ОСНОВАН
В
1970 ГОДУ
5
МАЙ
1972
НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
АКАДЕМИИ НАУК СССР И АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР
ИЗДАТЕЛЬСТВО -НАУКА-
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
В НОМЕРЕ:
1 Искусственные ядре *• ". Кузнецов
t Машина Поста И. Кудрявская. И Ломакина, С. Приз
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК
14 О числа е и л1 Л. Г. Лиманов
ЛАБОРАТОРИЯ «КВАНТА»
20 Исследование волн на поверхности воды К. Стонг
ЗАДАЧНИК «КВАНТА»
15 Задами М141-М145,- ФШ-ФШ
27 Решения задач M10I-MI05; Ф116-ФШ
ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА
Зо Тригонометрические функции Ж. М. Раббот
43 Варианты вступительных экзаменов
по математике 1971 года
45 Законы идеальных газов Б. Б. Буховцев
РЕЦЕНЗИИ. БИБЛИОГРАФИЯ
51 Математические головоломки и развлечения В. И. Березип, М. Л. Смолянский
ИНФОРМАЦИЯ
55 Слет учащихся физико-математических школ А. Н Виленкин. Т. С. Петрова
УГОЛОК КОЛЛЕКЦИОНЕРА
59 Марки, посвященные Леонардо да Винчи А В. Алтыкис
40 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ (3-я стр. обложки)
СМЕСЬ (стр 26. 35)

ПРАКТИКУМ АБИТУРИЕНТА
эигонометричесние
функции т^та-тт-
Ж. М. Раббот
В этой статье мы рассмотрим некоторые вопросы тригонометрии,
вызывающие затруднения у поступающих в вузы на вступительных
экзаменах.
I. Тригонометрические функции числа
Что такое sin 1? Какой знак имеет ctg 21? Подобные вопросы часто
ставят в тупик многих абитуриентов.
Мы хотим определить тригонометрические функции на множестве всех
действительных (вещественных) чисел. Для этого рассмотрим на
координатной плоскости круг единичного радиуса с центром в начале координат
(«тригонометрический круг»).
Пусть нам задано произвольное число г0- Отложим на окружности
тригонометрического круга от точки £ (1; 0) (рис. 1) дугу длиной \t0\ в
положительном направлении (против часовой стрелки), если ^0>0, и в
отрицательном направлении (по часовой
стречке), если <0<0 (единицей длины служит
радиус тригонометрического круга). При
этом мы получим на окружности точку
Pt с координатами (х/ , yi ). Абсцисса
х1а точки Pt называется косинусом числа
/0, а ордината у/ этой точки — синусом
числа t„:
1,11
cos/0- x,„; sin/0 у,,.
Наиболее тонкое место в нашем определении —
процесс откладывания на окружности дуги данной
длины Его можно наглядно представлять себе как
наматывание (без растяжения) отрезка на
важность
Итак, чтобы получить, скажем, синус числа /0, мы сначала
сопоставили (с помощью наматывания) числу <„ определенную точку Я<о на
окружности, а затем взяли ординату этой точки:
tt-+Pt,(xb' Уи)~*У'.- sin/o
Пользуясь нашим определением, мы можем изучить свойства функции
y=s\n t. Покажем, как это делается.
36

а) Найдем корни уравнения sin t^Q. Пусть число t таково, что sin *-=0
Это означает, что ордината точки Р„ соответствующей числу /, равна нулю.
Таких точек на единичной окружности две: £ и Е' (см. рис. 1). Они будут
получаться при откладывании дуг, длины которых кратны длине
полуокружности.
Заметив теперь, что половина длины единичной окружности равна
я, мы получим, что равенство sin/=0 равносильно равенству г=яА, где
*=0, ±1, ±2, ...
б) Если числа tt и г2 отличаются друг от друга на число, кратное 2л
(то есть на целое число длин окружности), то соответствующие числам
<,и tt точки единичной окружности совпадают. Эго означает, что из
равенства /1—tt=2nk (А—0, ±1, ±2. ...) следует равенство sin /,=sin/2. то есть
число 2я является периодом функции y=s\n t.
Докажем, что число 2л является наименьшим положительным
периодом функции y=sin t. Предположим противное: пусть 0<а<2л и
sin(/{ a)-^sin/ (I)
при любом t (то есть нашлось положительное число а, меньшее 2л, которое
тоже является пернодом).
