 1H,
щ1 (X, 9) = ^ № (9, Л, X) М2 (т|, Я) + ^<2 (9, т), X) М2 (л, X)] di\. A0.74)
О
Из формул A0.71), A0.73), A0.50) и леммы 10.10 непосредственно
заключаем, что щ2, u*ts суть мероморфные функции, располо-
расположение и кратность полюсов которых соответствуют утвержде-
утверждению доказанной леммы. Далее, в силу леммы 10.3 f2 (Я) суть ана-
аналитическая функция при ?4 > —{k -\- \i) с возможными полюсами
в точках X = 0, —1, . . ., — к. Поэтому утверждение доказыва-
доказываемой леммы справедливы и для щ1. Наконец, учтя, что в силу
леммы 10.10 М*; t = 1, 2, целые функции X и структура CfC^
дается соотношениями A0.38), заключаем, что uf — мероморфные
функции X, расположение и кратность полюсов которых также со-
соответствует утверждению доказываемой леммы. Лемма1 доказана.
Обозначим через П^ пересечение По и полуплоскости Хг >
^> (к + \i'— е), где е> 0 — некоторое сколь угодно малое фикси-
фиксированное число.
Лемма 10.12. Пусть /2 ЕЕ В^, к > 2, к2 ^ к. В этом слу-
случае в По при достаточно больших


§ 10) РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБЫХ МНОЖЕСТВ	129
т (D, б, Л, |*01X11| r*i+* |U-	11 - *W к*'}, A0.75)
где v, /7i даются соотношениями C.139), C.141).
Непосредственно из A0.72), A0.73) и из оценок A0.68), A0.69)
получаем для и]2, и*3
Ц I*--»-*I	W	° '	A0.76)
i> = 2,3; 0 <
Далее из A0.71) и A0.24) заключаем, что имеют место неравенства:
(=1
Рассмотрим, наконец, и4. Иэ представления A0.74) и оценок
A0.68), A0.34) имеем:
|	| /21| | r1+k ||	11 _ вт?г р'. A0.79)
Vr	*«	0[D-8, D]
Ц 1Л--Н*!
1
Из A0.78), A0.79), системы A0.47) и оценок A0.68) получаем:
A0.80)
Дифференцируя теперь последовательно систему A0.47) по 6,
можно найти простые рекуррентные соотношения, выражающие
5 П. И. Ворович и др.


130	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. II
30fc2a*4 через 9eftl_ia*4, dQk2-2a** и 39fc2_2Mf; t = 1, 2. При этом про-
простой индукцией устанавливаются соотношения:
1 "BL"	"B0[D-5.D]'
1	A0.81)
Из A0.76), A0.77), A0.81) получаем A0.75).
Лемма 10.12 доказана.
Лемма 10.13. Пусть /2 ?Е В^ш, к > 3, ц ^> 0. В этом слу-
случае при 0 < г <; D — б имеют место представления
A0.82)
Xt—гоо
если кг + к2<^ к — 3. В A0.82) Ях > 0 и произвольно,
В силу оценки A0.75) подынтегральное выражение в правой
части A0.82) будет убывать при | Я21 ->- оо как | Я | fri+fci+2-fr-Yif
7Х = min G, fx'), и если А^ + к2 ^ /с — 3, то порядок убывания
подынтегрального выражения в A0.82) будет не меньше, чем
|Д|-A+^), а потому A0.82) — абсолютно сходящийся интеграл.
Поскольку, кроме того, и* — ut% в силу теорем 7.1, 7.2 имеют
производные любого порядка всюду, кроме г = 0, обратное пре-
преобразование Меллина [5, 13, 16, 17], определяемое соотношением
A0.82), будем давать функцию д^чЪ (ut%), которая при 0 < г <;
^ D — б совпадает с д цх K2ut.
Лемма 10.13 доказана.
5. Для формулировки основного результата о поведении ре-
решения задачи I и его производных вида д /^ K2ut в окрестности
особых точек введем следующие обозначения.
Пусть Яр — последовательность нулей D (Я) вида ЯР = —Р,
Р = 0, . . ., Nx, Nx = к — 1, a Xj — последовательность нулей
Б(Я) вида Я/ = —/ — 0,5; / = 0, . . ., N2, где N2 = к — 1, если
^1 ^ 0,5 и N2 = к, если \i ^> 0,5.
Теорема 10.1. Пусть /2 е В^ш; к > 3, \i ^> 0. В этом слу-
случае при 0 <^ г <^ D — б для всякого обобщенного решения задач
I, II имеет место представление
N,	Nt
t — 2ni 2 9Rtf (9) r~"xJ — 2ni 2 %p F) ^~Xp} = tyt1*2 (г, в);
Аг + Аг<А —3. A0.83)


§ 10] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБЫХ МНОЖЕСТВ	13_
В формуле A0.83) 9R# F), %р (9) —некоторые функции 9.
определяемые соотношениями*.
1
X cos (К, + 1)9+
«„@)- W^V^(_
М4 (я, X,) <??? (Я,,9)
•	2
X
X cos!
М4 (я, %.) Л\ (kjt 9)
= Н1)
«if F)= И
Мз @, А,р)
+ ^ + 2
I
X
1
X cos (Лр + 1)9)
@) =, —till
Мз (я, Яр
6)
(/аХ) г*+х^Мг^1 (Лр, 9) +
-(Xp-l)sinGip-l)9+
Мз (я
, 9)
A0.84
х
ф2(Хр,в). J
Здесь, как уже указывалось, Nx = /с, N2 = ft — 1, если \i <^
< 0,5, и N2 = к, если \х > 0,5, фх (ЯР, 9), ф2 (ЯР, 9) — собствен-
собственные функции краевой задачи A0.28) — A0.32). В силу A0.33-
собственные числа этой краевой задачи определяются соотноше-
соотношениями cos А,я = 0, К sin Яя = 0 и имеют вид %j = —j — 0,5
кр=—Р; д J?=..., —1, 0, +1,... Для собственных функциг


132	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. II
имеем:
ф1 = К (X - 1) cos (X - 1) 9 - (КХ + 2 + К) cos (X + 1) 9;
ф2 = К (X — 1) sin (X — 1) 9 - (КХ — 2 - К) sin (X + 1) 9,
если sinnXp = 0,	A0.85)
Фх = if (Л, + 1) cos (Я - 1) 9 - (/а + 2 + К) cos (Я + 1) 9;
ф2 - К (X + 1) sin (Я - 1) 9 - (КХ - 2 - #) sin (X + 1) 9,
если cos nXj = 0;
$ (^;)» $ (^р) — некоторые функционалы от /2, определяемые
формулами
п
j (Mi\pi + М 2^2) d§
-2	:	, A0.86)
()
J {[2X (JT + 1) ф1 - Ky'j Ъ + [2Яф1 - JST4>il i
О
где \|)f — собственные функции однородной краевой задачи, со-
сопряженной с A0.28) — A0.32);
A0.87)
-фх = К (X + 1) cos (X + 1) 0 — (КХ — 2 — К) cos (X —
i|>a = — Я" (^ + 1) sin (Я + 1)9 + (КХ +
+ 2 + ^)sin(X» — 1)9, если sinjtA,p = O;
Ц1 = К(К — 1) cos (Я + 1) 9 — (КХ — 2—К) cos (^ — 1) 9;
<ф2 = __ к (X — 1) sin (X + 1) 9 -f
+ (КХ + 2 + К) sin (X — 1) 9, если cos л^ = 0. t
fci
Знак J| (X,p + 0 означает, что при вычислении произведения
опускается равный нулю множитель. Остаток "ф?1^ (г, 9) удовлет-
удовлетворяет неравенству
| $** I < m (D, б, къ к2, к) || /21в)х -L ^+lA'-fel-?,	(Ю.88)
где 8>0и любое. Для доказательства рассмотрим в комплекс-
комплексной плоскости область По (рис. 9) и в ней прямоугольник
М1М2М3М4 (рис. 10). Имеем
^ 3rfciefc,wtr-x dX = 2jxi ^ выч ^rfe10/c2^>"x =
MiM2M3M4,
= дгЩъ22Ш ^ выч иУх. A0.89)


§ 10] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБЫХ МНОЖЕСТВ	133
В правой части A0.89) стоит сумма вычетов подынтегрального
выражения относительно точек kPi %j, попавших внутрь М1М2М3М4.
А/,
-15 -1 -0,5
0 0,5 1 1,5 2
Рис. 9.
,	-А,
Рис. 10.
Устремим теперь отрезки М^^ МгМ3 к бесконечности. В силу
оценок A0.75) при кг -f- к2 ^ к — 3 соответствующие интегралы
исчезают, и мы получаем
X1+ioo
dk, A0.90)
где К[ определяет положение М3М4, %{* определяет положение
МзМр при этом %1 > 0, ^* < l*v
Из A0.82) имеем:
;r^x + ^fcife (ю.91)
Далее, из A0.90) получаем
\ д вкга"
A0.92)
X —гоо
При кх -\- к2 ^ к — 3 интеграл в правой части A0.92) в силу
A0.75) сходится, и мы получим оценку A0.88), если положим
^i = —(к -\- \л' — в), где 8 — сколь угодно малое число. Мно-
Множитель 1/е в формуле A0.88) появляется из-за константы у (^х,
^i + к), которая оценивается формулой C.139).


134	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ [ГЛ. II
Вычислим теперь вычеты в формуле A0.91). Имеем
выч щг"х = выч (щ1 + щ2 + и? + щ*) г~\	A0.93)
Из A0.71) — A0.74) видно, что полюсами, относительно которых
надо брать вычеты в формуле A0.93) при достаточно малом е,
являются как раз точки Яр, Я7-, входящие в формулировку теоре-
теоремы 10.1. Рассмотрим, например, гг?. Из A0.71) легко находим
выч (и?Vх) = (— 1)'* ALz—iLt	r-xj.	A0.94)
выч (i4V~x) =
xp
= fe_!(" [)	[ JLSfflL) r^^drA] (Яр, 9); ЯР ф 0.	A0.95)
Аналогично находятся вычеты ut2, ut относительно Яр,
Яу. Для определения вычетов и^ можно применить метод, изло-
изложенный в § 8.2. При этом приходим к соотношениям
выч KV~X) = »(У <р, (Я,-, в) r"xi; \
^	A0.96)
выч (mJVх) - % (Кр) % (ЯР, в) г~Хр,
Хр	^
где ф^ — собственные функции краевой задачи A0.28) — A0.32),
определяемые A0.85), а Щ (Xj) даются A0.86). Подставив все
результаты вычисления вычетов в A0.93) и затем в A0.91), мы
получим A0.83). Теорема 10.1 доказана.
В связи с результатами данного параграфа отметим, что кра-
краевые задачи типа A0.28) — A0.32) для выделения особенностей
в задачах теории упругости были получены впервые в [26]. Цель
приведенного здесь исследования этого вопроса заключается
в строгом обосновании представления A0.83) и выяснении усло-
условий его применимости.
Примечание I. При доказательстве теоремы 10.1 мы
нигде не интересовались вычетами в окрестности полюса Я = 0
вследствие того, что они, как легко видеть, дают составляющие,
соответствующие перемещениям твердого тела.
Примечание II. Условия теоремы 10.1 в отношении
/2 (хг) могут быть ослаблены, если получить более точные характе-
характеристики; убывания функций Грина У?ц на прямых Ях -\- iX2-
Указанные характеристики могут быть получены некоторыми асим-
асимптотическими методами, что, однако, связано с большими отвле-
отвлечениями в теорию этих методов и рассматриваться здесь не будет.


§ 10] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБЫХ МНОЖЕСТВ	135
6. Одной из важнейших характеристик смешанных задач I,
II является напряжение б0 на го. Мы рассмотрим некоторые ка-
качественные особенности поведения <Те, важные для построения
численных методов решения задач I, II. Введем величину:
Mfi Se = (К + 1) % ^tpL + (K-i) (ад)г. A0.97)
В A0.97) Щ — модуль Юнга. Очевидно, при 0 <; г ^ D
8 о0 = о$, при г > D бе = 0. Пусть, далее,
Ge (9, X) = \ бегх dr, X - Хг + й2.	A0.98)
0
Из A0.97) легко получаем
M_zi6; (е, X) - (К + 1) i4 + (Jf + 1 — ЛГА, + A,) uv A0.99)
В соответствии A0.70) на го при 9 = 0 имеем:
а, (О, А,) = а?@, Я) + а? @, Я) + оТ @, Я) + а? @, Я), A0.100)
где
+ (К + 1 — КХ + X) щр (ОД); р = 1,...,4. A0.101)
Из A0.70) - A0.73) получаем
,*i/n 1ч	'г( Hg я_.	A0.102)
, Я,) tg Ы и *з _ _ ^^М4 (я, Я,)
Здесь /2 (!'Л) определяются формулой (d0.50), а М3, М4 — форму-
формулами A0.52). Используя явные выражения для УС$ из (.10.74),
получаем:
Cg-l)(g + l)cos яХ j {Ml [Z ^ ~ 4) SiQ I C0S Х в ~ Я) +
о
+ sin (А,т] — лА, — т))] + М2 [^ (^ — 1) sin "Л sin X (rj — я) —
- (К + 1) cos (A.T) — т) — яА,)]} Лл- (Ю.103)
Лемма 10.14. Пусть /2(г) ее В^; ^ > 0, к > 1. 5
случае в полуплоскости Хг ^> — (/с + \хг) при достаточно больших


136	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. II
| ^2 | имеет место неравенство'-
К (ОД) |<
/ I U |4fc+Y-l)
A0.104)
где у дается соотношением C.139), а постоянная т ограничена
при %1 > Х[ = —(к + Yi ~- 8)» где е^> 0 и любое и при всех
достаточно больших | Я2 |; уг = min G, Ц>')-
Доказательство леммы 10.14 основывается на том, что нера-
неравенство A0.104) будет установлено для всех olP; р = 1, 2, 3, 4.
Из A0.102) имеем:
(°> VI < (ig + inSg-i) IЛ WI № *« 11 * I- A0Л05)
Учтем теперь элементарные соотношения*.
j sin МI = /shz X,29 + sin2 Xfi; \ cos X01 = /sh2
A0.106)
и вытекающее из A0.50), A0.24) неравенство
1,ji,&). A0.107)
П | А, + т | т ft*, ta -
Из A0.105)— A0.107) получаем
П7Т IM X
, б, Я.1, \if к)
41
Из A0.108) при достаточно больших | К2 \ имеем
U*1 /П ^ М <-- m(D, б, М, ]*>, к) j, . „ j.
Рв (U, А) | ^	у(к + fa, ц)	"^2 "в*1 I 2
где т удовлетворяет всем условиям леммы 10.14. Из A0.102) также
имеем


§ 103 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБЫХ МНОЖЕСТВ	137
и из A0.68), A0.110) получаем
-е|Хг| Г
\оТ(ОЛ)\-
U\% + t\(K + i){sK — i)
т (D, б, Xlt |i, к) х
X
v	;
откуда при достаточно больших | Х21
где m удовлетворяет условиям леммы 10.14. Совершенно аналогич-
аналогично получаем неравенство
где т также удовлетворяет условию леммы 10.14.
Рассмотрим, наконец, сге4. Из A0.102) получаем
X
C^ — 1) (л: +1) | cos яЛ, |
X { max | Мх | [К | X — 11 max | sin r\ cos I (tj — я) | -f
+ max | sin (A/n — я — X — yj) |] +
+ max | M21 [K | К — 11 max | sin ц sin X (ц — я) | 4-
+ (/f + 1) max | cos (Xv\ — yj — яА,) |]}. A0.114)
0<<
Далее, учтем элементарные неравенства, вытекающие из A0.106)
при достаточно больших %?
max
max
max
max
sin г] cos X (г] — я)
sin г] sin X (г) — я)
cosrtA,
I sin (Хц — пХ — ti)
cos (Xr\ — яА, — г])
соэяА,
^- 3
^ 3
^ е|Я*|
A0.115)


138	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. II
Из A0.114), A0.115) имеем
Х(тах|М!|+ тах|М2|) A0.116)
и из A0.68)—
I г;*4 I <Г II / II ^(Р, б, fa, \1, к) , .
где т удовлетворяет условиям леммы 10.14. Из A0.109), A0.112),
A0.113), A0.117) вытекает A0.104). Лемма 10.14 доказана.
Лемма 10.15. Пусть /2 (г) е= В^; к > 2, р, > 0. 5
случае при 0 <^ г ^ D — S имеет место представление:
, г) = ^r \ 9rfclr-x-ioe (О, X) d%; Ъ,г > 0; 0 < кг < к — 2.
Xi—гоо
A0.118)
Для доказательства учтем, что в силу A0.98) а0 @, %) есть
преобразование Меллина функции 5е-г. Обратное преобразование
можно формально записать в следующем виде [5, 13, 16, 17]:
Aa>0. A0.119)
Обоснование формулы A0.119) базируется на двух фактах.
Во-первых, при к !> 2 согласно лемме 10.14 al @, Я) убывает
при | Х2 | —>¦ оо на любой прямой Кх = %1 ^> 0 как | Я2 |-(^i+y)? где
7х = min (у, fi'). Поэтому интеграл в правой части A0.119) рав-
равномерно и абсолютно сходится на любом отрезке я, принадлежа-
принадлежащем интервалу 0 <^ г <^ D — б. Далее, ое @, г) г ЕЕ B?_lj7C, как
это следует из теоремы 7.1. Этих двух фактов вполне достаточно,
чтобы считать формулу A0.119) обоснованной. Из A0.119) имеем
^r $ се@Д)гНЛ	A0.120)
Xt-ioo
и далее
iSe @, г) = ^т- J б?в@Д)9гк1г-^ЙЛ; 0<А1</с-2. A0.121)
Интеграл в правой части A0.121) в силу леммы 10.14 также абсо-
абсолютно и равномерно сходится на любом отрезке я, принадлежащем


§ 10]	РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБЫХ МНОЖЕСТВ	139
интервалу 0 <^ г <^ D — б. В силу теоремы 7.1 дгк^(О, г) е=
EEB?lfc1+i,Ti. Формулу A0.121) также можно считать обоснованной.
Лемма 10.15 доказана.
Лемма 10.16. Пусть /2 (г) е= в?»; к > 2, fi > 0. 5 эшш
случае при 0 <^ г <; D — б имеют место представления
N2
dT*fi* @, г) = S С5дгк1г*-°>* + дгк$; 0 < и* < А: - 2, A0.122)
i=o
г9в Су — некоторые функционалы от {%. При этом имеют место
следующие соотношения корректности:
со	/1	1
/ (
1	\
JIJ1 + 1)' A0Л23)
19гЬ,1|)|<и»(D, б, т, А, е)г*+^—*• |/,||в,х .	A0.124)
ы
В A0.123) \ij — любые числа, удовлетворяющие условию 0,5 <^ \ij ^
^ 1, 8 — сколь угодно малое число.
Для доказательства рассмотрим в комплексной плоскости пря-
прямоугольник М^гМз!^ (см. рис. 10). Имеем:
оУ] dk = 2ni 2 выч аУ*.	A0.125)
В правой части A0.125) стоит сумма вычетов (ТеГ-х относительно
особых точек $1, попавших внутрь IVTJV^IV^M^ Устремим теперь
М1М4, М2М3 к бесконечности. В силу леммы 10.14 соответствую-
соответствующие интегралы исчезают, и мы получаем:
. A0.126)
X —ш	X —ги>
В силу леммы 10.15 из A0.126) следует
^е @, г) - 2 выч ввг^ + я|);	A0.127)
olr-}^dl	A0.128)


140
ИССЛЕДОВАНИИ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ
[ГЛ. II
Положим в A0.128) %{* = —(к + Ti — 8)J е > 0. В этом случае
из A0.128), используя A0.104), получаем:
1*1 = *г
-н<х>
т (D, б, гь *, г)
-гоо
A0.129)
Таким образом, неравенство A0.124) доказано при кх = 0. Далее,
\ -fioo
A0.130)
и при 0 ^ /% <; к — 2. На основе леммы 10.14 приходим к нера-
неравенству A0.124). Таким образом, неравенство A0.124) доказано
полностью.
Рассмотрим теперь 2 выч (т5г~х~. Очевидно,
выч
выч о^г-^'1 + выч dTr + выч о13г~х~1 + выч о54г~х~1.
A0.131)
Из A0.102), A0.103) видно, что (Те может иметь простые полюса
в точках Xj; j = 1, . . ., N1? и ХР; Р = 0, 1, . . ., N2, где Nx и N2
введены в лемме 10.11. Легко, однако, видеть, что в точках КР
мы имеем устранимую особенность. Поэтому особыми точками
будут лишь точки kj. При этом из A0.102), A0.103) имеем:
ВЫЧ Gq @, X) )
xi
выч
^
A0.132)
sin чsin
.5) Л
+ cos (/ + 1,5) т)] + М2 (Ti, Ш-К (/ + 0,5) sin ц cos G + 0,5) т) +
+ (X + 1) sin (/ + 1,5) т|]> dr\. A0.133)


§ ЮЗ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБЫХ МНОЖЕСТВ	141
Из A0.131) — A0.133) имеем
выч <Jer-x-i = С,-г**-*,
A0.134)
где
+ (- l)j+1 (К + 1) М4 @, Х}) + j {M, ft, К}) I- К () + 1,5) sin ifsin (j +
о
+ 0,5ti) + cos (j + 1,5) г!] + М2 (г), Х-)[-К (/ + 1,5) sin r) cos (j +
+ 0,5) л + (К + 1) sin (/ + 1,5) ГЦ} dri}. A0.135)
Таким образом, обоснованы все представления A0.122). Для
завершения доказательства леммы 10.16 необходимо оправдать
оценки A0.123). В силу A0.50) и леммы 10.4 имеем:
fl (h
л (Ж
2§К
-1)
+
1) *,.(
ОО
0
h +
i)...
</,
r){3)dr
+ /-1)
,5. A0.136)
Далее, из A0.52), A0.43) получаем
я (зл: — 1) (К +1)
<
D
D-8
-. A0.137)
В силу теоремы 7.1 (неравенство G.26)) из A0.137) следует
| 'ЁКМ.з @, Л--) |	т (D д)	,м п.
_, / О Т? ___ Л \ / ТГ | Л \ ^^ || / 2 I'd \^А I ^ | /4 1	I Л I j I il * \
Аналогично получаем:
m (D, 6)
ПЛТ- A0-139)


142	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. II
Наконец, имеем
п
lft' ^[К 0" + !'5)sin Лsin (/ + °'5) 1 -
о
- cos (/ + 0,5) т|] dr\ < лCдг-5i)(jg + i) m« I Mi | • (if • / + 1,5* +1),
A0.140)
Из A0.43), A0.51) находим:
D
иг (К + 1) [XV + B%5 + 1) х'г] г'г1 dr
D-5
D
I ^ 7/ г
| г »-1+»,
В силу теоремы 7.1 (неравенство G.26)) из A0.141) следует!
Совершенно аналогично получаем оценку:
(Ю.143)
Из A0.136), A0.133), A0.139), A0.142), A0.143) получаем A0.123).
Лемма 10.16 доказана.
Теорема 10.2. Пусть /2 е В^; к > 2. В этсш случае
для нормального напряжения о$ @, Xi) на Ыи имеют место следу-
следующие представления:
dxkfiB (хг) = dg @k (хг) + д^ % (хг); 0 < к, < к - 2, A0.144)


10] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБЫХ МНОЖЕСТВ	143
где
N2
Шк Ы = № - хг) (а*- ак)Г1/2 2 № + xxL>) [фк - х^-а^Г^.
A0.145)
а/иоле справедливы неравенства:
\EuLt\^m |/21| ^ ; 0<*<N2, щ>0,5; A0.146)
И/.Ь 1F* -*i)(*i-**) Г'~*'- (Ю.147)
в
Для доказательства заметим, что в силу леммы 10.6 при к > 2
одновременно имеют место представления
N,
0е @, *i) = 2 ciak (хг - akflfi + %k; ak < x± < a, + D ^ 6,
A0.148)
N2
s9 @, Ж1) = 2 сзък (*i - bk)Mi + %к; ЬЛ - D + б
На любом отрезке, принадлежащем интервалу (ak, bk), \|)afc,
^b^CI Вк-i, со (теорема 7.1) и, кроме того, справедлива оценка
A0.124).
Введем теперь на о функцию, определяемую соотношениями:
N2
Ш	2	< ак + D — б,
= 2 cibfc (Ь* - ^У-V-; Ък - D + S < xx < b4. A0.149)
На отрезке afe + D — 6<^1<bfe — D + fi пусть ШлМ будет
произвольной, но бесконечно дифференцируемой функцией. Бу-
Будем также предполагать, что ее сопряжение в точках ак + D — б,
Ък — D + б выполнено так, что Шъ. (#i) оказывается бесконечно
дифференцируемой на любом отрезке, содержащемся внутри (afe,
Ък). Легко видеть, что при о,ц^х1^Ък имеет место представле-
представление
б9 @, хг) = Шк {хг) + Цк (хг).	A0.150)


144
ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. II
При этом формулу A0.150) можно дифференцировать к± рае,
0 < кг < к — 2, и
10 *
, б, кг) ± ||U
к)
В самом деле, из A0.149) видно, что на отрезках ak <! хх ^
¦+- D — б, bk — D + 6 < #i <^ bft %2 совпадает соответственно
с i|>afe и г|)Ь/с, тогда A0.151) вытекает сразу из A0.124). Очевидно,
также, что A0.151) будет иметь место и при ah — D — fi^^^
<J bk — D + в- Построим теперь функцию @ft (жх) вида A0.145)
и определим коэффициенты Ej, Lj из соотношений
= 0;
*! = 0,..., N2.
A0.152)
Легко видеть, что A0.152) дает систему линейных алгебраических
уравнений для Ей Lt через Cjnji, Cjb]t, и притом всегда разреши-
разрешимую. Легко также видеть, что Еи Lt выражаются посредством
линейных комбинаций через Cjak, Cjbh. Поэтому вследствие
A0.123) будут справедливы соотношения A0.146). Кроме того, в
силу A0.152) @,ь — @А е Со, и будут справедливы неравенства
•**¦<«-«
< "»I
i < в - 2.
A0.153)
Обратимся непосредственно к выводу формул A0.144) — A0.146).
Имеем в силу A0.150)
v 0) =
где
i). (Ю.154)
A0.155)
удовлетво-
удовлетвоi
Легко видеть, что вследствие (/10.151), A0.153) гр^ )
ряет неравенствам A0.147). Теорема 10.2 доказана.
§11. Некоторые вспомогательные предложения
1. Рассмотрим краевую задачу теории упругости для полосы,
основание которой Ж2 жестко защемлено, а на верхней границе
CfCx заданы напряжения, причем
(и1Х2 + щ*)*, = 0, [(К - 1) и1Х1 + (К + 1) щХ2]Жх ==
0,
, если Х\ ?Е о,
если
A1.1)


§ 11]	НЕКОТОРЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ	145
Задача сводится, таким образом, к интегрированию уравнений
A.1) при граничных условиях A.2, 11.1). Сформулированная за-
задача будет ниже именоваться задачей 1.
Определение. Обобщенным решением задачи 1 назовем
вектор-функцию а ЕЕ Hxs и удовлетворяющую интегральному
тождеству
?>К — 1 ('
'	у^ц^й	A1.2)
где ф (фх, фг) — произвольная функция из
Теорема 11.1. Обобщенное решение задачи 1 существует
для всякого q (хг) ЕЕ Lpw при любом р ^> 1.
Действительно, по неравенству Гельдера C.1) и в силу леммы
4.3 имеем
\\
< | gr fLpo) • | ф3 |jLp,w < m || q
A1.3)
Из A1.3) вытекает, что правая часть A1.2) есть линейный и огра-
ограниченный в Hxs функционал, что и доказывает в силу теоремы
Рисса разрешимость задачи I. Из A1.2) вытекает и важное нера-
неравенство
1«1и13<пг|к1^ш.	A1.4)
Лемма 11.1. В условиях теоремы 11.1 всякое обобщенное
решение задачи 1 есть аналитическая вектор-функция координат
в любой внутренней точке S, а можно аналитически продолжить
через Ж2 и через со*. Пусть, далее, q принадлежат классу функций
BfeLpw; р ^> 1; к > 0. В этом случае во всякой подобласти л полосы
S, которая может входить внутрь со, а ^ B/tn, n.
Доказательство приведено в §§ 7, 8.
Лемма 11.2. Пусть имеются два решения задачи 1
а1 {и\, ul) a? {ul, ul), у которых перемещения и\, и\ совпадают
почти всюду на со. В этом случае а1 = а2.
Для доказательства заметим, что если q1, q2 — соответствующие
давления на со, то из A1.2) имеем:
(а1 - аг, <р)н18 =	щ— ^ («' - q2) ф2 (Xi) dxx, A1.5)
где ф — произвольная вектор-функция из H1S. Положим ф =
= а1 — а2. При этом, очевидно, ф2 |ш = 0 и из A1.5) имеем || а1 —
•— €l2\hxs = 0, а значит, лемма 11.2 доказана.


146	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. IX
Получим теперь соотношение, связывающее в задаче 1 давле-
давление q и перемещение и2 на со. Для этого в интегральном тождестве
A1.2) выберем возможные перемещения в следующем виде:
ф* (#i> х2) = егХх1% (хг) Ct (х2)\ % (хг) — % (хг) х (— хг), A1.6)
где Ct (x2) непрерывно дифференцируемы на отрезке [0, h] и Ct {0) =
= 0. Конструкция функций х (хг) приведена в §§ 3, 9. Вид функций
X = X (xi) X (—хд приведен на рис. 11. Постоянные D, б, фигу-
фигурирующие при построении х> будем выбирать так, чтобы отрезок
%{хи
I
-В~{В-8)
BSD я,
Рис. И.
| хг | ^ D — б содержал внутри себя to. Подставив A1.6) в A1.2),
будем иметь:
(«• <P)hiS = \ (Р* {Сг ОС' + i%y) [(К + 1) u1Xi + (K-1) щХг] +
). A1.7)
Легко видеть, что для обобщенных решений задачи I справедливы
предельные соотношения (8.54) (теорема 8.3). Поэтому в A1.7)
можно совершить предельный переход при D ->оо. При этом будем
иметь!
[(К + 1) u1Xi + (К — 1) и2Х2] + i*kC2 (и1Х2 + Щхд +
+ Сг [(К — 1) и1Хх + (К + 1) и2Х2] + Сх (и±Х2 + u2Xl)} dxx dx2 =
	 	 '—со jf	 \ 4 \*^1/ ^	U»«i/]_' \y 2 I' v) •	I AX •kJJ
со
В силу „того, что Ct (x2)] t = 1, 2,— произвольные функции,
стесненные лишь условиями Ct @) = 0, мы из A1.8) получаем


§ 11]	НЕКОТОРЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
соотношения:
(К + 1) и2х2х2 — Kiku1X2 — К2и2 = О,
\(К + 1) и2Х2 - (К - 1) Ли! + ^pl
147
A1.9)
= 0,
A1.10)
A1.11)
В A1.9) — A1.11) щ = г	 \ uteaxidxv Способ вывода фор-
У 2jt J
—оо
мул A1.9) — A1.11) из A1.8) в сущности ничем не отличается от
способа получения соотношений A0.47)—A0.49) из интегрального
тождества A0.35). Поэтому формулы A1.9) — A1.11) будут при-
приведены без вывода. В силу граничных условий A.2) будут спра-
справедливы соотношения
и\(%, 0)= 0; *= 1, 2.	" A1.12)
Общее решение системы A1.9) — A1.12) имеет следующий вид:
и[ (X, х2) = Ах sh %хъ + А2 ch Хх2 + A3tk
ul (k, #2) = Mi ch Xx2 + A2i sh Xx2
43t (%х2 ch Яж2 —~"х~"s^ ^;
(о i zr	\
А,^2 shХж2	-^— chХяг2) • .
A1.13)
В A1.13) At — некоторые функции параметра Я, которые должны
быть найдены из граничных условий задачи. Из A1.12) получаем*
А2 = 0; Аг = ^i_ 44.	A1.14)
Подставив, далее, A1.13) в A1.10) и A1.11), будем иметь:
±
±^ ch U + U, sh Xh
-4-shu) = 0, A1.15)


148	ИССЛЕДОВАНИЮ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. II
где
Из A1.15) получаем*.
А _ C.g — 1) 61 (к) I K + i
A1.16)
л (Ж — 1) ® (к) I 1 , . 7 ,7 , . 7 \
Подставив A1.16) в A1.13), получим при х% = h
& (к) —1Г- sh 2U — 2U]
) =	Щгщ	~;
д __
Обратное преобразование Фурье дает
2UJ
L
Легко видеть, что если д е Lpa), p > 1, то
В самом деле, поскольку д= 0 вне со, то q ge Lp<^t при любом р,
сколь угодно близком к 1. Но в этом случае (§? (%) е= Lp' [^oo^ ^j при
сколь угодно большом рг, откуда и вытекает A1.19). В силу A1.19)
будет равномерно сходиться по хг интеграл A1.18), что и обосно-
обосновывает формулу A1.18). Подставив A1.15) в A1.17), будем иметь
Хх ( х ц ) д (|2) d?x = 2яАи2 (ж, Л),	A1.20)
t
а
где
¦ sh 2u —!
.D,M


§ 11J	НИКОТОРЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ	149
Все вышеизложенное дает основание заключить, что справедлива
следующая
Теорема 11.2. Пусть q ЕЕ Lpw; p > 1. В этом случае
давление q и перемещение и2 на т в задаче 1 связаны соотноше-
соотношением A1.20).
2. Рассмотрим краевую задачу теории упругости для полосы,
основание которой Jf2 покоится без трения на жестком основании,
а на верхней границе У?г заданы напряжения, причем выполнены
граничные условия A1.1). Задача, таким образом, сводится
к интегрированию уравнений A.1) при граничных условиях
A.6), A.7), A1.1).
Сформулированная задача будет ниже именоваться за-
задачей 2.
Определение. Обобщенным решением задачи 2 на-
назовем вектор-функцию а ?Е H2s и удовлетворяющую интегральному
тождеству
(а • Ф)я28 =	щ— ) Я Ы Фг Ы dxt.	^! 22)
о)
Теорема 11.3. Обобщенное решение задачи 2 существует
для всякого q {хх) ЕЕ Lpo) при любом р ^> 1.
Лемма 11.3. В условиях теоремы 11.3 всякое обобщенное
решение задачи 2 есть аналитическая вектор-функция координат
в любой внутренней точке 5, а можно аналитически продолжить
через У?2 и через со *. Пусть, далее, q принадлежит классу функций
BfcLpco; p ^> 1; /с>0. В этом случае во всякой подобласти я полосы
S, которая может входить внутрь to, a G В?+1,я.
Лемма 11.4. Пусть имеются два решения задачи 2 о! {и\ч
и\), a2 (ul, ul), у которых перемещения и\, и\ совпадают почти
всюду на to. В этом случае а1 = а2.
Теорема 11.4. Пусть q e LPo>; p ^> 1. В этом случае
давление q и перемещение и% на со в задаче 2 связаны соотноше-
соотношением'
Ки ^^г) g (Ei) dEi = лЛи2 (a;l7 Л),	(Ц.23)
2 sh2 м	/ х\ — ^i \ j	//i/io/\
^Тй"cos Г ~^~)du> (И-24)
Сформулированные в данном пункте предложения доказыва-
доказываются так же, как и соответствующие предложения п. 1. Поэтому
эти предложения приведены без доказательства.


150	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. II
§ 12. Сведение аадач I, II к интегральным уравнениям
Фредгольма первого рода.
Их разрешимость, единственность, классы корректности
1. Интегральные уравнения для задач I, II будут получены при
следующих условиях:
1)	массовые силы F = 0,
2)	поверхностные касательные напряжений на 3?\]\ = 0,
3)	поверхностные нормальные напряжения на о)*/3 = 0,
4)	/2 (хг) е BSJ»; к > 2; to > 0.
В этом случае на основе теоремы 7.1 заключаем, что всюду,
кроме особых точек Р^, где происходит смена граничных условий,
обобщенное решение задачи I имеет непрерывные производные
вплоть до 2-го порядка. В окрестности же каждой точки Pft на
основе теоремы 10.2 имеем
_ г_
\	A2.1)
где rk — расстояние до соответствующей точки Р&.
Построим теперь последовательность полукругов ()
(рис. 12). Легко видеть, что если вектор-функция ср ЕЕ H^, то
в области яг, полученной из S удалением всех полукругов
^(Р) будем иметь
[(К — 1) (u1Xl + u2Xi) (ф1Х1 + ф2Х2) + 2 (ulxiq>lxi
фЯай)] ^5 =
N b/fr
N те
S + тге/сфе/с] r^de. A2.2)
В правой части A2.2) q — контактное давление на to, равное —
вв', стгЛ, Tr0fe — касательное и нормальное напряжение на полу-
полуокружностях, ограничивающих Sl(Ph); фг/с, фе^ — радиальная
и тангенциальная составляющие вектор-функции ср на указанных
окружностях. Формула A2.2) получается применением тради-
традиционного метода интегрирования по частям. Совершим теперь
в A2.2) предельный переход г-> 0. В силу A2.1) и теоремы 10.2
из A2.2) получаем
(«• Ф)н18 = - Ц^1- ^ q {Xl) ф2 (*l} dXl'


§ 12]
СВЕДЕНИЕ ЗАДАЧ I, II К УРАВНЕНИЯМ ФРЕДГОЛЬМА
Поскольку ср — произвольный вектор из Hxs, то соотношение
A2.3) показывает, что справедлива
Лемма 12.1. Пусть выполнены условия 1) — 4) и а есть ре-
шение задачи I,a q — давление на со>, соответствующее этому
решению- В этом случае решение задачи 1, построенное по данному
давлению q, совпадает с а.
CO* uf COf Ь{
СО*
Jr\.U
со*
Ш*
tr
*,
Рис. 12.
Далее, легко видеть, что при выполнении условий 1) — 4)
в задаче I имеет место соотношение
A2.4)
В самом деле, при выполнении условий 1) — 4) в силу леммы
12.1 решение задачи I совпадает с соответствующим решением
задачи 1. Далее, вследствие A0.144), A0.145) g (жц) е Lp» при
1 <[ р < 2 и поэтому можно применить теорему 11.2, откуда
сразу вытекает A2.4). Основное содержание данного параграфа
составляет
Теорема 12.1. Интегральное уравнение A2.4) при к > 2
однозначно разрешимо в классе давлений q ЕЕ B?.1>O)Lpo), 1 <^
Справедливы соотношения
0 < &! < is - 2; А = 1,..., Ж, A2.5)
где @fc,i|)fr — даются формулами A0.145) к справедливы соотно-
соотношения корректности A0.146), A0.147).
Разрешимость интегрального уравнения A2.4) доказана нами,
в сущности, в ходе самого вывода. Предположим теперь, что урав-
уравнение A2.4) имеет два решения д1, ф из класса BK_1>0)Lpt0, для ко-
которых выполнено A1.19). Построим соответствующие обобщенные
решения а1 (щ, щ), а2 {и\, ul) задачи 1. Для них будут справед-
справедливы соотношения A1.20), которые говорят, что на са ul == ul.
В силу леммы 11.2 а1 = а2 и, значит, q1 = ф. Единственность,


152	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. II
таким образом, установлена. Очевидна также справедливость
соотношений корректности A0.146), A0.147). Теорема 12.1 до-
доказана.
Вместо интегрального уравнения A2.4) для приближенного
определения q (%) очень часто используются парные интеграль-
интегральные уравнения относительно функции © {X). Из A1.15) следует
@.(%)е~^(И,	A2.6)
—оо
откуда
оо
г*
', если ^?@*.	A2.7)
Далее из A1.18) получаем:
(АЛ)
если хг е ю.
A2.8)
Уравнения A2.7), A2.8) и составляют систему парных уравнений
для определения @ (к). Контактное давление q (хг) находится
после этого из A2.6).
2. В случае задачи II для определения q (хг) аналогичными
рассуждениями при выполнении условий 1 — 4) получаем инте-
интегральное уравнение
XI —- I
со
где
A2.9)
a Dn дается соотношением (9.4).
Теорема 12.2. Интегральное уравнение A2.9) при п > 2
однозначно разрешимо в классе давлений q ЕЕ BK_1>?0Lpcu, 1 <^ /? <^ 2.
J7/??z атож справедливы соотношения A2.5), где @,k по-прежнему
даются формулами A0.145) и справедливы соотношения коррект-
корректности A0.146), A0.147).
Вывод интегрального уравнения A2.9) и доказательство тео-
теоремы 12.2 вполне аналогичны выводу A2.4) и доказательству
теоремы 12.1. Поэтому более детальное обоснование этих фактов
здесь не приводится. Для эффективного решения задачи можно


ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ II	153
также широко использовать парные уравнения для @ (X,), кото-
которые в данном случае имеют следующий вид:
iX*idA, = O, если х1^а)\	A2.11)
если
Примечание. Условия однозначной разрешимости ин-
интегральных уравнений A2.4), A2.9) могут быть ослаблены. По-
видимому, естественным условием, при котором целесообразно
рассматривать эти уравнения, была бы принадлежность /2 (хг)
пространству W^
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ II
1.	А г р а н о в и ч М. С, В и ш и к М. И., Эллиптическая задача с пара-
параметром и параболические уравнения общего вида. УМН, т. XIX, вып. 3,
117.
2.	Березанский Ю. М., Разложение по собственным функциям само-
самосопряженных операторов. «Наукова думка», 1965.
3.	Винер Н., Пэли Р., Интеграл Фурье в комплексной области,
Физматгиз, 1964.
4.	Волевич Л. Р., Разрешимость краевых задач для общих эллипти-
эллиптических систем. Матем. сб., 1965, т. 68, вып. 3, 373—416.
5.	Д и т к и н В. А., П р у д н и к о в П. А., Интегральные преобразова-
преобразования и операционное исчисление. Физматгиз, 1961.
6.	К о п-д ратьев В. А., Краевые задачи для эллиптических уравнений
в областях с коническим угловыми точками. Тр. Моск. матем. о-ва, 1967,
т. 16.
7.	Л е в и н Б. Я., Распределение корней целых функций, Гостехиздат,
1956.
8.	Л о п а т и п с к и й Я. Б., Об одном способе приведения граничных
задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа
к регулярным интегральным уравнениям. Укр. матем. журн., 1953, т. 5,
№ 2, 123—159.
9.	Морен К., Методы гильбертова пространства. «Мир», 1965.
10.	Мусхелигавили Н. И., Некоторые основные задачи математи-
математической теории упругости. Физматгиз, 1966.
11.	II о б л Б., Применение метода Винера — Хопфа для решения дифферен-
дифференциальных уравнений в частных производных. ИЛ, 1962.
12.	Петровский И. Г., Об аналитичности решений систем уравнений
с частными производными. Матем. сб. 1939, т. 47, вып. 1, 3—70.
13.	С н е д д о н И., Преобразования Фурье, ИЛ, 1955.
14.	Соболеве. Л., Вишик М.И., Некоторые фукнциональные ме-
методы в теории уравнений с частными производными, Труды третьего все-
всесоюзного математического съезда, т. III, 1956.
15.	С о л о н н и к о в В. А., Об общих краевых задачах в эллиптическом
смысле А. Даглиса—Л. Ниренберга, II, Тр. Матем. ин-таим. В. А. Стек-
лова 1966, т. ХСП.
16.	Т и т ч м а р ш Е., Введение в теорию интегралов Фурье, Гостехиздат,
1948.


154	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ [ГЛ. I
17.	Уфлянд С. Я., Интегральные преобразования в задачах теории упру-
упругости. «Наука», 1967.
18.	Эскин Г. И., Общие краевые задачи для уравнений главного типа
в плоской области с угловыми точками. Резюме докл. Моск. матем. о-ва.
УМН, т. XVIII, вып. 3 A17).
19.	Agmon S., DouglisA., Nirenberg L., Estimates near the
boundary for solutions of elliptic partial differetial equations satisfying
general boundary conditions. I. Gomm. Pure Appl. Mathem., 1959, v. 12,
623—727. II. Gomm. Pure Appl. Mathem., 1964, v. 17, 35—92.
20.	В e u r 1 i n g A., A theorem of functions defined on a semi—group
Math. Scand. 1953, № 1, 127—130.
21.	DouglisA., Nirenberg L., Interior estimates for elliptic sys-
systems of partial differential equations. Gomm. Pure Appl. Math., 1955, № 8,
503—538
22.	Horvay G., Bigarmonic eigenvalue problem of the semi—infinite
stript, Quart. Appl. Math. 1957, № 15, 65—81.
23.	Lax P. D., A Phragmen —Lindelof theorem in harmonic analysis and
its application to some questions in the theoxy of elliptic equations. Gomm.
Pure Appl. Math. 1957,J№ 10, 361—389. Теорема Фрагмена — Линделефа
в гармоническом анализе и ее применение к некоторым вопросам теории
эллиптических уравнений. Математика. Периодический сб. переводов
иностранной литературы, 1959, 3—4.
24.	Smith R. G. Т., The bending of a semi — infinite strip, Austral J. Sci-
ent Res, Ser. A, 1952, № 5, 227—237.
25.	W e i n s t e i n A., Zum Phragmen — Lindelofsehen Ideenkreis. Abhand.
Math. Seminer. Univ. Hamburg, 1928, № 6, 263—264.
26.	Williams M. L., Stress Singularities Resulting from Various Boun-
Boundary Conditions in Angular Gornes of Plates in Extension. Journal of Ap-
Applied Mechanics. 1952, v. 19, № 4, 1952.


Глава III
ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ СЛОЯ
§ 13. Разрешимость задачи III в обобщенных решениях.
Единственность решения
1. Определение. Обобщенным решением задачи III
назовем вектор-функцию a (uv u2, и3) ЕЕ Hlv» у которой компо-
компонента и3 принимает на Q заданное значение /3 {xv x%) и которая
удовлетворяет интегральному тождеству
{а• ф)н1У — \(Дф2 + /2Ф2)dx1 dx2 — ^/4фзdx±dx2 — ^Fq>dv= 0 A3.1)
Ti	SI*	V
о
для любой вектор-функции ф ЕЕ И±у- Механический смысл об-
обобщенного решения заключается в том, что A3.1) выражает прин-
принцип возможных перемещений для слоя.
Теорема 13.1. Пусть выполнены условия:
1) массовые силы F(fu f2, f3) таковы, что Fb Pi ?ELp'y;
1
n
-г-<СРъ Pi определяется соотношениями 1) теоремы 4.6, в ко-
о
торых надо положить р
i
2)	граничные усилия Д (^х, л:2), /2 (xlv x2), /4 (^i, ^2) ^# Гх таковы,
ДЬ Р2 , /аЬ Р2 GL - /4Ь Р2 GL , ; ра>-тг> а ?2 ow^"
^2	2	°
деляется соотношениями 2) теоремы 4.6, в которых надо по-
положить р — р% = —г-2—¦;
*а-1
3)	перемещения /3 (жх» жг)
4)	любой из контуров гк, ограничивающий Qk, имеет в каждой
точке непрерывно дифференцируемую кривизну.
В этом случае задача имеет обобщенное решение и притом
единственное.


156	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛОЯ	[ГЛ. ill
Для доказательства положим
а (и^ и21 и3) = а0 (и10, и2о, и30) + Ь (О, 0, f 3), A3.2)
где f3 есть продолжение функции/3 с Q в слой У, даваемое леммой
3.13. Если подставить A3.2) в A3.1), то вопрос ведется к отыска-
отысканию вектор-функции а0 из тождества
¦(ф) =
V
A3.3)
Лемма 13.1. При выполнении условий 1) — 4) Т (<р) есть
линейный и ограниченный в Нгу функционал.
Линейность Т (<р) очевидна. Далее,
I /г | | фг | dxidx% +
IА | | Фз | dxxdx% + ^ | F | | <р | dy + | F • ф)н1У |. A3.4)
v
В силу неравенства Гельдера C.1) из A3.4) имеем:
— V2	Р2	— ?>2	Рг
Р2	Рг	V\
+ 11&1н1у||ф||н1у. A3.5)
Поскольку в наших условиях -г-<С/?1<С°°; -о- <С ^2 <С °°»
то 1 <^ /?i <С 6; 1 <^ /?2 <С 4, и мы имеем возможность применить
теорему 4.6 и неравенство D.64), а также неравенства C.132),
из которых получаем:
2	^2
Р2	Vl
Неравенство A3.6) и доказывает лемму 13.1
Из линейности и ограниченности Т (<р) сразу в силу теоремы
Рисса вытекает существование вектор-функции а0, удовлетвори-


§ 14] РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ IV В ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЯХ	157
ющей интегральному тождеству A3.3). В соответствии с A3.2)
получим обобщенное решение задачи III. Из A3.3), A3.6) выте-
вытекает
|(Оо-Ф)н1У| =|"^	r^
и в силу соотношений C.4), C.5) из A3.7) получаем оценку
i «оКу < И1 къ ^|L/ri +1| ftf ^ |Lp,ri +1 if ~* flp,^ +
+ \\Pb"^\\L, +|/,LA)). A3.8)
p V	W2ft
Далее, в силу A3.2) и неравенства C.132) имеем:
+ «^"'V + I^--|,bv + ||/3|4,). A3-9)
Из A3.9) вытекает единственность обобщенного решения задачи
III. Теорема 13.1 доказана.
§ 14. Разрешимость задачи IV в обобщенных решениях.
Единственность решения
1. Определение. Обобщенным решением задачи IV
назовем вектор-функцию a (uv гг2, гг3) ЕЕ Н2у, у которой компо-
компонента и3 принимает заданное значение /3 (xv x2) на Q и которая
удовлетворяет интегральному тождеству
• ф)н2У — I t/i (<Pi — d± + dsx2) + /a (ф2 — d2 — d3x±)] dx±dx2 —
r
^2 — ^ Ifi (Ф1 — di
v
+ f 2 (<P2 — d2 — dzXi) + f зф3] dy = 0 A4.1)
0
для любой вектор-функции <р (ф1} ф2, ф3) S H2v к любых постоян-
постоянных dv d2, d3-


158	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛОЯ	[ГЛ. Ill
Теорема 14.1. Пусть выполнены условия'
1)	массовые силы & (?ъ f2, f 3) таковы, что &ф lk E=L - у;
Р1к
к = 1,2; pife определяются соотношениями 1) теоремы 4.8,
б которых надо положить р = р1/с = ——^— ; Рис > -?- ;
Pifc - *	Ь
Pis
^"зЬ Ри ЕЕ L / ¦ , где р13 определяется соотношениями 3) теоре-
лш 4.8, в которых надо положить р = р13— , 13—; /?i3 ^> -гг >
2)	граничные задания f1(x1, x2), f%{xx, ж2), /4 (ж1? ж2) таковы, что
29е p2ft! A = 1, 2, определяются соотношениями 2) теоремы 4.8,
в которых надо положить р = p2fe = —7-^— ; pit > -5- гг р2з опреде-
ляется соотношениями 4) теоремы 4.8, в которых надо положить
4
3)	перемещения /3 (жц я2) ^ WgJl;
4)	любой из контуров гк, ограничивающий Q^ имеет в каждой
точке непрерывно дифференцируемую кривизну.
В этом случае для однозначной разрешимости задачи IV не-
необходимо и достаточно выполнения соотношений
dv = 0; * = 1, 2;
A4.2)
^ (/А — М) datura + ^ (f \x2 — f 2^1) di; = 0.
Г1	V
Соотношения A4.2), как легко видеть, выражают факт ра-
равенства нулю главного вектора внешних сил в проекции на оси
xv X4 и равенство нулю главного момента в проекции на ось xs.
Чтобы доказать необходимость A4.2) для разрешимости задачи VI,
положим в A4.1) <р = 0. В силу произвольности dv d2, ds из A4.1)
получаем A4.2). Для доказательства достаточности подставим
в A4.1) соотношение
a (uv и2, в8) = а0 (г?!, г?2, v3) + Ъ @, 0, /3), A4.3)
где f3 есть продолжение /3 с й на слой V, даваемое леммой 3.13.


§ 14] РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ IV В ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЯХ	159
В результате для а0 получаем интегральное тождество
т (ф) = \ (АФх + /2Ф	^
1\	СО*
+ 5 (^1Ф1 + ^2ф2 + f Зфз)^ ~ Fф)н2у. A4.4)
Лемма 14.1. При выполнении условий теоремы 14.1 Т (ф)
о
есть линейный и ограниченный в Н2у функционал.
Линейность очевидна, а для доказательства ограниченности
заметим, что в силу A4.2) Т (ф) можно представить в виде:
Т (ф) = \ [/i (Ф1 — ci) + /2 (Ф2 —
Г1
+ J[f i (Ф1 - сО + f 2 (Ф2 - ca) + ef зФз)] di; — (Ь<р)н2У. A4.5)
В формуле A4.5) cv c2 — нуль-проекции вектора ф, фигури-
фигурирующие в представлении D.73) теоремы 4.8. При этом в силу
неравенства Гельдера C.1) из A4.5) имеем
LPl3V+»bkv«<PlH2y. A4-6)
6	4	'	'
Учтя, что в наших условиях — <Pi/c<^o, — < p2fc < Рг/с < °°
и соответственно 1 < Рт<С 6, 1 <СР2/с<Г 4; & = 1, 2, 3, мы можем
применить неравенства D.76) теоремы 4.8. При этом получим
*—1	2f	23
Si M: viiiiw ii ivv
t=l	l Ц	2b2	13
что и доказывает ограниченность Т (ф). Лемма 14.1 доказана.


160	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛОЯ [ГЛ. Щ
0
Существование вектор-функции а0 ЕЕ Н2у и удовлетворяющей
A4.4) вытекает теперь из теоремы Рисса (§ 3). Очевидно, далее,
а0 будет удовлетворять A4.1).
Из A4.4), A4.7) имеем
Р2*
2Ш ЬР
откуда на основе C.4), C.5), получаем
t=l	J 2 '	' 23
~\~У}\\^1^ ^h > +II/3II (Di A4.9)
t=l	PltV	W2«
и из A4.3)
2	~
Vri	p^ S Ц^ГК +
A4.10)
Из оценки A4.10) вытекает единственность решения задачи IV.
Теорема 14.1 доказана.
П р*и мечание I. При введении пространства Н2у, игра-
играющего основную роль в постановке задачи IV, мы использовали
условия B.33), B.34), которые, в сущности, не диктуются меха-
механическими соображениями. Если от них отказаться, то придем
к тому, что и± определяется с точностью до агрегата сг — с3хъ,
и2 — с точностью до агрегата с2 + c3xv
Примечание П. Условия теорем 13.1, 14.1 являются
достаточными для разрешимости задач III, IV. Их можно осла-
ослабить в той части, которая касается на /3 (х1У ж2). Необходимым и
достаточным условием здесь будет, как и в случае задач I, II,
принадлежность /3 (х±, х2) пространствам Соболева — Слободец-
кого W2a2, о которых шла речь в примечании к леммам 3.10—3.12.
Массовые силы-F7 и поверхностные силыД, /2, /3 должны быть лишь
такими, чтобы соответствующие функционалы в правых частях
E.3), F.4) были линейными и ограниченными соответственно
в HlV, H3y. Области Qk могут быть звездными по Соболеву.


§ 15] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ 161
§ 15. Дифференциальные свойства обобщенных решений
задач III, IV в областях,
не содержащих особых множеств границы
1. Исследование решений задач III и IV также будет дано на
основе результатов работы [4].
Лемма 15.1. Система уравнений трехмерной теории упру-
упругости A.9) эллиптична.
Действительно,
\\ + A + к) е3
+ Й+Й)8, A5.1)
откуда и вытекает утверждение леммы.
Лемма 15.2. Граничные условия, краевой задачи А {задание
на границе Г2 перемещений в задаче III, § 3) удовлетворяют соот-
соотношению дополнительности.
Матрица J F || в данном случае, как легко видеть, есть просто
единичная матрица и || С || = || Е ||. Вектор ? имеет на Г2 состав-
составляющие ?х; ?2; О, а вектор v — составляющие 0; 0; 1. Однако мы
всегда можем оси xv x2 направить так, чтобы составляющие ?
стали бы 1; 0; 0. Вектор ? + vx имеет тогда составляющие 1; 0;
т. Уравнение для определения т получим, если в A5.1) совершим
подстановку ^ -> 1; ?2 -*• 0> Ъз -> т и результат приравняем
нулю*.
A + т2K = 0.	A5.2)
Характеристический полином М (т) дается соотношением
М (т) = (г — О3-	A5.3)
Матрица || С || после подстановки-^	> 1; -j-—>0; -^	>х при-
приобретает вид:
II _j- К + т2 0	#т	II
о	i+T2 о	1	A5.4)
Кх	0	1 + A -f- -ЛГ) та || *
Поскольку М (г) — третьей степени, то матрица остатков || R || =
= | С ||, и для матрицы дополнительности получаем:
11+X	0 0 0 0 К 1 0	0 j
о	loooooi	о . A5.5)
^0	01Я00 0 0	1 + К\\
6 И. И. Ворович и др.


162
ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛОЯ
[ГЛ. III
Легко видеть, что детерминант, составленный из первого, второго
и третьего столбцов, уже отличен от нуля. Ранг матрицы A5.5)
есть 3. Лемма доказана.
Лемма 15.3. Граничные условия краевой задачи Б {задание
нормального перемещения и касательных напряжений на Г2 в
задаче IV и на Q в задачах III, IV; §§3, 8) удовлетворяют соотно-
соотношению дополнительности.
Матрица F в данном случае имеет вид
A5.6)
д
дхз
0
0
0
д
дхз
0
д
дх\
д
дх%
1
и после подстановки -^	> 1; ——
О;
дхг
IX 0 111 •
О х 0 .	A5.7)
0 0 1 [I
Матрица | Е || после той же подстановки дается формулой:
II + К + т2 0	Кх	II
о	l + t* о	.	A5.8)
||
Для матрицы || С
I
Кх
получаем:
0
|
0
Кх
Матрица остатков имеет вид
о
II	Кх
а матрица дополнительности
II -i 0 1
ИДИ
О —i О
О 0 1
0
1 + A + К) т2
0	l-f
i + 4т - ^
О	1-f
) 0 0 3i	О
4 0 0	3*
0 0 0	0
О
A + К) т2
2К + 1\\
О .
Z + 1 I
A5.9)
,A5.10)
A5.11)
Легко видеть, что детерминант, составленный из первого, второго
и третьего столбцов, отличен от нуля. Ранг матрицы A5.11)
есть 3. Лемма 15.3 доказана.


§ 15] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ
163
Лемма 15.4. Граничные условия задачи В {задание напря-
напряжений в задачах III, IV; §§ 3, 8) удовлетворяют соотношению
дополнительности.
Матрица F в данном случае имеет вид
1*4 =
д
дхз
О
О
д
дхз
д
дх\
д
дх%
и после подстановки -^	> — 1; -~	> 0; -=
ох\	0X2	охг
1
0
0—1
-тО
0 _
Для матрицы | С | получаем:
I — т3 — т A +2.ЯГ)	0,
О	_t(l
A5.12)
A5.13)
— т2 A + 2/0 — 1
Матрица остатков дается формулой:
A5.14)
— ЗхЧ — 2т B + К) + i	0	— т2 A + 2К) — 1
О	— Зт2* — 4т + i	О
1 _ х2 + т2 A — 2К - Z2)	О	— Зи;2 (К + IJ - т D А2 +
а матрица дополнительности — формулой
l
A5.15)
Ii 0-1 —2B+А) 0 0
О г 0	0	-4 0
1-^2 О ЦК+1)* 0	0 --D
_3*	О — A+2Я) II
О	— 3/ О
1_-2#-~Х2 О —3i(Z+lJ I
A5.16)
Легко видеть, что детерминант, составленный из первых трех
столбцов матрицы )| D J, отличен от нуля. Ранг матрицы A5.16)
есть 3. Лемма 15.4 доказана.
Таким образом, все типы граничных условий, входящих в
задачи III, IV, удовлетворяют соотношению дополнительности, и
мы имеем возможность применить результаты из [4].
6*


164	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛОЯ	[ГЛ. Ill
Теорема 15.1. Пусть выполнены все условия теоремы 13.1
(соответственно 14.1). Тогда
1)	если в некоторой подобласти V слоя V, F е В?у; & > О,
то во всякой замкнутой подобласти V" СГ V, граница которой
может выходить на Г2, обобщенное решение задачи III (соответ-
(соответственно IV) ЕЕ В?+2,У" Здесь, как уже было оговорено, \i' = (л, ес/ш
(л < 1, и \i' можно считать сколь угодно близким к 1, еа/ш (л = 1.
2)	еа/ш в некоторой подобласти V слоя V, F ЕЕ В?у и, кроме
того, на Q /1т /2, /4 ? B?+1>q*, mo во всякой замкнутой подобласти
V" а V, граница которой может выходить на Г2 и внутрь
?2*, обобщенное решение задачи III (соответственно IV) ЕЕ B/J+2,v"">
3)	ес/ш в некоторой подобласти V слоя V, F Ez B/^V' ^ кроме
того, Д, /2 ? В^+1>?2, /3 е В^+2, ^, то во всякой замкнутой по-
подобласти V" d F', граница которой может выходить на Г2 и
внутрь Q, обобщенное решение задачи III (соответственно IV)
ЕЕ В/с+2, у"»
4)	ес^гг в некоторой подобласти V слоя V, F G: В^у 1г, кроме
того, A, /2EBf+ljr1? /4ЕВЦо», /з^В^.а, ^ во всякой
замкнутой подобласти V" d F', граница которой может вы-
выходить на Г2, внутрь Q и внутрь Q *, обобщенное решение за-
задачи III (соответственно IV) ЕЕ В?+2) у". Д/ж ^mojii имеет место
неравенство
B/C+2,Q	B/?V
J5 случае, если F = /, = /2 = /4 = 0, ггз A5.17) получаем соотно-
соотношение
ни- <т»
которое также справедливо при к > 0.
П р и м е ч а ни е. Если J7 G Boy, то, как это следует из тео-
теоремы 15.1, а будет иметь в слое V непрерывные производные вто-
второго порядка. При этом легко устанавливается из интегрального
тождества A3.1) (соответственно A4.1)), что а удовлетворяет в
каждой внутренней точке слоя уравнениям A.9) и граничным ус-
условиям A.10) (соответственно A.14) —A.15)). Если, кроме того,
/з е Bon/i, /2 G Вш, /4 е В^*, то а дополнительно удовлетво-
удовлетворяет граничным условиям A.11), A.13) во всех внутренних точках
Q и Q *. В этом смысле обобщенное решение задачи I (соответ-
(соответственно II) есть классическое решение. Вопрос о поведении а
в окрестности особого множества гк необходимо рассмотреть особо.


§ 15] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ	Iffo
2. Выясним теперь, какие дополнительные сведения о локаль-
локальных дифференциальных свойствах обобщенных решений задач III,
IV можно получить, не предполагая дифференцируемости внешних
нагрузок. Предварительно приведем некоторые интегральные пред-
представления решений задач III, IV, аналогичные представлениям
G.27), G.30), G.32), G.33). Их вывод совершенно аналогичен вы-
выводу представлений G.27), G.30), G.33) и поэтому здесь не при-
приводится.
Пусть Ро — внутренняя точка слоя V. Пусть, далее, ША (Ро) —
шар радиуса А с центром в Ро, целиком принадлежащий V. По-
Построим на радиусах шара Ш& (Ро) функцию %, введенную в § 3,
п. 9, и рассмотрим а = %-а, где а —обобщенное решение задачи
III или IV. Очевидно, а = а, если 0 <^ г <; А — б, и а = 0, если
г> А.
Лемма15.5. В условиях теорем 13.1,14.1 для любого решения
задач III, IV в шаре Ш& (Ро) имеет место представление
ША(Р0);=1
f} = fi+%f],	A5.19)
где Gff — трехмерный тензор Грина для уравнений теории упру-
упругости (§§ 3, 8), fj —линейные комбинации ut и их первых производ-
производных, даваемые соотношениями:
К (ulx. %Xt + щх.%Х2 + u3Xj%xJ + {игХх1Х.
Ц. A5.20)
Пусть, далее, Ро находится на Г2, и рассмотрим полушар
Ш\ (Ро), являющийся пересечением шара ZffA (Ро) (А < А) и
слоя V.
Лемма15.6. В условиях теоремы 13.1 в Ш\ (Ро) имеет место
представление
з
щ (хъ х2, х3) = $ S G?^ (xi "" ^» ^ — ёг> ^з, 5з) ^JdEi ^^2 ^^3,
ша(РоO==1
A5.21)
гЗв /J, ^5 по-прежнему даются формулами A5.20), a G?f — тензор
Грина трехмерной краевой задачи А (см. §§ 3, 8).


166
ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛОЯ
[ГЛ. III
Л е м м а 15.7. В условиях теоремы 14.1 в ША (Ро) имеет место
представление
= J
— 1Ъ х2 — g2, xs,
r2 ;
A5.22)
В A5.22) Gff — тензор Грина трехмерной краевой задачиВ (§ 3.8),
а /* по-прежнему даются формулами A5.20).
Пусть, далее, точка Ро е Г^ Рассмотрим полушар Ш\ (Ро),
являющийся пересечением шара ША (Ро) и слоя F и не имеющий
общих точек с Q.
Лемма 15.8. 5 условиях теорем 13.1, 14.1 имеет место пред-
представление
ut (хъ
= J3B/ —
A5.23)
+
— E2
+
X/4)}
?f
BA5.23)G?f—тензор Грина трехмерной краевой задачи В.
Пусть,наконец, Р0ЕЙи полушар Ш\ (Ро), являющийся переев"
чением Ша(р0) и слоя F, не имеет общих точек с Q*.
Л е м м а 15.9. В условиях теорем 13.1, 14.1 имеют место пред-
представления:
ut


§ 15] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ 167
2
)
^1^2, A5.24)
2
/з• X• [(* - 1) 2 Gi. + (Я + 1) GJ
Примечание: В случае задачи IV в формулах A5.19),
A5.22) — A5.24) можно к смещениям ut добавить жесткие смеще-
смещения, допускаемые граничными условиями. Такие представления
приходится, например, использовать при анализе поведения ре-
решений задачи IV при г — У х\ + х\ -> оо (§ 17).
Перейдем к уточнению дифференциальных свойств обобщен-
обобщенных решений для задач III, IV.
Лемма 15.10. Пусть в условиях теоремы 13.1 в некотором
шаре ША* (Ро), F е Ц1ЛТа* (Ро) , qx > р[ > 6/5- В этом случае обоб-
обобщенное решение задачи III a eW^^- При этом имеет мес-
место неравенство
- A5-25)
0<б <А, А + б < А*.
Будем исходить из представления A5.19) и рассмотрим три
случая:
1) 6/5 < q1 ^ 2. В этом случае очевидно F) ее ^1Ша(ро) и, как
видно из A5.20) и леммы 4.1,
#!l ш р <
3
' "Ч^ !!
t, k=l
A5.26)
Далее, правые части A5.19) суть интегралы типа потенциала,
причем сингулярные операторы, получающиеся их двукратным
дифференцированием по xt в соответствии с леммой 3.1, ограни-
ограничены в любом 1Р; р^>1. Отсюда следует, что а ЕЕ W^nrA(p0)»
причем
(all ,9, <^||^*|1,	•	A5.27)


168	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛОЯ	[ГЛ. III
Из A5.26), A5.27) и вытекает A5.25). Лемма для данного случая
доказана.
2) 2 <gj <3. В этом случае в силу 1) а е WB^A_5 <р0) и
HlwB)	<wMi.	A5.28)
2Ш(Р)
Из формул вложения C.29), C.32) вытекает, что, по меньшей мере,
qO,5
^6ДГА_5(Ро); ai
и
Hlwd)	<mMh ЦаЦв^з/ei _<mMi. A5.29)
Из A5.20), A5.29) получаем
или в силу произвольности А, б
Из представления A5.24) неравенства A5.30) на основе леммы
3.7 имеем а е= W^]ffA_5(po), причем
-5 (Ре)
что в силу произвольности А, б эквивалентно A5.25).
3) 3 <; qx. В этом случае в силу теоремы вложения и п. 2 доказы-
доказываемой леммы по меньшей мере а 6Е ВошА(Р0); # е W^inA(p0)- Здесь
|л' —любое число, сколь угодно близкое к единице, а д>1 и
любое. При этом из C.33), A5.25) вытекают неравенства:
|| а |	<ягМА; \а\	^тМ\. ¦ A5.31)
ошА(Ро)	дпг(Р)
Из A5.20), A5.31) сразу получаем:
Из представления A5.19) и леммы 3.7 заключаем, что a
и имеет место A5.25). Лемма 15.10 доказана.