Пусть /—0. Тогда из (1) получим, что sine—0. Но в промежутке 0<а<2я
есть лишь число я, синус которого равен- нулю, поэтому а—л. Подставив
теперь в (1) / -у-, мы получим, что 1—1 /sin -у- 1—это ордината
точки А на рисунке 1, а sin ( л ,- -у-] 1 — это ордината точки А'). Мы
пришли к противоречию. Итак, 2л — наименьший положительный период
функции у—sin t.
Установленное нами свойство периодичности позволяет проводить
дальнейшее исследование свойств синуса только в пределах одного периода,
например, при 0</<2я.
В связи с доказанной периодичностью синуса сделаем следующее замечание. В
учебнике Кочетковых «Алгебра и злементарпыо функции» (S 207) подразумевается, но явно не
сказано, что для периодической функции вместе с числом х должны' входить в область
определения и все числа х-гпТ (л — любое целое число, Т - период). Между тем это очень
важно иногда удастся доказать непериодичность фчнкцнн, пользуясь именно чтим
свойством. Покажем, например, что функция у -cos непериодическая. Предположим,
что Т — период этой функции. При х- —Т наша функция определена, значит, она должна
быть определена и при ж —7"— 7"-0, но при л: 0 ccs — не существует мы пришли
к противоречию.
Совершенно аналогично можно исследовать свойства функции у - cos / Вам,
по-видимому, совершенно ясно, как определить ф> нкции у t£/, у ctg / (числового аргумента)
и исследовать их свойства
Упражнения
1. Найдите наименьшие положительные периоды функций'
а) у- sin3x;6) у tg2дг-sin Здг. в) у 2sin l-j- '■■ -я-I; О У sinJA. д)</ s:n(cosx);
с) у cos(sin<).
Пример 1. Доказать непериодичность функции у--ь\пх*.
Решение. Предположим, что данная функция периодическая.
Найдем нули этой функции (то есть те значения х, при которых она обращается
в нуль): sinx2—0, откуда хг - nk(k -0, 1,2, . ), х =±Vnk Если k-=0,
то х0=0; если А -1, то *, Vn Из сделанного предположения о
J7

периодичности функции у—sinx2 следует, что найдется еще бесконечно
много пар соседних ее н\лей (получающихся из х„ и дг, сдвигами вправо
на целое число периодов), разность между которыми равна х, —х„ VS.
Но дтя любого Л>1 имеем
\х^, - х„\ - \V(k \)п-УШ\ у {k !J\ • !/Ь < VS.
так как V(k ' 1)я V/rn> | л Полученное противоречие доказывает
непериодичность функции у—sin д.'.
Упражнении
2. Докажите нспернодичиость функций а) у - sin V*~I б) </ cos* cos V^ ^
3 Укажите щакн следующих чисел
a) sin2; б) cos3.1; в) 1д 10. г) sims; д) tR(cos2)
4 Дано, что cos2 f i pcos / • у>0 при всех действительных чначениях /. Спедует ли
отсюда, что х- рл—-£>0 при всех действительных лечениях *'
Нетрудно установить простую связь между определениями
тригонометрических функций (обобщенного) угла и числового аргумента.
Расположим угол так, чтобы его начальная
сторона шла по оси Ох (рнс 2). Тогда синус
угла по определению равен ординате
точки, в которой конечная сторона угла
пересекает единичную окружность
Если угол содержит а радиан, то
конечная сторона угла будет пересекать
единичную окружность в конце дуги,
соответствующей числу а при наматывании.
Поэтому (сравните рисунки 1 и 2)
синус угла в а радиан равен синусу
I числа а
Y
-\1
Е'(-К0)\ 0
А'
1
V У
Рис 2.
Именно это свойство принято в школьном учебнике за определение синуса
числа (и аналогично для других ф\нкцш"г косинуса, тангенса,
котангенса).
?. Преобразование тригонометрических выражений
При решении различных задач часто приходится проводить
тождественные преобразования, пользуясь формулами тригонометрии. При этом
надо помнить, что некоторые формулы изменяют область определения;
кроме того, необходимо выяснять обратимость всех переходов
Пример 2 (.МАИ, 1970). Доказать тождество-
(cosа ■ cos-f-) -(sing sjn-f-) ^
sin2а -sina fi 4 ' * '
Решение Найдем прежде всего ОДЗ. Левая часть (2) определена,
когда sin2a—sina^O, то есть когда 2sinacosa—sina^O, откуда
I 1
sina=^0. cosa=jt-5-; окончательно а =£лн, а.ф±~ 2лк*). Правая
") Здесь и дальше, если не оговорено противное, подразумевается, что пара\ст-
pw n, kt I н т. п принимают все це.-очисденные значения
38

часть (2) существует при sin -*- Ф О, то есть при «#4я/. Итак, ОДЗ
найдена: о Ф ля, а # ± -у -f 2я*
Обозначим левую часть тождества через М. Тогда
ot а а а
соЛ + 2 cos а cos -у + cos* -у — *1п*о — 2sin о sin -у — sin' -у
Af — . „ : ■=
sin 2а — sin а
(cos*a—sin<a) 4 (cos1 -= sin* -y ) •(- 2(cos a cos--»- — sin a sin -y )
sin 2a — sin a ~
За а За За
cos 2a -(- cos a +■ 2 cos -y 2 cos -5- cos -5- f 2 cos -y
sin 2a — sin a ~ а За _
2 sin -y cos -y
cos -y +1 2cos*-j- a
a- = a a-=ct8T-
sin -y 2 sin — cos -j-
Итак, в ОДЗ Af-ctg-f-.
Пример 3. Доказать, что если ctg (о + Р) = О, то
sin(a+ 2P) --- sin о. (3)
Решение. Заметим, что условие ctg(a + P) = 0 эквивалентно
условию
cos(a + P) = 0. (4)
Рассмотрим теперь разность правой и левой частей (3): sin (а. + 2j$) —
— sin о = 2 sin p cos (a 4- Р), откуда, используя (4), получим требуемое.
Упражнения
5 (МАИ, 1970). Докажите тождества
а) (sina—coseca)*+(cosa—seca)2-=4ctgs2a+1;
2cos \4-+ aj sin /-y --j-J
6)sina + ctga — ctgacosa — 1— .
cos -j-
в. Докажите тождества-
а) (МИСП, 1969). ! + tg a lg 2a = sin (-у j- 2a); б) (МИФИ), cos' 9+coss(a-(-<(>)-
—2 cos a cos (j> cos (a+ч>)--sin* a
7. (Фиэ. фак. МГУ).
а) Докажите, что если 5sinp-sin(2a+ft), то . ~Т = -у;
б) Докажите, что если cos*=-coso cos», х±а^л(2*+|), o^n(2fc-fl). то
, , . * + a . « — а I
H-lg-y-tg—2- = —-Г-
cos*-у
Пример 4. Упростить выражение
М = sin о 4- sin (a 4- 6) + . . . + sin (a + лб).
»

Решение. Заметив, что аргументы синусов образуют
арифметическую прогрессию с разностью 6, умножим обе части равенства на 2sin—:
2sin-|-Af-2sin-5-sina+2sin -|-sin(a-(-6) + ... |2sin-|-x
х si n (о + лб) = cos (a — -^-\ — cos ( a (• -^-j + cos | a + -y- J —
-cos(a + -^-U.--+cos[o4(/»-4-)6]-cos|^o-f(n-b4-)6] -
-cos/a--§-)-<:os[a + (n + -i-)6]=2sin(a \ -y-jsin-^-1 6
Итак, если sin -=- Ф О, то есть 6 Ф 2я*, то
s.n^ a + -r)s-.n\—g— )
м = ,
sin —
Если же б =» 2як, то
М — sin a + sin (a -r 2nk) -'- . . . + sin (a 4- 2япк) - (n -j- 1) sin a.
Упражнения
8 Докажите тождества. а) (МИФИ), cos a j-cos 2a '-cos 3a | . . . -f-cosna -
tux (n+ I) a
sin -5- ccs 5 „
* 2 2л 4л 6л 1
-- - ; б) (МГУ), cos -у -f ccs — 1 ccs—= —-j-;
sin -j-
в) (МГУ) ccs -r- I cos -5- ^. -5-.