§ 15] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ Ю9
Лемма 15.11. Пусть в условиях теоремы 13.1 в некотором
полушаре IH\*(?q)\ F <^Lqjnl (Po). В этом случае обобщенное
решение а задачи HI ^W0^ , причем имеет место нера-
неравенство:
H
wB)
ША_5(Р	()
, 0<6<A, A + 6<А*.
2Ш^ (Ре)	aiin^(Po)
Поскольку лемма 15.11 устанавливается на основе представле-
представления A5.21) так же, как и лемма 15.10, то ее доказательство будет
опущено.
Лемма 15.12. Пусть выполнены условия теоремы 14.1. Пусть, да-
далее, в некотором полушаре Ш\* (Ро); -^Е L^iha*^, qC>Piu * = 1, 2, 3.
В этом случае всякое обобщенное решение а задачи IV ЕЕ W(q2tzzia_5(Po)-
При этом справедливо неравенство
<mM%.	A5.33)
A-S (po)
Лемма доказывается на основе представления A5.22). Рас-
Рассмотрим следующие случаи:
1) 6/5<д1<2. В этом случае J?*EL^(Pj); из A5.19),
A5.20) и леммы 4.1
II*7!	<тМ\.	A5.34)
ЧхШ^ (Ро)
По лемме 3.7 J^EE Wj2^ (Po) и
A5.35)
А(Ро)
Легко заметить, что интеграл, дающий J2bj, фактически распро-
распространен на некоторое кольцо Саъ (А —б <Г г <; А), лежащее на
Г2, с центром в Ро. Будем рассматривать J2b* в полушаре
/Z/a-s^Pо)\ А ^> бх ^> 8 ^> 0. Очевидно, здесь JgBf имеет произ-
производные любого порядка, причем
\\al	A5.36)
Z°A5


170	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛОЯ	[ГЛ. III
и, следовательно,
A5.37)
Из A5.22), A5.35), A5.37) и в силу произвольности А, б, бг и полу-
получаем A5.33).
2) 2<дх<;6. По доказанному в п. 1) aEW22ffll ( . По фор-
А—5
мулам вложения C.29) — C.32) по меньшей мере a^W^ (Po)»
А—5
В	пРичем
|a|U ' «eU.	<m|a|U <mMi' A5'38)
0ША-5 (Ро)
Из A5.38) вытекает, что F* e=L Ш1 (Р), причем
(
|| Р'{	<тМ\,	A5.39)
а из леммы 3.7 и A5.22) получаем Дда *= W^nj^^p,,),
A5.40)
Из A5.22), A5.37), A5.40) легко получаем A5.34).
3) 6 <; q±. В этом случае по доказанному в п. 2 данной лем-
леммы по меньшей мере а ЕЕ W^' (p y По теореме вложения (§§ 3,4)
i1 (Po) и в соответствии с C.34)
1ДГА (Ро)
Из A5.20) получаем при этом, что jF* e ^пгасРо) и имеет место
A5.39). Из леммы 3.7 и A5.22) получаем A5.40). Из A5.22), A5.37),
A5.40) получаем A5.34). Лемма 15.12 доказана.
Лемма 15.13. Пусть в условиях теоремы 13.1 в некотором
полушаре Ш\ (Ро); F <= Ц1Ш^(Ро); д3 > р[ > 6/5. Пусть, далее,
на пересечении Q * w- Ша (Ро) касательные и нормальные усилия
/i> /2» /4 ?== Ц2> ?2 > Рг' !> 4/3. 5 зшш случае обобщенное решение
а задачи III ЕЕ ^/^Ш2 (Ро)? ^ — min L ^ , -^


§ 15] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ	171
Если q± I> 3, то q = -у q2. При этом имеет место неравенство
\а
д
A5.41)
Будем исходить из представления A5.23). Всю область изме-
изменения параметров qu q2 разобьем на ряд подобластей (рис. 13).
3
1
4
J.
6
2
5/5 2 3
Рис. 13.
1) В подобласти 1 -r-<^q1^2; -
т„ причем в силу A5.20)
</п(||а| (.
. Здесь, очевидно,
. A5.42)
В силу C.110) и C.13) Jsb( ?W№	, причем
W
ft)
< тМ\. A5.43)


172	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛОЯ	[ГЛ. III
Далее, по лемме 3.8 1зв* ЕЕ W^	, причем
-j- ЯгДГ^ (Ро)
+1/4	, +\\а\[	).
A5.44)
На основе неравенства C.25) из A5.44) получаем:
&	<mML	A5.45)
¦f <ЫП« №.)
Из A5.23), A5.43), A5.45) получаем A5.41).
2) В подобласти 2 2 < gx; -g- < ga < 4.
лее, на основе C.13) J|B(eW^(Po), причем
А
2) В подобласти 2 2 < gx; -g- < ga < 4. Здесь g = -g- ?a- Да-
ДаA5.46)
Для ]1ы имеем неравенство A5.45). Из A5.23), A5.45), A5.46) по-
получаем A5.41).
3) В подобласти 3 -g-<#i<2; #2!>4; у ;2>3__?1 . Здесь,
таким образом, g *= »^ . В силу леммы 3.8 JgBf EW39l	'
3—Qt A
причем имеет место неравенство A5.43). С другой стороны, j|Bb
по лемме 3.8, безусловно, ?= У/вш12 хр0)- Поскольку qi <^ 6, то
Cqt 2 , причем имеет место соотношение
3 Qi A.
A5.47)
вытекающее из A5.45). Из A5.23), A5.43), A5.47) вытекает A5.41).
4) В подобласти 4 2<^#1<^3; -уq2 >ь_ » Здесь; очевид-
очевидно, также ^ = gl . По п. 3 и в силу произвольности A, S
можно считать, что в данной] подобласти а ее Wein2 (Р<>)> а яо
А.


§ 15] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ	173
Иво,5 <™MlwA) <mM|.	A5.48)
теореме вложения а ее Вщ2 (ро). При этом
Из A5.48) получаем для данного случая A5.43) и из леммы 3.8
получаем A5.44). Но тогда очевидно, что а ЕЕ WAggi	, и спра-
З^ГША(Ро)
ведливо неравенство A5.41).
5) В подобласти 5 2 < qx < 3; g2 > 4; |- q2 ^ g~7" 3деСЬ
|	g7
3
= -2^2' Легко устанавливается, что в данной подобласти
а ее. W^ (Ро), соответственно а ее Вд^2 (р0)- Отсюда вытекает, что
JF7*^ Цш2 (Ро) и справедливо A5.42), что в свою очередь дает
A5.44). Далее, по лемме 3.8 JgB* ЕЕ W(g} o и справедливо
Т А
A5.45). Из A5.23), A5.43), A5.45) и вытекает A5.41).
б) В подобласти 6 3<^^х; q^^>^ на основе п. 5 заключаем,
что а ЕЕ W^a (Ро) и a s B^ (Ро), причем справедливы леравенства
A5.48). В силу леммы 3.3 приходим к выводу, что JlBt =
Y^zlff^ (Po)
и справедливо A5.45). Далее, из неравенства C.13) заключаем,
что JsB*eW^(Po) и подавно 4еУ/?^2(рв), причем
<mMl.	A5.49)
(Ро)
Из A5.23), A5.45), A5.49) и вытекает A5.41). Поскольку, как это
видно из рис. 13, подобласти 1—6 исчерпывают всю область изме-
изменения параметров qx, q2, то лемму 15.3 можно считать доказанной.
Лемма 15.14. Пусть в условиях теоремы 13.1 в некотором полу-
шаре Zffi(P0), jPeLgiar^(Po), Qi> р'г> j, /i, U
?2 > p; > 4 5 /в e wSmn^(Pi>'q*> 2' B этом случае a ^ T T ^3A_5(Po);
. 3gi 3	3 \	6..oz?	.o
q = mm :?	; -^- g2» -о* ^з) > если -г- <С^ ^i <C о. п,сли q± ^> о, ттго
• з""91з \ „
g = min -^r q<i, -я- g3 . //ргг этом имеет место неравенство:
л rv*»/	'	2Ш3(Ро)
2


174
ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛОЯ
[ГЛ. III
Доказательство леммы 15.14 достаточно громоздко, но не со-
содержит каких-либо новых элементов по сравнению с леммой 15.13,
и поэтому здесь приводиться не будет.
Примечание I. В леммах 5.10—5.12 установлена при-
принадлежность обобщенных решений задач I, II в некоторых обла-
областях пространству Wg4. Из теорем вложения (§§ 3, 4) при этом
следует, что
3—gi
3—2qi
ах GL3,
a
а~
3—Ql
gi-3
i—3
A5.51)
aXt(= В qi ,	. _ .
причем из C.29), C.31) —C.34) вытекают неравенства
Ball , \\a\\
A5.52)
В леммах 15.13, 15.14 установлена принадлежность обобщен-
обобщенного решения а задач III, IV в некоторых областях пространству
W(~}. Из теорем вложения (§ 3) при этом следует, что a €E L ~ ,
_ JL
3.
если q < 3; aGLg, q < с», если ? = 3; а е= BQ g , если g
При этом имеют место неравенства:
m{Ml, Mi},	A5.53)
3—g
Во
вытекающие из C.24), C.27).
Примечание II. В условиях теоремы 14.1 для решений
задачи IV неравенство A5.25) будет справедливо, если
и,
п
у , неравенство A5.41) будет справедливо, если
п,
кРоме того»
A5.50) будет справедливо, если qi>PlV Р12> Р19>-§•',
"з"- Неравенство


§ 15]	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ 175
В данном разделе будут рассматриваться некоторые аналити-
аналитические свойства решений при отсутствии массовых и поверхност-
поверхностных нагрузок.
Теорема 15.2. Пусть в условиях теоремы 13.1 {соответ-
{соответственно 14.1) массовые силы JP = 0. В этом случае
1)	всякое обобщенное решение задачи III (соответственно IV)
есть аналитическая функция х% в каждой внутренней точке V;
2)	а можно аналитически продолжить через Г2;
3)	пусть, кроме того, в области Тг ЕЕ й* все поверхностные
нагрузки Д = /2 = /4 = 0. В этом случае всякое обобщенное реше-
решение задачи III (соответственно IV) можно аналитически продол-
продолжить через любую замкнутую подобласть 1\ d Гг
При F = 0, как это следует из теоремы 15.1, всякое обобщен-
обобщенное решение а задачи III (соответственно IV) имеет внутри V про-
производные любого порядка, во всяком случае дважды непрерывно
дифференцируемого.
В настоящее время, как уже указывалось в § 7, есть
весьма общие теоремы об аналитических свойствах решений
эллиптических систем [5], следствием которых является и ана-
аналитичность любого дважды непрерывно дифференцируемого ре-
решения уравнений трехмерной теории упругости. Впрочем, ана-
аналитичность а во внутренних точках можно вывести непосредст-
непосредственно из представления A5.19), подобно тому, как это было в плос-
плоском случае. Аналитическое продолжение решения через Г2 в случае
задачи III можно осуществить на основе представления A5.21).
В этих представлениях при отсутствии внешней нагрузки Fj* об-
обращается в нуль в полушаре О^г^А — б, х3^0 из-за наличия
в каждом слагаемом производных от %. Поэтому, если рассматри-
рассматривать xt в шаре III х	, то здесь ut e= ut можно непрерывно диф-
дифференцировать сколь угодно много раз, причем будут удовлетво-
удовлетворены уравнения трехмерной теории упругости в этом шаре. Ана-
Аналитичность а в III1	после этого можно вывести из резуль-
|(А5)(Р)	F
татов, доказанных в [6]. Ее можно также установить и непосред-
ственно на основе разложении G?j в соответствующие ряды.
Поскольку Ро произвольна, а А, б связаны лишь соотношением
б << А << h, то, очевидно, этим доказана возможность аналитиче-
аналитического продолжения а через Г2. В случае задачи IV аналитическое
продолжение решения можно осуществить аналогичным способом
на основе представления A5.22). Для доказательства п. 3 теоремы
рассмотрим некоторую точку Ро ЕЕ Гг . Можно построить неко-
некоторый круг с центром в точке Ро радиуса А так, чтобы этот круг
принадлежал Г^. Пусть, далее, б —произвольное число, меньше
А. Построим полушар Ш\к-.ь) (Ро) и рассмотрим для него пред-


176	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛОЯ	1ГЛ. III
ставление A5.23), которое и дает аналитическое продолжение а
в шар Ша-ь (Ро)- В этом можно убедиться на основе A5.23), ис-
используя такие же рассуждения, какими устанавливалась воз-
возможность продолжения а через Г. Теорема 15.2 доказана.
§ 16. Поведение решений задачи III
на бесконечности
1. При постановке задачи III мы не делали никаких априор-
априорных предположений о поведении решений на бесконечности. Как
уже указывалось, вместо них используется более естественное
с механической точки зрения условие конечности потенциальной
энергии слоя. Из этого условия мы и получим точные характери-
характеристики поведения решения задачи III на бесконечности.
Теорема 16.1. Для всякого обобщенного решения а задачи
3
III при выполнении условий р± ^> у, р2 ^> 2 справедливо неравенство
V2
+ m3 (Po) ft*(| *i | - А, |>а | - Л), A6.1)
где 1) mt (Ро) -> 0, если г = У х\ -\- х\ -> оо равномерно относи-
относительно хъ при 0 ^ х3 ^ h\
2)	при F г= О
dxktxk2xkza -> 0, если г-> оо; k± + к2 + кг > 0,	A6.2)
12 3
в любом слое 0 ^ х9 <^ h — б равномерно относительно х3;
3)	если F = О, Д = /2 = /4 = 0 на й*, то A6.2) справедливо во
всем слое V равномерно относительно 0 <^хя ^ Л.
Для доказательства рассмотрим неравенство A5.52), выте-
вытекающее из представления A5.19) и неравенства A5.25). Имеем
2


§ 16] ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ III НА БЕСКОНЕЧНОСТИ	177
Из A6.3), учтя, что в силу соотношения 1) теоремы 4.6 pj << О,
имеем
2	р'г ш
A6.4)
Положим теперь
m1(P0) = l[^[|	; m2(P0) = \\Fb~%>	A6.5)
2ША(Р0)	1
Поскольку а —обобщенное решение задачи III, то aG W?v и
mi (Ро) ->¦ 0, если г -> оо. При этом, очевидно, стремление будет
равномерным относительно 0<б^х3^Д — б, где б — сколь
угодно малое число. Действительно, в этих условиях можно найти
такой радиус А шара Ш& (Ро), что при б <^ х3 <^ h — б шар всег-
всегда будет заключен в слое У.
Далее, поскольку по условию теоремы 13.1 Fb PlEiPly, то
т2 (Ро) ->¦ 0 равномерно при б <^ х3 ^ h — б.
Таким образом, неравенство A6.1) доказано в слое б ^ х3 ^
^ h — б. Рассмотрим теперь пограничный слой 0 ^ хъ ^ б.
В этом слое справедливо представление A5.21) и вытекающее из
него неравенство A5.32), из которых на основе аналогичных рас-
рассуждений приходим к A6.1). В пограничном слое h — б <^ хъ ^ h
имеем представление A5.23) и вытекающие из него неравенства
A5.41), A5.53). Поскольку в наших условиях 7/^> 3, то
Из A6.6) в силу условий теоремы 16.1 вытекает A6.1) в слое
h —б ^ хъ ^ Л. Таким образом, утверждение 1) теоремы 16.1
доказано.
Для доказательства 2) рассмотрим A5.19), положив там F = 0.
В этом случае интеграл в правой части A5.19), как уже указы-
указывалось, распространен по некоторому шаровому слою ША^(Р0),
А —б <; г <J. А из-за наличия в слагаемых ft* множителей %',
%". Если рассмотреть а в шаре Ж1 (Ро), , то интеграл в правой


178	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛОЯ	[ГЛ. III
части A5.19) не будет иметь особенностей и его возможно диффе-
дифференцировать любое число раз. При этом получаем:
123	ША>5(Ро) 3=1
откуда
Первый множитель в правой части A6.7) есть ограниченная функция
хи если соответствующая точка Giffi (Ро)- Далее, поскольку,
как это легко убедиться, F*EEL2niA 6(p0), то второй множитель
исчезает при Ро-> оо. Таким образом, A6.2) доказано для любого
слоя 0 < 8 ^ х3 <, h — б.
Для изучения поведения а в слое 0 <^ х3 < б рассмотрим пред-
представление A5.21). Если F = 0, то интеграл в правой части A5.21)
оказывается распространенным на половину шарового слоя
ША,ъ (Ро) (А — б ^ г <; А), ?3 > 0. При этом, если точка xt
принадлежит полушару Ш\ (Ро), то эти интегралы будут ре-
Т(А~5)
гулярными. Очевидно, и здесь можно применить весь предыдущий
ход рассуждений, что приводит к соотношению A6.2) для слоя
0 <; хъ <; б. Утверждение п. 2 можно считать доказанным.
Для доказательства п. 3 рассмотрим представление A5.23).
При F = 0, Д = /2 = /4 = 0 на Q* J\B дается интегралом, рас-
распространенным по половине шарового слоя Л/1,5 (Ро)> ?з ^ h.
Выражение JlB дается интегралом по кольцу Са,ъ (Ро)> лежащему в
плоскости 1\. При этом, если точка х*?Е:Ш21 (Ро)>то соответ-
Т (А~5)
ствующие интегралы оказываются регулярными и можно приме-
применить предыдущий ход рассуждений. Таким образом, A6.2) оказы-
оказывается справедливым и в слое h — б <1 х2 ^ h. Теорема 16.1 дока-
доказана.
2. Более детальный анализ поведения решений задачи III при
г -> схэ проведем в предположении F = 0, Д = /2 = /4 ^ 0.
Введем две новые вспомогательные функции (pj, ф2 посредством
соотношений
Щ - ф»Х1 - Ф»Ж2; иг = ^ + Фох1.	A6.8)
Очевидно, представление A6.8) всегда возможно. Также очевидно,
что ф?, ф2 определяются с точностью до сопряженных гармони-


§ 16] ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ III НА БЕСКОНЕЧНОСТИ	179
ческих функций переменных хг, х2, параметрически завися-
зависящих от х3. Покажем, что дифференциальные уравнения, опре-
определяющие ф?, фг, и3, содержат лишь оператор Лапласа АххХг по
переменным х±, х2, что сильно упрощает решение поставленной
задачи. Это обстоятельство и послужило причиной перехода от
Щ, и2, и3 к ф?, ф2, и3. Если подставить A6.8) в уравнение Ляме A.9),
то получим:
= о, j
#е*+Ди8 = 0;	в = ДЯ1Я1ср0 + Изх..	J ( )
Из этих соотношений вытекает, что AXlX2q>l есть гармоническая в
слое V функция по переменным хг, х2, xs.
Изучим поведение AXl3C^? на границе У. В силу граничного
условия A.10) заключаем, что на Г2 ф?, ф° суть гармонические
функции хи х2, т. е. имеет место граничное условие
Условие отсутствия касательных напряжений на Гх дает
(фо _ фо ! щх) L = 0: (ф° + ф° + ичх) L = 0,
откуда
A^4^lrt = 0-	A6-И)
В силу теоремы 16.1 ЛXtX2<§\ исчезает вместе со всеми своими про-
производными при г = У х\ + х\ -> сю. Отсюда легко сделать вывод,
что вообще Лаазаф" = 0 в слое V. В самом деле, граничное усло-
условие A6.11) дает возможность продолжить четным образом ДЖ13йф2
в слой h <^ x3 ^ 2h. Таким образом, &XlXt<fl можно рассматривать
в слое 0 < х3 ^ 2h. При этом на плоскостях х3 == 0, хъ = 2h вы-
выполнено условие
Ах^Ф^О	A6.12)
и, кроме того, в силу теоремы 16.1
lim АХ1Х,ф? = 0 при г = Vx\ + х\ -> оо. A6.13)
Из принципа максимума сразу получаем Д^Д?!! = 0. Поскольку
Ф2 определяется с точностью до гармонической по хг, х2 функции,
то, очевидно, можно принять ф? ^ 0. При этом представление
A6.5) примет вид:


180	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛОЯ	[ГЛ. Ш
Из A6.9) в этом случае получаем
#е + Дф° = с(я3),	A6.15)
где с — некоторая функция xs. Поскольку ф? определяется с точ-
точностью до произвольной функции #з> то соответствующей заменой
переменных соотношению A6.15) можно придать следующий вид:
ТГе + ДФ? = 0.	A6.16)
Соотношение A6.16) содержит и3 и ф? и его можно рассматривать как
уравнение для определения этих величин. Другим уравнением
является третье из соотношений A6.9).
Перейдем к формулировке граничных условий. Из A6.14)
имеем:
Ф2|г> = и,|г§ = 0.	A6.17)
Условия равенства нулю касательных напряжений на 1\ дают:
= 0.	A6.18)
Отсутствие нормальных напряжений на Й* приводит к гранич-
граничному условию:
. = 0.	A6.19)
Далее, в силу теоремы 16.1 справедливы предельные соотнош-
шения
4°iXl->0, Ф?*2~>0, и3-*0 при г = Ух\ + х\->оо. A6.20)
Таким образом, дда определения ф?, и3 имеем уравнение A6.16),
третье уравнение A6.9) и граничные условия A6.17) — A6.20).
3. Дальнейшее рассмотрение в основных чертах аналогично
исследованию плоского случая (§ 8). Рассмотрим цилиндр Цп ра-
радиуса D, х\ + х\ <; J92, 0 <; хъ < h. Пусть, далее, Db таковы,
что Цв-ь содержит множество Q. На нормалях к Цп-ь построим
функцию %(Vxl + xpi определенную в § 3, п. 9. Введем, далее,
функции
?i = ХФГ» Ъ = №з-	A6.21)
Очевидно, вне цилиндра Цп, #i = Ф1, ^2 ^ иъ-> внутри цилиндра
Цв-ь Ч\ == #2 = 0» кроме того, qx, q2 суть бесконечно дифферен-
дифференцируемые функции всех переменных. Подставив A6.21) в третье
уравнение A6.9), уравнение A6.16) и граничные условия A6.17) —


§ 16] ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ III НА БЕСКОНЕЧНОСТИ	181
A6 20), получим
/16 22)
К (ДЯ1х, + ) + A & J
A6.23)
,	A6.24)
J |Г1 = К	A6.25)
В формулах A6.22) — A6.25) kt — бесконечно дифференцируе-
дифференцируемые функции своих аргументов, равные нулю при г > D и при
0<г<? -б.
Рассмотрим теперь разложение qt и их производных в ряды
Фурье по 8. Поскольку qt бесконечно дифференцируемы, то они,
как известно [1], разлагаются в ряды Фурье вида
д,(г,*з,в)= S Яы(г,х)(»п*; « = 1,2,	A6.26)
71=—ОО
равномерно сходящиеся в любом цилиндре 0<^9<^ 2 л;; 0^ж3^
^ h; 0 ^ г ^ R; R ^> 0. Ряды A6.26) можно любое число раз
дифференцировать по любому аргументу, и мы вновь получим рав-
равномерно сходящиеся ряды. Из A6.22) — A6.25) легко получить
систему уравнений и граничных условий для qnt:
qnlrr +у qnlr — у2 gnlJ + Kqn2X3 + qnlXsXs = knl (r,
\qnlrr + — QUIT — 5- ЯШ) +(К + 1) Яп2Х3Хг + Яп2гГ + ~
A6.27)
— ^ Ят = Кг (г, х3), A6.28)
^O,	A6.29)
Г1 Ап3(г),	A6.30)
- 1) (gnlrr + i gnlr- У ?nl) + (JC + 1) ?«] |ri = kni (r). A6.31)
В формулах A6.27) —A6.31)
?«* =-srJ?«<rinede; ап( = ^^v-ine^e. A6.32)
о	о
Как легко видеть, knt — бесконечно дифференцируемые функции
своих аргументов, отличные от нуля лишь при D —б <^ г ^ D.
Поведение решений задачи III на бесконечности в большой
степени определяется поведением qnt при г->¦ оо. Изучение этого
вопроса и составит нашу первоочередную задачу.


182	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛОЯ	[ГЛ. III
4. Введем следующие преобразования Фурье — Бесселя
qm (г, х3):
оо
Qnt (^' *з) = I Ягы (г, х2) Jn (kr) rdr,
} A6.33)
сз) = \ qnt (г> хъ) Hn\kr) rdr, p = 1, 2,
где Нп (кг) — функции Ханкеля [4]. Несмотря на то, что
Н^ (кг) имеет в нуле особенность, преобразование A6.33) впол-
вполне возможно, так как qnt = 0, если O^r^Z) — б. В силу изве-
известного соотношения [2]
Jn (z) = 1 [#?> (z) + Н^ (z)]	A6.34)
имеем
в той части плоскости X, где одновременно определены qnt, qnt-
Установим некоторые факты, характеризующие аналитическую
зависимость g$, q^l от к.
Л е,м м а 16.1. q$ (к) является аналитической функцией к
в верхней полуплоскости при р = 1 и в нижней полуплоскости
при р = 2.
Для доказательства учтем, что qnt = 0, если 0 ^ г <^ D — б
и интегралы A6.38) можно записать в виде:
A6.36)
D-5
Примем теперь во внимание асимптотику Н^ при больших | кг |,
даваемую соотношениями [2]
Формулы A6.36), A6.37) дают возможность дальнейшее доказа-
доказательство леммы 16.1 построить по той же схеме, что и доказатель-
доказательство аналогичного утверждения в теории преобразования Фурье
[3]. Указанное обстоятельство позволяет считать лемму 16.1 дока-
доказанной.
Поскольку qnt, qnt аналитичны в разных областях, то соотно-
соотношение A6.35), в сущности, смысла не имеет. Чтобы придать ему


§ 1G] ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ III НА БЕСКОНЕЧНОСТИ	183
смысл, продолжим аналитически <$/ в нижнюю полуплоскость,
a Qnt — в верхнюю полуплоскость. Для этого составим некоторые
краевые задачи, которым удовлетворяют </«?. Эти задачи легко полу-
получить, если подвергнуть преобразованию Фурье — Бесселя с яд-
ядрами Н^\%г) краевую задачу A6.27) — A6.31). При этом получим
<$U + К А - *-' A + К) <Й> = *$? (*,, А,), A6.38)
(К + 1) ?(,5U - KWdfl* - ^ = № (*„ А.), A6.39)
=№{*.),	A6.41)
ЦК + 1) q<&, -(K-l) Wq<g] |ri = А&> (X).	A6.42)
В формулах A6.38) -A6.42).
\,r)rdr. A6.43)
6	D—5
Система A6.38)—A6.42) дает возможность осуществить искомое
продолжение функций <$?.
Лемма 16.2. Функции к$ (X) являются аналитическими функ-
функциями параметра X во всей плоскости X с разрезом вдоль отрица-
отрицательной действительной оси — оо ^ X ^ 0.
Утверждение леммы вытекает из того факта, что сами функции
(z) являются аналитическими функциями z во всей плоскости,
за исключением полупрямой — оо <^ Re z <^ 0, Im z = 0.
Отметим, далее, следующий замечательный факт. Краевая
задача A6.38) — A6.42) фактически эквивалентна краевой задаче
(8.9) —(8.12). Это легко установить, если совершить подстановку
^(р)-_> g*; g(p) —> — iXu*.	A6.44)
При подстановке A6.44) мы из A6.38) ~A6.42) получаем (8.9) —
(8.12) с точностью до правых частей. Это дает возможность выра-
выразить q\ft через &Й? с помощью тензора Грина Ktj, введенного в § 8.
При этом получаем
Л*
¦> Л» Я.) -\- Ап2 (т|, Я;) -т- <%*-i2 {^гЛ ^)] dr\, A6.45)
,, h, X) — к$ (X) Ж'22 (хъ-> h, X) —
h
	. у \ТаР' (v\ y\ ]\CfC (т п 7Л	k (x\ 7C\ Cf? (т и ХМ rfyi ^16 4-fi^
о


184	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛОЯ	[ГЛ. Ш
Рассмотрим A6.45), A6.46) при р = 1. В силу леммы A6.1)
?nl (К) суть аналитические функции X в верхней полуплоскости.
Формулы A6.45) аналитически продолжают q$ (X) в нижнюю полу-
полуплоскость. Особенностями qn\ (X) могут быть лишь нули Di (X),
лежащие в нижней полуплоскости, и точки полупрямой — оо <;
< Хг < О, Х2 - 0.
Точно так же при р — 2 формулы A6.46) дают возможность
продолжить qnt в верхнюю полуплоскость. Особенностями q^t могут
быть лишь нули Di (X), лежащие в верхней полуплоскости, и точки
полупрямой — оо ^ Хг ^ 0, %2 = 0. Таким образом, соотношение
A6.35) мы уже можем рассматривать во всей комплексной пло-
плоскости X, за исключением корней уравнения Di (X) = 0 и полу-
полупрямой — оо ^ Х± ^ 0. В этой же области определена и каждая
функция q^t.
Покажем теперь, что фактически q^t является аналитической
функцией X, за исключением, быть может, нулей Di (X). Для этого
введем функции
С = 1 (/&/ + Ag?), ^ = 1,2,3,4.	A6.47)
Из A6.35), A6.47) вытекает, что qnt даются соотношениями:
q*m {X, х3) = - /С3 (М Жп (х3, h, X) - й?4 (X) j- Ж12 (я8, h, X) +
г|, A6.48)
J
= - к*т (X) Жп (хг, h, X) - к*т (X) ~ ЛГяа (xs, h, X) -
г|, X) 1ХЖ21 (*8, % Ц - tit (Ц, ^ ^22 (ж8, л. *¦)] ^Л- A6.49)
Лемма 16.3. knt суть целые функции X, удовлетворяющие для
любого целого р > 0 неравенству
A6-50)
Для доказательства заметим, что в силу A6.34), A6.44), A6.47)
получаем
D .
knt(X)= J k.ntJn(Xr)rdr,	A6.51)
и аналитичность knt (X) во всей плоскости X не вызывает сомнений.


§ 16]	ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ III НА БЕСКОНЕЧНОСТИ 185
Для вывода оценки A6.50) заметим, что в силу A6.32) и A6.51)
имеем:
271 D
fo .—.	 V V fe e~"^n^rJ (кт\ dQ dv	f 16 52 \
о D—b
Подставим в A6.52) Jn (кг) из соотношения
Jn (И = ^ - -^ Jn - -^ fn.	A6.53)
В результате получаем:
2n D
0 D—Ь
in D
0 D-8	^ Г	Г Г	'
Последнее соотношение получено переброской производных с
Jn на kt. При этом учитывалось, что kt обращается в нуль при
r = D —б, D вместе со всеми производными любого порядка.
Совершив в A6.54) подстановку A6.53) еще р — 1 раз и соответ-
соответствующее интегрирование по частям, получим:
Из A6.55) следует:
max |/n(Xr)|.	A6.56)
Из известного представления для Jn (Xr)
Jn (%г) = -L J cos (кг cos 0 - гс9) dQ	A6.57)
о
получаем оценку:
|-МИ1<е|Х1|г-	A6-58)
Из A6.56), A6.58) получаем A6.50). Лемма A6.3) доказана.
Поскольку в силу леммы A6.3) 1гп\ —целые функции к, то
из представлений A6.48), A6.49) вытекает, что q*nt суть меро-
морфные функции, полюсами которых могут быть лишь нули
Di (к) и точка к — 0. Легко, далее, видеть, что к = 0


186	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛОЯ	[ГЛ. III
есть устранимая особенность, так как непосредственный анализ
краевой задачи (8.9) — (8.12) показывает, что ^12 (z3, h, 0) = 0.
Лемма 16.4. В области По (см. рис, 7) справедливы оценки
m%zr—-	A6-59)
Лемма вытекает непосредственно из (8.22), A6.45), A6.50).
5. Лемма 16.5. Имеет место преобразование, обратное
A6.33), причем справедливы формулы
оо
k,qnt (г, Ъ) = -±- $ д ftt?nt {К х3) Ш™ (Xr) dX. A6.60)
Х3	а ..оо Х3
Для доказательства учтем, что полоса | Im Х2 \ ^ А,21 — 8,
где Xt = Хц + i ^21 —наименьший по модулю нуль Di (К),
ае>0 — сколь угодно малое число, есть полоса аналитичности
Далее, в силу оценки A6.59) достаточно взять 2р = 4 + &2>
чтобы убедиться в абсолютной и равномерной сходимости интег-
интегралов
ОО
\ д k2qntXJn(Xr)dX,
о *з
вследствие чего будут справедливы соотношения:
оо
д кЛт (г, Хз) = \д kiqnt (X, х3) XJn (Xr) dX.	A6.61)
жз	о жз
Имеем, далее [2]
Я?> (z) =-- Jn (z) + iYn B); Я41' (- г) = (- 1)»/я (+ г) + iYn (- z).
A6.62)
Учтем теперь, что
Jn (-z) = (-1)" /„ (z) +2* (-1)VB (z)
и, следовательно,
М1' (- z) = (- 1)" {/я (г) -Ь 5ГИ (z) - 2/n (z)} =
= (- 1)" {- Jn (z) + iFn (z)}. A6.63)
Из A6.63) получаем:
2/n (z) = Я<« (z) - (- ifH™ (- z).	A6.64)


§ 1б1	ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ III НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
Подставив A6.64) в A6.61), будем иметь:
оо
1 Г*	*	/1\
и }i2,4nt V ' 3/ — л л С/ ]zz4nt v*^? ^3/ Л*" п ^А/ГJ tX/\< —
i1}(-^r)^ =
187
= 4"
0 з	0 хз
A6.65)
Учтя, далее, что в силу A6.32) имеет место соотношение
д ьд* (~ К xs) = (- ifd k&it (К ЪУ, * = 1, 2,
хз	хз
мы из A6.65) сразу получаем A6.60). Лемма 16.5 доказана.
В связи с наличием особенностей у Н^ (кг) интегралы в A6.60)
следует вычислить, по главному их значению.
Рис. 14.
Лемма 16.6. Рассмотрим в плоскости X прямоугольник
М1М2М3М4 {рис. 14). Имеют место предельные соотношения:
м4
\ д k2qnt {X, xs) ЩьНР (Xr) dX -> 0;
Mi хз
м3
S зжк1?;^ (х, *3) ч*^ (И ^ ^ °>	A6-66)
м2
когда М!М4, М2М3 удаляются в бесконечность.
Для доказательства заметим, что в силу A6.59) имеем:
A6.67)
где Н = max | дгь 1$ (Яг) | на


188	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛОЯ	[ГЛ. III
Для оценки Н используем известное соотношение
1	/	7171	Я \	1
2.1 2 2)п	2
Г (л+ 0,5) J 6
A6.68)
Из A6.68) при достаточно больших | z \ будем иметь
П"Т
«w <«> I < (гщГ nirW J e"ssn"°'5 A + s)n'°'5ds < т {
A6.69)
m(w) (Ji^_.	(i6.70)
Далее, из дифференциального уравнения
ЯГ + ± Н? + (l - -?) Я« =» 0	A6.71)
и из A6.69), A6.70) имеем:
| ^Хх) (z) |< m (», кг) | «•« | -^.	A6.72)
Из A6.72) при достаточно больших | %r \ имеем:
Я = max | дгк1Н$ (Хг) | < го (и, к,) er**—^ IЬ h- A6-73)
Из A6.67), A6.73) получаем:
| < v ; ^ —i	. A6.74)
Из A6.74) уже при 2р > к± + к2 +3 получаем доказательство
первого из предельных соотношений A6.66). Аналогично доказы-
доказывается и второе предельное соотношение A6.66). Лемма 16.6 дока-
доказана.
6. Теорема 16.2. Для всякого решения а задачи III имеет
место равномерно сходящееся в полуполосе Т1в+ьи ообг^> 0 разло-
разложение вида
A6.75)
задачи
A6.38) — A6.42). Знак 2° означает, что суммирование в A6.75)
где ф"? (ящ, "Х") — собственные функции однородной краевой задачи


§ 16J ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ III НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
189
ведется по парам корней (8.21) вида zni = znil + ^ni2; — znx =
= — ^tiii + ^tii2» лежащим в верхней полуплоскости. Ряды A6.75)
можно сколь угодно раз дифференцировать по г и х3, и мы сноза
будем получать равномерно сходящиеся в Ив+ъ,оо ряды. СПП1 в
A6.75) определяются соотношениями:
2 ^
-(К-I)
A6.76)
i иг
где tynj (zni, x3) — собственные элементы краевой задачи, сопря-
сопряженной A6.38) — A6.42), определяемые соотношениями:
яр" — К^11Г — Х2(К + 1) -ф?п = 0; (К + 1) ijJm" -Ь
+ KX4V1' — ХЧ1и = 0,
ш	ш __ пг 2 ш ___	f A6-77)
[B? + 1) ij)™' — (К — 1) я^11] |Г1 = 0.
Для доказательства рассмотрим прямоугольник M!M2M3M4
(см. рис. 8). Будем исходить из соотношения:
м2
м3
д
М4
М
Mi
\
М4
i
д k2qnt (X, х3) KdrklHP (Xr) dX + \д k2qnt (X, хв) Хд^Н^ (Xr) dX =
A6.78)
где Jnx — сумма вычетов д ъДпг (^, хз) ^d^fl^ (А.г) по корням
уравнений (8.21), попавшим внутрь М1М2М3М4. Устремим теперь
М1М4, М3М2 в бесконечность, превратив прямоугольник М1М2М3М4
в полосу. В силу леммы 16.6 получаем:
, A6.79)


190	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛОЯ [ГЛ. III
где 62 соответствует верхней границе полосы. Из A6.60) следует:
drkt K2qnt(r, *з) = 2m/ni + $ д k2qnt (X, хъ) Хд^Н^ (Кг) dX. A6.80)
Х3	+5 Х3
-ос+г52
В дальнейшем также будем менять б2 по закону б2 = (пг + 0,5) я,
где пг = 0,1, . . ., оо. При этом, как указывалось, сторояа прямо-
прямоугольника М4М3 проходит «асимптотически» посредине между
корнями (8.21), т. е. наверное в области По.
Оценим интегральный член в правой части A6.80). Имеем в
соответствии с A6.74)
J dxk/nt(k,x3)%drklH^(ir)di
—оо+г(П1+0,5)л Хз
< т (л, р, къ к2) e-(^,5)(r-D)r-y2 J	tki,kt . A6.81)
о ' '
Поскольку уже при 2р = кг + ^2 + 4 интеграл в правой ча-
части A6.81) сходится, то из A6.81) мы получаем оценку:
< т (тг, Ль &а) ^-(^+o55)(r-D) r-v2.	A6.82)
Из A6.82) вытекает, что имеют место равномерно сходящиеся в
Пя+8,,00 (fli ^> 0 и любое) разложения:
dr^xMnt = 2я? /оо.	A6.83)
3
Вычисляя соответствующие вычеты, как это сделацо в § 8, п. 8,
мы приходим к формуле
з	П1=1	\	/ з
Функции фп" в соответствии с A6.44) даются соотношениями:
ФЙ? = Фпа, Фад = ^Ф^,	A6.85)
где фп4* даются формулами (8.44). Сопряженные функции ф"?
даются формулами
^S = *5а5 ^ад = - ^пЛ'Чп12,	A6.86)
где ij)fm определяются формулами (8.45). Теорема 16.2 доказана.


16] ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ III НА БЕСКОНЕЧНОСТИ	191
Формуле A6.83) можно придать следующий вид:
A6.87)
В A6.87) zni— корни уравнения (8.21), расположенные в первом
квадранте.
Теорема 16.3. Пусть а(щ, и2, и3) — обобщенное решение
задачи III. Имеет место разложение:
1 v	дх>
-f-oo
П= —ОО Tli—'I
оо оо
2 S
—оо ?li=l
A6.88)
где фп^ — собственные элементы однородной краевой задачи (8.9)—
(8.12), zni — корни уравнения (8.21), лежащие в верхней полупло-
полуплоскости, СПП1 — некоторые функционалы от а. Разложения A6.88)
сходятся в том смысле, что для любых целых кг, к2, к3^0, сколь
угодно большого R и сколь угодно малого г найдутся такие А^, N2,
что будут иметь место неравенства
д кг к2 к. \ut —
*xi X2 ^з L
° Cnntfla I znv,^f
X
X ***#?> (^«J-)] < e; * == 1, 2;
/Vt iV2
2 S° Спщ -^L фП12 (,ni, ^-) X
A6.89)
равномерно в области IId+s,, оо, определяемой соотношениями
Для доказательства учтем, что d^^^gt разлагается в
+5ь д в равномерно сходящийся ряд Фурье. Поэтому для


192	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛОЯ	[ГЛ. III
заданного s можно найти такое Nb что
Далее, в силу теоремы 16.2 можно выбрать такое N2, что одновре-
одновременно будут иметь место соотношения
r, xs)
N2
тч=1
причем в
A6.91)
A6.92)
Из A6.90) - A6.92) и вытекает A6.88).
7. Рассмотрим осесимметричную"^задачу III.
Теорема 16.4. Для всякого осесимметричного обобщенного
решения а (мх, и2, us) задачи III при достаточно большом г имеют
место оценки:
г-Р
) h
т)
)»'' (г- т)
A6.93)
равномерно относительно 0 < x3 ^ fe дгргг любом г, таком, что
^22 < в < 0.
В A6.93) zx = 2ц + ^12 — наименьший по модулю корень
уравнения (8.21), лежащий в четвертой, четверти; z2 = z21 + iz22 —
следующий по модулю корень, лежащий там же.
§ 17. Поведение решений задачи IV
на бесконечности
1. При выводе представлений решений задачи IV на бесконеч-
бесконечности также оказывается возможным ввести потенциал ф2 про-
продольных перемещений так, что имеют место соотношения:
Щ =
=» 1,2.
A7.1)


§ 17J ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ IV НА БЕСКОНЕЧНОСТИ	1Q3
Функции м3, фх удовлетворяют по-прежнему дифференциальному
уравнению A6.16) и последнему из дифференциальных уравнений
A6.9). При этом сохраняются граничные условия A6.16), A6.17),
а также второе из граничных условий A6.17). Первое из граничных
условий A6.17) заменяется условием
Й,-0.	A7.2)
Соответственно в краевой задаче A6.38) — A6.42) изменяется пер-
первое из граничных условий A6.40), которое принимает вид
gU,|r, = 0.	A7.3)
При этом, разумеется, изменяется тензор Грина задачи, и полюса
резольвенты в данном случае определяются уравнением (9.4).
Теорема 17.1 Пусть а (иг, и2, и3) — обобщенное решение
задачи IV. Имеют место разложения:
сю сю
± 2 2° cwp& k ?) *»н<р k 1
± 2 2 cwp& k -?¦) *»нр k -1

У 2Я
П=—OO 92!=!
Г \	(АП
где <pnit даются соотношениями (9.5); znx — корни уравнения (9.8),
лежащие в верхней полуплоскости; СПП1 — некоторые функционалы
решения а; сг, с2, с3 — некоторые постоянные. Разложения A7.4)
сходятся в том смысле, что для любых кг, &2, к3 > 0 и сколь угодно
малого г найдутся такие Nx, 7V2, что будут иметь место неравен-
неравенства:
Ni N2
сГ~. О	VI VI	II /	Хз \
A7.5)
?1
равномерно в области Пг>+сч,
7 И. И. Ворович и др.


194	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛОЯ	ГГЛ. III
2. Рассмотрим осесимметричную задачу IV.
Теорема 17.2. Для всякого осесимметричного обобщенного
решения задачи IV при достаточно больших г имеют место нера-
неравенства:
44^ Ь "Cl
x) я«г) (z^ t
равномерно относительно х3] 0 <^ x3 ^h, при любом s, если z22 <C
<^ 8 ^ 0, где zx = zlx + iz12 — наименьший по модулю корень
уравнения (9.8), лежащий в четвертой четверти; z2 = z21 + ?z22 —
следующий по модулю корень, лежащий там же.
§ 18. Некоторые вспомогательные предложения
1. Рассмотрим краевую задачу теории упругости для слоя,
основание которого Г2 жестко защемлено, а на верхней границе
Тг заданы напряжения, причем
OI7 	 Л
— со» Q, если хг,
<SK
0,	если xlt х2 СЕ Й*.
A8.1)
Ее решение сводится, таким образом, к интегрированию уравне-
уравнений A.9) при граничных условиях A.10), A8.1). Сформулирован-
Сформулированная задача будет ниже именоваться задачей 3.
Определение. Обобщенным решением задачи 3 назовем
вектор-функцию a GE Нху и удовлетворяющую интегральному


§ 183	НЕКОТОРЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ	195
тождеству:
A8.2)
где ф (ф1? фг, Фз) — произвольная функция из Нху.
Теорема 18.1. Обобщенное решение задачи 3 существует и
единственно для всякого q ЕЕ Lpq; p > 4/3.
Действительно, по неравенству Гельдера C.1) и в силу леммы
4.11 имеем:
< IIЯ Ка II Фз Цц,о < т || q hQ || ф ||н1У; р' = —irr •
A8.3)
Из A8.3) вытекает, что правая часть A8.2) есть линейный и огра-
ограниченный в Нху функционал, что и доказывает в силу теоремы
Рисса разрешимость задачи 3. Из A8.2, 3) вытекает неравен-
неравенство
Н
Лемма 18.1. В условиях теоремы 18.1 всякое обобщенное ре-
решение а задачи 3 есть аналитическая вектор-функция координат
в слое У, а аналитически продолжается через Гг и через Q*. Пусть,
далее, q S B^Lpq; р ^> 1; к ]> 0. В этом случае во всякой подобла-
подобласти я слоя V, которая может выходить внутрь й, а е= В$+1уъ-
Очевидно, после изложенного в § 15 лемма 18.1 в доказатель-
доказательстве не нуждается.
Лемма 18.2. Пусть имеются два решения задачи III: а' (щ,
щ, щ), a2 (ul, u\, ul), у которых перемещения щ, и\ совпадают почти
всюду на Q. В этом случае а1 = а2.
Для доказательства заметим, что если qf — соответствующие
давления, то из A8.2) имеем:
о ъг	л г»
(а' — а2 • ф)н1У =	egg— ^ (qr — q2) ф3 (xl9 x2, h) dxx dx2, A8.5)
а,
где ф е Hiy и произвольна. Положим в A8.5) ф = а1 — а2. При
этом очевидно ф3 = 0 и из A8.5) имеем|| а1 — a2 \\hiV = 0, а, зна-
значит, а' = а2. Лемма 18.2 доказана.
Получим теперь при некоторых условиях соотношение, свя-
связывающее давление q и перемещение иг на Q. Для этого учтем, что
если вектор-функция Ъ ЕЕ Нгу, то в силу теоремы 4.6 на каждой
плоскости Г при фиксированном хд = кг; 0 <Г hx ^ h, Ь G L2r-
Поэтому существует преобразование Фурье &* (ах, ай, хв) =
^» причем имеет место известное соотно-
7*


196	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛОЯ	[ГЛ. III
шение Парсеваля
с»	оо
\\b1b2dx1dx2 ~\\bj^da-^da^.	A8.6)
—оо	— оо
Рассмотрим, далее, тождество A8.2), определяющее обобщен-
обобщенное решение задачи 3, и положим в нем ф^ (хг, х2, х3) =
= ck (xs)^k (*i. ^2), где ck (xs) — непрерывно дифференцируемые
функции. Очевидно, i|)ft, tykXt ЕЕ L2r5 t= 1,2. При этом будем иметь
h
(а • ф) = J J [611c1fel + <WVfcx,+ в33сдХз% + б12
о г
В A8.7) приняты обозначения
+ (К
А
бХ2 = и1Хг + u2Xl 1	> 2.	A8.8)
Далее, учтя A8.6) и известные соотношения между преобразо-
преобразованиями Фурье функций и их производных, придадим уравне-
уравнениям A8.8) следующую форму:
h 00
§ § S [ (- GuCitox — б^
: — l
В формуле A8.9) ^ — преобразование Фурье давления q, Оц
получаются преобразованием Фурье соотношения A8.8) и имеют
следующий вид:
б*п = — iai(К
A^2) A8.10)
^зз = (К + 1)иЗХз — (К—


§ i8i	НЕКОТОРЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ	197
Поскольку г|)* ?= L2[_oo<aija2<oo]; к = 1, 2, 3, а в остальном
произвольны, то из A8.9) нолучаем
h
*	x3 = О, A «±2)
<gh c3 (h) Q.
A8.11)
о
Далее, в силу того, что ct (оо3); ? = 1, 2, 3,— произвольные не-
непрерывно дифференцируемые функции, из A8.11) следует, что
и]; t = 1, 2, 3, дважды непрерывно дифференцируемы и удовлет-
удовлетворяют системе уравнений
Хш— [(К + 1)а\ + а\] щ — Ка^щ = 0;
A<±2) A8.12)
2
S	— (а? + а|) Щ = °;
\x3=h = 0;
— i (К — l)(aiWi + а2и2)] \Хг=:=п =	g=- (? (ax, а2);
* = 1, 2. A8.13)
Соотношения A8.12), A8.13) получаются из A8.11) так же, как
и A0.47), A0.48), A0.49) из A0.35). Поэтому более детальный вы-
вывод здесь приводиться не будет. Если к A8.11) добавить очевидные
соотношения
^(«i, сс2, 0) =0; *= 1,2,	A8.14)
то мы получим замкнутую краевую задачу A8.12) — A8.24) для
определения щ.
Решение системы A8.12) — A8.14) можно просто получить
сльдующим образом. Положим и* = сс^а; ?=1,2, и* = КС,
X2 = al + &1- Подставив эти соотношения в A8.12) — A8.14), мы
получим
азд - KiKCX3 -(К + 1) К*а = 0; (К + 1) Сх,Хг - KiUXz - №С= 0;
(а,, - гЩ \ь=н = 0; [{К + 1) Сх% -i(K-
A8.15)
Краевая задача A8.15) полностью совпадает с краевой задачей
A1.9) — A1.12). Поэтому на основе формулы A1.17) получим


198	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛОЯ	[ГЛ. III
С (К) и соответственно щ. В результате имеем
Щ К, а2, К) =
2ЕЩЩ
Далее, в силу теоремы 4.6 и3 (х±, х2, h) ?= \-гт^ поэтому щ (ах,
а2, h) Ez L2[_oo<ab a2<oo], и справедливо обратное преобразо-
преобразование
оо
Щ (х1? жа, h) =	тгт- \ \ Q (ab a2) x
(
Х	XD (U)	^^^^^Аххйая, A8.17)
( j
2Ш
которое будет иметь место в Q почти всюду. Учитывая, что
оо
Q fa, а2) = -±- ^ д («1, ar2) е-К«л+«л) адх2, A8.18)
—СХ)
получаем
^ш (жх — gx, х2 — 52) д E1? |а) dgx dg2 = — /т2Ды3 (^i, ^2» ^)i A8.19)
где
К + 2
м с м ~~~и
cos (Xl ~~ ^ "F Х
(^1 — bi» ^2 — ьг) = V V 	ТГТТ
о о
X cos(^2 — ?2)-^-dsxds2, и2 = sl+ s2. A8.20)
Можно получить более простое выражение для 7?ш • Для этого
в правой части A8.20) произведем замену переменных
s± = и cos я|?, s2 = и sin i|),	A8.21)
в результате чего получаем
uch и
- 5i, ^2 — S2) = JJ 	g^g	COS (Xx^ 1г) X
о о
. A8.22)


§ 18]	НЕКОТОРЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ	199
Далее, имеет место соотношение
,	«. ч и cos \b ,	«, v MSinib 7| т I R \
cos (xt — 1г) —j^-Z-cos (x2 — l2) —j^*Ф = Jo [и —j;
Д2 = (a?i _ giJ + {X2 _ g2J.	A8e23)
Из A8.22), A8.23) следует
ос К + 2
л —г?— sh и ch и — и , л \
Кщ (хг - glt ж, - g.) = -f J	д ц)	/„ (и —) du. A8.24)
О
Все вышеизложенное приводит к теореме 18.2.
Теорема 18.2. Пусть q ее Lpq; p > 4/3. J5 этож случае
давление q и перемещение и3 на Q связаны в задаче 3 соотноше-
соотношением A8.19).
2. Рассмотрим краевую задачу теории упругости для слоя,
основание которого Г2 покоится без трения на жестком основа-
основании, а на верхней границе Гх заданы напряжения в виде A8.1).
Ее решение сводится, таким образом, к интегрированию уравне-
уравнений A.9) при граничных условиях A.14), A.15) и A8.1). Сформу-
Сформулированная задача будет ниже именоваться задачей 4.
Определение. Обобщенным решением задачи 4 назовем
вектор-функцию а ЕЕ Н2у и удовлетворяющую интегральному тож-
тождеству:
(а' Ф)н2У "=	W1T~ ) q (Xl' ^ фз ^1? х%>h>j dXl dx2' A8*25)
п
где ф — произвольная функция из Н2у.
Теорема 18.3. Обобщенное решение задачи 4 существует
и единственно для всякого q g Lpq; p > 4/3.
Лемма 18.3. В условиях теоремы 18.3 всякое обобщенное ре-
решение а задачи 4 есть аналитическая вектор-функция координат
в слое V. а аналитически продолжается через Г2 и через Q*. Пусть,
далее, q ее BjjLpQ; р > 1; к > 0. В этом случае в подобласти я
слоя V, которая может выходить внутрь Q, аЕ В]?+1,я.
Лемма 18.4. Пусть имеются два решения задачи 4:
af (ui, щ, щ), а2 (и\4 и\, Wg), перемещения которых щ, и\ совпадают
почти всюду на Q. В этом случае а' = а2.
Теорема 18.4. Пусть q e Lpn; p > 4/3. J? этом случае пе-
перемещение и3 и контактное давление q на Q в задаче 4 связаны
соотношением
— li» Ж2 — g2) ? (gi, )	/ (l )
A8.26)


200
ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛОЯ
[ГЛ. III
где
*i - Si, *2 - У =
о о
СЬ 2U 	 1	51
uD (и) cos —
X
X cos -g- (sa - ga) dsx ds2, A8.27)
a Z?n (и) дается 9.4. Для Xiy можно получить и следующую фор-
формулу:
J ^i ( 4) .	A8.28)
KlY(R/h) = -f J ^=i /«(и 4
§ 19. Сведение задач III, IV
к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода.
Их разрешимость, классы единственности
1. В дальнейшем нами будет использована некоторая местная
система координат, с помощью которой будет фиксироваться по-
положение точек в слое в окрестности линий гк1 ограничивающих
Q^. Для определения положения точки Р проведем плоскость З5,
перпендикулярную к гк и содержа-
содержащую точку Р. Пусть s — длина ду-
дуги, определяющая положение пло-
плоскости 5й (рис. 15). Введем теперь
в плоскости S5 полярные коорди-
координаты г, G. Положение Р будем оп-
определять координатами г, G, s (см.
рис. 15).
Интегральные уравнения для
задач III, IV получим при следую-
следующих условиях:
1)	массовые силы F = 0;
2)	поверхностные силы на
Гх /х = /2 = 0;
о) поверхностные нормальные напряжения на со* /4 = 0;
4)	/з (*i, Ъ) е BL; к > 2; ii > 0;
5)	кривизна каждого контура гл, ограничивающего Qfe, рас-
рассматриваемая как функция дуги s, принадлежит пространству
я&к;|1>0.
Теорема 19.1. При выполнении условий 1) — 5) данного па-
параграфа и достаточно малых г имеют место следующие представ-
представления для производных вектор-функции а, являющейся обобщен-
обобщенным решением задачи III (соответственно IV):
-g^- = mt (r, s, 9) r-v- + n, (г, 5, 9); * = 1, 2, 3. A9.1)
Рис. 15.


§ 19] СВЕДЕНИЕ ЗАДАЧ III, IV К УРАВНЕНИЯМ ФРЕДГОЛЬМА	201
При этом справедливы неравенства
|m«(r,s,9)|<m; | щ (г, s, 0) | < т,	A9.2)
если О <^ 6 ^ я; sE2fe; О <^' г <; г0, где г0 — достаточно мало.
Доказательство теоремы 19.1 проводится теми же, в сущности,
методами, что и теоремы 10.1. Однако здесь значительно сложнее
техника самого доказательства. Ввиду этого мы здесь ограничим-
ограничимся формулировкой теоремы.
Рассмотрим вначале сведение задачи III к интегральному урав-
уравнению Фредгольма первого рода.
Лемма 19.1. Пусть выполнены условия 1) — 5). В этом случае
обобщенное решение а задачи III есть одновременно обобщенное
решение задачи 3 для давлений q, вычисленных в соответствии
с перемещением а.
Во-первых, отметим, что на основе представления A9.1) и
теоремы 18.1 в наших условиях возможно построение решения за-
задачи 3. Далее, введем область яГо, принадлежащую V и ограни-
ограниченную поверхностями х3 = h и г = г0 при достаточно малом г0.
Пусть, далее, <р — вектор-функция из C{v. Поскольку в области
V — пго а имеет непрерывные производные порядка к, то в усло-
условиях 1) — 5) имеют место соотношения
т h\ /7/у /7/г 1 - &$> 1\ Q Q\
где Qro — подобласть Q, полученная удалением из Q пограничной
полосы шириною г0, а $>Го есть работа на криволинейной части гра-
границы яго напряжений, соответствующих решению а на перемеще-
перемещениях, соответствующих <р. При стремлении г0-* 0 в силу A9.1)
^?о~~*" 0» и мы получаем соотношение A8.2). Если <р — произволь-
произвольная функция из Нху, то A8.2) получается на основе предельного
перехода последовательности фд е C\v и такой, что <рд =ф <р в
¦/. Лемма 19.1 доказана.
Таким образом, каждое обобщенное решение задачи III при
условиях 1) — 5) данного параграфа может трактоваться как ре-
решение соответствующей задачи 3. Но при этом в силу теоремы
18.2 контактное давление q и перемещение иъ = /3 будут связаны
соотношением
*1, *а),A9.4)
которое можно трактовать как интегральное уравнение для опре-
определения q по /3(#1, #г). Исследование представления ядра A8.24)
показывает, что при хх = g1} x2 = |г мы имеем здесь особенность
порядка Гх\. Поэтому A9.4) есть интегральное уравнение Фред-
Фредгольма 1-го рода.


202	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛОЯ	[ГЛ. III
Теорема 19.2. Пусть выполнены условия 4), 5) данного па-
параграфа. В этом случае интегральное уравнение A9.4) однозначно
разрешимо в классе давлений q ЕЕ вЩ, о}-рп', -т ^ Р <С 2.
Для доказательства разрешимости A9.4) построим но задан-
заданной функции /3 решение задачи III при равных нулю на 1\ и Q*
внешних воздействиях. Найдем для этого решение контактное
давление д. Поскольку имеют место условия 4), 5), то q и /3 свя-
связаны соотношением A9.4), т. е. q есть решение уравнения A9.4).
Принадлежность q классу BK-i q\-pq вытекает из теоремы 15.2 и
A9.1).
Для установления единственности предположим, что /3 (хг, х2) s
= 0. В этом случае, очевидно, из леммы A8.2) вытекает, что
д = 0, и мы получаем утверждение единственности решения A9.4)
в 1_р при р > у .
Представляется важным рассмотреть частный случай, когда
Q есть один круг. Произведем в интегральном уравнении A9.4)
замену переменных:
Xl + ix2 = гв*ф; ?! + ih = Р*|ф,	A9.5)
в результате чего получим
зЪисЪи-и
К Л—
27 2	? Т
0 0	0
A9.6)
Di (и), как уже указывалось, дается формулой (8.19). Допуская
возможность представления /3 (хг, х2), q (хг, х2) в виде рядов
Фурье
/з(г,Ф)= Zi hn(r)e™*; q(p,Q)= 2i qn(p)em, A9.7)
?г=—oo	n=—oo
легко получаем из A9.6) раздельные уравнения для qn{p)
а
^ KIUn f-L-, ±.\ qn (p) p dp = — Щзп (г),	A9.8)
О
где
00 —-г;— sh и ch и — и
D]- (и)
О


§ 19] СВЕДЕНИЕ ЗАДАЧ III, IV К УРАВНЕНИЯМ ФРЕДГОЛЬМА	203
Интегральное уравнение A9.8) получено на основе соотношения
+ 2 2 Jm [и -J-) Jm (и -f] cos m (Ф - 0). A9.10)
Интегральные уравнения A9.8) широко используются при реше-
решении задач данного класса. Если /3 (г, ф) зависит лишь от г, то за-
задача носит осесимметричный характер и полностью определяется
уравнением A9.8) яри п = 0.
Можно составить парные интегральные уравнения, эквивалент-
эквивалентные A9.8). Для этого введем преобразование Ханкеля функции
qn (р), положив при р > a qn (р) = 0. Имеем:
A9.11)
Уравнение A9.8) примет с учетом A9.11) следующий вид:
? ~— shyh ch jh — yh
Q (T) Jn (TO dT = - А/зп (г), г < a. A9.12)
DTP)	Q
о
Далее, имеем:
ОО
S <?» (Т) ТЛ, Ы ^Т = 0, г>а.	A9.13)
Уравнения A9.12), A9.13) и составляют систему парных интег-
интегральных уравнений, которая также широко используется при по-
построении приближенных методов.
2. В случае задачи IV, если выполнены условия 1) — 5) дан-
данного параграфа, контактное давление q удовлетворяет интеграль-
интегральному уравнению Фредгольма второго рода
Ц ту (R/h) q &, ?а) dg^b = - 2я/гА/3 {хъ х2), A9.14)
где
а Dji дается формулой (9.4).


204	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛОЯ	[ГЛ. III
Теорема 19.3. При выполнении условий 4), 5) данного па-
параграфа интегральное уравнение A9.14) однозначно разрешимо
в классе давлений q е= B«-i, ^LpQ; -^ ^ р < 2.
Указанные факты не будут обосновываться ввиду полной ана-
аналогии с задачей III.
В случае круговой области контакта введем разложения A9.7).
Для qn (г) получаем интегральное уравнение вида:
(? ?)	= - АЛ-/а» (г); 0 <г< а, A9.16)
0
где
• (т • Нг) - S -в*д-'. (т в)'" (т •) *• <19Л7>
о
Если положить qn (г) = 0 при г)>йи ввести преобразование Хан-
келя от qn
а
Qn(t)=\qn{p)JnWpdp,	A9.18)
0
то уравнению A9.15) можно придать такой вид:
При г>аиз A9.17) будем иметь:
O.	A9.20)
Уравнения A9.19, 20) и составляют систему парных уравнений
для определения Qn (у).
Примечание I. Условие /3 (хг, х2) е В^ы; к > 2; ^ > 0,
при котором в теоремах 19.2, 19.3 доказана однозначная разре-
разрешимость интегральных уравнений A9.4), A9.14), может быть ос-
ослаблено. По-видимому, естественным условием, при котором це-
целесообразно рассматривать эти интегральные уравнения, была бы
_i
принадлежность /3 (хг, х2) пространству W22Q. Точно так же мо-
могут быть снижены требования и к граничным контурам гк.
Примечание П. Интегральные уравнения A9.4), A9.14),
равно как и интегральные уравнения A2.4), A2.9), можно рас-
рассматривать как операторные уравнения с всевдодифференци-


ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ III	205
альными операторами [5]. Теория таких уравнений также дает
возможность получать некоторые теоремы об однозначной разре-
разрешимости. При этом, однако, коренным обстоятельством будет
положительная определенность исходной смешанной задачи тео-
теории упругости, которая преломляется в некоторые свойства рас-
рассматриваемых псевдодифференциальных операторов. Использо-
Использованный нами прием может быть применен и в случае неоднородных
полосы и слоя, когда упругие свойства материала могут за-
зависеть как от х2, так и от хг. Кроме того, он непосредственно обоб-
обобщается и на области, отличные от слоя и полосы.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ III
1.	Б а р и Н. К., Тригонометрические ряды. Физматгиз, 1961.
2.	ЛебедевН. Н., Специальные функции и их приложения. Гостехиздат,
1953.
3.	Н о б л Б., Применение метода Винера — Хопфа для решения дифферен-
дифференциальных уравнений в частных производных. ИЛ, 1962.
4.	Солонников В. А., Об общих краевых задачах в эллиптическом смыс-
смысле А. Даглиса —Л. Ниренберга. Труды матем. инст. им. В. А. Стек-
лова, 1966, т. ХСП.
5.	Моггеу С. В., Jr., Nirenberg L., On the analyticity of the solutions
of linear elliptic systems of partial differential equations. Comm. Pure Appl.
Math., 1957, № 10, 271—290.


Глава IV
ПОСТАНОВКА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ
О ШТАМПЕ
§ 20. Постановка и исследование основных задач
о штампе в двумерном случае
1. Задача 1Ш. В этом случае перемещение штампа /2 (х±)
определяется в каждой области (ofe; i=l,...,/c точностью до
линейного агрегата вида aok + Оц^. Таким образом, задача
сводится к интегрированию системы A.1) при граничных условиях
A.2), A.3), A.5). Условие A.4) должно быть заменено следую-
следующим:
= h
= fn (*i) = hm (xt) Ц
B0.1)
В формуле B0.1) дополнительный индекс «к» указывает на то, что
соответствующие величины и функции относятся к области (ok
(этого же правила мы будем при-
придерживаться и ниже), /2ш — форма
основания штампа на со, /2mfe —
ее конкретная реализация на со &.
Для замыкания задачи необходи-
необходимы еще условия, определяющие
aofe» aik* Таковыми являются ус-
условия равновесия каждого штампа
в отдельности. Пусть на штамп
с основанием (ок действует систе-
система усилий, главный вектор кото-
которых направлен по оси хг и есть
Th1 главный момент Jf-k (рис. 16).
Рис. 16.
Очевидно, в силу условий равновесия штампа
B0.2)
Соотношения B0.2) и замыкают поставленную задачу. Таким обра-
образом, здесь дело сводится к определению а и 2Ж постоянных аок1 а1к
из A.1) - A.3), A3.5) и B0.2).


§ 20]	ЗАДАЧИ О ШТАМПЕ В ДВУМЕРНОМ СЛУЧАЕ	207
Определение. Обобщенным решением задачи 1Ш назовем
вектор-функцию а е Hxs и систему чисел aok, alk; к = 1, . . ., Ж,
таких, что выполняются соотношения B0.1), B0.2) и интеграль-
интегральное тождество E.1).
Для дальнейшего нам будут необходимы некоторые специаль-
специальные решения задачи I. Именно, пусть а\ — обобщенное решение за-
задачи I в предположении, что отсутствуют массовые силы F, от-
отсутствуют поверхностные силы /15 /3, а /2ь даются соотношениями:
кн (*i) = **i; К i = 1, ..., Jr.	B0.3)
Пусть, далее, а[ — обобщенное решение задачи I в предположении,
что отсутствуют массовые силы F, отсутствуют поверхностные силы
/i» /з> а kk даются соотношениями:
ки (Ь) = бы*.	B0.4)
В B0.3), B0.4) 8kl — символ Кронекера. Существование а)\
7	= 0, 1; I = 1, . . ., vV, дается теоремой 5.1.
Пусть, далее, qlolt — давление на (ofe в случае B0.3), ql1]z — дав-
давление на щ в случае B0.4).
Теорема 20.1. Пусть выполнены все условия теоремы 5.1.
8	этом случае задача \ш имеет обобщенное решение и притом един-
единственное.
Для доказательства заметим, что обобщенное решение задачи
1Ш можно представить в случае его существования в виде
N
а = ат+а; а = 2 (ао^о + <*i^i),	B0.5)
1=1
где ащ — обобщенное решение задачи I, когда /2 = /гш*
В соответствии с B0.5) имеем
\	B0.6)
где qm}z — контактное давление на cofe, вызванное воздействием
перемещений /2ш. Подставляя B0.6) в B0.2), получим систему
2j\T уравнений для определения аог, а1Ь которую запишем в
следующем виде:
B0.7)


208	ПОСТАНОВКА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ О ШТАМПЕ	[ГЛ-IV
Очевидно, вопрос о разрешимости задачи 1Ш свелся к определе-
определению аоь aiz из B0.7). Установим, что последнее возможно. Для
этого предположим, что правые части B0.7) равны нулю, и дока-
докажем, что в этом случае система B0.7) имеет чисто нулевое реше-
решение.
Предположив обратное, т. е. что не все аоь ап равны нулю,
построим qk по B0.6). В силу теоремы 10.2 qt ?= LpcOfc 1 < р < 2
и по данным qk согласно теореме 11.1 можно построить обобщен-
обобщенное решение а задачи 1 для полосы S. Согласно лемме 12.1 а==а
и, следовательно, иг будет на cofe принимать значения aok -f- а,1кхг.
Если теперь в соотношении A1.2) положить <р = а, то получим
ОЕГ-1 ^ V ° ... , .. „ ч л	^20.8)
Поскольку мы рассматриваем сейчас задачу при однородных урав-
уравнениях B0.7), то в силу этого
i = 0	B0-9)
и из B0.8), B0.9) вытекает || a ||hiS =0, а = 0. Отсюда следует
aoft ^ alft = 0; А = 1, . . ., Ж. Таким образом неоднородная
система B0.7) всегда однозначно разрешима, а значит, однознач-
однозначно резрешима и задача 1Ш.
Теорема 20.1 доказана.
Если выполнены условия 1) — 3) § 12 и /2Ш Ег В%ш; [х ^> 0,
и ;> 2, то задача 1Ш может быть сведена к решению интегрального
уравнения
= — 2яА [fziuk (xi) ~\~ ао/с ~г aife^il> xi ^ %»
B0.10)
и .системы B0.7).
Действительно, в силу теоремы B0.1) постоянные aoft, alk
можно считать известными, и мы, в сущности, приходим к за-
задаче I, цричем1/2 е в?ш, |х > 0, к > 2. При этом B0.10) вытекает
из A2.4).
Теорем а 20.2. ./7/ж выполнении условия /2Ш ЕЕ В^ш; |х ^> 0,
к ^ 2, интегральное уравнение B0.10) w система B0.2) однозначно
разрешимы в классе давлений q e B^_ljt0 Lpco; I < р < 2. /7pu
будут справедливы представление A2.5) ^ соотношения


§ 20]	ЗАДАЧИ О ШТАМПЕ В ДВУМЕРНОМ СЛУЧАЕ
корректности
209
B0.11)
,?г|<т||/2ш||вц( -f m*2i {\Ti\h + \.4i
В B0.11) т — некоторая постоянная, зависящая лишь от со, h;
\it j> 0,5; N2 дается в лемме 10.11.
Разрешимость B0.7), B0.10) вытекает из самого вывода систе-
системы. Предположим теперь, что существуют два решения системы
B0.7), B0.10) q1, ф\ а^, а^. ^х разность, очевидно, должна удов-
удовлетворять системе:
XI
т—} (У1 — <?) dli — — 2яД [(аок — ссо/с) + (<Нъ — alk) #il,
B0.12)
{Як — ql) dx± = 0; \ (qk — q\) xxdxx= 0.	B0.13)
Поскольку по условию q1, ф e Lpo); p ^> 1, построим для полосы
8	1
у	p p ^	р
8 решение Да (А^1? Аи2) задачи 1 при q = q1 — q2. По условию
теоремы выполнено A1.19), а тогда из теоремы A1.2) и B0.12)
вытекает, что Ди2 | «А = (a^fc — agfc) + (a^ — ajfc) sle Положим
теперь в соотношении A1.2), определяющем обобщенное решение
задачи 1, <р = Да. При этом получим:
3.g—
S \ Ы —
B0.14)
Далее, в силу B0.13) правая часть B0.14) есть нуль и, следова-
следовательно, AaE=0. Отсюда сразу вытекает, что a^ = a§ft; a^ =
^ а^^; к = 1, . . ., Ж, а значит, и д1 = ф. Единственность ре-
решения системы B0.10), B0.7) установлена.