9. (МИФИ). Упростите выражения, а) cosa cos2a cos4a . cos2"a,
б) cos a — cos 2a + cos 3a — cos 4a + . + (— l)"*1 cos na;
в) sin a — 2 sin 2a + 3 sin 3a ~ -j- n sin na;
r) sin'-g- — 3sin5 -gj--. 9sin3 -gj- 4- • • • -J- 3"-' sinJ -g^f.
Пример 5. Доказать тождество:
tg«t4-tg-f- + 4-tg-5-f ... ; J-tg^-._^rctg^r-2ctg2a
Решение. Заметив, что в правой части тождества стоят
котангенсы, выразим tga через ctg2a и ctga: tga = ctga —2ctg2a
Тогда
tga--ctga — 2ctg2a,
tg— ---ctg-f—-2ctga.
tg-f -ctg-f-actfrf,
««■£ ctg^--2ctg1^T.
40

Умножая выписанные тождества соответственно на 1, -j-, ., —— и
почленно складывая, мы получим нужный результат. Наши преобразования имеют
смысл лишь при as^-Чг- (проверьте!).
Упражнения
.=■ 3
10. Докажите тождества, а) (УГПИ). sin2 a |- sin» (120° -f- a) j-sin1 (120° — a) = -g-;
б) (МАИ). tg3a - tgatg(-5-f-a)tg(-j-—о); в) (МагГПИ) 4 cos2 a + sin2 2a +
+ 4 sin4 a = 4.
11. Преобразуйте я произведение а) (МагГПИ). cos* (х + у) + sin (х + у) +
+cos (*+ у) + sin2 (дг + у), 6) (МАИ). tg'a ~ ^^ + 3 ctg (-%-+ а) - 4;
в) (МИСП, 1969). sin Sa sin 4a + sin 4a sin За — sin 2a sin а; г) (МТИ, 1970).
sec2a-tg«a + tg ("£-—jf)-f ctg ("f "IF")-
Пример 6. Вычислить без таблиц sin 18°.
Решение. Мы воспользуемся тем, что 18е • 5 = 90°, то есть, что
2 • 18° + 3 • 18° = 90', откуда
cos (2 • 18°) -= sin (3 • 18=) (5)
и тем, что cos 2a и sin За рационально выражаются через sin a. Применив
формулы cos 2a = 1—2 sin2 a и sin 3a -- 3 sin a — 4 sin3 a, мы из (5)
получим: 4 sin3 18° — 2 sin2 18' — 3 sin 18° + 1 ^- 0.
Обозначив sin 18' через у, мы приходим к уравнению
4у» — 2уг — Зу + 1 -= 0, (6)
которое легко решить, заметив, что у — 1 — его корень (отсюда сразу
следует, что левая часть (6) делится на у — 1): {у—1) (4уг+2у—[)-—0,
откуда ух = 1, уг, s = т'*^5 . Учитывая, что sin 185 Ф 1, sin 18° > 0,
находим, что sin 18°= * ~ ■
Пример 7. Упростить выражения: а) St = cos2 a + cos2 2a + ...
+ cos' пл; б) S, = sin2 a + sin2 2a + ... -f- sin3 na.
Решение. Так как sin2* + cos3* = 1, то
S, + 5а = п. (7)
Применив теперь результат упражнения 8а) (при каких а это можно
сделать?), мы получим:
5,—Si = (cos2a —sin3a) + (cos22a —sin32a)H +(cos2na — sin2 na)-=
^cos2tt + cos4a+--t-cos2/t«=- ,4"~«f»+')« {8)
sin a ■ \ /
Теперь из (7) и (8) легко получаем: St = -|-+ sin "a2c"n("a+1} tt ; S2 =
n sinnacos(n+1) a v ...
=-5 2 sin a '—. Каков ответ при а=я*?
Упражнения
12. Вычислите без таблиц: а) cos 15"; б) tg 7,5°; в) cos 18°; г) (МАИ, 1970).
cos 55° • cos 6S° • cos 175°; д) (МИСП, 1969). tg 9° — tg 27° — tg 63° + tg 81°.
41

Пример 8. Найти cos a + sin а, если sin а cos а ~ 0,48.
Решение. Извлекая из обеих частей тождества (cos о f sin a)J —
= 1 +2 sin a cos a квадратный корень (как всегда, арифметический!),
получим: |cos a + sin o| = У 1 + 2sinacosa- l ,4 (подкоренное
выражение неотрицательно: 1 + 2 sin a cos a — 1 H- sin 2a s» 0, так как
sin 2a > — 1). Поскольку по условию sin a cos a > 0, то sin a и cos a
имеют одинаковые знаки, то есть а находится либо в I, либо в III четверти.
Если2лп<а<-^ + 2ял, то sin at-cos а---1,4;
если же я + 2яп<а<"-^--г-2ял, то sin a-+-cos a —1,4.
Упражнения
1 — 2 sin* -j-
13. а) (МАИ) Найдите { + sin g , если tg -|- - т - 1, г.) (МГУ)
Докажите, что если tga — -J-, sinf) — ,— , тоа-;-2р — -т- (а и В ~ \глы I четверти);
За а 2 а
в) (МИСП). Найдите 18 sin — sin -j-, если cos a = -j-. г) (МТИ) Найдите tg -j-,
4 Зл
если tga = -y, я<а< -j-.
14. (МГУ). Известно, что a-f 8-f v —g", a>0. B>0. y>0 и чтос1цо, ctg 8,
ctgv образуют арифметическую прогрессию. Найдите eta a els'у.
15. (МИФИ). Докажите, что если а, в, у — \глы треугольника, то
a В у
а) sin a -f- sin 8 -f- siny = 4 cos -у «» "J" c°s "2" >
a B v
б) cosa + cosB + cosy = 1 + 4sin -5- sin —sin -я-;
в) tga + tgB-t- tgy = tgo tgB tgy;
r) sin 2a + sin 28 4- sin 2y =4 sin a sin в sin y;
д) sin* a + sin* 8 + sin* у = 2 cos a cos в cos v + 2;
a В a v 0 V
е) tg-g-tg-Jp + tg -j-tg-^+tg -f-tg-| |;
3
ж) cos о + cos В -г cosy ^ "3" >
з) sin'a + sin* 6+ sin1 v> 2 (треугольник остроугольный).
16. Докажите неравенства-
а) (МФТИ).
ctg-f->1+c,8«(°<«<T"):
б) (ВГУ). cos о + 3 cos За + 6 cos 6а Зг —7.2;
в) (МФТИ), (l-tg'a) (l-3tg«a) (l+tg2atg3a)>0; г) (МФТИ).
(ctg«a— 1) (3ctg*a-l)x(ctg3atg2a—l)sS—I: д) (МГУ). 4 sin За+5^4 cos 2a+5 sin a.
Примечание. В статье приняты следующие сокращения.
МАИ — Московский авиационный институт, МГУ — Московский государственный
университет, МГПИ — Московский государственный педагогический инстит>т, МагГПИ—
Магаданский государственный педагогический институт, МТИ — Московский текстильный
ннститут, МИСП — Московский институт стали и сплавов, МИФИ — Московский
инженерно-физический институт, УГПИ — Ульяновский государственный педагогический
институт, ВГУ — Воронежский государственный университет, МФТИ — Московский
физико-технический институт.
42

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
К статье «Искусственные я Ара»
Достаточна.
К статье «Тригонометрические функции»
1. a) -s-; б) 2 л; в) 4 л; г) я (у к а-
1—cos2x\
з а н и е. sin'x = я I; д) 2 я; е) я.
2. б) Предположим, что Т — период
данной функции, то есть что cos(x + 7")X
Xcos (1/2 (ж+ 7)1 = c°s *cos"l/2"x при
любом х. Подставив в это равенство х=0,
получим: cos 7* cos V2 Г = 1. Последнее
равенство может выполняться лишь в двух
случаях- cos Т — 1, cos ~\/2 Г = 1 или
cos Т = — I, cos V2" 7 = — 1 (если
предположить, что одни из
сомножителей по абсолютной величине меньше 1,
тогда второй должен быть по абсолютной
величине больше I, чего быть не может).
В первом случае 7=2 як, г = "^тщ-, откуда,
поделив первое равенство на второе,
получим, что V2" = ~ (то есть- что V2 —
рациональное число). Второй случай
приводится к противоречию аналогично.
3. а) положительное (дуга длиной 2
кончается во II четверти); б) отрицательное;
в) положительное: г) отрицательное I Зя <
< л* < 10 < —); д) отрицательное
4 Нет, не следует; рассмотреть
случай р =—5, q =6.