210
ПОСТАНОВКА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ О ШТАМПЕ [ГЛ. IV
Далее, из системы B0.7), которая, как доказано, всегда раз-
разрешима, имеем
1=1
B0.15)
где D\u D\u E\i, E\i — некоторые постоянные, зависящие лишь
ото) и h. На основе представления A2.5) заключаем, что
иг || /
аш |
< m \\ /,
2Ш |
D2o)
B0.16)
Из B0.15), B0.16) получаем соотношения корректности B0.11)
относительно apk. После этого из B0.10) на основе теоремы 12.1
заключаем, что справедливы соотношения корректности B0.11)
относительно Ек1 Lk,ty.
2. Задача Пш- В этом случае.дело сводится к интегри-
интегрированию системы A.1) при граничных условиях A.3), A.5) —
A.7). Граничное условие A.4) должно быть заменено условием
B0.1). Для нахождения aofe, alk; к = 1, . . ., Ж, необходимо ис-
использовать соотношения 20.2.
Определение. Обобщенным решением задачи Иш на-
назовем вектор-функцию а ?= H2s и систему чисел aofe, alk; к = 1, ...
. . ., Ж, таких, что выполняются условия B0.1), B0.2) и интег-
интегральное тождество F.1).
Теорема 20.3. Пусть выполнены все условия теоремы 6.1.
В этом случае задача Нш имеет обобщенное решение, и притом
единственное.
При выполнении условий 1) — 3) § 12 и если /2т ЕЕ В?о>; [х ^> 0,
к > 2, задача Пш может быть сведена к решению интегрального
уравнения
1) q (Si) dt± = - 2яД [/
ашк
aofe
и системы B0.7).
B0.17)


21]
ЗАДАЧИ О ШТАМПЕ В ТРЕХМЕРНОМ СЛУЧАЕ
211
Теорема 20.4. При выполнении условия /2ш G B^; \i ]> 0,
к > 2, интегральное уравнение B0.17) и система B0.7) однознач-
однозначно разрешимы в классе давлений q ЕЕ Bk-i,o» Lpa); I < р < 2.
При этом будут справедливы представление A2.5) и соотношения
корректности B0.11).
Доказательство теорем 20.3, 20.4 не приводится из-за полной
аналогии с доказательством теорем 20.1, 20.2.
§ 21. Постановка и исследование основных задач
о штампе в трехмерном случае
1. 3 а д а ч а Шш- В этом случае перемещение штампа /3 (хг, х2)
определяется в каждой области Qk; к = 1, . . ., Ж с точностью до
линейного агрегата вида aok + &ih'xi + &2h'x2» Таким образом,
задача сводится к интегрированию системы A.9) при гра-
граничных условиях A.Ю),
A.11), A.13). Граничное усло-
условие A.12) должно быть заме-
заменено следующим:
U3k
к = 1,
B1.1)
В формуле B1.2) дополнитель-
дополнительный индекс к указывает, что
соответствующие величины
и функции относятся к обла-
области Qk (этого же правила мы
будем "придерживаться и ни-	Рис. 17.
же); /Зш—форма основания
штампа на Q; }вшк — ее конкретная реализация на Qk. Для замы-
замыкания задачи необходимы еще условия, определяющие aofe, alfe,
a2k. Таковыми являются условия равновесия каждого штампа в
отдельности. Пусть на штамп с основанием Q действует система
усилий, главный вектор которой направлен по оси х3 и есть Tft.
Главный момент имеет составляющие Jttk по осям xk (к = 1,2)
(рис. 17). Очевидно, в силу условий равновесия штампа
= 1,2. B1.2)
Соотношения B1.2) и замыкают задачу III. Таким образом, здесь
дело сводится к определению а и ЗЖ постоянных аОкУ alft, а2Л иэ


212	ПОСТАНОВКА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ О ШТАМПЕ [ГЛ. IV
A.10), A.11), A.13), B1.2). Сформулированную задачу будем на-
называть задачей Шш.
Определение. Обобщенным решением задачи Шш на-
назовем вектор-функцию а ЕЕ HlV и систему чисел aok, alk, а2&;
к = 1, . . ., Ж, таких, что выполняются соотношения B1.1),
B1.2) и интегральное тождество A3.1).
Для дальнейшего нам будут необходимы некоторые специаль-
специальные решения задачи III. Пусть а\ — обобщенное решение зада-
задачи III в предположении, что отсутствуют массовые силы F и
поверхностные силы Д, /2, /4, а /3 на Qk дается соотношением
/8fe(*i,*2) = 8Kl.	B1.3)
Пусть, далее, а[— обобщенное решение задачи III при отсутствии
массовых и поверхностных сил, а /3 на Qt дается соотношением
/8fc(*l,*2) = 6kl-Xx	B1.4)
и, наконец, а[ — решение задачи III в предположении, что отсут-
отсутствуют массовые и поверхностные силы и что /3 на Qk дается соот-
соотношением
/вл(*1. *г) = ЬпГх2	B1.5)
В B1.3)—B1.5) бы — символы Кронекера. Существование а]\
Z = 1, . . ., <АГ\ j = 0, 1, 2, дается теоремой 13.1.
Теорема 21.1. Пусть выполнены условия теоремы 13.1.
В этом случае задача Шш имеет обобщенное решение, и притом
единственное.
Для доказательства заметим, что решение а краевой задачи
Шш можно в случае его существования представить в следующем
виде:1
N
а = аш + а; а = 2 (ао^о + а«а{ + a2^),	B1.6)
где аш — обобщенное решение задачи III, когда /3 = /зш» а /зш —
форма штампа. В соответствии с B1.6) имеем
= Яшк
q* = S (aoiqL + (hd* +]<htq[*),	B1.7)
i
qb — контактное давление на Qk, вызванное воздействием пе-
перемещений ]чщ. Подставив B1.7) в B1.2), получим систему ЗЖ
уравнений для определения ЗЖ неизвестных aofe,alfe, а2^, которую


§ 21]	ЗАДАЧИ О ШТАМПЕ В ТРЕХМЕРНОМ СЛУЧАЕ	213
запишем в следующем виде:
о	Г
q^dxidx2 —• — \ qmkdxidx2 -\- Т^,
ай	i
Очевидно, вопрос о разрешимости задачи Шш свелся к вопросу
об однозначной разрешимости системы B1.8). Мы сейчас докажем,
что это всегда имеет место. Для этого предположим, что правые
части B1.8) равны нулю, и установим, что в этом случае все aofe,
aiki a2k равны нулю. Предположив обратно, построим q% no aot,
alt, агь в соответствии с B1.7). В силу теоремы A9.1) ql ЕЕ 1>рпл;
• 1 < р < 2, и по данным #° согласно теореме A8.1) можно постро-
построить обобщенное решение а задачи 3 для слоя У. Согласно лемме
19.1 а = а0 и, следовательно, й3 будет на Qfe принимать значения
аои + аиА. + «2А- Если теперь положить в соотношении A8.2)
ф ^ а, то получим:
§	B1.9)
Правая часть B1.9), как легко видеть, есть нуль, так как по пред-
предположению ф удовлетворяют однородным уравнениям B1.8).
Теорема 21.1 доказана.
Т е о р е м а 21.2. Пусть выполнены условия 1) — 5) § 19. В этом
случае контактное давление q и постоянные aot, alt, a2* удовлетво-
удовлетворяют интегральному уравнению
(хг — ?ь х2 — ?a) q (%г, %2) dltd%2 =
х.г е Qt, B1.10)
w системе B1.8). Интегральное уравнение B1.10) и система B1.8)
при выполнении условий 4), 5) § 19 однозначно разрешимы в классе
контактных давлений q ЕЕ вЩ.Ы-р^; [г^>0, -о-<С#>2.
При доказательстве теоремы 21.2 можно на основе теоремы
21.2 считать числа ао&, alft, а2ь известными. В этом случае в наших
условиях формула B1.10) вытекает сразу из A9.4). При этом, есте-
естественно, получается и разрешимость задачи B1.10), B1.8). Пред-
Предположим теперь, что существуют два решения системы B1.10),
B1.8) q1, q2, o4, o4,o4; t = 1, 2, причем g1, q2 e Bjjllf fiLpQ;
^p<^2 Очевидно, для их разности, которую~ мы


214	ПОСТАНОВКА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ О ШТАМПЕ	[ГЛ. ГУ
обозначим через Да, имеют место соотношения:
(хг — ?i, х2 — ga) (g1 —
i
jfc — ajk + xx (a\k - a}fc) + *2 (<4 — <4)J, B1.11)
g* - ql)dx1dx2 = 0; J (gj - ql)xtdx1dx2 = 0; * = 1, 2. B1.12)
Поскольку g1— g2 e Bfc.lf QLpn, то можно построить решение зада-
задачи 3, соответствующее давлению g1—g2. Очевидно, в силу лем-
леммы 19.1 Аа на Qfe имеет перемещение Дао?1+ Aax^x + Aa2^2-
Положим теперь в формуле A8.2) <р = Аа. При этом получим:
|| Аа B1V = _ E^i J (g| _ q\) [aJte - а?* + хг (а\к - a2lk) +
+ x2 (a2\ - a2*)] d^dtt. ^ B1.13)
В силу B1.12) правая часть B1.13) есть нуль. Таким образом,
Да == 0. Теорема 21.2 доказана.
2. Задача IVW. В этом случае дело сводится к интегриро-
интегрированию системы A.9) при граничных условиях A.11), A.13)—
A.15). Граничное условие A.12) следует заменить условием B1.1).
Для определения aok, alki a?k необходимо использовать соотно-
соотношения B1.2).
Определение. Обобщенным решением задачи IVm назовем
вектор-функцию а Ег Нгу и систему чисел aok, alk, a2k; к = 1, ...
. . ., Ж, таких, что выполняются условия B1.1), B1.2) и интеграль-
интегральное тождество A4.1).
Теорема 21.3. Пусть выполнены все условия теоремы 14.1.
В "этом случае задача TVm имеет обобщенное решение, и притом
единственное.
Теорема 21.4. Пусть имеют место условия 1) — 5) § 19.
В этом случае контактное давление q (xu х2) и неизвестные аоЬ
агь a2t удовлетворяют интегральному уравнению
5 JTrv (Д/Л) g (glf
= — 2nhA [fsmt {хъ х2) + (a0/c + а1Кхг + a2hx2]; хъ х2 е ^f, B1.14)
где Kiy дается уравнением A9.15), и системе B1.2). Интегральное
уравнение B1.14) и система B1.2) при выполнении условий 4), 5)
§ 19 однозначно разрешимы в классе контактных давлений q ЕЕ
4
4
f Доказательства теорем 21.3, 21.4 здесь не приводятся из-за
полной аналогии с доказательствами теорем 21.1, 21.2.


Глава V
ДАЛЬНЕЙШЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
§ 22. Общие свойства ядер интегральных уравнений
для полосы
Перепишем интегральные уравнения A2.4), A2.9) контактных
задач для полосы в следующем виде *):
, |*|<а,	B2.1)
где в соответствии с формулами A1.21), A2.10) для задачи I
X (и) = х—тгъ—г-г-1—а . / а 5 х = 3 — 4v, B2.3)
для задачи II
х4-.	B2-4)
2? и v — модуль сдвига и коэффициент Пуассона материала по-
полосы.
Введем в рассмотрение безразмерный геометрический параметр
X = h/ui характеризующий относительную толщину полосы, и ис-
исследуем свойства ядра к ( , х\ в зависимости от величины к, В по-
последующем эти свойства будут использованы для построения
комплекса эффективных приближенных методов решения интег-
интегрального уравнения B2.1) для различных диапазонов изменения
параметра К. Сочетание этих методов дает возможность получить
решение рассматриваемых задач в виде простых и удобных для
практического использования формул.
1. Прежде всею изучим функции X (и), данные формулами
B2.3), B2.4).
х) Здесь и далее для простоты предполагается, что линия контакта штампа
с полосой состоит лишь из одного отрезка [—а, а].


216	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ [ГЛ. V
Лемма 22.1. В плоскости комплексного переменного z = и -\-
+ iv функции X (z) являются нечетными, действительными при
с — 0, мероморфными функциями —отношением двух целых функ-
функций экспоненциального типа равного порядка. На оси v = О функции
X (z) имеют единственный нуль и = О
и не имеют полюсов.
Доказательство леммы не вызовет
.	/	затруднений.
\	/	Лемма 22.2. Счетное множество
%
О
?•	комплексных полюсов zn функций X (z)
г #	для каждой из задач располагается на
1	четырех симметричных относительно
**-# мнимой и вещественной осей ветвях.
_>#	Аналогичным образом располагается
^г	счетное множество комплексных нулей
""?$4	?>п- Нули и полюса для задачи I, а так-
х	же полюса для задачи II — все простые.
\	Их вещественные и мнимые части по аб-
абсолютной величине монотонно возраста-
Рис. 18.	ют с ростом номера. При больших зна-
значениях номера для них имеют место
асимптотические формулы (первая четверть)
Lm+i ~ фг In т + сг) + i (йгт + е±), /bk, ck, dk, eK — реальные
Zzm+i — (Ь2 In m + с2) + i (d2m -(- е2) \постоянные, к = 1, 2
B2.5)
Первые два утверждения леммы непосредственно следуют из
леммы 22.1 и формул B2.5).
На рис. 18 показано примерное расположение первых четырех
нулей tn для задачи 1, причем
т>0.
Для задачи II легко находим, что
Um+i = ?2m+2 = in (т + 1),	B2.6)
т. е. в этом случае правая и левая ветви сливаются в одну на мни-
мнимой оси (кратные чисто мнимые нули).
Третье и четвертое утверждения леммы при больших значениях
номера вытекают из B2.5). При тех значениях номера, когда форму-
формулы B2.5) еще не имеют силы, справедливость указанных утвер-
утверждений проверялась непосредственными вычислениями. Часть
полученных при счете значений ?п и zv дана в табл. 1.


§ 22]	СВОЙСТВА ЯДЕР ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ	217
Таблица I1)
I
I
II
0 +?0,877
2-1
О + гО,913
l,125 + i2,106
?з
l,081+i3,784
1,454 +г 2,570
1,552 +г 5,356
1,380 + i 6,870
2,233 +г 5,913
1,776 +г 8,537
1,564 +
+ Н0,13
z7
2,647 +
+ i 9,140
1,929 +
+ «11,70
1,698 +
+ Н3,29
2,936 +
+Н2,33
2,047+
+ i 14,85
*) Для задачи 1 все величины данной таблицы приведены при v = 0,3
Итак, осталось доказать справедливость формул B2.5). Оче-
Очевидно, нули целых функций *)
1) sh 2z + 2z, 2) 2х sh 2z — 4г, 3) 2x ch 2* + 1 + x2 + 4z2
B2.7)
асимптотически совпадают с большими нулями функции
ebz - цг,	B2.8)
где для случаев B2.7) соответственно
1) ъ - 2, [х = -4, 2) 6 = 2, [х = 4/х, 3) 6 = 1, [х = q=2i/]/"x!
B2.9)
Разделяя вещественную и мнимую части в B2.8), получим для
определения нулей z\ следующую систему уравнений:
: cos btk = ask — Qtk. . *	, ,±	, .n
{Zk = sk + itk, [x = a + ф
B2.10)
ebsk sin btk = a^
Возводя в квадрат соотношения B2.10) и складывая их, получим
Умножим теперь первое соотношение B2.10) на C, второе —
на а и вычтем из первого. Подставляя затем в полученное
х) Числовые значения нулей функций B2.2), B2.3), B2.7) для коэффици-
коэффициента Пуассона, отличного от 0,3, имеются в [28]. Относительно асимптоти-
асимптотики больших нулей см. также [17, 18].


218	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ [ГЛ. V
соотношение выражение B2.11) для sk, будем иметь
Р cos btk — a sin btk = — \\i \
или
sin 0 cos btk — cos 0 sin btk = — 1, 9 = arctg p/a.
Отсюда находим
D)9-	B2-12)
Формулы B2.11) и B2.12) дают асимптотику z\. Отождествляя
теперь zk в порядке возрастания модулей с соответствующими
?гт+1 или z2m+1 согласно нумерации, указанной на рис. 18, убедим-
убедимся в справедливости B2.5). Лемма доказана.
Лемма 22.3 Для мероморфных функций X (z), даваемых
соотношениями B2.3), B2.4), имеет место представление
Щ±,	B2.13)
где Ьп = —i?,n, уп = —izny tn и zn —соответственно нули и
полюса, лежаище в полуплоскости v ^> 0. Бесконечное произведение
B2.13) равномерно сходится в области П? при любом сколь угодно
малом фиксированном е ^> 0. Область Пе есть вся плоскость комп-
комплексного переменного z с исключенными г-окрестностями полюсов
zn {см. также область По, введенную в § 8).
Лемма 22.3, в сущности, вытекает из результатов, приведен-
приведенных в гл. I [30]. При этом только необходимо иметь в виду оценку
X (z) z-1 = О (z-1),	B2.14)
которая, как легко убедиться, имеет место для обеих функций
B2.3), B2.4) на любой системе окружностей Ст с центром в точке
z = 0 и радиусами рт, для которых | z2m^ |< pm < | z2m+1 | при
т->оо. Такую систему окружностей ниже будем называть пра-
правильной [16].
Постоянная Л для рассматриваемых задач в соответствии с
B2.3), B2.4) дается соотношениями
т- B2Л5)
B2.16)
Получим еще два представления для функции X (и).
Лемма 22.4. Имеет место разложение


§ 22]	СВОЙСТВА ЯДЕР ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ	219
равномерно сходящееся к X (и) при всех О <[ е <^ и <J оо, причем
А2п (и) —полиномы по и степени 2п, г — сколь угодно малое число.
Для доказательства B2.16) запишем функции X (и) вида B2.3),
B2„4) в форме
где верхние знаки — для задачи I, нижние — для задачи II, функ-
функции Ъ (и) и с (и) имеют вид
B2.18)
II. Ь(и) = 2,	J
Рассматривая в B2.17) Ь (w) и с (и) как параметры и разлагая
правую часть B2.17) в ряд по степеням г/, получим B2.16), где
^2п= 2 A**.mUm.	B2.19)
Связь между А2п {и) и Ь (и), с (и) дается формулами
А2 (и) = + [Ь(и) + с (и)],
Л4 (и) - + {2 q= с (и) \Ь (и) + с (и)]},
Аъп {и) = + 1с (и) А2п-2 (и) + А2п-± (и)]; п = 3, 4, ... >
B2.20)
Область равномерной сходимости ряда B2.16) при положи-
положительных у, очевидно, определяется неравенством О<у<|уо|,
где у0 — наименьший по модулю корень знаменателя правой части
B2.27). Таким образом эта область дается неравенством
где верхние знаки —для задачи I, нижние —для задачи II. Не-
Непосредственной проверкой убедимся, что B2.21) выполняется для
обеих задач при всех 0 < и <^ оо.
Лемма 22.5. Имеет место равномерно сходящееся при 0 <
<^ | и | <^ оо разложение
B2.22)
Справедливость леммы 22.5 вытекает из теоремы 2 § 71 [16]
и формул B2.13), B2.14).


220	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ [ГЛ. V
Таблица 21)
I
II
Si
—0,0404+
+i0
0,798+
+ i 0,0971
s3
0,786—
— i 0,0556
0,294+
+i 0,0324
0,279+
+ i 0,0174
0,183+
+i 0,0171
S7
0,175+
+ i 0,0138
0,134+
+i 0,0107
*) Для задачи I все величины данной таблицы приведены при v = 0,с
s9
0,128+
+ i 0,0102
0,105+
+i 0,00748
С учетом B2.3), B2.4) после несложных преобразований коэф-
коэффициенты Sm можно представить в форме
I.
.-2О
В табл. 2 даны некоторые значения Smi подсчитанные по фор-
формулам B2.23). Заметим, что в силу введенной нумерации полю-
полюсов zn выполняется соотношение
— 2 Im
B2.24)
При больших значениях номера т, как это следует из B2.5),
B2.23), для обеих рассматриваемых задач имеет место асимпто-
асимптотическая формула
Sm ~ я {2ут)-\	B2.25)
2. Перейдем к изучению свойства ядра к (t), даваемого соотно-
соотношением B2.2).
Лемма 22.6. При всех значениях 0 ^ | t) <^ оо для к (t)
имеет место представление
k(t)= -hi\t\ -f (О,
l [1—SB {и)] cos ut—e-
l-du,
B2.26)
B2.27)
причем, <? (t), как четная функция комплексного переменного
w = t + ?т, является регулярной в полосе |?|<^оо, |т|<^2.
При | t | <^ 2 функция <? (t) представима абсолютно сходящимся
рядом
B2.28)
i=0


§ 22]	СВОЙСТВА ЯДЕР ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ	221
Для доказательства первой части леммы достаточно восполь-
воспользоваться формулой B2.2) и интегралом
оо
С е~и — cos ut , ,	on on
	du=^ln\t\. B2.29)
о
Регулярность функции f (w) в полосе | t \ <^ oo, | x | <^ 2 сразу
следует из теоремы^! монографии [23] (гл. 1, § 1.4) с учетом того,
что (см. B2.16))
1 - X {и) ~ О (е-2М) при | и | ~> оо.
Из регулярности $ (w) в полосе вытекает, что функция $ (t)
при 0 ^ | t | <[ оо непрерывна со всеми производными. Представ-
Представление B2.28) получается, если под интегралом в B2.27) разложить
cos ut в ряд по ut. При этом имеем
B2-30)
(J = 1,2, ..-)•
Область абсолютной сходимости ряда B2.28) в силу регуляр-
регулярности f (w) в полосе | Im w \ < 2 определяется неравенством.
| t | <^ 2. К этому можно также прийти, исследуя асимптотику
чисел dt при i —> оо.
Действительно, подставив во второе соотношение B2.30) функ-
функцию X (и) в форме B2.16) и вычислив интегралы, найдем
§ ^»о + *'4si + «(i + 0,5) Л22 + ^> (?)] , B2.31)
где 4mn определяется по формулам B2.19), B2.20).
Из B2.31) сразу следует, что радиус сходимости ряда B2.28)
равен 2.
В табл. 3 даны значения нескольких первых чисел dt, найден-
найденные численным интегрированием для задач I, II по формулам
B2.30).
Лемма 22.7. При всех значениях 0 <^ 8 <^ 11 \ <^ оо для к (t)
имеет место равномерно и абсолютно сходящееся представление
B2.32)
т=1
При этом B2.32) можно любое число раз дифференцировать, полу-
получая равномерно и абсолютно сходягциеся ряды, г — сколь угодно
малое число.


222	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ [ГЛ. V
Таблица З1)
I
II
III
IV
1
do
0,527
0,352
а0
1,377
1,168
dt
—0,716
-0,521
—0,627
—0,395
) Для задачи 1 все величины данной
d2
0,245
0,135
а%
0,265
0,129
d3
—0,0800
-0,0346
а3
-0,0976
—0,0379
таблицы приведены при v = 0,3.
0,0245
0,00863
а*
0,0329
0,0106
Для доказательства подставим представление B2.22) функций
X (и) в B2.2). Интегрируя [10], придем к B2.32). Второе утверж-
утверждение леммы легко доказывается на основании формул B2.5),
B2.25).
Таблица 41)
t
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
1,25
1,30
1,35
140
1,45
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
1,85
1,90
1,95
д
0
0
0
0
0
—0
-0
—0
-0
—0
—0
—0
-0
—0
-0
-0
-0
—0
—0
-0
Для
"it)
,527
,525
,520
,511
,498
,199
,236
,273
,308
,344
,378
,412
,444
,476
,507
,538
,567
,596
,624
,651
задачи
0
0
0
0
0
2
2
2
2
2
2
2,
2
2
г\
2,
2,
2,
2,
2,
I
t
,25
,30
,35
40
,45
,00
,05
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
все
0
0
0
0
0
—0
—0
-0
-0
-0
-0
-0
-о,
-о,
—о,
-о;
-о,
-о,
-о,
-о,
40
,483
,464
,442
,418
,391
,678
,704
,729
754
778
801
824
846
868
889
910
930
950
970
989
величины
0
0
0
0
0
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
з,
3,
з,
з,
з,
t
,50
,55
,60
,65
,70
,75
80
85
90
,95
,00
05
10
15
20
25
30
35
40
45
fit)
0
0
0
0
0
—1
—1
—1
-1
-1
-1
-1
-1,
-1,
-1,
-1,
-1,
-1,
,362
,330
,297
,263
,226
,007
,026
,044
061
079
096
112
129
145
161
177
192
207
222
237
в данной таблице и
0
0
0
0
0
3
3
3
3
3
3
3
3
з,
з,
4,
4,
4,
4,
4,
в
t
,75
,80
,85
,90
95
,50
,55
,60
65
*70
,75
80
85
90
95
00
05
10
15
20
Ta6j
д
0
0
0
0
0
	1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
4
1
-1,
	4
-I ,
-1
-1,
-1,
-1,
-1,
r(O
,189
,151
,113
,074
,034
,251
,265
,280
293
307
320
334
347
360
373
385
398
410
422
434
1
1
1
1
1
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
t
,00
,05
,10
,15
,20
,25
,30
,35
,40
,45
,50
,55
,60
65
,70
,75
—0
—0
-0
—0
—0
—1
-1
—1
—1
-— 1
-1
-1,
-1
-1,
-1
-i,
@
,005
,045
,084
,123
,161
,446
,458
469
481
492
503
514
526
536
547
558
дальше
как
1.1—4 приведены при v =
In*
= 0,3.


23]	КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОЧЕНЬ ТОЛСТОЙ ПОЛОСЫ	223
Таблица 5
t
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,352
0,350
0,346
0,340
0,331
0,320
0,306
0,290
0,272
0,252
0,229
0,206
0,180
0,153
0,125
t
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
1,10
1 15
1,20
1,25
1,30
1,35
1,40
1L5
2T(t)
0,096
0,066
0,035
0,003
-0,029
—0,062
-0,095
—0,128
-0,162
-0,195
—0,228
—0,261
—0,293
—0,326
—0,358
t
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
1,85
1,90
1,95
2,00
2,05
2,10
2 15
2,20
—0,389
—0,420
—0,451
—0,481
—0,510
—0,540
—0,568
—0,596
—0,623
—0,650
—0,676
—0,702
—0,727
—0,751
—0,775
t
2,25
2,30
2,35
2,40
2,45
2,50
2,55
2,60
2,65
2,70
2,75
2,80
2,85
2,90
2,95
Pit)
—0,798
—0,821
—0,844
—0,866
—0,887
—0,908
—0,929
—0,949
—0,968
—0,988
—1,007
—1,025
—1,043
—1,061
—1,079
t
3,00
3,05
310
3 15
3,20
3,25
3,30
3,35
3,40
3J45
3,50
—1,096
—1,113
—1,129
—1,146
—1,162
—1,177
—1,193
—1,208
—1,223
—1,238
—1,252
дальше
как In t
Из B2.32) следует, что при | t \ —> оо ядро к (t) —
~ехр(—\t\ Re Yi)» на основе чего заключаем, что f (t) ведет себя
как — In | ^ | при 111 —> оо. Это также видно и из табл. 4 и 5 для функ-
функции $ (i) для обеих задач, составленных с помощью ЦВМ «Урал».
§ 23. Решение контактных задач
для очень толстой полосы
1. Рассмотрим интегральное уравнение
B3.1)
где d0 определяется выражением B2.30).
Как будет показано в § 25, решение интегрального уравнения
B3.1) является главным членом асимптотики решения интеграль-
интегрального уравнения г)
B3.2)
J) Интегральное уравнение получается из B2.1) с учетом B2.26).


224	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ [ГЛ. V
при больших значениях параметра X. Следовательно, уравнение
B3.1) соответствует случаю очень большой относительной толщи-
толщины полосы в рассматриваемых контактных задачах I, П.
Продифференцируем обе части интегрального уравнения B3.1)
по х. При этом мы получим сингулярное интегральное уравнение
первого рода с ядром Коши
=^dl^nAf'(x); |x|<a.	B3.3)
Очевидно, что решение сингулярного интегрального уравнения
B3.3) удовлетворяет исходному уравнению B3.1) с точностью до
постоянной. Однако, воспользовавшись известным произволом в
решении уравнения B3.3), который доставляется слагаемым вида
С (а2 — х2)~Ч2, можно добиться, что это решение будет одно-
одновременно и решением интегрального уравнения B3.1).
В настоящее время известны две формы решения сингулярного
интегрального уравнения B3.3). Первая, содержащая сингуляр-
сингулярные интегралы, известна давно и стала уже классической. Именно,
имеет место [27].
Теорема 23.1. Если функция f (x) С LP[-a,aYi P ^> 4/3,
то интегральное уравнение B3.3) в классе LP[_aja]; 1 <^р <^ 4/3,
допускает решение х)
а
= \ q(l) dl.	B3.4)
Вторая форма решения, не содержащая сингулярных интегра-
интегралов, впервые получена сравнительно недавно Н. А. Ростовцевым
[26]. На ней мы не будем останавливаться, ибо дальше будем поль-
пользоваться только первой формой B3.4).
Имеет место следующая лемма.
Лемма 23.1. В условиях теоремы 23.1, если [31]
а
f №dx	m ^
то выражение B3.4) является единственным в LP[_a>a];
<^р<^4/3, решением интегрального уравнения B3.1).
х) Конкретные примеры показывают, что решение интегрального урав-
уравнения B3.3) сохраняет форму B3.4), если /' (х) — обобщенная фукнция типа
дел ьта-функции.


§ 23]	КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОЧЕНЬ ТОЛСТОЙ ПОЛОСЫ	225
Для доказательства рассмотрим сначала случай f (х) = 4. В
соответствии с B3.4) имеем
tf>(x) = ?-(a* — x*)-lb.	B3.6)
Подставляя выражение q° (x) в левую часть интегрального
уравнения B3.1) и учитывая, что интеграл, стоящий слева, -еств*
некоторая постоянная при любом х ЕЕ [ — а, а], в частности, при
х = 0, будем иметь	:	-
Вычисляя интеграл [10], окончательно для q° (x) получим
q° (х) =	А	. -	B3.8)
V ' Aп2Ь *) YcP х*	V '
Умножим теперь почленно интегральное уравнение B3.1) на
q°(x) dx и проинтегрируем от —а до а. Переставив затем интегралы
в левой части полученного соотношения и вспомнив, что q°(x)
есть решение уравнения B3.1) для / (х) = 1, без труда получим
для общего случая / (х) выражение B3.5).
Интегрируя B3.4) найдем еще' выражение для момента .//
. if = $ q (I) I dl = A ^ /' (x) /a2 - x* dx.	B3.9)
—a	—a
2. Перейдем теперь к вопросу о дифференциальных свойствах
решения q (?) интегрального уравнения B3.1).
Далее нам понадобится интеграл г)
1	@;	/п-0,
\ ^f =:\ лРп(х); m = 2n+U "B3.10)
Д«-*)/1-Р l«P(x); m 2n+2
п
р /^\	 V Bfe 1) II ^	| г I < 1
нМ- Zj—BЩ1—х ' FIS1»
а также будет нужна следующая
Лемма 23.2. Пусть функция f (x) e Bn[-a,a], тогда спра-
справедливо неравенство
B3.11)
х) При вычислении 1штегрэла B3.10) использован общий метод [21J.
В. И. Ворович я др.


226	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ [ГЛ. V
Доказательство леммы имеется в [29], п. 318.
Теорема 23.2. Если функция f (х) e B*ml)|_a>a], a>0, то
функция q (x) имеет вид
?W=*W(a2 -*2)-l/S	B3.12)
причем г|> (х) е Cn[^a>a] (см. [1, 6, 8, 20]).
Для доказательства, очевидно, достаточно показать, что ин-
интеграл в B3.4) как функция от jG [—-а, а] имеет непрерывную
тг-ю производную.
Представим этот интеграл, используя B3.10), в виде
Bз.13)
Продифференцируем теперь равенство B3.13) формально п раз
по #. Будем иметь
X /a2 - t2dt - jt [x/' (x)]W. B3.14)
Второе слагаемое в равенстве B3.14) по условиям теоремы пред-
представляет собой непрерывную функцию при х 6Е I — а, а]. Непре-
Непрерывность по х интеграла в B3.14) будет, очевидно, показана,
если мы установим, что он равномерно сходится при всех х ЕЕ
ЕЁ I — а, а], тем самым будет также обосновано дифференцирование
под знаком интеграла в B3.13).
Для доказательства равномерной сходимости интеграла в
B3.13) необходимо оценить модуль следующего выражения:
/оГГрл, B3.15)
что легко делается на основе леммы 23.2.
Теорема доказана.
Заметим, что при a = 0 теорема 23.2, как показывают кон-
конкретные примеры, не справедлива.
Теорема 23.3. Если функция / (х) ЕЕ B"n+1)[_a>a]; a > 1/2,
U выполнены соотношения
fi(t)dt =0,	B3.16)


§ 24]	РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ B2.1)	227
то q (х) имеет вид
I	?(*)=¦• W (в1 -^S	B3.17)
причем \р* (х) е Cn[_ajaj.
Теорема доказывается аналогично теореме 23.2 с привлечением
B3.10) и леммы 23.2. Условия B3.16) равносильны *ф(+ а) = 0.
Заметим, что при a = 1/2 теорема 23.3, как показывают кон-
конкретные примеры, не справедлива.
Если функция } (х) —четная, то второе соотношение B3.16)
тождественно удовлетворяется, а первое, при заданной форме ос-
основания штампа и нагрузке на штамп, служит для определения
полудлины а линии контакта.
§ 24. Некоторые общие результаты относительно решения
интегрального уравнения B2.1)
1. Вопрос о структуре решения контактных задач для полосы
уже исследовался в §§ 10, 12. Однако представляет интерес изу-
изучить структуру решения интегральных уравнений B2.1)—B2.4)
самих по себе, без их связи с краевыми задачами, а основываясь
лишь на некоторых свойствах ядра к (t). При этом мы будем зара-
заранее предполагать существование решения в LP[_a>a]; р ^> 1,
что даст возможность провести исследование при более слабых
предположениях относительно свойств функции / (х).
Представим решение q (?) интегрального уравнения B2.1)
в виде [3]
q (I) = Ро (I) + р* (I)	B4.1)
гДв Ро (I) —решение интегрального уравнения B3.1), определяе-
определяемое соотношениями B3.4), B3.5).
Подставляя B4.1) в B3.2), для поправочной функции р# (I)
получим следующее интегральное уравнение:
B4.2)
Теорема 24.1. Если функция f (#), входящая в правую часть
интегрального уравнения B2.1), такова, что ее первая производная
принадлежит Lp[_a>a]; p > 4/3, а решение интегрального урав-
уравнения B4.2) существует в LPt_a>a]; р ^> 1, то общее решение ин-
8»


228	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ ГГЛ. V
тегралъного уравнения B2.1) при всех X ЕЕ @, оо) имеет вид B4.1),
где
р*(х)=У(х)(а* -хГг<>,	B4.3)
причем Y (х) — непрерывная со всеми производными функция при
х е [ — я, а].
Для доказательства изучим сначала дифференциальные свойст-
свойства функций, стоящих в правой части B4.2).
Заметим, что в силу теоремы 23.1 функция р0 (?) Ez LP?_a>a];
1 <^ р <^ 4/3. Тогда на основании указанных в лемме 22.6 свойств
f (t) легко доказать, что функция /# (х) вида B4.2) при х е= [ — а,
а] непрерывна со всеми производными. К такому же выводу при-
приходим и относительно второго слагаемого правой части интеграль-
интегрального уравнения B4.2), учитывая, что р# (?) Ez LP[_a>aj; p ^> 1.
Таким образом, B4.2) можно рассматривать как уравнение B3.1),
правая часть которого непрерывна со всеми производными. Тогда
из теоремы 23.2 сразу следует справедливость данной теоремы.
. Следствие 24.1. Если функция f (x) ЕЕ В*п+1) [-а,а\\ 0 <
<[ а <^ 1, а решение интегрального уравнения B4.2) существует в
4>[-a,a]» P ^> 1? то общее решение q (x) интегрального уравнения
B3.1) при всех X ?Е @, ос) имеет вид B4.3), где функция Ч? (х) е
S Cnj-_a>a].
Доказательство вытекает из теорем 23.2, 24.2.
Теорема 24.2. Если функция/(х) е Щ^-d [~a,a]i 1/2 < a <^
<^ 1, решение интегрального уравнения B4.2) существует #LP|;_aia];
р > 1, и выполнены условия
W (± а) = о,	B4.4)
то решение q (х) интегрального уравнения B2.1) при всех X е
?= Ф, сю) имеет вид
Ч{х)=Уъ(х)(а*-^	B4.5)
где функция W* (x) e СП[-л,а].
Теорема доказывается аналогично теореме 24.1, если принять
во внимание теорему 23.3.
2. Заметим, что если функция / (х), входящая в правую часть
интегрального уравнения B2.1), — четная, (/+ (х)) по х, то и ре-
решение его q (I) — также четное (q+ (l)) по ?. Наоборот, если
f(x) —нечетная функция (/_ (х)), то q (^) —также нечетная
(<]L(?)), Это вытекает из четности ядра интегрального уравнения
B2.1)по t и симметричности пределов интегрирования. Четные и
нвнетные решения интегрального уравненияB2.1)взаимосвязаны.
Q6 этом свидетельствует следующая [4] теорема.


§ 24]	РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ B2.1)	229
Теорема 24.3. Если /_ (х) е В^,^; 1/2<а<1, и
q+ (?) есть решение интегрального уравнения B2Л) для случая
c,	B4.6)
О
обращающееся в нуль при | = + #> иг°
?_ F) = </+ (?)	B4.7)
решение, соответствующее /_ (#).
В справедливости теоремы легко убедиться, если принять во
внимание 24.2 и соотношение
[^1 <24-8>
С учетом теоремы 24.3 мы дальше всегда можем ограничиваться
нахождением решения интегрального уравнения B2.1) только для
«четного» варианта, определяя затем «нечетное» решение диффе-
дифференцированием.
3. Здесь уместно также вспомнить об одном замечательном ре-
результате М. Г. Крейна [9, 15], который с учетом свойств ядра
к (t), указанных в § 22, можно представить в виде следующей
теоремы.
Теорема 24.4. Если уравнение B2.1) при / (х) = 1 и любом
О <^ X <^ оо имеет единственное решение g (x, \i) (ЕЕ Ц^^,
для которого функция,
а
¦ М(|*)= 4" $*(*•!*)* О*^)	B4-9)
О
обладает отличной от нуля и непрерывно дифференцируемой про-
изводной, то для любого f (x) €Е С2[-а, а] уравнение B2.1) имеет
единственное решение q (x) G Ц[-а,а]» определяемое формулой
— t
B4Л0)
С учртом теоремы 24.4 мы дальше основное внимание будем
обращать на исследование случая / (х) = 1.


230	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ Ьл. V
§ 25. Эффективное решение контактных задач для полосы
при больших значениях %
В этом параграфе мы получим асимптотическое при больших X
решение интегрального уравнения B2.1), оценим границы его при-
применения.
1. Лемма 25.1. Если функция f (x)^Lp^a)ayJ p^>3/4, то
любое решение интегрального уравнения B2.1) или B3.2) из класса
Цр[-а,а]; р ^> 1, является также решением интегрального урав-
уравнения
, B5.1)
||<, B5.2)
и наоборот [1, 8, 20].
Для доказательства заметим, что при q (х) ЕЕ Lp[-a,a]'» ?> ^> 1»
второе слагаемое правой части интегрального уравнения B3.2)
в силу леммы 22.6 есть непрерывная со всеми производными функ-
функция при # ЕЕ [ — а, а]. Обращая теперь оператор, стоящий в ле-
левой части интегрального уравнения B3.2), с помощью соотноше-
соотношений B3.5), B3.6), придем к B5.1), B5.2).
Обратное утверждение леммы следует из возможности при
g(a:)eLpKa]; ?>1, преобразования B5.1), B5.2) к B3.2).
Если функция / (х) е Bi[_a,a]; 0 < а ^ 1, то в соответствии
со следствием 24.1 решение интегрального уравнения B5.1) в клас-
классе LP|;_a>a]; р ^> 1, можно искать в виде q (х) = Ф (х) (а2 —
— х2)-1/*, где функция Ф(ж)ЕС[.а(а]. На основании сказан-
сказанного представим уравнение B5.1) в форме
B5.3)
Фо {х) = ± У _ д С ГМУ7=*
) 1^ <25-5»


§ 251	ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОЛОСЫ ПРИ БОЛЬШИХ ЗНАЧЕНИЯХ \	231
Возможность перестановки порядка интегрирования в третьем
слагаемом правой части B5.1) следует из условия q (х) ЕЕ \-р[-а,а\\
р > 1, леммы 22.6 и леммы, приведенной на стр. 65 моногра-
монографии 18].
Лемма 25.2. Оператор А, определяемый формулами B5.3),
B5.5), действует в пространстве С[-а, а].
Для доказательства исследуем сингулярный интеграл М* (g, x)
подобно тому, как исследовался при доказательстве теоремы
23.2 интеграл / (х).
С учетом указанных в лемме 22.5 свойств функции f (t)
убедимся, что интеграл М* (?, х) есть непрерывная со всеми
производными функция по совокупности переменных^ ^ижЕ
6= [ — а, а] при любом 0 <[ Я <; оо.1
Дальнейшее доказательство не вызовет затруднений.
Теорема 25.1. Пусть
и справедливо неравенство [1]
°	B5.6)
где
Dx = max | f (t) | , D2 = max | f* (t) |; t e [0, oo].
В этом случае решение интегрального уравнения B5.3) в классе
?[-а>а] существует, единственно и может быть получено по-
последовательными приближениями по схеме
ф" (Х) = А (О71) + Ф° (х).	B5.7)
Для доказательства воспользуемся принципом «неподвижной
точки» Банаха [19]. Имеем
B5>8)
Для оценки | М * (^, х) \ воспользуемся теоремой Лагранжа
о среднем значении в дифференциальном исчисдения и интегра-


232	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. V
лом B3.10). Получим
Подставляя полученный результат в B5.8), окончательно най-
найдем
Из последнего неравенства видно, что при выполнении B5.6)
оператор А есть оператор сжатия в Cf_a>aj, что и доказывает
теорему.
На основании формулы B2.27) легко установить, что
B5.9)
Значения dx и а0 для обеих рассматриваемых задач даны в
табл. 3. Заметим, что замена max | f | на а0 в формуле B5.6) при
вычислениях лишь пойдет в запас. Учитывая это, получим для
рассматриваемых задач
1) X > 1,8 при v = 0,3, 2) X > 1,5.	B5.10)
2. Приближенное решение интегрального уравнения B5.1)
при больших X может быть получено и другим, на наш взгляд
более удобным, способом [1]. Именно, будем искать решение в виде
следующего ряда:
00
B5.11)
Подставляя выражение B5.11) и разложение B2.28) в уравнение
B5.1) и приравнивая члены правой и левой части при одинаковых
стаиенях Аг2, получим бесконечную систему соотношений для до-


§ 25]	ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОЛОСЫ Ш>И БОЛЫЙИХ ЗНАЧЕНИЯХ к	233
следовательного определения функций qh (x):
q0 (х) = j(o
B5.12)
и т. д.
Используя интеграл B3.11), определим последовательно из
соотношений B5.12) функции q0 (x), qx (х), q2 (x) и представим
асимптотическое при больших К решение интегрального уравне-
уравнения B5.1) в соответствии с формулой B5.11) с точностью до членов
порядка Агв в виде
п Уф=
1._fL
8 а»
-fir [2da Fж3 — 6x4 + 2xt* - 2ха? —
dt+O Ш . B5.13)
Теперь по формуле B5.2) получим асимптотическое при боль-
больших % представление для силы 5s, действующей на штамп
dl d' Ыг	1 I
-р- I V^^t'it) t [dr + %¦ + Щ dt + 0&г*{\. B5.14)
О
Интегрируя B5.13), найдем еще по формуле B0.2) действую-
действующий на штамп момент Jf:
Л.~
). B5.15)
Формулы B5.13)—B5.15), очевидно, будут иметь смысл по
крайней мере при всех тех значениях параметра К, при которых


234	ЙССЛЕДОВАЙЙЁ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ [ГЛ. V
имеет место разложение B2.28). Именно, в § 22 было показано, что
степенной ряд B2.28) абсолютно сходится при | t | <^ 2, но | t | <^
> 2А, следовательно, Х>1. Полученная оценка устанавливает
теоретические границы использования формул B5.13)—B5.15).
Практически формулы B5.13)—B5.15) можно использовать при
Х>2 (см. §§ 36-38).
§ 26. Сведение интегральных уравнений
контактных задач для полосы
к бесконечным системам линейных
алгебраических уравнений. Метод I
В этом параграфе мы изучим вопрос о сведении интегрального
уравнения B3.2) или B4.2) к решению систем линейных алгебраи-
алгебраических уравнений.
Один из таких путей изложен в работе [1]. Для его осуществле-
осуществления необходимо аппроксимировать полиномом на отрезке 0^
<; | J | <; 2/К функцию f (t) вида B2.27), после чего интеграль-
интегральное уравнение B3.2) легко сводится к решению конечной алгебраи-
алгебраической системы.
Возможен и другой путь [2], основанный на соответствующей
модернизации метода Мультоппа — Каландия [12, 13, 32] при-
применительно к интегральному уравнению B3.2).
Здесь мы изложим наиболее удобный и эффективный, на наш
взгляд, метод приближенного решения интегрального уравнения
B4.2) при больших и промежуточных значениях К сведением к
алгебраической системе [3, 5, 7, 24, 25].
1. Учитывая теорему 24.3, ограничимся далее рассмотрением
только «четного» варианта интегрального уравнения B4.2). Бу-
Будем предполагать, что выполнены условия теоремы 24.1.
Прежде всего представим функцию f (t) вида B2.27) в форме
двойного ряда по полиномам Чебышева. С учетом четности функ-
функции $ (t) no t этот ряд будет иметь вид
Функции /* (х) и W (#), входящие в формулы B4.2), B4.3),
также разложим в ряды по четным полиномам Чебышева
оо	<Эо
/. (*) - 2 **/* (-г)' Т <*> ~ 2 № [~) . B6.2)


§ 26]	СВЕДЕНИЕ К СИСТЕМАМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ	235
В силу указанных в лемме 22.6 и теореме 24.2 свойств функций
$ (t), /* (х) и Ч? (х), ряды B6.1), B6.2) сходятся равномерно к
$ (t) по совокупности переменных (х, ?) ЕЕ [ — а, а] и при любых
значениях параметра X е @, ос) к /* (х) и 4я (л;) при всех х Ег
е I—а, а] (см. [221).
Воспользовавшись известным свойством ортогональности по-
полиномов Чебышева
It ho.	B6.3)
Л ViX	[я; i = ft = 0,
получим для коэффициентов стп (А.) ряда B6.1) выражение
oo = 1, Pmo = Pon = 2, pMn = 4.
B6.4)
Выражения для коэффициентов dmn ряда B6.1) нам в дальнейшем
не понадобятся, ибо мы будем рассматривать, как уже указыва-
указывалось, только «четный» вариант интегрального уравнения B4.2).
Подставив теперь в B6.4) выражение ? (t) вида B2.27) и ис-
используя интеграл [10]
B6.5)
—1
получим другую формулу для стп(к):
[l-Se(u)]J2{ulk)-COSU
	т.	du,
B6.6)
где /v (x) — функции Бесселя.
Перейдем к определению коэффициентов R^. Используя вто-
вторую формулу B4.2) и B6.1), найдем
R* = 2
п=0
П=0
B6.7)


236	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ [ГЛ. V
Для вычисления интегралов Рп умножим обе части интеграль-
интегрального уравнения B3.1) почленно на (а2 — х2)~Ч* Т2п (х/а) и про-
проинтегрируем в пределах от — а до а. Переставив затем интегралы
в левой части полученного соотношения и воспользовавшись фор-
формулой [14]
получим для интегралов Рп следующие выражения:
Ро = #о [In 2% — do]-1, Pn = nRn,
B6.9)
Заметим, что числа Дп есть коэффициенты разложения функ-
функции / (х) в ряд по полиномам Чебышева вида B6.2).
Получим, наконец, соотношения для определения коэффициен-
коэффициентов §г во второй формуле B6.2).
Предварительно введем в рассмотрение линейное нормирован-
нормированное пространство 1Р (р > 1) числовых последовательностей X =
оо
= {Ъи ?г> •••» Sn. •••}» Для которых сходится ряд 2 I %i\p- Норма X
в \р вводится следующим образом [19]:
p	B6-10)
г=1
Лемма 26.1. Любому решению р% (х) интегрального урав-
уравнения B4.2) из класса LP[-a,a]; l<^/?<^2, соответствует по-
последовательность чисел 8г из класса 1Р, удовлетворяющая бесконеч-
бесконечной системе линейных алгебраических уравнений
4" 2 «Л* W = « /o,w. , 4 о	B6.11)
ц наоборот.
Для доказательства подставим в интегральное уравнение B4.2)
функции р* (I), /* (х) ж f (t) в виде B4.3), B6.1), B6.2). Вычис-
Вычислим интегралы по формулам B6.3), B6.8). Получим соотношение,
в левой и правой частях которого стоят ряды по полиномам Чебы-
Чебышева. Приравнивая коэффициенты обеих частей при полиномах
одинакового номера, получим бескодечную алгебраическую сис-
систему B6Д1).


§ 263	СВЕДЕНИЕ К СИСТЕМАМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ	237
Если р% (х) е Lp[_a,a]; I < P <С 2, то по теореме 24.2 функция
Y (х) непрерывна при #ЕЕ [ — а, а] со всеми производными. Тогда
можно показать, что последовательность чисел §t, определяемая
второй формулой B6.2), принадлежит 1Х.
Пусть теперь последовательность 8i является решением бес-
бесконечной системы B6.11) и принадлежит 11в Тогда, очевидно, ряд
оо
S $Л* f-|-] равномерно при х е= [ — а, а] сходится к некоторой
г=0	\ а I
функции ? (х) Е= Ci-a,a]- Обратным преобразованием бесконеч-
бесконечной системы B6.2) к интегральному уравнению B4.3) легко убе-
убедиться, что функция р* (х) = V (х) (а2 —х2)-1'* е Ц[-в,в], 1 <
<^р<^2, является решением B4.3). Лемма доказана.
2. Перепишем систему B6.11) в более удобном для дальнейшего
виде:
сю
(In 2% - с00) = ДД0Ф + ~" S f ^оь	B6.12)
хг = S ai^ + Ь* (^ = 1; 2,. . . ),	B6.13)
*i = «^О, ^ife = feib &i = АЛФ + §«Ao. B6.14)
Заметим, что
a
J	B6.15)
где ф0 находится по формуле B3.5), а Q% в силу соотношений
B4.3) и B6.2) дается простой формулой
<?* « я §0.	B6Л6)
По предположению р* (х) е Lp[_ajaj; р ^> 1, следоватальцо,
|§ol<oc.
Решив бесконечную систему B6.13), B6.14), найдем затем ве-
величину So из соотношения B6.12).
Лемма 26.2. Для коэффициентов атп бесконечной системы
B6.13) имеют место оценки
1)	| л™ |< 4и max |f (*)|; |^|<2А, n>i,m> I, B6.17)
2)	l^nKy^-i)!. i = const, Fi>2fm>lf B6.18)
3> I^K^-l)(^l); У)^ const, n>2Tm>?y B6Д9)


238	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ [ГЛ. У
У Л Bm+2ii + l-l)I.
n>l,m>l, B6.20)
числа A2,i определяются формулами B6.19), B6.20),
5) при А, —> 0, т !> 1 и га ]> 1
атп ~*0 (ш ^ n), amm ~ 1.	B6.21)
Для доказательства леммы представим коэффициенты при т 1>
!> 2, ft 1> 2 в ином йиде. Именно, используя B6.4) и интегрируя по
частям, получим
71 те
/cos-ф — cos ф\Г sin Bт + 2)ср	2 sin 2mcp ,
I	Я, J(_ Bm + l)Bm + 2) Dm* — 1) "+"
sinBm —2)ф 1 Г sin Bn + 2)t|? 2sin2^i|? sin B/г — 2)г|) 1
Bm— 1) Bm — 2) I# lBn + l)B/i + 2) ~~ Dи« — 1) + Bи — 1)Bи — 2) J X
X sin ф sin ifdcpdi]). B6.22)
Отсюда не представляет труда получить оценку B6.19). Оценка
B6.18) получается аналогичным образом. Оценка B6.17) —оче-
—очевидна.
Для доказательства оценки B6.20) достаточно воспользоваться
второй формулой B6.6) и учесть, что для обеих рассматриваемых
задач
0 < 1 - X И < Аг (и) <г2и,	B6.23)
где А2 {и) имеет вид B2.20) и, кроме того,
<26-24)
Наконец, для вывода оценки B6.21) произведем под интегралом
во второй формуле B6.6) замену переменной, положив и =* а%.
Уч&п&вкй. §&т?м, что X (и) —> 0 при и —> 0, и возвращаясь китарой
перемейной и, будем при X —> 0 иметь
~ 4«(- 1)-+" J /2m (uJK)Jin(uJX) J!L; m > 1, п > 1. B6.25)
Вычисляя в B6.25) интегралы [10], придем к B6.21). Лемма
доказана.
Теорема 26.1. Бесконечная система B6.13) квазивполне
регулярна при % > 0. Если существует ее ограниченное решение,
то последовательность xt принадлежит 1Х. При % —> 0 определи-
определитель системы стремится п нулю.


§ 26J	СВЕДЕНИЕ К СИСТЕМАМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ	233
Как известно [11], бесконечная система является квазивполнё
регулярной, если
оо
Л\	\^ I л I ^	¦	А О	\Т
<26.26)
3)
Справедливость B6.26) легко вытекает из оценок B6.17) —
B6.19) при условии X ^> 0. Здесь еще следует учесть, что для
коэффициентов bt вида B6.14) может быть получена при X > 0
оценка
I Ьг I < цр^-i) (С = const > °»* > 2)-	B6.27)
Она выводится таким же приемом, как и оценка B6.18).
Пусть найдено ограниченное решение системы B6.13)i
| xt | < X (X = const > 0),	B6.28)
тогда имеем
1Ч B6-29)
или на основании оценок B6.19), B6.27)
I *i К цё=Т) & = const
Отсюда следует, что {xt} e 1Х.
Из оценок B6.21) легко следует, чот при X -» 0 определитель
системы B6.13) стремится к нулю.
На основании доказанной теоремы можно заключить, что су-
существование и единственность решения бесконечной системы
B6.13) при X, ^> 0 сводится к существованию решения конечной
системы первых N уравнений. При очень малых значениях пара-
параметра X матрица системы B6.13) становится плохо обусловлен-
обусловленной. При условии B6.28) ряд в B6.12) абсолютно сходится.
Теорема 26.2. При Х^> X бесконечная система B6.13)
вполне регулярна (относительно X см. ниже B6.40)).
Для доказательства оценим величины
оо
4=2l«»! (г = 1,2,...)- B6.31)


240	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ [ГЛ. V
' *—К& основании оценки B6.20) для коэффициентов, атп будем
иметь
9.	t ОО
ш Ьг • B6-32)
Можйо доказать методом математической индукции, что
л!
B6.33)
Здесь 2? (#) -г целая часть действительного числа х. С учетом
B6.33) оценка B6.32) примет вид
- -2
«	Di -f- 2?)!! я2г+2	*
j^=o 2 Bi)! A — <72)
Из B6.34) видно, что все Л^^оо, если только $<^1,т. е.
1/4.
f Найдем теперь условие, при котором
А*+1<А*г; i > 1.	B6.35)
На основании B6.34) имеем
:	-^4i (^) == "~7T"IL' 2)г Bi -L lTB1 4- 21~ "^	(^o.oO)
Заметим, что при любых фиксированных д.<1 и /^ 1 числа
Di/ (g) монотонно убывают с ростом г, при / = 0 числа Dto(q) =
= 4 g2 A —92)~2- Таким образом, неравенство B6.36) будет
-выполняться при всех i и /, если
. ^02 (?) = Ю?2 A—9 2)~2 < 1-	B6.37)
Отсюда находим наибольшее ^ и Хх =
"Получим, наконец, условие того, что
На основании. B6.34) имеем
Отсюда находим наибольшее д2 и ^2 — D


§ 2б1	СВЕДЕНИЕ К СИСТЕМАМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ	241
Из всего сказанного вытекает, что система B6.13) вполне ре-
регулярна при
Я > X = sup A/4, А*, ^).	B6.40)
Для рассматриваемых контактных задач вычислениями уста-
установлено
1) X = 1,094 при v = 0,3, 2) 1 = 0,883.	B6741)
Из доказанной теоремы следует, что бесконечная система
B6.13) при Х^>Х имеет единственное ограниченное решение, а
следовательно, решение в llfкоторое может быть получено методом
последовательных приближений.
3. Для нахождения приближенных решений бесконечной сис-
системы B6.13) удобнее воспользоваться методом редукции, о чем и
пойдет дальше речь.
Урежем двойной ряд B6.1) для функции ? (t) следующим об-
образом:
I Многоточием заменены слагаемые, содержащие полиномы'Чебы-
шева с нечетными индексами.
Соответствующая урезанная система B6.13) будет, как легко
проверить, иметь вид
B6.43)
Ь\ = Д.й? + §Ocio5 I = 1, 2, . . . , П.
Соотношение B6.12) также несколько меняет свою форму:
2 Л
§о (In 2K - сОо) = АС + 4- S ***<>*•	B6.44)
Верхний индекс п у величины i?^ означает, что в формулах B6.7)
суммирование по к необходимо производить до и, а не до беско-
бесконечности.
Описанное довольно необычное урезание бесконечной системы
B6.13) приводит к вопросу о сходимости метода редукции. На
этот счет имеет место
Лемма 26.3. Пусть дана последовательность вполне регуляр-
регулярных бесконечных систем
ОО
¦: ач = 2а*х*±ЬЪ 'IЯI<*»<«>.	B6-45>
k=i


242	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. V
а также вполне регулярная бесконечная система
Пусть, далее,
lim <& = aib lim bf = 6*.	B6.47)
n-*oo	n-too
Тогда, если xf есть решение системы B6.45), a xt — системы
B6.46), mo
lim «Г = хх.	B6.48)
П-»ОО
Приведенная! лемма является частным случаем теоремы IIII
(гл. I, § 2, [И]).
Из леммы легко следует, что изложенный выше метод редукции
будет сходиться, т. е. решение а? урезанной системы B6.43) будет
при п -> оо стремиться к решению бесконечной системы B6.13),
если X ^> X. При X ^> X ^> 0 метод редукции, очевидно, будет также
сходиться, если конечная система
N
S	Ь\ (I - 1,2,.,., N)	B6.49)
разрешима (относительно iV см. B6.26)).
4. Практическое решение системы линейных алгебраических
уравнений B6.43) при любом п производится достаточно просто
благодаря тому, что их коэффициенты образуют почти треуголь-
треугольную матрицу. После определения величин xi из системы B6.43)
найдем §0 из B6.44), а затем приближенное решение интеграль-
интегрального уравнения B2.1) или B2.2) по формулам B4.1), B4.3), B3.4),
B3.5), второй формуле B6.2) и первой B6.14). При этом в B6.2)
суммирование по i производится до п, а не до сю.
Необходимые для выполнения конкретных вычислений значе-
значения постоянных стп (X) даны в табл. 6. Подсчет производился лишь
при % = 1 для обеих рассматриваемых контактных задач (для за-
задачи 1 принято v = 0,3) по формуле B6.4). Значительное упроще-
упрощение вычислительного алгоритма было достигнуто за счет исполь-
использования табл. 4 и 5 функции $f (t).
Заметим, что при заданной точности приближенного решения
интегрального уравнения B2.1) или B3.2) и уменьшении парамет-
параметра % количество уравнений в урезанной системе B6.43) необходимо
увеличивать. Действительно, при X —» 0 на основании B6.21), вто-
второй формулы B6.14) и им подобным для dtj (l) не представляет тру-
труда показать, что ряд B6.1) для функции f (t) расходится на линии


ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ V
243
Таблица 6
I
II
I
II
Соо
-0,103
-0,0108
С21
0,0139
0,793-10-2
Сю
0,136
0,120
его
—0,143-10-2
—0,197.10-2
С40
0,440-Ю-6
—0,950.10-5
—0,0113
-0,0776
0,928.10-3
0,496-Ю-3
—0,201. Ю-3
—0,618.10-*
са
—0,395-10-2
—0,170-10-2
g = х. Это и диктует необходимость увеличения п при уменьше-
уменьшении X. Следует отметить, что этот недостаток присущ также и двум
другим методам сведения интегрального уравнения B2.1) к реше-
решению алгебраических систем, упоминавшихся в начале параграфа.
Таким образом, хорошую сходимость методов систем (быструю
практическую сходимость с ростом количества уравнений в систе-
системах при фиксированном X) следует ожидать только при достаточно
больших значениях параметра X. Конкретные числовые примеры
показывают (§§ 36—38), что при Я ^> 1/2 получение практически
точных решений рассматриваемых контактных задач для полосы
обеспечивается уже при решении систем, состоящих из 2 ч- 4 ли-
линейных алгебраических уравнений.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ V
1.	Александров В.М., О приближенном решении одного типа
интегральных уравнений. ПММ, 1962, т. 26, вып. 5.
2.	Александров В. М., Осесимметричная контактная задача для
упругого бесконечного цилиндра. Изв. АН СССР, ОТН, механика и маши-
машиностроение, 1962, № 6.
3.	Александров В.М., О приближенном решении одного класса
интегральных уравнений. Изв. АН Арм. ССР, физ.-матем. науки, 1964,
т. 17, № 2.
4.	Александров В.М., Об одной контактной задаче для упругого
клина. Изв. АН Арм. ССР, механика, 1967, т. 20, № 1.
5.	Александров В.М., О приближенном решении некоторых интег-
интегральных уравнений теории упругости'и математической физики. ПММ,
1967, т. 31, вып. 6.
6.	Александров В. М., Б е л о к о н ь А. В., Асимптотическое реше-
решение одного класса интегральных уравнений, встречающихся при изучении
смешанных задач математической физики для областей с цилиндриче-
цилиндрическими границами. ПММ, 1968, т. 32, вып. 3.
7.	Александров В. М., Кучеров В. А., О методе ортогональных
полиномов в плоских смешанных задачах теории упругости. ПММ, 1970,
т. 34, вып. 4.


244	ИССЛЕДОВАНИЕ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. V
8.	Г а х о в Ф. Д., Краевые задачи, Физматгиз, 1963.
9.	Гохберг И. Ц., К р е й н М. Г., Теория вольтерровых операторов
в гильбертовом пространстве и ее приложения. Физматгиз, 1967.
10.	Г р а д ш т е й н И. С, Рыжик И. М., Таблицы интегралов, сумм,
рядов и произведений. Физматгиз, 1962.
11.	К а н т о р о в и ч Л. В., К р ы л о в В. И., Приближенные методы выс-
высшего анализа. Гостехиздат, 1949.
12.	К а л а н д и я А. И., Об одном прямом методе решения уравнения тео-
теории крыла и его применении в теории упругости. Матем. со. 1967., т. 42
(84), вып. 2.
13.	Каландия А.И., О приближенном решении одного класса сингу-
сингулярных интегральных уравнений. ДАН СССР, 1959, т. 125, № 4.
14.	К л у б и н П. И., Расчет балочных и круглых плит на упругом основа-
основании. Инж. сб., 1952, т. 12.
15.	К р е й н М. Г., Об одном новом методе решения линейных интегральных
уравнений первого и второго рода. ДАН СССР, 1955, т. 100, № 3.
16.	Лаврентьев М. А., Ш а б а т В. В., Методы теории функций ком-
комплексного переменного. Физматгиз. 1958.
17.	Лурье А. И., Пространственные задачи теории упругости. Гостех-
Гостехиздат, 1955.
18.	Л у р ь е А. И., Брачковский Б. 3., Решение плоской задачи
теории упругости для клина. Тр. Ленинградского политехи, ин-та, 1941,
т. 158, № 3.
19.	Л ю с т е р н и к Л. А., Соболев В. И.,Элементы[функционального
анализа. Физматгиз, 1965.
20.	Мусхелишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнения.
Физматгиз, 1962.
21.	Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математи-
математической теории упругости. Физматгиз, 1966.
22.	Натансон И.П., Конструктивная теория функций. Гостехиздат,
1949.
23.	Нобл В., Метод Винера — Хопфа, ИЛ, 1962.
24.	Попов Г. Я., Некоторые свойства классических многочленов и их
применение к контактным задачам. ПММ, 1963, т. 27, вып. 5.
25.	Попов Г. Я., Об одном приближенном способе решения некоторых
плоских контактных задач теории упругости. Изв. АНАрм. ССР, физ.-
матем. науки, 1961, т. 14, № 3.
26.	Ростовцев Н.А., О некоторых случаях контактной задачи. Укр.
матем. журн., 1954, т. 6, № 3.
27.	Т р и к о м и Ф., Интегральные уравпения. ИЛ, 1960.
28.	У ф л я н д Я. С, Интегральные преобразования в задачах теории упру-
упругости. «Наука», 1967.
29.	ФихтенгольцГ. М., Курс дифференциального' и интегрального
исчисления, т. 2, Физматгиз, 1959.
30.	X в й м а н У. К., Мероморфные функции. «Мир». 1966.
31.	Штаерман И. Я., Контактные задачи теории упругости. Гостех-
Гостехиздат, 1949.
32.	Multhopp H., Die Berechnung der Auftriebverteilung von Tragflu-
geln, Luftfahrtforschung, 1938, v. 15, № 4.