7. а) Преобразуем-
tg(g + p) sin(»+ p)cosa
tgo = sin a cos (a + P)~
sin ft* -\- sin (2a + p)
- — sin p + sin (2a + P)=
sinp-f 5sinP 6sinp 3_
— — sin p-f-5 sin p — 4sinp— 2 •
Заметим, что утверждение задачи верно лишь
при a + p^ -j- (2ft+l), a^y,
б) Имеем: 1 + tg —j— tg —g— =
ix + a x — a\
_cos(-~2~-~2~)_
x + a x—a
cos—— cos—5-
«0
- 2 cos o:[cos ^-^- ~ ^^j +
/x + a x — a\] _
-r<™[—— + —Г" )\-
2 cos a 2 cos a
~ cos x + cos a ~ cos a + cos a cos b ~
2 I
-eosH-i _ J by
9. а) Обозначив данное выражение
через М, имеем при ujtnk:
2" sin a cos а cos 2а . . . cos 2"а
М= 2" sin а =
2"-'sin 2a cos 2а . . cos 2иа _
~ 2" sin а ~~
соз2"-'-1а
= ' ' ' — 2п sin а '
При а=л* имеем
М — cos nk cos 2л*... cos 2"я*—
_ f 1 при * = 2р,
"" I — I при А = 2р + 1.
б) Обозначив данное выражение через
М, получим прн а#я(2А+|):
а а
2 cos -я- М = 2 cos -5- cos а —
а
—2 cos-j- cos 2а -|- • • • 4-
а
+ 2{— l)n+1cos -ycosnas
а За За 5а
•л cos-у -г cos -g- — cos-g- — cos-j- +
Sa , 7a
+ cos-j- + cos~2- —• +
. 2n— I
+(—l)"+,cos—j— a +
+ (_l)nticos—j—a =
a 2n-t- I
= cos-3- + (-l)n+,cos-^-a.

При <х = n(2ft + I)
A4 = cosji(2fc-f 1) — cos2n(2* + 1)4-
+ cos 3 л (2ft + I)—...+
+ (—l)"+"cosnn(2fe + 1) = —1—1—1—
в) Ответ'
„ _ (я 4- 1) sin да — в sin (n -[-1) a
a
4 sin* -y
при a£2kn; М—0 при a=-2toi.
г) По формуле синуса тройного угла
имеем:
a a
sin о = 3 sin -3- — 4 sin* -~-,
a a a
sin -j- = 3sin -gj- —4 sin' -gr,
a a a
sin -55- — 3sin -j-j—4sins-3-,-1
a a a
sin 3>i-i = 3 sin 55- — 4 sin' j-д-,
откуда
. . a 3 a 1 .
sin' -4— = -j- sin -5 j- sin a,
. „ a 3.0 1 a
sin» -j-j- = -3- sin -jj- — — sin — ,
. . a З.0 I a
sin' -3Г ~ — sin -35- — — sin -jt,
. о 3 a 1 a
sin» -3Й = ~ sm -55 — — sin зтг=г .
Умножая последние равенства
соответственно на I, 3, З2, ...3"-' и почленно
складывая, получим, что искомое выражение равно
— f3" sin -5s — sinoj-
п..)8у2-ап(£+£+«)«,.*+£;
б) 4 Vfsin la +-J-) sin la — -j-J X
x sin la + -j-J • cos'a;
в) 2 sin 3a sin 5a cos a;
12. a) cos 16'^ j/jL±cos30° =
= l/ '+У _У5ТУГ.
^ 2 2~'
л] 2у2_уз-1 ;
2-V3
.} V2(5+V5) ■
r) ■ I + V3.
8У2
Д) 4.
13. a)——— при тфО; при m—0
выражение не имеет смысла; в) 7; г) —2.
14. 3.
16. б) Данное неравенство равносильно
такому cosa + 3(cos 3a 4- 4 cos8 3a)^—1,2
Преобразуем.
' 1 \*
cos 3a-j-4 cos* 3a = 12 cos 3a-|--4-1 —
1 I
—-jg-^ — -jg-, откуда получаем.
cos a 4 3 (cos 3a -!- 4 cos* 3a)Ss — 1 —
3 2
—i6>-'—и- -1-2-
«I