Глава VI
РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ДЛЯ ПОЛОСЫ. МЕТОД II
§ 27. Сведение интегральных уравнений
смешанных задач для полосы
к бесконечным системам линейных
алгебраических уравнений
Введем в интегральных уравнениях B2.1), к которым сведены
задачи I, II, следующую замену переменных:
ф = х', l/h = ?', a/h = а' = Ъгг
) = f * (*'),
и в дальнейшем значки «штрих» и «звездочка» опустим. Тогда
уравнение B2.1) примет вид:
B7.2)
Вначале рассмотрим случай, когда
B7.3)
Интегральное уравнение B7.2) с правой частью B7.3) сводится к
бесконечной системе линейных алгебраических уравнений
B7.4)


246	РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОЛОСЫ [ГЛ. VI
в случае задачи I и к системе
B7.5)
в случае задачи П. Здесь #*, z/*, я?1, i/f— подлежащие определе-
определению неизвестные; параметры ?г, zr, лежащие в верхней полу-
полуплоскости,— нули и полюсы функции R (и) соответственно.
Будем искать решение интегрального уравнения B7.2) с правой
частью B7.3) в случае задачи I в форме:
с©
q (х) =* Ао ехр щх + 2 [At ехр %г (а + х) + AT exp *& (а — ж)] B7.6)
и соответственно в случае задачи II в виде:
q (х) = Ао ехр 1Т
ехР %
X
X ехр ^, (а —ж)}. B7.7)
Здесь Л^, J5p — подлежащие определению постоянные; ti —
в общем случае комплексный параметр.
Лемма 27.1. Пусть бесконечные последовательности
{Bi } обладают свойством
тогда ряды B7.6, 26. 7) кал: функции от х принадлежат L«r_aai
A <Р<Я(Я~ I))-


$ 27]	СВЕДЕНИЕ И СИСТЕМАМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ	247
Лемма легко доказывается применением к бесконечным рядам
B7.6), B7.7) неравенства Минковского.
Для получения бесконечной системы внесем ядро в форме
B2.32) в интегральное уравнение B7.2), подставив туда же реше-
решения в форме B7.6) и {21 Л) соответственно для задач I, II, и ре-
результат подстановки проинтегрируем.
Тогда придем соответственно к соотношениям вида:
Г=1
(гТ^ тнгпехр lZr {а -
2i S ( 2 ^Г? ИГ ехр i?, (a + x) + AT exp i^ (a - л)], B7.8)
1=1 4r=i r b''
(
1=1 4r=i
r=l
' 2 ,2 Г Гу.2ч2 f5г+ ехр ^г (а + ^) + 5Г ехр igf (a —
00	00
1=1 r=l zr ~~ Sj
+ ДГ(о —a:)expig,(o —z)]. B7.9)>


248	РЁШЁЙЙЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ У1>АЙЙЁЙИЙ ДЛЯ ПОЛОСЫ №Л. VI
Для упрощения последних соотношений воспользуемся следу-
следующим представлением, полученным в лемме 22.5:
оо
Л(?|)= — 2-^-.	B7.10)
Полагая в последнем соотношении последовательно tj = ?г (I =
1, 2, ...), приходим к равенствам:
оо
2-^ = 0; / = 1,2,...,	B7.11)
которые справедливы как в случае задачи I, так и в случае
задачи П.
Продифференцируем теперь соотношение B7.10) по т); получим:
Полагая в этом соотношении т) = ^ (I = 1, 2, ...) для случая за-
задачи И, получим равенства:
= 1.2,...	<27-12)
r=l
Возвращаясь теперь к соотношениям B7.8), B7.9), потребуем,
чтобы q (x) было бы решением указанных интегральных уравне-
уравнений, но тогда правые части этих соотношений обязаны совпадать с
п exp i т) 5
Ниже используем следующий результат А. Ф. Леонтьева [12].
Пусть yk — нули целой функции Р (z), индикатриса роста
h (ср) которой
1Р(^)| =ajsinq>l.
р-*оо
Тогда, если ряд Дирихле
п
= lim 2
равномерно сходится в области со, полностью содержащей отрезок
мнимой оси | Im z \ <; а, то из условия / (z) == 0 в © следует, что
все aftn, bftn^ 0; к = 1, 2, ...
Учитывая эти результаты, приходим, приравнивая коэффи-
коэффициенты получившихся рядов Дирихле нулю, к следующим беско-


§ 28]
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ВИНЕРА - ХОПФА
249
нечным системам линейных алгебраических уравнений для опре-
определения А?1, В?1.
В случае задачи I:
А\
~,
агца
B7.13)
и в случае задачи II:
i\ exp 2ai?, BJ
ГТЕТ г /-
B7.14)
Если в B7.13), B7.14) ввести новые неизвестные по формуле:
*\~ \+ ll X*J~ 1"^ I'	B7.15)
то.получим бесконечные системы уравнений вида B7.4), B7.5).
Исследование этих систем составит основное содержание следую-
следующих параграфов настоящей главы. Оно будет проведено на основе
некоторых свойств уравнений Винера — Хопфа, которым будете
посвящен § 28.
§ 28. Решение некоторых типов интегральных уравнений
методом Винера — Хопфа
Интегральным уравнением Винера — Хопфа называют урав-
уравнения вид
B8.1)


250	РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОЛОСЫ [ГЛ. VI
Здесь к (t) — ядро уравнения; / (t) — неизвестная функция; ф (t)
— заданная правая часть.
Исследованию уравнения B8.1) посвящены работы [10, 13 15,
19 и др.]. Если е = 0, то получается уравнение Винера — Хопфа
первого рода:
GO
5 *(*-т)/(т)Л = яф(*), 0<*<оо,	B8.2)
о	t
которое исследовано [17, 18] в достаточно общих случаях. Резуль-
Результаты этих авторов будут в дальнейшем использованы. Схема ре-
решений уравнений Винера — Хопфа детально изложена в [13].
Построим предварительно решение уравнения B8.2) для сле-
следующих двух видов ядра к (t):
оо
к (t) = [ ^М. cos ut du.	B8.3)
'	U	pO (м) (M2 + Cf2)	W	K	'
Здесь .Pj, Pi — четные полиномы одинаковых порядков 2п,
не имеющие нулей на вещественной оси, а В и С — вещественные
числа.
2)	^M = i?(w),	B8.5)
R (и) — мероморфная функция, свойства которой описаны в § 22.
1. Решим уравнение B8,2) с ядром B8.4) при правой части
Ф (t) - eM.	B8.6)
Применим для решения схему, изложенную в [13], для чего пред-
предварительно исследуем поведение ядра при t —> сю.
Лемма 28.1. Для R (и), определенного соотношением B8.4),
имеет место асимптотическая оценка:
k (t) = 0 (е~*1), t -» оо, х = const > 0.
Введем в рассмотрение интеграл вида:
Здесь Tr — контур, изображенный на рис. 19.
Подынтегральная функция имеет две точки ветвления г =
;jb iB. Соединим эти две точки разрезом, проходящим вдоль мни-


28J
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ВЙНЁ?А —
мой оси через бесконечно удаленную точку, и выберем ту ветвь
функции (za + В2H*5, которая при z -> оо принимает положитель-
положительное значение. Одновременно выберем ветви функций (В — iz)Q*h
и (В + izH»5 таким образом, что-
чтобы при z -> оо значения этих
функций стремились бы соот-
соответственно к — оо (г — 1) и
+ оо (i + 1).
Будем считать, что полином
ро (z) не имеет кратных нулей.
Возьмем радиус Д, определяю-
определяющий контур Fr, настолько боль-
большим, чтобы область, ограничен-
ограниченная контуром, содержала бы все
нули полинома Р\ (z).
Применяя к интегралу / метод теории вычетов, можем пред-
представить его в форме:
Рис.
ЦВ+z)
4
+)
iR
л,
JJ
= ni S sJ4 • B8.8)
Здесь Crj Ce, C'r — контуры, указанные на рис. 19; ?Л — нули
полинома Р2 (z), такие, что Im ^ft >• 0; ?р+1 = iC,
B8.9)
Устремим в соотношении B8.8) R —> оо и применим к интегра-
интегралам по Св и С*ц лемму Жордана. В пределе получим:
«4-1	*Я *°°
А @ = л( У ske*k	L \4-\ +1 *jZLeiztdz. B8.10)
Г*	2 V^ -4 J/ z
ft=l	too гВ Се
Легко видеть, что интеграл по Се равномерно по ^ ^> а стре-
стремится к нулю при е —> 0.
Преобразуем интегралы по отрезку мнимой оси, для чего в
правой части B8.10) сделаем замену переменного:
В
iz = r-ein, z = i(B + г), dz = i
B8.11)


252	РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОЛОСЫ [ГЛ. VI
В результате получим интеграл:
Таким же образом второй интеграл в правой части B8.10) можно
записать в форме:
_ гВ^?** + **У»*11ПВ+гПе-«4г
J (r* + 2Br + B*-C*)P°2[i(B + r)]
Из B8.10), B8.12), B8.13) вытекает
k(t) = 0 (е-*<); * = inf [В, Im ? J.	B8.14)
Лемма 28.1 доказана.
Следуя [13], доопределим уравнение B8,2) (ф (t) = еш) в об-
области t <^ 0 функцией вида
5
(* -г- т) / (т) dt; * < 0.1	B8.15)
о	I
Тогда уравнение B8.2) принимает форму:
Ht-1Mdx-l1"* {t>0)'	B8.16)
\e(t) (<<0)
Производя преобразование Фурье уравнения B8.16) по коорди-
координате t с параметром а = а + i т, получим:
. B8.17)
Совершим в левой части B8.17) замену переменного t —• т == J/,
dt = dy я введем обозначения:
оо	О
= ^+ (a), -r^- j «@^dt = я^_(о).
B8.18)


§ 28]	РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ВИНЕРА — ХОПФА	253
Тогда соотношение B8.17) можно переписать в форме:
Ji+ri) + E_(a), R(а) -«М. B8.19)
Установим область, в которой справедливо B8.19). Функция
R (а) регулярна в полосе | т | < х. Если допустить, что / (т)
интегрируема на любом конечном интервале и, кроме того,
/ (т) = О (б><*-?>*); х < 8 < оо, т -> оо,	B8.20)
/ (т) = О (т-8); 0 < б < 1, т -> 0,	B8.21)
то относительно функции F+ (а) можно сказать, что она регулярна
При Т ^> X — 8.
Из соотношения B8.6) следует, что первый член в правой части
равенства B8.19) регулярен при т>- 1шт).
Рассмотрим второй член в правой части равенства B8.19).
Соотношения B8.14), B8.15) позволяют дать для функции e(t)
следующую оценку:
е (t) = ce*f \ e-™f (t) d%\ t-> — oo.	B8.22)
о
В силу B8.20), B8.21) несобственный интеграл B8.22) сходится.
Полученная оценка позволяет утверждать, что Е_ (а) регулярна в
области т <^ х. Таким образом, при сделанных предположениях
относительно / (т) соотношение B8.19) выполняется в полосе т2 <
< т < Тх, где
ti = X, Т2 = mf {— 1Ш Г], X — 8, — X}.
Для решения уравнения B8.19) необходимо представить (фак-
торизовать [13]) функцию R (а) в виде
R (а) = R+ (a) R_ (a).	B8.23)
Здесь /?+ (а), R_ (a) — аналитические функции, регулярные
соответственно в областях т ^> т2 и т <' т1? не имеют там нулей и
обладают степенным поведением на бесконечности.
Общие формулы для получения такого представления даны в
[13]. В нашем случае факторизацию можно получать, если взять
i?+ (а) и R__ (а) в форме
+ W i>»+(a)(Cia)	"w l*-(a)(C + ta) V


ibi	кЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ttOJtOCfel trjl. VI
Если нули полинома Рк (а), лежащие в верхней полуплоскос-
полуплоскости, обозначить через zu & (I = 1, 2, ... ,п), то
n
(а) = П(*i - to)f Fj"(а) =
i=i	i=i
n	n
(а) = П (Ь - *а)> #" (а) = П (Ь + to)-
z=i	i=i
Разделим соотношение B8.19)	на Н_ (а):
B8.25)
Теперь, следуя схеме решения этих уравнений, необходимо пред-
представить первый член в правой части B8.19) в виде
S-i W г ё~ (а)>
где g+ (a), g_ (а) — функции регулярные в областях т ^> т2 и
T<CTi соответственно. Воспользуемся для построения g+(cc),
g_(a) методом, изложенном в [13]. В рассматриваемом случае
имеем:
1
- (S) У2я (а
B8.27)
Соответственно /_ (а) определяется по формуле
Перепишем теперь уравнение B8.28) в форме
R+(a)F, (a) - g» = g.(a) + ^.	B8.29)
Левая часть B8.29) представляет функцию, регулярную в области
t > т2, а правая — функцию, регулярную при т <[ тх. В полосе
Т2 <С т <С Ti значения этих функций совпадают. Тогда по извест-
известной теореме об аналитическом продолжении соотношение B8.29)
восстанавливает некоторую функцию Г (а), регулярную во всей
комплексной плоскости.
Оценим порядок этой функции на бесконечности.
Из B8.24) видно, что
R+ (a) = i?_ (a) = О (a»5) (a -> oo).	B8.30)


§ 28]	РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ВИНЕРА - ХОПФА	255
Соотношения B8.27), B8.28) дают:]
g+ (а) = О (a-1), g_ (а) - О (сГ<>>5) (а -* оо). B8.31)
Применяя к фуркции / (t) теоремы абелева типа [16] и оценку
B8.21), получхЬй
F+ (а) = О (а5-1) (а -* ос).	B8.32)
Для функции, Е__ (а) справедлива оценка
Е_ (а) = О (оГ1) (а -> оо),	B8.33)
поскольку Е_ (а) — преобразование Лапласа от ограниченной в
нуле функции.
На основе полученных выше оценок и теоремы Лиувилля за*
ключаем, что Г (а) = 0 во всей комплексной плоскости. Таким
образом,
Л+ (a) F+ (а) - *+ (а) = 0.
Отсюда
F+ (а) = Щ^ = -т=	?		B8.34)
+ * ' Л + (а) у2я л+ (т|) Л+ (а) (а + ч)	V	'
Переходя в B8.34) к преобразованию Лапласа — Карсона,
перепишем эту формулу в следующем виде:
п
П (ч + «,) (С — *ч)
^ (P + zi) (P + #H'5 J
/-1	n
i-",) П с--,) П c.-,)
128.35)


256	РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОЛОСЫ [ГЛ. VI
Воспользовавшись таблицами [7], представим обращение B8.35)
в следующей форме:
= BZ1(i\), B8.36)
/(*)=.#
2. Ниже рассматривается важный частный случай, когда
BE
Отметим, что решение /п (^) уравнения B8.1) для этого частного
случая можно получить из общей формулы B8.37), применяя
очевидную формулу:
/«@ - (- i)n [^rf (*)] при t)> 0.	B8.39)
Однако алгоритм, даваемый этой формулой, не "является удобным,
и поэтому целесообразно привести независимое решение интеграль-
интегрального уравнения B8.2) для этого частного случая. Продолжая ин-
интегральное уравнение в область t <С 0, как это сделано в п. 1, и
применяя преобразование Фурье с комплексном параметром
а = о + i т, придем к функциональному уравнению вида
R (a) Fw (а) = -0^г + Е- (а).	B8.40)
Сохранив все рассуждения п. 1, относящиеся к решению уравне-
уравнения B8.19), в нашем случае получим следующее представление
для функции ?+ (а):
(с-ьне-ьне-ы i(n)i_
ав-«)«-*> Vf=a J J
n+1
(i+o чи_\-л. B841)
причем cn+1>n = n! «^~x, действительно,!


28]
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ВИНЕРА - ХОПФА
257
Теперь решение Fn+ (а) функционального уравнения B8.40) мо-
можем представить по формуле B8.34):
+1
(tt + ?i)(« + C2) XI ( г Yr
Переходя к преобразованию Лапласа и производя обращение,
получим:
/„
причем
ИЛИ
U @ = Л'
Здесь
+ В
- B8-43)
B8-44)
р-вг
-1—
еЫ erf
izx) t
** erf ]/E + iz2) t. B8.45)
(Z2 —
bd
iZ2
B8.46)
В случае, если
as {и) _
то решение имеет вид B8.43), только в B8.44)—B8.47) нужно по-
положить
В результате получаем:
Tit
erf
Если, далее, D = Е, то
SB (и) V
В* ( В
B8.48)
B8.49)
9 И. И. Ворович и др.


258	РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. VI
В этом случае решение имеет тот же вид B8.45), с той лишь разни-
разницей, что
F, (р) = -10= , U @ = Л-Ч> erf УШ + -^-. B8.50)
Определим теперь функцию е (?), введенную соотношением
B8.16), для правой части интегрального уравнения вида B8.16).
Нетрудно видеть, что е (t) будет найдена, если вычислим Е_ (ос) —
преобразование Лапласа функции е (t).
Функция 2?_ (а) легко определяется из уравнения B8.29) и
имеет вид
Е (a)=-g (<х).Д (а)= ~%	\\ R-
Для наших дальнейших целей понадобится значение функции
е (t) при простейшей аппроксимации вида B8.49). Для этого случая
^(а)= c + ia •
На основе этого соотношения получим после обращения преоб-
преобразования Лапласа выражение для е (t) в форме
+ "|/"J5— С ect erf /(С - 5) t} + №\ t < 0.
При к] = 0 e (t) принимает вид
e(t) = -±= {- Y~Berf Y=Bi + /5^Tec;erfY(C—B)t] + 1.
Полагая далее В = С, получим
<? @ = 1 - erf Y^nji.
3. Построим теперь решение уравнения B8.2) с ядром 2), опре-
определенным соотношением B8.5).
Пусть, как и ранее, ф (t) = eii]t (Im т) > 0). Решение уравне-
уравнения производится по Схеме, изложенной в п. 1. После продолже-
продолжения интегрального уравнения в область t <^ 0 и, применяя комп-
комплексное преобразование Фурье с параметром а = a + fa, придем
к функциональному уравнению вида4:
Допуская, что/ (т) обладает свойствами B8.20), B8.21), заключаем,
что это уравнение справедливо в полосе
0 < т < Тх, тх = Im zx.


уравнений Методом вйнера - хоыбА
259
При установлении границ полосы принята во внимание оценка
B2.32), описывающая поведение ядра к (t) при t -> оо.
Для решения уравнения B8.51) необходимо произвести факто-
факторизацию функции R (а), т. е. представить ее в виде
R (а) = R+ (а) Л_ (а).
В нашем случае это представление будет дано ниже формулами
B8.71). Из B8.51) при этом получаем:
Д/ \ 77 /^\ *	I Я— (а)	/OQ С^ОЛ
__ (a) jt , (а) = —т-=.	—75—тт* •	(Zo.oZ)
\ / + \ / у 2я (а + г]) /?__ (а) ¦"- (а)
Представим теперь первый член правой части уравнения B8.52)
в форме
?+ (а) + g- (а),
g+ (а) регулярна в области т > т2, a g_ (ос) в области т <^ tx. В
силу соотношений B8.72), B8.73), дающих оценку роста функции
R_ (а), такое представление можно получить по формуле [13]
B8.27), при этом
-1	LJ.
#- (а) Д+ (T|)J J
B8.53)
Тогда уравнение B8.52) можно представить в форме
где Г (ос) — некоторая целая функция ос.
Учитывая лемму 28.4, а также оценки B8.32), B8.33), заклю-
заключаем, что Г (а) = 0, что дает
F, (а) = 4^г = тт=т	1—	. B8.54)
Применяя обратное преобразование, получим:
/(?) = __?— С	\iatdci ; с\_1тт,, B8.55)
—oo+ic
и, разложив B8.55) по вычетам, найдем в случае задачи I:
1=1
.(-?,) (Ч-Ei)
B8.56)
9*


260	РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. Л>1
Аналогично в случае задачи II имеем:
оо
t W = -rw еШ + .2 f °i (ч)е%ч +iDi (ч) ^ч ь
B8.57)
Построим теперь решение интегрального уравнения B8.2) для
специальной правой части вида
Ф (t) = А'.	B8.58)
На основании формулы B8.57) преобразование Фурье функции
/ (t) представим в виде
F. (а) = -=	-	.	B8.59)
Обращая теперь функцию F+ (а) по формуле B8.55), получим:
оо
/ @ = 2 С г fa) e*t, Сх (ь) =	\	. B8.60)
4. Для исследования бесконечных систем B7.4), B7.5) нам по-
понадобятся некоторые общие результаты, относящиеся к условиям
разрешимости уравнения B8.2), полученные в [10]. Предварительно
докажем одно предложение.
Лемма 28.2. Пусть к (t) e= Li[-<xjOo] П М[_оо,оо], тогда
оо
оператор К/= \ k(t — x)f(t)dt непрерывен в В0[о,оо].
о
Достаточно установить неравенство вида:
Справедлива оценка:
оо
|К/|| х= max К k(x—t)f(t)\dt +
В0 0<Х<оо ' q
оо	оо
+ яиР I х*~ *г 1"Х I \к V ~ хг) f{t)dt-\k {t-xx) f (t) dt | <
oo	oo
^ max \ к (t) f(t -f- x) dt \ -f sup | x2 — #i |~x \ к (t) / (? + ^2) ^^ ""


§ 28]
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ВИНЕРА - ХОПФА
261
«)|$ \k(t)\dt
хь х2
+ sup
k(t)f(t
dt
sup
xi)A
Здесь
= \ \k(t)\dt+ sup|rr2 — ^x|-x [ \k(t)\dt.
Остается установить, что с Ф оо. Последнее следует из двух не-
неравенств:
|ас, —
snp
Лемма доказана.
Лемма 28.3. Если интегральное уравнение
B8.61)
однозначно разрешимо в М @, оо) и если к (t) e L^-o^eo] П
П М[_оо,со], к (— t) = к (t)y то резолъвентау (t) оператора I + К
имеет вид
(I + Г) ф = ф (х) + J г (< - ж) ф (О Л,	B8.62)
причем у (t) e L^.^^j Г)


2б2	РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. VI
Доказательство вытекает из результатов [10], если восполь-
воспользоваться уравнением для резольвенты, которое имеет вид
о
и учесть, что к (t) e М^^] f| LlHx>jOo].
Теперь на основании лемм 28.2 и 28.3 можем сформулировать
следующее предложение.
Теорема 28.1. В условиях леммы 28.3 уравнение B8.61)
однозначно разрешимо в B0>[0>ooj, если только правая часть ф (х) ЕЕ
Последнее следует из непрерывности оператора B8.61) и его
резольвенты B8.62) в В©.
Доказанная теорема будет использована при исследовании
интегрального уравнения первого рода вида B8.2).
Ниже мы сформулируем теорему, следующую из результа-
результатов [17].
Теорема 28.2. Пусть R (z) допускает представление
R (z) = (z2 + l)-°>5 [1 + р* (z)l	B8.63)
Здесь р* (z) ~ преобразование Фурье функций р (t) ?E Llto>00].
Тогда уравнение B8.2) нормально разрешимо вместе с уравнением
а (*) + [ Р (t - т) а (т) dx = p (t); t > 0,	B8.64)
о
для всех правых частей я|) (t) таких, что функция
Z^Lds	B8.65)
абсолютно непрерывна при t > 0 и ее производная принадлежит
Е, причем при f (t) справедливо представление
где ф @ е Е.
Е — одно из пространств [10] Lp, M, С, в котором разре-
разрешимо уравнение B8.64).
В качестве Е на основании теоремы 28.1 можно брать про-
пространство Bq @, оо), если только устан овлены следующие факты


28]	РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ВИНЕРА - ХОПФА	263
1) функция
р* (Z) = R (z) /^jTT_ 1	B8.67)
есть преобразование Фурье функции из L;
2) Р^ек-»,»] П /*[_„,»,, где p(t)=-±r
Очевидно, легко устанавливается соотношение
p*(z) =O(z-*); z->+oo,	B8.68)
которое обеспечивает принадлежность пространству L^-o^oo] П
П Mf-oo.oo] функции
Теорема 28.3. Пусть ф (s) e В?|[0|во]; а > 0,5. Тогда
имеет место представление вида
причем if> (t) e Bo,[o,oo]#
Для доказательства представим h (t) в форме
e~s Ф (s '
во,б
Дифференцируя h (t), получим:
интеграл, очевидно, сходится равномерно по t, откуда следует
абсолютная непрерывность функции h (t). Возьмем в качестве про-
пространства Е пространство функций В?[0|а>], а > 0,5. Тогда
Ы (t) e Во,[о,сх]. Действительно:
v S
о
В силу теоремы B8.3) функция / (t) допускает представление
B8.66) вида
« (f-^


261	РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОЛОСЫ
[ГЛ. VI
Интегрируя последнее соотношение по частям и учитывая, что
if> (т) ЕЕ Bq, получаем представление решения / (t) в форме:
<28'70)
Теорема 28.3 доказана.
5. Рассмотрим поведение при больших значениях а функций
вида
B8-71)
введенных нами в п. 2. В формуле B8.71) ?п и zn — соответственно
нули и полюса функции R (а), лежащие в верхней полуплоскости.
Их асимптотика при больших п дается леммой 22.2, именно
оо)
B8.72)
Лемма 28.4. Справедливы асимптотические оценки:
arg a + -?-
B8.73)
Проведем доказательство для R_ (a), так как для R+ (a) оно
аналогично.
Введем в рассмотрение функцию вида
П
ф (а) = IL±
— \ /	оо
ia
= г..
. B8.74)
Здесь


§ 28j	РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ВИНЕРА - ХОПФА	265
Воспользуемся представлением
R~(a) - П fi ' с'1п2д 1 ПГ1 1 с^к Тгг
B8.75)
Нетрудно видеть, что бесконечные произведения в B8.75) сходятся
равномерно по а и абсолютно [16] в комплексной плоскости
argа	^ > s > 0 и с выброшенными окрестностями полюсов zn
функции R_ (а) и нулей i (fin + Ъ) функции Ф_ (а).
Перейдем в соотношении B8.75) к пределу при | а | —> сх>,
> 8 > 0, получим:
-^ =гоф0.	B8.76)
|а|—оо Ф?.(а)
Отсюда заключаем, что функции i?_ (а) и Ф* (а) на бесконечности
имеют один и тот же порядок.
Воспользовавшись теперь хорошо известной асимптотикой для
Г (а) [6] вида
Г (а) ~ е^а*'1 Bji)V« [1 + 0 (а)], | а | -> оо, | arg а |< я,
получим для функции Ф_ (а) оценку:
ъ-g
Ф_(а) = 0(а Р ).
Сопоставляя последнюю формулу с B8.76), найдем:
R (а) = О (оГ2 "Т").	B8.77)
Внося в B8.77) конкретные значения постоянных &, g и р для
обеих задач I и II, получим:
arga--|-
>8>0. B8.78)
Аналогично проводится доказательство и для R+ (a). Лемма
доказана.
Лемма 28.5. В случае задачи I имеют место асимптотичес-
асимптотические оценки:
Rlttd =0(/'6); Z->oo,	B8.79)
[R-1 (Zl)]' = о (Z°>5); I -> oc.	B8.80)
На основании B8.22) имеем:
R+ (z) = R (z) rz1 (z).	B8.81)


266	РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. VI
Дифференцируя последнее соотношение по z при z = — ?>ь полу-
получим:
Д+ (- СО = R' (- СО R'- (- СО-	B8.82)
Очевидно,
ЛЧ-Ы-	 '"УТЛ .....	Р8-83)
причем t,i удовлетворяет уравнению
xsh2gz- 4?z - 0	B8.84)
и имеет при больших I асимптотику B2.15).
Внося B2.15) в B8.83), получим:
R' (-Ъ) = о (Z-2); I ~> оо.	B2.85)
Применяя теперь для оценки RZ1 (— ?г) лемму 28.4 и внося
B8.85) в B8.82), получим оценку B8.79). Совершенно аналогично
устанавливается оценка B8.80). Лемма доказана.
Введем для случая задачи II обозначения:
<28-86>
B8-87>
Лемма 28.6. В случае задачи II имеют место асимптоти-
асимптотические оценки при I—> со:
Я+ (- СО = О (e-V),	B8.88)
Я; (- СО = О (е-2-5),	B8.89)
[Я;1 (- С01' = О (е°>5),	B8.90)
[HI1 (z{)Y = О (е0'5).	B8.91)
Лемма доказывается совершенно аналогично предыдущей.
Уточним теперь оценки B8.72), B8.73). Покажем, что они име-
имеют место в более широкой области. Для этого обратимся к функ-
функциям вида
Яw = *' + Vg) , RW = ^l±4i!L . B8.92)
0
Здесь Pk (z) — полином порядка &.
Очевидно, что в большей части комплексной плоскости поведе-
поведение функций B8.92) определяется экспоненциальными составля-
составляющими. Они обеспечивают поведение функции при z —> оо, давае-
даваемое оценкой О (яг1).


§ 28]	РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ^ВИНЕРА - ХОПФА	267
Однако, очевидно, вблизи мнимой оси поведение функций опи-
0
сывается полиномами Рк. Установим границу этой области при
больших z.
Пусть X = max (n, к). Тогда, очевидно, область, в которой
решающую роль играют полиномы, определится при | z | —> оо
из неравенства
-|-,	B8.93)
или
g Г COS ср <^" ?j.\
В силу симметрии находим, что таковыми областями являются
следующие:
;^-^, Ф-argz, г-^оо.	B8.94)
Таким образом, вне области B8.94) имеют место оценки B8.93).
Нетрудно заметить, что внутри области B8.94) найдутся кривые
(лежащие между нулями и полюсами функции B8.92)), на кото-
которых имеют место оценки
Cl\z\ *-п-1 < | R (z) |< с2 | z | -1; | z | -> оо.	B8.95)
Принимая во внимание, что если функция R (z) дается форму-
формулой B8.92), то имеем к — п — 1, я = 1, 2 и на основании B8.94),
B8.95), B8.72) и того обстоятельства, что R (z) = R+ (z) R_ (z),
получим следующее предложение.
Лемма 28.7. Существует «правильная» система контуров,
на которых имеют место оценки
R+ (z) = О B'5);
ь этих соотношениях одновременно берется знак «-f» млм «—».
6. Замечание о некоторых свойствах рядов Дирихле.
Рассмотрим интеграл
, х>0. B8.96)
Вычисляя его методом теории вычетов, получим ряд
оо
б (х) = 2 с/**' Ъ1 ж Д+ (— Cj)' (Ci — Л)-	B8.97)
В силу оценки B8.85)
ff{ ^ ео,» (/ ^ ^	B8.98)


268	РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. VT
т. е. B8.97) есть ряд Дирихле с растущими (^-коэффициентами.
Тем не менее а (х) является интегрируемой на [0, ос] функцией.
Из интегрального представления B8.96) легко получить оценку
а (х) ~ яг0»5 (х —> 0), а (х) ~ бГКе^* (х~> оо).
Вполне понятна причина этого явления. Ряд B8.97) равномер-
равномерно сходится при всех х ^> 0. Однако его коэффициенты знакопере-
знакопеременные и потому по их поведению при I —> оо нельзя судить о по-
поведении а (х) из B8.97). Для этого необходимо стремиться полу-
получить представление вида B8.96).
В дальнейшем мы неоднократно встретимся с рядами Дирихле
вида B8.97) и им подобными, коэффициенты которых окажутся
растущими. Заключение об их поведении мы будем делать, лишь
получив интегральное представление вида B8.96).
§ 29. Приложение теории Винера — Хопфа
к некоторым бесконечным системам
алгебраических уравнений частного вида
Настоящий параграф посвящен исследованию систем B7.4),
B7.5). Здесь показано, что бесконечные матрицы систем допуска-
допускают представление в виде суммы двух бесконечных матриц А и В (а).
Первая матрица оказывается обратимой, а элементы второй исче-
исчезают при а —> оо (А, —> 0). На основании результатов § 28 с по-
помощью решения некоторого интегрального уравнения на полуоси
строятся элементы матрицы А, обратной к А.
1. Сведем интегральное уравнение B8.2) с ядром B8.5) к бес-
бесконечной системе линейных алгебраических уравнений, как это
сделано в § 27. Для этого воспользуемся представлением ядра
к (t) интегрального уравнения в форме B2.26), а решение / (t)
уравнения будем искать в виде ряда B8.56), считая, что Ct — пока
неизвестные коэффициенты; правая часть уравнения предполага-
предполагается равной я ехр щх.
Внесем ядро и решение в указанное уравнение и произведем
операцию интегрирования. В результате для задачи I получим
соотношение вида
+ 2i S ci M B /Ч,) ^Р ili* -	B9.1)
11	i z ^i
1=1


§ 29]	ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ ВИНЕРА — ХОПФА	269
Потребуем, чтобы яравая часть B9.1) равнялась neii]x.
Тогда в силу линейной независимости функций exp izrx для опре-
определения коэффициентов С\ (ц) получим бесконечную систему ли-
линейных алгебраических уравнений:
^r-0- Г'1Л- <29-2>
При выводе этой системы были использованы соотноше-
соотношения B7.11).
Таким образом, B8.56) будет решением уравнения B8.2)
с указанной правой частью, если Сг (т]) удовлетворяют системе
уравнений B9.2).
Совершенно аналогично в случае задачи II, беря решение / (t)
в форме ряда B8.57), придем к бесконечной системе вида
B9.3)
Сведем теперь интегральное уравнение к бесконечной системе
для правых частей вида я exp izhx.
В результате для задачи I получим:
у W»> I1' * = '¦• *=1,2,.Л
Если ввести обозначения
А = {ан} - {(zr - ?,Г1}, А = {xlk} = {5fcC, (zk)} =
= (—;	\ , B9.5)
то соотношение B9.2) можно представить в форме
А-А-1 = 1,
I — единичная матрица.
Соответствующая бесконечная система для задачи II имеет вид:


270	РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОЛОСЫ	ГЛ. VI
	,
' \ jj /	г \ \??~*- (% )]' (z 	fl J
B9.7)
¦О,.)]'(«г-С,) я+(-у[л::
l
Вводя далее обозначения:
A = {artl}, A1 = {Тгг},
соотношения B9.6) можно переписать в форме
АА1 = I.
Лемма 29.1. Матрица B9.4) является также и левосторон-
левосторонней обратной для матрицы А,
Для доказательства рассмотрим в случае задачи I интеграл
вида
/	1*
l
Здесь сп — система правильных окружностей, введенных в § 22,
Радиусы этих окружностей Rn связаны лишь соотношением
Тогда в силу лемм 28.4—28.7 к интегралу можно применить из-
известную лемму Жорданй. В результате Jn —> 0 и, вычисляя ин-
интеграл по теории вычетов, получим равенство вида:
у
1	= 1 . R+(-r\)-R+(-z)
Производя в этом соотношении предельный переход при z —>
—> zu г| —> ^(последнее возможно в силу равномерной сходимости
ряда по обоим параметрам), приходим к формуле
А А = I.
Это и означает, что А является левосторонней обратной для
матрицы А. Аналогично доказывается этот же факт для задачи II.
2. Будем считать, что правая часть интегрального уравнения
B8*2) дается соотношением
[	B9.8)


§^29]	ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ ВИНЕРА- ХОПФА	271
где Г — некоторый простой контур, лежащий в области Im r\ ;> 0.
Тогда в силу теоремы B8.3), если <р (t) e Bi>[0>cxj, уравнение B8.2)
имеет единственное в LP[0fOO]; p ^> 1 решение, которое на осно-
основании формулы B8.56) представимо в виде
Сг = \ Ф (л) Сг (Л) Л|, Рг = V Ф (Л) Dt {ц) <1ц,
г	г
B9.9)
а = 0 для задачи I и а = i для задачи П.
Бесконечная система для определения коэффициентов Сг на
основании B9.2), B9.3) соответственно для задачи I и II прини-
принимает вид:
оо
s-^-*. *-J*??V <2910)
|(	V)*-	BW1)
Будем говорить, что бесконечная последовательность D =
= {dr} е Е, если dr определяются соотношением B9.10), где Ф (rj)
такова, что <р (t) e Bi,[0,oo].
Положим, что С = {Сг} ^ Н, если Сг определены из беско-
бесконечной системы B9.2) для DgE,
Таким образом, если имеется система вида B9.10), B9.11), где
D Е Е, то значения {Cj}, {Di} можно найти, решив соответствую-
соответствующее уравнение Винера — Хопфа вида B8.2) с правой частью
B9.8) и взяв коэффициенты Сг в разложении B9.9). Они и будут
единственным в Н решением системы.
Ввиду эквивалентности системы B9.10), B9.11) интегральному
уравнению, очевидно и обратное, т. е. найдя решение системы
B9.10) для DeE, получим решение С е= {Ct} e H. Построив по
найденной бесконечной системе функцию / (t) вида B9.9), можно
утверждать, что она удовлетворяет уравнению B8.2), обладая
свойством B8.69). Таким образом, установлена
Лемма 29.2. Если правая часть уравнения B8.2) ф (t) ЕЕ
ЕЕ в?[0>оо], то • всякому решению f (t) из Lp[0jOo]; p > 1, урав-
уравнения отвечает решение системы {Ct} ее Н. И обратно, всякому
решению {Ct} 6E Н системы B9.10)—B9.11) отвечает решение
интегрального уравнения f (t) ЕЕ Lp вида B9.9).
Сформулируем некоторые достаточные условия однозначной
разрешимости системы B9.10), B9.11) вида
АХ = Y, Y = {уА, X - {*,},


272 РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. VI
где А дается соотношениями B9.5), B9.9). Очевидно,	для этого
достаточно, чтобы YgE, где
f Ф (Л) dr\	/29 Ш
Теорема 29.1. В указанных ниже случаях Y = {yr} ЕЕ Е.
1)	\ | г]2 Ф (т|) [ d\\<^ оо, Г — вещественная ось (— оо, оо);
г
2)	Ф (ц) = б (rj — s), Г — вещественная ось (— оо, ос);
3) Ot^^^Sl^rrr ,Sl^l<°°. Г-ось (-
1	V
оо
с
4) Ф (т,) = R (г,) 2 ! , , , Ск = О (Г) (Л-> оо) Г -
состоящий из прямых 6 + ^ = 0; б^>0, т^>0 w б — т = 0;
т>0.
Для доказательства необходимо по функции Ф (г)) с помощью
соотношения B9.8) восстановить функцию q> (t) и убедиться, что в
каждом из указанных выше случаев ф (t) e Bi (Я ^> 0,5). По-
Последнее проверяется просто. Теорема доказана.
Дадим значения элементов последовательности Y = {уг},
отвечающие приведенным выше выборам функции Ф (г)). Для слу-
случаев 1) — 4) по формуле B9.12) соответственно находим:
S imwkf- ^=0(O(-~), B9.13)
—оо
' - /к.»!-,) •	B9-14>
»г = 2 -ТТ1- •	B9-16)
Обозначим через С (е) множество бесконечных последователь-
последовательностей, элементы которых определяются условием Y = {yr} e
е С (е), если уг - д;г • г-? (г > 0), где X = {хг} е Со, т. е.
sup | хг | <^ оо, lim | хг | = ах = 0.
Г	Г->оо
В следующей лемме приводится достаточное условие при-
принадлежности правых частей системы B9.10)—B9.11) классу С (г).


29]	ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ ВИНЕРА - XQIKDA	273
Лемма 29.3. Пусть ср (t) e В^-оо.ос] П Li [-«,«],
соответствующее Y = {уг} Ez С (г); е <[ 1, дается соотношением
B9.12).
Для доказательства представим / (г) интегралом Фурье:
ф(')=
причем [9]
Ф (ri) = О (г,-*), | т] | -> оо.	B9.17)
Выразим теперь элементы бесконечной последовательности,
отвечающие функции / (t), по формуле B9.12). Получим
оо
Убедимся теперь, что {yr} G Сх (е). Для этого достаточно пока-
показать, что
lim \ z III/ I <"^ oo ct = lim м7 \
—oo
В силу оценки B2.14) и B9.17) имеем:
В результате находим:
Ф(Л)
\
V
= 0; е<1. B9.19)
i /Til /TI ^— Т 1А
Лемма 29.3 доказана.
3. О некоторых преобразованиях бес-
бесконечных систем.
В настоящем и последующих параграфах нам придется иметь
дело с бесконечными системами вида
оо
xi = 2 *,А + dt,	B9.20)
относительно которых нам, как правило, будет известен факт одно-
однозначной разрешимости в пространствах последовательностей


274	РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. VI
С (а) (а —вещественное число), таких, что если X =
е С (а), то
sup|Z°sz|<oo и limZa^ = 0.	B9.21)
l-*oo
Если в С (а) ввести норму соотношением
z|,	B9.22)
то С (а) превращается в банахово пространство и притом с бази-
базисом. Базис этого пространства, очевидно, составляют элементы
Х\ = {8ki l~°}, где бы —символ Кронекера.
Если X ЕЕ С (б), то его элементы хг по модулю будут в зависи-
зависимости от знака а расти или убывать при I ->¦ оо. Так, если а^> О,
то все элементы X убывают. Если же a < 0, то найдутся в С (а)
векторы, элементы которых растут.
Совершенно ясно, что если Л = {йг} ЕЕ С (а), то чтобы уравне-
уравнение B9.20) было определено в С (а), необходмо, чтобы коэффи-
коэффициенты tuh удовлетворяли определенным условиям.
Установим некоторые достаточные условия определенности
системы B9.20) в С {о).
Отметим, прежде всего, что матрица tik порождает в простран-
пространстве бесконечных векторов X некоторый оператор Т.
Оператор будет определен, если корректно задать область его
определения.
Лемма 29.4. Пусть имеет место свойство
|оо	11
Sl^-Xl <°°, К<Ь<°	B9.23)
*=!	|1С(О)
Тогда Т действует в С (а) непрерывно.
Лемма очевидна.
Замечание 29.1. Отметим, что использовать пространст-
пространства растущих последовательностей (а <С 0) технически сложно.
В условиях леммы B9.4) всегда можно путем введения нового
неизвестного преобразовать систему B9.20) так, что оператор
будет действовать в пространстве убывающих последовательно-
последовательностей. Действительно, если а <С 0, введем новое неизвестное соот-
соотношением
хх = 141	B9.24)
Тогда, очевидно, {х\} = X' ЕЕ С (X —а).
Система B9.20) примет вид
оо
xi - 2 t'lkx'k + d'u 4 = Ы1к.к\ d\ = l-4v B9.25)


§ 30]	НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ	275
Очевидно, указанное преобразование устанавливает изомор-
изоморфизм С (а) на С (к).
В дальнейшем мы неоднократно будем использовать преобра-
преобразование B9.24).
4. Отметим некоторые свойства пространства С (а).
1)	С (ах) d С (а2), если ог > а2.
2)	Оператор вложения С (at) ->- С (а2) вполне непрерывен.
3)	С (а) е 1Р; - < р < оо при 0<а<1и1</?<оо при
4)	Оператор вложения С (а) -> 1Р (см. свойство 3)) вполне
непрерывен.
На доказательстве этих свойств ввиду их простоты останавли-
останавливаться не будем.
§ 30. Некоторые свойства бесконечных систем,
порожденных интегральным уравнением B2.1)
В этом параграфе бесконечные системы B7.4), B7.15) рас-
рассматриваются как операторные уравнения в некоторых пространст-
пространствах последовательностей. Изучаются свойства некоторых опера-
операторов, порожденных бесконечными матрицами А, А, В (а).
Операторное уравнение сведено к уравнению второго рода с впол-
вполне непрерывным оператором в некотором пространстве последо-
последовательностей и, таким образом, получено представление решений.
На основании этого представления оказывается возможным изу-
изучить свойства решений уравнений B2.1), в частности, выделить
особенность решений в углах штампов. Характер особенностей
установлен в §§ 10, 12.
1. Целью настоящего параграфа является исследование беско-
бесконечных систем линейных уравнений, полученных в § 27. Это ис-
исследование будет существенно опираться на результаты §§ 28, 29.
Представим бесконечные системы B7.4) — B7.5) в матричной
форме:
[А + В {а)] X = П.	C0.1)
Введем обозначения:
А = {ан}, где art = (zr — 1г)~г	в случае задачи I;
«г,21-1 = (*г — W! аг,2г = fa — 2r) B случае задачи II;
В =а {Ьг г}, где Ъг % =з -4- ——s-ь в случае эадачи I;	/ОЛ оч
*т—ч	(зо.з)
k.ii-i - ±fa + 5i)>xp2a<8,	я случае задачи II; ,


276
РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОЛОСЫ
[ГЛ. VI
exp
X = {xt} хг = At + AJ	в случае задачи I;
x2i_1 = At + AT, x2i = (Bt +BJ) в случае задачи
C0.4)
I; 1
I C0.5)
II. J
Приведем здесь же необходимую для целей настоящего пара-
параграфа асимптотику элементов обратной матрицы А, которые
даются формулами B9.5), B9.7).
В силу B8.75) — B8.81) имеем соответственно
для задачи I
для задачи II
(Z
-г) г0'5
mi/0'5
C0.6)
г0,5
(г-
Приступим к исследованию системы C0.1).
Лемма 30.1. Оператор В (а) действует из С (К) (|
С (а) (а < 1) непрерывно.
Действительно, в случае обеих задач имеем
| < сю)
2-
C0.8)
Лемма доказана.
Лемма 30.2. Оператор А'1 действует из С (А,), %^> 0 в
С (а) а < — A —к) (к = Я, тг/ш 0 < X < 0,5; и — 0,5 при
X !> 0,5) непрерывно.
Действительно, в случае задачи I имеем
sup Z«
z
r=1
г=1
Ho
C0.9)
f ^,0
- m sap l»+i-« (In ZJ, где к = | q^^
,5,
C0.10)


§ 30]	НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ	277
Из последней оценки видно, что при а < — A — X) первая
часть леммы выполняется.
Установим справедливость второй части леммы.
В случае задачи II справедливы оценки
Принимая теперь во внимание предыдущую оценку, а также
оценку
( X, Ь<1,
1,2,...; T = {l^l C0.11)
получим полное доказательство леммы 30.1.
2. Подействуем на систему C0.1) слева матрицей А, считая,
что DeC(^), X > 0,5. В результате придем к эквивалентной
ей системе второго рода вида B9.20):
X = - AfclBX + А!).	C0.12)
О свойствах оператора А-1В можно судить, объединив утверж-
утверждение лемм 30.1, 30.2. Именно, справедлива
Теорема 30.1. Оператор А^ЧВ действует из С (X) (| % | <
< оо) в С (а) (а < — 0,5) непрерывно.
Очевидно, для оператора A~XB справедливы условия леммы
29.4. Принимая во внимание замечание 29.1, произведем в урав-
уравнении C0.12) замену переменного типа B9.24) при X = 1. Именно,
положим
xl = llx\.	C0.13)
Это приведет и к изменению элементов матрицы и свободного
члена по формулам B9.25).
Опуская штрихи, систему C0.12) можно представить в форме
X = — А^ВХ + A1», I
[	C0.14)
Ar^B {^}	I
причем в случае задачи I
. е;	±Я^тПт^Щта
?*(?)(; +С)


278	РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[Г Л .VI
и в случае задачи II, соответственно,
C0.16)
Принимая теперь во внимание отмеченные в конце § 29 свойст-
свойства 1) —4), получаем следующие утверждения относительно урав-
уравнения C0.14).
Теорема 30.2. Оператор АггВ вполне непрерывен
1)	из С (к); | X | < оо в С (а); а < 0,5,
2)	из lv; р> 1 в lq; 2 < q < оо.
Таким образом, уравнение C0.14) можно рассматривать в про-
пространстве С (а); 0 <; а <^ 0,5, убывающих последовательностей.
Убедимся теперь, что решение q (х) интегрального уравнения
B7.2), построенное по формулам B7.6),B7.7), где X, Y есть реше-
решение бесконечной системы C0.14) принадлежит классу единствен-
единственности.
Если / (t) ^ Bi?_a>a], то по теореме 28.3 вектор А!) достав-
доставляет составляющую решения из класса единственности.
Рассмотрим вначале составляющие Аг^Х.
Ограничимся рассмотрением случая задачи I, так как в слу-
случае задачи II эта часть выполняется аналогично. Очевидно, при
любом IgC (К); | К | < оо,
оо оо
У У о Г
1=1 m=i
Контур Г (рис. 20) лежит в нижней полуплоскости и направлен
по сторонам угла, раствор которого содержит внутри себя отри-
отрицательную часть мнимой полуоси вместе с нулями и полюсами
функции Л+ [г),


30]
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ
279
Интеграл и ряд сходятся абсолютно и равномерно при любом
х > 0. Поэтому доставляемая интегралом особенность определяет-
определяется функцией
Qm (x) ~
e'izxdz
C0.18)
Делая в интеграле замену переменного xz = t и принимая
во внимание B8.96), получим
C0.19)
Ряд C0.17) представляет собой абсолютно сходящуюся супер-
суперпозицию функцией C0.18).
¦tf
Рис. 20.
Убедимся теперь, что если De С (Л,), X > 0,5, то вектор А1!)
доставляет интегральному уравнению B7.2) составляющую реше-
решения из класса единственности.
Сумма легко представляется интегралом
91 (х) = S 2


280	РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. VI
Очевидно,
оо
Внося последнюю оценку в C0.20), приходим после замены
переменных вновь к C0.19), т. е.
Таким образом, установлена
Теорема 30.3. Если для D ?Е С (X); Х^> 0,5, существует
решение системы C0.12) в С (а); | а | < оо, то существует -реше-
-решение q (x) интегрального уравнения B7.2), обладающее свойством
q(x)(a* -^5GB0°Ka].
§ 31. Асимптотическое поведение бесконечных систем,
порожденных интегральным уравнением
смешанной задачи для слоя
Настоящий параграф посвящен установлению разрешимости
бесконечных систем B7.4), B7.5). Доказательство разрешимо-
разрешимости существенно опирается на установленные в § 19 теоремы об
однозначной разрешимости интегральных уравнений 22.1.
В этом же параграфе изложены некоторые методы приближен-
приближенного и асимптотического решений бесконечных систем линейных
алгебраических уравнений.
1. При доказательстве разрешимости системы будем исполь-
использовать установленный в § 19 результат об однозначной резреши-
мости интегрального уравнения B7.2) при любой правой части
/ (х) такой, что
/(*)eB,Va;a].	C1.1)
Возьмем функцию / (х) в виде
f(x) = e^x, Imri = 0.	C1.2)
Решение интегрального уравнения B7.2) с выбранной правой
частью, очевидно, удовлетворяющей C1.1), единственно в классе
функций, обладающих свойством
q(x) (a2 -zV'^BJU,*].	C1.3)


§ 31]	АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ	231
Отыскивая теперь решение уравнения B7.2) в виде ряда Ди-
Дирихле (задача 1)
оо
q (х) = Ао ехр щх +2 [At exp i?z (а + х) + AJ exp i?z (a — ж)],
i=i
C1.4)
приходим к бесконечной системе B7.4).
В § 30 указанная бесконечная система приведена к оператор-
операторному уравнению второго рода C0.14) с вполне непрерывным опе-
оператором в банаховом пространстве.
Относительно уравнений такого рода известно [9], что соот-
соответствующее им однородное уравнение может иметь лишь конеч-
конечное число нетривиальных решений.
Покажем, что в нашем случае это число есть нуль.
Допустим, что однородная система разрешима. Тогда найдутся
такие числа At1, AJ1, Ао что
А?фА1, А? ФАТ, А'офАо,	C1.5)
и такие, что фукнция
q' (х) = Ао exp ъх\х +
f & (а+х) + AJ1 ехр %г (а - х)]	C1.6)
также будет решением уравнения B7.2) для той же правой части
C1.2).
Кроме того, в силу теоремы 30.3 оба решения q (x) и q' (x)
обладают свойством C1.3), т. е. оба принадлежат классу единст-
единственности. Но тогда в силу теоремы единственности для интеграль-
интегрального уравнения B7.2) имеем
q (x) = qr (x), xel — а, а].	C1.7)
Отсюда следует, что разность рядов C1.4) и C1.6) обязана
равняться тождественному нулю на [ — а, а], т.е.
оо
(Ао — Ао) ехр щх + 2 [{At — At1) exp i%x (a + х) +
i=i
+ (AT - А?) ехр itt {a-x)] = Q. C1.8)
Совершенно очевидно, что ряд C1.8) аналитически продол-
продолжим в прямоугольник
z = х + iy, |y|<M, |^|<а—е	C1.9)


282	РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. VI
и сходится в нем равномерно при любых векторах
{Ath {AT} из С (а) |а|<оо.
Коль скоро это так, что в силу изложенного в § 27 результата
А.Ф.Леонтьева о линейной независимости функций exp?zz,
получим
At = А+], А~г = AT1 / = 1, 2, . . .	C1.10)
Последнее означает, что однородная система C0.14) имеет лишь
тривиальное решение в пространствах С (а), 0 < а <С 0,5, и lg,
2 < q < оо, вытекающих из теоремы 30.2.
Неоднородная же система будет разрешима, если ее свободные
члены обеспечивают решению интегрального уравнения B7.2)
принадлежность классу единственности; достаточное для этого
условие дается теоремой 30.3.
Таким образом, имеют место следующие теоремы:
Теорема 31.1. Однородная система, получающаяся из C0.14),
в случае задач I, II имеет в С (а); 0 < а < 0,5, u\q\ 2 < q < оо,
лишь тривиальное решение.
Теорема 31.2. Неоднородная система C0.14) для задач
I, II, однозначно разрешима в пространствах теоремы 30.2 при
любом DEC (Jl); % > 0,5.	.	C1.11)
Возвращаясь теперь к системе C0.1), получаем следующие
теоремы:
Теорема 31.3. Неоднородная система C0.1) однозначно
разрешима при любом DeC^); X^> 0,5, в классе последователь-
последовательностей, обеспечивающих функции q (x), даваемой рядом C1.6),
свойство
q(z)(a* -^EEB^-,.	C1.12)
Теорема 31.4. В условиях теоремы 31.3 однородная систе-
система C0.1) имеет лишь тривиальное решение в классе последователь-
последовательностей, указанных в теореме 31.3.
2. Этот пункт будет посвящен решению бесконечных систем,
элементы которых специальным образом зависят от комплексного
параметра z при Re z > б ^> 0.
Простоты ради будем рассматривать бесконечную систему
вида
[А + В (z)\ X = D,	C1.13)
относительно которой известно, что оператор А В (z) вполне
непрерывен в пространстве С:
С@)=зС	C1.14)
и, кроме того,
A DeC.	C1.15)


§ 3ll АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ЁЕСКОНЁЧЙЫХ СИСТЕМ
283
Будем к тому же считать, что
1)	элементы матрицы В (z) — регулярные при
Rez>6>0	C1.16)
функции и все стремятся к нулю при Re z -> оо,
2)	|| А"ХВ (z) Jc-> 0	при Rez->oo,	C1.17)
3)	||А'1 [В(z) — В^(z)]||с-^0 при п-*оо	C1.18)
для всех Re z > б > 0.
Участвующая в представлении C1.18) матрица Bn (z) строится
следующим образом:
если В (z) имеет вид
B(z) = {ЬГ||(*)>,	C1.19)
т. е.
B(z) =
hi(z)...bsk{z)...
C1.20)
то матрица Вп (г) имеет вид:
B(z)-Bn(z) =
O...Obs,n+1(z)...bs,k(z)...
Или иначе:
Bn(z) = {6r»},
C1.21)
C1.22)
причем
и
&г,г (г) = 0, если п < Z; г = 1, 2, . . .	C1.23)
#fI(z) = brl (z), если л > Z; г = 1, 2, . . . C1.24)
Отсюда следует, что система В (z) —Вп (z) = {nbr>i(z)} имеет
элементы вида
X j (z) = 0; гг > Z; n6r/ (z) = 6ri (z); гг < Z. C1.25)
Нетрудно видеть (на этом мы не останавливаемся), что систе-
система C0.1) удовлетворяет требованиям C1.16) —C1.18), если пара-
параметр а заменить на комплексное число z из области Re z > б ^> 0.
Для системы C1.13) справедлива


284	РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОЛОСЫ LM.
Теорема 31.5. Существует такое zQ, что при Rez^> Re z0
система C1.13) однозначно разрешима и ее решение представимо
в форме
оо
+ 2 (- l)fc [A-XB (z)]4 A!),	C1.26)
ft=i	J
z0 — корень уравнения
(|A-1B(z)||= 1	C1.27)
с наибольшей вещественной частью. Кроме того, X есть регуляр-
регулярная вектор-функция параметра z в области Re z0 + е <^ Re z <
< оо, 8 > 0 и фиксировано.
Действительно, в силу C1.17) по О <С 6 < 1 найдется такое
z0, что при Re z ^> Re z0 будет иметь место неравенство
Тогда к уравнению C0.14) применим метод последовательных при-
приближений, который приведет к соотношению C1.26). Одновре-
Одновременно в соотношении C1.26) функциональный ряд при всех
Rez > Re z0 + 8, 8 > 0, мажорируется сходящимся рядом, со-
состоящим из степеней норм. Таким образом, в указанной области
ряд сходится равномерно по z. Но поскольку каждый член этого
ряда, как видно из C0.3), есть регулярная по z функция, то на
основании известной теоремы [111 заключаем, что X, даваемое
соотношением C1.26), есть регулярная функция параметра z при
Rez0 -f-e<^Rez<Coo. Теорема 31.5 доказана.
Теорема 31.6. Резольвента уравнения C1.13) есть меро-
морфная по z функция, полюса которой сосредоточены в области
Re z <; Re z0 и определяются из уравнения
Д (z) = 0,	C1.28)
где A (z) — некоторая целая функция.
Решение C1.13) допускает представление:
*> = 2тйг*!.	C1-29)
r=i к '
где Ar {z) — некоторые целые функции параметра z.
Ряд C1.29) сходится, если z не совпадает ни с одним корнем
уравнения C1.28).
Для доказательства представим C1.13) в форме
X = - А1 [В (*) - Вп (*)] X + XI	C1.30)
где
1	J	C1.31)


§ 31] АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ	285
В силу C1.18) по 0 < Э < 1 можно выбрать такое тг0, что для
п ^> п0 и для всех z, 0 < б <^ Re z < 00 (б — сколь угодно близ-
близкое к 0 фиксированное число) будет иметь место неравенство
||A-4B(z)-Bn(*)]||<e<l.	C1.32)
Предполагая, что в C1.30) п подобрано указанным выше способом,
расщепим эту бесконечную систему на две, отделив от нее часть,
состоящую из п первых строк. Именно, представим вектор X
в форме
X = Xn + Yn, .	C1.33)
где Хп —вектор, все координаты которого —нули, за исключе-
исключением первых п, совпадающих с координатами вектора X, т. е.
Хп = {хи х2, . . ., хп, 0, 0, . . .},
Гп= {0, 0, . . ., 0, хп+1, хп+1, . . .}.	C1.34)
Далее представим расщепленную систему в виде
Хп = - А [В (z) - Bn (z)] Тп - А^В, (z) Хп + Хоп, C1.35)
Гп = - Л;1 [В (z) - Bn (z)] Yn + Yl	C1.36)
Xl = Гоп - A;xBn B) X*.	C1.37)
Здесь введено обозначение
А = Ап -\- Л П)
где А^1 —матрица, все элементы которой равны нулю, за исклю-
исключением элементов первых п строк, совпадающих с элементами
матрицы А.
Считая теперь, что Го ?= С, разрешим уравнение C1.36) отно-
относительно Гп, предполагая Го известным. Применяя к C1.36)
метод последовательных приближений, который возможен в силу
C1.32), представим Yn в форме:
\l.	C1.38)
Отметим, что при фиксированном Хо соотношение C1.38),
как следует из теоремы 31.5, определяет регулярную функцию
параметра z в области, где имеет место неравенство C1.32), т. е.
при б ^ Re z ^ оо.
Внося теперь C1.38) в соотношение C1.35) и учитывая C1.31),
получим систему из п уравнений с п неизвестными вида
Хп = Un (z) Xn + Хп,	C1.39)


286 РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОЛОСЫ	ГГЛ. VI
где
оо
Un (z) = <А? [В (z) - В„ («)] {I + 2 (- l)ft I A;1 (В (*) -
« = <I _ A;i [B (z) _ Bn (z)] {I + 2 (_ l)fc [Л;1 (В (г) -
C1.40)
В C1.39) все коэффициенты, как отмечено выше, являются
регулярными в области б <^ Re z < оо функциями. Очевидно,
что система C1.39) через посредство C1.35) —C1.38) эквивалент-
эквивалентна системе C1.13). Тогда на основании теоремы 31.4 заключаем,
что система C1.39) однозначно разрешима при Re z ^> Re z0,
т. е. в указанной области ее определитель Д (z) отличен от 0,
другими словами,
A {z) ^ 0; Re z > Re z0.	C1.41)
Решив C1.39) в указанной области по методу Крамера, можем
представить это решение в форме
^=S4f!L^ ' = 1.2,...,».	C1.42)
Здесь Дк (z) — определители соответствующих алгебраических
дополнений. Из регулярности коэффициентов системы C1.39)
следует, что A (z), A^ (z) —целые функции и, как отмечено выше,
A {z) ф 0.
Обозначая через vk последовательность нулей функции A (z),
перенумерованную в порядке возрастания модуля, и учитывая
C1.41), получим
Re vk <Rez0.	C1.43)
Если теперь считать, что Re z < Re z0 и z Ф vfe, то соотношение
C1.42) дает решение системы C1.39) при всех z^vh. Внося
C1.42) в C1.35) —C1.38) и перегруппировав члены ряда, что
возможно в силу абсолютной сходимости всех рядов, получим
X в форме C1.29). Вводя обозначение для матрицы-резольвенты


§ 31]	АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ] 287
окончательно получим
X = R (Z) Хо.	C1.44)
Очевидно, элементы матрицы R — мероморфные в комплексной
области функции. Теорема доказана.
Ниже будет дан один алгоритм, удобный для построения асимп-
асимптотического разложения решения при Re z ->- оо.
Лемма 31.1. Если известна матрица А, а система АХ =
= D однозначно разрешима, то решение системы
[A + Bn(z)]Xn = B	C1.45)
при всех z, не совпадающих с нулями функции 1 + гпп (п —1)»
определяется рекуррентной формулой
Хп = {xt (л))= {*, (п - 1) - хп (п - 1) Г+^(""^ —
[А + В, (z)r1 [Bn(z) - В,,.! (z)] = {ег,я (А)},
[А + В, (г)Г1 = {% т (к - 1) - rfc> т {к - 1) 1^
Рассмотрим случай /г = 1. Применим к C1.45) слева матрицу
А и перепишем полученное соотношение в форме
Хг = Хо — A'1B1(z)X1:	C1.47)
В силу C1.17) можно найти такое большое | zQ |, что выполняется
неравенство
II А Вх (z) ||< 6 < 1; Re z > Re z0.	C1.48)
Тогда к уравнению C1.47) можно применить метод последователь-
последовательных приближений и записать его решение в форме
^(А-ЧЗДУЧХо.	C1.49)
Введем в формуле C1.49) следующее обозначение:
оо
(z) = {ft, х @)}, eIf i @) = S TjAi-	C1.50)
Тогда соотношение C1.49), представленное в координатной форме,
примет вид
оо
= *i @) - 8ц @) ^ @) 2 (- 1)* «4 @). C1.51)


288	РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. VI
Из C1.48) следует, что для Re z ^> Re z0 выполняется нера-
неравенство
|8ц@)|<б<1.	C1.52)
Тогда C1.51) можно переписать в форме
Поскольку элементы матрицы В (z) предполагаются регулярными
в области Re z > |3, а ряды C1.50) —равномерно сходящимися, то
функции вы @) как функции z регулярны [11] в области Re z ^> p.
В силу равномерной сходимости ряда C1.49) можно показать,
что C1.51) является решением системы C1.47) для всех Rez^>
^> Re z'o > Re zOi для которых
I вхх @) | < 1.	C1.54)
Для этого достаточно подставить C1.51) в C1.47) и в силу абсо-
абсолютной сходимости ряда произвести необходимые приведения.
Действительно,
с»
Щ @) - 8Д @) хг @) 2 (~ l)fe *ii @) =
оо
= *i @) - % @) [Xl @) - &11@)Xl @) 2 (- 1)* «4 @)]. C1.55)
fe=o
Если ряды сходятся, то C1.55) есть тождество.
Таким образом, формулы C1.51) и C1.53) представляют реше-
решение уравнения C1.47) для всех z, для которых выполняется усло-
условие C1.54). Установим, что C1.53) представляет решение урав-
уравнения C1.47) и для тех z, для которых
I ец @) | > 1.	C1.56)
Формулу C1.53) можно рассматривать как аналитическое про-
продолжение ряда C1.51) в область значений z, для которых выпол-
выполняется условие C1.56). При этом особыми точками являются ле-
лежащие в области Re z > В нули аналитической функции
/ (z) = 1 + Ягг @).	C1.57)
Пусть z] — нуль функции / (z) с наибольшей вещественной
частью, так что в области Re z ^> Re z0 нулей у функции / (z)
нет. Введем плоскость комплекного переменного ги @) и построим
КРУГ | 8ц @) | ^ 1. Когда z изменяется в область Re z ^> Re z'o, то
очевидно, что 8П @) не покидает круга единичного радиуса.


§ 31]	АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ	289
Пусть z покинуло указанную выше область и приняло значе-
значение z°, для которого | 8?! @) | > 1 (рис. 21).
Допустим, внутри круга | е^ @) | < 1 существует 8п @)
(отвечающее z = z*), такое, что выполняется неравенство
C1.58)
Необходимо доказать, что xt A) C1.53) при еи @) = 8ц @) удов-
удовлетворяет уравнению C1.45) при п = 1.
Так как | 8ц @) | < 1, то для этого случая решение системы
C1.47) можно представить в форме C1.53), т. е.
хх A) = хг @) - Х1 @) у}°\ .	C1.59)
1 + 8ц @)
Совершенно аналогичным путем можно найти решение бесконеч-
бесконечной системы
A*Y =1, А* = А + Вь В[ = Вг (z*),	C1.60)
которое также можно представить по формуле C1.53), и оно при-
примет вид
Перепишем теперь систему C1.47) при z = z0 в форме
XJ = Хо - А-1 [В? - В[] XJ.	C1.62)
Процесс последовательных приближений для этой системы будет
сходиться, если только соответствующее этой системе | eu | < 1
(аналог условия C1.54)). Вычислим его. Очевидно, это есть пер-
первая компонента вектора
A-i[B?-B;].	C1.63)
Воспользовавшись выражениями C1.50), C1.61), получим:
оо
6ц = 2 (*Х« - Tim
«А-вЬт^-^+в;!-^»-^^- C1-64)
1 + 8ц	1 + 8ц	1 + 8U
Но так как в силу C1.58) | ёп | < 1, то к уравнению C1.62) мож-
можно применить метод последовательных приближений и записать
JQ И. И. Ворович и дрг


290
РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОЛОСЫ [ГЛ. VI
его решение в форме
хх = хх — хг ¦
1+вп ?
C1.65)
Другими словами, #г есть решение системы C1.47).
В том случае, когда ей @) слишком велико, так что не найдет-
найдется в круге C1.58) значения 8ц @) такого, чтобы выполнялось
C1.58), то доказательство необходи-
необходимо проводить в несколько этапов и
подойти к 8п @) с помощью соответ-
соответствующим образом подобранной по-
последовательности значений &п @),
для которых хг — решение. Напри-
Например, в формуле C1.58) значение ejt
уже можно брать в качестве еп @),
поскольку C1.65) —решение системы.
Обходя аналогичным образом
и остальные нули функции / (z),
убедимся, что C1.59) дает решение
нашей системы для всех z, для кото-
которых / (z) ф 0. В нулях функции / (z) решение не существует
(неограничено в С).
Построив решение Хп_и можно совершенно аналогичным путем
построить и решение Хп уравнения C1.45) в форме
Рис. 21.
(А
п - Bn_0 Xn = D
при известном значении матрицы
мы будем находиться в условиях первой части доказательства.
Для получения этой матрицы достаточно рассмотреть урав-
уравнение
(A+Bn-OYn-^I.	C1.66)
Решение этого уравнения получаем так же, как и Хп_и и оно имеет
вид C1.46), если в этом соотношении вместо п взять п —1.
Полагая
[А + В^Г1 = Yn_x,
по формуле C1.53) найдем Хп.
Убедимся теперь, что точки, в которых решение уравнения
C1.45) не существует, определяются из уравнения
%п (»-!) = О-
C1.67)


§ 31] АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ CIIGIEM	291
Значение Хп, основываясь на формулах C1.46), можно записать
в виде
- [*» (» - 2) - ^ (n - 2) 1 ^^7,% ] X
8Z> w (/г - 2) [1 + ew,lf n.t (/г - 2)] - e^ n (n - 2) e,? ^ (/г - 2)
I1 + 4 n (" ~ «I * t1 + 8n-i, n-i<" - 2I ~ 8n-i, n< * - 2) 4 n-i(« -2) '
C1.68)
Из формулы C1.68) видно, что особые точки решения Хп_и
которые определяются из уравнения
1 + *n-i*n-i(n — 2) = О,
уже не являются особыми для Хп. Таким образом, C1.67) опре-
определяет такие точки комплексной плоскости z, в которых Хп неогра-
ничено. Лемма 31.1 доказана.
Теорема 31.7. Пусть z Ф vk; к = 1, 2, . . ., тогда
\\Х -Хп\\с->0 (п-+ оо).	C1.69)
Здесь X и Хп—соответственно решения систем C1.13) и C1.45).
Предварительно решим систему уравнений
Zn = А"* [В (z) - Bn (z)] Zn + Хо,	C1.70)
считая, что п подобрано так, что выполняется условие C1.32)
(теорема 31.6). Ее решение при всех 0<8^Rez< оо можно
представить в форме
оо
^n (z) = \l + S (- 1)" [А'1 (В (z) - Вп (*))]*} Хо, C1.71)
1 fc=i	;
причем Zn (z) — регулярная в указанной области функция.
Таким же способом построим матрицу [А + В (z) —
— Bn (z)]'1 = An1. Последняя имеет вид:
оо
А;1 = {I + »2 (- l)fe [A'1 (В (z) - Bn (z))A A\ C1.72)
Представим теперь систему C0.1) в форме
[\n + Bn]X = D.	C1.73)
В силу C1.71) —C1.72) к последней системе можно применить
лемму 31.1 и построить X с помощью конечного процесса C1.46),
состоящего из п операций.
10*


292	РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОЛОСЫ 1ГЛ. VI
Для построенного таким образом решения введем обозначение:
X (z) = X (z, n).	C1.74)
По условиям леммы 31.1 исключительными являются нули неко-
некоторой целой функции. Но как установлено в теореме 31.6, система
C1.73) имеет единственное при всех z Ф vk решение. Поскольку
X (z, n) — решение этой же системы, то в точках единственности
эти два решения обязаны совпадать, т. е. на основании C1.44)
X (z, n) = R (z) Xo] z ф vfc.	C1.75)
Очевидно, что правая часть в C1.75) не зависит от п, значит,
не зависит и левая (отметим, что на п наложено единственное усло-
условие, п ^> п0, (см. теорему 31.7)). Тогда в соотношении C1.75) можно
совершить предельный переход при п ->- оо. Это и означает, как
видно из C1.72), что в C1.73) в качестве Ап можно брать А, в ка-
качестве An1 брать А и в качестве Вп (z) —соответственно В (z),
т. е. можно применить к такой системе при z Ф vk процесс C1.46),
который и приведет к решению X системы C0.1).
Теорема 31.7 доказана.
Следствие 31.2. Если решение уравнения C0.1) произво-
производится на основании теоремы 31.7 и процесс остановлен на тг-м
шагу, то имеет место, как нетрудно видеть из C1.46), асимптоти-
асимптотическая оценка
хг = хг (п) + О [e,f n+i (л)], Re z -+ оо.	C1.76)
Принимая во внимание C0.3) соответственно для случаев задач
I и II, получим:
C1.77)
X = Хп + О (ге2г*п+1), Re z -> оо.	C1.78)
§ 32. Об одном представлении решений интегральных
уравнений смешанных задач
Применим результаты § 31 для построения решений интеграль-
интегральных уравнений B7.2). Предварительно вычислим некоторые необ-
необходимые для дальнейшего выражения.
Возвращаясь к соотношениям C0.5), находим в случае задачи I
Af = 0,5 (xt ± x7)	C2.1)
и аналогично в случае задачи II
А? = 0,5 D-i ± *2м), В? = 0,5 (xti ± хЪ). C2.2)
Значения коэффициентов xf можно найти по теореме 31.6 (соотно-
(соотношение C1.44)). Внося эти значения в C2.1), C2.2) и воспользо-
воспользовавшись B7.6) B7.7), получим решения интегральных уравнений
с правой частью B7.3).


ОБ ОДНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ РЕШЕНИЙ
293
Для построения асимптотического разложения решений при
больших а необходимо воспользоваться теоремой 31.7.
Предварительно вычислима;*^). Полагая, что в C0.1) В (а) ==
== 0, и сопоставляя полученную систему с B8.56), B8.57), находим
в случае задачи I
xf @) = d (л) е-»*. + Сх (- т|) е«*
!
С, (л) =
Аналогично в случае задачи II
4-i @) = Сг (л) <г*а ± С, (- л)
*ti @) = А (Л) e~iflo ± 1>г (- Л)
C2-3)
C2.4)
Значения элемента матрицы А г даются соотношениями B9.4) для
случая задачи I и B9.7) для случая задачи II.
Вычислим значение е/^. Имеем для случая задачи I
-a t-
C2.5)
Аналогично в случае задачи II находим
l-1, 2m-i (U) = ±
+ г )
X
¦(CJ
/, 2m-l =
C2.6)


294	РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОЛОСЫ [ГЛ. VI
Применяя к системам C2.4) — C2.6), алгоритм C1.46) и учи-
учитывая C2.1), C2.2), заключаем, что справедлива
Лемма 32.1. Имеют место разложения
А± = е±шС1 (± Л)- S .,, '* ,п	C2.7)
в случае задачи I м.
fc=i
(+ „) - 2
в случае задачи II.
Внося C2.7) и C2.8) соответственно в B7.6) и B7.7) и свора-
сворачивая ряды в интегралы, получим следующее представление реше-
решения, справедливое для задачи I и задачи II:
q (х) = /Г1 (г)) е^х — Щ1 (г\) е~шЦ (щ,а + х) —
— i?!1 (Ti) eimty (—i%a — x) +
S	^ь а + х) + ajfl (- i?k, a - х)].	C2.9)
fc=i
Здесь af = а* в случае задачи I, a? = y? в случае задачи II
; Im
Для коэффициентов а?, как легко видеть из C1.46), имеет
место оценка
а? = О (а ехр 2 a*?fc) (к -> оо).	C2.11)
§ 33. Асимптотика решений
некоторых интегральных уравнений смешанных задач
Асимптотическое решение интегрального уравнения B7.2)
при больших а можно получить методом, отличным от изложенно-
изложенного в предыдущих параграфах.
В книге [13] изложен метод, основанный на сведении интеграль-
интегрального уравнения к некоторому обобщенному функциональному
уравнению Винера — Хопфа.


§ 33J АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
295
Целый ряд результатов §§ 27—32 можно было получить более
просто, используя этот подход. Однако он неприменим к инте-
интегральным уравнениям, возникающим в задачах о вдавливании
круглого штампа в слой, которые полностью исследуются более
сложным, но и более общим методом, использованным в §§ 27—32
(см. §§ 44-47).
Ниже излагается метод, предложенный в книге [13], и дается
его обоснование для одного класса ядер. В некоторых частных слу-
случаях ядра этот метод использовал-
использовался для построения ьбесконечных
систем, аналогичных полученным
в § 31 [8].
1. Ниже будем считать, что
Правая часть интегрального урав-
уравнения B7.2) — функция я / (#), а
ядро к (t) представимо в форме
B8.3), B8.5).
Будем считать, что функция
R (z) обладает следующими свойст-	Рис гг
вами: она четная, вещественная на
вещественной оси, регулярна вместе с R'1 (z) в области я, опре-
определяемой соотношениями z = а + i% (рис. 22):
О, а
оо,
а'
^.	C3.1)
оо функция R (z)
а (а) > [л > 0,
Предполагается, что в области я при
обладает поведением вида
R (Z) = С2 z-1 [1+0 (z-2)], Re z > 0.	C3.2)
Л е м м а 33.1. Функция R (z) допускает в области я представ-
представление вида
R(z) = R+(z)R_(z),	C3.3)
причем R+ (z) регулярна в области я [j Re z ^> 0, a R_(z) —
в я U Re z < 0 и, кроме того,
R± (z) ~ С± 2Г05 Re z ->¦ оо, z e я.	C3.4)
Для доказательства введем в рассмотрение функцию вида
H(z) = R (z) Vz* + Т2 С'2.	C3.5)
Положительную постоянную Т всегда можно подобрать таким
образом, чтобы функция Н (z) оставалась регулярной в я. Тогда
Н (z) имеет представление
H(z) = 1 +G (z), в (z) = 0 (r*), |z|->oo, zt=n. C3.6)
Здесь функция 6 (z) регулярна в я.


296 РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ. VI
Введем в рассмотрение функции вида
n[jlmz>0,	;C3.7)
.	C3.8)
Здесь выбрана та ветвь логарифма, для которой In 1 = 0.
В силу соотношения C3.6) интегралы в C3.7), C3.8) сходятся
абсолютно, при^Ег Г_ в C3.7) hzeF+b C3.8). Это следует из того,
что
Нетрудно убедиться, что при | z | -»• оо интегралы в соотношениях
C3.6), C3.7) стремятся к нулю, каждый в своей области. Можно
также убедиться, что стремление к нулю носит степенной харак-
характер вида О (z~z) (е > 0). Отсюда следует, что при | z | -> оо, z е? я
имеют место представления
Н± (z) = 1 + О (z*-*) (е > 0).	C3.9)
Наконец, имеет место очевидное соотношение
Я (z) = Я+(z) #_(*), Я+ B) = Н_ (-z),	C3.10)
причем Я+ (z) и Я_ (z) регулярны и не имеют нулей соответствен-
соответственно в nURez>0 и n[JRez<0. Объединяя C3.5), C3.9),
C3.10), окончательно получаем
2. Для решения уравнения B7.2) продолжим его на всю ось,
положив [13]
fPi() >
= я /И, |^|<л,	C3-12)
Применяя к C3.12) преобразование Фурье по х, получим
Л {и) Q{u) = F (и) + Ф^ {и). + Ф? (и).	C3,13)


§ 331 АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Здесь приняты обозначения
297
F (и) = $ / (х) е™* da:,
и) = § фх (х)
—а
—а
Q(u)= I q(x)eiuxdx.
Нетрудно проверить, что справедливы свойства
Q (и) е™* - Q+ (и), Q (и) e~iau = Q~ (и),
F (и) eiau = F\(u), F (и) e~iau = F~ (и),
Фг (и) e~iau = Ф+ (и), Ф2 (и) eiau = Ф~ (и).
C3.14)
C3.15)
Здесь знак плюс или минус имеет смысл регулярности функции
соответственно в верхней или нижней комплексной полуплос-
полуплоскости.
Для дальнейшего изучения уравнения C3.13) будем использо-
использовать специальное представление функций аналитических в поло-
полосе и убывающих в ней степенным образом на бесконечности [13]
оо-Нс
2ni J t — z '
ЕГ
-оо+гс
oo+id
¦—oo-f-id
C3.16)
Контуры интегрирования лежат в полосе регулярности.
Умножая теперь уравнение C3.13) последовательно на
RZ1 (и) eiau и Л+1 (h) e~iau, применяя соотношения C3.16) к каж-
каждой функции и используя известным образом аналитическое про-
продолжение равенств в полосе во всю плоскость [13], в предположе-
предположении убывания аналитической функции во всей плоскости яридем
к соотношениям вида
ад-{•?¦}*+
Ф+е
•Г-
ф-
o+eiuia \-
F* 1-
ф+
R+
_ I F-\
\R+!
C3.17)


298
РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОЛОСЫ [ГЛ. VI
В соотношениях C3.17) последние два уравнения не содержат
функций (?i. Решив их относительно Ф^ (если это окажется воз-
возможным), по формулам C3.13), C3.15) найдем затем и Q (и).
Произведя в отмеченных равенствах замены неизвестного по
формулам
_ @
C3.18)
приходим к уравнениям вида [13]
оо—гс
—оо— гс
оо—гс
5 ;
5
—оо—гс
C3.19)
оо+гс
+
-oo+ic
oo-J-ic
5
—oo+ic
C3.20)
В соотношениях C3.19) функции X (?), У (^), очевидно, регуляр-
регулярны в нижней полуплоскости.
Лемма 33.2. Пусть f (x) e В?(_а, а). Тогда
а (С), Р @ = О (С-), |C|-^oof Im?<0, 8>0. C3.21)
Действительно, произведя в первом интеграле C3.14) интегри-
интегрирование по частям, сразу получаем оценку
F (и) = О (и'1),
oo.
Внося эту оценку в C3.20) и оценивая интегралы заменой подын-
подынтегральных выражений их модулями, предварительно вынося
из-под интеграла | ? |"е @ < 8 < 0,5), получим оценку C3.21).
Лемма 33.2 доказана.
Введем для дальнейшего оператор
оо—гс
1 С Д- (t)
/ (t)
. (t) (t + z)
c>0, C3.22)


§ 33] АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ	299
который действует на функции / (t), регулярные в нижней полу-
полуплоскости и ограниченные там с весом | t |e на любом контуре,
уходящем в бесконечность. Обозначим это множество через А?.
Нетрудно видеть, что Ае — банахово пространство с нормой
= max |г|*|/(*)|, Im*<-6, б > 0.
t
Лемма 33.3. Оператор F (a, z) непрерывен в А? (е ^ 1).
Для доказательства примем во внимание регулярность подын-
подынтегральной функции в C3.22) в области я и убывание ее в
этой области по любому контуру у.
Это обстоятельство позволяет деформировать контур интегри-
интегрирования в C3.22) и представить оператор F (a, z) в виде
/i_ (*) в f (t) at	—	/со oq\
	5—m (t \ \	i 2GJ'	{66.?6)
Y
Принимая теперь во внимание оценки C3.4), без труда получаем
C3.24)
(а) = maxJ-\\ R~{)e
|<tt|< оо. C3.25)
Обозначая через Е° — множество непрерывных спрямляемых
в я контуров у. Тогда для нормы оператора F в Ае можно полу-
получить следующую оценку сверху:
< inf CY (a).	C3.26)
Теорема 33.1. Существует а0 такое, что при а > а0
уравнения C3.19) можно решать в пространстве Аг по методу
последовательных приближений при любых правых частях из At
и записывать решение рядом Неймана.
Для доказательства представим уравнения C3.19) в форме
X = — F(a,z)X + а, )
IIU }	<33'27>
Принимая во внимание C3.24), C3.25) и лемму 33.3, заключаем,
что для доказательства достаточно показать, что существует
а0 такое, что при а^> а0 имеет место неравенство
Сг(д)<в<1.	C3.28)
Для получения этого неравенства докажем справедливость
его на некотором частном контуре. Возьмем в качестве у контур
Г, лежащий в окрестности нижней границы области я, на которой
функции R±(z) непрерывны, и на ней еще сохраняется поведение


300	РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОЛОСЫ	[ГЛ.
C3.4). Тогда для постоянной CY (а) справедлива оценка
= МгI e*almt |dt |< Me-^\e^lmt-^\dt |. C3.29;
г	г
Принимая во внимание условия C3.1) и взяв в качестве Г кривую
t = а — ia (а),
имеем
5S е-^МИ1)»* Vl + а'2 (б) йб <
o, а>0.
Очевидно также, что
х (а) < х (%), а > аг.
Таким образом,
CY (a) < Ме-2а^к (а).
Беря в последнем неравенстве а достаточно большим, можем
добиться выполнения неравенства C3.28). Обозначая через а0
наименьшее значение параметра а, для которого при а^> а0
имеет место неравенство C3.28), получаем теорему 33.1 полностью
доказанной.
Замечание 33.1. В качестве а0 можно принять наиболь-
наибольший положительный корень уравнения
1= inf Су (а),	C3.30)
E
который в силу того, что
Су(а)-+0 (а->оо), СУ (а)->оо,(а->0),
существует.
3. Представив решения уравнений C3.19) на основании теоре-
теоремы 33.1 рядами Неймана, найдем по формулам C3.18) значения
функций Ф± (I).
Имеем


§ 333 АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Используя теперь C3.13), получим
q fu\ _. p \u> 4_ e	r^" /	y\ i у (	u)] -\-
Таким образом, q (x) имеет вид
301
оо
+ ~ш \ -ЩиГ {e~lu(a'x) [X {u) + Y{u)] + e~iu(a+x) [Х (и)
—оо
Заменив здесь X и Y рядами Неймана, получим
)С=0
S(a -x)Fk(a,«
—оо—гг
-T-K-1)^-0!' "W—ST J 'У
C3.31)
C3.32)
В работе [5] иным путем получено представление C3.31)
решения q (x) для правой части / (#), имеющей вид
/(«)=
C3.33)
В этом случае
C3-34)
4. В качестве примера рассмотрим случай, когда к (t) =
Ко (bt) — функция Макдональда.
Положим / (х) = ехр гт)ж, Im т] = 0. В данном случав
R (Z) = (т
+ (z) = (Ь -


302	РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОЛОСЫ [ГЛ. VI
Функция R (z) регулярна в комплексной плоскости с разре-
разрезом, соединяющим точки ветвления ib,—ib вдоль мнимой оси
через бесконечно удаленную точку. Аналогично Л+ (z), R_ (z)
регулярны в комплексной плоскости с разрезом от —ib до —ioo
и от ib до ioo соответственно. Ветви фукнций выбраны из условий
R (z) -> z, R+ (z) -> z~°>5 exp in/4, R_ (z) -> z'5 exp (—in/4),
z -> oo.
Очевидно, в этом случае в C3.33) необходимо положить Ф
Ф (х) = б (х — ц) — дельта-функция Дирака.
Из C3.34) получаем
Щ (t — ЦТ1 exp trja, i|?afc = УЪ — щ (t + rj) exp (— ir\a).
В качестве Г можно взять контур, лежащий на левом и правом
берегах разреза, соединяющего точки —1&, —ioo. Областью я бу-
будет вся нижняя плоскость с разрезом. Оператор F (a, z) с учетом
выбранного контура можно представить в форме
F (а>,) ф д ^ С
+1 (t + Ь +
Решение g (ж) интегрального уравнения можно представить в
форме
$	- it)) (a - x) - 1] +
Yn(a-x)
ifi + x) F^ (a, z) % + S (a - *) Fft (a,
Для определения а0 необходимо решить уравнение C3.30).
Дадим оценку для а0 сверху, решив уравнение C3.30) для случая,
когда в качестве у берется Г. Имеем
= max
Из последнего уравнения нетрудно определить а± ^> а*. Для этого
достаточно найти ах из уравнения


§ 34]	НУЛЕВОЙ „ЧЛЕН НЕСИММЕТРИЧНОЙ АСИМПТОТИКИ	303
С помощью таблиц [14] нетрудно найти
а* < аг < 0,015 Ь'К
Таким образом, ряд C3.31) безусловно представляет решение
интегрального уравнения B7.2) с принятым ядром для 0,015
Ь~г <а < оо.
Замечание 33.2. Из соотношений C3.24), C3.29) следует,
что для / ЕЕ АЕ выражение F (a, z) f экспоненциально убывает
при а ->¦ оо.
По этой причине приближенное решение qm полученное из пред-
представления C3.31) удержанием т (т > 0) членов ряда, обладает
следующим асимптотическим свойством:
9 (я) — Ят (х) = О (е-2ац<го+1)), а -> оо.
§ 34. Нулевой член несимметричной асимптотики.
Приближенное определение
некоторых интегральных характеристик решения
В § 33 дано представление решения уравнения B7.2) при
а-^оо. Из него следует, что основной вклад в решение вносит
нулевой член асимптотики. Последнее обстоятельство также хоро-
хорошо подтверждается приведенным в конце § 33 примером, возникшим
в теории плоской контактной задачи.
Этот пример говорит о том, что полученное при а0 <С а < оо
решение интегрального уравнения B7.2) весьма точно на большом
интервале изменения параметра аг < а < оо {аг^> а0) может
быть описано лишь нулевым членом асимптотического разло-
разложения.
Тот факт, что основная роль в разложении решения при а -> оо
принадлежит нулевому члену асимптотики, вытекает также из
замечания 33.2, согласно которому последующие итерации опера-
оператора F(a, z) при а-> оо убывают экспоненциально. В силу изло-
изложенного мы в настоящем параграфе уделим основное внимание
нулевому члену асимптотики.
В соответствии с C3.31), C3.34) имеем для нулевого члена
асимптотики qQ (x) представление следующего вида:
Я{ц) е ctr\
\ Д+(ц)Л+
— оо—it
оо—ге


304	Решение интегральных уравнений для полосы (гл. Vi
В соотношении C4.1) внутренние интегралы можно свести
к формулам обращения преобразования Лапласа. Именно, дефор-
деформируем в C4.1) контур интегрирования таким образом, чтобы все
особые точки находились ниже контура. Имеем
°
| oo-j-ге
R+ (I) (*+т)) = ~ЩчГ + лГ J Д+(т)) А* (*)(* +т])
—оо+ге
^ (|)+()(|)	^r	J
—оо—ге	—oo-|-ie
Производя в последних интегралах замену t — ip, приходим
к представлению д0 (х) в форме интегралов Лапласа вида
оо	е-Ысо	, ч .
f	ev{a+x)-%f\adp
+
)
е—ioo
е-1-гоо
1
+-ЯГ s i
—оо	е—ioo
C4.2)
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1) / (х) = ж™. Тогда
Ф (т,) = (_j
В результате выражение для д0 (х) принимает вид
t+C ep(a+3c) dm
1 .
•e-ioo	•
e_l_i
Ana
e—ioo
e
ti=o
При m = 0 получается совсем простое выражение для нулево-
нулевого члена асимптотики, именно
е+гоо	, ч	Е+гоо
С	е dP I 1 С
) R+(ip)R+(Q)p Л@)*
е—гоо	е—ioo
C4.4)
Вычисление интегралов в C4.3) в данный момент производить-
производиться не будет. Несколько позже нулевой член асимптотики решения


§ 341	НУЛЕВОЙ ЧЛЕН НЕСИММЕТРИЧНОЙ АСИМПТОТИКИ	ЗОЙ
будет построен на основе иных соображений, основанных на связи
уравнения B7.2) с уравнением Винера — Хогсфа B8.2). Там и бу-
будет дано представление для qQ (х), свободное от интегралов.
2) / (х) = е^х. Тогда Ф (в) = б (а — г)),
е+гоо
e арe
с—гоо
Нижеследующая лемма дает несколько иной подход к трактов-
трактовке нулевого члена асимптотики решения при а->оо [2].
Лемма 34.1. В условиях теоремы 33.1 нулевой член асимпто-
асимптотики решения q0 (x) представим в форме
q0 (x) = g+ (x) + q_ (*) - v (x).	C4.6)
Здесь q+ (x), q_ (xO v (x) — есть решения уравнений вида
, C4.7)
, C4-8)
C4.9)
Для доказательства достаточно в соотношениях C4.7), C4.8)
произвести соответственно замену переменных вида
а — х = t, а — ? = т,
а + х = t, a + 1 = т,
представив / (х) в форме
= J
после чего решить получающиеся в результате этой замены урав-
уравнения Винера — Хопфа. На основании B8.55) их решения со-
совпадают соответственно с первым и вторым интегралами в соотно-
соотношении C4.2).
Решение уравнения C4.9) строится просто применением преоб-
преобразования Фурье.
Действительно, переход к преобразованию Фурье C4.9) дает
R(u)v*(u) =


306	РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОЛОСЫ [ГЛ. VI
Отсюда
с»
V{X)= \ TfoiH4"*!'	C4-10)
что совпадает с последним членом в C4.2). Лемма доказана.
Вычислим по формуле C4.10) фукнцию v (х) для случая / (х) =
= 1, / (х) = х. Очевидно, в этом случае Ф (ц) = 6.(т)), Ф (г)) =
= i 6' (у]) соответственно. В результате
C4Л1)
соответственно.
Следующая лемма позволит получить различные представле-
представления для нулевого члена асимптотики, удобные для прикладных
целей [3].
Лемма 34.2. Пусть F (a, x), f (а, х) — непрерывные на
[-—а, а] функции, обладающие свойством
F (а, *) -t 1, / (а, х) -> 0 (а -* оо)	C4.12)
равномерно по х ЕЕ [—а, а], и, кроме того, все нули функции
q0 (x) являются также нулями f (а, х). Тогда
Я* (х) = <7о (*)• F («I *) + / (л, «)	C4.13)
представляет асимптотическое решение уравнения B7.2) гг/ж
а ->• оо.
Достаточно проверить, что
Р(а,»)= ?B(i;j(t) ->0 при (а-* оо)
равномерно по х.
Из C4.13) следует
Р(а, ж) = 1 - /^ (а, ж) - до1 И'/ (а, ж). C4.14)
В силу условий леммы
Р (а, я) -> 0 (а -> оо)
равномерно по х. Лемма доказана.
Лемма 34.3. Пусть в условиях леммы 34.2 / (а, х) = О,
а F (а, х) -+ 1 равномерно по х, & ^ | х \ ^ а, е ^> 0. Тогда
д* (я) асимптотически близко к q (х) на множестве г ^ \х \^а.
Доказательство леммы сразу же следует из соотношения
C4.14).
Только что доказанная лемма удобна для приближенного
вычисления некоторых интегральных характеристик решения
(сила и момент), играющих важную роль в прикладных вопросах.


§ 34]	НУЛЕВОЙ ЧЛЕН НЕСИММЕТРИЧНОЙ АСИМПТОТИКИ	307
Нам понадобится приближенная форма асимптотического чле-
члена, отвечающая случаю [3]:
F (а, х) = д+ (яг) q_ (х) ir1 (х) q? (х)А	^4 15)
/ (Я, х) = 0.	J
Чтобы F (а, х) удовлетворяла условиям леммы C4.2), необходи-
необходимо, чтобы
v (х) ф 0, д0 (х) ф 0.	C4.16)
Очевидно, в этом случае имеет место представление
q* (x) = q+ (x) q_ (x) еП (*).	C4.17)
В дальнейшем будем обозначать
Ф(*)^-Ф*(Р),	C4.18)
если
о
s-f-гоо
-L. С evtSHiEldp.	C4.19)
?—ioo
Лемма 34.4. Пусть f (x) = x2n. Тогда асимптотическое
при а -> оо выражение для &п
а
#n= \ qn(x)dx	C4.20)
—а
дается соотношением
. /п\ . .
Г = 2а, C4.21)
П
л (ж) — решение уравнения B7.2) с правой частью х2п.
Для доказательства воспользуемся представлением силы в
форме
\	C4.22)
—а
Очевидно,
а
; \l	C4.23)


308
РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОЛОСЫ [ГЛ. VI
в силу леммы 34.2 близко к $>п. Подставив в C4.23) gj (х) иэ
C4.11), C4.17), представим gfa в форме
а
= \ *2ПФ. (а - х) <р. (а + х) dx,
Формулу C4.24) можно записать в виде
(Т), Т = 2а,
л (т) =
—о
u = a + x. C4.25)
Применяя к последнему соотношению теорему о свертках для
преобразования Лапласа, получим утверждение леммы.
Лемма 34.5. Пусть f (х) = х2ш+1. Тогда асимптотическое
при а -> оо выражение для
C4.26)
дается соотношением
т = - а*т 2 (~ 1)" (л ) aS/? (Т),
Т = 2а,
Воспользуемся для определения Мт представлением момента
М в форме
Параллельно построим выражение


35]
СИММЕТРИЧНАЯ АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ ПРИ МАЛЫХ К
309
Здесь q{ (х) дается соотношениями C4.17), C4.11). Из этих
соотношений видно, что q\ (x) и q± (x) асимптотически близки в об-
области е <^ | я | <^ ах, е > 0 — сколь угодно малое фиксирован-
фиксированное число.
Очевидно, в силу леммы 34.3 и малости е значения Л^т и Лт
асимптотически близки при а -> е.	¦ .
Представляя теперь ,Мт в форме
jf*m = — \ х2т{р1 (а — х) ф! {а + х) dx,
—а
<Pi (<) *¦ (Р-1 + СМЯ+ @) - a) i?;1 (ip),
C4.27)
получим
Мт = - а*т 2 (- 1)" (Г) в"*^ (Г),
Y
ft (Т) = S (Т - M)kq>i (Т - и)и\г (u)du (u = a + х).
C4.28)
Применяя к C4.28) теорему о свертках для преобразования
Лапласа, получим утверждение леммы.
§ 35. Построение нулевого члена симметричной асимптотики
решения при малых % (плоская задача)
Дадим еще один метод построения нулевого члена асимптоти-
асимптотики контактной задачи при малых Я. Достоинством этого метода яв-
является то, что он позволяет строить приближенное решение контакт-
контактных задач для широкого класса оснований штампа. Решение
эффективно при очень малых Я.
Исходим из интегрального уравнения вида
C5.1)
Будем считать, что функция / (х) — четная. Случай нечетной
функции будет рассмотрен ниже. Далее будем предполагать,
что непрерывно дифференцируемая функция / (х) строго монотон-
монотонная по 0 < | х | < а. Заметим, что если это не так, то ее всегда
можно представить в виде разности двух строго монотонных
функций [20].


310	РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОЛОСЫ	П?Л. VI
Введем в рассмотрение новую переменную ?, связанную со
старым переменным | по формуле [4]
liL	о.	C5.2)
От функции ? = ? ( | | | ). Будем требовать выполнения сле-
следующих условий:
1)	? ( | ? | ) — строго монотонная убывающая по | | | функ-
функция, т. е. ?' A1 | ) < 0 в тех случаях, где эта производная су-
существует;
2)	? A11) принимает следующие значения:
С (а) = 0, ? @) = cJK С (оо) = - с2/Х;
сг и с2 — положительные постоянные, с1<оо, а с2 может прини-
принимать и бесконечное значение.
В качестве функции со (| 5 |) можно взять следующее выра-
выражение:
Здесь /* (|) есть некоторое непрерывное и монотонное продол-
продолжение функции / (?) в область а ^ | % | < оо с сохранением всех
свойств функции / (|), указанных в 1) и 2).
Обратную замену j 11 через ? асимптотически при малых
Я можно единственным образом представить в виде
| l\ = a-hi + . . .	C5.4)
Произведем в интегральном уравнении C5.1) замену перемен-
переменного вида C5.3), C5.4)
в результате получим
1/Х
-С)+*Нг
* А	/J
C5.6)
&о = / (^), Ьх = — hf (a); q* (?) = g (a — ^
Переходя в уравнении C5.6) к пределу при Я -> 0 и учитывая
экспоненциальный характер убывания ядра, получим интеграль-
интегральное уравнение вида
0<г]<оо. C5.7)


ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ VI	311
Приближенное решение этого уравнения имеет вид
q (л) ж Q (Т1) = -J- {(&„ + М) erf /5^ +
Ш} Х'^ C5-8)
Здесь использована аппроксимация вида
SS(u) _ ЬНД' _D_ = д	f35 g.
и ^^ u2 4- E '	^	\ • /
Возвращаясь по формулам C5.2), C5.3) к старым переменным,
представим решение уравнения C5.1) в форме
Связь между усилиями, действующими на штамп, и егво осадкой
определим формулой
а	а
$>= \ q(r)dr, & = J qo(x)fo(x)dx.
Здесь q0 (r) — решение интегрального уравнения C5.1) для
случая / (х) = 1.
Обращающееся в нуль при х = а решение задачи при фикси-
фиксированном а будет, очевидно, иметь место при условии
что на основании C5.10) приводит к равенству
которое налагает определенные ограничения на функцию / (х).
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ VI
1.	Александров В.М., Асимптотические методы в контактных зада-
задачах теории упругости. ПММ, 1968, т. 32, вып. 4.
2.	Александров В. М., К решению некоторых смешанных задач
теории упругости. ПММ, 1963, т. 27, вып. 5.


312	РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ПОЛОСЫ tt\JI. VI
3.	Александров В. М., Б а б е ш к о В. А., Контактные задачи для
упругой полосы малой толщины. Изв. АН СССР, механика, 1965, № 2.
4.	Александров В. М., Бабешко В. А., Кучеров В. А.,
Контактная задача для упругого слоя малой толщины. ПММ, 1966,
т. 30, вып. 1.
5.	Бабешко В. А., Асимптотические свойства решений некоторых ин-
интегральных уравнений, возникающих в теории упругости и математи-
математической физике. ДАН СССР, 1969, 186, № 6.
6.	Градштейн И. С, Рыжик И. М., Таблицы интегралов, сумм,
рядов и произведений. Физматгиз, 1962.
7.	Д и т к и н В. А., Прудников А. П., Справочник по операцион-
операционному исчислению. Высшая школа, 1965.
8.	Игнатенко М. М., Кириллов В. X., О решении некоторых
задач математической физики. Дифф. уравн., 1969, № 7.
9.	Колмогоров Н. А., Фомин СВ., Элементы теории функций
и функционального анализа. Физматгиз, 1968.
10.	КрейнМ. Г., Интегральные уравнения на полупрямой с ядром, зави-
зависящим от разности аргументов. УМН, 1958, т. 13, вып. 5.
11.	Лаврентьев М. А., Ш а б а т Б. В., Методы теории функций
комплексного переменного. Физматгиз, 1965.
12.	Леонтьев А. Ф., Ряды полиномов Дирихле и их обобщения. Труды
матем. общества им. В. А. Стеклова, 1951, XXXIX.
13.	Нобл Б., Метод Винера — Хопфа. ИЛ, 1962.
14.	П а г у р о в а В. И., Таблицы интегро-экспоненциальной функции,
Физматгиз, 1959.
15.	Раппопорт И. М., Об одном классе сингулярных интегральных
уравнений, ДАН СССР, 1948, т. 59, № 8.
16.	Фихтенгольц Г.М., Курс дифференциального и интегрального
исчисления, тт. 1—3, Гостехиздат, 1947—1949.
17.	ХайкинМ.Н., Об интегральном уравнении типа сверки первого
рода. Изв. вузов, математика, 1967, № 3.
18.	Чеботарев Г. Н., Об одном уравнении типа свертки первого рода.
Изв. вузов, математика, 1967, № 2.
19.	Черский Ю.И., О некоторых особых интегральных уравнениях.
Учен. зап. КГУ, 1953, т. 113, № Ю, 43—55.
20.	Шил ов Г. Е., Математический анализ. Специальный курс. Физматгиз,
1960.


Глава VII
ВНЕДРЕНИЕ ШТАМПА В ПОЛОСУ
(КОНКРЕТНЫЕ ЗАДАЧИ)
§ 36. Плоская задача, плоский штамп
Используя вышеизложенные результаты, приведем конкрет-
конкретные примеры расчета контактных напряжений под плоским штам-
штампом, вдавливаемым в полосу конечной толщины h. Ширина штам-
штампа — 2а. Наряду с контактными давлениями q (x) будут определе-
определены другие характеристики напряженно-деформированного со-
состояния: зависимость внедрения штампа от приложенной силы,
поведение напряжения в граничной точке штампа и др.
1. Рассмотрим случай больших значений параметра X. Пусть
2Р — главный вектор контактных напряжений (§ 20); / (х) — ха-
характеристики формы основания штампа и характера его внедре-
внедрения.
Тогда из формул B5.13), B5.14) для случая / (х) = б полу-
получим
1 2*l(±-.jL\-
C6.2)
Постоянные dk приведены в табл. 3.
Погрешность решений C6.1), C6.2) для значений X > 2 не
превышает 3%. В последнем мы убедимся, сравнивая численные
значения, получаемые по формулам C6.1), C6.2), и значения,
полученные методом малых X. При X !> 8 с погрешностью, не пре-
превосходящей 5%, формулы C6.1), C6.2) можно представить в виде
<36-3)
Первая формула C6.3) совпадает с известным решением задачи
О вдавливании плоского штампа в упругую полуплоскость,


314 ВНЕДРЕНИЕ ШТАМПА В ПОЛОСУ (КОНКРЕТНЫЕ ЗАДАЧИ) [ГЛ. VII
В табл. 7 для X = 2, 4 даны значения следующих величин,
рассчитанные по формулам C6.1), C6.2):
1) gffig ; 2) -Л-Hm д(ж) Уа2 - х2; 3) -?-. C6.4)
АО	АО х-*о ¦1Х/Г	А О
Применим теперь к решению указанной задачи изложенный
в § 26 метод систем. Тогда по методу I при X = 1 имеем для задач I,
II следующие соотношения:
L
C6.5)
II. д(х) = у^_ A,905 - 0,968^- + 0,268^- 0,070^-).
C6.6)
Каждая из формул C6.5), C6.6) получена при удержании в
системе B6.21) четырех уравнений с четырьмя неизвестными.
Дальнейшее увеличение количества уравнений не приведет к
существенному уточнению решений C6.5), C6.6), поэтому их
можно рассматривать как практически точные.
Данные табл. 7, относящиеся к случаю X = 1, получены по
формулам C6.5), C6.6). Для задачи I при всех вычислениях при-
принято v = 0,3.
Таблица 7
""\^^ х/а
Задача I
Задача II
4
2
1
4
2
1
1
0
0,653
1,130
2,337
0,597
0,964
1,905
0,2
0,664
1,141
2,328
0,608
0,976
.1,904
0,4
0,703
1,170
2,323
0,658
1,018
1,917
0,6
0,792
1,280
2,345
0,730
1,127
1,979
0,8
1,033
1,565
2,657
0,957
1,415
2,305
0,95
1,942
2,907
4,292
1,810
2,591
3,853
2
0,602
0,893
1,241
0,562
0,795
1,135
3
1,97
3,15
5,52
1,82
2,75
4,71
2. В отличие от случая больших X, при малых X мы предла-
предлагаем большее число методов построения решения. Это вызвано тем,
что каждый из методов наряду с определенными достоинствами
обладает и некоторыми недостатками. Как будет показано ниже,
решения большой точности окажутся весьма громоздкими. Более
простые решения будут иметь меньший диапазон применимости.
Поэтому на конкретных примерах мы постараемся продемонстри-
продемонстрировать различные стороны предлагаемых методов. При этом мы


§ Зб1	ИЛОСКАН ЗАДАЧА, ПЛОСКИЙ ШТАМП	315
не будем стремиться охватить обе задачи сразу и получить все
характеристики, введенные ранее, но уделим основное внимание
технической стороне, преодолению вычислительных трудностей,
возникающих при расчете по приведенным формулам. На ряде
примеров мы увидим, что приближенные формулы, полученные
по методу больших и малых ^, сопрягаются с необходимой для
практики C%) точностью.
Если параметр X мал, то для построения функции q (x) необ-
необходимо воспользоваться результатами §§ 32—35.
Произведя в формуле C2.9) замену переменных B7.1), получим
решение рассматриваемой контактной задачи, полагая / (х) =
= б = const. Однако непосредственно для расчета формулой
C2.9) воспользоваться невозможно в силу наличия в этом выра-
выражении функции jR+ (z), являющейся (см. 28.71) бесконечным про-
произведением. Функция i?+ (z) является результатом факторизации
R (z), т. е. результатом представления R (z) в виде
R(z) = R+(z) . R+(-z).	C6.7)
Здесь R+ (z) регулярна в верхней полуплоскости.
Чтобы избежать указанной трудности, заменим для получе-
получения приближенного решения R (z) некоторой другой функцией
jR* (z), в определенном смысле близкой к R (z). Этот прием впервые,
по всей видимости, использовал Койтер [2] при решении уравне-
уравнений Винера — Хопфа.
Функция Д* (z) подбирается такой, чтобы ее легко было фак-
торизовать. В качестве функции i?* (z) можно брать следующие:
(и)
*	h а — О
C6.8)
\ ^ р Э/\Р Э/2 ^
C6.9)
где pk (и), Г/с (и) — четные полиномы равных степеней, коэффи-
коэффициенты которых подбираются из условия наилучшего равномерно-
равномерного приближения функции R (и) при всех ^g[0,oo 1. При этом
обязательно требовать, чтобы коэффициенты в разложении функ-
функций R (и) и jR* (и) при U-+-QO совпадали. Кроме того, целесооб-
целесообразно требовать совпадения у функций R (и) и jR* (и) экстремума
и перегиба, а также значений в них.
Факторизация C6.8), C6.9) осуществляется легко. Достаточно
взять для C6.8)
C6.10)


316 ВНЕДРЕНИЕ ШТАМПА В ПОЛОСУ (КОНКРЕТНЫЕ ЗАДАЧИ) 1!ГЙ. VU
И ДЛЯ C6.9)
Здесь /?? (и), г\ {и) — полиномы, содержащие нули полиномов
Ри (u)i К (и)> лежащие только в верхней полуплоскости.
В качестве примера рассмотрим случай задачи И. Оказыва-
Оказывается, здесь функции
где 5 = 1, С = 2, D = 12,469, Q = 24,692, F - 10,115, G =
= 24,692,
C6.13)
где а = 0,5, 0 =» 5,1689; у = 4,6757, к = 4,3378, с погрешностью
2,5% аппроксимируют соответствующую функцию R (и).
Если использована аппроксимация C6.8), то функция ч|з (т, t)
C2.10) принимает вид
г|> (т, t) = Щ1 (it) е** erf с
- (jtf)"°'VB« -
er
C6.14)
Если же использована аппроксимация C6.9), то очень просто под-
считываются нули ?г и полюсы &г. Это обстоятельство позволяет
в нужный момент использовать ту или иную аппроксимацию. На-
Например, при аппроксимации C6.13) имеем
?2 = 1,0812i, ?2 - 2*\ U+2 = 2яш, и = 1, 2, ...
Используя формулу C2.9), при аппроксимациях C6.12), C6.13)
получим q (x) в виде
q (х) = ДА"»{2- V2 [р @, Л + *) + ф (О,
A,0812, ±+
) C6.15)
2,
2, -
б1 = _
(,) + 0(
0,29633-(Г*
4а
0,26088-е * .


Зб1
Плоская задача, плоский штамй
31?
Здесь обозначено:
хк @) = х\ @), eik = е?
е12 =
Д2 = 1 + ен + е22 + епе22,
, е22 - —0,025385^/*,
е21 = -
кроме того,
r=l
Приближенная формула C6.15) состоит, очевидно, из двух первых
членов ряда C2.9) и главной части г^ (х) третьего. Оказывается,
учет последующих членов разложения ряда C2.9) уже практи-
практически не уточняет функцию q (х) при X ^ 4.
Таким образом, C6.15) дает приближенное решение задачи
для всех К ^ 4.
В табл. 8 приведены значения функции aq (#)/Д6, подсчитанной
по формуле C6.15) при X = 4.
Таблица 8
"*\^^ х/а
aq(x)
Аб
о,
0
586
0
0,2
,590
0
0,4
,632
0
0,6
,717
0
0,8
,934
0,95
1,785
0
,557
В последней колонке таблицы дается значение постоянной
Сравнивая результаты таблиц 7 и 8, заметим, что при X = 4
они практически совпадают (погрешность не превышает 3%).
Имеющая место погрешность, по всей видимости, возникает в
связи с использованием аппроксимации C6.12), C6.13). Таким об-
образом, решение в форме C6.15) весьма эффективно даже при боль-
больших X, и этим же способом можно построить решение q (x), спра-
справедливое при любом X <^Х0, 0 < Хо <^с» , но следует отметить,
что оно будет довольно громоздкое. При больших X, как мы


318 ВНЕДРЕНИЕ ШТАМПА В ПОЛОСУ (КОНКРЕТНЫЕ ЗАДАЧИ) ГГЛЛШ
отметили в начале параграфа, эффективнее формулы § 25 ви-
вида B5.13), B5.14). При малых X весьма эффективным оказывается
нулевой член асимптотики, исследованный в § 34.
Для его получения воспользуемся формулами C4.6), C4.17) и
решениями уравнений Винера — Хопфа в виде B8.43) — B8.45).
Построим в случае задачи I аппроксимацию вида C6.10). Для этого
достаточно в формуле C6.10) положить (при о = 0,3)
Л = 0,40816, С = В2 = А~\ D = 8,8000л
Q = G = 36,2422, F = 5,1200.	J
Погрешность такой аппроксимации не превышает 1,5%.
Формулы C4.6), C4.17) принимают соответственно вид
Аб
Аб
{
Аб \-
ф
ф
C6.17)
C6.18)
erf
- 0,6116 sin at) U (t) + @,7358 sin at + 0,6116 cos at) V {t)
a = 0,900,
U (t) = Re F E0,272°, 0,9568 ]/T), V (t) = Im F E0,272°, 0,9568/i),
— 0,3385e-2-282e( • [@,7358 cos at —
C6.19)
В табл. 9 приведены значения следующих величин:
4) 9J	2)
^^. C6-2°)
причем в первой колонке — подсчитанных по формуле C6.17), а
во второй — C6.18).
Таблица 9
л
1.
2
х/а ^\
0
0,2
0,4
0,6
0,8
0,95
2
1,139A,140)
1,151A,153)
1,193A,193)
1,295A,292)
1,595A,584)
2,875B,836)
0,866
1
2,342B,343)
2,334B,336)
2,335B,336)
2,366B,367)
2,648B,648)
4,270D,265)
1,246
V»
4,880
4,860
4,822
4,748
4,768
6,664
1,766
9,800
9,800
9,800
9,731
9,496
9,045
2,498
19,6
19,6
19,6
19,6
19,44
18,05
3,532


36]
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА, ПЛОСКИЙ ШТАМП
319
Как видно из таблиц 7, 9, при X = 2 решения сопрягаются с
относительным уклонением, не превышающим 3 %. Таким образом,
формулы C6.1), C6.15), C6.19) с достаточной для практики точ-
точностью перекрывают весь диапазон изменения параметра %.
Значение силы З5, действующей на штамп, удобно находить
по формулам C4.21). Для этого вычислим по указанным форму-
формулам значение силы, действующей на штамп в случае задачи II.
Воспользуемся аппроксимацией функции R (и) выражением
C6.12) со следующими значениями постоянных:
Л = 0,5, С = В2 = Л'2, D = 3,540, Q = G = 20,976,
F = 2,244. C6.21)
Относительная погрешность аппроксимации не превышает 1,5%.
Применяя формулу C4.24), получим для силы 5й следующее
представление:
дь = дб/jj = Дб {2у + 0,707 — е'^ [sin ay @,111 +
+ 0,0759у) - cos ay @,293-0,0006у)]}, у = 21%. C6.22)
Функция q (x) для данной аппроксимации дается формулами
C6.17), C6.18). Функция ф (t) имеет вид
причем Дц (t) дается формулой B8.45), в которой необходимо по-
положить
Zl = a + i|5, z2 = -a + ф, g2 = a' + г|У, ^2 = -a' + #'f
a - 0,7436, p = 2,0067, a' = 1,0939, |3' = 1,8393.
В табл. 10 приводятся значения величины 5s/Аб, вычисленные
по указанной формуле.
Таблица 10
2
0,866
1
1,246
Vi
1,766
V4
2,498
V.
3,532
Погрешность значений, даваемых формулой C6.22), не превы-
превышает 3% для значений % < 2.
Приведенные выше формулы получены на основании отно-
относительно сложной аппроксимации ядра, опирающейся на формулу
C6.12). Аппроксимируемая функция, а вместе с ней и решение


320 ВНЕДРЕНИЕ ШТАМПА В ПОЛОСУ (КОНКРЕТНЫЕ ЗАДАЧИ) [ГЛ. VII
окажутся более простыми, заодно, конечно, и менее точными, ес-
если использовать и более простую аппроксимирующую функцию.
Чтобы получить более простые аппроксимирующие функции,
достаточно в C6.12) положить Q = G = 0, тогда 2?* (и) примет
вид
Аппроксимирующая функция еще более упростится, если взять
D — F. В этом случае получим
При использовании аппроксимации C6.23) нулевой член асимп-
асимптотики решения получим в виде C6.17) или C6.18), где ср (t) ==
~ /0 (t) дается соотношением B8.48), в котором ср* (t) = /^ (t):
Ф (t) = A12 erf у Bt + -f_ + n^v ™ erf К (Я -
C6.25)
Выражение C4.25) для силы в случае указанной аппроксима-
аппроксимации принимает вид
SP = Дб -Д = Дб [4- + Si + S2e-BY + (S3r + 54) е- УЪЛ , C6.26)
*i= "^тт: :7^^ "*" z> /5 (^ — /5) 55
— YdJ
с _ {b-YcYjb-Yf? с _ (Yd-YcY(Yd-YW
b*{b-YW '	d(b-Yd)
« . {b-Yc?
,
dYd(b-Yd)
В табл. 11 приведены значения величин aq (О)/бА и SP/8A,
подсчитанные по формулам C6.17), C6.26) при аппроксимации
C6.23) для задачц IL Коэффициецты адпроксимациц цмеют


36]
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ПЛОСКИЙ ШТАМП	321
Таблица И
1—1
I
со
^\
aq@)
6Д
1
1
2
2
2
,05
,00
,98
,70
1
1
4
4
1
,96
,97
,97
,74
3
3
8
8
,94
,98
,96
,76
7
8
. 16
16
,98
,00
,96
,76
16,00
16,00
32,96
32,76
следующие значения:
В2 = 12,00, ? = 1,8111, С = 4,8792, F = 2,5717. C6.27)
Погрешность этой аппроксимации не превосходит 6%. Для по-
получения соответствующих формул при аппроксимации C6.24) до-
достаточно вместо C6.25) взять
n-Bi
C6.28)
а в формуле C6.26) для силы ^положить
о УсBв-Ус)	(в- усу
Используя аппроксимацию C6.24), получим по формуле C6.17)
решения задач I и II соответственно в следующей форме:
I. q (х) - Аба2,457т1 {erf ]/^- + erf Y^IT ~ 1 +
+ 0,36040I
а—х
а-\-х
h
Y
+ х
II. q(x) =
0,39894
л — # .у^ -*Г а
= 1, С = 2,45).
C6.29)
= 1, С = 2).
Погрешность этих формул не превышает 3% для к <; 0,5 и 6%
для Я<1.
11 И. И, Ворович и др.


322 ВНЕДРЕНИЕ ШТАМПА В ПОЛОСУ (КОНКРЕТНЫЕ ЗАДАЧИ) [ГЛ.УИ
Таблица 12
№ п/п
(Задача II Задача I
2
1
V*
2
1
1
0
1,20
2,398
4,828
1,05
1,958
3,941
0,2
1,299
2,409
4,826
1,060
1,966
3,939
0,4
1,443
2,446
4,863
1,178
1,997
3,939
0,6
1,466
2,552
5,146
1,197
2,084
3,970
0,8
1,931
2,926
7,278
1,576
2,388
4,201
0,95
3,213
4,312
7,278
2,623
3,519
5,941
2
0,833
1,249
1,776
0,798
1,128
1,596
3
3,25
5,62
10,5
2,89
4,85
8,83
Соответствующие выражения для силы SP принимают вид
I. &> = Аб D.9Х-1 + 0,6805 + 0,3195^).
II. Ф = Дб D&Г1 + 0,82843 + 0,1757*г2А).
В табл. 12 приведены значения величин
2)
Предельно простые формулы для контактных наяряжений яри
малых значениях параметра К получаются с помощью метода сим-
симметричной асимптотики, изложенного в § 35.
Используя аппроксимацию C5.9), получаем решение практи-
практически для любой правой части в форме C5.10). Указанное решение,
очевидно, обладает всеми характерными особенностями; именно:
при К -»¦ 0 стремится к вырожденному, а при х -> а несет в себе
особенность вида х~ч*. Ниже на основании численного анализа
будет видно, что C5.10) дает практически точное решение для зна-
значений X < 0,5.
Получаемое по формуле C5.10) решение может уточняться
введением «корректирующего множителя» — функции х (К), за-
зависящей только от параметра к. Введение этого множителя осу-
осуществляется на основании следующих соображений: пусть q0 (x) —
асимптотическое решение задачи о вдавливании штампа с плоским
основанием. Очевидно, выражение
д* (х) = q0 (x) • х (А,)	C6.30)
также является асимптотическим решением этой же задачи, если
только % (X) подобрано из условия
х(И)->1 при X -> 0.	C6.31)


§ 36]	ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА, ПЛОСКИЙ ШТАМП	323
Подберем % (X) из условия, чтобы оно при малых X как можно
точнее удовлетворяло уравнению
*A)<% = я&.	C6.32)
Так как невозможно с помощью одного лишь множителя к (X)
добиться равномерного при всех х ЕЕ 1—а, а] равенства левой и
правой частей в C6.32), то ограничимся требованием, чтобы левая
и правая части в C6.32) совпадали при х = 0.
Из этого условия находим значение корректирующего множи-
множителя в форме
а	<х>
К	[ ^ /W]1. C6.33)
Интеграл C6.33) можно затабулировать на ЦВМ по параметру
X. Вычисления показали, что уточненное решение д* (х) имеет
расширение границ применимости, именно его можно использо-
использовать с погрешностью, не превосходящей 4% при 0 < X < 2.
Приведем некоторые результаты вычислений по формуле C5.10).
Беря правую часть в виде / (х) = б и представляя эту функцию
в виде простейших комбинаций монотонных функций вида
C6.34)
представим асимптотическое при X -> О решение задачи в форме
Выражение для силы ёР принимает вид
1К (х), к = 0, 1,— функции Вебера.
Из C6.35) получаем
(О
(X) = Иш /а2 — я2 q (x) S = l/ -у- •	C6.37)
Ниже, в табл. 13, 14 для задачи II при D = 1, Е = 2 приведе-
приведены результаты вычислений по формулам C6.33), C6.35), C6.36),
C6.37).
11*


324 ВНЕДРЕНИЕ ШТАМПА В ПОЛОСУ (КОНКРЕТНЫЕ ЗАДАЧИ) [ГЛ-VIl
Таблица 13
aq(x)
6Д
ад* (х)
X
2
1
Vs
2
1
V»
—
0,87
0,93
1,00
0
1,14
2,05
3,95
0,99
1,90
3,95
0,4
1,19
2,09
3,97
1,04
1,94
3,97
0,6
1,28
2,18
4,02
1,12
2,02
4,02
г/о
0,8
1,54
2,48
4,27
1,35
2,30
4,27
0,95
2,67
3,93
5,89
2,33
3,65
5,89
со
0,80
1,13
1,59
0,70
1,05
1?59
Т а б л и ца 14
X
2
3,03
1
5,03
V.
8,91
X
?Р>*/А6
2
2,66
1
4,67
V.
8,91
§ 37. Внедрение параболического штампа
в полосу
1. Случай больших %. С помощью формул B5.13), B5.14) для
правой части / (х) = б — %z2 имеем
Соответствующее выражение для силы ?Р получается по формуле
9 = Ля [in 2Х-do - -g~4" —И" + 0(-Х^Т Х
Из C7.1), C7.2) легко находим решение, ограниченное при
х =
C7.3)


§ 37]
ВНЕДРЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ШТАМПА В ПОЛОСУ
325
= яАб [in 2Ь - d0 + 4" - -|G
C7.5)
Па первому методу систем при Я = 1 получим для рассматри-
рассматриваемых задач I, II
L q{x) = 7^
IL
i + 0,4641- - 0,140-J) -
-5--0H28|-- 0,059-g-)]. C7.6)
°'968 5- + °'268 "У " °'070 7") "
- Xa2 (- 0,273 + 1,866 Jt - 0,012 ^ - 0,030^)] . C7.7)
Из C7.6), C7.7) находим ограниченные решения при х = +а
J
I. q (х) = Ах >V - ж2 f3,220 - 0,510 ^- + 0,124 -J-J.	C7.8)
II. 9 (ж) = Ах /а2 - х2 B,876 - 0,313 -Ц- + 0,066 -J-j,	C7.9)
б = 1,366 а2х-
В колонках табл. 15 даны значения следующих величин:
1) яШ.; 2) -±- lim (а2 - *»)"Vl; 3) -^ ; 4) -?-, C7.10)
причем при Я, = 2,4 вычисления произведены по формулам C7.3) —
C7.5), а при X = 1 — по формулам C7.8), C7.9).
Для задачи I принято v = 0,3.
Таблица 15
Задача I
Задача II
№ п/п
\.
4
2
1
4
2
1
1
2,088
2,370
3,220
2,064
2,252
2,976
2
2,082
2,272
2,834
2,062
2,218
2,629
3
3,28
3,66
4,88
3,24
3,52
4,41
4
1,52
2,23
3,74
1,40
2,00
3,23


326 ВНЕДРЕНИЕ ШТАМПА В ПОЛОСУ (КОНКРЕТНЫЕ ЗАДАЧИ) [ГЛ. VII
2. Случай малых Я,. Пусть / (х) = б — %х2. Воспользовавшись
формулой C4.3), при т = 0 и т = 2 получим
е+гоо
е-гоо
2 | 2гхД'@) 2Д/2@) I Д"@)
Я3@) ' /?2@) /J'
Здесь введены обозначения:
2
Применяя к C7.11) формулы обращения преобразования Лапласа
[1] и переходя к размерным параметрам, получим решение задачи
при аппроксимации вида C6.10) в форме
@)
Ф if) — обозначение интеграла в C7,11).
Решение q2 (x) можно получить и в несколько иной форме,
если вначале вычислить q0 (х, ц) по формуле C4.5) при Ф (х) =
= б (х — т)), а затем применить указанную операцию интегрири-
рования C4.3) при т = 0,2.
Применяя для вычисления интеграла C7.11) формулы B8.35),
B8.37), получим q2 (x) в форме C7.12), где
2
+ 2 V** erf V(B + izk) t + (At V~t + AJ V't) e~m. C7.13)
k=i
Здесь zh и ?ft — соответственно нули функций
z4 + Z>za + Q и z* + Fz* + G,	C7.14)


§ 37]	ВНЕДРЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ШТАМПА В ПОЛОСУ
лежащие в верхней полуплоскости:
327
)П
— Z2)
Z1 — Z2
{[л:1
--7=^[Д1 (Л)(Ч
X, Л = 0, C7.15)
П (С,-
l-i.
	22
Ограниченное с обоих концов решение принимает вид C7.12).
где
к=1
erf
+ te
+ {А3 Y't + AJ. У!) е~в\ б = - %h*R+ @) Bv C7.16)
Выражение для силы найдем по формуле C4.21). В случае
задачи II для аппроксимации C6.10), C6.21) это выражение прини-
принимает вид
{0,667у + 0,707 + О.гзау1 + 0,450у -
_!- ^~3v [(_о,126у - 0,111 + 0,540V + 0,0672y~2) X sin ya —
— @,001г + 0,293 + 0,729V + l,672v"a) cosavl}, C7.17)
т = 2Д, a = 0,7436, р = 2,0067.
Для X ^ 2 погрешность этой формулы не превышает 3%.
В табл. 16 приведены значения величины
-&?•	<37-18>
Рассмотрим случай более простой аппроксимации C6.23).
Таблица 16
X
2
1,28
1
2,04
V,
3,40
V*
6,06
Чш
11,39


328 ВНЕДРЕНИЕ ШТАМПА В ПОЛОСУ (КОНКРЕТНЫЕ ЗАДАЧИ) [ГЛ. VII
Решение задачи для б (х) = %х2 можно представить в виде C6.4),
где
в
3
X
S/5
I I "i/*"t^~	'
X
__ 2	1
5d
2/CF	3/C/
d Уяё 4^2 /go + bYbd
г k-г i ^\r ^ ~r r ¦«• / j^
D
q±(x) =
_ уg)
C7.19)
• J
В случае, если принять C6.24), то ф (t) принимает вид
¦ 3


§ 37]	ВНЕДРЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ШТАМПА В ПОЛОСУ	329
У Л у=-) U
2 1
Ув
=	1_ , ^ 1	i_
^ ВУВ У В Я, ^ К^
' +
1 1
C7.20)
Значение силы 3* до формуле C4.25) в случае аппроксимации
C6.23) принимает вид
Т ¦ 2VFC
?> KD (В — /i)) fis (В —
c) .
ТП2 "Г
lg
. 4gig2 .
2 \ lg/ 6g2 %1
d~ j t2 ^ s3 bj
I- +
- j/"/)) в*Ув)
№ 2{В-
— /О)
В2 (В _
	|
ЛK
6gi	6g2_N1 -
(b-Vd)s & }\
ч t (в-/с) ,
D{B- УD)
> — У1) [(В — 2 У" (?) i) + B УР+В)С]
d
(в-
^-1
4gi
(В_/^)з "г (В_/5J


330 ВНЕДРЕНИЕ ШТАМПА В ПОЛОСУ (КОНКРЕТНЫЕ ЗАДАЧИ) [ГЛ. VII
у-2
dYd(b-VS) d(b- VW Yd (в- Yd)
(в- YW (b-YW
C7.21)
Vd
Для аппроксимации C6.24) имеем
к. C7.22)
В табл. 17 приведены результаты вычислений по формуле C7.22)
значений величин ^/Д%а2 для задачи II при аппроксима-
аппроксимации C6.23), C6.27).
Таблица 17
X
C6.23)
C6.24)
2
1,32
1,30
1
2,09
2,03
V»
3,49
3,70
V4
6,18
6,08
7в
11,51
11,42
Рассмотрим теперь случай яростейшей аяпроксимации C6.24),
где положено В = 1, С = 2,45 (задача 1)иБ = 1,С = 2 (задача
II). Погрешность этой аяпроксимации, как указано выше, не пре-
превышает 20%.
При этой аппроксимации выражение для напряжений прини-
принимает вид
где в случае задачи I
^	— 2Xt + % + 1 + 0.3226А,2] erf Y't +
642^2<2 - @,4075 + l,003X) %t + 0,3604 +
+ 0.1001X + 0.040U2]} C7.24)
и в случае задачи II
Ф (t) = -^- {[^а^2 - 2U + Я. + 1 + 0,207Ш] erf /F +
+ *-о,5е-г [0,5642^2 - @,3305 + 1,0831) М + 0,39894 +
+ 0.1653А, + 0,04А,2]}. C7.25)


37J
ВНЕДРЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ШТАМПА В ПОЛОСУ
331
Выражение для силы соответственно в случае задач I и II при
нимает вид
{1,6333л-1 + 0,6805 + 0,5445^ - 0,7146Я2 +
+ @,1598 + 0,8848Я + 0,7146Я2)<г2А}, C7.26)
{1,3333^ + 0,8284 + 0Д716Л - 0,3787Я2 +
+ @,08579 + 0,5858Я - 0,3787Ь2)<г^}. C7.27)
Погрешность формул C7.23) — C7.27) не превышает 3% при
X < 0,5 и 6% при Я < 1.
В табл. 18 приведены значения величины SP/A^a2, подсчитан-
подсчитанные для задач I и II.
Таблица 17
C7.26)
2
1,48
1
2,38
Чг
4,06
X
C7.27)
2
1,34
1
1,97
Vi
3,49
Рассмотрим теперь случай / (х) = б — %х2. Пользуясь прос-
простейшей аппроксимацией C6.24), построим по формуле C4.12)
ограниченное с обоих концов решение. Последнее можно предста-
представить в форме
q(x) = -
[(
erf
erf
— 1 X
В последней формуле в случае задачи I необходимо поло-
положить В = 2,45 и В*1 = 2 в случае задачи И.
Погрешность последней формулы не превышает 10% для зна-
значений X ^ 1/2.
В табл. 19 приведены результаты вычисления величины
q @)/Д%# для обеих задач.
Таблица 19
X
Задача I
2
1
аФ)/Аха
2,67
3,71
6,03
X
Задача II
2
1
V*
«@) /Аха
2,51
3,33
5,18


332 ВНЕДРЕНИЕ ШТАМПА В ПОЛОСУ (КОНКРЕТНЫЕ ЗАДАЧИ) [ГЛ. VII
§ 38. Внедрение плоского наклонного штампа
в полосу
Рассмотрим задачу о вдавливании наклонного штампа в слой
конечной толщины h.
Случай больших Я.
Функция напряжений q (х) находится из формул B5.13) —
B5.15). Для случая / (х) = б + ах получим
Выражение для сил SP и момента М принимает вид
= яЛб [in 2К - d0 - А _ _!. _ ^1 + о (Х-6)], C8.2)
JtAaa2
Представляет интерес случай ограниченности g (ж) на одном
из концов линии контакта. Найдем, например, из C8.1) решение,
ограниченное при х = а:
х Bdl Udt Ы1\ 104 «
C8.5)
Формула C8.3) не меняется- Аналогичный вид имеет решение,
ограниченное на крае х = —а.
Формулы C8.1) — C8.5) имеют погрешность не более 3% для
\ >2.
Получим теперь численным методом решение типа C8.4) при
К = 1. Для этого предварительно рассмотрим случай / (х) = ах.
Решение для этого случая, согласно теореме 24,3, может быть по-
получено дифференцированием по х формул C7.8), C7.9) и заменой
—2% на а.
Проделав указанные операции, получим
I.	,{,)= 4^B,120-1,013^+0,310^). C8.6)
II.	g (») « ^=р- A.751 - 0,601 -5- + 0,165 -^) . C8.7)


38]
ВНЕДРЕНИЕ ПЛОСКОГО НАКЛОННОГО ШТАМПА В ПОЛОСУ
333
Теперь с учетом решения при h = 1 для плоского штампа по-
получим в случае f (х) = 8 -{- ах следующие формулы:
I. q(x) =
[б B,337 - 1,420-5-+ 0,464-J - 0.140-J) +
+ ахB,120 - 1,013-g- + 0,310-?¦)] . C8.8)
+ ах (l,751 - 0,601 -J + 0,165 -?.)] . C8.9)
Из C8.8), C8.9) находим решения, ограниченные при х = а:
I. q(x) = - аА ]/||| B,669 + 0,549^ -1,073-J -0,060^1+
+ 0,470 -J + 0,160 -J-), б = - 1,142аа. C8.10)
II. ? (х) = - аА ]/^| B>207 + °-456 Т - °'666 -J - °'065 -J+
+ 0,246-^+ 0,081 -J), б = -1,159аа. C8.11)
Аналогичный вид имеют решения, ограниченные при х = —а.
Таблица 20
X
Задача I
Задача II
№~п/п
4
2
1
4
2
1
1
—1,132
-1,506
—2,669
—1,096
—1,370
-2,207
2
—1,203
-1,563
—2,715
—1,152
—1,462
—2,259
3
-1,043
-1,142
—1,417
—1,032
—1,109
-1,315
1,64
1,83
2,44
1,62
1,76
2,20
5
-3,41
—4,13
-6,30
-3,34
—3,88
—5,46
' 6
1,97
3,15
5,52
1,82
2,75
4,71
В колонке табл. 20 даны значения следующих величин:
C8.12)
Доса2
Даа *


334 ВНЕДРЕНИЕ ШТАМПА В ПОЛОСУ (КОНКРЕТНЫЕ ЗАДАЧИ) [ГЛ. VII
причем при X = 2,4 вычисления проведены по формулам C8.2) —
C8.5), а при Я = 1 — по формулам C8.10), C8.11). Для задачи
I принято v = 0,3.
Случай малых К.
По формуле C4.3) при т = 0 и 1 получим
?1^~-яГ J R+ (ip) р \ R+ @) ' а I #2 @) #+ @) ) +
1 eV°° вр(а-*> Г б	/ *Л+ @)	а \
2яГ J i?+ (i/>) ^ I i?+ @) —а у /?2 ^qj #+ @) j "^
dp - Е~г <°)[б + ^ + аШ' (°) л
Применяя к C8.13) формулу обращения преобразования Лап-
Лапласа и переходя к размерным переменным, получим
ф_ [-2^-] - Д @) [6 + а^ + аЛЛ' @) Л" @)]} ;
Ф+ (^) и ф_@ — обозначения первого и второго интервалов в C8.13)
соответственно.
Для вычисления момента воспользуемся формулами § 34.
Формула для момента .М- в случае задачи II при аппроксимации
C6.12), C6.21) принимает вид (б = 0)
Л = -каа2ХЧ°0 = ^aa2 {0,667v + 0,707 + 0,250V'1 +
+ 0,129v + е'^ [@,07597 + 0,297 + 0,620т +
+ 0,438r2) sin ay - @,0006? + 0,242 + 0,544V +
+ 0,254Y~2)cosav]}, C8.14)
V = Ш, Р = 2,0667, a = 0,7436.
В табл. 21 приведены значения величины ,///Aaa2, подсчитан-
подсчитанные по формуле C8.14) для К = 2. Погрешность формулы не пре-
превышает 3% для Я ^ 2. Второй метод больших Я при Я = 2 дает
значение величины М/Даа2, равное 1,75.
Применяя формулу C4.6), решение задачи для случая / (х) =
= ах запишем в форме
(+) ()*(*)•	C8.15)


§ 38] ВНЕДРЕНИЕ ПЛОСКОГО НАКЛОННОГО ШТАМПА В ПОЛОСУ	335
Таблица 21
Mlba а?
2
1,78
1
2,21
*/•
3,44
V*
6,07
Ve
11,39
В случае аппроксимаций C6.23) и C6.24) функция ф+ (t) прини-
принимает соответственно вид
Ф± (t) = ±
- 1) er
VdVb-Vd
, C8.16)
¦Х-
]- C8Л7>
Значение момента для рассматриваемого случая найдем по
формуле C4.26). Последняя для аппроксимаций C6.23), C6.24)
принимает вид
Л = -ДаЛ2 {с + еху + 4teif + Ve^sf + B^c, A - е"^) +
Cr, A -e'YDу) + D-% И - (у YD + lje-^]}, C8.18)
G / v ^
УсJ (^
(on
+
с = С (oo) =
- Х-*)\ сг = lim [p3G {p)Y,
p-»0
c2 = lim [p*G (p)]', c3 = limp3G(p),
0
= lim (p + B) G (p), cb = lim [(p +
Для аппроксимации C6.24) в выражении для G (р) необходимо
положить F = D. В случае аппроксимации C6.23) C6.24)


336	ВНЕДРЕНИЕ ШТАМПА В ПОЛОСУ (КОНКРЕТНЫЕ ЗАДАЧИ) [ГЛ. VII
выражение для сп соответственно будет
Си =
гв
¦^	с _ 1	1^
YBD ' u 2Г 'А " ^/"т"
Рассмотрим теперь плоский наклонный штамп / (х) = б —
— ах. Воспользуемся решением в форме C4.17), B8.43)
¦Фо
X
Построим решение, ограниченное при х = а. Необходимо вы-
вычислить связь между S и а из соотношения
тг ф0
F - aa) + acpl
= °- C80)
После несложных преобразований условие C8.20) для аппрокси-
аппроксимаций C6.23), C6.24) соответственно принимает вид
aa
_
D 2B
п 38.21)
B J
= 1
/^ 2B J
C8.22)
В табл. 22 приведены значения величин 6/aa, подсчитанных
по формулам C8.21), C8.22) соответственно для задачи II с уче-
учетом C6.27) иВ = 1в случае C6.24). Внося C8.21), C8.22) в соот-
соотношение C8.19), получим ограниченное при х = а решение. Ана-
Аналогично строится решение, ограниченное при х = —а.
Таблица 22
Таблица 23
C8.21)
C8.22)
2
1,41
1,38
1
1,21
1,19
Vt
1,10
1,09
74
1,05
1,05
»/•
1,03
1,02
Jt/Aa a2
Ж/Аа a2
2
2,27
1,58
l
2,60
2,35
Vt
3,73
3,52
V*
,6,26
6,17
*/•
11,54
11,44
В табл. 23 приводятся значения величин ,М/аа2А, подсчитан-
подсчитанных по формуле C8.18) для обеих аппроксимаций C6.23) и C6.24).
Погрешность этой формулы не превышает 3% для значений К 2


§ 38] ВНЕДРЕНИЕ ЙЛОСКОГО НАКЛОННОГО ШТАМПА В ПОЛОСУ	337
Рассмотрим тенерь случай аппроксимации C6.24). Пусть/ (х) =
= б — ах. Ограниченное при х = а решение задачи I имеет вид
X (JL _ 0,139Х - l,000J - 0.
Аналогично в случае задачи II имеем
a;) = __^erf |/ —I—+erf]/ —s	1 j x
X f_2	0,207Я - 1,000) - 0,^^
~ °>798 ~ o-
В табл. 24 приведены значения величин
Значения постоянных С\ и С\ для задач I и II соответственно
следующие:
С\ = 0,1225, С\ = 0,8832, С\ = 0,165, С? = 0,798.
Если / (х) = аху то решение для задач I и II соответственно
можно представить в форме
q(x) = ф+ (—т—) +ф_( а~~х ) —=^-, 5 = 1, С = е^, C8.23)
I.	Ф± (*) = ± -^ [(Л - 1) erf /Г + @,36045^ - 0,07356Я -
_ 0,36045)-^], C8.24)
II.	Ф± (t) = +^- Г(^ — 1) erf/Г + @,39894м - 0,09974А, —
-0,39894)^1-1, C8.25)
Л = —.


338	ВНЕДРЕНИЕ ШТАМПА В ПОЛОСУ (КОНКРЕТНЫЕ ЗАДАЧИ) [ГЛ. VII
Таблица 24
X
0,5
1
2
0,5
1
2
Задача I
ДоГ
5,4008
2,9745
1,8364
5,1254
2,6526
1,5393
1 lim (x \f~*
Аа х_^—а у а _ х
Задача II
4@)
Аа
f (х) =6 — ах
1,9464
1,5037
1,2435
4,540
2,5962
1,5470
/(as) = ах
1,8888
1,4223
1,1282
4,3496
2,3632
1,4839
1 lim(z<*),/-5TS
Да ^_а у ^^
1,7954
1,4105
1,1969
1,7610
1,3619
1,1280
Выражение для момента для обеих задач принимает вид
I. М = Даа2 №j^- + 0,6805 - 0,2835Я + 0,4275Ji2 -
- е-^ [0,31951 + 0,7277Ji + 0,4144^2]J , C8.26)
II. Л = Даа2{-Ц^- + 0,8284 - 0,5147Я + 0,571U2 -
- er*l* [0,1716 + 0Д142Х + 0,25Х2]} . C8.27)
В табл. 25 приведены значения величины .///Даа2, подсчитан-
подсчитанные по формулам C8.26), C8.27). В задаче I положено v = 0,3.
Погрешность формул C8.26), C8.27) не превышает 6% для зна-
значений I < 1 и 3% для I < 0,5.
Таблица 25
X
Задача I
2
2,64
Г
2,26
Vi
3,89
X
Задача II
2
2,21
1
2,11
V.
3,37
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ VII
1.	Д и т к и н В. А., Прудников А. П., Справочник по операционному
исчислению., «Высшая школа», 1965.
2.	К о i t е г W. Т., Approximate solution of Wiener —Horf type integral
equations with applications, part I —III. Koninke. Ned. Akad. Weten-
schap. Proc. 1954, v. 57.


Глава VIII
ДАЛЬНЕЙШЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛОЯ
В СЛУЧАЕ КРУГОВОЙ ОБЛАСТИ КОНТАКТА.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
§ 39. Общие свойства ядер интегральных уравнений
для слоя в случае круговой области контакта
Перепишем интегральные уравнения рассматриваемых эадач
III, IV для круглого штампа A9.8), A9.9) и A9.16), A9.17) в виде
г), г<а'п =0,1,..., C9.1)
кп (t, х) = jj X (и) Jn (tu) Jn (xu) du,	C9.2)
о
где функции X (и), определяемые формулами B2.3), B2.4), под-
подробно исследованы в § 22, п. 1.
Изучим свойства ядра к0 (t, т). Индекс «0» в дальнейшем опус-
опускаем. Свойства ядра кп (t, х) при произвольном п нам в дальнейшем
не понадобятся.
Полученные результаты будут затем использованы при пост-
построении комплекса эффективных приближенных методов решения
интегрального уравнения C9.1) для различных диапазонов изме-
изменения безразмерного геометрического параметра X = hi а характе-
характеризующего относительную толщину слоя. Очевидно, при всех
0<^?<°°, 0<^т<°° для к (t, x) имеет место представление
к (t, т) - ? (t, x)- ? (*, т),	C9.3)
сю
к0 (*, т) = J /0 (to) Jo (tu) du,	C9.4)
? (t, x) = J [1 - X (и)] /о (tu) Л (xu) du.	C9.5)
о
Лемма 39.1. Функция ? (t, x) непрерывна со всеми произ-
производными по совокупности переменных t, x в четверть-плоскости
0<?<°о, 0<т<°о. В квадрате 0<*<1,0<т<1
функция ? (t, x) представима абсолютно и равномерно сходящим-


340	ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОЯ. КРУГОВАЯ ОБЛАСТЬ КОНТАКТА	[ГЛ.
ся по совокупности переменных степенным рядом
оо оо
Я*. *) = 2 2 М"**-	C9-6)
г=о У=о
Для доказательства первой части леммы достаточно заметить,
что на основании B2.16), B2.22) функция [1 —- X (и)] до крайней
мере ограничена при всех 0 ^ и <С °° и экспоненциально убыва-
убывает при и ->• со.
Представление C9.6) сразу получается, если под интегралом
в C9.5) разложить /0 (tu) и /0 (хи) в ряды по tu, xu. При этом бу-
будем иметь
т	(т!J	. .	/ОП „к
h = (н)« до»'"""	то=1 + /,	C9.7)
(w = 0,1 ,...)• C9.8)
Чтобы выяснить область сходимости ряда C9.6), оценим по
модулю коэффициенты Ь^. Легко установить, что при четном т
наибольший по модулю коэффициент будет
hi = -^ а2ь	C9.9)
а при m нечетном
Получим теперь асимптотику чисел ат при больших т. Подста-
Подставив в C9.8) функцию X (и) в форме B2.16) и вычислив интегралы,
найдем
+ (т + 0,5) (т + 1) А22] + О (-^} . C9.11)
Из C9.10) с учетом C9.11) имеем
I Ь|,*+11-Ч Ьи I Щ>и*-^оо,	C9.12)
поэтому достаточно получить оценку только для модуля Ъц.
На основании формулы Стирлинга для факториалов и C9.11)
найдем
Ьц ~CYT при i -* оо (С а const).	C9.13)


§ 39J	ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЯДЕР ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ	341
Отсюда следует справедливость второго утверждения леммы.
В табл. 3 даны значения нескольких первых чисел ат, найден-
найденные численным интегрированием для задач III и IV по фор-
формуле C9.8).
Вычисляя интеграл (см. [4]) C9.4), представим особую часть
ядра к (t, т) в виде
Здесь К (к) — полный эллиптический интеграл первого рода.
Лемма 39.2. При всех значениях 0<s<^|? — т|<^оо? где
8 — любое фиксированное число, имеет место равномерно и абсо-
абсолютно сходящееся по совокупности переменных представление
г s {7°^)*o(nm) (*<т),
Яри этом C9.15) можно любое число раз дифференцировать, полу-
получая на указанном отрезке изменения \ t — т|, равномерно и абсо-
абсолютно сходящиеся по совокупности переменных ряды.
Для доказательства подставим представление B2.21) функции
X (и) в C9.2) при п= 0. Вычисляя интегралы (см. [4]), придем
к C9.15). Остальные утверждения леммы легко доказываются с
помощью B2.6), B2.25) и известных свойств функций /0 (х) и
Ко (х).
Из C9.15) следует, что при [ t — т | -> °° ядро k (t, т) ведет себя
как ехр (— |* — т| Re^). Отсюда и из соотношений C9.3), C9.14)
следует, что при этом функция f (t, т) ведет себя как к0 (t, т).
Лемма 39.3. При больших \ t — т |, t их для к (t, т), имеет
место асимптотическое представление
k(t, х)
л у х	у
где к (у) имеет вид B2.2), у = \t — т|.
Для доказательства леммы воспользуемся формулой C9.15)
и асимптотическими представлениями функций Io (z) и Ко (z) при
больших значениях аргумента
Подставляя C9.17) в; C9.15) и преобразуя, найдем
) <39Л8>
Теперь с учетом B2.32) легко приходим к C9.16).


342	ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОЯ. КРУГОВАЯ ОБЛАСТЬ КОНТАКТА	[ГЛ. VIH
§ 40. Исследование осесимметричной контактной задачи
для упругого полупространства
1. Подставим в интегральное уравнение C9.1) выражение
ядра к (t, т), определяемое формулами C9.3), C9.14), и устремим h
к оо цри фиксированном радиусе области контакта а. С учетом
свойств функции $ (t, т), указанных в лемме 39.1, будем иметь
1Д/0(г) (г<а). D0.1)
Полученное интегральное уравнение, как известно [11], со-
соответствует осесимметричной контактной задаче для упругого по-
полупространства. Если функция / (г) такова, что f'(r) ^ Lpu ,/? >
^> 2 (Qa — круг г ^ а), то единственное решение интегрального
уравнения D0.1) в классе Lp^ , 1 < р < 2, имеет вид [111
_ 2 Г g'(a)	f Я*\Ъ)<11Л
D0-3)
Индексы «0» у функций q0 (г) и /0 (f) здесь и далее опускаем.
2. Исследуем дифференциальные свойства решения D0.2),
D0.3).
Теорема 40.1. Если f (г) е М^ (здесь N& — пространст-
пространство функций, п-е производные которых ограничены в области я),
то q (r) имеет вид [1]
q (г) = г|) (г) (а2 - г2)-1/,,	D0.4)
причем г|) (г) е B^oq.
Докажем сначала, что в условиях теоремы функция д* (о:)
вида D0.3) принадлежит Bi'o .
Дифференцируя D0.3), получим
I [ T(r)dT	D0.5)
Из ограниченности /" (г) в круге Qa следует, что
\ГЮ\<Вг	D0.6)


§ 40] ИССЛЕДОВАНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ	343
при всех г ЕЕ Йа. Тогда на основании D0.5)
r^L-=Cx D0.7)
D0.8)
при всех x ЕЕ Qa.
Остается показать, что
e>0,
где Qa_? — круг радиуса а с выключенной е-окрестностью точки
х = 0.
Заметим, что справедливость D0.8) будет установлена, если
мы докажем более сильное утверждение
D0.9)
D0.10)
для любых точек АиВе Qa-s, #ab — расстояние между точ-
точками. Условие D0.9) означает
Действительно, условие D0.8) означает, что
I <?*' Ы - ?*' Ы | < DR%
А
.9)
I?*'Ы - ?*'Ы\<D\xA-xB|V.f
когда жд и
[в, а]. При этом очевидно, что
D0.11)
D0.12)
Докажем утверждение D0.9) для первого интеграла в выраже-
выражении D0.5). Для этого рассмотрим модуль разности
^ V (г) dr
1
(г) dr ___ ? Г (г) dr ^ I С Г (^) dx _ ^ /^ (хх) dx
Из ограниченности /" (г) в круге Qa следует, что
I/'(г)-//(р)|<Д|г-р|
при всех г и р Е к, а], поэтому
D0.13)
D0.14)


344
ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОЯ. КРУГОВАЯ ОБЛАСТЬ КОНТАКТА	[ГЛ< VIII
Перейдем к рассмотрению второго интеграла в выражении
D0.5). Рассмотрим модуль разности
D0.16)
/If rf"(r)dr f rf"(r)dr
 '	О
Полагая t ^> т > 8, представим D0.16) в виде
f2__r2	/T2_r2//
+
. D0.17)
Оценим первый интеграл в D0.17). Используя очевидное тож-
тождество
n=0 ^ П) '
-т2)п(г2-г^чп+Ч D0.18)
перепишем его в виде
Bre-l)ll	If rf"(r)dr
Bn)U V	Mj (<2_г2)П+'/=
0
~ B/1-1)!! //2
n=i
n=l v
oo
<fi'/2|*-T|v.2-
Второй интеграл в D0.17) оценивается без труда
=B'V2\t-xfK D0.19)
rf'f(r)dr
B, y-tT—^ < в' У г \г - т |1/2. D0.20)
Итак, выяснено, что g* (x)	а
Для доказательства теоремы остается доказать, что
D0.21)
где / (г) — интеграл в выражении q (r) вида D0.2).


40] ИССЛЕДОВАНИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ КОНТАКТНОЙ ЗАДАЧИ
Рассмотрим модуль разности
а	а
345
Используя D0.7), получим
а
\I(r)-I@)\<cU JL
при всех г ?= йа.
Теяерь остается показать, что
Для этого рассмотрим модуль разности
а/г	а/р
1	1
Полагая р ^> г i> e, представим D0.25) в виде
J(r) —
а/р
g" (ra?)
— 1
D0.23)
D0.24)
D0.25)
D0.26)
Используя D0.9), оценим первый интеграл в D0.26)
а/р	а[р
? q*> (rx) — ^r*' (pa?)
¦ d^
<D|p-r|V.
<
= D I p — r I . D0.Z7)
Оценим второй интеграл в D0.26), используя D0.7),
| J^M^|<Dr(^^^-l^^)<D'|p-rpA. D0.
Теорема доказана.


346	ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОЯ. КРУГОВАЯ ОБЛАСТЬ КОНТАКТА [ГЛ. VIII
Аналогично изложенному выше может быть доказана следую-
следующая более общая
Теорема 40.2. Если /(rjeM^2, то q(r) имеет вид D0.4),
причем г|)(г)а
Как доказывают конкретные примеры, условие, наложенное
на функцию / (г) в теоремах 40.1 и 40.2, несколько завы-
завышено. Теоремы, по-видимому, справедливы, если соответственно
Следствие 40.1. Если f (г) ЕЕ М^ и выполнены условия
фЮ (а) = 0 (к = 0, 1, ..., т — 1, m < и), D0.29)
то q (r) имеет вид
9 (г) = У* (г)(а2 - г2Г~1/2,	D0.30)
причем ф4 (г) е Bnlw^a и фф (г) е Bn*oa_5, Qa-5 — ^г/г г < а — б,
б > 0 —сколь угодно малое число.
§ 41. Некоторые общие результаты относительно решения
интегрального уравнения C9.1)
1. Изучим вопрос о структуре решения интегрального урав-
уравнения C9.1) при п = 0 (случай осевой симметрии).
Представим решение q(r) уравнения C9.1) при п = 0 в виде [1]
?(r)=Po'(r) + p,(r),	D1.1)
где р0 (г) — решение интегрального уравнения D0.1), определя-
определяемое соотношениями D0.2), D0.3), Подставляя D1.1) в C9.1) и
учитывая C9.3), C9.14), получим для поправочной функции р* (г)
следующее интегральное уравнение:
D1.2)
Теорема 41.1. Ясли /(г) е= M|j , а решение интегрального
уравнения D1.2) существует в-ра , р^> 1, то общее решение интег-


§ 41]	РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ C9.1)	347
ралъного уравнения C9.1) при всех X е= @, <») имеет вид D1.1),
где
р» (г) = Y (г) (а» - Н»)-*,	D1.3)
причем W (г) —- непрерывная со всеми производными в Qa функция.
Для доказательства заметим, что в силу теоремы 40.1 и свойств
функции $ (t, т), указанных в лемме 39.1, правая часть уравне-
уравнения D1.2) есть функция, непрерывная со всеми производными
Принимая теперь во внимание теорему 40.2, легко убедиться
в справедливости данной теоремы.
Следствие 41.1. Если функция f (г) ее М^+2 и решение
интегрального уравнения C9.1) существует LPiQ , р ^> 1, то его
решение q (r) при всех К ЕЕ @, °°) имеет вид D1.3), где функция
?(г)<=В\.
Доказательство вытекает из теорем 40.2 и 41.1.
Следствие 41.2. Если функция / (г) Е М^+2, решение
интегрального уравнения C9.1) существует в Lpq , р ^> 1, и
выполнены условия
W> (a) = 0 (k = 0, 1, ..., т - 1; т < л), D1.4)
то решение q (r) при всех К ЕЕ @, °°) имеет вид
q (r) = Y* (r)(a2 - r2)™-V2,	D1.5)
Y((r)EBL,ofl и Тф(г)е^.
Доказательство вытекает из следствий 40.1 и 41.1.
2. Решение интегрального уравнения C9.1) при п ф 0 может
быть получено применением некоторого дифференциального опе-
оператора к специально подобранному решению при п — 0. Об этом
свидетельствует следующая [1]
Теорема 41.2. Если gm (г) ?= М^ и q (r) штгь решение ин-
интегрального уравнения C9.1) при п = 0 для случая
причем
то
L-m
такое,
/(г) = 1
г
(<P) = jrm
0
что
#> (а) =
L-m(r-mgm
0
0 (й; =
) + > с
0,1,...,
0
m —
(rx) dr1(
1).
D1
D1
D1
.6)
•7)
•8)


348	ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОЯ. КРУГОВАЯ ОБЛАСТЬ КОНТАКТА	[ГЛ. VIII
есть решение интегрального уравнения C9.1) при п — т для слу-
случая fn (г) = gm (г).
Для доказательства предположим, что q (r) есть решение ин-
интегрального уравнения C9.1) при п = О, если / (г) дается D1.6).
Потребуем, чтобы выполнялись соотношения D1.8). Этого всегда
можно добиться определенным выбором произвольных постоянных
ск в D1.6).
Используя далее D1.6) и соотношения
fx- /0 (цг) = L- [(-1)™ r~mJm (|ir)];	D1.10)
pTJo (lip) = Lm [pm/m (lip)],
перепишем интегральное уравнение C9.1) при п = 0 в виде
(u)Lm [PmJn [Jfj\ L- [(- l)mr-mJm (if)] du =
m
= Afe ["L- (rwgw) + 2 ^r2H , г < a. D1.11)
Перебросим теперь оператор Lw на функцию q (p) путем интег-
интегрирования по частям, что возможно в силу следствия 41.2. Вне-
интегральные слагаемые при этом пропадут в силу условий D1.8).
Применяя, наконец, к полученному соотношению оператор Lm
по переменной г, будем иметь
)	(r), r<a. D1.12)
Из D1.12) следует справедливость теоремы.
На основании доказанного достаточно ниже разработать приб-
приближенные методы решения интегрального уравнения C9.1) при
п = 0 (случай осевой симметрии).
3. Для интегрального уравнения C9.1) также имеет место
теорема М. Г. Крейна [6], аналогичная по формулировке теореме
24.4. Учитывая это, мы основное внимание будем в дальнейшем
обращать на исследование случая / (г) = 1.
§ 42. Эффективное решение контактных задач
для слоя при больших значениях %
(случай круговой области контакта)
Здесь мы получим асимптотическое при больших X решение
интегрального уравнения C9.1).
1. Аналогично тому, как это сделано в § 25, интегральное урав-
уравнение C9.1) с помощью формул C9.3), C9.14) и D0.2), D0.3) при


§ 42]	ЭФФЕКТИВНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛОЯ	349
условии / (г) ЕЕ М^ можно представить в виде эквивалентного ему
в Lp, яа, Р > 1, интегрального уравнения второго рода
Я (г) = <7° (г) + А [д (г)],	D2.1)
где д° (г) определяется соотношениями D0.2), D0.3), А — линей-
линейный интегральный оператор, действующий в Lp^ , р > 1.
Далее можно показать, что оператор А в Lpq , р ^> 1, при Я ^>
> А,*, где Х# ^>0 — некоторое число, является оператором сжа-
сжатия, откуда по принципу Банаха вытекает, что при X ^> к% в Lpq
р"л^> 1, решение интегрального уравнения C9.1) существует и
единственно. Приближенное решение может быть получено мето-
методом последовательных приближений по схеме
qn (г) = qQ (г) + A [q71-1 (г)].	D2.2)
Примерно в таком плане выполнена работа [2].
2. Изложим и другой путь построения асимптотического при
больших X решения уравнения C9.1), несколько более удобный [1].
На основании формул C9.3), C9.5), C9.14) представим интег-
интегральное уравнение в виде
VJp\
¦+р/
Так как формула C9.5) имеет место при t = rlh < 1 и г =
= p/h <C 1, то уравнение D2.3) и все результаты, которые будут
получены на его основе, будут иметь смысл по крайней мере при
Решение интегрального уравнения D2.3) будем искать в виде
оо
г=0
Подставляя D2.4) в D2.3) и приравнивая члены правой и левой
частей при одинаковых степенях АГ1, получим для последовательно-
последовательного определения рг (г) бесконечную систему интегральных урав-
уравнений. Уравнение для pQ(r), очевидно, совпадает с D0.1). Левая
часть уравнения для/?п (г) также совпадает с левой частью D0.1),
а правая есть полином по г степени 2 \п 2 с коэффициентами в
виде функционалов от рт (р), т < п.


350	ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОЯ. КРУГОВАЯ ОБЛАСТЬ КОНТАКТА	(ТЛ. VlII
Легко видеть, что последовательное определение pt (r) из такой
бесконечной системы интегральных уравнений с помощью формул
D0.2), D0.3) не представляет труда.
Приведем окончательный вид решения интегрального уравне-
уравнения D2.3), полученного описанным способом
Здесь р^ (г) имеет вид D0.2), д* (?) дается соотношением D0.3),
кроме того, в соответствии с C9.7) положено bQ0 = а0, Ь10 = Ьо1 = а1#
Интегрируя D2.5), получим выражение для силы S5, действую-
действующей на штамп,
= 2я ^q (р) р ф =
о
Из D2.5) не представляет труда найти решение уравнения D2.3),
обращающееся в нуль на контуре г = а, именно:
„м- 2 f
я
при условии
J_ ? _.* ,*ч Г 2«о Гл , 2ao , / 2a0 \2 , / 2a0 \з , 8ai'
a
Условие D2.8) при] заданной форме основания штампа и силе S5
служит для определения радиуса а области контакта.
Формула для силы 2Р в случае D2.7) имеет вид


§ 421	ЭФФЕКТИВНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛОЯ	351
3. Получим теперь на основании формулы D2.7) и алгоритма,
изложенного в теореме 41.2, асимптотическое при больших X ре-
решение интегрального уравнения C9.1) при п = 1 (первая гармо-
гармоника).
После простых преобразований имеем
а
2 d
D2.10)
Момент .//, действующий на штамп, найдем по формулам D2.10)
и
а
D2.12)
Легко убедиться, что выражение для этого момента совпадает
с выражением D2.9) для силы ЗР. Для этого нужно вспомнить,
чтов случае D2.7) имеют место равенства q (a) = 0nq1(r) = q' (г).
Этот факт, очевидно, имеет место при всех значениях параметра
fce @, оо).
Отметим, что в случае п = 1 также может быть найдено реше-
решение, обращающееся в нуль на контуре области контакта г = а
при соответствующем условии, налагаемом на функцию Д(г).
Решение D2.10) обладает интересной особенностью. Второй
член его сразу имеет порядок Аг3, а не Аг1, как решение D2.5)
для нулевой гармоники. Можно показать, что вообще структура
асимптотического при больших X решения для п-ж гармоники qn (p)
имеет вид
) +О(Х-*п-!),	D2.13)
где qn0 (р) — решение при к = оо. Отсюда следует, что если за-
задаться определенной точностью асимптотического решения по
Аг1, скажем, ограничиться членом Аг4, то тогда, начиная с п = 2,
необходимо брать qn (р) = qn0 (p).
Таким образом, с ростом номера гармоники п наблюдается ос-
ослабление влияния дна слоя на закон распределения контактных
давлений под штампом qn (p), соответствующий данной гармони-
гармонике, т. е. учет дна дает к функции qn (p) все более малые поправки.


352	ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОЯ. КРУГОВАЯ ОБЛАСТЬ КОНТАКТА	[ГЛ. VIII
Отметим, что это явление носит общий характер, именно, оно наб-
наблюдается при любых, в том числе малых, значениях параметра X.
Как показывают конкретные примеры (§§48—50), формулы
D2.5) — D2.11) дают достаточную для практики точность при X > 2.
§ 43. Сведение интегральных уравнений
осесимметричных контактных задач для слоя
к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений.
Метод I
В этом параграфе мы изложим эффективный метод решения
интегрального уравнения D1.2) для поправочной функции р* (р)
при достаточно больших X путем сведения его к бесконечной ли-
линейной алгебраической системе [1, 8—10].
Далее предположим, что выполнены условия теоремы 41.1.
1. Прежде всего представим функцию f (t, т), даваемую со-
соотношением C9.5), в форме следующего двойного ряда по четным
полиномам Лежандра:
оо оо
^ (ТГ' "г) = 2 2 Ч (*-) Ри (/1-rVa2) P2j (/l-p'/a2). D3.1)
Функции /* (г) и ? (г), входящие в формулы D1.2), D1.3)
также разложим в ряды
W (г) = 2 №i (/l-W).	D3.2)
г=0
В силу указанных в §§ 39, 41 свойств функций f (t, т), /# (г)
и W (г) ряды D3.1), D3.2) сходятся равномерно к f (t, t) по сово-
совокупности переменных (г, р) ЕЕ [0, а] и любых значениях парамет-
параметра X е @, оо) к /* (г) и W (г) при всех г?Йа (см., например, [3]).
Воспользовавшись известным свойством ортогональности по-
полиномов Лежандра [4]
получим для коэффициентов е^ (X) ряда D3.1) выражение
11
«„. = Dт + 1) Dл + 1) ^ (Jf)
/Г^«	D3.4)


§ 43]	СВЕДЕНИЕ К БЕСКОНЕЧНЫМ СИСТЕМАМ УРАВНЕНИЙ	353
Подставив теперь в D3.4) выражение $ (t, т) вида C9.5) и
используя интеграл [4]
\
\j0 (ta) P%i(УТ=1?) у^ - j/^2^!!.-*-j^p), D3.5)
получим другое выражение для етп (X):
¦>" ft - а; см х
О
Перейдем к определению коэффициентов Rt^. Используя вто-
вторую формулу D1.2) и D3.1), найдем
2j
а
Ъп = \ро (Р) Р2„ (/1 - р2/а2) р dp.	D3.7)
О
Вычислим интегралы D3.7), применяя следующий прием. Ум-
Умножим обе части интегрального уравнения D0.1) почленно на
Т (а2 — T^Y^P^n (У 1 — г2/а2) и проинтегрируем по г от 0 до а.
Переставив затем интегралы в левой части полученного соотно-
соотношения и воспользовавшись формулой [5, 7, 9]
D3.8)
получим для интегралов г[)п следующие выражения:
2Аа
я [Bл — 1) И]» Dл + 1) '
^	D3.9)
Заметим, что числа Rn есть коэффициенты разложения функции
/ (г) в ряд по полиномам Лежандра вида D3.2).
Получим, наконец, соотношения для определения коэффици-
коэффициентов §t во второй формуле D3.2).
И. И. Воровцч ц др9


354	ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОЯ. КРУГОВАЯ ОБЛАСТЬ КОНТАКТА	[ГЛ. VIII
Лемма 43.1. Любому решению р* (г) интегрального уравне-
уравнения D1.2) из класса LPQa, 2^>/?]>l, соответствует последова-
последовательность чисел $г из класса 1Х, удовлетворяющая бесконечной си-
системе линейных алгебраических уравнений
оо
и наоборот.
Для доказательства подставим в интегральное уравнение D1.2)
функции р* (р), f* (г) и $ (?, т) в виде D1.3) и D3.1), D3.2) и вы-
вычислим интегралы по формулам D3.3), D3.8). Получим соотноше-
соотношение, в левой и правой частях которого стоят ряды по полиномам
Лежандра. Приравнивая коэффициенты обеих частей при полино-
полиномах одинакового номера, получим для определения §t бесконеч-
бесконечную систему D3.10).
Эквивалентность интегрального уравнения D1.2) и системы
D3.10) доказывается аналогично тому, как это сделано в § 26 (лем-
(лемма 26.1).
2. Перепишем систему D3.10) в более удобном виде:
х% -
агк
Заметим,
^ = 2я
V _1_ 1
- f \ ^2/f /С "Т~ '
fc=l
я [Bi — l)\\
2 [Bft)!!]
яХ [Bft-1)
что сила
а
J?(P)pdp =
0
a
По предположению,
2 еп
!!]2Dft
a
2я \ [
0
P* (r)
+ !)•
Po(p)-
idp
-P2'
D3.12)
D3ЛЗ)
л (р)] р dp =
^ р ]> 1, и, следовательно,
|§о!<оо.
Решив бесконечную систему D3.12) — D3.14), найдем затем
величину §0 из соотношения D3.11).
Относительно системы D3.12) — D3.14) имеет место


§ 43]	СВЕДЕНИЕ К БЕСКОНЕЧНЫМ СИСТЕМАМ УРАВНЕНИЙ	355
Теорема 43.1. Бесконечная система D3.12) квазивполне
регулярна при X ^> 0. Если существует ее ограниченное решение,
то последовательность xt принадлежит 1Р, р > 1. При X ->- 0
определитель системы стремится к нулю.
Существует такое 0 < X < оо, что при Х<^Х бесконечная си-
система D3.12) вполне регулярна.
Доказательство теоремы аналогично доказательству теорем
26.1 и 26.2. Необходимо воспользоваться оценками для коэффи-
коэффициентов aik вида D3.14), подобными оценкам B6.17) — B6.21).
На основании теоремы 43.1 можно заключить, что бесконечная
система D3.12) при X <^ X имеет единственное ограниченное реше-
решение, а следовательно, решение в 1Р, р > 1. Существование и един-
единственность ограниченного решения при X > X ^> 0 сводится к су-
существованию решения конечной системы N первых уравнений
(относительно N см. ниже). При очень малых значениях парамет-
параметра X матрица системы D3.12) становится плохо обусловленной.
При условии существования ограниченного решения системы ряд
в D3.11) абсолютно сходится.
3. Для нахождения приближенных решений бескон чной си-
системы D3.12) удобно воспользоваться методом редукции (урезания).
Если ряд D3.11) урезать так:
S 2 Ч (М p2i (/l-r2/a2) P2j (]/~1-р*/а2), D3.16)
то соответствующая урезанная система D3.12) будет иметь вид
B6.43), причем
Ьпг = АД?* + JL §0^0 (X), i = 1, 2, ..., п.	D3.17)
Соотношение D3.11) также несколько меняет свою форму
Верхний индекс п у величин R^ означает, что в формуле D3.7)
суммирование по i необходимо производить до п, а не до бесконеч-
бесконечности.
На основании леммы 26.3 можно заключить, что описанный
выше метод редукции будет сходиться, если Х^> X. При А,> X ^> 0
метод редукции, очевидно, будет также сходиться, если конечная
система, состоящая из N первых уравнений системы D3.12), раз-
разрешима. Номер N определяется как Inf (i —1), при котором
с»
2к-|<1-е, е>о.	D3.19)
12*


356
ЗАДАЛИ ДЛЯ СЛОЯ. КРУГОВАЯ ОБЛАСТЬ КОНТАКТА
СГЛ.
Практически решение урезанной системы видаB6.43),как уже
отмечалось в § 26, производится достаточно просто благодаря то-
тому, что ее коэффициенты образуют почти треугольную матрицу.
После определения величин хг найдем 80 из соотношения D3.11),
а затем получим приближенное решение интегрального уравнения
C9.1) при п = 0 по формулам D3.1), D3.3), D0.2), D0.3), D3.2),
D3.13). При этом в D3.2) суммирование по i производится до п,
а не до бесконечности.
Приближенное решение обращающееся в нуль на контуре
г = а будет иметь место при выполнении соотношения
^72 +2 *?(-
г=0
которое следует из формул D3.1), D3.3) и D3.2). При заданной
форме основания штампа и заданной силе ЗР условие D3.20) слу-
служит для определения радиуса области контакта а.
Таблица 26
III
IV
воо
0,929
0,851
ею
0,131
0,103
е20
0,579-10-2
0,456-10-2
еи
0,119
0,730-10-1
езо
—0,158.10-3
0,890-10-4
e2i
0,208-10-1
0,107-10-1
Необходимые для выполнения конкретных вычислений значе-
значения постоянных ет,п (X) даны в табл. 26. Подсчет производился
лишь при X = 1 для обеих рассматриваемых контактных задач
(для задачи III принято v = 0,3) по формуле D3.4). Значитель-
Значительное упрощение вычислительного алгоритма было достигнуто за
счет использования табл. 34 и 35 функции f(t) вида E1.7) и соот-
соотношения
R =
т2 - 2txcosq>. D3.21)
4. Заметим, что при заданной точности приближенного реше-
решения интегрального уравнения C9.1) (п = 0) и уменьшения пара-
параметра X количество уравнений в урезанной системе необходимо
увеличивать. Это следует из того, что при Х-> 0 ряд D3.1) рас-
расходится на линии т = t. Последнее может быть показано с помощью
оценок типа B6.21) для коэффициентов е^ (X) и асимптотики по-
полиномов Лежандра при больших значениях номера.


Литература к главе Viil	35?
Таким образом, хорошую сходимость изложенного метода сле-
следует ожидать только при достаточно больших значениях парамет-
параметра X. Конкретные числовые примеры (§§ 48 —50) показывают, что
при X ^> 1/2 получение практически точных решений интеграль-
интегрального уравнения C9.1) в случае п = 0 обеспечивается уже при ре-
решении указанных систем, состоящих из 2—4 линейных алгебраи-
алгебраических уравнений.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ VIII
1.	Александров В.М., О приближенном решении некоторых инте-
интегральных уравнений теории упругости и математической физики. ПММ,
1967, т. 31, вып. 6.
2.	Ворович И. И., Устинов Ю. А., О давлении штампа на слой
конечной толщины. ПММ, 1959, т. 23, вып. 3.
3.	Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функ-
функций. Гостехиздат, 1954.
4.	Градштейн И. С, Рыжик И. М., Таблицы интегралов, сумм,
рядов и произведений. Физматгиз, 1962.
5.	Клубин П. И., Расчет балочных и круглых плит на упругом основа-
основании. Инж. сб., 1952, т. XII.
6.	К р е й н М. Г., Об одном новом методе решения линейных интегральных
уравнений первого и второго рода. ДАН СССР, т. 100, № 3, 1958.
7.	Лурье А. И., Пространственные задачи теории упругости. Гостех-
Гостехиздат, 1955.
8.	Попов Г. Я., Контактная задача теории упругости при наличии
круговой области контакта. ПММ, 1962, т. 26, вып. 1.
9.	Попов Г. Я., Некоторые свойства классических многочленов и их
применение к контактным задачам. ПММ, 1963, т. 27, вып. 5.
10.	Попов Г. Я., О применении многочленов Якоби к решению интеграль-
интегральных уравнений. Изв. вузов, метематика, 1966, № 4 E3).
11.	Штаерман И. Я., Контактная задача теории упругости, Гостехиз-
Гостехиздат, 1949.


Глава IX
ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛОЯ
В СЛУЧАЕ КРУГОВОЙ ОБЛАСТИ КОНТАКТА
И МАЛОЙ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ТОЛЩИНЫ СЛОЯ. МЕТОД II.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
§ 44. Сведение интегральных уравнений
осесимметричных смешанных задач для слоя
к бесконечным системам линейных
алгебраических уравнений
В § 44 приводится метод сведения интегральных уравнений
C9.1), C9.2) к бесконечной системе линейных алгебраических
уравнений. Указанный метод, который мы называем методом I,
эффективен при больших X. Ниже будет приведен метод II сведе-
сведения интегральных уравнений к бесконечным системам, эффек-
эффективный при малых значениях параметра К,
Введем в интегральных уравнениях C9.1), C9.2), к которым
приводятся задачи III, IV, следующую замену переменных:
= р', 1А = а, 1	,,,,
,	/ (йг') =/* (г') J	{ '
q (hp') = g* (p),
и в дальнейшем значки «штрих» и «звездочка» опустим. В резуль-
результате интегральные уравнения C9.1), C9.2) примут вид
а
jj к (г, р) q (p) p dp = hrlА/ (г), 0 < г < а,	D4.2)
О
где к (г, р) дается соотношением C9.2).
Предварительно исследуем важный частный случай, когда
А-ХД/ (р) - /0 (tip), Im т| = 0.	D4.3)
Будем искать q (p) — решение интегрального уравнения D4.2)
с правой частью D4.3) в форме
оо
q (Р) = ^о/о Ы + 2 *>Л (SzP) Io1 F,a),	D4.4)
в случае задачи III и в виде
оо
q (р) = VoJo (rip) + 2 {^^о (SiP) ^o1 F«a) —
М /0 (в|Р) - p/i (б,р) Ц1 (бга)] ^}. D4.5)


§ 44]	СВЕДЕНИЕ К БЕСКОНЕЧНЫМ СИСТЕМАМ УРАВНЕНИЙ	359
для случая задачи IV. Коэффициенты vh и)г не зависят от р, и их
предстоит определить.
Относительно свойств рядов D4.4), D4.5) имеет место
Лемма 44.1. Пусть бесконечные последовательности {vt},
{wL} обладают свойствами
тогда ряды D4.4), D4.5), как функции от р принадлежат
Лемма доказывается применением к бесконечным рядам
D4.4), D4.5) неравенства Минковского [3] и асимптотических раз-
разложений функций Бесселя при больших аргументах.
Установим, что коэффициенты vu и)г удовлетворяют некоторым
бесконечным системам линейных алгебраических уравнений.
Для получения этих бесконечных систем внесем в интегральное
уравнение D4.2) с правой частью D4.3) ядро к (г, р) в форме C9.15)
и решение q (p) в форме D4.4), D4.5), и результат проинтегриру-
проинтегрируем, используя при этом соотношения [21:
pt/i (тр) ^о Сир) — p^q (tp) А Сир)
	т'
\ 9К0 (ТР) /о (Чр) Ф =-
(ТРO0(бр)ф -
0 (Тр) /0 (бр) dp = Д^'(тр)/1(
(РТ) /х FР) Ф - 26Р [- 6h (TP) gff+.T/l
i 6p2/o (w) /о (бр) — ГР2Д (ТР) h (бр)
"г	б2 — г2	'
Т (Ьп\ Jn - - 2бр [бДГо (ТР) /х (бр) + T*i (ТР) /о (бр)] ,
, ук^ц u r)h (бр) + TP2^i (Тб) /о (бр)
"г"	б2 — г2
В результате для определения неизвестных vh wt соответст-
соответственно для задач III и IV получим следующие бесконечные системы
линейных алгебраических уравнений:
*i (V) + Тт^ (Тта) /0 (V 1
о (Ттаа) Jo № + 1fm-gx (Tm^) ¦/„ М уо 44 g


360	ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОЯ МАЛОЙ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ТОЛЩИНЫ [ГЛ. IX
ЬК (Та) 1Х (да) + Т ЛГ (у а) 70 (б а) Г 7Х (б,а) ]
' т	 l a—m m	2—i- У/ + 7 6', Wi —
Sia/fo (Tme) 'о (бга> + Tm«^i (Tm«) 7X («,a>
26f g0 (Ттоа) I, (flta)
a) 7,
J =
«) Л M + Tm^1 (Ттаа) -7q
- D4.7)
Разделим системы D4.6), D4.7) на iK0 (yma) и исследуем асим-
асимптотическое поведение левых частей этих систем при а —> оо. Пос-
После несложных выкладок, учитывающих асимптотическое поведе-
поведение In (z), Kn (z) при z ->¦ оо, легко находим, что левые части
систем D4.6), D4.7) соответственно принимают вид (после де-
деления последних на iK0 (yma)
D4.8)
D4.9)
1=1
1=1
Таким образом, левые части систем D4.6), D4.7) при а ->- се
совпадают с уже исследованными в § 29 системами B9.10), B9.11).
§ 45. Исследование бесконечных систем
алгебраических уравнений специального вида
1. Представим бесконечные системы D4.6), D4.7) в матричной
форме. Для этого введем некоторые обозначения, положив в зада-
задаче III
А = {ап} = {(zr -
В =
) h
1 (Tm«)
D5.1)
и в задаче IV
^i (Тдаа) /0 (в,а


§ 45]	ИССЛЕДОВАНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ	ЗВ1
Ьг,21 = \ '" ^т\1ь{1^^а)к1^а Х ^ ~	* D5'2)
	1—oum a ° l ^ та—lUm 1W +
2iufKn (т й) /- (б»й) —f~ 2т bjK* (т д) /л (о»д)
Кроме того, положим в задачах III, IV соответственно
vi = xh	X = {a?J,	D5.3)
и для обеих задач
В = fd I = ! Л^°(Tmfl) Л (Y)a) + Tm^(Tma) J° (T|a)l D5 5)
Исследуем поведение элементов матриц 5 (z) с ростом их ин-
индексов.
Используя известную асимптотику функций Бесселя и Макдо-
нальда [2], найдем, что в случае задач III и IV при а ^> 0 имеют
место асимптотические оценки (г ->¦ оо, к -> оо)
1
г/с (Л — г) /с2 ~ г/с2 ~ г (г — к) к ~ г (г + к) к ' (г + к) /с2 ' I D5.6)
Таким образом, указанные бесконечные системы можно предста-
представить в форме
[А + В (а)] X = D.	D5.7)
Лемма 45.1. Оператор В (а) в случае задач II, IV дейст-
действует из С (X) (—1 < X) в С (а) (а < 1) непрерывно.
Принимая во внимание свойство D5.6), имеем
оо
|BX|C@)<msupra 2
< т sup r° (± + -Ц^-) • | X |С(х). D5.8)
Из последнего соотношения следует, что при X ^> —1 можно
взять a < 1.


362	Задачи для слоя малой относительной толщины [гл.
Пусть теперь в системе D5.7) элемент I)EzC(X) (^)
Действуя на D5.7) слева матрицей А, получим систему вида
X = - А *В (а) X + А1!).	D5.9)
Принимая во внимание леммы 30.2, 45.1, убеждаемся, что спра-
справедлива
Лемма 45.2. Оператор Аг^^действует из С (X) (X ]> —1)
в С (а) (а < —0,5) непрерывно.
На основании замечания 29.1 произведем в уравнении D5.9)
замену переменного вида B9.24) при X = + 1
хг = %гх1.	D5.10)
Элементы матрицы А~ЧВ (а) также при этом изменятся, но форма
уравнения будет иметь тот же вид с той лишь разницей, что оно
рассматривается в пространстве С (X) @ < X < 0,5) убывающих
последовательностей.
Опуская штрихи, систему D5.9) будем по-прежнему записы-
записывать в этой же форме.
Принимая теперь во внимание, что оператор вложения из про-
пространства С (X) в С (б) @ < б < X) и из С (X) в 1 q (q > X) явля-
является вполне непрерывным, полученные ранее результаты о непре-
непрерывности оператора А~2В (а) можно усилить, сформулировать их
в форме теоремы
Теорема 45.2. Оператор А""ХВ вполне непрерывен
1)	из С (Я), X > 0, в С (а), а < 0,5,
2)	из 1Р, р > 1, в lq, 2 < q < оо.
Выпишем элементы матрицы A~XB. В случае задачи III их
можно, сворачивая ряды по вычетам, преобразовать к виду
- У . J_ic (i2 - О С+С,)
.-.]-
D5.11)
0<Imc<ImClf
б/т —символ Кронекера.
В случае задачи IV элементы е^т оказываются еще более гро-
громоздкими и их мы не приводим.
Установим теперь, что решение бесконечной системы D5.9),
если оно существует, при D е= С (X) (X — достаточно велико) до-


§ 40]	ИССЛЕДОВАНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ	363
ставляет интегральному уравнению D4.2) решение q (r) из класса
единственности В?_о, &Lpq § 19.
Для этого внесем составляющие А-ЧВХ (X ЕЕ С (X), X ^> 0),
преобразованные по формуле D5.10), в формулу D4.4), D4.5). Сво-
Сворачивая встречающийся при^этом ряд по вычетам в интеграл,
приходим к соотношению вида
0/ ч _ 1 "Г' ^ ^ h {Ur) R+ (f0 [Fl (~ ^ + F' {h)] Xmdhdt
—oo—%C\ oo—icz w=l	1
D5.12)
Отметим, что при tu t2 ->¦ oo имеет место оценка
D5.13)
Оценивая в последнем соотношении вначале ряд по т как
функцию параметра t1 при X е С (X), Я, ]> —1, и [ ^ | ->- 0, най-
найдем, принимая во внимание D5.13),
1 2 №(~^)+^(<1)]Х» |<| [|-^L| + |-^|] >^1 ||Х||сМ<
1 m=i	fi — Ьт	' m=i L ' ьт I I 1 ! J | t± — ?т |
оо
/ V Г	С1	.	С2	111 VII	<<
	.^х-х	г" "	JZx~ II ^ 11С(Х) ^
|^i|—>оо, [ 1т ?х | ^ к ^ 0.	D5.14)
Оценим теперь первый внутренний интеграл. Очевидно, при
I с\ | < я имеем
У"	1*1-*°°. ,,,,,,
{45Л5)
	\t-h\\h\ < М| ' Im*<0. {45Л5)
-oo -ic*
В силу очевидной аналитичности подынтегральной функции в
D5.12) контур интегрирования по t, после того как вычислен внут-
внутренний интеграл, можно деформировать в нижнюю полуплос-
полуплоскость и совместить с контуром Г (рис. 20).
В результате приходим к оценке интеграла вида
f , /.(«г, /-(«.


364	ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОЯ МАЛОЙ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ТОЛЩИНЫ [ГЛ. IX
Производя в последнем интеграле замену переменного z =
= {а — r)t и устремляя г ->¦ а, воспользовавшись асимптотикой
функций Бесселя при больших аргументах, получим, что
g° (г) ~ $ J ,  Г dz ~ с (а - г)-У* (г-^а) D5.17)
или	д° (г) . (а - г)* е В° [0, а].	D5.18)
Совершенно аналогично устанавливается, что если -Dee с (А,)
Я, > 0,5, то соответствующее q1 (r) обладает свойством D5.18).
Действительно,
Io(tir)dtd
Оценивая внутренний ряд, имеем
оо
^J /+ I - \ Г D—1 /У \1
D5.19)
В результате вновь приходим к интегралам D5.17).
Совершенно аналогично такое же исследование проводится и
в случае задачи IV, причем получается этот же результат.
Таким образом, установлена
Теорема 45.3. Если для D ЕЕ С (к), к ^> 0,5, существует
решение системы D5.9) в С (о), аУ> —1, то существует решение
интегрального уравнения D4.2), обладающее свойством
q(r)(a _rH,5EEB°[0,a].	D5.20)
2. Ниже докажем линейную независимость функций In (z),
аналогичную соответствующему результату А. Ф. Леонтьева,
приведенному в § 27 для функций exp z.
Лемма 45.3. Пусть У|?С (X), ^gC (X), | X | < оо, и
для всех 0 ^ р <Г а имеют место равенства
оо
"(Л (TIP) + S vi[o (S;P) 'о1 (8,o) = a,	D5.21)
оо
S № (8/P) ^o («i<») - ^ [a/i (*!«) I? (8,o) /0 (8,p) -
-р/1(бгр)/о1(дга)]и;г}^О.	D5.22)
Тогда следует, что все vx = 0, м;г = О, Z = 1, 2, ...


§ 45]	ИССЛЕДОВАНИЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ	365
Сведем указанную задачу к^уже рассмотренной в § 27 анало-
аналогичной задаче для рядов Дирихле.
Воспользуемся интегральным представлением функций Вебера
1	х
К (z) = (-f Y*	р	j-r- \ A - t*)n~ T ch zt dt. D5.23)
^ ' /5г(»+4-) Ji
Для сведения рядов D5.21), D5.22) к рядам Дирихле установим
следующий факт.
Пусть две четные аналитические в окрестности нуля функции
Ф (z) и г|) (z) связаны соотношением
1
ф (Z) = ^(l- г2)"-1/* -ф (fe) Л.	D5.24)
—1
Тогда из условия, что ф (z) = 0, z ?Е [0, б] следует, что и ty (z) =
= 0 в области регулярности.
Действительно, так как а|) (z) регулярна в окрестности нуля, то
имеет место представление вида
Но тогда из D5.12) следует, что
оо	1
$	- 0, zG [0, б].	D5.25)
ki	-1
Так как
1
^ A - t*y**bt**dt=j=O, k = 0,1, 2,...; п = 1,2,...,
—1
то из D5.13) заключаем, что все a2h = 0, /с = 0, 1, 2, т. е. ip (z) = 0.
На основании последнего утверждения вместо D5.21), D5.22)
получаем эквивалентную задачу: при 0 <^ р ^ а имеют место
соотношения
2 tf Ffi) (eizi« + e~izi«) = 0,
z=i
оо
- i [ah t\a) I? F,a) (e^ +
- б^о F;a) p^ (eiz/pt + e-^')] Wl) « 0.
Из последних соотношений в силу результатов § 27 получаем,
что все ^ = 0, I = 0, 1, 2, ...; Ш/ = 0, I = 1, 2, ...
Лемма 45.3 доказана.


366	ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОЯ МАЛОЙ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ТОЛЩИНЫ [ГЛ. IX
§ 46. Решение бесконечных систем,
полученных в § 44
Настоящий параграф посвящен установлению разрешимости
бесконечности систем D4.6), D4.7) и построению методов их ре-
решения.
1. Доказательство разрешимости системы будет опираться на
установленный в § 19 результат однозначной разрешимости ин-
интегрального уравнения D4.2) при любой правой части / (г) такой,
что
/(r)e«[0.a].	D6.1)
Таким образом, решение интегрального уравнения D4.2) с
правой частью
)	D6.2)
1ш т) = О, j	V
удовлетворяющей D6.1), единственно и принадлежит классу
функций q(r), допускающих представление
9(г)(а-г)«.8ЕВ?м.	D6.3)
Отыскивая решение интегрального уравнения D4.2) в виде
ряда Дирихле D4.4), D4.5) § 44, мы пришли к системе D5.7),
которая после некоторых преобразований приведена к ви-
виду D5.9).
Теорема 45.2 гласит, что D5.9) есть уравнение второго рода с
вполне непрерывным оператором в банаховом пространстве.
Вопрос о разрешимости этой системы (см. § 31) сводится к
вопросу о числе решений соответствующей ей однородной сис-
системы.
Покажем, что однородная система в классе последовательнос-
последовательностей, обеспечивающих функции q (г) принадлежность классу D6.3),
имеет лишь тривиальное решение.
Если допустить, что однородная система имеет нетривиальное
решение, тогда нашлись бы числа vu w\, не совпадающие с^и
wt и такие, что ряд (ограничимся случаем задачи III)
оо
?' (г) = v'0J0 ft, г) + 2 v\h (V) h (M	D6.4)
z=i
также являлся бы решением интегрального уравнения D4.2) с
правой частью D6.2).
Кроме того, в силу теоремы 45.3 ряд D6.4) также обладает
свойством D6.3).


§ 46J	РЕШЕНИЕ ЁЕСКОЯЕ^НЫХ СИСТЕМ, ПОЛУЧЕННЫХ В § 44	367
Но тогда в силу теоремы единственности § 19 для интегрально-
интегрального уравнения D4.2) имеем
q (г) = q' (г), 0 < г < а.	D6.5)
Принимая теперь во внимание лемму 45.3, заключаем, что
vt = v'u	D6.6)
u>i = wi,	D6.7)
Z= 1,2,....
Аналогичный результат справедлив и для задачи IV.
Справедлива, таким образом,
Теорема 46.1. Однородная система D5.9) для задач III,
IV имеет лишь тривиальное решение в пространствах С (а), 0 <
<а<0,5, u\q,2<q<oo.
Теорема 46.2. Неоднородная система D5.9) для задач
III, IV однозначно разрешима в пространствах теоремы 30.2 при
любом D ЕЕ С (К).
Аналогичные теоремы можно сформулировать и для системы
D5.7).
Теорема 46.3. Неоднородная система D5.7) однозначно
разрешима при любом D 6E С (к), X ^> 0,5, в классе последователь-
последовательностей, обеспечивающих функции q (r), даваемой рядом D4.4),
D4.5), свойство
q(r)(a2 -sT'eB&o.a].	D6.8)
2. Фактическое решение бесконечной системы вида D5.7) при-
приведено в § 31. п.2.
Нетрудно проверить, что условия 1) — 3) указанного пункта
в случае системы D5.9) имеют место. Теорема 45.2 позволяет рас-
рассматривать D5.9) как операторное уравнение 2-го рода с вполне
непрерывным в С (А,) и lq (q > 2) оператором.
В настоящем параграфе решим систему D5.9), как это было
сделано в § 31. Однако, чтобы не повторяться, исследование бу-
будем производить в 1Р (р ^> 2).
Отметим, что переход от системы D5.7) к системе D5.9) необ-
необходимо производить с учетом преобразования D5.10).
Введем в системе D5.9) обозначение
В этом обозначении, переписав систему D5.9) в координатной
форме, будем иметь
с»
^. I = 1,2,...	D6.9)


368
ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОЯ МАЛОЙ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ТОЛЩИНЫ	[ГЛ. IX
Прежде чем строить решение системы D4.9), предварительно
построим решение системы
оо	N
D6.10)
причем N здесь подобрано из условия
2 ( 2 МР/а<1, д>1,
Нетрудно видеть, используя свойства матриц А и В, что, какое
бы значение а0 > 0 мы ни взяли, можно всегда найти такое N,
что для а > а0 будем иметь неравенство D6.11).
Подобрав указанным образом iV, можно утверждать, что систе-
система D6.10) однозначно разрешима в lq и ее решение представимо в
форме
XN = 2 Hj?D^f XN = {X,} (Z - TV
m=o
n = {*»,»}(«,* = N+ ltN + 2,...),
D6.12)
Внося теперь найденные значения xt, Z = iV + 1, ..., в пер-
первые Л^ уравнений системы D6.9) и используя значения элементов
dn в D6.10), переходим к следующей конечной системе из N урав-
уравнений относительно первых N координат:
N
fc-=i
{u,,r}=
m=o
D6.13)
Решив эту систему и произведя перегруппировку членов, что
возможно в силу абсолютной сходимости всех рядов, получим
*i = 2 4ln~<*r.	D6-14)
Здесь Д^ (а) — определитель системы D6.13).


§ 47]	РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ D4.2)	Зб9
Коль скоро AN (а) представимо в виде конечной комбинации
равномерно сходящихся при а^> aQ функций, аналитически про-
должимых в комплексную плоскость, то AN (а) можно считать
регулярной при Re z > а0 функцией Д^ (z) параметра z. Анало-
Аналогичным образом можно считать, что Д$ (а) —функция, аналити-
аналитически продолжимые в комплексную плоскость. Таким образом,
Х\ можно представить во всей области Re z ^> а0 в форме
Последнее означает, что резольвента системы D6.11) с коэффици-
коэффициентами, продолженными в комплексную плоскость, есть мероморф-
ная функция при Re z ^> 0. (Здесь принято во внимание, что, беря N
достаточно большим, можно как угодно приблизить а0 к нулю).
Продолжая теперь каждую из функций Д$, AN (z) аналити-
аналитически в область а0 > Re z ^> 0, получим некоторую матрицу
функцию Г (z)
rB) = {^^L}f	D6.16)
которая при Re z ^> а совпадает с Г# (z):
D6.17)
При z = а бесконечная матрица Г (z) и будет обратной к систе-
системе D5.7), т. е.
Г (а) [А + В (а)) = I.	D6.18)
При этом в силу теоремы 46.2 Д (а) Ф 0 при 0 < а < оо, т. е.
R (а) определена на всей вещественной оси.
В силу вышесказанного решение системы D5.7) можно предста-
представить в форме
X = T(a)-D.	D6.19)
§ 47, Решение интегрального уравнения D4.2)
Рассмотрим теперь случай уравнения D4.2) с общей правой
частью / (р). Имеет место
Лемма 47.1. Пусть f (p) ЕЕ В^о.а]. Тогда интегральное
уравнение D4.2) однозначно разрешимо в LP[Ojaj, 1 <ср <С 2, при-
причем q (p) обладает свойством
q (р) = (а - р)-°.5 со (р), со (р) <= В°[0>а].	D7.1)


370	ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОЯ МАЛОЙ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ТОЛЩИНЫ [ГЛ. IX
Для доказательства леммы достаточно убедиться, что по за-
заданной функции / (р) можно построить бесконечную систему ви-
вида D6.4), правая часть которой есть элемент из 1Р, р > 2. Коль
скоро последнее будет установлено, то система однозначно раз-
разрешима в Н и решение интегрального уравнения обладает свойст-
свойством D7.1).
Представим / (р) в форме
/ (Р) = е/0(вр) + h (P),l	,,7 9N
с = -f (a)
б —произвольное вещественное число, удовлетворяющее соотно-
соотношению
/0 (8а) ф 0.	D7.3)
Очевидно, Д (р) обладает свойством
А (а) = 0.	D7.4)
Представим ее интегралом Ханкеля
D7.5)
О
а
D7.6)
О
Интегрируя D7.6) по частям и используя D7.4), приходим к соот-
соотношению
5/i(r)r/!(rir)dr.	D7.7)
о
Устремив в интеграле т] к оо и применив асимптотику функции
Бесселя при возрастании аргумента, на основании леммы 10.2
о поведении преобразований Фурье функций из Bq [а, ь] на бес-
бесконечности, получим оценку
fl (г]) = О (х]-(^^)) (т) -> оо).	D7.8)
Построим теперь бесконечную систему вида D4.6), D4.7) для
интегрального уравнения D4.1) с правой частью D7.2). Для обе-
обеих задач получим правые части вида
(Ywfl) Ji Ea) + ЧтКг (Туу|а) Л (Да)
-4-
°° ' "о (Тт«) А ОНО + Tm#i (Гта)
D = {dm}	D7.9)


§ 47]	РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ D4.2)	371
Переходя теперь к системе D5.7), необходимо установить,
что А!) ЕЕ 1Р, р ^> 2. Для этого установим поведение главных
членов последовательности dm при т -> сю.
Интегральный член в D7.9) имеет на основании D7.8) порядок
Здесь 8 ^> 0 —число, удовлетворяющее неравенству X —г^>
^> 0,5. Коль скоро по условию X ^> 0,5, то 8 всегда можно подоб-
подобрать таким образом, чтобы X — 8 = Хх ^> 0,5 (например, взяв
• Сопоставляя соотношение D7.9) с D7.10), видим, что
главный член последовательности dm при т -> сю описывается
оценкой D7.10), т. е.
D={dm}^C(a), a>0,5.	D7.11)
Таким образом, к системам D4.6), D4.7), с правой частью 1>,
даваемой формулой D7.9), применима теорема 46.3.
В результате q (р) — решение интегрального уравнения D4.2)
с правой частью D7.2) — можно представить в форме D4.4) в
случае задачи III и в форме D4.5) в случае задачи IV. Коэффи-
Коэффициенты Х\ даются формулой D6.19) вида
X = Г (a) D.	D7.12)
Резольвента Г (а) построена в § 46. Она определена на всей
вещественной оси. Лемма 47.1 доказана.
Займемся теперь построением асимптотического решения.
Лемма 47.2. В условиях леммы 47Л существует такое а0,
что для всех а^> а0 решение бесконечной системы D5.7) представи-
мо в форме
оо
х = 2 (- *)* гАВ Шк А~1?>	D7ЛЗ)
Если в соотношении D7.13) ограничиться отрезкем ряда из
п членов, то асимптотические свойства решения описываются соот-
соотношением
Xl (а) = xl + О (a-*n+V) (задача I),	D7.14)
xi (а) = х? +О (а-№) (а -> оо) (задача II), D7.15)
{х?} = Хп = 2 (- 1)* ГАВ («)]* A~1D-
Для доказательства этого факта прежде всего необходимо ус-
установить ограниченность оператора A"XB (a).


372 задачи для слоя малой относительной толщины [гл. IX
Ограниченность оператора А~ХВ в С (к) (к < 0,5) и lq (q > 2)
установлена в § 45 теоремой 45.2 для преобразованной системы
D5.9).
Нетрудно убедиться, используя D5.12), в справедливости
неравенства
|| А^В (а) ||< С (а) а < оо, а > 0.	D7.16)
Здесь С (а) — ограниченная сверху при а > р ]> 0 функция,
C — сколь угодно малое фиксированное число.
Обозначая через С* верхнюю границу функции С (а), неравен-
неравенство D7.16) перепишем в форме
|| А^В (а) || < CV2 < оо.	D7.17)
Теперь легко устанавливается существование постоянной а0
такой, что при а > а0 оператор А~ХВ (а) будет сближающим.
Действительно, найдем а0 из условия
т. е.
а0 = УС.
Исключая из D4.17), D4.18) постоянную С*, получим неравенство
|| А!* (а) \\1р < (ао!а)\ р>2.	D7.19)
Из D7.19) и следует, что А-^В (а) будет оператором сжатия при
а ^> а0. Таким образом, установлено существование указанной
в лемме постоянной а0.
Коль скоро а0 существует, то для ее вычисления можно вос-
воспользоваться неравенством
II А~1В (а) V < S Г S 11 1п*Л ГГ = / (»).
n=iLJc=l'r=l	' J
Р>2, "f + i = l,
D7.20)
и, как установлено ранее, | f(a) \ < С*а~2 (е ^ а < оо). а0,
очевидно, есть наибольший по модулю корень уравнения
/К) = 1.	D7.21)
Если aQ определено, то для значений а > а0 уравнение D5.7)
можно решить методом последовательных приближений и запи-
записать его решение в форме D7.13).
Для полученияТприближенного решения Х„ в соотношении
D7.13) ограничимся частичной суммой из п членов.


§ 47]	РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ D4.2)	373
Как известно [3], в этом случае имеет место оценка погрешно-
погрешности
||X - Хп||<|| A-*B(a)I»" [1 -1| A-4J(а)||Г (а>а0).
Из последнего неравенства и следуют соотношения D7.14), D7.15).
Ниже дадим один способ построения приближенного решения
задачи при малых L
Подобно тому, как это сделано в плоской задаче в § 35, можно
и в случае круговой области контакта построить приближенно
нулевой член асимптотики решения задачи для широкого класса
оснований штампа. Полученное приближенное решение будет
эффективно для весьма малых значений параметра К. Ценность
же этого решения будет в его простоте и общности рассматривае-
рассматриваемых оснований штампа [1].
Рассмотрим интегральное уравнение осесимметричной контакт-
контактной задачи вида
а
§ к (r/fe, p/h) pq (р) dp = лМ/ (г), 0 < г < а.	D7.22)
о
Ядро к (г, р) дается соотношением C9.2) (п = 0). Относительно
функции / (г) будем предполагать, что она непрерывно диффе-
дифференцируема на [0, а] и строго монотонна. Если это не так, то
ее всегда можно представить в виде разности строго монотонных
функций. В силу линейности уравнения D7.22) достаточно решить
отдельно уравнения, в правых частях которых стоит одна из функ-
функций разности, т. е. строго монотонная функция.
. Теперь, так же как и в § 35, введем новую переменную г],
связанную со старой — г соотношением
т]= lZlL©(r), 0<r<oo;
D7.23)
Введенная в последней формуле функция /* (г) непрерывно и
монотонно продолжает функцию / (г) в область г^ а.
Нетрудно проверить, что функция г] (г), определенная соот-
соотношением D7.23), удовлетворяет условиям 1), 2), сформулирован-
сформулированным в § 35. Коль скоро это так, то обратную замену, т. е. пред-
представление г (г)) при X -> О можно дать в форме
г = а — кц + . . .	D7.24)


374	ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОЯ МАЛОЙ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ТОЛЩИНЫ	[ГЛ. IX
Сделаем теперь в интегральном уравнении D7.22) замену пе-
переменного вида
г = а —кцу р = а — hi,	D7.25)
после чего исследуем уравнение D7.22) при малых К.
Воспользовавшись асимптотическим разложением функций
Бесселя при больших значениях аргумента, а именно
nz
и проделав простые преобразования, приведем уравнение D7.22)
к виду
[* (л - С)
Ьо = /(«), &! = -*/'(a); g'(C) = (Z(e-*C)e- D7-26)
Совершая теперь в D7.26) предельный переход при ^->0 и
учитывая свойства ядра C9.18), придем к уравнению Винера —
Хопфа вида
о, D7.27)
решение которого детально исследовано в § 35, 28.
Взяв решение уравнения D7.27) и возвращаясь к старым пе-
переменным, получим асимптотическое решение задачи при малых к.
Воспользовавшись решением уравнения C5.7) при аппрокси-
аппроксимации C5.9) в форме C5.8), представим асимптотическое реше-
решение нашей задачи в форме
Связь между усилиями, действующими на штамп, и их осадкой
определяется по формулам
а	а
Mv = n\q1 (r) гЧг.	D7.29)
о


ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ IX	375
Значение S5, J(v можно вычислить и на основании формулы
E1.18), а именно
а
\	D7.30)
Здесь qQ (г) —решение задачи для штампа с плоской подошвой,
т.е. для случая, когда /(г) = 1, а р1 (г) cos ф —решение за-
задачи для правой части / (г, ф) = г cos ф (наклонный штамп).
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ IX
1.	Александров В. М., Бабешко А. В., Кучеров В. А., Кон-
Контактная задача для упругого слоя малой толщины. ПММ, 1966, т. 30,
вып. 1.
2.	Градштейн И. С, Рыжик И. М., Таблицы интегралов, сумм,
рядов и произведений. Физматгиз, 1962.
3.	Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального
анализа. Физмагиз, 1965.


Глава X
ВНЕДРЕНИЕ КРУГЛОГО ШТАМПА
В СЛОЙ
§ 48, Внедрение плоского штампа в слой
1. При больших значениях параметра X из формул D0.2),
D0.3) и D2.5), D2.6) в случае / (г) = б получим
„ лл	2А6 Г, , 2о0 . / 2а0 \2 , / 2а0 \з , / 2д0 \4
D8.2)
Значения аг приведены в таблице 3. Погрешность формул
D8.1), D8.2) не превышает 3% для А, > 2. При А, > 32 с по-
погрешностью, не превышающей 5%, формулы D8.1), D8.2) можно
представить в виде
<7М =
4^-Пi ' ^
я У а2 — г2
Соотношение D8.3) представляет собой, как известно (см.,
например, [11), решение задачи о вдавливании плоского круглого
штампа в упругое полупространство.
Построим теперь решение указанных задач по первому методу
систем, изложенному в § 43. При А, = 1 соответственно для за-
задач I и II получим решения в следующей форме:
I.	q (г) = у— B,183 - 1,048 JL + .0,181 -J), D8.4)
И.	q{r)=T^\im- 0,718 -J +0,1264) • D8-5)
Каждая из формул D8.4), D8.5) получена путем решения си-
системы вида D3.12), состоящей из трех уравнений. Дальнейшее
увеличение количества уравнений в системе не приводит к су-
существенному уточнению решений D8.4), D8.5), поэтому их можно
рассматривать как практически точные.


i 48]
ВНЕДРЕНИЕ ПЛОСКОГО ШТАМПА В СЛОЙ	377
Таблица 27
се 4
1 2
Я 4
g 2
« 1
об
СО
1
0
0,821
1,158
2,183
0,785
1,033
1,811
0,2
0,837
1,174
2,185
0,801
1,049
1,819
0,4
0,892
1,232
2,204
0,854
1,107
1,845
0,6
1,018
1,365
2,285
0,976
1,241
1,961
0,8
1,347
1,735
2,643
1,296
1,604
2,340
0,95
2,572
3,180
4,432
2,480
2,989
3,054
2
0,801
0,975
1,316
0,773
0,923
1,219
3
3,99
5,12
9,93
3,83
4,74
8,79
В таблице 27 даны для к = 1, 2, 4 значения следующих ве-
величин:
! 2)
(г)/а^г«; 3)
D8.6)
причем при к — 2,4 вычисления проведены по формулам D8.1),
D8.2), а при к = 1 по формулам D8.4), D8.5). Для задачи I при-
принято v = 0,3.
2. В случае малых к возьмем решение в форме D4.4), D4.5).
Если vi и wt определить с помощью соотношений D7.13), D5.3),
D5.4), то получится точное решение нашей задачи. Однако, оче-
очевидно, оно практически непригодно для использования. Поэтому
построим асимптотическое решение, справедливое при достаточ-
достаточно малых значениях к. Возможность построения такого решения
доказывается в лемме 47.2.
Ограничимся в соотношении D7.14), D7.15) первым членом
разложения. В этом случае в соответствии с D5.3), D5.4) имеем
Vl = v* + О (к2), Wl = w°l+O (к1) (к -+ 0). D8.7)
Внося их значения в формулы D4.4), D4.5), получим в виде ряда
асимптотическое решение задачи
q {х) = д0 (х) + О (V).	D8.8)
Естетственно, решение в такой форме также малоприемлемо
к использованию. Для того чтобы получить решение, доступное
для численного анализа, применим некоторые приближенные при-
приемы для его упрощения.
Из формул D4.4), D4.5) видно, что решение строится^при ус-
условии, что известны нули ^ функций R (z) (см. § 44). Однако
(§ 22) нули эти комплексные, и нам известны только их приб,7Щ-


378
ВНЕДРЕНИЕ КРУГЛОГО ШТАМПА В СЛОЙ
[ГЛ. X
женные значения. Чтобы упростить проблему вычисления ну-
нулей, воспользуемся приемом § 36, т. е. используем аппроксима-
аппроксимацию C6.12), C6.13).
Далее в формуле D4.4) (при аппроксимации C6.12), C6.13))
нули однократные, и только эта формула нам в дальнейшем по-
понадобится. При больших Аг1 функцию /q1 F гЛгх) можно заменить
с относительной погрешностью О (X) функцией, Ко FД). Это,
как выяснится в дальнейшем, также создает определенные удоб-
удобства при расчете по формуле D4.4). Тогда решение q (р) можно за-
записать в виде
AS
оо
fi+2
1 i=i
2К0 (
D8.9)
Формула D8.9) удобна для расчета напряжений внутри области
контакта. Чтобы рассчитать напряжения у края области контак-
контакта, преобразуем формулу D8.9).
Свойства функций Ко (z) и 70 (z) позволяют представить ряд
D8.9) в форме интеграла вида
Ко (izX~l) /о (izp/h) dz
}•
D8.10)
Будем теперь предполагать, что р находится вблизи края,
т. е. р/а ж 1.
Введем аппроксимацию вида*
Z?2 =
- 17,269, D± - 1,826,
= 2.
,48.11,
Относительная погрешность этой аппроксимации для значений
0,6 ^ s <; 1 не превышает 2,5% при всех 0,6 <^ t ^ оо.
Внося D8.11) в D8.10) и вычисляя получающиеся интегралы,
представим при аппроксимации ядра вида C6.12) решение в форме
X


ВНЕДРЕНИЕ ПЛОСКОГО ШТАМПА В СЛОЙ
-z { а~р \
X
D8.12)
= 3,1623,
= 2,4493, Bs - 2,0288.
аь а2, а3, а4 совпадают с коэффициентами разложения рацио-
рациональной функции
R+ (и) [D%x2 + Оз] а '
xi = аи
на простейшие дроби.
В табл. 28 приведены значения величины —д^ а, подсчитан-
подсчитанные для задачи II. При этом расчет напряжений q (р) при h = 2
для значений р/а ^ 0,8 производился по формуле D8.9). При рас-
расчете ограничивались шестью членами ряда.
Таблица 28
«а
D8,9)
0
1,05
0,2
1,06
0,4
1,11
0,6
1,21
0,8
1,46
р/а
D8,12)
0
—
0,2
—
0,4
—
0,6
1,29
0,8
1,53
Наиболее сложной частью является вычисление величины
R' (—?j)« Последнее удается сделать благодаря представлению
функции Rl (и) с помощью Г — функций Эйлера.


•J80	ВНЕДРЕНИЕ КРУГЛОГО ШТАМПА В СЛОЙ	1ГЛ.
В нашем случае имеет место представление:
	 М . _ff_ \
R'+ (и) = |/~4 / ~lJ V- B{u),R(и)~#(и)/?;(-и),
T[ii
T[i-i—u
Й W - (в + 1,52890 («+1,41420 '	~
D8.13)
Нули функции R+ (и), очевидно, даются следующими соотноше-
соотношениями:
k = 1,08112, С2 = 2/, ?ft+2 = 2Ая/ (к = 1, 2, . . .)•
Если теперь воспользоваться представлением
то для R+ (—и) в первых шести корнях ^ получим соответственно
следующие численные значения
--5,73; 5,16; 0,218; 0,148; 0,119; 0,109.
При X = 2 для р/а > 0,6 расчет производился по формуле
D8.12). Погрешность формул D8.9), D8.12) не превышает 4% для
0 < р/а < 0,95 и А, < 2 и достигает 9% для 0,95 < р/а < 1 и
Ь<2.
Выражение для силы принимает вид
Применим теперь для построения решения задачи при малых
% метод симметричной асимптотики, изложенный в § 48. Принимая
в качестве монотонно возрастающей функции <р (х) = я2, полу-
получим решение задачи для случая плоского штампа / (г) = б в
форме
Выражение для силы принимает вид
D8.16)


ВНЕДРЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ШТАМПА В СЛОЙ	381
Т а б л и ц а 29
№ п/п
^v х/а
i—i
а
СО
СО
Н-1
ей
Зада
2
1
1/2
2
1
1/2
1
0
1,14
2,05
3,95
1,27
2,68
4,99
0,2
1,16
2,07
3,96
1,29
2,69
5,00
0,4
1,19
2,09
3,97
1,63
2,76
5,06
0,6
1,28
2,18
4,02
1,78
2,92
5,19
0,8
1,54
2,48
4,27
2,19
3,44
5,69
0,95
2,67
3,93
5,89
3,89
5,67
8,49
2
0,798
1,128
1,596
0,883
1,249
1,766
3
6,49
10,43
17,97
5,75
9,10
15,39
Погрешность формул D8.15), D8.16) не превышает 4% для
Я < 0,5.
В табл. 29 приведены значения величин D8.6). В случае зада-
задачи I принято а = 0,3 и использована аппроксимация C6.24).
§ 49, Внедрение параболического штампа в слой
1. При больших к из формул D0.3) и D2.7) —D2.9) для слу-
случая / (г) = б — %г2 получим следующее ограниченное на контуре
г = а приближенное решение:
ао \»
}
D9.1)
D9.2)
D9.3)
Погрешность формул D9.1) — D9.3) не превышает 3% для К > 2.
По первому методу систем при К — 1 будем для рассматривае-
рассматриваемых задач иметь
D9.4)
L q {r) = уг^ [б BД83 -1>048 -5-+0Д81 -S-
+ Х«2 @,455 - 2,062 -J - 0,112 -?•


ВНЕДРЕНИЕ КРУГЛОГО ШТАМПА В СЛОЙ
[ГЛ. X
- YW^ К1'811 ~ °'718 $ + 0I26 -?¦] +
+ %а2 (о,622 - 2,192 ~ - 0,080 -J-)] . D9.5)
Из D9.4), D9.5) находим соответствующие ограниченные ре-
решения при х = ±а:
I. q (г) = Ах /а2 - г2 C,305 - 0,124
= 1,306ха2. D9.6)
II. q (г) = Ax У a2 - г2 C,074 - 0,091 -^ , 6 = l,354xa2. D9.7)
В табл. 30 даны значения следующих величин:
^¦й-; 2)-!-linig(r)(a2-rr/2; 3)
причем при Я = 2,4 вычисления произведены по формулам D9.1) —
D9.3), а при К = 1 по формулам D9.6), D9.7). Для задачи I при-
принято v = 0,3.
Таблица 30
X
Задача I
Задача II
п/п
4
2
1
4
2
1
1
2,568
2,716
3,305
2,560
2,653
3,074
2
2,568
2,716
3,181
2,560
2,653
2,983
3
5,38
5,69
6,82
5,36
* 5,56
6,36
4
3,12
3,70
5,22
3,04
3,51
4,70
2. Для построения приближенного решения задачи при малых
% можно было бы применить метод, изложенный в § 46, как это
сделано в § 48. Однако уже для плоского штампа решение оказы-
оказывается весьма громоздким и малообозримым. Поэтому ограничим-
ограничимся использованием результатов § 47.
Пусть / (г) = %г2. Тогда по формуле D7.28) выражение для
напряжений для задач I и II можно представить в виде
я(г) =
D9.9)


§ 50]	ВНЕДРЕНИЕ ПЛОСКОГО НАКЛОННОГО ШТАМПА В СЛОЙ	383
Соответствующее выражение для силы принимает вид
• {[1 + B Y^D — 1) 2р~2 + (&J&D — 2 Y^D — 1) р~*] х
У':	D9.10)
Рассмотрим случай / (г) = б — %г2 и построим ограниченное
при г = а решение:
Соответствующее выражение для силы принимает вид
{[1 + Я. (/О - 1)] erf BЯ,) + |/Же-^Г'|. D9.12)
Погрешность формул D9.9) —D9.12) не превышает 5% для А^ 0,5.
Таблица 31
X
Задача I
Задача II
№ п/п
2
1
1/2
2
1
1/2
1
2,07
3,32
5,72
1,83
2,90
4,90
2
1,76
2,49
3,53
1,59
2,25
3,19
3
5,38
7,30
9,59
6,00
6,86
9,58
4
3,46
5,72
8,42
3,83
5,56
8,77
В табл. 31 приведены величины 1)—4), вычисленные по фор-
формулам D9.11), D9.12).
§ 50. Внедрение плоского наклонного штампа в слой
1. При больших % по формулам D2.9) -—D2.11) для случая
/ (г> ф) — ar cos Ф получим следующее приближенное решение:
E0.1)
3 IА ч-^з "г ^ v/v л •	E0.2)
Погрешность формул E0.1), E0.2) не превышает 4% для Я» !> 2,


384
ВНЕДРЕНИЕ КРУГЛОГО ШТАМПА В СЛОЙ
[ГЛ. X
Приближенное решение при X = 1, согласно теореме 41.2,
может быть получено дифференцированием по г формул D1.9),
заменой —2А на а и умножением на cos ф. Проделав указанные
операции, получим
E0.3)
E0.4)
I.	q (г, Ф) = -$§§? A,776 -0,186 -J
II.	,M = ^i A,628 - 0,137-
В табл. 32 даны величины
lim l	;
r_>0 Am cos ф
2)lim
Aaa cos ф
; 3)
м
Дсш3 '
E0.5)
причем приА, = 2,4 вычисления производились по формулам E0.1),
E0.2), а при К = 1 по формулам E0.3), E0.4). Для задачи I при-
принято v = 0,3.
Таблица 32
\
X
Задача I
№ п/п
¦ч
\
4
2
1
1
1
1
1
,284
,358
,776
1
1
1
2
,284
,358
,590
2
2
3
3
,69
,84
,41
\
\
X
Задача II
№ п/п
ч.
\
4
2
1
1
1
1
1
,280
,326
,628
1
1
1
2
,280
,326
,491
2
2
3
3
,68
,78
,18
2. При малых %, как и ранее, воспользуемся результатами §47.
Для решения задачи о внедрении плоского штампа в слой при-
применим прием, предложенный в § 41 D1.9). Именно продиффе-
продифференцируем по х ограниченное решение для параболического штам-
штампа, даваемое формулой D9.11). В результате получим
-V«
x
Выражение для момента ,МУ (относительно оси у) найдем по
формуле D2.12). В результате получим
erf r^
2 [1 - C - 4
E0.7)


ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ X
385
Таблица 33
"\. № п/п
X ^^^^
Задача I
2
1
1/2
1
1,104
2,329
4,776
2
0,883
1,249
1,766
3
2,03
3,36
5,38
^v № п/п
X \.
Задача II
2
1
1/2
1
1,049
1,958
3,942
2
0,798
1,128
1,596
3
2,00
3,04
4,70
В табл. 33 приведены значения величин E0.5), вычисленные
по формулам E0.6), E0.7).
Погрешность формул E0.6), E0.7) не превышает 5% для
X < 0,5.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ X
1. ШтаерманИ. Я., Контактная задача теории упругости. Гостехиздат
1949.
13 И. И. Ворович и др.


Глава XI
ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛОЯ
В СЛУЧАЕ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ КОНТАКТА.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
§ 51. Общие свойства ядер
и представление решений интегральных уравнений
для слоя в случае произвольной области контакта
1. Введем в рассмотрение два безразмерных параметра, опре-
определяемых геометрией области контакта &> и толщиной слоя h.
При этом относительно области Q будем предполагать, что она
односвязна и ограничена, контур X, очерчивающий область Q,
будем предполагать имеющим непрерывную
кривизну.
Параметр X, введенный в работе [5], опре-
определяется соотношением
Х= —, а =-Tr-maxaR. E1.1)
Параметр jli введем следующим образом [1].
Проведем в точке А контура X нормаль, она
пересечет контур X в ряде точек В, С, D
(рис. 23). Измерим длины отрезков нормали
от точки А до точек пересечения. Минималь-
Минимальную из всех возможных длин указанных отрезков нормалей для
любых точек A GE X обозначим через 2а0. Тогда
\х = h [min (a0, pmm)]~\	E1.2)
где Pmm — минимальный радиус кривизны контура X. Отметим,
что для выпуклой области Q всегда а0 !> pmin
Все последующие параграфы этой главы в основном посвящены
построению комплекса эффективных приближенных методов ре-
решения интегральных уравнений B1.10), B1.14) рассматриваемых
контактных задач III, IV для различных диапазонов изменения
безразмерных параметров X и pi.
2. Перепишем указанные интегральные уравнения в виде
у), {%,у)^ Й, E1.3)


§ 51]	ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЯДЕР И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ	387
оо
k{R/h)= \Х (и) /0 (uR/h) du,
E1.4)
Здесь функции X (и) определяются формулами B2.3), B2.4),
их свойства подробно исследованы в § 22, п. 1.
Далее будем предполагать, что при достаточной гладкости
контура X и функции f (х, у):
1)	решение q (?, г\) интегрального уравнения E1.3), E1.4)
существует в классе L^ и единственно;
2)	на контуре X области Q функция q (?, г\) в общем случае
имеет особенность г) вида R~xl*\
3)	осадка точек поверхности слоя у (х, у) вне области контакта
Q принадлежит L^*, Q* —дополнение Q до всей плоскости Гг.
Для физически реальных случаев рассматриваемых задач
функция / (х, у) должна быть строго положительной вйи такой,
чтобы q (I, r\) > 0 в Q.
В этом параграфе мы изучим свойства ядра к (t) вида E1.4),
а также получим некоторые общие результаты (не зависящие
от величины параметров к и \л) относительно представления ре-
решения интегрального уравнения E1.3) и некоторых интегральных
характеристик решения.
3. Используя интеграл [8]
оо
5 /0 (ut) du = -j- ,	E1.5)
о
перепишем E1.4) в виде
к (t) = r1 —f (t) {t = Rlh),	E1.6
оо
$(t) = ^[l-X{u)]J0(ut)du.	E1.7)
0
Лемма 51.1. Функция $ (t) вида E1.7) непрерывна со всеми
производными при всех 0 ^ t < оо. При 0 <; t < 2 функция
f (t) представима абсолютно сходящимся рядом
оо
$-(<) = 2 «А	E1-8)
Первое предложение леммы легко следует из формул B2.16),
B2.22). Представление E1.8) сразу получается, если под интегра-
интегралом в E1.7) разложить /0 (ut) в ряд по ut. При этом убедимся,
г) При выполнении ряда условий это строго доказано (см. теорему 19.1).
13*


388 ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОЯ. ПРОИЗВОЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ КОНТАКТА [ГЛ. XI
что коэффициенты аг имеют вид C9.8). Для выяснения области
сходимости ряда E1.8) достаточно воспользоваться асимптотиче-
асимптотическим представлением C9.11) для коэффициентов at при больших
i и формулой Стирлинга для факториалов. Будем иметь
Лемма доказана.
Лемма 51.2. При всех значениях 0 < 8 < t <; оо для к (t)
вида E1.4) имеет место равномерно и абсолютно сходящееся пред-
представление
со
* (О = -|-S ТпАДоОГт*)-	E1-10)
т==1
ZTpu 37710.М E1.10) можно любое число раз дифференцировать, полу-
получая равномерно и абсолютно сходящиеся ряды. Здесь г — любое
сколь угодно малое число.
Для доказательства подставим представление B2.22) функции
5? (и) в E1.4). Интегрируя [8], придем к E1.10). Второе утверж-
утверждение леммы легко доказывается на основании формул B2.5),
B2.25).
Из представления E1.10) следует, что при t -> ооядро к (t) ~
— ехр (—?ReYi), на основании чего функция <jf (t) вида E1.7) ведет
себя при t -> оо как t'1. Это также видно и из табл. 34, 35 функции
f (t) для обеих задач, составленных с помощью ЦВМ «Урал».
4. На основании E1.6) перепишем интегральное уравнение
E1.3) в виде
\Х'У) + -Т\\<1&*\)$ (Blh)d%d^ (^J)EQ. E1.11)
а
В силу свойств f (t) и предположения 1) относительно
q (g, т|) функция
ir\	E1.12)
а
является непрерывной со всеми производными в Q по совокупно-
совокупности переменных ж, у. Из этого сразу вытекают следующие важные
результаты: во-первых, при % ->- оо интегральное уравнение E1.11)
переходит в известное интегральное уравнение соответствующей
контактной задачи для упругого полупространства
/)e=Q,	E1.13)


§ 51]	ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЯДЕР И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ	389
Таблица 34 *)
0
0
0
0
0,
о,
0,
0,
0,
о,
о,
0,
0
о,
о,
о,
t
00
05
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
F(t)
,377
,375
,370
,363
,352
,339
,322
,304
,283
,260
,235
,209
181
,153
,123
,093
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1,
1,
1,
1,
1
1,
*) Для задачи
t
,80
,85
,90
,95
,00
,05
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
III
l
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
о
о
о,
о
о,
,063
,032
,002
,972
,942
,9«
,883
,855
,828
,802
776
751
727
704
682
662
t
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
1,85
1,90
1,95
2,00
2,05
2,10
2,15
2,20
2,25
2,30
2 .з5
F(t)
0,641
0,622
0,604
0,586
0,570
0,554
0,539
0,524
0,511
0,498
0,485
0,473
0,462
0,451
0,441
0,431
при всех вычислениях
t
2,40
2,45
2,50
2,55
2,60
2,65
2,70
2,75
2,80
2,85
2,90
2,95
3,00
3,05
3,10
3,15
0,422
0,413
0,404
0,396
0,388
0,380
0,373
0,36v6
0,359
0,353
0,347
0,341
0,335
0,329
0,324
0,319
принято к =
t
3,20
3,25
3,30
3,35
3,40
3,45
3,50
3,55
3,60
3,65
3,70
3,75
F(t)
0,314
0,309
0,304
0,299
0,295
0,291
0,286
0^82
0,278
0,274
0,271
0,267
дальше
как 1/t
1,8 (v=0,3).
t
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
F(t)
1,168
1,167
1,164
1,159
1,152
1,143
1,133
1,121
1,107
1,092
1,076
1,059
1,040
1,021
1,001
t
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
1,40
1,45
F(t)
0,980
0,959
0,937
0,915
0,893
0,871
0,849
0,827
0,806
0,784
0,764
0,743
0,723
0,703
0,684
t
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
1,85
1,90
1,95
2,00
2,05
2,10
2,15
2,20
F(t)
0,666
0,648
0,630
0,613
0,597
0,581
0,566
0,551
0,537
0,524
0,511
0,498
0,486
0,474
0,463
t
2,25
2,30
2,35
2,40
2,45
2,50
2,55
2,60
2,65
2,70
2,75
2,80
2,85
2,90
2,95
F(t)
0,453
0,443
0,433
0,423
0,414
0,406
0,397
0,389
0,382
0,374
0,367
0,360
0,354
0,347
0,341
Таб
t
3,00
3,05
3,10
3,15
3,20
3,25
3,30
3,35
3,40
3,45
3,50
лица 35
F(t)
0,335
0,330
0,324
0,319
0,314
0,309
0,304
0,299
0,295
0,290
0,286
дальше
как 1/t
во-вторых, очевидно, что решение интегрального уравнения
E1.11) контактной задачи для слоя будет такого же характера,
с теми же особенностями, что и решение интегрального уравнения
E1.13) для полупространства (см. [5]) при всех значениях безраз-
безразмерных параметров % и \и.


390 ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОЯ. ПРОИЗВОЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ КОНТАКТА tl\JI. XI
5. Получим теперь формулы для некоторых интегральных ха-
характеристик решения интегрального уравнения E1.3), основанные
на свойствах симметрии ядра E1.4) относительно х, у и ?, г].
Пусть
q {х, у) = 8дъ (ж, у) + aqa (ж, у) + $q$ (х, у) E1.14)
есть решение интегрального уравнения E1.3) для случая
f(x, у) = 6 + ах+ ру,	E1.15)
что соответствует действию на упругий слой плоского наклонного
штампа. Используя прием работы [12], умножим обе части урав-
уравнения E1.3) на q (x, y)dx dy и проинтегрируем по ?1. Совершим за-
затем перестановку интегралов в левой части полученного соотноше-
соотношения, законность которой можно легко показать, основываясь
на свойствах решений и ядра интегрального уравнения E1.3),
будем иметь
Ц q (?, г]) dl dr\ 5 q(x, у) к (R/h) dx dy =
= 2Khk§f(x,y)q(x,y)dxdy.	E1.16)
Учитывая теперь симметрию ядра к (R/h) относительно х, у и
?, г], соотношение E1.14) и то, что q (x, у) является решением ин-
интегрального уравнения E1.3) с правой частью вида E1.15), по-
получим х)
Замечая, что б, а и |3 независимы между собой, и приравнивая
при них члены левой и правой частей выражения E1.17), придем
к следующим соотношениям (здесь приняты во внимание также
формулы B1.2)):
SP = §qb(x,y)f(x,y)dxdy,
E1.18)
(x> у)dx dy-
Формулы E1.18) дают возможность находить силу и моменты,
действующие на любой неплоский штамп, если только известно
х) Заметим, что соотношение E1.17) является, очевидно, следствием зако-
закона взаимности Бетти [13].


§ 52]	ВДАВЛИВАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО В ПЛАНЕ ШТАМПА	391
решение q (x, у) интегрального уравнения E1.3) для соответствую-
соответствующего плоского штампа. Определение же q (x, у) из E1.3) в ряде
случаев вызывает гораздо меньшую трудность, чем определение
решения для неплоского штампа.
Для инженерных расчетов наличие зависимостей E1.18)
между усилиями, действующими на штамп, и его перемещением
часто бывает достаточным. Более того, практически можно до-
довольствоваться для этих зависимостей достаточно точными дву-
двусторонними оценками. Ниже такая двусторонняя оценка будет
получена для силы «Э5.
Пусть известно решение q (х, у) = 8ql (x, у) интегрального
уравнения E1.13) при / (х, у) = б, т. е. известно решение задачи
о действии плоского штампа заданной формы в плане на упругое
полупространство.
Умножим обе части уравнения E1.3) на 8ql (x, у) и проинтег-
проинтегрируем по области Q. Совершив после этого перестановку ин-
интегралов в левой части полученного соотношения, придем к со-
соотношению, аналогичному E1.16). Далее, рассуждая, как при
выводе формул E1.18), и используя E1.6), получим
(§Я&г\)?(т<1Ыг\,	E1.19)
п
J (/) = Ц ql (x, у) f (х, у) dx dy.	E1.20)
а
Теперь из E1.19) без труда найдем двустороннюю оценку для
величины силы [3]:
1 — (J A)/2лДЛ) ппид & (t) ^J ^ 1 - (J
При получении оценки E1.21) использован тот факт, что для
физически правильно поставленной контактной задачи при от-
отсутствии сцепления в области контакта должно быть q (?, х\) ^> 0,
когда (?, т|) е Q.
Полученная двусторонняя оценка, вообще говоря, справедли-
справедлива при любых значениях X, но достаточно эффективна она лишь
при X ^> 2. Значения тахй $ (t) и ттй f# (t) легко могут быть
найдены при заданном X по таблицам 34 и 35.
§ 52. Вдавливание эллиптического в плане штампа
в упругое полупространство
1. В монографиях Л. А. Галина [6] и А. И. Лурье [11] показа-
показано, что если
E2.1)


392 ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОЯ. ПРОИЗВОЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ КОНТАКТА [ГЛ. XI
то решение интегрального уравнения E1.13) для случая эллипти-
эллиптической области контакта Q имеет вид
Тк l
"\
\ а ° I i=oj=o	\ац — const/
E2-2)
где а и Ъ — полуоси эллиптической области Q. В силу теоремы 21.2
(или 21.4) можно утверждать, что это решение единственное.
Рис. 24.
Здесь мы дадим отличное от [6, 11] доказательство формулы
E2.2) и заодно получим удобный способ определения связи между
коэффициентами а^ и 6^.
2. Покажем, что интеграл
E2.3)
есть полином степени п, если q (g, rj) имеет вид E2.2). Для этого
воспользуемся методом, изложенным" в монографии И. Я. Штаер-
мана [15].
Подставляя E2.2) в E2.3), получим
к I
я. У)
= п),
i=0 i=0
K. {х, у) =
Перейдем к полярным координатам (рис. 24)
| = х + Л cos ф, т)= у + R sin ф.
E2.4)
E2.5)


§ 52J	ВДАВЛИВАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО В ПЛАНЕ ШТАМПА	393
Тогда вторая формула E2.4) после несложных преобразований при-
примет вид
x
x\i-(,M+RL )VdR, E2.6)
Ro (ф) — расстояние между точками А и А". Замечая, что коор-
координаты точки А" удовлетворяют соотношениям
Х1 У% __ , х* = ж + До cos ф,
и используя обозначения E2.7), получим выражение для i?0:
д0 (Ф) =	E29)
Здесь учтено, что iV ^> 0, так как точка А (я, у) лежит внутри эл-
эллипса, и L (ф) ^> 0 при 0 ^ ф ^ 2тс. Очевидно, соотношение
E2.10)
кроме того, очевидно, что ~—	"> — 1, я	— — 1 в си-
лу соотношения E2.9), поэтому
E2.11)
Введем теперь новую переменную
cos0=-4==- (О<0<я),	E2.12)
тогда соотношение E2.6) перепишется в виде
2* 9(Ф)	г
Мсоэф\
X
(ф)
/ , К sin ф cos 6 M sin фу' ^0	,r 9 /i o\
+ iV, 8(ф) — значение0, соответствующее/? = 0.


394 ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОЯ. ПРОИЗВОЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ КОНТАКТА [ГЛ. XI
Рассмотрим интеграл
9(ф)
Z sin ф cos 6 Msinjpy dQ	^ ,,
+ yl	—) YI ¦ E2Л4)
Полагая в E2.14) ср = я + г|? и используя легко устанавливае-
устанавливаемые соотношения
м (я + Ф) = -м (ф), L(jt + *) = цф), а:(я + ф)
E2.15)
cos 0 (я + г|)) = —cos 0 (г|э), откуда 0 (я + г|)) — лг— 0 (г|э), получим
7Х—9(ф)
cos Фcos
(К sin г|; cos 0 М sin a|Ai ^6	/Г-0 - Ач
» у-	— jfT ( }
Положим теперь в E2.16) 0 = я — 0':
9(ф)
/ ffsini[)cose' M sin фу' ^6	.-о 4
х(у+ VI т~) 71* (
На основании соотношения E2.17) представим E2.13) в виде
п п
S 9 М COS ф\г
X
_ \	1/ Т	±j I
о о
/ , К sin ф cos 6 М sin фу'
х[у + —п ~)
Интегрируя по 0 и совершив замену переменной ср = q/ + я/2,
после ряда алгебраических преобразований приведем E2.18) к
следующей окончательной форме:
г j	t	r—s+2j+l
т (т 7л _ о V "S1 rrrsnlr + s-r-1 !
t/ ^ уи,, у) 	 Li У\ /j L/| Ivj-'J 	Ту	 ? ~пГ
r=0 s=0
r+s
2	r_s	i+j—29
у С	.	., ,	/r;9 /IQ\
А О	1—v-\-s—г ?4-ю—s+r	(и^ЛУ)


§ 52]	ВДАВЛИВАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО В ПЛАНЕ ШТАМПА	395
где г + s — четно, / + р — четно, е — эксцентриситет эллипти-
эллиптической области Q,
1*1 &
= с
Все величины Smy7l могут быть выражены через полные эллипти-
эллиптические интегралы К (е) и Е (е).
Анализируя формулу E2.19), видим, что / (х, у) действитель-
действительно является полиномом степени п.
Подставим теперь в левую и правую части уравнения E1.13)
выражения E2.1), E2.2) функций # (х, у)ж/(х, у). На основании
формул E2.3), E2.19) получим соотношение, в левой и правой
частях которого стоят полиномы по х, у степени п. Приравнивая
затем коэффициенты правой и левой частей этого соотношения при
(п + 1) in + 2)
одинаковых степенях х и у, найдем систему	-±—¦—- линейных
Си
алгебраических уравнений, служащую для определения связи
(п + 1)(п + 2)	у у	7 т^
^—!—li	f коэффициентов a,ij и bij. Решив эту систему, получим
по формуле E2.2) решение интегрального уравнения E1.13) для
случая E2.1) и эллиптической области Q. Величину силы ёР и
моментов Мх, ,Му определим по формулам B1.2), используя при
этом интеграл
)!! • E2.21)
3. Для частного случая
/ (х, у) = 8 + В (х2 + у2)	E2.22)
описанная выше система линейных алгебраических уравнений
для определения atj имеет вид
1	\
2	2
а10 = 0, а01 = 0, аи = О,
E2.23)
/г,	1 „ Ь» \ .	Ь2 /о Ь2	1 о \
( ^20	2~ u Ifl'j "т" а°2 "^ [^П "^2"	2~ 20/ ^
2 -^г	2~ u J =


396 ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОЯ. ПРОИЗВОЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ КОНТАКТА [ГЛ. XI
где
— А \e)i
_ ~ 2 A + в») Е (е) + B + в*) # (в)
	^
__ 2 Bе* — 1) Е (е) + A — е2) B — Зе2) К (е).
E2.24)
Решив систему E2.23) и подставив найденные значения по-
постоянных ciij в E2.2), получим
у2 И,
X
X
Здесь
Во? [Soi(l — е2)Х2о
Х20 =
"
[A — е8) Хао^2 +
\
3A—в*)* х
E2.25)
E2.26)
Для величины силы найдем
^ = 2яоД_ гб
Здесь использовано тождество
E2.27)
+ 3хA ~е2)B-е2) = 0. E2.28)
Отметим, что аналогично изложенному выше могут быть полу-
получены обращающиеся в нуль на контуре эллиптической области
Q решения уравнения E1.13) для случая, когда / (х, у) — поли-
полином степени п. При этом только на коэффициенты этого поли-
полинома налагается 2п'-\- 1 зависимостей при заданных а и 6. Эти
решения, как и весь материал данного параграфа, приведены в
работе [4]. Одновременно аналогичные результаты были получены
л работе [9].


§ 53] ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ ПРИ БОЛЬШИХ К
397
§ 53. Общее решение контактных задач для <елоя
при больших значениях его относительной толщины к
В этом параграфе мы изложим эффективный метод решения ос-
основного интегрального уравнения рассматриваемых контактных
задач для слоя E1.3) или E1.11) при больших значениях парамет-
параметра Я и оценим границы рационального использования этого ме-
метода [3, 5].
1. Используя формулу E1.8), представим интегральное урав-
уравнение E1.11) в виде
- E3.1)
ТУ
Так как формула E1.8) имеет место при t = -т- < 2, a maxQ R =
= 2а, то уравнение E3.1) и все результаты, которые будут полу-
получены ниже на его основе, будут иметь смысл по крайней мере
при % > 1.
Будем теперь искать решение интегрального уравнения E3.1)
в виде следующего асимптотического ряда по степеням 1Д*
E3.2)
Подставляя выражение E3.2) в уравнение E3.1) и, приравнивая
члены при одинаковых степенях 1А, придем к бесконечной систе-
системе интегральных уравнений:
a)
б)
в)
г) §лF>
д) $^4&"'^"« = йtа°Рз(-'^ + aijPl^'^R2^d^dy]
и т. д.
& т|) + а^о E, r
E3.3)


393 ЗАДАЛИ ДЛЯ СЛОЯ. ПРОИЗВОЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ КОНТАКТА [ГЛ. XI
Заметим, что интегральное уравнение E3.3) совпадает с урав-
уравнением E1.15) контактной задачи для упругого полупространст-
полупространства. Предположим, что нам известно решение этого интегрального
уравнения при любой правой части, т. е. известен оператор, пе-
переводящий функцию / (х, у) в функцию р0 (?, т|)
Ро = ДА (/).	E3.4)
Очевидно, оператор А аддитивен и однороден, т. е.
А (А + U) = А (/х) + А (Ш	E3.5)
А (х/) = к А (/), х = const. J
Используя теперь формулы E3.4), E3.5), определим схематич-
схематично из интегральных уравнений E2.36) — E3.Зд) последовательно
/?i> Pi, Рз, /?4- Тогда приближенное решение уравнения E3.1)
с точностью до членов порядка 1/А,5 можно представить в виде
= A(f) + 4iry[	^
(^Г + ^ {[F2o (/) + F02 (/)] X
X
-S" [~ 2F1° (/~} F°°{T) -2F01 (/~} r°° w + F°° (/~>x
X Foo (x2 + y*)]y - -^r {Flo (/) A (x) + Fol (/) A (y) +
+ ^oo(/) [Flo A) A (x) + FOi A) A (*/)]} +
fliF00(T) A(x2+^) /4 aoFoo(l) ч Q /J_x
E3.6)
/ = //a, x = x/a, у = у la.	E3.7)
Пусть Q имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.
Примем их за оси координат х и у. Тогда, очевидно, если / —
четная функция, то А (/) — тоже четная, и наоборот по любой
переменной. Пусть еще функция / (х, у) = б (случай плоского
штампа). Тогда формула E3.6) сильно упрощается и принимает
вид
= л* < а A) {[
1


53]	ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ ПРИ БОЛЬШИХ К	399
О (±-)у . E3.8)
2. Рассмотрим частный случай, когда область контакта Q
есть эллипс с полуосями а и Ъ. Для этого случая выражения
А A) и А (х2 + у2) могут быть найдены из формулы E2.25). За-
Затем, используя интеграл E2.21), определим Foo (I), F2o A), F02 A)
и Foo (х2 + у2). Подставляя полученные выражения в формулу
E3.8) и воспользовавшись соотношениями E2.28), представим
приближенное решение контактной задачи для слоя большой тол-
толщины и случая эллиптического в плане плоского штампа в виде
(* &	Г'2 fД <М + S & ?1а2 №)] E3-9)
S (X, |'/a1, rf/a1) = 3Ai°^^ [- т tt» + b») + Xs» -J +
Определим еще для данного случая величину силы S5, дей-
действующей на штамп. Воспользовавшись формулами E2.21) и
E3.9) — E3.11), без труда найдем
^ (X).	E3.12)
При Я = с» имеем R (X) = 1, 5(Я,) = 0 и формулы E3.9) — E3.12)
переходят в E2.25), E2.27) при 5 = 0.
По формуле E1.18) можем найти силу 3s, действующую на
любой неплоский эллиптический в плане штамп, взаимодействую-
взаимодействующий со слоем большой относительной толщины
х
S5Wd6A,. E3.13)
При А, = оо формула E3.13) дает результат, полученный впервые
Л. А. Галиным [6].


400 ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОЯ. ПРОИЗВОЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ КОНТАКТА [ГЛ. XI
Представим формулы E3.9), E3.12) в форме более удобной
для практического использования:
q (*, у) = ^ A - -5- - -WГ [А + В^ + ^ + DX-* +
+ Е^ -Ц- + Mr* A - е2) -g- + GX-* +
?	?	J , E3.14)
+4- A - *2) ^"з+4- н%~"+4- ^ -е
Здесь коэффициенты Л, -В, . . ., / зависят только от эксцентри-
эксцентриситета е эллиптической области контакта. В табл. 36 даны число-
числовые значения этих коэффициентов для задачи IV при различных
е2 в диапазоне 0 <^ е2 <; 0,99. Для промежуточных значений е2
коэффициенты могут быть получены интерполяцией. В последней
строке таблицы даны значения коэффициентов Л, 5, . . ., /
для задачи III при е2 = 0 и v = 0,3.
Границы рационального использования по Я получаемых опи-
описанным выше образом асимптотических при больших К решений
мы будем определять из того условия, что отбрасывание в форму-
формулах членов более высокого порядка малости, скажем Аг4, изме-
изменяет значения соответствующих величин не более чем на 5%. Та-
Таким образом, для формул E3.14) найдем, что они могут использо-
использоваться при X >- Я*. Значения Я* для различных е2 даны в послед-
последней колонке табл. 36.
Перейдем к вопросу о точности двухсторонней оценки E1.23)
для силы SP, действующей на штамп. Выясним это на примере
плоского эллиптического в плане штампа. Принимая во внима-
внимание, что на основании E2.27) интеграл J A) вида E1.20) равен
2паАК~1 (е), перепишем оценку E1.21) в вид:
	< .<
Очевидно, среднее значение силы S5 можно представить в виде
S5* = 4аАбх. Результаты вычислений величины х для некоторых
случаев задач III и IV даны в табл. 37. В последней строке табли-
таблицы для сравнения даны практически точные значения величины х,
полученные по формуле E3.14). Как видим, максимальное расхож-
расхождение не превосходит 2%.


53]
ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ КОНТАКТНЫХ КЛДАЧ 11ГИ БОЛЬШИХ X
401
со
со
а"
ю
ев
н
и.
Q
О
•¦Ч
1*
1.52
765
О
S
о
со
О5
О
о
641
с
о
3
с
-Г-Н
LO
о
ю
со
о
см
со
с—
о
<о
сО
о
о
о
о
1,50 1
767
о
со
см
т
О5
!>
о
со
§
т
СО
624
о
00
о
00
см
СО
О
г-
4f
о
Й
8
о
1,1
о
770
о
см
см
с
:>
со
^1
о
00
об
СО
с
:>
см
о
со
с
о
со
со
со
о
О5
со
4f
о
t-
со
СО
о
см
см
о
со
792
о
о
со
*^
о
703
о
оо
оо
о
ю
со
о
^
со
о
LO
г-
о
О5
СО
о
см
со
о
л
821
о
00
со
со
о
00
О5
см
о
СТ5
733
о
О5
СО
ю
о
8
со
о
со
со
о
о
со
СО
см
о
?
СО
СО
о
СО
по
о
S
со
о
см
-г-н
о
оо
772
о
S
о
со
О5
8
о
ю
со
о
со
о
СО
|>-
о
о
см
ю
о
1^38 1
941
о
I
со
ОС
т
см
-г-н
S
о
о
825
о
СТ5
см
о
с-
8
о
S
О5
см
о
LO
а)
о
о
00
о
ю
см
СО
о
1.34 1
ю
о
^-н
00
см
о
S
СО
о
о
1
о
СТ5
о
2
СО
см
о
00
см
о
О5
С5
4f
о
О5
00
о
СО
со
со
со
со
о
1.29 1
295
ю
т
см
о
^
о
о
СО
023
т
о
см
с
со
см
см
о
LO
СО
см
о
см
LO
о
8
О5
О5
о
о
LO
00
о
со
см
LO
о
ел
о
СО
О5
см
о
о
00
см
¦чН
1
СО
LO
о
00
О5
о
см
00
LO
см
о
см
00
см
LO
о
00
о
СО
СО
СО
со
3
о
СМ
см
840
LO
о
S
см
о
со
о
о
LO
289
00
со
о
оэ
СО
СО
о
СО
LO
см
о
LO
LO
LO
о
СО
СО
см
см
о"
о
СО
596
СО
т
со
о
СО
оо
о
О5
642
т
со
со
?
СО
см
о
00
см
о
со
о
о
t.
со
LO
о
о"
см
LO
О5
о
о
406
О5
о
1
S
LO
о
см
¦г-н
о
о
см
977
см
со
О5
о
478
СО
о
о
о
см
о
О5
00
о
О5
см
о
8
О5
О5
о
00
О5
00
о
О5
00
о
СО
с-
со
о
016
т
СО
о
т
00
СО
о
О5
о
LO
о
СО
СО
о
о
о
о


4(J ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОЯ. ПРОИЗВОЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ КОНТАКТА [ГЛ. XI
Таблица 37
е2
X
%
%
IV
0,0
•2
1,49
1,51
4
1,22
1,22
0,7
2
1,01
1,03
4
0,88
0,88
0,99
2
0,49
0,50
4
0,46
0,46
III (v = 0,3)
0,0
2
1,60
1,63
4
1,26
1,27
§ 54. Приближенный метод решения
контактных задач для слоя при достаточно больших X
В этом параграфе мы изложим приближенный метод решения
интегрального уравнения E1.3) или E1.11), основанный на сведе-
сведении его к системе линейных алгебраических уравнений и пригод-
пригодный, вообще говоря, при любых значениях параметра Я, но эффек-
эффективный лишь при достаточно больших К [3].
1. Аппроксимируем каким-либо способом при данном % функ
цию ff(f) вида E1.7) на отрезке 0 ^ t < 2Д полиномом1)
E4.1)
где а0 определяется соотношением C9.8). Подставляя E4.1) в
интегральное уравнение E1.13), представим его в виде
(Б,л)
'у)
5
E4'2)
Отметим, что аппроксимировав f(t) полиномом, мы не нарушили
основных свойств этой функции (см. лемму 51.1), поэтому прибли-
приближенные решения, которые могут быть получены на базе интеграль-
интегрального уравнения E4.2), будут полностью сохранять характер точ-
точного решения.
L) Например, интерполяционным полиномом Лагранжа по чебышевским
2	яB/с + 1)
узлам *, =-4r-cos о ,0 _¦_ , ч (/с = 0, 1, . . ., п). Значения функции &{t)
в узлах интерполяции находятся по табл. 34 и 35. Можно сделать иначе; разло-
разложить Ж if) в ряд по полиномам Чебышева, приняв в качестве переменной ?А/2.
После этого в качестве аппроксимации для ^{t) можно взять сумму первых
п членов этого ряда. Вычисление коэффициентов указанного разложения лег-
легко производится с использованием таблиц 34, 35 и квадратурной формулы
типа Гаусса [14].


§ 54]	ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ	403
Покажем теперь, что если известно решение для данного вида
области контакта Q интегрального уравнения E1.15), соответст-
соответствующего случаю упругого полупространства, то интегральное
уравнение E4.2) может быть сведено к решению системы линейных
алгебраических уравнений.
Будем искать решение интегрального уравнения E4.2) в виде
q (?, Л) = too (S. Л) + Р* (I. ЛI €Е L (Q),	E4.3)
где ро(%, л) есть решение интегрального уравнения E1.13). Легко
заключить, что тогда поправочная функция р* (?, ц) удовлет-
удовлетворяет уравнению
р. (I, ^)) т- = S -^гй[Рой'л) + р& л)] ди^ dTb
(ж,»)ЕЙ. E4.4)
Правая часть уравнения E4.4) есть полином степени 2гг. Посколь-
Поскольку мы предположили, что решение интегрального уравнения
E1.13) мы умеем находить, то нам будет известно решение
^(^, Y]) этого уравнения при
/(*,*/)= 2 2 Q*V-	E4.5)
г=о j=0
Подставив теперь р% (|, r\) — 'q (?, yj) в правую и левую части урав-
уравнения E4.4), получим в обеих частях, согласно E4.5), полиномы
степени 2п. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степе-
степенях х я у, получим систему Bп + 1) (и + 1) линейных алге-
алгебраических уравнений для определения Bп-\- 1) (и+ 1) неизвест-
неизвестных Cjj. Тем самым решение интегрального уравнения E4.4) бу-
будет сведено к решению системы линейных алгебраических урав-
уравнений при известном решении уравнения E1.13).
2. В качестве примера рассмотрим случай, когда область Q
есть эллипс с полуосями а и Ъ. Положим X =— = 1, п = 1 и
f(x, у) = Р (плоский штамп). Если временно считать, что функция
q (?, Y]) известна, то в правой части интегрального уравнения
E4.2) будет стоять полином второй степени вида 2л;А [[3 -f 7 (^2 +
+ у2)].
E4.6)


404 ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОЯ. ПРОИЗВОЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ КОНТАКТА [ГЛ. XI
Обратившись теперь к § 52, видим, что решение уравнения
E4.2) в этом случае необходимо искать в форме E2.25). Подставив
#(?, Y]) в форме E2.25) в E4.6) и вычислив интегралы (для вы-
вычисления интегралов используем формулу E2.21), представим
C и у в виде
B-е») Г. , Ва*B-е*) iBa*(Sw+Sn-2Sn)
^TL6 +	3	 + 45
Г
T =
«ASoo
В левой части интегрального уравнения E4.2), после подстановки
д(|, т]) в форме E2.25) и вычисления интеграла, на основании
E2.22) будем иметь 2яД [6 + В (х2 + ?/)].
Приравнивая, наконец, коэффициенты правой и левой частей
интегрального уравнения E4.2) при одинаковых степенях хну,
получим систему двух линейных алгебраических уравнений для
определения б и В'-
б = р, В = ~у,	E4.8)
где Р и у даются соотношениями E4.7).
Определив б и В из системы уравнений E4.8), получим при
ближенное решение задачи по формулам E2.25), E2.27), которые
представим в следующем более удобном виде:
, v	A3
я Г	1
х = -у I a00 + —
Значения постоянных а0 и av при которых выражение E4.1)
(п = 1) наилучшим образом аппроксимирует функцию ^Г (?)
на участке 0 ,<; t <[ 2, для обеих рассматриваемых контактных
задач, таковы:
задача III при v = 0,3 задача IV
а0 = 1,377,	а0 = 1,168,
d = -0,309,	аг = -0,223.
Они получаются, если в качестве точек интерполяции для функции
f {t) на отрезке [0, 2] взять ?0 = 0, t± = 1,5.
Подставим указанные значения а0 и аг в систему уравнений
E4.8) и решим ее при е2 = 0,00; 0,70; 0,99 для задачи IV и при
е2 = 0,00 для задачи III.


55]
«ВНУТРЕННЕЕ» РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПРИ МАЛЫХ
405
Некоторые результаты решения приведены в табл. 38 . Для
сравнения в скобках указаны значения некоторых величин, по-
полученные в работе [10].
Таблица 38
IV
III
е2
0,00
0,70
0,99
0,00
2,001
1,056
0,387
2,610
—0,825
-0,286
—0,038
—1,347
«02
—0,825
—0,131
—0,002
-1,347
X
2,28 B,20)
1,44
0,59
2,69 B,48)
Заметим, что при уменьшении параметра А, эффективность из-
изложенного метода быстро падает, так как для сохранения задан-
заданной точности решения необходимо увеличивать количество членов
в аппроксимации E4.1), а это в свою очередь приводит к резкому
возрастанию количества алгебраических уравнений в разрешающей
системе. Исходя из сказанного, диапазон рационального использо-
использования изложенного метода можно ориентировочно определить
неравенством 1/2 <^ А, < оо.
§ 55. Построение «внутреннего» решения
контактных задач для слоя
при малых значениях относительной толщины слоя \х
В этом параграфе мы получим решение интегрального урав-
уравнения E1.3) при малых |я, справедливое при достаточном удале-
удалении в глубь области Q от ее контура X. Будем называть такое
решение «внутренним» [1].
1. Для построения указанного решения удобно вместо интег-
интегрального уравнения E1.3) рассмотреть эквивалентное ему функцио-
функциональное уравнение
' (т*)
E5.1)
полученное на основании соотношений A8.21), A8.22), A8.26),
A8.27), причем в E5.1)
^ Ц q (a,
Ч {x'v) B
E5.2)


406 ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОЯ. ПРОИЗВОЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ КОНТАКТА [ГЛ. XI
Обратная связь имеет вид A8.13)
- / (*. У)
± \ \ W* (а, р) е-(ах+3у)da ф = f - / (*. У) в Q,
- и;* (а, (В) = JL g / (g, г,) ei(
Здесь Q* — дополнение Q по всей плоскости I\, у (x, у) —
осадка точек поверхности слоя z = h вне штампа. Из формул
E5.1), E5.2) найдем
оо ос
_ А Р Г
—оо —со
Используя затем E5.3), окончательно получим
E5.5)
.	E5.6)
Займемся теперь оценкой второго итёграла в E5.5) при малых
значениях параметра |я. Отметим, что для функции т (t) вида
E5.6) может быть получено разложение
оо
m(t) = — S bmVmK0 (bmt) + -§- 60 (t)	E5.7)
m=i
аналогично тому, как это было сделано в § 51 для ядра к {t) ин-
интегрального уравнения E1.3). Здесь Ко (х) — функция Макдо-
нальда, б0 (t) — двумерная импульсная функция Дирака.
Рассмотрим геометрическое место точек (х, у) ЕЕ Q, отстоящих
от границы области Q по нормали не менее чем на аог (определе-
(определение величины а0 (см. § 51, п. 1). Очевидно, эти точки образуют
некоторую подобласть Й? d Q.
Теперь без труда для всех точек (х, у) Е= й? на основании
E5.7) при малых значениях параметра [л, получим следующую


§ 55]	«ВНУТРЕННЕЕ» РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПРИ МАЛЫХ ц	407
оценку второго интеграла в E5.5)"
ТF, Л)™(W)dldr\| = О [(-^)~1/2ехр (	^Re 6^] . E5.8)
При выводе оценки учтено, что
E5.9)
На основании E5.8) можем легко заключить, что при малых \х
имеет место асимптотическое равенство
E5.10)
во всех внутренних точках (х, ?/) области Q. Это равенство дает
нам «внутреннее» решение интегрального уравнения E1.3) при
малых |я тем более точное, чем дальше по нормали удалена рас-
рассматриваемая точка (х, у) от контура L области Q. Точность ра-
равенства E5.10) определяется оценкой E5.8). На самом контуре
соотношение E5.10) теряет смысл, как бы ей был мал параметр и.
2. Представим соотношение E5.10) в другой форме, более удоб-
удобной в ряде случаев для практического использования. Для этого
сначала найдем еще одно асимптотическое представление для
функции т (t) вида E5.6) при больших t, отличное от E5.7).
Сделав под интегралом в формуле E5.6) замену переменной
и = [}/?, получим
Видим, что для установления асимптотики m(t) при больших
t можно воспользоваться асимптотическим представлением функ-
функции и/Х (и) при малых и
^	+ 0 («•)].	E5.12)
Здесь соответственно для рассматриваемых задач
III. Z>! = 0, IV. 0! = - 2%-J^6) ¦ E5.13)
Подставляя E5.12) в E5.11) и совершая затем переход под
интегралом к старой переменной и, получим
m i
^ \и [1 + Diu2 + D*u* + • • •] Jo(ut)du- E5.14)


408 ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОЯ. ПРОИЗВОЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ КОНТАКТА [ГЛ. XI
Используя,' наконец, интегральное представление двумерной
импульсной функции
оо
( uJ0 (ut) du = 2л60 (t)	E5.15)
ж дифференциальное тождество
VsVo (ut) = - uV0 (ut)
(t=VW+b s^^t^, *=J^hIL)> E5-16)
найдем
m(t) ~-§¦ [d0 (t) - ?>iVs%d0 (t) + D2VU 60 (t) - . . .]. E5.17)
Подставив теперь выражение E5.17) в E5.10) и приняв во
внимание известное свойство двумерной импульсной функции
	ОО 	СЮ
(* = /0r'-i'J + O/'-n')a),	E5.18)
получим следующую новую форму «внутреннего» решения:
q(x, у) - А (М)-1 [1 -Z)^2 +ZJfe4V2 -...]/ (х,
;
(ж, у) е Ое-
Формула E5.19) весьма удобна для случаев, когда функция
/ (ж, ?/) — полином или полигармоническая.
Следует также отметить, что «внутреннее» решение E5.19)
может быть найдено «первым итерационным процессом» [7] не-
непосредственно из краевой задачи для уравнений Ламе.
§ 56. Построение решения
.в окрестности границ области контакта Q
при малых значениях относительной толщины^слоя {t
В этом параграфе мы получим решение типа погранслоя [1,2]
для интегрального уравнения E1.3) при малых \х в области Q — й?.
На границе области Qz оно будет стыковаться с «внутренним»
решением уравнения E1.3), изученным в предыдущем параграфе.
Будут определены ориентировочные границы по \х практической
применимости такого комплекса решений.
1. Перепишем интегральное уравнение E1.3) в виде
q (?, Л) к (R/h) dl d4+§q (?, ц) к (R/h) dl dx\ = 2^f (x, y),
(x, 1/)?Й-2?, 1 > sx > 8,	E6.1)


§ 56]
РЕШЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ГРАНИЦ КОНТАКТА
409
или, учитывая, что функция q(?, yj) в области Й, а следовательно,
и в QZl абсолютно интегрируема, будем иметь
g (Е, т|) Л (Д/А) d?йл + О
— ^^ Re Tijj= 2яЛЛ/ (ж, у),
E6.2)
8.
Итак, необходимо найти решение интегрального уравнения
E6.2) в области Q — Q?l, где оно должно иметь особенность
на контуре X вида Д* и быстро стре-
миться к «внутреннему» решению при
удалении от контура X в глубь области,
т. е. иметь характер «погранслоя».
Для построения этого решения ти-
типа погранслоя перейдем в E6.2) к новым
переменным (п, s), связанным с контуром
X (рис. 25). Введем их следующим обра-
зом^ опустим из точки Р (х, у) ЕЕ ?2 — Й?
нормаль на контур X; пусть длина этой
нормали тг, а точка пересечения ее с кон-
туром Q (xv 2/i); выберем на контуре X
какую-то точку О' (х0,- у0) в качестве
начала отсчета и измерим расстояние s между точками О' и Q по
контуру X', величины п и s примем за новые координаты точки Р
в криволинейной системе координат (п, 5). Очевидно, в малой ок-
окрестности точки Р система координат (п, s) прямоугольна. Кроме
того, заметим, что при условии е<1 и 0 <; s< I (I — периметр
контура X) каждой паре чисел (х, у) в области Q — Q? соответ-
соответствует только одна пара чисел (п, s) и наоборот, ибо из каждой
точки Р ЕЕ Q — Q? на контур X может быть опущена только одна
нормаль.
Вернемся к рассмотрению уравнения E6.2). В системе коорди-
координат (п, s) оно примет вид
1/2
Рис 25.
dv \ q (v, т) к (R/h) dx +
0	-1/2
+ 0JVjTexp( — —^
0 < n < ao8, | 5 |
i Re Tij 1 = 2nftAf (л, s), E6.3)
Z/2, 1 > г1 > 8.
Здесь обозначено
\q (v, т)='
(n, s) = f(x, y).
E6.4)


410 ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОЯ. ПРОИЗВОЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ КОНТАКТА [ГЛ. XI
В уравнении E6.3) опять произведем замены
Ъ = n/h, с = slh, р = v/Л, у = т/Л, Ro = R/h E6.5)
и введем обозначения
q(v, т) = Ф(Р, у), Т(п, s) = /*(&, с), к=1/2а0. E6.6)
Будем иметь
0 < & < е/(л, | с |< ft/ц, 1 > 8Х > 6.	E6.7)
Для нахождения главного члена асимптотики решения интег-
интегрального уравнения E6.7) при малых (яустремимв нем (я к бес-
бесконечности и найдем решение полученного таким путем интег-
интегрального уравнения. Заметим, что стремление (я к бесконечности
равносильно в системе координат (w, s) распрямлению конту-
контура Ж в бесконечную прямую; при этом, как легко видеть, по-
ясковая область 0 <; Ъ ^ е/|я, | с \ ^ к/\х разворачивается в по-
полуплоскость, система координат (п, s) вырождается в прямоуголь-
прямоугольную.
Учитывая все сказанное, представим интегральное уравнение
E6.7) при |я ->- 0 в форме
- Ъ? + (Т - ^J) d^ = ^-f (Ь, с),
E6.8)
0< 6< 00, | С |< 00.
Отсюда видно, что главный член асимптотики решения интеграль-
интегрального уравнения E6.7) при малых \х не будет, по сути дела, зави-
зависеть от кривизны контура X в той или иной его точке.
Однако влияние кривизны можно было бы учесть, приняв во
внимание, что асимптотически при малых \х в окрестности каж-
каждой точки контура X с координатой с и радиусом кривизны р (е)
решение интегрального уравнения E6.7) совпадает с решением
соответствующего интегрального уравнения для круглого в
плане штампа радиуса р (с), если р (с) ^> 0, и для штампа, пред-
представляющего собой в плане внешность круга радиуса р (с), если
р (с) < 0. Здесь, не вдаваясь в подробности, лишь заметим, что
на самом контуре L поправка на кривизну имеет порядок О [^2(с)],
где % (с) = Ыр(с)]-1. К такому выводу можно прийти на осно-
основании формулы 039.16) и ей подобных для ядра кп (?, т) вида C9.2)
при п > 1.


§ 56]	РЕШЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ГРАНИЦ КОНТАКТА	411
2.	Ограничимся далее рассмотрением важного частного слу-
случая1)
/U s)=J{n) или /*(&, с) =/F).	E6.9)
Он охватывает случай осевой симметрии, а также все случаи
штампов с плоскими основаниями (/ (х, у) = const).
Уравнение E6.8), очевидно, представляет собой интеграль-
интегральное уравнение задачи о действии штампа в виде полуплоскости
на упругий слой конечной толщины h. Известно, что если правая
часть этого уравнения есть функция только от 6, то мы будем
иметь дело со случаем плоской задачи и, следовательно, решение
уравнения ф (Р, у) = ф(|3).
Учитывая сказанное и вычисляя в E6.8) интеграл по у, пред-
представим интегральное уравнение E6.8) в виде
-, 0<6<oo,	E6.10)
где функция к (s) уже имеет вид B2.2).
Уравнение E6.10) представляет собой (см. § 28) интегральное
уравнение плоской задачи о действии полубесконечного штампа
на упругий слой конечной толщины h. Таким образом, главный
член асимптотики решения интегрального уравнения E6.2) (или,
что то же самое, интегрального уравнения E1.3) в области Q — Q&)
при малых [х и условии / (х, у) = / (Ь) будут представлять собой
плоский погранслой, определяемый уравнением Винера — Хопфа
E6.10). Иными словами, от каждой точки контура X по нормали
в глубь области Q будет отходить погранслой одинакового вида
и «толщины»2), т. е. функция q (?, rj), определяющая закон рас-
распределения контактных давлений под штампом, будет при движе-
движении по любой нормали к контуру X в глубь области Q принимать
на равных расстояниях от контура равные значения и одинаково
быстро стремиться к «внутреннему» решению. Этот погранслой
мы будем называть «внутренним».
Приближенные решения интегрального уравнения Винера —
Хопфа E6.10) для различных случаев его правой части / (Ь) и
различных видов аппроксимации функции X (и) даны в § 28.
3.	Введем в рассмотрение еще «внешний» погранслой, с ко-
которым мы сталкиваемся при внимательном изучении функции
у (х, у) осадок поверхности слоя в области Q*, т. е. вне штампа.
Действительно, на контуре X функция у (х, у) принимает ка-
какие-то конечные значения, а при удалении от контура X быстро
х) Предположение E6.9) введено лишь для простоты; излагаемый метод
позволяет произвести рассмотрение общего случая / (х, у) = /* (Ъ, с).
2) К определению понятия протяженности погранслоя мы вернемся
ниже.


412 ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОЯ. ПРОИЗВОЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ КОНТАКТА 1ГЛ. XI
стремится к нулю, причем тем быстрее, чем относительно меньше
толщина слоя и, следовательно, жестче конструкция. Таким обра-
образом, функция у (х, у) при малых \i должна иметь погранслоевый
вид. Если при определении этого погранслоя применить схему
и рассуждения, аналогичные использованным выше при построе-
построении «внутреннего» погранслоя, а также ограничиться той же точ-
точностью, то окажется, что главная часть «внешнего» погранслоя
тоже плоская и дается соотношением
У (fc, У) ~ В(Ъ) при U j)?Q*- Ql и |х -> 0, E6.11)
Здесь k(s) также имеет вид (/22.2), область Q*e получается исклю-
исключением из области ?2* всех точек, отстоящих от контура X по
нормали не менее чем на ао8, 0 < е < 1.
Заметим, что g(b) может быть найдено единым процессом с
Ф (Р) при решении интегрального уравнения Винера — Хопфа
E6.10) (см. § 28).
4. Перейдем к изучению вопроса о границах применимости по
[х главной части асимптотики функции q (?, rj) при малых \i в
области Q — й?, определяемой уравнением E6.10). Для этого
прежде всего отметим то главное, что было положено в основу вы
вода интегрального уравнения E6.10) для функции ф (р) и о чем
еще не было отчетливо сказано. Именно, было замечено, что асим-
асимптотически при малых [х отсутствует влияние напряженного со-
состояния в окрестности какой-то одной точки контура X области
Q на напряженное состояние в окрестности любой другой точки
контура X, т. е. асимптотически отсутствует взаимовлияние раз-
различных точек контура X. Воспользовавшись этим, мы устреми-
устремили [х к нулю в соотношении E6.7) и тем самым пришли к E6.10).
Однако тут необходимо вспомнить, что взаимовлияние точек кон-
контура области Q может быть внешним и внутренним1), и только при
асимптотическом отсутствии не только внутреннего, но и внеш-
внешнего взаимовлияния будет иметь место та простая картина (см.
§ 57) распределения контактных давлений по любой нормали к
контуру, которая диктуется при малых \х уравнением E6.10).
Теперь уже совершенно очевидно, что о границах применимо-
применимости асимптотического при малых [х равенства
q F, Л) ~ ср (р), (?, ц) е О - Qe	E6.12)
х) Из теории плоских контактных задач для полуплоскости известно,
например, что наличпе второго штампа на грани полуплоскости существенно
влияет на распределение напряжений под ближайшим краем первого штампа
и наоборот (см. [15]).


§ 56]	РЕШЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ГРАНИЦ КОНТАКТА	413
можно судить лишь по быстроте затухания «внутреннего» и «внеш-
«внешнего» погранслоев, т. е., иными словами, по их «толщине».
Относительную толщину Н19 Н2 погранслоев определим со-
соответственно выражениями
#i = *А I Ф (&i) - Ф* (&i) I • IФ* (*i) I = 0,025,1
Н2 = b2/h g (b2) [g (О)]-1 = 0,025,	~ f
где ф* F) — главная часть функции ф (Ь) при Ъ -> оо. По методу
построения функции ф F), изложенному выше, очевидно, что
значение ф* FХ) должно асимптотически совпадать с соответст-
соответствующим значением «внутреннего» решения, определяемого одной
из форм E5.10), E5.19). Это подтверждатся конкретными приме-
примерами (§ 57).
Теперь уже легко конкретно очертить границы применимости
решения интегрального уравнения E6.10). Для того чтобы асимп-
асимптотически при малых |х отсутствовало взаимовлияние точек кон-
контура X, т. е. чтобы погранслои, отходящие от каждой точки, были
простыми, не пересекались и не накладывались друг на друга,
достаточно, чтобы они соответственно укладывались по «толщине»
во внутренней [Q—й? и внешней Q* — Qz областях. При этом
не будут влиять друг на друга как соседние, так и противолежа-
противолежащие точки контура X. Учитывая сказанное, получим условие
ao&/h > sup (Hv tf2) |i < e [sup (#!, ffa)]-1^ < 1), E6.14)
определяющее ориентировочно искомые границы.
В случае выпуклой области контакта Q необходимость введе-
введения и рассмотрения внешнего погранслоя отпадает, поэтому ус-
условие E6.14) в этом случае принимает более простой вид
рКеЯГ1 (е<1)	E6.15)
5. Подведем теперь некоторые итоги. Функция ф (|3), удовлет-
удовлетворяющая интегральному уравнению E6.10), дает нам главную
часть асимптотики решения при малых [х интегрального уравне-
уравнения E1.3) в области Q — Q?. Одна из формул E5.10), E5.19)
дает решение интегрального уравнения E1.3) при малых |х в об-
области Q?. На границе области QE они асимптотически стыкуются,
что ясно из схемы построения указанных решений и подтвержда-
подтверждается приведенным в § 57 примером. Таким образом, в комплексе
мы сможем получить приближенное решение интегрального урав-
уравнения E1.3) при малых \i во всей области й, обладающее необходи-
необходимой особенностью вида I/]/R на контуре X.
Какова же будет техника подсчета контактных давлений
при малых (х в заданной точке А (х, у) области Q? Если точка
А ЕЕ &?, то подсчет ведется по «внутреннему решению, если же


414 ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОЯ. ПРОИЗВОЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ КОНТАКТА [ГЛ. XI
А ЕЕ Q — Й?, то необходимо из этой точки опустить перпенди-
перпендикуляр на контур X, определить длину нормали п, а затем произ-
произвести подсчет контактных давлений в соответствии с E6.12). Заме-
Заметим кстати, что в случае осевой симметрии за область Qt можно
принять лишь окрестность точки г = 0.
§ 57. Приближенное решение контактных задач для слоя
при малых {I (примеры)
В этом параграфе с помощью изложенных в § 55, 56 асимпто-
асимптотических методов будет подробно рассмотрен случай произвольных
в плане плоских штампов, а также будет получена приближенная
формула для силы 5s, действующей на такие штампы.
1. Для конкретного построения погранслоевого решения ап-
аппроксимируем функции X (и) вида B2.3), B2.4) выражением
(см. также § 28)
Значения В ж С выберем таким образом:
Это будет обеспечивать правильную стыковку погранслоевого
решения в области Q — й? с внутренним решением в области
Qz в случаях плоского и параболического штампов.
Принимая теперь во внимание E5.22), окончательно найдем
для задачи III при v = 0,3
для
задачи
IV
В
= 0
в
,9253,
= 1,
С =
С =
1
2.
,5057,
E7.3
E7.4)
Пусть теперь f (b) = у (плоский штамп). Для этого случая по
формулам § 28 получим решение ер (Ь) интегрального уравнения
Винера — Хопфа E6.10), а также найдем функцию g(b). Будем
иметь
^(	V^) (°<&<°°)' E7-5)
g (Ъ) = т [1 - erf V=7Bb + /Г^ше^сь erf /-ДЬA-ю)] E7.6)
/-оо<Ь<0/
\ со =
Определим по формулам E6.13) толщины погранслоев. Вы-
Вычисления дают для задачи III при v = 0,3
Я1=0,9, Я2=1,5	E7.7)


§ 57]	ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ у. (ПРИМЕРЫ)	415
для задачи IV
Нг - 0,6, Н2 = 1,1.	E7.8)
Интересно отметить, что для обеих рассматриваемых задач у
функций g(b) вида E7.6) имеется небольшая зона отрицательных
значений, которая свидетельствует о том, что при вдавливании
штампа в слой малой относительной толщины происходит неболь-
небольшое выпучивание поверхности слоя вблизи границы штампа.
Для упругого полупространства (X = оо) такое выпучивание не
наблюдается.
2. На основании вышеизложенного перейдем к изучению пло-
плоского, произвольного в плане штампа (/ (х, у) = б). Внутреннее
решение для этого случая, как уже указывалось в § 56, имеет вид
^+О (<г*П (х, у) е Qe,	E7.9)
где постоянная d при 8=0, (9) для рассматриваемых задач соот-
соответственно равна
III. 0,877 (v = 0,3), IV. 3,142.	E7.10)
Решение погранслоевого типа в области Q — Qt дается соот-
шениями E6.12), E7.5). На границе области Qt оно принимает
вид
Я(*> У) =-Ж+ °(*-*'*)>	E7Л1)
где постоянная d* при е = 0,(9) для рассматриваемых задач соот-
соответственно равна
III. 0,925 (v = 0,3). IV. 1,000.	E7.12)
Из сравнения формул E7.9), E7.11) видно, что на границе
области Q? внутреннее решение и решение погранслоевого типа
асимптотически при малых \i стыкуются, обеспечивая тем самым
в комплексе приближенное определение контактных давлений во
всей области Q.
Ориентировочные границы использования такого комплекса
мы можем найти по формулам E6.14), E6.15). Принимая во вни-
внимание E7.7), E7.8), получим в случае задачи IV для произволь-
произвольного в плане штампа \i <0,91, для выпуклого в плане штампа
[х < 1,67; в случае задачи III для произвольного \i < 0,67, для
выпуклого A < 1,11. При вычислении.принято 8 = 0,(9).
3. Несколько подробнее остановимся на случае плоского эл-
эллиптического в плане штампа.
Учитывая, чтов минимальный радиус кривизны эллипса равен
а A — е2) при условии а^> Ъ, получим следующую связь между
параметрами (i и X:
\i = Ml -e2)'1.	E7.13)


416 ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОЯ. ПРОИЗВОЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ КОНТАКТА [ГЛ. XI
Теперь мы можем в случае задачи IV на плоскости (е, X) графи-
графически изобразить (рис. 26) границы применимости асимптотиче-
асимптотических при малых и больших % решений интегрального уравнения
E1.3) для эллиптического в плане плоского штампа. Пунктиром
изображена линия, на которой производится просчет методом си-
систем линейных алгебраических уравнений (см. § 54). При построе-
построении рис. 26 использована последняя колонка таблицы 36 и соот-
соотношение E7.13) (с учетом, что jx < 1,67).
МалыгХ =^~=rr-:z=fcz—_-
Если Q — эллипс с полуосями а и Ъ то, очевидно, при х =¦ О,
п = Ъ —г/, а при у = 0, тг = а —х. Принимая это во внимание,
а также формулы E7.5) и E7.9), получим следующие приближен-
приближенные соотношения для посчета контактных давлений на осях х и у
в области контакта плоского, эллиптического в плане штампа со
слоем при малых \i:
В(а-х) •
j,
В(Ъ-у)
Для плоского, круглого в плане штампа будем иметь
	 В(а-г)
J&h	h
i Дб
]¦
E7.14)
E7.15)
Теперь по первой формуле B1.2) найдем силу 3d, действующую
на плоский, круглый в плане штамп
Т


67]
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ПРИ МАЛЫХ jx (ПРИМЕРЫ)
417
Заметим, что получение аналогичной формулы для силы 3*
в случае произвольного в плане (в частности, эллиптического)
плоского штампа затруднено из-за отсутствия единого аналитиче-
аналитического выражения для контактных давлений на всей области кон-
контакта Q, аналогичного E7.15). Ввиду этого изложим ниже при-
приближенный способ определения силы З5, действующей на произ-
произвольный в плане плоский штамп при малых \х.
Учитывая формулы E7.5), E7.9), представим асимптотическое-
при малых [i решение для произвольного в плане плоского штампа
в виде
(О, (x,jf)EQt,
1+
erf 1/ 4?- -
E7.17)
Теперь для силы 9Ь, действующей на штамп, получим следую-
следующее приближенное соотношение:
А5
[s + lh [ [erf
- 1 +
- ?&)] db
E7.18)
где S —площадь области Q, I —-периметр контура 55, е принято
равным 1. Полагая в E7.18) асимптотически при малых (i верхний
предел интеграла равным оо и вычисляя этот интеграл, оконча-
окончательно получим
$>¦
E7.19)
Здесь постоянная D для рассматриваемых задач соответственна
равна
HI. D = 0,1238 (v = 0,3). VI. D = 0,2071. E7.20)
Легко заметить, что для случая круглого штампа приближен-
приближенная формула E7.19) дает два первых члена асимптотики формулы
E7.16) при малых %. Результаты численного сравнения формул
E7.19) и E7.16) для случая круглого штампа даны в табл. 39.
Для удобства обозначено к = ЗР DДба)-1. В последней колонке
таблицы приведены соответствующие значения величины х, полу-
полученные в работе [12] совершенно другим путем. Для задачи III
принято v = 0,3.
Для случая эллиптического в плане штампа приближенная
формула E7.19) принимает вид
E7.21)
1/214 И. И. Ворович и др.


418 ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОЯ. ПРОИЗВОЛЬНАЯ ОБЛАСТЬ КОНТАКТА [ГЛ. XI
Таблица 39
IV
III
E7.16)
1
2,23
2,55
х/2
3,81
4,45
E7.19)
1
2,22
2,40
Чг
3,79
4,32
[15]
1
2,20
2,48
3,72
4,34
где е — эксцентриситет, Е (е) — полный эллиптический интеграл
второго рода.
В заключение отметим, что изложенные в §§ 56,56 асимптотиче-
асимптотические методы могут быть легко использованы для построения кон-
конкретных приближенных решений и в случае осесимметричных не-
неплоских штампов.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ XI
1.	Александров В. М., Асимптотическое решение контактной задачи
для тонкого упругого слоя. ПММ,* 1969, т. 33, вып. 1.
2.	Александров В.М., К решению одного типа двумерных инте-
интегральных уравнений. ПММ, 1964, т. 28, вып. 3.
3.	Александров В. М., Некоторые контактные задачи для упругого
слоя. ПММ, 1963, т. 27, вып. 4.
4.	Александров В.М., О действии эллиптического штампа на упру-
упругое полупространство. Авторефераты научно-исследовательских работ
за 1959 г. Изд-во РГУ, 1960.
5.	Александров В. М., Ворович И. И., О действии штампа на
упругий слой конечной толщины. ПММ, 1960, т. 24, вып. 2.
6.	Г а л и н Л. А., Контактные задачи теории упругости. Гостехиздат, 1953.
7.	Гольденвейзер А. Л., Построение приближенной теории изгиба
пластинки методом асимптотического интегрирования уравнений теории
упругости. ПММ, 1962, т. 26, вып. 4.
8.	Градштейн И. С, Рыжик И. М., Таблицы интегралов, сумм,
рядов и произведений. Физматгиз, 1962.
9.	Д о в н о р о в и ч В. И., Пространственные контактные задачи теории
упругости. Изд-во БГУ, Минск, 1959.
10.	Лебедев Н. Н., У ф л я н д Я. С, Осесимметричная контактная
задача для упругого слоя. ПММ, 1958, т. 22, вып. 3.
11.	Лурье А.И., Пространственные задачи теории упругости. Гостехиз-
Гостехиздат, 1955.
12.	Моссаковский В. И., К вопросу об оценке перемещений в про-
пространственных контактных задачах. ПММ, 1951, т. 15, вып. 3.
13.	М о с с а к о в с к и й В. И., Применение теоремы взаимности к опреде-
определению суммарных сил и моментов в пространственных контактных зада-
задачах. ПММ, 1953, т. 17, вып. 4.
14.	Н а т а н с о н И. П., Конструктивая теория функций. Гостехиздат, 1949.
15.	Штаерман И. Я., Контактная задача теории упругости. Гостехиз-
Гостехиздат, 1949.


Глава XII
КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УПРУГОГО КЛИНА
С ОДНОЙ ЖЕСТКО ЗАЩЕМЛЕННОЙ ГРАНЬЮ
§ 58. Интегральное уравнение контактной задачи
для клина с жестко защемленной гранью
1. Рассмотрим плоскую задачу о взаимодействии жесткого^
штампа с упругим клином. Угол при вершине клина 2а (О <С се <^
< я), грань ф = —а жестко защемлена, в грань ер = а вдавли-
вдавливается штамп силой 3d. Силы трения между штампом и поверх-
поверхностью клина предполагаем отсутствующими. Вне штампа по-
поверхность клина не нагружена. Линия контакта штампа с клином:
Рис. 27.
определяется неравенством а <^ г <; Ъ. Основание штампа произ-
произвольное и в системе координат уОх, связанной со штампом, описы-
описывается уравнением у = g (x). На рис. 27 изображено положение
штампа относительно клина до и после деформации.
Граничные условия задачи при сделанных предположениях бу-
будут иметь вид:
при ф= —а и — v = 0,	E8.1)
при ф = а тГф = 0,	E8.2)
Оф = 0, когда 0<г<а и 6<г<оо,
v = — / (г) = — [б + рг —- g (г)], когда а < г < Ь,
Ь} E8.3)
при г —>¦ оо напряжения исчезают.
14*


420
КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УПРУГОГО КЛИНА [ГЛ. XII
Здесь б -f Рг — перемещение штампа под действием силы 5s,
Указанная постановка задачи, основанная на формулах ли-
линейной теории упругости, будет иметь место при выполнении не-
неравенства
max х-1 f (x) << min (I, tg 2а), х е [а, Ъ\.	E8.4)
Требуется определить распределение контактных нормальных
напряжений под штампом аср|Ф=а = —- Я (г) при а <^ г ^ Ь, связь
между 5й, Н и б, р, а также длину линии контакта (если она пере-
переменна).
2. Рассмотрим сначала следующую вспомогательную задачу
о равновесии упругого клина:
при ф = — а и = v = 0,
при ф = а	тГф = 0, аф = —• д (г),
E8.5)
E8.6)
при г-> оо напряжения исчезают.
Уравнения Ламе в цилиндрической системе координат (г, ф)
при отсутствии массовых сил и выражения для напряжений имеют
вид
E8.7)
a»
i д
dv 1
E8.8)
Будем искать решение уравнений Ламе E8.7) в форме интегра-
интегралов Меллина
и (г, ф) = -^т- \ и (s, ф) r-sds,
E8.9)
Подставив выражение E8.9) в уравнение E8.7), совершив все
необходимые дифференциальные операции под знаками интегра-
интегралов и приравняв нулю в полученных соотношениях подынтеграль-
подынтегральные выражения, придем к системе обыкновенных дифференциаль-


58]
ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ КЛИНА
421
ных уравнений относительно функций и* и v*
(X + 1) (S2 — 1) и* + (X — 1) Щ - 2 (8 + X) 17, = О
E8.10)
(х — 1) (s2 — 1) и* + (х + 1) гС — 2 (s — х) ul = 0.,
Решение этой системы легко может быть получено и имеет вид
и* = (s ¦+- х) [ах sin (s + 1) ф + а2 cos (s + 1) ф] +
+ (s — 1) la3 sin (s — 1) ф + a4 cos (s — 1)ф],
г;* = — (s — x) [ах cos (s + 1) ф — a2 sin E + 1) ф] —
— (s — 1) la8 cos (s — 1) ф — a4 sin (s — 1) ф]. E8.11)
Подставляя теперь E8.11) в E8.9), получим общее решение
системы уравнений Ламе E8.7). Здесь at (i = 1, 2, 3, 4) —функ-
—функции от s, подлежащие определению из граничных условий E8.5),
E8.6).
Зная перемещения, определим по формулам E8.8) напряжения
0-Н<эо
E8.12)
о—гоо
a3 sin (s — 1) ф + а4 cos E — 1) ф] s (s —
а+гоо
{{s -\- 1) [^i cos E -J- 1) ф — а2 sin (s •
О—loo
(s — 1) [a3 cos (s — 1) ф — a4 sin E — 1) ф]} sr-^ds t
и перейдем к удовлетворению условий E8.5), E8.6).
Граничным условиям E8.5) удовлетворим, положив ф= —a
в формулах E8.11) и приравняв нулю подынтегральные выраже-
выражения. Получим
E8.13)
(s + x) [ax sin (s + 1) a — a2 cos (s + 1) a] +
+ (s — 1) [a3 sin (s — 1) a — a4 cos (s — 1) a] = 0,
(s — x) [a, cos (s + 1) a + a2 sin (s + 1) a] +
-{- E — 1) [a3 cos (s — 1) a + aA sin (s — 1) a] = 0.
Аналогичным образом, удовлетворяя граничным условиям
E8.6) и используя формулы E8.12), получим
(s + 1) [#1 cos (s + 1) a — a2 sin (s + 1) a] +
+ (s — 1) [a3 cos (s — 1) a — a4 sin E — 1) a] = 0,
ax sin (s-\- l)a -\- a2 cos (s + 1) a +
+ a3 sin (s — 1) a + a4 cos (s — 1) a = -^


422
КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УПРУГОГО КЛИНА
1ГЛ. XII
где q* (s) — трансформанта Меллина функции q (г). Их взаимная
связь, как известно, дается соотношениями
о—гоо
E8.15)
Решив теперь систему четырех линейных алгебраических урав"
нений E8.13), E8.14) относительно at {i = 1, 2, 3, 4), получим
г— т (^ — ^)(^2 — Э2) ч-
_ т
D29* (У-
где
Р = sin (s — 1) a,
с = cos (s — 1) a,
D = 2s2 cos 4a + 2
у = sin (s -b 1) a,
d = cos (s -f 1) a,
cos 4as — 2s2 4- x2
1.
E8.16)
E8.17)
Итак, граничные условия вспомогательной задачи будут удов-
удовлетворены, если at (i = 1, 2, 3, 4) имеют вид E8.16). Теперь по
формулам E8.9), E8.11), E8.12) можем найти перемещения и
напряжения в клине. Найдем, например, перемещение v (r, a)
O+ioo
1 Р д* (s) (— 2х sin 4as + 2g sin 4a) ^~s ^
2ШA j s Bs2 cos 4a + 2% cos 4as — 2s2 + и2 + 1) '
°"г°°	E8.18)
3. Вернемся теперь к рассматриваемой контактной задаче,
имея в виду использовать результаты, полученные при решении
вспомогательной задачи о равновесии клина.
Видим, что граничные условия контактной задачи E8.1),
E8.2) удовлетворены в ходе решения вспомогательной задачи.
Первому условию E8.3) удовлетворим, если второе соотношение
E8.15) запишем в виде
ь
sdp.	E8.19)


§ 59]	СВОЙСТВА ЯДРА И РЕШЕНИЙ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 423
Наконец, подставляя выражение q* (s) в виде E8.19) в E8.18)
и приравнивая v (г, а) при а <, г <^ Ъ функции / (г), удовлетворим
последнему условию E8.3) рассматриваемой контактной задачи.
При этом мы придем к следующему интегральному уравнению
первого рода относительно функции распределения контактных
давлений q (г)
P	BS Sil1 4Ct — 2Х Sln
( ?Y J
J , Bs* cos 4а + 2х cos 4ш - 2	+ ) (/
°0°	/ ^ ^м	E8.20)
Решив уравнение E8.20), определим q (r). Затем связь между
величинами Э5, Я и б, р найдем по формулам
ь	ь
& = J 9 (Р) dp, ^Я = J р? (р) dp.	E8.21)
а	а
Если один край штампа (или оба) не врезаются в поверхность
клина, то длина линии контакта Ъ — а будет зависеть от величины
силы З5, приложенной к штампу, и подлежит определению. Для
этого, как известно, на соответствующем крае штампа (или на
обоих) нужно поставить дополнительное условие обращения
в нуль контактных давлений, например q (а) = 0.
Заметим, что все вышеизложенное проделано для случая
плоской деформации. Для случая плоского напряженного состоя-
состояния упругого клина во всех формулах, как известно, необходимо
заменить коэффициент Пуассона v на v/(l + v).
Заметим также, что может быть дана строгая математическая
постановка рассмотренной контактной задачи для упругого кли-
клина, аналогично тому, как это сделано в главах для контактной
задачи о давливании штампа в упругую полосу.
§ 59. Свойства ядра и решений интегрального уравнения
контактной задачи для клина.
Некоторые асимптотические методы
1. Приведем интегральное уравнение E8.20) к удобному для
дальнейших исследований виду.
Заметим, что на мнимой оси знаменатель подынтегрального вы-
выражения ядра интегрального уравнения E8.20) не имеет нулей 1),
*) По этому поводу см., например, [17] (стр. 148, табл. 18), где даны зна»
чения вещественной и мнимой частей нескольких первых нулей sn указанно-
указанного знаменателя. Кроме того, подобно тому как это сделано в §22 для функций
B2.7), можно показать, что вещественные и мнимые части sn возрастают
при п —* оо.


424	КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УПРУГОГО КЛИНА	[ГЛ. XII
поэтому можно положить а = 0 и произвести замену перемен-
переменной s = ш.
Тогда после ряда простых преобразований интегральное урав-
уравнение E8.20) примет вид [14]
E9.1)
к (t) = \ Х^ °° cos ut йщ t = In (р/г),	E9.2)
о
/.. „ч	2xsh 4ггое - 2м sin 4а		r q
и, a; — 2хсЬ4иа+2и2 + х«+1—2и»соз4а '	< #d'
Интегральное уравнение E8.20) можно также представить
в виде эквивалентного ему парного интегрального уравнения
q (ш) r-^dM = 2лА/ (г), а < г
= 0, 0<г<а,
E9.4)
Здесь q* (iu) связано с q (p) соотношением E8.19). Обратную
связь запишем в виде
q (Г)'
r<a, 6<r<oo.
I q (iu) r-^du = fq (Г)' п < Г < Ь>	E9.5)
Далее, при построении приближенных решений рассматривае-
рассматриваемой задачи будем использовать как форму E9.1), так и E9.4),
E9.5).
Произведем в интегральном уравнении E9.1) замену перемен-
переменных и введем обозначения согласно формулам
I = X In (р/а) — lf х = I In (г/а) - 1, X = 2 [In (fc/a)l~l,
Р<7 (Р) = Ф (I), AV @ = i|) (ж)	E9>6)
Тогда оно примет вид B2.1) с ядром E9.2), именно
|х|<1.	E9.7)
J Ф(I)А(-
Безразмерный параметр % е @, оо), как легко заметить, харак-
характеризует собой относительное положение штампа на грани клина.
Если параметр X велик (мал), то штамп расположен относительно
далеко (близко) от вершины упругого клина.


59]
СВОЙСТВА ЯДРА И РЕШЕНИЙ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
425
2. Изучим свойства функции X (и, а), входящей в выражение
ядра E9.2).
Легко убедиться, что все ее основные свойства совпадают со
свойствами функций B2.3), B2.4), изученными в § 22. Именно,
имеют место результаты, изложенные в леммах 22.1—22.5, при
всех значениях входящего в X (и, а) параметра а е @, п).
Постоянная Л (а), определяемая формулой B2.13), имеет вид
E98)
а величина у, входящая в B2.15), равна ехр (¦—)
При малых значениях параметра а имеет место асимптотиче-
асимптотическое представление
X (и, а) = X {2иа) + О (а3),	E9.9)
где X (и) имеет вид B2.3).
3.	Перейдем к изучению свойств ядра E9.2). И здесь легко
убедиться, что все его основные свойства совпадают со свойствами
ядра B2.2), изученного в § 22. Именно, имеют место результаты,
изложенные в леммах 22.6, 22.7, при всех значениях параметра а.
Отличие от случая B2.2) состоит лишь в том, что радиус сходимо-
сходимости степенного ряда B2.28) будет равен не 2, а 4а.
В табл. 40 даны значения постоянной E9.8) при различных
значениях параметра а и v = 0,3. В табл. 41 приведены некоторые
значения коэффициентов dt (а), входящие в формулу B2.28).
Вычисления произведены также при v = 0,3.
4.	Установив совпадение свойств ядер B2.2) и E9.2), можем
теперь заключить, что для интегрального уравнения E9.7) имеют
место все общие результаты, изложенные в § 24. Кроме того, для
приближенного решения интегрального уравнения E9.7) могут
быть использованы все методы1), описанные в главах V—VII.
. Таблица 40
а (в град)
7,5
15
22,5
30
37,5
45
52,5
60
с#(а)
0,1129
0,2599
0,4662
0,7408
1,0746
1,4425
1,8106
2,1444
а (в град)
67,5
75
82,5
90
97,5
105
112,5
120
с#(а)
2,4189
2,6252
2,7723
2,8851
2,9980
3,1451
3,3513
3,6260
а (в град)
127,5
135
142,5
150
157,5
165
172,5
е#((Х)
3,9597
4,3277
4,6956
5,0295
5,3041
5,5103
5,6574
х) Этот вывод по существу связан с тем обстоятельством, что преобразова-
преобразование E9.6) или z = Я In w конформно отображает клиновидную область в плос-
плоскости комплексного переменного w на полосовую область в плоскости z.
15 И. И. Ворович и др.


426
КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УПРУГОГО КЛИНА
Таблица 41
[ГЛ. XII
а (в град)
45
90
135
0
1
1
,522
,315
,708
0
0
0
di(cc)
,1442
,0230
,01081
—0
0
0
d2(cc)
,01631
,000349
,0000837
Следует лишь особо рассмотреть случай малых углов а. В этом
случае, согласно E9.9), асимптотически интегральное уравнение
E9.7) можно представить в виде
| х
\i =
Здесь X (и) имеет вид B2.3).
Легко видеть, что если положить в B2.1), B2.2)
а = 1, g (g) = ф (?), Л = |г, Д/(ж) =-ф (ж),
E9.10)
E9.11)
E9.12)
то интегральное уравнение B2.1), B2.2) полностью совпадает
с интегральным уравнением E9.10), E9.11). Следовательно, для
E9.10), E9.11) с учетом E9.12) могут быть использованы все ре-
результаты, полученные в главах V —VII для B2.1), B2.2).
Таким образом, рассматриваемая контактная задача для упру-
упругого клина при достаточно малых углах клиновидности практиче-
практически ничем не отличается от контактной задачи / для упругой по-
полосы.
5. Согласно сказанному в начале п. 4, для приближенного ре-
решения интегрального уравнения E9.7), E9.2) может быть, в част-
частности, использован метод «больших X», изложенный в § 25.
Итак, получим асимптотическое решение интегрального урав-
уравнения E9.7), E9.2) при больших к и произвольных а ЕЕ @, п).
Для этого, очевидно, достаточно в формулах B3.13), B5.14)
вернуться в соответствии с E9.6) и
Ь	1
4§®^	E9.13)
—1
(ЗР —сила, вдавливающая штамп в поверхность клина), к старым
переменным и обозначениям, а также учесть, что dt = dt (a)


§ 60]	НУЛЕВОЙ ЧЛЕН АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЯ ПРИ МАЛЫХ X	427
(см. табл. 41). Будем иметь [6]
^1" 7s
ь
/'(р) У1п(Ь/рIп(р/а) X
Яг У In (&/r) In (r/a)
Ulu(p/r)	X.	/аь	I I	уЪ	\У bl
г _ g j, / г \
уаЪ	\У abl
\Vabi \УаЪ1 ^ \f аЪ ^ ^ /а
}p, E9.14)
Ь	b
Х {А \ VI Уш fГ , м ~ А *i ^ln (fe/P)ln (Р/а^ Х
L J р У In (&/p) In (p/a)	J
X /' (р) In -J!= [d, (a) + d, (a) In» ^= + ^] ф + О (Г')}. E9.15)
Формулы E9.14), E9.15), очевидно, будут справедливы, по
крайней мере, при всех тех значениях параметра X, при которых
равномерно сходится для ядра E9.2) степенной ряд вида B2.28).
Это условие устанавливает следующую теоретическую границу
использования формул E9.14), E9.15):
X > Bа).	E9.16)
Практически формулы E9.14), E9.15) можно использовать,
как показывают конкретные примеры, при К ]> а.
Таким образом, область применимости формул E9.15), E9.16)
увеличивается при увеличении угла а.
§ 60. Нулевой член асимптотики решения
при малых к
1. Согласно сказанному в § 59, п. 4 для приближенного реше-
решения интегрального уравнения E9.7), E9.2) при малых X могут
быть использованы методы, изложенные в главах VI, VII.
Чтобы получить это приближенное решение в форме, пригод-
пригодной для практического использования, нужно аппроксимировать
функции / (г) (или я|) (х)) и X (и, а) подходящими выражениями.
15*


428
КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УПРУГОГО КЛИНА	[ГЛ. XII
Аппроксимируем функцию / (г) на отрезке а < г <^ Ъ (или
(х), | х | ^ 1) выражением
N
/ (г) = 2 ^„rv« U (х) =
71=1
= a
71=1
fj = Ъ п ехр (^— vn
F0.1)
Увеличивая номер N в F0.1), можно, как известно [3], достигнуть
любой точности аппроксимации, если
lim
оо.
F0.2)
п=1
В силу линейности рассматриваемой задачи решение интеграль-
интегрального уравнения E9.7) для случая F0.1) будет иметь вид
N
п=1
F0.3)
где фп (х) определяются из уравнений
5
Нулевой член асимптотики решения интегрального уравнения
F0.4), согласно C4.17), можно представить в виде [2, 4, 6]
Фп (х) = (ab) V2
F0.5)
где функции cofn (t), i = 0, 1, 2 определяются соответственно из
уравнений
F0.6)
F0.7)
(т) k(x — t)dx = ne±vn\ 0
В правой части F0.7) знак «+» для i = 1 и «—» для г ~- 2.


§ fiO]	НУЛЕВОЙ ЧЛЕН АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЯ ПРИ МАЛЫХ к 429
Предположим пока, что vn < Inf | Re zK |, где zk —полюсы функ-
функции X (z, а). Тогда решение интегрального уравнения F0.6)
легко получается применением теоремы о свертках для интеграль-
интегрального преобразования Фурье и имеет вид
Подставляя F0.5), F0.8) в F0.3) и возвращаясь в соответствии
с E9.6) к старым переменным и обозначениям, получим нулевой
член асимптотики решения интегрального уравнения E9.1),
E9.2) при малых % в виде
N
Я (?) = — 2i К \vn Т ?ш (г) Яш {г)}
П==1	П	\ /
Яы (г) = сэ1п (In г/а), g2n (r) = co2n (In Ь/г).	F0.9)
2. Для получения практически приемлемых решений инте-
интегрального уравнения Винера — Хопфа F0.7) аппроксимируем,
как это уже неоднократно делалось в главе VI, функцию X (и, а),
входящую в ядро E8.2), легко факторизуемым выражением.
Далее ограничимся простейшей аппроксимацией B8.49)
Одно из условий для выбора постоянных В (а) ж С (а), как
видно из F0.8), F0.9), должно иметь вид
(«) С- («) = ^ (a)
Это условие обеспечит точное вырожденное решение F0.8), кото-
которое, как уже известно из результатов главы VII, дает при малых X
наибольший вклад в интегральные характеристики решения.
В качестве второго условия для выбора постоянных В (а) и
С (а) можно потребовать, чтобы процентное расхождение аппрок-
аппроксимации F0.10) от функции X (и, а) при заданном а и всех 0 <^ и<С
< оо было наименьшим. Из сказанного следует, что постоянные
В(а) и С (а), а точнее Вп (а)иСп (а) для каждого п и а должны
быть свои. При таком подходе к выбору постоянных аппроксима-
аппроксимации F0.10) ее точность, как показывают конкретные числовые
примеры (см. § 62), для широкого диапазона изменения угла а
оказывается достаточной.
Не останавливаясь на подробностях применения метода Вине-
Винера — Хопфа, которые достаточно детально изложены в § 28,


430	Контактная задача для упругого Клийа	?гл. хи
приведем окончательное решение интегрального уравнения F0.7)
при аппроксимации F0.10):
гг~\ ¦ <60Л2>
Здесь верхние знаки для i = 1, нижние —для i = 2; индекс /г
и аргумент а для простоты не указываем.
Теперь, согласно F0.9), имеем
qi tr) = «?-*> Г-g-t^L (±Г erf /(Я + v) In r/a
F0.13)
F0.14)
Заметим, что формулы F0.12) — F0.14) получены в предполо-
предположении — В < v << В. Однако их можно формально распростра-
распространить и на случаи v)>Bnv< — В, учитывая, что
erf ix = ~ F (x), F(x) = [ eUt	F0.15)
(таблицы функции F (х) имеются в [19]). При этом в формулах
F0.13), F0.14) qx (r) либо q2 (г) становятся мнимыми; однако при
подстановке в F0.9) мы всегда будем получать для контактного
давления действительные выражения.
Рассмотрим далее подробно случай штампа с плоским основа-
основанием (/ (г) = б). Формулы F0.13), F0.14) при этом значительно
упрощаются (v = 0), и приближенное решение в форме F0.9)
можно представить в виде
Я И = ^ № Ь1Г) 8 Aп г/а)>	F0Л6)
где	^
g {х) - erf УШ + Y^L е-в*.	F0.17)
Постоянные аппроксимации F0.10) для случая v = 0,3 и ряда
значений ос даны в табл. 42. При указанных значениях постоянных
погрешность аппроксимации F0.10) не превосходит 3%.
Перейдем теперь к определению зависимости между силой З5,
действующей на штамп, и осадкой штампа б. Подставляя в фор-


60] НУЛЕВОЙ ЧЛЕН АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЯ ПРИ МАЛЫХ X	431
Таблица 42
а
В(а)
С(а)
45°
1,035
0,847
90°
0,814
0,531
135°
0,522
0,347
мулу E9.13) функцию q (p) в форме F0.16) и совершив замену
переменной
In г/а = х, ]п Ъ1а = s = 2 А,	F0.18)
получим
F0.19)
Используя теперь теорему о свертках для преобразования
Лапласа по переменной s, получим следующее операционное ра-
равенство:
Vp+ в
По таблицам [13] найдем
Таким образом,
Используя те же таблицы [13], получим
F0.20)
F0.21)
F0.22)
F0.23)
Определим, наконец, расстояние Н от вершины клина, на кото-
котором должна быть приложена сила S5, чтобы штамп перемещался
поступательно.
Подставляя во вторую формулу E8.21) функцию q (p) в форме
F0.16) и совершив замену переменной F0.18), получим
F0.24)


432
КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УПРУГОГО КЛИНА	[ГЛ. XII
Используя опять теорему о свертках для преобразования Лап-
Лапласа по переменной s и замечая, что [13]
получим
" (°
2ni
F0.25)
dp. F0.26)
Для дальнейшего исследования выражения F0.26) удобно
представить его в виде
= Аба lh (s) + С (С + 1) J2 (s) - С (С - 1)J3 (s)], F0.27)
где
2m J
espdp
Jicc
o-j-ioo
f
= ± {
2m Д (p_.
espdp
F0.28)
По таблицам [13] найдем
J2 (s) = 2еМ(_2в-1) [j],
F0.29)
Здесь /0 (a:) — функция Бесселя мнимого аргумента.
Подставляя F0.29) в F0.27), получим (см. [1])
(С
-2B-D (|) - С {С -
|)} . F0.30)


§ 61] ЗАМКНУТОЕ РЕШЕНИЕ ПРИ СПЕЦИАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ 433
Значения функции А$(х) будем в дальнейшем получать чис-
численным интегрированием.
В заключение заметим, что при выполнении неравенства
— В < v < В возможно построение нулевого члена асимптотики
решения при малых X и в форме C4.6).
§ 61. Замкнутое решение при специальной
аппроксимации ядра
1. С учетом свойств функции Х(и, а), описанных в § 59, п. 2,
аппроксимируем ее выражением
Ё(и,а) = ЬЪЫ(а)и].	F1.1)
Относительная погрешность такой аппроксимации при всех
О <; гг <; ос, 0 <^ а <; гс и v = 0,3 не превосходит 10 %.
С учетом указанной аппроксимации представим ядро E9.2)
в виде [10]
Произведем в интегральном уравнении E9.7) с ядром F2.1)
замену переменных
?' = епте?Гк^	х> = еПХ№Ъ	F1.3)
и введем обозначения
с = е-~№х, d = ел'!<1е*х, ф* (I') = ф (I) е-
Получим
d
F1.5)
Как известно, уравнение F1.5) является интегральным урав-
уравнением антисимметричной задачи о вдавливании двух штампов
в упругую полуплоскость. Решение его может быть получено в зам-
замкнутом виде в форме, содержащей сингулярные интегралы [18],
а также в форме, не содержащей сингулярные интегралы, методом
работы [15].
2. Мы ниже получим замкнутое решение интегрального урав-
уравнения E9.7) с ядром F1.2) во второй форме, как более удобной
для практических приложений, путем решения эквивалентного
ему парного интегрального уравнения [31.


434
КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УПРУГОГО КЛИНА
[ГЛ. XII
Это парное интегральное уравнение на основании E9.4) мо-
можем записать в виде
th [Л (а
* (Р) e-*P*dp = О,
ф*
| я; | < 1,
F1.6)
при этом использованы формулы E9.6), F1.1) и введены допол-
дополнительные обозначения
и = РА,, ф
* (Р) -
F1.7)
—1
На базе формул E8.19), E9.5) получим связь между ф* (Р) и
ф (х) в виде
F1.8)
Заметим, что задача определения функции ф* ф) из парного
интегрального уравнения F1.6) может быть разбита на «четный»
и «нечетный» варианты, соответствующие разложению функций
г|) (#), ф (х) и ф* (C) на четные с «+» и нечетные с «—» слагаемые.
Для учетного» варианта задачи формулы F1.6), F1.8) примут вид
Ф* (Р) th {J#%) cos
= я-ф+ (ж), ж < 1,
F1.9)
Здесь
F1.10)
Будем в дальнейшем предполагать, что функция f+(x) имеет
по крайней мере непрерывную первую производную. Тогда про-
продифференцируем обе части первого уравнения F1.9) по х и введем


§ 61] ЗАМКНУТОЕ РЕШЕНИЕ ПРИ СПЕЦИАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ 435
следующие обозначения (аргумент у А (а) опускаем):
Р	Х
Будем иметь
оо
\ Т (y) th яу sin уг/ d^ = — jtg' (z/), y ^b,
F1.12)
Отметим, что парное интегральное уравнение F1.12), очевид-
очевидно, эквивалентно сингулярному интегральному уравнению, кото-
которое получается дифференцированием по х обеих частей уравнения
E8.7) с ядром F1.2) и правой частью nf+ (х).
3. Ниже будет дано решение парного интегрального уравнения
F1.12), основанное на использовании обобщенного преобразова-
преобразования Мелера — Фока х).
Предварительно приведем перечень необходимых для дальней-
дальнейшего формул.
А. Интегральные представления присоединенных функций ко-
конуса
2	sh^ct
V	j	F1.13)
(а > 0, Re fx < 1/2),
~ sh^gf (— \i + Ф + Уг) cos я (jx — ф) ^	sin
F1.14)
(a>0,|Ren|<l/2).
Формула F1.13) имеется в [10], формула F1.14) может быть
получена методом контурного интегрирования.
Б. Интегральные представления присоединенных функций
конуса при {х = — 1.
х) Отметим, что интегральное преобразование Мелера — Фока исполь-
использовалось также при решении парных интегральных уравнений в работах
(8, 11, 12], обобщенное преобразование Мелера—Фока-—в-работе [16]*


436	КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УПРУГОГО КЛИНА	[ГЛ. XII
Полагая в F1.13), F1.14) (д, = — 1, получим1)
-chO1''2^, F1.15)
.		оо
А/2+гР (ch а) = lii- sh^a (Рг + V4) cth я{3 { sin $t (ch * - ch aI-'» <й.
F1.16)
Используя теперь соотношение [10]
PZZi, (cha) = Гг(-";У++гХB) РЗ,и*(сЬ а) (и = 0,1,...),
F1.17)
перепишем формулу F1.16) в виде
.		°°
PIv,+ip (ch a) = — JLLL sh-i a cth л§ *( sin (tt (ch * - ch аI/» d*. F1.18)
На базе формул F1.15), F1.18) получим другие интегральные
представления для РГ^+цз (cha), которые и будут нами использо-
использоваться в дальнейшем:
		a
1±^^	dt, F1.19)
.,	т/"?~	г» cos Bi sh t
:J/2+ip(cha) = - Xi- ф sha)"icthря J ]/cht_cha dt. F1.20)
В. Обобщенное интегральное преобразование Мелера —
Фока [17]:
оо
Ф (a) = ^ th лрФ ф) PI^+ip (ch a) dp @ < а < х>), F1.21)
ф (р) = (_ If У ф (а) Р™ы+Щ (ch а) sh a da ф > 0). F1.22)
о
х) Формула F1.14) непосредственно определяет функцию Р^^ (ch я)
в полосе | Re р. | < 1/2. При Re p. ¦< — Va интеграл F1.14) есть преобразо-
преобразование Фурье быстро растущей функции. Это преобразование есть аналити-
аналитическая функция |х в полосе j Re jx j < V2 и может быть продолжена в полу-
полуплоскость Re \i < —V2. В дальнейшем под интегралом F1.16) вгонимается
именно такое продолжение. Его можно осуществить методами,
мд в работо [9J.


61] ЗАМКНУТОЕ РЕШЕНИЕ ПРИ СПЕЦИАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ 437
Г. Разрывные интегралы Мелера [8, И, 12]:
i	^ ' F1.23)
I	0	, 0<а<>.
¦ , а(сЬа)вт&хс&-1 [2{chx-cha)]~4'> °<а<*>
_i/24-iS ICI1 (X) МИ иХ ии — <
J	I	0	0<*<а.
F1.24)
Д. Интегралы:
« In th—7— Л	уу /
\ —\-	' - =	JL_ft(j/I _ th2a/2),
F1.25)
?	dt	2/2"
J /cha — ch* cha/2
—a
Здесь # (ж) — полный эллиптический интеграл 1-го рода.
Первый из интегралов F1.25) подстановкой
,, a 4 t
	 -.2
приводится к следующему:
b
In x dx
F1.26)
Значение последнего интеграла взято из [10]. Второй интеграл
F1.25) вышеуказанной подстановкой приводится к табличной
форме полного эллиптического интеграла 1-го рода.
4. Умножим теперь первое из соотношений F1.12) на sh у х
X (ch t — ch y)~llzdy и проинтегрируем по у от 0 до t; второе соот-
соотношение F1.12) умножим на sh у (ch у — ch t)^2dy и проинте-
проинтегрируем по у от t до оо. Совершив затем подстановку интегралов
в полученных выражениях и воспользовавшись формулами
F1.19), F1.20), получим следующее парное интегральное урав-
уравнение:
Т(г) Шяу-Т-Р
о
оо
th лy • YPl2/a+jY (ch t) dr «= 0»	2 Ь> Ь,
F1.27)


438	КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УПРУГОГО КЛИНА	[ГЛ. XII
где
*(«)=- J?L-L, «hyg'frL- dy.	F1.28)
Применяя к F1.27) обобщенное интегральное преобразование
Мелера —Фока F1.21), F1.22) при т = 1, найдем частное реше-
решение неоднородного парного интегрального уравнения F1.12) в
виде
ь
V (т) = - J A/.+iv (ch 01 @ sh f Л.	F1.29)
о
Посмотрим, имеет ли однородное уравнение F1.12) какое-либо
решение. Полагая g' (у) = 0 и используя интегралы F1.23),
без труда убедимся, что Ч* (у) = CP_i/2+iY (ch Ь) дает нам решение
однородного парного интегрального уравнения F1.12).
Общее решение уравнения F1.12) можно теперь представить
в виде
Т (Т) = [С - ^ (Ь) sh Ь] P_V2+iY (ch Ь) +
b
sh t]' i>_./2+iY (ch <) d«. F1.30)
Возвращаясь в F1.30) к старым переменным по формулам
F1.11) и учитывая еще соотношения
будем иметь
SK^] -±+гЫШУХ> F1'32)
О	2	л
где
тех ,
2" f	яЬ*
. F1.33)
Заметим, что <pj (P) в виде F1.32), F1.33) удовлетворяет пер-
первому соотношению парного интегрального уравнения F1.9) лишь
а ТДОН06Т&Ю до пеетояннйй, второму — полностью*


§ 61] ЗАМКНУТОЕ РЕШЕНИЕ ПРИ СПЕЦИАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ 439
Найдем теперь по формуле F1.10) функцию ф+ (х). Подставляя
в F1.10) ф+ (|3) в виде F1.32) и используя интеграл F1.23), будем
иметь
-A /
У 2
^J	. F1.34)
Функция ф+ (x) в форме F1.34) удовлетворит интегральному урав*
нению E9.7) с ядром F1.2) и правой частью к\р+ (х) с точностью до
постоянной.
5. Чтобы функции ф+(р) и ф+ (х) являлись точными решениями
интегральных уравнений F1.9) и E9.7) с ядром F1.2), выберем
соответствующим образом оставшуюся до сих пор произвольной
постоянную с.
Используя второй интеграл F1.25) и формулу F1.34), полу-
получим следующее соотношение:
^te = \С (ch-з^-)-1 tf (th
о
S[ (th -ш:)-* (th -
Рассмотрим теперь частный случай а|з+ (х) = \х. Легко видеть,
что тогда ур*+ (т) ^ 0 и формулы F1.34), F1.35) принимают вид
F1.36)
Подставляя ф° (х) в форме F1.36) в левую часть интегрального
уравнения E9.7) с ядром F1.2) и учитывая, что интеграл, стоя-
стоящий слева, есть некоторая постоянная при любом х ЕЕ [ — 1,1],
в частности, при х = — 1 будем иметь
F1.37)
ch .,л — ch ¦


440	КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УПРУГОГО КЛИНА	[ГЛ. XII
Вычисляя интеграл в F1.37) по первой формуле F1.25), найдем
постоянную С для частного случая \|)+ (х) = \i и представим фор-
формулы F1.36) в виде
^ л
jtjxch 9 ^л
ф°+ {х) = —	7	- <61-38)
(	) /(^^)
(th Ж) [
На основании F1.38) и формулы
1
Ф° (х) я|>+ (х) dx,	F1.40)
являющейся аналогом первой формулы E1.18) для интегральных
уравнений типа E9.7) с симметричным ядром, получим выраже-
выражение 3* в общем случае функции а|)+ (х)
F1.41)
Сравнивая формулы F1.35), F1.41), получим выражение для
постоянной С в общем случае функции^ (х).
6. Итак, формулы F1.33) —F1.35), F1.41) дают замкнутое
решение интегрального уравнения E9.7) с ядром F1.2) для «чет-
«четного» варианта задачи.
Переходя в формулах F1.33) —F1.35), F1.41) к старым обоз-
обозначениям и переменным в соответствии с E9.6) и учитывая еще,
ЧТо ?Р = gf> Я/, без труда получим приближенное решение «чет-
«четного варианта» рассматриваемой контактной задачи для упругого
клина.
Здесь приведем лишь окончательную форму этого приближен-
приближенного решения для «четного» случая штампа с плоским основанием
и при условии, что он под действием силы З5 перемещается лишь
поступательно на величину S.
Для этого случая я|) (х) = ДХб, и мы получаем
, . _	яАб
F1.42)
(th -2Ж-) [*' (th -гкТ


§ 61] ЗАМКНУТ0ЕАРЕШЕНИЕ ПРИ СПЕЦИАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ 441
Здесь К' {к) = К (/l -ft2).
8S5 Приведем еще формулу для расстояния Н от вершины клина,
на котором должна быть приложена к штампу сила 5s, чтобы он
перемещался поступательно.
Подставляя во вторую формулу E8.21) функцию q (r) в виде
F1.42), F1.43), после преобразований и вычисления интеграла
[10] получим
		я
Н =	я Р-м-f/» (ch -^) , F1.44)
Здесь Pv (#) — функция Лежандра.
Точность полученного приближенного решения F1.42) —
F1.44), как показали проведенные вычисления, часть из которых
приведена в § 62, не ниже точности аппроксимации F1.1) для
соответствующего значения а ЕЕ @, оо).
Исследуем структуру приближенного решения F1.42) при
малых X, которое в этом случае можно записать в виде
1И =
Теперь легко сообразить, что при малых X
?W = ?i(r)-?2(r).ir1(r),-	F1.46)
где q1 (r), g2 (г) и v (r) — решения интегрального уравнения E9.1)
с ядром F1.2) и правой частью ихАб соответственно для случаев
1) а = 0, 2) Ъ = оо, 3) а = 0, & = оо. Если еще заметить, что
» (г) = Аб (Лг), q, (r) = v(r)g (In 6/r),
F1.47)
?2 М = г; (г) g (Inг/а),
то легко убедиться в полном структурном соответствии результата
F1.46) с ранее полученной формулой F0.16).
7. Перейдем теперь к определению замкнутого решения ин-
интегрального уравнения E9.7) с ядром F1.2) для «нечетного ва-
варианта» (г|) (х) = \|)_ (х)). Для этого воспользуемся дифференциаль-
дифференциальной зависимостью между «четным» и «нечетным» вариантами ре-
решения интегрального уравнения типа E9.7), о которой шла речь
в § 24, п. 2.
В соответствии с этим найдем сначала обращающиеся в нуль
при х ==¦ + 1 решение «четного» варианта интегрального урав-
уравнения E9.7) с ядром F1.2). На основании формулы F1.34) без


442	КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УПРУГОГО КЛИНА	1ГЛ. XII
труда получим
w r...,-^J.. _
«т^# J i / л / , ЯТ	Я# \
Решение F1.48) имеет место при выполнении условия
= 0,	F1.49)
которое накладывает ограничение на функцию г|)+ (х).
Возьмем теперь
X
ф+ (я) = [ г|)„ (ж) da; + D	F1.50)
о
и используем условие F1.49) для определения постоянной D.
Учитывая далее, что ф_ (х) = ф+ (ж), получим решение для «нечет-
«нечетного» варианта уравнения E9.7) с ядром F1.2) в виде
*	*	ят
t (т) sh —pr
^	лг^ F1.51)
Ich
где
V2 d( *-ЖЧ>-(«>	^ F1.52)
/ЯТ	ЯХ
Переходя в формулах F1.51), F1.52) к старым обозначениям
и переменным в соответствии с E9.6), получим приближенное ре-
решение «нечетного» варианта рассматриваемой контактной задачи
для упругого клина. Учитывая, что указанные преобразования
производятся достаточно просто, в целях сокращения места окон-
окончательные формулы не приводим 1).
8. В заключение параграфа отметим, что формулы F1.38),
F1.39) могут также рассматриваться как приближенное решение
плоских контактных задач для упругого слоя при всех X = hi а ЕЕ
?Е @, с») и условиях: ядро B2.2) интегрального уравнения B2.1)
1) Отметим, что решение интегрального уравнения E9.7) с ядром F1.2
для «нечетного» варианта можно было бы получить на пути решения соответ-
соответствующего парного интегрального уравнения, аналогично тому, как это
сделано выше для «четного» варианта.


§ 62]	ВНЕДРЕНИЕ ПЛОСКОГО ШТАМПА В КЛИН	443
аппроксимируется ядром F1.2), основание штампа плоское, т. е.
/ (х) = б. При этом необходимо в формуле F1.38) заменить х
на х/а и учесть, что
Ф°+ (х/а) =q(x), \i= Аба, fl» = Par1, F1.53)
постоянная Л для задач I и II дается формулами B2.14).
Погрешность такого приближенного решения, как показы-
показывают вычисления, не превосходит погрешности аппроксимации яд-
ядра интегрального уравнения B2.1), которая не превосходит 12%
и 10% соответственно для задач I и П.
§ 62. Внедрение плоского штампа
в клин
1. В качестве примера рассмотрим случай вдавливания в клин
плоского штампа без перекоса (/ (г) = б).
Для этого случая асимптотическое решение при больших X,
определяемое соотношениями E9.14), E9.15), сильно упрощается
и принимает вид
у inline/.)
M^>Ы1(в2Л)
= яДб [
in 2k + d0 + -А- - -§; + -$- + О (*,"•)] -К F2.2)
Чтобы осуществлялось поступательное перемещение штампа,
необходимо приложить к нему силу 3* на расстоянии Н от вершины
клина. Подставляя F2.1) во вторую формулу E8.21) и интегрируя,
найдем
Асимптотическое решение при малых X для случая / (г) = б
имеет вид F0.16), F0.17), F0.23), F0.30), а соответствующее зам-
замкнутое решение при специальной аппроксимации ядра F1.2)
определяется формулами F1.42) —F1.44).
2. Приведем теперь некоторые результаты расчетов, проведен-
проведенных по указанным формулам.
В таблице 43 в колонках даны соответственно значения
величин
1) ЧУ? <")" )	2) — In
а	«,	п \ F2'4)
3) -~ lim q (r) /in F/г) при г -» Ь,


444	КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УПРУГОГО КЛИНА	[ГЛ. XII
Таблица 43
№ п/п
а = 45°
а = 90°
а = 135°
X
1
2
3
X
1
2
3
X
1
2
3
1
2
3
4
5
8/я
0,775
0,809
0,494
0,509
0,225
0,232
1,396
1,447
1,038
1,038
0,262
0,260
0,349
0,348 '
0,726.10-!
0,723-10-1
1,396
1,388
1,159
1,159
8/3*
0,118
0,118
0,285
0,286
0,270-10-1
0,271.10-!
1,396
1,397
1,376
1,374
№ п/п
а = 45°
а = 90°
а = 135°
X
1
2
3
X
1
2
3
X
1
2
3
1
2
3
4
5
71/4
0,383
0,405
0,408
0,474
0,490
0,486
0,984-10-1
0,102
0,101
1,966
2,053
2,062
1,155
1,153
1,154
2/я
0,872.10"!
0,882.10"!
0,877.10-1
0,335
0,334
0,338
0,145.10"!
0,144-10-1
0,146.10-1
1,966
1,968
1,959
1,700
1,694
1,700
4/Зя
0,265-10-1
0,265.10"!
0,268-10-1
0,273
0,274
0,276
0,246-10-2
0,247.10-^
0,248.10-а
1,996
1,967
1,967
2,896
2,828
2,894


62]
ВНЕДРЕНИЕ ПЛОСКОГО ШТАМПА В КЛИН	445
Продолжение табл. 43
№ п/п
а = 45°
а = 90°
а = 135°
X
1
2
3
X
1
2
3
X
1
2
3
1
2
3
4
5
2/71
0,145
0,154
0,145
0,472
0,203.10-!
0,204-Ю-1
3,060
3,146
1,650
1,656
1/71
0,155- КГ1
0,155-Ю-1
0,332
0,332
0,621.10-3
0,621-Ю-3
3,060
3,058
5,115
5,081
2/Зтс
0,214-Ю-2
0,216-Ю-2
0,271
0,272
0,219-10-4
0t219.10-4
3,060
3,067
19,14
19,09
причем в первых строчках приведены значения, полученные по
формулам F1.42) —F1.44), во вторых —по формулам F2.1) —
F2.3), в третьих —по формулам F0.16), F0.17), F0.23), F0.30).
Все расчеты приведены для случая v = 0,3.
На основании числового материала табл. 43 и аналогичных
расчетов, приведенных для ряда других углов а, можно заклю-
заключить, что даже при использовании простейшей аппроксимации
F0.10) происходит надежное смыкание асимптотических решений
для больших и малых X при всех 0 < а < их. Смыкание наблю-
наблюдается на некотором диапазоне X в окрестности X = а. Кроме
того, можно заключить, что замкнутое решение F1.42) —F1.44)
пригодно для практического использования при всех X ЕЕ @, оо)
и а <= @, их).
Таким образом, полученные приближенные решения для слу-
случая / (г) =5 б в комплексе позволяют полностью и эффективно
исследовать рассматриваемую задачу. Окончательные формулы
для всех важных характеристик достаточно просты и могут быть
использованы при инженерных расчетах.
3. На основании указанных приближенных решений исследуем
вопрос о степени влияния раствора клина и близости штампа к
вершине клина на распределение контактных давлений.
Заметим, что закон распределения контактных давлений под
штампом, вдавливаемым силой З5 в yupyryto полуплоскость, как


446
КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УПРУГОГО КЛИНА
[ГЛ. XII
известно, [18], имеет вид
F2.5)
ЧК J 7lV(b-r){r-a) '
Введем в рассмотрение коэффициент [5]
к = q (r) [q (г)].	F2.6)
Здесь q (r) — закон распределения контактных давлений при
вдавливании силой З5 штампа в клин. Он, как уже отмечалось вы-
выше, с достаточной степенью точности описывается комплексом
формул F2.1) -F2.3) и F0.16), F0.17), F0.23), F0.30).
Рис
. 28.
¦г
-ЦК
СИ'
'я/4
[/*
ч
Рис. 29.
Коэффициент к является функцией трех переменных X , а и у:
th-J—-1-е [-1,1]. F2.7)
Он показывает, насколько в той или иной точке у контактные дав-
давления для клина больше или меньше соответствующего контакт-
контактного давления для полуплоскости при одинаковой величине силы
?Р в зависимости от величины раствора клина а и относительного
штампа на грани клина %ь


ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ XII	447
На рис. 28 изображена зависимость к от у при v = 0,3, а =
= л/4 и различных X; на рис. 29 — зависимость к от у при v = 0,3,
X = 2/я и различных а.
При Jt 1> 4/а, как показали вычисления, функции q (r) и ? (г),
отнесенные к одной и той же силе 3d, совпадают с погрешностью,
не превосходящей 5%.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ XII
1. Александров В.М., К контактным задачам для упругого клина
с одной защемленной гранью. Изв. АН Арм. ССР, механика, 1968, т. 21,
№ 2.
2.А Александров В.М., Контактные задачи для упругого клина,
МТТ, 1967, № 2.
3.	Александров В.М., Об одной контактной задаче для упругого
клина. Изв. АН Арм. ССР, механика, 1967, т. 20, № 1.
4.	Александров В. М., Бабешко В. А., Контактные задачи для
упругой полосы малой толщины. Изв. АН СССР, механика, 1965, вып. 2.
5.	Александров В. М., К о п а с е н к о В. В., Контактные задачи
для упругого клина с жестко защемленной гранью. ПМ, 1968, т. 4, вып. 7.
6.	Александров В. М., Контактные задачи для упругого плоского
клина. В сб. «Контактные задачи и их инженерные приложения».
НИИМАШ, Москва, 1969.
7.	Ахиезер Н. И., Лекции по теории аппроксимации, Физматгиз, 1965.
8.	Баблоян А. А., Решение некоторых парных интегральных уравне-
уравнений. ПММ, 1964, т. 28, вып. 6.
9.	Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Обобщенные функции и действия
над ними. Вып. I, Физматгиз, 1958.
10. Г р а д ш т е й н И. С, Рыжик И. М., Таблицы интегралов, сумм,
рядов и произведений, Физматгиз, 1962.
И. Гринченко В.Т., Улитко А. Ф., Об одной смешанной гранич-
граничной задаче теплопроводности для полупространства. Инж.-физ.ж.,
1963, т. 6, № 10.
12.	Гринченко В. Т., Улитко А. Ф., Растяжение упругого про-
пространства, ослабленного кольцевой трещиной. ПМ, 1965, т. 1, вып. 10.
13.	Д и т к и н В. А., Прудников А. П., Справочник по операцион-
операционному исчислению. «Высшая школа», 1965.
14.	Л у т ч е н к о С. А., О вдавливании штампа в боковую поверхность
упругого основания в виде клина. ПМ, 1966, т. 2, вып. 12.
15.	Ростовцев Н. А., О некоторых случаях контактной задачи. УМЖ,
1954, т. 6, № 3.
16.	Р у х о в е ц А. Н., У ф л я н д Я. С, Об одном классе парных интег-
интегральных уравнений и их приложениях в теории упругости. ПММ, 1966,
т. 30, вып. 2.
17.	У флянд Я. С, Интегральные преобразования в задачах теории упру-
упругости. «Наука», Ленинград, 1967.
18.	Штаерман И. Я., Контактная задача теории упругости. Гостехиз-
дат, 1949.
19.	Я н к е Е., Э м д е Ф., Леш Ф., Специальные функции. Физматгиз,
1968.


ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
xt\ i = 1, 2, 3 — прямоугольные декартовы координаты;
& — полоса — оо <; х± <J оо, 0 ^ х2 ^ h\
V — слой— оо ^ хъ х2 ^ оо, 0 ^ я3 < Л;
h — толщина слоя или полосы;
Ж\ — граница полосы х2 = h;
Ж2 — граница полосы х2 = 0;
Л/0
w = U «и — система неперескающихся отрезков на Ж±\
к=г
aki bk — концы (Oft*,
со * = ^fi/co — множество точек прямой Ж±, не принадлежащих ю;
Д — оператор Лапласа;
ut — перемещение точек упругого тела по оси xt\
а (иъ и2), a (ui, u2, и3) — вектор перемещения точек упругого тела;
в = LutXt — объемное расширение;
&% — проекция вектора массовой силы на ось xt;
v — коэффициент Пуассона;
К = 1 _ 2v ~~ УпРУгая постоянная;
Ф8, Фу — потенциальная энергия, накопленная соответственно в полосе
и слое;
IJS, Пу — плотность потенциальной энергии, накопленной в полосе
и слое;
Гь Г2 — границы слоя V соответственно х3 = h, x3 = 0;
QK — область на Гь к = 1, . . ., Ж, Q = U ®к'>
гк — граница Qk',
л, — некоторая область (линейная, плоская, трехмерная);
1рг — пространство функций, вектор-функций, суммируемых в я со
степенью р (вектор-функции);
Скп — пространство функции, вектор-функций, имеющих в я непрерыв-
непрерывные производные порядка к\
В^л — пространство функций, вектор-функций, у которых производные
порядка к удовлетворяют условию Гельдера с показателем \i;
SА (Ро) — круг радиуса А с центром в точке Ро;
ША (Ро) —- шар радиуса А с центром в точке Ро;
Wpi ~~ пространство Соболева;
G??, G|? — тензор Грина соответственно для плоскости и трехмерного
пространства;
р
странства при нулевых перемещениях на границе;
G?-\ G?A — тензор Грина соответственно для полуплоскости и полупро-


полупроОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ	449
G??, G?? — тензор Грпна соответственно для полуплоскости и полупро-
полупространства при равном нулю на границе нормальном перемещении и равных
нулю касательных напряжениях;
G?P, Gf? — тензор Грпна соответственно для полуплоскости и полупро-
полупространства при равных нулю на границе напряжениях;
/i (xi) — касательное напряжение на границе полосы <Жх, /3 (#i) — нор-
нормальное напряжение на части со* границы полосы Ж\\
h (xi) — перемещение на части со границы полосы Ж\,
/i,2 (#ъ х2) — касательные напряжения на границе слоя 1\;
/4 (*!, х2) — нормальное напряжение на части Q * границы слоя 1\;
/з (жъ #г) — перемещение на части Q границы слоя IY,
$\ (Ро) — полукруг радиуса А с центром в точке Ро на границе поло-
полосы Ж^
$\ (Ро) — полукруг радиуса А с центром в точке Ро на границе полосы
Ж\ и не имеющий общих точек с со;
S\ (Ро) — круг с центром в точке Ро на границе полосы Л\ и не имеющий
общих точек с со*;
Ш\ (Ро) — полушар радиуса А с центром в точке Ро на границе
слоя Г2;
Ш2А (Ро) — полушар радиуса А с центром в точке Ро на границе слоя 1\
и не имеющий общих точек с Q;
Жд (Ро) — полушар радиуса А с центром в точке Ро на Q и не имеющий
общих точек ей*;
nD,R — прямоугольник D < хх ^ R, 0 < х2 < h;
q — контактное давление;
Tft — главный вектор усилий, приложенных к штампу со^;
Жк — главный момент усилий, приложенных к штампу сод.;
Jltk — главный момент усилий, приложенных к штампу ?2ft, в проекции
на ось xt, t = 1, 2;
G — модуль сдвига; А = G A — v), х = 3 — 4v;
а — полудлина или полурадиус области контакта ( а = -5" max R 1 ,
либо координата края линии контакта;
X == hi а — (h — толщина слоя), либо % = 2 [In (Ъ/а)]]
X (и) — функции, определяющие характер ядер интегральных уравне-
уравнений рассматриваемых задач;
tn — нули функций ? (и) /и;
zn — полюса функции X (и)/и;
к (г), к (t, т) — ядра интегральных уравнений;
/ (я), / (х, у) — осадка точек поверхности тела в области контакта;
j% = lim X (и) и'1, и ~* 0;
бп = — itn, Vn = — i^n;
Sm — cu. формулу B2.22);
& (t), & (t, т) — регулярные части ядер к (t) и к (t, x);
а?, dt — коэффициенты степенных рядов для функций & (t)\
?f> — сила, вдавливающая штамп;
Си (к), dtj (к) — коэффициенты разложения & (t) в биортогональный
ряд по полиномам Чебышева;
Q — двумерная область, область контакта;
bfj — коэффициент степенного ряда для &? (t, т);
Л = V{% — хJ + (т) — уJ — расстояние между двумя точками;


4лО	ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
eij M — коэффициенты разложения SF (t, т) в биортогональный ряд
по полиномам Лежандра от аргумента У 1 — г2/а2; \л = h [min (я0, Pmin)]~\
Г ъ п-1
либо [х = 4а In — ;
й* — дополнение Q до всей плоскости Г2;
б + аж + Р^ — жесткое смещение штампа;
Z — эксцентриситет эллиптической области контакта,
Ъ — малая полуось эллипса, либо координата края линии контакта;
Smn — см. формулу E2.20);
X. Хго, Хо2 — см. формулу E2.26);
V (ж> У) — осадка точек поверхности тела вне области контакта;
Г (t) — двумерная импульсная функция Дирака; й? с &, &* С ^*;
<2? — контур области Q;
(/г, 5), (?г, т) — местные криволинейные системы координат;
/ — периметр контура L;
Нъ Н2 — толщины «внутреннего» и «внешнего» погранслоев;
S — площадь области Q;
2а — угол при вершине клина;
и, v — перемещения в цилиндрической системе координат;
<зф, тгс^ — напряжение в цилиндрической системе координат;
Н — расстояние линии действия силы @> от вершины клина;
В, С — постоянные аппроксимации функции X (и), либо В — коэффи-
коэффициент, характеризующий основание параболического штампа;
Д (и) == 5? (иIи
R+ (и), i?_ (и) — функции, получившиеся в результате факторизации
функции Я (и);
Л, В (а) — бесконечные матрицы;
X = \xi\, Y = {т/i}, D = {dr} — бесконечномерные векторы;
Г, у — обозначение контуров в комплексной плоскости;
Н (и) — функция, аппроксимирующая функцию R (и) на вещественной
оси;
^п С2)» Кп (z) — модифицированные функции Бесселя.


список
ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ
Е/ — /-мерное пространство Эвклида.
В — пространство Банаха.
Н — пространство Гильберта.
Н^ — пространство Гильберта функций U, интегрируемых с квадратом
в области я со скалярным произведением
(мгМ2)нл= \ и1и2Aл.	A)
л
1рп — пространство функций, суммируемых в области я со степенью
Р > 1 (L2* совпадает с HJ.
B)
Вектор а е 1рп, если каждая его компонента щ е 1рп и
п
В^п — пространство функций и, имеющих в замкнутой области я все
производные до порядка к включительно, причем производные порядка к
удовлетворяют в я условию Гельдера с показателем /я.
IMIu = У, У maxiaa a и(Р)\ +
+ ^^	—И*	^V'	| ^	. /л \ д	т, ((~\ \\	/Л\
max ^/~i a xi I ^	^ v^i/ ~~* @ п п \\i%) I* v^*y
Вектор а ^ В^п, если каждая компонента щ ^ В^л.
п
С — пространство непрерывных в я функций
|| и ||с = max | и |.	F)
с
71


452 - список используемых функциональных пространств
Скп — пространство функций, имеющих в я непрерывные производные
порядка к.
IMICfr =2	2	>?aXl<4 a"(P)l-	G)
тп=О (*,_+...+аг=т &	1 " Z
Вектор а ЕЕ С^те (соответственно Сл), если каждая его составляющая и Е1
е СЛте (соответственно Сп) и
п	п
^pS ~ пространство С. Л. Соболева — замыкание Скп в норме.
¦¦U-fi[ S (^ ,,»»'Г"
Вектор a e Wp?> если все составляющие w/ ?
CJ;S—подмножество вектор-функций а? С18,удовлетвор ющих условиям
H*s — замыкание C[s в норме A2;.
HlS —замыкание G*s в норме.
2
|| a |p= J f(Z -1) 6^ + 2 2 «?- + <«„,+ »2Ж1J] ^-	A3)
SL	(=1	J
i
W2S — замыкание Gjs в норме.
2
и«#A) = И 2 в?хт+ж
2Й S f, m=i
C|s— подмножество вектор-функций a (ux, ы2), принадлежащих Cjs
и таких, что
Ma/© = 0.	'	A5)


СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ 453
H*s — замыкание C*s в норме A2).
HlS — замыкание C*s в норме A3).
Cjo — подмножество вектор-функций из С1О, для которых выполнено
условие A1), <з — квадрат со стороною h, сторона которого лежит на К2.
<Н*0 — замыкание С\а в норме.
3-
'H1(J — замыкание С]а в норме A4).
W^j — замыкание С\а в норме (9) при я = (Т, р = Z = /г = 2, /с = 1.
^ — подмножество из Cj-g вектор-функций а, удовлетворяющих усло-
ию 12) и дополнительно
щ|*, = 0.	A6)
0.	A7)
H*s — замыкание С^в норме A2).
H2S — замыкание C*s в норме A3).
Cjg — подмножество вектор-функций а0 из C^s, для которых выполнено
условие A5).
H*s — замыкание C^s в норме A2).
H2S — замыкание djs в норме A3).
C^s —множество вектор-функций а 6Е ClS и удовлетворяющих условиям
A5)—A7) и для которых
= \ [ 2
S t, m=i

при некоторой постоянной с^.
Ъ (xi) — У h2 + ^; ?.< 1 — любое и фиксированное.
W^ — замыкание С^ в норме A8).
в/со> Lpw ~" класс Функций и на со таких, что и е В^л.
\х > 0, я — любая внутренняя подобласть со. Во всей области я /


454 СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ
Cjy— подмножество вектор-функций а ?Е С1У, удовлетворяющих ус-
условиям
а|Гз = 0.	A9)
K^S^V^00-	B0)
Н*у — замыкание C\v в норме B0).
•HlV — замыкание С*у в норме.
з	з
|| а Ё = ^ Г(^— 1H2 + 2 V.uL + У. (щх +u.x)*]dV; B = y.utT.Bi)
n	t=i	ty±j=i	t=i
W^ — замыкание c\v в норме.
з
СJy — подмножество вектор-функций а (иъ иг, us) из Cjy таких, что
ms/Q = 0.	B3)
Н*у — замыкание Cjy в норме B0).
filV — замыкание С]у в норме B1).
С^у —- подмножество из С1У вектор-функций, удовлетворяющих усло-
условиям
щ\г = 0>	B4)
5 «^ = 0, t-1,2,	B5)
ША (Р.)
С (и1ЯГа _ Мая:1) ^F — 0.	B6)
ША(Р0)
Н*у — замыкание С^у в норме B0).
Н2У — замыкание Cjv в норме B1).
С^у —подмножество вектор-функций а изС^у, для которых выполнено
условие B3).
Н*у — замыкание Cjy в норме B0).
Н2У — замыкание Cjv в норме B1).
С^у — множество вектор-функций а из С1У, удовлетворяющих условиям
B3), B4), B5), B6), для которых существуют постоянные съ с2 такие, что
а L(D = \\ 2 м?х- + мз +[( - ciJ + (^ - ^J] ft\dV<oo. B7)


СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ	455
Ъ (хъ х2) — У h2 + х* + х*\ ~р — любое фиксированное число < 0.
W^ — замыкание Cjv в норме B7).
ВШ Lp^ ~~ KJiaGC Функций и (хъ х2) на Q таких, что и е В^я, ^ > 0.
зх — любая внутренняя область Q. Во всей области Qk? LyQ, p > 1.
1^, р ^ 1 — пространство числовых последовательностей Z =
Ki» €г> • • •» 5п» • • • Ь Для которых сходится ряд
М^— пространство функций, «-производные которых ограничены в об-
области я.
С (А,), к. > 0 — пространство числовых последовательностей X =
~ {5ii 5г» • • •» $п» • • •)» Для которых lim «Х I ?n | -^ 0 (тг -* оо),


Иосиф Израилевич Ворович,
Виктор Михайлович Александров,
Владимир Андреевич Бабешко.
НЕКЛАССИЧЕСКИЕ СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
М., 1974 г., 456 стр. с илл.
Редактор В. Л. Добровольский
Техн. редакторы И. Н. ТКмуркина, Н. Я. Мурашова
Корректор В. П. Сорокина
Сдано в набор 11/VII1974 г.	Подписано к печати.
8/ХП 1974 г.	Бумага 60x90Vie-	Физ. печ. л. 28,5.
Условн. печ. л. 28,5. Уч.-изд. л. 28,59. Тираж 4000 экз.
Т-18699.	Цена книги 2 р. 67 к. Заказ № 887
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинскими проспект, 15
2-я типография издательства «Наука».
Москва, Шубинский пер., 10